Электричество и магнетизм. Электростатика. (Часть 1). Методические указания

Министерство образования Российской Федерации Ростовский государственный университет

Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений физического факультета

по курсу лекций «Электричество и магнетизм» Электростатика (Часть 1)

Ростов-на-Дону 2000 г.

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета. Протокол №6 от 31 октября 2000 г. Авторы :

Богатин А.С. – заведующий кафедрой общей физики Богатина В.Н. – доцент кафедры общей физики Раевский И.П. – профессор кафедры общей физики Турик А.Л. – заведующий кафедрой физики полупроводников Цветянский А.Л. – доцент кафедры общей физики

3

Мы приступаем к изучению электромагнитного взаимодействия. Это одно из четырех фундаментальных взаимодействий, которыми оперируют физики. Электромагнетизм - слово привычное студентам младших курсов. С электрическими и магнитными явлениями приходится сталкиваться в повседневной жизни. Мы не представляем себе нашу жизнь без электрического тока, радио, телевидения. Многие для зажигания газа пользуются пьезокерамическими зажигалками, автомобилисты хорошо знают, что без системы зажигания не будет работать двигатель внутреннего сгорания. Электрические рыбы известны человечеству с древних времен. Электромагнетизм как

наука зародился в глубокой

древности. Янтарь (по-гречески электрон) привлекал к себе внимание с весьма далеких времен. Он притягивал пылинки, кусочки папируса, нити. Другой полезный и таинственный камень - магнит тоже известен человечеству уже тысячи лет. Природные магниты - куски магнитного железняка - магнетита притягивали к себе железные предметы. Это нашло отражение в древних легендах и притчах. По Платону название магнит дано Эврипидом. Есть и другие версии происхождения этого названия. По притче Плиния название дано в честь сказочного пастуха волов Магниса, чья железная палка и гвозди сандалий прилипали к неведомым камням. Есть сведения, что слово «магнит» происходит от названия провинции Магнезия (сейчас Манисса). Об этом пишет Тит Лукреций Кар в поэме «О природе

вещей».

С

тех

пор

человечество

многое

узнало

об

электромагнитных явлениях. И не просто узнало, а поставило очень большое число электромагнитных явлений себе на службу. Выяснилось, что именно электромагнетизм обеспечивает существование прекрасных кристаллов, с электромагнетизмом связаны, казалось бы совсем далекие от него, силы трения и упругости. Да и в организме человека широко проявляются электромагнитные явления. Так, наступив

на острый

камешек, босой человек узнает об этом за счет разряда конденсатора,

4

имеющегося в нервных волокнах и передачи электрического импульса, вызванного этим разрядом, в головной мозг. О многих электромагнитных проявлениях мы еще поговорим по ходу нашего курса, а пока приступим к его системному изложению. Традиционно курс электромагнетизма начинается с изучения неподвижных электрических зарядов, как говорят, с электростатики. Мы так и поступим. И начнем с изучения свойств электрических зарядов, т.к. именно этим словом – заряд и описываются те свойства тел, которые позволяют им участвовать в электромагнитном взаимодействии. 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ВАКУУМЕ 1.1. Свойства электрических зарядов Перечислим

известные

свойства

электрических

зарядов.

В

дальнейшем на многих из этих свойств мы остановимся подробнее. 1. Фундаментальным свойством электрического заряда является его существование в двух видах, которые с давних времен назвали положительными и отрицательными зарядами. Названия эти, разумеется, условные. Современная физика рассматривает существование двух видов зарядов, как свойство симметрии. Это противоположные проявления одного и того же качества, как понятия «правый» и «левый». Наша Вселенная

представляет

собой

хорошо

уравновешенную

смесь

положительных и отрицательных зарядов, что не удивительно из-за взаимодействия зарядов. 2. Продолжим разговор о взаимодействии зарядов. Если два небольших заряда А и В отталкиваются и заряд А притягивает третий заряд С, то заряд В тоже притянет заряд С. Иными словами, всегда одноименные заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные притягиваются.

Количественный

закон,

устанавливающий

меру

взаимодействия между заряженными телами малых размеров - так

5

называемыми точечными зарядами, был установлен в 1785 г. Кулоном в ходе тщательных экспериментов. Кулон использовал крутильные весы, похожие на те, которые Кавендиш использовал для определения гравитационной постоянной. В результате опытов Кулон установил, что сила

взаимодействия

пропорциональна

двух

величине

неподвижных каждого

из

точечных зарядов

и

зарядов обратно

пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направлена эта сила по прямой соединяющей заряженные тела. F=k

q1q2

(1-1)

r2

В системе СИ коэффициент пропорциональности k, входящий в закон Кулона, записывают в виде k =

электрическая

постоянная,

1 4πε 0

иногда

её

. Величина ε 0 имеет название называют

диэлектрическая

проницаемость вакуума, но это последнее название на самом деле не имеет физического смысла и мы им пользоваться не будем. ε 0 = 8,85⋅10-12 Ф/м. Здесь буквой Ф обозначена физическая величина Фарад, являющаяся единицей ёмкости в системе СИ, о чём у нас впереди еще будет идти речь. 3. Разговор о третьем свойстве электрического заряда мы предварим таким

мысленным

экспериментом.

Возьмём

два

одинаковых

металлических шарика. Одному из них сообщим заряд q, а другой оставим незаряженным. Приведем шарики в соприкосновение. Заряд распределится поровну между этими шариками. На каждом будет заряд q/2. Уберем заряд со второго шарика и вновь приведем их в соприкосновение. Теперь на каждом шарике будет заряд q/4. Будем продолжать операцию деления заряда. На каждом шарике остаются заряды q/8, q/16, q/32, q/64 и т.д. Вопрос заключается в том, сможем ли мы продолжать эту операцию как угодно долго, деля заряд на сколь угодно малые части, или есть предел такому делению заряда? Оказалось, что такой предел есть. Физики установили это экспериментально, о чем мы будем еще говорить в

6

дальнейшем. Самым маленьким электрическим зарядом является заряд по модулю равный заряду электрона е=1,6⋅10-19 Кл. Этот заряд принято называть элементарным электрическим зарядом. Когда на одном из наших шариков останется такой заряд, после прикосновения к нему второго незаряженного шарика заряд е уже не разделится на части, а останется на первом шарике или перейдет на второй, но целиком. Почему самый маленький заряд равен 1,6⋅10-19 Кл современная физика не знает. Можно лишь отметить, что все элементарные частицы, если они заряженные, имеют именно такой заряд положительный или отрицательный. Последнее время физики ввели в обиход новые элементарные частицы - кварки. Кваркам приписывают дробные электрические заряды +2/3 е и -1/3 е. Однако с введением кварков представление о дискретности электрического заряда не снимается, а переносится на другой уровень. Следует сказать, что в обычных случаях с дискретностью заряда сталкиваться почти не приходится, т.к. величины зарядов, с которыми приходится иметь дело, в тысячи, а зачастую и миллионы раз превосходят величину элементарного заряда. 4. Четвертое свойство электрического заряда – закон его сохранения. Полный заряд изолированной системы представляет собой величину, которая никогда не изменяется. Под изолированной понимают систему, через границу которой не переносится вещество. Это свойство заряда кажется естественным, но дело в том, что оно выполняется как на макро -, так и на микро уровне. Под действием электромагнитного излучения могут возникать электрические заряды, но возникают они всегда парами – положительный и отрицательный, причем заряды их по модулю всегда в точности равны. Сейчас самое время обсудить вопрос о том, как наэлектризовать тело, т.е. создать на нем электрический заряд. Самый простой способ

7

сделать это – перенести на тело уже имеющийся где-то заряд. Но если не хочется его тратить, как поступить? Есть два способа разделения электрических зарядов. Дело в том, что в любом теле имеются положительные и отрицательные заряды, причем в равных количествах, да еще и равномерно распределенные по этим телам. Именно такие тела называют нейтральными. Если тело является диэлектриком, т.е. очень плохо проводит электрический ток, то наэлектризовать

его

проще всего

в процессе

трения. Например,

стеклянную палочку можно потереть о кожу. В процессе этого трения отдельные участки стекла и кожи располагаются настолько близко, что электроны получают способность покинуть стекло (на стекле они слабо закреплены) и перейти на кожу. Кожа заряжается отрицательно, а стекло, на котором теперь не хватает отрицательных зарядов, заряжается положительно.

Разумеется,

в

процессе

электризации

трением

не

рождаются новые заряды. Они только переходят с одного тела на другое. Вторым способом электризации является электризация через влияние, электростатическая индукция, как ее часто называют. Через влияние легче всего наэлектризовать проводник. Посмотрим, как это происходит.

Поднесем

к

нейтральному

проводнику

положительно

заряженное тело, не прикасаясь к нему. Электроны, которые имеются в нашем теле и могут по нему свободно перемещаться, притягиваются к положительному заряду и собираются в той части тела, которая обращена к положительному заряду. Эта часть нашего тела заряжается отрицательно, а удаленная от положительного заряда часть тела, из которой эти электроны ушли, заряжается положительно. Стоит убрать положительный заряд, электроны вернутся на свои места, и наше тело вновь станет нейтральным. Небольшое усложнение эксперимента позволяет сохранить заряды, полученные в процессе электризации через влияние. Для этого электризуемое тело следует предварительно разрезать на части. А и В. Сложив обе части вместе, следует произвести электризацию через влияние,

8

а затем, не убирая положительный заряд, надо раздвинуть части А и В нашего тела (рис.1). Теперь с положительным зарядом можно делать всё, что угодно. Он сохранён и не изменился, а тела А и В заряжены соответственно отрицательно и положительно, т.к. между частями А и В отсутствует тот мостик, +q

по которому электроны могли бы вернуться на свои места.

Как легко видеть, и в случае электростатической индукции выполняется +q закон сохранения электрического заряда. В процессе электризации через А Вперемещаются между телами или их частями. влияние заряды только Явление Рис.1 электростатической индукции используется в электростатических машинах, предназначенных для непрерывного получения зарядов. Перед тем как продолжить разговор о свойствах электрических зарядов остановимся на одном чисто техническом, но необходимом при изучении электростатики, вопросе. Как измерять электрический заряд? Проще всего это делать с помощью электроскопа. Электроскоп представляет

собой

(рис.2)

металлический

стержень,

неподвижный

заканчивающийся

в

верхней части металлическим шариком. К этому Рис. 2

стержню шарнирно прикреплён второй стержень,

который может легко поворачиваться относительно первого. При сообщении заряда шарику оба стержня заряжаются одноименно. Стремясь оттолкнуться от неподвижного стержня, подвижный поворачивается на угол α и чем больше заряд сообщили электроскопу, тем больше этот угол α. Разумеется, электроскоп одинаково реагирует на положительные и

9

отрицательные заряды. Поэтому с его помощью можно обнаруживать электрический заряд, оценивать его величину, но нельзя без дополнительных экспериментов выяснить знак заряда. 5. Вернемся к свойствам электрических зарядов. Оказывается, что величина электрического заряда не зависит от системы отсчета, в которой он измеряется. Как говорят физики, заряд является релятивистки инвариантным. Его величина не зависит от того, движется он или покоится. Все эти свойства электрических зарядов имеют далеко идущие последствия, о которых в дальнейшем и пойдет речь 1.2. Электрическое поле. Напряженность электрического поля Мы уже подсчитали силу электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами с помощью закона Кулона. Но не задавались при этом вопросом о том, как удаётся взаимодействовать этим зарядам. Они ведь не находятся в непосредственном контакте. В таких случаях физики говорят, что взаимодействие происходит посредством поля. В нашем случае это поле принято называть электрическим полем (точнее электростатическим). О том, что собой представляет это поле, мы еще поговорим. Сейчас введем его количественную характеристику. Сделаем это следующим образом. Поместим в точку А точечный заряд q1, а в точку В – точечный заряд q2 (рис.3). Со стороны заряда q1, на заряд q2 A

B

q1

q2(q3,q4...) Рис.3.

F12

действует сила F12 (на рисунке заряды q1 и q2 – одноимённые). Уберём заряд q2 и поместим в точку В другой заряд q3. На него действует со

стороны q1 другая сила F13 . При помещении в точку В заряда q4 сила будет F14. Все эти силы F12, F13, F14 различны, но их отношение к величине

соответствующего заряда оказываются величиной постоянной и не зависит от величины заряда, находящегося в точке В F12 F13 F14 = = q2 q3 q3

10

Это отношение зависит лишь от q1 и расстояния от А до В. Таким образом, можно рассматривать отношение как характеристику того изменения в пространстве, которое создаётся зарядом q1, т.е. как характеристику электрического поля, создаваемого зарядом q1. Заряд q1 принято называть зарядом – источником электрического поля, а заряд q2, с помощью которого мы это поле обнаружили по действующей на этот заряд силе, пробным электрическим зарядом. Исследованное нами отношение, которым

мы

договорились

характеризовать

электрическое

поле,

договорились называть напряженностью электрического поля и обозначать Е E=

F12 q2

(1-2)

Напряжённость электрического поля находится как отношение силы, действующий на точечный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого пробного заряда. Напряженность электрического поля – величина векторная. Вектор напряженности электрического поля направлен по направлению силы, действующей на положительный пробный заряд Пользуясь определением напряженности поля (1-2) и законом Кулона

(1-1)

можно

найти

напряженность

электрического

поля,

создаваемого точечным зарядом q1 E=

F12 1 q1 = q 2 4πε 0 r 2

(1-3)

Поле это убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда – источника до тех точек, в которых исследуется поле. 1.3. Принцип суперпозиции электрических полей Слово суперпозиция означает наложение. Речь идет о том, как находить электрические поля, если они создаются не одним зарядом, а

11

несколькими. Заключается этот принцип в том, что напряженность поля системы

точечных

неподвижных

зарядов

равна

векторной

сумме

напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности в отсутствии других зарядов Е=Е1+Е2+Е3+ . . .= ∑ E i

(1-4)

Этот

i

принцип выражает одно из самых замечательных свойств поля и позволяет в принципе вычислять напряженность любой системы зарядов, представив ее

как

совокупность

точечных

зарядов.

При

всей

простоте

и

естественности этого принципа он должен был пройти экспериментальную проверку, которую он успешно выдержал. Так что принцип суперпозиции электрических полей представляет собой опытный факт. Следует отметить, что иногда этот принцип нарушается. Это происходит тогда, когда речь заходит о, так называемых, нелинейных явлениях, происходящих в очень сильных полях. 1.4. А существует ли электрическое поле? Понятие электрического поля оказывается весьма удобным при нахождении силы взаимодействия между зарядами. Эту силу легко найти, если речь идет о взаимоденйствии между двумя точечными зарядами. Как поступать, если поле создается совокупностью электрических зарядов? В этом случае удобно задачу о нахождении силы взаимодействия разбить на два этапа. На первом этапе можно найти напряженность поля, создаваемого зарядами – источниками поля. На втором этапе можно уже искать силу, действующую со стороны поля на пробный заряд. При таком подходе возникает вопрос о том, существует ли на самом деле электрическое поле? Может его нет, а мы вводим это понятие для удобства расчета силы, действующей на пробный заряд? Иными словами надо ответить на такой вопрос, действительно ли один из зарядов создает

12

поле, а это поле действует на заряд с некоторой силой или заряды взаимодействуют между собой непосредственно без какого-либо поля? Выбрать

между

электростатики

этими

двумя

практически

подходами,

невозможно.

оставаясь

в

рамках

Электростатическое

поле

существует при наличии зарядов, его создавших и это не позволяет осуществить

выбор.

Иная

ситуация

возникает

при

рассмотрении

переменных электромагнитных полей. Эти поля могут существовать и действовать на токи и заряды даже без источников, их создавших, и это делает выбор между двумя подходами совершенно однозначным. Тем не менее, оставаясь в рамках электростатики можно попробовать осуществить выбор. Для этого попробуем осуществить некоторый мысленный эксперимент. Возьмем

два

одинаковых

по

абсолютной

величине,

но

противоположных по знаку заряда. Такую систему принято называть электрическим диполем. Расположим заряды на некотором расстоянии друг от друга. Эти заряды создают электрическое поле, которое действует на пробный заряд q1, помещенный вдали от зарядов – источников в точке А (рис.4). Можно рассуждать иначе. Заряды +q и -q действуют с некоторой силой на заряд q1. Как выбрать, какой из этих подходов справедлив?

+q

A

–q

q1 Рис. 4.

Начнем сближать заряды +q и -q. В какой-то момент они соприкоснутся и нейтрализуют друг друга. Теперь следует ответить на вопрос, сила, действующая на q1, исчезнет в момент нейтрализации зарядов – источников или несколько позже, когда информация об их нейтрализации достигнет точки

13

А. Если мы стоим на позициях теории близкодействия, основным представлением которой является конечность скорости распространения сигнала, то выбор очевиден. После нейтрализации зарядов на заряд q1 некоторое, пусть очень небольшое время, действует сила. И теперь надо дать себе отчет о том, со стороны какого объекта действует эта сила. Зарядов – источников уже нет, а сила действует. Значит, она действует со стороны электрического поля. Эти рассуждения позволяют нам теперь точно опираться на понятие поля, считать, как принято говорить, что электростатическое поле – это объективная реальность. 1.5. Силовые линии электрического поля Часто в силу тех или иных обстоятельств оказывается удобным задавать электрические поля в пространстве не аналитически с пощью формул, а графически, рисуя карты электрического поля. Такое графическое представление полей удобно проводить, используя силовые линии электрического поля или, как их иначе называют, линии напряженности электрического поля. Назовем силовой линией электрического поля линию, которая начинается на положительных зарядах и заканчивается на отрицательных. Проходят эти линии так, чтобы касательная, проведенная к этой линии в каждой ее точке, совпала с вектором напряженности электрического поля. Силовые линии электрического поля нигде не пересекаются (только на зарядах), располагаются перпендикулярно к заряженным поверхностям. Их принято проводить так, чтобы по густоте расположения линий можно было судить о величине напряженности поля. Рассмотрим несколько примеров проведения силовых линий. На рис.5 нарисованы силовые линии положительного точечного заряда, а на рис.6 – силовые линии диполя.

14

Рис. 5.

Рис. 6.

1.6. Поток вектора напряженности электрического поля Теорема Гаусса Принцип суперпозиции электрических полей позволяет подсчитать электрическое поле любой системы зарядов. Но есть еще один способ подсчета напряженности электрического поля. Им удобно пользоваться всегда, когда заряды, создающие поле, распределены в пространстве симметрично. Причем вид симметрии может быть любым. Прежде, чем формулировать некий физический закон, позволяющий это сделать, введем некоторую вспомогательную физическую величину, которая называется поток вектора напряженности электрического поля через поверхность. Обозначим этот поток буквой N. Проще всего ввести поток вектора Е для случая однородного электрического поля. Пусть некоторая плоская площадка S находится в однородном электрическом поле. Назовем потоком вектора Е через площадку (рис.7) величину N = ES cosα ,

S

α

здесь α – угол между нормалью n к нашей площадке и вектором Е. Поскольку проекция

n

E E E

Рис. 7.

вектора Е на направление нормали может быть записана как E n = E cosα последнее равенство может быть переписано в виде

15

N = En S

(1-5)

Попробуем обобщить понятие потока вектора Е на любое, в том числе неоднородное, поле. При помещении площадки S в неоднородное поле можно разбить всю эту площадку на маленькие площадки ∆S i , такие, чтобы в их пределах можно было бы считать поле однородным. Поток вектора Е через такую площадку можно записать ∆N i = E ni ∆S i , а поток через всю площадку S находится суммированием ∆N i . Итак, N = ∑ ∆N i = ∑ E ni ∆S i i

i

В каждом случае разбиение S на ∆S i приходилось бы проводить заново, добиваясь однородности поля в пределах ∆S i . Поэтому удобней сразу разбить S на бесконечно малые площадки dS. Поток dN через такую площадку запишется dN = E n dS , а поток через S находится, как N = ∫ E n dS

(1-6)

S

Интегрирование в формуле (1-6) ведется по всей интересующей нас поверхности S. Это самое общее определение потока Е через поверхность S. Им мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Попробуем теперь подсчитать поток вектора Е через сферическую поверхность радиуса r, в центре которой находится точечный заряд q (рис.8). Воспользуемся для подсчета N выражением для напряженности поля точечного заряда (1-3) и определением +q r Рис. 8.

потока (1-6). Итак, поток вектора Е через S

сферическую поверхность S можно записать

16

N = ∫ E n dS . В этом выражении кружок на S

интеграле

поставлен

для

обозначения

того

обстоятельства, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности. Подставим в последнее равенство выражение для напряженности поля точечного заряда и учтем, что силовые линии поля точечного заряда перпендикулярны к сферической поверхности, т.е. направлены вдоль нормали к ней и в силу этого E n равно модулю Е. N=∫

1

q

2 S 4πε 0 r

dS

В подынтегральном выражении все сомножители кроме dS остаются на поверхности сферы постоянными и их можно вынести за знак интеграла. Интеграл же по сферической поверхности от ее элемента равен площади этой поверхности. В итоге, можно записать N=

1

q

4πε 0 r 2

1

∫ dS = 4πε S

q 0

r

2

4πr 2 =

1

ε0

q

Оказывается, что этот результат получился не потому, что мы выбрали такую

красивую

сферическую

поверхность.

Какой

бы

замкнутой

поверхностью мы не окружали бы этот заряд, поток через нее был бы таким же. Если внутрь этой поверхности попали бы и другие заряды, поток Е был бы пропорционален алгебраической сумме этих зарядов. Все сказанное можно сформулировать в виде теоремы, которую принято называть теоремой Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, окруженных этой поверхностью.

17

1

∫ E n dS = ε ∑ qi S

(1-7)

0 i

Как уже говорилось, эта теорема оказывается очень удобной для подсчета напряженностей

полей,

созданных

зарядами,

распределенными

в

пространстве с той или иной симметрией. Эта теорема отражает одно из очень важных свойств электрических полей и к ней нам придется в дальнейшем обращаться неоднократно. В заключение следует сказать, что мы не доказывали строго эту теорему. Доказательство требует громоздких математических выкладок. Мы рассмотрели лишь частный пример и на его основе обобщили результат на общую ситуацию. Однако это ни в коей мере не умаляет важность полученного результата. Литература. 1. С.Г. Калашников. Электричество.–М.: Наука,1970. 2. И.В. Савельев. Курс общей физики. Т.2.–М.: Наука, 1978. 3. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т.3.–М.: Наука,1977. 4. И.В. Савельев. Курс физики. Т.2.–СПб.: Минфрил.,М.: Главная ред. Физ.-мат.лит.,1996. 5. И.Е. Иродов. Основные законы электромагнетизма.–М.: Высшая школа, 1983. 6. Э. Парселл. Электричество и магнетизм.–М.: Наука, 1975. 7. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т.5. Электричество и магнетизм.–М.: Мир, 1966.