Математические основы гуманитарных знаний. Часть 1. Теория множеств. Числовые множества: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСТ И Е Т Г .Д . С е ле зн е в

NNN

М А Т Е М А Т И ЧЕ СК И Е О СН О В Ы ГУ М А Н И Т А РН Ы Х ЗН А Н И Й ЧастьI Т е ория множ е ств. Числовые множ е ства У че бное пособие поспе циальности 620200 « Т е оре тиче ск ая и прик лад ная лингвистик а»

В О РО Н Е Ж 2003

2

У тве рж д е но нау чно-ме тод иче ск им сове том ф ак у льте таРГФ . П роток олзасе д ания № Составите ль– Г.Д . Се ле зне в Н ау чный ре д ак тор– И .Е . В оронина А ннота ц ия У ч ебное п особи е п р едназнач енодля ст удент ов 1 к ур са днев ногоот делени я фак ульт ет а р ом ано-гер м анск ойфи лологи и ВГУ , сп еци альност и «Теор ет и ч еск ая и п р и к ладная ли нгв и ст и к а» , и зуч аю щи х п р едм ет М ат ем ат и ч еск и е основ ы гум ани т ар ных знани й. В п ер в ойч аст и п особи я и злагаю т ся основ ы элем ент ар нойт еор и и м нож ест в и дает ся п р едст ав лени е оч и слов ых м нож ест в ах нат ур альных, целых, р аци ональных, дейст в и т ельных и к ом п лек сных ч и сел; р ассм от р ены нек от ор ые св ойст в а беск онеч ных ч и слов ых м нож ест в . Р ассм от р ена и ст ор и я р азв и т и я п онят и я «ч и сло» . Пособи е снабж енобольши м к оли ч ест в ом и ллю ст р аци йи п р и м ер ам и .

П особие под готовле нонак аф е д ре Т е оре тическ ой и прик лад ной лингвистик и ф ак у льте та романо-ге рманск ой ф илологии В ороне ж ск ого госу д арстве нного у ниве рсите та Ре к оме нд у е тся д ля сту д е нтов 1 к у рсад не вного отд е ле ния очной ф ормы обу чения ф ак у льте таромано-ге рманск ой ф илологии В ГУ .

© Г.Д Се ле зне в © В ороне ж ск ий госу д арстве нный у ниве рсите т

3

П О Я СН И Т Е Л Ь Н А Я ЗА П И СК А Н астоящ е е ме тод ическ ое П особие разработано в соотве тствии с у че бной П рограммой по д исциплине « М ате матиче ск ие основы гу манитарныхзнаний». П особие пре д ставляе тсобой к онспе к тле к ций по те мам П рограммы: « Т е ория множ е ств» и « И стория развития понятия « число», « Числовые множ е ства», изу чение к оторыхрассчитанона 8 у чебныхчасов. Э то пе рвое из се рии ме тод иче ск ихпособий по « М ате матическ им основам гу манитарныхзнаний». Ц е льд анного ме тод иче ск ого пособия состоитв том, чтобы помочьсту д е нтам – гу манитариям освоитьпонятия и зак оны эле ме нтарной те ории множ е ств, к оторая являе тся основой совре ме нной мате матик и, и ознак омиться с историе й развития понятия « число» и основными числовыми множ е ствами. П ри разработк е пособия авторорие нтировался насту д е нтов спе циальности« Т е оре тиче ск ая и прик лад ная лингвистик а», од нак о оно мож е тбытьполе зно сту д е нтам и д ру гихгу манитарныхспе циальносте й , изу чаю щ ихмате матик у . Сод е рж ание 1. М нож е ства 1.1. П риме ры и обозначе ния множ е ств 1.2. М нож е стваиопе рации с ними 1.3. О бъ е д ине ния, пе ре се чения ид ополне ния тре хмнож е ств 1.4. П равилад е йствий с множ е ствами 1.5. М ощ ностьмнож е ства 2. Числа 2.1. Развитие понятия « число» 2.2. П иф агоре йск ое у че ние о числахи зак онахгармонии в природ е и иск у сстве 2.3. Развитие те ориичисловыхмнож е ств 2.4. В озмож ные и не возмож ные д е йствия с числами 2.5. Бе ск оне чностьчисловыхмнож е ств К лассы бе ск оне чныхмнож е ств и к онтину у м – гипоте за. Л ите рату ра

4 4 5 6 7 8 8 8 12 13 14 15 16 17

4

1 М н ожес тва 1.1

П р и м ер ы и обозн аче н и я м н ож ест в

М нож ество – другим и слова м и – совокупность, на бор, собра ние элем ентов, объединя ем ых по ка ком у-ли бо призна ку. Э то не опре д е ле ние понятия « м нож ество» , т.к . слова «совокупность» , «на бор» , «собра ние» - все го лиш ь синонимы слову « м нож ество». П онятие « м нож ество» - не опре д е лимое , пе рвичное понятие , значение к оторого раск рывае тся, становится понятным при е го у потре бле нии. Н априме р, множ е ство сту д е нтов, множе ство це лых чисе л, множ е ство плане т Солне чной систе мы, множ е ство точе к на ок ру ж ности и вну три е е . Е сли эле ме нтх принад ле ж итмнож е ству А, то пиш у тх ∈ А; е сли эле ме нтх не принад ле ж ит А, то пиш у т х ∉ А. Символ ∈ пре д ставляе т собой стилизованный вариант гре ческ ой бу к вы ε (эпсилон) – начальной бу к вы слова« эле ме нт». Часто множ е ство обозначае тся с помощ ью ф игу рныхск обок , в к оторыхпе ре числяю тся е го эле ме нты, точне е знак и этихэле ме нтов, наприме р B = {к от, пе с, осе л, пе ту х}, Cyr = {А , Б, В , Г, Д , Е , Ё , Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я }. М нож е ство мож но обозначатьу к азание м свойств е го эле ме нтов, наприме р, B = {b | b – бре ме нск ие му зык анты}, Cyr = {N | N – прописная бу к вару сск огоалф авита}. В е ртик альну ю черту | мож ночитатьк ак « так ой, что». Н е сле д у е тпу татьобозначе ния x и {x}. Зд е сь{x} – это множ е ство, ах – е д инстве нный эле ме нтэтого множ е ства.

x ∈ M эле ме нтхпринад ле ж ит множ е ству М y ∉ M эле ме нтy не принад ле ж ит множ е ству М М нож е ство к ак их-то чисе л М нож е ство нату ральныхчисе л

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

}

М нож е ство точек М нож е ство, не име ю щ е е эле ме нтов, называю т пу стым и обозначаю т ∅. П риме ры пу стых множ е ств: множ е ство лю д е й старш е 300 ле т, множе ство ту пых у глов равносторонне го тре у гольник а, множ е ство д е йствите льныхк орне й у равне ния х 2 + 1 = 0. М нож е ство мож е т сод е рж ать бе ск оне чное к оличе ство эле ме нтов. П риме ры бе ск оне чныхмнож е ств: множ е ство все хчисе л, множ е ство точек прямой линии. Н е ре д к о од но множ е ство ок азывае тся частью – подм нож еством (не пу тать с эле ме нтом!) д ру гого множ е ства. Н априме р, множ е ство синиц являе тся под множ е ством птиц, а множ е ство четныхчисе л являе тся под множ е ством множ е ства нату ральных чисе л. Е сли к аж д ый эле ме нт множ е ства В являе тся эле ме нтом множ е ства А, то множ е ство В называе тся под множ е ством множ е стваА. Д ля обозначе ния этой ситу ации приме няе тся знак ⊂ . Запись В ⊂ А означае т, что В являе тся под множ е ством А, или, к ак иногд а говорят, В сод е рж ится в А, или А вк лю чае т в се бя В. За-

5

пись В⊂ А эк вивале нтна записи А ⊃ В. Знак ⊂ напоминае т знак < , у к азывая на то, что множ е ство В сод е рж ит ме ньш е эле ме нтов, че м А . Е сли д ва множ е ства сод е рж ат од ни и те ж е эле ме нты, то ихназываю тэк вивале нтными и пиш у т А = В. Т отслу чай, к огд а А = В или А ⊃ В обозначаю тА ⊇ В. Символом ∅ - обозначае тся пу стое множ е ство, т.е . множ е ство, не сод е ржащ е е эле ме нтов. Символом Ω обозначае тся - множ е ство « у ниве рсу м», т.е . множ е ство объ е к тов д анной те ории и сод е рж ащ е е В С Е объ е к ты, рассматривае мые в этой те ории. Н априме р, это могу т бытьВ СЕ нату ральные числаΩ = N, а Е – четные числа, тогд аN ⊃ E. 1.2

Мн ож е ст ва и опе р аци и с н и м и

М нож е ства мож но различными способами к омбинировать и полу чать д ру гие множ е ства, под обно тому , к ак разные опе рации над числами (слож е ние , вычитание , у множ е ние … ) привод ят к д ру гим числам. П од обно тому , к ак те орию ариф ме тическ их опе раций называю т а лгеброй, те орию опе раций с множ е ствами мож ноназватьа лгеброй м нож еств. ОБЪЕД ИН ЕН ИЕ множ е ств

А ∪В =С Э ле ме нты множ е стваС – это все эле ме нты, к оторые принад ле ж атмнож е ствам А и л и В .

М нож е ство лю д е й = M ∪ W ∪ B ∪ G П ЕРЕС ЕЧЕН ИЕ множ е ств

А ∩В =С

К итайск те сту д е нты = Q = C ∩ S

Э ле ме нты множ е ства С – это все эле ме нты, к оторые принад ле ж атмнож е ствам А и В . В КЛЮ ЧЕН ИЕ множ е ств S ⊂F Е сли эле ме нты принад ле ж атмнож е ству S – то они принад ле ж ати множ е ству F.

Д ОП ОЛН ИЕ м н ож е ст в А = Ā Э ле ме нты множ е ства Ā – это все эле ме нты, к оторые не принад ле ж атмнож е ству А Л =А ∪Ā Н априме р, е сли N нату ральные числа, Е – че тные числа, а Ē – не четные числа, то N = E ∪ Ē .

6

Е щ е приме р: Cyr = {А , Б, В , Г, Д , Е , Ё , Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я } множ е ство бу к в ру сск огоалф авита, а Lat = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V,W, X, Y, Z} множ е ство бу к в латинск ого алф авита, то множ е ство CL = Cyr ∩ Lat = {А , В , Е , К , М , Н , О , Р, С, Т , Х} это множ е ствобу к в, к оторые являю тся од новре ме нно бу к вамиру сск ого и латинск ого алф авитов; ALP = Cyr ∪ Lat = { А , Б , В , Г, Д , Е , Ё, Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я , D, F, G, I, J, L, N, Q, R, S, U, V, W, Y, Z} это множ е ствобу к в, к оторые являю тся бу к вами ру сск ого и л и латинск огоалф авитов. Зд е сь « и л и »не иск лю чаю щ е е , т.е . в А ∪ В вход ятвсеэле ме нты из А и всеэле ме нты из В . Граф ическ и опе рации с множ е ствами мож но пре д ставитьс помощ ью д иаграмм В е нна.

О БЪ Е Д И Н Е Н И Е А ∪В ИЛ И 1.3

П Е РЕ СЕ ЧЕ Н И Е А ∩В И

В К Л Ю ЧЕ Н И Е А ⊂В Е СЛ И Т О

Д О ПО Л НЕ НИ Е А НЕ

Объе ди н е н и я, пе р есе чен и я и допол н е н и я тр е х м н ож е ст в

Р – все влад е ю щ ие ру сск им язык ом А – все влад е ю щ ие английск им язык ом Н – все влад е ю щ ие не ме цк им язык ом Р ∪ А – все влад е ю щ ие ру сск им и все влад е ю щ ие английск им язык ами Р ∪ Н – все влад е ю щ ие ру сск им и все влад е ю щ ие не ме цк им язык ами А ∪ Н – все влад е ю щ ие английск им и все влад е ю щ ие не ме цк им язык ами Р ∪ А ∪ Н – все влад е ю щ ие ру сск им, английск им и не ме цк им язык ами Р ∩ А – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им и английск им язык ами Р ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им и не ме цк им язык ами А ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нноанглийск им ине ме цк им язык ами Р ∩ А ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им, английск им и не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие ру сск им, но не влад е ю щ ие ни английск им, ни не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие английск им, но не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие не ме цк им, но не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни английск им язык ами

P ∩ A ∩ H – не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни английск им, ни не ме цк им язык ами

7

1.4 1. К омму тативность

П р ави л а де йст ви й с м н ож е ст вам и A∪B = B∪ A

2. А ссоциативность A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C 3. И д е мпоте нтность A∪ A= A 4. Д истрибу тивность A ∪ (B ∩ C ) = ( A∪ B) ∩ ( A ∪C ) 5. И нволю ция

A∩ B = B ∩ A A ∩ (B ∩C ) = ( A ∩ B) ∩ C A∩ A= A A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

( A) = A

6. П равила д е М органа

( A ∪ B) = A ∩ B ( A ∩ B) = A ∪ B 7. О пе рации с д ополне ниями, пу стым множ е ством иу ниве рсу мом A∩∅ = ∅

A∩ A = ∅

A∩Ω = A 8. И мплик ация 9. Э к вивале нтность

A∪Ω = Ω

A∪∅ = A ∅=Ω

A∪ A = Ω Ω=∅

( A ⊂ B) &(B ⊂ C ) ⇒ ( A ⊂ C) ( A ⊂ B ) & ( B ⊂ A) ⇔ ( A = B )

Л огическ ая опе рация Х & Y означае т, что од новре ме нно выполняю тся у словия X и Y. О пе рация X ⇒ Y означае т, чтое сл и вер н о X, т о ве р н о и Y. С множ е ствами мож но производ итьпре образования, под обные те м, к ак ие мы производ им с числами. Д аж е опе рации с множ е ствами иногд а называю т так , к ак называю т ариф ме тическ ие опе рации: объ е д ине ние множ е ств – слож е ние м, пе ре се че ние – у множ е ние м. Д ополне ние к д анному множ е ству под обно отрицате льному числу , а отнош е ние вк лю чения A ⊂ B под обно отнош е нию поряд к а д ля чисе л a < b . О д нак о ариф ме тиче ск ие д е йствия и д е йствия с множ е ствами все ж е отличаю тся. Т ак , правила д истрибу тивности, позволяю щ ие выносить за ск обк и общ ие сомнож ите ли, « работае т» в ариф ме тик е тольк о в од ну сторону , т.е . ве рно, что

( ab + ac ) = a ( b + c ) .

Н о поме няйте ме стами слож е ние и у множ е ние , и раве нство пе ре стае тбытьве рным

( a + b )( a + c ) ≠ a + bc .

А в те ории множ е ств д истрибу тивность– правило 4 – « работае т» в обе стороны. П рове рьте самостояте льно, справе д ливы ли в ариф ме тик е правила д е М органа?

8

П риме ры д е йствий с множ е ствами 1) 2) 3)

( A ∩ B ) ∩ ( A ∩ B) = A ∩ B ∩ A ∩ B = A ∩ A ∩ B ∩ B = ∅ ∩ ∅ = ∅ A ∪ ( A ∩ ( A ∪ ( A ∩ A) ) ) = A ∪ ( A ∩ ( A ∪ ∅ ) ) = A ∪ ( A ∩ A ) = A ∪ ∅ = A ( A ∪ B ∪ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = ( A ∪ B ∪ C ) ∪ (( A ∪ B) ∩ C ) = ( A ∪ B ∪ C ) ∪ ( A ∪ B ∪ C ) = D ∪ D = Ω 1.5

Мощн ост ь м н ож е ст ва

М ощ ность множе ства А, обозначае мая M(A), – это к оличе ство эле ме нтов в не м. У становле ние равномощ ности к оне чных (не бе ск оне чных) множ е ств не составляе т особого тру д а. Чтобы у бе д иться в том, что д ва множ е ства и име ю т од инак ову ю мощ ность, мож но сосчитатьэле ме нты пе рвого ивторого и сравнитьре зу льтаты под сче та.

M(S) = M(P) = 10

Т ру д не е это сд е латьс бе ск оне чными множ е ствами. Д ля этого тре бу е тся у к азатьспособ у становле ния взаимно-од нозначного соотве тствия эле ме нтов од ного множ е ства эле ме нтам д ру гого множ е ства, т.е . способ, с помощ ью к оторого к аж д ому эле ме нту пе рвого множ е ства ставится в соотве тствие од ин из эле ме нтов второго множ е ства и при этом ни од ин из нихне бу д е тпропу щ е н. Д ва множ е ства А и В име ю т од инак ову ю мощ ность, т.е . M(A) = M(B), е сли су щ е ству е т способ R у становле ния взаимно - од нозначного соотве тствия эле ме нтов од ного множ е ства a ∈ A эле ме нтам д ру гого множ е ства b ∈ B: R(a ≡ b). Э тим способом у станавливае тся равномощ ность множ е ства нату ральных чисе л ℕ и множ е ства рациональных чисе л ℚ , множ е стваточек прямой и множ е ства точе к плоск ости ит.п. 2 2.1

Ч и с ла

Разви т и епон ят и я «чи сл о»

И стория развития понятия « число» те сно связанас названиями и обозначе ниямичисе л. Д о отк рытия нату ральныхчисе л, множ е ство к оторыхбе ск оне чно, приме нялисьи полу чали наиме нования к оне чные – не бе ск оне чные (и д аж е не оченьбольш ие ) числа. В отк ак об этом пиш е тся в к ниге А. К ондр ат ов а «Зв ук и и знак и » . «В нек от ор ых к ни гах м ож но п р оч ест ь, ч т о п ер в обыт ные нар оды «не ум ею т сч и т ат ь до т р ех» . Д еск ат ь, у ни х ест ь слов а для ч и сли т ельного 1, для ч и сли т ельного 2, а ч и сли т ельное 3 означ ает уж е м ного. Н о п о т ак ойлоги к е м ы, р усск и е, ум еем сч и т ат ь ли шь додесят к а: в едь слов ам и м ы обознач аем ч и сла от 1 до10, а 11 уж е оди нна дат ь, 12 – дв а на дат ьи т . д. Н а сам ом деле лю бойнар од, на к ак ом бы п ер в обыт ном ур ов не к ульт ур ы онне находи лся, в ладеет сч ет ом . И ав ст р али ец, и бушм ен, и п ап уас от ли ч но знает в сех св ои х соп лем енни к ов и р одст в енни к ов , от ли ч и т т р ех уби т ых ж и в от ных от ч ет ыр ех. Н о в язык ах м и р а дейст в и т ельно сохр ани ли сь в в и де ж и в ых и ск оп аем ых п ер еж и т к и п ер в обыт ного к онк р ет -

9

ного сч ет а. Ведь не одно т ысяч елет и е п онадоби лось ч елов еч ест в у, ч т обы осознат ь ч и сло в ообще, незав и си м ое от св ойст в п р едм ет ов . В десят к ах язык ов м и р а ч и сли т ельное 5 и м еет р одст в о со слов ом п ядь, ладонь, р ук а. В язык е ост р ов а Пасхи и р одст в енных ем у язык ах, на к от ор ых гов ор ят ж и т ели О к еани и и М адагаск ар а, слов о р и м а, и ли ли м а, означ ает и 5 и р ук у. А в от к ак и нт ер есно сч и т аю т п ап уасы, гов ор ящи е на язык е м ар и нд. Ч и сли т ельное 1 обознач ает ся слов ом сак од, ч и сли т ельное 2 – и на. Ч и сли т ельное 3 св оего собст в енного яр лык а не и м еет , оно п ер едает ся слов ам и сак од-и на, ч и сли т ельное 4 – и на-и на (т о ест ь 3 – эт о 1-2, 4 – эт о 2-2). Д альше ж е нач и нает ся сч ет п оп альцам р ук и ног. Тоест ь 5 – эт оуж е не и на-и на-сак од (2-2-1), а большойп алец р ук и , 6 – ук азат ельныйи т . д. Пальцев , к ак и зв ест но, у нас 20. Д о дв адцат и и в едет ся сч ет , ч и сла более дв адцат и и м еную т ся слов ом м ного. Е ще более и нт ер есно обознач аю т ся ч и сли т ельные в язык е т елефол, на к от ор ом гов ор и т ок оло ч ет ыр ех т ысяч ч елов ек на ст ык е гр ани ц Зап адного И р и ана и м олодойр есп убли к и Пап уа Н ов ая Гв и нея. Ч и сли т ельное 1 – эт ом и зи нец лев ойр ук и , 2 – безым янныйп алец лев ой р ук и , 3 – ср едни йп алец лев ойр ук и , 4 – ук азат ельныйп алец лев ойр ук и , 5 – большойп алец лев ойр ук и , 6 – лев ое зап яст ье, 7 – лев ое п р едп леч ье, 8 – лев ыйлок от ь, 9 – лев ыйби цеп с, 10 – лев ое п леч о, 11 – лев ая ст ор она шеи , 12 – лев ое ухо, 13 – лев ыйглаз, 14 – нос. Зат ем п р ои сходи т п ер еход на др угую ст ор ону т ела. Ч и сли т ельное 15 – эт о др угойглаз, 16 – др угое ухо и т . д., в п лот ьдо27, обознач аем огослов ам и м и зи нец п р ав ойр ук и . Ч и сли т ельное 27, в св ою оч ер едь, бер ет ся за основ у дальнейшего сч ет а, к от ор ыйдов оди т ся до«носа» , т оест ьдосоч ет ани я 27 и 14 (м и зи нец лев ойр ук и и нос). О нои м еет см ысл «оч еньм ного» – дальше сч ет уж е не в едет ся. Л и нгв и ст ы обнар уж и ли в язык ах п ап уасов Н ов ойГв и неи дв ои ч ное, п ят ер и ч ное (п о п альцам р ук ) ч ет в ер и ч ное (сч ет п о п альцам , но без большого п альца), шест ер и ч ное (шест ер к а обознач ает ся слов ам и шест ь-оди н, дю ж и на – шест ь-дв а и т . п .), дв адцат и сем и р и ч ное (к ак в язык е т елефол) сч и слени е! Вст р еч ает ся т ам и п р и в ыч ное нам десят ер и ч ное сч и слени е, на основ е к от ор ого п ост р оена си ст ем а ч и сли т ельных р усск ого язык а. К ст ат и ск азат ь, в нашем язык е сохр ани ли сь п ер еж и т к и т ех в р ем ен, к огда к ак ое-т о большое ч и сло было си нони м ом оч ень м ного, больше не быв ает . «И м я и м леги он» — гов ор и м м ы; и ли уп от р ебляем в ыр аж ени я «т ьм ат ьм ущая» , «т ьм а нар ода» . И т ьм а, и леги онв п р еж ни е в р ем ена были наи м енов ани ям и оп р еделенных ч и сел. А в от еще оди нп р и м ер «ж и в огои ск оп аем ого» в р усск ом язык е, св язанногососч ет ом . Поч ем у м ы гов ор и м «дв е шт ук и » т ольк о о неодушев ленных п р едм ет ах? Эт о ост ат ок п ер в обыт ного к онк р ет ного сч ет а в нашем язык е. В др уги х язык ах ест ь сп еци альные ч и сли т ельные для п одсч ет а р азли ч ных п р едм ет ов : для дли нных одни , для к р углых др уги е, для ж и в ых сущест в т р ет ьи и т . д. У ди в и т ельную си ст ем у к онк р ет ных ч и сли т ельных обнар уж и л сов ет ск и йэт ногр аф Е . А. К р ейнов и ч у ни в хов , загадоч ных оби т ат елейС ахали на и ни зов и йАм ур а. «У ни х нет слов а для обознач ени я абст р ак т ного п онят и я «р ав ный» , но ест ь р яд слов для обознач ени я к онк р ет ных р ав енст в . Н ет у ни х и ч и сли т ельных для сч и слени я абст р ак т ных к оли ч ест в , но зат о ест ь п р и м ер но т р и дцат ь р азр ядов ч и сли т ельных для обознач ени я к онк р ет ных к оли ч ест в » , – ук азыв ает К р ейнов и ч и п р и в оди т дли нныйсп и сок т ак и х ч и сли т ельных. Тут ест ь ч и сли т ельные для п одсч ет а п р едм ет ов р азнойфор м ы, от дельно м елк и х к р углых (п уль, др оби нок , яи ц, и к р и нок , к улак ов , к ап ельв оды, т оп ор ов , бут ылок ), от дельно дли нных п р едм ет ов (дер ев ьев , к уст ар ни к ов , р ебер , в олос, к и шок , дор ог), от дельно п лоск и х т онк и х п р едм ет ов (ли ст ов бум аги , ци нов ок , одеял, р аст ени й), от дельно п ар ных п р едм ет ов (глаз, щек , р ук , лы ж , в есел, р ук ав и ц, сер ег). Пр и сч ет е ж и в ых сущест в , сем ейст в , п ок олени й уп от р ебляю т ся св ои ч и сли т ельные, п р и ч ем от дельно сч и т аю т ся лю ди и добр ые духи , от дельно сем ейст в а, от дельно п ок олени я, от дельнож и в от ные, р ыбы, п т и цы, злые духи . Д ля сч ет а нек от ор ых ор уди йлов а р ыбы и т ю ленейу ни в хов оп ят ь-т ак и сущест в ую т св ои особые ч и сли т ельные – для сет ей; для нев одов ; для п алок на ост р огу и т . д.

10

О собым и ч и сли т ельным и в едет ся сч ет загот ов леннойр ыбы и ж ер дейдля ее загот ов к и (для св язок ю к олы для лю дей; для св язок к ор ю шк и для лю дей; для св язок к ор м а для собак ; для ж ер дейдля сушк и ю к олы). Е ст ь еще сп еци альные ч и сли т ельные п р и сч ет е ср едст в п ер едв и ж ени я (от дельно лодок и от дельнонар т ) и м ат ер и алов (досок ; п р ядейдля в ер ев ок ; св язок т р ав ы для обув и ). Н ак онец, ест ь ч и сли т ельные, обознач аю щи е м ер ы: особо для м ахов ых саж еней, особо для п ядей, осободля т олщи ны сала м едв едейи т ю леней, осободля днев ок в п ут и ... «Н ет р уднозам ет и т ь, ч т ов гр уп п е ч и сли т ельных для сч ет ов п р едм ет ов р азнойфор м ы от р аж ена п оп ыт к а ч елов ек а п р ов ест и к ласси фи к аци ю п р едм ет ного м и р а, – зам еч ает К р ейнов и ч . – К к ак ом у ж е в р ем ени м ож ет быт ь от несена эт а к ласси фи к аци я? Н али ч и е т оп ор а в гр уп п е м елк и х к р углых п р едм ет ов п одск азыв ает нам , ч т о р еч ь и дет не о сов р ем енном ж елезном т оп ор е, а об ов альном т оп ор е к ам енногов ек а. Знач и т , к ласси фи к аци я п р едм ет ов п о ч и ст о в нешнем у п р и знак у – фор м е, к от ор ая п р ослеж и в ает ся в ни в хск и х ч и сли т ельных, п р едст ав ляет , в ер оят но, одну и з др ев нейши х к ласси фи к аци й, созданных лю дьм и к ам енного в ек а» . О тголоск и д ре вних способов счета мож но обнару ж ить и се год ня в язык ах народ ов мира. Т ак , наприме р, считаю т абориге ны А встралии, пле ме ни ре к и М у рре й : 1 – энэа , 2 – петчева л, 3 – петчева л-энэа , 4 – петчева л-петчева л, … ; пле ме ни К амилари: 1 – м а л, 2 – була н, 3 – гулиба , 4 – була н-була н, 5 – була н-гулиба , 6 – гулиба -гулиба , … . Сле д ы д ве над цатиричной систе мы су щ е ству ю т в е вропе йск их язык ах д о сих пор; д ля чисе л11 и 12 су ш е ству ю тособые названия:

10 11 12 13

Ру сск ий д е сять од иннад цать д ве над цать= дюж и на тринад цать

Н е ме цк ий zein elf zwolf dreizen

А нглийск ий zen eleven twelve thrityn

Распростране нная в В е лик обритании и СШ А систе маме рд лины: дюйм – фут – я рд, – так ж е основанана числе 12. О д ин д ю йм ( inch англ.) = 2.54 см О д ин ф у т(foot англ.) = 12 д ю ймов = 30.48 см, О д ин ярд (yard англ.) = 3 ф у та= 91.44 см. Число 12 и 60 = 12 × 5 д о сихпорле ж итв основании исчисле ния вре ме ни и у глов: 1 су тк и = 24 = 12 × 2 часа, 1 час = 60 мину там, 1 мину та = 60 се к у нд ам; полный к ру г раве н 360 = 60 × 6 у гловыхград у сов, 1 град у с = 60 мину там (1° = 60′), 1 мину та= 60 се к у нд ам (1′ = 60″). Д ре вняя е гипе тск ая ну ме рация, 3000 ле тд о н.э.

У е гиптян впе рвые систе матиче ск и появляю тся д роби, но систе ма разлож е ния на простые д роби вид а 1/n была оче нь слож ной и тяж е лове сной. Е гипе тск у ю алге бру иногд а называю т« хау -исчисле ние м» оте гипе тск ого « хау » – к у ча.

11

Д ре вняя гре че ск ая – аттическ ая ну ме рация, 600 ле тд о н.э.

Гре ческ ая (иониче ск ая) ну ме рация – этобу к вы с че рточк ами, 300 ле тд о н.э.

П озиционну ю систе му исчисле ния и спе циальный знак д ля ну ля стали приме нять в д ре вне м В авилоне приме рно 2000 д о н.э., при вавилонск ом царе Хамму рапи (1950 г д о н.э.). В авилонск ая к линописная систе мабыла 60-ричная.

12

К линописные те к сты у к азываю т на то, что вавилоняне у ж е у ме ли ре ш ать лине йные и к вад ратные у равне ния, д аж е с д ву мя не изве стными. О ни ре ш али зад ачи, свод ящ ие ся к к у биче ск им и бик вад ратным у равне ниям. Б ыли составле ны многочисле нные таблицы д ля вычисле ния и под бора к орне й. О ни знали приближ е нные значе ния д ля числа 2 = 1.4142 к ак 5 1 = 1.416666... = 1.416(6) . Ре ш алисьзад ачи на слож ные проце нты (проце нты отпроце нтов). 12 М ате матик а была иск лю чите льно прак тическ ой и ре це пту рной. И зве стно было вавилонянам и то, что мы се йчас называе м те оре мой П иф агора. Римск ая ну ме рация – это прописные бу к вы латинск ого алф авита: 1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = V, 6 = VI, 7 = VII, 8 = IX, 10 = X, 11 = XI, 12 = XII, … 40 = XL, 50 = L, 60 = LX, 90 = XC, 100 = C, 110 = CX, 500 = D, 1000 = M П риме ры: 417 = CDXVII, 888 = DCCCLXXXVIII, 1965 = MCMLXV, 3333 = MMMCCCXXXIII Ф ормазаписи римск ихчисе л не од нозначна. О на варьиру е тся отк лассиче ск ой д о у прощ е нной, становясьвсе боле е нагляд ной. 499 = CDXCIX (к лассиче ск ая ф орма) 499 = LDVLI V (нагляд ная ф орма) 499 = XDIX (боле е нагляд ная ф орма) 499 = VDIV (е щ е боле е нагляд ная ф орма) 499 = ID (у прощ е нная ф орма)

В славянск ой ну ме рации циф ры обозначалисьбу к вами к ириллицы с титлами ~

4 = Д% , 10 = I% , 80 = П% , 200 = С% , 900 = Ц% Совре ме нная д е сятичная позиционная систе ма счисле ния и А рабск ая ну ме рация появилась в VIII в. в И нд ии, зате м в К итае , позж е в арабск их странах и тольк о в XIII в Е вропе . Т ак , что А рабск ая ну ме рация – этонасамом д е ле – И нд ийск ая ну ме рация. 2.2

П и фаг ор е йск оеу чен и ео чи сл ах и зак он ах г ар м он и и в пр и р одеи и ск у сст ве

Д ре вне гре че ск ие ф илософ ы, ж ивш ие в И онии – гре че ск ихпосе ле ниях в М алой А зии, д е рзну ли объ ятьразу мом В се ле нну ю , пе ре став полагаться на богов, д у хов, призрак ов, д е монов, анге лов и д ру гие мистическ ие силы, як обы у правляю щ ие явле ниями природ ы. В оззре ния ионий це в к ак не льзя лу чш е отражаю тслова А нак сагора: « Разу м правитмиром». Согласно их у че нию , план, по к оторому построе на В се ле нная, име е т мате матиче ск ий харак те р– и тольк о мате матик апозволяе тче лове к у отк рытьэтотплан. П е рвой нау чной ш к олой, пре д лож ивш е й свой вариант « мате матизированного плана» строе ния В се ле нной, были П иф агоре йцы, возглавляе мые П иф агором Самосск им. П иф агоре йцы, ж или на ю ге И талии. И м у д алось све сти му зык у к простым отнош е ниям чисе л. Д виж е ния плане т и многие д ру гие явле ния природ ы пиф агоре йцы так ж е све ли к числовым отнош е ниям. О собу ю роль в у чении пиф агоре йце в играли числа 1, 2, 3 и 4, образовывавш ие те трак тис, или четве рицу . П о пре д анию , к лятва пиф агоре йце в гласила: « К ляну сь име не м Т е трак тис, ниспосланной наш им д у ш ам. В не й источник и к орни ве чно цве ту щ е й природ ы». П иф агоре йцы считали, что все объ е к ты в природ е состоят из че тве рок так их, к ак четыре ге оме триче ск ихэле ме нта: точк а, линия, пове рхностьи те ло. В после д ствии П латон прид авал особое значе ние че тве рк е мате риальныхэле ме нтов: зе мле , возд у ху , огню и вод е . П осле того к ак пиф агоре йцы « све ли» астрономию и му зык у к числу , му зык а и астрономия ок азались связанными с ариф ме тик ой и ге оме трие й, и все че тыре д исциплины стали считаться мате матическ ими. О ни вош ли в программу общ е го образования, причем это полож е ние сохранилосьвплотьд о сре д не ве к овья. В сре д ние ве к а к омпле к с общ е образовате льных

13

д исциплин, состоящ ий из ариф ме тик и, ге оме трии, му зык и и астрономии, полу чил название к вад ривиу м [ М . К лайн. 1984. С. 20-24]. 2.3

Раз ви т и ет е ор и и чи сл овы х м н ож е ст в

П онятия числа могу т быть располож е ны так им образом, что к аж д ое сле д у ю щ е е понятие бу д е тохватыватьвсе пре д ыд у щ ие . За наиболе е простым понятие м, охватываю щ им тольк о од ни на тура льные числа, ид е т новое , боле е обш ирное понятие ц елого числа, ибо оно вк лю чае ту ж е ну льи отрицате льные це лые числа. Д ва сле д у ю щ их, боле е слож ныхпонятия – ра ц иона льные и ирра ц иона льные числа. Ра ц иона льные числа могу т быть пре д ставле ны в вид е простой д роби или в вид е ре зу льтата д е ле ния д ву х це лых чисе л. В ре зу льтате так ого д е ле ния мож е т полу читься бе ск оне чная, но обязате льно пе риод иче ск ая д робь. И рра ц иона льные числа мы у знае м по бе ск оне чной не пе риод ическ ой после д овате льности циф рпосле точк и (запятой) в д е сятичной д роби. О ни заве рш аю т систе му д е йствите льных или, к ак их е щ е называю т, ве щ е стве нных чисе л. П осле д ним являе тся понятие ком плексного числа . К ом плексные числа пре д ставляю т собой пары д е йствите льныхчисе л, приче м второе число к аж д ой пары у множ е но на« мниму ю е д иницу » −1 или i.

Н и од но из чисе л, ни од ной из этих систе м не су щ е ству е т в ре альном мире , в то ж е вре мя числа у д ачно описываю т не к оторые свойства ре ального мира; поэтому они и были выд е ле ны к ак абстрак тные понятия, отраж аю щ ие е го пове д е ние . Чтобы сосчитать своих ове ц, пасту ху хватае т нату ральных чисе л; чтобы взве сить свое золото, к у пе ц воспользу е тся д робями. Гре че ск ому ге оме тру , к оторый захоте л у знать, че му равна гипоте ну за равнобе д ре нного прямоу гольного тре у гольник а, понад обились числа врод е 2 , а мате матик эпохи В озрож д е ния, ре ш авш ий к у бическ ое у равне ние , наш е лприме не ние числу − 1 . К омпле к сные числа, появивш ие ся в XVI ве к е , позволяли « ариф ме тизировать» у ж е не тольк о бе ск оне чну ю пряму ю , но и бе ск оне чну ю плоск ость. К аж д ой точк е плоск ости с к оорд инатами (x, y) ставится в соотве тствие од но к омпле к сное число, к оторое пре д ставляе т собой пару из д е йствите льного и мнимого чисе л вид а ( x + yi ), гд е i = - 1 . К омпле к сные числамож но, к ак и обычные , ск лад ыватьивычитать, у множ атьи д е лить.

( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) ( a + ib )( c + id ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc )

( a + ib ) − ( c + id ) = ( a − c ) + i ( b − d ) ( a + ib ) = ( ac + bd ) + i ( bc − ad ) ( c + id ) c2 + d 2

В мате матик е су щ е ству ю ти д ру гие обобщ е ния понятия числа: ква терни оны, векторы, м а триц ы, тензоры и т.д . Э ти мате матическ ие объ е к ты, являю щ ие ся творе ниями свобод ного мате матическ ого разу ма, те м не ме не е , наход ятш ирок ое приме не ние в различных областяхнау к и и инж е не рной прак тик и.

14

Н ату ральные числа N = 1, 2, 3, … Ц е лые числа

Z = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … Рациональные числа

Д е йствите льные числа

К омпле к сные числа

2.4

В озм ож н ы еи н евозм ож н ы еде йст ви я с чи сл ам и

Л ю бые числамож но: Н ату ральные числа N Ц е лые Числа Z

Рациональные числаQ

И ррациональные числа

Д е йствите льные числаR К омпле к сные числаC

• • • • •

ск лад ывать у множ ать ск лад ывать у множ ать вычитать

• • • • • • • • • • • • • •

ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить извле к атьк орни ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить извле к атьк орни В СЕ М О Ж Н О

Н е к оторые числане льзя: • • • • •

вычитать д е лить д е лить извле к атьк орни пре д ставитьв вид е отнош е ния д ву хце лыхчисе л • извле к атьк орни

•

пре д ставитьк ак ре зу льтатслож е ния, у множ е ния, вычитания, д е ле ния иизвле чения к орне й (трансце нд е нтные числа)

• извле к атьк орни из отрицате льныхчисе л

–

15

2.5

Бе ск он е чн ост ь чи сл овы х м н ож е ст в

В се пе ре числе нные множ е ства чисе лбе ск оне чны. К к аж д ому числу , к ак им бы больш им оно ни было, мож но прибавитье д иницу и те м самым е щ е у ве личитье го. И это у ве личение « вш ирь» не име е тпре д е ла. Н о ме ж д у д ву мя сосе д ними нату ральными или це лыми числами е щ е од ного нату рального или це лого числа у ж е не вставить. М ож но зад аться вопросом: К ак ихчисе лбольш е нату ральныхили це лых? Зд равый смысл под ск азывае т, что це лыхчисе лвд вое больш е , че м нату ральных, од нак оэто не так . Ц елых чисел столько ж е, сколько на тура льных чисел (!), т.е . д ваэтихмнож е стваиме ю т од инак ову ю мощ ность. Чтобы у бе д иться в том, что д вамнож е стваА и В равномощ ны, т.е . M(A) = M(B), над о у к азатьспособ R у становле ния взаимно-од нозначногосоотве тствия эле ме нтов од ногомнож е стваa ∈ A эле ме нтам д ру гого множ е ства b ∈ B: R(a ≡ b). Н арису нк е пре д ставле насхе матак ого способа. Способ пе ре сче таце лыхчисе л нату ральными

М нож е стварациональныхи д е йствите льныхчисе л бе ск оне чны не тольк о « вш ирь», но и « вглу бь». М е ж д у лю быми д ву мя так ими числами [a, b], к ак бы мало ни отличалисьони д ру г отд ру га, все гд амож но вставитье щ е пару чисе л [a’, b’], аме ж д у нимие щ е пару [a” , b” ] , и е щ е … и так д о бе ск оне чности.

К ак это ни странно, рациональныхчисе л, т.е . д робе й вид аm / n, стольк о ж е , ск ольк о и нату ральныхчисе л. Н арису нк е пре д ставле насхе мау становле ния взаимно – од нозначного соотве тствия все храциональныхчисе л (полож ите льныхиотрицате льных) и нату ральных чисе л. Способ пе ре сче тад робныхчисе л нату ральными.

16

О д нак о пе ре считатьд е йствите льные и к омпле к сные числа у ж е не у д ае тся. И хв бе ск оне чное число раз больш е , чем нату ральных. Справе д ливосле д у щ е е : М (N) = М (Z) = М (Q) < М (R) = М (C) 2.6

Кл ассы бе ск он ечн ы х м н ож е ст в и к он т и н у у м – г и пот е за.

Бе ск оне чные множ е ства облад аю ту д ивите льными свойствами. Н априме р, д ок азано, что к оличество точек наотре зк е прямой и навсе й бе ск оне чной прямой, наплоск ой ф игу ре и навсе й бе ск оне чной плоск ости и д аж е в бе ск оне чном пространстве од инак овое! Д вак лассабе ск оне чныхмнож е ств: дискретные

и

Б е ск оне чная после д овате льностьили просто совок у пностьточек . К оличество эле ме нтов в множ е стве этого типаобозначае тся ‫ א‬0 (але ф ну ль). П риме ры множ е ств мощ ности‫ א‬0 : − множе ство нату ральныхчисе л N, − множе ство це лыхчисе л Z, − множе ство рациональныхчисе лQ.

непрерывные

Бе ск оне чная не пре рывная прямая, плоск ость, объ е м, … К оличество эле ме нтов в множ е стве этого типаобозначае тся c или ‫ א‬1 (але ф од ин). П риме ры множ е ств мощ ности ‫ א‬1 : − множ е ство д е йствите льныхчисе лR, − множ е ство к омпле к сныхчисе л C − множ е ство точе к прямой.

К онтину у м

Ф рагме нты д иск ре тныхмнож е ств М (N) = М (Z) = М (Q) = ‫א‬

0