小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技術 の発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 ...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技術 の発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知識 の応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな け れ ば,知 識 の 活用 も多 きを望 め な い で あ ろ う. 編 者 らは,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ とを 目的 と して本 シ リーズ の 刊 行 を企 画 した の で あ る. 上 の主 旨に した が って 本 シ リー ズで は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 んで 高 等 数 学 の 理 解 へ の大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 かれ て あ る. これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や 技 術 関係 の 人 々の 参 考書 と し て,ま
た学 生 の入 門書 と して,ひ
ろ く利用 され る こ とを 念願 と して い る.
こ の シ リーズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇 へ招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資す る とと も に,つ ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を養 う に 役 立 つ こ とを 意 図 した もの で あ る.
は 境 界 値 問 題 は,常
じ
め
に
微 分 方 程 式 と偏 微 分 方 程 式 の 双 方 に ま た が り,解 析 学 の他
の 分 野 と も密 接 な つ な が りを 持 つ 魅 力 的 な 研 究 対 象 で,微
分方 程 式論 の中 で主
要 な 位 置 を 占 め て い る. 本 書 は,境 界 値 問 題 の 理 論 の基 礎 的 な 部 分 を,2階 トライ トを 当 て な が ら紹 介 した も の で,4つ 格 を 持 つ 第1章 で2階
で2階
線 型 微 分方程 式 に ス ポ ッ
の章 か ら成 って い る.予 備 的 な 性
線 型 常 微 分 方 程 式 に 関 す る基 本 事 項 を 述 べ た 後,第2章
線 型 常 微 分 方 程 式 に 対 す る境 界 値 問 題 と固 有 値 問 題 を,第3章
数 に よ る展 開 の 問 題(い わ ゆ る フ ー リエ 級 数 の理 論)を,最
で固有 関
後 の 章 で2階
線型 偏
微 分 方 程 式(数 理 物 理 学 の 基 本 方 程 式)に 対 す る境 界 値 問 題 や 初 期 ‐境 界 値 問 題 を,い ず れ も 出 来 る限 り平 易 に 解 説 した.こ
の シ リー ズ の 中 に 「積 分 方 程 式 入
門 」(溝畑 茂 著)が 刊 行 さ れ て い る事 情 を 考 慮 して,本 書 で は,積 基 づ く境 界 値 問 題 の 考 察 は 割 愛 した.こ な お,殆
の 点 に 読 者 の 注 意 を 喚 起 し て お きた い.
どす べ て の 節 の 終 りに 演 習 問 題 を つ け て お い た.数
本 書 の 程 度 を越 え る難 問 は な い.(多
分方 程 式論 に
は 少 な くな い が,
少 手 応 え の あ りそ うな 問 題 に は*印
した.)邦 文 で 書 か れ た こ の 方 面 の 専 門 書 が 数 少 い 現 状 の 中 で,本
を付
書 が い く らか
で も 存 在 理 由 を 持 つ こ とを 筆 者 は ひ そ か に 願 って い る.読 者 諸 賢 の御 批 判,御 叱 正 を 請 う次 第 で あ る. 終 りに,本 書 を 執 筆 す る 機 会 を 与 え て 下 さ った 恩 師 東 京 大 学 名 誉 教 授 福 原 満 洲 雄 先 生,お
よび 判 読 し難 い 拙 稿 を 克 明 に 検 討 さ れ 数 々 の 有 益 な 助 言 を 与 え ら
れ た 親 友 広 島 大 学 助 教 授 河 野 實 彦 氏 に 心 か ら感 謝 の 意 を 表 した い.ま
た,朝 倉
書 店 編 集 部 の 方 々 の た え ざ る お 力 添 え に 対 して も厚 く御 礼 申 し上 げ た い. 1971年7月 広 島県 安芸郡 に て 草
野
尚
目
1. 2階
次
線型 常 微分 方 程 式
1
1.1
初 期値 問題
1
1.2
一
7
1.3
級 数 に よ る 解 法 Ⅰ(正 則 点 の 場 合)
18
1.4
級 数 に よ る 解 法 Ⅱ(確 定 特 異 点 の 場 合)
27
1.5
ベ ッセル微 分方 程式
般
解
39
2. 境 界 値 問 題 と 固 有 値 問 題
47
2.1
境 界値 問題
47
2.2
グ リー ン関 数
51
2.3
広 義 の グ リー ン関 数
57
2.4
特 異境 界値 問題
63
2.5
変 分 学 と境 界 値 問 題
67
2.6
固有 値 問題
2.7
プ リ ュ ー フ ァ変 換 と ス ツル ム の 比 較 定 理
2.8
固 有 値 と固 有 関 数 の 存 在
2.9
特 異 な ス ツル ム ・リ ウ ビル 系
75 83 91 96
2.10 リ ウ ビル の 標 準 形 と変 形 プ リュ ー フ ァ変 換
100
2.11 固 有 値 と固 有 関 数 の 漸 近 的 性 質
106
3. 固 有 関 数 に よ る 展 開(フ ー リエ 級 数 の 理 論) 3.1
直 交 関 数 系 と フ ー リエ 級 数
3.2
完全 な直交 関数 系
3.3
三 角 フ ー リエ 級 数 Ⅰ(各 点 収 束)
3.4
三 角 フ ー リエ 級 数 Ⅱ(一 様 収 束,完
112
112 116 120
全 性)
125
3.5
ヒ ル ベ ル ト空 間
3.6
変 分 問題 との関 連 Ⅰ
3.7
変 分 問 題 と の 関 連 Ⅱ
149
3.8
グ リー ン関 数 と 固 有 関 数 展 開
154
4. 2階 4.1
線 型 偏 微 分 方 程 式 と境 界 値 問 題 2階 線 型 偏 微 分 方 程 式
134 144
168 168
4.2
熱 伝導 方 程式
176
4.3
波 動 方程式
185
4.4
ラ プ ラスの方程 式
199
4.5
グ リー ンの 公 式
213
4.6
グ リー ン関 数
221
4.7
球 面 調 和関 数
演 習 問 題 の 解 答,ヒ 索
引
229
ン ト
242 255
1. 2階 線 型 常 微 分 方程 式
1.1 初 期 値 問 題 xを 実 変 数,yをxの(一
般 に 複 素 数 値 を と る)未 知 関 数 とす る.yの
導 関数
を含 んだ関 係式 (1.1)
をn階 (1.1)を
F(x,y,y′,…,y(n))=0
の 常 微 分 方 程 式 と 呼 ぶ.特
に,Fがy,y′,…,y(n)の1次
線 型 の 微 分 方 程 式 と 言 う.そ
式 で あ る と き,
の一 般形 は
(1.2)
で あ る.線
型 微 分 方 程 式(1.2)は,pn+1(x)≡0の
と き 斉 次,
の と
き 非 斉 次 と 言 わ れ る.
理 論,応 用 の 両 面 に お い て こ とに 重 要 な の は,2階
線型 微分 方 程 式
(1.3)
で あ る.例えば,物
理 数 学 で は,次
の よう な'固 有 名 詞'の 付 い た 微 分 方 程 式
が しば し ば登 場 す る. エ ア リ ィ(Airy): y″+xy=0, ベ ッ セ ル(Bessel):
x2y″+xy′+(x2−
チ ェ ビ シ ェ フ(Chebyshev): オ イ ラ ー(Euler):
α2)y=0,
(1−x2)y″−xy′+α2y=0, x2y″+αxy′+βy=0,
ガ ウ ス(Gauss):
x(1−x)y″+[γ−(α+β+1)x]y′−αβy=0,
エ ル ミ ー ト(Hermite): ラ ゲ ー ル(Laguerre): ル ジ ャ ン ド ル(Legendre):
y″−2xy′+αy=0, xy″+(1−x)y′+αy=0, (1−x2)y″−2xy′+α(α+1)y=0. (α,β,γ
は 定 数)
本 書 で は,こ の 種 の2階 線 型 常 微 分 方 程 式 を 中 心 に 議 論 を 進 め て ゆ く. あ る関 数φ(x)が
区 間Jで
微 分 方 程 式(1.3)を
満 た す と き:
p0(x)φ φ(x)を
は,任
区 間Jに
″(x)+p1(x)φ′(x)+p2(x)φ(x)=p3(x),x∈J, お け る(1.3)の
意 の 定数c1,c2に
解 と 言 う.例
対 し て,区
え ば,
間(−∞,∞)に
おけ る
y″+y=ex
の 解 で あ る.ま
た,関
数
y=c1cos(αarc
は,c1,c2が <xx0な
ら ば,
即 ち,
x<x0な
ら ば,
即 ち,
同 様 に,(1.15)の x>x0な
非 増 加 関 数 で あ る.よ
≦0
っ て,
左 半 分 か らは
な らば
ら ば
が 得 られ る.従 っ て,u(x)は
次 の 不 等 式 を 満 た す:
(1.16) (1.14)に
よ りu(x0)=0で
と な り,解
あ る か ら,(1.16)に
よ り,u(x)≡0,従
っ てz(x)≡0
の 一 意 性 が 証 明 さ れ た.
以 上 の 議 論 を ま と め る と,次 定 理1.1
p(x),q(x),f(x)は
意 に 固 定 さ れ た 点,α,α
の 基 本 定 理 が 得 ら れ る. 区 間Jで
連 続 な 関 数 と す る.x0はJ内
′は 任 意 に 与 え られ た 定 数 と す る.こ
の と き,微
の任 分方
程式 y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) の 解 で,初
期 条件 y(x0)=α,y′(x0)=α
を 満 足 す る も の が 区 間Jに
′
お い て 一 意 的 に 存 在 す る.
演 習 問 題1.1 1. 次 の 関 数 は 括 弧 内 の微 分 方 程 式 の解 で あ る こ とを 確 か め よ.c1,c2は す る. (a)
(b) (c) (d)
(e)
y=c1coshx+c2sinhx
(y″ −y=0).
任 意定数 と
2. 定 理1.1の
証 明 で 用 い た 逐 次 近 似 法 に よ っ て,次
(a)
y″+y=0,y(0)=1,y′(0)=1.
(b)
y″−xy=0,y(0)=1,y′(0)=0.
3. p(x),q(x),f(x)は
区 間Jで
連 続 と す る.微
の 初 期 値 問 題 の 解 を 求 め よ.
分 方程 式
y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) の 解 で,初
期 条件 y(x0)=α,y′(x0)=α′;y(x0)=β,y′(x0)=β
を 満 た す も の を,そ
とお け ば,次
れ ぞ れ,φ(x),ψ(x)と
′
す る.
の 不 等 式 が 成 立 つ こ とを 証 明 せ よ.
4*. p(x),q(x),r(x),f(x)が
区 間Jで
連 続 な ら ば,3階
の正 規 型 微 分 方 程 式 に 対
す る初期 値 問題 y″′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y=f(x), y(x0)=α,y′(x0)=α′,y″(x0)=α は,区
間Jに
″
お い て 一 意 的 な 解 を 持 つ こ と を 証 明 せ よ.x0はJの
定 点,α,α
′,α″ は
与 え ら れ た 任 意 の 定 数 と す る.
1.2
一
般
前 節 の 定 理1.1を
解 活 用 し て,2階
線型 常微 分 方 程 式 の解全 体 の集 合が どの よ
う な 構 造 を 持 っ て い る か を 調 べ よ う. p0(x),p1(x),p2(x)を
区 間Jで
連 続 な 関 数 と し て,
p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y
を考 え る.こ 乗 法,加
れ は,(少
な く と も)2回
法 とい う 一連 の 演 算 を 施 して,新
わ し て い る.こ の よ うに,あ で,別
連 続 微 分 可 能 な 関 数y(x)に,微
p1y′+p2yを
し い 連 続 関 数 を 作 る とい う操 作 を 表
る集 合 に 属 す る関 数 の お の お の に,何
の 関 数 を 対 応 させ る働 き(写 像,変
分,
らか の 法 則
換)を 作 用 素 と呼 ぶ.yにp0y″+
対 応 さ せ る際 の 基 本 的 な 演 算 は 微 分 演 算 で あ る か ら,こ の 作 用 素
を(常)微 分 作 用 素 とい う.簡 単 の た め に,こ
の よ うな 作 用 素 を 記 号Lで
表わ
す: (1.17) y(x),z(x)を2回
L[y]=p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y. 連 続 微 分 可 能 な 関 数 とす れ ば,そ
の1次 結 合αy(x)+
βz(x)(α,β
は 定 数)も2回
連 続 微 分 可 能 で,L[αy+βz]が
定 義 で き,次
の
関 係 が 成 立 つ: L[αy+βz]=αL[y]+βL[z]. こ の 性 質 を 持 つ 作 用 素 を 線 型 作 用 素 と 呼 ぶ.線 型 常 微 分 作 用 素Lを
型 常 微 分 方 程 式 と 言 う の は,線
用 いて L[y]=f(x)
(斉 次 はL[y]=0)
と 書 け る 方 程 式 に ほ か な ら な い. 補 題1.1
Lを
線 型 微 分 作 用 素(1.17)と
z(x)がL[y]=g(x)の
解 な ら ば,そ
数)はL[y]=αf(x)+βg(x)の
す る.y(x)がL[y]=f(x)の
の1次
結合
αy(x)+βz(x)(α,β
ば,斉
は定
解 で あ る.
こ れ は 証 明 す る ま で も な い 自 明 な 命 題 で あ る が,線 を 表 わ す も の で,重
解,
型 作 用 素 の基 本 的 な 性 質
ね 合 わ せ の 原 理 と 呼 ば れ て い る.こ
次 微 分 方 程 式L[y]=0の
の 原 理 に 従 え ば,例
有 限 個 の 解y1(x),…,yn(x)の1次
c1y1(x)+…+cnyn(x)(c1,…,cnは
定 数)は,ま
え 結合
た 同 じ方 程 式L[y]=0の
解
に な る. 斉 次 微 分 方 程 式 の 一 般 解 2階 斉 次 微 分 方 程 式 (1.18)
y″+p(x)y′+q(x)y=0
(p(x),q(x)は
の 任 意 の 二 つ の 解y1(x),y2(x)か
を,y1(x),y2(x)の 定 理1.2
連 続)
ら作 っ た 行 列 式
ロ ン ス キ ー(Wronski)行 方 程 式(1.18)の
区 間Jで
解y1(x),y2(x)の
列 式 と 呼 ぶ. ロ ンス キ ー行 列 式 は 次 の 関
係 式 を 満 た す.
(1.19)
証 明 簡 単 の た め に,W(x)=W[x;y1,y2]と W′(x)=y1(x)y2″(x)−y1″(x)y2(x)
お く.
=y1(x)[−p(x)y2′(x)−q(x)y2(x)] −[−p(x)y1′(x)−q(x)y1(x)]y2(x) =−p(x)[y1(x)y2′(x)−y1′(x)y2(x)]=−p(x)W(x)
よ り,W(x)は1階
線型 微 分方程 式 W′+p(x)W=0
を 満 た す こ と が わ か る.ゆ
え に,求
が 得 られ る.こ れ は(1.19)に
積 に よ っ て,
ほ か な ら な い.
(証明終)
この 定 理 は,斉 次 方 程 式 の 二 つ の 解 の ロ ンス キ ー行 列 式 は,区 に0に
な っ て し ま うか,ま
た は,Jの
ど の 点 で も決 し て0に
間Jで 恒 等 的
な らない か のい ず
れ か で あ る こ と を 教 え て い る. 区 間Jで
定 義 さ れ た二 つ の 関 数 φ1(x),φ2(x)の
い と き,即
ち適 当 な 定 数c1,c2,
一方 が他 方 の 定数 倍に 等 し が 存 在 して
(1.20)
が 成 立 す る と き,φ1(x),φ2(x)はJで1次 関数
φ1(x),φ2(x)は,Jで1次
独 立 な ら ば,(1.20)が
従 属 と 言 う.Jで1次
従属 でな い
独 立 と 言 わ れ る.φ1(x),φ2(x)がJで1次
成 立 つ よ う な 定 数c1,c2は,c1=c2=0に
ロ ン ス キ ー 行 列 式 を 用 い る と,斉
次 方 程 式 の 二 つ の 解 が1次
限 る. 独 立で あ るか否
か を 判 定 す る こ と が で き る. 定 理1.3
斉 次 微 分 方 程 式(1.18)の
二 つ の 解y1(x),y2(x)が
区 間Jで1
次 独 立 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は
で あ る. と す る.こ
証 明 点x0∈Jで き,二
つ の ベ ク トル(y1(x0),y1′(x0)),(y2(x0),y2′(x0))は,2次
ク ト ル と し て,1次
従 属 に な る.即
ち,
c1y1(x0)+c2y2(x0)=0,c1y1′(x0)+c2y2′(x0)=0
の と
元 の 数 ベ
と な る定 数c1,c2,
が あ る.y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)と
重 ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,y(x)は
方 程 式(1.18)の
件y(x0)=0,y′(x0)=0を れ ば,こ
満 た す.初
の よ うな 関 数y(x)は0以
解 で あ り,x0で
は初 期 条
期 値 問 題 の 解 の 一 意 性(定 理1.1)に 外 に は あ り得 な い.従
c2y2(x)=0,x∈J,で,y1(x),y2(x)は1次
よ
っ て,c1y1(x)+
従 属 に な る.
逆 に,y1(x),y2(x)がJで1次 が
お く.
従 属 な ら ば,適
当 な 定 数c1,c2,
存在 して c1y1(x)+c2y2(x)=0,x∈J.
微 分 すれ ば c1y1′(x)+c2y2′(x)=0,x∈J. こ れ ら をc1,c2に
関 す る 連 立1次
を 持 つ こ と か ら,係
方 程 式 と 考えれ
ば,
数 の 行 列 式W[x;y1,y2]はJの
な る解 各 点 で0に
等 し くな け
れ ば な ら な い.
(証 明 終)
注 意 定 理1.2と
定 理1.3を
属 を 判 定 す る に は,Jの よ い,と
組 合 せ れ ば,解y1(x),y2(x)の1次
一 点 で ロ ン ス キ ー 行 列 式 が0に
独 立,従
な るか 否 か を調 べ れ ば
い う こ と が わ か る.
斉 次 微 分 方 程 式 の 解 全 体 の な す 集 合(解 空 間)の 構 造 を 明 ら か し よ う. 定 理1.4 持 つ.(1.18)の
斉 次 微 分 方 程 式(1.18)は
二 つ の1次
独 立 な 解y1(x),y2(x)を
任 意 の 解y(x)は,y1(x),y2(x)の1次
結合
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) の 形 に 表 わ さ れ る.こ
証明
こ で,c1,c2は
定 数 で あ る.
な る 定 数 α,β,α′,β′ を と る.(1.18)の
y(x0)=α,y′(x0)=α′;y(x0)=β,y′(x0)=β
を 満 足 す る も の を,そ り,こ で
れ ぞ れy1(x),y2(x)と
れ ら は 確 か に 区 間Jで
存 在 す る.初
あ る か ら,y1(x),y2(x)はJで1次
次 に,y(x)を(1.18)の
解 で初 期条 件
′
す る.存
在 定 理(定 理1.1)に
期 条件 の与 え方 に よって
独 立 で あ る.
任 意 の 解 と し,y(x0)=γ,y′(x0)=γ
′ と す る.連
よ
立1次
方程式 c1α+c2β=γ,c1α′+c2β′=γ′
の 解c1,c2を
求 め て,関
数 z(x)=y(x)−c1y1(x)−c2y2(x)
を 作 る.重
ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,z(x)は(1.18)の
件z(x0)=0,z′(x0)=0を
満 た す.解
解 で あ り,か
の 一 意 性(定 理1.1)に
つ 初 期条
よ っ て,z(x)≡0,
即 ち y(x)=c1y1(x)+c2y2(x),x∈J が 得 ら れ る.
(証 明終)
重 ね 合 わ せ の 原 理 は,斉 C上
次 微 分 方 程 式(1.18)の
の ベ ク トル 空 間 を な す こ と を 意 味 す る が,定
の 次 元 が2に
等 し く,y1(x),y2(x)が
べ て い る.こ
の よ うなy1(x),y2(x)を,方
理1.4は,そ
素数 体
の ベ ク トル 空 間
そ の 基 底 を な す と い う著 し い 事 実 を 述 程 式(1.18)の
は 基 本 解 と 呼 ぶ.y1(x),y2(x)が(1.18)の
解 の 基 本 系,ま
た
解 の 基 本 系 な ら ば,
y=c1y1(x)+c2y2(x) は(1.18)の
解 全 体 の 集 合 が,複
(c1,c2は
す べ て の 解 を 表 わ す.そ
の 意 味 で,こ
任 意 定 数) れ を 方 程 式(1.18)の
一般
解 と 名 付 け る. 例1
定数 係 数 の微 分方程 式
(1.21)
L[y]=y″+ay′+by=0
を 考 え る.eλxの
形 の 解 を さ が す. L[eλx]=(λ2+aλ+b)eλx
で あ る か ら,λ
が
λ2+aλ+b=0を
満 た す な ら ば,eλxは(1.21)の
解 に な る.
λの 多 項 式 P(λ)=λ2+aλ+b を 方 程 式(1.21)の 相 異 な る 根 λ1,λ2を こ れ ら が1次 る.
特 性 多 項 式,P(λ)=0を
特 性 方 程 式 と 言 う.特
も つ と き は,eλ1x,eλ2xが(1.21)の
独 立 で あ る こ と は,ロ
性 方程 式が
解 の 基 本 系 を な す.
ン ス キ ー行 列 式 を 作 っ て み れ ば 容 易 に わ か
特性 方 程 式が 重根 こ と に 注 意 す る.す
λ1=λ2を べ て のxと
持 つ と き は,ま
ず,P(λ1)=0,P′(λ1)=0な
る
λに 対 し て 成 立 つ 関 係 式 L[eλx]=P(λ)eλx
を λに 関 し て 偏 微 分 す る と
が 得 ら れ る.こ も に(1.21)の
こ で λ=λ1と 解 に な る.こ
特 性方 程 式 が重 根
お け ば,L[xeλ1x]=0,即 れ らが1次
λ1=λ2を
ち,xeλ1xは,eλ1xと
独 立 で あ る こ と も 見 や す い.こ
持 つ と き は,eλ1x,xeλ1xが(1.21)の
と
う し て,
解 の 基本 系
を な す こ と が わ か っ た. と こ ろ で,(1.21)の
係 数 が 実 の 定 数 で あ る場 合 に は,実
が 問 題 に な る こ と が 多 い.こ λ2を 持 つ か,(ⅱ)実
の 場 合,特
の 重 根 λ1=λ2を
λ2=α −iβ を 持 つ か,の
性 方 程 式 は,(ⅰ)相
持 つか,(ⅲ)共
い ず れ か で あ るが,(ⅰ),(ⅱ)は
る 通 り で あ る か ら,(ⅲ)の
場 合 を 調 べ よ う.
補 題1.2
区 間Jで
p(x),q(x)は
な る複 素 数 値 関 数 が,微
数 値 を と る解 だ け 異 な る 実 根 λ1,
役 な虚根
λ1=α+iβ,
既 に 論 じ られ て い
連 続 な 実 数 値 関 数 とす る.y=u(x)+iυ(x)
分方 程 式 L[y]=y″+p(x)y′+q(x)y=0
の 解 な ら ば,実 証 明 Lは
数 値 関 数u(x),υ(x)は
い ず れ も 方 程 式L[y]=0の
解 で あ る.
線 型 で あ るか ら L[y]=L[u+iυ]=L[u]+iL[υ]=0,
従 っ て,L[u]=0,L[υ]=0で λ1=λ2=α+iβ
あ る.
(証 明終)
な ら ば, eλ1x=eαx(cosβx+isinβx)
で あ る か ら,補 る 解 で あ り,1次 を な す.以
題1.2に
よ り,eαxcosβx,eαxsinβxは(1.21)の
独 立 で あ る こ と は 簡 単 に わ か る か ら,(1.21)の
上 を ま と め て:
実数 値 を と 解 の基 本系
実 係 数 の 斉 次 微 分 方 程 式y″+ay′+by=0の 程 式 λ2+αλ+b=0の2根
が
(ⅰ) 相 異 な る実 根 λ1,λ2な (ⅱ) 実 の 重 根 λ1=λ2な (ⅲ)
共 役 な虚 根
で あ る.こ
実 数 値 を と る一 般 解 は,特 性 方
ら ば,y=c1eλ1x+c2eλ2x;
ら ば,y=(c1+c2x)eλ1x;
α±iβ な ら ば,y=eαx(c1cosβx+c2sinβx)
こ で,c1,c2は
実 の 任 意 定 数 で あ る.
変 数 係 数 の 微 分 方 程 式(1.18)の
一 般 解 を 初 等 関 数 の 範 囲 で 求 め る こ と は,
一 般 に は 不 可 能 で あ る .し
殊 な 場 合 に は,適
か し,特
数 解 を 発 見 し 得 る こ と が あ る.代
当 な工夫 に よ って初等 関
表 例 と し て オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 を 挙 げ る.
例2
(a,b,x0は
定 数)
あ るい は (1.22)
(x−x0)2y″+a(x−x0)y′+by=0
の 形 の 方 程 式 を オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 と い う.点x0は,こ で あ る こ と に 注 意 す る.x>x0で 数 をxか
らtに
の方程 式 の特 異点
考 え る こ と と し,x−x0=etと
お い て 独立 変
変 換 す る.
で あ る か ら,(1.22)は
に な る.こ れ は 上 の 例 で 考 察 し た 定 数 係 数 の 方 程 式 で あ るか ら,そ の 特 性 方 程 式 λ2+(a−1)λ+b=0の 従 っ て(1.22)の
根 を 求 め る とい う代 数 的 な 手 続 き で 一 般 解 が 求 ま り,
一 般 解 が 決 定 さ れ る.方 程 式 λ2+(a−1)λ+b=0
を,(1.22)の
決 定 方 程 式 と呼 ぶ こ とが あ る.
実 係 数 の オ イ ラ ー微 分 方 程 式 に 対 し て 結 果 を 述 べ る と,次 の よ うに な る. * この関係を
と覚え ると便利で あ る.
(x0=0と
し て 一 般 性 を 失 わ な い).
x2y″+axy′+by=0の
実 数 値 を と る 一 般 解 は,決
(ⅰ) 相 異 な る 実 根
λ1,λ2な
(ⅱ) 実 の 重 根 λ1=λ2な
定 方 程 式 の2根
が
ら ば,y=c1xλ1+c2xλ2;
ら ば,y=(c1+c2logx)xλ1;
(ⅲ) 共 役 な 虚 根 α ±iβ な ら ば,
で あ る.c1,c2は
任 意 の 実 の 定 数.
オ イ ラ ー 方 程 式 の 解 は,x=0に で も な い.即
ち,方
程 式 の 特 異 点 に お い て,解
一 般 の 斉 次 微 分 方 程 式(1.18)の1つ と き,こ
れ と1次
こ と を 示 そ う.実
お い て 一 般 に 連 続 で な く,ま
独 立 な 他 の 解 が,求
して微分 可 能
は 一 般 に 特 異 性 を 持 つ の で あ る.
の 解y1(x)が
何 か の方 法 で見つ か った
積 に よ っ て,y=υ(x)y1(x)の
形 で求 ま る
際, y′=υ(x)y1′(x)+υ′(x)y1(x), y″=υ(x)y1″(x)+2υ′(x)y1′(x)+υ″(x)y1(x)
を(1.18)に
代 入 す れば υ(y1″+py1′+qy1)+υ′(2y1′+py1)+υ″y1=0
と な る.y1(x)は(1.18)の
解 で あ る か ら,左
辺 第1項
は0に
な る.y1(x)が0
に な ら な い 任 意 の 区 間J′ ⊂Jで
とな るが,こ
れ は υ′ に 関 す る1階 線 型 微 分 方 程 式 で,次
(cは0で
の よ うに 解 け る:
な い 任 意 定 数).
ゆ えに (c′は 任 意 定 数). 第2の
解 は υ(x)にy1(x)を
掛 け て 得 ら れ る が,c′
か ら はc′y1(x)が
出 るだ け
で あ る か ら,c′
は 省 略 し て も よ い.従
っ て,y1(x)と1次
独 立 な 解y2(x)は
(1.23)
に よ っ て 与 え ら れ る. 非 斉次 微 分 方程 式 の一般 解 (1.24)
非斉 次 微分方 程 式
L[y]=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) (p(x),q(x),f(x)は
区 間Jで
連 続)
の 解 全 体 の 集 合 は ど の よ う な 構 造 を 持 っ て い る で あ ろ う か? yp(x)を
方 程 式(1.24)の
解 と す る.何
考 え る.y(x)を(1.24)の y(x)−yp(x)は
らか の 方 法 で 求 め る こ とが で き た と
任 意 の 解 と す れ ば,重
ね 合 わ せ の 原 理 に よ っ て,
斉次 方程 式 y″+p(x)y′+q(x)y=0
を 満 足 す る.そ
れ ゆ え,こ
の 斉 次 方 程 式 の 解 の 基 本 系 をy1(x),y2(x)と
すれ
ば, y(x)−yp(x)=c1y1(x)+c2y2(x) 即ち (1.25) が 成 立 つ.こ
y(x)=yp(x)+c1y1(x)+c2y2(x) こ で,c1,c2は
定 数 で あ る.つ
体 を 表 現 す る 式 に な る.こ
ま り,(1.25)式
の 意 味 で,(1.25)を
は(1.24)の
方 程 式(1.24)の
解全
一 般 解 と呼
ぶ. そ れ で は,(1.24)の
解yp(x)は
ど の よ うに し て 求 め ら れ る で あ ろ うか?
斉 次 方 程 式 の 解 の 基 本 系y1(x),y2(x)を (1.26)
用 い て,yp(x)を
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
の 形 で さ が し て み る.微
分す ると
yp′=(u1′y1+u2′y2)+(u1y1′+u2y2′) と な る.こ (1.27)
こ で,u1,u2が u1′y1+u2′y2=0
な る条 件 を 満 た す こ と を 要 求 す る と
yp′=u1y1′+u2y2′
と な る.も
う一 度 微 分 し て yp″=u1′y1′+u2′y2′+u1y1″+u2y2″.
yp,yp′,yp″
の 式 を(1.23)に
代 入す る と
u1L[y1]+u2L[y2]+u1′y1′+u2′y2′=f 即ち (1.28)
u1′y1′+u2′y2′=f
が 得 ら れ る.以
上 の 議 論 か ら,(1.27)と(1.28)を
を 定 め る こ と が で き れ ば,(1.26)が る.と
微 分 方 程 式(1.24)の
こ ろ で,(1.27),(1.28)はu1′,u2′
解 に な る こ とが わ か
に 関 す る 連 立1次
の 行 列 式 は ロ ン ス キ ー 行 列 式W[x;y1,y2]で ら な い か ら,u1′,u2′
満 足 す る 関 数u1(x),u2(x)
あ る.そ
方 程 式 で,係
れ はJで
決 し て0に
数 な
に つ い て 解 く こ と が で き る:
こ れ を 積 分 す れ ばu1(x),u2(x)が
を 採 用 す る こ と が で き る.こ
求 ま る の で あ る.例
え ば,x0∈Jと
して
の と き,(1.26)は
(1.29)
と な る.こ
のyp(x)は,斉
次 初 期 条 件yp(x0)=yp′(x0)=0を
満 足 す る こ とに
注 意 す る. 斉 次 微 分 方 程 式 の 解 の 基 本 系 を 用 い て,上 一 つ(こ れ を 特 殊 解 と 呼 ぶ)を 見 つ け る こ と を 定 理1.5 y2(x)と
L[y]=f(x)の
す れ ば,L[y]=f(x)の
る.
,定
斉 次方 程式 の解 の
数 変 化 法 と 言 う.
特 殊 解 をyp(x),L[y]=0の
解 の 基 本 系 をy1(x),
す べ て の 解y(x)は,
y(x)=yp(x)+c1y1(x)+c2y2(x) の 形 に 表 わ さ れ る.yp(x)と
述 の 方 法 で,非
し て(1.29)で
(c1,c2は
定 数)
定 義 さ れ る関 数 を と る こ とが で き
演 習 問 題1.2 1. 次 の 関 数 の ロ ンス キ ー 行 列 式 を 計 算 せ よ. (a) (c)
(b)
ελx,xeλx.
(d)
eαxcosβx,eαxsinβx.
xαcos(βlogx),xαsin(βlogx)
(x>0).
2. 次 の 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ. (a)
(b)
y″+y=tanx.
(c) (e)
x2y″+xy′+y=x.
y″ −3y′+2y=sinxsin2x.
(d)
y″+2iy′+y=x.
(f)
x2y″
−2xy+2y+x−2x3=0.
3. 次 の 初 期 値 問 題 を 解 け. (a)
y″ −y=f(x),y(0)=y′(0)=0.
(b)
y″+y′
(c)
x2y″+xy′+y=logx,y(1)=0,y′(1)=1.
(d)
[(x+1)2y′]′
−2y=ex,y(0)=1,y′(0)=0.
−y=f(x),y(0)=0,y′(0)=1.
4. 次 の 微 分 方 程 式 の 一 つ の 解y1(x)を (a)
(1−x2)y″
知 って,1次
独 立 な 他 の 解y2(x)を
求 め よ.
(b)
−2xy′+2y=0;y1=x.
(c)
(2x−x2)y″+(x2−2)y′+2(1−x)y=0;y1==ex.
(d)
(1−x2)y″
−xy′+9y=0;y1は3次
の 多 項 式.
5. u(x),υ(x),w(x)をy″+p(x)y′+q(x)y=0の
任 意 の 解 と す れ ば,
で あ る こ と を 示 せ. 6. 次 の 関 数 を 解 の 基 本 系 と して 持 つ2階 (a) (c)
7. y1(x)が
斉 次 線 型 微 分 方 程 式 を 求 め よ.
(b)
(d)
cos2x,sin2x.
ロ ン ス キ ー 行 列 式 の 関 係(1.19)を わ か っ て い る と き,1次
ex,x2ex.
tanx,cotx.
用 い て,y″+p(x)y′+q(x)y=0の
独 立 な 解y2(x)が(1.23)に
一 つ の解
よ って 定 め ら れ る こ とを
証 明 せ よ. 8. y3(x)か
3階 の 微 分 方 程 式y″ ′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y=0の ら作 った 行 列 式
三 つ の 解y1(x),y2(x),
が 満 足 す る1階 の 微 分 方 程 式 を 求 め,そ
れ を 解 い てW(x)の
具 体 的 な形 を 求 め よ.
9. 方程 式 の 解 で 初 期 条 件y(0)=1を (ヒ ン ト:y(x)に
満 足 す る も の を 求 め よ.
関 す る2階
の 微 分 方 程 式 を 導 く).
1.3 級 数 に よ る 解 法 Ⅰ(正 則 点 の 場 合) x0の近 傍 で 定 義 さ れ た 関 数f(x)が,x0を
中 心 とす る収 束 べ き 級 数
で収束
(1.30)
に 展 開 さ れ る と き,f(x)はx0で
解 析 的 と言 わ れ る.解 析 的 な 関 数 の著 しい 性
質 の 一 つ は,そ れ が 無 限 回微 分 可 能 で,導
関 数 は 級 数 を 項 別 に 微 分 す る こ とに
よ っ て 得 られ る とい う こ と で あ る.例 え ば,f(x)が(1.30)の
形 で表 わ され る
と き,
で,微
分 され た 級 数 は,い ず れ も,│x−x0│0に
可 積 分,
分 大 き な 番 号N(ε)を
と っ て,N≧N(ε)の
│sN+p(x)−sN(x)│0に 対 し て
と な る連 続 微 分 可 能 な 関 数f(x)を 例 え ば,ワ
選 ぶ.f(x)の
選 び 方 は い ろ い ろ あ ろ うが,
イ エ ル シ ュ トラス の近 似 定 理 と して 有 名 な 次 の 定 理 に 根 拠 を 求 め る
の も 一 法 で あ ろ う. ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 近 似 定 理* g(x)をa≦x≦bで
連 続 な任 意 の関数 と
す る.こ の と き,任 意 の ε>0に 対 して, │g(x)−P(x)│0,r(x)>0,
とす る.そ
リ ウ ビ ル 系 の 固 有 関 数 列{yn(x)}は,r(x)を 作 る 空 間(厳 密 に 言 え ば,そ
連 続,
の と き,こ の ス ツ ル ム ・
重 さ と し て2乗
可積 分 な 関数 の
れ を 完 備 化 し た ヒ ル ベ ル ト空 間)に お い て 完 全 な 直
交 関 数 系 を な す. 証 明 §2.10で 準 形 に な り,境
界 条 件 は 同 じ 型 の も の に な り,同
系 が 得 ら れ る.定 とzn(t)の
述 べ た リ ウ ビ ル 変 換 を 行 な え ば,微
理2.15に
よ れ ば,固
分 方 程 式 は リ ウ ビル の 標
種 の 正 則 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル
有 値 は 不 変 で,対
応 す る 固 有 関 数yn(x)
間に
(σ≦t≦ τ はa≦x≦bに な る 関 係 が 成 立 つ.従
っ て,定
理 を 証 明 す る た め に は,改
対 応 す る 区 間) め て次 の命題 を証 明
す れ ば よ い: y″+[λ+q(x)]y=0, αy(a)+α の 固 有 関 数 列{yn(x)}が,重
′y′(a)=0, さ1に
βy(b)+β
関 す る2乗
′y′(b)=0
可 積 分 な 関 数 の 作 る空 間 に お い
て 完 全 な 直 交 関 数 系 を な す.
と仮 定 す る.定 理2.18に
な る 性 質 を 持 つ.一
はa≦x≦bに
方,定
理3.6系
よ り,固 有 関 数yn(x)は,正
規 化 す れ ば,
に よ り
お け る完 全 な正 規 直 交 系 で あ る.yn(x)−
φn(x)を2乗
して 積 分
すれば
が 得 られ る.
が 成 立 つ.従
は 収 束 で あ る か ら,
っ て 定 理3.10に
よっ て{yn(x)}は
完 全 な 直 交 関 数 系 を な す.証
明 は 省 略 す るが α′ β′=0の 場 合 に も 同 様 の 結 果 が 成 立 つ.
(証明終)
3.6 変 分 問 題 と の 関 連 Ⅰ ス ツル ム ・リウ ビル 系 に 対 す る 固 有 値 問 題 は,§2.5で 汎 関 数 の 極 大,極
小 を 求 め る問 題 ―
解説 した変分 問題 ―
と密 接 な 関 係 を 持 っ て お り,変 分 問 題 の
側 か ら微 分 方 程 式 に 対 す る固 有 値 問 題 を 見 直 す こ とに よ って,種
々 の有 益 な 結
果 を 導 き 出 す こ とが で き る. 話 し を 簡 単 に す る た め に,ス (3.56)
ツル ム ・ リウ ビル 系 と し て
[p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0, y′(a)−
αy(a)=0,
(3.57) y′(b)+βy(b)=0
を 取 上 げ,も
っ ぱ ら こ れ に つ い て 論 じ る こ と に す る.残
ビ ル 系 に 関 し て も 本 質 的 に は 同 じ論 法 が 適 用 され,類
され た ス ツル ム ・ リ ウ
似 の 結 果 が 得 ら れ る.
区 間a≦x≦bで,p(x),q(x),r(x)は 続 微 分 可 能,か
つ α≧0,β ≧0と 仮 定 す る.方 程 式(3.56)の
境 界 条 件(3.57)を λを 問 題Aの
い ず れ も正 の 連 続 関 数 で,p(x)は
零 で な い 解 で,
満 足 す る も の を 求 め る 問 題 を(固 有 値)問 題Aと
固 有 値,y(x)を
が 得 られ る.境 界 条 件(3.57)を
連
名 付 け る.
対 応 す る固 有 関 数 とす れ ば,部 分 積 分 に よ り
考慮す れば
(3.58)
が 得 られ る.与 え られ た 条件 の 下 で は,λ>0と (3.58)に
な る.
現わ れ た二つ の汎 関 数
(3.59)
(3.60)
が 今 後 重 要 な役 割 を 果 す.y,y′ に,次
の'双1次'の
に つ い て'2次'の
形 式 で あ る これ ら の 汎 関 数
形 式 を 付 随 さ せ る:
次 の 公 式 が 成 立 つ こ とは 明 らか で あ ろ う.
(3.61)
Kに
つ い て も 同 様.c1,c2は
次 の 変 分 問 題 を考 え,そ
定 数 で あ る. れ を(変 分)問 題Bと
2回 連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中で,汎
呼 ぶ.
関 数J[y]/K[y]を
最小 にす る も の
y0(x)を
求 め る:
(3.62)
次 に,K[y,y0]=0を
満 た す2回
を 最 小 に す る も のy1(x)を
連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,J[y]/K[y]
求 め る:
(3.63)
こ の 手 続 き を 繰 返 す.y0,y1,…,yn−1が yn−1]=0を
満 た す2回
す る も のyn(x)を
求 ま っ た と き,K[y,y0]=0,…,K[y
,
連 続 微 分 可 能 な 関 数 全 体 の 中 で,J[y]/K[y]を
最小に
求 め る:
(3.64)
C2[a,b]はa≦x≦bで2回 J[y]/K[y]を
連続 微 分 可能 な関 数全体 の集合 を表 わす 記号 で あ る.
レ イ リ イ(Rayleigh)商,λnを
変 分 問 題Bのn番
目の固 有値
と言 う. 我 々 の 目標 は,問
題Aと
問 題Bと
証 明 に は か な り手 間 が か か る の で,本 定 理3.12 2,…)が
変 分 問 題Bの
存 在 す る な ら ば,λnは
固有値
が 同 値 で あ る こ と を 証 明 す る こ と で あ る. 節 で は,半 λnと
分 だ け 片 付 け る.
そ れ を 与 え る 関 数yn(x)(n=0,1,
固 有 値 問 題Aの
固 有 値,yn(x)は
λnに 属 す る
固 有 関 数 で あ る. 証 明 λ0,y0(x)を (3.65) η(x)を2回
即ち (3.66)
考 え る.(3.62)に
よって
J[y0]=λ0K[y0]. 連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数,ε
を 任 意 の 実 数 とす れ ば,明
らか に
が 成 立 つ.(3.61)に
と な る の で,こ
よ り J[y0+ε
η]=J[y0]+2εJ[y0,η]+ε2J[η],
K[y0+ε
η]=K[y0]+2εK[y0,η]+ε2K[η]
れ と(3.65),(3.66)を
組 合 せ る.そ
の 結 果
(3.67)
が 得 ら れ る.こ
れ が 任 意 の η と ε に 対 し て 成 立 つ た め に は,
(3.68)
J[y0,η]−
で な け れ ば な ら な い.何 で,も
し
な ら ば,ε
が で き,(3.67)に
λ0K[y0,η]=0
と な れ ば,(3.67)の
左 辺 は ε の2次
を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ っ て,そ
反 す る か ら で あ る.(3.68)を
式aε2+bε,a≧0,
の値 を 負にす る こと
吟 味 し よ う.部
分 積 分 に よ り,
次 式 が 得 ら れ る:
で あ る か ら,(3.68)は
(3.69)
と な る.特
に η(a)=η(b)=0と
と な る.η(x)は
な る η(x)を
任 意 で あ る か ら,変
選 べ ば上 式 は
分 学 の 基 本 補 題(補 題2.3)に
(py0′)′+(λ0r−q)y0=0
よ って
が 得 ら れ る.y0(x)は(3.56)の れ ば,任
意 の η(x)に
零 で な い 解 に な る.こ
αy0(a)]+p(b)η(b)[y
が 成 立 つ こ とが わ か る.η(x)と
境 界 条 件(3.57)を
の 固 有 関 数,λ0は
に
y0′(b)+βy0(b)=0 満 足 す る.従
考 え る.こ
(3.70)
れ が(3.68)と
J[y1,η]−
意 の2回
固 有 値 問 題A
同様 な 関係
λ1K[y1,η]=0
と 同 じ 論 法 で,λ1,y1(x)が
こ と が 示 さ れ る.ζ(x)をK[ζ,y0]=0な 意 の ε に 対 し て,K[y1+ε
た 計 算 を,λ1,y1,y1+ε
J[y1,ζ]−
が 得 ら れ る.η(x)を
対 し て 満 た す こ と を 言 お う.
問 題Aの る2回
固 有 値,固
連 続 微 分 可 能 な任 意 の 関 係 と
ζ,y0]=0.(3.66),(3.67),(3.68)を
導 い
λ1K[y1,ζ]=0
任 意 の 関 数 と す る.ζ=η+ty0のtを
な る よ うに で き る.こ J[y1,η+ty0]−
使 っ て,こ
有関数 で あ る
ζ に 適 用 す れ ば,
(3.71)
K[ζ,y0]=0と
っ て,y0(x)は
連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 η(x)に
そ うす れ ば,上
の ζ を(3.71)に
適 当 に と れ ば, 代 入 す る:
λ1K[y1,η+ty0]=0.
れを
J[y1,η]+tJ[y1,y0]−
λ1{K[y1,η]+tK[y1,y0]}=0
と書 き,K[y1,y0]=0,J[y1,y0]=0((3.68)で (3.70)が
満 た す も の,次
対 応 す る 固 有 値 に な る.
次 に,λ1,y1(x)を
(3.61)を
η(b)=0を
を 満 た す も の を と れ ば,
を 得 る.y0(x)は
す る.任
み
0′(b)+βy0(b)]=0
し て,
y0′(a)− αy0(a)=0,
を,任
び(3.69)を
対 して
−p(a)η(a)[y0′(a)−
η(a)=0,
こ で,再
η=y1と
お け)に
注 意 す れ ば,
得 ら れ る.
こ の 操 作 を 繰 返 せ ば,定
理 の 主 張 す る 通 り の 結 果 が 成 立 つ.
次 の 事 実 は 容 易 に 確 か め ら れ る. 系 定 理3.12の
方 法 で 得 ら れ る固 有値 の 列 は λ0≦λ1≦… ≦ λn≦ …
を 満 足 す る.
(証 明 終)
3.7
変 分問 題 との 関連 Ⅱ
変 分 問 題Bに
つ い て も う 少 し 考 え る.η0(x),η1(x),…,ηn−1(x),ζ(x)を2
回 連 続 微 分 可 能 な 関 数 とす る.η0(x),η1(x),…,ηn−1(x)を K[ζ,ηi]=0
固 定 し,ζ(x)を
(i=0,1,…,n−1)
を 満 た す よ うに 変 動 さ せ る と き のJ[ζ]/K[ζ]の
最 小 値 をh(η0,η1,…,ηn−1)と
表 わ す:
(3.72)
変 分 問 題Bの
固 有 値 λn,そ れ を 定 め るyi(x)(i=0,1,2,…,n−1)は
(3.73)
λn=h(y0,y1,…,yn−1)
を 満 足 す る.任
意 の η0,η1,…,ηn−1に 対 し て
(3.74)
λn≧h(η0,η1,…,ηn−1)
が 成 立 つ こ と を 証 明 し よ う.初 く:K[yi]=1.yiを ら な い か ら,正
め に,yi(i=0,1,…,n)を
定 数 倍 し て も,汎
す べ て 正 規 化 して お
関 数J[y]/K[y]を
最 小 にす る性 質 は 変
規 化 し て お い て 一 般 性 を 失 わ な い.
を 考 え,ciを
と な る よ うに 選 ぶ.(3.62)を 次 連 立1次
方 程 式 で,方
用 い れ ば,上 式 はn+1個
程 式 の 個 数 はn個
で あ る か ら,確
ciは 共 通 の 定 数 を 掛 け て も,や は り解 で あ るか ら, そ の と き,
の 未 知 数ciに 関 す る 斉 か に 解 を 持 つ.解 と 仮 定 し て よ い.
が 成 立 つ.こ
こ で,(3.68),(3.70)の J[yi,η]−
一 般形
λiK[yi,η]=0
か ら 出 る結 果 を 用 い た.定
を 得 る.こ
と,J[yi,yi]=J[yi]=J[yi]/K[yi]=λiと
理3.12の
系に より
れ は,K[ζ,ηi]=0(i=0,1,…,n−1)か
の 存 在 を 示 す.従
即 ち(3.74)が
っ てh(η0,η1,…,ηn−1)の
示 さ れ た.(3.73)と(3.74)を
が 成 立 つ.こ れ を 変 分 問 題Bの 原 理 と 言 う.補 補 題3.5
と お く.そ
(i=0,1,2,…)
つJ[ζ]/K[ζ]≦ 定 義(3.72)に
λnな
る ζ
よ っ て,
結 合 す れ ば,
固 有 値 に 関 す る ク ー ラ ン(Courant)の
最 大-最 小
題 の 形 に ま と め て お く.
η0,η1,…,ηn−1,ζ を2回
の と き,変
分 問 題Bのn番
連 続 微 分 可 能 な 関 数 と す る.
目 の 固 有 値 λnは
を 満 足 す る. 補 題3.6
変 分 問 題Bのn番
K[y]をK′[y]で 任 意 のyに
目 の 固 有 値 を λnと し,J[y]をJ′[y]で,
お き か え た 同 種 の 変 分 問 題 のn番
目の 固 有 値 を λn′ とす る.
対 して
(3.75)
が 成 立 つ な ら ば,λn′ ≦ λnで あ る. 証 明 η0,η1,…,ηn−1を2回
連 続 微 分 可 能 な 関 数 の任 意 の
一組 とす る.ζ0を
K[ζ0,ηi]=0(i=0,1,…,n−1)か
つ
な る 関 数 とす る.(3.75)に
が 得 ら れ る.即
よ って
ちh′(η0,η1,…,ηn−1)≦h(η0,η1,…,ηn−1).(η0,η1,…,ηn−1)を
可 能 な 限 り変 動 さ せ た と き の 最 大 値 を 考 え,補
題3.5の
結 果 を 使 え ば,求
不 等 式 λn′ ≦ λnが 得 ら れ る. 補 題3.7
変 分 問 題Bのn番
める
(証 明終) 目 の 固 有 値 λnは
を 満 た す. 証 明 J[y]は(3.59)で,K[y]は(3.60)で
定 め ら れ て い る こ と に 注 意 す る.
J′[y],K′[y]を
で定義す る.こ こで, れ ら の 汎 関 数 が(3.75)を り,λn′≦ λn.た
こ 満 た す こ と は 直 ち に わ か る.従
だ し λn′は
(3.76)
に 関 す る変 分 問 題 のn番
目の 固 有 値 で あ る.
っ て,補
題3.6に
よ
を 考 え る.こ
の 変 分 問 題 の 固 有 値 は,定
理3.12に
よ っ て,ス
ツル ム ・ リウ ビ
ル系 y″+μy=0, y′(a)−
の 固 有 値 で も あ る.こ て,
αy(a)=0,
y′(b)+βy(b)=0
の ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 の 固 有 値 μnは
(直 接 計 算 し て も よ い し,一
い.)(3.76)か
可算無 限個 あ っ
般 的 な 定 理2.12を
適 用 して も よ
ら
が 成 立 つ こ とが わ か る.knは0,1,2,…
の 部 分 列 で あ る.ゆ
え に, (証 明 終)
次 の 定 理 は 定 理3.12の 定 理3.13
逆 が 正 し い こ と を 示 す.
ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 系 に 対 す る 固 有 値 問 題Aのn番
は 対 応 す る 変 分 問 題Bのn番 有 関 数 は 汎 関 数(3.64)を 証 明 λ を 問 題Aの に よ り,λ0の
と き,
だ か ら,
と な る.m=0の
従 っ て,特
と き も 同 様 で あ る.
異 な ス ツ ル ム ・ リ ウ ビル 系
x→0の
と きy,y′
は 有 界;
y(1)=0
の固有関数系 r(x)≡xを
は 完 全 で あ る.つ
重 さ と し て2乗
可 積 分 な 関 数 は,平
ま り,
均 収 束 す る フ ー リエ 級 数 に 展 開
さ れ る. パ ー セ バ ル の 等 式(3.81),グ m>0な し,連
ら ば,G(x,x)は
リー ン 関 数 の 展 開 公 式(3.84)も 有 界 だ か ら,(3.85)に
界条件 を満た
な る 関 数f(x)の 一 様 収 束 す る.し
と き 有 界 で な く な る か ら,一 は 言 え る が,0≦x≦1で
か し,m=0な
様 収 束 は0を
は 言 え な い.フ
開 区 間a<x0は
フー
ら ば,G(x,x)はx→0の
含 ま な い 任 意 の 区 間00は
間 の 一 方 ま た は 両 方 の 端 点 で,p(x),r(x)は0に
な っ て も よ く,
不 連 続 に な っ て も よ い とす る.区 間 の 端 点 で 適 当 な 境 界 条 件 を 置 い て 特
異 固 有値 問題 [p(x)y′]′+[λr(x)−q(x)]y=0 を 考 え る.同
(a<x1), と きy,y′
は 有 界;y(1)=0.
[(1−x2)y′]′+λy=0, y(0)=0;x→1の
と きy,y′
は 有 界.
(c) x→0の
と き,y,y′
は 有 界;y(1)+y′(1)=0.
4. 固 有 値 問 題 [xy′]′+λxy=0, x→0の の固有 関数
と きy,y′
は 有 界,y(1)=0
を 用 い て,f(x)=1−x2(0<x0は
(4.2)
定 数)
を 含 む 型 で あ る.(4.2)は (4.3)
と一 般 化 さ れ る(2.6参 で,初
照).物
理 的 考 察 か ら,'(4.2)ま
た は(4.3)の
解u(x,t)
期条件 u(x,0)=φ(x)
(0≦x≦l)
お よび境界条件 u(0,t)=u(l,t)=0
(t≧0)
を 満 たす も の を 求 め よ'と い う問 題 が 設 定 さ れ た.こ れ を 熱 伝 導 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 と言 う.境 界 条 件 と し て よ り一 般 な も の: u(0,t)=μ1(t),
u(l,t)=μ2(t)
(t≧0)
を 置 く こ とが で き る. (x,y)‐ 平 面 内 に 置 か れ た 物 体 の 中 の 熱 伝 導 を考 え る と き に は,物 体 の 点(x,
y)の 時 刻tに
お け る温 度u=u(x,y,t)は,理
想 化 され た 状 況 の 下 で,2階
線
型 偏微 分 方程 式 (c>0は
(4.4)
を 満 足 す る こ と が 知 ら れ て い る.こ 単純 閉 曲線 (4.4)の
Γ
で囲 まれ た領域
解u(x,y,t)で,初
れ を2次
定 数)
元 の 熱 伝 導 方 程 式 と 言 う.物
Ω を 占 め て い る と す れ ば,我
体が
々 の 問 題 は,
期 条件
u(x,y,0)=φ(x,y)
((x,y)∈
Ω)
と境 界 条 件 u(x,y,t)=ψ(x,y)
((x,y)∈
を 満 た す も の を 求 め る こ と で あ る.こ れ が(4.4)に る.(4.2)の
場 合 に は,解u(x,t)が
在 す る か?(4.4)の t≧0で
2階 線 型 偏 微 分 方 程 式 の 第2の
半 柱 状 領 域(x,y)∈
を含 む 型 で あ る.x軸
一意 的に存 Ω+Γ,
と い う基 礎 的 な 問 い に 答 え な け れ ば な ら な い. 型 は,波
動 方 程 式 と呼 ば れ る
(c>0は
(4.5)
対 す る 初 期 ‐境 界 値 問 題 で あ
半 帯 状 領 域0≦x≦l,t≧0で
場 合 に は,解u(x,y,t)が
一 意 的 に 存 在 す る か?
Γ,t≧0)*
定 数)
に 張 っ た 長 さlの 弦(弾 性 的 な 針 金)(左 端 をx=0に, 右 端 をx=lに
固 定 す る)の 振 動 を 考 え
る と き,時 刻tに
お け る,弦 の 各 点xの
x軸 に 垂 直 な 変 位 をu(x,t)と
す れ ば,
理 想 化 さ れ た 状 況 の 下 で,u(x,t)は 図4.1 か れ る(図4.1参
振動 す る弦
(4.5)に
支 配 さ れ る こ とが 物 理 学 的 に 導
照).
物 理 的 に は,基 準 の 時 刻(t=0と
す る)に お け る弦 の 形 状(各 点 の 位 置)と,弦
の 各 点 に お け る垂 直 方 向 の 速 度 を 指 定 す れ ば,そ
の後 の弦 の運 動 は一 意 的に定
ま るは ず で あ る.こ れ を 数 学 的 に 言 え ば,初 期 条 件 * これ をu│Γ=ψ
と書 く こ とが あ る.
u(x,0)=φ(x),
(0≦x≦l)
と境界条件 u(0,t)=u(l,t)=0
を 指 定 す れ ば,こ
(t≧0)
れ らを 満 た す(4.5)の
解u(x,t)が
半 帯状 領 域0≦x≦l,t≧0
で 一 意 的 に 存 在 す る とい うこ と に な る.実 際 そ の 通 りで あ る こ とを 証 明す る こ とが 数 学 の 役 目で あ る.上
の 問 題 を,波
動 方 程 式 に対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 と
言 う. (x,y)‐ 平 面 内 に あ る弾 性 的 な 膜(単 純 閉 曲 線 Γ に よ っ て 囲 ま れ る領 域 Ω を 占 め る)の 振 動 を考 える と,時 u(x,y,t)に
刻tに
お け る膜 の 点(x,y)の
対 して
(4.6)
な る2階
垂 直方 向 の変位
(c>0は
線 型 偏 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.こ
れ を2次
定 数)
元 の 波 動 方 程 式 と言 う.
(4.6)に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題 は,初 期 条 件 u(x,y,0)=φ0(x,y),
((x,y)∈
Ω)
と境 界条件 u(x,y,t)=ψ(x,y)
((x,y)∈
Γ,t≧0)
を 満 足 す る解 を 見 出 す こ とで あ る. (4.4)ま た は(4.6)に
お い てf(x,y,t)が(x,y)だ
と仮 定 す る.そ の と き,長 い 時 間 経 過 し た 後,熱 が,平
け の 関 数f(x,y)で
ある
の 分 布 ま た は 膜 の 振 動 の状 態
衡 状 態(定 常 状 態)に 達 す る こ とが 考 え ら れ る.平 衡 状 態 が 実 現 され れ ば,
そ れ は 時 間 に 関 係 し な い か ら,ど ち らの 場 合 に も
(4.7)
の 型 の 方 程 式 を 満 た す こ とに な り,付 帯 条 件 は 境 界 条 件 (4.8)
だ け に な る.(4.7)を
u(x,y)=ψ(x,y)
((x,y)∈
Γ)
ポ ア ソ ン(Poisson)方
程 式(f(x,y)≡0の
と き,ラ
プラ
ス(Laplace)の
方 程 式)と 言 う.(4.7)を
含 む 型 が,2階
3の 型 で あ る.こ
の 型 の 方 程 式 に 対 し て は,境
程 式(4.7)を,そ
の 境 界 Γ の 上 で 境 界 条 件(4.8)を
的 に 存 在 す る か?'を
界 値 問 題:'領
域 Ω の 内部 で方
満 た す 関 数u(x,y)が
一意
考 え る の が 自 然 で あ ろ う.
代 表 的 に,(4.2),(4.5),(4.7)を 数tをyと
線型 偏 微分 方程 式 の第
取 上 げ よ う.こ
れ ら は,形
の 上 で は(変
思 え ば)
(4.9)
の 特 別 な 場 合 に な っ て い る こ とに 注 意 す る.(4.9)を,'代
数 的'な 構 造 に 従 っ
て 次 の よ うに 分 類 す る: (x,y)‐ 平 面 の点 集 合mの
各点 で
B2−4AC>0の
と き,(4.9)はmで
双 曲 型 で あ る;
B2−4AC=0の
と き,(4.9)はmで
放 物 型 で あ る;
B2−4AC0の
を2次 方程式
場 合. A+Bt+Ct2=0
の2根 に 等 し く選 ぶ:
と な り,(4.11)の
そ の と き,
を 含 む 項 は 消 え て し ま う.即 ち,1次
変換
に よ っ て,(4.10)は
つ ま り
(4.12)
に 変 換 さ れ る.こ
れ を 双 曲 型 方 程 式(4.10)の
標 準 形 と 言 う.(4.12)の
解 は容
易 に わ か る よ う に,
の 形 の も の に 限 る.こ (4.12)の
こで,φ,ψ
一 般 解 とい う.2階
は 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 で あ る.こ
れを
線 型 常 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は 二 つ の任 意 定 数 を
含 む こ とを 知 って い る.偏 微 分 方 程 式 の 場 合 に は,一 般 解 の 多 様 性 を 表 わ す 任 意 要 素 は,任 意 定 数 と し て で は な く,そ れ よ りも は るか に 込 み 入 っ た 性 格 を 持
つ 任 意 関 数 と し て 現 わ れ て く る の で あ る. 特 に,波
動 方 程 式(4.5)は, ξ=x+ct,
に よ っ て,(4.12)に
移 る か ら,一
(4.13)
η=x−ct
般解は
u=φ(x+ct)+ψ(x−ct)
で あ る. (ⅱ) 放 物 型:B2−4AC=0の
場 合.
を2次 方程式
A+Bt+Ct2=0
の根(重根)−B/2Cに 0に な る.よ
っ て,1次
等 しくとれば,
の係数 とともに,
の係数 も
変換 ξ=2Cx−By,
η=y
を 行 な え ば,(4.10)は
(4.14)
と な る.こ
れ が 放 物 型 方 程 式(4.10)の
標 準 形 で あ る.(4.14)の
u=φ(ξ)+η
で 与 え ら れ る.φ,ψ
一 般解 は
ψ(ξ)
は 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 で あ る.
(ⅲ) 楕 円 型:B2−4AC0),
sgn a=−1(a0で
φ(x)は
任 意 の 正 数)に
微 分 方 程 式 の 解 に な る こ とが わ か る.次 の 式 は 明 ら か:
有 界:│φ(x)│≦M(0≦x≦l)と
で あ る か ら,
が 成 立 つ.同
様に
も っ と一 般 に
が 成 立 つ.級
お い て 一 様 に 収 束 す る こ とが 言 え れ ば,
数
は 収 束 で あ る.実
際,
仮 定す れば
従 って,級 す る.重
数(4.18)は
一 様 収 束 す る優 級 数 を 持 つ か らt≧t>0で
ね 合 わ せ の 原 理 に よ り,(4.16)はt≧t>0で
tは 任 意 だ か ら,結
局t>0で
一様 に収 束
熱 伝 導 方 程 式 を 満 た す.
方 程 式 を 満 たす.(4.16)はt>0でx,tに
関し
て 何 回 で も微 分 可 能 で あ る こ と も あ わ せ て わ か った. φ(x)が0≦x≦lで =φ(l)=0と 数
連 続,か
つ 区 分 的 に 連 続 な 導 関 数 φ′(x)を 持 ち,φ(0)
仮 定 す る.そ の と き,φ(x)の
フ ー リエ 係 数 の 絶 対 値 を 項 とす る 級
は 収 束 で あ る(演 習 問 題3.4,5).
が 成 立 つ こ と に 気 を つ け れ ば,こ
の 場 合,級
様 に 収 束 す る こ と が わ か る.各un(x,t)は
数(4.16)は0≦x≦l,t≧0で
る.従
っ て,初
定 理4.2
φ(x)が0≦x≦lで
連 続,区
分 的 に 連 続 な 導 関 数 φ′(x)を 持 ち,
ら ば,
伝 導 方 程 式 に 対 す る 初 期 −境 界 値 問 題(4.15)の
注 意1
解 で あ る.
初 期 値 φ(x)が 定 理 に 要 求 され た 滑 らか さ(微 分 可 能 性)を 持 て ば,熱
程 式 の 解 はx,tに 注 意2
連 続 にな
期 条 件 も 境 界 条 件 も 満 た さ れ る.
か つ φ(0)=φ(l)=0な
は,熱
連 続 だ か ら,和u(x,t)も
一
関 して 何 回 で も微 分 可 能 に な る こ とを 強 調 して お く.
bnの 定 義 を 用 い てu(x,t)を
次 の よ うに 書 直 す.
積 分 と総 和 の 演 算 の交 換 が 許 さ れ る こ と は,[ 一 様 に 収 束 す る こ とか ら 明 らか で あ る . (4.19)
と お け ばu(x,t)は
伝導方
]内 の級 数 がt>0の
と き ξ に 関 して
(4.20)
の 形 に 表 わ され る.G(x,ξ;t)を
初 期 ‐境 界 値 問 題(4.15)の
グ リー ン 関 数 と言 う.
非 斉 次 熱 伝 導 方 程 式 次 の 初 期 ‐境 界 値 問 題
(4.21)
を 考 え る.こ
の 問 題 の 解u(x,t)を,tを
パ ラ メ タ ー と 考 え て,フ
級数
(4.22)
の 形 で さ が す.∂2u/∂x2が
∂u/∂tが連 続 な らば,微
連 続 な らば
分 と積 分 の 順 序 を 交 換 して
が 得 ら れ る.F(x,t)を
(4.23)
と展 開 し て お け ば,(4.21)か
らbn(t)に
対 す る常 微 分 方 程 式
ー リエ 正 弦
(4.24)
の 系 列 が 得 ら れ る.初
期 条 件u(x,0)=0は
(4.25)
bn(0)=0
を 意 味 す る.(4.24)を(4.25)の
以 上 の こ と か ら,問 を 持 つ な ら ば,u(x,t)は
下 で 解 く こ と は や さ し い:
題(4.21)の
解u(x,t)が
連 続 な 偏 導 関 数 ∂u/∂t,∂2u/∂x2
形 式的 に
(4.26)
な る正 弦 級 数 展 開 を 持 つ こ とが わ か った. 積 分 に 関 す る シ ュ ワル ツの 不 等 式 に よ って
級 数 に 関 す る シ ュ ワル ツの 不 等 式 とパ ー セ バ ル の 等 式 を 用 い て
が得られる.従 って,あ るT>0に 級数
は0≦x≦l,0≦t≦Tで
れ ば,(4.26)で F(x,t)に
は 連 続,
対して
定 め ら れ る 関 数 は,連
更 に 条 件 を 付 け 加 え れ ば(例 がtに
ならば, 一 様 に 収 束 す る.こ
続 で,x=0,x=l,t=0で0に
の条 件が あ な る.
え ば,F(0,t)=F(l,t)=0,Fと
∂F/∂x
関 し て 一 様 に 有 界),(4.26)の
級 数が 項別 に
微 分 で き る こ と,従
っ てu(x,t)が
問 題(4.21)の
解 にな るこ とを証 明す るこ と
が で き る. (4.26)は
グ リ ー ン 関 数(4.19)を
使 って
(4.27)
と 書 か れ る.実
際(4.23)を(4.26)に
代 入 し,積
分 と総 和 の演 算 を 入 換 え る と
を 得 る. (4.20)と(4.27)の
関 係 に 着 目す る と 有 益 で あ る.(4.20)は
を 対 応 さ せ る 作 用 素G:φ
φ(x)にu(x,t)
→u
と見 な す こ とが で き るが,こ
の 記 号 を 使 う と(4.27)は
と書 け る.斉 次 微 分 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題(初 期 条 件 は 非 斉 次!)の 解 か ら,非 斉 次 方 程 式 に 対 す る初 期 ‐境 界 値 問 題(初 期 条 件 は斉 次!)を 構 成 す る こ の 法 則 を デ ュ ア メル(Duhamel)の
原 理 と呼 ぶ.
解 の 一 意 性 初 期 ‐境 界 値 問 題 の解 は 上 で 作 っ た も の に 限 る こ と を証 明 し な け れ ば な らな い. 定 理4.3
u1(x,t),u2(x,t)が
初 期 ‐境 界 値 問 題
(4.28)
の連 続 な 解 な ら ば,u1(x,t)≡u2(x,t)で これ を 証 明 す るた め に は,最
あ る.
大 値 原 理 と呼 ば れ る次 の 定 理 を援 用 す る の が 便
利 で あ る. 定 理4.4
u(x,t)はQ:0≦x≦l,0≦t≦Tで
連 続,0<x