Лекции по физике для студентов факультета экономики и управления производством

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОИВОДСТВОМ

Автор

профессор Бекетов ВГ.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТОЧНОСТЬ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА Результаты измерений и расчетов записываются с помощью чисел. Числа состоят из цифр. Цифр всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Числа состоят из целой и дробной частей. Дробная часть числа записывается в виде десятичной дроби. Каждая цифра в числе стоит на определенном месте, которое называется разрядом. Разряды с их наименованиями изображены ниже на схеме. тысячи сотни десятки

Целая часть числа

единицы

11111,11111 десятые сотые

Дробная часть числа

тысячные десятитысячные Любое число можно записать в стандартном виде с помощью степени с основанием 10. В этом случае целая часть числа содержит только разряд единиц. а остальные цифры числа находятся в его дробной части. Для сохранения разряда целой части числа используется множитель – степень 10 n , где показатель n равен максимальному номеру разряда исходного числа. Например, число 5237 в стандартном виде должно быть записано так: 5,237·103. Источником числовых данных могут быть только измерения. Любой результат измерения принято записывать с указанием соответствующей аб-

солютной погрешности измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама величина. Для обозначения абсолютной погрешности используется символ ∆. Например, при измерении силы тока в амперах результат измерения записывают так: i = (0,25 ± 0,02) А, где ∆i = 0,02 А – модуль так называемой абсолютной погрешности измерения. Если конкретное число является результатом измерения, то запись этого числа должна обязательно содержать все цифры вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Допустим, мы измеряем диаметр цилиндра микрометром, позволяющим измерять этот диаметр вплоть до 0,01 мм (одной сотой миллиметра). В этом случае результат измерения должен содержать конкретное число десятых и конкретное число сотых миллиметра. Пусть при этом микрометр показал, например, ровно 12 миллиметров. В этом случае результат измерения должен быть записан так: (12,00 ± 0,01) мм. Точность результата измерения определяется так называемой относительной погрешностью – отношением абсолютной погрешности измерения к самому числу – результату измерения, умноженному на 100 %. Относительная погрешность – всегда безразмерное число. Для обозначения относительной погрешности используется символ ε. Так относительная погрешность результата измерения диаметра в нашем примере равна

0,01мм 1 = = 0,00083 = 0,083 %. 12,00мм 1200

Все числа, с которыми мы имеем дело при решении задач, являются результатами измерений и последующих расчетов. Поэтому все числа являются приближенными и записываются с помощью конечного числа цифр, зависящего от точности этого числа. При этом погрешность числа, как прави-

ло, не записывается. Принято считать, что все цифры записанного конкретного числа являются точными за исключением последней, а модуль погрешности этой последней записанной цифры равен 1. При этом погрешность последней цифры считается погрешностью самого числа, причем в том разряде, в котором и находится эта последняя цифра. Например, в числе 4,53 верными считаются цифры 4 и 5, а цифра 3 имеет погрешность ±1. При этом погрешность самого числа равна ± 0,01. С указанием погрешности это число должно быть записано так: 4,53 ± 0,01. Особую трудность в понимании смысла точности числа представляют нули. Последние нули в целой части числа необходимы для обозначения его разряда, но они ничего не говорят о точности числа. Чтобы выяснить точность этого числа, его нужно записать в стандартном виде. Если нули окажутся последними в дробной части числа, то единственным их назначение будет указание на точность этого числа. Например, в записи числа 2000 нельзя обойтись без этих трех нулей, иначе это число превратится в 2. А если это число записать в стандартном виде 2,000·103, то без этих трех нулей можно было бы обойтись Ведь числа 2, 2,0, 2,00 и 2,000 по величине совершенно одинаковы. Значит, эти нули необходимы для обозначения точности числа: 2 = 2 ±1, 2,0 = 2.0 ± 0,1, 2,00 = ± 0,01, 2,000 = ± 0,001. Точность числа определяется его относительной погрешностью – отношением абсолютной погрешности к самому числу, умноженным на 100 %. Так точность числа 2 равна 1/2 = 50 %, точность числа 2,0 равна 1/20 = 5 %, точность числа 2,00 равна 0,5 %, а точность числа 2,000 равна 0,05 %. Чем больше цифр в записи числа, тем оно точнее.

Рассмотрим два числа с одинаковым набором цифр: 1,23 и 123. Какое из них точнее? Точность числа 1,23 равна 0,01/1,23 = 1/123, точность числа 123 равна 1/123. Значит, точности разных по величине (разряду) чисел с одинаковым набором цифр равны. Следовательно, точность числа никак не связана с разрядами этого числа, а зависит только от числа так называемых значащих цифр. Значащими цифрами являются все цифры числа, обязательно содержащего дробную часть, считая слева направо, начиная с первой, отличной от нуля. Так в числе 2357, например, четыре значащие цифры, в числе 2,357 тоже четыре значащие цифры, в числе 2000 число значащих цифр определить невозможно. В числе 2000,0 – пять значащих цифр. В числе 0, 00012300 значащими являются последние пять цифр: 1, 2, 3, 0, 0. Первые четыре нуля нужны только для обозначения разряда и пропадут при записи числа в стандартном виде: 1,2300·10-4. Чтобы выяснить точность целого числа с последними нулями, это число нужно записать в стандартном виде. Оставшиеся после запятой нули укажут на точность числа. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА РАСЧЕТА При сложении или вычитании двух чисел складываются их абсолютные погрешности. Но при расчетах по физическим формулам мы имеем дело, как правило, с умножением и делением. Покажем, что при умножении или делении двух чисел или двух степеней складываются их относительные погрешности. Пусть расчетная формула выглядит следующим образом: z = A⋅ xm ⋅ yn ,

где A = const, а m и n – целые числа, положительные или отрицательные. Относительные погрешности величин x, y, и z будут соответственно равны:

εz =

∆z ∆x ∆y , εx = , εy = . z x y

Прологарифмируем исходную формулу: ln z = ln A + m ln x + n ln y .

Найдем дифференциал левой и правой частей, используя частные производные: dz dx dy =0+m +n . z x y

Три дифференциала dz, dx, и dy примем за соответствующие абсолютные погрешности: dz = ∆z, dx =∆x, dy = ∆y. Получим соотношение между относительными погрешностями: ε z = mε x + nε y ,

то есть относительные погрешности множителей и делителей складываются, что и требовалось доказать. Притом складываются столько раз, сколько раз каждый из них входит в формулу множителем (делителем): m раз x и n раз y. Полученная формула связи относительных погрешностей справедлива только в том случае, если величины x и y или обе завышены или обе занижены. Но на практике погрешности величин, входящих в формулу, как правило, компенсируют друг друга. Поэтому относительную погрешность результата расчета принято рассчитывать как среднюю квадратичную: εz =

(mε x )2 + (nε y )2 .

Итак, в результате любых вычислений (расчетов) погрешность всегда возрастает. Если исходные данные, использованные для расчетов, содержали не более двух значащих цифр, то результат расчета будет содержать только одну верную цифру – первую, вторая цифра уже будет содержать ошибку. Поэтому при решении расчетных задач в ответе можно писать не более двух цифр. Остальные цифры должны быть отброшены с выполнением правила округления: если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставленная цифра не меняется, а если первая отбрасываемая

цифра равна или больше 5, то последняя оставленная цифра увеличивается на 1. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Различают прямые и косвенные измерения. Прямое измерение состоит в сравнении измеряемой величины с эталоном с помощью измерительного прибора. Косвенное измерение представляет собой расчет измеряемой величины по формуле, в которую подставляют результаты прямых измерений. Например, объем некоторого тела можно измерить методом вытеснения жидкости с помощью мерного цилиндра – прямое измерение. А можно, измерив соответствующие линейные размеры тела, вычислить его объем по формуле – косвенное измерение. Для расчета погрешностей результатов прямых измерений некоторой величины х нужно сделать несколько (n) измерений этой величины. Напоминаем, что запись каждого из n результатов измерения должна обязательно содержать все цифры, в том числе и 0 вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Далее обработка идет по следующей схеме. 1. Вычисляем среднее арифметическое значение величины х по формуле n

хср =

х1 + х 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + х n = n

∑x i =1

n

i

.

Среднее значение также должно содержать столько цифр, в том числе и нулей, сколько их в записях результатов измерений. 2. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность величины х по формуле n

∑ (∆x )

2

i

σx =

i =1

n(n − 1)

,

где ∆хi = хi – хср – абсолютная погрешность каждого из n результатов измерений. В записях квадратов этих абсолютных погрешностей должно содержаться в два раза больше цифр, в том числе и нулей, чем в записях результатов измерений. А в записи средней квадратичной погрешности – столько же цифр, что и в записях результатов измерений. 3. Вычисляем предварительную абсолютную погрешность измеряемой величины путем умножения ее средней квадратичной погрешности на коэффициент Стьюдента. Значение коэффициента Стьюдента для данного числа n и для доверительной вероятности α = 95 % берем из таблицы. ∆x ′ = σ ⋅ tα (n ) .

В записи этой погрешности должно содержаться столько же цифр, что и в записях результатов измерений. 4. Вычисляем окончательную абсолютную погрешность измеряемой величины с учетом погрешности прибора δ по формуле ∆x =

(∆x ′)2 + δ 2 .

Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры. 5. Уточняем запись среднего значения измеряемой величины, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности. Число, обозначающее среднее значение измеряемой величины, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности: х = хср ± ∆х. Например, мы получили следующие величины: среднее значение хср = 2,36752 и значение окончательной абсолютной погрешности: ∆х = 0,08364. После округления получим ∆х = 0,084. Следовательно, среднее значение нужно округлить до тысячных: хср = 2,368. Окончательно запишем х = 2,368 ± 0,084.

6. Вычисляем относительную погрешность измеряемой величины по формуле εx =

∆x . x ср

КОЭФФИЦИЕНТ СТЬЮДЕНТА Число прямых измерений всегда конечно. Поэтому средняя квадратичная погрешность заведомо меньше истинной абсолютной погрешности. Чтобы получить близкое к реальности значение абсолютной погрешности, нужно увеличить среднюю квадратичную погрешность, умножив ее на коэффициент Стьюдента. В теории Стьюдента рассчитаны значения этого коэффициента в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений. С ростом доверительной вероятности, то есть надежности значения абсолютной погрешности, коэффициент Стьюдента увеличивается. А с ростом числа измерений, увеличивающим надежность результатов, коэффициент Стьюдента уменьшается. ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Какие измерения называются прямыми, а какие – косвенными? 2. Что такое абсолютная и относительная погрешности? Чему равна, например, погрешность числа 2,50? 3. Как выполнить расчет погрешности результатов прямых измерений? Какие шесть шагов нужно при этом сделать? 4. Как зависит коэффициент Стьюдента от числа измерений и от доверительной вероятности? 5. Как выполнить оценку погрешности результата косвенного измерения? Составьте формулу для расчета, например, относительной погрешности результата вычисления электрической мощности P по формуле: P = U – напряжение на участке, R – сопротивление участка.

U2 , где R

КОЕ-ЧТО ИЗ МАТЕМАТИКИ Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно знать основы математического анализа и, как минимум, уметь найти производную от комбинации элементарных функций и взять табличный интеграл. Также нужно знать, что такое вектор и как с ним работать, поскольку в описании физической реальности нельзя обойтись без векторных величин. Многие физические величины являются векторами. Напомним, что вектор можно изобразить в виде направленного отрезка определенной длины. Вектор имеет две характеристики: модуль (абсолютную величину или просто величину) и направление. Каждая из этих характеристик может быть постоянной или изменяться независимо от другой. Векторы складываются по правилу треугольника:

a

b r r r a +b = c

c При умножении вектора на число получается новый вектор, который направлен в ту же сторону, что и старый, если число положительное, и в противоположную сторону, если число отрицательное. Модуль нового вектора равен произведению модуля старого вектора на модуль этого числа. При умножении вектора на число 0, получается нулевой вектор, не имеющий ни величины, ни направления. r a x = a ⋅ cos α .

r a

α 0

х Любой вектор можно спроецировать на ось координат. Проекция век-

тора на ось координат равна произведению модуля этого вектора на косинус

угла между вектором и осью. Если угол острый, то его косинус и соответственно проекция вектора положительны. Если угол тупой, то его косинус и соответственно проекция вектора отрицательны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю. Любой вектор можно представить

z

в виде суммы трех его составляющих по осям координат:

a

r r r r a = ax ⋅ i + a y ⋅ j + az ⋅ k ,

где ax, ay, и az – проекции вектора, а r r r i , j , k – единичные векторы (орты) соот-

ветствующих осей координат.

0 x

r

На рисунке вектор a , обозначенный жирным шрифтом, выходит из на-

y

чала координат. Он равен сумме трех векторов, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат. Существуют два разных умножения вектора на вектор: скалярное и векторное. Результатом скалярного произведения вектора на вектор является число, равное произведению модуля первого вектора на модуль второго и на косинус угла между ними: r r r r a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos α ,

или равное сумме одноименных проекций этих векторов на оси координат: r r a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz .

Скалярное умножение обозначается точкой. Результатом векторного произведения вектора на вектор является вектор. Векторное умножение обозначается косым крестиком. Например, вектор r r r с равен векторному произведению векторов a и b :

r r r a ×b = c . r r r Вектор с перпендикулярен векторам a и b и его направление определяется

по правилу буравчика (правого винта), как это показано на рисунке, на котором все векторы обозначены жирным шрифтом. Буравчик вращается от перr

r

вого вектора a в сторону второго вектора b . Если векторы – множители поr

менять местами, то вектор с изменит направление на противоположное.

c

r

Модуль вектора с равен произведению модуля первого вектора на модуль второго и на синус угла между ними: r r r c = a ⋅ b ⋅ sin α .

α a

b

СТЕПЕНЬ И ЛОГАРИФМ Считаем нужным напомнить, что такое степень и логарифм. Степенью называется двухуровневое выражение вида a b , нижняя и верхняя части которого неравнозначны. показатель степени

b

a основание степени Для удобства обозначим эту степень буквой у. Имеем равенство y = ab .

где а – основание степени у, а b – показатель степени у. Чтобы выразить а и b из этого равенства, нужно применить разные правила.

Основание а степени у равно корню из этой степени: a=b y,

а показатель b степени у равен логарифму этой степени по основанию а: b = log a y .

Итак, показатель степени и логарифм степени – это практически одно и то же. Чтобы убедиться, проверьте тождество: a b = a log a y ,

и левая и правая части которого равны у.

ЧАСТЬ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ МАТЕРИИ ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МАТЕМАТИКА. РОЛЬ И МЕСТО ФИЗИКИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ Естествознание – совокупность наук о природе, то есть о материальном мире. Разделение естествознания на различные науки соответствует различным уровням организации материи. Так астрономия изучает объекты космического уровня, геология – строение Земли, биология – жизнь, живую материю, химия – явления химического уровня и т.д. Физика имеет дело с самым фундаментальным уровнем организации материального мира, с самыми глубинными свойствами неживой материи. Физические исследования составляют фундамент большинства естественных наук, в том числе всех технических дисциплин: электротехники, технической термодинамики, сопротивления материалов и других. Физика вооружает эти науки основными понятиями и новыми методами. Разные естественные науки не обособлены друг от друга. Все они вместе с математикой являются продуктами и частью общественного сознания. Большие успехи уже достигнуты и ожидаются в будущем на стыке разных естественно-научных дисциплин. Успешно развиваются такие науки, как биофизика, биохимия, астрофизика, химическая физика, физическая химия и т.д. У каждой науки есть свой собственный предмет изучения, свой метод исследования, свой язык. Язык естественных наук, и в особенности язык физики, по существу математический. Например, любую законченную мысль о предметах или явлениях, имеющих количественную характеристику, можно записать в виде уравнения. Чтобы овладеть математическим языком, необходимо усвоить ряд абстрактных понятий, многие из которых не имеют аналога в мире нашей повседневности. По мысли Галилея и Фейнмана сама природа как бы разговаривает с нами на языке математики. А Иммануил Кант утверждал, что во

всяком учении о природе подлинной науки заключается ровно столько, сколько в ней математики. Основной принцип естествознания состоит в том, что любые гипотезы и теории об устройстве и поведении объектов природы должны допускать экспериментальную проверку. В этом смысле математика отличается от естественных наук. Главный принцип построения математики – внутренняя непротиворечивость. Например, предположив, что через точку, не лежащую на некоторой прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной, получим евклидову геометрию. А предположив, что через эту точку проходит бесчисленное множество прямых, параллельных данной, получим геометрию Лобачевского. И при этом математика не обязана отвечать на вопрос, как устроен мир: по Евклиду или по Лобачевскому. Поэтому математика не включается в структуру естествознания. НАУЧНЫЙ МЕТОД Общим для всех естественных наук является научный метод, суть которого заключается в триаде: наблюдение → размышление → опыт. Наблюдение включает в себя накопление эмпирического материала. В В ходе размышления высказываются гипотезы и строятся научные теории, которые на стадии опыта подвергаются экспериментальной проверке. Если результаты теоретических расчетов, выполненных на основании предложенной теории, совпадают с результатами эксперимента в пределах погрешности последнего, то можно предположить, что это теория верна. Эйнштейн говорил, что самым непостижимым во Вселенной является то, что она все-таки постижима. ПОНИТИЕ СОБЫТИЯ В ФИЗИКЕ Всякий физический процесс происходит в пространстве и времени. Любой физический закон содержит явно или неявно пространственно-

временные отношения. Физика исследует количественные отношения между различными физическими величинами, принимающими то или иное значение в пространстве и времени. В узком смысле событием можно назвать саму четверку чисел {x, y, z, t}. ВЕЩЕСТВО И ПОЛЕ Материя в природе существует в двух формах: в форме вещества и в форме поля. Из вещества сформированы все нерукотворные и рукотворные тела. Все тела, хоть и представляются нам сплошными, на самом деле как бы пустота. Ведь вся масса сосредоточена в ярах атомов, а расстояния между ядрами в 10000000 раз превышают размер самих ядер. Таким образом, тела устроены из вещества, «сцементированного» полем. Как вещество, так и поле состоит из частиц. Важнейшими внутренними свойствами частиц являются масса или ее отсутствие, электрический заряд, спин и др. Вселенная состоит из частиц вещества, между которыми действуют силы. Силы измеряются в Ньютонах: 1 Н =

кг ⋅ м . Взаимодействие осуществляс2

ется через поле. ИЕРАРХИЯ ОБЪЕКТОВ В ПРИРОДЕ Все мироздание принято разделять на три уровня, как это показано ниже в таблице. Микромир

Элементарные частицы → ядра → атомы → молекулы →

Макромир

→ макротела от пылинок до планет →

Мегамир

→ звезды → галактики → Метагалактика (Вселенная)

СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА Структурные уровни вещества, из которого сформированы все тела в природе, показаны ниже в таблице. Все тела: кристаллические (твердые), жидкие и газообразные, – состоят из молекул, атомов или ионов. Молекулы состоят из атомов. Атомы – из ядер и электронов. Ядра – из нуклонов. Нуклоны – из кварков. Структурный уровень вещества

Составные элементы

нуклон

кварки

ядро

нуклоны

атом

ядро и электроны

молекула

атомы

кристалл

молекулы, атомы, ионы ЭНЕРГИЯ

Энергия – это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Любой объект природы обладает энергией уже потому, что существует. Все процессы сопровождаются превращением энергии из одного вида в другой и передачей энергии от одного тела к другому путем совершения работы. Энергия в природе проявляется в формах энергии покоя, энергии движения и энергии взаимодействия тел. Изменение энергии Е тела или системы тел равно работе Авнш внешних сил: Е 2 − Е1 = Авнш .

Это уравнение выражает закон сохранения и превращения энергии – один самых основных законов природы. Энергия и работа измеряются в Джоулях: 1 Дж = 1 Н·м. Масса тела эквивалентна энергии в соответствии с формулой Эйнштейна:

E 0 = mc 2 ,

где m – так называемая масса покоя, с – скорость света в вакууме. Эта энергия E 0 называется энергией покоя. Кинетической энергией Екин называется энергия движения. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения относительно других тел. Безмассовые частицы, например фотон, также обладают энергией, притом по существу только кинетической, и всегда движутся со скоростью света. Эти частицы являются частицами поля и обладают частотой ν. Энергия таких частиц вычисляется по формуле Планка E = h ⋅ν ,

где h – постоянная Планка. Энергия взаимодействия различных тел называется потенциальной энергией Епот. Формула для вычисления потенциальной энергии определяется видом соответствующего взаимодействия. Кинетическая энергия и энергия покоя принадлежат самой частице (телу), в то время как потенциальная энергия принадлежит всем взаимодействующим телам. АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА Существование вещества в трех агрегатных состояниях (фазах): кристаллическом (твердом), жидком и газообразном, – обусловлено соотношением между интенсивностью хаотического теплового движения, выраженного в средней кинетической энергии молекул Екин , и степенью упорядоченности, выраженной в потенциальной энергии Епот взаимодействия между молекулами. Если средняя кинетическая энергия молекул много меньше потенциальной энергии взаимодействия между ними (Екин > Епот), то вещество находится в газообразном состоянии. Молекулы находятся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении – полный беспорядок. Если средняя кинетическая энергия молекул примерно равна потенциальной энергии взаимодействия между ними (Екин ≈ Епот), то вещество находится в жидком состоянии. В расположении молекул наблюдается так называемый ближний порядок. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Во всей Вселенной между любыми телами действует гравитация – взаимное притяжение – в соответствии с законом Всемирного тяготения, в котором коэффициентом пропорциональности является гравитационная постоянная γ = 6,7 ⋅ 10

−11

Н ⋅ м2 , являющаяся одной из фундаментальных мировых фикг 2

зических постоянных (констант). Другой фундаментальной мировой физической постоянной является скорость света в вакууме с = 3 ⋅ 10 8

м . Эта скорость является предельной скос

ростью движения материальных объектов, в том числе максимальной скоростью распространения взаимодействий и передачи информации. Частицы, обладающие массой покоя, всегда движутся со скоростями, меньшими скорости света в вакууме. При движении макро- и микротел со скоростями, много меньшими с, действуют законы классической (Ньютоновской) механики. Именно эти тела и являются объектами изучения в классической механике. При этом кинетическая энергия этих тел много меньше их энергии покоя: E кин 1, в металле ε → ∞ (электрическое поле в металле ослабляется до нуля). ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА Взаимодействие между электрически заряженными телами осуществляется через электрическое поле. Схема взаимодействия изображена ниже на рисунке.

создает заряд +

действует Электрическое

заряд +

поле действует

создает

Взаимодействие точечных зарядов в вакууме подчиняется закону Кулона: F=

1

q1 q 2

4πε 0 r 2

,

где ε0 = 8,9·10-12 Ф/м – электрическая постоянная. Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна модулю произведения величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Заряды одного знака отталкиваются, а противоположные по знаку заряды притягиваются. Электрическая кулоновская сила – сила прямого действия, она направлена вдоль прямой, на которой расположены точечные заряды, как это показано ниже на рисунке. В векторной форме закон Кулона выглядит следующим образом:

+

+

F

r1-2 q2

q1

r F=

q1 q 2 r er , 4πε 0 r12−2 1

r r1−2 r – единичный направляющий вектор, направленный вдоль радиугде er = r1−2

са – вектора r1-2. Закон Кулона применим и для взаимодействующих проводящих шаров, где r1-2 – расстояние между центрами шаров. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ Электростатическое поле – это поле, созданное неподвижными зарядами. Поле способно действовать с некоторой силой на любой точечный заряд, помещенный в это поле. Эта способность не зависит от помещенного заряда, а является свойством самого поля. Мера этого свойства является силовой характеристикой поля. Силовая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется напряженностью. Напряженность электрического поля в некоторой его точке – это вектор, равный вектору силы, действующей со стороны поля на точечный положительный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленному на величину этого заряда: r r F Н E= , . q + Кл

Эта формула определения напряженности используется для расчета силы, действующей на точечный заряд, а не для расчета напряженности. Точечный заряд, помещенный в электростатическое поле, обладает потенциальной энергией, источником которой является само поле. Поле обладает запасом энергии. Мера этого свойства поля является его энергетической характеристикой. Энергетическая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется потенциалом. Потенциал электрического поля в некоторой его точке равен потенциальной энер-

гии, которой обладает точечный положительный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленной на величину этого заряда: ϕ=

W Дж = В (Вольт). , q + Кл

Эта формула используется для расчета потенциальной энергии. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ Согласно закону Кулона электростатическое поле – это поле центральных сил и, следовательно, является потенциальным, а электрические силы являются консервативными. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки поля в другую, как и любая работа консервативных сил, равна разности потенциальных энергий этого заряда в поле: 2

r r A1− 2 = ∫ F ⋅ dr = W1 − W2 . 1

Разделив это уравнение на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулу связи напряженности с потенциалом в интегральном виде: 2

r r E ∫ ⋅ dr = ϕ 1 − ϕ 2 – 1

В правой части формулы стоит разность потенциалов первой и второй точек поля. Разность потенциалов двух точек поля – это работа электрического поля по переносу единицы положительного заряда из первой точки поля во вторую. Используя связь консервативной силы с потенциальной энергией: r F = − gradE p

и разделив обе части этого равенства на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулы связи напряженности с потенциалом в дифференциальном виде в векторной форме: r E = − gradϕ

и в проекциях на оси координат:  ∂ϕ  E x = − ∂x ,  ∂ϕ  , E y = − ∂ y   ∂ϕ . E z = − ∂z 

1 φ1

2 >

Вектор напряженности поля E все-

E

гда направлен в сторону уменьшения

φ2

потенциала.

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е Как и любая работа консервативных сил, работа электростатического поля по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю: r r F ∫ ⋅ dr = 0 . l

Используя формулу определения напряженности, получим теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля: r r E ∫ ⋅ dr = 0 . l

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Равенство нулю циркуляции вектора является признаком потенциального характера соответствующего поля. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА Чтобы получить формулу для расчета модуля вектора напряженности электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом, используем закон Кулона и определение напряженности. E=

1

q1 q 2 2

4πε 0 r q 2

=

1

q1

4πε 0 r 2

откуда для любого точечного заряда q получим

,

r E =

q

1

–

4πε 0 r 2

формулу для расчета модуля вектора напряженности созданного этим зарядом поля в точке с радиусом – вектором r. Вектор напряженности поля,

E

созданного положительным заря-

+ q

r

дом, совпадает по направлению с

E – q

радиусом – вектором точки. r

Вектор напряженности поля, созданного отрицательным зарядом, направлен в сторону, противоположную радиусу – вектору точки. Чтобы получить формулу для расчета потенциала поля точечного заряда, используем связь потенциала с напряженностью для центрального поля: Er = −

dϕ . dr

Далее берем неопределенный интеграл:  1 q q  ⋅ dr = + ϕ∞ , 2  4πε 0 r  4πε 0 r 

ϕ = − ∫ E r ⋅ dr = − ∫ 

где константа φ0 , – потенциал поля на бесконечности – равна нулю. Итак: ϕ=

q

4πε 0 r

–

формула для расчета потенциала поля, созданного точечным зарядом q в точке с радиусом – вектором r. Потенциал поля – это число, знак которого совпадает со знаком заряда. Положительный заряд создает вокруг себя электростатическое поле с положительным потенциалом, отрицательный заряд – поле с отрицательным потенциалом. Каждый точечный заряд создает свое электростатическое поле независимо от других зарядов. Поле, созданное системой точечных зарядов, представляет собой суперпозицию (сумму) полей, созданных каждым из зарядов: r r E = ∑ Ei и ϕ = ∑ ϕ i . i

i

СИЛОВЫЕ ЛИНИИ Электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых линий. Силовые линии – это прямые или кривые линии, в каждой точке которых векторы Е направлены по касательным к этим линиям. Ниже на рисунке изображены силовые линии полей положительного и отрицательного точечных зарядов и силовые линии поля, образованного двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями.

+ Е

– Е

+

Е –

Как видно из рисунков, поля положительного и отрицательного точечных зарядов являются центральными (сферически симметричными), а поле, образованное двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями является однородным: во всех точках поля векторы Е одинаковы, а силовые линии параллельны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Силовые линии показывают не только направление поля, но его силу: там, где силовые линии расположены чаще, там поле сильнее. Однородное поле везде одинаково.

ПОТОК ВЕКТОРА Рассмотрим элементарную площадку dS

площади dS и вектор а. Проведем к этой a

площадке с ее лицевой стороны перпендикуляр (нормаль) и отложим вдоль него вектор

α

dS, по величине равный площади площадки.

dS

Угол между этими векторами обозначим α. Потоком вектора а через элементарную площадку dS называется скалярное произведение векторов а и dS: r r dΦ = a ⋅ dS .

Чтобы найти поток вектора через поверхность конечной площади, нужно взять интеграл r r Φ = ∫ a ⋅ dS . S

Заметим, что поток – это число. ТЕОРЕМА ГАУССА Электростатическое поле создается электрическими зарядами, причем напряженность поля прямо пропорциональна величине заряда. Чем больше заряд, тем больше силовых линий выходит из заряженного тела, и больше поток вектора напряженности. Все это отражено в теореме Гаусса: поток ΦE вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность S прямо пропорционален электрическому заряду qвнтр, заключенному внутри этой поверхности: ΦE =

qвнтр

ε0

r

r

или ∫ E ⋅ dS = S

1

ε0

∫ ρ ⋅ dV , V

где V – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S, а ρ =

dq – dV

объемная плотность заряда. Теорема Гаусса отражает потенциальный характер электростатического поля. В качестве примера покажем, что

E

из теоремы Гаусса следует закон КуS

лона. Для этого окружим точечный за-

+q

ряд + q сферической поверхностью раE

диуса r, а заряд расположим в центре этой поверхности. В этом случае сило-

r

вые линии напряженности Е электростатического поля будут перпендикулярны замкнутой поверхности S. Скалярное произведение векторов будет равно произведению их модулей. Во всех точках этой поверхности векторы Е должны быть одинаковы по модулю, и этот модуль можно вынести из-под знака интеграла. Поток вектора Е будет равен Φ E = ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr 2 . Подставив его в теорему Гаусса, получим S

E ⋅ 4πr 2 =

q

ε0

, откуда E =

q 4πε 0 r 2

, как и следует из закона Кулона.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Электрический ток – это направленное движение электрического заряда. v

dq

+ dV

Пусть элементарный заряд dq, находящийся в объеме dV, движется со скоростью v.

dq на вектор его скорости наdV r r зывается вектором поверхностной плотности тока: j = ρ ⋅ v . Если движущий-

Произведение объемной плотности заряда ρ =

ся заряд пересекает некоторую поверхность S, то интеграл, взятый по этой r

r

поверхности от скалярного произведения j ⋅ dS , называется силой тока: r r r r r dq dr r dq dr ⋅ dS dq i = ∫ j ⋅ dS = ∫ ⋅ ⋅ dS = = , dV dt dt ∫S dV dt S S

и, следовательно, сила тока равна производной от заряда по времени: i=

dq Кл , = А (ампер). dt с

СТОРОННИЕ СИЛЫ Электрические силы «толкают» положительный заряд только в сторону уменьшения потенциала. При круговом токе положительный заряд должен пройти участок от меньшего потенциала к большему. Поэтому для создания кругового тока необходимы так называемые сторонние силы, силы неэлектрической природы, которые будут «толкать» положительный заряд от меньшего потенциала к большему. Такие сторонние силы действуют в источниках тока (см. рисунок внизу) и направлены от «минуса» к «плюсу». Естор – вектор напряженности поля сторонних –

+

сил, направленный от меньшего потенциала к Естор

большему.

ЗАКОНЫ ОМА Поверхностная плотность тока прямо пропорциональна суммарной напряженности электрического поля и поля сторонних сил: r r r j = σ E + Eстор .

(

)

В этой формуле σ – удельная электропроводность, являющаяся коэффициентом пропорциональности, а ρ =

1

σ

– удельное электрическое сопротивление.

Разделив левую и правую части уравнения на σ, получим r r r ρj = E + E стор –

закон Ома в дифференциальной форме. Закон так называется, поскольку он применим для каждой точки проводящей среды. Проинтегрируем обе части закона вдоль линии l проводящей среды с площадью поперечного сечения S от точки 1 до точки 2: 2

r

r

2

r

r

2

r

r

∫ ρ ⋅ j ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ Eстор ⋅ dl 1

1

1

и рассмотрим каждый из трех интегралов по отдельности. Преобразуем интеграл в левой части уравнения: r r 2 r r ρ ⋅ dl ∫1 ρ ⋅ j ⋅ dl = ∫1 j ⋅ S ⋅ S = i ⋅ R1−2 . 2

Здесь R1-2 – сопротивление участка цепи, а произведение силы тока на участке цепи на сопротивление этого участка i ⋅ R1−2 = U

называется напряжением. Электрическое сопротивление измеряется в Омах. 1 Ом =

1В . А

Первый интеграл в правой части уравнения 2

r

r

∫ E ⋅ dl

= ϕ1 − ϕ 2

1

есть разность потенциалов на участке цепи, то есть работа сил электрического поля по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка. А второй интеграл r r E ⋅ d l = ε1-2 – стор ∫ 2

1

так называемая эдс, – работа сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка.

Итак, мы получили формулу

ε1-2,

iR1-2 = φ1 – φ2 +

которая называется законом Ома для участка цепи в интегральной форме, где напряжение, разность потенциалов и эдс измеряются в вольтах. Этот закон является частным случаем закона сохранения энергии, а напряжение есть суммарная работа и сил электрического поля, и сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка. Обратим внимание, что разность потенциалов и эдс являются алгебраическими величинами, то есть могут быть отрицательными. Для правильной расстановки знаков при

ε необходимо начало и конец участка обозна-

чить соответственно точками 1 и 2, ориентируясь по направлению тока (открытые стрелки на рисунках внизу). При этом напряжение будет всегда положительно. Разность потенциалов следует записать в виде φ1 – φ2. Тогда

ε

нужно будет записать со знаком «плюс», если направление сторонних сил, показанное на рисунках черными стрелками, совпадает с направлением тока, и со знаком «минус», если направления сторонних сил и тока противоположны.

ε1-2 > 0 1

ε1-2 < 0 2

2

1

i

i

ε1-2 < 0 1

ε1-2 > 0 2

i

2

1

i

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ –

В случае замкнутой цепи нет ни начала, ни

+

конца участка, и разность потенциалов обращается

ε

r R

в ноль. Источник тока со своим внутренним сопро-

i

тивлением r называется внутренним участком цепи. К источнику тока подключен внешний участок (нагрузка) цепи с сопротивлением R.

Обратим внимание, что на внешнем участке цепи ток идет от «плюса» к «минусу», а на внутреннем участке от «минуса» к «плюсу». При принятых обозначениях закон Ома для замкнутой цепи будет выглядеть так: i (R + r) = ε.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Магнитное поле существенно отличается от электрического. Магнитное поле создается только движущимся зарядом или электрическим то ком. Магнитное поле действует на движущийся заряд или ток с некоторой силой. Взаимодействие проводников с током осуществляется через магнитное поле. Схема взаимодействия показана ниже на рисунке. Электрический ток создает

Электрический ток действует Магнитное поле

действует

создает

Силовые линии магнитного поля всегда замкнутые и расположены вокруг линии тока. Вдоль касательных к силовым линиям магнитного поля на-

правлен вектор магнитной индукции В, который является силовой характеристикой магнитного поля. Вектор В всегда расположен в плос-

i

кости,

перпендикулярной

вектору

скорости движения заряда или на-

r

правлению тока. Направление вектоB

ра В определяется по правилу буравчика, как это показано на рисунке.

Замкнутость силовых линий магнитного поля говорит о его вихревом характере. Вследствие этого поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю: r r B ∫ ⋅ dS = 0 – S

теорема Гаусса для магнитного поля. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Так как магнитное поле создается электрическим током, циркуляция вектора магнитной индукции вдоль любого замкнутого контура l прямо пропорциональна силе тока, пронизывающего этот контур: r r r r B ⋅ d l = µ 0 ∫ ∫ j ⋅ dS . l

S

Эта формула называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Здесь µ0 – магнитная постоянная, S – площадь поверхности, натянутой на контур l, а r

r

∫ j ⋅ dS = i

внтр

–

S

cила тока, пронизывающего контур. То, что циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля, также свидетельствует о вихревом характере магнитного поля.

Покажем для примера, как с помощью теоремы о циркуляции получить выражение для значения вектора магнитной индукции для бесконечно длинного прямого провода с током. Воспользуемся рисунком, расположенным выше. В качестве контура l возьмем изображенную там окружность радиуса r, перпендикулярную проводнику с током и с центром в этом проводнике. Эта окружность является одной из силовых линий магнитного поля. Во всех ее точках вектор В совпадает по направлению с вектором dl и одинаков по модулю. В этом случае циркуляция превращается в произведение: r r B ∫ ⋅ dl = B ⋅ 2πr . l

Контур пронизывает только ток i. Подставив все это в теорему о циркуляции, получим B=

µ0 ⋅ i . 2πr

СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Поскольку магнитное поле создается движущимся зарядом или током, оно способно действовать с некоторой силой на движущийся заряд или ток. Но действие магнитного поля принципиально отличается от действия электрического поля. На рисунках ниже слева показана сила F, действующая на движущийся заряд, и справа – сила dF, действующая на элемент проводника с током. Эти силы перпендикулярны плоскости, содержащей движущийся заряд и вектор магнитной индукции. Их направление определяется по правилу буравчика или по правилу левой руки. Магнитные силы прямо пропорциональны модулю вектора магнитной индукции, модулю заряда и его скорости или силе тока. Кроме того, эти силы зависят от ориентации вектора В. Магнитная сила, действующая на движущийся электрический заряд, называется силой Лоренца и вычисляется путем векторного произведения по формуле: r r r F = qv × B .

Модуль этой силы будет равен F = q vB sin α ,

где α – угол между векторами qv и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º.

F dF B +q

B

α

α v

i·dl

Магнитная сила, действующая на элементарный проводник с током, называется силой Ампера и вычисляется также путем векторного произведения по формуле: r r r dF = idl ⋅ B .

Модуль этой силы будет равен r dF = idl B sin α ,

где α – угол между векторами i·dl и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º. Формула силы Ампера используется для определения вектора магнитной индукции как силовой характеристики магнитного поля: B=

Fmax Н , = Тл (тесла). il А ⋅ м

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Пусть

v

заряженная

частица

массы m движется со скоростью v,

B

направленной

F r

+q

перпендикулярно

вектору В. На рисунке этот вектор направлен от нас и изображен кружочком с крестиком.

Сила Лоренца перпендикулярна векторам скорости и магнитной индукции. Ее модуль вычислим по формуле силы Лоренца. F = qvB .

Поскольку вектор силы перпендикулярен вектору скорости, сила Лоренца создает нормальное (центростремительное) ускорение. Поэтому заряженная частица будет двигаться по окружности некоторого радиуса r. Воспользовавшись вторым законом Ньютона: мулу для расчета радиуса окружности: r =

mv 2 = qvB , получим форr

mv . qB

РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы и ее перемещению. Следовательно, сила Лоренца работу не совершает. Работа совершается при перемещении в магнитном поле проводника с током. На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера. Работа совершается за счет энергии источника, поддерживающего ток в проводнике. Найдем выражение для элементарной B

работы δА, совершаемой при перемещении на

dr

вектор dr проводника длины l с током i в магнитном поле с вектором магнитной индукции

il

В.

r

r

( r r)

r

δA = FА ⋅ dr = il × B ⋅ dr

Последнее выражение представляет собой смешанное векторное и скалярное произведение векторов, которое можно преобразовать:

(ilr × Br )⋅ drr = −i(lr × drr )⋅ Br = i(drr × lr )⋅ Br . Выражение, стоящее в скобках представляет собой вектор элементарной площади: r r r dr × l = dS .

Мы получили r r

δ A = i ⋅ dS ⋅ B = i ⋅ dΦ B ,

то есть работа при движении проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение магнитного потока: δA = i ⋅ dΦ B .

Пусть металлическая пере-

dr i

a

мычка ab скользит вдоль П – образной металлической рамки, в

B FA

il b

которую включен источник тока. По перемычке сверху вниз идет ток i.

Контур с током расположен перпендикулярно магнитному полю В. Вектор В направлен от нас (на рисунке он обозначен кружочком с крестиком). На перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера FA = ilB , поскольку векторы il и В перпендикулярны. Когда перемычка переместится вправо на вектор dr , площадь контура увеличится на величину площади серого прямоугольника il ⋅ dr = i ⋅ dS . Сила Ампера совпадает по направлению с вектором dr. Совершенная при этом работа будет равна: δA = FA ⋅ dr = ilB ⋅ dr = iB ⋅ dS = i ⋅ dΦ B .

Итак, совершенная силой Ампера работа связана с изменением магнитного потока. Причем эта работа осуществлена за счет энергии источника тока.

ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Пусть опять перемычка ab +

i

a

скользит со скоростью v вдоль П – образной рамки, но без источника

v

B FA

тока. Магнитное поле опять пер-

F

–

пендикулярно рамке и вектор В направлен от нас. При движении

b

перемычки в контуре идет ток, как это показано на рисунке. Этот ток называется индукционным, а его возникновение есть один из случаев явления электромагнитной индукции. Почему же возник ток? Единственной причиной появления тока может быть электрическое поле. Перемычка ab оказалась как бы источником тока, потенциал в точке а (+) оказался больше потенциала в точке b (–). Что же произошло? При движении перемычки увеличивается площадь контура и магнитный поток через него. Увеличение магнитного потока и явилось причиной появления электрического поля. С увеличением магнитного потока связано совершение внешней силой F работы δA = i ⋅ dΦ . На перемычку ab при этом действует сила Ампера FА. При постоянной скорости перемычки эти силы уравновешивают друг друга, и работа силы Ампера равна по модулю и противоположна по знаку работе силы F. Эта работа δAинд = −i ⋅ dΦ

есть не что иное, как работа сторонних индукционных сил внутри перемычки, а в расчете на единицу заряда – это эдс индукции:

εинд = δA

инд

dq

= −i ⋅

dΦ dq dΦ dΦ . =− ⋅ =− dq dt dq dt

Итак, мы получили формулу закона Фарадея:

εинд = − dΦ , dt

согласно которому эдс индукции равна производной от магнитного потока по времени со знаком «минус».

В более широком смысле явление электромагнитной индукции состоит в том, что переменное магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля уже не равна нулю, а представляет собой эдс индукции: r r E ∫ ⋅ dl =

εинд.

l

Чтобы показать, что именно переменное магнитное поле является причиной появления эдс индукции, преобразуем производную от магнитного потока по времени: r dΦ d  r r  ∂B r =  ∫ B ⋅ dS  = ∫ ⋅ dS . dt dt  S ∂ t  S

Теперь можно записать закон Фарадея в интегральной форме: r r r ∂B r ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS .

ЯВЛЕНИЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Как мы уже знаем, источником магнитного поля являются движущиеся электрические заряды – электрический ток. При этом циркуляция вектора В по любому контуру пропорциональна потоку вектора поверхностной плотности тока через поверхность, натянутую на этот контур: r r r r B ⋅ d l = µ 0 ∫ ∫ j ⋅ dS . l

S

Великий английский физик Максвелл заметил, что с этим уравнением не все в порядке. Ведь предполагаемый контур можно мысленно стянуть в точку. Тогда циркуляция станет равной нулю вектора В, а поверхность, натянутая на этот контур, станет замкнутой. Если левая часть уравнения равна нулю, значит и правая часть тоже будет равна нулю. Итак, мы получим r

r

∫ j ⋅ dS = 0 , S

то есть электрический заряд окажется запертым внутри воображаемой замкнутой поверхности, чего быть не может.

Значит, в правую часть уравнения нужно добавить еще один член. Как же он должен выглядеть? Если электрический заряд с течением времени вытекает из объема через замкнутую поверхность, заключающую в себе этот объем, то напряженность электрического поля уменьшается, и производная от напряженности электрического поля по времени будет отрицательной. Добавив в правую часть уравнения член, содержащий эту производную, можно будет устранить возникшее недоразумение: r r r ∂E r ∫S j ⋅ dS + ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS = 0 ,

что вполне допустимо. Теперь этот второй член нужно добавить в теорему о циркуляции вектора В. Получим новое уравнение, уравнение Максвелла: r r r r r ∂E r ∫l B ⋅ dl = µ 0 ∫S j ⋅ dS + µ 0ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS .

Это уравнение имеет важный физический смысл. У магнитного поля есть два источника: первый – это движущийся электрический заряд или ток, а второй – это переменное электрическое поле. Переменное электрическое поле порождает в пространстве магнитное поле. Это явление и называется явлением магнитоэлектрической индукции. Выражение r ∂E r ε0 = j см ∂t

получило название вектора поверхностной плотности тока смещения или просто ток смещения. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Четыре уравнения: теорема Гаусса для электрического поля, закон Фарадея, теорема Гаусса для магнитного поля и уравнение Максвелла, – составляют систему уравнений Максвелла. Именно Максвелл записал все эти уравнения в той форме, в какой они записаны ниже.

r r 1 E ∫ ⋅ dS =

∫ ρ ⋅ dV ,

S

V

ε0

r r r ∂B r ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS ,

r

r

∫ B ⋅ dS = 0 , S

r r r r r ∂E r ∫l B ⋅ dl = µ 0 ∫S j ⋅ dS + µ 0ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS .

Первые два уравнения показывают, как возникает электрическое поле. Во-первых, согласно теореме Гаусса для электрического поля оно создается положительными и отрицательными электрическими зарядами. Это поле имеет потенциальный характер. Во-вторых, согласно закону Фарадея вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Естественно, что это поле имеет вихревой характер. Вторые два уравнения рассказывают о магнитном поле. Магнитное поле всегда вихревое и имеет только вихревой характер. Поэтому поток вектора магнитной индукции согласно теореме Гаусса для магнитного поля всегда равен нулю. Две причины возникновения магнитного поля: движущийся электрический заряд и переменное электрическое поле, – содержатся в четвертом уравнении. Обратим еще раз внимание на то, что отличие от нуля потока вектора через любую замкнутую поверхность говорит о потенциальном характере поля этого вектора, а отличие от нуля циркуляции вектора по любому замкнутому контуру говорит о вихревом характере этого поля. В случае статики, то есть когда электрическое и магнитное поля неизменны (производные по времени равны нулю), система из четырех уравнений разбивается на две системы: r r 1 E ∫ ⋅ dS =

∫ ρ ⋅ dV и

r r E ∫ ⋅ dl = 0 , – два уравнения электростатики. Электроста-

S

V

l

ε0

тическое поле – поле с потоком, но без циркуляции, имеющее только потенциальный характер.

r r r r r r ⋅ = B d S 0 и B ∫ ∫ ⋅ dl = µ 0 ∫ j ⋅ dS , – два уравнения магнитостатики. Магнитное поS

l

S

ле – поле с циркуляцией, но без потока, имеющее только вихревой характер.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные колебания осуществляются в так называемых колебательных системах. Колебательная система – это система тел, в которой имеется «потенциальная яма», то есть потенциальная энергия имеет минимум, соответствующий положению устойчивого равновесия. В колебательной системе при ее смещении из положения равновесия действует консервативная сила, возвращающая систему в положение равновесия. Смещение из положения равновесия обозначим буквой ψ. В механических колебательных системах это координата или угол. В электрических колебательных системах это заряд, сила тока или напряжение. Потенциальная энергия име-

Ep

ет вид параболы Ep =

βψ 2 2

.

При этом консервативная возвращающая сила будет равна ψ

0 Fψ

Fψ = −

dE p dψ

= − βψ .

Эта сила называется квазиупругой, так как по форме похожа на силу упругости, возникающую при аб-

0

ψ

солютно упругих деформациях. Квазиупругая сила прямо пропорциональна смещению.

Используем второй закон Ньютона. Ускорение равно второй производной от смещения по времени. Если в колебательной системе нет трения или сопротивления, уравнение закона будет выглядеть следующим образом: d 2ψ m ⋅ 2 = − βψ . dt

Преобразуем это уравнение и представим его в виде

d 2ψ +ω 2 = 0, dt 2

где ω – циклическая частота колебаний, величина которой ω = ется в

β m

и измеря-

1 . Выражение в правой части зависит от свойств колебательной сисс

темы. Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. В случае электрических колебаний роль второго закона Ньютона играет закон Ома, преобразование которого приводит к тому же дифференциальному уравнению гармонических колебаний, но циклическая частота имеет другое выражение. Решением этого дифференциального уравнения являются гармонические колебания: ψ = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Гармоническими называются колебания, происходящие по закону косинуса или синуса. Напомним, что sinx и cosx имеют одинаковые графики, лишь cдвинутые вдоль оси 0х (сдвинутые по фазе). В этой формуле А – амплитуда колебаний, ϕ = ω ⋅ t + ϕ 0 – фаза колебаний, а φ0 – начальная фаза. Фаза колебаний – безразмерная величина. На рисунке ниже показан график гармонических колебаний, т.е. функции ψ = f (t ) .

ψ А

0

t T

Гармонические колебания – периодический процесс. Время Т одного полного колебания называется периодом. Через каждый период во времени колебательная система приходит в то же состояние, и функция ψ = f (t ) принимает то же самое значение (см. рисунок). Поскольку cos ϕ = cos(ϕ + 2π ) , через каждый период во времени фаза колебаний изменяется на 2π. Используем это обстоятельство для получения формулы связи периода с циклической частотой. Прибавим период Т к моменту времени t. Получим ψ (t + T ) = A cos(ω (t + T ) + ϕ 0 ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 + ω ⋅ T ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 + 2π ) ,

откуда следует, что ωT = 2π . Итак, T=

2π

ω

. 1

Период колебаний обратен частоте: Т = , а циклическая частота связаν

на с частотой равенством ω = 2π ⋅ν . В отличие от циклической просто частота измеряется в Гц (Герцах). 1 Гц = 1/с. ВОЛНА. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ Колебания, происходящие в одной точке пространства, возбуждают колебания в соседних точках. Идет процесс распространения колебаний, называемый волной. Теперь смещение ψ (t, x ) является функцией двух переменных: времени и координаты. Линия, вдоль которой распространяются колебания, называется лучом волны. Пусть волна распространяется вдоль оси х. Колебания в точке х = 0:

v 0

x

x

ψ (t , x = 0 ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Колебания в точках х > 0 отстают по фазе от колебаний в предыдущих точках. В момент времени t фаза колебаний в точке х меньше на величину, соотx v

ветствующую времени ∆t = . Таким образом, Колебания в точке х имеют вид:

   

x v



ψ (t , x ) = A cos ω  t −  + ϕ 0  . 

Это и есть уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Волна называется плоской, потому что фронт этой волны представляет собой плоскость, перпендикулярную оси х. На рисунке ниже изображена волна в некоторый момент времени. Расстояние, которое волна проходит за один период колебаний, называется длиной волны. Соответственно, длина волны равна произведению скорости волны на период. ψ λ λ = v ⋅T .

0

x

Преобразуем фазу колебаний, исключив из ее выражения скорость волны: ϕ = ω ⋅t −

Величина k =

ω⋅x

2π

λ

v

+ ϕ0 = ω ⋅ t −

ω ⋅T ⋅ x 2π + ϕ0 = ω ⋅ t − ⋅ x + ϕ0 = ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ0 , λ λ

называется волновым числом. Теперь уравнение волны бу-

дет иметь вид ψ (t , x ) = A cos(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ 0 ) ,

который считается каноническим. Отметим, что волновой процесс отличается тройственной периодичностью: состояние среды периодически повторяется через каждые 2π по фазе, через каждый период во времени и через каждую длину волны в пространстве.

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА В ВАКУУМЕ

Пусть в плоскости

y

i

y0z идет переменный элек-

E

трический ток в направле0

нии оси 0y, меняющийся по закону

z

i = I cos ω ⋅ t .

c B

x

Во всем остальном пространстве нет ни зарядов, ни токов.

Переменный ток вдоль оси 0y породит в пространстве переменное магнитное поле, направленное вдоль оси 0z, также изменяющееся по гармоническому закону. Переменное магнитное поле породит в пространстве электрическое поле, направленное вдоль оси 0y, которое также будет изменяться по гармоническому закону. Переменное электрическое поле в свою очередь породит переменное магнитное поле и так далее. Вспомним, что производная от косинуса есть минус синус, а от синуса – косинус, то есть все время гармонические функции. Таким образом, порождая друг друга, переменные электрическое и магнитное поля будут распространяться вдоль оси 0х в виде плоской электромагнитной волны. Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси 0х, колебания вектора Е напряженности электрического поля и вектора В индукции магнитного поля происходят в одинаковой фазе: r r  E = E max cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) . r r  B = Bmax cos(ω ⋅ t − k ⋅ x )

Эти формулы получены при решении системы уравнений Максвелла, причем скорость этой плоской электромагнитной волны получается равной с = 3·108 м/c,

то есть равной скорости видимого света в вакууме. Это обстоятельство и навело Максвелла на мысль, что видимый свет есть не что иное, как электромагнитная волна. Скорость с электромагнитной волны равна произведению длины волны на частоту: c = λ ⋅ν .

Таким образом, длина электромагнитной волны и ее частота обратно пропорциональны друг другу. Физики часто называют электромагнитную волну светом. Диапазон частот электромагнитных волн огромен. Ощущение видимого света вызывают электромагнитные волны с частотами примерно от 4·1014 до 8·1014 Гц. ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ВОЛНОЙ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ Распространяющиеся колебания частиц вещества внутри вещества называются механическими или звуковыми волнами. Распространение переменного электромагнитного поля называется электромагнитной волной. Однако ни механические, ни электромагнитные волны не сопровождаются переносом самого вещества и не связаны с переносом массы. В волне от точки к точке происходит перенос энергии без переноса массы. В незатухающей волне передается энергия, равная максимальной потенциальной энергии колебаний, пропорциональная квадрату амплитуды волны. Энергия, переносимая волной в единицу времени называется потоком энергии. Поверхностная плотность потока энергии I называется интенсивностью волны: I=

dE Вт , . dt ⋅ ∆S м 2

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Гармоническое колебание ψ = А cos(ω ⋅ t + ϕ 0 )

A

можно изобразить с помощью векω

торной диаграммы, изображенной

φ0 ψ

0

на рисунке слева. Вектор А расположен под углом φ0 к оси 0ψ.

Если представить, что вектор А вращается с угловой скоростью ω, как это показано на рисунке, то проекция вектора на ось 0ψ будет равна значениям функции ψ(t). С помощью векторной диаграммы можно произвести сложение двух колебаний одинакового направления и одной и той же частоты: ψ = ψ 1 + ψ 2 = A1 cos(ω ⋅ t + ϕ 01 ) + A2 cos(ω ⋅ t + ϕ 02 ) .

Сумма двух этих колебаний А

должна иметь вид

А2

ψ = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Амплитуда А будет равна сумме

δ

векторов А1 и А2:

А1 ψ

0

r r r А = А1 + А2 .

Величину вектора А найдем с помощью теоремы косинусов: A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos δ ,

где δ = ϕ 02 − ϕ 01 – сдвиг колебаний по фазе. Теперь можно получить выражение для интенсивности результата сложения двух колебаний. Поскольку интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды, получим: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ .

Таким образом, интенсивность результата сложения колебаний зависит от сдвига этих колебаний по фазе. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН Пусть два луча приходят в одну точку пространства. Тогда в этой точке происходит сложение колебаний. Если две волны имеют одинаковую частоту, и если сдвиг по фазе между переносимыми этими волнами колебаниями не меняется с течением времени, то эти волны называются когерентными. При попадании лучей когерентных волн в одну точку происходит интерференция этих волн. Интерференция волн – это сложение когерентных волн, приводящее к их взаимному усилению или гашению. Причиной интерференции является зависимость результата сложения колебаний от их сдвига по фазе. Вернемся к формуле для интенсивности результата сложения колебаний: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ

и обратим внимание на то, что I ≠ I 1 + I 2 , то есть интенсивность результата сложения не равна сумме интенсивностей двух приходящих в одну точку лучей. Равенство нарушается из-за присутствия в правой части интерференционного члена 2 I 1 I 2 cos δ . Поскольку cos δ может принимать все значения от 1 до –1, интенсивность результата сложения колебаний принимает значения от максимального I max = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 при δ max = 2πm (максимум интерференции)

до минимального I min = I 1 + I 2 − 2 I 1 I 2 при δ min = π (2m + 1) (минимум интерференции)

где m – любое целое число. Если волны не когерентные, интерференция отсутствует. Покажем это. Чтобы зарегистрировать интерференцию, необходимо наблюдать процесс сложения в течение некоторого времени, по крайней мере, большего, чем период колебаний. Но за это время сдвиг по фазе может хаотически меняться, и

в формуле сложения интенсивностей должно стоять среднее значение cos δ . Но это среднее значение за один период колебаний равно нулю. Следовательно, мы получим I = I 1 + I 2 , то есть интенсивность волны при сложении двух лучей равна сумме интенсивностей этих лучей, и интерференция отсутствует. Отметим, что способность к интерференции является важнейшим признаком волнового процесса и составляет волновую природу света. ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Электромагнитные волны представляют собой непрерывный ряд излучений, простирающихся от радиоволн до γ – лучей. На рисунке ниже изображена шкала электромагнитных волн. 1

2

3 4

5

104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

ν, Гц

Цифрами обозначены диапазоны частот электромагнитных волн: 1 – радиоволны; 2 – инфракрасные лучи; 3 – видимый свет; 4 – ультрафиолетовые лучи; 5 – рентгеновские и γ – лучи. Видимый свет занимает диапазон примерно от 4·1014 до 8·1014 Гц. Видимый белый свет является суммой электромагнитных волн разных частот, каждая из которых вызывает ощущение от красного до фиолетового цвета по мере роста частоты (так называемых спектральных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый). Интерференция белого света приводит к появлению цветных максимумов, поскольку для каждой частоты имеется свое условие максимума интерференции. Примером может служить игра цветов на тонких пленках и на компактдисках.

Распространение белого света во многих случаях можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль прямых линий, называемых лучами. Именно благодаря лучу света у человечества сформировалось понятие прямой линии. Волновой своей природой свет обязан длине волны. Предположив, что в пределе длина волны λ → ∞, можно вполне строго объяснить отражение и преломление света, образование тени и другие явления, которые изучает геометрическая оптика. Таким образом, условие λ → ∞ является приближением геометрической оптики. В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности же световая волна распространяется во всем пространстве, проникая и в область геометрической тени. Это проникновение тем больше, чем меньше размер преграды или отверстия. При размерах преграды или отверстия, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики недопустимо. В силу вступает волновая оптика. Условие λ ≥ R, где R – размер преграды или отверстия, является приближением волновой оптики. При достаточно малых длинах волн свет способен проявлять свои квантовые, корпускулярные, свойства. Условие λ ≤

hc , h – постоянная ∆E пор

Планка, а ∆Епор – пороговая энергия, является приближением квантовой оптики. О квантовых свойствах света будет рассказано в следующей части лекций.