Моделирование мезомасштабных гидротермодинамических процессов и переноса антропогенных примесей в атмосфере и гидросфере региона оз. Байкал

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

В. К. Аргучинцев, А. В. Аргучинцева МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕЗОМАСШТАБНЫХ ГИДРОТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПЕРЕНОСА АНТРОПОГЕННЫХ ПРИМЕСЕЙ В АТМОСФЕРЕ И ГИДРОСФЕРЕ РЕГИОНА ОЗ. БАЙКАЛ

УДК 521.551 ББК 26.23 А79 Печатается по решению редакционно-издательского совета Иркутского государственного университета Рецензенты: старший науч. сотрудник Института солнечно-земной физики СО РАН, д-р физ.-мат. наук П. Г. Ковадло; ведущий геолог Федерального унитарного геологического предприятия « УРАНГЕОЛОГОРАЗВЕДКА» БФ «Сосновгеология», д-р геол.-минерал. наук В. П. Рогова

А79

Аргучинцев В. К. Моделирование мезомасштабных гидротермодинамических процессов и переноса антропогенных примесей в атмосфере и гидросфере региона оз. Байкал / В. К. Аргучинцев, А. В. Аргучинцева. – Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007. – 255 с. ISBN 978-5-9624-0225-3 Монография посвящена описанию математических моделей, разработанных авторами, для решения задач охраны атмосферы, гидросферы и подстилающей поверхности. В качестве гидродинамической основы используются трехмерные нестационарные модели мезомасштабных процессов в атмосфере и стратифицированных водоемах. В уравнениях переноса примесей учитываются химические реакции. Книга рассчитана на специалистов в области гидрометеорологии и охраны окружающей среды, а также на аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Работа выполнена при поддержке программ «Фундаментальные исследования и высшее образование» (проект НОЦ-017 «Байкал») и «Развитие научного потенциала высшей школы (2006–2008 гг.)» (проект РНП.2.2.1.1.7334). This monograph deals with the description of mathematical models developed by the authors for the solution of problems on protection of atmosphere, hydrosphere, and underlying surface. Three-dimensional non-stationary models of mesoscale processes occurring in atmosphere and stratified water bodies are used as a hydrodynamic basis. Chemical reactions are taken into consideration in equations of impurity transport. This book is for specialists studying hydrometeorology and environmental protection, as well as for postgraduates and students of related specialties. This work was supported in part by the programmes «Basic Research and Higher Education» (Project REC-017 «Baikal») and «Development of Scientific Potential in Higher Schools (2006-2008)» (Project 2.2.1.1.7334).

Табл. 13. Ил. 83. Библиогр. 368 назв. ISBN 978-5-9624-0225-3

2

© Аргучинцев В. К., Аргучинцева А. В., 2007 © ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет», 2007

УДК 521.551 ББК 26.23

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. ТЕНДЕНЦИИ И УРОВЕНЬ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНКИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Эмпирико-статистический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Стандартные методики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Гауссова модель факела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Модели, основанные на аналитических и численных решениях уравнений переноса и турбулентной диффузии примесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Динамико-стохастический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 13 14

15 18

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АНТРОПОГЕННЫХ ПРИМЕСЕЙ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Постановка задачи и метод расчета частот концентраций примесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Модельные варианты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Метод оценки накопления на подстилающей поверхности тяжелой примеси от приподнятых источников . . . . . . . . . . . 35 2.4. Верификация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. Моделирование пыления золоотвалов ТЭЦ . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Реализация моделей для промышленных источников г. Иркутска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7. Реализация моделей для промышленных источников г. Тулуна (Иркутская область) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Численный метод решения. Сравнение численных и аналитических решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Реализация моделей для промышленных предприятий Южного Прибайкалья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Реализация моделей для Байкальского целлюлознобумажного комбината (БЦБК) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Реализация моделей для промышленных предприятий пос. Каменска и г. Селенгинска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Реализация моделей для Гусиноозерской ГРЭС (Бурятия)

68 68 79 85 89 93 100 3

4. МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.1. Квазистатическая трехмерная модель региональных атмосферных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2. Бароклинная модель штормовых катабатических ветров 124 4.3. Численное моделирование гидрологических характеристик и процессов распространения примесей в реках . . . . . . . . . 133 4.4. Моделирование местных ветров на Байкале . . . . . . . . . . . . . 146 5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ТРАНСФОРМАЦИИ АЭРОЗОЛЕЙ И ГАЗОВЫХ ПРИМЕСЕЙ НА ОСНОВЕ РЕГИОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3. Применение моделей для региона оз. Байкал . . . . . . . . . . . . . 179 5.3.1. Верификация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.3.2. Численное моделирование распространения и трансформации аэрозолей и газовых примесей в пограничном слое Южного Байкала. . . . . . . . . . . . . . . 183 6. НЕГИДРОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕЗОМАСШТАБНЫХ ПРОЦЕССОВ В АТМОСФЕРЕ И СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ВОДОЕМАХ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2. Метод решения и модельные расчеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.3. Численное моделирование мезометеорологических процессов и переноса примесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.3.1. Реализация моделей для Байкальского целлюлознобумажного комбината . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.3.2. Применение моделей для оценки последствий аварийных ситуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.4. Численное моделирование гидротермодинамических процессов и переноса примесей в оз. Байкал . . . . . . . . . . . . . 226 ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4

ВВЕДЕНИЕ Одной из актуальных проблем современности является охрана окружающей среды от отрицательного антропогенного воздействия. От правильного и своевременного решения этой проблемы зависят здоровье, репродуцирующие функции и благосостояние людей. Самый ощутимый вклад в загрязнение окружающей среды из-за технологических специфик, неэффективных, устаревших или вообще отсутствующих очистных сооружений вносят предприятия энергетические, химические, цветной металлургии. Из-за климатических особенностей Сибири, где продолжителен отопительный сезон, доминируют котельные с очень низкими трубами, используется низкокачественное топливо, в окружающую среду поступает большое количество отходов. Наиболее распространенными выбросами в атмосферу являются оксиды серы и азота, пыль, моноксид углерода, а также зола и шлаки, поступающие в золоотвалы. Для выявления последствий антропогенной деятельности постановка натурных экспериментов может оказаться слишком дорогостоящей. Поэтому при оценке возможных последствий такой деятельности весьма эффективным является математическое моделирование процессов распространения примесей с последующим анализом поведения этих примесей в зависимости от вариации детерминированных и случайных параметров и разработкой практических подходов к решению тех или иных вопросов охраны от загрязнения атмосферы, гидросферы, почв, растительности. К таким практическим подходам можно отнести, например, проблемы реконструкции, оптимального размещения и режима работы промышленных предприятий с целью минимизации нагрузки на экологически значимые районы; выявление наиболее потенциальных зон повышенных загрязнений для принятия рациональных решений. Распространение примесей зависит от гидрометеорологических условий, орографических неоднородностей местности, трансформации веществ за счет химических и фотохимических превращений, взаимодействия с подстилающей поверхностью. При математическом моделировании переноса примесей возникает проблема восстановления гидрометеорологических полей в связи с отсутствием регулярных наблюдений, особенно над горными районами и водоемами, в реках, озерах и водохранилищах. 5

Поэтому создание пространственных нестационарных моделей мезомасштабных процессов в атмосфере и гидросфере представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое практическое значение для разработки методов локального прогноза погоды и загрязнения атмосферы и гидросферы; оценки искусственного воздействия на отдельные явления; изучения мезо- и микроклимата; инженерной защиты территорий, зданий и сооружений; анализа причин и прогноза последствий чрезвычайных ситуаций, угрожающих экологической безопасности. Мезомасштабные процессы в пограничных слоях могут создавать опасные явления для авиации (при взлёте и посадке самолётов), морского транспорта и сельского хозяйства. Проблемы математического моделирования гидротермодинамических процессов в атмосфере и гидросфере обобщены в монографиях и обзорах (Численные методы …, 1983; Белов, Борисенков, Панин, 1989; Белолипецкий, Костюк, Шокин, 1991; Белоцерковский, 2003; Болгов, 2005; Вагер, Надежина, 1979; Васильев, 1999; Вода России, 2001; Володин, Лыкосов, 1998; Гаврилов, 1988; Гилл, 1986; Голицын, 1980; Гутман, 1969; Дебольский, 1999; Динамика …, 2004; Доронин, 1981; Дымников, 1984; Дымников, Филатов, 1990, 1995; Калацкий, 1978; Каменкович, 1973; Кароль, 1988; Кибель, 1957, 1970; Коваленко, 1993; Кожевников, 1999; Kочергин, Тимченко, 1987; Кузин, 1985; Лыкосов, 1993; Марчук, 1967, 1974, 1982, 1988, 1992; Математическое моделирование …, 1984; Марчук, Дымников, Залесный, 1987; Марчук, Саркисян, 1988; Матвеев, 1981, 1991; Моделирование …, 1984, 1985, 1987, 2001; Монин, 1982, 1988; Монин, Озмидов, 1981; Монин, Яглом, 1992; Обухов, 1988; Педлоски, 1984; Пененко, 1981; Пененко, Алоян, 1985; Самолюбов, 1999; Саркисян, 1991; Сеидов, 1989; Современные проблемы …, 2005 и др.; Судольский, 1991; Тихомиров, 1982; Федоров, 1991; Федоров, Гинзбург, 1988; Фельзенбаум, 1970; Хендерсон–Селлерс, 1987; Христофоров, 1994; Eliassen, 1980; Interactions…, 1987; Physick, 1998; Pielke, 1984 и др.). Характерными свойствами рассматриваемых сред являются многокомпонентность, нелинейность, анизотропность, существенные изменения физико-химических характеристик в пространстве и во времени. В связи с этим моделирование гидрометеорологических процессов и распространения примесей относится к группе 6

задач, для решения которых необходима разработка эффективных вычислительных алгоритмов. К настоящему времени построены трехмерные нестационарные негидростатические модели для изучения мезометеорологических процессов (Аргучинцев, 1999; Мезомасштабный численный ..., 1982; Вельтищев, Зарипов, 2000; Гаврилов, 1988; Гранберг, 1997; Дацюк, 2000; Моделирование …, 1985; Пекелис, 1994; Пененко, Алоян, 1985; Прессман, 1984; Фонлей, 1996; Экологический …, 1992; Юдин, Вильдероттер, 1999; Carpenter, 1979; Chen, Liao, 1994; Clark, 1977,1979; Clark, Gall, 1982; Cotton,Tripoli, 1978; The Colorado ..., 1982; Golding, 1984; Golding, Machin, 1984; Ikawa, 1988; Peltier, Clark, 1983; Skamarock, Weisman, Klemp, 1994; Tapp, White, 1976; Tripoli, Cotton, 1980, 1982, 1986 и др.). Созданы нестационарные трехмерные модели стратифицированных озер (Аргучинцев, Аргучинцева, 2004, 2007; Астраханцев, Руховец, 1986; Гурина, Демин, Филатов, 1984; Квон, 1979; Марчук, Кочергин, Цветова, 1978; Математические модели …, 1980; Моделирование …, 1986; Пененко, Цветова, 1998; Цветова, 1974, 1977; Brugge, Jones, Marshall, 1991; Walker, 1994; Walker, Watts, 1995 и др.). Основные модели рек – баротропные, построенные с использованием теории мелкой воды и усреднением по пространственным переменным (Численное моделирование …, 1994; Белолипецкий, Шокин, 1997; Бреховских, Былиняк, Перекальский, 2000; Васильев, Темноева, Шугрин, 1965; Численный расчет …, 1970; Стратифицированные течения, 1975; Гришанин, 1979, 1990; Грушевский, 1982; Математические модели ..., 1981; Картвелишвили, 1973; Корень, 1991; Кучмент, 1980; Милитеев, Базаров, 1999; Назаров, Демидов, 2001; Рогунович, 1989; Хубларян, 1991; Yih, 1980 и др.). Оценка и контроль загрязнения атмосферы, гидросферы и подстилающей поверхности в настоящее время основываются как на результатах теоретического, так и экспериментального изучения распространения загрязняющих веществ от их источников. Основные работы по моделированию загрязнения обобщены в монографиях и обзорах (Алоян, Пененко, Козодеров, 2005; Аргучинцева, 1987а; Белолипецкий, Шокин, 1997; Берлянд, 1975, 1985; Бородулин, Майстренко, Чалдин, 1992; Бызова, 1974; Бызова, Гаргер, Иванов, 1991; Вельтищева, 1975а; Вода России …, 2001; Галкин, 7

1975; Дружинин, Шишкин, 1989; Израэль, 1984; Кароль, Розанов, Тимофеев, 1983; Кислотные …, 1989; Марчук, 1982; Марчук, Алоян, 1989, 1993, 1995, 2003; Марчук, Кондратьев, 1992; Математические …, 1981; Метеорология …, 1971; Монин, Яглом, 1992; Мониторинг …, 1987; Ньистадт, Ван Доп, 1985; Озмидов, 1986; Пененко, Алоян, 1985; Природно-антропогенные процессы, 2004; Природные ресурсы, 2004; Современные проблемы …, 2005; Сонькин, 1991; Barat, 1994; Dhar, Sinha, 1992; Eliassen, 1980; Hanna, 1982; Interactions …, 1987; Nieuwstadt, Van Dop, 1981; Physick, 1998 и др.). В монографии для изучения атмосферных процессов регионального масштаба рассматриваются гидростатические трехмерные модели в условиях термической и орографической неоднородностей местности. На основе теории мелкой воды предложена гидродинамическая модель водотока для произвольного рельефа дна русла с параметризацией влияния трения о дно и учетом турбулентного обмена по горизонтали. Для описания мезомасштабных процессов предложены негидростатические трехмерные модели, основанные на наиболее полных уравнениях геофизической гидродинамики (негидростатичность, учет сжимаемости и всех составляющих силы Кориолиса). Одна из основных трудностей решения уравнений гидротермодинамики в общем виде состоит в том, что они описывают все типы волновых движений, включая и акустические, скорость распространения которых значительно больше, чем скорость изучаемых процессов. Применяемые методы отфильтровывания звуковых волн могут приводить к нежелательным искажениям основных типов движений. Поэтому проблема построения эффективных методов решения является актуальной. Сложность решения рассматриваемой системы уравнений обусловлена наличием физических процессов с различными характерными временными масштабами. Поэтому численный алгоритм решения задачи строится на основе метода расщепления по физическим процессам и геометрическим переменным. Решение задачи на каждом временном шаге осуществляется в три основных этапа: 1) перенос субстанций вдоль траекторий и турбулентный обмен; 2) процесс согласования гидрометеорологических полей; 3) расчет притоков тепла. Такой подход позволяет в принципе задавать разные шаги по времени на 8

каждом этапе. Несмотря на более общий вид уравнения неразрывности для сжимаемой среды, эволюционный тип всех уравнений позволил отказаться от применения итерационных методов для отыскания термодинамических величин. Найденные на основе гидротермодинамической модели скорости движения и турбулентные характеристики используются для расчета переноса аэро-гидрозоля с учетом химических реакций. Надо отметить, что в теоретических исследованиях и практических расчетах определяют в основном абсолютные значения концентраций ингредиентов при выбранных каким-то образом метеорологических ситуациях. Однако при решении ряда народнохозяйственных задач представляет интерес не только информация о мгновенных величинах концентраций, но и оценка экологического благополучия района в целом за рассматриваемый интервал времени. Так, например, заслуживают внимания сведения о том, как долго живые организмы, в том числе и человек, пребывают в зонах с повышенными концентрациями определенных субстанций. Все реальные экосистемы находятся под воздействием внешней среды, состояние которой может меняться случайным образом, т. е. ряд параметров, обусловливающих это состояние, имеет случайные составляющие. Поэтому в книге большое внимание уделяется разработке концепции стохастических моделей, которые, кроме общепринятых мгновенных и осредненных характеристик, дают вероятностную оценку наступления интересуемого события. В монографии также предложен новый подход к моделированию переноса и осаждения примесей, выбрасываемых различными промышленными источниками, включая золоотвалы ТЭЦ, с использованием идеи о связи стохастического и динамического описаний физических процессов. Основой описания случайных процессов послужило прямое (второе) уравнение Колмогорова (уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова), в котором в качестве фазовой координаты выбрана концентрация примеси. Возможности предложенных моделей иллюстрируются расчетами распределения антропогенных примесей в регионе оз. Байкал.

9

1. ТЕНДЕНЦИИ И УРОВЕНЬ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНКИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Работы в области моделирования распределения и распространения загрязняющих веществ условно можно разбить на несколько направлений. 1.1. Эмпирико-статистический подход Существует очень большое разнообразие статистических подходов, базирующихся на обработке данных наблюдений за загрязнением окружающей среды. В одних работах в качестве характеристик экологического состояния объекта могут выступать средние или максимальные концентрации; индексы загрязнения (отношение среднего значения концентрации ингредиента к установленной для него предельно допустимой концентрации); обобщенный показатель (повторяемость существенно повышенных концентраций по отношению к общему числу проведенных измерений). Такой обобщенный показатель легко рассчитывается как по отдельным ингредиентам, так и по их совокупности (Сонькин, Денисова, 1969; Сонькин, 1971; Берлянд, 1975). В других работах (Вавилова, Генихович, Сонькин, 1969; Елекоева, 1982 и др.) для прогноза повышенного уровня загрязнения разработан метод разложения по естественным ортогональным функциям изменяющихся во времени полей концентраций ингредиентов. Ценность метода в том, что он дает основную информацию о состоянии поля концентраций примеси в нескольких первых членах разложения, причем коэффициент при первом члене разложения по своему физическому смыслу и величине близок к обобщенному показателю (Елекоева, Чувашина, 1979). Коэффициенты при следующих чле10

нах разложения детализируют структуру поведения изучаемых концентраций ингредиентов. Указанные статистические характеристики (обобщенный показатель, коэффициенты при ортогональных функциях) дают информацию об одновременных вариациях концентраций примесей на всей рассматриваемой территории, позволяют выявить основные источники выбросов, дать прогноз концентраций для неблагоприятных метеорологических условий. Усредненные по времени и пространству концентрации позволяют уловить тенденцию изменчивости уровня концентраций, связанную с сезонным ходом метеорологических параметров. Однако необходимым условием, обеспечивающим возможность расчета указанных статистических параметров для заданной местности, является наличие многолетних регулярных репрезентативных наблюдений, а также достаточно густая сеть пунктов слежения. Ряд авторов пытается приближенно связать измеренные концентрации ингредиентов с метеорологическими факторами. Так, в некоторых работах (Сонькин, 1991; Syrakov, Yordanov, Kolarova, 1993; Shuhuan, Zhiying, 1994) определяют степень близости конкретной синоптической ситуации к характерным группам концентраций загрязняющих веществ, используя схему распознавания образов. Установленная минимальная невязка между ожидаемой синоптической ситуацией и одной из групп концентраций является основой для прогноза этой группы. По известным профилям ветра и различным полиномиальным формам распределения (зависящим от условий устойчивости атмосферы) приземных концентраций построена на основе уравнения неразрывности массы простая модель загрязнения атмосферы города (Venegas, Mazzeo, 1991). Приближенно связать максимальные концентрации примесей с вектором скорости ветра позволяют графические методы (Zambakas, Angouridakis, Kotinis, 1982), когда на круговой диаграмме строят изоплеты повторяемости скорости ветра в полярных координатах. Одновременно строится в тех же координатах диаграмма концентраций примесей, наблюдаемых в атмосфере данной местности. Сопоставление этих двух диаграмм позволяет быстро получить информацию о том, при каких направлениях и скоростях ветра отмечаются максимальные концентрации. Подобный метод для анализа совместного действия распределения скорости и направ11

ления ветра на содержание в атмосфере двуокиси серы был ранее использован и другими авторами ( Sepp&a&l&a& , 1977; Bower, Sullivan, 1981). Значительное развитие получили работы по прогнозу потенциала загрязнения воздуха (Берлянд, 1975; Безуглая, 1980; Fitch, Brazel, 1994 и др.). В основу этих работ заложен учет статистической повторяемости условий (например, антициклональный тип погоды с застоями воздуха, слабыми ветрами, температурными инверсиями и т. д.), опасных с точки зрения формирования высоких уровней концентраций. В некоторых работах Л. Т. Матвеева, Ю. Л. Матвеева (1994) на основе измерений концентраций загрязняющих ингредиентов строятся их эмпирические функции распределения, которые в дальнейшем используются для оценки вероятности превышения предельно допустимых концентраций (ПДК). На основе обработки, анализа и обобщения результатов наблюдений сети станций фонового мониторинга разработаны статистические модели, позволяющие описать исходную информацию о загрязнении приземного слоя воздуха (Зеленюк, Черханов, 1986). Надо отметить, что эксперимент, как бы тщательно он ни был подготовлен и проведен, не может обеспечить прогноз загрязнения среды в зависимости от изменения параметров источников, введения в строй новых промышленных объектов или очистных сооружений, реорганизации предприятий и пр. К тому же экспериментальные данные определяют уровень загрязнения, сформированный под действием как природных, так и антропогенных источников, что существенно осложняет не только интерпретацию результатов измерений концентраций загрязняющих веществ с целью выделения источника загрязнения, но и разработку методов и средств контроля качества атмосферного воздуха (Ровинский, Егоров, 1986).

12

1.2. Стандартные методики Стандартные методики утверждены ГОСТом и рекомендованы всем промышленным предприятиям как нормативный документ для составления «Томов предельно допустимых выбросов». Действующие в нашей стране методики (Указания …, 1975; Методика …, 1987; Унифицированная …, 1990) и их последующие модификации позволяют на основе эмпирических и полуэмпирических формул выявлять степень опасности загрязнения приземного слоя атмосферы выбросами вредных веществ по наибольшей рассчитанной величине приземной концентрации, которая может устанавливаться на некотором расстоянии от места выброса при неблагоприятных метеорологических условиях (например, штиль, опасная скорость ветра и пр.). Согласно этим методикам величины приземных концентраций ингредиентов по оси факела оцениваются при тех же (неблагоприятных) метеорологических условиях с учетом эмпирического поправочного коэффициента, зависящего от величины отношения расстояния, на котором ищется концентрация, к расстоянию, на котором достигается максимальная концентрация. Аналогично определяются значения концентраций вредных веществ и при других значениях скоростей ветра (например, при модальной скорости). Величины приземных концентраций по перпендикуляру от оси факела определяются при заданной скорости ветра с учетом концентраций, рассчитанных на оси, и эмпирического поправочного коэффициента, зависящего от величины отношения расстояния от рассматриваемой точки по перпендикуляру до оси факела к расстоянию до источника по оси факела. Предлагаемые эмпирические формулы отличаются между собой учетом конфигурации устья трубы, температурного режима выходящей смеси (холодные и горячие выбросы), расчетом расстояния, на котором достигается максимальная концентрация и пр. Попытки учета влияния рельефа местности, температурной стратификации, скорости осаждения частиц примеси сводятся к введению безразмерных коэффициентов, искусственно увеличивающих или уменьшающих рассчитанные концентрации. Так, например, для точечных источников, выбрасывающих частицы пыли, расчет гравитационной скорости осаждения в зависимости от размера частиц подменяется умножением значений концентрации на коэффициенты 2; 2,5; 3 в зависимости от степени очистки выбрасываемой пы13

ли соответственно на 90 % и более, 75–90 % или менее 75 %. Один и тот же коэффициент температурной стратификации берется для слишком обширных территорий (его значение равно 200 для Сибири, Нижнего Поволжья, Дальнего Востока, Кавказа, и территории Средней Азии, расположенной севернее 400 с. ш.). Кроме того, дефект симметричного расчета по секторам круга завуалирован для группы действующих источников их различной мощностью. Поэтому можно сделать вывод, что гостированные методики, вопервых, не учитывают климатические особенности местности и, во-вторых, могут давать лишь качественную картину загрязнения при ситуациях, близких штилевым. Однако хорошо известен тот факт, что ветры различных направлений в зависимости от расположения предприятий могут существенно увеличить загрязнение в расчетной точке. Причем эта ситуация будет повторяться с вероятностью реализации ветров данного направления (Аргучинцев, Аргучинцева, Галкин, 1992; Аргучинцева, 1994а,б). 1.3. Гауссова модель факела В большинстве предлагаемых моделей (Romanof, Sohmidt, 1979 (1981); Green, Singhal, Venkateswar, 1980; Cagnetti, Ferrara, 1982; An application, 1983; Decu, Lascu, Esanu, 1983; Ньистадт, Ван Доп, 1985; Overcamp, 1990) используется предположение, что распределение примеси является гауссовым. Это предположение основано на том факте, что поток примеси (или поток количества примеси), проходящий в единицу времени через вертикальное сечение факела, нормальное к среднему направлению ветра, есть величина постоянная, равная интенсивности источника (соответственно в объемных или массовых единицах). С удалением от источника выброса происходит постепенное размывание факела, что приводит к увеличению площади поперечного сечения, а, следовательно, к уменьшению концентрации примеси по оси факела. Высказанное положение является основным свойством распределения Гаусса: площадь под колоколообразной кривой является постоянной на любом расстоянии от источника, а потому с увеличением ширины факела (среднего квадратического отклонения) среднее значение по оси факела уменьшается. В общем случае, когда ось абсцисс направлена вдоль среднего ветра, можно считать, что слу14

чайные возмущения, обусловленные атмосферной турбулентностью, рассеивают примесь по бинормальному закону относительно центральной оси факела (т. е. по нормальному закону как в горизонтальной, так и вертикальной плоскостях). Математическое описание таких кривых позволяет моделировать дисперсию возмущений факела (Оке, 1982). Так, П. Зиб (Zib, 1980) средний уровень концентраций в городах считает по простой дисперсионной модели Гаусса. По усовершенствованной гауссовой модели Р. Дрэкслер (Draxler, 1980) оценивает концентрацию, осредненную за длительный период времени. Д. Сепеши (1971), используя гауссовское распределение факела, для определения средних концентраций сводит источники в одну точку, при этом концентрацию он рассматривает как сумму концентраций от отдельных труб. Считая, что внутри каждого румба для интересующего интервала времени направление ветра распределено равномерно, он выделяет румбы с максимальной повторяемостью больших концентраций. Различные модификации гауссовой модели факела дают возможность приближенно учитывать неровности рельефа местности (Borrego, Coutinho, Costa, 1990; Hesek, 1991; Zuba, 1991), химические реакции первого порядка (Overkamp, 1990; Klett, 1995). 1.4. Модели, основанные на аналитических и численных решениях уравнений переноса и турбулентной диффузии примесей В области теоретических исследований турбулентной диффузии много результатов получено на основе уравнений диффузии классической К-теории (Ньистадт, Ван Доп, 1985). Эти уравнения могут быть записаны для однородных ∂s ∂ui s ∂2s + + αs = F + kij ∂t ∂xi ∂xi ∂x j

(1.4.1)

или анизотропных сред

∂ ∂s ∂s ∂ui s kij + αs = F + + . ∂xi ∂x j ∂t ∂xi

(1.4.2)

15

Для описания распространения примесей в неоднородных средах справедливо прямое (второе) уравнение Колмогорова (Галкин, 1980 а,б):

∂ 2 kij s ∂s ∂ui s + αs = F + , + ∂xi ∂x j ∂t ∂xi

(1.4.3)

или, преобразуя последнее слагаемое в правой части (1.4.3), имеем

∂ ∂kij ∂s ∂ui s ∂ ∂s kij s . + + αs = F + + ∂t ∂xi ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j

(1.4.4)

В уравнениях (1.4.1)–(1.4.4) i, j = 1,3 – номер координаты; t – время; ui – компонента скорости среды по соответствующей координате xi ; s – концентрация загрязняющей субстанции; α – коэффициент неконсервативности примеси; F = F (t , x i ) – функция, описывающая источники рассматриваемой субстанции; k ij – тензор коэффициентов турбулентной диффузии. Уравнения (1.4.1)–(1.4.4) записаны в тензорном виде, а потому по дважды повторяющимся индексам в одночленном выражении производится суммирование в пределах их изменения. Сравнивая (1.4.2) и (1.4.4), видим, что уравнение (1.4.2) является частным случаем (1.4.3), или, что то же (1.4.4), последнее слагаемое которого содержит в себе информацию о неоднородности среды. Предлагаются различные способы замыкания уравнений (1.4.1)–(1.4.3). Важнейшими элементами математических моделей, базирующихся на описании процессов турбулентного обмена с помощью К-теории, являются параметризации коэффициентов турбулентной диффузии (Волощук, Куприянчук, Лев, 1992). Эти параметризации, с одной стороны, должны удовлетворительно описывать характерные зависимости коэффициентов диффузии от определяющих параметров всех процессов, формирующих турбулентную структуру течения, и, с другой, – иметь вид, удобный для практического использования. В настоящее время аналитические решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии получены в основном при условиях или постоянства, или степенной зависимости скорости и коэффициентов диффузии от высоты приземного слоя атмосферы (Roberts, 1923; Гандин, Соловейчик, 16

1958; Берлянд, 1975; Nieuwstadt, 1980; Hesek, 1981(1982), 1991; Tirabassi, Tagliazucca, Lupini, 1981; Koch, 1989; Гаврилов, Горматюк, 1989; Монин, Яглом, 1992; Волощук, 1992; и др.). В работе (Волощук, 1991) получено аналитическое решение полуэмпирического уравнения вертикальной турбулентной диффузии с использованием оригинальной параметризации для коэффициента вертикальной турбулентной диффузии в виде квазипарабалического функционала от вертикального профиля горизонтального ветра. Аналитические решения в виде разложений по полиномам Гегенбауэра (от продольной переменной) и Эрмита (от поперечной переменной) в стационарном и однородном в горизонтальных направлениях пограничном слое атмосферы получены В. Н. Волощуком (1993). Недостатки гауссовых моделей, преимущества и ограничения К-моделей подробно рассмотрены в ряде работ (Melli, Runca, 1979; Lupini, Malguzzi, 1981; Nieuwstadt, Van Dop, 1981; Ньистадт, Ван Доп, 1985; Монин, Яглом, 1992; Vilibic, 1994). Использование аналитических решений значительно упрощает решение задачи о распространении примесей и часто приводит к довольно интересным и важным результатам. Однако сами аналитические решения можно получить при существенных упрощениях изучаемых процессов. Поэтому наряду с достоинствами аналитические решения обладают и недостатками. Так, в случаях больших уклонов рельефа и термической неоднородности подстилающей поверхности, детально описать распространение примесей от действующей системы источников возможно только с помощью численных методов. Ряд авторов полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии решают численно, замыкая задачу на эмпирические данные с заданными горизонтальными составляющими вектора скорости ветра и коэффициентами турбулентного обмена по вертикали и горизонтали. Наиболее полный подход к моделированию концентраций достигается, естественно, при решении системы трехмерных уравнений турбулентного пограничного слоя атмосферы совместно с уравнением баланса атмосферных примесей в монографиях (Белолипецкий, Шокин, 1997; Марчук, 1982; Марчук, Кондратьев, 1992; Моделирование…, 2001; Пененко, Алоян, 1985; Современные проблемы, 2005; Pielke, 1984). 17

В любом случае решения уравнений (1.4.1)–(1.4.3) приводят к оценке концентрации загрязнителей при какой-то единичной реализации поведения среды (например, типичные, или некоторые осредненные, или неблагоприятные условия для рассеяния примесей, или параметры среды, рассчитанные для данного момента времени из уравнений гидротермодинамики). 1.5. Динамико-стохастический подход Любые явления (например, метеорологические, гидрологические) в процессе развития во времени включают в себя регулярную и случайную составляющие. В качестве регулярной составляющей можно рассматривать усредненные по времени или реализациям величины, а в качестве случайных – пульсации от средних. Естественно, что наиболее сложно описать поведение случайных составляющих, которые во многих процессах хозяйственной деятельности выступают как помехи. Поэтому авторы многих работ пытаются закономерности поведения случайных составляющих описать вероятностными методами. Так, например (Мостовой, 1993а, б), пульсации скорости ветра описываются модифицированной цепью Маркова, позволяющей дополнительно учитывать их пространственную коррелированность, или полиномиально аппроксимировать реальный энергетический спектр пульсационных скоростей среды (Бородулин, 1993а, б). В поле неоднородной турбулентности рассчитывают распределение концентраций с использованием заранее вычисленной матрицы ковариаций эйлеровых скоростей (Kaplan, Dinar, 1993). Оригинальный метод нахождения одно – и двухточечных функций плотности вероятностей концентрации аэрозолей и интегралов от них по времени распространения дан в монографии А. И. Бородулина и др. (1992). Методы расчета плотности загрязнения различных участков подстилающей поверхности в зависимости от параметров случайного поля ветра и турбулентной среды предлагаются в различных статьях (Кудряшов, Серебрякова, 1993; Налбандян,1997; Кляцкин, Налбандян, 1997). В ряде работ (например, Галкин, 1975; Lamprecht, 1994) моделирование диффузии от точечного источника в слое со случайной стратификацией проводится на основе метода Монте-Карло. 18

Однако во многих задачах практики интерес представляют зоны опасных концентраций ингредиентов с точки зрения не только превышения установленных для них норм (например, предельно допустимых концентраций), но и долговременности воздействия на среду. Именно продолжительность воздействия загрязняющих ингредиентов создает реальную угрозу наиболее уязвимым объектам, способствует возникновению кумулятивного эффекта, который может привести к отсроченным негативным последствиям и необратимым отклонениям от природного равновесия. Поэтому представляют определенный интерес математические модели, способные выявить зоны рискованных воздействий на природную среду с учетом всех климатических особенностей изучаемого региона. Основные предпосылки предлагаемых моделей (Аргучинцева, 1986, 1987а, б, в, 1990, 1992, 1994а, б, 1996, 1997, 1998а, б, в, 1999а, б; Аргучинцева, Галкин, 198а, б, в, 1987; Аргучинцев, Аргучинцева, Галкин, 1989, 1992а, б; Аргучинцев, Аргучинцева, 1993; Аргучинцева, Аргучинцев, 1999; Arguchintseva, 1994a,b, 1996, 1997, 1998a, b, 1999; Arguchintseva, Arguchintsev, 1998a; Васильев и др., 1999) базируются на том, что в различные периоды времени в атмосфере данной местности реализуются определенные типы движений воздушных масс, которые за период характерного времени можно считать стационарными. После каждого такого периода выполняется новое наблюдение, т. е. как бы происходит мгновенная перестройка движения воздушных масс и наступает вновь новое стационарное состояние, длительность которого определяется интервалом времени между двумя соседними наблюдениями (например, срочные метеонаблюдения на постах). Поскольку перестройка циркуляций происходит за период намного короче времени существования определенного типа движений, то можно сделать предположение о том, что эта перестройка происходит мгновенно. Таким образом, система с течением времени переходит из одного состояния в другое. С другой стороны, мы можем рассматривать многолетние наблюдения гидрометеорологических величин как ансамбль климатических характеристик данной местности. Так как реализации относятся к разным годам, то их можно считать статистически независимыми. Такой подход позволяет преодолеть трудности, связанные с неэргодичностью природных явлений, позволяя делать усреднение не по времени, а 19

по реализациям. Таким образом, срочные наблюдения на метеостанциях и постах выступают как возможные реализации случайной функции, а многолетние наблюдения – как множество или ансамбль всех реализаций этой случайной функции. Усреднение всех реализаций уже представляет собой климатическую норму. Иначе говоря, изменения (приращения), получаемые новыми состояниями системы на непересекающихся интервалах времени длиной τ «Т ( τ – лагранжев масштаб времени), практически некоррелированы (Монин, Яглом, 1992). Поэтому можно рассматривать случайную последовательность состояний с независимыми приращениями как марковский процесс без последействий (цепь Маркова), при котором система как бы не обладает памятью о своих прошлых состояниях. Плотность переходной вероятности p(to , xo ; t1 , x) для цепи Маркова удовлетворяет интегральному уравнению Смолуховского (Колмогоров, 1938; Леонтович, 1983)

p (t o , x o ; t + τ , x) = ∫ p (t o , x o ; t , z ) p(t , z; t + τ , x)dz , где t1 = t + τ . Переход из состояния xo в интервал от x до x + dx за время t1 может произойти различными путями. Для того чтобы каким-то образом учесть такие пути, интервал времени t1 разбивается на две части t и τ . Тогда переход системы из xo в интервал от x до x + dx можно характеризовать сперва переходом в момент времени t в интервал от z до z + dz , а затем в момент t + τ из z + dz в интервал от x до x + dx. Решение уравнения Смолуховского для определенных классов случайных процессов сводится к прямому дифференциальному уравнению Колмогорова: ∂p ∂[ A(t , x) p] ∂ 2 [ B (t , x) p ] + = . ∂t ∂x ∂x 2

(1.5.1)

Для рассматриваемой области D в (1.5.1) p = p(t0, x0; t, x) – плотность вероятности перехода системы из состояния x0 в состояние x за время от t0 до t, которая удовлетворяет условиям:

∫ p(t 0 , x 0 ; t , x)dx = 1 и p ≥0, D

20

1

( x − z ) p(t , z; t + τ , x)dx = lim τ →0 τ ∫ τ →0

A(t , x) = lim

2 B(t , x) = lim

1

τ →0 τ

2 ∫ ( x − z ) p(t , z; t + τ , x)dx = lim

τ →0

x−z

τ

;

( x − z)2

τ

.

Кроме того, на процесс налагается ограничение lim

τ →0

( x − z )3

τ

→ 0,

т. е. вероятность больших отклонений за малое время достаточно быстро стремится к нулю. Уравнение (1.5.1) по внешнему виду идентично уравнению (1.4.3) при условии, что концентрация примеси s рассматривается как относительная величина (например, отношение числа загрязняющих частиц к общему числу частиц, или отношение объема загрязняющей массы к общему объему), А – средняя скорость систематического изменения параметра x , В – интенсивность колебаний около этой средней (что в (1.4.3) описывается коэффициентом турбулентной диффузии). Однако уравнение (1.5.1) при определенной его записи позволяет учесть климатические особенности региона как полную группу событий за рассматриваемый интервал времени и с их учетом рассчитать интегральные характеристики загрязнения. Состояние системы в (1.5.1) можно рассматривать как функцию многих переменных.

21

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АНТРОПОГЕННЫХ ПРИМЕСЕЙ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

2.1. Постановка задачи и метод расчета частот концентраций примесей

Загрязнение окружающей среды отходами промышленных и бытовых предприятий (трубы, отвалы золы и шлаков) оказывает на здоровье человека не только прямое, но и косвенное влияние (например, эрозия почв, поражение флоры и фауны). Самоочищение среды от оказанных на нее вредных воздействий в значительной степени зависит от климатических особенностей местности. Поэтому несомненный интерес представляет оценка метеорологического потенциала атмосферы, определяющего возможности рассеяния и накопления загрязняющих ингредиентов, как в приземном слое, так и на подстилающей поверхности. С этих позиций наиболее адекватным изучаемому явлению функциональным пространством является вероятностное, минимизирующее по сравнению с другими пространствами погрешности результатов. Поясним высказанное утверждение. Обычно концентрации примеси рассчитывают для каких-то мгновенных или усредненных метеорологических величин. В первом случае получают результаты для набора мгновенных характеристик среды, совместная вероятность реализации которых мала. Во втором случае – решение, полученное для усредненных за некоторый промежуток времени характеристик среды, которое нельзя трактовать как среднюю концентрацию (усреднение входной информации не тождественно усреднению самого решения). При этом во внимание не принимаются и флуктуации метеорологических величин. Иначе говоря, климати22

ческие особенности местности никак не учитываются (если средние параметры среды для различных регионов совпадают, то при одинаковом источнике получим один и тот же результат расчета). Поэтому перенос и турбулентную диффузию примеси надежнее рассматривать в поле случайных скоростей, усредняя не параметры среды, а само решение с учетом вероятностных реализаций параметров среды за интересующий нас отрезок времени. При таком подходе уже не предполагается однозначной зависимости между начальными условиями и последующим развитием процесса, а допускается принципиальная возможность различного протекания процессов, повторяющихся многократно при сходных начальных условиях (Груза, Ранькова, 1983; Аргучинцева, 1996). Предлагаемый авторами метод является частным случаем решения краевой задачи со случайными коэффициентами для описания динамики природных процессов и явлений. Известно, что для вычисления вероятности реализаций того или иного решения необходимо рассматривать множество решений, соответствующих различным комбинациям случайных значений коэффициентов, начальных и граничных условий. Если мы располагаем множеством случайных параметров, на котором задана функция плотности вероятностей их распределения, то этому множеству можно поставить во взаимно однозначное соответствие множество всех решений в фазовом пространстве этих параметров. Зададим оператор перехода от любого подмножества решений к подмножеству параметров, определяющих эти решения. В качестве ограничения выберем некоторый критерий, превышение которого влечет за собой нарушение в поведении экологической системы. Поставим перед собой цель ответить на вопрос, как часто в течение рассматриваемого отрезка времени будет нарушаться указанный критерий. Из множества всех решений выбираем то его подмножество, которое обеспечивает нарушение критерия. Естественно, что такому подмножеству решений отвечает и какое-то подмножество случайных параметров. Используя оператор перехода, определяем область интегрирования функции плотности вероятностей по выделенному подмножеству случайных параметров и тем самым оцениваем частоту (вероятность) реализаций опасных условий. Однако надо отметить, что оператор, связывающий множество решений с множеством случайных параметров, найти в общем ви23

де пока не представляется возможным. Поэтому для реализации идеи пришлось идти по пути оценки реализаций случайных параметров, исходя либо из гипотезы о теоретическом виде функции плотности их вероятностей, либо из эмпирического закона распределения по данным наблюдений. Применим описанный подход к решению задачи о распространении атмосферных примесей от произвольной системы источников. Концентрация S загрязняющего ингредиента в рассматриваемой точке зависит от параметров (И) источника, расстояния (d) до него и метеорологических характеристик, определяющей из r которых является вектор скорости ветра: S=S(И,d, v ). Для расr сматриваемой точки переменной величиной является v . Поэтому r можно считать, что величина S зависит от распределения v . В качестве критерия, по которому выбирается из множества Ω решений некоторое его подмножество Ω′ ⊂ Ω , рассмотрим предельно допустимую концентрация (ПДК – максимальная разовая, средняя суточная, рабочей зоны и др.). Случайными параметрами являются ветровые характеристики, наблюдаемые на метеостанциях конкретного региона за многолетний сезон или месяц. Из всего множества ω ветровых характеристик выбираем только то его подмножество ω'⊂ω, которое способствует возникновению концентраций примесей выше ПДК, т. е. реализует подмножество Ω′ ⊂ Ω . Тем самым выделяется как область решений дифференциального уравнения, описывающего перенос и турбулентную диффузию примесей, так и область интегрирования заданной функции плотности вероятностей. Интегрируя функцию плотности вероятности вектора скорости ветра по выделенному подмножеству ω', можно оценить с вероятностной точки зрения частоту реализации всех ветров, при которых реализуемо подмножество Ω'. Таким образом, интегральная характеристика (функция распределения) реализации всех ветров дает повторяемость концентраций примесей выше заданного уровня за рассматриваемый интервал времени. Решение поставленной задачи особенно упрощается, если воспользоваться аналитическими решениями полуэмпирического уравнения переноса и турбулентной диффузии примеси. Все аналитические решения получены в предположении, что скорость ветра и коэффициенты турбулентной диффузии либо постоянны, либо изменяются с высотой по степенному закону. Решение при 24

логарифмическом профиле ветра представляет определенные трудности. Эти трудности обходят, аппроксимируя логарифмический профиль ветра степенным и подбирая показатель степени так, чтобы в определенной области значений степенная функция была возможно ближе к логарифмической (Фукс, 1955). Несмотря на то, что все аналитические решения получены при определенных упрощениях процессов, возможности их значительно расширяются, если взаимно однозначно связать распределение примесей с вероятностными интегральными и дифференциальными функциями распределения гидрометеорологических параметров. В качестве исходного уравнения запишем: ∂s ∂s ∂s ∂s + (w - w g ) - αs = +u +v ∂y ∂t ∂x ∂z

=

∂s ∂s ∂ ∂ ∂s ∂ + kz , + ky kx ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(2.1.1)

где t – время; x, y, z – оси декартовой прямоугольной системы координат (оси x, y направлены по горизонтали, ось z – вертикально вверх); s – концентрация примеси; u, v, w – компоненты вектора скорости ветра соответственно по осям x, y, z ; w g – скорость гравитационного осаждения частиц; α – коэффициент распада примеси; главные оси тензора турбулентной диффузии совпадают с координатными осями (kij = 0 , если i ≠ j ; kij = ki , если i = j ; i , j = x, y , z ) . В частности, можно воспользоваться аналитическим решением, полученным, например, М. Е. Берляндом (1975) при следующих упрощениях уравнения (2.1.1): легкая примесь пассивна и консервативна, движение стационарно, ось x ориентирована в направлении ветра, вертикальные движения в атмосфере малы по сравнению с горизонтальными, диффузионный поток примеси вдоль оси x значительно меньше конвективного. Тогда уравнение (2.1.1) примет вид: u

∂s ∂ ∂s ∂ ∂s = ky + kz , ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(2.1.2) 25

и его аналитическое решение для точечного источника высотою H при граничных условиях us = Mδ ( y )δ ( z − H ) при x = 0 , s = 0 при z → ∞,

kz

y →∞,

∂s = 0 при z = 0 ∂z

имеет вид:

s =

1-m M(zH) 2 z1m

2 µk1

⎡ y2 u z 2− µ ( z µ + H µ ) ⎤ exp ⎢− − 1 1 ⎥× k1 µ 2 x πko x 3 ⎣ 4k o x ⎦ µ ⎡ 2− µ 2 2 ( ) u z Hz ⎢ × I 1− m ⎢ 1 1 2 − µ k1 x µ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥. ⎥⎦

(2.1.3)

Здесь M – интенсивность источника, δ – дельта-функция Дирака, I – функция Бесселя мнимого аргумента, µ = 2 + n − m , n и m – безразмерные коэффициенты для интерполяции вертикального профиля скорости ветра и коэффициентов обмена u = u1 ( z / z1 ) n ,

(2.1.4)

k z = k1 ( z / z1 ) m ,

(2.1.5)

k y = ko u ,

(2.1.6)

u1 и k1 – соответственно скорость ветра и коэффициент турбулентного обмена по вертикали на высоте z1 ; ko = const , имеющая размерность длины. Из (2.1.3) при m = n = 0 , т. е. для постоянных u и k z , можно получить

⎛ uy 2 ⎞ M ⎟× s= exp⎜ − ⎜ 4k y x ⎟ 4π x k y k z ⎝ ⎠ 26

⎧⎪ ⎡ u ( z + H ) 2 ⎤ ⎡ u ( z − H ) 2 ⎤ ⎫⎪ exp + × ⎨exp ⎢− ⎢− ⎥⎬ . ⎥ 4k z x ⎦ ⎪⎭ 4k z x ⎦ ⎪⎩ ⎣ ⎣

(2.1.7)

Заметим, что решения (2.1.3) и (2.1.7) можно использовать как при условиях однородного рельефа, так и при малых его уклонах, когда воздушный поток практически полностью обтекает неровности местности (Берлянд, 1975, 1985). В последнем случае уравнение (2.1.1) записывают в криволинейных координатах ( x′, y′, z′) , причем координатная поверхность x′0 y′ повторяет форму рельефа, а z′ = z − ∆ ( x, y ) , где ∆ ( x, y ) – функция, описывающая рельеф местности. Вследствие перегретости примесь в начальной фазе своего распространения обладает восходящей скоростью, но эта начальная фаза непродолжительна, т. к. под действием турбулентности температуры частиц примеси и воздушной среды быстро выравниваются. Точно учесть указанный эффект чрезвычайно трудно, так как пришлось бы решать совместно уравнения диффузии и свободной конвекции частиц газа. Однако даже при значительных перегревах газа этот эффект можно учесть приближенно, заменяя реальный источник примеси геометрической высоты H фиктивным, несколько приподнятым источником, высота которого H e = H + ∆H . Существует большое количество полуэмпирических и эмпирических формул, предложенных разными авторами для определения ∆H . По проведенным оценкам (Бем, 1971) наиболее приемлемо ∆H определяется для нейтральной стратификации атмосферы по формулам Пристли, Спэра, Берлянда, Дановича–Зайгеля. В связи со сказанным для определения начального подъема ∆H газовой струи была выбрана следующая полуэмпирическая формула (Берлянд, 1975):

1,5wo Ro ⎛ 3,3gRo ∆T ⎜ 2,5 + ⎜ u ⎝ Tα u 2

⎞ ⎟, (2.1.8) ⎟ ⎠ где ∆T = Tв − Tα ; Tв, Tα – соответственно температуры выбросов газа и окружающего воздуха по абсолютной шкале; wo – начальная ∆H =

27

скорость выброса газов; Ro – радиус устья трубы; g – ускорение свободного падения; u – скорость ветра на высоте флюгера. Во всех формулах для ∆H , в том числе и в (2.1.8), имеется серьезный недостаток, а именно, при u → ∞ высота подъема факела неограниченно возрастает, что противоречит физическому смыслу. Избавиться от указанного недостатка можно путем внесения в (2.1.8) поправки ∆u следующим образом. Рассмотрим из (2.1.7) выражение в показателе экспоненты, полагая для простоты рассуждений z = 0 и используя (2.1.8). Получим – 2

uH e2

⎡ ⎤ a b = u ( H + ∆H ) = u ⎢ H + + , (2.1.9) 3⎥ u + ∆u (u + ∆u ) ⎦ ⎣ 2

(

)

где a = 3,75wo Ro , b = 48,5wo Ro2 ∆T Tα . Продифференцируем (2.1.9) по u , приравняем нулю производную, и исследуем полученное алгебраическое уравнение, сообразуясь с правилом знаков Декарта, исключив возможность появления положительных корней в интервале (0, ∞) (появление экстремума в этом интервале). В результате задача сводится к решению системы 5 равенств-неравенств, из решений которых выбирается 2 ⎧⎪⎡ a ⎛ a ⎞ 1 ⎤ a ⎫⎪ ∆u = max ⎨⎢− + b1 + ⎜ ⎟ ⎥, ⎬, ⎝ 12 H ⎠ b1 ⎥⎦ 4H ⎪⎭ ⎪⎩⎢⎣ 12 H

⎡⎛ a ⎞3 90b ⎤ 3 где b1 = - ⎢⎜ ⎟ - 2 ⎥+ ⎢⎣⎝ 12 H ⎠ 12 H ⎥⎦

(2.1.10)

2

⎡⎛ a ⎞3 90b ⎤ ⎛ a ⎞6 ⎢⎜ ⎟ - 2 ⎥ -⎜ ⎟ . ⎢⎣⎝ 12 H ⎠ 12 H ⎥⎦ ⎝ 12 H ⎠

Как видим, ∆u зависит только от параметров источника и температуры окружающей среды. Не представляет труда доказать, что поправка ∆u справедлива для любого z ≠ 0 . Следует заметить, что с учетом ∆u решения (2.1.3) и (2.1.7) можно использовать и для холодных выбросов. Физически ∆u соответствует той «опасной» скорости ветра, при которой от конкретного вида ис28

точника может возникать наибольшая концентрация примеси. Отметим, что при замене в (2.1.3) или (2.1.7) H на H e найденная поправка ∆u обеспечивает монотонность поведения решений относительно модуля скорости. Рассматривая концентрацию примеси от произвольной системы источников как суперпозицию (2.1.3) или (2.1.7) полей концентраций от каждого источника и ограничивая ее для определенного ингредиента каким-либо критерием (например, ПДК), т. е. N

ПДК = ∑ Si (N – количество источников), итерационным методом i =1

(в частности, методом секущих) рассчитывается в каждой точке для каждого направления ветра то максимальное значение модуля скорости u k (назовем его критическим), при котором достигается критерий. В силу монотонности поведения (2.1.3), или, что то же, (2.1.7) относительно модуля скорости это означает, что в рассматриваемой точке при заданном направлении ветра опасные концентрации могут создаваться всеми ветрами, модуль которых не превышает найденного критического значения. Иначе говоря, при таком подходе для легких пассивных примесей отсекается то вероятностное пространство, в котором концентрация примеси за рассматриваемый интервал времени не превосходит указанный критерий (например, ПДК), а модель работает с пространством, вероятностной мерой которого является функция обеспеченности, построенная на борелевском множестве. Напомним, что уравнение (2.1.2) записано в предположении, что конвективный поток примеси значительно превосходит диффузионный (пренебрежение членом k x , учитывающим диффузию в направлении оси x ). Поэтому решения (2.1.3) и (2.1.7) этого уравнения несправедливы при штиле. Однако при вычислении частот превышения ПДК отыскивается интегральная характеристика распределения вектора скорости ветра в интервале [0, uk ] , т. е. частота штилей автоматически учитывается. Использование эмпирических законов распределения за многолетний месяц (сезон) ведет к большому объему вводимой информации. Поэтому естественно пытаться аппроксимировать поведение вектора скорости ветра каким-нибудь теоретическим за29

коном распределения, основываясь на многолетних эмпирических числовых характеристиках. В качестве теоретической функции плотности вероятности может выступать, например, нормальный закон, приближение Лапласа–Шарлье, закон Вейбулла и др., выбор одного из которых зависит от степени близости к эмпирическому закону распределения. Наиболее распространенным является нормальный теоретический закон распределения, функция плотности вероятности которого имеет вид: f (u , v ) =

1 2πσ u σ v

⎡ ξ 2 − 2 rξ 1ξ 2 + ξ 22 ⎤ exp ⎢ − 1 ⎥, 2(1 − r 2 ) 1− r 2 ⎣⎢ ⎦⎥

(2.1.11)

где ξ1 = (u − u ) / σ u , ξ 2 = (v − v ) / σ v ; u , v – средние значения

компонентов вектора скорости ветра; σ u и σ v – средние квадратические отклонения для u и v ; r – коэффициент корреляции между u и v . Принимая гипотезу о нормальном распределении вектора скорости ветра, путем интегрирования двумерной функции плотности вероятности рассчитываем в интересующей нас точке функцию распределения вероятностей реализации ветров заданного направления, не превышающих по модулю критическое значение uk . Таким образом, мы, выделяя зоны, в которых за интересуемый интервал времени будут нарушаться установленные нормы загрязнения, получаем новую характеристику – частоту превышения ПДК. Одновременно в каждой точке области можно рассчитать усредненную по всем реализациям концентрацию примеси. Необходимо отметить, что приведенные аналитические решения (2.1.3) и (2.1.7) получены при условии совпадения оси x с направлением ветра, поэтому расчет загрязнения в каждой точке ведется во вращающейся вслед за ветром полярной системе координат. Перейдем в (2.1.11) к полярным координатам ( ρ ,θ ) , учитывая в двойном интеграле якобиан отображения, величина которого равна ρ . Обозначим:

u = ρ cosθ , v = ρ sin θ , u = ρ o cosθ o , v = ρ o sin θ o , (2.1.12) 30

где ρ = u 2 + v 2 , ρ o = u 2 + v 2 ; θ , θ o – полярные углы. Подставляя (2.1.12) в (2.1.11), имеем

f (ρ , θ ) =

⎧⎪ ρ o2 ⎡⎛ cosθ o r sin θ o exp⎨− − ⎢⎜⎜ 2 2 2 σ uσ v ⎪ 2 ( 1 ) r − 1− r ⎩ ⎣⎢⎝ σ u

1 2πσ u σ v

⎤ ρ ρ ⎛ sin θ r cos θ o ⎞ ⎟⎟ sin θ o ⎥ + o 2 + ⎜⎜ 2 o − σ uσ v ⎠ ⎥⎦ 1 − r ⎝ σv

⎡⎛ cos θ r sin θ ⎢⎜⎜ 2 − σ uσ v ⎢⎣⎝ σ u

⎞ ⎟ cosθ o + ⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ cos θ o + ⎠

⎤ ⎛ sin θ r cosθ ⎞ ρ 2 ⎡⎛ cosθ r sin θ ⎞ ⎟ cosθ + ⎜ 2 − ⎟⎟ sin θ o ⎥ − + ⎜⎜ 2 − 2 ⎢⎜ σ uσ v ⎠ σ uσ v ⎟⎠ ⎥⎦ 2(1 − r ) ⎢⎣⎝ σ u ⎝ σv

⎛ sin θ r cosθ + ⎜⎜ 2 − σ uσ v ⎝ σv

⎤ ⎫⎪ ⎞ ⎟⎟ sin θ ⎥ ⎬ . ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭

Функция распределения вектора скорости примет вид:

F ( ρ ,θ ) =

u k 2π

∫ ∫ 2πL exp(− L2 ρ 1

2

)

+ L1ρ − Lo ρdρdθ , (2.1.13)

0 0

где L = σ uσ v 1 − r 2 ,

Lo = L1 =

[(

(

)

1 σ u2 v 2 − 2r σ uσ vu v + σ v2 u 2 , 2 L2

)

(

]

)

1 σ v2 u − r σ uσ v v cosθ + σ u2 v − r σ uσ vu sin θ , 2 L

(

)

1 σ u2 sin 2 θ − 2r σ uσ v sin θ cos θ + σ v2 cos 2 θ . 2 2L После интегрирования (2.1.13) аналитически по скорости имеем: L2 =

31

F (θ uk ) =

1 4πL

⎛ L12 − 4 Lo L2 ⎞⎧⎪ ⎛ L12 ⎞ 1 exp ∫ L2 ⎜⎜⎝ 4L2 ⎟⎟⎠⎨⎪exp⎜⎜⎝ − 4L2 ⎟⎟⎠ − 0 ⎩

2π

2 ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ L1 ⎞ ⎤ L1 π L ⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ + − exp ⎢− L2 ⎜⎜ uk − erf ⎢ L2 ⎜⎜ uk − 1 ⎟⎟⎥ + 2 L2 ⎠ ⎥ 2 L2 2 L2 ⎠⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎣ ⎦

+

L1 π

⎛ L erf ⎜⎜ 1 2 L2 ⎝ 2 L2

⎞ ⎫⎪ ⎟⎟ ⎬ d θ . ⎠ ⎪⎭

(2.1.14)

При uk → ∞ имеем частный случай закона распределения угла θ , полученный Е. С. Кузнецовым (1935). Коэффициенты L, L0, L1 , L2 инвариантны по отношению к повороту осей координат. Интеграл (2.1.14) берется численно. Шаг численного интегрирования может выбираться согласно проводимым наблюдениям на гидрометеопостах (обычно это 50). Следует отметить, что в алгоритме решения участвуют только те источники, которые при данном направлении ветра вносят свой суммарный вклад концентрации в рассматриваемую точку области. Алгоритм метода реализован в виде программы на языке С++ для персонального компьютера. 2.2. Модельные варианты расчетов

Проиллюстрируем изложенный метод конкретными расчетами областей опасного (с точки зрения нарушения указанного критерия) загрязнения от одиночного модельного источника интенсивностью (часто говорят – мощностью) M = 1,4 кг/с. Это суммарная мощность всех выбросов оксида (IV) серы в атмосферу от зарегистрированных источников предприятий теплоэнергетики г. Иркутска (по состоянию на 1990 г. их насчитывалось 166). В качестве ограничивающего критерия выбрана предельная допустимая максимальная разовая концентрация, установленная для названного ингредиента (ПДК = 0,5 мг/м3). Остальные параметры источника задавались условно: wo = 22 м/c, R0 = 2 м, H = 100 м, Tв = 100 0С). 32

Метеорологический режим описывался параметрами: u , v – составляющие средней скорости за рассматриваемый отрезок времени; σ u , σ v – средние квадратические отклонения компонентов вектора скорости ветра от соответствующих им средних; r – коэффициент корреляции между компонентами u и v ; T – средняя температура воздуха (в 0С). Расчеты выполнены с использованием упрощенного аналитического решения (2.1.7) при z = 0, формул (2.1.8), (2.1.10) и нормального закона распределения многолетних метеорологических параметров. Коэффициенты турбулентного обмена приняты постоянными: по горизонтали – k y =

(u

2

)

+ v 2 / 2 ⋅ ∆l , по вертикали –

k z = 5 м /c, l – масштаб расчетной сетки. Эксперимент 1. Среднемесячные метеорологические параметры: T = 1 0С), u = 1 м/c, v = −1 м/c, σ u = 2,8 м/c, σ v = 3,5 м/c, r = − 0,7 . С использованием (2.1.7) методом секущих ищется критическая скорость u k . Погрешность итерационного процесса 0,05. Во вращающейся системе координат строится в каждой расчетной точке теоретическая двумерная функция плотности вероятности распределения вектора скорости ветра в течение месяца. Интегральный закон вектора скорости ветра, описывающий частоту появления опасных концентраций рассматриваемого ингредиента, находится по формуле (2.1.14). Результаты расчетов приведены на рис. 2.1а. Изолинии для удобства восприятия проведены с шагом 72 ч, что составляет 0,1 от общего количества часов в месяце. Поэтому можно сказать, что изолинии превышения ПДК проведены с шагом, соответствующим вероятности 0,1. Первая (внешняя) изолиния оконтуривает область, где опасные концентрации примеси имеют место не менее 72 ч в месяц, вторая – не менее 144 ч в месяц и т. д. В данном эксперименте область наиболее опасных концентраций диоксида серы с локальным максимумом 560 ч расположена в направлении среднего ветра. Эксперимент 2. Действует тот же модельный источник, что и в эксперименте 1. Параметры окружающей среды: T =–10 0С, u = 0,1 м/c, v = −0,5 м/c, σ u = 2 м/c, σ v = 2,8 м/c, r = −0,7 . Образовались (рис. 2.1б) две области наиболее опасных концентраций примесей, одна из которых совпадает с направлением 2

33

среднего вектора скорости ветра. Из этого эксперимента видно, что области опасных концентраций могут возникать не только в направлении преобладающего ветра. Это связано с тем, что и ветры других направлений, имея достаточно высокую вероятность реализации, способствуют повышенному загрязнению атмосферы.

Рис. 2.1. Частота превышения ПДК = 0,5 мг/м3 при метеорежиме: эксперимента 1 (а) и эксперимента 2 (б); – источник; стрелки на рис. указывают результирующий вектор скорости ветра

Эксперимент 3. Для каждого месяца года, используя статистическую обработку данных многолетних (1974–1995 гг.) наблюдений за метеорологическими характеристиками г. Иркутска, найдены векторные средние квадратические отклонения вектора скорости ветра σ vr = σ u2 + σ v2 и рассчитаны площади Ps тех зон, где от действия модельного источника возникают превышения ПДК с вероятностью не менее 0,5 (рис. 2.2, соответственно линии 1 и 2). 34

Рис. 2.2. Изменение в течение года векторного среднего квадратического отклонения вектора скорости ветра (линия I) и площади опасного пятна загрязнения (линия II)

Коэффициент корреляции между Ps и σ vr составляет –0,92. Это означает, что с увеличением σ vr площадь опасного пятна загрязнения имеет тенденцию уменьшаться, т. е. сильно изменчивый ветер разносит примесь во все стороны от источника. Из рисунка 2.2 видно, что наиболее неустойчивые и сильные ветры в Иркутске имеют место в апреле и мае (см. линию I). Январь, декабрь характеризуются слабыми ветрами и наибольшей повторяемостью штилевых ситуаций, а потому потенциал атмосферы к рассеиванию примесей является наименьшим. 2.3. Метод оценки накопления на подстилающей поверхности тяжелой примеси от приподнятых источников

При решении задач, связанных с распространением атмосферных примесей антропогенного происхождения, возникает необходимость математического моделирования процесса переноса загрязнителя с целью определения накопления тяжелых частиц на подстилающей поверхности. Особенности поведения тяжелых 35

примесей определяются наличием у них собственной скорости осаждения, часто превышающей вертикальную скорость движения среды. Изучению закономерностей распределения примесей, обладающих гравитационной скоростью, посвящено большое количество работ. М. И. Юдин в своих работах (1945, 1946, 1962) четко сформулировал главные особенности поведения тяжелых частиц: вертикальное смещение центра рассеяния, инерционность, «эффект пересечения траекторий». Для учета собственной скорости осаждения загрязнителя разработаны различные методы. Так, например, в гауссовой модели факела предлагается приближенно учесть скорость падения частиц путем представления оси факела в виде прямой, наклоненной к горизонту под некоторым углом (Csanady, 1955, 1958). Причем с увеличением расстояния от источника рекомендуется фиктивно изменять мощность этого источника. Аналогичный подход, но с различными модификациями траекторий выпадения частиц, был предложен и в других работах (Wojciechowski, 1971; Narai, 1973). Ряд исследователей для количественных оценок глобального переноса тяжелых взвесей используют резервуарные модели, основанные на схеме кинетики первого порядка. В данном параграфе предлагается метод оценки накопления тяжелых взвесей на подстилающей поверхности на основе использования аналитических решений полуэмпирического уравнения (2.1.1) и идеи, изложенной в 2.1. Уравнение, описывающее распространение примеси с учетом скорости гравитационного осаждения wg и упрощений, сделанных для (2.1.2), принимает вид:

u

∂s ∂ ∂s ∂ ∂s ∂s − wg = ky + kz . ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂z

(2.3.1)

Аналитическое решение уравнения (2.3.1) при граничных условиях

kz

∂s = 0, ∂z z = 0

s y → ±∞ ≠ ∞, 36

s z → ∞ ≠ ∞,

(2.3.2)

s x = 0 = F1 (y, z),

было получено Л. С. Гандиным и Р. Е. Соловейчик (1958). Решение с учетом исправления замеченных опечаток при его выводе можно записать 3/ 2

⎛u ⎞ Q⎜ 1 ⎟ H n + λ / 2 z11− n ⎡ u y 2 u H 1+ n + z 1+ n z 1− n ⎤ x 1 ⎢− 1 − 1 ⎥× exp s= ⎝ ⎠ 2 ′ ( ) n k x 1 + 2(1 + n ) πko k1 z λ / 2 ⎢⎣ 4ko x ⎥⎦ 1

(

1+ n ⎤ ⎡ 2 z 1− n ( ) 2 u Hz ⎥. ⎢ 1 1 × I λ1 ⎢ 2 (1 + n ) k1 x ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦

)

(2.3.3)

Здесь F1 ( y, z ) = Qδ ( y )δ ( z − H ) при x = 0 ;

(2.3.4) wg z1 ; Q – величина, пропорциональная мощности источника; λ = k1 λ1 = λ /(1 + n) , ko′ = kou1 , ko = const , n

⎛z⎞ u = u1 ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ z1 ⎠

n

′⎛ z ⎞ k y = ko ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ z1 ⎠

⎛z⎞ k z = k1 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ z1 ⎠

(2.3.5)

Остальные обозначения такие же, что и в (2.1.3). Попробуем найти условия перехода от аналитического решения (2.1.3), полученного М. Е. Берляндом (1975) для легкой примеси, к решению (2.3.3) для тяжелых частиц. Для этого в уравнение (2.3.1) подставим соотношения (2.1.4)–(2.1.6) при m = 1 : n n ⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ∂ ⎡ z ∂s ⎤ ⎛ z ⎞ ∂s ∂s ∂ ⎡ ⎥ + ⎢k1 ⎢kou1 ⎜⎜ ⎟⎟ − wg = u1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥. ∂z ∂y ⎢ z1 ⎠ ∂y ⎥ ∂z ⎣ z1 ∂z ⎦ ⎝ ⎝ z1 ⎠ ∂x ⎦ ⎣

Для членов последнего уравнения, сделав тождественные преобразования −λ 1+ λ ⎛ z ⎞ ∂ ⎡⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ⎞ ∂ ⎛ z ∂s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ k1 ⎢ + wg s ⎟ = k1 ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ∂z ⎥ , z z ∂ ∂z ⎝ z1 ∂z ⎥⎦ ⎢ 1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎣⎝ 1 ⎠ 37

получаем n n −λ 1+ λ ⎛ z ⎞ ∂ ⎡⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ⎛ z ⎞ ∂s ∂ ⎡ ⎥. ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + k1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢kou1 ⎜⎜ ⎟⎟ u1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ z1 ⎠ ∂z ⎢⎣⎝ z1 ⎠ ∂z ⎥⎦ ⎝ z1 ⎠ ∂y ⎥⎦ ⎝ z1 ⎠ ∂x ∂y ⎢⎣

λ

Умножив обе части последнего равенства на ⎛⎜ z ⎞⎟ , имеем ⎝ z1 ⎠

⎛z⎞ u1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ z1 ⎠

n+λ

n+λ 1+ λ ⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ∂s ∂ ⎡ ∂ ⎡⎛ z ⎞ ∂s ⎤ ⎢kou1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + k1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ . (2.3.6) = ∂x ∂y ⎢ ∂z ⎢⎝ z1 ⎠ ∂z ⎥ z1 ⎠ ∂y ⎥ ⎝ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦

Сравнивая (2.3.1) и (2.3.6) и учитывая (2.1.3), видим, что для перехода от решения для легкой к решению для тяжелой примеси достаточно в (2.1.3) заменить n на n + λ , m на 1 + λ . Таким образом, имея (2.3.5) и (2.1.4)–(2.1.6), а также сравнивая граничные условия при x = 0 , us = Mδ ( y )δ ( z − H ) и F1 ( y, z ) = Qδ ( y )δ ( z − H ) , видим, что при переходе от решения ′ (2.3.3) к решению (2.1.3) надо положить M = Qu, k o = kou1 . Тогда решение (2.3.3) в обозначениях М. Е. Берлянда примет вид:

s=

M ( zH )

− λ / 2 1+ λ 1 3 1 o

(

)

⎡ y2 u z 1− n z 1+ n + H 1+ n ⎤ exp ⎢− − 11 × (1 + n )2 k1 x ⎥⎦ 2(1 + n )k πk x ⎣ 4ko x z

⎡ 2u (Hz ) (1+ n ) / 2 z11− n ⎤ . × I λ1 ⎢ 1 (1 + n )2 k1x ⎥⎦ ⎣ Для наземной концентрации, ограничиваясь первым членом разложения функции Бесселя, имеем: λ +λ

1 2 ⎡ y2 0,5 M u1λ1 z1 u1H 1+ n z11− n ⎤ − s= exp − . (2.3.7) (1 + n )λ1 + λ2 (k1x )λ2 πko x Г (λ2 ) ⎢⎣ 4ko x (1 + n )2 k1x ⎥⎦

Здесь Г – гамма-функция, λ2 = 1 + λ1 . Из уравнения (2.3.1) и его граничного условия (2.3.2) следует, что поток П взвеси на единицу площади подстилающей поверх38

ности выражается с учетом решения (2.3.3) в виде П = wg s . С учетом вероятностного вклада конкретного ветра в концентрацию примеси рассчитываются интегральные потоки тяжелой примеси на подстилающую поверхность. Нормируя потоки примеси на продолжительность временного интервала ∆t , можно получить значение массы (накопление) примеси, приходящейся на единицу площади (Галкин, Аргучинцева, 1987). Как и в 2.1, метеорежим можно задавать (в зависимости от поставленной задачи) либо эмпирическими, либо теоретическими законами распределения. Обычно эмпирическим распределением вектора скорости ветра удобно воспользоваться в том случае, когда требуется оценить накопление примеси за какой-то конкретный отрезок времени, например, период устойчивого снежного покрова в данном году. Использование эмпирических законов распределения за многолетний месяц (сезон) ведет к большому объему вводимой информации, используемой в модели расчета накопления примеси. Если аппроксимировать поведение вектора скорости среды одним из теоретических законов, то аналитическое интегрирование функции плотности вероятности нужно вести (в отличие от 2.1) не до критической скорости, а в пределах каждой градации скоростей (от ρ i до ρi +1 , где i = 0, 1, 2,…), т. к. при любом ветре происходит вклад осаждающейся примеси в ее накопление на подстилающей поверхности. Формула (2.1.14) для численного интегрирования по углу θ при этом примет вид: 2 2π ⎛ L12 − 4 Lo L2 ⎞⎧⎪ ⎡ ⎛ 1 1 L1 ⎞ ⎤ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ exp⎜ F (θ ρ ) = ⎟⎨exp − L2 ⎜ ρ i − 2 L ⎟ ⎥ − 4πL ∫0 L2 4 L 2 ⎠ ⎥ 2 ⎝ ⎠⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ ⎦ 2 ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ L1 ⎞ ⎤ L1 ⎞ ⎤ L1 π ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎥ − ⎜ ⎢ ⎥ − exp − L2 ⎜ ρ i +1 − + − erf L ρ ⎢ i + 2 1 ⎟ ⎜ 2 2 L L L 2 ⎢⎣ ⎥ 2 2 ⎠ ⎦ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎣

−

⎡ ⎛ L ⎞⎤ ⎪⎫ L1 π erf ⎢ L2 ⎜⎜ ρi − 1 ⎟⎟⎥ ⎬dθ . 2 L2 ⎠⎦ ⎪⎭ L2 2 ⎝ ⎣ 39

Если воспользоваться, например, обобщением нормального закона, а именно, распределением типа А, которое учитывает в поведении случайных величин третий и четвертый центральные моменты, то интегрирование по скоростям проводится уже численно. В основе вывода кривых типа А лежит биномиальное распределение, общий член которого имеет вид:

B(N1 ) = p N , N1 = C NN1 p N1 q N − N1 , где p – вероятность того, что из N независимых испытаний событие произойдет N1 раз; q = 1 − p . Для интерполяции между значениями B( N 1 ) применим к последнему выражению формулу обращения Фурье π 1 Bo ( x) = e − itxφ (t )dt , затем разложим ln φ (t ) в ряд по степеням ∫ 2π −π

t . Тогда получим f A ( x) = f ( x) + a1 f ′( x) + a2 f ′′( x) + a3 f ′′′( x) + ... . Здесь e − itx – характеристическая функция,

(

φ (t ) = peit + q

)

N

=

N

∑ B(N 1 ) eitN

1

– характеристическая функция

N1 = 0

биномиального распределения (Митропольский, 1971). Для поверхности распределение типа A имеет вид: f A (ξ1 , ξ 2 ) = f (ξ1 , ξ 2 ) +

κ +η ∑∑ (− 1)

κ +η ≥ 3

∂κ +η f (ξ1ξ 2 ) , (2.3.8) κ !η! ∂ξ1κ ∂ξ 2η

Cκ ,η

⎡ ξ 2 − 2rξ1ξ 2 + ξ 22 ⎤ exp ⎢− 1 ⎥ – нормальная 2(1 − r 2 ) 2π 1 − r 2 ⎣ ⎦ функция плотности распределения нормированных случайных величин ξ1 и ξ 2 : ξ1 = (u − u ) / σ u , ξ 2 = (v − v ) / σ v ; Cκ ,η – разности где

f (ξ1 , ξ 2 ) =

1

между основными эмпирическими моментами и основными моментами нормально распределенных случайных величин. 40

В принципе кривые распределения типа А включают основные моменты любого порядка. Однако из-за больших основных ошибок моментов порядка выше четвертого приходится ограничиваться членами, для которых κ + η ≤ 4 . Учитывая это ограничение, уравнение (2.3.8) принимает вид: f A (ξ1 , ξ 2 ) = f (ξ1 , ξ 2 ) −

r2,1 ∂ 3 f (ξ1 , ξ 2 ) r1, 2 ∂ 3 f (ξ1 , ξ 2 ) − − 2 ∂ξ12∂ξ 2 2 ∂ξ1∂ξ 22

−

r3, 0 ∂ 3 f (ξ1 , ξ 2 ) r0,3 ∂ 3 f (ξ1 , ξ 2 ) r3,1 − 3r1,1 ∂ 4 f (ξ1 , ξ 2 ) − + + 6 6 6 ∂ξ13 ∂ξ 23 ∂ξ13∂ξ 2

+

r1,3 − 3r1,1 ∂ 4 f (ξ1 , ξ 2 ) r2, 2 − 1 − 2r12,1 ∂ 4 f (ξ1 , ξ 2 ) + + 6 4 ∂ξ12∂ξ 22 ∂ξ1∂ξ 23

+

r4,0 − 3 ∂ 4 f (ξ1 , ξ 2 ) r0, 4 − 3 ∂ 4 f (ξ1 , ξ 2 ) , + 24 24 ∂ξ14 ∂ξ 24

(2.3.9)

где rκ ,η – основные моменты случайных величин ξ1 и ξ 2 (для случайной величины ξ1 порядок κ , для ξ 2 – порядок η ). Здесь учтено то обстоятельство, что для нормальных поверхностей выполнимы соотношения: r2ς , 2ς +1 = r2ς +1, 2ς = 0 , r2ς ,0 = r0, 2ς = (2ς − 1)!! ; 2 r2ς , 2 = r2, 2ς = (2ς − 1) !!(1 + 2ς r1,1 ) ; r2ς +1,1 = r1, 2ς +1 = (2ς + 1) !!r1,1 .

А потому r0,3 = r3, 0 = 0,

r1,3 = r3,1 = 3r1,1 ,

r1, 2 = r2,1 = 0,

r0, 4 = r4, 0 = 3,

r2,2 = 1 + 2r12,1 ,

r1,1 = r .

Учитывая подстановки в (2.1.11), введем обозначения: ξ − rξ1 χ1 = ξ1 , χ2 = 2 . (2.3.10) 1− r2 Такая подстановка позволяет от нормально распределенной системы двух случайных зависимых величин перейти к нормально распределенной системе независимых случайных величин 41

f (ξ1,ξ 2 ) = f (χ1 ) f (χ 2 ) , где f (χ1 ) =

1 2π

(

(2.3.11)

)

exp − ξ12 / 2 ,

f (χ 2 ) =

⎡ (ξ − rξ1 )2 exp− ⎢− 2 2 1− r2 2π ⎣ 1

(

⎤ ⎥, ⎦

)

а коэффициент корреляции между переменными (2.3.10) равен нулю. Используя подстановку (2.3.10) и выражение (2.3.11), преобразуем (2.3.9) к виду r r − 3 IV ⎡ ⎤ f A (χ1 , χ 2 ) = f (χ1 ) ⎢ f (χ 2 ) − 03 f ′′′(χ 2 ) + 04 f (χ 2 )⎥ + 6 24 ⎣ ⎦ r − 3r11 ⎡ r ⎤ + f ′(χ1 ) ⎢− 12 f ′′(χ 2 ) + 13 f ′′′(χ 2 )⎥ + 6 ⎣ 2 ⎦ ⎤ ⎡ r r − 2r112 − 1 f ′′(χ 2 )⎥ + + f ′′(χ1 ) ⎢− 21 f ′(χ 2 ) + 22 4 ⎦ ⎣ 2 r − 3r11 r −3 ⎡ r ⎤ + f ′′′(χ1 ) ⎢− 30 f (χ 2 ) + 31 f ′(χ 2 )⎥ + f iv (χ1 ) 40 f (χ 2 ) . 6 24 ⎣ 6 ⎦ Подставляя производные функций f (χ1 ) и f (χ 2 ) , получим ⎡ r f A (χ1 , χ 2 ) = f (χ1 ) f (χ 2 ){ H o (χ1 ) ⎢1 + 03 H 3 (χ 2 ) + 6 ⎣

+

r04 − 3 r − 3r11 ⎤ ⎡r ⎤ H 4 (χ 2 )⎥ + H1 (χ1 )⎢ 12 H 2 (χ 2 ) + 13 H 3 (χ 2 )⎥ + 24 6 ⎦ ⎣2 ⎦ ⎡r ⎤ r − 2r112 − 1 + H 2 (χ1 )⎢ 21 H1 (χ 2 ) + 22 H 2 (χ 2 )⎥ + 4 ⎣2 ⎦

r − 3r11 r − 3⎫ ⎡r ⎤ + H 3 (χ1 )⎢ 30 H o (χ 2 ) − 31 H1 (χ 2 )⎥ + H 4 (χ1 ) 40 ⎬, 6 24 ⎭ ⎣6 ⎦ где H ζ (χ1 ) и H ζ (χ 2 ) – полиномы Чебышева–Эрмита порядка ζ . 42

Переходя в последнем выражении к полярным координатам и интегрируя f A (χ1 , χ 2 ) численно по скорости и углу, оцениваем функцию распределения в интересующем интервале изменения вектора скорости ветра с учетом асимметрии и эксцесса в двумерном распределении компонентов вектора скорости ветра. Таким образом, в зависимости от целей исследования, могут быть реализованы различные способы описания метеорологического режима: расчет эмпирических функций распределения или моделирование вероятностной структуры на основе теоретических функций плотности вероятностей. Количество выпавших на единицу площади взвесей за интервал времени ∆t можно записать

(

)

(

)

(

)

П ∆t xi , y j = П ρ ,θ , Rij ∆tF (ρ ,θ ) ,

(

)

K

(

)

K

где П ρ,θ,Rij = ∑ П ρ,θ,Rijk ; П ρ,θ,Rijk = ∑ sk ; K – количество k =1

k =1

источников; Rijk – расстояние от источника k до расчетной точки

(x , y ); s i

j

k

– решение (2.3.7) в полярной системе координат

⎛ Rijk sin 2 θ ρ − Lk Ak ρ exp⎜ − ⎜ 4ko cos 2θ Rijk cosθ ⎝ sk ρ ,θ , Rij = λ2 k1Rijk cosθ πko Rijk cosθ λ1

(

)

Ak =

(

)

H 1+ n z11− n M k z1λ1 + λ 2 L = ; . k λ +λ 2 2(1 + n ) 1 2 Г (λ2 ) k1 (1 + n )

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ;

(2.3.12)

В случае, когда источники примеси достаточно удалены от точек, для которых рассчитывается выпадение взвесей (наибольшее расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до расчетной точки), можно объединить все источники в один, положение которого в пространстве определяется по принципу центра тяжести. При наличии материалов наблюдений вертикального распределения ветра показатель n в (2.3.5) находится методом наименьших квадратов. 43

Все сказанное нетрудно обобщить на случай с источниками, выбрасывающими полидисперсные взвеси, когда известен их спектр c wgk , где wgk – гравитационная скорость k -й взвеси. В

( )

этом случае в равенстве (2.3.12) вместо мощности M k подставля-

( )

ется c wgk и (2.3.12) интегрируется численно по всему спектру. 2.4. Верификация модели

С целью верификации предлагаемой модели оценки накопления тяжелой примеси на подстилающей поверхности был поставлен специальный эксперимент. Известно, что границы распространения загрязняющих веществ, поступающих от промышленных предприятий, хорошо прослеживаются в зимний период, когда снежный покров служит аккумулятором пыли, сажи и других атмосферных загрязнений. Измеренное содержание перечисленных элементов представляет интегральную характеристику атмосферных примесей с момента образования снежного покрова. В районе Ново-Иркутской ТЭЦ (г. Иркутск), достаточно удаленной от жилых комплексов и основных автомагистралей, были взяты пробы снега, накопившегося за период устойчивого снежного покрова с 12 октября 1986 г. по 10 марта 1987 г. (пробы снега взяты и обработаны сотрудниками Лимнологического института СО РАН В. В. Власенко и Т. В. Ходжер). Схема отбора проб в 14 точках вблизи ТЭЦ дана на рис. 2.3. Обработка проб снега проводилась по стандартной методике (Лисицын, 1956; Качурин, Мушенко, 1966; Ветров, Климашевская, 1985), по которой, кроме массы m p сухого осадка на фильтре, необходимо знать высоту h снежного покрова, его плотность d , влагозапас e = hd , значение концентрации s , пересчитанной на 1 л снеговой воды. Тогда накопление q твердых взвесей на единицу площади определяется по рабочей формуле q = 10 −2 ⋅ s ⋅ e (Василенко, Назаров, Фридман, 1985). Однако надо отметить, что, на наш взгляд (О распространении атмосферного …, 1989), более оправданно брать керн снега со строго определенной площади Ps . В этом случае без измерений и вычис44

лений параметров h, d , s, e , а следовательно, и ошибок, неизбежно связанных с выполнением этих операций, можно найти q = m p / Ps . Поэтому при взятии пробы измерялась и площадь Ps , с которой она бралась.

Рис. 2.3. Схема отбора проб (º) в районе Ново-Иркутской ТЭЦ 10.03.87

Результаты обработки проб снега представлены на рис. 2.4 (линия 1 – с учетом влагозапаса, линия 2 – с учетом площади). С учетом сухого осадка измерялась очень важная для расчета скорость wg гравитационного осаждения взвесей путем пересчета определяемой по формуле Стокса скорости w∗g осаждения в воде

(

)

(мерный цилиндр) w*g = 2 ρ п g ⋅ rп2 9 ρ *ν * на скорость wg осаждения wg =

в w∗g

воздухе ∗ ∗

ρν

(ρвν в ) , где

wg = 2 ρ п g

⋅ rп2 ∗

(9 ρвν в ) .

В

результате

∗

ρв и ν в , ρ и ν – плотность и вязкость

соответственно воздуха и воды, g – ускорение свободного падения, ρ П и rп – плотность и радиус частиц взвеси. По нашим измерениям и расчетам wg = 0,1 м/с . 45

Рис. 2.4. Количество выпавшей тяжелой примеси за период устойчивого снежного покрова (с 12 октября 1986 г. по 10 марта 1987 г.): 1 – экспериментальные данные, обработанные по стандартной методике (СМ); 2 – экспериментальные данные, обработанные по формуле авторов (ФА); 3 – результаты расчетов по модели

Чтобы обеспечить сопоставимость результатов расчета по модели с материалами снегосъемки, ветровой режим рассмотрен за тот же период устойчивого снежного покрова по данным наблюдений на телевизионной вышке г. Иркутска на высотах 2, 10, 24, 40, 88 и 178 м. Аппроксимируя изменение скорости ветра с выn сотой степенным законом u = u1 (z z1 ) , методом наименьших квадратов найдено значение показателя степени n : октябрь – 0,180; ноябрь – 0,156; декабрь – 0,150; январь – 0,155; февраль – 0,192; март – 0,170. В результате статистической обработки метеопараметров за период устойчивого снежного покрова получен эмпирический закон распределения вектора скорости ветра (табл. 2.1). Информация для г. Иркутска о среднем климатическом 46

значении коэффициента турбулентности k1 = 0,08 м2/c взята из справочного пособия (Климатические …, 1983). Значение коэффициента k o= 103 м выбрано согласно характерному горизонтальному масштабу решаемой задачи. По предлагаемой модели расчеты количества осаждения твердых взвесей за рассматриваемый период устойчивого снежного покрова были выполнены как с учетом всех зарегистрированных (270) источников (линия 3, рис. 2.4), выбрасывающих пыль в атмосферу г. Иркутска, так и отдельно для ТЭЦ. Установлено, что источники Ново-Иркутской ТЭЦ дают примерно 60 % в общее накопление тяжелых частиц вблизи этой ТЭЦ. Как видно из сравнения линий (см. рис. 2.4), точки, нанесенные по стандартной методике (СМ), расположены менее регулярно, чем по формуле, предложенной авторами (ФА). Вероятно, это следствие того, что число операций, выполненных при измерениях и вычислениях по СМ, в несколько раз больше, чем по ФА (Аргучинцев, Аргучинцева и др., 1989). Если предположить, что все операции вносят одинаковую ошибку, то ошибки СМ в 3–4 раза выше, чем ФА. Относительная ошибка результатов СМ и ФА меняется от 5 до 85 %, ее среднее значение 30,6 %. Сделанные замечания позволяют предположить, что результаты обработки эмпирических материалов снегосъемки по ФА наиболее объективно отражают накопление примесей в снежном покрове, поэтому оценку результатов измерений накопления примесей целесообразно проводить по ФА. При сравнении результатов расчетов и измерений видно, что линии 2 и 3 (см. рис. 2.4) смещены относительно друг друга. Из всех возможных объяснений наиболее объективно предположить влияние фона данной местности, который невозможно учесть в расчетных методах из-за отсутствия информации.

47

48

-2,1

0

1

41

1 11

2

1

4

11

20

25

104

8

4

1

4

7

9

8

22

12

Σ 3

1

2

2

2

2

1

5

2

11,7

10,4

9,1 1

6,5 1

1

5,2

7,8

1 3

3,9

1

1

2,6

1,3

191

3

2

8

21

39

47

39

21

5

-1,3

0

-3.8

8

1

-5,5 2

1

-7,2

1

1

-8,9

-2,6 1

-10,6

-3,9

1

-12,3 1

-14,0

v

-5,2

u

236

3

11

29

51

60

47

24

9

2

-0,4

202

1

3

11

27

46

51

38

19

6

1,3

115

2

7

17

28

30

21

10

3,0

42

1

3

7

11

12

8

4,7

Эмпирические ненормированные частоты вектора скорости ветра (12 октября 1986 г. – 10 марта 1987 г.)

9

1

2

3

3

6,4

2

1

1

8,1

965

1

1

7

8

13

35

67

116

163

181

161

114

67

31

Σ

Таблица 2.1

Следует заметить, что в точках 1, 2, 4, 10, 11, 12 (см. рис. 2.4) наблюдаются бóльшие смещения по сравнению с другими. Как следует из схемы размещения точек отбора проб (см. рис. 2.3), точки 1, 2, 10, 11, 12 размещаются недалеко от жилых массивов города, а точка 4 – в окрестности шоссе Иркутск–Шелехов, на краю борта долины р. Олхи, где расположен г. Шелехов. Естественно, что в этих точках сказался вклад неучтенных источников пыли жилого района г. Иркутска, шоссе и г. Шелехова. Поэтому для приближенной оценки естественного фона были рассмотрены значения в точках, менее подверженных влиянию неучтенных источников, т. е. из 14 точек исключены перечисленные выше. Фон, как среднее значение сдвига по оставшимся 9 точкам, дал значение 4,4 г/м2. Относительная ошибка расчетов с учетом фона не превышает 20 %. 2.5. Моделирование пыления золоотвалов ТЭЦ

Физическая сущность пыления труб и золоотвалов ТЭЦ, а также отвалов горно-рудных предприятий различна, а именно: наибольшие концентрации примесей вблизи высотных источников возникают при штилевых ситуациях, в то время как интенсивность пыления отвалов и золоотвалов наименьшая. Поэтому, принимая во внимание полидисперсность пыли, решение задачи пыления несколько усложняется тем, что, во-первых, для каждой фракции частиц необходимо найти критическую скорость отрыва от подстилающей поверхности, а во-вторых, указать интенсивность пыления источника. Вопросам перехода частиц с подстилающей поверхности в аэрозольное состояние посвящен ряд работ (например, Фукс, 1955; Дюнин, 1959; Махонько, 1979; Буйков, 1992). Согласно Н. А. Фуксу (1955), критическая скорость vk отрыва частиц пропорциональна r ( r – радиус частиц). Спектральная фракция золы и шлаков ТЭЦ очень близка к фракции песков, для которых установлены критические скорости отрыва (табл. 2.2) в сухом и влажном состоянии. Аналогично частицы в золоотвалах также могут быть как в сухом, так и влажном состоянии, так как пылящие пляжи периодически орошают. 49

Таблица 2.2 Критическая скорость ветра для песков различной крупности r , мм vкр. , м/с сухого песка vкр. , м/с с 2 % влаги

0,05–0,087

0,087–0,12

0,12–0,25 0,25–0,50 0,50–1,00

3,2

3,8

4,8

6,0

9,0

4,0

6,0

7,5

9,5

12,0

В модели пылящие пляжи аппроксимируются дискретной структурой i участков, каждый из которых имеет потенциальную интенсивность пыления M i = MSi / S ( M – среднее количество вещества, выбрасываемого предприятием в единицу времени; S – общая площадь пыления; Si – площадь отдельного участка). Реальная интенсивность пыления ( M p )i каждого участка есть функция спектральной плотности частиц и скорости ветра, и для ее отыскания предложена формула

(M ) = ∑ M k

p i

(v − vкр j ) k

L

j =1

ij

vk

,

где v ≥ vкр j , L – количество фракций частиц, k – числовая константа, зависящая от вида вещества, M ij – интенсивность вещества, взвешенная по процентной фракции частиц. Так, для золоотвалов (по аналогии с песком) считается k = 3. Поднявшиеся частицы с течением времени осаждаются на подстилающую поверхность. Оценка накопления частиц на подстилающей поверхности за определенный интервал времени ведется далее по алгоритму, описанному в 2.3.

50

2.6. Реализация моделей для промышленных источников г. Иркутска

В Иркутске из-за климатических особенностей Восточной Сибири создается высокий потенциал загрязнения воздушной среды, обусловленный ослабленным ветровым режимом (Климат Иркутска, 1981). Промышленные предприятия (зарегистрировано свыше 200) размещены в основном в черте города и выбрасывают отходы производства через дымовые трубы, вентиляционные шахты и трубы, выхлопные патрубки, отвалы и пр. По данным 2006 г. (ОблИркутскэнерго) в городе свыше 300 котельных, 85 % которых имеет трубы высотою до 30 м, а потому выбрасывают загрязняющие ингредиенты в основном в приземный слой атмосферы. На основе аналитического решения (2.1.3) для оценки экологического состояния города были проведены расчеты полей частот превышения ПДК для ингредиентов оксида азота (IV) и оксида серы (IV). Для этого статистически обработан и проанализирован за 32 года (1974–2005 гг.) многолетний метеорологический материал по ежедневным восьмисрочным наблюдениям по всем стационарным постам, включая и площадки телевышки (2, 10, 24, 40, 88 и 178 м) города. Ветровой режим модели аппроксимировался нормальным законом распределения на основе найденных климатических обыкновенных моментов (табл. 2.3). Коэффициенты k1 и k o брались такими же, как и в 2.4. Таблица 2.3 Климатические числовые характеристики метеорологических параметров o Месяц r u (м/c) v (м/c) σ u (м/c) σ v (м/c) T ( C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-19,3 -15,2 -7,7 1,3 8,9 15,2 17,2 14,6 9,3 0,2 -7,8 -15,8

-0,70 -0,81 -0,24 0,42 0,35 0,16 0,20 -0,04 -0,10 -0,11 -0,14 -0,23

0,16 0,40 -0,05 -0,19 -0,09 0,12 0,08 0,20 0,00 -0,04 -0,27 -0,26

1,87 2,03 2,35 2,58 2,69 2,13 1,85 1,90 2,04 2,32 2,12 1,83

1,50 1,62 1,78 2,01 2,03 1,56 1,24 1,29 1.47 1,75 1.41 1,22

-0,72 -0,71 -0,71 -0,70 -0,62 -0,52 -0,42 -0,42 -0,47 -0,57 -0,61 -0,58 51

Наблюдения по высотам на телевышке использовались для определения безразмерного параметра n , характеризующего изменение вертикального профиля скорости ветра и горизонтального коэффициента турбулентности степенным законом (табл. 2.4). Аппроксимация найдена методом наименьших квадратов. Таблица 2.4 Значения параметра n по многолетним наблюдениям (г. Иркутск) Месяц

n

Месяц

n

Месяц

n

Месяц

n

1

0,166

4

0,182

7

0,198

10

0,190

2

0,214

5

0,226

8

0,198

11

0,166

3

0,178

6

0,182

9

0,190

12

0,150

Коэффициент турбулентности по вертикали принимался линейно растущим с высотой. В качестве критерия ограничения рассматривались максимальные разовые предельно допустимые концентрации (0,085 мг/м3 для NO2 и 0,5 мг/м3 для SO2). Для иллюстрации расчетов на рис. 2.5–2.9 приведены изолинии частот превышения ПДК в течение декабря и апреля. Декабрь приводится как самый неблагоприятный месяц для рассеивания атмосферных примесей в Иркутске. Этот месяц характеризуется антициклональным типом погоды с большой повторяемостью штилей и слабых ветров, нисходящими движениями воздуха, мощными приземными и приподнятыми инверсиями. В апреле циклоническая деятельность атмосферы наиболее способствует ее очищению, особенно в дневные часы. В этом месяце многолетняя средняя повторяемость штилей уменьшается в 3–4 раза по сравнению с декабрем. Во все остальные месяцы года экологическая обстановка в городе будет лучше, чем в декабре, но менее благоприятна, чем в апреле. Для лучшей ориентации (см. рис. 2.5–2.9) приведены основные реки города. Значками ◦ (см. рис. 2.5) помечены стационарные посты наблюдения за чистотой атмосферного воздуха (пост 02 – ул. Сухэ-Батора, 5; 03 – ул. Лермонтова, 325 А; 04 – ул. Партизанская, 76; 08 – ул. Академическая, 1; 13 – Центральный рынок). Начало координат – в центре города. Частоты нормированы на количество часов в месяце, изолинии проведены с шагом 72 ч, что соответствует вероятности 0,1 превышения указанного ПДК. Локальные максимумы отмечены значками ◊. 52

Рис. 2.5. Частота превышения ПДК = 0,085 мг/м3 оксида азота (IV) в декабре (Иркутск)

53

Рис. 2.6. Частота превышения ПДК = 0,085 мг/м3 оксида азота (IV) в декабре при условии прекращения действия одного из источников в районе Ново-Ленино (Иркутск)

54

Рис. 2.7. Частота превышения ПДК = 0,085 мг/м3 оксида азота (IV) в апреле (Иркутск)

55

Рис. 2.8. Частота превышения ПДК = 0,05 мг/м3 оксида серы (IV) в декабре (Иркутск)

56

Рис. 2.9. Частота превышения ПДК = 0,05 мг/м3 оксида серы (IV) в апреле (Иркутск)

57

Из анализа расчетов видно, что наиболее неблагоприятная обстановка в декабре складывается в северо-западной части города (Военный городок, Ново-Ленино, Иркутск Сортировочный), где концентрации оксида азота (IV) превышают допустимые нормы в течение 361 ч в месяц. Учитывая, что максимальные разовые ПДК являются оценкой кратковременного воздействия на организм человека (20–30-минутный интервал времени), можно констатировать, что население, проживающее в указанных районах города, дышит в декабре полмесяца воздухом, в котором концентрации оксида азота превышают указанный критерий. Особенно большой вклад в загрязнение атмосферы северо-западной части города вносит теплоэнергетический цех № 2 Авиационного завода, выброс по оксидам азота которого составляет 0,071 кг/с. Если условно прекратить работу этого цеха (рис. 2.6), то зона опасных концентраций в этой части города резко сокращается (сравните рис. 2.5 и 2.6). Полное разрушение антициклона в апреле улучшает экологическое состояние атмосферы. Однако в северо-западной части города по-прежнему очень высокая повторяемость превышения максимальных разовых концентраций оксида азота (см. рис. 2.7), хотя площадь опасного пятна загрязнения сокращается с 80 км2 (в декабре) до 30 км2 (в апреле). Изолинии повторяемости повышенных концентраций оксида серы (IV) соответственно для декабря и апреля проведены на рис. 2.8 и 2.9. Наиболее опасная ситуация складывается не только в северо-западной части города, но и в центре города, который подвержен загрязнению выше указанной нормы с вероятностью более 0,3 (не менее 216 ч в месяц) в декабре. Если в качестве лимитирующих факторов взять средние суточные ПДК, то более детальные расчеты показывают, что в декабре возможно 25-кратное превышение оксида азота (IV) и 10-кратное превышение оксида серы (IV). Расчеты по возможному превышению ПДК указанных ингредиентов проводились для всех многолетних месяцев года. На рисунке 2.10 приведены кривые изменения по месяцам максимальных частот превышения ПДК соответственно для оксида азота (IV) и оксида серы (IV). Сравнение рис. 2.10 и 2.2 показывает, что изменение кривых максимальных частот и площадей опасных пятен загрязнения соответствуют друг другу. С увеличением векторного среднего квадратического отклонения вектора скорости ветра зна58

чения максимальных частот появления опасных концентраций ингредиентов уменьшаются. Результаты расчетов сравнивались с данными натурных измерений концентраций оксидов азота (IV) и серы (IV) на пяти стационарных постах слежения за чистотой атмосферного воздуха, проводимых в течение 22 лет (1974–1995). Максимальная несогласованность расчетов с натурными данными достигает 30 % . При расчетах во внимание принимались зарегистрированные источники, т. е. оценен только их вклад в общее загрязнение воздушного бассейна города. В действительности же загрязнение города дополняется выбросами многочисленных мелких неучтенных источников, автотранспорта, дальним переносом и др. Следовательно, экологическая обстановка в городе по рассматриваемым ингредиентам более напряженная, чем показывают приведенные расчеты.

Рис. 2.10. Изменение в течение года максимальных частот превышения ПДК оксида (IV) азота (1) и оксида (IV) серы (2) 59

Следует отметить, что модель дает оценку вероятности превышения заданного критерия концентрации. Чтобы уточнить во сколько раз превышен критерий, необходимо расчеты повторить с новым назначенным критерием. Загрязнение окружающей среды антропогенными выбросами оказывает негативное влияние на живые организмы, почву, здания, архитектурные памятники, сооружения, вызывает коррозию металлов, понижает прозрачность атмосферы. Под влиянием силы тяжести загрязняющие вещества осаждаются из атмосферы на подстилающую поверхность (почву, водоемы). С поверхностным стоком происходит вторичное загрязнение водоемов (частичный смыв с почвы загрязняющих веществ). Поэтому представляет несомненный интерес оценка потока загрязняющих веществ из атмосферы на подстилающую поверхность. Рассмотрим конкретные оценки осаждения твердых частиц на подстилающую поверхность. Известно, что частицы, выбрасываемые антропогенными источниками в атмосферу, обладают значительной полидисперсностью, от которой зависят физические свойства аэрозолей. Распределение размеров частиц обычно задают долей (процентом) df числа частиц, радиусы которых лежат в пределах (r , r + dr) , т. е. df = f(r) dr при условии, что функция распределения размеров частиц обладает свойством: ∞

P(0 < r < ∞) = ∫ f(r)dr = 1 . 0

В аэрозолях обычно из опыта определяют долю частиц, радиусы которых лежат в конечных интервалах, т. е. вместо непрерывных кривых распределения вероятностей получают ломаные линии – многоугольники распределения. Однако на практике нестационарность выбросов не позволяет в точности знать распределение размеров частиц. Поэтому пытаются это распределение аппроксимировать каким-нибудь аналитическим законом. Теоретически можно найти такую формулу, которая бы описывала все аэродисперсные системы. Но эта формула будет содержать большое количество коэффициентов, подбор которых для каждой аэродисперсной системы был бы весьма неоправдан. Поэтому предлагаемые формулы содержат наименьшее число 60

коэффициентов. Как правило, таких коэффициентов два – это размер частиц и степень полидисперсности аэрозоля. Примерами таких формул являются формулы Роллера; Розина–Раммлера и др. (Колмогоров, 1938). Как показал А. Н. Колмогоров (1938), исходя из простых гипотез о характере дробления твердых частиц, можно доказать, что распределение размеров частиц асимптотически стремится по мере хода измельчения к логарифмически нормальному закону. По этому закону и было рассчитано распределение твердых частиц, выбрасываемых иркутскими предприятиями энергетики в атмосферу. Диаметр частиц пыли ≤ 4•10-5 м, а средняя плотность составляет 2800 кг/м3. Скорость гравитационного осаждения рассчитывалась для каждой фракции по формуле Стокса: wg = (2 ρ n grn2 ) /(9µ ) , в которой g – ускорение свободного падения, µ – динамическая вязкость среды, ρ n и rn – соответственно плотность и радиус частиц. Диапазон изменения скорости гравитационного осаждения (расчет по формуле Стокса) в зависимости от размера частиц колеблется от 0,001 до 0,2 м/с. Используя (2.3.7), (2.3.8), (2.3.11), дается оценка накопления в течение года на подстилающей поверхности твердых взвесей, выбрасываемых зарегистрированными котельными города (рис. 2.11). Согласно расчетам, в северо-западной части осаждается свыше 80 000 кг/км2. Это самый загрязненный район города. В юго-западной части города основное тепло дает Ново-Иркутская ТЭЦ, трубы которой высотою 180 и 250 м, и, следовательно, выбросы происходят в пограничный слой атмосферы. Вблизи предприятия осаждаются только крупные частицы, остальные воздушными потоками переносятся на значительные расстояния. Пыление золоотвалов, карьеров, а также других предприятий в модельных расчетах не учитывалось. Для улучшения экологической обстановки города планировалось открыть мощную ТЭЦ-8 с паросиловыми или парогазотурбинными установками. Выбросы в атмосферу осуществлялись бы через две трубы высотою 130 м. При этом планировалось постепенное закрытие к 2000 г. пятидесяти мелких малорентабельных котельных с очень низкими трубами. 61

Рис. 2.11. Накопление антропогенной полидисперсной примеси в течение года на подстилающей поверхности в г. Иркутске. Изолиния 1 – 2000 кг/км2. Шаг изолиний – 2000 кг/км2

Предлагалось 5 вариантов размещения ТЭЦ-8 в различных районах города. Были смоделированы всевозможные варианты работы ТЭЦ-8 (в зависимости от режима работы, местоположения, в совокупности со всеми действующими котельными и при условии закрытия части из них, а также при работе только ТЭЦ-8 в режиме 100%-ной нагрузки) и показано, что одним из удачных вариантов (с точки зрения серьезного уменьшения загрязненности города) является размещение ТЭЦ-8 в районе с. Плишкино (ср. рис. 2.11 и 2.12). К сожалению, проект не был реализован по разным причинам. 62

Для г. Иркутска были проведены расчеты распределения загрязняющих веществ, выбрасываемых предприятиями теплоэнергетики, и для каждого его района отдельно. Показано, что наиболее неблагоприятная ситуация складывается в Ленинском и Куйбышевском районах, где особенно высока плотность малорентабельных котельных.

Рис 2.12. Прогностический вариант накопления полидисперсной примеси в течение года на подстилающей поверхности. Изолинии проведены так же, как на рис. 2.11

63

2.7. Реализация моделей для промышленных источников г. Тулуна (Иркутская область)

С целью наиболее оптимального выбора мест размещения стационарных постов слежения за загрязнением атмосферного воздуха в г. Тулуне были проведены расчеты частот превышения ПДК легких примесей и накопления тяжелых частиц на подстилающей поверхности (рис. 2.13 и 2.14). В связи с ограниченностью данных наблюдений статистическая обработка метеопараметров за каждый месяц была выполнена в виде эмпирических функций распределения ветрового режима, т. к. выборка за один год не является репрезентативной. В качестве критериев ограничения концентраций легкой примеси были выбраны средние суточные ПДК, которые с нашей точки зрения надежнее использовать для населенных пунктов. Так как мы не располагали данными аэрологических наблюдений, то использовали аналитическое решение (2.1.7) при k y = 104 м2/c, k z = 10 м2/c в летний период и k y = 103 м2/c, k z = 5 м2/c в зимний период. Расчеты показали, что от источников Тулуна во все месяцы возникают опасные концентрации оксида серы (IV). Оксиды азота и углерода средние суточные ПДК не превышают. Для иллюстрации на рис. 2.13 приведены области опасных концентраций оксида серы (суммарная мощность выбросов составляет 0,110 кг/с), возникающие в течение года в приземном слое атмосферы от 29 действующих в городе источников. Изолинии проведены с шагом 36 дней, что соответствует вероятности 0,1. Для частиц, имеющих собственную скорость осаждения, расчеты проводились с использованием аналитического решения (2.3.7). Значения параметров выбирались следующим образом: n = 0,15 (среднее значение показателя степени, характеризующее изменение скорости с высотой), k1 = 0,1 м2/c (среднее климатическое значение коэффициента турбулентности на высоте 1 м по данным теплобалансовых станций (см. Климатические…, 1983), ko = 103 м, wg = 0,1 м/с (средняя гравитационная скорость модальных частиц). 64

Рис. 2.13. Частота превышения ПДК = 0,05 мг/м3 оксида серы (IV) в течение года (Тулун)

В течение года на подстилающую поверхность от 48 действующих источников (общей интенсивностью около 0,3 кг/с) осаждается наибольшее количество пыли в северо-западной и юговосточной частях города, где более мощные предприятия создают локальные зоны накопления тяжелых частиц (см. рис. 2.14). Анализ расчетов с учетом климатических особенностей местности (см. рис. 2.13 и 2.14) позволил работникам Иркутского управления по контролю природной среды рационально выбрать площадку для размещения стационарного поста наблюдений за загрязнением атмосферного воздуха. 65

Рис. 2.14. Количество тяжелой примеси, выпадающей на подстилающую поверхность в течение года (Тулун). Изолиния 1 – 100 кг/км2, 2 – 500 кг/км2, 3 – 1000 кг/км2, 4 – 3000 кг/км2, 5 – 10 000 кг/км2, 6 – 20 000 кг/км2, далее – с шагом 20 000 кг/км2

Таким образом, предложен новый подход к оценке загрязнения территорий выбросами промышленных предприятий, который, благодаря введению функции плотности вероятностей климатических характеристик рассматриваемой местности, позволяет: а) рассчитать частоту (вероятность) превышения установленного критерия концентрации рассматриваемого ингредиента; оценить продолжительность пребывания живых организмов в опасных зонах; оконтурить области повышенных концентраций (кар66

тировать местность по степени загрязнения различными ингредиентами); б) оценить накопление на подстилающей поверхности антропогенных частиц, попадающих в атмосферу за счет выбросов приподнятых источников и пыления золоотвалов предприятий теплоэнергетики (с учетом критических скоростей отрыва частиц от подстилающей поверхности и спектральных скоростей их гравитационного осаждения); в) найти средние концентрации ингредиентов за рассматриваемый интервал времени, причем усреднение ведется по весовому вкладу входной информации. Более общая постановка задачи вероятностного моделирования распределения примесей от антропогенных предприятий будет рассмотрена в главе 3.

67

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ

3.1. Постановка задачи

Сформулируем более общий подход (по сравнению с главой 2) к математическому моделированию распределения загрязняющих веществ, поступающих в атмосферу от антропогенных источников. Для построения вероятностных моделей обратимся к уравнению Колмогорова (1.5.1), записав его в фазовой координате s: ∂p ∂[ A(t , s ) p ] ∂ 2 [ B (t , s ) p ] , + = ∂t ∂s ∂s 2

(3.1.1)

где p = p(t , s ) – дифференциальный закон распределения величины s , A=

∂s 1 ∂s′2 – и B= 2 ∂t ∂t

соответственно средняя скорость изменения средней концентрации и интенсивность колебаний около этой средней в интервале t ∈ [0, T ] . В уравнении (3.1.1) неизвестными являются p, A, B . Начальное состояние p (0, s ) = p o ( s ) . Граничные условия ∂ (Bp ) − Ap = 0 при s → ∞ , и ∂s

68

∞

∫ p(t , s )ds = 1 . 0

(3.1.2)

Вопросы разрешимости (3.1.1)–(3.1.2) при определенных ограничениях на коэффициенты А и В рассмотрены А. Н. Колмогоровым (1938). В частности, доказательства проведены для так называемого случая Башелье, когда A(t) = 0 и B(t) = 1, т. е. уравнение Колмогорова сводится к классическому уравнению теплопроводности; для случаев, когда коэффициент А изменяется по линейному закону, а В есть произвольная константа и когда A(t,x) = 0, B(t,x) = x. Остановимся на возможности замыкания уравнения (3.1.1). Для этого рассмотрим уравнение переноса пассивной примеси, обладающей собственной гравитационной скоростью в анизотропной среде ∂s ∂ui s ∂wg s ∂ ∂s + − . + αs = F + kij ∂t ∂xi ∂x3 ∂xi ∂x j

(3.1.3)

Обозначения в (3.1.3) совпадают с (1.4.1)–(1.4.3). Представим s, ui , kij , F как сумму средних и отклонений от ′ ′ них, т. е. s = s + s′ ; ui = ui + ui ; kij = kij + kij ; F = F + F ′ . Для простоты положим α = const , wg = const . Тогда (3.1.3) примет вид:

∂ ( s + s′) ∂ (u i + ui′)( s + s′) ∂wg ( s + s′) + α (s + s′) = − + ∂x3 ∂xi ∂t = F + F′ +

∂ ∂ ( s + s′) ( k ij + kij′ ) . ∂xi ∂x j

Преобразовав правую часть уравнения, получим: ∂ (s + s′) ∂ (ui + ui′ )(s + s′) ∂wg (s + s′) + − + α (s + s′) = ∂t ∂xi ∂x3 = F + F′ +

∂kij ∂s′ ∂kij ∂s ∂ 2 s′ ∂2s + + kij + kij + ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j

69

+

∂kij′ ∂s ∂kij′ ∂s′ ∂2s ∂ 2 s′ + kij′ + . + kij′ ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j

Усредним последнее уравнение, используя свойства средних:

∂ s ∂u i s ∂wg s ∂2 s ∂u′s′ ∂kij ∂ s + + kij + αs = F - i + . (3.1.4) ∂t ∂xi ∂x j ∂xi ∂x3 ∂xi ∂xi ∂x j Вычитая из (3.1.3) уравнение (3.1.4), имеем: ∂w s′ ∂s′ ∂ (ui s − ui s ) − g + αs′ = + ∂x3 ∂t ∂xi = F′ +

∂ui′s′ ∂ ∂s ∂kij ∂s ∂2s + − − kij . kij ∂x i ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j

(3.1.5)

Преобразуем выражение

ui s − ui s = (ui + ui′ )(s + s ′) − ui s = ui s ′ + s ui′ и подставим в уравнение (3.1.5): ∂s′ ∂s′ ∂ s ⎛ ∂u ′i ∂u = −ui − ⎜⎜ s − u i′ + s′ i ∂t ∂x i ⎝ ∂x i ∂ xi ∂x i

⎞ ∂w g s ′ ⎟⎟ + − α s′ + ∂x 3 ⎠

(3.1.6) + F′ +

∂ u i′s ′ ∂ ∂s ′ ∂ ∂s k ij k ij′ + + . ∂ xi ∂ x j ∂ xi ∂x i ∂x j

Для несжимаемой жидкости каждое слагаемое в круглых скобках обращается в нуль, т. к. представляет собою дивергенцию соответственно скоростного поля и его флуктуаций. Введем обозначение: qk = uk′ s′ , (3.1.7) где k = 1,3 , а неизвестной величиной является s ′ , причем, s′ и uk′ относятся к одному и тому же моменту времени. Проинтегрируем (3.1.6) по времени от t до t + τ : 70

s′(t + τ ) = s′(t ) +

t +τ

⎛

∂s′

∂s

∫ ⎜⎜⎝ − ui ∂xi − ui′ ∂xi +

∂wg s′ ∂x3

t

+ F′ +

− αs′ +

∂ui′s′ ∂ ∂s′ ∂ ∂s ⎞⎟ k′ij kij dt , + + ∂xi ∂x i ∂x j ∂xi ∂x j ⎟⎠

(3.1.8)

где t ≥ τ , τ – эйлеров масштаб времени. Для выполнения (3.1.7) умножим обе части последнего уравнения на u ′k (t + τ ) и проведем операцию усреднения на интервале

T − τ ( T » τ ): qk =

−

1 T −τ

1 T −τ

+

+

T −τ

∫ u′k (t + τ ) ⋅ s′(t + τ )dt1 = 0

T −τ

t +τ

0

t

1 T −τ 1 T −τ

∫ uk′ (t + τ ) ∫ ui T −τ

t +τ

0

t

T −τ

t +τ

0

t

∫ uk′ (t + τ ) ∫

+

∂s′ 1 dt1dt − T −τ ∂xi

∂wg s′ ∂x3

dt1dt −

∫ uk′ (t + τ ) ∫ F ′dt1dt + 1 + T −τ

1 T −τ

1 T −τ

T −τ

t +τ

0

t

∫ u′k (t + τ ) ∫

T −τ

t +τ

0

t

∫ uk′ (t + τ ) ∫

∫ uk′ (t + τ ) ⋅ s′(t )dt1 − 0

T −τ

t +τ

0

t

∫ uk′ (t + τ ) ∫ ui′

α T −τ

1 T −τ

T −τ

∂s dt1dt + ∂xi

T −τ

t +τ

0

t

∫ uk′ (t + τ ) ∫ s′dt1dt +

T −τ

t +τ

0

t

∫ uk′ (t + τ ) ∫

∂ui′s′ dt1dt + ∂xi

∂ ∂s′ kij dt1dt + ∂xi ∂x j

∂ ( s + s′) ∂ kij′ dt1dt . ∂x j ∂xi

(3.1.9)

71

В последнем уравнении первое слагаемое в правой части обращается в 0 из-за некоррелированности подынтегральных функций uk′ (t + τ ) и s′(t ) . Воспользуемся далее методом рекурсивных вложений (Галкин, 1980а, б; Галкин, Корнейчук, 1981). В результате мы получим первое приближение для (3.1.7): ∂s uk′ s′ ( 1 ) = - K ki( 1 ) (3.1.10) + F (1) , ∂xi где T-τ t+τ 1 ′ + K ki( 1 ) = u (t τ) k ∫ ui′(t1 ) dt1dt , T- τ ∫0 t F (1) =

1 T- τ

T-τ

t+τ

0

t

∫ u′k(t + τ)

∫ F ′ (t1 ) dt1dt

.

Подставляя (3.1.10) в (3.1.4), получаем замкнутое уравнение для вычисления средних концентраций: ⎞ ∂ ∂s ∂ ⎛⎜ ( 1 ) ∂ s ∂u i s ∂wg s ∂s . kij - F (1) ⎟ + K ij − αs + F + + =− ⎟ ∂xi ∂x j ∂xi ⎜⎝ ∂x j ∂x3 ∂xi ∂t ⎠ (3.1.11) Для получения второго приближения для (3.1.7) подставляем (3.1.8) в члены, зависящие от s′ в (3.1.9); аналогично можно получить приближения любого порядка. Погрешность первого приближения оценивалась методами, предложенными в главе 2 (не превышает 20 %). Уравнение (3.1.11) для коэффициента A в первом приближении записано. Для отыскания коэффициента B обратимся к уравнению (3.1.6). Умножим обе его части на 2 s′ , сложим с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости, обе части которого предварительно умножим на s ′ 2 . После усреднения в первом приближении получаем 2

⎛ ∂s ⎞ ⎟ . B = K ki(1) ⎜ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ i⎠

72

(3.1.12)

В (3.1.12) пренебрегли пульсациями источников F ′ . Найденные А и В замыкают уравнение (3.1.1). Однако уравнение (3.1.11) для коэффициента А представляет и самостоятельный интерес, т. к. позволяет рассчитать поле средних концентраций примесей не только общепринятыми способами при типичных или усредненных ситуациях, но и учесть флуктуационные эффекты. В силу важности и самостоятельности уравнения (3.1.11) докажем единственность его решения. Не меняя сути, для более компактного дальнейшего изложения, запишем (3.1.11) в виде:

r ∂∂q ∂∂ ∂∂q ∂q ∂∂ ∂q∂ ∂∂ Nx Ny Nz , (3.1.13) + div(Vq) = Ф − αq + + + ∂t ∂x ∂x ∂y ∂∂y ∂z ∂∂z где x = x1 , y = x 2 , z = x 3 – оси прямоугольной системы координат; x и y направлены по горизонтали, z – вертикально вверх; r r r r r q = s , V = v − wg , v = v {u = u1 , v = u2 , w = u3} , N ij = K ij(1) + kij , ∂ F (1) . ∂x i Теорема 1. Если для уравнения (3.1.13) выполнимы условия: а) начальное – при t = 0 , q = qo , (3.1.14) б) граничные – на верхней z = Z и горизонтальных границах области интегрирования D{− X ≤ x ≤ X ,−Y ≤ y ≤ Y } Ф=F−

q = qф ,

(3.1.15)

а на нижней границе z = ∆ ∂∂q (3.1.16) = β q − Φ0 , ∂∂z то уравнение (3.1.13) имеет единственное решение. Здесь qo и qф – заданные функции; β ≥ 0 – величина, харакwg q + N z

теризующая взаимодействие примесей с подстилающей поверхностью (β = 0 – отражение примесей от поверхности, β = ∞ – полное поглощение, 0 ≤ β ≤ ∞ – промежуточная ситуация частичного от73

ражения и поглощения); Φ0 = Φ0(x,y,t) – функция, описывающая источники примеси на уровне шероховатости, ∆ = ∆(x, y, z ) – функция, описывающая рельеф местности. Доказательство. Для доказательства умножим уравнение (3.1.13) на q , и затем проинтегрируем его по времени t в [0,Т] и по пространству G{− X ≤ x ≤ X , − Y ≤ y ≤ Y , ∆ ≤ z ≤ Z} . T

∫ dG ∫ q G

0

( )

T r ∂q dt + ∫ dt ∫ qdiv Vq dG = ∂∂t 0 G

T ⎡ ∂∂ ∂∂ ∂q ⎤ ∂∂ ∂∂q ∂∂q = ∫ dt ∫ ⎢q N x + q Ny + q Nz ⎥ dG − ∂x ∂y ∂z ∂∂x ∂∂y ∂∂z ⎦ 0 G⎣ T

T

− ∫ dt ∫ αq 2 dG + ∫ dt ∫ qФdG. 0

G

0

G

Сделаем подынтегральные преобразования, используя уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости: ⎛ q2 ∫ ⎜⎜ 2 G⎝ +

X Z

∫

− t =T

T X ⎞ ⎡Y Z ∂uq 2 ⎟dG + dt ⎢ dydz ∫ ⎢∫ ∫ ∫ 2∂x dx + ⎟ 0 −X ⎣ −Y ∆ t =0 ⎠

(

)

Z ∂∂ w − wg q 2 ⎤ ∂∂vq 2 dz ⎥ = dy + ∫∫ dxdy ∫ 2∂y 2∂z ⎥⎦ −Y D ∆ Y

∫ dxdz ∫

−X ∆

q2 2

2 2 ⎡ ⎛ ∂∂q ⎞ 2 ⎛ ∂∂q ⎞ ⎛ ∂∂q ⎞ ⎤ ⎟⎟ + N z ⎜ = − ∫ dt ∫ ⎢ N x ⎜ ⎟ + N y ⎜⎜ ⎟ ⎥ dG + ∂∂x ⎠ ⎝ ∂∂z ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂∂y ⎠ G⎢ 0 ⎣ ⎝ T

T X X Z Y ⎡Y Z ∂∂ ⎛ ∂q ⎞ ∂⎛ ∂q ⎞ + ∫ dt ⎢ ∫∫ dydz ∫ ⎜ qN x ⎟dx + ∫ ∫ dxdz ∫ ⎜⎜ qN y ⎟⎟dy + ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠ 0 −X −X ∆ −Y ⎣−Y ∆

74

T ∂⎛ ∂q ⎞ ⎤ T 2 ⎜ qN z ⎟dz ⎥ − ∫ dt ∫ αq dG + ∫ dt ∫ qΦdG. (3.1.17) ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎦ 0 G G ∆ 0

Z

+ ∫∫ dxdy ∫ D

Используя условия (3.1.14)–(3.1.16), преобразуем (3.1.17). Получим T X Z + 2 ⎡ Y Z u + qф2 v qф qT2 dG dt dydz + + ⎢ ∫2 ∫ ⎢∫ ∫ 2 ∫ ∫ 2 dxdz + G 0 −X ∆ ⎣ −Y ∆

(w − w ) q +

+ ∫∫ D

g

2 ф

2

⎤ dxdy ⎥ + ⎦⎥

2 2 ⎡ ⎛ ∂q ⎞ 2 ⎛ ∂q ⎞ ⎛ ∂q ⎞ ⎤ ⎢ ⎟ ⎜ + ∫ dt ∫ N x ⎜ ⎟ + N y ⎜ ⎟ + N z ⎜ ⎟ ⎥dG + ∂x ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂y ⎠ 0 G⎢ ⎣ ⎝ ⎠ T

T T 2 ⎛ wg q 2 ⎞ ⎟ dxdy = q0 dG − + ∫ dt ∫ αq 2 dG + ∫ dt ∫∫ ⎜ β q 2 − ∫2 ⎜ 2 ⎟⎠ G 0 0 D ⎝ G

(

)

T X Z − 2 ⎤ ⎡ Y Z u − qф2 v qф w − wg qф2 dydz + ∫ ∫ dxdz + ∫∫ dxdy⎥ + − ∫ dt ⎢ ∫ ∫ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣−Y ∆ 2 −X ∆ D 0 T

Y Z

0

−Y ∆

+ ∫ dt ∫ ∫ qфx N x

∂q ∂∂q dydz + ∫ dt ∫ ∫ qфy N y dxdz + ∂x ∂∂y 0 −X ∆ T

X Z

T T ∂∂q + ∫ dt ∫∫ qф Nz dxdy + ∫ dt ∫∫ Φ o qdxdy + ∫ dt ∫ qΦdG. (3.1.18) z=Z ∂∂z D D G 0 0 0 T

Здесь qT , qo – значения концентрации примеси в моменты времени соответственно t = T ; t = 0 ; u = u + + u − , причем, ⎧u , если u > 0, u+ = ⎨ ⎩ 0, если u ≤ 0.

⎧u , если u < 0, u− = ⎨ ⎩0, если u ≥ 0. 75

q фx = qф+ X − qф− X ,

Аналогично, для v, w;

q фy = qф+Y − qф−Y ,

где qф+ X , qф− X , qф+Y , qф−Y – значения фона соответственно на боковых границах. При исследовании единственности решения задачи (3.1.13)– (3.1.16) будем использовать тождество (3.1.18). Предположим, что задаче (3.1.13)–(3.1.16) удовлетворяют два разных решения q1 и

q 2 , разность которых обозначим через φ : φ = q1 − q2 . Тогда для функции φ задача (3.1.13)–(3.1.16) примет вид:

( )

r ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ + div Vφ = N x + Ny + Nz − αφ , (3.1.19) ∂t ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x

φ = 0 при t = 0 ,

(3.1.20)

φ = 0 для x = ±X, y = ±Y, z = Z,

(3.1.21)

wgφ + N z

∂φ = βφ ∂z

при z = ∆ .

(3.1.22)

Тождество (3.1.18) для задачи (3.1.19)–(3.1.22) примет вид:

∫ G

2 2 ⎡ ⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤ dG + ∫ dt ∫ ⎢ N x ⎜ ⎟ + N y ⎜⎜ ⎟⎟ + N z ⎜ ⎟ ⎥ dG + ∂x 2 ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂y ⎠ G⎢ 0 ⎣ ⎝ ⎠

φT2

T

⎛ 2 wgφ 2 ⎞ ⎟dxdy = 0. + ∫ dt ∫ αφ dG + ∫ dt ∫∫ ⎜ βφ − ⎜ ⎟ 2 0 0 D ⎝ G ⎠ T

2

T

(3.1.23)

Все величины в левой части (3.1.23) будут неотрицательны при условиях, что ( β − wg / 2) ≥ 0 N x ≥ 0, N y ≥ 0, N z ≥ 0 . Тогда последнее тождество справедливо только в том случае, когда φ = q1 − q2 , т. е. q1 = q2 . А это значит, что задача (3.1.13)–(3.1.16) имеет единственное решение. Естественно, что этот вывод имеет место, если все операции и преобразования, использованные в процессе доказательства, за76

Естественно, что этот вывод имеет место, если все операции и преобразования, использованные в процессе доказательства, законны (Марчук, 1982). Для этого достаточно предположить гладкость функций q, u, v, w, Nx, Ny, Nz и существование интегралов (3.1.18). Следует заметить, что при α ≠ 0 область решения для концентраций примесей от локальных источников всегда конечна, а поэтому при выборе верхних и боковых границ, достаточно удаленных от источника, можно ограничиться задачей Дирихле, единственность решения которой доказана. Однако при численной реализации модели выбор границ определяется возможностями вычислительной техники. Поэтому необходимо доказать следующую теорему. Теорема 2. Если для уравнения (3.1.13) выполнимы условия (3.1.14), (3.1.16), а для x = ± X , y = ± Y, z = + Z

q = qф при Vn < 0 , ∂q ∂q ∂q = = = 0 при Vn ≥ 0 , ∂x ∂y ∂z

(3.1.24)

то уравнение (3.1.13) имеет единственное решение. Здесь Vn – проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к граничной поверхности. Доказательство. После подынтегральных преобразований в тождестве (3.1.17) с учетом условий (3.1.14), (3.1.16), (3.1.24) получим: T X Z + 2 ⎡ Y Z u + qф2 v qф qT2 ∫ 2 dG + ∫ dt ⎢⎢ ∫ ∫ 2 dydz + ∫ ∫ 2 dxdz + G 0 −X ∆ ⎣ −Y ∆

+ ∫∫ D

(w − w ) q g

2

+ 2 ф

2 2 ⎤ T ⎡ ⎛ ∂q ⎞2 ⎛ ∂q ⎞ ⎛ ∂q ⎞ ⎤ dxdy⎥ + ∫ dt∫ ⎢Nx ⎜ ⎟ + Ny ⎜⎜ ⎟⎟ + Nz ⎜ ⎟ ⎥dG + ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ 0 G ⎢⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

2 ⎛ 2 wg q 2 ⎞ ⎟dxdy = q0 dG − + ∫ dt ∫ αq dG + ∫ dt ∫∫ ⎜ β q − ∫2 ⎜ 2 ⎟⎠ G 0 0 D ⎝ G

T

T

2

77

(

)

− X Z − 2 ⎡ Y Z u − qф2 ⎤ v qф w − wg qф2 dydz − ∫ ∫ dxdz − ∫∫ dxdy⎥ + − ∫ dt ⎢ ∫ ∫ 2 2 ⎢⎣−Y ∆ 2 ⎥⎦ D 0 −X ∆ T

T X Z ⎡Y Z ⎛ ⎛ ∂q ⎞ ∂q ⎞ ⎟⎟ dxdz + dydz qф ⎜⎜ N y + + ∫ dt ⎢ ∫ ∫ qф ⎜ N x ⎟ ∫ ∫ y x ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎢ ⎠ ⎝ 0 −X ∆ ⎣ −Y ∆ T ⎤ T ⎛ ∂q ⎞ + ∫∫ qф ⎜ N z ⎟dxdy ⎥ + ∫ dt ∫∫ Φ 0 qdxdy + ∫ dt ∫ qΦdG . (3.1.25) ∂z ⎠ ⎝ D 0 G ⎦⎥ 0 D

Предположим, что задача (3.1.13), (3.1.14), (3.1.16), (3.1.24) имеет два решения q1 и q2 . Как и ранее, обозначим через ϕ разность этих решений. Для функции φ наша задача примет вид: (3.1.19), (3.1.20), (3.1.22) с граничными условиями

φ = 0 при Vn ≤ 0 , ∂φ ∂φ ∂φ = = = 0 при Vn > 0 ∂x ∂y ∂z

(3.1.26)

для x = ±X, y = ±Y, z = Z. Тождество (3.1.25) для задачи (3.1.19), (3.1.20), (3.1.22), (3.1.26) примет вид:

∫ G

T X Z + 2 ⎡ Y Z u +φ 2 vφ dG + ∫ dt ⎢ ∫ ∫ dydz + ∫ ∫ dxdz + 2 2 ⎢⎣ −Y ∆ 2 0 −X ∆

φT2

(w − w ) φ +

+ ∫∫ D

g

2

2

2 ⎡ ⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎤ T ⎛ ∂φ ⎞ dxdy ⎥ + ∫ dt ∫ ⎢ N x ⎜ ⎟ + N y ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎥⎦ 0 G ⎢⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

2 T T ⎛ 2 wgφ 2 ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤ 2 ⎟dxdy = 0. + N z ⎜ ⎟ ⎥ dG + ∫ dt ∫ αφ dG + ∫ dt ∫∫ ⎜ βφ − ⎟ ⎜ 2 ⎝ ∂z ⎠ ⎦⎥ 0 0 G D ⎝ ⎠ (3.1.27)

78

(

)

При β − wg / 2 ≥ 0 все величины в левой части (3.1.27) неотрицательны, а потому это тождество может быть справедливым только при условии φ1 = φ2 . Единственность решения задачи (3.1.13), (3.1.14), (3.1.16), (3.1.24) доказана.

3.2. Численный метод решения. Сравнение численных и аналитических решений

Решение задач (3.1.13), (3.1.14), (3.1.24) и (3.1.1), (3.1.2) осуществляется численно. Рассмотрим метод решения для задачи (3.1.13), (3.1.14), (3.1.24). Так как антисимметричная форма оператора наиболее предпочтительна при построении энергетически-сбалансированных конечноразностных аппроксимаций, то, используя уравнение неразрывности для несжимаемой атмосферы, преобразуем (3.1.13) к следующему виду: r ∂q 1 r ∂ ∂q ∂ ∂q ∂ ∂q + (V ⋅ gradq + div(qV )) = Nx + N y + Nz −α q + Ф. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂ z ∂t 2 (3.2.1)

Переход к криволинейным координатам значительно усложняет вид уравнения. Поэтому интегрирование (3.2.1) проводится численно в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей (Марчук, 1989). Введение таких областей позволяет вести расчеты с произвольной функцией, описывающей рельеф местности, делая модель более универсальной. Для дискретизации по времени используется схема Кранка– Николсона и двуциклический метод многокомпонентного расщепления. Введем неравномерную сетку с основными узловыми точками xi = i∆x (i = 0,1,K, I + 1) ; y j = j∆y ( j = 0,1,K, J + 1) ; z k = k∆z k

(k = 0,1,K, K + 1) ; t n = n∆t (n = 0,1,K) и шагами сетки ∆x , ∆y , ∆z k , ∆t . Будем также использовать вспомогательные точки xi +1/ 2 , y j +1 / 2 , z k +1/2 , расположенные в серединах основных интервалов. Обозначим: 79

qin, j ,k = q (xi , y j , z k , t n ); ∆ k = (∆z k +1 + ∆z k ) / 2 ; ui +1 / 2, j ,k = (ui +1, j ,k + ui , j ,k ) / 2 ; vi , j +1/ 2,k = (vi , j +1,k + vi , j ,k ) / 2 ;

wi , j ,k +1/ 2 = ( wi , j ,k +1 + wi , j ,k ) / 2 . Приведем разностные аналоги операторов: uin+1 / 2, j , k qi +1, j , k − uin−1 / 2, j , k qi −1, j , k ( L1n q )i , j , k = − 2 ∆x

−

1 ∆x 2

⎡ n ⎤ (qi +1, j , k − qi , j , k ) − N xn (qi , j , k − qi −1, j , k )⎥ , ⎢Nx 1 / 2 , , i j k − ⎣ i +1 / 2, j , k ⎦ ( Ln2 q)i , j , k =

−

1 ∆y 2

vin, j +1 / 2, k qi , j +1, k − vin, j −1 / 2, k qi , j −1, k 2∆y

−

⎤ ⎡ n (qi , j +1,k − qi , j ,k ) − N yn (qi , j ,k − qi , j −1,k )⎥ , ⎢N y i , j −1/ 2,k ⎦ ⎣ i , j +1 / 2, k

( Ln3 q)i , j , k =

( win, j , k +1 / 2 − wg ) qi , j , k +1 − win, j , k −1 / 2 qi , j , k −1 2∆ k

q i , j , k +1 − q i , j , k

− N zn

i , j , k +1/ 2

∆z k +1 ∆ k

+ N zn

i , j , k −1/ 2

−

q i , j , k − q i , j , k −1 ∆z k ∆ k

,

Используя на каждом дробном шаге [t n , t n +1 ] схему Кранка– Николсона, алгоритм расщепления имеет вид: ∆t n n −3 / 4 ∆t n n −1 (Е + L1 ) q = (E − L1 )q , 2 2

80

(Е +

∆t n n −1 / 2 ∆t L2 )q = ( E − Ln2 )q n − 3 / 4 , 2 2

(Е +

∆t n n −1 / 4 ∆t n n −1 / 2 L3 ) q L3 ) q , = (E − 2 2

q n +1 / 4 = q n −1 / 4 + α ( q n +1 / 4 + q n −1 / 4 )∆t + 2∆tФ n ; (Е +

∆t n n +1 / 2 ∆t L3 ) q = ( E − Ln3 )q n +1 / 4 , 2 2

(Е +

∆t n n + 3 / 4 ∆t L2 )q = ( E − Ln2 )q n +1 / 2 , 2 2

(Е +

∆t n n +1 ∆t n n + 3 / 4 L1 )q = ( E − L1 )q , 2 2

где Е – единичная матрица. Разностная аппроксимация задачи (3.1.1)–(3.1.2) построена также на основе схемы Кранка–Николсона. Обозначим:

sγ = γ ⋅ ∆sγ (γ = 0,1,2,..., Γ + 1) ∆s γ +1 = s γ +1 − s γ , ss γ = (dsγ + ds γ +1 ) 2 ,

(Λ p) n

γ

=

Aγn+1 pγ +1 − Aγn−1 pγ −1 2ssγ

−

Bγn+1 pγ +1 − Bγn pγ ssγ ⋅ dsγ +1

−

Bγn pγ − Bγn−1 pγ −1 ssγ ⋅ dsγ

(γ

= 0,2,..., Γ − 1) .

Граничное условие p o находится из условия выполнения вероятностной меры (3.1.2) по формуле трапеций. На правой границе области интегрирования:

(Λ p) n

Γ

=−

AΓn−1 pΓ−1 BГn pΓ Bn p − BГn −1 pΓ−1 . + − Г Γ 2ssΓ ssΓ ⋅ dsΓ+1 ssΓ ⋅ dsΓ

Окончательно конечно-разностная аппроксимация имеет вид: ⎛ ⎛ n ∆t ⎞ n +1 n ∆t ⎞ n ⎜E + Λ ⎟p = ⎜E − Λ ⎟p . 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

Используемые конечно-разностные схемы абсолютно устойчивы, имеют второй порядок аппроксимации по времени и координатам. 81

Для численной реализации конечно-разностных уравнений используется немонотонная прогонка (Самарский, Николаев, 1978). Таким образом, уравнение (3.1.11), или, что то же (3.1.13), дает оценку средних концентраций примесей в каждой расчетной точке сетки с учетом флуктуаций входной метеорологической информации, а уравнение (3.1.1) – оценку вероятности появления этих концентраций (включая и превышение указанных норм) за рассматриваемый интервал времени, а также позволяет рассчитывать поток П примесей на подстилающую поверхность и ее накопление за интересуемый интервал времени ∆t k

П = ∑ s i w gi ∆t ,

(3.2.2)

i =1

где k – степень дисперсности частиц. Для оценки точности приближенных решений и выбора шагов разностной сетки проведены сравнения численных решений с аналитическими. Так, численное решение уравнения (3.1.13) сопоставлялось, например, с аналитическим решением (2.1.7) стационарного уравнения распространения примеси при постоянных скорости ветра и коэффициентах турбулентной диффузии. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: М = 106 мг/с, H = 120 м, u = 4 м/c, v = 0, k x = k y = 500 м2/c, k z = 5 м2/c,

∆x = ∆y = 250 м, ∆z = 30 м. Результаты расчетов на высоте источника в направлении ветра приведены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Концентрация примеси на уровне стационарного источника: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение 82

В случае мгновенного выброса для сравнения с численным решением использовалось нестационарное аналитическое решение (Монин, Яглом, 1992) в виде:

q=

M

(4πt )3 / 2

⎡ (x − ut )2 y2 ⎤ − exp ⎢− ⎥× 4k x t 4k y t ⎥⎦ kxkykz ⎢⎣

⎧⎪ ⎡ (z − H )2 ⎤ ⎡ (z + H )2 ⎤ ⎫⎪ exp + × ⎨exp ⎢− ⎢− ⎥⎬ , ⎥ 4k z t ⎦⎥ 4k z t ⎦⎥ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣⎢ ⎣⎢ полученное с краевым условием «отражение» ( ∂q / ∂z = 0 для z = 0 ) при действии мгновенного источника мощностью М в точке (0, 0, Н) в момент времени t = 0 . Расчеты велись при тех же параметрах, что и для стационарного источника, шаг ∆t = 30 с. Кривые изменения концентрации примеси на высоте источника в направлении ветра, полученные численно и на основе аналитического решения для моментов времени 5, 10, 15 и 20 мин, приведены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Изменение концентрации примеси на высоте нестационарного точечного источника в моменты времени: а – 5 мин; б – 10 мин; в – 15 мин; г – 20 мин. 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение 83

На рисунке 3.3 приведены огибающие наибольших концентраций в течение одного часа. Анализ расчетов показывает, что численные решения с достаточной степенью точности согласуются с аналитическими как на высоте источника, так и у поверхности Земли, обладая свойствами позитивности и монотонности. Численное решение второго уравнения Колмогорова (3.1.1) так же верифицировалось известными аналитическими решениями, полученными при определенных упрощениях физических процессов. В частности, хорошее согласование дало аналитическое решение

⎡ s A(ξ )dξ ⎤ p ( s ) = C / B exp ⎢ ∫ ⎥, ⎢⎣ 0 B(ξ ) ⎥⎦ предложенное (Леонтович, 1983) для стационарного уравнения (3.1.1) при условии, что область изменения S простирается от − ∞ до + ∞ и на бесконечности p = ∂p / ∂s = 0 . Коэффициенты А и В не зависят от t. Константа С определяется из условия нормировки (3.1.2).

Рис. 3.3. Огибающие наибольших концентраций примеси в течение одного часа на высоте источника (кривые 1,2) и у поверхности Земли (кривые 3,4): 1,3 – численное решение; 2,4 – аналитическое решение 84

3.3. Реализация моделей для промышленных предприятий Южного Прибайкалья

На юге Иркутской области сосредоточены крупные промышленные предприятия, расположенные в основном в долине р. Ангары, ориентация которой обеспечивает направление преобладающих воздушных потоков (северо-западных и юго-восточных) в приземном слое. Обработка многолетних данных наблюдений метеорологических станций и постов Приангарья позволила для наглядности представить потенциал атмосферы к самоочищению в крупных промышленных центрах в виде климатических эллипсов рассеяния. В частности, эллипсы рассеяния для декабря и апреля изображены на рис. 3.4. В декабре в Восточной Сибири устанавливается азиатский антициклон, характерными особенностями которого являются повышенное атмосферное давление, приземные и приподнятые инверсии в сочетании со слабыми ветрами. В это время года примеси от приподнятых источников Приангарья концентрируются преимущественно вблизи источников выбросов, создавая высокий потенциал загрязнения атмосферы. Однако в районе Южного Байкала из-за больших температурных перепадов водной поверхности и суши возникают ветры с сильной муссонной составляющей, обеспечивающей перенос примесей, выбрасываемых промышленными предприятиями Култука, Слюдянки и Байкальска, в сторону Байкала, причем могут иметь место области суперпозиции полей загрязнения (см. рис. 3.4). С увеличением поступления солнечной радиации в конце зимы происходит постепенное разрушение азиатского антициклона, скорости ветра заметно возрастают, достигая наибольших значений в апреле – мае. В это время года антропогенная примесь, подхваченная ветровыми потоками, перемещается на более значительные расстояния, что приводит к наложению полей загрязнения, создаваемых промышленными предприятиями (см. рис. 3.4). В то же время вокруг источников выброса значения концентраций уменьшаются по сравнению с зимними месяцами. В районе Южного Байкала происходит ослабление ветра, что приводит к сосредоточению примесей вокруг своих локальных источников. Следует отметить, что для указанного региона декабрь и апрель можно рассматривать как месяцы-представители года, которые характеризуют разнообразные условия рассеяния примесей. 85

Рис. 3.4. Климатические эллипсы рассеяния ветрового потока и результирующие векторы скорости ветра (1 м/с = 10 мм) для апреля (штриховая линия) и декабря (сплошная линия)

86

Эллипсы рассеяния дают качественную картину возможности самоочищения атмосферы и помогают при расчетах обоснованно ограничиться рассмотрением отдельных вариантов. Естественно, что реальная картина загрязнения может быть получена при детальном рассмотрении как метеорологических условий, так и параметров источников выброса. Для количественной характеристики распределения в приземном слое атмосферы выбросов твердых взвесей проведены численные эксперименты. Статистическая обработка, включая расчет корреляционных функций, проводилась по данным многолетних наблюдений станций Зима*, Залари, Черемхово*, Кутулик, Усолье-Сибирское*, Ангарск*, Иркутск*, учхоз «Молодежный», Шелехов*, Патроны, исток Ангары, Култук, Слюдянка*, Выдрино, Байкальск*, Танхой. Были рассмотрены суммарные выбросы отдельных промышленных объектов (помечены *). С учетом (3.2.2) оценивался поток твердых взвесей от предприятий Ангарска и Иркутска, а затем накопление этих взвесей на подстилающей поверхности в течение года (рис. 3.5). Суммарные выбросы пыли в Ангарске примерно в четыре раза больше, чем в Иркутске. Расчеты (с учетом логарифмически нормального закона распределения размеров частиц и соответствующей им гравитационной скорости осаждения) были проведены отдельно для Иркутска и Ангарска и сведены в один рисунок для иллюстрации вклада каждого промузла в загрязнение подстилающей поверхности. Как видим, несмотря на то, что от Байкала промышленные источники Ангарска более удалены, вклад их в общее загрязнение акватории Южного Байкала не меньше, чем от Иркутска. Оценка накопления взвесей на акватории Южного Байкала за год от источников г. Иркутска приведена на рис. 3.6. Следует подчеркнуть, что в качестве входной информации в расчетах использованы только данные о выбросах промышленных приподнятых источников. Пыление отвалов, выбросы жилищнобытового сектора в данных расчетах не учтены.

87

Рис. 3.5. Количество пыли, выпадающей в течение года на подстилающую поверхность от источников: 1 – Ангарска; 2 – Иркутска (кг/км2)

Рис. 3.6. Накопление (кг/м2) тяжелой примеси в течение года на подстилающей поверхности Южного Прибайкалья от промышленных предприятий г. Иркутска (* – порядок числа 103 88

3.4. Реализация моделей для Байкальского целлюлозно-бумажного комбината (БЦБК)

Все промышленные предприятия, находящиеся в непосредственной близости от Байкала, должны стать объектом пристального изучения прежде всего с точки зрения их влияния на уникальное озеро. Одним из таких предприятий является БЦБК. Сложный рельеф в этом районе (снят с шагом 1 км), большие перепады температур вода–суша способствуют развитию бризовых и горнодолинных циркуляций. Анализ статистической обработки многолетнего метеорологического материала показывает, что преобладающий ветер в осенне-зимний период отклоняется от береговой линии к озеру, а в весенне-летний (период вегетации) – в сторону гор. Для зимних месяцев, когда Байкал замерзает, характерна высокая повторяемость штилей (до 40 %). По схеме (3.1.1)–(3.1.2), (3.1.11), (3.1.12) найдены частоты превышения разовых и суточных ПДК для различных ингредиентов, в различных сезонах года. Поле скорости интерполировалось по данным береговых станций, а затем просчитывались корреляционные моменты (3.1.10). Средние коэффициенты турбулентности определялись соответственно r2 r2 r2 k x = v / 2 ⋅ ∆x , k y = v / 2 ⋅ ∆y , k z = 0,1 v / 2 ⋅ ∆z . В качестве иллюстраций приведем расчеты повторяемости превышения 20 ПДК метилмеркаптана для месяцев с наибольшими перепадами температур вода–суша, в частности, июля (рис. 3.7) и декабря (рис. 3.8). Изолиния 1 имеет значение 72 ч (соответствует вероятности 0,1). Шаг проведения изолиний – 72 ч. 20 ПДК выбраны из-за ограничения области счета снятым рельефом в рассматриваемом регионе. Из сравнения рисунков видно, что в летнее время повторяемость опасных концентраций на суше больше, чем в декабре. Детальные расчеты показали, что в окрестности БЦБК достигается даже и 100-кратное превышение ПДК метилмеркаптана, что создает серьезный дискомфорт коренному населению. Превышение значения 1 ПДК может достигать расстояния свыше 100 км от БЦБК в сторону господствующего ветра. Расчетные количественные характеристики сравнивались с данными наблюдений наземных станций и дали удовлетворительное согласование (расхождение не более 20 %). 89

Рис. 3.7. Частота превышения 20 ПДК метилмеркаптана в июле с вероятностью не менее: а – 0,4; б – 0,5; в – 0,6

90

Рис. 3.8. Частота превышения 20 ПДК метилмеркаптана в декабре с вероятностью не менее: а – 0,4; б – 0,5; в – 0,6

91

На рисунке 3.9 приведены расчеты количества выпадающей в течение года пыли, выбрасываемой источниками БЦБК, общая мощность пылевых выбросов которых составляет примерно 20 т/год. Результаты расчетов хорошо согласуются с данными снегосъемки (рис. 3.10), проведенной сотрудниками Лимнологического института СО РАН в конце периода устойчивого снежного покрова. На рисунке 3.10 зона влияния БЦБК непосредственно на поверхность озера оконтурена штриховой линией.

Рис. 3.9. Количество пыли, выпадающей на подстилающую поверхность в течение года (БЦБК): изолиния 1 – 100 кг/км2; 2 – 500 кг/км2; 3 – 1000 кг/км2; далее – с шагом 1000 кг/км2 92

Рис. 3.10. Результаты снегосъемки 1987 г. Цифры на изолиниях – накопление взвесей (т/км2) за период устойчивого снежного покрова

3.5. Реализация моделей для промышленных предприятий пос. Каменска и г. Селенгинска

Озеро Байкал – уникальная самоорганизующаяся экосистема, не требующая вмешательства внешних факторов. Любые непродуманные грубые действия человека могут привести к постепенным нарушениям устойчивости функционирования этой экосистемы. Если же антропогенная нагрузка достигнет своего критического предела, то наступит бифуркационный период, порождающий целый континуум новых устойчивых положений равновесия, дальнейший выбор системой одного из которых непредсказуем. Промышленные предприятия Каменска, Тимлюя, Селенгинска удалены от Байкала на 25–45 км (рис. 3.11, а). В окрестности пос. Каменска имеются такие предприятия, как Тимлюйский завод асбестоцементных изделий, Тимлюйская ТЭЦ, хлебозавод. Северо-восточнее, на расстоянии примерно 10 км от поселка, располо93

жен завод железобетонных изделий, а в 13 км к западу – Тимлюйский цементный завод (рис. 3.11,б). Для ориентации и удобства анализа на рисунках нанесено начало координат как пересечение координатных линий, из которых ось Х направлена на восток, а ось У – на север (см. рис. 3.11).

Рис. 3.11. Схема расположения промышленных объектов. а – географическое местоположение; б – основные промышленные предприятия Каменска: 1 – промплощадка № 1, 2 – Тимлюйский завод асбестовых изделий, 3 – промплощадка № 2, 4 – Тимлюйская ТЭЦ и золоотвал, 5 – хлебозавод, 6 – карьер глины, 7 – завод железобетонных изделий, 8 – Тимлюйский цементный завод, 9 – карьер известняка

94

Селенгинск представлен основным источником загрязнения – Селенгинским целлюлозно-картонным комбинатом (СЦКК), на долю которого приходится 96 % выбросов города. С целью ограничения количества расчетов был предварительно проанализирован многолетний метеорологический материал. Статистическая обработка данных наблюдений за вектором скорости ветра показала, что на ветровой режим сильное влияние оказывает зональная составляющая, обусловленная как преобладающим западным переносом, так и локальным влиянием озера на сушу, особенно в теплое время года. Наибольший модуль вектора скорости – в июне, наименьший – в ноябре. Однако в декабре по сравнению с другими месяцами зональная составляющая вектора скорости ветра вносит более значительный вклад, что объясняется большим перепадом температур суши и воды. Векторное среднее квадратическое отклонение вектора скорости ветра во все сезоны года более 4 м/c, что говорит о довольно хорошей самоочищающей способности атмосферы. Угол наклона большой полуоси эллипса рассеяния колеблется в течение года в весьма узких пределах (в среднем 25о). Вероятно, это объясняется особенностями конкретной местности (долинный характер) и преобладающим переносом (северо-западный и юго-восточный). Приведем результаты отдельных расчетов по моделям. Частоты превышения средней суточной ПДК оксида серы (IV) в июне и декабре и твердых взвешенных веществ в ноябре демонстрируются на рис. 3.12. В июне превышение средней суточной ПДК оксида серы достигает 200 ч (см. рис. 3.12, а; изолинии проведены с шагом 48 ч, начиная с изолинии 1) на площади приблизительно 0,25х0,25 км2 в окрестности Тимлюйской ТЭЦ. Общая площадь превышения ПДК составляет 10 км2, но вероятность такого события очень мала (менее 0,05). В декабре область превышения средней суточной ПДК значительно увеличивается (см. рис. 3.12, б), причем превышение в ближайшей окрестности Тимлюйской ТЭЦ может достигать восьми значений ПДК (на площади 1–1,5 км2). Затем концентрация быстро падает и в 5–6 км от ТЭЦ достигает значения одного ПДК. Общая площадь превышения ПДК составляет примерно 70 км2. 95

Рис. 3.12. Частота превышения средней суточной ПДК: а – оксида серы (IV) в июне; б – оксида серы (IV) в декабре; в – твердых взвешенных веществ в ноябре

Взвешенные твердые вещества были объединены в две группы: 1) пыль цементная, асбестоцементная, золы, шлаков, песчаногравийных смесей, глины, щебня, неорганическая (с содержанием SiO 20–70 %); 2) пыль древесная, цементных производств, известняка, угольная, неорганическая (с содержанием кремния менее 20 %), металлическая и сварочные аэрозоли. Количество источников первой группы взвешенных веществ – 25, общей интенсивностью 22,416 г/c; второй группы – соответственно 28 и 78,5 г/c. 96

Локальные участки превышения максимальной разовой ПДК 0,3 мг/м3 формируются во все рассматриваемые месяцы вокруг основных загрязнителей – котлов промышленной зоны Каменска и карьера глины. Несмотря на то, что интенсивность выбросов промузла выше, чем карьера, вокруг последнего создаются более опасные приземные концентрации (из-за его малой высоты), которые в зимние месяцы могут достигать трех–четырех значений ПДК. Превышение средней суточной ПДК 0,15 мг/м3 возникает как в окрестности промышленной зоны Каменска (с максимумом 200 ч в месяц), так и в районе Тимлюйского цементного завода (с максимумом до 570 ч в месяц) площадью до 110 км2 (см. рис. 3.12, б). Как и в 3.3 и 3.4, проведена оценка накопления твердых частиц от золоотвала Каменска (рис. 3.13) с гранулометрическим составом: Таблица 3.1 Спектр размеров частиц золоотвала Каменска Размер, >10 мм %

1,4

10–5

5–3

3–1

1–0,5

0,5–0,1

0,1–0,01