Факультативный курс ''Система автоматизации процесса решения задач''. Часть 1. Элементы математической логики

Äìèòðèåâà Ìàðèíà Âàëåðüåâíà Ïàâëîâà Ìàðèàííà Âëàäèìèðîâíà ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂÍÛÉ ÊÓÐÑ "ÑÈÑÒÅÌÀ ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×" ×ÀÑÒÜ 1. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ËÎÃÈÊÈ Ââåäåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà – íàóêà î ïðàâèëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ, î ìàòåìàòè÷åñêîì ìûøëåíèè. Âïåðâûå ïðàâèëà ðàññóæäåíèé ñèñòåìàòèçèðîâàë Àðèñòîòåëü. Îäíàêî êàê íàóêà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ñëîæèëàñü ëèøü â ñåðåäèíå ÕIX âåêà, êîãäà Äæîðäæ Áóëü ââåë ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà èçó÷àåò: à) ñòðóêòóðó ìàòåìàòè÷åñêèõ âûñêàçûâàíèé, á) èñõîäíûå ïîñòóëàòû ìàòåìàòèêè (àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà), â) ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà (âûâîäû), ã) èñòèííûå ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ (òåîðåìû, ëåììû). Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëèçàöèÿ ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà.  äàííîé ðàáîòå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìà, ïîçâîëÿþùàÿ àâòîìàòè÷åñêè íàõîäèòü ðåøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåííîãî êëàññà çàäà÷. Òåîðåòè÷åñêàÿ áàçà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ ñèñòåìà, ýòî â îñíîâíîì ðàáîòà [4], ïîëåçíû òàêæå êíèãè [1,2,3,8,9]. Ïðè îïèñàíèè ñèñòåìû ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâ áûëî ðåøåíî âûäåëèòü è îïèñàòü îòäåëüíî òðè íåçàâèñèìûå ÷àñòè.  ïåðâîé ÷àñòè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè: ôîðìóëû èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé, ðàâíîçíà÷íîñòü ôîðìóë, ïîñòðîåíèå êîíúþíêòèâíî - íîðìàëüíîé ôîðìû. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ è ôîðìóëèðóþòñÿ òåîðåìû î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè. Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà ïðîáëåìå ôîðìàëèçàöèè ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ðåçîëüâåíòû. Îïèñûâàåòñÿ ìåòîä ðåçîëþöèé. Ïðèâîäÿòñÿ è îáîñíîâûâàþòñÿ ïðàâèëà ñîêðàùåíèÿ ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ. Òðåòüÿ ÷àñòü ñîäåðæèò îáùåå îïèñàíèå ñèñòåìû è íåñêîëüêî ïðèìåðîâ åå èñïîëüçîâàíèÿ. Âñå îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû è ìåòîäû èëëþñòðèðóþòñÿ ðàçëè÷íûìè ïðèìåðàìè. Èçëîæåííûé ìàòåðèàë èñïîëüçîâàëñÿ ïðè ïðîâåäåíèè çàíÿòèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è ìåòîäàì ðåøåíèÿ çàäà÷ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà êàê ñî ñòàðøåêëàññíèêàìè ñïåöèàëèçèðîâàííûõ êëàññîâ ïðè ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÑÏáÃÓ, òàê è ñî ñòóäåíòàìè. Îïèñûâàåìàÿ ñèñòåìà èñïîëüçîâàëàñü íà çàíÿòèÿõ â êîìïüþòåðíîì êëàññå. Äàííàÿ ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ôåäåðàëüíîé öåëåâîé ïðîãðàììû “Ãîñóäàðñòâåííàÿ ïîääåðæêà èíòåãðàöèè âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ è ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè íà 1997-2000 ã.ã.” Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ.  îáû÷íîé æèçíè ÷åëîâåê ïðèíèìàåò ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîé ñèòóàöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû íåêîòîðûå ôàêòû (èëè ðàíåå óæå äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ) F1, F2,.. Fn è, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò, ñëåäóåò ëè íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå G èç óòâåðæäåíèé F1, F2,.. Fn. Óòâåðæäåíèå, ÷òî G ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèé F1, F2,.. Fn íàçûâàþò òåîðåìîé, à ðàññóæäåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå óñòàíîâèòü, ÷òî òåîðåìà âåðíà, íàçûâàþò äîêàçàòåëüñòâîì ýòîé òåîðåìû. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è àâòîìàòè÷åñêèå ìåòîäû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå áóðíî ðàçâèâàþùèìèñÿ îáëàñòÿìè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Ñëîæíîñòü ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâà çàâèñèò îò òîãî, êàêèå ñðåäñòâà èñïîëüçóþòñÿ äëÿ çàäàíèÿ óòâåðæäåíèé F 1, F2,.. Fn è G.  ïðåäñòàâëåííîé ðàáîòå äëÿ îïèñàíèÿ óòâåðæäåíèé áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëû èñ÷èñëåíèé âûñêàçûâàíèé [3,8,9]. Êàæäîå âûñêàçûâàíèå ëèáî èñòèííî, ëèáî ëîæíî. Ìîæíî ñòðîèòü ñîñòàâíûå âûñêàçûâàíèÿ, èñïîëüçóÿ ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè: îòðèöàíèå (~), êîíúþíêöèþ (&), äèçúþíêöèþ (∨), èìïëèêàöèþ (⇒) è ýêâèâàëåíòíîñòü (⇔). Ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû “èñòèíà” è “ëîæü” áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè “È” è “Ë” ñîîòâåòñòâåííî.

32

Óíàðíàÿ ñâÿçêà ~ ìåíÿåò çíà÷åíèå âûñêàçûâàíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Íèæå ïðèâîäèòñÿ òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ áèíàðíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. A

B

A&B

A∨B

A⇒B

A⇔B

È

È

È

È

È

È

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Ë

È

Ë

È

È

Ë

Ë

Ë

Ë

Ë

È

È

 èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû è ëîãè÷åñêèå ïåðåìåííûå íàçûâàþòñÿ àòîìàìè è ñ÷èòàþòñÿ ïðîñòåéøèìè ëîãè÷åñêèìè ôîðìóëàìè. Êðîìå àòîìîâ, ëîãè÷åñêîé ôîðìóëîé ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàíèå ëîãè÷åñêîé ôîðìóëû, à òàêæå (F1⊕F2), ãäå F1,F2 –ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû, à çíàê “⊕” îáîçíà÷àåò îäíó èç áèíàðíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. Äðóãèõ ôîðìóë â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé íåò. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ñëîæíûõ ëîãè÷åñêèõ ôîðìóë ïîÿâëÿåòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî êðóãëûõ ñêîáîê. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ èõ ÷èñëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñòàðøèíñòâî ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. Ñàìîé ñòàðøåé ÿâëÿåòñÿ óíàðíàÿ ñâÿçêà îòðèöàíèå, êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü è ïðèìåíÿåòñÿ ê íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùåé çà íåé ôîðìóëå. Áèíàðíûå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè, ïðèâåäåííûå âûøå â òàáëèöå èñòèííîñòè, ïåðå÷èñëåíû â íåé ïî óáûâàíèþ èõ ñòàðøèíñòâà. Ñâÿçêè îäíîãî ñòàðøèíñòâà ïðèìåíÿþòñÿ â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Åñëè ó÷èòûâàòü ñòàðøèíñòâî îïåðàöèé, òî ÷àñòü ñêîáîê ìîæíî îïóñòèòü. Íàïðèìåð, ôîðìóëà (((p&~q)⇒r)⇒(p&r)) ìîæåò áûòü çàïèñàíà âîîáùå áåç ñêîáîê p&~q⇒r⇒p&r. Åñëè ìû çàäàäèì çíà÷åíèÿ âñåõ âõîäÿùèõ â ôîðìóëó ïåðåìåííûõ, òî ñìîæåì âû÷èñëèòü çíà÷åíèå âñåé ôîðìóëû.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìû çàäàëè èíòåðïðåòàöèþ.  èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé êàæäîé ôîðìóëå ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðïðåòàöèé. Ôîðìóëû áûâàþò òîæäåñòâåííî-èñòèííûìè (èëè îáùåçíà÷èìûìè) - ýòî ôîðìóëû èñòèííûå â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè. Òîæäåñòâåííî-ëîæíûìè (èëè ïðîòèâîðå÷èâûìè) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëû ëîæíûå â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè. Íàêîíåö, âûïîëíèìûìè íàçûâàþòñÿ ôîðìóëû, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî óêàçàòü èíòåðïðåòàöèþ, â êîòîðîé ýòà ôîðìóëà èñòèííà. Åñëè äâå ôîðìóëû èìåþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ íà ëþáûõ âîçìîæíûõ èíòåðïðåòàöèÿõ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ðàâíîçíà÷íû èëè ýêâèâàëåíòíû. Ðàâíîçíà÷íîñòü ôîðìóë îáîçíà÷àþò çíàêîì “↔”. Îáîçíà÷èì çíàêîì “n” ëþáóþ îáùåçíà÷èìóþ ôîðìóëó, è çíàêîì “o ” ëþáóþ ïðîòèâîðå÷èâóþ ôîðìóëó. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ðàâíîçíà÷íûå ôîðìóëû ïðèâåäåì â ñëåäóþùåé òàáëèöå. A⇔ B ↔ (A&B)∨(~A&~B)

A⇔B ↔ (A∨~B)&(~A∨B)

(A⇒B) ↔ ~A∨B A∨(B∨C) ↔ (A∨B)∨C

A&(B&C) ↔ (A&B)&C

A∨B ↔ B∨ A

A&B ↔ B&A

A∨(B&C) ↔ (A∨B)& (A∨C)

A&(B∨C) ↔ (A&B)∨ (A&C)

~(~A) ↔ A A ∨ ~A ↔ n

A & ~A↔o

A∨o↔A

A & o ↔o

A∨n↔n

A & n ↔A

~(A∨B) ↔ ~A &~B

~(A&B) ↔ ~A∨~B

33

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíû ôîðìóëû F1, F2,... ,Fn è ôîðìóëà G. Ãîâîðÿò, ÷òî G ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå ôîðìóë F1, F2,... ,Fn (èëè G ñëåäóåò èç F1, F2,... ,Fn) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêîé èíòåðïðåòàöèè I, â êîòîðîé èñòèííû óòâåðæäåíèÿ F1, F2,... ,Fn, óòâåðæäåíèå G òàêæå èñòèííî. Óòâåðæäåíèÿ F1, F2,... ,Fn íàçûâàþò àêñèîìàìè (ïîñòóëàòàìè èëè ïîñûëêàìè), óòâåðæäåíèå G-ñëåäñòâèåì.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â îñíîâíîì çàäà÷è èç êíèã Ðàéìîíäà Ì.Ñìàëëèàíà [5,6,7], â êîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàñêðûòèè ïðåñòóïëåíèé, ïîèñêå ñîêðîâèù, âûáîðå ïóòè íà çàãàäî÷íûå îñòðîâà è â äðóãèõ íåîáû÷íûõ ñèòóàöèÿõ. Ïðèìåð. Íà ñêëàäå ñîâåðøåíî õèùåíèå. Ïîäîçðåíèå ïàëî íà òðåõ ÷åëîâåê: À, Â, è Ñ, îíè áûëè äîñòàâëåíû äëÿ äîïðîñà. Óñòàíîâëåíî ñëåäóþùåå: 1. Íèêòî, êðîìå À, Â, Ñ, íå áûë çàìåøàí â äåëå. 2. À íèêîãäà íå õîäèò íà äåëî áåç, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîãî ñîó÷àñòíèêà. 3. Ñ íå âèíîâåí. Âèíîâåí ëè Â? Îáîçíà÷èì ÷åðåç À óòâåðæäåíèå - “À âèíîâåí”, ÷åðåç  - “ âèíîâåí”, ÷åðåç Ñ - “Ñ âèíîâåí”. Çàïèøåì óòâåðæäåíèÿ 1-3 ñ ïîìîùüþ ôîðìóë F1-F3 èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé: F1: A∨B∨C F2: A⇒B∨C F3: ~C Ïðåäïîëàãàåìûé îòâåò - “ - âèíîâåí” îáîçíà÷èì ÷åðåç G. Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè ôîðìóëà G ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1, F2, F3. Ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðåáåðåì âñå èíòåðïðåòàöèè è äëÿ êàæäîé èç íèõ óêàæåì çíà÷åíèå êàæäîé èç ôîðìóë F1, F2, F3 â ýòîé èíòåðïðåòàöèè. No

A

B

C

F1: A∨B∨C

F2: A⇒B∨C

F3: ~C G:B

1

È

È

È

È

È

Ë

2

È

È

Ë

È

È

È

3

È

Ë

È

È

È

Ë

4

È

Ë

Ë

È

Ë

È

5

Ë

È

È

È

È

Ë

6

Ë

È

Ë

È

È

È

7

Ë

Ë

È

È

È

Ë

8

Ë

Ë

Ë

Ë

È

È

È

È

Íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî òå èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðûõ âñå ïîñûëêè (ôîðìóëû F1, F2, F3) èñòèííû. Òàêèõ èíòåðïðåòàöèé òîëüêî äâå - âòîðàÿ è øåñòàÿ.  ýòèõ èíòåðïðåòàöèÿõ è çíà÷åíèå ôîðìóëû G èñòèííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà G – ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå, òî åñòü  âèíîâåí. Òåîðåìû î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè. Òåîðåìû î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè ïîçâîëÿþò ðåøåíèå âîïðîñà î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè îäíà ôîðìóëà ñëåäñòâèåì äðóãèõ, ñâåñòè ê àíàëèçó îáùåçíà÷èìîñòè èëè ïðîòèâîðå÷èâîñòè íåêîòîðîé ôîðìóëû. Ïðåæäå, ÷åì ôîðìóëèðîâàòü òåîðåìû è ðàññìàòðèâàòü ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ, ðàññìîòðèì âîïðîñ îá óïðîùåíèè ôîðìóë. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ëþáóþ ôîðìóëó èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê ðàâíîçíà÷íîé ôîðìóëå, êîòîðàÿ ñîäåðæèò òîëüêî òðè ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè: îòðèöàíèå, êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ. Äåéñòâèòåëüíî,

34

äîêàçàâ ðàâíîçíà÷íîñòü ôîðìóë A⇒B è ~A∨B, à òàêæå ôîðìóë A⇔B è (A&B)∨(~A&~B), ïîëó÷èì òî, ÷òî òðåáóåòñÿ. Íåêîòîðûå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå ïðàâèëà ïîëó÷èëè ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ, íàïðèìåð: Çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ: ~~A ↔ A. Çàêîí êîíòðàïîçèöèè: A⇒B ↔ ~B⇒~A. Çàêîíû äå Ìîðãàíà: ~(A∨B) ↔ ~A&~B è ~(A&B) ↔ ~A∨~B. Òåîðåìà 1. (î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè). Ïóñòü äàíû ôîðìóëû F1, F2,... ,Fn è ôîðìóëà G. Òîãäà ôîðìóëà G ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1, F2,... ,Fn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà F1&F2&...&Fn=>G îáùåçíà÷èìà. Ïðèìåð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåíÿ ñïðàøèâàþò: “À âåðíî ëè, ÷òî åñëè âû ëþáèòå Åâó, òî âû òàêæå ëþáèòå è Ìàðãàðåò?”. À ÿ îòâå÷àþ: “Åñëè ýòî ïðàâäà, òî ÿ ëþáëþ Åâó, è åñëè ÿ ëþáëþ Åâó, òî ýòî ïðàâäà”. Ëþáëþ ëè ÿ Ìàðãàðåò? Ïðîäåìîíñòðèðóåì ðåøåíèå çàäà÷è íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1. Ïóñòü ÷åðåç Å îáîçíà÷åíî óòâåðæäåíèå – “ß ëþáëþ Åâó”, ÷åðåç Ì - “ß ëþáëþ Ìàðãàðåò”. Óòâåðæäåíèå “Åñëè âû ëþáèòå Åâó, òî âû ëþáèòå Ìàðãàðåò” çàïèøåòñÿ ôîðìóëîé: Å=>M. Óòâåðæäåíèå: “Åñëè ýòî ïðàâäà, òî ÿ ëþáëþ Åâó, è åñëè ÿ ëþáëþ Åâó, òî ýòî ïðàâäà” çàïèøåòñÿ òàê: ((E=>M)=>E)&(E=>(E=>M)). Ïðåäïîëîæèì, îòâåò áóäåò “ß ëþáëþ Ìàðãàðåò”. Òîãäà ïî òåîðåìå 1 ôîðìóëà (((E=>M)=>E)&(E=>(E=>M)) =>M) äîëæíà áûòü îáùåçíà÷èìîé. Ïðîâåðèì ýòî, âûïîëíèâ ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóë: ((E=>M)=>E)&(E=>(E=>M)) =>M ~(~(~E\/M)\/E)\/~(~E\/~E\/M)\/M ~E&M\/E\/~E\/M E\/~E Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, ÷òî “ß ëþáëþ Ìàðãàðåò”. Òåîðåìà 2. (î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè). Ïóñòü äàíû ôîðìóëû F1, F2,... ,Fn è ôîðìóëà G. Òîãäà ôîðìóëà G ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1, F2,... ,Fn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà F1&F2&...&Fn&~G ïðîòèâîðå÷èâà. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðåäûäóùèé ïðèìåð è îòâåòèì íà âîïðîñ: “Ëþáëþ ëè ÿ Åâó?”. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîòèâîðå÷èâîé ôîðìóëà: ((E=>M)=>E)&(E=>(E=>M)) &~E. Óáåäèìñÿ â ýòîì, âûïîëíèâ ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ: ((E=>M)=>E)&(E=>(E=>M))&~E (E&~M)∨ E) &(E=>(E=>M)) &~E E&(~M\/E)&(~E\/M)& ~E E& ~E Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïðîòèâîðå÷èâà, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå “ß ëþáëþ Åâó”. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð. Íà íåêîòîðîì îñòðîâå, íàñåëåííîì ðûöàðÿìè è ëæåöàìè (ðûöàðè ãîâîðÿò òîëüêî ïðàâäó, ëæåöû òîëüêî ëîæü), ðàçíåññÿ ñëóõ î òîì, ÷òî íà íåì çàðûòû ñîêðîâèùà. Âû ïðèáûâàåòå íà îñòðîâ è ñïðàøèâàåòå îäíîãî èç ìåñòíûõ æèòåëåé (Íàçîâåì åãî À): “Åñòü ëè íà îñòðîâå çîëîòî?”.  îòâåò íà âàø âîïðîñ À çàÿâëÿåò: “Ñîêðîâèùà íà ýòîì îñòðîâå åñòü â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ÿ ðûöàðü”. à) ìîæíî ëè îïðåäåëèòü, êòî òàêîé À - ðûöàðü èëè ëæåö? á) ìîæíî ëè îïðåäåëèòü, åñòü ëè ñîêðîâèùà íà îñòðîâå? Îòâåòèì íà âòîðîé âîïðîñ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç À óòâåðæäåíèå “À-ðûöàðü”, ÷åðåç S “Ñîêðîâèùà íà îñòðîâå åñòü”. Òîãäà âûñêàçûâàíèå æèòåëÿ À “Ñîêðîâèùà íà îñòðîâå åñòü â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ÿ ðûöàðü” çàïèøåòñÿ ôîðìóëîé: (A⇔S). Òîãäà, åñëè À

35

- ðûöàðü, òî åãî âûñêàçûâàíèå èñòèííî, åñëè ëæåö - òî ëîæíî. Òàêèì îáðàçîì, íàøà ïîñûëêà åñòü ôîðìóëà âèäà (A⇔( A⇔S)). Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå S ñëåäñòâèå íàøåé ïîñûëêè, òî åñòü ñîêðîâèùà íà îñòðîâå åñòü, íàì äîñòàòî÷íî íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (A⇔(A⇔S))&~S ïðîòèâîðå÷èâà. Ïðîâåðèì ýòî, ïåðåáðàâ âñå èíòåðïðåòàöèè è âû÷èñëèâ çíà÷åíèÿ ôîðìóë â êàæäîé èç íèõ. À

S

(A⇔S)

(A⇔( A⇔S))

(A⇔( A⇔S))&~S

È

È

È

È

Ë

È

Ë

Ë

Ë

Ë

Ë

È

Ë

È

Ë

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Ôîðìóëà (A⇔( A⇔S))&~S ëîæíà â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ïðîòèâîðå÷èâà, è ïîýòîìó âåðíî óòâåðæäåíèå, ÷òî ñîêðîâèùà íà îñòðîâå åñòü. Êîíúþíêòèâíî-íîðìàëüíàÿ ôîðìà è åå ïîñòðîåíèå. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü âìåñòî ôîðìóë îáùåãî âèäà ôîðìóëû ñïåöèàëüíîãî âèäà èëè, êàê ãîâîðÿò, ôîðìóëû â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è â òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ôîðìóëû â êîíüþíêòèâíî-íîðìàëüíîé ôîðìå (ÊÍÔ). Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ýêâèâàëåíòíàÿ åé ôîðìóëà â êîíúþíêòèâíî-íîðìàëüíîé ôîðìå. Êàê ìû óâèäèì äàëüøå, òàêàÿ ôîðìóëà ìîæåò íå áûòü åäèíñòâåííîé. Óòî÷íèì ïîíÿòèå êîíúþíêòèâíî-íîðìàëüíîé ôîðìû, òàê êàê îíî íàì ïîòðåáóåòñÿ â äàëüíåéøåì. Áóäåì íàçûâàòü ëèòåðàëîì àòîì èëè åãî îòðèöàíèå, äèçúþíêòîì - ëèòåðàë èëè äèçúþíêöèþ ëèòåðàëîâ, è êîíúþíêòèâíîíîðìàëüíîé ôîðìîé - ôîðìóëó, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáî äèçúþíêò, ëèáî ÿâëÿåòñÿ êîíúþíêöèåé äèçúþíêòîâ. Òåîðåìà. Ïî ëþáîé ôîðìóëå f ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ýêâèâàëåíòíàÿ åé ôîðìóëà g, íàõîäÿùàÿñÿ â ÊÍÔ. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû g ïîÿñíèì íà ïðèìåðå, ðàññìîòðåâ ôîðìóëó f îò òðåõ ïåðåìåííûõ. Âîçüìåì â êà÷åñòâå ôîðìóëû f ôîðìóëó (x⇒y)⇔z. Ïðèâåäåì òàáëèöó, â êîòîðîé ïåðå÷èñëèì èíòåðïðåòàöèè è çíà÷åíèå ôîðìóëû â êàæäîé èç èíòåðïðåòàöèé. Ïðàâûé ñòîëáåö òàáëèöû áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ äèçúþíêòîâ êîíúþíêòèâíîíîðìàëüíîé ôîðìû, ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå. Âûäåëèì òå èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðûõ ôîðìóëà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ëîæü, è äëÿ ýòèõ èíòåðïðåòàöèé ïîñòðîèì äèçúþíêò ïî ïðàâèëó: åñëè çíà÷åíèå ïåðåìåííîé ëîæü, òî

36

No

X

Y

Z

(x⇒y)⇔z.

Äèçúþíêòû ôîðìóëû g

1

È

È

È

È

2

È

È

Ë

Ë

~x∨~y∨z

3

È

Ë

È

Ë

~x∨y∨~z

4

È

Ë

Ë

È

5

Ë

È

È

È

6

Ë

È

Ë

Ë

7

Ë

Ë

È

È

8

Ë

Ë

Ë

Ë

x∨~y∨z x∨y∨z

âêëþ÷àåì â äèçúþíêò ýòó ïåðåìåííóþ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âêëþ÷àåì ïåðåìåííóþ ñ îòðèöàíèåì. Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ â èíòåðïðåòàöèÿõ, â êîòîðûõ çíà÷åíèå f ëîæíî, çíà÷åíèå g òàêæå ëîæíî.  íàøåì ñëó÷àå g - êîíúþíêöèÿ ïîñòðîåííûõ ôîðìóë: (~x\/~y\/z)&(~x\/ y\/~z)&(x\/~y\/z)&(x\/y\/z). Ôîðìóëû f è g ðàâíîçíà÷íû è g èìååò ÊÍÔ. Ðàâíîçíà÷íîñòü ôîðìóë ìîæíî äîêàçàòü â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ÊÍÔ ôîðìóëû f ìîæíî ïîëó÷èòü, âûïîëíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû f (èçáàâëÿÿñü îò ëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, èìïëèêàöèè, ïîäòÿãèâàÿ ëîãè÷åñêîå îòðèöàíèå ê àòîìàì, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà äå Ìîðãàíà è äðóãèå çàêîíû). Ïðîäåìîíñòðèðóåì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ôîðìóëû (x⇒y)⇔z: (x⇒y)⇔z ↔ ((x⇒y)⇒z)&(z⇒(x⇒y)) ↔ (~(x⇒y)∨z)&(~z∨~x∨y) ↔ (~(~x∨y)∨z)&(~z∨~x∨y) ↔ (x&~y∨z)&(~z∨~x∨y) ↔ (x∨z)&(~y∨z)&(~x∨y∨~z) Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà g1: (x∨z)&(~y∨z)&(~x∨y∨~z) ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ôîðìóëå f, íàõîäèòñÿ â êîíúþíêòèâíî-íîðìàëüíîé ôîðìå è íå ñîâïàäàåò ñ g. Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ ôîðìóëû f ïîñòðîåíû äâå ðàâíîçíà÷íûå åé ôîðìóëû g è g1, êîòîðûå ðàçëè÷íû è îáå íàõîäÿòñÿ â êîíúþíêòèâíî-íîðìàëüíîé ôîðìå. Èòàê, äëÿ òîãî , ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå G ñëåäóåò èç èçâåñòíûõ èëè óæå ðàíåå äîêàçàííûõ ôàêòîâ F1, F2,... ,Fm ìû ìîæåì ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: - íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ ðàññìîòðåòü âñå èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðûõ èñòèííû ïîñûëêè F1-F m, è ïðîâåðèòü, èñòèííî ëè çíà÷åíèå G â ýòèõ èíòåðïðåòàöèÿõ; - íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 î ñëåäñòâèè èññëåäîâàòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôîðìóëà F1&F2&....&Fm⇒G îáùåçíà÷èìîé; - íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 î ñëåäñòâèè èññëåäîâàòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôîðìóëà F1&F2&....&Fm&~G ïðîòèâîðå÷èâîé. Ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü ôîðìóëó F 1 &F 2 &....&F m &~G ê ÊÍÔ, ïîëó÷èâ ðàâíîçíà÷íóþ ôîðìóëó S1&S2&...&Sn, ðàññìàòðèâàåìóþ êàê ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ {S1,S2,...,Sn}. Êàê ïî óòâåðæäåíÿì Si ïîëó÷àòü íîâûå óòâåðæäåíèÿ è ñòðîèòü äîêàçàòåëüñòâî, ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùåé ÷àñòè. Ëèòåðàòóðà. 1. Í. Äæ. Íèëüñîí. Ïðèíöèïû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1985. 2. Í. Äæ. Íèëüñîí. Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò. Ìåòîäû ïîèñêà ðåøåíèé. Ì.: Ìèð, 1973. 3. Ñ.Êëèíè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà Ì.: Mèð, 1973. 4. ×.×åíü, Ð.Ëè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì. Hàóêà, 1983. 6. Ð.Ñìàëëèàí. Êàê æå íàçûâàåòñÿ ýòà êíèãà? M.: Mèð, 1981. 7. Ð.Ñìàëëèàí. Ïðèíöåññà èëè òèãð? Ì.: Ìèð, 1985. 8. Ð.Ñìàëëèàí. Àëèñà â ñòðàíå ñìåêàëêè. Ì. Ìèð, 1987. 9. Í.Ê. Êîñîâñêèé. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è åå ïðèìåíåíèå ê òåîðèè ñóáðåêóðñèâíûõ àëãîðèòìîâ. Èçä-âî ËÃÓ, 1981.

Äìèòðèåâà Ìàðèíà Âàëåðüåâíà, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàòèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ïàâëîâà Ìàðèàííà Âëàäèìèðîâíà, ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîðìàòèêè ÑÏáÃÓ, ïðåïîäàâàòåëü øêîëû-ëèöåÿ ¹ 419.

ÍÀØÈ

ÀÂÒÎÐÛ

37