Финансовые вычисления (часть 1). Экономика строительства. Методические указания к проведению практических занятий

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Финансовые вычисления (часть 1) «Экономика строительства»

Составитель: Алексеева Т.Н.

Улан-Удэ 2002 г

Методические указания к проведению практических занятий по курсу Настоящие Методические указания предназначены для изучения темы «Финансирование и кредитование в строительстве» по курсу «Экономика строительства» студентами специальности «Промышленное и гражданское строительство» как на практических занятиях, так и в период подготовки к экзамену или зачету. Методические указания содержат теоретическую и практическую часть, контрольные вопросы.

Источники финансирования строительства Согласно «Временному положению о финансировании и кредитовании капитального строительства на территории Российской Федерации» инвесторами, осуществляющими вложение собственных, заемных и привлеченных средств в создание и воспроизводство фондов в форме капитальных вложений, могут быть: органы, уполномоченные управлять государственным и муниципальным имуществом или имущественными правами; организации и предприятия, предпринимательские объединения, общественные организации и другие юридические лица всех форм собственности; международные организации, иностранные юридические лица; физические лица (российские и иностранные граждане). Положение распространяется на финансирование и кредитование: нового строительства; расширения, реконструкции, технического перевооружения действующих предприятий; предпроектных и проектных работ, приобретения не требующего монтажа и не входящего в сметы строек оборудования, производственного инвентаря, приспособлений. Источниками финансирования капитальных вложений могут быть: Собственные финансовые ресурсы и внутрихозяйственные финансовые резервы инвестора (прибыль, амортизационные отчисления, денежные накопления и сбережения граждан и юридических лиц);

Средства, выплачиваемые органами страхования в виде возмещения потерь от аварий, стихийных бедствий и другие средства; Заемные финансовые средства инвестора или переданные им средства (облигационные займы и др.); Привлеченные финансовые средства инвестора (средства от продажи акций, паевые и иные взносы членов трудового коллектива, граждан, юридических лиц); Финансовые средства, централизуемые объединениями предприятий в установленном порядке; Средства внебюджетных фондов; Средства федерального бюджета, предоставленные на возвратной и безвозвратной основе; Средства бюджетов субъектов РФ; Средства иностранных инвесторов. Финансирование капитальных вложения по стройкам и объектам может осуществляться как за счет одного, так и нескольких источников. В состав внутренних финансовых ресурсов предприятий, используемых для финансирования инвестиционной деятельности, включаются: Прибыль по строительно-монтажным работам, выполняемым хозяйственным способом; Поступления от ликвидации основных фондов в строительстве, осуществляемом хозяйственным способом (при разборке временных нетитульных зданий и сооружений); Доходы, полученные от попутной добычи строительных материалов на месте строительства объектов; Мобилизация внутренних ресурсов для строительства объектов, осуществляемого хозяйственным способом, и др.

Финансирование государственных централизованных капитальных вложений за счет средств федерального бюджета, предоставляемых на безвозвратной основе, производится на основе утвержденного перечня строек и объектов для федеральных нужд при отсутствии других источников или в порядке государственной поддержки строительства приоритетных объектов производственного назначения при максимальном привлечении собственных заемных и других средств. Для открытия финансирования государственных централизованных капитальных вложений за счет средств федерального бюджета, предоставляемых на безвозвратной основе, государственные заказчики представляют в Министерство финансов РФ выписки из утвержденного перечня строек и объектов с указанием объемов государственных капитальных вложений и государственные контракты (договоры подряда) по строительству объектов для федеральных нужд. Открытие финансирования государственным заказчикам (федеральным органам исполнительной власти) производится Министерством финансов РФ путем перечисления средств в течение одного месяца после утверждения в установленном порядке объемов государственных централизованных вложений и перечня строек и объектов для федеральных государственных нужд. Государственные заказчики перечисляют средства федерального бюджета, предоставляемые на безвозвратной основе для финансирования государственных централизованных капитальных= вложений, заказчикам (застройщикам) в пределах сообщенных им Министерством финансов РФ объемов финансирования государственных централизованные капитальных вложений. Для оформления финансирования государственных централизованных капитальных вложений за счет средств

федерального бюджета, предоставляемых на безвозвратной основе, заказчики (застройщики) представляют банкам, осуществляющим операции по финансированию следующие документы: титульные списки начинаемых строек с разбивкой по годам; государственные контракты (договоры подряда) на весь период строительства с указанием формы расчетов за выполненные работы; сводные сметные расчеты стоимости строительства; заключения государственной вневедомственной экспертизы по проектной документации; уточненные объемы капиталовложений и строительно-монтажных работ по переходящим стройкам. Средства федерального бюджета, предоставляемые на возвратной основе для финансирования государственных централизованных капитальных вложений, выделяются Министерству финансов РФ в пределах кредитов, выдаваемых Центральным банком РФ в установленном порядке. МФ РФ направляем указанные средства заемщикам (застройщикам) через коммерческие банки в соответствии с заключенными с этими банками договорами. Перечень коммерческим банков, осуществляющих операции по финансированию заемщиков (застройщиков), определяется Правительственной комиссией по вопросам кредитной политики по представлению Министерства финансов РФ с учетом мнения ЦБ РФ и министерств и ведомств РФ. Полученные коммерческими банками от МФ РФ средства федерального бюджета на возвратной основе предоставляются заемщикам на основе договоров. При заключении договоров на получение указанных средств заемщики (застройщики) представляют в банки: выписки из перечня строек и объектов для федеральных государственных нужд; государственные контракты (договоры подряда); расчеты, обосновывающие сроки

выхода введенных в действие производств на проектную мощность; расчеты сроков возврата выданных средств и процентов по ним; заключения государственной вневедомственной экспертизы и государственной экологической экспертизы по проектной документации и документы, подтверждающие платежеспособность заемщика (застройщика) и возвратность средств. Полученные коммерческими банками средства федерального бюджета, предоставленные на возвратной основе, должны использоваться строго по назначению и не могут зачисляться на депозитные счета, использоваться для предоставления межбанковских кредитов и покупки свободно конвертируемой валюты, отвлекаться в другие операции краткосрочного характера. Процентная ставка за пользование возвратными средствами не может превышать размера ставки, установленной в договоре между ЦБ РФ и МФ РФ. Банки, осуществляющие финансирование: Проводят проверку представленных заказчиком (застройщиком) документов, сверяют их с утвержденным перечнем строек и объектов для федеральных нужд и при соответствии открывают (продолжают) финансирование; Если источником финансирования являются возвратные средства федерального бюджета, анализируют расчеты сроков возврата средств и процентов по ним и заключают с заемщиком (застройщиком) договор по установленной форме, при неподтверждении сроков возврата кредита и процентов по нему и при других негативных обстоятельствах информируют Минфин РФ; Финансируют стройки только при наличии положительных заключений государственной вневедомственной экспертизы и государственной экологической экспертизы по проектной документации.

Финансирование капитальных вложений за счет собственных средств инвесторов (банка) производится по договоренности сторон. Стороны самостоятельно определяют порядок внесения инвесторами собственных средств на счета в банки для финансирования капитальных вложений, кредитования и взаиморасчетов между участниками инвестиционного процесса за выполненные подрядные работы и поставку оборудования, материальных и энергетических ресурсов, оказание услуг. Формы оплаты определяются договорами (контрактами).

Банковская система Российской Федерации и кредитование строительства. Банк – учреждение (юридическое лицо), которому в соответствии с действующим законодательством предоставлено право осуществлять аккумуляцию временно свободных денежных средств физических и юридических лиц и от своего имени размещать их на условиях возвратности, платности и срочности. Банки предоставляют кредиты (ссуды, займы), осуществляют денежные расчеты, посредничество во взаимных платежах и расчетах, выпуск (эмиссию) денег, ценных бумаг (банкноты, чеки, векселя) и другие операции. Кредит – движение ссудного капитала, форма мобилизации временно свободных денежных средств юридических и физических лиц. Виды банков: центральные (эмиссионные); инвестиционные; коммерческие; специального назначения (ипотечные, сберегательные, потребительского кредита). Центральный банк призван обеспечивать поддержание стабильной покупательной способности национальной валюты, обеспечение эластичности системы платежей и расчетов а также темпов экономического роста с помощью следующих инструментов кредитно-денежной политики:

дисконтной политики (изменение учетной ставки); изменение норм обязательных резервов; операций на открытом рынке.

Дисконтная политика (изменение учетной ставки) –изменение своеобразной цены дополнительных ресурсов, предоставляемых ЦБ РФ коммерческим и специализированным банкам. Размер ставки, по которой банк рассчитывает проценты за учет (учетная ставка, учетный процент), зависит т конъюнктуры денежного рынка и является одним из показателей этой конъюнктуры. При ускорении роста цен на потребительские товары ЦБ повышает учетную ставку и сокращает спрос на кредиты со стороны банков и их клиентов, уменьшает количество денег в обращении, снижает рост цен, замедляет инвестиции и рост производства. При стагнации производства, росте безработицы ЦБ проводит либеральную кредитноденежную политику: снижает учетную ставку, удешевляет и расширяет кредит, увеличивая тем самым количество денег в обращении, стимулирует инвестиции и рост производства. Обязательные резервы: при нежелательном росте цен ЦБ увеличивает нормы обязательных резервов и сокращает возможность кредитования и размеры массы денег на денежном рынке, сдерживает рост производства и цен. При стагнации производства и угрозе роста безработицы ЦБ снижает норму обязательного резерва, расширяет кредитные ресурсы банков и создает условия активизации производства. Операции на открытом рынке заключаются в покупке или продаже ценных бумаг Центральным банком за свой счет. покупая ценные бумаги ЦБ увеличивает количество денег в обращении и возможности других банков по выдаче кредитов, а продавая – изымает часть денег из обращения, уменьшает резервы банков и возможности кредитования клиентов.

Коммерческие банки организуются на акционерной основе юридическими лицами и гражданами и выполняют функции посредников между теми, кто имеет временно свободные деньги, и теми, кто в них нуждается, действуют на основе лицензий ЦБ, фиксирующих перечень выполняемых банковских операций. Функции коммерческих банков: Аккумуляция временно свободных средств, сбережений и накоплений; Организация и осуществления расчетов между предприятиями; Учет векселей и операции с ними; Операции с ценными бумагами; Хранение финансовых и материальных ценностей; Управление имущество клиентов по доверенности (трастовые операции); Кредитование предприятий, организаций и населения. Банки могут заниматься факторингом (приобретение банком долгов предпринимателей в виде обязательств по оплате поставленных товаров, выполненных работ или услуг и оплата их за соответствующее вознаграждение с последующим взысканием долга с предпринимателя), финансовым лизингом. Инвестиционные банки проводят в основном эмиссионно-учредительные операции: организуют выпуск и размещение ценных бумаг (акций различных компаний) и их вторичное обращение, предоставляют покупателям ценных бумаг ссуды и др. Ипотечные банки – специализируются на долгосрочном кредитовании жилищного и производственного строительства под залог недвижимости: земли, зданий и сооружений, а также выпуск ипотечных облигаций.

Контрольные вопросы 1. Кто может выступать в роли инвестора? 2. Каковы источники финансирования капитальных вложений? 3. Что такое внутренние финансовые ресурсы предприятий? 4. Охарактеризуйте финансирование государственных капитальных вложений на безвозвратной основе ? 5. –«- на возвратной основе? 6. Функции финансирующих банков ? 7. Охарактеризуйте понятия «банк» и «кредит». Раскройте роль ЦБ РФ. 8. Каковы функции коммерческих банков?

ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В КОММЕРЧЕСКИХ СДЕЛКАХ 1. Процентные деньги (наращение денег в коммерческих сделках) Под процентными деньгами понимается абсолютная величина дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада, депозита. На практике процентные деньги называют также процентами. При заключении кредитной сделки стороны договариваются о сумме кредита «Р», периоде времени «n» и величине процентной ставки «i», которая фиксируется в виде десятичной или натуральной дроби. В коммерческих сделках фактор времени занимает важное место: кредиты выдаются на определенный срок; проценты по депозиту увязываются со временем; выплата дивидендов производится за определенный период.

Поэтому возникает задача учета влияния фактора времени на финансовые результаты сделок. С временным фактором связан принцип неравноценности денег в финансовых вычислениях: 10 тыс руб, полученные в декабре, не равны 10 тыс руб, полученным в марте, прежде вследствие инфляции, но известно, что любая сумма может быть инвестирована, вложена в дело и принести за конкретный период времени доход Д. Следовательно, можно записать: S = 10 000 Iинф + Д, где: Iинф – коэффицент инфляции; S – сумма, полученная в январе месяце. Таким образом, с точки зрения финансового менеджмента неправомерно суммировать средства, относящиеся к разным моментам времени. Величина процентной ставки есть результат взаимодействия хозяйственных субъектов на рынке ссудного капитала. Графически ситуация отображена на рис. 1.

Норма % С

В

РН

Д

А Денежные средства Рис. 1. Спрос и предложения ссудного капитала.

АВ – кривая предложения ссудного капитала, она показывает, что рост нормы процента (процентной ставки) способствует увеличению предложения денежных средств или ссудного капитала. СД – кривая спроса на ссудный капитал, показывает, что по мере снижения нормы процента, возрастает спрос на ссудный капитал, кредит. РН- равновесная норма процента.

2. Финансовые вычисления на основе простых процентов. Существуют различные способы начисления процентов. Если исходная база (сумма) не меняется, то такие проценты называются простыми, в противном случае (при меняющейся базе) проценты называются сложными. В случае простых процентов начисление процентных сумм осуществляется дискретно за определенный период (месяц, квартал, год или более краткий срок). Например, к конце первого года сумма долга составляет: P + P i = P (1 + i). К концу 2-го года: P( 1+i ) + Pi = P (1+ 2i) и т.д. Основная формула наращения денег по простым процентам: S = P (1 + n i), где: (1) S - сумма возврата долга (наращенная сумма денег); P- исходная сумма кредита, депозита; n- срок (продолжительность) периода сделки; i - процентная ставка. (1 + n i) – множитель наращения денег; I = S – P – доход кредитора. Получаем: I = P n i. (2) Формула (1) может быть использована в разнообразных операциях, сделках, в том числе при выдаче краткосрочного кредита на срок не менее 1 года. Если n =

t / K, t - число дней ссуды в днях, K - временная база или число дней в году. Тогда : S = P ( 1 + t i /K). (3) В некоторых странах сложилась практика деления года на 12 месяцев по 30 дней каждый ( К = 360 дней). Такие проценты считаются обыкновенными. Формула (3) принимает вид S = P ( 1 + t i /360). Если К = 365(366) дней, такие проценты считают точными. Формула (3) принимает вид S = P ( 1 + t i /365 (366)). В РФ используются как точные, так и обыкновенные проценты, наибольшее распространение получают точные проценты. Наращенная сумма S изменяется в зависимости от особенностей определения продолжительности пользования ссудой t, которую можно определить точным или приближенным методами. Точный метод: определяется фактическое число дней между двумя датами – выдачи ссуды (перечисления со счета банка) и возврата долга (датой зачисления средств с учетом процентов на счет банка). Приближенный метод: t определяется количеством месяцев по 30 дней каждый и дней ссуды. При точном и приближенном методах дата выдачи и погашения ссуды принимаются за 1 день. Точное число дней пользования ссудой определяется по календарю или по специальным таблицам. Таким образом, существует три варианта расчета процентов по ссудам сроком до 1 года: 1) точные проценты с точным числом дней ссуды (дает самые точные результаты; применяется многими зарубежными банками).

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды ( т. н. банковский подход; при сроке ссуды более 350 дней, размер начисленных процентов больше, чем предусмотрено годовой ставкой; иногда встречается в реальной практике. 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней пользования ссудой (используется, в частности, при частичном погашении ссуды). Пример 1. Банк «Сибирское кредитное общество» выдал ссуду размером 10 млн руб коммерческому предприятию «Азалия» под 20% годовых сроком на три года. Проценты простые. Решение: Возврат ссуды через три года составит: S = 10 ( 1 + 3 х 0,2) = 16 млн руб. Доход банка по ссуде составит: I = 16 – 10 = 6 млн руб. Иначе доход можно определить: I = 10 х 3 х 0,2 = 6 млн руб. Пример 2. Рассмотреть возможные варианты возврата долга, при следующих исходных данных: акционерное общество для погашения задолженности по счетам поставщиков планирует взять краткосрочный кредит под 40% годовых. Год не високосный. Ссуда 100 тыс рублей планируется с 20 января по 5 марта включительно. Решение: точное число дней ссуды равно (по календарю): 12 + 28 + 5 – 1 = 44. Приближенное число дней ссуды равно (считаем, что в месяце 30 дней): 11 дней января + 30 дней февраля + 5 дней марта –1 = 45 дней. Варианты возврата долга:

1) по точным процентам с точным числом дней ссуды S = 100 (1 + (44/365) х 0,4) = 100 (1 = 0,1205479 Х 0,4) = 104,82191 тыс. руб.0,5 х 0,22 =0,5 2) по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды: S = 100 (1 + (44/360) х 0,4) = 100 (1 + 1222222 х 0,4) = 104,88889 тыс. руб. 3) по обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды: S = 100 ( 1 + (45 / 360) х 0,4) = 100 ( 1 + 0,125 х 0,4) = 105,0 тыс. руб. Разница в величине наращенных сумм значительна (180 тыс руб.). Для акционерного общества выгоднее производить возврат ссуды на основе точных процентов и точного числа дней ссуды. Для банка выгоднее использовать обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Если используются дискретно меняющиеся во времени процентные ставки (за период n1 берется ставка i1 и т. д.), то наращенная сумма денег определяется: S = P (1 + n1i1 + n2i2 + …+ntit) S = P(1 + Σ ntit) (4) it -ставка простых процентов. nt – продолжительность периода исчисления данной ставки. t – число периодов. Такой порядок позволяет учесть изменения в конъюнктуре рынка, и в частности, компенсировать в определенной мере инфляцию. Пример 3. По соглашению с банком предприятие уплачивает за первый год 20 % годовых, в каждом последующем

полугодии ставка возрастает на 1 %. Срок сделки 2,5 года. Сумма кредита 5 млн руб. проценты обыкновенные с приближенным сроком ссуды. Решение: Определим сумму возврата долга через 2,5 года. По (4) получаем: S = 5(1 + 1 х 0,2 + 0,5 х 0,21 + 0,5 х 0,22 + 0,5 х 0,23) = 7,65 Доход банка равен 7,65 – 5,0 = 2,65 млн. руб. Введем дополнительное условие: Предприятие уплачивает проценты в следующем порядке: первое полугодие – 20 %, второе полугодие – на среднюю полугодовую ставка возрастает индексационную надбавку ( исходя из индекса инфляции за второе полугодие). За оставшиеся полтора года ставка возрастает за каждый квартал из 6 пунктов к ставке второго полугодия. Считаем, что средняя ингдексационная ставка за второе полугодие 50% ( на практике квартальная индексационная ставка может определяться как средняя из месячных индексационных ставок). Процентные ставки за первый год ссуды:: 1 полугодие – 20%. 2 полугодие - 20+50=70%. За второй год ссуды: 1 квартал - 70 + 6 =76%. 2 квартал – 76+6=82%. 3 квартал – 88% 4 квартал - 94%. За третий год ссуды: 1 квартал – 100%. 2 квартал – 106 %. Определим сумму возврата долга за 2,5 года: S = 5(1 + 0,5 х 0,2 + 0,5 х0,7 + 0,.25 х 0,76 + 0,25 х 0,82 + 0,25 х 0,88 + 0,25 х 0,94 + 0,25 х 1 + 0,25 х 1,06) = 14,075 млн. руб. Доход банка: 14,075 – 5,0 + 9,075.

Задачи для самостоятельного решения (1). Задача 1.1. Банк выдал ссуду под 34% годовых. Проценты простые. Срок ссуды 2 года. Каков доход банка ? Задача 1.2. Банк выдал ссуду под 23 % годовых на период с 1 января по 15 мая. Какова величина дохода банка, если: а) проценты обыкновенные? б) проценты точные ? Задача 1.3. Акционерное общество планирует получить кредит на оплату услуг поставщиков в сумме 25 тыс. руб. на период с 25 февраля по 10 марта под 45 % годовых Какой вариант расчета суммы платежа предпочтителен для акционерного общества: точные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней пользования ссуды? Почему? Задача 1.4. По кредитному соглашению между банком и коммерческой фирмой за первый квартал дебитор уплачивает 30 % годовых. Заем составляет 200 тыс. руб. За каждый последующий квартал ставка возрастает на 2 %. Срок сделки 1 год 6 месяцев, начиная с 1 января. Год не високосный. Проценты обыкновенные с приближенным числом дней ссуды (1 вариант), проценты точные с точным числом дней ссуды (вариант). Определить сумму возврата долга и доход банка по 1 и 2 вариантам.

3. Реинвестирование процентных денег. При использовании простых процентов ставка начисляется только с исходной величины ссуды или депозита. В условиях рынка с целью повышения заинтересованности клиентов, привлечения

дополнительных денежных средств банки используют реинвестирование (после начисления сумма процентов присоединяется к исходной величине и дальше вновь начисляются проценты). Наращенная стоимость определяется: S = P (1 + n1 i1) (1 + n2i2)…(1 + nt it) (5) n1, n2, …, nt - продолжительность периодов наращения денег. Σnt =N; N – общий срок сделки. i1, i2, …, it – ставки, по которым производится реинвестирование. Если периоды начисления и ставки процентов равны: (6) S = P ( 1 + n х i) m m – число операций реинвестирования. Пример 4. На сумму 100 тыс долл. начисляется 10 % годовых. Проценты простые точные. Какова наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение одного первого квартала? Решение. S = 100( 1 + 31 х 0,1 / 365) ( 1 + 28 х 0,1/ 365) ( 1 + 31 х 0,1/ 0,1) = 102,486 тыс долл. Если бы операция реинвестирования не проводилась, проценты начислялись за 1 квартал ежемесячно, то: S = 100 ( 1 + 31 х 0,1 / 365 + 28 х 0,1 , 365 + 31 х ).1 / 365) = 1-2,466 тыс долл. Пример 5. В кредитном соглашении указано, что на сумму 100 млн руб начисляется 90 % годовых. Срок сделки полгода. Проводится реинвестирование процентов, начисляемых ежемесячно. S = 100 ( 1 + 1 х 0,9 / 12) 6 = 154,3301 млн руб. Если бы реинвестирования не было, то S = 100 ( 1 + 6 х 0,9 /12) = 145,0 млн руб. Следовательно, операция реинвестирования увеличивает доход клиента на 9,33 млн руб.

Пример 6. Фирма «Аралия» принимает минимальный вклад 10 тыс. руб. сроком на 1 год под 60% годовых с ежемесячным начислением и реинвестированием процентов. Фирма «Юпитер» такой же минимальный вклад на тот же срок принимает под 62 % годовых с ежеквартальным начислением и реинвестированием процентов. Какие условия предпочтительнее? Решение: Определяем наращенную стоимость минимального вклада: Фирма «Аралия» : S = 10 (1 + 1 х 0,6 / 12) 12 = 10 ( 1 + 0,05) 12 = 17.9586 тыс. руб. Фирма «Юпитер»: S = 10 (1 + 0,25 х 0,62)4 = 10 (1 + 0,155)4 = 17,7962 тыс руб. Условия фирмы “Аралия” предпочтительнее. Задачи для самостоятельного решения (3). Задача 3.1. На сумму 25 тыс руб начисляются 25% годовых (простые точные проценты). Какова наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение 2х лет? Задача 3.2. По условиям кредитного соглашения на сумму 250 тыс. руб. начисляется 20 % годовых. Срок действия кредитного соглашения 0,5 года. Проценты обыкновенные с точным числом дней ссуды. Реинвестирование процентов проводится ежемесячно. Какова наращенная сумма? Задача 3.3.

Кредит рассчитан на 56 дней, начиная с 1 января. Сумма кредита 1 млн. руб. проценты простые точные. Какова наращенная сумма и доход банка? 4. Финансовые вычисления на основе сложных процентов. На практике (кроме вышеперечисленных) часто используется механизм наращения денег, известный как «процент за процент». При этом проценты присоединяются к исходной базе, поэтому исходная база для определения наращенной суммы меняется. Таким образом поступают при средне- и долгосрочных операциях. Это - сложные проценты, наращение денег по сложным процентам называют капитализацией процента. Наращенная стоимость за n лет по сложным процентам равна: S = P (1 + i) n (7) В условиях инфляции банки могут предусматривать меняющиеся во времени ставки сложных процентов. В таких ситуациях наращенная сумма равна: S=Р(1 + i1)n1(1+i2)…(1+ik)nk (8) i1, i2 … ik – процентные ставки. n 1, n2 ,…nk – периоды. Меняющиеся ставки следует отличать от “плавающих”, значения которых неизвестны. Вообще, различия в вычислениях на основе простых и сложных процентов могут быть весьма существенны, графически это может быть отражено следующим образом: Финансовые вычисления на основе простых и сложных процентов используются с различными целями: крупные коммерческие структуры кредитуют предприятия своей системы на срок более года под простые проценты, дополнительно смягчая этим условия сделок.

S

S=P(1+i)

n

S=P(1+ni) О

1

годы

Различия в процессах наращения исходной суммы по простым и сложным процентам наиболее четко проявляются в периодах, приводящих к удвоению, утроению или кратному росту исходной суммы депозита/кредита: Удвоение суммы вклада по сложным процентам происходит быстрее, чем по простым. При увеличении процентной ставки разрыв во времени периода удвоения сокращается. Пример 7. Вкладчик внес 2 тыс руб в банк под 50 % годовых на 5 лет. Проценты сложные. Какова сумма средств вкладчика по окончании срока. Решение: Наращенная сумма: S = 2 ( 1 + 0,5 ) 5 = 15,1875 тыс. руб. Доход вкладчика за 5 лет: I = 13,1875 тыс. руб. Пример 8. Банк взимает за ссуду размером в 5 млн. руб. 40% годовых. За 2-й год установленная банком маржа составляет 2%, за каждый последующий год – 3%. Срок ссуды 5 лет. Какова сумма возврата долга через 5 лет. Решение: По (8): S = 5 ( 1,4 х 1,42 х 1,433) = 5 х 5,81331 = 29,066548 млн. руб.

Доход банка равен 24,066548 млн руб. Пример 9. Исходная сумма депозита 100 тыс. рублей. Ставка 30% годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за ряд периодов. Сделать выводы. Решение: результаты вычислений представим в табличной форме: Проце Периоды наращения суммы нты 180 1 год 2 года 5 лет 10 лет 20 дней 115

лет 700

Прост 130 160 250 400 ые Сложн 114,0 130 169 285,61 482,6 2329, ые 2 8 81 Выводы: при периоде менее года простые проценты более выгоды кредитору, банку; при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т.е. выгоднее кредитору, банку. Задачи для самостоятельного решения (4). Задача 4.1. Клиент желает внести в банк 3,3 млн. руб. на 2 года. Ему предложено два варианта вложения средств: под 15 % годовых на условии сложных процентов и под 17 % годовых на условии простых процентов. Определить предпочтительный вариант. Задача 4.2. Исходная сумма депозита определена в 150 тыс. руб. при ставке 18 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за полгода год, три и пять лет.

Задача 4.3. В банк внесен вклад в размере 32 тыс. руб. на 3 года. Проценты простые. Какова сумма средств вкладчика после истечения срока. Какова она, если проценты сложные. Каков будет доход вкладчика если каждый последующий после первого год процентная ставка возрастает на 1 %. Задача 4.4. Клиент внес депозит 25 тыс. руб. под 35 % годовых на 2,5 года. Определить величину депозита в конце периода. 5. Проценты за дробное число лет. В сделках нередко фигурирует дробное число лет (период более 1 года). В этих случаях проценты начисляются двумя способами: - по формуле сложных процентов S = P (1 + i) a + b (9) - на основе смешанного метода S = P(1+i) a (1 + bi), (10) Где : n=a+b - период сделки; a - целое число лет; b - дробная часть года. При n=b(1+i)b. Пример 10. Клиент банка вносит депозит 30 млн. руб на 3,5 года под 40% годовых. Определим величину депозита в конце периода. Решение: По (9) : S= 30(1+0,4) 3,5 Log10 S = log 10 30 + 3,5 log 10 1,4=1,4771 + 3,5 Х 0,1461 + 1,98845

По таблицам антилогарифмов находим наращенную сумму (97,38 млн. руб.). По (10): S = 30(1+0,4)3(1+0,5 x 0,4) = 98,784 млн. руб. Клиента устраивает, чтобы банк чаще присоединял проценты к исходной сумме, чаще позволял снимать доход со счета. Поэтому проценты часто начисляются помесячно, поквартально. Для этого используется формула (7), в которой n - общее число периодов начисления процентов и i - ставка за соответствующий период (месяц, квартал, полугодие). Пример 11. Клиент внес в банк депозит 10 млн руб. В договоре указано, что банк производит поквартальное начисление и капитализацию процентов. Срок депозита три года. Квартальная ставка 15%, при годовой ставке 60%. Найти наращенную сумму за 3 года. Решение: S = 10 (1+0,15)12 = 53,502 млн. руб. На практике в кредитных договорах может фиксироваться годовая ставка (j) и число периодов начисления процентов в году(m). За каждый период проценты начисляются по ставке (j/m). В этом случает годовая ставка j называется номинальной ставкой. Начисление процентов по номинальной ставке производится: S = P (1 + j/m) N (11) N – общее число периодов начисления процентов, m – число периодов начисления процентов в году. Пример 12. Клиент внес в банк депозит 10 млн. руб на три года. Годовая номинальная ставка j составляет 60%, m равно 4, проценты начисляются поквартально. Определить наращенную стоимость. Решение.

S= 10 ( 1 + 0,6/12 )36 = 57,91813 млн. руб. Ежемесячное начисление процентов за 3 года и их капитализация по сравнению с ежеквартальной дает дополнительный прирост депозита, величина которого ΔS = 57,918 – 53,502 = 4,416 млн. руб, т. е. около 44% исходной суммы. Если представить общую продолжительность срока ссуды N (дробное число лет) в виде суммы числа полных периодов начисления процентов (mL) и дробной части (a), т. е. N=mL + a, тогда наращенная сумма может определять по сложным процентам по формуле: S = P(1+ j/m )mL (1 + j/m)a (12) Или по смешанному методу S = P(1+ j/m )mL (1 + aj/m) (13) Где: m- число начислений процентов за год, L - число полных периодов начисления процентов за год, a - дробная часть периода. Пример 13. Размер депозита 10 млн. руб. номинальная годовая ставка 50%. Проценты начисляются и капитализируются по полугодиям. Срок депозита 27 месяцев. Определить наращенную стоимость. Решение. m = 2, L = 2, а = 0,25 (3 месяца = 1 квартал = 0,25 года). N = 2 х 2 + 0,25 = 4,25. Наращенная стоимость по сложным процентам (12) =25,58 млн. руб., по смешанному типу (13) = 25,94 млн. руб. Наращенная сумма по смешанному типу больше, чем по сложным процентам, т.к. за период до 1 года простые проценты дают большую наращенную сумму, чем сложные.

На практике наращение денег может производиться 1 раз в год по ставке i или m раз в год по ставке j/m, которая называется эффективной или действительной ставкой. Эффективная ставка характеризует реальный относительный доход кредитора за год при начислении процентов m раз в год по ставке j/m. Условие поставленного выше вопроса можно записать следующим образом: (14) (1 + i )n = (1 + j / m )mn где: i – эффективная годовая ставка, j – номинальная годовая ставка. После преобразований можно получить: 1 + j = (1 + j / m )m или i = (1 + j / m )m –1 (15) Пример 14. Вкладчик вносит депозит 20 тыс. руб на 2 года под номинальную ставку 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Другой банк предлагает ставку 48,16% годовых при начислении процентов 1 раз в год. Имеются ли преимущества в финансовом отношении у рассматриваемых вариантов сделки? Решение: Найдем наращенную стоимость при ежемесячном начислении и капитализации процентов (11): S = 20(1 + 0,4 : 12) 12 х 2 = 43,9 тыс. руб. Определим наращенную стоимость при ежегодном начислении и капитализации процентов (7): S = 20 ( 1 + 0,4816)2 = 43,9 тыс. руб. Номинальная ставка 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов и эффективная ставка 48,6% годовых при ежегодном начислении обеспечивают финансовую эквивалентность сделки или одинаковые финансовые последствия. Пример 15.

Банк выдал фирме кредит сроком на полгода (год равен 360 дней) в сумме 10 млн. руб. под 80% годовых. Проценты простые обыкновенные. По договору срок ссуды определен датой перечисления валюты ссуды со счета банка. Срок окончания ссуды определен датой зачисления средств с учетом процентов на счет банка. Если возврат долга просрочен до 30 дней, то процентная ставка возрастает на 5 пунктов к годовой ставке. Если возврат долга просрочен более, чем на 30 дней, то процентная ставка возрастает на 10 пунктов и взимается по фактическому сроку неплатежей. 7 января банк списал со своего счета 10 млн. руб. и направил в соответствии с договором на счет фирмы. 7 июля на счет банка поступила сумма 12 млн. руб., а 16 августа – 2 млн. руб. каковы финансовые взаимоотношения сторон? Решение: Сумма возврата долга по договору: S = 10 (1 + 0,5 х 0,8) = 14,0 млн.руб. Доход банка 4 млн. руб. Недоплата долга на конец сделки (7 июля): 14 – 12 = 2 млн. руб. Невозврат долга в течение 30 дней (до 7 августа) 2 млн. руб. на эту сумму начисляют 85% годовых: S = 2(1 + 1 : 12 х 0,85) = 2,141667 млн. руб.

Невозврат долга свыше 30 дней составил 2 млн руб (с 7 августа по 16 августа) или 9 дней (10 дней – 1). На эту сумму начисляется 90% годовых: S + 2(1 + 9 : 360 х 0,90) = 2,0450 млн.руб. Общая сумма платежей банку с учетом просроченного долга равна: 12 + 2,141667 + 2,0450 + 14,186667 млнруб. Долг фирмы банку по состоянию на 16 августа составил 14,186667 – 14 = 0,186667 млн. руб.

Задачи для самостоятельного решения (5). Задача 5.1. На депозит внесено 20 тыс рублей. Номинальная годовая ставка составила 16%. Срок депозита составил 35 месяцев. Проценты начисляются и капитализируются поквартально. Определить величину наращенной суммы. Что больше: наращенная сумма по смешанному типу или по сложным процентам? Задача 5.2. На депозит помещено 1 млн. руб. Номинальная годовая ставка 155. Проценты начисляются и капитализируются по полугодиям. Срок депозита 5 лет. Определить наращенную стоимость. Задача 5.3. На депозит внесено 25 тыс. руб. на 1 год под номинальную ставку 14% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Другой банк предлагает ставку 20% годовых при начислении процентов 2 разав год. Какой вариант более привлекателен для клиента? Контрольные вопросы. 1. Что такое наращенная сумма? 2. Что такое множитель наращения денег? 3. Чем отличаются другот друга обыкновенные и точные проценты? 4. Что такое реинвестирование процентных денег? 5. Что такое капитализация процента? 6. Что такое сложные проценты? 7. Как могут быть определены проценты за дробное число лет? 8. Что такое номинальная ставка? Действительная ставка?