シリーズ 数学の世界 1 ゼロからわかる数学—数論とその応用

１ シ リー ズ…

数学の世界 野 ロ 廣 監修

ゼ ロか らわ か る 数 学 一数 論 と そ の 応 用 一 戸 川 美 郎 著

朝倉書店

ま え が き

  「ゼ ロ か ら わ か る 数 学 」 と い う コ ピ ー を 見 て,そ

れ を そ の ま ま 信 用 し て,「 こ

の 本 を読 めば 本 当 に予 備 知 識 ゼ ロ で 数 学 が す べ て わ か る よ うに な る」 と 期 待 す る 人 は,ま

ず い な い だ ろ う.こ

の よ う な"う

ま す ぎ る 話"に

は,な

に か ト リ ック

が あ る か ， も し く は 誇 大 表 現 だ ろ う と 考 え る の が 健 全 な 反 応 だ と 思 う．   実 際,こ  

の 本 の 場 合 は,そ

の 両 方 で あ る.

ト リ ッ ク ： 「ゼ ロ か ら わ か る 」 と い う の は 「予 備 知 識 が な くて よ い 」 と い う

こ と で な く,１,２,３,…

以 外 に 「ゼ ロ と い う数 を 知 っ て い る 」 と い う 予 備 知 識 を

前 提 と す る と い う 意 味 で あ る.   誇 大 表 現 ： 「数 学 」 と い っ て も 「数 学 」 は 数 学 全 般 を 意 味 す る の で は な く, 「整 数 に つ い て の 数 学 」 に 限 定 し て あ る.   し か し,ト

リ ッ ク と 誇 大 表 現 の 両 方 と い う の で は 救 い が な い の で,言

を し て お こ う.ま ず,予

備 知 識 に つ い て の"ト

い わけ

リ ッ ク"だ が ,「 １,２,３,… 以 外 に

０ と い う数 を 知 っ て い る こ と を 予 備 知 識 と し て 仮 定 す る 」 と い う こ と は ,逆 い え ば,負

の 数,特

に 中 学 数 学 の悩 み の 種 の

ス 」 等 に つ い て 知 っ て い る こ と さ え も 仮 定 し な い ,と ら ば,必

要 と す る 予 備 知 識 は ゼ ロ で な い に し て も,か

ク"は 軽 微 な も の と い え よ う(予   一 方,"誇 大 表 現"は 制 限 す る の は,得

  数 学 は,い

れな

な りゼ ロ に 近 く,"ト

リッ

備 知 識 に つ い て の 続 き は １章1 .1(a)).

も っ と 深 刻 で あ り,「 数 学 」 を 「整 数 に つ い て の 数 学 」 に れ で もこ の よ う

の よ う な 背 景 に よ る.

ま で は あ ま りに も 巨 大 な 学 問 と な っ て し ま っ た た め,専

者 と い え ど も,数 の 数 学 者 は,数

い う こ と で あ る.こ

ら れ る 知 識 を か な り狭 く限 定 し て し ま う.そ

な 制 限 を し た の は,次

に

「マ イ ナ ス か け る マ イ ナ ス は プ ラ

学 全 体 を く ま な く理 解 で き て い る わ け で は な い .む

門の数学 し ろ,個

々

学 の 全 体 の 中 で きわ め て狭 い 分 野 を研 究 して い る とい う方が 現

状 に近 い.こ れ は 数 学 者 に と っ て きわ め て 情け な い 状 況 の よ うに見 え るが,実 際 に は そ れ ほ どで もな い の だ.ひ

とつ の 分 野 を 深 く理 解 して い る 人 は,他 の 分

野 に つ い て も必 要 に な れ ば 比 較 的 早 く馴 染 む こ とが で きる の で あ る.お そ ら く これ は,見 か け は ま った く異 な る 知 識 に 依 存 す る分 野 で も,何 か 発 想 の 共 通 点 の よ うな もの が あ る ため と思 わ れ る.つ ま り,ひ と つ の 分 野 で 数 学 の 「感 性 」 を 磨 い て お くと,そ の 感 性 が 他 の分 野 で も通 用 す る ら し い の で あ る.こ の こ と を 考 え る と,「 数 学 入 門」 とい うと き,数 学 全 般 を広 く浅 く学 ぶ と い うの は,う ま い や り方 で は な く,範 囲 を限 定 し て で もあ る程 度 話 が 面 白 くな る とこ ろ まで 進 み,数

学 に お け る 感 性 を得 る こ と を 目指 す 方が,は

るか に 有 効 な 「入 門 」 だ と

考 え られ る.   こ の 理 由 に よ り,こ の 本 で は 「数 学 」 を 「整 数 に つ い て の 数 学 」に 限定 して あ る.小 数,無

理 数,三 角 関数,微

分 積 分 と い っ た も の に つ い て は,一 切 触 れ な

い ． こ うす る こ とに よ り,数 学 に つ い て 得 られ る 「知 識 」 と し て は きわ め て 限 定 され た もの とな って し ま うの だ が,一 方,数

学 に お け る 「感 性 」 は,か

なり

の もの が 得 られ る と思 う.つ ま り,こ の 本 の 目 指 す の は,数 学 に つ い て の 「知 識 」 の 入 門で は な く,「 感 性 」 の 入 門 な の で あ る.   も うひ とつ の意 味 で の入 門 と して,現 代 的 ス タ イル の 数 学 で は基 本 用 語 とな っ て い る集 合 ・写 像 と い っ た事 柄 に つ い て て い ね い に 説 明 し て,そ れ を気 軽 に使 え る道 具 と して し ま う,と い うこ と を 目標 と して い る(そ の よ うに した 理 由 は ３章 の 最 初 に 述 べ て あ る).   さて,範

囲 を 限 定 し た 以 上,あ

る程 度 の と こ ろ ま で 話 が 進 まな くて は 割 が 合

わ な い.そ こ で,「 整 数 の数 学 」 の輝 か し い応 用 で あ る 「RSA公 を,こ の 本 の 最 終 目的 地 と し て 設 定 した.最

近,イ

開鍵暗号方式」

ン ター ネ ッ トの 普 及 に伴 っ

て 通 信 の セキ ュ リテ ィー を確 保 す る技 術 が 重 要 に な って きて い るが,RSA公

開

鍵 暗 号 方 式 は イ ン タ ー ネ ッ ト向 きの 暗 号 方 式 と し て 最 もエ レ ガ ン トで,か

つ強

固 な も の と考 え られ て い る.こ のRSA公

開 鍵 暗 号 方 式 を 理 解 す る こ と を最 終

目標 と し よ う.    

2001年

４月 戸 川 美 郎

目

次

１. 整 数 の 世 界  

１

  1.1  予 備 知 識 の 整 理  

１

 

1.1.1 

＋ ，−,× ，÷ と 数 の 意 味  

１

 

1.1.2 

文 字 の使 い 方  

４

 

1.1.3 

恒 等 式 の ま とめ

 

８

  1.2  負 の 数 へ の 拡 張  

1３

 

1.2.1 

負 の 数 と演 算  

1３

 

1.2.2 

整 数 の 積:拡

17

張の方針 

  1.3 割

り

 

1.3.1 

３ つ の 割 り算  

 

1.3.2 

素

 

1.3.3 

表記 の問題点 

25

 

1.3.4 

練

27

２. 合

同

算 

20

数

習

20  

 

式 

24

30

  2.1  定 義 と 基 本 性 質  

30

 

2.1.1 

30

 

2.1．2  基 本 性 質  

31

  2.2  合 同 式 の 応 用  

34

 

2.2.1 

割 り切 れ る 数  

34

 

2.2.2 

ち ょっ と 進 ん だ 問 題  

39

合 同式の定義  

３. 合 同 式 か ら 剰 余 系 へ   3.1  集

  44

合

 44

  3.1.1 

集 合 とは 

45

  3.1.2 

概 念 と集 合  

48

 

3.1.3 

集 合 の ２通 り の 表 し 方  

52

 

3.1.4 

集 合の演算 

55

  3.2  剰 余 系Z/nZ 

57

 

3.2.1 

２つ の 方 針  

57

 

3.2.2 

演 算 の ま と め ：合 同 式 の 公 式 の 書 き 直 し 

62

 

3.2.3 

現代 数学 

66

４.  フ ェ ル マ ー の 小 定 理  

68

  4.1  整

68

域  

 

4.1.1 

ｍ が 素数の場合 

69

 

4.1.2 

整 域 と逆 元  

69

  4.2  写

像

 

71

 

4.2.1 

写 像 とは 

72

 

4.2.2 

有 限集合  

74

 

4.2.3 

剰 余 系Z/pZ 

76

  4.3 

フェルマーの小定理 

81

 

4.3.1 

フ ェ ル マ ーの 小 定 理  

81

 

4.3.2 

フ ェ ル マ ーの 小 定 理 の 応 用  

83

５.  オ イ ラ ー の 定 理  

88

  5.1 

88

"互 い に 素"と(Z/mZ)* 

 

5.1.1 

公 約数 

88

 

5.1.2 

(Z/mZ)* 

90

 

5.1.3 

証 明 の ス トー リー 

92

  5.2  逆 元 の 存 在 と オ イ ラ ー の 定 理  

5.2.1 

逆元の存在 

  96 96

  5.2.2   

5.2.3 

オ イ ラ ー の 定 理 とそ の 証 明

  5.2.4   

5.2.5 

６.  暗

 97

オイラーの ψ 関数  

98

オ イラーの定理  

99

号

ユ ー ク リ ッ ド 互 除 法 と逆 元 の 計 算  

102

系

  108

  6.1  暗 号 方 式 と 鍵  

108

 

6.1.1 

暗 号 と は 

108

 

6.1.2 

最 も簡単な暗号 

110

 

6.1.3 

少 し複 雑 な 暗 号  

112

 

6.1.4 

ネ ッ トワ ー クで の 暗号 系 

113

 

6.1.5 

公 開鍵 暗号 方 式  

115

  6.2  RSA暗

号 方式  

 

6．2.1  RSA暗

 

6.2.2 

117

号 方式の概略  

復 号 化 ：オ イ ラ ー の 定 理

118   119

  6.3  計 算 量 と 安 全 性 の 検 討    

6.3.1 

大 きな 数 の 表 現

 

6.3.2 

10nの

 

6.3.3 

現 実 的 に 不 可 能 な計 算

 

6.3.4 

素数判定 法 

あ と が き

索

引 

121   122

例  

123  125 127

 

129

131

 １  整数の世界

  こ の 章 の 目 的 は,い

っ た ん 忘 れ て し ま っ た整 数 の 世 界 を,０,１,２,… か ら再

構築 す る こ とで あ る.そ

う して お い て,整 数 の 世 界 で の 演 算 が 満 た す 性 質 を整

理 す る.

  1.1 

  1.1.1 

+,-,×

予備 知 識 の 整理

，÷ と数 の 意 味

  ａ．予 備 知 識   ま えが き に も述 べ た よ うに,予

備 知 識 と して 要 求 す る の は 「１,２,３,…と ０

とい う数 に つ い て 知 って い て,そ れ らの 四 則 演 算 が で き る 」 こ とで あ る.分 数 や 小 数 につ い て の 知 識 は必 要 な い し,も ちろ ん,ル ー トや ２次 関 数,三 角 関 数, 対 数,微

分 積 分 に つ い て 知 っ て い る必 要 も ない.

  こ の よ うに,要 し,こ れ は,こ

求 す る 予 備 知 識 は 小 学 校 レベ ル(そ

れ 以 下?)で

あ る.し か

の 本が 気 楽 に読 め るや さ し い本 で あ る こ とは 意 味 し な い.む

し

ろ,か な りの 思 考 力 を 要求 す る 内 容 に な っ て い る と思 う.   こ の 本 の 方 針 は 「寝 た子 を 起 こ す 」 で あ る.う

ま く説 明 す れ ば 概 念 的 に 微 妙

な点 に と らわ れ る こ と な し に,な ん と な く理 解 させ うる 事 柄 で あ っ て も,つ

ま

り,う ま く 「ご ま かせ る」 事 柄 で あ って も,概 念 的 に微 妙 な と こ ろ を 積 極 的 に 検 討 して 理 解 の 透 明 性 を 求 め よ う,と い う方 針 で あ る.   こ の よ うに した 理 由 は ２つ あ る ． ひ とつ は,学 校 教 育 等 で,寝 な い よ う に う ま く手 短 に説 明 して い るつ も りの 事 柄 が,高 の感 性 と は波 長が 合 わ な い 何 人 か の 生 徒 に と って は,と

た 子 を起 こ さ

い 知性 が あ るが 教 師

ん で もな い 落 と し穴 に

な って い る ケ ー スが 多 い の で は ない か,と

い う推 測 で あ る.そ の よ うな ケ ー ス

で は,最 悪 の場 合,数 学 と は 「わ け の わ か らぬ 誰 か 」 の 感 性 に,自 分 の 思 考 を 同 調 させ る苦 行 とな って し ま い,「数 学 と は奇 怪 な 約 束 事 の 羅 列 の 世 界 」 と い う 印 象 を も っ て し ま うだ ろ う.し か し,数 学 の 魅 力 の ひ とつ は,誰 か ら も干 渉 さ れ ず 自 由に 思 考 を遊 ば せ る こ と の で き る,堅 固 な基 盤 を 与 え て くれ る こ と な の で あ る.断

じて 他 者 の 操 り人 形 と な る こ とで は な い.

  も うひ とつ の 理 由 は,こ の シ リー ズ が 想 定 して い る読 者 層 な らば,寝

た子 を

わ ざ わ ざ 起 こ して 長 々 と検 討 す る よ うな 批 判 的 精 神 を楽 し む,知 性 と精 神 的 余 裕 を もっ て い る と期 待 で きる か らで あ る.な

ん とい って も,強 制 され た わ け で

も ない の に,こ ん な 本 を読 む の だ か ら!   予 備 知 識 を必 要 以 上 に低 く想 定 した の は,そ れ 以外 の 知 識 を,ひ て ほ しか っ た か らで あ る.つ

と まず 忘 れ

ま り,わ か って い る は ず の こ と を も説 明 した か っ

た か らで あ る.概 念 的 に 危 な い 個 所 は,逃 げ ず に 長 々 と説 明 す る つ も りで あ る. そ うす る こ とに よ り,数 学 に嫌 悪 感 を もって い た 読 者が 数 学 に対 す る信 頼 感(？) を もっ て くれ る こ とに な れ ば 大 変 に うれ し い.   しか し,長 々 と した 説 明 は煩 わ しい こ と も事 実 で あ る.こ れ は 覚悟 の 上 で,そ の 結 果,読 者 が 読 む のが い や に な っ て し ま っ た と して も,そ れ は ひ とつ の 自 由 な選 択 で あ る.時

間 とお 金 を損 す るだ け で,知

ら な い うち に数 学 に 対 し て 変 な

誤 解 を与 え られ た り,自 分 の 知 力 に 疑 念 を もた され た りす る こ とは な い だ ろ う. 要 す る に フ ェ ア ー に した い の で あ る.   な お,概 念 的 に 危 な い と こ ろ は検 討 す る とい っ て も,す べ て を完 全 に 検 討 す る つ も りは な い.と い う よ りも,そ れ は不 可 能 で あ る.し か し,そ の 場 合 に は, 検 討 を う ち切 る こ とを は っ き りと宣 言 す る よ うに し たい.   ま た,「透 明 な 理 解 」 と い っ て も,そ れ は すべ て に証 明 を与 え る と い う数 学 者 の モ ラ ル を貫 くと い う意味 で は な い.証

明 が 単 純 作 業 で,ま

た理解の助 けに な

るわ け で もな さそ うな場 合 は,サ ボ つ た場 合 もあ る.   ｂ.数 の 意 味 と振 る ま い ：哲 学 と数 学   １,２,３,…と ０ を予 備 知 識 と し て 前 提 と した.し 識 か ら排 除 す る く らい な らば,い

か し,負 の 数 さ え も予 備 知

っ そ の こ と １,２,３,…と ０以 前 か ら話 を始 め

れ ば よ さそ うな もの,と 思 え る だ ろ う.し か し実 は,こ れ は 難 しい.

  数 の 概 念 を 厳 密 に 提 示 す る の は,意 う数 を"わ

か ら せ る"た

め な ら ば,５

ン コ 玉 な ど を 見 せ て,「 こ れ が"５"だ た だ し,５ 個 の リ ン ゴ が"５"そ 個 の ミ カ ン,５

外 に 難 し い の で あ る.た 個 の リ ン ゴ や,５

の"特

い.「 ５ と い うの は,丸

個 の ミ カ ン,５

とい

個のパ チ

よ 」 と 繰 り 返 し 説 明 す れ ば わ か る だ ろ う.

の も の で あ る わ け で は な い.５

個 の パ チ ン コ 玉 な ど に 共 通 し た"そ

し,「 共 通 し た"そ

と え ば,５

の"特

個 の リ ン ゴ や,５

徴 が ５ な の だ.し

か

徴 」 な ど とい っ て も概 念 を 与 え て い る こ とに は な ら な い こ と で す か?」 な ど と い うの は 冗 談 で,そ

さ い こ ろ 」 で 避 け ら れ る.だ

か ら と い つ て,「 共 通 し た"そ

の"特

れ は 「５個 の 徴 」が確定 す

る わ け で は な い.   そ ん な こ と よ り も,そ

も そ も ５ を 定 義 す る 前 に 「５個 の … 」 と い う言 葉 を 使

う の は 循 環 論 証 で は な い か,と   し か し,こ

れ は,個

が 違 う の で,循

い う疑 問 も 出 て く る か も し れ な い.

別 の 「５個 の

… 」 とそ れ ら を抽 象 化 した ５ とは レベ ル

環 論 証 で は な い の だ.問

題 の 本 当 の 難 し さは

「 … 」が 無 制 限 に あ る とい うこ とな の だが

「５ 個 の

… 」の

… こ れ 以 上 深 入 り し な い.言

いた

い こ と は,

  数 の概 念 を厳 密 に提 示 す るの は 難 しい と い う こ と だ け で あ る.   開 き 直 っ た 言 い 方 を す れ ば,「５ と は 何 か?」 「数 の 本 質 は 何 か?」 と"す で に 知 っ て い る こ と"を 学 で は,む

正 面 か ら掘 り 下 げ て 考 え る の は 哲 学 で あ っ て 数 学 で は な い.数

し ろ,"す

とが 主 流 で あ る.つ

で に 知 っ て い る こ と"を ま り,数

ど ん ど ん発 展 させ 展 開 して い くこ

の 大 小 関係 に つ い て 何 が い え る か ， 数 の 足 し算 や

か け 算 を 定 め る と ど の よ うに 計 算 され る か ， ど の よ う な 等 式 が 成 り立 つ か,と い う具 合 に,「 数 の 本 質 」 と い う よ りは 「数 が ど の よ う に 振 る ま うか 」 に 関 心 を も っ て 展 開 し て い くの だ.   た だ し,こ

れ は 乱 暴 な 言 い 方 で,少

け て お か な け れ ば な ら な い だ ろ う.

な くて も ２ つ の リ マ ー ク で 保 留 条 件 を 付

Remark 

1.

  ま ず,数

学 の 中 に も 「基 礎 的 な 概 念 を 掘 り下 げ て 行 く」 と い え そ う な 分 野 も

あ る.こ

れ に は 数 学 基 礎 論 と い う,ど

う も 誤 解 を 生 み そ う な 名 前 が 付 い て い る.

そ の た め 「数 学 を 学 ぶ た め の 基 礎 」(つ ま り 入 門？)と 思 う人 も い る よ うだ が,そ ん な こ と は な い.こ

れ は ひ と つ の 数 学 の 分 野 で あ り,や

般 に わ た る 知 識 も必 要 に な る.ま

は り難 し い し,数

た,「 掘 り下 げ て い く」 と い っ て も,ど

学 的 な 分 析 と は セ ン ス が 違 う よ う で,む

学 全 う も哲

し ろ 「基 礎 的 な 概 念 を 掘 り登 っ て(？)

行 く」 と い う方 が ぴ っ た り し て い る よ う だ. Remark 

2.

  ま た,"す

で に 知 っ て い る こ と"を

密 性 を 必 要 と す る 場 合,"す

ど ん ど ん 発 展 させ る と い っ て も,論

で に 知 っ て い る"で 済 ま し て し ま う の で は,そ

の 論 証 を 展 開 す る 基 盤 と し て は 心 許 な い.そ

こ で,"す

の後

で に 知 っ て い る こ と"に

つ い て も 「定 義 」 と 「公 理 」 に よ り確 定 し て お く必 要 が あ る.し 義 」 や 「公 理 」 は,「

証の厳

か し,こ

の 「定

本 質 を 的 確 に 言 い 表 し た も の 」 や 「誰 もが 疑 い な く認 め

る 事 実 」 で あ る か ど うか よ り も,「そ の 後 の 論 証 を 展 開 させ る 基 盤 と し て 優 れ て い る か 」 を 基 準 に し て 選 ば れ て い る の だ.だ 理 だ け を 見 て も,な

か ら,分

ぜ そ れ が 定 義 で あ っ て,な

さ っ ぱ り わ か ら な い こ と も あ る.そ

の 場 合,あ

野 に よ っ て は,定

義や公

ぜ それ を公 理 と して 選 ん だ の か ， る 程 度 そ こ か ら 展 開 し て 初 め て,

意 味 が わ か っ て く る こ と に な る.

  以 上 の2つ

が 保 留 条 件 で あ る.

  さ て,０,１1,２,…

に つ い て も,厳

密 に 展 開 し た い な ら,た

公 理 」 と い う も の か ら 出 発 す る 道 も あ る.し ,１,２,… に つ い て"す

で に 知 っ て い る"を

か し,こ

とえ ば

「ペ ア ノ の

こ で は こ の 道 は 採 ら ず,０

基 盤 と し て 信 頼 す る こ と に し て,こ

こ か ら 話 を 展 開 す る こ と に し よ う.

  1.1.2    ａ．等

文 字の使い方 式

  予 備 知 識 と し て０,１,２,… し算)と

乗 法(か

け 算)に

に つ い て の 知 識 を 前 提 と し て い る の で,加 つ い て も 知 っ て い る こ と に し よ う.ま

た,数

法(足 の大小

関 係,3＜12,3≦12等

も 前 提 と す る.加

の 数 を 対 応 させ る 操 作 を 演 算 と い う.減 て い な い の で,小

法 や 乗 法 の よ う に,２

法(引

た,割

  前 に も述 べ た よ うに,た

と え ば"1+1=2"が"真

 

だ 負 の 数 を導 入 し

さ い 数 か ら 大 き い 数 を 引 く こ と は で き ず,ま

も の に は な っ て い な い.ま

は,数

き 算)は,ま

つ の 数 に １つ

だ演算 といえ る

り算 も 演 算 で は な い. 理"で

あ るか を検 討 す る の

学 の テ ー マ で は な い. 1+1=2が

成 り立 つ な ら ば,1337+666=2003で

あ る か?

を 調 べ る の が 数 学 の 課 題 で あ る.   さ て,  

1337十666=2003

と い っ た 数 の 振 る ま い に つ い て 調 べ る こ とが 課 題 だ か ら と い っ て,

34+13=47,11+1=12,23×2=46 555+777=1331,777+0=777,11×11=121

と 個 別 の 計 算 を い く ら 集 積 し て み て も 数 学 に は な ら な い.   数 学 の テ ー マ は 計 算 そ の も の と い う よ り は,こ に 成 り立 つ 規 則 を 整 理 す る こ と で あ る.た

うい っ た 計 算 に つ い て 一 般 的

と え ば,

12+5=17,ま

た   5+12=17.

両 者 は 等 し い か ら 

12+5=5+12

21+7=28,ま

た 

両 者 は 等 し い か ら 

21+7=7+21

つ ま り,"加

7+21=28. 

法 は 足 す 順 番 に よ ら な い"―  

た 規 則 で あ る.後

で ま と め て 整 理 す る が,他

●乗 法 の 可 換 性  

12×5=5×12

●分 配 法 則  

3×(4+5)=3×4+3×5

な ど が あ る.ま

こ れ を 加 法 の 可 換性 と い う―

ず,こ

に も

う い っ た 規 則 を 書 き 表 す こ とが 課 題 で あ る.

とい つ

  ｂ.文 字 の 使 用 と"何   さ て,加

で あ っ て も"

法 の 可 換 性 は,12+5=5+12が

成 り立 つ こ と だ け を 主 張 し て い

る の で は な い.

 

11+5=5+11, 

と,ど

17+3=3+17,…

ん な 数 に つ い て も足 し 算 の 順 番 を 入 れ 替 え ら れ る こ と を 主 張 し て い る わ

け だ.つ

 

7+21=21+7, 

ま り,

２つ の 数 が 与 え ら れ た と き,そ

れ ら が 何 で あ っ て も,第

１の 数 と 第 ２

の 数 を 足 し た も の は 第 ２の 数 と 第 １の 数 を 足 し た も の と 等 し い

と い う の が 正 確 な 表 現 だ ろ うか.   し か し,こ

れ で は な ん と も長 く て 読 み づ ら い ． そ こ で,数

学 で は 文 字 を使 って

加 法の可換性 a +b=b+a

の よ うに 簡 単 に書 き表 す こ とが 多 い(た

とえ ば 高 校 の 教 科 書).こ れ は ,上 の 煩

雑 な 文 章 を まず,

 

２つ の 数 が 与 え られ た と き―  

以 下 そ れ ら をａ,ｂ で 表 す―

 

０,１,２,…の う ちの 何 で あ って も,a+b=b+aが

そ れ らが

成 り立 つ

と書 き換 え て お い て,暗 黙 の 了 解 で 通 じ る こ と を徹 底 的 に省 略 した もの と考 え られ る.   確 か に 「２つ の 数が 与 え られ た と き―

以 下 そ れ ら をａ,ｂ で 表 す 」 あ た りは

省 略 し て も数 学 で は誤 解 を生 む心 配 は あ ま りな い の だ が,「そ れ らが ０,１,２,… の う ちの 何 で あ っ て も」 に 当 た る表 現 を 省 略 す るの は,複 雑 な ケ ー スで は 誤 解 を 生 ず る心 配 が な い わ け で は な い.

  そ こ で,し

ば ら くの 間 は,こ

れ は 省 略 し な い こ と に し て お く.と

こ ろ で,「ａ,

ｂが ０,１,２,… の う ち の 何 で あ っ て も 」 と い う 表 現 は   ●０,１,２,… の う ち の ど ん なａ,ｂ に つ い て も,   ●０,１,２,… の う ち の 任 意 の ∼ に 対 し て,   ●０,１,２,… の う ち の す べ て のａ,ｂ に つ い て と さ ま ざ ま な 書 き換 え が で き る.深 い が,そ

の い ず れ で も よ い.と

く考 え れ ば 微 妙 な 違 い が あ る の か も し れ な

に か くそ う い っ た 表 現 が 入 る と い う こ と を き ち

ん と 押 さ え て お く こ と が 大 切 な の だ.し

ば ら く の 間,多

少 煩 わ し くて も

加法の可換性 0,1,2,…  

の う ち の 任 意 のａ,ｂ に 対 し て

a+b=b+a

の よ うに書 くこ と にす る.   こ の よ うに 「任 意 の … に 対 して … 」 とい う タイ プ の 等 式 を恒 等式 とい う.   文 字ａ,ｂ，ｃ とい っ た 文 字 を使 う と き,そ れ らが い つ で も恒 等 式 と して,つ

ま

り 「任 意 の 」が 省 略 され た 意 味 で 使 わ れ て い るわ け で は な い.た

る

とえ ば,あ

本 のなかに

110893をａ

で 表 す こ と に し よ う.

この と き

(こ こ に い ろ い ろ 書 か れ て い て)

で あ る. さ て,ａ-893=110×1000だ

と 書 か れ た ペ ー ジ が あ る と し よ う.そ

か ら

こ で のａ-893=110×1000と

い う式

に お け る 文 字ａ

は,数110893と

い う決 ま っ た 値 を も っ て い る わ け だ.逆

う と,a-893=110×1000と

い う 式 の 真 偽 は,こ

の 方 の 文 章 を 探 し て 「110893をａ

にい

の 式 だ け で は 確 定 せ ず,上

で 表 す 」 を 見 つ け て よ う や く確 定 す る こ と

に な る.   も う ひ と つ 別 の 例 で,あ

るペ ージに

 a+ b=b×a

と い う 式 が あ っ た と し よ う.も

ち ろ ん 「任 意 の ａ,ｂ に 対 し て 」 と い う 意 味 で は

こ れ は 誤 りで あ る.し

の 式 よ り 前 に,

か し,こ

「a=2,b=2と

とい う こ とが 書 か れ て い る な らば,こ

す る.」

の 式 は 正 しい.文 字 の 使 い 方 とい う もの

は,普 通考 え られ て い る よ り もず っ と,"常 識 に よる 気 を利 か せ た 解 釈"に 依 存 し て い るの で あ り,ま と もに 考 え 始 め る とか な り難 しい.   こ の あ た りの こ と は,コ

ン ピ ュ ー タ と い う,"常 識 に よる 気 を利 か せ た 解 釈"

を 一切 して くれ な い硬 直 した 頭 脳 を 相 手 に した 「プ ロ グ ラ ミ ン グ言 語 」 を勉 強 す る と痛 感 す る こ と に な る.計 算 機 屋 は 数学 屋 よ り文 字 に つ い て は繊 細 な 感 性 を もっ て い る よ うだ.一

方,数 学 は 人 間 を相 手 に した 言 葉 な の で,常

比 重 が 高 い の だ ろ う.そ こ で,そ

識に頼 る

うい った 常 識 を 身 に つ け る た め に も,省 略 の

効 い た 簡 潔 な 表 現 で 理 解 させ る こ と も大 切 な の だ ろ うけ れ ど も … … こ こ で は 「寝 た 子 を起 こ す 」 方 針 を原 則 と して,「任 意 の ａ,ｂに 対 し て 」 は 省 略 しな い こ と に し よ う.

  1.1.3  恒 等 式 の ま と め   ａ.等 号 と不 等 号   そ れ で は,「任 意 の … に対 して 」 とい う タ イプ の 関 係 式 を整 理 す る こ とに し よ う.   まず,加 法 や乗 法 とい った 演 算 と は無 関係 に,等 号"＝"に 則 か ら始 め よ う.

つ い て 成 り立 つ 規

等号の性 質 反射律  

任 意 のａ

対称律  

任 意 のａ,ｂ に 対 し て, a=bな

推移律  

任 意 のａ,ｂ ，ｃ に 対 し て, 

反 射 律,対

称 律,推

だ け で よ い.上

に 対 し て, a=a ら ばb=a (a=bか

つb=c)な

移 律 と い う言 葉 に つ い て は,単

ら ばa=c

に 「そ う 言 う の だ 」 と い う

の ３ つ は い ず れ も 当 た り前 の こ と を い っ て い る の だ が,コ

メン

トが 必 要 に な る の は,「０,１,２,… の う ち の 任 意 の 」 で は な く,単 に 「任 意 の 」 と い っ て い る こ と だ ろ う.こ

こ で は,な

に も数 に 限 らず 三角 形 な ど の 図形 で あ ろ

う と 等 号 の 性 質 は 成 り立 つ の だ か ら,「０,１,２,… の う ち の 」 と 限 定 し た く は な い の だ.「 等 号 は 数 学 の 世 界 と い う よ りは,も

っ と 広 く論 理 の 世 界 の 記 号 で あ る 」

と い っ た 方 が よ い か も し れ な い.   次 か ら,い

よ い よ 数 学 の 世 界 の 記 号 に 入 る.ま

≦ が あ る が,こ

ず は 不 等 号.不

等 号には ＜ と

こ で は ≦ に つ い て 関 係 式 を ま と め よ う.

不等号の性 質 反 射 律  ０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ

に 対 し て,

a≦a

推移律

 ０,１,２,… a≦bか

全 順 序 性  ０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ,ｂ ，ｃに 対 し て, つb≦c 

の う ち の ２ つ の 数ａ,ｂ

a≦bかb≦aの

関 係"a＜bは,"a≦bか

な ら ば  a≦c

つa≠bと

に 対 し て,

ど ち らか は 必 ず 成 り立 つ

して 定 義 す る.

  不 等 式 に つ い て は,こ の 本 で は 深 入 りは しな い.せ

いぜ い 「数 の 大小 を記 号

で 表 す と こ う な る 」 と い う程 度 の 使 い 方 しか し な い.   ｂ.演 算 と恒 等 式   そ れ で は,加 法 と乗 法 に つ い て 成 り立 つ 恒 等 式 を ま と め て お こ う.

加法 に つ い ての 恒 等 式 零 の 性 質  ０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ

に 対 し て,

a +0=a，0+a=a 結合法則

 ０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ,ｂ ，ｃに 対 し て,

(a+b)+c=a+(b+c) 可 換 性  ０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ,ｂ に 対 し て. a十b=b+a

  "結 合 法 則","可

換 性"と

い っ た 言 葉 は,た

だ 「そ う 言 う の だ 」 と い うだ け で

気 に し な い で よ い.

   

コ メン ト い ず れ も当 た り前 の こ と を 述 べ て い るだ け だ が,"結 コ メ ン トが 必 要 か も しれ な い.こ

合 法 則"に

つ いては

の よ うな 式 をわ ざ わ ざ"法 則"と

し た の は,

加 法 を"２ つ の 数 に つ い て の 演 算"と

し て 捉 え た か ら で あ る.つ

わ れ は３ つ 以 上 の 数 の 和 に つ い て は 定 義 して い な い の だ.そ ,ｂ,ｃの 和a+b+cを,２

つ の 数 に 加 法 を行 っ た 結 果(た

ま り,わ れ

こで,３ つ の 数ａ

と えばa+bを

計

算 し た もの)に 対 して さ ら に 残 りの 数(こ の 場 合ｃ)と 加 法 を 行 っ た 結 果(つ ま り(a+b)+cの

こ と)と

し て 定 め る こ と に な る.そ の と き,最 初 に ど の２

つ の 数 に つ い て 加 法 を 行 うか と い う選 び 方 に 結 果 が 依 存 しな い こ と(つ 最 初 にb+cを

計 算 し て お い て,そ

の値 とａ と の 和a+(b+c)を

も結 果 が 同 じ で あ る こ と)を 保 証 す る た め に,結 こ うし て３ つ の 数 の 和a+b+cが

まり

計 算 して

合 法 則 が 必 要 に な るの だ.

加 法 を２ 回 行 っ た 結 果 と し て 定 義 され

る こ と に な る.結 合 法 則 が あ れ ば,４ つ 以 上 の 数 に つ い て も括 弧 を ど の よ う につ け て 計 算 し て も結 果 が 等 し い こ とが 証 明 で き る の だ が,き

ち ん と証 明 を

書 くた め に は 数 学 的 帰 納 法 が 必 要 に な り,け っ こ うめ ん ど くさ い.

  加 法 の 次 は 乗 法 で あ る.

乗 法 に つ い ての 恒 等 式 １の 性 質

 ０,１,２,…の う ちの 任 意 のａ に 対 して, a×1=a,1×a=a

結 合 法 則

 0,1,2,…

の う ち の 任 意 のａ,ｂ

，ｃ に 対 し て,

(ab)c=a(bc) 可 換 性  

０,１,２,…

の う ち の 任 意 のａ,ｂ

に 対 し て,

ab=ba

 ａ ×bをa・bと

書 い た り,単 にabと

書 い た りす る.上

の 式 のa(bc)はa×(b×c)

の 意 味 で あ る.   以 上 の 恒 等 式 は 「知 ら な い う ち に 使 っ て い る 」 と い う 感 じ の 式 で,あ り 難 み の 感 じ ら れ る 式 で は な い の だ が,つ

ぎ の"分

配 法 則"は

ま り有

なか なか 使 い でが

あ る.

加 法 と乗 法 に つ い て の 恒 等 式 分 配 法 則

 

０,１,２....の

う ち の 任 意 のａ,ｂ

，ｃ に 対 し て,

a(b+c)=ab+ac

  さて,繰

り返 しに な るが,数

学 の テ ー マ は 「数 とは 何 か?」,「加 法 と は何 か?」

と物 事 の本 質 を探 究 す る こ とで は ない.む

しろ,上 に述 べ た恒 等 式 の よ うな"数

の 振 る ま い に つ い て の 関 係 式"を 得 て,そ

れ を展 開 して い くこ とが テ ー マ で あ

る.し た が っ て,こ れ らの 恒 等 式 は 断 固 と して 守 り抜 くの だが,一

方,数 の 意

味 づ け や 加 法 ・乗 法 の 意 味づ け は か な り自 由 に 変 え て い くこ と に な る.こ の 本 の これ か らの 展 開 は,こ れ らの 恒 等 式 が 成 り立 つ よ うに 数 の 意 味 を拡 張 し(負 の 数),さ 世 界(剰

ら に,数 や 演 算 の 意 味 を変 え て,た 余 系 ⇒3章)を

とえ ば3+4が０

に な る よ うな

定 め て 行 くこ とに な る ． そ の 場 合 で も,「上 の 恒 等 式

は 成 り立 つ よ うに保 持 して い く」 とい うの が 基 本 方 針 で あ る.   ｃ.等 号 と式 計 算   通 常 の 「数 学 」の 教 程 で は,こ こ か ら分 配 法 則 を何 度 も用 い て,２ 乗 や ３乗 の 展 開 公 式 を 導 く とい っ た 式計 算 の 練 習 が 続 くこ とに な る.そ し て,こ

の技 術 に

ど の くらい 馴 染 め る か が 「数 学 が 得 意 」か ど うか の,ひ

とつ の 分 岐 点 と な る よ

うだ.実 際,こ の よ うな 「式 計 算 の 練 習 」 は 数学 を 本 格 的 に 勉 強 す る た め に は, 絶 対 に 欠 か せ な い.そ れ は,式 計 算 の技 術 に 習 熟 す る とい うだ け で な く,数 式 とい う もの に慣 れ 親 し む と い う点 で も重 要 な の で あ る.喩 え と し て い うな らば, 小 説 を読 む場 合,そ

の 小 説 の 登 場 人 物 が 属 す る 国 の 名 前 に あ る程 度 慣 れ 親 し ん

で い な い と,名 前 を 追 うだ け で煩 わ し く,ス トー リー に の め り込 む こ とは 難 し い の で は な い だ ろ うか.数

学 で も同 じ こ とで,数

式 とい う もの と そ の 変 形 操 作

に 慣 れ 親 しん で お か な い と,数 式 や 式 変 形 を 追 う こ とだ け で 精 一 杯 に な り,新 しい ア イデ ア を追 う余 裕 な ど 到 底 もて な い こ と に な っ て し ま う.や は り,一 度 は 式 の 計 算練 習 をや っ て お か なけ れ ば な ら な い の だ.   しか し,こ の 本 は演 習 書 で は な い の で 式 計 算 の練 習 をす る余 裕 は な い.こ

こ

で は,「馴 染 み の な い 名 前 ば か りの小 説 を,片 手 に メモ を 持 っ て我 慢 し て 読 む 」 努 力 を期 待 す る こ と に し よ う.   た だ し,も

う一 度 高 校 向 け 参 考 書 な ど を引 っぱ り出 して き て式 計 算 の 練 習 を

し よ うと考 え た 人 の た め に,こ の 本 の 中 で お そ ら く最 も有 効 な ア ドバ イス を し て お こ う.そ れ は  

等 号"="は,"は"で

は ない。

とい うこ とで あ る.世 の 中 で は 等 号"="を"は"意 れ て い る.た

味 で 使 う こ とが 気 軽 に行 わ

と えば,「 ク リン トン は ア メ リカ 人で あ る 」 とい うこ と を 「ク リ ン

トン ＝ ア メ リカ 人 」 と 書 い た りす るの だ.こ の よ うな 書 き方 は,等 号 とい う も の に つ い て の 「信 頼 感 」 を 失 わ せ る作 用 が あ る の で,大 変 に まず い.「 トン ＝ ア メ リカ人 」 か つ 「ジ ョ ン ・ウェ イ ン=ア

クリン

メ リ カ人 」 だ か ら と い っ て

「ク リン トン ＝ ジ ョン ・ウェ イ ン 」だ と は い え な い の だ か ら.数 学 で の 等 号 は "完 全 に 同 じ"場 合 に の み 使 わ れ るの だ .ま ず,数 学 で の 等 号 に対 して 信 頼 感 を 取 り戻 す こ とか ら始 め るべ きで あ る.そ

うす れ ば,複

雑 な 式 計 算 で も"当 た り

前 の こ と"の 積 み 重 ね に 過 ぎ な い こ とが わか っ て くるは ず だ.

  1.2 

  1.2.1 

負の数 と演算

  さ て,加

法"+"と

乗 法"×"は

は 扱 っ て い な い.そ

れ で は,ま

負 の 数 へ の 拡 張

調 べ た が,い

ま の と こ ろ 減 法"-"や

ず 減 法 に つ い て 調 べ,負

除 法"÷"

の数を定義す る ことに

し よ う.   減 法 は 加 法 に 付 随 し て 定 ま る も の と し て 扱 い,独

立 し た演 算 と して

は扱わ ない   と い う 方 針 で 臨 む.つ

ま り,減

法 は"加

法 に つ い て の 方 程 式 の 解"と

して捉え

る の だ.   ０,１,２,… に お い て 方 程 式  

134+x=139

を 考 え る.こ

こ で の"方

134+x=139が

程 式"の

意 味 は 「ｘ と し て ０,１,２,… の ど れ を 選 べ ば

成 り立 つ だ ろ うか?  そ も そ も,そ

の う ち に 存 在 す る の か?」 と い う こ と で あ る.上 も ち,他

に は 解 は な い.一

 

か39と

方 程 式 を,暗

の 方 程 式 はx=5と

い う解 を

程式

を ０,１,２,… の な か だ け で 探 し て い る こ と に 注 意)． い っ た 具 体 的 な 数 で 例 示 す る の で な く,一 般 的 に こ の タ イ プ の

黙 の 省 略 を 行 わ ず に 提 示 す る な ら ば,

 ａ,ｂ を ０,１,２,… の う ち の 任 意 の 数 と し て,

 ｘ

に つ い て の ０,１,２,… に お け る 方 程 式  

と な る.

は ０,１,２,…

134十x=39

に は 解 は な い(ｘ   134と

方,方

の よ う な 数ｘ

a+x=b

  コ メン ト  

四 角 で 囲 ん だ り して,参

考 書 の よ うな 書 き 方 に な って し ま っ た が,こ

れは

単 に 「見 栄 え よ くア ク セ ン トを つ け る 」 と い う た め で は な く,ａ,ｂ は 四 角 の 外 で は 「０,１,２,… の う ち の 任 意 の 整 数 」 な の だ が,四

角 の 中で はすで に

(四 角 の 外 の 世 界 で)決 め ら れ て い る 定 数 とみ て い る 点 を 感 じ て も らい た か っ たため だ。

  さ て,方

程 式 に つ い て 調 べ る と い う こ と は,

  ●解 が 存 在 す る か ど うか を 調 べ る   ●解 が 存 在 す る な ら ば,そ

れ を(１

つ で よ い か ら)求

  ●解 が 存 在 す る な ら ば,そ

れ ら をす べ て 求め る

める

と い っ た 問 題 を 解 決 す る こ と で あ る.   上 の 方 程 式 に つ い て は,解

  と 解 決 さ れ る,α な お,こ

a≦bの

≦bの

の存在問題は

と き に の み,解

と き,こ

は存 在 す る

の 方 程 式 の 解 を 求 め る の が 引 き 算"−"で

あ る.

の 方 程 式 で は 解 が 存 在 す る と き は １つ だ け だ か ら,「す べ て 求 め る 」 と

い う 問 題 は 特 に や る こ と は な い.   そ れ で は,負

の 数 を 導 入 し て 上 の 方 程 式 が い つ で も解 を も つ よ う に し よ う.そ

の た め に-1,-2,-3,-4,… る.そ

し て,０,１,２,…

を 整 数 と 呼 び,ま 全順序性

ず,整

と 表 さ れ る 新 し い 数"負

の 数"を

考 え ることにす

と 負 の 数 を 合 わ せ た も の …,-3,-2,-1,０,１,２,３,… 数 の 加 法 を 定 義 す る こ と に し よ う.こ

こ で,不

「０,１,２,… の う ち の ２つ の 数ａ,ｂ に 対 し て,a≦bかb≦aの

等号 の ど ち

らか が 必 ず 成 り立 つ こ と 」 を 用 い る.   ● マ イ ナ ス の つ か な い ２つ の 数 の 和 は い ま ま で 通 り と す る   ● マ イ ナ ス の つ く 数 と マ イ ナ ス の つ か な い 数 の 和 で,23+(-12)あ (-12)+23の

よ う に,マ

るい は

イ ナ ス の つ か な い 数 よ り小 さ い 数 に マ イ ナ ス が つ

い て い る と き は23-12=11と,マ

イナ ス記 号 を は ず して 大 きい 数 か ら

小 さい 数 を引 い た もの を 加 法 の 結 果 とす る   ● マ イ ナ ス の つ く 数 と マ イ ナ ス の つ か な い 数 の 和 で,12+(-23)あ

るい は

  (-23)+12の

よ う に,マ

イ ナ ス の つ か な い 数 よ り大 き い 数 に マ イ ナ ス が つ

い て い る と き は23-12=11に

マ イ ナ ス を つ け て-11と

,マ

イナス記号

を はず して 大 き い 数 か ら小 さい 数 を 引 い た もの に マ イナ ス 記 号 を つ け た も の を加 法 の 結 果 とす る   ● マ イ ナ ス の つ く ２ つ の 数 の 和 は,マ

イ ナ ス を は ず した ２つ の 数 の和 に マ イ

ナ ス記 号 を つ け た も の す る  な ん と も 煩 雑 な 定 義 に な っ て し ま っ た.中 と思 うが,そ で は,数

れ は"負

の 数 の 意 味"か

学 の と きは も っ と 簡単 に 導 入 し た

ら 加 法 を 考 え た か ら 簡 単 だ っ た の だ .こ

の 意 味 に 頼 る こ と な し に 定 義 し よ う と し た の で,こ

こ

ん な に煩 雑 に な っ

て し ま っ た.

   

コ メン ト こ こ で は"…

の よ う に"と 例 示 で 説 明 を 逃 げ た の だ が,上

の定義 を文字 を

使 っ て 書 こ うと す る と,意 外 に や っか い で あ る.

  こ う し て ２ つ の 整 数 の 和 を 定 め た.次

に し な け れ ば な ら な い 作 業 は,こ

うし

て 定 め た 加 法 が,ふ

た た び 加 法 に つ い て の恒 等 式 を満 た す こ と を確 か め る こ と

で あ る,た

に は"０,１,２,…

だ し,前

た と こ ろ が す べ て,"任

の うち の任 意 の

意の整数 …

に 対 し て"と

… に 対 し て"と

なってい

な る.

加 法 につ い て の 恒 等 式 零の性 質

  任 意 の 整 数ａ

に 対 し て,

a+0=a，0+a=a 結 合法則 

任 意 の 整 数ａ,ｂ ，ｃに 対 し て, (a+b)+c=a+(b+c)

可換性  

任 意 の 整 数ａ,ｂ

に 対 し て,

a+b=b+a

こ れ らの 性 質 を確 か め る こ と,特 に結 合 法 則 を確 か め る こ と は ,ま と もに 記 述 す る と結 構 わ ず ら わ しい.し か し,ひ た す ら場 合 分 け を して 確 か め る単 純 作 業

に す ぎ な  い.そ

こ で,こ

の 作 業 は 「や れ ば で き る 」 と し て,省

略 し よ う.ま

た,

中 学 で 学 ん だ と き の よ う に 「負 の 数 の 意 味 」 か ら 理 解 す る の が し っ く り す る の な ら,そ

れ で も よ い.

  さ て,こ

こ で は 方 程 式a+x=bが

い つ で も 解 を も つ よ う に し た い,と

動 機 か ら 負 の 数 を 導 入 し て 整 数 へ の 拡 張 を 行 っ た.確 の 方 程 式 の 解 は い つ で も 存 在 す る.た

  134十x=39  と す れ ば 得 ら れ る.確  

か に,整

い う

数 の 範 囲で は こ

とえば

の 解 は  x=(-134)+39=-95

か に,

134+(-95)=134+((-134)+39))

 

=(134+(-134))+39=0+39

 

=39

こ の 方 程 式134+x=39の

解 がx=(-134)+39=-95以

外 に な い こ と は,

次 の よ う に し て 確 か め ら れ る.   こ れ か ら の 話 は,慣

れ な い う ちは 意 味 が あ る よ う な な い よ うな 奇怪 な こ とを

くだ く だ 書 い て い る だ け の よ う に 感 じ ら れ る と 思 う が,数 タ ー ン の 議 論 な の で,が

ま ん し て 読 ん で ほ し い.

方 程 式134+x=39の   ● まず,解

解 が １つ し か な い こ と の 証 明

と して

 x1=-95,つ

ま り, x1=(-134)+39・

・・…(1)

  が あ る こ と は 確 認 し た.   ●他 に も 解x2が    

存 在 す る と 仮 定 し て み よ う.す

134+x2=39 なの だ か ら

  ●等 式(１)の39を134+x2を  x1=(-134)+(134+x2)   ●結 合 法 則 と ０ の 性 質 に よ り  x1=(-134)+(134+x2)=(-134+134)+x2  

る と,

=0+x2=x2

置 き 換 え る こ とが で き,

学 で よ く使 わ れ る パ

  つ ま り,x1=x2と   ●"他 の 解"x2が か ら,x1以

  以 上,方

な っ て し ま う の で あ り, あ る と 仮 定 し て 推 論 を す る とx1=x2と

外 に 他 の 解 は 存 在 し な い.

程 式a+x=bの

解 は い つ で も 存 在 し て,し

こ と が わ か っ た の で,そ 小 に か か わ ら ず,引

れ をb-aと

き 算"-"を

  ま た,-134+x=-39の x =134+(-39)が   そ こ で,一 し て,引

書 く こ と に し よ う.こ

般 に,方

の大

に は 解 は な い.

程 式a+x=bの

解 をb-aと

書 く こ と に し よ う.こ

う

整 数 の 範 囲 で 定 義 さ れ た.

数 の 積 を 定 義 す る.こ

整 数 の 積:拡

れ も 中学 で は い ろ い ろ と意 味 づ け を 与 え て 説

こ で は 違 う発 想 で 積 へ の 拡 張 を 行 う.

張 の方針

  積 の 演 算 を 整 数 の 範 囲 に 拡 張 す る.拡  １)０,１,２,…

う し て,ａ,ｂ

よ う に 方 程 式 の 係 数ａ,ｂ が 負 の 数 で あ っ て も,解

明 す る と こ ろ な の だ が,こ

  1.2.2 

か も１ つ だ け 存 在 す る

定 め る こ とが で き た ．

存 在 し て,他

き算"-"が

  次 は,整

な っ て し ま うの だ

の 範 囲 で 加 法,乗

張 の 方 針 は 次 の ２点 で あ る.

法 に つ い て 得 ら れ た 恒 等 式 が 整 数 で も 成 り立

つ よ う に す る.  ２)整

数ａ,ｂ に つ い て 積abを

定 め る の だ が,ａ,ｂ

範 囲 に あ る と き はabは(す に す る(こ   さて,こ

れ が"拡

張"と

ス,た

で に 定 義 さ れ て い る)積

と え ば,7×(-5)の

の値 と一 致 す る よ う

い う こ と で あ る).

の よ う に 方 針 を 決 め る と,"マ

に つ い て 思 い 悩 まず と も,積

が 両 方 と も ０,１,２,… の

イ ナ ス × マ イ ナ ス ＝ プ ラ ス"の

は 自 然 に 定 ま っ て し ま う.ま ず,プ

意味

ラス × マ イナ

値 が 何 に な る か は 次 の よ うに 推 論 す る こ と に よ り決

定 さ れ る.  ● 以 前 に 決 め た よ う に5+(-5)=0で

あ る,

  ●両 辺 に ７ を か け る と,右

辺 は 分 配 法 則(こ

を 要 請 し て い る)を    

辺 は０ で,左

用 い ると

7×(5+(-5))=7×5+7×(-5)だ 7×5+7×(-5)=0

か ら,

れ が 成 り立 つ こ と

  ● こ こ で,7×5=35だ

か ら,

  35+7×(-5)=0が

得 ら れ る.

  ●こ の 式 は7×(-5)が る が,35+x=0を

方 程 式35+x=0の

解 で あ る と主 張 して い る と読 め

満 た す 解ｘ

け だ か ら,

は-35だ

 7×(-5)＝-35   こ う し て,ま

ず  

で あ る こ と,つ

7×(-5)＝-(7×5)

まり   プ ラ ス × マ イナ ス ＝ マ イナ ス

で あ る こ と が 導 か れ た.も

ち ろ ん,"マ

イ ナ ス × プ ラ ス ＝ マ イ ナ ス"も

成 り

立 つ.

  コ メン ト  

"マ イ ナ ス × プ ラ ス ＝ マ イ ナ ス"と い う表 現 で は,等 意 味 で 使 っ て い る の で は?そ の 通 りで あ る.し か い う表 現 自身,数

か し,マ

号"="を"は"の イナ ス × プ ラス と

学 と して 意 味 が あ る わ け で は な く,要 す る に これ は 単 な

る記 憶 の た め の ス ロ ー ガ ン の よ うな もの.だ

か ら等 号"="を"は"の

意味 で

使 う よ うな い い 加 減 な こ と を し て も 実 害 は な さ そ う,と い うこ と な の だ.

  次 は,"マ イナ ス × プ ラス "マ イ ナ ス × マ イ ナ ス"を 導 く

＝

マ イ ナ ス"を

利 用 し て,同

じ よ うに して

.

  た と え ば,(-7)×(-5)=35を に(-7)を

導 く た め に は,ま

か け て,

 

0=(-7)×0=(-7)×(5+(-5))   =(-7)×5+(-7)×(-5)

こ こ で,(-7)×5=-35は

 

す でに導いてあ るので, 0=(-35)+(-7)×(-5)

ず,5+(-5)=0の

両 辺

と な る.こ

の こ と か ら,(-7)×(-5)が

す る こ と が わ か る.つ

方 程 式(-35)+x=0の

解35と

一致

ま り,

    こ の よ う に し て,"も

し,積

(-7)×(-5)=35 の 演 算 を恒 等 式 を保 つ よ うに整 数 の 範 囲 に拡 張 す

る こ と が で き る と す れ ば",  

マ イ ナ ス × プ ラ ス ＝ マ イ ナ ス, 

マ イナ ス × マ イナ ス ＝ プ ラ ス

で な け れ ば な ら な い こ とが 導 か れ た.

   

コ メン ト "も し … が で き る と す れ ば"と い う制 約 を 外 す た め に は,逆 う に 整 数 の 範 囲 で 定 義 した 積 が,恒 ば な ら な い.し

か し,こ

に,こ

の よ

等 式 を す べ て 満 た す こ と を確 か め な け れ

れ は 単 純 作 業 な の で サ ボ ル こ と に し よ う.

  と に か く,加 法 と 乗 法 を ０,１,２,… の 範 囲 か ら 整 数 ま で 拡 張 す る こ と が で き, 整 数 の 範 囲 で も加 法 ・乗 法 は 先 に 掲 げ た 性 質"加

法 に つ い て の 恒 等 式"の

乗法につ いての恒等式 １の 性 質  

任 意 の 整 数 ａ に 対 し て,   a×1=a,1×a=a

結合法則   

(ab)c=a(bc)

可換性

 任 意 の 整 数ａ,ｂ

 

が 成 り立 ち,さ

任 意 の 整 数ａ,ｂ ，ｃ に 対 し て,

に 対 し て,

ab=ba

らに

加 法 と乗 法 に つ い て の 恒 等 式 分 配法則 

任 意 の 整 数ａ,ｂ ，ｃ に 対 し て, a(b+c)=ab+ac

他 に も,

を 満 た す よ うに す る こ とが で き た こ とに す る.   また,任

意 の 整 数ａ,ｂ に 対 して,加

 

法について の方程式

a+x=b

は 整 数 の範 囲 で 唯 一 の解 を もち,そ れ を 求 め る 演 算 と して"引 き算"b-aを

定

め る こ とが で き た.   さて,こ

う な る と次 の 話 の 組 立 て は 見 当が つ くと思 う.す な わ ち

乗 法についての方程式   ax=b を通 じて"割 り算"に つ い て 検 討 す る

で あ る.次

の テ ー マ は 割 り算 で あ る.

  1.3 

  １.3.1 

割

り

算

３つ の 割 り算

  ａ． ２ つ の 割 り 算   ま ず,"割

り算"と

呼 ば れ る も の に は ２つ あ っ た こ と を 思 い 出 し て お こ う.ひ

とつ は

 17÷5=17/5 と い う ふ う に"分

数"と

し て 答 え を 出 す や り方 で あ り,も

  17÷5 

うひ とつ は

は  ３ 余 り ２

と い う ふ う に 商 と 余 り と い う 形 で 答 え を 出 す や り方 で あ る ．   こ れ ら を"意 「17kgの

味"と

い う点 か ら 捉 え る な ら ば,分

数 と し て 答 え を 出 す 割 り算 は

銀 を ５人 で 分 け る と 一 人 当 た り17/5  kg」

長 さ な ど の"量"と

と い う ふ う に,数

し て 捉 え た と き の 割 り 算 で あ り,数

捉 え る 見 方 と は 異 質 で あ る.一

方,商

を"も

を 重 さや

の の 個 数"と

と 余 り と い う 捉 え 方 は,「17個

して

の リ ンゴ を

５人 で 分 け る と 一 人 当 た り ３ 個 で ２個 余 る 」 と い う意 味 で,"も

の の 個 数"と

関

連 し た 割 り算 で あ る.   結 論 か ら い う と,こ

の本では

「整 数 の 範 囲 で の 数 学 」 を 展 開 し た い の で,最

初 の タ イプ の 割 り算 は 扱 わ な い.し 扱 わ な い か と い う点 に つ い て,"数 に つ い て の 方 程 式"と   ｂ.も

か し,な

ぜ 分 数 と し て 答 え を 出 す 割 り算 を

の 意 味 づ け"と

い う 見 地 か ら,も

い う 見 地 か ら で は な く,"積

う少 し 説 明 を し て お き た い.

うひ とつ の 割 り算

  加 法 に つ い て の 方 程 式a+x=bか

ら数 の 範 囲 を拡 張 し て整 数 を構 成 した の

と 同 様 に,  

乗 法 に つ い て の 方 程 式ax=bを

通 じ て整 数 を さ らに 拡 張 し て い く

と い う方 針 も魅 力 的 な ア プ ロ ー チ で あ る.実 くい え ば 分 数 で 表 さ れ る 数 の こ と)へ

際,こ

の よ う に し て 有 理 数(平

数 を 拡 張 し,そ

こか ら さ らに 実 数へ と進

む 道 も あ る.こ

れ が"分

こ の 本 で は,そ

の よ う に 整 数 か ら さ ら に 数 の 範 囲 を 拡 張 し て い く と い う道 は,

テ ー マ で は な く,あ ax=bに

数 と し て 答 え を 出 す 割 り 算"へ

た

進 む 道 で あ る.し

え て 整 数 の 範 囲 に 留 ま る こ と に す る.そ

つ い て は,解

の 理由は

か し,

「方 程 式

が 存 在 す る か ， と い うテ ーマ が とて も面 白 い か ら」 で

あ る.   そ れ で は,乗 と つ の 割 り算"を

法 に つ い て の 方 程 式ax=bに

つ い て 検 討 し て,ま

ず,"も

うひ

定 義 し よ う,「定 義 し よ う 」 は ち ょっ と大 げ さ だ っ た 。 な ん の こ

と は な い,

 

た と え ば15÷3=5,し

か し,た

と す る だ け の こ と で あ る.こ

れ は,引

と え ば17÷3は"で

き 算 を,ま

き な い"

だ ０,１,２,… の う ち だ け で 考

え て い た 頃,  

加 法 に つ い て の 方 程 式a+x=bが

 

算"b-aで

あ り,解

と し て い た の と,ま

解 を も つ と き,そ

の 答 え が"引

き

を も た な い と き は,「 引 き 算 は で き な い 」

っ た く 同 じ 発 想 で あ る.そ

し て,「 で き な い 」 の は 不 便 だ か

ら 「で き る 」 よ う に す る た め 整 数 へ と 拡 張 し た の だ か ら,こ

こで も拡 張 を 行 う

の は 自然 な ア プ ロ ー チ で あ り,そ れ が 最 初 の タ イプ の 割 り算17÷5=17/5で あ る と考 え る こ とが で き る(「 個 数 か 量 か 」 い っ た 意味 づ け か らは離 れ て"拡 張" とい う見 地 に 立 っ て い る こ と に注 意).   しか し,０,１,２,… の 範 囲 で 考 えた 加 法 に つ い て の 方 程 式a+x=bと に つ い て の 方程 式ax=bと 在 の 問 題 」 は 「α≦bの

乗法

の 大 きな 違 い は,方 程 式a+x=bで

は 「解 の 存

と きの み 存 在 す る 」 と,き わ め て 簡 単 に 解 決 され て し

ま っ た の と対 照 的 に,方 程 式ax=bで

は 「解 の 存 在 の 問 題 」

  整 数ａ,ｂ が ど の よ うな条 件 を満 たす と き,方 程 式ax=bの

解が 存 在

す る か? は なか な か 複 雑 で あ る.も

ち ろ ん,普 通 の 言 葉 で 「ｂが ａ で 割 り切 れ る と き」

とい って し ま え ば お終 い な の だ が,こ

こで の 立 場 は,逆

に 「割 り切 れ る と き」

とい う こ と を 「解 が 存 在 す る と き」 とい うこ と と し て捉 え よ う,と い うこ とで あ る.   簡 単 な ケ ー ス か ら い こ う.ま ず,b=0の も,解

は 存 在 す る(x=0と

と き.こ

す れ ば よ い).ま

い 限 り解 は 存 在 し な い .a=1の

と き は,い

の と き は, ａが 何 で あ っ て

た,a=0の

と き は,ｂ

も ０で な

つ で も 解 が 存 在 す る(x=bと

す

れ ば よ い).   そ れ で は,ａ ax=bに

を ０,１で な い 整 数 で あ る と し て,ど

解 が 存 在 す る か を 調 べ て み よ う .そ  

の と き 解 は 存 在 し,そ

れ は す ぐ に わ か る.ｂ

に も ｂが-α,-2α,-3a,…

し て 倍 数 と い う概 念 に た ど り着 く.整 数 ｂが 整 数ａ

  次 に,ｂ   今 度 は,か

が

０,ａ，2a,3a,4a,

れ 以 外 の と き に は 解 は 存 在 し な い(し

囲 で 考 え て い る の だ か ら,他

を 満 た す 整数x0が

の よ うな ｂに対 して 方 程 式

まった！ 整 数の範

で も よ か っ た).こ

う

の 倍 数 で あ る と は ,b=ax0

存 在 す る と き で あ る.

を 固 定 し て ど の よ う な ａ に 対 し て 解 が 存 在 す る か を 調 べ て み よ う. な り複 雑 で あ る.た  

と え ば,b=12と

す る と,ａ

が

１,２,３,４,６,12,-１,-２,-３,-４,-６,-12

の い ず れ か の と き 方 程 式ax=bは

解 を も ち ,そ

れ 以 外 の と き は解 は 存 在 しな

い ． こ の よ うに,１,２,３,４,６,12,-１,-２,-３,-４,-６,-12は"12が な る よ う な 整 数"つ

ま り,約

数 で あ る.こ

数 を も つ 整 数 も あ る 一 方,た

と え ば,13の

ど の よ う な(０ に な る.こ

で な い)整

の 例 の12の

その倍数 と

よ う に,比

較 的多数の約

約 数 は １,13,-1,-13だ

け で あ る.

数 ｂ に 対 し て も,１,ｂ,-1,-bは

い つ で も ｂの 約 数

の よ う な 約 数 を 自 明 な 約 数 と い う こ と に し よ う.す

で な い 約 数 を も た な い 整 数 で あ る 」 と い う こ と が で き る.そ 約 数 を も た な い 整 数 」 を 素 数 と 呼 ぶ こ と に す る.た を も た な い な ら ば,-13も

る と,「13は

こ で 「自 明 で な い

だ し,13が

自 明 で な い 約 数 を も た な い,と

自明

自明で な い 約 数

い う ふ う に,「 自 明 で

な い 約 数 を も た な い 整 数 」 は い つ で も プ ラ ス ・マ イ ナ ス で ペ ア に な っ て い る の で,正

の 整 数 に つ い て だ け 調 べ れ ば 十 分 で あ る.そ

こ で,素

数 とい う と き に は

「自 明 で な い 約 数 を も た な い 正 の 整 数 」 に 限 る こ と に す る,ま

た,普

通,１

は素

数 と は い わ な い.   素 数 で な い 数 を 合 成 数 と い う.た と に し た か ら と い っ て,１

だ し,こ

の 場 合 も,１

は 素 数 と呼 ば な い こ

を 合 成 数 と は い わ な い.

  小 さ い 順 に い くつ か 素 数 を 列 挙 し て み る と,  

２,３,５,７,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,…

と な る.   以 上,倍

数,約

数,素

数 を 定 義 し た.倍

数,約

数 に つ い て 整 理 す る と,「ｂ が

ａ で 割 り切 れ る 」 こ と,「ｂが ａ の 倍 数 で あ る 」 こ と,「ａ が ｂ の 約 数 で あ る 」 こ と は 結 局,同

じ こ とで あ る.た

だ し,「０ は ０ の 倍 数 で あ る 」 と い う こ と は よ い

の だ が,「 ０は ０ で 割 り切 れ る 」 と か 「０は ０ の 約 数 で あ る 」 と い う と,ち

ょっ と

抵 抗 を 感 じ る の だ が.   「ｂがａ

で 割 り切 れ る 」 こ と は,ま

い う こ とが で き,記

た,「ａ はｂ を 割 り切 る 」(a

divides b)と

号 で

  a￨b と 表 す.た

   

と え ば,3￨6,6￨24.

コ メン ト これ は 便 利 な 記 号 な の だ が,ど

う も 日本 語 と し て は 「割 り切 れ る 」 の 方 が

  「割 り切 る 」 よ りも 自然 な た め か ，a｜bを

「ａは ｂで 割 り切 れ る 」 と読 ん で

し まい が ちで あ る.

  "割 り 切 る"に

つ い て 次 の こ と が 成 り立 つ.

  (a｜bか つb｜c)  な ら ば  a｜c [証 明] 

a￨bで

あ る と す る と,b=ax1を

b￨Cと す る と, c=bx2を (ax1)x2=a(x1x2)で

  1.3.2 

素

満 た す 整 数x1が

満 た す 整 数x2が あ る の で,ｃ

はａ

存 在 す る.こ

存 在 す る.ま

た,

の と き, c=bx2=

の 倍 数 で あ り,a｜C. □

数

  上 の 性 質 を 用 い る と,

 

正 整 数 ａ が 合 成 数 な ら ばａ

を 割 り切 る 素 数 ｐ が 存 在 す る

と い う こ と が 示 され る,

[証 明] ａ

の 自 明 で な い 正 の 約 数 の う ち で 最 小 の も の を ｐ と す る.こ

ｐ は 必 ず 素 数 に な る.な

ぜ な ら,も

し ｐ が 素 数 で な い な ら,そ

正 の 約 数 ｑ を も つ こ と に な る が,そ

 

の と き,

れ は 自明 で な い

うす る と

q｜P かつ  p｜a

で あ る か らq｜aと で な い 正 の 約 数"で う.よ

な っ て し ま う.こ

の こ と は,ｑ

あ る こ と を 意 味 し,ｐ

が"最

が,"ｐ 小"で

よ り小 さ い,ａ

の 自明

あ る こ と と矛 盾 し て し ま

っ て ｐ は 素 数 で あ る. □

  コメン ト  

「も し ｐ が 素 数 で な い な らば る 」 と い う論 証 が,い

…

矛 盾 し て し ま う.よ

って ｐは素 数で あ

わ ゆ る 背 理 法 で あ る.こ の よ う な論 証 を 行 う背 景 に は

「数 学 で は 正 し く推 論 す れ ば 絶 対 に 矛 盾 は 生 じ な い.だ

か ら,何

か を仮定 し

て 矛 盾 が 生 じ た な ら,そ の仮 定 の 否 定 が 証 明 され た こ とに な る」 と い う,数 学 に は 矛 盾 が な い と い う数 学 者 の 自信 が あ る.

  素 数 に つ い て,も

うひ とつ,ち

ょっ と唐 突 に 感 じ る か も しれ な いが,次

の性

質 を指 摘 し て お こ う.   素 数 の 性 質   素 数 ｐ が 整 数 の 積abを

割 り切 る な らば, p￨a, p￨bの い ず れ か

は 成 り 立 つ.

  こ こ で ｐ が 素 数 で あ る こ と は 外 す こ と が で き な い.ｐ え ば ６の と き,a=3,b=4と

す る と,ｐ

はab(=12)の

が 素 数 で な い 数,た

と

約 数 だ が,３

,４ い ず

れ ほ ど 簡 単 で は な い.こ

こで は

れ も ６ の 倍 数 で は な い.   意 外 な こ と だ が,証

明 を し よ う と す る と,そ

証 明 は サ ボ ル こ と に す る.

 

コメン ト

 

そ うす る理 由 は,め

ん ど く さい か らだ け で は な い.む

書 くと何 が 使 って よ い こ とで,何

こで 証明 を

が 証 明 を必 要 とす る こ と な の か,と

とが わ か ら な くな っ て し ま う心 配が あ る か らだ.た

い うこ

と え ば,「素 因 数 分 解 を 考

えれ ば 当 た り前 で は な い か 」 と も考 え られ る の だ が,フ 開 す る と き は,上

し ろ,こ

ォー マ ル に理 論 を 展

の 性 質 を まず 証 明 し て,そ れ を使 っ て 「素 因 数 分 解 の 一 意

性 」 と い う もの を 証 明 す る と い う道 筋 を た ど る.し か し,な ぜ そ う し な け れ ば な ら な い か,が が っ て,サ

  ま た,こ

わ か る の は,か

ボ ル こ と に す る.

れ も 唐 突 で は あ る が,整

  整 数 の 整 域 性   ab=0な   こ こ で は,こ

数 の 性 質 を も う ひ と つ 述 べ て お こ う.

ら ば,a=0,b=0の

の 性 質 と 上 の"素

も う 少 し 話 を 展 開 す る と,こ

  1.3.3 

な り理 解 が 進 ん で か らの こ とで あ る .し た

数 の 性 質"の

い ず れ か は 成 り立 つ. 関 連 は 見 え な い と 思 う.し

表記の 問題点

  さ て,ax=bが

解 を も た な い 場 合,つ

ま り ｂ がａ

の 倍 数 で な い 場 合,「 割 り

切 れ な い 」 理 由 を 「余 りが で る 」 と い う観 点 か ら捉 え る こ と も で き る.そ 「ｂ をａ

か し,

の ２ つ の 関 連 が わ か っ て く る は ず で あ る.

割 る と 商 が ｑ で 余 りが ｒ」 と い う 「割 り算 」 で あ る.と

れ が,

こ ろ で ,小

学

校 以 来,「 ｂ をａ

で 割 る と 商 が ｑ で 余 りが ｒ」 と い う こ と を  

と 書 い て き た.し

か し,こ

の 書 き 方 で の 記 号"="は

b÷a=q…r

の 書 き 方 は,等 実 は,日

号 の 使 い 方 と し て 非 常 に ま ず い.こ

本 語 の"は"に

す ぎ な い の で あ っ て,右

左 辺 が 等 し い と い う こ と を 表 し て い る わ け で は な い の だ.こ

辺 と

れ に気 づ か ず に等

号 と し て 扱 う と と ん で も な い こ と に な る.

  ま が い も の の"パ

ラ ド ッ ク ス"

  た と え ば,   16÷5=3…1,  で あ り,16÷5,13÷4が

13÷4=3…1

と も に3…1に

等 し い の で,

  16÷5=13÷4 と な る.こ

の 両 辺 に20(=5・4)を

か け ると

  16×4=13×5 と な る(64=65?!).   も ち ろ ん,こ

れ は パ ラ ド ッ ク ス で は な い.等

の が 誤 り と い うだ け の こ と だ.し

か し,こ

号 で も な い もの を等 号 と考 え た

の よ う な 危 な さ が あ る の で,商

り を 表 現 す る 書 き方 と し て は,16÷5=3…1で う 書 き 方 を し た 方 が よ い.一

と余

は な く16=5×3+1と

い

般 に,「ｂ をａ で 割 る と 商 が ｑ で 余 りがｒ」 は

 

b=aq+r

と 書 か れ る,特

にr=0と

ａの 倍 数 で あ る.こ

な っ て い る と き に は,aq=bと

う し て み る と,０

表 され る の で,ｂ

で な い 余 り ｒ は 「ｂがａ

は

の 倍 数 とな る こ

と の 妨 害 と な っ て い る 」 と 解 釈 す る こ とが で き る.   さ て,こ

れ か ら は,た

を 考 え る こ と に な る.そ る.こ

こ で,ｂ

い て い の 場 合,整 の 場 合,余

りrは

数 ｂ を 正 の 整 数ａ

で 割 った 商 と余 り

０ 以 上ａ 未 満 の 整 数 と な る よ う に す

と して は 正 の 整 数 に 限 らず 負 の 整 数 も考 え て い る と こ ろが 普 通

と 少 し 違 う の で,練

習 を し て お こ う.

  1.3.4 

練

習

  割 る 数ａ

は ７ に 固 定 し て お こ う ． ま ず,割

ら れ る 数 ｂ が 正 の 整 数 の と き は,

特 に 注 意 す る こ と は な い.

例１. b=15の

と き,15÷7の

商 は ２,余

り は １だ か ら15=7×2+1

  b=25の

と き,25÷7の

商 は ３,余

り は ４ だ か ら25=7×3+4,

 

同様 に

,

  17=7×2+3,  13=7×1+6

  ま た,21=7×3+0で

あ る.3=7×0+3,と

と 奇 異 に 感 ず る か も し れ な い が,こ

か0=7×0+0は

れ で よ い.も

ち ろ ん,"+0"は

ち ょっ 書 か な くて

も よ い.   次 に 割 ら れ る 数 ｂ が 負 の 場 合 を 調 べ て み よ う.こ が … で あ る 」 と い う よ りは,い し0≦r＜a,を

例 ２.a=7で

の 場 合 は,「 商 が … で 余 り

き な りb=aq+rを

満 た す 整 数 ｑ と ｒ,た だ

探 す と考 え る べ き で あ る.

割 っ た 余 り は,

 

b=-5の

と き, 

-5=7×(-1)+2,

 

b=-13の

と き, 

-13=7×(-2)+1,

 

b=-14の

と き, 

-14=7×(-2)

  最 初 は ち ょっ と と ま ど う か も し れ な い が,少

し 練 習 す れ ば,じ

き に慣 れ る と

思 う.

   

コ メン ト 任 意 の 整 数 ｂ と任 意 の 正 整 数ａ に 対 して

 

b=aq+r,か

つ0≦r＜a

を満 た す 整 数 ｑ,ｒが 存 在 す る こ と,つ

ま り,"割

り算 が で き る"と い う こ と

も,本 来 は 証 明 す べ き こ とで あ る.し か し,こ の 証 明 も,や は り 「何 が 使 っ て よ い こ とで,何

が 証 明 す べ き こ と な の か?」 と い う不 安 を 与 え る こ とに な っ

て し ま うの で,証

明 は せ ず に,認

め て し ま う こ と に し よ う.

  こ れ か ら は,割

り切 れ る と い う こ と と の 関 連 と し て,商

る こ と に な る.そ

れ で は,最

例 ３.a=０,１,２,３,…  ａ 

後 に,７

よ り は 余 りに 着 目 す

をb=7で

で 割 っ た 余 り の パ タ ー ン を 見 て お こ う.

割 っ た 余 り は 周 期 的 な 繰 り返 し に な る.

０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  10  11  12  13

余 り ｒ  ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ０  １  ２  ３  ４  ５  ６

 ａ 

14 15 

 

16 17 

18  19  20  21  22 …

余 り ｒ  ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ０  １  … …

ａが 負 の 数 に な って も 同様 で や は り,周 期 ７の 繰 り返 しに な る. ａ  余 りｒ

-21 

-20 

 ０  １

ａ  余 り ｒ

-14 

余 り ｒ 

-13 

 ０  １ ａ  -7 

０

 １

余 りｒ

７ 

余 り ｒ

  ０  ａ  14 

余 りｒ

 ０

ａ  21  余 りｒ

 ０

ａ  28  余 りｒ

  ０ 

１ 15   １ 22   １

-16   ５

 ３

 ４

-11 

-10 

 ２

 ３

 ４

 ５

-5 

-4 

-3 

-2 

 ２ ２ 

 ２ ８ 

-17 

 ２

１ 

 ０  １

a 

-18 

-12 

-6 

ａ  ０ 

  こ うな る と,い

-19 

 ３

 ２ 16   ２ 23   ２

29 

30 

１

 ２

 ６

-９ 

-８  ６ -1

 ５

 ６

３ ４ ５ ６  ３

９ 

 ４

-15

10   ３ 17   ３ 24   ３ 31   ３

 ４ 11   ４ 18   ４ 25   ４ 32   ４

 ５

  ６

12   ５

 ６

19   ５

20  ６

26   ５

27  ６

33   ５

ちい ち下 に余 りを 書 くの も煩 わ し い.余

13

34  ６

りは 表 の 上 に 書 くだ

け に して お き,太 字 の 数 字 を曜 日 と思 え ば"カ レ ン ダ ー の よ うな もの"が で き あ が る.

 ０

 

１  

２  

３  

４  

５  

６

  -21 

-20 

-19 

-18 

-17 

-16 

-15

  -14 

-13 

-12 

-11 

-10 

-9 

-8

 -7 

-6 

-5 

-2 

-1

  ０  

１  

２  

  ７ 

８ 

９  16 

-4  ３  

-3  ４  

５  

６

10 

11 

12 

13

17 

18 

19 

20

 14 

15 

 21 

22 

23 

24 

25 

26 

27

 28 

29 

30 

31 

32 

33 

34

こ れ が 次 章 か ら の テ ー マ と な る.

2  合

2.1 

 こ の 章 で は 合 同 式 と い う,等 り"を 効 率 よ く調 べ る.合 が 等 し い"と

同

定 義 と基 本 性 質

式 と 類 似 し た 記 法 を 導 入 し,そ

同 式 で は,正

い う こ と を"等

し い"と

整 数mを

固 定 し て,"mで

割った余 り

同 式 を 使 う と"割

っ た 余 り"に

ついて

っ か い そ う な 問 題 が 手 品 の よ う に 簡 単 に 処 理 さ れ て い く こ と に な る.

2.1.1    2つ

れ を 用 い て"余

同 じ よ う に 見 な し て 計 算 す る こ と に な る.

合 同 式 は な か な か 威 力 の あ る 記 法 で,合 の,や

式

合 同式の定義

の 整 数a,bに

m￨(α-b)の

つ い て,a,bの

差 が 正 整 数mで

割 り切 れ る と き,つ

と き, a≡b

mod

m

と 書 き, aはbと,mを （a is congruent

法 と し て合 同 で あ る to b modulo

m）

と い う.

例4.

13≡4 16≡16

mod mod

9,13≡1 17,33≡-1

mod mod

3,100≡

0 mod

4

17,-3

≡ 2 mod

5

ま り

  上 の 例 で,た

と え ば33≡-1mod 

17は,a=33,b=-1と

して

a -b=33-(-1)=34=17.2で

あ る こ とか ら わ か る.

  そ れ で はa≡bmodmを

満 た す ２つ の 整 数ａ,ｂ に つ い て,そ

で 割 っ た 余 り"を 調 べ て み よ う.１ 章 で 見 た よ う に,ａ,ｂ 商,r1,ｒ2を

れ ぞ れ を"ｍ

は そ れ ぞ れ,q1,q2を

余 りとして

a=mq1十r1,

と 表 す こ とが で き る ． こ こ で,r1,r2は

b=mq2+r2

０ 以 上, m-1以

下 の 整 数 で あ る.こ

の と き,a-bは

a-b=(mq1+r1)-(mq2+r2)=m(q1-q2)+(r1-r2) と な る.右

辺 の 第 １項m(q1-q2)は

の 倍 数 に な る の はr1=r2の 数 と な る の は 余 りr1,r2が   つ ま り,ａ がｂ

と,ｍ

ａ をｍ

ｍ の 倍 数 で あ り,第

２ 項(r1-r2)が

と き だ け で あ る こ と に 気 づ く と,a-bが

ｍ ｍ の倍

等 し い と き で あ る こ と が わ か る. を 法 と し て 合 同 で あ る と は,

で 割 っ た余 りと ｂ を ｍ で 割 った 余 りが 等 し い

と い う こ と で あ る,

コ メン ト   た だ し,「-3を

５で 割 っ た 余 りは ２」(-3=5・(-1)+2だ

か ら)と

いっ

た 感 性 に 馴 染 む まで は 「ａ,ｂの 差 が ｍ で 割 り切 れ る 」 とい う捉 え 方 の 方 が わ か りや す い か も し れ な い.

  2.1.2 

基本性質

  ａ. 同値 関 係   合 同式 で は 法 ｍ は 固 定 して 考 え る こ とが 多 い の だ が,最 え る と きの 性 質 を片 づ け て お こ う.

初 に まず,法

を変

合同 式 の 性 質 １ 正 整 数 ｎ が 正 整数

ｍ の 倍 数 で,か

つa≡bmodnな

a≡bmodm

こ れ は, ｎ が ｍ の 倍 数 で あ る の でn=mk， α ≡bmodnで と 表 さ れ,よ

あ る の で α-b=nl

って

a-b=nl=(mk)l   =m(kl) つ ま り,a-bは

ｍ の 倍 数,と

な る こ と か ら わ か る.

合同式の性質 ２ 任 意 の 整 数ａ

は 正 整 数 ｍ を 法 と し て ０,１,… ，m-1の

いず れ か と合 同

こ れ は,"余   次 は,法

り"の 定 義 か ら わ か る. ｍ

を固 定 し て考 え る と

  合 同 式 の 記 号"≡"は と い う 主 張 で あ る.

等 号"="と

似 てい る

らば

合同式の性 質 ３:  同値 関係 (ａ)＃C 意 の 整 数ａ に つ い て a≡amodm (ｂ)  任 意 の 整 数ａ,ｂ

につ い て

・ａ≡bmodmな

らば  b≡ａmodm

(ｃ)  任 意 の 整 数ａ,ｂ ，ｃ に つ い て (a≡bmodmか

つb≡cmodm)

な らば a≡cmodm

た と え ば,(ｃ)はa-b=mk，b-c=mlな

ら ば,

ａ- c=(a-b)+(b-c)=mk-ml

=m(k-l) で あ る こ と か ら わ か る.

コ メン ト   上 の 性 質 は,等 号 の 場 合 と違 っ て,整

数 に対 し て の み 意 味 を もつ.こ れ を

強 調 す る た め に も,律 儀 に 「任 意 の … に つ い て 」 を 入 れ て お い た.し な ん と も煩 わ し い.「任 意 の … に つ い て 」 は,や

か し,

は り適 当 に 省 略 し て 書 く こ

と に し よ う.

  ｂ. 演 算 と の 関 係   そ れ で は,最 等 式"＝"の

も使 い で の あ る 性 質 に 行 こ う.こ

れ ら は,「合 同 式"≡"の

計 算 と ほ と ん ど 同 じ 」 と い う こ と を い っ て い る.

合 同式の計算 法 a1≡a2mod 

mか

つb1≡b2 

mod 

(ａ)  al+b1=a2+b2 

mod 

m

(ｂ)  al-b1.a2-b2 

mod 

m

(ｃ) 

a1・b1≡a2・b2 

mod 

m

mな

らば

計 算は

  た と え ば(ｃ)は,次

の よ う に し て 導 か れ る.

 a1≡a2    b1≡b2  と 表 さ れ,し

mod  mだ

か らa2=a1＋mk

mod  mだ

か らb2=b1+ml

た が って

 

a2b2=(a1+mk)(b1+ml)   =a1b1+(a1b1+kb1+mkl)m

よ っ て,a2b2≡a1b1 

mod  m.

  他 も 同 様 に 示 さ れ る.   こ の よ う な,「性 質 と そ の 証 明 」 は,そ い.確

か に 論 証 は 必 要 な の だ か,こ

ん ど ん 計 算 し て,そ

  2.2.1 

同式 を使 っ て ど

の 面 白 さ を 堪 能 す る こ と に し よ う.

  2.2 

そ れ で は,合

ろそ ろ い や に な って くる 頃 か もしれ な

れ く ら い に し て お い て,合

合 同式 の 応用

同式 を使 う練 習 を して み よ う.

割 り切 れ る 数

  ａ.十 進 法   まず,割

り 切 れ る,割

り切 れ な い,を

数 字 の 字 面 か ら調 べ る テ ク ニ ッ ク を紹

介 し よ う.   1905の

よ う に 十 進 法 で 数 を 表 し た と き の,各

桁 の 数 字 １,９,０,５の 役 割 は

  1905=1×1000+9×100+0×10+5 と い う こ と で あ る.100と1000は,そ 要 す る に,102,103は10を２ の を 表 し て い る.一 を 使 う と,た

般 に,ａ

れ ぞ れ102,103と

書 く と 便 利 で あ る.

つ か け あ わ せ た も の,10を3つ をｋ

回 か け あ わ せ た も の を,akで

と え ば100,000,000は108と

表 さ れ,い

かけあわせ た も 表 す.こ

の表記

ち い ちゼ ロ の 個 数 を 数 え

な くて も大 き さの 程 度 が わ か る の で 便 利 で あ る.(た だ し慣 れ れ ば の 話 だ が

….

「108円 」 と言 う よ り,「１億 円 」 と 言 っ た 方 が や は りイ ンパ ク トが 強 い?)   ｂ. mod  ９ ト リ ッ ク   最 初 は 「あ る数 を ９で 割 った 余 りは,そ の 数 の 各 桁 の 数 字 の和 を ９で割 った 余 りに 等 し い 」 とい う性 質 か ら始 め よ う.

例 ５.  1327≡1+3+2+7≡4mod9

  つ ま り,1327を に 等 し い(実

９で 割 っ た 余 り は,1+3+2+7=13を

際,電

  そ れ で は,こ

卓 を 使 っ て 計 算 す る と1327=9×147+4).

の よ う に 計 算 で き る 理 由 を 考 え て み よ う.1327は

 

1×103+3×102+2×10+7

と 表 さ れ る.ま

ず,10,102,103に

つ い て,mod9で

 

だ か ら,合

10≡1mod 

同 式 の 計 算 法 の(ｃ)を

 

び(ｃ)を

 

 

使 うと

102=10・10≡1・1=1mod9

し た が っ て,再

で あ り,合

９で 割 っ た 余 り ４

使 って

103=102・10≡1・1=1mod9 同 式 の 計 算 法 の(ａ),(ｃ)か

ら

1327=1・103+3・102+2・10＋7

 ≡1・1+3・1+2・1+7mod9  

=1+3+2＋7

 

=13≡4mod9

9

考 えて

  上 の 例 で は103≡1mod9ま

で し か 調 べ な か っ た が,104,105,…

で も 同 じ く １ と 合 同 で あ る こ と が 導 か れ る.つ

の場 合

ま り,「あ る 数 を ９ で 割 っ た 余 り

は,そ

の 数 の 各 桁 の 数 字 の 和 を ９で 割 っ た余 りに 等 しい 」 は 何 桁 の 数 に つ い て

も,一

般 的 に 成 り立 つ.

例 ６,19990715を

９で 割 っ た 余 りは ５

  実際  

19990715≡1+9+9+9+0+7+1+5  ≡5mod9

例題

１. 19990715×666を

計 算 し た 答 え が13318816190に

な っ た.こ

れ は計

算 間 違 い で あ る こ と を 示 せ.

[解 答]  

666≡6+6+6=18≡0mod9

だ か ら,   19990715×666≡0mod9 な の だ が,一

方,

  13318816190≡1+3+3+1+8+8+1+6+1+9+0  ≡5mod9 し た が っ て,19990715×666と13318816190は

９ を 法 と し て 合 同 で は な く,

ま し て 等 し い は ず が な い.

  次 は,「 ３で 割 っ た 余 り」 つ ま り,m=3の

例 ７. 19990715を

  ま ず,mod9で

３で 割 っ た 余 り は ２

考 え ると

ケ ー ス.

19990715≡1+9+9+9+0+7+0+1+5≡5mod 

さ ら に,3￨9だ

9

か ら 19990715≡5≡2mod 

3

つ ま り,「各 桁 の 数 字 の 和 と 合 同 」 はmod  も ち ろ ん,mod 

3で

9を 経 由 せ ず に,

10≡1mod 

か ら直 接,こ

も成 立 す る .

3

の 性 質 を 導 くこ と もで き る.

  ｃ. 各 桁 の 数 字 の … …  「各桁 の 数 字 の和 」 と は いか な いが,９ や ３以外 の 数 につ い て の余 り も,調 べ て み る と なか な か 面 白い.

例 題 ２. 3456789012を11で

[解 答] 

mod  11で

割 っ た 余 り を 求 め よ.

考 える と

10≡-1mod

11

102≡(-1)2=1mod

11

103=102・10≡1・(-1)=-1mod

で あ り,以

下,１,-1,１,-1,１,…

と 繰 り 返 し に な る.つ

102K=1mod 102k+1≡-1mod

よ っ て,

11

11 11,

ま り

3456789012≡-3+4-5+6-7＋8-9+0-1+2  

=-5≡6mod 

例 題 ３. 893893184184110110を

[解 答] 

11

７ で 割 っ た 余 り を 求 め よ.

３桁 の 数 字 が ２度 ず つ 続 い て い る こ と を利 用 す る.

893893184184110110 =893893×1012+184184×106+110110 mod  7で

は 10≡3, 102≡3.3≡2, 103≡102・10≡2・3≡-1

だ か ら, 103+1≡-1+1=0mod7 よ っ て,

893893=893×103+893=893×(103+1) 893×(-1十1)=0mod7 で あ り,同

様 に, 184184≡0mod7,

と な る.よ

110110≡0mod7

っ て,

893893184184110110=893893×1012+184184×106+110110≡0mod7 □

  例 題 ３  は,103+1≡0mod  以 外 で も,た

7が

根 拠 と な っ て 成 立 し て い る わ け だ. mod  ７

とえ ば  

103+1≡0mod11

だか ら   893893184184110110 は11で

も 割 り切 れ る.

  そ れ で は,７

と11以

  答 え   あ る. 

  2.2.2 

外 に,こ

の よ う な 数 が あ る だ ろ う か?

1001÷(7×11)=13

ち ょっ と 進 ん だ 問題 題

ａ. 周 期 性 最 初 に,指

数 表 記akに

  １)akは

ａ をｋ

つ い て 少 し 補 足 説 明 を し て お こ う.

回 か け あ わ せ た も の を 表 す(k=1,2,3,…).

ak=a.a．....a

  ２)αk×al=αk+l   ３)a0=1   ４)(ak)l=akl １)は 定 義 を 繰 り返 し た だ け ． ２)は か け あ わ せ た も の の 積 は,ａ

を(k+l)回

「ａをｋ 回 か け あ わ せ た も の とａ をl回 か け あ わ せ た も の 」 と い う こ と .３)

は 「こ の よ う に 約 束 す る 」 と い う こ と で あ る ,そ やl=0の の をl回

と き に も 成 り立 ち,便

利 で あ る.４)は

か け あ わ せ る と い う こ と は,ａ

をk×l回

と 解 釈 で き る.

例 題 ４.  10500を

[解 答] 

７で 割 っ た 余 り を 求 め よ.

７を 法 と して 10≡3,

う し て お く と,２)がk=０ 「ａ をｋ

回か け あ わ せ た も

か け あ わ せ る と い う こ と」

１

102≡3.3≡2, 103≡102・10≡2.3≡6≡-1 106≡103・103≡(‐1)(‐1)=1

こ う して 10k≡1mod 

と な るｋ,こ

こ で はk=6が

7

見 つ か る と,あ

との

10k+1,10k+2,…

は そ れ まで の 値 の 繰 り返 し とな る.つ

…

まり

107≡106・101≡1・101≡3 108≡106・102≡1・102≡2 109≡106・103≡1・103≡-1

よ っ て,500を

６で 割 る と500=83×6+2で

あ る こ と よ り,

10500=1083・6+2=(106)83・102

183・102=1・2=2mod7

 上 の 例 題 の 要 点 は 「周 期 を見 つ け る こ と」 で あ る.  ７を法 と して 100,101,102,103,104,105,106,107,108,…

を計算す る と ,３,２,-1,-3,-2,１,３,２,‐1,-3,-2,１,３,…

と 周 期 的 な 繰 り 返 し に な る.よ

っ て,こ

そ の 周 期 で 割 っ た 余 り を ｒ と し て,10ｒ

の 周 期 さ え わ か れ ば,10500は500を を 計 算 す る こ と に よ り求 め ら れ る.

例 題 ５. 2500を17で

[解 答] 

17を

割 っ た 余 り を 求 め よ.

法 と し て,２,22,23,…

を計 算 して み る と

21=2,22=4,23=8,24=16≡-1

した が っ て 28=(24)2≡(-1)2≡1 で あ る.そ

こ で,500を

mod

17

周 期 ８で 割 る と

500=8×62+4

であ り

2500≡(28)62 ・24 ≡162.24=16mod

17

  こ の 解 を 検 討 し て み る と,500=8×62+4の い な い こ と に 気 が つ く.必

商62は

要 な の は 余 りだ け で あ っ て,商

上の解答 の後半 を 28≡1mod

17

で あ り, 500≡4mod

8

だか ら 2500=24=16

と書 き直 す こ と も可 能 で あ る.

mod

17

実 質 的 に は使 わ れ て は 必 要 な い.そ

こ で,

  さ て,上

の 例 題 で2500mod 

ど うだ ろ うか.こ

17を

求 め た が,そ

れ で は3500  mod  17な

らば,

の 場 合 も,

32≡9,

33≡10,...

と計 算 を続 け て 周 期 を見 つ け れ ば よい の だが,や あ る.さ ら に,こ れ が"法

を97と

って み る と,ち

し て5k,k=1,2,...,の

る と途 中で いや に な っ て し ま う(実 は 周 期 は96で

ょっ と面 倒 で

周 期 を 探 す"と な

あ り,k=96ま

で 計算 しな

け れ ば な ら な い).   そ こで,「周 期 を見 つ け る 何 か う まい 方 法 は な い か?」 と な る の だ が,こ

の問

題 へ の 手が か りは,４ 章 で 扱 うフ ェ ル マ ー の 小 定 理 に よ り得 られ る こ と に な る.  ｂ. 数 学 オ リン ピ ッ ク の 問 題 か ら   も う一題,例 題 を解 い て お こ う.こ の 問 題 は1964年 の 問題 で あ る.数 学 オ リン ピ ッ クは,数

の 国際 数学 オ リン ピ ック

学が や た ら に得 意 な各 国 の 高 校 生 選 手

に よ り争 わ れ る コ ン テ ス トで あ る.当 然,出 題 問 題 は 難 問 ぞ ろ い で プ ロ の 数 学 者 が 数 日考 え て も解 け な い 問 題 もざ ら に 出題 され る.し か し,こ の 問 題 は 数 学 オ リン ピ ッ クが 始 ま った ば か りの 問 題 な の で,最 近 の よ う な極 端 な 難 問 で は な く,自 然 な アプ ロー チ で 解 くこ とが で き る.

例 題６.  

(a)2n-1が７

で 割 り切 れ る よ うな正 の 整 数 をす べ て 求 め よ.

 

(b)2n+1が７

で 割 り切 れ る よ うな 正 の 整 数ｎ は 存 在 しな い こ と を証

明せ よ.

[解 答] 

(a)mod 

7で

21≡2mod

で あ り,23≡1mod

は

7,

7が

22≡4mod

見 つ か る.こ

23k≡(23)k≡

7,

23≡1

れ か らｋ=1,2,3,…

１k≡1

mod

7

に 対 し て

で あ る こ と,つ る.こ

ま り ｎ が ３ の 倍 数 の と き は,2n≡1mood 

れ は2n-1≡0mod7で

こ と を 意 味 す る.ｎ

あ る こ と,つ

ま り2n-1は

7で

あ るこ とわか ７の 倍 数 で あ る

が ３の倍 数 で な い場 合 は

n =3k+1も

し くはn=3k+2

の 形 で 表 され

と な る.し

23k+1=（23）k・2≡2

mod

23k+2=（23）k・22=

4 mod

7

た が っ て,

23k+1-1≡2-1=1mod

7,

23k+2-1≡4-1=3mod

7

と な る の で,n=3k十1, n=3k+2の   よ っ て,求   (ｂ)

7,

め るｎ

場 合 は,2n-1は

は3k, 

k=1,2,3,…

７ の 倍 数 で は な い.

で あ る.

同様に

23k＋1≡1+1=2

と な り,2n+1は で 割 り切 れ な い.

mod

7

23k+1+1≡2+1=3

mod

7

23k+2+1≡4+1=5

mod

7

７で 割 る と 余 りは 必 ず ２,３,５ の い ず れ か で あ り,よ

って ７

  ３  合同式か ら剰余系へ

 ２章 で は,合 同 式 とい うな か な か 便 利 な道 具 に つ い て 説 明 した.こ

の 章 で は,

合 同式 の 概 念 を さ らに 発 展 させ て剰 余 系 とい う概 念 を導 入 し よ う.そ の た め に, まず 準 備 と し て,集 合 に つ い て 説 明 す る こ とか ら始 め る.

合

3.1 

  集 合 の 概 念 は 高 校 で 学 ぶ.し

集

か し,高 校 数 学 で 集 合 は た い て い の 場 合,人

が な く軽 く扱 わ れ て い る よ うだ.ま

た,集 合 に つ い て 一 応 習 う もの の,そ

気

れを

使 って 実 質 的 に何 か をす る とい う こ とは,高 校 数 学 で は まず な い.要 す る に,集 合 か ら 体 よ く逃 げ て い る わ け だ.   集 合 や,写 像(こ

れ は ４章 で 扱 う)は 重 要 で あ る.現 代 数 学 で は,集

合 と写

像 は 数 学 を 展 開 す る と き の基 本 的 ス タ イ ル で あ り,結 局 は 避 け て通 る こ とは で き な い.そ れ は わか って い る.し か し,高 校 の 教 科 書 に 限 らず 入 門 レベ ルの 本 で は,集 合 ・写 像 を回 避 し よ うと思 えば で き ない こ とは な い し,ま た,せ っか く ち ゃ ん と説 明 して も,そ の 本 の 範 囲で は 実 質 的 に 使 うチ ャ ン スが な くて,「説 明 し たけ ど あ ま り使 わ な い 」で 終 わ って し ま う こ と に な りが ち で あ る.し た が っ て,ど ち らか とい う と集 合 ・写 像 は 軽 く扱 う方が 賢 明 な 判 断 だ とい うこ とに な っ て し ま う.   そ の 結 果,全 体 に て い ね い な 説 明 を心 が け る入 門 的 な レ ベ ル の 本 で は 集 合 ・ 写 像 に つ い て,ど の 本 も ま と もに 触れ ず,一 方,理 論 を 正 確 に,し か し 簡 潔 に 提 示 す る専 門 的 レ ベ ル の 本 に な る と集 合 ・写 像 をい き な り本 格 的 に使 い始 め る, とい う こ と に な って し ま う.困 った こ とだ.幸

い,こ の 本 の テ ー マ で は,有 限

集 合 や有 限 集 合 の 間の 写 像 に つ い て,「有 限 で あ る 」 と い う性 質 を う ま く利 用 す るた め に は 集 合 や 集 合 の概 念 を正 面 切 って 使 っ た 方 が わ か りや す い ,と い う状 況 に な って い る(大 抵 は無 限性 に 絡 ん で きて 始 め て 集 合 の"御 利 益"が で て くる の だ が).せ

っか くの チ ャ ン ス だ か ら 生か す こ と に し よ う.

  そ こで,集 合 ・写 像 を ま と もに 扱 うこ とに し て,ま ず 集 合 につ い て て い ね い に説 明 す る こ とか ら始 め よ う.た だ し,厳 密 に 集 合 につ い て の 理 論 を展 開 し よ うと い うの で は な い.ど

ち らか とい う と,説 明 の 方 針 は 「とに か く概 念 をつ か

め ば よい 」 とい うで あ って,厳

密 性 は 求 め な い.し か し,と に か く集 合 は 積 極

的 に 使 お う とい うの が 方針 で あ る.

  3.1.1 

集 合 とは

  さ て,ま

ず 集 合 と い う概 念 を 説 明 し な け れ ば な ら な い.と

で こ れ が 一 番 難 し い.そ

こ ろ が,あ

る意味

れ は,「 数 の 概 念 は 小 学 校 で 身 に つ け る に も か か わ ら ず ,

ま と も に 説 明 し よ う と す る と １章 で 述 べ た よ う に,哲

学 的 に か な り難 し い 」 と

い う の と 同 様 で あ る.   そ こ で,集

合 の 概 念 を 定 義 す る こ と は 試 み ず,と

に し よ う(つ

ま り,小

学 校 的 説 明 を す る わ け だ).

  集 合 と は"も

の の 集 ま り"の こ と で あ る.こ

る.た

れ で は わ か ら な い.そ

だ し,こ

例８.

に か く説 明 し て し ま う こ と

こ で,例

れ で,一

応"説

を 通 じ て,補

明"は

終 わ りで あ

足 す るこ とに し よ う.

大 阪 城,熊 本 城,姫 路 城 の 集 合 を  {大 阪 城,熊

と書 く.こ の 集 合 に,た

と え ばＡ A ={大

本 城,姫 路 城}

とい う名 前 を付 け る な らば

阪 城 ,熊 本 城,姫 路 城}

と な る.

  こ こ で,大 阪 城,熊 本 城,姫 路 城 の ３つ を 選 ん だ 理 由は 特 に な い.こ を特 徴 づ け る性 質が 何 か あ る と い う必 要 は な い.と 集 め た もの を考 えれ ば,そ

れ が 集 合 とい うわ け だ.

の ３つ

にか く,い くつ か の もの を

  こ こ で 「集 め た も の 」 と い っ て い る が,実 は な い ． そ も そ も,そ

際 に集 め る と い う作 業 を す る必 要

ん な こ と は で き な い.つ

ま り,集

め る と い っ て も,考

え

て い る だ け の こ と だ.

コ メン ト   ど う も 日本 語 の 「集 合 」 とい う言 葉 は 「集 め る 」 と い う動 作 を イ メー ジ さ せ て よ くな い よ うだ.英 語 な ら 集 合 は"set"だ と きの 「セ ッ ト」 と して,ぴ と て,テ

か ら,セ

っ た り し て い る.セ

ッ ト メニ ュ ー と い う

ッ ト メ ニ ュ ー とい った か ら

ー ブ ル の 上 に 実 際 に 同 時 に 「集 め ら れ る 」 必 要 は な く,バ ラバ ラ に

出 て き て も セ ッ トと し て料 金 が 請 求 さ れ る な ら,そ れ で よい の だ.カ

タ カナ

語 を 使 っ て,「集 合 と は もの の セ ッ トの こ と で す 」 と い うの が 一 番 わ か りや す い 説 明 か も しれ な い.

  さ て,集 合 を 構 成 す る個 々の もの を,そ の 集 合 の 要 素 とい う.上 の 集 合Ａ の 要 素 は 大 阪 城,熊   た とえ ば,熊

本 城,姫 路 城 の ３つ で あ る.

本 城 が 集 合Ａ の 要 素 で あ る こ と を 熊 本 城 ∈A

と 表 す.   要 素 で な い,と 山 城〓Aで

い う こ と を い う た め に は,記

号"〓"を

用 い る.た

と え ば,岡

あ る.

  こ の よ う に 例 を あ げ て い て も,無

意 識 の うちに

な い も の の 例 も お 城 」 と し て い る の だ が,そ た と え ば,磐

梯 山〓Aで

例 ９.  20以

下 の 素 数 の 集 合Ａ.つ

「お 城 の 集 合 な ら ば,要

素で

う し な け れ ば な ら な い 理 由 は な い.

も よ か っ た.

ま り

A={2,3,5,7,11,13,17,19}

  「もの の 集 ま り」 と い うと きの,"も の"は 物 理 的 な"も の"で あ る必 要 は な く, 数 な ど の概 念 で も よ い.む

し ろ,数 学 で は,た い て い の 場 合,集

合 の要素 は抽

象 的 概 念 で あ る.   上 の 例 で 集 合Ａ を 表 す の に,要 素 を小 さい 順 に書 い て い るが,そ 性 もな い.集

合 の 要 素 は好 きな 順 番 で 書 い て よ い.た

 

うす る必 然

とえ ば

A={7,5,3,2,19,13,11,17}

で も よ い.   ２つ の 集 合Ａ,Ｂ

の 要 素 が 完 全 に 一 致 す る と き に は,集

と 考 え る.た

と え ば,Ａ

数 の 集 合,と

す る な ら ば,A=Bで

  ２つ の 集 合Ａ,Ｂ

を ３ 以 上 ８ 以 下 の 素 数 の 集 合,Ｂ

合Ａ

とＢ

は等 しい

を ３以 上 ８以 下 の 奇

あ る.

に つ い て, Ａ の 要 素 が す べ て Ｂ の 要 素 で も あ る と き,集

Ａ は 集 合 Ｂ の 部 分 集 合 で あ る と い う.Ａ

がＢ

合

の 部 分 集 合 で あ る こ と をA⊂B

で 表 す.   た と え ば,Ａ

を ３ 以 上20以

す る な ら ば,A⊂Bで

下 の 素 数 の 集 合, Ｂ を ３ 以 上20以

  要 素 を １つ も も た な い 集 合 を 空 集 合 と い い,φ い で 作 っ た 空 っ ぽ の 集 合"を

例10. 

下 の 奇 数,と

あ る. で 表 す.つ

ま り,"何

も集 め な

考 え て い る わ け で あ る.

整数すべ ての集合

  整 数 すべ て の 集 合 を,こ の 本 で は Ｚ で 表 す.

 

Z={…

，-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

こ の 集 合 の 要 素 は 無 限 個 あ る.つ は な い の だ.要

ま り,集 合 の 要 素 の 個 数 は 有 限 個 で あ る 必 要

素が 有 限 個 の 集 合 を有 限 集 合 ,要 素 が 無 限 に あ る 集 合 を無 限 集

合 とい う.こ れ か ら よ く使 う無 限 集 合 と して,自 然 数(正 整 数 の こ と)の 集 合

 N={1,2,3,… が あ る(た

だ し,自

 }

然 数 と い っ た と き に は ０ も 含 め る 流 儀 も あ る) .

  有 限 集 合 と違 って,無

限 集 合 は 要 素 をす べ て 書 い て 示 す こ とは 厳 密 に は不 可

能 で あ る.N={1,2,3,…}と

書 い て み て も,「１,２,３,…は １,２,３,11,22,33,

111,222,333,…

の こ とで すか?」 と言 わ れれ ば,何

無 限 集 合 は,そ

の 集 合 の 要素 を 特 徴 づ け る性 質(た

い っ た)に

と もし よ うが な い.そ こで, とえ ば,自

然 数 で あ る,と

よ っ て 指 定 す る こ とに な る.

  さ て,そ れ で は 集 合 と は い え な い ケ ー ス を あ げ て み よ う.

例11."背 で,集

の 高 い 人 の 集 合"は,「 背 の 高 い 人 」 とい う基 準 が 明 確 で は ない の

合 とは 考 え られ な い.

  こ の よ う なあ い まい な表 現 を 含 ん で い て は,集 合 と は 考 え られ な い.

  3.1.2 

概 念 と集 合

  この 項 「概 念 と集 合 」 全 体 が 一 種 の コ メン トな の で,な け 見 て お くだ け で,読

ん な ら最 後 の 結 論 だ

み 飛 ば して もか まわ な い.

  ａ.  人間の集 合   「背 の 高 い 人 の 集 合 」 と い う例 は,高 校 の 教 科 書 に も よ く出 て くる例 で あ る. 確 か に,そ の 通 りで あ る.し か し,そ れ で は"背 の 高 い"と い うあ い まい な部 分 を カ ッ トし た ら集 合 に な るの だ ろ うか.つ

ま り,"す べ て の 人 間 の 集 合"は 集 合

だ ろ うか?   これ に は 疑 問 が あ る.こ こで 人 間 とい うの は 「今,こ 人 間 」 を意 味 す るの か,「過 去 も含 め て,か 間 」 を意 味 す るの か,そ

の 瞬 間 に生 存 して い る

っ て 存 在 し た こ との あ る す べ て の 人

れ と も 「お よそ 人 間 な る もの 」 を 意 味 す る の か,こ れ

が は っ き り しな い.   最 初 の 解 釈 な らば(人 (植 物 人 間,ク 無視).し

間の 集 合 は毎 秒 変 化 す る こ と に な るが)集

ロ ー ン,"人

で な し"な ど の,人

合 とい え る

とい う概 念 自身 の 微 妙 な 問 題 は

か し,「人 間 の 集 合 」 な ど と い う例 を持 ち出 す 場 合,漠 然 と 「お よそ 人

間 な る もの 」 と い う最 後 の 解 釈 を考 え て い る ケ ー スが 多 い の で は な い か と思 う. しか し,こ れ は まず い.こ れ で は 「人 間 とい う概 念 」 を考 え て い る だ け で,将 来 生 まれ るか も しれ な い 人 間,生 ど,何

まれ る は ず だ っ た の に 生 まれ な か っ た 人 間 な

と も漠 然 と し て い て,要 素 が 確 定 しな い.こ

の よ うな もの は 集 合 とい う

べ きで は な い.   先 ほど,「そ の 集 合 の 要 素 を特 徴 づ け る性 質 に よ っ て指 定 す る 」 とい う言 い 方 を した.こ れ を発 展 させ れ ば,"特

徴 づ け る 性 質",す

概 念 を満 た す もの の 集 合"が 決 まる,と し乱 暴 な 考 え方 で あ る."概

な わ ち"概 念"か ら"そ の

い う発 想 が 生 まれ るの だ が,こ

れは少

念"が い か に 明確 な もの で あ って も,そ れ を満 たす

集 合 が い つ で も明 確 に 定 ま るわ け で は ない.   ｂ.  直 角三 角 形 の 集 合   た とえ ば,こ れ も高 校 の 教 科 書 な どで よ く出 て くる例 なの だが,「直 角 三 角 形 の 集 合 」 とい うの も,ち

ょっ と まず い.確 か に直 角 三 角 形 とい う概 念 は 明 確 だ

が,「直 角 三 角 形 の 集 合 」 な ど と い う もの は 存 在 す る の だ ろ うか?   存在 す る と主 張す る な らば,い

ま,私 が 手 元 の 紙 に 直 角 三 角形 を書 くと,そ の

瞬 間 に そ の 集 合 は 変 化 す るの だ ろ うか.そ

れ と も直 角 三 角 形 と い う言 葉 を 使 っ

た 途 端 に 「"等し い"と い う こ と は"合 同で あ る"こ と を 意味 し,紙 に 書 い た か ら とい って,そ れ は 以 前 に あ る直 角 三 角 形 の ど れ か と合 同 で あ る の で,要 変 化 しな い 」 とい うの だ ろ うか.も

素は

し くは,「"ち ょ うど ３個 の もの"を 抽 象 化 し

て ３とい う抽 象 的 存 在 を考 え た よ うに,個

々の 平 面 上 の 三 角 形 を 抽 象 し た 抽 象

的 三 角 形 な る もの を 考 えて い る」 と で もい うの だ ろ うか.   そ の 気 に な れ ば,ど

の 解 釈 で も切 り抜 け て,「直角 三 角 形 の 集 合 」 の 存 在 を 主

張 す る こ とは で きる.し か し,お そ ら く,こ の よ うな 例 を あ げ る と き に は,そ ん な 難 しい こ と を 考 え て い る の で は な く,漠 然 と 「概 念 と そ の 集 合 」 とい う対 比 を想 像 して い る の だ と思 う.し か し,そ れ で は,集 合 と い う も のが 漠 然 と し た 捉 え ど こ ろ の な い もの と な っ て し まい,「集 合 は難 しい 」 とい う印 象 を もっ て し ま うの も,当 然 の こ とで あ ろ う.   ｃ.  集合の 具体性   集 合 の 一 番 大 切 な と こ ろ は,集 合{２,３,５,７}や集 合{１,２,３,５,…}の よ うに 「要 素 を"セ ッ ト"と し て 明 確 に イ メー ジで きる 」 とい うこ と で あ る.   "概 念"よ り も 目の 前 に あ る もの と して の 具 体性 が 感 じ られ る と ころ が 強 み な の だ.よ って,「人 間 の 集 合 」 とか 「直 角 三 角 形 の 集合 」の よ うな わ け の わか ら な い もの を無 理 に考 え るべ きで は な い(そ もそ も,そ ん な もの は 数 学 で 使 わ な い).

  ｄ. 無  

限

さ て,「 集 合{１,２,３,５,…}の

や は り,１,２,３,４,５,… で い い の だ.そ

れ は,無

よ う に 具 体 的 に イ メ ー ジ で き る 」 と い っ て も,

と ど こ ま で も続 く"…"の

所 は 不 安 か も し れ な い.そ

限 と い う こ と の 難 し さ な の だ か ら,不

れ

安 を 感 じ るの が

当 然 な の だ.   数 学 と し て の 「集 合 論 」 で は 無 限 を ま と も に 扱 い 研 究 の 対 象 と す る.こ 興 味 深 い が 難 解 な 分 野 で あ る(こ

の 本 で は,無

れ は,

限 集 合 の 難 し さ には 遭 遇 しな い

で す む).   ｅ. パ ラ ド ッ ク ス   し か し,集

合 の 最 も 難 し い と こ ろ は,「 も の 」 は 抽 象 的 な 「も の 」 で も よ く,特

に 集 合 で も よ い,と ら に,そ

い う こ と か ら 生 ず る.つ

う い っ た 集 合 を 要 素 と す る 集 合,と

た に 集 合 を 考 え る こ と に よ り,新   そ の た め,極 と,そ

ま り,集

合 を 要 素 と す る 集 合,さ

ど こ ま で も 考 え る こ と が で き,新

し い 「も の 」 が 発 生 し て し ま うの だ.

端 な ケ ー ス と し て 「す べ て の も の の 集 合 」 と い う も の を 考 え る

の 集 合 を 構 成 し 終 わ っ た 途 端 に,"そ

の 集 合"と

い う新 し い も の を 要 素 と

し て 付 け 加 え な け れ ば な ら な い こ と に 気 づ く こ と に な る.こ と,集

の 点 を う ま く突 く

合 と い う も の が パ ラ ド ッ ク ス を 生 じ させ る こ とが 示 さ れ る.こ

ク ス(ラ

ッ セ ル の パ ラ ド ッ ク ス)は,言

の パ ラ ドッ

葉 の 遊 び や 騙 し と い つ た も の で は な く,

本 当 の 二 律 背 反 で あ る.   ｆ.  ラ ッセ ル の パ ラ ド ッ ク ス   「す べ て の も の の 集 合 」 と い う も の が 存 在 す る な ら ば,そ ら,そ

の 集 合 は 自 分 自 身 の 要 素 に な る.こ

れ 自 体 は,変

れ 自身 も集 合 だ か

な 状 況 で は あ る が,矛

盾 が 生 じ て い る と い うわ け で は な い.   ラ ッセ ル は,こ

の よ う な 変 な 状 況 に は な い,"正

常 な"集

考 え た.つ

合 を すべ て 集 め た 集

合(仮

に Ω と い う 名 前 を 付 け て お こ う)を

ま り,"正

は,自

分 自 身 を 要 素 と し て 含 ま な い よ う な 集 合 の こ と で あ り,Ω

常 な"集

合 と

は 自分 自 身 を

要 素 と し て 含 ま な い よ う な 集 合 全 部 の 集 合 で あ る.   そ れ で は,こ

の 集 合 Ω は"正

常 な"集 合 だ ろ う か?  こ れ を 分 析 す る と,矛

盾

が 生 じ て い る こ と に 気 づ く.   ●Ω は"正

常 な"集

合 で あ る と す る.す

る と,Ω

の 定 義 は,「"正 常 な 集 合"全

  部 の 集 合 」 な の だ か ら,Ω 自身 も Ω の 要 素 に な る.し か し,こ れ は Ω が "正 常 な"集 合 で は な い こ と を意 味 して い るの で ,最 初 に Ω は"正 常 な"集 合 で あ る と仮 定 し た こ とに 反 す る.よ っ て,最 初 の 仮 定 は 適 切 で は な く,Ω は"正 常 な"集 合 で は な い.   ●Ω は"正 常 で な い"集 合 で あ る とす る.す る と,Ω

は"正 常 で な い"の だ か

ら,自 分 自身 を要 素 と して もつ こ とに な る.し か し,Ω うこ とは,"正

常 な"集 合 で あ る こ と を意 味 す るの で,Ω

の 要 素 で あ る とい の 要 素 Ω は"正

常 な"集 合 で あ る こ と に な る.し か し,こ れ は 最 初 に Ω は"正 常 で な い" 集 合 で あ る と仮 定 し た こ とに 反 す る.よ って,最 初 の 仮 定 は 適 切 で は な く, Ω は"正 常 で な い"集 合 で は な い. 結 局,"正

常 な"集 合 で あ る と仮 定 して も,"正 常 な"集 合 で な い と仮 定 し て も,

ど ち ら も矛 盾 を生 じ させ て し ま う こ と に な り,パ ラ ド ッ ク ス に 直 面 す る.こ れ が,「 ラ ッセ ル の パ ラ ド ッ ク ス 」 と して 有 名 なパ ラ ド ック ス で あ る.   この よ うなパ ラ ド ッ ク スが 生 じる とい うこ とは,そ

もそ も 「あ る 種 の 集 合 は,

軽 々し く"存 在 す る もの"と し て は い け な い 」 と い うこ と を意 味 して い るの だ ろ うが,集 合 は 物 理 的 対 象 で な く,単 に 「考 え て い る だ け の もの 」だ か ら,"存 在 す る"と か"存 在 しな い"と は何 の こ とだ?と

考 え る と わ けが わ か らな くな る.

 ｇ.公 理 的 集 合 論   こ の よ うな パ ラ ド ッ ク ス を 避 け て 集 合 論 を 展 開 させ る た め に は,集 合 を "も の の 集 ま り"と 素 朴 に 定 義 す る の で は な く ,公 理 的 手 法 に よ る巧 妙 な 展 開 が 不 可 欠 に な る.こ れ が 公 理 的 集 合 論 と呼 ば れ る 数 学 基 礎 論 の 一 分 野 で あ る. 要 す る に,集 合 の 定 義 は本 当 は え ら く難 しい の だ.し

か し,普 通 の 数 学 に か か

わ っ て い る限 り,公 理 的 集 合 論 に つ い て は 「そ の よ うな もの が あ る」 とい う こ とだ け 理 解 し て い れ ば,集

合 を素 朴 に扱 って い て も 困 難 に 遭 遇 す る こ とは ほ と

ん ど な い.  ｈ.結

論

  それ で は ま と め て お こ う.    

(普 通 に使 う)集 合 は 簡 単 で 便 利 な もの だ. しか し,本 当 は と ほ う もな く難 し い.

  3.1.3 

集 合 の ２通 りの 表 し方

  集 合 を記 述 す る に は,２ 通 りの や り方が あ る.ひ  

とつ は,

A={2,3,5,7}

の よ うに,要 素 をす べ て 列 挙 して 表 す や り方 で あ る.も うひ と つの 表 示 で は,そ の 集 合 の 要 素 が 満 た すべ き判 定 条件 を書 くこ とに よ っ て 集 合 を指 定 す る.上 の 集 合Ａ

は,た

と えば

  A={x￨xｘ

は ２以 上 ８以 下 の 素 数}

と 書 き表 され る ．   こ の 記 法 の発 想 は 「判 定 条 件 を与 え て,そ の 判 定 条 件 を 満 た す もの をす べ て 集 め て 集 合 とす る」 とい うこ とで あ る.た

と えば,ｘ

と し て ４ を も って くる と,

４は ２以 上 ８以 下 の 素 数 で は な い か ら(素 数 で は な い),こ い し,ま た,13を 下 で は な い),こ

もっ て くる と,13は

の 集 合 の 要 素 と しな

２以 上 ８以 下 の 素 数 で は な い か ら(８ 以

の 集 合 の 要 素 と し な い.一 方,ｘ

と して ５を も って くる と,５

は ２以 上 ８以 下 で あ って,か つ 素 数 だ か ら,５ は こ の 集 合 の 要 素 と な る.こ して,こ の 判 定 条 件 を満 たす もの すべ て を集 め る と,集 合{2,3,5,7}が が る わ け だ.な は ２以 上10以   一 般 に,ｘ

う

で きあ

お,判 定 条件 と して"ｘ は ２以 上 ８以 下 の 素 数"の 代 わ りに"ｘ 下 の 素 数"と し て も同 じ集 合 が 得 られ る.

に つ い て の 条 件p(x)を

  が 定 ま る.集 合{ｘ￨ｘ

指 定 す る と,集 合

{x￨p(x)} は ２以 上 ８以 下 の 素 数}で

は,p(x)は"ｘ

は ２以 上 ８

以 下 の 素 数"で あ る.   集 合 を 指 定 す る条 件 は,ｘ 以 外 の文 字 で 記 述 して も よい.た だ し,ど の 文 字 に つ い て 要 素 を集 め るか を 指 定 す る た め に,

 

{t￨p(t)}

と い うふ うに,記 号"｜"の 左 側 に そ の 文 字 を 書 い て お く.

例12.a=12と

す る と き,集

 

{ｂ｜b∈N 

と し て 定 め る と,Ｓ

は,要

合Ｓ

を

か つ   ｂ はａ

の 約 数}

素 を すべ て 列 挙 す る記 述 で は

 S={1,2,3,4,6,12} と な る.   上 の 例 で"b∈N 

か つ   …"と

あ るが,こ

の"b∈N"は

要 す る に 「"も の"

と い っ て も 自 然 数 だ け 考 え て い る 」 と い う こ と を 意 味 す る.本 定 条 件 を 満 た す か チ ェ ッ ク す る 」 と い っ て も,"も が 限 定 さ れ て い な い と,ち

ょっ と不 安 で あ る.そ

そ の 範 囲 で あ る 判 定 条 件 を 満 た す"も く な る.実

際,上

の"を

の"に

当 の と こ ろ,「 判

つ い て あ らか じ め 範 囲

こ で,「 最 初 に 範 囲 を 指 定 し て,

集 め る」 とい う雰 囲気 の記 述 を した

の 集合 を

  {b∈N｜bはａ と 書 く こ と も あ る.こ

の 約 数}

ち ら の 書 き 方 の 方 が,「 最 初 に 範 囲 と し てＮ

を 指 定 し て,

そ こ か ら 要 素 を も っ て 来 て は 判 定 条 件 を 満 た す か を チ ェ ッ ク し て,条 し た も の だ け を 集 め る 」 と い う こ と で,居   以 上 述 べ た よ う に,集

件 を満た

心 地 の よ い 表 現 だ と 思 う.

合 を 記 述 す る 仕 方 に は,

  ●要 素 を す べ て 列 挙 す る   ●要 素 の 満 た す べ き 条 件 を 指 定 す る と い う ２ つ の ス タ イ ル が あ る.大 義,後

  た と え ば,集

は,ち

者 を外 延 的定

者 を 内 包 的 定 義 と い う.

  外 延 的 に 定 義 さ れ た 集 合 は,い

 

げ さ な 言 い 方 を す る な ら ば,前

つ で も 内 包 的 に 定 義 す る こ と が で き る.

合   {1,3,4,6,8,10,12}

ょっ と詭 弁 の よ う に 感 じ る か も し れ な い が,

  {n￨n=1,n=3,n=4,n=6,n=8,n=10orn=12}

と し て 内 包 的 に 定 義 す る こ とが で き る(東 が つ か な くて よ い).し

か し,外

京 の テ レ ビの チ ャ ン ネ ル だ な ん て 気

延 的 定 義 は い つ で も で き る と は 限 ら な い.無

集 合 は 厳 密 な 意 味 で は 要 素 を す べ て 列 挙 す る こ とが で き な い.た

 N={1,2,3,…

と え ば,

 }

の よ う な 表 現 は,"…"の

意 味が

「常 識 あ る 人 間 に は 通 じ る の だ が,フ

に は 何 も い っ て い な い の と 同 じ 」 な の で,要 難 い.常

識 に 頼 る こ と に し た と こ ろ で,集

 

ォー マ ル

素 をす べ て 列 挙 し て い る とは い い 合

{3,7,11,19,23,31,…}

で の"…"の

続 きが"43,47,59,…"で

 

{p￨pは

が"常

識"で

わ か る だ ろ うか.そ

あ る こ と,つ

ま り

４で 割 る と ３ 余 る 素 数} れ を"常

識"と

す る の は,常

識 の 押 しつ け だ

ろ う.

   

コ メン ト さて,外

延 的 定 義 と 内 包 的 定 義 が あ る と い う こ とは,そ

の よ うな 専 門 用 語

を も ち 出 す か は 別 と して,高 校 の 教 科 書 に も 書 か れ て い る の だ が,い の 教 科 書 で は,不

くつ か

思 議 な こ と に そ の 直 後 に 「正 の 偶 数 の 集 合 は

   

{2m￨m∈Ｎ} と表 され る 」 と い う例 が 述 べ ら れ て い る の だ.高

校 の 生 徒 に,と

い う よ りは

先 生 に,こ れ は 外 延 的 定 義 な の か 内 包 的 定 義 な の か ア ン ケ ー トを取 って み た い も の だ.正  

解 は 「ど ち らで も な い 」 だ と思 うの だ が .

こ の 集 合 を外 延 的 定 義(た

   

だ し"…"つ

き の)で

書 けば

{2,4,8,10,…} と な る(つ

ま り,「ｍ が す べ て の 自然 数 を 動 い た と き の2m全

これ が 上 の 記 述 の"気 持 ち"で あ る).    

限

内 包 的 定 義 で 書 き直 す の は 以 外 と 難 し く, {n￨n=2mを

満 た す 自然 数 ｍ が 存 在 す る}

部 」 で あ り,

  が 内 包 的 定 義 で あ る.「ｍ が す べ て の 自然 数 を動 い た と き… 」 で は 「す べ て 」 だ ったｍ

が,こ

こ で は"ｍ

が 存 在 す る"と な る の だ.こ

の こ と は,「す べ て

の … 」 と 「… が 存 在 す る 」 と の 対 比 に つ い て の 感 性 が ち ゃん と 身 に つ い て くる と,か え っ て 奇 異 に感 じ ら れ る よ うに な る(奇 異 で あ っ て も正 し い の だ が).  

高 校 の 数 学 とい う も の は,素 の だ が,ま

  3.1.4 

直 に 教 科 書 の 気 分 に従 っ て つ い て い け ば よ い

と もに 考 え る とず い ぶ ん 難 し い も の だ.

集合の演 算

  い くつ か の 集 合 が 与 え ら れ た と き,そ た 集 合 と,そ

れ らの 集 合 す べ て に 共 通 の 要 素 を 集 め

れ ら の 集 合 の 少 な く と も ど れ か １つ の 要 素 と な っ て い る も の を 集

め た 集 合 を 考 え る こ と が で き る ． 前 者 を 共 通 部 分,後 え ば 集 合Ａ,Ｂ,Ｃ Ａ,Ｂ,Ｃ

の 共 通 部 分 な らA∩B∩C,和

者 を 和 集 合 と い い,た

集 合 な らA∪B∪Cと

書 く.

が そ れぞ れ

 

{ｘ￨p1(x)},{x￨p2(x)},{ｘ￨P3(ｘ)}

と定 義 され て い るな らば

 

A∩B∩C={x￨p1(x)か

つp2(x)か

 

A∪B∪C={x￨p1(x)ま

た はp2(x)ま

つp3(x)} た はp3(x)}

と な る.

 

コ メン ト

 

"か つ"を 無 造 作 に 省 略 し て カ ン マ","で 代 用 す る の は 危 な い ．"か つ"と "ま た は"に つ い て は 苦 労 し て で も敏 感 に な っ て お くべ き だ .高 校 数 学 で は, " ,"が"か つ"を 指 して い た り"ま た は"を 指 して い た り,あ ま りに も融 通が 利 きす ぎ て い る.そ れ も,デ

リケ ー トな 問 題 に 触 れ た くな い 一 心 か ら来 て い

る こ と な の だ ろ うが.  

実 際,集

合 と そ れ を 指 定 す る 条 件 に お け る"か つ"と"ま

感 覚 か らす る と,以

下 の よ うに,ち

た は"は,日

ょっ と危 な い と こ ろ が あ る の だ．

と

常の

 

英 語 で は"か

つ"は"and","ま

 

た は"は"or"と

共 通 部 分"∩"は"and",和

と な る.日

本 語 で もＡ,Ｂ

満 た す 要 素ｘ 要 素ｘ

集 合"∪"は"or"

の 共 通 部 分A∩Bは

の 集 合,和

集 合A∪Bは

の 集 合 で あ る.し

 

な る か ら,

か し,た

条 件P1(x)と

条 件p1(x)か

条 件P2(x)を

条 件P2(x)を

満 たす

とえば

{サ

ラ ダ,魚

料 理,コ

ー ヒ ー}

{ス

ー プ,肉

料 理,デ

ザ ー ト}

の Ａ セ ッ ト と,

 

の Ｂ セ ッ ト を 両 方 食 べ る こ と に し た ら,つ

 

ま り,

Ａ セ ッ トand  Bセ

を 食 べ る こ と に し た ら,そ

 

ッ ト

の 人の 食べ るの は

Ａ セ ッ ト ∪Bセ

で あ っ て 共 通 部 分"Ａ

ッ ト

セ ッ ト ∩ Ｂ セ ッ ト"で

  別 に 冗 談 を 言 っ て い る わ け で は な い.た  x≦-2, 

は な い("and"な

と え ば,不

の に"∪"?).

等式 の解

3＜x

と し て の","は"and"だ

ろ う か,そ

  解 答: x≦-2が

れ と も"or"だ

区 間(-∞,-2],つ

ろ う か?

ま り 集 合{x≦-2}を

意 味 し

て い る な ら","は

 

{x￨x≦-2}and{x￨3＜x}

に お け る"and".  し か し,"x≦-2,3＜x"がｘ

の 満 た す べ き条 件 を 意 味 し て い る な らば

 x≦-2or3＜x

で あ り,"or".つ

ま り,"and"か"or"か

は 不 等 式 の 解 とい う も の の 解 釈 次

第 で 決 ま る.   ２ 次 方 程 式 の 解"x=2,3"も,"x=2and x=3"な x =3"な

の か,は

っき りしない .

ん だ か"x=2or

  そ れ で は,集

合 に つ い て の 話 は こ れ く ら い で 切 り 上 げ て,本

題 に戻 る こ と に

し よ う.

  3.2 

  た と え ば ｍ=5と  

し てmod 

a≡0modm,    a≡3mod

剰 余 系Z/nZ

mで

考 え る と,整

a≡1modm,  m, 

の ５つ の ケ ー ス し か な い.さ

ら に,２

つ の い ず れ か と 合 同 に な る.そ 素 し か な い 世 界 を 考 え て,和

a≡4mod

数aが

何 で あ っ て も,

a≡2modm m

つ の 整 数ａ ,ｂ の 和 や 積 も ０,１,２,３,４の ５

れ な ら ば ,い

っ そ の こ と ０,１,２,３,４の ５ つ の 要

や 積 もそ こで の 演 算 と考 え る こ とが で き ない か と

い う発 想 が 生 ま れ る.   そ れ で は,そ

  3.2.1 

の ア イデ ア を 実 現 し て み よ う.

２つ の 方 針

  こ の ア イ デ ア を 実 現 す る た め に ２ つ の 方 針 が 考 え ら れ る.   ａ.方 針 そ の １   m=5と 3+4を

し て み よ う.ま ず,集

合{0,1,2,3,4}を

計 算 す る と3+4≡2mod 

導 入 し て3⊥4=2と の よ う に 定 め る.こ

定 め る.他

5と

考 え る.こ

な る の で,新

こ で,た

の 場 合 に つ い て も 同 様,1⊥3=4,2⊥3=0

う し て お い て,新

し い 演 算"⊥"を

と 同 じ 記 号 で 書 い て し ま う こ と に す る と,こ

い ま ま で の 和 の 演 算"＋"

の 世 界 で の"＋"は

 

0+0=0, 

0+1=1, 

0+2=2, 

0+3=3, 

0+4=4

 

1+0=1, 

1+1=2, 

1+2=3, 

1＋3=4, 

1+4=0

 

2+0=2, 

2+1=3, 

2+2=4, 

2+3=0, 

2+4=1

 

3+0=3, 

3+1=4, 

3+2=0, 

3+3=1, 

3+4=2

 

4+0=4, 

4+1=0, 

4+2=1, 

4+3=2, 

4+4=3

と な る.積

に つ い て も 同 様 に,ま

とえば

しい 演 算 と して 記号 ⊥ を

ず 新 し い 演 算 と し て"積

と 合 同 に な る ０,１,２,３,４の い ず れ か を 対 応 さ せ る"と

を計 算 し て そ の 結 果

い う 演 算 を 考 え て ,そ

の

演 算 を従 来 と同 じ記 号 で 表 して し ま う こ とに す れ ば

0･0=0, 

0･1=0, 

0･2=0, 

0･3=0, 

0･4=0

1･0=0, 

1･1=1, 

1･2=2, 

1･3=3, 

1･4=4

2･0=0, 

2･1=2, 

2･2=4, 

2･3=1, 

2･4=3

3･0=0, 

3･1=3, 

3･2=1, 

3･3=4, 

3･4=2

4･0=0, 

4･1=4, 

4･2=3, 

4･3=2, 

4･4=1

と な る.   こ れ ら の 結 果 を 簡 潔 に 表 に ま と め た も の を 演 算 表 と い う.

mod5で

の演算 表

積 の演 算表

和 の演算表

  そ れ で は,２

番 目 の 方 針 に 移 ろ う.

  ｂ.方 針 そ の ２   まず,整

数 の 集 合 Ｚ をmodｍ

で 分 類 す る こ と か ら 始 め る.m=5と

場 合 で 考 え よ う.   集 合 Ｚ は 次 の ５つ の 集 合 に 分 け ら れ る.

  A0=｛n￨n≡Omod5}  

=｛ …,-10,-5,0,5,10,15,…}

  A1={n￨n≡1mod5}  

=｛ …   ,-9,-4,1,6,11,16,…

  A2={n￨n≡2mod5}

 }

した

  ={…,-8,-3,2,7,12,17,…}  

A3={n￨n≡3mod5}   ={…,-7,-2,3,8,13,18,…}

 

A4={n￨n≡4mod5}

 

={…,-6,-1,4,9,14,19,…}

"分 け ら れ る"と 分 は な く,ま

い うこ との正 確 な 意 味 は

,こ

れ らの 集合 の ど の ２つ に も共 通部

た

 

Z=A0∪A1∪A2∪A3∪A4

が 成 り 立 つ と い う こ と で あ る.   こ れ ら の 集 合Aj,ｊ=0,1,2,3,4,は,い

ずれ も

  任 意 のa,b∈Ajに

対 し て  a≡bmod5

と い う 特 徴 を も っ て い る.   こ れ ら ５ つ の 集 合A0,A1,A2,As,A4の Z/5Zで

表 す.つ

Z/5Z={A0,A1，A2，A3,A4}

ま た,こ

れ ら ５ つ の 集 合A0,A1,42,A3，A4の

ら 剰 余 類 の 集 合Z/5Zを   次 に,集

合{A0,A1,A2,A3,A4}に

0≦i， ｊ ≦m-1と

そ れ ぞ れ を 剰 余 類 と い い,そ

剰 余 系 とい う． 演 算"＋"を

し て,Ai+AjはAi,Ajか

を 選 ん だ と きa+b∈Akを

満 たAkす

A3か

ら ８,A4か

次 の よ う に し て 導 入 す る.

ら そ れ ぞ れ 要 素ａ,ｂ と し て 定 義 す る.

  た と え ば,A3+A4は

 

合 を 要 素 と す る 集 合)を

ま り

 

 

集 合(集

ら14

れ

を選ぶ と

  8+14=22∈A2

だ か ら,A3+A4=Ａ2と   こ こ で,"定

な る.

義 す る(define)"と

と な っ て い な い."Ａi,Ａjか

い っ て い る が,実

素 と す る 剰 余 類 を 求 め る の だ が,そ る 可 能 性 が あ る な ら ば,定

は,こ

ら そ れ ぞ れ 要 素ａ,ｂ

れ だ け で は まだ 定 義

を 選 ん だ と き"にa+bを

の 選 び 方 に よ っ て 求 め る剰 余 類 が 違 っ て く

義 と し て 不 的 確 で あ る.そ

こ で,そ

の よ うな 可 能 性

が な く本 当 に 定 義 と な っ て い る と い う こ と を 示 す 必 要 が あ る(英 definedで

語 に は,「well

あ る こ と を 示 す 」 と い う ぴ っ た り し た 言 い 方 が あ る).こ

の よ う に 簡 単 に 示 さ れ る.い だ と し よ う.す

ま,別

の 人 がＡi,Ａjか

βmod5

って a+b≡

と な る の で,ａ+b,α+β

は 同 じ 剰 余 類 に 含 ま れ る.

α+βmod 

5

  こ う し て 剰 余 系Z/5Z={A0,Al,A2，A3，A4}上

  こ こ で も,剰

様 に,演

算"・"を

に 演 算"＋"を

余 類Ａ0,A1，A2,A3，A4を

剰 余 系{0,1,2,3,4}上

と い う こ と に な り,そ

導入 す るこ

導 入 す る こ と も で き る.

０ ,１,２,３,４と 書 い て や る こ と に す る と,要

 

下

ら そ れ ぞ れ α,β を 選 ん

 

と が で き た.同

れ は,以

る と,

 ａ ≡αmod5,b≡

が 成 り 立 ち,よ

要

記号 を流用 して それ ぞ れ 簡潔 に す るに

に 演 算"＋"と"・"を

定 義 した

れ ら の 演 算 の 演 算 表 は 「方 針 そ の １」 で 定 め た も の と 一

致 す る.   ｃ.剰 余 系   こ う し て,２ ち ろ ん,ど

通 りの 方 針 で{0,1,2,3,4}上

ち ら の 方 針 を 採 っ た か に よ っ て,こ

の 演 算 を 定 め る こ とが で き た.も の集 合 の 要素 や 演 算 の 意 味 は 違 っ

て く る の だ が,そ

れ ら の 演 算 表 は ま っ た く 同 じ だ か ら,ど

こ れ か ら の 結 果 に は 影 響 し な い.と

剰 余 系Z/5Zで

ち ら の 解 釈 を し て も,

もか く剰 余 系 と い う 言 葉 は 使 う こ と に し て ,

考 え る と,2+4=1,2・4=3

と い う言 い 方 を す る こ と に し よ う.

例13.mod

3で

の演算表は

和の演算 表

例14.Z/2Zに

 さ て,以

積の演 算表

おいて

0+0=0,0+1=1 

0.0=0,0.1=0

1+0=1,1+1=0 

10=0,11=l

上 で 剰 余 系 と い う も の を 定 義 し た の だ が,実

質的 には合同式 と同 じ

こ と で あ る. 4+5≡2

mod

7

と述 べ る か Z/7Zに と 述 べ る か の 違 い だ け で あ る.そ

お い て  4+5=2 れ な ら ば,「 わ ざ わ ざ 奇 異 な 印 象 の 計 算 を も ち

込 ま な く て も 合 同 式 で 間 に 合 う で は な い か 」 と 考 え る か も しれ な い が,「 整 数 の 集 合 は 無 限 集 合 だ が,Z/7Zな な 利 点 に な る の だ.何

ど の 剰 余 系 は 有 限 集 合 で あ る 」 とい う点 が 大 き

と い っ て も,有

限 集 合 で は す べ て の 場 合 を,原

理的 には

調 べ 尽 くす こ とが で き る の だ か ら.  こ れ か ら は,積

極 的 に 剰 余 系 を 用 い る こ と に す る .最

初 は 奇 異 に 感 じ るか も

しれ な い が,そ

の うち にZ/mZと

い う有 限 集 合 の 居 心 地 の よ さが 感 じ られ て

くる こ と と思 う.む し ろ,1+1=0と とに して,少

い っ た 奇 異 な 世界 を積 極 的 に 楽 し む こ

な くと も 「世 の 中 は 数 学 の 世 界 の よ うに いつ で も1+1=2と

る とは 限 ら ない の だ 」 な ど とは 言 わせ な い よ うに し よ う.

3.2.2  演 算 の ま と め:合 同 式 の 公 式 の 書 き 直 し   そ れ で は,演 算 に つ い て の 公 式 を剰 余 系Z/mZの

言 葉 で 書 い て お こ う.

加 法につい ての恒等式 零の性質

  任 意 のa∈

Ｚ/mZに

対 し て,

  a+0=a，0+a=a 結合法則 

任 意 のa,ｂ ，ｃ∈Z/mZに

  可換性

対 し て,

(ａ+b)+ｃ=a+(ｂ+ｃ)   任 意 のａ,b∈Z/mZに

 

対 し て,

a+b=b+a

加 法につい ての 方程式の解 の存在 任 意 のa,b∈Z/mZに  

対 し て,方

程式

a＋x=b

は 解 を も ち,し

か も そ れ は た だ １つ だ け で あ る.

乗 法 に つ い ての 恒 等 式 １の性 質   結 合法則   可換性    

  任 意 のa∈ a×

Ｚ/mZに

１=a，

対 し て,

１ ×a=a

  任 意 のa,b， ｃ∈Z/mZに

対 し て,

(ab)c=a(bc) 任 意 のa,b∈Z/mzに ab=ba

対 し て,

な

も ちろ ん,結 合 法 則 もそ の ま ま成 立 す る. 加 法 と乗 法 に つ い て の 恒 等 式 結 合法則

  任 意 のa,ｂ ，c∈Z/mZに

対 して,

 a(b+c)=ab+ac

 

コ メン ト 方 程 式a+x=bが

た だ １つ の 解 を も つ と い う こ とは,減

定 め ら れ る と い う こ と を い っ て い る わ け だ.と b=0の

の方程 式 が特 に

と きに 解 を も つ な らば,ｂ が ０以 外 の と き の 解 はb=0の

に ｂ を 加 え る こ と に よ って 得 られ る.つ 意 性 の 問 題 」 はb=0の

と きの 解

ま り,こ の 方 程 式 の 「解 の 存 在 と一

と きの 方 程 式

   

こ ろ で,こ

法"b-a"が

a+x=0 に つ い て だ け 調 べ れ ば 十 分 で あ る.方 つ と き,そ

の 解 を 加 法 に つ い て のａ

程 式a+x=0が

た だ １つ の 解 を も

の 逆 元 と い う.し た が っ て,こ

式 の 「解 の 存 在 と 一 意 性 の 問 題 」 を 「加 法 に つ い て の 逆 元 の,存

の方程

在 と一意性

の 問 題 」 と 呼 ぶ こ と に な る.

  一 般 に 何 ら か の 演 算(仮 こ の と き,そ る)が,そ

にa⊥bと

の 集 合 の 任 意 の 要 素aに

  を 満 た す な ら ば,Ｏ   し た が っ て,０ ま た 一 般 に,演

a⊥

考 え て い る と し よ う. に Ｏ で 表 す こ と にす

対 して

Ｏ=a,Ｏ

⊥a=a

を 演 算 ⊥ に つ い て の 単 位 元 と い う.

は 加 法 に つ い て の 単 位 元,１

は 乗 法 に つ い て の 単 位 元 で あ る.

算 ⊥ に つ い て の 単 位 元 Ｏ が 存 在 す る と き,   a⊥x=Ｏ

 を 満 た すｘ

表 す こ と に す る)を

の 演 算 が 定 め ら れ て い る 集 合 の あ る 要 素(仮

 か つ  x⊥a=Ｏ

が 存 在 す る な らば,そ

のｘ

加 法 に つ い て の ａ の逆 元 は   a+x=0

を 演 算 ⊥ に つ い て のaの

逆 元 と 呼 ぶ.

を満 た すｘ の こ と で あ り(a+x=x+aだ

か らx+a=0は

整 数 に 対 して の 加 法 で あ ろ う と,Z/mZで

省 い て よい),

の 加 法 で あ ろ う と,こ れ は 任 意 のa

に 対 し て存 在 す る.   積 に つ い てのaの

逆元 は

 

ax=1

を 満 た すｘ の こ とで あ る.こ れ は存 在 す る こ と も存 在 し な い こ と もあ る.

例15.Z/6Zに

お い て,積

に つ い て の ５の 逆 元 は,   5・5=1

だ か ら,５

自 身 で あ る.し

て のx∈Z/6Zに

 

か し,４

の 逆 元 は 存 在 し な い.な

すべ

つ い て調 べ て み る と

4・0=0,4・1=4,4・2=2,4・3=0,4・4=4,4・5=2

で あ り,4xが

１に な る よ う なｘ

は 存 在 し な い か ら で あ る(こ

の ケ ー ス を 調 べ 尽 くす こ とが 可 能 な こ とが,有   つ ま り,ｍ

在 と 一 意 性 の 問 題 」 は"原

元 が あ る か ど うか,あ の 要 素ｘ

だ し,"原

理 的 に は"解

の よ う に,す

べ て

強 み で あ る). お け る 「積 に つ い

決 可 能 で あ る.「aに

る と す れ ば そ れ は 何 か 」 と い う 問 題 は,Z/mZの

に つ い てaxを

さ れ る.た

限 集 合Z/mzの

が 何 で あ れ 与 え ら れ て い る な ら ば,Z/mZに

て の 逆 元 の,存

7777の

ぜ な ら,4xを

逆

すべ て

計 算 し て １に 等 し くな る か を 調 べ る こ と に よ っ て 解 決 理 的 に は"で

あ る.「m=10001の

逆 元 が 存 在 す る か 」 と い う 問 題 と も な る と,少

と きZ/mZに

おい て

な くと も手 計 算 で 全 部 試

す 気 力 は 起 こ ら な い だ ろ う.   ４ 章 と ５章 で,「 積 に つ い て の 逆 元 の,存 素 数 の 性 質 と 関 連 し て,調   そ れ で は,"加

法 に つ い て の 恒 等 式","加

に つ い て の 恒 等 式","加 こ う.た

だ し,こ

在 と 一 意 性 の 問 題 」 を 詳 し く,特

に

べ る こ とに す る． 法 に つ い て の 逆 元 の 存 在","乗

法 と 乗 法 に つ い て の 恒 等 式"を,も

こ で は,Z/mZを

Ｒ と 書 く こ と に す る.

法

う一 度 ま と め て お

Ｒ の基本性質 加

法

単位元 の存在

 任 意 のa∈Rに  

結 合法則 

対 し て,

a+0=a，0+a=a

任 意 のa,b，c∈Rに

 

(a+b)+c=a+(b+c)

逆 元の存在

  任 意 のa∈Rに

対 し て,

 a+x=0   

か つ  x+a=0

が 成 り立 つx∈Rが(aに

可換性

 任 意 のa,b∈Rに

 

乗

対 し て,

応 じ て)存

在 す る.

対 し て,

a+b=b+a

法

単位元 の存在

  任 意 のa∈Rに

対 し て,

 a・1=a,1・a=a 結 合 法 則  a,b，c∈Rに  

対 し て, (ab)c=a(bc)

可 換 性 

任 意 のa,b∈Rに

対 し て,

  ab=ba

加法 と乗 法 分 配法 則 

任 意 のａ,ｂ,c∈Rに

 

a(b+c)=ab+ac

  こ こで はZ/mZをＲ ば,上

の"Ｒ

て い るが)整

対 し て,

で 表 した が,整 数 の 集 合 Ｚ を Ｒ で 表 し て い る と思 え

の性 質"は そ の ま ま,以 前 に ま と め た(順 番 と表 現 は 少 し 変 わ っ 数 の 加 法,乗

法 の 性 質 とな る.

  3.2.3 

現代数 学

  以上,整 数 とZ/mZは

意 味 とし ては ま った く異 な る もの で は あ るが,演 算 の

満 た す性 質 とい う観 点 か ら は きわ め て 似 て い る こ とが わ か っ た.整

数,Z/mZ

以 外 に も,そ れ を Ｒ と すれ ば,上 の 基本 性 質 を 満 た す もの は い ろ い ろ あ る.こ の 本 で は 扱 わ な い こ と に し て い るが,有

理 数 や 実 数,複

そ れ 以 外 に も,ま だ まだ た く さん あ る.そ Z/3Z,Z/4Zと

 

素 数 な ど もそ うだ し,

もそ も,Z/mZと

無 限 の 種 類 が あ る わ け だ.そ れ な らば,い

い っ て も,Z/2Z, っ そ の こ と,

集 合 Ｒ に ２つ の 演 算 が 定 め られ て い る と す る.以 下 そ れ ら を,そ れ ぞ れ,加

法"a＋b",乗

法"a・b"と

呼 ぶ こ とに す る.こ の と き,こ れ

らの 演 算 に つ い て

 

 

こ こ に"Ｒ の 基本 性 質"を 書 く

が 成 り立 つ.

と い う設 定 で 話 を 始 め,こ れ らの 性 質 だ け を 使 って 理 論 を 展 開 す れ ば,そ

れは

Ｒ が 何 で あ って も共 通 に 成 立 す る 理 論 とな るは ず で あ る.つ ま り,整 数 の 場 合, Z/mZの

場 合 とい ちい ち個 別 に 理 論 を展 開 しな くて も,１ 回で 済 ん で 効 率 的 で

あ る.も

ち ろ ん,整

数 な ら整 数 独 特 の,Z/7Zな

らZ/7Z独

特 の他 には ない

個 々の 特 徴 が あ る の だが,そ れ らは,上 の"基 本 性 質"以 外 の 個 々の 対 象 独 自の 性 質か ら導 か れ て い る とい うこ とに な る.こ の よ うに,一 般 的 に成 立 す る こ と と,個 別 の 特 徴 を分 け て 把 握 で き る とい うこ と も利 点 と な る.   そ の よ う な わ け で,現 代 的 ス タ イ ル の 数 学 の本 で は,ま ず 「あ る 集 合 Ｒ に … … 」 とい う抽 象 的 ス タ イル で 記 述 され る こ と に な る .そ の 場 合,集 合 Ｒ の 要 素 が 何 で あ るか と い う"意 味"は,ま

っ た く問題 に しな い.た だ,い

くつ か の

性 質 を述 べ て,そ れ を 前提 に 理 論 を展 開す る わ け だ."意 味"を 問題 に し な いの だ か ら,「なぜ そ れ ら の前 提 が 成 り立 つ の か?」 と問 うの は 無 意 味 で あ る.た だ, 「前 提 にす る と この よ うな理 論 が 展 開で き る」 と い うだ け の こ とだ.し たが って, 最初 に 前 提 とす る性 質 を 公 理 と呼 ぶ.し か し,"公 理"と い って も,そ れ は 「詮

索 せ ず に認 め る」 とい うだ け の こ と で,「疑 う余 地 もな く正 しい と認 め られ る 」 と い う意味 は な い こ とに 注 意 して ほ し い.そ

もそ も"意 味"が な い の だ か ら,正

し い か ど うか 問 うこ と 自体 無 意 味 な ので あ る.   それ で は,「抽 象 的 に公 理 か ら 出発 す る理 論 で は,意 味 を考 え て は い け な い の か?」 とい う と,そ ん な こ とは な い.「フ ォーマ ル に は ない 」 とい うだ け の こ とで, 抽 象 的 理 論 に は抽 象 化 され る前 の 個 別 の 対 象 が あ る は ず で,そ れ らの 対 象 の 意 味 か ら,抽 象 的理 論 の 意 味 が 形 づ く られ る こ と に な る.た だ し,形 づ くる とい うの は,数 学 を勉 強 す る人 の 頭 の 中 に,そ

っ と感 じ取 る もの で あ っ て,フ

ォー

マ ル に 決 め られ る もの で は な い.   ど うや ら 「い か に生 き生 き と し た"意 味"を 感 じ取 れ る よ うに な る か 」が 数 学 を勉 強 して 楽 し い か ど うか の 差 に な る よ うだ.楽 い.そ

し くな い こ と は 長 続 き し な

うな る と,数 学 者 の 能 力 と し て最 も大 切 な もの は,い わ ゆ る 「頭 が 切 れ

る 」 とい う能 力 で は な く,無 味 乾 燥 に 見 え る 抽 象 理 論 の な か に,い か に豊 か な 意 味 を 感 じ取 るか ， とい うこ とな の か も しれ な い.   現 代 的 ス タ イル の 数 学 の 本 で は,公 理 を 述 べ て それ か ら理 論 を展 開 す る の だ が,"意

味"を 感 じ取 らせ る た め に 公 理 の 直 後 に い ろい ろ な具 体 的例 を述 べ た り,

そ の公 理 に た ど り着 い た 歴 史 的 展 開 を語 っ た り と,い ろ い ろ と"サ ー ビ ス"を 試 み る.そ れ で も,分 野 に よ っ て は,意 味 を感 じ取 れ る よ う な例 は,か 論 を展 開 して か らで な い と提 示 で き な い とか,歴

な り理

史 を 述べ る と本 題 よ り難 し く

な る とか,な か なか う ま くい か な い こ と もあ る.無 味 乾 燥 な抽 象 的 理 論 展 開 に, ひ たす ら辛 抱 し てつ い て い くと い う努 力 も必 要 で あ る.   もっ と も,"サ ー ビ ス"を あ え て 行 わ ず,淡

々 と理 論 を展 開 す る とい うス タ イ

ル を好 む著 者 もい る.そ の根 拠 は,「 自分 で 意 味 を 感 じ取 る こ とが 数 学 の 一 番 の 楽 し さ な の に,著 者 が 読 者 に 意味 を押 しつ け る の は,自 由 を奪 う余 計 な お 世 話 」 な の だ そ うだ.こ れ も一 理 あ る 見 解 だ と思 う.   さて,こ の 本 で は,一 応 は 公 理 的 展 開が で き る と こ ろ まで は 話 を も って きた の だが,公 理 的 手 法 で 話 を展 開 す る ス タ イル は 採 らな い こ とに す る.そ れ は,他 の 本 に まか せ て,こ し よ う.

こで は,個

別 の 対 象 の 面 白 さ を十 分 に 堪 能 し て お くこ とに

 ４  フ エル マ ー の 小 定 理

  この 章 で は,フ

ェ ル マ ー の小 定 理 と い う呼 ば れ る定 理 を導 く.フ ェル マ ー の

小 定 理 は 素 数 を法 と した 剰 余 系 が 整 域 で あ る とい う こ と を 用 い て 証 明 され る .   まず,整

域 に つ い て,も

う少 し詳 し く調 べ る こ とか ら始 め る.次

に写像の概

念 を 導 入 し,特 に 有 限 集 合 上 の 写 像 の性 質 を確 認 す る.こ れ らの 準 備 を 済 ま し て お くと後 は,ほ

ん の ち ょっ と した ア イデ ア だ け で フ ェル マ ー の 小 定 理 が 導 か

れ る.   この 章 の 主 役 は"素 数"で あ る.フ ェ ル マ ー の小 定 理 は 素 数 を法 と して い るか ら こそ,成

り立 つ 定 理 で あ り,ま た,そ れ は 素 数 の 貴 重 な特 徴 づ け に も な っ て

い る.

 4.1 

  １章 で,整 ・整域性

整

域

数 の性 質 と し て   ab=0な

らば ,a=0, 

b=0の

い ず れ か は 成 り立 つ.

とい う性 質 を 述 べ た.   こ の性 質 は,Z/mZで

例16.Z/6Zに

は 必ず し も成 り立 た な い.

お い て,

  2・3=0だ

が,2≠0か

つ3≠0

  つ ま り,Z/6Zは

  4.1.1 

ｍ

  一 般 に,ｍ

 

整 域 で は な い.

が素数の場合 が 素 数 で は な くm=m1m2と

m1m2≡0modm 

だ が,  m1≠0mod 

つ ま り,Z/mZに

m1m2=0 

だ が,  m1≠0か

と な り,Z/mZは

整 域 で は な い.

  一 方,ｍ

ｐ の と き は, Z/pZは

が 素数

  こ の こ と は,１

整 域 と な る.

素 数 ｐ が 整 数 の 積abを

 

p￨a，p￨bの ぜ な ら,こ

●素 数 の 性 質  

割 り切 る な らば,

い ず れ か は 成 り立 つ.

の 性 質 を合 同 式 で 書 き直 す と

ｐ を 素 数 と す る.こ

 

の と き,ab≡0modｐ

a≡0modp,b≡0modpの

れ をZ/pZの

●素 数 の 性 質

つm2≠0

章に述べ た

●素 数 の性 質  

と な り,こ

ｍ か つm2≠0modm

おいて

 

か ら わ か る.な

積 の形 に 書 か れ る と

な ら ば,

い ず れ か は 成 り 立 つ.

言葉で 言い換 える と

  ｐ を 素 数 と す る.こ   ab=0な

の と き,Z/pZに

ら ば,a=0,b=0の

おいて

い ず れ か は 成 り 立 つ.

と な る か ら で あ る.

  4.1.2 

整 域 と逆 元

  そ れ で は,例

と し てZ/7Zを

と っ て,０ 以 外 の 要 素{1,2,3,4,5,6}に

対 して

積 の 演 算 表 を 作 っ て み よ う.   整 域 で あ る と い う こ と は,こ る.た

し か に,０

の 演 算 表 の 結 果 に ０が 現 れ な い と い う こ と で あ

は 出 て き て い な い の で,整

域 で あ る と い う こ とが 確 認 さ れ る.

  しか し,そ

れ 以 上 の こ とが わ か る.こ  

の 演 算 表 を 見 る と,

1・1=1, 

2・4=1, 

3・5=1

  4・2=1, 

5・3=1, 

6・6=1

と な っ て い る の で,１,２,３,４,５,６ は そ れ ぞ れ,積

につ い て の 逆 元

１,４,５,２,３,６

を も つ こ と が わ か る.   こ れ か ら,積 元(が

に つ い て の 逆 元 を 単 に,逆

存 在 す る と き は,そ

れ)をa-1で

  こ れ ら の 言 葉 を 使 う と,次

例17.Z/7Zに

元 と い う こ と に す る.ま

の逆

表 す こ と に す る.

の よ う に な る.

おい て

 

1-1=1, 

2-1=4, 

3-1=5

 

4-1=2, 

5-1=3, 

6-1=6

  他 の 素 数 の 場 合 で も,た

と え ばp=5やp=11の

場 合 で も,Z/pZに

て ０ 以 外 の 要 素 は 逆 元 を も つ.

例18.Z/5Zに

おい て

 

1・1=1, 

2・3=1, 

3・2=1 

4・4=1

1-1=1, 

2-1=3, 

3-1=2 

4-1=4

だか ら  

た,ａ

おい

例19.Z/11Zに

   

お いて

1・1=1, 

2・6=1, 

3・4=1 

4・3=1, 

5・9=1

6・2=1, 

7・8=1, 

8・7=1 

9・5=1, 

10・10=1

1-1=1, 

2-1=6, 

3-1=4 

4-1=3, 

5-1=9

  6-1=2, 

7-1=8, 

8-1=7 

9-1=5, 

10-1=10

だか ら

 

  上 の 例 で,た

 

と え ば10・10=1は

(整 数 の 世 界 で)10・10=100=11・9+1だ で あ り,よ

っ て,Z/11Zで

か ら10・10≡1mod11

は10・10=1と

な る

と い う こ と で あ る.   こ の よ う に 調 べ て み る と,素

  逆元の存在

数 ｐ に 対 し てZ/pZは

  任 意 のa∈Z/pZ,た

整 域 に な る だ け で な く,

だ しa≠0,に

対 し て,aの

逆元が

存在 す る

が 成 り立 っ て い る の で は,と

い う気 が し て く る.実

あ る 」 と い う こ と と 密 接 に 関 連 し て い て,素

際,逆

元 の 存 在 は,「 整 域 で

数 ｐ に 対 し て のZ/pZで

の逆元

の 存 在 を 証 明 す る こ と が で き る.   こ れ が,こ

の 章 の 最 初 の テ ー マ な の だ が,証

明 に 取 りか か る 前 に,「 写 像 」 に

つ い て 少 し 説 明 を し て お き た い.

 

4.2 

  写 像 と 関 数 は 同 じ で あ る.た 葉 な の で,そ

だ,関

の 意 味 を 歴 史 的 に,微

で 関 数 と い う言 葉 を 使 う と き,想

写

像

数 と い う言 葉 は 古 く か ら 使 わ れ て き た 言 妙 に 変 え て き て い る.そ

定 読 者 レ ベ ル,分

野,著

の た め,数

学 の本

者 の 好 み 等 で,そ

の

使 い 方 に 多 少 の ゆ ら ぎ が 見 ら れ る.そ

れ に 対 し て,写

現 代 的 意 味 に 解 釈 し た と き の 関 数 の み を 指 す の で,ほ

像 と い う 言 葉 は,関

数 を

ぼ 確 定 した 意 味 で 使 わ れ

て い る.   つ ま り,数 の だ が,関

学 屋 の 立 場 か ら す る と,写

融 通 の 利 い た 使 い 方 を し て よ い,と   こ の 本 で は,写

  4.2.1 

い っ た と こ ろ だ ろ う か.

像 に つ い て の み 述 べ る.

写像 と は

  ２つ の 集 合Ａ,Ｂ

が 与 え ら れ て い る と し よ う.集

集 合 Ｂ の 要 素 を １ つ だ け(ａ き,そ

像 と 関 数 は フ ォー マ ル に は 同 じ言 葉 な

数 と い う 言 葉 を 使 っ た と き は フ ォ ー マ ル な 使 い 方 か ら 多 少 は ず れ て,

の 規 則 を,Ａ

に 応 じ て)対

合Ａ

の 各 要 素ａ

に対 して

応 させ る 規 則 が 定 め られ て い る と

か ら Ｂ へ の 写 像 と い い,た

と え ば そ の 写 像 をｆ

と い う文

字 を使 って 表 して  f:A→B と 書 く.ま

た,a∈Aに

:A→Bの

対 応 す る Ｂ の 要 素 をf(a)で

合Ａ

を 写 像f

定 義 域 と い う.

例20.A={1,2,3,4},B={1,3,5}と

 

表 す.集

す る.こ

の とき

f(1)=5,f(2)=5,f(3)=1,f(4)=5

と 定 め る と,fはＡ

か ら Ｂ への 関数であ る．

  あ っ さ り説 明 し た が,い   ●"対 応 さ せ る 規 則"は 式 で 表 さ れ る か,そ

ろ い ろ と 注 意 す べ き 点 が あ る. 何 ら か の 意 味 が あ る と か,規

則 性 が あ る と か,ま

う い っ た こ と は 一 切 要 求 し な い.と

に か く,対

た,

応が 定

め ら れ て い れ ば よ い.   ●写 像 を 定 義 す る た め に は,ま

ず 最 初 に 「ど こ か ら ど こ へ の 写 像 か 」 と い う

こ と を 定 め な け れ ば な ら な い.し

た が っ て,高

校 で の 関 数 の 扱 い の よ う に,

「こ の 関 数 の 定 義 域 を 定 め よ 」 と い う設 問 は ナ ン セ ン ス と な る.む 義 域 を 定 め て か ら 写 像 を 定 義 す る 」 と い う こ と に な る.

し ろ 「定

  ●定 義 域Ａ

の ど の 要 素 に も,Ｂ

の な か に は,そ い.上

の 要 素 が１ つ 対 応 す る.し

れ に 対 応 す るＡ

の 例 で は3∈Bが

か し,Ｂ

の 要素

の 要 素 が１ つ も な い も の が 存 在 し て も よ

そ う で あ っ て,f(a)=3と

な る よ う なa∈Aは

１つ も な い.   特 に,写

像f:A→Bが,

 

任 意 のb∈Bに

 

f(a)=bを

 

対 して 満 た すa∈4が１

と い う 性 質 を 満 た す と き,ｆ

  ●a∈Aに

対 し て 定 ま るＢ

な か に は,f(a)=bと

つ は存在す る

は 全 射 で あ る と い う.

の 要 素 は１ つ だ け で あ る.し

か し,Ｂ

の要素 の

な る Ａ の 要 素 が 複 数 あ る も の が 存 在 し て も よ い.

上 の 例 で は5∈Bが

そ う で あ っ て,１,２,4∈Aの

い ず れ も5∈Bに

対応

す る.  

特 に,写

像f:A→Bが

 

任 意 のb∈Bに

 

f(a)=bを

 

対 し て, 満 た すa∈Aが

と い う性 質 を 満 た す と き,ｆ

  ●全 射 で あ っ て,か

つ,単

  こ こ までf:A→Bの い な い.値 れ にｆ

域 は，ｆ

は 単 射 で あ る と い う.

射 で も あ る 写 像 を 全 単 射 と い う. 定 義 域 は 話 に で て き た が,"値

が 全 射 で な い 限 りＢ

域"は

全 体 で は な く,Ｂ

まだ 登 場 して

の 要 素 の うち で そ

で 写 さ れ る Ａ の 要 素 が あ る よ うな も の だ け を 集 め て で き る 集 合 で あ る.f

:A→Bの

例21.A={0,1,2}, 

値 域 をf(A)で

と し て 定 め る． つ ま り,f(a)=a2と

 f(A)={0,1,4}

表 す.値

域 はＢ

B={0,1,2,3,4,5}と

 f(0)=0, 

で あ る.

存 在 し て も１ つ だ け で あ る

の 部 分 集 合 で あ る.

し て,写

f(1)=1, f(2)=4 定 め る.こ

の と き,

像f:A→Bを

  一 般 に,Ｂ

の 要 素 ｂがf(Ａ)に  f(a)=ｂ

入 るか ど うか は,

と な るa∈Aが

存 在 す る か?

とい う条 件 で 判 定 され る の だ か ら,  

f(A)={b∈B￨f(a)=bと

な るa∈Aが

存 在 す る}

と な る.

 

コ メン ト

 

偶 数の集 合 を  {2m￨m∈Z}

 

と 書 く"ノ リ"で 行 くな らば,値

   

域f(A)は

f(A)={f(a)￨a∈A} と 書 く こ と が で き る.つ

ま り,"ａ がＡ

の 集 合"{f(0),f(1),f(2)}と

い う気 持 ち の 表 現 で あ る.こ

か りや す い の か も し れ な い.し して お か な い と,後 らば,ど

の 要 素 全 部 を 動 く と きのf(a)全

か し,正

部

の方が むし ろわ

式 な"内 包 的 定 義"で 書 け る よ うに

々苦 労 す る こ と に な る.こ の 本 の 内 容 だ け に 限 定 す る な

ち ら の 表 現 で も,と に か く値 域 とい う も の が 把 握 で き さ え す れ ば 大

丈 夫 だ が.

  4.2.2    集 合Ａ

有限集合 が 有 限 集 合 で あ る と き,そ

  ま ず 最 初 に,有 #(B)が

限 集 合Ａ

の 要 素 の 個 数 を#(A)で

が 有 限 集 合 Ｂ の 部 分 集 合 で あ り,か

成 り 立 っ て い る な ら ば,A=Bで

  そ れ で は,有

限 集 合Ａ

般 にｆ

   

が 何 で あ っ て も, #(f(A))≦#(A)

が 成 り立 つ.

つ,#(A)=

あ る こ と に 注 意 し て お こ う.

か ら 有 限 集 合 Ｂ へ の 写 像f:A→Bに

べ て み よ う.   ● ま ず,一

表 す.

つ い て調

 

●ｆ が 単 射 で あ る と す る.す 要 素 に 写 る"と

る と,"相

異 な る ２つ の 要 素 が ｆ に よ り １つ の

い う こ と は な い の だ か ら,ｆ

数 は 減 ら な い.よ

で 写 す こ と に よ って 要 素 の 個

って

 #(f(A))=#(A)    

が 成 り立 つ. ●単 射 で な い な ら ば,ｆ

で 写 す こ と に よ り個 数 は 減 る の だ か ら

   

#(f(A))＜#(A) ●以 上 の こ と よ り,

 

１)ｆ が 単 射 な ら ば#(f(A))=#(A)

   

２)#(f(A))=#(A)な

ら ばｆ

は単射

が 成 り立 つ.

  さ て,f:A→Bを

考 え る と き,集

は な い.A=Bの

ケ ー ス,つ

を 考 え て も よ い.特

合 Ａ と集 合 Ｂ が 別 の 集 合 で あ る 必 要

ま り,集 合Ａ

に 面 白 い の は,Ａ

か ら そ れ 自 身 へ の 写 像f:A→A

が 有 限 集 合 で あ る と き の 写 像f:A→A

で あ る.

定 理 １.有

限 集 合Ａ

か ら そ れ 自 身 へ の 写 像f:A→Aに

  １)ｆ が 単 射 な ら ば,ｆ

は 全 射 で あ る.

  ２)ｆ が 全 射 な ら ば,ｆ

は 単 射 で あ る.

ついて

[証 明] １)の 証 明.ｆ

 

は 単 射 で あ る と す る と,#(f(A))=#(A)が

f(A)はA(=B)の

部 分 集 合 で あ り,か

と な っ て い る の で,f(A)=A(=B)が ２)の 証 明.ｆ

つ,#(f(A))=#(A)

成 り立 つ .す

は 全 射 で あ る と す る と,f(A)=A(=B)が

て,#(f(A))=#(A)で

あ る の で,ｆ

成 り立 つ .

は単射であ る.

な わ ち,ｆ

は 全 射 で あ る.

成 り立 つ .し

たが っ

  こ の 定 理 に よ り,有 て は,単

限 集 合Ａ

か ら 自 分 自 身 へ の 写 像f:A→Aに

射 か 全 射 の ど ち ら か が い え れ ば,全

つい

単 射 で あ る こ と も い え る こ とが わ

か っ た.   そ れ で は,こ

の 定 理 を 使 っ て 整 域 で の 逆 元 の 存 在 を 証 明 を す る こ と に し よ う.

し か し,そ

の 前 に,も

例22.有

限 集 合Z/5Zか

うひ とつ だ け例 を ．

らZ/5Zへ

 

f:Z/5Z→Z/5Z

を,x∈Z/5Zに

対 し て3xを

3x∈Z/5Zで

 

 

対 応 さ せ る 写 像 と し て 定 め る.つ

ま り,f(x)=

あ り,

f(0)=0, 

こ の 写 像ｆ

 

の写像

f(1)=3, 

f(2)=1, f(3)=4, 

f(4)=2

は 全 単 射 で あ る.

コ メン ト い ま まで,「写 像f：A→B，Ａ ｘを 使 っ て のf(x)"と

の 要 素ａ に対 し てf(a)」

い う表 記 を避 け て きた.ど

と極 力"文 字

う も,"f(x)"の"ｘ"に

は

い ろ い ろ と"シ キ 夕 リ"が あ って オ ド ロ オ ド ロ し くて い け な い．f(x)の

意味

ひ とつ を と っ て も,「関 数(写 像)f(x)」 ｆの 値f(x)」 数ｆ"と

の 意 味 だ っ た り,紛 ら わ しい． そ も そ も,伝 統 的 用 語 で は"関

い う表 現 が な い の で,後

f(x)」

の 意 味 だ っ た り「ｘ に 対 し て の 関 数

者 の 文 章 は 「ｘに 対 し て の 関 数f(x)の

値

と,わ け の わ か ら な い 言 い 方 に な っ て し ま う.

 そ こで,最

初 は"ｘ"を

避 け て きた の だが,そ

ろ そ ろ 使 うこ と に し よ う．後

で 文 字 が 複 数個 入 っ た 式 が で て くる と,や は り独 特 の ニ ュ ア ン ス を もっ た 文 字"ｘ"を

使 っ た 方 が わ か りや す い の だ.

  4.2.3 

剰 余 系Z/pZ

  ま ず,ち

ょっ と し た 細 工 を し て お こ う.

定 義 １.ｐ

を 素 数 と す る と き,Z/pZ={0,1,2,…

取 り除 い た 集 合{1,2,3,…

  Z/pZは (Z/pZ)*の

，p-1}を(Z/pZ)*で

整 域 だ か ら,(Z/pZ)*の 要 素 に な る.こ

 

す る と,次

般 に,積

表 す.

２つ の 要 素 の 積 は ０で は な く,し

と か 和 とい う特 定 の 演 算 に 限 ら ず"閉

な らば  a⊥b∈

と い う 性 質 を も つ と き,Ｓ

定義

の部分集合 Ｓが

ｓ

は 演 算 ⊥ に つ い て 閉 じ て い る と い う.

コ メン ト こ の あ た りか ら,も 始 め るが,ど

の も の し く"定 理"と

か"定 義"と 宣 言 す る 書 き方 を

の 場 合 に は この よ う な 書 き方 を し て,ど

げ な く述 べ るか に つ い て は,気  

じ て い る"を

の よ う に な る.

 ａ,b∈S 

 

たが っ て

積 に つ い て 閉 じて い る

定 義 ２. 集 合 Ｒ の 上 に 演 算 ⊥ が 定 め ら れ い る と す る.Ｒ

 

ら要 素 ０だ け を

の こ と を,

(Z/pZ)*は

と 表 現 す る.一

，p-1}か

い ま まで も,"定

の場合 には 文 中で さ り

分 に よ っ て 決 ま る.

義"と 宣 言 す る べ き重 要 な定 義 もあ っ た の だ が,"定

義"

と 宣 言 して 書 くに は あ ま りに も イ ン フ ォー マ ル な 言 い 回 し を し て い た の で, 文 中 で さ りげ な く片 づ け て お い た.

  コ メン ト   (Z/pZ)*は

積 に つ い て は 閉 じ て い る が,和

て,「一 方Z/pZは か も し れ な い.し

和 に つ い て も積 に つ い て も閉 じ て い る 」 と い い た くな る か し,こ れ は 正 し い こ と は 正 し い の だ が,何

れ な い 主 張 で あ る.a＋b∈Z/pZ,  そ も そ もZ/pZで

に つ い て は 閉 じ て い な い.さ

ab∈Z/pZが

の 情 報 も得 ら

成 り立 た な い こ と に は,

和 や 積 が 定 め ら れ と い る こ と に な ら な い の だ か ら,話 の

順 序 が む し ろ逆 な の だ.(現 代 数 学 の ス タ イル で は,「 自然 数{1,2,3,…}の

  集 合 Ｎ に 引 き算 とい う演 算"−"が

定 め ら れ て い る 」 とは い わ な い.「演 算

が 定 め られ て い る 」 とい う と き に は,演

算 の結果が 必ず その 集合の 中に 定め

られ て い る必 要 が あ る.)

 ａ を(Z/pZ)*の

要 素 と す る.写

 

像

fa:(Z/pZ)*→(Z/pZ)*

をx∈(Z/pZ)*に

対 し てfa(x)=axと

  こ こ で,fa(x)が(Z/pZ)*の

し て 定 め る.

要 素 に な っ て い て くれ な い と(Z/pZ)*へ

像 と い う こ と に な ら な い の だ が,そ

れ は"(Z/pZ)*が

の写

積 に つ い て 閉 じ て い る"

と い う こ と か ら 保 証 さ れ て い る.   こ れ だ け 準 備 し て お く と,"(Z/pZ)*に

お け る 逆 元 の 存 在"を

一 気に示す こ

とが で き る.

補題

１.ｐ

を 素 数 と す る と き,任

意 のa∈(Z/pZ)*に

対 して

  fa：(Z/pZ)*→(Z/pZ)* は 単 射 で あ る.

[証 明] x1,x2∈(Z/pZ)*に

対 し て,fa(x1)=fa(x2)が

こ の と き,   ax1=ax2 だ か ら,Z/pZに

お い て,

 

ax1-axe=0, 

が 成 り立 つ.Z/pZは

 x1-x2=0,  と な る.

整 域 で,か

よ っ て   a(x1-x2)=0 つ,a≠0だ

か ら

よ っ て  x1=x2

成 り立 つ と す る.

  以 上 の こ と よ り,x1,x2が

相 異 な る な ら ば,  fa(x1)=fa(x2)と

あ り え な い と い う こ と が わ か り,よ

定 理 ２.ｐ

を 素 数 と す る と き,任

っ てfaは

な る こ とは

単 射 で あ る.

意 のa∈(Z/pZ)*に

対 して

  fa:(Z/pZ)*→(Z/pZ)*

は 全 単 射 で あ る.

[証 明] 

補 題 に よ りfaは

れ 自 身 へ の 写 像 だ か ら,こ

系

単 射 で あ り,ま

た, faは

有 限 集 合(Z/pZ)*か

の 章 の 定 理 １に よ り,faは

ｐ を 素 数,a∈(Z/pz)*と

す る.こ

 

らそ

全 単 射 で あ る.

の と き,

ax=1

を 満 た すx∈(Z/pZ)*が (Z/pZ)*の

要 素 は(Z/pZ)*に

[証 明]  りfaは

た だ １つ 存 在 す る.す

A=B=(Z/pZ)*と

な わ ち,ｐ

を 素 数 と す る と き,

お い て 逆 元 を も つ.

お く と,fa:A→Bで

あ り,上

の定理 に よ

全 単 射 で あ る.

  1∈Bだ

か らfaが

在 す る.こ

の よ う なx∈Aが

と か ら わ か る.よ

 

コ メン ト

 

定 理,補

全 射 で あ る こ と に よ り,fa（x)=1を

っ て,ax=1を

題,系

満 た すx∈Aが

１つ し か 存 在 し な い こ と は,faが 満 た すx∈(Z/pZ)*が

の 違 い は … … 特 に な い.た

りあ え ず 必 要 に な る 結 果 を補 題,定

だ,定

単 射であ るこ

た だ １つ 存 在 す る.

理 を証明 す るため に と

理 か ら す ぐ 導 か れ る結 果 を 系 と い う"気

分"で あ る.形 式 的 な 違 い と し て は,系

は 通 し 番 号 を 打 た ず 「定 理 … の 系 」

と い う 言 い 方 で 引 用 す る と い う違 いが あ る が,そ

存

れ だ け の こ と で あ る.

 a∈(Z/pZ)*の 号a-1を

逆 元(そ

れ は １つ だ け で あ る)をa-1と

書 くこ と に す る.記

用 い て 逆 元 で あ る こ と を 書 く と,

 

aa-1=1, 

a-1a=1

と な る.   (Z/pZ)*の

要 素 が 必 ず 逆 元 を も つ と い う の は,大

こ の こ と は,Z/pZで

は"＋","・","−"だ

い う こ と を 意 味 し て い る(も な わ ち,a,b∈Z/pZ,た

ち ろ ん"÷"は

はZ/pZに

自由 に 使 え る と

０ 以 外 の 要 素 で の 割 り算 だ が).す

だ しa≠0,と

 

変 す ば ら し い 結 果 で あ る.

け で な く,"÷"も

す る と き,方

程式

ax=b

お い て 必 ず た だ １つ の 解 を も つ(x=a-1bと

す れ ば よ い).

  そ れ で は も う 一 度 具 体 例 を 見 て お こ う.

例23.p=7と

す る.

  f2:(Z/7Z)*→(Z/7Z)*は

  fa(1)=2,  と な る.ま

  f3(1)=3, 

f2(2)=4, 

f2(3)=6, 

fa(4)=1, 

f2(5)=3, 

fa(6)=5

f3(4)=5, 

f3(5)=1, 

f3(6)=4

たf3:(Z/7Z)*→(Z/7Z)*は

f3(2)=6, 

f3(3)=2, 

と な る.   ど ち ら の 場 合 も,faは

 fa(1),  は(Z/pZ)*の

全単射 で

fa(2), 

fa(3) 

fa(4), fa(5), fa(6)

要 素 １,２,３,４,５,６を 並 べ 替 え た だ け の も の に な っ て い る(こ

れ

が 全 単 射 と い う こ と の 意 味 で あ る).   他 のaに

つ い て のf1,f4,f5,f6を

演 算 表 を 書 い て み れ ば よ い.

調 べ て み る た め に は,(Z/pZ)*の(積

の)

  演 算 表 の,た

と え ば ３番 目 の 横 の 並 び が

  f3(1)=3,f3(2)=6,f3(3)=2,f3(4)=5,f3(5)=1,f3(6)=4 を 与 え て い る わ け だ.

(Z/7Z)*の

faの

演算表

  こ の 表 か ら,faがf1,f2, 

f3, f4, f5, f6の

fa(2), fa(3) 

表

どれであ って も

 

fa(1), 

fa(4), fa(5), fa(6)

は(Z/pZ)*の

要 素 １,２,３,４,５,６を 並 べ 替 え た だ け の も の に な っ て い る こ と,

ま た,  

fa(1), 

fa(2),  fa(3) fa(4), 

の う ち の １つ だ け が １で あ る こ とが わ か るが,こ あ る","ａ

は 逆 元 を も つ"と

 

き,"素

れ は,す

で に"faが

全単射で

フ ェル マ ー の 小 定理

ェ ル マ ー の 小 定 理 を 導 く こ と に し よ う.こ

数 ｐ を 法 と し て のZ/pZ"を

  4.3.1 

fa(6)

い う形 で 証 明 し て あ る.

4.3 

  そ れ で は,フ

fa(5), 

用 い る.

フ ェル マ ーの 小 定理

  最 初 に フ ェ ル マ ー の 小 定 理 を 提 示 し て お こ う.

の 節 も前 節 に引 き続

定 理 ３(フ エ ル マ ー の 小 定 理)ｐ

は 素 数,ａ

は ｐ の 倍 数 で は な い 整 数 と す る.

この と き  

ap-1≡1modp

が 成 り立 つ.

  こ の 定 理 は,ま

た,Z/pZの

言 葉 で 表 現 し て,

フ エル マ ー の 小 定 理 ｐ は 素 数,a∈(Z/pZ)*と

す る と

  ap-1=1

が 成 り 立 つ.

  と す る こ と も で き る.   そ れ で は,ｐ

は 素 数 と し,a∈(Z/pZ)*と

  前 節 で,(Z/pZ)*に

お い てfaが

 fa(1), 

全 単 射 で あ る と い う性 質,つ

fa(2), fa(3), 

が(Z/pZ)*の 得 た.こ

し て こ の 定 理 を 導 こ う.

要 素{1,2,3,…

こ で,ち

得 ら れ る.す

，p-1}の

まり

…   , fa(p-1) 並 べ 替 え に す ぎ な い,と

ょっ と し た ア イ デ ア が あ れ ば,す

い う性 質 を

ぐにフエルマ ーの小定 理が

なわ ち

 

fa(1),fa(2),…

 

だ か ら,積

，fa(p-1)は

１,２,… ，p-1の

並べ 替えにすぎないの

を と っ て し ま えば 等 し くな り

 fa(1)・fa(2)……fa(p-1)=1・2・…(p-1)

  あ と は,普   ま ず,1・2…

通 に 計 算 し て み る だ け の こ と で あ る. ・(p-1)=Kと

つ い て 閉 じ て い る か ら ,と

お く.Z/pZは い っ て も よ い),Ｋ

整 域 だ か ら((Z/pZ)*は

積 に

は ０で は な い ． こ こ で 上 の 等 式

の 左 辺 を,fa(x)=axを

使 っ て 計 算 す る と,

  fa(1)・fa(2)・

・…  fa(p-1)=(a・1)・(a・2)・

・…(a・(p-1))

 

=a・a・・…a・(1・2・・…(p-1))

 

=ap-1K

  し た が っ て,

 

ap-1K=K，

  よ っ て   (ap-1-1)K=0

が 得 ら れ る ． こ こ で,Z/pZは

整 域 で あ っ て,か

 

か ら

ap-1=1

と な る.こ

 

つ, K≠0だ

う し て,フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 が 得 られ た.

コ メン ト

 

フ ェ ル マ ー の"小"定  普 通,単

理 と い う言 葉 は,気

に フ ェ ル マ ー の 定 理 と い う と,300年

 n〓3に

対 し て は,an+bn=cnを

に な る か も しれ な い. 来 の大 難問 として名 高い

満 た す 整 数 はabc=0と

なる

  もの 以 外 に は 存 在 し な い.  

と い う定 理 を 指 す.

   

この 定 理 は,1991年 た が っ て,本

に イギ リス の 数 学 者 ワ イル ズ に よ って 証 明 され た.し

当 は ワ イル ズ の 定 理 と 呼 ぶ べ き な の だ が,長

マ ー の 定 理 と呼 ば れ て い る.フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 は,こ

年 の習慣で フェル の"大 定 理"に 敬 意

を 表 し て"小 定 理"と 呼 ば れ て い る わ け だ.

  4.3.2 

フェルマーの小定理の応用

  そ れ で は,フ

例24. 

12226を

ェ ル マ ー の 小 定 理 の パ ワ ー を 堪 能 す る こ と に し よ う.

素 数113で

割 っ た 余 り を 求 め よ.

[解] 

p=113と

お く と,ｐ

は 素 数 だ か ら フェ ル マ ー の小 定 理 に よ り

 

12p-1≡1modp

ま た,226をp-1=112で

割 っ た 商 と余 りを 求め る と

  226=(p-1)×2+2 だ か ら,

 

12226=(12p-1)2・122≡12・144

 ≡31mod113 よ つ て,12226を113で

割 っ た 余 りは31で

  こ れ と 同 じ よ う に 計 算 す れ ば,一

 

anを

を 求 め る こ と が で き る の で,計

般に

素 数 ｐ で 割 った 余 り 算 法 を ま と め て お こ う.

  ●a≡0modpの

と き は, an≡0modpで

  ●a≠0modpの

と き は,ｎ

 

arを

をp-1で

が 成 り立 つ.ｎ

ず,フ

ェル マ ー の小 定 理 に よ り

ap-1≡1modp をp-1で

割 っ た 商 を Ｋ と す る と,ｎ

い て,  n=(p-1)K+r

 

りは ０

割 っ た 余 り を ｒ と し て,

ケ ー ス を 確 認 し て お こ う.ま

 

 

あ り,余

ｐ で 割 っ た 余 り を 求 め れ ば よ い.

 a≠0modpの

と 表 さ れ,し

あ る.

た が っ て

an=(ap-1)k・ar ≡1K・ar=armodp

は商 Ｋ

と余 り ｒ を用

と な る.よ

っ て,anを

ｐ で 割 っ た 余 り を 求 め る た め に は,ｎ

た 余 り を ｒ と し て,arを   紛 ら わ し い の は,ｒ

をp-1で

割 っ

求 め れ ば よ い. はp-1で

割 っ た 余 り(ｐ

で 割 っ た 余 り で は な く)だ

と

い う と こ ろ だ ろ う か.   さ て,こ

う 書 い て も,"anを

割 っ た 余 り"を しれ な い.し

求 め る こ と に な る だ け で,あ

か し,ｎ

な 違 い に な る.つ る の が,う

ｐ で 割 っ た 余 り"を 求 め る 代 わ り に"arを

ｐで

ま り有 り難 み が 感 じ られ ない か も

が ｐ に 比 べ て 極 端 に 大 き い と き に は,anとarで

ま り,「ｎ が ど ん な に 大 き く て も,ｒ

は大 変

は 高 々p-2以

下 」 とな

れ しい の だ ．

  コ メン ト  

と こ ろ で,２ 章 の 最 後 で も,合

同式 を使 っ て この タ イプ の 計 算 を した.そ

こ で の 合 同式 計 算 の"御 利 益"はａ と と,aL≡1modpを

を ｐ で 割 っ た 余 りで 置 き換 え られ る こ

満 た す Ｌ が 見 つ か れ ば,ｎ

を Ｌ で 割 っ た 余 りで ｎ

を 置 き換 え ら れ る こ とで あ っ た.フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 の"御 利 益"は,見

か れ ば,と

い つ で も Ｌ の 役 目 を 果 たす と い う こ と

仮 定 し な くて もp-1が

つ

を 保 証 し て い る こ と で あ る.

  そ れ で は,か

例題

な り大 き な 数 の 絡 ん だ 計 算 を し て み よ う.

７.p=101,a=1010000011,n=172737475767778797と

す る と き,

anを ｐ で 割 っ た 余 り を 求 め よ.

[解]

 

a=101×10000000+11≡11 

だ か ら,   1197を101で

割 った余 り

mod  p, n≡97 

modp-1

を計 算 すれ ば よい

… …

と い っ て も,こ

ち ょっ と し た 工 夫 を す れ ば,大

れ で も 一 見 大 変 な 計 算 に 見 え る の だ が,

し た 計 算 を し な く て も 求 め る こ と が で き る(電

卓 を 使 え ば だ が).   ま ず,112,114,118,1116,…

をmod 

101で

 

112 

= 

11・11 

= 

 

114 

= 

112・112 

≡   20・20 

= 

 

118 

= 

114・114 

≡   97・97 

= 

 

1116 

= 

118・118 

≡   16・16 

= 

1132 

= 

1116・1116 

≡   54・54 

= 

1164 

= 

1132・1132 

≡   88・88 

= 

   

  さ て,97=64+32+1と

121 

計 算 し て お く.

≡ 

20mod 

101

≡   97mod 

101

≡   16mod 

101

≡  54mod 

101

2916 

≡   88mod 

101

7744 

≡   68mod 

101

400  9409  256 

書 け る の で

 

1197  =  1164・1132・11

 ≡68・88・11

こ こ で,  

68・88=5984≡25mod 

 

68・88・11≡25・11=275≡73mod 

よ つ て,求

   

め る 余 り は73で

101

あ る ．

コ メン ト 97・97とか88・88は

 

97・97≡(-4)・(-4)=16mod 

 

88・88≡(-13)・(-13)=169≡68mod 

 

と 計 算 し た 方 が 簡 単.

 

コ メン ト

 

101

つ い で だ か ら,巻 101で

101 101

末 に 付 録 と し てan=1010000011172737475767778797を

割 っ た 商 と 余 りを 書 い て お い た … …

な ん て こ と は で き っ こ な い.商

の 数 値 を書 こ う と した ら,100ペ ろ か,10冊,100冊

ー ジ の 本 全 部 を使 っ て も書 き切 れ な い ど こ

で も 済 まず,国

会 図 書 館 の ス ペ ー ス す べ て を使 っ て も収

納 し き れ な い く らい の 冊 数 と な る は ず だ.

コ メン ト   商 を 求 め る の は 結 果 を書 き切 れ な い か ら や め に し て,今 度 は 「コ ン ピ ュ ー タ を 使 っ て よ い か ら,余

りだ け 求 め よ 」 と 要 求 され た と し よ う.コ ン ピ ュ ー

タで 力 ま か せ に計 算 で き るの だ か ら,フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 な ど 使 わ な くて も

よ い の で は な い だ ろ うか.素

101で

朴 にmod 

 a2,a3,a4… と計 算 を して い っ て,anを   これ はmod 

101で

求 め る と い うの は ？

計 算 して い る の だ か ら,途

中 の 計 算 で もた い し て 大 き

な 数 値 は 出 て こ な い.し か し,今 度 は 計 算 回 数 が あ ま りに も多 す ぎ て,コ ピ ュ ー タ を 使 っ て も １ 日か そ こ ら で 終 わ る 計 算 で は な い.さ

ら に,ｎ

ン

が50

桁 に で も な っ た ら,現 在 最 速 の コ ン ピ ュ ー タ を 使 っ た と こ ろで 宇 宙 の 終 わ り まで に 結 果 を 得 る こ と は 不 可 能 で あ る.

コ メン ト   よ っ て,フ

ェ ル マ ーの 小 定 理 は 大 変 役 に 立 つ 定 理 で あ る,と

る こ とが で きれ ば よ い の だ が,残   実 は,上 ば,ｎ

の 解 答 で 使 っ た"ち

が100桁

に 関 して は,フ

で も1000桁

して話 を終わ

念 な が らそ うは い か な い. ょっ と し た 工 夫"を 使 っ て プ ロ グ ラ ム を 組 め

で も計 算 す る こ とが で き る.こ の タ イプ の 問 題

ェ ル マ ー の 小 定 理 は 便 利 で は あ る が,絶

対 不 可 欠 とい うわ け

で は な い の だ.   フ ェ ル マ ー の小 定 理 の 本 当の 値 打 ち は,"役 数 の 性 質 に つ い て の 洞 察 を 与 え る とい っ た,理

に 立 つ"と い うこ と よ りは,素 論 的 側 面 に あ る の だ.

５  オ イ ラ ー の 定 理

  フ ェ ル マ ー の 小 定 理 は,残

念 な が ら 法 が 素 数 の 場 合 に し か 成 り立 た な い.フ

ェ

ル マ ー の 小 定 理 の よ う な 美 し い 定 理 を 見 る と 「法 が 素 数 で な い 場 合 で も,な

ん

と か 類 似 の 定 理 が 成 り立 つ よ う に で き な い だ ろ うか?」 と い う 気 持 ち に な る.こ の 章 の テ ー マ 「オ イ ラ ー の 定 理 」 は,フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 を,素

数を法 とす る

場 合 か ら 一 般 の 場 合 に 拡 張 し た も の と な っ て い る.   フ ェ ル マ ー の 小 定 理 で は"素 は"互

い に 素"で

  a.公

キ ー ワ ー ド で あ っ た が,今

度のキ ーワー ド

あ る.

 

  5.1.1 

数"が

5.1 

"互 い に 素"と(Z/mZ)*

公約数

約数

  ２つ の 整 数ａ,ｂ の 公 約 数 と は,ａ

の 約 数 で あ っ て,か

つ,ｂ

の 約 数 で もあ る

よ う な 整 数 の こ と で あ る.

例25.12と30の

  約 数 と 同 様,公

公 約 数 は,１,２,３,６,お

よ び-1,-2,-3,-6

約 数 も プ ラ ス ・マ イ ナ ス が ペ ア で 出 て く る の で,正

に 限 っ て 調 べ れ ば 十 分 で あ る.ま 約 数 に な っ て い る.

た,１

の公約数

は ど の よ う な ２つ の 整 数 に 対 し て も 公

  ｂ.互 い に 素   ２つ の 正 整 数ａ,ｂ が １以 外 に 正 の 公 約 数 を も た な い と き,ａ,ｂ

は互いに素 で

あ る と い う.   次 の 補 題 の 内 容 は,す き り さ せ る た め に,こ   な お,今

で に 説 明 し 何 回 か 使 っ て き た こ と な の だ が,要

点 をはっ

こ で 補 題 と し て ま と め て お い た.

後 こ の 章 で は,特

に 断 ら な い 限 り ｍ は 正 整 数(た

だ しm＞1)を

表 す も の と す る.

補 題 ２.   １)ｐ

は 素 数 と す る ． 正 整 数ａ,ｂ a≡0modp,も

  ２)ｍ

がab≡0modpを

し くはb≡0modpの

が 素 数 で な い な ら ば,ｍ

  最 初 の 性 質 は,Z/pZが

満 た す な ら ば,

ど ち ら か は 成 り 立 つ.

を 割 り切 る 素 数 が 存 在 す る.

整 域 で あ る と い う こ と の 言 い 換 え で,ま

た,２

番 目

の 性 質 は １章 で 証 明 し て お い た.   こ の 補 題 か ら,次

の 定 理 が 証 明 さ れ る.

定 理 ４. 正 整 数ａ,ｂ が と も に ｍ

と 互 い に 素 な ら ば, abも

ｍ

と互 い に 素 で

あ る.

[証 明]  を も つ.ｄ の で,そ

abと

ｍ が 互 い に 素 で な い と 仮 定 す る と,abと

が 素 数 で な い と き は,上 の 素 数 を ｐ と お き,ｄ

と ｍ の 公 約 数 に な る.ｐ

の 補 題 に よ り ｄ を 割 り切 る 素 数 が 存 在 す る

が 素 数 の と き は ｄ 自 身 を ｐ と お く と,ｐ

はabの

約 数 だ か らab≡0modpを

補題 に よ り  

a≡0modp, 

の ど ち ら か は 成 立 す る.し

ｍ は 公 約d(＞1)

b≡0modp

か し,

 

前 者 の 場 合 は,ｐ

はａ

と ｍ の公約 数

 

後 者 の 場 合 は,ｐ

は ｂと ｍ の公約数

はab

満 た し,上

の

と な る の で,ａ,ｂ

と もに ｍ

と 互 い に 素 と い う仮 定 に 反 す る.よ

っ て, abと

ｍ

は 互 い に 素 で あ る.

  5.1.2 

(Z/mZ)*

  定 理 ４ は,ｍ

と互 い に 素 な 数 の 集 合が 積 に つ い て 閉 じ て い る とい うこ と を

表 し て い る.   次 に,こ

れ を 剰 余 系Z/mZの

要素の うち ｍ

中 で 考 え て, Z/mZ={1,2,3,…

と 互 い に 素 な も の だ け を 集 め た 集 合 を(Z/mZ)*で

，m-1}の 表 す こ とに

す る.

例26.m=6と

す る.１,２,３,４,５ の 中 か ら ６ と 公 約 数 を も つ も の を 消 す と

１,２，３,４,５ と な る の で,  

例27,m=12と

(Z/6Z)*={1,5}

す る.１,２,３,４,５,６,７,８,９,10,11の

中 か ら12と

公 約数 を

もつ もの を消 す と  

１

，２,３,４,５,７,８,９,10,11

と な る の で,  

(Z/12Z)*={1,5,7,11}

  (Z/6Z)*と(Z/12Z)*の,積

に つ い て の 演 算 表 を 書 い て み る と次 に よ うに

な る.

(Z/6Z)*の

演算表

(Z/12Z)*の

演算表

  "(Z/mZ)*は

積 に つ い て 閉 じ て い る"と

中 に は(Z/mZ)*以   さ て,こ

の 演 算 表 を 見 て み る と,ど

況 が 似 て い る.た

い う こ と を 反 映 し て,こ

の演算表 の

外 の 要 素 は 現 れ て い な い. こ と な く素 数 ｐ に 対 し て の(Z/pZ)*と

と え ば,(Z/12Z)*で

は,横

１,５,７,11の 並 べ 替 え に な っ て い る … …

の 列 は や は り,(Z/12Z)*の

と い う こ と は,再

状 要素

び ,a∈(Z/mZ)*

に対 して  

fa:(Z/mZ)*→(Z/mZ)*, 

と 定 め て や れ ば(積 (Z/mZ)*へ

fa(x)=ax

に つ い て 閉 じ て い る の だ か らfa(x)∈(Z/mZ)*で

の 写 像 と し て 定 め ら れ る),フ

ね を し て い く こ とが で き そ うで あ る.(そ

あ り,

ェ ル マ ー の小 定 理 を導 い た 議 論 の ま も そ も(Z/mZ)*と,素

数 の場合 と同

じ 記 号 を 使 っ て い る こ とか ら し て ミ エ ミエ な の で は?)   し か し,m=6,m=12だ

け で は,ま

ぐ れ か も し れ な い の で,も

うひ とつ だ

け 確 か め て お こ う.

例28. 

m=15と

す る.１,２,３,４,５,６,７,８,９,10,11,12,13,14の

中 か ら15と

公 約 数 を もつ もの を消 す と

  １,２,３,４,５,６.７,８,９,10,11,12,13,14 と な る の で,   と な る.ま

(Z/15Z)*={1,2,4,7,8,11,13,14}

た,(Z/15Z)*の,積

の よ う に な る.

に つ い て の 写 像faの

表 を 書 い て み る と ,次

  5.1.3 

証 明 の ス トー リー

  こ れ ら の"実 験"の

結 果 か ら 見 る と,faは

  こ う な る と,(Z/pZ)*の

ま た も や 全 単 射 と な っ て い る よ うだ.

ケ ー ス を まね て,次

の よ うな ス トー リー を組 み 立 て

た く な る.   １)ま ず,a∈(Z/mZ)*に   ２)faは

対 し てfaが

単 射 で あ る こ と を 示 す.

有 限 集 合 か ら 自 分 自 身 へ の 単 射 な の で,４

章 の 定 理 １ に よ りfaは

全 単 射 に な る．   ３)(Z/mZ)*の て お き,さ

要 素 の 個 数 をｌ と し て,(Z/mZ)*={a1,a2,… ら に,(Z/mZ)*の

に す る.faは

全 単 射 だ か ら,fa(a1),fa(a2),…

の 並 べ 替 え に す ぎ ず,よ

 

 fa(a1)・fa(a2)・

っ て,alK=Kで

  ６)こ の 等 式 か らal-1=0が

 

・fa(al）=K

か ら

…･fa(al）=(aa1)(aa2)…(aal)=alk

あ り,K(al-1)=0 導 か れ る な ら ば,

al=1

Ｋ と お くこ と

，fa(al)はa1,a2,…,al

って

fa(a1)・fa(a2)…・

  ４)一 方,fa(x)=axだ

  ５)よ

要 素 全 部 の 積a1a2…alを

，al}と 表 し

  が 得 ら れ た こ と に な る(も  al=1,す

ち ろ ん,Z/mZに

な わ ちal≡1modｍ

し て い て,な の だ.や

と い う結 果 は フ ェ ル マ ー の 小 定 理 と類 似

か な か 感 じ が よ い.な

り残 し の 仕 事 は,１)と

  そ こ で,ま

お い て).

ん と か,こ

の ス トー リー を 現 実 化 し た い も

６)だ け で あ る.

ず,a∈(Z/mZ)*に

対 し てfaが

単 射 で あ る こ と を示 す こ とを 試

み て み よ う.  fa(x1)=fa(x2)を

満 た す よ う な(Z/ｍZ)*の

定 す る と,ax1=ax2と

要 素x1,x2が

存 在 す る と仮

なるので

  a(x1-x2)=0 ここで … …   Z/mZに

し か し,問

題 は こ こ か ら ど う 進 む が だ.

お い てa(x1-x2)=0で

あ る と き は,つ

で あ る と き は,x1-x2≡0modmが

ま りa(x1-x2)≡0modm

得 られ る と い う こ と を 示 さ な け れ ば,先

に 進 め な い.   し か し,ｍ

が 素 数 で な い と き に は,

 a〓0modm, 

b〓0modm, 

が 同 時 に 成 り 立 つ 可 能 性 を 以 前 に 見 た(た ス).た

だ,今

回 はa〓0modmと

と 互 い に 素 で あ る"が

ab≡0modm と え ば,m=6,a=2,b=3の

い うだ け で な く,も っ と 強 い 条 件"ａ

与 え られ て い る の で,こ

れ を 活 か せ な い か,と

に な る.   まず は,  a∈(Z/mZ)*，b≠0に を 調 べ る た め,m=15と

ケー

対 し てab=0と し て"実

験"を

な る 可 能 性 が あ る か? し て み よ う.

は ｍ

い うこ と

(Z/15Z)*の

 こ の"実

験"の

て い な い.そ

要 素 とZ/15Zの0で

結 果 を 眺 め る と,こ

れ で は,こ

定 理5.正

ない要 素の積

の ケ ー ス で はabが0に

れ を 定 理 の 形 に し て 証 明 を 与 え る こ と に し よ う.

整 数aはmと

互 い に 素 で あ る と す る.こ

ab≡

0 mod

が 成 り立 つ.Z/mZの

mな

らば

言 葉 で 表 現 す る な らば,

の 定 理 は2以

満 た す な ら ば,b=0

上 の す べ て の 整 数mに

を2,3,4,…

と １つ ず つ 固 定 し て,定

ば,m=6に

対 して は

aは6と

のと き ，

b ≡ 0 modm

a∈(Z/mZ)*，b∈Z/mZがab=0を

[証 明]こ

な る こ とは 起 こ っ

互 い に 素 で,か つ,ab

つ い て の 主 張 だ が,ま

ず,m

理 の 主 張 が 成 り立 つ か を 考 え る.た

≡ 0 mod

6で あ る な らば,b

≡0

mod

とえ

6

が 成 り立 つ

と い う主 張(こ  さ て,こ

れ をQ6で

表 す こ と に す る)の

真 偽 を 検 証 す る.

の 定 理 が 成 り立 た な い と 仮 定 し て み よ う 。 す る と,Qmが

よ う なmが の と き,Qm0は

存 在 す る こ と に な る が,そ 偽 だか ら

の う ち の 最 小 の も の をm0と

偽 となる す る.こ

  ａ)ａ はm0と

互 い に 素,

  ｂ)ab≡0modm0,   ｃ)b≠0modm0 が 同 時 に 成 り立 つ よ う なａ,ｂ n0,2≦n0＜m0,の   １)m0は

存 在 を,以

素 数 で は な い.素

" Z/pZは   ２)m0は

が 存 在 す る.こ

整 域"と

の と き,Qn0が

下 の １),２),３)の

偽 と な る よ うな

ス テ ップ で 示 す.

数 ｐ に 対 し てQpが

真 で あ る こ と は,す

で に

い う 形 で 確 認 し て あ る か ら.

素 数 で は な い の で,補

題 ２ に よ り,m0の

約 数 とな る素 数 ｐ が 存

在 す る.  

ａ)m0を,m0=n0pと

 

ｂ)ま た,

 ⅰ)ａ

表 し て お く．

は ｍ0と

互 い に 素 だ か ら,a〓0modp

 ⅱ)ab≡0modm0だ

か ら, ab≡0modp

 

と な っ て い る の で,ｐ

 

b=b0pと

が 素 数 で あ る こ と か らb≡0modpで

あ り,

表 す こ と が で き る.

  ３)こ の と き  

ａ)ａ はmo(=nop)と

 

ｂ)ab≡0mod 

互 い に 素 だ か ら,ａ m0だ

 a(b0p)=(n0p)Kと

はn0と

も 互 い に 素 で あ る.

か らab=moKと な る.よ

表 さ れ,し

っ て, ab0=n0Kで

たが って

あ り,

 

ab0≡0mod 

 

ｃ)仮 にb0≡0mod  で き,し

n0と

た が っ て(b=)b0p=nopL(=moL)と

れ はb=m0L,す

な わ ちb≡0mod 

のb〓0modm0と こ れ はQn0が  こ う し て,Qn0が m0=nopで な る.し

な る.し m0を

い う 仮 定 に 反 す る.よ

偽 で あ る よ う なn0が

か し,こ

書 くこ とが か し,こ

意味 し て い るの で 最 初 っ て, b0〓0modn0

偽 で あ る こ と を 意 味 し て い る.

あ り,ま

た, m0は

れ はm0が

盾 が 生 じ た の は,Qmが よ っ てQmが

な っ た と す る と, b0=n0Lと

n0

存 在 す る こ と が 示 さ れ た.そ

し て,

素 数 で な い と う こ と か ら,2≦n0＜m0と

最 小 と い う こ と に 矛 盾 し て し ま う.こ

の よ うな 矛

偽 に な る よ う な ｍ が 存 在 す る と 仮 定 し た た め で あ り,

偽 に な る よ う な ｍ は 存 在 し な い.こ

う して 定 理 が 証 明 され た ．

  コ メン ト   何 だ か え ら く持 っ て 回 っ た 証 明 に な っ て し ま っ た が,そ の 一 意 性 」 を 使 わ な い で 証 明 し た か っ た か らで あ る.素

れ は 「素 因数 分 解 因 数 分 解 を知 っ て い

る 人 な ら,上 の 定 理 は 特 に"証 明"が 与 え られ な くて も,じ っ と考 え れ ば 「当 然 正 し い 」 と見 抜 く と思 う.  

しか し,１ 章 に も 述 べ た よ う に,「 素 因 数 分 解 の 一 意 性 」 を き ち ん と 証 明 す る 道 は 避 け た か っ た し,ま た,こ

の よ うな デ リ ケ ー トな 問 題(実

「当 然 正 しい 」 と思 っ て い る ほ ど"当 然"で は な い の だ)を の も避 け た 方 が よ さ そ うな の で,結

は本 人が

い いかげ んに扱 う

局 「素 因 数 分 解 の 一 意 性 」 は 回避 して 進

む こ と に し た.

 

5.2 

  こ こ ま で で,オ

逆 元 の 存在 と オ イラ ー の 定 理

イ ラ ー の 定 理 に 向 け て の,や

っか い な 部 分 は す べ て片 づ い て

に 引 っ か か る と こ ろ も な く,あ

らか じめ 想 定 し た ス トー リー 通

い る.後

は,特

り に,話

を 進 め る こ と が で き る.

  5.2.1 

逆元 の存在

  そ れ で は ま ず,"faが

全 単 射 で あ る"と

補 題 ３.a∈(Z/mZ)*と

い う と こ ろ ま で 進 も う.

す る と き, fa:(Z/mZ)*→(Z/mZ)*は

全単射

で あ る.

[証 明] fa(x1)=fa(x2)が る と 仮 定 す る.こ α ∈(Z/mZ)*だ

成 り立 つ よ う なx1,x2∈(Z/mZ)*が

の と き,ax1=ax2だ か ら,定

ら,定

な る が,

理 ５に より

 x1-x2=0,  よ つ て，faは

か ら, a(a1-x2)=0と

存 在す

し た が っ てx1=x2 単 射 で あ る.さ

理 １ に よ り,全

ら に,faは

単 射 で あ る.

有 限 集 合 か ら そ れ 自 身へ の 単 射 だ か

  フ ェ ル マ ー の 小 定 理 の と き と 同 じ く,こ

定 理 ６.任

意 のa∈(Z/mZ)*は

[証 明] faは

の 段 階 で 逆 元 の 存 在 が わ か る.

た だ １つ の 逆 元 を も つ.

全 射 で あ り1∈(Z/mZ)*だ

x∈(Z/mZ)*が

存 在 す る.す

な わ ち,逆

か らfa(x)=1を 元 を も つ.ま

た, faは

満 たす 単 射 だ か ら逆

元 は １つ し か な い.

  5.2.2 

オ イ ラ ー の 定 理 と その 証 明

  そ れ で は,オ

定理

イ ラ ー の 定 理 を 提 示 し て 証 明 を 片 づ け て し ま お う.

７(オ イ ラ ー の 定 理)  ｍ は ２以 上 の 正 整 数,lは(Z/mZ)*の

数 と す る.こ

の と き,任

意 のa∈(Z/mZ)*に

要素 の個

対 して

  al=1

が 成 り立 つ.す

な わ ち,ｍ

と 互 い に 素 な 任 意 の 整 数ａ

 

に対 して

al≡1modm

が 成 り 立 つ.

[証 明] 

ｍ は ２ 以 上 の 正 整 数 と す る.

  (Z/mZ)*={a1,a2,…,al}と の 積a1a2…alを

Ｋ

  こ こ で,(Z/mZ)*は (Z/mZ)*の

表 し て お き,さ

積 に つ い て 閉 じ て い る の で,そ

要 素 と な る こ と,つ

 a∈(Z/mZ)*と a1,a2,…,alの

 fa(a1)・fa(a2)・

ら に,(Z/mZ)*の

要素全部

と お く こ と に す る.

す る と, faは

ま り, K∈(Z/mZ)*で

の要 素の積

Ｋ

あ る こ と に 注 意.

全 単 射 だ か ら, fa(a1),fa(a2),…,fa(al)は

並 べ 替 え に す ぎ ず,よ

って

…

・fa(al)=K

自身 も

一 方

,fa(x)=axだ

 

か ら

fa(a1)･fa(a2).....fa(al)=(aa1)(aa2)...(aal)=alK

よ っ て,alK=Kで

あ り, K(al‐1)=0こ

こ で,  K∈(Z/mZ)*だ

か ら再

び 定 理 ５ に よ り,  

al-1=0, 

と な り,定

理 は 証 明 され た.

  5.2.3 

オ イ ラ ー のψ

よ っ て   al=1

関数

  オ イ ラ ー の 定 理 の 証 明 で,(Z/mZ)*の の 積 そ の も の は,議

ま え ば 消 え て し ま う.一 て く る.そ

要 素 す べ て の 積 を 使 っ た.し

論 の 途 中 で 必 要 に な る だ け で,定 方,"(Z/mZ)*の

こ で,(Z/mZ)*の

か し,こ

理 の 形 まで もって い っ て し

要 素 の 個 数"は

要 素 の 個 数 に 対 し て は,き

定 理 の 中 に まで 入 っ ち ん と した 記 号 を用

意 し て お く こ と に し よ う.

定 義 ３.集

合(Z/mZ)*の

  ｍ に ψ(m)を

要 素 の 個 数 をψ(m)で

表 す.

対 応 さ せ る 写 像 を オ イ ラ ー の ψ 関 数 と 呼 ぶ.

  コ メン ト   写 像 を 定 義 す る とい い な が ら,「ど こ か ら ど こ へ の 写 像 か 」 を 明 示 しな か っ た ． こ れ で は 写 像 の 定 義 に は な っ て い な い.正 (={1,2,3,…})か  

(ψ(m)は

確 に 定 義 す る な ら,ψ

は Ｎ

ら Ｎ へ の 写 像 で, １,２,３,…,ｍ の う ちで ｍ と互 い に 素 で あ る も の の 個 数

  とな る.「1,2,3,…

，ｍ の う ちで ｍ と互 い に 素 」 とい って も,「1,2,3,…

，m-

１の う ち で ｍ と 互 い に 素 」 と い っ て も,い ず れ に せ よ ｍ は ｍ と互 い に 素 で は な く カ ウ ン ト され な い わ け だ か ら 関係 な い が ， 実 はm=1の

……

といい た い ところだ

と き だ け 違 いが 生 じ て,正 確 な 定 義 に 基 づ け ば ψ(1)=1

とい う こ と に な る(１ は １ と互 い に 素!).こ こ の 本 に 関 す る 限 り,ψ(1)は

う決 め る に は 理 由 が あ るの だ が,

出 て こ な い の で,気

に し な い 方 が よ い.

例29.例26,例27で

見 た よ う に,

 

(Z/6Z)*={1,5}, 

(Z/12Z)*={1,5,7,11}

だ か ら,ψ(6)=2,ψ(12)=4.   ま た,31は

素 数 だ か ら,１,２,３,…,30は

ψ(31)=30.一

  5.2.4 

般 に,ｐ

す べ て31と

互 い に 素 で あ り,

が 素 数 な らば ψ(p)=p-1.

オ イラーの定理

  せ っ か く記 号 を 用 意 し た の だ か ら,オ 換 え て お こ う.数

イラ ー の 定 理 も こ の 記 号 を使 って 書 き

学 的 推 論 を す る た め に は,合

き り し て い る が,"整

数 の 世 界 か ら 離 れ な い"と

と い う 奇 妙 な 世 界 に 入 ら な い と い う 点 で は),合 ろ 次 の 章 で の 応 用 も 視 野 に 入 れ て,合 に 定 理 と し て 記 述 す る が,内

同 式 よ り もZ/mZの い う点 で は(つ

方が す っ ま り2+3=1

同 式 の 方 が よ さ そ うだ.そ

同 式 で 表 現 し て お こ う.後

ろそ

の引用 のため

容 は 定 理 ７ の 言 い 換 え に す ぎ な い.

定 理 ８(オ

イ ラ ー の 定 理)  ｍ は ２以 上 の 正 整 数,ａ

と す る.こ

の と き,

は ｍ と互 い に素 な 正 整 数

 aψ(m)≡1modm   そ れ で は,例

例30.ｍ   ま た,ａ

を い くつ か 見 て お こ う.

が 素 数 ｐ の と き,例29で

見 た よ う に,ψ(p)=p-1.

が 素 数 ｐ と 互 い に 素 と い う こ と は,ａ

が ｐ の 倍 数 で な い とい うこ と

と 同 じ だ か ら,オ

イラ ー の 定 理 は

 ａ

が ｐ の 倍 数 で な い な ら ば,ａp-1≡1modp

と な り,フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 に 還 元 さ れ る.つ

ま り,フ

ェルマ ーの小定 理は オ

イ ラ ー の 定 理 の 特 別 な 場 合 と な る.

例31.m=12と あ り,ψ(12)=4.こ

す る と,例29で こ で,a=1,5,7,11の

見 た よ う に,(Z/12Z)*={1,5,7,11}で そ れ ぞ れ に つ い てa4をm=12

で 割 っ た 商 と 余 り を,電

と な り,確

卓 を 用 い て 計 算 して み る と

 

14 

= 

1  =12・0 

 

54 

= 

625 

 

74 

= 

2401 

 

114  = 

14641 

+1

=12・52 

+1

=12・200 

+1

=12・1220 

+1

か に ｍ で 割 っ た 余 り は １で あ る.

  オ イ ラ ー の 定 理 で は"ｍ

と 互 い に 素 な 整 数a"と,aに

  つ い で だ か ら,m=12の 4,6,8,9,10の

ケ ー ス で,aが

制 限 を つ け て い る.

ｍ と 互 い に 素 で な く な るa=2,3,

場 合 す べ て を 計 算 し て お く.

例32．  

24  = 

64  =  12・5 

+4, 

24 

≡4mod 

12

 

34  = 

81  =  12.6 

+9, 

34 

-9mod 

12

 

44  = 

256 

=  12・21 

+4, 

44 

≡4mod 

12

 

64  = 

1296 

=  12.108 

+0, 

64 

≡0mod12

 

84  = 

4096 

=  12・341 

+4, 

84 

≡4mod 

 

94  = 

6561 

=  12・546 

+9, 

94 

 

104  = 

10000 

=  12.833 

+4, 

104  ≡4mod 

≡9mod 

12 12 12

 ａ に つ い て の 条 件 を 外 す と 定 理 の 結 論 は ま っ た く成 り 立 た な く な る こ と が わ か る.   さ て,６

章 で 述 べ る よ う に,RSA公

れ る の だ が,そ   そ こ で,m=pqの

開 鍵 暗 号 方 式 で は オ イラ ー の 定 理 が 使 わ

こ で の ｍ は 非 常 に 大 き な ２つ の 素 数 ｐ,ｑ の 積 に な っ て い る. 場 合 に つ い て,オ

例 題 ８. ２ つ の 素 数p=5，q=7の

イ ラ ー の ψ 関 数 を 求 め て お こ う.

積 をm=pq=35と

す る と き,ψ(35)を

求 め よ.

[解]   ま ず,ψ(35)を

求 め る た め に,１,２,３,…

，35の な か で35と

互 い に素 で な い も

の を消 して 行 く(最 後 が34で

な く35と

な っ て い るが,ど

か ら同 じ).素 朴 に実 行 して も よ い の だ が,少

うせ こ れ は 消 す の だ

し工 夫 す る.

 ５の 倍数 は

１,２,３,４,５,６,７,８,９,10……

と ５個 に １個 ず つ 消 さ れ る の で,７

，31,32,33,34,35

個 消 さ れ る.

 ７の 倍 数 は

１,２,３,４,６,７,８,９,11,12,13,14……,29,30,31,32,33,34,35

と ７個 に １個 ず つ 消 さ れ る の で,５

個 消 さ れ る.

  両 方 で 消 さ れ る 個 数 はp+4=5+7=12だ る の で,消

が,35は

重 複 して 消 され て い

さ れ る 個 数 はp+4-1=11.

  し た が っ て,残

っ た 個 数 はn-(p+q-1)=24で

  こ の 例 の 議 論 を 検 討 し て み る と,p=5,q=7の (相 異 な る)素 と が わ か る.こ

数 ｐ,ｑ の 積 で あ れ ば,数 れ は 後 で 使 う の だ が,定

あ り,ψ(35)=24. □

場 合 に 限 ら ず,ｍ

が ２つ の

値 を 変 え るだ け で そ の ま ま通 用 す る こ 理 と す る の も 大 げ さ な の で,例

とい う

形 で ま と め て お く.

例33(２

つ の 素 数 の 積 の 場 合)ｍ

が ２ つ の 相 異 な る 素 数 ｐ,ｑ の 積 な らば,

  ψ(m)=pq-p-q+1

  さ て,せ a24を35で

っ か く ψ(35)=24を 求 め た の だ か ら,数 割 っ た 商 と余 りを求 め て み た .た だ し,大

を と る の で,aと

 

きな 数 に な っ て ス ペ ー ス

し て す べ て を 検 討 す る の は あ き ら め て,a=11の

妥 協 し て お く.

 

式 処 理 ソ フ ト を 用 い て,

1124=9849732675807611094711841 =35×281420933594503174134624+1

場合だけで

  し か し,数

式 処 理 ソ フ ト と い う の は 使 い 心 地 が よ い だ け に,ど

し た くな っ て い け な い … …

例34.

あ とひ とつ だ け ！

ｍ は ２ つ の 素 数 ７ と17の

積119と

  こ の と き ψ(m)=m-p-q+1=96で   a=4に

対 し て,aψ(m)を

う も悪 の り を

す る. あ る.

ｍ で 割 っ た 商 と 余 り を 求 め る と,

496=6277101735386680763835789423207666416102355444464034512896  

=119×52748754078879670284334364900904759799179457516504491705+1

で あ り,確

か に4ψ(119)≡1mod 

  そ れ で は,m=5・7=35の

119は

成 り立 っ て い る.

ケ ー ス に 戻 っ て,フ

ェ ル マ ー の 小 定 理 で い くつ

か 調 べ た タ イプ の 例 題 を や っ て み よ う.

例 題 ９.

[解] 

4480001を35で

４は35と

割 っ た 余 り を 求 め よ.

互 い に 素 で,ψ(35)=24.480001を24で

る と,480001=24×20000+1だ

割 った 余 りを 求め

か ら 余 り は １.よ っ て,

  4480001=(424)20000・41  

120000・4=4mod 

で あ り,4480001を35で

  5.2.5 

35

割 っ た 余 り は ４.

ユー ク リ ッ ド 互 除 法 と 逆 元 の 計 算

  定 理 ６ で,任

意 のa∈(Z/mZ)*が

存 在 す る こ と を 示 し た だ け で,そ

逆 元 を も つ こ と を 証 明 し た が,そ

の 逆 元 を ど の よ う に 求 め る か に つ い て は,何

も い っ て い な か っ た.   ａ. オ イ ラー の 定 理 を 使 っ た 逆 元 の 計 算   オ イ ラ ー の 定 理 は,逆

こで は

元 を 具 体 的 に 求 め る 方 法 も与 え て い る.

例 題10. 

m=77=7×11と

す る と き,Z/mZに

お け るa=3の

逆 元 を求

め よ.

[解] 

オ イラーの定理 に より

 aψ(m)=a.aψ(m)-1≡1mod  で あ り,こ

m

の 式 はaψ(m)-1が

ａ の 逆 元 で あ る こ と を 示 し て い る.例

８に よ り

 ψ(77)=77-7-11+1=60 だ か ら,a59を

求 め れ ば よ い,

  ま ず,４ 章 の 例 題 ７ の 考 え 方 を 用 い て,32,34,38,316,332をmod 

77で

計算

し て お く と,  

32

=

3.3

=9

34

=

32・32

≡ 9・9 =

81

 

38

=

34.34

≡ 4.4

16

 

316

=

38・38

≡ 16・16

=

256

≡

 

332

=

316・316

≡ 25・25

=

625

≡

 

  ま た,59=32+16+8+2+1と  

= 

≡

4 mod

77

mod

77

mod

77

9 mod

77

25

書 け るの で 359=332・316・38・32・3

 ≡9.25.16.9.3  ≡26

mod

よ っ て,Z/77Zに

77

お け る ３ の 逆 元 は26で

あ る(確

か に,3・26≡1mod 

77

と な っ て い る).   ｂ. 問 題 の 縮 小 −   し か し,逆   ま ず,準

ユー ク リ ッ ド の 互 除 法

元 を 求 め る た め に は,も

っ と 簡 単 な 方 法 が あ る.

備 と し て ２ つ の 正 整 数 の 公 約 数 を 求 め る ユー ク リ ッ ド の 互 除 法 の 説

明 か ら 始 め よ う.   ユ ー ク リ ッ ド の 互 除 法 の 発 想 は き わ め て 単 純 で,ま で あ る.そ

れ は,次

の ２ つ の 観 察 か ら な っ て い る.

た 広 く通 用 す る ア イデ ア

  ● た い て い の 問 題 は,大

きな 数 に つ い て よ り も小 さ な 数 に つ い て の 方が 簡 単

で あ る.   ●ｂ をａ で 割 っ た 商 と 余 り を ｑ,ｒ と す る と き,ａ

と ｂ の 公 約 数 はａ

と ｒの

公 約 数 と 一 致 す る.   最 初 の 観 察 は,た

と え ば2003と660の

公 約 数 を 求 め る 問 題 よ り も,23と16

の 公 約 数 を 求 め る 問 題 の 方 が 簡 単 だ と い う こ と を い っ て い る わ け で,ま

った く

そ の 通 りだ.   も う ひ と つ の 観 察 は,商

と余 りの 関 係 式b=aq+rを

  ●ａ と ｒ を 割 り切 る 数 は 等 式b=aq+rの

考 え れ ば,

右 辺 を割 り切 る の

で 左 辺 ｂ を 割 り切 り,   ●ａ と ｂ を 割 り 切 る 数 は 等 式r=b-aqの

右 辺 を 割 り切 る の で

左 辺 ｒ を割 り切 る こ とか ら,す

ぐ わ か る.

  こ の ２つ の 観 察 に よ り,  ａ  

とｂ の 公 約 数 を 求 め る 問 題 を 解 くた め に は b=aq+r,0≦r＜aを

 ａ

満 たす ｒを求め

と ｒ の 公 約 数 を 求 め る(よ

と い う"問 題 の サ イ ズ の 縮 小"を "問 題 の サ イ ズ の 縮 小"を

例 題11. 

2003と660の

り簡 単 な)問

題 を 解 け ば よい

繰 り返 し 行 え ば よ い こ と が わ か る.こ

の よ うな

ユ ー ク リ ッ ド の 互 除 法 と い う.

最 大 公 約 数 を 求 め よ.

[解]   １) 2003と660の

公 約 数 を 求 め る 問 題 を解 くた め に は

 

2003=660×3+23だ

 

660と23の

  ２)  660と23の

か ら

公 約 数 を 求 め れ ば よ い. 公 約 数 を 求 め る問 題 を 解 くた め に は

 

660=23×28+16だ

 

23と16の

 

(23と16が

か ら

公 約 数 を 求 め れ ば よ い. 互 い に 素 で あ る こ と は 一 目 で わ か る が,あ

え て 続 け る)

  ３)  23と16の

公 約 数 を 求 め る 問 題 を解 くた め に は

 

23=16×1+7だ

 

16と

か ら

７の 公 約 数 を 求 め れ ば よ い ．

  ４)  16と

７の 公 約 数 を 求 め る 問 題 を 解 く た め に は

 

16=7×2+2だ

か ら

 

７ と ２の 公 約 数 を 求 め れ ば よ い.(も

う い い で し ょ う.７

と ２は 互 い に

素 で す.)  よ っ て,2003と660は

互 い に 素 で あ り,最

大 公 約 数 は １で あ る.

  コ メン ト  

"７ と ２の 公 約 数 を求 め れ ば よ い"で 止 め な い と ど うな る ？

 

５) ７ と ２の 公 約 数 を 求 め る 問 題 を 解 くた め に は

 

7=2×3+1だ

 

２と １の 公 約 数 を求 め れ ば よ い.

 

６) ２ と １の 公 約 数 を 求 め る問 題 を 解 くた め に は

 

2=1×2+0だ

   

か ら

か ら

１と ０ の 公 約 数 を

… ？

そ うで は な い ． １は ２を 割 り切 る の だ か ら,２ と １の 公 約 数 は １で あ る.つ ま り,余

りが ０ と な る 直 前 で 停 止 す れ ば よい わ け だ.普

止 条 件"を 込 み に し て"ア ル ゴ リズ ム"と い うの だ が,い

通 は こ の よ うな"停 まはプ ログ ラム を

組 ん で い る わ け で は な い の で 好 き な と こ ろ で 適 当 に 打 ち切 れ ば よ い.

  ｃ.  １次 方 程 式 の 解   そ れ で は,今  ａ がｍ

度 は ユ ー ク リ ッ ド の 互 除 法 を 使 っ て 逆 元 を 求 め て み よ う.

と 互 い に 素 で あ る な ら ば,Z/mZに

お い てａ

の 逆 元 が 存 在 す る こ と,

つ ま り   を 満 た す 整 数ｘ

ax≡1modm が 存 在 す る こ と は,定

係 式 は,axをax=mk+1と

表 せ る こ と を い っ て い る の で,y=-k,b=m

と書 くこ と に す る と,  

理 ６ に よ っ て 保 証 さ れ て い る.こ

ax+by=1

の関

を 満 た す 整 数ｘ,ｙ が 存 在 す る こ と を 主 張 し て い る こ と に な る.ま 方 程 式 の 整 数 解ｘ,ｙ

が 求 め ら れ れ ば,ｘ

がａ

のb=mを

た,こ

の １次

法 としての逆 元 と

な っ て い る こ とが わ か る.   そ こ で,逆

 

元 を 求 め る た め に は,

互 い に 素 な 正 整 数ａ,ｂ が 与 え ら れ た と し て,方

 

 

程 式

ax+by=1

の 整 数 解 を求 め る

と い う 問 題 を 解 く こ と に な る.   こ の 問 題 に も ユ ー ク リ ッ ド の 互 除 法 が 通 用 す る.す  ａ,ｂ

，ｒ がb=aq+rを

満 たす と き

 

rx+ay=1の

 

1=rx1+ay1=(b-aq)x1+ay1=a(-qx1+y1)+bx1

 

だか ら

整 数 解x1,y1を

求 め る 問 題 を解 け ば

 x0=-qx1+y1,y0=x1がax+by=1の

  こ れ は,こ

整 数 解x0，y0を

題 と し て 法 を2003と

し て の660の

み よ う.

[解] 

 

与 え る.

の よ うな 一 般 論 で 示 す よ り も具 体 例 で ど ん ど ん 代 入計 算 を し て い

く 方 が わ か り や す そ う だ.例

例 題12. 

な わ ち,

法 を2003と

し て の660の

方 程 式2003x+660y=1の

逆 元 を 求 め よ.

整 数 解 を 求 め る.

2003=660・3+23   660=23・28+16  

23=16・1+7

 

16=7・2+2

逆 元 を求 め て

で あ る の で,ま

ず,２

と ７に つ い て の 方 程 式

 2x+7y=1

の 整 数 解 を 探 す と,こ

れ は す ぐ わ か りx=-3,y=1(と

が す ぐ わ か る と こ ろ ま で,"縮

小"を

い う よ り も,整

続 け て お い た の だ).よ

1=2・(-3)+7・1 

… …2x+7y=1の

数解

って

整数解

  =(16-7・2)・(-3)+7・1=7・(-2・(-3)+1)+16・(-3)   =7・7+16・(-3) 

… …7x+16y=1の

整数解

  =(23-16・1)・7+16・(-3)=16・(-1・7-3)+23・7   =16・(-10)+23.7 

…

…16x+23y=1の

整 数解

  =(660-23・28)・(-10)+23・7=23・(-28・(-10)+7)+660・(-10)   =23・287+660・(-10) 

… …23x+660y=1の

整数解

  =(2003-660・3)・287+660・(-10)=660・(-3・287-10)+2003・287   =660・(-871)+2003・287 

… …660x+2003y=1の

で あ り,x=-871,y=287は を2003と

し て の660の

方 程 式660x+2003y=1の

整 数 解 に な る .法

逆元は

-871≡-871+2003=1132mod 

さ て,少

整数解

し 脱 線 を し て し ま っ た が,本

2003

題 の オ イ ラ ー の 定 理 に 戻 る と,い

ままで 紹

介 し て き た 他 に も オ イ ラ ー の 定 理 を 使 っ て 解 決 で き る 問 題 は い ろ い ろ あ る.ま た,オ

イ ラ ー の ψ 関 数 だ け に 限 っ て も,素

ラ ー のψ

関 数 の 値,"オ

イ ラ ー のψ

因 数 分 解 が 与 え られ た と き の オ イ

関 数 が 数 論 的 関 数 で あ る こ と"な ど,や

残 し は い く ら で も あ る.し

か し,そ

れ は 本 格 的 な 本 に 譲 っ て 話 を 切 り 上 げ,公

開 鍵 暗 号 系 へ の 応 用 に,話

を 進 め る こ と に し よ う.

り

  ６  暗

  こ の 章 で は,合

号

系

同 式 や 剰 余 系 と い っ た 「整 数 の 数 学 」 を,公

開鍵暗号 の理論

に 応 用 す る.   さ て,暗

号 と い う 言 葉 か ら 連 想 す る の は 「ひ ・み ・つ 」 で あ る.そ

「公 開 」 と は ？!ま

ず は,い

始 め る こ と に し よ う.(と 話 」 だ か ら,暗

っ た ん 数 学 か ら 離 れ て,暗 は い っ て も,公

れ なのに

号 に つ い て の 「お 話 」 か ら

開 鍵 暗 号 に 話 を も っ て い く た め の 「お

号 の 専 門 家 か ら 見 る と 「い い 加 減 な こ と を い っ て 」 と 怒 ら れ る

か も し れ な い.)

  6.1 

  6.1.1 

暗 号 方 式 と鍵

暗号 とは

  さ て 「暗 号 と は 何 か 」 で あ る が,下

の １),２),３)は

いず れ も 暗号 とは い い

た く な い の だ.   １) (Z/12Z)*={1,5,7,11}   ２) $＼Zf{12}=＼{1,5,7,11＼}$   ３) う ろ つ は 「ぬ ふ 」 ほ ろ 「ぬ ね え ね や ね ぬ ぬ ろ 」 う   ２) はLATEXと

い う ソ フ トで １)の 出 力 を 得 る た め に キ ー ボ ー ドか ら 打 ち 込

む 文 字 列 で あ る.３)は

キ ー ボ ー ド を 間 違 え て 「ひ らが な 」 に し た ま ま ２)を 打

ち 込 ん だ も の.   数 学 が 嫌 い な 人 な ら,「１)だ っ て 全 然 わ か ら な い か ら,私 と い う か も し れ な い し,そ

に と って は 暗 号 さ！ 」

う い い た く な る 気 持 ち も わ か る の だ が,暗

号 とい う

の は 「本 来 は 簡 単 な もの を他 人 に は わ か ら な い よ うに 細 工 した もの 」 と捉 え た い の で,「本 来 は 簡単 」 な もの が 裏 に な い こ と に は 「暗 号 」 とい い た くな い .   ２)は

１)を わ か りづ ら く し た も の に は な っ て い る の だ が,こ

れ もLATEXを

知 っ て い る 人 な ら,大 方 の意 味 は わ か る の で 暗 号 と い い た くな い.   ３)に な る と,だ い ぶ 暗号 め い て くる.し か し,こ の よ うに変 換 が 装 置 に よっ て 固 定 され て い る もの は,こ

こ で は 暗 号 と は 呼 び た くな い .そ の理 由 は,キ

ー

ボ ー ド とい う装 置が そ こ ら 中 に あ る単 純 な 装 置 だ か らで は な く,こ こ で は 暗 号 とい う もの の 必 須 条件 と して,  

「鍵 」 と い う もの が あ っ て,そ  (暗 号 化)を

れ に よって 装 置 が ど の よ うな 変 換

す る かが 変 わ る

とい う こ とを 要 求 した い の だ.   し たが っ て,次 の よ うな 「お 話 」 の 装 置 は 暗 号 を発 生 させ る装 置 とは い わ な い こ とに す る.

 

昔 々あ る とこ ろ に ド イ ツ と い う国 が あ っ て イギ リス とい う国 と 戦 争 を し て い ま し た.ド た.こ

イ ツは エ ニ グ マ 暗 号 器 とい う機 械 を 持 っ てい ま し

の 器 械 に は キ ー ボ ー ドが あ っ て,そ

こか ら文 字 を 打 ち込 ん で い

くと打 ち 込 まれ た 文 字 列 を,と ん で もな く複 雑 な 仕 掛 け で 別 の 文 字 列 に 変 え て し ま うので す.そ して,そ の わ け の わ か ら ない 文 字 列 を,解 読 モ ー ドに した エ ニ グマ 暗 号 器 を打 ち込 む と,も

との 文 字 列 が 復 活 す る

の で す.ド

イ ツ は こ の エ ニ グ マ 暗 号 器 を使 って 無 線 通 信 を し て い た の

で すが,イ

ギ リス は そ れ を傍 受 して も ど う して も解 読 で き ませ ん で し

た.困

っ て し まっ た イギ リス は あ る 日,ド イ ツの Ｕ ボ ー トと い う船 を

一 隻 捕 ま えて

,そ れ に 積 ん で あ っ た エ ニ グ マ 暗 号 器 を奪 って し ま い ま

し た.そ れ か らは,ド

イ ツの 通 信 は 全 部 わ か る よ うに な りま した.め

で た し め で た し.

  エ ニ グ マ 暗 号 器が 暗 号 器 で あ る ため に は,「それ か らは,ド

イツ の 通 信 は 全 部

わ か る よ うに な り ま した.」 の 前 に,次 の よ うな 文 を付 け 加 え た い.

  Ｕ ボ ー トの 艦 長 は 出航 の 前 に 潜 水 艦 隊司 令 部 か ら厳 重 に 封 印 され た "数 字 の 書 か れ た 紙 切 れ"を 受 け 取 って い ま した.エ ニ グ マ 暗 号 器 を使 う前 に は,紙

切 れ に 書 か れ た 日付 の 指 定 され た 数 値 を使 っ て エ ニ グ マ

暗 号 器 を設 定 して や っ て,そ れ か ら使 い 始 め る の で した.  

さて,ド

イ ツの 司 令 部 は Ｕ ボ ー トが 捕 ら え られ た か もしれ な い と気

が つ い た の で す が,「 ま さか エ ニ グ マ 暗 号 器 を破 壊 せ ず に 奪 わ れ る よ う な 間抜 け な 艦 長 は い な い さ」 と安 心 して い ま し た.い や,そ れ よ り も, 「仮 に 無 傷 で 奪 わ れ た とし て も,そ の装 置が ど の よ うな動 作 を す るか は "紙 切 れ に書 かれ た 数 値"に よ って 変 わ るの だ か ら,こ れ か らの 日付 で 使 う"紙 切 れ に 書 か れ た 数 値"を 知 ら な い こ と に は,ど

うに も な ら な

い さ.し か も,重 要 な 通 信 用 に は艦 ご とに 違 う紙切 れ を渡 して あ る し」 と考 え て 安 心 し て い た の で す.  

と こ ろが,イ

ギ リス は ド イ ツが 考 え て い た 以 上 に ず っ と 頭 が よか っ

た ので す.イ ギ リ ス はエ ニ グ マ 暗号 器 の 特 徴 を よ く調 べ て,大 変 な 努 力 の 末 に,"紙 切 れ に書 か れ た 数 値"を 知 ら な くて も暗 号 化 され た 文 字 列 が た く さん 手 に入 れ ば,そ れ を元 に戻 せ る や り方 を見 つ け て し まい ま した.

  これ は 「お 話 」 だか ら事 実 と違 う とか,う 点 は,あ

る さい こ とを い って は い け な い.要

る数 値 を 設 定 す る こ とに よ り装 置 の 動 作 が 変 わ る とい う点 で あ る.こ

の 数値 を暗 号 化 鍵 とい い,こ の 装 置 に 入 力 す る 文 を平 文("へ "ひ らぶ ん"と 読 む ら し い),装

い ぶ ん"で は な く,

置 か ら出 力 され る わ け の わ か ら な い 文 を 暗 号 文

とい う こ とに す る.装 置 そ の もの を手 に 入 れ て も,そ の 装 置が 平 文 を暗 号 化 す る動 作 は 暗 号 化 鍵 ご とに 変 わ る の で,暗 号 化 鍵 を知 ら な い こ と に は,暗 号 文 を 傍 受 し て も平 文 が 知 られ る こ とは な い とい うわ け で あ る ．

  6.1.2 

最 も簡 単 な暗 号

  そ れ で は,地 道 な話 に 戻 ろ う.ま ず,最

も簡 単 な暗 号 か ら始 め よ う.

例35. 

"BACH"を

暗 号 化 す る と"DCEJ".

 "CATS"を

  こ れ ら は,"ア

暗 号 化 す る と"ECVU".

を,暗

ル フ ァ ベ ッ トを ｊ 文 字 先 に ず ら す"と

号 化 鍵j=2で

  暗 号 化 鍵 をj=1と

す れ ば,次

の よ うに な る ．

例36."BACH"を

暗 号 化 す る と"CBDI".

 

暗 号 化 す る と"DBUT".

"CATS"を

  さ て,こ

れ ら の 例 で は ア ル フ ァ ベ ッ トの 最 後 の あ た りの 文 字 を 避 け て い る が,

た と え ばj=2の で,一

い う仕 掛 け の 暗 号 化 装 置

設 定 し た 暗 号 文 で あ る.

場 合,Ｙ

周 さ せ て,Ｙ

と か Ｚ は ど う す れ ば よ い の だ ろ うか .簡

は Ａ に,Ｚ

は Ｂ に と す れ ば よ い.こ

う な る と,合

単 なこ と 同式 を使

い た くな る.   まず,ア

ル フ ァ ベ ッ ト26文

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

０

１

２

３

字 に ０か ら25ま

で の 数 値 を 対 応 さ せ る.

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

Ｊ

Ｋ

Ｌ Ｍ

５

６

７

８

９

10

11

Ｎ

Ｏ

Ｐ

Ｑ

Ｒ

Ｓ

Ｔ

Ｕ

Ｖ

Ｗ

Ｘ

Ｙ

Ｚ

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

４

12

  こ の 対 応 は 固 定 さ れ た 変 換 だ か ら 暗 号 で は な い.こ ベ ッ ト と ０か ら25ま

の 対 応 に よ っ て,ア

で の 数 値 を 同 一 視 し て し ま お う .そ

うす る と,上

ル ファ

の 例 の暗

号化装 置は  x∈Z/26Z

に 対 し て  x+j∈Z/26Z

を 対 応 させ て い る こ と に な り,fj(x)=x+jと

 

定 め る とfjは

写像

fj:Z/26Z→Z/26Z

と な る.   次 は,暗 の 例 で は,復

号 文 を 平 文 に 戻 す プ ロ セ ス,こ

れ を 復 号 化 と い う,を

考 え よ う.上

号 化 は 暗 号 化 と 同 じ 装 置 を 使 っ て 行 う こ とが で き る .た

だ し,鍵

と して-ｊ

を使 う.復 号 化 の と きに 使 う装 置 を 復 号 化 装 置,そ

こで 使 う鍵 を復

号 化 鍵 と呼 ぶ こ とに す る と,こ の例 で は 暗 号 化 装 置 と復 号 化 装 置 は 同 じで,   復 号 化 鍵=暗

号 化 鍵 ×(-1)

で あ る.  "復 号 化"は 復 号 化 鍵 を知 って い て 暗号 文か ら平 文 を得 る作 業 で あ る.そ れ に 対 して,復 号 化鍵 を 知 らず に 暗 号 文 か ら平 文 を得 る こ とを,暗 号 解 読 と い う.た だ し,実 際 の 暗号 解 読 で は"装 置"も 手 に 入 らず に チ ャ レ ン ジ す る場 合 も あ り, そ の 場 合 は もっ と大 変 で あ る ．

6.1.3  少 し複 雑 な 暗号   ア ル フ ァベ ッ トを ず らす,と い うだ け で は 何 と も心 許 な い.暗

号 化 鍵 を秘 密

に した と こ ろで,暗 号 化 鍵 と し て 実 質 的 に は １か ら25ま で の25通 の で(た

と えばj=27はj=1と

同 じ写 像 に な る),高

試 す だ け で 暗 号 解 読 が で きて し ま う.そ こでfjな を使 う こ と に な る の だ が,実

々25通

り しか な い りの 可 能 性 を

ど よ り も も っ と複 雑 な 写 像

は ど の よ うに 複 雑 な写 像 を 使 っ た と こ ろで,ア

ル

フ ァベ ッ トを １文 字 ず つ,し か も同 じ写 像 で 暗 号 化 した の で は,頻 度 分 析 と い う手 法 で 解 読 され て し ま う.   そ こで,文 字 ご とに 写 像 を 変 え て行 くとか,い

くつ か の 文 字 を ひ とか た ま り

に して,そ れ を変 換 す る な ど の 手 段 を と る こ と に な る.   た とえ ば,ア  

ル フ ァベ ッ ト ２文 字 だ と, 最 初 の 文 字 が26通

の可 能性 が あ るの で,全 部 で676通

り,２ 番 目 の文 字が26通 りの 場 合 が あ る.何

ベ ッ ト ２文 字 の 列 に 対 して ,０ か ら675ま

り

らか の 規 則 で ア ル フ ァ

で の 数 値 を対 応 させ て お け ば,平

文

を 数値 の 列 と見 な す こ とが で き る よ うに な る.   また,ス

ペ ー ス や そ の 他 の 記 号(？ ， ！ ， ；な ど)も

小 文 字 も区 別 し て,た 128×128=16384個

と え ば128個

含 め て,ま

の 文 字 セ ッ トを考 え て,そ

た,大

文字と

れ ら ２文 字 で

の 数 ０，１，２，… ，16383と し て も よい.と に か く,ま ず 平

文 を 数値 の 列 と 同 一 視 で きる よ う に し て お く.

  た と えば,"A

cat runs after a dog."と い う文 な ら,

 "Ａ","ca","ｔ","ru","ns","ａ","ft","er","ａ","do","ｇ." と切 り分 け て,そ れ らに11個 返 しに な るが,こ

の 数 値 の 列 を対 応 させ るこ とに な る.な お,繰

り

の 対 応 自 身 は,そ れ が ど の よ うな対 応 と して 定 め られ て い る

にせ よ,固 定 され た 対 応 なの で 暗 号 と は い わ な い.   さて,今 度 は,０ か ら16383と

大 き な集 合 とな って い る の で,fj(x)=x+j

と い っ た 単 純 な 変 換 で も暗号 化鍵 ｊの 可 能性 は 大 分 増 え て い て,暗 号 ら し い も の に な って きて い る.少 な くと も小 学 生 に解 読 で き る よ うな もの で は な くな っ て い る.   さ ら に,写

像(暗

号 化 装 置 に あ た る)を

a∈(Z/16384Z)*とb∈Z/16384Zを

複 雑 な も の に工 夫 し(た

と え ば,

暗 号 化 鍵 と し てf(x)=ax+bと

定 め る とか),ま た,文 字 も ２文字 で は な く10文 字 に す る とか,そ の 他 さま ざ ま な 改 良 を す る こ とが で きそ うで あ る.こ

うし て,次 第 に高 級 な 暗 号 の 理 論 が 発

展 して きた わ け だ.し か し,こ の 発 展 を追 うこ とは,こ の 本 の テ ーマ で は な い.   個 々 の 暗 号 に つ い て の 知 識 は必 要 で は な く,こ れ か らの 話 で 必 要 に な る こ と を ま とめ る と,以 下 の よ うに な る.   ●平 文 は ０か らm-1ま

で の 数 の 列 と考 え て よ い.

  ●暗 号 化 鍵 を 与 え る と,Z/mZか

らZ/mZへ

の写 像が 決 ま る.こ の 写 像 を

平 文 を 暗号 文 に変 え る 写 像 と み て 暗 号 化 写 像 とい う.   ●復 号 化 鍵 を 与 え る と,Z/mZか

らZ/mZへ

の写 像が 決 ま る.こ の 写 像 を

暗 号 文 を 平 文 に 変 え る 写 像 と み て復 号 化 写 像 とい う.   ●平 文 か ら暗 号 化 写 像 で作 った 暗 号 文 は,復 号 化 写 像 に よ り元 の 平 文 に戻 る. こ こで の,ｍ

をい くつ にす るか,暗

号 化 鍵 か ら ど の よ うな 暗 号 化 写 像 が 決 ま

る か,復 号 化 鍵 か らど の よ うな復 号 化 写 像 が 決 まるか 等 の 一 連 の方 式 を暗 号 方 式 とい う.

  6.1.4 

ネ ッ トワ ー クで の 暗 号 系

  ａ.  従来方式 の暗号   第 二 次 世 界 大 戦 当 時 に は,す で に 解 読 が か な り難 し い高 級 な 暗 号 方 式 が 使 わ

れ て い た.そ して,そ れ が 解 読 され て し ま った と きの損 失 の経 験,ま た,解 読 に 成 功 した と きの 利 益 の 経 験 は,暗 そ う強 く認 識 させ,暗

号 の 安 全 性 を確 保 す る こ との 重 要 性 を,い

っ

号 理 論 の さ ら な る進 歩 を促 した.

  さて,暗 号 の 安 全 性 を確 保 す る た め には,暗 号 方 式 と鍵 の 両 方 を 秘 密 に保 つ こ とが 望 ま しい.し か し,暗 号 方 式 は,た で 実 現 され て い るの で,使

と えば エ ニ グ マ 暗号 器 の よ う な器 械

わ れ て い る 器 械 が ひ と つ も敵 の 手 に 渡 ら な い よ うに

保 持 し よ う とし て も難 しい.そ

こ で,暗 号 方 式 の 安 全性 は,た

とえ そ の 方 式 が

敵 に 知 られ て し ま った 場 合 で も,鍵 を 知 らな い 限 り暗号 解 読 が 困 難 で あ る と保 証 す る もの で な け れ ば な らな い.極 論 す れ ば,暗 号 方 式 は公 開 して し まっ て も, 安 全が 保 証 され る よ うな もの で なけ れ ば な ら ない(だ か ら"公 開"鍵 暗号 方 式 と い うわ け で は な い の で,早

と ち りし な い よ うに).

  そ して,こ の 意 味 で も解 読 が 難 しい と考 え ら れ る 暗 号 方 式 が い ろ い ろ考 え 出 され た.そ れ で も,当 然 な こ とで は あ るが,鍵

は秘密に しておか なければ な ら

な い.   こ こで,従 来 使 わ れ て きた 暗 号 方 式 に共 通 した ひ とつ の 特 徴が 問 題 に な る.そ れ は,従

来 の 暗号 方 式 で は,暗 号 化 鍵 と復 号 化 鍵 は,一 方 が 知 られ れ ば も う一

方 も容 易 に 求 め られ て し ま う と い う意 味 で,実 質 的 に は 同 じ もの と見 な され る, とい う点 で あ る.つ

ま り,暗 号 化 鍵 と復 号 化 鍵 は(実

質 的 に 同 じ だ か ら)両 方

が 秘 密 に 保 た れ な け れ ば な らな い.   こ の よ うな こ と を,も し 第 二次 世界 大 戦 当 時 の 暗号 の専 門 家 に い っ た な ら,あ きれ た顔 をす るだ け だ ろ う.「当た り前 で は な い か.そ れ で 困 っ た こ とで もあ る の か ？」   確 か に そ の 通 りで あ る.た だ し,暗 号 が 従 来 の用 途 で 使 わ れ る な らば だ が.   ｂ. コン ピ ュ ー タ ネ ッ トワ ー ク 時 代 の 暗 号   コ ン ピ ュ ー タ ネ ッ ト ワー ク上 で も暗号 は 必 要 に な る.特 に イン タ ー ネ ッ トで は,潜 水 艦 と の 無 線 通 信 が い くらで も傍 受 で きた の と同様， 物 理 的 な傍 受 は 簡 単 に で き る.そ こ で 暗 号 通 信 を した くな る の だが,コ

ン ピュ ー タネ ッ ト ワー ク

で 暗 号 を必 要 とす る 状 況 に は,潜 水 艦 と潜 水 艦 司 令 部 と の 関 係 と は 決 定 的 に 違 う点が あ る.そ れ は,暗 号 通信 を行 う両 者 が 鍵 を 手 渡 しす る 機 会 を もた な い と い う点 で あ る.

  た と えば,日

本 に い る ト ヨ タ さん が,イ

ン ター ネ ッ トで い ろ い ろ と や りと り

を して い る う ちに,話 の 流 れ で フ ィン ラ ン ドに い る ミカ さん の メー ル ア ド レ ス を 教 え られ,彼

に 極 秘 の メー ル を送 る必 要 が 生 じた と し よ う.ト ヨ タ さん は 暗

号 化 し て メー ル を 送 りた い の だ が,こ

こで 困 っ て し ま う.ト ヨ タ さん と ミカ さ

ん は 鍵 を交 換 して い な い の だ.   これ が 「暗号 化 鍵 と復 号 化 鍵 が 実 質 的 に 同 じ だ と困 る こ と 」で あ る.   ｃ.  公開鍵暗号 系   も し,「暗 号 化 鍵 と復 号 化 鍵 が 異 な り,一 方 を 知 って も,も

う一 方 を 知 る こ と

が 困 難 で あ る よ うな 暗 号 方 式 」 が あ った と し よ う.そ の 場 合,以

下 の よ うに す

る こ と に よ り先 ほ ど の よ うな状 況 で も,暗 号 通 信 が 可 能 に な る ．   １)  そ れ ぞ れ の 人 は,こ の 暗 号 方 式 で の 自分 用 の 暗 号 化 鍵 と復 号 化 鍵 を作 り, 復 号 化 鍵 は 秘 密 に して し まっ て お くが,暗

号 化 鍵 は メー ル ア ド レ ス と 同

じ よ うに"公 開"し て し ま う.   ２) トヨ タ さん は ミカ さん の 暗号 化 鍵 を 照 会 して,そ の 暗 号 化 鍵 を用 い て,ミ カ さん あ ての メー ル を 暗号 化 し送 信 す る.   ３) ミカ さん は 暗 号 化 され た意 味 不 明 の メ ー ル を,自 分 用 の 秘 密 の 復 号 化 鍵 で 平 文 に 戻 し,読

む.

  ４)返 事 を書 い た ミカ さん は,ト

ヨ タ さん の 暗 号 化 鍵 を 照 会 し て,そ

の暗号

化 鍵 を用 い て,メ ー ル を 暗 号 化 し送 信 す る.   ５) トヨ タ さん は 暗 号 化 され た 意 味 不 明 の メー ル を,自 分 用 の 秘 密 の 復 号 化 鍵 で 平 文 に戻 し,読 む.   な か なか う まい 話 だ.ミ もで き るが,そ だ(送

カ さん 宛 に メー ル を暗 号 化 して 送 信 す る こ とは 誰 で

れ を 読 む こ とが で き る の は 復 号 化 鍵 を も って い る ミカ さん だ け

った 本 人 以外 に は).

  この よ うな 暗 号 方 式 で は,暗 号 化 鍵 を"公 開"し て し ま うの で,公 開 鍵 暗 号 方 式 とい う(復 号 化鍵 は 秘 密 の ま まだ か ら,"半 分 だ け公 開"暗 号 方 式 ？).

6.1.5  公 開鍵 暗 号 方 式   ａ.  実現可 能か？   しか し,暗 号 化鍵 と復 号 化 鍵 が 本 質 的 に 違 い 暗 号 化 鍵 を公 開で きる よ うな 暗

号 方 式 を作 る こ とは 可 能 だ ろ うか ？   第 一 感 は 「そ ん な こ と無 理 で し ょ う！ 」 だ.な ぜ な らば,   ●暗 号 方 式 だ け で な く暗 号 化 鍵 まで 公 開 して し ま う とい うこ とは,暗

号化 を

行 う写 像ｆ が 完 全 に 知 られ て し ま う とい うこ と を 意 味 す る.   ●そ れ な らば,傍 れ ば,そ

受 した 暗 号 文Ｃ

に対 し て,方 程 式f(X)=Cの

解 を求め

の 解 と して 平 文 Ｐ が わ か っ て し ま う.

  ●た だ し,方 程 式f(X)=Cを

解 くこ とが,現 実 的 に は不 可 能 なほ ど難 し く

な る よ うに,暗 号 方 式 を設 計 す る こ とは 可 能 で あ ろ う.   ●しか し,暗 号 文 の 正 当 な 受 信 者 の 行 う作 業,復 号 化 で も方 程 式f(X)=C の 解,す な わ ち平 文 Ｐ を求 め てい るわ けで あ る.こ れ で は,復 号 化 の 作 業 も現 実 的 に は 不 可 能 とい う こ と に な る. と な っ て し ま うか らで あ る.   しか し,こ の 「無 理 で し ょ う！ 」の 最後 の 項 目 を も う ち ょっ と突 き詰 め て 考 え る と 「可 能 な の で は ？」 とい う気 分 に 変 わ って くる.   ●正 当 な受 信 者 は 復 号 化 鍵 と い う名 の,秘 密 の 数 値 を も って い る.こ れ が 方 程 式f(X)=Pを

解 く"ヒ ン ト"に な っ て い る よ うに 暗 号 方 式 を 設 計 す れ

ば よい の で は ？   実現 で き る可 能性 は あ る の だ.た

だ し,可 能 性 が あ る と い うだ け で,本

当に

で きる か ど うか は 別 問 題 だ.普 通 の 暗 号 で さえ 解 読 と 改 良 の イ タチ ゴ ッコ な の に,実 現 で き るか ど うか さえ 危 な い も の を作 って み た とこ ろで,満 の が 作 れ る だ ろ うか ？ と い うわ け で,ネ

足 の い くも

ッ トワ ー ク上 の 暗 号 通 信 の 必 要 性 が 増

す に 従 い公 開 鍵 暗 号 の必 要 性 が 明 白に な る まで は,公

開鍵 暗 号 系 を 作 る と い う

こ とは,検 討 の 課 題 に す ら な ら な か った の だ ろ う.  ｂ.  公開鍵 暗号方式 の仕様   そ れ で は 「公 開 鍵 暗 号 方 式 」 は,ど

の よ うな もの と して 設 計 す べ きか,そ れ

を使 う と きの 流 れ と仕 様 を ま とめ てみ よ う.  

鍵 の 作 成   そ の 暗 号 の 使 用 者 Ｍ は,そ れ ぞ れ 公 開鍵,秘 密 鍵 と呼 ば れ る ２つ の 鍵 を,そ の 暗 号 方 式 で 要 求 され る条 件 を 満 た す よ う に作 り,公 開鍵EMは

公 開 し,秘 密 鍵DMは

秘 密 に 保 管 して お く.

  安 全 性 の 要 請 １. EMとDMは"暗

号 方 式 で 要 求 され る 条 件"を 満 た し

て い る の だが,「 そ の た め にEMか

らDMが

計 算 され て し ま う」 とい

う こ とが あ っ て は な らな い.   暗 号 化  Ｍ に 暗 号 化 され た メ ー ル を送 りた くな った Ｔ は,Ｍ EMを

参照 し,暗 号 方式 で 指 定 され た 方法 に よ り,EMを

の公 開鍵

用いて写像 ｆ

を作 る.そ して,送 信 し たい 平 文 Ｐ をそ の写 像 ｆ で 暗 号 文C=f(P) に 変 換 し,送 信 す る. 安 全 性 の 要 請 ２. 暗号 文 Ｃ を傍 受 し た者 は,方 程 式f(X)=Cを こ と に よ り暗 号 を解 読 し よ う とす るが,こ

解く

の 方 程 式 は大 変 難 し くて 解

け な い.  

復 号 化   受信 者 Ｍ は,"ヒ

ン ト"秘 密 鍵DMの

助 け を借 りて,こ の 方 程

式 を 簡 単 に 解 くこ とが で き,平 文 Ｐ を読 む こ とが で きる.   つ ま り,方 程 式 を作 る た め の 鍵EMと

そ の"ヒ ン ト"DMを

系 統 的 に 作 る方

法が 公 開鍵 暗号 方 式 を実 現 す る核 と な る.   それ で は,一 般 論 は この くらい に して,公 開 鍵 暗号 方 式 の代 表 的例 と してRSA 公 開 鍵 暗 号 方 式 の 説 明 をす る こ と に し よ う.

 

6.2 

RSA暗

号方式

  公 開鍵 暗 号 方 式 の 最 初 の 候 補 は ヘ ル マ ン(Martin

E. Hellman)に

よ っ て提

唱 され た.し か し,し ば ら くし て,こ れ に は 簡 単 な 解 読 法 が あ る こ とが 指 摘 さ れ,失 敗 作 とい うこ とに な って し ま う.し か し,解 読 法が あ る とい っ て も,そ れ は 公 開鍵 とい うこ との 要 請 自 身が 無 理 と い う こ と を 暗示 す る もの で は な く,む し ろ,「た また ま欠 点 が あ るせ い で 解 読 され て し ま っ た 」 とい う印 象 を 与 え る も の だ っ た.   こ うな る と,研 究 者 の心 証 は 「公 開 鍵 暗 号 方 式 は 可 能 で あ る 」 と い う判 断 に 大 き く傾 き,そ

うな る と公 開 鍵 暗号 方 式 を作 る トリ ック とし て 最 も有 望 そ うな

もの を思 い つ くの は,そ

れ ほ ど 困 難 な こ とで は なか っ た の だ ろ う.こ の 最 も有

望 そ うな トリ ックが オ イ ラ ー の 定 理 で あ り,そ れ を 根 拠 に し た公 開鍵 暗 号 方 式

が リ ベ ス ト(Rivest),シ て1977年

6.2.1 

に 提 唱 さ れ たRSA暗

RSA暗

号 を 前 節 の 流 れ に 沿 っ て 追 っ て み よ う.

 

１) ２つ の 大 き な 素 数 ｐ,ｑ を選 び,

 

２) そ の 積n=pqを

 

３) ｎの オ イ ラ ー 関 数 の 値 ψ(n)を

 

４) ψ(n)を

た,

計 算 し て お く.

法 としての合同式

ed≡1

mod ψ(n)

を 満 た す よ う な ２ つ の 整 数 ｅ,ｄ を 選 ぶ. Ｍ は,ｎ

と ｅ の 両 方 を 公 開   EMと

定 す る.公  

ず

計 算 し て お く.ま

 

 

よっ

号 で あ る.

鍵 の 作 成   こ の 暗 号 の 使 用 者 Ｍ は,ま

 

ド ル マ ン(Adleman)に

号 方式の概 略

  そ れ で は,RSA暗

 

ャ ー ミル(Shamir),ア

開 鍵EMは

公 開 し,秘

し て,ｄ 密 鍵DMは

を 秘 密 鍵DMと

秘 密 に 保 管 し て お く.

暗 号 化   Ｍ に 暗 号 化 さ れ た メ ー ル を 送 りた く な っ た Ｔ は,Ｍ と ｅ を 参 照 し,写

して設

像f:Z/nZ→Z/nZを, 

P∈Z/nZに

の 公 開 鍵ｎ 対 して ,

 f(P)=Pe

 

と し て 定 め,こ

の 写 像 で 平 文 Ｐ を 暗 号 文C=f(P)に

変 換 し送 信

す る.  

復 号 化  受 信 者 Ｍ は,暗 号 文Ｃ に対 して秘 密 鍵 ｄ を用 い てCd∈Z/nZ を 計 算 す る こ とで,平 文 Ｐ を復 元 す る こ とが で きる .

  こ れ がRSA暗

号 方 式 の 概 略 で あ る.し か し,ま だ 説 明 の 足 りな い 部 分 は い

ろ い ろ あ る.特 に"復 号 化 の 部 分 で 指 定 され た 計 算 が,な ぜ も との 平 文 Ｐ を 与 え る の か"と い うこ とが わ か らな い こ とに は,ま

っ た く面 白 くな い .ま た,鍵

の 作 成 の 部 分 も,あ っ さ り と 「… を選 ぶ 」 とい って い るが ,「ど の よ うに して 選 ぶ の か 」 を 説 明 す べ きで あ る.   こ れ ら の点 に つ い て は,以 下 で 説 明 す る こ とに し て,こ

こで は,ま ず,「安 全

性 の 要 請 」 がRSA暗  

号 で は ど の よ う に な る か を 見 て お こ う.

安 全 性 の 要 請1. ｎ

と ｅが 与 え られ て い る か ら と い っ て,そ

れだけの情

報で  

ed≡1mod ψ(n)

 

を 満 た す よ う な ｄ が 求 め ら れ て し ま っ て は い け な い. 安 全 性 の 要 請 ２. ｎ と ｅ とＣ

が わ か っ て い る か ら と い っ て,そ

れ か ら

決 ま る方 程 式  

Xe≡Cmodn

 

が(ｄ

を 知 ら な く て も)解

  こ の 問 題 の 検 討 は6.3節

  6.2.2 

復 号 化:オ

  そ れ で は,ま

け て し ま う よ うで は い け な い.

で 行 う こ と に し よ う．

イラーの定理

ず,Z/nZに

お い て,C=Peに

対 し てCdを

計 算 す る と元 の

平 文 Ｐ が 得 ら れ る こ と を 示 そ う.

  Cd≡Pmod nの

証 明   ed≡1mod ψ(n)だ

で 割 り切 れ る.し

た が っ て,そ

の商 Ｋ

か ら 正 整 数ed-1は

も 正 整 数 で あ り,edは

Ｋ

ψ(n) を 用 い て,

  ed=ψ(n)・K+1 と 表 され る.こ

こ で,C≡Pe 

modnだ

か ら

 Cd≡(Pe)d=Ped=Pψ(n)・K+1-(Pψ(n))K・P1  

≡1K・Pmodn   

と な る の で,元

   

オ イ ラ ーの 定 理

=P

の 平 文 Ｐ が 得 ら れ る こ と が わ か る.

コ メン ト こ の"証 明"に

ク レ ー ム を付 け た くな っ た な ら,か な り鋭 い.確

か に,オ

  イ ラ ー の 定 理 を使 う た め に は"Ｐ だ.し

か し,こ

は ｎ と互 い に 素"で

れ は た い した 問 題 に は な ら な い.ｎ

で あ っ た こ と を 思 い 出 し て ほ し い.こ

なけれ ば な らな いの

は ２ つ の 素数   ｐ,ｑ の 積

の 場 合,０,１,２,… ，n-1の

う ちで ｎ

と互 い に 素 で な い も の は ０,ｐ，ｑ の ３つ し か な い の だ.０ は 始 め か ら平 文 と して 認 め な い こ と に して お け ば よい(つ わ ら な い の だ か ら拙 い).ｐ,ｑ の だ か ら,自

の ２つ に つ い て は,送

き な"素 数 と し た の で,確

  実 際 に 使 わ れ るRSA暗 な 素 数 が 選 ば れ る.し な い の で,こ

も暗 号 化 し て も変

信 者は それ を知 らな い

分 の 送 ろ う と して い る 平 文 が ｐ,ｑ の ど ち ら か に 偶 然 一 致 して

し ま っ て い な い か 確 か め よ うが な い.し ｐ,ｑは"大

い で に い えば,１

か し,そ

率2/nは

れ も心 配 す る こ と は な い.

無 視 で き る ほ ど 小 さ い の だ.

号 で は 鍵 を 作 る た め の 素 数 ｐ,ｑ は100桁 か し,そ

こ で は ｐ,ｑ は"小

以 上 の大 き

れ ほ ど 大 き い 数 で は 例 を あ げ て も実 感が 得 られ さ な"素

数 と し て,数

例37. 

鍵 の 作 成   Ｍ は,

 

１)  p=31,q=43と

 

２) n=1333で

 

３) nの オ イ ラ ー 関 数 の 値 は

値 例 を 見 て お こ う.

選ぶ と あ り,

 ψ(n)=pq-(p+q)+1=1260

   

と な る(５ ４)ψ(n)を

 

 

章 の 例33を

参 照).

法 と して の 合 同式

ed≡1mod ψ(n)

を 満 た す よ う な ２ つ の 整 数 ｅ,ｄ と し て, e=59,d=299を

選ぶ.  

Ｍ の,公

開 鍵EMはn=1333とe=59,秘

密 鍵DMはd=299

で あ る.  

暗 号 化   暗 号 化 写 像f:Z/nZ→Z/nZを

使 っ て,た

と え ばP=666

  を 暗 号 化 す る な らば

 C=f(P)=Pe=66659  ≡618mod 

   

と な る.こ

の 暗 号 文C=618を

復 号 化  受 信 者 Ｍ は,暗

 

 

Ｍ に 送 信 す る.

号 文Ｃ

に 対 し て,Cdを

Cd=618299≡666 

と な り,確

1333

計算 す ると

mod  1333

か に 平 文 Ｐ を 復 元 す る こ とが で き る.

  コ メン ト  

ed=59×299=17641=1260×14+1で

あ る こ とは 電 卓 が あ れ ば 確 か

め ら れ る.「ど うや っ て 選 べ ば よ い か 」が 問 題 に な る が,こ

れ は,ま

ず ψ(n)

と互 い に 素 な 整 数 ｄが 見 つ か る ま で ｄ を い くつ も ラ ン ダ ム に 選 び,互

いに

素 な ｄが 見 つ か っ た ら そ の 逆 元 を １次 方 程 式 を 解 くこ とに よ っ て 求 め る,と い うプ ロセ ス で 行 う.互 い に素 で あ る か 調 べ る 方 法 と,逆 元 を 求 め る方 法 に つ い て は5.2節  

を参照 ．

一 方,66659,618299の

値 は 電 卓 で は 計 算 で きな い.し

か し,ｎ

を法 とし

て の 値 な ら電 卓 で も計 算 で き る.こ れ らを 効 率 よ く計 算 す る や り方 に つ い て は,４ 章 の 例 題 ７ を 参 照.

 

6.3 

計 算 量 と安全 性 の検 討

  次 に 暗 号 解 読 に 絡 ん で,「 現 実 的 に 計 算 可 能 」 と い う問 題 を 調 べ る.RSA暗 の 安 全 性 は 「因 数 分 解 の 困 難 さ 」 に 根 拠 を 置 い て い る.し て も の は 計 算 機 実 習 と か い う 科 目 で は,ち

計 算 の 量 が 多 い た め,現 の は 難 し い の だ.し

か し ,「因 数 分 解 な ん

ょっ と し た 演 習 問 題 に す ぎ な か っ た

の で は?」 と い う疑 問 が わ くの で は な い だ ろ うか.実 た よ う な 力 ま か せ の 計 算 法 で は,大

号

際 に は,計

算機実 習で考え

き な数 の 因 数 分 解 は あ ま りに も必 要 と す る

在 最 高 速 の コ ン ピ ュ ー タを 使 って も計 算 を や りとげ る

か し,ま

た,そ

の よ う に 言 う と 「コ ン ピ ュ ー タ の 能 力 は 毎

年 驚 くほ ど よ くな って い っ て い る の だ か ら,現 在 は不 可 能 で も,そ の うち,な ん な く処 理 で き る よ うに な るの で は ？」 とい う反 論 が 出 て 来 る だ ろ う.結 論 を言 う と,「い か に コ ン ピ ュ ー タの 能 力 の 改 良が 目覚 ま しか ろ うと,そ の 程 度 の もの で は ど う し よ う もな い くらい,必

要 な 計 算 量 は 多 い 」 とい う こ と な の だ が,こ

れ を納 得 す るた め に は,ま ず,「大 き な数 」 に つ い て の 感 覚 を 身 に 着 け て お か な け れ ば な らな い ． こ の 節 で は,ま ず,「大 きな 数 」 につ い て の 雑 談 か ら話 を始 め よ う.

 6.3.1 

大 き な数 の 表 現

  大 き な 数 を 印 象 的 に 示 す の は 難 しい.ど らに 大 きい の だ が,ど

ん な 大 き な 数 よ り"無 限"の 方が さ

うい うわ け か 「無 限 に 地獄 の 業 火 に 焼 か れ る だ ろ う」 と

言 わ れ る よ りも,や た ら長 い 期 間 を指 定 され た 地獄 落 ち の 方が 恐 ろ し い 気が す る.イ

ン ド人 は 昔 か ら大 きな 数 マ ニ ア で あ っ た ら し く,大 きな 数 を 印 象 的 に 語

る 豊 富 な テ クニ ッ クを 編 み 出 して き た ． よ く使 わ れ る テ クニ ッ クは  

いや に な るほ ど長 い 日数 を １ 日と し た と きの,い や に な る ほ ど 長 い 日 数.さ

らに,そ れ を １日 と した と きの い や に な るほ ど長 い 日数.さ

に,そ れ を １日 と した と きの い や に な る ほ ど 長 い 日数.さ を

ら

らに,そ れ

……

と い う繰 り返 しで あ る.こ の 表 現 の 迫 力 は 最 初 の 「い や に な る ほ ど 長 い 」 を い か に う ま く表 現 す る かで 決 まる よ うだ.し か し,数 学 的 に は,そ の 部 分 よ り も, 何 回 繰 り返 す か の 方 が 大 き さへ の 貢 献 は 大 きい の だが.   繰 り返 し の 回 数が 多 け れ ば 「い や に な る ほ ど長 い 日数 」 は 「た った の ２ 日」 で もよ い.  

２ 日を １ 日 と した と きの ２ 日間.さ 日間.さ (と,ペ

ら に,そ れ を １ 日 と した と き の ２

らに,そ れ を １日と した と きの ２ 日間 ． さ ら に,そ れ を … … ー ジ が もった い な い か ら止 め るが 「さ らに,そ れ を … … 」 を

全 部 で62回

繰 り返 して あ る と思 って ほ し い)

これ は非 文 学 的 な 表 現 で あ り,こ の 日数 を恐 ろ しい ほ ど長 い と感 じて くれ る読

者 は ま ず い な い(恐

ろ し い ほ ど 長 い 表 現 だ と 感 じ る だ ろ うが).こ

を 使 っ て 書 く と,も

っ と 迫 力 が な く な る.２

な わ ち22日

に ２ を62回

の 日数 を 指 数

日 を １ 日 と し た と き の ２ 日 間,す

か け る の だ か ら,

 264日

と な る.こ

れ で は 長 い の か 短 い の か わ か ら な い(だ

数 に な る).だ

い た い,こ

の よ う な 表 現 を し た の で は,読

か 」 に は 関 心 を も た ず,64回

で は な く32回

し,こ

日で あ り,ほ

の 場 合 は お よ そ43億

  さ て,大

い た い1800万

の １兆 倍 の 日

者 は 「何 回 繰 り返 し た

に し た と こ ろ で 気 が つ か な い.し ん の1000万

か

年 に ち ょっ と に す ぎ な い.

きな 数 で あ る こ と を 印 象 づ け る 目 的 な ら文 学 的 表 現 能 力 で 勝 負 が 決

ま る の だ が,こ

こ で 必 要 と し て い る の は 「大 き さ の 程 度 の 理 解 」 で あ る.典

型

的 状 況 は 「１秒 間 に や た ら た く さ ん の 回 数 の 計 算 を こ な す ス ー パ ー コ ン ピ ュ ー タ で,や

た ら た く さ ん の 計 算 を させ る と ど の く ら い 時 間 が か か る?」 と い う 質 問

に 答 え る こ と で あ る.両

方 の 「や た ら た く さん 」 が ど の く ら い 「や た ら た く さ

ん 」 な の か 冷 静 に 評 価 し な い こ と に は,一

瞬 で 答 えが 出 る の か 宇 宙 の 終 わ り ま

で か か る の か ， ど ち ら か 判 断 の し よ うが な い.よ

う す る に 大 き さ の 程 度 を10489

と い っ た 表 現 か ら 把 握 す る 能 力 が 必 要 に な る の だ.

  6.3.2 

10nの

例38.１

年間は

 

例

60×60×24×365=31536000∼3×107秒

で あ る.

  こ こ で は"近

似"の

記 号 と し て ∼ を 使 っ て い る.こ

近 似 よ り さ ら に 「だ い た ん 」 な の で,馴   3.1415…

こ で の"近

似"は

普通 の

染 み の な い 記 号 に し て お い た.

を ３ と 近 似 す る こ と に は 賛 否 が 分 か れ る だ ろ う が,大

き さの 程 度

を 把 握 す る と い う 目 的 で は こ れ で よ い.

例39. 

宇 宙 の 年 齢(何

の こ と だ ろ う?)は,数

百 億 年 ら し い.め

ん ど うな の で

200億

年 と し よ う.こ

  200億

れ を秒 に 直 す と

年=2×1010年

と い う わ け で1018秒

は"と

∼2×1010×3×107秒=6×1017秒

て も長 い 時 間"と

あ る 計 算 を 実 行 す る の に1018秒

か か る な ら ば,そ

可 能"と

い っ て も よ い だ ろ う.

例40.

原 子 の 直 径 は お よ そ1/1010(m)程

さは 秒 速 約3×108(m)だ

考 え る こ と に し よ う.た

度(分

の 計 算 は"現

と え ば,

実的には実行不

数 を使 っ て し ま っ た ！).光 の 速

か ら,原 子 の 直 径 を 光 が 通 り抜 け る 時 間 は1/(3×1018)

秒.

  使 わ な い は ず の 分 数 を 使 っ て ま で 言 い た か っ た こ と は,  

「現 在 使 わ れ て い る 計 算 機 の 改 良 が い く ら 進 ん だ と し て も,１

つの動

作 に 最 低 で も原 子 １個 の 距 離 を電 気 が 流 れ る 時 間 は か か る は ず だ か ら,１ 秒 間 で で き る 計 算 の 回 数 は,せ

い ぜ い3×1018く

ら い の もの で

し ょ う」 と い う こ と で あ る.

 

コ メン ト

 "現

在 使 わ れ て い る計 算 機 の 改 良 が い くら 進 ん だ と し て も"と い う 表 現 は 用 心 深 い 表 現 で あ る.最 近 「量 子 コ ン ピ ュ ー タ」 と い う,現 在 の コ ン ピ ュ ー 夕 と は ま っ た く違 う原 理 に 基 づ く変 な コ ン ピ ュ ー タの 可 能 性 が 話 題 に な っ て い る が,こ

例41. "と

うい う もの は 考 え な い と い うこ と.

て も 長 い 時 間"1018秒

間 の 間,１

秒 間 に3×1018回

る コ ン ピ ュ ー タ を 動 か し 続 け た と き の 計 算 回 数 は,  

  ま だ,並

3×1018×1018=3×1036回

列 計 算 の 可 能 性 を 考 慮 し て い な か っ た.

の計算が で き

例42. ら,炭

地 球 の 質 量 は 約6×1024kg.炭

素 原 子 １個 の 質 量 は2×10-26 

kgだ

か

素 原 子 １個 の 質 量 の 計 算 機 を 集 め た 地 球 の 重 さ の 並 列 計 算 機 は,3×1050

台 の 並 列 計 算 機 と い う こ と に な る.   こ れ は す ご い 量 の 計 算 を や っ て の け る こ とが で き そ う だ. 例43.

１秒 間 に3×1018回

で つ な い だ(地

の 計 算 が で き る コ ン ピ ュ ー タ を3×1050台

球 の 重 さ の)計

算 機 を1018秒

間 の 間 と い う"と

並 列

て も 長 い 時 間"

動 か した と きの 計 算 回 数 は

 

3×1036×3×1050=9×1086∼1087回

  要 す る に,1087回 は,計

の 計 算 は,"現

算 機 の 改 良 と か,気

実 的 に は 実 行 不 可 能"と

長 に 待 て ば よ い と か,た

そ の よ う な 改 良で は 解 決 で き な い"不 ぎ た よ うだ ． も う少 し 現 実 的 な"現

例44. (100兆

１秒 間 に1014回(100兆 台)並

け て も,全

可 能 性"で

列 で 動 か し て,3000年

れ

く さ ん 同 時 に 動 か そ う と か,

あ る.し

実 的 に 不 可 能"の

回)の

い う こ と だ.そ

か し,ち

ょっ と 遊 び す

目 安 を 立 て て み よ う.

計 算 が で き る コ ン ピ ュ ー タ を1014台

の 間,つ

ま り,9×1010秒

の 問 計 算 を続

部 で

 

1014×1014×9×1010=9×1038∼1039回

の 計 算 し か で き な い.

  め ん ど うだ か ら10倍

 

して

1040回

と考 え る こ と に し よ う(こ

の 計 算 は"現

実 的 に は 実 行 不 可 能"

れ で さ え も"現 実 的"と

い う に は あ ま りに も 非 現 実 的

な 設 定 な の だ が).

  6.3.3 

現 実的に不可能 な計算

  そ れ で は,大

き な 整 数 に 絡 ん だ"現

実 的 に 不 可 能 な 計 算"を

調 べ て み よ う.

例45.  

100桁 の 整 数 ｎ の 約 数 を

２で 割 り切 れ るか 調 べ る.３ で 割 り切 れ るか 調 べ る.４ で 割 り切 れ るか 調 べ る.…

…

と単 純 に 繰 り返 して 見 つ け るの は 現 実 的 に は 不 可 能 で あ る.な ぜ な らば,ｍ n＜m2を

満 た す 最 初 の 正 整 数 と して(ｍ

は50桁

を

程 度 の 整 数 に な る),こ の 計

算 を ２か ら ｍ まで 続 け な け れ ば な ら な い の だが,そ

れ に は1050回

程度の計算

が 必 要 だ か ら.

  こ の例 で は,"割

り算 を単 純 に 繰 り返 す"方 法 で は 現 実 的 に 不 可 能 で あ る と

い って い る だ け で あ る.実 際,約 数 を 見 つ け る 方 法 と し て,も 方が 知 られ て い て,そ の 方 法 を使 う と100桁

っ と う まい や り

程 度 の 整 数 の 約 数 な ら,パ

で もす ぐ に見 つ け られ る.そ れ で も,200桁(RSA暗

ソコン

号 系 で 使 うn=pqの

桁

数)程 度 の 整 数 に な る と,現 在 知 られ て い る方 法 で は ス ーパ ー コ ン ピ ュ ー タで も実 用 的 な時 間 で は 計 算 で きな い(先 ほ ど の"現 実 的 に計 算 不 可能"ほ ど きび し い 基 準 で 不 可 能 と い っ て い る わ け で は ない ので,"実

用 的 な 時 間 で は"と 表 現 し

て お い た).   RSA暗

号 方 式 の 安 全 性 の 根 拠 は,100桁

程 度 の ２つ の 素 数 の 積ｎ の 約 数 を

見 つ け る こ とが 実 用 的 な 時 間 で 不 可 能 な こ と,つ

ま り200桁 程 度 の 整 数 の 因 数

分 解 が 実 用 的 な 時 間で 不 可 能 な こ とに 依 って い る.ｎ の 約 数 ｐ,ｑが わ か ら な い と い うこ とは,ｎ の オ イ ラー 関 数 の 値 ψ(n)=n-p-q+1が を意 味 す る.そ

して,ψ(n)が

わか らないこ と

わ か らな い 以 上,ed≡1modψ(n)を

満たす ｄ

を求 め た くて も,こ の 方 程 式 の 法 ψ(n)が わか らず 手 の 出 し よ うが な い.し が っ て,ｎ

と ｅ を知 ら され て も,秘 密 鍵 ｄ を 求 め る こ と は で きな い.こ

た

れ が,

前 に 要 請 した 「安 全性 の 要 請 １」 で あ る.   こ う し て,「安 全 性 の 要 請 １」が 満 た され た わ け だ.し か し,そ れ は,200桁 程 度 の 整 数 の 因数 分 解 が 実 用 的 な 時 間 で は不 可 能 な らば,で して,大

あ る ． こ の よ うに

きな 数 の 因 数分 解 法 とい う,一 見 遊 び の よ うな テ ー マ が,「実社 会 に 密

着 し た 問 題 」 と な っ て きた わ け だ.   「安 全 性 の 要 請 ２」 に つ い て は,ま ず 次 の 例 か ら安 心 で きる 心 証 が 得 られ る.

例46.

200桁 程 度 の 整 数 ｎ,ｅ,Ｃ が 与 え られ た と き,(合 同式 の)方 程 式

 

Xe≡C

の 解 を,Ｘ

に ０,１,２,…，n-1ま

mod

n

で す べ て の 整 数 を総 当 た りに 代 入 す る アプ

ロ ー チ で 求 め る の は,現 実 的 に は 不 可 能で あ る.

  こ の場 合 も,単 純 な 総 当 た りで は 無 理 と い うだ け で,他

に何 か す ば ら しい 方

法 が あ る 可 能 性 が 否 定 され て い るわ けで は な い.た だ,実 数 の ｅ乗 根 を 求 め る "数 値 計 算"と 違 っ て ,mod  nで の 整 数 のべ き乗 の 性 質 を 考 え る と,う まい 方 法 が あ る と は到 底 思 え ない.RSA暗 る とす れ ば,そ

号 の 安 全 性 が も し覆 され る よ うな こ とが あ

れ は うま い 因 数 分 解 法 が 発 見 され,「安 全 性 の 要 請 １」 が 満 た さ

れ な くな った 場 合 で あ ろ う.   さて,こ

こで の 議 論 は あ ま りに単 純 化 した 話 で あ って,RSA暗

つ い て は,他

号 の安 全性 に

に もい ろ い ろ検 討 すべ き点 が あ る.し か し,そ れ は 他 の 本 を 読 ん

で も ら うこ とに し て,今 度 は鍵 の作 成 や 暗 号 化,復

号 化 が 実 用 的 な 時 間で 本 当

に 可 能 か ど うか を検 討 す る こ とに し よ う.

  6.3.4 

素数判定 法

  鍵 の 作 成 や 暗 号 化,復 な い とい うこ とは,す

号 化 の 際 に 必 要 に な る計 算 が そ れ ほ ど の 時 間 が か か ら

で に ほ と ん ど 検 討 済 み で あ る.た

だ,こ

の 本 も最 後 の 方

に な って くる と,そ ろ そ ろ息 切 れ 状 態 で 読 ん で い る は ず で,前

の 方 の 章 を参 照

して 「… … に 説 明 して い る よ うに,こ の 計 算 は 容 易 に で き る」 とい う タ イプ の 検 討 は 正 直 願 い 下 げ で は な い だ ろ うか.と い うわ け で,サ

ボ ル こ とに す る(読

者が 疲 れ て い る とい う理 由で 著 者 が サ ボ ル とは 何 事 だ!)   とに か く細 か い検 討 は しな い ． しか し,ひ とつ 大 きな 問 題 が 残 され て い る.そ れは   100桁

く らい の 素 数 ｐ,ｑを選 ぶ とい うこ とが 実 用 的 な 時 間 で 可 能 か?

と い う問 題 で あ る.す で に,大

きな 整 数 の 因数 分 解 は 難 しい こ と を見 た.い

っ

た い,約 数 を具 体 的 に 求 め る こ とな し に与 え られ た 整 数 が 素 数 か ど うか 判 定 す

る こ とが 可 能 だ ろ うか?   正 直 に 言 お う.実 は,こ の 本 で 準 備 した 数学 の レベ ル で は,こ の 問題 を検 討 す る こ と は無 理 な の だ.実 際 には,100桁

くらい の 素 数 を 手 に 入 れ る た め に は,

  ●ラ ン ダ ム に 整 数 を選 び そ れ が 素 数 か ど うか を 調 べ る   ●素 数 で な け れ ば,別

の整 数 を選 ぶ

とい う操 作 を 素 数 が 手 に 入 る まで 繰 り返 す.   こ の 場 合,次

の ２点 を検 討 し て お か なけ れ ば な ら な い.

  ●与 え られ た 整 数が 素 数 か ど うか を ど の よ うに して 調 べ るか(素   ●い っ た い何 回 くらい 繰 り返 せ ば 素 数 が 手 に 入 る の か.つ い の 整 数 の 中 で の 素 数 の 割 合 は ど の くらい か(素

数 判 定 法)

ま り,100桁

くら

数 分 布 の 問題)

素 数 分 布 につ い て は 「リーマ ンの 素 数 定 理 」 とい う"高 級 な"定 理 が 必 要 に な る.   素 数 判 定 法 は い ろ い ろ あ るが,た

と えば フ ェル マ ー の 小 定 理 の合 同 式 が 成 り

立 つ か を 調 べ る と い うの もひ と つ の 手 で あ る.た だ し,こ れ は あ ま りう ま くい か な い.素 数 で もな い くせ に 素 数 の よ うな振 りを し て フ ェ ル マ ーの 小 定 理 の 合 同式 を成 立 させ るや っか い な 合 成 数 もあ る の だ(偽 素 数 と い う).そ こ で,ap-1 の 代 わ りにa(p-1)/2の

値 を調 べ,そ

れ と"ル ジ ャ ン ドル記 号 の 値"と が 等 し く

な るか を調 べ る方 法 が あ る.こ れ は 大 変 面 白い 話 題 なの だ が,"ル

ジ ャ ン ドル 記

号"と い うもの は"ガ ウ ス の 平 方 剰 余 相 互 法 則"と い う整 数 論 の 定理 に根 拠 を お い て い る.こ の あ た りか ら,数 学 の専 門 分 野 と して の 本 格 的 な 整 数 論 が ス タ ー トす る こ とに な る.   とい うわ け で,う

ま い具 合 に 「専 門 的 な 数 学 」へ の 入 り口 に 話 を も っ て い く

こ とが で きた.そ れ で は ペ ー ジ 数 も ち ょ うど よい の で,「入 門 と して の 数 学 」 は こ の へ ん で 終 わ りに す る こ と に し よ う.

 

あ

と が

き

  概 念 的 に 危 な い と こ ろは 検 討 し,ご まか さず に 述 べ る 努 力 を して きた つ も り で あ る.し か し,結 果 は ど うだ った だ ろ うか.   結 局 は 程 度 問題 で,個

々 の 人 間 に は個 々 の 思 考 パ タ ー ンが あ り,著 者 の 思 考

パ タ ー ン と波 長 が 合 わ なか っ た 読 者 に は,か え って 数 学 に対 す る不 信 感 を 強 め て し まっ た,と

い うの が 結 果 な の だ ろ うか.

  も し くは,著

者 の 能 力 の 問 題 で ピ ンぼ け の 検 討 ば か りし て き た の だ ろ うか.

フ ェ ア ー に や る と言 い なが ら,結 果 はや は りア ン フ ェ ア ー だ った の だ ろ うか.   も し,こ の 本 を 読 ん で 数 学が い や に な っ た り自分 の 知 力 を 疑 う羽 目 に な っ た と し た ら,ま ず,著

者 の 知 力 の 問 題 とい う可 能 性 を検 討 して み るべ きか も しれ

な い―

うで あ って も製 造 物 責 任 を と っ て この 本 の 返 品 に応 じる こ

た だ し,そ

と は しな い け れ ど.   さて,そ れ は と もか く,こ の 本 の 内容 に 関 連 し た 参 考 文 献 をい くつ か あげ て お こ う.ま ず,「 数 学 で の 文 字 の 使 い方 」 と い うこ とが この 本 の ひ とつ の テ ー マ な の だ が,こ れ に つ い て は   足 立 恒 雄 ：『フ ェ ル マ ーの 大 定 理(第

３版)』,日 本 評 論 社(1996)

が 面 白い と思 う.こ こで の 「フ ェル マ ー の 大 定 理 」 は,数 学 の 内 容 と し て は 本 書 の フ ェ ル マ ー の 小 定 理 と直 接 関係 は な い の だ が,フ

ェ ル マ ーの 時 代 か らの 文

字 の 使 用 法 が 述 べ られ て い る部 分 が 特 に 興 味 深 い.実 は 筆 者 は こ の本 を 読 ん で 初 め て,高 校 レベ ル の 数 学 で も当 た り前 の よ うに 使 わ れ て い る 「文 字 の 使 用 法 」 が 実 は 結 構 高 級 な こ とな の だ と い うこ とを 知 っ た の だ.   そ れ で は肝 心 の 数 学 の 内 容 と し て フ ェル マ ー の小 定 理 や オ イ ラ ー の 定 理 に 続 い て 勉 強 す る た め の本 とな る と,あ が つ い た本 は,だ

ま りな い.い

わ ゆ る 「整 数 論 」 とい う表 題

い た い に お い て現 代 的 な 意 味 に お い て の 「整 数 論 」が 内 容 で

あ り,整 数 に つ い て の 具 体 的 問 題 に は(少 ら ない.比

な くと も表 面 的 に は)あ

ま りか か わ

較 的,具 体 的 な 問 題 と の 関 連 が 書 か れ て い る本 と して

  高 木 貞 治 ：『初等 整 数 論 講 義(第 が あ る の だが,困

２版)』,共 立 出版(1971)

った こ と に古 い本 で あ るに もか か わ らず,大 変 高価 で あ る.ま

た,題 名 に"初 等"と い う言 葉 が 入 っ て い るが,こ れ は 決 し て読 み や す い や さし い 内 容 の 本 とい うこ とは 意 味 しな い.読 み 通 す の に ど の く らい の 時 間 と労 力 が 必 要 か 考 え る と,本 の 価 格 な ど た だ に 等 しい よ うな もの で あ る.し か し,名 著 とい わ れ る本 は さす が に名 著 な りの こ とが あ り,ど れ ほ ど 努 力 と時 間 を か け て 読 ん だ と し て も,損 をす る こ とは な い.   「問題 を 解 く」 と い うこ とが 好 きで 整 数論 の 勉 強 を し た い な らば   野 口  廣 監 修:『 数 学 オ リン ピ ッ ク事 典 』,朝 倉 書 店(近 刊) の 「整 数 論 」 の 章 も よい だ ろ う.   最 後 に 暗 号 に つ い て だが,い ろ い ろあ るが 個 人 的 な趣 味 と し て は 最 初 に 一 松  信:『 暗号 の 数 理 』 ,講 談 社 ブ ル ー バ ック ス,講 談 社(1980) を読 む こ と を薦 め る.さ

らに 本 格 的 に 勉 強 した い な ら,

  Ｎ.コ ブ リッ ツ(櫻 井 幸 一 訳):『 数 論 アル ゴ リズ ム と楕 円暗 号 理 論 入 門 』,シ ュ プ リン ガ ー ・フ ェ ア ラ ー ク東 京(1997) な ど の 本 格 的 な 本 に 進 む と よい.こ て も使 え るか も しれ な い.

の 本 は 整 数 に つ い て の 整 数論 の 入 門 書 と し

索

■ア 行

引

空 集 合  47

余 り  30 RSA暗

号 方 式   118

系   79

暗号   108

結 合 法則   10,11

暗号 化   110

現 実 的 に不 可 能 な 計算   125

暗号 化 鍵   110

減 法  ５,13

暗号 文  110 公 開 鍵 暗号 方 式   115 １の性 質  11

合 成 数  23 合 同  30

演 算  ５ ―に つ いて 閉 じて い る 77 演 算 表  58

恒 等 式  ７ 合 同 式  30 公 約 数  88 公 理  ４,66

オ イ ラーの 定 理   97,99

公 理 的集 合 論  51

オ イ ラーの ψ 関 数  98 大 きな 数の 表 現   122

■サ 行 指 数  39

■ 力行

自然 数 の 集 合  47

外 延 的定 義   53

自 明 な約 数  23

可換 性   10

写 像   44,71,72

 乗 法の―5

周 期 性   39

鍵   109

集 合  44,45 ―の 要 素  46

加 法  ４ ―と乗 法 に つ い ての恒 等 式   11,19,63

  自然 数 の―

 47

―に つ い て の恒 等 式   10,15,62

  整 数 すべ ての―

―の 可 換 性  ５

十 進 法  34

関数   71

 47

乗 法  ４ ―に つい て の 恒 等式   11,19,62

逆 元   63,70,102 共通 部 分   55

―の可 換 性   ５ 剰 余 系  59 剰 余 類  59

推 移律   ９

反射 律  ９

数 学 オ リンピ ック  42 平 文  110 整 域  25,68,69 整 数   14

フ ェル マ ーの 小 定 理  81

整 数す べ て の集 合  47

復 号 化   111

積   17

復 号 化 鍵   112

零(ゼ ロ)の 性 質   10

不 等 号  ９

全 射  73

負 の数  14

全 単射   73

部 分 集 合  47 分 配法 則  ５,11

素 数  23 ―の 性 質  25,69

ペ ア ノの 公理   ４

素 数判 定 法  128 法  30 ■ タ行

方程 式   13

対 称律  ９

補題   79

互 い に素  89 単 位 元  63

■マ 行

単 射  73

無 限  50 無 限集 合47

値 域  73 ■ヤ 行 定 義  ４

約 数  23

定 義 域  72

  自明な―23

定 理  79 ユ ー ク リ ッ ドの 互 除法  103 等 号  ８

有 限集 合  47,74

閉 じて い る(演 算 につ い て)  77 要 素(集 合の)46 ■ ナ行 内包 的定 義  53

■ラ 行 ラ ッセ ル のパ ラ ド ック ス 50

任 意 の ∼ に対 して  ７ ■ ワ行 ■ ハ行

和 集 合   55

倍 数  22

割 り算  ５,20

背 理 法  24

著者 略歴 戸

川 美 郎(と がわ ・よしお)

1953年  東京都 に生 まれる 1977年  早稲 田大学 大学院理工 学研 究科修 士課 程修 了 現 在 東京理 科大学 理工学 部情報 科学科 教授 ・理学 博士

シ リー ズ[数

学 の 世 界]１

ゼ ロ か らわ か る数 学― 数論 とその応用― 2001年

５ 月25日 

初 版 第 １刷

2007年

２ 月25日 

第 ４刷

定価 は カバ ーに 表示

著 者 戸 

川

美

郎

発行者 朝

倉

邦

造

発行所  株式 朝 会社

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 番 号  電 FAX 

〈検 印 省 略 〉 〓 2001〈

ISBN

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

三 美印刷 ・渡辺 製本

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

978-4-254-11561-1 

162-8707

話  03(3260)0141

C3341

Printed

in Japan

前東工大  志 賀 浩 二  著 は じめ か ら の数 学 １

数

に

つ

1531-4  C3341 

い

B5判 

て

152頁  本 体4500円

前束工大  志 賀 浩 二  著 は じめ か らの 数 学 ２

式

に

つ

11532-1 C3341 

い

B5判 

て

200頁  本 体4500円

前東工大  志 賀浩 二  著

数

十 分 深 い 理 解 が 得 られ る よ うに 配 慮 した数 学 再 生 の 一 歩 と な る話 題 の 書 。 【各 巻 本 文 二 角 刷 】

点 を示す等式か ら,範 囲 を示 す不等式へ,そ して 関数の世 界へ導 く「式」 の世 界を展開。 〔 内容〕文字 と式／ 二項定理／数学的帰納法／恒 等式 と方程 式 ／ ２次方程 式／多項式 と方程式／ 連立方程式／ 不 等式／数列 と級数／式の世 界か ら関数の世 界へ ' 働 き'を表 す ため に は,関 数 が 必 要 とな っ た 。関 数 の導 入 か ら,さ ま ざ まな 関 数 の 意 味 とつ なが りを

は じめ か らの数 学 ３

関

数 学 を も う一 度 初 め か ら学 ぶ と き"数"の 理 解 が 一 番 重 要 で あ る。 本 書 は 自然 数,整 数,分 数,小 数 さ らに は 実 数 ま で を述 べ,楽 し く読 み 進 む う ち に

に

つ

11533-8  C3341 

B5判 

い

て

192頁  本 体4500円

解 説。 〔内 容 〕式 と関 数 ／ グ ラ フ と関 数 ／ 実 数,変 数 関 数 ／ 連 続 関数 ／ 指 数 関 数,対 数 関 数 ／ 微 分 の 考 え／ 微 分 の 計算 ／ 積 分 の 考 え／ 積 分 と微 分

シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉〈 全 ７巻〉 野 口廣監 修 ／数 学の 面 白 さ と魅力 をや さし く解説 中大 山 本  慎 著

コ ン ピュ ー タ内 部 で の 数 の 扱 い 方 か ら始 め て,最:

シ リー ズ〈数 学 の世 界〉２

大 公 約数 や 素 数 の 見 つ け 方,方 程 式 の 解 き方,さ らに 名 前 の デ ー タ の 並 べ 替 え や 文 字 列 の 探 索 ま で,コ ン ピ ュー タ で 問 題 を解 く手 順 「ア ル ゴ リズ ム 」を中 心 に 情 報 処 理 の 仕 組 み を解 き明 か す

情

報

の

11562-8  C3341 

A5判 

数

理

168頁  本 体2800円

早大 沢 田  賢・ 早大  渡 邊 展 也・ 学芸大  安 原  晃 著 シ リー ズ 〈数 学 の 世 界〉３

社

会

 ― 11563-5 C3341 

科

学

の

数

学

線 形代 数 と微 積 分― A5判  152頁 本 体2500円

早大 沢 田  賢・ 早大  渡 邊 展 也・ 学芸大 安 原  晃 著 シ リー ズ 〈数 学 の世 界 〉４

社 会 科 学 の 数 学 演 習  ―線 形 代 数 と微 積 分― 11564-2 C3341  A5判  168頁 本 体2500円 専大 青 木 憲二  著 シ リー ズ〈数 学 の 世 界〉５

経 済 と 金 融 の 数 理

社 会 科 学 系 の学 部 で は 数 学 を履 修 す る時 間 が 不 十 分 で あ り,学 生 も高校 で あ ま り数 学 を 学 習 し て い な い。 この こ とを 十分 考 慮 し て,数 学 に お け る文 字 の 使 い 方 な ど か ら始 め て,線 形 代 数 と微 積 分 の 基 礎 概 念 が 納 得 で き る よ うに 工 夫 を こ ら した 社 会 科 学 系 の 学 生 を対 象 に,線 形 代 数 と微 積分 の 基 礎 が 確 実 に 身 に 付 くよ うに 工 夫 され た 演 習 書 。 各 章 の 冒 頭 で 要 点 を解 説 し,定 義,定 理,例,例 題 と解 答 に よ り理 解 を深 め,そ の 上 で演 習 問題 を 与 え て 実 力 を養 う。 問 題 の 解 答 を 巻 末 に 付 す 微 分 方程 式 は 経 済 や 金 融 の 分 野 で も広 く使 わ れ る よ うに な っ た 。 本 書 で は 微 分 積 分 の 知 識 を い っ さ い 前提 とせ ず に,日 常 的 な感 覚 か ら 自然 に 微 分 方

 ― や さ しい 微 分 方程 式 入 門 −1 11565-9 C3341  A5判  160頁 本 体2700円

程 式 が理 解 で きる よ うに 工 夫 さ れ て い る。 新 し い

早大 鈴 木 晋 一  著

ユ ー ク リッ ドの平 面幾 何 を 中 心 に して,図

シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉６

学 的 に 扱 う楽 しさ を読 者 に伝 え る。 多数 の 図 と例 題,練 習 問 題 を添 え,談 話 室 で 興 味 深 い 話 題 を提 供 す る。 〔内容 〕幾 何 学 の 歴 史 ／ 基 礎 的 な事 項 ／ ３

幾

何

の

11 566-6  C3341 

A5判 

世

界

152頁  本 体2800円

数学 オリンピック財団 野 口  廣 著

概 念 や 記号 は て い ね い に繰 り返 し 説 明 す る 形 を数

角 形 ／ 円 周 と円 盤 ／ 比 例 と相 似 ／ 多辺 形 と円 周

シ リー ズ〈数 学 の世 界〉７

数 学 オ リ ン ピ ッ クに 挑 戦 しよ う と思 う読 者 は,第 一 歩 と して何 を ど う学 ん だ ら よ い の か 。 挑 戦 者 に

数 学 オ リ ン ピ ッ ク 教 室

必要 な 数 学 を丁 寧 に 解 説 し な が ら,問 題 を解 くア イ デ ア と道 筋 を具 体 的 に 示 す 。 〔内 容 〕集 合 と写像

11567-3  C3341 

A5判 

140頁  本 体2700円

／ 代 数 ／ 数論 ／ 組 み 合 せ 論 と グ ラ フ ／ 幾 何

114

前東工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ １

微

分

・ 積

11476-8  C3341 

分30講 A5判 

208頁  本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著 数学30講 シ リー ズ ２

線

形

代

11477-5 C3341 

数30講 A5判 

216頁 本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ ３

集

合

へ

の30講

78-2  C3341 A5判 

196頁 本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ ４

位

相

へ

11479-9 C3341 

の30講 A5判 

228頁 本 体3400円

前束工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ りー ズ ５

解

析

入

11480-5 C3341 

門30講 A5判 

260頁 本 体3400円

前束工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ ６

複

素

数30講

11481-2  C3341 

A5判 

232頁  本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著

ク

ト ル 解

11482-9  C3341 

析30講

A5判 

244頁  本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ ８

群

論

へ

11483-6 C3341 

の30講 A5判 

244頁 本 体3400円

前束工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ ９

ル

ベー

グ 積

11 484-3  C3341 

分30講

A5判 

256頁  本 体3400円

前東工大  志 賀 浩 二  著 数 学30講 シ リー ズ10

固

有

11485-0 C3341 

値

〔内容 〕ツル・ カ メ算 と連立方程式／方程式,関 数, 写像 ／ ２次元の数ベ クトル空間／ 線形写像 と行列 ／ベ ク トル空問／基底 と次元／正 則行 列 と基底変 換／ 正則行列 と基本行列／行列 式の性 質／ 基底変 換 か ら固有値問題へ／ 固有値 と固有ベ ク トル／他 〔 内容〕身近 なところに ある集合／集合 に関 す る基 本概 念／ 可算集合／実数の集合／写像／濃度／ 連 続体 の濃度 をもつ集合／順序集合／整列集合／順 序数／ 比較 可能定理,整 列可能定理／選択公理 の ヴァ リエー ション／連続体仮設／ カン トル／他 〔 内容 〕 遠 さ,近 さと数直線／集積点／連続性／ 距 離空間／ 点列 の収 束,開 集合,閉 集合／近傍 と閉 包／連続写像／ 同相 写像 ／連結 空間／べールの性 質／完備化／位相 空間／ コンパ ク ト空間／分離公 理／ ウ リゾー ン定理／位相 空間か ら距離空間／他 〔 内容〕数直線 の生 い立ち／ 実数 の連続 性／関数の 極限値 ／微分 と導関数／ テイラー展 開／ べキ級数 ／ 不定積分か ら微分方程式へ／線 形微分 方程 式／ 面積／ 定積分／指数関数再考／ ２変数 関数 の微分 可能性／ 逆写像定理／ ２変数関数の積分／他 〔 内容〕負数 と虚数の誕生 まで／向 きを変 えるこ と と回転／ 複素数の定義／複素数 と図形／ リー マ ン 球面／複 素関数の微分／正則関数 と等角性／べ キ 級数 と正 則関数／複素積分 と正則性／ コー シー の 積分定理／ 一致の定理／孤立特異点／留数／他 〔内容 〕ベ ク トル とは ／ ベ ク トル 空 間 ／ 双 対 ベ ク ト ル 空 間 ／ 双 線 形 関数 ／ テ ン ソル代 数 ／ 外 積 代 数 の

数 学30講 シ リー ズ ７

ベ

〔 内容〕 数 直線／ 関数 とグラフ／有理関数 と簡単 な 無理関数 の微分／ 三角 関数／ 指数関数／対数関数 ／合成関数 の微分 と逆関数の微分 ／不定積分／定 積分／円 の面積 と球 の休積／極 限について／平均 値の定理／ テイラー展開／ ウォ リスの公式／他

問

題30講

A5判 

260頁 本体3400円

構 造 ／ 計 量 を もつベ ク トル 空 間／基底 の 変 換 ／ グ リー ンの 公 式 と微 分 形 式／ 外 微 分 の 不 変 性 ／ ガ ウ ス の 定 理 ／ ス トー クス の定 理 ／ リー マ ン計 量 ／ 他

〔内容〕シンメ トリー と群／群 の定義／群 に関す る 基本的な概念／対称群 と交代群／正 多面体群 ／部 分群 に よる類別／巡 回群／整数 と群／群 と変換／ 軌 道／正 規部分群／アーベ ル群／ 自由群／ 有限的 に表示 され る群／位相群／不変測度／群環／他 〔 内容 〕 広 が って い く極限／数直線上の長 さ／ ふつ うの面積概 念／ルベー グ測度／可測集合／ カラテ オ ドリの構 想／測度空間／ リーマ ン積分／ ルベー グ積分へ 向けて／可測関数の積分／可積分関数 の 作 る空間／ ヴ ィタリの被 覆定理／ フビニ定理／他 〔 内容 〕 平面上 の線形写像／ 隠 されてい るベ ク トル を求めて／線 形写像 と行列／ 固有空間／正規直交 基底／エル ミー ト作用素／積分 方程 式／ フレー ド ホルムの理論／ ヒルベ ル ト空間／ 閉部分 空間／完 全 連続な作用素／ スペ ク トル／ 非有 界作用素／他

Ｇ. ジ ェ ー ム ス ・R.C.ジ 前 京大 一 松  信

数

数 学 の 全 分 野 に わ た る,わ か りや す く簡 潔 で 実 用 的 な 用 語 辞 典 。 基 礎 的 な事 項 か ら最 近 の トピ ッ ク ス まで 約6000語 を収 録 。 学 生 ・研 究 者 か ら数 学 に

ェ ー ム ス  編

・東 海 大  伊 藤 雄 二 監 訳

学

11057-9 C3541 

辞 A5判 

典

664頁 本 体23000円

数 学 オ リ ン ピ ッ ク事 典 問題 と解 法―   〔基礎 編 〕〔演 習 編 〕

11087-6 C3541 

B5判  864頁  本 体18000円

理科大 鈴 木 増 雄・ 中大  香 取 眞 理・ 東大 羽 田 野 直 道 ・物質材料研究機構 野 々 村 禎 彦 訳

学技術者のための  数 学 ハ ン ドブ ッ ク 11090-6 C3041 

T.H.サ

A5判 

570頁 本 体16000円

イ ドボサ ム  著  前京大 一 松

はじめからの す 11 098-2  C3541 

う が B5判 

して,多 国 語 索 引(英 ・仏 ・独 ・露 ・西),記 号 ・ 公 式 集 な ど を収 載 し て,読 者 の 便 宜 を は か っ た 。 〔項 目例 〕ア イ ン シ ュ タ イ ン ／ 亜 群 ／ ア フ ィ ン 空 間 ／ ア ーペ ル の 収 束 判 定 法 ／ ア ラ ビア 数 字 ／ ア ル キ メ デ ス の螺 線 ／ 鞍 点 ／ ｅ／ 移 項 ／ 位 相 空 間／ 他 国際 数 学 オ リ ン ピ ッ クの 全 問 題 の他 に,日 本数 学 オ リン ピ ッ クの 予 選 ・本 戦 の 問 題,全 米 数 学 オ リ ン ピ ッ クの本 戦 ・予 選 の 問 題 を 網 羅 し,さ ら に ロ シ ア(ソ 連)・ ヨー ロ ッパ 諸 国 の 問題 を精 選 して,

数学 オリンピック財団  野 口  廣 監修 数 学 オ リ ン ピ ッ ク財 団 編

 ―

か か わ る総 て の 人 に最 適 。 定 評 あ るMathematics Dictionary(VNR社,最 新 第 ５版)の 翻 訳 。付 録 と

詳 しい解 説 を加 え た 。 各 問 題 は分 野 別 に 分 類 し, 易 しい 問題 を 基礎 編 に,難 易 度 の 高 い 問 題 を演 習 編 に お さめ た。 基 本 的 な 記 号,公 式,概 念 な ど数. 学 の 基 礎 を 中学 生 に もわ か る よ うに 説 明 し た章 を 設 け,ま た各 分 野 ご とに 体 系 的 な知 識 が 得 られ る よ う な解 説 を付 け た 。世 界 で初 め て の 集 大 成

理工系の学生や大学 院生には もちろん,技 術者 ・ 研究者 として活躍 してい る人 々に も,数 学の重要 事項 を一気に学 び,ま た研 究 中に必要 に なった事 項 を手 っ取 り早 く知 るこ との できる便 利で役に立 つハ ン ドブ ック。 〔 内容〕 ベ ク トル解析 とテ ンソル 解析／常微分方程式／行列 代数／ フー リエ級数 と フー リエ積分／線形ベ ク トル空間／複素 関数／特 殊関数／変分法／ ラプラス変換／偏微分 方程式／ 簡単な線形積分方程式／群 論／数値的 方法／確率 論入門／(付録)基本概念／行 列式 その他 数 学 の 基 礎 的 な 用 語 を収 録 した 五 十 音 順 の 辞 典 。 図や 例 題 を 豊 富 に 用 い て初 学 者 に も わか りや す く 工 夫 した 解 説 が され て い る。 また,ふ だ ん何 気 な

信  訳

く 事 典 512頁  本 体8800円

く使 用 して い る用 語 の 意 味 を あ らた め て確 認 ・学 習 す るの に 好 適 の 書 で あ る。 大 学 生 ・研 究 者 か ら 中学 ・高校 の教 師,数 学 愛 好 者 まで あ ら ゆ る ニ ー ズ に 応 え る。 巻 末 に 索 引 を付 して 読 者 の 便 宜 を 図 っ た。 〔項 目例 〕１次 方 程 式,因 数 分 解,エ

ラ トス テ

ネ ス の篩,円 周率,オ イ ラー の 公 式,折 フ,括 弧 の展 開,偶 関 数,他

れ線 グラ

コ ン ピ ュ ー タ を 活 用 して,数

中大  小林 道正  著

グラフィカル 数 学ハ ン ドブ ック Ｉ(普 及 版)  ―

基 礎 ・解 析 ・確 率 編―   〔CD-ROM付

1111 4-9 C3041 

学 の す べ て を実 体 験

しな が ら理解 で き る新 時 代 の ハ ン ドブ ッ ク。 面 倒 な計 算 や,グ ラ フ ・図 の 作 成 も付 録 のCD-ROMで

A5判 

〕

600頁  本 体12000円

簡 単 に で き る。 Ｉ巻 で は 基 礎,解 析,確 率 を解 説 〔内 容 〕数 と式 ／ 関数 と グ ラ フ(整 ・分 数 ・無理 ・三 角 ・指 数 ・対 数 関 数)／ 行 列 と １次 変 換(ベ ク トル ／ 行 列 ／ 行 列 式 ／ 方程 式 ／ 逆 行 列 ／ 基 底 ／ 階 数 ／ 固有 値 ／ ２次 形 式)／ １変 数 の微 積 分(数 列 ／ 無 限 級 数 ／ 導 関 数 ／ 微 分 ／ 積 分)／ 多変 数 の 微 積 分 ／ 微 分 方 程 式 ／ ベ ク トル 解析 ／ 他 。 初 版2000年 。  上 記 価 格(税 別)は2007年

１月 現 在