Научные революции в физике и космологии: Учебное пособие

И. Д. Рухленко НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ В ФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ Учебное пособие B1 B1 w B2 B2 w Санкт-Петербург 2008 МИН...

Author: Рухленко И.Д.

28 downloads 184 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

И. Д. Рухленко

НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ В ФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ Учебное пособие

B1

B1 w

B2

B2

w

Санкт-Петербург 2008

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

И. Д. Рухленко

НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ В ФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ Учебное пособие

Санкт-Петербург 2008

Рухленко И. Д. Научные революции в физике и космологии. Учебное пособие. – СПб: СПб ГУИТМО, 2008. С. 178. В пособии излагаются концептуальные основы и элементы математического аппарата классической механики, электродинамики, специальной и общей теорий относительности, с появлением которых связаны научные революции в физике и космологии. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки специалистов 220201 и по направлениям подготовки инженеров 160402, 230101, 090103. Материал пособия также может быть рекомендован студентам старших курсов физикотехнических специальностей. Рекомендовано к изданию кафедрой Оптической физики и современного естествознания. Протокол заседания № 4 от 18.02.08.

В 2007 году СПб ГУИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007 – 2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

c Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, 2008. c Рухленко И. Д., 2008

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие посвящено изложению основ физических теорий, появление которых произвело важнейшие революции в физике и космологии. В основе пособия лежит курс лекций, прочитанных автором в осеннем семестре 2007 г. студентам 3-го курса кафедры Систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. Целью курса является создание у студентов общего видения картины Мира, формирование материалистического мировоззрения, а также закрепление и развитие представлений о научном методе познания природы. Практика общения автора со студентами показывает, что к началу пятого семестра обучения первые две задачи остаются в основном нерешенными. Последовательность изложения материала курса соответствует историческому развитию физики, начиная с построения Ньютоном в конце XVII в. здания классической механики, и заканчивая общей теорией относительности и важнейшими открытиями XX в. в области астрофизики и космологии. Пособие ни в коей мере не претендует на полноту. Основное внимание в нем обращено на ознакомление с концептуальными основами 3

4


физических теорий, которые в разное время служили основой для построения приближенных научных картин Мира. К сожалению, ограниченность курса 24 часами лекционных занятий не позволила автору включить в него глобальную революцию, которую во второй четверти XX в. произвела в естествознании квантовая механика. Понятно, что обсуждение таких глубоких физических (и естественнонаучных) идей, как корпускулярноволновой дуализм, принцип неопределенности Гейзенберга и принцип дополнительности Бора требует увеличения продолжительности курса, по меньшей мере, в полтора раза. Понимание большинства вопросов, изложенных в пособии, возможно на основе материала общего курса физики, читаемого на физических факультетах технических вузов в течение первых четырех семестров. Поскольку в пособии обсуждаются следствия законов электродинамики и теория относительности, изложение не могло быть особенно элементарным и предполагает знание теории электромагнитного поля и основ тензорного анализа. Между тем, некоторые вопросы могут быть поняты и без привлечения указанных знаний на базе курса физики средней школы. К таким вопросам, прежде всего, относится б´ольшая часть первой главы и несколько первых параграфов третьей главы, часть материала которых излагается в 11 классе. Трудности восприятия, обусловленные сложностью математического аппарата специальной и общей теории относительности, компенсируется, на наш взгляд, достаточно подробными выкладками и многочисленными пояснениями в тексте, а также рядом приложений, в которых детально разобраны некоторые вопросы и выводы, дополняющие основное повествование. Для детального знакомства с указанными теориями особо ре-


5

комендуем непревзойденную по четкости, всемирно известную монографию Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]. В конце пособия, для удобства, приводятся определения некоторых терминов и список литературы, использовавшейся при подготовке курса лекций. В качестве научно-популярного дополнения к цитированному выше учебнику Ландау и Лифшица из источников списка выделим две замечательные книги серии «Эврика» И. Д. Новикова [2,3] и ставшую уже классической монографию И. С. Шкловского «Вселенная. Жизнь. Разум.» [4]. В этих книгах занимательно рассказывается о строении и эволюции Вселенной, о черных дырах, о понятии времени и значении его свойств для исследования проблем астрофизики. Большое внимание уделено также выдающимся ученым, посвятившим жизнь изучению всех этих вопросов. После предметного указателя приводятся вопросы, вынесенные на экзамен. Пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей технических вузов. Санкт-Петербург, февраль, 2008 г.

И. Рухленко

Оглавление

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1

Классическая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Основания классической механики . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Принцип относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Гравитационная и инертная массы . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Силы инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Классический детерминизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 19 21 23 26

2

Электродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Основные законы электродинамики . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Потенциалы электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . 2.4 Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Зарождение и развитие представлений о световом эфире . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 31 34 36

3

39

Специальная теория относительности . . . . . . . . . . . 44 3.1 Законы электродинамики и принцип относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6

Оглавление

7

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

49 52 57 60 65 69 70 71 73 75 78 81 83

Постулаты теории относительности . . . . . . . . . . . . . . Относительность одновременности . . . . . . . . . . . . . . . Пространство Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Инвариантность уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . Следствия преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Относительность расстояний . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Относительность промежутков времени . . . . . 3.7.3 Релятивистский закон сложения скоростей . . 3.8 Интервал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Четырехмерная скорость и ускорение . . . . . . . . . . . . 3.10 Релятивистская динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Теорема инертности энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Общая теория относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.1 Принцип эквивалентности Эйнштейна . . . . . . . . . . . 89 4.2 Общий принцип относительности . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Кривизна пространства-времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.1 Допустимые преобразования координат . . . . . 98 4.3.2 Символы Кристоффеля и ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.3 Уравнения геодезической линии . . . . . . . . . . . . 109 4.3.4 Тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4 Уравнения тяготения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5

Космология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 История космологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Модель Вселенной Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.3 Модель Вселенной Фридмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4 Реликтовое излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Решение Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8

Оглавление 5.6 Черные дыры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 П.1 Свойства символов Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . . 145 П.2 Тензор Римана-Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 П.3 Пространство постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . 152 П.4 Вывод решения Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Словарь терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Список основных обозначений

Векторы в трехмерном пространстве обозначаются жирным наклонным шрифтом (например v); та же буква светлым шрифтом без индекса (например v) означает модуль вектора, а с индексом – проекцию вектора на соответствующую ось (например vx ). Векторы в четырехмерном пространстве-времени обозначаются светлым шрифтом с латинским индексом у соответствующей буквы (например dxi , wi ). Тензоры любого ранга и их компоненты обозначаются буквами прямого рубленного шрифта с латинскими индексами (например Tik , Tik , Tki ). Интегралы любой кратности обозначаются одним единственR ным знаком и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: элемент объема (трехкратного интеграла) – dr, dV ; элемент линии (одинарного интеграла) – dr, dt, dxi и т. д. a – ускорение a – радиус кривизны пространства A – векторный потенциал Ai – 4-вектор потенциала c – скорость света в вакууме Cnk – биномиальный коэффициент 9

10


er – орт радиус-вектора E – напряженность электрического поля E – энергия f – плотность силы F – сила Fik – тензор электромагнитного поля g – определитель метрического тензора g – ускорение свободного падения gik – метрический тензор G – гравитационная постоянная Ньютона Gki – тензор Эйнштейна H – постоянная Хаббла H – напряженность магнитного поля j – плотность тока j i – 4-вектор плотности тока k – волновой вектор l0 – собственная длина m – инертная масса m0 – масса покоя M – гравитационная масса n – абсолютный показатель преломления p – импульс тела P – веc тела P – давление q – заряд частицы r – радиус-вектор rg – гравитационный радиус R – скалярная кривизна пространства-времени R(t′ ) – запаздывающее расстояние R – скалярная кривизна трехмерного пространства Rjl – тензор Риччи


11

Rijkl – тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля) s – интервал t – время T – след тензора энергии-импульса, кинетическая энергия T – сила натяжения Tik – тензор энергии-импульса ui – 4-вектор скорости v – скорость V – относительная скорость w – относительное ускорение w i – 4-вектор ускорения xi – 4-радиус-вектор

αki – матрица прямого преобразования Лоренца α ¯ ik – матрица обратного преобразования Лоренца β – отношение скорости движения к скорости света в вакууме γ – Лоренц-фактор Γijk – символ Кристоффеля первого рода Γijk – символ Кристоффеля второго рода δ(r) – дельта-функция Дирака δki – единичный тензор второго ранга ∆ – приращение чего-либо ε – плотность энергии λ – длина волны света ϑ – полярный угол κ – гравитационная постоянная Эйнштейна ρ – плотность заряда, плотность массы ρc – критическая плотность массы τ – собственное время φ – гравитационный потенциал

12 ϕ ω

Список основных обозначений – скалярный потенциал, азимутальный угол – циклическая частота

Введение

Научное знание постоянно изменяется не только по объему, но и по содержанию: обнаруживаются новые факты, рождаются новые гипотезы, на смену старым теориям приходят новые. В 60-е годы ХХ в. стала популярной концепция развития науки, предложенная американским философом Томасом Куном (1922-1996). Кун ввел в методологию новый термин: парадигма (дословно – образец). Парадигму, по его словам, составляют «признанные всеми научные достижения, которые в течение определенного времени дают модель постановки проблем и их решений научному сообществу» [5]. Содержание парадигм попадает в учебники и проникает в массовое сознание. Парадигмы обуславливают постановку новых опытов, выяснение и уточнение значений конкретных величин, установление конкретных законов. Иными словами, парадигма есть совокупность признанных всеми научных достижений и образец создания новых теорий в соответствии с уже имеющимися в данное время. Приращение знания внутри парадигмы Кун называет «нормальной наукой», а смену парадигмы – «научной революцией». Пример научной революции – это переход от представлений 13

14

Введение

о мире по Аристотелю к представлениям о мире по ГалилеюНьютону. Подобные скачкообразные переходы непредсказуемы и неуправляемы, рациональная логика не в состоянии определить, когда свершится переход в новое мировоззрение и по какому пути будет далее развиваться наука. Применительно к развитию науки слово «революция» означает изменение всех ее составляющих – способов объяснения фактов, законов, методов, а также научной картины мира в целом. По своим масштабам научная революция может быть частной – затрагивающей одну область знания, комплексной – затрагивающей несколько областей знаний, и глобальной – радикально меняющий все области знания. Глобальных научных революций в развитии науки выделяют три: аристотелевская, ньютоновская и эйнштейновская – по именам ученых, труды которых существенны в этих революциях. Ученые, которые признают началом научного познания мира XVII век, выделяют только две глобальные революции: научную революцию, связанную с трудами Н. Коперника, Р. Декарта, И. Кеплера, Г. Галилея, И. Ньютона, и научно-техническую революцию XX века, связанную с работами А. Эйнштейна, М. Планка, Э. Резерфорда и Н. Винера, которая привела к появлению атомной энергетики, генетики, кибернетики и космонавтики. Мы рассмотрим революции, которые происходили в концептуальных основаниях физики и космологии. Рассуждая о них, мы всегда будем обращаться к соответствующим теориям, ибо это лучшее средство от расхожих представлений и суррогатов знания.

Глава 1

Классическая механика

Рождение физики как науки связано в первую очередь с гениальными открытиями Галилео Галилея (1564-1642) и Исаака Ньютона (1643-1727). Особенно значительны научные прозрения Ньютона, который сумел первым записать физические законы в форме дифференциальных уравнений и тем самым водрузил здание физики на прочный фундамент дифференциального исчисления. Созданную им теорию, которую часто называют классической механикой или механикой Ньютона, он представил в фундаментальном труде «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1686 г., т. е. более трехсот лет тому назад.

1.1 Основания классической механики Основания механики Ньютона составляют три закона и два положения относительно природы пространства и времени [6]. Первый закон Ньютона (закон инерции): существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых свободные тела движутся по инерции. Напомним, что 15

16

1 Классическая механика

свободным называется тело, на которое не действуют никакие силы или действие сил скомпенсировано. Второй закон Ньютона: ускорение тела пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела, a=

F . m

(1.1)

Или иначе: скорость изменения импульса тела равна равнодействующей сил, действующих на тело, dp = F. dt

(1.2)

Третий закон Ньютона: тела взаимодействуют с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, F 12 = − F 21 .

(1.3)

Несмотря на внешнюю простоту, законы Ньютона позволяют решать огромнейший класс задач – рассчитывать процессы, происходящие под действием гравитационных, электростатических, упругих и прочих сил. Остановимся на этих законах более подробно. На первый взгляд кажется, что первый закон Ньютона является частным случаем второго. Действительно, если в (1.1) положить F = 0, что равносильно констатации взаимного уравновешивания (или отсутствия) всех сил, то получим a = 0. Следовательно, скорость тела постоянна и оно движется по инерции, а это, казалось бы, и есть первый закон Ньютона. Подобный вывод ошибочен, так как, на самом деле, первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета, о которых во втором законе ничего не говорится.

1.1 Основания классической механики

17

Из первого закона Ньютона следует, что инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, является также инерциальной. Чтобы узнать, является ли данная система отсчета инерциальной, надо проверить, движутся относительно нее свободные тела по инерции или нет. Осуществить подобную проверку на практике, вообще говоря, можно лишь приближенно, так как свободных тел в природе не существует, а в полной компенсации всех действующих на тело сил уверенным быть нельзя [7]. Единственное при этом что можно утверждать, это то, что первый закон Ньютона справедлив (и это проверяемо) для почти свободных тел. Поэтому считать его строгим экспериментальным фактом было бы ошибкой. Однако ошибкой также было бы считать первый закон Ньютона априорным суждением, т. е. данным нам до всякого эксперимента. Не смотря на это, первый закон Ньютона справедлив во всех случаях без исключения и никогда не станет в противоречие с опытом, поскольку всегда может быть «спасен» введением неучтенных сил, приводящих к его кажущемуся нарушению [8]. Второй закон Ньютона утверждает, что причиной ускорения тел являются силы. Это значит, что силы не являются причиной движения тел, но являются причиной изменения состояния (скорости) движения. Само же движение ни в какой причине не нуждается. Наконец, третий закон Ньютона говорит откуда вообще берутся силы – они возникают в результате взаимодействия тел. При этом важно помнить, что силы F 12 и F 21 , входящие в (1.3), имеют одинаковую природу, приложены к разным телам и не компенсируют друг-друга.

18


Законы Ньютона предполагают определенную природу пространственных и временных промежутков. По Ньютону время абсолютно, одинаково во всех инерциальных системах отсчета, ни от чего не зависит и протекает равномерно. В «Началах» Ньютон пишет [3, 9]: Абсолютное, истинное, математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.

Неизменность течения времени он подчеркивает такими словами: Все движения могут ускоряться и замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может. Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли или их совсем нет.

Пространство в классической механике также абсолютно, везде одно и то же. Его свойства Ньютон описывает следующим образом: Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным.

Таким образом, для классической механики характерна субстанциальная концепция пространства и времени – пространство и время не связаны друг с другом и выступают как самостоятельные образования. Пространство мыслится Ньютону как пустое вместилище всех вещей, время же понимается им как бесконечный поток длительности, эдакая «река времени»,

1.2 Принцип относительности

19

увлекающая своим вечным и равномерным течением все процессы. Очень образно охарактеризовал ньютоновские представления А. Эйнштейн: Идея независимого существования пространства и времени может быть выражена следующим образом: «Если бы материя исчезла, то осталось бы только пространство и время (своего рода сцена, на которой разыгрываются физические явления)».

1.2 Принцип относительности Не все системы отсчета являются равноправными в классической механике. Второй и третий законы Ньютона выполняются лишь в инерциальных системах отсчета. Следовательно, инерциальные и неинерциальные системы отсчета отличаются друг от друга, что свидетельствует о недостаточной зрелости механики Ньютона. Вместе с тем классической механике присущ и положительный момент – равноправие всех инерциальных систем отсчета. Это равноправие фиксируется принципом относительности, который в 1636 г. сформулировал Г. Галилей. Принцип относительности: при одинаковых начальных условиях все механические явления происходят одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому принципу, никакими механическими опытами нельзя установить покоится ли инерциальная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно – все инерциальные системы отсчета равноправны. С математической точки зрения это означает инвариантность законов Ньютона относительно преобразований координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. В дореляти-

20


вистскую эпоху этими преобразованиями были преобразования Галилея. Доказать инвариантность законов Ньютона относительно преобразований Галилея несложно. Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K ′ и предположим, что система K ′ движется с постоянной скоростью V относительно лабораторной системы K. Если в нулевой момент времени положения обеих систем отсчета в пространстве совпадают, то преобразования Галилея имеют вид r = r ′ + V t′ ,

(1.4)

′

t=t, где r и r′ – радиус-векторы, определяющие в момент времени t = t′ положение движущегося тела относительно систем отсчета K и K ′ . Дифференцируя соотношение r = r ′ + V t′ по времени, получим классический закон сложения скоростей v = v′ + V ,

(1.5)

где v = dr/dt и v ′ = dr′ /dt′ – скорости тела в системах K и K ′ . Дифференцируя по времени закон (1.5), найдем: dv/dt = dv ′ /dt′ , т. е. a = a′ . Таким образом, ускорение в классической механике абсолютно, в то время как скорость и положение тела – относительны. Абсолютными, как несложно видеть, также будут расстояния между телами (r1 − r 2 = r ′1 − r ′2 ) и относительные скорости тел (v 1 − v 2 = v ′1 − v ′2 ). Поскольку силы, рассматриваемые в механике, зависят либо от взаимного расположения тел (сила тяготения, сила упругости) либо от относительных скоростей тел (сила трения), то преобразования Галилея оставляют их неизменными. Поэтому, если в лабораторной системе отсчета K законы Ньютона имеют форму (1.1) и (1.3),

1.3 Гравитационная и инертная массы

21

то и в системе K ′ они будут выглядеть аналогично (масса тела в классической механике от системы отсчета не зависит): a′ =

F′ , F ′12 = − F ′21 . m

Открытие Галилеем принципа относительности явилось мощным научным аргументом против утверждения о неподвижности Земли во Вселенной.

1.3 Гравитационная и инертная массы Величина m, входящая во второй закон Ньютона, называется инертной массой тела и характеризует свойство инертности. Чем больше инертная масса тела, тем его движение ближе к движению «по инерции» и тем медленнее тело меняет свою скорость под действием заданной силы. Можно сказать, что инертная масса характеризует «нежелание» тела сдвинуться с места и изменить свою скорость. В отличие от инертной массы, определяемой динамически, гравитационная масса M определяется из статического эксперимента по взаимодействию двух тел, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. Именно гравитационные массы тел входят в закон всемирного тяготения F =G

M1 M2 er , r2

(1.6)

где G = 6.67×10−8 см3 /(г×с2 ) – универсальная гравитационная постоянная (постоянная Ньютона), r – расстояние между телами (сферически-симметричными или точечными), er – единичный вектор вдоль линии, соединяющей центры тел. Несмотря на то, что, как и законы динамики, данный закон был открыт

22


Ньютоном, сам он инертную и гравитационные массы не различал. В конце XVI в. Г. Галилей экспериментально установил чрезвычайно важный факт – пропорциональность гравитационной массы массе инертной. Проследим как он пришел к такому выводу. Пусть у нас имеются два тела, отличающиеся весом, M1 g и M2 g, где g – напряженность гравитационного поля. По второму закону Ньютона, их ускорения соответственно определяются из соотношений F 1 = m1 a1 и F 2 = m2 a2 . Поскольку сила, действующая на каждое тело, равна его весу, то M1 g = m1 a1 , M2 g = m2 a2 . Отсюда a1 =

M1 M2 g , a2 = g. m1 m2

Эксперименты Галилея показали, что все тела при отсутствии сопротивления падают на Землю с одинаковым ускорением, т. е. |a1 | M1 /m1 = = 1. |a2 | M2 /m2 Это возможно только при пропорциональности инертной и гравитационной масс. Наиболее удобно коэффициент пропорциональности считать равным единице. В настоящее время равенство m = M подтверждено экспериментально с точностью порядка 10−12 . Еще раз подчеркнем, что пропорциональность инертной и гравитационной масс является прямым следствием установленного экспериментально равенства ускорений всех тел под действием гравитации.

1.4 Силы инерции

23

1.4 Силы инерции В инерциальных системах отсчета, согласно ньютоновской механике, все ускорения, испытываемые телом, представляют собой результат его взаимодействия с другими телами. В неинерциальных системах отсчета обнаруживаются ускорения, о которых нельзя сказать, действием каких тел они вызваны. Столкнувшись с ускорениями, которые не вызваны взаимодействиями тел, мы можем сделать одно из двух предположений. Первая возможность состоит в том, чтобы допустить, что не только силы, но и какие-то другие причины могут вызывать ускорения. Принятие такого предположения означает полный отказ от второго закона Ньютона. В этом случае придется признать, что вся ньютоновская механика неверна и для каждой системы отсчета нужно строить заново свою систему механики. Конечно, это очень неудобно. Поэтому идут по другому, формальному пути. А именно, допускают, что существуют и такие силы, для которых мы не можем указать конкретные материальные объекты, с которыми происходит взаимодействие. Эти силы в механике получили название сил инерции [10]. Введение сил инерции дает формальную возможность не отказываться от законов ньютоновской механики и в неинерциальных системах отсчета. Пусть a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета, а a′ – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета. Обозначим разность данных ускорений вектором w: w = a − a′ . Тогда в неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона может быть представлен в следующем виде:

24


T

ma

ma P

T P

a a (а)

(б)

Рис. 1.1 Маленький шарик, подвешенный к кронштейну на тележке, которая движется поступательно с ускорением a, в инерциальной системе отсчета, связанной с неподвижным наблюдателем (а) и в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой (б). Черными стрелками показаны силы, действующие на шарик.

ma′ = F + F in , где F – результирующая сил, обусловленных реальными взаимодействиями, а F in = − mw – фиктивная сила инерции, берущая на себя «излишек» ускорения. В качестве примера рассмотрим простую силу инерции, которую приходится вводить в равноускоренной системе отсчета. Пусть маленький шарик на нити прикреплен к кронштейну, установленному на тележке (рис. 1.1). Если тележку начать двигать поступательно с ускорением a, то нить отклонится от вертикали на такой угол, при котором в любой инерциальной системе отсчета результирующая сил тяжести P и натяжения нити T будет сообщать шарику ускорение, равное a. Второй закон Ньютона при этом выполняется: T + P = ma (рис. 1.1а). Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, a′ = 0 и шарик сохраняет свою скорость (покоится), несмотря на то, что результирующая сил P и T отлична от нуля. Формально

1.4 Силы инерции

25

это можно объяснить тем, что, кроме сил P и T , равных в сумме ma, на шарик действует еще и сила инерции F in = − ma. Тогда второй закон Ньютона становится опять справедлив: T + P + F in = 0 (рис. 1.1б). Помимо простой силы инерции существуют центробежная сила инерции, объясняющая стремление тела двигаться от центра во вращающейся системе отсчета, и кориолисова сила инерции, ответственная во вращающейся системе отсчета за стремление тела сойти с радиуса при радиальном движении. Центробежная сила инерции действует на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее. Если положение тела во вращающейся системе отсчета задается радиусвектором r′ , то центробежную силу инерции можно представить в виде двойного векторного произведения: F cen = m ω × [r′ × ω] , где ω – угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета. Если R – вектор, проведенный к телу от оси вращения, то F cen = m ω 2R . В отличие от центробежной силы, кориолисова сила инерции действует только на движущиеся тела. Если v ′ – скорость тела во вращающейся неинерциальной системе отсчета, то сила Кориолиса имеет вид F cor = 2 m[v ′ × ω] . Наконец, ситуация еще более усложняется, если вращение системы отсчета происходит неравномерно. На всякое тело в

26


такой системе, помимо центробежной силы и силы Кориолиса, действует еще сила инерции [11] h dω i F irr = m r ′ × . dt

Таким образом, если неинерциальная система отсчета движется по отношению к инерциальной с линейным ускорением a0 и при этом еще совершает вращение с зависящей от времени угловой скоростью ω(t), то второй закон Ньютона в ней можно записать следующим образом: ma′ = F + F sim + F cen + F cor + F irr ,

где Fsim = − ma0 – простая сила инерции. В заключении отметим, что сам Ньютон приписывал появление сил инерции пространству, в котором происходит ускорение, считая, что таким образом абсолютное пространство проявляет себя и доказывает свою реальность.

1.5 Классический детерминизм С введением определенного закона для силы (например, обратной пропорциональности квадрату расстояния между телами) ньютоновские законы превращаются в точную и определенную систему дифференциальных уравнений. Хорошо известная из математического анализа теорема утверждает, что решение этой системы однозначно определяется заданием координат и их первых производных по времени в какой-либо начальный момент времени. Иначе говоря, если известно положение материальной точки и ее скорость в некоторый момент времени, то можно точно определить характер ее движения во все последу-

1.5 Классический детерминизм

27

ющие моменты времени. В этом смысле мир механики Ньютона является детерминистским. Строгие и далеко идущие последствия для нашей Вселенной, вытекающие из законов Ньютона, в начале XIX в. огласил французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827): Знание, которое в данный момент способно было бы узреть все силы, движущие природой, как и их обстоятельства у истоков сего движения, будь знание это к тому же столь велико, что все данные можно было бы подвергнуть анализу, охватило бы одной формулой и движение величайших тел во Вселенной, и движения легчайших атомов. Для знания такого ничто не было бы неясным, и будущее, равно как и прошлое, открылось бы его взору.

Другими словами, если в некоторый момент времени известны положения и скорости всех частиц во Вселенной, то с помощью законов Ньютона можно определить (по крайней мере, в принципе) их положения и скорости для любого момента времени как в прошлом, так и в будущем. С этой точки зрения все без исключения события, будь то образование Солнца, распятие Христа или все наши телодвижения в этом мире, строго вытекают из точных значений координат и скоростей частиц Вселенной в какой-то один момент времени (даже если эти значения нам и не известны). Таким образом, принцип классического детерминизма утверждает, что будущее состояние материального мира может быть полностью предсказано, если известны параметры, определяющие его состояние в какой-либо предшествующий момент времени. Классический детерминизм Лапласа рисует жесткую и не допускающую отклонений модель Вселенной. В этой модели встает множество запутанных философских проблем, связанных с

28


вопросом о свободе выбора. В частности, возникает сомнение в возможности существования разума, который своей «свободной волей» мог бы влиять на поведение материальных объектов. Актуальность подобного рода вопросов снизилась только после создания квантовой механики и открытия принципа неопределенности. Кроме того, выяснилось, что мир может быть детерминистским, но не вычислимым [12]. Иначе говоря, будущее может определяться прошлым, но точно рассчитать его при этом в принципе невозможно. Впрочем, последнее обстоятельство проблему свободы воли не решает.

Глава 2

Электродинамика

После работ Ньютона прошло без малого двести лет, прежде чем была создана принципиально другая, нежели классическая механика, физическая теория – теория электромагнитного поля. Ее создание ознаменовало настоящую революцию в области физического знания. В начале XIX в. английский физик Майкл Фарадей (17911867) серией блестящих экспериментов показал, что взаимодействие между движущимися электрическими зарядами осуществляется посредством электромагнитного поля. В 60-х годах того же века результаты этих экспериментов в изящной математической форме представил соотечественник Фарадея Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879). Сформулировав в дифференциальном виде законы макроскопической электродинамики, Максвелл осуществил в области электродинамики то же самое, что Ньютон сделал в механике.

2.1 Электромагнитное поле Представление о физическом поле – одна из самых глубоких естественнонаучных идей нашего времени. Не претендуя на 29

30

2 Электродинамика

полноту изложения вопроса, ограничимся перечислением основных свойств электромагнитного поля и попробуем дать ему хоть какое-то определение. Можно утверждать следующее: электромагнитное поле – материальная объективность. Это означает, что электромагнитное поле представляет собой особую форму материи (материально), которая существует независимо от нас и наших знаний о ней (объективно). Фактически определением электромагнитного поля служат два его основных свойства: 1. Электромагнитное поле порождается движущимися электрическими зарядами. 2. Электромагнитное поле обнаруживается по действию на электрические заряды (как движущиеся, так и неподвижные). Все попытки дать этому фундаментальному понятию более точное, краткое и вместе с тем удовлетворительное во всех отношениях определение обречены на неудачу. Причины тому – нерасчленимость электромагнитного поля на составные части (т. е. отсутствие у него «внутреннего механизма работы») и невозможность непосредственного восприятия его нашими органами чувств [13]. Большая Советская Энциклопедия дает похожее определение: Электромагнитное поле – физическое поле движущихся электрических зарядов, осуществляющее взаимодействие между ними.

Его можно было бы считать полным, если бы понятие «электрический заряд» определялось без ссылки на электромагнитное поле. Однако в той же Энциклопедии мы читаем:

2.2 Основные законы электродинамики

31

Электрический заряд – свойство некоторых частиц (электронов, протонов, позитронов, некоторых видов мезонов), состоящее в том, что они всегда связаны с электрическим (электромагнитным) полем и испытывают определенные воздействия внешних электромагнитных полей.

2.2 Основные законы электродинамики В теории Максвелла электромагнитное поле описывается двумя основными величинами – напряженностью электрического поля E(r, t) и напряженностью магнитного поля H(r, t), которые являются функциями координат и времени. Чтобы описать электрическое состояние вещества, наряду с полями вводят еще две функции места и времени – плотность заряда ρ(r, t) и плотность тока j(r, t). Если скорость заряда в некоторой заданной точке в заданный момент времени есть v(r, t), то j = ρv. Для заданного распределения зарядов и токов в вакууме электромагнитное поле определяется уравнениями Максвелла1 1 ∂H c ∂t div H 1 ∂E rot H − c ∂t div E rot E +

= 0,

(2.1а)

= 0, 4π = ρv , c = 4πρ .

(2.1б) (2.1в) (2.1г)

Первое из этих уравнений выражает закон электромагнитной индукции: электродвижущая сила индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус. Второе – 1

Определение и свойства векторных операторов см., например, в [14].

32


указывает на отсутствие источников магнитного поля, т. е. магнитных зарядов или монополей. Третье уравнение утверждает, что магнитное поле порождается как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. Наконец, последнее уравнение формулирует электростатическую теорему Гаусса, согласно которой источниками вектора E служат электрические заряды. В свою очередь, движение зарядов в заданном поле определяется уравнением Лоренца 1 f = ρ E + [v × H] , (2.2) c

где f – плотность силы, действующей на плотность заряда ρ. Эта электромагнитная сила находится в равновесии с силой инерции, которая задается распределением масс зарядов f=

∂(ρv) . ∂t

Для точечного заряда q в уравнениях (2.1в) – (2.2) надо перейти к случаю, когда плотность заряда сконцентрирована в бесконечно малом объеме, положив ρ(r, t) = qδ[r − r q (t)], где r q (t) – радиус-вектор положения заряда. Уравнение Лоренца (2.2) можно тогда проинтегрировать по этому объему и получить полную силу, действующую на частицу, – силу Лоренца. Система уравнений Максвелла содержит восемь скалярных уравнений для шести неизвестных величин – компонент векторов E и H и поэтому кажется переполненной, что недопустимо. Чтобы убедиться в совместности данной системы, докажем наличие дифференциальных связей в первой и второй парах уравнений Максвелла. С этой целью подействуем на обе части уравнения (2.1а) оператором div, а обе части уравнения (2.1б) продифференцируем

2.2 Основные законы электродинамики

33

по времени. В обоих случаях получается одно и то же равенство ∂(divH)/∂t = 0. Таким образом, первые два уравнения системы Максвелла имеют одно и то же дифференциальное следствие. Каковы бы ни были функции ρ(r, t) и j(r, t), они должны удовлетворять закону сохранения заряда I Z ∂ j dS = − ρ dV , ∂t S

V

или, что то же самое, – уравнению непрерывности ∂ρ + div j = 0 . ∂t

(2.3)

Применяя операцию div к обеим частям уравнения (2.1в), получим −

∂ div E = 4π div j . ∂t

Сравнивая данное выражение с уравнением (2.3), находим, что должно выполняться равенство div E = 4πρ, совпадающее с уравнением (2.1г). Тем самым доказано, что (2.1г) является дифференциальным следствием уравнения (2.1в) с учетом закона сохранения заряда. Более подробный анализ показывает, что система уравнений (2.1) является полной, а ее решение однозначно при заданных граничных и начальных условиях [15]. Доказательство единственности в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности уравнений Максвелла является также решением, но при нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом

34


сохранения энергии, заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы.

2.3 Потенциалы электромагнитного поля Уравнения поля (2.1) можно свести к более простым уравнениям, связывающим только одну векторную и одну скалярную функции вместо двух векторных [16]. Полагая H = rot A , E = − grad ϕ −

(2.4а) 1 ∂A , c ∂t

(2.4б)

где функция A называется векторным потенциалом, а ϕ – скалярным, легко показать, что уравнения (2.1а) и (2.1б) удовлетворяются автоматически, а уравнения (2.1в) и (2.1г) преобразуются к виду 1 ∂ 2A 1 ∂ϕ 4π 2 − ∇ A + grad div A + = ρv , (2.5а) c2 ∂t2 c ∂t c 1 ∂A − ∇2 ϕ − div = 4πρ . (2.5б) c ∂t Дальнейшего упрощения можно достичь, заметив, что потенциалы A и ϕ не определяются напряженностями полей E и H однозначно. В самом деле, совершая в (2.4) замену A = A′ − grad χ , 1 ∂χ ϕ = ϕ′ + , c ∂t где χ – произвольная функция, получаем

(2.6а) (2.6б)

2.3 Потенциалы электромагнитного поля

35

H = rot A′ , 1 ∂A′ E = − grad ϕ − . c ∂t ′

Иными словами, потенциалам A′ и ϕ′ соответствуют те же поля, что и потенциалам A и ϕ. Кроме того, отсюда следует, что A′ и ϕ′ также являются решениями уравнений поля (2.5). Используя эту свободу в выборе потенциалов, подберем их таким образом, чтобы выражение в скобках равенства (2.5а) обратилось в нуль, div A +

1 ∂ϕ = 0. c ∂t

(2.7)

Для этого следует взять функцию χ, удовлетворяющую уравнению ∇2 χ −

1 ∂2χ 1 ∂ϕ′ ′ = div A + . c2 ∂t2 c ∂t

(2.8)

Выражая A′ и ϕ′ из (2.6) и подставляя в уравнения поля (2.5), можно показать, что последние принимают простую форму уравнений Даламбера (неоднородных волновых уравнений) 1 ∂ 2A 4π 2 − ∇ A = ρv , c2 ∂t2 c 1 ∂2ϕ − ∇2 ϕ = 4πρ . c2 ∂t2

(2.9а) (2.9б)

При этом потенциалы A и ϕ связаны друг с другом только соотношением (2.7), которое называется условием Лоренца. Однако и теперь A и ϕ все еще не определяются полностью напряженностями полей E и H. Действительно, функция χ ограничена лишь требованием удовлетворения уравнению (2.8). Поэтому мы еще имеем свободу выбрать произвольную χ, удовлетворяющую однородному волновому уравнению

36

2 Электродинамика ∇2 χ −

1 ∂2χ = 0. c2 ∂t2

(2.10)

Если теперь в (2.9) мы произведем замену A на A − grad χ и ϕ на ϕ + (∂χ/∂t)/c, то как напряженности полей, так и условие Лоренца (2.7) останутся неизменными. Этот произвол в выборе χ будет в дальнейшем использован нами для упрощения системы однородных уравнений, получающейся из (2.9) при условии отсутствия зарядов и токов. Напомним, что различные способы, которыми можно выбрать A и ϕ, оставляя E и H неизменными, называют различными выборами калибровки, а инвариантность E и H относительно таких преобразований – градиентной (или калибровочной) инвариантностью.

2.4 Электромагнитные волны Одним из основных следствий уравнений Максвелла стало предсказание в 1865 г. существования электромагнитных волн, которые распространяются в вакууме со скоростью света c ≈ 3 × 108 м/c. Эти волны представляют собой изменяющиеся во времени вихревое электрическое и магнитное поля, которые порождают друг-друга и «проталкивают» сквозь пространство. Экспериментальное обнаружение электромагнитных волн Генрихом Герцем (1857-1894) в 1888 г. стало первым и главным доказательством справедливости теории Максвелла [17]. Посмотрим, как математически законы электродинамики приводят к возникновению электромагнитных волн. Частным решением волновых уравнений (2.9) являются запаздывающие потенциалы

2.4 Электромагнитные волны

37

r(r',t'), j(r',t')

) r'(t'

R(t')

0

f(r,t), A(r,t)

r

Рис. 2.1 К расчету скалярного и векторного потенциалов, создаваемых в точке наблюдения произвольным распределением зарядов и токов.

Z

ρ(r ′ , t′ ) ′ ϕ(r, t) = dr , R(t′ ) Z 1 j(r ′ , t′ ) ′ A(r, t) = dr , c R(t′ ) где R(t′ ) = |r − r ′ (t′ )| – запаздывающее расстояние (см. рис. 2.1), t′ = t − R(t′ )/c – запаздывающее время. Они дают то поле, которое возникает только от рассматриваемых зарядов. Используя эти потенциалы, можно показать, что электромагнитные волны порождаются ускоренно движущимися заряженными частицами. Чтобы получить поле в свободном пространстве, надо найти общее решение однородных волновых уравнений 1 ∂ 2A − ∇2 A = 0 , c2 ∂t2 1 ∂2ϕ − ∇2 ϕ = 0 . c2 ∂t2 Эти уравнения и калибровка Лоренца (2.7) инвариантны относительно одновременных замен (2.6), если χ удовлетворяет условию (2.10). При этом функцию χ можно выбрать таким образом, чтобы скалярный потенциал ϕ обратился в нуль. Согласно (2.6б) и (2.10) для этого необходимо положить

38

2 Электродинамика χ = −c

Z

ϕ′ dt .

В результате не зависящая от зарядов часть поля будет определяться системой двух уравнений 1 ∂ 2A − ∇2 A = 0 , div A = 0 , c2 ∂t2

(2.11)

причем H = rot A , E = −

1 ∂A . c ∂t

Общее решение системы (2.11) образуется суперпозицией поперечных монохроматических волн вида A(r, t) = A(r)e−iωt , где ω – частота колебаний. Несложно видеть, что вектор A(r) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца ∇2 A + k 2 A = 0 , решение которого представимо в следующем виде: A(r) = eA0 eikr . Волновой вектор k (|k| = k = ω/c) задает направление распространения волны, а единичный вектор e – направление поляризации, всегда перпендикулярное к k в силу условия div A(r) = 0. Напряженности полей при этом имеют вид E(r, t) = E 0 ei(kr−ωt) , H(r, t) = H 0 ei(kr−ωt) ,

(2.12)

2.5 Зарождение и развитие представлений о световом эфире 39 где E 0 = eE0 , H 0 = [n × E 0 ], n = k/k – единичный вектор в направлении распространения волны, E0 = ikA0 – нормировочная постоянная. Выражения (2.12) описывают плоскую электромагнитную волну, т. к. поверхности ее постоянной фазы представляют собой плоскости (k·r) = const. Эта волна является поперечной, поскольку (E·n) = 0 и (H·n) = 0, а также линейнополяризованной, ибо плоскости, в которых происходят синфазные колебания векторов E и H, перпендикулярны друг-другу [т. к. (E·H) = 0] и фиксированы в пространстве. Наконец, легко показать, что (n·v) = c, т. е. плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в пустоте со скоростью света. Итак, мы пришли к самой гениальной идее Максвелла, выдвинутой им после написания общих уравнений электромагнитного поля: свет можно рассматривать как электромагнитное возмущение. Этой идеей Максвелл впервые установил тесную связь между оптикой и электричеством – двумя областями физики, до тех пор совершенно чуждыми друг другу.

2.5 Зарождение и развитие представлений о световом эфире Задолго до создания электродинамики, в конце XVII в., основываясь на многочисленных аналогиях между световыми и звуковыми явлениями, голландский физик Христиан Гюйгенс (1629-1695) предложил новую теорию света. В противоположность Ньютону, который предполагал, что свет зависит от частиц особой «световой» материи, истекающей во все стороны от светящихся тел, Гюйгенс высказал мысль, что свет представля-

40


ет собой особую форму колебательного движения материальных частиц, передающегося от одного тела к другому через особую упругую среду, заполняющую пространство, которое нам кажется абсолютно пустым и которое соединяет друг с другом как отдаленнейшие небесные тела, так и соседние частицы этих тел. Эфир Гюйгенса отличался от обыкновенных упругих тел лишь своей невидимостью и невесомостью, а также и более тонким строением, позволявшим частицам эфира внедряться в промежутки между частицами весомой материи [18–20]. Теория Гюйгенса давала возможность весьма просто объяснить явления отражения и преломления света, но оставляла совершенно открытым вопрос о характере световых колебаний и о свойстве эфира как упругой среды вне и внутри тел. В первой четверти XIX в. этот вопрос старался прояснить известный французский ученый Жан Огюстен Френель (1788-1827). Прежде всего, Френелю удалось доказать, что световые колебания, в противоположность звуковым, имеют не продольный, а поперечный характер2 , т. е. сводятся к упругим сдвигам, направление которых перпендикулярно световым лучам. Подобные упругие сдвиги могут, очевидно, происходить лишь в твердых телах, а потому эфир пришлось рассматривать не как газ, подобный воздуху, но как твердое тело (безграничных размеров). То обстоятельство, что световые колебания имеют чисто поперечный характер, свидетельствовало о том, что эфир не способен испытывать изменения объема, т. е. в отличие от обыкновенных твердых тел он является абсолютно несжимаемым. Что же касается степени его твердости, то о ней можно 2

Френель пришел к такому выводу на основании опыта, согласно которому две световые волны, распространяющиеся в одном направлении, никогда не интерферируют между собой, если они линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

2.5 Зарождение и развитие представлений о световом эфире 41 было судить по скорости распространения света3 . Принимая во внимание, что последняя примерно в сто тысяч раз больше, чем скорость распространения колебаний в обычных твердых телах, можно было заключить, что эфир обладает либо колоссальной твердостью, либо необычайно малой плотностью4 . Дальнейшее развитие идеи «эфира» интенсивно происходило в течение второй и третей четверти XIX в. благодаря главным образом работам Фарадея и Максвелла. Наблюдая взаимодействие наэлектризованных и намагниченных тел, Фарадей пришел к мысли, что сила, с которой каждое из этих тел действует на остальные, не передается непосредственно через разделяющую их пустоту, но посредником, осуществляющим эту передачу, является тот самый эфир, которым как будто бы так хорошо объяснялись все световые явления. С точки зрения Максвелла, электричество и магнетизм совершенно утрачивали свой прежний субстанциальный характер. Электрические заряды превращались в центры положительного и отрицательного смещения эфира, расходящегося от них или сходящегося к ним в направлении электрических силовых линий. Магнитные же явления, согласно Максвеллу, сводились к особого рода вихревым движениям в эфире. Поскольку все электрические и магнитные свойства обыкновенных (весомых) материальных тел определялись свойствами заполняющего их эфира, все эти тела можно было рассматривать как эфир, измененный определенным образом в отноше3

Впервые скорость света была измерена Олафом Ремером в 1676 г. p В теории упругости доказывается соотношение ct = µ/ρ, где ct – скорость распространения поперечных волн, µ – модуль сдвига, характеризующий силы упругости, возникающие в среде при деформации сдвига, ρ – плотность среды. 4

42


нии своей плотности или упругих свойств. При этом в соответствии с атомистической теорией отдельные атомы необходимо было трактовать как центры особых вихревых возмущений в эфире. Так или иначе, превратившись из передатчика световых явлений в средоточие явлений электромагнитных, поглотив электрические и магнитные субстанции, а вслед за ними и обыкновенную материю, эфир стал тем самым единственной материальной основой Вселенной. Между тем, как несложно видеть, механические свойства эфира, которые были необходимы для обоснования электромагнитной теории Максвелла, находятся в непримиримом противоречии друг с другом. Одно из этих противоречий заключается в невозможности вихревых движений, необходимых для объяснения магнетизма в твердом теле, которым должен являться эфир. Подобные вихревые движения возможны лишь в жидкостях. Не останавливаясь на других, менее очевидных, но не менее разительных противоречиях, заметим, что многочисленные попытки их разрешения, несмотря на усилия самого Максвелла и других физиков, потерпели полную неудачу. Для освобождения эфира от внутренних противоречий основоположник электронной теории металлов голландский физик Хендрик Лоренц (1853-1928) был вынужден восстановить материальность электричества, т. е. признать первичность и неизменность электрического заряда как свойства элементарных частиц материи – электронов. Не пытаясь рассматривать электроны как центры упругих деформаций эфира, Лоренц предположил, что эфир существует сам по себе как динамический посредник между ними, совершенно, однако, не участвуя в их движении, т. е. оставаясь абсолютно неподвижным. Никаких деформаций или вихрей в эфире, которые соответствовали бы

2.5 Зарождение и развитие представлений о световом эфире 43 электрическим или магнитным силовым линиям, теория Лоренца не предполагает. Подвижность является основным свойством материи. Представляя себе эфир как нечто абсолютно неподвижное, теория Лоренца, очевидно, отнимала у него все свойства (кроме неподвижности) и в том числе материальность, которая возвращалась электричеству в форме электронов. В следующей главе нами будет рассмотрена специальная теория относительности, которая нанесла по эфиру последний удар, отняв у лоренцевского эфира его главное свойство – неподвижность.

Глава 3

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности – физическая теория пространства и времени, пришедшая на смену классическим представлениям, причиной несостоятельности которых является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

3.1 Законы электродинамики и принцип относительности После того, как Максвеллом были сформулированы законы электродинамики, возник вопрос, распространяется ли принцип относительности, справедливый для механических явлений, и на электромагнитные процессы. Иными словами, протекают ли электромагнитные процессы (взаимодействие зарядов и токов, распространение электромагнитных волн и проч.) одинаково во всех инерциальных системах отсчета? Или, быть может, равномерное прямолинейное движение, не влияя на механические явления, оказывает некоторое воздействие на электромагнитные процессы? 44

3.1 Законы электродинамики и принцип относительности

45

На первый взгляд ответ на вопрос кажется очевидным. Все механические явления, кроме тех, что связаны с гравитацией, по сути, те же электромагнитные. Упругость и трение не могли бы существовать, не будь между нейтральными атомами и молекулами сложных электромагнитных взаимодействий. Поэтому ясно, что в механике принцип относительности может быть справедлив лишь постольку, поскольку он выполняется в электродинамике. С другой стороны, ответить на данный вопрос можно и чисто математически, выяснив, меняются ли основные законы электродинамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой или же подобно законам Ньютона они остаются неизменными. Естественно, что вначале подобный переход пытались осуществить с помощью преобразований Галилея. Законы электродинамики достаточно сложны, и строгое решение этой задачи – дело нелегкое. Однако уже простые соображения, казалось бы, позволяют найти правильный ответ: законы электродинамики Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея. В самом деле, согласно законам электродинамики, скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям (в данной инерциальной системе отсчета) и равна c (см. разд. 2.3). Поэтому, если принцип относительности справедлив, то скорость распространения электромагнитных волн во всех инерциальных системах отсчета должна быть одной и той же. Этот вывод находится в глубоком противоречии с классическим законом сложения скоростей (1.5), в соответствии с которым указанная скорость может равняться c только в одной избранной системе отсчета. В любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к этой избранной системе со скоростью V , скорость света должна уже равняться

46

3 Специальная теория относительности

c′ = c − V . Это означает, что если справедлив обычный закон сложения скоростей, то при переходе от одной инерциальной системы к другой законы электродинамики должны меняться так, чтобы в этой новой системе отсчета скорость света уже равнялась не c, а c − V . Таким образом, обнаружились определенные противоречия между электродинамикой Максвелла и механикой Ньютона, законы которой согласуются с принципом относительности. Возникшие трудности пытались преодолеть тремя различными способами. Первая возможность состояла в том, чтобы объявить несостоятельным принцип относительности в применении к электромагнитным явлениям. На эту точку зрения стал голландский физик Х. Лоренц. Как уже отмечалось, электромагнитные явления еще со времен Фарадея рассматривались как процессы в особой, всепроникающей среде, заполняющей все пространство, – «мировом эфире». Инерциальная система отсчета, покоящаяся относительно эфира, – это согласно Лоренцу особая преимущественная система. В ней законы электродинамики Максвелла справедливы и имеют наиболее простую форму. Лишь в этой системе отсчета скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям. Вторая возможность состоит в том, чтобы считать неправильными уравнения Максвелла и пытаться изменить их таким образом, чтобы они при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (в соответствии с классическими представлениями о пространстве и времени) не менялись. Такая попытка, в частности, была предпринята Г. Герцем. По Герцу, эфир полностью увлекается движущимися телами, и поэтому электромагнитные явления протекают одинаково, независимо

3.1 Законы электродинамики и принцип относительности

47

от того, покоится тело или движется. Принцип относительности справедлив. Наконец, третья возможность разрешения указанных трудностей состоит в отказе от классических представлений о пространстве и времени, с тем чтобы сохранить как принцип относительности, так и законы Максвелла. Это наиболее революционный путь, ибо он означает пересмотр в физике самых глубоких, самых основных представлений. С данной точки зрения оказываются неточными не уравнения электромагнитного поля, а законы механики Ньютона, согласующиеся со старыми представлениями о пространстве и времени. Единственно правильной оказалась именно третья возможность. Последовательно развивая ее, Альберт Эйнштейн (18791955) в 1905 г. пришел к новым представлениям о пространстве и времени. Его открытие стало научной революцией не только в физике, но и во всем естествознании [21]. Первые два пути, как оказалось, опровергаются экспериментом. При попытках Герца изменить законы электродинамики Максвелла выяснилось, что новые уравнения не способны объяснить ряд наблюдаемых фактов. Так, согласно теории Герца движущаяся вода должна полностью увлекать за собой распространяющийся в ней свет, так как она увлекает эфир, в котором свет распространяется. Опыт же, поставленный в 1851 г. французским физиком Арманом Физо (1819-1887), показал, что в действительности это не так [22]. Если в покоящейся жидкости свет распространяется со скоростью v1 , то в том случае, когда свет распространяется в трубе по которой та же жидкость течет со скоростью u, его скорость v2 относительно трубы равняется1

1

Ниже будет показано (см. стр. 74), что этот результат непосредственно следует из релятивистского закона сложения скоростей.

48

3 Специальная теория относительности 1 v2 = v1 + u 1 − 2 < v1 + u , (3.1) n

где n = c/v1 – абсолютный показатель преломления жидкости. Точка зрения Лоренца, согласно которой должна существовать избранная система отсчета, связанная с мировым эфиром, пребывающим в абсолютном покое, также была опровергнута прямыми опытами. Если бы скорость света была равна c только в системе отсчета, связанной с эфиром, то, измеряя скорость света в произвольной инерциальной системе, можно было бы обнаружить движение этой системы по отношению к эфиру и определить скорость этого движения. Подобно тому как в системе отсчета, движущейся относительно воздуха, возникает ветер, при движении по отношению к эфиру (если, конечно, эфир существует) должен быть обнаружен «эфирный ветер». Опыт по обнаружению «эфирного ветра» был поставлен в 1881 г. американскими учеными Альбертом Майкельсоном (1852-1931) и Эдвардом Морли (1833-1923) по идее, высказанной за 12 лет до этого Максвеллом. В этом опыте сравнивалась скорость света в направлении движения Земли и в перпендикулярном направлении [23]. Измерения проводились очень точно с помощью специального прибора – интерферометра Майкельсона. Эксперименты ставились в разное время суток и в различные времена года. Но всегда получался отрицательный результат: движение Земли по отношению к эфиру обнаружить не удалось. Уже в середине XX в. известный польский физик Леопольд Инфельд (18981968) писал: Знаменитый эксперимент Майкельсона – Морли. . . доказал окончательно, что нет разных скоростей света! Они одинаковы во всех направлениях, и их

3.2 Постулаты теории относительности

49

значение есть c, скорость света, которая весьма странным образом остается сама собой, всегда постоянной, всегда неизменной. Для механиста результат катастрофический.

Таким образом, идея о существовании преимущественной системы отсчета не выдержала опытной проверки. В свою очередь, это означало, что никакой особой среды – «светоносного эфира», с которой можно было бы связать такую преимущественную систему отсчета, не существует. Это был сокрушительный удар по старым представлениям. По существу, опыты Майкельсона продемонстрировали неизбежность того, что свойства пространства и времени меняются при движении с очень большими скоростями. Основное содержание идей, привлекавшихся для согласования законов электродинамики с принципом относительности, и эксперименты, послужившие их проверке, сведены в Таблицу 3.1.

3.2 Постулаты теории относительности Для объяснения отрицательных результатов опыта Майкельсона и других опытов, которые должны были обнаружить движение Земли относительно эфира, вводились различные гипотезы. С помощью этих гипотез пытались объяснить, почему не удается обнаружить преимущественную систему отсчета (считали, что такая система в действительности якобы имеется). Совсем по-иному подошел к проблеме А. Эйнштейн: не следует изобретать различные гипотезы для объяснения отрицательных результатов всех попыток обнаружить различие между инерциальными системами. Законом природы является пол-

50


Таблица 3.1 Возможные способы согласования законов электродинамики с принципом относительности и их экспериментальная проверка. Х. Лоренц

Г. Герц

А. Эйнштейн

Принцип относительности

Принцип относительности

И принцип относительно-

несостоятелен, уравнения Максвелла верны. Свето-

справедлив, законы Максвелла неверны. Нужно из-

сти и законы Максвелла справедливы. Неточными

носная среда – эфир за-

менить уравнения Макс-

являются законы механи-

полняет абсолютное пространство. В нем законы

велла так, чтобы они оставались неизменными при

ки Ньютона, согласующиеся со старыми представ-

Максвелла имеют наиболее простой вид.

совершении преобразований Галилея.

лениями о пространстве и времени.

А. Майкельсон, Э. Морли

А. Физо

1881 г.

1851 г.

Опыт

обнаружению

Опыт по увлечению све-

Предсказания

«эфирного ветра» показал, что скорость света

по

та водой показал, что оно является частичным, в то

ной теории относительности подтверждаются в

специаль-

одинакова во всех инерци-

время как теория предска-

экспериментах и астроно-

альных системах отсчета.

зывала полное.

мических наблюдениях.

ное равноправие всех инерциальных систем отсчета в отношении не только механических, но и электромагнитных процессов. Этот закон Эйнштейн сделал главным постулатом своей теории. Первый постулат – частный принцип относительности: все процессы природы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики распространяется на все процессы в природе, в том числе и на электромагнитные.

3.2 Постулаты теории относительности

51

Помимо первого постулата в основу теории относительности Эйнштейн положил еще принцип независимости скорости света от движения источника. Второй постулат: скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета. Она не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала. Скорость света занимает, таким образом, особое положение. Более того, как вытекает из постулатов теории относительности и принципа причинности, скорость света в вакууме является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе. Но не является ли второй постулат теории относительности следствием первого? В самом деле, согласно первому постулату уравнения Максвелла имеют один вид во всех инерциальных системах отсчета. Из этих уравнений, как мы знаем, следует, что скорость распространения электромагнитных волн (в т. ч. и света) равна c. Стало быть, скорость света не должна зависеть ни от скорости движения источника, ни от скорости приемника светового сигнала. А именно это и утверждает второй постулат! Ошибки в этих рассуждениях нет и, действительно, если принять справедливость уравнений Максвелла, потребность во втором постулате отпадает. Однако было бы неправильным, если бы такая фундаментальная теория пространства и времени, коей является теория относительности, покоилась на фундаменте, подпираемом законами, пусть важной, но все таки частной физической теории. Для того, чтобы решиться сформулировать постулаты теории относительности, нужна была большая научная смелость,

52


так как они противоречили классическим представлениям о пространстве и времени2 . Действительно, вообразим себе следующий опыт. Две инерциальные системы отсчета K и K ′ движутся друг относительно друга со скоростью v, причем оси x и x′ все время совпадают. Пусть в момент времени t = 0, когда начала координат обеих систем отчета O и O ′ совпадают, в точке O происходит кратковременная вспышка света. Согласно второму постулату скорость света как в первой, так и во второй системах отсчета одна и та же и равняется c. С другой стороны, вид световой волны должен быть идентичен как в системе K, так и в системе K ′ (первый постулат). Другими словами, к моменту t для наблюдателя, связанного с системой K, световая волна должна представлять собой сферу радиусом ct c центром в точке O, а для наблюдателя, связанного с системой K ′ , – сферу того же радиуса, но с центром в точке O ′ . Но это невозможно, так как точки O и O ′ разойдутся к моменту времени t на расстояние vt. Таким образом, из рассуждений, основанных на постулатах теории относительности, возникает противоречие. Противоречие здесь действительно есть. Но не в самой теории относительности. Имеется лишь противоречие с классическими представлениями о пространстве и времени, которые при больших скоростях уже несправедливы.

3.3 Относительность одновременности Существование в природе предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изме2

При поверхностном рассмотрении можно сделать неверный вывод, что постулаты теории относительности противоречат друг-другу.

3.3 Относительность одновременности

53

нения обычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и ее движения, оказывается неправильным. Как показал Эйнштейн, понятие одновременности событий является центральным в теории относительности [24]. С его использованием вводится понятие длительность процесса, а также определяется длина тела в различных системах отсчета. В самом деле, длительность какого-либо процесса определяется как промежуток времени, измеренный по циферблату эталонных часов между двумя положениями их стрелок. Начальное положение стрелок одновременно с моментом начала процесса, а конечное положение стрелок одновременно с моментом окончания процесса. Аналогично длиной тела в каком-либо направлении называется разность координат концов тела, измеренных в данном направлении одновременно. Само собой разумеется, что в качестве «часов» можно использовать любой периодический процесс, например, вращение Земли, качание маятника, колебание атома или молекулы и т. д. События называются одновременными, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов. Следовательно, чтобы судить об одновременности двух или более событий, произошедших в различных точках пространства, необходимо обладать в этих точках часами, идущими синхронно. Но как синхронизовать часы, расположенные в разных местах? Синхронизацию можно, казалось бы, выполнить, поместив часы сначала рядом, а затем, после сверки их показаний, перенести часы в соответствующие точки пространства. Однако такой способ нужно отвергнуть, так как мы не знаем, как

54


повлияет на ход часов их перенос из одного места в другое3 . Поэтому нужно сначала расставить часы по местам и лишь затем произвести сверку их показаний. В этом случае для синхронизации часов естественно прибегнуть к световым или вообще электромагнитным сигналам, так как их скорость в вакууме является постоянной. Наиболее простой метод синхронизации двух часов не требует никаких вычислений [23]: на одинаковых расстояниях от синхронизируемых часов производят световую вспышку, и, когда свет достигает часов, на них выставляют одинаковые показания. Суть другого способа синхронизации, предложенного А. Эйнштейном, заключается в следующем [10]. Пусть из точки A посылается в момент t1 (отсчитанный по часам в A) световой сигнал, который отражается от зеркала, помещенного в точке B, и возвращается в A в момент времени t2 (также отсчитанный по часам в A). Часы в B нужно считать синхронными с часами в A, если в момент прихода к ним сигнала часы в B показывали время t = (t1 + t2 )/2. Понятно, что синхронизация часов «по Эйнштейну» эквивалентна синхронизации, при помощи равноудаленного источника света. Если аналогичным образом синхронизовать все часы в данной инерциальной системе отсчета4 , то получается пространственно-временная система отсчета с единым временем. Именно в таких системах отсчета применимо данное выше определение одновременности событий. 3

Как показывает общая теория относительности, те часы, которые перемещались с ускорением, отстанут. 4 Такая синхронизация оказывается возможной благодаря тому, что часы в A и в B можно синхронизовать между собой не только непосредственно, но также посредством третьих часов в C.

3.3 Относительность одновременности

55

Несложно видеть, что одновременность пространственно разделенных событий относительна, т. е. два события, произошедшие одновременно в разных точках одной инерциальной системы отсчета, будут не одновременными в другой системе отсчета. Поясним это на следующем мысленном опыте [3]. Представим себе поезд, движущийся равномерно с очень большой скоростью. Один наблюдатель стоит ровно посередине длинного открытого вагона-платформы в составе этого поезда. Другой наблюдатель стоит на земле, и поезд проносится мимо него. На передней и задней стенках вагона-платформы укреплены лампочки, которые можно зажигать. Устроим эксперимент с зажиганием лампочек так, что свет от обеих лампочек одновременно достигает «поездного» наблюдателя, как раз когда он проносится мимо «наземного» наблюдателя. И «поездной» и «наземный» наблюдатели видят обе вспышки одновременно. Какие выводы они сделают о моментах зажигания лампочек? «Поездной» наблюдатель скажет: «Я стою посередине платформы, расстояние до обеих лампочек одинаково. Увидел я вспышки одновременно, и так как скорость света всегда одинакова и равна c, то, очевидно, лампочки вспыхнули одновременно». Заключение «земного» наблюдателя будет иным: «Я увидел вспышки одновременно, когда рядом со мной была середина платформы с «поездным» наблюдателем и лампочки в этот момент находились от меня на одинаковом расстоянии. Но свету надо некоторое время, чтобы дойти от лампочек до меня, а поезд движется. Значит, когда свет покидал лампочки, задняя (по ходу поезда) лампочка была от меня дальше, чем передняя. Поэтому свет прошел от них неравный путь, от задней он прошел больший путь. Скорость света всегда постоянна и равна c. Я увидел обе вспышки одновременно, поэтому от задней

56


лампочки свет должен быть испущен раньше, чем от передней. Вспышки произошли неодновременно». Итак, то, что происходит одновременно на быстро движущемся теле, неодновременно для наблюдателя на земле. Поскольку, согласно принципу относительности, ни одной из инерциальных систем отсчета нельзя отдать предпочтение, то верно и обратное утверждение: два события, одновременные для покоящегося наблюдателя, будут неодновременными для наблюдателя, который движется. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов. Отметим, что одновременность событий, происходящих в одной точке пространства, является абсолютной. Иными словами, если для какого-либо наблюдателя два события произошли в одном месте одновременно, то они будут являться одновременными с точки зрения вообще любого наблюдателя. Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке O только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы K. С точки зрения же наблюдателя, связанного с системой K ′ , свет достигает этих точек в разные моменты времени. Разумеется, справедливо и обратное: в системе K свет достигает точек поверхности с центром в точке O ′ в различные моменты времени, а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе K ′ . Отсюда следует вывод, что никакого парадокса в действительности нет.

3.4 Пространство Минковского

57

3.4 Пространство Минковского Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимосвязанными. Эта взаимосвязь может быть представлена особенно отчетливо, если воспользоваться идеей, высказанной в 1908 г. немецким геометром русского происхождения Германом Минковским (1864-1909). Суть его идеи заключалась в том, что пространство и время следует рассматривать совместно как единую сущность – четырехмерное пространство-время [25–27]. В своей знаменитой лекции, прочитанной в 1908 г. в Геттингенском университете, Минковский провозгласил: ...пространство само по себе и время само по себе обречены исчезнуть, превратившись в бесплотные тени, и только объединение пространства и времени сохранится как независимая реальность.

Итак, обычное трехмерное пространство и время образуют четырехмерный «мир» – пространство Минковского. Любая точка этого пространства называется «мировой» и представляет собой обычную точку в некоторый момент времени. Ее четырьмя координатами являются декартовы координаты x, y, z и время t, вместо которого, однако, удобнее использовать имеющее размерность длины произведение ct. Эти координаты называются контравариантными компонентами 4-радиусвектора и обозначаются через x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ct.

(3.2)

Наряду с контравариантными компонентами 4-радиус-вектора вводят также ковариантные, нумеруемые индексом снизу. При этом

58

3 Специальная теория относительности x1 = − x, x2 = − y, x3 = − z, x4 = ct.

(3.3)

Смысл расстановки верхних и нижних индексов станет ясен чуть позже. Событием в мире Минковского называется любое физическое явление, произошедшее в некоторой мировой точке. Траектория движения тела в пространстве Минковского называется мировой линией. Всякой частице (даже неподвижной в обычном пространстве) в четырехмерном пространстве соответствует некая мировая линия (для покоящейся частицы она имеет вид прямой, параллельной оси ct). Обычное трехмерное пространство обладает евклидовой метрикой. Это означает, что квадрат длины радиус-вектора r = xex + yey + zez равен сумме квадратов его проекций на координатные оси: r 2 = x2 + y 2 + z 2 . В отличие от обычного пространства, метрика пространства Минковского псевдоевклидова. Это означает, что квадрат «длины» 4-радиус-вектора, обозначаемый s2 , дается одним из следующих выражений: s2 = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 = − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + (x4 )2

= − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + (x4 )2 .

Далее для упрощения записей мы будем использовать эйнштейновское соглашение о суммировании: когда в выражении появляются два одинаковых индекса, обозначенные какой-либо латинской буквой (один ковариантный, а другой – контравариантный), по ним нужно произвести суммирование от 1 до 4. Следовательно, первое из записанных выше равенств может

3.4 Пространство Минковского

59

быть переписано еще так s2 = xi xi . Если ввести метрический тензор [28–30]  −1 0 0  0 −1 0  gik = gik =   0 0 −1 0 0 0

 0 0  , 0 1

(3.4)

связывающий, соответственно, контра- и ковариантные компоненты 4-радиус-вектора, xi = gik xk , xi = gik xk ,

(3.5)

то можно записать s2 = gik xi xk = gik xi xk . Величина s2 в пространстве Минковского представляет собой расстояние от начала координат до точки с координатами xi . Важным свойством любого пространства является его сигнатура. Сигнатура – это набор знаков на главной диагонали метрического тензора gik . Замечательное свойство этих знаков состоит в том, что они не меняются при любых преобразованиях системы координат в данном пространстве, хотя сам метрический тензор преобразуется по известному закону, о котором будет сказано ниже. Сигнатура трехмерного евклидова пространства есть (+ + +), а сигнатура пространства Минковского – (− − − +). Отношения знаков в сигнатуре определяет, в частности, взаимное поведение координатных осей при ортогональных преобразованиях. Поэтому нет разницы между сигнатурами

60


(− − − +) и (+ + + −). В обоих случаях пространственные координаты входят в метрику с одинаковыми знаками (значит, они эквивалентны), а временная координата – с противоположным. Тем самым время обособляется от пространства и не может поменяться местами ни с одной из пространственных осей.

3.5 Преобразования Лоренца Преобразованием Лоренца называется линейное преобразование четырех пространственно-временных ´ координат (3.2) x′i = αki xk .

(3.6)

Или в обычных обозначениях x′1 = α11 x1 + α21 x2 + α31 x3 + α41 x4 , x′2 = α12 x1 + α22 x2 + α32 x3 + α42 x4 , x′3 = α13 x1 + α23 x2 + α33 x3 + α43 x4 , x′4 = α14 x1 + α24 x2 + α34 x3 + α44 x4 . Обратным к этому преобразованию будет xk = α ¯ ik x′i .

(3.7)

Несложно показать, что коэффициенты αki = ∂x′i /∂xk и α ¯ ik = ∂xk /∂x′i образуют взаимно обратные четырехмерные матрицы5 ( 1, i = k k k r r k αr α ¯ i = αi α ¯ r = δi = , (3.8) 0 , i 6= k

5

Если x4 определить как ict, то матрица αik будет ортогональной.

3.5 Преобразования Лоренца

61

где δki – четырехмерный единичный тензор второго ранга. Если в число преобразований (3.6) и (3.7) не включены отражения, то определители матриц αki и α ¯ ik равны единице, |αki | = |α ¯ ik | = 1. Формулы преобразований ковариантных компонент 4-радиусвектора получаются из (3.6) и (3.7), если учесть, что метрический тензор gik является контравариантным объектом второго порядка6 . C учетом свойства (3.5) получаем xi = gik xk = gik α ¯ nk x′n = gik α ¯ nk g′nm x′m = gik α ¯ nk αrn αsm grs x′m = gik δkr αsm grs x′m = gir αsm grs x′m = δsi αsm x′m = αim x′m . Аналогично находим x′i = α ¯ ik xk . Иными словами, если новые и старые контравариантные компоненты 4-радиус-вектора связаны прямым преобразованием, то новые и старые ковариантные компоненты связаны обратным преобразованием и наоборот. Это, в свою очередь, означает, что преобразования Лоренца не меняют (оставляют инвариантной) длину 4-радиус-вектора, x′i x′i = αki α ¯ ir xk xr = δrk xk xr = xk xk . Сокращенно это записывается так: xi xi = inv. Дадим некоторые определения. Совокупность четырех величин Ai , преобразующихся так же, как и xi , называется контравариантным вектором,

6

Это означает, что справедливы преобразования rs rs g′nm = αnr αm =α ¯rn α ¯ sm g′nm . s g , g

62

3 Специальная теория относительности A′i = αki Ak .

Ковариантный вектор преобразуется по закону A′i = α ¯ ik Ak . Аналогично дважды контравариантным тензором Aik называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведение двух контравариантных векторов, т. е. по закону A′ik = αri αsk Ars . Дважды ковариантный тензор задается преобразованием A′ik = α ¯ ir α ¯ ks Ars , трижды контравариантный тензор – преобразованием A′ijk = αri αsj αtk Arst , и т. д. Из этих определений и соотношений ортогональности (3.8) следует, что скалярное произведение двух векторов инвариантно7 , Ai Bi = inv., скалярное произведение контравариантного вектора и дважды ковариантного тензора является ковариантным вектором8 Aik B k = Ci ,

7

Отсюда, в частности, следует, что длина любого 4-вектора инвариантна, Ai Ai = inv. 8 Так как Ci′ = A′ik B ′k = α ¯ri α ¯sk Ars αkn B n = α ¯ ri δsn Ars B n = α ¯ ri Arn B n = α ¯ri Cr .

3.5 Преобразования Лоренца

63

контравариантная производная от скалярной функции ϕ является ковариантным вектором9 ∂ϕ = Ai , ∂xi а контравариантная производная от ковариантного вектора образует дважды ковариантный тензор10 ∂Ai = Bik , ∂xk и т. д. В общем случае преобразование (3.6) представляет вращение в четырехмерном пространстве и переход к равномерно и прямолинейно движущейся системе отсчета. Специальное преобразование, затрагивающее только x1 и x4 и означающее переход к системе отсчета, движущейся вдоль оси x со скоростью v = βc, задается матрицей   γ 0 0 −γβ  0 1 0 0   i αk =  (3.9) ,  0 0 1 0 −γβ 0 0 γ p где γ = 1/ 1 − β 2 . Соотношения между координатами при этом имеют следующий вид: x − vt t − (v/c2 ) x x′ = p , t′ = p . 1 − β2 1 − β2

∂ϕ

∂ϕ ∂xk

(3.10)

=α ¯ ki Ak . ∂x′i ∂xk ∂x′i 10 Поэтому символ ∂/∂xk можно рассматривать как k-ю компоненту 4вектора. 9

Доказательство тривиально: A′i =

=

64


Для v ≪ c отсюда получается преобразование Галилея x′ = x − vt и t′ = t. Матрица α ¯ ik , задающая обратное преобразование Лоренца, отличается от (3.9) лишь знаком перед β. В отличие от преобразований Галилея, преобразования Лоренца не являются коммутативными. Это означает, что в общем случае совместный результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит от их последовательности. Так, например, можно проверить, что преобразования Лоренца, задающие переход от системы K к системе K ′′′ посредством cβz

cβy

трех последовательных переходов11 K −→ K ′ , K ′ −→ K ′′ и cβx K ′′ −→ K ′′′ , определяются матрицей   γx γx γy βx βy γx γy γz βx βz −γx γy γz βx  0 γy γy γz βy βz −γy γz βy    αki =  ,  0 0 γz −γz βz  −γx βx −γx γy βy −γx γy γz βz γx γy γz q 1 − βξ2 , ξ = x, y, z. В то же время последовательгде γξ = 1 cβy

cβx

cβz

ность преобразований K −→ K ∗ , K ∗ −→ K ∗∗ , K ∗∗ −→ K ∗∗∗ приводит к совершенно другой системе отсчета K ∗∗∗ и задается матрицей   γx γx γy βx βy 0 −γx γy βx  0 γy 0 −γy βy    i αk =  .  γx γz βx βz γx γy γz βy βz γz −γx γy γz βz  −γx γz βx −γx γy γz βy −γz βz γx γy γz

При формальном устремлении скорости света к бесконечности, преобразования Лоренца переходит в преобразования Гаcβξ

Запись K µ −→ K ν означает переход от системы K µ к системе K ν , движущейся в положительном направлении оси ξ системы K µ со скоростью cβξ .

11

3.6 Инвариантность уравнений Максвелла

65

лилея, а пространство и время перестают быть взаимосвязанными. Поэтому в пределе низких скоростей для сигнатуры пространства Минковского получаем (− − − +) → (− − −) и (+) . Заметим, что совершенно не важно, какие именно будут знаки в сигнатуре абсолютного пространства (все «+» или все «−») и абсолютного времени («+» или «−»).

3.6 Инвариантность уравнений Максвелла Для инвариантности какого-либо уравнения при преобразованиях (3.6) необходимо, чтобы все тензоры, которые входят в виде слагаемых в это уравнение, были тензорами одного ранга. Инвариантность уравнений Максвелла (2.1) по отношению к преобразованиям Лоренца, таким образом, будет доказана, если нам удастся переписать их в ковариантной (или контравариантной) форме, т. е. в виде соотношений между 4-векторами и 4-тензорами. Из опыта следует, что электрический заряд инвариантен. Заключенный в элементе объема dx1 dx2 dx3 элемент заряда равен dq = ρ dx1 dx2 dx3 = inv.

(3.11)

Поскольку четырехмерный элемент объема dx1 dx2 dx3 dx4 , очевидно, инвариантен, то плотность заряда ρ в (3.11) должна обладать трансформационными свойствами четвертой компоненты 4-радиус-вектора. Поэтому мы положим j 4 = cρ. Далее, x-я составляющая плотности тока равна 1 dx 4 dx jx = ρvx = ρ =j . dt dx4

66


Поскольку j 4 преобразуется так же, как и dx4 , то jx должна преобразовываться, как dx1 , и быть поэтому первой компонентой 4-вектора. Следовательно, декартовы компоненты плотности тока и плотность заряда образуют совместно четырехмерный вектор тока j i : j 1 = ρvx , j 2 = ρvy , j 3 = ρvz , j 4 = cρ .

(3.12)

Аналогично можно показать [16], что декартовы компоненты векторного потенциала и скалярный потенциал образуют совместно 4-вектор потенциала Ai : A1 = Ax , A2 = Ay , A3 = Az , A4 = ϕ .

(3.13)

Напряженности поля (2.4) получаются из потенциалов (3.12) и (3.13) дифференцированием ∂ϕ 1 ∂Ax ∂A4 ∂A1 − = − , ∂x c ∂t ∂x1 ∂x4 ∂Az ∂Ay ∂A2 ∂A3 Hx = − = − , ∂y ∂z ∂x3 ∂x2 Ex = −

и т. д. Следовательно, напряженности полей E и H образуют вместе один антисимметричный 4-тензор электромагнитного поля:   0 −Hz Hy Ex  ∂Ak ∂Ai   Hz 0 −Hx Ey  Fik = − = (3.14) . ∂xi ∂xk  −Hy Hx 0 Ez  −Ex −Ey −Ez 0

Теперь можно легко переписать уравнения Максвелла (2.1) в векторно-тензорную форму. Рассмотрим сначала два неоднородных уравнения (2.1в) и (2.1г):

3.6 Инвариантность уравнений Максвелла ∂Hz ∂Hy 1 ∂Ex − − ∂y ∂z c ∂t ∂Hx ∂Hz 1 ∂Ey − − ∂z ∂x c ∂t ∂Hy ∂Hx 1 ∂Ez − − ∂x ∂y c ∂t ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

67

4π ρvx , c 4π = ρvy , c 4π = ρvz , c =

= 4πρ .

С помощью четырехмерных обозначений (3.12) и (3.13) эти четыре скалярных уравнения записываются в виде одного [1] ∂Fik 4π = − j i. k ∂x c

(3.15)

Обратите внимание на то, что в данном выражении по немому индексу k проводится суммирование от 1 до 4, а свободный индекс i нумерует уравнения. Вторую пару уравнений Максвелла составляют однородные уравнения (2.1а) и (2.1б): ∂Ez ∂Ey 1 ∂Hx − + ∂y ∂z c ∂t ∂Ex ∂Ez 1 ∂Hy − + ∂z ∂x c ∂t ∂Ey ∂Ex 1 ∂Hz − + ∂x ∂y c ∂t ∂Hx ∂Hy ∂Hz + + ∂x ∂y ∂z

= 0, = 0, = 0, = 0.

В четырехмерных обозначениях (3.13) они дают, соответственно,

68

3 Специальная теория относительности ∂F43 ∂x2 ∂F41 ∂x3 ∂F42 ∂x1 ∂F23 ∂x1

∂F24 ∂x3 ∂F34 + ∂x1 ∂F14 + ∂x2 ∂F31 + ∂x2 +

∂F32 ∂x4 ∂F13 + ∂x4 ∂F21 + ∂x4 ∂F12 + ∂x3 +

= 0, = 0, = 0, = 0.

Легко доказать, что величина Tikl =

∂Fik ∂xl

образует тензор третьего ранга12 , антисимметричный по всем трем индексам (Tikl = − Tkil = − Tilk = − Tlki). Очевидно, что то же справедливо и для суммы Tikl + Tkli + Tlik . Поэтому уравнения (2.1а) и (2.1б) можно записать как одно тензорное уравнение Tikl + Tkli + Tlik = 0 .

(3.16)

Возможность представления уравнений Максвелла в виде (3.15) и (3.16) доказывает их инвариантность относительно преобразований Лоренца13 . В отличие от уравнений Максвелла, напряженности электрического и магнитного полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменяются. Правила их преобразования дают общие трансформационные формулы F′ik = αri αsk Frs и Frs = α ¯ ir α ¯ ks F′ik . 12

Компоненты этого тензора отличны от нуля лишь при i 6= k 6= l. В самом деле, умножив, например, (3.16) на αri αsk αtl и просуммировав по немым индексам, убеждаемся, что в новой системе отсчета T′rst + T′str + T′trs = 0, т. е. вид уравнения (3.16) не изменился.

13

3.7 Следствия преобразований Лоренца

69

Если рассмотреть случай равномерного движения вдоль оси x, то, используя (3.9), получим Ex′ = F′14 = αr1 αs4 Frs = α11 α44 F14 + α41 α14 F41 = Ex , Ey′ = F′24 = αr2 αs4 Frs = α22 α14 F21 + α22 α44 F24 = γ(Ey − βHz ) , Ez′ = F′34 = αr3 αs4 Frs = α33 α14 F31 + α33 α44 F34 = γ(Ez + βHy ) .

И аналогично Hx′ = Hx , Hy′ = γ(Hy + βEz ) , Hz′ = γ(Hz − βEy ) . В этих формулах надо считать, что напряженности E и H являются функциями четырех координат xk , в то время как E ′ и H ′ следует рассматривать как функции преобразованных координат x′i , получаемых из xk с помощью (3.6).

3.7 Следствия преобразований Лоренца Обсудим ряд необычных с точки зрения ньютоновской механики следствий преобразований Лоренца. Не ограничивая общности выводов, будем использовать преобразования (3.10)14 . Заложенная в преобразованиях Лоренца относительность одновременности пространственно разделенных событий влечет за собой, прежде всего, относительность расстояний и промежутков времени.

14

Тем самым, во всех последующих рассуждениях мы предполагаем параллельность осей x и x′ в процессе движения системы K ′ относительно системы K.

70


3.7.1 Относительность расстояний Рассмотрим стержень, покоящийся в системе отсчета K ′ , которая движется со скоростью v в положительном направлении оси x лабораторной системы K. Пусть стержень расположен вдоль оси x′ . Длина стержня, измеренная в системе K ′ называется собственной длиной стержня и обозначается l0 . Очевидно, что l0 = x′2 −x′1 , где x′1 и x′2 – координаты начала и конца стержня в системе K ′ (x′2 > x′1 ). Длиной стержня в системе K будет являться разность координат его концов, вычисленных в этой системе одновременно в произвольный момент времени t (по часам в K), т. е. l = x2 −x1 , t1 = t2 = t. Согласно (3.10) x1 − vt x2 − vt x′1 = p , x′2 = p . 1 − β2 1 − β2

Следовательно,

x2 − x1 l l0 = x′2 − x′1 = p =p , 1 − β2 1 − β2

или в другой записи:

l = l0

p

1 − v 2 /c2 .

(3.17)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Это явление называется лоренцевским или релятивистским сокращением расстояний. Само собой разумеется, что лоренцевское сокращение происходит только в направлении движения тела.


71

Равноправность систем отсчета K и K ′ приводит к кажущемуся противоречию – парадоксу шеста и сарая. Данный парадокс заключается в следующем. Пусть имеется сарай, собственная длина которого l0с , и длинный шест, имеющий собственную длину l0ш , причем l0ш > l0с (т. е. неподвижно лежащий в сарае шест целиком в него не помещается). Предположим, что шест и сарай движутся друг относительно друга. Тогда, в системе отсчета, связанной с сараем, длина шеста сокращается в соответствии с формулой (3.17) и при некотором значении скорости шеста становится равной собственной длине сарая. Если на такой скорости шест влетает в сарай, то он целиком помещается в него. Перейдем теперь в систему отсчета, связанную с шестом. В ней движущимся оказывается сарай и уменьшается его длина. Поэтому ясно, что ни при какой скорости поместить в себя шест сарай не сможет. Возникшее противоречие исчезает, если вспомнить про относительность одновременности пространственно разделенных событий. В частности, если в системе отсчета, связанной с шестом, его концы одновременно поравнялись с передней и задней станками сарая, то в системе отсчета, связанной с сараем, сперва передний край шеста поравнялся с задней стенкой сарая и лишь спустя некоторое время после этого задний край шеста поравнялся с передней стенкой сарая.

3.7.2 Относительность промежутков времени Пусть в точке с координатой x′ в системе K ′ происходят одно за другим два события. Если соответствующие этим событиям моменты времени в системе K ′ есть t′1 и t′2 (t′2 > t′1 ), то в системе K этим событиям будут соответствовать моменты времени

72

3 Специальная теория относительности t1 =

Отсюда

t′1 + (v/c2)x′ t′ + (v/c2)x′ p и t2 = 2 p . 1 − β2 1 − β2 t′ − t′1 t2 − t1 = p2 . 1 − β2

Вводя обозначения τ = t2 − t1 и τ0 = t′2 − t′1 , получаем формулу τ=p

τ0

1 − v 2 /c2

,

(3.18)

которая связывает промежутки времени между двумя событиями, измеренные в системах K и K ′ . Промежуток времени τ0 , измеренный по часам системы отсчета, относительно которой события произошли в одной точке, называется собственным временем между двумя событиями. Таким образом, собственное время является инвариантом. Формула (3.18) описывает эффект релятивистского замедления времени. Она показывает, что τ > τ0 для всех v < c. Иными словами, движущиеся часы всегда идут медленнее, чем покоящиеся. С эффектом релятивистского замедления времени в специальной теории относительности связан так называемый парадокс близнецов [1, 11, 31, 32]. Суть его заключается в следующем. Пусть один из двух братьев-близнецов, скажем, Петр равномерно летит в ракете, а другой – Павел – покоится на Земле. С точки зрения Павла, течение времени для Петра на ракете замедляется и после возвращения на Землю Петр должен оказаться моложе его. С точки зрения Петра, все происходит, казалось бы, наоборот. Система отсчета, связанная с его ракетой, является инерциальной, и поэтому он считает себя неподвижным, а движущимся Павла и Землю. Стало быть, течение


73

времени замедляется для Павла и после возвращения Петр должен оказаться старше своего брата. Возникает противоречие, поскольку принять точки зрения обоих братьев, как верные в соответствующих системах отсчета, нельзя. Прав только один из них и при встрече близнецы смогут выяснить – кто именно, просто взглянув друг на друга. В изложенном варианте парадокс близнецов решается, если заметить, что точки зрения Петра и Павла на самом деле не являются эквивалентными по следующей причине. Чтобы улететь в космос, затем повернуть обратно к Земле и, наконец, подлетая, не врезаться в нее, а совершить мягкую посадку, Петр часть времени должен обязательно двигаться с ускорением. При этом систему отсчета, связанную с его ракетой, уже нельзя считать инерциальной и Петр будет отчетливо ощущать это, испытывая перегрузки, т. е. действие сил инерции. Поэтому прав Павел и моложе окажется Петр. Неэквивалентность позиций Петра и Павла без труда обнаруживается и в модифицированных вариантах парадокса близнецов, когда ускорение наблюдателей исключается [1, 32].

3.7.3 Релятивистский закон сложения скоростей Закон сложения скоростей ньютоновской механики в специальной теории относительности не выполняется. Вместо него необходимо использовать соответствующий релятивистский закон, который можно легко установить следующим образом. Рассмотрим частицу, которая в системе K ′ движется вдоль оси x′ со скоростью vx′ =

dx′ . dt′

74


Скорость данной частицы vx , измеряемую наблюдателем в системе K, с учетом преобразований Лоренца (3.10), dx′ + vdt′ dt′ + (v/c2 ) dx′ p dx = p , dt = , 1 − β2 1 − β2

(3.19)

можно представить в следующем виде:

dx dx′ + vdt′ vx′ + v vx = = ′ = . dt dt + (v/c2 ) dx′ 1 + vvx′ /c2

(3.20)

Полученная формула выражает релятивистский закон сложения скоростей. При vx′ ≪ c она дает vx ≈ vx′ +v, т. е. переходит в классический закон (1.5). Из (3.20) также следует, что результирующая скорость vx не превышает скорость света постольку, поскольку скорость света не превышают vx′ и v: vx < c ⇔

vx′

vvx′ +v ρc , то R > 0 – кривизна положительна; если ρ < ρc , то R < 0 – кривизна отрицательна. Из дифференциальной геометрии известно, что трехмерное пространство постоянной отрицательной кривизны продолжимо неограниченно. Следовательно, если для данного момента плотность вещества меньше критической, ρ < 10−29 г/см3 , то однородная Вселенная бесконечна по объему. Это значит, что топологически модель Вселенной подобна бесконечному евклидову пространству. Такая модель получила название открытой модели Вселенной. Если ρ > 10−29 г/см3 , то кривизна положительна, а трехмерное пространство оказывается замкнутым и конечным (но безграничным). Наглядно представить себе замкнутую Вселенную невозможно, однако можно изучать математически ее свойства, сравнивать результаты расчетов с наблюдениями и пояснять их при помощи аналогий. Рассмотрим геометрические свойства замкнутой Вселенной. Возьмем какую-либо точку в качестве начала координат. Построим вокруг нее сферу, т. е. рассмотрим совокупность частиц, равноудаленных от той, которая находится в начале координат. Определим такие величины, как длина экватора сферы и площадь поверхности сферы. При этом нужно иметь в виду

5.3 Модель Вселенной Фридмана

133

нестационарность модели Вселенной. Длина экватора и площадь сферы, ограничивающей данную совокупность частиц, зависят от того, в какой момент мы их измерим. Все величины измеряются в один и тот же момент времени t сопутствующей системы отсчета. Важнейший вывод теории заключается в следующем: при ρ > ρc , т. е. в случае замкнутого мира, по мере того, как мы переходим ко все более удаленным сферам длина экватора и площадь сферы вначале возрастают, но потом проходят максимум и затем уменьшаются до нуля. Понятия ближе — дальше вполне однозначны, как и понятия внутри — снаружи; более далекая сфера включает в себя не только все то вещество, которое находится в более близкой сфере, но и еще вещество, находящееся между сферами. Сфера, более удаленная, содержащая больше вещества и имеющая больший объем, в то же время имеет меньший экватор и меньшую поверхность. Это непривычно, не похоже на евклидову геометрию, но все это является следствием кривизны пространства, и такая непривычная ситуация логически непротиворечива. Общеизвестной аналогией является замкнутое, искривленное, двумерное пространство – поверхность обычного трехмерного шара. Возьмем северный полюс за центр. Аналогами сфер на поверхности шара являются окружности, т. е. параллели. Длина окружности вначале растет по мере удаления от северного полюса, но затем на экваторе достигается максимум, и далее длина окружности уменьшается; между тем площадь, охваченная параллелью, монотонно растет. Наконец, при приближении окружности к южному полюсу площадь, охваченная ею, становится равной 4πR2 , а длина стремится к нулю.

134

5 Космология

Заметим, что в случае замкнутого мира сфера разделяет все пространство на две части, каждая из которых конечна. Объемом, заключенным внутри сферы, называют ту часть, которая включает в себя начало координат. В двумерной аналогии поверхностью, ограниченной параллелью (т. е. линией, все точки которой находятся на равном расстоянии от северного полюса), назовем поверхность части шара, лежащей севернее параллели и включающей в себя северный полюс. При таком определении стягивание параллели к южному полюсу сопровождается стремлением к 4πR2 площади поверхности, ограниченной этой параллелью.

5.4 Реликтовое излучение Факт расширения Вселенной, предсказанный теоретически Фридманом и подтвержденный экспериментально открытием космологического красного смещения, означает, что в прошлом Вселенная сильно отличалась от того, что мы видим сегодня. Раз галактики удаляются друг от друга, то в прошлом они должны были практически соприкасаться, а еще раньше вообще не должно было быть отдельных галактик. Разделив расстояние между галактиками на скорость их удаления, получим время, прошедшее с начала расширения3 . Согласно закону Хаббла, это время есть r/v = 1/H ≈ 13×109 лет. Значит, все галактики начали разлетаться около 13 миллиардов лет назад. Поскольку, однако, в определении расстояний до галактик могут быть некоторые ошибки, то и в оценке времени, прошедшего с начала расширения, тоже содержится неопределенность. Мож3

Уменьшение скоростей разлета галактик, обусловленное действием тяготения, результат такой оценки меняет мало.

5.4 Реликтовое излучение

135

но поэтому сказать, что эпоха начала расширения отстоит от нас в прошлом на 10 − 20 миллиардов лет4 . Вблизи момента начала расширения плотность вещества во Вселенной была огромна. Отдельные галактики, отдельные звезды и планеты не могли существовать как изолированные тела, а вся материя находилась в состоянии непрерывно распределенного однородного вещества. Лишь позже, в ходе расширения, оно распалось на отдельные комки, что привело к образованию отдельных небесных тел. Есть две принципиальные возможности для условий, в которых протекало начало расширения вещества Вселенной. Это вещество могло быть либо холодным, либо горячим. Исторически первым еще в 30-е годы XX в. была рассмотрена возможность холодного начала, при котором вещество Вселенной представляло сначала газ холодных нейтронов. Позже, однако, выяснилось, что такое предположение приводит к противоречию с наблюдениями. В 1948 г. появилась работа Г. Гамова, Р. Альфера и Р. Хермана, в которой предполагался «горячий» вариант начальных стадий расширения Вселенной, при котором в начале расширения температура вещества была весьма высока. Основная цель авторов гипотезы горячей вселенной заключалась в том, чтобы, рассматривая ядерные реакции в начале космологического расширения, получить наблюдаемое в настоящее время соотношение между количеством различных химических элементов и 4

Отметим, что создание теории расширяющейся Вселенной разрешает парадокс Ольберса. Так, для каждого наблюдателя Вселенной, которая расширяется и, стало быть, существует конечное время, есть горизонт видимости – совокупность точек пространства, от которых свет успел достичь точки наблюдения. Следовательно, любой наблюдатель видит конечное число звезд, весьма редко разбросанных в пространстве. Поэтому ночное небо между звездами темное.

136


изотопов. В результате первые попытки выяснить, какая теория верна («холодная» или «горячая»), направлялись в основном по пути анализа наблюдений распространенности химических элементов. Однако такие наблюдения и в особенности их анализ очень сложны и зависят от многих предположений. Поэтому, если бы теории можно было проверять только по распространенности химических элементов во Вселенной, то выявить истину было бы сложно. К счастью, есть другой способ проверки. Теория горячей Вселенной дает важнейшее наблюдательное предсказание, которое является прямым следствием ее «горячести». Это предсказание существования во Вселенной в нашу эпоху теплового фонового космического излучения, оставшегося от той эпохи, когда вещество в прошлом было плотным и горячим. Такое излучение, являющееся по существу «реликтом» ранней стадии эволюции Вселенной, было метко названо выдающимся советским астрофизиком Иосифом Cамуиловичем Шкловским (1916-1985) реликтовым. Теоретические оценки предсказывали, что реликтовое излучение должно обладать температурой около 5 K и, следовательно, представлять собой радиоволны в сантиметровом и миллиметровом диапазонах. Открыто реликтовое излучение было случайно в 1965 г. сотрудниками компании «Bell Telephone Laboratories» Арно Пензиасом и Робертом Вильсоном5 . Для радиоастрономических наблюдений они использовали 20-футовый рупорный отражатель (радиоантенну компании «Белл»), построенный в США в 1960 г. для приема сигналов, отраженных от спутника «Эхо». К 1963 г. эта антенна для работы со спутником уже была не нужна, и радиотелескоп предназначался в первую очередь для из5

За это открытие А. Пензиас и Р. Вильсон в 1978 г. были удостоены Нобелевской премии по физике.

5.4 Реликтовое излучение

137

мерения радиоизлучения, рождающегося в межзвездной среде нашей Галактики. Первые измерения производились на длине волны 7.35 сантиметра. Для точного измерения радиоизлучения Галактики необходимо было учесть все возможные помехи. А именно: рождение радиоволн в земной атмосфере; радиоизлучение поверхности Земли; движение электрических частиц в антенне, в усилительных электрических цепях и приемнике. Все указанные источники помех были тщательно проанализированы и учтены. Тем не менее А. Пензиас и Р. Вильсон с удивлением констатировали, что, куда бы их антенна ни была направлена, она воспринимает какое-то излучение постоянной интенсивности. Это не могло быть излучением нашей Галактики, ибо в этом случае интенсивность его менялась бы в зависимости от того, смотрит ли антенна вдоль плоскости Млечного Пути или поперек. Кроме того, в этом случае ближайшие к нам галактики, похожие на нашу, тоже излучали бы на длине волны 7.35 см. Но такого излучения обнаружено не было. Принимаемое антенной излучение также не может быть объяснено излучением космической пыли, индуцированным светом звезд. Такое объяснение несостоятельно по причине того, что интегральная энергетическая плотность оптического излучения галактики на три порядка меньше энергетической плотности реликтового излучения. Если исключить существование каких-либо неучтенных помех, то остается единственная возможность: избыточный шум антенны обусловлен реликтовым излучением, приходящим из далеких просторов космоса. Точный анализ спектра реликтового излучения показал его соответствие излучению абсолютно черного тела с температурой 2.65 K. Множественные измере-

138


ния также установили, что реликтовое излучение является изотропным. Открытие реликтового излучения, несомненно, говорит в пользу «горячей» начальной фазы эволюции Вселенной. Это полностью соответствует модели Фридмана, согласно которой космическая материя в начале нынешнего цикла эволюции находилась в чрезвычайно сжатом состоянии в минимальном объеме и должна была иметь невероятно высокую температуру6 . Из этого сверхплотного состояния Вселенная в результате «большого взрыва» эволюционировала к состоянию, наблюдаемому нами сегодня.

5.5 Решение Шварцшильда Первое решение уравнений Эйнштейна (4.37) в наиболее простом случае центрально-симметричного статического поля тяготения было получено немецким физиком Карлом Шварцшильдом (1873-1916) в декабре 1915 г. Это решение, называемое решением Шварцшильда, определяет геометрические свойства пространства и темп течения времени вне тела, создающего поле, не зависит от времени и содержит единственный параметр – массу тела M. В сферической системе координат выражение для четырехмерного интервала Шварцшильда, являющегося решением уравнения (4.37), имеет вид (см. приложение П.4)

6

Отсутствие различий в интенсивности реликтового излучения, принимаемого с разных направлений в пространстве, служит надежным подтверждением однородности распределения материи во Вселенной, которая лежит в основе теории Фридмана.

5.5 Решение Шварцшильда ds2 = −

139

dr 2 rg 2 2 − r 2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 + 1 − c dt , (5.12) 1 − rg /r r

где величина

rg =

2GM c2

(5.13)

называется гравитационным радиусом. Координаты r, ϑ, ϕ и t носят название координат Шварцшильда, образуемая ими система отсчета – системы отсчета Шварцшильда, а сфера радиуса rg – сферы Шварцшильда. Сумма первых трех слагаемых в выражении (5.12), взятая с обратным знаком, представляет собой квадрат расстояния между бесконечно близкими точками, записанный в сферических координатах. На достаточном удалении от центрального тела7 (при r ≫ rg ), где пространство является евклидовым, эта сумма принимает обычный вид dl2 = dr 2 + r 2 dϑ2 + r 2 sin2 ϑ dϕ2 . Неподвижный наблюдатель, находящийся вблизи массивного тела, может измерять расстояния в малой окрестности, вводя локальную декартову систему координат. В этих координатах dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , где, согласно (5.12), dr , dx = p 1 − rg /r dy = rdϑ , dz = r sin ϑ dϕ . Отличный от единицы множитель, стоящий перед dr, отражает факт неевклидовости пространства. Величина dx имеет смысл расстояния между двумя бесконечно близкими точками на од7

А также при M → 0.

140


ном и том же радиусе8 . В частности, поскольку длина окружности с центом в центре поля определяется равенством L = 2πr, то расстояние между двумя бесконечно близкими окружностями, описанными в одной плоскости вокруг центрального тела и имеющими длины L и L + dL, равно не dL/2π, а dx =

dL p . 2π 1 − rg /r

Для аналогичных окружностей, отстоящих друг от друга на конечное расстояние, получим ∆x =

Zr2

r1

=

p

dr 1 − rg /r

L2 − L1 2 L2 − L1 s s > . 2π 2π L2 L1 1− + 1− 2πrg 2πrg

Последнее слагаемое в (5.12) есть, умноженный на c2 , квадрат бесконечно малого промежутка времени, текущего в данной точке с координатой r, r rg dτ = 1 − dt . (5.14) r

8

В обычной геометрии радиус окружности можно определить двояко: либо как расстояние от центра до точек окружности, либо как длину окружности, деленную на 2π. В неевклидовой геометрии эти две величины не совпадают из-за кривизны пространства. Использование второго определения имеет, однако, то преимущество, что позволяет определить радиус, не приближаясь к центру окружности. Поэтому в дальнейшем под радиусом какой-либо окружности мы всегда будем понимать ее длину, деленную на 2π.

5.5 Решение Шварцшильда

141

Вдали от тяготеющего тела (при r → ∞) имеем dτ = dt, т. е. t – это физическое время наблюдателя на бесконечности. Чем ближе точка наблюдения к телу, создающему поле, тем медленнее течет в ней время τ по сравнению со временем t на бесконечности9 . При r → rg dτ → 0. Используя решение (5.12), можно обобщить закон тяготения Ньютона (1.6) на случай сильных гравитационных полей, которые способны разгонять тела до скоростей, сравнимых со скоростью света. В случае, когда скорость пробной массы m невелика (v ≪ c), действующая на нее сила тяготения дается выражением F =G

r2

mM p er . 1 − rg /r

(5.15)

Отсюда видно, что на большом по сравнению с rg расстоянии поле Шварцшильда есть обычное поле тяготения ньютоновской теории, а выражение (5.15) переходит в (1.6). Проведем численные оценки. Гравитационный радиус Земли rg⊕ ≈ 1 см, гравитационный радиус Солнца rg⊙ ≈ 3 км. Обычный радиус Солнца R⊙ ≈ 0.7 ×106 км, обычный радиус Земли R⊕ ≈ 6.4 × 106 см. Поэтому rg⊕ 1 = ≈ 2 × 10−7 ≪ 1 , R⊕ 6.4 × 106 rg⊙ 3 = ≈ 4 × 10−6 ≪ 1 . R⊙ 0.7 × 106 Следовательно, вне Солнца, Земли и других звезд и планет гравитационное поле с огромной точностью описывается законом Ньютона. 9

Данному промежутку времени на бесконечности, dt, соответствует все меньший промежуток времени dτ .

142


5.6 Черные дыры Несложно заметить коренное отличие, существующее между законом тяготения Ньютона (1.6) и выражением (5.15). Согласно закону (1.6), сила притяжения стремится к бесконечности, когда мы сжимает тело фиксированной массы в точку. По Эйнштейну вывод совершенно другой: сила тяготения обращается в бесконечность при r = rg . Это, в частности, говорит о том, что центральное тело, если оно статическое, не может иметь радиус меньше гравитационного. Следовательно, сферическое тело, радиус которого равен гравитационному или меньше, должно неудержимо сжиматься к центру. Процесс подобного сжатия называется релятивистским гравитационным коллапсом. Если какое-либо тело сжать до размеров гравитационного радиуса, то в результате релятивистского коллапса возникнет объект, которому американский физик-теоретик Джон Уилер (1911-) в 1968 г. придумал яркое название черная дыра [2,3,40]. Как показывает расчет [22], черные дыры могут возникать на последнем этапе эволюции звезд с M & 2 M⊙ . Кроме того, астрономы имеют все основания полагать, что, помимо звездных черных дыр, существуют гигантские черные дыры с массой в миллионы солнечных масс и размером в миллиард километров. Такие дыры, по-видимому, находятся в ядрах больших галактик и являются причиной их необычайной излучательной активности. Используя решение Шварцшильда, исследуем радиальное движение фотона в гравитационном поле черной дыры. Подставляя в уравнение (5.12) ds = dϑ = dϕ = 0, получаем закон движения фотона в виде rg dr = ±c 1 − . (5.16) dt r

5.6 Черные дыры

143

Здесь dr/dt – координатная скорость, т. е. скорость изменения координаты r с течением времени t далекого наблюдателя (а не физического времени τ в данной точке). Физическая скорость есть изменение физического расстояния dx с физическим временем τ [см. (5.14)]: dx dr rg −1 = 1− = ±c. dτ dt r

Разумеется, физическая скорость фотона всегда равна c. С точки зрения далекого наблюдателя (по его часам) изменение физического радиального расстояния dx с течением t есть r rg dx = ±c 1 − . dt r

Таким образом, для далекого наблюдателя луч вблизи rg движется медленнее. При r → rg имеем dx/dt → 0. Это обстоятельство отражает замедление течения времени вблизи rg . Найдем время, которое по часам далекого наблюдателя потребуется фотону, чтобы, двигаясь по радиусу от r = r0 , оказаться в точке с координатой r. Для этого проинтегрируем уравнение (5.16): r − rg r − r0 rg t = t0 ± ± ln . (5.17) c c r0 − rg Здесь r0 – положение фотона в момент времени t0 . Знак «+» следует взять при удалении, а знак «−» – при приближении фотона к центру тяготения. Выражение (5.17) показывает, что при приближении фотона к гравитационному радиусу (r → rg ) t → ∞. Иными словами, с какого бы r0 ни начинал свое падение фотон, по часам далекого наблюдателя время достижения фотоном rg бесконечно.

144


Выясним теперь как изменяется при движении по радиусу частота и, следовательно, энергия фотона. Пусть в некоторой точке с координатой r1 происходят вспышки с интервалом ∆t. Так как поле Шварцшильда статично, то вспышки придут к наблюдателю с координатой r2 с тем же интервалом ∆t. Отношение частоты вспышек в этих двух точках обратно отношению интервалов собственного времени, т. е. s ω1 ∆τ2 1 − rg /r2 = = . ω2 ∆τ1 1 − rg /r1 Таким образом, частота кванта света уменьшается при выходе из поля тяготения (r2 > r1 ) и увеличивается при движении к центру (r2 < r1 ). Это явление называется соответственно красным и фиолетовым гравитационным смещением. Проведенные вычисления позволяют представить картину, которую будет видеть далекий наблюдатель в процессе образования черной дыры [2,3]. Когда под действием тяготения вещество звезды со всевозрастающей скоростью падает, устремляясь к ее центру, для далекого наблюдателя поверхность звезды лишь за бесконечно долгое время приближается к сфере Шварцшильда. Испускаемое ей излучение приходит к наблюдателю все более покрасневшим, несмотря на то, что на самой звезде продолжают рождаться обычные фотоны. Покрасневшие фотоны к тому же приходят к наблюдателю все реже и реже. Интенсивность света падает. К факту покраснения света из-за замедления времени, обусловленного сильным полем тяготения, прибавляется еще покраснение света за счет эффекта Доплера, ибо поверхность сжимающейся звезды неуклонно удаляется от наблюдателя. В результате с приближением поверхности звезды к сфере Шварцшильда звезда становится невидимой.

Приложения

П.1 Свойства символов Кристоффеля Из определений (4.10) и (4.11) непосредственно следуют следующие свойства симметрии для символов Кристоффеля первого и второго рода: Γijk = Γikj , Γkij = Γkji . Эти свойства показывают, что из 43 = 64 символов Γijk (Γkij ) различными оказываются только 40. Найдем выражение для суммы Γkik . Упрощая выражение (4.11) по индексам j и k, получаем 1 ∂gkr 1 kr ∂gir ∂gkr ∂gik k + − = gkr , (П.1.1) Γik = g k i r 2 ∂x ∂x ∂x 2 ∂xi где после раскрытия скобок первое слагаемое сократилось с последним1 . Раскладывая определитель метрического тензора по i-ой строке, получим g = gi1 Gi1 + gi2 Gi2 + gi3 Gi3 + gi4 Gi4 (без суммирования по i). 1

Последнее слагаемое не изменяется при перестановки индексов k и r.

145

146


Отсюда с учетом (4.8) находим dg dg = Gik = g gik или gik dgik = . dgik g Подставляя этот результат в (П.1.1), получаем p ∂ ln |g| 1 ∂g Γkik = = . i i 2g ∂x ∂x

(П.1.2)

Дивергенция контравариантного вектора Ak в криволинейных координатах дается суммой [см. формулу (4.23)] Ak,k =

∂Ak + Γksk As . ∂xk

Используя выражение (П.1.2), отсюда получим p p |g| Ak ∂Ak Ak ∂ |g| 1 ∂ k A ,k = +p =p . ∂xk ∂xk |g| ∂xk |g|

Также легко установить выражения для дивергенций симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга. Если Ask = − Aks , то Γisk Ask = − Γisk Aks = 0

и с учетом (П.1.2) получаем ∂Aik + Γisk Ask + Γksk Ais k ∂x p p |g| Aik ∂Aik ∂ ln |g| is 1 ∂ = + A =p . ∂xk ∂xs ∂xk |g|

Aik,k =

Если же тензор Aki симметричен, то выражение для его дивергенции оказывается несколько сложнее:

П.2 Тензор Римана-Кристоффеля p k |g| A ∂ 1 1 ∂gkl kl i Aki,k = p − A . k ∂x 2 ∂xi |g|

147

П.2 Тензор Римана-Кристоффеля В кривом пространстве результат параллельного переноса вектора Aj вдоль любой незамкнутой кривой зависит от ее формы. Если же кривая замкнута и образует некоторый контур, тогда вектор Aj , перемещенный вдоль нее параллельно самому себе из точки xka в ту же самую точку, получит изменение по направлению2 I ∆Aj = Γijk Ai dxk , (П.2.1) C

где величины Γijk и Ai принимают значения, соответствующие переменной точке xk пути интегрирования.

C

xk xk

x ka Рис. П.2.1 Замкнутый контур, вдоль которого выполняется интегрирование. Стрелка показывает перемещение ξ k из начальной точки с координатами xka в текущую точку с координатами xk .

Чтобы доказать справедливость формулы (4.27), выполним в (П.2.1) интегрирование по бесконечно малому замкнутому контуру C, изображенному на рис. П.2.1. Такое интегрирование 2

Но не по величине.

148


производится при помощи тех же самых соображений, которые применяются в теореме Стокса [1, 37]. Положив ξ k = xk − xka и обозначая значение символа Γijk и его первой производной в точке a, соответственно, через Γijk a и ∂Γijk /∂xs a , будем иметь с достаточным приближением i ∂Γjk i i Γjk ≈ Γjk a + ξs. (П.2.2) ∂xs a

Обозначим далее через (Ai )a величину вектора в точке с координатами xka , из которого вектор Ai получается параллельным перемещением в текущую точку пути интегрирования. Тогда из условия Ai − (Ai )a = δAi и уравнения (4.22) следует, что Ai = (Ai )a + Γpiq a Ap a ξ q . (П.2.3) Подставляя выражения (П.2.2) и (П.2.3) в интеграл (П.2.1), найдем: i I q ∂Γjk p s i ξ (Ai )a + Γiq a Ap a ξ dξ k , ∆Aj = Γjk a + ∂xs a C p I ∂Γjk i = Γjk a (Ai )a + (Ap )a ξ q q ∂x a C i p ∂Γjk p i q s q + Γjk a Γiq a (Ap )a ξ + Γ (Ap )a ξ ξ dξ k . ∂xs a iq a Интеграл вдоль замкнутого контура от первого слагаемого, являющегося постоянным, обращается в нуль, а интеграл от последнего – есть бесконечно малая третьего порядка. Ограничиваясь бесконечно малыми второго порядка и вынося из-под знака интеграла величины относящиеся к точке a, получаем:

П.2 Тензор Римана-Кристоффеля 149 p I p ∂Γjk i ∆Aj = + Γjk a Γiq a (Ap )a ξ q dξ k . (П.2.4) q ∂x a C

Вычитая из выражения, стоящего под знаком интеграла, 1 d(ξ q ξ k ) , 2 что возможно, так как интеграл от этого выражения по замкнутому пути обращается в нуль, мы придадим интегралу вид I 1 qk ξ q dξ k − ξ k dξ q . ∆f = 2 C

Антисимметричных тензор второго ранга ∆f qk изображает, как известно, и по величине и по положению элемент поверхности, охватываемой контуром C. Если бы величина, стоящая в квадратных скобках уравнения (П.2.4), была антисимметрична по индексам q и k, то из уравнения (П.2.4) следовало бы, что она есть тензор. Чтобы этого добиться, прибавим к (П.2.4) то же выражение с переставленными индексами q и k. В результате, опуская для краткости у всех величин, относящихся к точке a, круглые скобки и соответствующий индекс, получим: p ∂Γjk ∂Γpjq p p i i 2∆Aj = − + Γjk Γiq − Γjq Γik Ap ∆f qk . ∂xq ∂xk Отсюда ∆Aj =

1 p R Ap ∆f qk , 2 jqk

где Rpjqk

∂Γpjk ∂Γpjq = − + Γpiq Γijk − Γpik Γijq . q k ∂x ∂x

150


Полученное выражение с точностью до обозначений немых индексов совпадает с (4.27). Компоненты тензора Rijkl удовлетворяют соотношениям (4.32) и соотношению (4.28а), в котором индекс i предполагается опущенным. Поэтому в n-мерном пространстве число алгебраически независимых компонент тензора Римана-Кристоффеля первого рода оказывается меньше n4 . Это число можно найти, если заметить, что все независимые компоненты Rijkl можно разбить на три группы [41]: I. компоненты Rijij , у которых индексы во второй паре имеют те же значения, что и индексы в первой паре; II. компоненты Rijil , у которых только один индекс встречается дважды; III. компоненты Rijkl , у которых все четыре индекса различны. Очевидно, что количество компонент первого типа равняется NI = C2n =

n(n − 1) 2

где Ckn – обычный биномиальный коэффициент. Циклические тождества (4.28а) не уменьшают это количество, так как для компонент первой группы они являются следствием соотношений (4.32). Во второй группе компонент значение индекса i может быть выбрано n способами. Из оставшихся n − 1 чисел пары различных чисел j и l могут быть выбраны C2n−1 способами. Соответственно этому число алгебраически независимых компонент второго типа равно NII = n × C2n−1 =

n(n − 1)(n − 2) . 2

П.2 Тензор Римана-Кристоффеля

151

Циклические тождества и в этом случае не уменьшают их числа. В компонентах третьей группы все четыре индекса различны. Поэтому первую пару индексов можно выбрать C2n различными способами. Из оставшихся n − 2 чисел вторую пару можно выбрать C2n−2 различными способами. Согласно (4.32), последовательность обеих пар безразлична, поэтому результат нужно еще разделить на 2. Кроме того, число алгебраически независимых компонент уменьшается еще за счет существования тождеств (4.28а). Например, каждая из трех компонент R1234 , R1423 и R1342 имеет различную комбинацию пар индексов, но любая из них может быть выражена через две других3 . Таким образом, полученный результат следует умножить на еще 2/3. Число алгебраически независимых компонент Rijkl с четырьмя различными индексами поэтому равно NIII =

n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 2 1 × × C2n × C2n−2 = . 3 2 12

Полное число алгебраически независимых компонент Rijkl получается суммированием NI , NII и NIII , что дает n2 n2 − 1 N= . 12 Следовательно, в двумерном пространстве тензор кривизны имеет только одну отличную от нуля компоненту, в трехмерном пространстве существует шесть независимых компонент тензора кривизны, а в четырехмерном пространстве N равно 20.

3

Например R1234 = − (R1423 + R1342 )

152


П.3 Пространство постоянной кривизны Докажем прямым вычислением, что пространство с метрикой (5.3) имеет постоянную кривизну. Полагая x1 = r, x2 = ϑ, x3 = ϕ, из (5.3) заключаем, что контравариантный метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты4 : g11 = ξ , g22 = ξ r 2 , g33 = ξ r 2 sin2 ϑ , где ξ=

kr 2 1+ 2 4a

−2

.

(П.3.1)

Соответственно ненулевые компоненты ковариантного тензора gik есть g11 =

1 1 1 , g22 = 2 , g33 = 2 2 . ξ ξr ξ r sin ϑ

(П.3.2)

Используя эти выражения, легко убедиться в том, что из 33 = 27 трехмерных символов Кристоффеля Γkij отличными от нуля являются следующие 10: √ ξ−1 1 , Γ11 = 2 r p Γ122 = r 1 − 2 ξ , p Γ133 = r 1 − 2 ξ sin2 ϑ , Γ233 = − sin ϑ cos ϑ ,

Γ212

=

Γ221

=

Γ313

=

Γ331

√ 2 ξ−1 = , r

Γ323 = Γ332 = ctg ϑ .

4

Здесь и далее латинские индексы принимают значения от 1 до 3.

П.3 Пространство постоянной кривизны

153

Скалярная кривизна риманова пространства определяется общей формулой (4.30), в которой при суммировании немые индексы пробегают значения от 1 до n, где n – число измерений пространства. Чтобы отличать кривизну трехмерного пространства от аналогичной кривизны четырехмерного пространства-времени, обозначим ее буквой R. Поскольку gik = 0 для всех i 6= k, то R = gll Rll = g11 R11 + g22 R22 + g33 R33 , где Rll =

∂Γkll ∂Γklk − + Γksk Γsll − Γksl Γskl (без суммирования по l). k l ∂x ∂x

Подставляя сюда значения символов Кристоффеля, найдем5 ∂ 2 Γ12 + Γ313 + Γ212 + Γ313 Γ111 − Γ221 Γ221 + Γ331 Γ331 R11 = − ∂r 2 ∂Γ12 8 p 2 1 2 =2 − + Γ12 Γ11 − Γ12 = 2 ξ−ξ , ∂r r 1 3 p ∂Γ22 ∂Γ23 R22 = − + Γ111 Γ122 − Γ332 Γ332 = 8 ξ − ξ , ∂r ∂ϑ p ∂Γ133 ∂Γ233 R33 = + + Γ111 Γ133 − Γ233 Γ323 = 8 ξ − ξ sin2 ϑ . ∂r ∂ϑ

Используя (П.3.1) и (П.3.2), убеждаемся в том, что g11 R11 = g22 R22 = g33 R33 = 2

k . a2

Следовательно, R=6

5

k . a2

Часть ненулевых слагаемых в суммах сокращается.

154


П.4 Вывод решения Шварцшильда Будем искать стационарное, сферически симметричное решение уравнений (4.41) в следующем виде: ds2 = − f1 (r) dr 2 − r 2 dϑ2 − r 2 sin2 ϑ dϕ2 + f2 (r) c2dt2 , (П.4.1) где f1 (r) и f2 (r) – неизвестные функции. Поскольку на большом расстоянии от притягивающей массы метрика пространства должна быть псевдоевклидовой, то при r → ∞ функции f1 (r) и f2 (r) должны стремиться к единице. В процессе вычислений, однако, удобно положить f1 (r) = eλ(r) , f2 (r) = eµ(r) ,

(П.4.2)

где новые функции λ и µ при неограниченном удалении от центра притяжения стремятся к нулю. С учетом выражений (П.4.1) и (П.4.2) метрический тензор gik может быть представлен матрицей  λ  −e 0 0 0  0 −r 2 0 0    gik =  .  0 0 −r 2 sin2 ϑ 0  0 0 0 eµ Соответственно компоненты тензора gik имеют вид

1 1 33 , g = − , g44 = e−µ , r2 r 2 sin2 ϑ gik = 0 при i 6= k .

g11 = − e−λ , g22 = −

В силу последнего равенства символы Кристоффеля можно представить в форме

П.4 Вывод решения Шварцшильда 155 ∂gik ∂gjk ∂gij 1 Γkij = gkk + − k (без суммирования по k). 2 ∂xj ∂xi ∂x Произведя соответствующие вычисления, можно убедиться, что из 64 символов Γkij не обращаются в нуль лишь следующие 13: 1 ′ λ , 2 Γ122 = − r e−λ , Γ111 =

Γ133 = − r e−λ sin2 ϑ , 1 Γ144 = eµ−λ µ′ , 2 2 Γ33 = − sin ϑ cos ϑ , Γ212 = Γ221 = Γ313 = Γ331 =

1 , r

Γ323 = Γ332 = ctg ϑ , 1 Γ414 = Γ441 = µ′ , 2 где штрихом обозначена производная по r. Прежде чем выписывать уравнения (4.41), воспользуемся формулой (П.1.2) и представим тензор Риччи в удобной для вычислений форме p p ∂Γkjl ∂ 2 ln |g| |g| s ∂ ln Rjl = − + Γjl − Γksl Γsjk . (П.4.3) k l j s ∂x ∂x ∂x ∂x Здесь, как легко видеть, p p 1 ln |g| = ln eλ+µ r 4 sin2 ϑ = λ + µ + 2 ln r + ln | sin ϑ| . 2

Подставляя символы Кристоффеля в формулу (П.4.3) и приравнивая компоненты тензора Риччи нулю, получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

156

Приложения p ∂ ln |g| ∂Γ111 ∂ 2 ln |g| R11 = − + Γ111 2 ∂r ∂r ∂r 1 1 2 2 3 3 − Γ11 Γ11 + Γ21 Γ12 + Γ31 Γ13 + Γ441 Γ414 1 1 1 ′ 2 λ′ = − µ′′ + λ′ µ′ − µ + = 0, (П.4.4а) 2 4 p 4 r p |g| ∂Γ122 ∂ 2 ln |g| 1 ∂ ln R22 = − + Γ22 − 2 Γ122 Γ221 + Γ332 Γ323 2 ∂r ∂ϑ ∂r 1 = e−λ r λ′ − µ ′ − 1 + 1 = 0 , (П.4.4б) 2 p p |g| |g| ∂Γ133 ∂Γ233 1 ∂ ln 2 ∂ ln R33 = + + Γ33 + Γ33 ∂r ∂ϑ ∂r ∂ϑ 1 3 2 3 − 2 Γ33 Γ31 + Γ33 Γ32 2 −λ 1 ′ ′ = sin ϑ e r λ − µ −1 +1 = 0, (П.4.4в) 2 p |g| ∂Γ144 1 ∂ ln R44 = + Γ44 − 2 Γ144 Γ441 ∂r ∂r 1 1 1 ′ 2 µ′ µ−λ ′′ ′ ′ =e µ − λµ + µ + = 0. (П.4.4г) 2 4 4 r p

Остальные 6 уравнений в выбранной метрике удовлетворяются автоматически (сводятся к тождеству 0 = 0). Несмотря на громоздкость, система уравнений (П.4.4) легко решается. Прежде всего замечаем, что уравнение (П.4.4в) является следствием уравнения (П.4.4б). Далее, из уравнений (П.4.4а) и (П.4.4г) находим λ′ = − µ′ ⇒ λ(r) = − µ(r) + const . Поскольку при r → ∞ обе функции, λ и µ, одновременно стремятся к нулю, константа интегрирования должна равняться нулю, т. е. λ(r) = − µ(r) .

П.4 Вывод решения Шварцшильда

157

С учетом этого уравнение (П.4.4б) преобразуется к виду r λ′ + eλ = 1 или rf1′ = f1 (1 − f1 ) . Решая это дифференциальное уравнение, находим f1 =

1 , 1 + C/r

где C – константа интегрирования. Используя предельный переход к классической механике, можно показать, что C = − rg , где rg – гравитационный радиус, определяемый выражением (5.13). Таким образом, в полном соответствии с (5.12), окончательно получаем f1 (r) =

1 rg , f2 (r) = 1 − . 1 − rg /r r

Словарь терминов

Астрофизика – раздел астрономии, изучающий физическую природу явлений и эволюцию небесных тел во Вселенной. Аффинные координаты – координаты, получаемые линейным преобразованием ортогональных декартовых координат. Вселенная – вся система мироздания, включающая космическое пространство и существующие в нем небесные тела (планеты, звезды и т. п.). Галактика – наша Галактика (Млечный путь) – звездная система, включающая в себя 2 × 1011 звезд, в т. ч. Солнечную систему и межзвездное вещество. Галактики – гигантские звездные системы, содержащие до сотен миллиардов звезд. Детерминизм – философское учение об объективной закономерной взаимосвязи и причинной обусловленности явлений материального и духовного мира. Естествознание – совокупность наук о природе и ее законах (физика, химия, биология, астрономия, и т. д.).

158


159

Инертность – присущее любому телу свойство, которое состоит в том, что для изменении скорости тела требуется некоторое время. Инерция – явление, заключающееся в сохранении скорости тела постоянной. Квант – минимальное количество энергии, на которое может изменяться какая-либо физическая величина или носитель какого-либо поля. Концепция – система связанных между собою и вытекающих один из другого взглядов на те или иные явления. Космогония – раздел астрономии, изучающий происхождение и развитие космических тел и их систем: планет, звезд, звездных скоплений, галактик и т. п. Космология – раздел астрономии, изучающий закономерности строения и развития Вселенной. Лабораторная система отсчета – система отсчета, связанная с наблюдателем. Материальная точка – объект, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Метагалактика – наблюдаемая часть Вселенной со всеми находящимися в ней галактиками и другими объектами. Методология – учение о методе научного познания. Метрика – правило определения расстояния между любыми двумя точками. Ортогональная матрица – матрица, удовлетворяющая свойству AT A = AAT = 1, т. е. AT = A−1 .

160


Парсек – (сокращение от слов «параллакс» и «секунда») расстояние, соответствующее параллаксу в 1"(1 пс ≈ 206265 а. е. = 3.08 × 1013 км). Параллакс – угол, под которым с данного расстояния был бы виден радиус земной орбиты, расположенный перпендикулярно лучу зрения. Постулат – основное положение теории, которое не может быть доказано логически (в физике постулат есть обобщение опытных фактов). Система координат – способ идентификации точек системы отсчета. Система отчета – совокупность тела отсчета, системы координат и прибора для измерения времени. Субстанция – то, что существует само по себе и не зависит ни от чего другого. Тело отчета – тело, относительно которого наблюдается движение. Черная дыра – область пространства-времени, в которой гравитационное поле настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть эту область и уйти в бесконечность.

Литература

Приведенная ниже литература использовалась при подготовке курса лекций и рекомендуется для более детального знакомства с излагаемыми в нем вопросами. 1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — M.: Наука, 1967. 2. Новиков И. Д. Черные дыры и Вселенная. — M.: Молодая гвардия, 1985. 3. Новиков И. Д. Куда течет река времени? — M.: Молодая гвардия, 1990. 4. Шкловский И. С. Вселенная. Жизнь. Разум. — M.: Наука, 1965. 5. Дубнищева Т. Я. Концепции современного естествознания. Основной курс в вопросах и ответах. — Новосибирск: Сибирское унив. изд-во, 2005. 6. Канке В. А. Концепции современного естествознания. Учебник для вузов. — М.: Логос, 2006. 7. Комаров В. Н. Новая занимательная астрономия. — M.: Наука, 1983. 8. Пуанкаре А. О науке. — M.: Наука, 1983. 9. Завельский Ф. С. Время и его измерение. — M.: Наука, 1977. 161

162


10. Савельев И. В. Курс общей физики. — M.: Наука, 1982. 11. Шмутцер Э. Теория относительности – современное представление. Путь к единству физики. — M.: Мир, 1981. 12. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. — M.: УРСС, 2005. 13. Григорьев В. И., Мякишев Г. Я. Силы в природе. — M.: Наука, 1978. 14. Адзерихо С. Я., Полонский И. М., Стодольник Н. А. Введение в линейную алгебру, теорию поля и ряды Фурье. — Минск: Вышейшая школа, 1968. 15. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. — M.: Высшая школа, 1983. 16. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. — M.: Иностр. лит., 1956. 17. Пайерлс Р. Е. Законы природы. — M.: Гос. изд-во техникотеоретич. лит., 1957. 18. Френкель Я. И. На заре новой физики. — Л.: Наука, 1969. 19. де Бройль Л. Революция в физике. — M.: Атомиздат, 1965. 20. Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. — M.: Наука, 1972. 21. Еремеева А. И. Астрономическая картина мира и ее творцы. — M.: Наука, 1984. 22. Эйнштейновский сборник / Ред. И. Е. Тамм, Б. Г. Кузнецов. — M.: Наука, 1966. 23. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика. — M.: Наука, 1980. 24. Ландсберг Г. С. Оптика. — M.: Наука, 1976. 25. Паули В. Теория относительности. — M.: Наука, 1991. 26. Неванлинна Р. Пространство, время и относительность. — M.: Мир, 1966.


163

27. Кузнецов Б. Г. Беседы о теории относительности. — M.: AH CCCP, 1960. 28. Мак-Коннел A. Д. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — M.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 29. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. — M.: Наука, 1971. 30. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. — СПб: Нестор, 2001. 31. Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. — M.: УРСС, 2004. 32. Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности. — M.: Мир, 1972. 33. Борн М. Атомная физика. — M.: Мир, 1970. 34. Борн М. Эйнштейновская теория относительности. — M.: Мир, 1972. 35. Меллер К. Теория относительности. — M.: Атомиздат, 1975. 36. Гинзбург В. Л. Современная астрофизика. — M.: Наука, 1970. 37. Эйнштейн А. Основы теории относительности. — Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 38. Шкловский И. С. Проблемы современной астрофизики. — M.: Наука, 1988. 39. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — M.: Наука, 1975. 40. Новиков И. Д., Фролов В. П. Физика черных дыр. — M.: Наука, 1986. 41. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. — M.: Иностр. лит., 1947.

Предметный указатель

Абсолютно удаленные события, 78 Абсолютное будущее, 77 прошлое, 77 Астрофизика, 158 Большой взрыв, 138 Вектор Пойтинга, 116 ковариантный, 62 контравариантный, 61 Время абсолютное, 18 собственное, 72, 78 Вселенная, 158 Галактика, 158 Галактики, 158 Галилеева система отсчета, 98 Горизонт видимости, 135

Гравитационное красное смещение, 144 Гравитационное фиолетовое смещение, 144 Гравитационный радиус, 139 Дейтрон, 88 Детерминизм, 158 классический, 26 Длина тела, 53 Длительность процесса, 53 Естествознание, 158 Закон Хаббла, 127 инерции, 15, 109, 111 сложения скоростей классический, 20 релятивистский, 74 сохранения заряда, 33 тяготения, 21 164

Предметный указатель электромагнитной индукции, 31 Законы Ньютона, 15 электродинамики, 31 Заряд магнитный, 32 электрический, 31 Импульс, 16 Инертность, 159 Инерция, 159 Интервал, 75 времениподобный, 76 пространственноподобный, 76 Калибровка Лоренца, 35 Квант, 159 Ковариантная производная ковариантного объекта, 106 контравариантного объекта, 107 Коллапс гравитационный, 142 Концепция, 159 Координатная скорость, 143 Космогония, 122, 159 Космологическое красное смещение, 127 Космология, 121, 159 Кривизна пространства, 131

165 скалярная, 113, 128 Кривизна пространствавремени, 98 Критическая плотность, 131 Лоренцевское сокращение расстояний, 70 Масса, 16 гравитационная, 21 инертная, 21 Метагалактика, 159 Методология, 159 Метрика, 159 евклидова, 58 псевдоевклидова, 58 Механика классическая, 15 Мировая линия, 58 геодезическая, 109 точка, 57 Монополь, 32 Научная революция, 13 Нейтрон, 88 Одновременность событий, 53 Опыт Майкельсона-Морли, 48 Физо, 47 Френеля, 40 Относительность

166 одновременности, 52 промежутков времени, 69 расстояний, 69 Парадигма, 13 Парадокс Зеелигера, 123 Ольберса, 122, 135 близнецов, 72 шеста и сарая, 71 Параллакс, 160 Парсек, 127, 160 Плоская электромагнитная волна, 39 Постоянная Хаббла, 127 Постулат, 160 Постулаты теории относительности, 49 Потенциал векторный, 34 скалярный, 34 Потенциалы запаздывающие, 36 электромагнитного поля, 34 Преобразования Галилея, 20 Лоренца, 60 полей, 68 Принцип относительности Галилея, 19, 44

Предметный указатель общий, 94 частный, 50 эквивалентности Эйнштейна, 89, 93 Пространство -время Минковского, 57 кривое, 101 плоское, 100, 111 абсолютное, 18, 90 Протон, 88 Реликтовое излучение, 134, 136 Релятивистское замедление времени, 72 сокращение расстояния, 70 Решение Фридмана, 126 Шварцшильда, 138 Эйнштейна, 124 Световой конус, 77 Свободное тело, 16 Сигнатура, 59 Сила Кориолиса, 25 Лоренца, 32 инерции простая, 24 центробежная, 25 Силы инерции, 90 Символы Кристоффеля

Предметный указатель второго рода, 102, 145 первого рода, 102, 145 Синхронизация часов, 54 Системы отсчета инерциальные, 17 локально-геодезические, 104 неинерциальные, 23 Скорость света, 36, 49, 80 четырехмерная, 79 Собственная длина, 70 Событие, 58 Соглашение о суммировании, 58 Сфера Шварцшильда, 139 Тензор Максвелла, 116 Риччи, 113, 155 дважды ковариантный, 62 контравариантный, 62 кривизны, 111 метрический, 59 электромагнитного поля, 66 энергии-импульса, 114 Теорема Гаусса, 32 Теорема Риччи, 108

167 Теорема инертности энергии, 83 Теория относительности общая, 89 специальная, 44 Тождество Бианки, 113 Риччи, 113 Уравнение Гельмгольца, 38 Даламбера, 35 Лоренца, 32 волновое, 35, 37 непрерывности, 33 Уравнения Максвелла, 31, 66, 67 Фридмана, 131 геодезической линии, 109 движения в гравитационном поле, 110 тяготения, 114 Ускорение, 16, 82 четырехмерное, 80 Физическая скорость, 143 Фотоны, 83 Черная дыра, 142, 160 Электродинамика, 29 Электромагнитное поле, 29 Электромагнитные волны, 36

168 Энергия кинетическая, 82 покоя, 82

Предметный указатель полная, 82 Эфир, 39, 46 Эффект Доплера, 144

Вопросы к экзамену

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

Революции в науке1 Основания классической механики Принцип относительности Галилея Гравитационная и инертная массы Силы инерции Классический детерминизм Электромагнитное поле Основные законы электродинамики Потенциалы электромагнитного поля Электромагнитные волны Зарождение и развитие представлений о световом эфире Законы электродинамики и принцип относительности Постулаты общей теории относительности Относительность одновременности Пространство Минковского Преобразования Лоренца Инвариантность уравнений Максвелла Следствия преобразований Лоренца

1

Каждый билет может содержать от двух до четырех вопросов, в зависимости от их объема и сложности.

169

170 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

Интервал Четырехмерная скорость и ускорение Релятивистская динамика Теорема инертности энергии Принцип эквивалентности Эйнштейна Общий принцип относительности Допустимые преобразования координат Символы Кристоффеля и ковариантное дифференцирование Уравнения геодезической линии Тензор кривизны Уравнения тяготения История космологии Модель Вселенной Эйнштейна Модель Вселенной Фридмана Реликтовое излучение Решение Шварцшильда Черные дыры

Вопросы к экзамену

В 2007 году СПб ГУИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007 – 2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

КАФЕДРА ОПТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Кафедра основана в 2002 году под названием «Оптическая физика и современное естествознание» в составе факультета «Фотоники и оптоинформатики». Первым заведующим кафедрой был избран М. Н. Либенсон, возглавлявший лабораторию «Фотофизика поверхности» в Государственном оптическом институте (ГОИ) им. С. И. Вавилова. Либенсон Михаил Наумович - известный ученый-физик, внесший значительный вклад в силовую оптику и фотофизику, лауреат Государственной премии СССР, доктор физ.-мат. наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, Соросовский профессор. Преподавателями кафедры стали сотрудники ГОИ – академик РАН Е. Б. Александров, член корр. РАН А. М. Бонч-Бруевич, профессора: А. В. Баранов, Т. А. Вартанян, Н. В. Каманина, Е. Ю. Перлин, В. Н. Смирнов, А. В. Федоров, В. Б. Шилов; доценты: А. А. Ветров, Г. Н. Виноградова, Ю. М. Воронин, Г. С. Жданов, В. Л. Комолов, Г. А. Марциновский. В 2004 – 2006 гг. кафедру возглавлял доктор тех. наук, профессор А. И. Степанов, а с 2006 г. ею руководит доктор физ.-мат. наук, профессор А. В. Федоров, который одновременно возглавляет Центр «Информационные оптические технологии» (ЦИОТ) в составе СПбГУ ИТМО. Автор данного учебного пособия – кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ОФиСЕ, научный сотрудник лаборатории «Оптика наноструктур» ЦИОТ Рухленко Иван Дмитриевич является специалистом в области физики твердого тела и физики наноструктур.

Иван Дмитриевич Рухленко НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ В ФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ Учебное пособие В авторской редакции Компьютерная верстка А. Л. Дубовиков Заведующая РИО Н. Ф. Гусарова

Редакционно-издательский отдел СПб ГУИТМО Лицензия ИД №00408 от 05.11.99. Отпечатано на ризографе. Тираж 100 экз. Заказ №1127. Подписано в печать xx.02.08.

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

Научные революции в физике и космологии: Учебное пособие

Recommend Documents