Физика. Часть 1. Механика: Учебное пособие для иностранных студентов

В О РО НЕ Ж СК И Й ГО СУ ДА РСТВ Е ННЫ Й У НИ В Е РСИ ТЕ Т П О Д ГО ТО В И ТЕ Л Ь НЫ Й Ф А К У Л Ь ТЕ Т Д Л Я И НО СТР А ННЫ Х ГР А Ж Д А Н

Ф И ЗИ К А У ЧЕ БНО Е П О С О БИ Е Д Л Я И НО С Т Р А ННЫ Х С Т У Д Е НТ О В П О Д Г О Т О В И Т Е Л Ь НО Г О Ф А К У Л Ь Т Е Т А

ч асть1

М Е ХА Н ИКА

В О РО НЕ Ж 1999 1

ББК Ш 141.12-963:531+ 531(0 75.4)

К И НЕ М А Т И К А 1. В В Е Д Е НИ Е Новы е словаисловосочетания:

Ф изика. Часть I - М еханика. Воронеж : Воронежск ий университет, 1999 - 112с. А вторы : Л.Л. А ндреева , Н .В. Баск а к ова . Редак тор - Р.Д . К озы рева . ISBN 5-85815-032-2

м еха ник а э лек трич ество оптик а к инем атик а динам ик а статик а

ч асть вид движение объек т явление проц есс

М ы изуч аем физик у. Физик а изуч аетфизич еск ие объек ты , физич еск ие явления, физич еск ие проц ессы .

М еханик а, э лек трич ество, оптик а... – э точ асти физик и. М еханик а изуч аетк инем атик у, динам ик у, статик у.

© К оллек тива второв, подготовительны й фак ультетдля иностранны х граждан ВГУ, 1999

2

К инем атик а, динам ик а, статик а – э точ асти м еханик и. М ы нач инаем изуч атьк инем атик у.

К и нема т и ка – эт о ча ст ь меха ни ки , ко т о ра я и зуча ет ви ды дви ж ени я. 3

2. М Е Х А НИ Ч Е С К О Е

Д В И Ж Е НИ Е

Новы е словаисловосочетания: тело двигаться находиться покой изм енить

изм енение положение относительно определять другой

Меха ни ческо е дви ж ени е– эт о и зменени е по ло ж ени я о дно го т ела о т но си т ельно друго го т ела (други х т ел). Т елодвижетсяили находитсявпок ое – этом ожноопределитьтольк оотносительнодругоготела. Н априм ер: Ч еловек сидитвавтобусе. Ч еловек находитсявпок ое относительноавтобуса. А втобус движетсяотносительнодом а, относительноЗем ли. Ч еловек тоже движетсяотносительнодом а, относительноЗем ли.

Физик а изуч аетфизич еск ие тела. – Ч еловек – э тофизич еск ое тело – М аш ина – э тофизич еск ое тело – К нига – э тофизич еск ое тело – С олнц е – э тофизич еск ое тело

Д вигаться= изм енятьположение. Д вижение = изм енение положения. М аш ина изм еняетположение относительнодом а. Зем ляизм еняетположение относительноС олнц а. М ожноск азать: телоизм еняетположение относительнодругоготела.

Э то физич еск ие тела (объек ты )

Дви ж ени е и по ко й всегда о т но си т ельны .

3. ЗА Д А ЧА К И НЕ М А Т И К И . С И С Т Е М А О Т С ЧЁ Т А Новы е словаисловосочетания:

– Э тофизич еск оетело(объек т) – Ч еловек идет. Т елодвижется(двигается) или телоизм еняет положение. – М аш ина едет. Т елодвижется(двигается) или телоизм еняет положение. – С ам олетлетит. Т елодвижется(двигается) или телоизм еняетположение. Ч еловек , м а ши н а , с а м олет – дви ж ут с я (дви га ю т с я). К огда т ело дви ж ет с я, он о и зм ен яет полож ен и е. – Д ом стоит. Т елоне движется, телонаходитсявпок ое. – С тудентсидит. Т елоне движется, телонаходитсявпок ое. – К нига лежит. Т ело не движется, телонаходитсявпок ое. Д ом , с т уден т и к н и га н е дви ж ут с я. Эт и т ела н а ходят с я впок ое. К огда т ело н е дви ж ет с я, он о н а ходи т с я впок ое. 4

задач а пространство отсч ёт телоотсч ёта систем а отсч ёта лю бой м омент врем я к оордината

м етод (способ) изм ерение ось век тор радиус соединять зависеть функ ц ия плоск ость

За да ча ки нема т и ки – о предели т ь (зна т ь) по ло ж ени е т ела в про ст ра нст ве в лю бо й мо мент времени . О пределитьположение тела впространстве м ожно тольк о относительно другоготела (относительнотела отсч ёта).

Тело о т счёт а – эт о т ело , о т но си т ельно ко т о ро го мо ж но о предели т ь по ло ж ени е друго го т ела . Н априм ер: Д ом находитсявпок ое относительноЗем ли. Зем ля– э тотелоотсч ёта. Зем лядвижетсяотносительноС олнц а. С олнц е – э тотелоотсч ёта. Н а теле отсч ёта возьм ем точ к у 0. 5

Т оч к а 0 – нач алоотсч ёта или нач алок оординат. 0X – осьХ 0Y – осьY – Э тооси к оординат 0Z – осьZ

На ча ло о т счёт а и о си ко о рди на т – эт о си ст ема ко о рди на т . Ч тобы определитьположение тела впространстве влю бой м ом ентврем ени, надоим етьсистем уотсч ёта.

Си ст ема о т счёт а – эт о т ело о т счёт а , си ст ема ко о рди на т и мет о д и змерени я времени (ча сы ). М ы им еем систем у отсч ёта и положение тела М впространстве. П оложение тела М в пространстве определяю тк оординаты (x, y, z) r или радиус-век тор r .

r

К о о рди на т ы (x, y, z) – эт о чи сла , ко т о ры е о пределяю т по ло ж ени е т ела в про ст ра нст ве.

Ра ди ус-вект о р r (и ли вект о р по ло ж ени я) – эт о вект о р, ко т о ры й со еди няет на ча ло о т счёт а и по ло ж ени е т ела в про ст ра нст ве. К огда т ело дви ж ет с я, его полож ен и е впрос т ра н с т ве и зм ен яет с я, его к оорди н а т ы и ра ди ус -век т орт ож е и зм ен яю т с я. О н и за ви с ят от врем ен и . r r = f ( t ) , x = f1( t ) , y = f 2( t ) , z = f 3( t ) .

П оложение тела впространстве определяю т3 к оординаты – (x, y, z).

П оложение тела на плоск ости определяю т2 к оординаты – (x, y). П оложение тела на прям ой линии определяет1 к оордината – (x).

4. Ф И ЗИ Ч Е С К И Е В Е Л И Ч И НЫ Новы е словаисловосочетания: велич ина харак теристик а свойство изм ерять сравнить единиц а единиц а изм ерения ск аляр ск алярнаявелич ина

век тор век торнаявелич ина м одуль обознач ение ч исловое знач ение направление алгебраич еск ий геом етрич еск ий параллельны й противоположны й

Ф и зи ческа я вели чи на – эт о ха ра кт ери ст и ка фи зи ческо го явлени я, фи зи ческо го про цесса и ли сво йст ва фи зи ческо го о бъект а (т ела ), ко т о рую мо ж но и змери т ь. r

Н априм ер: x, y, z – к оординаты , r – радиус-век тор, t – врем я, m – м асса – э тофизич еск ие велич ины . Физич еск ую велич ину м ожноизм ерить, если сравнитьеё с единиц ей изм ерения. Н априм ер: 1 ч (ч ас) 1 м ин (м инута) 1 с (сек унда)

– Э тоединиц ы изм еренияврем ени (t)

1 м (м етр) 1 к м (к илом етр) 1 см (сантим етр)

– Э тоединиц ы изм еренияк оординат(x, y, z) r или радиуса-век тора ( r )

1 г (грам м ) 1 к г(к илограм м ) 1 т(тонна)

– Э тоединиц ы изм ерениям ассы (m)

Физич еск ие велич ины м огутбы тьск алярны м и или век торны м и.

Ска лярна я фи зи ческа я вели чи на (ска ляр) – эт о фи зи ческа я вели чи на , ко т о ра я и меет т о лько чи сло во е зна чени е (по ло ж и т ельно е и ли о т ри ца т ельно е). Н априм ер: t – врем я, m – м асса, t0 – тем пература.

6

7

С к алярны е велич ины м ожно сложить, вы ч есть, ум ножить, разделитьалгебраич еск и. Н априм ер: m1 = 3 к г, m2 = 8 к г; m = m1 + m2 = 3 к г+ 8 к г= 11 к г.

Вект о рна я фи зи ческа я вели чи на (вект о р) – эт о фи зи ческа я вели чи на , ко т о ра я и меет чи сло во е зна чени е и на пра влени е. r r r r Н априм ер: r – радиус-век тор, V – ск орость, a – уск орение, F – сила. О бознач ение век тора: r a Век тор им еетм одуль.

Мо дуль – эт о чи сло во е зна чени е вект о ра . r

r

О бознач ение м одулявек тора a : a или | a |. Д ва век тора равныr , если r они равны пом одулю , параллельны и им ею тодинак овое направление a = b . r a

П РА В И Л О П А РА Л Л Е Л О Г РА М М А Д ва век тора м ожносложитьпоправилу параллелограм м а.r r Д аны два век тора a и b , α – угол м ежду век торам и. r О пределим век тор c , к оторы й ра вен r r сум м е век торов a и b . r r Д лясложениявек торовa и b перенесём их параллельно так , ч тобы они нач инаr r лисьводной точ к е О . Н а век торах a и b построим rпараллелограм м . r a и b – стороны параллелограм м а. Д иагональ параллелог r рам м а О А – э то результирую щий век тор c . r r r cr = a + b c – рез r ультирую щий век тор, r a и b – составляю щие век торы . r М одульвек тора c м ожноопределитьпоформ уле:

r b

c = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosα

Е сли два век тора рав rны rпо м одулю , параллельны , но им ею тпротивоположны е направления, то a ≠ b , r r a=−b. r a

Частны е случаи: 1. ∠α = 0 , cos 0 = 1, c = a2 + b2 + 2ab , 0

0

c = a + b.

r b Век торны е физич еск ие велич ины м ожносложитьтольк огеом ет ри чес к и .

5. С Л О Ж Е НИ Е В Е К Т О Р О В Новы е словаисловосочетания: параллелограм м угол результат результирую щий составлять составляю щий переносить сторона правило 8

диагональ ч астны й треугольник совпадать последний нач ало к онец построить

2. ∠α = 90 0 , co s 90 0 = 0 , c = a2 + b2 .

3. ∠α = 180 0 , cos1800 = −1, c = a2 + b2 − 2ab , c = a − b.

r Век тор c им еетнаправление больш еговек тора. 9

П РА В И Л О Т Р Е У Г О Л Ь НИ К А r r Д ва век тора a и b м ожносложитьпоправ rилу треугольник а. r П еренесём век тора a и b параллельно так , ч тобы к онец век тоr r ра a и нач ало век тора b совпадали. тирую щий век тор r r r Резуль c = a + b соединяетrнач аловек тора r a и к онец век тора b . С лож ение несколькихвекторов: r r r r r Д аны век торы : a , br , c , d , e . О пределим век тор f , к оторы й равен сум м е э тих век торов: r r r r r r f = a + b + c +d + e П еренесём век торы параллельно так , ч тобы к онец к аждоговек тора совпадал с нач алом следую щего(друг r ого) век тора. Век тор f = OA соединяетнач алопервого и к онец последнеговек тора.

6. В И Д Ы Т Р А Е К Т О Р И И Новы е словаисловосочетания: линия траек тория прямой к ривой прям олинейны й к риволинейны й

Тра ект о ри я – эт о ли ни я дви ж ени я т ела . Т раек ториям ожетбы тьпрям аялинияили к риваялиния.

В оп росы : 1. Ч то так ое к инем атик а? 2. Ч тоизуч аетк инем атик а? 3. В ч ём состоитзадач а к инем атик и? 4. Ч то так ое м еханич еск ое движение? 5. К ак м ожноопределитьположение тела впространстве? 6. Ч тотак ое телоотсч ёта? 7. Ч тотак ое систем а к оординат? 8. Ч тотак ое систем а отсч ёта? 9. Ч тотак ое к оординаты ? 10. Ч тотак ое радиус-век тор? 11. Ч тоопределяетположение тела впространстве? 12. С к ольк ок оординатопределяетположение тела впространстве? 13. С к ольк ок оординатопределяетположение тела на плоск ости? 14. С к ольк ок оординатопределяетположение тела на линии? 15. Ч тотак ое физич еск аявелич ина? 16. К ак изм еритьфизич еск ую велич ину? 17. Ч тотак ое ск алярнаяфизич еск аявелич ина? 18. Ч то так ое век торнаяфизич еск аявелич ина? 19. Ч тотак ое м одуль? 20. К ак м ожносложитьск алярны е велич ины ? 21. К ак м ожносложитьвек торны е велич ины ? 22. К ак ие правила (м етоды ) сложениявек торовВы знаете? 10

К огда траек торияпрям аялиния– этопрямо ли нейно едви ж ени е.

К огда траек торияк риваялиния– э токри во ли нейно е дви ж ени е.

7. П А Р А М Е Т Р Ы П Р Я М О Л И НЕ Й НО Г О Д В И Ж Е НИ Я ТЕ Л А Новы е словаисловосочетания: пара м етр пром ежуток нач альны й к онеч ны й путь длина проходить перем ещение ск орость соверш ать средний расстояние

м гновенны й форм ула предел стремиться уск орение увелич иваться ум еньш аться положительны й отриц ательны й уск оренны й зам едленны й

11

1. ∆t – Время дви ж ени я – эт о про меж ут о к (и нт ерва л) времени о т на ча ла до ко нца дви ж ени я. ∆t = t - t0, t0 – нач альны й м ом ентврем ени, t – к онеч ны й м ом ентврем ени. Врем ядвижения∆t – э то ск алярнаявелич ина. В систем е С И единиц а изм еренияврем ени – сек унда [t] = 1 с.

4. S – П ут ь – эт о дли на т ра ект о ри и (ра сст о яни е, ди ст а нци я), ко т о рую про хо ди т т ело за время дви ж ени я. П уть– ск алярнаявелич ина.

2. x , y , z – К о о рди на т ы – эт о чи сла (ска ляры ), ко т о ры е о пределяю т по ло ж ени е т ела в про ст ра нст ве.

x0 – нач альнаяк оордината, xt – к онеч наяк оордината, ∆x = xt - x0, ∆x – изм енение к оординаты за врем ядвижения. В систем е С И единиц а изм еренияк оординаты – м етр [x] = 1 м .

r 3. r – Ра ди ус-вект о р – эт о вект о р, ко т о ры й со еди няет на ча ло

В систем е С И единиц а изм еренияпути – м етр [S] = 1 м .

r

5. ∆r – П еремещ ени е – эт о вект о р, ко т о ры й со еди няет на ча льно е и ко нечно е по ло ж ени е т ела в про ст ра нст ве. На пра влен и е век т ора перем ещен и я пок а зы ва ет н а пра влен и е дви ж ен и я т ела .

о т счёт а и по ло ж ени е т ела в лю бо й мо мент времени . Радиус-век тор пок азы ваетположение тела впространстве. r rr0 – нач альны й радиус-век тор, rt – к онеч ны й радиус-век тор. r | r0| = x 02 + y02 + z 02 , r | rt | = x t2 + yt2 + z t2 . r r К огда движение прям олинейное: | r0 | = x0, | rt | = xt .

В систем е С И единиц а изм ерениярадиуса-век тора – м етр r [r ] = 1 м. 12

r r r ∆r = rt − r0 ,

r r0 – нач альны й радиус-век тор, r rt – к онеч ны й радиус-век тор. П ерем ещение равноизм енению радиуса-век тора за врем ядвижения. Е сли м ы знаем к оординаты нач ального положения тела М 0 (x0, y0, z0) и к онеч ногоположенияМ t (xt, yt , zt ), том одульвек тора перем ещениям ожнонайти поформ уле: r 2 2 2 ∆r = ∆x 2 + ∆y2 + ∆z 2 = ( x t − x 0 ) + ( yt − y0 ) + ( z t − z 0 ) В систем е С И единиц а изм еренияперем ещения– м етр [ ∆r ] = 1 м . 13

Н априм ер: А втобус проходитотостановки Адо остановки В путь100 к м за 2 ч аса. С к ак ой средней ск оростью двигалсяавтобус ?

К огда движение прям олинейное, осьX совпадаетс траек торией движения. r ∆r = S = ∆x К огда движение прям олинейное, м одульперем ещения, путьи изм енение к оординаты равны . Х

6. V – Ско ро ст ь – эт о фи зи ческа я вект о рна я вели чи на , ко т о ра я по ка зы ва ет , ка ко е перемещ ени е со верш а ет т ело за еди ни цу времени .

r ∆rr rrt − rr0 V = = ∆t t − t 0 М одульск орости: ∆r S = ∆t ∆t На пра влен и е век т ора с к орос т и с овпа да ет с н а пра влен и ем век т ора перем ещен и я и ли с н а пра влен и ем дви ж ен и я. В систем е С И единиц а изм еренияск орости – м етр в(за) сек унду: V =

[S ] м [V ] = =1 . [t ] с Х С к оростьм ожетбы тьсредняя (Vср) и мгно венна я (Vм г).

Vср – Средняя ско ро ст ь по ка зы ва ет , ка ко е перемещ ени е (пут ь) в среднем про хо ди т т ело за еди ни цу времени . Средн яя с к орос т ь равна отнош ению перем ещения (пути) к о врем ени, за к оторое телосоверш аетэ топерем ещение (проходитэ тотпуть). М одульвек тора средней ск орости м ожнонайти поформ уле: V ср =

14

всё ∆r весьS = всё ∆t всё ∆t

Д ано: S = 100 к м ∆t = 2 ч Vср - ?

Реш ение: весьS ; V ср = всё t V ср =

100 к м км = 50 . 2ч ч

С редняяск оростьм ожетбы тьвек торна явелич ина или ск алярнаявелич ина. r ∆rr S Vср = ; Vср = . ∆t ∆t Х

Vм г – Мгно венна я ско ро ст ь – эт о ско ро ст ь в да нно й т о чке т ра ект о ри и и ли в да нны й мо мент времени . Н априм ер: V0 – нач альнаяск орость,

– Э том гновенны е ск орости

Vt – к онеч наяск орость. М гновенную ск оростьм ожнонайти поформ уле: r r r ∆r V м г = lim = lim V ср ∆t → 0 ∆ t ∆ t →0

(М гн овен н а я с к орос т ь ра вн а пределу с редн ейс к орос т и , к огда пром еж ут ок врем ен и с т рем и т с я к н улю ).

r 7. a – Уско рени е – эт о фи зи ческа я вект о рна я вели чи на , ко т о ра я по ка зы ва ет и зменени е ско ро ст и за еди ни цу времени . r r r r ∆V V t −V0 a= = ∆t t − t0

На пра влен и е век тrора ус к орен и я с овпа да ет с н а пра влен и ем век т ора и зм ен ен и я с к орос т и ( ∆V ). 15

Н априм ер: 1. Vt > V0 – ск оростьувелич ивается.

ся.

2. Vt < V0 – ск оростьум еньш ает-

Е сли Vt > V0, то ∆V > 0, тогда Е сли Vt < V0, то ∆V < 0, тогда a < 0. a > 0. a > 0 – уск орение положительa < 0 – уск орение отриц ательная велич ина. наявелич ина. К огда с к орос т ь увели чи ва ет с я К огда с к орост ь ум ен ьша ет с я и ус к орен и е от ри ца т ельн а я вели чи н а – эт о и ус к орен и е полож и т ельн а я вели чи н а – эт о дви ж ен и е ус к орен н ое. дви ж ен и е за м едлен н ое. В систем еС И единиц а изм еренияускорения– м етр за (в) сек ундувк вадрате [V ] = [a] = [t ]

[S ] м [t ] [S ] = 2 =1 2 t t с [] []

В оп росы : 1. Ч тотак ое траек тория? 2. К ак ие виды траек тории Вы знаете? 3. К ак ие Вы знаете виды движенияпо форм е траек тории? 4. К огда движение прям олинейное? 5. К огда движение к риволинейное? 6. К ак ие парам етры прям олинейного движенияВы знаете? 7. К ак ие парам етры прям олинейного движенияявляю тсяск алярны м и велич инам и? 8. К ак ие парам етры прям олинейного движенияявляю тсявек торны м и велич инам и ? 9. П роч итайте название сим волов: r r r r r r r r r ∆t , t 0 , t , ∆x , x 0 , x t , r0 , rt , ∆r , S , V0 , V t , V ср , Vм г , ∆V , a . 10. Ч то так ое врем ядвижения? 11. Ч тотак ое к оординаты ? 12. Ч тотак ое радиус-век тор? 13. Ч тотак ое путь? 14. Ч то так ое перем ещение? 16

15. К ак ое направление им еетвек тор перем ещения? r 16. П ри к ак ом движении ∆r = S = ∆x ? 17. Ч тотак ое ск орость? 18. К ак ое направление им еетвек тор ск орости? 19. Ч тотак ое средняяск орость? 20. Ч тотак ое м гновеннаяск орость? 21. Ч тотак ое уск орение? 22. К ак ое направление им еетвек тор уск орения? 23. Н азовите единиц ы изм еренияврем ени, к оординаты , радиуса-век тора, пути, перем ещения, ск орости и уск орениявсистем е С И . 24. Уск оренное движение – э ток ак ое движение? 25. Зам едленное движение – э ток ак ое движение?

П рим ер реш ениязадачи: П ервую половину пути (S/2) м аш ина проходитсоск оростью 40 к м /ч . Вторую половинупути м аш ина проходитсоск оростью 60 к м /ч . Н айти средню ю ск оростьдвиженияна всем пути. Д ано: 1 S1 = S 2 1 S2 = S 2 км V1 = 40 ч км V2 = 60 ч Vср =?

Реш ение: весьS S 1 + S 2 = ; Vср = всё t t1 + t2 1⋅ S S ; t1 = 1 = V1 2 ⋅V1 1⋅ S S ; t2 = 2 = V2 2 ⋅V2 1 1 S+ S S 2 2 = = Vср = S S S 1 1 + ⋅ +  2 ⋅V1 2 ⋅V2 2  V1 V2  2 ⋅V1 ⋅V2 2 ⋅ 40 ⋅ 60 4800 км = = = = 48 . ч V1 +V2 60 + 40 100

ЗА Д АЧИ : 1. М аш ина проехала 1 м ин со ск оростью 90 к м /ч , потом 2 м ин со ск оростью 60 к м /ч и 0,5 м ин со ск оростью 120 к м /ч . Н айти средню ю ск оростьм аш ины за всё врем ядвижения. 2. Велосипедистпроехал первую половину пути со ск оросью 12 к м /ч , а вторую – соск оростью 20 к м /ч . Н айти средню ю ск оростьдвижениявелосипедиста на всём пути. 3. А втом обильза первы й ч ас проехал путь40 к м , за второй ч ас – 30 к м , за третий ч ас – 50 к м . Н айти средню ю ск оростьдвиженияавтом обиляза 2 ч аса и за 3 ч аса движения. 17

4. А втом обильдвигался врем я t. П ервую половину врем ени (t1 = t/2) он им ел ск орость60 к м /ч , вторую половинуврем ени (t2 = t/2) он двигалсясоск оростью 20 к м /ч . Н айти средню ю ск оростьавтом обиляза всё врем ядвижения. 5. М аш ина первую половину пути проходитсоск оростью в1,5 раза больш ей, ч ем вторую половину пути. Н айти средню ю ск оростьна к аждом уч астк е (Vср1 и Vср2), если средняяск оростьна всём пути V = 12 м /с. 6. М аш ина проходитпервую ч астьпути соск оростью 10 м /с, а вторую ч асть пути – со ск оростью 25 м /с. Втораяч астьпути в2 раза больш е первой. Н айти средню ю ск оростьмаш ины на всём пути. 7. Весьпутьавтом обильпроехал соск оростью 80 к м /ч . С редняяск орость на первой ч етверти (S1 = S/4) бы ла 120 к м /ч . Н айти средню ю ск оростьна остальной ч асти пути (S2 = 3S/4).

8. В И Д Ы П Р Я М О Л И НЕ Й НО Г О Д В И Ж Е НИ Я Новы е словаисловосочетания: равном ерны й переменны й связать- связы вать

П рямо ли нейно е дви ж ени е – эт о т а ко е дви ж ени е, ко гда т ра ект о ри я пряма я ли ни я и ко гда на пра влени е ско ро ст и не и зменяет ся.

Ра вно мерно е прямо ли нейно е дви ж ени е – эт о т а ко е дви ж ени е, ко гда : r 1. Vr = const – ско ро ст ь не и зменяет ся, о на по ст о янна я вели чи на . 2. a = 0 – уско рени е ра вно нулю (дви ж ени е без уско рени я). 3.∆t 1 = ∆t 2 = ∆t 3 = ... = ∆t n r r r r ∆r1 = ∆r2 = ∆r3 = ... = ∆rn

– за ра вны е про меж у т ки времен и т ело со верш а ет ра вные перемещ ени я

У РА В НЕ НИ Я И Г РА Ф И К И РА В НО М Е Р НО Г О Д В И Ж Е НИ Я r 1. a = 0 – э тоуравнение уск оренияравном ерногодвижения. К огда дви ж ен и е ра вн ом ерн ое – ус к орен и е ра вн о н улю . График зависим ости м одуля уск оренияотвреr м ени a = f ( t ) естьпрям аялиния, к отораясовпадаетс осью врем ени. r 2. V = const – э тоуравнение ск орости равном ерногодвижения: К огда дви ж ен и е ра вн ом ерн ое – с к орос т ь пос т оян н а я вели чи н а . Vср = Vм г = const.

К огда тело движется, велич ина его ск орости изм еняется(V ≠ const ) или не изм еняется(V = const). С изм енением ск орости связаны виды движения. К огда велич ина ск орости не изм еняется– э торавном ерное движение. К огда велич ина ск орости изм еняется– э то неравном ерное (или перем енное) движение.

9. Р А В НО М Е Р НО Е П Р Я М О Л И НЕ Й НО Е Д В И Ж Е НИ Е

(

r

)

График зависим ости м одуляск орости отврем ени V = f (t) естьпрям ая линия, параллельнаяоси врем ени.

Новы е словаисловосочетания: постоянны й уравнение график зависим ость ч исленно площадь прям оугольник тангенс 18

прям опропорц иональны й строить таблиц а нак лонны й одинак овы й проходить угол нак лон угол нак лона

График I пок азы вает, ч тотелодвижется вположительном направлении оси 0X. График II пок азы вает, ч тотелодвижетсявотриц ательном направлении оси 0X.

19

Н а график е ск орости м ожнонайти путь(S), к оторы й проходиттелоза врем яt1. П утьч исленно ра вен площади прям оугольник а О АВС. О А= ВС = V О С = АВ = ∆t П лощадь OA BC = OA ⋅OC = V ⋅ ∆t = S (путь) . r r 3. ∆r = V ⋅ ∆t – Э тоуравненияперем ещенияи пути S = V ⋅ ∆t К огда дви ж ен и е ра вн ом ерн ое, перем ещен и е и пут ь за ви с ят от врем ен и прям о пропорци он а льн о. r К огда движение прям олинейное, ∆ r = S , поэ том у график и зависим ости r м одуляперем ещения и пути отврем ени ( ∆r = f ( t ) и S = f ( t ) ) им ею тодинак овы й вид. П остроим график зависим ости S = f(t). Уравнение пути S = V ⋅ t .

r r r 4. rt = r0 +V ⋅t xt = x0 +V ⋅t

– Э то уравнения радиуса-век тора и к оординаты

К огда дви ж ен и е ра вн ом ерн ое, ра ди ус -век т ор и к оорди н а т а за ви с ят от врем ен и ли н ейн о. r r К огда движение прям олинейное r0 = x 0 , rt = x t , гра фик и зависим ости r м одулярадиуса-век тора и к оординаты отврем ени ( r = f (t ) и x = f ( t )) имею т одинак овы й вид. П остроим график x = f(t). Уравнение к оординаты x t = x 0 +V ⋅ t . Н априм ер: x0 = 3 м , V = 2 м /с, тогда x t = 3 м + 2

м ⋅t . с

t(с)

0

1

2

3

4

5

x(м )

3

5

7

9

11

13

Н априм ер: м ⋅ t; с м V2 = 2 м /с, S 2 = 2 ⋅ t . с О пределим путьза врем я t = 0 c; 1 c; 2 c; 3 c; 4 c; 5 с. Т аблиц а: V1 = 3 м /с, S1 = 3

t(с)

0

1

2

3

4

5

S1(м ) 0

3

6

9

12

15

S2(м ) 0

2

4

6

8

10

График зависим ости пути (м одуляперем ещения) отврем ени S = f(t) есть прям аянак лоннаялиния, к отораяпроходитч ерезнач алок оординат. Н а график е пути ск оростьч исленноравна тангенсу угла нак лона график а пути к оси врем ени. α1 – угол нак лона график а пути S1, α 2 – угол нак лона график а пути S2. S S tgα1 = 1 = V1 ; tgα 2 = 2 = V2 . ∆t ∆t 20

График зависим ости к оординаты (м одуля радиуса-век тора) отврем ени x = f(t) естьпрям аянак лоннаялиния, к отораяпроходитч ерезнач алок оординат, если x0 = 0, или не проходитч ерезнач алок оординат, если x 0 ≠ 0 .

В оп росы : 1. Равном ерное движение – к ак ое э тодвижение? 2. С форм улируйте и напиш ите уравнение уск оренияравном ерногодвижения. 3. К ак ой вид им еетграфик зависим ости м одуляуск оренияотврем ени для равном ерногодвижения? 21

4. С форм улируйте и напиш ите уравнение ск орости равном ерногодвижения. 5. К ак ой вид им еетграфик зависим ости м одуляск орости отврем ени равном ерногодвижения? 6. С форм улируйте и напиш ите уравнение перем ещенияи пути равном ерногодвижения. 7. К акой видим еетграфик зависим ости пути (м одуляперемещения) отврем ени равном ерногодвижения? 8. Н апиш ите и сформ улируйте уравнение радиуса-век тора и к оординаты равном ерногодвижения. 9. К ак ой вид им еетграфик зависим ости к оординаты (м одулярадиуса-век тора) отврем ени равном ерногодвижения?

График и: S 1 = f (t ) S 2 = f (t) x1 = f (t ) x 2 = f (t) V1 = f (t ) V2 = f ( t )

П рим ер реш ениязадачи: Д ва тела нач инаю тдвигатьсяодноврем еннопооси 0X навстреч удругдругу. Н ач а льна я к оордина та первого тела x01 = 0, ск орость первого тела V1 = 15 м /с. Н ач альная к оордината второго тела равна x02 = 100 м , ск орость второго тела V2 = - 5 м /с. Н апиш ите уравнение к оординатпервого и второго тел. О пределите: 1) ч ерезск ольк оврем ени тела встретятся; 2) к оординатум еста встреч и. К ак ой путьпроходитк аждое телодовстреч и? П остройте график и пути, к оординаты и ск орости к аждоготела. Д ано: t1 = t2 = t x 01 = 0 x 02 = 100 м V1 = 15 м с V2 = 5 м с Н а йти: t =? x =? S1 = ? S2 = ?

22

Реш ение: С делаем рисунок :

x1 = x 01 +V1 ⋅ t x1 = 0 + 15 ⋅ t x 2 = x 02 −V2 ⋅ t x 2 = 100 − 5 ⋅ t x1 = x 2 = x 15t = 100 − 5t ⇒ 100 =5 с t= 20 S 1 = V1 ⋅ t = 15 ⋅ 5 = 75 м S 2 = V2 ⋅ t = 5 ⋅ 5 = 25 м x = S 1 = 75 м

ЗА Д АЧИ : 1. Д ва тела нач инаю тдвигатьсяодноврем еннопооси 0X вположительном направлении. Н ач альнаякоордината первоготела x01 = 0, ск оростьпервоготела V1 = 25 м /с. Н ач альнаяк оордината второго тела x02 = 200 м , ск оростьвторого тела V2 = 5 м /с. Н апиш ите уравнение к оординатпервогои второготел. Ч ерезск ольк оврем ени первое телодогонитвторое? Н айдите к оординату вэ тотм ом ентврем ени. К ак ой путьпроходитк аждое телоза э товрем я? П остройте график к оординаты , пути и ск орости к аждоготела. 2. Д аны график и к оординаты . П остройте график и ск орости и пути.

23

10.П Р Я М О Л И НЕ Й НО Е НЕ Р А В НО М Е Р НО Е И Л И П Е Р Е М Е ННО Е Д В И Ж Е НИ Е Новы е словаисловосочетания: переменны й Н ерав r ном ерное (перем енное) движение – э тотак ое движение, к огда: 1. Vr ≠ const – ско ро ст ь и зменяет ся (о на переменна я вели чи на ), 2. a ≠ 0 – уско рени е не ра вно нулю (дви ж ени е с уско рени ем),

3. ∆t 1 = ∆t 2 = ∆t 3 = ...= ∆t n r r r r ∆r1 ≠ ∆r2 ≠ ∆r3 ≠ ...≠ ∆rn

– за ра вны е про меж ут ки времени т ело со верш а ет ра зны е перемещ ени я.

К огда ск оростьизм еняется, она м ожетувелич иваться(Vt > V0) или ум еньш аться(Vt < V0). П оэ том у неравном ерное движение м ожетбы тьуско ренны м или за медленны м.

11. Р А В НО П Е Р Е М Е ННО Е П Р Я М О Л И НЕ Й НО Е Д В И Ж Е НИ Е Новы е словаисловосочетания: равноперем енны й равноуск оренны й равнозамедленны й Рассм отрим так ой вид неравном ерногодвижения, к огда за рав rны е пром ежутк и врем ени ск оростьизм еняетсяна одинак овую велич ину ( ∆V = const), – э тора вно переменно е дви ж ени е.

Ра вно переменно е дви ж ени е – эт о т а ко е нера вно мерно е дви ж ени е, ко гда : 1. ∆t 1 = ∆t 2 = ∆t 3 =...= ∆t n – за ра вны е про меж у т ки времени r r r r ско ро ст ь и зменяет ся на о ди на ко ∆V1 = ∆V2 = ∆V3 =... = ∆Vn вую вели чи ну. r 2. a = const уско рени е по ст о янна я вели чи на (дви ж ени е с по ст о янны м уско рени ем). Равноперем енное движение м ожетбы тьра вно уско ренны м и ра вно за медленны м.

24

25

Ра вно уско ренно е дви ж ени е – эт о т а ко е ра вно переменно е дви ж ени е, ко гда : 1. ∆t 1 = ∆t 2 = ∆t 3 =... = ∆t n – за ра вны е про меж ут ки времени ско ро ст ь увели чи ва ет ся на о ди на ко вую r ∆V = const > 0 вели чи ну. r 2. a = const > 0 – уско рени е ест ь по ст о янна я и по ло ж и т ельна я вели чи на . Ра вно за медленно е дви ж ени е – эт о т а ко е ра вно переменно е дви ж ени е, ко гда : 1. ∆t 1 = ∆t 2 = ∆t 3 =... = ∆t n – за ра вны е про меж ут ки времени ско ро ст ь уменьш а ет ся на о ди на ко вую r ∆V = const < 0 вели чи ну. r 2. a = const < 0 – уско рени е ест ь по ст о янна я и о т ри ца т ельна я вели чи на .

парабола торм ожение r

1. a = const – э тоуравнение уск оренияравноперем енногодвижения. К огда дви ж ен и е ра вн оперем ен н ое, ус к орен и е - пос т оян н а я вели чи н а . а = const > 0

a = const < 0

Э тоуравнение ускоренияравноЭ то уравнение уск орения равнозауск оренногодвижения. К огда дви ж е- м едленногодвижения. К огда дви ж ен и е н и е ра вн оус к орен н ое, уск орен и е – по- ра вн оза м едлен н ое, ус к орен и е – пос т ос т оян н а я и полож и т ельн а я вели чи н а . ян н а я и от ри ца т ельн а я вели чи н а . График зависим ости м одуля уск оренияравноперем енногодвижения отврем ени (а = f(t)) есть прям аялиния, параллельнаяоси врем ени. О на на ходится вы ш е оси врем ени, если движение равноуск оренное (а >0), и ниже оси врем ени, если движение равнозам едленное (а 0). V t = V0 − a ⋅ t , к огда движение равнозам едленное (а V0, и уск орение – постояннаявелич ина (а = g = const). С вободное падение описы ваю туравненияравноуск оренногодвижения: Равноуск оренное движение: Vt = V 0 + at at 2 S = V 0t + 2 2aS = V t 2 −V02

Vt = V 0 − gt = 0 ⇒ V0 = gt . Врем яподъём а: t=

С вободное падение: V t = V0 + gt ; если V0 = 0 , V t = gt ⇒ t = 2

Vt g

2

2H gt gt H = V 0t + ; если V0 = 0, H = ⇒t = 2 2 g 2 gH = Vt 2 −V02 ; если V 0 = 0, 2 gH = V t 2

2. Д В И Ж Е НИ Е Т Е Л А , К О Т О Р О Е БР О С И Л И В Е Р Т И К А Л Ь НО В В Е РХ Броситьтело – знач итдатьем у нач альную ск орость(V0 ≠ 0 ). Н ач альная ск оростьнаправлена вертик альновверх. Уск орение свободногопадениявсегда направленовертик альновниз(к ц ентру Земли), поэтом у скоростьум еньш ается. О пы тпок азы вает, ч то: 1. С нач ала тело будетдвига ться вертик а льно вверх равнозам едленно (подъём ) (Vt a2

r a~

r

∑ Fi i

уск орение обратно пропорц ионально м ассе тела:

r 1 a~ m m1

m2

m1 > m2 F1 = F2 a1 < a2

Е сли объединитьэ ти две зависимости, получ им вт о ро й за ко н Нью т о на :

Уско рени е, с ко т о ры м дви ж ет ся т ело , прямо про по рци о н а льн о дейст вую щ и м си ла м и о бра т но про по рци о на льно ма ссе эт о го т ела . r r ∑ Fi a= m

Второй зак он Н ью тона являетсяосновны м зак оном динам ик и. Н а прак тик е ч астоиспользую тформ улу второгозак она Н ью тона ввиде равенства:

r r F = m⋅a

41

Е сли на телодействуетнеск ольк осил, товторой зак он Н ью тона записы ваю тввиде:

r

М Е Ж ДУН А РО ДН А Я С И С ТЕ М А Е ДИ Н И Ц (С И )

r

∑ Fi = m ⋅ a

Е диница

Век торнаясум м а сил, к оторы е действую тна тело, равна произведению массы тела на уск орение. Э ту форм улу назы ваю тзак оном движения. Е диниц ы изм ерениясилы всистем е С И – нью тон (к г⋅м /с2).

6. С И С Т Е М Ы Е Д И НИ Ц В 1832 г. нем ец к ий уч ены й К . Гаусс (1777–1855) предложил систем у единиц изм ерений физич еск их велич ин. В э той систем е основны м и являю тсяединиц ы длины , м ассы и врем ени. О н пок азал, ч товсе остальны е единиц ы , к оторы е встреч аю тсявм еханик е, м огутбы тьвы ражены ч ерезних. XI Генеральной к онференц ией по м ерам и весам вок тябре 1960 г. бы ла принята М еждународнаясистем а единиц , к оторую сок ращенноназы ваю тС И – Си с т ем а И н т ерн а ци он а льн а я. О сновны е м еханич еск ие единиц ы всистем е С И : единиц а длины – м етр (м ), единиц а м ассы – к илограм м (к г), единиц а врем ени – сек унда (с). Е диниц ы физич еск их велич ин, к оторы е м ы получ аем с пом ощью форм ул, назы ваю тсяпроизводны м и единиц ам и. П рои зводн ы е еди н и цы , прим еняем ы е вм еханик е: единиц а площади – к вадратны й м етр (м 2), единиц а объем а – к убич еск ий м етр (м 3), единиц а ск орости – м етр всек унду (м /с), единиц а уск орения– м етр всек унду вк вадрате (м /с2), единиц а плотности – к илограм м на к убич еск ий м етр (к г/м 3), единиц а силы – нью тон (к г⋅м /с2). В середине Х IХ столетиябы лопредложеноза основны е единиц ы принять: единиц у длины – сантим етр (см ), единиц у м ассы – грам м (г), единиц у врем ени – сек унду (с). П опервы м бук вам названий э тих единиц систем а получ ила наим енование С ГС . За единиц усилы всистем е С ГС приним аю ттак ую силу, к отораям ассе тела в1 гсообщаетуск орение 1 см /с2. Э ту силу назы ваю тдиной (дин): 1 г⋅ 1 см /с2 = 1 дин

42

О бозначение

Вел ичина

Н аименование

р усское

междунар одное

метр кил ог р амм секунда амп ер

м кг с А

m kg s A

кел ь вин кандел а

К кд

K cd

р ад ср

rad sr

м2 м3 кг/м3

m2 m3 kg/m3

м/с р ад/с Н Па Дж Вт

m/s rad/s N Pa J W

О С Н О ВН ЫЕ Е ДИ Н И Ц Ы ДЛИ Н А М А СС А В РЕ М Я С И ЛА ЭЛЕ КТРИ ЧЕ С КО ГО ТО КА ТЕ РМ О ДИ Н А М И ЧЕ С КА Я ТЕ М ПЕ РА ТУРА КЕ ЛЬВИ Н А С И ЛА С ВЕ ТА

ДО ПО ЛН И ТЕ ЛЬН Ы Е Е ДИ Н И Ц Ы Пл оский уг ол Тел есны й уг ол

р адиан стер адиан ПРО И ЗВО ДН ЫЕ Е ДИ Н И Ц Ы

Пл ощ адь О бъем, вместимость Пл отность С кор ость Угл овая скор ость С ил а Давл ение; механическое нап р яжение Работа; энер г ия; кол ичество теп л оты М ощ ность ; теп л овой п оток Кол ичество эл ектр ичества; эл ектр ический зар яд Эл ектр остатическое нап р яжение, эл ектр ический п отенциал , р азность эл ектр ических п отенциал ов, эл ектр одвижущ ая сил а Эл ектр ическое соп р отивл ение Эл ектр ическая п р оводимость Эл ектр ическая емкость М аг нитны й п оток И ндуктивность , взаимная индуктивность Удел ь ная теп л оемкость Теп л оп р оводность С ветовой п оток Я р кость О свещ енность

квадр атны й метр кубический метр кил ог р амм на кубический метр метр в секунду р адиан в секунду нь ю тон п аскал ь джоул ь ватт кул он

Кл

C

вол ь т ом сименс ф ар ада вебер г енр и джоул ь на кил огр амм-кел ь вин ватт на метр -кел ь вин л ю мен кандел а на квадр атны й метр л ю кс

В О м См Ф Вб Г Дж/(кг⋅К)

V Ω S F Wb H J/(kg⋅K)

Вт/(м⋅К) лм кд/м2

W/(m⋅K ) lm cd/m2

лк

lx

43

Установим связьм еждунью тоном и диной: 1 н = 1 к г⋅ 1 м /с2 = 1000 г⋅ 100 см /с2 = 105 дин В м еханик е ч асто используется единиц а силы – к илограм м -сила (к Г или к гс). К илограм м -сила – этосила, к отораятелум ассой в1 к гсообщаетуск орение 9,80665 м /с2. П оэ том у м ожнозаписать, ч то 1 к Г ≈ 9,81 н ≈ 9,81⋅105 дин. В нек оторы х зарубежны х странах единиц у силы к Г назы ваю т«к илопонд» (к п).

7. Т Р Е Т И Й ЗА К О Н НЬ Ю Т О НА – ЗА К О Н Д Е Й С Т В И Я И П РО ТИ В О ДЕ Й СТВ И Я Новы е словаисловосочетания: взаим но действие противодействие односторонний В природене м ожетсуществоватьодносторонних действий тел. Все действия тел друг на друга всегда являю тся двусторонним и (всегда взаимны ), носятхарак тер взаим одействий. П ри лю бом действии одноготела на другое всегда возник аетодноврем енноравное повелич ине и противоположное понаправлению ответное действие второготела на первое.

Вы вод: Вс як ом у дейс т ви ю ес т ь ра вн ое и прот и вополож н о н а пра влен н ое прот и водейс т ви е. Э тои естьфизич еск ое содержание третьегозак она Н ь rю тона. Д ействие одноготела на другое определя r етсясилой F . Знач ит, если нек r оторое тело1 действуетна тело2 с силой F1 , тодолжна существоватьсила F2 , с к оторой тело2 будетrдействоватьна тело1. r П ри э том сила F2 должна бы тьч исленно равна силеrF1 , действоватьпо одной прям ой, новпротивоположном направлении силе F1 . Знач ит, м ожносформ улироватьт рет и йза ко н Нью т о на : Два т ела вза и мо дейст вую т с си ла ми , ра вны ми по вели чи не, но про т и во по ло ж ны ми по на пра влени ю .

44

r r F1 = −F2 П о третьем у зак ону Н ью тона м ожно рассч итатьпарам етры всех взаим одейств rую щих тел. r F1 – действую щаясила, F2 – противодействую щаясила. Э ти силы приложены к разны м телам , поэ том у их нельзяск лады ватьи они не уравновеш иваю тся.

8. И М П У Л Ь С Т Е Л А (К О Л И Ч Е С Т В О Д В И Ж Е НИ Я ). И М П У Л Ь С С И Л Ы . И М П У Л Ь С НА Я Ф О Р М А В Т О Р О Г О ЗА К О НА НЬ Ю Т О НА . Новы е словаисловосочетания: им пульс им пульс тела им пульс силы

вы зы вать к олич естводвижения связы ваться

П озак ону Н ью тона, записанному всилах и уск орениях, можнореш итьбольш инство м еханич еск их задач , рассч итатьуравнения движения. В нек оторы х ситуац иях необходим оим етьдругие форм ы вы раженияэ тих зак оновили вы ражениядлязак оновдинам ик и, вк оторы х действие силы связы ваетсяс нач альны м и и к онеч ны м и ск оростям и тел. К онеч наяск оростьдвижениятела определяетсяне тольк осилой, нои врем енем действияэ той силы . Н айдем так ую форму второгозак она Н ью тона, к оторая им ела бы нач альную и к онеч ную ск орости тела и врем я действия силы , к отораявы зы ваетизм енение ск орости. Запиш ем второй зак он Н ью тона ввиде:

r r F = m⋅a

Уск орение равноизм енению ск орости вединиц у врем ени:

r r r Vt −V0 a= t

П одставим э товы ражение вуравнение второгозак она, получ им :

r r r r r V t − V 0 mV t − mV 0 F =m⋅ = t t

45

r

r

В э той форм уле p = m ⋅V назы ваетсяим пульсом тела.

И мпульс т ела (ко ли чест во дви ж ени я ) – эт о про и зведени е ма ссы т ела на его ско ро ст ь. И м пульс тела – велич ина век торная. Н аправление им пульса тела совпадаетс направлением век тора ск орости. За единиц уим пульса приним аю тим пульс тела м ассой 1 к г, движущегосясоск оростью 1 м /с. Е диниц ы изм еренияим пульса всистем е С И – 1 к г⋅м /с.

r r p0 = mV 0 – им пульс тела внач альны й м ом ентврем ени r r pt = mV t – им пульс тела вк онеч ны й м ом ентврем ени

Разность

r r r r r ∆p = pt − p0 = mVt − mV 0

– естьизм енение им пульса тела. О тнош ение

r r r ∆p mVt − mV 0 = t t

– естьизм енение им пульса тела вединиц у врем ени. П о э той форм уле с и ла , дейс т вую ща я н а т ело, чи с лен н о ра вн а и зм е-

н ен и ю его и м пульс а веди н и цу врем ен и : r r r mV t − mV 0 ∆rp F= = t t Т ак им образом , силу м о жно оп ределит ь не т оль к ок ак произведение массы r r тела на его уск орение ( F = m ⋅ a ), нои ч ерезим пульс тела: r ∆pr F= t Э ту же форм улу м ожнозаписатьввиде:

r r r F ⋅ t = mV t − mV 0

или

r r F ⋅ t = ∆p

П олуч енное уравнение и представляетновую форм у второгозак она Н ью тона, вкоторой действие силы прям освязанос нач альной и к онеч ной ск оростям и тела и соврем енем действиясилы .

r П ро и зведени е си лы на время ее дейст ви я ( F ⋅ t ) на зы ва ет ся и мпульсо м си лы .

46

И м пульс силы – э тофизич еск аявелич ина, к отораяодноврем енноуч иты ваетвлияние велич ины , направленияи врем ени действиясилы на изм енение состояниядвижениятела. И м пульс силы – велич ина век торная. П о направлению им пульс силы совпадаетс направлением век тора силы . П оэ том у вт о ро й за ко н Нью т о на в и мпульсно й фо рме м ожносформ улироватьтак :

r r F ⋅ t = ∆p r r F ⋅ t = m ⋅ ∆V r r r F ⋅ t = mV t − mV 0 И мпульс си лы ра вен и зменени ю и мпульса т ела .

9. О С И С Т Е М А Х Т Е Л Новы е словаисловосочетания: внеш ний внутренний изолированны й зам к нуты й Си с т ем а т ел – неск ольк о тел, к оторы е взаим одействую т. Н а тела, к оторы е входятвсистем у, м огутдействоватьразлич ны е силы : силы внутренние и силы внеш ние.

Внут ренни е си лы – эт о си лы , с ко т о ры ми вза и мо дейст вую т т ела о дно й си ст емы . Внеш ни е си лы – эт о си лы , с ко т о ры ми други е т ела дейст вую т на т ела да нно й си ст емы . Си с т ем а т ел, н а к от орую вн ешн и е с и лы н е дейс т вую т , – эт о за м к н ут а я и ли и золи рова н н а я с и с т ем а т ел.

10. ЗА К О Н С О Х Р А НЕ НИ Я И М П У Л Ь С А Д Л Я И ЗО Л И Р О В А ННО Й С И С Т Е М Ы Т Е Л Н айдем им пульсную форм у третьегозак она Н ью тона. Рассм отрим изолиров r анную r систем у двух тел с массами m1 и m2, которы е движутсясоск оростям и V 01 и V02 .

47

r

Н ач альны й им пульс первоготела равен – mVr 01 . Н ач альны й им пульс второготела равен – mV02 . Д аннаяrсистем а rсостоитиздвух тел, поэ том унач альны й им пульс систем ы равен – m1V 01 + m2V 02 . r r П устьтела нек оторое врем я действую тдруг на друга rс силам r и F1 и F2 . В результате взаим одействияск орости тел изм еняю тсяна V1 и V2 .

П осле взаим одействия: r К онеч ны й им пульс первоготела равен – m1Vr1 . К онеч ны й им пульс второготела равен –r m2V2 . r К онеч ны й им пульс систем ы равен – m1V 1 + m2V 2 . П о втором у зак ону Н ью тона определим изм ененияим пульса к аждого из тел за врем яt:

r r r F1 ⋅ t = m1V1 − m1V 01 – дляпервоготела r r r F2 ⋅ t = m2V 2 − m2V 02 – длявтороготела

С илы r дейст r вую тна тела одинак овое врем яt. П отретьем у зак ону Н ью тона силы F1 и F2 ч исленноравны и противоположны понаправлению :

r r F1 = −F2

Знач ит: или

r r F1 ⋅ t = −F 2⋅t

Зак он сохраненияим пульса являетсявы ражением третьегозак она Н ью тона вим пульсной форм е. Зак он сохранения им пульса принадлежитк основны м зак онам не тольк о м еханик и, нои соврем енной физик и.

11. М Е Т О Д И К А Р Е Ш Е НИ Я ЗА Д А Ч НА ЗА К О Н С О Х Р А НЕ НИ Я И М П У Л Ь С А В задач ах на прим енение зак оновсохраненияим пульса рассм атривается поведение систем ы тел. К ак правило, по известном у нач альном у состоянию движениясистем ы определяю тсостояние ее движенияпосле заданноговзаим одействия. 1. Н а первом э тапе производятанализхарак тера движений и особенностей взаим одействиятел. 2. Н а втором э тапе вы бираю тдва м ом ента врем ени, дляк оторы х подсч иты ваю тим пульсы тел. П ервы й м ом ентдовзаим одействиятел, второй м омент– после взаим одействия. 3. Н а третьем э тапе вы бираю тположительны е и отриц ательны е направлениядлявсех век торов. 4. Н а ч етвертом э тапе записы ваю тим пульсы всех тел систем ы до и после взаим одействия, составляю туравнение зак она сохраненияим пульса. 5. П оследние э тапы реш ения задач (алгебраич еск ий и арифм етич еск ий расч еты ) вы полняю тсятак же, к ак и во всех других задач ах. Н априм ер: 1)

r r r r m1V1 − m1V 01 = −( m2V 2 − m2V 02 )

П еренесем (перегруппируем ) ч лены э того уравнения так , ч тобы водной ч асти уравнениябы ли нач альны е им пульсы тел, а вдругой – к онеч ны е им пульсы тел.

r r r r m1V 01 + m 2V 02 = m1V1 + m2V 2 М ы получ или форм улу за ко на со хра нени я и мпульса дляизолирован-

ной систем ы :

Для и зо ли ро ва нно й си ст емы т ел и мпульс си ст емы не и зменяет ся (со хра няет ся) при лю бы х вза и мо дейст ви ях т елси ст емы меж ду со бо й.

m1V01 – m2V02 = – m1V1 + m2V2

Т ак им образом , им пульс к аждоготела при взаим одействии изм еняется, но полны й импульс систем ы сохраняется(не изменяется). 48

49

2)

m1V01 + m2V02 = (m1 + m2)V 3)

Я дерны е силы управляю тпроц ессам и внутри ядер атом ов, управляю твзаим одействиями, превращениям и и свойствам и элем ентарны х ч астиц , входящих всоставядер атом ов. В м еханик е все силы м ожноразделитьна гра ви т а ци он н ы е с и лы или силы тяготенияи два ви да элек т ром а гн и т н ы хс и л – силы упругости и силы трения. Д ействие гравитац ионны х сил проявляетсявдвижениях планети явлениях зем ноготяготения. Э лек тром агнитны е силы определяю твсе свойства ок ружаю щих нас тел и все явленияна Зем ле. П оопределению сила естьк олич ественнаяхарак теристик а взаим одействия. П оэ том у при реш ении прак тич еск их задач необходим оук азать: 1) тело, к оторое создаетсилу, 2) тело, на к оторое она действует, 3) вид силы .

13. С И Л А В С Е М И Р НО Г О Т Я Г О Т Е НИ Я Новы е словаисловосочетания: всем ирны й гравитац ия притяжение тяготение

mV0 = – m1V1 + m2V2

12. С И Л Ы П Р И Р О Д Ы Новы е словаисловосочетания: гравитац ионны е э лек тром агнитны е ядерны е С оврем енной физик е известны 4 типа взаим одействий тел (или ч астей одного тела) м ежду собой – э то гравитац ионное, э лек тром агнитное, сильное и слабое взаим одействие. С ила к ак к олич ественнаяхарак теристик а позволяетоц ениватьтольк огравитац ионны е и э лек тром агнитны е взаим одействия. В ядерны х проц ессах, где проявляю тсясильны е и слабы е взаим одействия, так ие понятия, к ак точ к а приложения, линиядействияи сам опонятие силы не им ею тсм ы сла. 50

Гравитац ия(тяготение) – э тоявление взаим ногопритяжениявсех тел природы .

Гра ви т а ци о нна я си ла (си ла всеми рно го т яго т ени я) – эт о си ла вза и мно го при т яж ени я, дейст вую щ а я меж ду всеми т ела ми и неза ви сящ а я о т со ст о яни я т ел. О пределитьгравитац ионную силу м ожно по за ко ну всеми рно го т яго т ени я:

Си ла , с ко т о ро й два т ела при т яги ва ю т ся другк другу, про по рци о на льна про и зведени ю и х ма сс, о бра т но про по рци о на льна ква дра т у ра сст о яни я меж ду ни ми и на пра влена по ли ни и , со еди няю щ ей цент ры эт и х т ел. 51

r mm F = G 12 2 r Э тотзак он бы л сформ улирован И саак ом Н ью тоном в1667 году.

m1 и m2 – м ассы взаим одействую щих тел, r – расстояние м ежду ц ентрам и тел, G – к оэ ффиц иентпропорц иональности, гравитац ионнаяпостоянная(или

Си ла т яж ест и – эт о си ла при т яж ени я т ел к Земле. С ила тяжести являетсяч астны м случ аем проявлениясилы всем ирноготяготения. С ила тяжести заставляетвсе свободны е тела падатьна Зем лю . М ы знаем , ч то все тела падаю тна Зем лю с одинак овы м уск орением свободногопадения9,8 м /с2.

постояннаявсемирноготяготения), одинак овы й длявсех тел.

Гра ви т а ци он н а я пос т оян н а я чи с лен н о ра вн а с и ле при т яж ен и я м еж ду двум я т ела м и м а с с ойпо 1 к г к а ж дое, к огда ра с с т оян и е м еж ду н и м и ра вн о 1 м . m1 = m2 = 1 к г r=1м r mm F = G 12 2 r r 1к г⋅ 1к г F =G⋅ 1м 2 Э тооч еньм алаявелич ина, поэ том у м ы не видим притяжениям ежду ок ружаю щим и нас телам и. Впервы е силы тяготенияи ч исленное знач ение гравитац ионной постоянной бы ли определены английск им физиком К авендиш ем (1731– 1810) Гравитац ионнаяпостояннаявсистеме С И им еетследую щее ч исловое знач ение и разм ерность:

Т огда повтором у зак ону Н ью тона сила тяжести равна:

r r F = m⋅ g

С илу тяжести м ожнонайти позак онувсем ирноготяготения. Е сли М З – м асса Зем ли, RЗ – радиус Зем ли, тодлятела, к оторое находитсяна Зем ле, сила тяжести будетравна:

G = 6,67⋅10–11 м 3⋅к г–1⋅с2 (н⋅м 2/к г2) Закон всем ирноготяготенияпозволил Н ью тону теоретич еск и получ итьвсе зак оны движенияпланети положитьнач алосоврем енной небесной м еханик е. Н ью тон с пом ощью э тогозак она правильнообъяснилявленияморск их приливови отливов. В настоящее врем яэ тотзак он позволяетрассч итатьсуществование планет у далек их звезд, служитосновой длярасч ета движенияиск усственны х спутник овЗем ли и к осм ич еск их к ораблей.

14. С И Л А Т Я Ж Е С Т И Новы е словаисловосочетания: полю с э к ватор э ллипс 52

F =G⋅

m ⋅MЗ RЗ2

Е сли тело находитсядалек о отЗем ли, тосила тяжести равна:

F = G⋅

m ⋅ MЗ ( RЗ + H ) 2 ,

где Н – расстояние оттела до Зем ли (вы сота над поверхностью Зем ли).

53

Т ак им образом , силу тяжести м ожнозаписатьдвум яформ улам и:

F = mg и

mM F =G 2З RЗ

m⋅ M З m⋅ g =G⋅ RЗ2

M ⇒ g = G 2З RЗ

Уск орение свободногопаденияне зависитотм ассы тела m, а зависиттольк оотпарам етровЗем ли (радиуса и м ассы Зем ли). Уск орение свободногопадениязависитотгеографич еск ой ш ироты м естности. М ы знаем , ч то Зем ляим еетформ у э ллипса.

16. С И Л А У П Р У Г О С Т И Новы е словаисловосочетания: деформ ац ия упругий упругость пластич еск ий растягивать растяжение сжим ать сжатие сгибать изгиб к рутить к руч ение соприк асаться

сдвигать сдвиг срезать срез жесткость удлинять удлинение длиннее короч е пружина опора подвес

Дефо рма ци я – эт о и зменени е фо рмы , ра змеро в и о бъема т ела .

И на полю сах RЗ будетм еньш е, ч ем радиус Зем ли на э к ваторе. П оэ том у рассч итали, ч тона полю сах g ≈ 9,83 м /с2, а на э к ваторе g ≈ 9,78 м /с2.

15. М А С С А И НЕ Р Т НА Я (mи) И М А С С А Г Р А В И Т А Ц И О ННА Я (mг ) Физич еск аявелич ина м ассы (m) входитвдва зак она, отк ры ты е Н ью тоном независим одруготдруга.

r r F a= m

(1) и (2)

r mM F =G 2 З RЗ

В форм уле (1) м асса являетсяк олич ественной м ерой инертности, и поэ том у ее назы ваю ти н ерт н ойм а с с ой(mи). В форм уле (2) м асса харак теризуетеще одно свойство тел – их способностьпритягиватьсядругк другу, поэ том у ее назы ваю тгра ви т а ци он н ойм а с с ой(mг). В соврем енной физик е установлена тождественность(равенство) знач ения инертной и гравитац ионной м асс данноготела (mи и mг). П оэ том у их не различ аю ти говорятпростоом ассе тела (m). 54

Д еформ ироватьтелом ожноразлич ны м и способам и. П ри э том м огутбы ть сложны е изм ененияформ ы э тоготела. Н осам ы е сложны е деформ ац ии всегда м ожноразделитьна неск ольк оосновны х видов: – растяжение, – сжатие, – изгиб, – к руч ение, – сдвиг, – срез. Д еформ ац ии м огутбы тьупругим и и пластич еск им и. Упругие деформ ац ии – э то так ие деформ ац ии, к оторы е полностью исч езаю тпосле прек ра щениядействиявнеш ней (деформ ирую щей) силы . П ри э том теловозвращается впервонач альное состояние. П ластич еск ие деформ ац ии – э тотак ие деформ ац ии, к оторы е полностью не исч езаю тпосле прек ращениядействиявнеш ней (деформ ирую щей) силы . П ри э том телоневозвращаетсявпервонач альное состояние. С пособностьтел к упругим и пластич еск им деформ ац иям зависитотприроды вещества, изк оторогосостоиттело, отусловий, вк оторы х ононаходится.

r Си ла упруго ст и Fупр – эт о си ла , ко т о ра я по являет ся при дефо рма ци и т ела .

55

Виды деформ а ц ии:

С илу упругости м ожнонайти позак ону Гук а:

Си ла упруго ст и прямо про по рци о на льна и зменени ю ра змеро в т ела в про цессе дефо рма ци и и про т и во по ло ж на ему по на пра влени ю . r Fупр = −k ⋅ x Знак м инус вэ той форм уле пок азы вает, ч тосила упругости направлена противоположнодеформ ац ии. k – к оэффиц иентпропорц иональности, жесткость. Е диниц ы изм еренияжесткости всистем е С И – н/м . Ж есткостьзависитот м атериала и геом етрич еск их разм еровтела. x – изм енение разм еровтела впроц ессе деформ ац ии. В систем е С И хизм еряетсявм (м етрах). Н априм ер: – пружина – пружина удлиниласьна х (стала длиннее на х) – пружина стала к ороч е на х

Е сли теловиситна нити, тосилуупругости, действую щую на телосо стороны подвеса (нити), назы ваю тси Х ло й на т яж ени я (Т ). Е сли телонаходитсяна опоре, тосилуупругости, действую щую на тело со стороны опоры , назы ваю тси ло й Х реа кци и о по ры (N).

17. С И Л А Т Р Е НИ Я Новы е словаисловосочетания: трение ск ольжение скользить 56

торм ожение зам енить см азк а 57

к ач ение к атиться торм озить

r r Fr тяж ести = mg – всегда направлена вертик ально вниз. N – сила норм альногодавления, направлена перпендик улярноповерхно-

полезны й вредны й

сти движения.

Ox

С ила тренияявляетсяпроявлением элек тромагнитны х взаим одействий м ежду телам и (им еетэ лек тром агнитную природу).

Oy

r Си ла т рени я Fтр – эт о си ла , ко т о ра я по являет ся при дви ж ени и о дно го т ела по по верхно ст и друго го т ела . Си ла т рени я всегда на пра влена про т и в дви ж ени я.

N

Fx

r r Fтр = µ ⋅ N ,

[µ] = нн

– безразм ернаявелич ина.

µ – харак теризуетне тело, на к оторое действуетсила трения, а сразу два

тела, соприк асаю щихсядругс другом . µ всегда м еньш е 1 (µ mg r Вес т ела увели чи ва ет ся, если уско рени е дви ж ени я т ела ( a ) на пра влено про т и во по ло ж но уско рени ю сво бо дно го па дени я.

Со ст о яни е т ела , ко гда его вес и зменяет ся, на зы ва ет ся перегрузко й.

64

21. М Е Т О Д И К А Р Е Ш Е НИ Я ЗА Д А Ч НА П Р И М Е НЕ НИ Е ЗА К О НО В НЬ Ю Т О НА Реш ение лю бой задач и динам ик и м ожно алгоритм изировать, разложить на ряд э тапов: 1. П роанализироватьхарак тер движений тел. П ри э том должна бы тьвы брана систем а отсч ета, ук азаны направлениядвижений к аждоготела, форм а траек тории, направленияуск орений. Д олжен бы тьсделан рисунок , к оторы й пок азы ваетрезультаты э тогоанализа. 2. Ук азатьи нарисоватьсилы , действую щие на к аждое тело. О пределить виды э тих сил. 3. Вы братьположительны е и отриц ательны е направлениядлявек торовсил и уск орений. 4. Н аписатьуравнение второгозак она Н ью тона дляк аждоготела. 5. Рассм отретьдополнительны е условия, ук азанны е взадач е. Н айти недостаю щие дляполноты систем ы уравнения. П яты й этапзак анч иваетсяповторной проверк ой получ енной системы уравнений. Н а э том физич еск аяч астьреш ениязадач и зак анч ивается. 6. Реш итьалгебраич еск и получ енную систем у уравнений. П ровести алгебраич еск ий расч ет. Н айти форм улы дляопределениянеизвестны х велич ин. 7. С огласоватьединиц ы изм еренияи привести к одной систем е единиц все велич ины взадач е. 8. О пределитьч исленны е знач ениявсех неизвестны х велич ин. 9. П ровести арифм етич еск ий расч ет. П роверитьреш ение.

В оп росы : 1. Ч тоизуч аетдинам ик а? 2. С форм улируйте первы й зак он Н ью тона – зак он инерц ии. 3. Ч то так ое инерц ия? 4. Ч тотак ое инертность? 5. Расск ажите о м ассе и плотности тела. 6. Ч тоназы ваетсясилой? 7. С форм улируйте и напиш ите второй зак он Н ью тона. 8. С форм улируйте и напиш ите третий зак он Н ью тона. 9. Ч тотак ое им пульс тела и им пульс силы ? 10. Н апиш ите вы ражение силы ч ерезим пульс тела. 11. С форм улируйте и на пиш ите третий зак он Н ью тона вим пульсной форм е. 12. С форм улируйте и напиш ите зак он сохраненияим пульса. 13. Д айте определение силы всем ирноготяготенияи силы тяжести. 14. Д айте определение силы упругости. 15. Д айте определение силы трения. 16. Д айте определение веса тела. 65

К И НЕ М А Т И К А К Р И В О Л И НЕ Й НО Г О Д В И Ж Е НИ Я М А Т Е Р И А Л Ь НО Й Т О Ч К И

М гновеннаяск оростьопределяетсяпоформ уле: r r ∆r V = lim ∆t → 0 ∆ t

Новы е словаисловосочетания: горизонт ок ружность дуга полёт дальность

м атериальнаяточ к а отнош ение м ост вы пук лы й вогнуты й

Т елодвижетсяк риволинейно, если траек тория– к риваялиния. К риволинейное движение – э тосложное движение. О носостоитизпросты х движений. К аждое простое движение происходитнезависим о отдругих движений, э то принц ипнезависим ости движения. Д вижение тела, брош енногогоризонтальноили подуглом к горизонту, движение тела поок ружности – э топрим еры к риволинейногодвижения.

1. П Е Р Е М Е Щ Е НИ Е И С К О Р О С Т Ь П Р И К Р И В О Л И НЕ Й НО М Д В И Ж Е НИ И К огда телодвижетсяпрям олинейно, направление век тора ск орости не изм еняется, оно совпадаетс направлением движения (с направлением век тора перем ещения).

К огда телодвижетсяк риволинейно, направление век тора ск орости изм еняетсявк аждой точ к е траек тории. Т ело движется к риволинейно из точ к и А в точ к уrВ. П утьтела S – э то дуга АВ, ег r о перем ещение ∆r – э то век тор АВ. S = АВ; ∆r = АВ. Е сли пром ежуток врем ени стрем ится к нулю r ∆t → 0 , товек тор пем ещения ∆r стрем итсяк к асаательной АА1. Век тор ск орости вк аждой точ к е тоже направлен пок асательной к траек тории вданной точ к е.

Т ак им образом , век т орс к орост и к ри воли н ейн ого дви ж ен и я н а пра влен по к а с а т ельн ойк т ра ек т ори и вда н н ойт очк е.

2. Д В И Ж Е НИ Е Т Е Л А , БР О Ш Е ННО Г О Г О Р И ЗО НТ А Л Ь НО Д вижение тела, брош енногогоризонтально, – сложное движение. О носоr стоитизравном ерногопрям олинейногодвижениясоск оростью V0 вгоризонтальном направлении и равноуск оренногопрям олинейногодвиженияввертик альном направлении. Н а правим оси к оордина т, к ак пок азанона рисунк е. В горизонтальном направлении: r r Vx = V0 = const . В вертик а льном направлении: r r V y = gt . (сопротивление ввоздухе не уч иты ваем ). М одульвек тора ск орости в лю бой м ом ентврем ени м ожно найти по форм уле: V = Vx2 + Vy2 = V02 + ( gt ) 2 . r Век тор ск орости V направлен пок асательной к траек тории и составляетс гор изонтальны мнап р авлениемугол α. tgα =

66

Vy Vx

=

gt V0 67

S – дальностьполета – э то расстояние, к оторое проходиттело вгоризонтальном направлении доточ к и падения. S = V0t H – вы сота, с к оторой падаеттело. gt 2 H = 2 И зуравнения: S = V0t на йдем : S t= V0 и подставим э тознач ение вформ улу: gt 2 gS 2 H= = . 2 2V02 g 2 H = S – э тоуравнение траек тории. 2V 02 Т ра ек т ори я дви ж ен и я т ела ес т ь па ра бола (вва к уум е). С опротивление воздуха ум еньш аетдальностьполета тела.

3. Д В И Ж Е НИ Е Т Е Л А , БР О Ш Е ННО Г О П О Д У Г Л О М К Г О Р И ЗО НТ У r Т ело, брош енное източ к и O со ск оростью V 0 под углом α к горизонту, соверш аетсложное движение. О носостоитиздвух движений:

Уравнение ск орости: V y = V 0 y − gt = V 0sinα − gt . С к оростьтела ввертик альном направлении снач ала направлена вверх, в точ к е м ак сим ального подъем а она ум еньш ается до нуля, а затем м еняетсвое направление на вертик альное вниз. В точ к е B (Н max) Vy= 0. V0 sinα − gt1 = 0, t1– врем яподъем а тела, V 0sinα . g Н оврем яподъем а тела равноврем ени падения, поэ том уполное врем ядвиженияt равно 2t1: t1 =

2V0 sinα . g Вы сотум ак сим альногоподъем а м ожноопределитьпоформ уле: t = 2t1 =

V 2 = 2gH max , 0y

V02 sin 2α . 2g 2g Д альностьполета равна горизонтальном у пути, к оторы й проходиттелоза врем яt с постоянной ск оростью Vx : H max =

V02y

=

2V 0 ⋅ sin α V02 ⋅ 2sin α ⋅ cos α 2V 02 ⋅ sin2α = = . g g g М ак сим альнаядальностьполета будетпри α = 450 : S = V x ⋅ t = V0 ⋅ cosα

S max =

V 02 . g

r r С коростьвлю бой мом ентврем ени равна век торной сумме скоростей V x и V y : r r r V = V x +V y .

М одульвек тора ск орости равен: V = Vx2 + Vy2 = V02 cos2 α + (V0sinα − gt ) 2 =

1) Равном ерного прям олинейногодвижениявгоризонтальном направлении соск оростью : V0 x = V 0cosα. 2) Равнопеременного движения ввертик альном направлении с нач альной r ск оростью V 0 y = V 0sinα и уск орением g . 68

= V02 cos2 α + V02 sin2 α − 2V0 sinα ⋅ gt + g 2 t 2 = V02 + ( gt ) 2 − 2V0 ⋅ gt ⋅ sinα . Н айдем уравнение траек тории: S = V0 ⋅ cosα ⋅ t ⇒ t = H = V0 y ⋅ t −

S , V0 ⋅ cosα

gt 2 S gS 2 g = V0 ⋅ sin α ⋅ − 2 = S ⋅ tgα − 2 ⋅S 2 . 2 V0 ⋅ cosα 2V0 ⋅ cos2α 2V0 ⋅ cos 2α 69

Э тоуравнение параболы . Знач ит, т ело, брошен н ое под углом к гори зон т у, дви ж ет с я по па ра боле (сопротивлениевоздуха не уч иты вается).

4. Р А В НО М Е Р НО Е Д В И Ж Е НИ Е М А Т Е Р И А Л Ь НО Й Т О Ч К И П О О К Р У Ж НО С Т И Равном ерное движение поок ружности – э тодвижение м атериальной точ к и поок ружности с постоянной повелич ине ск оростью . Равном ерное движение точ к и по ок ружности харак теризую тследую щие парам етры :

1. Т – пери о д вра щ ени я – эт о время, за ко т о ро е т о чка со верш а ет о ди н о бо ро т . Е сли за врем яt точ к а соверш ила N оборотов, топериод вращенияравен: t . N Е диниц а изм еренияпериода вращениявсистем е С И – сек унда (с). T =

2. ν – ча ст о т а вра щ ени я – эт о чи сло о бо ро т о вза еди ни цу времени . N . t Е диниц а измеренияч астоты вращениявсистемеС И – оборотвсек унду(об/с). С вязьм еждупериодом и ч астотой: ν=

T =

1 1 ; ν= . T ν

S 2πR = = 2πR ν. ∆t T Е диниц а изм ерениялинейной ск орости всистем еС И – м /с (м етр всек унду). V =

4. ϕ – уго лпо во ро т а ра ди уса -вект о ра – эт о уго л, на ко т о ры й по r во ра чи ва ет ся ра ди ус-вект о р r ма т ери а льно йт о чки за про меж ут о к времени ∆t. П ри равном ерном движении точ к и поок ружности за равны е пром ежутк и врем ени углы поворота радиуса-век тора равны : ∆t1 = ∆ t2 = ∆ t 3 = ... ∆ϕ1 = ∆ϕ 2 = ∆ϕ 3 = ...

Е диниц а изм еренияугла поворота всистем е С И – радиан (рад).

r 3. V – ли нейна я ско ро ст ь – эт о ско ро ст ь, с ко т о ро й т о чка дви -

ж ет ся по о круж но ст и . З а пром еж уток врем ени ∆t = t - t0 м атериальная точ к а перем естиласьизточ к и Авточ к у В. П еремещение м атериальной точ к и равновек торуAB. r ∆r = A B

П уть, к оторы й проходитм атериальнаяточ к а, равен дуге АВ. S = AB М одуль линейной ск орости м ожнонайти поформ уле:

70

r r S r | ∆r | |V | = lim ; |V | = . ∆ t →0 ∆ t t П ри равном ерном движении поок ружности м одульлинейной ск орости не изм еняется: r r |V A | =|V B | =... = const. Век тор линейной ск орости направлен по к асательной и, знач ит, изм еняет свое направление вк аждой точ к е ок ружности (вк ажды й м ом ентврем ени): r r V A ≠ V B ≠... Знач ит, ра вн ом ерн ое дви ж ен и е по ок руж н ос т и – эт о дви ж ен и е с ус к орен и ем . За время, равное одном у периоду вращения(t = Т ), точ к а опиш етдугу, равную длине ок ружности S = 2πR. Т огда м одульлинейной ск орости равен:

1 ра д =

1800 = 57018′ π

5. ω – угло ва я ско ро ст ь вра щ ени я – эт о фи зи ческа я вект о рна я вели чи на , чи сленно ра вна я углу по во ро т а ра ди уса -вект о ра за еди ни цу времени .

∆ϕ ∆t П ри равном ерном движении м атериальной точ к и по ок ружности угловая ск оростьне изм еняется: ω=

r ω = const .

Е диниц а изм ерения угловой ск орости всистем е С И – 1 рад/с (радиан в сек унду). За врем я, равное одном у периоду (Т ), угол поворота ϕ = 2π, тогда угловая скорость: 71

2π ω= = 2πν. T С равним форм улы линейной и угловой ск оростей: 2πR 2π V = ; ω= ⇒ V = ωR . T T М одульлинейной ск орости при равном ерном движении поок ружности равен произведению м одуляугловой ск орости на радиус ок ружности.

но

r r r r r r | ∆V | |V | | ∆V | |V | | ∆V | |V |2 r = r ⇒ = r , r = r ⇒ | ∆r | | r | ∆t | r| |V |⋅∆t | r |

тогда

r 6. a ц – цент ро ст реми т ельно е уско рени е. П ри равном ерном движении точ к и поок ружности м одульлинейной ск орости не изм еняется, изм еняетсятольк онаправление век тора ск орости, а, знач ит, естьуск орение, к оторое харак теризуетэ тоизменение.

Ц ент ро ст реми т ельно е (но рма льно е) уско рени е – эт о фи зи ческа я вект о рна я вели чи на , ко т о ра я ха ра кт ери зует и зменени е ли нейно й ско ро ст и по на пра влени ю . Н айдем ч исловое знач ение э тогоуск орения. П ри движении полю бой траек тории уск орение равно: r r r r ∆V V t − V0 . = a= ∆t t − t0

r | ∆V | r = a, t r r |V |2 | a| = r . | r|

Ц ен т рос т рем и т ельн ое ус к орен и е чи с лен н о ра вн о от н ошен и ю к ва дра т а ли н ейн ойс к орос т и к м одулю ра ди ус а -век т ора . И ли a=

V2 = ω2 R , R

где R – радиус ок ружности. Н айдем направление в ек тора уск орениявданны й мом ентврем ени. Н аправr ление век rтора уск орения r a сов r падаетс направлением век тора изм ененияск орости ∆V . Век торы ∆V и V образую тугол DBC (обознач им егок ак угол B). В ∆BCD: ∠B + ∠D + ∠C = 1800, ∠B = ∠D (та к к а к BC = CD), ∠C = ϕ. С ледовательно: 2∠B + ϕ = 1800

Рассм отрим треугольник и AOB и BCD, они подобны , так к ак AO⊥CD; OB⊥BC и ∠AOB = ∠BCD = ϕ. П оэ том у: BD BC = A B OB r BD =| ∆V | r AB =| ∆r | r BC =|V | r OB =| r | 72

1 ⇒ ∠B = 900 − ϕ. 2

Е сли ∆t → 0, то ϕ → 0, знач и т, ∠B → 900. В пределе век тор изм ененияск орости перпендик r rулярен век торулинейной скорости ∆V ⊥V . r Знач ит, ∆V направлен по радиусу к ц ентруок ружности. С ледовательно: Век т ор цен т рос т рем и т ельн ого ус к орен и я н а пра влен по ра ди ус у к цен т ру ок руж н ос т и . П ри неравном ерном движении r тела по ок ружности изм еняетсяне тольк о направление век тора ск орости ( V ≠ const), нои м одульск орости (V ≠ const).

73

Т елобудетим етьдва уск орения: r r 1. Ц ентрострем ительное (норм альное) уск орение aц ( an ), к оторое харак теризуетизм енение ск орости понаправлению : V2 = ω 2R = 4π2 ν 2R . R r 2. Т ангенц иальное уск орение aτ , к оторое харак теризуетизм енение ск орости по велич ине: r r r V − V0 aτ = . t Н орм альное уск орение направлено порадиусу к ц ентру ок ружности, тангенц иальное – пок асательной к ок ружности. a=

Велич ину силы , вы зы ваю щей ц ентростремительное уск орение, можнонайти повтором узак ону Н ью тона: F = ma, V2 a= , a = ω2 R , R mV 2 F= , F = m ω 2R . r где F – сила, действую щаяна тело внаправлении радиуса.

Ц ент ро ст реми т ельна я си ла – эт о ра вно дейст вую щ а я всех си л, дейст вую щ а я на т ело в на пра влени и ра ди уса . Уравнение равном ерногодвижениятела поок ружности им еетвид: r n r mV 2 . Fi = ∑ R i =1

Н аправление норм альногои тангенц иальногоуск орений взаим ноперпендик улярны , поэ тому м одульполногоуск оренияa равен: a = an2 + a2τ .

Д И НА М И К А Д В И Ж Е НИ Я М А Т Е Р И А Л Ь НО Й Т О Ч К И П О О К Р У Ж НО С Т И П ри равном ерном движении поок ружности уск орение тела всегда направленок ц ентру ок ружности. П овтором у зак ону Н ью тона, длясозданияуск оренияк телу должна бы тьприложена сила. Н аправление э той силы должносовпадатьс направлением уск орения. С ледовательно, э та сила направлена к ц ентру ок ружности. О на назы ваетсяцент ро ст реми т ельно й си ло й. Ц ентрострем ительной силой м ожетбы тьлю баясила, удерживаю щаятелона ок ружности. Н априм ер: при вращении ш арик а на нити ц ентрострем ительной силой являетсясила упругой деформ ац ии нити; при движении тела, к оторое лежитна вращаю щем сядиск е, – сила трения; при движении планет– сила тяготения.

74

С илы , направленны е к ц ентру вращения, пиш утсясознак ом «+», а отц ентра – сознак ом «–». Рассм отрим примеры прим ененияуравненияравном ерногодвижениятела поок ружности. 1) Ш арик , ук репленны й на тонк ой нити, соверш аетравном ерное движение по ок ружности ввертик альной плоск ости. Н а ш арик внаправлении радиуса действую тсилы : – сила упругой деформац ии T, – составляю щая веса тела P ⋅ cosα. (P = mg). Уравнение движения ш арик а им еетвид: mV 2 (верхняя R половина ок ружности),

T + P ⋅ cosα =

mV 2 (нижняя R половина ок ружности).

T − P ⋅ cosα =

И зэ тих форм ул найдем реак ц ию связи – силу упругой деформ ац ии нити:

75

T =

mV 2 − P ⋅ cosα (верхняяполовина ок ружности), R

mV 2 + P ⋅ cosα (нижняяполовина ок ружности) R М ак сим альнаясила упругой деформ ац ии нити вм оментпрохождениянижней точ к и ок ружности будет: T =

mV 2 T max = + P. R М иним альнаясила упругой деформ ац ии нити вм ом ентпрохожденияверхней точ к и ок ружности будет: mV 2 − P. R Все силы , рассм отренны е нами, приложены к движущем усятелу – ш арик у. К нити, по третьем у зак ону Н ью тона, приложена сила натяжения, равная по велич ине и противоположнаяпонаправлению T. r r Fн = −T ( Fн = T ). T min =

2) А втом обильдвижетсяповы пук лом у или вогнутом у м осту.

Н айдем силу норм альногодавлениям оста: mV 2 (длявы пук логомоста), R mV 2 N = P ⋅ cosα + (длявогнутогом оста). R М иним альнаясила давлениявнижней точ к е вы пук лого м оста будет: N = P ⋅ cosα −

mV 2 . R М ак сим альнаясила давлениявнижней точ к е вогнутогом оста будет: N min = P −

mV 2 . R Все силы , рассм отренны е нами, приложены к движущем усятелу – автом обилю . К м осту, потретьем у зак ону Н ью тона, приложена сила давленияавтом обиля, равнаяповелич ине, нопротивоположнаяпонаправлению N. r r Fg = −N ( Fg = N ) N max = P +

3) Н а равном ерновращаю щийсядиск положим к ак ое-либотело. Е сли ск оростьвращениям аленьк ая, то телопри вращении диск а удерживаетсяна нем и описы ваетотносительнонеподвижны х тел ок ружность. С илой, удерживаю щей телона вращаю щем сядиск е, являетсясила тренияпок оя, следовательно: mV 2 . R П ри увелич ении ск орости вращениядиск а телослетаетс него, так к ак сила тренияок азы ваетсянедостаточ ной дляобеспеч енияем унеобходим огоц ентрострем ительногоуск орения, соответств ую щегоувелич ивш ейсяск орости движения. 4) Д вижение велосипедиста на зак руглениях пути тоже происходитпод действием неск ольк их сил, равнодействую щаяк оторы х обусловливаетнеобходим ое ц ентрострем ительное уск орение. Н rа телодействую ттри силы : Pr – сила тяжести, Nr – сила норм альногодавленияопоры , Fтр – сила трения. С ила трения направлена по радиусу зак ругления всторону ц ентра. О на возник аетпри нак лоне и препя тствуетдвижению тела впротив r r оположном направлении. С ила трения Fтрr и сила норм ального давления N , ск лады ваясь, даю тсилу реак ц ии опоры N ′ , направленную нак лонно. Fтр =

Н а автом обильвнаправлении радиуса действую тсила рек ц ии связи норм ального давлениям оста N и составляю щаявеса тела P ⋅ cosα. Уравнение движенияавтом обилябудетим етьвид:

76

P ⋅ cosα − N =

mV 2 R

(длявы пук логомоста),

N − P ⋅ cosα =

mV 2 R

(длявогнутогом оста).

77

Уч иты вая, ч то

получ аем :

Равнодействую щая F силы тяжести P и реак ц ии опоры N ′ направлена внутрьк руга и сообщаетнеобходимое ц ентрострем ительное ускорение. И зрисунк а видно, ч то F = P ⋅ tgα. Уравнение движения тела будет: mV 2 . R О тсю да м ожнонайти угол нак лона велосипедиста всторону зак ругления: P ⋅ tgα =

tgα =

GM = g, R2

V = gR . П одставивзнач ение уск орениясвободногопадения(g = 9,8 м /с2) и велич ину радиуса Зем ли (R ≈ 6378 к м ), найдем V = 8 к м /с – э то перва я ко сми ческа я ско ро ст ь. Е е нужносообщитьтелу, ч тобы оносталоспутник ом Зем ли и двигалосьвок руг нее по к руговой орбите. Е сли V > 8 к м /с, то спутник будет двигатьсяпоэ ллипсу. Е сли ск оростьравна 11,2 к м /с, тоспутник пок инетЗем лю и нач нетвращатьсявок ругС олнц а. Э тознач ение ск орости назы ваю твт о ро й ко сми ческо й ско ро ст ью . Е сли спутник у сообщитьск орость16,7 к м/с, тоон пок инетпределы С олнеч ной систем ы . Э ту ск оростьназы ваю тт рет ьейко сми ческо й ско ро ст ью . Н rа тело на поверхности Зем ли действую тдве силы : Fr – сила тяжести, Q – сила реак ц ии опоры .

V2 . gR

5) Д вижение спутник овЗем ли. М ежду лю бы м и физич еск им и телам и всегда существуетсила тяготения. С ила притяженияЗем ли, действую щаяна тело(сила тяжести), м ожетбы тьвы ражена форм улой: mM . R2 П ри движении тела вок ругЗем ли э та сила создаетц ентрострем ительное уск орение. Т ак происходитдвижение Луны вок ругЗем ли, движение иск усственны х спутник овЗем ли и планетвок ругС олнц а. Уравнение движенияспутник а будет: P =G

mM mM 2 = . R2 R О тсю да найдем ск оростьдвиженияспутник а: G

V =

78

GM R

или V =

GM R. R2

Т еловм есте с Зем лей вращаетсяrпоокr ружности. Ц ентрострем ительной силой являетсярезультирую щаясил F и Q . r r r F + Q = Fц , r r r r т. к . | P| =|Q| и P = −Q, то r r r Fц = F − P, отк уда получ аем : r r r P = F − Fц . 79

r r r Н а полю са х Fц = 0 и P = F (на полю сах вес тела им еетна ибольш ую велич ину). r r Н а э к ваторе вес тела им еетнаим еньш ее знач ение Fц = max и P = min. Н о даже на эк ваторе Fц ≈ 0,6%F, поэтом уобы ч носч итаю т , ч товес тела равен силе тяжести (пок оящегосятела) P = F.

ЗА Д АЧИ : 1. М аш ина движетсяповогнутом у м осту. Радиус к ривизны 50 м . С к орость м аш ины 36 к м /ч . Вес м аш ины 800 к г. Н айти силу норм альногодавлениям аш ины на м оствсам ой нижней точ к е. 2. М аш ина движется по вы пук лом у м осту. М асса м аш ины 5⋅103 к г. С к оростьм аш ины 21,6 к м /ч . Радиус к ривизны м оста 60 м . Н айти силу норм альногодавлениям аш ины на м оствсам ой верхней точ к е. 3. А втом обильм ассой 2,5 тдвижетсяс постоянной ск оростью 54 к м /ч по м осту. Н айти силу норм альногодавленияавтом обиляна середину м оста, если м ост: а) горизонтальны й, б) вы пук лы й с радиусом к ривизны 50 м , в) вогнуты й с радиусом к ривизны 90 м . 4. С к ак ой ск оростью должен двигатьсям отоц ик листповы пук лому м осту радиусом 50 м, ч тобы вверхней точ к есила давленияна м остбы ла равна нулю ? 5. М отоц ик листдвижетсяпогоризонтальной плоскости, описы ваядугурадиусом 90 м . К оэ ффиц иенттренияк олес опоч в у 0,4. Н айти, с к ак ой м ак сим альной ск оростью м ожетпри этом двигатьсямотоц ик лист. 6. Ведерк о с водой вращаю тввертик альной плоск ости на веревке длиной 0,5 м . С к ак ой наим еньш ей скоростью нужноеговращать, ч тобы при прохождении ч ерезверхню ю точ к у вода изведерк а не вы ливалась? 7. Гиря, привязаннаяк нити длиной 30 см , описы ваетвгоризонтальной плоск ости ок ружностьрадиусом 15 см. Ч ем у равна ч астота вращениягири? 8. М альч ик вращается на к ач елях, делая 16 об/м ин. Д лина к анатовравна 5 м. Н айти натяжение к анатов, если масса мальч ик а 45 к г. 9. К оньк обежец движется со ск оростью 12 м /с по ок ружности радиусом 50 м . П од к ак им углом к горизонту он должен нак лониться, ч тобы сохранить равновесие? 10. Горизонтально расположенны й диск вращаетсявок ругвертик альной оси, делая25 об/м ин. Н а к ак ом расстоянии отоси вращениядиск а м ожетудержатьсятело, находящеесяна нем , если к оэ ффиц иенттрения0,2? 11. Луна движетсявок ругЗем ли соск оростью 1 к м /с. Расстояние отЗем ли доЛуны ок оло 384000 к м . О пределитьпоэ тим данны м м ассу Зем ли. 12. К ак ую ск оростьнужносообщитьиск усственном успутник у Земли, ч тобы он двигалсяпок руговой орбите на вы соте 10 м над поверхностью Зем ли?

80

Д В И Ж Е НИ Е Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А П ри движении твердоготела разны е еготоч к и соверш аю тразлич ны е движения. Н овсегда так ое сложное движение м ожнопредставитьк ак совок упность просты х движений – поступательногои вращательного.

П о ст упа т ельно е дви ж ени е– эт о т а ко е дви ж ени е, ко гда все т о чки т ела о пи сы ва ю т о ди на ко вы е т ра ект о ри и , со верш а ю т о ди на ко вы е перемещ ени я и и мею т о ди на ко вы е ско ро ст и и уско рени я. Ч тобы изуч итьпоступательное движение тела, достаточ нознатьдвижение одной его точ к и, поэ том у зак оны поступательного движениятвердого тела и зак оны движениям атериальной точ к и одинак овы .

Вра щ а т ельно е дви ж ени е – эт о т а ко е дви ж ени е, ко гда все т о чки т ела дви ж ут ся по о круж но ст ям, цент ры эт и х о круж но ст ейлеж а т на о дно йпрямо й, на зы ва емо й о сью вра щ ени я, а пло ско ст и о круж но ст ей па ра ллельны другдругу. OO1 – осьвращения. Т оч к и тела А, В, С движутся по ок ружностям разногорадиуса, поэ тому траек тории, ск орости, уск оренияэ тих точ ек не одинак овы е и парам етры движенияодной точ к и не харак теризую твращательногодвижения всеготела. П ри изуч ении вращательногодвиженияиспользую тпонятие абсолю тнотвердоготела.

А бсо лю т но т вёрдо е т ело – эт о т ело , ра сст о яни е меж ду лю бы ми двумя т о чка ми ко т о ро го не и зменяет ся.

1. П А Р А М Е Т Р Ы В Р А Щ А Т Е Л Ь НО Г О Д В И Ж Е НИ Я 1. Угло во е перемещ ени е (смещ ени е) (ϕ) – эт о уго л, на ко т о ры й r по во ра чи ва ет ся ра ди ус-вект о р ка ж до й т о чки ( ri ) за время дви ж ени я (t). 2. Угло ва я ско ро ст ь. П ри вращении абсолю тнотвердоготела за одно и то же врем явсе точ к и и сам о тело поворач ивается на одинак овы й угол ϕ, знач ит, все точ к и тела (А, В, С, ...) им ею тодинак овую угловую ск оростьω . Век тор угловой ск орости направлен пооси вращенияи связан с направлением вращенияправилом правоговинта.

П ра ви ло пра во го ви нт а : Вра щ а ем ви нт по на пра влени ю т вердо го т ела , т о гда по ст упа т ельно е дви ж ени еви нт а по ка ж ет на пра влени е вект о ра угло во йско ро ст и . 81

Вект о р угло во й ско ро ст и являет ся ско льзящ и м, т .е. у него нет о пределенно й т о чки при ло ж ени я (ка к у си лы ) и о н мо ж ет бы т ь ра спо ло ж ен в лю бо й т о чке на о си вра щ ени я.

Э Л Е М Е НТ Ы С Т А Т И К И ТВ Е РД О ГО ТЕ Л А Ст а т и ка – эт о ча ст ь меха ни ки , ко т о ра я и зуча ет усло ви я и ви ды ра вно веси я т ел.

1. Р А В НО В Е С И Е Т Е Л А (С И С Т Е М Ы Т Е Л ) Новы е словаисловосочетания: 3. Угло во е уско рени е – фи зи ческа я вект о рна я вели чи на , ко т о ра я по ка зы ва ет и зменени е угло во й ско ро ст и за еди ни цу времени . r r r r ∆ω ω − ω 0 ε= = . ∆t ∆t Н аправление век тора угловогоуск орениясовпадаетс направлением век тоr ра изм ененияугловой ск орости ( ∆ω ).

2. В И Д Ы В Р А Щ А Т Е Л Ь НО Г О Д В И Ж Е НИ Я 1. Ра вно мерно е вра щ ени е rт вердо го т ела – эт о вра щ ени е с по ст о янно й угло во й ско ро ст ью ω = const. Угловое см ещение зависитотврем ени линейноϕ = ω t+ϕ0. r Угловое уск орение равнонулю ε = 0.

2. Ра вно переменно r е вра щ ени е – эт о вра щ ени е с по ст о янны м угло вы м уско рени ем ε = const. Е сли вращение равноуск оренное, ω = ω 0 + ε⋅t. Е сли вращение равнозам едленное, ω = ω 0 − ε⋅t. Угловаяск оростьзависитотврем ени ли н ейн о. Уравненияравноперем енноговращательногодвижения: ϕ = ω0 ⋅t + ε

t 2

– равноуск оренное вращение

ϕ = ω0 ⋅t − ε

t 2

– равнозам едленное вращение

равновесие поступательно статич еск ий динам ич еск ий И ззак оновН ью тона известно, ч топод действием приложенны х сил твердое телополуч аетуск орение: n

r a=

r

∑ Fi i =1

m П од действием внеш них сил тело м ожетдвигатьсяпоступательно, вращательноили находитьсявпок ое. Т елобудетнаходитьсявпок ое или двигатьсяравном ернои прям олинейно, если действую щие на телосилы уравновеш иваю т(к ом пенсирую т) другдруга: n r ∑ Fi = 0, i=1

при э том телоне изм еняетсвое состояние, оносохраняетравновесие.

Ра вно веси е – эт о т а ко е со ст о яни е т ела (си ст емы т ел), ко гда по д дейст ви ем при ло ж енны х си ло но не по луча ет уско рени я. Е стьдва вида равновесия: динам ич еск ое и статич еск ое.

Ди на ми ческо е ра вно веси е – эт о т а ко е ра вно веси е, ко гда по д дейст ви ем при ло ж енны х си л т ело не и зменяет ви д дви ж ени я (по ст упа т ельно го и ли вра щ а т ельно го ). Ст а т и ческо е ра вн о веси е – э т о т а ко е ра вно веси е, ко гда по д дейст ви ем при ло ж енн ы х си л т ело н а хо ди т ся в со ст о ян и и по ко я (V = 0). М ы будем рассм атриватьусловияи виды статич еск огоравновесия.

82

83

2.Р А В НО Д Е Й С Т В У Ю Щ А Я

СИ Л А

Новы е словаисловосочетания: равнодействую щая уравновеш иваю щая составляю щая пересеч ение

1. Угол α = 0 , cos0 = 1 r r r R = F1 + F2 0

R = ( F1 + F2 ) 2 = F1 + F2

r Ра вно дейст вую щ а я си ла R – эт о си ла , ко т о ра я дейст вует на т ело т а к ж е, ка к неско лько си л вмест е. r R=

n

r

∑F i =1

i

С илы , действие к оторы х м ожнозам енитьравнодействую щей, назы ваю тся составляю щим и силам и. Н айти равнодействую щую – знач итгеом етрич еск и сложить составляю щие силы (или найти их век торную сум м у). С ила – э товек торнаявелич ина, поэ том уона харак теризуетсявелич иной (м одулем ), направлением и точ к ой приложения. То чку при ло ж ени я си лы в т верды х т ела х мо ж но перено си т ь по ли ни и еёдейст ви я. С лож ение двухсил, леж ащ ихводнойr п лосr кости. П устьна телодействую тдве силы F1 и F2 . П еренесем точ к и приложенияэ тих сил вточ к у пересеч енияих линий действия. Д ля того, ч тобы найти равнодействуюrщую r , сложим силы F1 и F2 поправилу параллелограм м а: r r r R = F1 + F2 Угол α им еет rлю бое r знач ение. Р а вн одейс т вую ща я двух с и л ( F1 и F2 ), дейс т вую щи х н а т ело ло под углом α, по вели чи н е и н а пра влен и ю ра вн а ди а гон а ли па ра ллелогра м м а , пост роен н ого н а эт и хс и ла х, к а к н а с т орон а х. М одульравнодействую щей м ожнонайти поформ уле: R = F12 + F22 + 2F1F2 ⋅ cosα 84

Частны е случаи: 0

Р а вн одейс т вую ща я двух с и л, н а пра влен н ы х по одн ойпрям ойводн у с т орон у, по вели чи н е ра вн а с ум м е эт и х с и л, н а пра влен а вт у ж е с т орон у, ли н и я дейс т ви я ра вн одейс т вую щейс овпа да ет с ли н и ям и дейс т ви я с ос т а вляю щи х. 2. Угол α = 1800 , cos180 0 = − 1 r r r R = F1 + F2 R = ( F1 − F2 ) 2 = F1 − F2 Р а вн одейс т вую ща я двухс и л, н а пра влен н ы хпо одн ой прям ойвра зн ы е (прот и вополож н ы е) с т орон ы , по вели чи н е ра вн а ра зн ос т и эт и хс и л, н а пра влен а вс т орон у большейс и лы , ли н и я ее дейс т ви я с овпа да ет с ли н и ям и дейс т ви я с ос т а вляю щи х. 3. Угол α = 900 , cos90 0 = 0 r r r R = F1 + F2 R = F12 + F22 Р а вн одейс т вую ща я двух с и л, н а пра влен н ы х перпен ди к улярн о друг другу, по вели чи н е и н а пра влен и ю ра вн а ди а гон а ли прям оугольн и к а , пос т роен н ого н а с ос т а вляю щи х с и ла х, к а к н а с т орон а х.

3. П Е Р В О Е У С Л О В И Е С Т А Т И Ч Е С К О Г О Р А В НО В Е С И Я И Л И У С Л О В И Е Р А В НО В Е С И Я НЕ В Р А Щ А Ю Щ Е Г О С Я Т Е Л А Новы е словаисловосочетания: э к вивалентны й взаим ны й взаим но П овтором узак онуН ью тона уск орение невращаю щегосятела равнонулю , если геом етрич еск ая сум м а приложенны х к нем у сил равна нулю или R-щая э тих сил равна нулю . 85

n

r

∑F

r R i =1 = m m n r r r a = 0, к огда ∑ Fi = R = 0 r a=

i

i =1

Э тои естьусловие равновесияневращаю щегосятела (первое условие статич еск огоравновесия):

Тело , не и мею щ ее о си вра щ ени я, на хо ди т ся в ра вно веси и , если гео мет ри ческа я сумма при ло ж енны х к нему си лра вна нулю .

Ура вно веш и ва ю щ а я си ла – эт о си ла , по вели чи не ра вна я ра вно дейст вую щ ей, при ло ж енна я к т о й ж е т о чке, на пра вленна я по т о й ж е ли ни и дейст ви я в про т и во по ло ж ную ст о ро ну. Равнодействую щаяи уравновеш иваю щаясилы являю тсявзаим ноуравновеш иваю щим и силам и. Вза и м н оура вн овеши ва ю щи ес я с и лы – эт о с и лы , врезульт а т е дейс т ви я к от оры х т ело н е получа ет ус к орен и я. Н априм ер, три равны е по велич ине силы , направленны е под углом 1200 другк другу, являю тсявзаимноуравновеш иваю щим исясилам и.

Н оесли геом етрич еск аясум м а сил равна нулю , то и сум м а проек ц ий век торовэ тих сил на лю бую осьтоже равна нулю . П оэ том у: n r r r r r r R = ∑ Fi = F1 + F2 + F3 +...+Fn = 0 . i =1

Э то век торное уравнение э к вивалентно трем ск алярны м уравнениям для проек ц ий сил на оси к оординатО Х, О У , О Z: n

∑F

ix

= F1x + F2 x + F3x +...+Fnx = 0

Ра зло ж и т ь си лу – эт о зна чи т на йт и со ст а вляю щ и е си лы , ко гда да на ра вно дейст вую щ а я си ла .

= F1 y + F2 y + F3 y +...+Fny = 0

Ч тобы задач а оразложении силы бы ла определенной (т.е. им ела бы тольк о однореш ение), необходим ы дополнительны е условия. Разложитьсилу на две составляю щие, лежащие водной плоскости, м ожно, если известно: r 1. С ила F , к оторую надоразложить, и направлениясоставляю щих;

i =1 n

∑F

iy

i =1 n

∑F

iz

4. Р А ЗЛ О Ж Е НИ Е С И Л Ы НА С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е

= F1z + F2z + F3z +...+Fnz = 0

i =1

Т огда первое условие равновесияневращаю щегосятела м ожносформ улироватьтак :

Тело , не и мею щ ее о си вра щ ени я, на хо ди т ся в ра вно веси и , если сумма про екци й при ло ж енны х к т елу си л на лю бую о сь ра вна нулю . Ч тобы привести теловсостояние равновесия, надонайти равнодействую щую всех приложенны х сил, затем приложит ьк той же точ к е потой же линии r действияуравновеш иваю щую силу ( − R ).

86

r r 2. С ила F , к оторую надоразложить, и одна изсоставляю щих F1 повелич ине и направлению .

87

5. В Т О Р О Е У С Л О В И Е С Т А Т И Ч Е С К О Г О Р А В НО В Е С И Я И Л И У С Л О В И Е Р А В НО В Е С И Я Т Е Л А , И М Е Ю Щ Е Г О НЕ П О Д В И Ж НУ Ю О С Ь В Р А Щ Е НИ Я

М оментсилы им еетзнак . Условном омент силы сч итаетсяотриц ательны м , если сила вращаеттелопоч асовой стрелк е.

Новы е словаисловосочетания:

М ом ентсилы сч итаетсяположительны м , если сила вращаеттелопротивч асовой стрелк и.

плеч о м омент стрелк а

M 1 = F1 ⋅ d1

M 2 = F2 ⋅ d2

Рассм отрим равновесие тела, к оторое им еетнеподвижную ось(О 1О 2) и м ожетвращатьсяотносительноэ той оси. Д ействие сил на телозависитне тольк оотвелич ины силы , нои отточ к и ее приложения. С ила м ожетвы зватьвращение тела вок ругоси толь r кrо тогда, к огда линия действияэ той силы не проходитч ерезосьвращения( F1 , F2 ). Точ к а О – э тоось или ц ентр вращения.

Е диниц а изм ерениямом ента всистем е С И – Н ⋅ м (нью тон⋅м етр). Е сли на телодействуетнеск ольк осил, то состояние тела зависитотзнак овм ом ентов э тих сил.

Т ело, и м ею щее ос ь вра щен и я, н а ходи т с я вра вн овес и и , ес ли а лгебра и чес к а я с ум м а м ом ен т оввс ехпри лож ен н ы хк т елу с и л от н ос и т ельн о ос и вра щен и я ра вн а н улю , – э товторое условие статич еск огоравновесия. n

∑M

i

=0

i =1

M1 +M 2 = 0

_F ⋅ d − F ⋅ d = 0 2 2 1 1 F2 ⋅ d2 = F1 ⋅ d1

О пустим перпендик уляр изц ентра (оси) вращенияна линию действиясилы .

П ерпенди куляр и з цент ра вра щ ени я на ли ни ю дейст ви я си лы – эт о плечо си лы (d).

О бщ ее усло ви е ст а т и ческо го ра вно веси я лю бо го т вердо го т ела : Твердо е т ело будет на хо ди т ься в ра вно веси и , если гео мет ри ческа я (вект о рна я) сумма при ло ж енны х к т елу си лра вна нулю и а лгебра и ческа я сумма мо мент о вэт и х си ло т но си т ельно о си вра щ ени я ра вна нулю . n

Мо мент си лы – эт о фи зи ческа я вели чи на , ко т о ра я ха ра кт ери зует вра щ а ю щ ее дейст ви е си лы и ко т о ра я ра вна про и зведени ю си лы на ее плечо . r M = F ⋅d 88

r

∑F

r Е сли линия действия силы ( F3 ) проходитч ерезц ентр вращения, плеч о d = 0, телоне будетвращаться. О пы тпок азы вает, ч товращаю щее действие силы зависитотвелич ины силы F и отплеч а d или отм ом ента силы M.

i =1

i

=0

n

∑M i =1

i

=0

6. С Л О Ж Е НИ Е П А Р А Л Л Е Л Ь НЫ Х С И Л Новы е словаисловосочетания: антипараллельны й пара сил 89

С Л О Ж Е НИ Е П А РА Л Л Е Л Ь НЫ Х С И Л

П оэ том у:

П а ра ллельны е си лы – эт о си лы , ли ни и дейст ви я ко т о ры х па ра ллельны и на пра влены в о дну ст о ро ну. С ложитьпараллельны е силы – э тознач итнайти велич ину, направление и точ к у приложенияих равнодейств ую щей силы .

AD CD = ; F F1

DB CD = . F F2

Разделим первую пропорц ию на вторую (поч ленно): AD ⋅ F CD ⋅ F2 ; = F ⋅ DB F1 ⋅ CD A D F2 . = DB F1 Р а вн одейст вую ща я двухпа ра ллельн ы хс и л по вели чи н е ра вн а сум м е эт и хс и л, н а пра влен н ы х водн у с т орон у, по вели чи н е ра вн а и х с ум м е, н а пра влен а вт у ж е с т орон у, т очк а её при лож ен и я дели т ра с ст оян и е м еж ду т очк а м и при лож ен и я с и л н а от резк и , обра т н о пропорци он а льн ы е чи словом у зн а чен и ю эт и хс и л. П ри сложении параллельны х сил удобнопользоватьсяправилом м ом ентов: М ом ен т ы па ра лле льн ы х с и л ра вн ы от н ос и т ельн о т очк и при лож ен и я ра вн одейс т вую ще й.

r r П устьсилы F1 и F2 приложены вточ кrах A иr B и лежатвплоск ости ч ертежа. П еренесем точ к и приложения сил F1 и F2 водну общую точ к у C. Д ля э того приложим r r вточ к ах A и B две равны е и противоположно направленны е силы F и − F . П ри э том равновесие тела сохраняется, потомуч тоrсилы взаимrFr1 с силой F ноуравнов r еш енны е. Сr ложим поправилу параллелограм м а силу r и силу F2 с силой − F . П олуч им равнодействую щие силы R1 и R 2 . П еренесем точ к и приложенияэ тих сил вточ к у C, вк оторой пересек аю тся их линии действия. r r r r В точ к е C разложим силы R1 и R 2 на состав rляю щие. r С илы r F и −F взаим но уравновеш иваю тся, а равнодействую щая R сил F1 и F2 , приложененны х водной точ к е и направленны х водну сторону, равна ихrсум м е и направлена вту же сторону. Т оч к у приложенияравнодействую щей R перенесем полинии ее дейст r вия r вточ к у D, лежащую на прям ой, соединяю щей точ к и приложениясил F1 и F2 . С оотнош ение м ежду отрезк ам и AD и DB м ожнонайти изподобия(к онгруэ нтности) треугольник овACD и KCL и треугольник овDCB и MCN: AD CD = ; KL CL

DB CD = . M N CM

П опостроению : KL = MN = F; CL = F1; CM = F2. 90

d1 = OA; d2 = OB; d3 = OC M1 + M 2 = M 3 F1 ⋅ d1 + F2 ⋅ d2 = F3 ⋅ d3

С Л О Ж Е НИ Е А НТ И П А РА Л Л Е Л Ь НЫ Х С И Л

А нт и па ра ллельны е си лы – эт о си лы , ли ни и дейст ви я ко т о ры х па ра ллельны , но на пра влены о ни в про т и во по ло ж ны е ст о ро ны . С ложитьантипараллельны е силы – э то знач итнайти велич ину, направление и точ к уприложения r r их равнодействую щей. т П устьсилы F1 и F2 антипараллельны , приложены вrточ кrах A и B и лежат вплоск ости ч ертежа.П еренесем точ к и приложениясил F1 и F2 водну общую точ к у C. Д ляэ того вточ к ах Аи В дверавны е и противоположнонапr приложим r равленны е силы F и − F . П ри э том равновесие тела сохраняется, потом у ч то эт rи силы взаим r ноуравнов r еш енны е. Сr ложим поправилупараллелограм м а силу r Fr1 с силой F и силуF2 с силой − F . П олуч им равнодействую щие силы R1 и R 2 . П еренесем точ к и приложенияэ тих сил вточ к у С, вк оторой пересек аю тся их линии действия. 91

Равнодействую щаядвух антипараллельны х сил по велич ине равна разности э тих сил, направлена всторону больш ей силы , точ к а ее приложениялежит за больш ей силой на расстоянии, обратнопропорц иональном ч исловом у знач ению сил.

П а ра си л– эт о си ст ема двух ра вны х а нт и па ра ллельны х си л. F1 = F2 = F

П ара сил не им еетравнодействую щей и приводиттело, на к оторое онодействует, вовращательное движение.

П лечо па ры d – эт о кра т ча йш ее ра сст о яни е (перпенди куляр) меж ду ли ни ями дейст ви я си л. М ом ентпары сил относительнолю бой оси вращенияравен произведению одной изсил на плеч опары : M = F ⋅ d. r r В точ к е С разложим силы на их состrавляю щие. Сr илы F и − F взаим но r уравновеш иваю тся, а равнодействую щая R сил F1 и F2 , приложенны х водной точ к е, но направленны х впротивоположны е стороны , повелич ине равна разности э тих сил и направлена всторону большrей силы . Т оч к у приложенияравнодействую щей R перенесем полинии ее дейст r в rия вточ к у D, лежащую на прям ой, соединяю щей точ к и приложениясил F1 и F2 . С оотнош ение м ежду отрезк ам и AD и BD м ожнонайти изподобия(к онгруэ нтности) треугольник овADC и MNC и треугольник овBDC и LCK: DC AD DC BD = ; = . CM M N CL L K П опостроению : CM = F1; MN = F; CL = F2; LK = F. П оэ том у: DC AD DC BD = ; = . F1 F F2 F Разделим правую пропорц ию на вторую (поч ленно): DC ⋅ F2 A D ⋅ F = ; F1 ⋅ DC F ⋅ BD F2 A D = . F1 BD 92

7. Ц Е НТ Р Т Я Ж Е С Т И Т Е Л А Лю бое тело м ожно м ы сленно разделитьна неск ольк о ч астей. Н а к аждую ч астьдействуетсила тяжести. Э ти силы параллельны . Велич ина равнодействую щей сил тяжести всех ч астей тела равна силе притяжения, действую щей на телосостороны Зем ли.

Ц ент р т яж ест и т ела – эт о т о чка при ло ж ени я си лы т яж ест и , ра вно дейст вую щ ей всех си лт яж ест и , дейст вую щ и х на о т дельны е ча ст и т ела . n

m = ∑ mi i =1

С ила тяжести действуетна все тело, а ц ентр тяжести находитсяводной точ к е. С илы тяжести всех ч астей тела направлены вертик ально вниз, то естьдействую т параллельно, а ц ентр тяжести является ц ентром параллельны х сил тяжести. С ум м а м ом ентовсил тяжести всех ч астей тела равна нулю относительно ц ентра тяжести. П оэ том у телобудетнаходиться вравновесии под действием сил тяжести, если осьвращенияпроходитч ерезц ентр тяжести.

93

8. В И Д Ы С Т А Т И Ч Е С К О Г О Р А В НО В Е С И Я Т Е Л А

Частны е случаи: 1. Т елосостоитизгрузовm1 и m2.

Е сли м ассой стержням ожнопренебреч ь, то m1 OB = m2 OA

Ц ентр тяжести O делитрасстояние м ежду ц ентрами тяжести грузовАи В обратнопропорц иональноих м ассам . 2. Т ела правильной форм ы изоднородного м а териала : – стержень– ц ентр тяжести будетвсередине.

Новы е словаисловосочетания: устойч ивы й неустойч ивы й безразлич ны й удалять возвращать отклонение

уровень наруш аться обладать э нергия потенц иальны й

П оложение тела, вк отором вы полняю тсядва условия, назы ваетсяположением равновесия: n r n r ∑ Fi = 0 и ∑ M i = 0. i=1

– к руглы й диск – ц ентр тяжести вего геом етрич еск ом ц ентре. 3. Т ело неправильной форм ы : Ц ентр тяжести определяетсяопы тны м путем. Т елоподвеш иваю тпооч ередноза три точ к и. Т оч к а пересеч ениянитей подвеса дастиск ом ы й ц ентр тяжести тела.

4. Н еоднородны й стержень: Ц ентр тяжести определяетсятеоретич еск и, если известны плотностьм атериалов, составляю щих стержень . r П оэ том у F = D ⋅ V ⋅ g , D – плотностьвещества, V – объем тела, g – уск орение свободногопадения. Н айти ц ентр тяжести – э тознач итопределитьточ к уприложенияравнодействую щей двух параллельны х сил: d1 F2 = d2 F1 94

i =1

О днак овиды статич еск огоравновесиям огутбы тьразны м и. У С Т О Й ЧИ В О Е РА В НО В Е С И Е Равновесие назы ваетсяус т ойчи вы м , если при отклонении тrела отположенияравновесияпоявляетсясила F , котораявозвращаеттело вположение равновесия. П ри отк лонении тела отположенияустойч ивогоравновесияц ентр тяжести повы ш ается, увелич иваетсяпотенц иальнаяэнергия. НЕ У С Т О Й ЧИ В О Е РА В НО В Е С И Е Равновесие назы ваетсян еус т ойчи вы м , если при отк лонении тrела отположенияравновесия появляетсясила F , к отораяудаляеттелоотположения равновесия (продолжаетотк лонение). П ри отклонении отположениянеустойч ивогоравновесияц ентр тяжести понижается, ум еньш аетсяпотенц иальнаяэ нергия. БЕ ЗРА ЗЛ И ЧНО Е РА В НО В Е С И Е Равновесие назы вается безра зли чн ы м , если при отк лонении тела положение его равновесия не наруш ается(сохраняется). Э тообъясняетсятем , ч тоц ентр тяжести при отк лонении не изм еняетуровня, потенц иальнаяэ нергияне изм еняется. Т ело, н а ходящеес я вполож ен и и ус т ойчи вого ра вн овес и я, обла да ет м и н и м а льн ы м за па с ом пот ен ци а льн ойэн ерги и . 95

М Е Х А НИ Ч Е С К А Я Р А БО Т А И

Е сли телоопираетсяна неск ольк оточ ек (площадьопоры ), равновесие будетустойч ивы м , к огда вертик альц ентра тяжести проходитч ерезплощадьопо-

Э НЕ Р Г И Я

Новы е словаисловосочетания: работа ч исленно ск алярное произведение

1. М Е Х А НИ ЧЕ С К А Я Р А БО Т А

r Е сли под действием силы F телосоверш ает r перем ещение ∆r , тосила соверш аетработу.

F

В меха ни ке ра бо т а – эт о про цесс перемещ ени я т ела по д дейст ви ем си лы .

α

ры .

В оп росы : 1. Ч то изуч аетстатик а? 2. К ак ое состояние тела назы ваетсяравновесием ? 3. К ак ие виды равновесиявы знаете? 4. С форм улируйте первоеусловие статич еск огоравновесия. 5. К ак ие силы назы ваю тсяра вн одейс т вую щейи ура вн овеши ва ю щей? 6. Ч тотак ое плеч осилы ? 7. Ч тоназы ваетсям ом ентом силы ? 8. С форм улируйте второе условие статич еск огоравновесия. 9. С формулируйтеобщее условие статич ескогоравновесиядлялю боготвёрдоготела. 10. К ак сложитьпараллельны е и антипараллельны е силы ? 11. Ч то так ое ц ентр тяжести тела? 12. Н азовите виды статич еск огоравновесия.

Работа равна ск алярном упроизведению силы на перем ещение, к отороесоверш илотелопод действием силы :

∆r

r r A = ( F∆r ).

Ч исленно работа равна произведению м одулясилы на м одульперем ещенияи на к осинус угла м ежду направлением силы и направлением перем ещения: A = F ⋅ ∆r ⋅ cosα.

Р а бот а – с к а лярн а я вели чи н а . Е сли телодвижетсяпря r м олинейно, том одульвек тора перем ещенияравен пройденном у пути (S =|∆r|), поэтом у:: A = F ⋅ S ⋅ cosα. Э та форм ула справедлива, если во врем ядвижениясила не изм еняется. Рассм отрим ч астны е случ аи: 1. Угол α = 0°, cos0° = 1. A = F ⋅ S ⋅ cos0° = F ⋅ S .

S

A = F ⋅S Н аправление сил совпадаетс направлением перем ещения. ∆r Д ви ж уща я с и ла соверш аетположительную работу. 2. Угол α = 180°, cos180° = –1.

V

F

S Fтр

α

Vt=0

V ∆r

96

A = F ⋅ S ⋅ cos180°= − F ⋅ S , A = −F ⋅ S Н а правление силы противополож но перем ещению . 97

О пределим работу, к оторую соверш аетсила тяжести, к огда тело движетсяпонак лонной плоскости вниз. h – вы сота, l – длина, α – угол нак лона

С ила F– сила сопротивления.

Си ла со про т и влени я – эт о си ла , на пра вленна я про т и во по ло ж но перемещ ени ю . Работа силы сопротивления- отриц ательнаявелич ина. 3. Угол α = 90°, cos90° = 0.

V F

A = F ⋅ S ⋅ cos90° = 0. С ила, перпендик улярнаяперем ещению , работу не соверш ает.

Единицы измер енияр аботы [A] = [F] ·[S] всистем е С И [A] = 1 Н ·1 м = 1 Д ж (Д жоуль), всистем е С ГС [A] = 1 дин ·1 см = 1 э рг. 1 Д ж = 107 э рг.

h

α1 mg

l

V

α

α 1 – угол м ежду направлением движенияи направлением силы тяжести. α1 = 90 − α , A = F ⋅ S ⋅ cos( 90 − α ) = mg ⋅ l ⋅ sinα = mgh , т.к . l ·sinα = h. Знач ит, если телопадаетили двигаетсяпонак лонной плоск ости с вы соты h, сила тяжести соверш аетодинак овую работу:

A = mgh.

2. Р А БО Т А С И Л Ы Т Я Ж Е С Т И И С И Л Ы У П РУ ГО СТИ

∆h1 ∆h2

РА БО Т А С И Л Ы Т Я Ж Е С Т И

V

mg

h

Т елопадает rс вы сот r ы h поддействием постоянной силы тяжести: F = mg = const. Н аправление силы тяжести совпадаетс направлением движения, поэ том уработу, к оторую соверш аетсила тяжести, м ожнонайти поформ уле:

A = F ⋅ S = m ⋅ g ⋅ h. Е сли тело, брош енное вверх, подним аетсяна вы соту h, тосила тяжести соверш аетработу:

A = F ⋅ S ⋅ cos180°= −mgh. h

V

mg

В этом случ ае работа сил тяжести им еетотриц ательное знач ение, т.к . направление силы тяжести противоположноперем ещению . Е сли тело, брош енное вертик ально вверх, возвращается на Зем лю , то сум м арная работа силы тяжести равна нулю .

Ра бо т а си лы т яж ест и по за мкнут о й т ра ект о ри и ра вна нулю .

A = F ⋅ S ⋅ cosα1 ,

h

В э том случ ае весьпутьм ожноразделитьна м аленьк ие нак лонны е плоск ости с вы сотам и ∆h1, ∆h2, ∆h3, ... ∆hn

h = ∆h1 + ∆h2 + ∆h3 +...+ ∆hn . Работа на к аждой плоск ости равна:

mg∆h1, mg∆h2, ... mg∆hn

Работа на всем пути будетравна:

A = mg∆h1 + mg∆h2 +...+ mg∆ hn . Вы во д: Ра бо т а си лы т яж ест и не за ви си т о т фо рмы т ра ект о ри и , а за ви си т т о лько о т по ло ж ени я на ча льно й и ко нечно йт о чек по верт и ка ли (вы со т е). Э тосправедливо, если телодвижетсяполю бому пути, опуск аясьили подним аясьна вы соту h.

98

99

РА БО Т А С И Л Ы У П Р У Г О С Т И Работа силы упругости

A=

kx 2 , 2

так же, к ак и работа силы тяжести не зависитотформ ы траек тории, а зависиттольк оотнач альногои к онеч ногоположенияконц а пружины .

Си ла , ра бо т а ко т о ро й не за ви си т о т фо рмы т ра ект о ри и , а за ви си т т о лько о т по ло ж ени я на ча льно й и ко нечно й т о чек, на зы ва ет ся ко нсерва т и вно й си ло й. С ила тяжести и сила упругости – э ток онсервативны е силы .

4. М О Щ НО С Т Ь Новы е словаисловосочетания: м ощность Разны е тела одинак овую работу м огутвы полнитьза разное врем я(∆t).

Мо щ но ст ь – эт о ра бо т а , ко т о рую со верш а ет си ла за еди ни цу времени . A N ср = . ∆t

F ⋅S = F ⋅ Vср . ∆t

М ощностьравна произведению силы на средню ю ск оростьперем ещения тела. Е диниц ы изм ерениям ощности всистем е С И – ватт(Вт). 1 Вт =

1Д ж 1с

.

5. К О Э Ф Ф И Ц И Е НТ П О Л Е ЗНО Г О Д Е Й С Т В И Я Новы е словаисловосочетания: полезны й потеря 100

Ра бо т а , ко т о рую со верш а ет си ла в о т сут ст ви е си л со про т и влени я, на зы ва ет ся по лезно й ра бо т о й. П олнаяработа (A), которую соверш аетсила, равна сум м е полезной работы (A1) и работы потерь(A2): A = A1 + A2. О т но ш ени е по лезно й ра бо т ы к по лно й ра бо т е на зы ва ет ся ко эффи ци ент о м по лезно го дейст ви я (К П Д): К П Д = η=

полезнаяработа A1 = . полнаяработа A

К П Д всегда м еньш е единиц ы (К П Д < 1), т.к . полнаяработа всегда больш е полезной. К оэ ффиц иентполезногодействияобы ч новы ражаю твпроц ентах:

η=

A1 ⋅ 100%. A

η – греч еск аябук ва «э тта».

6. М Е Х А НИ Ч Е С К А Я Э НЕ Р Г И Я (W, E)

Е сли на тело действуетпостояннаясила и направление силы совпадаетс направлением движения, то

N ср =

П ри движении одноготела относительнодругого(влю бом м еханизме) действ ую тсилы сопротивления. П оэ тому нужносоверш атьработупротивэ тих сил, к отораяназы вается«работой потерь».

Новы е словаисловосочетания: э нергия к инетич еск ий потенц иальны й обладать(им еть)

Э нерги я ха ра кт ери зует спо со бно ст ь т ела со верш а т ь ра бо т у. Е сли телообладаетэ нергией, тооном ожетсоверш атьработу. И зменение э нергии ч исленноравноработе, к оторую соверш аю тсилы , приложенны е к телу

A = ± ∆E = ±( E − E 0 ), где E0 – нач альнаяэ нергиятела досоверш енияработы , E – к онеч наяэ нергиятела после соверш енияработы , A – работа сил, приложенны х к телу. 101

Е диниц ы изм еренияэ нергии всистем е С И – Д жоуль(Д ж). Е стьдва вида э нергии: потенц иальнаяэ нергияи к инетич еск аяэ нергия.

Fупр

П о т енци а льна я энерги я – эт о энерги я вза и мо дейст ви я. О на за ви си т о т вза и мно го по ло ж ени я т ел и ли ча ст ей о дно го т ела . С илы , к оторы е зависятотвзаим ного положения тел или ч астей одного тела (т.е. к онсервативны е силы ), – э то сила тяжести (сила гравитац ии), сила упругости. Е сли всистем е действую тк онсервативны е силы , тосистем а облада етпотенц иальной э нергией. К огда к онсервативны е силы соверш аю тработу, положение тел всистем е изм еняетсяи потенц иа льнаяэ нергиясистем ы тоже изм еняется. Э НЕ Р Г И Я Т Е Л А , П О Д НЯ Т О Г О НА Д ЗЕ М Л Е Й Будем условно сч итать, ч то на поверхности Ep Зем ли потенц иальная э нергиятела равна нулю :

Epз= 0.

mg

П ружина деформ ирована на велич ину x1, вэ том случ ае она обладаетпотенц иальной э нергией Ep1. П оддействием силы упругости деформ ац ияпружины м еняетсядовелич ины x2, вэ том положении потенц иальнаяэ нергияпружины будетEp2.

Aупр = − ∆E p = −( E p2 − E p1 ) = Ep1 − E p2 . Знак минус потом у, ч тосила упругости соверш аетположительную работу, а потенц иальнаяэ нергияпружины ум еньш ается. Работа силы упругости равна:

kx12 kx 22 , − 2 2 kx 2 kx 2 E p1 − E p2 = 1 − 2 , 2 2 2 kx kx 2 E p1 = 1 ; Ep2 = 2 . 2 2 A=

П ри падении тела на поверхностьЗем ли сила тяжести соверш аетработу:

A = F ⋅ h = mgh.

Э та работа равна изм енению потенц иальной э нергии систем ы :

A = −∆Ep . Знак минус потом у, ч тоположительнаяработы силы тяжести ведетк ум еньш ению потенц иальной э нергии:

mgh = −( E pз − E p ) = E p , E p = mgh. П О Т Е НЦ И А Л Ь НА Я Э НЕ Р Г И Я У П Р У Г О Й Д Е Ф О Р М А Ц И И Будем сч итатьпотенц иальную э нергию недеформ ированной пружины равной нулю .

x2 x1 x2

x=0

r r F = mg = const.

Epз=0

mg

Fупр

Н а вы соте h над Зем лей тело обладаетэ нергией Ep . Е сли h м ногом еньш е радиуса Зем ли, то силум ожносч итатьпостоянной велич иной:

h

x

0

7. П О Т Е НЦ И А Л Ь НА Я Э НЕ Р Г И Я (Wp, Ep)

Ep =

kx 2 2

– э тоформ ула потенц иальной э нергии упругой деформ ац ии.

8. К И НЕ Т И Ч Е С К А Я Э НЕ Р Г И Я (Wk , Ek ) К и нет и ческа я энерги я – эт о энерги я дви ж ени я. П о эт о му дви ж ущ ееся т ело о бла да ет ки нет и ческо й энерги ей. П устьтело м ассой m внач альны й м ом ентврем ени двигалосьсо ск оростью V0 и им елонач альную к инетич еск ую э нергию Ek0. V0 Ek Ek 0 V m F F S

102

103

Е сли на тело действуетсила F, то по втором у зак ону Н ью тона ск орость тела изм еняется, знач итк инетич еск ая э нергия тела тоже изм еняется. Работа лю бой силы ведетк изм енению э нергии тела:

I V0=0

A = E k − E k0 ,

mg

A = F ⋅ S , т.к . α = 0° . П овтором узак ону Н ью тона:

F = ma.

И зк инем атик и известно:

V1 mg

H h

2 aS = V 2 − V02

⇒

mg

 V − V  mV mV − A = ma ⋅  = 2 2 2 a   2

2 0

2

2 0

или

E k − E k0 =

mV 2 mV02 − . 2 2

mV 2 – э тоформ ула к инетич еск ой э нергии. 2

9. П О Л НА Я М Е Х А НИ Ч Е С К А Я Э НЕ Р Г И Я . ЗА К О Н С О Х Р А НЕ НИ Я П О Л НО Й М Е Х А НИ Ч Е С К О Й Э НЕ Р Г И И П о лна я меха ни ческа я энерги я – эт о сумма по т енци а льно й и ки нет и ческо й энерги йт ела . Рассм отрим зам к нутую систем утел, тоестьтак ую систем у, вк оторой действую ттольк ок онсервативны е силы (сила тяжести, сила упругости). Д ок ажем зак он сохраненияполной м еханич еск ой э нергии длязам к нутой систем ы на прим ере свободногопадения. I. В нач а льны й м ом ентврем ени тело находилосьвпок ое (V0 = 0) на вы соте H. О пределим полную э нергию тела:

E I = EpI + E kI = mgH + 0, E I = mgH . 104

III

V 2 − V02 S= . 2a

П одставим знач ение F и S вформ улу работы :

Ek =

II

V2

II. Т елонач инаетсвободнопадать. О пределим полную м еханич еск ую энергию вм ом ент, к огда телоим еетск оростьV1 и находитсяна вы соте h.

E II = E pII + E kII = mgh +

mV12 , 2

V12 − V02 = 2 g ( H − h) ⇒ V12 = 2g ( H − h), E II = mgh +

m ⋅ 2 g( H − h) = mgh + mgH − mgh , 2 E II = mgH .

III. О пределим полную м еханич еск ую э нергию тела у поверхности Зем ли, к огда телоим еетм ак сим альную к онеч ную ск оростьVt.

E III = EpIII + EkIII = 0 +

mVt2 , 2

Vt2 − V02 = 2 gH ⇒ Vt2 = 2 gH , E III =

m ⋅ 2 gH = mgH , 2

E III = mgH . П олнаяэ нергиятела не изм енилась. Всяпотенц иальнаяэ нергияпревратиласьвк инетич еск ую .

В за мкнут о йси ст еме т елпо лна я меха ни ческа я энерги я ест ь вели чи на по ст о янна я. 105

Е сли систем а незам к нутая, тополнаям еханич еск аяэ нергияне сохраняется. И зм енение полной м еханич еск ой э нергии незам к нутой систем ы тел равно работе внеш них сил. Н опри э том м еханич еск аяэ нергияне исч езает, она переходитвдругие виды э нергии (наприм ер, втепловую ). В лю бы х явлениях природы э нергияне исч езаети не возник ает(не появляетсявновь), она тольк опревращаетсяизодноговида вдругой или переходитот одноготела к другом увравны х к олич ествах.

В оп росы : 1. Ч то так ое м еханич еск аяработа? 2. Н азовите единиц ы м еханич еск ой работы . 3. К ак найти работу: а) силы тяжести, б) силы упругости, в) на нак лонной плоск ости? 4. Ч то так ое К П Д м еханизм а? 5. Ч тотак ое м ощность? Н азовите единиц ы изм ерениям ощности. 6. Ч то так ое м еханич еск аяэ нергия? 7. К ак ие виды м еханич еск ой э нергии Вы знаете? 8. Ч то назы ваетсяполной м еханич еск ой э нергией тела? 9. С форм улируйте и напиш ите зак он сохранения полной м еханич еск ой э нергии.

ЗА Д А ЧИ Д Л Я С А М О С Т О Я Т Е Л Ь НО Й Р А БО Т Ы . 1. Весь пу т ь а вт о мо би ль про еха лсо среднейско ро ст ью 80 км/ча с. Средняя ско ро ст ь на перво йчет верт и пу т и ра вна 120 км/ча с. На йт и средню ю ско ро ст ь на о ст а льно йча ст и пу т и . 2. П о езд перву ю ча ст ь пу т и дви ж ет ся со ско ро ст ью 10 м/с, а вт о ру ю ча ст ь пут и со ско ро ст ью 25 м/с. На йт и средню ю со кро ст ь по езда на всем пу т и , если перва я ча ст ь пу т и в 2 ра за бо льш е вт о ро й ча ст и . 3. Ско ро ст ь т ела вко нце десят о йсеку нды ра вна 15м/с. К а ко ва ско ро ст ь в ко нце пят о йсеку нды , если дви ж ени е ра вно у ско ренно е и на ча ло сь и зсо ст о яни я по ко я? 4. Са мо лёт при по са дке ко сн улся Земли при ско ро ст и 70 м/с. Ч ерез 20 с о н о ст а но ви лся. О предели т ь у ско рени е са мо лёт а в э т о м дви ж ени и . 5. Мяч бро ш ен с земли верт и ка льно вверх с на ча льно йско ро ст ью 15 м/с. Ско лько времени о н бу дет по дни ма т ься вверх и ка ко йбу дет вы со т а по дъема ? 6. Тело , сво бо дно па да я и зсо ст о яни я по ко я, до ст и га ет земли за 4 с. За ка ко е время о но до ст и гло бы земли , если его бро си т ь с т о й ж е вы со т ы с на ча льно й ско ро ст ью 29, 4 м/с , на пра вленно йвни з? 7. Тело у па ло с вы со т ы 245 м. К а ко й пу т ь о но про ш ло в по следню ю секу нду па дени я? 8. На Л у не у ско рени е сво бо дно го па дени я при мерно в 6 ра з меньш е, чем на Земле. Сра вни т ь время па дени я и ко нечны е ско ро ст и т елпри па дени и с о дно й и т о й ж е вы со т ы . 9. А вт о бу с ма ссо й 10 т о нн на ча лдви ж ени е и з со ст о яни я по ко я. На пу т и 50 м его ско ро ст ь ст а ла ра вно й 10 м/с. На йт и ко э ффи ци ент т рени я, если си ла т яги ра вна 14·103 Н.

106

107

10. И мпульс т ела ра вен 8 кг. м/с, ки нет и ческа я э нерги я 16 Дж . На йт и ма ссу и ско ро ст ь т ела . 11. Си ла 60 Н со о бщ а ет т елу у ско рени е 0,8 м/с2. К а ка я си ла со о бщ и т э т о му т елу у ско рени е 2 м/с2 ? 12. Тело ма ссо й2 кгт янули ра вно мерно по го ри зо нт а льно й пло ско ст и с по мо щ ью пруж и ны с ж ест ко ст ью 100 Н/м. К о эффи ци ент т рени я ра вен 0,3. На йт и у дли нени е пруж и ны . 13. На на кло нно й пло ско ст и дли но й 5 м и вы со т о й 3 м на хо ди т ся гру з 50 кг. К а ку ю си лу, на пра вленну ю вдо ль пло ско ст и , на до при ло ж и т ь, чт о бы удерж а т ь эт о т гру з? К а кую си лу на до при ло ж и т ь, чт о бы вт а ски ва т ь э т о т гру зра вно мерно вверх? К а ку ю си лу на до при ло ж и т ь, чт о бы вт а ски ва т ь э т о т гру з с у ско рени ем 1 м/с2? К о э ффи ци ент т рени я 0,2.

20. Секу ндна я ст релка ча со в сдела ла пят ь о бо ро т о в. Вы чи сли т ь у го лпо во ро т а ко нца ст релки в гра ду са х и ра ди а на х и у гло ву ю ско ро ст ь в гра д/с и ра д/с. 21. Тело ма ссо й 50 кг по дн и ма ю т вверх у ско рен и ем 1, 25 м/с2 . На йт и ра бо т у, если вы со т а ра вна 10 м. 22. Тело перемещ а ю т ра вно мерно по го ри зо нт а льно й по верхно ст и , дейст ву я с си ло й 300 Н по д у гло м 45°. На йт и ра бо т у, со верш енну ю при перемещ ени и груза на ра сст о яни е 10 м.

14. О дно ро дна я ба лка ма ссо й 50 кглеж и т на дву х о по ра х. На ра сст о яни и 1/4 дли ны ба лки о т лево й о по ры леж и т гру з 100 кг. На йт и си лы да влени я ба лки на о по ры . 15. На йт и си лы , дейст ву ю щ и е на ст ерж ни А В и ВС, если РА ВС=60°, а ма сса ла мпы 3 кг. 16. За 10 с т о чка про ш ла ра вно мерно по ло ви ну о круж но ст и , ра ди у с ко т о ро й100 см. О предели т ь ли нейную ско ро ст ь. 17. К а ко ва ли нейна я ско ро ст ь т ела , дви ж у щ его ся ра вно мерно по о круж но ст и ра ди усо м 3,0 м, если цент ро ст реми т ельно е у ско рени е ра вно 12 м/с2? 18. На йт и у гло ву ю ско ро ст ь т ела , ко т о ро е вра щ а ет ся с пери о до м Т1=10 с. Т2=0, 05 с. 19. К а ко ва ли нейна я ско ро ст ь т ела , дви ж у щ его ся ра вно мерно по о круж но ст и ра ди у со м 3, 0 м, если цент ро ст реми т ельно е у ско рени е ра вно 12 см/с2?

108

109

С одерж ание

К И НЕ М А Т И К А К РИ В О Л И НЕ Й НО Г О Д В И Ж Е НИ Я М А Т Е Р И А Л Ь НО Й Т О ЧК И ........... 66 1. П Е РЕ М Е Щ Е Н И Е И С К О РО С Т Ь П РИ К РИ ВО ЛИ Н Е Й Н О М

Д ВИ Ж Е Н И И ........................................................................... 66

2. Д ВИ Ж Е Н И Е Т Е ЛА , БРО Ш Е Н Н О ГО ГО РИ З О Н Т А ЛЬ Н О ........................................................................................................ 67

К И НЕ М АТ И К А ............................................................................................................................. 3 1. ВВЕ Д Е Н И Е ................................................................................................................................................................................. 3

3. Д ВИ Ж Е Н И Е Т Е ЛА , БРО Ш Е Н Н О ГО П О Д УГЛО М

К ГО РИ З О Н Т У ....................................................................................... 68

4. РА ВН О М Е РН О Е Д ВИ Ж Е Н И Е М А Т Е РИ А ЛЬ Н О Й Т О Ч К И П О О К РУЖ Н О С Т И .................................................................... 70

2. М Е Х А Н И Ч Е С К О Е Д ВИ Ж Е Н И Е ............................................................................................................................................... 4

Д И НА М И К А Д В И Ж Е НИ Я М А Т Е Р И А Л Ь НО Й Т О ЧК И П О О К Р У Ж НО С Т И .................... 74

3. З А Д А Ч А К И Н Е М А Т И К И . СИ С Т Е М А О Т С Ч ЁТ А ...................................................................................................................... 5

Д В И Ж Е НИ Е Т В Е РД О Г О Т Е Л А ................................................................................................ 81

4. ФИ З И Ч Е С К И Е ВЕ ЛИ Ч И Н Ы ...................................................................................................................................................... 7 5. С ЛО Ж Е Н И Е ВЕ К Т О РО В ............................................................................................................................................................ 8 6. ВИ Д Ы Т РА Е К Т О РИ И ............................................................................................................................................................... 11 7. П А РА М Е Т РЫ П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я Т Е ЛА ....................................................................................................... 11 8. ВИ Д Ы П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я ............................................................................................................................. 18 9. РА ВН О М Е РН О Е П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О Е Д ВИ Ж Е Н И Е ............................................................................................................... 18 10.П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О Е Н Е РА ВН О М Е РН О Е И ЛИ П Е РЕ М Е Н Н О Е Д ВИ Ж Е Н И Е ...................................................................... 25 11. РА ВН О П Е РЕ М Е Н Н О Е П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О Е Д ВИ Ж Е Н И Е .................................................................................................... 25

1. П А РА М Е Т РЫ ВРА Щ А Т Е ЛЬ Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я ..................................................................................................................... 81 2. ВИ Д Ы ВРА Щ А Т Е ЛЬ Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я ................................................................................................................................. 82

Э Л Е М Е НТ Ы С ТА ТИ К И Т В Е РД О Г О Т Е Л А ............................................................................. 83 1. РА ВН О ВЕ С И Е Т Е ЛА (С И С Т Е М Ы Т Е Л) .................................................................................................................................. 83 2.РА ВН О Д Е Й С Т ВУЮ Щ А Я С И ЛА .............................................................................................................................................. 84 3. П Е РВО Е УС ЛО ВИ Е С Т А Т И Ч Е С К О ГО РА ВН О ВЕ С И Я И ЛИ УС ЛО ВИ Е РА ВН О ВЕ С И Я Н Е ВРА Щ А Ю Щ Е ГО С Я Т Е ЛА .... 85 4. РА З ЛО Ж Е Н И Е С И ЛЫ Н А С О С Т А ВЛЯ Ю Щ И Е ....................................................................................................................... 87

12. УРА ВН Е Н И Я И ГРА ФИ К И П А РА М Е Т РО В РА ВН О П Е РЕ М Е Н Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я ............................................................. 26

5. ВТ О РО Е УС ЛО ВИ Е С Т А Т И Ч Е С К О ГО РА ВН О ВЕ С И Я И ЛИ УС ЛО ВИ Е РА ВН О ВЕ С И Я Т Е ЛА , И М Е Ю Щ Е ГО Н Е П О Д ВИ Ж Н УЮ О С Ь ВРА Щ Е Н И Я .................................................................................................................. 88

13. П РИ М Е РЫ РА ВН О П Е РЕ М Е Н Н О ГО П РЯ М О ЛИ Н Е Й Н О ГО Д ВИ Ж Е Н И Я ........................................................................... 31

6. С ЛО Ж Е Н И Е П А РА ЛЛЕ ЛЬ Н Ы Х С И Л ...................................................................................................................................... 89

14. С ЛО Ж Е Н И Е Д ВИ Ж Е Н И Й ...................................................................................................................................................... 34

7. Ц Е Н Т Р Т Я Ж Е С Т И Т Е ЛА .......................................................................................................................................................... 93

Д И НА М И К А ................................................................................................................................ 36

8. ВИ Д Ы СТ А Т И Ч Е С К О ГО РА ВН О ВЕ С И Я Т Е ЛА ...................................................................................................................... 95

1. П Е РВЫ Й З А К О Н Н Ь Ю Т О Н А – З А К О Н И Н Е РЦ И И ............................................................................................................... 36

М Е Х А НИ ЧЕ С К А Я РА БО ТА И Э НЕ Р Г И Я ............................................................................... 97

2. ВЗ А И М О Д Е Й С Т ВИ Е Т Е Л. УС К О РЕ Н И Е Т Е Л П РИ И Х ВЗ А И М О Д Е Й С Т ВИ И . И Н Е РТ Н О С Т Ь ........................................... 38

1. М Е ХА Н И Ч Е С К А Я РА БО Т А ..................................................................................................................................................... 97

3. М А С СА Т Е ЛА . П ЛО Т Н О С Т Ь ................................................................................................................................................... 39

2. РА БО Т А С И ЛЫ Т Я Ж Е С Т И И С И ЛЫ УП РУГО С Т И ............................................................................................................... 98

4. С И ЛА ........................................................................................................................................................................................ 40

4. М О Щ Н О С Т Ь ........................................................................................................................................................................... 100

5. ВТ О РО Й З А К О Н Н Ь Ю Т О Н А – О С Н О ВН О Й З А К О Н Д И Н А М И К И ...................................................................................... 41

5. К О Э ФФИ Ц И Е Н Т П О ЛЕ З Н О ГО Д Е Й С Т ВИ Я ........................................................................................................................ 100

6. С И С Т Е М Ы Е Д И Н И Ц ............................................................................................................................................................... 42

6. М Е Х А Н И Ч Е С К А Я Э Н Е РГИ Я (W, E) ..................................................................................................................................... 101

7. Т РЕ Т И Й З А К О Н Н Ь Ю Т О Н А – З А КО Н Д Е Й С Т ВИ Я И П РО Т И ВО Д Е Й С Т ВИ Я ..................................................................... 44

7. П О Т Е Н Ц И А ЛЬ Н А Я Э Н Е РГИ Я (Wp, Ep) ............................................................................................................................... 102

8. И М П УЛЬ С Т Е ЛА (К О ЛИ Ч Е С Т ВО Д ВИ Ж Е Н И Я ). И М П УЛЬ С С И ЛЫ . И М П УЛЬ С Н А Я ФО РМ А ВТ О РО ГО З А КО Н А Н Ь Ю Т О Н А . ................................................................................................................................................. 45

8. К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Э Н Е РГИ Я (Wk, Ek) .................................................................................................................................. 103

9. О С И СТ Е М А Х Т Е Л .................................................................................................................................................................. 47 10. З А К О Н С О Х РА Н Е Н И Я И М П УЛЬ СА Д ЛЯ И З О ЛИ РО ВА Н Н О Й С И С Т Е М Ы Т Е Л ............................................................... 47

9. П О ЛН А Я М Е Х А Н И Ч Е С К А Я Э Н Е РГИ Я . З А К О Н С О Х РА Н Е Н И Я П О ЛН О Й М Е Х А Н И Ч Е С К О Й Э Н Е РГИ И .................... 104

Задачидлясам остоятельной работы . ...................................................................................... 107

11. М Е Т О Д И К А РЕ Ш Е Н И Я З А Д А Ч Н А З А К О Н С О Х РА Н Е Н И Я И М П УЛЬ СА .......................................................................... 49 12. С И ЛЫ П РИ РО Д Ы ................................................................................................................................................................... 50 13. С И ЛА ВС Е М И РН О ГО Т Я ГО Т Е Н И Я ...................................................................................................................................... 51 14. С И ЛА Т Я Ж Е С Т И .................................................................................................................................................................... 52 15. М А С СА И Н Е РТ Н А Я (mи) И М А С СА ГРА ВИ Т А Ц И О Н Н А Я (mг) ......................................................................................... 54 16. С И ЛА УП РУГО С Т И ............................................................................................................................................................... 55 17. С И ЛА Т РЕ Н И Я ....................................................................................................................................................................... 57 18. ВИ Д Ы Т РЕ Н И Я ....................................................................................................................................................................... 60 19. ВЕ С Т Е ЛА ............................................................................................................................................................................... 62 20. ВЕ С Т Е ЛА , Д ВИ Ж УЩ Е ГО С Я С УС К О РЕ Н И Е М

.................................................................................................................. 63

21. М Е Т О Д И К А РЕ Ш Е Н И Я З А Д А Ч Н А П РИ М Е Н Е Н И Е З А К О Н О В Н Ь Ю Т О Н А ..................................................................... 65

110

111

Э лек тронное обеспеч ение Д .А .Ч урк ина . Н / К ЛР № 020561 от3.06.92 С дано вна бор 14.04.99. П одп. впеч . 12.05.99. Бум а га писч а я. Т ира ж 250 э к з.

В оронежск ий госуда рственны й университет. 394063, В оронеж, Университетск а я пл., 1. О тпеч а та но на типогра фск ой техник е РЦ М А Д С В ГУ. 394068, Воронеж, ул.Х ользунова , 40а .

112