Редкоземельные ионы в магнитоупорядоченных кристаллах

АЯЗВЕЗДИН ам. МАТВЕЕВ АЛ МУХИН АН ПОПОВ

РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫЕ ИОНЫ В МАГНИТОУПОРЯ ДОМЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ

МОСКВА "НАУКА" ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1985

ББК 22.334 3 43 УДК 537.61

Звездин А.К., Матвеев В.М., Мухин А.А., Попов А.И.Редкоземель­ ные ионы в магнитоупорядоченных кристаллах. - М.: Наука. Глав­ ная редакция физико-математической литературы, 1985. — 296 с. В книге дано систематическое изложение теоретических методов исследова­ ния физических свойств редкоземельных магнитных материалов. Подробно изложены свойства редкоземельного иона в магнитоупорядоченном кристал­ ле, его взаимодействие с кристаллическим и внешним магнитным полем, обменные, дипольные, квадрупольные и магнитоупругие взаимодействия. Рассмотрены природа магнитного упорядочения и магнитные фазовые перехо­ ды в широком классе редкоземельных кристаллов. Для научных работников и инженеров, занимающихся исследованиями в области магнетизма, физики твердого тела, а также аспирантов и студентов, специализирующихся в этих областях. Табл. 27. Ил. 98. Библиогр. 460 назв.

Рецензент доктор физико-математических наук Д. И. Хамский

3 *704в^вв0в~*52 053(02)-85 "

"

© Издательство "Наука", Главная редакция физико-матема!ической литературы, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие

b

Глава

9

1. Свободный редкоземельный ион § 1. Энергетический спектр и волновые функции § 2. Применимо ли приближение L 5-связи для описания редкозе­ мельных ионов? § 3. Взаимодействие свободного редкоземельного иона с магнитным полем

Глава

2. Редкоземельный ион в кристаллическом поле

9 16 18 20

§ 1. Гамильтониан кристаллического поля § 2. Симметрия кристаллического окружения. Энергетический спектр и волновые функции редкоземельного иона в кристалли­ ческом поле § 3. Суперпозиционная модель кристаллического поля

27 37

3. Взаимодействие редкоземельного иона с магнитным полем. Ме­ тод спин-гамильтониана

43

1. 2. 3. 4. 5.

44 49 53 58

Глава § | | § §

Спиновый гамильтониан Крамерсовские дублеты Случайные некрамерсовские дублеты Изинговские ионы Ванфлековские слагаемые в спин-гамильтониане. Общая карти­ на влияния магнитного поля на спектр редкоземельного иона . . § 6. "Замораживается" ли орбитальный момент редкоземельных ионов в кристаллическом поле? Глава

4. Обменные взаимодействия § 1. Гамильтониан Гейзенберга - Дирака - Ван Флека 2 Гамильтониан прямого обмена

!

3. 4. 5. 5.

Сверхобменное взаимодействие Анизотропный обмен. Модель s — р-молекулы Ван Флека . . . . Анизотропные обменные R — Г е- и R ~ R-взаимодействия . . . . Глава Магнитоупругие, упругие и квадруполь-квадрупольные взаимо­ действия § I. Упругая энергия кристаллов § 2. Одночастичное магнитоупругое взаимодействие § 3. Двухчастичное магнитоупругое взаимодействие 1*

21

62 64 67 68 69

74 81 90 93 93 94 99 3

§ 4. Вращательная инвариантность и магнитоупругие действия § 5. Квадруполь-квадрупольное взаимодействие Глава

взаимо­

6. Статистическое описание системы взаимодействующих /- и rf-ионов § 1. Термодинамический потенциал неравновесного состояния . . . . § 2. Термодинамический потенциал неравновесного состояния си­ стемы /-ионов § 3. Термодинамический потенциал системы d- и /-ионов

Глава

7. Слабоанизотропные редкоземельные магнетики § 1. Термодинамический потенциал § 2. Температурная зависимость констант анизотропии

Глава

8. Влияние кристаллического поля на восприимчивость и темпера­ туру магнитного упорядочения § I. Магнитная восприимчивость § 2. Температура магнитного упорядочения

Глава

9. Сильноанизотропные (изинговские) магнетики. Метамагнитные фазовые переходы § 1 Изинговский ферромагнетик § 2. Процессы намагничивания и метамагнитные фазовые переходы в изинговских антиферромагнетиках § 3. Фазовые Н - Г-диаграммы изинговского антиферромагнетика . § 4. Взаимодействие антиферромагнитного параметра порядка с од­ нородным магнитным полем. Модифицированные фазовые диаграммы § 5. Метамагнитные переходы в редкоземельных кубических анти­ ферромагнетиках. ДиспрозиевыЙ алюминат-гранат § 6. Метамагнитные переходы в ромбических антиферромагнетиках. Редкоземельные ортоалюминаты § 7. Метамагнитные переходы в / — «/-системах. Редкоземельные ортоферриты

100 102 103 104 107 111 ИЗ 114 115 120 120 124 127 128 135 142 149 152 156 160

Г л а в а 10. Синглетное основное состояние и индуцируемый магнитный порядок

167

| 1. Двухуровневая модель синглетного магнетизма § 2. Экспериментальные исследования синглетного магнетизма . . . .

167 .172

Г л а в а 11. Пересечение энергетических уровней (кроссовер) в редкозе­ мельных магнетиках

* '5

§ 1. Кроссовер и неустойчивость магнитной структуры кристалла. Магнитный аналог эффекта Яна - Теллера § 2 . Элементарные модели магнитных ян-теллеровских переходов . . 1 3. Парамагнитный "газ" кроссовер-ионов в ферромагнитной мат­ рице. Кроссовер в ферримагнетиках § 4 . Кроссовер в редкоземельных изинговских ортоферритах § 5. Кроссовер в системе взаимодействующих /-ионов 4

176 179 182 186 190

Г л а в а 12. Магнитоупругие эффекты § 1. § 2. | 3. | 4. §5.

Феноменологическая теория магнитострикции Элементы микроскопического подхода Магнитострикция кристаллов с tf-ионами Магнитострикция редкоземельных соединений Магнитоупругость и электрон-вращательное взаимодействие . . .

Г л а в а 13. Редкоземельные соединения со структурой граната § 1. Кристаллографическая структура § 2. Обменные взаимодействия в редкоземельных ферритах-гра­ натах § 3. Кристаллические поля, действующие на магнитные ионы в гранатах § 4. Термодинамический потенциал редкоземельных ферритов-гра­ натов § 5. Энергетический спектр редкоземельных ионов в ферритах-гра­ натах в кристаллическом, обменном и внешнем магнитном полях § 6. Намагниченность подрешеток в редкоземельных ферритахгранатах § 7. Механизмы магнитной анизотропии редкоземельных ферритовгранатов § 8. Магнитная анизотропия редкоземельных ферритов-гранатов в приближении изотропного обмена § 9. Влияние анизотропного обмена на магнитную анизотропию ред­ коземельных ферритов-гранатов § 10. Магнитная структура, магнитная анизотропия и магнитострик­ ция европисвого феррита-граната § 11. Магнитострикция редкоземельных гранатов | 12. Эффекты электрон-вращательного взаимодействия § 13.Спонтанные ориентационные переходы в редкоземельных фер­ ритах-гранатах § 14.Индуцированные полем ориентационные фазовые переходы в редкоземельных ферритах-гранатах Г л а в а 14. Редкоземельные ортоферриты. Негейзенберговское обменное взаимодействие § I. Магнитная симметрия редкоземельных ортоферритов. Термоди­ намический потенциал {/-подсистемы | 2. R — Ре-взаимодействие в орт ©ферритах | 3. Термодинамический потенциал редкоземельных ортоферритов . § 4. Негейзенберговский / — ; Er3*: | 4 / 9 / 2 > = 0 , 6 2 7 | 4 / ) - 0 , 4 1 6 i 4 F > -0,342| 2 -G,219| 2 #> +0,276| 2 G') + 0,438i 2 #'>. Видно, что доля основного терма 4 / в мультиплете 419/2 (обозначение которого уже нужно понимать в условном смысле) составляет менее 39%, а остальное приходится на возбужденные термы. Это связано с до­ вольно сильным спин-орбитальным взаимодействием в ионе Ег3+ по срав­ нению с ионом Nd3+ . Праметры F2, ? и х для редкоземельных ионов приведены в табл. 1.2. Мы изложили выше теоретическую схему расчета и классификации уров­ ней энергии свободного редкоземельного иона. Сравнение эксперименталь­ ных и теоретических результатов показывает, что эта схема дает адекватТ а б л и ц а 1.2 Значения параметра Слэтера F^ и параметра спин-орбитальной связи $* для редкоземельных ионов Теория

Эксперимент

HOHR*

Се 3 * Рг3+ Nd3+ Sm3+ Eu 3 + Gd 3 + Tb 3 + Dy 3 + Ho3+

Er* Tu 3 + Yb 3 *

2. A.K. Звездин

Fi

r

453 477 498 532 565 589 616 642

830 980 1130 1480

2310

2830

3400

F*

320 327 370 401 408 434 420 450 433 447 —

r 640 759 885 1200 1320 1470 1705 1900 2163 2393 2617 2883

1l

X = J"/F,

2,37 2,70

3,2 3,29 3,60 3,93

4,5 4,8 5,53 5,86

—

17

ную классификацию энергетических уровней ионов (т.е. обеспечивает возможность идентификации экспериментально наблюдаемых уровней). Что касается конкретных значений энергий, то здесь имеется совпадение только по порядку величин (табл. 1.2). Следовательно, рассчитанные волновые функции энергетических уровней иона также должны сущест­ венно отличаться от реальных. Все это необходимо принимать во внимание при построении теоретических моделей, описывающих магнитные свойства редкоземельных ионов в магнитоупорядоченных кристаллах. Вполне возможно, как считают некоторые авторы [4], что основная причина расхождения теории с данными эксперимента заключается в пре­ небрежении взаимодействием конфигураций, причем важен учет всех возможных конфигураций иона. Последовательный учет конфигурацион­ ного взаимодействия представляет собой довольно сложную задачу и требует использования новых математических методов в теории атомной спектроскопии [5,6]. § 3. Взаимодействие свободного редкоземельного иона с магнитным полем Рассмотрим вопрос о взаимодействии свободного редкоземельного иона с внешним магнитным полем. Гамильтониан взаимодействия иона с магнитным полем (зеемановский гамильтониан) записывается в виде Xz=VB{L + 2S)H = vB{J + S)H (1) или, если ось z системы координат направить вдоль поля Я, в виде И2=дв(7г+£)Я.

(2)

На волновых функциях \LSJM)отличными от нуля являются следующие матричные элементы этого гамильтониана: {LSJM\Kz\lSJM)=gjixBMH, (За) (LS,J+ 1 М№г\1ММ)

= ^цв№+1)2

-M2]V2H,

(36)

где 7 ( 7 + l ) + S ( S + l ) - L ( Z , + l) g, = 1 +

, 2/(/+1) (J + L+S + 2)(-J + L+S)(J-L+S+\)(J

J

8j

=

2

4 ( / + 1 ) ( 2 У + 1 ) ( 2 / + 3)

(4а) +

L-S+\)

1/2

•

(46)

Недиагональные по J матричные элементы (36) можно учесть по теории возмущений. Они дают квадратичные по И поправки к энергиям уровней основного мультиплета. Если ими пренебречь, то для намагниченности редкоземельных ионов получим известное выражение M^Ngj^JBjigj^JHjT),

(5)

где N — число редкоземельных ионов в единице объема вещества, Bj (v) 18

функция Бриллюэна: 2/ + 1 U +1 1 1 В,(у)= cth v cth—у. 3 2J 2J 2J 2J В слабом поле, когда #, М в ^ ^ Ту M = xH = NJ{J+\)g)n2BHj3T.

(6)

(7)

Квадратичные по Н добавки к энергии уровней основного мультиплета несколько изменяют зависимость М -М{Н, Т) по сравнению с формулами (5) и (7). В частности,они приводят к тому, что при.)' > 1 намагниченность продолжает слабо возрастать с увеличением поля; в формуле (7) появляет­ ся дополнительное малое слагаемое, линейно зависящее от поля. Трехвагетные ионы европия и самария. У ионов Ей34" и Sm3+ первые возбужденные мультиплеты отделены от основного мультиплета сравни­ тельно небольшим энергетическим интервалом, поэтому возбужденные мультиплеты необходимо учитывать при расчетах намагниченности и вос­ приимчивости. Восприимчивость ионов можно представить формулами [7] 0,1241 Eu

xT 0,2482

Sm

xT

24 + (13,5х- 1,5)*>-* + (67,5.x- 2,5)e" 3 * + . I + 3 e " v + 5e>-3* + ...

(8)

1,07л: + 3.67 + (21,45* + 0,82) е~ 7А/2 3+4е" 7 *'' 2

(9)

где х= \/Т и константа спин-орбитальной связи X определяется формулой Гаудсмита _ me8(Z-of 2c2h4/z3(/+l)/(2/+l)S ' которая справедлива для терма, подчиняющегося правилу Хунда. В этой формуле / = 3. /7= 4; Z — атомное число редкоземельного иона (у лантана Z =57, у лютеция Z = 71); о - константа экранирования, принимающая значения между 30 и 38. Согласно Ван Флеку наилучшее согласие с магнит­ ными измерениями получается при а= 33 или 34. Объяснение Ван Флеком магнитных свойств ионов Ей3* и Sm3+ имело большое значение для теории магнетизма, так как оно продемонстрировало эффективность использования спектроскопических данных для понимания парамагнетизма редкоземельных ионов.

2*

ГЛАВА 2

РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫЙ ИОН В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Кристаллическое окружение играет важную роль в формировании электрон­ ных свойств парамагнитного иона в кристалле, которые могут очень сильно отличаться от свойств свободного иона. Это проявляется, например, в изменении характера взаимодействия иона с внешним магнитным полем, "замораживании" магнитного момента и т.п. В настоящей главе мы рас­ смотрим влияние кристаллического окружения на энергетический спектр и волновые функции редкоземельного иона и некоторые обусловленные этим влиянием эффекты. Очень важно, что в редкоземельных ионах 4/-электроны находятся в среднем довольно близко к ядру и в значительной мере экранированы от окружения внешними 5s- и 5р-оболочками. Поэтому ковалентность с участием 4/-электронов обычно невелика (хотя, как мы увидим ниже, ее все же нужно принимать во внимание), и хорошим приближением для определения спектра и волновых функций редкоземельного иона является теория кристаллического поля. Сильное экранирование определяет и отно­ сительно небольшую величину (порядка 10—1Q2 см" 1 ) энергии взаимодей­ ствия 4/-электронов с кристаллическим полем. Эта энергия значительно меньше энергии спин-орбитальной связи и корреляционной энергии. Таким образом, в случае редкоземельных ионов кристаллическое поле не наруша­ ет схему построения энергетического спектра свободного иона (см. гл. 1) и его можно считать возмущением, снимающим ( 2 / + 1)-кратное вырож дение мультиплетов и слабо смешивающим (во втором порядке теории возмущений) состояния с различными / . При этом полный угловой момент / приближенно остается "хорошим" квантовым числом. При обсуждении кристаллического поля обычно исходят из электроста­ тической модели, рассматривающей расщепление энергетических уровней данного парамагнитного иона в кристалле как чисто штарковское расщеп­ ление в электрическом поле, создаваемом остальными ионами. Однако анализ экспериментальных данных показывает, что в наблюдаемые рас­ щепления уровней редкоземельных ионов наряду с электрическим полем заметный, а иногда и определяющий вклад, дают эффекты ковал ентности. корреляционные эффекты и т.д. Поэтому, говоря о применимости теории кристаллического поля для описания свойств редкоземельных ионов в кристаллах, мы имеем в виду некоторое обобщенное кристаллическое поле, включающее в себя все взаимодействия, которые допускают стан­ дартную параметризацию в виде гамильтониана, подобного гамильтониан) 20

электростатической модели. Именно такая трактовка кристаллического поля сложилась в последнее время. Тем не менее электростатическая модель может служить основой для качественного анализа влияния кристаллического окружения на свойства иона и отправной точкой для построения более общих моделей. Поэтому в первую очередь мы кратко изложим основные результаты, касающиеся этой модели, и те общие следствия, которые можно получить из нее, ис­ пользуя только симметрию гамильтониана кристаллического поля. § 1. Гамильтониан кристаллического поля Процедура построения гамильтониана кристаллического поля в электро­ статической модели подробно описана в литературе [1, 2], поэтому мы отметим лишь основные этапы этой процедуры. Определяется потенциал электростатического поля К (/у), действующий на /-й электрон в 4/-оболочке. Он получается в результате суммирования потенциалов, создаваемых отдельными ионами кристалла, расположенными в окрестности рассматриваемого редкоземельного иона. Потенциал V (г,) раскладывается в ряд по сферическим функциям К(г,.)=1 ^ С ^ * , . ) , (1) пт

где г., вп \pf - координаты /-го электрона, Y%(Bn ^ ) - сферические функ­ ции (гармоники), а™ — коэффициенты разложения. Чтобы разложение (1) было возможным, распределение заряда электронов 4/-оболочки не долж­ но перекрываться с распределением заряда ближайших соседних ионов (лигандов). Это основной критерий применимости теории кристаллическо­ го поля в ее классическом варианте. Потенциалы V (г7) для отдельных 4/-электронов умножаются на заряд электрона (—е) и затем суммируются. В результате получается гамильто­ ниан взаимодействия электронов 4/-оболочки с электрическим полем кристалла (гамильтониан кристаллического поля) # к Р = 2 - е К ( г . ) = 2 2 А™ г» 1^(0,.,*,), i

i

(2)

пт

где,С = - е С Гамильтониан (2) приводится к более простому и удобному виду путем проецирования его на совокупность электронных состояний иона, которые необходимо учитывать в данной конкретной задаче, а также за счет исполь­ зования симметрии кристаллического поля. Обсудим последний пункт более подробно. Тот факт, что мы рассматриваем 4/-электроны, пока никак не отражен в общем выражении (2) для Жкр. Поэтому прежде всего нужно спроеци­ ровать гамильтониан (2) на 4/л-конфигурацию. Такое проецирование соответствует отбрасыванию в разложении (2) слагаемых с п Ф 0, 2, 4, 6, поскольку все матричные элементы этих слагаемых на волновых функ­ циях 4/Л-конфигурации равны нулю. Действительно, принимая во внимание (1.1.1), нетрудно убедиться, что матричные элементы отдельных слагаемых гамильтониана (2) на детер21

минантных волновых функциях (1.1.2) для 4/-электронов пропорцио­ нальны интегралам

/ Ytm'\o, *) С («* *) yf (°> *)*«.

(3)

где / = 3. Произведения Y™ * Y™ в этих интегралах можно представить в виде линейных комбинаций сферических гармоник Y% с 0 < & < 2 / , так что в силу ортогональности сферических гармоник все интегралы с п> 2/ = 6 обращаются в нуль. Кроме того, преобразование инверсии коор­ динат приводит к появлению множителя (—1) у каждой из функций Y% в (3) и, следовательно, множителя (—1)н',,+ / = ( - 1 ) " у интеграла. Матричные элементы, очевидно, не изменяют знак при инверсии (они инварианты), поэтому должны обращаться в нуль и все интегралы (3), соответствующие слагаемым гамильтониана (2) с нечетным п, в частности сп= 1,3,5*). Из вещественности потенциалов V(г{) следуют соотношения А™ = А„т* между параметрами А™ в (2). Отбрасывая в (2) слагаемое с п~ О (несущественную константу), мы окончательно приходим к гамиль­ тониану кристаллического поля, который полностью определяется 27 не­ зависимыми параметрами. Дальнейшее уменьшение числа параметров кристаллического поля в гамильтониане 5Скр достигается при учете кон­ кретной симметрии окружения иона в кристалле. Кристаллические поля различной симметрии, характерные для редко­ земельных ионов в реальных кристаллах, будут обсуждаться в следующем параграфе, а сейчас мы кратко рассмотрим разработанный Стевенсом [3] метод эквивалентных операторов, который фактически представляет собой метод проецирования гамильтониана Жкр на более узкое, чем конфигурация, многообразие электронных состояний (волновых функ­ ций) иона. В случае редкоземельных ионов этим более узким многооб­ разием является мультиплет. Метод Стевенса позволяет значительно упрос­ тить процедуру расчета энергетического спектра редкоземельного иона в кристаллическом поле. Метод эквивалентных операторов. Параметры Стевенса. Хорошо извест­ но, что сферические гармоники Y%(d, и « 9 ^ связаны следующим образенс: + l ) / 4 » | V 2 R e > | « % л + 1)/4#] ^ f a n ^ r " ) .

гамильтониана для любого другого мультиплета не изменится, но значения коэффициентов ап будут другими. Величины а„ проще всего находить, вычисляя матричные элементы опе­ раторов 2y£(0/, ifi) и Y„ (/) на одной из волновых функций Ф мультипле­ та (самой простой); тогда ая-/. Коэффициенты Стевенса осп для основных мультиплетов редкоземельных ионов в рассел-саундеровском приближении приведены в табл. 2.3. Обобщенная модель кристаллического поля и определение параметров B™v. Полученный гамильтониан кристаллического поля имеет гораздо большую общность, чем сама электростатическая модель, которая исполь­ зовалась при его выводе. Когда говорилось о "стандартной параметри­ зации" взаимодействий редкоземельного иона с кристаллическим окруже­ нием, то имелось в виду представление этих взаимодействий именно в фор­ ме гамильтониана (8) или (4). Выше фактически была описана процеду­ ра параметризации электростатического взаимодействия. К сожалению, критерий применимости электростатической модели (от­ сутствие перекрытия распределений зарядов электронов парамагнитного иона и лигандов) не выполняется даже для редкоземельных ионов, поэ­ тому электростатическая модель не описывает реальных энергетических спектров этих ионов в кристаллах. Считая адекватной только форму га­ мильтониана (8), можно попытаться определить его параметры #£v из наилучшего согласия экспериментально наблюдаемых и рассчитываемых с его помощью расщеплений энергетических уровней ионов в кристалли­ ческом поле. Оказывается, что полученные таким образом параметры /^"(эксп) во многих случаях даже по порядку величин отличаются от параметров электростатической модели 2?^ "(мод). К некоторому улуч­ шению соответствия параметров /^"(эксп) и/^'"(мод) приводит учет экранировки 4/-электронов внешними 5s- и 5роболочками, которая умень­ шает величину эффективного потенциала, непосредственно действующего 25

Т а б л и ц а 2.3 Параметры Стевенса ап и факторы Ланде gj мельных ионов ИонЯ 3 *

только при \М'-М\ = 2р (р - целое число). Это следует из того факта, что в выражении (1) отсутствуют операторы 0%, О™ с нечетны­ ми т , а матричные элементы (М \ 0% \М) и инвариантна, а функция \А2) меняет знак при отражении в плоскости симметрии кристаллического поля. Мультиплеты некрамерсовского иона расщепляются на синглеты, и каждый синглет можно охарактеризовать представлением, по которому преобразуется его волновая функция. В некоторых случаях в позициях Cs наблюдается квазидублетная структура спектров некрамерсовских ионов [9, 10]. Квазидублет образуют два близко расположенных синглетных уровня, волновые функции которых могут относиться к одному или к разным представлениям Ах, А2 (от последнего обстоятельства зависит характер "расщепления" квазидублета в магнитном или обменном поле). В случае крамерсовских ионов (с нечетным числом 4/-электронов и полуцелым 7) матрица ||ЗСКр!1 разбивается на два комплексно сопряжен­ ных блока с одинаковыми собственными значениями. Спектр иона в кристалическом поле состоит из крамерсовских дублетов; каждый дублет опи­ сывается крамерсово сопряженными волновыми функциями

|+>= 2 Р=О

Cp\M = J-2p\

|-> = 2

Ср*\М = 2р-Л.

(3)

р=о

Как и в (2), коэффициенты Ср определяются величинами параметров кристаллического поля (для каждого дублета свой набор коэффициен­ тов С р ). П р и м е р ы . В качестве иллюстрации рассмотрим расщепление в кристаллическом поле с симметрией Cs мультиплета некрамерсовского иона с 7 = 2 и мультиплета крамерсовского иона с 7 = 5/2. Такие значения 7 выбраны не случайно. С одной стороны, это минимальные 7, при которых в волновых функциях (2), (3) еще отражается отличие С5-позиций от по­ зиций с более высокой симметрией (например, £) 2 ), а с другой стороны, при 7 = 2 и 7 = 5/2 в гамильтониане (1) можно отбросить слагаемые с л = 6 * ) . Учитывая чисто иллю