А.А. Кадеев, О.Г. Перфильева
Домашняя работа по алгебре за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-...
43 downloads
539 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
А.А. Кадеев, О.Г. Перфильева
Домашняя работа по алгебре за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов и др. — 11-е изд. — М.: Просвещение, 2003 г.»
VIII Глава. Производная и ее геометрический смысл § 44 Производная № 776. s( t + h ) − s( t ) . T.k. s(t)=1+3t, то s(t+h)–st= h 3h =3. Проверим =1+3(t+h)– (1+3t)=1+3t+3h–1–3t=3h, поэтому vcp= h результат в случаях, приведенных в условии: 13 − 4 =3; 1) h=4–1=3, s(t+h)=1+3⋅4=13, s(t)=1+3⋅1=4, vcp= 3 4 − 3,4 0,6 2) h=1–0,8=0,2, s(t+h)=1+3⋅1=4, s(t)=1+3⋅0,8=3,4, vcp= = =3. 0,2 0,2
s(t)=1+3t;
vcp=
№ 777. s ( t + h ) − s ( t ) 2( t + h ) − 2 t 2 h =2 = = h h h Проверим: h=1,2–1=0,2 2,4 − 2 0,4 s(t+h)=2⋅1,2=2,4; s(t)=2⋅1=2; vcp= = =2 0,2 0,2 2 2) s(t)=t t=1; (t+h)=1,2;
1) s(t)=2t; vcp=
s( t + h ) − s( t ) ( t + h ) 2 − t 2 t 2 + 2 th + h 2 − t 2 = = = h h h =2t+h=2⋅1+(1,2–1)=2,2. vcp=
№ 778. 1) s(t)=2t+1; а) s(t+h)–s(t)=2(t+h)+1–2t–1=2t+2h+1–2t–1=2h; s ( t + h ) − s( t ) 2 h =2; в) lim v cp = lim 2 =2; б) vcp= = h →0 h →0 h h 2) s(t)=2–3t; а) s(t+h)–s(t)=2–3(t+h)–2+3t=2–3t–3h–2+3t= –3h; s ( t + h ) − s( t ) 3h = –3; в) lim vcp = lim ( −3) = –3. б) vcp= =− h →0 h →0 h h
№ 779. s(t)=0,25t+2 1) h=8–4=4;
s (t + h) − s (t ) 0,25 ⋅ (4 + 4 ) + 2 − 0,25 ⋅ 4 − 2 2 + 2 − 1 − 2 = = =0,25 h 4 4 2) v(t)= lim vcp = lim 0,25 =0,25.
vcp=
h →0
2
h →0
№ 780. 1) f(x)=3x+2; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=3(x+h)+2–3x–2=3x+3h+2–3x–2=3h; ∆f 3h ∆f =3; в) lim =3, т.е. f ′(x)=3 б) = h →0 h h h 2) f(x)=5x+7; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=5(x+h)+7–5x–7=5x+5h+7–5x–7=5h; ∆f 5h ∆f б) =5; в) lim = = lim 5 =5; h →0 h h →0 h h 3) f(x)=3x2–5x; а) ∆f= f(x+h)–f(x)=3(x+h)2–5(x+h)–3x2+5x= =3x2+6xh+3h2–5x–5h–3x2+5x2=6xh+3h2–5h;
6 xh + 3h 2 − 5h ∆f ∆f = = lim (6x+3h–5)=6x–5; = 6x+3h–5; в) lim h →0 h h →0 h h 4) f(x)= –3x2+2; а) ∆f= –3(x+h)2+2+3x2–2= –3x2–6xh–3h2+2+3x2–2= –6xh–3h2; б)
б)
− 6 xh − 3h 2 ∆f = –6x–3h; = h h
в) lim
h →0
∆f = lim (–6x–3h)= –6x. h →0 h
№ 781.
1) f ′(x)=4; 2) f ′(x)= –7; 3) f ′(x)= –5.
(опечатка в ответе задачника).
№ 782. 1) s(t)=
3 2 t; 2
а) s(t+h)–s(t)=
3 3 3 3 3 3 (t+h)2– t2= t2+3th+ h2– t2=3th+ h2; 2 2 2 2 2 2
3 2 s( t + h ) − s( t ) 3th + 2 h 3 = = 3t+ h; 2 h h 3 в) v(t)= lim vcp = lim (3t+ h)=3t; h →0 h →0 2 2) s(t)=5t2; а) s(t+h)–s(t)=5(t+h)2–5t2=5t2+10th+5h2–5t2=10 t h +5h2;
б) vcp=
s( t + h ) − s( t ) 10 th + 5h 2 = = 10t+5h; h h в) v(t)= lim vcp = lim (10t+5h)=10t;
б) vc p=
h →0
h →0
№ 783.
s(t)=t2+2 найдем v (t): а) s(t+h)–s(t)=(t+h)2+2–t2–2=t2+2th+h2+2–t2–2=2th+h2 б) vc p=
s( t + h ) − s( t ) 2 th + h 2 = = 2t+h h h
3
в) v(t)= lim vc p = lim vc p= lim 2t+h=2t h →0
1) t=5,
h →0
v(5)=2⋅5=10;
h →0
2) t=10, v(10)=2⋅10=20.
№ 784. s (t + h) − s (t ) 1,5 − 0 = = 1,5 ; h 1 s( t + h ) − s( t ) 2,5 − 1,5 2) на [1; 2] vc p= = = 1; h 1 s (t + h) − s (t ) 3 − 2,5 = = 0,5 . 3) на [2; 3] vc p= h 1 1) на [0; 1] vc p=
№ 785. 1) на [0; 2] vc p=
s( t + h ) − s( t ) 1 − 2 1 = =− ; h 2−0 2
2) на [2; 3] vc p=
3 −1 =2; 3−2
3) на [3; 3,5] vc p=
4−3 =2. 3,5 − 3
№ 786. 1) lim (2x+1)=3, т.к. f(x)=2x+1, то: x →1
ε , т.е. для ∀ε существует 2 δ удовлетворяющее определению, значит равенство верно.. 2) lim x2=4, т.к. f(x)=x2, то: |f(x)–4|=|x2–4|=|x–2|⋅|x+2|0, т.к. ветви параболы направлены вверх. b Вершина параболы имеет абсциссу x b = − , в нашем случае 2a x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=ax2+c. Подставим известные точки: 1=а⋅(0)2+с ⇒ c=1 ⇒ y=ax2+1; 2=a⋅(1)2+1 ⇒ a=1 ⇒ y=x2+1; б) Очевидно, что это парабола, имеющая уравнение в общем виде y=ax2+by+c. Т. к. ветви параболы направлены вниз, то a0, 4x3–8x>0
+ –
4x(x2–2)>0
+ –
0
2
x
2
х∈(– 2 ; 0)∪( 2 ; +∞) 2) f ′(x)=12x –12x –24x f ′(x)>0, 12x(x2–x–2)>0 Решим уравнение: x(x2–x–2)=0, х=0, x2–x–2=0, D=1+8=9, 1+ 3 1− 3 х1= =2, х2= = –1, 2 2 3
2
+ –
+
–1
–
0
х∈(–1; 0)∪(2;+∞).
(
x
2
) (
)
( )
′ ′ ′ 3) f ′(x)= (x + 2 )2 x = (x + 2)2 x + (x + 2 )2 ⋅ x = 1 x+2 (4x + x + 2) = (x + 2)(5x + 2) = 2(x + 2) x + (x + 2)2 ⋅ = 2 x 2 x 2 x
x >0 ⇒ (x+2)(5x+2)>0
f ′(x)>0
x>0
+
+ –
–2
−
учитывая, х>0
2 5
x∈(0; +∞); ′ ′ 4) f ′(x)= (x − 3) x = (x − 3)′ x + (x − 3) ⋅ x = 1 2 x + x − 3 3x − 3 = x + (x − 3) ⋅ = = ; 2 x 2 x 2 x
(
)
( )
2 x >0 ⇒ f ′(x)>0, если 3х–3>0 x>1. Учитывая, что x>0, получим х∈(1; +∞).
№ 826.
(
) (
)
(
)
′ ′ ′ 1) f′(x)= (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = (5 − 3x )4 (3x − 1)3 + (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = = 4 ⋅ (− 3)(5 − 3x ) (3x − 1) + 3 ⋅ 3(5 − 3x ) (3x − 1) = 3
3
4
2
= 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (− 12x + 4 + 15 − 9 x ) = 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (19 − 21x ) 17
f ′(x)0, то (5 − 3x )3 (19 − 21x ) 0; 2) f ′(x)=(x ln 2–2 x)′=ln 2–2 x ln 2, + + f ′(x)>0 при ln2(1–2 x)>0, x x – т.к. ln 2>0, то 1–2 >0 или 2 0, x(x+2)>0 Ответ: x∈(–∞; –2)∪(0;+∞).
(
)′
4) f ′(x)= e x x = e x x +
ex 2 x
–
+ 1
x
+ 0
x
− 1 2 f ′(x)>0 при e x (1+ ) > 0 ), 2x 1 1 т.к. e x x >0, то 1+ >0 ⇒ x > − f ′(x)>0 и x >0. Ответ: х > 0. 2x 2 x
№ 843.
′ ⎛ 2x − 1 2 x + 3 ⎞⎟ 1⋅ 2 2⋅5 1 2 = + = + 1) ⎜ + ln ⎜ ⎟ 3 5 5 ( 2 x + 3 ) 2 x +3 3 ⋅ 2 2 − 1 6 − 3 x x ⎝ ⎠ ′ ⎛ 1− x (− 1) − 2 ⋅ 3 ⋅ (− 5) = − 6 + 10 . 2 − 5x ⎞⎟ 1 = ⋅ 2) ⎜ − 2 ln ⎜ 6 ⎟ 3 ⎠ 6 2 1 − x (2 − 5x ) ⋅ 3 12 1 − x 2 − 5x ⎝ 21
′ 1− x ⎞ 1− x ⎞ ⎛ 1− x ⎛ 1 ⎞ 1− x ⎛ 1 ⎞⎛ 3) ⎜ 2e 3 + 3 cos ⎟ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟e 3 + 3 ⋅ ⎜ − ⎟⎜ − sin ⎟= 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 1− x 3 1− x . = − e 3 + sin 3 2 2 ′ 2− x 1 1+ x 1+ x ⎞ 1 1+ x ⎛ 2− x ⎛ 1 ⎞ 2− x = − e 3 − cos 4) ⎜ 3e 3 − 2 sin . ⎟ = 3 ⋅ ⎜ − ⎟e 3 − 2 ⋅ cos 4 ⎠ 4 4 2 4 ⎝ ⎝ 3⎠
№ 844.
′ ⎛ 1 x − 2 ⎞⎟ ⎛ 3 x−2⎞ 3 ⎜ 3 = ⎜ 3 ⋅ (2 − x )− 3 − 3 cos 1) − 3 cos ⎟= ⎜ 2− x ⎟ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ 4 x−2⎞ 1⎛ x−2 1 ⎛ 1⎞ = 3 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ (− 1) ⋅ (2 − x )− 3 − 3 ⋅ ⎜ − sin . + sin ⎟= 3 3⎝ 3 ⎠ (2 − x )3 (2 − x ) ⋅ 9 ⎝ 3⎠ ′ x−4 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 3⎞ 1 x−4 ⎞ 1 −7 5 ⎟ = ⎜2⋅ − − 2) ⎜ 2 ⋅ 4 e 5 ⎜ ⎟(x + 2 ) 4 − 5 ⋅ ⋅ e 5 ⎟⎟ = ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 4⎠ 5 (x + 2 ) ⎠ ⎝ ⎠ x−4 7 3 = − (x + 2)− 4 − e 5 . 2
№ 845.
(
) ( )
′ ′ 1) 0,5 x ⋅ cos 2 x = 0,5 x cos 2 x + 0,5 x (cos 2 x )′ =
= 0,5 ln 0,5 cos 2 x + 0,5 x ⋅ 2 ⋅ (− sin 2 x ) = 0,5 x (ln 0,5 cos 2 x − 2 sin 2 x ) . ′ ′ ′⎞ ⎛ 2) 5 x ⋅ e− x = 5⎜ x e − x + x e− x ⎟ = ⎝ ⎠ x
(
)
( )
( )
⎞ ⎛ 1 ⎞ 5e− x (1 − 2 x ) ⎛ 1 −x . = 5⎜⎜ e − x ⋅ e − x ⎟⎟ = 5e − x ⎜⎜ − x ⎟⎟ = 2 x ⎝2 x ⎠ ⎝2 x ⎠ 3) (e3–2 x⋅cos(3–2x))′=(e3–2 x)′cos(3–2x)+ e3–2 x(cos(3–2x))′= = –2 e3–2 xcos (3–2x)–2 e3–2 x⋅(–sin(3–2x))= =–2e3–2 x(cos(3–2x)–sin(3–2x)) = 2e3–2 x(sin(3–2x)–cos(3–2x)).
№ 846.
(
)
′ 1) ln x − 1 =
1
⋅
1
=
1 . 2( x − 1)
x −1 2 x −1 ′ 1 2) ⎛⎜ e 3+ x ⎞⎟ = e 3+ x (опечатка в ответе задачника). ⎝ ⎠ 2 3+ x 1 1 3) (ln (cos x ))′ = ⋅ (–sin x)= –tg x. 4) (ln (sin x ))′ = ⋅ cos x =ctg x. cos x sin x
22
№ 847.
( ) ′ 3) (cos x + 2 ) = − sin
(
)
′ ′ 1) 2cos x +1 = 2cos x +1 ⋅ln 2⋅(–sin x). 2) 0,51+ sin x = 0,51+ sin x ⋅ln0,5⋅cos x. 3
3
x+2⋅
3
3 1 (x + 2)− 2 = − sin x + 2 . 3 33 x + 22
(
)
1 cox(ln x) 4) (sin (ln x))′=cos(ln x)⋅ = . x x
№ 848.
′ (2 x + 2) = x +1 ⎛ ⎞ 1) ⎜ x 2 + 2 x − 1 ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ 2 x + 2x − 1 x + 2x − 1 ′ ′ 1 ⋅ (− sin x) sin x cos x 3 4 . 3) cos x = 4 =− 4 . 2) sin x = 3 4 cos x 4 cos x 3 sin 2 x ′ 1 1 4) log 2 x = = 2 log 2 x ⋅ x ln 2 2 x ln 2 ⋅ log 2 x
(
)
(
(
)
)
№ 849.
′ ′ ⎛ 1 + cos x ⎞ (1 + cos x ) sin x − (1 + cos x )(sin x)′ 1) ⎜ = ⎟ = sin 2 x ⎝ sin x ⎠ =
− sin x ⋅ sin x − (1 + cos x ) ⋅ cos x 2
=
3 2 3x
− sin 2 x − cos x − cos 2 x
( 3x )(′ 3 + 1)− 3x (3 + 1)′ = (3 + 1) (3 + 1)− 3x (3 ln 3) = (3 + 1)
′ ⎛ 3x ⎞ ⎟ = 2) ⎜ x ⎜ 3 +1⎟ ⎝ ⎠
=
sin x
=
x
=−
1 + cos x sin 2 x
x
x
x
sin 2 x
2
x
x
2
3 ⋅ 3x + 3 − 2 ⋅ 3x ⋅ 3x ln 3
=
3 x +1 (1 − 2 x ln 3) + 3
. 2 2 3x 3x + 1 2 3x 3x + 1 ′ ′ ⎛ e 0, 5 x ⎞ e0,5 x (cos 2 x − 5) − e0,5 x (cos 2 x − 5)′ ⎜ ⎟ = = 3) ⎜ cos 2 x − 5 ⎟ (cos 2 x − 5)2 ⎝ ⎠ =
(
) ( ) 2
0,5e0,5 x (cos 2 x − 5) + 2e0,5 x sin 2 x
(cos 2 x − 5)
2
( )
(
=
)
0,5e0,5 x (cos 2 x − 5 + 4 sin 2 x )
( )
(cos 2 x − 5)2
.
′ ′ ⎛ 52 x ⎞ 52 x (sin 3x + 7 ) − 52 x (sin 3x + 7 )′ ⎜ ⎟ 4) = = ⎜ sin 3x + 7 ⎟ (sin 3x + 7 )2 ⎝ ⎠ =
2 ⋅ 52 x ⋅ ln 5(sin 3x + 7) − 52 x ⋅ 3 ⋅ cos 3x
(sin 3x + 7)
2
=
52 x (2 ⋅ ln 5 ⋅ sin 3x + 14ln 5 − 3cos3x)
(sin 3x + 7)2
23
№ 850.
(
=
(e
x
) (
)
′ x −x ′ ⎞ x − e x − e− x (x )′ ⎟ = e −e = ⎟ x2 ⎠
⎛ e x − e− x 1) ⎜ ⎜ x ⎝
) (
)
+ e− x ⋅ x − e x − e− x ⋅1 x2
=
e x ⋅ x + e− x ⋅ x − e x + e− x
(
x2
)
e x ( x − 1) + e x ( x + 1)
=
(
)
x ⋅ 2 x ln 2 −
1 − 2x ln 2 2 2
x2
′ ′ ⎛ 2 x − log 2 x ⎞ 2 x − log 2 x ⋅ ln 2 ⋅ x − 2 x − log 2 x (ln 2 ⋅ x )′ ⎟ ⎜ 2) = = ⎜ ln 2 ⋅ x ⎟ x 2 ⋅ ln 2 2 ⎠ ⎝
=
(2
x
ln 2 −
1 x ln 2
)⋅ ln 2 ⋅ x − (2 2
ln 2 ⋅ x
x
)
− log 2 x ⋅ ln 2
2
=
+ log 2 x
x ⋅ ln 2
№ 851.
.
′ (sin x − cos x )′ ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ (x )′ = ⎛ sin x − cos x ⎞ 1) ⎜ ⎟ = x x2 ⎝ ⎠ (cos x + sin x ) ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ 1 = = x2 cos x ⋅ x + sin x ⋅ x − sin x + cos x cos x( x + 1) + sin x( x − 1) = = x2 x2 ′ ′ 2 ⎛ 1 − sin 2 x ⎞ ⎛⎜ (sin x − cos x ) ⎞⎟ 2) ⎜ = (sin x − cos x )′ = cos x + sin x . ⎟ = ⎝ sin x − cos x ⎠ ⎜⎝ sin x − cos x ⎟⎠
№ 852.
(
)
′ 1) f ′( x) = 5(sin x − cos x ) + 2 cos 5 x =
(
)
= 5(cos x + sin x ) + 2 ⋅ 5 ⋅ (− sin 5 x ) = 5 cos x + sin x − 2 sin 5 x =
⎛ ⎞ ⎛π ⎞ = 5⎜⎜ cos x + cos⎜ − x ⎟ − 2 sin 5 x ⎟⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ π⎞ π π⎞ ⎛ = 5⎜⎜ 2 sin ⎜ x + ⎟ sin − 2 sin 5 x ⎟⎟ = 5 2 ⎜⎜ sin ⎜ x + ⎟ − sin 5 x ⎟⎟ = 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ x+
π 4
− 5x
x+
π 4
− 5x
⎞ ⎛π ⎞ ⎛π = 10 2 sin ⎜ − 2 x ⎟ cos⎜ + 3x ⎟ ⎠ ⎝8 ⎠ ⎝8 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ f′(x)=0 при sin⎜ − 2 x ⎟ cos⎜ + 3 x ⎟ =0, ⎝8 ⎠ ⎝8 ⎠ = 5 2 ⋅ 2 sin
2
cos
2
π π ⎡π ⎡ ⎢ 8 − 2 x = πn ⎢ x = 16 + 2 n, n ∈ Z Откуда: ⎢ ⇒⎢ ⎢ π + 3 x = π + πk ⎢ x = π + π k, k ∈ Z ⎢⎣ 8 3 2 ⎣⎢ 8
24
;
2) f ′(( x) = (1 − 5 cos 2 x + 2(sin x − cos x ) − 2 x )′ =
⎛π ⎞ = 10 sin 2 x + 2(cos x + sin x ) − 2 = 10 cos⎜ − 2 x ⎟ + 2(cos x + sin x ) − 2 = ⎝2 ⎠ ⎛ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞⎞ = 10⎜⎜ cos2 ⎜ − x ⎟ − sin 2 ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ + 2(cos x + sin x ) − 2 = 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛π ⎞ ⎞ ⎛π ⎞ = 10⎜⎜ 2 cos2 ⎜ − x ⎟ − 1⎟⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 2 = ⎝4 ⎠ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = 20 cos2 ⎜ − x ⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 12 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ f ′(x)=0, если 20 cos 2 ⎜ − x ⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 12 =0 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ π cos( –x)=t, 20t2+2 2 t–12=0 или 10t2+ 2 t–6=0 D=2+240=242=2⋅121 4 t1=
− 2 + 11 2 2 = 20 2
t2=
− 2 − 11 2 3 2 =− 20 5
9⋅2 3 2 ∨ 1; 18 < 25 ⇒ –1. )+2πn, − х1=±arccos(– 5 5 4 ⎛ 3 2⎞ π ⎟ + 2πn, n ∈ Z n∈Z ⇒ x1 = ± arccos⎜ − ⎜ 4 5 ⎟⎠ ⎝ Cледовательно, –
π π π − x2=± +2πk, k∈Z ⇒ x2 = 2πk , k ∈ Z , x3 = + 2πm, m ∈ Z 4 4 2
№ 853.
(
) ( )
′ ′ 1) f ′( x) = e 2 x ln (2 x − 1) = e 2 x ⋅ ln (2 x − 1) + e2 x (ln (2 x − 1))′ = = 2e 2 x ln (2 x − 1) +
2x
2e 1 ⎞ ⎛ = 2e 2 x ⎜ ln (2 x − 1) + ⎟, 2x − 1 2x − 1 ⎠ ⎝
f(x)=0 ⇒ e2xln(2x–1)=0, e 2x>0, так что ln(2x–1)=0, ln(2x–1)=ln 1; 1 ⎞ ⎛ 2x–1=1; x=1, f ′(1)= 2e 2⋅1⎜ ln (2 ⋅ 1 − 1) + ⎟ =2e2⋅(0+1)=2e2. ⋅ −1⎠ 2 1 ⎝ ′ (sin x − cos x )′ sin x − (sin x − cos x )(sin x )′ = ⎛ sin x − cos x ⎞ 2) f ′( x) = ⎜ ⎟ = = sin x sin 2 x ⎝ ⎠
25
= =
(cos x + sin x )sin x − (sin x − cos x )cos x = sin 2 x
2
cos x ⋅ sin x + sin x − sin x cos x + cos 2 x 2
sin x ⎛ sin x − cos x ⎞ f(x)=0 ⇒ ⎜ ⎟=0 sin x ⎝ ⎠
=
1 sin 2 x
Область определения функции sin x≠0 x≠πn, n∈Z 1 1 π ⎛π⎞ = 1 =2. 1–ctg x=0 ctg x=1 x= +πn, n∈Z ; f ′⎜ ⎟ = 4 ⎝ 4 ⎠ sin 2 π
() 4
2
Т.к. в f ′(x) sin входит в квадрате, то f ′(x) во всех точках
π + πn , будет 4
иметь одно и то же значение.
№ 854.
f ′(x)=(x sin 2x)′=(x)′sin 2x+x(sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x y(x)=f ′(x)+f(x)+2=sin 2x+2x cos 2x+x sin 2x+2 y(π)=sin 2π+2π cos 2π+π sin 2π+2=0+2π+0+2=2(1+π).
№ 855. –
+
1 , x>0 x f ′(x)=0 при х=1; f ′(x)>0,
1) f ′(x)=(x– ln x)=1–
+
0
1
х
x −1 >0, x(x–1)>0 ⇒ х∈(1;+∞); x f ′(x)0 f ′(x)=0, lnx+1=0, lnx = –1, 0 х 1 lnx=lne–1, x=e–1. f ′(x)>0, lnx+1>0; lnx>–1=ln e–1; e –1 –1 x∈(e ;+∞); f ′(x)e x>0 3) f ′(x)=(x2 lnx)′=2xlnx+x −1 1 1 f ′(x)=0 x(2lnx+1)=0 x=0 и lnx= − =ln e 2 x= 2 e
–
+
+
f ′(x)>0 x(2 ln x+1)>0 при x∈( f ′(x)0
х
1 e
; +∞)
4) f ′(x)=(x3–3 lnx)′=3x2–
3 x
3 3 x3 − 3 3 =0, 3x3–3=0, x3=1, x=1; f ′(x)>0, 3x2– > 0, >0 x x x 3x(x3–1)>0 при х∈(1;+∞); f ′(x)0 ⇒ tg α>0 ⇒ α∈[0;
π π ], f ′(x)0 ⇒ при x> функция возрастает; 3 2 3x 3x e (3x–2)0 и 3x–20 ⇒ e–3x >0 и 1–3x>0⇒ при x< функция возрастает 3 1 –3x –3x y′0: 2x+3) e
2 + 3x
x 2 + 3x
;
>0 ⇒ e x
2 + 3x
>0 и 2x+3>0 ⇒ при x> −
возрастает; y′0 и 2x–1>0 ⇒ при x>
1 – функ2
ln3>0 и 2x–1
1 – функ2
ция возрастает; y′0: 1–2cos 2x>0 ⇒ cos 2x
0, cos x 1.
№ 908.
y′=3x2–4x+a функция возрастает на R, если y′>0 при всех х 3x2–4x+a>0 неравенство выполняется при любых х, если D 4 =4–3а . (Опечатка в ответе задачника). 4 3
№ 909.
y′=3ax2+6x–2 функция убывает на R, если y′0 и 2x=0 ⇒ x=0;
⋅ln 2⋅(2x+1), +х
⋅ln 2⋅(2x+1)=0 ⇒ 2 х
2
+х
⋅ln 2>0 и 2x+1=0, x= −
1 . 2
№ 914. 1) y′=4x–20 y′=0 при х=5 – стационарная точка. При переходе через х=5 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. х=5 – точка минимума 2) y′=6x+36 y′=0 при х= –6 При переходе через х= –6 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. Следовательно х= –6 – точка минимума
–
+ 5
–
x
+ –6
x 49
1 5 1 5 , y′=0, , x≠0, x2=25, x=±5. − = 5 x2 5 x2 При переходе через точку х= –5 у′ меняет знак с ‘+’ на’ ‘ , значит х= –5 – точка максимума, а через х=5 - с’–‘ на ‘+’, значит х=5 - точка минимума.
3) y′=
+
–
+
– 5
0
–5
x
4
1 1 4 4) y′= − 2 + , y′=0, = , x≠0, x2=64, x=±8. 16 16 x 2 x При переходе через точку х= –8 у′ меняет знак с ‘+’ на ’–‘ , значит х= –8 – точка максимума, а через х=8 с’–‘ на ‘+’, значит х=8 - точка минимума. + – + –
8
0
–8
x
№ 915.
1) y′=3x2–6x, y′=0, 3x(x–2)=0 ⇒ x=0, x=2, x=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; у(0)=03–3⋅02, у(2)=23–3⋅22=8–12= –4; – + – 2 0 x 2) y′=4x3–16x, y′=0, 4x(x2–2)=0 ⇒ x=0, x=2, х= –2, x= –2 – точка минимума; х=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; f(–2)=(–2)4–8⋅(–2)2+3=16–32+3= –13, f ′(0)=04–8⋅02+3=3 f ′(2)=24–8⋅22+3=16–32+3= –13; +
–
2
0
–2
+
–
x
3) y′=1+cos x, y′=0, cos x = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z. При переходе через х=π у′ не меняет знак, значит, х=π не является точкой экстремума. +
–
π
−π
+
–
3π
x
4) y′= –2sin x +1, y′=0, sin x = +
x2= 50
+
–
π 6
π 1 ⇒ x1= +2πn, n∈Z; 2 6
5π 6
x
π 5π +2πn, n∈Z; x= +2πn, n∈Z – точка максимума; 6 6
5π +2πn, n∈Z – точка минимума; 6 π π π π y( +2πn)=2cos + +2πn= 3 + +2πn, 6 6 6 6 5π 5π 5π 5π +2πn)=2cos ( +2πn)+ +2πn= – 3 + +2πn, n∈Z. y( 6 6 6 6
x=
№ 916. 1) y′=2, 2≠0 ⇒ нет точек экстремума; 2) y′= –5, –5≠0 ⇒ нет точек экстремума; 3) y′=3x2+2, y′=0 ⇒ 3x2+2=0 x2= − 4) y′=
2 – нет точек экстремума; 3
1 1 1 1 + , y′=0 ⇒ = − 2 x2= –2 – не существует точек экстре2 х2 2 х
мума. (Опечатка в ответе задачника).
№ 917. 1)
№ 918. 1) y′=
1 ⋅ 6x 2 2 − 3x
(
2
1 3x2 − 3
, 2–3x2=0 ⇒ x2=
2 2 ⇒ x=± , y′=0 ⇒ 6x=0 ⇒ x=0; 3 3
) , x –3x=0 ⇒ х(х -3)=0 ⇒ х=0,
3 2 x=± 3 , 2 x − 3x y′=0 ⇒ 3x3–3x=0 ⇒ 3(x2–1)=0 ⇒ x=±1; x >1 ⎧1 , x=1 – точка минимума; 3) y ′= ⎨ x 0 ⎧ 2 , y′ = 0 ⇒ y ′= ⎨ ⎨2 x= − 1 1 x x< + 2 1 0 ⎩ ⎪ x2= − ⎪⎩ 2 x=0 –также является критической точкой.
2) y′=
3
51
№ 919. 1) y′=1–
1 2 3− x
+
, y′=0, x1 7 x −1 y′=0 – нет решений y ′=
2)
3) y′=1–2cos 2x, y′=0, cos 2x= +
+
–
π 6
−π 6
x
π 1 ⇒ 2x=± +2πn, n∈Z; 2 3 π x= +πn, n∈Z; 6 π x= +πn – точки максимума; 6
π +πn – точки минимума; 6 4) y′= –3sin 3x–3,
x= –
y′=0 ⇒ –3(sin 3x+1)=0 ⇒ sin 3x= –1 ⇒ 3x= − +
+
π 6 № 920. 1) y′=
x= − x
x= −
π +2πn, n∈Z 2
π 2πn , n∈Z; + 6 3
π
6
+
− 3(2 − x )2 (3 − x )2 + 2(3 − x)(2 − x)3
(3 − x )4
2πn – стационарная точка. 3 =
(2 − x )2 (3 − x )(−9 + 3x + 4 − 2 x) = (2 − x )2 ( x − 5) (3 − x )4 (3 − x )3 (2 − x )2 ( x − 5) =0 ⇒ x=2, x=5 y′=0, (3 − x )3 =
x=2 – стационарная точка; х=5 – точка максимума;
–
– 2
(2 − 5) (3 − 5)
3
y(5)=
52
=
27 − 27 =− ; 4 4
–
+ 3
5
x
2) y′=
(3x
2
)
(
)
+ 4 x ( x − 1) 2 − x 3 + 2 x 2 ⋅ 2(x − 1)
(x − 1)
4
(x - 1)(3x3 + x2 − 4 x − 2 x3 − 4 x 2 ) = (x − 1)4
=
=
x ≠1
x3 − 3 x 2 − 4 x
,
(x − 1)3
y′=0 x(x2–3x–4)=0, x= –1 – точка минимума; х=0 – точка максимума; х=4 – точка минимума; 0+0 −1 + 2 1 64 + 32 96 32 = , y(0)= = 0, y(4)= = = ; y(–1)= 2 2 4 9 3 32 (−2) ( −1)
+
–
+
1
0
–1 3x
3) y′=e +3(x–1)e
+
–
3x
=e
3x
3x
x
4 3x
(1+3x–3)=e (3x–2),
3x
y′=0, e (3x–2)=0 ⇒ e >0 и 3х – 2 = 0 ⇒ x= x=
2 , 3
1 e2 2 2 – точка минимума, y( )= − ⋅ e 2 = − ; 3 3 3 3 –
+ 2 3
x
4) y′=cos x +cos 2x, y′=0, cos x +cos 2x=0, cos x +cos 2x–sin2x=0, 2cos2x+cos x–1=0, π −1 + 3 1 D=1+8=9, cos x= ⇒ x= ± +2πn, n∈Z, = 4 2 3 −1 − 3 + – – = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z, cos x= 4 x=
π 3
π
+2πn, n∈Z – точка максиму-
ма,
3
π
5 π 3
x=
5π +2πn, n∈Z – точка минимума, 3
y(
3 1 3 3 3 π π 1 2π +2πn)=sin( +2πn)+ sin( +4πn)= + ⋅ = , 3 3 2 3 2 2 2 4
x
5π 5π 1 10π 3 1 3 3 3 +2πn)=sin ( +2πn)+ sin( +4πn)= − − ⋅ =− 3 3 2 3 2 2 2 4 2 2 x 2 − x y' = e 3− x = − e 3− x ; 2 3 − x2 3 − x2
y(
53
x
y ' = 0 при − 3− x 2
3− x
2
e
= 0 , поскольку
x
= 0 , откуда х=0; 3 − x2 При переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак на отрица-
e
> 0 , ищем −
3− x 2
тельный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e 6). y ' =
x
e −1 x
2 e −x
; y '= 0 при
x
e −1 2 ex − x
3− 0
=e
3
;
=0;
e x − 1 = 0; e x = 1; e x = e0 ; x = 0 при переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e0 − 0 = 1 .
№ 921
№ 922
y′ = n(x + 1)n-1 ⋅ e-x – (x + 1)n ⋅ e-x = (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1), y′ = 0, (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1) = 0,
–
+ –1
– n- 1
х
n = 2k, x = -1 – точка минимума, х = n – 1 – точка максимума n = 2k + 1, (x + 1)n-1 = (x + 1)2k+1-1 = (x + 1)2k ≥ 0, x = n – 1 – точка максимума.
§ 51 Применение производной к построению графиков функции № 923
1) область определения: -7 ≤ х ≤ 7, множество значений: -2 ≤ f(x) ≤ 2; 2) y(x) = 0 при х1 = -6, х2 = -4, х3 = 0, х4 = 4, х5 = 6; 3) функция возрастает при -5 < x < -2, 2 < x < 5, функция убывает при -7 < x < -5, -2 < x < 2, 5 < x < 7;
54
4) f(x) > 0 при –7 < x < -6, -4 < x < 0, 4 < x < 6, f(x) < 0 при –6 < x < -4, 0 < x < 4, 6 < x < 7; 5) xmax = -7, xmax = -2, xmax = 5, xmin = -5, xmin = 2.
55
№ 924 1)
2)
№ 925
№ 926
1) у = х3 – 3х2 + 4; 1.область определения – множество R; 2. y′ = 3x2 – 6x; 3. y′ = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2; 4. y′ > 0, x < 0, x > 2 – возрастает; у′ < 0, 0 < x < 2 – убывает; 5. х = 0 – точка max, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «+» на «-». у(0) = 4, х = 2 – точка min, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «-» на «+». у(2) = 8 – 12 + 4 = 0. x x 1; x < -1; x > 1; 5. x = -1 – точка минимума f(-1) = 2 – 3 + 1 = 0, x = 1 – точка максимума f(1) = 2 + 3 – 1 = 4; x x < -1 x = -1 -1 < x < 1 1 -
F’(x)
0
+
0
4
f(x)
x>1 -
0
3) у = -х3 + 4х2 – 4х; 1. область определения – R; 2. y′ = -3x2 + 8x – 4; 3. y′ = 0; 3x2 – 8x + 4 = 0 D = 16 – 12 = 4; 4+2 4−2 2 x1 = = 2 , x2 = = ; 3 3 3
4. y′ > 0; 3x2 – 8x + 4 < 0, y′ < 0; 3x2 – 8x + 4 > 0, x F’(x) f(x)
x
0; x2+4x+3>0, x>-3, x>-1, y′ < 0; x2 + 4x + 3 < 0, -3 < x < -1; x x < -3 -3 -3 < x < -1 -1 x > -1 5. x =
+
F’(x)
0
–
0
0
f(x)
+
-4
5. x = -3 – точка max; f(-3) = -27 + 54 – 27 = 0, x = -1 – точка min; f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4.
№ 927
1) у = х4 + 8х2 – 16
1. область определения – R; 2. y′ = -4x3 + 16x; 3. y′ = 0; -4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = 2, x = -2; 4. y′ > 0; x(x – 2)(x + 2) < 0,
+
–
+
–
-2
0
2
x < -2, 0 < x < 2, y’ < 0 x(x – 2)(x + 2) > 0 -2 < x < 0 и x > 2. X
x < -2
-2
-2<x 0; x(x2 – 1) > 0
+
–
+
–
–1
0
1
-1 < x < 0, x > 1, y′ < 0; x(x2 – 1) < 0 x < -1 0 < x < 1 X x < -1 -1 -1<x 0; x − >0 x 3 > 1 , x > 1; x x3 = −
№ 932
1) у = хе-х 1. Область определения R; 2. y′ = e-x – xe-x = e-x(1 – x); 65
e-x(1 – x) = 0, e-x > 0, x = 1, y′ > 0; 1 – x > 0, x < 1;
3. y′ = 0;
X
x1
y’
+
0
-
1 e
Y
2) y = xex 1. Область определения R; 2. y′ = ex + xex = ex(1 + x); 3. y′ = 0; ex(1 + x) = 0, x = -1; X
x < -1
-1
x > -1
y’
-
0
+
1 e min
Y
-
x = -1 – точка минимума;
2
3) y = e x ; 1. Область определения R: 2
2
2. y ' = 2 xe x ; 3. y′ = 0; 2 xe x = 0 , x = 0; 66
X
x0
y’
-
0
+
Y
1
2
4) y = e− x 1. Область определения – R: 2. y ' = −2 x ⋅ e x
2 2
− 2x ⋅ ex = 0 ,
3. y′ = 0;
x=0
X
x0
y’
+
0
-
Y
1 max
№ 933 x2 x−2 1. Область определения: х ≠ 2 1) y =
2. y ' =
2 x(x − 2 ) − x 2
=
2x 2 − 4x − x 2
(x − 2) (x − 2 ) x(x − 4 ) = 0 , х = 0, 3. y′ = 0 при ( x − 2 )2 2
2
=
x 2 − 4x
(x − 2 )
2
=
x(x − 4 )
( x − 2 )2
х=4
67
1) X
(-∞;0)
0
(0;2)
y’
+
0
-
Y
2
(2;4)
4
(4;+∞)
-
0
+
0
8
max
min
− x 2 + 3x − 1 1 = −x + 3 − ; x x 1. Область определения х ≠ 0; 1 2. y ' = −1 + ; x
2) y =
− x2 +1
3. y′= 0;
x2
= 0 , x = ±1, y = 0; x2 – 3x + 1 = 0, D = 9 – 4 = 5,
X
3± 5 ; 2 (-∞;-1)
-1
(-1;0)
y’
-
0
+
x=
Y
68
0
(0;1)
1
(1;+∞)
+
0
-
5
1
min
max
3) y = 2. =
4 + x − 2x 2
=
4 + x − 2x 2
; 1. Область определения х = 2;
x 2 − 4x + 4 (x − 2 )2 (1 − 4 x )(x 2 − 4 x + 4)− 2(x − 2)(4 + x − 2 x 2 ) = y' = ( x − 2 )4
x − 4 x 2 − 2 + 8x − 8 − 2x + 4 x 2
(x − 2 )
3
3. y′ = 0;
7 x − 10
(x − 2 )
3
=0
=
7 x − 10
(x − 2)3
;
10 ; 7
x=
4. y = 0; 4 + x – 2x2 = 0, 2x2 – x – 4 = 0, D = 1 + 32 = 33, x = X
10 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞; ⎟ 7⎠ ⎝
10 7
⎛ 10 ⎞ ⎜ ;2 ⎟ ⎝ 7 ⎠
y’
+
0
-
Y
2
1± 33 ; 4
(2;+∞) +
33 8 max
№ 934
1) Рассмотрим график функции у = х4 – 4х3 + 20. Его пересечение с у = 0 даст количество действительных корней исходного уравнения 1 Область определения R: 2. y′ = 4x3 – 12x2; 3. y′ = 0; 4x2(x – 3) = 0, x = 0, x = 3 X 0 (0;3) 3 (-∞;0) (3;+∞) y’ Y
-
0 20
-
0
+
-7 min
69
Ответ: два корня. 2) у = 8х3 – 3х4 – 7 = 0 1. Область определения R: 2. y′ = 24x2 – 12x3 3. y′ = 0; 12x2(2 – x) = 0, X 0 (-∞;0) y’
+
x = 0, x = 2 (0;2)
0
Y
+
-7
2
(2;+∞)
0
-
9 max
Ответ: два корня.
№ 935 y=
x3 − 4
;
(x − 1)3
1) Область определения х ≠ 1; 2) y ' =
(
3 x 2 (x − 1)3 − 3(x − 1)2 x 3 − 4
(x − 1)
(
34− x
3) y′ = 0,
2
(x − 1)4
6
3
) = 0 , x = ±2;
− 3 x 2 − 3 x 3 + 12
(x − 1)
4
=
(
3 4 − x2
(x − 1)
4
4) X
(-∞;-2)
-2
(-2;1)
(3;2)
2
(2;+∞)
y’
-
0
+
+
0
-
4 9 min
Y
3
5) y = 0,
x = 4,
3
6)
x −4
(x − 1)
3
=
)
4 max
3
x = 4 , x = 0, y = 4;
(x − 1)3 + 3x 2 − 3x − 3 = 1 + 3x 2 − 3x − 3 , (x − 1)3 (x − 1)3
x → ∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0 а справа растет от -∞ 70
) = 3x
y(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞,
7) Рассмотрим график; 4 4 имеем один корень; c = два корня; c< 9 9 4 < c < 1 три корня; с = 1 два корня; 1 < c < 4 три корня; 9 с = 4 два корня; с > 4 один корень.
§ 52 Наибольшее и наименьшее значения функции № 936 а) хэкстр = -3; 0 б) хэкстр = 0 в) хэкстр = -2; 2 г) хэкстр = -2; 1
унаиб = 2 унаиб = 3 унаиб = 3 унаиб = 4
унаим = -3 унаим = -3 унаим = -3 унаим = -2
№ 937
1) у = 2х3 + 3х2 – 36х на [-4; 3]; 1. у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64, y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27; 2. y′ = 6x2 + 6x – 36, y′ = 0; x2 + x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25, −1 + 5 −1 − 5 x1 = = 2 , x2 = = −3 ; 2 2 3. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81, y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44, max y (x ) = y (− 3) = 81 , min y (x ) = y (2 ) = −44 ;
[− 4;3]
[ −4;3]
2) на [-2; 1]; а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31; б) 2 ∉ [-2; 1], -3 ∉ [-2; 1], значит max f (x ) = 68 , min f (x ) = −31 .
[− 2;1]
[− 2;1]
№ 938
1) f(x) = x4 – 8x2 + 5 на [-3; 2]; 1. f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11; 2. f’(x) = 4x3 – 16x, f’(x) = 0; 4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = ±2; 3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11, 71
max f (−3) = 14 , min f (x ) = f (2 ) = f (−2) = −11 ;
[−3;2]
[−3;2]
1⎤ 1 ⎡ 2) f (x ) = x + , ⎢− 2;− ⎥ ; 2⎦ x ⎣ 1. f (− 2 ) = −2 −
1 5 1 5 ⎛ 1⎞ = − , f ⎜− ⎟ = − − 2 = − ; 2 2 2 2 ⎝ 2⎠
1
2. f ' (x ) = 1 −
x2 1⎤ ⎡ 3. − 1 ∈ ⎢− 2;− ⎥ 2⎦ ⎣
, f’(x) = 0, x2 – 1 = 0,
x = ±1;
1⎤ ⎡ 1 ∉ ⎢− 2;− ⎥ , f(-1) = -1 – 1 = -2, 2⎦ ⎣
max f (x ) = f (− 1) = −2 ,
1⎤ ⎡ ⎢ − 2; − 2 ⎥ ⎣ ⎦
1 ⎛ 1⎞ min f (x ) = f (− 2 ) = f ⎜ − ⎟ = −2 ; 2 ⎝ 2⎠
1⎤ ⎡ ⎢ − 2;− 2 ⎥ ⎣ ⎦
⎡ 3π ⎤ ⎢π; 2 ⎥ ; ⎦ ⎣
3) f(x) = sinx + cosx
3π 3π ⎛ 3π ⎞ + cos = −1 + 0 = −1 ; 1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, f ⎜ ⎟ = sin 2 2 2 ⎝ ⎠ 2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0, π 1 – tgx = 0, tgx = 1, x = + πn, n ∈ Z ; 4 3.
5π 5π 2 2 5π ⎡ 3π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + cos =− − =− 2, ∈ π; ⎟ , f ⎜ ⎟ = sin 4 ⎢⎣ 2 ⎠ 4 4 2 2 ⎝ 4 ⎠
⎛ 3π ⎞ max f (x ) = f (π ) = f ⎜ ⎟ = −1 , ⎝ 2 ⎠
⎡ 3π ⎤ ⎢ π; 2 ⎥ ⎦ ⎣
⎛ 5π ⎞ min f (x ) = f ⎜ ⎟ = − 2 . ⎝ 4 ⎠
⎡ 3π ⎤ ⎢ π; 2 ⎥ ⎣ ⎦
№ 939 1) f (x ) = x 2 +
16 x2
, х > 0;
1. Область определения: х > 0, f ' (x ) = 2 x − f’(x) = 0;
2 x 4 − 32 x3
= 0 , 2(x4 – 16) = 0,
32 x3
,
x = ±2;
2 ∈ (0; +∞) -2 ∉ (0;+∞), x = 2 – точка минимума, f (2) = 4 + +
– 2
72
х
16 =8; 4
2) f (x ) =
2 − x 2 , x < 0. Область определения x < 0; x
1. f ' ( x ) = −
(
)
2 − 2 1 + x3 − 2 x , f’(x) = 0, = 0 , x3 = -1, x = -1, 2 x x2
-1 ∈ (-∞; 0) +
– х
-1
f (− 1) = −
2 − 1 = −3 , x = -1 – точка максимума, 1
max f (x ) = f (−1) = −3 .
(−∞;0 )
№ 940 Пусть одно число х, тогда второе (50 – х). Надо найти наименьшее значение суммы их кубов, т.е.: f(x) = x3 + (50 – x)3, f’(x) = 3x2 – 3(50 – x)2 = 3x2 – 7500 + 300x – 3x2 = 300x – 7500, f’(x) = 0, 300x – 7500 = 0 ⇒ x = 25, –
+
х
25
x = 25 – точка минимума, х = 25; (50 – х) = 25, 50 = 25 + 25.
№ 941 ⎛ 625 ⎞ Пусть одно число х, тогда второе ⎜ ⎟ , но числа эти такие, что сумма ⎝ x ⎠ их квадратов наименьшая 2
⎛ 625 ⎞ f (x ) = x 2 + ⎜ ⎟ , x < 0, ⎝ x ⎠ f ' (x ) = 2 x −
2 ⋅ 625 2
,
f ' (x ) = 0; 2 x −
2 ⋅ 6252 3
= 0,
x x3 4 2 2х – 2 ⋅ 625 =0, x = ±25, x = 25 ∈ (0; + ∞), x = -25 ∉ (0; +∞), –
+
25
х
x = 25 – точка минимума, значит х = 25,
625 = 25 . x
Ответ: 625 = 25 ⋅ 25
№ 942 Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда p = 2(a + b). Положим, а = х, тогда x > 0 p p b = −a = −x. 2 2
а b
73
Площадь этого прямоугольника находим как: ⎞ ⎛p S = f (x ) = a ⋅ b = x ⋅ ⎜ − x ⎟ – найдем max этой функции. ⎝2 ⎠ p p p − 4x p f ' (x ) = − x − x = − 2 x , f’(x) = 0; =0 x= , 2 4 2 2 –
+
х
p 4
p – точка max, значит, прямоугольник имеет стороны 4 p p p — это квадрат. b= − = 2 4 4
точка x = a=
p 4
№ 943
Пусть стороны прямоугольника равны a и b. S = 9 = a ⋅ b. 9⎞ 9 ⎛ Пусть а = х, тогда b = , p = f (x ) = 2(a + b ) = 2⎜ x + ⎟ x⎠ x ⎝
x > 0.
⎛ 9 ⎞ ⎟, Найдем минимум этой функции f ' (x ) = 2⎜⎜1 − 2 ⎟ ⎝ x ⎠ 2
f′(x) = 0; –
3 ∈ (0; +∞)
(x
2
x
−9 2
)= 0,
x = ±3, +
3 -3 ∉ (0; +∞)
9 = 3. 3 Ответ: Это квадрат со стороной 3. х = 3 – точка min; a = 3, b =
№ 944 1 1 ⎡1 ⎤ ⎛1⎞ 1) f(x) = lnx – x, ⎢ ;3⎥ , х > 0; 1. f ⎜ ⎟ = ln − < 0 , f(3) = ln3 – 3 < 0; 2 2 ⎣2 ⎦ ⎝2⎠ 1 1− x ⎡1 ⎤ 2. f ' (x ) = − 1 , f′(x) = 0; = 0 , x = 1; 3. 1 ∈ ⎢ ;3⎥ , f(1) = ln1 –1=-1. x x ⎣2 ⎦
⎛1⎞ ⎝ 2⎠
Выясним, что больше. Допустим, f ⎜ ⎟ > f (3) 5
− 1 1 1 5 1 1 1 − > ln 3 − 3 , ln − ln 3 > − , ln > ln e 2 ⇒ > 5 2 2 2 2 6 6 e 2 е5/2 > 6 – что верно
ln
74
Допустим f(3) < f(1), т.е. ln3 – 3 > -1, ln3 > 2, 3 > e2 – не верно, значит f(1) > f(3).
ln3 > lne2, 1
− 1 1 1 ⎛1⎞ Допустим f ⎜ ⎟ > f (1) , т.е. ln − > −1 , ln > ln e 2 , 2 2 2 ⎝2⎠
1 1 > , 2 e
⎛1⎞ e > 2 , е > 4 – не верно, значит f (1) > f ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ Итак, max f (x ) = f (1) = −1 , min f (x ) = f (3) = ln 3 − 3 ; ⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;3⎥ ⎣ ⎦
⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;3⎥ ⎣ ⎦
2) f(x) = x + e-x, [-1; 2]; 1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, f (2) = 2 +
1
>2; e2 2. f′(x) = 1 – e-x, f′(x) = 0; 1 – e-x = 0, e-x = 1 = e0, x = 0, f(0) = 0 + e0 = 1, 1 max f (x ) = f (2 ) = 2 + , min f (x ) = f (0) = 1 ; [−1;2] e 2 [−1;2] f(-1 )
f(0 ) 1
f(2 ) 2
3) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π]; 1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3; 2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0, 1 π sinx = 0, x = πn, n ∈ Z, cos x = + x = ± + 2πn, n ∈ Z ; 2 3 π 3. 0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π], ∈ [0; π] , 3 π 2π 1 3 ⎛π⎞ f ⎜ ⎟ = 2 cos − cos = +1 + = + , 3 3 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎛π⎞ 3 max f (x ) = f ⎜ ⎟ = , min f (x ) = f (π ) = −3 . [0;π] ⎝ 3 ⎠ 2 [0;π]
№ 945
1) f (x ) = 3 x − x x , x > 0; 3 3 − ⋅ x, 1. f ' (x ) = 2 x 2
f′(x) = 0;
⎞ 3 ⎛⎜ 1 − x⎟=0 ⎟ ⎜ 2⎝ x ⎠
x
=0, x=1
–
+ 0
1− x
1
x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2; 75
2. f (x ) = 3x − 2 x x , x > 0, f ' (x ) = 3 − 3 x ,
(
)
f′(x) = 0; 3 1 − x = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1, точка max. 3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1.
+
–
1
№ 946
1) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3, f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0, x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1), f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1; –
+
0
1 1 x −1 1 + , f′(x) = 0, =0, 2) f (x ) = + ln x на (0; 2), f ' (x ) = − 2 x x x2 x 1 x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), f (1) = + ln 1 = 1 . 1 +
– 1
№ 947
1) f (x ) = x 4 5 − x на (0; 5), x ⋅ (−1) 4(5 − x ) − x 20 − 5 x f ' (x ) = 4 5 − x + = = , 3 3 4 4 4 4 (5 − x ) 4 (5 − x ) 4 (5 − x )3 f′(x) = 0,
20 − 5 x 4 (5 − x )3 4
f (4 ) = 4 ⋅ 4 5 − 4 = 4 ; +
= 0 , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5),
–
4
2) f (x ) = x 4 − x , (0; 4), f ' (x ) = 3 4 − x +
x ⋅ (−1)
3
f′(x) = 0,
12 − 4 x 3 (4 − x )2 3
f (3) = 3 ⋅ 3 4 − 3 = 3 ;
+
3 76
3 (4 − x ) 3
2
=
12 − 4 x 3 (4 − x )2 3
= 0 , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4),
– x
,
3) f (x ) = 3 x 2 (1 − x ) , (0; 1), f ' (x ) =
(
)=
1 2 x(1 − x ) + x 2 ⋅ (− 1)
2 x − 3x 2
3 x (1 − x )
3 x (1 − x )
4
3
2
2 − 3x
f′(x) = 0,
3 x (1 − x ) 4
3
2
=0,
3
4
x=
2 , 3
2
x=
=
2 − 3x 3 x 4 (1 − x )2 3
2 2 – точка max, ∈ (0;1) , 3 3
4 1 34 ⎛2⎞ f⎜ ⎟=3 ⋅ = ; 9 3 3 ⎝3⎠ + – 3
x
4) f (x ) = x 2 − 4 x + 5 , (-1; 5),
f ' (x ) =
3
1 ⋅ (2 x − 4 )
(
3 x 2 − 4x + 5 f′ (x) = 0; 3
(
2x − 4 2
3 x − 4x + 5 f (2) = 4 − 8 + 5 = 1 .
)
2
=0,
)
2
,
x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5),
3
–
+
2
x
№ 948 Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х. Запишем в таком случае объем f(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2x – 4a2x + 4x3 f′(x) = a2 – 8ax + 12x2; f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2, 4 a + 2a a 4a − 2 a a x1 = = , x2 = = , 12 2 12 6 a ⎛a⎞ f ⎜ ⎟ = (a − a )(a − a ) ⋅ = 0 , 2 ⎝2⎠ a ⎞⎛ a⎞ a 4 a 2a 3 ⎛a⎞ ⎛ f ⎜ ⎟ = ⎜ a − ⎟⎜ a − ⎟ ⋅ = a 2 ⋅ = , 3 ⎠⎝ 3⎠ 6 9 6 27 ⎝6⎠ ⎝ ⎛ a ⎞ 2a 3 max f (x ) = f ⎜ ⎟ = . ⎝ 6 ⎠ 27 Ответ: высота коробки должна быть
a . 6 77
№ 949 B
К
Р A
Q
D
C
Пусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x. Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – поAC x + a x+a , значит = , добны с коэффициентом PQ x x AC =
(x + a ) ⋅ PQ = (x + a ) ⋅ a . x
x
Площадь:
1 1 (x + a )a (x + a )2 ⋅ a , AC ⋅ BD = ⋅ (a + x ) = 2 2 x 2x
f ' (x ) =
2 ⎛ a2 ⎞ 2 ⎛ a2 ⋅ ⎜⎜ x + 2a + ⎟' = ⎜ 1 − 2 a ⎝ x ⎟⎠ a ⎜⎝ x
f′(x) = 0; f (a ) =
2 ⎛⎜ x 2 − a 2 a ⎜⎝ x 2
⎞ ⎟⎟ , ⎠
⎞ ⎟ = 0 , x = ±a, x > 0, x = a, ⎟ ⎠
(a + a )2 ⋅ a = 2a 2 .
2a Ответ: наименьшая площадь при ВК = a.
№ 950
у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит, вершины прямоугольника будут иметь координаты В = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0). Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь: f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2), x ∈ (0; 3), f′(x) = 2(3 – x2) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2), f′(x) = 0; 6(1 – x2) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3), f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4. Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4.
№ 951
Пусть это точка В с координатами (х, х2).
( x − x A )2 + ( y − y B ) 2
Тогда расстояние до точки А: ρ = f (x ) =
=
78
(x − 2)2 + ⎛⎜ x 2 − 1 ⎞⎟
x 4 − 4x +
⎝
17 , 4
2⎠
f ' (x ) =
2
= ρ или
= x 2 − 4x + 4 + x 4 − x 2 +
(
1⋅ 4 x 3 − 4 2 x 4 − 4x +
) 17 4
,
1 = 4
4x 3 − 4
f'(x) = 0;
17 2 x − 4x + 4
=0,
4
+
– 1
x
x3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1. Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А.
№ 952 Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 0 ≤ ϕ
0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз 2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12, f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0, – + + -1 1 x при x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз. f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх; 3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex)′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex)′ = = (ex(x2 – x – 1))′ = ex(x2 – x – 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x – 2) f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0,
–
+
+
-2
1
x −1 + 3 −1 − 3 D = 1 + 8 = 9, x1 = = 1 , x2 = = −2 , 2 2 при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх; 6⎞ ⎛ 4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ = ⎜ 6 x − ⎟ , x > 0, x⎠ ⎝
(
)
6(x − 1)(x + 1) 1⎞ x 2 −1 ⎛ >0, >0, f′′(x) > 0, 6⎜ x − ⎟ > 0 , 6 x⎠ x x ⎝ при x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх.
№ 955
1) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π, π π π -cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n ∈ Z , x = − ; ; 2 2 2 2) f′′(x) = (x5 – 80x2)′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160, f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2.
–
+
2
x
При переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба; 3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48 f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, x = 80
2 , 3
–
+ x
2 3
2 знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба 3 1 ⎛ ⎞ 4) f ' ' ( x ) = ⎜ sin x − sin 2 x ⎟' ' = (cos x − cos 2 x )' = 2 ⎝ ⎠ = − sin x + 2 sin 2 x = 2 sin 2 x − sin x , -π < x < π, f′′(x) = 0,
при переходе через x =
sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π),
1 1 , x = ± arccos + 2πn , 4 4 1 x = ± arccos — являются точками перегиба. 4
cos x =
Упражнения к главе IX. № 956
1) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0,
+
–
-1
+ x
0
при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает;
⎛2 3 ⎞ x − x 2 − 4 x + 5 ⎟' = 2 x 2 − 2 x − 4 , ⎝3 ⎠
2) y ' = ⎜
y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9,
x1 =
1+ 3 1− 3 = 2 , x2 = = −1 , 2 2 – + + -1
2
x
при x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0, при –1 < x < 2 – убывает;
3 ⎛3 ⎞ − 1⎟' = − 2 ; х ≠ 0 x ⎝x ⎠
3) y ' = ⎜
y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0;
−2 ⎛ 2 ⎞ ; ⎟' = 2 − 3 x ( − 3) x ⎝ ⎠
4) y ' = ⎜
x ≠ 3,
y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках. 81
№ 957
1) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0; ⎡x = 0 3+5 3−5 ⎢ x 2 − 3 x − 4 = 0 , D = 9 + 16 = 25, x1 = 2 = 4 , x 2 = 2 = −1 , ⎣
x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0; 2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0,
⎡x = 0 1 ⎢4 x 2 − 1 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2 , ⎣ ⎛ x 12 ⎞ 1 12 ; + ⎟' = − ⎝ 3 x ⎠ 3 x2
3) y ' = ⎜
x3 = −
1 . 2
x ≠ 0, y′ = 0,
x 2 − 36 3x 2
=0,
x2 – 36 = 0, x = ±6; 4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0,
⎡ x = πn, n ∈ Z ⎡sin x = 0 ⎢ . ± 2π 1 ⇒ ⎢ + 2πn, n ∈ Z ⎢x = ⎢cos x = − 3 2 ⎣ ⎣
№ 958 1) y′ = (x3 – 4x2)′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 = –
+ 0
+ x
8 3
x = 0 – точка max., x =
8 , 3
8 - точка min.; 3
2) y′ = (3x4 – 4x3) = 12x3 – 12x2, y′ = 0, 12x2(x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, x = 0 – стационарная точка, х = 1 – точка min.
+
–
– 0
x
1
№ 959 ⎛
1) y ' = ⎜ x 5 −
⎝
5 2 ⎞ x + 3 ⎟' = 5 x 4 − 5 x , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 2 ⎠
x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min., 3 5 f (1) = 1 − + 3 = ; 2 2
+
–
0 82
+
1
x
⎛1 5 ⎞ x − 4 x 2 − 3 ⎟' = x 4 − 8 x , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2, ⎝5 ⎠
2) y ' = ⎜
x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min.,
32 63 − 16 − 3 = − . 5 5 + – +
f (2 ) =
0
x
2
№ 960 1) y =
x3 + 3x 2 . 3
Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0, x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точки x
x 2 -
83
№ 961
1) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3], y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1
+
–
x
1 x
0
y′ y
2) y =
(0; 1)
1
(1; 3)
-
0
+
5
3
2
14
1 4 2 3 3 2 x − x − x + 2 на [-2; 4]. 4 3 2
Область определния [-2; 4], y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0,
⎡x = 0 ⎢ x2 − 2 x − 3 = 0 , ⎣ D = 1 + 3 = 4, x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0. x -2 (-2;-1) -1 0 y′ y 16 17
3
0 0 2
12 min
84
(-1;0) +
max
(0;3) -
3 0
−
37 4
min
(3;4) +
4
−
2 3
№ 962
1) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23, f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0 x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9, max f (x ) = f (0 ) = 9 , min f (x ) = f (−2 ) = −23 ;
[− 2;2 ]
[− 2;2 ]
3
2
2) f(x) = x + 6x + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0, f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1, x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4, f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0, min f (x ) = f (− 4 ) = f (− 1) = −4 , max f (x ) = f (− 3) = f (0 ) = 0 ;
[− 4;0 ]
[− 4;0 ]
3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227, f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3], f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3, min f (x ) = f (−1) = f (1) = 2 , max f (x ) = f (− 4 ) = 227 ;
[− 4;3]
[− 4;3]
4) f(x) = x4 – 8x2 + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2], f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11, min f (x ) = f (−2 ) = f (2 ) = −11 , max f (x ) = f (− 3) = 14 .
[−3;2 ]
[−3;2 ]
№ 963 Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна ⎛p ⎞ ⎜ − x⎟ . 2 ⎝ ⎠ 2
⎛p ⎞ Тогда диагональ вычислим как: l = f (x ) = x 2 + ⎜ − x ⎟ . 2 ⎝ ⎠ Исследуем эту функцию на min ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p2 p2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ′( x) = ⎜ x 2 + − px + x 2 ⎟ = ⎜ 2 x 2 + − px ⎟ = 4 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 85
1 ⋅ (4 x − p)
4x − p
= 0 , 4х – p = 0, p2 p 2 2 2x + − px 2 2x + − px 4 4 p p p p p , вторая сторона x= − x = − = – значит, это квадрат со сто4 2 2 4 4 роной р/4, ч.т.д. =
2
, f ′(х) = 0,
2
№ 964
Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание (р–2х), тогда высота равна: 2
p2 ⎛p ⎞ h = x2 − ⎜ − x ⎟ = x2 − + px − x 2 = 4 ⎝2 ⎠ тогда площадь вычислим как:
− p 2 + 4 px , 2
− p 2 + 4 px ( p − 2 x) − p 2 + 4 px 1 , S ( x) ⋅ ⋅ ( p − 2 x) ⋅ = 2 2 4 ⎛ ⎞ 1⎜ ( p − 2 x) ⋅ 4 p ⎟ = S ′( x) = ⎜ − 2 − p 2 + 4 px + 2 ⎟ 4⎜ ⎟ − 2 4 px p ⎝ ⎠ =
1 8 4 px − p 2
S ′(х) = 0,
(+ 4 p
2
)
− 16 px + 4 p 2 − 8 xp =
4 p ( p − 3 x) 2 4 px − p
2
=0, х=
4 p 2 − 12 xp 4 4 px − p 2
,
p p , х= – точка max., 3 3
2p p = . 3 3 Это равносторонний треугольник.
основание p − 2 x = p −
№ 965
Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхности
равна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h =
300 − x 2 . 2x
Найдем объем: V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅
x3 300 − x 2 = 150х – . 2x 2
Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 –
3 2 x , 2
3 2 x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию), 2 300 − 100 h= = 10 , значит это куб. 20
f ′(х) = 0,
86
№ 966
′ 7 ⎛9 ⎞ y′ = ⎜ x5 − x3 + 7 x + 12,5 ⎟ = 9 x 4 − 7 x 2 + 7 , 3 ⎝5 ⎠ 4 у′ = 0, 9х – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 и у′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.
№ 967 у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к. x > 0, следовательно у′ > 0 при любых х ∈ R, и значит, функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.
№ 968
1) у′ = (х lnx) = lnx + 1, у′ = 0, lnx + 1 = 0, lnx = –1, lnx = lnе–1, 1 х = – точка min; e 2) у′ = (хех)′ = ех + хех = ех (1 + х), у′ = 0, ех (1 + х) = 0, х = –1, х = –1 – точка min. –
+
x
–1
′ ′ ′ 9 ⎞ ⎛ 75 − 25 x − 63 + 9 x ⎞ ⎛ 12 − 16 x ⎞ ⎛ 25 ⎟⎟ = ⎜⎜ − 3) y′ = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ = ⎝ 7 − x 3 − x ⎠ ⎝ (7 − x)(3 − x) ⎠ ⎝ x 2 − 10 x + 21 ⎠
= =
− 16( x 2 − 10 x + 21) − (12 − 16 x)(2 x − 10)
(x
2
)
− 10 x + 21
2
=
16 x 2 + 160 x − 336 − 24 x + 120 + 32 x 2 − 160 x
(x
2
)
− 10 x + 21
2
=
16 x 2 − 24 x − 216
(x
2
)
− 10 x + 21
2
,
(2 x 2 − 3x − 27)
= 0 ; х2 – 10х + 21 ≠ 0 ⇒ (х – 3) (х – 7) = 0 x 2 − 10 x + 21 ⇒ х ≠ 3, х ≠ 7, 2х2 – 3х – 27 = 0, D = 9 + 216 = 225,
у′ = 0,
x1 =
3 − 15 3 + 15 9 = , x2 = = −3 , 4 2 4
x = −3 точка max., x =
+
+
– –3
9 2
9 точка min. 2
x
87
№ 969 рис 148 а) 1) возрастает х ∈ (х3, х5) U (х7, х8); убывает х ∈ (х1, х3) U (х5, х7); 2) хmax = х1, х5; хmin = х3, х7; 3) х2, х4, х6, х8; рис 148 б) 1) возрастает х ∈ (–10, –8) U (–4, –2) U (0, 4) U (6, 7); убывает х ∈ (–8, –4) U (–2, 0) U (4, 6); 2) хmax = –8; –2; 4; хmin = –4; 0; 6; 3) –10; –6; –3; –1; 2; 5; 7.
№ 970 1) y =
2 x2 − 4
а) Область определения х ≠ ± 2 ′ 2x ⎛ 2 ⎞ б) у′ = ⎜⎜ 2 , у′ = 0, ⎟⎟ = − 2 ( x − 4)2 ⎝ x −4⎠
x y′
–2
(–∞; –2) +
∃ ∃
у
2) y =
(–2; 0) +
0 0 1 − 2 max
−
2x 2
( x − 4) 2 (0; 2) –
2
x +4 а) Область определения R: −2 ⋅ 2 x −4 x = ; б) y ′( x) = 2 2 2 ( x + 4) ( x + 4) 2 −4 x в) у′(х) = 0, = 0 , х = 0; 2 ( x + 4) 2
у 88
(–∞; –0) +
0 0 1 2 max
2
∃ ∃
2
x y′
= 0;
(0; +∞) –
x = 0; (2; +∞) –
3) у = (х – 1)2 (х + 2) а) Область определения R: б) у′ = (х) = 2 (х – 1)(х + 2) + (х – 1)2 = (х – 1)(2х + 4 + х – 1) = = (х – 1)(3х + 3) = 3 (х – 1)(х + 1); в) у′ = 0, 3 ⋅ (х – 1)(х + 1) = 0, х1 = 1, х2 = –1. x y′
(–∞; –1) +
у
–1 0 4 max
(–1; 1) –
1 0 0 min
(1; +∞) +
4) у = х(х – 1)3 а) Область определения: R б) у′ = (х – 1)3 + 3х (х – 1)2 = (х – 1)2 (х – 1 + 3х) = (х – 1)2 (4х – 1) 1 в) у′ = 0, (х – 1)2 ⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 = 4 1 1 1 (–∞; – ) ( ; 1) 1 x (1; +∞) 4 4 4 – 0 + 0 + y′ 27 − у 0 256 min
№ 971 1) f(x) = 2sinx + sin2x; а) Область определения [0;
х∈[0;
3π ]; 2
3π ]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x; 2
89
2cosx+2cos2x=0; 4cos2x+2cosx–2 = 0, 2cos2x + cosx – 1 = 0; −1 + 3 1 π D = 1 + 8 = 9; cosx = , x = ± + 2πn , n ∈ Z; 4 2 3 −1 − 3 cosx = −1 , х = π + 2nπ, n ∈ Z, 4 3π ⎛ 3π ⎞ + sin3π = –2 + 0 = –2, f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f ⎜ ⎟ = 2sin 2 ⎝ 2 ⎠ в) f ′(х)=0,
π 2π 3 3 3 ⎛π⎞ = 3+ = f ⎜ ⎟ = 2sin + sin , 3 3 2 2 ⎝3⎠ f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0,
⎛ 3π ⎞ min ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = −2; ⎝ 2 ⎠
⎛π⎞ 3 3 max ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = ; 2 ⎝3⎠
⎡ 3π ⎤ ⎢0 ; 2 ⎥ ⎣ ⎦
⎡ 3π ⎤ ⎢ 0; 2 ⎥ ⎣ ⎦
2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x, D = 1 + 8 = 9, f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2x) = 0, 2sin2x + sinx –1 = 0,
−1+ 3 1 5π π ⎡ n π ⎢sin x = 4 = 2 x = (− 1) 6 + πn , n ∈ Z ; 6 ∈ [0; π], 6 ∈ [0; π] ⎢ ⎢sin x = − 1 − 3 = −1 x = − π + 2πn , n ∈ Z ; − π ∉ [0; π] 4 2 2 ⎣⎢ б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2, π π 3 3 3 ⎛π⎞ = f ⎜ ⎟ = 2cos + sin = 3 + , 6 3 2 2 ⎝6⎠ 5π 3 3 3 ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ =− 3− =− f ⎜ ⎟ = 2cos⎜ ⎟ + sin , 3 2 2 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
3 3 ⎛ 5π ⎞ min ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = − ; [0; π ] 6 2 ⎝ ⎠
⎛π⎞ 3 3 max( f (x )) = f ⎜ ⎟ = . [0; π ] 2 ⎝6⎠
№ 972
1) v(t) = s′(t) = (6t2 – t3)′ = 12t – 3t2 2) найдем наибольшее значение v(t) v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max., v(2) = 24 – 12 = 12.
№ 973
Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда АВ =
(l − x) 2 − x 2 =
l 2 − 2 xl ,
1 x ⋅ l 2 − 2 xl . 2 Найдем наибольшее значение SABC. S ABC =
90
S ′( x) =
1 ⎛⎜ 2 1 ⋅ ( −2l ) x l − 2 xl + ⎜ 2 2 l 2 − 2 xl ⎝
S′(х) = 0,
АС = l –
l 2 − 3lx 2
2 l − 2 xl
= 0, х =
l 2l = , АВ = 3 3
⎞ l 2 − 2 xl − lx l 2 − 3lx ⎟= , = ⎟ 2 2 l 2 − 2 xl ⎠ 2 l − 2 xl
l l , х = – точка max., 3 3
4l 2 l 2 3l − = . 9 9 3
№ 974 Пусть АС = х, тогда СВ = 40 – х. Тогда площадь найдем по формуле: 1 1 x2 AC ⋅ CB = x(40 − x ) = 20 x − 2 2 2 Исследуем S(х) на max. S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20, СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. S (x ) =
№ 975 Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα , и АС =
x 2 + y 2 − 2 xycos(π - α ) =
= x 2 + y 2 + 2 xycosα AC + BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα + x 2 + y 2 + 2 xycosα = a a 2 = x 2 + y 2 − 2 xy cos α + x 2 + y 2 + 2 xy cos α − 2
(x
2
)
2
+ y 2 − 4 x 2 y cos 2 α
a4 – 4(x2 + y2)a2 + 4(x2 + y2)2 = 4(x2 + y2)2 – 16x2y2cos2α, a4 – 4(x2 + y2)a2 + 16x2y2cos2α = 0, 4(x2 + y2) = a2 + 16 2
2
x 2 y 2 cos 2 α a2
.
Величина 2(x + y ) зависит от параметра α. min 4(x2 + y2) = a2 при cos2α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2 + y2) =
a2 . 2
№ 976 Пусть АВ = х, тогда АD = 2 R 2 − x 2 , S = AD ⋅ AB = 2 x R 2 − x 2 = 2 x R 2 x 2 − x 4 . Исследуем S на max при x∈[0; R]. S′ =
(
2 2R 2 x − 4 x 3 2 R2x2 − x4
);
S′ = 0,
2R 2 x − 4x 3 R2 x2 − x4
=0, 91
⎡x = 0 ⎡x = 0 R ⎢ 2 ⇒ ⎢ R , − ∉[0; R], R ⎢ x2 = ⎢x = ± 2 ⎢⎣ 2 2 ⎣ R x = 0 – точка min., x = – точка max., 2
2x(R2 – 2x2) = 0;
AD = 2 R 2 −
R R2 R = 2⋅ = 2R , S = ⋅ 2R = R 2 . 2 2 2
№ 977 1 h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за3 висит только от площади основания. Найдем ее max.
Объем пирамиды V =
Пусть один катет основания х, тогда другой 16 − x 2 . Тогда площадь 1 1 х ∈ [0; 4] S (x ) = x ⋅ 16 − x 2 = 16 x 2 − x 4 ; 2 2 S ′(x ) =
(
1 32 x − 4 x 3
)=
8x − x 3
4 16 x 2 − x 4
8 x − x3 2
16 x − x
4
16 x 2 − x 4
;
= 0 , x(8 – x2) = 0, x = 0,
S′ (х) = 0, x = ± 2 2 , − 2 2 ∉ [0; 4],
( )
x = 0 – точка min., x = 2 2 – точка max., S 2 2 = V=
1 8 16 ⋅ 8 − 64 = = 4 , 2 2
1 ⋅ 12 ⋅ 4 = 16. 3
№ 978
Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота ⎛R ⎞ h = ⎜ − 2 x ⎟ . Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2. х ∈[0; p], 2 ⎝ ⎠ pπx 2 − 4πx3 ⎛p ⎞ . V (x ) = ⎜ − 2 x ⎟ ⋅ π ⋅ x 2 = 2 ⎝2 ⎠ 1 Исследуем V(х) на max. V′(х) = (2рπх – 12πх2) = рπх – 6πх2 2 V′(х) = 0, хπ(р – 6х) = 0, x = 0 – точка min., x = ⎛ p⎞ V⎜ ⎟ = ⎝6⎠
92
pπ ⋅
p ⎡ xπ = 0 ⎢⎣ p − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 6
p – точка max., 6
p2 p3 − 4⋅π 3 36 216 = π 6 p3 − 4 p 3 = πp . 2 2 ⋅ 216 216
(
)
№ 979 AD 5 AD AB = ; = = k , AD = 5k, AB = 2k, 5 2 AB 2 S пов = AD ⋅ AB + 2 S AA1B1B + 2 S AA1D1D = 2 S − 10k 2 , 14k
= 10k2 + 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 =
(
)
2S − 10k 2 5 = 2Sk − 10k 3 . 14k 7 5 Исследуем V на max., V′ = (2S – 30k2); 7 V = 10k 2 ⋅
5 (2S – 30k2) = 0, 7
V′ = 0,
S S S 5⋅ S ; AD = , k= – точка max, k= = 15 15 15 15
k=±
S 5 . S , AB=2⋅ 3 15
№ 980 y=
x 2 − 3x + 2
x 2 + 3x + 2 а) Область определения: х2 + 3х + 2 ≠ 0; D = 9 – 8 = 1, −3 + 1 −3 − 1 x≠ = −1 , x ≠ = −2 ; 2 2
б) y′ = =
(2 x − 3)(x 2 + 3x + 2)− (x 2 − 3x + 2)(2 x + 3) =
(x
2
+ 3x + 2
)
2
2 x3 + 6 x 2 + 4 x − 3 x 2 − 9 x − 6 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 x − 3x 2 + 9 x − 6
(x + 3x + 2) 6(x − 2) 12 x − 6 x − 12 , = =+ (x + 3x + 2) (x + 3x + 2) 6(x − 2 ) y′ = 0, = 0 , х – 2 = 0, (x + 3x + 2) 2
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
(–∞; –2)
–2
y′
+
∃
у
2
2
∃
(–2; – 2) +
х=± 2 ,
– 2
(– 2 ; –1)
–1
0
–
∃
max
∃
(–1; 2) –
2
( 2; +∞)
0
+
min
x = – 2 – точка min., x = 2 – точка max.
93
№ 981
(
)
1) y = x 2 − 1 x + 1 ;
а) Область определения х > 1. б) y′ = 2 x x + 1 + в) y′ = 0,
(x − 1) = 4 x 2
+ 4 x + x2 − 1
2 x +1
5x2 + 4 x − 1 2 x +1
D/4 = 4 + 5 = 9;
2
–1
y′
∃
у
0
5x2 + 4 x − 1 2 x +1
= 0 , 5х2 + 4х – 1 = 0,
х1 =
x
2 x +1
=
−2 + 3 1 = , 5 5 1 (–1; ) 5 –
−2 − 3 = −1 5 1 1 ( ; +∞) 5 5 0 +
х=
24 30 125 min
2) y =| x | ⋅3 1 + 3 x ; а) D (у) =R; б) у = 0 при х = 0, х = − в) y ′ = (| x |)′ 3 1 + 3 x + х>0 y′ = 0, х 0. Не подходит. 4
(− x ) 3
1 ; 3
(1 + 3x )
2
=−
x= −
1 + 4x 3
(1 + 3x )2
,
1 – точка max. 4
;
x
(–∞; −
y′
+
у
1 ) 4
1 4 0 1
−
(−
1 ; 0) 4 –
4 4 max
3) y = х2е–х а) Область определения: R б) у′ = 2хе–х – х2е–х = е–х (2х – х2) в) у′ = 0, е–х (2х – х2) = 0, х = 0; х = 2 x 0 (0; 2) (–∞; 0) – 0 + y′ у
0 min
4) y = х3е–х а) D(y) =R б) у′ = 3х2е–х – х3е–х = е–х (3х2 – х3) х=3 в) у′ = 0, е–х ⋅ х2(3 – х) = 0, х = 0, x 0 (0; 3) (–∞; 0) + 0 + y′ у
0
0
(0; +∞)
∃
+
0 min
2 0 4
(2; +∞) –
e2 max
3 0 27
(3; +∞) –
e3 max
95
№ 982 Запишем II закон Ньютона для груза:
F cos α = k (mg − F ⋅ sin α )
F (α ) =
mg ; cos α + k sin α
Найдем min F(α): F ′(α ) =
−mg
(cos α + k sin α )2
⋅ (− sin α + k cos α )
F ′(α ) = 0, − sin α + k cos α = 0, k cos α = sin α, tgα = k , α = arctgk Ответ: α = arctgk .
96
X глава. § 54 Первообразная № 983 1) F′(х) =
6x 5 = х5 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R; 6
2) F′(х) =
5x 4 + 0 = х4 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R. 5
№ 984 1) F′(х) =
2 ⋅ (−1) 2
=−
2
= f (x ) ; 2) F′(х) = 0 +
2
x x F(х) является первообр. f(х) при х > 0.
1 2 x
=
1 2 x
= f (x ) ;
№ 985
′ ⎛ x5 ⎞ x5 4 ⎟ ⎜ 1) - первообр. х , т.к. = x 4 , значит, все первообразные имеют ⎜ 5 ⎟ 5 ⎝ ⎠
вид F(х) =
x5 + C; 5
2) F(х) =
4x 3 x4 – первообр., т.к. F′(х) = = х3 = f(х). 4 4
Общий вид: F(х) = 3) F(х) = −
x4 + С. 4
− 2 x −3 x −2 = х–3 = f(х). – первообр., т.к. F′(х) = −2 2
Общий вид: F(х) = −
x −2 + С. 2
1
1
4) F(х) = 2 ⋅ x 2 – первообр., т.к. F′(х) = 2 ⋅
1
− 1 −2 x = x 2 = f(х). 2
1
Общий вид: F(х) = 2 ⋅ x 2 + С.
№ 986 1) Все первообр. функции f(х) = х находятся по формуле: x2 + С, т.к. F′(х) = f(х). 2 Найдем число С, подставив точку (–1; 3): F(х) =
97
3=
1 + С, 2
С=
x2 5 5 , F(х) = + ; 2 2 2 3
2) Для функции f(х) = x первообр. имеют вид: F(х) =
2 2 x + С. 3
Чтобы найти С, подставим точку (9, 10): 10 =
2 ⋅ 27 + С, 3
3
С = –8, F(х) =
2 2 x – 8. 3
№ 987
′ x x ⎞ 1 3 ⎟ 3 ⎟⎟ = 3 ⋅ 3 e = e = f (x ) – сущ. при х ∈ R; ⎠ 2) F′(х) = (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x = f (x ) – сущ. при х ∈ R.
⎛ x ⎜ 1) F′(х) = ⎜ 3e 3 ⎜ ⎝
№ 988
1) f(х) = 2х5 – 3х2. По таблице интегрирования:
F(х) =
2 ⋅ x 6 3 ⋅ x3 x 6 − = − x3 . 6 3 3
2) f(х) = 5х4 + 2х3, тогда F(х) = 3) f(х) = 4) f(х) =
x4 5 ⋅ x5 2 ⋅ x 4 . + = x5 + 5 4 2
3 ⋅ x −1 3 2 3 + , тогда F(х) = 2 ln x + = 2 ln x − . x x2 x −1 2 x3
−
3 1 2 ⋅ x −2 , тогда F(х) = − 3 ln x = − 2 − 3 ln x . x −2 x
5) f(х) = 6х2 – 4х + 3, тогда F(х) =
6) f(х) = 43 x − 6 x , тогда F(х) =
№ 989
6 x3 4 x 2 3 x − + = 2х3 – 2х2 + 3х. 3 2 1 4 4⋅ x3
4 3
−
3 6⋅ x2
3 2
= 3x3 x − 4 x x .
1) f(х) = 3cos х – 4sin х, тогда F(х) = 3sin х – 4(–cos х) = 3sin х + 4cos х. 2) f(х) = 5sin х + 2cos х, тогда F(х) = 5 ⋅ (–cos х) + 2 ⋅ sin х = 2sin х – 5cos х. 3) f(х) = ех – 2cos x, тогда F(х) = ех – 2sin x. 4) f(х) = 3ех – sin x, тогда F(х) = 3ех – 1 ⋅ (–cos x) = 3ех + cos x. 5) f(х) = 5–е–x +3cos x, тогда F(х) = 5x – (–1) е–x + 3sin x = 5x + е–x + 3sin x 6) f(х) = 1 + 3еx – 4cos x, тогда F(х) = x + 3еx – 4sin x. 2 7) f(х) = 63 x − + 3e x , тогда x
98
4
6⋅ x3 9 F(х) = − 2 ln x + 3e x = x3 x − 2 ln x + 3e3 , x > 0. 4 2 3 4 3 + − 2e− x , тогда 8) f(х) = x x
F(х) =
1 4x 2
1 2
+ 3 ln x − 2 ⋅ (− 1) ⋅ e− x = 8 x + 3 ln x + 2e− x , x > 0.
№ 990 1) f(х) = (х + 1)4, тогда F(х) = 2) f(х) = (х – 2)3, тогда 3) f(х) =
(x + 1)5 . 5
(x − 2)4 F(х) = 4
. 1
2(x − 2 )2 , тогда F(х) = = 4 x−2 , 1 x−2 2
2
х > 2.
2
3 ⋅ ( x + 3) 3 9 3 , тогда F(х) = 4) f(х) = (x + 3)2 . = 3 2 2 x+3 3 1 5) f(х) = + 4 cos (x + 2 ) , тогда F(х) = ln (x – 1) + 4sin (x + 2), x −1 3 6) f(х) = − 2 sin (x − 1) , тогда x−3 F(х) = 3ln (x – 3) – 2(–cos (x – 1)) = 3ln (x – 3) + 2cos (x – 1), x > 3.
3
x > 1.
№ 991
1 (− cos(2 x + 3)) + C = − cos (2 x + 3) + C . 2 2 1 2) f(х) = cos (3х + 4), тогда F(х) = + sin (3x + 4 ) + C . 3 x x 3) f(х) = cos ( – 1), тогда F(х) = 2sin ( – 1) + C. 2 2 x x 4) f(х) = sin ( + 5), тогда F(х) = –4 cos ( + 5) + C. 4 4
1) f(х) = sin (2х + 3), тогда F(х) =
5) f(х) = e
x +1 2
, тогда F(х) = 2 e
x +1 2
+ C.
99
6) f(х) = e3x – 5, тогда F(х) =
1 3x – 5 e + C. 3
1 1 , тогда F(х) = ln x + C. 2x 2 1 1 , тогда F(х) = ln (3x – 1) + C. 8) f(х) = 3x − 1 3
7) f(х) =
№ 992 2x 2 + 3x + C; 2 2 б) 2 = 1 + 3 + С, С = –2, значит F(х) = х + 3х – 2; 1) f(х) = 2х + 3,
М (1; 2); а) F(х) =
x2 – x + C = 2х2 – х + С 2 б) 3 = 2 + 1 + С, С = 0, значит F(х) = 2х2 – х π 1 3) f(х) = sin 2x, М ( ; 5); а) F(х) = – cos 2x + C 2 2 1 1 9 9 1 б) 5 = – ⋅ cos π + С = + С, С = , значит F(х) = – cos 2x 2 2 2 2 2 1 4) f(х) = cos 3x, М (0; 0); а) F(х) = sin 3x + C 3 1 1 б) 0 = sin 0 + С = 0 + С, С = 0, значит F(х) = sin 3x. 3 3 2) f(х) = 4х – 1,
М (–1; 3); а) F(х) = 4 ⋅
№ 993 1) f(x) = e2x – cos 3x, тогда F(х) = x
1 2х 1 е – sin 3x; 2 3 x
2) f(x) = e 4 + sin 2x, тогда F(х) = 4 e 4 –
1 cos 2x; 2
1
2x+ x x 5 2x+ − 5e 3 , тогда F(х) = − 10 cos − e 3 ; 5 2 5
4) f(x) = 3 cos
3x− x x 2 3x− + 2e 2 , тогда F(х) = 21sin + e 2 ; 7 3 7
1
5) f(x) =
x + 4 sin (4 x + 2) , тогда 5 3
F(х) =
100
1
3) f(x) = 2sin
x2 3 5⋅ 2
4 2x x − cos(4 x + 2 ) = − cos(4 x + 2 ) ; 4 3 5
1
4
6) f(x) =
3x + 1
−
3 , тогда 2x − 5
1
3 4 ⋅ (3x + 1)2 3 ⋅ ln (2 x − 5) 8 − = 3x + 1 − ln (2 x − 5) . F(х) = 1 2 3 2 ⋅3 2
№ 994 1) f(x) =
2 x 4 − 4 x3 + x , тогда 3
1 ⎛ 2 x5 4 x 4 x 2 ⎞⎟ − + = F(х) = ⎜ 3 ⎜⎝ 5 4 2 ⎟⎠ 2) f(x) =
1 ⎛⎜ 2 5 x 2 ⎞⎟ x − x4 + ; ⎜ 3⎝ 5 2 ⎟⎠
6 x 3 − 3x + 2 , тогда 5
⎞ 1⎛ 3 3 1 ⎛ 6 x4 3x 2 ⎞ F(х) = ⎜ − + 2 x ⎟ = ⎜ x4 − x2 + 2x ⎟ ; ⎜ ⎟ 5⎝ 2 5⎝ 4 2 2 ⎠ ⎠ 2 2 3) f(x) = x – 3 + 2x – 6x = 2x – 5x – 3, тогда 2 5 2 x3 5 x 2 − − 3 x = x3 − x 2 − 3 x ; 3 2 3 2 4) f(x) = 4x + 6x2 – 6 – 9x = 6x2 – 5x – 6, тогда F(х) =
F(х) =
6 x3 5 x 2 5 − − 6 x = 2 x3 − x 2 − 6 x . 3 2 2
№ 995 5
3
2 2x 2 x 2 4 2 1) f(x) = 2 x x + x , тогда F(х) = + = x x+ x x . 5 3 5 3 2 2
2) f(x) = 3x3 x − 23 x , тогда F(х) =
7 3x 3
7 3
−
5
=
9 23 3 x x − x3 x . 7 2
2
x 3 4x 3 3 3 2 3 , тогда F(х) = + = x x + 6 x2 ; 2 5 5 x 3 3
3
3
4) f(x) = x −
4 3
4
3
3) f(x) = x 2 +
4 2x 3
1
x 2 3x 2 2 − = x x −6 x . , тогда F(х) = 1 3 3 x 2 2
3
101
№ 996 1) f(x) =
1 1 sin 2x, тогда F(х) = – cos 2x; 2 4
2) f(x) = sin (x –3x) = –sin 2x, тогда F(х) =
1 cos 2x. 2
№ 997 x ⎛π⎞ , F⎜ ⎟ = 0 2 ⎝3⎠ 2 x тогда F(х) = − cos 5 x + 6 sin + C 5 2 2 5π π 2 1 1 1 14 , 0 = − cos + 6 sin + C = − ⋅ + 6 ⋅ + C = − + 3 + C , C = − 5 3 6 5 2 2 5 5 2 x 14 F(х) = − cos 5 x + 6 sin − . 5 2 5
у = f(x) = 2sin 5x + 3cos
№ 998 3 , тогда F(х) = х + 3 ln (х – 3); x−3 x −1 1 = 2) f(x) = , х ≠ 1, х ≠ –2; тогда F(х) = ln (х + 2); (x + 2)(x − 1) x + 2 1 + cos 2 x 2 x + sin 2 x 1 1 , тогда F(х) = (х + sin 2х) = ; 3) f(x) = cos 2 x = 2 2 2 4 1 4) f(x) = sin 3x ⋅ cos 5x = (sin 8x – sin 2x), тогда 2 1⎛ 1 1 ⎞ 4 cos 2 x − cos 8 x . F(х) = ⎜ − cos 8 x + cos 2 x ⎟ = 2⎝ 8 2 16 ⎠
1) f(x) = 1 +
§ 56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл № 999 1)
102
2)
3)
4)
№ 1000 1)
b
ABCD – искомая трапеция; S ABCD = ∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) a
4
S ABCD = ∫ x3dx = 2
x4 4
4
=
(4)4 − (2)4 4
2
4
= 64 − 4 = 60 (кв. ед.)
2)
S ABCD
x3 = ∫ x dx = 3 3 4
4
2
= 3
(
)
1 (4)3 − (3)3 = 1 (64 − 27 ) = 37 . 3 3 3 103
3) ABCD – искомая трапеция S ABCD
(
)
x3 = ∫ x + 1 dx = +x 3 −2 1
2
1
−2
8 1 = +1+ + 2 = 6 3 3
4) ABCD – искомая трапеция
(
2
)
S ABCD = ∫ x3 + 1 dx = 0
2
x4 16 + x = +2 = 6; 4 4 0
5)
ABCD – искомая трапеция 2π 3
2π
π 3
3
S ABCD = ∫ sin xdx = − cos x π3 = − cos
2π 1 1 π + cos = + + = 1 3 3 2 2
6)
ABCD – искомая трапеция 0
S ABCD = ∫ cos xdx = sin x −
104
π 6
0
−
π 6
⎛ 1⎞ 1 ⎛ π⎞ = 0 − sin ⎜ − ⎟ = −⎜ − ⎟ = . ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ 2
№ 1001
1) у = 4 – х2
ABC – искомая трапеция а) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2 б) S ABC
(
2
)
x3 = ∫ 4 − x dx = 4 x − 3 −2 2
2
−2
8 8 = 8− +8− = 3 3
16 32 2 = 16 − = = 10 ; 3 3 3 2) у = 1 – х2
ABC – искомая трапеция а) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –1 1
(
)
б) S ABC = ∫ 1 − x 2 dx = x − −1
3) у = – х2 + 4x – 3
x3 3
b=1 1
−1
ABC – искомая трапеция а) – х2 + 4x – 3 = 0 х2 – 4x + 3 = 0 x2 = 1 a = 1 b=3 x1 = 3
1 2 1 1 = 1− +1− = 2 − = 1 . 3 3 3 3
D/4 = 4 – 3 = 1 105
3
(
3
)
б) S ABC = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1
x3 4 x 2 + − 3 x = −9 + 18 − 9 + 3 2 1
1 1 + −2+3 =1 3 3
№ 1002 1) f(x) = 3 x , a = 1,
b=8
ABCD – искомая трапеция S ABCD
3x3 x = ∫ x dx = 4 1 8
8
3
2) f(x) = x a = 4
= 1
3 (16 − 1) = 45 = 11 1 4 4 4
b=9
ABCD – искомая трапеция S ABCD
№ 1003
9
2x x = ∫ x dx = 3 4
9
= 4
2 (27 − 8) = 38 = 12 2 . 3 3 3
1) b = 2 f(x) = 5x – x2, 2 ≤ х ≤ 5
106
а) 5x – x2 = 0, x(5 – x) = 0, б) ABC – искомая трапеция 5
(
)
в) S ABC = ∫ 5 x − x 2 dx = 2
x = 0, 5
5 x 2 x3 − 2 3
= 2
x=5
8 125 125 − − 10 + = 3 2 3
125 16 60 27 1 = + − = = 13 6 6 6 2 2 2) b = 3 , f(x) = x2 + 2x x = 0, x = –2 а) x2 + 2x = 0, б) OAB – искомая трапеция 3
(
)
в) S OAB = ∫ x 2 + 2 x dx = 0
x3 + x2 3
3
= 9 + 9 = 18 . 0
3) b = 1, f(x) = ex – 1 а) ex – 1 = 0, ex = e0, x = 0 б) OAB – искомая трапеция
1
(
)
1
в) SOAB = ∫ e x − 1 dx = e x − x = e − 1 − 1 = e − 2 0
0
1 4) b = 2 f(x) = 1 – x 1 а) 1 – = 0 x=0 x б) ABC – искомая трапеция
в) 2 ⎛ 1⎞ 2 S ABC = ∫ ⎜1 − ⎟dx = x − ln x 1 = x ⎠ 1⎝ = 2 − ln 2 − 1 + 0 = 1 − ln 2
107
§ 57 Вычисление интегралов № 1004 1
1) ∫ xdx = 0
x2 2
1
0
2
2
−1
−1
3) ∫ 3 x 2 dx = x3 3
1
5) ∫
x
2
2
dx = −
4
7) ∫ x dx = 1
9
1
8) ∫
x
4
3 1 1 x3 − 0 = ; 2) ∫ x 2 dx = 3 2 2 0
=
1 x
=− 2
2x x 3
3
−2
−2
=
dx = 2 x
= 9−4 = 5 ;
2 1 1 1 1 1 dx = − + = ; 6) ∫ 3 3 2 6 2x 2 1 x
4
1 9
= 9−0 = 9 ; 0 3
= 8 + 1 = 9 ; 4) ∫ 2 xdx = x 2
3
3
2 1
1 1 3 =− + = ; 8 2 8
2 (8 − 1) = 14 = 4 2 ; 3 3 3
= 2(3 − 2 ) = 2 .
4
№ 1005 ln 2 ln 2 1 e dx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 ; 2) ∫ e x dx = e x = eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1 ; 0 0 1 x
e
1) ∫
2π
3) ∫ cos xdx = sin x − π = sin 2π − sin (− π ) = 0 − 0 = 0 ; 2π
−π π
4) ∫ sin xdx = − cos x − 2 π = − cos π + cos(− 2π ) = 1 + 1 = 2 ; π
− 2π
π
π
5) ∫ sin 2 xdx = − −2π
1 1 cos 2 x = − (1 + 1) = −1 ; 2 2 −2π 0
0 1 1 6) ∫ cos 3 xdx = + sin 3x = (0 − 0 ) = 0 . 3 3 − 3π −3π
№ 1006 2
2
−3 −1
−3
1) ∫ (2 x − 3)dx = x 2 − 3 x
−1
2) ∫ (5 − 4 x )dx = 5 x − 2 x 2 −2 2
(
)
−1 1
(
)
4) ∫ x 2 + 1 dx = −1
108
x3 +x 3
−2
2
3) ∫ 1 − 3x 2 dx = x − x3
−1
= −5 − 2 + 10 + 8 = 11 ;
= 2 − 8 + 1 − 1 = −6 ;
1
= −1
= 4 − 6 − 9 − 9 = −20 ;
2 1 1 +1+ +1 = 2 ; 3 3 3
2
(
) (
5) ∫ 3 x 2 − 4 x + 5 dx = x3 − 2 x 2 + 5 x 0
)
2 0
= 8 − 8 + 10 = 10 .
№ 1007 ⎞ ⎛ ⎜ x 2 3x x ⎟ ⎟ ⎜ 1) ∫ x − 3 x dx = − 3 ⎟ ⎜ 2 0 ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 4
(
4
)
⎞ ⎛ x2 =⎜ − 2x x ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝
4
= 8 − 16 = −8 ; 0
0
9⎛
9 3 ⎞⎟ dx = x 2 − 6 x = 81 − 18 − 1 + 6 = 68 ; 2) ∫ ⎜ 2 x − ⎜ ⎟ 1 x⎠ 1⎝
(
2
)
3 1 3x 1 e = e 6 − 1 ; 4) ∫ 2e 2 x dx = e 2 x 3 3 1 0 0 (Опечатка в ответе задачника). 2
3) ∫ e 3 x dx =
№ 1008
(
1
1
−2
−2
)
1
3 1
= e6 − e2 .
(
)
1) ∫ x(x + 3)(2 x − 1)dx = ∫ x 2 + 3 x (2 x − 1)dx = ∫ 2 x3 + 5 x 2 − 3x dx = =
1 4 5 x3 3 x 2 − x + 2 3 2
(
0
1
)
40 1 5 3 + − −8+ + 6 = −3 + 15 = 12 ; 3 2 3 2
= −2 0
−2
(
)
2) ∫ (x + 1) x 2 − 2 dx = ∫ x3 + x 2 − 2 x − 2 dx = −1
−1
x 4 x3 0 + − x 2 − 2 x −1 = 4 3
1 1 1 11 = − + + 1 − 2 = −1 + =− ; 4 3 12 12 2
2
2 2⎛ 1⎞ 1 ⎞ x3 1 ⎛ 3) ∫ ⎜ x + ⎟ dx = ∫ ⎜⎜ x 2 + 2 + 2 ⎟⎟ dx = + 2 x − = x 3 x1 x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 5 11 1 1 8 = + 4 − − − 2 +1 = + 3 = 4 ; 6 6 2 3 3
−1
−1
−1 ⎛ 4 4 ⎛ 2⎞ 8 ⎞ ⎛ 4 4 ⎞ ⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜⎜ 2 − 3 ⎟⎟dx = ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 . 2 x⎠ x ⎠ ⎝ x x ⎠ −2 −2 x ⎝ −2 ⎝ x
4) ∫
№ 1009 ⎛ ⎜ 3 2 3 2 ⎞ 2 3 2 ⎟dx =⎜ 5 x x − 2 x dx = ∫ ⎜ 5 x − ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 2 x x⎠ 1⎝ ⎜ 3 ⎝ 3
2 5x − 2
1) ∫
1
3
2⎛
3 ⎛ 3 ⎞ = ⎜ 3x x 2 − 3 x 2 ⎟ ⎝ ⎠
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
= 1
= 63 4 − 33 4 − 3 + 3 = 33 4 ;
1
109
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎞ 1 3 x x x ⎟ ⎟dx =⎜ ⎟dx = ∫ ⎜ 3 x − − ⎜ ⎜ 3 1 ⎟ x ⎟⎠ x ⎟⎠ 1⎝ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2
2) ∫ ⎜ ⎜ 1⎝
= 2x x − 2 x
3
3⎛
3 ⎛ 3x − 1 ⎞
3
= 1
= 6 x −2 3 −2+2 = 4 3 ;
1
7 7
3) ∫
2
4 x+2
dx =
4⋅ x + 2 1 2
=8 x+2
7 2
= 24 − 16 = 8 .
2
№ 1010 3 ln(2 x − 1) 3 dx = 2 1 2 − x 1 2
1) ∫
4 4 ln (3 x + 2 ) dx = 3 2 3 x + 0
1
2) ∫
2
= 1 1
= 0
3 ln 3 3 ln 3 −0 = ; 2 2 4 ln 5 4 ln 2 4 5 − = ln ; 3 3 3 2
π 2
π⎞ π⎞ 1 ⎛ ⎛ 3) ∫ sin ⎜ 2 x + ⎟ dx = − cos⎜ 2 x + ⎟ 3 2 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 =−
π 2
=
0
1⎛ ⎛ 1⎛ π 1 π⎞ π⎞ π⎞ ⎜⎜ cos⎜ π + ⎟ − cos ⎟⎟ = − ⎜ − 2 cos ⎟ = cos = . 2⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ 2⎝ 3⎠ 3 2
№ 1011 π
π
π π 1 − cos 2 x 1 1 π dx = x − sin 2 x − π = − 0 + + 0 = π . 2 2 4 2 2 −π
1) ∫ sin 2 xdx = ∫ −π π 2
π 21
2) ∫ sin x cos xdx = ∫ 0 π 4
0
(
)
2
π
sin 2 xdx = −
1 1 1 1 cos2 x 02 = + = . 4 4 4 2
π 4
π
1 1 1 3) ∫ cos x − sin x dx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x 04 = − 0 = . 2 2 2 0 0 π
2
2
(
)
π
(
)
π
4. ∫ sin 4 x + cos 4 x dx = ∫ 1 − 2 sin 2 x cos 2 x dx = ∫ 1 − 0
π 4 − 1 + cos 4 x
=∫
0
110
4
π
0
3 sin 4x ⎛ 3 cos 4x ⎞ = ∫⎜ + ⎟dx = x + 4 4 4 16 ⎠ 0⎝
0 π
= 0
1 sin 2 2 x = 2
3π 3π ; +0−0−0 = 4 4
3
3
0
0
5) ∫ x2 x + 1dx = ∫ x5 + x4 dx =
(
)
(
2 5 4 5 4 3 2 5 4 x + x x + x 0= 3 + 3 3 3
4 x 4 − 4x + 5 1 ⎞ x2 ⎛ dx = ∫ ⎜ x − 2 + − 2 x + ln (x − 2 ) ⎟dx = x−2 x−2⎠ 2 3 3⎝ 3 9 = 8 − 8 + ln 2 − + 6 − ln1 = ln 2 + . 2 2 4
6) ∫
4 3
)
3 2
= 3888
=
№ 1012 b
∫ (b − 4 x )dx = bx − 2 x
2
1
b
1
= b 2 − 2b 2 − b + 2 =
= −b 2 − b + 2; − b 2 − b + 2 ≥ 6 − 5b b2 – 4b + 4 ≤ 0(b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2.
§ 58 Вычисление площадей с помощью интегралов № 1013 1
(
)
x3 1 1 2 1 + 4 x −1 = + 4 + + 4 = 8 ; 3 3 3 3
(
x + 1 dx =
)
2 2 2 1 x x + x 0 = +1 = 1 ; 3 3 3
а) S = ∫ x 2 + 4 dx = −1 1
б) S = ∫ в) S =
0 4
2
4
∫ x dx = 2 ln x 1 = 2 ln 4 − 0 = 2 ln 4 .
1
№ 1014 1) АВС – искомая фигура, 0
1
S ABC = S ABO + SOBC = ∫ (x + 1)2 dx + ∫ (x − 1)dx = −1
0
⎛x ⎞0 x = ⎜ + x2 + x ⎟ + x − ⎜ 3 ⎟ −1 2 ⎝ ⎠ 3
2
1
= 0
1 1 5 −1+1+1− = ; 3 2 6
111
2) АВС – искомая фигура 1
2
−2
1
(
)
S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2 )dx + ∫ 4 − x 2 dx = −
x3 3
2
x2 1 + 2 x −2 + 4 x − 2
1 8 ⎛ 1⎞ 5 16 11 37 1 + 2 − (2 − 4 ) + 8 − − ⎜ 4 − ⎟ = + 2 + − = =6 . 2 3 ⎝ 3⎠ 2 3 3 6 6
= 1
3) ОАВ – искомая фигура 4х – х2 = 4 – х,
х2 – 5х + 4 = 0, 1
(
)
х=
5 ± 25 − 16 2
х1 = 4, х2 = 1
4
SOAB = SOAC + SCAB = ∫ 4 x − x 2 dx + ∫ (4 − x )dx =
= 2 x2 −
3
x 3
1
+ 4x − 0
4) 3х2 = 1,5х + 4,5,
2
x 2
0 4
= 2− 1
1
1 1 1 + 16 − 8 − 4 + = 6 ; 3 2 6
2х2 – х – 3 = 0
3 1 ± 1 + 24 , x1 = , х2 = –1 4 2 АВО – искомая фигура x=
−1
−1 3 0 3x2 9 9⎞ ⎛ + x + S ABO = S ABC + SCBO = ∫ ⎜ x + ⎟dx + ∫ 3x 2dx = 4 2 −3 2⎠ −3 ⎝ 2 −1
+ x3
112
0 −1
=
3 9 27 27 − − + + 1 = −6 + 9 + 1 = 4 4 2 4 4
№ 1015
1) x = (x − 2 )2 , х = 1 ОАВ – искомая фигура
SOAB = SOAC + SCAB =
(x − 2)3 2 = ∫ x dx + ∫ (x − 2) dx = x x + 3 3 0 1 0 1
2
1
2
2
= 1
2 1 +0+ =1 ; 3 3
2) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2 х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1 SOAB = SOAC + SCAB =
(
)
x4 = ∫ x dx + ∫ 2 x − x dx = 4 0 1 1
3
2
2
1
x3 +x − 3
2
2
0
= 1
1 8 1 25 11 + 4 − −1 + = 3 − = 4 3 3 12 12
113
№ 1016
1) АВO – искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3 S ABO = S ACO
(
)
x3 3 x 2 = ∫ − x − 3 x dx = − − 3 2 −3 0
2
2) х2 – 4х + 3 = 0; 3
D/4 = 4 – 3 = 1,
(
)
SCAB = SCDB = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1
0
= −9 + −3
х = 3,
27 = 4,5 2
х=1
3
x 3 + 2 x2 − 3x 1 = 3
1 1 = −9 + 18 − 9 + − 2 + 3 = 1 3 3
№ 1017
1) у = х2 + 1; у = 3 – х
х2 + 1 = 3 – х,
х2 + х – 2 = 0,
x=
−1 ± 1+ 8 , 2
х1 = 1,
х2 = –2
ВСМ – искомая фигура
(
1
1
−2
−2
)
S BCM = S ABCD − S ABMCD = ∫ (3 − x )dx − ∫ x 2 + 1 dx = 3 x − 1
⎛x ⎞ 1 1 8 1 − ⎜ + x⎟ = 3 − + 6 + 2 − −1− − 2 = 4 ⎜ 3 ⎟ 2 3 3 2 ⎝ ⎠ −2 3
114
x2 2
1
− −2
2) у = (х + 2)2; у = х + 2 АВМ – искомая фигура
x 2 + 4 x + 4 = x + 2, x 2 + 3 x + 2 = 0 x1 = −2; x2 = −1 −1
−1
−2
−2
S AMB = S ABC − S AMC = ∫ (x + 2 )dx − ∫ (x + 2 )2 dx =
x2 −1 + 2 x −2 − 2
−1
⎛ x3 ⎞ 1 8 1 7 1 1 − ⎜ + 2x2 + 4x ⎟ = − 2 − 2 + 4 + − 2 + 4 − + 8 − 8 = + 2 − = ⎜ 3 ⎟ 2 3 3 2 3 6 ⎝ ⎠ −2
3) у = x ; у = х ОМА – искомая фигура
x = x, x > 0 x − x = 0, x1 = 0; 2
x2 = 1 1
1
0
0
SOMA = SOMAC − SOAC = ∫ x dx − ∫ xdx =
1 2 x2 x x − 0 3 2
1
= 0
2 1 1 − = 3 2 6
115
№ 1018
1) у = 6х2; у = (х – 3) (х – 4); у=0 6х2 = (х – 3) (х – 4), 6х2 = х2 – 7х + 12 5х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172 х1 = 1, х2 = –2,4 DАВ – искомая фигура 1
3
0
1
(
)
1
S AOB = S AOC + SCAB = ∫ 6 x 2dx + ∫ x 2 − 7 x + 12 dx = 2 x3 + 0
3
⎛ x3 7 x 2 ⎞ 63 1 7 1 2 +⎜ − + 12 x ⎟ = 2 + 9 − + 36 − + − 12 = 35 − 28 − = 6 ⎜ 3 ⎟ 2 2 3 2 3 3 ⎝ ⎠1
2) у = 4 – х2, у = (х – 2)2, у = 0 а) 4 − x 2 = x 2 − 4 x + 4;
2 x 2 − 4 x = 0, x1 = 0, x2 = 2
б) 4 − x 2 = 0; x1 = −2, x2 = 2 АВMC – искомая фигура 116
0
(
)
2
S ABMC = S ABO + SOBMC = ∫ 4 − x 2 dx + ∫ (x − 2 )2 dx = 4 x − −2
0
x3 3
0
+ −2
2
⎛ x3 ⎞ 8 8 + ⎜ − 2 x2 + 4 x ⎟ = 0 + 8 − + − 8 + 8 − 0 = 8 ⎜ 3 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠0
№ 1019 1) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки: 2 π 2 ⎛π ⎞ (0; 0); 0=k⋅0+b b = 0, ⎜ ; 1⎟ ; 1 = k ⋅ , k = , y = x , π 2 π ⎝2 ⎠ SOAD = SOAB + S BAD
π 22
π
x2 = ∫ xdx + ∫ sin xdx = π π 0π 2
=
π 2
π
− cos x π =
0
2
π π +1+ 0 = +1 4 4
2) OAB – искомая фигура π 4
π 2
0
π 4
π
π
SOAB = SOAD + S DAB = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 04 + sin x π2 =
=−
4
2 2 +1+ − = 2− 2 2 2 117
№ 1020
1) у = 6х – х2; у=х+4 6х – х2 = х + 4, х5 – 5х + 4 = 0, ВMD – искомая площадь 4
(
х1 = 4,
)
х2 = 1
4
S BMD = SCMF − SCBDF = ∫ 6 x − x 2 dx − ∫ (x + 4)dx = 1
4
(
)
4
(
1
)
= ∫ 6 x − x 2 − x − 4 dx = ∫ − x 2 + 5 x − 4 dx = − 1
1
x3 5 x 2 4 + − 4x 1 = 3 2
64 1 5 63 1 1 = − + 40 − 16 + − + 4 = 28 − −2 = 4 3 3 2 3 2 2
2) у = 4 – х; у = х + 2 х2 + х – 2 = 0, 4 – х2 = х + 2, 1
(
)
х1 = –2,
(
1
1
−2
−2
х2 = 1
)
S ABC = S ABCD − S ACD = ∫ 4 − x2 dx − ∫ (x + 2)dx = ∫ − x2 − x + 2 dx = −2
=−
118
x3 x 2 1 1 8 1 1 1 − + 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2
№ 1021
1) у = 2 – х2 ; у = –х 2 – х2 = –х, х = 2, х = –1 х2 – х – 2 = 0, BCD – искомая фигура Перенесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид: у = 4 – х2 и у = 2 – х 2
(
)
2
S B1C1D1 = S BCD = S AB1C1D1 − S AB1D1 = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ (2 − x )dx = −1
(
−1
)
x3 x 2 8 1 1 2 = ∫ − x 2 + x + 2 dx = − + + 2 x −1 = − + 2 + 4 − − + 2 = 3 2 3 3 2 −1 2
= 8−3−
1 1 =4 2 2
2) у = 1; х = 0; у = sin х;
0≤ x≤
π 2
ABO – искомая фигура
119
π 2
π 2
π 2
0
0
0
π
S ABO = SOABC − SOBC = ∫1dx − ∫ sin xdx = ∫ (1 − sin x )dx = x + cosx 02 = π π = + 0 − 0 −1 = −1 2 2
№ 1022 1) Найдем прямую у = kx + b (0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3 х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 –х2 + 4х – 3 = 3х – 3, ABС – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1. 1
1
0
0
(
)
S A1B1C = S ABC = SOA1C1 − SOA1B1C = ∫ (− 3 x + 3)dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 1
(
)
= ∫ − x 2 + x dx = − 0
x3 x 2 + 3 2
1
=− 0
1 1 1 + +0 = 3 2 6
2) у = –х2, у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = ± 2 AОB – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1. 2
2
− 2
− 2
S AOB = S A1OB1 = SOA1BD − SCA1OB1D = ∫ 2dx − ∫ x 2dx =
120
(
)
x3 = ∫ 2 − x dx = 2 x − 3 − 2 2
2
2
=2 2− − 2
2 2 8 2 2 2 +2 2 − = . 3 3 3
3) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1 ABСD – искомая фигура, SABC = SADC S ABCD = S ABC + S ADC = 2 S ABC
(
1
)
⎛ x3 ⎞ = 2 ∫ 1 − x dx = 2⎜ x − ⎟ = ⎜ 3 ⎟⎠ −1 ⎝ −1 1
2
1⎞ 2 ⎛ 1 = 2⎜1 − + 1 − ⎟ = 2 3⎠ 3 ⎝ 3
4) у = х3; у = 1; x = –2 ABCO — искомая фигура, SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1; 1
S KOC = SOKCM − SOCM = 1 ⋅ 1 − ∫ x3dx = 1 − 0
x4 4
1
= 1− 0
1 3 = 4 4
Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO: S ADO = S A1DO
x4 = ∫ − x dx = − 4 −2 0
0
3
= 0+ −2
16 =4 4
3 3 SABCО = 2 + + 4 = 6 . 4 4
121
№ 1023
1) у = х2 + 10; (0; 1). Уравнение касательной у = kx + b (0; 1); 1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1 у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касания у = x 02 + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = x 02 + 10 + kx – kх0 x 02 – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0 x 02 – 2 x 02 + 9 = 0
9 – x 02 = 0
х0 = ± 3
Т.е. k = ± 6 y = 6x + 1 y = –6x + 1 ABCD – искомая фигура.
(
)
3 ⎛3 ⎞ S ABCD = 2S ACD = 2(SOCDN − SOADN ) = 2⎜⎜ ∫ x 2 + 10 dx − ∫ (6 x + 1)dx ⎟⎟ = 0 ⎝0 ⎠
(
)
3 ⎛ x3 3⎞ = 2 ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 2⎜ − 3 x 2 + 9 x 0 ⎟ = 2(9 − 27 + 27 ) = 18 . ⎟ ⎜ 3 0 ⎠ ⎝
122
1 ; х = 1, и касат. х0 = 2 x 1 1 1 1 1 1 у(х0) = , у′ = − 2 , у′(х0) = − , y = − (x − 2 ) , y = − x + 1 ; 2 4 4 2 4 x АВС – искомая фигура 21 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ S ABC = SMBCD − SMACD = ∫ dx − ∫ ⎜ − x + 1⎟dx = ∫ ⎜ + x − 1⎟dx = 4 4 x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1
2) у =
= ln x +
x2 5 3 1 1 2 − x 1 = ln 2 + − 2 − 0 − + 1 = ln 2 − 1 + = ln 2 − . 8 8 8 2 8
№ 1024
у = х2 +1; у = 0; х = 0; х = 1 1) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0), у = 2х0 ⋅ х + x 02 – 2 x 02 + 1, у = 2х0 ⋅ х – x 02 + 1; 2) OMND – искомая трапеция 1
(
)
1
SOMND = ∫ 2 x0 x − x02 + 1 dx = x0 x 2 − x02 x + x 0 = x0 − x02 + 1 − 0 0
Найдем наибольшее значение функции на (0; 1). f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0, 2х – 1 = 0,
х=
1 , 2
2
х=
1 1 1 ⎛1⎞ – точка max., х0 = , у0 = ⎜ ⎟ + 1 = 1 . 2 4 2 2 ⎝ ⎠
⎛1 5⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝2 4⎠ 123
§ 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач № 1025 v(t) = s′(t),
s – первообразная v(t)
(
4
)
1) s (t ) = ∫ 3t 2 + 1 dt = t 3 + t 0
(
4 0
)
2t 3 t 2 + 2) s (t ) = ∫ 2t + t dt = 3 2 1 3
№ 1026 1) v(t) = 0,
2
4t – t2 = 0,
(
= 64 + 4 = 68 ; 3
= 18 + 1
t = 0,
)
9 2 1 2 1 − − = 18 + 4 − = 21 . 2 3 2 3 3
t = 4;
t3 2) s (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 4t − t dt = 2t − 3 t1 0 t2
4
2
4
2
= 32 − 0
64 2 − 0 = 10 . 3 3
№ 1027 1) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) y =
3 2x e +C ; 2
1 4) y = 4 ⋅ ⋅ sin 2 x + C = 2 sin 2 x + C . 2 5) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C.
№ 1028 1) 2) 3) 4) 5) 6)
у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, y = –cos x + 1 у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1, C = 1, y = 2sin x + 1 у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; y = x3 + 2x2 – x – 4 у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; у = 2x + x2 – x3 + 2 C = 1 – e, y = ex + 1 – e у = ex + C; e + C = 1, у = –e–x + C; –1 + C = 2 C=3 y = –e–x + 3.
№ 1029
y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx; y′′ + ω2у = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0; 0 = 0 – верно при любых С1 и С2.
№ 1030
Скорость распада m′(t) =
0,001 г =0,0001 10 л
m′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–kt В нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10k ln 0,999 e = 0,999, –10k = ln 0,999, k = − , 0,5 = 1 ⋅ e 10 ln 0,999 10 ln 0,5 t= , t ≈ 6928. ⋅ t = ln 0,5 , ln 0,999 10 –10k
124
ln 0,999 ⋅t 10
,
№ 1031 2 F = = 2 , F = 200x x 0,01
F = kx; k = 0,03
A = ∫ 200 xdx = 100 x 2 0
0,03 0
= 0,09 − 0 = 0,09 Дж.
№ 1032 3 F = = 300 , x 0,01
F = kx, k = 0,08
A = ∫ 300 xdx = 150 x 2 0
0,08 0
F = 300x
= 0,96 Дж.
Упражнения к главе Х № 1033
1) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C (0; –2): –2 = sin 0 + C, C = –2; F(x) = sin x – 2 2) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C (–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1. 1 3) f (x) = , тогда F(x) = 2 x + C x
(4; 5): 5=2 4 +C, C = 1; F(x) = 2 x + 1 4) f (x) = ex, тогда F(x) = ex + C (0; 2): 2 = 1 + C, C = 1; F(x) = ex + 1. 5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C (1; –2): –2 = 1 + 1 + C, C = –4; F(x) = x3 + x – 4 6) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C (2; 3): 3 = 4 – 4 + C, C = 3; F(x) = 2x – x2 + 3.
№ 1034 2
2
1) ∫ 2dx = 2 x −1 = 4 + 2 = 6 ; 2) ∫ (3 − x )dx = 3 x − 2
−1
−2
(
x2 2
)
2
= 6 − 2 + 6 + 2 = 12 ; −2
3 x3 2 1 − x2 = 9 − 9 − + 1 = ; 3) ∫ x − 2 x dx = 1 3 3 3 1 3
1
2
(
)
4) ∫ 2 x − 3x 2 dx = x 2 − x 3 −1 8 3
5) ∫ x dx = 1
2
dx
1
x3
6) ∫
=−
1
−1
= 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ;
1 45 3 3 8 3 x x = (16 − 1) = = 11 ; 1 4 4 4 4
1 2x 2
8 1
π
π
2 π 1 1 3 ⎛ π⎞ = − + = ; 7) ∫ cos xdx = sinx 2π = sin − sin⎜ − ⎟ = 2 . 2 8 2 8 − ⎝ 2⎠ π −
2
2
125
№ 1035 1) у = x ; х = 1; х = 4; у = 0 АВСD – искомая фигура 4 4 2 2 14 2 S ABCD = ∫ x dx = x x = (8 − 1) = =4 1 3 3 3 3 1
2) у = cos x х = 0 π 3
х=
π 3
у = 0; OАВС – искомая фигура;
π
SOABC = ∫ cos xdx = sin x 03 = sin 0
π 3 − sin 0 = ; 3 2
3) у = x2; у = 2 – х, х2 = 2 – х, ЕОА – искомая фигура
х2 + х – 2 = 0,
х1 = –2, х2 = 1,
(
1
1
1
−2
−2
−2
)
S EOA = S DEAC − S EDOAC = ∫ (2 − x )dx − ∫ x 2dx = ∫ − x 2 − x + 2 dx = =−
126
x3 x 2 1 1 8 1 1 1 − + 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 2 2 3 3 2 3 2
4) у = 2x2;
2х2 = 0,5х + 1,5,
у = 0,5х + 1,5;
4х2 – х – 3 = 0;
х2 = −
D = 1 + 48 = 49, х1 = 1
3 , 4
АОВ – искомая фигура, 1 x 1 3⎞ ⎛ S AOB = S DABC − S DAOBC = ∫ ⎜ + ⎟dx − ∫ 2 x 2dx = 3⎝ 2 2⎠ 3 −
−
4 3
1
2
x 3⎞ x 2x 3x ⎛ = ∫ ⎜ − 2 x 2 + + ⎟dx = − + + 2 2 3 4 2 ⎠ 3⎝ −
4
4
1 3 − 4
=−
2 1 3 + + − 3 4 2
9 3 ⋅ 3 ⎞ 13 45 151 ⎛ 2 ⋅ 27 −⎜ + − + =1 . ⎟= 192 ⎝ 3 ⋅ 64 16 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⎠ 12 64
№ 1036 1
(
)
1) ∫ 5 x 4 − 8 x 3 dx = x 5 − 2 x 4 0
2
(
)
1 0
= 1 − 2 = −1 ;
2
3 4 5 2 3 5 x − x = 24 − 10 − + = 15 2 2 2 2 −1 −1 (опечатка в ответе задачника) 4 4⎛ 4 7⎞ 7 ⎞⎟ ⎛ 3) ∫ x ⎜ 3 − ⎟dx = ∫ ⎜ 3 x − dx = 2 x x − 14 x = ⎜ ⎟ 1 x ⎝ ⎠ x⎠ 1 1⎝ = 16 − 28 − 2 + 14 = 0 ; 8⎛ 8 8 16 ⎞⎟ ⎛ 4⎞ dx = 3 x3 x − 483 x = 4) ∫ 43 x ⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜ 43 x − ⎜ ⎟ 3 2 1 ⎝ x⎠ 1 1⎝ x ⎠ = 48 − 96 − 3 + 48 = −3 ; 2) ∫ 6 x3 − 5 x dx =
3
5) ∫ x + 1dx = 0
6
3 2 (x + 1) x + 1 = 2 ⋅ 8 = 16 = 5 1 ; 0 3 3 3 3
2 6) ∫ 2 x − 3dx = 3 2
6
(2 x − 3) ⋅ 1 = 22 3
(2 x − 3)3
6
= 9−
3
2 1 =8 . 3 3
2
127
№ 1037 π 41
π
1 ⎛ π⎞ π⎞ 4 1 ⎛ π π⎞ ⎛ 1) ∫ cos⎜ x + ⎟dx = sin ⎜ x + ⎟ = ⎜ sin − sin ⎟ = 2 4 2 4 2 2 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 =
1 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ 2 − 2 ; 1− = 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 π 31
π
π⎞ π⎞ 3 1 1⎛ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 2) ∫ sin ⎜ x − ⎟dx = − cos⎜ x − ⎟ = − ⎜⎜ cos 0 − cos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = 3 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 0 1 1⎛ 1⎞ = − ⎜1 − ⎟ = − ; 6 3⎝ 2⎠ 3
3) ∫ 3 sin (3 x − 6 )dx = −1 ⋅ cos(3x − 6 ) 1 = − cos(+ 3) + cos(− 3) = 3
1
= − cos 3 + cos 3 = 0 ; 3
4) ∫ 8 cos(4 x − 12 )dx = 2 sin (4 x − 12 ) 0 = 2(sin 0 − sin (− 12 )) = 3
0
= 2(0 + sin 12) = 2 sin 12 .
№ 1038 1 ; у = 4х; х = 1; x ОАВС – искомая фигура
1) у =
у = 0,
1 2
1 =4х, 4х2 = 1, x 1
11 1 SOABC = SOAD + S DABC = ∫ 4 xdx + ∫ dx = 2 x 2 2 + ln x 1 = 0 1x 0 2
=
128
1 1 1 1 + ln1 ⋅ ln = − ln ; 2 2 2 2
2
х=±
1 . 2
2) у =
1 2
1
у = х; х = 2; у = 0;
;
x2
x ОАВС – искомая фигура
1
2
1
0
1
x
SOABC = SOAD + S DABC = ∫ xdx + ∫
x2 2
dx = 2
у = х + 1, х2 + 1 = х + 1, 3) у = х2 + 1; АМВ – искомая фигура 1
1
0
0
= х, х3 = 1,
(
1
х = 1.
2
− 0
1 1 1 = − +1 = 1. x1 2 2
х2 – х = 0,
)
1
(
х1 = 0,
х2 = 1
)
S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (x + 1)dx − ∫ x2 + 1 dx = ∫ x + 1 − x2 − 1 dx = 1
(
)
= ∫ x − x 2 dx = 0
x 2 x3 − 2 3
1
= 0
0
1 1 1 − = ; 2 3 6
4) у = х2 + 2; у = 2х + 2 х2 – 2х = 0, х2 + 2 = 2х + 2, АМВ – искомая фигура
х1 = 0,
х2 = 2
2
2
0
0
(
)
S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (2 x + 2 )dx − ∫ x 2 + 2 dx = 2
(
)
= ∫ 2 x − x 2 dx = x 2 − 0
x3 3
2
= 4− 0
8 1 =1 . 3 3
129
№ 1039
1) у = х2 – 6х + 9; 2
у = х2 + 4х + 4;
2
х – 6х + 9 = х + 4х + 4,
у=0 1 х= 2
10х = 5,
АВС – искомая фигура 1 2
3
S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)2 dx + ∫ (x − 3)2 dx = −2
+
1 2
x3 1 1 8 1 3 9 3 − 3x 2 + 9 x 1 = + + 2 + − 8 + 8 + 9 − 27 + 27 − + − = 3 24 2 3 24 4 2 2
3 8 41 5 = 11 − 4 + + = 7 + = 10 4 3 12 12
2) у = х2 + 1; у = 3 – х2 2 2 2 х + 1 = 3 – х , 2х = 2, х2 = 1, BCDN – искомая фигура 130
1
x3 + 2 x 2 + 4 x −22 + 3
х=±1
1
(
)
1
(
)
S BCDN = S ABCDM − S ABNDM = ∫ 3 − x 2 dx − ∫ x 2 + 1 dx = −1
1
(
)
= ∫ − 2 x 2 + 2 dx = − −1
−1
2 2 2 2 x3 1 + 2 x −1 = − + 2 − + 2 = 2 . 3 3 3 3
3) у = х2; у = 2 2 x , х2 = 2 2 x , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0, OMAN – искомая фигура 2
2
2
0
0
0
(
)
SOMAN = SOMAB − SONAB = ∫ 2 2 x dx − ∫ x 2 dx = ∫ 2 2 x − x 2 dx = 1 x3 4 = 2x 2x ⋅ − 2 3 3
4) у = x ;
2
= 0
16 8 8 − = . 3 3 3
у = 4 − 3x ;
у=0
x = 4 − 3x , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1 ОАВ – искомая фигура 1
4 3
0
1
SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ 4 − 3x dx = ×
1 2 2 x x + (4 − 3x ) × 0 3 3
4 3
2 8 1 2 = −0+ = . 9 9 31 3 131
№ 1040
1) у = х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу х = 0; у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2) у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2, АВС – искомая фигура 1
(
)
1
1
0
0
( )
S ABC = SOABC − SOAC = ∫ x 2 − 2 x + 2 dx − ∫ (− 2 x + 2 )dx = ∫ x 2 dx = 0
=
x3 3
1
= 0
1 . 3
4 4 4 ; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = – , у′(2) = – = –1, x 4 x2 у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура;
2) у =
132
64 4 x2 6 4 S DABC = S KABC − S KAD = ∫ dx − ∫ (− x + 4 )dx = 4 ln x 2 + − 4x 2 = x 2 2 2
= 4 ln 6 − 4 ln 2 + 8 − 16 − 2 + 8 = 4 ln 3 − 2
№ 1041
1) у = х3 – 3х2 – 9х + 1; АВС – искомая фигура
х = 0;
у = 6;
х 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1) х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4 Точки пересечения: x1 =
k− p− D , 2
x2 =
(
k− p+ D 2
)
x2 x3 x2 x + x x2 − −p S = ∫ (kx + 1)dx − ∫ x + px dx = k 1 2 3 2 x1 x1 x2
x2
2
x2
= x1
x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3 x − + x x2 = (k − p ) 2 − 2 + x 2 − (k − p ) 1 + 1 − x 2 = 1 2 3 2 3 2 3 1 ⎛k− p⎞ 2 = − x23 − x13 + ⎜ ⎟ x2 − x12 + (x2 − x1 ) , но х2 – х1 = D 3 ⎝ 2 ⎠ = (k − p )
(
)
x22 − x12 =
(
(
1⎛ ⎜ k − p+ D 4⎝
(
)
) − (k − p − D ) ⎞⎟⎠ = (k − p) 2
2
)
x23 − x13 = (x2 − x1 ) x12 + x1x2 + x12 =
(
(
)
(
D
) + (k − p ) + 2 D + (k − p ) − D ) =
1 ⎛ D⎜ k − p + D 4 ⎝
2
2
−
2⎞ 1 2 −D+ k− p− D ⎟= D 2(k − p )2 ⎠ 4 1 = D 3(k − p )2 + D 4 1 1 ⎛k− p⎞ S =− ⋅ D 3(k − p )2 + D + ⎜ ⎟(k − p ) D + D = 3 4 ⎝ 2 ⎠
(
)
(
)
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ = D ⎜ − (k − p )2 − D + (k − p )2 + 1⎟ = D ⎜ (k − p )2 − D + 1⎟ 4 12 4 12 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ т.к. D = (p – k)2 + 4, то 134
S=
( p − k )2 + 4 ⋅ ⎛⎜ 1 (k − p )2 − 1 (k − p )2 − 1 + 1⎞⎟ = ( p − k )2 + 4 ×
⎝4 2⎞ 1 ⎛1 × ⎜ (k − p )2 + ⎟ = 6 3⎠ 6 ⎝
12
3
⎠
( p − k )2 + 4 ⋅ ((k − p )2 + 4) .
Найдем наименьшее S(k) 1 t t , t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастающая 6 функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k; б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p.
Пусть (p – k)2 + 4 = t, S (t ) =
Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. 1 32 8 ⋅ = = 0,08 . 40 10 100
№ 1043
0,025 ⋅ 3,2 =
№ 1044
0,42 ⋅ х = 12,6,
№ 1045
x=
1 13 ⋅100 10 1,3 = = 3 (% ) . ⋅100 = 3 10 ⋅ 39 3 39
№ 1046
x=
46,6 466 ⋅100 ⋅100 2 ⋅1000 ⋅100 = = = 400(% ) . 11,65 10 ⋅1165 5
№ 1047
1,75 ⋅ х = 78,75, x =
№ 1048
x = 1,8 ⋅ 7,5 =
x=
12,6 126 ⋅100 18 ⋅10 = = = 30 . 0,42 10 ⋅ 42 1⋅ 6
78,75 7875 ⋅100 = = 45 . 1,75 100 ⋅175
9 15 27 ⋅ = = 13,5 . 5 2 2
№ 1049 х – исходная цена 1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х 2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х х – х2 = х – 0,38х = 0,62х Цена уменьшилась на 62%.
№ 1050 цинк х = 18 кг,
олово у = 6 кг, медь z = 36 кг 18 x % цинка = ⋅100% = ⋅ 100% = 30% 18 + 6 + 36 x+ y+z % олова =
6 y ⋅ 100% = ⋅ 100% = 10% 18 + 6 + 36 x+ y+z 135
z 36 ⋅100% = = 60% . x+ y+z 60 Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%. % меди =
№ 1051 Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий
⎧ x + y = 3942
следует, что: ⎨ ⎩0,08 x = y
⎧1,08 x = 3942 ⎧ x = 3650 . Ответ: 3650 р. , ⎨ , ⎨ ⎩ y = 292 ⎩ y = 0,08 x
№ 1052
Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания. 1 1 V1 = h ⋅ S , V2 = h2 ⋅ S 2 , h2 = 1,1h, S2 = 1,1S 3 3 1 1 V2 = ⋅1,1h ⋅ 1,1S = 1,21 ⋅ ⋅ h ⋅ S = 1,21V1 3 3 (V2 − V1 ) ⋅100% = (1,21 − 1)V1 ⋅100% = 21% . Ответ: объем увеличится на 21%.
№ 1053 Пусть х – искомое число, тогда х = а ⋅ 72 + 68 x a ⋅ 72 68 6a ⋅ 12 5 ⋅ 12 12(6a + 5) = + = + +8 = +8 12 12 12 12 12 12 Ответ: Остаток: 8.
№ 1054 Пусть эти числа х и у. Тогда:
⎧ x + y = 1100 ⎪ ⎧ x + y = 1100 ⎨0,06 x = 0,05 y ⎨ y = 5 x ⎩ ⎪⎩ 6
⎧11 ⎪⎪ 6 x = 1100 ⎧ y = 600 ⎨ x = 500 ⎨ ⎩ ⎪x = 5 y ⎪⎩ 6
Ответ: Наибольшее – 600.
№ 1055
За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет 600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).
№ 1056
За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил 5 5 1 ⋅10 = р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 р. Через год он полу6 6 12 5 чит 1,02 ⋅ 400 = 408,85 р. 6 136
№ 1057
1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2 Выполним по действиям. 23276 ⋅10 1012 а) 23,276 : 2,3 = = = 10,12 ; 1000 ⋅ 23 100 172 ⋅ 1 5 ⋅ 10 43 5 440 б) 17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1 = + = + = = 2,2 ; 10 ⋅ 8 1000 ⋅ 1 20 100 200 36 22 792 625 32 2000 в) 3,6 ⋅ 2) = ⋅ = = 7,92 ; г) 6,25 ⋅ 3,2 = ⋅ = = 20 ; 10 10 100 100 10 100 д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2. 2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25 Выполним по действиям. 925 104 9620 а) 9,25 ⋅1,04 = ⋅ = = 9,62 ; 100 100 1000 6372 ⋅10 9 ⋅ 8 1062 9 1152 б) 6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8 = = + = = 11,52 ; + 1000 ⋅ 6 8 ⋅10 100 10 100 1152 ⋅ 10 96 16 ⋅ 625 1000 в) 2) : 1,2 = = = 9,6 ; г) 0,16 ⋅ 6,25 = = =1; 100 ⋅12 10 100 ⋅100 1000 д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.
№ 1058 3 1 2 3 1⎞ 1 ⎛ ⎜ 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 ⎟ ⋅ 3 4 3 3 4 2⎠ 7 ⎝ . Выполним по действиям. 1) 1 3 10 − 9 2 4 3 1 2 3 1 28 ⋅ 4 22 ⋅1 5 ⋅ 39 а) 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 = + + + 4 3 3 4 2 7 3 ⋅ 22 3 ⋅ 4 14 ⋅ 2 1 65 28 29 65 116 + 195 311 + = 16 + + + = 16 + + = 16 + = 16 + = 3 3 4 3 3 4 12 12 11 503 ; = 41 = 12 12 1 503 ⋅ 22 5533 1 3 21 39 3 б) 1) ⋅ 3 = ; в) 10 − 9 = = − = ; 7 12 ⋅ 7 42 2 4 2 4 4 2) 5533 ⋅ 4 11066 г) = = . 3) 42 ⋅ 3 63 ⎛1 ⎞ ⎛5 7 ⎞ 2) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 + ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108) ⎝2 ⎠ ⎝ 6 12 ⎠ Выполним по действиям. ⎛1 ⎞ а) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 = (0,5 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1 ; ⎝2 ⎠ 137
1⋅ 4 ⎛5 7 ⎞ ⎛ 10 − 7 ⎞ =1; б) ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108) = ⎜ ⎟ : 0,25 = 4 ⋅1 ⎝ 6 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.
№ 1059 1 1 10 ⋅ 8 ⋅ 5 1 1 = 100 ; = x : 1 , x = 10 : ⋅ 1 = 8 4 8 4 4 1 1 1 1 3 ⋅ 19 ⋅ 2 57 ; 2) x : 0,75 = 9 : 14 , x = 0,75 ⋅ 9 : 14 = = 2 2 2 2 4 ⋅ 2 ⋅ 29 116 (опечатка в ответе задачника) x 1,456 15 ⋅1,456 3) = , x= = 20,8 . 15 1,05 1,05 1) 10 :
№ 1060 1 ⎛ ⎞ 1 1 1 ⎟⎛ 1⎞ ⎜ 2 ⎜ ⎛ 1 ⎞− 4 ⎟ ⋅ 15 5 2 4 ⎜ ⎟ − 2 ⋅ 7 ⋅ 49 ⎜ ⎜ ⎟ + 45 2 ⎟ − 183 5 1 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎝ 81 ⎠ ⎟ ⎜ 125 3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выполним по действиям. 1
1)
15 ⋅ 5 2
= 15 ⋅ 5 ⋅ 3 125 = 15 ⋅ 5 5 = 75 5 ;
1 − 125 3 1
1
2) 2 ⋅ 7 2 ⋅ 49 4 = 2 ⋅ 7 ⋅ 4 49 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 ; ⎛1⎞ 3) 1) − 2) = 75 5 − 14 ; 4) ⎜ ⎟ ⎝ 81 ⎠
(
)(
−
1 4
1 + 45 2
= 4 81 + 9 ⋅ 5 = 3 + 3 5 ;
)
5) 3) ⋅ 4) = 75 5 − 14 3 + 3 5 = 225 5 + 1125 − 42 − 42 5 = 1083 + 183 5 6) 5) − 183 5 = 1083 + 183 5 − 183 5 = 1083 .
№ 1061 1) log 27 729 = log 27 27 2 = 2 . 2) log 9 729 = log 9 27 2 = log 9 (9 ⋅ 3)2 = 3 . 3) log 1 729 = log 1 3 6 = 6 log 1 3 = 6 ⋅ (− 1) = −6 . 3
3
3
№ 1062 1) log 1 16
5
( )
64 = log2− 4 26
1 5
6
= log2− 4 2 5 =
6 ⎛ 1⎞ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ log2 2 = − = −0,3 5 ⎝ 4⎠ 10
2) log 8 log 4 log 2 16 = log 8 log 4 4 = log 8 1 = 0 . 138
№ 1063 8
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ 1) ⎜ 2 ⎜ ⎝
1
2) ⎛⎜ 2 ⎝
27
2
8
=2 3
⎞ ⎟ ⎠
2
=2
⋅ 2−3 = 2
4
= 22 = 4 .
3 ⋅ 27 −3
= 29 −3 = 26 = 64 .
№ 1064 1) log 3 2) 16
9 5
5
3
+ log 6 36 = log 3 3
0,5 log 4 10 +1
( )
= 42
0,5 log 4 10
2−
1 5
+ log 6
2 5 6
=
9 2 11 1 + = =2 . 5 5 5 5
⋅ 16 = 4log 4 10 ⋅ 16 = 10 ⋅ 16 = 160 .
№ 1065 1
1) 2,5 7 2,50,5 . Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней. f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1. 1
х2 > х1, 2
1
1 1 f (х2) > f (х1); < ⇒ 2,5 7 < 2,5 2 ; 7 2 3
2) 0,2 3 0,2 4 , f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1 f (х2) < f (х1) 2
Сравним
3
2 3 8 9 8 9 2 3 < ⇒ < ⇒ 0,2 3 > 0,2 4 . и , или и . 3 4 12 12 12 12 3 4
3) log3,1 10 log3,1 3 Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1. 10 > 9 = 3 ⇒ log 3,1 10 > log 3,1 3 4 3 log 0,3 , f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1, 5 4 4 16 15 3 4 3 = > = ⇒ log 0,3 < log 0,3 . 5 20 20 4 5 4
4) log 0,3
№ 1066 1
1) a 5 > 1 ⇒ a > 1 ; 2) a −1,3 > 1 ⇒
1
> 1 ⇒ а < 1, a⋅ a 3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1); 5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1; 6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1. 10 3
а ∈ (0; 1);
139
№ 1067 18 = 3 2 , 4
1)
(3 2 ) 2)
= 18 =
( 18 )
3
= 22 log 2 3 ⋅ 4
2178 2025 ⎛ 45 ⎞ > =⎜ ⎟ , 121 121 ⎝ 11 ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠
18 ,
3
5 11
log 4
5 11
2
2
3
log 2 3+ log 4
1 log 6 2 − log 2
6
5
18 > 4
( )
log 6 2 − log 6 5
= 6−1 3
144 125 ⎛ 5 ⎞ = 18 = > =⎜ ⎟ , 8 8 ⎝2⎠
3
⎛1⎞ 18 > ⎜ ⎟ ⎝6⎠
= 9⋅
5 45 = 11 11
log 2 3+ log 4
, 6
− log 6
2 5
1 log 6 2 − log 2
5 11
;
⎛2⎞ =⎜ ⎟ ⎝5⎠ 6
−1
=
5
.
№ 1068
1) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 5 0 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5; 2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5, 2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4.
№ 1069 5 1 125 3 ⋅ 5 1 ⋅ 2 5 20 + 3 180 − 4 − = − + 3⋅3⋅ 2 5 − 9 2 4 3 2
1) 3 ⋅ −
4⋅5 5 = 5 − 5 + 18 5 − 10 5 = 8 5 2 1
2) −
(
6− 5
1) 2)
140
5+ 2
−
( b (4b
)
a 4 9a 2 − 6a + 1 = a 2 2
№ 1071
2)
)
3
4 6− 2
(
5
4
6+
=
(
= a 2 3a − 1
(2b + 1) 2
2
(
)
= b 2b 2 + 1 .
) ( ) 3( 6 − 5 ) = = 3( 6 − 5 ) ; 6−5 5
3− 2 3
)
+ 4b 2 + 1 = b
(3a − 1)2
)
6+ 5 3 5− 2 − − 6−5 5−2
=
4 6+ 2 = 6 + 5 − 5 + 2 − 6 − 2 = 0. 6−2
№ 1070
1)
−
5 3+ 2 =5 3+ 2 ; 3− 2
5 , 2
12
3)
10 − 7 8
4)
11 + 3
(
) (
)
=
12 10 + 7 = 4 10 + 7 ; 10 − 7
=
8 11 − 3 = 11 − 3 . 11 − 3
(
)
№ 1072 1)
5 1 3 6 3 = ; 2) = ; 3) 10 2 5 6 6
7− 5 7−5 = = 2 2 7+ 5
1 7+ 5
.
№ 1073 1) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4... – 0,4..., 9х = 4, х =
4 ; 9
25 7 =2 ; 9 9 21 7 = x= ; 3) х = 0,2121... 100х = 21,21..., 99х = 21, 99 33 135 15 4 100х = 136,36..., 99х = 135, 4) х = 1,36... x= = =1 ; 99 11 11 32 ; 5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32, x= 90 6) х = 0,213..., 100х = 21,3... 1000х = 213,3..., 192 32 16 900х = 192, x = = = . 900 150 75
2) х = 2,77...
10х = 27,77..., 9х = 25,
x=
№ 1074 1)
5 = 0,8 (3) 6
_50 6 48 0,833... _20 18 20
2)
3)
2
1 9
_1,0 9 9 0,11... 10
_1,0 7 7 0,1428571... _30 28 _20 14
2
1 = 2, (1) 9
1 = 0, (142857) 7
141
_60 56 _40 35 _50 49 10 4)
5
_20 11
2 11
2 = 5, (18) 11
5
11 0,181... _90 80 20
№ 1075 1) нет; 2) да, например
2 ⋅ 2 = 2 ; 3)
a+ b ab
=
1 b
+
1 a
– нет.
№ 1076 a, b ∈N
ab – рациональное, значит, ab = k2, a =
a k2 k2 = = 2 , b b ⋅b b
k2
a = b
b2
=
k2 , b
k – рациональное число, ч.т.д. b
№ 1077 a – рац. b – иррац. а = а0, а1 ... аk а0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1 a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + + bk+1 ⋅ 10–k–1) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. a + b = (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k)+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1) = = (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац.
a a0 + a1 ⋅ 10−1 + a2 ⋅ 10−2 + ... + ak ⋅ 10− k – = b b0 + b1 ⋅ 10−1 + b2 ⋅ 10− 2 + ... + bk ⋅ 10− k
иррационально, а т.к.
№ 1078
[
очевидно,
]
[3
]
3 + 4; 15 , 1 < 3 3 + 4 ,
15 > 3 2 + 2 7 ,
3 2 +2 7 , 3 3 +4. Возведем в квадрат.
142
оно
b 1 , то это тоже является иррац., ч.т.д. = a (a / b )
1) 1; 3 2 + 2 7 ,
18 + 28 + 12 14 ,
что
27 + 16 + 24 3 , 3 + 12 14 ,
24 3 .
Сравним 12 14 и 24 3 . Возведем в квадрат. 2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.
(
2) 0,
) ( 48 − 1, 10) ,
27 + 6 ,
Сравним
27 + 6 ,
0 < 48 − 1 ,
27 + 6 < 6 + 3 = 9 < 10 .
48 − 1 .
Возведем в квадрат 27 + 6 + 2 162 , 48 + 1 − 2 48 , 18 2 , 16 − 8 3 > 0 . Еще раз возведем в квадрат 648, Имеют общие точки.
[
] (
256 + 192 − 256 3 , 200 > −256 3 .
)
3) 2; 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 ; 11 , 2 < 3 2 + 22 , 2 5 + 2 6 < 11 . Сравним 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 . Возведем в квадрат 20 + 24 + 8 30 , 18 + 22 + 6 44 , 4 + 8 30 , 12 11 . Возведем в квадрат 8 30 и 12 11 . 1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки. ⎛ 2 ⎞ 2 ; 4 ⎟⎟ , 1 < 4) 1; 1 + 3 и ⎜⎜ , 1+ 3 < 4 . 3 −1 ⎝ 3 −1 ⎠ 2 . Умножим оба на 3 − 1 > 0 . Сравним 1+ 3 и 3 −1 (3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют.
[
]
№ 1079
a b , a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо 0 ⎪ 2 −1 >0 ⎪6− x ⎩⎪
(
)
⎧ 2 2 ⎪x = 6 − x x 0 > ⎨ ⎪ 2 −1 >0 ⎩6−x
(
)
⎧ ⎪x = ± 3 x= 3. ⎨x > 0 ⎪ 2 −1 >0 ⎩6−x
(
)
№ 1168
1) log2(2x – 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225, ⎧(2 x − 18)(x − 9 ) = 25 , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0, ⎨ ⎩2 x − 18 > 0 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0,
9 ± 81 − 65 ⎧ x = 13, x2 = 5 = 9±4, ⎨ 1 . Ответ: х = 13 1 ⎩x > 9 2 2 2) lg(x + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x + 19) : (x + 1)) = lg10, ⎧ x 2 + 19 ⎪ = 10 ⎧ x 2 + 19 = 10 x + 10 ⎧ x 2 − 10 x + 9 = 0 ⎧ x1 = 1, x2 = 9 ⎨ ⎨ ⎨ x +1 ⎨ x > −1 ⎩ ⎩ x > −1 ⎩ x > −1 ⎪x + 1 > 0 ⎩ Ответ: х = 1, х = 9. x1, 2 =
№ 1169 2
1) 5log 3 x − 6 ⋅ 5log 3 x + 5 = 0 . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a)2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3.
(
2) 25log 3 x − 4 ⋅ 5log 3 x +1 = 125 , 5log 3 x log 3 x
Пусть 5
a1 =
2 log 3 x
т.к. 5
) − 4⋅5⋅5 2
log 3 x
= 125 .
2
= a , тогда уравнение примет вид: а – 20а – 125 = 0,
10 ± 100 + 125 = 10 ± 15 , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, 1 ≠ −5 < 0 , 5log 3 x = 52 , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9.
№ 1170
1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: 1 logxxlgx=logx10, lg x = , lg2x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. lg x 2) xlog 3 x = 9 x . Прологарифмируем обе части уравнения по х: log x xlog 3 x = log x 9 x , log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, log3 x = 1 +
2 , log3 x
1 log32x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1, log3x = 2, x = 9. Ответ: x = , х = 9. 3 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx, xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: 2 10 (10у)у + 10 ⋅ (10у)-у – 11 = 0, 10 y + 2 − 11 = 0 . y
171
2
Пусть 10 y = z , тогда уравнение примет вид: z +
10 − 11 = 0 , при z ≠ 0, z
2
2
z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 10 y = 10 , у = ± 1 и 10 y = 1 , у = 0, тогда х = 10±1, х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1.
4) x
x
= xx .
Заметим, что х = 1 – решение, далее ⎛⎜ x ⎝
x
2
⎞ = x x ; x2 ⎟ ⎠
x
= x x , пусть
( ) ( )
y2
x = y , х = у2, и уравнение примет вид: y 2 y 2 = y 2 ; 2у = у2, 2 у – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4.
№ 1171 2
2
2 2 2 2 2 2 2 1) 7 ⋅ 4 x − 9 ⋅ 14 x + 2 ⋅ 49 x = 0 , 7 ⋅ ⎛⎜ 2 x ⎞⎟ − 9 ⋅ 2 x ⋅ 7 x + 2 ⋅ ⎛⎜ 7 x ⎞⎟ = 0 , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2x2 7⎜ 2 ⎜ x ⎝7
⎞ ⎛ 2 x2 ⎞ ⎟ − 9⎜ ⎟+2 = 0. ⎟ ⎜ x2 ⎟ 7 ⎠ ⎠ ⎝
⎛2⎞ Пусть ⎜ ⎟ ⎝7⎠
a1 = 2
x2
= a , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0
2 9 ± 81 − 56 9 ± 5 , а1 = 1, a2 = , тогда = 7 14 14 x2
x2
2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ а) ⎜ ⎟ = 1 , т.е. х = 0; б) ⎜ ⎟ = , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1. 7 ⎝7⎠ ⎝7⎠ 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3, 545х + 3 ⋅ 43⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x, 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x, x
x
x
x
⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ 625 + 192 ⋅ ⎜ ⎟ = 256⎜ ⎟ + 100 ⋅ 5 , 64⎜ ⎟ = 125; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠
№ 1172
(
)
(
)
1) log 4 2 + x + 3 = 1 , log 4 2 + x + 3 = log 4 4 , ⎧2 + x + 3 = 4 ⎧ x + 3 = 4 ⎨ ⎨ x ≥ −3 , х = 1. ⎩ ⎩x + 3 ≥ 0
2) log 1
3
( )
⎧⎪ 2 x − 2x = 3 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 2 x > 0
172
( )
x 2 − 2 x = − 1 , log 1 x 2 − 2 x = log 1 1 2 3 3 3 2
−1
2
,
⎧ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⎧ x1 = −1; x2 = 3 х = -1, х = 3. ⎨ x(x − 2 ) > 0 ⎨ ⎩ ⎩ x(x − 2 ) > 0
−3
.
3)
1 log3 (x + 1) = log3 x + 4 − 2 log3 2 , 2
log3 (x + 1)
1
2
= log3 x + 4 − log3 2 , log3 (x + 1)
⎧ x+4 ⎪ x +1 = 2 ⎪ ⎨x + 1 > 0 ⎪x + 4 > 0 ⎪ ⎩
1
2
= log3
x+4 , 2
x ⎧ ⎪x + 1 = 4 + 1 ⎪ ⎧4 x + 4 − x − 4 = 0 ⎧ x = 0 ⎨ x > −1 ⎨ x > −1 ⎨ x > −1 х = 0 ⎩ ⎩ ⎪ x > −4 ⎪ ⎩
№ 1173
1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 , lg2x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. 1 + lg x = 1 + logx10, 1 + lg x = 1 + lg x 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 2 lg x = + 1 , lg2x = 2 + lg x, lg2x – lg x – 2 = 0; lg x 1 2) lg x = 2, x = 102 = 100. = 0,1 ; 10 3) log2(17 – 2x) + log2(2x + 15) = 8, ⎧log 2 17 − 2 x 2 x + 15 = log 2 28 ⎪⎪ x , (17 – 2x)(2x + 15) = 28, ⎨17 − 2 > 0 ⎪2 x + 15 > 0 ⎪⎩ 17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: ⎧x = 0 ⎪ 2 2 х а – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1) = 0, а = 1, т.е. 2 = 1, х = 0, ⎨17 − 2 x > 0 х = 0. ⎪2 x + 15 > 0 ⎩
1) lg x = -1, x = 10−1 =
(
)(
)
4) log2(3 + 2x) + log2(5 – 2x) = 4, ⎧log 2 3 + 2 x 5 − 2 x = 4 ⎪⎪ x , (3 + 2x)(5 – 2x) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, ⎨3 + 2 > 0 ⎪5 − 2 x > 0 ⎪⎩
(
)(
)
⎧x = 0 ⎪ -22x+2⋅2x–1=0, 22x–2⋅2x+1=0; (2x –1)2, 2x = 1; x = 0; ⎨3 + 2 x > 0 х = 0. ⎪5 − 2 x > 0 ⎩
173
№ 1174 Ответ: не могут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2–4(mn–k2)=m2+2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0.
№ 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, z 1 = 2
2) z2 – 2z + 3 = 0, z 1 = 2
− 2 ± 4 − 19 = −2 ± i 15 ; 1
1± 1− 3 = 1± i 2 . 1
№ 1176
1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0
2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2:
x1 ≈
3 , 2
x2 ≈ −1,8
3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3.
174
4) log 1 x = 4 x 2 2
Построим графики функций у = log½x и у = 4х2
x=
1 2
5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х, y = log½x
x≈
1 2
( 3)
6) 1
x
= log3 x
Построим графики функций x
⎛1⎞ y = ⎜ ⎟ и y = log3x ⎝3⎠ 3 x≈ 2
№ 1177 1) cos x = − cos x = −
1 [-π; 3π] 2
1 ⎛ 1⎞ , x = ± arccos⎜ − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z 2 ⎝ 2⎠
π⎞ ⎛ x = ±⎜ π − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , 3⎠ ⎝ 2 x = ± π + 2nπ, n ∈ Z , 3 2 2 4π 8π , n=0, x = π, x = − π n = 1, x = , x= 3 3 3 3 2 4 8π Ответ: x = ± π, x = π, x = 3 3 3
175
2) sin x = −
3 [-π; 3π] 2
⎛ 3 ⎞⎟ x = (− 1)n arcsin⎜ − + nπ, n ∈ Z ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ x = (− 1)n +1 arcsin
3 + nπ, n ∈ Z 2
π π + nπ, n ∈ Z , n = 0, x = − , 3 3 π 4 π 5 n = -1, x = + π = π , n = 2, x = − + 2π = π , 3 3 3 3 π 4 −2 5 Ответ: x = − , x = π, x = π, x = π . 3 3 3 3 x = (− 1)n +1
№ 1178 1 1 ; 2 x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , 2 2 π π nπ 2 x = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x = (− 1)n + , n∈Z ; 6 12 2
1) sin 2 x =
2) cos 3x =
⎛− 2⎞ − 2 ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , ; 3x = ± arccos⎜ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠
π⎞ π 2 ⎛ 3x = ±⎜ π − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 4 3 4 ⎝ ⎠ 5 3) 2tg x + 5 = 0, tgx = − ; 2 5 ⎛ 5⎞ x = arctg ⎜ − ⎟ + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + nπ, n ∈ Z 2 2 ⎝ ⎠
№ 1179
1) 3cos2x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0, 5 ± 25 + 144 5 ± 13 8 = , а1 = 3, a2 = − , 6 6 6 а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, a1 = 2
2 ± 4 − 15 , 3 D < 0 ⇒ действительных корней нет. a1 = 2
176
№ 1180 1) (3 – 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, 3 ⎡ n 3 ⎡ sin x = ⎢ x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z ⎡3 − 4 sin x = 0 ⎢ 4 ; ⎢ ; ⎢⎣3 + 4 cos x = 0 ; ⎢ 3 ⎢cos x = − 3 ⎢ x = ± arccos⎛⎜ − ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z 4 ⎢⎣ ⎣⎢ ⎝ 4⎠ 3 ⎡ n ⎢ x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z . ⎢ ⎢ x = ± (π − arcsin 3 + 2lπ, l ∈ Z 4 ⎣⎢ 3 3 Ответ: x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , x = ± (π − arcsin + 2lπ, l ∈ Z . 4 4 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0, ⎡ x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z ⎡tgx +3 = 0 ⎡tgx = −3 ⎢ . ; ; ⎢⎣tgx + 1 = 0 ⎢⎣tgx = −1 ⎢ x = − π + lπ, l ∈ Z 4 ⎣ π Ответ: x = − + lπ, l ∈ Z ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. 4
№ 1181
1) sin2x=3sin x cos2x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0, ⎡ ⎡ ⎢ x = nπ, n ∈ Z ⎢sin x = 0 ⎢ ⎢cos x = 0 ; ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z . ⎢ ⎢ 2 ⎢cos x = − 2 ⎢ 2⎞ ⎛ ⎢⎣ ⎢ x = ±⎜ π - arccos ⎟ + 2mπ, m ∈ Z 3 3⎠ ⎝ ⎣⎢ Ответ: x = nπ, n ∈ Z;
x=
π + lπ, l ∈ Z ; 2
2⎞ ⎛ x = ±⎜ π − arccos ⎟ + 2mπ, m ∈ Z 3⎠ ⎝ 2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 2 x = 0 ⎡ 2 x = nπ, n ∈ Z ⎢x = 2 , n ∈ Z ⎢ 1; ⎢ 1 ⎢ π ⎢cos 2 x = ⎢ 2 x = ± arccos + 2lπ, l ∈ Z ⎢ x = ± + lπ, l ∈ Z 2 ⎣ 2 ⎣ 6 ⎣⎢ nπ π Ответ: x = , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3) cos2x + cos x = 0, cos2x – sin2x + cos2x = 0, 2cos2x – 1 + cos2x = 0, 3cos2x = 1, 177
1 ⎡ + 2nπ, n ∈ Z ⎢ x = ± arccos 3 1 cos x = ± , ⎢ . 3 ⎢ x = ±⎛⎜ π − arccos 1 ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z ⎢ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎣
Ответ: x = ± arccos
1 3
⎛ 1 ⎞ ⎟ + 2lπ, l ∈ Z + 2nπ, n ∈ Z , x = ±⎜⎜ π − arccos 3 ⎟⎠ ⎝
4) sin2x = cos2x, 2sin x ⋅ cos x – cos2x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, π π nπ ⎡ ⎡ ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z ⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z ⎡cos x = 0 ; ⎢ . ⎢⎣2 sin x − cos x = 0 ; ⎢ ⎢2 x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = (− 1)l π + lπ , l ∈ Z 6 12 2 ⎣⎢ ⎣⎢ π 1 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = arctg + lπ, l ∈ Z . 2 2
№ 1182
1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, π ⎡cos x = 0 ⎡ ⎢ ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z . 3; ⎢sin x = ⎢x ∈ φ 2 ⎣ ⎣
π + nπ, n ∈ Z . 2 2) sin4x = cos4x – sin4x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2x – sin2x)(sin2x + cos2x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, π nπ π ⎡ ⎡ , n∈Z ⎡cos 2 x = 0 ⎢2 x = + πn, n ∈ Z x= + ⎢ 2 4 2 ⎢ ; ⎢ 1; ⎢ lπ ⎢sin 2 x = l π l π + , l∈Z 2 ⎢⎢2 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z ⎢⎢ x = (- 1) ⎣ 6 12 2 ⎣ ⎣ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = (− 1)l + , l∈Z . 4 2 12 2 2 2 3) 2cos x = 1 + 4sin2x, (2cos x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, cos 2 x = 4 ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. sin 2 x Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2x – sin2x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, π ⎡cos x − sin x = 0 ⎢⎣cos x + sin x = −2 ; x = 4 + nπ, n ∈ Z x ∈ φ π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z . 4
Ответ: x =
178
№ 1183 3 x 1) cos x + cos2x = 0, 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 π 3 ⎡ ⎡3 ⎢cos 2 x = 0 ⎢ 2 x = 2 + nπ, n ∈ Z ⎡ x = π + 2 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ ⎢x π ⎢ x = π3 + 23lπ, l ∈ Z ⎢cos x = 0 ⎢ = + lπ, l ∈ Z ⎣ 2 ⎣⎢ ⎣⎢ 2 2 π 2 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z ; x = π + 2lπ, l ∈ Z. 3 3 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, nπ ⎡ x= , n∈Z ⎡sin 3x = 0 ⎢ 3 . ⎢⎣sin 2 x = 0 ; ⎢ ⎢ x = lπ , l ∈ Z 2 ⎣⎢ nπ lπ Ответ: x = , x = , l∈Z . 3 2 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, nπ ⎡ , n∈Z ⎡sin 2 x = 0 ⎢ x = . 2 ⎢⎣cos x = 1 ⎢ ⎣ x = 2mπ, m ∈ Z nπ , n∈Z . 2 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 2 x = 0 ⎢x = 2 , n ∈ Z ⎢ 1; ⎢ ⎢cos x = − ⎢ x = ±⎛⎜ π − π ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z 2 ⎣ ⎢⎣ 3⎠ ⎝ πn 2 Ответ: x = ; x = ± π + 2πn, n ∈ Z . 3 2
Ответ: x =
№ 1184
1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. 2) sin x + 3 cos x = 0 , tgx = − 3 , π x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z , x = − + nπ, n ∈ Z . 3 π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 3
179
№ 1185
1) 4sin4x + sin22x = 2, 4sin4x+ 22sin2x ⋅ cos2x=2, 4sin2x(sin2x + cos2x) = 2, π ⎡ x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z 1 2 ⎢ 2 4 . ; ⎢ sin x = ; sin x = ± 2 2 ⎢ x = (− 1)n +1 π + nπ, n ∈ Z ⎢⎣ 4 l π Ответ: x = (− 1) + lπ, l ∈ Z . 4 5 4 x 4 x 2) sin + cos = , 3 3 8 x x x x x x 5 sin 4 + cos 4 + 2 sin 2 ⋅ cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 3 3 3 3 3 3 8 2
x⎞ x x 5 1 2x 5 ⎛ 2x + cos 2 ⎟ − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 1 − sin 2 = , ⎜ sin 2 3 3⎠ 3 3 8 3 8 ⎝ 2x 3 2x 3 =± , = , sin 3 4 3 2 2x π π 3πn = ± + πn, n ∈ Z , x = ± + , 3 3 2 2
sin 2
№ 1186 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 ,
1)
n∈Z .
3 (sin 2 x − 1) − cos 2 x = 0 ,
− 3 (cos x − sin x ) − cos 2 x = 0 , 2
3 (cos x − sin x )2 + (cos x − sin x )(cos x + sin x ) = 0 ,
(cos x − sin x )( 3 (cos x − sin x ) + cos x + sin x ) = 0 ,
π ⎡ ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎢ 3 cos x − 3 sin x + cos x + sin x = 0 ⎢ ⎣ ⎣⎢cos x 3 + 1 − sin x 3 − 1 = 0
(
π ⎡ ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z , tgx = ⎢ 3 + 1 − tgx 3 − 1 = 0 ⎣⎢
(
)
(
Ответ: x = arctg
)
3 +1 3 −1
)
(
)
⎡ 3 +1 3 + 1 ⎢ x = arctg 3 − 1 + nπ, n ∈ Z , ⎢ π 3 −1 ⎢ ⎢ x = + nπ, n ∈ Z 4 ⎣
+ nπ, n ∈ Z , x =
π + lπ, l ∈ Z . 4
x x x x x x 2) 6sinx+5cos x = 6, 12 sin cos + 5 cos 2 − 5 sin 2 = 6 cos 2 + 6 sin 2 , 2 2 2 2 2 2 x x x x x 12tg + 5 − 5tg 2 − 6 − 6tg 2 = 0 , 11tg 2 − 12tg + 1 = 0 , 2 2 2 2 2
180
6±5 D ⎛ x⎞ , = 36 − 11 = 25 , tg ⎜ ⎟ = 4 11 ⎝ 2 ⎠1, 2 π ⎡x π ⎡ ⎢ 2 = 4 + πn ⎢ x = 2 + 2πn ; k, n ∈ Z ⎢x ⎢ ⎢ = arctg 1 + πk ⎢ x = 2arctg 1 + 2πk ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 11 11 π 1 Ответ: x = + 2πn; x = 2arctg + 2πk ; k, n ∈ Z . 11 2 ⎡ x ⎢tg 2 = 1 ⎢ x 1 ⎢tg = ⎢⎣ 2 11
№ 1187
1) tg3x + tg2x – 2tg x – 2 = 0, tg2x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, π π ⎡ ⎡ ⎡tgx + 1 = 0 ⎢ x = − + nπ, n ∈ Z ⎢ x = − + nπ, n ∈ Z ; . 4 4 ⎢tg 2 x = 2 ; ⎢ ⎢ ⎣ ⎣⎢tgx = ± 2 ⎣⎢ x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z Ответ: x = −
π + nπ, n ∈ Z , 4
x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z .
sin x − sin x ; cos x ≠ 0, cos x 2 cos x – cos x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x, ⎡ x = 2nπ, n ∈ Z ⎡cos = 1 ; ⎢ (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0, ⎢ π ⎣sin x − cos x = 0 ⎢ x = + lπ, l ∈ Z 4 ⎣ π Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, x = + lπ, l ∈ Z . 4
2) 1 – cos x = tg x – sin x, 1 − cos x =
№ 1188
1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, π ⎡ ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = ±⎛⎜ π − π ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z ⎢⎣ 3⎠ ⎝ π 2 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . 4 3
2) 2 cos2x = 6 (cos x − sin x) , 2(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − 6 (cos x − sin x ) = 0 ,
(cos x − sin x )(2(cos x + sin x ) −
)
6 =0,
π ⎡ ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ ⎢ 2(cos x + sin x ) = 6 ⎢cos x + sin x = 3 ⎢ 3 ⎢ ⎣ ⎢⎣ 2 ⎢cos x + sin x = 2 ⎣
181
cos x + sin x =
2 sin
π
3 2
⎛π ⎞ , sin ⎜ − x ⎟ + sin x = ⎝2 ⎠
π − 2x
⋅ cos 2
=
3 , cos 2
π − 2x 2
3 2
=
,
3 , 2
2 4 2 π π − x = ± + 2πl , l ∈ Z . 4 6 π π 5π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + 2πl , x = + 2πl , l ∈ Z . 4 12 12
№ 1189 cos 2 x ⎧sin 2 x ≠ 1 , = cos x + sin x , ⎨ 1 − sin 2 x ⎩cos 2 x = (cos x + sin x )(1 − sin 2 x ) ⎧sin 2 x ≠ 1 ⎨ 2 , ⎩cos 2 x = (cos x + sin x )(cos x − sin x ) (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, π nπ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z ; ; ⎢⎣1 − cos x + sin x = 0 ⎢ ⎣cos x − sin x = 1
⎡ π nπ , n∈Z ⎢x = + 4 2 ⎢ ⎢ ⎧cos x = 1 ; ⎢ ⎨⎩sin x = 0 ⎢ ⎢ ⎧⎨cos x = 0 ⎣⎢ ⎩sin x = −1 −π Ответ: x = + nπ, 4
№ 1190
⎧⎡ π nπ , n∈Z ⎪⎢ x = + 4 2 ⎪⎢ ⎪⎪⎢ x = 2lπ, l ∈ Z ⎨⎢ x = − π + 2mπ, m ∈ Z ⎪⎢⎣ 2 ⎪ π ⎪ x ≠ + πk , k ∈ Z 4 ⎩⎪ π n ∈ Z ; x = − + 2mπ, m ∈ Z ; x = 2πk, k ∈ Z. 2
1) sin3x + cos3x = 0, (sin x + cos x)(sin2x + sin x ⋅ cos x + cos2x) = 0 π ⎡ ⎡sin x + cos x = 0 ⎡tgx = −1 x = − + nπ, n ∈ Z 4 ⎢sin 2 x + sin x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 ⎢tg 2 x + tgx + 1 = 0 ⎢⎢ ⎣ ⎣ ⎣x = φ π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 4 2) 2sin2x + sin22x = 2, 2sin2x + 4sin2x(1 – sin2x) = 2, 2 2 sin x + 2sin x – 2sin4x – 1 = 0, 3sin2x – 2sin4x – 1 = 0, 2sin4x – 3sin2x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, a2 =
182
1 ; 2
π lπ 2 π , x = + , l∈Z . + 2πn, n ∈ Z ; 2) sin x = ± 2 2 4 2 π π lπ Ответ: x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = + , l ∈ Z . 2 4 2
1) sin x = ±1, x = ±
3) 8 sin x ⋅ cos 2 x cos x = 3 , 4 sin 2 x cos 2 x = 3 , 2 sin 4 x = 3 , 3 π π lπ ; 4 x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = (− 1)l + , l∈Z . 3 12 4 2 4) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x , π π nπ π nπ 4 x = + nπ, n ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: x = + , n∈Z . 4 16 4 16 4 sin 4 x =
№ 1191
1) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x,
2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x = Ответ: x =
π π πn + πn, n ∈ Z , x = + , n∈Z . 2 4 2
π nπ + , n∈Z . 4 2
№ 1192
1) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x, sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0, sin 2 x 2
cos x
a1 = 2
+
sin x − 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, cos x
−1± 1+ 4 −1± 5 = , 2 2
1)
tgx =
−1+ 5 −1+ 5 + nπ, n ∈ Z ; , x = arctg 2 2
2)
tgx =
−1− 5 1− 5 + lπ, l ∈ Z . , x = − arctg 2 2
−1 + 5 1− 5 + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + lπ, l ∈ Z ; 2 2 2) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет.
Ответ: x = arctg
№ 1193
1) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3, 4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0, sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0, 183
a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =
π + nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. 4
π + nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 4 2) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0, 2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0, Ответ: x =
a1 = 2
1± 3 1± 1+ 2 1± 3 1± 3 + nπ, n ∈ Z . = , tgx = , x = arctg 2 2 2 2
Ответ: x = arctg
1± 3 + nπ, n ∈ Z . 2
№ 1194
1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0, ⎡ x = nπ, n ∈ Z π lπ ⎡sin x = 0 ; ⎢ . Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ; π lπ ⎢⎣cos 4 x = 0 ⎢ x = + , l ∈ Z 8 4 8 4 ⎣ 2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 π nπ ⎡ ⎢x = 8 + 4 , n ∈ Z ⎡cos 4 x = 0 ⎢⎣cos 2 x = 0 ; ⎢ ⎢ x = π + lπ , l ∈ Z 4 2 ⎣⎢ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = + , l∈Z ; 8 4 4 2 ⎛π ⎞ 3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin ⎜ + 7 x ⎟ = 0 , ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2 sin ⎜ + 5 x ⎟ ⋅ cos⎜ + 2 x ⎟ = 0 , 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛π ⎞ ⎢sin ⎜ + 5 x ⎟ = 0 ⎠ ⎢ ⎝4 ; ⎢ ⎛π ⎞ cos + 2 x 0 = ⎜ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ ⎝4
π nπ ⎡ ⎡π ⎢ x = − 20 + 5 , n ∈ Z ⎢ 4 + 5 x = nπ, n ∈ Z ; ⎢ ⎢π ⎢ + 2 x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = π + lπ , l ∈ Z ⎢⎣ 4 ⎢⎣ 2 8 2
π lπ + , l∈Z ; 8 2 ⎛π ⎞ 4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin ⎜ − 5 x ⎟ = 0 , ⎝2 ⎠
Ответ: x = −
π nπ + , n∈Z , 20 5
π⎞ ⎛π ⎞ ⎛ 2 sin ⎜ 3x − ⎟ ⋅ cos⎜ − 2 x ⎟ = 0 4⎠ ⎝ ⎝4 ⎠
184
x=
⎡ ⎛ π⎞ π nπ π ⎡ ⎡ x= + , n∈Z ⎢sin ⎜ 3 x − ⎟ = 0 ⎢3 x − = nπ, n ∈ Z ⎢ 4 ⎝ ⎠ 12 3 4 ⎢ ; ⎢ ; ⎢ π lπ π ⎢ ⎛π ⎞ ⎢ ⎢π ⎢cos⎜ 4 − 2 x ⎟ = 0 ⎣⎢ 4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z ⎣⎢ x = − 8 + 2 , l ∈ Z ⎠ ⎣ ⎝ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = − + , l ∈Z . 12 3 8 2
№ 1195
1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,
nπ ⎡ ⎢x = 3 , n ∈ Z nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = ± + , l∈Z ; ⎢ π l π 3 6 2 ⎢x = ± + , l ∈ Z 6 2 ⎣⎢ 2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, ⎡sin 5 x = 0 nπ ⎢ , n∈Z . 3; x= ⎢sin 2 x = − 5 2 ⎣ ⎡sin 3 x = 0 ⎢ 1 ⎢cos 2 x = 2 ⎣
№ 1196 1 (sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) , 2 2 sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, nπ ⎡ x= , n∈Z nπ π lπ ⎡sin 2 x = 0 ⎢ 2 Ответ: x = ; , n∈Z , x = + , l∈Z ; ⎢ ⎢⎣cos 6 x = 0 π l π 2 12 6 ⎢x = + , l∈Z 12 6 ⎣⎢ 1 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, (− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) , 2 2 sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0,
1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,
⎡ x= ⎡sin 8 x = 0 ⎢ ⎢⎣cos 4 x = 0 ; ⎢ ⎢x = ⎢⎣
nπ , n∈Z nπ π lπ 8 Ответ: x = , n∈Z , x = + , l ∈Z . π lπ 8 8 4 + , l∈Z 8 4
№ 1197
1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx), ⎛ ⎛ π ⎞⎞ cosx + sinx = t 2 ⎜⎜ cos⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝
π⎞ t 4 5+3 ⎛ = 4 , cos⎜ x − ⎟ = = = 2 2 > 1 - нет решений, 2 4⎠ 2 2 ⎝ π⎞ t 1 5−3 ⎛ = , t2 = = 1 , cos⎜ x − ⎟ = 4⎠ 2 2 2 ⎝ t1 =
185
π π ⎡ ⎢ x − 4 = 4 + 2πn ⎡ x = π + 2πn, n ∈ Z ⎢ ; ⎢ 2 ⎢ x − π = − π + 2πn ⎢⎣ x = 2πn, n ∈ Z 4 4 ⎣⎢ 2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, 1 3 + cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 , 2 2 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0, ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 2 ⎜⎜ cos⎜ x + ⎟ ⎟⎟ = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝
(
)
⎡
π
3π
t 1 ⎢ x + 4 = 4 + 2πn π⎞ −2 − 1 ⎛ , ⎢ =− t1 = = −1 , cos⎜ x + ⎟ = 3 4⎠ ⎝ 2 2 ⎢ x + π = − 3π + 2πn ⎢⎣ 4 4 π ⎡ ⎢ x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos⎛⎜ x + π ⎞⎟ = −1 , ⎢ x = -π + 2πn, n ∈ Z 3 3 4⎠ 3 2 ⎝ ⎣
x+
⎛ 1 ⎞ ⎛ π 1 ⎞ π ⎟ ⎟ + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos⎜ = ± arccos⎜⎜ − ⎟ ⎜ 3 3 ⎟ + 2πn, n ∈ Z . 4 4 ⎝ 3 2⎠ ⎠ ⎝ Ответ: x = x=−
π + 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z , 2
⎛ 1 ⎞ π ⎟ + 2πn, n ∈ Z . + ar cos⎜⎜ ⎟ 4 ⎝3 3 ⎠
№ 1198 5 x 5 3 x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5 ⎛ x 3 ⎞ 5 ⎛ x⎞ sin x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , sin x⎜ 2 cos x ⋅ cos ⎟ = 0 , 2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎝ 2⎠
1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin
2 ⎡ ⎢ x = 5 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ 2 ⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z ⎢ ⎣ 2 π Ответ: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 5 2 5 x 5 3 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5 ⎛ x 3 ⎞ 5 x cos x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎡ 5 ⎢sin 2 x = 0 ⎢cos x = 0 ; ⎢ ⎢cos x = 0 ⎢⎣ 2
186
π 2 ⎡ ⎢ x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ 2 ⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z ⎢ ⎣ π 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z . 5 5 2 5 ⎡ ⎢cos 2 x = 0 ⎢cos x = 0 ; ⎢ ⎢cos x = 0 ⎢⎣ 2
№ 1199 sin 2 3 x
− 4 sin 2 3 x = 0 , cos3x ≠ 0, cos 2 3x sin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0, 4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 3 x = 0 ⎢x = 3 , n ∈ Z ⎢ ; ⎢ ⎢sin 3 x = ± 3 ⎢ l⎛ π ⎞ 2 ⎢3 x = (− 1) ⎜ ± 3 ⎟ + lπ, l ∈ Z ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎣ nπ π lπ π lπ Ответ: x = , n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z 3 9 3 9 3
1) tg23x – 4sin23x = 0,
2) sinxtgx = cosx + tgx,
sin x sin 2 x − cos 2 x − sin x sin 2 x = cos x + , =0, cos x cos x cos x
⎡sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0 ⎡ 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⎢cos x ≠ 0 ⎢cos x ≠ 0 ⎣ ⎣ ⎧⎡ π ⎧⎡sin x = 1 ⎪⎢ x = + 2πl , l ∈ Z 2 ⎪⎢ 1 ⎪⎢ π ⎪⎢sin x = − ⎪⎢ ( x = − 1)m +1 + mπ, m ∈ Z ⎨ ⎨⎣ 2 ⎢ 6 ⎣ ⎪ ⎪ π π ⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z ⎪ 2 ⎩ ⎪⎩ x ≠ 2 + nπ, n ∈ Z π Ответ: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z . 6
1 ⎞ cos x ⎛ cos x + 1 ⎞ cos 2 x + cos x ⎛ 3) ctgx⎜ ctgx + =1, ⎟ =1, ⎜ ⎟ = 1, sin x ⎠ sin x ⎝ sin x ⎠ sin 2 x ⎝ ⎧⎡cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0 ⎪⎢ 2 ⎨⎣⎢sin x ≠ 0 ⎪ 2 ⎩2 cos x + cos x − 1 = 0
⎡cos x = −1 ⎢ 1 ⎢cos x = + 2 ⎣
⎡ x = π + 2nπ , n ∈ Z π ⎢ ⎢⎣ x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z
187
⎧⎡ x = π + 2nπ, n ∈ Z π ⎪⎪⎢ ⎨⎢ x = ± + 2lπ, l ∈ Z 3 ⎪⎣ ⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z
4) 4ctg 2 x = 5 −
Ответ: x = ±
π + 2lπ, l ∈ Z . 3
9 4 cos 2 x 5 sin x − 9 ⎧4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0 , , ⎨ = sin x sin 2 x sin x ⎩sin x ≠ 0
⎧4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 ⎧9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0 , 9sin2x - 9sinx – 4 = 0, ⎨ ⎨ ⎩sin x ≠ 0 ⎩sin x ≠ 0
4 9 ± 81 + 144 9 ± 15 1 , sin x = , x ≠ φ, sin x = − , = 3 3 18 18 1 ⎧ 1 ⎪ x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z , ⎨ 3 3 ⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z 1 Ответ: x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z . 3 9a2–9a–4 = 0, a 1 = 2
№ 1200 1) tg2x = 3tgx
(
)
sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x , =0, = cos 2 x cos x cos 2 x − sin 2 x cos x
(
)
⎧⎪2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0 , ⎨ ⎪⎩cos x cos 2 x − sin 2 x ≠ 0 2
(
2
)
2
3
3
– sinxcos x + 3sin x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2x – 1) = 0 ⎧⎡ ⎪⎢ x = mπ, m ∈ Z ⎪⎢ ⎡ ⎪⎢ x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = mπ, m ∈ Z ⎪⎢ 6 ⎡sin x = 0 ⎢ ⎪⎪⎢ π l + 1π l ⎢ + lπ, l ∈ Z 1 ⎢ x = (− 1) + lπ, l ∈ Z ⎨⎢ x = (− 1) 6 ⎣ ⎢sin x = ± 6 ⎢ ⎪ 2 ⎣ ⎢ π l +1 π ⎪⎧ ⎢ x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z ⎪⎪⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z ⎣ 2 ⎪⎨ π kπ ⎪⎪ x ≠ + , k ∈ Z 4 2 ⎩⎪⎪⎩ Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l
2) ctg2x = 2ctgx, 188
π π + lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ; 6 6
cos 2 x 2 cos x cos 2 x 4 cos 2 x = , − =0 sin 2 x sin x 2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x
⎧cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0 ⎪ , cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0, ⎨⎧sin 2 x ≠ 0 ⎪⎨sin x ≠ 0 ⎩⎩ 1 . Ответ: решений нет. 2 π tgx − tg 4 =2, + π 1 + tgx ⋅ tg 4
3cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = − π tgx + tg π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 4 3) tg ⎜ x + ⎟ + tg ⎜ x − ⎟ = 2 , π 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 1 − tgxtg 4
tg + 1 tgx − 1 1 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x + −2 = 0, =0 1 − tgx 1 + tgx 1 − tg 2 x 2tg 2 x + 4tgx 1 − tg 2 x
⎧⎪2tg 2 x + 4tgx = 0 = 0, ⎨ , 2tg2x + 4tgx = 0, ⎪⎩1 − tg 2 x ≠ 0
⎧⎡ x = nπ, n ∈ Z ⎡tgx = 0 ⎪⎢ x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z ⎢⎣tgx = −2 ⎨⎣ ⎪1 − tg 2 x ≠ 0 ⎩ Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, sin(2 x + 1 − x − 1) sin x ⎧ x = πn, n ∈ Z = 0, = 0, ⎨ cos(2 x + 1)cos(x + 1) cos(2x + 1)cos(x + 1) ⎩cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0 Ответ: х = πn, n ∈ Z.
№ 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1:
x≈
1 2
2) sinx = 0,5x3 x ≈ ±1; x = 0
189
3) cos x = x y = cosx, y = x
x≈
1 2
4) cosx = x2 y = cosx, y = x2
x ≈ ±0,8
№ 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.
№ 1203 4 − 3x 5 − 2 x − < 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24 -46/5; 5x − 7 x + 2 2) − ≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 6 7 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5. 1)
№ 1204 1)
5x − 4 >0 7x + 5
⎧ x> ⎧5 x − 4 > 0 ⎪⎪ а) ⎨ ⎨ ⎩7 x + 5 > 0 ⎪ x > ⎩⎪ ⎧5 x − 4 < 0 б) ⎨ ⎩7 x + 5 < 0 Ответ:
190
4 5 x > 4/5 −5 7
4 4 ⎡ ⎧ ⎪⎪ x < 5 ⎢x > 5 x < -5/7 ⎢ ⎨ ⎢x < − 5 ⎪x < − 5 ⎪⎩ ⎢⎣ 7 7 5⎞ ⎛4 ⎛ ⎞ x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ ; 7⎠ ⎝5 ⎝ ⎠
2)
3 x + 10 >0 40 − x
10 ⎧ ⎛ 10 ⎞ ⎧3 x + 10 > 0 ⎪ x > − а) ⎨ ⎨ 3 x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ ⎩40 − x > 0 ⎪ x < 40 ⎝ 3 ⎠ ⎩ 10 ⎧ ⎧3 x + 10 < 0 ⎪ x < − б) ⎨ ⎨ 3 х∈φ ⎩40 − x < 0 ⎪ x > 40 ⎩
⎛ 10 ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ . ⎝ 3 ⎠ x+2 3) >0 5 − 4x ⎧ x > −2 ⎧x + 2 > 0 ⎪ а) ⎨ 5 ⎨ ⎩5 − 4 x > 0 ⎪ x < 4 ⎩
⎡ ⎛ 10 ⎞ ⎢ x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ . 3 ⎝ ⎠ ⎢ ⎣⎢ x ∈ φ
−2< x
4 ⎩ 5 Ответ: − 2 < x < . 4 8− x 4) >0 6 + 3x
5 4
5 ⎡ ⎢− 2 < x < 4 ⎢x ∈ φ ⎣
⎧8 − x > 0 ⎧ x < 8 а) ⎨ -2 < x < 8 ⎨ ⎩6 + 3 x > 0 ⎩ x > −2 ⎧8 − x < 0 ⎧ x > 8 б) ⎨ х∈φ ⎨ ⎩6 + 3x < 0 ⎩ x < −2 Ответ: -2 < x < 8.
№ 1205 1)
3 − 2x 2 3 ⎧3 − 2 x > 0 ; x > ; б) ⎨ ⎨ 2 2 ⎩3 x − 2 > 0 ⎪x > ⎪⎩ 3 2⎞ ⎛3 ⎛ ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ . 3⎠ ⎝2 ⎝ ⎠
⎧3 − 2 x < 0 а) ⎨ ⎩3 x − 2 < 0
⎧ ⎪⎪ x < ⎨ ⎪x < ⎪⎩
3 2; x< 2 2 3 3
191
5 ⎧ x> 10 − 4 x ⎧10 − 4 x < 0 ⎪⎪ 2 ; x> 5 2) < 0 ; а) ⎨ ⎨ 9x + 2 2 ⎩9 x + 2 < 0 ⎪ x > − 2 ⎪⎩ 9 5 5 ⎧ ⎡ x< x> ⎢ 2 ⎧10 − 4 x > 0 ⎪⎪ 2 ; x 0 ⎪ x < − 2 ⎪⎩ 9 9 ⎣⎢
2⎞ ⎛5 ⎛ ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ . 9⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ 18 − 7 x 18 − 7 x 0 3) − 4x2 − 1 4x2 + 1 18 18 18 – 7x > 0; x < (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: x < . 7 7
№ 1206 1)
5x + 4 5 x + 4 − 4( x − 3) x + 16 < 4; −16 ⎧ x < −16 или ⎨ ; -16 < x < 3; ⎨ x − 3 < 0 или ⎨ x − 3 > 0 ; ⎨ x < 3 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩x > 3 2 2 − 1(x − 4) 6− x 2) 0 или ⎨ x − 4 < 0 ; ⎨ x > 4 или ⎨ x < 4 x > 6 или x < 4; ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ −4 x − 10 2 2 − 4( x + 3) ≤0, 3) ≤ 4, ≤0, x+3 x+3 x+3
⎧− 4 x − 10 ≤ 0 или ⎧− 4 x − 10 ≥ 0 ; ⎧ x ≥ −2,5 или ⎧ x ≤ −2,5 ⎨ x > −3 ⎨ x < −3 ⎨x + 3 > 0 ⎨x + 3 < 0 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ x ≥ -2,5 или x < -3.
№ 1207 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ 1) 8х2 – 2х – 1 < 0, ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ < 0 , − < x < 4 ⎠⎝ 2⎠ 4 2 ⎝ +
+
−
1 4
2) 5x2 + 7x ≤ 0,
–
1 2
+
7 − ≤x≤0. 5
192
+
−
7 5
–
0
№ 1208 1)
⎧ (x − 3)(x + 3) < 0 (x − 3)(x + 3) ⎪ < 0 равносильно 0, 2x2 + 3 > 0 при любых х; (x + 4)3 > 0 равносильно x + 4 > 0; x > -4.
№ 1209
(
)
⎧⎪(3 x − 15) x 2 + 5 x − 14 ≥ 0 ≥0, ⎨ 2 , ⎪⎩ x + 5 x − 14 ≠ 0 x 2 + 5 x − 14 (3х – 15)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, (х – 5)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, 3 x − 15
1)
+
–
+
-7
2
x ∈ (−7;2 ) U [5;+∞ ) ; 2)
x −1 0 x + 2x − 8 > 0 равносильно ⎨ 2 2 ⎪⎩ x − 2 x − 3 ≠ 0 x − 2x − 3 2
3)
5
⎧⎪(x − 1) x 2 + 4 x + 2 < 0 , ⎨ 2 ⎪⎩ x + 4 x + 2 ≠ 0
(х – 1)(х2 + 4х + 2) < 0,
–
–
(x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0 + + –
-4 -1 x ∈ (−∞;−4 ) U (−1;2 ) U (3;+∞ ) .
+ 2
–
3
№ 1210
lg(x2 + 8x + 15). Выражение не имеет смысла при x2 + 8x + 15 ≤ 0, x2 + 8x + 15 ≤ 0, (x + 3)(x + 5) ≤ 0
+
+
-5 Ответ: -5 ≤ х ≤ -3.
–
-3
x ∈ [-5; -3]. 193
№ 1211 (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0. Т.к. квадратное уравнение имеет два действительных корня, когда 2 2 ⎧ ⎧ 2 D>0 и а≠0, то ⎨(m + 1) − (m − 1)(m − 3) > 0 ⎨m + 2m + 1 − m + 4m − 3 > 0 ⎩m ≠ 1 ⎩m − 1 ≠ 0 1 ⎧6m − 2 > 0 m > , следовательно, m =2 – наименьшее целое число, при ⎨m ≠ 0 3 ⎩ котором уравнение имеет 2 действительных корня.
№ 1212
(m – 7)x2 + 2(m – 7)x + 3 = 0, D < 0, a ≠ 0 ⎧(m − 7 )2 − 3(m − 7 ) < 0 ⎧m 2 − 14m + 49 − 3m + 21 < 0 ⎨ ⎨ ⎩m ≠ 7 ⎩m − 7 ≠ 0 ⎧m 2 − 17 + 70 < 0 ⎧(m − 7 )(m − 10) < 0 (m – 7)(m – 10) < 0 ⎨m ≠ 7 ⎨ ⎩ ⎩m ≠ 7 +
+ 7
–
10
m ∈ (7; 10).
Ответ: при m = 8, m = 9.
№ 1213 1 2 x +3 ⎛1 ⎞ 2 < 0 , ⎜ x 2 + 3 ⎟(x 2 − 9 x + 14 ) < 0 . 2 x 2 − 9 x + 14 ⎝ ⎠ Выражение принимает отрицательное значение, когда x2 – 9x + 14 < 0, т.к.
x2 + 3 > 0 при любых х 2
х2 – 9х + 14 < 0, (x – 7)(x – 2) < 0 + +
– 2 7 x ∈ (2; 7), следовательно, наибольшее целое х = 6. Ответ: х = 6
№ 1214 x2 − x − 6
x2 − x − 6
< 0 , x2 + 7 > 0 при любых х, а 2 x + 7 −7− x х2 – х – 6 < 0 при х ∈ (-2; 3), следовательно, наименьшее целое, х = -1. 2
>0,
№ 1215 1) |2x – 3| < x, 2x – 3 < x или 3 – 2x < x, 2x – x < 3, x < 3 или –2x –x < -3, -3x < -3; x > 1. Ответ: 1 < x < 3 2) |4 – x| > x, 4 – x > x или x – 4> x; x < –2 или x ∈ φ. Ответ: x < –2. 194
3) |x2 – 7x + 12| ≤ 6, x2 – 7x + 12 ≤ 6 или –x2 + 7x – 12 ≤ 6; а) x2 – 7x + 6 ≤ 0, x1 = 6 и х2 = 1, 1 ≤ x ≤ 6;
+
+
–
1
6
б) х2 – 7х + 18 ≥ 0, х2 – 7х + 18 = 0, D < 0, следовательно, неравенство справедливо при всех х. Ответ: 1 ≤ х ≤ 6. 4) |x2 – 3x – 4| > 6, x2 – 3x – 4 > 6 или –x2 + 3x + 4 > 6; а) х2 – 3х – 10 > 0, x1 = 5 и x2 = -2, x < -2, x > 5;
+
+
–
-2
2
5
б) -x + 3x – 2 > 0, x2 – 3x + 2 > 0, x1 = 2 и х2 = 1, 1 < x < 2;
+
+
–
1
2
Ответ: x < -2, 1 < x < 2, x > 5; 5) |2x2 – x – 1| ≥ 5, 2x2 – x – 1 ≥ 5 или -2х2 + х + 1 ≥ 5 а) 2х2 – х – 6 ≥ 0, x1 = −
3 и х2 = 2. 2 +
+
3 2
−
–
2
3 , х ≥ 2. 2 б) -2х2 + х – 4 ≥ 0, 2х2 – х + 4 ≤ 0, D < 0 – корней нет. Следовательно, x ≤ −
Ответ: x ≤ −
3 ,х≥2 2
6) |3x2 – x – 4| < 2, 3x2 – x – 4 < 2 или –3x2 + x + 4 < 2, а) 3х2 – х – 6 < 0 , x1 =
1 − 73 1 + 73 ; , x= 6 6 +
+ 1−
–
73
1+
6
73 6
б) -3х2 + х + 2 < 0, 3x2 – x – 2 > 0, x1 = − +
2 , x2 = 1, 3
+ −
2 3
–
1
195
−
2 < x , x > 1, но |3x2 – x – 4| = -3x2 + x + 4 при –1 < x < 4/3 3
Ответ:
1 − 73 2 1 + 73 < x < − , 1< x < . 6 6 3
(Опечатка в ответе задачника)
№ 1216 1) 2,51-x > 2,5-3x, 1 – x > -3x, x > −
1 ; 2
2) 0,13x-4 ≥ 0,152-x, x – 4 ≤ 2 – x, 2x ≤ 6, x ≤ 3; ⎛4⎞ 3) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
2x
⎛3⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠
x −1
⎛3⎞ , ⎜ ⎟ ⎝4⎠
−2 x
⎛3⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠
x −1
, -2x ≥ x – 1, x ≤
1
4) 3−4 x > 3 , 3 −4 x > 3 2 , -4x > ½, x < −
1 ; 3
1 . 8
№ 1217 1) 2 − x + 5 < ⎛1⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
x −2
1 -х+5 -2 , 2 < 2 , -x + 5 < -2, x > 7; 4 x−2
1 ⎛1⎞ > , ⎜ ⎟ 27 ⎝ 3 ⎠
3
⎛1⎞ > ⎜ ⎟ , |x – 2| < 3 ⇔ ⎝3⎠
⎡⎧ x − 2 ≥ 0 ⎢⎨ x < 5 ⎢⎩ x ∈ (-1; 5). ⎢⎧ x − 2 < 0 ⎨ ⎢⎣⎩ x > −1
№ 1218 2
2
1) 5 x + 3 x +1,5 < 5 5 , 5 x + 3 x +1,5 < 5 x2 + 3x < 0, x(x + 3) < 0 + + –
-3
2) 0,2
2
x −6 x + 7
0
≥ 1 , 0,2
x 2 −6 x + 7
3
2
, x2 + 3x + 1,5 < 3/2,
-3 < x < 0.
[
]
≥ 0,20 , x2–6x+7 ≤ 0, x ∈ 3 − 2 ;3 + 2 .
№ 1219 1) 3x +19
x− 1
2
≥ 3 3 , 3x +1 ⋅ 32 x −1 ≥ 3
1
3
, 33 x ≥ 3
2) 3x+1 + 3x-1 < 10, 3x(3 + 3-1) < 10, 3 x ⋅
1
3
, 3х ≥ 1/3, x ≥
1 ; 9
10 < 10 , 3x < 3, x < 1. 3
№ 1220 2
x
1) 22 x − 4 x −1 + 8 3 ⋅ 2− 4 > 52 , 22x – 22x-2 + 22x-4 > 52, 22x-4(24–22 + 1) > 52, 22x-4 ⋅ 13 > 52, 22x-4 > 4, 22x-4 > 22, 2x – 4 > 2, 2x > 6, x > 3;
196
2) 2x+2 – 2x+3 + 5x-2 > 5x+1 + 2x+4, 2x+2 – 2x+3 – 2x+4 > 5x+1 – 5x-2, 1 1 ⎞ ⎛ ⋅ 5x, 2 x (4 − 8 − 16 ) > 5 x ⎜ 5 − ⎟ , 4 ⋅ 2x – 8 ⋅ 2x – 16 ⋅ 2x > 5 ⋅ 5x 25 25 ⎝ ⎠ 2 x (− 20 ) > 5 x ⋅ 4
x
124 24 ⎛ 2 ⎞ , ⎜ ⎟ 0 для всех х. ⎝5⎠ ⎝5⎠
№ 1221 1) 3,3x
2
+6x
+
< 1 , 3,3x –
2
+6x
–6
< 3,30 , т.е. х2 + 6х < 0, x(x + 6) < 0 +
0
x −x 2
1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ > , ⎜ ⎟ 2) ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝4⎠ x ∈ R, т.к. D < 0;
-6 < x < 0;
2 x−2 x2
>
1 , т.е. 2х – 2х2 < 1, 2x2 – 2x + 1 > 0, 2
x −3
x −3
x−3 0 при любых х, т.к. D < 0, x – 3 < 0, x < 3. Ответ: x < 3.
3) 8,4 x
2
+ 6 x +11
< 1 , 8,4 x
⎛1⎞ ⎝2⎠
4) 22 x +1 − 21 ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⋅ 22 x −
2
+ 6 x +11
< 8,40 ,
2 x +3
+ 2 ≥ 0 , 22x ⋅ 2 – 21 ⋅ 2-2x-3 + 2 ≥ 0,
1 21 − 2 x 21 +2≥0 , ⋅2 + 2 ≥ 0 , 22x = a, 2− 2 x = , a > 0, 2a − 8 8a a
16a 2 + 16a − 21 ≥ 0 равносильно (16a2 + 16a – 21)8a ≥ 0. 8a Найдем корни трехчлена 16a2 + 16a – 21, 3 7 − 8 ± 64 + 336 − 8 ± 20 , a1 = , a2 = − , = 4 4 16 16 3 ⎞⎛ 7⎞ ⎛ ⎜ a − ⎟⎜ a + ⎟a ≥ 0 , 4 ⎠⎝ 4⎠ ⎝ a1, 2 =
+ –
−
7 4
+
0
–
−
3 4
⎡ 7 ⎤ ⎡3 ⎞ ⎡3 ⎞ a ∈ ⎢ − ;0⎥ U ⎢ ;+∞ ⎟ т.к. а > 0, то решением является a ∈ ⎢ ; + ∞ ⎟ ⎣ 4 ⎦ ⎣4 ⎠ ⎣4 ⎠ 197
3 1 3 ; x ≥ log 2 . 4 2 4
2 2x ≥
⎛1⎞ 5) 34 −3 x − 35⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
2−3 x
+ 6 ≥ 0 , 34 ⋅ 3-3x – 35 ⋅ 33x-2 + 6 ≥ 0, 33x = a, a > 0,
34 35 81 ⋅ 9 − 35a 2 + 54a 81 35 − ⋅a + 6 ≥ 0 , ≥ 0, − a+6≥ 0 , a 9 9a a 9
(-35a2 + 54a + 729)a ≥ 0, (35a2 – 54a – 729)a ≤ 0, (a − 5,4)⎛⎜ a + 27 ⎞⎟a ≤ 0 , 7 ⎠ ⎝
+
+ –
–
0
27 − 7
5,4
т.к. a > 0, то решением является 0 < a ≤ 5,4, 33x ≤ 5,4, 1 33 x ≤ 3log 3 5, 4 , 3x ≤ log35,4, x ≤ 1 − log3 5 . 3
№ 1222 1) 3
log 2
x −1 x+2
0 >0 ⎪⎩ x + 2 ⎩x+2
–2 2) 5 log
2
(x
2
− 4 x + 3, 5
1 )
>
2
2
− 4 x + 3, 5
)
> 5 −1 , log 2 (x 2 − 4 x + 3,5) > log 2
1 , 2
⎧⎪ x 2 − 4 x + 3 > 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 4 x + 3,5 > 0
⎧(x − 1)(x − 3) > 0 ⎪⎛ ⎞ ⎨⎜ x − ⎛⎜ 2 + 1 ⎞⎟⎛⎜ x − ⎛⎜ 2 − 1 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ > 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎩⎝
x ∈ (-∞;1) U (3;+∞).
198
⎧ 3(x − 2) 0 ⎪⎩ x + 2
2
1 log ( x , 5 5
1 ⎧ 2 ⎪ x − 4 x + 3,5 > 2 ⎨ ⎪ x 2 − 4 x + 3,5 > 0 ⎩
⎧ 3x − 6 0 ⎪⎩ x + 2
⎧ x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ ) ⎪ ⎨ x ∈ ⎛⎜ − ∞;2 − 1 ⎞⎟ U ⎛⎜ 2 + 1 ;+∞ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎩
№ 1223 1) log6(2 – x) < log6(2x + 5) ⎧ ⎧2 − x < 2 x + 5 ⎪ x > −1 ⎪ ⎪ ; ⎨x < 2 x ∈ (-1; 2); ⎨2 − x > 0 ⎪ ⎪⎩2 x + 5 > 0 5 ⎪x > − 2 ⎩
(
)
(
)
2) log 1 x 2 − 2 ≥ −1 , log 1 x 2 − 2 ≥ log 1 3 , 3
⎧⎪ x 2 − 2 ≤ 3 ; ⎨ 2 ⎪⎩ x − 2 > 0
[
x ∈ − 5 ;−
( )( ( )( 2 )U ( 2 ; 5 ] .
3
3
) )
⎧⎪ x − 5 x + 5 ≤ 0 ⎨ ⎪⎩ x − 2 x + 2 > 0
[ (
] ) ( 2 ;+∞)
⎧⎪ x ∈ − 5 ; 5 ⎨ ⎪⎩ x ∈ − ∞;− 2 U
№ 1224 1)
lg x
0 ⎪ ⎨2 x + 6 > 0 ⎪⎩4 x > 2 x + 6
2
1 (2 x + 6) , 4
⎧x > 0 ⎪ ⎨ x > −3 x ∈ (3; +∞). ⎪⎩ x > 3
№ 1225 1) log0,5(1 + 2x) > -1, log0,5(1 + 2x) > log0,52 1 ⎧ x>− ⎧1 + 2 x > 0 ⎪⎪ 2 x ∈ ⎛⎜ − 1 ; 1 ⎞⎟ ; ⎨1 + 2 x < 2 ⎨ 1 ⎩ ⎝ 2 2⎠ ⎪x < 2 ⎩⎪ 2) log3(1 – 2x) < -1, log3(1 – 2x) < log3 ⎧1 − 2 x > 0 ⎪ ⎨1 − 2 x < 1 ⎪⎩ 3
⎧ ⎪⎪ x < ⎨ ⎪x > ⎪⎩
1 , 3
1 2 x ∈ ⎛⎜ 1 ; 1 ⎞⎟ . 1 ⎝3 2⎠ 3
№ 1226
1) log0,5(x2 – 5x + 6) > -1 ⎪⎧ x 2 − 5 x + 6 > 0 ⎧(x − 3)(x − 2 ) > 0 ⎧ x ∈ (− ∞;2 ) U (3;+∞ ) ⎨ 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 5 x + 6 < 2 ⎩(x − 1)(x − 4 ) < 0 ⎩ x ∈ (1;4 )
x ∈ (1; 2) U (3; 4); 199
2) log8(x2 – 4x + 3) ≤ 1 ⎧⎪ x 2 − 4 x + 3 > 0 ⎧(x − 1)(x − 3) > 0 ⎧ x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ ) ⎨ 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 4 x + 3 ≤ 8 ⎩(x + 1)(x − 5) ≤ 0 ⎩ x ∈ [− 1;5] x ∈ [−1;1) U (3;5] .
№ 1227 ⎛ 3x + 1 ⎞⎟ 1) log 1 ⎜ log 1 ≤0 ⎜ x −1 ⎟ 2⎝ 2 ⎠
⎧x + 1 3 >0 ⎪ ⎪ x −1 ⎪ 3x + 1 0 ⎪ 3x + 1 ⎪ >0 ⎨log 1 2 x −1 ⎪ ⎪log 3 x + 1 ≥ 0 ⎪⎩ 1 2 x − 1
(
⎧ 1⎞ ⎪ ⎛ ⎪ x ∈ ⎜ − ∞;− 3 ⎟ U (1;+∞ ) ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ x +1 0 ⎧ x− 5 x+ 5 >0 ⎪ ⎪ 2 2 ⎨log 4 x − 5 > 0 ⎨ x − 5 > 1 ⎪log x 2 − 5 > 1 ⎪ x 2 − 5 < 4 ⎪⎩ 4 ⎪⎩
( (
) )
–3
(
−
6
−
5
) ( 6 ;3).
5
( (
) ( 5;+∞) ) ( 6 ;+∞)
⎧ x ∈ − ∞;− 5 U ⎪ ⎨ x ∈ − ∞;− 6 U ⎪ x ∈ (− 3;3) ⎪⎩
6
3
Ответ: x ∈ − 3;− 6 U
№ 1228
1) (x2 – 4)log0,5x > 0, x > 0 по определению логарифма ⎧(x − 2 )(x + 2) > 0 ⎧(x − 2)(x + 2 ) < 0 а) ⎨ ; б) ⎨ ; log > 0 x ⎩ 0, 5 ⎩log0,5 x < 0
200
⎧ x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ ) а) ⎨ x ∈ (-∞;-2); б) ⎩x < 1 Т.к. х > 0, то х ∈ (1, 2). Ответ: x ∈ (1;2 ) 2) (3х – 1)log2x < 0 ⎧3x − 1 > 0 ⎧⎪ x > 1 3 а) ⎨ ⇒x>1 ⎨ ⎩log 2 x > 0 ⎪⎩ x > 1 1 ⎧ 1 ⎧3x − 1 < 0 ⎪ x < б) ⎨ ⎨ 3 ⇒ x< . x log < 0 3 ⎩ 2 ⎪⎩ x < 1
⎧ x ∈ (− 2;2) x ∈ (1; 2) ⎨x > 1 ⎩
1⎞ 3⎠
⎛
Ответ: x ∈ ⎜ 0; ⎟ U (1;+∞ )
⎝
№ 1129
1) x1+lgx < 0,1-2, x > 0; x1+lgx < 102. Ясно, что х = 1 решение нашего неравенства
а) x > 0, x < 1, logxx1+lgx > logx102, 1 + lg x > Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0,
(a
2
+
)
2 lg x + lg 2 x − 2 >0 , lg x lg x
(a − 1)(a + 2) > 0
+a−2 >0, a
a
+
–
– -2 0 1 a ∈ (− 2;0) U (1;+∞ ) , т.е. -2 < lgx < 0 и lgx > 1, 0,01 < x < 1 и x > 10, но т.к. x > 0 и x < 1, то решением является 1 < x 0 , a ∈ ⎜ ;0 ⎟ U (1;+∞ ) , a ⎝2 ⎠
1 < lg x < 0 и lgx > 1, 2
1 10
< x < 1 и x > 10; т.к. 0 < x < 1,
⎛ 1 ⎞ < x < 1 . Ответ: x ∈ ⎜⎜ ; 10 ⎟⎟ . 10 ⎝ 10 ⎠ 3) x + 3 > log3(26 + 3x), 26 + 3x > 0 при любых х, log33x+3 > log3(26 + 3x), 3x+3 > 26 + 3x, 3x+3 – 26 – 3x > 0, 26 ⋅ 3x – 26 > 0, 3x > 1, x > 0; 4) 3 – x < log5(20 + 5x), 20 + 5x > 0 при любых х, log553-x < log5(20 + 5x), 125 53-x < 20 + 5x, − 20 − 5 x < 0 , 5x = a > 0 5x то решением является
1
(a − 25)(a + 5) > 0 , 125 − 20a − a 2 a 2 + 20a − 125 0, a a a a ∈ (−5;0 ) U (25;+∞ ) , т.е. -5 < 5x < 0 и 5x > 25, x = φ и x>2, т.е. x > 2;
№ 1230 3 3 , cos(3x ) ≥ , 3x = y, cos y ≥ 2 2 π π π − + 2πn ≤ y ≤ + 2πn, n ∈ Z , − + 2πn ≤ 3 x ≤ 6 6 6
1) cos(− 3x ) ≥
202
3 , 2 π + 2πn, n ∈ Z , 6
π 2 π 2 + πn ≤ + πn, n ∈ Z ; 18 3 18 3 1 π⎞ π 1 ⎛ 2) cos⎜ 2 x − ⎟ < − , 2 x − = y , cos y < − ; 2 3 3⎠ 2 ⎝ −
2 4 2 π 4 π + 2πn < y < π + 2πn, n ∈ Z , π + 2πn < 2 x − < π + 2πn, n ∈ Z 3 3 3 3 3 π 5 + πn < x < π + πn, n ∈ Z 2 6
№ 1231 1 4 1 1 b = arcsin , a = − π − arcsin 4 4 1 c = 2π + a = π − arcsin 4
1) sin x
−
1 1 + 2πn < x < arcsin + 2πn, 4 4
1 4
1 1 + 2πn < x < arcsin + 4 4 + π + 2πn, n ∈ Z − arcsin
3) tgx – 3 ≤ 0 tgx ≤ 3 π − + πn < x ≤ arctg 3 + πn, n ∈ Z 2
4) cos x >
1 ⎛1⎞ ; a = − arccos⎜ ⎟ 3 ⎝ 3⎠
b = arccos
1 3
1 1 − arccos + 2πn < x < arccos + 2πn, n ∈ Z 3 3
203
№ 1232 1) 2 cos x − 3 < 0 [-3π; π]
cos x
0, [-3π; π] 2 tgx > 3 2 a = arctg 3 2 −5π ⎞ ⎛ 2 3π ⎞ ⎛ x ∈ ⎜ arctg − 3π; ⎟ U ⎜ arctg − 2π;− ⎟ U 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 3 ⎝
3)
2 π⎞ ⎛ 2 π⎞ ⎛ U ⎜ arctg − π;− ⎟ U ⎜ arctg ; ⎟ 3 2⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎝
204
№ 1233
1) Рассмотрим очевидное неравенство (a – b)2 ≥ 0; преобразуем его:
a2 – 2ab + b2 ≥ 0, a2 + b2 ≥ 2ab, 2) Преобразуем неравенство:
a2 + b2 ≥ ab , что и требовалось доказать 2 a 3 + b3 a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 > ; 2 8
4a3 + 4b3 − a3 − 3a 2b − 3ab 2 − b3 3a 3 + 3b3 − 3a 2b − 3ab 2 >0; > 0; 8 8
(
)
(
)
3 a3 + b3 − 3ab(a + b ) 3 a 3 + b3 − ab(a + b ) >0; ⋅ >0; 8 8 1 a3 + b3 – ab(a + b) = (a + b)(a2 – 2ab + b2) = (a + b)(a – b)2, при a, b > 0 и a ≠ b (a + b)(a – b)2 > 0, следовательно, исходное неравенство верно.
№ 1234 1) (a+b)(ab+1)≥4ab. Пусть ab=x, тогда a =
(
)
x и неравенство примет вид: b
x 2 + b 2 x + x + b 2 − 4bx x + b2 (x + 1) − 4bx ⎛x ⎞⎛ x ⎞ 4x ≥0; ⋅b ; ≥0; ⎜ + b ⎟⎜ ⋅ b + 1⎟ ≥ b b ⎠ b ⎝b ⎠⎝ b
(x
2
) (
)
− 2bx + b 2 + x 1 − 2b + b 2 ≥ 0; b
(x − b )2 + x(1 − b )2 b
≥0.
(ab − b )2 + ab(1 − b )2
≥0. b Неравенство верно, т.к. (ab – b)2 > 0, ab > 0, b > 0, (1 – b)2 ≥ 0; 2) a4 + 6a2b2 + b2 > 4ab(a2 + b2), (a4 + 2a2b + b4) + 4a2b2 > 4ab(a2 + b2), 2 (a +b2)2+4a2b2>4ab(a2+b2), (a2+b2)2–4ab(a2+b2)+4a2b2>0, но ((a2+b2)–2ab)2 > 0 при всех a, b таких, что a2 + b2 – 2ab ≠ 0, т.е. при (a – b)2 ≠ 0, a ≠ b. Сделаем обратную подстановку:
№ 1235 1)
1⎛ a b c ⎞ a b c + + ≥ 3 , ⎜ + + ⎟ ≥1 b c a 3⎝ b c a ⎠
a b c и , а справа их , b c a среднее геометрическое. Т.к. среднее геометрическое всегда не превышает среднего арифметического, то неравенство верно для любых a>0, b>0, c>0 2) 2a2+b2+c2≥2a(b+c), a2+a2+b2+c2–2ab–2ac≥0, (a–b)2+(a–c)2 ≥ 0 – верно.
Слева стоит среднее арифметическое чисел
№ 1236 3+ 7y ⎧ x= ⎧5 x − 7 y = 3 ⎪⎪ 5 1) ⎨ ⎨ ⎩6 x + 5 y = 17 ⎪ 6(3 + 7 y ) + 5 y = 17 5 ⎩⎪
205
18 + 42у + 25у = 85, 67у = 67, у = 1, x =
3+ 7y = 2 . Ответ: (2; 1). 5
⎧2 x − y − 13 = 0 ⎧ x = −2 y − 1 2) ⎨ ⎨ ⎩ x + 2 y + 1 = 0 ⎩2(−2 y − 1) − y − 13 = 0 -4у – 2 – у – 13 = 0, -5у = 15, у = -3, х = 5. Ответ: (5; -3).
№ 1237 ⎧x − y x + y − = 10 ⎪⎪ ⎧2 x − 2 y − 5 x − 5 y = 100 2 1) ⎨ 5 ⎨2 x + 5 y = 100 x y ⎩ ⎪ + = 10 ⎪⎩ 5 2 ⎧ ⎛ 100 − 5 y ⎞ ⎟ − 7 y = 100 ⎪⎪− 3⎜ 2 ⎠ ⎨ ⎝ ⎪ x = 100 − 5 y ⎪⎩ 2 -300 + 15у – 14у = 200, у = 500, х = -1200. Ответ: (-1200; 500). ⎧x + y x − y + =6 ⎪⎪ ⎧3 x + 3 y + 2 x − 2 y − 36 = 0 3 2) ⎨ 2 ⎨3 x + 3 y − 4 x + 4 y = 0 x y x y + − ⎪ − =0 ⎩ 3 ⎩⎪ 4 ⎧−3x − 7 y = 100 ⎪ ⎨ x = 100 − 5 y ⎪⎩ 2
⎧5 x + y − 36 = 0 ⎧35 y + y − 36 = 0 у = 1, х = 7. Ответ: (7; 1). ⎨7 y − x = 0 ⎨x = 7 y ⎩ ⎩
№ 1238 ⎧⎪ y = x 2 − 5 ⎧⎪ y + 5 = x 2 1) ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = 25 ⎪⎩ x 2 + x 2 − 5 = 25 х2 + х4 – 10х2 + 25 = 25, х4 – 9х2 = 0, х2(х2 – 9) = 0, х2(х – 3)(х + 3) = 0, х = 0, х = ±3, у = -5, у = 4. Ответ: (0, -5), (3, 4), (-3, 4). ⎧ xy = 16 ⎪ ⎧ xy = 16 ⎧4 y 2 = 16 ; ⎨ 2) ⎨ x , у = ±2, х = ±8. Ответ: (±8, ±2). ; ⎨ =4 ⎩x = 4 y ⎩x = 4 y ⎪⎩ y
(
)
2 2 ⎧ 2 ⎧ 2 ⎧ 2 3) ⎨ x + 2 y = 96 ⎨4 y + 2 y = 96 ⎨ y = 16 , у = ±4, х = ±8. ⎩x = 2 y ⎩x = 2 y ⎩x = 2 y Ответ: (±8, ±4)
№ 1239 2 2 2 2 2 ⎧ ⎧ 2 ⎧ 1) ⎨ x − y = 13 ⎨(1 + y ) − y = 13 ⎨1 + 2 y + y − y = 13 , у = 6, х = 7. ⎩x − y = 1 ⎩x = y + 1 ⎩x = y + 1 Ответ: (7, 6).
206
⎧ x 2 − 3 y = −5 ⎧ 2 ⎪ 2 2 2) ⎨ x − 3 y = −5 ⎨ 23 − 7 x , х – 23 + 7х + 5 = 0, х + 7х – 18 = 0, 7 + 3 = 23 x y y = ⎩ ⎪ 3 ⎩ 2 2 Ответ: (2, 3), (-9, 28 ). х1 = 2, х2 = -9, у1 = 3, у2 = 28 . 3 3
№ 1240 ⎧x y 3 x 1 3 t 2 −1 3 ⎪ − = = t , тогда t − = ; 1) ⎨ y x 2 . Пусть = ; 2t2–3t–2 = 0, t 2 t 2 y ⎪ x 2 + y 2 = 20 ⎩ t1 = 2, t2 = −
1 x x 1 , отсюда а) = 2 и б) = − ; y y 2 2
а) х = 2у и (2у)2 + у2 = 20, 5у2 = 20, y = ± 4 = ±2 , х = ±4; 2
1 ⎛ 1 ⎞ y и ⎜ − y ⎟ + y 2 = 20 , у = ±4, х = ±2. 2 ⎝ 2 ⎠ Ответ: (±4, ±2), (±2, ±4). 1 ⎧ y x 10 ⎧y x ⎪ + =3 ⎪ + = 3 ⎨x y 3 . 2) ⎨ x y ⎪x2 − y 2 = 8 ⎪x2 − y 2 = 8 ⎩ ⎩
б) x = −
Обозначим: t1 = 3, t2 =
y 1 10 , 3t2 + 3 – 10t = 0, 3t2 – 10t + 3 = 0, = t , тогда t + = x t 3
1 ; 3
y = 3 , у = 3х, х2 – 9х2 = 8, -8х2 = 8, х2 = -1, решений нет x y 1 б) = ; х = 3у, 9у2 – у2 = 8, у = ±1, х = ±3. Ответ: (±3, ±1). x 3
а)
⎧⎪ x 2 = 13x + 4 y , вычтем уравнения: х2 – у2 = 9(х – у), 3) ⎨ 2 ⎪⎩ y = 4 x + 13 y (х – у)(х + у) – 9(х – у) = 0, (х–у)(х+у–9) = 0 – либо х = у, либо х = 9 – у а) х=у, х2=13х+4х, х2–17х=0, х(х–17)=0, х1=0, х2=17, у1=0, у2 =17; б) х=9–у, у2=4(9–у)+13у, у2–9у–36=0, у1=-3, у2 =12, х1 = 12, х2 = -3. Ответ: (0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12). ⎧⎪3x 2 + y 2 − 4 x = 40 , вычтем уравнения: х2 – 7х = -12, 4) ⎨ 2 ⎪⎩2 x + y 2 + 3 x = 52
х2–7х+12=0, х2–7х+12=0, x 1 = 2
7 ± 49 − 48 7 ± 1 = , х1 = 4, х2 = 3; 2 2
207
а) х = 4, 32 + у2 + 12 = 52, у2 = 8, y = ±2 2 ; б) х = 3, 18 + у2 + 9 = 52, у2 = 25, у = ±5.
Ответ: (4, ± 2 2 ), (3, ±5).
№ 1241 ⎧⎪2 x + y = 32 ⎧⎪2 x + y = 25 ⎧ x + y = 5 ⎧ x = 5 − y 1) ⎨ 3 y − x ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ⎪⎩3 = 27 ⎪⎩33 y − x = 33 ⎩3 y − x = 3 ⎩3 y − 5 + y = 3 4у = 8, у = 2, тогда х = 3. Ответ: (3, 2). x ⎧3x − 22y = 77 ⎪ 2) ⎨ x . Пусть 3 2 = a, 2 y = b ; a, b>0, тогда система примет вид: ⎪32 − 2y = 7 ⎩ ⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧(b + 7 )2 − b 2 = 77 ⎧b 2 + 14b − b 2 = 28 ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩a − b = 7 ⎩a = b + 7 ⎩a = b + 7 ⎩a = b + 7 x
⎧b = 2 2 у ⎨a = 9 , тогда 3 2 = 3 , х = 4, 2 = 2, у = 1. Ответ: (4, 1) ⎩ ⎧⎪3x ⋅ 2 y = 576 3) ⎨ ⎪⎩log 2 ( y − x ) = 4 ⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6 ⎨ ⎩y = x + 4
⎧3x ⋅ 2 y = 32 ⋅ 26 ⎪ ⎨ ⎪⎩log 2 ( y − x ) = log
2
2
4
⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6 ⎨ ⎩y − x = 4
3х ⋅ 2х+4 = 32 ⋅ 26, 3х ⋅ 2х = 32 ⋅ 22
Т.к. функция 3х ⋅ 2х возрастает, то решение единственное. Отсюда х = 2, у = 6. Ответ: (2, 6) ⎧lg x + lg y = 4 ⎧⎪lg xy = lg104 ⎧⎪ xy = 104 4) ⎨ lg y ⎨ ⎨ = 1000 ⎪⎩ x lg y = 1000 ⎪⎩log x x lg y = log x 1000 ⎩x ⎧⎪ xy = 104 ⎨ ⎪⎩lg y = log x 103
4 ⎧ ⎪ y = 10 ⎨ x ⎪lg y = 3 log x 10 ⎩
⎧ 104 ⎪y = ⎪ x ⎨ 4 10 3 ⎪lg = ⎪⎩ x log10 x
3 104 3 = 4 − lg x = x lg x lg x Пусть lgx = a, 4a – a2 – 3 = 0, a2 – 4a + 3 = 0, a1 = 1, a2 = 3; 1) a = 1, lgx = 1, x = 10, у = 103; 2) a = 3, lgx = 3, х = 103, у = 10. Ответ: (10, 1000), (1000, 10). lg
№ 1242 ⎧1 ⎧log x − log y = 0 ⎪ log 2 x − log 2 y = 0 1) ⎨ 2 4 2 2 ⎨2 ⎩x − 5 y + 4 = 0 ⎪x2 − 5 y2 + 4 = 0 ⎩
208
⎧⎪log 2 x y = 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0
⎧⎪ x y = 1 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0
⎧ ⎪⎪ y = ⎨ ⎪x2 − ⎪⎩
1 x х3 + 4х – 5 = 0, 5 +4=0 x
x 3 + 4 x - 5 = (x - 1) (x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x = 1 (т.к. х2 + х + 5 > 0 при любом х ∈ R), х = 1 – единственный действительный корень; у = 1. Ответ: (1, 1). 2 4 4 ⎧⎪ x 2 + y 4 = 16 ⎧⎪ x + y = 16 ⎧ 2 2) ⎨ x + y = 16 8 ⎨ 2 ⎨ 2 3 ⎩log 2 x + 2 log 2 y = 3 ⎪⎩ xy = 2 ⎪y = x ⎩ ⎧ 2 82 ⎪⎪ x + 2 = 16 x ⎨ ⎪ y2 = 8 ⎪⎩ x
⎧ x 4 − 16 x 2 + 64 = 0 ⎪ ⎨ 2 8 ⎪y = x ⎩
(
)
2 ⎧ 2 ⎪ x −8 = 0 ⎨ 2 8 ⎪y = x ⎩
⎧⎪ x = ± 8 , но х, у > 0 по определению логарифма. Ответ: ⎨ ⎪⎩ y = 8
( 8, 8 ) . 4
№ 1243 ⎧⎪ x + y = 16 1) ⎨ . ⎪⎩ x − y = 2 y = b, a ≥ 0, h ≥ 0 , тогда система примет вид: Пусть x = a, ⎧a + b = 16 ⎧2b = 14 ⎧b = 7 2 2 ⎨a − b = 2 ⎨a = b + 2 ⎨a = 9 , тогда x = a = 81, y = b = 49. ⎩ ⎩ ⎩ Ответ: (81, 49). ⎪⎧ x − y = 1 y =b≥0 2) ⎨ . Пусть x = a ≥ 0, ⎪⎩ x + y = 19 ⎧a − b = 1 ⎧a = b + 1 ⎨a + b = 19 ⎨2b = 18 ; ⎩ ⎩
⎧a = 10 ⎨b = 9 , где a = x , b = ⎩
y , тогда х=100, у=81.
№ 1244 ⎧⎪ x + y − 1 = 1 ⎧x + y − 1 = 1 1) ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ x − y + 2 = 2 y − 2 ⎩ x − y + 2 = 4 y − 2 y + 1 ⎧x = 2 − y ⎧x = 2 − y ⎧x = 2 − y ⎨ ⎨ ⎨ 2 2 ⎩2 − y − y + 2 = 4 y − 8 y + 4 ⎩4 y − 6 y = 0 ⎩2 y (2 y − 3) = 0
(
)
1 ⎧ ⎧x = 2 − y x = 2, x = ⎪ ⎪⎪ 2 , при этом должно выполняться: ⎨ y = 0, y = 3 ⎨ 3 ⎪⎩ ⎪ = = y 0 , y 2 ⎪ 2 ⎩
209
а) х + у – 1 ≥ 0; б) х – у + 2 ≥ 0; в) 2у – 2 ≥ 0. Для у = 0, х = 2 условие в) не выполняется, следовательно, ⎛1 3⎞ решение — ⎜ , ⎟ . ⎝2 2⎠ ⎧⎪ 3 y + x + 1 = 2 2) ⎨ ⎪⎩ 2 x − y + 2 = 7 y − 6 ⎧x = 3 − 3 y ⎨ 2 ⎩2(3 − 3 y ) − y + 2 = 49 y
⎧3 y + x + 1 = 4 ⎨ 2 ⎩2 x − y + 2 = 49 y − 84 y + 36 ⎧x = 3 − 3 y ⎨ − 84 y + 36 ⎩6 − 6 y − y + 2 = 49 y 2 − 84 y + 36
77 ± 5929 − 5488 77 ± 21 = , 98 98 2 12 9 4 у1 = 1, у2 = , х1 = 0, х2 = 3 − = , при этом должно выполняться: 7 7 7 а) 3у + х + 1 ≥ 0; б) 2х – у + 2 ≥ 0; в) 7у – 6 ≥ 0, следовательно, решением является пара (0, 1). Ответ: (0, 1). 49y2 – 77y + 28 = 0, y 1 =
№ 1245 ⎧sin x + cos y = 1 ⎪ 1) ⎨ 2 3 ⎪⎩sin x + 2 sin x ⋅ cos y = 4
⎧cos y = 1 − sin x ⎪ ⎨sin 2 x + 2 sin x(1 − sin x ) = 3 ⎪⎩ 4
⎧cos y = 1 − sin x ⎧cos y = 1 − sin x ⎪ ⎪ ⎨sin 2 x + 2 sin x − 2 sin 2 x − 3 = 0 ⎨− sin 2 x + 2 sin x − 3 = 0 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 4 2 4sin x – 8sinx + 3 = 0, sinx = a, |a| ≤ 1, 4a2 – 8a + 3 = 0,
4 ± 16 − 12 4±2 1 , a1 = , a1 = 1,5 > 1, a2 = , т.е. 4 4 2 2 1 1 ±π n π sin x = ; x = (− 1) + nπ, n ∈ Z , cos y = ; y = + 2lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3 π π ⎛ ⎞ Ответ: ⎜ (− 1)n + nπ, n ∈ Z , ± + 2lπ, l ∈ Z ⎟ 6 3 ⎝ ⎠ a1 = 2
1 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2) ⎨ , sin x = − sin y , 2 2 2 2 ⎪cos x + 2 sin x sin y + 4 cos y = 4 ⎩
⎛1 ⎞ cos 2 x + 2⎜ − sin y ⎟ sin y + 4 cos 2 y = 4 , ⎝2 ⎠ 2
⎞ ⎛1 1 − ⎜ − sin y ⎟ + 1 ⋅ sin y − 2 sin 2 y + 4 cos2 y = 4 , ⎠ ⎝2 1− 210
1 + sin y − sin 2 y + sin y − 2 sin 2 y + 4 − 4 sin 2 y − 4 = 0 , 4
− 7 sin 2 y + 2 sin y +
3 = 0 , siny = a; |a| ≤ 1, 28a2 – 8a – 3 = 0, 4
4 ± 16 + 84 4 ± 10 1 3 , a1 = , a 2 = − , = 28 28 2 14 π 1 а) sin y = ; y = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , sinx = 0, x = πl, l ∈ Z, 2 6 3 ⎛ 3⎞ б) sin y = − ; y = (− 1)n +1 arcsin⎜ ⎟ + nπ, n ∈ Z , 14 ⎝ 14 ⎠
a1 = 2
5 ⎛5⎞ , x = (− 1)l arcsin⎜ ⎟ + lπ, l ∈ Z . 7 ⎝7⎠ π ⎛ ⎞ Ответ: ⎜ πl , l ∈ Z ; (− 1)n + nπ, n ∈ Z ⎟ 6 ⎝ ⎠ sin x =
5 3 ⎛ ⎞ l n +1 ⎜ (− 1) arcsin + lπ, l ∈ Z ; (− 1) arcsin + nπ, n ∈ Z ⎟ . 7 14 ⎝ ⎠
№ 1246 1 ⎧ ⎪sin x cos y = − 1) ⎨ 2 ⎪⎩tgxctgy = 1
1 ⎧ ⎪⎪sin x cos y = − 2 sin x cos y ⋅ = 1 , тогда ⎨ sin x cos y ⎪ ⋅ = 1 cos x sin y ⎩⎪ cos x sin y
1 1 1 , sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − + = 0 , т.е. 2 2 2 sin(x – y) = 0, x – y = πn, n ∈ Z, x = πn + y, n ∈ Z, 1 1 sin ( y + πn ) cos y = − , (sin y ⋅ cos πn + cos y sin πn ) cos y = − , 2 2 1 π а) n = 2k + 1, тогда − sin y cos y = − , sin2y = 1, 2 y = + 2πl , l ∈ Z ; 2 2 1 π б) n = 2k, тогда sin y cos y = − , sin2y = -1, 2 y = − + 2πl , l ∈ Z . 2 2 cos x ⋅ sin y = −
⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ π Ответ: ⎜⎜ πn + ⎜ ± + πl ⎟,± + πl ⎟⎟ , l, n ∈ Z. ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ ⎠ 1 ⎧ ⎪sin x sin y = 2) ⎨ 4 ⎪⎩3tgx = ctgy
1 ⎧ ⎪⎪sin x sin y = 4 3 ⎨ sin x ⋅ sin y 1 тогда cos x cos y = , 4 ⎪ = ⎪⎩ cos x ⋅ cos y 3
cos x cos y − sin x sin y =
3 1 1 − = , 4 4 2 211
1 π π ; x + y = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , 2 3 3 1 1⎞ 1 1⎛ = ⎜ cos(x − y ) − ⎟ , sin x ⋅ sin y = (cos(x − y ) − cos(x + y )) , 2⎠ 2 4 2⎝ cos(x + y ) =
cos(x – y) = 1; x – y = 2πl, l ∈ Z, π ⎧ π π ⎪x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , x = ± + π(l + n ) y = ± + π(l + n ) − 2πl ; l, n ∈ Z ⎨ 3 6 6 ⎪⎩ y = x − 2πl , l ∈ Z
π ⎛ π ⎞ Ответ: ⎜ ± + π(l + n );± + π(n − l )⎟, l , n ∈ Z . 6 6 ⎝ ⎠
№ 1247 x+4 ⎧ 2 x − 3 3x + 5 x − − < 3− ⎪⎪ 2 3 6 2 ; ⎧3(2 x − 3) − 2(3 x + 5) − x − 3 ⋅ 6 + 3(x + 4) < 0 ; ⎨ 2 x − 8 4 − 3x x + 2 ⎨⎩6 − 2(2 x − 8) + 3(4 − 3 x ) − 12 x + 2(x + 2) < 0 ⎪1 − + < 2x − 3 2 3 ⎩⎪ 25 ⎧ 1 ⎧ ⎪⎪ x < 2 ⎪⎪ x < 12 2 ; ⎨ . ⎨ ⎪ x > 38 ⎪ x > 1 15 ⎪⎩ 23 ⎪⎩ 23 наименьшее – это 2.
⎧6 x − 9 − 6 x − 10 − x − 18 + 3 x + 12 < 0 ⎧2 x − 25 < 0 ⎨6 − 4 x + 16 + 12 − 9 x − 12 x + 2 x + 4 < 0 ; ⎨− 23 x + 38 < 0 ; ⎩ ⎩ Ответ: наибольшее целое решение – это х = 12,
№ 1248 ⎧ x +1 x + 2 x − 3 x − 4 ⎪⎪ 5 − 4 < 3 + 2 ⎧12(x + 1) − 15(x + 2) − 20(x − 3) − 30(x − 4 ) < 0 ⎨5(x − 2) − 15 − 3(x − 5) > 0 ⎨x−2 x−5 ⎩ ⎪ > 1+ ⎪⎩ 3 15 162 ⎧ ⎧12 x + 12 − 15 x − 30 − 20 x + 60 − 30 x + 120 < 0 ⎧−53 x + 162 < 0 ⎪ x > − ⎨ ⎨5 x − 10 − 15 − 3 x + 15 > 0 ⎨2 x − 10 > 0 53 ⎩ ⎩ ⎪⎩ x > 5 Ответ: x > 5.
№ 1249
Примем длину эскалатора за 1, а время, за которое эскалатор поднимает 1 1 неподвижно стоящего человека, за х, тогда — скорость эскалатора, x 180 1 — скорость пассажира, а — скорость пассажира, поднимающегося по 45 движущемуся эскалатору. 1 1 1 = + , откуда х = 60. Ответ: 60 с По условию 45 x 180
212
№ 1250
Пусть собственная скорость теплохода х, тогда скорость движения по течению (х + 2), а против – (х – 2). Расстояние между пристанями составит (х + 2) ⋅ 7 или (х – 2) ⋅ 9, следовательно (х – 2)9 = (х + 2)⋅7, откуда х = 16, следовательно, расстояние между пристанями 126 км.
№ 1251
Пусть х км/ч – планируемая скорость парохода, тогда истинная скорость х + 2,5 км/ч. расстояние будет равно х ⋅ 54, или (х + 2,5)⋅48. Следовательно, x ⋅ 54 = (x + 2,5) ⋅ 48; 54x – 48x = 120, 6x = 120, x = 20, следовательно, скорость парохода 20 км/ч, а расстояние 20 ⋅ 54 = 1080 км.
№ 1252
Примем объем работы за 1, а время выполнения при совместной работе 1 1 за х дней. Тогда производительность I рабочего , а II , общая 24 48 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 . Следовательно, получаем уравнение: ⎜ + ⎟x = 1 , + 24 48 24 48 ⎝ ⎠
3 x = 1 ; 3х = 48, х = 16. 48 № 1253
Ответ: за 16 дней.
Пусть было освоено х га целинных земель, тогда остальная площадь составит 174 – х га. С целинных земель собрано 30х ц, а с остальных (174-х) ⋅ 22 ц. По условию было собрано 4556 ц. Следовательно, составим уравнение: Ответ: 91 га. (174 – х) ⋅ 22 + 30х = 4556, откуда х = 91.
№ 1254
Пусть I число равно х, a II равно у. Тогда (х – у):ху = 1:24 и х+у=5(х–у). ⎧24(x − y ) = xy , получим х = 12, у = 8. Составим систему уравнений: ⎨ ⎩ x + y = 5(x − y )
№ 1255
Пусть первая дробь равна х, а вторая дробь равна у. Тогда третья дробь равна 1 – х – у. По условию х – у = 1 – х – у и х + у = 5(1 – х – у). Составим систему: 1 1 1 1 1 ⎧x − y = 1 − x − y ⎨ x + y = 5 − 5 x − 5 y , откуда x = , y = , тогда третья дробь 1 − − = 2 3 2 3 6 ⎩ Откуда:
1 1 1 , , . 2 3 6
№ 1256
Пусть дневная плановая норма – х деталей, тогда новая норма х + 9 деталей. 360 378 360 деталей должны были изготовить за дней. А 378 деталей за x+9 x 378 360 на 1. Составим уравнение: больше дней. По условию задачи x+9 x 213
360 378 − = 1 , откуда х = 45. x x+9 На самом деле бригада делала 54 детали, а за весь срок 378+54=432 детали. Ответ: 432 детали.
№ 1257 Пусть скорость катера х км/ч. По условию, скорость плота 3,6 км/ч. Путь катера 50 км, а плота 10 км. Время, затраченное на путь, будет равно 30 20 10 30 20 10 + = + или . Отсюда , откуда х = 18. x + 3,6 x − 3,6 3,6 x + 3,6 x − 3,6 3,6
№ 1258 Пусть стоимость 1 билета в I организации х копеек, тогда во II органи1800 3000 , а II зации билет стоил х – 30 копеек. I организация закупила x x − 30 1800 3000 больше на 5. билетов. По условию x x − 30 3000 1800 Составим уравнение: − = 5 , откуда х = 150 или х = 120. x x − 30 Следовательно, I организация купила 20 или 25 билетов, а II – 15 или 20.
№ 1259 Пусть скорость плота х км/ч, тогда скорость лодки х + 48 км/ч. Время 17 1 17 17 17 лодки ч, а плота ч. По условию больше на 5 ч. x + 48 x + 48 x x 3 17 17 16 Составим уравнение: − = x x + 48 3 51х + 51 ⋅ 48 – 51х = 16(х2 + 48х), 16х2 + 16 ⋅ 48х – 51 ⋅ 48 = 0, х2 + 48х – 152 = 0, откуда х = 3. Ответ: 3 км/ч.
№ 1260 Пусть со II c 1 га собирали х ц, тогда на I участке с 1 га собирали 210 210 210 га, а второго га. По условию х + 1 ц. Площадь первого x +1 x x 210 210 210 1 больше на 0,5. Составим уравнение: − = , откуда х = 20. x x +1 2 x +1 Следовательно, на II участке с 1 га собрано 20 ц, а на I участке – 21 ц.
№ 1261 Пусть х шагов делает ученик, тогда его брат делает х – 400 шагов. Дли700 700 700 м, а длина шага брата м. По условию на шага ученика x x − 400 x − 400 700 больше на 0,2 м. x 214
700 700 − = 0,2 . x − 400 x 2 3500х – 3500х + 1400000 = х – 400х, откуда х=1400.
Составим уравнение:
№ 1262
Пусть I число равно х, тогда II число xq, III – xq2, IV – xq3. По условию xq2 больше х на 9, а xq больше xq3 на 18. ⎧⎪ xq 2 − x = 9 ⎧x = 3 , откуда ⎨ Составим систему: ⎨ ⎪⎩ xq − xq 3 = 18 ⎩q = −2 Следовательно, I число равно 3, II равно -6, III равно 12, IV равно –24.
№ 1263 1) По условию а4 = 1, т.е. а1 + 3d = 1, кроме того, 2a + d ⋅ 2 S3 = 1 ⋅ 3 = (a1 + d ) ⋅ 3 , т.е. (a1 + d) ⋅ 3 = 0 2 Составим систему уравнений: 1 ⎧ d= ⎪⎪ ⎧a1 + 3d = 1 ⎧2d = 1 2 ⎨a + d = 0 ⎨a = − d ⎨ ⎩ 1 ⎩ 1 ⎪a1 = − 1 ⎪⎩ 2 2) S n =
2a1 + d (n − 1) ⋅ n , тогда S12 2
⎛ 1⎞ 1 2⎜ − ⎟ + ⋅11 ⎝ 2⎠ 2 = = 27 . 2
№ 1264 Пусть I число равно х, знаменатель геометрической прогрессии q. Тогда II число равно xq, a III число xq2. Разность арифметической прогрессии xq2 – xq, тогда IV число xq2 + xq2 – xq = 2xq2 – xq. По условию задачи составим систему уравнений: 1 ⎧ ⎧⎪ x + 2 xq 2 − xq = 16 ⎪q = ⎧q = 3 , решая, получим: и ⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ xq + xq 2 = 12 ⎩x = 1 ⎪⎩ x = 16 Следовательно, I число равно 1, II равно 3, III равно 9, IV равно 15, или числа равны 16, 8, 4, 0, соответственно. Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.
№ 1265 Пусть х – первый член геометрической прогрессии, а у – ее знаменатель, тогда b5 = x ⋅ y4; b8 = x ⋅ y7, b11 = x ⋅ y10. По условию a1 = x ⋅ y4, a2 = x ⋅ y7, a10 = x ⋅ y10. Тогда d = xy7 – xy4 и а10 = а1 + 9d = xy4 + 9(xy7 – xy4). Составим уравнение: xy10 = xy4 + 9xy7 – 9xy4; x ≠ 0, y ≠ 0 Следовательно, у6 = 9у3 – 8, у6 – 9у3 + 8 = 0, y3 =
9 ± 81 − 32 3 ; у = 8, у3 = 1. 2 215
Следовательно, у = 2 и у = 1. По условию S5 =
(
)
(
)
x y 5 −1 x ⋅ 25 −1 и S5 = 62, т.е. 62 = ;х=2 y −1 2 −1
При у = 1имеем х + х + х + х + х = 62, 5х = 62, x = 12
2 . 5
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2 или 12 Ответ: 2 или 12
2 . 5
2 . 5
№ 1266 1) Пусть а1 – первый член арифметической прогрессии, а d – ее разность. По условию a1 > 0, d > 0. 2) a5 ⋅ a6 больше а1 ⋅ а2 в 33 раза, следовательно, можем составить уравнение: (a1 + 4d) ⋅ (a1 + 5d) = a1(a1 + d) ⋅ 33; a12 + 9da1 + 20d2 = 33a12 + 33a1d; −10d d 32a12 + 24a1d – 20d2 = 0, откуда a1 = , a1 = , но а1 > 0, d > 0, 8 2 d следовательно, a1 = . 2 3) a5 ⋅ a2 = (a1 + 4d) : (a1 + d) = 3.
№ 1267 В результате построений получается множество подобных треугольни1 ков с k = , площади которых образуют бесконечную геометрическую 2 b 12 1 прогрессию, в ней b1 = 12, q = , следовательно S = 1 = = 16 см2. 1 1− q 4 1− 4
№ 1268
5 y = − x+b 2
5 (-2;3); 3 = − 2 ⋅ (− 2 ) + b b = −2
№ 1269
у = kx + 3
(-1;4); 4 = −1⋅ k + 3 k = −1
№ 1270 у = kx + b ⎧− 2 = −1 ⋅ k + b ⎧2 = k − b ; ⎨ ; k = 1, b = −1 ; ⎩2 = 3(b + 2) + b
1) А(-1;-2), В(3;2) ⎨ ⎩2 = 3k + b
216
⎧1 = 2k + b ⎧1 = 2k + 2 − k ; ⎨ ; k = −1, b = 3 ; 2) A(2;1), B(1;2), ⎨ ⎩2 = k + b ⎩b = 2 − k ⎧2 = 4 k + b
⎧b = 2 − 4k
5
1
; ⎨ ; k = ,b = − ; 3) A(4;2), B(-4;-3), ⎨ 8 2 ⎩− 3 = −4k + b ⎩3 = 4k − 2 + 4k
⎧− 2 = −2k + b ⎧b = 2k − 2
⎧b = 2k − 2
;⎨ ; ⎨ 4) A(-2;-2), B(3;-2), ⎨ ⎩− 2 = 3k + b ⎩− 2 = 3k + 2k − 2 ⎩k = 0
;
k = 0, b = −2
№ 1271 A(-3;2), B(-2;2), C(3;0) Для прямой, проходящей через В и С, справедлива система:
2 6 2 6 ⎧2 = −2k + d ⎨0 = 3k + b ; k = − , b = k , таким образом y1 = − x + . 5 5 5 5 ⎩ 2 У прямой, проходящей через А коэффициент k равен − вследствие 5 параллельности ее и первой прямой ВС.
4 ⎛ 2⎞ ⎟ + b, откуда b = , 5 ⎝ 5⎠
Справедливо уравнение: 2 = −3⎜ − тогда у = −
2 4 x+ . 5 5
Ответ: у = −
2 6 2 4 x+ , у = − x+ . 5 5 5 5
№ 1272 у x + =1 2 4 3 = 1 принадлежит; 2) А(0;3) 0 + ≠ 1 не принадлежит 2 2 0 ⎛3 ⎞ 3 1 − = 1 принадлежит. 3) А(1;0) 1 + = 1 принадлежит 4) А ⎜ ;−1⎟ 2 ⎝2 ⎠ 2 2 1)A(-1;4) − 1 +
№ 1273 3 x + 2 ; 1) x = 0, у = 2, А(0,2 ) – точка пересечения с 0у; 4 8 ⎛8 ⎞ у = 0, x = , B⎜ ,0 ⎟ – точка пересечения с 0x; 3 ⎝3 ⎠
у=−
⎛
8⎞ 3⎠
2
2) AB = ⎜ 0 − ⎟ + (2 − 0 )2 =
⎝
3) Из ∆AOC : OC =
4 − x2
10 3 (1) 217
4) Из ∆BOC : OC = Из (1) и (2): x =
64 ⎛ 100 20 ⎞ −⎜ − x + x2 ⎟ 9 ⎝ 9 3 ⎠
(2)
36 8 6 = . = AC ; OC = 4 − 25 5 5
№ 1274 1) 3x − 1 > 0, x
1. № 1277 у = 3 − 2 x − 3, у = 1+ 3 x + 2 3 3 − 2 x − 3 > 1 + 3 x + 2 3; x < − 3
(
(
)
)
(
( )
)
№ 1278
у = 2 x − 3 . Т.к. линейная функция вида у = kx + b возрастает при
k > 0 и данная функция линейная и k = 2 > 0, то она возрастает.
№ 1279 у = − 3x − 3 Т.к. функция у = − 3 x − 3 линейная и k = −3 < 0, то она убывает.
№ 1280 1) Графики линейных функций пересекаются, если коэффициенты k у них различны. у = 3x − 2 и у = 3x + 1 параллельны 2) y = 3 x − 2 и y = 3 x + 1 пересекаются.
№ 1281 1) y = 2 − x а) y = 2 − x б) симметрия относительно Oy в) пересечений нет.
218
2) y = 2 − x точки пересечения
2 − x = 3, x = −1, y = 3 и x = 5, y = 3
3) y = 2 − x + x − 3
⎧x ≥ 3
⎧x ≥ 3
⎧x < 2
⎧x < 2
;⎨ ; а) ⎨ ⎩ y = x − 2 + x − 3 ⎩ y = 2x − 5
⎧2 ≤ x < 3
⎧2 ≤ x < 3
;⎨ б) ⎨ ⎩y = x − 2 − x −3 ⎩y =1
;⎨ в) ⎨ ⎩ y = 2 − x − x + 3 ⎩ y = −2 x + 5 точки пересечения: y = 2 − x + x − 3 = 3 , x = 4, y = 3 и x = 1, y = 3.
№ 1282 y = x2 − 2 x − 3 1) графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (+1;-4). 2) Найдем у’:
y ' = 2 x − 2 = 2(x − 1) y ' > 0 при x > 1, след. на x ∈ [1;4)
функция возрастает 3) Наименьшее значение в точке x = 1, равное –4 4) x 2 − 2 x − 3 > −2 x + 1, x 2 − 4 > 0 при x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ )
5) y = f (xo ) + f ' (xo )⎛⎜ x − x ⎞⎟
⎝
0
⎠ 219
f ' (2 ) = 2, f (2 ) = −3 y = −3 + 2(x − 2 ) = −3 + 2 x − 4 y = 2 x − 7 — уравнение касательной в точке х0 = 2.
№ 1283 y = −2 x 2 + 3 x + 2 1) график функции – парабола, ветви направлены вниз; вершина с координатами
3 1 , y0 = 3 , 4 8 точки пересечения с 0у: (0;2); с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½ x0 =
3 , следовательно на [1;2] функция убывает 4 3 3) наибольшее значение функция принимает в точке x = 4 2 2 4) y = 3 x + 2 , − 2 x + 3x + 2 < 3x + 2 , − 2 x < 0 , 2) y′ – 4x + 3 < 0 при x >
x 2 > 0 , следовательно при всех x ≠ 0 ; 5) y = 3; 3 = −2 x 2 + 3 x + 2; 2 x 2 − 3 x + 1 = 0; x = 1, x =
y ' (1) = −1, y = -x + 4 - уравнение касательной в х = 1
1 ; 2
1 ⎛1⎞ y ' ⎜ ⎟ = 1; y = x + 2,5 - уравнение касательной в x = 2 2 ⎝ ⎠
№ 1284
1) y = x2 и y = x + 6, x2 = x + 6, x2 – x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след. пересекаются. 2) y =
3 3 и y = 4(x + 1) , = 4 x + 1; 3 = 4 x 2 + x, 4 x 2 + x − 3 = 0 , x x
D = 1 + 48 – решение есть, след. пересекаются.
1 2 1 1 1 x и y = , x 2 = , x3 = 8 , x = 2 , след. пересекаются. 8 x 8 x 1 1 4) y = 2 x − 1 и y = , 2 x − 1 = , x x 2 2 x − x − 1 = 0 D = 1 + 8 – решение есть, след. пересекаются. 3) y =
№ 1285 1) y = 2 x + 2− x , y (− x ) = 2− x + 2 x = y (x ) – функция четная 2) y = 3 x − 3− x , y (− x ) = 3− x − 3 x = − y (x ) – функция нечетная 220
3) y = ln
3+ x 3− x 3+ x , y (− x ) = ln = − ln = − y (x ) – функция не3+ x 3− x 3− x
четная 4) y = ln
5+ x ; y(− x ) = y (x ) – функция четная 5− x
№ 1286
1) y = 2 x 2 − 1 , y (− x ) = 2(− x ) − 1 = y (x ) – функция четная 2
2) y = x − x3 , y (− x ) = − x + x3 = y (− x ) – функция нечетная
1 1 , y (− x ) = − x5 + = y (x ) – функция нечетная x x sin (x ) − sin x
3) y = x5 − 4) y =
x
, y (− x ) =
= y (x ) – функция четная
x
№ 1287
1) y = x sin x , y (− x ) = − x(− sin x ) = y (x ) – функция четная 2) y = x 2 cos x , y (− x ) = (− x ) cos x = y (x ) – функция четная 2
3) y = x + sin x , y (− x ) = − x − sin x = − y (x ) – функция нечетная
4) y = x + cos x , y (− x ) = − x + cos x — функция не является четной и не является нечетной.
№ 1288 1) y = cos
2π 4 π 3x T= 3 = 2 3 2
2) y = 2 sin 0,6 x
T=
2π 10 = π 0,6 3
№ 1289 1). y = cos 3 x; 3T = 2π; T =
x T 2π ; 2). y = sin ; = 2π; T = 10π ; 3 5 5
π ; 5 sin x cos x + sin x sin x(cos x + 1) = = tgx(cos x + 1) ; 4). y = sin x + tgx; y = cos x cos x 3). y = tg 5 x; 5T = π; T =
Наименьший период для sin x 2π, для tgx 2π тоже являются периодом. Следовательно для у = sinx + 69x Т=2π.
№ 1290
1) y = − x 4 + 4 x 2 − 5 , y (− x ) = − x 4 + 4 x 2 − 5 = y (x ) – функция четная 2) y = x3 − 4 x , y (− x ) = − x3 + 4 x = − y (x ) – функция нечетная
221
№ 1291
y = ax 2 + bx − 4 , y (1) = 0, y (4 ) = 0 ,
⎧0 = a + b − 4 ⎨0 = 16a + 4b − 4; ⎩
⎧b = 4 − a ⎧b = 4 − a ⎧b = 5 ⎨16a + 16 − 4a = 0; ⎨12a + 12 = 0 ⎨a = −1 ⎩ ⎩ ⎩
y = − x 2 + 5b − 4 . Наибольшее значение функция принимает в точке x =
5 ⎛5⎞ ; y⎜ ⎟ = 2,25 2 ⎝2⎠
№ 1292 ⎛1 ⎞ 3 π⎞ ⎛ sin 2 x − cos 2 x ⎟ = 2 sin ⎜ 2 x − ⎟ ⎜2 ⎟ 2 3⎠ ⎝ ⎝ ⎠
1) y = sin 2 x − 3 cos 2 x = 2⎜
(
)
2) y = 2 cos 2 x + sin 2 2 x = 2 cos 2 x − sin 2 x + 4 sin 2 x cos 2 x =
( = 2(1 − 2 sin 2
(
2
2
(
2
)
= 2 1 − sin x − sin x + 2 sin x ⋅ 1 − sin x = 2
2
4
)
x + 2 sin x − 2 sin x = 2 − 4 sin 2 x
2
1 ≥ sin x ≥ 0 , ymax = 2 , ymin = −2 . (Опечатка в ответе задачника).
№ 1293 1) y = 2 x 2 − 5 x + 6 , с осью 0y: х = 0, у = 6 ⇒ (0, 6), с осью 0х пересечений нет, т.к. D < 0; 2) y = 2 x 2 − 5 x + 2 , c осью 0у: х = 0, у = 2 ⇒ (0, 2) с осью 0х: x 1 =
2
5 ± 25 − 16 5 ± 3 ⎛1 ⎞ = , (2, 0) и ⎜ ,0 ⎟ . 4 4 ⎝2 ⎠
№ 1294 y = ax 2 + bx + c , y (−2 ) = 15, y (3) = 0, y (0 ) = −3 ⎧15 = 4a − 2b + c ⎪ ⎨0 = 0a + 3b + c ; ⎪⎩− 3 = c
⎧c = -3 ⎪ ; ⎨- 3a + 1 = b ⎪⎩15 = 4a + 6a - 2 - 3
⎧a = 2 ⎪ ⎨b = -5 ⎪⎩c = -3
y = 2 x 2 − 5 x − 3 — график функции — парабола с
1⎞ ⎛5 ,−6 ⎟ , ветви которой направле4 8⎠ ⎝
вершиной в точке ⎜ ны вверх.
222
№ 1295 y = 25 − x 2 , 1) 25 − x 2 ≥ 0, (5 − x )(5 + x ) ≥ 0; D( y ) = [− 5;5] ; 2) y (− x ) = 25 − x 2 = y (x ) — четная;
1 2
3) y ' = − ⋅ 2 x ⋅
1 25 − x 2
=−
x 25 − x 2
, у′ = 0 при х = 0;
4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно 0у. Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5].
№ 1296 y=
5 x−2
1) D( y ) = (−∞;2 ) U (2;+∞ ) ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая 3) y ' =
−5 , (x − 2 )2
y ' ≠ 0 , следователь-
но стационарных точек нет. 4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересечений нет; 5) y′ < 0 при x ≠ 2 , следовательно функция убывает.
№ 1297 1) y = 3x + 1
а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =
3x ln 3
г) 0х: у = 0 – пересечений нет, 0у: х = 0, у = 2 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает. 223
x
⎛1⎞
2) y = ⎜ ⎟
−3
⎝2⎠ а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =
(0,5)x ln (0,5)
г) 0х: у = 0 – пересечений нет 0у: х = 0, у = -3 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает 3) y = log 2 (x + 1) а) D(y): x + 1 > 0, т.е. х > - 1 б) функция не является четной и нечетной в) y ' =
1
(x + 1) ln 2
г) 0х: у = 0, х = 0; 0у: х = 0, у = 0 д) y′ > 0 при x > -1 — функция возрастает y′ < 0 при х < -1, но на данном промежутке функция не существует. 4) y = log 1 (x − 1) 3
а) D(y): x – 1 > 0, x > 1 б) функция не является четной и не является нечетной в) y ' =
1
(x − 1)ln 13
г) 0х: у = 0, х = 2 0у: х = 0 – пересечений нет д) y’ > 0 при x > 1, функция возрастает y’ < 0 при x < 1, но функция на данном промежутке не существует.
№ 1298 1) y = 2 x −1 − 3
а) D(y): x ∈ (−∞;+∞ ) б) функция не является четной и не является нечетной в) y ' =
2 x −1 ln 2
г) 0х: у = 0, х = log23+1 0y: x = 0, y = -2,5 224
д) y’ > 0 при x > -2 y’ < 0 при x < -2, но на данном интервале функция не существует 2). y = log 2 ( x + 2) + 3 ; а) Д(у) : х+2>0; х>-2; б) функция не обладает свойствами четности или нечетности; в) y ' =
1 15 7 1 ; г) Ох : у=0 при x = −2 + = − = −1 ; 8 8 8 ( x + 2) ln 2
Оу : х=0 при у=4; д). у′>0 при х>-2; у' 0, x > -2; 1 π nπ 3) y = , D( y ) : cos 2 x ≠ 0, x ≠ + , n∈Z ; 4 2 cos 2 x x x 4) y = tg , D( y ) : cos ≠ 0, x ≠ 2π + 4nπ, n ∈ Z . 4 4 № 1300 – + x −3 x −3 1) y = , ≥0 x+3 x+3 –3 3 D(y): x ∈ (−∞;−3) U [3;+∞ ) 2) y =
log3
2x +1 x−6 2x + 1 − x + 6 ≥ 0; x−6
2x + 1 ≥ 1; x−6 x+7 ≥0 x−6 D(y): x ∈ (−∞;−7 ]U (6;+∞ ) .
–
+ –7
+
+ 6
№ 1301 x 2 − 6 x − 16 , x 2 − 12 x + 11 (x − 8)(x + 2) ≥ 0; x ∈ (− ∞;−2]U (1;8]U (11;+∞ ) ; D( y ) : (x − 11)(x − 1)
1) y =
2) y = log 1 (x − 3) − 1 , 2
1 ⎧ ⎧log (x − 3) − 1 ≥ 0 ⎪ x − 3 ≤ ; ⎨ D( y ) : ⎨ 1 / 2 2; ⎩x − 3 > 0 ⎪⎩ x − 3 > 0
1 ⎧ 1⎤ ⎛ ⎪x ≤ 3 ⎨ 2 ; x ∈ ⎜ 3; 3 ⎥ . 2⎦ ⎝ ⎪⎩ x > 3 225
№ 1302 1) y =
(
)
⎧⎪ x 2 − 5 x + 7 > 0 log0,8 x 2 − 5 x + 7 , D( y )⎨ ; 2 ⎪⎩log0,8 x − 5 x + 7 ≥ 0
2
(
)
2
x − 5 x + 7 = 0; D < 0 ⇒ x − 5 x + 7 > 0 ;
x 2 − 5 x + 7 ≤ 1; x 2 − 5 x + 6 ≤ 0; x1, 2 = 2) y =
(
)
5 ± 1 ⎧ x ∈ (− ∞;+∞ ) ; ⎨ x ∈ (2;3) ; 2 ⎩ x ∈ (2;3)
log0,5 x 2 − 9 ,
[
]
) (
⎧⎪ x 2 − 9 > 0 D( y ) : ⎨ ; x ∈ − 10 ;−3 ∪ 3; 10 . 2 ⎪⎩log 0,5 x − 9 ≥ 0 № 1303 6 1) y = x 2 + 6 x + 3 , x0 = − = −3, y0 = −6, след. y ≥ −6 ; 2 −8 2) y = −2 x 2 + 8 x − 1 , x0 = = 2, y0 = 7, след. y ≤ 7 ; −4
(
)
3) y = e x + 1 , ex > 0, след. y > 1; 4) y = 2 +
2 2 2 , y − 2 = ; x ≠ 0, ≠0 ⇒ y≠2. x x x
№ 1304 π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ , − 1 ≤ sin ⎜ x − ⎟ ≤ 1, след. y ∈ [− 0,5;1.5] ; 4⎠ 4⎠ ⎝ 0,5 2) y = 0,5 cos x + sin x; y = 1,25 cos(α − x ); α = ar cos ; 1,25 ⎛
1) y = 0,5 + sin ⎜ x −
⎝
[
− 1,25 ≤ 1,25 cos x ≤ 1,25 ; − 1 ≤ sin x ≤ 1, след. y ∈ − 1,25 ; 1,25
№ 1305 1) f (x ) = sin x + cos x, x0 = 2) f (x ) = cos 3 x, x0 =
π π π , k = f ' (x ) = cos − sin = −1 ; 2 2 2
π π , k = f ' (x0 ) = −3 sin = −3 . 6 2
№ 1306 1
1 1 1 − − x , x0 = 1 , f ' (x ) = − x −3 − x 2 , 2 2 2 4x π f ' (1) = −1 = tgα, α = − ; 4
1) f (x ) =
226
]
1 1 ⎛ 3 ⎞ , f ' ( x ) = ⎜ 2 x 2 ⎟' = 3 x 2 , 3 ⎝ ⎠ π ⎛1⎞ f ' ⎜ ⎟ = 3 = tgα, α = . 3 ⎝ 3⎠
2) f (x ) = 2 x x , x0 =
№ 1307 1) f (x ) =
3 1 , x0 = , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , 4 4x x 5
9 − ⎛ 3 −3 ⎞ ⎛1⎞ f ' (x ) = ⎜ x 2 ⎟' = − x 2 , f ' ⎜ ⎟ = −36 , 8 ⎝4 ⎠ ⎝4⎠ 1⎞ ⎛ y = 6 − 36⎜ x − ⎟; y = 15 − 36 x 4⎠ ⎝ 4 2) f (x ) = 2 x − x 2 + 4, x0 = −1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,
f ' (x ) = 8 x3 − 2 x , f ' (−1) = −6 , y = 5 − 6(x + 1); y = −1 − 6 x .
№ 1308 y = x3 − x + 1 = f ( x) . Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0, g = f (x) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f '(x) = 3x2 −1 , f ' (0) = −1 = k, следовательно к=–1.
№ 1309 y = 3 x3 − 1 = f ( x), y = 2 , 2 = 3x3 − 1, x = 1 , f ′( x) = 9 x 2 ;
f ′(1) = 9 , k = f ' (1) = 9 ⋅1 = 9 .
№ 1310 y = 4x − 3 , y = 6 − 2x + x2 . Приравняем 4 х − 3 и 6 − 2 х + х 2 , 4 x − 3 = 6 − 2 x + x 2 ,
x 2 − 6 x + 9 = 0 , (x − 3)2 = 0 , x = 3, y = 9 . Ответ: (3; 9).
№ 1311 y = 4 x3 − 9 x 2 + 6 x + 1 , y ' = 12 x 2 − 18 x + 6 . По условию k = y (x0 ) = 0 , где х0 – точка касания; 12 x 2 − 18 x + 6 = 0 , 2 x 2 − 3x + 1 = 0 , x1 = 1, x2 = 0,5; y1 = 2, y2 = 2,25 . Ответ: (1;2), (0,5;2,25).
№ 1312
π , тогда tgα = 1 = y'(x 0 ), где х0 – точка каса4 ния; y ' = 6 x + 7 = 1, x = −1, y = −3 . Ответ: (-1;-3). y = 3x 2 + 7 x + 1, α =
227
№ 1313 1) f (x ) = x ln 2 x, x0 = 0,5 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , x f ' (x ) = ln 2x + ⋅ 2 = ln 2x + 1 , f ' (0,5) = 0 + 1 , 2x 1⎞ 1 ⎛ y = 0 + 1⎜ x − ⎟; y = x − ; 2⎠ 2 ⎝
2) f (x ) = 2− x , x0 = 1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f ' (x ) = −2− x ln 2 ,
1 1 1 1 f ' (1) = − ln 2 , y = − ln 2(x − 1) = (1 + ln 2 − x ln 2) . 2 2 2 2 № 1314 y = x3 − x 2 − 7 x + 6, M (2;−4 ) , y ' = 3x 2 − 2 x − 7 , π y ' (2) = 12 − 4 − 7 = 1 , tgα = y ' (2) = 1 , α = . 4 № 1315 y = x 2 ⋅ e− x , x = 1 , tgα = y ' (1) , y ' = 2 x ⋅ e− x − x 2e− x , 2 1 1 1 y ' (1) = − = , tgα = . e e e e № 1316 2 ⎛ π⎞ π y = cos⎜ 3x − ⎟, x = , 3 ⎝ 6⎠ 3 π⎞ π ⎛ ⎛ π⎞ y ' = −2 sin ⎜ 3x − ⎟; y' ⎜ ⎟ = −1, α = − . 6⎠ 4 ⎝ ⎝3⎠
№ 1317 x3 + 1 x3 + 1 , = 0, x = −1; y = f (− 1) + f ' (− 1)(x + 1) , 3 3 f ' (x ) = x 2 ; f ' (− 1) = 1 , y = x + 1 . f (x ) =
№ 1318 f (x ) = x3 + 1, x = 4 , y = f (4) + f ' (4)(x − 4) , 3 1 f ' (x ) = x 2 ; f ' (4) = 3 , y = 9 + 3(x − 4); y = 3x − 3 . 2 № 1319 x2 + 1 1) y = 2 ; x −1 2 x x 2 − 1 − 2 x x 2 + 1 2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x − 4x y' = . = = 2 2 2 x2 − 1 x2 − 1 x2 −1
(
228
) ( ( )
)
(
)
(
)
Функция возрастает при x < 0
x2 − 1 ; x
(
)
2 x2 − x2 − 1 x2 + 1 = 2 . x2 x Функция возрастает при x ≠ 0 2) y =
y' =
№ 1320 1) y = (x − 1)3 (x − 2 )2 ; y ' = 3(x − 1)2 (x − 2 )2 + 2(x − 2 )(x − 1)3 = = (x − 1)2 (x − 2)(3(x − 2) + 2(x − 2)) = (x − 1)2 (x − 2)(5 x − 8) +
+
+
–
1
2
8 5
8 — точка максимума; x = 2 — точка минимума; 5 2) y = 4 + (6 − x )4 , y ' = −4(6 − x )3 x=
х = 6 — точка минимума.
№ 1321 1) y =
= −
–
(
)
(
+
6
)
3x 2 + 4 x + 4 (6 x + 4) x 2 + x + 1 − (2 x + 1) 3x 2 + 4 x + 4 = ; y' = 2 2 x + x +1 x2 + x + 1
3
2
2
6x + 6x + 6x + 4x + 4x + 4
(x
2
)
+ x +1
2
6 x3 + 8 x 2 + 8 x + 3x 2 + 4 x + 4
(x
2
)
+ x +1
2
(
)
− =
− x2 − 2 x
(x
2
=
− x(x + 2)
) (x
+ x +1
2
2
)
+ x +1
2
+ – -2 0 х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума; (2 x + 6)(3x + 4) − 3⎛⎜ x 2 + 6 x + 3⎞⎟ x2 + 6 x + 3 ⎝ ⎠= 2) y = , y' = 2 –
(3x + 4)
3x + 4
=
2
2
6 x + 26 x + 24 − 3x − 18 x − 9 3x 2 + 8 x + 15 = > 0, (3x + 4)2 (3x + 4)2
следовательно,
функция возрастает на всей числовой, за исключением точки x = −
4 , в ко3
торой функция не определена. Следовательно нет точек максимума и минимума. 229
№ 1322 1) y = 2 sin x + sin 2 x
⎡ 3π ⎤ ⎢0; 2 ⎥ , ⎣ ⎦
x 3 y ' = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ⋅ 2 cos x ⋅ cos , 2 2 3 x cos x > 0 при x ∈ (0; π) cos > 0 при x ∈ (0; π) 2 2 , , 3x π 2πn x cos = 0 x = + cos = 0 x = π + 2πn 2 3 3 2 ⎛π⎞ 3 ⎛ 3π ⎞ y (0) = 0 y⎜ ⎟ = −2 y⎜ ⎟ = , y(π) = 0 , ⎝3⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛π⎞ 3 ⎛ 3π ⎞ наиб.: y ⎜ ⎟ = ; наим.: y⎜ ⎟ = −2 ; ⎝3⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎡ π⎤ 2) y = 2 sin x + cos 2 x ⎢0; ⎥ , ⎣
2⎦
y ' = 2 cos x − 2 sin 2 x = 2 cos x(1 − 2 sin x ) , ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , 1 − 2 sin x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , cледова⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠
тельно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.
№ 1323 1) y =
x+5
[− 1;4] ,
y' =
1 > 0 , следовательно, 2 x+5
у = 2 – минимум; у = 3 – максимум; ⎡ π⎤ 2) y = sin x + 2 2 cos x ⎢0; ⎥ , ⎣ 2⎦ ⎛1 ⎞ 2 2 y ' = cos x − 2 2 sin x = 3⎜ cos x − sin x ⎟ = 3 cos(α + x ) = 0 , ⎜3 ⎟ 3 ⎝ ⎠
1 π α = arccos , cos(α + x ) = 0 α + x = + πn , 2 3
π π π π + πn ≤ ; ≤ −α ≤ π, − π ≤ α ≤ − , что невозможно 2 2 2 2 ⎛π⎞ y (0) = 2 2 ; y⎜ ⎟ = 1 ⇒ наим.: у = 1; наиб.: y = 2 2 . ⎝2⎠
⇒ 0 ≤ −α −
№ 1324 1) y = ln x − x
x = 1; 230
[0,5;4) ,
1 ⎛1⎞ y⎜ ⎟ = − ln 2 − ; 2 2 ⎝ ⎠
y' =
1 −1 = 0 , x
y (4) = ln 4 − 4
y (1) = −1 ; наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1
[0;1] ,
2) y = x 1 − x 2
x ⋅ 2x
y' = 1 − x2 ; y (0 ) = 0 ;
2 1− x
2
1 − 2 x2
=
1− x
2
= 0;
x2 =
1 1 , , x=± 2 2
⎛ 1 ⎞ 1 1 1 1 ⎟= y (1) = 0 , y⎜⎜ ⋅ = , Наим. y = 0; Наиб. y = . ⎟ 2 2 2 2 2 ⎝ ⎠
№ 1325
Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндра
V = πr 2 (3 − r ) = 3πr 2 − 2πr 3 , V = 6πr − 3 ⋅ 2πr 2 = 6πr (1 − r ) .
Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, следовательно максимум функции Vбудет, при r = 1.
№ 1326 Площадь полной поверхности цилиндра S = 54π = 2πrh + 2πr 2 , где r – радиус основания, а h – высота, тогда объем V = πr2h , S = 54π = 2πrh + 2πr 2 ,
(
) (
)
27 − r 2 πr 2 27 − r 2 , тогда V = = π 27r 2 − r 3 , r r V ' = π 27 − 3r 2 = 3π 9 − r 2 , тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6, h=
(
)
(
)
тогда максимальный объем Vmax = 54π
№ 1327
Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда по
условию х + h = 9; V = ⎛ 9 3 − ⎜2 3 4 ⎝
V ' = x⎜
1 4 3
x 2 (9 − x ), и так как объем максимальный, то
⎞
x ⎟ , V’ = 0, тогда х = 6. ⎟ ⎠
№ 1328
Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогда
V = x 2 ⋅ h , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле:
x2 =
12 − h 2 3 12 − h 2 , тогда V = ⋅ h, V ' = 6 − h 2 , откуда находим, что 2 2 2
максимум достигается при h = 2.
№ 1329 2⎞ ⎛ f (x ) = x − 2 + cos x; M ⎜ 0,5π;− ⎟ π⎠ ⎝
первообразная: f1 (x ) = − x −1 + sin x + c, т.к. 231
2 2 2 ⎛π⎞ f1⎜ ⎟ = − запишем: − + 1 + c = − , откуда с = -1, следовательно π π π ⎝2⎠ первообразная имеет вид: y1 = − x −1 + sin x − 1 .
№ 1330 f (x ) = x 2 (2 x − 3) − 12(3 x − 2), − 3 ≤ x ≤ 6
(
)
f ' (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 36 x + 24 ' = 6 x 2 − 6 x − 36; Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3 f (− 2) = 68, f (− 3) = 51, f (3) = −57, f (6) = 132 . Ответ: -57 и 132.
№ 1331
(
1 1 1 6 − 9 ⋅ 2 ⋅ ln x ⋅ + 12 ⋅ = ln 2 x − 3 ln x + 2 x x x x 6⎛ 2 f ' (x ) = 0 при ⎜ ln x − 3 ln x + 2 ⎞⎟ = 0; ⎠ x⎝
1) f ' (x ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ln 2 x ⋅
ln x =
)
3± 9−8 , ln x = 2 и ln x = 1, т.е. х = е2 и х = е; 2
⎡ 3 ⎤ ⎡ 3 ⎤ 2) e2 ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥, e ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥ ; ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )
( )
⎛ 3 ⎞ 25 3) f e3 = 9, f ⎜⎜ e 4 ⎟⎟ = 4 , f e2 = 4, f (e ) = 5 . 32 ⎝ ⎠
Ответ: 4 и 9.
№ 1332 y = x2 ,
⎛ 1⎞ A⎜ 2; ⎟ ; ⎝ 2⎠
1 ⎛ 1⎞ а) d 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ; A⎜ 2; ⎟, следовательно x1 = 2, y1 = ' 2 2 ⎝ ⎠
( )
X x; x 2 , следовательно x2 = x, y2 = x 2 ; 2
⎛1 ⎞ d 2 = (2 − x )2 + ⎜ − x 2 ⎟ ; x > 0 2 ⎝ ⎠
2
⎛1 ⎞ б) рассмотрим f (x ) = (2 − x )2 + ⎜ − x ⎟ и найдем ее наименьшнее 2 ⎠ ⎝ значение при x > 0. 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ f ' (x ) = ⎜ 4 − 4 x + x 2 + − x 2 + x 4 ⎟' = ⎜ 4 − 4 x + x 4 ⎟' = −4 + 4 x3; 4 ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠
f ' (x ) = 0 при − 4 + 4 x3 = 0, x3 − 1, x = 1 - стационарная точка 232
При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», след. функция принимает в ней наименьшее значение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1).
№ 1333
AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD.
1 ( AD + BC (x )) ⋅ h(x ), причем AD = 1, 2 BC (x ) = 2 x, h(x ) = 1 + 1 − x 2 = 2 − x 2 , т т. 1 1 S (x ) = (1 + 2 x ) 2 − x 2 = 2 + 4 x − x 2 − 2 x3 = 2 2 1 2 3 = 1 + 2 x − x − x , где 0 < x ≤ 1 2 S (x ) =
(
(
) (
)
)
Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2; S’(x) = 0 при x = -1 или x = Из полученных критических точек только x =
2 3
2 лежит в промежутке 3
(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это точка максимума. Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в полученной критической точке. 1 3 49 ⎛ 2 ⎞ 49 S (0) = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , S ⎜ ⎟ = , S (1) = , таким образом Smax = . 2 2 27 ⎝ 3 ⎠ 27
№ 1334 1) x ∈ [− 1;1]; B x;4 x 2 ; A − x;4 x 2 ;
(
) (
)
4 x 2 + yc x + xc ; yc = 12 − 4 x 2 ; ; xc = 6 − x; 6 = 2 3 1 1 3) S ABC = AB ⋅ CD = ⋅ 2 x ⋅ 12 − 4 x 2 − 4 x 2 = 4 3x − 2 x3 2 2 4) Рассмотрим функцию f (x ) = 4 3 x − 2 x3 на [0;1] и найдем ее наи-
2) C (xc ; yc ), 3 =
(
(
( ) f ' (x ) = 0 при 4 ⋅ (3 − 6 x ) = 0; x = ±
большее значение. f ' (x ) = 4 3 − 6 x 2 ,
)
) (
)
1 - стационарная точка. 2 1 При переходе через единственную стационарную точку на [-1;1] 2 2
производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция принимает наибольшее значение. 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ⎜ ⎟ =4 2. − ⋅ 5) S ABC = 4 ⋅ 3 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟⎟ 2 ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 233
№ 1335
y = x 2 + px + q; x = 5,
ymin = 1 ⎧1 = 25 + 5 p + q ⎨2 ⋅ 5 + p = 0 ; откуда p = -10, q = 26. ⎩
⎧1 = 25 + 5 p + q ; ⎨ y ' (5) = 0 ⎩
№ 1336 Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогда объем V =
V '=
(
)
400 1 1 2 1 πr h = π 400 − h 2 h = πh − πh3 , 3 3 3 3
⎛ 20 400 20 ⎞⎟⎛⎜ 20 ⎞⎟ π − πh 2 = π⎜⎜ h − h+ , h > 0, след. h0 = – точка ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎠⎝ 3⎠ ⎝
максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким образом h =
20 . 3
№ 1337 Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогда
V 2πr ⋅V + 2πr 2 2V = + 2πr 2 , ; S= 2 r πr πr 2 2V 4πr 3 − 2V V S ' = − 2 + 4πr = , точка минимума r = 3 , а минимальная 2π r r2
V = πr 2 ⋅ h, a S = 2πrh + 2πr 2 , h =
площадь Smin =
2V 3 2π ⎛V ⎞ + 2π⎜ ⎟ 3 V ⎝ 2π ⎠
2
3
= 2V
2
33
2πV
2
3
= 3V
2
33
2π = 33 2πV 2 .
№ 1338 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда S = 2πr ⋅ 2h = 4πrh , где h =
S ' = 4π R 2 − r 2 + =
4πR 2 − 8πr 2 2
R −r
2
=
(
2πr (− 2r ) 2
R −r
2
)
R 2 − r 2 , тогда S = 4πr R 2 − r 2 . =
(
)
4π R 2 − r 2 − 4πr 2 2
R − r2
=
4π R 2 − 2r 2 , r0 = R / 2 – точка максимума, т.к. при R2 − r 2
переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом r =
R . 2
№ 1339 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда V = πr 2 h = πr 2 R 2 − r 2 234
⎛
V ' = ⎛⎜ πr 2 R 2 − r 2 ⎞⎟' = π⎜⎜ 2r R 2 − r 2 − ⎝
=
⎠
( (
⎝
) ) = π(2rR
π 2r R 2 − r 2 − r 3 2
2
2
− 3r 3
2
)
⎞ ⎟= ⎟ R2 − r 2 ⎠
r3
2
R −r R −r 2 r0 = R – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак 3 2R 2 R с «+» на «-», тогда h = R2 − R2 = , соответственно высота 2h = 3 3 3 № 1340 Обозначим
через
h
высоту
конуса,
тогда
радиус
основания
r = R3 − (h − R )2 , а 1 1 1 V = π R 2 − (h − R )2 h = π R 2 − h 2 + 2hR − R 2 h = πh 2hR − h 2 3 3 3 4 1 1 V ' = π 2hR − h2 + h(2R − 2h) = πh(R − 3h); h0 = R – точка максимума. 3 3 3 № 1341 1 1 D Sкон = Sосн ⋅ h = πR 2 ⋅ h - задана 3 3 1 1 Sпир = Sосн ⋅ h = S ABC ⋅ h 3 3 α 1 S ABC = AB ⋅ BC ⋅ sin α 2 A C π α AC = 2 R sin α ∠BAC = ∠BCA = − 2 2 α 2 R sin α ⋅ cos AB AC 2 = 2 R cos α = AB = ⎛ π α ⎞ sin α sin α 2 sin ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ α α 1 S ABC = ⋅ 4 R 2 cos2 ⋅ sin α исследуем f = cos2 sin α 2 2 2 1 + cos α ⎞ 1 1 1 ⎛ 2 2 2 f ' = ⎜ sin α ⋅ ⎟' = cos α + cos α − sin α = cos α + cos α − 2 2 2 2 ⎝ ⎠ 2 f ' = 0 2 cos α + cos α − 1 = 0 D = 1 + 8 = 9 ;
( (
)
( )
(
cos α1 = −1; cos α 2 = π; α 2 = ±
)
(
)
)
1 , следовательно сумма всех углов треугольника 2
π π + 2πn, n ∈ Z , ⇒ α = . 3 3
235
№ 1342 Обозначим через r – радиус основания, тогда высота h =
(
)
p − 22 , а 2
π π ⎛ p − 4r ⎞ объем V = πr 2h = πr 2 ⎜ ⎟ , V ' = 2rp − 12r 2 = ⋅ 2r ( p − 6r ); 2 2 ⎝ 2 ⎠ r0 =
p πp 2 ⎛ p p ⎞ πp3 . - точка максимума, тогда Vmax = ⎜ − ⎟= 36 ⎝ 2 3 ⎠ 216 6
№ 1343 R2 − r 2 ;
Пусть АО1 = х, тогда OO1 =
V = π ⋅ x 2 ⋅ 2 R 2 − r 2 ; V = 2π R 2 x 4 − x 6 ; x > 0 и x < R Рассмотрим функцию g (x ) = 2π R 2 x 4 − x 6 при 0 < x < R и найдем ее наибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение в той же точке, что и f (x ) = R 2 x 4 − x 6 . f ' (x ) = 4 R 2 x 3 − 6 x 5 ;
2R2 2 – точка максимума, тогда H = R . 3 3
x0 =
№ 1344
Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогда
Vr + 2πr 4 , где V – объем r2 2 4πr 3 − V V - точка минимума, следовательно расход ; r0 = 3 S '= 4π r2
S = 2πrH + 4πr 2 = 2
(
)
жести будет наименьшим, когда
2r = H
2⋅3
⎛ V ⎞ V ⎟ ⋅ π⋅⎜3 ⎜ 4π ⎟ 4π ⎝ ⎠
т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника).
V
№ 1345 R 2 − r 2 ; О2О1 = 2х; S0 =
Пусть ОО1 = х, тогда AO1 =
(
)
(
)
2
=
2π ⋅ V 1 = , V ⋅ 4π 2
(
)
3 3 2 2 R −r ; 4
3 3 2 3 3 2 2 Vпр = R − r 2x = R x − x3 , причем x > 0 и x < R. 4 2 3 3 2 R x − x3 на (0;R) и найдем ее наибольшее Рассмотрим f (x ) = 2 3 3 2 R R − 3x 2 , x = – точка максимума, тогда наизначение: f ' (x ) = 2 3 2R . больший объем призма имеет при высоте 3
(
(
236
)
)
№ 1346
Пусть АО = x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получим
x b x H −h H (R − x ) = ; = ; h= ; R H R H R H ⋅ (R − x ) πH V = π ⋅ x2 ⋅ = Rx 2 − x3 , причем x > 0 и x < R. R R πH Рассмотрим функцию f (x ) = Rx 2 − x3 на (0;R) и найдем ее наиR
(
)
(
большее значение.
(
)
)
πH 2R – точка максимума, таким образом 2 Rx − 3x 2 , x = R 3 2R H ⋅R 3 H наибольший объем у цилиндра будет при r = . , h= = 3 R 3 № 1347 f' (x ) =
1) f (x ) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 4
(
)
f' (x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3 x 2 + 2 x − 3 = 3(x − 1)(x + 3) х = -3 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.
+
–
1 ⎛ 4 ⎞ 2) f (x ) = x 4 − 2 x5 + 5 , f' (x ) = 4 x3 − 10 x 4 = x3 (4 − 10 x ) = x3 ⎜ − x ⎟ ; ⎝ 10 ⎠ + х = 0 – точка минимума –
0
0,4
-3
+
–
х = 0,4 – точка максимума
№ 1348 1) D(y) = IR, непрерывная, непериодическая, т.к. задана многочленом 2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни нечетная 3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -2 4) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0; 3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарные точки 5) (-∞;-1) – функция возрастает (-1;1) – функция убывает (1;+∞) – функция возрастает 6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е. х = -1, х = 1, т.е. (1;0), (-1;4).
237
№ 1349 1. D(y) = R 2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная, ни нечетная 3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1, х = 5, х = -1 4. y′ = 3x2 – 10x – 1 y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0;
x=
5± 2 7 3
5. x =
5−2 7 — точка максимума 3
5+2 7 — точка минимума 3 6. y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4 f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43 x=
№ 1350
1) f(x) = 4x3 + 6x2 а) D(y) = R б) f(-x)=-4x3+6x2 – ни четная, ни нечетная
+
в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2(4x+6)=0, x = 0, x = -1,5 г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1) х = -1 – точка максимума х = 0 – точка минимума
+
2) f(x) = 3x2 – 2x3; а) D(y) = R б) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0,
–
–
-1
+
0
3 2 г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x) x = 0 – точка минимума х = 1 – точка максимума
x2(3 – 2x) = 0, x = 0, x =
238
0
1
–
3) f (x ) =
+
1 3 x −x ; 3
+ -1
1 а) D(y) = R; б) f (− x ) = − x 3 + x , 3 следовательно функция нечетная
f (x ) = 0 при в)
1 3 x − x = 0; 3
⎛1 ⎞ x⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 0, x = ± 3 ⎠ ⎝3
–
1
;
x = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума + 4) f (x ) = x 4 − 1 x 2
+ –
-½
–
0
½
х = -½, x = ½ – точки минимума х = 0 – точка максимума
2
а) D(y) = R б) f (− x ) = x 4 −
1 2 x - функция четная 2
f (x ) = 0 при x 4 − в)
1 2 x = 0, 2
1⎞ 1 ⎛ x 2 ⎜ x 2 − ⎟ = 0, x = 0, x = ± 2⎠ 2 ⎝
(
)
г) f ' (x ) = 4 x3 − x = x 4 x 2 − 1 =
1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ = 4 x⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎠⎝
№ 1351
+
+ − 2
–
0
x = − 2, x = 2
2
–
– точки
максимума х = 0 – точка минимума
1) y = −
x4 + x2 4
а) D(y) = IR б) f (− x ) = −
x4 + x 2 – функция четная 4
в) f (x ) = 0 при
(
− x4 + x 2 = 0; 4
)
x2 − x 2 + 4 = 0 ; x = 0, x = ±2 4
(
)
г) f ' (x ) = − x3 + 2 x = x − x 2 + 2 =
(
)(
= −x x − 2 x + 2
)
239
2) y = x4 – 2x2 –3 а) D(y) – R б) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четная
х = ± 1 – точка минимума х = 0 – точка максимума
в) f (x ) = 0 при x 4 − 2 x 2 − 3 = 0,
x = ± 1± 2 , след. x = ± 3 г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1) +
+ –
-1
0
–
1
№ 1352 1 3 x − x 2 − 3x + 9 3 а) D(y) = R 1 б) f (− x ) = − x 3 − x 2 + 3x + 9 – функция 3 ни четная, ни нечетная 1 в) f (x ) = 0 при x 3 − x 2 − 3x + 9 = 0, 3 1 2 ⎛1 ⎞ x (x − 3) − 3(x − 3) = 0, (x − 3)⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 3, x = ± 3 3 3 ⎝ ⎠
1) y =
⎛ 1 + 13 ⎞⎟⎛⎜ 1 − 3 ⎞⎟ г) f ' (x ) = x 2 − x − 3 = ⎜ x − x− ⎜ 2 ⎟⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ x=
1 − 13 – точка максимума 2
+
1 + 13 – точка минимума 2 2) y = -x4 + 6x2 – 9 а) D(y) – R б) f(-x) = f(x) – функция четная в) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0,
1 − 13 2
x=
x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2, x = ± 3
(
+
)
г) f ' (x ) = −4 x3 + 12 x = −4 x x 2 − 3 =
(
)(
= −4 x x − 3 x + 3 +
− 3
–
0
+
)
–
3
x = ± 3 – точка максимума; х = 0 – точка минимума. 240
–
1 + 13 2
x2 + 1 x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная 3) y =
в) f (x ) = 0 при
x2 + 1 = 0, т.е. пересечений с x
осью 0х нет.
+
+ –
-1
г) f ' (x ) =
(
)= x
2 x ⋅ x − x2 + 1 2
x х = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума
1
2
−1
x2
x2 + 2 2x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная в) f(x) ≠ 0
4) y =
г) f ' (x ) = +
+ − 2
–
2
(
2x ⋅ 2x − 2 x2 + 2 4 x2
) = 2x
2
−4
4x2
=
x2 − 2 2x2
x = − 2 – точка максимума x = 2 – точка минимума
№ 1353 1) y1 = x − 1, y 2 = 3 − x , y3 = 0 , y1=y2, x–1 = 9–6x+x2, x2–7x+10=0, x=5, x=2, но х – 1 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0, след. х = 2 – точка пересечения y1 и y2, тогда 2
S = ∫ x − 1dx + 1
2 3 7 1 2 ⋅ 1 = (x − 1) 2 + 1 = 2 6 2 3 1
1 x2 2) y1 = − , y 2 = x 2 , y3 = x 8 1 2 y1 = y 2 ; − = x ; x = −1 - точка пересечения y1 и у2 x y 2 = y3 ; x 2 =
x2 1 x2 , x = 0 , y1 = y3 ; − = ; x = −2, тогда 8 x 8
−1 0 0 2 x 1 0 1 30 1 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx = − ln x + x3 − x = −2 x −1 −2 8 −1 3 −1 24 −2 2 1 1 = ln x + − = ln 2 1 3 3 −1
S= ∫−
241
№ 1354
1) y1 = 4x – x2, y2 = 5, x = 0, x = 3
3 1 ⎞3 ⎛ S = 5 ⋅ 3 − ∫ 4 x − x 2 = 15 − ⎜ 2 x 2 − x3 ⎟ = 15 − 18 + 9 = 6 ; 3 ⎠0 ⎝ 0 2) y = x2 – 2x + 8, y = 6, x = -1, x = 3, 3
(
)
⎞3
⎛1
2 3 2 ∫ x − 2 x + 8 dx − 24 = ⎜ 3 x − x + 8 x ⎟ − 24 =
⎝ ⎠ −1 28 ⎛ 1 ⎞ = 9 − 9 + 24 − ⎜ − − 1 − 8 ⎟ − 24 = 3 ⎝ 3 ⎠ −1
3) y = sin x , y = 0, x =
2π , x = π, S = 3
π
π
2π 3
2π 3
∫ sin xdx = − cos
π
6 π π 4) y = cos x, y = 0, x = − , x = , S = ∫ cos xdx = sin x 6 6 π −
π
6 −π
= 1−
= 6
1 1 = 2 2
1 1 + =1. 2 2
6
№ 1355 x = 2, x = 4 ,
1) y = x , y = 2, x = 9 , 4
9
0
4
S = 2 ⋅ 4 − ∫ x dx + ∫ x − 5 ⋅ 2 = 8 −
2 32 x 3
4 0
+
2 32 x 3
9 4
− 10 =
16 16 16 + 18 − − 10 = 3 3 3 2) y = x2 + 3, y = x + 5, x2 + 3 = x + 5, x2 – x – 2 = 0, x1 = -1, x2 = 2, = 8−
(
)
2 2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 S = ∫ (x + 5)dx − ∫ x 2 + 3 dx = ⎜ x 2 + 5x ⎟ 2−1 − ⎜ x 3 + 3x ⎟ 2−1 = 2 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 −1 ⎛8 ⎛ 1 ⎞⎞ = 12 + 4,5 − ⎜⎜ + 6 − ⎜ − − 3 ⎟ ⎟⎟ = 16,5 − 3 − 9 = 4,5 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝3
№ 1356
1) y = 9 – x2, y = (x – 1)2 – 4, y1 = 9 – x2, y2 = x2 – 2x – 3, 9 – x2 = x2 – 2x – 3, 2x2 – 2x – 12 = 0, x2 – x – 6 = 0, x1 = 3, x2 = -2, 3
(
)
3
(
)
−2
(
)
−1
(
)
S = ∫ 9 − x 2 dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 dx − ∫ 9 − x 2 dx − ∫ x 2 − 2x − 3 dx = −3
−1
−3
−2
3 ⎛ ⎞ −1 x3 ⎞ x 3 ⎞ − 2 ⎛ x3 ⎞ 3 ⎛ ⎛1 = ⎜ 9 x − ⎟ + ⎜ x3 − x 2 − 3 x ⎟ − ⎜ 9 x − ⎟ − ⎜ − x 2 − 3 x ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 3 ⎠ −3 ⎝ 3 3 ⎠ −2 ⎝ 3 ⎠ −1 ⎝ ⎝ ⎠
1 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = (27 − 9 + 27 − 9 ) + ⎜ 9 − 9 − 9 + + 1 − 3 ⎟ − ⎜ − 18 + + 27 − 9 ⎟ − 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 242
8 32 8 7 125 ⎛ 1 ⎞ . − − = − ⎜ − − 1 + 3 + + 4 − 6 ⎟ = 36 + 3 3 3 3 3 ⎝ 3 ⎠
(
)
2) y1 = x 2 , y 2 = 3 x , y1 = y 2 , x 2 = 3 x , x 6 = x , x x 5 − 1 = 0 , x = 0, x = 1 – точки пересечения 1
1
0
0
S = ∫ 3 x dx − ∫ x 2dx =
3 4 3 1 x3 − x 4 3 0
1 0
=
3 1 5 − = . 4 3 12
№ 1357 1) y = cos x , x =
π , y=0, 4
π 4
π 4
π − 2
π − 2
S = ∫ cos xdx = sin x
=
2+ 2 2 +1 = = 2 2 1
2) y = 3x, x = -1, x = 1, y = 0, S = ∫ 3x dx = −1
3x ln 3
2 +1 2 1 −1
=
;
3− 1
3 = 8 . ln 3 3 ln 3
№ 1358 1) f (x ) = x 3 −
x2 1 ⎛1⎞ 1 1 + x , x 0 = , f’(x) = 3x2 – x + 1, f ' ⎜ ⎟ = − + 1 = 1 ; 2 3 ⎝3⎠ 3 3
1 − ln x ln x , f ' (1) = 1 ; , x 0 = 1 , f ' (x ) = x x2 2 4x 3) f (x ) = x −3 − 2 + 3x , x 0 = 3 , f ' (x ) = −3x − 4 + 4 + 3 , x x 1 4 1 1 f ' (3) = − + +3 = +3 = 3 ; 27 27 9 9
2) f (x ) =
4) y =
1 − sin 2 x − cos 2 x cos x π ⎛π⎞ = − 2 , y' ⎜ ⎟ = −2 . , x 0 = , y' = 2 sin x 4 sin x sin x ⎝4⎠
№ 1359 1) f(x) = sin2x – x, f’(x) = 2cos2x – 1, 2cos2x – 1 = 0, cos2x =
1 ; 2
π π + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 3 6 2) f(x) = cos2x + 2x, f’(x) = -2sin2x + 2, 2 sin2x = 2, sin2x = 1, π x = + πn , n ∈ Z ; 4 3) f(x) = (2x – 1)3, f’(x) = 3(2x – 1)2 ⋅ 2, 2x – 1 = 0, x = ½; 4) f(x) = (1 – 3x)5, f’(x) = 5(1 – 3x)4 ⋅ (-3), 1 – 3x = 0, x = 1/3. 2x = ±
243
№ 1360
f(x) = (2x – 3)(3x2 + 1), f’(x) = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3), f’(1) = 8 – 6 = 2 ⇒ f’(1) = f’(0), f’(0) = 2.
№ 1361
f (x ) = x 3 − 1,5x 2 − 18x + 3 , f ' (x ) = 3x 2 − 3x − 18 , 3x 2 − 3x − 18 < 0 , x2 − x − 6 < 0 ,
x ∈ (−2;3) .
(x − 3)(x + 2) < 0 ,
№ 1362
h = V0t – 4,9t2 V0 = 360м/с, V = h’ = V0 – 9,8t, V(10) = 360 – 98 = 262 м/с, hmax при V0 – 9,8t = 0 t =
360 ≈ 37 сек. 9,8
№ 1363 ϕ = kt 3 ϕ = 2π t = 2c ⇒ k =
ϕ 3
=
2π π = , 8 4
t 3π 2 3π ω = 3kt = t , ω(4 ) = ⋅ 16 = 12π . 4 4 2
№ 1364 1) y = y' = = =
x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3
(5x
x3 4
)
,
(
− 9 x 2 + 4 x − 1 x 3 − 3x 2 x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3 x3
5 x 7 − 9 x 5 + 4 x 4 − x 3 − 3x 7 + 9 x 5 − 6 x 4 + 3x 3 − 9 x x3 2x 7 − 2x 4 − 2x 3 − 9x 2 x3
2) y =
6x3 x x
; y=
6x
4
3
1 x 2
=
)= =
2x 5 − 2x 2 − 2x − 9 ; x
, y' =
8x
1 4 1 −1 3 ⋅ x 2 − 1 x 2 ⋅ x 3 ⋅6
2 x
=
8x
5
6
− 3x x
5
6
№ 1365 1) y = y' = =
244
3x 2 − 2x + 1 , x +1
(6x − 2)(x + 1) − (3x 2 − 2x + 1) = 6x 2 + 6x − 2x − 2 − 3x 2 + 2x − 1 = (x + 1)2 (x + 1)2
3x 2 + 6x − 3
(x + 1)
2
=
(
)
3 x 2 + 2x − 1
(x + 1)
2
−1 6.
= 5x
2) y =
(4x − 3)(2x + 1) − 2(2x 2 − 3x + 1) = 8x 2 + 4x − 6x − 3 − 4x 2 − 6x − 2 = (2x + 1)2 (2x + 1)2
y' = =
2 x 2 − 3x + 1 , 2x + 1
4x 2 + 4x − 5
(2x + 1)2
№ 1366
1) y = (2 x + 1)2 x − 1 ,
1 (x − 1)− 12 = 2 ⋅ 4(2x + 1)(x − 1) + 1 = 2 2 x −1 8 2x 2 − 2 x + x − 1 + 1 16 x 2 − 8x − 7 = = 2 x −1 2 x −1 y' = 2(2x + 1) ⋅ 2 x − 1 +
(
)
2) y = x 2 3 (x + 1)2 ; y = x 2 (x + 1)
2
y' = 2 x (x + 1)
2
=
8x 2 + 6 x
3
,
2 2 2 3 ⋅ 2 x (x + 1) + 2 x 2 x (x + 1)− 3 = = 3 33 x + 1 2x (4x + 3)
3
+
= 3 33 x + 1 3 x +1 3) y = sin2xcos3x,
y' = 2 cos 2 x ⋅ cos 3x − 3 sin 2 x ⋅ sin 3x = cos x + cos 5x − 1 5 = − cos x − cos 5x 2 2 4) y = xcos2x, y’ = cos2x – 2xsin2x.
3 (cos x − cos 5x ) = 2
№ 1367
f(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3); f(x) = (x2 – 3x + 2)(x – 3) f’(x)=(2x–3)(x–3)+x2 - 3x+2=2x2 – 6x–3x + 9 + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12x + 11 3x2 – 12x + 11 = -1, 3x2 – 12x + 12 = 0, 3(x2–4x+4)=0; 3(x – 2)2 = 0, x = 2.
№ 1368 1) f (x ) = e3− 2 x ⋅ x 2 , 2) f (x ) =
x2 e1− x
f ' ( x ) = −2e3− 2 x ⋅ x 2 + 2 x ⋅ e3− 2 x f ' ( x ) = −2e−1 ⋅ 4 + 4 ⋅ e −1 = −4e−1 < 0
, f ' (x ) =
2 x ⋅ e1− x + x 2 ⋅ e1− x e 2(1− x )
, f ' (2 ) =
4 ⋅ e−1 + 4e −1 e− 2
> 0.
№ 1369 f (x ) =
1 + sin 2 x 1 − sin 2 x
245
f ' (x) = f ' (0 ) =
2 cos2x(1 − sin 2x) + 2 cos2x(1 + sin 2x)
(1 − sin 2x)
2
=
(1 − sin 2x)
4 2 8 ⎛π⎞ = 4; f ' ⎜ ⎟ = = 2 1 6 ⎝ ⎠ ⎛2− 3⎞ 2− 3 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
(
№ 1370
f (x ) = x 3 + x 2 + x 3 ; g(x ) = x 3 + 1
2 ⋅ 2 cos2x 2
=
4 cos2x
(1 − sin 2x)2
)
2
f ' (x ) = 3x 2 + 2 x + 3 g' (x ) = 3
f ' (x ) ≤ g ' (x ) , 3x 2 + 2 x + 3 ≤ 3 , 3x 2 + 2x ≤ 0 , x (3x + 2 ) ≤ 0 , ⎡ 2 ⎤ x ∈ ⎢− ;0⎥ . ⎣ 3 ⎦
№ 1371 ⎛ π ⎞ f(x) = cos3x, F⎜ ⎟ = −1 . ⎝ 24 ⎠ Первообразная F =
1 ⎛ π ⎞ sin 4 x + c, с найдем из условия F⎜ ⎟ = −1 , 4 ⎝ 24 ⎠
1 1 1 1 1 π ⋅ sin + c = −1; + c = −1 , c = −1 , F = sin 4 x − 1 . 4 8 4 6 8 8
№ 1372 1 1 , F = ln x + 1 − ln x − 1 + c ; − x +1 x −1 3 1 3 3 2) y = ; y= , F = ln x − + c . 1⎞ 4x − 1 ⎛ 4 4 4⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝
1) y =
№ 1373 9
9
2
2
1) ∫ 3 x − 1dx = ∫ (x − 1) 3 dx = π
4
(
1
)
π
4
3 (x − 1)4 3 4
2) ∫ 2 cos2 x − 1 dx = ∫ cos 2 xdx = π
6
π
6
9
=
2
(
)
45 3 4 2 −1 = ; 4 4
π
4 1 1⎛ 3 ⎞⎟ 2 − 3 ; = sin 2 x = ⎜1 − 2 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 π 6
4 x2
4 +3 7 ⎞ ⎛ ⎛1 ⎞4 dx = ∫ ⎜ x + 2 + 3) ∫ ⎟dx = ⎜ x 2 + 2 x + 7 ln x − 2 ⎟ = x−2⎠ ⎝2 ⎠3 3 x−2 3⎝
⎛9 ⎞ 11 = (8 + 8 + 7 ln 2 ) − ⎜ + 6 + 7 ln1⎟ = + 7 ln 2 . ⎝2 ⎠ 2 246
№ 1374 π
1) ∫ sin xdx = − cos x π
2
1
(
π π
π
π
3
= 1 ; 2) ∫ cos xdx = sin x π
2
6
π
3 6
=
3 1 − = 2 2
3 −1 ; 2
)
⎞ 1 ⎛1 3) ∫ x 2 + 2 x + 3 dx = ⎜ x 3 + x 2 + 3x ⎟ = 3 ⎝ ⎠ −2 −2 =
7 1 1 8 +1+ 3 − + 4 − 6 = 2 − = − ; 3 3 3 3
(
)
2 ⎛1 ⎞2 4) ∫ x 2 − 6 x + 8 dx = ⎜ x 3 − 3x 2 + 8x ⎟ = ⎝3 ⎠1 1
1 ⎛8 ⎞ ⎛1 ⎞ 7 ⎜ − 12 + 16 ⎟ − ⎜ − 3 + 8 ⎟ = − 1 = 1 ; 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(
)
3 2 ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ 5) ∫ x − 2 + 1 dx = ⎜ − + x ⎟ = ⎜ − + 3 ⎟ − (− 1 + 1) = 2 ; 3 ⎝ x ⎠1 ⎝ 3 ⎠ 1 1
1 1 2 2 2 dx = − ∫ dx = − ∫ 5 4 x 4 x 5 − − ⎛ −1 −1 −1 4⎜ x − ⎝
6) ∫
1 5 = − ln x − 2 4
5⎞ ⎟ 4⎠
dx =
1
1⎛ 1 9⎞ 1 1 1 = − ⎜ ln − ln ⎟ = − ln = − ln = ln 3 . 2 4 4 2 9 3 ⎝ ⎠ −1
№ 1375 π⎞ 1 π π ⎛ 1) cos⎜ 3x − ⎟ = , 3x − = ± + 2πn , n ∈ Z , 4 3 4⎠ 2 ⎝ π π π π 2 Ответ: x = 3x = ± + + 2πn , n ∈ Z . ± + πn , n ∈ Z 3 4 12 9 3 1 3 2) log2(3 – 2x) < -1, log 2 (3 − 2 x ) < log 2 , 3 − 2x > 0, т т. x < , 2 2 1 5 5 3 Ответ: 3 − 2x < ; x > . <x< 2 4 4 2 3a
3) 4 ⋅ 2 2
3a + 2
a2
= 0,25
=2
−a 2
2;
3a + 2
2
2
=2
− 2⋅
a2 2
;
2
; 3a + 2 = −a ; a + 3a + 2 = 0; a 1 = −1, a 2 = −2 .
Ответ: a 1 = −1, a 2 = −2 4) y = x(4 – x), x = 0, x = 4 – точки пересечения y = 4x – x2 и y = 0, тогда 4 1 ⎞4 64 2 2 ⎛ S = ∫ 4x − x 2 dx = ⎜ 2 x 2 − x 3 ⎟ = 32 − = 10 . Ответ: 10 3 ⎠0 3 3 3 ⎝ 0
(
)
247
5) y = 4 −
9 1 + x +1 x − 3
9 1 ⎧ ⎪4 − x + 1 + x − 3 ≥ 0 ⎪ ⎨x ≠ −1 ⎪x ≠ 3 ⎪ ⎩
+
+ –
-1
(
3
)
4(x + 1)(x − 3) − 9(x − 3) + (x + 1) 4 x 2 − 2 x − 3 − 9x + 27 + x + 1 ≥ 0, ≥0, (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3)
⎧x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) 4(x − 2)2 ⎪ ≥ 0 , ⎨x ≠ −1 (x + 1)(x − 3) ⎪⎩x ≠ −3 Ответ: x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) . + 6) y = x3 – 3x + a; [-2;0]; ymax = 5, – y’ = 3x2 – 3, y’ = 0; 3(x - 1)(x + 1) = 0, -1 Максимальное значение на [-2;0] функция принимает в точке х = -1, у = 5 = -1 + 3 + a, откуда а = 3. 4 x 2 − 16 x + 16 ≥ 0; (x + 1)(x − 3)
+ 1
№ 1376
1) sin2x – 4sinx – 5 = 0, sinx = -1, sinx = 5, что невозможно, таким обраπ зом х = − + 2πn , n ∈ Z; 2 π 3 Ответ: x = − + 2πn , n ∈ Z; x = π > 0 . + 2 2 2) f(x) = 3x2(1 – x) , [0;1] – – 0 2 f’(x) = 6x(1 – x) – 3x2 = -9x2 + 6x = 3 = -3x(3x – 2) 4 1 4 2 ⎛2⎞ Точка максимума x = , f ⎜ ⎟ = 3 ⋅ ⋅ = . 3 9 3 9 ⎝3⎠ 8 2 3) lgx = lg3 – lg(3x – 8), x > 0, x > , т.е. x > 2 , 3 3
4 ± 16 + 9 4 ± 5 3 ; 3x2 – 8x – 3 = 0, x 1 = = . 3x − 8 3 3 2 2 2 4) y1 = (x – 3) , y2 = 9, y1 = y2; (x – 3) = 9, x = 0, x = 6, x=
(
)
3 ⎛1 ⎞3 S = 6 ⋅ 9 − 2 ∫ x 2 − 6x + 9 dx = 54 − 2⎜ x 3 − 3x 2 + 9 x ⎟ = ⎝3 ⎠0 0 = 54 − 2(9 − 27 + 27 ) = 36 Ответ: 36.
248
Ответ: х = 3
(x − 5)⎛⎜ 2
1 ⎞ + 0,2 ⎟ x −1 ⎝ ⎠ ≤0 5) x+2 Данное неравенство равносильно системе: ⎧x −5 ⎪ ≤ 0 ⎧x ∈ (− 2;5] . Ответ: x ∈ (− 2;1) U (1;5]. ⎨x + 2 ⎨x ≠ 1 ⎩ ⎪⎩x ≠ 1 6) y = x2 – 4x + 2, y = -2x + a, x2 – 4x + 2 = -2x + a, x2 – 2x + 2 – a =0, D = 4 – 4(2 – a) = -4 + 4a = 4(a – 1), D ≥ 0 при a ≥ 1.
№ 1377
log 0 , 7 (1+ 2 x )
> 4 , log0,7(1 + 2x) > 2, log0,7(1 + 2x) > log0,70,72, 51 49 51 1 1 + 2x < , 2x < − , x 0, т.е. x > − . 100 100 2 200 1 51 . Ответ: − < x < − 2 200 2) f(x) = x2 – x3, x0 = -1, y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f’(x) = 2x – 3x2, f’(x0) = -2 – 3 = -5, f(x0) = 2, y = 2 – 5(x + 1), т.е. у = -5х – 3. 1) 2
3)
x 4 − 3x − 1 = x 2 − 1 ,
⎧x 4 − 3x − 1 ≥ 0 3 ± 9 + 16 3 ± 5 ⎪ 2 2 x 2 − 3x − 2 = 0 , x1, 2 = = ⎨x − 1 ≥ 0 4 4 ⎪x 4 − 3x − 1 = x 4 − 2 x 2 + 1 ⎪⎩ 1 ⎧ ⎪x1 = 2, x 2 = − 2 ⎪ 4 Ответ: х = 2 ⎨x − 3x − 1 ≥ 0 ⎪x 2 − 1 ≥ 0 ⎪ ⎩ 1 1 1 4) y1 = x , y 2 = x , y1 = y2; x = x; x = x 2 , 2 2 4 x2 – 4x = 9; x(x – 4) = 0, x1 = 0, x2 = 4 – точки пересечения y1 и у2, тогда 4 1 1 2 2 4 16 4 1 S = ∫ x 2 dx − ⋅ 4 ⋅ 2 = x 3 − 4 = −4 = =1 . 2 3 3 3 3 0 0 3 2 5) y = x – 3ax2 + 27x – 5, y’ = 3x – 6ax + 27 = 0, 3x2 – 6ax + 27 = 0, x2 – 2ax + 9 = 0, при a = 3, x2 - 2⋅ 3 ⋅ x + 9 = (x – 3)2, следовательно единственная стационарная точка при а = 3. 5π 5π 6) sin x = x 2 − 4 x + 5 , sin x ≤ 1 4 4 x 2 − 4 x + 5 ≥ 1 , т.к. (х–2)2+1≥0, следовательно, равенство возможно только в случае х=2, т.е. когда обе части уравнения принимают значение, равное 1. 249
№ 1378 1)
4
4
36log 6 5 − 5log 5 9 = 62 log 6 5 − 9 = 4 25 − 9 = 2 . x
2) f (x ) = e 3 т.к. касательная проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx; пусть х0 – точка касания y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f ' (x ) = y=e
3e
x0
x0 3
3
x
1 3 e , тогда y = e 3 1 + e 3
− x 0e
x0 3 x−
x0
3
x0 e 3
= 0, e
x0 3
x0 3
x0
1 + e 3
x0 3
(x − x 0 )
, откуда e
3
x0
(3 − x0 ) = 0,
⎧ ⎛π ⎞ ⎛3 ⎞ cos⎜ + x ⎟ + sin⎜ π − y ⎟ = 1 ⎪⎪ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 3) ⎨ ⎪x + y = − 3π ⎪⎩ 2 1 − sin x − sin x = 1 , sin x = − , 2
3
−
x0 x0 3 e = 0; 3
x0 = 3 .
Ответ: (3; е)
⎧ 3π ⎞ ⎛3 − sin x + sin⎜ π + x + ⎟ =1 ⎪⎪ 2 2 ⎠ ⎝ ⎨ ⎪ y = − x − 3π ⎪⎩ 2
π π 3π + nπ, n ∈ Z , y = (− 1)n + 2 − + nπ, n ∈ Z . 6 6 2 4) (3 – x)log3(x + 5) ≤ 0; а) х + 5 > 0, т.е. x > -5 б) x + 5 > 0, т.е. x > -5 ⎧3 − x ≤ 0 ⎧3 − x ≥ 0 ⎧x ≥ 3 ⎧x ≤ 3 ⎨log (x + 5) ≥ 0; ⎨ x ≥ −4; ⎨log (x + 5) ≤ 0; ⎨ x ≤ −4 ⎩ ⎩ ⎩ 3 ⎩ 3 x≥3 − 5 < x ≤ −4 Ответ: x ∈ (−5;−4] U [3;+∞ ) x = (− 1)n +1
6
5)
2 ∫ 36 − x dx , заметим, что данный интеграл – это половина пло-
−6
6
щади круга радиуса 6, тогда
1
2 2 ∫ 36 − x dx = 2 π ⋅ 6 = 18π ;
−6
3 , 2 − x 2 ≥ 0, x ≤ 2 , 6) cos 2 − x = 2 π2 π π ± 2 ⋅ ⋅ 2πn + 4π2 n 2 2 − x 2 = ± + 2πn , n ∈ Z , 2 − x 2 = 6 36 6 2
x2 = 2 −
π2 2 2 π2 2 2 ± π n + 4π 2 n 2 , x = ± 2 − ± π n + 4π2 n 2 , 36 3 36 3
но т.к. x ≤ 2 , то x = ± 2 −
250
π2 . 36
№ 1379 1) cosxcos3x = -0,5,
1 (cos 2x + cos 4x ) = −0,5 , cos 2 x + cos 4 x = −1 , 2
cos 2 x + cos 2 2 x − sin 2 2 x = −1 , cos 2 x + 2 cos 2 2 x = 0 , cos 2 x(1 + 2 cos 2 x ) = 0 , ⎡cos 2 x = 0 π nπ ⎡ ⎢ ,n∈Z . 1; ⎢x = + ⎢cos 2 x = − 4 2 ⎣ 2 ⎣ π nπ π , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + 4 2 3 1 2 2 2) log 4 x + log 2 (− x ) > 6 , log 2 x 2 + log 22 (− x ) > 6 , 2 log 22 (− x ) + log 2 (− x ) − 6 > 0 , log 2 (− x ) = t
t 2 + t − 6 = 0;
D = 1 + 24 = 25 , t1 =
+
+ -3
–
−1 + 5 −1 − 5 = 2, t2 = = −3 . 2 2
2
⎡log 2 (− x ) > 2 = log 2 4 ⎢ 1 ⎢log 2 (− x ) < −3 = log 2 8 ⎣
⎡− x > 4 ⎢ 1; ⎢− x < 8 ⎣
⎡⎧ x < 0 ⎢⎨ x < −4 ⎡ 1 ⎢⎩ ⎢− 8 < x < 0 ; 1 ⎧ ⎢⎪ x > − ⎢ ⎢⎨ 8 ⎣ x < −4 ⎢⎪ x < 0 ⎣⎩
⎧⎪9 x ⋅ 3 y = 9 ; ⎪⎩ y − x = 1
⎧⎪3 2 x + y = 3 2 ⎧2 x + y = 2 ; ⎨ ; ⎨ ⎪⎩ y − x = 1 ⎩ y − x = 1 ⎧ y = 2 − 2x ⎧ y = 2 − 2x ; ⎨ ⎨ − x − x = 2 2 1 ⎩ ⎩ 2 − 2x = 1 + x
3) ⎨
2 − 2 x = 1 + 2 x + x , 1 − 3x = 2 x , 1 − 6 x + 9 x 2 = 4 x , 9 x 2 − 10 x + 1 = 0 , 5 ± 25 − 9 5 ± 4 1 16 , x1 = 1, x 2 = , y1 = 0, y 2 = . = 9 9 9 9 ⎛ 1 16 ⎞ Ответ: (1;0 ), ⎜ ; ⎟. ⎝9 9 ⎠ x1, 2 =
4) y1 = 9x – x3, x0 = 3, y = f(x0) + f’(x0)(x-x0); f(3) > 0, f’(x) = 9 – 3x2, f’(3) = -18, y = -18x + 54, 9x – x3 = -18x + 54, -x3 + 27x – 54 = 0, (-x2 + 6x2 – 9x) – 6x2 + 36x – 54 = 0, -x(x – 3)2 – 6(x – 3)2 = 0, 251
-(x – 3)2(x + 6) = 0, x = 3, x = -6, S = S1 + S2 + S3 + S4, −3
(
)
−3
(
)
S1 = ∫ − 18x + 54 − 9 x + x3 dx = ∫ x3 − 27 x + 54 dx = −6
=
−6
−3 x4 27 x2 − + 54x = 4 2 −6
81 243 405 891 . − − 162 − 324 + 486 + 324 = 324 − = 4 2 4 4 0
0
−3
−3
S 2 = ∫ (− 18 x + 54 )dx = −9 x 2 + 54 x 0
(
)
S 3 = ∫ x 3 − 9 x dx = −3 3
x 4 9x 2 − 4 2
(
)
0
=−
−3 3
= 81 + 162 = 243 , 81 81 81 , + = 4 2 4
(
)
S 4 = ∫ − 18 x + 54 − 9 x + x 3 dx = ∫ x 3 − 27 x + 54 dx = 0
=
0
3 81 243 405 243 x 4 27 x 2 − + 54 x = − + 162 = 162 − = 4 2 4 2 4 4 0
S=
891 243 3 + 243 + = 546 . 4 4 4
5) y = 2 − 3 sin x + 4 cos x
⎡ 4π 2 π ⎤ ; ⎥ на ⎢⎣ 3 3 ⎦
4 3 ⎛3 ⎞ y' = −3 cos x − 4 sin x = −5⎜ cos x + sin x ⎟ = −5 cos(x − ϕ) , где ϕ = arccos 5 5 ⎝5 ⎠ π − 5 cos(x − ϕ ) = 0 x − ϕ = + πn (2 ) n ∈ Z , 2 3 π x = arccos + + πn, n ∈ Z , 5 2 3 4 3 ⎛ ⎞ y = 2 − 5⎜ sin x − cos x ⎟ = 2 − 5 sin (x − ϕ), где ϕ = arccos (1) ; 5 5 ⎝5 ⎠ 3 3 3 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ ⎛ 2π ⎞ y⎜ − + 4⋅⎜− ⎟ = − ⎟ = 2 − 3sin ⎜ + ⎟ + 4 cos⎜ ⎟ = 2 − 3 3 3 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ y ⎜ ⎟ = y⎜ − , теперь подставим в (1) (2) ⎟=− 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ π y = 2 − 5 sin (x − ϕ ) = 2 − 5 sin = 2 − 5 = −3 2 ⎛ 3π ⎞ y = 2 − 5 sin (x − ϕ) = 2 − 5 sin ⎜ ⎟ = 2 + 5 = 7 ⎝ 2 ⎠ max y = 7 min y = −3 ; 252
4
log3 4 и 4 2 ,
6) 21
log3 3
4,
2 =2
1
4
21
= log3 3
что равносильно сравненнию
4,
21
4и3
4
log 3 4 и
сравним, очевидно,
21
4>3
4
,
4
следовательно log 3 4 > 2 .
№ 1380
1) cos4x + 3sin2x = 0,25, cos22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – sin22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 2sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x(1 – sin2x) + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x + 8sin4x + 3sin2x = 0,25, 8sin4x – 5sin2x + 1 = 0,25, sin2x = a, 32a2 – 20a + 3 = 0,
10 ± 100 − 96 10 ± 2 1 3 = , a1 = , a 2 = ; 32 32 4 8 1 1 n π а) sin 2 x = ; sin x = ± , x1 = (− 1) + nπ, n ∈ Z , 4 2 6 π x 2 = (− 1)n +1 + nπ, n ∈ Z ; 6 ⎛ 3 3 3 ⎞⎟ l , x3, 4 = (− 1) arcsin⎜ ± + lπ, l ∈ Z . б) sin 2 x = ; sin x = ± ⎜ ⎟ 8 8 8 ⎝ ⎠ π π Ответ: x1 = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x 2 = (− 1)n +1 + nπ, n ∈ Z , 6 6 ⎛ 3 ⎞⎟ x3, 4 = (− 1)l arcsin⎜ ± + lπ, l ∈ Z . ⎜ ⎟ 8 ⎝ ⎠ ln(7 x − 4 ) 2) y = log3x+4(7x – 4), x = 2, y = , ln(3x + 4 ) a1,2 =
7 3 ⋅ ln (3 x + 4 ) − ln (7 x − 4 ) 7 4 x − 3 x +4 y' = , ln 2 (3 x + 4 ) 2 3 ⎛ 7 ⎞ y ' (2 ) = ⎜ ln 10 − ln 10 ⎟ ln 2 10 = ; 10 5 ln 10 ⎝ 10 ⎠ 3π 5π 3) y = 2cos3x – 5sin2x + 10, x = − , , x= 4 4 y = 2 cos 3 x − 5 sin 2 x + 10 ≥ 10 − 2 − 5 = 3 > 0 5π 4
2 5 S = ∫ (2 cos 3x − 5 sin 2 x + 10)dx = sin 3x + cos 2 x + 10 x 3 2 3π −
4
5π 4
−
3π 4
=
253
2 2 25π 2 2 15π 40π =− ⋅ +0+ + ⋅ −0+ = = 20π . 3 2 2 3 2 2 2 4) y = 6 x − 7 − 2 x , x ≥
3 − 2 6x − 7 1⋅ 6 7 , y' = =0, −2 = 6 6x − 7 2 6x − 7 + 7
– 37
3 9 37 6 24 6x − 7 = 6x − 7 = x= , 2 4 24 37 x= - точка максимума ⇒ дальше у убывает в -∞. 24
х
37 37 3 37 19 ⎛ 37 ⎞ − 7 − 2⋅ = − =− . y⎜ ⎟ = 6 ⋅ 24 24 24 2 24 12 ⎝ ⎠ x
2x
5) 9 + 6 ⋅ 3 x ≥ 11 , 3 + 6 ⋅ 3 x ≥ 11 . Так как необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее решению, то: x ≥ 0, 32x + 6 ⋅ 3x – 11 ≥ 0, 3x = t > 0, t2 + 6t – 11 ≥ 0, D/4 = 9 + 11= 20; 1)
t1 = −3 + 2 5 3x ≥ 2 5 − 3
t 2 = −3 − 2 5 x ≥ log 3 2 5 − 3 > 0
(
)
№ 1381 1) x 2 − 6 x + 9 + 25 + 10 x + x 2 = 8 ; |x – 3| + |5 + x| = 8 б) –5 ≤ х < 3; в) х < –5; а) х ≥ 3; х – 3 + 5 + х = 8; 3 – х + 5 + х = 8; 3 – х – 5 – х = 8; х = 3; –5 ≤ х < 3; х = –5; х ∈ ∅ x = 3 ⎡ ⎢x ∈ ∅ ; х ∈ [–5; 3]. ⎢− 5 ≤ x < 3 ⎣ 2) x 2 + 4 x + 4 − x 2 − 6 x + 9 = 6 ; |x + 2| – |x – 3| = 6 б) –2 ≤ х < 3; в) х < 2 а) х ≥ 3; х + 2 – х + 3 = 6; х + 2 – 3 + х = 6; –х–2–3+х=6 х∈∅ х = 3,5 х∈∅ Ответ: х ∈ ∅. (Опечатка в ответе задачника) 3)
3
(8 − x )2 − 3 (8 − x )(27 + x ) + 3 (27 + x )2
=7.
Пусть 3 8 − x = у, 3 27 + x = z, тогда исходное уравнение примет вид: 1) у2 – уz + z2 = 7, и 2) у3 + z3 = 35, поделим 2) на 1), получим: ⎧z = 5 − y ⎧y + z = 5 у + z = 5; ⎨ 3 ; ⎨ 3 ; 3 3 + = 35 y z ⎩ ⎩ y + (5 − y ) = 35 254
у3 + 125 – 75у + 15у2 – у3 = 35; 15у2 – 75у + 90 = 0; у2–5у+6=0, у1 = 2, у2 = 3, тогда а) 3 8 − x = 2, х = 0; б) 4
4
8 − x + 24
4. 8 − x + 89 + x = 5 ; х≤8, х≥–89; 4
8 − x = y,
4
3
8 − x =3, х=–19.
(8 − x)(89+ x) + (89+ x) = 25 ;
89 + x = z , у, z ≥ 0;
⎧⎪ y 2 + 2 yz + z 2 = 25 ⎧ y + z = 5 ⎧y = 5 − z ; ⎨ 4 ; ⎨ ; ⎨ 4 4 4 4 4 ⎪⎩ y + z = 97 ⎩ y + z = 97 ⎩(5 − z ) + z = 97 (5–z)4+z4=97; (25–10z+z2)2+z4=97; (25–10z)2+2(25–10z) z2+z4+z4 =97; 625 – 500z + 100z2 + 50z2 – 20z3 + 2z4 – 97 = 0; 2z4 –20z3 + 150z2 – 500z + 528 = 0; z4 – 10z3 + 75z2 – 250z + 264 = 0;
z1 = 3, z2 = 4 162 , т.к. z = 4 89 + x , то х1 = –8, х2 = 73.
№ 1382 В учебнике опечатка.Условие задачи следует читать так : 1) 16sin2x + 16cos2x = 10; 16sin2x + 16cos2x = 10(sin2x + cos2x); 32sinx ⋅ cosx + 6cos2x – 10sin2x = 0; cosx = 0 не является решением, тогда 10tg2x – 32tgx – 6 = 0; 5tg2x – 16tgx – 3 = 0;
tgx =
8 ± 79 8 ± 64 + 15 ; x = arctg + πn , n ∈ Z. 5 5
Ответ: x = arctg
8 ± 79 + πn , n ∈ Z. 5
x
x
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2) ⎜ 3 + 8 ⎟ + ⎜ 3 − 8 ⎟ = 34 ; ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
(
x
)
x
(
) + ( 2 − 1) = 34 ; (1 + 2 ) − 34(1 + 2 ) + 1 = 0; (1 + 2 ) = 17 ± 288 = 17 ± 12 17 + 12 2 = 9 + 6 8 + 8 = (3 + 8 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = 4; 17 − 12 2 = (1 − 2 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = –4. x
1+ 2 + 1− 2
x
)
x
x ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎞ 2 − 2 2 + 1 ⎟ = 34 ; ⎜ 1 + 2 ⎟ + ⎜ 1 − 2 ⎟ = 34 ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎜ 1+ 2 2 + 2 ⎟ + ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
(
= 34; 1 + 2
2x
x
x
x
x
2
2;
4
1
4
−4
2
Ответ: х = ± 4.
№ 1383 1) х3–3х2+х=3; х3–3х2–3+х=0; х2 (х–3)+(–3+х)=0; (х2+1) (х–3)=0; х = 3. 2) х3–3х2–4х+12=0; х2 (х–3)–4(х–3)=0; (х–2) (х+2) (х–3)=0; х1/2=± 2; х3=3; 3) х5 + х4 – 6х3 – 14х2 – 11х – 3 = 0; 255
х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х4 – 6х2 – 8х – 3) = 0; (х + 1) (х – 3) (х3 + 3х2 + 3х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 1) (х2 + 2х + 1) = 0; (х + 1)4 (х – 3) = 0; х1 = –1, х2 = 3. 4) х4 – 3х3 – 2х2 – 6х – 8 = 0; х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х3 – 4х2 + 2х – 8) = 0; (х + 1) (х2(х – 4) + 2(х – 4)) = 0; (х + 1) (х – 4) (х2 + 2) = 0; х1 = –1, х2 = 4, х3,4 = ± i 2 .
№ 1384 cos 2 2 x
−1 2 ctg 2 x − 1 sin x cos x ; ; + = sin 2 x cos 2 x cos x sin x ctg 2 x sin 2 x 2
1) tgx + ctgx = 2ctg4x; tgx+ctgx =
1 cos2 2 x − sin 2 2 x 1 cos 2 2 x − sin 2 2 x sin 2 x = ; = ⋅ ; 2 sin x cos x cos 2 x sin x cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 2 x cos 2 2 x − 1 + cos 2 2 x 1 − =0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin x cos x ⎧2 cos 2 2 x − 1 − 2 cos 2 x = 0 , cos 2 x = a ; ⎨ ⎩sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0
2a2–1–2a=0; 2a2–2a–1=0; a=1– 3 ; 2x = ± arccos(1 – 3 ) + 2nπ, n ∈ Z;
(
)
⎧ ⎪ x = ± arccos 1 − 3 + πn , n ∈ Z ; ⎨ 2 ⎪sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0 ⎩ Ответ: x = ± 2)
arccos(1 − 3 ) + nπ, n ∈ Z . 2
sin 4 x = 2 (sin x + cos x ) ; π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝
(
)
sin 4 x 2 (sin x − cos x ) 2
= 2 (sin x + cos x ) ;
⎧sin 4 x − sin 2 x − cos 2 x = 0 ; ⎨ ⎩sin x − cos x ≠ 0
sin4x + cos2x = 0; 2sin2x ⋅ cos2x + cos2x = 0; cos2x(2sin2x + 1) = 0 ⎧⎡ π nπ π πn , n∈Z ⎡ ⎪⎢ x = + x , n Z = + ∈ ⎡cos 2 x = 0 4 2 ⎢ ⎪ ⎢ 4 2 ⎢ ; ⎨⎢ . 1; ⎢ π lπ ln x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z ⎢sin 2 x = − l +1 π + , l ∈ Z ⎪⎣⎢ 12 2 2 ⎢⎢ x = (− 1) ⎣ 12 2 ⎪ sin x − cos x ≠ 0 ⎣ ⎩ Ответ: x =
256
π + πn , n ∈ Z. 2
x = (− 1)l
π πl , l ∈ Z. + 24 4
№ 1385 sin 3 x cos 3 x 2 sin 3 x ⋅ sin 2 x + cos 3 x ⋅ cos 2 x 2 + = ; = ; cos 2 x sin 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x cos x 2 cos x ⋅ sin 3 x − sin 4 x − =0; = 0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x + sin 2 x − 2 sin 4 x sin 2 x − sin 4 x 2 sin x ⋅ cos 3x = 0; = 0; − =0; 2 sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x ⋅ sin 3 x sin 4 x ⋅ sin 3 x
1)
⎧⎡sin x = 0 ⎪⎢cos 3 x = 0 ⎪⎣ ; ⎨ ⎪sin 4 x ≠ 0 ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎩
π nπ ⎧ π ⎪x = + , n∈Z . Ответ: x = ± + πn , n ∈ Z. ⎨ 6 3 6 ⎪⎩sin 4 x ≠ 0
sin 2 x cos x + = 8 cos 2 x ; cos 2 x sin x sin 2 x ⋅ sin x + cos x ⋅ cos 2 x cos x = 8 cos 2 x ; = 8 cos 2 x ; cos 2 x ⋅ sin x cos 2 x ⋅ sin x 1 cos x ⎛ ⎞ − 8 cos x ⎟ = 0 ; − 8 cos 2 x = 0 ; cos x⎜ cos 2 x ⋅ sin x ⎝ cos 2 x ⋅ sin x ⎠
2) tg2x + ctgx = 8cos2x;
⎧⎡cos x = 0
⎪ ⎛ 1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x ⎞ cos x⎜ ⎟ = 0 ; ⎨⎢⎣1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x = 0 cos 2 x ⋅ sin x ⎝ ⎠ ⎪⎩cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 ⎧⎡ π ⎧⎡ π ⎪ x = + nπ, n ∈ Z 2 ⎪⎪⎢ x = + nπ, n ∈ Z ⎪⎢⎢ 2 ; ⎨⎢ . lπ ⎨⎢1 − 2 sin 4 x = 0 l π ⎪⎣ ⎪⎢⎣ x = (− 1) 24 + 4 , l ∈ Z ⎪cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 ⎩⎪cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 ⎩ π π lπ Ответ: x = + nπ , n ∈ Z. x = (− 1)l + , l ∈ Z. 2 24 4
№ 1386 sin 2 3 x − sin 2 x sin 3 x sin x = 2 cos 2 x ; − = 2 cos 2 x ; sin x ⋅ sin 3x sin x sin 3 x (sin3x − sin x)(sin3x + sin x) = 2 cos2x ; 2 sin x ⋅ cos 2 x ⋅ 2 sin 2 x ⋅ cos x = 2 cos 2 x ; sin x ⋅ sin 3x sin x ⋅ sin 3x 2 sin 2 2 x ⋅ cos 2 x − 2 cos 2 x ⋅ sin x ⋅ sin 3 x =0; sin x ⋅ sin 3 x
(
)
⎧2 cos 2 x sin 2 2 x − sin x ⋅ sin 3x = 0 ; ⎨ ⎩sin x ⋅ sin 3x ≠ 0
(
)
⎧2 cos 2 x ⋅ sin x 4 sin x ⋅ cos 2 x − sin 3 x = 0 ; ⎨ ⎩sin x ⋅ sin 3 x ≠ 0
257
2cos2x ⋅ sinx(4sinx – 4sin3x + 4sin3x – 3sinx) = 0 π nπ ⎧ ⎧2 cos 2 x ⋅ sin 2 x = 0 ⎪⎪ x = 4 + 2 , n ∈ Z π nπ ; ⎨ , n ∈ Z. . Ответ: x = + ⎨ n π x x sin ⋅ sin 3 ≠ 0 4 2 ⎩ ⎪ x ≠ nπ , x ≠ , n∈Z ⎪⎩ 3
№ 1387 log2(4cosx+3) log6(4cosx+3)=log2(4cosx+3)+log6(4cosx+3); 4cosx + 3 = a > 0; log2 a log6 a = log2 a + log6 a; log2 a (log6 a–1)=log6 a; log2 a log6 a/6–log6 a = 0; log6 a log6 a / 6 − log6 a = 0 ; log6 a (log6 a/6 – log6 2) = 0; log6 2 1 ⎡ ⎡log6 a = 0 ⎡a = 1 ⎡4 cos x + 3 = 1 ⎢cos x = − ; ; ; 2; ⎢log6 a / 12 = 0 ⎢a = 12 ⎢ 4 cos x + 3 = 12 ⎢ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣x ∈ ∅
π⎞ ⎛ x = ±⎜ π − ⎟ + 2πn , n ∈ Z. 3⎠ ⎝
π⎞ ⎛ Ответ: x = ±⎜ π − ⎟ + 2πn , n ∈ Z. 3⎠ ⎝
№ 1388 у=х3–6х2+11х–6; 0=х3–6х2+11х–6; х = 1; (х – 1) (х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х1=1, х2=2, х3 =3 – точки пересечения с осью Ох.
№ 1389 ⎧2 + m + n + 12 = 0 ; 2х3 + mx2 + nx + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2; ⎨ ⎩− 16 + 4m − 2n + 12 = 0 ⎧m = −4 ⎧m + n = −14 ⎧m + n = −14 ⎧m = −14 − n ⎨4m − 2n = 4 ; ⎨2m − n = 2 ; ⎨− 28 − 3n = 2 ; ⎨n = −10 , тогда исходное ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 3 2 уравнение имеет вид: 2х – 4х – 10х + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2, х3 = 3.
№ 1390 ⎧⎪logy x + logx y = 5 / 2 1) ⎨ ; ⎪⎩x + y = a + a2
⎧⎡log y x = 2 ⎪⎢ ⎨⎣log y x = 1 / 2 ; ⎪ 2 ⎩x + y = a + a
1 ⎧ ⎪logy x + log x = 5 / 2 ; y ⎨ ⎪ x + y = a + a2 ⎩
⎧⎡ x = y 2 ⎪⎢ ; ⎨⎢⎣ x = y ⎪ 2 ⎩⎪ x + y = a + a
( (
⎧⎡ x = y 2 ⎪⎢ ; ⎨⎢⎣ x = y ⎪ 2 ⎩⎪ x = a + a − y
) )
⎡a + a 2 − y = y 2 ⎡ y 2 + y − a + a 2 = 0 ; ; ⎢ ⎢ 2 2 ⎢⎣a + a − y = y ⎢⎣ y + y − a + a = 0
y1, 2 = 258
(
)
⎧⎪2 log 2y x − 5 log y x + 2 = 0 ; ⎨ ⎪⎩ x + y = a + a 2
− 1 ± 1 + 4 a + a2 ; х1,2 = –у1,2 + а + а2 2
(
)
2
⎛ − 1 ± 1 + 4 a + a2 ⎞ ⎟ ; х = –у + а + а2 y3, 4 = ⎜⎜ 3,4 3,4 ⎟⎟ 2 ⎜ ⎝ ⎠ Ответ: 1) если а > 0, a ≠ 1, то (а2; а), (а; а2) 2) если а < –1, a ≠ –2, то (–а – 1; (а + 1)2), ((а + 1)2; –а – 1) 3) если –1 ≤ а ≤ 0, а = 1, а = –2, то решений нет. 2 2 ⎧ 2 b > 0 ; ⎧x2 + y 2 = a2 ; 2) ⎨ x + y = a ⎨ ⎩logb x + logb y = 2 b ≠ 1 ⎩logb xy = 2 ⎧⎛ 2 ⎞2 2 2 ⎪⎜ b ⎟ 2 ⎧⎪ x 2 + y 2 = a 2 ⎪⎜ y ⎟ + y = a ⎛ b 2 ⎞ ⎜ ⎟ + у2 = а2; b4 + у4 = а2у2; ⎝ ⎠ ; ; ⎨ ⎨ ⎜ y ⎟ ⎪⎩ xy = b 2 ⎪ ⎝ ⎠ b2 = x ⎪ y ⎩
у4 – а2у2 + b4 = 0; у2 = t; t2 – а2t + b4 = 0; t1, 2 = а4 – 4b4 ≥ 0; (а2 – 2b2) (а2 + 2b2) ≥ 0. При а2 – 2b2 ≥ 0 и a 2 − a 4 − 4b 4 ≥ 0 ; y = ±
a 2 ± a 4 − 4b 4 ; 2 a 2 ± a 4 − 4b 4 . 2
№ 1391 ⎧⎪a 2 − 2 3 a y + x 2 + 2 xy − y 2 − 2 = 0 ; ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 − 2 y − cos(xy ) + 11 − 6a + a 2 = 0 х2 + (у – 1)2 + (а – 3)2 + (1 – cos(xy)) = 0. Все слагаемые не отрицательны, следовательно: х=0, у=1, а=3, 1–cos(xy) = 0, т.е. при а ≠ 3 решений нет. При а = 3 проверим, является ли решением системы х = 0, у = 1. 1 – cos(0 ⋅ 1) = 0 – верно; 9 – 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 0 + 0 – 1 – 2 = 0; 3 – 3 = 0 – верно, т.е. х = 0, у = 1 – решение. Ответ: а = 3, х = 0, у = 1. а ≠ 3 решений нет.
№ 1392 ⎧⎪ x y = y x 1) ⎨ 3 ; х, у > 0; ⎪⎩ x = y 2
⎧⎪ x y = y x ; ⎨ ⎪⎩ x = y 2 / 3
2 ⎧ ⎪x y = y y 3 ; ⎨ ⎪⎩ x = y 2 / 3
2 ⎧ ⎛ 2 1/ 3 ⎞ ⎪ x y = y y 3 2/3 2 у – у = 0; у2/3 ⎜⎝1 − 3 y ⎟⎠ = 0; ⎨ 3 ⎪⎩ x = y 2 / 3
259
2 ⎡y = 0 ⎡y = 0 ⎛ 3 ⎞9 2/3 ⎢ 1/ 3 3 ; ⎢ ; y ≠ 0; х = у ; х = ⎜ ⎟ , а также (1; 1). ⎢y = 3 3 = ⎢y ⎝2⎠ 2 ⎣⎢ ⎣ 2
2 1⎞ ⎛ ⎜⎛ 3 ⎞ 9 ⎛ 3 ⎞3 ⎟ Ответ: ⎜ ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎟ , (1; 1). ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝
⎧ ⎪x 2) ⎨ ⎪⎩ y
y y
1 ⎧ x y1 / 2 = y ⎧ y ⎪ =y ⎪y 4 = y ⎪ ; х, у > 0; ⎨ ; ⎨ ; 1 1 y 4 y ⎪x = y 4 ⎪ =x 4 ⎩ ⎪⎩ x = y
1 у = 1; у = 4; х = 2, а также (1; 1). 4
Ответ: (1; 1), (2; 4).
⎧⎪ 2 sin x = sin y 3) ⎨ . ⎪⎩ 2 cos x = 3 cos y
Сложим уравнения системы:
2 sinx + 2 cosx = siny + 3 cosy;
⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎞ π⎞ π⎞ 3 2 ⎛ ⎛ 2⎜ sin x + cos x ⎟ = 2⎜ sin y + cos y ⎟ ; sin ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ y + ⎟ ; ⎜ 2 ⎟ ⎜2 ⎟ 2 2 4 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π x + + 2πn = y + , n ∈ Z; x = + y + 2πn , n ∈ Z. 4 3 12 Вычтем уравнения системы, получим: π 7 x− y+ x+ y− π 12 = 0 , откуда 12 ⋅ cos 2 sin 2 2 3 5 x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 4 6 3 5 Ответ: x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 4 6 1 ⎧ 1 ⎧ x− y = − ⎪⎪ x = y − 3 ⎪⎪ 3 4) ⎨ ; ⎨ ; 1 1⎞ ⎛ ⎪cos 2 πx − sin 2 πy = 1 ⎪cos 2 π⎜ y − ⎟ − sin 2 πy = 2 3⎠ 2 ⎪⎩ ⎩⎪ ⎝ 2
π⎞ 1 ⎛ 1 3 ⎞⎟ 1 cos ⎜ πy − ⎟ − sin 2 πy = ; ⎜ cos πy ⋅ + sin πy ⋅ − sin 2 πy = ; ⎜ ⎟ 3 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎛
2
⎛1 ⎞ ⎜ cos πy + 3 sin πy ⎟ − sin 2 πy = 1 ; ⎜2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠
260
1 3 3 1 cos 2 πy + cos πy ⋅ sin πy + sin 2 πy − sin 2 πy = ; 4 2 4 2 cos 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy + 3 sin 2 πy − 4 sin 2 πy = 2 ; cos 2 πy − sin 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy = 2 ; cos 2πy + 3 sin 2πy = 2 ;
π π 1 3 cos 2πy + sin 2πy = 1 ; sin cos 2πy + cos sin 2πy = 1 ; 6 6 2 2 1 1 π π ⎛π ⎞ sin ⎜ + 2πy ⎟ = 1 ; + 2πy = + 2πn , n ∈ Z; y = + n, x = − . 6 6 6 2 ⎝6 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ Ответ: ⎜ − + n, + n ⎟ , n ∈ Z. 6 ⎝ 6 ⎠ 1 ⎧ ⎪cos x sin x = ; 5) ⎨ 2 ⎪⎩sin 2 x + sin 2 y = 0
⎧cos x ⋅ sin y = 1 / 2 ⎪ ⎨⎡sin (x + y ) = 0 ; ⎪⎩⎢⎣cos(x − y ) = 0
1 ⎧ ⎪cos x sin x = ; ⎨ 2 ⎪⎩2 sin (x + y )cos(x − y ) = 0
⎧cos x ⋅ sin y = 1 / 2 ⎪ ⎨⎡ x + y = nπ, n ∈ Z ; ⎪⎩⎢⎣ x − y = lπ, l ∈ Z
1 1 (sin(y – x) + sin(y + x)) = ; sin(y – x) + sin(y + x) = 1. 2 2 а) x + y = nπ, n ∈ Z; sin(nπ – 2x) = 1; π nπ π nπ – 2x = + 2kπ, n, k ∈ Z; x = − − kπ + ; 2 4 2 π nπ π nπ y = nπ + + kπ − , n, k ∈ Z; y = + kπ + , n, k ∈ Z; 4 2 4 2 nπ π nπ ⎞ ⎛ π ; + kπ + ⎜ − − kπ + ⎟ , n, k ∈ Z. 2 4 2 ⎠ ⎝ 4
б) x – y = nπ, n∈ Z; sin(y + x) = 1; sin(2y + nπ) = 1; π π 2 y + nπ = + 2πk , k, n ∈ Z; 2 y = + 2πk − nπ , k, n ∈ Z; 2 2 π nπ π nπ , n, k ∈ Z; x = + πk + , n, k ∈ Z; y = + πk − 4 2 4 2 nπ π nπ ⎞ ⎛ π Ответ: ⎜ ± ± kπ + ; + kπ ± ⎟ , n, k ∈ Z. 4 2 4 2 ⎠ ⎝
№ 1393 ⎧6 sin x ⋅ cos y + 2 cos x ⋅ sin y = −3 ⎨5 sin x ⋅ cos y − 3 cos x ⋅ sin y = 1 ⎩ Обозначим sinx ⋅ cosy за u, cosx ⋅ siny за v, тогда система примет вид:
261
−3 − 2v ⎧ ⎧6u + 2v = −3 ⎪u = ; 5(–3 – 2v) – 18v = 6; –15 – 10v – 18v = 6; ⎨5u − 3v = 1 ; ⎨ 6 ⎩ ⎪⎩5u − 3v = 1 3 −3+ 3 2 = −1 ; –28v = 21; v = – ; u = 4 6 4 1 ⎧ ⎪⎪sin x ⋅ cos y = − 4 ⎧4 sin x ⋅ cos y = −1 ⎧2(sin (x − y ) + sin (x + y )) = −1 ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ( ( ) ( )) ⎪cos x ⋅ sin y = − 3 ⎩4 cos x ⋅ sin y = −3 ⎩2 sin x − y + sin x + y = −3 ⎪⎩ 4 1 π 4sin(x – y) = 2; sin(x – y) = ; x – y = (− 1)k + kπ , k ∈ Z; 2 6 k π x = y + (− 1) + kπ , k ∈ Z; 2(sin(x – y) + sin(x + y)) = –1; 6 π ⎛ ⎞ 2sin(x – y) + 2sin(x + y) = –1; 1 + 2 sin ⎜ 2 y + (− 1)k + kπ ⎟ = −1 ; 6 ⎝ ⎠
π π π ⎛ ⎞ sin ⎜ 2 y + (− 1)k + kπ ⎟ = −1 ; 2 y + (− 1)k + kπ = − + 2πn ; 6 6 2 ⎝ ⎠ π kπ k +1 π , k, n ∈ Z; y = − + (− 1) + πn − 4 12 2 π π π kπ x = − − (− 1)k + πn − + (− 1)k + kπ , k, n ∈ Z; 4 12 2 6 π kπ k π , k, n ∈ Z. x = − + (− 1) + πn + 4 12 2 π π kπ π π kπ Ответ: x = − + (− 1)k + πn + ; y = − + (− 1)k +1 + πn − , k, n ∈ Z. 4 12 2 4 12 2
№ 1394 log 5 y ⎧⎪3log x 2 = y log 5 y ⎧ ; ⎪⎨ log x 2 = log 3 y log 7 x ; ⎨ log y 3 ⎪⎩ 2 = x log 7 x ⎪ ⎩ log y 3 = log 2 x
1 ⎧ ⎧ 1 ⎪⎪ log x = log 5 y ⋅ log 3 y ⎪⎪log 2 x = log y ⋅ log y 3 5 2 ; ⎨ ; ⎨ 1 1 ⎪ = log 7 x ⋅ log 2 x = log 7 x ⋅ log 2 x ⎪ ⎪⎩ log 3 y ⎪⎩ log 3 y 1 ⎧ ⎪ x = 2 log 3 y⋅log 5 y ⎪ ; 1 1 ⎨ ⎪ 1 log 3 y log 5 y log 3 y log 5 y ⋅ log 2 2 ⎪ log y = log7 2 ⎩ 3
262
1 ⎧ 1 ⎧ ⎪ x = 2 log 3 y⋅log 5 y ⎪ ⎪ log 3 y ⋅log 5 y ; ⎨x = 2 ; ⎨ 1 log7 2 ⎪log 2 y ⋅ log y = log 2 ⎪ = 2 2 3 7 ⎩ 5 ⎩⎪ log3 y log3 y ⋅ log5 y
1 ⎧ ⎪⎪x = 2 log3 y⋅log5 y ; ⎨ log y ⎪log52 y ⋅ 5 = log7 2 log5 3 ⎪⎩
1 ⎧ 1 ⎧ 2 ⎪ ⎪x = 2 log3 y⋅log5 y ⎪ x = 2 (log 5 3⋅log 7 2 ) 3 log 3 ; ⎨ 5 . ⎨ 1 ⎪ 1 ⎪ ( ) log 3 log 2 7 3 ⎩log5 y = (log5 3log7 2)3 ⎪⎩ y = 5 5
№ 1395 1) x lg
2
x −3 lg x +1
> 1000; x > 0, x ≠ 1; lg x x lg
lg 2 x − 3 lg x + 1 >
2
x −3 lg x +1
> lg x 1000 ;
1 3 ; lg 2 x − 3 lg x + 1 > . log103 x lg x
Обозначим lgx через а, тогда неравенство примет вид: а2 – 3а +1 >
3 a 3 − 3a 2 + a − 3 ; >0; a a
(
)
(a − 3) a 2 + 1 > 0 ; a 2 (a − 3) + (a − 3) > 0; a a ⎡lg x < 0 ⎡ x < 1 ; а ∈ (–∞; 0) U (3; +∞), т.е. ⎢ ⎣lg x > 3 ⎢⎣ x > 1000 Ответ: х ∈ (0; 1) U (1000; +∞). 2
2) 3lg x + 2 < 3lg x +5 − 2 ; х > 0; 3lgx + 2 – 32 lgx + 5 + 2 < 0 3lgx + 2 – 32 (lgx + 2) ⋅ 3 + 2 < 0; 3lgx + 2 = t t > 0; 3t2 – t – 2 > 0; –3t2 + t + 2 < 0; 1+ 5 2 D = 1 + 24 = 25; t1 = =1; t2 = – ; 6 3 t > 1 3lgx + 2 > 1 + 30; lgx + 2 > 0 lgx > –2 = lg 0,01; x > 0,01.
№ 1396 log|2x + 2| (1 – 9x) < log|2x + 2| (1 + 3x) + log|2x + 2| ⎛⎜ 5 + 3x −1 ⎞⎟ ; ⎝9 ⎠ 3 1 1) |2x + 2| > 1, т.е. x < – , x > – ; 2 2
(1 − 3 )(1 + 3 ) < log x
log|2 x + 2|
x
x
5 + 3x +1 ⎛5 ⎞ + 3x −1 ⎟ ; 1 − 3x < ; 9 ⎝9 ⎠
|2 x + 2| ⎜
1+ 3 4 < 3 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3х; 9 – 3х + 2 < 5 + 3x + 1; 4 < 12 ⋅ 3х; 3х + 1 > 30; x > –1; х
263
⎧ x > −1 ⎪⎡ 2 1 ⎪⎢ x < − ⎨ 3 ;x>– . ⎢ 2 ⎪ 1 ⎪⎢⎢ x > − 2 ⎩⎣
2) |2x + 2| < 1, т.е. –
3 1 < x 1 ; – < x < –1. − < < − x 9 2 ⎪⎩ 2 2 5 x–1 +3 , т.е. х < 0, 9 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 тогда решением исходного неравенства являются x ∈ ⎜ − ; − 1⎟ U ⎜ − ; 0 ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Заметим, что по определению логарифма 1–9х>0, 1+3x>0,
№ 1397 x3 + x 2 − 4 x − 4 3
2
> 0;
(
) (
)
(x + 1)(x + 2)(x − 2) > 0 . x x2 − 4 + x2 − 4 > 0; (x − 1)(x + 3)(x + 4) (x − 1)(x + 3)(x + 4)
x + 6 x + 5 x − 12 Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞).
№ 1398 ⎧ x ≥ 3,5 ⎪⎪ 13 ⎨ x ≥ − . Ответ: х ≥ 3,5. 6 ⎪ ⎪⎩ x ≥ −5 ⎧x ≤ 3 ⎧3 − x ≥ 0 ⎪⎪ 5 ⎪ ; ⎨ x ≥ . Ответ: х ∈ (2; 3]. 2) 3 − x < 3x − 5 ; ⎨3 x − 5 ≥ 0 3 ⎪⎩3 − x < 3x − 5 ⎪ ⎪⎩ x > 2 ⎧2 x − 7 ≥ 0 ⎪ 1) 2 x − 7 ≤ 6 x + 13 ; ⎨6 x + 13 ≥ 0 ; ⎪⎩2 x − 7 ≤ 6 x + 13
№ 1399 3 x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 3х – 10; x−4
⎧3 x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 0 ⎪⎪ 3 2 2 2 ⎨3 x − 22 x + 40 x ≥ (3 x − 10 ) (x − 4) ; ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪⎩
⎧ ⎡ 10 ⎤ ⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞) ; ⎪ ⎣ 3⎦ ⎪ 3 2 2 2 ⎨3x − 22x + 40x ≥ (3x − 10) (x − 4) ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪ 264
⎧ ⎡ 10 ⎤ ⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞) ; ⎪ ⎣ 3⎦ ⎪ 2 2 ⎨x(x − 4)(3x − 10) − (3x − 10) (x − 4) ≥ 0 ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪
⎧ ⎡ 10 ⎤ ⎧ ⎡ 10 ⎤ ∪ [4; + ∞) x ∈ 0; ; ⎪ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ; ⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞) 3⎦ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ 2 ⎨(x − 4)(3x − 10)(x − (3x − 10)(x − 4)) ≥ 0 ⎨(x − 4)(3x −10) x − 3x + 22x − 40 ≥ 0 ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪ ⎪ ⎧ ⎡ 10 ⎤ 8 ⎪ x ∈ ⎢0 ; ⎥ ∪ [4 ; + ∞ ) ; (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х – ) ≤ 0; ⎣ 3⎦ 3 ⎪⎪ 2 ⎨(x − 4 )(3 x − 10) − 3 x + 23x − 40 ≥ 0 ⎪x − 4 ≠ 0 ⎪ ⎧ ⎡ 10 ⎤ ⎪ x ∈ ⎢0 ; ⎥ ∪ [4 ; + ∞ ) ⎡ 8 10 ⎤ ⎪ ⎣ 3⎦ ; х ≠ 4. Ответ: х ∈ ⎢ ; ⎥ U (4; 5] . ⎨ 8 10 ⎡ ⎤ ⎣3 3 ⎦ ⎪x ∈ ; ⎢ 3 3 ⎥ ∪ [4; 5] ⎪⎩ ⎣ ⎦
(
(
)
)
№ 1400 |x – 5a| ≤ 4a – 3; а) x – 5a ≥ 0, т.е. x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 3 3 15 3 3 при а = ; х ∈ ∅ при а < . при а > ; x = 4 4 4 4 3 б) x–5a 0;
(
1 1 2 2 ; ⎧(1 + a + 1 − a )a − 2 1 − a + = ⎨ 1− a 1+ a a ⎩(1 − a )(1 + a )a ≠ 0
272
2
) 2 = 0;
2a – 2 2 + 2 2 a2 = 0; a – 2 + a1, 2 =
−1±
1− x =
2 1
2
2 a2 = 0;
2 a2 + a – 2 = 0; 1 1+ 8 −1± 3 ; ; a > 0, следовательно, a = = 2 2 2 2 1 1 1 Ответ: x = . ; 1–x= ; x = . 2 2 2
№ 1421 | 2 x + 1 – x| + |x – 2 x + 2| = 7; | 2 x –x+1|+|–( 2 x –x+1)+3| = 7; | 2 x – x + 1 = a; |a| + |3 – a| = 7. а) a > 3; a + a – 3 = 7; a = 5. б) 0 ≤ a ≤ 3; a + 3 – a = 7; a ∈ ∅. в) a 0 ⎝3⎠ −5 − 13 = = −1 18
2
1 1 ⎛ 2 ⎞x 4 ⎛ 2 ⎞ = 2; x = . ⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ; x 9 ⎝3⎠ 2 ⎝3⎠
2) log2(x2 – 3) – log2(6x – 10) + 1 = 0, x 2 − 3 1 2 x 2 − 6 − 6 x + 10 =0; = ; 2(6 x − 10 ) 6 x − 10 2
⎧ 2 x 2 − 6 x + 4 = 0 ⎧ x 2 − 3x + 2 = 0 ; ⎨ ; ⎨ ⎩x ≠ 10 / 6 ⎩x ≠ 10 / 6 x1 = 1, x2 = 2, т.к. x2 – 3 > 0 и 6x – 10 > 0, то x = 1 не является решением. Ответ: x = 2. 1 3) 2log2x – 2 log 2 = 3 log 2 x ; 2log2x + 1 = 3 log 2 x , x > 0. 2 1 log 2 x = a ≥ 0; 2a2 – 3a + 1 = 0; a1 = 1, a2 = ; log2x = 1, x = 2; 2 1 log2x = , x = 2 . Ответ: x = 2 . 4 4) logx(2x2 – 3x – 4) = 2; 2x2 – 3x – 4 > 0, x > 0, x ≠ 1;
273
logx(2x2 – 3x – 4) = logxx2; 2x2 – 3x – 4 = x2; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1, x2 = 4; x1 < 0, следовательно не является решением. Ответ: x = 4.
№ 1423 1) 1 + logx(5 – x) = log74 · logx7; 1 + logx(5 – x) = log x 7 log 7 4 ; logxx(5 – x) = logx4; 5 – x > 0, x > 0, x ≠ 1; 5x – x2 = 4; x2 – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4; Ответ: x = 4. 2) (log9(7 – x) + 1) log3-x3 = 1; log99(7 – x) log3-x3 = 1; 1 1 log3 9(7 − x ) ⋅ = 1 ; log3-x9(7 – x) = 2; 2 log3 3 − x log3-x9(7 – x) = log3-x(3 – x)2; 9(7 – x) = 9 – 6x + x2; x2 + 3x – 54 = 0;
x1,2 =
− 3 ± 9 + 54 ⋅ 4 − 3 ± 15 ; = 2 2
x1 = 6, x2 = –9; 3 – x > 0, 3 – x ≠ 1 следовательно, 7 – x > 0, x = –9. Ответ: x = –9.
№ 1424 1) cosx + cos2x + cos3x = 0; 2cos2x + cosx + cos2x = 0; π nπ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z ⎢ . 1 ; ⎢ ⎢cos x = ⎢ x = ± 2 π + 2lπ , l ∈ Z 2 ⎣ ⎢⎣ 3 2 π nπ , n ∈ Z ; x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + 4 2 3 x π⎞ ⎛ ⎛ 3x π ⎞ 2) cos3x – 3cos2x + cosx = 2 cos⎜ + ⎟ ⋅ sin ⎜ − ⎟ ; ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠
π⎞ ⎛ cos3x–3cos2x+cosx=sin ⎜ x − ⎟ +sin2x; cos3x–3cos2x+cosx = –cosx + sin2x; 2⎠ ⎝ cos3x – 3cos2x + 2cosx – sin2x = 0; cosx(cos2x – 3cosx + 2 – 2sinx) = 0;
⎡
π
⎡cos x = 0 ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z ⎢1 − sin 2 x − 3 cos x + 2 − 2 sin x = 0 ; ⎢ 2 ⎣
⎣⎢3 − 3 cos x − sin x − 2 sin x = 0
π ⎡ ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z . Ответ: x = π + nπ, n ∈ Z ; x = 2πl, l ∈ Z . ⎢ x = 2πl , l ∈ Z 2 ⎣ 3) sin2x + cos23x = 1; cos23x – cos2x = 0; ⎡cos 3x − cos x = 0 ⎡ −2 sin 2 x ⋅ sin x = 0 ⎢⎣cos 3x + cos x = 0 ; ⎢⎣ 2 cos 2 x ⋅ cos x = 0 ;
274
;
nπ , n∈Z 2 = mπ , m ∈ Z nπ π kπ . Ответ: x = , n∈Z;x = + , k∈Z. π = + lπ, l ∈ Z 2 4 2 2 π kπ , k∈Z = + 4 2 − sin 2 x 4) ctgx + sin2x = ctg3x; ctg3x – ctgx – sin2x = 0; − sin 2 x = 0 ; sin 3x ⋅ sin x ⎡ ⎢x ⎢x ⎢ ⎢x ⎢ ⎢ ⎢x ⎣
=
⎧⎡sin 2 x = 0
π ⎧sin 2 x (1 + sin 3x ⋅ sin x ) = 0 ⎪⎢ ; ⎨⎣cos 2 x − cos 4 x = −2; x = + mπ, m ∈ Z . ⎨sin 3x ⋅ sin x ≠ 0 2 ⎩ ⎪⎩sin 3x ⋅ sin x ≠ 0
№ 1425 1) sinx + cosx =
1 + tgx
⎧ ⎪sin x + cos x ≥ 0 (cos x + sin x ) = 0; ⎪ ; (sinx + cosx)2 – ⎨1 + tgx ≥ 0 cos x ⎪ (cos x + sin x ) 2 ⎪(sin x + cos x ) = cos x ⎩ ⎧⎡sin x + cos x = 0 ⎧(sin x + cos x )(cos x(sin x + cos x ) − 1) = 0 ⎪⎢ ; ⎨⎣cos x ⋅ sin x + cos2 x − 1 = 0 ; ⎨cos x ≠ 0 ⎩ ⎪cos x ≠ 0 ⎩
⎧⎡ 3 ⎪⎪⎢ x = π + nπ , n ∈ Z 4 ⎨⎢sin x(cos x − sin x ) = 0 ; ⎣ ⎪ ⎩⎪cos x ≠ 0
⎧⎡ ⎧⎡ 3 π mπ , m∈Z ⎪ ⎢ x = π + nπ , n ∈ Z ⎪ ⎢ x = + 4 4 2 ⎪⎢ ⎪⎢ ⎪⎢ x = mπ , m ∈ Z ⎪ x = nπ , n ∈ Z ; ⎨⎣ . ⎨ π ⎢ ⎪ x = + πm , m ∈ Z ⎪cos x ≠ 0 4 ⎪⎢⎣ ⎪sin x + cos x ≥ 0 ⎪⎩cos x ≠ 0 ⎪⎩1 + tgx ≥ 0
π mπ + ; x = nπ, m, n ∈ Z . 4 2 ⎧sin x − cos x ≥ 0 5 sin 2 x − 2 = sinx – cosx; ⎨ 2 2 ; ⎩5 sin 2 x − 2 = sin x − 2 sin x cos x + cos x
Ответ: x = 2)
1 ; 2 π nπ ⎧ , n∈Z x = (− 1)n + π nπ ⎧ ⎪ x = (− 1)n + , n ∈ Z ⎪⎪ 12 2 ; ; ⎨ ⎨ 12 2 5 ⎡π ⎤ ⎪ x ∈ ⎢ + 2lπ ; π + 2lπ⎥ , l ∈ Z ⎪⎩sin x − cos x ≥ 0 ⎪⎩ 4 ⎣4 ⎦
5sin2x – 2 = 1 – sin2x; 6sin2x = 3; sin2x =
275
№ 1426 2 sin x 1 2 sin x 1 π⎞ ⎛ − = 4⋅ − = 4 sin 2 ⎜ x + ⎟ ; cos x − cos 3x 3 4 ⎠ + 2 sin 2 x sin x 3 ⎝
π 1 − cos⎛⎜ 2 x + ⎞⎟ 2⎠ ⎝ ; 2
3 − sin 2 x 3(2 + 2 sin 2 x )sin 2 x 1 1 − = 0 ; sin2x ≠ 0; − = 2 · (1 + sin2x); sin 2 x 3 3 sin 2 x 3 sin 2 x sinx ≠ 0; 3–sin2x–6sin2x–6sin22x=0; 6sin22x+7sin2x–3=0; sin2x=t; 6t2+7t–3=0; −7 + 11 1 −7 − 11 3 D=49+72=121; t1 = = ; t1 = = − < −1 ; 12 3 12 2 1⎛ 1 1 1 ⎞ sin2x = ; 2x = (–1)narcsin + πn; x = ⎜ (− 1)n arcsin + πn ⎟, n ∈ Z . 2⎝ 3 3 3 ⎠
№ 1427
⎧cos x + (1 + cos x )tg 2 x = 0 ⎛ 1 ⎞ −1⎟⎟ – 1 = 0; ; cosx + (1 + cosx) ⎜⎜ ⎨ ⎝ cos2 x ⎠ ⎩tgx > 0
cos x +
(1 + cos x )(1 − cos 2 x ) − 1 = 0 ; cosx ≠ 0; x ≠ 2
π + πn , n ∈ Z ; 2
cos x cos3x+1–cos2x+cosx–cos3x–cos2x=0; 2cos2x–cosx–1=0; cosx=t; 2t2–t – 1 = 0; 1− 3 1 1+ 3 D = 1 + 8 = 9; t = =− ; =1; t = 4 2 4
cosx = 1 ⇒ sinx = ± 1 − cos 2 x = 0; tgx = 0 – не подходит. sin x =
3 ⇒ tgx < 0 – не подходит. 2
sin x = −
3 4π ; tgx > 0; x = + 2πn, n ∈ Z . 2 3
№ 1428 ⎧ 4 π⎞ 4⎛ 2 25π ⎪sin x + sin ⎜ x + ⎟ = sin 4 6 ; lg(x – ⎨ ⎝ ⎠ ⎪lg x − 2 x + 24 > 0 ⎩
(
)
2x + 24 ) > 0 = lg1
x– 2x + 24 >0; x>–12; x–1> 2x + 24 ; x>1; x2 – 2x + 1 > 2x + 24; x2–4x–23>0; D/4=4+23 = 27; x1 = 2 + 3 3 ; x2 = 2 – 3 3 ; x > 2 + 3 3 ;
( )⎞⎟
⎛ 1− cos 2 x + π 2 sin x + ⎜⎜ 2 ⎜ ⎝ 4
2
1 2 π 4 2 ⎟⎟ = sin 6 ; 4sin x + (1 + sin2x) = 4 4 ; ⎠ 2
⎛ 1 − cos 2 x ⎞ 4sin4x + 1 + 2sin2x + sin2x = 1; 4 ⎜ ⎟ + 2sin2x + sin22x = 0; 2 ⎠ ⎝ 276
1 – 2cos2x + cos22x + 2sin2x + sin22x = 0; 2 + 2sin2x – 2cos2x = 0; π⎞ π⎞ 2 ⎛ ⎛ ; 1 + sin2x – cos2x = 0; 1 + 2 sin⎜ 2x − ⎟ = 0 ; sin⎜ 2 x − ⎟ = − 4 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π ⎡ ⎢2 x − 4 = − 4 + 2nπ, n ∈ Z ⎡2 x = 2nπ, n ∈ Z ; ; ⎢ 3π ⎢ ⎢2 x − π = 5π + 2nπ, n ∈ Z ⎢⎣2 x = 2 + 2nπ, n ∈ Z ⎢⎣ 4 4 ⎡ x = nπ, n ∈ Z ⎡ x = nπ, n ≥ 3 ⎢ ; ⎢ . 3π 3π + nπ, n ∈ Z ⎢ x = + nπ, n ≥ 2 ⎢x = 4 4 ⎣ ⎣
№ 1429 π⎞ ⎛ π π⎞ ⎛ ⎜ − ; ⎟ cos⎜ 5x + ⎟ + 2sinx · cos2x = 0; –sin5x + sin3x – sinx = 0; 2⎠ ⎝ 6 2⎠ ⎝ πn sin3x–(2sin3x cos2x)=0; sin3x(1–2cos2x)=0; sin3x = 0; 3x = πn; x = , n∈Z. 3 π ⎛ π π⎞ Самое большое значение x на ⎜ − ; ⎟ из этой серии x = 3 6 2 ⎝ ⎠ π π 1 cos2x = ; 2x = ± + 2πn , n ∈ Z ; x = ± + πn . 3 6 2 π ⎛ π π⎞ Самое большое значение x на ⎜ − ; ⎟ из этой серии x = 6 ⎝ 6 2⎠ π В итоге самое большое x = . 3
№ 1430 sin8x+cos8x=a; (sin4x–cos4x)2+2sin4x cos4x=a; (cos4x–sin4x)2 +
1 sin42x = a; 8
1 1 sin42x = a; 1 – sin22x+ sin42x=a; sin42x–8sin22x + (8 – 8a) = 0; 8 8 (sin22x – 4)2 = 8 + 8a; sin22x – 4 = ± 8 + 8а ;
cos42x +
sin22x=4 ± 8 + 8а ; 0≤4 ± 8 + 8а ≤ 1; 0≤4 + 8 + 8а ≤ 1 – невыполнимо; 0 ≤ 4 − 8 + 8а ≤ 1; 3 ≤
⎡1 ⎤ 8 + 8а ≤ 4; а ∈ ⎢ ; 1⎥ ⎣8 ⎦
⎡1 ⎤ Итак, при а ∈ ⎢ ; 1⎥ : sin22x = 4 − 8 + 8а ; ⎣8 ⎦ sin2x= ± 4 − 2 2(1 + a ) ; x=(–1)n(±arcsin 4 − 2 2(1 + a ) + πn, n ∈ Z; 1 πn x = ± arcsin 4 − 1 2(1 + a ) + , n∈Z . 2 2
277
№ 1431 ⎧x − 3y = −5; y ≠ 0 ; x ≠ 0 ⎧x = 3y − 5 ⎪ ⎪ 2y 23 ; 23 1) ⎨ x 2 y ; ⎨ 3y − 5 − =− − =− ⎪⎩ 3y x ⎪⎩ 3y 6 3y − 5 6
(
)
6 (3y − 5)2 − 6 y 2 + 23·3y(3y–5) = 0; 6(9y2–30y+25–6y2)+207y2 – 345y = 0; 18y2–180y+150+207y2–345y=0; 225y2 – 525y + 150 = 0; 9y2 – 21y + 6 = 0; 3y2 – 7y + 2 = 0; y1 / 2 = Ответ: (1; 2), (–4;
1 7 ± 49 − 24 ; y1 = 2, y2 = , x1 = 1, x2 = –4. 3 6
1 ). 3
⎧ x + y x − y 10 + = ; x ≠ ±y ⎪ 2) ⎨ x − y x + y ; 3 ⎪x 2 + y 2 = 5 ⎩
⎧ (x + y )2 + (x − y )2 10 = ⎪ 3 ; ⎨ x 2 − y2 ⎪ 2 2 x y 5 + = ⎩
⎧ 2x 2 + 2 y 2 10 ⎧ 10 10 = = ⎪ 2 10 10 ⎪ 3 ; = ; 30=50–20y2; y=±1; x = ±2. 3 ; ⎨ x 2 − y2 ⎨ x − y2 2 3 − 5 2 y 2 2 ⎪ 2 ⎪x = 5 − y 2 ⎩ ⎩x + y = 5
№ 1432 ⎧⎪6 x − 2 ⋅ 3y = 12 1) ⎨ x y ; ⎪⎩6 ⋅ 3 = 12
⎧⎪6 x = 2 + 2 ⋅ 3y ; (2+2·3y) 3y=12; 2·3y+2 · 32y = 12; ⎨ x y ⎪⎩6 ⋅ 3 = 12
3y + 32y = 6; 3y = a > 0; a2 + a – 6 = 0, a1 = –3, a2 = 2, тогда 3y = 2, y = log32; 6x = 2 + 2 · 2, т.е. x = 1. Ответ: (1, log32) ⎧ x 2 − 6y ⎧⎪7 ⋅ 2 x + 6 y = 2 ⎧⎪7 ⋅ 2x + 6 y = 2 ⎪⎪2 = 7 ; ; ; 2) ⎨ ⎨ ⎨ 6(2 − 6 y ) x +1 x − 5y = 93 ⎩⎪3 ⋅ 2 ⎩⎪6 ⋅ 2 − 5 y = 93 ⎪ − 5y = 93 ⎪⎩ 7 6(2–6y)–35y=651; 12–36y–35y=651; –71y=639; y=–9; 2x=8, x=3. Ответ: (3; –9).
№ 1433 ⎧⎪27 ⋅ 32 x − y + 3x 2 = 4 3 . ⎨ ⎪⎩lg(y − 4x ) = 2 lg(2 + 2 x − y ) − lg y ⎧y − 4x > 0 y − 4x 2 + 2x − y ⎪ Очевидно, что ⎨2 + 2 x − y > 0 ; lg = lg ; 2 + 2 x − y y ⎪⎩ y > 0 ⎧ y 2 − 4xy − (2 + 2x − y )y = 0 y − 4x 2 + 2x − y ⎪ = ; ⎨y ≠ 0 ; 2 + 2x − y y ⎪2 + 2 x − y ≠ 0 ⎩
278
y2–4xy–(4+8x+4x2–2y(2+2x)+y2)=0; y2–4xy–4 – 8x – 4x2 – 4y + 4xy – y2 = 0; – 4x2 – 8x + 4y – 4 = 0; x2 + 2x – y + 1 = 0; y = (x + 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 27 · 32 x − x
2
2
2
− 2 x −1
32− x + 3 x
2
2
+ 3x = 4 3 ; 33 · 3−x −1 + 3 x = 4 3 ; 2 9 = 4 3 ; 3x = a > 0; + a = 4 3 ; 9 + a2 = 4 3 a; a
2
a2 – 4 3 a + 9 = 0; a1 / 2 = a1 = 3 3 , a2 =
2 3 ± 12 − 9 = 2 3± 3 ; 1
3 , тогда
2
1) 3x = 33/2; x1/ 2 = ± 2
2) 3x = 31/2; x = ±
3 3 3 3 ; y1 = + 6 + 1 ; y2 = − 6 + 1 ; y 2 = − 6 + 1 ; 2 2 2 2
1 1 1 ; y1 = + 2 + 1 ; y 2 = − 2 + 1 ; 2 2 2
y – 4x > 0 2 + 2x – y > 0 y>0 x=
3 5 ,y= + 6 2 2
3 5 ,y= − 6 2 2 1 3 x= ,y= + 2 2 2 x=−
x=−
1 2
,y=
3 − 2 2
⎛ 1 3 ⎞ ; ± 2 ⎟⎟ . Ответ: ⎜⎜ ± 2 2 ⎝ ⎠ − x−2 y ⎧⎪ + 2y = 3 2 2) ⎨8 ⋅ 2 ; ⎪⎩lg(x + 4 y ) = 2 lg(2 − x − 2 y ) − lg x ⎧x + 4 y > 0 ⎪ Очевидно, что ⎨2 − x − 2 y > 0 ; ⎪⎩ x > 0 x + 4y 2 − x − 2y lg(x + 4y) = 2lg(2 – x – 2y) – lgx; = ; 2 − x − 2y x 2
x(x+4y)=(2–x–2y)2; x2+4xy–(4–4x+x2–4y(2–x)+4y2)=0; 279
x2+4xy–4+4x–x2+8y–4xy–4y2=0; – 4+4x+8y–4y2=0; – 1 + x + 2y – y2 = 0; x = (y – 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 8 · 2−( y −1) + 2 y = 3 2 ; 8 · 23− y 2
2
2
2
2
+ 2 y −1− 2 y
2
+ 2y = 3 2 ;
2
22 · 2− y + 2 y = 3 2 ; 2 y = a > 0; 4 + a 2 = 3 2 ; 4 + a2 = 3 2 a; a2 – 3 2 a + 4 = 0; a a1 / 2 =
3 2 ± 18 − 16 3 2 ± 2 . = 2 2 3 3 ; x = ± 6 +1 . 2 2 1 1 1/2 =2 ; y=± ; x = ± 2 +1 ; 2 2
2
1) a1 = 2 2 , тогда 2 y = 23/2; y = ± 2) a2 =
2 , тогда 2 y
⎧x + 4 y > 0 ⎪2 − x − 2 y > 0 ⎪⎪x > 0 ⎨ ⎪⎛⎜ 3 ⎪⎜ ± 6 + 1; ± ⎪⎩⎝ 2
2
3 ⎞⎟ , 2 ⎟⎠
⎛3 1 ⎞ ⎟. . Ответ: ⎜⎜ ± 2 ; ± 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛3 1 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ± 2 ; ± 2 ⎟⎠ ⎝2
№ 1434
⎧log3 (y − 3) − 2 log9 x = 0 ⎧y − 3 = x ⇒ y = x + 3 ; y > 3; x > 0; ⎨ 2 . ⎨ 2 2 ( ) x + a − 2 y − 5 a = 0 ⎩x + 2ax + a − 2x − 6 − 5a = 0 ⎩ Хотя бы одно решение D ≥ 0. x2 + (2a – 2)x + a2 – 5a – 6 = 0; D/4=(a–1)2–a2+5a+6=a2–2a+1–a2+5a+6=3a+7; 3a + 7 ≥ 0; a ≥ − D = 0, x = 1 – a = 1 +
7 > 0; D > 0, x1 = 1 – a + 3
7 ; 3
3a + 7 > 0.
См. в конце. x2 = 1 – a –
3a + 7 > 0; 1 – a =
3a + 7 , 1 – a > 0, a < 1
1 – 2a + a2 > 3a + 7, a2 – 5a – 6 > 0; ⎧ ⎪a < −1 и a > 6 7 ⎪ ⇒ − < a < –1, x1=1–a + ⎨a < 1 3 ⎪ 7 ⎪a < − 3 ⎩ ⎧a < 1 7 ⎪ 1) a – 1 < 0; a < 1, ⎨ 7 , − 0;
3a + 7 > 1 – a
2) a – 1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2 – 2a + 1; a2 – 5a – 6 < 0; ⎧−1 < a < 6 ⎡ 7 ⎪⎪ 7 7 − < a ≥1 ⇒ 1 ≥ a < 6; ⎢ 3 ; − < a < 6, ⎨a < − ⎢ 3 3 ⎪ ⎣1 < a < 6 ⎪⎩a ≥ 1 ⎧ 7 ⎪⎪− < a < 6 7 ⇒ − < a < –1. одновременно x1 и x2 > 0, ⎨ 3 7 3 ⎪− < a < −1 ⎪⎩ 3
№ 1435 2 x − 3 1 2 x 2 − 3x − 4 + x >0; > ; x (4 − x ) 4−x x
1)
(x + 1)(x − 2) < 0 . 2x 2 − 2x − 4 x2 − x − 2 >0; < 0; x (4 − x ) x (x − 4 ) x (x − 4 ) Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4). 2x + 5 2x + 5 − x − 1 x+4 ≥ 1 ; 1. х > –1; 2) ≥ 0; ≥ 0 ; х ∈ (–1; +∞). (x + 1) x +1 x +1 2x + 5 2x + 5 2x + 5 + x + 1 ≥1; ≤ −1 ; ≤ 0; − x −1 x +1 x +1 3x + 6 x+2 ≤ 0; ≤ 0 ; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞). x +1 x +1
2. х < –1;
№ 1436 8x2 − 4x + 3
1)
2
4x − 2x + 1
≤a;
8 x 2 − 4 x + 3 − 4 x 2 a + 2ax − a 4x2 − 2 x + 1
8 x 2 − 4ax3 − 4 x + 2ax + 3 − a
x 2 (8 − 4a ) − x(4 − 2a ) + (3 − a )
≤0; 4 x2 − 2x + 1 4x2 − 2x + 1 4x2–2x+1 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2– 9аx +12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х. х2(3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0: 1 3 – 9а ≥ 0, т.е. a ≤ , D = (6a – 2)2 – (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0; 3
2)
≥a;
≤0;
≤0;
2
281
36a2 – 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2) = –108a2 + 72a – 20; –108a2 + 72a – 20 ≤ 0; 27a2 – 18a + 5 ≥ 0 (1); a1 / 2 =
9 ± 81 − 135 ; 27
D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом a ≤
1 . 3
№ 1437 x 2 −5 x + 6
x 2 −5 x + 6
0
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ 1) ⎜ ⎟ 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞). 2 2 3 7 2) 5x – 3x+1 > 2(5x – 3x+1); 5x – 3 · 3x > ⋅ 5x − ⋅ 3x ; ⋅ 5 x − 2 ⋅ 3x > 0 ; 5 9 5 9 3 x 25 x x x 3 x 3 x 3 x 3 ⋅5 − ⋅ 3 > 0 ; 27 · 5 – 125 · 3 > 0; 3 ·5 –5 ·3 > 0; 3 · 5 > 5 · 3x; x > 3. 5 9
№ 1438 1) log1/2(1 + x –
x2 − 4 ) ≤ 0
⎧ ⎛ ⎞ 2 ⎪log1 / 2 ⎜1 + x − x − 4 ⎟ ≤ log1 / 2 1 ⎝ ⎠ ⎨ ⎪1 + x − x 2 − 4 > 0 ⎩
(1) ( 2)
(1) 1 + x –
⎧⎪ 2 ; x2 ≥ x2 – 4; x 2 − 4 ≥ 0; ⎨ x ≥ x − 4 ⎪⎩ x ≥ 0 , x 2 − 4 ≥ 0
(2) 1 + x –
x 2 − 4 > 0; 1 + x >
⎧0 ≥ −4 ⎨ x ≥ 2 ; x ≥ 2. ⎩
x2 − 4 ;
⎧1 + x > 0 ⎧ x > −1 ⎪ ⎪ 2 ⎧x ≥ 2 ; x ≥ 2. ; ⎨ x ∈ (− ∞ ; − 2]∪ [2 ; + ∞ ); x ≥ 2. ⎨ ⎨x − 4 ≥ 0 ⎩x ≥ 2 ⎪1 + 2 x + x 2 > x 2 − 4 ⎪⎩ x > −2,5 ⎩ 1 1 2) − 0 ⎪ – область определения; log5(3 – 2x) = a ⎨log5 (3 − 2x ) ≠ 0 ⎪⎩4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0 1 1 4−a−a 2−a − – ;– < x < – . x ∈ ⎜ − ; − ⎟. 2 4⎠ 3 2 2 3 ⎝ 2. x2 < 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x| 1 a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > – ; x ≥ 0; 2 1 1 1 б) – ≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > – ; – < x < 0; 3 4 4 1⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎛ ⎞ в) x < – , –3x – 1 > –x, x < – ; x < – ; x ∈ ⎜ − ∞; − ⎟ U⎜ − ; + ∞ ⎟. 2 4 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Решением исходного неравенства является система: ⎡⎧ 1⎞ ⎛ 1 ⎢⎪x ∈ ⎜ − ; − ⎟ ⎨ 2 4⎠ ⎝ ⎢ ⎢ ⎪⎩ x ∈ (− ∞ ; − 1)∪ (1; + ∞ ) . ⎢⎧ ⎢ ⎪ x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; − 1 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − 1 ; + ∞ ⎞⎟ ⎢⎨ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎢ ⎪ x ∈ (− 1;1) ⎩ ⎣
1 , тогда 3 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ x ∈ ⎜ − 1; − ⎟ U⎜ − ; 0 ⎟ U (0; 1). Ответ: x ∈ ⎜ − 1; − ⎟ U⎜ − ; 0 ⎟ U (0; 1). 2 4 2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ –
283
№ 1440 7 − 3x + x 2 + 3x − 4 0 ⎢ ⎨⎪x − 3 < 0 ⎣⎩ x 2 + 3x − 4 < 2 x − 4 ⎧⎪ 2 4 − 2 x + x + 3 x − 4 < 0 1) ⎨ ; 2x − 4 > 0 ; ⎪⎩x − 3 > 0 x −3 > 0 ⎧x 2 + 3x − 4 < 4x 2 − 16x + 16 ⎪ ; 3x2 – 19x + 20 > 0; ⎨x > 2 ⎪x > 3 ⎩
4⎞ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ U(5; + ∞ ) ; 3⎠ ⎝
⎧ 4⎞ ⎛ ⎪x ∈ ⎜ − ∞ ; ⎟ ∪ (5 ; + ∞ ) ; x ∈ (5; +∞). ⎨ 3⎠ ⎝ ⎪x > 3 ⎩
⎧⎪ ⎧⎪ 2 2 2) ⎨4 − 2 x + x + 3x − 4 > 0 ; ⎨ x + 3x − 4 > 2 x − 4 ; ⎪⎩x − 3 < 0 ⎪⎩x < 3
⎧⎡ ⎛4 ⎞ ⎪⎢ x ∈ ⎜ ; 5 ⎟ ⎪ ⎝ 3 ⎠ ; x ∈ (–∞; 3); ⎨⎢ ⎪⎣⎢ x ∈ (− ∞ ; 2 ) ⎩⎪x < 3
⎧ ⎪x 2 + 3x − 4 ≥ 0 ⎪ ; ⎨x − 3 ≠ 0 ⎪⎡ x ∈ (5 ; + ∞ ) ⎪⎢ x ∈ (− ∞ ; 3) ⎩⎣
⎧x ∈ (− ∞ ; − 4] ∪ [1; + ∞ ) ⎪ . ⎨x − 3 ≠ 0 ⎪⎩x ∈ (− ∞ ; 3) ∪ [5 ; + ∞ )
Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞).
№ 1441 log1/2(x2 + ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2 + ax + 1) < log1/21/2; x2 + ax + 1 > ½; x2 + ax + 1/2 > 0; 2x2 + 2ax + 1 > 0. Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях:
(
)
1) D = a2 – 2 < 0, т.е. a ∈ − 2 ; 2 . ⎧x > 0 2) ⎨ 1 ⎩x 2 > 0
284
т.е.
⎧ ⎪− a + a 2 − 2 > 0 ⎨ ⎪⎩− a − a 2 − 2 > 0
a)
][
(
⎧a 2 − 2 ≥ 0 ⎪ a − 2 > a, ⎨⎡a 2 − 2 > a 2 ; ⎪ ⎢a < 0 ⎩⎣
⎧a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞ ⎪ ⎨ ⎡a ∈ ∅ ⎪ ⎢a < 0 ⎩⎣
2
)
a ∈ (–∞; − 2 ]
б) – a 2 − 2 > a,
][
(
a 2 − 2 < –a
)
⎧a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞ ⎪ a ∈ (–∞; − 2 ] ⎨− a > 0 ⎪a 2 − 2 < a 2 ⎩
Таким образом, ответом на вопрос задачи является система ⎡a ∈ − 2 ; 2 . Ответ: a ∈ (–∞; − 2 ]. ⎢ ⎣⎢a ∈ − ∞ ; − 2
( (
) ]
№ 1442
y=(x–1)2, 0≤x≤1; y=x2–2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0); y=(2x0–2)(x–x0)+ x 02 –2x0+1; y = 2xx0 – 2 x 02 – 2х + 2x0 + x 02 – 2х0 + 1; y = 2xx0 – 2х – 2 x 02 + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 x 02 ).
Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 x 02 2 x 02 − 1 , тогда площадь треугольника, 2x 0 − 2
y = 0, x =
S(x0 ) =
(
)
2
(
)
2
1 2x02 − 1 1 − 2x02 2x02 − 1 1 2x2 − 1 1 − 2x02 2x02 −1 ⋅ ⋅ = ⋅ = ; S(x0 ) = ⋅ 0 ; 2 2x0 − 2 1 2(2 − 2x0 ) 2 2x0 − 2 1 2(2 − 2x0 )
′ 2⎞ 2 ⎛ 2 x 02 − 1 ⎟ 2 2 x 02 − 1 ⋅ 4x 0 + 4 2 x 02 − 1 ⎜ S′(x 0 ) = ⎜ = = ⎜ 4 − 4 x 0 ⎟⎟ ( 4 − 4 x 0 )2 ⎝ ⎠
(
=
(4x
2 0
)
)
(
(
)
(
)
).
− 2 ⋅ 4x 0 + 4 4 x 04 − 4x 02 − 1
(4 − 4x 0 )2
Минимум данной функции S′(x0) в точке х0=
1 4 ⎛1 4⎞ , у0 = . Ответ: ⎜ ; ⎟ . 3 9 ⎝3 9⎠
№ 1443
Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Она прямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей через центр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b) у(х0) = 2 x 02 − 3x 0 + 8 , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2 x 02 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2 Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр.
285
№ 1444
у = x2 + 2x – 3, y = kx + 1. Ошибка в условии.
№ 1445
y = x2 + px + q, y = 2x – 3; x = 1. Найдем точки пересечения: у = 1 · 2 – 3 = –1, тогда для p и q справедливо –1 = 1 + p + q, т.е. p + q = –2 (использовали уравнение y = x2 + px + q) ⎛ p ⎛ − p ⎞2 − p2 ⎞ + q ⎟ , т.е. Вершины параболы имеют координаты ⎜ − , ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎟ 2 ⎝ ⎠
2 2 2 2 2 расстояние до оси Ох равно y = ⎛⎜ − p ⎞⎟ − p + q = p − p + q = − p − 2 − p 0
⎝ 2 ⎠
2
4
2
4
−p − 2 p , очевидно р = –2 точка минимума, тогда q = 0, а −1 = 2 2 кратчайшее расстояние равно 1. y ′0 = −
№ 1446 ⎛5 ⎞ y = 4x – x2, M⎜ ; 6 ⎟ ; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0); ⎝2 ⎠ y′=4–2x, тогда уравнение касательной имеет вид: y=(4–2x0)(x–x0)+4x0– x 02 ; y = 4x – 4x0 – 2xx0 + 2 x 02 + 4x0 – x 02 ; y = x 02 – 2xx0 + 4x.
Известно, что эта касательная проходит через точку М, тогда 6 = x 02 – 5x0 + 10; x 02 – 5x0 + 4 = 0; x0 = 1, x0 = 4, т.е. получим уравнения касательных y=1 + 2x и y = 16 – 4x; 15 Касательные пересекаются в точке с абсциссой , тогда искомая площадь 6 15 / 6
S = ∫1
(
= x + x2
(1 + 2 x )dx + ∫154 / 6 (16 − 4 x )dx − ∫14 (4 x − x 2 )dx =
)
15 / 6 1
(
+ 16 x − 2 x 2
)
4
1 ⎞ ⎛ − ⎜ 2 x 2 − x3 ⎟ = 2,25 15 / 6 ⎝ 3 ⎠1 4
№ 1447 y = 6cos2x + 6sinx – 2 Перепишем данную функцию в виде y = 6(1 – sin2x) + 6sinx – 2, y = – 6sin2x + 6sinx + 4, положим y′ = –12sinxcosx + 6cosx = 0, 6cosx(1 – 2sinx) = 0 π 1 π cosx = 0, x = + πn, n ∈ Z ; sinx = , x = (− 1)n + πn, n ∈ Z ; 2 6 2 π 5π x = + 2πn, n ∈ Z и x = + 2πn, n ∈ Z – точки max ⇒ 6 6 π Ответ: x = (− 1)n + πn, n ∈ Z . 6
286
№ 1448 y = x2 + (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4; −a − 4 y′ = 0, 2x + a + 4 = 0, x = . 2 −a − 4 Ветви параболы направлены вверх, т.е. x = – точка минимума. 2 Рассмотрим три случая. 1) вершина параболы лежит правее x = 2, тогда минимальное на отрезке [0; 2] значение она принимает в точке x = 2, т.е. ⎧ −a − 4 ⎪ ≥2 – решений нет ⎨ 2 ⎪⎩− 4 = 4 + (a + 4 ) ⋅ 2 + 2a + 3 2) вершина параболы лежит внутри отрезка [0; 2]: −a − 4 ⎧ ⎪0 < 2 < 2 ⎪ – решений нет 2 ⎨ ⎪− 4 = ⎛⎜ − a − 4 ⎞⎟ + (a + 4 )(− a − 4 ) + 2a + 3 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩⎪ ⎧ −a − 4 ⎪ ≤0 3) вершина параболы лежит левее х = 0; ⎨ 2 a = –3,5. ⎪⎩− 4 = 2a + 3
№ 1449
y = 4x2 – 4ax + a2 – 2a + 2< x ∈ [0; 2]; ymin = 3. Ветви параболы направa лены вверх. y′ = 8x – 4a; y′ = 0; 8x – 4a = 0, x = 2 a ⎧ ⎪ ≥2 a = 5 + 10 1) ⎨ 2 ⎪3 = 16 − 8a + a 2 − 2a + 2 ⎩ a ⎧ 0< −5 ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ 4 ; ⎨ 4 – чего не может 1) ⎨ 4 ⎪− a + a − 2 > −5 ⎪− a + a + 3 > 0 ⎪− a + a + 3 > 0 ⎩ ⎩ ⎩ быть ни при каких а ⎧4a 2 > −4 ⎧a 2 > −1 ⎧− 4a 2 − 9 < −5 ⎪ ⎪ ⎪ 2) ⎨ 4 ; ⎨ 4 ; ⎨ 4 – это при любых а − + a − 2 < − 5 − + a + 3 < 0 ⎪ a ⎪ a ⎪− a + a + 3 < 0 ⎩ ⎩ ⎩ Рассмотрим два случая 4 1) a > 0, − + a + 3 < 0; –4 + a2 + 3a < 0; a2 + 3a – 4 < 0 a a ∈ (–4; 1) и a > 0, следовательно, 0 < a < 1; a < 0. 2) –4 + a2 + 3a > 0; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 и a > 1, но a < 0; a < –4. Ответ: a < –4, 0 < a < 1.
№ 1451 2 cos 4 x + sin 2 x
y=
2 sin 4 x + 3 cos 2 x
−
(2 cos
=
(− 8 cos
(2 cos −
4
4
(2 cos
; y′ =
)(
x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x
(2 sin
3
4
x + 3 cos 2 x
)
2
)(
4
)= ′
)(
′ x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x
(2sin
4
2
x + 3 cos x
x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x
(2 sin )(
4
2
x + 3 cos x
)
2
x + sin 2 x 8 sin 3 x cos x − 6 cos x ⋅ sin x
(2 sin
4
2
x + 3 cos x
)
2
)
2
)−
)−
)
Знаменатель дробей не влияет на исследование функции у, т.к. не может обращаться в 0 и не может быть отрицательным. − 8 cos3 x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x –
(
(
4
2
)(
)(
3
)
)
– 2 cos x + sin x 8 sin x ⋅ cos x − 6 cos x ⋅ sin x = = sinx · cosx(2 – 8cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – cosx·sinx(8sin2x–6)(2cos4x+3sin2x) = = sin2x(1 – 4cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – sin2x(4sin2x – 3) (2sin4x + 3cos2x) = =sin2x(2sin4x+3cos2x–8sin4x·cos2x–12cos4x–8sin2x·cos4x–4sin4x+6cos4x+3sin2x) = =sin2x(–2sin4x–6cos4x+3–8sin2x·cos4x–8sin4x·cos2x)=sin2x(–2sin4x–6cos4x+3 – – 8sin2x · cos2x(cos2x + sin2x))2 =sin2x(–2sin4x – 6cos4x + 3 – 2sin2x) 2 7 Отсюда получаем максимальное значение и минимальное значение . 3 15 288