Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни: Учебно-методическое пособие студентов математических специальностей университетов

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Âîëãîãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåðõîâ Â.À.

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀËÃÅÁÐÅ ÷àñòü 1 ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛ è ÈÕ ÊÎÐÍÈ Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ Âîëãîãðàä 2004

ÁÁÊ 22.143

Ðåöåíçåíòû: ä.ô.-ì.í., ïðîðåêòîð ïî èíôîðìàòèçàöèè è òåëåêîììóíèêàöèÿì ÂîëÃÓ, ïðîô. À.À. Âîðîíèí; ê.ô.-ì.í., äîö. êàô. ÌÀÒÔ ÂîëÃÓ Â.È. Ïåëèõ Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ó÷åíîãî ñîâåòà ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂîëÃÓ (ïðîòîêîë N 8 îò 01.03.04.)

Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåðõîâ Â.À. Ïðàêòèêóì ïî àëãåáðå. ×àñòü 1. Ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè: Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ.  Âîëãîãðàä: Èçä-âî ÂîëÃÓ, 2004.  34 ñòð. Öåëü äàííîãî ïîñîáèÿ  îáåñïå÷èòü ìåòîäè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî êóðñàì "Àëãåáðà", "Ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà", "Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ". Ïîñîáèå ñîäåðæèò òåìàòè÷åñêè ïîäîáðàííûå çàäà÷è, à òàêæå íåîáõîäèìûé äëÿ èõ ðåøåíèÿ òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî ïðåæäå âñåãî äëÿ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì "Ìàòåìàòèêà" è "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà" â êëàññè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ, íî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ïðåïîäàâàòåëÿìè è ñòóäåíòàìè äðóãèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ äàííûå êóðñû.

Ïå÷àòàåòñÿ â àâòîðñêîé ðåäàêöèè ñ ãîòîâîãî îðèãèíàë-ìàêåòà

c Ïîïîâ Â.Â., Ìàçåïà Å.À., Áåçâåð° õîâ Â.À., 2004 c Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñó° äàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2004

Ïðåäèñëîâèå Ïîÿâëåíèå íàñòîÿùåãî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ îáóñëîâëåíî íåñêîëüêèìè ïðîñòûìè ñîîáðàæåíèÿìè. Ïðè ïîäáîðå ìàòåðèàëà àâòîðû ñòðåìèëèñü, âî-ïåðâûõ, ñîáðàòü â îäèí ïå÷àòíûé èñòî÷íèê âñå òå çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ èç èçâåñòíûõ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ñáîðíèêîâ çàäà÷ [9][13], êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî ïðåäëàãàþòñÿ ñòóäåíòàì íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ ïî êóðñàì "Àëãåáðà", "Ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà", "Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ" íà ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà; âî-âòîðûõ, îáåñïå÷èòü ñòóäåíòà, ðåøàþùåãî ïðåäëîæåííûå çàäà÷è, îäíîâðåìåííî è íåîáõîäèìûì äëÿ ýòîãî òåîðåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì (áîëüøàÿ ÷àñòü èçâåñòíûõ ñáîðíèêîâ çàäà÷ ïî àëãåáðå ëèáî âîîáùå íå ñîäåðæàò òàêèõ ñâåäåíèé, ëèáî îíè äàíû â î÷åíü êðàòêîé ôîðìå); â-òðåòüèõ, ìàêñèìàëüíî ïðèáëèçèòü ñîäåðæàíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî óêàçàííûì êóðñàì ê ñîäåðæàíèþ äåéñòâóþùåãî íà íàñòîÿùèé ìîìåíò ÃÎÑÒà ñïåöèàëüíîñòåé "Ìàòåìàòèêà", "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà" è ê ñîäåðæàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëåêöèîííûõ êóðñîâ, êîòîðûå ÷èòàþòñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå àâòîðàìè äàííîãî ïîñîáèÿ â òå÷åíèè íåñêîëüêèõ ïîñëåäíèõ ëåò. Äàííîå ïîñîáèå ïîçâîëèò òàêæå ðåøèòü ïðîáëåìó ìåòîäè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî óêàçàííûì êóðñàì è ìîæåò áûòü ïîëåçíî ìîëîäûì ïðåïîäàâàòåëÿì, òîëüêî íà÷èíàþùèì ñâîþ ïåäàãîãè÷åñêóþ äåÿòåëüíîñòü. "Ïðàêòèêóì ïî àëãåáðå" ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îòðàæàåò ñîäåðæàíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî êîíêðåòíîé òåìå "Ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè", "Ìàòðèöû è îïðåäåëèòåëè", "Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé", "Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà", "Ëèíåéíûå îïåðàòîðû", "Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà" è äð. Ïðè ñîñòàâëåíèè íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ íåêîòîðîå ÷èñëî çàäà÷ áûëî ïî÷åðïíóòî èç ñáîðíèêîâ [9][13], êîòîðûå àâòîðû òàêæå ðåêîìåíäóþò ñâîèì ñòóäåíòàì äëÿ ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ñâîèõ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ. Òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, ïðèâîäèìûå â äàííîì ïîñîáèè, èìåþò ñâîèì èñòî÷íèêîì [1][8].

3

Ââåäåíèå ê ïåðâîé ÷àñòè  øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èññëåäîâàíèþ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Ýòî íàïðàâëåíèå âûðàñòàåò â áîëüøîé è ñîäåðæàòåëüíûé ðàçäåë âûñøåé àëãåáðû, èçó÷àþùèé ïðîèçâîëüíûå ìíîãî÷ëåíû n-îé ñòåïåíè ñ îäíèì íåèçâåñòíûì. Ýòîìó ðàçäåëó ïîñâÿùåíî íàñòîÿùåå ïîñîáèå, êîòîðîå îðèåíòèðîâàííî, â îñíîâíîì, íà ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ è çàäà÷ ïî äàííîé òåìàòèêå. Òåì íå ìåíåå, äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî òåìå "Ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè", äëÿ îòðàáîòêè è ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ è çàäà÷íèêàìè [9][13].

Ìíîãî÷ëåíû Ïóñòü P  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîì îïðåäåëåíû äâå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, (óñëîâíî) íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì. Ïóñòü òàêæå x  íåêîòîðûé ñèìâîë, íàçûâàåìûé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåíîì íàä P (= ìíîãî÷ëåíîì ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P) îò ïåðåìåííîé x íàçûâàåòñÿ (ôîðìàëüíîå) âûðàæåíèå âèäà

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an ,

(1)

ãäå n  öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, à a0 , a1 , . . . , an  ýëåìåíòû ìíîæåñòâà P. Ýòè ýëåìåíòû íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà f (x) (a0  êîýôôèöèåíò ïðè xn , a1  êîýôôèöèåíò ïðè xn−1 è ò.ä.); an  ýòî ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà f (x).  êà÷åñòâå P îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà (âìåñòå ñ îïðåäåëåííûìè íà íèõ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ): R  ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; C  ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë; Q  ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; Z  êîëüöî öåëûõ ÷èñåë. 4

Çàìå÷àíèå. Òåðìèíû "îïåðàöèÿ", "êîëüöî" è "ïîëå" îïðåäåëåíû â ïîñëåäíåì ðàçäåëå.  P îáû÷íî åñòü (åäèíñòâåííûé) ýëåìåíò, íàçûâàåìûé íóëåì èëè íóëåâûì ýëåìåíòîì è îáîçíà÷àåìûé ñèìâîëîì ”0”. Åñëè â ôîðìóëå (1) a0 6= 0, òî a0 íàçûâàþò ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì, à n  ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà f (x): n = degf (x). Åñëè æå â ôîðìóëå (1) âñå ai ðàâíû íóëþ, òî f (x) íàçûâàþò íóëåâûì ìíîãî÷ëåíîì è îáîçíà÷àþò òàêæå ñèìâîëîì ”0”. Ñòåïåíü íóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà íå îïðåäåëåíà (íåêîòîðûå àâòîðû çà ñòåïåíü íóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà ïðèíèìàþò ÷èñëî −1 èëè ñèìâîë "−∞"). Ìíîãî÷ëåíû ÷àñòî íàçûâàþò òàêæå ïîëèíîìàìè.  ôîðìóëå (1) èñïîëüçîâàíà ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà çàïèñè ìíîãî÷ëåíà. Ìíîãî÷ëåíàìè ñ÷èòàþòñÿ òàêæå òàêèå àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå, íàïðèìåð, x + x2 + x + x3 + 1 è (x3 + 1)3 + (x2 − 1)2 . Ïðè ýòîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ: a) ïåðåñòàíîâêà ñëàãàåìûõ; b) çàìåíà âûðàæåíèÿ axk + bxk âûðàæåíèåì (a + b)xk , ãäå a, b ∈ P è k = 0, 1, 2, . . .; c) äîáàâëåíèå è îòáðàñûâàíèå ñëàãàåìûõ âèäà 0 · xk , k = 0, 1, 2, . . .; d) çàìåíà âûðàæåíèÿ (axk ) · (bxl ) íà âûðàæåíèå abxk+l , ãäå a, b ∈ P è k, l = 0, 1, 2, . . .. Äâà ìíîãî÷ëåíà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè çàïèñü îäíîãî èç íèõ ìîæíî ïðèâåñòè ê çàïèñè äðóãîãî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé âèäà a)d). Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû (x2 +1)2 è 0·x5 +x4 +0·x3 +2x2 +0·x+1 ðàâíû.

Óïðàæíåíèå 1. Äîïîëíèòü ñïèñîê ïðåîáðàçîâàíèé a) d) òàê,

÷òîáû ìíîãî÷ëåíû x2 +(−2)x+(−7) è x2 −2x−7 áûëè áû ðàâíû. Óïðàæíåíèå 2. Äàòü îïðåäåëåíèå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ. 5

Òåîðåìà 1. Ïóñòü P  ïîëå. Òîãäà ìíîæåñòâî P [x] ìíîãî÷ëåíîâ íàä P ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì, àññîöèàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé (íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì).

Çàìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 1 óòâåðæäàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x), g(x) è h(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ P ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

(f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)); f (x) + g(x) = g(x) + f (x); f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x), à òàêæå ðÿä äðóãèõ ðàâåíñòâ è ñâîéñòâ (ñì. Ïðèëîæåíèå 1).

Óïðàæíåíèå 3. Ïîêàçàòü, ÷òî êîëüöî R[x] ìíîãî÷ëåíîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.

1 Äåëåíèå ñ îñòàòêîì Òåîðåìà 2. Ïóñòü f (x) è g(x)  ìíîãî÷ëåíû ñ êîýôôèöèåíòà-

ìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ P, ïðè÷åì g(x)  íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí. Òîãäà ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû òàêèå ìíîãî÷ëåíû q(x) è r(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, ÷òî

f (x) = g(x) · q(x) + r(x) è ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà r(x) ìåíüøå ñòåïåíè g(x). Ìíîãî÷ëåí q(x) íàçûâàåòñÿ íåïîëíûì ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ f (x) íà g(x), à ìíîãî÷ëåí r(x)  îñòàòêîì.

Çàìå÷àíèå. Çàêëþ÷åíèå òåîðåìû 2 ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì, åñëè P  êîëüöî, à íå ïîëå. Íàïðèìåð, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè (ò.å. ïðè P = Z) ìíîãî÷ëåí f (x) = x2 + 1 íåëüçÿ ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íà g(x) = 2x, òàê êàê êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà  íå öåëûå ÷èñëà.

6

Çàäà÷è. 1.1. Íàéòè ñóììó êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà f (x) = (3x5 − 4x3 + 2x2 − x − 1)20 .

1.2. Äàíû ìíîãî÷ëåíû f1 (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6, f2 (x) = x3 − 3x2 − x − 1, f3 (x) = x2 − 3x + 1. Êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ fi (x) ðàçäåëèòü íà ìíîãî÷ëåí fj (x), ïðè i, j = 1, 2, 3. 1.3. Êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ çàäà÷è 2 ðàçäåëèòü íà ñëåäóþùèå ìíîãî÷ëåíû: a) 2x − 1; b) 3x2 + x + 1; c) x + i + 1; d) 2x + i. 1.4. Íàéòè äåëèòåëü g(x), åñëè èçâåñòíû äåëèìîå f (x), ÷àñòíîå q(x) è îñòàòîê r(x):

a) f (x) = 2x5 + 3x4 + 2x3 + 1, q(x) = x2 + 3x + 1, r(x) = 63x + 25;

b) f (x) = x5 − 2x4 − x3 − 7x2 − 5x + 3, q(x) = x3 − 3x2 − 1, r(x) = −4x + 5.

1.5.

Äîêàçàòü, ÷òî ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà f (x) íà äâó÷ëåí x − c îñòàòîê ðàâåí f (c). 1.6. Íàéòè îñòàòîê ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà f (x) = x100 + 25 x + x2 + x a) íà x + 1; b) íà x − 2; c) íà x + i. 1.7. Íàéòè îñòàòîê ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà f (x) = 2x10 − x5 + x3 + x − 1 a) íà x2 − 1; b) íà x2 + 1; c) íà x3 − 1. 1.8. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí f (x) ïðè äåëåíèè íà x − 1 äàåò îñòàòîê 1, ïðè äåëåíèè íà x − 2  îñòàòîê 2, à ïðè äåëåíèè íà x − 3  îñòàòîê 1. Íàéòè îñòàòîê ïðè äåëåíèè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà íà (x − 1)(x − 2)(x − 3). 7

1.9. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì ðàçíîñòè x − c: f (x) = b0 (x − c)n + b1 (x − c)n−1 + . . . + bn−1 (x − c) + bn , ãäå c ëþáîå ÷èñëî  âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå. Ïîêàçàòü, ÷òî bn ÿâëÿåòñÿ îñòàòêîì îò äåëåíèÿ f (x) íà x−c, bn−1  îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåïîëíîãî ÷àñòíîãî íà x − c, è ò.ä. 1.10. Ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ìíîãî÷ëåí f (x) íà g(x) â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:

1) f (x) = 4x5 + 10x4 + 8x3 + 5x2 + 2x + 3, g(x) = 2x3 + 3x2 − x; 2) f (x) = 3x5 + 4x4 − 6x3 − 2x2 + 4x − 2, g(x) = 3x3 − 2x2 − 2x; 3) f (x) = x5 + 4x4 − 2x3 − 7x2 + 3x + 5, g(x) = x3 − 2x; 4) f (x) = 3x5 − 5x4 − 6x3 + 6x2 + 6x + 5, g(x) = 3x3 − 2x2 − 2x; 5) f (x) = 6x5 − 4x4 + 2x3 − 8x2 + 6x − 2, g(x) = 3x3 + x2 + 2x − 2; 6) f (x) = 6x5 + x4 + 3x3 + 3x2 − x + 4, g(x) = 3x4 − x3 + 2x2 ; 7) f (x) = x6 + 4x5 + 3x4 − 9x3 − 5x2 + 7x + 1, g(x) = x3 + 4x2 + 5x − 2; 8) f (x) = 3x5 + x4 + 4x3 + 3x − 1, g(x) = 3x4 + x3 + 4x2 − x + 4. Îòâåòû:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

q(x) = 2x2 + 2x + 2, q(x) = x2 + 2x, q(x) = x2 + 4x, q(x) = x2 − x − 2, q(x) = 2x2 − 2x, q(x) = 2x + 1, q(x) = x3 − 2x + 1, q(x) = x, 8

r(x) = x2 + 4x + 3; r(x) = 2x2 + 4x − 2; r(x) = x2 + 3x + 5; r(x) = 2x + 5; r(x) = 2x − 2; r(x) = x2 − x + 4; r(x) = x2 − 2x + 3; r(x) = x2 − x − 1.

2

Ñõåìà Ãîðíåðà

Ñõåìà Ãîðíåðà ðåàëèçóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f (x) íà äâó÷ëåí x − c. Ïóñòü

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an  èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí è

f (x) = (x−c)q(x)+r  ðåçóëüòàò åãî äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì íà x−c. Ïóñòü

q(x) = b0 xn−1 + b1 xn−2 + . . . + bn−1 .

Òîãäà

b0 = a0 ,

bk = cbk−1 +ak , ïðè k = 1, 2, . . . , n − 1,

r = cbn−1 +an .

Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò bk âû÷èñëÿåòñÿ ïóòåì óìíîæåíèÿ ïðåäûäóùåãî êîýôôèöèåíòà bk−1 íà c è äîáàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà ak . Îñòàòîê îïðåäåëÿåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó.

Ïðèìåð. Ðàçäåëèòü f (x) = 2x4 − x3 − 2x − 3 íà x − 3. Ðåçóëü-

òàò óäîáíî çàïèñàòü â âèäå òàáëèöû, â âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé ðàñïîëîæåíû êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x), à â íèæíåé  êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòîê.

3

2

−1

0

−2

−3

2

3·2−1=5

3 · 5 + 0 = 15

3 · 15 − 2 = 43

3 · 43 − 3 = 126

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ÷àñòíîå áóäåò

q(x) = 2x3 + 5x2 + 15x + 43. Îñòàòîê r = f (3) = 126.

9

Çàäà÷è. 2.1. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ìíîãî÷ëåí f (x) íà x − c: f (x) = 3x6 − 4x5 − 4x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − 3, f (x) = x6 + 2x5 − 3x4 + 5x3 − 5x2 − 3x − 4, f (x) = x6 + 3x5 − 3x4 − 5x3 + 5x2 − 1, f (x) = x6 − 5x5 + 2x4 + 4x3 + 5, f (x) = x6 + 5x5 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 2x − 2,

a) b) c) d) e)

c = 2; c = −1; c = −3; c = 3; c = −3.

2.2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, íàéòè çíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà f (x) â òî÷êå c: a) b) c) d) e) f)

f (x) = 2x6 + 4x5 − x3 − 4x − 4, f (x) = x6 − 3x5 + 3x3 + 2x2 − 4x + 5, f (x) = x6 − 5x5 + 4x4 + 4x3 + 5x2 − 3x + 2, f (x) = x6 − 5x5 + 5x4 − 3x3 − 4x2 − 2x + 2, f (x) = x6 + 4x5 + 2x4 + 3x2 − 2x, f (x) = x6 + 3x5 − 2x4 + 4x3 + 5x2 − x − 5,

c = −2; c = 2; c = 2; c = 2; c = −3; c = −3.

2.3. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ìíîãî÷ëåí f (x) ðàçëîæèòü

ïî ñòåïåíÿì x − c. Íàéòè çíà÷åíèÿ âñåõ ïðîèçâîäíûõ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå c:

a) b) c) d) e) f)

f (x) = x6 + 2x5 + x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 5, f (x) = x6 + 5x5 + 4x4 − 5x3 − 5x2 + 5x + 4, f (x) = 3x6 − x5 − 5x4 + x3 + 2x2 − 3x + 3, f (x) = x6 − 4x5 + 3x3 + 3x2 + 1, f (x) = x6 − 5x5 + 5x4 + 4x3 − 4x2 − 5, f (x) = x6 − 4x5 + x4 + x2 − 4x,

c = −2; c = −3; c = −1; c = 3; c = 3; c = 3.

2.4. Ðàçëîæèòü ñëåäóþùèå äðîáè íà ïðîñòåéøèå: 1)

x3 + 2x − 1 x4 − 2x3 + 1 x3 + 3x + 2 ; 2) ; 3) . (x − 2)4 (x + 1)5 (x + 1)4 10

3

Äåëèìîñòü â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ

Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (x) äåëèòñÿ íà

ìíîãî÷ëåí g(x), åñëè îñòàòîê ïðè äåëåíèè f (x) íà g(x) ÿâëÿ. åòñÿ íóëåâûì ìíîãî÷ëåíîì. Çàïèñü: f (x) .. g(x). . Åñëè f (x) íå äåëèòñÿ íà g(x), òî ïèøóò f (x) 6 .. g(x). Åñëè f (x) äåëèòñÿ íà g(x), òî ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî g(x) äåëèò f (x) èëè ÷òî g(x)  äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíà f (x).

Ïðèìåðû. . 1) x2 − 1 .. x + 1; √ .√ 3) x3 − 1 .. 7x + 7; . 5) x2 + 1 6 .. x + 1.

. 2) x2 − 1 .. 3x + 3; . 4) x2 + 1 .. x + i;

. Ïðåäëîæåíèå 1. f (x) .. g(x)

⇐⇒ u(x), äëÿ êîòîðîãî f (x) = g(x)u(x) .

ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí

. . Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè f1 (x) .. g(x) è f2 (x) .. g(x) , òî . a) f1 (x) + f2 (x) .. g(x), . b) f1 (x) − f2 (x) .. g(x), . c) f1 (x) · f2 (x) .. g(x).

Ïðåäëîæåíèå 3. Åñëè k1 è k2  îòëè÷íûå îò íóëÿ êîíñòàíòû, òî äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x), g(x) âûïîëíåíî: . . f (x) .. g(x) ⇐⇒ k1 f (x) .. k2 g(x).

Ïðåäëîæåíèå 4. Äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x), g(x) è h(x) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: . a) f (x) .. f (x); 11

. b) åñëè f (x) .. g(x) è g(x) ðîãî k ; . c) åñëè f (x) .. g(x) è g(x)

.. . f (x), òî f (x) = k · g(x) äëÿ íåêîòî.. . . h(x), òî f (x) .. h(x).

4 Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíîâ. Àëãîðèòì Åâêëèäà Îïðåäåëåíèå 2. Îáùèì äåëèòåëåì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ íà-

çûâàåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí, íà êîòîðûé äåëèòñÿ êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ ýòîé ñèñòåìû.

Îïðåäåëåíèå 3. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ  ýòî èõ îáùèé äåëèòåëü íàèáîëüøåé ñòåïåíè.

Çàïèñü d(x) = ÍÎÄ(f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)) îçíà÷àåò, ÷òî d(x)  íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü (ñèñòåìû) ìíîãî÷ëåíîâ f1 (x), f2 (x), . . ., fk (x). Ïèøóò òàêæå d(x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)).

Îïðåäåëåíèå 4. Îáùèì êðàòíûì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé äåëèòñÿ íà êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ ýòîé ñèñòåìû.

Îïðåäåëåíèå 5. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ  ýòî èõ îáùåå êðàòíîå íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Çàïèñü: ÍÎÊ(f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)) èëè [f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)]. Îòìåòèì, ÷òî ÍÎÄ è ÍÎÊ îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî, îòëè÷íîãî îò íóëÿ ìíîæèòåëÿ: åñëè d(x)  ÍÎÄ ñèñòåìû f1 (x), f2 (x), . . ., fk (x), C  êîíñòàíòà è C 6= 0, òî C · d(x)  òàêæå ÍÎÄ ñèñòåìû f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x).

Ëåììà 1. Ïóñòü f (x) = g(x)q(x)+r(x)  äåëåíèå ñ îñòàòêîì.

Òîãäà: a) åñëè d(x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x), òî d(x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ g(x) è r(x); 12

b) åñëè d1 (x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ g(x) è r(x), òî d1 (x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x); c) ìíîæåñòâî îáùèõ äåëèòåëåé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ g(x) è r(x) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì îáùèõ äåëèòåëåé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x); d) ÍÎÄ (f (x), g(x)) = ÍÎÄ (g(x), r(x)).

Àëãîðèòì Åâêëèäà. Ïóñòü f (x) è g(x)  äâà íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíà. Ðàçäåëèì ñ îñòàòêîì ïåðâûé ìíîãî÷ëåí íà âòîðîé, çàòåì âòîðîé ìíîãî÷ëåí íà ïåðâûé îñòàòîê, ïåðâûé îñòàòîê íà âòîðîé îñòàòîê è ò.ä. äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì íóëåâîé îñòàòîê:

f (x) g(x) r1 (x) r2 (x) ... rk (x) rk+1 (x)

= g(x)q1 (x) + r1 (x), = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), = r2 (x)q3 (x) + r3 (x), = r3 (x)q4 (x) + r4 (x), ... = rk+1 (x)qk+2 (x) + rk+2 (x), = rk+2 (x)qk+3 (x) + 0.

Òîãäà ÍÎÄ (f (x), g(x)) = rk+2 (x). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèé íåíóëåâîé îñòàòîê ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì èñõîäíûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x).

Ïðåäëîæåíèå 5. Åñëè d(x) åñòü íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x), òî ìîæíî íàéòè òàêèå ìíîãî÷ëåíû u(x) è v(x), ÷òî

f (x)u(x) + g(x)v(x) = d(x). Åñëè ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) áîëüøå íóëÿ, òî ìîæíî äîïîëíèòåëüíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòåïåíü u(x) ìåíüøå ñòåïåíè g(x), à ñòåïåíü v(x) ìåíüøå ñòåïåíè f (x).

13

Çàäà÷è. 4.1. Äàíû ìíîãî÷ëåíû f1 (x) = x3 + ax + b,

f2 (x) = x4 + cx3 + d,

f3 (x) = x2 + 1, f4 (x) = x2 + ex. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a, b, c, d è e ìíîãî÷ëåí fi (x) äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí fj (x), ãäå i, j = 1, 2, 3, 4? 4.2. Çàäàíû ìíîãî÷ëåíû f1 (x) = (x − 1)2 (x + 1)3 (x − 3)(x − 4), f2 (x) = (x2 − 1)4 , f3 (x) = (x3 − 1)(x2 − 2x + 1)2 , f4 (x) = 2x3 − 3x2 + 5x + 4, f5 (x) = (x + 1)(x − 1)5 (x − 4)2 (x + 2). Íàéòè: a) ÍÎÄ êàæäîé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ; b) ÍÎÄ êàæäîé òðîéêè ìíîãî÷ëåíîâ; c) ÍÎÄ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ; d) ÍÎÊ êàæäîé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ. 4.3. Íàéòè ÍÎÄ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà:

a) f (x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1, b) f (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 2, c) f (x) = x4 + x3 − 3x2 − x − 1, d) f (x) = x5 + x4 − x3 − 2x − 1,

g(x) = x3 − 2x2 + x − 2; g(x) = x3 + 3x2 ; g(x) = x3 + x2 − x − 1; g(x) = 3x4 + 2x3 + x2 + 2x − 2.

4.4. Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà íàéäè ÍÎÄ ìíîãî÷ëå-

íîâ f (x) è g(x). Íàéòè òàêæå ÍÎÊ ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ.

a) b) c) d) e) f)

f (x) x4 + 5x3 + 4x2 + x + 4 x4 − 2x3 − 2x2 + 2x + 4 x4 + 5x3 + 4x2 − 5x − 2 x5 − 2x4 − x2 − 3x − 1 x5 − 6x3 + 8x2 + x + 10 x5 + x3 + x2 + x − 1

g(x) x3 + 3x2 − 3x + 4 x3 − 3x − 2 x3 + 6x2 + 9x + 2 x4 − 2x3 − x2 x4 − 3x3 + 2x2 + x + 2 x4 + x3 + x 2 + x + 1 14

Îòâåò: ÍÎÄ x+4 x−2 x+2 x2 − 2x − 1 x−2 x+1

4.5. Ïðåäñòàâèòü ÍÎÄ d(x) ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ: d(x) = f (x) · u(x) + g(x) · v(x). a) b) c) d) e) f)

f (x) = x4 + 2x3 − x2 − 6x − 4, g(x) = x3 − 2x − 1; f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 8x − 3, g(x) = x3 + 5x2 + 4x − 10; f (x) = x4 + 2x3 − x2 + x + 6, g(x) = x3 − 2x + 4; f (x) = x5 + x4 − 6x3 + 2x2 + 7x + 3, g(x) = x4 − 7x2 + 7x + 3; f (x) = x5 − 2x4 + 4x3 − 4x2 + 2x − 1, g(x) = x4 − x3 + 2x2 − x − 1; f (x) = x5 − 4x4 + 8x3 − 9x2 + 4x, g(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − x − 1.

Îòâåòû:

a) d(x) = x + 1, b) d(x) = x − 1, c) d(x) = x + 2, d) d(x) = x + 3, e) d(x) = x − 1, f ) d(x) = x − 1,

u(x) = −x − 1, u(x) = −x − 3, u(x) = −x + 1, u(x) = −x + 2, u(x) = −x, u(x) = −x,

v(x) = x2 + 3x + 3; v(x) = x2 + 3x + 1; v(x) = x2 + x + 16; v(x) = x2 − x − 1; v(x) = x2 − x + 1; v(x) = x2 − 2x + 1.

5 Óíè÷òîæåíèå èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðîáè  ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêå èððàöèîíàëüíîñòü â çíàìåíàòåëå äðîáè óíè÷òîæàþò ïóòåì óìíîæåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ 15

íà ìíîæèòåëü, ñîïðÿæåííûé ê çíàìåíàòåëþ. Íàïðèìåð, √ √ √ 2+ 3 (2 + 3)( 5 + 1) √ √ = √ = 5−1 ( 5 − 1)( 5 + 1) √ √ √ √ √ √ 2 5 + 2 + 15 + 3 5 1 15 3 = = + + + . 4 2 2 4 4 √ 3− 5 √ òàêæå ñóùåñòâóåò ñîïðÿæåííûé Äëÿ äðîáè √ 3 4+232−3 ê çíàìåíàòåëþ ìíîæèòåëü, îäíàêî ïîäîáðàòü ýòîò ìíîæèòåëü ñëîæíåå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.

Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü f (x) è g(x)  äâà âçàèìíî ïðîñòûõ

ìíîãî÷ëåíà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü α  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí h(x) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî ÷èñëî g(α) · h(α) ðàöèîíàëüíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ àëãîðèòì Åâêëèäà, ïîäáåðåì òàêèå ìíîãî÷ëåíû u(x) è v(x) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî f (x)u(x) + g(x)v(x) = C , ãäå C  ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà ïðè x = α ïîëó÷èì f (α)u(α) + g(α)v(α) = C , ÷òî âìåñòå ñ f (α) = 0 äàåò g(α)v(α) = C. Ïîýòîìó çà h(x) ìîæíî ïðèíÿòü ìíîãî÷ëåí v(x). Òàêèì îáðàçîì, v(α) ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûì ìíîæèòåëåì äëÿ g(α). Ïðèìåð. Èçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå

äðîáè

√ 3− 5 √ √ . 3 4+232−3

√ Îáîçíà÷èì α = 3 2, òîãäà α áóäåò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) = x3 − 2 è çíàìåíàòåëü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå g(x) = x2 + 2x − 3. Ïðèìåíèì ê ýòèì ìíîãî÷ëåíàì àëãîðèòì Åâêëèäà: µ ¶ x 22 29 f (x) = g(x) · (x − 2) + (7x − 8), g(x) = (7x − 8) · + + . 7 49 49 16

29 ÷åðåç f (x) è g(x): 49 µ ¶ µ ¶ x 22 x 22 29 = g(x)−(7x−8) + = g(x)−[f (x)−g(x)(x−2)] + 49 7 49 7 49 · µ ¶¸ µ ¶ x 22 x 22 = g(x) 1 + (x − 2) + − f (x) + . 7 49 7 49 √ Ïðè x = α = 3 2 ïîëó÷èì · µ ¶¸ α 22 1 C = g(α) 1 + (α − 2) + = g(α)(7α2 + 8α + 5). 7 49 49 Âûðàçèì ÷èñëî C =

Òàêèì îáðàçîì, ñîïðÿæåííûé ìíîãî÷ëåí äëÿ çíàìåíàòåëÿ áóäåò µ ³ ´ ¶ 2 √ √ 1 3 3 v(α) = 7 2 +8 2+5 . 49

Çàäà÷è. 5.1. Èçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëÿõ ñëåäóþùèõ äðîáåé: α , ãäå α3 − 3α + 1 = 0; α+1 4+ 2−2 7 α2 − 3α − 1 √ √ , ãäå α3 + α2 + 3α + 4 = 0. ; d) 4 2 + 2α + 1 α 1− 2+ 2

a) √ 3 c)

1 √ 3

; b)

5.2. Óíè÷òîæèòü èððàöèîíàëüíîñòü â çíàìåíàòåëå ñëåäó-

þùèõ âûðàæåíèé

a) A = √

1 1 √ , x, y, z > 0; b) A = √ √ √ , x, y > 0. x+ y+ z x+ 3y

5.3. Äîêàçàòü òîæäåñòâà: 1

1 p a) p √ √ = ; b) 3 3 4 20 + 14 2 + 20 − 14 2 17

√ q √ 3±1 2± 3= √ ; 2

q √ c) A ± B =

s A+

√

s A2

−B

2

±

A−

√

A2 − B . 2

5.4. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ a) Ã

b) !2 p √ √ √ 3 2+ 3 2− 3 2+ 5 p p p ; p √ √ +√ √ √ √ . 6 3 2+ 2+ 3 2− 2− 3 9+4 5+ 2+ 5

6 Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Êðàòíûå êîðíè Ïóñòü f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an  ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ èëè êîëüöà P. Ïóñòü x0  ýëåìåíò P. Òîãäà âåëè÷èíà a0 xn0 + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an íà0 çûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ìíîãî÷ëåíà f (x) â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ f (x0 ). Åñëè f (x0 ) = 0, òî x0 íàçûâàþò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x).

Òåîðåìà 3. (Áåçó). Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +. . .+an−1 x+an

 ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ (êîëüöà) P è x0 ∈ P. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: a) x0  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x); b) f (x) äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí (x − x0 ); c) íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí g(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, ÷òî f (x) = (x − x0 ) · g(x).

Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xk ðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x), ãäå k > 1  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ñòåïåíè n ìíîãî÷ëåíà f (x). Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí g(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, ÷òî f (x) = (x−x1 )(x−x2 ) . . . (x− xk ) · g(x) è deg g(x) = n − k . Ïðåäëîæåíèå 8. Ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 1 íàä ëþáûì ïîëåì

èìååò â ýòîì ïîëå íå áîëåå n êîðíåé. 18

Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x) ðàâíû àëãåáðàè÷åñêè, åñëè ðàâíû èõ ñòåïåíè è ñîâïàäàþò êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x. Ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x), çàäàííûå íàä íåêîòîðûì êîëüöîì èëè ïîëåì P ðàâíû ôóíêöèîíàëüíî, åñëè f (x) = g(x) ïðè âñåõ x ∈ P.

Ïðåäëîæåíèå 9. Ïóñòü f (x) è g(x)  ìíîãî÷ëåíû íàä ïðî-

èçâîëüíûì áåñêîíå÷íûì ïîëåì. Òîãäà ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x) ðàâíû àëãåáðàè÷åñêè ⇐⇒ f (x) è g(x) ðàâíû ôóíêöèîíàëüíî.

Ïóñòü x0  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x). Ïî òåîðåìå Áåçó f (x) äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí (x − x0 ). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî f (x) äåëèòñÿ è íà áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü ýòîãî äâó÷ëåíà. Òîãäà x = x0 íàçûâàþò êðàòíûì êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x). Áîëåå òî÷íî:

Îïðåäåëåíèå 6. Êîðíåì êðàòíîñòè k > 1 ìíîãî÷ëåíà f (x) íàçûâàåòñÿ òàêîé åãî êîðåíü x0 , ÷òî f (x) äåëèòñÿ íà (x−x0 )k , íî íå äåëèòñÿ íà (x − x0 )k+1 . Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà:

Îïðåäåëåíèå 6*. ×èñëî (ýëåìåíò ïîëÿ) x0 íàçûâàåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè k > 1 ìíîãî÷ëåíà f (x), åñëè íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí g(x), äëÿ êîòîðîãî f (x) = (x − x0 )k · g(x) è g(x0 ) 6= 0. Ïðåäëîæåíèå 10. Ïóñòü x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíîãî÷ëåíà f (x). Òîãäà x0  êîðåíü êðàòíîñòè k − 1 ïðîèçâîäíîé f 0 (x) ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.

Ïðåäëîæåíèå 11. x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíîãî÷ëåíà f (x) ⇐⇒ f (x0 ) = 0, f 0 (x0 ) = 0, . . ., f (k−1) (x0 ) = 0. Ïðåäëîæåíèå 12. Ïóñòü x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíîãî÷ëåíà f (x) è d(x)  íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíà f (x) è åãî ïðîèçâîäíîé f 0 (x). Òîãäà x0  êîðåíü d(x). 19

Çàìå÷àíèå.  òåõ êîëüöàõ è ïîëÿõ, â êîòîðûõ íåò ïîíÿòèÿ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà (íàïðèìåð, Z3 , Z4 ) ïðîèçâîäíóþ ìíîãî∆y .  ýòîì ÷ëåíà íåëüçÿ îïðåäåëÿòü ôîðìóëîé f 0 (x) = lim∆x→0 ∆x ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþò ôîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ìíîãî÷ëåíà: äëÿ ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an ýòà ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ (ïî îïðåäåëåíèþ) ìíîãî÷ëåíîì n · a0 xn−1 + (n − 1) · a1 xn−2 + . . . + an−1 . Ïðè òàêîì ïîíèìàíèè ïðîèçâîäíîé ïðåäëîæåíèÿ 1012 îñòàþòñÿ âåðíûìè â ïðîèçâîëüíûõ (â òîì ÷èñëå êîíå÷íûõ) ïîëÿõ.

Çàäà÷è. 6.1. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè λ ìíîãî÷ëåí f (x) èìååò êðàòíûå

êîðíè?

a) f (x) = x3 − 3x + λ; b) f (x) = x4 − 4x + λ; c) f (x) = x3 − 8x2 + (13 − λ)x − (6 + 2λ).

6.2. Íàéòè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðîì ÷èñëî −1 áûëî áû êîðíåì ìíîãî÷ëåíà x5 − ax2 − ax + 1 êðàòíîñòè íå íèæå âòîðîé. 6.3. Îïðåäåëèòü A è B òàê, ÷òîáû òðåõ÷ëåí Ax4 + Bx3 + 1 äåëèëñÿ íà (x − 1)2 . 6.4. Íàéòè êðàòíîñòü êîðíÿ x = x0 ìíîãî÷ëåíà f (x) : a) f = x5 + 8x4 + 21x3 + 14x2 − 20x − 24, b) f = 8x5 + 44x4 + 18x3 − 103x2 + 65x − 12, c) f = x5 − 10x4 + 34x3 − 36x2 − 27x + 54, d) f = x6 − 4x5 − 5x4 + 40x3 − 40x2 − 32x + 48, e) f = x6 − 12x5 + 53x4 − 96x3 + 27x2 + 108x − 81, f ) f = 16x6 + 64x5 + 40x4 − 120x3 − 135x2 + 54x + 81, g) f = x6 + 9x5 + 30x4 + 40x3 − 48x − 32, h) f = x6 + 6x5 + 9x4 − 8x3 − 24x2 + 16, i) f = 16x6 − 64x5 + 40x4 + 40x3 − 55x2 + 22x − 3, 20

x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

= −2; = 12 ; = 3; = 2; = 3; = − 32 ; = −2; = −2; = 12 ;

j) f = x7 − 10x6 + 39x5 − 70x4 + 40x3 + 48x2 − 80x + 32, x0 = 2; k) f = x7 + 11x6 + 48x5 + 100x4 + 80x3 − 48x2 − 128x − 64, x0 = −2.

6.5. Íàéòè êðàòíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x) : a) b) c) d) e) f)

f f f f f f

= x4 + 3x3 − 14x2 − 12x + 40; = x4 + 2x3 − 7x2 − 20x − 12; = x4 − 2x3 − 19x2 + 68x − 60; = 4x4 − 4x3 − 23x2 + 12x + 36; = 8x5 − 12x4 − 66x3 + 107x2 − 54x + 9; = 27x5 − 180x3 − 170x2 − 55x − 6.

6.6. Íàéòè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí x5 + 5ax3 + b

èìååò äâîéíîé êîðåíü, îòëè÷íûé îò íóëÿ. 6.7. Íàéòè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí x5 + 10ax3 + 5bx + c èìååò òðîéíîé êîðåíü, îòëè÷íûé îò íóëÿ. x2 x3 xn 6.8. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîãî÷ëåí 1 + x + + + . . . + íå 2! 3! n! èìååò êðàòíûõ êîðíåé íè ïðè êàêîì íàòóðàëüíîì n. 6.9. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîãî÷ëåí xn − 1 íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé ïðè n = 1, 2, 3 . . .

7 Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè. Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû Îïðåäåëåíèå 7. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ

êîýôôèöèåíòàìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ (èëè êîëüöà) P íàçûâàåòñÿ ïðèâîäèìûì íàä P, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñîìíîæèòåëåé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P. Åñëè òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íåâîçìîæíî, òî f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì íàä P. Ìíîãî÷ëåíû íóëåâîé ñòåïåíè íå îòíîñÿò íè ê ïðèâîäèìûì, íè ê íåïðèâîäèìûì. 21

Ïðèìåðû. a) Ìíîãî÷ëåí x2 − 1 ïðèâîäèì íàä ïîëÿìè Q, R è C, à òàêæå

íàä êîëüöîì Z, ïîñêîëüêó x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). b) Ìíîãî÷ëåí x2 − 2 ïðèâîäèì íàä ïîëÿìè R è C, íî íåïðèâîäèì íàä Q è íàä Z. c) Ìíîãî÷ëåí x2 + 1 ïðèâîäèì íàä ïîëåì C, íî íåïðèâîäèì íàä Q, R è Z. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ òðåõ è áîëåå ñîìíîæèòåëåé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, òî îí, î÷åâèäíî, ïðèâîäèì íàä P. Èç òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäèòñÿ

Ïðåäëîæåíèå 13. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 2 íàä íåêîòîðûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P èìååò â ýòîì ïîëå êîðåíü, òî îí ïðèâîäèì íàä P. Ïðèâîäèìûå íàä P ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè > 4 ìîãóò íå èìåòü êîðíåé â P. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí x6 + 1 ïðèâîäèì íàä R, íî íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè 2 è 3 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå

Ïðåäëîæåíèå 14. Ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè 2 èëè 3 ïðèâîäèì

íàä íåêîòîðûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P ⇐⇒ f (x) èìååò â P õîòÿ áû îäèí êîðåíü.

Òåîðåìà 4. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè

íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P. Òîãäà f (x) ìîæíî ðàçëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå íåïðèâîäèìûõ (íàä P) ñîìíîæèòåëåé.

Åñëè â òåîðåìå 4 ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì, òî ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå.

Çàäà÷è. 7.1.

Ðàçëîæèòü íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè (íàä ïîëåì C) ìíîãî÷ëåíû: 22

a) x3 − 6x2 + 11x − 6; b) x4 + 4; c) x4 + 4x3 + 4x2 + 1; d) x4 − 10x2 + 1.

7.2. Ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåíû íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè

ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè

a) x4 + 4; b) x6 + 27; c) x4 + 4x3 + 4x2 + 1; 4 2 d) x − ax + 1; e) x8 − 1; f ) x12 + 1.

7.3. Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí f (x) íàèìåíüøåé ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïî äàííûì êîðíÿì: a) äâîéíîé êîðåíü 1, ïðîñòûå êîðíè 2, 3 è 1 + i; b) òðîéíîé êîðåíü −1 + 2i; c) äâîéíîé êîðåíü i, ïðîñòîé −1 − i.

8

Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû

Òåîðåìà 5. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîìïëåêñíûìè (â ÷àñòíîñòè, c äåéñòâèòåëüíûìè) êîýôôèöèåíòàìè èìååò õîòÿ áû îäèí êîìïëåêñíûé êîðåíü.

Òåîðåìà 5 âïåðâûå äîêàçàíà Ãàóññîì â êîíöå XVIII âåêà. Îíà íàõîäèò ïðèìåíåíèå íå òîëüêî â âûñøåé àëãåáðå, íî è âî ìíîãèõ äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè (òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òåîðèÿ ÷èñåë è äð.). Äîëãîå âðåìÿ (à ÷àñòî è â íàøè äíè) îíà íàçûâàëàñü îñíîâíîé òåîðåìîé àëãåáðû. Èç òåîðåìû 5 ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäÿòñÿ òåîðåìû 6 è 7:

Òåîðåìà 6. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 1 íàä ïîëåì C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè, ò.å. ïðåäñòàâèì â âèäå f (x) = a0 (x−α1 )(x−α2 ) . . . (x−αn ), ãäå a0  ñòàðøèé êîýôôèöèåíò, à α1 , α2 , . . ., αn  êîìïëåêñíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x). 23

Òåîðåìà 7. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà ÷èñëî åãî êîìïëåêñíûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè) ðàâíî ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f (x).

Ñëåäñòâèå. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïî-

ëåì C íåïðèâîäèì ⇐⇒ ñòåïåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíà 1, ò.å. f (x) = a0 x + a1 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 ∈ C, a0 6= 0.

9 Ôîðìóëû Âèåòà Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí f (x) ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì a0 :

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−1 x + an , è ïóñòü α1 , α2 , . . . , αn åãî êîðíè. Òîãäà f (x) ïðåäñòàâèì â âèäå

f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ). Ïåðåìíîæàÿ ñêîáêè, ñòîÿùèå ñïðàâà, ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû è ñðàâíèâàÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà, ïîëó÷èì ôîðìóëû, âûðàæàþùèå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà ÷åðåç åãî êîðíè. Ýòè ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Âèåòà:

a1 = a2 = a3 = ... an =

−(α1 + α2 + . . . + αn )/a0 ; α1 α2 + α1 α3 + . . . + α1 αn + α2 α3 + . . . + an−1 αn )/a0 ; −(α1 α2 α3 + α1 α2 α4 + . . . + αn−2 αn−1 αn )/a0 ; ... (−1)n α1 α2 . . . αn /a0 .

Ïðèìåð. Íàéòè ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè, èìåþùèé ïðî-

ñòûì êîðíåì ÷èñëî 2 è äâóêðàòíûì êîðíåì ÷èñëî −3. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò a0 ìíîãî÷ëåíà f (x) ðàâåí 1, ïî ôîðìóëàì Âèåòà ïîëó÷èì

α1 = −(2 − 3 − 3) = 4; α2 = 2 · (−3) + 2 · (−3) + (−3) · (−3) = −3; α3 = −2 · (−3) · (−3) = −18. 24

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ìíîãî÷ëåí áóäåò òàêèì:

f (x) = x3 + 4x2 − 3x − 18.

Çàäà÷è. 9.1.

Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå 4-é ñòåïåíè, êîðíÿìè êîòîðîãî 1 1 ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 2, , −2, − . 2 2 9.2. Îïðåäåëèòü a, b è c òàê, ÷òîáû îíè áûëè êîðíÿìè óðàâíåíèÿ

x3 − ax2 + bx − c = 0.

9.3.

×èñëà x1 , x2 , x3 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ x3 − 2x +4x−10 = 0. Ïîñòðîèòü óðàâíåíèå, êîðíÿìè êîòîðîãî áóäóò ÷èñëà x21 , x22 , x23 . 2

9.4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ è ñóììó êóáîâ êîðíåé óðàâ-

íåíèÿ x3 − 4x3 + 3x2 − x + 5 = 0.

9.5. Íàéòè òàêîå λ, ÷òîáû îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 −

7x + λ = 0 ðàâíÿëñÿ áû óäâîåííîìó äðóãîìó êîðíþ.

9.6. Ñóììà äâóõ êîðíåé óðàâíåíèÿ 2x3 − x2 − 7x + λ = 0

ðàâíà 1. Íàéòè λ.

9.7. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ 2x4 − x3 +

12x + 11 = 0.

9.8. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå, êîðíè êîòîðîãî ðàâíû êâàäðàòàì êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + 6x − 7 = 0. 9.9. Ïîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (x) òîãäà è òîëüêî òîãäà äå-

ëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí g(x), êîãäà ëþáîé êîìïëåêñíûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà g(x), êðàòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà k > 1, ÿâëÿåòñÿ êîðíåì f (x) êðàòíîñòè íå ìåíüøåé k . 25

10

Ìíîãî÷ëåíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè

Ëåììà 2. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè è z  êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òîãäà: a) f (z) = f (z); b) åñëè z  êîðåíü f (x), òî è z  êîðåíü f (x).

Ëåììà 3. Ïóñòü f (x) ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôè-

öèåíòàìè è z = a + bi  åãî êîìïëåêñíûé êîðåíü, ãäå a, b ∈ R è b 6= 0. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí g(x) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî f (x) = [(a − x)2 + b2 ] · g(x). Èç ëåììû 3 è òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäèòñÿ

Òåîðåìà 8. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 1 íàä ïîëåì R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè. Ïðè ýòîì ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü ðàâíî 1.

Ñëåäñòâèå. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì R íåïðèâîäèì ⇐⇒ âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: a) f (x) = a0 x + a1 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 ∈ R, a0 6= 0; b) f (x) = a0 x2 + a1 x + a2 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 , a2 ∈ R, ïðè÷åì ñòàðøèé êîýôôèöèåíò a0 îòëè÷åí îò íóëÿ, à äèñêðèìèíàíò D = a21 − 4a0 a2 îòðèöàòåëåí.

11

Ðàöèîíàëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà

Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü x0 =

p  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà q

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an p íåñîêðàòèìà. Òîq ãäà q  äåëèòåëü ñòàðøåãî êîýôôèöèåíòà a0 , à p  äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà an . Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî q > 1. ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü äðîáü

26

Ïðè q = 1 ïðåäëîæåíèå 15 äàåò

Ñëåäñòâèå. Ïóñòü x0  öåëûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà x0  äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà an . p Ïðåäëîæåíèå 16. Ïóñòü x0 =  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà q f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an p ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè è äðîáü íåñîêðàòèìà. Òîãäà äëÿ q ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ÷èñëî f (k) äåëèòñÿ íà p − kq . Ïðè âûâîäå ïðåäëîæåíèÿ 16 ñëåäóåò ðàçëîæèòü f (x) ïî ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà (x − k): f (x) = b0 (x − k)n + b1 (x − k)n−1 µ +¶. . . + p bn−1 (x − k) + bn è èñïîëüçîâàòü ðàâåíñòâà f (k) = bn , f = 0. q Êðèòåðèé Ýíçåíøòåéíà. Ïóñòü

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an  ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ òàêîå ïðîñòîå p, íà êîòîðîå äåëÿòñÿ âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà êðîìå ñòàðøåãî êîýôôèöèåíòà a0 . Ïóñòü òàêæå ñâîáîäíûé ÷ëåí an íå äåëèòñÿ íà p2 . Òîãäà ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì íàä êîëüöîì Z öåëûõ ÷èñåë, à òàêæå íàä ïîëåì Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.

Ïðèìåð. Ìíîãî÷ëåí xn − 2 íåïðèâîäèì íàä Q è íàä Z ïðè

n = 2, 3, 4 . . .. Ýòî âûòåêàåò èç êðèòåðèÿ Ýíçåíøòåéíà ïðè p = 2.

Çàäà÷è. 11.1. Íàéòè ðàöèîíàëüíûå êîðíè ñëåäóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ: a) x3 − 6x2 + 15x − 14; b) 24x5 + 10x4 − x3 − 19x2 − 5x + 6; 27

c) x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6; d) 24x4 − 42x3 − 77x2 + 56x + 60; e) x5 − 7x3 − 12x2 + 6x + 36; f ) 6x4 + 19x3 − 7x2 − 26x + 12; g) x4 − 2x3 − 8x2 + 13x − 24; h) 10x4 − 13x3 + 15x2 − 18x − 24.

11.2. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîãî÷ëåíû íåïðèâîäèìû

íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë:

a) x4 + 8x3 + 12x2 − 6x + 2;

12

b) x5 − 12x3 + 36x − 12.

Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà

Ïóñòü ðàçëè÷íûì òî÷êàì x0 , x1 , . . . , xn ÷èñëîâîé ïðÿìîé ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå çíà÷åíèÿ y0 , y1 , . . . , yn ∈ R. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìíîãî÷ëåí Ln (x) ñòåïåíè íå âûøå n, ïðèíèìàþùèé â òî÷êàõ xi çíà÷åíèÿ yi : Ln (xi ) = yi , ïðè i = 0, 1, . . . , n. Ýòîò ìíîãî÷ëåí ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

Ln (x) =

n X i=0

yi

n Y

x − xk . x i − xk k=0,k6=i

Çàäà÷è. 12.1.

Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë x0 , x1 , . . . , xn . Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â òî÷êå xk ïðèíèìàë áû çíà÷åíèå 1, à â îñòàëüíûõ òî÷êàõ xi ïðè i 6= k ðàâíÿëñÿ áû íóëþ. 12.2. Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â òî÷êàõ xi , i = 0, n ïðèíèìàë áû çíà÷åíèÿ yi , à åãî ïðîèçâîäíàÿ  çíà÷åíèÿ yi0 . 12.3. Ïîñòðîèòü ïîëèíîì ïî çàäàííîé òàáëèöå çíà÷åíèé: a)

x y

1 2

2 1

3 4

4 ; 3

b) 28

x y

4 2

2 1

3 1

1 . 3

Ïðèëîæåíèå 1. Êîëüöà è ïîëÿ Ïóñòü P  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ãîâîðÿò, ÷òî íà P îïðåäåëåíà àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, åñëè ëþáûì äâóì ýëåìåíòàì x, y ∈ P ñîïîñòàâëåí (ïî êàêîìó-ëèáî ïðàâèëó) ðîâíî îäèí ýëåìåíò z ∈ P, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ýòîé îïåðàöèè ê (óïîðÿäî÷åííîé) ïàðå ýëåìåíòîâ x, y . Îáû÷íî îïåðàöèè îáîçíà÷àþòñÿ êàêèì-ëèáî ñèìâîëîì ("+", "·", "?", "∗" è ò.ï.). Åñëè "∗"  ñèìâîë îïåðàöèè, òî ÷åðåç x ∗ y îáîçíà÷àåòñÿ ðåçóëüòàò åå ïðèìåíåíèÿ ê ïàðå ýëåìåíòîâ x, y . Îïåðàöèÿ ∗ íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé, åñëè (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) äëÿ ëþáîé òðîéêè ýëåìåíòîâ x, y, z ∈ P; îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà, åñëè x ∗ y = y ∗ x äëÿ ëþáûõ x, y ∈ P.

Ïðèìåðû.

1) Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë êîììóòàòèâíà è

àññîöèàòèâíà. 2) Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë êîììóòàòèâíà è àññîöèàòèâíà. 3) Îïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ íè êîììóòàòèâíîé, íè àññîöèàòèâíîé, ïîñêîëüêó ðàâåíñòâà

x − y = y − x è (x − y) − z = x − (y − z) âûïîëíåíû íå ïðè âñåõ x, y, z ∈ R. 4)  ïðèìåðàõ 1) è 2) ìíîæåñòâî R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìîæíî çàìåíèòü íà Z, íà Q, íà R, à òàêæå íà C. 5) Äåëåíèå íà ìíîæåñòâå Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèåé, ïîñêîëüêó íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð, ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ÷èñëà 5 íà 0.

Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðåííûå âûøå îïåðàöèè íàçûâàþòñÿ áèíàðíûìè (òàê êàê çàâèñÿò îò äâóõ îïåðàíäîâ).  àëãåáðå èçó÷àþòñÿ òàêæå óíàðíûå îïåðàöèè (çàâèñÿùèå îò îäíîãî îïåðàíäà), òåðíàðíûå îïåðàöèè (çàâèñÿùèå îò òðåõ îïåðàíäîâ) è ò.ä. Ïðèìåðû óíàðíûõ îïåðàöèé íà R: x2 , sin x. Ïðèìåðû òåðíàðíûõ 29

îïåðàöèé íà R: x + y + z , sin(xy + z).  äàëüíåéøåì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî áèíàðíûå îïåðàöèè. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå P çàäàíî äâå îïåðàöèè: "+"è "·" (óñëîâíî íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì). Òîãäà P íàçûâàþò êîëüöîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå àêñèîìû: (1) (x + y) + z = x + (y + z) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ P (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); (2) íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò 0 ∈ P, ÷òî x + 0 = x = 0 + x äëÿ âñåõ x ∈ P (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ); (3) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ P íàéäåòñÿ òàêîé (çàâèñÿùèé îò x) ýëåìåíò y ∈ P, ÷òî x + y = 0 (y íàçûâàþò ýëåìåíòîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ê ýëåìåíòó x è îáîçíà÷àþò ÷åðåç −x); (4) x + y = y + x äëÿ ëþáûõ x, y ∈ P (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); (5) x(y + z) = xy + xz è (x + y)z = xz + yz äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ P (çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè).  êîëüöå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå àêñèîìû. Êîëüöî íàçûâàþò àññîöèàòèâíûì, åñëè óìíîæåíèå â íåì àññîöèàòèâíî, ò.å. âûïîëíåíà àêñèîìà (6) (xy)z = x(yz) äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ P. Êîëüöî P êîììóòàòèâíî, åñëè (7) xy = yx äëÿ âñåõ x, y ∈ P; Êîëüöî ñ åäèíèöåé  ýòî òàêîå êîëüöî, â êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ àêñèîìà (8) íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò e ∈ P, ÷òî e · x = x · e = x äëÿ âñåõ x ∈ P. Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì è îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì 1 (õîòÿ îí ìîæåò è íå ðàâíÿòüñÿ íàòóðàëüíîìó ÷èñëó 1). Ìíîæåñòâî P ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëåì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì (1)(8), à òàêæå àêñèîìå (9) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ P, x 6= 0, ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y ∈ P ñ óñëîâèåì xy = 1. Ýëåìåíò y èç àêñèîìû (9) íàçûâàþò îáðàòíûì äëÿ ýëåìåíòà x 30

è îáîçíà÷àþò òàê: x−1 .

Ïðèìåðû. 1) Ìíîæåñòâà Q, R è C (ñîîòâåòñòâåííî ðàöèîíàëüíûõ, äåé-

ñòâèòåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë) ÿâëÿþòñÿ ïîëÿìè îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ. 2) Ìíîæåñòâî Z öåëûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûìè ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì, àññîöèàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé, íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì (ïîñêîëüêó ÷èñëî x−1 íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ öåëûì ïðè öåëîì x). 3) Ìíîæåñòâî {00 , 10 , 20 } áóäåò ïîëåì, åñëè ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà çàäàòü ñëåäóþùèìè òàáëèöàìè: + 00 10 20 ∗ 00 10 20 00 00 10 20 00 00 00 00 10 10 20 00 10 00 10 20 0 0 0 0 2 2 0 1 20 00 20 10 Ýòî ïîëå íàçûâàþò ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3 è îáîçíà÷àþò Z3 . 4) Ïóñòü ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ìíîæåñòâå {00 , 10 , 20 , 30 } çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè òàáëèöàìè: + 00 10 20 30 ∗ 00 10 20 30 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 00 00 00 00 00 10 10 20 30 00 10 00 10 20 30 0 0 0 0 0 2 2 3 0 1 20 00 20 00 20 30 30 00 10 20 30 00 30 20 10 Òîãäà ýòî ìíîæåñòâî áóäåò êîëüöîì (èç 4 ýëåìåíòîâ). Îíî íàçûâàåòñÿ êîëüöîì âû÷åòîì ïî ìîäóëþ 4 è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Z4 . Ýòî êîëüöî íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì (íàïðèìåð, ýëåìåíò 20 íå èìååò îáðàòíîãî).

31

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Êóðîø À.Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. - Ì.: Íàóêà, 1975. [2] Ôàääååâ Ä.Ê. Ëåêöèè ïî àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1984. [3] Êîñòðèêèí À.È., Ìàíèí Þ.È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ. - Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1980. [4] Ìàëüöåâ À.È. Îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû. - Ì.: Âóçîâñêàÿ êíèãà, 2001. [5] Ãåëüôàíä È.Ì. Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1971. [6] Ôåäîð÷óê Â.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. - Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990. [7] Êóëèêîâ Ë.ß., Àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë. - Ì.: Âûñø. øêîëà, 1979. [8] Âèíáåðã Ý.Â., Àëãåáðà ìíîãî÷ëåíîâ. - Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1980. [9] Áåêëåìèøåâ Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1984. [10] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå. Ïîä ðåä. Êîñòðèêèíà À.È. - Ì.: Íàóêà, 1987. [11] Ïðîñêóðÿêîâ È.Â., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.Ñ.Ïåòåðáóðã, 2001. [12] Ôàäååâ Ä.Ê., Ñîìèíñêèé È.Ñ., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé àëãåáðå. - Ì.: Íàóêà, 1977. [13] Êóëèêîâ Ë.ß., Ìîñêàëåíêî À.È., Ôîìèí., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë. - Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1993. 32

Ñîäåðæàíèå Ïðåäèñëîâèå

3

Ââåäåíèå ê ïåðâîé ÷àñòè

4

Ìíîãî÷ëåíû

4

1 Äåëåíèå ñ îñòàòêîì

6

2 Ñõåìà Ãîðíåðà

9

3 Äåëèìîñòü â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ

11

4 Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Àëãîðèòì Åâêëèäà 12 5 Óíè÷òîæåíèå èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðîáè 15 6 Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Êðàòíûå êîðíè

18

7 Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè. Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû 21 8 Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû

23

9 Ôîðìóëû Âèåòà

24

10 Ìíîãî÷ëåíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè 26 11 Ðàöèîíàëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà

26

12 Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà

28

Ïðèëîæåíèå 1. Êîëüöà è ïîëÿ

29

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

32 33

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Ïîïîâ Âëàäèìèð Âàëåíòèíîâè÷, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàòèêè è ýêñïåðèìåíòàëüíîé ìàòåìàòèêè ÂîëÃÓ

Ìàçåïà Åëåíà Àëåêñååâíà, äîöåíò êàôåäðû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÂîëÃÓ

Áåçâåðõîâ Âÿ÷åñëàâ Àëåêñàíäðîâè÷, äîöåíò êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé ìåõàíèêè ÂîëÃÓ

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀËÃÅÁÐÅ ×àñòü 1. ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛ è ÈÕ ÊÎÐÍÈ

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå (äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ)

Ãëàâíûé ðåäàêòîð À.Â. Øåñòàêîâà Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Â.À. Áåçâåðõîâ Õóäîæíèê Í.Í. Çàõàðîâà

Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. 400062, Âîëãîãðàä, óë. 2-ÿ Ïðîäîëüíàÿ, 30.