Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Ф акультет п рикладной математики, механики и информатики

Гудович Н . Н .

И ЗБРА Н Н Ы Е В О ПРО СЫ К У РСА Ч И СЛ Е Н Н Ы Х М Е Т О Д О В

В ы п ус к 1. И нтерп оляция алгебраичес кимимногочленами. М ногочлен Л агранж а.

В оронеж 2002

10 . Сущ ес твованиеиединс твеннос ть интерп оляционного многочлена. А лгебраичес ким многочленом с теп ениневы ш еn назы ваю тфункц ию вида p( x ) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn

,

(1.1)

где x - вещ ес твенная п еременная, аa0 , a1, ... , an – вещ ес твенны еконс танты ; п ри an≠0 говорят о многочлене n-ой с теп ени. М ногочлены ввиду п рос тоты вы чис ления их з начений ш ироко ис п ольз ую тс я для п риближ ения функц ий. И менно, ис п ольз уя тот или иной критерий близос ти функций, п о з аданной функции f с троят многочлен p и п ринимаю твкачес твеп риближ ения для f (x) з начение p(x) многочленаp вэ той точке: f (x) ≅ p(x) . Е с ливкачес твекритерия близос тидвух функций п ринимаетс я с овп адениеих з начений внекотором фикс ированном набореточек, то п олучаетс я метод п риближ ения, назы ваемы й интерп оляцией алгебраичес кимимногочленами. Пус ть f – з аданная наотрез ке [ a , b ] функц ия, а x0 , x1 , ... , xn

(1.2)

-п оп арно различны еточкиэ того отрез ка. О п ределение 1.1. И нтерп оляционны м многочленом с теп ени не вы ш е n (обоз начение pn (x;{xi}i=0, ... ,n ; f)) назы ваю тмногочлен (1.1), з начения которого в точках (1.2) с овп адаю тс о з начениямифункции f: pn ( x k ; { xi }i=0, ... , n ; f )= f (x k ) , k = 0, 1, ... , n;

(1.3)

п ри э том точки (1.2) назы ваю тс я уз лами интерп оляции, а функция f интерп олируемой функц ией. Замечание 1.2. М ногочлен pn( x; {xi}, f ) как функция п еременной x з авис ит, во-п ервы х, от функции f и, во-вторы х, от вы борауз ловинтерп оляции (1.2), что и отраж ено вобоз начении. В том с лучае, когдаяс но, о каком наборе уз лов и какой функции идет речь, ес тес твенно ис п ольз овать более п рос тое обоз начение: pn(x). Т еорема 1.3. Д ля лю бого набора (1.2) п оп арно различны х уз лов интерп оляции на отрез ке [a,b] и лю бой з аданной на [a,b] функц ии f интерп оляционны й многочлен pn( x; {xi}; f ) с ущ ес твуетиединс твенен. Д оказательс тво. В осп ольз овавш ис ь (1.1), п ереп иш ем ус ловия (1.3) ввиде: a0 + a1xk + a2(xk)2 + ... + am(xk)m + ... + an(xk)n = f(xk), k=0,1, ... ,n.

(1.4)

Е с линабор уз лов(1.2) з афикс ировать, то с оотнош ения (1.4) мож но расс матривать как с ис тему линейны х алгебраичес ких уравнений относ ительно неиз вес тны х коэ ффициентов a0,a1, ... ,am, ... ,an интерп оляционного многочлена pn( x; {xi}, f ), и п отому воп рос о с ущ ес твовании и единс твеннос ти э того многочлена 2

э квивалентен воп рос у об одноз начной разреш имос ти э той с ис темы п ри лю бы х п равы х частях f(x0), f(x1), ... , f(xk), ... , f(xn).

(1.5)

М атрицас ис темы (1.4) имеет с п ециальны й вид: её m-ты й ( m=0,1, ... ,n ) с толбец с ос тавлен из m-ты х с теп еней чис ел (1.2). М атрицы такого тип авалгебре назы ваю т матриц ами В андермонда; для п ос троения матрицы B э того класс а вы бираю т( необяз ательно различны е) чис ла b0, b1, ... , bk, ... bn

,

(1.6)

воз водятих вm-тую с теп ень ип олученны й уп орядоченны й набор чис ел (b0)m, (b1)m, ... , (bk)m, ... , (bn)m з ап ис ы ваю т ввиде m-того с толбцаматрицы B. И з вес тен с п ос об вы чис ления оп ределителя такой матрицы : с началас ледуетобразовать всевоз мож ны еразнос ти b i – bj ,

i>j

(1.7)

чис ел (1.6), аз атем их п еремнож ить:

det B =

∏ (b i> j

i

− b j)

(1 . 8 )

В наш ем с лучае роль чис ел (1.6) играю т чис ла(1.2): bk=xk, k=0,1, ... ,n. В с илу п редп олож ения о том, что уз лы интерп оляции– п оп арно различны е точки отрез ка[a,b], разнос ти (1.7), аз начит, и их п роиз ведение (1.8) – оп ределитель с ис темы (1.4) – отличны от нуля. Н о тогдас ис темаодноз начно разреш имап ри лю бы х п равы х частях (1.5), что и гарантирует с ущ ес твование и единс твеннос ть интерп оляционного многочлена. Замечание 1.4. Проведенны е расс уж дения указы ваю т ис п ос об п ос троения интерп оляционного многочлена: п о з аданны м уз лам интерп оляции (1.2) и з начениям (1.5) интерп олируемой функции с ос тавляем с ис тему (1.4), реш аем её относ ительно a0,a1, ... ,an и п одс тавляем п олученны е ai в(1.1). Т акой с п ос об п ос троения pn(x) назы ваю тметодом неоп ределённы х коэ ффициентов. Замечание 1.5. Е с ли в рез ультате реш ения с ис темы (1.4) для с тарш их коэ ффициентов an,an-1, ... ,an-r п олучены нулевы е з начения, то фактичес кая с теп ень интерп оляционного многочленас трого меньш е n. 20. М ногочлен Л агранж а. Л агранж ем п редлож ен с п ос об п ос троения интерп оляционного многочлена, которы й нетребуетреш ения с ис темы (1.4) ис ос тоитвс ледую щ ем.

3

1.Ф икс ируя k ( k=0,1,...,n), образуем всевоз мож ны е разнос ти x-xi , i≠k , а з атем, п еремнож ая э тиразнос ти, п олучаем многочлен n-ой с теп ени n

∏(x − x )

,

i

(2.1)

i=0 i≠k

равны й нулю во всех уз лах, кроме xk, и п ринимаю щ ий вуз ле xk ненулевое з начение n

∏(x

k

− xi ) .

(2.2)

i=0 i≠k

Д ля п роиз ведения (2.1) обоз начение

будет ис п ольз оватьс я и более п одробное

(x – x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)

,

(2.1’)

котороеп ри 1≤ k ≤ n-1 с ледуетп онимать буквально, ап ри k=0 и k=n - с читать с имволичес ким обоз начением п роиз ведений (x – x1)(x – x2)...(x – xn)

,

(x – x0)(x – x1)...(x – xn-1)

;

аналогичноеобоз начениебудетис п ольз оватьс я идля (2.2). 2.Д елим многочлен (2.1) на величину (2.2) и п олучаем многочлен n-ой с теп ени n

∏ (x − x ) i

(x − x 0 )(x − x1 )...(x − x k −1 )(x − x k +1 )...(x − x n ) = l k ( x) = (x k − x 0 )(x k − x1 )...(x k − x k −1 )(x k − x k +1 )...(x k − x n )

i =0 i≠k

,

n

∏(x

k

(2.3)

− xi )

i =0 i≠k

равны й единицевуз ле xk инулю вос тальны х уз лах

1 , l k (x i ) =  0 ,

i=k i ≠ k.

(2.4) (2.5)

3.У множ аем многочлен (2.3) на f(xk) и, с уммируя п о k, п риходим к многочлену Л агранж а (x − x i ) ∏ n n (x − x 0 )...(x − x k−1 )(x − x k+1 )...(x − x n ) i ≠k p n (x) = ∑f (x k ) = ∑f ( x k ) = (x k − x 0 )...(x k − x k−1 )(x k − x k +1 )...(x k − x n ) k=0 k =0 ∏(x k − xi ) i ≠k

=

n

∑ f (x k =0

k

) l k (x) .

(2.6) 4

Т еорема 2.1. М ногочлен (2.6) ес ть интерп оляционны й многочлен для функции f , отвечаю щ ий набору уз ловx0,x1,...,xn. Д оказательс тво. М ногочлен (2.6) как линейная комбинация многочленов (2.3) с теп ени n не мож ет иметь с теп ень вы ш е n. Д алее, фикс ируем номер k уз лаинтерп оляции и п олагаем x=xk вформуле (2,6). В с илу (2.5) с лагаемы е с уммы (2.6), отвечаю щ ие з начениям k ≠k, обратятс я в нуль, а ос тавш еес я с лагаемое вс илу (2.4) окаж етс я равны м f(xk). Следовательно, pn(xk)=f(xk), что ввиду п роиз вольнос тиk из аверш аетдоказательс тво. Замечание 2.2. В с илу единс твеннос ти интерп оляционного многочлена многочлен Л агранж а (2.6) с овп адает с интерп оляционны м многочленом (1.1), п олученны м методом неоп ределённы х коэ ффициентов. Предс тавления (1.1) и (2.6) – лиш ь разны еформы з ап ис иинтерп оляц ионного многочлена: п ервоеиз них ес ть разлож ение интерп оляционного многочлена п о базис у из функций 1,x,x2,...,xn, а второе – п о базис у из функций (2.3). Д ос тоинс тво второго разлож ения с ос тоит в том, что коэ ффициенты в разлож ении п о базис у (2.3) с овп адаю тс о з начениями f(xk) функц ии f вуз лах интерп оляции, тогдакак с вяз ь коэ ффициентовai разлож ения (1.1) с величинами f(xk) дос таточно с лож на. 30. Поведение п огреш нос ти интерп оляционного многочлена на отрез ке интерп оляции. О п ределение 3.1. Погреш нос тью интерп оляционного многочленавточке x∈[a,b] ( илип огреш нос тью интерп оляциивточке x ) назы ваетс я величина rn(x) = f(x) – pn(x;{xi};f)

.

(3.1)

В ы ведем формулу для п огреш нос ти интерп оляции втом частном с лучае, когдафункц ия f являетс я многочленом с теп ени n+1 ( т.е. когдаречь идёт о п риближ ениимногочленаf с теп ени n+1 многочленом pn с теп ениневы ш е n ). Т еорема3.2. Д ля лю бого многочленаf с теп ени n+1 с п раведливаформула

f (n+1) (x) n f (n+1) (x) f (x) − pn (x) = ∏(x − xi ) = (n +1)! (x − x0 )(x − x1)...(x − xn ) . (n +1)! i=0

(3.2)

Д оказательс тво. Ф ункция (3.1) как разнос ть многочлена f с теп ени n+1 и многочлена pn с теп ени не вы ш е n ес ть многочлен с теп ени n+1. По оп ределению интерп оляционного многочлена pn функц ия rn(x) обращ аетс я в нуль во всех уз лах интерп оляции xk, аз начит, ивуз ле x0. Н о тогдап о теореме Без у многочлен rn делитс я без ос таткана(x-x0), так что rn(x) = (x – x0)qn(x),

5

где qn – многочлен с теп ени n. Т ак как п ри x=x1 множ итель (x – x0) внуль не обращ аетс я, уз ел x1 ес ть корень многочлена qn, атогдавторичное п рименение теоремы Без у даёт rn(x) = (x – x0)(x – x1)qn-1(x), где qn-1 – многочлен с теп ени n-1. Продолж ая э ти расс уж дения, окончательно п ридём к формуле rn(x) = (x – x0)(x – x1)...(x – xn)q0(x), где q0 – многочлен нулевой с теп ени, т.е. конс танта: q0=const=K. И так, f(x) – pn(x) = K(x – x0)(x – x1)...(x – xn) .

(3.3)

Старш ий член вп равой части(3.3) имеетвид: Kxn+1 , ап отому f(x) – pn(x) = Kxn+1 + gn(x) ,

(3.4)

где gn(x) – многочлен с теп ениневы ш е n . Н айдём конс танту K. Беря от обеих частей равенс тва (3.4) (n+1)-ю п роиз водную п о x иучиты вая, что э тап роиз водная от xn+1 равна (n+1)! , аот многочленовpn, gn с теп ени n – нулю , п олучим f(n+1) (x) = K(n+1)! . В ы раж ая отс ю даконс танту K ип одс тавляя рез ультат в(3.3), п риходим к формуле(3.2). Замечание3.3. Прип ереходеп еременной x через уз ел xk множ итель x –xk меняет з нак, тогдакак ос тальны е множ ители з нак с охраняю т. Поэ тому график п огреш нос ти интерп оляции на отрез ке [a,b] ос циллирую щ ая (т.е. колеблю щ аяс я) кривая, п ерес екаю щ ая ос ь x вуз лах интерп оляц ии: x0

x1

x2

x3

Рис . 3.1

В ы яс ним, как меняетс я размах э тих колебаний п рип еремещ енииточки x п о отрез ку интерп оляции [a,b] ,с читая уз лы xk уп орядоченны мип о воз растанию a≤ x0 < x1 < x2 < ... < xk < ... < xn ≤ b ( чего ранеемы неп редп олагали) иравноотс тоящ ими 6

xk = x0 + kh

,

k=0,1, ... ,n

(3.5)

( з дес ь h > 0 – расс тояниемеж ду с ос еднимиуз лами) . В ведём новую вещ ес твенную п еременную t=

x − x0 h

,

(3.6)

п ринимаю щ ую вуз лах интерп оляциицелы ез начения 0,1, ... ,n ип о э той п ричине ус ловно назы ваемую «целочис ленной» (рис . 3.2).

В с илу (3.3) п огреш нос ть интерп оляции лиш ь чис ловы м множ ителем K отличаетс я отфункции n

ωn+1(x) = ( x − x0 )(x − x1)...(x − xn ) = ∏( x − xi )

,

(3.7)

i=0

п оэ тому характер из менения п огреш нос ти п ри из менении x п олнос тью оп ределяетс я функцией (3.7). При э том в формуле (3.7) удобно п ерейти к п еременной t с п омощ ью вы текаю щ его из (3.6) с оотнош ения x = x0 + th .

(3.8)

И з с оотнош ений (3.8),(3.5) п олучаем x – x0 = th , x – x1 = x – x0 – h = th – h = (t – 1)h, ... , x – xn = x – x0 – nh = (t – n)h , ап отому

ωn+1(t) = ωn+1( x)

n +1 = h t ( t +1) ...( t +k) ...( t +n) . x=x +th

(3.9)

0

В ы берем точку x , отличную от уз ловинтерп оляции, п равее с ередины отрез ка [x0,xn] (что с оответс твует t>n/2) и вы яс ним, как с вяз аны з начения функции(3.7) вточках x и x + h (или, что то ж е с амое, как с вяз аны з начения функции(3.9) вточках t и t + 1). В с илу (3.9) имеем

ωn+1 (t +1) = h n+1 (t +1)t (t −1) ... (t −n+1) =

t +1 n+1 h t (t −1) ... (t −n+1)(t −n) , t −n

с ледовательно

7

ω n+1 ( t +1) =

t +1 ω n+1 ( t ) . t −n

(3.10)

М нож итель t+1 / t – n п о абс олю тной величинебольш еединиц ы . В с амом деле, как видно из рис .3, n n − t < < t +1 2

ап отому 1
1 с ледует с читать арифметичес ким квадратны м корнем из п олож ительного чис ла x2 – 1 , ап ри | x | ≤ 1 - квадратны м корнем из неп олож ительного чис ла x2 – 1 в с мы с ле теории функций комп лекс ного п еременного. При э том в п ос леднем с лучае в качес тве э того корня в обеих круглы х с кобках берутодну иту ж еветвь двуз начной функц ии√z .

14

Т еорема6.4. М ногочлен Tn(x) ес ть многочлен с теп ени n с о с тарш им коэ ффициентом, равны м единице. Д оказательс тво. Переп ис ы вая вы раж ение

a0 + a1 x + ...+ a m x m xn

,

am ≠0

ввиде

a1 a m−1  xm  a0   + + + + ... a m , x x n  x m x m−1  п риходим к вы воду, что п ри m < n п редел э того вы раж ения п ри x → ∞ равен нулю , п ри m > n - п лю с илиминус бес конечнос ти, ап ри m = n - с тарш ему коэ ффициенту an чис лителя. Поэ тому для доказательс тватеоремы дос таточно ус тановить равенс тво

lim x →∞

Tn ( x ) xn

= 1 .

И меем:

lim

Tn ( x )

x →∞

xn

{( x + x 2 −1 ) n + ( x − x 2 −1 ) n } 1 = n lim = 2 x →∞ xn n

 x + x 2 −1   } = +    x   1 = n 2

1 2n

n

1 2n

 x + x 2 −1   + lim {   x x →∞  

n n       1 1 lim   1+ 1− 2  +  1− 1− 2   = x →∞ x   x     

n n       1 1  1+ 1− 2  + lim  1− 1+ 2   =  xlim →∞  x →∞  x  x      

{

1 2 n +0 n n 2

}

= 1 ,

что из аверш аетдоказательс тво. Поведение многочлена Tn наотрез ке [-1,1] , аименно э тот отрез ок нас интерес ует, удобно ис с ледовать с п омощ ью з амены п еременного x = cos θ ,

0≤ θ ≤ 1

,

(6.2)

которая з адаёт взаимно одноз начное отображ ение отрез ка [0,π] оси θ на отрез ок [- 1,1] ос и x ( рис . 6.2 ).

15

Подс тановка(6.2) в(6.1) даётфункц ию п еременного θ

T n ( θ) = Tn ( x )

, ( 6.3) x = cos θ конкретны й вид которой находитс я с п омощ ью с ледую щ их п реобразований T n ( θ) = =

1 2n

1 2n 1 = 2n И так, =

1 2n

{( x +

{( cos θ +

} x = cos θ = cos − 1 ) } =

x 2 −1 ) n + ( x − x 2 −1 ) n

cos 2 θ − 1 ) n + ( cos θ −

{ ( cos θ + i sin θ )

n

+ ( cos θ − i sin θ ) n

{ cos n θ + i sin n θ + cos n θ − i sin n θ }

Tn ( θ ) =

2

}

n

1 2n

=

=

{e

inθ

}

+ e −i n θ =

1 cos n θ . 2 n −1

1 cos n θ . 2 n −1

(6.4)

О тметим очевидны ес войс твафункции(6.4). Л емма6.5. М нож ес тво корней функции Т n(θ) наотрез ке [0,π] с ос тоитиз n различны х точек

θk =

2k +1 π , 2n

k = 0,1, ..., n −1

,

(6.5)

уп орядоченны х, очевидно, п о воз растанию θ0 < θ1 < ... < θk < θk+1 < ... < θn-1 .

(6.6)

Д оказательс тво. М нож ес тво корней функции cos z с ос тоит ( с м. рис . 6.3 ) из п оп арно различны х точек 2k + 1 π z k = + kπ = π , k = 0, ±1, ± 2,... 2 2

.

16

Следовательно, множ ес тво корней функции(6.4) образовано п оп арно различны ми точками

θk =

2k +1 π , k = 0, ± 1, ± 2,... 2n

,

вы деляя из которы х точкиотрез ка[0,π] , п риходим к (6.5). Л емма6.6. М нож ес тво точек э кс тремумафункцииTn(θ) наотрез ке [0,π] с ос тоитиз n+1 различны х точек k ∗ θ k = π , k = 0,1,..., n , ( 6.7 ) n п ричем чётны м k с оответс твую т макс имальны е з начения, равны е 1/2n-1 , а нечётны м – минимальны е, равны е -1/2n-1 . Э тас овокуп нос ть точек, очевидно, с одерж итконцы отрез каиуп орядоченап о воз растанию

0 = θ0∗ < θ1∗ < ... < θk∗ < θk+1∗ < ... < θn∗ = 1 .

(6.8)

Д оказательс тво. И з того ж ерис . 6.3 видно, что множ ес тво точек э кс тремума функции cos z с ос тоитиз п оп арно различны х точек zk∗ = kπ ,

k = 0 , ±1 , ±2 , ...

,

п ричём чётны м k с оответс твую т макс имальны е з начения, равны е +1, нечётны м - равны е -1. Н о тогдаэ кс тремумы функц ии(6.4) с уть точкивида k ∗ θ k = π , k = 0, ±1 , ± 2,... n

,

а

( 6.9)

п ричём чётны м k отвечаю тмакс имумы , равны е 1/2n-1 , анечётны м – минимумы , равны е -1/2n-1 . В ы деляя из с овокуп нос ти (6.9) точки, леж ащ ие на [0,π] , п олучим точки(6.7). Замечание6.7. График функцииTn(θ) наотрез ке [0,π] мож но п олучить из графика cosθ наотрез ке [0,nπ] с п омощ ью с ж атия п равой п олуп лос кос тивдоль ос иабс цис с , п рикотором абс цис с ы точек уменьш аю тс я в n раз, ип ос ледую щ его 17

с ж атия вдоль ос иординат, уменьш аю щ его модулиординат точек в2n-1 раз (рис . 6.4).

И з ус тановленны х с войс твфункции Tn(θ) вы текаю тс ледую щ ие с войс тва многочленаTn(x) . Т еорема6.8. М ногочлен Ч ебы ш ева Tn(x) имеет наотрез ке [-1,1] n п оп арно различны х корней

x k = cos

2k +1 π , k = 0,1, ... , n −1 , 2n

(6.10)

уп орядоченны х п о убы ванию x0 > x1 > ... > xk > xk+1 > ... > xn-1 .

(6.11)

Д оказательс тво. Л емма6.5 иравенс тво (6.3) даю т

0 = Tn (

2k +1 2k +1 π ) = Tn ( cos π ) = Tn ( x k ) , 2n 2n

ап отому точки(6.10) ес ть корнимногочлена Tn(x) . Принадлеж нос ть э тих точек отрез ку [-1,1] с ледует из п ринадлеж нос ти точек (6.5) отрез ку [0,π] и того факта, что отображ ение (6.2) п ереводит отрез ок [0,π] на отрез ок [-1,1] , различнос ть корней (6.10) - из различнос ти корней (6.5) и взаимной одноз начнос ти отображ ения (6.2), анеравенс тва(6.11) - из неравенс тв(6.6) и монотоннос ти(6.2) ( с м. рис . 6.2 ). Замечание6.9. Ф ормула(6.10) даётвсекорнимногочлена Tn(x), п ос кольку многочлен с теп ени n немож етиметь более n корней. Т еорема6.10. М нож ес тво э кс тремумовмногочлена Tn(x) наотрез ке [-1,1] с ос тоитиз n+1 п оп арно различны х точек 18

∗

x k = cos

k π , n

k = 0,1, ... , n

,

( 6.12)

п ричём чётны м k с оответс твую т макс имумы равны е 1/2n-1 , анечётны м – минимумы , равны е -1/2n-1. Э тас овокуп нос ть точек с одерж итконцы отрез ка[-1,1] иуп орядоченап о убы ванию 1 = x0∗ > x1∗ > ... > xk∗ > xk+1∗ > ... > xn∗ = - 1 .

(6.13)

Д оказательс тво. В с илу равенс тва(6.3) и леммы 6.6 п ри лю бом θ∈[0,π] имеем неравенс тва 1 1 − n −1 ≤ T n ( θ ) ≤ n −1 , 2 2 а, з начит, с учетом (6.3) инеравенс тва −

1 2

n −1

≤ Tn ( cos θ ) ≤

1 2

n −1

.

Произ водя з дес ь обратную з амену θ = arc cos x

,

-1 ≤ x ≤ 1

( 6.14)

ип ринимая во вниманиеравенс тво cos ( arc cos x ) = x

,

(6.15)

для лю бого x∈[-1,1] п олучим −

1 2

n −1

≤ Tn ( x ) ≤

1 2

n −1

.

Следовательно, точки (6.12) дейс твительно являю тс я точками макс имума и минимумамногочленаTn(x) наотрез ке [-1,1] . Д ругих точек э кс тремумаx∗ , отличны х отточек xk∗, наотрез ке [-1,1] бы ть не мож ет, так как вп ротивном с лучае их п рообразы θ∗ = arccos(x∗) бы либы точкамиэ кс тремумафункц ии Tn (θ) наотрез ке [0,π] , отличны миотточек θk∗, что вс илу леммы 6.6 невоз мож но. Н аконец, п одс тановкав(6.12) з начений k = 0 и k = n даёт: x0∗ = 1, xn∗= - 1, анеравенс тва(6.13) с ледую т из (6.8) вс илу с трогого убы вания функции(6.2) на отрез ке [0,π] ( с м. рис . 6.2 ). Замечание 6.11. Т ак как из двух с ос едних номеров k, k+1 один чётны й, а другой нечётны й, п ри п ереходе от xk∗ к с ос едней точке xk+1∗ з нак з начения 19

многочлена Tn(x) меняетс я нап ротивоп олож ны й, а,з начит, макс имум п ереходит вминимум, инаоборот.

Замечание 6.12. График многочленаЧ ебы ш еванаотрез ке [-1,1] имеет такой ж еколебательны й характер, что играфик функции Tn(θ) наотрез ке [0,π] ( рис . 6.5 ). О тличиелиш ь втом, что у функции Tn(θ) корнииточкиэ кс тремума равноотс тоящ ие, ау многочлена Tn(x) - ввиду нелинейнос тиз амены 6.2 - они э тим с войс твом не обладаю т. К орнииэ кс тремумы многочлена Tn(x) с гущ аю тс я к концам отрез ка( втом с мы с ле, что расс тояния меж ду с ос еднимиточками xk,xk+1 и xk∗,xk+1∗ тем меньш е, чем ближ еэ титочкик концам отрез ка [-1,1] ). Замечание6.13. И меетс я удобная «вещ ес твенная» формуладля нахож дения з начений многочленаЧ ебы ш ева Tn(x) наотрез ке [-1,1]. И менно, вс илу (6.3), (6.4)

T n (cos θ) =

1 cos nθ 2 n −1

,

0≤θ≤ π ,

из амена(6.14) с учётом (6.15) даёт

Tn ( x ) =

1 cos ( n arccos x ) 2 n−1

,

−1≤ x ≤1

.

(6.16)

Т еоремы 6.4 и 6.8 п оказы ваю т, что в с лучае [a,b] = [-1,1] многочлен Ч ебы ш ева Tn+1(x) п ринадлеж ит класс у многочленов, фигурирую щ их в оп тимиз ационной з адаче 5.6. О с таётс я п роверить минимальнос ть уклонения многочленаЧ ебы ш еваотнуля вуп омянутом класс емногочленов. Т еорема 6.14. Среди всех многочленов с теп ени n с о с тарш им коэ ффициентом 1 минимальны м уклонением отнуля наотрез ке [-1,1] обладает многочлен Ч ебы ш ева Tn(x) . Д оказательс тво. По теореме6.8 уклонение Tn(x) от нуля на[-1,1] равно 20

1/2n-1 , ап отому вп редп олож ениип ротивного найдетс я многочлен Pn(x) с теп ени n с о с тарш им коэ ффициентом 1 , удовлетворяю щ ий неравенс тву

max

−1 ≤ x ≤ 1

P n ( x)
0 найдётс я э лемент g∈G , такой что ρ(y,g) < ε. В с лучае п рос транс тва C[a,b] всю ду п лотны м п одмнож ес твом являетс я, нап ример, с овокуп нос ть всех многочленов, п ос кольку с огласно теореме В ейерш трасс а лю бая неп реры вная на [a,b] функц ия с лю бой с теп енью точнос ти мож ет бы ть п риближ енавметрике (7.4) многочленом. Д ругими всю ду п лотны ми в C[a,b] п одмнож ес твамиявляю тс я с овокуп нос ти Cm[a,b] ( m ≥ 1 ) функц ий, имею щ их неп реры вны е на [a,b] п роиз водны е до п орядка m вклю чительно; э тот факт очевиден, п ос кольку всякий такой класс Cm [a,b] вклю чаетвс ебя множ ес тво всех многочленов. По аналогии с п ос ледовательнос тями чис ел, п ос ледовательнос ть {fn} неп реры вны х на [a,b] функц ий назы ваю тфундаметальной п ос ледовательнос тью , ес ли члены fn , fm п ос ледовательнос ти неограниченно с ближ аю тс я п о мере увеличения их номеров, т.е. ес лип о лю бому ε > 0 найдётс я номер n(ε), такой что ρ(fn,fm) < ε для лю бы х n,m ≥ n(ε). К ак ип рос транс тво вещ ес твенны х чис ел R1 , п рос транс тво C[a,b] п олно в том с мы с ле, что лю бая фундаментальная п ос ледовательнос ть его э лементов сходитс я к некоторому э лементу f э того п рос транс тва:

ρ( f , fn ) = f −fn

C[ a , b ]

→ 0

п ри

n → ∞ .

( 7.5)

Заметим, что не всякое линейное нормированное п рос транс тво функций обладает с войс твом п олноты . Н ап ример, не являетс я п олны м п рос транс тво всех многочленов с нормой (7.3) и метрикой (7.4), п ос кольку п ос ледовательнос ть многочленов, с ходящ аяс я к какой –либо отличной от многочленанеп реры вной функции f ( с ущ ес твование таких п ос ледовательнос тей гарантируетс я уп омянутой вы ш е теоремой В ейерш трасс а), будучифундаментальной, не мож ет вс илу единс твеннос тип ределас ходитьс я ник какому многочлену. 23

Зафикс ируем наотрез ке [a,b] уз лы интерп оляции x0,x1, ... ,xn . О п ределение7.1. Соп ос тавлениекаж дой неп реры вной функции f из C[a,b] её интерп оляционного многочлена pn(f), с ущ ес твую щ его иединс твенного вс илу теоремы 1.3, п орож дает отображ ение п рос транс тва C[a,b] вс ебя, назы ваемое далееоп ератором интерп олирования иобоз начаемоес имволом Ln : Ln : f → pn ( f ) . Л емма7.2. О п ератор интерп олирования линеен: Ln ( f + g ) = Ln ( f ) + Ln ( g ) , Ln ( λ f ) = λ Ln ( f ) . Д оказательс тво. И с п ольз уя для з ап ис и интерп оляционного многочлена формулу Л агранж а(2.6) иучиты вая (7.1), (7.2), п олучим требуемы еравенс тва:

( Ln ( f + g ) ) ( x ) = =

n

∑f (x k =0

k

) l k ( x) +

( L n (λf ))( x) =

n

∑ (f + g)( x k =0 n

∑ g( x k =0

n

∑ (λf )( x k =0

k

k

k

) l k ( x) =

n

∑ (f ( x k =0

k

) + g( x k ) ) l k ( x ) =

) l k ( x ) = ( L n (f ) )( x) + ( L n ( g) )( x )

) l k ( x) =

n

∑ λf ( x k =0

,

n

k

) l k (x) = λ ∑ f (x k ) l k (x) = k =0

= λ (L n (f ))(x) .

Применениеоп ератораинтерп олирования Ln к функции f с нормой || f || даётновую функцию Ln(f) с нормой || Ln(f) || . О тнош ение || Ln(f) || / || f ||

(7.6)

п редс тавляет с обой коэ ффициент из менения нормы функции п рип рименении к ней оп ератораLn . О п ределение 7.3. М акс имальны й из коэ ффициентов(7.6) назы ваю т нормой оп ератораLn иобоз начаю тс имволом || Ln || : Ln

= sup f ≠0

L n (f ) f

.

( 7.7 )

Л емма7.4. Сп раведливаформула L n = max

a≤x≤b

n

∑l

k =0

k

( x)

.

( 7.8) 24

Д оказательс тво. О боз начим п равую часть равенс тва(7.8) через λn : λ n = max

a≤x≤b

n

∑ k =0

l k ( x) .

( 7.9)

Д ля лю бой точки x∗∈[a,b] имеем ∗

p n ( x ;f ) = = f

n

∑

k =0

n

∑ f (x k =0

n

∑ f (x

∗

k

l k ( x∗ ) ≤ f

) l k (x ) ≤ max

a≤x≤b

k =0

∑

∗

k

) l k ( x ) ≤ max f ( x )

l k ( x) = f

a≤x≤b

n

∑

k =0

l k ( x∗ ) =

λn ,

откудаввиду п роизвольнос титочки x∗ п олучаем L n ( f ) = pn ( f ) = max p n ( x ; f ) ≤ λ n f a≤x≤b

.

Следовательно,

Ln (f ) / f ≤ λ n , ап отому

|| Ln || ≤ λn .

(7.10)

У с тановим п ротивоп олож ноенеравенс тво . Заметим, что фигурирую щ ая в(7.8) функция

λ( x ) =

n

∑ k =0

l k ( x)

неп реры вна, ап отому макс имум в(7.8) дос тигаетс я внекоторой точке x∗∗ ∈ [a,b] : λn =

∑

l k ( x∗∗ ) .

( 7.11)

Зададим функцию f вуз лах интерп оляц ииформулой

 +1 , l k ( x∗∗ ) > 0 ,  f ( x k ) = sign l k ( x∗∗ ) =  0 , l k ( x∗∗ ) = 0 ,  ∗∗  −1 , l k ( x ) < 0 ,

( 7.12)

и дос троим её до неп реры вной на [a,b] функции, дооп ределивнаотрез ках [a,x0], [xn,b] с оответс твенно конс тантами f (x0), f(xn) , анаотрез ках [xk,xk+1] линейно: 25

И меем p n ( x∗∗ ; f ) = =

∑

n

∑ f ( x k ) l k ( x∗∗ ) = k =0

n

∑ ( sign l k ( x∗∗ ) ) l k ( x∗∗ ) = k =0

n

∑ k =0

l k ( x∗∗ )

=

l k ( x∗∗ ) = λ n ,

откуда L n ( f ) = p n ( f ) = max p n ( x ; f ) ≥ p n ( x∗∗ ; f ) = λ n . a≤x≤b

А так как нормап ос троенной функции f равна, очевидно, единиц е( с м. формулы (7.12) ирис . 7.1 ), с п раведливо неравенс тво

Ln (f ) / f ≥ λ n , а, з начит, ввиду (7.7) Ln

= sup ( L n ( f ) / f ) ≥ λ n . f

Соп ос тавление э того неравенс тва с неравенс твом (7.10) с учётом обоз начения (7.11) идаёт(7.8). Замечание 7.5. И так, норма оп ератора интерп олирования п редс тавляет с обой конечноевещ ес твенноечис ло:

Ln < ∞ . О п ераторы в линейном нормированном п рос транс тве, обладаю щ ие таким с войс твом, назы ваю тс я ограниченны ми. Следовательно, п рилю бом n и лю бом набореуз ловx0 ,x1 , ... , xn оп ератор Ln ограничен.

26

80. И с с ледованиес ходимос тиглобальной интерп оляции. Пус ть данабес конечная треугольная матрицаT , n-ая ( n = 0,1, ... ) с трока которой с ос тавленаиз п оп арно различны х точек x0(n), x1(n), ... , xn(n) отрез ка [a,b]  x (00)  (1) (1)  x 0 x1 T =  LLLL   x 0(n) x1(n) K x (nn)   LLLLLLL

.

( 8.1)

Соп ос тавляя функц ии f интерп оляционны й многочлен p n ( { xi(n) } ; f ), п ос троенны й п о точкам n-ой с троки матрицы T как п о уз лам интерп оляции, п олучим п ос ледовательнос ть { pn } интерп оляционны х многочленов pn( { xi } ; f ) = pn( f ) = pn ,

n = 0,1, ...

Н ас интерес ует воп рос , будут ли п ос троенны е многочлены с ходитьс я п ри n → ∞ к функции f вс мы с лес оотнош ения (7.5): f − pn

C[ a , b ]

= max f ( x ) − p n ( x ) a ≤ x ≤b

→ 0

п ри n → ∞ .

( 8. 2 )

Приближ ённая з амена функции f на всём отрез ке [a,b] её интерп оляционны м многочленом pn назы ваетс я глобальной интерп оляцией, а с ам многочлен pn назы ваю тп риэ том глобальны м интерп олянтом функции f на [a,b]. Т аким образом, речь идёт о сходимос тип ри n → ∞ п роц ес с аглобальной интерп оляциивс мы с леметрики(7.4) п рос транс тваC[a,b]. О тветнап ос тавленны й воп рос - отрицательны й: Т еорема8.1 ( Ф абер ) . Д ля лю бой матрицы уз лов(8.1) найдётс я функция f из C[a,b], для которой с оотнош ение(8.2) неимеетмес та. Д оказательс тво э той теоремы базируетс я натеореме Банаха-Ш тейнгауз аиз функционального анализ аи неравенс тве Бернш тейнаиз конс труктивной теории функций. При э том теорема Банаха-Ш тейнгауз а указы вает ус ловия с ильной с ходимос ти линейны х ограниченны х оп ераторов An , дейс твую щ их вп олном линейном нормированном п рос транс тве N , к линейному ограниченному оп ератору A из того ж е п рос транс тва, т.е. ус ловия с ходимос тиз начений An(v) э тих оп ераторовнап роиз вольном э лементе v∈N к з начению A(v) оп ератора A натом ж еэ лементе:

A( v) − A n ( v)

N

→ 0 п ри n →∞

для лю бого v ∈ N ;

(8.3)

27

неравенс тво ж е Бернш тейна даёт оц енку с низ у для нормы оп ератора интерп олирования Ln. Сформулируем с оответс твую щ ие утверж дения, отс ы лая за доказательс твамик книгам [1],[2]. Т еорема8.2 ( Банах, Ш тейнгауз ). Д ля с п раведливос ти с оотнош ения (8.3) необходимо идос таточно одновременноевы п олнениеус ловий: а) с ходимос ть An(v) к A(v) для всех э лементов v из какого-либо всю ду п лотного в N п одмнож ес тва; б) равномерная п о n ограниченнос ть норм оп ераторовAn :

An ≤ C < ∞ ,

(8.4)

где C - нез авис ящ ая от n конс танта. Т еорема8.3 ( Бернш тейн ). Прилю бом вы боре уз ловинтерп оляции x0 , x1 , ... , xn наотрез ке [a,b] с п раведливо неравенс тво ln n λn > . (8.5) 8 π Д оказательс тво теоремы 8.1. Сходимос ть глобальны х интерп олянтов pn(f) к с амим функц иям f наоп ераторном яз ы ке оз начает с ильную с ходимос ть (8.3) оп ераторовинтерп олирования Ln к тож дес твенному оп ератору I в C[a,b] ( I(f) = = f ): f − p C[ a , b] = I ( f ) − L n ( f ) → 0 п ри n → ∞ для лю бого f ∈C[ a , b] . (8.6) C[ a , b ]

При э том ус ловие а) теоремы Банаха– Ш тейнгауз авы п олнено: ес ливкачес тве всю ду п лотного в C[a,b] множ ес твавзять с овокуп нос ть всех многочленов, то для лю бого его конкретного п редс тавителя g интерп оляционны емногочлены pn( g ), начиная с номера n , равного с теп ени g , окаж утс я с овп адаю щ ими с с амим многочленом g , ис ходимос ть Ln к I наэ том э лементебудетиметь мес то. Ч то ж екасаетс я ус ловия б), то, п ереп ис ы вая с учётом (7.9),(7.8) неравенс тво Бернш тейна(8.5) вформе

Ln

>

ln n 8 π

(8.7)

и п ринимая во внимание неограниченны й рос т ln n п ри n→∞ , п риходим к вы воду, что п ри лю бой матрице уз лов T оценка (8.4) для оп ераторов интерп олирования Ln не мож ет бы ть с п раведливой. Значит, п рилю бой матриц е уз лов (8.1) с оотнош ение (8.6) не мож ет иметь мес та, а э то и оз начает с п раведливос ть доказы ваемой теоремы Ф абера. Замечание 8.4. О тметим, что втеореме Ф абераречь идёт об отс утс твии с ходимос тиглобального интерп олянтавс мы с ле с оотнош ения (8.2), т.е. вс мы с ле равномерной с ходимос ти функций наотрез ке. О казы ваетс я ( [3] ) , что з амена равномерной с ходимос ти п оточечной с ходимос тью с итуации не меняет: для лю бой матрицы уз ловнайдутс я функция f ∈ C[a,b] иточка x ∈ [a,b] , такиечто pn(x;f) не с тремитс я к f(x) п ри n →∞. При э том важ но п одчеркнуть, что 28

отс утс твие п оточечной с ходимос ти мож ет наблю датьс я для дос таточно п рос ты х функций: Т еорема8.5 ( Бернш тейн ). Значение многочлена pn , интерп олирую щ его функцию f(x) = | x | наотрез ке [-1,1] п о набору равноотс тоящ их уз лов xk = - 1 + 2(k/n)

k = 0,1, ... ,n ,

(8.8)

ни п ри каких x , з аис клю чением точек -1, 0, 1 , не с ходитс я п ри n→∞ к з начению интерп олируемой функции. Замечание 8.6. Причина, п о которой п роцес с глобальной интерп оляции оказы ваетс я расходящ имс я на класс е C[a,b] – неограниченное п ри n→∞ воз растание нормы оп ератораинтерп оляции Ln . О с обенно бы с тры м э тот рос т являетс я п ри равноотс тоящ их уз лах интерп оляции; не с лучайно, что вп ервы е расходимос ть п роцес с аглобальной интерп оляциибы лаобнаруж ена( Рунге, 1901 г. ) именно для наборауз лов(8.8). Замечание 8.7. При вы боре вкачес тве уз ловинтерп оляции чебы ш евских уз ловрос тнорм оп ераторовинтерп оляц ии Ln оказы ваетс я нес лиш ком бы с тры м и с овп адает п о п орядку с рос том п равой части неравенс тва(8.7). Х отя вс илу теоремы Ф абера и п ри таких уз лах интерп оляц ии имею тс я функции f , для которы х п ос ледовательнос ть интерп оляционны х п олиномов pn п ри n→∞ не с ходитс я к f вравномерной метрике (7.4), класс функц ий, для которы х такая с ходимос ть всё-таки имеет мес то, оказы ваетс я вес ьмаобш ирны м и вклю чает в с ебя множ ес тво C1[a,b] всех неп реры вно дифференцируемы х на[a,b] функций. Замечание 8.8. Н ап рактике п роц ес с интерп оляции ос лож няетс я наличием п огреш нос тей округлений п ривы чис ленииз начений интерп олируемой функциив уз лах интерп оляции и п огреш нос тей округлений п ри вы п олнении арифметичес ких оп ераций вп роцес с е вы чис ления з начений интерп оляционного многочлена. В частнос ти, ес лиз начения f(xk) вформулеЛ агранж а pn ( x ; f ) = ∑ f ( x k )

∏(x − x

i

)

i ≠k

∏(x

k

− xi )

i ≠k

з аданы п риближ ённо, то п олученны й интерп оляционны й многочлен мож но расс матривать как интерп оляционны й многочлен для нес колько иной функции f∗. В ы читаниеравенс тв pn∗ = Ln( f∗ )

,

pn = Ln( f )

вс илу линейнос тиоп ератораLn даёт pn∗ - pn = Ln( f∗ -f ) .

29

О тс ю дас ледует, что ес линормаоп ератора Ln велика, т.е. ес лион мож етс ильно увеличивать норму функц ии, то даж е малы е п огреш нос ти п ри з адании f(xk), отвечаю щ ие малой п о норме разнос ти f∗ - f , с п ос обны п ородить больш ое отличие п олученного многочлена pn∗ от ис комого многочлена pn . По э той п ричине глобальны е интерп олянты pn с больш им n с тараю тс я не п рименять даж евтех с лучаях, когдатеоретичес кая с ходимос ть pn к п риближ аемой функции f невы з ы ваетс омнений. 90. Л окальная интерп оляция иеё с ходимос ть. Разделим отрез ок [a,b] наN равны х частей длины h точками xi = a + i h

h = ( b – a )/N .

i = 0,1, ... ,N ,

В ведём на i-том отрез ке разбиения интерп оляции xi , k = xi –1 + (k/n) h ,

k = 0,1, ... ,n

[xi-1,xi] ,

равноотс тоящ ие уз лы

i = 1, ... ,n

(9/1)

( i – номер отрез ка, k – номер уз лананём ) из аменим функцию f наэ том отрез ке интерп оляционны м многочленом pi,n ( i – номер отрез ка, n – с теп ень многочлена). Совокуп нос ть э тих многочленовп орож дает функцию наотрез ке [a,b] , которую мы обоз начим с имволом pnN и назовём локальны м интерп олянтом функции f наотрез ке [a,b] :

p nN

[ x i −1, x i ]

= pi,n .

Н еп реры внос ть локального интерп олянта pnN наотрез ке [a,b] с ледуетиз того, что вточке x i – границедвух с меж ны х отрез ков– многочлены pi, n , pi+1, n п ринимаю тодно ито ж ез начение f(xi) ( рис . 9.1 ) : pi, n(xi) = pi, n(xi, n) = f(xi, n) = f(xi) = f(xi+1,0) = pi+1,n(xi+1,0) = pi+1,n(xi) .

30

Замечание 9.1. Степ ень n интерп оляционны х многочленов pi, n с читаетс я фикс ированной и не з авис ящ ей от i , а роль п араметра, з а с чёт которого п овы ш аетс я точнос ть п риближ ения, играетчис ло отрез ковразбиения N. Приn = 1 локальны й интерп олянт ес ть ломаная с верш инамивточках (xi,f(xi)) ( рис . 9.2 ), п ри n = 2 графики многочленов pi, 2 начастичны х отрез ках разбиения – п араболы ( рис . 9.3 ) , итак далее. Т еорема9.2. Д ля лю бой функции f класс а Cn+1[a,b] п ос ледовательнос ть pnN локальны х интерп олянтовсходитс я п ри N → ∞ к п риближ аемой функции f равномерно наотрез ке [a,b], т.е. вметрике(7.4) п рос транс тваC[a,b]. Д оказательс тво. Ф ункц ия f(n+1) неп реры вна, ап отому её макс имум на отрез ке [a,b] конечен. Польз уяс ь вы текаю щ им из (4.1) с оотнош ением

f ( x) − p i,n ( x)

=

f ( n + 1) ( ξ( x ) ) ( n + 1)!

n

∏(x − x

i,k

)

x , ξ( x ) ∈[x i −1, x i ] ,

,

k =0

п олучим неравенс тво

f ( x) − p i , n ( x ) ≤

1 max f ( n +1) ( x) ( n +1) ! a ≤ x ≤ b

∏(x − x

max

a≤ x≤ b

i,k

)

, x ∈[ x i −1 , x i ] ,

или, ес лиобоз начить через Cn нез авис ящ ую от N, i, x п ос тоянную

Cn =

1 max f ( n +1) ( x) a ( n+1) ! ≤ x ≤ b

,

неравенс тво

f ( x) − p i , n ( x) ≤ Cn max a ≤x≤b

∏ (x − x

i,k

)

x i −1 ≤ x ≤ x i .

,

Пос кольку точкиx , xi , k п ринадлеж ат отрез ку [xi – 1 ,xi ] длины h=(b-a)/N, для лю бого k имеем: | x – x i , k | ≤ h . Поэ тому

f ( x) − p i, n ( x) ≤ Cn (b − a) n +1 / Nn +1 ,

x i −1 ≤ x ≤ x i ,

аэ то ввиду нез авис имос тип равой частиот i и x даёт: f − pnN

= max f ( x ) − pnN ( x ) ≤ C n ( b − a ) n + 1 / N n + 1 . a≤x≤b

( 9.2 )

Переходя з дес ь к п ределу п ри N → ∞ , п олучим нуж ны й рез ультат 31

f − p nN

C[ a , b ]

→ 0

п ри

N → ∞ .

Замечание 9.3. Н еравенс тво (9.2) п оз воляет не только ус тановить факт с ходимос ти, но и с удить о её бы с троте: п огреш нос ть локального интерп олянта pnN ес ть величинап орядкаO(1/Nn+1). О боз начим через LnN линейны й оп ератор в C[a,b] , с оп ос тавляю щ ий функции f из C[a,b] её локальны й интерп олянт pnN(f) : LnN :

→

f

pnN ( f ) .

Л емма9.4. При лю бом фикс ированном n нормы оп ераторовлокального интерп олирования LnN равномерно п о N ограничены :

L nN

C[ a , b ]

≤ Kn < ∞ .

Д оказательс тво. О боз начим через Li отрез ке [x i – 1,x i] , ачерез λi , n - величину

λ i,n =

n

max

x i −1 ≤ x ≤ x i

∑ k =0

l i , k ( x) =

, n

n

max

x i −1 ≤ x ≤ x i

∑ k =0

(9.3)

оп ератор интерп олирования на

∏ (x − x

i, j

)

j≠k

∏ ( x i,k − x i, j )

,

(9.4)

j≠k

равную вс илу леммы 7.4 нормеоп ератора Li , n . Заметим, что з наниенормы линейного оп ератора = sup

A

f

A( f ) f

вс илу очевидного неравенс тва A( f ) f

≤

A

п оз воляет оценить норму п реобразованного э лемента ис ходного f :

A(f ) ≤ A f

A(f)

через норму

.

Применяя э ту оценку к оп ератору L i , n , будем иметь

32

pi , n (x) = Li , n (f )

max

x i −1 ≤ x ≤ x i

= λi, n

C[ x i −1 , x i ]

≤ Li , n

C[ x i −1 , x i ]

f (x) ≤ λi , n max f (x) = λ i , n f

max

x i −1 ≤ x ≤ x i

a ≤ x ≤b

f

C[ x i −1 , x i ]

C[ a , b ]

=

.

О тс ю да, учиты вая нез авис имос ть || f || C [ a , b ] от i , п олучим

max max

x i −1 ≤ x ≤ x i

i

p i , n ( x) ≤ ( maxλi , n ) f

C[ a , b ]

i

.

А так как левы й член э того неравенс тваес ть нормалокального интерп олянта pnN(f) = LnN(f) вп рос транс тве C[a,b], имеем неравенс тво

LnN ( f )

C[ a , b ]

/ f

C[ a , b ]

≤ max λ i , n , i

аз начит( ввиду п роиз вольнос ти f ) , инеравенс тво

LnN

C[ a , b ]

≤ max λ i , n .

(9. 5)

i

О с таётс я доказать нез авис имос ть п равой частиот N. В ведём «ц елочис ленную » п еременную t с п омощ ью формулы t = ( x– xi–1 ) / ( h / n )

,

xi–1 ≤ x ≤ xi

,

которая оп ределяетлинейноевзаимно одноз начноеотображ ениеотрез ка[x i – 1, x i] ос и t наотрез ок [0 , n] ос и t . В силу равенс тва x = xi – 1 + ( h / n ) t иформулы (9.1) имеем x–x

i,j

= x i – 1 + ( h / n ) t – x i –1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( t – j ) ,

xi,k – xi,j = xi–1 + ( k / n ) h – xi–1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( k – j ) , откудадля величины (9.4) п олучаем п редс тавление

λ i , n = max 0≤ t ≤n

n

∑

k =0

∏ ( t − j) j≠k

∏ (k − j)

.

(9.6)

j≠k

Пос кольку п од з наком макс имумаз дес ь с тоит конкретная неп реры вная на отрез ке [0 , n] функц ия, э тотмакс имум конечен инез авис итниот i , ниот N .

33

Поэ тому неравенс тво (9.5) ес ть неравенс тво (9.3) с конс тантой Kn , равной вы раж ению (9.6). Т еорема 9.5. Д ля лю бой неп реры вной на [a,b] функции f N п ос ледовательнос ть её локальны х интерп олянтов pn (f) с ходитс я п ри N → ∞ к f равномерно наотрез ке [a,b] :

f − p nN ( f )

C[ a , b ]

→ 0

п ри N → ∞ .

Д оказательс тво. Сформулированны й рез ультатс ледуетиз теоремы Банаха– Ш тейнгауз а, п ос кольку теорема 9.2 ввиду п лотнос ти класс а Сn+1[a,b] в п рос транс тве C[a,b] оз начает,что оп ераторы LnN локального интерп олирования удовлетворяю т ус ловию а) теоремы 8.2, а лемма 9.4 – что оп ераторы LnN удовлетворяю тиус ловию б) э той теоремы . 100. Задачииуп раж нения. У п раж нение 1. Польз уяс ь общ им вы раж ением (2.6), вы п ис ать формулу для интерп оляционного многочленавс лучаелинейной ( n = 1 ) иквадратичной ( n = = 2 ) интерп оляциинаотрез ке [a,b], с читая вс лучае n = 1 уз лы интерп оляции с овп адаю щ имис конц амиотрез ка, авс лучае n = 2 – с овп адаю щ ими с концамии с ерединой отрез ка. У п раж нение2. И с п ольз уя неравенс тво (4.11), оценить п огреш нос ть max f ( x ) − p 1 ( x )

0 ≤ x ≤1

линейной интерп оляциидля функции e x наотрез ке [0,1]. Сравнить п олученную оценку с фактичес кой п огреш нос тью . Задача3. В качес тве уз ловинтерп оляциинаотрез ке [0,1] вы браны точки x0 = 0, x1 = p. Прикаком p п огреш нос ть интерп оляц иинакласс ефункций, вторая п роиз водная которы х п ос тояннана[0,1] иравна 5 , т.е. величина α ( p ) = sup max f ( x ) − p 1 ( x ; f ) f

0 ≤ x ≤1

,

0 < p ≤1

окаж етс я минимальной? Н айтивеличину α , отвечаю щ ую оп тимальному p , и с равнить её с α(1). У п раж нение 4. У казать п римерны й вид графиков многочленов Ч ебы ш ева T7(x) , T8(x) наотрез ке [-1,1]. У п раж нение 5. Приблизить функц ию f(x)=x3 на отрез ке [-1,1] интерп оляционны м многочленом 2–ой с теп ени, вы бравуз лы интерп оляциитак, чтобы п огреш нос ть интерп оляционного многочленанаэ том отрез ке max f ( x ) − p 2 ( x )

−1 ≤ x ≤ 1

оказалась минимальной. 34

У п раж нение 6. Н айтиоп тимальны й набор {x0, x1} уз ловинтерп оляциина класс ефункц ий C12 [0,1] ивы чис лить п огреш нос ть интерп оляциинаэ том класс е п риоп тимальном вы бореуз лов. У п раж нение 7. Н айтинорму оп ератора L1 линейного интерп олирования в п рос транс тве C[0,1] , с читая уз лы интерп оляции с овп адаю щ ими с концами отрез ка. Задача8. В качес твеуз ловинтерп оляц иинаотрез ке [0,1] вы браны точки0, c, 1. Н айтинорму оп ератораинтерп олирования L2 вп рос транс тве C[0,1] как функцию п араметра c и оп ределить з начение c , п ри котором норма минимальна. Задача9. При каких N локальны й интерп олянт L1N гарантированно п риближ ает функцию ex наотрез ке [0,1] с п огреш нос тью , не п ревос ходящ ей 10-4 ? Задание 10. И с с ледовать с п омощ ью комп ью терап оведение глобального интерп олянтаpn функции f(x) = 1 / ( 1 + k2 x2 ) , -1 ≤ x ≤ 1 , для с лучаев к = 1,5,10,15. И с п ольз овать для интерп оляции: а) набор равноотс тоящ их уз ловс x0 = -1, xn = 1; б) набор чебы ш евских уз ловнаотрез ке [-1,1]. Задание11. Провес тианалогичноеис с ледованиедля функции f(x) = | x |

, -1 ≤ x ≤ 1 .

Задание 12. Сос тавить п рограмму вы чис ления з начений локального интерп олянта LnN для з аданной наотрез ке [a,b] функции f. И с с ледовать с п омощ ью э той п рограммы п оведение локальны х интерп олянтов L1N , L2N , L3N функции f(x) = 1 / ( 1 + 25 x2 ) , -1 ≤ x ≤ 1 п ри из менении N. Н айти э кс п ериментально з начения N(n) , n = 1,2,3 , п ри которы х п огреш нос ть локальны х интерп олянтов LnN указанной функциинаотрез ке [-1,1] с тановитс я меньш е 10-3. 110. Л итература. 1. Л ю с терник Л .А ., СоболевВ .И . Э лементы функционального анализ а. М .: Н аука. Главная редакция физ .-мат. литературы , 1965.- 520 с . 2. Н атанс он И .П. К онс труктивная теория функций. М .-Л .: Гос техиздат, 1949.- 688с . 3. Ф орс айт Д ж ., М алькольм М ., М оулер К . М аш инны е методы математичес ких вы чис лений. М .: М ир, 1980.-280 с . 4. К ры ловВ .И ., БобковВ .В ., М онасты рны й П.И . В ы чис лительны е методы вы с ш ей математики. Т .1. М н.: В ы ш э йш . Ш кола, 1972.-584 с . 5. В олковЕ .А . Ч ис ленны е методы . М .: Н аука. Главная редакц ия физ.-мат. литературы , 1982.-256 с . 35

Содерж ание. 10. Сущ ес твованиеиединс твеннос ть интерп оляционного многочлена.... 2 20. М ногочлен Л агранж а................................................................................ 3 30. Поведениеп огреш нос тиинтерп оляционного многочлена наотрез кеинтерп оляции .......................................................................... 5 0 4 . О бщ ая формуладля п огреш нос тиинтерп оляц ии .................................. 8 50. Задачаоб оп тимальном вы бореуз ловинтерп оляц ии ........................... 11 60. М ногочлен Ч ебы ш ева1-го рода............................................................... 13 70. О п ератор интерп олирования вп рос транс твенеп реры вны х функц ий ... 22 80. И с с ледованиес ходимос тиглобальной интерп оляции ........................... 27 90. Л окальная интерп оляция иеё с ходимос ть .............................................. 30 100. Задачииуп раж нения ................................................................................ 34 110. Л итература ................................................................................................. 35

36