Теория автоматов: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

À. Ì. Ëóïàë

ÒÅÎÐÈß ÀÂÒÎÌÀÒΠÓ÷åáíîå ïîñîáèå

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2000

ÓÄÊ 519.7(075) ÁÁÊ 32.815 Ë85

Ëóïàë À. Ì. Ë77 Òåîðèÿ àâòîìàòîâ: Ó÷åá. ïîñîáèå/ ÑÏáÃÓÀÏ. ÑÏá., 2000. 119 ñ.: èë. ISBN 5–8088–0044–7  ïîñîáèè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè àëãîðèòìîâ, ðàñêðûâàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó àëãîðèòìàìè è âû÷èñëèòåëüíûìè ìàøèíàìè è ðàçëè÷èÿ ìåæäó ïðîöåññàìè, ïðîòåêàþùèìè â ìàøèíàõ Òüþðèíãà è àâòîìàòàõ ôîí Íåéìàíà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå îñíîâû òåîðèè êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, ôîðìàëüíûå ìåòîäû ïðîåêòèðîâàíèÿ àâòîìàòîâ íà îñíîâå àáñòðàêòíîãî è ñòðóêòóðíîãî ñèíòåçà, ÿâëåíèå ñîñòÿçàíèé ýëåìåíòîâ ïàìÿòè è ãîíîê â ñòðóêòóðíîì àâòîìàòå, ìåòîäû êîäèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèé àâòîìàòîâ è ñèíõðîíèçàöèÿ àâòîìàòîâ. Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ìîäèôèêàöèé ýëåìåíòàðíûõ àáñòðàêòíûõ è ñòðóêòóðíûõ àâòîìàòîâ â àñèíõðîííîì è ñèíõðîíèçèðóåìîì èñïîëíåíèè. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ äèñòàíöèîííîé ôîðìû îáó÷åíèÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè “Âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû, êîìïëåêñû è ñåòè” è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñòóäåíòàìè äíåâíîãî è âå÷åðíåãî ôàêóëüòåòà, îáó÷àþùèìèñÿ ïî ýòîé æå ñïåöèàëüíîñòè. Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà àâòîìàòèêè è ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãî ñóäàðñòâåííîãî ýëåêò ðîòåõíè÷å ñêîãî óíèâåðñèòåò à; êàíäèäàò òåõíè÷åñêèõ íàóê äîöåíò Ë. À. ×óãóíîâ

Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèå

ISBN 5–8088–0044–7

2

©

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, 2000

©

À. Ì. Ëóïàë,2000

1. ÊÈÁÅÐÍÅÒÈÊÀ – ÍÀÓÊÀ ÎÁ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÈ 1.1. Ñîçäàíèå êèáåðíåòèêè Êèáåðíåòèêࠖ ýòî íàóêà îá îáùèõ çàêîíàõ ïîëó÷åíèÿ, õðàíåíèÿ è ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, ò. å. î ïðîöåññàõ, êîòîðûìè õàðàêòåðèçóåòñÿ èíòåëëåêòóàëüíàÿ äåÿòåëüíîñòü êàê åñòåñòâåííàÿ, òàê è èñêóññòâåííàÿ. Êèáåðíåòèêà ÿâèëàñü ôóíäàìåíòîì, íà êîòîðîì âûðîñëà âñÿ ñîâðåìåííàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è äðóãèå íàóêè. Âïåðâûå ïðåäñòàâëåíèå îá èñêóññòâåííîì èíòåëëåêòå ïîÿâèëîñü â íàó÷íî-ôàíòàñòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå, â ÷àñòíîñòè àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé è ïèñàòåëü Àéçåê Àçèìîâ â 1974 ãîäó ïèñàë: “ß ïðèäóìàë â 1942 ãîäó òðè çàêîíà ðîáîòîòåõíèêè è íàïèñàë íà èõ îñíîâå íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ðàññêàçîâ, îòíîñÿñü êî âñåì ýòèì ðîáîòàì è èñêóññòâåííûì èíòåëëåêòàì êàê ê ýêçîòè÷åñêèì ïëîäàì âîîáðàæåíèÿ. ß ñ÷èòàë, ÷òî ðîáîò (èëè âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà, èëè èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò) íåîáõîäèì ÷åëîâå÷åñòâó. Çàòåì ÿ îáíàðóæèë, ÷òî, â êîíöå êîíöîâ, âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû ñìîãóò äîñòè÷ü èíòåëëåêòóàëüíîãî óðîâíÿ, ñðàâíèìîãî ñ ÷åëîâå÷åñêèì... è äàæå íàìíîãî ïðåâçîéòè åãî..., íî, òåì íå ìåíåå, ÿ äîëæåí îòêðûòü Âàì îäíî îáñòîÿòåëüñòâî: ÿ íèêîãäà íå âåðèë â ðåàëüíîñòü âñåãî ýòîã â ýòîì îòíîøåíèè ìîå âîîáðàæåíèå îòêàçàëî. ß íèêîãäà â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ïðåäïîëàãàë, ÷òî èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò âîçìîæåí, è ÿ ñîâåðøåííî îïðåäåëåííî íèêàê íå ïðåäïîëàãàë, ÷òî çàñòàíó âðåìÿ, êîãäà ëþäè áóäóò ñåðüåçíî ðàáîòàòü â ýòîé îáëàñòè” [1]. Íàó÷íàÿ òåîðèÿ ïî ðàçðàáîòêå èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà áûëà ïðîâîçãëàøåíà àìåðèêàíñêèì ó÷åíûì Íîðáåðòîì Âèíåðîì â 1948 ãîäó. Òîãäà æå îí ââåë ïîíÿòèå “êèáåðíåòèêè” êàê íàóêè îá îáùèõ çàêîíîìåðíîñòÿõ ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ è ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè â ìàøèíàõ, æèâûõ îðãàíèçìàõ è èõ îáúåäèíåíèÿõ. Âìåñòå ñ ýòèì ñëîâîì áîëåå 50 ëåò íàçàä â íàø ìèð âîðâàëñÿ öåëûé ïîòîê ñîâåðøåííî íîâûõ èäåé è ïðåäñòàâëåíèé.  Ðîññèè ïåðâûå ðàáîòû ïî êèáåðíåòèêå ïîÿâèëèñü â 1956 ãîäó, ïðè÷åì ñíà÷àëà ýòî áûëè â îñíîâíîì ïåðåâîäû êíèã è ñòàòåé àìåðèêàíñêèõ ó÷åíûõ, à ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ ïîÿâèëèñü è ñîáñòâåííûå ðàçðàáîòêè. Îäíèìè èç ïåðâûõ ðóññêèõ êèáåðíåòèêîâ áûëè ñîâåòñêèå ó÷åíûå Àêñåëü Èâàíîâè÷ Áåðã, Âèêòîð Ìèõàéëîâè÷ Ãëóøêîâ è Àëåêñàíäð Àíäðååâè÷ Ëÿïóíîâ. 3

1.2. Ïðåäìåò è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ êèáåðíåòèêè  êà÷åñòâå îñíîâíûõ ðàçäåëîâ êèáåðíåòèêè ìîãóò áûòü âûäåëåíû: 1. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè, èçó÷àþùàÿ ñïîñîáû âîñïðèÿòèÿ, õðàíåíèÿ, ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 2. Òåîðèÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, èçó÷àþùàÿ è ðàçðàáàòûâàþùàÿ ìåòîäû ïåðåðàáîòêè èíôîðìàöèè è èñïîëüçîâàíèÿ åå äëÿ óïðàâëåíèÿ, ïðè÷åì ïðîãðàììèðîâàíèå ðàáîòû ëþáîé ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå âêëþ÷àåò â ñåáÿ îïðåäåëåíèå è ðàçðàáîòêó óñëîâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñõåìû (àëãîðèòìà) íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé è ñîñòàâëåíèå ïðîãðàììû â êîäå, âîñïðèíèìàåìîì äàííîé ñèñòåìîé. 3. Òåîðèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, êîòîðàÿ èçó÷àåò: ñòðóêòóðó è ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ ëþáûå ôèçè÷åñêèå îáúåêòû, îñóùåñòâëÿþùèå öåëåíàïðàâëåííóþ ïåðåðàáîòêó èíôîðìàöèè, òàêèå êàê íåðâíàÿ ñèñòåìà æèâîòíîãî, ñèñòåìà àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ñàìîëåòà, ýëåêòðîííàÿ ïðîãðàììíî-óïðàâëÿåìàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà, ñèñòåìà ïîäðàçäåëåíèé áàíêà è ò. ï.; ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ – ïîíÿòèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò, êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé (èëè åå îïèñàíèå), îñóùåñòâëÿåìûõ ñèñòåìîé óïðàâëåíèÿ. Êèáåðíåòèêà èçó÷àåò àáñòðàêòíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â âèäå ìàòåìàòè÷åñêèõ ñõåì (ìîäåëåé). Îñíîâíûì ñâîéñòâîì ýòèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè ñîõðàíÿþò èíôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ ðåàëüíûõ ñèñòåì, ò. å. òåõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ ýòèõ ìîäåëåé.  ðàìêàõ êèáåðíåòèêè ïîä âëèÿíèåì çàïðîñîâ òåõíèêè ÖÂÌ è óïðàâëÿþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí âîçíèêëà ñïåöèàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíࠖ òåîðèÿ àâòîìàòîâ, êîòîðàÿ èçó÷àåò ñïåöèàëüíûé êëàññ äèñêðåòíûõ (öèôðîâûõ) ñèñòåì ïåðåðàáîòêè èíôîðìàöèè, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ áîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Äèñêðåòíûå àâòîìàòû, èçó÷àåìûå â òåîðèè àâòîìàòîâ, ÿâëÿþòñÿ àáñòðàêòíûìè ìîäåëÿìè ðåàëüíûõ ñèñòåì êàê òåõíè÷åñêèõ, òàê è áèîëîãè÷åñêèõ, êîòîðûå ïåðåðàáàòûâàþò öèôðîâóþ èíôîðìàöèþ äèñêðåòíûìè âðåìåííûìè òàêòàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû â âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíå ðåàëèçîâàòü íåêîòîðûé ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ, èíà÷å ãîâîðÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîöåññ ïåðåðàáîòêè èíôîðìàöèè, íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü òàêîé àëãîðèòì è îñóùåñòâèòü 4

òàêóþ æå èëè ïðèìåðíî òàêóþ æå ïåðåðàáîòêó èíôîðìàöèè, êàê è èñõîäíûé ïðîöåññ, à çàòåì îöåíèòü êà÷åñòâî ïðèáëèæåíèÿ. Èñïîëüçóåìûå â êèáåðíåòèêå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà ìàòåìàòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå, ïðè÷åì èìåííî ê ïîñëåäíèì îòíîñÿòñÿ ëîãè÷åñêèé àíàëèç è ñèíòåç ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìó äèñöèïëèíû “Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà”, è “Òåîðèÿ àâòîìàòî┠ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíûìè ÷àñòÿìè íàóêè êèáåðíåòèêè.

5

2. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÒÅÎÐÈÞ ÀËÃÎÐÈÒÌΠ2.1. Îïðåäåëåíèå àëãîðèòìà Ïîíÿòèÿ òåîðèè àëãîðèòìîâ âñåãäà òðàäèöèîííî îòíîñèëèñü ê “âûñîêîé” íàóêå, ñ÷èòàëèñü ñëàáî ñâÿçàííûìè ñ ïðàêòèêîé è òðóäíûìè äëÿ ïîíèìàíèÿ. Îäíàêî æèçíü îïðîâåðãëà ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ, è ýòî äîêàçûâàåòñÿ òåì, ÷òî âîçíèêëè ïðèêëàäíûå îòâåòâëåíèÿ ýòîé òåîðèè, à èìåííî, àëãîðèòìè÷åñêèå ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ è òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ èñ÷èñëåíèé, çíàíèå êîòîðûõ ñòàëî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìûì äëÿ ëþáîãî èññëåäîâàòåëÿ, èìåþùåãî îòíîøåíèå ê àëãîðèòìèçàöèè ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ. Ïî ñóùåñòâó çíàíèå ýòèõ âîïðîñîâ äàåò ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ìîæíî è ÷åãî íåëüçÿ ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû. Ñåé÷àñ, êîãäà âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí áîëüøå ÷åì ëþäåé, óìåþùèõ ïðàâèëüíî èõ èñïîëüçîâàòü, òàêîå ïîíèìàíèå îñîáåííî âàæíî. Àëãîðèòì ìîæåò áûòü îïðåäåëåí êàê ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà, îäíîçíà÷íî ïðèâîäÿùàÿ ê ðåçóëüòàòó. Ïðè ðàçðàáîòêå àëãîðèòìà íåîáõîäèìî ôîðìàëèçîâàòü ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è, ñâåäÿ åãî ê ïðèìåíåíèþ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ïðàâèë. Òàê, ìû ðåãóëÿðíî ïîëüçóåìñÿ àëãîðèòìàìè âûïîëíåíèÿ îñíîâíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè, ðàçðàáîòàííûìè åùå â IX â. äðåâíåâîñòî÷íûì ìàòåìàòèêîì Àëü-Õîðåçìè (òåðìèí “àëãîðèòì” ïðîèçîøåë îò èìåíè ýòîãî ó÷åíîãî). Äî ñåðåäèíû ÕIX â. âñå àëãîðèòìû áûëè âû÷èñëèòåëüíûìè è èìåëè äåëî, â îñíîâíîì, ñ ÷èñëàìè. Ïîýòîìó âñå ìíîãîîáðàçèå âû÷èñëåíèé êîìáèíèðîâàëîñü èç 10–15 ÷åòêî îïðåäåëåííûõ îïåðàöèé àðèôìåòèêè, òðèãîíîìåòðèè è àíàëèçà. Âñå áûëî î÷åâèäíî è íå òðåáîâàëî ñïåöèàëüíûõ èññëåäîâàíèé. Ïîÿâëåíèå âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX â. ìàòåìàòèêè, èìåþùåé äåëî ñ íå÷èñëîâûìè îáúåêòàìè (íåýâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ, òåîðèÿ ãðóïï, òåîðèÿ ìíîæåñòâ) ïîêàçàëî, ÷òî âñå íå òàê ïðîñòî è î÷åâèäíî. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðèâû÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïðèìåíÿåìûå ê ýòèì òåîðèÿì, îñíîâàííûå íà ñîäåðæàòåëüíîì îïèñàíèè àëãîðèòìà, ïðèâîäÿò ê íåðàçðåøèìûì ïðîòèâîðå÷èÿì (ïðèìå𠖠òàê íàçûâàåìûå ïðîòèâîðå÷èÿ òåîðèè ìíîæåñòâ). Ñîâåðøåííî îñîáûì îáðàçîì è êðàéíå îñòîðîæíî ñëåäóåò îáðàùàòüñÿ ñ òàêèì ïîíÿòèåì, êàê “áåñêîíå÷íîñòü”. Áûëè ñîçäàíû òàê íàçûâàåìûå ôèíèòíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèé, ñóùíîñòü êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè äîïóñêàþò òîëüêî êîíå÷íûå êîìïëåêñû äåéñòâèé íàä 6

êîíå÷íûì ÷èñëîì îáúåêòîâ. Âñå ýòî ïîòðåáîâàëî óòî÷íåíèÿ ïîíÿòèÿ “àëãîðèòì”. 2.2. Ïðåäìåò òåîðèè àëãîðèòìîâ  òåõíèêó òåðìèí “àëãîðèòì” ïðèøåë âìåñòå ñ êèáåðíåòèêîé. Åñëè ïîíÿòèå “ìåòîäà âû÷èñëåíèé” íå íóæäàëîñü â ïîÿñíåíèÿõ, òî ïîíÿòèå “ïðîöåññà óïðàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìî┠ïðèøëîñü âûðàáàòûâàòü ïðàêòè÷åñêè çàíîâî. Íåÿñíîñòü ñîäåðæàòåëüíîãî îïèñàíèÿ àëãîðèòìà ïîñëóæèëà ïðè÷èíîé óòî÷íåíèÿ ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî áûë ñäåëàí âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè òàê íàçûâàåìîé àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè, ò. å. î íåñóùåñòâîâàíèè åäèíîãî àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷ íåêîòîðîãî êëàññà ïðè âîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ îòäåëüíûõ çàäà÷ ýòîãî êëàññà. Ïîýòîìó ïðåäìåòîì òåîðèè àëãîðèòìîâ, ðåøàþùåé çàäà÷ó óòî÷íåíèÿ ïîíÿòèÿ “àëãîðèòì”, ÿâëÿåòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü óòî÷íåíèå òàêèõ ïîíÿòèé, êàê “îáúåêò”, êîòîðûé ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ è “äåéñòâèå”, ñîâåðøàåìîå íàä ýòèì îáúåêòîì. Ïîýòîìó, ðàçðàáàòûâàÿ àëãîðèòì, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî âûÿñíèòü: êàêèå îáúåêòû ñëåäóåò ñ÷èòàòü òî÷íî îïðåäåëåííûìè; êàêèå ýëåìåíòàðíûå äåéñòâèÿ íàä íèìè ñëåäóåò ñ÷èòàòü òî÷íî îïðåäåëåííûìè; êàêèìè ñâîéñòâàìè è âîçìîæíîñòÿìè îáëàäàþò êîìáèíàöèè ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé, ò. å. ÷òî ìîæíî è ÷åãî íåëüçÿ ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ýòèõ äåéñòâèé; êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé, ÷òîáû ñ÷èòàòüñÿ êîíñòðóêòèâíî çàäàííîé, ò. å. èìåòü ïðàâî íàçûâàòüñÿ àëãîðèòìîì.  ýòîì îñîçíàíèè îãðîìíóþ ðîëü ñûãðàëà ïðàêòèêà èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, ñäåëàâøàÿ ïîíÿòèå àëãîðèòìà îùóòèìîé ðåàëüíîñòüþ. Ïîýòîìó ïðèìåíèòåëüíî ê âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü áîëåå êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå àëãîðèòìà: àëãîðèò젖 ýòî òî÷íîå ïðåäïèñàíèå î âûïîëíåíèè â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå íåêîòîðîé ñèñòåìû îïåðàöèé äëÿ ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷ íåêîòîðîãî çàäàííîãî òèïà. Òåì íå ìåíåå, íåëüçÿ ñ÷èòàòü àëãîðèòìîì ëþáóþ èíñòðóêöèþ, ðàçáèòóþ íà øàãè. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü îñíîâíûå òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê àëãîðèòìàì. 7

1. Àëãîðèòì ïðèìåíÿåòñÿ ê èñõîäíûì äàííûì è âûäàåò ðåçóëüòàòû.  ïðèâû÷íûõ òåõíè÷åñêèõ òåðìèíàõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àëãîðèòì èìååò âõîäû è âûõîäû. Êðîìå òîãî, â õîäå ðàáîòû àëãîðèòìà ïðîÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòî÷íûå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â äàëüíåéøåì. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé àëãîðèòì èìååò äåëî ñ äàííûì蠖 âõîäíûìè, ïðîìåæóòî÷íûìè è âûõîäíûìè. 2. Íåîáõîäèìî óòî÷íèòü ïîíÿòèå “äàííûå”, ò. å. óêàçàòü, êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îáúåêòû, ÷òîáû àëãîðèòì ìîã ñ íèìè ðàáîòàòü. Äëÿ ýòîãî îáúåêòû äîëæíû áûòü ÷åòêî îïðåäåëåíû è îòëè÷èìû êàê äðóã îò äðóãà, òàê è îò “íåîáúåêòîâ”. Ïîñêîëüêó òî÷íîå è ïîëíîå ñëîâåñíîå îïðåäåëåíèå îáúåêòà äàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíî, â òåîðèè àëãîðèòìîâ ôèêñèðóþò êîíêðåòíûå êîíå÷íûå íàáîðû èñõîäíûõ îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàðíûìè è êîíêðåòíûé íàáîð ñðåäñòâ ïîñòðîåíèÿ äðóãèõ îáúåêòîâ èç ýëåìåíòàðíûõ îáúåêòîâ. Íàáîð ýëåìåíòàðíûõ îáúåêòîâ îáðàçóåò êîíå÷íûé àëôàâèò èñõîäíûõ ñèìâîëîâ (öèôð, áóêâ è äð.), èç êîòîðûõ ñòðîÿòñÿ äðóãèå îáúåêòû. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé òèï àëãîðèòìè÷åñêèõ äàííûõ – ñëîâà êîíå÷íîé äëèíû â êîíå÷íûõ àëôàâèòàõ (íàïðèìåð, ÷èñëà), ïðè÷åì ÷èñëî ñèìâîëîâ â ñëîâàõ (äëèíà ñëîâà) – åñòåñòâåííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ îáðàáàòûâàåìîé èíôîðìàöèè. Áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé àëãîðèòìè÷åñêèõ îáúåêòî⠖ ôîðìóëû. Îíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñëîâàìè êîíå÷íîé äëèíû â äàííîì êîíå÷íîì àëôàâèòå, îäíàêî íå êàæäîå ñëîâî åñòü ôîðìóëà. 3. Äàííûå äëÿ ñâîåãî ðàçìåùåíèÿ òðåáóþò ïàìÿòè, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ÿ÷ååê è êàæäàÿ ÿ÷åéêà ìîæåò ñîäåðæàòü îäèí ñèìâîë àëôàâèòà äàííûõ. Òàêèì îáðàçîì, åäèíèöû èçìåðåíèÿ îáúåìà äàííûõ è ïàìÿòè ñîãëàñîâàíû. 4. Àëãîðèòì äîëæåí áûòü äèñêðåòíûì, ò. å. äîëæåí ñîñòîÿòü èç ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ øàãîâ èëè äåéñòâèé, ïðè÷åì ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ øàãîâ êîíå÷íî. Ïðèìåðîì ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà êîìàíä ÝÂÌ. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ àëãîðèòìà äîëæíà áûòü äåòåðìèíèðîâàíà, ò. å. ïîñëå êàæäîãî øàãà óêàçûâàåòñÿ, êàêîé øàã äåëàòü äàëüøå ëèáî äàåòñÿ êîìàíäà îñòàíîâêè. 5. Àëãîðèòì äîëæåí áûòü ðåçóëüòàòèâíûì, ò. å. äîëæåí îñòàíîâèòüñÿ ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ ñ îäíîâðåìåííûì óêàçàíèåì òîãî, ÷òî ñ÷èòàòü ðåçóëüòàòîì. 8

 ÷àñòíîñòè, âñÿêèé, êòî ïðåäúÿâëÿåò àëãîðèòì ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è, íàïðèìåð âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f(x), îáÿçàí ïîêàçàòü, ÷òî àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ (ñõîäèòñÿ) äëÿ ëþáîãî õ èç îáëàñòè çàäàíèÿ ôóíêöèè f. 6. Àëãîðèòì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèþ ìàññîâîñòè, ò. å. àëãîðèòì äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû åãî ìîæíî áûëî ïðèìåíèòü äëÿ êëàññà çàäà÷, ðàçëè÷àþùèõñÿ ëèøü èñõîäíûìè äàííûìè. 7.  ïðîöåññå ñîçäàíèÿ àëãîðèòìà ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ïîíÿòèÿ: îïèñàíèå àëãîðèòìà (íàïðèìåð, èíñòðóêöèþ èëè ïðîãðàììó); ìåõàíèçì ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà (íàïðèìåð, ÝÂÌ), êîòîðûé âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñðåäñòâà óïðàâëåíèÿ õîäîì âû÷èñëåíèé, à èìåííî: ñðåäñòâà ïóñêà, ñðåäñòâà îñòàíîâêè, ñðåäñòâà ðåàëèçàöèè ýëåìåíòàðíûõ øàãîâ, ñðåäñòâà âûäà÷è ðåçóëüòàòîâ, îáåñïå÷åíèÿ äåòåðìèíèðîâàííîñòè; ïðîöåññ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ, êîòîðàÿ áóäåò ïîðîæäàòüñÿ ïðè ïðèìåíåíèè àëãîðèòìà ê êîíêðåòíûì äàííûì. 2.3. Áëîê-ñõåìû àëãîðèòìîâ, êîìïîçèöèÿ àëãîðèòìîâ Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ àëãîðèòìà è îðãàíèçàöèè ñâÿçè ìåæäó åãî øàãàìè èñïîëüçóþòñÿ áëîê-ñõåìû. Áëîê ñõåìà àëãîðèòìà èçîáðàæàåòñÿ â âèäå ãðàôà, â êîòîðîì âåðøèíàì ñîîòâåòñòâóþò øàãè àëãîðèòìà, à ðåáðà젖 ïåðåõîäû ìåæäó øàãàìè. Âåðøèíû ìîãóò áûòü îïåðàòîðíûìè èëè îïåðàòîðàìè (âûõîäèò îäíî ðåáðî), óñëîâíûìè èëè ïðåäèêàòàì è (âûõîäèò äâà ðåáðà), ïåðåêëþ÷àòåëüíûìè (âûõîäèò íåñêîëüêî ðåáåð), åäèíñòâåííûé îïåðàòîð íà÷àëà (âûõîäèò îäíî ðåáðî), åäèíñòâåííûé îïåðàòîð êîíöà (íå âûõîäèò íè îäíîãî ðåáðà). Âàæíîé îñîáåííîñòüþ àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñâÿçè, îïèñûâàåìûå áëîê-ñõåìîé, íå çàâèñÿò îò òîãî, ÿâëÿþòñÿ ëè øàãè àëãîðèòìà ýëåìåíòàðíûìè èëè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñàìîñòîÿòåëüíûå àëãîðèòìû (áëîêè).  ïðîãðàììèðîâàíèè èçâåñòíî ïîíÿòèå “ðàçáëî÷èâàíèÿ” ñëîæíîãî àëãîðèòìà, êîãäà îòäåëüíûå åãî áëîêè ïðîãðàììèðóþòñÿ ðàçíûìè ëèöàìè. È íàîáîðîò, ñ ïîìîùüþ áëîê-ñõåìû ìîæíî íåñêîëüêî îòäåëüíûõ àëãîðèòìîâ ðàññìàòðèâàòü êàê áëîêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäèí áîëüøîé àëãîðèòì. Íàïðèìåð, áëîê-ñõåìà, âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ f = f2(f1(x)) , â êîòîðîé â êà÷åñòâå àðãóìåíòà èñïîëüçóåòñÿ äðóãàÿ ôóíêöèÿ è êîòîðàÿ ïî9

ýòîìó íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé ôóíêöèé, áóäåò èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 2.1. Íà÷àëî

À1

À2

Êîíåö

À1 – àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè B (N), B (N). Ðèñ. 2.1

 òàêîé áëîê-ñõåìå âõîäíûå äàííûå (âõîäû) àëãîðèòìà À2 åñòü ðåçóëüòàòû (âûõîäû) àëãîðèòìà À1.Òàêîå ñîåäèíåíèå àëãîðèòìîâ íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé àëãîðèòìîâ. Íà áëîê-ñõåìå àëãîðèòìà õîðîøî âèäíà ðàçíèöà ìåæäó îïèñàíèåì àëãîðèòìà è ïðîöåññîì åãî ðåàëèçàöèè. Îïèñàíè堖 ýòî ãðàô, à ïðîöåññ ðåàëèçàöè蠖 ýòî ïóòè â ãðàôå, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìè óñëîâèÿìè. Åñëè â ïðîöåññå ðåàëèçàöèè âû÷èñëåíèé íå ïîÿâëÿåòñÿ óñëîâèé, âåäóùèõ ê êîíöó, è ïðîöåññ çàöèêëèâàåòñÿ, ýòî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñõîäèìîñòè àëãîðèòìà. 2.4. Àëãîðèòìè÷åñêèå ìîäåëè  êëàññè÷åñêîì âàðèàíòå áëîê-ñõåìû àëãîðèòìîâ, ïðè âñåé ñâîåé íàãëÿäíîñòè, îòðàæàþò ñâÿçè ëèøü ïî óïðàâëåíèþ (÷òî äåëàòü â ñëåäóþùèé ìîìåíò, êàêîìó áëîêó ïåðåäàòü óïðàâëåíèå), à íå ïî èíôîðìàöèè (íå ñîäåðæàò ñâåäåíèé íè î äàííûõ, íè î ïàìÿòè, íè îá èñïîëüçóåìîì íàáîðå ýëåìåíòàðíûõ øàãîâ). Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå àëãîðèòìà â âèäå áëîê-ñõåìû íå óäîâëåòâîðÿåò ïåðå÷èñëåííûì âûøå òðåáîâàíèÿì. Ïîýòîìó â òåîðèè àëãîðèòìîâ ïðèíèìàåòñÿ è äðóãîé ïîäõîä ê ïðåäñòàâëåíèþ àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùèé ïîñòðîèòü àëãîðèòìè÷åñêóþ ìîäåëü ïðîöåññà, êîãäà óäàåòñÿ óäîâëåòâîðèòü âñåì òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê àëãîðèòìàì. Ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìè÷åñêîé ìîäåëè ïðîèçâîäèòñÿ óòî÷íåíèå äåòåðìèíèçìà àëãîðèòìà: âûáèðàåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð èñõîäíûõ îáúåêòîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè; 10

âûáèðàåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ èç íèõ íîâûõ îáúåêòîâ; ôèêñèðóåòñÿ íàáîð ýëåìåíòàðíûõ øàãîâ; ðàçðàáàòûâàåòñÿ ñïîñîá ñîçäàíèÿ ïàìÿòè è âûáîðêè èíôîðìàöèè èç ïàìÿòè.  ðåçóëüòàòå ýòèõ äåéñòâèé ñîçäàåòñÿ êîíêðåòíàÿ àëãîðèòìè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ìîæíî âûäåëèòü òðè îñíîâíûõ òèïà àëãîðèòìè÷åñêèõ ìîäåëåé, êîòîðûå ðàçëè÷àþòñÿ ýâðèñòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè îòíîñèòåëüíî òîãî, ÷òî òàêîå àëãîðèòì. 1.  ïåðâîé ìîäåëè ïîíÿòèå àëãîðèòìà ñâÿçûâàåòñÿ ñ íàèáîëåå òðàäèöèîííûìè ïîíÿòèÿìè ìàòåìàòèê蠖 âû÷èñëåíèÿìè è ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè. Íàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ ìîäåëü ýòîãî òèïࠖ ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì òàê íàçûâàåìûõ èíäóêòèâíûõ (èëè ðåêóððåíòíûõ) îïðåäåëåíèé, îñíîâàííûõ íà ïåðåõîäå îò n ê n+1. Ñëîâî “ðåêóððåíòíûé” îçíà÷àåò “âîçâðàòíûé” îò ëàòèíñêîãî ñëîâà recurso – “âîçâðàùàþñü, áåãó íàçàä”. È åñëè àëãîðèòì íîñèò âîçâðàòíûé õàðàêòåð, òî îí è íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíûì. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ íàòóðàëüíîãî ðÿäà ÷èñåë: ÷òîáû îïðåäåëèòü ÷èñëî 4, íóæíî ñíà÷àëà îïðåäåëèòü ÷èñëî 3, à ÷òîáû îïðåäåëèòü ÷èñëî 3, íóæíî ñíà÷àëà îïðåäåëèòü ÷èñëî 2 è ò.ä. âïëîòü äî 1. Ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êàê íåêîòîðûå íîâûå ôóíêöèè, ïîëó÷àåìûå èç óæå èìåþùèõñÿ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè. Îïåðàòîðîì ñóïåðïîçèöèè Smn íàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêà â ôóíêöèþ îò m ïåðåìåííûõ m ôóíêöèé îò n îäíèõ è òåõ æå ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, åñëè èìååì ôóíêöèè h(x1, x2, ...,xm), g1(x1, x2,...xn), g2(x1, x2, ...xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn) , òî Smn  (h, g1, g2, ..., gm) = h(g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ...,xn)) = f(x1, x2, ..., xn). 2. Âòîðîé òèï àëãîðèòìè÷åñêîé ìîäåëè îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè îá àëãîðèòìå êàê î íåêîòîðîì äåòåðìèíèðîâàííîì óñòðîéñòâå, ñïîñîáíîì âûïîëíÿòü â êàæäûé îòäåëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ëèøü âåñüìà ïðèìèòèâíûå îïåðàöèè. Ýâðèñòèêà ýòèõ ìîäåëåé áëèçêà ê ÝÂÌ è, ñëåäîâàòåëüíî, áëèçêà ê èíæåíåðíîé èíòóèöèè. Îñíîâíîé òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëüþ ýòîãî òèïà, ñîçäàííîé â 30-õ ãîäàõ, ÿâëÿåòñÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. 11

3. Òðåòèé òèï àëãîðèòìè÷åñêèõ ìîäåëå頖 ýòî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëîâ â ïðîèçâîëüíûõ àëôàâèòàõ, â êîòîðûõ ýëåìåíòàðíûìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ îïåðàöèè ïîäñòàíîâêè, ò. å. çàìåíû ÷àñòè ñëîâà (ïîäñëîâà) äðóãèì ñëîâîì. Ïðèìåðàìè òàêèõ ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûå àâòîìàòû, ñîçäàííûå ïî àëôàâèòíîìó îòîáðàæåíèþ.

12

3. ÌÀØÈÍÀ ÒÜÞÐÈÍÃÀ  1937 ãîäó àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê À.Ì. Òüþðèíã, êîòîðûé áûë ïîñëåäîâàòåëåì òåîðèè î òîì, ÷òî ìàøèíà ñïîñîáíà ìûñëèòü è ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü ïñèõè÷åñêóþ äåÿòåëüíîñòü ÷åëîâåêà, ïðåäëîæèë îáùóþ è âìåñòå ñ òåì î÷åíü ïðîñòóþ êîíöåïöèþ âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû.  ñâîåì òðóäå Òüþðèíã èñõîäèë èç òîãî, ÷òî ïðåäëàãàåìàÿ èì âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà óïîäîáëÿåòñÿ âû÷èñëèòåëþ, êîòîðûé âûïîëíÿåò îïåðàöèè â òî÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðûì ñòðîãèì îïèñàíèåì. Ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà íàïîìèíàåò äåéñòâèÿ âû÷èñëèòåëÿ, êîòîðûé, áóäó÷è íå â ñîñòîÿíèè ñðàçó îáîçðåòü âñþ, ÷àñòî î÷åíü ãðîìîçäêóþ ñèñòåìó äàííûõ è ïðåäïèñàíèé, ïðîèçâîäèò êàæäûé ðàç ëèøü êàêîå-ëèáî “ýëåìåíòàðíîå” äåéñòâèå, ïðè÷åì òîëüêî íàä íåêîòîðîé “âîñïðèíèìàåìîé” èì ÷àñòüþ äàííûõ (èëè ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ). Íà ñëåäóþùåì ýòàïå îí ëèáî ïðîäîëæàåò âîñïðèíèìàòü òó æå ÷àñòü äàííûõ, ëèáî ïåðåõîäèò ê äðóãîé ÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ ðÿäîì ñ íåé. 3.1. Ñòðóêòóðà ìàøèíû Ìàøèíó Òüþðèíãà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîñòîÿùåé èç íåñêîëüêèõ îñíîâíûõ áëîêîâ. 1. Óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî (ÓÓ), êîòîðîå ìîæåò áûòü íàñòðîåíî íà âûïîëíåíèå îäíîé èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ îïåðàöèé èëè, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç ñîñòîÿíèé, îáðàçóþùèõ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî Q = {q1, q2, ..., qn}. Ñðåäè ñîñòîÿíèé ÓÓ ìîãóò áûòü âûäåëåíû íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå q1 è êîíå÷íîå (ïàññèâíîå) ñîñòîÿíèå qz ⊂ {q1, ..., qn}.  q1 ìàøèíà Òüþðèíãà íàõîäèòñÿ ïåðåä íà÷àëîì ðàáîòû, à, ïîïàâ â qz, îíà îñòàíàâëèâàåòñÿ. Î÷åâèäíî, âñå ñîñòîÿíèÿ èç ìíîæåñòâà Q, îòëè÷íûå îò qz, ÿâëÿþòñÿ àêòèâíûìè. Ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà ïðîèñõîäèò â äèñêðåòíîì âðåìåíè, êîãäà ñîñòîÿíèÿ ìàøèíû ðàññìàòðèâàþòñÿ íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå âðåìåííûõ îòñ÷åòîâ, íàçûâàåìûõ òàêòàìè ìàøèííîãî âðåìåíè è îáîçíà÷àåìûõ t1, t2, ..., tp , ... . 2. Ëåíòà, ðàçáèòàÿ íà ÿ÷åéêè, â êàæäîé èç êîòîðûõ ìîæåò áûòü çàïèñàí îäèí èç ñèìâîëîâ êîíå÷íîãî âíåøíåãî àëôàâèòà S = {s1, s2, ..., sm}. Ñèìâîëàìè ýòîãî àëôàâèòà êîäèðóþòñÿ êàê ñâåäåíèÿ, ïîäàâàåìûå â ìàøèíó, òàê è òå ñâåäåíèÿ, êîòîðûå â íåé âûðàáàòûâàþòñÿ. Ñðåäè çíàêîâ âíåøíåãî àëôàâèòà èìååòñÿ ïóñòîé ñèìâîë (ïðîáåë) λ. Ïîñûëêà 13

(âïèñûâàíèå) ýòîãî ñèìâîëà â êàêóþ-ëèáî ÿ÷åéêó ëåíòû ãàñèò (ñòèðàåò) òîò ñèìâîë, êîòîðûé â íåé ðàíüøå õðàíèëñÿ, è îñòàâëÿåò åå ïóñòîé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî λ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå èç àëôàâèòà S. Ëåíòà áåñêîíå÷íà â îáå ñòîðîíû, îäíàêî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ÿ÷ååê çàïîëíåíî íåïóñòûìè ñèìâîëàìè, îñòàëüíûå ÿ÷åéêè ëåíòû ïóñòû, ò. å. ñîäåðæàò ñèìâîë λ (ïðîáåë). È â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè ëèøü êîíå÷íûé îòðåçîê ëåíòû çàïîëíåí ñèìâîëàìè, ïîýòîìó âàæíà íå ôàêòè÷åñêàÿ áåñêîíå÷íîñòü ëåíòû, à åå íåîãðàíè÷åííîñòü, ò. å. âîçìîæíîñòü ïèñàòü íà íåé ñêîëü óãîäíî äëèííûå, íî êîíå÷íûå ñëîâà. 3. Óñòðîéñòâî îáðàùåíèÿ ê ëåíòå, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ñ÷èòûâàþùóþ è çàïèñûâàþùóþ ãîëîâêó, êîòîðàÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ti îáîçðåâàåò êàêóþ-ëèáî ÿ÷åéêó ëåíòû è â çàâèñèìîñòè îò ñèìâîëà â ýòîé ÿ÷åéêå è ñîñòîÿíèÿ ÓÓ âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ (ðèñ. 3.1): à) ïðîèçâîäèò èëè çàïèñü â ÿ÷åéêó íîâîãî ñèìâîëà (ìîæåò áûòü ñîâïàäàþùåãî ñî ñòàðûì), èëè ñòèðàíèå ñèìâîëà (çàïèñü â ÿ÷åéêó ïóñòîãî ñèìâîëà λ), á) ñäâèãàåò ãîëîâêó íà ÿ÷åéêó âïðàâî èëè âëåâî, ïðè ýòîì ÓÓ ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå. Ïåðå÷èñëåííûå äåéñòâèÿ â êîìïëåêñå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé øàã (ýëåìåíòàðíîå äåéñòâèå) ìàøèíû Òüþðèíãà, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé (qi, sj). qi :

sj

⇑

îáîçðåâàåìàÿ ÿ÷åéêà ãîëîâêà

Ðèñ. 3.1

Òàêèì îáðàçîì, ñîîáðàçóÿñü ñ ñîâðåìåííûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî è óñòðîéñòâî îáðàùåíèÿ ê ëåíòå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé Ëîãè÷åñêèé áëîê ìàøèíû. Ëåíòà èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âíåøíÿÿ ïàìÿòü, â êîòîðîé çàïèñûâàþòñÿ èñõîäíûå äàííûå è îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû (äàííû堖 ýòî 14

ñëîâà, ïðåäñòàâëåííûå â àëôàâèòå S). Âíóòðåííÿÿ ïàìÿòü ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõ ÿ÷ååê: ÿ÷åéêè ñäâèãà D, â êîòîðóþ çàíîñèòñÿ çíàê (íàïðàâëåíèå) ñäâèãà, è ÿ÷åéêè ñîñòîÿíèÿ Q, îòîáðàæàþùåé òåêóùåå ñîñòîÿíèå ìàøèíû. Ýëåìåíòàðíûìè øàãàìè ìàøèíû Òüþðèíãà ÿâëÿþòñÿ: ñ÷èòûâàíèå è çàïèñü ñèìâîëîâ, ñäâèã ãîëîâêè íà ÿ÷åéêó âïðàâî èëè âëåâî, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, èçìåíåíèå àäðåñà îáîçðåâàåìîé ÿ÷åéêè ëåíòû íà 1, ïåðåõîä ÓÓ â íîâîå ñîñòîÿíèå. 3.2. Äåòåðìèíèðîâàííîñòü ìàøèíû Òüþðèíãà Ìàøèíà Òüþðèíãà îáëàäàåò ñâîéñòâîì äåòåðìèíèðîâàííîñòè, ò. å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå øàãîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ ëþáîãî âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ qi è ñèìâîëà àëôàâèòà sj îäíîçíà÷íî çàäàíà ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå qi′ ; ñèìâîë si′ , êîòîðûé äîëæåí áûòü çàïèñàí; íàïðàâëåíèå ñäâèãà ãîëîâêè dk Ì {L, R, E}, ãäå L – ñäâèã âëåâî, R – ñäâèã âïðàâî, Å – îòñóòñòâèå ñäâèãà; ïðè÷åì ìíîæåñòâî À = {L, R, E, q1, ..., qm} íàçûâàåòñÿ âíóòðåííèì àëôàâèòîì ìàøèíû Òüþðèíãà. Òàêèì îáðàçîì ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà ñîïîñòàâëÿåò êàæäîé ïàðå çíàêîâ (qi, sj) òðîéêó çíàêîâ ( si′ , qi′ , dk) è ìîæåò áûòü çàïèñàíà ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ïåðâûì ñïîñîáîì çàïèñè ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ô ó í ê ö è î í à ë ü í à ÿ ñ õ å ì à ìàøèíû Òüþðèíãà, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé òàáëèöó, ñòðîêàì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò âõîäíûå ñèìâîëû èç ìíîæåñòâà S, ñòîëáöà젖 ñîñòîÿíèÿ èç ìíîæåñòâà Q, à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê è ñòîëáöîâ çàïèñàíà òðîéêà ñèìâîëîâ qi′ si′ dk. (ðèñ. 3.2). q1

q2

q3

…

qr

s1 s2

q8s7L

s3 … sk Ðèñ. 3.2

15

Ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà òàêæå ñ ïîìîùüþ ñ è ñ ò å ì û Ò ü þ ð è í ã î â û õ ê î ì à í ä (ΣÒ), êîòîðûå èìåþò âèä qi sj → qi′ si′ dk , (1) ãäå çíàê “→” ÷èòàåòñÿ “âëå÷åò çà ñîáîé” èëè “ïðèâîäèò ê ...”. Êîìàíäà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôðàãìåíòó ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 3.2, èìååò âèä q2 s2 → q8 s7 L . Òðåòüèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ á ë î ê – ñ õ å ì à , íàçûâàåìàÿ ä è à ã ð à ì ì î é ( ã ð à ô î ì ) ï å ð å õ î ä î â è èçîáðàæàåìàÿ â âèäå ãðàôà, â êîòîðîì ñîñòîÿíèÿì ìàøèíû Òüþðèíãà ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíû (óçëû), à êîìàíäàì âèäà (1) – ðåáðà, âåäóùèå èç qi â qi′ , íà êîòîðûõ çàïèñàíî sj → si′ dk. Íà ðèñ. 3.3 ïðèâåäåí ôðàãìåíò äèàãðàììû ïåðåõîäîâ ìàøèíû Òüþðèíãà, ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíòó ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 3.2. Òàêèì îáðàçîì, ìàøèíà Òüþðèíãà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíî óïðîùåííûé âàðèàíò âûs → s% L ÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, èìåþùåé îäíîàäðåñíóþ q q& ñòðóêòóðó, ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåíåíèÿ àäðåñà îáîÐèñ. 3.3 çðåâàåìîé ÿ÷åéêè òîëüêî íà 1. Ïîýòîìó íåîáõîäèìîå äëÿ ïðîöåññà âû÷èñëåíèé ñîäåðæàíèå êàêîé-ëèáî ÿ÷åéêè îòûñêèâàåòñÿ ïóòåì ïîñòåïåííîé ïðîâåðêè âñåõ ÿ÷ååê ïîäðÿä äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò îáíàðóæåíà íóæíàÿ ÿ÷åéêà. 3.3. Ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà Ðàññìîòðèì ðàáîòó ìàøèíû Òüþðèíãà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïóñòü çàäàíà ìàøèíà Òüþðèíãà ñ àëôàâèòîì S ={1, α, β, λ} è ñîñòîÿíèÿìè Q ={q1, q2, q3, q4, q5}. Ïåðåä íà÷àëîì ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà íà ëåíòó çàíîñèòñÿ íà÷àëüíàÿ èíôîðìàöèÿ (íàïðèìåð, ïÿòü åäèíèö) è ôèêñèðóåòñÿ íà÷àëüíàÿ îáîçðåâàåìàÿ ÿ÷åéêà (íàïðèìåð, 4-ÿ), ñäâèã îòñóòñòâóåò. Èíôîðìàöèÿ â ýòîé ÿ÷åéêå îòðàæàåò íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå q1 ìàøèíû Òüþðèíãà.

q1:

5

4

3

2

1

1

1

1

1

1

↑

16

Ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìàøèíû îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìîé (ðèñ. 3.4). q

q

q!

q"

q#

λ

q" λ R

q! λ L

q λ R

q# λ L

q# λ E



q αE

q β E

q  R

q# λ R

q#  E

α

q" α L

q αR

q!  L

q" λ R

q# α E

β

q β L

q βR

q! λ L

q"  R

q# β E

Ðèñ. 3.4

Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, êàê èçìåíÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ íà ëåíòå ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñïîñîá îïèñàíèÿ ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà, â êîòîðîì â êàæäîì ñîñòîÿíèè ìàøèíû óêàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ â ÿ÷åéêàõ ëåíòû. Òàêò 1 – t1  ÿ÷åéêè ñîñòîÿíèÿ Q è ñäâèãà D çàíîñÿòñÿ çíà÷åíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ q1 è íà÷àëüíîãî ñäâèãà Å è îáîçðåâàåòñÿ ñîäåðæàíèå íà÷àëüíîé 4-é ÿ÷åéêè (ñèìâîë “1”) ïðè ñîñòîÿíèè q1.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìîé ðåçóëüòàòîì äàííîãî øàãà áóäåò q2 α E , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ Òüþðèíãîâà êîìàíäà q1 1 → q2 α E , ãäå q2 óêàçûâàåò, íà êàêóþ îïåðàöèþ ïåðåøëè; α – ÷òî çàïèñàëè â îáîçðåâàåìóþ ÿ÷åéêó; Å – íàïðàâëåíèå ñäâèãà ãîëîâêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñäâèã ãîëîâêè óñòðîéñòâà îáðàùåíèÿ ê ëåíòå îòñóòñòâóåò, à ñèìâîë “1” çàìåíÿåòñÿ â 4-é ÿ÷åéêå íà “α“. Ïîëó÷èì q 2:

5

4

3

2

1

1

α

1

1

1

↑

Òàêò 2 – t2 Òàê êàê ñäâèãà íå áûëî, òî âíîâü îáîçðåâàåòñÿ 4-ÿ ÿ÷åéêà, íî óæå â ñîñòîÿíèè q2. 17

Ðåçóëüòàò: q2 α R, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q2 α → q2 α R. Ñëåäîâàòåëüíî, ãîëîâêà ïåðåäâèíóëàñü â 3-þ ÿ÷åéêó (âïðàâî), â îáîçðåâàåìîé 4-é ÿ÷åéêå ëåíòû îñòàëñÿ ñèìâîë α, à ìàøèíà Òüþðèíãà îñòàëàñü â ñîñòîÿíèè q2. Ïîëó÷èì q 2:

5

4

3

2

1

1

α

1

1

1

↑

Òàêò 3 – t3 Îáîçðåâàåòñÿ “1” èç 3-é ÿ÷åéêè. Ðåçóëüòàò: q1 β E , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q2 1 → q1 β E , ñäâèãà íåò. Ïîëó÷èì G1:

5

4

3

2

1

1

α

β

1

1

↑

Òàêò 4 – t4 Âíîâü àíàëèçèðóåòñÿ 3-ÿ ÿ÷åéêà â ñîñòîÿíèè q1 è îáîçðåâàåòñÿ ñèìâîë β. Ðåçóëüòàò: q1 β L , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q1 β → q1 β L , è îñóùåñòâëÿåòñÿ ñäâèã âëåâî. Ïîëó÷èì G4:

5

4

3

2

1

1

α

β

1

1

↑

Òàêò 5 – t5 Àíàëèçèðóåòñÿ 4-ÿ ÿ÷åéêà â ñîñòîÿíèè q1, îáîçðåâàåòñÿ ñèìâîë α. Ðåçóëüòàò: q4 α L, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q1 α → q4 α L, îñóùåñòâëÿåòñÿ ñäâèã ãîëîâêè âëåâî. Ïîëó÷èì G4:

5

4

3

2

1

1

α

β

1

1

↑

Òàêò 6 – t6 Îáîçðåâàåòñÿ 5-ÿ ÿ÷åéêà â ñîñòîÿíèè q4. Òàì íàõîäèòñÿ ñèìâîë “1”, ïîýòîìó ðåçóëüòàò: q5 λ R , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q4 1 → q5 λ R , è îñóùåñòâëÿåòñÿ ñäâèã âïðàâî. Ïîëó÷èì 18

G5:

5

4

3

2

1

λ

α

β

1

1

↑

Òàêò 7 – t7 Îáîçðåâàåòñÿ 4-ÿ ÿ÷åéêà â ñîñòîÿíèè q5. Òàì íàõîäèòñÿ ñèìâîë “α”, ïîýòîìó ðåçóëüòàò: q5 α E, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ êîìàíäà q5 α → q5 α E , ñîñòîÿíèå è ñèìâîë íå ìåíÿþòñÿ, ñäâèãà íåò. Ïîëó÷èì G5:

5

4

3

2

1

λ

α

β

1

1

↑

Ñîñòîÿíèå q5 ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ñîñòîÿíèåì ìàøèíû Òüþðèíãà èëè ñòîï–ñîñòîÿíèåì, òàê êàê ïîñëå àíàëèçà ñèìâîëà α â ñîñòîÿíèè q5, íèêàêèõ èçìåíåíèé íà ëåíòå íå ïðîèñõîäèò è â íîâîå ñîñòîÿíèå ìàøèíà íå ïåðåéäåò. Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòñÿ àíàëèçîì ïîñëåäíåãî ñòîëáöà ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû, èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ïðè âîçíèêíîâåíèè ñîñòîÿíèÿ q5 ïðîèçîéäåò îñòàíîâêà ìàøèíû, òàê êàê ëþáîé îáîçðåâàåìûé ñèìâîë íå çàìåíÿåòñÿ äðóãèì, à îñòàåòñÿ. Ñäâèãà òàêæå íå ïðîèñõîäèò, è ìàøèíà ñíîâà è ñíîâà áóäåò îáîçðåâàòü îäèí è òîò æå ñèìâîë. Ýòî è åñòü ñòîïñîñòîÿíèå, ñèãíàëèçèðóþùåå î ðåçóëüòàòèâíîì çàâåðøåíèè ïðîöåññà, î åãî ñõîäèìîñòè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìàøèíà Òüþðèíãà ïðèìåíèìà ê èíôîðìàöèè, ïîäàííîé íà íåå äî çàïóñêà.  ðåçóëüòàòå ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ ñõåìà èçìåíåíèÿ èíôîðìàöèè íà ëåíòå. J

# 

" 

! 



 

J



α







J



α







J!



α

β





J"



α

β





J#



α

β





J$

α

β





J%

α

β





19

Îñîáåííîñòüþ îïèñàíèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõåìà è ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà, åå ðåàëèçóþùàÿ, ìîãóò áûòü îòîæäåñòâëåíû, òàê êàê ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà âñåãäà îäèíàêîâà äëÿ ëþáîé ìàøèíû. Òàêèì îáðàçîì, ìàøèíû Òüþðèíãà îòëè÷àþòñÿ ðåàëèçóåìîé ëîãè÷åñêîé ôóíêöèåé (Òüþðèíãîâîé ïðîãðàììîé), êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò èëè â âèäå ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû èëè â âèäå ñèñòåìû êîìàíä (∑Ò). Ïîýòîìó òåðìèíû “Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõåìà ÌҔ è “Òüþðèíãîâà ïðîãðàììà” ÿâëÿþòñÿ ñèíîíèìàìè. Óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ óïðîùåííîé çàïèñüþ Òüþðèíãîâûõ êîìàíä è ôóíêöèîíàëüíûõ ñõåì, â êîòîðûõ íå çàïèñûâàþòñÿ âûõîäíûå ñèìâîëû àëôàâèòà è íîâûå ñîñòîÿíèÿ, åñëè îíè íå ìåíÿþòñÿ, à òàêæå íå ôèêñèðóåòñÿ çíàê Å, óêàçûâàþùèé íà îòñóòñòâèå ñäâèãà. Ýòî ïîçâîëÿåò â òàáëèöå îïóñòèòü ñòîëáåö, ñîîòâåòñòâóþùèé ñòîï-ñîñòîÿíèþ, ñàìî ñòîï-ñîñòîÿíèå îòìåòèòü çíàêîì “ ! ”, à â ñèñòåìå êîìàíä íåò íåîáõîäèìîñòè ôèêñèðîâàòü ïîñëåäíþþ êîìàíäó. Íàïðèìåð, âìåñòî q2α→q2αR ìîæíî ïèñàòü q2α→R. Òîãäà óïðîùåííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõåìà, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 3.4, áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 3.5. q q" R

q q! L

λ 

q α

q β

α

q" L

R

β

L

R

q! q R

q" L

q R

λ R

L

λR R

Ðèñ. 3.5

 òàêîì ïðåäñòàâëåíèè áîëåå íàãëÿäåí ôàêò òîãî, ÷òî îêàçàâøèñü â ñîñòîÿíèè q1 ïðè îáîçðåâàåìîì çíàêå β, ìàøèíà íà÷èíàåò ñåðèþ ñäâèãîâ âëåâî ñêâîçü âñå ðÿäîì ñòîÿùèå ñèìâîëû β, ïðè÷åì ñîäåðæàíèå îáîçðåâàåìûõ ÿ÷ååê íå ìåíÿåòñÿ (îñòàåòñÿ β), äî òåõ ïîð ïîêà â ïîëå çðåíèÿ ãîëîâêè íå ïîïàäåò êàêîé-ëèáî äðóãîé ñèìâîë. Òîëüêî ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìàøèíà Òüþðèíãà âûéäåò èç ñîñòîÿíèÿ q1. 3.4. Êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà Êîíôèãóðàöèåé (ïîëíûì ñîñòîÿíèåì èëè ìàøèííûì ñëîâîì) ìàøèíû Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü åå ñëåäóþùèõ õàðàêòåðèñòèê: 20

âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ; ñîñòîÿíèÿ ëåíòû (ò. å. ñëîâà, çàïèñàííîãî íà ëåíòå); ïîëîæåíèÿ ãîëîâêè íà ëåíòå. Êîíôèãóðàöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òðîéêîé ñèìâîëîâ K = α1qi α2 , ãäå qi  – òåêóùåå âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå, α1 – ñëîâî ñëåâà îò ãîëîâêè; α2 – ñëîâî, îáðàçîâàííîå ñèìâîëîì, îáîçðåâàåìûì ãîëîâêîé, è ñèìâîëîì ñïðàâà îò íåãî, ïðè÷åì, ñëåâà îò α1 è ñïðàâà îò α2 íåò íåïóñòûõ ñèìâîëîâ (ò. å. ëèáî çàïèñàíî λ, ëèáî íè÷åãî). Íàïðèìåð, åñëè âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå qi = abcde, à ãîëîâêà îáîçðåâàåò ñèìâîë d, òîãäà êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà K = abcqi de, ò. å. GE=

=

>

?

@

A

↑

α1

α2

Ñòàíäàðòíàÿ íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ êàê K1=q1α, ãäå q1 – íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå, à ãîëîâêà îáîçðåâàåò êðàéíèé ëåâûé ñèìâîë. Ñòàíäàðòíàÿ êîíå÷íàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò âèä Kz=qzα, ãäå qz – êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå è âîêðóã îáîçðåâàåìîé ÿ÷åéêè ïóñòûå ñèìâîëû. Ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíôèãóðàöèé. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ê íåêîòîðîé êîíôèãóðàöèè ìàøèíû Òüþðèíãà K ïðèìåíèìà ðîâíî îäíà êîìàíäà, ïðèâîäÿùàÿ ê êîíôèãóðàöèè K’ , òî ãîâîðÿò, ÷òî ìåæäó êîíôèãóðàöèÿìè K è K’ ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå K → K’ , ÷òî îçíà÷àåò: K ïåðåõîäèò â K’ ïî Òüþðèíãó. T Åñëè æå äëÿ K1 è Kn ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ êîíôèãóðàöèé òàêàÿ, ÷òî K1 → K2 → K3 → ... → Kn, òî òàêàÿ ïîñëåäîâàT T T T  Kn. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé òåëüíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ K1  ⇒ T K1 → K2 → ... → Kn îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäíîé êîíôèãóðàöèåé T T T K1 è ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ðàáîòó ìàøèíû Òüþðèíãà, íà÷èíàÿ ñ K1.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó êîìàíä ΣÒ, ñîñòàâëåííóþ íà îñíîâå ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 3.4 (âûïèñûâàåì òîëüêî òå êîìàíäû, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ äëÿ èëëþñòðàöèè): q4 1 → q5 λ R (6) q1 1 → q2 α E (1) q1 b → q1 β L (4) 21

q2 α → q2 α R (2) q1 α → q4 α L (5) q5 α → q5 α E (7) q2 1 → q1 β E (3) Ïðè çàäàííîé âõîäíîé èíôîðìàöèè (11111) è íà÷àëüíîé ÿ÷åéêå (4-é) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé ìàøèíû Òüþðèíãà: 1q1 1111 → 1q2α111→ 1α q2 111→ 1αq1β11→ –Ê1– –Ê2– –Ê3– –Ê4–→ 1q1αβ11→ q41αβ11→ λq5 αβ11→λq5αβ11 –Ê5– –Ê6– –Ê7– –– ! –– ñòîï-ñîñòîÿíèå Ñëåäîâàòåëüíî, 1q11111 ⇒ λq5αβ11 . T

3.5. Òüþðèíãîâî âû÷èñëåíèå Ðàññìîòðèì, êàê ñòðîèòñÿ ìàøèíà Òüþðèíãà, ðåàëèçóþùàÿ íåêîòîðûå ïðîñòûå àëãîðèòìû. Àëãîðèòì îïåðàöèè “Ñëîæåíèå”. Èñõîäíûå äàííûå è ðåçóëüòàòû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ñ÷èòàåì, ÷òî â ìàøèíå Òüþðèíãà êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çàäàíî â âèäå íàáîðà “1” è îòäåëÿåòñÿ îò äðóãîãî ÷èñëà ñèìâîëîì “*”. Òàêèì îáðàçîì, àëôàâèò ìàøèíû Òüþðèíãà áóäåò S = {1,*,λ}. Ñîñòîÿíèÿ çàäàíû ìíîæåñòâîì Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5}. Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè q0 íà ëåíòó ìàøèíû Òüþðèíãà ïîäàåòñÿ ïàðà ÷èñåë 6 è 4 è â ïîëå çðåíèÿ ìàøèíû íàõîäèòñÿ ëåâàÿ åäèíèöà. G0:

1 1 1 1 1 1 *

1 1 1 1

↑

Íåîáõîäèìî íàéòè èõ ñóììó, ò. å. çàïèñàòü ïîäðÿä 10 åäèíèö, ïîëó÷èâ          

Ïðîñòî óáðàòü * íåëüçÿ, òàê êàê íà åå ìåñòå áóäåò ïóñòàÿ ÿ÷åéêà, à ñîâîêóïíîñòü åäèíèö ñ ïðîáåëîì íå ÿâëÿåòñÿ çàäàíèåì ÷èñëà íàòóðàëü22

íîãî ðÿäà. Äëÿ ðåàëèçàöèè ñëîæåíèÿ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ôóíêöèîíàëüíóþ ñõåìó ìàøèíû Òüþðèíãà, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 3.6. 1

q q λR

q L

q R

λ

R

qR

q

∗

λ

L

R

Ðèñ. 3.6

Èëè èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ñèñòåìó êîìàíä (âûïèñàíû òîëüêî òå, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ ïðè ñîçäàíèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíôèãóðàöèé): (1) q0 1 → q2 λ R (2) q2 1 → q2 1 R (3) q2 * → q2 * R (4) q2 λ → q1 1Å (5) q1 1 → q1 1 L (6) q1 λ → q 0 λ R (7) q0 * → ! λ Å (8) q1 * → q1 * L Òàêò 1 – t1 q0 1 → q2 λ R, ò. å. âìåñòî ïåðâîé “1” óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðîáåë è â ñîñòîÿíèè q2 îáîçðåâàåòñÿ âòîðàÿ “1”, òàê êàê ñäâèã äîëæåí áûòü âïðàâî. Òàêò 2 – t2 q2 1 → R (çàïèñàíî â óïðîùåííîé ôîðìå), ñëåäîâàòåëüíî ñèìâîë íå ìåíÿåòñÿ è ñîñòîÿíèå òîæå, ïîýòîìó ïåðåõîäÿ íàïðàâî îò “1” ê “1”, áóäåì âñå âðåìÿ îñòàâëÿòü èõ â ÿ÷åéêàõ, îñòàâàÿñü â ñîñòîÿíèè q2. Ïîïàâ íà çíàê “*”, åãî òîæå îñòàâèì, òàê êàê q2 * → R. Ýòîò ñäâèã âïðàâî áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ â òå÷åíèå 9 òàêòîâ äî òåõ ïîð, ïîêà â òàêòå 11 íå ïîïàäåì â ïóñòóþ ÿ÷åéêó. Òàêòû 1–10 (t1 – t10) ⇒4 G2:

λ

1

1

1

↑ ↑ ↑ J1 J2 J3

1

1 * ...

↑ J6

1

1 ...

1

1 ↑ J10

23

Òàêò 11 – t11 G2:

λ

1

1

1

1

1 *

1

1

1

1 ↑ J11

Òàêò 12 – t12 q2 λ → q1 1, ò. å. â ïóñòóþ ÿ÷åéêó âïèñûâàåì “1” è ïåðåõîäèì â ñîñòîÿíèå q1 G1:

λ

1

1

1

1

1 *

1

1

1

1

1 ↑ J12

Òåïåðü âíîâü ïîïàëè â íà÷àëüíóþ ñèòóàöèþ, íî óæå íå â ñîñòîÿíèè q0, à â ñîñòîÿíèè q1. Òàêò 13 – t13 q1 1 → L ⇐L

q1:

λ

1

1

1

1

1 *

1

↑ ↑ ↑ ... ↑ ↑ t22 t21 t20

1 ...

1

1

1

↑ ↑

t18 t17

t14 t13

Äàëåå â òå÷åíèå òàêòîâ t14 – t23 áóäåò ïðîèñõîäèòü îáðàòíûé ñäâèã (âëåâî) ÷åðåç âñå 1 è * äî òåõ ïîð, ïîêà ãîëîâêà íå îêàæåòñÿ â ëåâîé ïóñòîé ÿ÷åéêå. Òàêò 23 – t23 q1 1 → L, ïðîèçâåëè ïîñëåäíèé ñäâèã âëåâî è îêàçàëèñü â ïóñòîé ÿ÷åéêå G1:

λ

1

1

1

1

1 *

1

1

1

1

1

↑ J23

Òàêò 24 – t24 q1 λ → q0 R, ïåðåõîäèì â ñîñòîÿíèå q0 è ñäâèãàåìñÿ âïðàâî ê ïåðâîé “1” 24

⇒4 G0:

λ

1

1

1

1

1 *

1

1

1

1

1 *

1

1

1

1

↑ J24 (àíàëîã J0)

Òàêò 25 – t25 G2:

λ

λ

1

1

1

↑ ↑

1 ↑

J25 J26 (àíàëîã J2)

Ò.å. öèêë çàâåðøåí, è ñ ýòîãî ìîìåíòà (t26) íà÷èíàåòñÿ íîâûé öèêë àíàëîãè÷íûõ îïåðàöèé. Ïî îêîí÷àíèè ýòîãî öèêëà åùå îäíà “1” áóäåò ïåðåíåñåíà ñëåâà íàïðàâî â êîíåö ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òàêò 47 – t47 G1:

λ

λ

1

1

1

1 *

1

1

1

1

1

1

↑

↑

J47

J37 (àíàëîã J12)

Òàêò 48 – t48 G0:

λ

λ

1

1

1

1 *

1

1

1

1

1

1

↑ J48 (àíàëîã J0)

Òàêò 49 – t49 q01 → q2 λR G2:

λ

λ

λ

1

1

J35 (àíàëîã J10)

1 *

1

1

1

1

1

1

1

↑ ↑

↑

J49 J50 (àíàëîã J2)

J60

Ïðåäïîñëåäíèé òàêò (t143) G0:

λ

λ

λ

λ

λ

λ

*

1

1

1

1

1

1

1

1

↑

25

Ïîñëåäíèé òàêò (t144) q0 * → ! λ, ïåðåõîäèì â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå è ïîìåùàåì ïðîáåë, âìåñòî * λ

G0:

λ

λ

λ

λ

λ

λ

1

1

1

1

1

1

1

1

↑

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà íóæíàÿ ñóììà. Äëèòåëüíîñòü âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè “Ñëîæåíèå” çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñëàãàåìûõ, òàê êàê âðåìåííûå çàòðàòû íà îäèí öèêë ñëîæåíèÿ ñîñòàâëÿþò Töèêë = 2 (m+n+1) òàêòîâ, ãäå m – ÷èñëî ñèìâîëîâ ïåðåä “*”, n – ÷èñëî ñèìâîëîâ ïîñëå “*”. Ïîëíîñòüþ íà âûïîëíåíèå ñëîæåíèÿ ïîíàäîáèòñÿ Tñëîæ = 2 (m+n+1) m +2m = 2m (m+n+2) òàêòîâ âðåìÿ íà ïîäãîòîâêó ê öèêëó ÷èñëî öèêëîâ è íà çàâåðøåíèå öèêëà. Ïîýòîìó â íàøåì ïðèìåðå Töèêë = 2⋅11 =22 (òàêòà) è Tñëîæ = 12⋅12 = =144 (òàêòà). Âðåìåííûå ñîîòíîøåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ òàáë. 3.1 Òàáëèöà 3.1 Óñòàíîâêà "1" (+10)

Çàâåðøåíèå (+11)

J0

J1 ` J2

J12

J23

J24

J25 ` J26

J36

J"%

J48

J49 ` J50

J60

J71

J72

J73 ` J74

J84

J95

J96

J97 ` J98

J108

J119

J120

J121 ` J122

J132

J143`J144 (ñòîï- ñîñòîÿíèå)

I öèêë  – II öèêë  – III öèê렖 26

Öèêë Íà÷àëî

Ïîäãîòîâêà

t2 – t23 t26 – t47 t50 – t71

IV öèê렖 t74 – t95 V öèêë  – t98 – t119 VI öèê렖 t122 – t143, t144 – êîíåö

3.6. Òåçèñ Òüþðèíãà Ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ íà ìàøèíå Òüþðèíãà ìîæåò âîçíèêíóòü âîïðîñ äëÿ âñåõ ëè êîíñòðóêòèâíûõ ïðîöåäóð, ò. å. äëÿ òåõ ïðîöåäóð, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì, ìîæíî ðàçðàáîòàòü ðåàëèçóþùèå èõ ìàøèíû Òüþðèíãà.  òåçèñå Òüþðèíãà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ãèïîòåçîé òåîðèè àëãîðèòìîâ, ñîäåðæèòñÿ óòâåðäèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ. Òåçèñ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âñÿêèé àëãîðèòì ìîæåò áûòü çàäàí ïîñðåäñòâîì Òüþðèíãîâîé ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû è ðåàëèçîâàí â ñîîòâåòñòâóþùåé ìàøèíå Òüþðèíãà. Äîêàçàòü òåçèñ Òüþðèíãà íåëüçÿ, òàê êàê ñàìî ïîíÿòèå àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ íåòî÷íûì.  ôîðìóëèðîâêå òåçèñà Òüþðèíãà èäåò ðå÷ü, ñ îäíîé ñòîðîíû, î âñÿêîì àëãîðèòìå, ò. å. îá îáùåì ïîíÿòèè àëãîðèòìà, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ïîíÿòèåì; à ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ýòîé æå ôîðìóëèðîâêå ðå÷ü èäåò î òî÷íîì ìàòåìàòè÷åñêîì ïîíÿòè蠖 î Òüþðèíãîâîé ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìå. Çíà÷åíèå ãèïîòåçû êàê ðàç è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà óòî÷íÿåò îáùåå, íî ðàñïëûâ÷àòîå ïîíÿòèå “âñÿêîãî àëãîðèòìà “ ÷åðåç áîëåå ñïåöèàëüíîå, íî óæå ñîâåðøåííî òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå “Òüþðèíãîâîé ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû” (è åå ðåàëèçàöèè â ìàøèíå Òüþðèíãà), ò. å. îáùåå ðàñïëûâ÷àòîå ïîíÿòèå àëãîðèòìà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òî÷íûì ïîíÿòèåì ôóíêöèîíàëüíîé ñõåìû ìàøèíû Òüþðèíãà. Óâåðåííîñòü â ñïðàâåäëèâîñòè òåçèñà Òüþðèíãà îñíîâàíà ãëàâíûì îáðàçîì íà îïûòå. Âñå èçâåñòíûå àëãîðèòìû, êîòîðûå áûëè ïðèäóìàíû â òå÷åíèå ìíîãèõ âåêîâ èñòîðèè ìàòåìàòèêè, ìîãóò áûòü çàäàíû ïîñðåäñòâîì Òüþðèíãîâûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñõåì. Ïî ñâîåìó õàðàêòåðó òåçèñ Òüþðèíãà íàïîìèíàåò îá àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì è ïðîöåññàì. Èñõîäÿ èç òåçèñà Òüþðèíãà, íåâîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà îçíà÷àåò îòñóòñòâèå àëãîðèòìà ðåøåíèÿ äàííîé ïðîáëåìû. Ðàñøèôðóåì ýòî ïîëîæåíèå.  ÷èñëå îáùèõ òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëÿåìûõ ê àëãîðèòìàì, óïîìèíàåòñÿ òðåáîâàíèå ðåçóëüòàòèâíîñòè. Íàèáîëåå ðàäèêàëüíîé ôîðìóëèðîâêîé çäåñü áûëî áû òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïî ëþáîìó àëãîðèòìó À è äàííûì α ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü, ïðèâåäåò ëè ðàáîòà À ïðè èñõîäíûõ äàííûõ α ê ðåçóëüòàòó èëè íåò. Èíà÷å ãîâîðÿ íóæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì Â, òàêîé ÷òî Â(À,α) = èñòèíà, åñëè À(α) äàåò ðåçóëüòàò, è Â(À,α) = ëîæü, åñëè À(α) íå äàåò ðåçóëüòàòà. 27

 ñèëó òåçèñà Òüþðèíãà çàäà÷ó î òîì, ïðèâåäåò ëè ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà À ïðè èñõîäíûõ äàííûõ α ê ðåçóëüòàòó èëè íåò, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàê çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà ñëåäóþùèì îáðàçîì [1]. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà Ò0 òàêóþ (ñ òàêîé ñèñòåìîé êîìàíä), ÷òî äëÿ ëþáîé ìàøèíû Òüþðèíãà Ò ñ ñèñòåìîé êîìàíä ∑ò è ëþáûõ èñõîäíûõ äàííûõ a äëÿ ìàøèíû Ò Ò0(∑ò, α) = èñòèíà, åñëè Ò(α) – îñòàíàâëèâàåòñÿ è Ò0(∑ò, α) = ëîæü, åñëè Ò(α) íå îñòàíàâëèâàåòñÿ (ïðîèñõîäèò çàöèêëèâàíèå). Ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé îñòàíîâêè, è åñëè îñòàíîâêà íåâîçìîæíà, ò. å. ðåøàåìàÿ ïðîáëåìà ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìîé, íèêàêîå êîäèðîâàíèå ñèñòåìû êîìàíä ∑ò è a â àëôàâèòå ìàøèíû Ò0 íå ïðèâîäèò ê óñïåõó. Íî, òåì íå ìåíåå, åñëè óäàñòñÿ ðàçáèòü ïðîáëåìó íà îòäåëüíûå ÷àñòíûå ñëó÷àè, åå îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðåøèòü, ïîëüçóÿñü ðàçíûìè ñðåäñòâàìè. Ïîýòîìó íåðàçðåøèìîñòü îáùåé ïðîáëåìû îñòàíîâêè âîâñå íå ñíèìàåò íåîáõîäèìîñòü äîêàçûâàòü ñõîäèìîñòü ïðåäëàãàåìûõ àëãîðèòìîâ, à ëèøü äîêàçûâàåò, ÷òî ïîòîê òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ íåëüçÿ ïîëíîñòüþ àâòîìàòèçèðîâàòü. Ìàøèíà Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì ëþáîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, òàê êàê êàæäàÿ ôèçè÷åñêè îñóùåñòâèìàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà ëèøü êàê íåêîòîðàÿ ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü ìàøèíû Òüþðèíãà. Èìåííî â ðåàëüíûõ ìàøèíàõ îáúåì âíåøíåé ïàìÿòè îãðàíè÷åí, â òî âðåìÿ êàê â ìàøèíå Òüþðèíãà ôèãóðèðóåò áåñêîíå÷íàÿ ëåíòà. Ðàçóìååòñÿ, òåõíè÷åñêîå îñóùåñòâëåíèå íåîãðàíè÷åííîé ïàìÿòè íåâîçìîæíî, íî î÷åâèäíà è ñîâðåìåííàÿ, è ïðîøëàÿ òåíäåíöèè ê ïîñòîÿííîìó óâåëè÷åíèþ îáúåìà ïàìÿòè è ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ óæå äîñòèãíóòûì óðîâíåì.

28

4. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÒÅÎÐÈÞ ÀÂÒÎÌÀÒΠÒåîðèÿ àâòîìàòî⠖ ýòî òåîðèÿ, íà êîòîðîé îñíîâàíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ â êèáåðíåòèêå. Ïðè ïîäõîäå ê òåîðèè àâòîìàòîâ, êàê ê ÷àñòè òåîðèè àëãîðèòìîâ, öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå âîçìîæíîñòåé àâòîìàòîâ â òåðìèíàõ ìíîæåñòâ ñëîâ, ñ êîòîðûìè ðàáîòàþò àâòîìàòû. Ìîæíî âûäåëèòü äâà îñíîâíûõ àñïåêòà ðàáîòû àâòîìàòîâ. 1. Àâòîìàòû-ðàñïîçíàâàòåëè, êîòîðûå ðàñïîçíàþò âõîäíûå ñëîâà, ò. å. îòâå÷àþò íà âîïðîñ, ïðèíàäëåæèò ëè ïîäàííîå íà âõîä ñëîâî äàííîìó ìíîæåñòâó. 2. Àâòîìàòû-ïðåîáðàçîâàòåëè, êîòîðûå ïðåîáðàçóþò âõîäíûå ñëîâà â âûõîäíûå, ò. å. ðåàëèçóþò àâòîìàòíûå îòîáðàæåíèÿ. Îäíîé èç çàäà÷ òåîðèè àâòîìàòîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïèñàíèÿ àâòîìàòà è åãî ðåàëèçàöèè, ò. å. ïðåäñòàâëåíèÿ àâòîìàòà êàê ñòðóêòóðû, ñîñòîÿùåé èç îáúåêòîâ ôèêñèðîâàííîé ñëîæíîñòè (ýëåìåíòîâ).  ýòîì îòíîøåíèè òåîðèÿ àâòîìàòîâ îêàçàëàñü íàèáîëåå ðàçâèòîé âåòâüþ òåîðèè àëãîðèòìîâ. Îáùàÿ òåîðèÿ àâòîìàòîâ ïîäðàçäåëÿåòñÿ íà àáñòðàêòíóþ òåîðèþ è ñòðóêòóðíóþ òåîðèþ àâòîìàòîâ. Àáñòðàêòíàÿ òåîðèÿ àâòîìàòîâ çàíèìàåò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëîæåíèå ìåæäó àëãåáðîé è ëîãèêîé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèé çíà÷åíèå àáñòðàêòíîé òåîðèè àâòîìàòîâ îòíþäü íå ñâîäèòñÿ ê óäîâëåòâîðåíèþ çàïðîñîâ îäíîé ëèøü âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ àâòîìàòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ øèðîêîãî êëàññà êîìáèíàòîðíûõ ïðîáëåì.  ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ òåîðèè àâòîìàòîâ ìîãóò áûòü ðåøåíû ìíîãèå ëèíãâèñòè÷åñêèå çàäà÷è. Íàïðèìåð, ïóñòü äàíî íåêîòîðîå ÷èñëî ôðàç íà íåçíàêîìîì ÿçûêå è èõ ïåðåâîä íà äðóãîé íåçíàêîìûé ÿçûê. Òðåáóåòñÿ îñóùåñòâèòü ïåðåâîä íåêîòîðîãî ÷èñëà íîâûõ ôðàç ñ ïåðâîãî ÿçûêà íà âòîðîé ïðè óñëîâèè, ÷òî â íèõ èñïîëüçóþòñÿ ëèøü òå ñëîâà è ãðàììàòè÷åñêèå ïðàâèëà, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â óæå ïåðåâåäåííûõ ôðàçàõ. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ìîæåò ñîñòîÿòü èç ñëåäóþùèõ ýòàïîâ. 1.  èñõîäíîì ìíîæåñòâå ôðàç ïåðâîãî ÿçûêà âûäåëÿþòñÿ ðàçëè÷íûå âõîäÿùèå â íèõ ýëåìåíòû ÿçûêà (êîðíè ñëîâ, îêîí÷àíèÿ, ñóôôèêñû, ïðåôèêñû è ò.ï.). Ýòè ýëåìåíòû îáúåäèíÿþòñÿ â àëôàâèò, íàçûâàåìûé âõîäíûì. 29

2. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èç èñõîäíûõ ôðàç âòîðîãî ÿçûêà ôîðìèðóåòñÿ âûõîäíîé àëôàâèò. Ìîæíî îñóùåñòâëÿòü è áîëåå ìåëêîå äðîáëåíèå, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå âõîäíîãî è âûõîäíîãî àëôàâèòîâ îáû÷íûå àëôàâèòû ïåðâîãî è âòîðîãî ÿçûêîâ, íî òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è ñòàíîâèòñÿ áîëåå ãðîìîçäêèì. 3. Ïåðåâîä òåïåðü ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê óñòàíîâëåíèå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ñëîâàìè âî âõîäíîì è âûõîäíîì àëôàâèòàõ, ÷òî è äåëàåòñÿ íà òðåòüåì ýòàïå. 4. Èñïîëüçóÿ àëãîðèòì ñèíòåçà, ïî óñòàíîâëåííîìó ñîîòâåòñòâèþ ñòðîèòñÿ îñóùåñòâëÿþùèé åãî àâòîìàò À. 5. Èñïîëüçóÿ àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè, ïðîèçâîäèòñÿ îïòèìèçàöèÿ àâòîìàòà À ïî ÷èñëó ñîñòîÿíèé. Ïîëó÷åííûé àâòîìàò áóäåò îñóùåñòâëÿòü ïðåîáðàçîâàíèå âõîäíûõ ñëîâ â âûõîäíûå íà áîëåå øèðîêîé îáëàñòè, âêëþ÷àþùåé (ïðè ñîáëþäåíèè îãîâîðåííûõ âûøå óñëîâèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ îãðàíè÷åíèé ãðàììàòèêè) âñå íîâûå ôðàçû, ïîäëåæàùèå ïåðåâîäó. Ïðèìåðîì òàêîãî ïåðåâîäà áûëî ðåøåíèå çàäà÷è ïåðåâîäà ñ âåíãåðñêîãî ÿçûêà íà áàñêñêèé, âûïîëíåííîå â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè â ã. Êèåâå ïîä ðóêîâîäñòâîì Â.Ì. Ãëóøêîâà. Ïðè åå ðåøåíèè ïî 10 ïàðàì èñõîäíûõ ôðàç áûë ñèíòåçèðîâàí àâòîìàò ñ 75 ñîñòîÿíèÿìè, êîòîðûé ïóòåì ìèíèìèçàöèè áûë ïðèâåäåí ê 46 ñîñòîÿíèÿì. Ñòðóêòóðíàÿ òåîðèÿ àâòîìàòîâ ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü àáñòðàêòíûé àâòîìàò íà ýëåìåíòàõ, ïðèíàäëåæàùèõ ê çàðàíåå çàäàííîìó êëàññó. 4.1. Àëôàâèòíûå îïåðàòîðû è àâòîìàòû Ïîä àáñòðàêòíûì àëôàâèòîì ïîíèìàþò ëþáóþ êîíå÷íóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ áóêâàìè äàííîãî àëôàâèòà. Ñëîâà â ýòîì àëôàâèòå îïðåäåëÿþò êàê ëþáûå êîíå÷íûå óïîðÿäî÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ. ×èñëî áóêâ â ñëîâå íàçûâàþò äëèíîé ñëîâà, ïðè÷åì, íàðÿäó ñî ñëîâàìè ïîëîæèòåëüíîé äëèíû (ñîñòîÿùèìè íå ìåíåå, ÷åì èç îäíîé áóêâû), ðàññìàòðèâàþò òàêæå ïóñòîå ñëîâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîé áóêâû. Ñëîâà åäèíè÷íîé äëèíû îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ áóêâàìè àëôàâèòà. Àëôàâèòíûì îïåðàòîðîì, èëè àëôàâèòíûì îòîáðàæåíèåì, íàçûâàþò âñÿêîå ñîîòâåòñòâèå (ôóíêöèþ), ñîïîñòàâëÿþùåå ñëîâàì â òîì èëè èíîì àëôàâèòå ñëîâà â òîì æå ñàìîì èëè â íåêîòîðîì äðóãîì ôèêñèðîâàííîì àëôàâèòå. Ïåðâûé àëôàâèò íàçûâàþò ïðè ýòîì âõîäíûì, à 30

âòîðîé – âûõîäíûì àëôàâèòîì äàííîãî îïåðàòîðà. Àëôàâèòíûé îïåðàòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé êàæäîìó âõîäíîìó ñëîâó (ñëîâó âî âõîäíîì àëôàâèòå îïåðàòîðà) íå áîëåå îäíîãî âûõîäíîãî ñëîâà (ñëîâà â âûõîäíîì àëôàâèòå îïåðàòîðà), íàçûâàþò îäíîçíà÷íûì. Åñëè àëôàâèòíûé îïåðàòîð íå ñîïîñòàâëÿåò äàííîìó âõîäíîìó ñëîâó íèêàêîãî âûõîäíîãî ñëîâà (â òîì ÷èñëå è ïóñòîãî), òî ãîâîðÿò, ÷òî îí íå îïðåäåëåí íà ýòîì ñëîâå. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñëîâ, íà êîòîðûõ àëôàâèòíûé îïåðàòîð îïðåäåëåí, íàçûâàåòñÿ åãî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ. Àëôàâèòíûé îïåðàòîð íàçûâàþò ÷àñòè÷íûì, åñëè åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íå ñîâïàäàåò ñ ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ âõîäíûõ ñëîâ. Âñÿêèé äèñêðåòíûé ïðåîáðàçîâàòåëü èíôîðìàöèè, âûäàþùèé íåêîòîðûé âûõîäíîé ñèãíàë (áóêâó âûõîäíîãî àëôàâèòà) â îòâåò íà êàæäûé âõîäíîé ñèãíàë (áóêâó âõîäíîãî àëôàâèòà), ðåàëèçóåò íåêîòîðûé àëôàâèòíûé îïåðàòîð. Òàêèå ïðåîáðàçîâàòåëè âîñïðèíèìàþò è âûäàþò ñèãíàëû ëèøü â ìîìåíòû âðåìåíè, ðàçäåëåííûå ïðîìåæóòêàìè íåíóëåâîé äëèòåëüíîñòè, è íàçûâàþòñÿ àâòîìàòàìè.  îáùåì ñëó÷àå âûõîäíîé ñèãíàë àâòîìàòà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè çàâèñèò îò çíà÷åíèé âõîäíîãî ñèãíàëà íå òîëüêî â äàííûé, íî è â ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Ýòà çàâèñèìîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ â èçìåíåíèè ó àâòîìàòà åãî âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñèãíàë íà åãî âûõîäå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ êàê âõîäíûì ñèãíàëîì â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, òàê è ñîñòîÿíèåì, â êîòîðîì îêàçàëñÿ àâòîìàò ê äàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ íà åãî âõîä ñèãíàëîâ, ïîñòóïèâøèõ â ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Åñëè âûõîäíîé ñèãíàë àâòîìàòà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ âõîäíûì ñèãíàëîì â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, òî àâòîìàò èìååò åäèíñòâåííîå âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå è åãî íàçûâàþò êîìáèíàöèîííîé ñõåìîé. Ïðèìåðîì àâòîìàòà ñ íååäèíñòâåííûì ñîñòîÿíèåì ìîæåò ñëóæèòü óñòðîéñòâî óïðàâëåíèÿ ëèôòîì. Âõîäíûìè ñèãíàëàìè äëÿ íåãî ÿâëÿþòñÿ íîìåðà òðåáóåìûõ ýòàæåé Z1 < Z2 < ... < ZF < ∞. Ðåàêöèÿ êàáèíû ëèôòà íà êàæäûé âõîäíîé ñèãíàë äîëæíà áûòü ðàçëè÷íîé â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íà êàêîé ýòàæ êàáèíà ïðèâåäåíà âõîäíûìè ñèãíàëàìè, ïîñòóïèâøèìè ê äàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè. Åñëè êàáèíà íàõîäèòñÿ íèæå òðåáóåìîãî ýòàæà îíà äîëæíà äâèãàòüñÿ ââåðõ äî òðåáóåìîãî ýòàæà, åñëè âûøå – âíèç äî òðåáóåìîãî ýòàæà, åñëè íà òðåáóåìîì ýòàæå – äîëæíà îñòàòüñÿ íà ìåñòå. Òàêèì îáðàçîì, âûõîäíûå ñèãíàëû wj óñò31

ðîéñòâà óïðàâëåíèÿ ëèôòîì ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè ðàçíîñòÿì zi – zk, ãäå zk – íîìåð ýòàæà, íà êîòîðîì íàõîäèëàñü êàáèíà ëèôòà ê ìîìåíòó ïîñòóïëåíèÿ î÷åðåäíîãî âõîäíîãî ñèãíàëà (íîìåðà òðåáóåìîãî ýòàæà) zi, ïðè ýòîì ñèãíàë wj = 0 íå âêëþ÷àåòñÿ â âûõîäíîé àëôàâèò (ïóñòîé ñèìâîë). Ïîÿâëåíèå êàæäîãî âûõîäíîãî ñèãíàëà çàâèñèò îò âõîäíîãî ñèãíàëà, äåéñòâóþùåãî â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, è îò íîìåðà ýòàæà, íà êîòîðîì ê ýòîìó ìîìåíòó âðåìåíè îêàçàëàñü êàáèíà ëèôòà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî àâòîìàò óïðàâëåíèÿ ëèôòîì èìååò ÷èñëî ñîñòîÿíèé, ðàâíîå ÷èñëó ýòàæåé çäàíèÿ. Ïîñêîëüêó ïðîöåññ äâèæåíèÿ êàáèíû ìåæäó ýòàæàìè íå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñà, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñîñòîÿíèå àâòîìàòà èçìåíÿåòñÿ ìãíîâåííî â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ êàáèíîé î÷åðåäíîãî ýòàæà è ñ ýòèì æå ìîìåíòîì âðåìåíè îòîæäåñòâëÿåòñÿ ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà, âûçâàâøåãî äâèæåíèå êàáèíû ê ýòîìó ýòàæó. 4.2. Àáñòðàêòíûå àâòîìàòû Àâòîìàòû, ðàññìàòðèâàåìûå áåçîòíîñèòåëüíî ê èõ âíóòðåííåé ñòðóêòóðå, ïðèíÿòî íàçûâàòü àáñòðàêòíûìè àâòîìàòàìè. Àáñòðàêòíûé àâòîìàò ðàáîòàåò â äèñêðåòíîì àâòîìàòíîì âðåìåíè, ïîñëåäîâàòåëüíûå ìîìåíòû êîòîðîãî îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè t = 1, 2, ... .  ïðèìåðå ñ ëèôòîì ìîìåíòû àâòîìàòíîãî âðåìåíè îïðåäåëÿþòñÿ êíîïêîé “ïóñê” ëèáî ìîìåíòàìè íàæàòèÿ êíîïîê ñ íîìåðàìè òðåáóåìûõ ýòàæåé. Äëÿ çàäàíèÿ àáñòðàêòíîãî àâòîìàòà íóæíî çàäàòü âõîäíîé àëôàâèò Z = {z 1, z2, ..., zF}, âûõîäíîé àëôàâèò W = {w 1, w 2, ..., w G} è ìíîæåñòâî A = {a1, a2, ..., aM} åãî âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé, íàçûâàåìîå ïðîñòî ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèè àâòîìàòà.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0, 1, 2, ... àáñòðàêòíûé àâòîìàò A íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè ai = a(t) èç A. Ñîñòîÿíèå a0 = a(0) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì àâòîìàòà A. Óñëîâíî àáñòðàêòíûé àâòîìàò èçîáðàæàåòñÿ â âèäå óñòðîéñòâà (ðèñ. 4.1) ñ îäíèì âõîäîì è îäíèì âûõîäîì. Z = {z, z , ..., zF}

A = {a, a , ..., aM} Ðèñ. 4.1

32

W = {w, w , ..., wG}

 êàæäûé ìîìåíò t àâòîìàòíîãî âðåìåíè, íà÷èíàÿ c t = 1, íà âõîä àâòîìàòà ïîñòóïàåò â êà÷åñòâå âõîäíîãî ñèãíàëà îäíà èç áóêâ zi = z(t) àëôàâèòà Z. Êîíå÷íûå óïîðÿäî÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âõîäíûõ áóêâ z(1)z(2)...z(k) àâòîìàòà áóäóò âõîäíûìè ñëîâàìè. Íà âõîä àâòîìàòà ìîæåò ïîäàâàòüñÿ ëþáîå âõîäíîå ñëîâî èç íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ âõîäíûõ ñëîâ. Êàæäîå äîïóñòèìîå ñëîâî p = z(1)z(2)...z(k), ïîäàííîå íà âõîä äàííîãî àâòîìàòà A, âûçûâàåò ïîÿâëåíèå íà âûõîäå àâòîìàòà âûõîäíîãî ñëîâà q = w(1)w(2)...w(k), ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé íåêîòîðóþ óïîðÿäî÷åííóþ êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûõîäíûõ ñèãíàëîâ àâòîìàòà A (áóêâ àëôàâèòà W), èìåþùåãî òó æå ñàìóþ äëèíó, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó âõîäíîå ñëîâî p. Ïîëó÷àåìîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ A äîïóñòèìûõ âõîäíûõ ñëîâ p â ñîîòâåòñòâóþùèå èì âûõîäíûå ñëîâà q ÿâëÿåòñÿ àëôàâèòíûì îïåðàòîðîì, èíäóöèðîâàííûì àâòîìàòîì A, èëè ïðîñòî îïåðàòîðîì àâòîìàòà A.  ïðèìåðå ñ ëèôòîì îïåðàòîð óïðàâëÿþùåãî àâòîìàòà ìîæíî çàäàòü ÿâíî. Èç íàéäåííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé ìåæäó âõîäíûìè è âûõîäíûìè ñèãíàëàìè äëÿ ýòîãî àâòîìàòà ñëåäóåò, ÷òî w(t) = z(t) – z(t–1), åñëè ïðèíÿòü z(0) = z1. Ýòî è åñòü èñêîìîå ïðåîáðàçîâàíèå âõîäíûõ ñëîâ àâòîìàòà â âûõîäíûå. Ïîñêîëüêó äëèíà âõîäíûõ ñëîâ äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ íå îãðàíè÷åíà, ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âõîäíûõ ñëîâ äëÿ íåãî áåñêîíå÷íî è äàæå íåñ÷åòíî ïðè âñÿêîì F ≥ 2. Îïåðàòîð ϕA îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ôóíêöèè ïåðåõîäîâ δ è ôóíêöèè âûõîäîâ λ ðàññìàòðèâàåìîãî àâòîìàòà. Ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå a(t) àâòîìàòà â íåêîòîðûé ìîìåíò t àâòîìàòíîãî âðåìåíè ïî âõîäíîìó ñèãíàëó z(t) â òîò æå ñàìûé ìîìåíò è ñîñòîÿíèé a(t–1) â ïðåäûäóùèé ìîìåíò àâòîìàòíîãî âðåìåíè a(t) = δ(a(t–1), z(t)). (4.1) Ôóíêöèÿ âûõîäîâ îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà îò òåõ æå ñàìûõ ïåðåìåííûõ w(t) = λ(a(t–1), z(t)). (4.2) Çàäàâàÿ ëþáîå âûõîäíîå ñëîâî p = z(1)z(2)...z(k) è íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå a(0) àâòîìàòà, ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (4.1) è (4.2) ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü âñå áóêâû ñîîòâåòñòâóþùåãî âûõîäíîãî ñëîâà q = ϕA(p) = w(1)w(2)...w(k). 33

Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (4.1) è (4.2) äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿþò îïåðàòîð ϕA àâòîìàòà A. Ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ ïðåäñòàâëÿþòñÿ îáû÷íî àáñòðàêòíûìè ÷àñòè÷íûìè ôóíêöèÿìè δ(a, z) è λ(a, z), çàäàþùèìè îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ïàð (a, z)(a∈A, z∈Z) â ìíîæåñòâà A è W ñîîòâåòñòâåííî. Äîïóñòèìûìè âõîäíûìè ñëîâàìè äëÿ àâòîìàòà A íàçûâàþò òå è òîëüêî òå âõîäíûå ñëîâà p, íà êîòîðûõ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé δ è λ óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ìîæíî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå èì âûõîäíûå ñëîâà q = ϕA(p). Àâòîìàò íàçûâàþò êîíå÷íûì, åñëè êîíå÷íû âñå òðè îïðåäåëÿþùèå åãî ìíîæåñòâà Z, W, A. Äëÿ ïðèìåðà ñ ëèôòîì ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè: a(t) = z(t), w(t) = z(t)–a(t–1). Àâòîìàò óïðàâëåíèÿ ëèôòîì êîíå÷åí, õîòÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åãî îïåðàòîðà ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñëîâ. Ïîñêîëüêó äàëüøå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî êîíå÷íûå àâòîìàòû, ñëîâî “êîíå÷íûé” áóäåò îïóñêàòüñÿ. Àâòîìàò íàçûâàþò âïîëíå îïðåäåëåííûì, åñëè åãî ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ çàäàíû íà âñåõ ïàðàõ (a, z), è ÷àñòè÷íûì – â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äâà àáñòðàêòíûõ àâòîìàòà ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü îáîçíà÷åíèÿìè âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñèãíàëîâ, ñîñòîÿíèé. 4.3. Ñïîñîáû çàäàíèÿ àáñòðàêòíûõ àâòîìàòîâ Åñëè çàäàíû âõîäíîé è âûõîäíîé àëôàâèòû àâòîìàòà, à òàêæå ìíîæåñòâî åãî ñîñòîÿíèé, ñðåäè êîòîðûõ ôèêñèðîâàíî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå a0, äëÿ çàäàíèÿ àáñòðàêòíîãî àâòîìàòà îñòàåòñÿ çàäàòü ôóíêöèþ ïåðåõîäîâ δ ôóíêöèþ âûõîäîâ A . Àâòîìàòû, ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (4.1), (4.2), íàçûâàþò àâòîìàòàìè Ìèëè. Àâòîìàòû, ó êîòîðûõ ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì a(t) = δ(a(t–1), z(t)), (4.3) 34

w(t) = λ(a(t)), (4.4) íàçûâàþò àâòîìàòàìè Ìóðà [2] . Ðàçëè÷èå ìåæäó àâòîìàòàìè Ìèëè è Ìóðà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë â àâòîìàòå Ìèëè çàâèñèò êàê îò ñîñòîÿíèÿ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè, òàê è îò âõîäíîãî ñèãíàëà â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè, à â àâòîìàòå Ìóðà – òîëüêî îò ñîñòîÿíèÿ â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè. Åñëè ïîäñòàâèòü ïðàâóþ ÷àñòü (4.3) â (4.4), òî ïîëó÷èòñÿ ðàâåíñòâî òèïà (4.2). Òàêèì îáðàçîì, àâòîìàò Ìóðà âñåãäà ìîæíî ñâåñòè ê àâòîìàòó Ìèëè ñ òåì æå ñàìûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé è òåìè æå ñàìûìè âõîäíûì è âûõîäíûì àëôàâèòàìè. Äëÿ êîíå÷íîãî àâòîìàòà ôóíêöèè δ è λ îïðåäåëåíû íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ ôóíêöèè δ è λ ìîæíî çàäàòü â âèäå òàáëèö. Òàáëèöà 4.1 Òàáëèöà 4.2 at`

z

z

z

at–

z

z

z

a

a

a!

a

a

w!

w

w

a

a!

a

a

a

w0

w!

w

a

a

a

a

a

w

w

w

a!

a

a

a!

a3

w

w

w!

 òàáë. 4.1 è 4.2 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèé ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà Ìèëè. Ïîñêîëüêó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé δ è λ ñîâïàäàþò, òàáëèöû ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ ìîãóò áûòü ñîâìåùåíû â îäíó òàáëèöó ïåðåõîäîââûõîäîâ (òàáë. 4.3), â êîòîðîé íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà (i∈{0, 1, 2, ..., n}, j∈{0, 1, 2, ..., r}) çàïèñûâàåòñÿ â ÷èñëèòåëå íîâîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà, à â çíàìåíàòåëå – âûõîäíîé ñèãíàë, âûðàáîòàííûé ïðè ïåðåõîäå â ýòî ñîñòîÿíèå.  òàáë. 4.4, 4.5 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ôóíêöèé ïåðåõîäîâ δ è âûõîäîâ λ àâòîìàòà Ìóðà. Ôóíêöèÿ âûõîäîâ λ àâòîìàòà Ìóðà çàâèñèò òîëüêî îò îäíîãî ïàðàìåòðà à(t), ïîýòîìó ïðè ñîâìåùåíèè òàáëèö ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ äîñòàòî÷íî ñòîëáöó ñîñòîÿíèé àâòîìàòà ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ñòîëáåö âûõîäíûõ ñèãíàëîâ (òàáë. 4.6). 35

Òàáëèöà 4.3

Òàáëèöà 4.4

at–

z

z

z

at–

z

z

z

a

a /w!

a! /w

a /w

a

a!

a

a

a

a! /w

a /w!

a /w0

a

a

a!

a

a

a /w

a /w

a /w2

a

a

a

a

a3

a /w

a /w

a! /w!

a3

a

a

a

Òàáëèöà 4.5

Òàáëèöà 4.6

at

wt

wt–

at`

z

z

z

a

w

w

a

a!

a

a

a

w

w

a

a

a!

a

a

w!

w!

a

a

a

a

a3

w

w

a3

a

a

a

Âîçìîæåí ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèé ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà. Íà ðèñ. 4.2 è 4.3 ïðèâåäåíû ãðàôû ïåðåõîäîâ àâòîìàòîâ Ìèëè è Ìóðà, òàáëèöû ïåðåõîäîâ-âûõîäîâ êîòîðûõ òîëüêî ÷òî ðàññìàòðèâàëèñü. z1

z0/w 0 z2

z1 / w 3

a3

z0 /

w

w

1

z 2 / w2

z1 /w 2

z1 / w 1

z0 /

z2 / w 3

a1

z2/ w 1

z2/w 0

a0

z0

a0 w2

a1 w0 z1

z1

z0

z2

z2

z1

3

z0 / w 2 Ðèñ. 4.2

a2

z1 / w 0

a3 w1

z1 z 2

a2 w3

z0

Ðèñ. 4.3

Äëÿ àâòîìàòà Ìèëè âåðøèíû ãðàôà îòìå÷àþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè. Åñëè èç ñîñòîÿíèÿ ai èìååòñÿ ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå aj, òî èç âåðøèíû ai â 36

âåðøèíó aj ïðîâîäèòñÿ äóãà, îêîëî êîòîðîé â ÷èñëèòåëå óêàçûâàåòñÿ âõîäíîé ñèãíàë, âûçûâàþùèé ýòîò ïåðåõîä, à â çíàìåíàòåëå – âîçíèêàþùèé ïðè ýòîì âûõîäíîé ñèãíàë. Äëÿ àâòîìàòà Ìóðà âåðøèíû ãðàôà îòìå÷àþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè è ñâÿçàííûìè ñ íèìè âõîäíûìè ñèãíàëàìè. Äóãè ãðàôà îòìå÷àþòñÿ âõîäíûìè ñèãíàëàìè, ïîä äåéñòâèåì êîòîðûõ âîçíèêàþò ðàññìàòðèâàåìûå ïåðåõîäû.  ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ ôóíêöèè δ è λ îïðåäåëåíû ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ a(t–1) è z(t), ïîýòîìó èì ñîîòâåòñòâóþò âïîëíå îïðåäåëåííûå àâòîìàòû. Äëÿ ÷àñòè÷íûõ àâòîìàòîâ ôóíêöèè δ è λ îïðåäåëåíû íå íà âñåõ ïàðàõ a(t–1) è z(t).  ýòîì ñëó÷àå íà ìåñòå íåîïðåäåëåííûõ ïåðåõîäîâ èëè âûõîäîâ â òàáëèöàõ ñòàâÿòñÿ ïðî÷åðêè.  ãðàôàõ æå îòñóòñòâóþò äóãè, ñîîòâåòñòâóþùèå íåîïðåäåëåííûì ïåðåõîäàì, à âìåñòî íåîïðåäåëåííûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ ñòàâÿòñÿ ïðî÷åðêè. Åñëè çàäàíû ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà, ïî íèì ìîæíî ïîñòðîèòü îïåðàòîð àâòîìàòà. Îäíàêî íå ïî âñÿêîìó çàäàííîìó àëôàâèòíîìó îïåðàòîðó ìîæíî ïîñòðîèòü ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ íåêîòîðîãî àâòîìàòà. 4.4. Àâòîìàòíûå îïåðàòîðû Ïóñòü îïåðàòîð jA àâòîìàòà A óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ÷åòûðåì óñëîâèÿì. 1. ϕA îñóùåñòâëÿåò îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (âîîáùå ãîâîðÿ, ÷àñòè÷íîå) ìíîæåñòâà âõîäíûõ ñëîâ â ìíîæåñòâî âûõîäíûõ ñëîâ. 2. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕA óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïîëíîòû, ò. å. âìåñòå ñ ëþáûì ñîäåðæàùèìñÿ â íåé ñëîâîì ñîäåðæèò è âñå íà÷àëüíûå îòðåçêè ýòîãî ñëîâà (òàê, åñëè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕA ïðèíàäëåæèò ñëîâî z1z2z3z4, òî åé ïðèíàäëåæàò è ñëîâà z1, z1z2, z1z2z3). Ïóñòîå ñëîâî âñåãäà âõîäèò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕ A. 3. ϕA ñîõðàíÿåò äëèíó ñëîâà: ëþáîå âõîäíîå ñëîâî p, íà êîòîðîì îïåðàòîð ϕA îïðåäåëåí, èìååò òó æå äëèíó, ÷òî è åãî îáðàç ϕA(p).  ÷àñòíîñòè, ïóñòîå ñëîâî ïåðåâîäèòñÿ îïåðàòîðîì ϕA â ïóñòîå ñëîâî. 4. ϕA ïåðåâîäèò ëþáîé íà÷àëüíûé îòðåçîê ñëîâà p, íà êîòîðîì îí îïðåäåëåí, â èìåþùèé òó æå äëèíó íà÷àëüíûé îòðåçîê ñëîâà ϕA(p). Ýòè ÷åòûðå óñëîâèÿ íàçûâàþò óñëîâèÿìè àâòîìàòíîñòè îïåðàòîðà, à óäîâëåòâîðÿþùèé èì îïåðàòîð – àâòîìàòíûì îïåðàòîðîì. 37

Åñëè àëôàâèòíûé îïåðàòîð ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì àâòîìàòíîñòè, ìîæíî ïîñòðîèòü àâòîìàòû Ìèëè è Ìóðà (âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íûå), èíäóöèðóþùèå îïåðàòîð ϕ.  ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕ êîíå÷íà (êîíå÷íî ìíîæåñòâî ñëîâ, íà êîòîðûõ îïðåäåëåí îïåðàòîð ϕ), ýòè àâòîìàòû òàêæå ìîãóò áûòü âûáðàíû êîíå÷íûìè [2] . Íå âñÿêèé àëôàâèòíûé îïåðàòîð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì àâòîìàòíîñòè. Ñóùåñòâóåò, îäíàêî, ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé ïðåâðàòèòü ëþáîé àëôàâèòíûé îïåðàòîð â àâòîìàòíûé îïåðàòîð. Ïóñòü ϕ – ïðîèçâîëüíûé àëôàâèòíûé îïåðàòîð ñ êîíå÷íûìè âõîäíûì Z è âûõîäíûì W àëôàâèòàìè, P – îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà. Áóäåì ïðèìåíÿòü ê îïåðàòîðó ϕ äâå îïåðàöèè. Ïåðâàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé âûðàâíèâàíèÿ äëèí ñëîâ. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âî âõîäíîé è âûõîäíîé àëôàâèòû äîáàâëÿåòñÿ ïî îäíîé ïóñòîé áóêâå a è β ñîîòâåòñòâåííî, à çàòåì ê ëþáîìó ñëîâó p èç P ïðèïèñûâàþòñÿ ñïðàâà mp ýêçåìïëÿðîâ áóêâû a, à ê åãî îáðàçó q = ϕ(p) ïðèïèñûâàþòñÿ ñëåâà nq ýêçåìïëÿðîâ áóêâû β òàê, ÷òîáû äëèíû ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå ïðèïèñûâàíèÿ ýòèõ áóêâ ñëîâ p1 è q1 ñîâïàëè. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà mp âûáèðàþòñÿ ðàâíûìè äëèíå ñëîâà q, à ÷èñëà nq ðàâíûìè äëèíå ñëîâà p, òî îïåðàöèÿ âûðàâíèâàíèÿ äëèíû ñëîâ íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíîé. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè âûðàâíèâàíèÿ äëèí ñëîâ ñòðîèòñÿ íîâûé îïåðàòîð ϕ1, îòîáðàæàþùèé íåêîòîðîå ìíîæåñòâî P1 ñëîâ â àëôàâèòå Z ∪ {a} â ìíîæåñòâî ñëîâ â àëôàâèòå W ∪ {β}. Îí äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó q1 = ϕ1(p1), ãäå ñëîâà p1 è q1 ïîëó÷åíû âûðàâíèâàíèåì äëèí ñëîâ p è q, ïðè÷åì p ïðîáåãàåò âñå P. Îïåðàòîð ϕ1 íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì âûðàâíåííûì îïåðàòîðîì. Âòîðàÿ îïåðàöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê âûðàâíåííûì àëôàâèòíûì îïåðàòîðàì, ò. å. ê òàêèì îïåðàòîðàì, ó êîòîðûõ äëèíû âõîäíûõ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âûõîäíûõ ñëîâ ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Åå íàçûâàþò îïåðàöèåé ïîïîëíåíèÿ. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â ðàñïðîñòðàíåíèè îòîáðàæåíèÿ ϕ íà íà÷àëüíûå îòðåçêè ñëîâ. Ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè S – ïðîèçâîëüíûé íà÷àëüíûé îòðåçîê ëþáîãî ñëîâà p èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕ, òî ϕ(S) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì íà÷àëüíîìó îòðåçêó ñëîâà ϕ(p), èìåþùèì òó æå, ÷òî è îòðåçîê S, äëèíó.  ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ïîïîëíåíèÿ ê ïðîèçâîëüíîìó âûðàâíåííîìó àëôàâèòíîìó îïåðàòîðó ϕ1 âîçíèêàåò îïåðàòîð ϕ1', íàçûâàåìûé ïîïîëíåíèåì îïåðàòîðà ϕ1. Åñëè ïîïîëíåíèå ϕ1' îïåðàòîðà ϕ1 ÿâ38

ëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì, òî îíî óäîâëåòâîðÿåò, î÷åâèäíî, âñåì ÷åòûðåì óñëîâèÿì àâòîìàòíîñòè. Ê ñîæàëåíèþ, îäíàêî, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïîïîëíåíèå îïåðàòîðà ϕ1 íåîäíîçíà÷íî. Âìåñòå ñ òåì ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [2]: â ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð ϕ1 ïîëó÷åí èç íåêîòîðîãî îäíîçíà÷íîãî àëôàâèòíîãî îïåðàòîðà â ðåçóëüòàòå ñòàíäàðòíîé îïåðàöèè âûðàâíèâàíèÿ äëèí ñëîâ, ïîïîëíåíèå ϕ1' ýòîãî îïåðàòîðà îäíîçíà÷íî è ÿâëÿåòñÿ àâòîìàòíûì îïåðàòîðîì.  ðÿäå ñëó÷àåâ ïðè ïðåâðàùåíèè çàäàííîãî îïåðàòîðà â àâòîìàòíûé îïåðàòîð ìîæíî ïðèìåíÿòü íå ñòàíäàðòíóþ îïåðàöèþ âûðàâíèâàíèÿ, à êàêîé-íèáóäü áîëåå ýêîíîìíûé (ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷èñëà äîïèñûâàåìûõ áóêâ) âàðèàíò îïåðàöèè âûðàâíèâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, åñëè ñàì èñõîäíûé îïåðàòîð áûë àâòîìàòíûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðèìåíÿåòñÿ íóëåâàÿ îïåðàöèÿ âûðàâíèâàíèÿ, ïðè êîòîðîé íèêàêîãî äîïèñûâàíèÿ ïóñòûõ áóêâ âîîáùå íå ïðîèñõîäèò. Îáû÷íî íà ïðàêòèêå ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà îïåðàöèþ âûðàâíèâàíèÿ ïðîâîäÿò íàèáîëåå ýêîíîìíûì îáðàçîì, è, ïðèìåíÿÿ çàòåì îïåðàöèþ ïîïîëíåíèÿ, ïðîâåðÿþò (ïî ïðèçíàêó îäíîçíà÷íîñòè ïîïîëíåíèÿ), ïîëó÷èòñÿ ëè â ðåçóëüòàòå àâòîìàòíûé îïåðàòîð. Åñëè íåò, òî ïðîèçâîäÿò íîâîå äîïèñûâàíèå ïóñòûõ áóêâ, íîâóþ ïðîâåðêó ïîïîëíåíèÿ è ò.ä.  ðåçóëüòàòå ïðîäîëæåíèÿ ïîäîáíîãî ïðîöåññà îáÿçàòåëüíî áóäåò ïîëó÷åí àâòîìàòíûé îïåðàòîð. Ýòîò ìåòîä ïðèâåäåíèÿ àëôàâèòíîãî îïåðàòîðà ê àâòîìàòíîìó îïåðàòîðó íàçûâàþò ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèâåäåíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåííîãî òàêèì ìåòîäîì îïåðàòîðà ìîæíî ïîñòðîèòü ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ.

39

5. ÀÁÑÒÐÀÊÒÍÛÉ ÑÈÍÒÅÇ ÀÂÒÎÌÀÒΠ5.1. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèé ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ ïî àëôàâèòíîìó îïåðàòîðó Åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àëôàâèòíîãî îïåðàòîðà ϕ êîíå÷íà, åãî ÷àùå âñåãî çàäàþò ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ñîîòâåòñòâèÿ.  ëåâîé ïîëîâèíå ýòîé òàáëèöû âûïèñûâàþò â òîì èëè èíîì ïîðÿäêå âõîäíûå ñëîâà, íà êîòîðûõ çàäàí îïåðàòîð ϕ, à â ïðàâîé ÷àñòè òàáëèöû – ñîîòâåòñòâóþùèå èì âûõîäíûå ñëîâà. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ ïî àëôàâèòíîìó îïåðàòîðó íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå. Ïóñòü âõîäíîé è âûõîäíîé àëôàâèòû ñîñòîÿò òîëüêî èç äâóõ áóêâ {z0, z1} è {w0, w1} ñîîòâåòñòâåííî, à îïåðàòîð (òàáë. 5.1) çàäàí òàáëèöåé ñîîòâåòñòâèÿ. Òàáëèöà 5.1 z

z 

z!

w

w 

w!

z z z z

z z z z

z z z z

w w w w

w w w w

w w w w

z z z

z z z

z z z

w w w

w w w

w w w

z

z

z

w

w

w

Äàííûé îïåðàòîð óæå âûðàâíåí, òàê êàê äëèíà êàæäîãî èç âõîäíûõ ñëîâ ðàâíà äëèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî âûõîäíîãî ñëîâà. Êàæäîìó âõîäíîìó ñëîâó çäåñü ñîïîñòàâëÿåòñÿ íå áîëåå îäíîãî âûõîäíîãî ñëîâà, ïîýòîìó îïåðàòîð ϕ îäíîçíà÷åí. Îäíàêî îí íå óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óñëîâèþ àâòîìàòíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íóìåðîâàòü ñëîâà â òàáë. 5.1 ñâåðõó âíèç, òî z(1) = z0 äëÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî ñëîâ ïðåîáðàçóåòñÿ â w(1) = w1, à äëÿ âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ñëîâ w1(1) = w0. Ïî ýòîé ïðè÷èíå îïåðàòîð ϕ íåîäíîçíà÷åí äëÿ íà÷àëüíûõ îòðåçêîâ ñëîâ. Óñòðàíèòü ýòî ìîæíî áûëî áû, ïðèïèñàâ ñïðàâà ê êàæäîìó âõîäíîìó ñëîâó mp = 3 ýêçåìïëÿðà áóêâû α è ñëåâà ê êàæäîìó âûõîäíîìó ñëîâó mq = 3 ýêçåìïëÿðà áóêâû β, ò. å. ïðèìåíèâ ñòàíäàðòíóþ ïðîöåäóðó âûðàâíèâàíèÿ äëèí ñëîâ. Âîñïîëüçóåìñÿ áîëåå ýêîíîìíîé ïðîöåäóðîé. 40

Ïîñêîëüêó â òàáë. 5.1 ïðè z(1) = z0 äëÿ âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ñëîâ w(1) = w0, à äëÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî ñëîâ w(1) = w1, äîïèøåì ñïðàâà ê ïåðâûì ÷åòûðåì âõîäíûì ñëîâàì α è ñëåâà ê ïåðâûì ÷åòûðåì, âûõîäíûì ñëîâàì β (òàáë. 5.2). Òî÷íî òàê æå â òàáë. 5.1 ïðè z(1) = z1 äëÿ ïÿòîãî, øåñòîãî è ñåäüìîãî ñëîâ w(1) = w0, à äëÿ âîñüìîãî ñëîâà w(1) = w1, ïîýòîìó ñïðàâà ê ïÿòîìó, øåñòîìó, ñåäüìîìó è âîñüìîìó âõîäíûì ñëîâàì ïðèïèøåì áóêâó α è ñëåâà ê ñîîòâåòñòâóþùèì âûõîäíûì ñëîâàì ïðèïèøåì áóêâó β. Åñëè ïðè ýòîì ñ÷èòàòü, ÷òî z(1) ïðåîáðàçóåòñÿ â β, òî äëÿ îäíîáóêâåííûõ íà÷àëüíûõ îòðåçêîâ ñëîâ ïîëó÷èëîñü îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå (ñì. òàáë. 5.2). Òàáëèöà 5.2 z

z 

z!

z"

w

w 

w!

w"

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

z

z

z

α

β

w

w

w

Òàáëèöà 5.3 z

z 

z!

z"

z#

w

w 

w!

w"

w#

z

z

z

α

α

β

z

z

z

β

w

w

w

β

β

w

w

α

α

w

z

z

z

α

α

β

β

w

w

w

z

z

z

α

α

β

w

w

w

β

β w

z

z

z

α

w

w

z

z

z

α

z

z

z

α

α

β

w

w

w

β

β

w

w

w

z

z

z

α

α

β

β

w

w

w

Ðàññìîòðèì äâóõáóêâåííûå íà÷àëüíûå îòðåçêè âõîäíûõ ñëîâ. Îíè ñîâïàäàþò â ïàðàõ âõîäíûõ ñëîâ (ñì. òàáë. 5.2). Ïîñêîëüêó êîìáèíàöèÿ 41

z(1)z(2) = z0z0 ïðåîáðàçóåòñÿ íåîäíîçíà÷íî, ñïðàâà îò ïåðâûõ äâóõ âõîäíûõ ñëîâ äîïèñûâàåì áóêâó α, à ñëåâà îò ïåðâûõ äâóõ âûõîäíûõ ñëîâ äîïèñûâàåì áóêâó β (òàáë. 5.3). Òî÷íî òàê æå ïîñòóïàåì ñî âòîðîé è ÷åòâåðòîé ïàðàìè âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñëîâ.  òðåòüåé ïàðå ñëîâ êîìáèíàöèÿ z(1)z(2) = z1z0 ïðåîáðàçóåòñÿ îäíîçíà÷íî (ñì. òàáë. 5.2) â w(1)w(2) = βw0. Ïî ýòîé ïðè÷èíå òðåòüþ ïàðó âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñëîâ íå èçìåíÿåì (ñì. òàáë. 5.3). Òðåõáóêâåííûå íà÷àëüíûå îòðåçêè âõîäíûõ ñëîâ â òàáë. 5.2 âñå ðàçëè÷íû, ïîýòîìó îíè ïðåîáðàçóþòñÿ îäíîçíà÷íî. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ ê ÷åòûðåõáóêâåííûì íà÷àëüíûì îòðåçêàì âõîäíûõ ñëîâ è ê ïîëíûì âõîäíûì ñëîâàì â òàáë. 5.3. Òàêèì îáðàçîì, çàäàâàåìûé òàáë. 5.3 àëôàâèòíûé îïåðàòîð ϕ’, áóäåò àâòîìàòíûì. Åñëè áû èñõîäíûé îïåðàòîð ñîäåðæàë íå òðåõáóêâåííûå, à ÷åòûðåõáóêâåííûå âõîäíûå è âûõîäíûå ñëîâà, äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê àâòîìàòíîìó âèäó òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííûì ñïîñîáîì ïðèøëîñü áû ïðîâåðÿòü îäíîçíà÷íîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ è òðåõáóêâåííûõ íà÷àëüíûõ îòðåçêîâ âõîäíûõ ñëîâ. Ïîñòðîèì òåïåðü ïî òàáë. 5.3 ãðàôû àâòîìàòîâ Ìèëè è Ìóðà. Áóäåì ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîñëåäíèé ñèìâîë êàæäîãî âõîäíîãî ñëîâà äîëæåí ïåðåâîäèòü àâòîìàò â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. Íà÷íåì ñ ãðàôà àâòîìàòà Ìèëè (ðèñ. 5.1). a2

z1 / w 0

β

z1 / β

z 0 /β

a7

z 0/ w 1 z1 / w

α/ w 0

a8 0

α/ w 1

z 1/ β

a 12

z 0/ w 0

z 0/ w 0 a 13 z1

z1 / w

a9 a 11

/β

1

a 19

α/ w 1

a 18

α/ w 0

a 20

Ðèñ. 5.1

α/ w 1

α/ w 1

0

z0/w 0 a 17 z1 / w

α/ w 0

α/ w 1

a 14 a 15

a 16

42

α/ w 0

a6

a 10 a0

α/ w 0

a4

α/ w 0

a5

z0 /

a1

α/ w 0

a3

z 0/w 1

α/ w 0 α/ w 1

 ìîìåíò t = 0 àâòîìàò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè a0. Ïðè ïîäà÷å â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè êàæäîãî âõîäíîãî ñèãíàëà z(t) àâòîìàò ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå è âûðàáàòûâàåò âûõîäíîé ñèãíàë w(t). Ïîñêîëüêó äëÿ àáñòðàêòíîãî àâòîìàòà ïîðÿäîê íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé, îòëè÷íûõ îò a0, áåçðàçëè÷åí, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî áóêâà z(1) = z0 ïåðâîãî âõîäíîãî ñëîâà èç òàáë. 5.3 ïåðåâîäèò àâòîìàò â ñîñòîÿíèå a1. Ïðè ýòîì âûðàáàòûâàåòñÿ âûõîäíîé ñèãíàë w(1) = β. Áóêâà z(2) = z0 ïåðåâîäèò àâòîìàò èç ñîñòîÿíèÿ a1 â ñîñòîÿíèå a2 è îáåñïå÷èâàåò âûðàáîòêó âûõîäíîãî ñèãíàëà w(2) = β. Âõîäíàÿ áóêâà z(3) = z0 ïåðåâîäèò àâòîìàò èç a2 â a3. Ýòîìó ïåðåõîäó ñîîòâåòñòâóåò âûõîäíîé ñèãíàë w(3) = w1. Áóêâîé z(4) = a àâòîìàò ïåðåâîäèòñÿ â ñîñòîÿíèå a4 ñ âûäà÷åé âûõîäíîãî ñèãíàëà w(4) = w0. Ïîñëåäíåé âî âõîäíîì ñëîâå áóêâîé z(5) = a àâòîìàò, ñîãëàñíî óñëîâèþ, äîëæåí ïåðåâîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèå a0. Ýòîìó ïåðåõîäó ñîîòâåòñòâóåò âûõîäíîé ñèãíàë w(5) = w0. Íà÷àëüíûå îòðåçêè z(1)z(2), w(1)w(2) âòîðîãî âõîäíîãî è âûõîäíîãî ñëîâ ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè îòðåçêàìè ïåðâîãî âõîäíîãî è âûõîäíîãî ñëîâ, ïîýòîìó ïåðâûå äâà ïåðåõîäà äëÿ âòîðîãî âõîäíîãî ñëîâà ñîâïàäàþò ñ óæå ïîñòðîåííûìè. Ïîñëåäóþùèå ïåðåõîäû äëÿ ýòîãî ñëîâà ñòðîÿòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è äëÿ ïåðâîãî ñëîâà. Çàòåì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñòðîÿòñÿ ïåðåõîäû äëÿ îñòàëüíûõ âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñëîâ (ñì. òàáë. 5.3). Ãðàô àâòîìàòà Ìóðà ïðèâåäåí íà ðèñ. 5.2. Îí ñòðîèòñÿ ïî÷òè òàê æå, êàê è äëÿ àâòîìàòà Ìèëè. Ïåðâîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âûõîäíûå ñèãíàëû çàïèñûâàþòñÿ â âåðøèíàõ, òàê êàê âûõîäíîé ñèãíàë àâòîìàòà Ìóðà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñîñòîÿíèåì è íå çàâèñèò îò âõîäíîãî ñèãíàëà.

z0 z0 a ´0 w0 z1 z0 a´´0 z 1 w1

a1

β

z1

z0 a 12 β z1

a2 a7

z0

a3 w1

α

a2 w0

z0

z1 a8 w1

a5 w0 α

α a9 w0

α

a 11 w0

β

β z 1 a 10 w0 z0 a 13 w0 z 1 a 15w 1 a 16 z0 β z1 a 19 w1

a 14 w0 a 17 w0 α

α a8 w0

a ´0 α

α

a ´0 a ´0

α

a´´0

α

a´´0 a´´0

α α a 20 w0

a 18 w1

α α

a ´0 a´´0

Ðèñ. 5.2

43

Âòîðîå îòëè÷èå – â ÷èñëå íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé. Òàê êàê ïîñëåäíÿÿ áóêâà êàæäîãî âõîäíîãî ñëîâà äîëæíà ïåðåâîäèòü àâòîìàò â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå, ïîñëåäíÿÿ áóêâà êàæäîãî âûõîäíîãî ñëîâà ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ. Ïîñêîëüêó âûõîäíûå ñëîâà â òàáë. 5.3 ñîäåðæàò äâå ðàçëè÷íûå ïîñëåäíèå áóêâû w0 è w1, àâòîìàò äîëæåí èìåòü äâà ðàâíîïðàâíûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèÿ a0' è a1'’, îòìå÷åííûõ âûõîäíûìè ñèãíàëàìè w0 è w1 ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè ñîñòîÿíèÿ äîëæíû áûòü ðàâíîïðàâíûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè z(1) = z0 àâòîìàò èç êàæäîãî èç íèõ ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå a1, à ïðè z(1) = z1 àâòîìàò èç êàæäîãî èç íèõ ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå a12. Àâòîìàòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðèñ. 5.1 è 5.2, èìåþò âõîäíîé àëôàâèò {z0, z1, a}. Òàê êàê èç êàæäîé âåðøèíû ýòèõ ãðàôîâ âûõîäÿò äóãè, îòìå÷åííûå íå áîëåå ÷åì äâóìÿ èç ýòèõ ñèìâîëîâ, ðàññìàòðèâàåìûå àâòîìàòû áóäóò ÷àñòè÷íûìè. Ïî ãðàôàì, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 5.1 è 5.2, ëåãêî ìîæíî ïîñòðîèòü òàáëèöû ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòîâ. 5.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è î ñèíòåçå àâòîìàòîâ Ñèíòåç àâòîìàòà çàêëþ÷àåòñÿ â ðåàëèçàöèè àâòîìàòà â âèäå óñòðîéñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî çàäàíèþ. Äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ çàäàíèåì îáû÷íî ñëóæèò ïðåäñòàâëåííûé â âèäå òàáëèöû ñîîòâåòñòâèÿ àëôàâèòíûé îïåðàòîð. Ïðîöåññ ñèíòåçà ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ: ýòàïà àáñòðàêòíîãî ñèíòåçà è ýòàïà ñòðóêòóðíîãî ñèíòåçà. Íà ýòàïå àáñòðàêòíîãî ñèíòåçà âõîäíûå è âûõîäíûå ñèãíàëû ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòî êàê áóêâû âõîäíîãî è âûõîäíîãî àëôàâèòîâ. Ïðè ðàññìîòðåíèè ñîñòîÿíèé èíòåðåñóþòñÿ èõ ÷èñëîì, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïðè ìåíüøåì ÷èñëå ñîñòîÿíèé ðåàëèçàöèÿ àâòîìàòà ïðîùå. Ýòîò ýòàï ñèíòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ôóíêöèé ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà ïî çàäàííîìó àëôàâèòíîìó îïåðàòîðó è â íàõîæäåíèè àáñòðàêòíîãî àâòîìàòà ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé â íåêîòîðîì ñìûñëå ýêâèâàëåíòíîãî èñõîäíîìó. Íà ýòàïå ñòðóêòóðíîãî ñèíòåçà âûáèðàåòñÿ ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñèãíàëîâ ÷åðåç ñèãíàëû, ïðèíÿòûå çà ýëåìåíòàðíûå, à òàêæå ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîÿíèé àâòîìàòà ÷åðåç ñîñòîÿíèÿ àâòîìàòîâ, ïðèíÿòûõ çà ýëåìåíòàðíûå. Êîíå÷íîé öåëüþ ñòðóêòóðíîãî ñèíòåçà ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ñõåìû, 44

ñîñòîÿùåé èç ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ çàäàííîãî ëîãè÷åñêîãî áàçèñà. Âîçìîæíûé ïóòü ðåøåíèÿ ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è àáñòðàêòíîãî ñèíòåçà óêàçàí â ïîäðàçä. 5.1. Ðåøåíèþ âòîðîé ÷àñòè çàäà÷è íåîáõîäèìî ïðåäïîñëàòü íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé. Äâà âïîëíå îïðåäåëåííûõ àáñòðàêòíûõ àâòîìàòà ñ îáùèì âõîäíûì è îáùèì âûõîäíûì àëôàâèòàìè íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè èìåþò îäèí è òîò æå àëôàâèòíûé îïåðàòîð. Äâà ÷àñòè÷íûõ àâòîìàòà ñ îáùèì âõîäíûì è îáùèì âûõîäíûì àëôàâèòàìè íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè èõ ÷àñòè÷íûå àëôàâèòíûå îïåðàòîðû èìåþò îäíó è òó æå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è ñîâïàäàþò íà ýòîé îáëàñòè. Äëÿ ÷àñòè÷íûõ àâòîìàòîâ, îäíàêî, áîëüøåå çíà÷åíèå èìååò íå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, à îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîãî ïðîäîëæåíèÿ àâòîìàòîâ. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ϕ ïðîäîëæàåò ÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ψ, åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ϕ âêëþ÷àåò â ñåáÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D îïåðàòîðà ψ, è íà îáëàñòè D îáà îïåðàòîðà ñîâïàäàþò. ×àñòè÷íûé àâòîìàò B íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûì ïðîäîëæåíèåì ÷àñòè÷íîãî àâòîìàòà A, åñëè îïåðàòîð àâòîìàòà  ïðîäîëæàåò îïåðàòîð àâòîìàòà A. Àáñòðàêòíûé ñèíòåç àâòîìàòà çàâåðøàåòñÿ íàõîæäåíèåì àâòîìàòà ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé, ýêâèâàëåíòíîãî çàäàííîìó âïîëíå îïðåäåëåííîìó àâòîìàòó èëè ýêâèâàëåíòíî ïðîäîëæàþùåãî çàäàííûé ÷àñòè÷íûé àâòîìàò. Ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ òàêîãî àâòîìàòà íàçûâàåòñÿ ìèíèìèçàöèåé àáñòðàêòíîãî àâòîìàòà, à ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå åãî àâòîìàò íàçûâàþò ìèíèìàëüíûì àâòîìàòîì. Ïåðâûì (ïðåäâàðèòåëüíûì) ýòàïîì âñÿêîé ìèíèìèçàöèè ÿâëÿåòñÿ âûäåëåíèå íåîïðåäåëåííûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ è ñîñòîÿíèé è âíåñåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé íåîïðåäåëåííîñòè â òàáëèöû ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íå èçìåíèòü îïåðàòîð àâòîìàòà. Ñ ýòîé öåëüþ ïðè çàäàíèè ÷àñòè÷íîãî àâòîìàòà Ìèëè òàáëèöàìè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ íóæíî ïðî÷åðêíóòü âñå ìåñòà â òàáëèöå ïåðåõîäîâ àâòîìàòà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ïðî÷åðêíóòûå ìåñòà â òàáëèöå âûõîäîâ. Åñëè äëÿ ÷àñòè÷íûõ àâòîìàòîâ Ìóðà ñ÷èòàòü çàïðåùåííûìè ñîñòîÿíèÿ, äëÿ êîòîðûõ íå îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ âûõîäîâ, òî â òàáëèöå ïåðåõîäîâ àâòîìàòà Ìóðà íóæíî çàìåíèòü ÷åðòî÷êàìè ñèìâîëû çàïðåùåííûõ ñîñòîÿíèé. 45

Ïóñòü òàáë. 5.4 è 5.5 çàäàþò ôóíêöèè ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ ÷àñòè÷íîãî àâòîìàòà Ìèëè. Òàáëèöà 5.4 Òàáëèöà 5.5 Òàáëèöà 5.6 at–

z

z

at–

a a a

a a a

z

z

at–

a a a

z

z

a a a

w ` w

w w `

a a a

a ` a

a a `

Åñëè ïðè êàêîì-ëèáî ïåðåõîäå âûõîäíîé ñèãíàë íå îïðåäåëåí, òî è ñîñòîÿíèå, â êîòîðîå ïåðåéäåò àâòîìàò, íå èìååò çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó ïîñëå âíåñåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè èç òàáë.5.5 â òàáë.5.4 ïîëó÷èì òàáë.5.6. Ñîîòâåòñòâóþùèé òàáë.5.4 è òàáë.5.5 ãðàô àâòîìàòà Ìèëè ïðèâåäåí íà ðèñ. 5.3. Íà ðèñ. 5.4 ïðèâåäåí ãðàô àâòîìàòà, ñîîòâåòñòâóþùèé òàáë. 5.5 è 5.6. z1/w 1 z0 / w 0 a0

z1/w 1

z1/w 0

a1

z0/w 1

z 0 /–

z0 / w 0 a0

z1/w 0

a1

z0 / w 1

a2

a2

z 1 /–

Ðèñ. 5.4

Ðèñ. 5.3

Åñëè èñõîäíûì ÿâëÿåòñÿ àâòîìàò Ìóðà, çàäàííûé â òàáë. 5.7, ïîñëå âíåñåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè â òàáëèöó ïåðåõîäîâ, ïîëó÷èì òàáë. 5.8. Òàáëèöà 5.7 Òàáëèöà 5.8 wt`

at–

z

z

w w –

a a a

a a a

a a a

wt`

at–

z

z

w w –

a a a

a ` a

a a `

Òàáë.5.7 ñîîòâåòñòâóåò ãðàô àâòîìàòà, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.5.5, à òàáë. 5.8 – ãðàô àâòîìàòà, ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 5.6. 46

a1 w1

z1 z1 z0

z1

z0

a0 w0

a1 w1

z1

z0

z0 a2 –

a0 w0

z0 a2 –

z1

Ðèñ. 5.5

Ðèñ. 5.6

Âòîðûì ýòàïîì ìèíèìèçàöèè ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèå íåäîñòèæèìûõ ñîñòîÿíèè. Ñîñòîÿíèå a àáñòðàêòíîãî (÷àñòè÷íîãî èëè âïîëíå îïðåäåëåííîãî) àâòîìàòà íàçûâàåòñÿ äîñòèæèìûì, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì èëè åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå äîñòèæèìîå ñîñòîÿíèå b è òàêîé âõîäíîé ñèãíàë z, ÷òî a = δ(b, z).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå à íàçûâàåòñÿ íåäîñòèæèìûì. Àâòîìàò, âñå ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî äîñòèæèìû, íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñâÿçíîãî àâòîìàòà íóæíî âû÷åðêíóòü âñå ñòðîêè òàáëèö ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòà, êîòîðûå îáîçíà÷åíû íåäîñòèæèìûìè ñîñòîÿíèÿìè. Âîçìîæíîñòü óìåíüøåíèÿ ÷èñëà ñîñòîÿíèé íà ýòîì ýòàïå óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ñòåïåíè íåîïðåäåëåííîñòè, âíåñåííîé â àâòîìàò íà ïåðâîì ýòàïå. Äëÿ àâòîìàòà Ìèëè, çàäàííîãî òàáë. 5.4, 5.5 èëè ðèñ. 5.3, âñå ñîñòîÿíèÿ äîñòèæèìû, ïîýòîìó àâòîìàò, çàäàííûé òàáë. 5.4, 5.5 èëè ðèñ. 5.3, áóäåò ñâÿçíûì. Äëÿ àâòîìàòà, çàäàííîãî òàáë. 5.5, 5.6 èëè ðèñ. 5.4, ñîñòîÿíèå a2 áóäåò íåäîñòèæèìûì, â ñèëó ÷åãî àâòîìàò íå áóäåò ñâÿçíûì. Òî÷íî òàê æå àâòîìàò Ìóðà, çàäàííûé òàáë. 5.7 èëè ðèñ. 5.5, ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì, à àâòîìàò, çàäàííûé òàáë. 5.8 èëè ðèñ. 5.6, íå áóäåò ñâÿçíûì, ïîñêîëüêó ó íåãî ñîñòîÿíèå a2 íåäîñòèæèìî. Ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ â òàáë. 5.5, 5.6 è 5.8 ñòðîêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîñòîÿíèþ a2, ïîëó÷èì ñâÿçíûé àâòîìàò Ìèëè, çàäàííûé òàáë. 5.9, 5.10 èëè ðèñ. 5.7, è ñâÿçíûé àâòîìàò Ìóðà, çàäàííûé òàáë. 5.11 èëè ðèñ. 5.8. Òàáëèöà 5.9 Òàáëèöà 5.10 Òàáëèöà 5.11 at–

z

z

a a

a `

a a

at–

a a

z

z

w `

w w

wt` at–

w w

a a

z

z

a `

a a

47

z1/w 1

z1

z0 / w 0 a0

z1 / w 0 Ðèñ. 5.7

a1

z0

a0 w0

z1

a1 w1

Ðèñ. 5.8

Òðåòüèì ýòàïîì ìèíèìèçàöèè àâòîìàòà ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèå â îäíî ñîñòîÿíèå ìíîæåñòâà ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé. 5.3. Êëàññû ñîâìåñòèìîñòè àâòîìàòà Ïóñòü A – ïðîèçâîëüíûé àáñòðàêòíûé àâòîìàò, a – ëþáîå åãî ñîñòîÿíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëîâî p âî âõîäíîì àëôàâèòå àâòîìàòà A ïðèìåíèìî ê ñîñòîÿíèþ a, åñëè, ïîäàâàÿ ýòî ñëîâî íà âõîä àâòîìàòà A, óñòàíîâëåííîãî ïðåäâàðèòåëüíî â ñîñòîÿíèå à, ìû ïîëó÷èì íà âûõîäå îïðåäåëåííîå ñëîâî q â âûõîäíîì àëôàâèòå, èìåþùåå òó æå ñàìóþ äëèíó, ÷òî ñëîâî p. Ñëîâî q íàçûâàþò ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ñëîâà p ê ñîñòîÿíèþ a. Åñëè ñëîâî p íåïðèìåíèìî ê ñîñòîÿíèþ à, òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ñëîâà p ê ñîñòîÿíèþ a ñ÷èòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì (ïðè ýòîì áåçðàçëè÷íî, äàþò ëè íåêîòîðûå íåïóñòûå íà÷àëüíûå îòðåçêè ñëîâà p â ïðèìåíåíèè ê ñîñòîÿíèþ à îïðåäåëåííûå ðåçóëüòàòû èëè íåò). Ñîñòîÿíèÿ ai1, ..., ain, âõîäÿùèå â àâòîìàò Ìèëè, íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòèìûìè, åñëè âñå îïðåäåëåííûå (íå ñ÷èòàÿ íåîïðåäåëåííûõ ðåçóëüòàòîâ) ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ñëîâà p ê ñîñòîÿíèÿì ai1, ..., ain áóäóò îäíèìè è òåìè æå (çàâèñÿùèìè òîëüêî îò ñëîâà p, íî íå îò âûáîðà ñîñòîÿíèÿ aik èç äàííîãî ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé). Äëÿ àâòîìàòà Ìóðà, êðîìå ýòîãî óñëîâèÿ, äëÿ ñîâìåñòèìîñòè äàííûõ ñîñòîÿíèé òðåáóåòñÿ, ÷òîáû (íå ñ÷èòàÿ íåîïðåäåëåííûõ îòìåòîê) âñå ñîâìåñòèìûå ñîñòîÿíèÿ èìåëè áû îäèíàêîâûå îòìåòêè. Ñîâìåñòèìûå ñîñòîÿíèÿ âî âïîëíå îïðåäåëåííûõ àâòîìàòàõ íàçûâàþòñÿ òàêæå ýêâèâàëåíòíûìè. Äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ ñóùåñòâóåò êîíñòðóêòèâíûé ïðèåì íàõîæäåíèÿ ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèè àâòîìàòà Ìèëÿ è Ìóðà. Ýòîò ïðèåì îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ïîíÿòèÿ i-ñîâìåñòèìîñòè ñîñòîÿíèé. Ñîñòîÿíèÿ ai1, ..., ain àâòîìàòà Ìèëè íàçûâàþòñÿ i-ñîâìåñòèìûìè äëÿ ëþáîãî äàííîãî i = 1, 2, ..., åñëè (ñ òî÷íîñòüþ äî íåîïðåäåëåííûõ ðåçóëüòàòîâ) ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ëþáîãî ñëîâà äëèíû i ê ñîñòîÿíèÿì ai1, ..., ain áóäåò îäíèì è òåì æå, íàõîäÿñü â çàâèñèìîñòè ëèøü îò âûáî48

ðà ñëîâà, íî íå îò âûáîðà ñîñòîÿíèÿ. Ñîñòîÿíèÿ àâòîìàòà Ìóðà íàçûâàþòñÿ 0-ñîâìåñòèìûìè, åñëè (íå ñ÷èòàÿ íåîïðåäåëåííûõ îòìåòîê) îíè îäèíàêîâî îòìå÷åíû; îíè íàçûâàþòñÿ i-ñîâìåñòèìûìè äëÿ ëþáîãî i = 1, 2, ..., åñëè îíè 0-ñîâìåñòèìû è (ñ òî÷íîñòüþ äî íåîïðåäåëåííûõ ðåçóëüòàòîâ) ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ëþáîãî äàííîãî ñëîâà äëèíû i êî âñåì ðàññìàòðèâàåìûì ñîñòîÿíèÿì îäèíàêîâ. Î÷åâèäíî, i-ñîâìåñòèìûå ñîñòîÿíèÿ áóäóò òàêæå è ϕ-ñîâìåñòèìûìè äëÿ ëþáîãî j < i. Ñîñòîÿíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà ñîâìåñòèìû, êîãäà îíè i-ñîâìåñòèìû äëÿ âñåõ i =1, 2, ... . i-êëàññîì äàííîãî àâòîìàòà Ìèëè è Ìóðà íàçûâàåòñÿ âñÿêîå ìàêñèìàëüíîå ìíîæåñòâî i-ñîâìåñòèìûõ ìåæäó ñîáîé ñîñòîÿíèé àâòîìàòà, ò. å. òàêîå ìíîæåñòâî, ê êîòîðîìó íåëüçÿ äîáàâèòü íè îäíîãî íîâîãî ñîñòîÿíèÿ áåç íàðóøåíèÿ ñâîéñòâà i-ñîâìåñòèìîñòè. Âñÿêîå ìàêñèìàëüíîå ìíîæåñòâî ñîâìåñòèìûõ ìåæäó ñîáîé ñîñòîÿíèé àâòîìàòà íàçûâàþò ôèíàëüíûì êëàññîì èëè êëàññîì ñîâìåñòèìîñòè àâòîìàòà. Íåïîñðåäñòâåííî ïî òàáëèöàì âûõîäîâ ìîãóò áûòü íàéäåíû 1-êëàññû äëÿ àâòîìàòîâ Ìèëè è 0-êëàññû äëÿ àâòîìàòîâ Ìóðà.  ñëó÷àå àâòîìàòà Ìèëè â îäèí è òîò æå 1-êëàññ çà÷èñëÿþòñÿ âñå ñîñòîÿíèÿ, îäèíàêîâî îáîçíà÷àþùèå (ñ òî÷íîñòüþ äî íåîïðåäåëåííûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ) ñòðîêè òàáëèö âûõîäîâ.  ñëó÷àå àâòîìàòà Ìóðà â îäèí è òîò æå 0-êëàññ çà÷èñëÿþòñÿ âñå îäèíàêîâî îòìå÷åííûå ñîñòîÿíèÿ è âñå ñîñòîÿíèÿ, îòìåòêè êîòîðûõ íå îïðåäåëåíû (ïîñëåäíèå ïîïàäàþò, òàêèì îáðàçîì, âî âñå 0-êëàññû). Íà ýòîì ïðèìåðå âèäíî, ÷òî äëÿ ÷àñòè÷íûõ àâòîìàòîâ i-êëàññû, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî è äëÿ ôèíàëüíûõ êëàññîâ. Äëÿ âïîëíå îïðåäåëåííûõ àâòîìàòîâ i-êëàññû íå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ìåæäó ñîáîé. Ïóñòü K1(i), ..., Kp(i) – ñîâîêóïíîñòè âñåõ i-êëàññîâ àâòîìàòà (Ìèëè èëè Ìóðà). Ãîâîðÿò, ÷òî òîæäåñòâî N ñîñòîÿíèé aj1, ..., ajk, öåëèêîì ñîäåðæàùååñÿ â îäíîì èç i-êëàññîâ Kr(i) âûäåðæèâàåò óìíîæåíèå íà âõîäíóþ áóêâó zm, åñëè âñå ñîñòîÿíèÿ δ(aj1, zm), δ(aj2, zm), ..., δ(ajk, zm) (íå ñ÷èòàÿ òåõ, êîòîðûå íå îïðåäåëåíû) ñîäåðæàòñÿ â îäíîì è òîì æå iêëàññå Kt(i), çàâèñÿùåì îò âûáîðà N è zm ∈ N. Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíûõ ïîäìíîæåñòâ ñîñòîÿíèé êàæäîãî i-êëàññà, âûäåðæèâàþùèõ óìíîæåíèå íà âñå áóêâû z1, z2, ..., zF âõîäíîãî àëôàâèòà àâòîìàòà íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé ðàñùåïëåíèÿ (ðàçáèåíèÿ) i-êëàññîâ. Îïåðàöèÿ ðàñùåïëåíèÿ i-êëàññîâ âûïîëíÿþòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðåõîäîâ ðàññìàòðèâàåìîãî àâòîìàòà. 49

 ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ðàñùåïëåíèÿ i-êëàññîâ àâòîìàòà Ìèëè èëè Ìóðà âîçíèêàþò âñå (i+1)-êëàññû ýòîãî àâòîìàòà (i = 1, 2, ...). Èìè ÿâëÿåòñÿ âñå ìàêñèìàëüíûå ìíîæåñòâà, âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ðàñùåïëåíèÿ. Åñëè ïðèìåíÿòü ïîñëåäîâàòåëüíî îïåðàöèþ ðàñùåïëåíèÿ i-êëàññîâ ê êîíå÷íîìó àâòîìàòó Ìèëè èëè Ìóðà, îòïðàâëÿÿñü îò 1-êëàññîâ (äëÿ àâòîìàòà Ìèëè) èëè îò 0-êëàññîâ (äëÿ àâòîìàòà Ìóðà), òî ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ íåêîòîðîãî k ≥ 0 ïðîöåññ ðàñùåïëåíèÿ k-êëàññîâ äàñò â ðåçóëüòàòå òå æå ñàìûå k-êëàññû. Óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ (íåðàñùåïëÿåìûå äàëåå) k-êëàññû áóäóò ñîâïàäàòü ñ ôèíàëüíûìè êëàññàìè èñõîäíîãî àâòîìàòà. Ýòîò ïîëó÷åííûé Â. Ì. Ãëóøêîâûì [2] ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ìèíèìèçàöèè ÷èñëà ñîñòîÿíèé êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ. 5.4. Àâòîìàò ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé Îáîçíà÷èì c1, c2, ..., cS ôèíàëüíûå êëàññû êàêîãî-ëèáî àâòîìàòà A ñ âõîäíûì àëôàâèòîì Z = {z1, z2, ..., zF}. Òàê êàê ôèíàëüíûå êëàññû ÿâëÿþòñÿ âìåñòå ñ òåì è j-êëàññàìè äëÿ âñåõ j = 0, 1, 2, ..., òî äëÿ êàæäîé áóêâû zk âñå ñîñòîÿíèÿ, âõîäÿùèå â ëþáîé ôèíàëüíûé êëàññ Cm, ïîðîæäàþò îäèí è òîò æå âûõîäíîé ñèãíàë (äëÿ àâòîìàòà Ìèëè) èëè îòìå÷åíû îäíèì è òåì æå âûõîäíûì ñèãíàëîì (äëÿ àâòîìàòà Ìóðà), ëèáî ñîîòâåòñòâóþùèå âûõîäíûå ñèãíàëû íå îïðåäåëåíû. Ïîñòðîèì òàáëèöó âûõîäîâ íåêîòîðîãî àâòîìàòà Ñ, ñîñòîÿíèÿìè êîòîðîãî ñëóæàò ôèíàëüíûå êëàññû c1, c2, ..., cS, à âõîäíûìè ñèãíàëàìè – áóêâû àëôàâèòà Z. Äëÿ àâòîìàòà Ìèëè îòíîñèì êàæäîé ïàðå (cm, zk) âûõîäíîé ñèãíàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðå (aν, zk) äëÿ ëþáîãî an èç êëàññà cm, äëÿ êîòîðîãî ýòîò ñèãíàë îïðåäåëåí. Åñëè æå äëÿ âñåõ ïàð (aν, zk) ñîîòâåòñòâóþùèå èì âûõîäíûå ñèãíàëû íå îïðåäåëåíû, òî ñ÷èòàåì, ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë ïàðû (cm, zk) òàêæå íå îïðåäåëåí. Äëÿ àâòîìàòà Ìóðà îòìå÷àåì êàæäûé êëàññ cm âûõîäíûì ñèãíàëîì, êîòîðûì îòìå÷åí ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò av ∈ cm. Åñëè æå âñå ýëåìåíòû, âõîäÿùèå â cm íå îòìå÷åíû, òî áóäåì ñ÷èòàòü îòìåòêó êëàññà cm íåîïðåäåëåííîé. Òàáëèöó δ1 ïåðåõîäîâ àâòîìàòà C ïîñòðîèì ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: ïåðåõîä èç cm â δ1(cm, zk) áóäåò ñ÷èòàòüñÿ íåîïðåäåëåííûì, åñëè äëÿ ñîñòîÿíèé av, ñîñòàâëÿþùèõ êëàññ cm, ïåðåõîä èç av â δ(av, zk) íå îïðåäåëåí. Åñëè æå õîòÿ áû äëÿ îäíîãî ñîñòîÿíèÿ av ∈ cm ïåðåõîä èç av â δ(av, zk) îïðåäåëåí, òî ïåðåõîä èç cm â δ1(cm, zk) òàêæå áóäåò ñ÷èòàòüñÿ îïðå50

äåëåííûì, à â êà÷åñòâå ñîñòîÿíèÿ δ1(cm, zk) áóäåò ïðèíèìàòüñÿ ëþáîé èç ôèíàëüíûõ êëàññîâ ci (èõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî), ñîäåðæàùèé âñå îïðåäåëåííûå ñîñòîÿíèÿ âèäà δ(av, zk)(av∈cm). Î÷åâèäíî, ôèíàëüíûå êëàññû ci ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè âñåãäà ñóùåñòâóþò. Çà íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà Ñ ìîæíî ïðèíÿòü ëþáîé ôèíàëüíûé êëàññ, ñîäåðæàùèé íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà A, ëèáî ïðèíÿòü çà íà÷àëüíûå ñîñòîÿíèÿ àâòîìàòà Ñ íåêîòîðûå èëè âñå ôèíàëüíûå êëàññû, ñîäåðæàùèå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà A. Ñîâîêóïíîñòü E âñåõ ôèíàëüíûõ êëàññîâ àâòîìàòà A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîëíîòû è óñëîâèþ çàìêíóòîñòè. Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà A ïðèíàäëåæèò êàêîìó-ëèáî èç ôèíàëüíûõ êëàññîâ. Âòîðîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîé áóêâû âõîäíîãî àëôàâèòà âñå ñîñòîÿíèÿ êàæäîãî ôèíàëüíîãî êëàññà (ñ òî÷íîñòüþ äî íåîïðåäåëåííûõ ïåðåõîäîâ) ïåðåõîäÿò â ñîñòîÿíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ôèíàëüíîìó êëàññó (òîìó æå ñàìîìó èëè äðóãîìó). Ïóñòü E0 – íàèìåíüøåå ïîäìíîæåñòâî E, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì ïîëíîòû è çàìêíóòîñòè. Óñëîâèå çàìêíóòîñòè çäåñü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîé áóêâû âõîäíîãî àëôàâèòà âñå ñîñòîÿíèÿ êàæäîãî ôèíàëüíîãî êëàññà èç E0 (ñ òî÷íîñòüþ äî íåîïðåäåëåííûõ ïåðåõîäîâ) ïåðåõîäÿò â ñîñòîÿíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó (òîìó æå ñàìîìó èëè äðóãîìó) ôèíàëüíîìó êëàññó èç E0. Íàçîâåì ìèíèìàëüíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé àâòîìàòà A íîðìàëüíóþ ôîðìó, ïîñòðîåííóþ ïî ìíîæåñòâó ôèíàëüíûõ êëàññîâ E0. Åñëè â ìèíèìàëüíîé íîðìàëüíîé ôîðìå Ñ ñâÿçíîãî àâòîìàòà A â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ âûáðàí êàêîé-ëèáî ôèíàëüíûé êëàññ, ñîäåðæàùèé íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà A, òî àâòîìàò Ñ áóäåò èìåòü íàèìåíüøåå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñðåäè âñåõ àâòîìàòîâ, ýêâèâàëåíòíî ïðîäîëæàþùèõ àâòîìàò A. Ïðîöåññ ìèíèìèçàöèè àâòîìàòà A ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî ýâðèñòè÷åñêîãî ïðèåìà ñòðîèòñÿ ýêâèâàëåíòíûé àâòîìàòó A àâòîìàò B ñ ìåíüøèì, ÷åì ó A êîëè÷åñòâîì ñîñòîÿíèé, à íà âòîðîì ýòàïå ñòàíäàðòíûì ìåòîäîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ àâòîìàòà A. Ïðè ýòîì ÷åì ìåíüøå êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé èìååò àâòîìàò B, òåì ïðîùå áóäåò åãî ïîñëåäóþùàÿ ìèíèìèçàöèÿ. Íàèáîëüøèé îáúåì ðàáîòû ïî ìèíèìèçàöèè àâòîìàòà ñâÿçàí ñ íàõîæäåíèåì ôèíàëüíûõ êëàññîâ. Äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ ýòà ðàáîòà ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî óïðîùåíà ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíûõ òàáëèö. Ïðàâèëà ñîñòàâëåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ òàáëèö óäîáíåå âñåãî ðàññìîòðåòü íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ àáñòðàêòíîãî ñèíòåçà àâòîìàòîâ. 51

5.5. Ïðèìåð ìèíèìèçàöèè àâòîìàòà Ìèëè Ïóñòü ÷àñòè÷íûé àâòîìàò Ìèëè A çàäàí ãðàôîì, ïðèâåäåííûì íà ðèñ. 5.1. Ýòî ñâÿçíûé àâòîìàò áåç íåîïðåäåëåííûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ. Åãî ìèíèìèçàöèþ áóäåì îñóùåñòâëÿòü â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ýêâèâàëåíòíûé àâòîìàòó A àâòîìàò B ñ ìåíüøèì ÷åì ó A ÷èñëîì ñîñòîÿíèé. Ñîãëàñíî ðèñ. 5.1, åäèíñòâåííûì ïðèìåíèìûì ê ñîñòîÿíèÿì a4, a6, a9 è a18 âõîäíûì ñëîâîì áóäåò îäíîáóêâåííîå ñëîâî p = α ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ q = w0. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñîñòîÿíèÿ a4, a6, a9 è a18 ñîâìåñòèìû, è èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñîñòîÿíèåì b4. Òî÷íî òàê æå óáåäèìñÿ â ñîâìåñòèìîñòè ñîñòîÿíèé a11, a14, a15 è a20, â ñèëó ÷åãî èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñîñòîÿíèåì b7. Äëÿ ñîñòîÿíèé a3, a5, a8 ïðèìåíèìûìè âõîäíûìè ñëîâàìè áóäóò ëèøü äâóõáóêâåííîå ñëîâî p1= αα, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ q1= w0w0, è îäíîáóêâåííîå ñëîâî p = α ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ q = w0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîÿíèÿ a3, a5, a8 ñîâìåñòèìû, è èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñîñòîÿíèåì b3. Ïåðåîáîçíà÷èâ òåïåðü íà ðèñ. 5.1 a0 íà b0, a1 íà b1, a2 íà b2, a7 íà b5, a10 íà b6, a12 íà b8, a13 íà b9, a16 íà b10, a17 íà b11 è a19 íà b12, ïîëó÷èì ãðàô àâòîìàòà Ìèëè B, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 5.9. α/ w 0 z0/w 1

z 0/β b1

b2

b3

w z 0/ z1/ w 0

z1 / β b5

z 0/

b0

z1 /

β b 10

α/ w 1

w1 w α/

z1 / w 1

Ðèñ. 5.9

52

α/ w 0

b4

w0

b9

z 0 /w 0 b8

w0

b6

z 1/

z1/β

z1 /

α/ w 0

b0

1

z0/β b 11

z1/w 0

b 12

0

b7

α/ w 1

b0

Àâòîìàò B èìååò òîëüêî 13 ñîñòîÿíèé âìåñòî 21 ñîñòîÿíèÿ ó àâòîìàòà A. Ýòè àâòîìàòû ýêâèâàëåíòíû. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîéäÿ âñå ïóòè èç ñîñòîÿíèÿ b0 ÷åðåç äðóãèå ñîñòîÿíèÿ îïÿòü â b0, óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî îïåðàòîð àâòîìàòà B îïðåäåëåí íà âñåõ âõîäíûõ ñëîâàõ èç òàáë. 5.3 è íà èõ íà÷àëüíûõ îòðåçêàõ. Äðóãèõ ñëîâ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà  íå ñîäåðæèò. Ïðè ýòîì êàæäîìó âõîäíîìó ñëîâó îïåðàòîð àâòîìàòà B ñîïîñòàâëÿåò òî æå ñàìîå åäèíñòâåííîå âûõîäíîå ñëîâî, ÷òî è îïåðàòîð àâòîìàòà A. Òàáëèöà 5.12 bt`

α

z

z

b b b b! b" b# b$ b% b& b' b b b

– – – b"/w b/w – b%/w b/w – – – b"/w b%/w

b/β b /β b!/w – – b!/w1 – – b'/w b%/w b/w – –

b&/β b#/β b!/w – – b$/w – – b/β b%/w b /w – –

Ãðàôó ðèñ. 5.9 ñîîòâåòñòâóåò òàáëèöà ïåðåõîäîâ-âûõîäîâ òàáë. 5.12 àâòîìàòà B. Ôèíàëüíûå êëàññû ýòîãî àâòîìàòà áóäåì èñêàòü ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíîé òàáëèöû (òàáë. 5.13), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñòðîêè îáîçíà÷àþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè b1, b2, ..., bh–1, à ñòîëáöû ñîñòîÿíèÿìè b0, b1, ..., bh–2, ãäå h – ÷èñëî ñîñòîÿíèé àâòîìàòà. Íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà çàïèñûâàþòñÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñîâìåùåíèå ñîñòîÿíèé bi è bj. Åñëè ñîñòîÿíèÿ íåëüçÿ ñîâìåñòèòü íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ, ñòàâèòñÿ çíàê ×, åñëè ñîâìåùàþòñÿ áåçóñëîâíî, òî çíàê ∨. Êëåòêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåñå÷åíèÿì ñòðîê è ñòîëáöîâ ñ îäèíàêîâûìè èíäåêñàìè, íå çàïîëíÿþòñÿ. Îêîí÷àòåëüíîå ñîâìåùåíèå ñî53

ñòîÿíèé îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè àíàëèçà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè óñëîâèé, çàïèñàííûõ â êëåòêàõ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà òðåóãîëüíàÿ òàáëèöà (òàáë. 5.13) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñîãëàñíî òàáë. 5.12, ñîñòîÿíèÿì b0 è b1 äëÿ êàæäîãî âõîäíîãî ñèãíàëà ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå âûõîäíûå ñèãíàëû, ïîýòîìó ñîñòîÿíèÿ b0 è b1 ìîæíî ñîâìåñòèòü, åñëè ïðè êàæäîì âõîäíîì ñèãíàëå îíè ïåðåõîäÿò â ñîâìåñòèìûå ñîñòîÿíèÿ, ò. å. åñëè ìîæíî ñîâìåñòèòü ñîñòîÿíèå b1 ñ b2 è ñîñòîÿíèå b8 ñ b5. Ýòè óñëîâèÿ è çàïèñûâàþòñÿ â âåðõíþþ êëåòêó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòîëáöó äëÿ b0 (òàáë. 5.13). Ïîñêîëüêó äëÿ ñîñòîÿíèé b0 è b2 íàéäåòñÿ âõîäíîé ñèãíàë, äëÿ êîòîðîãî (ñì. òàáë. 5.12) âûäàþòñÿ ðàçëè÷íûå âõîäíûå ñèãíàëû, ýòè ñîñòîÿíèÿ ñîâìåñòèòü íåâîçìîæíî, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ êëåòêà òàáë. 5.13 îòìå÷àåòñÿ ñèìâîëîì ×. Ñîñòîÿíèÿ b0 è b3 ñîâìåùàþòñÿ áåçóñëîâíî, ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì âõîäíîì ñèãíàëå ïåðåõîä îïðåäåëåí òîëüêî äëÿ îäíîãî èç íèõ.  ñîîòâåòñòâóþùåé êëåòêå òàáë. 5.13 íóæíî ïîñòàâèòü ïîýòîìó ñèìâîë ∨. Çàòåì àíàëèçèðóþòñÿ îñòàëüíûå ïàðû ñîñòîÿíèé ñòîëáöà òàáë. 5.13, îòìå÷åííîãî ñîñòîÿíèåì b0, ïîñëå ÷åãî òî÷íî òàê æå àíàëèçèðóþòñÿ ïàðû ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâóþùèå îñòàëüíûì ñòîëáöàì, íà÷èíàÿ ñ âåðõíåé ñòðîêè â êàæäîì ñòîëáöå.  ðåçóëüòàòå ýòîãî àíàëèçà âñå êëåòêè òàáë. 5.13 îêàæóòñÿ çàïîëíåííûìè ñèìâîëàìè ×, ∨ èëè óñëîâèÿìè, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñîâìåùåíèå ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ êëåòêàì. Ïîñëå ýòîãî íà÷èíàåòñÿ àíàëèç óñëîâèé, çàïèñàííûõ â êëåòêàõ òàáë. 5.13. Ñîñòîÿíèÿ b0 è b1 ìîæíî ñîâìåñòèòü â òîì ñëó÷àå, åñëè ñîâìåñòèìû ñîñòîÿíèÿ b1, b2 è b5, b8. Íî â êëåòêå, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîñòîÿíèÿì b1, b2, ñòîèò çíàê×, ïîýòîìó ñîâìåñòèòü ñîñòîÿíèÿ b0 è b1 íåâîçìîæíî è â ñîîòâåòñòâóþùåé èì êëåòêå ñòàâèòñÿ ñèìâîë ×. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèì, ÷òî è â êëåòêå, îòìå÷åííîé ñîñòîÿíèÿìè b2, b4, íóæíî ïîñòàâèòü çíàê ×.  êëåòêå, îòìå÷åííîé ñîñòîÿíèÿìè b0 è b4, ñòîèò ñèìâîë ∨, ïîýòîìó â êëåòêå, îòìå÷åííîé ñîñòîÿíèÿìè b3 è b4, òàê æå íóæíî ïîñòàâèòü ∨.  ðåçóëüòàòå ïîñëå òàêîãî àíàëèçà êëåòîê, â êîòîðûõ çàïèñàíû óñëîâèÿ ñîâìåñòèìîñòè, â êàæäîé êëåòêå òàáë. 5.13 áóäåò ñòîÿòü ñèìâîë × èëè ñèìâîë ∨. Ïî òàêîé òðåóãîëüíîé òàáëèöå ìîæíî íàéòè ôèíàëüíûå êëàññû. Ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ìíîæåñòâà ôèíàëüíûõ êëàññîâ, ïðåäïîëàãàþùàÿ ïîëíûé ïåðåáîð ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé, ïðèâåäåíà â ëèòåðàòóðå [5]. Ïîñêîëüêó ÷àñòî ýòà ïðîöåäóðà îêàçûâàåòñÿ ãðî54

Òàáëèöà 5.13 b

b, b × b#, b&

b

×

×

b!

∨

∨

∨

b"

∨

∨

∨

b, b" ∨

b#

×

×

×

∨

∨

b$

∨

∨

∨

×

×

∨

b%

∨

∨

∨

×

×

∨

∨

b&

×

×

×

∨

∨

×

∨

∨

b'

×

×

×

∨

∨

×

∨

∨

×

b

×

×

×

∨

∨

×

∨

∨

×

b%, b × b%, b

b

∨

∨

∨

×

×

∨

∨

∨

∨

b

∨

∨

∨

b", b% ×

∨

∨

×

×

∨

∨

∨

×

b

b

b

b!

b"

b#

b$

b%

b&

b'

b

b

b", b% b, b" × ∨

ìîçäêîé, ðàññìîòðèì óïðîùåííûé ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ ìíîæåñòâà ôèíàëüíûõ êëàññîâ. Ýòîò ñïîñîá, ê ñîæàëåíèþ, íå ãàðàíòèðóåò ïîëó÷åíèå îïòèìàëüíîãî ðåçóëüòàòà â ñëó÷àå ÷àñòè÷íîãî àâòîìàòà ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé, òàê êàê ñîäåðæèò ýëåìåíòû àëüòåðíàòèâíîãî íåôîðìàëüíîãî âûáîðà ïðè äîîïðåäåëåíèè àâòîìàòà è â ïðîöåññå âêëþ÷åíèÿ 55

êîíêðåòíûõ ñîñòîÿíèé â ôèíàëüíûå êëàññû. Ïðåäëàãàåìûé ñïîñîá ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ïðîöåäóðû. 1. Ôîðìèðóåòñÿ ìíîæåñòâî ïàð ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé íà îñíîâàíèè ðàçìåòêè êàæäîãî ñòîëáöà òðåóãîëüíîé òàáëèöû. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî àâòîìàòà Ìèëè (òàáë. 5.12) ïî òàáë. 5.13 íàõîäèì ñëåäóþùèå ïàðû ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé: (b0, b3), (b0, b4), (b0, b6), (b0, b7), (b0, b11), (b0, b12),

(b1, b3), (b1, b4), (b1, b6), (b1, b7), (b1, b11), (b1, b12),

(b2, b3), (b2, b4), (b2, b6), (b2, b7), (b2, b11), (b2, b12),

(b3, b4), (b3, b5), (b3, b8), (b3, b9), (b3, b10),

(b4, b5), (b4, b8), (b4, b9), (b4, b10), (b4, b12),

(b5, b6), (b5, b7), (b5, b11), (b5, b12),

(b6, b7), (b7, b8), (b8, b11), (b9, b11), (b10, b11), (b8, b12), (b9, b12), (b10, b12). (b6, b8), (b7, b9), (b6, b9), (b7, b10), (b6, b10), (b7, b11), 2. Íà îñíîâå ïîëó÷åííîãî ìíîæåñòâà ïðîèçâîäèòñÿ óêðóïíåíèå ãðóïï ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî äîëæíà áûòü ïîëó÷åíà ïîëíàÿ ñîâîêóïíîñòü ôèíàëüíûõ êëàññîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ âñå ñîñòîÿíèÿ ñîâìåñòèìû ìåæäó ñîáîé. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ñëîæíîñòè ýòîé ïðîöåäóðû âîçìîæíî ïðè ôîðìèðîâàíèè êàæäîãî î÷åðåäíîãî êëàññà ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé íå ðàññìàòðèâàòü ñîñòîÿíèÿ, óæå âîøåäøèå â êàêîé-ëèáî èç ñôîðìèðîâàííûõ êëàññîâ.  ÷àñòíîñòè, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå b0 ñîâìåñòèìî ñ ñîñòîÿíèÿìè b3 è b4, ïðè÷åì ñîñòîÿíèå b3 òàê æå ñîâìåñòèìî ñ ñîñòîÿíèåì b4, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ìîæíî âêëþ÷èòü â îäèí ôèíàëüíûé êëàññ K1. Ñîñòîÿíèå b0 ñîâìåñòèìî è ñ ñîñòîÿíèåì b6, îäíàêî b6 íå ñîâìåñòèìî ñ ñîñòîÿíèåì b3 è íå ìîæåò âõîäèòü â ýòîò æå ôèíàëüíûé êëàññ. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ îáíàðóæèâàåòñÿ ïðè àíàëèçå ñîâìåñòèìûõ ñ b0 ñîñòîÿíèé b7, b11, b12. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ôîðìèðóþòñÿ è âñå îñòàëüíûå ôèíàëüíûå êëàññû.  ðåçóëüòàòå áóäóò ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå êëàññû ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé: K1 = {b0, b3, b4}, K5 = {b8}, K2 = {b1, b6, b7}, K6 = {b9}, K7 = {b10}. K3 = {b2, b11}, K4 = {b5, b12}, 56

3. Ïðîèçâîäèòñÿ àíàëèç ïîëó÷åííûõ ôèíàëüíûõ êëàññîâ íà óäîâëåòâîðåíèå óñëîâèÿì ïîëíîòû è çàìêíóòîñòè. Ïðîâåðêà óñëîâèÿ ïîëíîòû î÷åâèäíà è íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé, à ïðîâåðêà óñëîâèÿ çàìêíóòîñòè âûïîëíÿåòñÿ ïî òàáëèöå ïåðåõîäîâ-âûõîäîâ äëÿ âñåõ ñîñòîÿíèé àâòîìàòà. Åñëè êàêèå-ëèáî äâà ñîñòîÿíèÿ, âõîäÿùèå â îäèí èç âûáðàííûõ ôèíàëüíûõ êëàññîâ, ïåðåâîäÿòñÿ íåêîòîðûì âõîäíûì ñèãíàëîì â ñîñòîÿíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå ðàçíûì êëàññàì, òî íóæíî âûáðàòü íîâîå ðåøåíèå è ïðîâåðèòü åãî íà çàìêíóòîñòü. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî àâòîìàòà ïðè ïðîâåðêå ôèíàëüíûõ êëàññîâ íà çàìêíóòîñòü îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðèíàäëåæàùèå êëàññó K2 ñîñòîÿíèÿ b6 è b7 ñèãíàëîì a ïåðåâîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå ðàçíûì êëàññàì (b6 –a→ b7 ∈ K1, à b7 –a→ b0 ∈ K2), ò. å. óñëîâèå çàìêíóòîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî îäíî èç ýòèõ ñîñòîÿíèé (íàïðèìåð, b7) ïåðåíåñòè â äðóãîé êëàññ, íå íàðóøàÿ ïðè ýòîì óñëîâèå çàìêíóòîñòè. Òàêèì êëàññîì ìîæåò áûòü êëàññ K5.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîëó÷åíî îêîí÷àòåëüíîå ìíîæåñòâî ôèíàëüíûõ êëàññîâ, ñîâïàäàþùèõ ñ ñîñòîÿíèÿìè ìèíèìèçèðîâàííîãî àâòîìàòà C c0 = K1 = {b0, b3, b4}, c1 = K2 = {b1, b6}, c0 = K3 = {b2, b11},

c3 = K4 = {b5, b12}, c4 = K5 = {b7, b8}, c5 = K6 = {b9}.

c6 = K7 = {b10}.

4. Ñòðîèòñÿ òàáëèöà ïåðåõîäîâ-âûõîäîâ ìèíèìèçèðîâàííîé íîðìàëüíîé ôîðìû çàäàííîãî àâòîìàòà. Äàëåå ïî ýòîé òàáëèöå ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàô ïåðåõîäîâ ìèíèìèçèðîâàííîãî àâòîìàòà. Ñîñòîÿíèÿ ïåðåõîäîâ è âûõîäíûå ñèãíàëû â ýòîì àâòîìàòå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïåðåõîäàì è âûõîäíûì ñèãíàëàì òîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå íàèáîëåå ïîëíî îïðåäåëåíî. Òàáëèöà 5.14 ct–

α

z

z

c c c c! c" c# c$

c /w c" /w c /w c" /w c0 /w – –

c /β c /β c /w c /w c# /w c" /w c /w

c" /β c! /β c0 /w c /w c$ /β c" /w c! /w

57

z1

z0

α

c2

β

w1

w

1

z0

α

w0

w0 z0

c0 w 1 z1 w1

β

z c1 w 0 1

w0

β

z1

c2 w 1 αz

α

0

w1 β α c 4

z1

w0 z0 w0 w1

w0 z0 c5 z1

z1 c6

z0

β Ðèñ. 5.10

 ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ïîëó÷åíû òàáëèöà ïåðåõîäîâ-âûõîäîâ ìèíèìèçèðîâàííîãî àâòîìàòà (òàáë. 5.14) è ãðàô ïåðåõîäîâ (ðèñ. 5.10). 5.6. Ïðèìåð ìèíèìèçàöèè àâòîìàòà Ìóðà Ïóñòü ÷àñòè÷íûé àâòîìàò Ìóðà A çàäàí ãðàôîì, ïðåäñòàâëåííûì íà ðèñ. 5.2. Ïîñêîëüêó âñå ñîñòîÿíèÿ ýòîãî àâòîìàòà äîñòèæèìû, à âûõîäíûå ñèãíàëû îïðåäåëåíû äëÿ âñåõ ñîñòîÿíèé, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü èñêëþ÷àòü íåäîñòèæèìûå ñîñòîÿíèÿ. Áóäåì îïÿòü ìèíèìèçèðîâàòü àâòîìàò â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ýêâèâàëåíòíûé àâòîìàòó A àâòîìàò B ñ ìåíüøèì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé. Ñîãëàñíî ðèñ. 5.2, åñëè àâòîìàò A óñòàíîâëåí â ëþáîå èç ñîñòîÿíèé a4, a6, a9, òî åäèíñòâåííûì äîïóñòèìûì âõîäíûì ñëîâîì áóäåò îäíîáóêâåííîå ñëîâî p = α, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå îäíîáóêâåííîå ñëîâî p = 0. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñîñòîÿíèÿ a4, a6, a9 ñîâìåñòèìû è èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñîñòîÿíèåì b4. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèì, ÷òî ñîâìåñòèìû ñîñòîÿíèÿ a11 è a15, a14 è a20. Ïåðâóþ ïàðó çàìåíèì ñîñòîÿíèåì b8, âòîðóþ – ñîñòîÿíèåì b13. Åñëè àâòîìàò óñòàíîâëåí â ñîñòîÿíèÿ a3 è a8, òî äîïóñòèìûìè âõîä58

íûìè ñëîâàìè áóäóò ëèøü äâóõáóêâåííîå ñëîâî p 1= αα, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò âûõîäíîå ñëîâî q1= w0w0 è îäíîáóêâåííîå ñëîâî p = α, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò âûõîäíîå ñëîâî q = w0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîÿíèÿ a3 è a8 ñîâìåñòèìû, è èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñîñòîÿíèåì. Ïåðåîáîçíà÷èâ òåïåðü íà ðèñ. 5.2 a0" íà b0", a0' íà b0', a1 íà b1, a2 íà b2, a5 íà b5, a7 íà b6, a10 íà b7, a11 íà b8, a12 íà b9, a13 íà b10, a16 íà b11, a19 íà b12, a20 íà b13, a17 íà b14, a18 íà b15, ïîëó÷èì ãðàô àâòîìàòà Ìóðà B, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 5.11. Àâòîìàò B èìååò 17 ñîñòîÿíèé âìåñòî 22 ó àâòîìàòà A è ýòè àâòîìàòû ýêâèâàëåíòíû. z1 b2 z0 b 0´ w0

z0 z1

β

z0 b ´´0 z 1 w1

β

z1 z0

β

z0 z0

b6

a3 w1 α α

b10 w0

b 11 β

α

α

b8 w0

α

b´´0

α

b13 w0

α

b´´0

b ´0

b3 w1

β z1 b 7 w0 z1

z1

a5 w0

z0 z1

b 12 w1 z0

b14 w0

α

b15 w1

α

b ´0

Ðèñ. 5.11

Äåéñòâèòåëüíî, ïðîéäÿ âñå ïóòè èç íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé ÷åðåç äðóãèå ñîñòîÿíèÿ îïÿòü â íà÷àëüíûå, óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî îïåðàòîð àâòîìàòà îïðåäåëåí íà âñåõ âõîäíûõ ñëîâàõ èç òàáë. 5.3 è íà íà÷àëüíûõ îòðåçêàõ è òîëüêî íà íèõ. Ïðè ýòîì êàæäîìó âõîäíîìó ñëîâó îí ñîïîñòàâëÿåò òî æå ñàìîå åäèíñòâåííîå âûõîäíîå ñëîâî, ÷òî è îïåðàòîð àâòîìàòà A. Ãðàôó ðèñ. 5.11 ñîîòâåòñòâóåò îòìå÷åííàÿ òàáëèöà ïåðåõîäîâ (òàáë. 5.15) àâòîìàòà B. Ôèíàëüíûå êëàññû àâòîìàòà B áóäåì íàõîäèòü ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíîé òàáëèöû (òàáë. 5.16), êîòîðàÿ çàïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ àâòîìàòà Ìèëè. Ôèíàëüíûå êëàññû íàõîäÿòñÿ èç íåå äëÿ àâòîìàòà Ìóðà ïî òåì æå ïðàâèëàì, ÷òî è àâòîìàòà Ìèëè. 59

Òàáëèöà 5.15 wt–

bt–

α

z

z

w

b

–

b

b'

w

b

–

b

b'

β

b

–

b

b$

β w

b

–

b3

b#

b!

b"

–

–

w

b"

b

–

–

w

b#

b"

–

–

β w

b$

–

b!

b%

b%

b&

–

–

w

b&

b

–

–

β w

b'

–

b

b

b

–

b!

b&

β w

b

–

b"

b

b

b!

–

–

w

b!

b

–

–

w

b"

b#

–

–

w

b#

b

–

–

Èç òàáë. 5.16 èìååì ñëåäóþùèå ïàðû ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé: (b0', b4), (b0", b3), (b3, b15), (b4, b5), (b5, b10), (b0", b8), (b4, b10), (b0', b5), (b0", b12), (b0', b7), (b0', b13), (b0", b15), (b0', b14), (b7, b10), (b10, b13), (b13, b14). (b7, b13), (b10, b14), Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ óêðóïíåíèÿ ãðóïï ñîâìåñòèìûõ ñîñòîÿíèé ïîëó÷èì ôèíàëüíûå êëàññû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîñòîÿíèÿ ìèíèìàëüíîãî àâòîìàòà C. C5 = K7 = {b8}, C0' = K1 = {b0', b4, b5}, C0'’ = K2 = {b0'’, b3, b15}, C6 = K8 = {b9}, 60

Òàáëèöà 5.16 × ×

×

×

×

b , b! × b#, b$

×

∨

×

×

∨

×

×

×

×

∨

×

×

×

 , b" × b∨

×

×

∨

×

×

×

×

∨

×

 × b ×, b" ×

×

×

b , b! × b#, b$

×

×

×

×

∨

×

× b",b!

∨

×

×

×

    × b×,b b",×b × b∨, b& ×

∨

×

×

×

 ,b! b",b# × b × ×

×

∨

×

 , b" × b∨

b , b! b , b × # % b$, b% ×

b ,b b!,b × × b$,b b#,b ×

×

b ,b" b!,b" × × b$,b b#,b

×

×

×

 , b& b", b& × b× ×

×

×

×

×

×

×

×

b!,b × b%,b

×

×

×

∨

∨

×

∨

×

×

×

×

b!,b" × b%,b

×

×

×

×

×

×

×

b,b" × × b,b

 × b ×,b! ×

× b&,×b# ×

×

×

  × b×,b

×

×

×

∨

×

×

×

∨

×

 × b∨,b#

×

×

 × b,×b!

×

×

61

C1 = K3 = {b1}, C7 = K9 = {b11}, C8 = K10 = {b12}, C2 = K4 = {b2}, C9 = K11 = {b13, b14}. C3 = K5 = {b6}, C4 = K6 = {b1, b10}, Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî ôèíàëüíûõ êëàññîâ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïîëíîòû è çàìêíóòîñòè, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ òàáë. 5.15. Äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâà ñòðîèì íîðìàëüíóþ ôîðìó àâòîìàòà, êîòîðàÿ è áóäåò ìèíèìàëüíûì àâòîìàòîì ýêâèâàëåíòíî ïðîäîëæàþùèì àâòîìàò A. Îòìå÷åííàÿ òàáëèöà ïåðåõîäîâ ìèíèìàëüíîãî àâòîìàòà ïðèâåäåíà â òàáë. 5.17. Ïî íåé íà ðèñ. 5.12 ïîñòðîåí ãðàô ìèíèìàëüíîãî àâòîìàòà Ìóðà. Òàáëèöà 5.17 wt–

ct–

α

z

z

w w β

c c c

c c –

c c c

c$ c$ c!

β

c

–

c

c

β w w

c! c" c#

– c# c

c c' –

c" c5 –

β

c$

–

c"

c%

β w

c%

–

c'

c&

c&

c'

–

–

w

c'

c

–

–

c7

β

α

α

z0 z1

c8 w1 z0

z1 c6

62

β

z1 c4 w0 α∨z 1 z0

z0

c9 w0

c5 w1 z1

α

α c 0´ w0 z1

Ðèñ. 5.12

c3

β

α c2

c ´´0 w1

α z0

z1

z0 c1

β

β

Ñ ïîìîùüþ òàáë. 5.3 ëåãêî óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî âñå äîïóñòèìûå âõîäíûå ñëîâà îïåðàòîðà àâòîìàòà A è èõ íà÷àëüíûå îòðåçêè ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ìèíèìàëüíîãî àâòîìàòà. Ïî ðèñ. 5.12 íàõîäèì, ÷òî âõîäíîå ñëîâî p = z0z0z1ααα ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ìèíèìàëüíîãî àâòîìàòà. Ñîãëàñíî òàáë. 5.3, ýòî ñëîâî íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà èñõîäíîãî àâòîìàòà A. Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíûé àâòîìàò ýêâèâàëåíòíî ïðîäîëæàåò çàäàííûé.

63