Содержание Глава V. Метод координат в пространстве…………………...4 Вопросы к главе V……………………………………………. 45 Дополнительные зад...
66 downloads
561 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Содержание Глава V. Метод координат в пространстве…………………...4 Вопросы к главе V……………………………………………. 45 Дополнительные задачи……………………………………… 47 Глава VI. Цилиндр, конус и шар……………………………….. 61 Вопросы к главе VI…………………………………………… 82 Дополнительные задачи……………………………………… 83 Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар………………………………….……... 97 Глава VII. Объемы тел…………………………………………112 Вопросы к главе VII………………………………………….139 Дополнительные задачи……………………………………...141 Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар………………………………………...151
4
www.5balls.ru
Глава V. Метод координат в пространстве 400. а) ось абсцисс: точка С (2;0;0); б) ось ординат: точка Е (0;−1;0); в) ось аппликат: точка В (0;0;−7); г) плоскость Оху: точки Н (− 5 ; 3 ;0), Е (0;−1;0), С (2;0;0), А(3;-1;0); д) плоскость Оуz: точки В (0;0;−7), Е (0;-1;0), G(0;5;-7); е) плоскость Охz: точки В (0;0;−7), С (2;0;0) и D (−4;0;3). 401. Координаты проекций точки А (2; −3; 5): а) на плоскость Oxz: А1 (2; 0; 5), на Оху: А2 (2; −3; 0); на Oyz: А3 (0; −3; 5); б) на ось Ох: А4 (2; 0; 0), на Оу: А5 (0; −3; 0), на Oz: А6(0;0;5). 1 Точка В (3; −5; ): 2 а) на плоскость Oxz: В1 (3; 0;
1 1 ), на Оху: В2 (3; −5; 0), на Oyz: В3 (0;−5; ); 2 2
б) на ось Ох: В4 (3; 0; 0), на Оу: В5 (0; −5; 0), на Oz: В6 (0;0; Точка С (− 3 ; −
2 ; 2
5 − 3 ):
а) на плоскость Oxz: С1 ( 3 ; 0; Оуz: С3 (0; −
2 ; 2
1 ). 2
5 − 3 ), на Оху: С2 (− 3 ; −
2 ; 0), на 2
5 − 3 );
2 ; 0), на Оz: C6 (0; 0; 2 402. А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0), следовательно, стороны куба равны 1. Куб помещен в пространстве, как показано на рисунке. Следовательно, по рисунку имеем: С(0;1;1), В1(1;0;1), С1(1;1;1), D1(1;1;0) r r r r 403. а =3 i +2 j − 5 k ; х=3, у=2, z=−5; тогда r r коорди-наты вектора а : а {3; 2; −5}. r r r r r Вектор b =−5 i +3 j − k ; х=−5, у=3, z=−1; b {-5; 3; -1}. r r r r Вектор с = i − j ; х=l, у=−l, z=0; с {1;−l;0}. б) на ось Ох: С1 (− 3 ;0;0), на Оу: С5 (0; −
r r r
r
r
r
5 − 3 ).
Вектор d = j + k ; х=0, у=1, z=1; d {0;1;1}. r r r r Вектор m = k − i ; x=−l, y=0, z=l; m {-1;0; 1}.
r
Вектор n =0,7; k х=0, у=0, z=0,7; n {0; 0; 0,7}. r r r r r 404. Для а {5; -1; 2} по формуле а =x i +у j +z k координаты вектора х=5, 5
www.5balls.ru
r r r r r r r у=−1, z=2; следовательно, а =5 i −1 j +2 k =5 i − j +2 k . r r r r r r r Для b {−3;-1;0} х=−3, у=−l, z=0; следовательно, b =−3 i − 1 j +0 z =−3 i − j . r
Для с {0; -1; 0} х=0, у=−1, z=0; r
r r r r r с =0 i −1 j +0 k =− j .
Для d {0;0; 0} х=0, y=0, z=0 и тогда разложение будет выглядеть так:
r r r r r d =0 i +0 j +0 k = 0 .
405. Координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора (п.44). Соответственно, для радиус-вектора ОА1 рассмотрим точку А1. Ее координаты и будут координатами вектора OA1: А1 (2;0;2) OA1 {2; 0; 2}. B1 (0;3;2). Значит, ОВ1 {0; 3; 2}. С1 (0;0;2). Значит ОО1 {0; 0; 2}. С (2;3;0). Значит, ОС {2; 3; 0}. C1 (2;3;2). Значит, ОС1 {2; 3; 2}. Вектор ВС1 это разность векторов OC1 и OB. BС1=OC1 − OB; ОС1 {2; 3; 2}, OB {0;3;0}. Следовательно, BC1 {2−0; 3−3; 2−0}, BC1 {2; 0; 2}. AC1=OC1−OA; OC1 {2; 3; 2}, OA {2; 0; 0}. AC1 {2−2; 3−0; 2−0}, AC1={0; 3; 2}. О1С=OC-OO1; ОС {2; 3; 0}, ОO1 {0; 0; 2}. О1С {2−0; 3−0; 0−2}, О1С {2; 3; −2}. 406. Рассмотрим общий случай. Рассмотрим два некомпланарных вектора AB и DC. Перенесем вектор DC параллельно так, чтобы точка D1 его начала совпала с точкой В конца первого вектора. Получим вектор D1C1 или, что то же самое, вектор ВС1, сонаправленный с вектором DC и равный ему по длине. Согласно правилу сложения векторов: AB+DC=AB+ВС1=AC1. Пусть АВ {X1; y1; Z1}, BC1 {х2; у2; z2}. Докажем, что АС1 {х1+x2; у1+у2; z1+z1}. Для доказательства выразим координаты этих векторов через координаты их начала и конца. AB (хВ − хА; уВ − уА; ZВ − zА), ВС1 { xc 1 − хВ; yc1 − yB; zc1 ,− zB}, AC1 ( xc 1 − ХА; yc1 − уА; zc1 − zА}, из обозначения координат вектора AB как х1, у1 и z1 и вектора BC1 как x2, у2, z2, получим х1=хВ−хА, y1=уВ − уА, z1=zВ − zA, x2= xc1 − xB, y2= yc1 − yB, z2= zc1 − zB. Вычислим суммы x1+x2, y1+y2, z2+z2: x1+x2=xB−xa+xC1 −xB=xC1 −xA; y1+y2=уВ − уА+уС1−уВ=уС1−уА; z2+z2=zВ − zА+zС1−zВ=zС1−zА; Суммы координат x1+x2, y1+y2, z2+z2 являются координатами вектора AС1, равного сумме исходных двух векторов AB и DC. Что и требовалось доказать.
r r r
407. а) Обозначим а + b = р , хр=ха+хb; хa=3; хb=0; yp=ya+yb; ya=−5; yb=7; хp=3+0=3; уp=−5+7=2; zp=2−1=1; 6
www.5balls.ru
zp=za+zb; za=2; zb=−1;
r р {3;2;1}.
r r r
б) Обозначим а + с = e 2 2 xe=xa+xc=3+ =3 ; 3 3 r 2 e {3 ;−5;2}. 3
r
ye=ya+yc=−5+0=−5;
ze=zа+zc=2+0=2;
r
r
в) Обозначим b + с = f , xf=xb+хc=0+
2 2 = ; 3 3
r 2 f { ; 7;−1}. 3
r
yf=yb+yc=7+0=7;
r
zf=zb+zc=−1+0=−1;
r
г) Обозначим d + b = r , xr=xd+xb=−2,7+0=−2,7; yr=yd+yb=3,1+7=10,1; r r {−2,7; 10,1;−0,5}.
zr=zd+z6=0,5 − 1=−0,5;
д) Обозначим d + а = s , xs=xd+xa=−2,7+3=0,3; ys=yd+ya=3,1−5=−1,9; r s {0,3; −1,9;2,5}.
zs=zd+za=0,5+2=2,5;
r
r r
r r r r
е) Обозначим а + b + с = q 2 2 =3 ; 3 3 yq=ya+yb+yc=−5+7+0=2; zq=za+zb+zc=2−1+0=1; r 2 q {3 ; 2; 1}. 3 хq=ха+xb+xc=3+0+
r
r
r
r
ж) Обозначим b + а + d = k , xk=xb+хa+xd=0+3− 2,7=0,3; yk=yb+ya+yd=7−5+3,1=5,1; zk=zb+za-+zd=−1+2+0,5=1,5;
r k {0,3; 5,1; 1,5}.
r r r r
r
з) Обозначим а + b + с + d = m , xm=xa+xb+xc+xd=3+0+
2 20 27 ⋅ 3 20 − 81 61 29 − =3+ =3− = ; −2,7=3+ 30 30 30 30 30 3
ym=ya+yb+yc+yd=−5+7+0+3,1=5,1; zm=za+zb+zc+zd=2−1+0+0,5=1,5; r 29 ; 5,1;1,5}. m ={ 30 408. Согласно п.44 имеем: AC {XC−XA, ус−yA; zс−zA} По рисунку имеем: A(4; 0; 0); B(0; 9; 0); C(0; 0; 2). AC: XC−XA=0−4= −4; ус−yA=0−0=0; 7
www.5balls.ru
zс−zA=2−0=2; AC {−4;0;2}. CB{XB−XC, уB−yC; zB−zC}. XB−XC=0−0=0; уB−yC=9−0=9; zB−zC=0−2=−2; СB {0;9;−2}. AB: {XB−XA, уB−yA; zB−zA}. XB−XA=0−4=−4; уB−yA=9−0=9; zB−zA=0−0=0; AB{−4;9;0}. MN {XN−XM, уN−yM; zN−zM}. Координаты точек M, N и P являются координатами векторов OM, ON и OP соответственно. Тогда согласно п. 45: 1 1 1 1 1 1 1 ON= ОС. Тогда ON{ xC; yC; zC}; ON { ⋅0; ⋅0; ⋅2}; 2 2 2 2 2 2 2 ON {0;0,1}; N {0:0;l}. 1 Вектор OM: точка M — середина отрезка AC. Значит OM= (ОА+OC), 2 1 1 1 1 (xA+xC)= (4+0)=2; yм= (yA+yC)= (0+0)=0 2 2 2 2 1 1 ZM= (ZA+ZC)= (0+2)=l; 2 2
x M=
M (2; 0; l); OM {2;0;l}. MN: xN−xM=0−2=−2; yN−yM=0−0=0; zN−zM=1−1=0; MN {–2;0;0}. Точка P — середина отрезка ВС. Значит: 1 1 1 1 1 1 ОР= (OB+OC), xp= (xB+xC)= (0+0)=0; yp= (yB+yC)= (9+0)=4 ; 2 2 2 2 2 2 1 1 (zB+zC)= (0+2)=1; 2 2 1 1 P=(0;4 ;1); OP {0; 4 ; 1} 2 2
zp=
BМ: {хм −хB; yм−yB; zм −zB}; yм−yB=0−9=−9; хм −хB=2−0=2; BM {2; −9; 1}. NP: {хP −хN; yP−yN; zP −zN}; хP −хN=0−0=0; NP {0;3
yP−yN=4
zм −zB=1−0=1;
1 −0=4 1 ; 2 2
zP −zN=1−1=0;
1 ; 0}. 2
409. Чтобы найти координаты вектора разности, нужно найти разности соответствующих координат этих векторов. xa=5; ya=−1; za=1, xb=−2; yb=1; zb=0, 1 2 1 xd=− ; yd=2 ; zd=− . xc=0; yc=0,2; zc=0, 5 7 3
r r r
a) а − b = р
r
r r
б) b − а = r ,
8
www.5balls.ru
r р {xa−xb; ya−yb; za−zb}, r р {5−(−2); −1−1; 1−0}, r р {7, −2;1}. r r r в) а − с = q , r q {5−0; −1−0,2; 1−0}, r q {5;−1,2;1}.
r r {xb−xa; yb−ya; zb−za}, r r {−2−5; 1−( −1); 0−1}, r r {−7, 2;−1}. r r r г) d − а = e , r e {xd−xa; yd−ya; zd−za}, r 1 2 1 e {− −5; 2 −(−1); − −1}, 5
3
7
r 1 2 1 e {−5 ; 3 ; −1 }. 5
3
r r r д) с − d = f , r f {xc−xd; yc −yd; zc−zd},
7
r 1 2 1 f {0−(− ); 0,2−2 ; 0−(− )}, 3
5
7
r 1 1 f { ; −2,2, }. 7 3 r r r r r r r r r r r r е) а − b + с : пусть а − b = m , а − b + с = m + с = n , следовательно r r m { xa−xb; ya −yb; za−zb }. n {(xa−xb)+xc; (ya−yb)+yc; (za−zb)+zc} r r n {5−(−2)+0; −1−1+0,2; 1−0+0}, n {7; −1,8; 1}. r r r r r ж) а − b − с = l , l {xa−xb−xc; ya−yb−yc; za−zb−zc}, r r l {5+2−0; −1−1−0,2; 1−0−0}, l {7; −2,2;1}.
r
з) Вектор 2 а будет иметь координаты {2xa; 2ya; 2za}, или {10;−2;2}.
r
и) Вектор –3 b будет иметь координаты: {–3xb; –3yb; –3zb}, или {6; –3; 0}. r r к) –6 c {–6xc; –6yc; –6zc}, или {–60; –60,2; –60}, –6 c {0; –1,2; 0}. r r 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 л) – d {– xd; – yd; – zd}, – d {– (– ); – 2 ; – (– )}, 3 3 7 3 3 3 3 3 3 5 3 1 r 1 1 r 1 12 1 4 1 – d { ;– ; }, или – d { ; – ; }. 3 3 15 21 5 21 9 9
r
r
м) 0,2 b (0,2xb; 0,2yb; 0,2zb}, 0,2 b {0,2(–2); 0,21; 0,20},
r
0,2 b {–0,4; 0,2; 0}. 410. Согласно условиям
r r r a : xa=–1, ya=2, za=0; b : xb=0, yb=–5, zb=–2; c : xc=2, yc=1, zc=–3. r
Для вектора р вычислим отдельно каждое слагаемое:
r
r
3 b {3хb; 3уb; 3zb}, 3 b {3⋅0; 3⋅(−5); 3⋅(-2)},
r
r
r
3 b {0; −15; −6}, обозначим 3 b = m .
r
r
−2 а {−2хa; −2уа; −2za}, −2 а {−2⋅ (−1); −2⋅2; −2⋅0}, r r r −2 а {2; −4; 0}, обозначим −2 а = n . 9
www.5balls.ru
r
r
r r
r
r
r
Следовательно р =3 b −2 а + с = m + n + с будет иметь координаты:
r r р {хm+хn+хс; уm+уn+ус; zm+zn+zc}, р {0+2+2; −15−4+1; −6+0−3}, r р {4;−18;−9}. r r Для вектора q аналогично вычислим: 3 с {3xc; 3yc; 3zc}, r r r r 3 с {3⋅2; 3⋅1; 3⋅(−3)}, 3 с {6; 3; −9}, обозначим 3 с = r . r r −2 b {−2xb; −2yb; −2zb}, −2 b {−2⋅0; −2⋅(−5); −2⋅(−2)}, r r r −2 b {0; 10; 4}, обозначим −2 b = e . r r r r r r r Следовательно q =3 с −2 b + а = r + e + а , r r q {хr+хе+ха; yr+ye+ya; zr+ze+za}, q {6+0+(−1); 3+10+2; −9+4+0}, r q {5; 15; −5}.
411. По правилам суммы, разности, произведения векторов (п. 43) имеем:
r
r
r
r
а) 3 а {3⋅(−1); 3⋅1; 3⋅1), 3 а {−3; 3; 3}. 2 b {2⋅0; 2⋅2; 2⋅(−2)}, 2 b {0; 4; −4}.
r
r r
r
r
r r r
Обозначим: 3 а +2 b − с =(3 а +2 b )− с = s − с ; r r r r r r r r s =3 а +2 b ; s {−3; 7; −1}; с {−3; 2; 0}; s − с = r ; r r r {−3−(−3); 7−2; −1−0}; r {0; 5; −1}. r r r б) 2 с {2 ⋅ (−3); 2 ⋅ 2; 2 ⋅ 0}; 2 с {−6; 4; 0}; а {−1; 1; 1}; r r r r r r r r − а +2 с − d =(− а +2 с )− d = р − d ;
r r r r r r р =2 с − а ; р {−6−(−1); 4−1; 0−1}; р {−5; 3; −1}; d {−2; 1; −2}; r r r r r р − d = q ; q {−5−(−2); 3−1; −1−(−2)}; q {−3; 2; 1}.
r
r
в) 0,1 а {0,1⋅ (−1); 0,1⋅1; 0,1⋅1}, 0,1 а {−0,1; 0,1; 0,1}.
r r 3 b {3⋅0; 3⋅2; 3⋅ (−2)}, 3 b {0; 6; −6}.
r
r
0,7 с {0,7⋅ (−3); 0,7⋅2; 0,7⋅0}, 0,7 с {−2,1; 1,4; 0).
r r 5 d {5⋅(−2); 5⋅1; 5⋅(−2)}, 5 d {−10; 5; −10}. r r r r Все сложим, тогда в выражении 0,1 а +3 b +0,7 с − d введем обозначение: r r r r r r r r r 0,1 а +3 b = n , n +0,7 с = m m −5 d = l . r r n {−0,1+0; 0,1+6; 0,1+(−6)}, n {−0,1; 6,1; −5,9}. r r m {−0,1+(−2,1); 6,1+1,4; −5,9+0}, m {−2,2; 7,5; −5,9}. r r l {−2,2 − (−10); 7,5 − 5; −5,9 − (−10)}, l {7,8; 2,5; 4,1}. r r r г) 2 а (2⋅(−1); 2⋅1; 2⋅1), 2 а {−2; 2; 2}, 3 b {0; 6; −6}. r r r r r r 2 b {0; 4; −4}, а −2 b = f , f {−1−0; 1−4; 1−(−4)}, f {−1; −3; 5}. r r r r r 2 а +3 b = e , e {−2+0; 2+6; 2+(−6)}, e {−2; 8; −4}. r r r r r а − b = g , g {−1−0; 1−2; 1−(−2)}, g {−1; -1; 3}. r r r 2( а − b )=2 g ={-2;-2;6} 10
www.5balls.ru
r
r
r
r
Следовательно веутор (2 а +3 b )−( а −2 b ) имеет координаты
r
r
{−2−(−1); 8−(−3); −4−5}, или {−1; 11; −9} и значит (2 а +3 b )−
r
r
r r
-( а −2 b )+2( а − b ) имеет координаты {−1+(−2); 11+(−2); −9+6}, или {−3; 9; −3}. 412. Для вектора
r i
противоположным будет вектор с обратным знаком: r - вектор (− j ) и т. д. r r r r r r i {1; 0; 0}; − i {−1; 0; 0}, j {0; 1; 0}; − j {0; −1; 0}, k {0; 0; 1}; − k {0; 0; −1}, r r r r r а {2; 0; 0}; − а {−2; 0; 0}, b {−3; 5; −7}; − b {3; −5; 7}, с {−0,3; 0; 1,75}; r − с {0,3; 0; −1,75}.
r r (− i ), для j
r
r
413. а) Координаты вектора а {3; 6; 8} и вектора b {6; 12; 16} пропор1 3 6 8 = , где k= . циональны: = 6 12 16 2
r
r
r
r
Поэтому а =k b , и, следовательно, векторы а и b коллинеарны.
r r б) Координаты вектора с {1; −1; 3} и вектора d {2; 3; 15} не пропорциональны, например
1 1 ≠2 3
Следовательно векторы
r r с и d не коллинеарны.
r r в) Координаты вектора i {1; 0; 0} и вектора j {0; 1; 0} не пропорцио-
r
r
нальны, следовательно, векторы i и j не коллинеарны.
r
r
г) Координаты вектора m {0; 0; 0} и вектора n {5; 7; –3} пропорциоr r r нальны при k=0, следовательно, векторы m и n коллинеарны. m =0 коллинеарен любому вектору. r 1 r д) Координаты вектора р { ; −1; 5} и вектора q (−1; −3; −15} не про3 1 3
−1 порциональны, например ≠ −1 − 3 r r Поэтому векторы р и q не коллинеарны. 414. Для коллинеарных векторов существуют коэффициент k такой, что r r xa y a z a = = =k. а =k b ; xb y b zb а)
15 m 1 5 = = = , 18 12 n 6
m=
5 ⋅12=5⋅2=10, 6
б)
m 1 (− ) 2
m=−
=
1 0,4 =− , n 5
1 1 ⋅(− )=0,1, 5 2
11
www.5balls.ru
6 1 =1 =1,2; n=−0,4⋅5=−2. 5 5 r r r 415. а) Векторы а {−3; −3; 0}, i {1; 0; 0} и j {0; I; 0} являются комплаr r r нарными, т.к., записав равенство а =x i +y j через координаты, получим n=
− 3 = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y, − 3 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y, 0 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ,
Вектор торы
x = − 3, y = −3.
r r r r а можно разложить по векторам i и j : а =–3j–3j. Значит век-
r r r а , i и j компланарны. r
r
r
б) Запишем равенство b =x i +y j через координаты: 2 = 1⋅ x + 0 ⋅ y 0 = 0 ⋅ x + 1⋅ y − 3 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y
r r
r
Система не имеет решений, следовательно, b , i и j не компланарны. в) Запишем равенство
r k {0; 0; 1}.
1 = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y, 0 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y , − 2 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y,
r r r r r с =x i + k у через координаты: с {1; 0; −2}, i {1; 0; 0},
1 = x, 0 = 0, ⇒ − 2 = y.
Значит, векторы
r r r с = i -2 k
r r r с , i и k компланарны.
r r r r r тора d не пропорциональны координатам вектора e . Если вектор f {5; -1; 0} r r r r r можно разложить по векторам d и e , то это значит, что векторы d , e и f r r r компланарны. В противном случае векторы d , e и f не компланарны. r r r Запишем f =x d +y e в координатах, получим г) Векторы d {1; −1; 2} и e {−2; 0; 1} не коллинеарны, т.к. координаты век-
5 = x − 2y − 1 = −x 0 = 2x + y
r
Система имеет решение: х=1, у=−2. Поэтому вектор f можно разложить
r
r
r
r
r
по векторам d и e , и, следовательно, векторы d , e и f компланарны.
r
r
r
д) Запишем равенство m =х n +у р в координатах: 2=1⋅х+0⋅у, r r r Система не имеет решений. Поэтому векторы m , n и р не компланарны. 12
www.5balls.ru
r
r
r
е) Запишем равенство q =x r +y s в координатах: y = −3x y = 5 − 3x 3 3 y = − 4 − 4 x
0 = 3 x + y , 5 = 3 x + y , 3 = 3 x + 4 y ,
r
r
r
Система не имеет решений. Поэтому векторы q = r + s не компланарны. 1 3 ; 0,75; −2 ), т.к. согласно п.44, коор4 3 динаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиусвектора. 417. ОA {2;−3;0}, OB {7; −12; 18} ОС {−8; 0; 5}, т.к. если О — начало координат, то ОА, OB и ОС — являются радиус-векторами для точек A, B и С и согласно п.44 имеют координаты. 418. а) АВ{2−3; −1+1; 4−2}, АВ {−1; 0; 2}; б) AB {3+2; −1−6; 0+2}, AB {5; −7; 2}; 1 5 1 1 1 1 1 1 в) АВ { −1; − ; − }, АВ {- ;− ; − } 2 2 2 2 3 6 4 2 419. А (1; 6; 2) и В (2; 3; −1). Координатами вектора АВ будут: АВ {хВ−хА; уВ− уА; zB − z A}, AB {2−1; 3−6; −1−2}, AB {1; −3; −3}. 416. А (3, 2; 1); B (1; −3; 5); С (−
r
r
r
Разложив по координатным векторам i {1; 0; 0}, j {0; 1; 0} и k {0; 0; 1},
r
r
r
получим: AB= i −3 j − 3 k . Точки В (2; 3; −1) и С (−3; 4; 5) —концы вектора ВС. BC {−3−2;4−3; 5+1},
BС {−5; 1; 6},
r
Точки А (1; 6; 2) и С (−3; 4; 5) —концы вектора CA. СA {1+3; 6−4; 2−5},
СA {4; 2; −3},
r
r
r
r
BC=−5 i + j +6 k .
r
CA=4 i +2 j −3 k .
420. Определим координаты: АВ {2−3; 3+1; −4−5}, АВ {−1; 4; −9}, DС {7−8; 0+4; −1−8}, DС{−1; 4; −9}. Т.к. AB и DC имеют одинаковые координаты, то 1) их длины равны; 2) если их отложить от начала координат, то эти векторы совпадут. Значит, векторы AB и DC равны, что и требовалось доказать. Рассмотрим векторы ВС и AD. ВС {7−2; 0−3; −1+4}, ВС{5; −3; 3}. AD{8−3; −4+1; 8−5}, AD {5; −3; 3}. У векторов ВС и AD тоже совпадают координаты, а значит, рассуждая аналогично, получим, что векторы совпадают. 421. а) Если векторы AB и AC коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Вычислим координаты этих векторов: AB {−8; 11; −7}, AC {24; −33; 21}. Заметим, AC=−3АВ, следовательно, векторы AB и АС коллинеарны, т.е. точки A, В и С лежат на одной прямой. б) Найдем координаты векторов AB и AC. AB {9; −15; −9}, 13
www.5balls.ru
AC {18; −30; −18}. Очевидно, что AC=2⋅AB, поэтому векторы AB и AC коллинеарны, значит точки А, В, и С лежат на одной прямой. В) Найдем координаты векторов AB и AC. AB {1; −9; 9}, AC {2; −18; −14}. Векторы AB и AC не коллинеарны, значит, точки A, B и С не лежат на одной прямой. 422. Рассмотрим векторы DA, DB, DC. а) Вычислим координаты векторов DA, DB и DC:
r
r
r DC {−1; −1; -4}= c . r r r Запишем равенство a =m b +n c в координатах (условие компланарности):
DA {−2; −13; 3}= a , xa = mxb + nxc , ya = myb + nyc , z = mz + nz , b c a
DB {1; 4; 1}= b
− 2 = m − n , − 13 = 4m − n , 3 = m − 4n ,
m = n − 2 , 4m = n − 13, m = 3 + 4 n ,
m = n − 2, n − 2 = 3 + 4n , 4m = n − 13,
n = − 5 , 3 11 m = − . 3 44 5 −5 − 39 =− −13= . Получаем равенство: − 3 3 3 5 11 DB− DC. 3 3 По определению векторы DA, DB и DC компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. б) Определим координаты предполагаемых векторов: Признак компланарности векторов выполняется DA=−
r
r
r
AD {2; −1; 3}= d , AB {3; 3; −1}= b , AC {−2; −4; 0}= c . Признак компланарности векторов в координатах: x d = mx b + nx c , 2 = 3m − 2n , 2 + 2n = 3m, y d = my b + ny c , − 1 = 3m − 4n , 4n = 3m + 1, z = mz + nz , 3 = − m − 0 ⋅ n , m = −3, b c d 2 + 2 n = −9 , n = −5,5, 4 n = −8 , n = −2 , m = −3, m = − 3. Система не имеет решений, следовательно, условие компланарности векторов не исполняется, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. в) Рассмотрим векторы:
r
AD {−4; 2; −2}= d ,
r
AB {−7; 8; 1}= b ,
r
AC (7; −14; −7}= c .
r r r Признак компланарности векторов d =m b +n c в координатах x, y, z: xd = mxb + nxc yd = myb + nyc ; z = mz + nz b c d
− 4 = −7 m + 7 n 2 = 8m − 14n − 2 = m − 7 n
;
7 m = 7 n + 4 8m = 2 + 14n ; m = 7 n − 2
14
www.5balls.ru
6m = 6, m = 1, m 2 n = 7 + 7 , 3 n = 7 . 8m = 2 + 14n , Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем равенство: 14 ⋅ 3 8=2+ ; 8=8. 7 3 3 Следовательно, векторы компланарны при m=1, n= . AD=AB+ AC. 7 7 При этом все три вектора отложены из одной точки, значит, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. 423. Пусть AA1, BВ1 и CC1 — медианы треугольника ABC, а M — точка их пересечения. Докажем, что точка M имеет координаты y + y 2 + y3 z1 + z 2 + z3 x +x +x ; ). ( 1 2 3 ; 1 3 3 3 Координаты точки равны координатам ее радиус-вектора. Выберем произвольно начало координат и начертим радиус-век7 n = m + 2, 7 m = ( m + 2) + 4, 8m = 2 + 14n ,
→
→
→
→
торы ОМ , ОС , ОВ , и ОА . Их координаты будут соответствовать координатам точек M, С, В, А соответственно. По теореме о точке пересечения медиан тре→
→
угольника АМ =2 МА1 . →
→
→
→
→
→
→
→
Так как АМ = ОМ − ОА , МА 1 = ОА1 − ОМ , то, подставив эти разности в наше равенство, получим: →
→
→
→
→
→
ОМ − ОА =2( ОА1 − ОМ ), или ОМ + 2 ОМ = ОА + 2 ОА1 , →
→
→
или 3 ОМ = ОА +2⋅ →
→
→
→
→ OC+ OB OC+ OB , т.к. ОА1 = . 2 2 →
→
→
OA + OB+ OC или, 2 y + y2 + y3 z1 + z2 + z3 x +x +x ; ). Доказано. М( 1 2 3 ; 1 3 3 3 424. Координаты середины отрезка выражаются через координаты его начала и конца: Следовательно, ОМ =
х М=
1 1 1 (хA+хв), уМ= (уА+уB), zM= (zA+zВ). Подставим координаты дан2 2 2
ных нам точек:
15
www.5balls.ru
1 1 5 1 (0−2); хМ=-1, уМ= (3+2), уМ= =2,5; zМ= (−4+0), zМ=−2; 2 2 2 2 1 1 1 б) 3= (14+xB), xB=−8; −2= (−8+yB), yB=4; −7= (5+zB); −14=5+zB, zB=−19; 2 2 2 1 1 1 в) −12= (xA+0), хA=−24; 4= (yA+0), yA=8, 15= (zA+2), zA=28. 2 2 2 1 1 425. Пусть M — середина отрезка AВ. Тогда хМ= (хA+хв), уМ= (уА+уB), 2 2 1 zM= (zA+zВ). Т.к. точка лежит на Ох по условию, то справедливо: 2 1 1 1 хМ= (хA+хв), 0= (уА+уB), 0= (zA+zВ). 2 2 2 a) хМ=
x = 1 ( −3 + 2 ) m = 1 2 M 2 5 n а) 0 = 1 (m − 2) ; =− 2 2 2 x = − 3 + 1 0 = 1 (5 + n ) 2 M 2
m = − 1 x = 1 (1 + 1) 4 2 M 2 б) 0 = 1 (0,5 + m) ; 2n = 2 2 2 0 = 1 (−4 + 2n ) x M = 1 2 x = 1 (0 + 1) M 2 в) 0 = 1 (m + n ) 2 0 = 1 (n + 1 − m + 1) 2 x = 1 M 2 m = − n ; 2 m = 2
r
m = 2 ; n = −5 . 1 x M = − 2
m = − 1 = −0,5 2 ; n = 2 . x = 1 M
x = 1 M 2 ; m = − n n m 2 + 1 = 2
x = 1 M 2 ; m = − n ; m = n + 2
x = 1 M 2 m = 1 . n = −1
426. | а |= х 2 + у 2 + z 2 по определению, тогда |AB|= ( х2 − х1 )2 + ( у2 − у1 )2 + ( z 2 + z1 )2 , где А (х1; y1; z1), B (х2; у2; z2). а) A (−1; 0; 2), B (1; −2; 3), |AB|= (1 + 1) 2 + (−2 − 0) 2 + (3 − 2) 2 ,
|AB|= ( 4 + 4 + 1 ) =3;
б) A (−35; −17; 20), B (−34; −5; 8), |AB|= (−34 + 35) 2 + (−5 + 17) 2 + (8 − 20) 2 , |AB|= 12 + 122 + (−12) 2 = 289 =17. 16
www.5balls.ru
r
427. | а |=
r
х2 + у2 + z2
r
, тогда | а |= 52 + (−1) 2 + 7 2 = 75 = 25 ⋅ 3 =5 3 ,
| b |= (2 3 ) 2 + (−6)2 + 12 = 4 ⋅ 3 + 36 + 1 = 49 =7;
r r r r r r с = i + j + k имеет координаты: с {1; 1; 1}, | с |= 12 + 12 + 12 = 3 .
r r r r d =−2 k ; d {0; 0; −2}, ⇒ | d | = 02 + 02 + (−2) 2 = 2 r r m {1; −2; 0}, | m |= 12 + (−2) 2 + 0 = 5 r r 428. | а + b |= ( х2 − х1 )2 + ( у 2 − у1 )2 + ( z 2 + z1 )2 , r r r r т.к. если а + b = d , то d ={ х1 + х 2 ; у1 + у 2 ; z1 + z 2 }. r r а) | а + b |= (3 − 2)2 + (−2 + 3) 2 + (1 + 1)2 = 1 + 1 + 4 = 6 ;
r
б) | а |= 32 + (−2) 2 + 12 = 9 + 4 + 1 = 14 ,
r
r
r
| b |= ( −2 )2 + 32 + 12 = 4 + 9 + 1 = 14 , | а |+| b |= 14 + 14 =2 14 ,
r r r r г) | а − b |= ( х1 − х 2 ) 2 + ( у1 − у 2 ) 2 + (z1 + z 2 ) 2 , r r | а − b |= (−2 − 3) 2 + (3 + 2) 2 + (1 − 1) 2 = 25 + 25 + 0 =5 2 ; r r д) |3 с |= (3х ) 2 + (3у) 2 + (3z ) 2 , т.к. 3 с {Зх; Зу; 3z}, r |3 с |= (−3 ⋅ 3) 2 + ( 2 ⋅ 3) 2 + (1 ⋅ 3) 2 = 92 + 62 + 32 = 126 = 9 ⋅ 14 =3 14 . r e) 14 | с |= 14 ⋅ (−3) 2 + 22 + 12 = 14 ⋅ 9 + 4 + 1 = 14 ⋅ 14 =14; r r r r r ж) 2 а {6; −4; 2}, 3 с {−9; 6; 3}, 2 а −3 с = m , в) | а |−| b |= 14 − 14 =0;
r r r m {6+9; −4−6; 2−3}, m {15; −10; −1}, | m |= 152 + (−10) 2 + (1) 2 =
= 225 + 100 + 1 = 326 . 429. Пусть К середина отрезка MN, тогда: х + х N уМ + у N zМ + z N −4 + 0 7 − 1 0 + 2 ; ; K( М ); К (−2; 3; 1), ; ); К ( ; 2 2 2 2 2 2 значит, ОК {−2; 3; 1} и |ОК|= (−2) 2 + 32 + 12 = 4 + 9 + 1 = 14 . 430. а) Чтобы найти периметр ∆АВС, необходимо вычислить длины век→
→
→
торов АВ, ВС и СА . Периметр треугольника равен их сумме. |АВ|= х 2 + у 2 + z 2 , AB {xB-xA, yB-yA; zB-zA}, 1 1 9 3 1 =1 . |AB|= (2 − ) 2 + (2 − 1) 2 + (−3 + 2) 2 = ( ) 2 + 12 + (−1) 2 = 2 = 4 2 4 2 2
17
www.5balls.ru
→
→
Аналогично ВС (2−2; 0−2; −1+3}, ВС (0; −2; 2}, |BC|= 02 + (−2) 2 + 22 = 2 ⋅ 4 =2 2 ; →
СА {
→ 3 1 −2; 1−0; −2+1}, СА {− ; 1; −1}, 2 2
1 9 3 1 1 +1+1 = = =1 . |CA|= (− ) 2 + 12 + (−1) 2 = 2 2 4 4 2 |AB|+|BC|+|CA|=1
1 1 +2 2 +1 =3+2 2 . 2 2
б) AA1, BB1 и CC1 — медианы. → → → 1 → 1 → ( АВ + АС ), ВВ1 = ( ВА + ВС ), 2 2 → → 1 → СС1 = ( СА + СВ ); 2 → → 3 1 АВ {2− ; 2−1; −3+2}, АВ { ; 1; −1} и 2 2 → → 3 1 АС {2− ; 0−1; −1+2}, АС { ; −1; 1}, следовательно 2 2 →
АА1 =
→
АА1 {
→ 1 1 1 1 1 1 ( + ); (1−1); (1−1)}, АА1 { ; 0; 0}, 2 2 2 2 2 2
→ → → 1 1 1 1 = =0,5; ВА =− АВ ; ВА {− ; −1; 1}; |AA1|= ( )2 + 0 + 0 = 4 2 2 2 →
→
ВС {2−2; 0−2; −1+3}, ВС {0; −2; 2}, следовательно → → 1 1 1 1 1 3 3 ВВ1 { (− +0); (−1−2); (1+2)}, ВВ1 {− ; − ; }, 2 2 2 2 4 2 2 1 9 9 73 1 3 3 73 + + = = . |BB1|= (− ) 2 + (− ) 2 + ( ) 2 = 16 4 4 16 4 2 2 4 →
→
→
→ → → 1 ; 1; −1}; СВ =− ВС ; СВ {0; 2; −2}, следовательно 2 → → 1 1 1 1 1 3 3 СС1 { (− +0); (1+2); (−1−2)}, СС1 {− ; ; − } и 2 2 4 2 2 2 2
СА =− АС ; СА {−
1 3 3 73 |CC1|= ( ) 2 + ( ) 2 + ( − ) 2 = =|BB1|. 2 2 4 4 431. Сравним длины сторон треугольника. Для этого по формуле расстояния между двумя точками d= ( х 2 − х1 ) 2 + ( у 2 − у1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 найдем |АВ|, |ВС|, |АС|. Если а=b=c, то треугольник ABC — равносторонний. Если: 18
www.5balls.ru
с=b ≠ а, то треугольник равнобедренный, если нет одинаковых сторон: с ≠ b ≠ а, то есть если а > b ≥ с, то следует проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Если да, то ∆АВС — прямоугольный. a) AB= (9 − 2) 2 + (3 − 10) 2 + ( −5 + 5) 2 = 49 + 49 + 0 = 2 ⋅ 49 =7 2 . ВС= (2 − 2) 2 + (10 − 3) 2 + (−5 − 2) 2 = 0 + 49 + 49 = 2 ⋅ 49 =7 2 . AC= (9 − 2) 2 + (3 − 3) 2 + (−5 − 2) 2 = 49 + 0 + 49 =7 2 . AB=ВС=АС, треугольник равносторонний. б) AB= (3 − 5) 2 + (7 + 3) 2 + (−4 − 2) 2 = 4 + 100 + 36 = 140 , ВС= (5 − 1) 2 + ( −3 − 3) 2 + (2 + 10) 2 = 16 + 36 + 144 = 196 , АС= (3 − 1) 2 + (7 − 3) 2 + (−4 + 10) 2 = 4 + 16 + 36 = 56 , ВС>AB>AC. Проверим, выполняется ли равенство: ВС2=AC2+AB2, ( 196 )2=( 56 )2+( 140 )2, 196=56+140=196 — верно. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный. в) AB= (5 − 5) 2 + (3 − 5) 2 + (1 − 1) 2 = 0 + 4 + 0 =2, BC= (5 − 4) 2 + (−3 + 3) 2 + ( −1 − 0) 2 = 1 + 0 + 1 = 2 , AC= (5 − 4) 2 + (−5 + 3) 2 + (−1 − 0) 2 = 1 + 4 + 1 = 6 , АС>АВ>ВС. Проверим, выполняется ли равенство AC2=AB2+ВС2. 6=4+2 — выполняется. Следовательно , треугольник ABC — прямоугольный разносторонний. г) AB= (−5 + 4) 2 + (2 − 3) 2 + (0 − 0) 2 = 1 + 1 + 0 = 2 , ВС= (−4 + 5) 2 + (3 − 2) 2 + (0 + 2) 2 = 1 + 1 + 4 = 6 , AC= (−5 + 5) 2 + (2 − 2) 2 + (0 + 2) 2 = 0 + 0 + 4 =2. BС>АC>AВ. Проверим: ВС2=AC2+AB2, 6=4+2. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный равносторонний. 432. Дано: А (−3; 4; −4), Следовательно, точка А1 — проекция точки А на Оху — имеет координаты A1 (−3; 4; 0), A2 — проекция точки А на Оуz — имеет координаты: A2 (0; 4; −4), A3 — проекция точки А на Oxz — имеет координаты: A3 (−3; 0; −4). По формуле расстояния между двумя точками d= ( х 2 − х1 ) 2 + ( у 2 − у1 ) 2 + (z 2 − z1 ) 2 Найдем AA1= 0 + 0 + 42 =4, AA2= 32 + 0 + 0 =3,
AA3= 0 + 42 =4, 19
www.5balls.ru
таким образом для А (х; у; z) расстояниями до координатных плоскостей будут |x|, |y| и |z|. б) На ось Ox проекция A1 точки А имеет координаты А1 (−3; 0; 0), на Oy: A2 (0; 4; 0), на Oz: A3 (0; 0; −4). AA1= 0 + 42 + 42 =4 2 ; AA2= 32 + 0 + 42 = 9 + 16 =5; АА3= 32 + 42 =5. 433. Искомая точка для каждой плоскости – это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки А на соответствующую плоскость. Следовательно, искомые точки имеют координаты (0; 2; −3), (−1; 0; −3), (-1; 2; 0). 434. Наименьшее расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось координат, то есть расстояние между точкой и ее проекцией на ось координат. Координатами про-екций точки на координатные оси будут абсцисса, ордината и аппликата этой точки. Следовательно, для В(3; −4;
7 ) проекция на ось Ox будет иметь координаты B1 (3; 0; 0), на
Oy: B2 (0; −4; 0), на Oz: B3 (0; 0; 7 ). 435. Найдем длины сторон ∆ABC по формуле расстояния между двумя точками: d= ( х2 − х1 )2 + ( у 2 − у1 )2 + ( z 2 − z1 )2 , |АВ|= (1 + 1) 2 + (0 − 2) 2 + (k − 3) 2 = 4 + 4 + ( k − 3) 2 = 8 + ( k − 3) 2 , |ВС|= (0 + 1) 2 + (0 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = 1 + 4 + 4 = 9 =3, |АС|= (1 − 0) 2 + (0 − 0) 2 + (k − 1) 2 = 1 + ( k − 1) 2 . Треугольник будет равнобедренным, если будет выполнено одно из трех условий: 1) AB=ВС, или 2) AB=AC, или 3) AC=ВС. 1)
8 + (k − 3) 2 =3,
8+(k−3)2=9, (k–3)2=1, k − 3 = 1, k − 3 = −1, 3)
k = 4, k = 2.
2) 8 + (k − 3) 2 = 1 + ( k − 1) 2 , 8+(k−3)2=1+(k−1)2, 8+k2+9-6k=1+k2−2k+1, 17 − 2 = 4k 15 = 4k ,
k=
15 4
= 3,75.
1 + ( k − 1) 2 =3
1+(k−1)2=9, (k−1)2=8, k−1=2 2 , k=2 2 +1, k−1=−2 2 , k=1−2 2 . 436. По формуле расстояния между двумя точками вычислим длины сторон трапеции A BCD: АВ= (4 − 0) 2 + (4 − 0) 2 + 0 = 16 + 16 = 32 =4 2 , ВС= 0 + (3 − 0) 2 + (4 − 0) 2 = 9 + 16 = 25 =5, CD= (1 − 0) 2 + (4 − 3) 2 + (4 − 4) 2 = 1 + 1 + 0 = 2 , DA= (4 − 0) 2 + (4 − 4) 2 + (0 − 4) 2 = 9 + 0 + 16 =5. 20
www.5balls.ru
|AD|=|СВ|=5, следовательно, ABCD будет равнобедренной трапецией, если доказать, что DC || AB, то есть, что DC и АВ коллинеарны. r r r r r Если существует число k такое, что b =k а и а ≠0, то а и b коллинеарны. АВ {−4; −4; 0}, CD {1; 1; 0}. Очевидно, что АВ=−4CD, т. е. АВ и CD коллинеарны. значит, АВ || CD и ABCD — равнобедренная трапеция. 437. Расстояние между двумя точками d= ( х 2 − х1 ) 2 + у 2 − у1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 : а) Пусть С (х; 0; 0) — точка на оси Ох, равноудаленная от точек А и В. Следовательно, СА=СВ, или в координатах: (−2 − х ) 2 + (3 − 0) 2 + (5 − 0) 2 = (3 − х ) 2 + (2 − 0) 2 + (−3 − 0) 2 , 4 + 4 х + х 2 + 9 + 25 = 9 − 6 х + х 2 + 4 + 9 ,
х 2 + 4 х + 38 = х 2 − 6 х + 22 х +4х+38=x2 − 6х+22, 10х=−16, х=−1,6; С (−1,6; 0; 0). Равноудаленной от точек А и В будет точка С (−1,6; 0; 0). б) Пусть D (0; у, 0) — точка на оси Оу, равноудаленная от А и В. AD=DB. 2
(−2 − 0) 2 + (3 − у) 2 + (5 − 0) 2 = (3 − 0) 2 + ( 2 − у) 2 + (−3 − 0) 2 4 + 9 − 6 у + у 2 + 25 = 9 + 4 − 4 у + у 2 + 9 , у 2 − 6 у + 38 = у 2 − 4 у + 22 у2 −6у+38=у2 −4у+22, 2у=16, у=8; D (0; 8; 0). в) Пусть E (0; 0; z) —точка на оси Oz, равноудаленная от А и B. (−2 − 0) 2 + (3 − 0) 2 + (5 − z) 2 = (3 − 0) 2 + (2 − 0) 2 + ( −3 − z) 2 4 + 9 + 25 − 10z + z 2 = 9 + 4 + 9 + 6z + z 2 , z 2 − 10z + 38 = z 2 + 6z + 22 16z=16, z=1; E (0; 0; 1). z2 −10z+38=z2+6z+22, 438. а) Пусть на плоскости Оху точка Р (х; у; 0) равноудалена от А, В и С. Используя формулу
В
d= х 2 − х1 ) 2 + ( у 2 − у1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 , соАР = ВР, ставим систему уравнений: АР = СР AР= (−1 − х ) 2 + (2 − у) 2 + (3 − 0) 2 =
Р
= 1 + 2 х + х 2 + 4 − 4 y + ey + 9 = х 2 + у 2 + 2 х − 4 у + 14 , BР= (−2 − х ) 2 + (1 − у) 2 + ( 2 − 0) 2 = 4 + 4 х + х 2 + 1 − 2 у + у 2 + 4 = 21
www.5balls.ru
= x 2 + y 2 + 4x − 2 y + 9 , СР= (0 − х ) 2 + ( −1 − у ) 2 + (2 − 0) 2 = х 2 + 1 + 2 у + у 2 + 1 = = х2 + у2 + 2у + 2 ,
х 2 + у 2 + 2 х − 4 у + 14 = 2 х + у 2 + 2 х − 4 у + 14 = х 2 + у 2 + 2 х − 4 у + 14 = х 2 2 х + у 2 + 2 х − 4 у + 14 = х 2
х 2 + у 2 + 4 х − 2 у + 9, х2 + у2 + 2у + 2, + у 2 + 4 х − 2 у + 9, + у 2 + 2 у + 2, y = 2 + 1 x 3 ; 2 2› + 4 + x = 5 3
у = 2 + 1 х 3 ; 1 2х + 2(2 + х ) = 5 3
2 х + 2 у = 5 ; 6 у = 2х + 12
8 x = 1 x = 3 y = 2 + 1 x x = 3 3 8 3 ; 8 ; ; . 2 1 1 3 1 17 y = 2 = y = 2 + x 2 x = 1 y = 2 + ⋅ 3 3 8 8 8 3 3 17 ; 0) лежит на плоскости Оху и равноудалена от точек А, В и C. Точка Р ( ; 8 8
б) Пусть на координатной плоскости Oyz точка Q (0; y; z) равноудалена от А, В и С, следовательно AQ = BQ, (очевидно, что и BQ=CQ). AQ = CQ AQ= ( −1 − 0) 2 + ( 2 − у ) 2 + ( 3 − z ) 2 = 1 + 4 − 4 у + у 2 + 9 − 6z + z 2 = = у 2 + z 2 − 4 у − 6z + 14 , BQ= ( −2 − 0) 2 + (1 − у ) 2 + ( 2 − z ) 2 = 4 + 1 − 2 у + у 2 + 4 − 4 z + z 2 = = у 2 + z 2 − 2 у − 4z + 9 , CQ= ( 0 − 0) 2 + ( −1 − у ) 2 + (1 − z ) 2 = 0 + 1 + 2 у + у 2 + 4 − 4 z + z 2 = = у 2 + z 2 + 2 у − 2z + 2 .
у 2 + z 2 − 4 у − 6z + 14 = 2 у + z 2 − 4 у − 6z + 14 =
у 2 + z 2 − 2 у − 4z + 9 , у 2 + z 2 + 2 у − 2z + 2 ,
2 2 2 2 у + z − 4 у − 6z + 14 = у + z − 2 у − 4 z + 9, 2 2 2 2 у + z − 4 у − 6z + 14 = у + z + 2 у − 2 z + 2,
2y + 2z = 5 ; 6 y + 4z = 12
y = 5 − z 2 ; 6⋅5 − 6z + 4z = 12 2
22
www.5balls.ru
y = 5 − z ; 2 2z = 3
z=
3 : 2
y=1.
3 ). 2 в) Пусть на координатной плоскости Ozx точка R (x, 0; z) равноудалена от точек A, В и С, следовательно Q (0; 1;
AR = BR , AR = CR AR= ( −1 − х) 2 + ( 2 − 0) 2 + ( 3 − z ) 2 = = 1 + 2х + х 2 + 4 + 9 − 6z + z 2 = х 2 + z 2 + 2 х − 6z + 14 , BR= ( −2 − х ) 2 + (1 − 0) 2 + (2 − z ) 2 = = 4 + 4 х + х 2 + 1 + 4 − 4z + z 2 = х 2 + z 2 + 4 х − 4z + 9 , CR= (0 − х ) 2 + ( −1 − 0) 2 + (1 − z ) 2 = = х 2 + 1 + 1 − 2z + z 2 = х 2 + z 2 − 2z + 2 , х 2 + z 2 + 2 х − 6 z + 14 = х 2 + z 2 + 4 х − 4 z + 9 , 2 2 2 2 х + z + 2 х − 6 z + 14 = х + z − 2 z + 2 , 2 2 2 2 х + z + 2 х − 6 z + 14 = х + z + 4 х − 4 z + 9 , 2 2 2 х + z + 2 х − 6 z + 14 = х + z 2 − 2 z + 2 ,
2 х + 2 z = 5, 2 х = 4 z − 12,
х = 2 z − 5, 4 z − 12 + 2 z = 5,
z = 17 , 6 17 1 x = − 6 = − ; 3 3
R (−
439. а) Пусть точка R следовательно
—
х = 2 z − 6, 6z = 17,
17 1 ; 0; ). 3 6
центр окружности, описанной около
∆АОВ,
AR = BR = r, где r — радиус окружности; AR = OR = r Точки А, О, В и R лежат в одной плоскости. Точка О (0; 0; 0) совпадает с началом координат, А (4; 0; 0) лежит на оси Ох; В (0; 6; 0) лежит на оси Оу, следовательно, ∆AOB лежит в координатной плоскости Оху, тогда, центр описанной окружности лежит в той же плоскости. Следовательно, координаты центра: R (х; у; 0). По формуле расстояния между двумя точками: АR = ( 4 − х ) 2 + (0 − у) 2 + (0 − 0) 2 = 16 − 8х + х 2 + у 2 , ВR= (0 − х ) 2 + ( 6 − у ) 2 + (0 − 0) 2 = х 2 + 36 − 12 у + у 2 , OR= (0 − х ) 2 + (0 − у ) 2 = х 2 + у 2 . 23
www.5balls.ru
Можем записать систему уравнений: 2 2 2 2 16 + x + y − 8x = x + y − 12 y + 36 16 + x 2 + y2 − 8x = x 2 + y 2 x 2 + y 2 − 8x + 16 = x 2 + y 2 − 12 y + 36 ; 2 x + y 2 − 8x + 16 = x 2 + y 2
; 8x = 12 y − 20 x = 2 ; ; 36 8x = 16 y = 12 = 3
Координаты центра окружности, описанной около диус описанной окружности равен АR=ВR=ОR=r,
∆АОВ: R (2; 3; 0). Ра-
r= х 2 + у 2 = 4 + 9 = 13 . б) Если точка R (х; у; z) равноудалена от вершин тетраэдра ОАВС, то OR = AR AR = BR BR = CR
OR= ( х − 0) 2 + ( у − 0) 2 + ( z − 0) 2 = х 2 + у 2 + z 2 , АR= ( х − 4) 2 + ( у − 0) 2 + ( z − 0) 2 = х 2 − 8х + 16 + у 2 + z 2 , ВR= ( х − 0) 2 + ( у − 6) 2 + ( z − 0) 2 = х 2 + у 2 − 12 у + 36 + z 2 , CR= ( х − 0) 2 + ( у − 0) 2 + ( z + 2) 2 = х 2 + у 2 + z 2 + 4z + 4 . Можем записать систему уравнений: x 2 + y 2 + z 2 = x 2 − 8x + y 2 + z 2 + 16 2 2 2 2 2 2 x − 8x + y + z + 16 = x + y − 12 y + z + 36 x 2 + y 2 − 12 y + z 2 + 36 = x 2 + y 2 + z 2 + 4z + 4
;
x 2 + y2 + z 2 = x 2 − 8x + y2 + z 2 + 16 2 2 2 2 2 2 x − 8x + y + z + 16 = x + y − 12 y + z + 36 ; 2 2 2 2 2 2 x + y − 12 y + z + 36 = x + y + z + 4z + 4
8x = 16 12 y = 8x + 20 ; 12 y + 4z = 32
x = 2 12 y = 36 36 + 4z = 32
;
x = 2 y = 3 z = −1
440. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С и с осями: Ох — по отрезку СА, Оу — по отрезку СВ, тогда точка D будет лежать на оси Оz. Пусть точка К — середина АВ. Во введенной системе координат A (b; 0; 0), B (0; а; 0), С (0; 0; 0), D (0; 0; m). Точка К (
х А + хВ уА + уВ zА + z В ; ; ), 2 2 2
24
www.5balls.ru
.
K
Подставляя координаты точек А и В, получим: К (
b a ; ; 0). 2 2
Следовательно:
b a b2 a 2 |DК|= ( − 0) 2 + ( − 0) 2 + (0 − m) 2 = + + m2 . 2 2 4 4 441. Сделаем рисунок. →
→
а) Векторы ВВ1 и В1С совпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника BВ1С, следовательно, В1В1С=45°. →
→
б) BD = B1 D1 , т.к. они сонаправлены и имеют →
→
→
одинаковую длину. BD = B1 D1 =− DB . →
→
Угол между DB и DA — угол между стороной и диагональю квадрата, т. е. α=45°. Тогда угол между →
→
DA и B1 D1 равен 135°. ∧ →
→
→
DB =135°= DA
DA
→
∧
→
B1 D1 .
→
в) A1C1 и A 1 B совпадают со сторонами равностороннего треугольника АВС и отложены из одной точки. Следовательно, угол 60°. →
→ ∧ →
→
г) BC = AD ; BC налью квадрата). →
→
→ ∧ →
AC = AC
→
∧ →
AD =45° (угол между стороной и диаго-
→
∧ →
д) BB1 = AA1 , BB1 AC = AA1 AC =90°. e) AD1 — BC1. Пусть О — точка пересечения диагоналей В1С и ВС1, квадрата ВВ1С1С. ВС1=2ОС1; B1C1=2ОС, следовательно, →
BC1
∧
→
→
→
B1C = OC1
∧
→
O1 C =90°.
→
→
ж) A 1 D1 = BC , следовательно, A 1 D1 →
∧ →
BC =0°.
→
з) AA1 =- C1C , следовательно, угол между ними равен 180°. →
→ ∧ →
→
442. Угол AB CD = ϕ , тогда угол между векторами (1) BA и DC равен →
→
→
→
ϕ, (2) BA и CD равен 1800−ϕ, (3) AB и DC равен 1800−ϕ. →
→
→
→
Отложим вектора AB и CD от одной точки и построим векторы BA , DC . →
→
→
→
Тогда в случае (1) углы между векторами AB , CD и BA и DC равны как вертикальные; в случаях (2) и (3) углы вычисляются как смежные. 25
www.5balls.ru
r r r r r а ⋅ b =| а |⋅| b | cos ( а
443.
→
→
→
∧
r b ).
→
→
∧
a) AD ⋅ B1C1 =| AD | ⋅ | B1C1 | ⋅ cos ( AD →
→
→
∧
Т.к. cos ( AD
→
→
B1C1 )=1 и | AD | = | B1C1 | → ∧
→
→
б) AC =− C1A1 , cos ( AC →
→
B1C1 )=а2,
C1A1 )=cos 180°=−1,
→
2а 2 = a 2
| AC |=| C1A1 |= а 2 + а 2 = →
→
AC ⋅ C1A1 = 2 а 2 ⋅ 2 а 2 ⋅ (−1)=−2a2. в) D1B ⊥ АС (по теореме о трех перпендикулярах), →
∧
cos ( D 1 B
→
→
→
AC )=cos 90°=0, D1 B ⋅ AC =0.
→
→
г) BA1 совпадает с диагональю грани куба, как и BC1 . →
→
2а 2
| BA1 |=| BC1 |=
=a 2 →
∆BA1C1 — равносторонний, ∠А1ВС1=60°= BA1 →
→
→
→
→
BA1 ⋅ BC1 =| BA1 |=| BC1 | ⋅ соs ( BA1 →
д) A1O1 = →
→
| A 1 O1 |=| A1C1 |= →
→
1 → A1C1 , 2
cos ( A 1 O1
∧
∧
→
BC1 , cos 60°=
→
BC1 )= 2а 2 ⋅
2а 2 ⋅
1 , 2
1 2 =а . 2
→
A1C1 )=cos 0=1,
→
1 ⋅ 2а 2 , 2
∧
→
A 1 O1 ⋅ A1C1 = 2а 2 ⋅
1 ⋅ 2а 2 ⋅1=а2. 2
→ → 1 → 1 → 1 → D1B1 , B1O1 = B1 D1 =− D1B1 =− D1O1 . 2 2 2 → → → 1 B1O1 =180°, cos 180°=−1, | D1O1 |=| B1O1 |= ⋅ 2 а 2 , 2
е) D1O1 = →
∧
D1O1 →
→
D1O1 ⋅ B1O1 =
1 1 1 1 ⋅ 2а 2 ⋅ ⋅ 2а 2 ⋅(−1)= ⋅2a2⋅(−1)=− a2. 2 2 4 2
→
ж) BO1 совпадает с гипотенузой прямоугольного ∆BB1O1, у которого ка→
→
теты: | BB1 |=a, | B1O1 |= →
| BO1 |= a 2 + →
BO1
∧
→
1 2
2а 2 ,
→ 3 1 а, | C1B |= ⋅ 2a 2 = 2 4 →
C1B =180°−( BO1
∧
2а 2 ,
→
BC1 )=180°−∠O1BC1.
26
www.5balls.ru
∠O1BC1= →
1 1 ∠A1BC1= ⋅60°=30°, т.к. ∆BA1С1 — равносторонний 2 2
→
→
→
BO1 ⋅ C1B =| BO1 |⋅ | C1B | ⋅ cos 150°= 3
= a⋅a⋅
2
⋅ 2 ⋅(−
3 ⋅а⋅ 2
3 3 3 )=a2⋅(− )⋅ 3 =− a2. 2 2 2
r
r
444. Пусть а {x1; у1; z1}, b {х2; у2; z2}, тогда r r тогда а ⋅ с =1⋅5+(−1)⋅6+2⋅2=5−6+4=3,
3 2
2а 2 ⋅(− ) =
r r а b =х1х2+у1y2+z1z2,
r r rr r r r r а ⋅ b =−1−1+2=0, b ⋅ с =−5+6+2=3, а ⋅ а =1+1+4=6, b b = 1 + 1 + 1 = 3 . → r 445. а {3; −5; 1}, b {0;1;−5} . r r а) а b =3⋅0−5⋅1−5⋅1=−10; r r r б) i {1; 0; 0}, а i =3⋅1−5⋅0+1⋅0=3; r r
r
в) j {0; 1; 0}, b j =0⋅0+1⋅1−5⋅0=1;
r r r r r r r r
г) ( а + b ) k = а ⋅ k + b ⋅ k , k {0; 0; 1},
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r д) ( а −2 b )( k + i −2 j )= а ⋅ k + а ⋅ i −2 а ⋅ j − b ⋅ k −2 b ⋅ i +4 b ⋅ j =(3⋅0−5⋅0+ ( а + b ) k =0⋅3+0⋅(−5)+1⋅1+0⋅0+1⋅0−5⋅1=1−5=−4;
+1−1)+(3⋅1−5⋅0+1⋅0)−2 (3⋅0−5⋅1+1⋅ 0)−2 (0⋅0+1⋅0−5⋅1)−2(0⋅1+1⋅0–5⋅0)+4 (0⋅0+ +1⋅1−5⋅0)=1+3+10+10+4=28. х1 ⋅ х 2 + у1 ⋅ у 2 + z1 ⋅ z 2 , далее если 00, следовательно, все выражение
r r r i ) >0, а i 90°. Докажем это.
r
положительное. cos ( а ∧
r
б) Если cos ( а
∧
х1⋅х2+у1⋅y2+z1⋅z2=3⋅0+(−5)⋅1+(0⋅0)=−5, −5