ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “С...
6 downloads
164 Views
891KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Кафедра механики сплошных сред
Ю.Н. Радаев, С.А. Лычев
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ КАК ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Учебное пособие
Издательство “Универс-групп” 2005
СамГУ
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета
УДК 531.01 ББК 22.25 P 15 Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, проф. Д.Д. Ивлев Рецензент: д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой строительной механики и сопротивления материалов Самарского государственного архитектурностроительного университета Ю.Э. Сеницкий P 15
Радаев Ю.Н., Лычев С.А. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля: учебное пособие / Радаев Ю.Н., Лычев С.А. – Самара: Изд-во “Универс-групп”, 2005. – 60 стр. ISBN 5-467-00056-X Нелинейная теория упругости представлена как физическая теория поля в одном из канонических вариантов. Изложение существенно отличается от характерных для механики сплошных сред и теории упругости способов определения базовых понятий и вывода основных полевых уравнений. Исходя из вариационного принципа минимальности действия для нелинейно упругого поля, даны канонические и естественные определения всех важнейших тензорных полей, необходимых для его описания, в том числе с учетом возможной сингулярности поля, обусловленной материальной неоднородностью среды и наличием повреждений. Систематический вывод законов сохранения нелинейной теории упругости и соответствующих им инвариантных интегралов, которые являются теоретической основой нелинейной механики разрушения и имеют важное прикладное значение, реализован с помощью последовательного проведения принципа двойственности описания деформации. С помощью теории нулевого лагранжиана исследуется также степень определенности тензорных характеристик поля. Теория нулевого лагранжиана развивается также и для того, чтобы распространить канонический формализм до тех естественных пределов, которые устанавливаются указанной выше неопределенностью. С помощью дивергентной формулы, справедливой для звездообразных областей, получено наиболее общее представление нулевого лагранжиана, зависящего от градиентов порядка не выше первого. Изложен алгоритмический метод вывода нулевого лагранжиана для произвольного nмерного пространства. Учебное пособие предназначено для студентов классических университетов, обучающихся по специальности 010500 “Механика”.
УДК 531.01 ББК 22.25 © Радаев Ю.Н., Лычев С.А., 2005
ISBN 5-467-00056-X 2
Введение Вариационная формулировка как средство математического представления физической теории часто рассматривается в качестве самого элегантного и экономичного (в духе принципа экономии мышления Маха (Е. Mach)) представления, по крайней мере, для физических теорий, не претендующих на описание диссипативных процессов. Классическая механика Лагранжа и Гамильтона является великолепным образцом теории, реализованной с помощью вариационного описания. Наконец, следует отметить, что вариационные принципы были положены в основу теории электромагнитного и гравитационного поля в [1]. Механика континуума, являясь классической теорией поля, не может быть исключением: исследование обобщенных симметрии и инвариантных групп для функционала действия есть, по-видимому, не только самое мощное средство проникновения в сущность самой механики континуума, но и регулярный метод вывода инвариантных интегралов нелинейной механики, которые часто (как об этом убедительно свидетельствует опыт механики разрушения) могут иметь и важное прикладное значение. Представленный материал располагается в следующей последовательности: сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. В заключительном разделе работы приводится полная теория лагранжиана пустого пространства для n -мерного многообразия (включая четы3
рехмерное пространство–время Минковского). С помощью дивергентного представления лагранжиана пустого пространства для звездообразной области получено его общее выражение, содержащее градиенты поля, порядка не выше первого, в случае произвольного n -мерного многообразия. В целом работу следует рассматривать как компактное, но вполне строгое изложение нелинейной теории упругости с позиций классической теории поля. 1 В то же время в ней освещены и формальные основы нелинейной механики разрушения, которая в значительной мере базируется (в формальном плане) на аппарате инвариантных интегралов, которые по существу представляют собой инвариантную формулировку основных физических законов сохранения в виде интегралов по контуру или поверхности, не зависящих от пути интегрирования (см. [5–8], [10, рp. 58–73], [2, рp. 100–113]). Последовательное изложение затрагиваемого круга проблем заинтересованный читатель может найти также в известной монографии [2]. К сожалению, на русском языке имеется весьма ограниченный набор литературных источников по проблеме применения вариационных симметрий в нелинейной теории упругости. Так, в известной монографии [11] вообще нет никаких указаний на это. По поводу формализма исчисления вариаций для функционалов с переменной областью интегрирования и доказательства теоремы Нетер см. [12–15]. Систематическое изложение теории вариационных симметрий и законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных дано в четвертой главе монографии [4].
1. Канонические законы сохранения Мы будем рассматривать общий нелинейный случай и начнем с краткого анализа основных соотношений кинематики. Обозначения, используемые далее, в основном согласуются со схемой рациональной механики [16]. Компактное изложение теории конечных деформаций читатель может найти в [2] и [17], систематическое — в духе рациональной механики Нолла–Трусделла (W. Noll, С. Truesdell) — в монографии [18].
1
При написании настоящего руководства мы использовали более ранние публикации: Радаев Ю.Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2000. №4(18). С. 87-113; Радаев Ю.Н., Гудков В.А. О вычислении нулевых Лагранжианов нелинейно упругого поля // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Специальный выпуск. 2002. С. 39-56; Радаев Ю.Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. (Под ред. акад. Д.М. Климова.) М.: Физматлит, 2003. С. 658-684.
4
Следуя традиционной схеме рациональной механики, обозначим через x положение (место) в пространстве в момент времени t материальной частицы X . Ясно, что места x составляют актуальную конфигурацию тела K , а места X — отсчетную конфигурацию KR . Деформация тела, развивающаяся с течением времени, представляется как достаточно гладкое отображение x = x(X, t ) (1.1) отсчетной конфигурации на актуальную: KR → K . Это отображение можно обратить и представить, таким образом, деформацию в виде обратного отображения X = X(x, t ) . (1.2) Здесь важно отдавать себе отчет в том, что уже на этом первоначальном этапе проявляется характерная для всей нелинейной механики сплошных сред двойственность: двойственность представления деформации (1.1) и (1.2) (прямое и обратное описания) влияет затем на выбор мер деформации и формулировку законов сохранения. Градиент деформации T F = (∇R ⊗ x) (1.3) является важнейшим конструктивным элементом кинематики континуума. Обратный градиент, естественно, определяется как T (1.4) F−1 = (∇ ⊗ X) , и, следовательно, F ⋅ F−1 = I , где I есть единичный тензор. Вектор скорости определяется как частная производная по времени прямого представления (1.1) при фиксированном месте X : ⎛ ∂x ⎞ (1.5) v = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ ∂t ⎠x Материальная скорость определяется как частная производная по времени обратного представления (1.2) при фиксированном месте x : ⎛ ∂X ⎞ v = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . (1.6) ⎝ ∂t ⎠x Оба типа скорости связаны соотношением: v = −F−1 ⋅ v . (1.7) Два основных закона сохранения (массы и импульса) можно сформулировать в материальной форме (т.е. по отношению к конфигурации KR ): ⎛ ∂p ⎞⎟ ⎛ ∂ρR ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ − ∇R ⋅ S = 0 , ⎜⎜ (1.8) = 0, ⎟ ⎟ ⎝ ∂t ⎠⎟x ⎝ ∂t ⎠x где
5
⎛ ∂x ⎞ pR = ρR ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ρR v ⎝ ∂t ⎠x
(1.9)
есть физический импульс,
(1.10) ST = JT T F−T , где S — первый тензор напряжений Пиола–Кирхгофа, T — тензор напряжений Коши (тензор истинных напряжений), J = det F . Мы подразумеваем отсутствие поля массовых сил и не учитываем их вклада в баланс импульса. Баланс энтропии также сформулируем в материальной форме: ⎛ ∂s ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ + ∇R ⋅ J = σth + σintr , (1.11) ⎝ ∂t ⎠⎟x где s — плотность (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) энтропии, J — материальный вектор потока энтропии. Производство энтропии — слагаемые в правой части последнего уравнения — складывается из двух частей: вклад σ th , который обычно называют внешним производством энтропии, обусловлен теплопроводностью и поглощением ”лучистого тепла”, a σintr — внутренним производством энтропии при необратимых изменениях состояния. Процесс теплопроводности описывается материальным уравнением притока тепла: ⎛ ∂s ⎞ ϑ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ∇R ⋅ h = ϑσintr , ⎝ ∂t ⎠x
(1.12)
где ϑ — абсолютная температура, h — материальный вектор потока тепла. Введем две основные функции, необходимые для представления в рамках классической теории поля. Функция Лагранжа L = K −ψ (1.13) представляет собой разность кинетической 1 (1.14) K = ρR v ⋅ v 2 и свободной энергии Гельмгольца (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) ψ = ψ(F, ϑ, α, ∇R α, X) , (1.15) где переменная α зарезервирована для внутренних (скрытых) переменных состояния, аргумент ∇Rα подразумевает возможность диффузии и локализации физической величины, представляемой скрытой переменной α , аргумент X указывает на возможную материальную неоднородность тела, на его дефектную или поврежденную структуру. Полная энергия (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) 6
(1.16) H = E +K есть сумма внутренней энергии E и кинетической энергии K . Внутренняя энергия E и свободная энергия ψ связаны соотношением: E = sϑ + ψ . (1.17) Еще одну группу уравнений составляют определяющие уравнения: ∂ψ ∂ψ , , (1.18) s =− ST = ∂F ∂ϑ ∂ψ ∂ψ M= , , (1.19) A =− ∂(∇R α) ∂α ⎛ ∂α ⎞ h = ϑJ , σ th = −J ⋅ (∇R ln ϑ) , ϑσintr = A ⎜⎜ ⎟⎟⎟ , (1.20) ⎝ ∂t ⎠X где δψ (1.21) A = A + ∇R ⋅ M = − δα есть обобщенная термодинамическая сила, сопряженная потоку внутренней переменной состояния α . Канонические уравнения баланса импульса и энергии выводятся из уравнения баланса импульса (1.8) умножением слева соответственно на FT и v : ⎛ ∂P ⎞⎟ ⎜⎜ (1.22) − ∇R ⋅ P − f inh − f th − f α = 0 , ⎟ ⎟ ⎝ ∂t ⎠x ⎛ ∂H ⎞⎟ ⎜⎜ − ∇R ⋅ Γ = 0 . ⎝ ∂t ⎠⎟⎟x
(1.23)
P = −FT ⋅ p
(1.24)
В этих уравнениях — канонический импульс (псевдоимпульс); P = −(LI + S ⋅ F + M ⊗ (∇Rα)) — тензор напряжений Эшелби (J.D. Eshelby); 2 2
(1.25)
Тензор напряжений P (этот же тензор часто называют тензором энергии–импульса) был введен в механику Эшелби [19]. В современной литературе по нелинейной механике сплошных сред встречаются (в рамках одной и той же физической интерпретации) различные определения тензора энергии–импульса (см., например, монографии [2, 18]). С точки зрения интегральных законов сохранения механики тензор напряжений Эшелби играет роль, аналогичную тензору S , при формулировке баланса полной энергии внутри фиксированного контрольного объема в физическом пространстве. В этом случае соответствующий объем в отсчетной конфигурации будет подвижным. С помощью формулы дифференцирования интеграла по подвижному объему нетрудно проверить ([18, рp. 172, 173]), что (мы пренебрегаем здесь внутренними степенями свободы)
7
Γ = γ −h — материальный вектор потока энергии; ⎛ ∂α ⎞ γ = S ⋅ v + M ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ ∂t ⎠x
(1.26) (1.27)
— материальный вектор Умова–Пойнтинга (Н.А. Умов, J.H. Poynting); f th = s(∇R ϑ) (1.28) — термическая материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения температуры; f α = A(∇Rα) (1.29) — материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения скрытой переменной α ; ⎛ ∂L ⎞ (1.30) f inh = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ ∂X ⎠expl — сила, действующая на материальную неоднородность (сила Эшелби). Заметим также, что H = s ϑ − P ⋅ (F−1 ⋅ v) − L , (1.31)
(C = FT ⋅ F) ,
P = ρRC ⋅ v
(1.32)
1 1 (1.33) ρR v ⋅ C ⋅ v = P ⋅ v , 2 2 ⎛ ∂ψ ⎞⎟ 1 , (1.34) f inh = (v ⋅ v)(∇R ρR ) − ⎜⎜ ⎝ ∂X ⎠⎟⎟expl 2 ∂L ∂L , P= . (1.35) s= ∂v ∂ϑ Следствием канонического уравнения баланса импульса (1.22) является (в квазистатическом приближении) соотношение ∇R ⋅ P = −f inh , (1.36) K =
∂ ∂t
∫ Hdτ
R
=
∫v ( N ⋅ (P ⋅v) − h ⋅ N )d S
R
,
∂
где тензор = HI − S ⋅ F P
не существенно отличается от тензора напряжений Эшелби P = −LI − S ⋅ F . Тензор P играет главную роль при подсчете скорости освобождения энергии вследствие продвижения края трещины. Отметим также, что в квазистатическом приближении (ср. [18, р. 172]) PT = −J FT ⋅
ψ ( ). ∂F J ∂
тензора напряжений Коши TT = T влечет за собой C ⋅ P = P ⋅ C , где C = FT ⋅ F — правый тензор деформации Коши–Грина. Симметрия T
8
равенство
или в случае материально однородного тела — ∇R ⋅ P = 0 . (1.37) Полученный результат устанавливает инвариантность интеграла
∫v N ⋅ Pd S
R
=0
(1.38)
S
(здесь интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S , не содержащей внутри сингулярностей упругого поля; N — единичный вектор внешней нормали) в плане независимости значения интеграла от формы поверхности S в отсчетной конфигурации KR . Впервые инвариантные интегралы появились в классическом трактате Максвелла (J.С. Maxwell) в 1873 г. при определении напряжений в электростатическом поле. 3 В статической линейной упругости аналогичные интегралы, используя метод Максвелла, ввел в 1951 г. Эшелби [19]. Фактически Эшелби использовал инвариантные интегралы для вычисления конфигурационной силы, действующей на упругую неоднородность эллипсоидальной формы. Согласно Эшелби, сила fkinh , которая действует на дефект или включение в упругой среде, может быть вычислена с помощью не зависящего от пути интеграла
fi inh =
∫v n P dΣ , k
ki
Σ
где замкнутая поверхность Σ должна охватывать дефект или включение, Pki — тензор напряжений Эшелби. Позднее инвариантный интеграл был выведен Гюнтером (W. Gunter) [5] на основе вариационной теоремы Нетер (Е. Noether) [3]. Систематический вывод инвариантных интегралов теории упругости с помощью вариационной теоремы Нетер был дан в статье [6]. Наконец следует упомянуть работы [7, 8], где большое количество нетривиальных законов сохранения было получено на базе теории обобщенных групповых симметрий. В 1967 г. Г.П. Черепанов [20] получил инвариантный Г-интеграл механики разрушения непосредственно из закона сохранения энергии. Интенсивное применение инвариантного интеграла ( J -интеграла) в механике разрушения в качестве параметра, характеризующего напряженно– деформированное состояние трещины в упругопластических телах, восходит к 1968 г., когда инвариантный интеграл был сформулирован Райсом (J.R. Rice) [21]. 3
Дж.К. Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I. М.: Наука, 1989. 416 с. Речь идет о вычислении силы, действующей на электростатическую систему изза наличия второй электростатической системы (т. I, с. 146–150), в форме интеграла по поверхности, охватывающей всю первую систему, но ни одной части второй системы (уравнение (16) на стр. 148).
9
2. Элементы теории поля Ниже будут даны необходимые сведения (преимущественно формального плана) из современной теории поля. Для понимания излагаемой ниже теории необходимо достаточно свободное владение исчислением вариаций (например, в рамках замечательного курса вариационного исчисления [14]). Компактное изложение имеется в [12, рp. 260–264]. Можно рекомендовать также монографию [2, рp. 96–115]. Рассмотрим функционал типа Гамильтонова действия:
ℑ=
∫
L(ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β )d 4X ,
(2.1)
D×[t1 ,t2 ]
где ϕ — упорядоченный массив физических полевых величин; X β ( β = 1,2,3,4) — пространственно-временные координаты; 4 X 4 = ct (константа c имеет смысл характерной скорости и ее можно положить равной единице); d 4X — элемент объема; D — область трехмерного пространства, 5 в которой изменяются координаты X 1, X 2, X 3 ; t1, t2 — границы временного k
интервала. Под d 4X мы понимаем ”естественный” элемент объема d 4X = dX 1dX 2dX 3dX 4 . Поэтому L — ”естественная” плотность лагранжиана. Лагранжиан предполагается локальным, т.е. его значение в точке X β определяется значениями динамических переменных ϕ k и конечного числа их частных производных по пространственно-временным координатам, вычисленных в той же самой точке. Инвариантный элемент объема d 4 τ пространственно-временного многообразия, параметризованного координатами X β , определяется на основании d 4τ = g dX 1dX 2dX 3dX 4 , 4
Аналогия между пространством и временем была известна еще древним грекам. Аристотель включал время в число непрерывных величин наряду с линиями, поверхностями и телами. В современной физике равноправие пространственных координат и времени утверждалось в процессе становления теории относительности. Пространственно-временное многообразие — неотъемлемый элемент теории относительности. Геометрия пространства–времени как объект физической теории рассматривается, например, в [22, рp. 457–472]. С точки зрения классической механики сплошных сред переменные X 1, X 2 , X 3 вполне аналогичны координатам Лагранжа, а оперирование с четырехмерным пространственно–временным многообразием исключительно удобно при описании динамических процессов в деформируемых средах. 5 В рамках классической нелинейной механики сплошных сред следует считать, что D = KR ( KR — отсчетная конфигурация тела, деформацию которого обычно описывают, сравнивая отсчетную конфигурацию с актуальной деформированной), либо D — подобласть KR .
10
где g — определитель (точнее, его абсолютная величина), составленный из метрических коэффициентов gαβ . Поскольку метрика пространства– времени гиперболична то обычно вместо g пишут −g ибо последнем случае величина под корнем будет положительной. 6 1dX 2dX 3dX 4 — величина четырехмерного Итак, инвариант −gdX объема, измеренного в локальной координатной системе посредством твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относительности. Инвариантный элемент объема следует отличать от ”естественного” элемента объема d 4X = dX 1dX 2dX 3dX 4 , так как координатная система пространственно–временного многообразия может быть криволинейной, и в этом случае величина −g отлична от единицы. При использовании криволинейной координатной системы в пространственно–временном многообразии функционал действия следует писать в форме
ℑ=
∫
L(ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β ) −gd 4X .
D×[t1 ,t2 ]
Ясно поэтому, что часто характер координатной системы можно вообще не специфицировать, но тогда в уравнениях поля под функцией Лагранжа следует понимать не L , а −g L , что и будет предполагаться в дальнейшем изложении и мы, таким образом, возвращаемся к выражению действия в форме (2.1). Следует однако помнить, что L в этом случае будет не плотностью по отношению к инвариантному элементу объема пространственно-временного многообразия, но будет таковой по отношению к ”естественному” элементу объема. Как уже отмечалось величину L можно поэтому называть ”естественной” плотностью лагранжиана. Пространство–время является четырехмерным псевдоевклидовым пространством, 7 метрика которого задается знаконеопределенной квадратичной формой ds 2 = εβ (dX β )2 (β = 1,2, 3, 4) , где ε1 = 1 , ε2 = 1 , ε3 = 1 , ε4 = −1 . Определенное подобным образом 4-пространство обычно называют пространством Минковского (Н. Minkowski).
6
Часто для краткости применяется также обозначение . Геометрия псевдоевклидовых пространств и пространственно-временного многообразия в деталях изложена в книге: Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с. 7
11
В пространстве Минковского может быть с помощью замены X → X β введена криволинейная координатная система; метрика в этом случае определяется как ds 2 = g dX αdX β . β
αβ
Через ∂ β здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования по пространственно-временным координатам X β . Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона ∇β ) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой инвариантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований пространственно-временных координат X β . Прямая тензорная запись уравнений поля часто оказывается неудобной, так как она скрывает природу тензоров: при построении канонических тензоров теории поля заимствуются элементы как пространства–времени (греческий индекс), так и самих физических полей (латинский индекс). Большинство современных физических теорий ограничивается градиентами первого порядка от полей ϕ k . Для классической механики сплошных сред физические поля ϕ k — это закон движения (или деформирования) тела, представленный как зависимости координат Эйлера (т.е. координат в пространстве, которые выбираются наблюдателем для представления положений точек сплошной среды в процессе ее деформации) от координат Лагранжа (координаты Лагранжа, согласно традиционным представлениям механики сплошных сред, индивидуализируют точки континуума, являясь для каждой из них уникальной меткой): x k = x k (X 1, X 2, X 3, X 4 ). Таким образом, в дальнейшем можно считать, что ϕ k есть эйлеровы координаты: ϕk = x k . В принципе деформацию сплошного тела можно описывать обратным отображением (так называемое обратное лагранжево описание): X β = X β (x 1, x 2, x 3, t ) . Тогда роль физических полевых величин будут играть переменные Лагранжа. Ни одно из описаний — прямое лагранжево и обратное лагранжево — не имеет никаких преимуществ по сравнению с другим. Исторически сложилось так, что широкое распространение получило лишь прямое описание. И только в последнее время обратное описание стало проникать в работы по нелинейной теории упругости (см., например, монографию [2]). Отправным пунктом для математического описания физических полей служит принцип Гамильтона (или принцип наименьшего действия), кото12
рый гласит, что поле реализуется таким образом, что действие оказывается экстремальным, т.е. первая вариация действия обращается в нуль: δℑ = 0 . Осознанное манипулирование с вариацией действия ℑ подразумевает ясное и строгое определение различных видов варьирования как самих полей ϕ k , так и пространственно-временных переменных X β . Поэтому мы начнем с базовых понятий и определений. Основным исходным элементом, необходимым для определения понятия вариации, является однопараметрическое семейство (группа) преобразований пространственно-временных координат и физических полей: (2.2) (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) . где X β = X β (X γ , ε) ,
ϕk (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) ,
причем
X β (X γ , ε) |ε =0 = X β , Φk (ϕs , X β , ε) |ε=0 = ϕk . В частности, можно вести речь только о преобразованиях пространственно-временных координат: (2.3) X β = X β (X γ , ε) , ϕk (X β , ε) = ϕk (X β ) . Величина ε — параметр группы, который может быть скалярным, векторным или тензорным. Исключительный интерес представляют однопараметрические группы преобразований, которые не изменяют величины действия (или изменение действия является бесконечно малой величиной, порядка высшего, чем ε ) любой 4-области пространственно-временного многообразия. Указанные группы обычно называют группами инвариантности действия (или вариационными симметриями действия). Если изменение функционала действия является бесконечно малой величиной, порядка более высокого чем ε , то говорят об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2). Ясно, что инвариантность функционала действия влечет его инфинитезимальную инвариантность. Следует обратить внимание на тот факт, что пространственно–временные координаты X β и физические поля ϕk входят в группу преобразований явно не симметрично, ибо закон преобразования (2.2) не допускает трансформацию переменных X β , зависящую от полей ϕ k . Впоследствии мы рассмотрим более широкий спектр преобразований с целью устранения указанной несимметричности.
13
Заметим, что инвариантность функционала действия относительно однопараметрической группы преобразований (2.2) означает, что 8 Ld 4X = Ld 4X , где
ϕk , ∂ ∂ k ,..., X β ) L = L(ϕk , ∂ β γ βϕ — плотность лагранжиана, выраженная с помощью новых пространственно-временных координат X β и физических полей ϕk , должна совпадать с L: ϕk , ∂ ∂ k ,..., X β ) = L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ k ,..., X β ) . L(ϕk , ∂ (2.4) β γ βϕ β γ βϕ Ясно, что в результате преобразования группой (2.2), если только величина действия не изменяется, плотность лагранжиана преобразуется (возможно, в случае, когда речь идет об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2), с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего чем ε ) как обычная скалярная плотность: ⎛ ∂X β ⎞⎟ ϕk , ∂ ∂ κ ,..., X β ) = L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . ⎟ L(ϕk , ∂ det ⎜⎜ (2.5) β γ βϕ β γ β α⎟ ⎜⎝ ∂X ⎠⎟ Инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) дополнительно к (2.5) означает еще, что выполняется (2.4), т.е. ⎛ ∂X β ⎞⎟ ϕk , ∂ ∂ κ ,..., X β ) = L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . ⎟ L(ϕk , ∂ det ⎜⎜ (2.6) β γ βϕ β γ β α⎟ ⎜⎝ ∂X ⎠⎟ Инфинитезимальная инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) означает, что условие (2.6) выполняется с точностью до бесконечно малой величины, порядка более высокого чем ε . Условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия, к сожалению, не может быть выражено чисто как условие на ”естественную” плотность лагранжиана. Ниже условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия будет выражено как условие на вариации ”естественной” плотности лагранжиана и вариации пространственновременных координат. Частичная (т.е. при неварьируемых пространственно-временных координатах X β ) вариация поля ϕ k определяется как
8
Или в случае, когда речь идет об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2), приводимое ниже равенство должно удовлетворяться с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего, чем ε .
14
⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β , ε)⎞⎟ ⎜ δϕ = ε ⎜ ⎟ . ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε = 0 Поскольку дифференцирования по пространственно-временным координатам и параметру ε перестановочны, операторы ∂ β и δ также перестановочны: δ∂ β = ∂ β δ . k
Вариациям физических полей ϕ k , исчезающим как на границе пространственной области интегрирования так и на границах временного интервала, отвечает вариация действия ⎪⎧ ∂L ⎪⎫ ∂L k ⎪ 4 δℑ = ∫ ⎨⎪ k δϕk + ∂ ( δϕ ) d X, ⎬ β k ⎪⎪ ∂ϕ ⎪ ∂ ( ∂ ϕ ) β ⎩ ⎭⎪ или
⎧ ⎪ ∂L ∂L ⎫⎪⎪ k 4 ⎪ − ∂ (2.7) ∫ ⎨⎪ ∂ϕk β ∂(∂ βϕk )⎬⎪ δϕ d X . ⎪ ⎪⎭ ⎩ Стационарность действия необходимо влечет уравнения Эйлера– Лагранжа (уравнения поля): δL ∂L ∂L ≡ − ∂ = 0. (2.8) β δϕk ∂ϕk ∂(∂ βϕk ) Обобщение уравнений Эйлера–Лагранжа на тот случай, когда плотность лагранжиана зависит от производных, порядка выше первого, есть: 9 δℑ =
δL ∂L ∂L ∂L ≡ − ∂β + ∂ γ∂β − ... = 0 . (2.9) k k k δϕ ∂ϕ ∂(∂ βϕ ) ∂(∂ γ ∂ βϕk ) Оператор, определенный согласно (2.9), называется оператором Эйлера (или вариационной производной). Вариационная производная есть 1ковариантный пространственный вектор. Уравнения Эйлера–Лагранжа инвариантны относительно группы преобразований (2.3). Действительно, прямой расчет показывает, что ⎛ ∂X β ⎞⎟ δL δL ⎟ = det ⎜⎜ . k ⎜⎝ ∂X α ⎠⎟⎟ δϕk δϕ Полные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕ k при их преобразовании согласно (2.2) определены, как это следует ниже:
9
Мы не будем развивать далее теорию поля для лагранжиана, зависящего от градиентов полевых величин ϕk , порядка выше первого. По поводу соответствующего обобщения см., например, [2, рp. 116, 117].
15
⎛ ∂X β (X γ , ε)⎞⎟ δX = ε ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟⎟ β
ε =0
,
⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ δϕ = ε ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ k
,
ε=0
где ⎛⎛ ∂Φk ϕs (X γ ), X γ , ε ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ( )⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ε ε ⎟ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ε =0 ⎝ expl ⎠ ε=0
⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X γ , ε)⎞⎟ ⎜ + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ λ ⎜⎜ ∂X ⎝ ⎠⎟ γ
X =X γ , ε = 0
⎛ ∂X λ (X μ , ε)⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜⎜ ⎟ ε ∂ ⎝ ⎠ε =0
Здесь мы используем обозначение вида ⎛ ∂Φ (⋅, ⋅, ε)⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟⎟ expl для производной функции Φ (⋅, ⋅, ε) по аргументу, который выражает ее явную зависимость от той переменной, по которой осуществляется дифференцирование, т.е. для частной производной функции Φ (⋅, ⋅, ε) по аргументу ε , считая при этом фиксированными все остальные аргументы даже несмотря на то, что они могут в свою очередь также зависеть от ε . Полная и частичная вариации ϕ k связаны соотношением ∂ϕk k k δϕ = δϕ + δX α . (2.10) α ∂X Как уже отмечалось, инфинитезимальная инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) означает, что условие (2.6) выполняется с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего, чем ε . Так как ⎛ ∂X β ⎞⎟ ∂δX γ ⎜ ⎟ = 1+ + o(ε) , det ⎜ ⎜⎝ ∂X α ⎠⎟⎟ ∂X γ то условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия примет вид ∂δ X γ (2.11) δL + L = 0, ∂X γ где δ L линейная по ε часть приращения ϕk , ∂ ∂ κ ,..., X β ) − L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . L(ϕk , ∂ β γ βϕ β γ β Полное варьирование действия (при условии, что ”естественная” плотность лагранжиана зависит от градиентов поля, порядка не выше первого) по пространственно-временным координатам X β и физическим полям ϕ k приводит к следующему результату [14, р. 176]: 16
⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ ∂L ∂ k k β ⎪ 4 ⎪ δϕ + ∂ δϕ + L δ X ( ) ) ∂X β ⎬d X = β( k ∫ ⎨⎪ ∂ϕk ⎪ ∂ ∂ ϕ ( ) β ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ∂L ⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∂L ⎪⎫⎪ k 4 k β⎪ ⎪ L =∫⎪ − ∂ δϕ d X + δϕ δ X + ⎨ k ⎬ ⎬N βdA , (2.12) β ∫v ⎨⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎪⎪ ∂ϕ ⎪ ∂ (∂ βϕk )⎪⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ где N β — единичная внешняя нормаль к трехмерной гиперповерхности, ограничивающей область интегрирования в четырехмерном пространственно-временном многообразии, dA — элемент площади указанной гиперповерхности. Если функционал ℑ инвариантен 10 относительно группы преобразований (2.2), то его первая вариация, соответствующая варьированию координат и полей по закону (2.2), очевидно, будет равна нулю. Условие (2.11) инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2) может быть заменено более слабым условием (см. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaultungssatze der Elektrodynamik // Math. Ann. 1921. V. 84. P. 258-276) ∂δ X γ ∂B γ (2.13) δL + L =ε ∂X γ ∂X γ так, чтобы первая вариация действия, по-прежнему, обращалась в нуль. Здесь 1-контравариантный отсчетный вектор B γ может зависеть от пространственно-временных координат и полей (включая и градиенты поля): B γ = B γ (ϕ k , ∂ βϕ k , ∂ γ ∂ βϕ κ ,..., X β ) . δℑ =
Формула (2.12) остается справедливой и для более широкого класса преобразований, в которые пространственно-временные координаты X β и физические поля ϕk входят совершенно симметрично: k (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕ где по-прежнему X β (ϕs , X γ , ε) ε=0 = X β ,
Φk (ϕs , X β , ε)
ε =0
= ϕk .
Инвариантность функционала действия относительно обобщенных преобразований исследуется ниже, в разделе 5.
3. Теорема Нетер Теорема Нетер (по поводу доказательства см. [14, рp. 176–178]) устанавливает закон сохранения, соответствующий однопараметрической группе преобразований, не изменяющих величину действия (или изменяющих таковую, но на бесконечно малую величину, порядка высшего, 10
Или, делая тем самым более общее предположение, — инфинитезимально инвариантен.
17
чем ε ) любой 4-области пространственно-временного многообразия. Другими словами, инвариантность действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической группы преобразований (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) порождает некоторый (иногда весьма нетривиальный) дивергентный закон сохранения 11 . Требование инвариантности действия прежде всего выражает основные свойства пространства–времени, хотя отнюдь и не ограничивается лишь этими последними свойствами. Априори можно указать следующие преобразования пространства Минковского, относительно которых действие инвариантно, а уравнения поля ковариантны: 1. Трансляции начала координат (однородность 4-пространства– времени). 2. Вращения 4-пространства–времени, содержащие как обычные повороты в пространстве, так и преобразования Лоренца (Н.A. Lorentz) в собственном смысле этого слова (изотропия пространства и специальный принцип относительности). 3. Зеркальные отражения (инверсии) и обращение времени. 4. Произвольные точечные преобразования координат в пространстве Минковского, т.е. переход к криволинейным координатам (общий принцип относительности — отсутствие преимущественных систем отсчета). Перечисленным преобразованиям, относительно которых уравнения поля ковариантны, соответствуют фундаментальные законы сохранения, имеющие смысл сохранения импульса, момента импульса и энергии (всего десять законов сохранения). Если удается разыскать иные группы инвариантности действия и получить дополнительный закон сохранения, то его принято называть нетривиальным. 12 Исходным пунктом рассуждений является полученная выше формула для полной вариации действия. Поскольку физические полевые величины ϕ k в любом случае обеспечивают стационарность действия, то уравнения Эйлера–Лагранжа ∂L ∂L − ∂β =0 k ∂ϕ ∂(∂ βϕk ) 11
Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, следующих из вариационного принципа, излагается, например, в [15, рp. 227–261]. 12 Часто оказывается невозможным установить физический смысл нетривиальных законов сохранения. Что касается теории упругости, то уже не поддаются физической интерпретации законы сохранения, следующие из изотропии пространства и возможности преобразования масштаба координатных осей.
18
должны удовлетворяться и, следовательно, вариацию действия (2.12) можно вычислить в виде ⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ k β⎪ ⎪ L δℑ = ∫ δϕ δ X + ⎬ N βdA , v ⎨⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎩ ⎭ или, учитывая связь (2.10) между частичной и полной вариацией поля ϕk , — ⎧⎪ ∂L ⎛ ⎫ ⎪ ⎞ ∂ϕ k α⎟ β⎪ k ⎪ ⎜ L X X δℑ = ∫ δϕ δ δ − + ⎟ ⎨ ⎬ N βdA . ⎜ v ⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎜⎝ α ⎟ ⎪⎪ X ∂ ⎠ ⎪ ∂ ⎩ ⎭ Вводя четырехмерный вектор ⎫⎪ ⎞ 1 ⎧⎪⎪ ∂L ⎛⎜ k ∂ϕk β α⎟ β⎪ J = ⎨ δX ⎟⎟ + LδX ⎬ , ⎜δϕ − ⎪⎪ ε ⎪⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎜⎝ ∂X α ⎠ ⎩ ⎭ вариацию действия можно также представить в форме
δℑ =
∫v J
β
N βdA .
(3.1)
(3.2)
(3.3)
∂
Не составляет труда получить для вектора J β вместо (3.2) следующее выражение: ⎧ ⎫ ⎛ 1 ⎪⎪ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ α ⎪⎪ ⎜ β k β k ⎜ J = ⎨ δϕ + ⎜Lδα − (∂ αϕ ) ⎟ δX ⎬ . ⎪⎪ ⎜⎝ ε ⎪⎪ ∂ (∂ βϕk ) ∂ (∂ βϕk )⎠⎟⎟ ⎩⎪ ⎭⎪ Воспользуемся теперь предположением об инвариантности действия относительно однопараметрической группы преобразований (2.2) 13 (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) . Ясно, что δℑ = 0 и соответствующий закон сохранения имеет следующую четырехмерную дивергентную форму: (3.4) ∂ βJ β = 0 . Теорема Нетер в принципе не может дать более общего закона сохранения, чем (3.4), где четырехмерный вектор J β удобно представить в форме 1 −J β = {S⋅βk ⋅δϕk + P⋅αβ ⋅δX α } , ε
13
Достаточно, однако, предположить, что действие не изменяет своей величины с точностью до малых, порядка высшего чем ε .
19
обозначив через S⋅β⋅ и P⋅αβ ⋅ противоположные величины коэффициентов k при вариациях δϕk и δX α соответственно. Таким образом, поток 4-вектора J β через любую поверхность, замкнутую в пространстве–времени, равен нулю:
∫v J
β
N βdA = 0 .
∂
Из каждого такого соотношения может быть получен инвариант поля, существующего в неограниченной среде, не изменяющий своего значения с течением времени. Действительно, рассмотрим четырехмерную область в форме цилиндра, основания которого X 4 = C 1, X 4 = C 2 есть гиперплоскости, перпендикулярные оси времени. Поток 4-вектора J β через границу этой области равен нулю. Если физические поля достаточно быстро затухают на бесконечности, то, удаляя боковую поверхность цилиндра в бесконечность, находим, что
∫
∫
J β N βd 3X +
X 4 =C 1
J β N βd 3X = 0 .
X 4 =C 2
Поскольку на гиперплоскостях X 4 = C 1 , X 4 = C 2 компоненты нормали N 1 = 0 , N 2 = 0 , N 3 = 0 и соответственно N 4 = −1 , N 4 = 1 ,
∫
∫
J 4d 3X =
X 4 =C 1
J 4d 3X ,
X 4 =C 2
т.е. интеграл по неограниченному пространству
∫J d X 4
3
не зависит от времени. Ясно, что полученный только что результат обобщается на случай произвольной гиперповерхности в пространстве Минковского X 4 = X 4 (X 1, X 2, X 3 ) , края которой уходят в бесконечно удаленную точку: интеграл
∫
J β N βdA = 0 .
(3.5)
X 4 =X 4 (X 1 ,X 2 ,X 3 )
не зависит от формы указанной гиперповерхности. Компоненты вектора J β , очевидно, без проблем вычисляются по формуле (3.2), если известна однопараметрическая группа инвариантности функционала действия: 14 14
Т.е. известны функциональные зависимости X β (⋅, ⋅) , Φk (⋅, ⋅, ⋅) .
20
⎛ ∂X β (X μ , ε)⎞⎟ ∂L × J β = L ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε=0 ∂ (∂ βϕk )
где
(3.6)
⎡⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞ ⎛ ∂X α (X μ , ε)⎟⎞ ∂ϕk ⎥⎤ ⎟ ⎜ ⎢ ⎜ ⎟ × ⎢⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ − ⎜ ⎥, ∂ε ∂ε ⎠⎟ε=0 ∂X α ⎥ ⎢⎣⎝⎜ ⎠⎟ε=0 ⎜⎝ ⎦ ⎛⎛ ∂Φk ϕs (X γ ), X γ , ε ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ( )⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜ + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ∂ ∂ ⎟ ε ε ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ε =0 ⎝ expl ⎠ ε=0
⎛ k s γ γ ⎞ ⎜⎜ ∂Φ (ϕ (X ), X , ε)⎟⎟ +⎜ ⎟⎟⎟ ∂X λ ⎜⎝⎜ ⎠ X γ =X γ ,
ε=0
λ μ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ∂X (X , ε)⎟⎟ . ⎟ ⎜⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε =0
4. Основные группы инвариантности функционала действия Мы рассмотрим две основные группы инвариантности Гамильтонова действия и формулировку соответствующих законов сохранения. Изложение в формальном плане будет в основном опираться на материал, представленный в [1, 14]. Зафиксируем четыре–индекс α и рассмотрим однопараметрическую группу трансляций пространства–времени вдоль α -оси: (4.1) X β → X β = X β (X γ , ε) = X β + εδαβ . Функционал действия любой 4-области пространственно-временного многообразия, очевидно, инвариантен относительно группы трансляций пространства–времени, если плотность лагранжиана явно не зависит от координат X β , следовательно, для направления α 4-вектор J βα = T⋅αβ ⋅ , где ∂L , (4.2) T⋅αβ ⋅ = Lδαβ − (∂ αϕk ) ∂ (∂ βϕ k ) (
)
и канонический закон сохранения, соответствующий группе трансляций пространства–времени, есть: (4.3) ∂ βT⋅αβ ⋅ = 0 . Полученный канонический закон сохранения может быть найден также с помощью следующего рассуждения. Если лагранжиан явно не зависит от пространственно-временных координат X β , то, вычисляя полную производную, находим 21
∂L ∂L ∂ϕ j ∂L ∂ ∂ϕ s = + ∂X β ∂ϕ j ∂X β ∂ (∂ γϕs ) ∂X β ∂X γ и, заменяя в этом уравнении производную лагранжиана по физической полевой величине согласно уравнениям Эйлера–Лагранжа ∂L ∂ ∂L , = j γ ∂ϕ ∂X ∂ (∂ γϕ j ) приходим к уравнению
∂L ∂ ⎛⎜⎛⎜ ∂ϕ j ⎞⎟ ∂L ⎞⎟⎟ ⎜⎜ = ⎟ ⎟, ∂X β ∂X γ ⎜⎝⎜⎝⎜ ∂X β ⎠⎟ ∂ (∂ γϕ j )⎠⎟⎟
откуда немедленно получаем ∂ ⎛⎜ γ ∂L ⎞⎟⎟ j ⎜ L δ − ( ∂ ϕ ) ⎟ = 0. β β ∂X γ ⎜⎜⎝ ∂ (∂ γϕ j )⎠⎟⎟ Заметим, что тензор T⋅αβ ⋅ не симметричен, однако само его выражение (4.2), обеспечивающее выполнение закона сохранения (4.3), не уникально: трансформируя тензор T⋅αβ ⋅ по формуле T⋅αβ ⋅ + ∂ γT⋅⋅′αγβ ⋅ , где тензор T⋅⋅′αγβ ⋅ антисимметричен при перестановке контравариантных индексов T⋅⋅′αγβ ⋅ = −T⋅⋅′αβγ ⋅ , также получаем закон сохранения ∂ β (T⋅αβ ⋅ + ∂ γT⋅⋅′αγβ ⋅ ) = 0 . Указанную трансформацию тензора T⋅αβ ⋅ можно использовать для построения симметричного тензора, для которого будет справедлив закон сохранения вида (4.3). Если плотность лагранжиана зависит явно от пространственновременных координат X β , то свойство инвариантности потока 4-вектора J βα нарушается: ⎛ ∂L ⎞⎟ . (4.4) ∂ βT⋅αβ ⋅ = ⎜⎜ ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl (
)
Для доказательства достаточно заметить, что, с одной стороны, δℑ = ε ∫ ∂ βJ βα d 4X , (
)
(4.5)
а с другой — непосредственное вычисление вариации действия приводит к ⎛ ∂L ⎞⎟ (4.6) δℑ = ε ∫ ⎜⎜ d 4X , α⎟ ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl Сравнивая (4.5) и (4.6), приходим к (4.4). 22
Компоненты канонического 4-тензора T⋅αβ ⋅ имеют размерность плотности энергии. 15 Тензор T⋅αβ ⋅ часто называют тензором энергии–импульса (см., например, [1, с. 105–109, 345–349]), поскольку канонические уравнения механики сплошных сред (1.23) и (1.22), выражающие баланс энергии ( α = 4) и импульса, являются непосредственным следствием канонического закона сохранения (4.4): ⎛ ∂H ⎞⎟ ⎛ ∂L ⎞⎟ ⎜ ⎜ (4.7) ⋅ = − − ∇ Γ ⎟ R ⎜⎝ ∂t ⎠⎟ ⎜ ∂t ⎠⎟⎟ , ⎝ X expl ⎛ ∂P ⎞⎟ inh ⎜ (4.8) ⎜⎝ ∂t ⎠⎟⎟ − ∇R ⋅ P = f , X где Γ = S ⋅ v , P = − (LI + S ⋅ F) . Действительно, чтобы, например, вывести уравнение (4.8), заметим сначала, что три первых уравнения (4.4) можно представить как ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂ 4T⋅α4⋅ − ∂ β P⋅αβ ⋅ = ⎜⎜ (α, β = 1,2, 3) , ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl где P⋅αβ ⋅ = −T⋅αβ ⋅ (α, β = 1,2, 3) — тензор напряжений Эшелби, определенный согласно (1.25). Затем преобразуем последнее уравнение к виду
−ρR ∂t (vk ∂ αx k ) − ∂ β P⋅αβ⋅ = fαinh
(α, β = 1,2, 3) ,
обозначая при этом v k = ∂ 4ϕk , и на основании определения (1.30) ⎛ ∂L ⎞⎟ fαinh = ⎜⎜ (α = 1,2, 3) . ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl
Принимая во внимание далее, что (см. уравнение (1.24)) −Pα = ρRvk ∂ αϕk , (4.9) приходим к каноническому уравнению баланса импульса ∂t Pα − ∂ β P⋅αβ ⋅ = fαinh (α, β = 1,2, 3) . Уравнение (4.9) ясно указывает на то, что канонический импульс — 1ковариантный отсчетный вектор. Это уравнение можно также представить в виде Pα = ρRvα , где vα = −vk ∂ αϕk 15
Обратим внимание читателя на тот факт, что, согласно каноническому определению тензора энергии–импульса, его естественное координатное представление — 1контравариантное и 1-ковариантное.
23
есть вектор материальной скорости, который в силу определения представляет собой 1-ковариантный отсчетный вектор. Не следует при этом путать компоненты v k и vα , представляющие различные векторы. Опираясь на результаты, изложенные в разделе 3, заключаем, что 1ковариантный отсчетный вектор
∫
Pβ = −
T⋅βγ ⋅N γdA
X 4 = X 4 (X 1 , X 2 , X 3 )
не зависит от координаты X 4 . Этот вектор обычно называют полным 4импульсом поля (или волновым импульсом поля). Определяя ”естественную” плотность функции Гамильтона как ∂L (4.10) −L, H = (∂ 4ϕ j ) ∂ (∂ 4ϕ j ) для компоненты P4 полного 4-импульса поля находим
P4 = 4
∫
Hd 3X ,
(4.11)
X = const
т.е. эта компонента представляет собой полную энергию поля и, поскольку значение интеграла не зависит от положения гиперповерхности X 4 = const , полная энергия поля сохраняется. Здесь d 3X есть ”естественный” элемент объема трехмерного пространства. На основании (4.10) можно заключить, что T⋅44⋅ = −H . Рассмотрим далее группу бесконечно малых вращений пространственно-временного многообразия X β . Функционал действия должен быть инвариантен относительно этой группы преобразований. Поворот прямоугольной системы координат в 4-пространстве Минковского порождает некоторый псевдоортогональный оператор Λ , представляемый псевдоортогональной матрицей. Признак псевдоортогональности оператора выражается соотношением: ΛT ⋅ E ⋅ Λ = E , или Λναg αλ Λμλ = g νμ . Псевдоединичный оператор E в прямоугольной системе координат пространства Минковского имеет компоненты (по α не суммировать) E αβ = εαδαβ . Итак, конечный поворот пространственно-временного многообразия может быть задан псевдоортогональным тензором второго ранга: X γ → X γ = Λ γ ⋅X ν . ⋅ν
Повороты 4-пространства Минковского образуют группу по умножению, зависящую от шести независимых вещественных параметров. 24
Бесконечно малое вращение пространства Минковского можно задать преобразованиями 4
X β = X β + ∑ ω⋅βα⋅X α ,
(4.12)
α =1
где ω⋅βα⋅ = g αγ ω βγ ,
ω αβ = −ω βα
есть антисимметричный 4-тензор, компоненты которого выступают как параметры группы. Двенадцать величин ω αβ (α ≠ β ) связаны соотношениями ω αβ = −ω βα , следовательно, среди них имеется лишь шесть независимых. Ясно, что вариации пространственно-временных координат вычисляются как 4
δX = ∑ ω⋅βα⋅X α , β
α =1
или
δX β = ∑ ω γα (g αλ X λδγβ − g γμX μδαβ ) . γ