Сибирский математический журнал Май—июнь, 2003. Том 44, № 3
УДК 519.48
СВОБОДНАЯ АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА КАК СВОБОДНЫЙ МОДУЛЬ НАД ПОДАЛГЕБРОЙ ШПЕХТА А. В. Гаврилов Аннотация: Пусть k — поле характеристики нуль, khXi — свободная ассоциативная алгебра с конечным базисом X. Пусть R = R(k, X) — универсальная обертывающая квадрата Lie(X), рассматриваемая как подалгебра в khXi; она названа подалгеброй Шпехта свободной алгебры. Показано, что khXi является свободным (левым) R-модулем; найдены достаточные условия того, что некоторая система элементов khXi является базисом этого модуля. Получена явная формула, позволяющая вычислять R-коэффициенты элементов свободной алгебры над специальным базисом из «симметризованных мономов». Ключевые слова: свободная ассоциативная алгебра, свободный модуль над подалгеброй, некоммутативные симметрические многочлены
Пусть k — поле характеристики нуль, khXi — свободная ассоциативная алгебра с конечным базисом X = {x1 , . . . , xn }. Будем обозначать через R = R(k, X) подалгебру (с единицей) в khXi, порожденную элементами вида [xi , xj ], [[xi , xj ], xk ], [[[xi , xj ], xk ], xl ], и т. д. Иными словами, R — наименьшая подалгебра в khXi, содержащая коммутаторы [xi , xj ], 1 ≤ i < j ≤ n, и замкнутая относительно дифференцирований ad xi , 1 ≤ i ≤ n. Рассматривавшиеся В. Шпехтом в [1] «собственные формы» совпадают с полилинейными многочленами из R. Более того, в работе [1] фактически сформулированы и доказаны основные свойства этой подалгебры, правда, применительно к полилинейному случаю (см. об этом ниже). Поэтому R(k, X) естественно называть подалгеброй Шпехта в khXi. Под R-модулем далее понимается левый модуль над R. Алгебра khXi является свободным R-модулем; как сообщил автору А. Р. Кемер, этот результат считается «фольклорно» известным. Справедливо даже более сильное утверждение. Пусть Ab : khXi → k[X] — естественный гомоморфизм «абелеанизации». Теорема 1. Пусть λ : k[X] → khXi — линейное отображение такое, что Ab(λ(f )) = f,
deg(λ(f )) = deg(f )
для всех f ∈ k[X]. Тогда его естественное продолжение λ : R ⊗ k[X] → khXi является изоморфизмом R-модулей. Под естественным продолжением здесь понимается отображение вида λ : r ⊗ f 7→ r · λ(f ). c 2003 Гаврилов А. В.
Свободная ассоциативная алгебра
543
Разложение элемента khXi над R в любом базисе является достаточно нетривиальной процедурой. Однако, как мы увидим, это разложение может быть описано явно в случае специального базиса. Определим линейный оператор симметризации σ : khXi → khXi, действующий на мономы следующим образом: если aj ∈ {x1 , . . . , xn }, 1 ≤ j ≤ m, то 1 X aπ(1) aπ(2) . . . aπ(m) , (1) σ : a1 a2 . . . am 7→ m! π где сумма берется по всем m! перестановкам π ∈ Sm . Поскольку сумма в правой части (1), очевидно, не зависит от порядка множителей aj в левой, σ(f ) при f ∈ khXi зависит только от Ab(f ). Поэтому можно построить (единственным образом) такое отображение λ : k[X] → khXi, что σ(f ) = λ(Ab(f )). Оно удовлетворяет условиям теоремы 1, поэтому симметризованные мономы sα = λ(xα ) образуют базис khXi как R-модуля. Здесь α = (α1 , α2 , . . . , αn ) — мультииндекс, n Y i xα xα = i ∈ k[X]. i=1
Например, в khx1 , x2 i будет 1 s(2,1) = λ x21 x2 = x21 x2 + x1 x2 x1 + x2 x21 . 3 Согласно теореме 1 для всякого элемента u ∈ khXi однозначно определены коэффициенты rα (u) ∈ R такие, что X u= rα (u)sα . α
Оказывается, существует явный алгоритм, позволяющий вычислять эти коэффициенты. Пусть по определению для u ∈ khXi X ρ(u) = rα (u)y α ∈ khXi[Y ], (2) α
где khXi[Y ] = khx1 , . . . , xn i[y1 , . . . , yn ], n Y yα = yiαi ∈ khXi[Y ]. i=1
Например, 1 ρ(x1 x2 ) = y1 y2 + [x1 , x2 ], 2 1 ρ(x1 x2 x3 ) = y1 y2 y3 + ([x1 , x2 ]y3 + [x1 , x3 ]y2 + [x2 , x3 ]y1 ) 2 1 + ([[x3 , x2 ], x1 ] + [[x3 , x1 ], x2 ]). 3 Стоит отметить, что при более высоких степенях коэффициенты rα (u) становятся весьма громоздкими. ∂ ∂ Пусть ∂x и ∂y (1 ≤ i ≤ n) — дифференцирования алгебры khXi[Y ], i i
где δij
∂ ∂ ∂ ∂ xj = δij , yj = 0, yj = δij , xj = 0, ∂xi ∂xi ∂yi ∂yi — символ Кронекера. Определим линейные операторы D, : n n X X ∂u ∂u Du = yi , u = xi . ∂xi ∂yi i=1 i=1
(3)
544
А. В. Гаврилов Теорема 2. Для всякого u ∈ khXi ρ(u) = exp(−) exp(D)u.
(4)
Операторы D, локально нильпотентны в khXi[Y ], поэтому правая часть (4) корректно определена. Перед тем как перейти к доказательствам, автор хотел бы пояснить, почему, по его мнению, рассматриваемые вопросы заслуживают внимания. Пусть Lie(X) — свободная алгебра Ли, обычным образом вложенная в khXi. Если zi — некоторый линейный базис Lie(X), то по теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта произведения zi 1 zi 2 zi 3 . . . z i m ,
i1 ≥ i2 ≥ i3 ≥ · · · ≥ im ,
(5)
образуют линейный базис khXi. Известны различные способы построения базиса Lie(X) [2–5] (см. также [6]). Выбрав один из них, получим два линейных базиса khXi: обычный, состоящий из мономов, и «лиевский», состоящий из произведений (5). Естественным образом возникает задача описания матриц перехода от одного базиса к другому (заведомо весьма сложных). Как мы увидим, подалгебра R совпадает с универсальной обертывающей квадрата Lie(X). Поэтому разложение элемента khXi над R является промежуточным этапом в его разложении по базису (5) независимо от того, какой из однородных базисов Lie(X) мы используем. Автор благодарен Л. А. Бокутю за полезные замечания. Также он хотел бы высказать благодарность В. А. Шарафутдинову, чьи вопросы послужили толчком к этой работе. 1. Базисы khXi Пусть zi , i ∈ N, — линейный базис Lie(X), удовлетворяющий следующим условиям: 1) zi = xi при i ≤ n; 2) zi = [zj , zk ] для некоторых k < j < i при i > n. Этими свойствами обладают, например, базис Холла [2] и вообще любой (соответствующим образом упорядоченный) базис из лиевских слов. По теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта произведения (5) вместе с единицей образуют линейный базис алгебры khXi (обычно используется обратный порядок, но это несущественно). Лемма 1. Произведения вида zi1 zi2 zi3 . . . zim , i1 ≥ i2 ≥ i3 ≥ · · · ≥ im > n, вместе с единицей образуют линейный базис алгебры R. Доказательство. Фактически требуется доказать, что элемент из khXi лежит в R тогда и только тогда, когда в его разложении по базису (5) отсутствуют zi с i ≤ n. По индукции легко доказывается, что zi ∈ R, i > n. Также ∂ R = 0 для всех 1 ≤ i ≤ n. по индукции ∂x i Пусть khZi = kh{z1 , z2 , . . . , zn , . . . }i — свободная алгебра, V (Z) ⊂ khZi — линейная оболочка упорядоченных мономов (5). Рассмотрим гомоморфизм θ : khZi → khXi, переводящий zi в соответствующий элемент khXi. Понятно, что ограничение его на V (Z) является линейным изоморфизмом. Пусть u ∈ R — некоторый элемент подалгебры Шпехта и u ˆ ∈ V (Z) — ˆ 7→ u. Легко его прообраз (или, что то же самое, его разложение), т. е. θ : u проверить, что при i ≤ n имеет место равенство ∂θ(zj ) = δij . ∂xi
Свободная ассоциативная алгебра
545
Следовательно, при этом условии θ:
∂ ∂ zj 7→ θ(zj ), ∂zi ∂xi
θ:
∂ ∂ u ˆ 7→ u = 0. ∂zi ∂xi
поэтому
∂ ∂ u ˆ ∈ V (Z), тем самым ∂z u ˆ = 0. Для элемента V (Z) это означает, что он Но ∂z i i не содержит zi , что и требовалось доказать. Заметим, что из доказательства также следует равенство \ ∂ R(k, X) = ker , khXi , (6) ∂xi 1≤i≤n
которое можно считать еще одним определением R. Фактически и это утверждение, и аналог леммы 1 имеются у В. Шпехта, только в [1] ход рассуждений обратный: «собственные» формы определяются как переходящие в нуль при дифференцированиях, а затем показывается, что они выражаются через коммутаторы. Из леммы вытекает, что R является универсальной обертывающей квадрата Lie(X). Лемма 2. khXi — свободный R-модуль с базисом, состоящим из произведений xi1 xi2 xi3 . . . xim , n ≥ i1 ≥ i2 ≥ i3 ≥ · · · ≥ im . (7) Это сразу следует из предыдущей леммы. Лемма 3. Пусть ϕi ∈ khXi, i ∈ J, образуют базис khXi как R-модуля. Пусть ψi , i ∈ J, — многочлены вида X ψ i = ϕi + rij ϕj , (8) j
где rij ∈ R, причем deg ϕj < deg ϕi при rij 6= 0. Тогда ψi тоже базис модуля. Здесь J — некоторое множество индексов (которое обязано быть счетным). Доказательство. Обозначим R-модуль, порожденный ψi , через A. Предположим, что ϕk — элемент наименьшей степени, не лежащий в A. Тогда X ψ k − ϕk = rkj ϕj j
и правая часть принадлежит A, а левая нет. Следовательно, A = khXi. Теперь предположим, что X qi ψi = 0 i
для некоторых qi ∈ R, не все из которых равны нулю. Тогда X X q i ϕi + qi rij ϕj = 0. i
ij
Если полином ϕj присутствует во второй сумме, т. е. для некоторого индекса i qi rij 6= 0, то по условию deg ϕj < deg ϕi . Значит, в левой части равенства
546
А. В. Гаврилов
элементы ϕi наибольшей степени (из тех, для которых qi 6= 0) присутствуют только в первой сумме. Поэтому коэффициент при них отличен от нуля, что противоречит условиям леммы. Теперь мы можем доказать теорему 1. Выберем в качестве ϕi упорядоченные мономы (7) из леммы 2. Нетрудно видеть, что Ab(ϕi ) образуют линейный базис k[X]. Тогда полиномы ψi = λ(Ab(ϕi )) составят линейный базис λ(k[X]). Имеет место разложение X ψ i = ϕi + rij ϕj , j
причем deg ψi = deg Ab(ϕi ) = deg ϕi . Применив к нему гомоморфизм Ab, получим X Ab(rij )Ab(ϕj ) = 0. j
Видно, что Ab(r) ∈ k для любого r ∈ R. Поскольку Ab(ϕj ) линейно независимы, все Ab(rij ) равны нулю; это означает, что свободные члены rij равны нулю. Пусть rµ , µ ∈ M , — базис R из леммы 1. Легко видеть, что этот базис однороден. Полиномы ϕi также однородны, поэтому произведения rµ ϕi , µ ∈ M , i ∈ J, образуют однородный базис khXi. Следовательно, в разложении X ψ i − ϕi = rij ϕj j
степени слагаемых в правой части не превосходят степени многочлена в левой: deg rij + deg ϕj ≤ deg(ψi − ϕi ) ≤ deg ϕi , rij 6= 0. Поскольку полиномы rij не могут быть отличными от нуля константами, имеем deg ϕj < deg ϕi ,
rij 6= 0.
Мы видим, что условия леммы 3 выполнены, и потому ψi образуют базис khXi как R-модуля и одновременно линейный базис λ(k[X]), откуда следует утверждение теоремы. 2. Экспоненциальная формула Пусть α = (α1 , α2 , . . . , αn ), β = (β1 , β2 , . . . , βn ) — мультииндексы. Ниже мы будем использовать следующие стандартные обозначения: n Y αi ! α! = i=1
— факториал мультииндекса, α! , если β ≤ α, α = β!(α−β)! β 0 иначе — биномиальный коэффициент, n X |α| = αi i=1
— модуль α. Введем оператор Q : khXi → khXi, n X ∂u Q : u 7→ xi . ∂x i i=1
(9)
Свободная ассоциативная алгебра
547
Лемма 4. Имеет место равенство Qsα = |α|sα .
(10)
Доказательство. Пусть u = a1 a2 . . . am , где aj ∈ {x1 , . . . , xn }, 1 ≤ j ≤ m. Нетрудно видеть, что Qu =
m X
a1 . . . aj−1 aj+1 . . . am aj ;
j=1
в каждом мономе справа элемент aj переставлен в конец. Следовательно, Qσu =
m X 1 X aπ(1) . . . aπ(j−1) aπ(j+1) . . . aπ(m) aπ(j) = mσu, m! π j=1
поскольку все внутренние суммы равны. В частности, n X ∂ sα xi = |α|sα . ∂xi i=1 Если β = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (единица на i-м месте), то α ∂ α sβ = xi , = αi , sα = αi sα−β = sα−β . ∂xi β β Поэтому равенство (10) можно переписать в виде X α sα−β sβ = |α|sα . β
(11)
|β|=1
Имеется интересное следствие формулы (10), которое мы приведем, хотя оно и не имеет отношения к доказательству. Так как для всякого r ∈ R, очевидно, Qru = rQu, то X X Qu = Q rα (u)sα = |α|rα (u)sα . α
α
Отсюда следует разложение khXi =
∞ M
ker(Q − nI, khXi),
n=0
где I — тождественный оператор. Заметим, что полилинейный аналог равенства R = ker(Q, khXi) имеется у В. Шпехта, но в несколько иной формулировке [1, теорема 13]. Лемма 5. Имеет место равенство X α Dn sα = n! sα−β y β . β |β|=n
Доказательство. Нетрудно видеть, что n X X α ∂ sα yi = sα−β y β , Dsα = ∂xi β i=1 |β|=1
(12)
548
А. В. Гаврилов
так что при n = 1 формула (12) верна. Теперь по индукции X X X α−δ n+1 δ α δ+γ α D sα = Dn! sα−δ y = n! sα−δ−γ y δ δ γ |δ|=n |δ|=n |γ|=1 X X X X α δ+γ α β = n! sα−δ−γ y δ+γ = n! sα−β y β δ+γ γ β γ |δ|=n |γ|=1 |β|=n+1 |γ|=1 X α = (n + 1)! sα−β y β . β |β|=n+1
Здесь мы ввели обозначение β = δ + γ и воспользовались очевидным соотношением X β = |β|. γ |γ|=1
Лемма 6. Имеет место равенство X α n α α−β y = n! y sβ . β
(13)
|β|=n
Доказательство. Аналогично предыдущему n X X ∂ α α y xi = y α−β sβ y α = . ∂y β i i=1 |β|=1
Теперь по индукции X X X δ+γ α α n+1 α α−δ α−δ−γ y = n! y sδ = n! y sδ sγ γ δ δ+γ |δ|=n |δ|=n |γ|=1 X X X α β α = n! y α−β sβ−γ sγ = (n + 1)! y α−β sβ β γ β |β|=n+1
|γ|=1
|β|=n+1
согласно (11). Лемма доказана. Применив лемму 6 к очевидному тождеству n+m = n m , получим формулу X α |α| sα−β sβ = sα , (14) β n |β|=n
обобщающую (11). Перейдем к доказательству теоремы 2. Прежде всего по лемме 5 X ∞ X ∞ X X Dn sα β α β α = sα−β y = sα−β y . exp(D)sα = n! β β n=0 n=0 |β|=n
Аналогично по лемме 6 X ∞ X ∞ X X α α n y α α−β α−β α = y sβ = y sβ . exp()y = n! β β n=0 n=0 |β|=n
β
Сравнив (15) с (16), мы видим, что exp()y α = exp(D)sα . Поэтому X X exp()ρ(u) = rα (u) exp()y α = rα (u) exp(D)sα = exp(D)u, α
откуда следует утверждение теоремы.
(15)
β
α
(16)
Свободная ассоциативная алгебра
549
ЛИТЕРАТУРА 1. Specht W. Gesetze in Ringen. I // Math. Z. 1950. Bd 52, N 5. S. 557–589. 2. Hall M. A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc. Amer. Math. Soc.. 1950. V. 1, N 5. P. 575–581. 3. Ширшов А. И. О свободных кольцах Ли // Мат. сб.. 1958. Т. 45, № 2. С. 113–122. 4. Ширшов А. И. О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика. 1962. Т. 1, № 1. С. 14–19. 5. Бокуть Л. А. База свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика. 1963. Т. 2, № 4. С. 13–20. 6. Reutenauer Ch. Free Lie algebras. Oxford: Clarendon Press, 1993. Статья поступила 11 декабря 2002 г. Гаврилов Алексей Владимирович Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090
[email protected] 