Готовые Домашние Задания по алгебре за 11 класс Алгебра и начала анализа

Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова, -М.: «Просвещение», 2000 г.

Оглавление ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ ___ 3 § 7. Первообразная ____________________________________ 3 26. Определение первообразной ________________________ 3 27. Основное свойство первообразной ___________________ 5 28. Три правила нахождения первообразных ______________ 8 § 8. Интеграл ________________________________________ 14 29. Площадь криволинейной трапеции __________________ 14 30. Формула Ньютона – Лейбница _____________________ 16 31. Применение интеграла ____________________________ 25

ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ ___________ 31 § 9. Обобщение понятия степени _______________________ 31 32. Корень n-й степени и его свойства __________________ 31 33. Иррациональные уравнения ________________________ 40 34. Степень с рациональным показателем _______________ 46 § 10. Показательная и логарифмическая функции________ 53 35. Показательная функция ___________________________ 53 36. Решение показательных уравнений и неравенств ______ 61 37. Логарифмы и их свойства__________________________ 68 38. Логарифмическая функция_________________________ 74 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств ____ 80 40. Понятие об обратной функции______________________ 92 § 11. Производная показательной и логарифмической функции ____________________________________________ 98 41. Производная показательной и логарифмической функции ___________________________________________________ 98 42. Производная логарифмической функции ____________ 104 43. Степенная функция ______________________________ 108 44. Понятие о дифференциальных уравнениях __________ 113

2

www.5balls.ru

ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ § 7. Первообразная 26. Определение первообразной 326. а) F(x) = x5 – первообразная для f(x) = 5x4 на R; б) F(x) = x-3 – первообразная для f(x) = -3x-4 на (0;∞); в) F(x) =

1 7 x – первообразная для f(x) = x6 на R; 7

г) F(x) = −

1 -6 x – первообразная для f(x) = x-7 на (0;∞). 6

327. а) F′(x) = -cosx ≠ cosx, F(x) = 3 – sinx на R; б) F′(x) = (5 – x4)′ = -4x3 для любого x∈R, таким образом F(x) = 5 – x4 является первообразной для f(x) = -4x3 на R; в) F`(x) = (cosx – 4)′ = -sinx для любого x∈R, таким образом F(x) = cosx – 4 является первообразной для f(x) = -sinx на R; г) F′(x) = (x-2 + 2)′ = −

2 x3

для любого x∈(0;∞), таким образом

F(x) = x2 + 2 не является первообразной для f(x) =

1 2x 3

на (0;∞).

328. а) F(x) = 3,5x + 10, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; б) F(x) = sinx + 3, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; в) F(x) = x2 + 2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 329. а) F(x) = cosx + 4, т.к. F`(x) = f(x) для любого x∈R;

3

www.5balls.ru

б) F(x) = 3 –

1 2 x , т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2

в) F(x) = 4(5 – x), т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 1 – sinx, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 330. а) F′(x) = (sin2x)′ = 2sinxcosx = sin2x для любого x∈R, б) F′(x) =

1 1 (cos2x)′ = (-2)sin2x = -sin2x для любого x∈R, 2 2

в) F′(x) = (sin3x)′ = 3cos3x для любого x∈R; 

x 2

′

1

г) F′(x) =  3 + tg  = 

2 cos 2

x 2

для любого x∈(-π;π).

331. 

x 2

′

1 2

а) F′(x) =  2x + cos  = 2 − sin 

x = f ( x ) для любого x∈R. 2

Ответ: да, является. 







′

x

б) F′(x) =  4 − x 2  = −

4 − x2

= f ( x ) для любого x∈(-2;2).

Ответ: да, является. ′  1  2  =− для любого x∈(0;∞). 2 x3 x 

в) F′(x) = 

Ответ: нет, не является.  ′ г) F′(x) = 4(x x ) = 4 x  

3 2

′ 1   = 4 ⋅ 3 x 2 = 6 x = f ( x ) для любого x∈(0;∞).  2 

Ответ: да, является. 332. а) F(x) =

1 2 x + 2x + 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2

б) F(x) = x + cos x + 2, т.к.

4

www.5balls.ru



2

f(x) =  sin 

x x − cos  = 1 − sin x на R и F′(x) = 1 – sinx для любого x∈R; 2 2

в) F(x) = x – 12, т.к. f(x) = sin2x + cos2x = 1 на R и F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = x3 + x = 5, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 333. а) F1(x) = x2 + 7 и F2(x) = x2 + 13 – первообразные для f(x) = 2x на R; б) F1(x) = x + cosx + 12 и F2(x) = x + cosx – 1 – первообразные для f(x) = 1 – sinx на R; 1 3

1 3

в) F1(x) = x 3 + 3 и F2(x) = x 3 + 4 – первообразные для f(x) = x2 на R; г) F1(x) = sinx + 2x + 2 и F2(x) = sinx + 2x – 7 – первообразные для f(x) = cosx + 2 на R. 334. а) g(x) = − f′(x) = −

б) f(x) =

2 x3

1 1 – первообразная для f(x) = на (-∞;0) ∪ (0;∞), x x2

= h(x);

x2 – cosx – первообразная для h(x) = x + sinx на R, 2

h′(x) = 1 + cosx = g(x); в) h(x) =

x2 + 2 x – первообразная для g(x) = x + 2 на R, 2

g′(x) = 1 = f(x); г) g(x) = 3x + 2cosx – первообразная для f(x) = 3 – 2sinx на R, f′(x) = -2cosx = h(x). 27. Основное свойство первообразной 335. 1 5

a) f(x) = 2 – x4; F(x) = 2x – x 5 + C б) f(x) = x + cosx; F(x) = в) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 + C

1 2 x + sin x + C 2

г) f(x) = -3; F(x) = -3x + C

5

www.5balls.ru

336. а) f(x) = x6; F(x) = 1

в) f(x) = 1 –

x4

1 7 x +C 7

F(x) = x +

б) f(x) = 1 3x 3

+C

1 x

− 2 ; F(x) = −

3

1 2x 2

− 2x + C

1 6

г) f(x) = x5; F(x) = x 6 + C

337. а) f(x) =

1 x

, F(x) = −

2

1 1 + C; F  = −2 + C = −12, C = −10; x 2

F(x) = −

1 − 10 ; x

б) f(x) =

π , F( x ) = tgx + C; F  = 1 + C = 0, C = −1; 4 cos x 1

2

F(x) = tgx – 1; в) f(x) = x3, F(x) = F( x ) =

x4 1 3 + C; F(−1) = + C = 2, C = 1 ; 4 4 4

3 1 4 x +1 ; 4 4

г) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-π) = 1 + C, C = -2; F(x) = -cos-2 – первообразная для f(x) = sinx; F(-π) = -1. 338. а) F′(x) = (sinx)′ - (xcosx)′ = cosx – cosx + xsinx = f(x); F(x) = sinx – xcosx + C – общая первообразная; 







′

б) F′(x) =  x 2 + 1  =

) ( )

(

1

− ′ 1 2 x +1 2 ⋅ x2 = 2

x 2

= f ( x );

x +1

F(x) = x 2 + 1 + C – общая первообразная; в) F′(x) = (cosx)′ + (xsinx)′ = -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x); F(x) = cosx + xsinx + C – общая первообразная; 1 x

′

г) F′(x) = x ′ −   = 1 +

1 x

2

=

1+ x2 x2

= f ( x );

6

www.5balls.ru

F( x ) = x −

1 + C - общая первообразная. x

339.  π  2

а) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C; F −  = −2 + C = 1, C = 3; F(x) = 2sinx + 3 – искомая первообразная; 1 3

б) f(x) = 1 – x2, F(x) = x – x 3 + C; F(-3) = –3 + 9 + С = 6 + C = 9, C = 3; 1 3

F(x) = x – x 3 + 3 – искомая первообразная; π





π

 2π 

в) f(x) = sin  x + , F( x ) = − cos x +  + C; F  = − cos π + C = 1 + C = −1, C = −2; 3 3  3    π 3



F(x) = -cos  x +  − 2 – искомая первообразная; 

г) f(x) = F(x) = −

1 x4

, F( x ) = −

1 3x

3

+5

1 3x 3

2 8 1 + C; F  = − + C = 3, C = 5 ; 3 3 2

2 – искомая первообразная; 3

340. а) f(x) = 2 – sinx, F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + C; F2(x) – F1(x) = C = 4; F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + 4 – две искомые первообразные; б) f(x) = 1 + tg2x =

1 cos 2 x

, F1 ( x ) = tgx + C и F2 ( x ) = tgx; F1(x) – F2(x) = C = 1;

F1(x) = tgx + 1 и F2 = tgx – две искомые первообразные; в) f(x) = sin 2

x x − cos 2 = − cos x , F1 ( x ) = − sin x и F2(x) = -sinx + C; 2 2

F2(x) – F1(x) = C =

1 ; 2

F1(x) = -sinx и F2(x) = -sinx + 0,5 – две искомые первообразные;

7

www.5balls.ru

г) f(x) =

1 x

, F1 ( x ) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + C; F2(x) – F1(x) = C = 2;

F1(x) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + 2 – две искомые первообразные. 341. а) a(t) = -2t, v(t) = -t2 + C1, x(t) = −

t3 + C1t + C 2 ; 3

v(1) = -1 + C1 = 2, C1 = 3; x(t) = −

1 1 t3 + 3t + C 2 , x(1) = − + 3 + C 2 = 4, C 2 = 1 ; 3 3 3

x(t) = −

t3 4 + 3t + ; 3 3

б) a(t) = sint, v(t) = -cost + C1, x(t) = -sint + C1t + C2; ′ π v  = C1 = 1; 2 π 2

x(t) = -sint + t + C2, x  = −1 + x(t) = -sint + t + 3 -

π π + C 2 = 2, C 2 = 3 − ; 2 2

π ; 2

в) a(t) = 6t, v(t) = 3t2 + C1, x(t) = t3 + C1t + C2; v(0) = C1 = 1; x(t) = t3 + t + C2, x(0) = C2 = 3; x(t) = t3 + t + 3; г) a(t) = cost, v(t) = sint + C1, x(t) = -cost + C1t + C2; v(π) = C1 = 0; x(t) = -cost + C2, x(π) = 1 + C2 = 1, C2 = 0; x(t) = -cost. 28. Три правила нахождения первообразных 342. а) f(x) = 2 – x3 +

1 x3

; поэтому

8

www.5balls.ru

F(x) = 2x –

x4 1 − + C – общий вид первообразных для f(x); 4 2x 2 2

б) f(x) = x – F(x) =

x5

+ cos x;

x2 1 + + sin x + C – общий вид первообразных для f(x); 2 2x 4 1

в) f(x) =

x2

− sin x;

1 + cos x + C – общий вид первообразных для f(x); x

F(x) = −

г) f(x) = 5x2 – 1; 5 3

F(x) = x 3 − x + C – общий вид первообразных для f(x). 343. а) f(x) = (2x – 3)5; 1 1 6 2

F(x) = ⋅ (2x − 3) 6 + C =

1 (2x − 3) 6 + C – общий вид первообразных 12

для f(x); б) f(x) = 3sin2x; 1 2

F(x) = ⋅ (−3) ⋅ cos 2x + C = −1,5 cos 2x + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) = (4 – 5x)7; 1 1 5 8

F(x) = − ⋅ (4 − 5x ) 8 + C = −

1 (4 − 5x ) 8 + C – общий вид первообразных 40

для f(x); 1 3

x 3

π 4

x

π

г) f(x) = − cos − ; 1

x

π

F(x) = − ⋅ 3 ⋅ sin  −  + C = − sin  −  + C – общий вид 3 3 4 3 4 







первообразных для f(x). 344.

9

www.5balls.ru

3

а) f(x) =

F(x) = −

(4 − 15x ) 4

;

1  1 ⋅ − 15  (4 − 15x )3

 1 +C = + C – общий вид  15 ( 4 15x ) 3 − 

первообразных для f(x); б) f(x) =

2 2 π

 cos  − x   3 π 3

;



F(x) = -2tg  − x  + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) =



4 (3x − 1) 2

1 

4

;



4

+C = − F(x) = ⋅  − + C – общий вид первообразных 3  (3x − 1)  3(3x − 1)

для f(x); г) f(x) = − F(x)=

1 2x 4

2 x

5

+

1 2

cos (3x − 1)

;

1 + tg(3x − 1) + C – общий вид первообразных для f(x). 3

345. а) f(x) = 4x +

1 x2

2

; F(x) = 2x –

1 + C – общая первообразная; x

F(-1) = 2 + 1 + C = 4, C = 1; F(x) = 2x2 – б) f(x) = x3 + 2; F(x)=

1 + 1 – искомая первообразная; x

x4 + 2 x + C – общая первообразная; 4

F(2) = 4 + 4 + C = 15, C = 7; F(x) =

x4 + 2 x + 7 – искомая первообразная; 4

в) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x2 + C – общая первообразная; F(3) = 3 – 9 + C = 2, C = 8; F(x) = x – x2 + 8 – искомая первообразная;

10

www.5balls.ru

г) f(x) = F(1) = − F(x) = −

1 x

3

− 10 x 4 + 3; F(x) = −

1 2x 2

− 2 x 5 + 3x + C – общая первообразная;

1 1 – 2 + 3 + C = 5; С = 4 ; 2 2 1

− 2x 5 + 3x + 4,5 – искомая первообразная.

2x 2

346. π 3



а) f(x) = 1 – cos3x + 2sin  − x ; π 3

1 3





F(x) = x – sin 3x + 2 cos − x  + C – общая первообразная; б) f(x) =

1 sin 2 4 x

1

+

2−x



− 3x 2 ;

1 4

F(x) = − ctg 4x − 2 2 − x − x 3 + C – общая первообразная; в) f(x) =

2 2

cos (3x + 1)

− 3 sin( 4 − x ) + 2 x;

2 3

F(x) = tg (3x + 1) − 3 cos(4 − x ) + x 2 + C – общая первообразная; г) f(x) = F(x) =

1 (3 − 2 x ) 3 1

4(3 − 2 x ) 2

+

+

3 5x − 2

π  − 2 cos − x ; 4 

6 π  5x − 2 + 2 sin  − x  + C – общая первообразная. 5 4 

347. а) f(x) = 2x + 1; F(x) = x2 + x + C – общая первообразная; F(0) = 0: C = 0; F(x) = x2 + x – искомая первообразная; б) f(x) = 3x2 – 2x; F(x) = x3 – x2 + C – общая первообразная F(1) = 4: 1 – 1 + C = 4, C = 4; F(x) = x3 – x2 + 4 – искомая первообразная; в) f(x) = x + 2; F(x) =

1 2 x + 2x + C – общая первообразная; 2

11

www.5balls.ru

F(1) = 3:

1 1 1 1 + 2 + C = 3, C = ; F(x) = x 2 + 2 x + – искомая первообразная; 2 2 2 2 3 2

1 3

г) f(x) = -x2 + 3x; F(x) = − x 3 + x 2 + C – общая первообразная; 1 3

8 3

F(2) = -1: − + 6 + C = −1, C = −4 ; 3 2

1 3

1 3

F(x) = − x 3 + x 2 − 4 – искомая первообразная. 348. v(t) = t2 + 2t – 1, т.к. v(t) x′(t), то x(t) =

t3 t3 + t 2 − t + C; x(0) = 0: C = 0; x(t) = + t 2 − t – искомая функция. 3 3

349. t 2

v(t) = 2cos ; x(t) = 4sin

t +C ; 2

π t π x   = 4 : 4 sin + C = 4, 2 + С = 4, C = 2; x(t) = 4sin + 2 . 6 2 3

350. a(t) = 12t2 + 4; т.к. а(t) = v′(t), то v(t) = 4t3 + 4t + C1; v(1) = 10: 4 + 4 + C1 = 10; С1 = 2; v(t) = 4t3 + 4t + 2; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + C2; x(1) = 12: 1 + 2 + 2 + C2 = 12, C2 = 7; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + 7 – искомая функция. 351. а) F = ma, т.о. a(t) =

F( t ) 6 − 9 t 3 = = 2 − 3t; v(t) = 2t – t 2 + C1; m 3 2

v(1) = 2 –

3 +C1 = 4; C1 = 3,5; 2

x(t) = t2 −

t3 + 3,5t + C 2 ; x(1) = -5: 1 – 0,5 + 3,5 + C2 = -5, C = -9; 2

12

www.5balls.ru

x(t) = t2 −

t3 + 3,5t − 9 – искомая функция; 2

б) F = ma, т.о. a(t) =

F( t ) 14 sin t = = 2 sin t; v(t) = -2cost + C1; m 7

V(π) = 2 + C1 = 2,C1 = 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C2; x(π) = C2 = 3; x(t) = -2sint + 3 – искомая функция. в) F= ma, т.о. a(t) =

F( t ) 25 cos t = = 5 cos t; m 5

π 2

v(t) = 5sint + C1; v  = 5 + C1 = 2, C1 = −3; π 2

v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C2; x  = − x(t) = -5cost – 3t + 4 + г) F = ma, т.о. a(t)=

3π 3π + C 2 = 4, C 2 = 4 + ; 2 2

3π – искомая функция; 2

F( t ) 8t + 8 = = 2 t + 2; m 4

v(t)= t2 + 2t + C1; v(2) = 4 + 4 + C1 = 9, C1= 1; v(t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2; x(t) = x(t) =

(t + 1)3 + C 3

2;

x(2) = 9 + C2 = 7, C2 = -2;

(t + 1)3 − 2 – искомая функция. 3

352. а) f(x) = 3x2 – 2x + 4; F(x) = x3 – x2 + 4x + C – общая первообразная F1(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C1 = 1, C1 = 7; F1(x) = x3 – x2 + 4x + 7 – первая первообразная; F2(0) = 3: C2 = 3; F2(x) = x3 – x2 + 4x + 3 – вторая первообразная, F1(x) – F2(x) = 4 – следовательно график F1(x) расположен выше графика F2(x); б) f(x) = 4x – 6x2 + 1; F(x) = 2x2 – 2x3 + x + C – общая первообразная F1(0) = 2: C1 = 2; F1(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – первая первообразная,

13

www.5balls.ru

F2(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C2 = 3, C2 = 2; F2(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – вторая первообразная т.к. F2(x) – F1(x) = 0 – отсюда следует, что графики F1(x) и F2(x) совпадают; в) f(x) = 4x – x3; F(x) = 2x2 −

x4 + C – общая первообразная; 4

F1(2) = 1: 2⋅4 – 4 + C1 = 1, C1 = -3; F1(x) = 2x2 −

x4 − 3 – первая первообразная; 4

F2(-2) = 3: 2⋅4 – 4 + C2 = 3, C2 = -1; F2(x) = 2x2 −

x4 − 1 – вторая первообразная; 4

F1(x) – F2(x) = -2 – таким образом график F1(x) расположен ниже графика F2(x); г) f(x) = (2x + 1)2; F(x) = F1(-3) = -1: − F1(x) =

(2x + 1)3 + C – общая первообразная; 6

5 125 + C1 = −1, C1 = 19 ; 6 6

(2 x + 1) 3 5 + 19 – первая первообразная; 6 6 5 1 1 27 + C2 = 6 , C2 = 1 ; 6 3 3 6

F2(1) = 6 : F2(x) =

(2 x + 1) 3 5 + 1 – вторая первообразная; 6 6

F1(x) – F2(x) = 18 – отсюда следует, что график F1(x) расположен выше графика F2(x).

§ 8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции 353. а) y(x) = x2; y(x) =

x3 33 ; S = y(3) – y(0) = = 9; 3 3

14

www.5balls.ru

б) y = cosx; y =sinx; π 2

π 2

S = y  − y(0) = sin   − sin 0 = 1; в) y = sinx; y(x) = –cosx; S = y(π) – y(0) = 1 + 1 = 2; г) y(x) = −

1 1 – первообразная для функции y = ; x x2

S = y(2) – y(1) = −

1 1 − (−1) = . 2 2

354. а) y(x) =

x4 3 + x - первообразная для функции y = x + 1; 4

S = y(2) – y(0) =

24 + 2 = 6; 4

б) y(x) = x – 2cosx – первообразная для функции y = 1 + 2sinx; π 2

S = y  − y ( 0 ) = в) y(x) = 4x −

π π π − 2 cos + 2 cos 0 = + 2; 2 2 2

x3 – первообразная для функции y = 4 – x2; 3



y = 0 при x = ±2, поэтому S = y(2) – y(-2) = 2 ⋅  4 ⋅ 2 −  

1 2

23 3

  = 10 2 ;  3  1 2

г) y(x) = x + sin x – первообразная для функции y = 1 + cos x; π 2

 π  2

π 2

1 2

π 2

S = y  − y −  = 2 + sin  = 1 + π. 355. а) y(x) =

( x + 2) 3 – первообразная для функции y = (x + 2)2; 3

y = 0 при x = 2; x = –2 при y = 4, поэтому S = y(0) – y(-2) =

23 8 2 = =2 ; 3 3 3

15

www.5balls.ru

б) y(x) = −

1 1 + x – первообразная для функции y = + 1; x +1 ( x + 1) 2

S = y(2) – y(0) = − в) y(x) = x2 −

2 1 + 2 +1 = 2 ; 3 2 +1

x3 – первообразная для функции y = 2x – x2; функция 3

y = 0 при x = 0, x = 2, поэтому S = y(2) – y(0) = 4 − г) y(x) = −

1 8 =1 ; 3 3

( x − 1) 4 – первообразная для функции y = -(x – 1)3; 4

ограничена на [0;1] → S = y(1) – y(0) =

(−1) 4 1 = . 4 4

356. 

y = 3sin  x + 

3π  3π   ; а) y(x) = -3cos  x + ; 4  4  

3π  3π   3π  + 3 cos 0 = 3;  = −3 cos  − y − 2  4   4 

S = y

y = 2cos2x; б) y(x) = sin2; S = y  − y −  = sin

π  π − sin  −  = 2; 2  2

1 2

1 2

 π  4

π 4

y = sin x − ; в) y(x) = -cosx − x ; π π π 5π 5π  5π   π  − + cos + = 3− ;  − y  = − cos 6 12 6 12 3  6  6

S = y

y = 1 – cosx; г) y(x) = x – sinx; π 2

 π  2

S = y  − y −  =

π π π  π − sin + + sin  −  = π − 2. 2 2 2  2

30. Формула Ньютона – Лейбница

16

www.5balls.ru

357. 2

x5 2

а) ∫ x 4 dx =

| =

5 −1

−1

3 32 1 33 + = =6 ; 5 5 5 5

π 2

π 2

0

0

б) ∫ cos xdx = sin x | = sin

π − sin 0 = 2

= 1 − 0 = 1; 3

x 4 3 81 1 80 |= − = = 20; 4 1 4 4 4

в) ∫ x 3dx = 1

г)

π 4

π 4

dx

π

∫ cos 2 x = tgx 0| = tg 4 − tg0 =

0

= 1 − 0 = 1.

358. 2

dx

а) ∫

1 ( 2 x + 1) π

2

=−

2 1 1 1 1 |= − = ; 2(2 x + 1) 1 6 10 15

x 2

б) ∫ 3 cos dx = 6 sin 0

10

в)

dx

∫ x2

=−

1

xπ π | = 6 sin − 6 sin 0 = 6 − 0 = 6; 20 2

1 10 1 | = − + 1 = 0,9; x 1 10

π 2

π

4

4

2 1 1 1 π  1 г) ∫ sin 2xdx = − cos 2x | = −  cos π − cos  =  − (−1) = . 2 2 2  2 2 π π

359. π 4

π

π 4

1 1 4 dx 1 π а) ∫ = tgx | = tg = 1; ∫ dx = x | = 1; т.к. 1 = 1, то ∫ = ∫ dx; 2 2 4 0 0 0 cos x 0 0 0 cos x

dx

π 3

π 3

0

0

π 3

б) ∫ sin xdx = − cos x | = − cos + cos 0 = 1 − 1 4 dx

1 4

1 16

16

∫

1 1 = ; 2 2 π

1

3 4 dx 1 1 1 1 1 1 = , то ∫ sin xdx = ∫ =2 x | =2 −2 = 1 − = ; т.к. ; 2 2 4 16 2 2 x 1 1 x 0 16

17

www.5balls.ru

π 2

π 2

0

0

π

в) ∫ cos xdx = sin x | = sin − sin 0 = 1; 2 π 2

33

0

0

т.к. 1 = 1, то ∫ cos xdx = ∫ x 2 dx; 1

1

2

0

0

0

г) ∫ (2x + 1)dx = x 2 + x | = 2; ∫ ( x 3 − 1)dx = 1

2

0

0

∫ (2x + 1)dx = ∫ ( x

3

2 x4 − x | = 4 − 2 = 2; т.к. 2 = 2, то 4 0

− 1)dx.

360. а) SACODE = SACO + SOED = 2SOED т.к. функция y = x4 четная; 1

SACODE = 2 ∫ x 4 dx = 2 ⋅ 0

x5 1 2 |= ; 5 0 5

б) SAFEO = SACDE – SACOED = 2⋅– =

2 = 5

8 3 =1 ; 5 5

4

4

1 3

в) SAOCDЕ = ∫ ( x 2 − 4x + 5)dx = x 3 − 2x 2 + 5x | = 0

0

1 3

г) SAED = SAOCD – SAOCDE = 20 – 9 =

64 28 1 − 32 + 20 = =9 ; 3 3 3

32 2 = 10 . 3 3

18

www.5balls.ru

361. 1

а) SABO = ∫ (1 − x 3 )dx = x − 0

x4 1 1 3 | = 1− = ; 4 0 4 4

б) SABC = SADEC – SBDEC =2 – = ∫ (2 − x 3 )dx − 2 ⋅ 1 =2x −

1 1 +2– =4–2= 4 4

x4 1 | − 2 = 2; 4 −1

−1

x3

−1

в) S ABCD = ∫ (− x 2 − 4x )dx = − − 2x 2 | = 3 −3 −3 1 1  =  − 2  + (−9 + 18) = 7 ; 3 3 

г) S ABCDE = S ANMDE − S BNMC = −1

=

∫ (− x

2

− 4 x )dx − 2 = 7

−3

1 1 −2=5 ; 3 3

362. 2π

а)

x

x 2π



∫ sin 3 dx = −3 cos 3 −|π = −3 cos

−π

2π 1 π  π  − cos   = 6 cos = 6 ⋅ = 3; 3 3 2  3 

19

www.5balls.ru

2

б)

∫

−2

3π

в)

∫

2x + 5

dx

0 cos 6

г)

∫

−2

2

dx

2 x

= 2 x + 5 | = 9 − 1 = 2; −2

= 9tg

9

π x 3π | = 9 tg = 9 3 ; 9 0 3 6

dx x+3

= 2 x + 3 | = 2( 9 − 1) = 4. −2

363. 2π 3 

2π

2π

2 3  x x x x 3 а) ∫  sin + cos  dx = ∫ 1 + sin dx = x − 2 cos | = 4 4 2 2 0 0  0 

2π 2π π  2π = − 2 cos  + 2 cos 0 = −1+ 2 = + 1; 3 3 3  3 2

б) ∫ (1 + 2x ) 3 dx = 0

(1 + 2 x ) 4 2 5 4 1 624 − = = 78; |= 8 8 8 8 0

π 12

π

12 π 1 π π 1 1 в) ∫ (1 + cos 2x )dx = x + sin 2x | = + sin = + ; 2 12 2 6 12 4 0 0

4

г) ∫  x +  1

x x

2 4  dx = x + 2 x | = 16 + 2 4 − 1 − 2 = 19 = 9 1 .  2 2 2 2 2 1 

364. а) S AED = S BECD − S ABCD = 2

= 1 ⋅ 8 − ∫ x 3dx = 8 − 1

1 3 x4 2 | = 8−3 = 4 ; 4 4 4 1

20

www.5balls.ru

б) S AED = S ABCDE − S ABCD = π 3

π

3 2π 2π = ∫ 2 cos xdx − 1 ⋅ = 2 sin x | − = 3 π 3 π −

−

3

3

2π ; =2 3− 3

в) x2 – 2x + 4 = 3, x2 – 2x + 1 = 0, (x – 1)2 = 0, x = 1; S ABE = S ACDE − S BCDE = 1

= ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx − 2 ⋅ 3 = −1

=

1 2 2 x3 − x 2 + 4x | − 6 = 8 − 6 = 2 ; 3 3 3 −1

г) S ADE = S ABCDE − S ABCD =

=

5π 6

1  5π π  ∫ sin xdx − 2 ⋅  6 − 6  =   π 6 5π 6

= − cos x | − π 6

= 3−

π π 5π π = cos − cos − = 6 3 3 6

π . 3

21

www.5balls.ru

365. а) 4x – x2 = 4 – x; x2 – 5x + 4 = 0; x = 4; x= 1; S ADC = S ABCD − S ABC = 4

= ∫ (4x − x 2 )dx − 1

x3 4 9 3⋅3 =2 x 2 − |− = 3 1 2 2

9 9 1 9 64    =  32 −  − 2 −  − = 9 − = ; 2 2 3 2 3   

б)

16 x2

3

= 2x ; x = 8; x = 2;

SOADC = SOAB + S ABCD = = 4−

2 ⋅ 4 4 16dx +∫ = 2 2 2 x

16 4 | = 4 − 4 + 8 = 8; x 2

S ADE = SOEC − SOADC =

4⋅8 − 8 = 8; 2

в) x2 = 2x при x = 0; 2. SOAB = SOAC − SOBAC =

=4−

2⋅4 2 2 − ∫ x dx = 2 0

1 8 4 x3 2 | = 4− = =1 ; 3 3 3 3 0

22

www.5balls.ru

г) 6 + x – x2 = 6 – 2x; x2 – 3x = 0; x = 0; x = 3. 3

S ABC = SOABC − S AOC = ∫ (6 + x − x 2 )dx − 0

3 ⋅ 6  x 2 x 3  3 9 9 − = 6x + − | − 9 = 18 + − 9 − 9 = .  2 2 3 0 2 2  

366. а) x2 – 4x + 4 = 4 – x2 2x2 – 4x = 0; x2 – 2x = 0; x = 2; x = 0. 2

S ACBD = S AOBD − S AOBC = ∫ (4 − x 2 )dx − 0

2

2

0

0

− ∫ ( x 2 − 4 x + 4)dx = ∫ (4 x − 2 x 2 )dx = 2 x 2 −

=8−

2x 3 2 |= 3 0

2 16 8 = =2 . 3 3 3

б) x2 – 2x + 2 = 2 + 6x – x2 2x2 – 8x = 0; x2 – 4x = 0; x = 0; x = 4. S ABCE = SOABCD − SOAECD = = ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 4 x 2 −

= 4 ⋅ 16 −

2x 3 4 |= 3 0

1 128 64 = = 21 . 3 3 3

23

www.5balls.ru

в) x2 = 2x – x2 x2 – x = 0; x = 0; x = 1. SOAB = SOABD − SOBD = 1

= ∫ (2x − 2x 2 )dx = x 2 − 0

2x 3 1 2 1 | = 1− = . 3 0 3 3

г) x2 = x3 x2(1 – x) = 0; x = 0; x = 1. 1

1

0

0

SOAB = SOAC − SOCAB = ∫ x 2 dx − ∫ x 3dx = 1  x3 x 4  1 1 1 | = − = 1 . = ∫ ( x 2 − x 3 )dx =  −  3 4  0 3 4 12   0

367. y = 8x – 2x2; xв =

−8 = 2 ; yв = 16 – 8 = 8. −2

т.А(2;8). y′(x) = 8 – 4x, y′(2) = 0; y = y(2) + y′(2)(x – 2) = 8 – уравнение касательной 2

SODA = SODAC − SOAC = 2 ⋅ 8 − ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 0

 2x 3  2 2 ⋅8 1 = 16 −  4 x 2 − | = 16 − 16 + =5 .  3 0 3 3  

368. f(x) = 8 – 0,5x2; f′(x) = -x, f′(-2) = 2; f(–2) = 6; f(x) = f(-2) + 2(x + 2) = 2x + 10 – уравнение касательной. f(1) = 2⋅1 + 10 = 12;

24

www.5balls.ru

SCDE = S FCDB − S FCEB = 3 ⋅ 6 + 

1  6 

 3⋅ 6 1 0,5x 3 − ∫ (8 − 0,5x 2 )dx = 27 −  8x −  2 3 −2 

 1  | =  −2 

8 6

= 27 −  8 −  +  − 16 +  = 28,5 − 24 = 4,5. 

369. b

b

a

a

а) ∫ f ( x )dx = F(b) − F(a ) и ∫ g( x )dx = G (b) − G (a ), где F(x) и G(x) – первообразные на [a;b] для f(x) и g(x) соответственно; b

b

∫ (f (x ) + g(x ))dx = (F(x ) + G(x )) a| = F(b) + G (b) − F(a ) − G(a ) =

a

b

b

a

a

= [F(b) − F(a )] + [G (b) − G (a )] = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx; b

б) k ∫ f ( x )dx = k[F(b) − F(a )], где F(x) – первообразная для f(x) на [a;b]; a

b

b

b

a

a

a

∫ kf ( x )dx = [kf ( x )] | = k[F(b) − F(a )] = k ∫ f ( x )dx, где k – const. 31. Применение интеграла

370.

25

www.5balls.ru

1

1

 x5

а) V( x ) = π∫ ( x 2 + 1) 2 dx = π∫ ( x 4 + 2x 2 + 1)dx = π 0

 5 

0

+

1 2x 3 + x | = 0 3 

13 1 2  = π + + 1 = 1 π; 15 5 3  4

б) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 1

1

в) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 0

1 1 x2 4  | = π 8 −  = 7 π; 2 2 2 1  x2 1 π |= ; 2 0 2

г) y = 1 – x2 = 0; x2 = 1; x = ±1; 1 1  2x 3 x 5  1 V( x ) = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ (1 − 2x 2 + x 4 )dx = π x − + | =  3 5  −1 −1 −1  

= 2π ⋅

1 8 16π = = 1 π. 15 15 15

371. 1 3

1 3

а) V = Vконуса – V0, где Vконуса = πr 2 h = π , т.к. r = h = 1. 1

V0 = π ∫ x 4 dx = π ⋅ 0

1 1 2 x5 1 1 | = x; V = π − π = π. 3 5 15 5 0 5

1

1

1

1

0

0

0

0

б) V = π∫ ( x + 3) 2 dx − π∫ (2x ) 2 dx = π∫ ( x 2 + 6x + 9)dx −π∫ 4x 2 dx =

26

www.5balls.ru

1

1

0

0

= π∫ (6x + 9 − 3x 2 )dx = π(3x 2 + 9 x − x 3 ) | = π(3 ⋅ 1 + 9 − 1) = 11π.

2

2

2

2

0

0

0

0

в) V = π∫ ( x + 2) 2 dx − π ∫ dx = π∫ ( x 2 + 4x + 4)dx − πx | =  x3 2 2 8  = π + 2 x 2 + 4 x  | − 2π = π + 8 + 8  − 2π = 16 π.  3 0 3 3    

1

1

0

0

г) V = π∫ ( x ) 2 dx −π∫ x 2 dx = π ⋅

x3 1 π π π x2 1 |= − = . |− π 3 0 2 3 6 2 0

372.

27

www.5balls.ru

а) Пусть |OB| = x, тогда S(x) = πy2 = π(R2 – x2), S(x) – площшадь сечения шара, x ∈ [R – H; R].

R

∫ π(R

V=

2

R

− x 2 )dx = πR 2 x | − π R −H

R −H

= πR 2 H −

[

[

]

x3 R π | = πR 2 H − R 3 − (R − H) 3 = 3 R −H 3

]

π πH 3 3HR 2 − 3RH 2 + H 3 = πRH 2 − . 3 3

б) Пусть |OD| = x, S(x) – площадь сечения конуса, 

x ∈ 0; 

HR − r  . R 

S( x ) = πy 2 = π

R2 H2

(H − x ) 2 . При этом x меняется в пределах 0 ≤ x ≤

H(R − r ) . R

Т.о., H ( R −r ) R

∫

V=

0

π

R2 H2

(H − x ) 2 dx =

H ( R −r ) R

∫

πR 2 dx −

H( R −r ) R 2πR 2

0

∫

0

H

⋅ xdx +

H(R − r ) H(R − r ) H(R − r ) R R R2 2 πR 2 2 R πR 2 x 3 + ⋅ x dx = πRH(R − r ) − x | + | = ∫ 2 2 3 H H H 0 0 0

=

πH 2 (R + Rr + r 2 ). 3

373. F x

F = k⋅x, k = ; при F = 2H x = 0,01 м: k = 0,04

∫ 200xdx = 100x

A=

0

2

2 = 200; 0,01

0,04

| = 0,16 Дж.

0

374. F x

k= ;

28

www.5balls.ru

при F = 4H x = 0,08 м: k = 0,08

∫ 50xdx = 25x

A=

2

4 = 50; 0,08

0,08

0

| = 0,16 Дж.

0

375. F=−

b

γq r

(по закону Кулона). Т.к. работа равна A = ∫ F(r )dr, то

2

b

A = ∫− a

a

γq r2

1 1 a−b dr = γq −  = γq ; b a  ab 

а) a < b, q < 0: A = γq

(a − b) γ q = (b − a ) > 0; ab ab

б) b < a, q > 0: A = γq

(a − b ) > 0. ab

376. Выделим на расстоянии x от верхнего основания плотины полоску толщиной ∆x. Тогда сила давления воды на эту полоску равна ∆P = ρgxy∆x. Т.к. ∆ABF подобен ∆NBM, то AF NM

=

FB MB h

или 

x a−b h  = , y = b + (a – b) 1 −  , y−b h−x  h 

x 

 bx 2

+ т.е. P = ∫ ρgx b + (a − b )1 −  dx = ρg  2  h   0 

(a − b ) x 2 x3  h − (a − b )  | = 2 3h  0 

 h 2 a h 2 a h 2 b  ρgh 2 (a + 2b) = = ρg  − + . 3 3  6  2 

377.

29

www.5balls.ru

Пусть ∆x =

h – толщина слоя воды, находящегося на расстоянии x от n

нижнего основания. Тогда работа, затрачиваемая на подъем этого слоя, равна ∆А = ρg∆V⋅x = ρg⋅πr2∆x⋅x. Полная работа равна n

h

0

0

A = ∑ ρgπr 2 x∆x. Если n → ∞, то A = ∫ ρgπr 2 xdx = ρgπr 2 ⋅

x 2 h ρgπr 2 h 2 | = . 2 0 2

378. Разобьем шар на n слоев толщиной ∆x =

2R каждый. Выделим один из n

таких слоев, находящийся на расстоянии x от т.А. Тогда работа против сил выталкивания при погружении этого слоя на глубину x есть ∆А = ρg∆V⋅x. Пусть |OB| = a, тогда y2 = R2 – a2 = R2 – (x – R)2 и





∆V ≈ πy2∆x = π R 2 − ( x − R ) 2 ∆x = π⋅x(2R – x)∆x, тогда A=



2R

3

4  2R



4

2x R x 2 3 2 4 16R 4 ∫ ρgπx (2R − x )dx = ρgπ 3 − 4  | = ρgπ 3 ⋅ 8R − 4  = 4 ρgπR .   0   0

379. Разобьем стержень на n равных цилиндров, каждый из которых имеет 1 n

высоту ∆x = .

30

www.5balls.ru

∆E =

mv 2  x + ∆x  , где m = ρ∆V = ρS∆x – масса цилиндра, v = ϖ ⋅   – средняя 2  2 

линейная скорость точек цилиндра. Так как ∆E ≈ ρS∆x ⋅

∆x → 0, то v ≈ ωx. Т.о. x

l ω2 x 2 ω 2 x 2 ρSω 2 x 3 l ρSω 2 l 3 и E = ∫ ρSdx ⋅ |= . = 2 2 2 3 0 6 0

380. Центр масс кругового конуса лежит на его оси (ОА), объем ∆V, находящийся на расстоянии x от вершины конуса, равен ∆V ≈ πy2⋅∆x. ∆ABO ∼ ∆ANE:

x y r r2 2 = , y = ⋅ x; тогда ∆V ≈ π x ∆x. h r h h2 h

h

Координата ценра масс x`=

0 h

∫ ρdV

0

πr 2 3 x dx 2 0 h

ρ∫

∫ ρxdV =

h

ρ∫

πr 2

0 h

2

h

∫x

dx

= 0 h

dx

3

∫x

= 2

dx

0

x4 h | 4 0 x3 h | 3 0

=

3 h. 4

ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ § 9. Обобщение понятия степени 32. Корень n-й степени и его свойства 381. а) 4 16 = 2, 24 = 16 и 2 > 0;

б) 7 − 1 = −1, (-1)7 = -1;

31

www.5balls.ru

в) 10 1024 = 2, 210 = 1024 и 2 > 0;

г) 5 243 = −3, (-3)5 = -243.

382. а) 17 1 = 1, 117 = 1;

в) 3 − 343 = −7, (-7)3 = -343;

б) 6 64 = 2, 26 = 64 и 2 > 0;

г) 19 0 = 0, 019 = 0.

383. а) 3 − 27 = 3 (−3) 3 = −3;

б) 4 81 = 4 3 4 = 3;

в) 5 − 32 = 5 (−2) 5 = −2;

г) 3 64 = 3 4 3 = 4.

384. 4 б) 4 81 = 4  3  = 3 ;

5 а) 5 1 = 5  1  = 1 ;

32

2

2

625

3

 2

5

4 г) 4 81 = 4  3  = 3 .

в) 3 − 27 = 3  − 3  = − 3 ; 8

5

256

2

4

4

385. а) x3 + 4 = 0; x = 3 − 4 = −3 4 ;

б) x6 = 5; x = ± 6 5 ;

в) x3 = 4; x = 3 4 ;

г) x4 = 10; x = ± 4 10 .

386. а) x10 – 15 = 0; x10 = 15;

б) x7 + 128 = 0; x7 = -128;

x = ± 10 15 ;

x = 7 − 128 = −2;

в) x6 – 64 = 0; x6 = 64;

г) x5 = 3; x = 5 3 .

x1,2 = ±2; 387. а) 16x4 – 1 = 0; x4 = x1 = ± 4

1 ; 16

б) 0,01x3 + 10 = 0; x3 = -1000; x = 3 − 1000 = −10;

1 1 =± ; 16 2

32

www.5balls.ru

в) 0,02x6 – 1,28 = 0; x6 = 64;

3 4

3 4

г) 12 − x 2 = 0; x2 = 17;

x = ± 6 64 = −2 ;

x = ± 17 . 388.

( )

3 а) 3 x = −0,6; 3 x = (− 0,6)3 ;

б) 4 x = 3;

(4 x )4 = 34 ; x = 81;

x = -0,216;

в) x = 5;

( x )2 = 52 ; x = 25;

г) 7 x = −1;

(7 x )7 = (− 1)7 ; x = -1.

389.

( )5 = (− 2)5 ⋅ (5 2 )5 = −32 ⋅ 2 = −64; 6 6 г) (− 6 2 ) = (− 1)6 (6 2 ) = 2.

( )4 = (− 1)4 ⋅ (4 11 )4 = 11 3 в) (3 7 ) = 3 7 3 = 7;

б) 25 − 2

а) − 4 11

390. а) 4 16 ⋅ 625 = 4 16 ⋅ 4 625 = 2 ⋅ 5 = 10;

б) 5 32 ⋅ 243 = 5 32 ⋅ 5 243 = 2 ⋅ 3 = 6;

в) 3 8 ⋅ 343 = 3 8 ⋅ 3 343 = 2 ⋅ 7 = 14;

г) 4 0,0001 ⋅ 16 = 4 0,0001 ⋅ 4 16 = 0,1 ⋅ 2 = 0,2.

391. а) 5 160 ⋅ 625 = 5 32 ⋅ 5 55 = 2 ⋅ 5 = 10; б) 3 24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 2 ⋅ 3 = 6; в) 4 48 ⋅ 27 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6; г) 3 75 ⋅ 45 = 3 125 ⋅ 27 = 3 125 ⋅ 3 27 = 5 ⋅ 3 = 15.

392. а) 3 9 ⋅ 6 9 = 3 9 ⋅ 3 3 = 3 27 = 3; б) 7 16 ⋅ 7 − 8 = 7 − 128 = −2; в) 5 27 ⋅ 5 9 = 5 243 = 3; г) 3 − 25 ⋅ 6 25 = 3 − 25 ⋅ 3 5 = 3 − 125 = −5. 393.

33

www.5balls.ru

а)

в)

3 − 625 3 −5 3 243 3 −9

= 3 125 = 5;

=3−

б)

243 3 = − 27 = −3; 9

г)

4 128 48 6 128 62

=4

128 4 = 16 = 2; 8

=6

128 6 = 64 = 2. 2

394. а) 6 =

6 64 4 625 3 − 100 64 1 3 19 : −3 : ⋅ 4 39 = ⋅ = 3 27 100000000 16 27 6 100000000 4 16

2 3 10000

б) 5 1

⋅

5 3 15 15 ⋅ = =− = −0,015; 2 3 − 100 3 − 1000000 1000

59 5 243 1 11 27 9 5 1 3 1 ⋅ 4,5 − =5 ⋅ − = − = − = 1; 5 288 5 32 16 16 2 32 2 2 2

в) 5 −

243 3 17 5 − 243 3 − 125 − 3 (−5) 5 1 ⋅ −4 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 5 1024 3 27 1024 27 4 3 4 4 3 8

1 2

г) 4 3 ⋅ 1 +

45 4 80

=4

4 81 27 ⋅ 3 4 5 1 3 1 + = +4 = + = 2; 4 8⋅2 80 16 2 2 16

395. а) 1 < 4 2 < 2, т.к. 14 < 2 < 24; 1,1 < 4 2 < 1,2, т.к. 1,14 < 2 < 1,24; 1,18 < 4 2 < 1,19, т.к. 1,184 < 2 < 1,194;

4 2 = 1,18...;

б) 1 < 3 5 < 2, т.к. 13 < 5 < 23; 1,7 < 3 5 < 1,8, т.к. 1,73 < 5 < 1,83; 3 3 1,70 < 3 5 < 1,71, т.к. 1,7 < 5 < 1,71 ; 3 5 = 1,70...;

в) 2 < 7 < 3, т.к. 22 < 7 < 32; 2,6 < 7 < 2,7, т.к. 2,62 < 7 < 2,72; 2

2

2,64 < 7 < 2,65, т.к. 2,64 < 7 < 2,65 ;

7 = 2,64...;

г) 1 < 3 3 < 2, т.к. 13 < 3 < 23; 1,4 < 3 3 < 1,5, т.к. 1,43 < 3 < 1,53; 3 3 1,44 < 3 3 < 1,45, т.к. 1,44 < 3 < 1,45 ; 3 3 = 1,44....

396. а) 3 10,17 ≈ 2,17;

б) 71 ≈ 8,43;

в) 13,21 ≈ 3,63;

г) 3 11 ≈ 2,22.

34

www.5balls.ru

397. а) 9 13,7 ≈ 1,34;

б) 6 10 ≈ 1,47;

г) 8 13 ≈ 1,38.

в) 4 2,8 ≈ 1,29;

398. а) 5 0,2 > 0, т.к. 0,2 > 0 и 5 0 = 0;

б) 12 0,4 < 12

в) 7 1,8 > 1, т.к. 1,8 > 1 и 7 1 = 1;

24 25 5 5 , т.к. 0,4 = < = ; 60 60 12 12

г) 8 0,2 < 8 0,3 , т.к. 0,2 < 0,3.

399. 2

2

а)

 1 1  1 1 1 1 1 1 13 2 = 3 ⋅ 3 2 = 3 ;  6  = 3 ; 3 < 3 , т.о. 3 2 <  6  ;    2 4  2 2 4 2 8 2 2  

б) 18

3 300 301 3 18 < 0,43 , т.к. = < = 0,43; 7 700 700 7

в) 5 2 < 5 3 , т.к. 2 < 3; г) 8 0,8 < 1, т.к. 0,8 < 1 и 1 = 8 1. 400. а) 0,3 = 10 0,35 = 10 0,00243 ;

5 0,05 = 10 0,05 2 = 10 0,0025 ;

10 0,0025 > 10 0,00243 ,

0,3 < 5 0,05 ;

б) 3 4 = 15 4 5 = 15 1024 ; в) 3 7 = 6 7 2 = 6 49 ;

т.о.

5 8 = 15 83 = 15 512 ; 15 1024 > 15 512 ,

6 49 > 6 40 ,

т.о.

т.о.

3 4 > 5 8;

3 7 > 6 40 ;

г) 5 = 8 5 4 = 8 625 ; 8 625 > 8 500 , т.о.

5 > 8 500 .

401. а) 3 − 0,4 = −15 0,4 5 = −15 0,01024 ; 5 − 0,3 = −15 0,33 = −15 0,009 ; 15 0,01024 < 15 0,009 ,−15 0,01024 > −15 0,009 ; т.о. 3 − 0,4 > 5 − 0,3 ;

б) 5 − 5 = −5 5 = −15 53 = −15 125 ;

3 − 3 = −3 3 = −15 35 = −15 243 ;

− 15 125 > 15 243 , т.о. 5 − 5 > 3 − 3 ;

35

www.5balls.ru

в) 3 − 2 = −3 2 > −3 4 = 3 − 4 ; г) 3 − 5 = −15 55 = −15 3125 ;

5 − 3 = −15 33 = −15 27 ;

15 3125 > 15 27 , − 15 3125 < −15 27 , 3 − 5 < 5 − 3 .

402. а) 6 64a 8 b11 = 6 (2ab) 6 ⋅ 6 a 2 b 5 = 2ab6 a 2 b 5 ; б) 5 − 128a 7 = −5 (2a ) 5 ⋅ 5 4a 2 = −2a 5 4a 2 ; в) 4 6a12 b 6 = 4 (a 3 b) 4 ⋅ 4 6b 2 = a 3 b4 6b 2 ; г) 3 54a10 = 3 (3a 3 ) 3 ⋅ 3 2a = 3a 3 3 2a . 403. а) − b 4 3 = −4 b 4 ⋅ 4 3 = − 4 3b 4 ; в) a 4 7 = 4 a 4 ⋅ 4 7 = 4 7a 4 ;

б) ab8

5b 3

5b 3 8 8 = a 8 b8 ⋅ 8 = 5ab11 ; a7 a7

г) − ab3 − 4 = 3 − a 3 b 3 ⋅ 3 − 4 = 3 4a 3 b 3 .

404. а) a 2 = a , a = −a справедливо только при а ≤ 0, т.о.

a 2 = −a при а ≤ 0;

б) 3 a 3 = a при любом а; в) 5 a 5 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о. г) 4 a 4 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о.

5 5

a

4 4

a

= a при а ≥ 0; = a при а ≥ 0.

405. а) 3 a 3 = a прилюбом а, а = -а при а = 0, значит 3 a 3 = −a при а = 0; б) 6 a 6 = a , a = −a при а ≤ 0, значит 6 a 6 = −a при а ≤ 0; в) 4 a 4 = a при любом а;

36

www.5balls.ru

г) 7 a 7 = a при любом а. 406. 3

а)

б)

7− 5 a− 2 a+ 2

6 +1

a − ( 2) =

=

2

2

=

3( 7 + 5 ) ; 2

a2 − 2 2 + 2 a2 − 2

5− 2 ( 5 ) 2 − ( 2 )3

=

;

5− 2 ; 3

( 6 + 1) 2 6 + 1 + 2 6 7 + 2 6 . = = 5 5 5

=

6 −1

( 7 ) − ( 5)

2

5+ 2

г)

2

(a − 2 ) 2

=

1

в)

3( 7 + 5 )

=

407. а)

б)

в)

a 32

=

3

a ⋅ 22

a3 2 ; 2

=

3 3

2

x− x 2 x 4

=

x4 4

x ( x − 1)

=

=

2 x

4

4 43 4 4

=

4 64

x 4

x

=

x −1 ; 2 2 2 ; x

г)

5 35 5

=

5

5 54 5 5

=

5 625

3 5

3

.

408. а)

в)

2 34

3 4 12

=

3

2 42 3 3

4

=

4

=

13 16 ; 2 4

3 ⋅ 2 2 ⋅ 33 4 4 4 4

2 ⋅ 3

=

б)

6 5 27 ⋅ 25

=

5

5

6 ⋅ 32 ⋅ 53

1 34 4 ⋅ 27 = 4 108 ; 2 6

5 5 5 5

3 ⋅ 5

г)

10 58

=

=

6 5 9 ⋅ 125 ; 15 5

10 2 2 5 5

2

=

10 5 4 = 55 4 . 2

409. а) 12 253 = 12 5 6 = 5 ; б) 3

1 1 14 3 14 2 = 0,54 8 ; 2 =34 =4 = 8 2 2 2

37

www.5balls.ru

в) 8

16 3 8 212 ⋅ 3 4 28 4 4 2 = = 6; 2 ⋅3 = 3 81 3 38

г) 4

1 1 12 5 1 12 13 12 = 5 ⋅ 2 6 ⋅ 212 = 12 320 . 5 ⋅ 49 = 5 = 12 2 4 4 4 43

410. а) 3 x − 56 x + 6 = 0;

6 x = t;

t ≥ 0;

2

б) x + 2 x = 2;

4 x = t;

t ≥ 0;

2

t – 5t + 6 = 0; t1 = 2, t2 = 3;

t + t – 2 = 0; t1 = -2, t2 = 1;

6 x = 2, x

= 26 = 64;

4 x = −2

x = 36 = 729.

4 x = 1,

6 x = 3,

в) x − 34 x + 2 = 0;

4 x = t;

t ≥ 0;

- не имеет решений;

x = 1.

г) 3 x − 56 x = 6;

6 x = t;

t ≥ 0;

t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2;

t2 – 5t – 6 = 0; t1 = -1, t2 = 6;

4 x = 1,

6 x = −1 -

не имеет решений;

6 x = 6, x

= 66 = 46656.

x = 1;

4 x = 2, x

= 24 = 16.

411. а)

+

-

+

−43

б)

11 7

x11 ≥ 7; x = 11 7 ;

[

)

Ответ: − 4 3 ; 4 3 . в)

+

)

Ответ: 11 7 ; ∞ . -

− 10 2

+

г)

-

10 2

) (

+ 35

x10 > 2; x1 = − 10 2 , x2 = 10 2 ;

(

+

43

x4 < 3; x1 = − 4 3 , x2 = 4 3 .

(

-

x3 ≤ 5; x = 3 5 ;

)

]

(

Ответ: − ∞;−10 2 ∪ 10 2 ; ∞ .

Ответ: − ∞;−3 5 .

412. а)

-

+ -343

б)

0

+ 6

38

www.5balls.ru

3 x < −7;

x = (-7)3 = -343;

Ответ: (-∞;-343). в)

-

+

6 x ≥ 2;

x = 64;

Ответ:

[64; ∞ ).

г)

-

8 3 x > 2;

0 4 x ≤ 3;

x = 8; Ответ: (8;∞).

+ 81

x = 81; Ответ: [0; 81].

413. а) 6 a 6 = a = −a , где а ≤ 0;

в) 5 а 5 = a;

б) 4 а 4 = a = a , где а ≥ 0; 414. а) 3 a 3 − a 2 = a − a = a + a = 2a , где а ≤ 0; б) 4 a 4 + 27 a 7 = a + 2a = a + 2a = 3a , где а ≥ 0;

в) 5 a 5 − 6 a 6 = a − a = a − a = 0, где а ≥ 0; г) 3 a 3 + 38 a 8 = a + 3 a = a − 3a = −2a , где а ≤ 0. 415. а) 3 10 + 73 ⋅ 3 10 − 73 = 3 10 2 − ( 73 ) 2 = 3 27 = 3; б)

3 ( 4 + 17 ) 2 3

+ 17 =

4 − 17

3 ( 4 + 17 ) 3 3 4 2 − ( 17 ) 2

(

)

+ 17 = − 4 + 17 + 17 = −4;

в) 4 9 − 65 ⋅ 4 9 + 65 = 4 9 2 − ( 65 ) 2 = 4 16 = 2; г) 3 − 5 ⋅ 3 + 5 = 3 2 − ( 5 ) 2 = 4 = 2. 416. а)

1 3 2 −33

=

3 2

3

2 + 3 2 ⋅ 3 + 32 = −3 4 − 3 6 − 3 9 ; 3 2 − 3 3  3 2 2 + 3 2 ⋅ 3 + 3 3 2     

(

)

39

www.5balls.ru

  3 2 a 2 + a 3 b + b 2    б) =  3 a −3 b a − 3 b  a 2 + a 3 b + b 2  2

)

(

  3 2 a 2 + a 3 b + b 2  ; =   a3 − b  

 3 3 2 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 7 2    в) = 35 +37 3 5 + 3 7  3 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 3 7 2   2

г)

)

(

3a 3 2

a

3 − 3 ab + b 2

=

  

) (

(

=

3 25 − 3 35 + 3 49

6

(

;

)

3a 3 a + 3 b 3a 3 a + 3 b . = a+b 3 2 3  3  a − ab + b 2  3 a + 3 b  

)

33. Иррациональные уравнения 417. а) x 4 + 19 = 10 ⇔ x4 + 19 = 100 ⇔ x4 = 81 ⇔ x ±3; б) 3 x 2 − 28 = 2 ⇔ x2 – 28 = 8 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ±6; 2  2  в) 61 − x 2 = 5 ⇔  61 − x2 ≥ 0, ⇔ x 2 ≤ 61, ⇔ x = ±6;

61 − x = 25;

 x = 36

г) 3 x − 9 = −3 ⇔ x − 9 = −27 ⇔ x = −18; 418. x + 1 = ( x − 5) 2 , x 2 − 11x + 24 = 0,  x = 3,    x ≥ 5, а) x + 1 = x − 5 ⇔  x − 5 ≥ 0, ⇔  ⇔  x = 8; ⇔ x = 8  x ≥ 5;  x + 1 ≥ 0;  x ≥ −1;    x 2 − 14 x + 33 = 0, 2 x + 3 = (6 − x ) 2 ,  x = 3,  x ≤ 6,   ⇔ ⇔  x = 11; ⇔ x = 3 б) x + 2x + 3 = 6 ⇔  6 − x ≥ 0, 3  2 x + 3 ≥ 0;   x ≤ 6; x≥− ;   2  x 2 − 6 x + 5 = 0, 2 x − 1 = ( x − 2) 2 ,  x = 1,  x ≥ 2;   ⇔ ⇔  x = 5; ⇔ x = 5 в) 2x − 1 = x − 2 ⇔  x − 2 ≥ 0; 1    x ≥ 2; 2x − 1 ≥ 0 x≥    2

40

www.5balls.ru

x 2 − 9 x + 8 = 0, 3x + 1 = ( x − 3) 2 ,  x = 1,  x ≥ 3,    ⇔ ⇔  x = 8; ⇔ x = 8 г) 3 + 3x + 1 = x ⇔  x − 3 ≥ 0, 1  3x + 1 ≥ 0;   x ≥ 3; x≥− ;   3 

419. 2   2 а) 2x + 1 = x 2 − 2x + 4 ⇔ 2x + 1 = x − 2x + 4, ⇔ x − 4x + 3 = 0, ⇔



2x + 1 ≥ 0;



x ≥ −0,5;

  x = 1, x = 1,  ⇔   x = 3; ⇔ x = 3; x ≥ −0,5;    x = −1, x = x 2 − x − 3, x 2 − 2 x − 3 = 0,        x = 3; x ≥ 0, ⇔ б) x = x 2 − x − 3 ⇔  ⇔ x=3 1 + 13 ⇔  x ≥ ; 1 + 13  x 2 − x − 3 ≥ 0;   x ≥ ; 2    2

x + 2 = 2 x − 3, 

в) x + 2 = 2x − 3 ⇔  x + 2 ≥ 0,

 2 x − 3 ≥ 0; 

 x = 5, ⇔ ⇔ x =5 x ≥ 1,5;

 x = −1,  9 − x 2 = 9 + x , x ( x + 1) = 0,  x = 0;  x = −1,  2 2 г) 9 − x = x + 9 ⇔  9 − x ≥ 0, ⇔  x ≥ −3, ⇔  x ≥ −3, ⇔ x = 0;  x + 9 ≥ 0;  x ≤ 3;  x ≤ 3;    

420.  x = 2,  x = 4;

а) x = 3 x 3 + x 2 − 6x + 8 ⇔ x 3 + x 2 − 6x + 8 = x 3 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 0 ⇔  б) x − 2 = 3 x 2 − 9 ⇔ ( x − 2) 3 = x 2 − 8 ⇔ x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = x 2 − 8 ⇔  x = 0,  ⇔ x ( x 2 − 7 x + 12) = 0 ⇔  x = 3,  x = 4;

 x = −10,  x = 2;

в) x = 3 x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 3 = x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 2 + 8x − 20 = 0 ⇔ 

41

www.5balls.ru

3

г) x + 1 = x 3 + 2x 2 + x ⇔ ( x + 1) 3 = x 3 + 2x 2 + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 2 x 2 + x ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1;

421. 1 3 3  3 x + 23 y = 1,  3 x + 23 y = 1, 3 x + 23 y = 1,  y = (1 − x ), ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 3 3 3 3 3 x = 3;  7 x = 21; 3 x − y = 10; 6 x − 2 y = 20;  

а) 

3 y = −1,  y = −1, ⇔ ⇔  3 x = 3; x = 27; 124 x − 34 y = 6 2 ,  44 x − 4 y = 2 2 , 4 y = 44 x − 2 2 , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4  144 x = 14 2 ;  2 x + 3 y = 8 2 ; 2 x + 3 y = 8 2 ;

б) 

4 y = 44 x − 2 2 ,  y = 64, ⇔ ⇔ 4  x = 2;  x = 4; − 84 x − 44 y = −28,  24 x + 4 y = 7, 4 y = 7 − 24 x , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4  − 114 x = −22;  − 3 x + 4 y = 6; 4 y − 3 x = 6;

в) 

4 y = 7 − 2 ⋅ 2,  y = 81, ⇔ ⇔  4 x = 2; x = 16;  x = 5 5 − 3 y , 2 x + 6 y = 10 5 ,  x + 3 y = 5 5 , ⇔ ⇔ ⇔  11 y = 11 5 ;  − 2 x + 5 y = 5 ; 5 y − 2 x = 5 ;

г) 

 x = 5 5 − 3 5 , x = 20, ⇔ ⇔ y = 5;   y = 5;

422. ( x + 1)( x + 6) = 36, 2  x = −10, x + 7 x − 30 = 0,   ⇔  x = 3; ⇔ x = 3 x + 1 ≥ 0,   x ≥ −1;   x ≥ −1; x + 6 ≥ 0;  

а) x + 1 ⋅ x + 6 = 6 ⇔ 

б)

( x − 1)(2 x − 1) = ( x + 1) 2 ,  ( x − 1) ⋅ (2 x − 1) = x + 1,   = x +1 ⇔  ⇔ x − 1 ≥ 0, ⇔ x − 1 ≥ 0, 2x − 1   2 x − 1 > 0 ; − > 2 x 1 0 ;  

x +1

42

www.5balls.ru

2 x 2 − 3x + 1 = x 2 + 2x + 1,  x = 0,  x 2 − 5x = 0,  ⇔ ⇔ ⇔  x = 5; ⇔ x = 5 x ≥ 1,  x ≥ 1;   x ≥ 1; x > 0,5;  

в)

(3x + 2)( x − 2) = ( x + 6) 2 ,  3x + 2 ⋅ x − 2 = x + 6,   x − 2 > 0; = 3x + 2 ⇔  3x + 2 ≥ 0, ⇔ ⇔ x−2   3 x 2 0 + ≥ x 2 0 ; − >  

x+6

 x = −2, 3x 2 − 4 x − 4 = x 2 + 12x + 36, 2x 2 − 16 x − 40 = 0,  ⇔ ⇔ ⇔  x = 10; ⇔ x = 10   x > 2; x > 2;  x > 2;  x ( 2 − x ) = 4 x 2 ,  2x − x 2 = 4x 2 ,   г) x 2 − x = 2x ⇔  x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, ⇔   2 − x ≥ 0; x ≤ 2 ;   

 x = 0, 5x (x − 0,4) = 0,  x = 0,4; x = 0,   ⇔ ⇔  x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, x = 0,4;   x ≤ 2; x ≤ 2;   

423. а) 5 + 3 x + 3 = 3, 5 + 3 x + 3 = 9, x + 3 = 64, x = 61. Проверка: 5 + 3 61 + 3 = 3. Итого: x = 61. б)

x 2 − 16 + x = 2,

x 2 − 16 + x = 4, x – 16 = (4 – x) , x – 16 = x – 8x + 16, 2

2

2

2

-8x + 32 = 0, x = 4. Проверка:

4 2 − 16 + 4 = 2. Итого: x = 4.

в) 18 − 3 x + 10 = 4, 18 − 3 x + 10 = 16, x + 10 = 8, x = -2. Проверка: 18 − 3 − 2 + 10 = 4. Итого: x = -2. г) x − x 2 − 5 = 1, x − x 2 − 5 = 1, x2 – 5 = (x – 1)2, 2x – 6 = 0, x = 3.

43

www.5balls.ru

Проверка: 3 − 3 2 − 5 = 1. Итого: x = 3. 424. а) x − 3 = 1 + x − 4 , x − 3 = 1 + 2 x − 4 + x − 4,

x − 4 = 0, x = 4.

Проверка: 4 − 3 = 1 + 4 − 4 . Итого: x = 4. б) x + 2 − x − 6 = 2, x + 2 = 4 + 4 x − 6 + x − 6,

x − 6 = 1, x = 7.

Проверка: 7 + 2 − 7 − 6 = 2. Итого: x = 7. в) 2 + 10 − x = 22 − x , 4 + 4 10 − x + 10 − x = 22 − x, 10 − x = 2, x = 6. Проверка: 2 + 10 − 6 = 22 − 6 . Итого: x = 6. г) 1 − 2x − 3 = 16 + x , 1 − 2x − 6 1 − 2x + 9 = 16 + x, − 6 1 − 2x = 6 + 3x.  x = 0,  x = −12.

1 – 2x = 0,25x2 + x + 1, x(x + 12) = 0, 

Проверка: 1 − 2 ⋅ 0 − 3 ≠ 16 + 0 ; При x = -12: 1 + 2 ⋅ 12 − 3 = 16 − 12 . Итого: x = -12. 425. а) x − 3 − 6 = 4 x − 3 ;

4 x − 3 = t;

t2 – t – 6 = 0; t1 = -2, t2 = 3;

б) 3 x + 1 + 26 x + 1 = 3;

6 x + 1 = t;

t2 + 2t – 3 = 0; t1 = -3; t2 = 1;

при t= -2: 4 x − 3 = −2 - нет решений; при t = -3: 6 x + 1 = −3 - нет решений; при t = 3: 4 x − 3 = 3;

при t = 1: 6 x + 1 = 1; x + 1 = 1; x = 0.

x – 3 = 81; x = 84.

Итого: х = 0.

Итого: х = 84. в) 4 x − 5 = 30 − x − 5 ;

4 x − 5 = t;

2

t + t – 30 = 0; t1 = -6, t2 = 5; при t =

-6: 4 x − 5 = −6

при t = 5: 4 x − 5 = 5; x – 5 = 625; x = 630.

- нет решений;

г) 310 x 2 − 3 + 5 x 2 − 3 = 4;

10 2

x − 3 = t;

2

t + 3t – 4 = 0; t1 = -4, t2 = 1; при t = -4: 10 x 2 − 3 = −4 - нет решений; при t = 1: 10 x 2 − 3 = 1; x2 – 3 = 1; x=±2.

44

www.5balls.ru

Итого: х = ±2.

Итого: х = 630. 426.

2 x − y = 5,   y = 2 x − 5, y = 2 x − 5, ⇔ ⇔ ⇔  x (2 x − 5) = 3; 2( x ) 2 − 5 x − 3 = 0;  x ⋅ y = 3;

а) 

   ⇔  

y = 2 x − 5, 1   x =−2, ⇔   x = 3;

 y = −6,   x = − 1 ; x = 9,  2 ⇔ т.к.   y = 1.   y = 1,     x = 3;

a ≥ 0.

 6 + x − 3 3y + 4 = −10, 5 6 + x − 15 3y + 4 = −50, ⇔ ⇔  4 3y + 4 − 5 6 + x = 6;  − 5 6 + x + 4 3y + 4 = 6;

б) 

 6 + x = −10 + 3 3y + 4 ,  6 + x = 2, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 3 y 4 4 ; + = 3y + 4 = 4;    y = 4.   x + 3 y = 10  x = 10 − 3 y , x = 10 − 3 y , ⇔ ⇔ ⇔ 2  x ⋅ y = 8;  y (10 − 3 y ) = 8; 3( y ) − 10 y + 8 = 0;

в) 

 x = 6,  x = 10 − 3 y ,    y = 4 ;   4  3 ⇔ ⇔   y = , ⇔   3    x = 4,    y = 2;   y = 2;  

 x = 36,  7  y = 1 ; 9   x = 16,    y = 4.

 2 x − 2 + 5 y + 1 = 8,  4 x − 2 + 2 5 y + 1 = 16, ⇔ ⇔ 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2; 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2;

г) 

 5 y + 1 = 4,  y = 3, ⇔ ⇔  x − 2 = 2;  x = 6.

427.   x + y = 8,  x + y = 8, x + y = 8, ⇔ ⇔ ⇔ ( x − y )( x + y ) = 16 ;  x − y = 16;   x − y = 2;

а) 

45

www.5balls.ru

 x = 5, x = 25, ⇔ ⇔  y = 3;  y = 9.

3 y = 5 − 3 x ,  3 y = 5−3 x,  3 y = 5 − 3 x , 3 x + 3 y = 5,   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 3 3 3 3  xy = 216;  x 5 − x = 6;  xy = 6 ;  x 2 − 53 x + 6 = 0;

3 y = 5 − 3 x ,  ⇔  3 x = 2, ⇔  3   x = 3;

3 y  3 x   3 y  3   x

)

(

( )

б) 

= 3,

 y = 27,  x = 8; ⇔    y = 8, = 2,   x = 27. = 3; = 2;

  x − y = 4,  x − y = 4, x − y = 4, ⇔ ⇔ ⇔  x − y = 32;  x − y x + y = 32;  x + y = 8;

)(

(

в) 

)

 x = 6, x = 36, ⇔ ⇔  y = 2;  y = 4. 3 x = 2 + 3 y ,  3 x = 2 + 3 y,  3 x = 2 + 3 y , 3 x − 3 y = 2,   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3  xy = 27; 3 y 2 + 3 y = 3;  3 xy = 33 ; 3 y 2 + 23 y − 3 = 0;

)

(

( )

г) 

3 x = −1, 3 x = 2 + 3 y ,   3 y = −3; ⇔  3 y = −3, ⇔  ⇔   3 x = 3,  3 = y 1 ;   3   y = 1.  

 x = −1,   y = −27;  x = 27,    y = 1;

34. Степень с рациональным показателем 428. 6

а) 31,2 = 3 5 = 5 36 = 5 729 ;

б) 5

5

в) 41,25 = 4 4 = 4 4 5 = 4 1024 ;

г) 6

−

2 3 = 3 5− 2 = 3 1 ;

−1

25

1 3 − 2 =6 2 =

6−3 =

1 . 216

429.

46

www.5balls.ru

а) 3 a − 2 = a

−

2 3;

1 7 3b = (3b) 7 ;

б)

в) 13 b − 7 = b

−

7 13 ;

5

8

г) 4 5 = 4 8 ;

430.

( )0,4 = 32 = 9;

а) 2430,4 = 35

5

( )4 = 25 = 32;

1

1

−  8   8 8  8  8  −1 3  =  = ; =     3    8  3   

 27 3 г)   125 6 

 9   3  =   2   5  

5

в) 16 4 = 2 4

−

 64 4 б)   38 

2

   

2 99

   

2

9  3  . =  = 625  25 

431. 1

3

 1 

1



а) 8 2 :  8 6 ⋅ 9 2  = 8 2 ⋅ 8

−

 

 

1 1 3 3 − − 6 ⋅9 2 = 83 ⋅9 2 = 2 ;

27

5

4

5

2

4

2

5

( )3 ⋅  15  3 = 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 2 3 ⋅ 5− 3 = 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5− 3 = 2 2 ⋅ 5−1 = 45 ;

б) 3 100 ⋅ 2

в) 8

2

8

1 7 3 3 : 810,75 = 8 3 : 81 4 = 2 7 ⋅ 3 −3 = 128 = 4 20 ;

27

г) 1 11   25 

−0,5

1

2 −  17  3   6   ⋅4  =    5    27   

−0,5

27 −

1

  5 3  3 5 3 1 ⋅    = ⋅ = .  3   6 5 2  

432. 1

1 1

1

1



1



а) (ax ) 3 + (ay) 3 = a 3  x 3 + y 3 ;  

1

1 1



 

 

 

1 1



 

 

 

б) a − a 2 = a 2  a 2 − 1;

 

1

1 1

1



1



в) 3 + 3 2 = 3 2  3 2 + 1; г) (3x ) 2 − (5x ) 2 = x 2  3 2 − 5 2 .  

 

433. 1 1

1

1

1 1



  1  

 

 1 

 1 

 

 

   

 

 

 

 

а) x 3 y 3 − x 3 − y 3 + 1 = x 3  y 3 − 1 −  y 3 − 1 =  y 3 − 1 x 3 − 1;

47

www.5balls.ru

1

1 1

1



 

 

 

б) c 2 + c 4 = c 4  c 4 + 1; 3  1  

1

1 2

1



 

 

 

1 1



 1 

 

 

 

 

в) 4 − 4 3 =  4 3  − 4 3 = 4 3  4 3 − 1 = 4 3  4 3 − 1 4 3 + 1;  

1

 

1

1 1

1 1



 

 

 

1 1



 

 1 

 1 

 

 

 

 

1



г) a + b 2 + a 2 + a 2 b 2 = a 2  a 2 + 1 + b 2  a 2 + 1 =  a 2 + 1 a 2 + b 2 .  

434.

а)

б)

a−b 1 1 a2 −b2

1  1  2 2 − a b   =

z −8 2 1 z 3 + 2z 3 + 4

1  1  2 2 + a b   

1

1

   1 1   =a2 +b2;

a2 −b2 1   2  1    3  z − 2  z 3 + 2z 3 + 4  1     = z 3 − 2;  =

1

2

1

z 3 + 2z 3 + 4 1

x2 −4 x2 −4 1 = = ; в) 1 x − 16  1  1   2  2  2  x − 4  x + 4  x + 4      

г)

a+b 2 1 1 2 a 3 −a 3b3 + b3

1  2 1 1 2  1  3  3 a 3 −a 3b3 + b 3 a + b       = 2

1 1

2

   1 1   = a3 + b3.

a 3 −a3b3 + b3

435.

48

www.5balls.ru

а)

1 1 1 1 x−y x2y4 +x4y2 = ⋅ 1 1 3 1 1 2 2 4 2 4 x +x y x +y

1 1 1  y 4 x 2 − y 2   = 1

1  1 1 1 1  1    2 2 ⋅x4y4 x 4 + y4 x y +          1 1 1  1 1     x 2 x 2 + y 2 ⋅x 4 + y 4         

1  1  2 2 x y −   

    =

    ;

x4

б)

 1  1   2   1  a − 1  a 2 + 1  1    2 a −1 a +1    + 2a 2 = : ⋅ 1 1 3 a + a 2 +1 a 2 −1 a + a 2 +1

1  1    2    a − 1  a + a 2 + 1        1 a 2 +1

1

+ 2a 2 =

2

1 1 1  1    =  a 2 − 1 + 2a 2 = a − 2a 2 + 1 + 2a 2 = a + 1;     1 1 1 1   a 3 − b3 a2 −b2 +a2 +b2 a 3 − b3  + ⋅ = ⋅ = 1 1 1 1  2 2 1 2  a + ab + b 2   a + ab + b 2 2 2 2 2 a−a b  a (a − b ) a+a b

 

в) 

1

1

1

=

г)

=

2a 2 1 a 2 (a − b )

⋅

(

(a − b) a 2 + ab + b 2

x +1 x x +x+ x

2

a + ab + b

:

1 2

x − x

( x − 1)(x + 1) + x ( x − 1) x + x +1

x +1

=

=

) = 2a(a − b) = 2; a (a − b)

2

x ( x + x + 1)

⋅

( x − 1)(x + x + 1) x + x +1

x ( x x − 1) x 2 − x + x x − 1 = = 1 x + x +1

= x − 1.

436. 3

19

а) 7 33 = 3 7 < 3 8 , т.к. 3 < 19 ; а 6 > 1; 7

8

49

www.5balls.ru

б) 0,4 − 2,7 =  5 

189

2,7

2

5

15

150

 5  70  5  7  5  70 , =  >  =  2 2 2

50

5 т.к. 189 > 150 ; a > 1 ; 70

2

70

51

в) 3 65 = 6 3 = 6 30 < 61,7 = 6 30 , т.к. 50 < 51 ; a 6 > 1; 30

5

5

35

30

15

1 35 15 г)  1  3 =  1  21 < 7 1 =  1  7 =  1  21 , т.к. > , a < 1 . 2

2

32

2

21

2

2

21

437. 1

3

( )

− − а) 81−0,75 +  1  3 −  1  5 = 3 4

 125 

 32 

( ) ( ) 1

−

+ 5 −3 3 − 2 −5

−

3 1 26 5 = − 3 = −2 ;

27

27

4 2 1 1 1 −1 − − 2 3 − (−2) − 2 ⋅ 64 3 − 8 3 + 9 0 = 10 − 3 3 − 2 − 2 ⋅ 2 4 − ( 2 3 ) 3 + 1 =

( ) ( )

−

б) 0,001

= 10 − 2 2 − 2 −4 + 1 = 7 − 2

−0,75

 1    16 

в) 27 3 + 

−0,75

15 1 =6 . 16 16

( ) ( ) 2

 1  4

г) (−0,5) − 4 − 6250,25 −  2  3

( )

( )

− 0,75 0,5 − 25 0,5 = 33 3 + 2 − 4 − 52 = 3 2 + 2 3 − 5 = 12;

−1

1 2

( ) ( )

4 0,25 + 19(− 3)− 3 = 21 − 5 4 −

3

− − 8 19 19 − (3 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2 − 19 ⋅ 3 − 3 = 2 4 − 5 − 3 − 3 ⋅ 2 3 − = 11 − − = 11 − 1 = 10. 27 27 27

438. а)

a −1 3 1 a4 +a2

⋅

a +4a a +1

1 ⋅ a 4 +1 =

3

1

( a − 1)( a + 1) ⋅ a 4 + a 2 + 1 = 3 1 a4 +a2

a +1

a −1+1 = a ;

50

www.5balls.ru

1

1

2

2 − − 4 3 4  2 1  2  x − x + 1 − x   x x + 2x + x  2  x − x 1 + x   ⋅ + + + ⋅ = 1 = б)  4 x    1− x 4 x     1− x x x  x x       

)

(

=x

в)

  =

1 − 1 −  x + 2 x +1 2  2

 

 

x

1 − 2 2

( x + 1) 

1

=

1 1 − x2 ⋅x 2

x +1

;

1 1 1  2 1 1 2   a 3  a 3 − 3b 3  a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 4 1    a 3 − 27a 3 b b 3   : 1 − 33  − a 2 = 2 1 1 2  2 1 1 2  a   a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3

1   a3  ⋅  1 1  3 3  a − 3b



г) 

1

m+ 2 

    ⋅

1 1 1 1   a 3  a 3 − 3b 3  ⋅ a 3  2 2 2       − 3 a2 = − a 3 = a 3 − a 3 = 0;  1 1  a 3 − 3b 3 

−

m 2 + 4   m 1 1   m 2 − m 2 + 2 − m 2 − 4  × ⋅ − + =  2 m   m + 2 m 2 − m 2 + 2  m 3 + 2 2   2

(

)(

)

)(

(

)

2  m 2 − 2m + 2  = − 2 m+ 2 ⋅ m −m 2 +2 = − 2 . × 2   2m 2m m + 2 m − m 2 + 2 ⋅ 2m  

(

)(

)

439. 5

а)

1

3

2

1

3

−2 17 5 3 2 ax = 2 − 3 ⋅ 2 7 ⋅ a 7 ⋅ x 7 = 2 7 a 7 x 7 ; 8 2

1

3

3

1

19

3

2

15

б) 3 a 2 ⋅ 4 a = a 3 ⋅ a 12 = a 4 ; в) 7 b 3 ⋅ 4 b = b 7 ⋅ b 4 = b 28 ; 3

1 3

1

г) ⋅ 4 273 x = 3−1 ⋅ 3 4 ⋅ x 12 = 3

−

1 1 4 ⋅ x 12 .

440. а) 3 ⋅ 5

−

3 5 = 5 35 ⋅ 5 2 − 3 = 5 243 = 5 30 3 ;

8

8

б) a 4 : b 5 = a 20 ⋅ b

−

8 15 20 = 20 a ; 8

b

51

www.5balls.ru

в) 2b

−

2 3 = 3 8 ⋅ 3 b−2 = 3 8 ; 2

1 2

7

5

5

6

г) b 3 c 7 = b 21 ⋅ c 21 = 21 b 7 c 6 .

b

441. 1

5

1

( )− 6 = 3− 12 , 3 3−1 4 13 = 3− 3 ⋅ 3− 12 = 3− 12 ; ( 3 )− 6 = 3 3−1 4 13 ; 5

а) 3

( )

б) 3600 = 36

( )

100

100 = 729100 , 5 400 = 5 4 = 625100 ;

729100 > 625100 , т.о. 3600 > 5 400 ; −

5

5 5 3 − 1 7 7 14 2 ⋅2 = 2 ;   =

5

1 в)   7 = 2 7 , 2

( )

г) 7 30 = 7 3

10

3

2 ⋅ 2 14 ;

2

( )

= 34310 , 4 40 = 4 4

10

= 25610 ; 34310 > 25610 , т.о. 7 30 > 4 40.

442. а) не имеет смысла, т.к. a < 0; б) (− 2)−4 =

1

(− 2)

4

=

1 – выражение имеет смысл; 16

2

в) 5 3 = 53 = 125 – выражение имеет смысл; г) не имеет смысл, т.к. x < 0. 443.   

3

а) x + 1 > 0 при x > -1, D y = (x + 1)− x  = (− 1; ∞ );  

3

 

3

 

 



б) x 5 имеет смысл только при x ≥ 0, D y = x 5  = [0; ∞ );

в) x

−

3 4

 

имеет смысл при x > 0, D y = x  

−

3  4 = 0; ∞ ; 

 

(

)

52

www.5balls.ru

  

2

г) x – 5 ≥ 0 при x ≥ 5, D y = (x − 5) 3  = [5; ∞ ).  

444.  1  а)  a 6  

( )4 = a = −a при а ≤ 0;

6

   = a при а ≥ 0;  

б) a 4

( )8 = a = 1a при а = ±1;

в) a 8

1

г)

1

10 3  7 7 1   a 0,7 7 =  a 10  = a = −a

( )

 

 

при а = 0.

§ 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция 445. а) y = 4x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 4.

б) y = 0,2x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R; y(-1) = 5, y(0) = 1;

в) y = 0,7x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R;

53

www.5balls.ru

y(0) = 1, y(1) = 0,7.

г) y = 2,5x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 2,5.

446. а) -2x < 0 при x ∈ R: E(y = -2x) = (-∞;0); 1



x

1



x

б)   + 1 > 1 при x ∈ R: E y =   + 1 = (1; ∞); 3 3 

1



x



x 1 

в) −   < 0 при x ∈ R: E y = −   = (−∞;0); 4 4 

x



x

г) 5 – 2 > -2 при x ∈ R: E(y = 5 – 2) = (-2;∞). 447. 4 а)   7

б) 3−

5 2

−

12

в) 2,5 −

2

5

5 7 7 2 =  > 1 т.к. > 0 и   >1; 4 2 4  

1 =  3

12

1 2,8 и   < 1 ; 3

= 0,4 2 < 1, т.к. 2 > 0 и 0,4 < 1 ;

54

www.5balls.ru

5 1 2 6 < 0,3 3 = 0,3 6 , т.к. 5 > 2

г) 0,3

и 0,3 < 1.

448. 2

( ) 2   

а)  2 

=



в) 8

2

( 2 )2 = 2;

б) 31− 2

3



: 2 3 2 = 2 3 2 : 2 3 2 = 1;

⋅ 91+ 3 = 31− 2 3 ⋅ 3 2 + 2 3 = 33 = 27;

г)  3 

58

  

54

5 = 3 32 = 3 2 = 9.

449. 2 −1

2 1

⋅  a

а) a 

в)  a 

5

 

5

= a5;

= a 2 ⋅ a 1− 2 = a ;

г) y

б) x π ⋅ 4 x 2 : x 4π = x π ⋅ x

2

2 − 4π 1 4 = x2;

3 ⋅ y1,3 : y 3 2 = y 2 +1,3 − 2 = y1,3 .

450.

а)

=

a 2 2 − b2 3  2  −b 3  a   2a 2 a 2 −b 3

2

 2   − b 3  a 2 + b 3  a 2 +b 3 +a 2 −b 3     +1 = a +1 = = 2 2 3  2 − a b 3 −b  a  

;

 2 3       − 1 a 2 3 + a 3 + a 3 3  a 3  a 3 − 1 a 3 + 1 a 2 3 + a 3 + 1 a          = б) =   a4 3 − a 3 a 3  a 3 3 − 1    3   + 1 a 3 3 − 1 a     = a 3 + 1; = a3 3 −1

55

www.5balls.ru

в)

a 5 −b 7 2 5

5

7

2 7

 5 7  2 5 5 7 2 7    a 3 − b 3  a 3 + a 3 b 3 + b 3    = 2 5

a 3 +a 3 b 3 +b 3 5

5

7

2 7

    =

a 3 +a 3 b 3 +b 3

7

=a 3 −b 3 ;

г)

(x

π

+y

)

π 2

 1    −  4 π xy     

π

= x 2π − 2 x π y π + y 2 π =

= x 2π + 2 x π y π + y 2π − 4 x π y π =

(x

π

− yπ

)2 = x

π

− yπ .

451. а) 101,41 ≈ 25,7; 101,42 ≈ 26,3;

б) 101,414 ≈ 25,9; 101,415 ≈ 26,0;

в) 102,23 ≈ 169,8; 102,24 ≈ 173,8;

г) 102,236 ≈ 172,2; 102,237 ≈ 172,6.

452. 1 < 2 < 2 ⇒ 10 < 10 2 < 10 2 ; 1,41 < 2 < 1,42 ⇒ 101,41 < 10 2 < 101,42 ; 101,41 ≈ 25,7 и 101,42 ≈ 26,3; 1,414 < 2 < 1,415 ⇒ 101,414 < 10 2 < 101,415 ; 101,414 ≈ 25,9 и 101,415 ≈ 26,0; 10 2 ≈ 25,9 ; 2 < 5 < 3 ⇒ 10 2 < 10 5 < 10 3 ; 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 10 2,23 < 10 5 < 10 2,24 ; 10 2,23 ≈ 169,8 и 10 2,24 ≈ 173,8; 2,236 < 5 < 2,237 ⇒ 10 2,236 < 10 5 < 10 2,237 ; 10 2,236 ≈ 172,2 и 10 2,237 ≈ 172,6; 10 5 ≈ 172,4 .

453.

56

www.5balls.ru

а) 2 > 1 ⇒ y =

( 2 )x возрастает на R; 0
1 ⇒ y =   возрастает на R; 0 < < 1 ⇒ y =   убывает на R; π 3 3 π  

)x

(

г) 0 < 3 − 7 < 1 ⇒ y = 3 − 7 убывает на R; 1

>1⇒ y =

3− 7

1

(3 − 7 )x

возрастает на R.

454. а) 3x +1 − 3 = 3(3x − 1), 3x > 0 при x ∈ R ⇒ 3(3x – 1) > -3 при x ∈ R; E(y = 3x+1 – 3) = (-3;∞);  x б) y = 2 x − 2 = 2 − x2, x ≥ 1, y(1) = 0. 2 − 2 , x < 1.

y(x) возрастает на [1;∞) и убывает на (-∞;1]; E(y = |2x – 2|) = [0;∞); 1 2

x −1

в)  

  1 x   1   1   > 2 при x ∈ R; + 2 = 21 +   ,   > 0 при x ∈ R ⇒ 21 +   2  2 2x    

x +1   1 E y =   + 2  = (2; ∞);   2  

г) y = 4

x

 4 x , x ≥ 0,  =  1  x y(0) = 1.   , x < 0; 4   

y(x) возрастает на [0;∞) и убывает на (-∞;0];

57

www.5balls.ru

x   E y = 4  = [1; ∞ ).  

455. sin x

а) y =  

1 ; -1 ≤ sinx ≤ 1, откуда   2

⇒ min y( x ) =

1 , max y( x ) = 2; 2 R

1 2

R

б) y = 5 + 3

cos x

; 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3

cos x

sin x

1  ∈  ; 2 ; 2 

≤ 3⇒ 6 ≤ 5+3

cos x

≤ 8;

min y( x ) = 6, max y( x ) = 8; R

R

в) y = 4cosx;-1≤cosx≤1 ⇒ 1 3

г) y =  

1 1 ≤ 4 cos x ≤ 4 ⇒ min y( x ) = , max y( x ) = 4; 4 4 R R

sin x

− 2;

0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇒

1 1 ≤  3 3

sin x

≤ 1 ⇒ −1

2 1 ≤  3 3

sin x

− 2 ≤ −1;

2 min y( x ) = −1 , max y( x ) = −1. 3 R R

456. 1 6

x

1 6

x

а) Т.к. y =   убывает и y(x) > 1 при x < 0 ⇒   = 10 при x < 0; б) т.к. y = 0,3x убывает и y(x) < 1 при x > 0 ⇒ 0,3x = 0,1 при x > 0; в) т.к. y = 10x возрастает и y(x) > 1 при x > 0 ⇒ 10x = 4 при x > 0; г) y = 0,7x убывает на R и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ 0,7x = 5 при x < 0. 457.

58

www.5balls.ru

а) y = 3x возрастает на R, y = 4 – x убывает на R ⇒ у них не более одной точки пересечения. Очевидно, это точка А(1;3) ⇒ x = 1.

1 2

x

б) y =   убывает на R, y = x + 3 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Из рисунка видно, что это точка В(-1;2), значит x = -1. 1 3

x

в) y =   убывает на R, y = x + 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка С(0;1), значит x = 0. г) y = 4x возрастает на R, y = 5 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка D(1;4), значит x = 1 единственное решение уравнения 4x = 5 – x. 458. а) y = 31-x убывает на R, y = 2x – 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка А(1;1), значит x = 1.

59

www.5balls.ru

б) y = 4x + 1 возрастает на R, y = 6 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка М(1;5), значит x = 1.

в) y = 2x – 2 возрастает на R, y = 1 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка B(1;0), значит x = 1.

г) при x ∈ (-∞;0) 3-x > 0, −

3 3 -x > 0 и y = 3 убывает, y = − x x

возрастает; при x ∈ (0;∞) 3-x > 0, − y = 3-x и y = −

3 < 0; следовательно, графики функций x

3 могут иметь не более одной точки пересечения одной x

точки пересечения на (-∞;0). Это точка С(-1;3), значит x = -1.

60

www.5balls.ru

459. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 36. Решение показательных уравнений и неравенств 460. а) 4x = 64 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. 1 3

x

б)   = 27 ⇔ 3− x = 33 ⇔ x = −3. в) 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4. x

1 2

x

г)   =

6

1 1 1 ⇔   =   ⇔ x = 6. 64 2   2

461. 2 3

x

9 8

x

x

а)   ⋅   =

3

б) 8 x − 3 = 3 4 2 − x ; 2 2 13x = 35; x =

3

27 3 3 ⇔   =   ⇔ x = 3. 64 4 4 ( x − 3)

2

= 23

(2 − x )

; 9x − 27 = 8 − 4x ;

35 9 =2 . 13 13 x

в) 2 x ⋅ 3 x = 36 ⇔ 6 x = 36 ⇔ 6 2 = 6 2 ⇔ x = 4. 3 7

г)  

3 x +1

7 =  3

5x − 3

7 ⇔  3

−3x −1

7 =  3

5x − 3

⇔ −3x − 1 = 5x − 3 ⇔ x =

1 . 4

462. а) 36-x = 33x-2 ⇔ 6-x=3x – 2 ⇔ x = 2.

61

www.5balls.ru

1 б)   7

2 x 2 + x − 0,5

7 1 = ⇔  7 7

x

в) 3 x = 9 ⇔ 3 2 = 3 2 ⇔ г) 2 x

2

+ 2 x − 0,5

2 x 2 + x − 0,5

1

12 =   ⇔ 2 x 2 + x − 0,5 = 0,5 ⇔ 7

 x = −1,   x = 0,5

x = 2 ⇔ x = 4. 2

2  x = −3, = 4 2 ⇔ 2 x + 2 x − 0,5 = 2 2,5 ⇔ x 2 + 2 x − 0,5 = 2,5 ⇔   x = 1.

463. а) 7x+2 + 4⋅7x+1 = 539 ⇔ 11⋅7x+1 = 539 ⇔ 7x+1 = 72 ⇔ x = 1. б) 2⋅3x+1 – 3x = 15 ⇔ 6⋅3x – 3x = 15 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. в) 4x+1 + 4x = 320 ⇔ 5⋅4x = 320 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. г) 3⋅5x+3+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 75⋅5x+1+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 5x+1= 50 ⇔ x = -1. 464. а) 9x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ 32x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ t2 – 8t – 9 = 0 t = −1,

3 x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 2.  t = 9; 3 x = 9; 

(t = 3x) t > 0 ⇔ 

б) 100x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ 102x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ t2– 11t + 10 = 0  10 x = 1,  t = 1,  x = 0, ⇔ x ⇔ 10 = 10;  t = 10;  x = 1.

(t = 10x) t > 0 ⇔ 

в) 36x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ 62x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ t2 – 4t – 12 = 0  t = −2, ⇔  t = 6;

(t = 6x) t > 0 ⇔ 

6 x = −2 − не подходит, ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = 1.  6 x = 6; 

г) 49x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ 72x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ t2 – 8t + 7 = 0  7 x = 1,  t = 1,  x = 0, ⇔ x ⇔ t = 7 ; 7 = 7 ;   x = 1. 

(t = 7x) t > 0 ⇔  465.

2  x+y  x+y  x + y = 2, x = 2 − y,  x = 3, а)  4x + 2 y −=1 16, ⇔  x4+ 2 y −1= 4 ,0 ⇔  ⇔ ⇔

4

= 1;

4

=4 ;

x + 2 y = 1;

 y = −1;

y = −1.

62

www.5balls.ru

63x − y = 6 ,  63x − y = 6 0,5 ,  3x − y = 0,5, y = 3x − 0,5,  x = 0,  1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y − 2x y − 2x − 0,5 = 2 − = − = y 2 x 0 , 5 ; x 0 ;  = 2 2 ;   y = −0,5.   2 

б) 

1  2y − x 32 y − x = 3− 4 , 3 = ,  2 y − x = −4,  y = −3, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 81 ⇔  x − y + 2 3 = 33 ; x − y + 2 = 3; x = y + 1;  y = −3. 3 x − y + 2 = 27; 

в) 

 1  4 x − y  = 25, г)  5  ⇔  9x − y 7 7 ; = 

 5 y − 4 x = 5 2 , ⇔  9x − y 7 = 7 0,5 ;

 y − 4 x = 2, ⇔  9 x − y = 0,5;

 x = 0,5,  5x = 2,5, ⇔  y 4 x 2 ; = +  y = 4. 

466. 1 3

x

а)   ≥ 27 ⇔ 3− x ≥ 33 ⇔ − x ≥ 3 ⇔ x ≤ −3. x

( )x ≤ 361 ⇔ 6 2 ≤ 6 − 2 ⇔ x2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4.

б) 6

в) 0,2 x ≤

x

2

1 1 1 ⇔   ≤   ⇔ x ≥ 2. Ответ: 25 5 5  

г) (1,5)x < 2,25 ⇔ (1,5)x < 1,52 ⇔ x < 2. Ответ: 467. а) 45-2x ≤ 0,25 ⇔ 45-2x ≤ 4-1 ⇔ 5 – 2x ≤ -1 ⇔ x ≥ 3. б) 0,37+4x > 0,027 ⇔ 0,37+4x > 0,33 ⇔ 7 + 4x < 3 ⇔ x < -1. в) 0,42x+1 > 0,16 ⇔ 0,42x+1 > 0,42 ⇔ 2x + 1 < 2 ⇔ x < 0,5. Ответ: (-∞;0,5). г) 32-x < 27 ⇔ 32-x < 33 ⇔ 2 – x < 3 ⇔ x > -1. 468. а) 3x+1 – 2⋅3x-2 = 75 ⇔ 3⋅3x − 1 5

x −1

б)  

1 −  5

x +1

7 2 x ⋅3 = 75 ⇔ 2 ⋅ 3 x = 75 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3. 9 9 x

x

x

x

1 1 4 1 1 1 = 4,8 ⇔ 5 ⋅   − ⋅   = 4,8  ⋅ 4 = 4,8 ⇔   = 1 ⇔ 5 5 5 5 5 5

⇔ x = 0.

63

www.5balls.ru

1 2

x −3

в) 5 ⋅  

1 +  2

x +1

x

x

x

1 1 1 = 162 ⇔ 40 ⋅   + 0,5 ⋅   = 162  ⋅ 40,5 = 162 ⇔ 2 2 2

x

1 ⇔   = 4 ⇔ x = −2. 2

г) 5 ⋅ 9 x + 9 x − 2 = 406 ⇔ 5 ⋅ 9 x +

1 x 1 ⋅ 9 = 406 ⇔ 9 x ⋅ 5 = 406 ⇔ 9 x = 81 ⇔ x = 2. 81 81

469. Т.к. функция ах > 0, то мы имеем право делить уравнение на нее. 2 3

а) 2 x − 2 = 3 x − 2 ⇔   1 3

б)  

x −1

1− x

1 =  4

x −2

= 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.

1 ⇔  3

8 5

в) 5 x +1 = 8 x +1 ⇔  

x −1

= 4 x −1 ⇔ 12 x −1 = 1 ⇔ x = 1.

x +1

= 1 ⇔ x = −1 .

г) 7 x − 2 = 4 2 − x ⇔ (28)x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. 470. а) 3 x + 33 − x = 12 ⇔ 3 x + 27 ⋅ 3 − x = 12 ⇔ t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔  t = 3, ⇔ ⇔  t = 9;

3 x = 3, ⇔  x 3 = 9;

 x = 1,   x = 2.

б) 4 x − 2 + 16 = 10 ⋅ 2 x − 2 ⇔ 2 2 x − 2 − 10 ⋅ 2 x − 2 + 16 = 0 ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0  t = 2,   ⇔  t = 2 x−2  ⇔     t = 8; 1− x

1 5

в)  

x

 x−2  x − 2 = 1, = 2, 2 ⇔ ⇔  2 x − 2 = 8;  x − 2 = 3; 

1 1 −   = 4,96 ⇔ 0,2 ⋅   5 5

−x

 x = 3,   x = 11.

x

1 −   = 4,96 5

x x 2   t =  1   t > 0 ⇔ t 2 + 4,96 t − 0,2 = 0 ⇔  t = −5 − не подходит , ⇔  1  =  1  ⇔ x = 2.    t = 0,04 5 5 5   

(

)

г) 4 x − 0,25 x − 2 = 15 ⇔ 4 x − 16 ⋅ 4 − x = 15t t = 4 x ⇔ t > 0 ⇔

64

www.5balls.ru

t = −1 − не подходит, ⇔ t 2 − 15t − 16 = 0 ⇔  ⇔ 4 x = 4 2 ⇔ x = 2. t = 16; 

471.  5 x + y = 125,

y = 3 − x,   x + y = 3, ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 (2x − 3) − 1 = 0; ( x − y) − 1 = 0;

а) 

2 4 (x − y ) −1 = 1;

 y = 3 − x,  y = 3 − x,  ⇔   x = 1, ⇔ ⇔ 2 x − 3 = ±1;   x = 2;  

 x = 1,   y = 2; x = 2,   y = 1.

y = 5 − x,  x + y = 5,  y = 5 − x,  ⇔ x ⇔  2x ⇔ x y 5− x x = 80; 4 + 4 = 80; 4 + 4 4 − 80 ⋅ 4 + 1024 = 0;

б) 

 y = 5 − x,  y = 5 − x,   x ⇔  4 = 64, ⇔  x = 3, ⇔   x  x = 2;  4 = 16; 3 x + 3 y = 12,

в) 

x+y = 216; 6

x = 3,   y = 2;  x = 2,  y = 3. 

 y = 3 − x , ⇔ x ⇔ 3 + 27 ⋅ 3 − x = 12;

y = 3 − x,  y = 3 − x,  y = 3 − x ,   x ⇔  2x ⇔  3 = 3, ⇔  x = 1, ⇔  3 − 12 ⋅ 3 x + 27 = 0;  x  x = 2;  3 = 9; 4 x + y = 128,

г) 

3x − 2 y − 3 = 1; 5

x = 1,   y = 2;  x = 2,  y = 1. 

2 2( x + y) = 2 7 ,  2 x + 2 y = 7,  2 x + 2 y = 7, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = = 3 x 2 y 3 ; 5 x 10 ; 3x − 2 y = 3;    y = 1,5.

472. 2

1 2

а) 2 x >    1  б)    25 

2x


23 − 2x ⇔ x 2 + 2x − 3 > 0 ⇔   x > 1.

x 2 + 3,75

⇔5

− 4x

x 2 + 3,75 x 2 + 3,75 2 0 . x ∈ (-∞; -7,5) ∪ (-0,5; +∞). x2

в) 3

4x + 3

2 x ≥ −3, 1 2 ⇔ 34x + 3 ≤ 3− x ⇔ x 2 + 4x + 3 ≤ 0 ⇔  ≤  9 x ≤ −1.

Ответ: [-3;-1]. 10 x

1 4

г)  

2 2 −x 2

< 64 3

2

⇔ 4 −10 x > 48 − 3x ⇔ 3x 2 − 10x − 8 > 0 ⇔

2  x 4.

473. 2 3

x

2 3

x −1

а)   +  

x

б) 2 2x −1 + 2 2x − 2 + 2 2x − 3 < 448 ⇔ 4 3

в)  

x +1

x

2 2 > 2,5 ⇔ 2,5 ⋅   > 2,5 ⇔   > 1 ⇔ x < 0. 3 3

x

7 2x ⋅ 2 < 448 ⇔ 4 x < 64 ⋅ 8 ⇔ 4 x < 4 4,5 ⇔ x < 4,5. 8

x

x

x

3 14 3 9 4 4 4 4 ⇔  >  ⇔  > ⇔   > −  > 3 16 3 3 16 3 16 3 3        

г) 3 x + 2 + 3 x −1 < 28 ⇔

−2

⇔ X > −2.

28 x ⋅ 3 < 28 ⇔ 3 x < 3 ⇔ x < 1. 3

474. а) π x − π 2 x ≥ 0 ⇔ π x (1 − π x ) ≥ 0 , т.к. πх > 0 ⇔  π x ≥ 0, ⇔ π x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0. Ответ: (-∞;0]. ⇔ 1 − π x ≥ 0; 1 3

б)  

2 x −1

1 − 10 ⋅ 3 − x + 3 < 0 ⇔ 3 ⋅   3

2x

x

1 − 10 ⋅   + 3 < 0 ⇔ 3

 1  x 1   > , x < 1,  3 3 Ответ: (-1;1). ⇔ ⇔   x x > −1. 1   3  < 3;  

66

www.5balls.ru

2 x > 4,

в) 4 x − 2 x +1 − 8 > 0 ⇔ 2 2 x − 2 ⋅ 2 x − 8 > 0 ⇔ 

2 x < −2; 

⇔ x > 2.

Ответ: (2;∞). x

 1  1  − 5 ⋅ 6− x − 6 ≤ 0 ⇔    36  6

г) 

x

1 1 ⇔  ≤  6 6

−1

2x

 1  x   ≥ −1,  6  1 ⇔ − 5⋅  − 6 ≤ 0 ⇔  6  1  x   ≤ 6;  6  x

⇔ x ≥ −1. Ответ: [-1;∞).

475. а) 2x ≤ 3 – x; т.к. y = 2x возрастает, а y = 3 – x убывает, следовательно, у них одна точка пересечения А(1;2), и 2x ≤ 3 – x при x ≤ 1.

1 3

x

1 3

x

б)   ≤ 2x + 5; т.к. y =   – убывает, а y = 2x + 5 – возрастает, то они 1 3

x

пересекаются только в одной точке В(-1;3), и   ≤ 2x + 5 при x ≥ -1.

67

www.5balls.ru

1 4

x

1 4

x

в)   ≥ 2x + 1; т.к. y =  

– убывает, а y = 2x + 1 – возрастает, то они 1 4

x

пересекаются только в одной точке С(0;1), и   ≥ 2x + 1 при x ≤ 0.

г) 3x ≥ 4 – x; т.к. y = 3x – возрастает, а y = 4 – x – убывает, то они пересекаются тоьлько в одной точке D(1;3), 3x ≥ 4 – x при x ≥ 1.

37. Логарифмы и их свойства 476. а) log3 9 = 2;

1 8

б) log2 = -3;

в) log4 16 = 2;

г) log5

1 = -2. 25

477. 1 2

а) log9 3 = ;

б) log7 1 = 0;

1 5

в) log32 2 = ;

1 3

г) log3 = -1.

478. 2 3

а) log27 9 = ;

3 5

б) log32 8 = ;

3 4

в) log81 27 = ;

2 3

г) log125 25 = .

479. а) log3

1 1 = -4, 3-4 = ; 81 81

б) log16 1 = 0, 160 = 1;

68

www.5balls.ru

в) log4 16 = 2, 42 = 16;

г) log5 125 = 3, 53 = 125.

480. а) log5 0,04 = -2, 5-2 = 0,04;

б) log7 343 = 3, 73 = 343;

в) lg 0,01 = -2, 10-2 = 0,01;

г) log3

1 1 = -5, 3-5 = . 243 243

481. а) log

2

8 = 6,

( 2 )6 = 8;

б) log

 1   27 = −6,  1  3  

−6

= 27;

3

1 в) log 1 9 = −2,  

= 9;

3

3

г) log0,5 4 = -2, 0,5-2 = 4.

−2

482.  3 14  14 а) log 2 2 128 = , 2 2 3 =  2 2 3  

( )

14

3   = 128;  

б) log0,2 0,008 = 3, 0,23 = 0,008; в) log

5

0,2 = −2,

( 5 )−2 = 0,2;

г) log0,2 125 = -3, 0,2-3 = 53 = 125.

483. 1 8

1 2

1 3

а) log5 25 = 2, log 5 1 = −1, log 5 5 = ; б) log8 64 = 2, log8 = −1, log8 2 = ; 5

в) log2 16 = 4, log 2

1 1 1 1 = −2, log 2 2 = ; г) log3 27 = 3, log 3 = −2, log 3 3 = . 4 2 9 2

484.

1 а) log3 x = -1, x = 3-1 = ; 3 2

в) log5 x = 2, x = 5 = 125;

б) log 1 x = −3, x =  1  6

6

−3

= 6 3 = 216;

г) log 7 x = −2, x = 7 −2 = 1 . 49

485.

69

www.5balls.ru

1 ; 64

а) log 4 x = −3, x = 4 −3 =

б) log

1 в) log 1 x = 1, x =  1  = 1 ;

7

7

5

x = 0, x =

( 5 )0 = 1;

г) log 1 x = −3, x =  1 

7

−3

= 8.

2

2

486. 2 б) log x 1 = 2, x 2 =  1  , x = 1 ;

а) logx 81 = 4, x4 = 34, x = 3;

16

в) log x 1 = −2, x −2 = 2 −2 , x = 2; 4

4

4

г) logx 27 = 3, x3 = 33, x = 3.

487. 1 2

1

1 2

а) log4 x = 2, x = 42 = 16: log4 16 = 2; log4 x = , x = 4 2 = 2 : log 4 2 = ; log4 x = 1, x = 41 = 4: log4 4 = 1; log4 x = 0, x = 40 = 1: log4 1 = 0; 1 3

1 3

б) log3 x = 3, x = 33 = 27: log3 27 = 3; log3 x = -1, x = 3-1 = : log 3 = −1; 1 log3 x = -3, x = 3-3 = 1 : log 3 = −3; log3 x = 1, x = 31 = 3: log3 3 = 1; 27

27

1 2

1 2

в) log2 x = 3, x = 23 = 8: log2 8 = 3; log2 x = , x = 2 : log 2 2 = ; 1 log2 x = 0, x = 20 = 1: log2 1 = 0; log2 x = -1, x = 2-1 = : log 2 1 = −1; 2

г) log5 x = 1, x = 51 = 5: log5 5 = 1; log5 x = -2, x = 5-2 =

2

1 1 : log 5 = −2; 25 25

log5 x = 0, x = 50 = 1: log5 1 = 0; log5 x = 3, x = 53 = 125: log5 125 = 3. 488. а) 1,7

log1,7 2

= 2;

б) π log π 5,2 = 5,2;

в) 2 log 2 5 = 5;

г) 3,8

log 3,8 11

= 11.

489. а) 51+ log 5 3 = 5 ⋅ 5 log 5 3 = 5 ⋅ 3 = 15;

б) 101− lg 2 =

10 10

lg 2

=

10 = 5; 2

70

www.5balls.ru

1+ log 1 2

1 7

в)  

=

7

1 1 ⋅  7 7

log 1 2 7

=

г) 32 − log 3 18 =

1 2 ⋅2 = ; 7 7

9 3

log 3 18

=

9 1 = . 18 2

490. 2

а) 4 2 log 4 3 =  4 log 4 3  = 32 = 9; 

1 в)   2

4 log 1 3 2



1 =  2

log 1 3 4 2

б) 5

− 3 log 5

1 1 log 5   2 2 =5

г) 6 −2 log 6 5 = 6 log 6 5

4

= 3 = 81;

−2

−3

1 =  2 = 5 −2 =

−3

= 8;

1 . 25

491. 2  2 2  5 3  3 а) log 3  a b  = log 3  a 5 b 15    

=

2 2   2 2  = log 3 a 5 + log 3 b 15 = log 3 a + log 3 b = 5 15  

log 3 b  2 ;  log 3 a + 3  5 

 10 a б) log 3   6 b5 

(

   

−0,2

1   = log 3  a − 2 ⋅ b 6  

1   1 −2  = log 3 a + log 3 b 6 = −2 log 3 a + log 3 b; 6   1

)

1 5

в) log 3 9a 4 5 b = log 3 9 + log 3 a 4 + log 3 b 5 = 2 + 4 log 3 a + log 3 b; г) log 3

b2 27a 7

= log 3 b 2 − log 3 27 − log 3 a 7 = 2 log 3 b − 3 − 7 log 3 a.

492. 







1

3

1

1 2

3 2

1 2

а) lg100 ab 3c  = lg100 + lg a 2 + lg b 2 + lg c 2 = 2 + lg a + lg b + lg c = = 2+ 

1 3 lg(ac) + lg b ; 2 2 1

  = lg a 5 − lg 0,1 − lg c 2 − lg b 2 = 5 lg a + 1 − 2 lg c − 1 lg b;  0,1c 2 b  2  

б) lg

a5

71

www.5balls.ru

 

1

в) lg 3 10 a 3 b 4 c  

−

1 1 1 1 −  2 = lg 10 3 + lg a 3 + lg b 4 + lg c 2 = 1 + 1 lg a + 4 lg b − 1 lg c; 

2

0,01c 3

г) lg

1 a 2 b3

3

 

2

1

= lg 0,01 + lg c 3 − lg a 2 − lg b 3 = −2 +

3

2

2 1 lg c − lg a − 3 lg b. 3 2

493.  

 

1

1

1 2

а) lg10 3 a 4 b 2 c − 3  = lg10 3 + lg a 4 + lg b 2 + lg c − 3 = 3 + 4 lg a + lg b − 3 lg c;  

 

2

б) lg

b3 10 5 a 6 c 5

2

= lg b 3 − lg 10 5 − lg a 6 − lg c 5 =

 

2

 

 

2 lg b − 5 − 6 lg a − 5 lg c; 3 2



2 3

в) lg10 − 4 a 2 b 5 c 3  = lg 10 − 4 + lg a 2 + lg b 5 + lg c 3 = −4 + 2 lg a + 5 lg b + lg c; 7   4 c г) lg 2  7 3 8  10 a b

 2 7   = lg c 4 − lg10 7 − lg a 3 − lg b 8 = 7 lg c − 7 − 2 lg a − 8 lg b.  4 3  

494. а) log5 72 = log5 8 + log5 9 = 3 log5 2 + 2log5 3 = 3a + 2b; б) log5 15 = log5 5 + log5 3 = 1 + b; в) log5 12 = log5 22 + log5 3 = 2log5 2 + log5 3 = 2a + b; г) log5 30 = log5 2 + log5 3 + log5 5 = a + b + 1. 495. а) lg8 + lg 125 = lg(8⋅125) = lg 103 = 3; б) log 2 7 − log 2

7 = log 2 2 4 = 4; 16

в) log12 4 + log12 36 = log12 122 = 2; г) lg13 – lg 130 = lg 10-1 = -1.

72

www.5balls.ru

496. а) lg 8 + lg18 = lg144 = 2 lg12 = 2; 2 lg 2 + lg 3

lg 12

б)

lg 12

log 3 16 2 log 3 4 = = 2; log 3 4 log 3 4

в) log 2 11 − log 2 44 = log 2 1 = −2; 4

г) log 0,3 9 − 2 log 0,3 10 = log 0,3 9 = log 0,3 0,32 = 2. 100

497. а) 3 log 6 2 + 0,5 log 6 25 − 2 log 6 3 = log 6 8 + log 6 5 − log 6 9 = log 6 40 ; 9

log 6 x = log6

б)

40 4 ,x = 4 ; 9 9

1  1  2 ⋅ c4 ( 5 a ) 1 lg 5a − 3 lg b + 4 lg c = lg(5a ) 2 − lg b 3 + lg c 4 = lg  2 b3  

1   (5a ) 2 ⋅ c 4  lg x = lg  b3  

  ;   

1   4 2 , x = (5a ) ⋅ c ; 3  b   2

1

 

2 



5 3 в) 5 lg m + 2 lg n − 1 lg p = lg m 5 + lg n 3 − lg p 4 = lg m ⋅ n ;   1

3

2   5 3 m n lg x = lg  1  4  p

г)

4

 

p4

 

2   5 3 m n , x = ; 1   p4 

1 log4 216 – 2log4 10 + 4log4 3 = log4 6 – log4 100 + log4 81 = 4  6 ⋅ 81   = log 4 4,86; log4 x = log4 4,86, x = 4,86.  100 

= log 4  498.

73

www.5balls.ru

2

1 1   log 3  + 2 log 3 + 1 log 3 3 2 2 1 1  а) log 1 3 + log 3 + 2 = = + log 3 + 2 = 1 1 2 2 log 3 log 3 2 2 2 1    log 3 + 1 2   =− log 3 2

2

< 0 , откуда log 1 3 + log 3 2

б) 4 log 5 7 =  5 log 5 4  

log 5 7



=  5 log 5 7   

в) log 3 7 + log 7 3 − 2 = log 3 7 + =

(log 3 7 − 1)2 log 3 7

log 5 4

1 < −2; 2

= 7 log 5 4 ;

log 3 3 (log 3 7 )2 − 2 log 3 7 + 1 = −2= log 3 7 log 3 7

> 0 , откуда log 3 7 + log 7 3 > 2;

г) 3log 2 5 =  2 log 2 3  

log 2 5



=  2 log 2 5   

log 2 3

= 5 log 2 3.

38. Логарифмическая функция 499. а) 10 – 5x > 0 ⇔ x < 2; D(y) = (-∞;2); x > −3, D(y) = (-3;3);  x < 3;

б) 9 – x2 > 0 ⇔ 

в) x – 4 > 0 ⇔ x > 4; D(y) = (4;∞);  x > 4, D(y) = (-∞;-4)∪(4;∞).  x < −4;

г) x2 – 16 > 0 ⇔  500.

x > −2, D(y) = (-2; 3);  x < 3;

а) 6 + x – x2 > 0 ⇔  б)

+

-2,5

+ 1

X

2x + 5 > 0; D(y ) = (-∞;-2,5)∪(1;∞); x −1

74

www.5balls.ru

в)

+

−

+

2 3

2,5

2 + 3x 2 + 3x  2  >0⇔ < 0; D(y ) =  − ;2,5 . 5 − 2x 2x − 5  3   x < −1, D(y ) = (-∞;-1)∪(3;∞).  x > 3.

г) x2 – 2x – 3 > 0 ⇔  501.

а) log2 3,8 < log2 4,7, т.к. 3,8 < 4,7 и 2 > 1; б) log 1 0,15 > log 1 0,2, 3

3

т.к. 0,15 < 0,2 и

1 log3 4,9, т.к. 5,1 > 4,9 и 3 > 1; г) log0,2 1,8 > log0,2 2,1, т.к. 1,8 < 2,1 и 0,2 < 1. 502. а) log б) log

2 1 3

3 > 1 = log

1,9 > log

2 1

2 т.к. 3 > 2 и 2 > 1 ;

2,5, т.к. 1,9 < 2,5 и

3

1 1; г) log 0,7 2 < log 0,7 0,3, т.к. 2 > 0,3 и 0,7 < 1. 503. а) log2 10 > log2 8 = 3, log5 30 < log5 125 = 3 ⇒ log2 10 > log5 30; 1 2

б) log0,3 2 < log0,3 0,3 = , log 5 3 > log 5 5 =

1 ⇒ log 0,3 2 < log 5 3; 2

в) log3 5 > log3 3 = 1, log7 4 < log7 7 = 1 ⇒ log3 5 > log7 4;

75

www.5balls.ru

г) log3 10 > log3 9 = 2, log8 57 < log8 64 = 2 ⇒ log3 10 > log8 57. 504. а) y = log3 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(3) = 1, y(9) = 2;

б) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 2

1 y  = 1, y(1) = 0, y(2) = -1; 2

в) y = log4 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(4) = 1, y(16) = 2;

г) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 3

1 y  = 1, y(1) = 0, y(3) = -1, y(9) = -2. 3

76

www.5balls.ru

505. а) sinx > 0 при 2πk < x < π + 2πk, k ∈Z; D(y) = (2πk;π + 2πk/k ∈ Z); б) 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 20 ⇔ x > 0; D(y) = (0;∞); в) cos x > 0 при −

π π + 2πn < x < + 2πn , n ∈ Z; 2 2

π  π  D(y ) =  − + 2πn; + 2 πn n∈Z ; 2 2  

г) 1 – 3x > 0 ⇔ 3x < 30 ⇔ x < 0; D(y) = (-∞;0). 506. а) log 2 2 sin

π π 2π ; + log 2 cos = log 2 sin 15 15 15

)

(

)

(

(

)



б) log 4 3 7 − 2 3 + log 4 3 49 + 3 21 + 3 9 = log 4 3 7 − 3 3  3 7 2 + 3 7 ⋅ 3 + 3 3  = 

= log 4 4 = 1;

в) lg tg4 + lg ctg4 = lg tg4ctg4 = lg 1 = 0;

(

)

(

)

г) log π 5 + 2 6 + log π 5 − 2 6 = log π (25 − 24) = log π 1 = 0; 507. а) y = log3(x – 2);

77

www.5balls.ru

б) y = − log 1 x; 2

в) y = log2 (x + 1);

г) y = log 1 x + 2; 3

508. а) log3 x = 2log9 6 – log9 12 ⇔ log3 x = log9 3 ⇔ log3 x = б) log 1 x = log 0,2 35 − 2 log 0,2 25 7 ⇔ log 1 x = log 0,2 2

2

⇔ log 1 x = log 0,2 0,008 ⇔ log 1 x = 3 ⇔ x = 2

2

1 ⇔ x = 3. 2

35 ⇔ 625 ⋅ 7

1 . 8

1 2

в) log 5 x = log 3 144 + log 3 0,75 ⇔ log 5 x = log 3 (12 ⋅ 0,75) ⇔ log 5 x = 2 ⇔ x = 25. 1 2

г) log π x = 3 log 0,1 4 + 2 log 0,1 1 ⇔ log π x = log 0,1

64 ⋅ 25 1 ⇔ log π x = −2 ⇔ x = . 16 π2

509.

78

www.5balls.ru

В этом номере всегда одна функция возрастает, авторая убывает, вследствии чего они могут пересекаться лишь в одной точке. а) lg x = 1 – x; Графики функций y = lgx и y = 1 – x пересекаются в т.А(1;0), т.о. x = 1.

б) log 1 x = x − 4; Графики функций y = x – 4 и y = log 1 x пересекаются в 3

3

т.В(3,-1), т.о. x = 3.

в) log 1 x = x − 6; 5

Графики функций y = x – 6 и y = log 1 x пересекаются в т.С(5,-1), т.о. x = 5; 5

г) log2 x = 3 – x; Графики функций y = log2 x и y = 3 – x пересекаются в т.D(2;1), т.о. x = 2.

79

www.5balls.ru

510. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 511. а) f ( x ) = log 1 x убывает на D(f), поэтому max f ( x) = f (1) = 0, min f ( x ) = f (4) = −1; [1;4]

4

[1;4]

б) f(x) = log9 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f   = −1, max f ( x ) = f (9) = 1;  1 ;9  9

 1 ;9   9 

 9 

в) f(x) = log5 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f   = −1, max f ( x ) = f ( x ) = 0; 1  5

1   5 ;1  

 5 ;1  

г) f(x) = log 1 x убывает на D(f) поэтому 2

1 max f ( x ) = f   = 1, min f ( x ) = f (4) = −2. 1  2

1   2 ;4   

 2 ;4   

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 512. а) 9x = 0,7 ⇔ log9 9x = log9 0,7 ⇔ x = log9 0,7. б) (0,3)x = 7 ⇔ log0,3 (0,3)x = log0,3 7 ⇔ x = log0,3 7. в) 2x = 10 ⇔ log2 2x = log2 10 ⇔ x = log2 10. г) 10x = π ⇔ lg10x = lgπ ⇔ x = lgπ. 513. а) log5 x = 2 ⇔ x = 52 ⇔ x = 25.

80

www.5balls.ru

б) log0,4 x = -1 ⇔ x = (0,4)-1 ⇔ x = 2,5. 1 2

в) log 9 x = − ⇔ x = 9

−

1 2 ⇔ x = 1.

3

;

г) lgx = 2 ⇔ x = 102 ⇔ x = 100. 514. 1 2

а) log 1 (2x − 4) = −2 ⇔ 2x − 4 =   2

−2

⇔ 2 x − 4 = 4 ⇔ x = 4.  x = −3,  x = 1.

б) logπ (x2 + 2x + 3) = logπ 6 ⇔ x2 + 2x + 3 = 6 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔  в) log0,3(5 + 2x) = 1 ⇔ 5 + 2x = 0,3 ⇔ x = -2,35. г) log2(3 – x) = 0 ⇔ 3 – x = 1 ⇔ x = 2. 515. а) (0,2)4-x = 3 ⇔ 4 – x = log0,2 3 ⇔ x = 4 – log0,2 3. 2

б) 5 x = 7 ⇔ x 2 = log 5 7 ⇔ x = ± log 5 7 . 1 3

в) 32 − 3x = 8 ⇔ 2 − 3x = log 3 8 ⇔ x = (2 − log 3 8). 1 2

г) 7 2 x = 4 ⇔ 2x = log 7 4 ⇔ x = log 7 4. 516. а) log3 x > 2 ⇔ log3 x > log3 9 ⇔ x > 9. x < 25, Итого: (0;25). x > 0.

б) log0,5 x > -2 ⇔ log0,5 x > log0,5 25 ⇔ 

в) log0,7 x < 1 ⇔ log0,7 x < log0,7 0,7 ⇔ x > 0,7. x < 6,25, Итого: (0;6,25). x > 0.

г) log2,5 x < 2 ⇔ log2,5 x < log2,5 6,25 ⇔  517.

x − 2 < 16, x < 18, ⇔ − > x 2 0 ;  x > 2.

а) log4(x – 2) < 2⇔log4(x – 2) < log416⇔ 

81

www.5balls.ru

Итого: (2;18). б) log 1 (3 − 2x ) > −1 ; log 1 (3 − 2x ) > log 1 3 ⇔ 3 − 2x < 3 ⇔ x > 0. 3

3

3

в) log5(3x + 1) > 2 ⇔ log5(3x + 1) > log5 25 ⇔ 3x + 1 > 25 ⇔ x > 8. г) log 1 (4x + 1) < −2 ⇔ log 1 (4x + 1) < log 1 49 ⇔ 4x + 1 > 49 ⇔ x > 12. 7

7

7

518. а) loga x = 2loga 3 + loga 5 ⇔ loga x = loga 45 ⇔ x = 45 при a > 0 и a ≠ 1. б) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2 2x 2 − 19 x − 91 = 0,  x = −3,5 − не подходит, ( x − 9)(2 x − 1) = 100,    ⇔ ⇔ x = 13. ⇔ > x 9 , − > x 9 0 ,   x = 13;  x > 0,5;  2 x − 1 > 0;    x > 9.

в) loga x = loga 10 – loga 2 ⇔ loga x = loga 5 ⇔ x = 5 при a > 0 и a ≠ 1. г) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 x 2 + 4 x + 3 = 3, ( x + 1)(x + 3) = 3,  x ( x + 4) = 0;  ⇔ ⇔ ⇔ x > −1, x + 1 > 0, x > −1; x > −3; x + 3 > 0;    x = −4 − не подходит,  ⇔ x = 0. ⇔  x = 0;   x > − 1.

519. 1 2

1 2

а) log 2 ( x − 4) + log 2 (2x − 1) = log 2 3 ⇔ ( x − 4)(2 x − 1) = 9,  ⇔ x − 4 > 0, ⇔ 2 x − 1 > 0; 

2 x 2 − 9 x − 5 = 0, ⇔  x > 4;

 x = −0,5 − не подходит ,  ⇔ x = 5.  x = 5;  x > 4;

б) lg(3x2 + 12x + 19) – lg(3x + 4) = 1 ⇔

82

www.5balls.ru

 3x 2 + 12 x + 19  = 10, 3x + 4   ⇔ 3x 2 + 12 x + 19 > 0, ⇔ 3x + 4 > 0;      x = 7,   x = −1; ⇔  ⇔ 4  x > − 3 ;

3x 2 + 12 x + 19 = 30 x + 40,  ⇔  4 x > − ; 3 

3x 2 − 18x − 21 = 0,  ⇔  4 x > − ; 3 

 x = 7,   x = − 1.

в) lg(x2 + 2x – 7) – lg(x – 1) = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 7 = x − 1,   ⇔ ⇔ x 2 + 2 x − 7 > 0, x − 1 > 0; 

x 2 + x − 6 = 0,    x < −1 − 2 2 ,  ⇔   x > −1 + 2 2 ;  x > 1;

 x = −3,  x = 2; ⇔ x = 2.   x > −1 + 2 2 ;

г) log5(x2 + 8) – log5(x + 1) = 3log5 2  x2 + 8  = 8, ⇔  x +1 ⇔  x + 1 > 0; 

 x = 0, x 2 − 8x = 0,  x = 0,  ⇔   x = 8; ⇔  x > −1;  x = 8.  x > −1;

520. 1  log 4 x = −1,5, x= , ⇔ 8  log 4 x = 1; x = 4.

а) log 24 x + log 4 x − 1,5 = 0 ⇔ log 24 x + 0,5 log 4 x − 1,5 = 0 ⇔ 

б) lg2 x – lg x2 + 1 = 0 ⇔ lg2 x – 2lg x + 1 = 0 ⇔ (lg x – 1)2 = 0 ⇔ lg x = 1 x = 10. 1  log 5 x = −1, x= , ⇔ 5  log 5 x = 2;  x = 25.

в) log 52 x − log 5 x = 2 ⇔ log 52 x − log 5 x − 2 = 0 ⇔ 

1  log 3 x = −1, x= , ⇔ 3  log 3 x = 3;  x = 27.

г) log 32 x − 2 log 3 x − 3 = 0 ⇔  521.

83

www.5balls.ru

x + y = 7, ⇔ lg x + lg y = 1;

а) 

y = 7 − x, ⇔  lg x + lg(7 − x ) = lg 10;

x = 2,  y = 7 − x,  y = 7 − x,  y = 7 − x,   2    y = 5; x (7 − x ) = 10, x − 7 x + 10 = 0, ⇔ ⇔  x = 2, ⇔  ⇔ > x 0 , > x 0 ,     x = 5; x = 5,  x < 7;  y = 2; 7 − x > 0;  

log ( x + y) = 2, б)  4 ⇔ log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7;

log 4 ( x + y) = log 4 16,  log 3 ( xy) = log 3 63, ⇔  x > 0,  y > 0; 

x + y = 16,  xy = 63, ⇔  x > 0,  y > 0;

 y = 16 − x , x = 7,  y = 16 − x ,  y = 16 − x ,    2   x = 7, − = x ( 16 x ) 63 ,  x − 16 x + 63 = 0,   y = 9; ⇔ ⇔  x = 9; ⇔ ⇔ > x 0 ,  x > 0,  x = 9,  y > 0;  y > 0; x > 0,  y = 7.    y > 0;  y = 34 − x ,  x + y = 34, log xy = log 2 64, в)  ⇔ 2 ⇔ + = log x log y 6 ; 2  2 x > 0,  y > 0;   y = 34 − x ,  y = 34 − x ,  2   x = 2, x − 34 x + 64 = 0, ⇔ ⇔ ⇔  x > 0,  x = 32;  y > 0; x > 0, y > 0;  

log 4 x − log 4 y = 0,

г) 

x 2 − 5y 2 + 4 = 0;

 y = 34 − x ,  log 2 ( x )(34 − x ) = log 2 64, ⇔  x > 0,  y > 0; 

x = 2,   y = 32;  x = 32,  y = 2. 

x = y, y = x,   ⇔ x 2 − 5y 2 + 4 = 0, ⇔ 4 − 4x 2 = 0, ⇔ x > 0, y > 0; x > 0, y > 0;  

y = x,  x = 1, x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔  x = 1 ; y = 1.  x > 0, y > 0; 

522.

84

www.5balls.ru

а)

1 6 lg x + 5 + 6 lg x + 6 − (lg x + 1)(lg x + 5) + =1⇔ =0⇔ lg x + 1 lg x + 5 (lg x + 1)(lg x + 5)

lg x = −2,  lg 2 x − lg x − 6 = 0, lg x = 3;  lg 2 x − lg x − 6  ⇔ ⇔ lg x ≠ −1, ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ −1, (lg x + 1)(lg x + 5) lg x ≠ −5; lg x ≠ −5;    

б) log 2

⇔

x = 4

 x = 0,01,   x = 1000.

15 15 ⇔ ⇔ log 2 x − 2 = x log 2 x − 4 log 2 − 1 8

(log 2 x − 2)(log 2 x − 4) − 15 = 0 ⇔ log 22 x − 6 log 2 x − 7 = 0 ⇔ log 2 x − 4

log 2 x − 4

log 2 x = −1, log 2 x − 6 log x − 7 = 0,  x = 0,5,  2 ⇔ 2 ⇔ log 2 x = 7; ⇔  log 2 x ≠ 4;  x = 128.  log 2 x ≠ 4;

в)

2 lg x 2 lg x − lg(5x − 4) =1⇔ =0⇔ lg(5x − 4 ) lg(5x − 4)

 x2  x2  = 1, lg = 0, x 2 − 5x + 4 = 0,  5x − 4  5x − 4    ⇔ ⇔ x > 0,8; ⇔ lg(5x − 4) ≠ 0, ⇔ x > 0,8; x ≠ 1; x > 0, 5x − 4 ≠ 1;     5x − 4 > 0;   x = 1 − не подходит,   x = 4;  ⇔ x > 0,8, ⇔ x = 4. x ≠ 1;   

г)

1 5 lg x + 2 + 5 lg x − 30 − (lg x − 6)(lg x + 2) + =1⇔ =0⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x − 6 lg x + 2

85

www.5balls.ru

lg x = 2,  lg 2 x − 10 lg x + 16 = 0, lg x = 8;  lg 2 x − 10 lg x + 16  ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x ≠ −2; lg x ≠ −2;    

 x = 100,  8  x = 10 .

523. а) log a x = log log a x = log a

a

2 + log 1 3 ⇔ log a x = log a 4 − log a 3 a

4 4 ⇔x= при a > 0, a ≠ 1. 3 3

б)  3 − 6 log 2 x + 7 log x  log 4 2 7 4 4 − log 4 x + = 0,  7  = 0, 6 log x 2 − log 4 x + = 0 ⇔  log 4 x ⇔ ⇔ 6 log 4 x 6 x ≠ 1, x > 0;   x ≠ 1, x > 0;  1 log 4 x = − , 3 6 log 2 x − 7 log x − 3 = 0,   4 4 ⇔ ⇔  3 ⇔ log x = ; x ≠ 1, x > 0;  4 2  x ≠ 1, x > 0;

1  x = 3 , 4   x = 8.

в) log 3 x − 2 log 1 x = 6 ⇔ log 3 x − 2 log 3 x = 6 ; log 3 x = 2 ⇔ x = 9. 3

г) log 25 x + log 5 x = log 1 8 ⇔ log 5 x + 2 log 5 x + 2 log 5 8 ; 5

log 5 x = log 5

1 1 ⇔x= . 2 2

524. а) log2(9 – 2x) = 3 – x ⇔ 23-x = 9 – 2x ⇔ 2x + 8⋅2-x – 9 = 0 ⇔ 2 x = 1,

⇔ 22x – 9⋅2x + 8 = 0 ⇔ 

2 x = 8; 

 x = 0, ⇔  x = 3.

б) log2(25x+3 – 1) = 2 + log2(5x+3 + 1) ⇔ log2(52x ⋅56 – 1) = log2(4⋅5x+3 + 4) ⇔

86

www.5balls.ru

3125 ⋅ 5 2 x − 100 ⋅ 5 x − 1 = 0, 15625 ⋅ 5 2 x = 500 ⋅ 5 x + 5, ⇔ ⇔ ⇔ 25 x > 25 − 3 ; 15625 ⋅ 5 2 x > 1; 5 x = −0,008 − не подходит ,  ⇔ 5 x = 0,04; ⇔ x = −2.  x > −3; 2 ⋅ 4 x − 2 − 1 = 4 2 x − 4 ,

в) log4(2⋅4x-2 – 1) = 2x – 4⇔ 

2 ⋅ 4 x − 2 − 1 > 0; 

(

1  1 ⋅ 4 2 x − ⋅ 4 x + 1 = 0,  8 ⇔  256 ⇔ 2 2( x − 2) > 2 −1 ;

)

2  x 4 x = 4 2 , ⇔  4 − 16 = 0, ⇔  ⇔ x = 2. x > 1,5; 2x − 4 > −1;

г) log2(4x + 4) = log2 2x + log2(2x+1 – 3) ⇔ log2(4x + 4) = log2(2⋅4x – 3⋅2x) ⇔ 2 2 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0, 4 x + 4 = 2 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 2 x ,  ⇔ ⇔ ⇔ 3 x 2 x +1 − 3 > 0; 2 > ; 2  2 x = −1 − не подходит,   x ⇔ 2 = 4; ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2.  x 3 2 > ; 2 

525. 2 x − 3 > x + 1,

а) lg(2x – 3) > lg(x + 1) ⇔ 2x − 3 > 0, x + 1 > 0; 

x > 4,  ⇔ x > 1,5, ⇔ Итого: (4;∞). x > −1; 

2x − 4 < x + 1,

б) log0,3(2x – 4) > log0,3(x + 1) ⇔ 2x − 4 > 0, x + 1 > 0; 

x < 5,  ⇔ x > 2, x > −1; 

Итого: (2;5). 3x − 7 > 0, в) lg(3x – 7) ≤ lg(x + 1) ⇔ x + 1 > 0, ⇔ 3x − 7 ≤ x + 1; 

1  x > 2 3 ,  x > −1, ⇔ x ≤ 4;  

1  x > 2 , 2  x ≤ 4. 

87

www.5balls.ru

Итого:  2 ;4. 1  3 

x > 3, 4x − 7 > x + 2,  3   г) log0,5(4x – 7) < log0,5(x + 2) ⇔ 4x − 7 > 0, ⇔ x > 1 , ⇔ x > 3. 4 x + 2 > 0;   x > −2;

526. а) log0,5 x > log2(3 – 2x) ⇔ log 2 1 > log 2 (3 − 2 x ) ⇔ x

0 < x < 0,5, 1 − 3x + 2x 2 1  2( x − 0,5)( x − 1)   > 0, > 0,  x > 3 − 2x,   x > 1; x x      ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ 3 − 2x > 0; x < 1,5; x < 1,5; x < 1,5;         

0 < x < 0,5, ⇔ 1 < x < 1,5.

Итого: (0;0,5)∪(1;1,5).

б) logπ(x + 1) + logπ x < logπ 2 ⇔ x 2 + x − 2 < 0, log π x ( x + 1) < log π 2, x > −2,  x < 1,   Итого: (0;1). ⇔ x > −1, ⇔ x < 1, ⇔  ⇔ x + 1 > 0, x > 0. x > 0; x > 0; x > 0;    x 2 − x − 6 < 0, lg x ( x − 1) < lg 6,   в) lg x + lg(x – 1) < lg6 ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x − 1 > 0; x > 1;   x > −2,  x < 3,  ⇔ x < 3, ⇔   x > 1. x > 1; 

Итого: (1;3).

x 2 − x − 12 < 8,

г) log2(x2 – x – 12) < 3 ⇔ log2(x2 – x – 12) < log2 8 ⇔ 

x 2 − x − 12 > 0;

⇔

88

www.5balls.ru

 x > −4, x 2 − x − 20 < 0,  − 4 < x < −3,   x < 5; ⇔  x < −3, ⇔ ⇔ x 3 , < −   4 < x < 5.    x > 4;  x > 4; 

Итого: (-4;-3)∪(4;5). 527. а) log 22 x − log 2 x ≤ 6 ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔ 1  log x ≥ −2, 1  x ≥ , ⇔ 2 ⇔ 4 Итого:  ;8. log x ≤ 3 ; 4  2  x ≤ 8. 

б) log 21 3

log 1 x > 2,  3 x−4>0⇔  ⇔ log 1 x < −2;  3  

1   1 log 1 x > log 1 9 ,  x < , 9   3 3 ⇔  > x 9 ;   log 1 x < log 1 9;  > x 0 .  3  3

1 9

Итого:  0;  ∪ (9; ∞ ). 

 x > 10, lg x > 1,  ⇔  x < 0,001; lg x < −3;  x > 0.

в) lg2 x + 2 lg x > 3 ⇔ lg2 x +2lg x – 3 > 0 ⇔  Итого: (0;0,001)∪(10;∞).

log 3 x ≤ log 3 27, log x ≤ 3, ⇔ г) log 32 x − 9 ≤ 0 ⇔  3 ⇔ log 3 x ≥ log 3 1 ; log 3 x ≥ −3; 

27

x ≤ 27,  1  , x ≥ 27  x > 0.

1  ;27 .  27 

Итого:  528.

 sin x x 1   а) log 2  sin  < −1 ⇔ log 2  sin  < log 2 ⇔  2 2 2   sin 

x 1 < , 2 2 x > 0; 2

89

www.5balls.ru

x  π   5π  ∈  2πn; + 2πn  ∪  + 2πn; π + 2πn  ; 2  6   6  π    5π  x ∈  4πn; + 4πn  ∪  + 4πn; 2π + 4πn  3    3  3 − log 2 x < 2, log 2 x > log 2 2, x > 2, ⇔ ⇔ 3 − log x > − 2 ; log x log 32 ; < 2 2 x < 32,   2

б) 3 − log 2 x < 2 ⇔  Итого: (2;32).

1  1 cos 2x < , ⇔ 2 ⇔ 2 cos 2x > 0; 2 

в) log 1 cos 2x > 1 ⇔ log 1 cos 2x > log 1 2

2

π π  π  π − 2 + 2πk < 2 x < − 3 + 2πk ,  − 4 + πk < x < − 6 + πk ,  ⇔  π + 2πk < 2 x < π + 2πk , k ∈ Z; π + πk < x < π + πk , k ∈ Z.  3  6 2 4 π π  π  π  + πk;− + πk  ∪  + πk; + πk , k ∈ Z. 4 6 6 4    

Итого:  −

x < 10,  1 lg x < 1,  − г) 3 lg x − 1 < 2 ⇔ 3 lg x − 1 < 2, ⇔  1 ⇔ x > 10 3 , 3 lg x − 1 > −2; x > 0. lg x > − 3 ;   

 1

Итого:  

3 10

 ;10 .  

529. 1  1  2 x = 9 9 , x + y = 9 , 1   log 1 ( x + y) = 2,  8 log 1 ( x + y) = log 1 9 ,  а)  3 ⇔ 3 ⇔ x − y = 9, ⇔ 2 y = −8 , ⇔ 3 9 log ( x − y) = 2;  x + y > 0,   3 log 3 ( x − y) = log 3 9;  x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0; 

5  x = 4 9 ,   y = −4 4 .  9

90

www.5balls.ru

x = 6, lg(x 2 + y 2 ) = lg 100, x 2 + y 2 = 100,  lg(x 2 + y 2 ) = 2,    y = 8; б)  ⇔ log 48 xy = log 48 48, ⇔ xy = 48, ⇔ log 48 x + log 48 y = 1; x > 0, y > 0; x > 0, y > 0; x = 8,    y = 6. 

log 1 x + log 1 y = 2, 

log 1 x = 3, 1  , x =  3 ⇔ ⇔ 27 log x − log y = 4 ; log y = − 1 ; 1 1 1  y = 3;     3  3 3

в) 

3

3

lg(x 2 + y 2 ) = lg 130, x 2 + y 2 = 130,   lg(x 2 + y 2 ) = 1 + lg 13, x + y  x + y = 8x − 8 y, г)  ⇔ ⇔ lg = lg 8, ⇔ lg(x + y) = lg(x − y) + lg 8;  x − y x + y > 0, x − y > 0; x + y > 0, x − y > 0;    2 49 2 x 2 = 81, x + 81 x = 130,   7  x = −9, y = −7 − не подходит , y = 7 x, y = x, ⇔ ⇔ ⇔ 9 9 x = 9, y = 7.  x + y > 0, x + y > 0,  x − y > 0; x − y > 0; 

Итого: (9;7). 530. 2x + y = 4, y = 4 − 2x, 32x + y = 34 ,    2 2 ⇔ ⇔ + = ⇔ ( x y ) 9 x ,  (4 − x) = 9x, ⇔ (x + y) 2 2 lg(x + y) − lg x = 2 lg 3; lg x > 0; = lg 9; x > 0;   x  3y ⋅ 9x = 81,

а) 

y = 4 − 2x, y = 4 − 2x,   ⇔ ⇔ x 2 − 17 x + 16 = 0, ⇔  x = 1,  x = 16; x > 0;  

x = 1,   y = 2;  x = 16,  y = −28. 

x + y = 5, x + y = 5,   2 2 2 101+ lg( x + y) = 50, lg(x − y ) = lg 20, x − y 2 = 20, б)  ⇔ ⇔ ⇔ lg(x + y) + lg(x − y) = 2 − lg 5; x + y > 0, x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;  

91

www.5balls.ru

2x = 9, x + y = 5,   − = x y 4 , x = 4,5, 2 y = 1,  ⇔ ⇔ ⇔ + > + > x y 0 , x y 0 , y = 0,5.   x − y > 0; x − y > 0; 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576,    в)  ⇔ ⇔  y − x = 4, ⇔ − = − = log ( y x ) 4 ; log ( y x ) log 4 ;    y − x > 0; 2 2 2  6 x = 36, 3 x ⋅ 2 x + 4 = 576, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔  y = 4 + x;  y = 4 + x;  y = 6. 3  x 13x = 117, 2 x − 3y = 0, lg y = lg 2 ,    lg x − lg y = lg 15 − 1, x = 9, 13y = 78, 3x + 2 y = 39, ⇔ г)  lg(3x + 2 y) ⇔ ⇔ 3x + 2 y = 39; ⇔  10 = 39;  y = 6. x > 0, x > 0, x > 0, y > 0;  y > 0;  y > 0;  

40. Понятие об обратной функции 531. а) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x =

y −1 x −1 – обратная ; g( x ) = 2 2

для f(x); D(g) = E(g) = R; 1 2

б) f(x) = x - 1; D(f) = E(f) = R; y =

1 x − 1, x = 2y + 2; 2

g(x) = 2x + 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; в) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1, x = g(x) =

1− y ; 2

1− x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; 2 1 2

1 2

г) f(x) = − x − 1; D(f) = E(f) = R; y = − x − 1, x = -2y – 2; g(x) = -2x – 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R. 532. 1 x

1 x

1 y

а) f ( x ) = − ; D(f) = E(f) = (-∞;0)∪(0;∞); y = − , x = − ;

92

www.5balls.ru

g(x) = −

1 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = (-∞;0)∪(0;∞); x

б) f(x) = 2x2(x ≥ 0); D(f) = E(f) = [0;∞); y = 2x2, x =

y ; 2

g(x) =

x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = [0;∞); 2

в) f ( x ) =

x 2 =1− ; D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞), E(f) = (-∞;1)∪(1;∞); x+2 x+2

y=

2x 2y x ; g(x) = – обратная для f(x); ,x = 1− x 1− y x+2

D(g) = E(f) = (-∞;1)∪(1;∞), E(g) = D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞); г) f(x) = x + 1; D(f) = [-1;∞), E(f) = [0;∞); y = x + 1, x = y2 – 1; g(x) = x2 – 1 – обратная для f(x); D(g) = E(f) = [0;∞), E(g) = D(f) = [-1;∞). 533. а) f(x) = 2x3 + 1; y = 2x3 + 1, x = 3 g(x ) = 3

y −1 ; 2

x −1 – обратная к f(x). 2

б) f(x) = (x + 1)2, x ∈ (-∞;-1]; y = (x + 1)2, x = -1 – y ; g(x) = -1 – x – обратная к f(x).

93

www.5balls.ru

в) f(x) = -2x3 + 1; y = -2x3 + 1, x = 3 g(x) = 3

1− y ; 2

1− x – обратная к f(x). 2

г) f(x) = (x – 1)2, x ∈ [1;∞); y = (x – 1)2, x = 1 + y ; g(x) = 1 + x – обратная к f(x).

534. а) g(-2) = -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5.

б) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3.

D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4].

D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3].

в) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1.

г) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1.

D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5].

D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].

94

www.5balls.ru

535. а) f(x) = x2 + 1, x ≤ 0; т.к. f(x) убывает на (-∞;0], то на (-∞; 0] существует g(x), обратная к f(x); y = x2 + 1, x = − y − 1; g ( x ) = − x − 1 , D(g) = [1;∞), E(g) = (-∞;0].

б) f(x) = 2x, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = 2x, x =

1 y; 2

1 2

g(x) = x, D(g) = E(g) = R.

95

www.5balls.ru

в) f(x) = 4 x , x ≥ 0; т.к. f(x) возрастает на [0;∞), то на [0; +∞) существует g(x), обратная к f(x); y = 4 x , x = y 4 ; g(x) = x4, D(g) = [0,∞), E(g) = [0;∞).

г) f(x) = x3 + 1, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = x3 + 1, x = 3 y − 1; g(x) = 3 x − 1, D(g) = E(g) = R.

536.  π π

 π π

 π π

а) f(x) = sinx, x ∈ − ; ; т.к. f(x) возрастает на − ; , то на − ;   2 2  2 2  2 2 существует g(x), обратная к f(x);  π π

y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) = − ; . 2 2 



96

www.5balls.ru

 π π  2 2

 π π  2 2

б) f(x) = tgx, x ∈  − ; ; т.к. f(x) возрастает на  − ; , то на  π π  2 2

x ∈  − ;  существует g(x), обратная к f(x);  π π  2 2

y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) =  − ; .

в) f(x) = cos x; т.к. f(x) убывает при x ∈ [0;π], то на [0;π] существует g(x), обратная к f(x); y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;π].

г) f(x) = ctgx, x ∈ (0;π); т.к. f(x) убывает на (0;π), то на (0;π) существует g(x), обратная к f(x); y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;π).

97

www.5balls.ru

§ 11. Производная показательной и логарифмической функции 41. Производная показательной и логарифмической функции 537. а) ln3 ≈ 1,0986, ln5,6 ≈ 1,7228, ln1,7 ≈ 0,5306; б) ln8 ≈ 2,0794, ln17 ≈ 2,8332, ln1,3 ≈ 0,2624; в) ln2 ≈ 0,6931, ln35 ≈ 3,3551, ln1,4 ≈ 0,3365; г) ln7 ≈ 1,9459, ln23 ≈ 3,1355, ln1,5 ≈ 0,4055. 538.

(

)′

б) y`= (2x + 3e − x )′ = 2 − 3e − x ;

а) y`= 4e x + 5 = 4e x ; 

1 2



′

г) y`= (5e − x − x 2 )′ = −5e − x − 2x.

1 2

в) y`=  3 − e x  = − e x ; 



539. а) y`= (e x cos x )′ = e x (cos x − sin x ); б) y`= (3e x + 2 x )′ = 3e x + 2 x ln 2; в) y`= (3 x − 3x 2 )′ = 3 x ln 3 − 6x; г) y`= ( x 2 e x )′ = xe x (2 + x ). 540. а) f`(x) = (e-x)`= -e-x, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x; б) f`(x) = (3x)` = 3xln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3; y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3⋅x + 3(1 – ln3); в) f`(x) = (ex)` = ex, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x; 1 2

г) f`(x) = (2-x)` = -2-xln2, f(1) = , f`(1) = − y=

ln 2 ; 2

1 1 1 1 − ln 2( x − 1) = − ln 2 ⋅ x + (1 + ln 2) . 2 2 2 2

541.

98

www.5balls.ru

а) f(x) = 5ex, F(x) = 5ex + C;

x б) f(x) = 2⋅3x, F(x) = 2 ⋅ 3 + C;

ln 3

в) f(x) = 4x, F(x) =

4x + C; ln 4

г) f ( x ) = 1 e x + 1, F( x ) = 1 e x + x + C. 2

2

542. 1 x 1 а) ∫ 0,5 x dx = 0,5 | = 0,5 − 1

ln 0,5 0

0

ln 0,5

=−

ln 0,5

0,5 1 = ; ln 0,5 2 ln 2

1

1 б) ∫ e 2 x dx = 1 e 2x | = 1 e 2 − 1 = 1 ;

2

0

0

2

2

2

1 x 1 в) ∫ 2 x dx = 2 | = 2 − 1 = 7 ;

ln 2 − 2

−2

ln 2

4 ln 2

4 ln 2

2 x 2 г) ∫ 3 x dx = 3 | = 9 − 1 = 9 3 − 1 . ln 3 1 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 1 − −

2

2

543. ′

( )′

′

а) y`=  e x sin x  = e x sin x ⋅ x 2 + e x cos x ⋅  x  = 2xe x sin x + 1 e x cos x = 2

2

2



2

2

2 2

2

2

2

2

2

2 x 1 x = e x  2x sin + cos  2 2 2 

′ x x  x  ′  2  1 б) y`=  7 tg3x  = 7 2 ln 7 ⋅  x  tg3x + 7 2 ⋅ (3x )′ = 2 cos 2 3x     x

=



в) y`=  e 

=

x

x

 ln 7  ln 7 2 3 3 ; ⋅ 7 tg3x + ⋅ 7 2 = 7 2  ⋅ tg3x +  2 2 2 cos 2 3x cos 3 x   x

′  cos 2x  = e x cos 2x ⋅ 

e x cos 2x 2 x

( x )′ − e

x

sin 2x ⋅ (2x )′ =

  cos 2x − 2e x sin 2x = e x  − 2e x sin 2x    2 x  

99

www.5balls.ru

′

г) y`=  2 − x ctg x  = 2 − x ln 2ctg x ⋅ (− x )′ − 2 − x 

= −2

−x

3

3

x ln 2ctg − 3

2 −x 3 sin 2

x 3

= −2

′ x ⋅  = x 3 sin 2 3 1

  x 1 . ln 2ctg −  3 2 x  3 sin   3   

−x 

544.

(

)

′ 5 x 6 x x 5 5  x6   = 6 x ⋅ 4 + 5 − x ⋅ 4 ln 4 = 4 ⋅ x (6 − x ln 4) + 30 x ; 2 2  4x + 5    4x + 5 4x + 5

а) y`= 

(

(

(

)

)

(

)

)

′ −x 2 −x −x 2  e− x   = − e x + 2 − e ⋅ 2x = − e x + 2x + 2 ; 2 2  x2 + 2    x2 + 2 x2 + 2

б) y`= 

( ) ( ) ′ x x x x x x  3x   = 3 ln 3(2 + 5 ) − 3 (2 ln 2 + 5 ln 5) = в) y`=  2  2x + 5x    (2 x + 5x ) =

3 x ⋅ 2 x (ln 3 − ln 2) + 3 x ⋅ 5 x (ln 3 − ln 5)

(2

x

+5

)

x 2

( (

=

3 x (2 x ln 1,5 + 5 x ln 0,6) (2 x + 5 x ) 2

;

) )

1 ′ − 0,3 − x ln 0,3 ⋅ x + 0,5 − 0,3 − x ⋅  0,3 − x  2 x  = г) y`=  2  x + 0,5    x + 0,5

545. а) f(x) = xe5x; D(f) = R; f`(x) = e5x + 5xe5x = 5e5x(x+0,2); f`(x) = 0 при x = -0,2, f`(x) < 0 при x ∈ (-∞;-0,2), f′(x) > 0 при x ∈ (-0,2;∞); f(x) убывает на (-∞;-0,2], f(x) возрастает на [-0,2;∞), min f ( x ) = f (−0,2) = − R

1 ; 5e

б) f(x) = x22-x; D(f) = R; f`(x) = 2x⋅2-x + x2⋅ln2⋅(-x)`=2-x⋅x(2 – xln2); f`(x) = 0 при x = 0;

2 ; ln 2

100

www.5balls.ru

-

+ 0

-

X

2 ln 2

f(x) убывает на (-∞;0] и на  2 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 2 ;  ln 2

 ln 2 



x = 0 – min f(x), f(0) = 0; 2

x=

2 – max f(x), f  2  = 4 2 ln 2 ; ln 2  ln 2  ln 2 2

в) f(x) = xe-x; D(f) = R; f`(x) = e-x – xe-x = e-x(1 – x); f`(x) = 0 при x = 1, f(x) возрастает на (-∞;1], f(x) убывает на [1;∞), 1 e

x = 1 – max f ( x ) = f (1) = ; R

г) f(x) = x4⋅0,5x; D(f) = R; f`(x) = 4x3⋅0,5x + x4⋅0,5xln0,5=0,5x⋅x3(4 – xln2); f1(x) = 0 при x = 0; -

4 ; ln 2

+ 0

-

X

4 ln 2

f(x) убывает на (-∞;0] и на  4 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 4 ; ln 2 ln 2 







4

x = 0 – min f(x), f(0) = 0; x =

4  4  256 − max f(x); f  0,5 ln 2 . = ln 2  ln 2  ln 4 2

546. 1 2

а) f(x) = e3-2x, F(x) = − e 3 − 2 x + C; б) f(x) = 2⋅0,9x – 5,6-x, F(x) = в) f(x) = 2-10x, F(x) = − 0,1 ⋅

2 ⋅ 0,9 x 5,6 − x + + C; ln 0,9 ln 5,6

2 −10 x + C; ln 2

101

www.5balls.ru

г) f(x) = e3x + 2,31+x = e3x + 2,3⋅2,3x, 1 3

2,31+ x 1 2,3 x + C = e 3x + + C. ln 2,3 3 ln 2,3

1

1

0

0

F(x)= e 3x + 2,3 547.

а) S = ∫ e x dx = e x | = e − 1; 1

1

0

0

 9x 8 2 2 3 x  1 9 3 1 1 − − − + = − = ; |=  ln 9 ln 3  0 ln 9 ln 3 ln 9 ln 3 2 ln 3 ln 3 ln 3  

б) S = ∫ 9 x dx − ∫ 3 x dx = 

2

−1

2x 2 4 1 7 | = − = ; ln 2 −1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2

1

1

в) S = ∫ 2 x dx =

1 2

1

0

1 2 1 e  1 e − e − + 1 = e − 1 + . 2 2 2  2

1

x

г) S = ∫ e 2 x dx − ∫ e x dx =  e 2 x − e x  | = 0

0

548. 1 3 −1 

а) SADE = SABCE − SABCD = 2 ⋅ 3 − ∫   dx = 6 + = 6−

3− x 1 1 3 | = 6+ − = ln 3 −1 3 ln 3 ln 3

8 ; 3 ln 3

102

www.5balls.ru

1

б) SADE = SABCE – SABOD – SDOCK = SABCE – 2SDOCK = 2⋅e – 2 ∫ e x dx = 0

1

= 2e − 2e x | = 2e − 2e + 2 = 2; 0

0

1

x

2 −x 0

1

4

в) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫   dx − 2 ⋅ 1 = − | −2= − + −2= 2 ln 2 − 2 ln 2 ln 2 −2  =

3 − 2; ln 2

0

1

x

1

2 −x 0

г) S AED = S ABCD − S ABOE − SOCDE = 3 ⋅ 4 − ∫   dx − ∫ 4 x dx = 12 + | − ln 2 − 2 2 0 −2  −

4x 1 1 4 4 1 3 3 9 | = 12 + − − + = 12 − − = 12 − . ln 4 0 ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2

103

www.5balls.ru

42. Производная логарифмической функции 549. 1 3 ⋅ (2 + 3x )`= ; 2 + 3x 2 + 3x

а) y`= ((ln(2 + 3x ))`=

б) y`= (log 0,3 x + sin x )`= в) y`= (ln(1 + 5x ))`=

1 + cos x; x ln 0,3

1 5 ⋅ (1 + 5x )`= ; 1 + 5x 1 + 5x

г) y`= (lg x − cos x )`=

1 + sin x. x ln 10

550. а) y`= ( x 2 log 2 x )`=

1  1 x (2 ln x + 1);  2 x ln x + x 2 ⋅  = ln 2  x  ln 2

1 ′ ⋅ x − ln x ⋅ x ` 1 − ln x  ln x  = ;  = x  x  x2 x2

б) y`= 

1 в) y`= ( x ln x )`= ln x + x ⋅ = ln x + 1; x

1 ′ ln x − x ⋅  x  x = ln x − 1 . г) y`=   =  ln x  ln 2 x ln 2 x

551. а) f ( x ) =

3 3 1 , F( x ) = ln 7 x + 1 + C , x ≠ − ; 7x + 1 7 7

б) f ( x ) =

1 2 − , F( x ) = ln x − 2 ln x + 5 + C , x ≠ -5, x ≠ 0; x x+5

в) f ( x ) =

1 , F( x ) = ln x + 2 + C , x ≠ -2; x+2

104

www.5balls.ru

г) f ( x ) =

4 , F( x ) = 4 ln x + C , x ≠ 0. x

552. а) f `(x ) =

1 , f(0) = ln1 = 0, f(0) = 1; y = x; x +1

б) f `(x ) = (lg x + 2)`= y = 2+

1 1 , f(1) = lg1 + 2 = 2, f `(1) = ; x ln 10 ln 10

1 x 1 ; ( x − 1) = +2− ln 10 ln 10 ln 10

2 в) f `( x ) = (2 ln x )`= 2 , f(e) = 2 lne = 2, f `(e) = ; y = 2 + 2 ( x − e) = 2 x ;

г) f `( x ) = (log 2 ( x − 1))`= y=

e

e

x

e

1 1 ; , f (2) = log 2 1 = 0, f 1( 2) = ln 2 ln 2( x − 1)

1 x 2 . ( x − 2) = − ln 2 ln 2 ln 2

553. 7

7

а) ∫ 2dx = 2 ln x | = 2 ln 7 − 2 ln 1 = 2 ln 7; 1

б)

1

x

1

dx

1

1

1

∫ 3 − 2x = − 2 ln 3 − 2x −|1 = 2 ln 5;

−1

e

3

e

3

в) ∫ dx = ln x | = ln e − ln 1 = 1; г) ∫ dx = 1 ln 3x + 1 | = 1 ln 10 − 1 ln 1 = 1 ln 10. x 3 3 3x + 1 3 1 0 3 1 0 554. а)

(

) ( )

1 ′ ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ 3 − ln(5 + 3x ) ⋅ 2 x  ln(5 + 3x )  3 x 2 + 1 − 2 x (5 + 3x ) ln (5 + 3x ) 5 3x +  = ; = y`=   2 2 2  x +1  x2 +1 x 2 + 1 (5 + 3x )

(

′ ′    x ln 10  x  =  = б) y`=   lg(1 − 2 x )   ln (1 − 2 x )     

)

ln 10 ⋅ ln (1 − 2 x ) 2 x

+

2 ln 10 x 1 − 2x

ln 2 (1 − 2 x )

=

105

www.5balls.ru

=

ln 10((1 − 2 x )ln (1 − 2x ) + 4x ) 2 x (1 − 2 x )ln 2 (1 − 2 x )

; 1

2 ⋅5  2  2x ln 5x − x ⋅ x (2 ln 5x − 1) 5x в) y`=  x  = ; = 2 2

 ln 5x   

 log x 2 3  x +1 

г) y`= 

ln 5x

ln 5x

1 ′ (x + 1) − ln x 2 x (1 − ln x ) + 1   2 ln x ′ 2 x  =  = ⋅ . = ⋅   (ln 3)(x + 1)  ln 3 ln 3 x (x + 1)2 (x + 1)2 

555. а) f(x) = x ln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) =

f `( x ) = 0 при x =

x=

1 e2

ln x 2 x

+

x ln x + 2 = , D(f`) = (0;∞); x 2 x

 1   1  , f(x) убывает на  0; , f(x) возрастает на  ; ∞ , 2 2 e  e  e  1

2

 1 − min f(x) и f  2 e

 2 =− ;  e 

1 ⋅ x − ln x ln x 1 − ln x = б) f ( x ) = ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = x , D(f`) = (0;∞); x x2 x2

f`(x) = 0 при x = e, f(x) возрастает на (0;e], f(x) убывает на [e;∞); x = e – точка max f(x) и f ( e) =

ln e 1 = ; e e

в) y = 2x – lnx; D(f) = (0;∞); f `(x ) = 2 −

1 2( x − 0,5) = , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x

f`(x) = 0 при x = 0,5; f(x) убывает на (0;0,5], f(x) возрастает на [0,5;∞), т. x = 0,5 – min f(x) и f(0,5) = 1 + ln2; г) f(x) = xln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln x + x ⋅

1 = ln x + 1; D(f`) = (0;∞); x

1 e

f`(x) = 0 при x = ,

106

www.5balls.ru



1

1



1

1

1

f(x) убывает на  0; , f(x) возрастает на  ; ∞ , x = – min f(x) и f   = − . e e  e e  e 556. а) f(x) = xln2x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln 2 x + 2x ln x ⋅ f`(x) = 0 при x = 1 и x = 

f(x) возрастает на  0; 

x=

1 e

2

1 e2

1 = ln x (ln x + 2); x

;

 1 1   и на [1;∞), f(x) убывает на  2 e2  e

 ;1; 

 1  4 = , x = 1 – min f(x) и f(1) = 0; 2 2 e  e

– max f(x) и f 

б) f ( x ) =

′  2x  ln x − 1 2x  = 2 ln 10 ⋅ ; D(f) = (0;1)∪(1;∞); f `( x ) =  , lg x lg x ln 2 x  

D(f′) = (0;1)∪(1;∞); f`(x) = 0 при x = e,; f(x) убывает на (0,1) и на (1;e], f(x) возрастает на [e;∞), x = e – min f(x) и f(e) = 2eln10;

в) f ( x ) =

ln x x

; D(f) = (0;∞); f `( x ) =

1 1 ln x ⋅ x− x 2 x

( x)

2

1 =

2 x

(2 − ln x ) x

=

2 − ln x 2 x3

,

D(f`) = (0;∞);f`(x) = 0 при x = e2; 2 e

f(x) возрастает на (0;e2], f(x) убывает на [e2;∞), x = e2 – min f(x) и f(e2) = ; г) f ( x ) =

1 1 1 x −1 + = + ln x; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x2 x x2

f`(x) = 0 при x = 1; f(x) убывает на (0;1], f(x) возрастает на [1;∞), x = 1 – min f(x) и f(1) = 1. 557. 6

6

а) S ABCD = ∫  2 + dx = (2x + 4 ln x ) | = 12 + 4 ln 6 − 4 − 4 ln 2 = 8 + 4 ln 3. 

2

4 x

2

107

www.5balls.ru

−1

−1

2

∫ − x dx = −2 ln x −|4 = −2(ln1 − ln 4) = 4 ln 2.

б) S ABCD =

−4

2

в) S =

1

1

1 4

−3

г) S =

2

1

1

3

∫ 2x dx = 2 ln x 1| = 2  ln 2 − ln 4  = 2 ln 2. 4



1

−3

∫  3 − x dx = (3x − ln(−x )) −|6 = −9 − ln 3 + 18 + ln 6 = 9 + ln 2.

−6

43. Степенная функция 558. а) f ( x ) = x

б) f ( x ) = x

−

3 2 ; D(f)

3

5

3 −2 ; 2

= (0;∞); f `(x ) = − x

; D(f) = [0;∞); f `( x ) = 3 x 3 −1 ;

108

www.5balls.ru

2

1

в) f ( x ) = x 3 ; D(f) = [0;∞); f `(x ) =

г) f ( x ) = x −

5

2 −3 x ; 3

; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − 5 ⋅ x − 5 −1.

559. а) f(x) = x-e; D(f) = (0;∞); f`(x) = -ex-e-1;

x 3

б) f ( x ) =  

− lg 5

1 x ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − lg 5 ⋅   3 3

− lg 5 −1

;

в) f(x) = xπ; D(f) = [0;∞); f`(x) = πxπ-1;

109

www.5balls.ru

г) f(x) = (2x)ln3; D(f) = [0;∞); f`(x) = 2⋅ln3⋅(2x)ln3-1.

560. 1

1



1 9

1



а) 24 3 = (27 − 3) 3 = 3 ⋅ 1 −  3 ≈ 31 − 



1  3 ⋅ 26 8 = 2 ≈ 2,89; = 9⋅3  27 9 

б) 4 625 ⋅ 3 = 54 3 = 5 ⋅ 4 1,34 + 0,14 ≈ 5 ⋅ 1,3 ⋅ 1 + 

0,14 1  ⋅  ≈ 6,5 ⋅ 1,01 ≈ 6,57; 2,85 4 

  

0,25  ≈ 4,2 ⋅ 1,03 ≈ 4,33; 3 ⋅ 1,4 3 



0,14   ≈ 2,6 ⋅ 1,01 ≈ 2,63. 2,85 ⋅ 4 

в) 3 81 = 33 3 = 33 1,4 3 + 0,25 ≈ 3 ⋅ 1,4 ⋅ 1 + г) 4 48 = 24 3 = 2 ⋅ 4 1,3 4 + 0,14 ≈ 2 ⋅ 1,31 + 

561. 

1 9



а) 3 30 = 3 27 + 3 = 3 27 ⋅ 3 1 +  ≈ 3 ⋅ 1 + 

б) 4 90 = 4 81 + 9 = 4 81 ⋅ 4 1 + в) 9,02 = 9 ⋅ 1 +



1   ≈ 3,11; 3⋅9 

1 1   ≈ 3 ⋅ 1 +  ≈ 3,08; 9 4⋅9  

2 1   ≈ 3 ⋅ 1 +  ≈ 3,003; 900  900 

г) 5 33 = 5 32 + 1 = 5 32 ⋅ 5 1 +

1 1   ≈ 2 ⋅ 1 +  ≈ 2,01. 32  5 ⋅ 32 

562.

110

www.5balls.ru

2

а) Т.к. f ( x ) = x 5 возрастает на R, то min f ( x ) = f (1) = 1, max f ( x ) = f (32) = 4;

[1;32]

[1;32]

б) т.к. f ( x ) = x

−

4 3

убывает на R, то

1 1 max f ( x ) = f   = 16, min f ( x ) = f (27) = ; 8 81 1    1   8 ;27   

 8 ;27   

в) т.к. f(x) = x-4 убывает на R, то 1 max f ( x ) = f   = 16, min f ( x ) = f (1) = 1; 1  2

1   2 ;2  

 2 ;1  

3

г) т.к. f ( x ) = x 4 возрастает на R, то  1  1 min f ( x ) = f   = , max f ( x ) = f (81) = 27.  16  8  1 

1   16 ;81  

 16 ;81  

563. 1 2

а) f ( x ) = − x −

б) f ( x ) = x 2

3

2

, F( x ) = −

, F( x ) =

x − 2 +1

(

)

2 − 2 +1

x 2 3 +1 2 3 +1

+C=

x 1− 2 2(1 − 2 )

+ C;

+ C;

в) f(x) = 3x-1, F(x) = 3ln|x| + C; г) f ( x ) = x e , F( x ) =

x e +1 + C. e +1

564. 5



7

7

7

(

)

4 4   2 а) ∫ x 2 dx = 2 ⋅ x 2 | = 2  2 2 − 1 2  = 2 ⋅ 2 7 − 1 = 36 2 ; 1

7

1

7 

 

7

7

111

www.5balls.ru

8

2 − +1

)

(

x 3 8 б) ∫ = 4⋅ | = 12 3 8 − 3 1 = 12; 2 2 1 − +1 1 x3 3 4dx

e2

e2

e

e

(

)

в) ∫ 2x −1dx = 2 ln x | = 2 ln e 2 − ln e = 2; 1 +1 1 x 4 81 4 г) ∫ 5x dx = 5 ⋅ | = 1 16 + 1 16 81

4

5  45 4  4 3 4 − 2 4  

   = 4 ⋅ 211 = 844.  

565. 1

а) S = ∫ x

2

dx =

0

x 2 +1 1 |= 2 +1 0

1 2 +1 1

1

;

1

3

б) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − ∫ x 1x 1 2

=−

1 3 +1

32

− ln

5

1 x

2

2

1 2 − 3 −1 2 − 3 −1 − 1 + = + ln 2; 2 3 +1 3 +1

в) S = ∫ x − 0,8 dx = 1

  x 3+  1  dx =  ln x − | =  3 +1 1  

(

)

32 x −0,8 +1 32 | = 55 x | = 5 5 32 − 1 = 5; − 0,8 + 1 1 1 5

г) S = ∫ dx = ln x | = ln 5 − ln 3. 3

3

566. 2) 2 ≈ 1,4142, 3 3 ≈ 1,4422,

3 ≈ 1,7321, 4 2,5 ≈ 1,2574, 3 2,5 ≈ 1,3572, 4 3 ≈ 1,3161,

2,5 ≈ 1,5811, 4 2 ≈ 1,1892 .

112

www.5balls.ru

 0.04 0,04   ≈ 1,4143; ≈ 1,41 + 1,96 2 ⋅ 1,96  

3) 2 = 1,4 2 + 0,04 = 1,4 2 ⋅ 1 +

3 3 = 3 1,4 3 + 0,256 = 3 1,4 3 ⋅ 3 1 + 0,256 ≈ 1,41 + 0,256  ≈ 1,4435;  

2,744

3 = 1,3 4 + 0,1439 = 1,3 4 ⋅ 1 +

3 ⋅ 2,744 



 0,1439 0,1439   ≈ 1,7326; ≈ 1,691 + 2,8561 2 ⋅ 2,8561  

4 2,5 = 4 1,25 4 + 15 = 4 1,25 4 ⋅ 4 1 +

256

  15 15  ≈ 1,2575; ≈ 1,251 + 256 ⋅ 2,4414 4 ⋅ 256 ⋅ 2,4414  

3 2,5 = 3 1,33 + 0,303 = 3 1,33 ⋅ 3 1 + 0,303 ≈ 1,31 + 0,303  ≈ 1,3598;  

2,197

3 ⋅ 2,197 



4 3 = 4 1,3 4 + 0,1439 = 4 1,3 4 ⋅ 4 1 + 0,1439 ≈ 1,31 + 0,1439  ≈ 1,3164;  

2,8561

2,5 = 1,6 2 − 0,06 = 1,6 2 ⋅ 1 −

4 ⋅ 2,8561 



 0,06 0,06   ≈ 1,5813; ≈ 1,61 − 2,56  2 ⋅ 2,56 

4 2 = 4 1,2 4 − 0,0736 = 4 1,2 4 ⋅ 4 1 − 0,0736 ≈ 1,21 − 0,0736  ≈ 1,1787.  

2,0736



2 ⋅ 2,0736 

567. а) нет; б) нет; в) нет; г) да, т.к. x ≥ 0 и min f ( x ) = f (0) = 0 x ≥0

44. Понятие о дифференциальных уравнениях 568. а) y`(t) = -6sin(2t + π), y``(t) = -12cos(2t + π); -12cos(2t + π) = -12⋅cos(2t + π); 1 2

π 3

1 2

π 3

б) y`( t ) = 2 cos t − , y``( t ) = − sin  t − ; π 1 π 1 1 − sin  t −  = − ⋅ 4 sin  t −  ; 3 4 3 2 2

в) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; -32cos4t + 32⋅cos4t = 0;

113

www.5balls.ru

г) y`( t ) = −

1 1 cos(0,1t + 1), y``( t ) = − sin(0,1t + 1); 30 300

1 1 1 sin(0,1t + 1) + ⋅ sin(0,1t + 1) = 0 . 300 100 3

569. y`(x) = 15e3x, 15e3x = 3⋅5⋅е3x. 570. y`(x) = -14e-2x, -14e-2x = -2⋅7e-2x. 571. y`(x) = -21e-7x, -21e-7x = -7⋅3e-7x. 572. а) очевидно, что y = Asinkx – решение; y`(x) = A⋅kcoskx, y``(x) = -Ak2sinkx; y`` + 25y = 0 ⇒ -Ak2sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k2) = 0; k = ±5; y(x) = Asin5x, где А – const; б) очевидно, что y = Asinkx – решение; 1 A y``+4 y = 0 ⇒ − k 2 sin kx + 4A sin kx = 0, sin kx (36 − k 2 ) = 0, k = ±6; 9 9

y(x) = Asin6x, А – const; в) очевидно, что y = Asinkx – решение; 4y`` + 16y = 0 ⇒ -4Ak2sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k2) = 0, k = ±2; y(x) = Asin2x; А – const; г) очевидно, что y = Asinkx – решение; y``= −

1 1 1 1  y ⇒ −Ak 2 sin kx + A sin kx = 0, sin kx  − k 2  = 0, k = ± ; 4 4 2 4 

y( x ) = A sin

kx ; A – const. 2

573. а) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1); -8cos(2t – 1) + 4⋅2cos(2t – 1) = 0 или x`` + 4x = 0;

114

www.5balls.ru

π 7





π 7

б) x`= −0,64 sin  0,1t + , x``= −0,064 cos 0,1t + ; 



π π   − 0,064 cos 0,1t +  + 0,01 ⋅ 6,4 cos 0,1t +  = 0 7 7  

или x`` + 0,01x = 0; 

π 4



π 4

в) x = 4 sin  3t − ; x ′ = 12 cos 3t − ; 



π π π    x ``= −36 sin  3t − ; − 36 sin  3t −  + 9 ⋅ 4 sin  3t −  = 0 4 4 4   

или x`` + 9x = 0; г) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7); -0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09⋅0,071sin(0,3t – 0,7) = 0 или x`` + 0,09x = 0. 574. а) Пусть x(t) = x1(t) + x2(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) – периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т. x(t + T) = A1cos(ω1t + ω1T +ϕ1) + A2cos(ω2t + ω2T + ϕ2) = =A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) = x(t). Если это выполнено при любых t и ϕ, то ω1T = 2πk , ω k ⇒ 1 = = r – рациональное число при n и k ∈ Z.  ω2 r ω 2 T = 2πn , n и k ∈ Z;

575. Зависимость массы вещества от времени: m(t) = m0e-kt. По условию n = me-kt, ln Т находим из условия: T=

m 1 = kt , k = (ln m − ln n ); период полураспада радия n t

m = me − kT , 2

ln 2 ln 2 r ln 2 или T = . = 1 k ln m − ln n (ln m − ln n ) t

115

www.5balls.ru

576. m1 = m 0 e − kt ⇒ t =

m ln 2 1 m0 T 3 1 , t= ln ; k= ln 0 = ⋅ ln = 9 мин. T k m1 ln 2 m1 ln 2 0,125

577. m1 = m 0 e − kt , t =

1 m m0 T ln 10 = 3,3 ч.; ⋅ ln 0 ; при = 10, Т = 1 ч.: t = ln 2 ln 2 m1 m1 1000

ln 2

− ln 2 − t m1 m 1500 ≈ 0,64. = e T , если t = 100 лет и Т = 1500 лет, то 1 = e m0 m0

578. T′ = –k(T – T1), T1 = 0. Решение этого уравнения T(t) = T0e-kt, где k > 0 – const. Для первого тела T (1) ( t ) = T0(1) e − k 1t , для второго тела T (1) ( t ) = T0(1) e −k 2 t ; через время t1 температура 1 тела была T1(1) , температура 2 тела T1( 2) : (1)

T1

( 2) (1) T (1) 1 T 1 T (1) = T0 e − k1t 1 , k1t1 = ln 0 , k1 = ln 0 : T1(2) = T0(2) e − k 2 t 1 , k 2 = ln 0 ; (1) ( 1 ) t1 T t 1 T ( 2) T1 1 1

момент времени t, когда температуры тел сравняются, находим из условия ( 2)

(1)

−

T (1) ( t ) = T ( 2) ( t ) : T0(1) e ( 2)

(1)

T t ln 0 t 1 T (1) 1

− ( 2)

= T0 e

T t ln 0 t 1 T ( 2) 1

t − (1) t1 T0 , =e ( 2) T0

(1)  T ( 2) T ln 0 − ln 0 (1)  T ( 2) T1  1

    ,

( 2)

T ⋅ T1 T t ⋅ ln 0 = ln 0 , (1) ( 2) (1) t1 T ⋅T T 0

1

0

( 2) T ln 0 (1) T0 t = t1 ; T ( 2) T (1) ln 0 1 T0(1) T1( 2)

при t1 = 10 мин, T0(1) = 200°C, T0( 2) = 100°C, T1( 2) = 80°C, T1(1) = 100°C :

116

www.5balls.ru

1 ln 2 2 t = 10 ⋅ = 10 ≈ 14,75 мин. ln 1,6  1 10  ln ⋅  2 8  ln

579. См. задачу 578. (1)

−

(1)

T (1) ( t ) = T0 e

T t ln 0 t 1 T (1) 1

( 2)

−

и T ( 2) ( t ) = T0( 2) e (1)

∆T = T (1) ( t ) − T ( 2) ( t ) = e

ln T0 −

T t ln 0 t 1 T ( 2) 1

(1)

T t ln 0 t 1 T (1) 1

( 2)

ln T0

−e

; ( 2)

−

T t ln 0 t 1 T ( 2) 1

;

при ∆T = 25°C, T0(1) = T0(2) = 100°C, T1(1) = 80°C, T1( 2) = 64°C; t1 = 10 мин: −

t

25 = 100e 10

ln

2t

t

10 t 100 t t − ln 8 − 100e 10 64 ; 25 = 100 ⋅ 0,8 10 − 100 ⋅ 0,64 10 ;

(0,8)10 − (0,8)10

( )

(

)

2

t t   + 0,25 = 0,  (0,8)10 − 0,5  = 0; (0,8)10 = 0,5;    

t ln 0,5 = log 0,8 0,5; t = 10 log 0,8 0,5 = 10 ≈ 31,08 мин. 10 ln 0,8

580. 5 3

Т.к. v′( t ) = −kv( t ) = − v( t ) , и v(0) = v0, то 5 − t

км v( t ) = v 0 e 3 ; при v 0 = 30 , t = 3 мин: ч 5

− t м v(3) = 500 ⋅ e 3 = 500e − 5 ≈ 3,4 . мин

117

www.5balls.ru