Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е...
2 downloads
160 Views
488KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т
З и н овье вН . М . М я с н я н ки н Ю . М .
В В Е Д Е Н И Е В Т Е О РИ Ю
К О Л Е Б АН И Й К О Н С Т Р У К ЦИ Й
Часть1 У чебное пособие д л я сту д е нто в сп е циал ьно сте й 010901 (010500) «М е х аника» и 010500 (510200), 010501 (010200) «П рикл ад ная мате матика и инфо рматика»
В О РО Н Е Ж 2005
2
У тве рж де н о н ау чн о-ме тоди че с ки м с ове том факу льте та ПМ М (30 с е н тя бря 2004 года, протокол № 1)
А вторы: З и н овье вН . М . М я с н я н ки н Ю . М .
У че бн ое пос оби е подготовле н о н а кафе дре Т е оре ти че с кой и При кладн ой ме хан и ки факу льте та ПМ М Ворон е ж с кого гос у дарс тве н н ого у н и ве рс и те та и ре коме н ду е тс я для с ту де н тов4-5 ку рс ов.
3
В ведение Н ас тоя щ е е у че бн ое пос оби е пре дн азн аче н о впомощ ьс ту де н там 4-5 ку рс ов по с пе ци альн ос тя м 010500, 010200 и маги с тров по с пе ци альн ос ти 510300 «ме хан и ка де форми ру е мого тве рдого те ла» и «при кладн ая мате мати ка» при и зу че н и и и ми с пе цку рс а «Коле бан и я кон с тру кци й». Этот ку рс чи тае тс я н а кафе дре те оре ти че с кой и при кладн ой ме хан и ки вте че н и е 3-х ле т. Хотя по дан н ому ку рс у с у щ е с тву е т обш и рн ая ли те рату ра, ре коме н довать с ту де н там для и зу че н и я при е мле мый у че бн и к и ли дос ту пн у ю кн и гу н е пре дс тавля е тс я возмож н ым: ос обе н н о э то отн ос и тс я к практи че с кому при ме н е н и ю те ори и коле бан и й. В у че бн ом пос оби и кратко рас с мотре н ы те оре ти че с ки е вопрос ы те ори и коле бан и й, с опроти вле н и я мате ри алов, ме хан и ки с плош н ой с ре ды. О с обое вн и ман и е обращ е н о н а ре ш е н и е кон кре тн ых и н ж е н е рн ых задач; опре де ле н и е рас че тн ых с хе м, при ме н е н и е точн ых и при бли ж е н н ых те ори й для дос ти ж е н и я при е мле мого ре зу льтата. Р ас с мотре н о ре ш е н и е мн оги х и н ж е н е рн ых задач, дан ы при ме ры для с амос тоя те льн ого ре ш е н и я и с оотве тс тву ю щ и е ме тоди че с ки е у казан и я . В пре длагае мой пе рвой час ти рас с матри ваю тс я коле бан и я с одн ой с те пе н ью с вободы. Во второй и тре тье й час тя х у че бн ого пос оби я план и ру е тс я рас с матри вать коле бан и я с н е с кольки ми с те пе н я ми с вободы и коле бан и я с плош н ых те л, обс у ди тьчи с ле н н ые ме тоды и ре али заци ю ме тодовре ш е н и я н а ЭВМ . Т е оре ти че с кое обос н ован и е коле бате льн ых проце с с ов и и х при ме н е н и я мож н о н айти вработах [1-10]. С одержание §1. С вободн ые гармон и че с ки е коле бан и я . §2. Кру ти льн ые коле бан и я . §3. И зги б бру с а. §4. О бобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . §5. Эн е рге ти че с ки й ме тод и с с ле дован и я коле бан и й. §6. З адачи .
4 6 10 11 15 20
4
§1. С вободные гармонические кол ебания [1,2,5] С вободн ыми н азываю тс я коле бан и я мате ри альн ой точки , прои с ходя щ и е под де йс тви е м вос с тан авли ваю щ е й с и лы, с тре мя щ е йс я ве рн у ть точку в н е которое полож е н и е . Вос с тан авли ваю щ ая с я с и ла ли н е йн о зави с и т от с ме щ е н и я u (Р и с . 1.) F = −cu (1) u где c коэ ффи ци е н т у пру гос ти и ли коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . 0
X
Р и с у н ок 1.
При ме р1. Г ру з ве с ом P подве ш е н н а ве рти кальн ой пру ж и н е , с оздае т с тати че с кое у дли н е н и е ∆ с т . В н ачальн ый моме н т вре ме н и гру з и ме е т пе ре ме щ е н и е x0 , отс чи тывае мое от полож е н и я с тати че с кого равн ове с и я и н ачальн у ю с корос ть v0 . Пре н е бре гая с опроти вле н и е м с ре ды, н айти закон дви ж е н и я гру за. По второму закон у ди н ами ки a)
mW = F
c)
b)
0
для Р и с .2(c) и ме е м
(2), mW = P + F F = −c(x + Pс т ) .
0
где
Н ачало отс че та 0 ос и X выбран о в полож е н и и с тати че с кого равн ове с и я Р и с .2(b) F x P = Fс т и ли P P = c∆ с т (3) Р и с у н ок 2. P Прое кти ру я ве кторн ое раве н с тво x (2) на ос ь X, и ме е м m&x& = P − c(x + ∆ с т ) . И с пользу я раве н с тво (3), пос ле дн е е у равн е н и е е с ть m&x& + cx = 0 (4) Полу че н н ое у равн е н и е опи с ывае т и коле бан и я мате ри альн ой точки (Р и с .1) под де йс тви е м гори зон тальн ой вос с тан авли ваю щ е й с и лы. Д ля заве рш е н и я пос трое н и я мате мати че с кой моде ли прои с ходя щ е го фи зи че с кого проце с с а н е обходи мо добави ть к ди ффе ре н ци альн ому у равн е н и ю второго поря дка (4) н ачальн ые у с лови я при t = 0 x(0 ) = x0 x& (0 ) = v0 (5) У равн е н и е (4) с н ачальн ыми у с лови я ми (5) – задача Кош и . Вводи тс я пон я ти е кру говой час тоты коле бан и й Δ
Fс т
Δ
ст
k=
c m
(6)
ст
и ли и з(3)
k=
g ∆ст
(7),
5
которая н е зави с и т от н ачальн ых у с лови й (5). Т аки е коле бан и я н азываю тс я и зохрон н ыми . У равн е н и е (4) пре дс тави мо вви де &x& + k 2 x = 0 , (8) общ е е ре ш е н и е которого x(t ) = C1 cos kt + C 2 sin kt (9) опи с ывае т гармон и че с ки е коле бан и я мате ри альн ой точки с пе ри одом коле бан и й T=
2π k
(10)
Д и ффе ре н ци ру я по t полу че н н ое ре ш е н и е (9), и ме е м x& (t ) = −C1k sin kt + C 2 k cos kt
(11) Подс тави в н ачальн ые дан н ые (5) в у равн е н и я (9) и (11), полу чи м C1 = x0 C2 =
v0 . k
О кон чате льн ое ре ш е н и е пос тавле н н ой задачи x(t ) = x0 cos kt +
v0 sin kt k
(12)
Г е оме три че с кая и н те рпре таци я полу че н н ого ре ш е н и я A C
X
O
Пу с ть ве ктор О А = x0 i , где i е ди н и чн ый орт вращ ае тс я с пос тоя н н ой у гловой с корос тью k вокру г полю с а 0, т.е . ϕ = kt . Вводи м ве ктор OB ортогон альн ый к ве ктору v0 . Т огда k OC = OA + OB .
OA и по моду лю равн ый
B
Р и с у н ок 3
ве ктор OC е с ть Прое кти ру я пос ле дн е е раве н с тво н а ос ь X , полу чи м x = x0 cos kt +
v0 sin kt k
(13)
которое полн ос тью с овпадае т с ре ш е н и е м (12). С дру гой с торон ы, е с ли вве с ти у гол α ме ж ду ве кторами OA и OC , то прое кци я ве ктора OC н а ос ь X бу де т x = OC cos(kt − α ) , где С ле довате льн о, ре ш е н и е (12) пре дс тави мо вви де x(t ) = A cos(kt − α ) ,
OC = x 02 +
v02 . k2
(14)
v 02 - ампли ту да коле бан и й – абс олю тн ая ве ли чи н а н аи больш е го k2 отклон е н и я коле блю щ е йс я точки от полож е н и я равн ове с и я . α - н ачальн ая фаза
где A = x02 +
коле бан и й и ли с дви гфазы.
6
§2. К ру тил ьные кол ебания [2,4] При ве де н н ая ге оме три че с кая и н те рпре таци я позволя е т пе ре йти к рас с мотре н и ю коле бан и й прос тран с тве н н ых тве рдых те л. Р ас с мотри м ве рти кальн ый вал AB , мас с ой которого бу де м пре н е бре гать, к н и ж н е му кон цу которого при кре пле н одн ородн ый гори зон тальн ый ди с к ради у с а R . Е с ли вплос кос ти ди с ка при лож и тькру тя щ и йс я моме н т, который вн е запн о с н и мае м, то возн и каю т с вободн ые кру ти льн ые коле бан и я вала с ди с ком. И з ку рс а «Т е оре ти че с кая ме хан и ка» и зве с тн о ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е вращ е н и я тве рдого те ла вокру гн е подви ж н ой ос и [4,6] J
d 2ϕ =M, dt 2
(1)
где J - ос е вой моме н т и н е рци и те ла, M - моме н т вс е х с и л отн ос и те льн о ос и вращ е н и я . Е с ли вве с ти кру тя щ и йс я моме н т M 0 , вызываю щ и й у гол закру чи ван и я вала в оди н ради ан , тогда M = M 0ϕ и у равн е н и е (1) при н и мае т ви д Jϕ&& = − M 0ϕ (2) l З н ак ми н у с показывае т, что моме н т, возн и каю щ и й в тве рдом те ле , раве н и проти вополож н о н аправле н де йс тву ю щ е му н а вал кру тя щ е му моме н ту . (При н ци п де йс тви я и B проти воде йс тви я ). О пре де ле н и е е ди н и чн ого моме н та вн у тре н н и х с и л и с ами х вн у тре н н и х с и л Р и с у н ок 4. я вля е тс я ос н овн ой задаче й ме хан и ки де форми ру е мого те ла. Р ас с мотри м тве рдое те ло под де йс тви е м вн е ш н и х акти вн ых с и л, н аходя щ и хс я вравн ове с и и . При ме н и вме тод с е че н и й, т.е . проводи м мыс ле н н о плос кос ть, де ля щ у ю те ло н а две час ти , и рас с мотри м равн ове с и е одн ой и зн и х, заме н и вотброш е н н у ю час тьде йс тву ю щ и ми с и лами (Р и с .5) [6,10].
Р и с у н ок 5.
7
При ме н и м закон ы с тати ки . Прои звольн ая прос тран с тве н н ая с и с те ма с и л э кви вале н тн а главн ому ве ктору R и главн ому моме н ту M . Выде ли м вс е че н и и те ла э ле ме н тарн у ю площ адку ∆S с вн е ш н е й н ормалью n и кас ате льн ой τ . Н а площ адку де йс тву е т с у ммарн ая с и л ∆F и с у ммарн ый моме н т ∆M . С ле ду е т отме ти ть, что ∆F я вля ю тс я вн у тре н н и ми с и лами , возн и каю щ и ми в тве рдом те ле под де йс тви е м вн е ш н и х н агру зок. Р азлож и м ве ктор ∆F н а н ормальн у ю ∆Fn и кас ате льн у ю ∆Fτ с ос тавля ю щ и е . Вводи тс я пон я ти е де йс тви те льн ое н апря ж е н и е и ли прос то н апря ж е н и е в точке М σ = lim
∆S → 0
прое кци и которого е с ть
∆F , ∆S
∆Fn - н ормальн ое н апря ж е н и е и ∆S → 0 ∆S ∆F σ τ = lim τ - кас ате льн ое н апря ж е н и е ∆S →0 ∆S
σ n = lim
Р ас с мотри м бру с с кру говым попе ре чн ым с е че н и е м, н агру ж е н н ый по торцам дву мя моме н тами M . M dz Z M
Д ву мя попе ре чн ыми с е че н и я ми мыс ле н н о выде ли м и з бру с а э ле ме н т дли н ой dz и дву мя ци ли н дри че с ки ми пове рхн ос тя ми ради у с ами ρ и ρ + dρ выде ли м э ле ме н тарн ое кольцо толщ и н ы dρ . dz
A
B d B1
Поворот одн ого с е че н и я отн ос и те льн о дру гого в торце вом с е че н и и с ос тави т у гол dϕ , а образу ю щ ая ци ли н дра АВ пове рн е тс я н а у гол γ . О тре зок BB1 = γdz , с дру гой с торон ы, BB1 = ( ρ + dρ )dϕ = ρdϕ + dρdϕ . Т ак как dϕ и dρ - бе с кон е чн о малые , то малыми dρ ⋅ dϕ второго поря дка бу де м вдальн е йш е м пре н е бре гатьи полу чи м с оотн ош е н и е γ =ρ
dϕ dz
и ли
8 γ = ρΘ
(3),
dϕ – отн ос и те льн ый у гол закру чи ван и я , который я вля е тс я ан алогом dz ∆l отн ос и те льн ого у дли н е н и я при рас тя ж е н и и . l
где Θ =
По закон у Г у ка для с дви га кас ате льн ое н апря ж е н и е τ = GρΘ (4), где G - моду льс дви га Эле ме н тарн ые с и лы τdS с оздаю т кру тя щ и й моме н т M К р = ∫ τρdS , где S S
площ адьпопе ре чн ого с е че н и я бру с а. И с пользу я форму лу (4), полу чи м M К р = GΘ ∫ ρ 2 dS , (5) S
где
∫ρ
2
4
dS = J p [с м ]- поля рн ый моме н т и н е рци и попе ре чн ого с е че н и я бру с а.
S
О кон чате льн о полу чи м M К р = GJ рΘ ,
(6) где GJ р - ж е с ткос тьбру с а при кру че н и и . Д ля с плош н ого кру гового с е че н и я d
2
J р = 2π ∫ ρ 3 dρ = 0
Т ак как
dϕ = Θdz =
M Кр GJ р
πd 4 . 32
dz
И н те гри ру я пос ле дн е е у равн е н и е при M К р = const , полу чи м ϕ = M Кр =
GJ рϕ l
=
πd 4 G ϕ 32l
M К рl GJ р
, отку да
(7)
И з полу че н н ой форму лы с ле ду е т, что е ди н и чн ый моме н т M 0 вн у тре н н и х с и л, отн е с е н н ый к одн ому ради ан у , е с ть M0 =
πd 4 G 32l
(8)
И зформу л (4) и (6) с ле ду е т, что кас ате льн ое н апря ж е н и е τ=
M К рρ Jр
и τ max =
M К р ρ max Jр
Поте н ци альн ая э н е рги я де формаци и , н акопле н н ая бру с ом при кру че н и и , равн а работе моме н тов M К р , при лож е н н ых по торцам M К2рdz 1 dU = M К рdϕ = . 2 2GJ р
При M К р = const U=
M К2рl 2GJ р
(9)
9
И так, у равн е н и е дви ж е н и я (2) ди с ка (Р и с .4) при н и мае т ви д у равн е н и я гармон и че с ки х коле бан и й ϕ&& + k 2ϕ = 0 , где
час тота k =
M0 J
с
пе ри одом
кру ти льн ых коле бан и й T=
2π J = 2π , k M0
(10)
Г де M 0 я вля е тс я ан алогом коэ ффи ци е н та ж е с ткос ти с пру ж и н ы и в дальн е йш е м M 0 = f бу де м н азыватькоэ ффи ци е н том ж е с ткос ти вала. Пре дполож и м, что вал с ос тои т и з дву х у час тков дли н ой l1 и l 2 и с оотве тс тву ю щ и ми ди аме трами d1 и d 2 , у гол закру чи ван и я α , вызывае мый при лож е н н ым по торцам моме н том M 32 Ml1 32 Ml 2 32 M d14 ϕ= + = l1 + l 2 4 . πd1n G πd 24 G πd 14 G d2
О тс ю да с ле ду е т, что и с ходн ый вал э кви вале н те н валу дли н ой L = l1 + l 2
d 14 d 24
ди аме тра d1 и и ме е т тот ж е коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . В общ е м с лу чае вал, с ос тоя щ и й и зn у час тковэ кви вале н те н валу дли н ой L = li
d4 d i4
i = 1, n
Р ас с мотри м вал с дву мя кон це выми мас с ами . Кру ти льн ые коле бан и я , возн и кш и е пос ле вн е запн о с н я тых закру чи ваю щ и х пар н а торцах, ос у щ е с твля ю т вращ е н и е кон це вых мас с в проти вополож н ых н аправле н и я х, что с ле ду е т и ззакон а с охран е н и я моме н та коли че с тва дви ж е н и я . О тме ти м, что пос ле дн и й раве н н у лю , так как в н ачальн ый моме н т с и с те ма н аходи лас ьвпокое . О тс ю да с ле ду е т, что с у щ е с тву е т н е которое проме ж у точн ое n − m , которое в проце с с е коле бан и й ос тае тс я попе ре чн ое с е че н и е н е подви ж н ым. О но н азывае тс я m у зловым попе ре чн ым с е че н и е м, a b полож е н и е е го опре де ля е тс я и з у с лови я , что у час тки вала с права и с ле ва от н е го и ме ю т оди н аковый J1 J2 пе ри од коле бан и й. Т огда и зформу лы (10) с ле ду е т
n l
отн ош е н и е при н и мае т ви д
f1 J 1 = . f2 J2
Т ак как f =
πd 4 G , то пос ле дн е е 32l
lJ 2 a J1 = . О тку да a = и пе ри од коле бан и й ле вого l J2 J1 + J 2
у час тка T = 2π
32l ( J 1 ⋅ J 2 ) πd 4 G ( J 1 + J 2 )
10
O
§3. И згиббру са [6,10] Под и зги бом пон и мае тс я такой ви д н агру ж е н и я , при котором впопе ре чн ых с е че н и я х бру с а возн и кае т и зги баю щ и й моме н т M . Е с ли в лю бом с е че н и и бру с а возн и кае т оди н и тот ж е и зги баю щ и й моме н т, то вс лу чае одн ородн ого бру с а и зме н е н и е кри ви зн ы ρ для вс е х у час тков бу де т одн и м и те м ж е . Т акой ви д н агру ж е н и я н азывае тс я чи с тым и зги бом. Р ас с мотри м два с ме ж н ых с е че н и я , отс тоя щ и х дру г от дру га н а рас с тоя н и и dz . При ме м ле вое с е че н и е у с ловн о за н е подви ж н ое . Т огда при повороте правого с е че н и я н а у гол dθ ве рхн и е с лои попе ре чн ого с е че н и я бру с а у дли н я тс я , а н и ж н и е у коротя тс я . С ле довате льн о, с у щ е с тву е т с лой, в котором у дли н е н и я отс у тс тву ю т – н е йтральн ый
Y
с лой. Р ади у с кри ви зн ы н е йтральн ого с лоя ρ =
M dz dθ y C
B1
ρ
н е йтральн ый с лой
X
у дли н е н и е отре зка AB : BB1 = ydθ , где y - рас с тоя н и е от рас с матри вае мого объ е кта до н е йтральн ого с лоя . По закон у Г у ка
σ dS
dz ; dθ
x
σ = Eε = E
y Z
y , ρ
(1)
где отн ос и те льн ое у дли н е н и е ε =
y . ρ
При чи с том и зги бе моме н т э ле ме н тарн ых с и л σdS отн ос и те льн о ос и y раве н н у лю , а отн ос и те льн о ос и x - и зги баю щ е му моме н ту M x = M : => ∫ σxdS = 0 ∫ σydS = M S
S
E ρ
E xydS = 0 ρ ∫S
∫y
2
dS =
(2)
S
отс ю да с ле ду е т, что це н тробе ж н ый моме н т и н е рци и J xy = ∫ xydS = 0 , ос е вой S
моме н т и н е рци и отн ос и те льн о главн ой це н тральн ой ос и
J x = ∫ y 2 dS S
И з(2) с ле ду е т
1 M = , ρ JxE
где J x E - ж е с ткос тьбру с а при и зги бе . З акон Г у ка при ме т ви д σ =
My Jx
(3)
11
Кри ви зн а кри вой с вя зан н а с прои зводн ыми и с с ле ду е мой фу н кци и – в d 2u dz 2
1 = 3 2 ρ 2 du 1 + dz du 2,63 . m
При ме н е н и е э н е рге ти че с кого ме тода проде мон с три ру е м н а с ле ду ю щ е м при ме ре : Т ри фи ля рн ый подве с с ос тои т и з одн ородн ого ди с ка ради у с а R и мас с ы m, подве ш е н н ого на тре х с и мме три чн ых н и тя х оди н аковой дли н ы l . Н и ти закре пле н ы н а рас с тоя н и и r от це н тра ди с ка. О пре де ли тьс обс тве н н у ю час тоту коле бан и й ди с ка, прои с ходя щ и х около ве рти кальн ой ос и , проходя щ е й че ре зце н тр ди с ка. Вводи м у гол ϕ поворота
20
вокру г ве рти кальн ой ос и z , и малый у гол ψ отклон е н и я каж дой н и ти от ве рти кали . С точн ос тью до малых пе рвого поря дка вклю чи те льн о rϕ = l ψ (1) Поте н ци альн ая э н е рги я ди с ка U = mgz (2) И зге оме три и че рте ж а z = l − l cosψ = l (1 − cosψ ) = 2l sin 2
ψ l 2 ≈ ψ . 2 2
С у че том форму лы (1) н аходи м U = mg
r2 2 ϕ 2l
(3)
Ки н е ти че с кая э н е рги я ди с ка е с ть с у мма ки н е ти че с кой э н е рги и T1 е го при пос ту пате льн ом ве рти кальн ом дви ж е н и и и ки н е ти че с кая э н е рги я T2 при е го вращ е н и и вокру гос и , т.е . 1 2 1 2 mv z = mz& , 2 2 mr 4 ϕ 2ϕ& 2 то T1 = 2 l2 1 1 mR 2 T2 = J zϕ& 2 = 2 2 2 T1 =
так как
z=
r 2ϕ 2 , 2l
2 ϕ&
Полн ая ме хан и че с кая э н е рги я с и с те мы 1 mr 4 2 2 mg 2 2 2 2 & E = T1 + T2 + U = mR ϕ + 2 ϕ ϕ& + r ϕ 4 2l 2l Р ас с матри вае м малые коле бан и я ди с ка, т.е . ϕ и ϕ& - бе с кон е чн о малые ве ли чи н ы, с ле довате льн о, ϕ 2 ⋅ ϕ& 2 - ве ли чи н а че тве ртого поря дка малос ти .
Пре н е бре гая э ти м чле н ом, окон чате льн о полу чи м 1 r2 mR 2ϕ& 2 + mg ϕ 2 = const 4 2l
Проди ффе ре н ци ровав пос ле дн е е раве н с тво по ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е малых коле бан и й ди с ка ϕ&& +
вре ме н и ,
полу чи м
2 gr 2 ϕ =0 lR 2
О тку да час тота с обс тве н н ых коле бан и й k=
2y r ⋅ l R
§6. Задачи [2,4,5,9] 1. Г ру з ве с ом Р = 15 кг подве ш е н н а ве рти кальн ой с тальн ой проволоке дли н ой l =125 с м и площ адью попе ре чн ого с е че н и я А = 0,0065 с м 2. О пре де ли ть час тоту с вободн ых коле бан и й гру за, е с ли моду льу пру гос ти с тали Е = 2·106 кг/с м 2. О пре де ли тьампли ту ду э ти х коле бан и й, е с ли н ачальн ое пе ре ме щ е н и е x& 0 = 2,5 с м/с е к. Р еш ен и е. С тати че с кое у дли н е н и е проволоки равн о δст =
15 ⋅ 125
2 ⋅ 10 ⋅ 0,0065 6
-1
= 0,144 с м . Т огда к = 15,2 с ек . А мпли ту да
Рис. 8
21
коле бан и й с ос тавля е т x02 + ( x& / P) 2 = (0,025) 2 + [2,5 / 2π ⋅ 15,2]2 = 0,0367 с м . 2. Г ру з ве с ом Р опи рае тс я н а балку дли н ой l (ри с . 8). О пре де ли ть коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти балки и час тоту с вободн ых ве рти кальн ых коле бан и й гру за, пре н е бре гая мас с ой балки . Р еш ен и е. С тати че с ки й проги б балки под н агру зкой раве н Pl 0 (l − l 0 ) 3lEJ 2
δст =
З де с ь l0 – рас с тоя н и е гру за от ле вого кон ца балки и EJ – и зги бн ая ж е с ткос тьбалки вве рти кальн ой плос кос ти . Пре дполагае тс я , что э та плос кос ть с оде рж и т одн у и з главн ых це н тральн ых ос е й и н е рци и попе ре чн ого с е че н и я балки , так что ве рти кальн ые н агру зки вызываю т только ве рти кальн ые пе ре ме щ е н и я . По опре де ле н и ю коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти вдан н ом с лу чае раве н c=
3lEJ l (l − l 0 ) 2 0
2
.
в И с комая час тота мож е т быть н айде н а подс тан овкой δ с т с оотве тс тву ю щ у ю форму лу . Вли я н и е мас с ы балки н а час тоту коле бан и й бу де т рас с мотре н о н и ж е . 3. Г ру з Р подве ш е н н а дву х пру ж и н ах, как показан о н а ри с . 9,а. О пре де ли ть общ и й коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти и час тоту ве рти кальн ых коле бан и й гру за, е с ли коэ ффи ци е н ты ж е с ткос ти пру ж и н равн ы c1 и c2 . О пре де ли ть час тоту коле бан и й гру за Р, е с ли он подве ш е н н а дву х оди н аковых пру ж и н ах, как показан о н а ри с . 9, б. Р еш ен и е. В с лу чае , показан н ом н а ри с . 9, а, с тати че с кое пе ре ме щ е н и е гру за Р равн о δст = Рис. 9
P P P(c1 + c 2 ) + = . c1 c 2 c1c 2
О бщ и й коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти раве н c1c2 /( c1 + c2). При подс тан овке δ с т полу чи тс я час тота коле бан и й k=
gc1c 2 . P(c1 + c 2 )
1 2π
В с лу чае , показан н ом н а ри с . 9 б, δст =
P 2c
и
k=
1 2π
2 gc . P
4. О пре де ли ть пе ри од гори зон тальн ых коле бан и й рамы (ри с . 10) с гру зом Р, рас полож е н н ым пос е ре ди н е проле та. В э том рас че те мас с у рамы н е у чи тывать.
22
Р еш ен и е. Н ачн е м с о с тати че с кой задачи и опре де ли м гори зон тальн ое с ме щ е н и е δ рамы, которое вызывае тс я гори зон тальн ой с и лой Н , де йс тву ю щ е й в точке рас полож е н и я гру за Р . Пре н е бре гая де формаци я ми рас тя ж е н и я – с ж ати я э ле ме н тов и у чи тывая только и зги б, н айде м, что гори зон тальн ый с те рж е н ьАВ и зги бае тс я дву мя равн ыми моме н тами Hh/2. Т огда у гол поворота у злов А и В раве н α=
hhl . 12EJ 1
Р и с . 10
Р ас с матри вая те пе рь с тойки рамы как кон с оли , и зги бае мые гори зон тальн ыми с и лами Н /2, н аходи м, что гори зон тальн ое пе ре ме щ е н и е δ бу де т с ос тоя ть и з дву х час те й, одн а и з которых опре де ля е тс я и зги бом кон с оле й, а дру гая – вычи с ле н н ым выш е поворотом α у злов А и В . С ле довате льн о, 3
δ =
2
3
Hh Hh l Hh + = 6 EJ 12 EJ 1 6 EJ
1l J 1 + . 2 h J 1 Р и с . 10
В таком с лу чае коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти раве н c=
H = δ
Полу чи м:
6 EJ 1l J h 1 + 2 h J1
.
3
1l J 3 Ph 1 + 2 h J 1 . T = 2π 6 gEJ
Е с ли ж е с ткос ть гори зон тальн ого э ле ме н та ве ли ка по с равн е н и ю с ж е с ткос тью с тое к, то чле н , с оде рж ащ и й отн ош е н и е J/J1, мал и и м мож н о пре н е бре чь. Т огда 3
Ph T = 2π 6 gEJ
и час тота равн а k=
1 2π
6 gEJ Ph
3
.
5. Пре дполагая , что гру з ве с ом Р (ри с . 11), пре дс тавля е т каби н у ли фта, дви ж у щ е гос я вн и з с пос тоя н н ой с корос тью v0, и у чи тывая у пру гос ть с тальн ого торс а, опре де ли ть н аи больш е е н апря ж е н и е в с е че н и и , е с ли ве рхн и й кон е ц А трос а вн е запн о ос тан овле н . При н я ть, что ве с Р = 4500 кг, дли н а трос а l = 18 м , площ адьпопе ре чн ого с е че н и я трос а А = 16 с м 2, моду ль у пру гос ти мате ри ала трос а Е = 106 кг/с м 2, с корос тьv0 = 1 м /с ек. Ве с ом трос а пре н е бре чь.
Р и с . 11
23
Р еш ен и е. При равн оме рн ом дви ж е н и и каби н ы рас тя ги ваю щ ая с и ла втрос е равн а Р = 4500 кг и у дли н е н и е трос а вмоме н т ос тан овки равн о δ с т = Рl/АЕ = 0,51 с м . Д ви гавш и йс я с о с корос тью v0 ли фт н е мож е т вн е запн о ос тан ови тьс я и н ачн е т с ове рш ать коле бан и я н а трос е . Бу де м отс чи тывать вре мя от моме н та ос тан овки ; вэ тот моме н т с ме щ е н и е гру за от полож е н и я равн ове с и я равн о н у лю и с корос ть ран а v0. З аклю чае м, что ампли ту да коле бан и й равн а v0/q, где q = -1 g / δ с т = 44 с ек и v0 = 100 с м /с ек; тогда н аи больш е е у дли н е н и е трос а равн о δд = δ с т + v0/q = 0,51 + 100/44 = 2,78 с м и н аи больш е е н апря ж е н и е равн о (4500/16)(2,78/0,51)=1530 кг/с м 2. Как ви дн о, н апря ж е н и е в с е че н и и трос а вс ле дс тви е вн е запн ое ос тан овки е го ве рхн е го кон ца вдан н ом с лу чае возрас тае т при ме рн о впя тьраз. 6. Ви н товая пру ж и н а и ме е т с ре дн и й ди аме тр ви тка D = 2,5 с м , ди аме тр проволоки d = 0,25 с м и с оде рж и т n = 20 ви тков. М оду ль с дви га мате ри ала проволоки G = 0,8·102 кг/с м 2, и ве с подве ш е н н ого гру за P = 14 кг. Вычи с ли тьпе ри од с вободн ых коле бан и й. О т вет . Т = 0,67 с ек. 7. Балка, показан н ая н а ри с . 8, и ме е т проле т l = 3,6 м и тавровое попе ре чн ое с е че н и е , показан н ое н а ри с . 12. М ате ри алом с лу ж и т алю ми н и й, для которого моду ль у пру гос ти Е = 0,7·106 кг/с м 2. Ве с P = 230 кг. Вычи с ли ть час тоту с вободн ых ве рти кальн ых коле бан и й, е с ли гру з у дале н от ле вой опоры н а рас с тоя н и е с = 1,2 м . Пре н е бре чьвли я н и е м с обс тве н н ой мас с ы балки . О т вет . к = 6,13 кол/с ек. 8. Каково бу де т н аи больш е е ди н ами че с кое пе ре ме щ е н и е δм ах, е с ли гру зP (с м. пре дыду щ у ю задачу ) паде т н а балку пос е ре ди н е проле та с выс оты h = 2,5 с м , и зме ря е мой от у ровн я опор? О т вет . δм ах = 3,05 с м . 9. Вычи с ли тьчас тоту с вободн ых коле бан и й гру за P = 4,5 кг(ри с . 13).
Р и с . 12
Р и с . 13
Вал А и ме е т с плош н ое кру глое с е че н и е ди аме тром d = 2,5 с м , дли н у l = 1 м и заде лан вс те н е в Р и с . 11
24
с е че н и и А. Кон с ольн ая полос а В С ж е с тко при кре пле н а к валу вс е че н и и В и и ме е т дли н у a = 0,3 м , ш и ри н у b = 2,5 м и толщ и н у t = 0,6 с м . М ате ри ал вс е й кон с тру кци и – с таль, для которой Е = 2·106 кг/с м 2 и G = 0,8·106 кг/с м 2. О т вет . к = 5,11 кол/с ек. 10. Ч тобы у ме н ьш и ть н аи больш и е ди н ами че с ки е н апря ж е н и я , н айде н н ые для у с лови й задачи 5, ме ж ду н и ж н и м кон цом трос а и каби н ой ли фта поме щ е н а короткая пру ж и н а, и ме ю щ ая коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти с = 360 кг/с м . Вычи с ли ть н аи больш и е ди н ами че с ки е н апря ж е н и я , которые бу ду т вызван ы в э том с лу чае , е с ли ве рхн и й кон е ц трос а вн е запн о Р и с . 14 ос тан овле н . При н я ть те ж е чи с ловые зн аче н и я , что взадаче 5. О т вет . σм ах = 530 кг/с м 2. 11. Портальн ая рама с ос тои т и з тя ж е лой дву тавровой балки № 60 с дли н ой 6 м , опе ртой н а две отн ос и те льн о ги бки е с тойки выс отой 4,9 м (ри с . 14). Каж дая с тойка и ме е т коробчатое попе ре чн ое с е че н и е площ адью А = 26 с м 2 и н аи ме н ьш е го ради у с а и н е рци и r = 1,6 с м ; Е = 2·106 кг/с м 2. Вычи с ли ть с обс тве н н ый пе ри од боковых коле бан и й в плос кос ти рамы: а) пре дполагая полн у ю ж е с ткос ть с ое ди н е н и я э ле ме н тов; б) пре дполагая ш арн и рн у ю с вя зь балки с о с тойками . И зги бом балки пре н е бре чь. [ Р ас че тн у ю выс оту с тойки при н я тьравн ой 4,6 м ]. О т вет . Т1 = 0,813 с ек, Т2 = 2,30 с ек. 12. О пре де ли ть час тоту кру ти льн ых коле бан и й вала, н а кон цах которого и ме ю тс я два кру глых ди с ка пос тоя н н ой толщ и н ы, е с ли ве с а ди с ков равн ы P1 = 450 кг и P2 = 900 кг и и х вн е ш н и е ди аме тры с ос тавля ю т с оотве тс тве н н о D1 = 125 с м , D2 = 190 с м . Д ли н а вала равн а l = 300 с м и ди аме тр е го с е че н и я d = 10 с м . М оду ль с дви га G = 0,8·106 кг/с м 2. Р еш ен и е. Р ас с тоя н и е у злового попе ре чн ого с е че н и я от больш е го ди с ка равн о α=
Полу чае м: k=
300 ⋅ 450 ⋅ 125
2
450 ⋅ 125 + 900 ⋅ 190 2
1 2π
2
=
300 = 53,4 с м . 1 + 4,62
π ⋅ 981 ⋅ 10 ⋅ 0,8 ⋅ 10 4
4 ⋅ 900 ⋅ 190 ⋅ 53,4 2
8
= 9,52 кол/с ек.
13. Во с колько раз у ве ли чи тьс я час тота коле бан и й вала, рас с мотре н н ого впре дыду щ е м при ме ре , е с ли н а дли н е , равн ой 160 с м , ди аме тр вала у ве ли чи вае тс я с 10 до 20 с м ?
25
Р еш ен и е. Вал дли н ой 160 с м и ди аме тром 20 с м мож е т бытьзаме н е н валом дли н ой 10 с м и ди аме тром 10 с м . Т аки м образом, дли н а э кви вале н тн ого вала равн а 10 + 140 = 150 с м , т. е . Вдвое ме н ьш е дли н ы вала, рас с мотре н н ого в пре дыду щ е м при ме ре . Т ак как час тота с вободн ых коле бан и й обратн о пропорци он альн а квадратн ому корн ю и здли н ы вала, мы заклю чае м, что в ре зу льтате у с и ле н и я Р и с . 15 вала час тота у ве ли чи тс я вотн ош е н и и 2 :1. 14. О пре де ли ть час тоту коле бан и й кольца (ри с . 15) отн ос и те льн о ос и О , пре дполагая , что це н тр кольца н е подви ж е н и что повороты обода с вя зан ы с н е которым и зги бом с пи ц, как показан о н а ри с . 15 пу н кти ром. При н я ть, что общ ая мас с а кольца рас пре де ле н а вдоль с ре дн е й ли н и и обода и дли н у с пи ц полож и ть равн ой ради у с у r э той с ре дн е й ли н и и . При н я ть такж е , что и зги бом обода мож н о пре н е бре чь, так что кас ате льн ые к и зогн у тым ос я м с пи ц вбли зи и х кон цов и ме ю т н аправле н и е ради у с ов обода. Д ан ы общ и й ве с кольца Р и и зги бн ая ж е с ткос тьВ с пи ц. Р еш ен и е. Р ас с матри вая каж ду ю с пи цу как кон с ольдли н ой r (ри с . 15, б), н а кон це которой де йс тву ю т попе ре чн ая с и ла и и зги баю щ и й моме н т М, и и с пользу я и зве с тн ые форму лы для и зги ба кон с оли , полу чае м с ле ду ю щ и е выраж е н и я для у гла φ и пе ре ме щ е н и я rφ кон ца: 2
Qr Mr ϕ= − , 2B B 3 2 Qr Mr rϕ = − , 3B 2B
отку да M =
Qr 2 Bϕ = . 3 r
Е с ли Мt обозн ачае т при лож е н н ый к ободу кру тя щ и й моме н т, то и ме е м: M t = 4Qr − 4 M =
16 Bϕ . r
Кру тя щ и й моме н т, с пос обн ый вызвать поворот обода, равн ый одн ому ради ан у , я вля е тс я коэ ффи ци е н том ж е с ткос ти и равн я е тс я с =16 В /r . Н аходи м и с кому ю час тоту k=
1 2π
16 B 1 = rJ 2π
16 gB Pr
3
.
15. О пре де ли ть час тоту кру ти льн ых коле бан и й ди с ка (ри с . 16), е с ли кон цов вала закре пле н ы вс е че н и я х А и В . О бе час ти вала и ме ю т оди н аковый ди аме тр d, н о разли чн ые дли н ы l1 и l2. М оме н т и н е рци и ди с ка раве н J.
Р и с . 16
26
О т вет . k=
1 2π
πd G (l1 + l 2 ) . 32 Jl1l 2 4
16. О пре де ли ть э кви вале н тн у ю дли н у l пря мого вала, и ме ю щ е го кру ти льн у ю ж е с ткос тьС 1 таку ю ж е , как кри вош и п коле н чатого вала (ри с . 17). Р и с . 16 Щ е ки кри вош и па С Е и DF и ме ю т и зги бн у ю ж е с ткос ть В . Пре дполож и ть, что подш и пн и ки А и В и ме ю т дос таточн ые зазоры и н е пре пя тс тву ю т с вободе попе ре чн ых пе ре ме щ е н и й у зловС и D при кру че н и и вала. Ш ату н н ая ш е йка ЕF и ме е т кру ти льн у ю ж е с ткос тьС 2 и отс тои т от ос и вала н а рас с тоя н и и r. О т вет . l = 2a +
C1 C b + 2 1 r .. C2 B
Р и с . 17
Р и с . 18
17. Д ва паралле льн ых вала АВ и CD опе рты н а подш и пн и ки и вращ аю тс я вме с те (ри с . 18).Каж дый вал н е с е т тя ж е лый ди с к н а вн е ш н е м кон це , и с и с те ма с ове рш ае т кру ти льн ые коле бан и я . Вычи с ли тьпе ри од с вободн ых коле бан и й при с ле ду ю щ и х чи с ле н н ых зн аче н и я х: Ja = Jb =1150 кг/с м 2, l1 = l2 = 150 с м , d1 = d2 = 7,5 с м , r1 / r2 = 0,5. Пре н е бре чьи н е рци е й ш е с те ре н и валов. М оду льс дви га G = 0,8·106 кг/с м 2. О т вет . Т = 0,203 с ек. 18. Д ля с и с те мы, показан н ой н а ри с . 18, выве с ти общ е е выраж е н и е э кви вале н тн ой дли н ы l е ди н ого вала ди аме тром d1, с вя зываю щ е го два ди с ка А и D. О т вет . d l = l1 + 1 d2
4
2
r1 l 2 . r1
19. Кру говой с тальн ой обод ве с а Р и с ре дн е го ради у с а r при кре пле н n ради альн ыми с пи цами к н е подви ж н ой с ту пи це ради у с а r0; каж дая и з с пи ц и с пытывае т зн ачи те льн ое н ачальн ое рас тя ж е н и е S0 (ри с . 19). О пре де ли ть пе ри од с вободн ых кру ти льн ых коле бан и й обода, при н и мая , что при малых ампли ту дах коле бан и й рас тя ги ваю щ ая с и ла в каж дой с пи це ос тае тс я пос тоя н н ой. С пи цы ш арн и рн о закре пле н ы н а кон цах и н е могу т и с пытывать и зги б. Р и с . 19
27
О т вет . T = 2π
P r (r − r0 ) . ngS 0 r0
20. Вычи с ли ть час тоты малых коле бан и й мая тн и ков, показан н ых н а ри с . 20, а, б, в, пользу я с ь у равн е н и е м э н е рги и . Пре н е бре чь мас с ой с те рж н я и при н я тьво вс е х с лу чая х, что мас с а гру за Р с ос ре доточе н а ве го це н тре . Р еш ен и е. Е с ли φ – у гол отклон е н и я мая тн и ка (ри с . 20, а) и l - е го дли н а, то ки н е ти че с кая э н е рги я мая тн и ка равн а Pϕ& 2 l 2 / 2 g . И зме н е н и е поте н ци альн ой э н е рги и опре де ля е тс я ве рти кальн ым с ме щ е н и е м 2 l (1 − cos ϕ ) ≈ lϕ / 2 гру за Р , и у равн е н и е э н е рги и при н и мае т ви д Pϕ& l Plϕ + = const . 2g 2 2 2
2
Пре дполагая , дви ж е н и е прои с ходи т
Р и с . 20
что по
закон у ϕ = ϕ 0 sin Pt , полу чи м у глову ю час тоту q=
g . l
При запи с и у равн е н и я э н е рги и для с лу чая ри с . 20, б н у ж н о к поте н ци альн ой э н е рги и гру за Р при бави тьэ н е рги ю де формаци и пру ж и н . Е с ли с – коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти , подс чи тан н ый с у че том обе и х пру ж и н , то э н е рги я де формаци и пру ж и н равн а c(aϕ ) 2 / 2 , и полу чи м:
(
)
Pϕ& l 2 ϕ + Pl + ca = const , 2g 2 2 2
2
и час тота коле бан и й равн а g ca 1+ l Pl
2
q=
.
В с лу чае , показан н ом н а ри с . 20, в, при лю бом отклон е н и и мая тн и ка от ве рти кальн ого полож е н и я поте н ци альн ая э н е рги я гру за Р у ме н ьш ае тс я ; при ме н я я те ж е с оображ е н и я , что и выш е , полу чи м: q=
2 g ca − 1 . l Pl
Как ви ди м, де йс тви те льн ые зн аче н и я для Р мы полу чи м только при у с лови и 2
ca >1 Pl
и ли
P