統計学の基礎―講座 情報をよむ統計学〈1〉 (講座情報をよむ統計学 1)

講座 情報 をよむ統 計字１

統計学の基礎 上 田 尚一 著

朝倉書店

講座 〈情 報 を よむ統計 学〉 刊 行の辞

  情 報 の 流 通 ル ー トが 多様 化 し,ア

情報 化 社会 への 対応

な りま し た.誰

な っ た … こ の こ と は歓 迎 して よい で し ょ う.た 情 報 か ら玉 を選 び,そ は,玉

ク セ ス しや す く

もが 簡 単 に 情 報 を利 用 で き る よ うに だ し,玉 石 混 交 状 態 の

の 意 味 を正 し く よみ と る 能 力 が 必 要 で す.現

と石 を 識 別 せ ず に 誤 用 し て い る,あ

る い は,意

実に

図 を カム フ ラー

ジ ュ し た 情 報 に 誘 導 さ れ る結 果 に な っ て い る … そ う い うお そ れ が あ る よ うで す.   特 に,数

字 で 表 わ され た 情 報 に つ い て は,数

値 で 表 現 され て い る と い

うだ け で,正 確 な情 報 だ と思 い 込 ん で し ま う人 が み られ る よ うで す ね.   ど う い う観 点 で,ど

情 報 の よみか き 能 力が 必要

え ず に,結

ん な方 法 で 計 測 した の か を考

果 と し て 数 字 に な っ た 部 分 だ け をみ て い

る と,「 簡 単 に ア ク セ ス で き る 」こ とか ら 「簡 単 に 使 え る 」 と勘 違 い し て,イ

ー ジ ィ に考 え て し ま う … こ う い う危 険 な側 面 が あ る こ と に 注 意

し ま し ょ う.   数 値 を求 め る 手 続 き を考 え る と,「 た ま た ま そ う な っ た の だ 」 と い う 以 上 に ふ み こ ん だ 言 い 方 は で き な い こ と が あ り ま す.ま 正 し い と して も,そ

た,そ

の数字 が

の 数 字 が 「一 般 化 で き る傾 向 性 と解 釈 で き る 場 合 」

と,「 調 査 した そ の ケ ー ス に 関 す る こ と だ と い う以 上 に は 一 般 化 で き な い場 合 」 と を,識 別 し な け れ ば な ら な い の で す .

その基礎 をなす 統計 学

  こ う い う 「情 報 の よ み か き能 力 」 を もつ こ とが 必 要 で す.ま

た,情

報 の う ち 数 値 部 分 を 扱 う に は,

「統 計 的 な 見 方 」 と 「そ れ に 立 脚 した 統 計 手 法 」 を学 ぶ こ とが 必 要 で す.   こ の 講 座 は,こ

う い う観 点 で 統 計 学 を学 ん で い た だ く こ と を期 待 して

ま とめ た もの で す.   当 面 す る問 題 分 野 に よ っ て,扱 うデ ー タ も,必 要 と さ れ る 手 法 も ち が い ます か ら,そ の こ と を考 慮 に 入 れ る … しか し,で き るだ け 広 く,体 系づ け て 説 明 す る … こ の 相 反 す る条 件 を み た す た め に,い 冊 に わ け て い ま す.

くつ か の 分

ま え が き

この テ キ ス ト の主題

  統 計 学 で は,た

くさ ん の観 察 対 象 に つ い て 観 察 し た結 果 の

数 字 を １セ ッ トの 情 報 と して 扱 い ま す か ら,普 通 の 数 字 の 扱

い と ちが い ま す.   観 察 対 象 を い くつ か の 区 分 に わ け て各 区 分 の 情 報 を 比較 し ます.そ 区 分 の 情 報 を １つ の 平 均 値 に 表 わ す と比較 しや す くな ります が,必

れ ぞれ の

ず しもそれ

で十 分 とは い え ませ ん.観 察 単位 ひ とつ ひ とつ が そ れ ぞ れ個 性 を も って い ま す か ら,平 均 値 だ け に 注 目す るの で は な く,傾 向 性 で は 表 わせ な い個 性 に も 目 を む け る こ とが 必 要 です.し

た が って,「 平 均 値 」の 比 較 だ け で な く,「 ひ ろが り

幅 」を表 わす 標 準 偏 差 を比 較 した り,「 デ ー タ の分 布 」を比 較 す る こ とが 必 要 と な る の で す.   こ の テ キ ス トで は,こ このテキス ト の構成

れ らの 比 較 に 関 す る基 礎 的 な 手 法 を説 明 し ます.

 第 １章 で,１ セ ッ トの 情 報 の 特 徴 を １つ の 指 標 で 代 表 す る ため に平 均 値 を,ま た,そ の 代 表値 か らの へ だ た りを 測 る た

め に標 準 偏 差 を使 うこ と を説 明 した後,第 表 現 方 法 と して1970年

２章,第

３章 で,こ

れ に か わ る情 報

代 に新 し く提 唱 され た ５数 要 約 や ボ ッ ク ス プ ロ ッ トが

有 効 で あ る こ と を解 説 して い ます.   「平 均 値 を比 較 す る」場 合,観

察 単 位 を適 当 に 区 分 け す る と,そ れ ぞ れ の 区

分 の 情 報 を平 均 値 で 代 表 させ て よ い状 態 に な り ます.第

４章 で は,「 区 分 け し

て比 較 す る」手 法 に 関 して,分 散 や 決 定 係 数 を使 っ て そ の有 効 性 を評 価 で き る こ と,し た が っ て,区 分 間 の 差 と して 「情 報 の 中 か ら傾 向 性 を見 出 す 」ため の 分 析 手 法 と して 使 え る こ と を 説 明 し ま す.ま

た,あ

る 前 提 をみ た し て い る な

ら,見 出 さ れ た 「傾 向 性 」が 誤 差 の 範 囲 を こ え て い る こ とを検 定 す る手 法 が 使 え るこ と を説 明 します(第 ５章).   こ れ らの 方 法 を適 用 す る場 合,た

とえ ば 「比 較 す る 区分 の 構 成 の ち が い に よ

る影 響 」が 比 較 を乱 して い る場 合 が あ りま す.第

６章 で は,そ

うい う影 響 を補

正 し,比 較 で き る平 均 値 を誘 導 す る方 法 を説 明 します.   第 ７章 で は,「 各 セ ッ トの 情 報 を表 わす 分 布 形 」そ の もの を比 較 す る方 法 を 解 説 し ます.形

の 比 較 を考 え る こ とか ら くる 扱 い に く さが あ り,一 般 に は 取 り

上 げ られ て い な い 問 題 点 が あ り ます が,情 報 の 比 較 とい う意 味 で は適 用 範 囲 の 広 い手 法 で す. この テ キ ス ト の説 明方法 す が,そ

  この テ キ ス トで は,実 際 の 問 題 解 決 に 直 結 す る よ うに,適 当 な実 例 を取 り上 げ て 説 明 して い ます.数 理 を解 説 す る の で

の 数 理 が なぜ 必 要 と な る の か,そ

う し て,数 理 で ど こ ま で対 応 で き,

ど こに 限界 が あ るの か … そ こ を は っ き りさせ る ため に 選 ん だ 実例 です.   実 際 の 問 題 を扱 い ます か ら,コ ン ピュー タ を使 うこ と を前 提 と して い ます. 学 習 を助 け る ソフ ト

  この シ リー ズ で は,そ の よ うな 学 習 を助 け る た め に,第 巻 『統 計 ソ フ ト UEDA

９

の 使 い方 』に デ ー タ解 析 学 習 用 と して

筆 者 が 開発 した統 計 ソ フ トUEDA(Windows版CD-ROM)を

添 付 し,そ の解

説 を用 意 して あ り ます.   分 析 を実 行 す る た め の プ ロ グ ラ ム ば か りで な く,手 法 の 意 味 や 使 い 方 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す る プ ロ グ ラ ム や,適

当 な 実 例 用 の デー タ を お さ め た デ ー タ

ベ ー ス も含 まれ て い ます .  こ れ ら を 使 っ て,

 テ キ ス ト本 文 を よむ → 説 明 用 プ ロ グ ラム を使 っ て理 解 を確 認 す る → 分 析 用 プ ロ グ ラム を使 っ て テ キ ス トの 問題 を解 い て み る → 手 法 を活 用 す る力 をつ け る →…

と い う学 び 方 を サ ポ ー トす る 「学 習 シ ス テ ム 」に な っ て い る の で す.   こ の テ キ ス ト と一 体 を な す もの と し て,利

用 して い た だ くこ とを期 待 し て い

ま す. 2002年

８月

上 田 尚 一

1 22 33 ４ 477

次

目

.  統 計 的 な 見 方 

1

.1  統 計 デ ー タ と統 計 的 見 方

.2 平均 値 の意義 と限界   .3  傾 向 性 と個 別 性

 1

4

  71

.4  ひ ろ が り幅 の 指 標 に よ る表 現   問

題１  

11

16

. 情 報 の統 計 的 表 現 （１） 

19

.1  標 準 偏 差 の 定 義 と 計 算

  192

.2  中 位 値 ・四 分 位 偏 差 値 に よ る 表 現 .3  分 布 に よ る表 現   .4  分 布 形 の モ デ ル   .5  平 均 値 の 分 布   問

題２

  24

272 35 42

 ４5

. 情 報 の 統計 的 表現(２) 

49

.1  デ ー タ の バ ッ ジ と して の 特 徴   3.2  情 報 の 表 現 力

49

  51

3.3  ５数 要 約,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ ト 

3.4  ５数 要 約,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トの 代 案  

.4  分

析

3.6  補 足:ボ

例

題

３ 

583

  63

ッ ク ス プ ロ ッ トに お け る フ ェ ン ス の 表 現

3.7  補 足:中 位 値,四 問

54

分位 値 の計算  

74

.  デ ー タ の 対比  .1  区 分 け す る 

774

.2  種 々 の 分 散 とそ の 計 算   .3  分 散 分 析 の 考 え 方  

84

80

71

 69

7654

4.4  分 析 結 果 の 表 示

  87

4.4  説 明 基 準 の 精 密 化   .6  分

析

例

90

  924

.7  主 効 果 と交 互 作 用 効 果   問

題

96

４   101

5.  有 意 性 の 検 定 

105

.1  有 意 性 の 検 定  

1055

.2  Ｆ 比 の 分 母 の解 釈 に 関 す る 注 意   .3  帰 謬 法 と仮 説 検 定 の 論 理   .4  ア ウ トラ-イヤ ー 検 出 

1135

1175

.5  平 均 値 に 関 す る 仮 説検 定  

1205

.6  平 均 値 の 差 に 関 す る仮 説 検 定   .7  実 験 計 画  

題

1245

1305

.8  実 験 計 画 に お け る ３条 件   問

1095

139

５   143

６. 混 同 要 因 へ の 対 処 

147

.1  混 同 要 因 へ の 対 処  

1476

.2  直 接 法 に よ る 標 準 化

  150

.3  間接 法 に よ る 標 準 化  

1536

.4  指 数 に お け る標 準 化  

156

問

題

６ 

159

7.  分 布 形 の 比 較 

162

.0  分 布 形 の 比 較

  1627

.1  ロー レ ン ツ カ ー ブ とジ ニ 係 数

  163

.2  分 布 形 表 現 手 段 と し て の ロ ー レ ン ツ カ ー ブ の 位 置 づ け .3  累 積 分 布 図 の 表 現 法   .4  適 合 度 の 検 定  

1797

.5  ロ ー レ ンツ カ ー ブ に お け る観 察 単 位 の サ イ ズ 差 の 扱 い .6  基 礎 デ ー タの 表 現 に 関 す る 問 題   問

付  

題

７ 

190

録 Ａ.  図 ・表 ・例 題 の 資 料 源  

  1677

172

195

187

  183

Ｂ. 付 表:図

・表 ・問 題 の 基礎 デ ー タ

Ｃ. 統 計 ソ フ トUEDA 

索

引

  198

213

 215

◎ スポ ッ ト 偏 差,残 差,誤 差 一 様 分 布   165

  142

統 計 学 で扱 う数 は,具

体 的 な 意 味 を もつ 数 的 情 報

  189

  《シ リー ズ 構 成 》 １. 統 計 学 の 基 礎 

どん な場 面で も必要 な基本概 念.

２. 統 計 学の論 理 

種 々 の 手 法 を広 く取 り上 げ る.

３. 統 計 学 の 数 理 

よ く使 わ れ る手 法 を くわ し く説 明.

４. 統 計 グ ラ フ 

情 報 を 表 現 し,説

５. 統 計 の 活 用 ・誤 用 

気 づ か な い で 誤 用 して い ませ ん か.

６. 質 的 デ ー タ の 解 析 

意識調査 な どの数 字 を扱 うため に.

７.  ク ラ ス タ ー 分 析 

多 次 元 デ ー タ解 析 と よ ば れ る

８. 主 成 分 分 析  ９. 統 計 ソ フ ト  UEDA 

明 す る た め に.

手 法 の う ち よ く使 わ れ る もの. の 使 い 方 

1∼8に 共 通 で す.

１ 統 計 的 な 見 方

  た く さ ん の 数 字 を １つ の セ ッ トと し て 扱 う …,そ な 見 方 」が 必 要 と さ れ る こ と を 指 摘 し,い す(1．1).つ

づ い て,「１ セ ッ トの 数 字 の 代 表 値 」 と し て 平 均 値 を 使 う場

合 に 注 意 す べ き 前 提 を 説 明 し(1.2),実 は,傾

の こ と か ら 「統 計 的

くつ か の 基 本 用 語 を 説 明 し ま

際の デー タに適用す る ときに

向 性 を 計 測 す る 指 標 と し て 使 え る が,誤

し ま す(1.3).ま

た,平

用 もあ り うる こ とを 注意

均 値 で は 計 測 で き な い 「個 別 性 」 を み る た め に

標 準 偏 差 を 併 用 す べ き こ と を 指 摘 し ま す （1.4）.

1.1  統計 デー タ と統 計 的見 方  ①

例 １   あ る人 が 「私 の 給 料 は 月23万

円 だ.他

の 人 と比 べ て,少

な い 」 と言 っ

た と し ま し ょ う.   この発 言に おけ る   「私 の給 料 」は,そ

の 人 に 関 す る固 有 の 情 報,す

な わ ち,「 一 定 の 数 値 」

で あ る の に 対 して  「 他 の 人 と比 べ る 」た め に ア タマ に え が い て い る もの は,「 統 計 デ ー タ」 で す.   こ こ で 「統 計 デ ー タ 」と い う コ トバ を使 っ た の は,そ

の デ ー タ の 特 性 に 関 し て,い

くつ か の 区別 を 要 す る点 が あ る か らで す.   ま ず,特 定 の(１ つ の)数 値 で は あ りませ ん.他 く さ ん の 数 値 で 記 録 され る こ とに な り ます.そ 後 で 考 え る に し て も,は

の 大 勢 の 人 々 の 情 報 で す.当

然,た

れ ら を １つ の 数 値 で 代 表 させ る こ と を

じめ か ら特 定 の 数 値 を ア タ マ に え が い て い る わ け で は あ り ま

せ ん.   た だ し,「 私 と 比 べ る」 と い う意 図 を もっ て い る わ け で す か ら,そ れ た 「１セ ッ トの デ ー タ 」で す.そ け が な さ れ て い る もの で す.た

う して,そ

とえ ば,同

の観 点 で求 め ら

れ ら は,「 比 べ る」た め に 適 し た 定 義 づ

期 入 社 で 同 職 種 な ど と,「 あ る範 囲 を 想 定 」

し,そ の 範 囲 の何 人 か の デ ー タ を 求 め る の で す .   こ れ ら １セ ッ トの 情 報 を 使 っ て   「条 件 が 同 じだ か ら差 が な い は ず な の に,差 が あ る 」 と い う論 理 の 運 び を と りま す .   し た が っ て,   「条 件 が 同 じ だ と して も,個 人 差 が あ る」 こ と を 問題 に し よ う とす るの で す か ら,他 の 特 定 の 人 と 比 べ る 域 に と ど ま らず,   「同 じ条 件 を もつ 他 の 人 々 の 情 報 」 を求 め て,そ

れ と比 べ る こ と を考 え るべ き で す.こ

の だ」 と い う こ とに な るの で す が,そ み なせ る こ とが,必

う考 え て,「 だ か ら 平 均 値 を使 う

の 前 提 と して,「 同 一 条 件 に あ る 人 々 の 値 だ 」 と

要 で す.

  条 件 が 著 し くち が うな ら,「 条 件 が ち が う か ら ね 」で 話 は 終 わ りで す.し

た が っ て,

全 く同 じ と ま で は い わ な い(い え な い)に し て も,「 同 じ とみ なせ る 」こ と が 必 要 で す . そ う し て,   「条 件 が 同 じ で もあ り う る差 」を 測 り,   「そ の 範 囲 を こ え て い る か 否 か 」を 判 断 す る 方 法 を 採 用 す る … そ れ が,統   ②

基 本 概 念 と用 語

ドが 登 場 して い ま す.そ

  私,他

ず,こ

の 人,同

じ条 件,平

均 値 とい うい くつ か の キ イ ワ ー

して,２ つ の 数 字 の 比 較 とい う域 を こ え る問 題 に な っ て い る

こ と に 注 意 して くだ さ い.し が,ま

計 手 法 の 論 理 で す.

た が っ て,統

計 的 な 見 方 や 数 理 を 学 ぶ こ とが 必 要 で す

の 例 で 使 わ れ て い る 「統 計 的 な 思 考 」の 基 本 概 念 と用 語 と を 説 明 し て お

き ま し ょ う.   観 察 単 位―

情 報 を 対 比 す る 単 位,た

  集

比 較 す る た め に 想 定 した 条 件 をみ た す 「 観 察 単 位 の あ つ ま り」.

団―

  等 質 化―

とえ ば 人,事

業所,地

集 団 に 属 す る 各 メ ン バ ー の 値 に つ い て,ひ

点 な ど.

とつ ひ と つ ち が う が,

その差 が 「 想 定 し た条 件 下 で も起 こ り う る 差 とみ な せ る」よ うに す る こ と.た

と え ば,そ

う み なせ るデ ー タ を 求 め ま す.

  統 計 デ ー タ― 各 観 察 単 位 に つ い て 求 め た観 察 値.た で,い  ③

統 計 的比 較

だ し,こ れ に つ い て は,⑤

くつ か の 場 合 に わ け て 細 か く定 義 しな お し ま す.

  集 団 の 情 報 を 扱 う こ とに と も な っ て,「 差 の 有 無 」に 関 す る発

言 が 特 別 の 論 理 構 成 を と る こ とに な り ます.   条 件 の ち が い を もつ 情 報(い わ ば 個 人 差 を もつ デ ー タ)と 比 べ る の で す か ら,比 較 の 結 果 に つ い て は 「個 人 差 を考 慮 に 入 れ た 形 」を採 用 す べ き で す .た

とえば

 「差 は な い 」 とい う発 言 は,  「こ の 程 度 の 差 は よ くあ る こ と だ,と とい う 言 い 方 に,  「差 が あ る 」と い う発 言 は,

りた て て い う ほ どの 差 で は な い 」

  「こ ん な に 大 き い差 は め っ た に 起 こ ら な い 」 とい う言 い 方 に か え るべ き 場 合 が あ る で し ょ う.   こ の よ うに,   「大 き い,小 こ と に な り ます.ま

さい 」 と い う言 い 方 に 可 能 性 の 程 度 を 表 わ す 形 容 詞 を つ け る た,

  同 じ条 件 下 で も起 こ り う る個 人 差 を こ え る 差 だ け が 検 出 で き る こ とに な りま す.   数 学 的 な 意 味 で 「大 き い,小

さ い 」 と い え る の は 特 殊 な 場 合 で す,し

た が っ て,数

値 の 大 小 比 較 に お い て,   「可 能 性 の 大 小 を考 慮 に 入 れ た 比 較 」の た め の 論 理 と数 理 が 必 要 と な る の で す.   ④

例 ２   こ こ で,①

の 例 とい くぶ ん ち が う例 を取 り上 げ ま し ょ う.

  あ る 人 が 「わ が 社 は 他 社 と 比 べ て 賃 金 水 準 が 低 い 」と 言 っ た と し ま し ょ う.①

で取

り上 げ た発 言 例 と ち が うの は,「 私 」の と こ ろ が 「わ が 社 」 と な って い る と こ ろ で す.   こ の 場 合,比

較 し よ う とす る 「わ が 社 の 情 報 」や 「 他 社 の 情 報 」は,個

人 ご とに 決 ま

る 「 個 人 を 単 位 と して み た 情 報 」を 「企 業 を単 位 とす る形 に ま とめ た情 報 」で す.そ して,個

う

人 の レベ ル で の 比 較 で は な く,「 企 業 に か か わ る要 因(た と え ば 業 績)に よ っ

て 生 じる 差 」 を 問 題 に して い る の で し ょ う.そ

う だ と し て も,賃

「 個 人 を 単 位 」 とす る 要 因 が 共 存 し て い ま す か ら,個

金 の 高 低 に つ い て,

人 ベ ー ス で の 要 因 の 影 響 は,な

ん ら か の 方 法 で 消 し去 っ て,「 企 業 を 単 位 とす る差 と し て 説 明 さ れ る部 分 」を 把 握 す る こ と を考 え ま す.   た と えば   年 齢 ○ ○ ∼○ ○ 歳 と特 定 して そ の 年 齢 で の 平 均 賃 金 を比 べ る とか,   年 齢 構 成 の ち が い に よ る 影 響 を補 正 した 平 均 賃 金 を 計 算 し て 比 べ る な どの 方 法 を と る こ とが 必 要 です.   ① の 例 で も,こ い ま す が,使

の 例 と 同 様 に,個

人 レベ ル の 情 報 と企 業 レベ ル の 情 報 が 関 与 し て

い 方 が ち が う こ と に 注 意 し ま し ょ う.

  ① で は,「 個 人 レベ ル の 値 に み ら れ る 差 」 を考 察 の 対 象 と して い ま す.企 の 情 報 は,個

業 レベ ル

人 レベ ル の 比 較 に 影 響 す る要 因 と し て,「 個 人 レベ ル の 差 を 説 明 す る た

め 」に 使 っ て い ます.   こ れ に 対 し,④

では 「 企 業 レベ ル の 値 に み られ る差 」を 考 察 の 対 象 と し て い ま す.

個 人 レベ ル の 情 報 が 関 与 し て く る に し て も,比 較 の 目的 外 で す.ま 査 した 情 報 を集 計 して,集

た,個

人 ご とに調

団 レベ ル の 情 報 を 求 め て し ま え ば 不 要 な 情 報 と さ れ る の で

す.   した が っ て,情 一 致 し ませ ん .

報 を 求 め る 単 位(調 査 単 位)と 情 報 を 比 較 す る 単位(観 察 単 位)と は

 ⑤

よ って,②

に ま とめ た 概 念 規 定 を,調 査 単 位 と観 察 単 位 と を 区 別 す る こ と に

関 連 し て,変 更 あ る い は 追 加 して お き ま し ょ う.   観 察 単 位―

情 報 を 対 比 す る基 本 単 位.た

  調査 単 位―

情 報 を 求 め る た め に 調 査 す る単 位.必

と えば,人,事

業 所,地

点 な ど.

ず し も観 察 単 位 と一 致 し な

い.

  観 察 値―

各 調 査 単 位 に つ い て 求 め た 観 察 値.

  統 計 デ ー タ― 各 観 察 単 位 ご とに 求 め られ た 観 察 値,あ

る い は,各

調 査 単位 ご と

に 求 め られ た 観 察 値 か ら誘 導 さ れ た 集 計 値 .   調 査 単 位 ひ とつ ひ と つ の 値 を 「 個 別 デ ー タ」 と よ び,そ わ ち,統

れ か ら誘 導 さ れ た 値,す

な

計 デ ー タ を 「集 計 デ ー タ 」 と よぶ こ と もあ り ます .

1.2  平 均 値 の 意 義 と限 界   ①1.1節

に あ げ た ２つ の 例 の ど ち らの 場 合 に つ い て も,多 数 の 観 察 単 位 の 観 察 値

を 扱 うこ とに な り ます.た

だ し,多 数 の観 察 値 と い っ て も,あ

る 集 団 を想 定 して,そ

の範 囲 に属 す る観 察 単 位 に つ い て 求 め た １セ ッ トの 値(ひ と つ ひ とつ の 値 が 異 な る に し て も,あ

る共 通 性 を もつ １セ ッ トの 値)だ とい え ま す.

  した が っ て,   等 質 性 が 十 分 高 い と判 定 さ れ れ ば,そ を使 う こ と を考 え ら れ ま す.す

れ ら を代 表 す る １つ の 値

べ て の 観 察 値 が 代 表 値 に 等 し い と い う こ と で は あ りま

せ ん が,   「代 表 値 か らの 差 を考 慮 外 に お い て よ い 」 とい うこ と で す.  ②

統 計 的 な 見 方 で 「平 均 値 」 を使 う こ とが 多 い の は,そ

す が,そ 合,あ

の 前 提 を確 認 し ま し ょ う.そ

る い は,そ

う い う理 由 が あ る た め で

う して よ い 場 合 ば か りで な く,そ

うで きな い 場

う し て は い け な い場 合 が あ り ます.

  い い か え る と,平 均 値 す な わ ち 「１セ ッ トの デ ー タ を代 表 す る １つ の 値 」だ け に 注 目 して よ い 場 合 と,そ れ か らの 差,す

なわ ち 「 個 性 を表 わす値 」を無視 で きな い場合

と を み き わ め る こ と が 必 要 で す. 「集 団 の 情 報 を １つ の 平 均 値 で 代 表 す る こ と」は 「 観 察 単 位 の 個 別 性 を無 視 す る こ と 」を 意 味 す る. → そ う して よ い 場 合 で あ る こ と を確 認 す る ◇ 注   説 明の 数理 を 明確 に す るため に,以 下 で は,数 学 的 な記 号 を使 い ます.   あ る変数 Ｘ の値 をい くつ か の観 察 単位 に つ い て求 め た と き,変 数 を表 わ す 記 号 Ｘ と観 察 単 位番 号 を表 わす 記 号 Ｉをセ ッ トに してXIと   また,こ れ らの合 計 を表 わす には,X1+X2+X3+…

表 わ します. とか くか わ りに,記 号 Σ を用 い て

Σ〓1XIと 表 わ し ます.こ の 表 現 に お い て,足 と略 記 す る こ ともあ ります.足

しあげ る範 囲 を示 す 部 分 を省 略 して ΣXI

しあ げ る範 囲 を限 定 す る ときに は,そ の範 囲 を 明示 す るこ

とが 必要 で す が,「 た い て いの場 合 は全 部 だか ら,省 略 し よ う」とい う趣 旨で す.   先へ い くと,XIJの よ うに ２つ以 上 の 添 字 を使 う場 合 が あ ります が,そ の場 合 に は, XI =ΣXIJの よ うに略 記 で き ます .左 辺 右 辺 を比 べ て,足 しあげ るの はＪ につ い て で あ る と 判 断 で き るか ら,省 略 して よい の です.  ③

説 明 を具 体 的 に 進 め る た め に,統 計 手 法 を適 用 しよ う とす る 問 題 分 野 を い くつ

か に わ け て 考 え ま し ょ う.  ④

最 も説 明 しや す い の は,「 実 験 デ ー タ」 を扱 う場 合 で す.

  計 測 し よ う とす る値 を μ と表 わ し ま す.精 だ が,若

密 に観 察 す れば その 値 が得 られ るは ず

干 の 観 察 誤 差 が 生 じ る … そ う い う場 合 は,観

を Ｎ とす る)Ｎ 個 の観 察 値XJを

求 め,そ

  XJ=μ+eJひ

とつ ひ と つ の 観 察 値

  X=μ+e平

均値

に つ い て,ｅ

の 分 散 は,eJの

察 を く りか え して(観 察 回 数

れ ら の 平 均 値 Ｘ を使 え ば

分 散 の1/√Nの

オ ー ダ ー で 小 さ くな る こ と が 証 明 さ れ

て い ま す か ら,そ れ が 許 容 限 度 以 下 に な る よ うに Ｎ を 定 め れ ば,μ ≒Xと が で き る … こ れ が,平   実 際 の 実 験 で は,計

み ること

均 値 を 使 う こ との 根 拠 に な っ て い る の です. 測 し よ う と す る値 が １つ で は な く,種 々 の 条 件 に 対 応 す る 値

μJで す か ら,上 の 数 式 表 現 に そ れ ぞ れ の 条 件 に 対 応 す る添 字Ｊ を つ け て   XJI=μJ+eJIひ

とつ ひ とつ の 観 察 値

  XJ=μJ+eJそ

れ らの 平 均 値

とか く こ とに な り ます,以

下 で はeJIを 偏 差 と よび ま し ょ う.

  平 均 値 は,各 条 件 を もつ 観 察 値 の 範 囲 ご とに 求 め ます か ら,XJで い に よ る 差 は 消 え ませ ん か ら,添 字Ｊ が 必 要 で す.同 応 す る 添 字 Ｉの 方 は不 要 と な り ま す.よ

す.条

件 の ちが

一 条 件 下 で の く りか え し に 対

っ て,

  μJ≒XJ だ とみ て よ い こ とに な り ます.   こ の よ う な 論 理 を適 用 す る に は

条件 の ちが い を可 能 な限 り考 慮 に入れ る 

局所管理

同 一 条 件 下 で の 観 察 を く りか え す 

反復

の ２つ の 原 理 を 取 り入 れ て,観   局 所 管 理 と反 復 は,あ 条 件 と よ ば れ て い ま す.実

察 値 の 求 め 方 を計 画 す る こ とが 必 要 な の で す.

と で 説 明 す る ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン と あ わ せ て,Fisherの 験 計 画 の 分 野 で 強 調 さ れ て い ます が,そ

統 計 手 法 の 適 用 に あ た っ て 考 え るべ き 基 本 概 念 で す.   こ れ ら の 条 件 をみ た し て い る な ら  観 察 値=真

値+誤

差

３

の 分 野 に 限 らず,

だ とい う解 釈 に も とづ い て,観 察 値 の 平 均 値=真

値 とみ な し て,平

均 値 を使 うことに

な る の で す.  ⑤

種 々 の 要 因 が 関 与 して い る,そ

う して,観

察 値 は そ れ ら の影 響 を受 け て い ます

から   XJI=μJ+eJI 

ひ とつ ひ とつ の 観 察 値

と表 わ す こ と が で き る に して も   多 種 多 様 な 要 因 が 相 互 に 関 連 し あ う形 で 関 与 し て お り,   そ れ ら を特 定 し た形 で の観 察 値 が 得 に くい こ と か ら,実 験 デ ー タ の 場 合 の よ う に局 所 管 理 や く りか え しの 原 理 が 働 く とは 限 りませ ん か ら,「 平 均 値 を使 う こ との 根 拠 づ け 」は 得 られ ませ ん.   条 件 の ち が い に 対 応 す る添 字Ｊ と個 々 の 観 察 単 位 に 対 応 す る 添 字 Ｉが 区 別 さ れ な い の だ と考 え れ ば よ い で し ょ う.こ の た め に,平 均 を 計 算 す る と,条 件 の 相 違 を 度 外 視 し て 平 均 す る こ とに な りま す.い   Ｘ=μ

いか え る と,こ の 場 合 の 平 均 値 は

  条 件 の 異 な る観 察 値 の 平 均 値

に な り,区 分Ｊ に よ る ち が い が 消 さ れ た もの に な っ て し ま い ま す.   こ の こ とか ら,「 １セ ッ トの 観 察 値 に つ い て み ら れ る共 通 な 側 面 」 を測 っ た もの と解 釈 で き ま す が,「 測 られ た 共 通 な 側 面 を ど う説 明 す る か 」 と い う問 題 が 残 り ま す.ま た,そ ん.し

れ で 計 測 され な い 「偏 差 の 部 分 を考 慮 外 に お く」 こ と の 根 拠 づ け は 得 ら れ ませ たが っ て   観 察 値=傾

向 性 の 計 測 値+個

別性 の計 測値

とみ なす こ とに な り ます.   な ん らか の 方 法 で 「 傾 向 性 と個 別 性 と を識 別 で き る な ら ば 」 と い う条 件 を つ け た上 で,傾

向 性 を 測 る た め に 平 均 値 を使 う効 用 は 認 め ら れ ま す.

 条 件が つ いて い ますか ら   平 均 値 だ け を使 わ ず,個

別 性 を測 る偏 差 に も注 意 を 向 け よ

とい うこ とです．  ⑥

社 会 科 学 の分 野 で は 「同 一 条 件 に そ ろ え て 観 察 しに く い 」こ と か ら く る注 意 点

を ⑤ で 強 調 し ま した が,「 実 験 を計 画 す る 場 面 で採 用 さ れ る 考 え 方 を 適 用 す る こ と」 は で き ま す.   た と え ば,人

々 の 意 識 は １年 や ２年 で 変 化 す る も の で は な い,10年

をお い て は じめ て検 出 で き る も の だ … そ う判 断 で き る な ら ば,あ

ぐら いの 間隔

い つ づ く ２年 の 観

察 結 果 を 「同 じ条 件 下 で の く りか え し観 察 値 」 とみ なす こ とが で き ます.   し た が って,1980年,1981年,1990年,1991年

の デ ー タ を 分 析 す れ ば,10年

間

の ち が い が,「 調 査 の 仕 方 な ど か ら起 こ る 非 本 質 的 な 差 」の 域 を こ え て い る か 否 か を 判 定 す る こ と が で き ます ．   要 は,小 に よ っ て,統

さ い 影 響 しか もた ら さ な い と判 断 で き る 区 分 を 「同 じ条 件 と み な す 」こ と 計 的 比 較 の 論 理 を適 用 で き る よ う に す る … こ う い う意 図 で 「分 析 計 画

を た て る 」の で す.   条 件 を 制 御 しに く い こ とか ら く る 問 題 は ほ か に も あ りま す が,こ

こ で は,条

件のち

が い に 注 意 す る こ との 必 要 性 と有 効 性 を指 摘 す る こ とで 終 え ま し ょ う.  ⑦

以 上 を ま とめ て,平

  ま ず 第 一 は,偏

均 値 で み て よ い場 合 は …

差 を 「 誤 差 」 と み て よ い 場 合 で す.

  誤 差 と い う コ トバ は,偏

差 が 「と りた て て論 ず る必 要 の な い 事 情 に よ っ て 起 こ っ た

もの だ と確 認 で き る」 と と も に,「 そ れ が 小 さ くて,比

較 に 影 響 を も た ら さ な い 」場 合

を 指 す の だ と了 解 し ま し ょ う.自 然 科 学 の 実 験 デ ー タ で は た い て い そ う な っ て い る で し ょ う が,社 会 科 学 の 領 域 で は,そ   第 二 は,偏 も,小

うみ なせ る場 合 ば か りで は あ り ませ ん .

差 が 小 さ くて 無 視 で き る場 合 で す,第

一 の よ う に き び し く考 え な く て

さ い か ら よ し と す る(あ ま り き び し く考 え る と使 え る デ ー タ が な い の で)と い

う こ と で す.条 の は,こ

件 を制 御 し て観 察 す る こ との 難 しい 社 会 科 学 の 分 野 で 平 均 値 を使 え る

の 場 合 で す.

「集 団間 の差 と して説 明 され るべ き差」が 見過 ごされ る可能性 が あ る 平均値 を使 う場 合 には 注意す る こ と

1.3  傾 向 性 と 個 別 性   ① 前 節 で は,平 均 値 を使 っ て デ ー タ の傾 向 を 見 出 す こ と が で き る が,「 傾 向 か ら は ず れ た 個 別 性 を無 視 す べ き で は な い」 こ と を強 調 し て お き ま し た .そ の 指 摘 の 重 要 さ を理 解 して も ら う た め に,こ

こ で は,い

味 で は 前 節 の つ づ き で す が,こ

の 節 の 例 示 を追 う こ とに よ っ て,平

くつ か の例 を あ げ て お き ま し ょ う.そ

の意

均値 を比較 す る上

で の 注 意 点 を具 体 的 に 把 握 し ま し ょ う.   ② 観 察 単 位 が た と え ば 地 域 区 分 の 場 合,そ れ ぞれ あ る大 き さ を も ち,そ の 大 き さ の ち が い が 異 な る場 合 が あ り ます .そ う い う観 察 単 位 に つ い て 求 め られ た 観 察 値 を 比 較 す る と き,大   特 に,地

き さ の 相 違 を ど う扱 うか と い う問 題 が あ りま す.

域 デ ー タ の 場 合,情

報 を 求 め る た め の 区 切 り(調 査 単 位)は

自由 に決 め る

こ とが で き ます か ら,分 析 す る と き に,「 そ の 区 切 り どお り で よ い か ど うか 」を 考 え る こ とが 必 要 と な るの で す.   た と え ば,人

口 密 度 を 比 べ る た め に は,「 面 積 あ た りの 計 数 」の 形 の 指 標 を 使 え ば

よ い … それ で よ さ そ う です が,そ   次 の 図1.3.1(a)を

う簡 単 に は い え ませ ん.

み て く だ さ い.こ

れ で 人 口密 度 を比 べ る こ と が で き る で し ょ う

か.

  人 口密 度 の 計 算 や グ ラ フ の 書 き方 の 問 題 で は な く.デ ー タ の 取 り上 げ 方 の 問 題 で す.

図1.3.1(a) 

人 口 密 度 の 比 較(1)

図1.3.1(b) 

各 市 町 村 の 人 口密 度 を計 算 して,５ 段 階 に

人 口密 度 の 比 較(2)

図 のマ ー クひ とつ ひ とつ が 「2km×2kmの 地域区分」

区分 して 濃 淡 模 様 で図 示 し た もの です.

に 対 応 し て い ます.こ

の よ う な小 地 域 区

分(地 域 メ ッ シ ュ と よ び ま す)別 に 種 々 の 統 計 デ ー タが 求 め られ て い ます.

 ③

大 き い 静 岡 市 に 注 目 し ま し ょ う.人

口密 度 の 高 い 中 心 部 と人 口 密 度 の 低 い 山 間

部 とが 「１つ の 区 分 」に く く られ て い ます.そ

の 情 報 を １つ の 平 均 値 で代 表 させ る と,

中 心 部 で は 周 辺 部 の 低 い値 に ひ か れ て 実 態 よ り低 い値 に な り,周 辺 部 で は 中 心 部 の 高 い 値 に ひ か れ て 実 態 よ り高 い値 に な り ます.ど

ち ら に して も

  「ゆ が み 」 を も つ 情 報 表 現 に な って い る の で す.   よ り小 さ い 地 域 区 分 を観 察 単 位 と して 情 報 を求 め る と 図1.3.1(b)の

よ う に な り,

実 態 を正 し く把 握 で き る 表 現 に な り ま す.   図1.3.1(a)で

は,こ

の 情 報 を 「市 町 村 区 分 」別 平 均 値 に 集 約 し た と き に 市 町 村 区

分 の サ イ ズ が 異 な る ため に 「ゆ が み 」が 生 じた の で す. こ うい う不 適 当 な 平 均 化 は,こ

の 例 に 限 らず よ くみ ら れ る 「誤 用 」で す.

集 団 の サ イ ズ の ち が い が もた らす 影 響 を 「サ イ ズ効 果 」と よ び ま し ょ う. 「サ イ ズ が ち が う な ら1km2あ し ょ うか.一

た り に 換 算 す れ ば よ い 」 と,簡 単 に,考

えて よ い で

般 化 して い う と,「 集 団 の サ イ ズ を分 母 に と っ た相 対 値 」に す る こ と で

サ イ ズ 効 果 を 消 去 で き る と は 限 ら な い の で す.   「条 件 の ち が う地 域 区 分 の 情 報 の 平 均 を と る」 こ とに よ っ て 条 件 の ち が い と し て 説 明 さ れ るべ き有 意 な 差 が か く され て し ま っ た …

こ う考 え る と,平 均 値 の 誤 用 例 で す.

区 分 が 大 き い ほ ど,両 極 端 の 値 の 影 響 が 消 さ れ て,平 中 庸 に 近 い値 に な る.た

均値 は

だ し,そ の こ と と,平 均 値 を 使 う こ

との 利 点 ・欠 点 は 別 で あ る.

  こ の例 で は,地

域 区 分 を小 さ くす る こ と に よ っ て,そ

れ ぞれ の区分 に つ いては 区分

内 で の 条 件 の ち が い は 考 慮 しな くて よ い状 態 に な っ た,よ

っ て,そ

れ ぞれの 区分 の情

報 を平 均 値 で 代 表 させ て よ い … こ う い う考 え 方 が 必 要 な の で す.   県 別 あ る い は 市 町 村 別 の 統 計 デ ー タ は豊 富 に あ っ て 気 軽 に 利 用 で き ま す が,種 情 報 の 地 域 差 を み る 問 題 で は,ど 問題 で す.こ

れ は,そ

う い う問 題 の典 型 例 で す.

  ④   図1.3.2(a)は,あ ます が,ど

々の

うい う地 域 区 分 に よ っ て 情 報 を 表 現 す る か が 大 きい

る 新 聞 記 事 の 引 用 で す.も

っ と も ら し い 見 出 しが つ い て い

うで し ょ うか?

  こ の 例 で は,血

圧 の 平 均 値(Ｘ

求 め て 比 較 して い ます.こ

と表 わ す)を 歩 く距 離 に よ る 区 分(Ａ

の 図 に よ る と,歩

ほ ど Ｘ が 小 さ くな っ て い ます か ら,見

図1.3.2(a) 

と表 わ す)別 に

く距 離 の 長 い 区 分(図 の 横 軸 の 右 の 部 分)

出 しの よ う に 結 論 づ け て よ さ そ う で す.

歩 く こ と は 健 康 に よ い 

左 上 の グ ラ フか ら見 出 しの 説 明 につ な が る で し ょ うか.こ

れ を考 えて くだ さい

  しか し,こ

れ を うの み に し て は い け ませ ん.統

計 デ ー タ で裏 づ け され た 結 論 か,そ

う で な い 仮 説 か を は っ き り区 別 し ま し ょ う.   Ｘ の 大 小 に は 「年 齢 」が 大 き く影 響 して い ます.多 因 で し ょ う.こ の 大 きい 要 因 の 扱 い は,ど

分,「 歩 く距 離 」以 上 に 大 き い 要

うな っ て い るの で し ょ う か.

 年 齢(以 下 Ｃ と か く)の 高 低 と 歩 行 距 離(以 下 Ａ とか く)の 長 短 と は 相 関 関 係 を も っ て い ます.し

たが って

Ａ の大 きい区分 → Ｃ の値 が低 い Ａの 小 さ い 区 分 → Ｃ の 値 が 高 い と な っ て い る か も しれ ませ ん.も

しそ うな ら

Ａ の大小 

Ｘ の 大小

Ｃ の 大小 

の ２つ の 因 果 関 係 の ど ち らが 効 い て い る の か 判 断 で き ませ ん.   こ うい う場 合,Ｃ

の 扱 い を確 認 し な い で,Ａ

と Ｘ との 関 係 に 関 す る 結 論 を 出 す こ

とは で き ませ ん.   こ の例 の 場 合 は,年

齢 を 考 慮 に 入 れ ず,歩 行 距 離 だ け で わ け た 数 字 を使 っ て い ます

か ら,「 こ の グ ラ フか らは 何 と もい え な い 」 とす る の が 正 し い 結 論 で あ り,「 歩 く こ と は健 康 に よ い 」 とい う こ と は,立

証 さ れ て い な い の で す.

  も う一 段 くわ しい 情 報 が 必 要 で す.   原 報 告 書 を み る と,年 齢 別 に わ け た 数 字 が 掲 載 さ れ て い ます(付 表 Ｍ 参 照).   次 の 図1.3.2(c)は   図1.3.2(a)で

そ れ を使 っ て 書 き換 え た もの で す(第 ６章 参 照).

み られ た ほ どは っ き り し た 差 は 認 め ら れ ませ ん.こ

れ が統 計 デー タ

か らい え る こ と です.  ⑤

重 要 な注 意 点

 結 論 の 当 否 が 問 題 視 さ れ る の は 当 然 で す が,統

計の 問題 と し

て は,結 論 を誘 導 す る論 理 も問 題 視 す べ き で す.

図1.3.2(b) 

図1.3.2(a)中

の グ ラフ

図1.3.2(c) 

図1.3.2(b)の

お き か え

  デ ー タ に よ っ て 裏 づ け ら れ た 結 論 と,裏 づ け の とれ て い な い 結 論(仮 説)と を 区 別 す る と い う趣 旨 です.   も ち ろ ん,「 立 証 さ れ て い な い 」 とい う こ と は,必

ず し も,否 定 す る こ と で は あ り

ま せ ん.デ

ー タ に よ っ て 裏 づ け で き な い と き に は,「 肯 定 も,否 定 も で き な い」 と す

る の が,統

計 手 法 側 の 答 え で す.一

当 す る統 計 手 法 と して は,理

見 す る と あ い ま い な 結 論 の よ う で す が,実

証 を担

に か な っ た結 論 で す.

  「差 が あ る とは い え な い 」と い う結 論 を,「 差 が な い 」と い い か え て は い け な い の で す.   立 証 さ れ て い な い こ と を立 証 され て い るか の ご と く説 明 す る の も,「 誤 読 」 です.   デ ー タ に も とつ く立 証 を 目的 とす る の が 統 計 手 法 で す か ら,こ

こ は,き

び し く考 え

ね ば な り ませ ん.   あ る要 因(分 析 対 象 要 因)の 効 果 を把 握 し よ う と して い る 場 合,そ

れ に 匹敵 す る大

き さ の 効 果 を もつ 別 の 要 因 を 無 視 す る と,観 察 さ れ た 差 が,「 分 析 対 象 要 因 に よ る差 」 か,「 無 視 され た 要 因 に よ る差 」か が 識 別 され ませ ん.  す なわ ち 要 因Ａ に 注 目 し て 集 団 をA1,A2,…

に 区分 して比 較 した

と き,「 差 が み ら れ た 」 と して も 「よ っ て そ の 差 は,Ａ

に よ る差 だ 」 とは い え な い.

混 同 要 因 Ｃ が あ る と予 想 さ れ る と き に は, 要 因 Ｃ に よ る 区 分C1,C2,… そ の 各 区 分 ご とに,Ａ

に わ け た上,

に よ る 区 分 を適 用 して 比 較 す る.

  「Ａ に よ る 区 分 に Ｃ に よ る差 が 重 な っ て い る」 こ とに 気 づ か な い た め に 発 生 す る 誤 読 を 「シ ン プ ソ ン の パ ラ ド ッ ク ス 」 と よ ん で い ま す.一 い 読 み 方 で す か ら,パ

方 が 誤 読 で あ り,一 方 が 正 し

ラ ドッ ク ス で は あ り ま せ ん が,誤

読 で あ る こ とに 気づ か な い

と,「 パ ラ ド ッ ク ス に み え る」の です.   シ ン プ ソ ン の パ ラ ドッ ク ス 混 同 要 因 を見 過 ご した た め に 起 き る誤 読

1.4  ひ ろ が り幅 の 指 標 に よ る表 現  ①

平 均 値 に よ る表 現 を適 用 す る に あ た っ て の 問 題 点 が 「平 均 値 か らの 偏 差 を考 慮

外 に お く こ と」か ら く る も の だ とす れ ば,「 偏 差 を表 わ す 指 標 」に も注 目 した ら ど うか … これ が ,重 要 な,そ う して,有 効 な考 え 方 で す.平 均 値 の 簡 明 さ を 考 慮 し て そ れ

が使 え る よ う な状 態 に す る(そ れ が 前 節)こ と を考 え る に し て も 限 度 が あ り ま す か ら, 偏 差 を 表 わ す 指 標 の 重 要 性 は,か   こ の テ キ ス トの 主 題 は,こ

わ り ませ ん.

の こ とに 関 連 して い ます.第

い 方 な ど を順 を 追 っ て 説 明 して い き ま す が,ま

ず,偏

２章 以 下 で,そ

の定義 や使

差 自体 が 重 要 な 情 報 で あ る 例 を

あ げ て お き ま し ょ う.  ②

図1.4.1で

は,平

を採 用 して い ま す.し

均 値 Ｘ の 年 齢 別 差 異 を み る た め に 「平 均 値 を線 で む す ぶ 」形 か し,こ の 線 を 過 信 し て,図

に付 記 した よ うな誤解 は な い で

し ょ うか.   図1.4.2の

よ うに,ひ

ろ が り幅 を示 す 形 に し ま し ょ う.

平 均 値 を つ ら ね る線 の 上 下 に,   (平 均 値+標

準 偏 差)の 値 をつ らね る線 と,

  (平均 値-標

準 偏 差)の 値 をつ らね る線

を書 き足 して お くと,   年 齢 と と も に 上 昇 す る傾 向 性 と,個 人 ご と に 見 出 され る 差 異 とが ほ ぼ 同程 度 の 大 き さ で あ る こ と が わ か りま す.   し た が っ て,図 に 付 記 し た よ うな 説 明 に な る で し ょ う. 一 般 化 す る と,  「 事 実 を 示 す 」た め に は 「 事 実 の 一 半 」で あ る平 均 値 だ け で な く, 個 人差 もあわせ て示す べ きだ とい う こ とで す.   前 節 の 図1.3.2(a)の 図1.4.1 

場 合 に お い て 「歩 行 距 離 の 他 に 年 齢 も考 慮 せ よ」 と い い ま し

血 圧 の 年 齢 別 変 化(１) 平 均値 の 推 移

図1.4.2 

血圧 の 年 齢 別 変 化(２) ひ ろ が り幅 も示 す

年 齢 とと も に血 圧 が上 昇 す る こ とは 誰 に も

これ だ け大 きい個 人 差 が あ るの だ か ら,

み られ る傾 向 だ。

健 康 に 注意 す れ ば,歳

を と っ て も….

図1.4.3 

た が,さ

ら に 大 きい 個 人 差 が あ る の で す か ら,ま

に え が き ま し ょ う.そ  ③

賃 金 の年 齢 別 推 移

う し て,カ

ず,そ

ミに か き ま し ょ う.

個 人 差 の 表 わ し方 は い ろ い ろ あ りま す.こ

き ま す が,典

の こ と を示 す こ の 図 を ア タ マ

の テ キ ス トで 順 を追 っ て 説 明 して い

型 的 な 例 を あ げ て お き ま し ょ う.

  図1.4.3は,賃

金 に 関 し て 階 級 区 分 を 設 け,各

区 分 に 属 す る人 数 を示 す 「分 布 図 」

と よ ば れ る形 式 です(注1,2).   た とえば   「ど の く ら い の 賃 金 を も ら って い る 人 が 多 い か 」,   「ど の く ら い の ひ ろ が りが あ る か 」 な ど を よ み と る こ とが で き ます.図 (も ち ろ ん,図   当 然,年

の ピー クの 位 置 お よ び 幅 に 注 目す れ ば よ い の で す

は 同 じス ケ ー ル で か い て あ りま す).

齢 に よ っ て ちが い ま す か ら,図

は,年

齢 層 で わ け て あ りま す.

  ピー ク の位 置 が 年 齢 と と もに 右 に ず れ て い ます.す れ て 賃 金 が 高 く な る 傾 向 」(注 ３)が よ み とれ ます.し

な わ ち,「 年 齢 が 高 くな る に つ か し,高 年 齢 で ピ ー ク が ２つ に

な っ て い る こ と に も 注 意 し ま し ょ う.   こ の よ う な 分 布 図 は,１ つ の ピー ク を もつ 形 に な る の が 普 通 で す が,こ 合,年

齢 の 高 い 層 で は,そ

∼（5）と し て あ り ます .気

う な っ て い な い よ う で す.そ

の 例 の場

の 理 由 は … 章 末 の 問8(1)

を つ け さ え す れ ば 簡 単 な こ と で す.

 ◇ 注 １  この分 布 図 に おい て棒 の幅 が そ ろ って い ない こ とに 注 意 しま しょ う.基 礎 デー タ が その よ うに与 え られ てい るので す.こ うい う場 合 に 関 す る注 意 は後 述 し ます.   ◇ 注 ２ この 図 は,棒 グ ラフ で は あ り ませ ん.形 きさ を棒 の長 さで 図示 す る棒 グ ラフ とちが い,Ｘ

と し て棒 を使 って い ます が,値

Ｘ の大

の 値 域 に属 す るデー タ数 を棒 の 面積 で 図

示 す る もの です か ら,別 の タ イプ の グ ラ フです.  ◇ 注 ３  図1.4.3の 例 で は,ひ ろが り幅 が 大 き くな っ た こ とか ら,平 均 値 が 大 き くな った の です か ら,「誰 もがそ うな った 」わけ で は あ りませ ん.  ④

こ の よ うに 個 人 差,い

きに 現 わ れ る」,そ う し て,そ

い か え る と,平 均 的 な 傾 向 との ち が い が 「意 図 し な い と れ が 貴 重 な 情 報 だ とみ られ る こ とが あ り ます.

 平 均 値 か らの 外 れ す な わ ち 「誤 差 」で は あ り ませ ん.

図1.4.4 

右 の 方 の 点 線 は,将

出 生率 の 推移

来 人 口 を推 定 す る ため に 想 定 さ

れ た ３ とお りの値 で す.こ

れ らの 想 定 値 を設 定 す る

際 に 「ヒ ノエ ウ マ の 状 態 を考 慮 に 入 れ て い る か 否 か 」が 問題 点 で す.

  図1.4.4は,そ

の例 で す.

  ヒ ノエ ウ マ の 年 に 出 生 率 が 「異 常 に 下 が って い る」こ と を ど う解 釈 し ま し ょ うか. も ち ろ ん,「 迷 信 を信 じて い る人 が 多 い 」 とい う解 釈 は あ た りませ ん.   出 産 や 育 児 に 対 して 種 々 の 考 え 方 が あ っ て,そ て ゆ れ た」の だ とみ られ ます.気

れ が,「 ヒ ノ エ ウ マ を き っ か け に し

持 ち次 第 で こ の く ら い動 く,そ

うみ れ ば,こ

の 情報

は,  今 の と こ ろ 異 常 現 象 の よ う だ が,将

来 こ の レベ ル ま で下 が る可 能 性 が あ る,

そ う い う変 化 の 前 兆 だ と よめ る で し ょ う.  ⑤

情 報 表 現 手 段 と して の 効 用  

とす る 以 上,平

均 値 と と も に,そ

これ らの 例 か ら わ か る よ う に,集

団 を考察 単位

れ か らの 偏 差 を み る の は 当 然 だ とい え ます.

 平 均 値 を比 較 す る に し て も,偏 差 の 存 在 を考 慮 す る こ と に よ っ て は じめ て,現

象 の 全 貌 を把 握 で き る の で す.

  平 均 値 だ け に 注 目 す る,あ は,そ

る い は,平

均 値 だ け しか 使 え な い … そ う い う場 合 に

の こ とに よ る 限 界 を考 慮 に 入 れ て 説 明 し な け れ ば な り ませ ん.

  ま た,「 個 性 に 注 目す る」 と い う 意 味 で は,偏 さ れ る 場 合 も あ る で し ょ う.た

と えば,図1.4.4の

で き る こ とが あ り ま す.  偏 差 は,有 とい うべ きで す.   し た が っ て,

意 な情 報 で あ る

差 そ の もの が,主 よ う に,状

た る考 察 対 象 だ と

態 変 化 の 前 兆 だ と解 釈

分 散 が 大 き い こ とは, 有 意 な 情 報 を 多 く含 ん で い る こ と だ とい っ て も よ い で し ょ う.   平 均 値 は,そ  ⑥

の 有 意 な 情 報 を か く し て し ま う の で す.

情報 誤読 の 一 因

  こ れ ら の 説 明 か ら わ か る よ う に,「 統 計 手 法 」で は,そ

れ

が 当 然 の よ うに 平 均 値 が 使 わ れ て い ます が,「 個 人 差 を無 視 し て よ い 」 とい うわ け で は あ り ませ ん.   統 計 数 字 を 使 っ た 議 論 に 関 し て,「 個 性 を 無 視 して い る」 と い っ た 批 判 が な さ れ る こ とが あ りま す が,そ

れ は,平

均 値 だ け に 注 目 し て い る こ と に 対 す る批 判 で し ょ う.

  平 均 値 だ け で な く,そ れ か ら の 偏 差 の 両 面 に 注 目 し ま し ょ う. 平 均す るこ とに よって 消 して よ い の は 「誤 差 」 消 して い け な い の は 「 個 性」

問題 １

問 １  入 学 試 験 の た め に 試 験 結 果 を 分 析 す る場 合 と,教 育 方 法 を検 討 す る た め に 在 学 生 の 試 験 結 果 を分 析 す る場 合 との ち が い は ど こ に あ る か. 問 ２  次 の ２つ の グ ラ フ は,い い て 示 し た もの だ が,ち

記 し た 資 料 を参 照 し て,考

図1.A.1 

ず れ も週 休 ２ 日制 の 普 及 状 況 を1970年

が っ た 印 象 を与 え る.そ

と1980年

の 理 由 を考 え よ.ま

た,図

につ に注

え た理 由 を確 認 せ よ.

週 休 ２ 日制 の 普 及 率(１)

図1.A.2 

週 休 ２ 日制 の 普 及 率(２)

労働省:賃 金労働時間制度総合 調査 によ る.

問 ３  図1.3.1(a)と

同様 の 問 題 が か くれ て い る 地 域 区 分 は 他 に も あ る だ ろ う.人

口

密 度 を表 わ す 統 計 地 図 をみ て 調 べ よ. 問 ４  (１)滋

賀 県 の 人 口 密 度 を計 算 し て み よ.そ の 上 で,資

料 に掲 載 され て い る数

字 と照 合 し て み よ.  (２)人

口 密 度 の 計 算 に お け る 分 母 と し て,ど

ん な 指 標 が 使 わ れ て い るか を 調

べ よ .普 通 使 わ れ る の は 総 面 積 で あ る が,「 可 住 地 面 積 」を 使 っ た も の が あ る だ ろ う. 問 ５  県 別 デ ー タに つ い て は 「 社 会 生 活 統 計 指 標(総 務 庁 統 計 局 刊)」 な ど使 いや す い 形 に ま とめ た 資 料 が 刊 行 さ れ て い る.そ

れ を参 照 して,情

基 準 と し て どん な ケ ー ス が あ る か を 調 べ よ.た

報 を 「県 別 」に 表 わ す

と え ば 「○ ○ 県 に 住 ん で い る 人 」

に つ い て カ ウ ン トす る場 合,「 ○ ○ 県 に 所 在 す る施 設 を利 用 した も の 」に つ い て カ ウ ン トす る場 合 な ど さ ま ざ ま な 場 合 が あ る. 問 ６  各 地 の 「暮 ら しや す さ」 を県 別 デ ー タ を 使 っ て 比 べ て い る例 が 多 い が,「 県 」を 単 位 と して 扱 う こ と に 問 題 は な い か.た

とえ ば,京

都 府,大

阪 府,兵

て み る こ と は 妥 当 と い え る か. 問 ７  (１)賃

金 に 関 して 調 べ て み た い こ と(何 で も よ い)を あ げ よ.

庫 県 を比 べ

  (２)(１)に あ げ た こ と を議 論 す る ため に 使 うべ き情 報 に つ い て(い くつ か の 情 報 を使 うだ ろ う,そ

の ひ とつ ひ と つ に つ い て)

  a.雇

用 者 ひ と りひ と りの レベ ル の 情 報

  b.企

業 レベ ル の 情 報

  c.経

済一般 の情 報

の いずれ に あた るか を区別せ よ 問 ８  (１)統

計 書,た

と え ば 「賃 金 セ ン サ ス 」をみ て,平 均 賃 金 の 情 報 が,ど

んな区

分 別 に 集 計 さ れ て い る か を 調 べ よ.   (２)種

々 の 集 団 区 分 に つ い て,平 均 給 与 額 の 年 齢 別 推 移 を 示 す グ ラ フ をか け.

  (３)年

齢 別 推 移 の 形 を み て,産

向,共

業 別 あ る い は 企 業 規 模 別 に 共 通 に み られ る 傾

通 に は み ら れ な い傾 向 を指 摘 せ よ.

  (４)年 齢 別 推 移 をみ る と,年 齢 層40∼50を じて い る よ う に み え る.こ   (５)図1.4.3で 問 ９  統 計 書,た

の こ と を,ど

ピー ク に し て,上

昇 か ら下 降に 転

う説 明 す る か.

み ら れ た 「分 布 形 の変 化 」は,ど

と え ば 「賃 金 統 計 年 報 」を み て,賃

う説 明 され るか.

金 に 関 す る 情 報 を,ど

の よ うな

指 標(平 均 値 以 外 の 表 わ し方)で 表 わ して い るか を 調 べ よ. 間10  銀 行 業 の 賃 金 は 他 の 産 業 と比 べ て 高 い と い わ れ て い る が,そ す る た め に は,種

う だ ろ うか.確

認

々 の 条 件 の ち が い を考 慮 に 入 れ て 比 較 しな け れ ば な ら な い.

問11  (１)図1.3.2(a)の

情 報 は 新 聞 記 事 の 引 用 で あ る が,基

「国 民 栄 養 の 現 状,平

礎 情 報 は,厚

生省 の

成 ３年 版 」に 掲 載 さ れ て い る.こ れ を み て,「 歩 く こ と と健

康 との 関 係 」に 関 し て ど ん な情 報 が 求 め られ て い る か を 調 べ て み よ.   (２)種

々 の 新 聞 に 同 じ記 事 が 掲 載 さ れ て い た が,見

ち が っ て い た.新

出 しの 付 け 方 が そ れ ぞ れ

聞 の縮 刷 版 を み て,調 べ てみ よ.

  見 出 し をみ て そ う だ と思 い こ む の は 危 険 なの で 注 意 す る こ と. 間12  新 聞 や テ レ ビ で は,統

計 数 字 を グ ラ フ に 表 わ し て 説 明 して い る こ と が 多 い が,

統 計 数 字 の 取 り上 げ 方 に 疑 問 を も たせ る例 が あ るか も し れ な い.そ

うい う例 を あ

げ よ. 間13  統 計 デ ー タ を 収 録 し た デ ー タベ ー ス に つ い て,収

録 したデー タに関 す る定義 や

求 め 方 な どに 関 す る 説 明 が 与 え られ て い る か ど うか を 調 べ よ. 問14  (１)時

系 列 デ ー タ に 関 し て○ 年 分,○

らの 時 間 属 性 の 定 義 に 関 し て,た

月 分 と い う 表 示 が あ る だ ろ う が,そ

れ

とえ ば,「 月 初 分 」,「月 末 分 」,「月 間 分 」,「年

間 各 月 分 の 平 均 値 」… な ど の 区 別 が 明 示 さ れ て い るか ど うか を 調 べ よ.   (２)生 産 指 数,出

荷 指 数,在

庫 指 数 に お け る 「○ 年 ○ 月 分 」 と い う こ との 定 義

を 調 べ よ.   (３)地 域 区 分 別 の デ ー タ に 関 して,た

とえ ば 「県 別 」が ど う い う意 味 の 県 別 で

あ るか （ 問 ６参 照 ）を示 す 説 明 が 収 録 さ れ て い るか ど うか を調 べ よ. 間15  た と え ば1980年

のGNPの

数 字 を検 索 し て み よ.1980年

と は 「そ の 年 の 経 済

情 勢 に 関 す る 情 報 で あ る」 こ と を 意 味 す る が,検 に,何

年 の 価 格 を使 っ た 評 価 値 で あ るか,何

索 シ ス テ ム に よ っ て は,さ

ら

年 の 報 告 書 に 掲 載 され た 数 字 で あ る

か を指 定 す る よ うに 求 め て く るか も しれ な い.そ

れ に 応 じて,使

い た い もの を指

定 す る こ と.   こ うい う問 い合 わせ が 出 て こ な い デ ー タベ ー ス もあ る だ ろ う.そ の 場 合 は,検 索 され た 数 字 の属 性 に 関 す る説 明 が つ い て い る か 否 か を 調 べ,そ

の数 字 につい て

  ○年 の事実 に関す る   △ 年 に な され た 推 計 値 で あ り,   □ 年 の 価 格 を使 っ て 評 価 さ れ て い る も の か を 答 え よ.

問 題 に つ いて   (１)問 題 の 中 に は,UEDAの

プ ロ グ ラム を使 って,テ キ ス ト本 文 で の 説 明 を碓

認す るた め の問 題 や,テ キ ス トで 使 っ た説 明 例 を コ ン ピュー タ上 で再 現 す る も の な どが含 まれ て い ます.   した が っ て,UEDAの  (２)UEDAの

プ ログ ラム を使 うこ とを想 定 して い ます.

使 い 方 に つ い て は,本 シ リー ズの 第 ９巻 『 統 計 ソフ トUEDAの

使

い方 』を参 照 して くだ さい.  (３)問 題 文 中 でプ ログ ラム ○○ とい う場合,UEDAの  (４)多

くの デ ー タは,UEDAの

プ ログ ラム を指 します.

デ ー タベ ー ス 中 に収 録 され て い ます.そ の フ ァ

イル名 は,そ れ ぞれ の付 表 に付 記 され て い ます が,そ れ を そ の ま ま使 うの で な く,い くつ か の キ イワー ドを付 加 した もの を使 う こ とが あ ります か ら,問 題 文 中 に示 す フ ァイル 名 を指 定 して くだ さ い.  (５)プ ロ グ ラム 中の 説 明文 や処 理 手順 の展 開 が,本 文 で の 説 明 とい くぶ ん ちが っ て い る こ とがあ ります が,判 断 で きる範 囲 の ちが い です.   (６)コ ン ピュー タで 出力 され る結 果 の桁 数 な どが 本 文 中 に表 示 され る もの とち が うこ とが あ ります.

２ 情 報 の統 計 的表 現(１)

  この 章 で は,ま ず,１ セ ッ トの デ ー タの 特 性 を表 わ す 平 均 値 ・標 準偏 差 あ るい は 中位 値 ・四分 位偏 差 値 な どの 指 標,つ づ い て,分 布 形 に よる 表現 を説 明 します.ま た,分 布 形 の モデ ル と して想 定 され る正 規 分布 に つ い て説 明 します.   これ らは統 計 学 の 基本 概 念 と して ど ん なテ キ ス トで も説 明 されて い る こ とで す が,こ の テ キ ス トで は後 の章 との つ な が りを考 慮 に 入れ て,少 しちが う展 開 にな っ てい ます.

2.1  標準 偏 差 の定 義 と計 算  ①

標 準 偏 差 は,偏

  観 察 値XIに

差 の 大 き さ を 測 る指 標 と し て普 通 に 使 わ れ て い る もの で す.

つ い て 平 均 値 μ か ら の 偏 差DI=XI-μ

に 注 目 す る の で す が,そ

れ ら

の 大 き さ に つ い て,「 ほ ぼ こ の 範 囲 に あ る 」 とい う見 方 を採 用 で き る で し ょ う.   基 準 とす る μ と比 べ て 大 き い 値,小

さ い 値 が あ り ま す か ら,た

と え ば,「 平 均 値

140に 対 し て ±10の 範 囲 だ と い っ た 見 方 を し よ う」 と い う こ と で す.い

い か え る と,

偏 差 は ひ とつ ひ とつ の 観 察 単 位 ご と に 異 な る が,「 この 程 度 が 標 準 だ 」 と い う見 方 で す.「 偏 差 の 平 均 的 な 大 き さ を み る」の だ とい っ て も よ い で し ょ うが,平 「足 し て Ｎ で わ る」,と い う こ とで は な く,そ

均 す なわ ち

う理 解 で き る よ うに 定 義 す る と い う こ

と で す.   統 計 学 で は,偏

差 の 標 準 的 大 き さ を 測 る指 標 と して,次

の よ う に 定 義 され る 「 標準

偏 差 」を使 い ます.

(1) σ2を分 散 と よび,そ  ②

の 平 方 根 σが 標 準 偏 差 で す.

偏 差 そ の も の の 平 均 で な く,ま ず 偏 差 を 「２乗 し た値 の 平 均 」を求 め た 上 で 「平

方 根 を とる 」… そ れ が 標 準 偏 差 だ と 了 解 す れ ば よい で し ょ う.な ぜ そ うい う回 り道 を

表2.1.1 

平 均 値,標

準 偏 差 の 計 算 フ ォ ー ム １と計 算 例

基 礎 デー タは,問 題 ２の 問 ３に 示 して あ ります.計

算 して,例

示 どお りに な る こ と を確 認 して

く だ さ い.

した 形 を と る の か 気 に な る か も しれ ませ ん が,説   表2.1.1の  まず,観

明 を省 略 し ま す.

左 側 が こ の 式 に よ る 計 算 フ ォ ー ム で あ り,右 側 が 計 算 例 で す. 察 値 を表 の ２列 目に 転 記 し ま す(１ 列 目 は デ ー タ番 号).そ

の 計 を 求 め て 観 察 単 位 数 で わ れ ば,平

均 値 が 得 ら れ ます.例

れ が 偏 差 を 測 る基 準 値 で す か ら,各 観 察 値 の 横 に 転 記 し ます.そ し ます.当

然,正

の 値 と負 の 値 が 現 わ れ ます.平

う し て,こ

示 で は,39.8で う して,偏

れ ら

す.こ 差 を計算

均 値 を 基 準 と し た 偏 差 に つ い て は,

そ れ ら の 計 が ０に な る は ず で す か ら,検 算 し ま し ょ う.   分 散 は,偏

差 を ２乗 し,そ の 合 計 を求 め,観

察 単 位 数 で わ っ て 求 め ら れ ま す.

  最 後 に 平 方 根 を と っ て(２ 乗 を とっ て い る の で,も

と の 単 位 に も どす ため),標

準偏

差 が 求 め られ ます.  ③

な お,計

こ と は,必

算 の 過 程 で 「ひ とつ ひ と つ の 観 察 値XIの

要 で す.標

準 偏 差 は,こ

偏 差 を 求 め て 記 録 して お く」

れ ら の 偏 差 を代 表 す る 指 標 で す が,デ

ー タの 中に

他 と 同 一 に は 扱 い に くい 「 外 れ 値 」(ア ウ トラ イヤ ー と よ び ま す)が 混 在 して い る 可 能 性 が あ り,そ の 場 合 に は,も

と に も ど っ て,ひ

と つ ひ と つ の 観 察 値XIに

注 目す る こ

とに な りま す.   ま た,表2.1.2の

よ う に,偏 差 の ２乗 の 欄 を 用 意 し て お く こ と も考 え ら れ ます.そ

うす れ ば た と え ば偏 差 平 方 和 に 対 し て どの 偏 差 が 効 い て い る か が わ か り ます か ら,ア ウ トラ イ ヤ ー を指 摘 す る参 考 と な る で し ょ う.た 大 半 を 占 め る と きに,標

とえ ば 観 察 値 の １つ が偏 差 平 方 和 の

準偏 差 が 「 偏 差 の 標 準 だ 」 とは い え ま せ ん.そ

れ を 除 い て,

標 準 偏 差 を再 計 算 す べ きで し ょ う.   表2.1.2の

例 の 場 合,偏

差 平 方 和 は296で

す が,そ

デ ー タ ７の 偏 差 が 影 響 し て い る こ と が わ か り ま す.い

の う ち121す

な わ ち41%は

い か え る と,こ

の 例 で は,

「デ ー タ全 体 を １つ の バ ッ ジ とみ て 個 別 変 動 を測 っ た もの 」 と は み な しが た い の で す.   こ の デ ー タ を 除 い て 計 算 し た偏 差 平 方 和157.72に た個 別 変 動 を測 る」の が,こ

よ っ て,「 デ ー タ の 多数 部 分 で み

の 例 で は 当 を 得 た 扱 い と い え る で し ょ う.

表2.1.2 

平 均 値,標

準偏 差 の 計 算 例

デー タ７ を 除 い て 計 算 した 場 合.

  な お,デ  ④

ー タ７ を 除 くこ と に 関 す る根 拠 づ け に つ い て は,後

こ の 例 か ら わ か る よ う に,計

も の で は あ り ませ ん.た

と えば,ひ

述 し ます.

算 は,「 最 後 の 答 え が 出 さ え す れ ば よ い 」 とい う とつ ひ とつ の 観 察 値 に 対 応 す る偏 差 は,標 準 偏 差

の 計 算 結 果 の 妥 当 性 をチ ェ ッ クす る た め に 必 要 な 情 報 で す.し

た が っ て,計

算 手順 は

有 用 な情 報 を記 録 して お き,必 要 に 応 じて 参 照 で き る よ う に 組 み 立 て るべ き で す.   表2.1.1の  ⑤

計 算 フ ォ ー ム は,そ

の 観 点 を考 慮 に 入 れ て い ます.

分 散 の計 算式 を

(2) と書 き換 え る こ とが で き ま す が,こ とが あ り ます.章  ⑥

ま た,分

の 式 を 使 っ て 計 算 す る と計 算 誤 差 が 大 き くな る こ

末 の 問 題２ の 問９ が この こ と を示 す 例 で す. 散 の 定 義 式 で,デ

ー タ数Ｎ

で わ っ た と こ ろ をN-1で

わ る よ うに教

え て い る テ キ ス トも あ り ま す.   こ れ は,「 デ ー タ に も とつ く推 定 」の 性 質 に 関 し て,か ち 「 不 偏 性 」を重 視 し よ う と い う立 場 か ら き て い ます.こ あ っ て も推 定 精 度 が よ い 」 とい う理 由 で,Ｎ

説 明 した 後,再  ⑦

表2.1.1の

なわ

れ に 対 し て,「 か た よ りは

で わ る こ と を お す 立 場 もあ りえ ま す.

  こ の テ キ ス トは 後 者 の 立 場 を と っ て い ます が,こ で も 大 差 な し と考 え て お い て くだ さ い.第

た よ り の な い こ と,す

５章 で,推

こ で は,Ｎ

が 多 い場合 は どち ら

定 あ る い は 不 偏 性 と い う用 語 を

論 し ます. 計 算 フ ォー ム は,「 デ ー タ数 が 少 な い 場 合 」 を想 定 し て い ま す.

  デ ー タ数 が 多 い 場 合 は,ひ

とつ ひ とつ の 値 を列 記 す る か わ りに,次

値 域 を 区 切 っ て,各

の 例 示 の よ うに,

区 切 り に 入 る デー タ 数 を 記 録 す る形(度 数 分 布 表)に し

た上 で計算 す る別 フ ォ ー ム(表2.1.3)を   こ の フ ォ ー ム で は,値

採 用 し ま し ょ う.

域,度

数 の 欄 が 「度 数 分 布 表 」で す.そ

の 右 側 に つ づ け た欄

表2.1.3 

が 平 均 値,標

平 均 値,標

準 偏 差 の 計 算 フ ォ ー ム2と

計算例

準 偏 差 を計 算 す る た め の 欄 で す.

  計 算 で は,各 値 域 の 観 察 値 を 「 各 値 域 の 中 央 値 とみ な す 」 と い う お きか え(近 似)を 適 用 して い ま す(表 で は こ れ を代 表 値 と表 示).   例 示 で は,10∼20の れ る80個

区 間 に 含 ま れ る10個

の 値 を す べ て25,…

10+25×80+…

の 値 を す べ て15,20∼30の

と み な し て い ま す.し

と し ま す.6700は175の

た が っ て,計

区 間 に含 ま の 計 算 は15×

ミス プ リ ン トで は あ りま せ ん .

  偏 差 の ２乗 和 に つ い て も 同 様 で す.度

数 を か け るの を わ す れ な い こ と.

 ⑧

値 域 の 中 央 値XKと

計 算 手 順 と して は 「 観 察 値XIを

を行 な っ て い ます が,デ 8(1)),ま

お きか え る 」 と い う近 似

ー タ 数 が 多 い 場 合 こ の 近 似 の 影 響 は ご く小 さ く(問 題 ２の 問

た,デ ー タ を 分 布 表 の 形 に 整 理 す る こ と 自体 が デ ー タ を み る上 で 有 用 な 過

程 で す か ら,こ れ を標 準 的 な 計 算 フ ォ ー ム と し ま し ょ う.   な お,こ

の フ ォー ム に よ る 平 均 値,分

散 の 計 算 式 が 次 の よ うに 書 き換 え ら れ る こ と

に 注 意 し ま し ょ う.   平 均 値 の 定 義 式 に お け る ΣXIと ΣNkXk,ΣNK(XK-μ)2と

分 散 の 定 義 式 に お け る Σ(XI-μ)2は,そ

れ ぞれ

書 き換 え ら れ ます(添 字 Ｉ を 観 察 単 位 番 号, Ｋ を 区 分 番

号 と して い ます)か ら,

(3) とな り ます.   また,NK/Nは

相 対 頻 度 で す か らFKと

か く と,

(4) と な り ます.す

な わ ち,計

算 フ ォ ー ム の 度 数 を 「相 対 頻 度 」に お き か え て か ら計 算 す

る の で す.  ⑨

「ち ょ う ど20の

場 合 ど ち ら に 入 れ る か 」 と い う質 問 が 出 る で し ょ う.

  た と え ば 計 算 例 で10∼19,20∼29,… が,そ

と表 示 し て い れ ば,は

っ き りす る よ う で す

う簡 単 で は あ り ませ ん.「 そ れ で も は っ き りし な い 」こ とが あ るの で す.

  ま た,10∼20,20∼30,…

と表 示 し た い こ と も あ り ます.た

を 切 り捨 て る こ と に よ っ て 整 数 化 さ れ て い る 場 合 に は,観

と え ば,観

察値が端数

察 値 の 値 域 は10.000∼

19.999,20.000∼20.999,…

で あ り,そ れ を10∼20,20∼30,…

の よ うに 表示 した も

の と解 釈 で き ます.   こ れ に 対 して,端

数 が 四 捨五 入 さ れ て い る場合 に も との数 字 の範 囲 を示 す に は

9.500∼19.499,19.500∼29.499,… 10∼19,20∼29,…

と す る こ と に な り ま す.こ

の 場 合 の 表 示 は

と して 区 別 す る こ とが 考 え られ ます が,9.5∼19.5,19.5∼29.5と

せ よ とい う異 論 が 出 る で し ょ う.   表 現 の 仕 方 で考 え るべ き点 は   端 数 処 理 を した 結 果 で み た 値 域 を 表 示 す る か   端 数 処 理 前 の 値 でみ た 値 域 を表 示 す る か と い う こ と で す.端

数 処 理 が 切 り捨 て の 場 合 と,四 捨 五 入 の 場 合 と を わ け て か く と,

次 の よ うに な りま す.

端数 が切 り捨 ての場合 端 数 処理の結 果 を表示   端 数 処理 前 の 値 を 表 示

10∼19 

20∼29 …

  10.00∼19.99 

この表示 の略 記 

20.00∼29.99 …

10∼20 

20∼30 …

端 数 が四捨五 入 の場合 端 数処理 の結 果 を表示

  10∼19 

端数処 理 前の値 を表示 

この表示 の略 記 

20∼29 …

9.50∼19.49 

19.50∼29.49 

9.5∼19.5 

19.5∼29.5 …

  「こ の 表 示 の 略 記 」 と して 示 し た 扱 い が よ い と思 い ます が,無

…

原 則 に 採 用 され て い

る の が 現 実 で す か ら,利 用 す る と き に,適 宜 判 断 す る こ とが 必 要 で す.   も と も と端 数 を も た な い 観 察 値 の 場 合 は,選

択 の 余 地 は な く,10∼19,20∼29の

よ うに し ます.   ⑩  計 算 結 果 に お け る端 数 の 復 元 し ょ う.年 齢 は,特

  表2.1.2の

そ れ ら を使 っ て 計 算 し た 平 均 値 は,端 年 齢 」の 評 価 で は,こ

ま す.標

す べ き で す.年

わ ば,穴

  計 算 機 で は,数

埋 め,す

け低 く な っ て い ま す.「 平 均

齢 に 限 らず,端

準 に 足 り な い と き に は,０ を補 い,そ

の ０は,い

数 を 切 り捨 て て 観 察 さ れ

過 ご さ れ る こ と の 多 い ミス で す.

値 の 長 さ を標 準 の 長 さに そ ろ え て 計 算 し こ ま で 数 値 が あ る もの と し て 計 算 し ま

な わ ち ス ペ ー ス フ ィ ラー と よ び ます.

  ０が つづ い て い れ ば ス ペ ー ス フ ィ ラ ー と気 づ くで し ょ うが,そ た め,計

た が っ て,

い か え る と,基 礎 デ ー タ で 切 り捨 て ら れ

様 の 注 意 が 必 要 です.見

 ⑪  ス ペ ー ス フ イ ラ ー

す.こ

数 の 平 均 値0.5だ

の 端 数 を補 正 し て,い

た 端 数 を復 元 して,47.5と た デ ー タ に つ い て,同

例 示 の 基 礎 デ ー タが 年 齢 だ と し ま

に こ と わ ら な い 限 り 「端 数 切 り捨 て 」で 数 え ま す.し

れ を使 っ て 計 算 す る

算 結 果 で は 「０で な い ス ペ ー ス フ ィ ラー 」 と な る の で す.た

計 算 結 果 で は,「 意 味 の な い 数 値 」が つ け 加 わ っ て,一 か の ご と く表 示 さ れ ま す.   こ う い う 意 味 の な い 部 分 を 落 と して よ む べ き で す.

とえば平 均 値 の

見 す る とそ こ まで 意 味が あ る

2.2  中位 値 ・四分 位 偏 差 値 によ る 表 現   ①

偏 差 の 大 き さ を表 現 す る指 標 と して,標

合 に もそ れ を使 え ば よ い と は い え ませ ん.特

準 偏 差 が よ く使 わ れ ます が,ど

に,次

ん な場

に 述べ る大 きな欠点 を もってい る

こ と に 注 意 し ま し ょ う.   標 準 偏 差 の 計 算 値 は,平

均 値 ±標 準 偏 差,す

な わ ち,平 均 値 を 基 準 と し て そ の 上 下

に ひ ろ が り幅 をつ け る 形 で 使 い ま す が,   上 へ の ひ ろが り と下 へ の ひ ろ が り と を同 じ値 で 評 価 し て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.   こ うす る こ と は,暗

に,デ

ー タ の 分 布 が 左 右 対 称 型 だ と い う仮 定 を お い て い る こ と

を 意 味 し ます.   こ の 仮 定 を受 け 入 れ て よ い で し ょ うか.現

実 に 扱 う デ ー タ に お い て は,そ

うい う仮

定 を 受 け 入 れ が た い ケ ー ス が 多 々 あ りま す.  ②

賃 金 の デ ー タは,そ

  図2.2.1は1984年

う い う ケー ス の典 型例 で す.

賃 金 セ ンサ スの 報告 書か ら引用 した製造 業 の 男 子従 業 者 の賃 金

の 分 布 表 と,そ の 分 布 図 で す.   右 の 方 へ 長 くひ ろ が っ た 「非 対 称 な 形 」に な っ て い ます.   初 任 給 が ほ ぼ そ ろ っ て い た も の が,そ

の 後 の 昇 給 に よ っ て,大

き い方 へ 変 化 す る 度

合 い が 差 を も た らす た め だ … こ う説 明 で き る で し ょ うが,そ

う い う 説 明 を す る しな

い に か か わ ら ず,賃

の 非 対 称 性 を 明 示 しな

金 の 分 布 に 関 す る事 実 を示 す と き に は,こ

け れ ば な り ませ ん.

図2.2.1 

賃 金 の分 布 表 と分布 図(1984年,製

造 業,男)

度 数 は,百

分 比 に して あ り ま す.

分 布 図 をか くため で す. 次 節 で 説 明 し ます が か い て み て く だ さい.右 で す が ….

の 図 の よ うに な るは ず

  分 布 図 で は こ の 事 実 が よ み とれ ま す が,平

均 値 と標 準 偏 差 を使 っ て 示 し た場 合 に は

こ の 事 実 が よみ とれ な い こ と に な り ます.標

準 偏 差 を偏 差 の 大 小 を表 わ す 指 標 と し て

使 う こ と に 疑 問 を もつ べ き で す.

大 きい方 向で みた偏 差 と,小 さい方 向でみ た偏 差 を 区別 して計 測す るこ とが必要  ③

四 分 位 偏 差 値 は,こ

う い う場 合 に,標

準 偏 差 に か わ る も の と して よ く使 わ れ る

  中 位 値 は,平 均 値 に か わ る指 標 で す が,四

分 位 偏 差 値 を使 う場 合 に そ れ と整 合 性 を

「 偏 差 の 指 標 」で す.

もた せ る意 味 で   (平均 値,標 と,セ

準 偏 差)の か わ りに(中 位 値,四

分 位 偏 差 値)

ッ トに し て 使 い ます.

  こ れ らの 定 義 は,次

の よ うに 「観 察 値 の 大 き さ の 順 位 」に 注 目 し ま す.

  デ ー タ を 大 き さの 順 に 並 べ た と き の   1/4番

目の 値 が 第 １四 分 位 値

  2/4番

目の 値 が 第 ２四 分 位 値,す

  3/4番

目の 値 が 第 ３四 分 位 値

で す.こ

れ ら をQ1,Q2,Q3と

な わ ち,中 位 値

表 わ し ま し ょ う.こ れ ら を も と に し て

1/4番

目の 値(第 １四 分 位 値) 

2/4番

目の 値(第 ２四 分 位 値) 

3/4番

目の 値(第 ３四 分 位 値) 

この差が 四分位 偏差値 この差 が 四分位 偏差値

と,２ つ の 四 分 位 偏 差 値 を定 義 し ま す.   こ れ ら の 指 標 は,「 デ ー タ を 大 き さ の 順 に 同 数 を 含 む よ う に ４区 分 」 し た と き の 区 切 り値 で す か ら,自 然 な 見 方 に な っ て い ます.   な お,２ つ の 四 分 位 偏 差 値 を わ け る 呼 び 名 は 決 め られ て い ませ ん が,２ つ １組 と し て使 い ます か ら,区 別 す る 必 要 は な い で し ょ う. ◇ 注  (Q3-Q1)/2が

四 分位 偏 差値 と よば れ て い ま した が,こ れ は,標 準 偏 差 σの 簡 易 推

定値 とい う観 点 で した.本 文 で述 べ た四分 位 偏 差 値 は,「 σを使 う こ とに 対 す る代 案 」とい うち が った観 点で 導 入 した もの です.同

じ用 語 で,同

じよ う な量 を使 い ます が,観 点 の ち

が い に注 意 しま し ょ う.  ④

次 ペ ー ジ の 図2.2.2は

り,図2.2.3は(中   ま た,そ

位 値,四

分 布 の 情 報 を(平 均 値,標

準 偏 差)で 代 表 し た もの で あ

分 位 偏 差 値)で 代 表 した 場 合 で す.

れ ぞ れ の 情 報 を 図 示 し た もの が,表

  分 布 の 非 対 称 性 が 図2.2.2の

の 右 側 の 図 で す.

表 現 で は わ か ら な い の に 対 し,図2.2.3の

表 現 で はそ

の こ とが,２ つ の 四 分 位 偏 差 値 の ち が い と し て 把 握 で き る こ とに 注 意 して くだ さ い.  ⑤

表2.2.4は,四

前 処 理 が 必 要 で す.観

分 位 値 の 計 算 例 で す.「 観 察 値 を 大 き さ の 順 に 並 べ る 」と い う 察 値 の 数 が 多 くて こ の 作 業 を避 け た い と き に は,27ペ

ー ジの

図2.2.2 

図2.2.3 

表2.2.4 

平 均 値,標

中位 値,四

準 偏 差 とそ の 図 示

分位 偏 差値 と その 図 示

中位 値,四 分 位値 の 計 算 フ ォー ム(１) デ ー タ数 が 少 な い 場 合 中位 値 は6×(1/2)番

目の 値

  す なわ ち  156 第 ｌ四 分 位 値 は6×(1/4)=1.5番   １番 目は   ２番 目は  

目 の値

  128 134中

をとって

  1.5番 目は   131   これ が 第 １四 分 位 値 第 ３四 分位 値 は6×(3/4)番 目の 値   174と 求 め られ る

⑥ に 示 す 別 法 が あ り ます.   四 分 位 偏 差 値 は,前

述 した よ うに,こ

れ らの 差 と して 計 算 で き ます.

  こ の 計 算 フ ォ ー ム で は 「大 き さ の 順 を ０番 か ら つ け て い る 」こ と に 注 意 し て くだ さ い.こ

の た め,6/2す

な わ ち ３番 目の 値 が

  「そ れ よ り小 さ い 値 が ３つ,そ

れ よ り大 き い 値 が ３つ 」

だ と い う説 明 に つ な が り ます.   例 示 で は デ ー タ数 が 奇 数 で し た.偶 ば,(最

高 番 号/2)が2.5の

数 の と きに は,た

と え ば デ ー タ数 ６だ とす れ

よ う に 「.5」の 端 数 を も ち ま す か ら,３ 番 目 の 値 と ４番 目

の 値 の 平 均(一 般 に い え ば 前 後 の 値 の 平 均)を 中位 値 と し ます.   四 分 位 値 の 場 合 も 同 様 で す が,端   そ の 場 合 に は,前 す.た

とえ ば,1.25番

数 が1/4あ

る い は3/4の

場 合 も あ りえ ます.

後 の 値 に ３対 １ ま た は １対 ３の ウ エ イ ト を つ け て 加 重 平 均 し ま 目の値 は

（1番 目 の値 ×3）+（2番 目の 値 ×1）/ 4

表2.2.5 

中位 値,四

分 位 値 の計 算 フ ォー ム(２) 

デ ー タ数 が 多 い場 合 デー タ を分 布 表 の 形 に 整 理 して フ ォー ム １ と同様 に 計 算 す る.  値120ま

で で17%

 値130ま

で で42%

 10の 増 加 ⇔25%の   3.2の 増 加 ⇔8%の  値123.2ま よ って,第

増加 増加

で で25% １四分 位 値 は123.2

同様に

図2.2.6 

中位 値 は, 

133.2

第 ３四 分 位 値 は, 

144.7

比例配分

表 か ら,(120,17%),(130,42%)の

位 置

を結 ぶ 直 線 をか き ます.   この 線 上 で点(Ｘ,25%)の

Ｘ について

とな って い る こ とか ら, X=120+(130-120)×〓

で す.   ⑥  デ ー タ数 が 多 い 場 合 に は,計

よ うに,基

礎 デ ー タ を度

数 分 布 表 に 表 わ した 上 で 計 算 し ま す.度 数 の 累 積 値 を求 め て お く と,そ

れが値 域 の上

限 以 下 の デ ー タ数,い

算 フ ォー ム(表2.2.5)の

い か え る と,デ ー タ番 号 に な っ て い る こ と に 注 意 して,フ

ォー

ム の 右 に 付 記 し た 説 明 をみ て くだ さ い.   要 は,図2.2.6に

示 す 比 例 配 分 の 計 算 で す.

  ◇ 注 １  図2.2.2に

お い て標 準偏 差 のか わ りに(0.674× 標 準偏 差)を 使 うこ とが 考 え られ

  ます.「 箱 の 中に観 察 値 の1/2が 入 る」よ うにす る ため の 調整 です.図2.2.3と

比較 できる

  図 に な り ます.  ◇ 注 ２  中位 値,四 分 位値 の計 算 式 に お け る端 数 の 扱 い に つ い て は,い   異 な った案 が 提 唱 され て い ます.3.7節

くつ か の 観 点 か ら

で補 足 します.

2.3  分 布 に よる 表 現 ①

個 別 デ ー タ リス ト   観 察 値 ひ とつ ひ とつ は,観 察 単 位 に 対 応 す る番 号Ｉ と

観 察 値XIの が っ て,右

セ ッ トだ と考 え る こ と が で き ま す.し

た

表2.3.1個

別 デー タ リス ト

表 の よ うに 記 号 化 で き ます.

  こ れ を,個

別 デ ー タ リス トと よ ぶ こ と に し ま し ょ う.

も ち ろ ん,こ

の 形 式 に リス トさ れ て い て も,ち が っ た 形

式 で リス トさ れ て い て も,あ

る い は,コ

ン ピュ ー タ の 記

憶 装 置 に 記 録 さ れ て い て も,本 質 は 同 じで す か ら,観 察 単 位 ひ と つ ひ とつ に 対 応 す る 情 報 と い う 意 味 で 「個 別 デ ー タ 」と い う 呼 称 を 使 い ま し ょ う.   統 計 的 な 見 方 で は,こ

れ ら ひ とつ ひ とつ の 要 素 に 注 目す るの で は な く,全 体 を ま と

め て １つ の バ ッ ジ と み な し,バ

ッ ジ と し て の 特 徴 を よ み と る こ と を考 え ま す か ら,な

ん ら か の 処 理 を加 え る こ と に な り ま す が,そ

の た め の 素 材 と し て,「 情 報 価 値 」を

も っ て い る の で す.   個 別 デ ー タ に 処 理 を加 え る こ と に よ っ て,そ

れ が も っ て い る 情 報 を,「 説 明 し う る

形 に し て い く」,そ れ が 統 計 処 理 だ と位 置 づ け られ る の で す.い

い か え る と,

デ ー タが 潜 在 的 に も っ て い る情 報 を 「顕 在 化 す る手 順 」 が 統 計 処 理 だ と い う こ とで す.   デ ー タ が も っ て い る情 報 を落 と す こ とな く,表 現 を 簡 単 化 す る … こ の 原 理 を パ ー シ モ ニ イ(parsimony) と よ び ます.た

とえ ば,バ

ロ ス が 大 きす ぎ る,よ

ッ ジ を ｌつ の 平 均 値 で代 表 す る と簡 単 化 で き るが,情

っ て,標

準 偏 差 を併 用 し よ う,い

が 個 人 差 に 関 す る情 報 の ロ ス は 防 げ る … い く と きの 指 導 原 理 が,パ  ②

分 布 表 

こ うい う形 で 統 計 処 理 の 手 法 を組 み 立 て て

ー シ モ ニ イ です.

個 別 デ ー タ(た と え ば 試 験 の 成 績)を 整 理 す る た め に,そ

と つ ひ と つ 読 ん で も ら い,90点 て カ ウ ン ト して い く ….こ

台,80点

台,…

図2.3.2慣

計学でいう 「 分 布 表 」を 求 め る 作

業 手 順 に な っ て い るの で す.   した が っ て,こ

の 作 業 に よ っ て,分 布 表 と い

う概 念 を 意 識 し て い な くて も,分 布 表 を使 っ た デ ー タ 整 理 を,実   そ う し て,こ

と わ け て,人

践 して い る の で す.

の 形 に 整 理 した 結 果 は,統

計手

法 と して 重 要 な 基 本 概 念 で あ り,デ ー タ の 特 徴 を 把 握 す る 手 段 に な っ て い る の で す.   こ う し て 整 理 手 順 は,統

の値 をひ

数 を 「正 」の 字 を 使 っ

う い う作 業 を した 経 験 を 多 くの 人 は も って い る と思 い ま

す.   こ れ が,統

報の

く ら か 扱 い が め ん ど うに な る

計 手法 として重要 な

用 さ れ る デー タ 整理 の 方 法

表2.3.3(a) 

分 布 表

図2.3.3(b) 

分 布 図

注:端 数 を切 り捨 て た 場 合 は,50∼59.99 の よ うに 表 わ し ます.

意 味 を も ち ます か ら,表2.3.3(a)に

示 す フ ォー ム に ま と め ま す.

 こ れ が,「 分 布 表 」で す.  度 数 は,相

対 頻 度 す な わ ち 「総 度 数 を100と

す る 比 率 」で表 わ す の が 普 通 で す.

 そ の 場 合 を区 別 す る に は 「頻 度 分 布 」 と よ び ます.  累 積 度 数 に つ い て は 後 で 説 明 しま す.  ③

分布 図

  分 布 表 を 図2.3.3(b)の

よ う に 図 示 し た も の を,分

布 図 とよ び ま

す.   表 で も図 で も 原 理 は 同 じ です が,分 有 効 で す.分

布 の 形 を よみ と り比 較 す る に は,図

を使 う方 が

布 図 で は,

  値 域 の 区 切 り幅 に 対 応 す る 幅,度 に と っ た 棒 を列 記 し ます.た

数 に対応 す る高 さ

だ し,度 数 は,値

域 の幅 の 大 小 に 関 係 し ます か ら,値 域

の 幅 が 等 し く な い 値 域 が あ る場 合 に は,   あ る標 準 幅 を想 定 し,標 準 幅 あ た りの 度 数 に 換 算 した もの を使 い ます.た   表2.3.4は,こ

と え ば,値

域 の 幅 が ２倍 と な っ て い る箇 所 で は 高 さ を1/2と

う い う調 整 を適 用 し て分 布 図 をか い た例 で す.図2.2.1の

し ます. 右 側 に示

して あ っ た もの で す.   図 の 点 線 は,幅

の ち が い に対 す る 調 整 を し て い な い 場 合 の 棒 で す.説

き足 した も の で す か ら,実 際 に は,か

き ませ ん.

  ④   分 布 表 や 分 布 図 を か く と き に は,値

域 の数 を適 当 に 決 め る こ とが 必 要 で す.

  分 布 の 形 を よ み と る た め に使 う もの で す か ら,よ をみ て,区 分 数 を増 や し た り,減   図2.3.5は,賃

明の ため に書

み と りや す くな っ て い る か ど うか

ら し た り し て適 当 な 区 分 数 を探 索 し ま し ょ う.

金 の デ ー タ に つ い て ３ とお りの 区分 数 で か い た 分 布 図 で す.

  も との デ ー タ は 同 じ で も,区 分 の と りか た に よ っ て,こ え る 図 に な り ま す.区

の よ うに ち が っ た 印 象 を 与

分 数 が 少 な い と,ピ ー クの 位 置 が は っ き りつ か め ませ ん.区

分

数 が 多 す ぎ る と,不 規 則 な 凹 凸 が め だ っ て 形 を つ か み に く くな り ます.   「で は 区 分 数 を い くつ ぐ ら い に す れ ば よ い か 」と い う こ と に な り ます.こ よ う とす る 公 式(ス タ ー ジ ェ ス の 公 式)も あ り ます が,分

れに答え

布 形 に 関 して あ る仮 定 をお

表2.3.4 

分 布 図 をか くた め の 計 算 と分 布 図

値域幅の ちが いに対応する調整が必要. 図2.3.5 

区 分 数 をか え た 分 布 図の 例

い て 誘 導 さ れ た もの で す か ら,「10前

後 と い う程 度 で,試

し て み る」 とい う方 針 で 十

分 で す.   図1.4.3(13ペ

ー ジ)の 高 年 齢 の 分 布 図 の よ う に,分

布 形 が 双 峰 形 に な っ て い て,

異 質 な デ ー タが 混 在 して い る可 能 性 が あ る と き,区 分 数 が 少 な い と,そ れ を 見 逃 し て し ま い ます.し

た が っ て,こ

う い う事 態 が 予 想 さ れ る と き に は,区

分 数 や 区 切 り方 を

工 夫 し ま し ょ う.  ⑤

デ ー タの 区 切 り を 「切 りの よ い 値 に す る 」方 針 を と るの が 普 通 で す が,観

察値

自体 が ラ ウ ン ドされ て い る 場 合 な ど,「 切 りの よ い 値 が 中 心 に な る よ う に す る 」方 針 を と る 方 が よい と され る場 合 も あ りま す.  

切 りの よ い 値 を区 切 り値 と し た例  100∼200,200∼300,300∼400,…

 

切 りの よ い 値 を 中心 と し た例

  値 域 の 表 示 に お い て100∼200と

  150∼250,250∼350,350∼450,…

せ ず100∼199と

し,ち

明 示 せ よ と い う コ メ ン トが あ るか も しれ ませ ん が,2.1節

ょ う ど200の

場合 の扱 い を

の ⑨ で 説 明 し た よ うに,

種 々 考 え るべ き点 が 関 連 して き ま す.   区 切 り幅 が 等 し く な い と き に は 「 標 準 幅 あ た りの 度 数 に 換 算 」す る こ とが 必 要 だ と 注 意 して お き ま した.統 の が よ くあ りま す.す

計 書 に 掲 載 さ れ て い る分 布 表 に は,こ

う い う調 整 を要 す る も

べ て の 範 囲 を 等 間 隔 に 区 切 ろ う とす る と 区 分 数 が 多 くな る,区

分 数 を一 律 に 減 ら そ う と す る と,ピ ー クの 部 分 の 表 示 が 粗 く な る ….こ

う い う理 由

が あ る の で す.   ま た,一 番 小 さい 区 分 の 下 限 あ る い は 一 番 大 き い 区 分 の 上 限 が 明 示 され て い な い 場 合 も あ り ま す.度

数 が 少 な け れ ば それ を ど う想 定 して も 図 に は ひ び き ませ ん が,度

が 多 い と き に は 困 り ま す.こ  ⑥

こ れ ま で の 例 示 で は す べ て,観

ま した が,こ

数

の場合 の対 応策 につ い ては後 の節 で考 えます. 察 値 の 値 域 を 「観 察 値 そ の も の 」で 区 切 っ て い

れ 以 外 の 考 え 方 が あ り え ます.

  た と え ば,賃

金 の 分 布 の 年 次 変 化 をみ る場 合,経

わ りま す か ら,同

じ10∼20万

られ て い た もの が,低

円 とい っ て も,あ

済成 長 に ともなって貨 幣価値 が か

る時期 に は平 均 的 な所得 階 級 だ とみ

所 得 区 分 とみ られ る こ とに な る で し ょ う.い

い か え る と,名

目

上 の 金 額 で 階 級 わ け す るの で な く,相 対 的 な 位 置 に 注 目 し て 階 級 わ け す る方 が よい … そ う い う場 合 が あ り ます.   そ う い う場 合 に 採 用 され るの は,値   上 位1/5, 

中 の 上1/5, 

の よ うに 区 切 る方 法 で す.こ た い と き に は,同

中 の 下1/5,下

れ を,「 五 分 位 階 級 」 と よ び ます.さ

じ観 点 で10区

表2.3.6 

の 大 き さ の 順 に 注 目 して,た

中 の 中1/5, 

とえば

位1/5 らに細 か く区分 し

分 し た 「十 分 位 階 級 」が 使 わ れ ます .

家計 調 査 で採 用 さ れ て い る分 布 の 情 報 表 現

  表2.3.6は,家  ⑦

計 収 入 の 分 布 に つ い て の 実 例 で す.

累 積 分 布 表,累

積 分布 図

  分 布 表,分

布 図 で は,値

域 を 「い くつ か ら い くつ

ま で 」と い う 区 切 り方 を し て値 の 分 布 をみ て い ます が,「 い くつ 以 下 の 範 囲 」と い う 区 切 り方 に 対 応 させ て値 の 分 布 を み る こ と も考 え られ ます.こ

の 見 方 で は,

S1=N1 S2=S1+N1=N1+N2 S3=S2+N2=N1+N2+N3

と度 数 を 累 積 し た もの を 表 示 ま た は 図 示 す る こ と と な るの で,累

積 分 布 表,累

積 分布

図 と よび ます.   表2.3.7は,表2.3.4に

対 応 す る 累 積 分 布 表 と累 積 分 布 図 で す.

  累 積 分 布 図 で は,棒

を 列 記 す る 形 で な く,折 れ 線 で 表 わ す の が 普 通 で す.「 値 域 の

上 限 と そ れ ま で の 累 積 度 数 の 関 係 」を み る と い う趣 旨 か ら,棒   横 軸 は,分 す が,縦 す.そ

の 右 肩 を 結 び ます.

布 図 の 場 合 と同 じ く,「 分 布 を み よ う とす る変 数 Ｘ 」の 値 を示 して い ま

軸 が 「Ｘ ま で の 頻 度 を足 し あ げ て い っ た も の 」で す か ら,右 上 が りに な り ま う し て,Ｘ

の 頻 度 が 大 き い と こ ろ で 大 き く増 加 す る,す

な わ ち,傾

斜が急に

な っ て い ます.   こ の例 の 場 合,分

布 図 の ピー ク の 位 置 に あ た る10の

付 近 で急 傾斜 に な ってい るこ

とが 確 認 で き る で し ょ う.し か し,「 ど の 辺 の 値 が 多 い か 」を み る に は,分

布 図 の方

が よ み や す く,そ の た め に 累 積 分 布 を 使 う必 要 は あ り ませ ん.   累 積 分 布 は,主

と して 「分 布 の 形 を 扱 う理 論 」で 使 わ れ る もの と 了 解 し て お け ば よ

い もの で す が,分

布 形 の 比 較(第 ７章)や 四 分 位 値 の 計 算(2.2節)で,こ

表2.3.7 

分 布 図 をか くため の 計 算 と 累積 分 布 図

の 表 現 を使

図2.3.8(a) 

デー タ整 理 法

図2.3.8(b) 

幹 葉 表 示 の イ メー ジ

い ます.   こ こ で は,も  ⑧

幹葉 表示

ま す.そ

布 表,分

布 図 に つ い て の考 察 を つ づ け ます.

  分 布 表 あ る い は分 布 図 は,デ

ー タ 整 理 の 作 業 用 とい う意 味 が あ り

の こ と を意 識 し て,幹 葉 表 示 とよ ば れ る 「表 示 法 」が 提 唱 さ れ て い ます.

  表2.3.2に に,値

とに も ど っ て,分

示 し た デ ー タ整 理 手 順 で は 度 数 を表 示 し ま し たが,図2.3.8(a)の

よう

を記 録 して お く こ とが 考 え ら れ ま す.

  まず,デ

ー タ を図2.3.8(a)の

  す る と,60台,70台

形 に 整 理 して み ます.

が 最 も 多 い が,80台

も 多 い,そ

さ れ て い る ６デ ー タ 中 ３つ が ち ょ う ど60に

の あ た りが 中 心 だ が,60台

な っ て い る の が 気 に な る,こ

と

の よ う に,

分 布 の 形 を 細 か く観 察 で き る こ と に な り ます.   こ の 形 に お け る40∼,50∼,60∼,な 察 値45,40,48,な

ど を 幹 に お け る枝 わ か れ の 位 置 とみ な し,観

ど を,そ れ ぞ れ の 枝 に つ い た 葉 だ と み た て て,図2.3.8(b)の

に 表 わ し,こ れ を 「幹 葉 表 示 」(stem and   原 理 は 同 じで す か ら,図2.3.8(a)や

leaf display)と

よう

よ び ます.

次 に 説 明 す る 図2.3.9も,幹

葉表 示 とよ ん で

よ い で し ょ う.  ⑨

分 析 過 程 と い う意 味 で は,ま

ず,デ

ー タの 区 切 り幅 の 決 め 方 か ら考 え る こ とが

必 要 で す.   「切 りの よ い 区切 り」で す か ら,ま ず10の が 細 か す ぎ る な ら20の

倍 数 で 区 切 っ て み る,そ

う し て,区

切 り

倍 数 で 表 示 し な お し,区 切 りが 粗 す ぎ る な ら ５の 倍 数 で 表 示

しな お す … こ うい う使 い 方 を 予 想 す る と,分 布 図 と ち が っ て 棒 の 中 に 数 字 を 入 れ て あ る と こ ろ が い き て き ます.す

な わ ち,区

切 り方 を変 更 し た 書 き換 え が 簡 単 に で き ま

す.   幹 葉 表 示 で は,各 枠 外 に お き,枠

棒 の デ ー タ の 共 通 部 分(図2.3.9(a)の

例 で は10の

桁 の 数 字)を

内 に は そ の 後 に つ づ く部 分(こ の 例 で は １の 桁 の 数 字)だ け を お く表

わ し方 に し ま す.   分 布 図 は,こ の 端 数 部 分 を 無 視 す る こ とに よ って 「 分 布 の 形 を み よ う」 とす る もの だ と解 釈 で き ま す.

図2.3.9(a) 

幹 葉 表 示 の 表 現 例(１)

図2.3.9(b) 

幹 葉 表示 の 表 現 例(２)

共通 部 分 とそ の 後 の 部 分 を わ け て 表 示.

  この 図 で は,横 軸 の値 域 の 表 現 に お い て,「 ＊」 を0∼9を 代 表 す る 記 号 と し て 使 っ て い ま す が,こ の 幹 葉 表 示 を提 唱 したTukeyは,５ き ざ み に す る場 合 や ,２ き ざみ に す る場 合 に 対 し て,次

図2.3.9(c)は,５

の 記 号 を使 う よ うに 提 案 し て い ます .

き ざ み に し た 例 で す.

図2.3.9(c) 

幹 葉 表示 の 表 現例(３)

  区 分 ６・の と こ ろ で ０が 多 い こ とが 気 に な り ます.こ り,60点

の デ ー タ は 「試 験 の 評 点 で あ

未 満 が 不 合 格 と さ れ る」 もの だ と い う こ と を考 慮 に 入 れ る と,６ ・の う ち の ３

人 を ５ ＊の と こ ろ に うつ す こ と で,「 分 布 の 真 の 形 」を よみ と る こ と が で き ま す .「 合 格 者 の得 点 分 布 と不 合 格 者 の 得 点 分 布 が わ か れ る」… 考 え ら れ る例 で す ね .   「分 布 の 形 を み る」 と い う 問 題 で は,な す か ら,こ す.

の例 の よ うに,計

ぜ こ うい う形 に な っ た か を 説 明 し た い の で

測 値 が 求 め られ る過 程 な ど を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で

 ⑩

２変 数 の 場 合 の 幹 葉 表 示

  こ れ ま で の 幹 葉 表 示 で は,棒

の位 置決 め の ため に

使 うデ ー タ と,棒 の 中 に 表 示 す る デ ー タ は 同 じ もの で し た.   こ れ に 対 して,図2.3.9(d)の

よ うに,棒

の位 置 を決 め る た め の デ ー タ Ｘ,棒

に 表 示 す る デ ー タ Ｚ を ち が っ た もの に す る こ と も考 え ら れ ま す.例

示 で は,Ｚ

の中 の値

が Ｍ ま た は Ｆ に 二 分 さ れ る もの と して い ます.   この形 の幹葉 表示 に よって  Ｘ の 変 化 に 対 す る Ｚ の 効 果 を み る こ とが で き ま す.例

示 の 場 合 は,

 Ｘ の 大 き い部 分 ほ ど,Ｚ

の 区 分 が Ｍ の もの が 多 い

こ とが よ み と れ ます.  ◇ 注   Ｚ が ２区分 の場 合 に つ い ては,図2.3.9(e)の

図2.3.9(d) 

幹 葉 表 示 の 表 現 例(４) 

２変 数 の 関 係 を み る 場 合,Ｘ し,Ｚ

よ うに 表 わす こ とが 考 え られ ます.

図2.3.9(e) 

幹 葉 表 示 の 表 現 例(５)

で位 置 決め

を表 示.

「変 数 Ｘ の分 布 をみ る 」もの で は な く,「 Ｘ と Ｚ の 関係 を み る 」もの に な っ て い る.

2.4  分布 形 のモ デ ル  ①

観 察 値 の 分 布 図 を み る と,「 １つ の ピ ー ク が あ り,そ れ か ら 離 れ る に つ れ て低

くな る」 とい う形 に な って い る こ とが 多 い で し ょ う.し た が っ て,観 け る 細 か い 凹 凸 に と らわ れ ず,な

察 値 の 分布 にお

め らか な カ ー ブ で 表 わ さ れ る分 布 形 を 想 定 して 「 観

察 値 の 分 布 」に 関 す る 一 般 的 な 説 明 を 展 開 で き る よ う に す る … そ の た め に,統

計学

で は,デ ー タの 分 布 形 を  

「 現 実 に観 察 され た 分 布 形 」と

 

「そ の モ デ ル と い うべ き あ る 標 準 的 な 形 」

と を 区別 し ます.   た だ し,観 察 値 の 分 布 図 に お い て,棒

の ア タ マ をつ な ぐ 「な め ら か な 線 を書 き 込

む 」 と簡 単 に 扱 え る問 題 で は あ りませ ん,   統 計 学 の論 理 と し て は,  

観 察 値 の もつ 偶 然 的 な 変 動 を消 去 し て,

  その背 後 に あ るモデル を示す とい う意 図 を も っ て い るの で す か ら,「 なめ らか な 線 を書 き込 む 」こ と を 「モ デ ル を考 え る 方 向 へ 進 む 第 一 歩 」 とみ な す べ き で す.そ

して,モ

デ ル と い う 以 上,「 観 察 値 の

分 布 図 を な め らか な 曲 線 で つ な ぐ」 と い う基 準 だ け で な く,「 ど う い う状 況 下 で こ の 形 に な る こ とが 多 い 」 とい っ た 論 拠 を も ち う る も の を使 うべ き で す.   ②  ま た,あ

る分 布 形 を採 用 す る理 論 的 根 拠 づ け が あ っ て も,い

る パ ラ メー タ を 含 む の が 普 通 で す.た

くつ か の か わ り う

と え ば,「 分 布 の 位 置 」 と 「分 布 の ひ ろが り幅 」

の ち が い は,「 形 」の ち が い で は な く,パ

ラ メ ー タ(形 を表 わ す 指 標 の 数 値)の ち が い

と して 扱 う の が 普 通 で す.   す で に 説 明 し た 平 均 値 は位 置 の 指 標 で あ り,標 準 偏 差 は ひ ろが り幅 の 指 標 で す.   た だ し,そ れ らの ち が い で は 説 明 で き な い 部 分 が 残 り ます か ら,位 を そ ろ え た 上 で,分

置 とひ ろ が り幅

布 の 形 を み る(数 理 で は こ うす る こ と が 多 い)か,パ

数 や 選 び 方 な ど を 工 夫 して,パ

ラ メー タ の

ラ メー タ の ち が い と し て 説 明 で き る 範 囲 を ひ ろ げ る

(次 節 で 説 明)こ と を考 え ます.  

◆ 分布形の比較(一般) 位 置 の ち が い  ひ ろ が り幅 の ち が い 

形 の ち が い 

形 の ち が い(位 置 と幅 を そ ろ え て)  この フ レ ー ム で 「位 置 と幅 を そ ろ え る 」こ とは,変

す な わ ち,偏

数 Ｘ を 扱 う と きに,

差 値 に お き か え る こ とを 意 味 し ま す.

  こ の お きか え を 「標 準 化 」と よ び ま す.   な お,次

項 で 説 明 す る正 規 分 布 は,２ つ の パ ラ メー タ を含 み,そ

と,分 布 の 形 は 確 定 し ます.し と 同 等 とな り ます.い

れ ら の 値 を定 め る

た が っ て,「 形 の 比 較 」は 「２つ の パ ラ メー タ の 比 較 」

いか え る と

  モ デ ル の タ イ プ を 「正 規 分 布 」と想 定 で きれ ば,   デ ー タに フ ィ ッ トす る よ う に ２つ の パ ラ メー タ を 選 ぶ こ と で,デ

ー タに フ ィ ッ トす る分 布 形 を見 出 す こ とが で き るの で す .

◆ 分布形の比較(正 規分布の場合)

位 置の ちが い ひろが り幅の ちが い

形 の ちが い 

特定 の形 に な る(標 準正 規 分布)   正 規 分 布 以 外 の 場 合 も,た

い て い は,位

置 を 示 す パ ラ メー タ,ひ

ろ が り幅 を 示 す パ

ラ メー タ と解 釈 さ れ る パ ラ メー タ を含 ん で い ます か ら,こ れ ら ２つ を 「 分 布 形 を比べ る」問 題 と切 り離 し て 扱 う こ とが で き ます.

  こ れ ら の パ ラ メー タ で 決 ま ら な い 部 分 の 比 較 は,こ で形 を比 較 す る の が 普 通 で す が,形

れ ら の パ ラ メ ー タ を そ ろ え た上

の 比 較 は め ん ど うで す か ら,た

と え ば,分

布形の

「左 右 非 対 称 度 」 を 表 わ す パ ラ メ ー タ な ど を 導 入 し て,数 値 の 比 較 と し て 扱 え る 範 囲 を ひ ろ げ る こ と を考 え る の が ひ とつ の 代 案 で す が,問

題 が ひ そ ん で い る の で,3.2節

の ⑤ で 説 明 し ます. ◆ 分 布 形 の 比 較(パ ラ メ ー タ を増 や す扱 い)

位 置 の ち が い  ひ ろ が り幅 の ちが い 

形 の ちが い 

そ の他 の 指 標 で み た ち が い  ③

正 規 分布  

② で 述 べ た よ う に,分

布 形 の モ デ ル の ひ とつ と し て,正

規 分布

(ま た は ガ ウ ス 分 布)が あ り ます.   これ は 同 一 条 件 下 で 観 察 を く りか え して 得 られ た 「多数 の デ ー タの 平 均 値 」 を扱 う と き に 適 合 す る こ とが 多 い こ とか ら,そ

う い う場 面 を 想 定 して 誘 導 され た 理 論 モ デ ル で す.自

デ ー タ を扱 う場 合 に こ の 正 規 分 布 を 想 定 す る こ とが 多 い の は,そ

然科 学 分 野の実 験 う い う理 由 が あ るか

らで す.   し か し,非 実 験 デ ー タ を扱 う社 会 科 学 の 分 野 で は,「 同 一 条 件 と い う想 定 は 無 理 」 で あ り,「 正 規 分 布 を 想 定 で き る場 合 は,ほ だ し,そ

の こ と を承 知 の 上 で,ひ

  こ の 分 布 形 は,次

と ん ど な い」 こ と に 注 意 し ま し ょ う.た

とつ の 参 考 に す る こ とは あ り え ます.

の 式 で 表 わ さ れ ま す.

  こ の 式 に お け るexp(X)は

Ｘ が1,2,3,…

か わ る 指 数 関 数 で す が,倍

数10の

と変 化 し た と き1,10,100,…

か わ り に,あ

と等 比 的 に

る 定 数e(2.71828…)を

使 う もの で

の と こ ろ が ピ ー ク に な り,左

右 対称 に な って

す.   こ の 形 は,図2.4.1の

よ う に,X=μ

い ま す.

  ま た,X=μ

± σの と こ ろ で 変 曲 点 と な って

い ま す.  こ の 分 布 に

Ｘ を,

と お き か え て 扱 う と(標 準 化 す る と い い ま す), 標 準 化 した 値ｕ の 分 布 形 は

図2.4.1 

正 規 分 布

図2.4.2 

標 準正 規 分布 と比 較 す るた め の 計 算(男,40∼49歳,1985年)

この 表 か ら

これ を使 っ て偏 差 値 と幅 １あ

統 計 数値 表 を使 って標準 正規 分布 の

 平 均 値=135.1

た り換 算 値 を計 算 し,分 布 図

カー ブ を書 き込 ん で 比 較 で き る.

 標 準 偏 差=17.0

をか く.

と表 わ さ れ ま す.こ

れ を,標

準 正 規 分 布 と よ び ま す.

 正 規 分 布 形 は ２つ の パ ラ メー タ μ,σで 決 ま る形 に な っ て い ま す.そ

う して,こ

れ

らの パ ラ メー タは,  μ=∫xf(x)dx,σ2=∫（x-μ）2dx と し て 求 め ら れ ま す.し

た が っ て,モ

デ ルf(X)の

か わ りに観 察 値 の 分 布 を お き,積

分 の か わ りに 和 で お きか え る と   μ=Σxf（x）, 

σ2=Σ （x-μ ）2f（x）dx

とな る こ とか ら,こ れ らの パ ラ メー タ が,そ

れ ぞ れ 平 均 値,分

散 に 対 応 して い る こ と

が わ か り ま す.   ま た,こ 均 値,標

の こ とか ら,デ ー タ に も とづ く平 均 値,標

準 偏 差 が 得 られ て い る と き,平

準 偏 差 が こ の μ,σ と一 致 す る正 規 分 布 を え が く こ と が で き ま す.ま

た,観

察 値 の 分 布 が 正 規 分 布 に 合 致 し て い る か ど うか を調 べ る こ と も で き ま す.  ④

図2.4.2は,こ

の ため の 計 算 例 と,え が か れ た 分 布 比 較 図 で す.

  理 論 的 モ デ ル と比 べ る ため に 観 察 値 の 分 布 図 をか く と きに は,デ き か え た 上,区

ー タ を偏 差 値 に お

分 幅 １,す な わ ち偏 差 値 １に 対 応 す る 度 数 に 換 算 し,そ れ を 高 さ とす

る 点 を つ ら ね て 分 布 図 を か き ま す.そ

の 図 に,統

計 数 値 表(後 述 ⑤)を 使 っ て,標

準

正 規 分 布 の カ ー ブ を書 き込 ん で 比 べ て み る の です.   こ の 例 で は,「 正 規 分 布 だ と仮 定 で き な い 」 と判 定 で き ま す.も く区切 っ て 分 布 図 をか く と は っ き り し ま す が,後 で,こ

う少 し値 域 を 細 か

で も っ と簡 単 な 方 法 を 説 明 し ます の

れ で や め て お き ま し ょ う.

◇ 注2.3節

の⑤ で 「 分 布 図 を か く と きの 値 域 は切 りの よい 値 で 区 切 れ」と い い ま し た

が,平

均 値 ±K×

標 準 偏 差 （K=0,1,2,…

図2.4.3  統計数 値表の読み方

）の と

こ ろ で 区 切 る の が 有 効 な 代 案 で す.   デ ー タ 数 が 多 け れ ば,K=0.0,0.5,1.0,1.5, … で も よ い で し ょ う.い ず れ に し て も,偏

差値

に お き か え て 扱 う こ と と 同 等 で す.

 ⑤

標 準正 規分 布 に関 す る数値 表

  この標

準正 規分布 に関 して は,図 の   Ｕ におけ る分布 曲線の 高 さ Ｚ=φ(u)

Uαに対 応す る確率  αに対 応す る区切 り値 

α=Q(u)

Uα

を求 め る数 値 表 が た い て い の テ キ ス トに 掲 載 され て い ま す.ま

た,こ

れ らを計算 す る

プ ロ グ ラ ム も あ り ま す.   表2.4.4は,そ

の 一 部 で す.

  ◇ 注   Uα を αパ ー セ ン ト点 と よび ます.棄 却 限 界 とい う呼 び 方 もあ りま す が,第 ５章 で  説 明 す る 「 仮 説検 定 」の場 面 の用 語 で あ り,ま た,そ の 場 面 で は種 々 の使 い わ け が 必 要 で す か ら,一 般 に は,パ ー セ ン ト点 とよぶ こ とに しま し ょ う.   くわ しい 数 値 は こ れ ら を 使 っ て 求 め るべ き で す が,次

の こ とは 知 っ て お くと よ い で

し ょ う.  ￨U￨＜1 

の 範 囲 に デー タ の 約2/3が

包 含 さ れ る.

 ￨U￨＜0.674  の 範 囲 に デー タ の約1/2が

包 含 さ れ る.

 ￨U￨＞2 

の 範 囲 に 入 る デ ー タ は ほ ぼ5%

  U=0 

の と こ ろ で Ｚ は1/√2π す な わ ち ほ ぼ0.40で

表2.4.4

ある

  ⑥  正 規 確 率 紙 タ に つ い て,そ

図2.4.5 

正規 分 布 に したが うデー

正規確率紙 の使用例

の累積 分布 が直 線 に な る よ うに

目盛 り の と りか た を 定 め た 方 眼 紙 が あ り,正 規 確 率 紙 と よ ば れ て い ます.   こ の 正 規 確 率 紙 は,市 販 され て い ます.   実 際 の 観 察 値 に つ い て,そ

れ が正 規 分 布 に し

た が う と仮 定 して よ い か ど うか を 判 定 す る た め に,こ

の 正 規 確 率 紙 を 使 う こ と が で き ま す.

  図2.4.5は,図2.4.2の に お き か え た 上),正 の で す.ま

分 布 図 を(累 積 分 布 規 確 率 紙 に プ ロ ッ トし た も

た,表2.4.6は

その た め に必 要 な計

算 で す.   こ の デ ー タ で は,  

直 線 とな っ て い な い  ⇒ 正規分 布 だ といえ ない

と判 定 で き ます. ◇ 注  UEDAに   図2.4.2を

は,こ の 方眼 紙 をプ リン ト出 力 す るプ ログ ラム を用 意 して あ ります.

か くため に 必 要 だ っ た 計 算 と比 べ て,図2.4.5を

プ ロ ッ トす る た め の 計

算 は ず っ と簡 単 で す.   こ の 図 の 縦 軸 の 目盛 りは,％

の 値 が き ざ ま れ て い て も,座 標 の 位 置 の 実 寸 は,％

の 値 で な く,そ の ％ に 対 応 す る 偏 差 値(図 の右 側 の ス ケ ー ル)に な っ て い ます.   第 ７章 で,こ  ⑦

の こ とに 関 す る 説 明 をつ づ け ます.

正 規 確 率 紙 を使 う だ け な ら,⑥

の 説 明 で 十 分 で し ょ うが,後

の 章 の説 明 に つ

な げ る た め に,「 そ の 仕 組 み 」に つ い て 補 足 して お き ま し ょ う.   こ の 図 に プ ロ ッ トす るの は,Ｘ

表2.4.6

と Ｐ(x<X)の

関 係 で す.し

た が っ て,累

正 規 確 率 紙 に プ ロ ッ トす る ため の計 算

⇒120以

下 の 度 数 が17.0%.

よ って 横 軸120,縦

軸17.0

の と こ ろに 点 を と る. 他 の 箇 所 に つ い て も 同様 に 点 を と り,線 でむ す ぶ.

積 分布 図

図2.4.7 

で す.こ

正 規 確 率 紙 の 原理

の 図 上 の 曲 線 は 分 布 の 形 に対 応 し,直 線 に な る と は 限 り ませ ん.正

規分 布 に

した が う場 合 も そ う で す.   そ こ で,正

規 分 布 に し た が う場 合 に,そ

れ が 直 線 に な る よ う,目 盛 りの と りか た を

か え た(変 数 変 換 し た値 を 軸 に と る よ うに した)の が,こ   こ の 変 換 に よ っ て,縦

の 正 規 確 率 紙 で す.

軸 に とっ た Ｐ の 値 が 「 正 規 分 布 が あて は まる とした場 合 の

Ｘ(以 下 Ｘ*と 表 わ す)」 に お き か え られ た と解 釈 で き ま す.   よ っ て,意

味か らい う と

  Ｘ の観察値  → 累積 頻 度 Ｐ  → 正 規 分 布 が あ て は ま る と仮 定 し た 場 合 の Ｘ* と対 応 づ け られ た こ とに な り ます.   い い か え る と,Ｐ

に 対 応 す る Ｘ と Ｘ*の 関 係 を プ ロ ッ トし た 図 に な っ て い ます.

  よ っ て,「 Ｘ と Ｘ*の 関 係 」を よむ こ とが で き ます.   ⑧  変 数変 換  

Ｘ そ の もの で な く,適 当 な変 換 を加 え た 値 に つ い て,正

を想 定 で き る こ と も あ り ま す.た

と え ば,所

得 Ｘ の 分 布 は,Y=logXと

扱 う と,正 規 分 布 と想 定 で き る こ とが あ りま す.た 在す る とみ な さ れ る場 合 な どが,こ   図2.4.8は,観

とえ ば,賃

規分布

変 換 して

金 の よ うに,下

限 が存

れ に あ た りま す.

察 値 の 分 布 を対 数 変 換 し た分 布 図 を か くた め の 計 算 例 と,変 換 前 後

の 分 布 図 で す.   計 算 部 分 に 関 して は,図2.4.2に

示 し た 標 準 化 の た め の 計 算 と ほ ぼ 同 じ で す が,

「 観 察 値 を 対 数 変 換 す る た め の 計 算 」が つ け 加 わ っ て い ます.  ⑨

変 数 変 換 は 種 々 の 目的 で 適 用 さ れ ま す が,そ

の ひ と つ と し て,「 分 布 形 を左 右

対 称 な タ イ プ に 変 換 す る 」 とい う場 合 が あ り ま す.た

と え ばY=（XP-a）/bの

形の

図2.4.8 

変 換 ルー ル を,Ｐ は Ｙ の 平 均 が0,標

分 布 形 の 対数 変 換

を適 当 に 選 ぶ こ とに よ っ て み つ け る 方 法 が 提 唱 さ れ て い ま す(a,b 準 偏 差 が １に な る よ うに 決 め る).

2.5  平均 値 の 分 布  ①

こ れ ま で の 節 で は,観

察 値 の 分 布 に 注 目 して い ま した.そ

う し て,平

準 偏 差 を 「分 布 形 の 特 徴 を 表 わ す 指 標 」 と して 使 って い ま し た が,ひ

均値 や標

とつ ひ とつ の観

察 単 位 の もつ 個 別 性 を 無 視 し て 「平 均 値 に 注 目す れ ば よ し」 と さ れ る 場 面 も あ りま す. こ こ で は そ の 場 面 に つ い て 考 え ま し ょ う.  ②

そ の 場 合 も 「平 均 値 は 観 察 単 位 の も つ 個 別 性 と 無 関 係 だ と は い え な い 」こ とに 図2.5.1 

「Ｎ 個 の 観 察 値 の 平均 値 」200組 の 分 布 図

注 意 し ま し ょ う.   た とえ ば,   「Ｎ 個 の 観 察 単 位 に つ い て 調 査 し,   そ の 結 果(Ｎ 個 の観 察 値)の 平 均 値 Ｘ を求 め る」 と い う実 験 を Ｒ 回 く りか え して,Ｒ

個 の 平 均 値 を求 め た と し ま し ょ う.

  現 実 の 場 面 で Ｒ 回 く りか え す とい うこ とで は な く,Ｘ

の 性 質 を考 え る た め に Ｒ 回

く りか え し た と考 え る の で す.   Ｒ 個 の 平 均 値 は 一 致 す る と は 限 りま せ ん.し

た が っ て,Ｒ

個 の 平均 値 のバ ラツ キ

が ど の 程 度 か を評 価 す る こ とが 必 要 と な る で し ょ う.  ③

５個(Ｎ)の

観 察 値 の 平 均 値 Ｘ を200組(Ｒ)求

の 平 均 値 の 分 布 図 が,図2.5.1の

ａ で す.

  ま た,図2.5.1の

場 合,図2.5.1の

ｄ はN=40の  ④

ｂ はN=10の

場 合(Ｒ は い ず れ も200)で

め た と し ま し ょ う.こ れ ら Ｒ 組

ｃはN=20の

場 合,図2.5.1の

す.

これ らの 図 か ら  Ｎ が か わ っ て も,分 布 図 の位 置 は か わ らな い こ と  Ｎ が 大 き く な る と分 布 図 の ひ ろ が り幅 が 狭 く な る こ と

が わ か り ま す.   こ れ らは,「 Ｎ 個 の 観 察 値 の 平 均 値 」の 分 布 図 で す か ら,  平 均 値 をμN, 

標 準 偏 差 を σN

と表 わ し ま し ょ う.   こ れ らに つ い て,統 計 学 の 数 理 で μN=μ1, 

σN2=〓

が 成 り立 つ こ とが 証 明 さ れ て い ます.   例 示 し た 図 に つ い て そ の こ と を確 認 で き ま す.す な わ ち,NσN2を 計 算 す る と,N =5 ,10,20,40に 対 して6749,8480,7152,7277で す.ほ ぼ 一 定 とみ て よ い で し ょ う.  ⑤

「ほ ぼ 一 定 」 とい っ た こ とに つ い て,補

足 が 必 要 で し ょ う.

  μや σな どの 指 標 値 は 観 察 単位 の 選 び 方 な ど の 影 響 を 受 け ま す か ら,正 確 に 等 し くな る と い う こ と で は な く,「 観 察 単 位 の 選 び 方 な どの 影 響 を 除 去 し た ら等 し くな る」 とい う性 質 を もつ と い う こ と です.   統 計 学 で は,「 観 察 単 位 の選 び 方 を か え て 観 察 す る 」こ と を 何 回 も く りか え し て(③ の 記 号 で い う と Ｒ を 大 き く して),得 何 回 も く りか えす こ とに よ っ て,観 こ とか ら,こ

ら れ た 結 果 の 平 均 値 を 「期 待 値 」と よ び ま す.

察 単 位 の 選 び 方 の 影 響 が 消 去 さ れ る と期 待 さ れ る

う よ ぶ もの と理 解 して くだ さ い.

  期 待 値 を表 わ す 記 号 Ｅ()を E(μn)=μ1, 

使 う と,④

E（ σn2）=〓

に 示 し た 関 係 式 は,

図2.5.2 

平 均 値 の 分 布(正 規 確 率 紙 に プ ロ ッ ト)

と表 わ さ れ ます.   こ の 関 係 か ら,観 察 単 位 の 選 び 方 の 影 響 が あ る に し て も,Ｎ

が 大 き く な る と,平

均 値 は 一 定 値 に 近 づ くこ とが わ か り ま す.  ⑥

ま た,平 均 値 の 分 布 の 形 に つ い て も,Ｎ

に よ っ て か わ り ま す が,

Ｎ が 大 き くな る と,平 均 値 の 分 布 は 正 規 分 布 に 近 くな る こ と も証 明 され て い ます.中   そ の 証 明 は,数

心 極 限 定 理 と よ ば れ る も の で す.

理 統 計 学 の テ キ ス トを参 照 し て くだ さ い.こ

した 「 正 規 確 率 紙 」を使 っ て 確 認 して お き ま し ょ う.図2.5.2で   こ の例 の場 合 Ｎ が20の  ⑦

実 際 の 問 題 で,②

ん が,平

こ で は,2.4節

で説 明

す.

場 合 で も,「 正 規 分 布 に 十 分 近 い 」こ と が わ か り ます. に 述 べ た よ うな 「く りか え し実 験 」 を行 な え る と は 限 り ませ

均 値 を使 う こ と の 根 拠 は こ れ らの 性 質 を使 っ て理 論 構 成 で き る の で す.た

だ

し,実 際 に 求 め られ るの は １つ の 平 均 値(期 待 値 で な く,１ つ の 標 本 値)で す か ら 注 意 し ま し ょ う.   第 ５章 で 「仮 説 検 定 」の 問 題 を扱 う と き に こ の 性 質 を使 う こ と に な り ま す.

問題 ２

【 分 散 の 意 味 と計 算 方 法 】 問 １  (ｌ)プ

ロ グ ラムAOV01Eを

使 っ て,分

散 の 意 味 と計 算 方 法 に 関 す る 説 明 を復

習 せ よ.そ の プ ロ グ ラ ム で 採 用 して い る計 算 手 順 は,2.1節   (２)プ

ロ グ ラムAOV02Eを

説 明 を復 習 せ よ.そ

使 っ て,デ

の どの 式 か.

ー タ数 が 多 い 場 合 の 計 算 方 法 に 関 す る

の プ ロ グ ラ ム で 採 用 し て い る 計 算 手 順 は,2.1節

の ど の式

か. 問 ２  こ の テ キ ス トで 示 す 「分 散 計 算 方 式 」に お い て,個

々 の 観 察 値 に 対 応 す る偏 差

を リス トす る形 で 計 算 を進 め た の は なぜ か. 【 計 算】 問 ３  (１)次

は,表2.1.1の

基 礎 デー タ で あ る.表2.1.1の

ぬ け て い る箇 所 を補 っ

て 計 算 し,結 果 を確 認 せ よ   34  38  35  42  39  41  42  40  45  40  44  38   (２)プ

ロ グ ラ ムAOV01Aを

ラムAOV01Aの

つ い て,平

均 値 と標 準 偏 差 を計 算 せ よ.

ロ グ ラ ムAOV02Aを

ラムAOV02Aの   注:UEDAに

計 算 を 行 な え.基 礎 デ ー タ は プ ロ グ

例 示 用 と して セ ッ トし て あ る.

問 ４  (１)表2.2.1に   (２)プ

使 っ て(1)の

使 っ て(1)の

計 算 を行 な え.基 礎 デ ー タ は プ ロ グ

例 示 用 と して セ ッ トし て あ る. セ ッ トされ て い る デ ー タ は,表2.2.1と

小 数 点 の 位 置 が 異 な る が実

質 的 に は同 じ もの で あ る.

コ ン ピュー タ 出力 にお け る数値 表 示 につ い て (１)コ

ン ピ ュ ー タ を使 う と,入

力 し た 数 字 の 精 度 い か ん に か か わ らず,あ

の 桁 数 に の ば し て(意 味 の な い ０ を つ け 加 え て)長

る標 準

い 桁 数 とみ な し て 計 算 す る た

め,「 桁 数 を そ ろ え る た め だ け で 意 味 の な い 数 値 が つ い た 数 」(ス ペ ー ス フ ィ ラ ー と よ び ま す)が 出 力 され ま す.そ (２)し

た が っ て,UEDAの

力 す る の で な く,適 (３)プ  

れ を そ の ま ま 答 え と し な い こ と.

プ ロ グ ラ ム で は,必

要 以 上 に長 い桁 数 をそ の ま ま 出

当 な 桁 数 を 想 定 して 出 力 す る よ う に し て い ま す.

ロ グ ラ ム で 想 定 し た 長 さ 以 上 の 結 果 に な っ た 場 合 は,数

け て 表 示 し ま す.前  ま た,1.23E+06の

値 の前に ％ をつ

の ％ を 落 と し て よ め ば よ い の で す. 形 式 で 表 示 さ れ る場 合 が あ り ま す.1.23×106の

こ と で す.

  (３)表2.4.2に

つ い て,平

均 値 と標 準 偏 差 を計 算 し,表

こ と を確 認 せ よ.基 礎 デ ー タは,フ 問 ５  付 表 Ａ に 示 す68世 値,標

ァ イ ルDI10Vを

に 示 す値 が得 られ る

使 う こ と.

帯 の 家 計 収 支 デ ー タの う ち 消 費 支 出 総 額 に つ い て,平

準 偏 差 を 求 め よ.基 礎 デ ー タ はDH10の

均

記 録 形 式 を か え たDH10Vを

使

う こ と. 問 ６  (１)問

５ と 同 じデ ー タ に つ い て,

  ａ.分 布 図 に 表 わ せ.た

だ し,デ ー タ の 区 切 り方 は2/4/6/8/10/12/14/16/18

に よ っ て ８区 分 に 指 定 す る こ と   ｂ.こ

の 分 布 表 に も とづ い て,平

  (２)添

付 プ ロ グ ラ ムAOV01Aを

均 値,標

準 偏 差 を求 め よ.

使 っ て(１)の 計 算 を 行 な え.こ

は ひ と つ ひ と つ の 世 帯 の デ ー タ を 使 う が,デ CVTTBL=…

を挿 入 し て お け ば,そ

ロ グ ラ ムAOV02Aを

のプ ログ ラム

切 り方 を指 定 す る文

れ に 応 じて 分 布 表 の 形 に ま と め た 上,プ

呼 び 出 して 計 算 す る .

  デ ー タ フ ァ イ ルDH10Vに る.こ

ー タ に,区

区 切 り 方 指 定 文 を付 加 し た も の がDH10VXで

あ

れ を 使 う こ と.

  (３)区 切 り方 を2/3/4/5/6/7/8/9/10/12/14/16/18と 平 均 値,標

  プ ロ グ ラ ムDATAEDITを

使 う と,デ ー タ フ ァ イ ル 中 の 区 切 り指 定 文 を お き

か え る こ とが で き る.DH10VX中 ル を 用 意 し て,プ 問 ７  (１)問 60).そ

か え る と,分 布 図 お よ び

準 偏 差 は ど うか わ る か.

の 区 切 り方 指 定 文 を お きか え た 作 業 用 フ ァ イ

ロ グ ラムAOV01Aを

使 う こ と.

５ と同 じデ ー タ 中 に他 と著 し く離 れ た 値 を もつ もの が あ る(デ ー タ番 号

れ を除 外 して 平 均 値 分 散 を 計 算 し,結 果 が ど うか わ るか を調 べ よ.

  注 ：デ ー タ ファ イ ルDH10VCは,  DH10Vに 「番 号60の デ ー タ を除 け」 とい う指 定 文 を付 加 した もので あ る.ま ず,こ れ を使 って 計算 せ よ.   (２)デ ー タ 中 に 他 と著 し く離 れ た値 を もつ もの を調 べ,そ の 計 算 を行 な え.

れ ら を 除 外 して(１)

  注:DH10VC中 の指 定 文DROP=/60/を,番 号 を/で 区 切 っ て列 記す る 形に 書 き 換 えて 計 算 す れ ば よい.こ うい う指 定 文 の お きか え には,問6(3)と 同様 に プ ロ グ ラムDATAEDITを

使 う.

【 計算 方法 】 問 ８  (１)表2.1.3に 値XKと

示 した 計 算 フ ォ ー ム ２に お い て は,デ

お きか え て い る が,こ

ー タXIを

各階 級の 中央

の お き か え が どの 程 度 σ2の計 算 結 果 に 影 響 す る

か を評 価 せ よ.付 表 Ａ の デ ー タ を 使 う こ と.   ヒン ト:こ の問 題 は,後 の 節 で 「級 内分 散 」につ いて 学 ん だ後 も う一 度 取 り上 げ るが, ここ では,問 ５,問 ６の結 果 を参 考 に して答 え れば よい .  (２)表2.1.3に

示 し た 計 算 フ ォ ー ム ２に お い て は,各

階 級 の 中 央 値XKを

う か わ り に 各 階 級 区 分 で の 平 均 値 を 使 う こ と が 考 え ら れ る.そ

使

う し た 場 合,

  フ ォ ー ム １に よ る計 算 結 果 と一 致 す る か. 問 ９  (１)次

に 示 す デ ー タ に つ い て,21ペ

計 算 せ よ.ま

た,19ペ

ー ジ に 示 した 計 算 式(２)を 使 っ て 分 散 を

ー ジ に 示 した(１)式 に よ っ て 計 算 し,結 果 を 比 較 せ よ.

9990,9991,9992,9993,9994,9995,9996,9997,9998,9999   (２)(１)に お け る最 初 の デ ー タ9990を19990と

お き か え て 計 算 して み よ.

  (３)(１)に お け る最 初 の デ ー タ9990を29990と

お き か え て 計 算 して み よ.

  注:問9に

つ い て は,電 卓 で計 算 す るこ と.

  コン ピュー タ で計 算 して,電 卓 に よ る計算 結 果 と比 較 して み る こ とも考 え られ るが,そ の場 合 は,プ ログ ラム が どち らの計 算 式 を使 って い るか を調 べ るこ と. 問10  標 準 偏 差 の 計 算 結 果 は 何 桁 求 め れ ば よ い か.た 偏 差 が12.345678と

出 力 さ れ た と し て,ど

とえ ば 日本 人 成 人 の 身 長 の 標 準

こ まで の数 値 を答 え と して採 用 す る

か. 【中位 値,四

分位偏 差値 】

間11(１)プ

ロ グ ラ ムQ1Q2Q3と

位 値,四

そ れ に セ ッ ト し て あ る例 示 用 デ ー タ を使 っ て,中

分 位 偏 差 値 の 計 算 方 法 を確 認 せ よ.

  (２)プ

ロ グ ラ ムQ1Q2Q3Xを

差 値 を計 算 し,図2.2.3に デ ー タ フ ァ イ ルDI10Vを   (３)付

  ｂ.X3の

デ ー タ の 中 位 値,四

分位 偏

使 う こ と.

表 Ａ に示 す68世

  ａ.中 位 値,四

使 っ て,表2.2.5の

示 す 結 果 が 得 られ る こ と を 確 認 せ よ.基 礎 デ ー タ は

帯 の 家 計 収 支 デ ー タの う ち消 費 支 出 総 額 に つ い て,

分 位 値 を 求 め よ.

分 布 図 を 求 め,そ

れ を 使 っ て 中 位 値,四

分 位 値 を求 め て, ａ の 結 果

と 比 べ よ.   注:ａ につ い ては プ ロ グ ラムQ1Q2Q3デ

ー タ フ ァイ ルDH10Vを

使 う. ｂに つ い て

は,基 礎 デ ー タ に 区切 りを指 定 す る文 を挿 入 した デー タ フ ァ イルDH10VXを 定 してQ1Q2Q3を

使 う と,分 布 表 の 形 に 変 形 した上 でQ1Q2Q3Xを

指

呼 び 出 して

計 算す る. 【 分布 】 問12 

プ ロ グ ラ ムBUNPU0を

使 っ て,2.3節

の 説 明 を復 習 せ よ.

【 分 布 とその母数 】 問13(１)プ   (２)プ

ロ グ ラ ムXPLOT1に

よ っ て 問6(２)に 答 え よ.

ロ グ ラ ムXPLOT1に

よ っ て 問11(３)bに

  注:プ ロ グ ラムXPLOT1を と標 準 偏差,あ

問14  (１)付   1.4.2を

表Lの か け.こ

使 う と,区 切 り値 指 定,分 布 図,そ の 特 性 値(平 均 値

るい は 中位 値 と四分 位 偏差 値)の 計 算 をつづ け て適 用 で き る,

プ ロ グラ ムXPLOT2も はXPLOT1,分

答 え よ.

同 じで あ るが,基 礎 デ ー タ が観 察 単 位 ご との値 の場 合

布 表 の場 合 はXPLOT2と

使 い わけ る こ と.

デ ー タ を 使 っ て 平 均 値 と 標 準 偏 差 を 計 算 し,図1.4.1と の 場 合 は プ ロ グ ラ ムXPLOT2を

  (２)(１)と 同 じデ ー タ を使 っ て 中 位 値,四

図

使 う こ と.

分 位 偏 差 値 を 求 め,平

均 値 と標 準 偏

差 の か わ りに こ れ ら を使 っ て,図1.4.1と   注:付 表L(DI10)は,種

図1.4.2に

対 応 す る 図 をか け.

々 の 区 分 ご とに み た 分 布 表 を １つ の セ ッ トと して 記 録 さ

れ て い るの で,特 定 区分 に つ い て計 算 す るに は,各 区分 で の分 布 表 をわけ て記 録 した形 に変 形 したDI10Vを

使 う こ と.

【 変数 変 換】   注:問15∼17に 問15分

つ い ては,計 算 は 電 卓 で行 ない,グ ラ フは 手書 きす る こ と.

布 形 を標 準 正 規 分 布 と比 較 す る た め の 計 算 が 図2.4.2に

を確 認 し,図2.4.2に 問16(１)問15の    

(２)こ 2.4.5が

添 え て あ る 図 を か け.

分 布 図 を 「累 積 分 布 図 」の 形 に 表 わせ. の 累 積 分 布 図 を,市

販 さ れ て い る 正 規 確 率 紙 に プ ロ ッ トす る と,図

得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.

  注:UEDAの 問17図2.4.8の

よ っ て行 な え る こ と

プ ロ グ ラム 「正規 確 率 紙 」を使 う と正 規 確 率 紙 を 出力 で きる. 計 算 結 果(Ｘ

の 分 布 お よ びlogXの

をlogXに

換 算 した 後 の 計 算)を 確 認 せ よ.ま

分 布 図 を か き,変 数 Ｘ をlogXと

た,Ｘ

お きか え た 場 合 そ の 分

布 が 正 規 分 布 に近 い 形 に な る こ と を確 認 せ よ. 【 統 計 調 査 に お け る分 布 デー タ の 表 現 】 問18分

布 表 形 式 の 統 計 数 字 の 表 わ し方 が どの よ うに な され て い るか を,家 計 調 査 に

お け る 「年 間 収 入 」を例 に と っ て,   ａ.金 額 階 級 の 区 分 が ど うな って い る か.ま

た,そ

の 区 切 り方 の変 遷 を調 べ よ.

  ｂ.最 上 位 の 区 分 に 包 含 され る世 帯 数 の 変 化 を調 べ よ.   ｃ.金 額 そ の もの で な く,大

き さ の 順 に 注 目 し て 区 切 っ た 五 分 位 階 級,十

分位

階 級 が 何 年 か ら採 用 され て い る か を 調 べ よ.   ｄ.ａ の 形 式 と ｃの 形 式 の 利 点 ・欠 点 を指 摘 せ よ. プ ロ グ ラ ム と 入 力 デ ー タ の タイ プ AOV01A

個 別 デ ー タ.す な わ ち,観 察 単 位 ひ とつ ひ とつ に つ い て の 観 察 値

Q1Q2Q3 XPLOT1  AOV02A

分 布 表 形 式 の デ ー タ.す な わ ち,い

Q1Q2Q3X XPLOT2 

観 察 単位 数 と と もに,値

くつ か の 値 域 区分 に 対 応 す る観 察 単 位 数.

域 区 分 を記 録.

個 別 デ ー タ に 値 域 区 分 の 記 録 を添 え て お くと,第 一 群 の プ ロ グ ラ ム で 分 布 表 を求 め た後,第 群 の プ ロ グ ラ ム に うつ って 計 算 を実 行.

二

３ 情 報 の統 計 的表 現(２)

 1ッ

トの デ ー タ に つ い て,バ

め に,平

均 値 と 標 準 偏 差 な ど が 慣 用 さ れ て い ま す(3.2)が,よ

表 現 法 と し て,中

ッ ジ と し て の 特 徴 を 表 現 す る(3.1)た り有 効 な

位 値 と四 分 位 値 を べ ー ス と し た ５数 要 約 や ボ ッ ク ス プ

ロ ッ トが あ り ます(3.3)か

ら,こ

れ らの表 現 法 の 位 置 づ け を 説 明 し ます

(3.4).   ま た,こ

れ らの 方 法 を分 析 手 段 と して 活 用 で き る こ とを 例 示 し ます

(3.5).

3.1  デ ー タ の バ ッ ジ と して の特 徴  ①

集 団 的 規 則 性 を 検 出 す るた め に は

ら な い が,全

体 を 通 覧 す る と,た

  ひ とつ ひ とつ の 値 を み て い た の で は わ か

と え ば,「 こ の く ら い が 標 準 だ 」 と い っ た 形 で,あ

る種 の 「規 則 性 」が 見 出 さ れ る もの で す.   統 計 的 な見 方 で は,こ

の よ う な規 則 性,す

なわ ち

  多数 の 観 察 単 位 の観 察 値 を 対 象 と し,   そ れ ら を １つ の バ ッ ジ とみ な した と きに 見 出 さ れ る特 徴 に 注 目 し ます.   これ を,「 集 団 的 規 則 性 」と よ び ま す.   前 章 で は,そ

の こ と に 関 連 し て,デ

ー タ の ひ ろ が り幅 に も 注 意 せ よ,そ

の ため に

は,慣

用 さ れ る標 準 偏 差 で な く,四 分 位 偏 差 値 を使 う と よい こ と を指 摘 し ま し た.

 ②

バ ッ ジ と して の 特 徴 を み る た め に は,こ

の ほ か に も種 々 の 着 眼 点 が あ り ます.

た と え ば,   ａ.ど の く ら い の 値 が 普 通 か   ｂ.ど の く ら い の 範 囲 に ひ ろ が っ て い る か   ｃ.大 き い 方 へ の ひ ろ が り,小

さい 方 へ の ひ ろ が りは 対 称 か

  ｄ.同 一 バ ッ ジ に 属 す る とみ られ な い デ ー タ は な い か   デ ー タの 特 徴 を要 約 す る た め に 使 う指 標 は,少

な く と も,こ

うい う点 を識 別 し う る

表 現 法 で な け れ ば な ら な い の で す.   こ れ ら の うち ａ,ｂ に つ い て は 平 均 値 と標 準 偏 差 を使 っ て 計 測 さ れ ま す が,ｃ に つ い て は,前

章 に 述 べ た よ うに,「 中 位 値 と四 分 位 偏 差 値 を使 っ て 計 測 す る こ と を考 え

よ」 と した の で す.   ａ,ｂ,ｃ 以 外 に も注 目 を要 す る点 が あ りま す.そ   ③

ア ウ トラ イ ヤ ー

れ が ｄ で す.③

で 説 明 し ます.

  基 本 へ も ど っ て,

  「１つ の バ ッ ジ とみ な し え な い デ ー タ が 混 入 して い る」 可 能 性 が あ る と き に は,そ

れ を検 出 で き る仕 組 み が 必 要 です.

  そ の た め に は,「 他 と飛 び 離 れ た 値 」に 注 目す れ ば よ い で し ょ う.統 計 的 手 法 と し て組み 立 て るには   デ ー タ を 大 き さの 順 に 並 べ て,ギ

ャ ップ は な い か

を み る形 に す れ ば よ い の です.   同 一 バ ッ ジ に 含 まれ る と は み な しが た い デ ー タ が 混 在 して い る場 合,そ れ を,ア トラ イヤ ー と よ び ます.ま せ ん.だ

ず そ れ を 識 別 しな い と,バ

か ら まず ア ウ トラ イ ヤ ー を 識 別 し,そ

ウ

ッ ジ と して の 特 徴 を把 握 で き ま

れ 以 外 の 部 分 に 注 目 して バ ッ ジ と して

の 特 徴 を 把 握 す る の で す.   ④

た だ し,そ れ が 「 異 常 な デ ー タ 」だ と す る わ け で は あ りませ ん.

  「離 れ て い る よ」 と指 摘 す るに と ど め て,そ

れ が 異 常 か ど うか の 判 定 は も っ と考 え

る こ とが 必 要 だ,「 離 れ て い る 」す な わ ち 「異 常 」だ と決 め つ け な い … こ う い う趣 旨 で,「 ア ウ トラ イ ヤ ー 」(外れ 値 と訳 す こ とが 多 い)と い う呼 称 を使 う の で す.   ま た,ア

ウ トラ イ ヤ ー が 当 面 の デ ー タ で は 外 れ 値 で あ っ て も,た

起 こ り う る 方 向 を示 唆 して い る か も し れ ま せ ん.特

に,社

とえば それが将 来

会 科 学 で 扱 う デ ー タ で は,

自 然 科 学 の 場 合 の よ う に,条 件 を 制 御 し て 求 め た 実 験 デ ー タ で は あ り ませ ん か ら, 種 々 の 情 報 が 制 御 さ れ ず に 混 在 して い る 可 能 性 が 大 き く,そ の 意 味 で,dirty (日本 語 の 定 訳 は ま だ な い よ うで す)と よ ば れ る の で す が,そ 程 を 経 る こ とに よ っ て,か

data

れ を ク リー ニ ン グ す る過

くさ れ て い た 有 意 な知 見 を検 出 で き るで し ょ う.

  した が っ て,「 き れ い な デ ー タ を想 定 した 」数 理 的 な 手 法 を適 用 す る前 に,ま

ず,

  ア ウ トラ イ ヤ ー を識 別 す る た め の ス テ ッ プ が 必 要 か つ 有 効 で す.  ⑤

以 下 の 数 節 で は,こ

づ け て い き ます が,取   も ち ろ ん,dirtyな

う い う視 点 に た っ て,「 デ ー タ 表 現 」の 種 々 の 方 法 を 位 置

り扱 うデ ー タの 素 性 に 注 意 し ま し ょ う. デ ー タ す な わ ち 低 質, cleanな

デ ー タ す な わ ち 良 質,と

い うこ

と で は な く,デ ー タ を 求 め る対 象 分 野 に お け る 「情 報 を 求 め る 環 境 の ち が い 」な どか ら く る こ と で す.

  ク リー ニ ン グ しな い ま ま,平 均 値 の 計 算 な ど の 統 計 処 理 を適 用 す る と,よ い,よ

ごれ た部 分 とそ うで ない部 分 とが混 ざって し ま

ご れ が 拡 散 され て 目立 た な い 結 果 と な り ます .そ

う して,

 よ ご れ の 原 因 とな っ た 箇 所 が つ か め な く な る の で す.し  

た が っ て,ク

リー ニ ン グ は,

種 々 の分 析 に 先 立 っ て 適 用 す べ き ス テ ッ プ

で す. ◇ 注 １ 条 件 を制 御 して観 察 され た 「きれ い な デー タ」に 対 して,条 件 が そ ろ って い る とは い い に くい デー タ を 「よ ごれ た デー タ(dirty data)」 とよび ます. 本 文 に 述 べ た よ うに,デ ー タの質 を評 価 す る もの で は な く,「扱 い に 注 意 せ よ,精 密 な 統 計 手 法 を適 用 す る 前 に ク リー ニ ン グす る ス テ ップ が 必要 だ」 とい う指 摘 か ら生 まれ た 用 語 です.   「汚 染 デ ー タ」と い う訳 を使 った 例 が あ ります.よ ら,ど うで し ょ うか.

くな い イ メー ジ を与 え る語 です か

◇ 注 ２ 統計 手 法 の 中 に は,「基 礎 デ ー タが 一定 の条 件 下 で得 られ た きれ い な デー タ」で あ る こ と を前 提 として組 み 立 て られ た もの が あ ります.し た が っ て,統 計 手 法 を適 用 す る と きに は,対 象 デ ー タの状 態 とと もに,手 法 の 前 提 を確 認 して か ら使 う よ うに 注意 し ま し ょ う. ◇ 注 ３ 「 仮 説検 定 法」と よば れ る手 法 が あ り ます(第5章

で概 説)が,こ

れ は,こ こで

い うア ウ トラ イヤ ー検 出 とは ちが い ます.適 用 に あ た っ て,  「 基 礎 デー タが 一定 の条件 下 で得 られ た もの だ とい う仮 定 」 をお け る とは 限 らな いか らです.

3.2  情 報 の 表 現 力  ①

こ れ ま で 説 明 し て き た平 均 値,標   分 布 か ら(平 均 値,標

準 偏 差,分

布 に つ い て,

準 偏 差)が 誘 導 され る が,

  それ らで表現 され ない情報 が ある こ と お よ び,   平 均 値 が(平 均 値,標

準 偏 差)の う ちの 一 方 で あ る こ と

から   イ.分

布, 

ロ.(平

均 値,標

の順 に 情 報 の 表 現 力 が 落 ち る こ とは,明

準 偏 差), ハ.平

  し た が っ て,２ つ の 集 団 Ａ,Ｂ の デ ー タ を比 べ る場 合,そ た は 分 布 図 に 表 わ して,そ

均値

ら か で す. れ ぞ れ の 情 報 を分 布 表 ま

れ ら を 比 較 す る の が 最 も有 効 で す.(平

均 値,標

準 偏 差)を

求 め て そ れ を比 較 す る扱 い が そ れ に 次 ぎ,平 均 値 を求 め て そ れ を対 比 す るの は 最 も限 定 さ れ た 扱 い に な る の で す.

図3.2.1 

情報 の表現力比較

  い い か え る と,平 均 値 ど う し を比 べ る と,個 別 変 動 の 大 き さに ち が い が あ っ て も そ れ が 見 逃 さ れ て し ま い,(平 均 値,標

準 偏 差)の 両 面 に 注 目 して 比 べ る と,こ れ ら で 表

現 され な い 「分 布 の 形 」の ち が い が 見 逃 さ れ て し ま うの で す.   ②  表 現 力 が 落 ち な い の は,特   た とえ ば,分

別 の 場 合 で す.

布 形 が 正 規 分 布 だ と仮 定 で き れ ば,そ

ま り ます か ら,形 の 比 較 に か え て,(平

均 値,標

の 形 は,平

均 値 と標 準 偏 差 で 決

準 偏 差)の 比 較 で よ い こ と に な り ま

す.   し た が っ て,そ

う仮 定 で き る 場 合 は,デ

ー タ の 比 較 は 簡 明 に な り ま す.た

と え ば,

デ ー タ を,実 験 で(結 果 に 影 響 す る条 件 を 制 御 して)求 め る こ とが で き る場 合 は,   「同 じ条 件 で の く りか え し」→ 「正 規 分 布 が 適 合 」 とい う論 拠 で,観 察 値 の 分 布 に つ い て,正

規 分 布 を仮 定 で き る こ とに な りま す.

  た だ し,そ の 場 合 も,観 察 値 そ の もの に つ い て は,正 規 分 布 と仮 定 で き る と は 限 り ませ ん.   ③  そ れ に し て も,平 均 値 の 比 較 で す ませ て い る例 が 多 い の は,デ

ー タを対 比す る

問 題 を,「 平 均 値 で 表 現 さ れ る 部 分 に 限 定 して 対 比 す る 問 題 」だ と は じめ か ら 限 定 し て い る こ と を 意 味 す るの で す.平 進 で す が,そ

均 値 と標 準 偏 差 の 両 方 に 注 目 して 対 比 す る と一 歩 前

れ で も分 布 の 形 の ち が い が 見 逃 さ れ る で し ょ う.し

た が っ て,

  まず,平

均 値 と標 準 偏 差 の 対 比 を行 な い,

  次 に,こ

れ ら を そ ろ え た偏 差 値 に つ い て そ の 分 布 形 を 比 べ る

と い う運 び が 考 え られ ま す.

平均 値 の対比  標 準偏差 の対 比 

統計 デー タの対比 

偏差 値 の分布 の対 比 た だ し,分 布 の 形 を比 べ る こ と は,か

な り面 倒 な こ と で す(前 節 で示 し ま した が).

  ④   そ こ で,  

分 布 形 の 比 較 と(平 均 値,標

準 偏 差)の 比 較 の 間 に

 

位 置づ け られ る比較手段 を考 え よ う

と い う発 想 が うか ん で き ま す.   (平 均 値,標

準 偏 差)に か わ る,も

し くは,こ

れ に つ け 加 え る指 標 を どの よ うに 定 義

す る か を考 え る こ と に な りま す.   ⑤  こ の こ と に 関 して,新 し ま す が,こ

こ で は,こ

し い 方 法 が 提 唱 さ れ て い ま す か ら,3.3節

で そ れ を解 説

れ ま で 提 唱 さ れ て き た 方 法 を あ げ て お き ま し ょ う.

  分 布 形 を表 わ す 関 数 をf(x)と

すると

 平 均 値

  μ=Σxf(x)

 分 散

 σ2=Σ(x-μ)2f(x)

で あ る こ と を指 摘 して お き ま し た.こ れ ら の 比 較 で 十 分 で な い な ら  μk=Σ(x-μ)kf（x） と定 義 され る Ｋ 次 の モ ー メ ン トを 使 え と い う の が 「統 計 学 の 数 理 」で の 案 で あ り,ま ず,こ

の うち,K=3に

あ た る 「分 布 形 の 歪 み 度 」, K=4に

あ た る 「分 布 形 の 尖 り度 」

を対 比 の 枠 に 加 え る こ とが 考 え られ ます.

平 均値 の対 比  統計 デー タの対 比 

標 準偏 差 の対 比  それ以外 の指標 の対 比  歪 み度 の対 比  尖 り度 の対 比  それ以外 の指 標 の対比

 歪 み 度,尖

り度 は,そ

れ ぞ れ μ3/σ3,μ4/σ4と し て,単

位 を もたな い指 標 の 形に 定 義

さ れ ま す.   正 規 分 布 の 場 合,歪

み 度 は ０,尖 り度 は ３で す.

  ◇ 注 １ 41ペ ー ジ の ⑨ で述 べ た方 法 を,変 数変 換 法 と して で は な く,そ の 変 換 で 定 め ら れ るＰ を 「 分 布 形 の 非対 称度 を示 す パ ラ メー タ」だ とみ な す こ とが 考 え られ ます.   ◇ 注 ２  この 節 で 「 情 報 量 」とい う コ トバ を使 い ま した が,も

との デ ー タで は よみ とれ た

は ず の こ とが よみ とれ な くな る … そ うい う場 合 「 情 報 を失 った こ とに な る」とい う意 味 で 受 け とって くだ さい,統 計 学 で は もっ と立 ち入 っ た概 念 と して定 義 され て い ます が,こ こ で は,上 の理 解 で十 分 です.  ◇ 注 ３ 偏 差値 の分 布 が 「正 規分 布 で表 わ され る」とい うの は,十 分 に 条 件 を制 御 して 求 め られ た きれ い なデー タの場 合 で す.こ の 節 で は,   平 均 値 と標 準 偏 差 の ちが い を除 くと,分 布 の 形 を比べ や す くな る こ と を期 待 して偏 差 値 を使 うので す。  ⑥  こ れ ら の 指 標 は,理 面 で は,μkが る よ うに,デ しま し ょ う.

論 的 な扱 い で採 用 され る方 法 で す.実

際 の デ ー タ を扱 う場

偏 差 の 高 次 の べ き乗 に な っ て い る こ とか ら,表3.2.2の

計算 例 でわ か

ー タ 中 の ア ウ トラ イヤ ー の 影 響 を受 け や す い(問 題 ３の 問 １)こ とに 注 意

表3.2.2 

高 次 の モー メン トの 計 算

基 礎 デ ー タ は21 ペ ー ジ の 表2.1.2 と 同 じ も の.

  こ の 例 で は,歪

み 度 は0.21,尖

り度 は2.23で

置 が 右 寄 りに な っ た 形 に な っ て い ま す が,デ

あ り,正 規 分 布 と比 べ て ピー クの 位

ー タ ７が,他

と著 し く離 れ て お り,こ の

こ とが 大 き く影 響 し て い ま す か ら,分 布 の 形 の 指 標 に な っ て い な い と み るべ き で す.   デ ー タ ７を 除 い て 計 算 す る と,歪 み 度 は-0.62,尖

り度 は0.78と

な り,ピ ー ク の

位 置 は 左 寄 りだ とい う結 果 に な り ま す.   分 布 の 歪 み 度 や 尖 り度 を対 比 し たつ も りだ った の が,結 イヤー が存在 してい るため だ った …   し た が っ て,次   ⑦(平

均 値,標

果 的 に は,１ つ の ア ウ トラ

そ うい う可 能 性 が 大 き い の で す.

節 で,代 案 を 説 明 し ま す. 準 偏 差)に 注 目 した 比 較 で ほ ぼ 十 分 だ とみ なせ る 場 合 もあ る で し ょ

う.そ の 場 合 に も,そ の こ と を確 認 す る とい う趣 旨 で,ひ て偏 差 値 を計 算 し,図 示 す べ き で す.す

とつ ひ とつ の 観 察 値 に つ い

なわ ち

平均値 μの対 比  標準偏 差 σの対 比 

デ ー タ の 対 比 

偏差値(X-μ)/σ の検討 とい う運 び を 採 用 し ま す.③

や ⑤ の場 合 と ち が う の は,ひ

とつ ひ とつ の 観 察 値 の 偏

差 値 を み て,「 そ れ ら を 同 一 の バ ッ ジ と み な し て 扱 う こ との 妥 当 性 確 認 」を 対 比 の 枠 組 み の 中 に お い て い る こ と で す.現 わ ね ば な ら な い の だ が,⑥

実 の 問題 で は,こ

の 方 法 に は 問 題 が あ る,よ

の 確 認 を な ん らか の 方 法 で 行 な っ て,そ

れ にか わ る次 節 以下

の 方 法 が 必 要 と な るの で す.

3.3  ５数 要 約,ボ ック ス プ ロ ッ ト  ①  前 節 の ① で 提 示 し た 「分 布 に よ る表 現 」 と 「平 均 値,標

準 偏 差 に よ る 表 現 」の

間 に位 置 づ け ら れ る 表 現 法 を考 え ま し ょ う.い い か え る と,「 平 均 値,標

準偏 差 に よ

る 表 現 」を 前 提 と して 「そ の 他 の 指 標 に よ る 表 現 」を考 え るか わ りに,前

提 の 方 を考

え な お そ う とい うこ とで す.

図3.3.1 

  ②  ２数 要 約

  そ の た め に,ま

２数 要 約 とそ の グ ラ フ 表 現

ず(平 均 値,標

準 偏 差)を 図3.3.1の

表 形式 また は

グ ラ フ に 表 わ し,２ 数 要 約 と よ ぶ こ と に し ま す.   図3.3.1左

側 の １段 目 に ３つ の 指 標 値 を 並 べ て あ り ま す が,こ

の う ち ２番 目 が

「デ ー タ を １つ の 指 標 で 代 表 す る 」た め に 使 う代 表 値(こ の 例 で は 平 均 値 μ)で あ り,１ 番 目 と ３番 目の 値 が 「散 布 範 囲 を 示 す 」た め の μ± σ で す.   ２段 目は,散

布 範 囲 の 幅 を評 価 す る 指 標 値(こ の 例 で は 標 準 偏 差 σ)で す.

  こ れ らの 指 標 値 で 情 報 を要 約 して い るの で す が,基

礎 に な っ て い るの は ２つ の 指 標

(μ,σ)です か ら,２ 数 要 約 と よぶ こ とに し ま し ょ う.   右 側 に お い た 「グ ラ フ 表 現 」で は,散 棒 で 示 し て い ま す が,ボ

布 範 囲 を ボ ッ ク ス で示 し,代 表 値 の 位 置 を 縦

ッ ク ス の 幅 は,つ

づ い て 説 明 す る別 の 表 現 法(３ 数 要 約)と 関

連 づ け る た め に,   μ±cσ, c=0.674 と し て い ます.こ

こ で ｃは,箱

1/2と な る よ う に定 め ま す.す

の 中 に 入 る デ ー タ数 が,正

規 分 布 を 仮 定 した と き に ,

なわ ち

をみ た す 値 で す.   こ の 表 現 に お い て は,散

布 幅 の 評 価 値 が,

  大 き い 方 へ の 偏 差,小

さ い 方 へ の 偏 差 に 対 して 同 じだ

とい う仮 定 を お い て 求 め た 値 に な っ て い ます .そ

う し て,そ

の こ と が,「 こ の 表 現 の

適 用 範 囲 を 限 る結 果 に な る」 こ とに 注 意 し ま し ょ う.   た と え ば 賃 金 の デ ー タ な ど,対 称 性 を 仮 定 で き な い デ ー タ は,た

く さん あ り ま す,

そ うい うデ ー タ に は 適 用 で きな い の で す.   ③  ３数 要 約  平 均値

  そ こ で,す   μ 

で に 述 べ た とお り,中 位 値 と 四分 位 値 を使 っ て

を  中位 値 

  散 布 範 囲 μ± σ を  四 分 位 値   標 準 偏 差   σ 

Q2に   Q1とQ3に

を  四 分 位 偏 差 値(Q2-(Q1とQ3-Q2に

お きか え る こ と が 考 え られ ます.そ

う して,２ 数 要 約 と 同 じ形 式 で 表 示,ま

たは 図示

した もの を,３ 数 要 約 と よぶ こ と と し ます .   こ の 場 合,(Q1,Q2,Q3が こ とか ら,グ

観 察 単 位 を そ の 値 の 大 き さ の 順 に 四 分 し た 区 切 り値 で あ る

ラ フ の 箱 の左 外 側,箱

内 の 左 側,箱

1/4ず つ が 含 まれ る こ とに な っ て い ます.

内 の 右 側,箱

の 右 外 側 に ,そ れ ぞ れ

図3.3.2 

３数 要 約 とそ の グ ラ フ 表 現

  ２数 要 約 の グ ラ フ で σにc=0.674を 数 要 約 と 同 様 に1/4ず

乗 じ た の は,正

規 分 布 を 仮 定 し た 場 合 に,３

つ を 含 む よ う に 調 整 し た もの で す.逆

に い う と,３ 数 要 約 は,

正 規 分 布 と い う仮 定 を 落 と して,２ 数 要 約 を一 般 化 し た 表 現 に な っ て い るの で す.  ◇ 注  ２数 要 約,３ 数 要 約 と い う用 語 は,統 計 学 の 専 門 用 語 と して 定 義 され て い る もの で   は な く,説 明 の便 宜 を考 え て使 って い る もの です.こ れ らに対 して,次 項 で説 明す る ５数   要約 は,Tukeyに

よっ て定 義 され た呼称 です.

  ④   ５数 要 約  

３数 要 約 の 基 礎 指 標 ３つ に,最

の 指 標 を 使 う こ とが,自

小 値Q0,最

大 値Q4を

加 え た ５つ

然 な拡 張 方 向 で す.

  こ れ らの 表 示 形 式 を ５数 要 約 と よ び ま し ょ う.   こ の 表 示 で は,散

布 幅 に 関 す る情 報 が 豊 富 に な っ て い ます.す

  デ ー タ の1/4を  左 端,中

央 付 近 の 左 側,中

よ うに な っ て い ま す.ま

な わ ち,

カ バ ー す る 範 囲 を,

た,デ

央 付 近 の 右 側,右

ー タ の1/2を

端 の ４か 所 で み る

カ バ ー す る 範 囲 は ３段 目に 表 示 す る よ う

に な っ て い ま す.   ま た,グ は,線

ラ フ 表 現 で は,中

で示 して い ます.代

央 部 分 は こ れ ま で と 同 様 に 箱 で 示 し て い ます が,外

表 値 に 近 い 部 分 と離 れ た 部 分 だ か ら,こ

側

の よ うに 表 現 を か

え た の で す. 図3.3.3 

５数 要 約 と その グ ラ フ表 現

1/4ず つ 区切 っ た 区 切 り値  1/4を カバ ー す るひ ろが り幅  1/2を カバ ー す る ひ ろが り幅

  こ こ ま で 進 め る と,デ ー タ の 分 布 形 に 関 し て,か

な り立 ち 入 っ た 見 方 が で き ます.

す な わ ち,箱

の 左 半 分 の 長 さ と,右 半 分 の 長 さ を比 べ て,対

す.ま

の 長 さ と,外 側 の 線 の 長 さ を 比 べ て,尖

た,箱

  こ の 章 の最 初(49ペ

称 形 か ど うかが よめ ま

り度 の 大 小 が よ め る の で す.

ー ジ)に あ げ た 「バ ッ ジ と し て の 特 徴 を み る た め の 着 眼 点 」の ほ

と ん どす べ て を カ バ ー し て い ま す.こ

の こ とか ら,情 報 表 現 力 が 最 も大 き い 「 分布」

に ほ ぼ 匹 敵 す る 表 現 力 を も っ て い る と い え ます.   し た が っ て,前

節 に あ げ た 分 布 形 に 関 す る 情 報 表 現 に 関 して,次

の 順 に 「くわ し い

表 現 」に な っ て い るの で す(ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに つ い て は ⑤ で 説 明).  統 計 デ ー タの 比 較 に お い て も,く

わ しい 表 現 を採 用 す べ き だ と い う こ とで す.

１数 要約(平 均 値)  ２数 要約(平 均値 と標 準偏 差)  分布 形 の情報 表現 

３数 要約(中 位値 と四分位 偏差値)  ５数要 約(３数要 約 に最大値,最 小値)  ボ ッ クスプ ロ ッ ト(ア ウ トライヤー の検 出 手段)

  ⑤   ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト 

こ の ５数 要 約 の 図 示 に,次

の よ う な 「ア ウ ト ラ イ ヤ ー 検

出」の た め の 機 能 をつ け た 図 示 法 を 「ボ ッ クス プ ロ ッ ト」 と よん で い ます.   こ の 表 現 で は,５ 数 要 約 の 図 示 法 に お い て,   線 の 長 さが 箱 の 幅 の1.5倍

をこえ る場合 そ こで打 ち切 って

  そ の 範 囲 外 の値 は ひ とつ ひ とつ マ ー クす る もの と し て い ま す(注 １).   箱 の 幅 の1.5倍

と い う 「ア ウ トラ イ ヤ ー 検 出 基 準 」は,Tukeyの

  こ の 基 準 値 を フ ェ ン ス(大 き い 方,小 fence)と

よ び ま す.次

提 唱 で す.

さ い方 を区 別 す る と き はupper

fence,lower

の 式 で 表 わ され る こ とに な りま す.

 UF=Q3＋1.5×(Q3-Q1)   LF=Q1-1.5×(Q3-Q1)   図3.3.4は,大

きい 方 で ア ウ トラ イ ヤ ー が 検 出 さ れ,小

さい方で は検 出 され なか っ

た場 合 の 例 で す.   そ の 後,他

の研 究 者 に よ っ て い くつ か の 代 案 が 提 唱 さ れ て い ます.ま

の 限 界 値 を併 用 す る 案(注 ２)も あ り ま す が,ボ

た,２ と お り

ッ ク ス プ ロ ッ トを 使 う問 題 場 面 で は,

原 案 を か え る こ と も な い と思 い ます.   Tukey自

身 は1.5と

し た こ と に つ い て 特 に コ メ ン トし て い ませ ん が,次

了 解 す る こ とが で き ま す.  正 規 分 布 に お け る1%限

界 にほ ぼ対応 す る

  この こ と は,正 規 分 布 の 表 を使 っ て 次 の よ うに して 確 認 で き ます. 箱 の 中 に デ ー タ の1/2が

入 る こ と か ら,

図3.3.4 

ボ ッ クス プ ロ ッ ト

の よ うに

  P（￨U￨>0.674)=50% す な わ ち,箱

の 左 右 端 は0.674σ,-0.674σ,箱

  し た が っ て,線

の 幅 は1.348σ

と な り ます.

の 長 さ の 打 ち 切 り基 準 は

  箱 の 幅 の1.5倍 とな り ます か ら,デ

す な わ ち0.674σ+1.5×1.348σ=2.696σ

ー タ が 箱 の 外 に 落 ち る確 率 は,

  P(￨U￨>2.696)=0.69% と な りま す.こ

れ を,ほ

ぼ1%と

表 現 して い る の で す.も

考 え 方 が 出 る か も しれ ませ ん が,そ

う少 し正 確 に し た い と い う

う簡 単 で は あ り ませ ん(注 ３,４).

  以 上 は 正 規 分 布 を仮 定 した 上 で の 計 算 で あ り,分 布 形 に 関 す る仮 定 を お け な い 場 面 で 使 う こ と を考 え れ ば,正

規 分 布 の 仮 定 の も とで 精 密 化 す る よ り も,分 布 形 に 関 して

よ り広 範 な 場 面 で の 適 用 を 考 え る こ とが 必 要 で す.   次 の 節 で 説 明 し ます.  ◇ 注 １ ア ウ トラ イヤー が あ る場 合 の 「フ ェ ンス と線 の 打 ち切 り点 」の 図示 に つ い て  

ａ. 箱 の 幅 の1.5倍 の ところ ま で

 

ｂ. ア ウ トラ イヤ ー を 除 く最 大 値(最 小 値)の とこ ろ まで

 の 両 案 が あ りえ ます.Tukeyの よい と思 い ます.3.5節

原案 は ｂです が,適 用 場 面 に よっ て は,ｂ よ りも ａの 方 が

で 分析 例 を示 した 後 に,そ の理 由 を説 明 し ます(3.6節).

  ◇ 注 ２ 箱 の 幅 の1.5倍

と2.5倍 とを併 用せ よ とい う案 です.

  ◇ 注 ３ 1.42倍 に とれ ば1%限

界 に対 応 し ます(問 題 ３の 問14)が,本

文 に述 べ た よ うに,

切 りの よ い値 を使 お うとい うこ とです.   ◇ 注 ４ 正 規 分 布 とい う仮 定 を おけ な い と きに は,こ の 確 率 は もっ と大 き い値 に な り ま す.し か し,ど ん な場 合 に も,「13.8%を

こ え る こ とは な い」と い え ます(5.3節

で 説 明す

るチ ェ ビ シ ェフ の不 等 式 に よ る).  

分 布 形 に 関 す る仮 定 の お き方 に よ って著 し くか わ る こ とに 注意 しま し ょ う.

3.4  ５ 数 要 約,ボ ック ス プ 口 ッ トの 代 案  ①

前 節 で 説 明 し た ５数 要 約 お よ び ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに つ い て は,い

代 案 が あ りま す.こ

の 節 で は,そ

くつ か の 点 で

う い う点 を補 足 し て お き ま す.

  ま ず,５ 数 要 約 は   「分 布 に 関 す る 情 報 の 要 約 」を 意 図 す る もの で あ り,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トは,そ

れに

  「ア ウ トラ イヤ ー の 検 出」機 能 を付 加 した も の で あ る こ と を,は

っ き り区 別 し ま し ょ う.

  両 面 の 機 能 を あ わ せ も たせ る に し て も,   表 現 の 仕 方 は,区

別 して 考 え な け れ ば な ら な い

の で す.  ②

分 布 形 の 要 約 の た め に最 小 値,最

大 値 を 使 う こ と に 関 す る代 案

 分布 形 の要

約 とい う意 味 で は,   最 小 値Q0,最

大 値Q4は,観

察単位 数の 大小 に よってか わ る

こ と か ら 「分 布 形 を み る 指 標 」 と して は 不 適 当 で す .観 察 単 位 数 を 特 定 し て 最 大 値, 最 小 値 に 注 目す る 場 合 が あ る こ と は 事 実 で す が,分 布 の 形 を み る,す 分 の 特 性 をみ る とい う意 味 で は,不

な わ ち,多 数 部

適 当 と い う こ とで す.

  ③  し た が っ て,分 布 形 の 情 報 を 要 約 す る と い う意 味 で は,３ 数 要 約(Q1,Q2,Q3) に も どっ て,そ れ に,「 分 布 形 の 端 の 部 分 を み る た め の 指 標 をつ け 加 え る 」 と こ ろ を 再 考 し ま し ょ う.   Tukeyは,中

位 値,四

分 位 値 に つ づ け て 八 分 位 値 を 使 う こ と を 提 唱 して い ま す.

す な わ ち,第

ｌ八 分 位 値E1,7/8に

Q3,E7,Q4)に

よ る ７数 要 約 で す が, Q0, Q4は 上 述 の 理 由 で 除 き,(E1,Q1,Q2,Q3,E7)

あ た る 第 ７八 分 位 値E7を

使 っ た(Q0,E1,Q1,Q2,

を 「５数 要 約 の 代 案 」 とみ る こ とが で き ます.   Tukeyは,さ

ら に 十 六 分 位 値 を使 う要 約,三

て い ま す が,分

布 の 端 の 方 の 値 は,ア

十 二 分 位 値 を使 う要 約 な ど を 定 義 し

ウ トラ イ ヤ ー で あ る こ とが 多 い の で,八 分 位 値

ま で で 十 分 で し ょ う.   ④   も う ひ とつ の代 案 と して,八 す.す

な わ ち,第

１十 分 位 値(D1),第

  (D1,Q1,Q2,Q3,D9)に で す.十

分 位 値 は,実

分 位 値 で な く,十 分 位 値 を使 う こ とが 考 え ら れ ま ９十 分 位 値(D9)をQ0,Q4の

か わ りに 使 う

よる情報 要約

際 の 統 計 報 告 書 で は か な り前 か ら採 用 され て い る情 報 表 現 法 で

す.   ⑤  また,広

く採 用 され て い る 「十 分 位 階 級 」と の 関 係 を考 慮 し ま し ょ う.

  十 分 位 階 級 は,た と え ば 所 得 の 大 き さの 順 に 注 目 し て世 帯 を 同 数 ず つ 含 む よ う に 10区 分 に 区 切 っ た 区 分 で す.こ れ に よ っ て,所 得 階 級 に よ っ て 消 費 構 成 が ど うか わ る か をみ る …

こ うい う場 面 を想 定 して 採 用 され て い る も の で す .

  こ の 十 分 位 階 級 の 区 切 り値 をD1,D2,…,D9と Q2,Q3と

表3.4.1の

  した が っ て,分

表 わ す と,５ 数 要 約 の 基 礎 指 標(Q1,

よ うに 対 応 し て い ます. 布 の 中 央 部 分 に つ い て は 値 域 を ４区 分 に 区 切 っ て 四 分 位 値 を 使 い,

分 布 の 端 の 部 分 に つ い て は,値

域 を10区

分 に 区 切 っ て 十 分 位 値 を 使 う … こ う了 解

で き ま す. ま た,正

規 分 布 を 想 定 し た場 合 に

  （D9-Q2）/（Q3-Q2） ≒2   （D1-Q2)/（Q1-Q2）

≒2

表3.4.1 

十 分 位 値 との 対 応 づ け

と な って い る こ とか ら,D1,D9に

よ る 細 分 が 自 然 な選 択 だ とい え ます.

 ⑥  ア ウ トラ イ ヤ ー を識 別 す る基 準 に 関 す る代 案

  ア ウ トラ イ ヤ ー を 識 別 す る

フ ェ ン ス に つ い て も,以 下 の よ うな 代 案 が 考 え られ ます.   大 き い 方 ・小 さ い 方 に 対 して 対 称 な 定 義 を使 っ て い る と こ ろ を 問 題 に す るの で す.   ひ ろが り幅 の 指 標 と して,非

対 称 性 を考 慮 に 入 れ る た め に 「標 準 偏 差 」の か わ りに,

四 分 位 偏 差 を 使 っ た こ とに と も な っ て,  ア ウ トラ イヤ ー 識 別 基 準 も非 対 称 性 を考 慮 に 入 れ る … そ れ が 自 然 で し ょ う.   した が っ て,四 分 位 偏 差 を 使 っ て,フ

ェ ン ス の 定 義 式 を次 の よ う に 改 め る こ とに し

ま し ょ う.  UF=Q3+3×(Q3-Q2)  LF=Q1-3×(Q2-Q1)   こ の 代 案 に よ っ た 場 合,正

規分布 を想定 す る と

 (UF-Q2)/（Q3-Q2)≒4  (LF-Q2)/（Q1-Ｑ2）

≒4

が 成 り立 っ て い ま す.   い い か え る と,  UF,D9,Q3とQ2の

距 離 に つ い て4:2:1 

(Q3-Q2を

１と して)

 LF,D1,Q1とQ2の

距 離 に つ い て4:2:1 

(Q2-Q1を

１ と し て)

の 関 係 が 成 り立 っ て い る こ とに な り ま す. 図3.4.2 

指 標値 間 の 距 離 と頻 度

  こ の こ と を 利 用 し て た とえ ば  歪み 度 の指標

  (D9-Q2)/（Q2-D1）

  尖 り度 の 指 標

 (D9-D1)/（Q3-Q1）

を定 義 で き ま す.こ

あ る い は(Q3-Q2)/（Q2-Q1）

の定 義 に よ れ ば

  正 規 分 布 の 場 合,歪

み 度 が ０,尖 り度 が ２

と な りま す. 歪 み 度 の ２つ は,分 布 の 端 の 方 を含 め て み る 場 合,中

央 部 分 で み る 場 合 とわ け て,

使 い わ け で き ます,   ⑦   ５数 要 約 の 代 案 と ア ウ ト ラ イ ヤ ー 検 出 基 準 の 代 案 を あ わ せ る と,ボ

ッ クス プ

ロ ッ トを次 の よ う に 表 わ す こ と に な り ます . 図3.4.3 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 代 案

  見 出 し を 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 代 案 」 と し て お き ま し た が,「 情 報 の 要 約 」を 意 図 す る部 分 と 「ア ウ トラ イ ヤ ー 検 出 」 を意 図 す る 部 分 が 一 緒 に な っ て い る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   ⑧  分 布 形 に 関 す る仮 定 を特 定 し な い た め に こ の 節 の 展 開 を追 っ て い く と,   分 布 形 が ２つ 以 上 の ピー ク を もつ 場 合 に は そ の こ と が か く さ れ る の で,１ つ の ボ ッ クス を か く こ とに 疑 問 が 出 る と思 い ます.   「箱 の とこ ろ に 観 察 値 が 集 中 し て い る 」 とい う 見 方 に 反 す る か ら で す.   ピー ク が ２つ 以 上 あ る 場 合 は,ア が,そ

ウ トライヤ ーが 混 在 して い るこ とが 多 いの です

の こ と を 検 出 で き る よ うな 図 示 法 に し て お き た い … そ う考 え る と,図3.4.4

の よ うに 表 わ す こ と が 考 え ら れ ま す .   分 布 の 頻 度 が あ る レベ ル 以 上 の と こ ろ で 値 域 を 区切 り,そ の 範 囲 に 入 る観 察 値 数 が 50%と

な る よ う に し ます.

  例 示 の 網 掛 け の 部 分 で す.   そ れ を,ボ   ま た,同

ッ クス と し ま す.

様 に80%の

値 域 を定 め,そ

  こ の 図 示 法 で は,ボ

れ を 線 で つ な ぎ ま す.

ッ クス や 線 が １

つ の 領 域 に ま と ま る と は 限 り ま せ ん. し た が っ て,ピ

ー ク が ２つ 以 上 の 場 合

を考 慮 に 入 れ た 図 示 法 に な っ て い ます.   形 式上 は ボ ック スプ ロ ッ トと同様 で す が,  ボ ック スや 線 を 「 代 表値 か ら の 距 離 」で 定 義 す る の で な く, 「各 値 域 で の 頻 度 」に 注 目 して 定義する こ と に な っ て い ま す.た

と え ば,ボ

ッ

ク ス の 区 切 り点(例 示 で は ４か 所)は, 頻 度 の 等 し い 箇 所 に な っ て い ま す. ピー クが １つ の 場 合 に お い て も,ボ

ッ

図3.4.4 

等 頻 度 原理 に よ る ボ ッ クス プ ロ ッ ト

図3.4.5 

分 布 形 の情 報 要 約

ク ス の 区 切 り は,一 般 の ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 場 合 と ちが い ま す.   した が っ て,こ

れ を,「 頻 度 原 理 に よ る ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」 と よぶ こ と に し ま す.

  ⑨  図3.4.6は,賃 し た も の です.高

金 月額 の 分 布 を年 齢 区 分 別 に 比 較 す る た め に,こ

の 表 現 を適 用

齢 層 で の 分 布 に ２つ の ピー クが 見 出 さ れ る よ うに な っ て い ま す.

  ⑩  図3.4.5に,3.3節

お よ び3.4節

に 説 明 し た 種 々 の 表 現 法 を ま とめ て お き ま

す.   情 報 要 約 手 段 と して み る場 合(表 の 上 半)と,ア

ウ トラ イ ヤ ー 検 出 手 段 と し て み る

場 合(表 の 下 半)と を は っ き り と わ け て考 え ま し ょ う. 図3.9.6 

賃 金 月額 の 分 布 比 較 こ の 図 を か くに は,Ｘ

の 値 域 を区 切 っ て

そ れ ぞ れ の 区 切 りに お け る 分 布 図 の 高 さ (密 度)を 求 め,そ

れ が大 きい ところか ら

順 に ボ ッ ク ス 内 に含 め て い きま す. した が って,ボ

ッ クス を精 密 に か くに は,

値 域 の 区 切 りを細 か くす る こ とが 必 要 で す.い

い か え る と,観 察 値 数 が 十 分 に 多

い場 合 で な い と,精 密 に か け ませ ん.

3.5 

分

析

  ①  図3.5.1は,各

例 都 道 府 県 別 の 「人 口10万

人 あ た り病 床 数(1975年)」

の デー タ

です(基 礎 デ ー タ は付 表 Ｂ).   こ の デ ー タか ら人 口あ た り病 床 数 の 地 域 分 布 に 関 し て,ど

ん な 状 況 に な って い る か

を 「よ み と っ て 」み ま し ょ う.ど ん な 手 法 で もか ま い ませ ん.わ 的 確 な答 えが 得 られ るな ら,そ れ で よい の です.こ

か りや す い 手 法 で も,

うい う と,か

な りの 人 が 図3.5.2

の よ う な棒 グ ラ フ を か い て み る の で は な い で し ょ うか.   ②  こ の グ ラ フ か ら,  高 知 県 が他 と著 し く離 れ て い る こ と  

東 京 ・大 阪 周 辺 の 値 は 他 と比 べ 低 い こ と

な ど が よ み とれ ま す.   こ の よ うに 「 視 覚 に 訴 え て デ ー タ を よ む 」こ と が で き る の が,グ こ の 例 で は,こ

の グ ラ フ で,ま

ラ フ の 効 用 で す.

ず 十 分 に デ ー タ を よ み と る こ とが で き る よ うで す.

  し か し,こ の よ う に きれ い に よ み と れ る デ ー タ ば か りで は あ りま せ ん.し て,視

覚 に 頼 らず,「 客 観 的 な手 続 き」 を組 み 立 て て お き,そ

たがっ

れ を適 用 す る こ と も考

え て お くべ き で し ょ う.  ③  こ うい う意 味 で,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トを使 うこ とが で き ま す.こ

の 節 で は,そ

の

こ と を例 示 す る と と もに,「 棒 グ ラ フ を か い て み る」 と い う わ か りや す い 手 段 が,自 然 に,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トに つ な が る こ と を示 しつ つ,説

明 をつ づ け ます.

図3.5.1 

図3.5.2 

基礎 デ ー タ

  棒 グ ラ フ(図3.5.2)に

お い て,た

デ ー タの グラ フ 表 現(デ ー タ 番 号 の 順)

と え ば 「棒 の 並 べ 方 」は い ろ い ろ 考 え られ ます が,

大 き さ の順 に 並 べ るの が 有 効 な案 で す.図3.5.3の

よ う に な り ます.

  これ でみ る と   ａ. 最 高 の 高 知 県 と そ の 次 の 佐 賀 県 と の ギ ャ ップ が 大 き い   ｂ. 「 東 京 周 辺 」 と 「大 阪 周 辺 」と に マ ー ク を つ け る と,そ

れ らが 上 の 方 に か た

ま って い る(若 干 の例 外 は あ るが)こ とか ら,大 都 市 周 辺 とそ れ 以 外 とで ちが う こ とが よ み とれ ま す.   し たが っ て,デ ー タ の 表 現 に つ い て,高

知 県 を別 扱 いす る こ と,大 都 市 周 辺 と そ れ

以 外 と をわ け て み る こ とが 示 唆 さ れ ま す.  ④

図3.5.2で  

同 じ こ とが よみ と れ る に し て も,図3.5.3で

「順 位 」の 情 報 を 「みせ て い る 」

こ とに 注 目 し ま し ょ う,そ の こ とか ら,こ の グ ラ フ の 見 方 を ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 見 方 に つ な げ る こ と が で き ます. 図3.5.3 

この 図 で は,ア

デ ー タ の グ ラ フ 表 現(大 き さ の順) 

ウ トラ イ ヤー と指 摘 され た ２県 も含 め て い ま す が,ア

ウ トラ イヤ ー を識 別 す る ため の 区切 り線 をひ く こ と も考 え られ ます.

  す な わ ち,図3.5.3に  

付 記 し た よ うに

最 小 値,第１

四 分 位 値,中

位 値,第

３四 分 位 値,最

大値

を よ み と る こ と が で き ま す か ら,そ れ を 「箱 」 と 「ひ げ 」で か け ば よ い の で す.   ま た,ひ

げ の 長 さ が 長 い と き に ア ウ トラ イ ヤ ー の 混 在 を示 唆 し て い る こ とか ら,自

然 な 流 れ と して,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トの 「ヒ ゲ の 打 ち 切 り ル ー ル 」,す な わ ち フ ェ ン ス

を導 入 す る こ と が で き ま す.  ◇ 注  ボ ッ クス プ ロ ッ トは,最 初 はBox-Whisker が,い つ か らかBox  ⑤  図3.5.3上 図3.5.4が

で 四 分 位 値 を よ み と っ て,そ

得 ら れ ま す.こ

れ に よ っ て,高 図3.5.4 

  ⑥  「で は,こ

Plot(箱 ひげ 図)と よ ば れ て い ま した

Plotと よばれ る よ うに なり ま した. れ ら を 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」に す る と,

知 県 が ア ウ トラ イ ヤ ー だ と わ か り ます.

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト（１）

れ を除 い て ボ ッ ク ス プ ロ ッ トを か い て み よ う」 と い う こ と に な り ま

す.   図3.5.5で

す.高

知 県 を 除 い た ため ×マ ー ク が 消 え た だ け で な く,右 の ひ げ の 長 さ

が 短 くな りま し た.そ

れ 以 外 の 部 分 は ほ とん ど か わ っ て い ませ ん.い

知 県 を除 い て も,そ れ 以 外 の46県

い か え る と,高

の 要 約 は か え る必 要 が な い,「 よ っ て,高

知 県 を別

に す る こ とは 理 に か な っ て い た 」と確 認 で き ま す. 図3.5.5 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト（２）

  た だ し,右 の ひ げ の 部 分 の 長 さ が か わ っ た こ とに 注 意 し ま し ょ う.   分 布 の 形 に つ い て,右 を除 い た 図 で は,そ わ か り ます.非

の 方 へ 広 く尾 を ひ い て い る よ う に み え て い た もの が,高

う で な か っ た,す

な わ ち,左

対 称 度 に 関 す る誤 読 が あ っ た,そ

知県

の 方 に 広 く尾 を ひ く形 だ っ た こ と が れ が,こ

の 図3.5.5で

検 出 された と

い う こ とで す.  ⑦  次 に,「 大 都 市 周 辺 と そ れ 以 外 と で ち が う よ う だ 」 と し た こ との 妥 当 性 を確 認 す る た め に,デ   図3.5.6の

ー タ を 二 分 して ボ ッ ク ス プ ロ ッ トをか い て み ま し ょ う. よ うに な り ます.

  こ の 結 果,ボ ます.ま

図3.5.6 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト(３)

図3.5.7 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト(４)

ッ ク ス の 位 置 が ず れ て い る こ と か ら,上 記 の 説 明 の 妥 当 性 が 確 認 さ れ

た,「 沖 縄 県 」が ア ウ トラ イ ヤ ー で あ る こ と が検 出 さ れ ま す.

  ⑧  以 上 の 分 析 結 果 を示 す とい う意 味 で は,図3.5.4を 理 由 で,図3.5.6で

図3.5.5に

改め たの と同 じ

指 摘 さ れ た ア ウ トラ イヤ ー を別 に して,図3.5.7を

か いて お くと

よ い で し ょ う.   ⑨  こ れ ま で指 摘 した よ う な差 が 検 出 され た ら,そ の差 が ど う 説 明 さ れ る か を 考 え よ う と い う こ とに な りま す.い

ま取 り上 げ て い る 指 標 で は 各 県 の 人 口 数 の ち が い を

「比率 」 を と る こ とに よ って 補 正 して あ り ま す が,同

じ く千 人 で も,高 齢 者 の 多 い 千

人 と高 齢 者 の 少 な い 千 人 と で は ち が うで し ょ う.し た が っ て,こ

の ち が い を考 慮 に 入

れ る こ とで 「 病 床 数 の 差 が 説 明 で き る か 否 か 」を 調 べ るの で す.   ま ず,棒

グ ラ フ の 棒 の 配 列 順 を 「高 齢 者 比 率 の 順 」に か え て み ま し ょ う(図

3.5.8)．   ⑩  棒 の ア タ マ の 位 置 を み る と,左 上 か ら右 下 方 向 に 並 ぶ 「傾 向 性 」が よ み と れ ま す が,こ

の 傾 向 性 の 存 在 を確 認 す る た め に,ボ

  図3.5.9は,こ

ッ ク ス プ ロ ッ トが 有 効 で す.

れ ま で の 分 析 で ア ウ トラ イ ヤ ー だ と指 摘 さ れ た ２県 を 除 く45県

「高 齢 者 比 率 」の 大 き さ の 順 に よ っ て ３区 分 し て,各

を

区 分 ご と に 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」

を か い た もの で す ．   箱 の位 置 が ず れ て い る こ と(図3.5.7の

場 合 と比 べ る と重 な り部 分 が 大 き い が)か

ら,予 想 さ れ た傾 向 性 の 存 在 が 確 認 され ます.   くわ し くみ る と,高 齢 者 比 率 の 大 き さ の 影 響 が 「ボ ッ ク ス の 位 置 」お よ び 「 左側 の ひ げ の 位 置 」の ず れ と して 把 握 で き ま す が,右 側 の ひ げ に 関 し て は こ の 一 般 的傾 向 と 異 な り,高 齢 者 比 率 の 大 き さ に か か わ ら な い様 相 を示 して い ま す.こ

の こ とか ら,人

図3.5.8 

デ ー タ の グ ラフ 表 現(説 明 変 数 の 大 き さの 順)

66ペ ー ジ ⑦ に 注 記 した よ うに,大

都 市 周 辺 を除 い た グ ラ フ に す るこ とが 考 え ら れ ます.

口 あ た り病 床 数 が 多 い 地 域 に お け る 地 域 差 に 関 し て は さ ら に 別 の 要 因 が 見 出 され る か も しれ ませ ん.   ⑪  こ の 例 で み た よ うに,「 デ ー タ を よ む 手 順 」 を,わ か りや す い 形 に 組 み 立 て る こ とが で き ま す.   な じみ の あ る 「 棒 グ ラ フ 」と,分 析 手 順 と し て 合 理 性 を もつ 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」 を 使 い わ け る と よ い で し ょ う.

図3.5.9 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト(５)

図3.5.10 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト(6)

  前 節 で は ボ ッ クス プ ロ ッ トに 関 して 種 々 の 代 案 が あ る こ とを 示 し ま し た が.実 問題 を扱 う と き に は,デ ら,ま ず は,ボ

際の

ー タの 取 り上 げ 方 に よ る ち が い に 注 目す る こ とが 必 要 で す か

ッ ク ス プ ロ ッ トは 基 本 的 な 表 現 法 を採 用 し ま し ょ う.

  ◇ 注  「一 連 の分 析 の途 中経 過 を省 略 して結 論 を示 す」 とい う意 味 で は,図3.5.4∼3.5.7 か ら 「高知 県,沖 縄 県,大 都 市 周 辺 の 県,そ の 他 の 県 」に対 応 す る部 分 を選 ん で 図3.5.10 をか くこ とが考 え られ ます.  い くつ か の集 団 区分 につ い て そ れ ぞ れ ボ ック スプ ロ ッ トをか き,上 図の よ うに併 記 した 図を「 並 行 ボ ックス プ ロ ッ ト」とよ び ます.

3.6  補足:ボ ッ ク ス プ ロ ッ トにお け る フ ェ ンス の 表 現  ①  ボ ッ クス プ ロ ッ トの 図 示 法 に つ い て,3.3節

の 図3.3.4で

は,次

の 扱 い ａと扱

い ｃを採 用 して い ま した.  ａ. ア ウ ト ラ イ ヤ ー が 検 出 さ れ た 場 合,フ 線 を打 ち切 る(そ の 結 果,線

の 端 はUFま

 ｃ. ア ウ トラ イ ヤ ー が 検 出 され た 場 合,そ

ェ ン スUFあ

る い はLFの

た はLFの

位 置 に な る).

れ を除 い た 部 分 を 使 っ て,別

と こ ろで

のボック

図3.6.1 

 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに お け る フ ェ ン ス の 表 現

ス プ ロ ッ トをか く.

  こ の 扱 い に 対 して,次  

の 扱 い ｂが 考 え られ ます.

ｂ. ア ウ ト ラ イ ヤ ー が検 出 され た 場 合,そ で線 を 打 ち切 る(そ の 結 果UFま

  こ の う ち,ｂ がTukeyの テ キ ス トで は,ａ

れ を 除 く最 大 値 ま た は 最 小 値 の と こ ろ

た はLFの

原 案 で あ り,ま た,よ

位 置 は 図 示 さ れ な い). り 多 く採 用 さ れ て い ます が,こ

の

を採 用 して い ま す.

  ②  この こ とに つ い て,補

足 し ま し ょ う.

  扱 い ｂ を否 定 した わ け で は な く,分 析 の 手 順 を 考 え て  

ア ウ トラ イ ヤ ー を 指 摘 す る段 階 だ か ら ａの 表 現 を採 用 し た

そ う して,   そ れ を 除 い て み た場 合 の 分 布 をみ る た め に ｃの 表 現 を採 用 した の で す.   また,   経 過 は 省 略 して 「最 後 の 結 果 を １つ の 図 に 示 す 」 と い う こ と な ら,ｂ の 表 現 を採 用 し て よ い で し ょ う.   図 の 形 に こ だ わ らず,場   た だ し,次

面 を考 え て 使 い わ け て く だ さ い

の 注 記 ま で考 え る と,ｂ で な く,本 文 で 採 用 し た ａの 表 現 を 採 用 した く

な りま す.  ③  ｂ の 表 現 に つ い て は,次

に 注 記 す る問 題 が あ る こ とに 注 意 して くだ さ い.

  ◇ 注   ア ウ トライヤ ー を除 いた後 の 分布 を示 す とい う意 味 で は,最 大 値 ま た は最 小 値 をお きか え るだ け で は す み ませ ん.す な わ ち,中 位 値 や 四 分 位 値 もか わ る可 能 性 が あ り ます (特にア ウ トライヤ ーが ２つ以上 の場 合)か ら,図 の箱 の部 分 も書 き換 え るこ とが必要 です.  

したが って,「 基 準 をこ え る値 以 外 の最 大値,最 小値 を 図示 せ よ」とい う説 明 に 対 応 す る

 図3.6.1の(ｂ)は,   基準 値 を こえ る値 以外 の 範 囲 でか い た ボ ッ クス プ ロ ッ トに な って い ない の です.  よ って,ｂ を採 用 した場 合,   は じめ か ら特 定 デ ー タ を除外 して か いた 図 と,   結 果 的 に 除外 され た状 態 を示 す 図 とが 一 致 しな い

こ とが あ り え ま す.   本 文 で,ま

ず 図3.6.1(ａ),つ

づ い て 図3,6.1（

ｃ）を示 し た の は こ う い う 理 由 も あ り ま す.

  こ の 注 記 が 問 題 に な る よ う な ケ ー ス は 少 な い で し ょ うが,考 点 で す.論

え 方 と し て は,区

別 した い

理 的 に は,「 ｂの 表 現 を 改 め た ｃの 表 現 が 考 え ら れ る 」 と い う こ と で す.

3.7  補 足:中 位 値,四 分 位 値 の 計 算   ①   四 分 位 値 や 十 分 位 値 は,す う指 標 に な っ て い ま す.こ 量)と よ び ます.た

べ て,大

き さの 順 に 注 目 して,○

の 見 方 で は,こ

と え ば,第

パ ー セ ン ト目 とい

れ ら を,パ ー セ ン タ イ ル(ま た は 順 位 統 計

１四 分 位 値 は25パ

ー セ ン タ イ ル,第

１十 分 位 値 は10

パー セ ン タイル です.   た と え ば 四 分 位 値 の 計 算 で は,実

際 の 観 察 値 の 範 囲 で ち ょ う ど25パ

に あ た る もの が な い と き に は,25パ

ー セ ン タイ ルの 前後 に あ た る観 察 値 を使 って補

間 計 算 を行 な っ て25パ

ー セ ンタ イル

ー セ ン タ イ ル に あ た る値 を求 め ま す.

  こ れ が 基 本 の 考 え 方 で す が,細

か く考 え る と い くつ か の 扱 い 方 が あ りえ ま す.

  ま ず,観 察 値 の 解 釈 に つ い て,次

の よ う な場 合 が あ り え ます.注

記 す る資 料 で あ げ

て い る ケ ー ス を 整 理 して 表 示 し た もの で す. 表3.7.1 

  表3.7.1は

四 分位 値 の 解 釈:QIは

何パー センタイルか

四 分 位 値 に つ い て の例 示 で す.

  Ｎ 分 位 値X0,X1,X2,…,XNに

つ い て 一 般 化 す る と,

  解 釈 ａ で はXIは(I+1)/N分

位 値 にあ た る

  解 釈 ｂ で はXIはI/(N-1)分

位 値 にあ た る

  解 釈 ｃで はXIは(I+1)/（N+1）

分位 値 にあ た る

 解 釈 ｄで はXIは(I＊2+1)/（N＊2+2） とい うこ と で す が,そ

分位値 に あ たる

れ ぞ れ の解 釈 の 根 拠 を考 え て み ま し ょ う.

  解 釈 ａ は,「 観 察 値 に 順 序 づ け す れ ば 足 り る」 とい う範 囲 な ら 自然 で す が,「 小 さ い 方 か らみ た Ｐ パ ー セ ン タ イ ル は,大 う対 称 性 を も ち ませ ん.よ   こ の 解 釈 ｂ で は,最

っ て,解

き い 方 か らみ た(1-P)パ

ー セ ン タイ ルだ」とい

釈 ｂが 出 て き ます.

小 値 は ０パ ー セ ン タ イ ル で あ り,最 大 値 は100パ

ル だ とい う こ とに な り ます が,異

論 が あ りえ ます.た

と え ば,観

ーセンタイ

察値 の 範囲 でみ た最

小 値 で あ っ て も,観 察 値 数 を 増 や す と,そ れ よ り小 さ い 値 が 出 現 す る で し ょ う.   こ の 見 方 に た つ な ら,解

釈 ｃあ る い は 解 釈 ｄが 出 て き ま す.両

端 とそ れ 以外 とを

同 等 に 扱 う と い う意 味 で は,解 釈 ｃ よ り解 釈 ｄの 方 が 妥 当 で し ょ う.   解 釈 ｅは,観 察 値 の パ ー セ ン タ イ ル が,母

集 団 の 同 じパ ー セ ン タ イ ル の 不 偏 推 定 値

に な る よ うに 定 め る もの で す が,正 規 分 布 を 仮 定 し て い る の で,こ お くこ と に し ま し ょ う(表3.7.1と

 ②   ど の解 釈 を採 用 す るに して も,こ の 関 係 か ら逆 算 して,た 応 す るXIを

こ で は,考

慮外 に

同 じ形 式 に は か け ませ ん).

求 め る こ と に な り ます.そ

とえ ば 四分 位 値 に 対

の 計 算 で 必 要 と な る補 間 計 算 で の 端 数 処 理 に

つ い て,  扱 い １:通 常 の 補 間 計 算:(XPに

つ い て 補 間 計 算)

 扱 い ２:補 間 計 算 を適 用 せ ず, 四 捨 五 入 に よ っ て 整 数 化 した 順 位 に対 応 す るXIを  扱 い ３:TukeyがDEPTHと

使 う

よ ん だ 考 え 方 に よ っ て,

  端 数 が 「.0」ま た は 「.5」の 範 囲 に な る よ うに した 計 算 法 の 扱 い が あ りえ ます.   ③  Tukeyの 中 位 値,四

原 案 は,ｄ

を採 用 し た 上 で 端 数 計 算 を簡 単 化 し た 「扱 いd3」 で す が,

分 位 値 … の 場 合 を想 定 し た も の で す か ら,た

とえば 十分位 値 な どを使 う

と き に は 適 用 で き ませ ん.   こ の ため,観

察 値 の 範 囲 に 限 っ た 見 方 を 採 用 す る な ら 「扱 いb1」,観

察 値 が サ ンプ

ル だ と い う見 方 を入 れ る な ら 「扱 いd1」 で し ょ う.   こ の テ キ ス トで はb1を

採 用 して い ま す.必

ず し も そ れ が ベ ス トだ と い う こ と で は

な く,簡 明 に 説 明 で き る と い う点 を考 え た 選 択 で す.   ④  ５数 要 約 や ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに つ い て は,本 で き ぬ 重 要 性 を もつ 」概 念 で す か ら,統 が,「 同 じデ ー タ を 使 っ た の に,出 うに,そ

文 で 述 べ た よ う に,「 欠 く こ と の

計 ソ フ トで は た い て い 取 り上 げ られ て い ま す

力 が 異 な る」こ とが あ り ます.①,②

の 定 義 自体 に い くつ か の 代 案 が あ る こ と と,こ

で述 べ た よ

こ に 注 記 した 計 算 方 法 上 の ち

が い が あ る ため で す.

表3.7.2 

四分 位 値 の定 義 が ど うな っ て い るか を判 断 す る た め の サ ン プ ル デ ー タ と表

定 義欄 の 記 号 は,71ペ い に 対 応.

ー ジに 説 明 した 「解 釈a,b,c,d」

と72ペ

ー ジに 説 明 した 「扱 い1,2,3」 の ちが

表3.7.3 

Ｐ パ ー セ ン タ イ ルXPの

Frigge,M.,Hoaglin,D.C.and Iglewicz,B.:Some American Statistician,43(1989).

  そ れ ぞ れ の ソ フ トに つ い て,ど

計 算 式 にお け る端 数 処 理

Implementations

of the Box Plot.

の 計 算 方 法 を使 っ て い るか を確 認 す る こ と が 必 要 で

す.   説 明 が つ い て い な い 場 合 は,表3.7.2に

示 す ８種 の サ ンプ ル デ ー タ を使 っ て,四 分

位 値 を計 算 し,そ の 結 果 を 表 に照 ら して どれ に あ た るか を判 断 で き ま す.

問題 ３

【 分 布 の 歪 み 度 ・尖 り度 】 問 １  54ペ ー ジ の 表3.2.2に

つ い て,７ 番 目の デ ー タ を 除 い て 計 算 し な お して み よ.

【ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト】 問 ２  UEDAの

プ ロ グ ラ ム の う ちBOXPLOTHに

よ っ て,５ 数 要 約 と ボ ッ ク ス プ

ロ ッ トに 関 す る本 文 の 説 明 を復 習 し,次 の 問 い に 答 え よ.   ａ.５ 数 要 約 で 使 っ て い る指 標 は?  ｂ.ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トで,５ 数 要 約 図 に付 加 した 機 能 は?

 ｃ.ア

ウ トラ イ ヤ ー 検 出 基 準 は?

問 ３  BOXPLOT1の

説 明 を よ み,

 平 均 値 に よ る情 報 要 約  平 均 値 と標 準 偏 差 に よ る 情 報 要 約   中位 値 と 四分 位 値 に よ る 情 報 要 約  ５数 要 約  ボ ックスプ ロッ ト   の順 に,ど

ん な 視 点 で こ れ らが 変 更 され て い る か を 説 明 せ よ.

問 ４  BOXPLOT2の

説 明 を よ み,賃

金 の 年 齢 別 比 較 の た め に 問 ３の 表 現 が そ の 順

に精 密 化 さ れ て い る こ と を確 認 せ よ.こ が,プ

の 章 で 説 明 し て い な い 表 現 法 が あ りま す

ロ グ ラ ム 中 の 説 明 で わ か る と 思 い ます.

問 ５  問 ３に あ げ た 種 々 の 表 現 法 が3.1節

の ② に あ げ た 「バ ッ ジ と し て の 特 徴 を み

る際 の 着 眼 点 」の どの 範 囲 を カバ ー して い る か を指 摘 せ よ. 間 ６  プ ロ グ ラ ムXPLOT1を

使 っ て,付

表 Ａ に 示 した消 費支 出総 額 の デー タの値

の 分 布 を 図 示 せ よ.基 礎 デ ー タ は,プ

ロ グ ラ ム の 例 示 用 デ ー タ と して セ ッ ト して

あ る.  ａ.分 布 図  ｂ.そ の 形 の 特 性 を 表 わ す 指 標 値(平 均 値 と標 準 偏 差)  ｃ.ボ

ックスプ ロ ッ ト

【ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに よ る比 較 】 問 ７  (１)付

表 Ａ に 示 し た 消 費 支 出 総 額 の デ ー タ を,世 帯 人 貝 数 で ３区 分 し,各

分 で の 分 布 に つ い て ボ ッ ク ス プ ロ ッ トを か け.プ セ ッ トし て あ る例 を 使 う こ とが で き る.

ロ グ ラ ムXAPLOTと

区

それに

  (２)付

表 Ａ に 示 し た 消 費 支 出 総 額 の デ ー タ を,実 収 入 で ３区分 し,各 区 分 で

の 分 布 につ い て ボ ッ ク ス プ ロ ッ トを か け. 問 ８  付 表 Ａ に 示 した 食 費 支 出額 の デ ー タ につ い て,問

６ と 同 じ図 をか け.

問 ９  付 表 Ａ に 示 す 食 費 支 出額 と消 費 支 出 総 額 を 使 っ て 食 費 支 出 割 合 を計 算 し,問 ６ と 同 じ図 を か け.   注:食 費支 出 割合 の デー タは,プ ロ グ ラムVARCONVを 間10  付 表 Ｃ に示 す 賃 金 に 関 す る デ ー タ に つ い て,各 四 分 位 値,第

使 って用 意 す るこ と. 年 齢 区 分 の 情 報 を 中位 値 と 第 １

３四 分 位 値 で 表 し,年 齢 別 に み た 変 化 を 分 析 せ よ.

  こ の デ ー タ の よ う に 「分 布 表 の 形 式 に な っ て い る 」場 合 に は プ ロ グ ラ ム XPLOT2を

使 う.付 表 Ｃ の デ ー タは 例 示 用 と して セ ッ ト して あ る.

【 分 析例 】 問11  付 表 Ｌ に示 す 血 圧 の 分 布 を 示 す デ ー タ フ ァ イ ル(DI10V)に

つ い て,

  ａ. 年 齢 別 平 均 値 を年 齢 別 に 対 比 す る た め に適 当 な 図 をか け.   ｂ. 平 均 値 で は 表 わ せ な い個 人 差 の 幅 を示 す た め 標 準 偏 差 を 計 算 し,そ の 結 果 を ａの グ ラ フ に つ け 加 え よ.   ｃ. 個 人差 の 幅 に 関 し て,大

きい 方 向 へ の ひ ろ が り と小 さ い 方 向 へ の ひ ろ が り

とが 異 な る 可 能 性 が あ る こ と を考 慮 し た 図 に 改 め よ.   ｄ. 最 大 値 の か わ りに90%点(大 る 値),最

き さ の 順 が 大 き い 方 か ら10/100番

小 値 の か わ りに10%点(大

目に あ た

き さの 順 が 小 さ い 方 か ら10/100番

目に

あ た る値)を 用 い た 「 疑 似 ５点 表 示 」 をか け. 問12  付 表N(フ

ァ イ ルDI40V)は,15歳

を 調 べ た結 果 で あ る.こ

以 上 の 日本 人 に つ い て,身

  ａ. 身 長 の 区分 ご と に(2cm区

切 りに な っ て い る),そ

体 重 の 分 布 に 関 す る 第 １四 分 位 値,中 ラ ムQ1Q2Q3Xと

位 値,第

デ ー タ フ ァ イ ルDI40Vを

列 記 す る こ とが 考 え ら れ るが,そ   ｃ. 身 長 ×身 長 ×22(身 長 は ｍ,体 れ と比 べ て20%以

れ ぞれ の 区分 に お け る

３四 分 位 値 を 求 め よ.プ

ログ

使 う こ と.

  ｂ. 各 身 長 区 分 ご と に 求 め た 結 果 を 図 示 せ よ.た

と よ び,そ

長 と体 重 の 関 係

れ に も とづ い て,

と え ば,「 疑 似 ５点 表 示 」 を

れ 以 外 の 形 式 で も よ い. 重 はkg)と

して 計 算 さ れ る 値 を 「標 準 体 重 」

上 の 場 合 肥 満 傾 向 あ り と指 摘 さ れ る.こ

れ ら

の 値 を ｂ の 図 に 書 き 込 め. 問13  (１) 3.5節

で 説 明 し た 分 析 手 順 で 使 っ た 一 連 の ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト(図

3.5.4∼ 図3.5.7を

か け.プ

ロ グ ラ ムBOXPLOT3の

最 初 の 画 面 で例 ３ を指 定 す

れ ば よ い.   BOXPLOT3を

使 う た め に は,47県

あ る.デ ー タ フ ァ イルDI93Xに

は,こ

を ど う 区 分 す るか を 指 定 す る 文 が 必 要 で れ が つ け 加 え て あ る.

  (２) 1985年 分 の デ ー タ に つ い て(１)と 同 じ図 を か け.  

1985年 分 の デ ー タ も フ ァ イ ルDI93Xに

記 録 され て い る.

【ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 表 わ し方 】 問14  ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに お け る 「ア ウ トラ イヤ ー 検 出 基 準 」に つ い て  

ａ. 58ペ ー ジ に 示 し た0.69%と

い う値 は ど う し て 誘 導 さ れ た もの か を 説 明 せ

 

ｂ. こ の 値 が1%と

な る よ う に す る に は,基 準1.5を

ど う変 更 す れ ば よ い か.

 

ｃ. こ の 値 が5%と

な る よ うに す るに は,基

ど う変 更 す れ ば よ い か.

よ.

準1.5を

問15  ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの フ ェ ン ス の 定 義 を60ペ U F-Q2,D9-Q2,D3-D2が

ほ ぼ4:2:1に

ー ジ に 示 し た 形 に 改 め た と き,

な っ て い る こ と を 示 せ.た

だ し基礎

デ ー タ の 分 布 が 正 規 分 布 と仮 定 で き る もの とす る. 問16  ５点 表 示 あ る い は ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに よ る 表 現 が,平

均 値 と標 準 偏 差 に よ る表

現 と比 べ て どん な 点 で す ぐれ て い る か を 指 摘 せ よ. 【統 計 調 査 に お け る分 布 の 表 現 】 問17  賃 金 統 計 に 関 す る報 告 書 を み て,「 賃 金 の 分 布 」 を ど の よ う な 指 標 を使 っ て 表 現 し て い る か を 調 べ よ. 間18  付 表G.2で る が,こ

は,年

間 収 入 の 五 分 位 値 と貯 蓄 現 在 高 の 四 分 位 値 と が 使 わ れ て い

れ ら は,区

分 数 が ち が う こ と 以 外 に,「 使 う 意 図 」の 上 で 相 違 が あ る.

そ の 相 違 点 を指 摘 せ よ.

４ デ ー タ の 対 比

  「ボ ッ ク スプ ロッ トの 位 置 が ずれ て い る」とい う こ と を,「 同一 区分 内 で の ひ ろが り と比ぺ て区 分 間の 差 が 大 きい」と了 解 で き ます.こ う了解 す る と,分 散 す な わ ち 「ひ ろが りの 大 き さ を測 る指 標 」とみ て,そ れ が 「区 分 け に よ っ て ど の程 度 減 少 す るか 」に 注 目 して,区 分 け の 有 効 性 を 評価 で き ます.   これが,こ の章 で 説 明 す る内 容 の筋 書 きです.

4.1  区分 け する  ①  デ ータ に も とづ い て説 明 す るた めの論 理 

指標 値 Ｘ の 大小 を説 明す る,す

な わ ち,大 小 を もた らす 要 因 を探 究 す る た め に   考 察 範 囲(観 察 単 位 の 集 団)を 想 定 す る  ⇒ 集 団 を区分 けす る  ⇒ 区分間 の差 の大小 をみ る   ⇒ 区 分 間 の 差 が 大 きい ほ ど,   区分 け に使 った要 因 が有 力な候 補 と い う過 程 に 沿 っ て デ ー タ を分 析 し て い き ます.   ②  区 分 け に使 う要 因 の 選 択 定 さ れ て お ら ず,い

  こ の 形 で 分 析 を進 め る最 初 の 段 階 で は,要

因 は特

くつ か の 候 補 が あ るで し ょ う.そ れ らの どれ を使 う と 「実 態 を よ

く説 明 で き るか 」を比 較 検 討 す る こ とが 必 要 で す.た   X(=食

費 支 出 額 の 世 帯 間 差 異)に つ い て,

  A(=世

帯 人 員 数),B（=世

と えば

帯 収 入 ）に よ っ て,

  「Ｘ の 変 動 が どの 程 度 ま で 説 明 で き る か 」 を調 べ る ため に ボ ッ ク ス プ ロ ッ トをか い た と こ ろ,図4.1.1の

よ う に な っ た と し ま し ょ う(基

礎 デ ー タ は 付 表 Ａ,問 題 ３の 問 ８参 照).   Ａ に つ い て は,、A1=2∼3人,

A2=4人,

A3=5人

以 上, Ｂ に つ い て は,B1=50以

図4.1.1 

下,B2=50∼100,B3=100以   こ の 例 で は,ボ す.た

２つ の 要 因の 効 果 比 較

上 と区 分 して 比 較 して い ます.

ッ ク ス の 位 置 が ず れ て い る こ と か ら,要

因 Ａ の効 果 が判 断 で き ま

だ し,そ れ ほ ど ク リアー で な い ケ ー ス が あ り ま す か ら,区 分 け し た 場 合 の 「 差

の 有 無 を判 定 す る客 観 的 な 手 順 」を組 み 立 て る こ と を考 え ま し ょ う.   これ が,こ

の 節 の テ ー マ です.

  ③   分 析 手 法 と して の 構 成

  以 上 の よ う な考 え 方 を体 系 づ け る こ と に よ っ て,指

標 値 Ｘ の 変 動 を い くつ か の 要 因 に よ る 区 分 と結 び つ け て 説 明 す る … そ れ を分 析 手 段 と して 組 み 立 て る こ と を 考 え て い くの で す.   考 え る べ き 点 は,①

で 述 べ た 「区 分 間 の 差 」あ る い は ② で述 べ た 「 位 置 がずれ て い

る」 と い う記 述 を,客 観 的 な 統 計 手 法 の 中 に と りい れ る こ と で す.す

なわ ち

区分 間の差   ⇒ 位 置 がずれ て いる   ⇒ 平均 値 が異 な る   ⇒ そ の こ と を考 慮 に 入 れ る と,分 散 が 小 さ くな る こ とに 注 目す る の で す.   ④  こ の 章 で は,各

区 分 で の 観 察 値 を代 表 す る値(た

各 区 分 間 の 差 の 有 無 を判 定 す る もの と して い ま す.こ

とえ ば 平 均 値)に 注 目 し て,

の こ とか ら,た

間 で 平 均 値 は 同 じ で も ひ ろ が り幅 が ちが う … そ うい う場 合 に は,差 こ と に な り ます.ま

た,そ

う限 定 して い る た め,前

と え ば,各

区分

あ り とは み な い

章 の よ うに ひ ろ が り幅 の 非 対 称 性

を考 慮 に 入 れ る こ と は し ませ ん.   し た が っ て,「 各 区分 の 情 報 比 較 」 を,各 区 分 を代 表 す る 「平 均 値 の 比 較 」 とお きか え て 考 え る こ と に な り ます.   ⑤   そ れ に して も,目 標 は,指

標 値 Ｘ の 変 動(個 々 の 観 察 単 位 の レ ベ ル で み た 値

の 変 動)を 説 明 す る こ と です か ら,そ れ を 説 明 す る基 準 と して,ど

ん な要 因や 区分 の

仕 方 に よ る平 均 値 が 有 効 か をみ る こ とが 必 要 で す.   した が っ て,区

分 の 仕 方 を特 定 して し ま うの で な く,た

区 分 の 仕 方 をか え て み ま し ょ う.ま

た 図4.1.3の

と え ば 図4.1.2の

ま し ょ う.   図4.1.2で

は 図4.1.1で

よ うに,

よ う に ２つ の 要 因 を組 み 合 わ せ て み

３区 分 で あ っ た 要 因 Ａ を ４区 分 に して い ま す.

図4.1.2 

区 切 り方 をか え る

図4.1.3 

図4.1.4 

２つ の要 因 を 組 み 合 わせ る

ヒ ン ジ トレー ス

  こ れ に よ る と,「 情 報 を よ り細 か くみ た 」こ と が 「差 が は っ き り し な くな っ た 」 こ と につ な が る よ う に み え ま す.「 細 か くみ た の だ か ら,当 だ」 と い う 疑 問 含 み の 質 問 が 出 る か も しれ ませ ん.こ ジ の 注 １に 用 意 して あ り ます が,そ

然,よ

れ をみ る前 に,4.2節

  要 因 Ｂ に つ い て も細 か く区 分 で き ます.Ｂ 切 り方 を 自 由 に 決 め る こ と が で き ます が,細   基 礎 デ ー タ が 数 量 で あ る こ とか ら,Ｂ

え られ ま す.図

ー

の 説 明 を よん で くだ さ い.

が 数 量 デ ー タ で す か ら,区 分 の 数 や 区 か くす る だ け で よ い とは 限 り ませ ん.

が か わ っ た こ と に 対 応 す る,Ｘ

「あ る カ ー ブ で 表 わ し う る」 と考 え る な ら,図4.1.4の る ボ ッ クス の位 置 を 線 で つ な い で,BXの

り くわ し くわ か る は ず

の 質 問 に 対 す る 答 え は83ペ

よ うに,Ｂ

の変化 を

の各区分に対応す

関係 を 「 傾 向線」として把 握 す るこ とが考

で は,中 位 値 をつ ら ね る線 と 第 １四分 位 値 をつ らね る線,第

値 をつ ら ね る 線 の ３本 組 に し て 使 っ て い ま す.ま

た,傾

３四 分 位

向 を把 握 す る と い う 趣 旨 か

ら,そ

れ ぞ れ の 線 を ス ム ー ジ ン グ して,細

か い 上 が り下 が り を消 し て い ま す.こ

「ヒ ン ジ トレ ー ス 」 と よば れ る表 現 方 法 で す.く

れは

わ し くは 本 シ リー ズ 第 ３巻 『 統 計学 の

数 理 』を 参 照 し て くだ さ い.   さ ら に,Ｘ

に 対 す る Ａ の 影 響 と Ｂ の 影 響 とが 「そ れ ぞ れ の 効 果 が 加 わ っ た 形 」で

な く,「 相 乗 効 果 あ る い は 相 殺 効 果 を もつ 形 」に な っ て い る こ とが 考 え ら れ る場 合 に は,図4.1.3の

よ う な 比 較 を す る こ と に な り ま す が,区

分 数 が 大 き くな る ⇒ 各 区 分

に 属 す る デ ー タ数 が 少 な くな る ⇒ そ の こ とか ら傾 向 が 乱 さ れ る,と

い う理 由 で,限

度 が あ り ます.   １つ の 要 因 に つ い て 細 か くみ る 図4.1.4の

場 合 も 同 じ理 由 で,

  「細 か く区 分 して み る こ と」に対 す る 「デ ー タ 数 か ら く る 限 度 」 を把 握 す る た め に,次

節 で 述 べ る分 散 に よ る評 価 を併 用 し な け れ ば な ら な い の で す.

4.2  種 々 の 分 散 とその 計 算  ①  前 節 で 述 べ た 分 析 手 段 を 組 み 立 て る た め に は,種

々 の 分 散,す

な わ ち,「 種 々

の 見 方 で 誘 導 さ れ た 説 明 基 準 」か らの 偏 差 を表 わ す 分 散 を使 い ます.   こ の 節 の 手 法 で は,デ

ー タ を区 分 し,そ れ ぞ れ の 区 分 ご とに 求 め た 平 均 値 を 基 準 と

して 分 散 を 計 算 し ま す.次 とに よ り,分 散 が37か

の例 示 の よ う に(一 般 に 成 り立 つ こ とで す が),区

ら30に

そ の 減 少 度 が 大 き い の で,そ

減 少 し ます.そ

う し て,平

分 す るこ

均 値 間 の 差 が 大 き い ほ ど,

の 減 少 度 に 注 目 して 「説 明 基 準 の 有 効 度 」を 判 定 で き る

の で す.   この 計 算 に お け る左 側 は,第

２章 で 説 明 し た 分 散 の 計 算 と同 じ です.

表4.2.1 

基 準 をか え て分 散 を計 算

  右 側 が,観

察 単位 が 区 分 さ れ て い る 場 合 の 計 算 で す.こ

コー ドを表 わ す 添 字 Ｋ を使 っ て い ます.そ

の こ と に と も な っ て,区

分

う し て,平 均 値 が Ｋ の 区 分 ご と に 計 算 さ

れ,分 散 の 計 算 で は Ｋ に 応 じた 平 均 値 を 使 う形 に な っ て い ま す.   偏 差 を測 る 基 準 を お きか え て い る 点 以 外 は,基

本 的 に は 同 じ計 算 手 順 で す.た

だ,

計 と平 均 値 の欄 を,全 体 で の 計 ・平 均 値 の 欄 と各 区 分 で の 計 ・平 均 値 の欄 に わ け て い る と こ ろ が ち が うだ け で す.   こ の 節 で考 え るの は,偏  ②  分 散 の 定 義

差 を測 る基 準 を お きか え て い る こ と の 意 味 で す.

  こ の 節 で は,ま

ず,そ

れ ら の 分 散 の 呼 称 や 定 義 に つ い て,ま

と

め を与 え て お き ま し ょ う.  分 散 は,「 基 準 とみ る値 か ら の 偏 差 」の(一 種 の)平 均 で す.し タ の 偏 差 」の 大 き さの 指 標 で す が,基 れ ます.す

な わ ち,一

た が っ て,「 対 象 デ ー

準 の と りか た に 対 応 し て,種

々の 分散 が 定義 さ

般化 して

σ2=〓1/NΣ(XI-μ)2 と表 わ し,μ す な わ ち 「XIの 変 動 を説 明 す る 基 準 の 選 び 方 」に よ っ て 場 合 わ け す るの です.  表4.2.1の

左 側 す な わ ち 全 体 で の 平 均 値 を 基 準 と し た 分 散 が 「全 分 散 」,右 側,す

な わ ち,各 区 分 ご とに わ け て み た 平 均 値 を 基 準 と した 分 散 が 「級 内 分 散 」で す.  残 差 分 散 に つ い て は,後

の 章 で 説 明 し ます.

表4.2.2 

種 々の分散の定義比較

  こ の 表 に お け る偏 差 平 方 和 お よ び 分 散 の 記 号 で は,全 内(Ｗ)で が,後

体(Ｔ)で

の 平 均 値 を基 準 と して い る こ と を示 す た め に,添

の 節 で は,被

  ③  偏 差 平 方 和

説 明 変 数,説

の 平 均 値,各

字 Ｔ,Ｗ

区分

を 使 っ て い ます

明 変 数 の 記 号 を 添 字 とす る 記 号 に 変 更 し ま す.

  偏 差 平 方 和 は,「 デ ー タ が もつ 変 動 量 」の 大 小 を 評 価 す る 量 だ

と解 釈 で き ます.   そ の デ ー タ を解 析 す れ ば 「そ の 大 き さ に 見 合 っ た だ け の 情 報 が 明 ら か に な る」 と い う意 味 で,情

報 量 と よ ぶ こ と もあ り ます.

  し た が っ て,デ 標 で す.分

ー タ解 析,す

散 は,そ

な わ ち デ ー タ の 変 動 を説 明 す る手 続 き と して 重 要 な 指

れ を,デ ー タ１ 単 位 あ た りに 換 算 した も の だ と解 釈 で き ます.

 ◇ 注  情 報 量 とい う用 語 は,統 計 学 では た とえ ば 「 推 定 論 な どの理 論 構 成 」の場 面 で使 わ

れ て い ます が,こ こで は,そ うい う理 論 は と もか く,本 文 で 述 べ た解 釈 か ら そ うよぶ の だ と理 解 して お くと,以 下 の 説 明が わ か りや す い と思 い ます.   ④  計 算 手 順 の 構 成

  計 算 は,次

の よ うに 表 形 式 に ま と め て 行 な い ま し ょ う． 注

記 す る よ う に,分 析 上 必 要 とな る 情 報 を 記 録 し て お く よ うに 設 計 して あ るの が 重 要 な 点 で す.   こ の フ ォ ー ム に お け る 「ひ とつ ひ とつ の 区 分 で み た 偏 差 」は,後 る こ とが あ るの で,そ

れ を 記 録 し て お き ま す.た

と え ば,分

の段 階 で 必 要 と な

散 に 対 して どの デ ー タ の

偏 差 が どの 程 度 寄 与 して い るか をみ る こ とが で き るか ら で す.

表4.2.3 

級 内 分 散 の計 算 フ ォ ー ム

  ◇ 注 １  分散 の定 義 式 を,次 の よ うに変 形 して適 用 す る方法 もあ りえ ます.  ST=ΣX2-T2/N  SK=ΣX2-TK2/NK,SW=ΣSK 分 散 を計 算す るだ け な ら どち ら で も同 じこ とで す が,本 文 に 述 べ た 理 由 で,表 記 の フ ォー ムに よ りま し ょ う.   ◇ 注 ２ 右 側 の フォ ー ム で は 各 区分 に 属 す るデ ー タ を わ け て 示 す 形 に して あ りま す が, デ ー タ番 号 順 に示 して お くと,他 種 の分 散 の 計 算 と対 比 で き るな どの 利点 を もち ます .   ⑤  定 義 か ら明 ら か な よ う に(ま た,簡 単 に 証 明 で き る こ と で す が),  

全分 散 ≧ 級 内分散

が 成 り立 ち ま す.  ⑥  分 散 の 推 定

  な お,分

散 に つ い て は,デ

デ ー タ数 Ｎ で な く,自 由 度 で わ れ,と

ー タ に よ る見 積 も り を求 め る場 合,

い う提 唱 もあ り ま す .こ

は 形 式 上 Ｎ 組 の 成 分 を もつ が,Σ(X-μK)=0だ

れ は,対

か ら,実 質 上 は(N-K)組

比(X-μK) で あ り,

この 実 質 上 の 組 数(自 由 度 と よ ば れ る)で わ れ と い う説 だ と 了 解 す れ ば よ い の で す.全

分 散 の 場 合 は,区

分 数 １に あ た り ま す か ら,

自 由 度 はN-1で

す.

  こ の テ キ ス トで は,第

５章 を 除 い て,こ

の 扱 い を して い ませ ん.し

の 見 積 も り をす べ て デ ー タ 数 Ｎ で わ る方 式 で 求 め て い ます.た 点 が い くつ か あ り ます か ら,そ

うい う箇 所 で は,注

  ⑦   各 区 分 の 寄 与 率    級 内 偏 差 平 方 和Swを

た が っ て,分

だ し,注

散

意 を要 す る

記 し ます. 計 算 す る過 程 にお い て 求め られ る

SK(各 区 分 ご とに わ け て み た 偏 差 平 方 和)を 記 録 して お く と,区 分 け の 効 果 が どの 区 分 で 大 きか っ た か,あ

る い は,わ

け 方 を か え る とす れ ば,ど

こ を 改 め る か を判 断 す る

参 考 に な り ます.   SW=ΣSKと

な っ て い ます か ら, SK/SWに

よ っ て,区

で み た変 動 の何 ％ に あ た るか を 評 価 で き ます.こ   ま た,SKを

分 Ｋ で の 変 動 が デ ー タ全 体

の 比 を 「寄 与 率 」 と よ び ます.

そ れ ぞ れ の 区 分 の 観 察 単 位 数 で わ っ た も の を 「各 区 分 で の 分 散 」 と よ び

ま す.   な お,分

散 成 分 と い う 呼 称 を 使 うこ と もあ り ます が,正

し くは,偏

差平 方和 の成分

です.   ⑧  σK2は,区

分 Ｋ に 限 っ て み る もの とす れ ば,そ

  級 内 分 散 は,各

の 区 分 で の 全 分 散 です.

区 分 で の 分 散 の 加 重 平 均 に な っ て い ます.す

なわ ち

σ w2=〓

平 均 値 に つ い て も,同 様 な 関 係 μw=〓

が 成 り立 っ て い ま す.し

た が っ て,平 均 値 も分 散 も,各 集 団 区 分 で み た平 均 値,分

の 「 各 区 分 の サ イ ズ を ウ エ イ ト と した 加 重 平 均 」に な っ て い ま す.80ペ

散

ー ジの計 算例

に つ い て 確 認 して くだ さ い.   な お,4.1節

の ③ で 「重 な っ て い な い 」→ 「区 分 け が 有 効 で 」 と い う 説 明 の 仕 方 を

して い ます が,こ

の 点 に つ い て は,や や 不 正 確 で す.正

し くは,次

の よ うに い い か え

ま し ょ う.   σKの(一 種 の)平 均 に あ た るσwが

σTよ り小 さ くな っ て い れ ば,

  区 分 け が 有 効 だ と判 定 され る とい うこ とで す.   「小 さ け れ ば 」 と い う と こ ろ を,ど

の 程 度 小 さ け れ ば よ し と す る か は,も

う少 し説

明 をつ づ け て か ら答 え る こ と に し ま す.   ◇ 注 １  「区 分 け が 有効 だ」 とい う こ とは 「 各 区 分 の 平均 値 を 比較 しや す くな る」こ とに つ な が る とは 限 りませ ん,前 節 の 図4.1.3あ

るい は 図4.1.4で

み た よ うに,区 分 数 を 多 くし

す ぎる と,各 区分 での デー タ数 が 少 な くな り,た とえ ば,傾 向 か ら外 れ た値 の 影響 で,区 分別 平 均値 につ いて の傾 向性 を乱 す … こ うい う副 作 用 が あ りう るため です.   ◇ 注 ２ 「サ イ ズ を ウ エ イ トとす る」こ とは 自明 で は あ り ませ ん.た

とえ ば,「 各 区 分 を対

等 に扱 う」とい う意 味 で は,サ イ ズの大 小 を考 慮 せ ず,等 ウ エ イ トで扱 うこ とも考 え られ

ま す.   ま た,あ

る 標 準 の ウ エ イ トを 使 っ て 計 算 し な お す べ き場 合 が あ り ま す.こ

つ い て は,第

う い う扱 い に

６章 で 取 り上 げ ま す.

4.3  分 散 分 析 の 考 え 方   ①  要 因 分 析

  「デ ー タ の もつ 変 動 の 要 因 を 分 析 す る 」 と い う観 点 で は,分

大 き い と こ ろが,要

注 目箇 所 で す.し

た が っ て,分

散 は,要

散の

注 目箇 所 を発 見 し,分 析

を進 め る手 段 と して 使 わ れ る も の で す.   分 散 の 定 義 式 に お け る平 均 値 な ど は,デ

ー タの 変 動 を説 明 す る た め の 「１つ の 基 準 」

で す か ら,  

種 々 の 基 準 を使 っ た 分 散 の 大 き さ を対 比 す る こ と に よ っ て,

 

各 基 準 の 有 効 度 を評 価 す る

こ とが で き ま す.   ま た,分

散 の 「で き る だ け 大 き い 部 分 を 説 明 で き る基 準 」 を見 出 す 手 続 き を 定 式 化

す る こ とに よ っ て,デ   こ れ が,以   な お,こ

ー タ主 導 型 の 分 析 を進 め る こ とが で き ま す.

下 に 説 明 す る 「分 散 分 析 の 考 え 方 」で す. こ で 「分 散 分 析 」と よば ず 「∼ の 考 え 方 」 と よ ん だ 理 由 に つ い て は こ の 節 の

終 わ りに 注 記 し ます.   種 々 の 分 散 を計 算 しそ れ ら を対 比 し ま す が,分

散 を 測 る基 準 を 評 価 す る た め に 適 用

す る の で す か ら,そ の 意 図 に 沿 っ て使 い ま し ょ う.ま

た,4.1節

で 述 べ た よ うに,指

標 値 Ｘ の 変 動 を 説 明 す る た め に 「種 々 の 基 準 の 有 効 性 を比 較 す る 」こ とが 必 要 と な っ て き ま す.   ②  分 析 手 順 の 構 成 と表 示

  実 際 の 分 析 手 順 で は,以

た ところ を 「 偏 差 平 方 和 」と お き か え ます.こ

上 の 説明 で 「 分 散 」とい っ

の お き か え は,「 分 散 す な わ ち デ ー タ １

つ あ た り」に 換 算 せ ず に,「 そ の 分 子 す な わ ち デ ー タ 数 の 大 小 を 考 慮 に 入 れ る 形 」で, デ ー タの 変 動 の 大 き さ を 測 る こ と を意 味 し ます.   デ ー タ の 変 動 を 分 析 す る と い う 意 味 で,偏

差 平 方 和 を変動 和 と よぶ こ と もあ りま

す.   分 析 の フ ロー と 変 動 和 の 減 少 は,図4.3.1の 4.2.1の

  こ こ で,偏 差 平 方 和 の 記 号 を か え て い ま す.す Ｘ やＡ

よ う に 図 示 す る こ と が で き ま す(表

計 算 例 に 対 応).

を 使 い,分

が って,全

変 動 和 はSXと

る と い う意 味 で,条

な わ ち,添 字 と し て,変

数の記号

散 の 種 別 を表 わ す 添 字 Ｔ や Ｗ は 使 わ な い もの と し ま す .し し ます.ま

た,「 級 内 」で は,説

件 を 表 わ す 記 号｜ を 組 み 込 ん で,SX￨Aと

し て お り,「 級 間 」で は,

Ｘ と Ａ の 関 連 度 に 関 す る 情 報 だ と い う 意 味 で 記 号 × を 組 み 込 ん で,SX×Aと す.

た

明 変 数 の 区 分 を特 定 して み

しま

図4.3.1 

分 析 の フ ロ ー と偏 差 平 方 和 の 減 少

 こ の お きか え は,次 節 以 降 の 拡 張 に お い て効 用 を発 揮 し ます.  ◇ 注   こ こ ま で の段 階 な ら,分 散=偏 差 平 方 和/Nで

す か ら,こ の 図 に お け る 「 偏差平 方

和 」す な わ ち 「 変 動 和 」を 「 分 散 」とお きか え て も同 じです.た だ し,あ との 拡 張 で は そ う で き ない場 合 が あ ります か ら,偏 差 平 方 和 を使 い ます.   ③  基 準 か らの 偏 差 を 表 わ す 全 変 動 和,級

内 変 動 和 に 対 し て,そ

よ び ま す.全

れ らの差 として定

義 さ れ る 量 を,"級

間 変 動 和"と

して 説 明 さ れ,"級

内 変 動 和"に 相 当 す る部 分 が 未 説 明 と して 残 っ た も の と考 え る こ

変 動 和 の 一 部 が 級 ご との 平 均 値 の 差 と

とが で き ま す.   デ ー タ の 変 動 の 未 説 明 部 分 が,「 説 明 の 進 行 と と も に 顕 在 化 さ れ て い く」こ と に よ り,減 少 して い き ま す.し   全 変 動 和,級

たが って

内変 動 和 → 情 報 の ス トッ ク

  級 間変動 和

  → 情報 の フ ロー

と解 釈 し ま し ょ う.   分 析 す な わ ち デ ー タ の もつ 情 報 を解 き 明 か して い く手順 とい う理 解 で す.   ま た,あ

る要 因Ａ に 関 し て 区 分 した 場 合,そ

の 減 少 率 に よ っ て 評 価 す る こ と が で き ます.す

の こ との 効 果 を,情 報 の 未 説 明 部 分 な わ ち,

  R2=1-SX￨A/SX=SX×A/SX を使 い ま す.こ

れ が,決

定 係 数 で す.

  こ れ に つ い て,0≦R2≦1が

成 り立 ち ま す か ら,デ

ー タ の 変 動 の 説 明 に 最 も有 効 な

ら そ の 値 が １で あ り,デ ー タ の 変 動 の 説 明 に 全 く無 効 な ら そ の 値 が ０ と な る の で す.   ④  以 上 の 分 析 結 果 を,表4.3.2の 示 す の が 慣 習 に な っ て い ます(例

よ う な 一 覧 表(分 散 分 析 表 と よ ぶ)に ま とめ て

：表4.3.3).

  ⑤  こ の フ ォ ー ム に か わ る もの と し て,各 た,表4.3.4の

区 分 ご とに み た偏 差 平 方 和 と分 散 を 含 め

よ う な 詳 細 フ ォ ー ム を使 う こ と も考 え ら れ ま す(例

：表4.3.5).

表4.3.2 

分 散 分 析 表(１ 要 因 の場 合 の フ ォ ー ム)

表4.3.3 

分 散 分 析 表(計 算例,図4.3.1の

  分 散 の 欄 に は,自

場 合)

由度 で な く,デ ー タ数 Ｎ で わ っ た もの を お き ます.

  た だ し,「 デ ー タに よ る見 積 も り」を与 え る場 面 で は,こ い 方 が あ り え ます.

れ と ち が う扱

  分 散 分 析 表 とい う呼 称 は,「 分 散 を 分 析 す る」 もの とい う印 象 を 与 え ま す が,分 散 そ の もの で は な く,デ ー タの個 別 変 動 に 関 して,そ の 変 動 を 説 明 す る要 因 を見 出 す ため の分 析 結 果 を示 す もの に な っ て い ます.し て,「 変 動 要 因 分 析 表」 と よ ぶ べ き もの で す が,慣

たがっ

用 に し た が って,分

散

分 析 表 と よ ん で お き ます.後 の 章(第 ５章)で の 分 散 分 析 表 と 区 別 した い と き に は,「 要 因分 析 の た め の 分 散 分 析 表 」 とよぶ こ とに し ます.   こ こま で の段 階 な ら,決 定 係 数R2を

分 散 の 比 と して 計 算 して も,偏 差

平 方 和 の 比 と して 計 算 して も同 じ です が,前 差 平 方 和 の 比 と して 定 義 し ます.

表4.3.4 

表4.3.5 

節 の ⑤ の こ と を考 え て,偏

分 散 分 析 表(１ 要 因 の 場 合 の 詳 細 フ ォー ム)

分 散 分析 表(計 算 例,図4.3.1の

場 合)

  詳 細 フ ォー ム のポ イ ン トは,偏 差 平 方 和 に つ い て 成 り立 っ て い る 関 係   SX=SX×A＋SX￨A   SX￨A=ΣSX￨AI に 注 目 して,各

成 分 の 寄 与 度 を 示 す 形 に し て い る こ とで す.

  した が って,決 比,す

定 係 数 の 欄 に は,「 区 分 別 平 均 の 差 」の 行 以 外 に も,SX/Nに

対す る

な わ ち,前 節 で 説 明 し た 「寄 与 率 」 を お い て い ます.

  ま た,こ

の 詳 細 フ ォ ー ム を使 う と き に は,偏

分 ご とに ち が うの で,そ

差 を 測 る 基 準 値 で あ る 「平 均 値 」が 区

れ ら も表 示 す る よ う に し ま し ょ う.

 ◇ 注  多 くの テ キ ス トで は,分 散 分 析 を 「実験 デー タ につ い て 区分 別 平均 値 の差 の 有 意 性 を検 定 す る 問題 」に 結 び つ け て説 明 して い ます が,有 意性 検 定 まで 進 め な くて も,こ の 節 で 説 明 した よ うに 「区 分 け す る こ との 有 効 性 を測 る手 段 」と して使 う こ とが で き ま す.こ の テ キ ス トで は こ うい う視 点 で扱 って い ます.ま た,そ の こ とか ら,Ｆ 比 を使 わ ず,決 定 係数 を使 うな どの 変 更 を加 え て い ます.  こ うい う使 い方 を考 えて 「 分 散 分析 の考 え方 」を採 用 し よ うとい うこ とです.

4.4  分 析 結 果 の 表 示   ①  3.5節 で 取 り上 げ た 「人 口 あ た り病 床 数 の デ ー タ」(付表 Ｂ)に つ い て は,「 大 都 市 周 辺 が そ の 他 と ち が っ て い る こ と」が 示 唆 され て い ま す の で,そ

れ を確 認 す る た め

に 分 散 分 析 を適 用 して み ま し ょ う.   た だ し,「 ア ウ トラ イ ヤ ー 」 とみ られ る ２県 が あ り ます か ら,  ２県 とそ れ 以 外 の45県

とに二分 す る こ と

 45県 を 大 都 市 周 辺(10県)と

そ れ 以 外(35県)と

に二分す るこ と

の ２つ の ス テ ッ プ に つ い て,区 分 け す る こ との 効 果 を み る こ と に な り ます.

図4.4.1 

分 析 の フ ロー

②  こ の フ ロ ー に し た が っ て 分 散 分 析 表 を か く と,次 の 表4.4.2が

得 ら れ ま す.

  原 デ ー タ の ま ま で は 桁 数 が 長 く な る の で,単 した が っ て,計

位 を[千]に

か え て 計 算 して い ま す.

算 結 果 も千 を 単 位 とす る値 に な っ て い ます.

  県 間 の 差 を表 わ す 「偏 差 平 方 和 」は4856で

す.

  ス テ ッ プ １で ア ウ ト ラ イ ヤ ー ２県 と そ れ 以 外 と に 二 分 す る と,偏 と な り ま す.す

な わ ち1764の

減 少 で,「 情 報 の 約34.3%が

て い た こ とに よ る 」と 説 明 さ れ る こ と を意 味 し ま す.残

差 平 方 和 は3092

ア ウ トラ イ ヤ ー が 混 在 し りの65.7%が45県

間の 差 に

対 応 しま す.   次 に,ス

テ ッ プ ２で,こ

の45県

の ２区 分 間 の 差 と して1102(45県 22.7%)が

を 「大 都 市 周 辺 」 と 「そ れ 以 外 」 と に わ け る と,こ の 範 囲 で み た3092の35.6%,全

体 で み た4856の

説 明 され る こ と が わ か り ます.

  こ の 例 で は,ま の 変 動4856の

だ 説 明 さ れ ず に 残 っ て い る 「県 別 差 異 」が1990,す

う ち41.0%と,か

表4.4.2 

  ③  86ペ ー ジ の 表4.3.4で

体で

人 口 あ た り病 床 数 の 県別 値 の 分 散 分 析 表

示 した よ うに,表

のR2の

欄 で,区

で な く,区 分 内 偏 差 平 方 和 に つ い て も 「全 平 方 和 」に 対 す る 比,す 算 して い ます.上

な わ ち,全

な り大 きい こ とに 注 意 し ま し ょ う.

の 説 明 で わ か る よ うに,分

分 間偏 差平 方 和 だけ なわ ち寄 与率 を計

析 経 過 を 説 明 す るた め に役 立 ち ます.

  た と え ば,２ 段 階 の 分 析 を 経 て も,区 分 間 の 差 と して 説 明 さ れ ず に 残 っ た 部 分 が 大 き い の で,   区 分 間 の 差 異 と し て 把 握 され る 「傾 向 性 」と と も に,   各 区 分 で の 代 表 値 か らの 偏 差 す な わ ち 「 個 別 性 」に も注 意 す る こ と が 必 要 だ とい う こ とが 示 唆 さ れ ま す.   ◇ 注  病 院数 の ちが い に影 響 す る と思 わ れ る 「高齢 者 比 率 」に 注 目 して区 分 してみ よ う … これ は,章 末 の問 題 に して あ ります.  表4.4.3の 分 散 分析 表 が得 られ るこ と を確 認 して くだ さい.  それ で も説 明 しきれ な い 「個別 性 」が 大 きい とい う結 果 で す.

表4.4.3 

人 口あ た り病 床 数 の 県別 値 の分 散 分析 表(高 齢 者 比 率 で 区 分 〉

図4.4.4 

県 別 差 異(全 体 で の 基 準 で み る と)

大都 市圏で低 い

図4.4.5 

県 別 差 異(大 都 市 周 辺 と それ 以 外 と を わけ て み る と)

大都 市圏 の中で も中心都 市で高 く周辺地域で低 い   この 図 の表 現 で も  傾 向 とし て 説 明 さ れ る 部 分 を見 出す  → そ れ ぞれ の部 分 で の 平 均値 を示 す た め に   棒 の 基 線 を複 数 とす る  個 別 性 す な わ ち傾 向 か らの 外 れ を,   そ れ ぞれ の 区 分 で の 平均 値 か らの 差 と して 示 す た め に そ れ らの 基 線 を使 う とい う考 え方,す

  ④  分 析 の 目的 は,差

な わ ち,分 散 分析 の 考 え方 を採 用 して い ます.

を 説 明 す る こ とで す.し

た が っ て,分

析結 果の プ レゼ ンテー

シ ョ ン とい う意 味 で も,差 異 の 有 無 を 評 価 す るた め の 「 分 散 分 析 表 」だ け で な く,   「見 出 さ れ た 差 」を 説 明 す る 図 お よび   「見 出 さ れ ず に残 っ た 差 」を説 明 す る 図 を 用 意 し ま し ょ う.結 果 の 解 釈 とい う意 味 で は,そ   この 例 に つ い て は,図4.4.4と

図4.4.5の

の 方 が 主 役 で す.

よ うに 表 わ し ま し ょ う.

 傾 向 性 を棒 の 基 線 の 位 置  傾 向 性 と して 説 明 さ れ ず に 残 っ た個 別 性 を,そ の 基 線 か らの 差 と し て示 して い ま す.「 棒 グ ラ フ 」の 形 を使 っ て い ます が,分 て お り,残 差 を示 す と い う 意 図 を も つ 図 と い う意 味 で,残

散 分析 の考 え方 を入 れ

差 プ ロ ッ トと よび ま しょ

う.図4.4.4が

全 分 散,図4.4.5が

級 内分 散 の 場 合 に 対 応 して い ま す.

  棒 は 「県 の 標 準 コー ド」の 順 に 並 べ て あ り ます が,コ よ って つ け られ て お り,た

ー ドが 地 理 的 な 位 置 関 係 に

と え ば 大 都 市 周 辺 が か た ま り ます か ら,図 に 付 記 した よ う

に よむ こ と が で き ま す.

4.5  説 明基 準 の精 密 化   ①  被 説 明 変 数 Ｘ に 対 して ２つ の 説 明 要 因 を使 う場 合 に も,4.3節 用 す る こ とが で き ます.す

の 考 え 方 を適

な わ ち,２ 段 階 に わ け て

 第 一 の 要 因 Ａ で 区 分 す る こ と に よ っ て 説 明 さ れ る変 動,SX×A  第 二 の 要 因 Ｂ で細 分 す る こ とに よ っ て 追 加 説 明 さ れ る変 動,SX×B￨A を わ け て 評 価 す る こ と が で き ます.そ で 説 明 さ れ る 変 動SX×ABが   ②  分 析 過 程 の 表 示

う し て,２ つ の 部 分 を 合 わ せ れ ば,２ つ の 要 因

評 価 さ れ る こ と に な り ます.

  分 析 の フ ロー と変 動 和 の 減 少 は,次

の よ うに図示す るこ と

が で き ま す.

図4.5.1 

  こ の 図 で は,左

分 析 の フ ロー と変 動 の 減 少

の 列 に 「デ ー タ の 区 分 け 」に と も な っ て,変

動 をみ る た め の 規 準 が

細 か く な って い る こ と を示 して い ます.   中 の 列 で は,そ

れ に と もな っ て偏 差 平 方 和 が 減 少 して い くこ と を示 し,右 の 列 は そ

れ ぞ れ の ス テ ップ で の 減 少 度 を示 して い ます.   記 号 は,こ

の フ ロ ー で 示 した よ うに,そ

れ ぞれ の意 味に対 応づ け れば理解 で きるで

し ょ う.添 字 中 に￨を 含 む も の は 級 内 変 動 す な わ ち 未 説 明 部 分 で あ り,添 字 中 に ×

表4.5.2 

表4.5.3 

３番 目の ブ ロ ッ クで は,偏

分散 分 析 表(２ 要 因 を 使 っ た場 合)

分 散 分 析 表 …２要 因 の場 合 の 詳 細 フ ォ ー ム

差 平 方 和 が そ の下 に示 す 一 連 の 「区 分 内 で み た偏 差 平 方 和 の 計 」に

な っ て い るの に 対 し て,分 散 は,そ の 下 に 示 す 一 連 の 「区分 内 で み た分 散 の加 重 平 均 」に な って い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.そ れ ぞ れ の 区 分 で の デ ー タ数 で わ っ て い る こ とか ら く るの です.

を含 む もの は 級 間 変 動 す な わ ち既 説 明 部 分 で あ る … こ の 理 解 は,特  ③

分 散分 析表

  ま た,こ

の 結 果 を,表4.5.2の

よ うに,分

に重要 で す．

散 分析 表 の形 式に ま

とめ る こ と もで き ます.   図4.5.1の

フ ロ ー に 対 応 づ け て あ り ま す.

  ④   分 析 の フ ロ ー拡 張

  分 析 の フ ロー に お け るSX￨AB,す

部 分 と して 残 さ れ た 部 分 に つ い て は,各

な わ ち,最

後に未説明

区 分 内 に 限 定 し て み た 残 差 成 分SX￨IJを

表示

し て お く こ と も考 え ら れ ま す.こ は,ど

う し て お け ば,SX￨ABを

さ ら に 減 少 させ る た め に

の 区 分 に 注 意 を 向 け れ ば よ い か が わ か りま す.

  ま た,SX×B￨Aす

な わ ち Ａ の 影 響 を制 御 して Ｘ と Ｂ の 関 係 をみ る部 分 に つ い て は,

Ａの 各 区 分 ご と に み た 内 訳SX×B￨Aを

表 示 し て,「 Ｘ と Ｂ の 関 係 」のAIに

よ るち が

い を み る こ と が で き ます.   た だ し,こ れ ら を １つ の 分 散 分 析 表 に 組 み 込 む と見 に くい の で,表4.5.3の に,表

よう

を ３つ に わけ て 表 示 す る 方 が わ か りや す い で し ょ う.

  「こ れ だ け 減 少 して い っ た 」す な わ ち 「説 明 さ れ た 」部 分 と,「 こ れ だ け 残 って い る 」 す な わ ち 「説 明 さ れ ず に 残 っ て い る 」部 分 と を わ け て 示 す 形 に な っ て い る の です.

4.6分

析

例

  ①  分 析 の 一 例 を あ げ て お き ます.   食 費 支 出 額 Ｘ の世 帯 別 デ ー タ の 変 動 を,   世 帯 人 員 数 Ａ と 月収 Ｂ とに よ っ て,   「どの よ うに,ま

た ど の 程 度 ま で 」説 明 で き る か

を考 え て み る の です.   XABの

デ ー タは,付

  世 帯 人 員Ａ

表 Ａ に一 括 して 示 し て あ り ます. は,A1:2∼3人,A2:４

  月 収 Ｂ は,B1:500以

人,A3:５

人以上

下,B2:500∼1000,B3:1000以

上

と,そ れ ぞ れ ３区 分 に わ け る も の と し ま し ょ う.デ ー タ 数 が68で す る と平 均20と

な り ます.ま

す か ら,３ 区 分 に

た,２ つ の 基 準 を組 み 合 わ せ る と ９区 分,１ 区 分 あ た り

10以 下 に な り ます か ら,区 分 数 は こ れ 以 上 細 か くは で き ませ ん.３ 区 分 の 区 切 り方 は い ろ い ろ考 え られ ま す が,各

区 分 に属 す るデ ー タ の 数 が 均 等 に な る よ う に選 び ま し ょ

う.た だ し,分 析 過 程 で 試 行 錯 誤 を く りか え す こ とに な る の が 普 通 で す か ら,は

じめ

は 「お よ そ の 見 当 で わ け て み る 」こ とで 十 分 で す.   上 記 の 区 分 け を適 用 し た 場 合,フ

ロー チ ャ ー ト(図4.6.1)と

分 散 分 析 表(表4.6.2)

が得 られ ます.   表 の 下 部 ２行 が,Ａ

の 他 に Ｂ を 取 り上 げ た こ とに よ っ て つ け 加 わ っ た部 分 で す.

  ま ず こ れ らか ら,Ａ

だ け で は Ｘ の 変 動 の41%し

す.よ

っ て,Ｂ

い ます が),両

か 説 明 で き な い こ とが わ か り ま

を考 慮 に 加 え る こ とが 妥 当 だ っ た と い え る の で す が(ま た,そ 方 を使 っ て も Ｘ の 変 動 の46%が

  し た が っ て,各

う して

説 明 さ れ ず に 残 っ て い ます.

区 分 の 平 均 値 の 比 較 と と も に,各

区 分 内 で の 世 帯 間 差 異 に も注 意 を

払 う こ とが 必 要 です.   ②  平 均 値 の 比 較 に つ い て も,種 々 の 区 分 で の 平 均 値 の 相 互 関 係 に 関 す る要 約 説 明 が 必 要 で す.表4.6.3が,各

区 分 の平 均 値 を 比 較 す る た め の 表 と,そ の グ ラ フ で す.

図4.6.1 

表4.6.2 

食 費 支 出 の 世 帯 人 員 お よ び 月収 別 比較

食 費 支 出 の 世 帯 人 員 お よび 月収 別 比 較(分 散 分 析 表)

表4.6.3 

  こ の 表 の 「そ の 構 造 」の 欄 に は,各

各 区分 で の平 均 値

区 分 の 平 均 値 を,Ｂ

に よ る 区 分 を 統 合 して み た

と き の 平 均 値(Ａ の 各 区 分 に 対 応 す る176.0,208.7,297.9)と,そ と きの 付 加 部 分 とに わ け て示 して あ り ます.ま 線,後

た,表

れ を Ｂ で細 分 した

の 右 側 の グ ラ フ で は,前

者 を横

者 を そ の 線 を基 線 とす る上 下 方 向 の 棒 で示 し て あ り ます.

  まず こ れ で み る と,Ａ

す な わ ち 世 帯 人 員 の 効 果 は,そ

の 数 に 応 じ て 大 き くな る こ

とが わ か りま す.   こ れ に,Ｂ

す な わ ち所 得 の 効 果 が,そ

加 さ れ て い ま す.

の 高 低 に 応 じて 正 あ る い は 負 の 値 と し て 付

A↑

⇒X↑

B↑

⇒X↑

  た だ し,区 分A3B1で   こ の 点 に つ い て,ど

は,こ

の 一 般 的 傾 向 に 合 致 し て い ませ ん.

う考 え るべ き で し ょ うか.ま

ず 考 え ら れ る の は,A3B1の

デー

タ 数 が 少 な い(２ 世 帯)か ら,そ の 部 分 は 無 視 し よ う と い う説 で す.   しか し,そ

う断 定 す る前 に,各

区 分 に お け る世 帯 間 格 差 を示 す 「分 散 分 析 表 」 をみ

て お き ま し ょ う.   一 般 に 世 帯 間 変 動 は 各 区 分 の 世 帯 数 に 比 例 す る の が 普 通 で す が,A3B1に 世 帯 数 が ２ と少 な い の に か か わ ら ず 変 動 が 大 き い(し た が って,分

つ い て,

散 が 大 き い)こ と

が 目 に つ き ます.   し た が っ て,平 A3B1と

均 値 で み た 特 異 の 傾 向 は,

表4.6.4 

い う 区分 に 対 応 す る 情 報 で は な く,そ の

区分 内 で の 世 帯 間格 差 あ る い は 他 の世 帯 と異 な っ た 事 情 を もつ ア ウ トラ イ ヤ ー の 存 在 を 示 唆 す る もの と考 え られ ま す.   区 分A1B3に

つ い て も同様 な状 態 が あ る よ う

です.   ③  ① で指 摘 さ れ て い る よ う に 世 帯 間 格 差 が 大 き い 問 題 で す か ら,個 々 の 世 帯 の 情 報 （X,A, B） を 図 示 した グ ラ フ を み る と よ い で し ょ う.

図4.6.5 

３変 数 の 関係 を示 す グ ラ フ

区分 内変 動 の 成 分

  ま た,区

分 の 基 礎 と したＡ,Ｂ

が 数 量 デ ー タ で す か ら,区 分 の 仕 方 を考 え る参 考 に

な り ま す.   ３次 元 に な り ま す か ら,２ つ の 情 報 （X,B） を 縦 軸,横 は,そ

軸 に とって 第 三 の 変 数 Ａ

の 区 分 をマ ー クの 種 類 で示 す 形 式 に し ま し ょ う.こ れ が,図4

  図 の 左 上 に,Ｘ

の 値 が ３ シ グ マ 以 上 離 れ た デ ー タ が あ り ま す.そ

あ り,そ の マ ー ク か らA3で 明 し ます.②

す か ら,こ れ がA3B1で

で 予 想 した と お り,A3B1で

.6.5で す. の 位 置 か らB1,で

の 平 均 値 を 大 き く し た もの と判

の 平 均 値 は 傾 向 を示 す もの で は な く,ア

ウ

トラ イ ヤ ー が 混 在 した た め 離 れ た もの だ と い う こ とが で き ます.   な お,図

に 書 き込 ん だ 楕 円 は,そ

の 範 囲 に デ ー タ の ほ ぼ1/2が

入 る こ と を示 す もの

で す.   ④  以 上 か ら,「 ア ウ ト ラ イ ヤ ー を 除 外 し て 分 析 せ よ 」 と い う の が １つ の 提 唱 で す.   た だ し,A3B1ほ

どは っ き り し な い が,A1B3な

どにつ い て も同様 な事 態 が あ りそ

うで す か ら,少 数 の ア ウ トラ イヤ ー の影 響 を 受 け に くい よ う,区 分 数 を 減 ら し て,各 区 分 で の デ ー タ数 が 多 くな る よ うに す る とい う代 案 もあ りえ ま す.   ⑤  図4.6.5に

書 き込 ん で あ る 集 中 楕 円 に よ っ て,Ａ

の各 区分 に 属 す るデ ー タの

散 布範 囲 をみ ると  A↑

⇒X↑

楕 円 の 位 置 が 上 に シ フ ト して い る こ とか ら

 B↑

⇒X↑

楕 円 の 形 が右 上 が りで あ る こ とか ら

と い う傾 向 が きれ い に よ み とれ ます か ら,区 切 り方 の 工 夫 に よ っ て,こ

の傾 向 を要 約

す る こ とが で き そ うで す.   デ ー タの 区 切 り方 をか え て み ま し ょ う.図

で み る よ うに,世

「デ ー タ の 散 布 範 囲 が 右 に ず れ て い る 」こ とが わ か り ま す.Ａ

帯 人 員 の 多 い世 帯 ほ ど す な わ ち世 帯 人 員 と Ｂ

す な わ ち 所 得 とが 関 連 性 を も っ て い る た め で す.   こ の こ と を考 慮 に 入 れ る と  

世 帯 人員 の 多い区分 で は

表4.6.6 

A3で

の 収 入 の 効 果 をみ る ため に

各 区 分 で の 平均 値(区 切 り方 を か え た 場 合)

 世 帯 人 員 の 少 な い 区 分 で はA1で

の 収 入 の 効 果 をみ る た め に

Ｂ の 区 切 り方 をか え る 方 が よ さ そ うで す.Ｂ

の 区 分 数 を ２ と し,区 切 り をＡ の 区 分

ご とに か え て み ま し ょ う.   表4.6.6が

そ の 結 果 で す.

  表4.6.2と

比 べ て 明 らか な よ うに,Ａ

果 と な っ て い ます.デ

の 効 果, Ｂ の 効 果 が き れ い に よ み と れ る 結

ー タ の 数 が 少 な い,そ

に 応 じて デ ー タの 区 分 け を決 め る,い   い ま 扱 っ て い るデ ー タ の 場 合,こ

う し て,世

帯 間 格 差 が 大 きい と い う状 態

わ ば 「ピ ン トあ わせ をす る」 こ とが コ ツ で す. れ 以 上 の 説 明 を試 み る と,「 デ ー タ に よ る 裏 づ け

の 得 ら れ な い過 剰 な 説 明 」に な る で し ょ う.し か し,表4.6.2の

段 階 で 分 析 を 終 え解

釈 を 試 み る と,「 デ ー タ に よ る 裏 づ け が 得 ら れ る こ と を 見 逃 し た 不 十 分 な 説 明 」に な って し ま い ます.

4.7  主 効 果 と 交 互 作 用 効 果  ①  主 効果 と交互 作用 効果  被 説 明 変数 Ｘ に対 す る ２つ の 説 明要 因Ａ,Ｂ につ い て,右 表の よ うに各要 因の 組 み合 わせ 区分 に対応す る計 数が求 め られ て い る場 合 を 考 え ま し ょ う.   こ の 場 合 に は,4.5節

の 分 析 をＡ,Ｂ の 順,Ｂ,Ａ

と お りの 方 法 で 適 用 で き ます.そ 差 変 動 和 の 減 少 は,Ａ,Ｂ ペ ー ジ)とＢ,Ａ 図4.7.1の

の順 と２

う し て,分 析 の フ ロー と偏

の 順 に 適 用 した 場 合 の 図4.6.1(93

の 順 に 適 用 し た 場 合 の 図 と を 組 み 合 わ せ て,

よ うに 示 す こ とが で き ます. 図4.7.1 

２要 因 を組 み合 わせ た 場 合 の 分 析 フ ロー

  ど ち らの 順 に 適 用 して も,最 終 的 に はＡ,Ｂ と と な り,未 説 明 部 分 と して 残 る の はＡ,Ｂ ら,図

は,最

初 わ か れ て,最

の両 方 の組 み合 わせ 区分 を比較 す るこ の 組 み 合 わ せ 区 分 内 変 動SX￨ABで

後 に合 流 す る 形 に な り ます.

  図 示 さ れ て い る 各 項 の 記 号 お よ び 意 味 は,SX×A×B以 ま す.た

と え ば,分

すか

外 は,4.6節

で説 明 して あ り

析 に よって説 明 され る成分 に関 して

  SX×AB=SX×A+SX×B￨A  

=SX×B+SX×A￨B

が 成 り立 っ て お り,こ の こ とは,図

の ２つ の ル ー トに 沿 っ て 見 出 され る 成 分 分 解 に 対

応 して い ま す.  ②  新 し く現 わ れ たSX×A×Bに つ い て 説 明 し ま し ょ う.   一 般 に,２ つ の 要 因Ａ,Ｂ が Ｘ の 変 動 に 関 係 して い る と き,そ れ を   Ａ の 主 効 果(Ｂ の効 果 を考 慮 外 に お い た と き の Ａ の 効 果)   Ｂ の 主 効 果(Ａ の効 果 を考 慮 外 に お い た と き の Ｂ の 効 果) の ほか に   Ａ,Ｂ が 共存 し た た め に 生 じ る相 乗 ま た は 相 殺 効 果 に 相 当 す る効 果 が 存 在 す る と考 え る こ とが で き ま す.   こ の 効 果 に つ い て は,ま

ず,こ

こ で 使 っ て い る 記 号 に お い てSX×AとSX×A￨Bの

が い に 注 意 し ま し ょ う.こ れ ら は,い   SX×A―Bの

ち

ず れ も Ａ の効 果 を表 わ し ます が,

存 在 を考 慮 し て い な い た め   Ａ の効 果 に Ｂ の 効 果 が 混 入 し て お り,

  SX×A￨B―Bで

区 分 け し て み て い る た め,   Ａ 単 独 の 効 果 とみ られ る

もの で す か ら,後 者 で,Ａ

の 主 効 果 を評 価 し,両 者 の 差 と して 交 互 作 用 効 果 を評 価

す るの で す.   す なわ ち   SX×A×B=SX×A￨B-SX×A と定 義 され る項 を,交 互 作 用 と よ ぶ こ と に し ます.   ③  前 節 で取 り上 げ た例 に つ い て,Ａ こ の 節 の 方 法 を適 用 して み ま し ょ う.Ａ,Ｂ

と Ｂ の 交 互 作 用 も 含 め て 分 析 す る た め に, の 区 切 り方 に つ い て は,ど

のＡ

につ い て

も同 じわ け 方 を適 用 した 最 初 の 案 に よ る もの と し ます.   ま ず,図4.7.2の

よ う に,Ａ,Ｂ

の 順 に 適 用 し た 場 合 と, Ｂ,Ａ の 順 に 適 用 し た 場

合 の 偏 差 平 方 和 を 求 め ます.   こ れ か ら,交 互 作 用 の 大 き さ が   SX×A×B=SX×A￨B-SX×A=-12105 と評 価 され ます.   ま た,表4.7.3の に か き ます.

分 散 分 析 表 に 交 互 作 用 の 項 を含 め た い と きに は,表4.7.4の

よう

図4.7.2 

表4.7.3 

分 散 分 析 表(２ 要 因に よ る区 分 を順 をか え て適 用)

表4.7.4 

  こ の 例 の 場 合 は,説

２要 因 に よ る分 析 例(フ ロー チ ャー ト)

分 散 分 析 表(交 互 作 用 の 項 を含 め る場 合)

明 さ れ ず に最 後 ま で 残 っ て い る190421と

比 べ て,１ 桁 小 さ い

値 で す か ら,こ の 例 で は 交 互 作 用 は 「 考 慮 外 に お い て よ い 」 とい え ま す.  ◇ 注

種 々 の 偏 差 平 方 和 を 区 別 す る ため に,「 デー タ の 見 方 を示 す 記 号 を含 む 添 字 」を

使 って い ます.慣 れ な い と面 倒 に み え る記 号 で す が,こ こ まで 進 め ば,理 解 を助 け る 記号 体 系 に な って い る こ とが わか った と思 い ます.  ④  交 互 作 用 を 考 慮 す る 必 要 が な い 場 合 は   SX×AB=SX×A+SX×B

と な り ます か ら,   Ａ,Ｂ の 組 み 合 わせ 表 を つ く る こ と な く,   Ｘ と Ａ の 組 み 合 わ せ 表 か ら Ａ の 効 果 を把 握 し,   Ｘ と Ｂ の 組 み合 わせ 表 か ら Ｂ の効 果 を把 握 し,   それ で Ａ,Ｂ の 効 果 を把 握 す れ ば 足 り る とい う こ と に な る の です.   ⑤  ２つ の要 因 の効 果 比 較   SX×A-SX×B=SX×A￨B-SX×B￨A が 成 り立 ち ま す.こ

の 関 係 か ら,「 ２つ の 要 因 の効 果 の 差 」 を評 価 す る に は

  他 方 の 効 果 を無 視 し て 測 っ た 偏 差 平 方 和 の 差 でみ て も   他 方 の 効 果 を補 正 し て 測 っ た 偏 差 平 方 和 の 差 でみ て も   同 じだ とい う こ とに な りま す.   ⑥  補 注:交

互作 用の定 義 につ いて

して 定 義 し ま し たが,具

  本 文 で は,交

互 作 用 を,２ つ の 成 分 の 差 と

体 的 な 説 明 に む す び つ け る た め に は,以

下 の よ うに 定 義 し ま

す.   定 義 １:交 互 作 用 １  S(1)X×A×B=Σ ΣNIJ(XIJ-XI-XJ+X)2   定 義 ２:交 互 作 用 ２  S(2)X×A×B=Σ ΣNIJ(XI-X)(XJ-X)2   第一の定 義 では   XIJ-XI=XJ-X が す べ て の(Ｉ,Ｊ)に つ い て 成 り立 っ て い れ ば ０ と な り,そ

う で な い と き は正 と な り ま

す か ら,２ つ の 要 因 の効 果 に 関 し て,   Ａ の 効 果 は,Ｂ す な わ ち,加

の 区 分 い か ん に か か わ らず 一 定

法 性 を もつ な ら ０,そ れ か ら 離 れ る に つ れ て 大 き く な る … そ の 程 度 を

計 測 す る もの と解 釈 され ま す.   第二の定 義 では   XI-X,XJ-X の符 号が   (正,正)ま

た は(負,負)な

ら正

  (正,負)ま

た は(負,正)な

ら負

と な り ます か ら,２ つ の 効 果 の 相 乗 性 ・相 殺 性 を 計 測 す る も の と解 釈 さ れ る も の で す.   こ れ ら に つ い て,   SX×A×B=S(1)X×A×B-2S(2)X×A×B が 成 り立 つ こ と が 証 明 され ます か ら,こ

れ を利 用 して,交

互 作 用 項 を ２つ の 成 分 に 分

解 で き ます.   定 義 上 第 １項 は ０ま た は正 で あ る の に 対 し,第

２項 は正 に も負 に も な り う る もの で

す.交

互 作 用 が 負 に な っ た 場 合 は,こ

負 の 値 を と っ て,第

表4.7.5 

の 第 ２項 が 大 き い

分散分析表

１項 の 正 値 を 打 ち 消 し た こ と を 意 味

し ます.   右 の 分 散 分 析 表 は,表4.7.4に

この 分解 を追加 した結

果 で す.   こ の 分 解 に よ っ て,「 デ ー タの 変 化 に つ い て 立 ち 入 っ た 解 釈 が で き る」可 能 性 が あ り ま す が,注

記 す るよ うな問

題 が ひ そ ん で い ま す か ら,一 般 に は,残

差 をみ る こ とに

と どめ ます.   ◇ 注 １ Ａ の効 果 に Ｂ の 効 果 が 重 な った と きに それ ぞ れの 効 果 の 和 以 上 に 大 き い 効 果 が 現 わ れ る 場 合 を相 乗 効 果,逆 よ び ます.よ

に 小 さ くな る 場 合 を相 殺 効 果 と

っ て,

  相 乗 効 果 の あ る場 合

  SX×A＞SX×A￨B

  相 殺 効 果 の あ る場 合 と な り ま す.し

た が っ て,交

た く な り ま す が,２ す か ら,こ

  SX×A＜SX×A￨B 互 作 用 の 符 号 に よ っ て,相

要 因Ａ,Ｂ

の テ キ ス トで は,こ

殺 効 果 あ る い は 相 乗 効 果 と解 釈 し

の 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す る デ ー タ 数NIJが う い う解 釈 に 立 ち 入 ら ず,分

関 係 して き ま

析 手順 を適 用 して得 られ る １

成 分 と し て 「交 互 作 用 効 果 」 と い う コ トバ を 使 い ま す.   ◇ 注 ２  SX×Aは あ り ま す.Ｂ て い た 変 動)が

Ｂ を,考

慮 に 入 れ て い な い こ と を 明 示 す る た め に,

か け 上 大 き くな っ

交 互 作 用 に あ た る と解 釈 す れ ば よ い の で す.

  ◇ 注 ３  ２つ の 要 因 を 使 っ て 説 明 さ れ る 変 動 全 体SX×ABに

つ い て,交

す なわ ち   SX×AB=SX×A￨B+SX×B￨A-SX×A×B と表 わ す こ と が で き ま す.X×A（B）,

X×B(A)の

  SX×AB=SX×A（B）+SX×B(A)+SX×A×B と な り ま す.

SX×A（B）と か く こ と も

を 考 慮 に 入 れ て い な か っ た た め に 混 同 さ れ て い た 変 動(み

方 を使 う と

互 作 用 項 を 含 め た 形,

問題 ４

【 種 々 の分散】 問 １  UEDAの

プ ロ グ ラ ム の う ちAOVO3Eを

し,全 分 散,級

内分 散,級

間 分 散,決

使 っ て,テ

キ ス ト本 文 の 説 明 を復 習

定 係 数 の 定 義 と,分 析 手 段 と し て の 効 用 を

説 明せ よ. 【 分散 の 計算】   注:問

２と問 ３は,電 卓 で計 算 す るこ と.

問 ２  表4.A.1は,15世

帯 につ い て 調 べ た 「１か 月 あ た り生 計 費 」な どで あ る.こ れ

に つ い て 次 の 各 問 に 答 え よ.計 算 は,表4.2.3の   ａ. 生 計 費(Ｘ)の

フ ォー ム に よ っ て 進 め よ.

分 散 を 計 算 せ よ.

 ｂ. 職 業 別 に 区 分 し て 扱 う と分 散 は ど うな るか.   ｃ. 世 帯 人 員 別 に 区 分 す る と ど うか.  ｄ. 職 業 と世 帯 人 員 の 両 方 で 区 分 す る と ど うか.  ｅ. 世 帯 人 員(Ｎ)と

の 関 係 がX=28+4Nと

 ｆ. 世 帯 人 員 と の 関 係 に 関 し て,い

表 わせ る と想 定 す れ ば ど うか.

く と お り か の 直 線 を 想 定 し て,比

よ. 問 ３  表4.A.2の

デ ー タ の う ち Ｙ に つ い て, 表4.A.1 

モ デ ル デー タ ５

表4.A.2 

モ デ ル デ ー タ ６

べ てみ

ａ.全 分 散 を 計 算せ よ. ｂ.Ｚ

に よ っ て 区 分 け した 場 合 の 級 内 分 散 を 計 算 せ よ.

ｃ.Ｙ,Ｘ

の 関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を 想 定 し,傾 向 値 を 基 準 と した 残 差 分 散 を計

算 せ よ. ｄ.Ｘ

の 値 に よ っ て デ ー タ を ３区 分 して,級

内 分 散 を計 算 せ よ.

ｅ.ｃ に お け る 直 線 の 想 定 を い ろ い ろ か え て,残

差 分 散 を計 算 して み よ.

ｆ.ど ん な 想 定 を し て も,全 分 散 よ り小 さ い は ず で あ る.こ

の こ とを証 明 せ

よ. ｇ.ｄ に お け る 区 分 の 仕 方 を い ろ い ろ か え て,級

内 分 散 を 計 算 し て み よ(区 分

数 は ３ と し て). ｈ.ど ん な 区 分 を し て も,全 分 散 よ り小 さ い は ず で あ る.こ

の こ と を証 明 せ

よ. 【 分 散分 析 】   注:問

４以 下 問 ９ま では,プ ロ グ ラ ムAOV04を

使 う こ と(基 礎 デー タは 例 示 用 と し

て セ ッ トさ れて い る). 間 ４  付 表 Ａ の う ち 食 費 支 出 額 の デ ー タに つ い て,次   ａ. 世 帯 人 員 で ３区 分 す る こ とに よ っ て,ど

の 問 い に 答 え よ.

の 程 度,そ

の 変動 が 説 明 さ れ る

か.３ 区 分 は,２ 人,３ 人,４ 人 以 上 とす る こ と.ま

た,結

ト(図4.3.1の

ま とめ る こ と.

形 式)お よ び 分 散 分 析 表(表4.3.2)に

果 は フ ロー チ ャ ー

  ｂ. 世 帯 人 員 の 区 分 を ２人,３ 人,４ 人,５ 人 以 上 と す る と ど うか.結

果 は,ａ

と同 じ形 式 に ま とめ る こ と.   ｃ. 収 入 総 額 に よ っ て ３区 分 す る と ど う か.区 報 を参 考 に し て,区

分 は,プ

ロ グ ラ ム が 表 示 す る情

切 り値 が 「切 り の よ い 値 」(た と え ば ２,５,10な

る よ う に 定 め る こ と.結 果 は フ ロー チ ャ ー ト(図4.3.1)お (表4.3.2)に

ど)に な

よび分 散 分 析 表

ま とめ る こ と.

  ｄ. 収 入 総 額 に よ っ て ３区 分 を,各 に 定 め る と ど うか.結

果 は,ｃ

区 分 に 属 す る世 帯 数 が ほ ぼ 均 等 に な る よ う

と同 じ形 式 に ま とめ る こ と.

  ｅ. ｃお よ び ｄの 結 果 と し て 得 ら れ た 「 各 区 分 に お け る 分 散 」 を参 考 と し て, 分 散 の 大 き い 部 分 の 区 切 り幅 を狭 く し,分 散 の 小 さ い 部 分 の 区 切 り幅 を 広 く す る こ と を考 え て 区 切 りな お し て 再 計 算 し,結 果 を 比 べ て み よ. 問 ５  ａ. 世 帯 人 員 に よ る 区 分(問4aで 4cで

採 用 し た 区 分)を 収 入 総 額 に よ る 区 分(問

採 用 し た 区 分)で 細 分 し て 分 散 の 変 化 を 調 べ よ.結

チ ャー ト(図4.5.1)お

よ び 分 散 分 析 表(表4.5.2)の

  ｂ. 収 入 総 額 に よ る区 分(問4cで

果 は,フ

ロー

形 式 に ま とめ よ.

採 用 し た 区 分)を 世 帯 人 員 に よ る 区分(問4a

で 採 用 し た 区 分)で 細 分 し て 分 散 の 変 化 を 調 べ よ.結

果 は,ａ

と 同 じ形 式 に

ま とめ よ.   ｃ. ａお よ び ｂ の 結 果 を,フ

ロー チ ャー ト(図4.7.1)お

よ び 分 散 分 析 表(表

4.7.3)の

形 式 に ま とめ よ.

問 ６  付 表 Ａ の うち 雑 費 支 出 額 に つ い て,問

５ と同 じ分 析 を行 な え.

問 ７  付 表 Ａ に よ っ て 各 世 帯 の 食 費 支 出 割 合(食 費 支 出 額 ／月 収 額)を 計 算 し,そ の 世 帯 間 変 動 に つ い て,   ａ. そ の 変 動 が,世

帯 人 員 で 区 分 け して み る こ とに よ っ て ど の 程 度 説 明 で き る

か を 評 価 せ よ.   ｂ. 月 収 額 で 区 分 し て み る こ と に よ っ て ど の程 度 説 明 で き るか を評 価 せ よ.   ｃ. 世 帯 人 員,月

収 額 の 両 方 を使 う と ど うか.

  結 果 は 問 ５ と同 じ形 式 に ま とめ よ.ま

た,月

収 の 効 果 を表 わ す 分 散 が,問

５の

  場 合 と比 べ て 小 さ く な っ た 理 由 を 説 明 せ よ.   注:こ の 問題 につ いて は,プ ログ ラムAOV04を

適 用 す る前 に,各 世 帯 の 食 費 支 出割

合 を 計 算 し なけ れ ば な ら な い.そ の た め に,プ ロ グ ラ ムVARCONVを

使 うの だ

が,デ ー タ フ ァ イ ルDH10VYに

それ を使 うた め の 「 変 換 指 定 文 」が付 加 され て い

るの で,そ れ を確 認 し,Escキ

イ をお す と変 換 が実 行 され,結 果 す なわ ち 「食費 支

出割合 」を書 き込 ん だ作 業用 フ ァイ ルworkが

で き る.

問 ８  付 表 Ｂ に 示 す"人 口 あ た り病 院 ・診 療 所 病 床 数"Ｘ で分 析 した が,そ

の 地 域 差 に つ い て,3.5節

の 各 ス テ ップ に お い て 検 出 され た 差 異 の 説 明 力 を 評 価 す る た め

の 分 散 分 析 を行 な え.基 礎 デ ー タ は,フ

ァ イ ルDI93Xに

記録 されて い る

  ａ. 47県 の値 の 差 異 を評 価 す る全 分 散.   ｂ. ア ウ トラ イ ヤ ー とみ な さ れ た高 知 県 を除 い た 場 合 の全 分 散.   ｃ. 残 りの46県

を 「大 都 市 周 辺 」 と 「そ れ 以 外 」 とに 区 別 した 場 合 の 級 内 分 散.

  ｄ. ｃに よ っ て ア ウ トラ イ ヤ ー とみ な さ れ た 沖 縄 県 を 除 い た 場 合 の 級 内 分 散.   ｅ. a∼dの

結 果 を ま とめ た分 散 分 析 表.

  ｆ. 高 齢 者 比 率 の 大 き さ に よ っ て 県 を ３区 分 して 比 較 した 場 合 の 級 内 分 散.   ｇ. ｆの 結 果 を示 す 分 散 分 析 表.   注:フ ァ イ ルDI93Xに

は,級 内分 散 計 算 の た め の 区分 の 仕 方 を 区分 番 号 で 記 録 した

変 数 を用 意 して あ る.こ れ を使 うと,AOV04の

計 算 過 程 での 区分 の 仕 方 の 指 定 が

簡 単 に な る(指 定 どお りに使 うとい う確 認 だけ で す む).  全 分 散 の計 算 はAOV01Aで

行 な わ な くて も,AOV04で

級 内 分 散 を計 算 した と

きい っ し ょに 出力 され る. 【 基 礎 デ ー タの 取 り上 げ 方 】 問 ９  問3∼8の

問 題 で は,ひ

とつ ひ とつ の 世 帯 の デー タ を利 用 し て い る が,そ

れが

利 用 で き な い 場 合 が あ る.   ａ. た と え ば,家 み て,ど

計 消 費 に 関 す る 重 要 な 情 報 源 で あ る 「家 計 調 査 の 報 告 書 」 を

ん な 形 の 情 報 が 利 用 で き る か を調 べ よ.

 ｂ. こ の ほ か に,５ 年 ご と に 実 施 さ れ る 「全 国 消 費 実 態 調 査 」が あ る.こ つ い て,利 用 で き る 情 報 を調 べ よ.

れに

  ｃ. こ れ ら の 資 料 で 利 用 で き る デ ー タ の 範 囲 で,食 て ど こ ま で 分 析 で き る か.問

費 支 出の世 帯 間変 動 に 関 し

４お よ び 問 ５で 計 算 し た 分 散 の う ち,こ

れ らの

資 料 に掲 載 され て い る 情 報 に よ っ て 計 算 で き る も の は どれ で,計 算 で き な い もの は どれ か を示 せ ば よ い.た

だ し,各 変 数 の 区 分 数 お よ び 区 切 り方 は か え

て も よ い もの と す る. 問10  あ る人 が 付 表 Ａ の デ ー タ を使 う分 析(た と え ば 問 ４)に お い て,「 奇 数 番 の デ ー タ と偶 数 番 の デ ー タ とに 折 半 し,そ れ ぞ れ に つ い て 同 じ分 析 を く りか え せ 」 と提 唱 し た.こ

の 提 唱 は,ど

うい う意 図 を もつ か.

問11  戦 後 の 暮 ら し と最 近 の 暮 ら し と を 比 べ る た め に,1950年 の デ ー タ を比 べ て み よ う と し て い た ら,あ よ 」 と提 唱 し た.こ

の提 唱 は,ど

と1980年

の 家 計収 支

る 人 が 「1951年 と1981年

も 取 り上 げ

うい う 意 図 を もつ か.

比=

５ 有 意 性 の 検 定

  この 章で 扱 う 「 仮 説検 定 」の 問題 につ い て,前 章 で扱 っ た 「 分散分析」 と対 比 しつ つ 概 説(5.1と5.2)し た 後,そ の 方 法 の 論 理 構 成 と(5.3, 5.4),そ れ を適 用 す る場合 に前 提 とさ れ る諸 条 件 を説 明 し ます.ま た, 平 均 値 を 比 較 す る 問題 に 限 定 した 場 合 に適 用 で き る 精 密 化 され た 方 法 (5.5,5.6)を

説 明 し ます.

  また,分 析 の意 図 やデ ー タを求 め る環 境 条 件 な ど に応 じた 「 分 析 計画 の立 て方 と進 め方 を」説 明 します(5.7).

5.1  有 意 性 の 検定   ①  前 章 の分 散 分 析 表 で 共 通 して い る こ とは   区 分 間 の 差 と して 説 明 さ れ た 「説 明 ず み の 部 分 」   区 分 間 の 差 と して の 説 明 で 「説 明 し残 さ れ た部 分 」 と を わ け る 形 に な っ て い る こ と で す.   し た が っ て,「 説 明 ず み と さ れ た部 分 」の 変 動 が 「未 説 明 部 分 」の 変 動 と比 べ て 大 き け れ ば,   「説 明 の た め に 採 用 さ れ た 区 分 」が 有 効 だ っ た と判 定 で き ま す.   も し,説 明 し う る要 因 が 残 っ て い な い な ら,未 説 明 部 分 は,各 観 察 単 位 ひ とつ ひ と つ の個 別 性 とみ な さ れ る こ と に な りま す.こ

の よ うな 状 態 に な っ た と き に は,区

分間

の差 の 「 有 意 性 」 を判 定 す る指 標 と して,

区分 間変 動/ ま た は 区分 内変動

比=

区分 間分 散/ 区分 内分 散

を使 う こ とが 考 え られ ます.   第 ４章 で 使 っ て い た 決 定 係 数 で は,こ 動 ＋ 区 分 内 変 動 」 と し て い ま し た.変

の比 の 分 母 を 「 全 変 動 」す な わ ち 「区 分 間 変

動 の大 き さ を対 比 す る こ とは共 通 して い ます

比=

が,仮

説 検 定 の 場 合 は 「区 分 内 変 動 」に は 意 味 の あ る差 は 残 っ て い な い(い わ ば 誤 差

と同 様 の 変 動 だ)と み な し う る と想 定 して,そ   こ の こ とに と もな っ て,区

の 手 法 を 組 み 立 て ま す.

分 内 変 動 ま た は 区 分 内 分 散 に 対 す る 比 率 を使 う こ と に な

る の で す.   ②  説 明 をつ づ け る 前 に 例 示 を挿 入 し て お き ま し ょ う.表5.1.1は,4.6節

に あげ

た   「Ｘ の 変 動 を,Ａ,Ｂ

に よ って区分 す るこ とに よって

ど の 程 度 ま で 説 明 で き るか 」 を 分 析 す る た め の分 散 分 析 表 の う ち,Ａ

の 効 果 を み る部 分 で す.

  変 数 Ａ に よ っ て,Ｘ

説 明 され る …

  これ に つ づ い て,Ａ

の 変 動 の41%が

を こ え る こ と)を 確 認 し よ う,そ れ が,こ   そ の た め に,各 し,表5.1.2の   表5.1.1と

と い う結 論 で し た.

の 各 区 分 で の 平 均 値 が 異 な る こ と(個 人 差 に よ っ て 発 生 す る差 の 章 の 問 題 意 識 で す.

区 分 で の 平 均 値 の 差 を 検 定 す る た め の 指 標 と して 「分 散 比 」を 計 算

形 の 分 散 分 析 表 に 記 録 し ます. 対 比 して,共

通 な と こ ろ,変

  この 表 に お け る 比 す な わ ち16.6が が あ る」 と結 論 づ け るの で す が,比

更 さ れ た と こ ろ を確 認 して くだ さ い.

大 き い,よ

っ て,「Ａ に よ る 区 分 別 平 均 値 は 差

の 計 算 で 使 う分 散 に お い て,デ

ー タ 数 Ｎ で な く,

デ ー タ数 と異 な る値(見 出 し で 自由 度 と し て あ る)で わ って い る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   この 変 更 お よ び 「16.6と い う値 が 大 き い 」 とす る根 拠 な ど に つ い て,説

明す る こ と

が 必 要 で す.   ③  ① に 示 し た 比 の う ち

区分 間分散/ 区分 内分散 を,後

述 の 理 由 で 「Ｆ 比 」 と よ び,記

号 Ｆ で 表 わ し ま す.こ

こ で は,「 偏 差 平 方 和 」

の 比 で な く,分 散 の 比 と し ま す.   前 章 ま で の 説 明 で 「変 動 」 と い う コ トバ を使 っ て い ま し た が,変

表5.1.1 

分 散 分 析 表for要

因 分 析(表4.3.2の

形 式)

表5.1.2 

分 散 分 析 表for仮

説検 定(こ の 章 での 形 状)

動 の 大 きさに 関 し

て,現 象 自体 が もつ 変 動 の 大 き さ と,取

り上 げ た デ ー タ数 の 大 小 とが 重 な っ て い る こ

と に 注 意 し ま し ょ う.   有 意 性 の 検 定 法 を 組 み 立 て る と きに は,デ

ー タ 全 体 が もつ 変 動,す

方 和 で な く,デ ー タ １つ あ た りに 換 算 して み た 変 動,す

な わ ち,偏 差 平

な わ ち,分 散 を使 い ます .

  た だ し,形 式 上 の デ ー タ数 で な く,い わ ば 実 質 上 の デ ー タ数 に あ た る 「自 由 度 」 と よ ば れ る量 で わ る形 に 変 更 し ま す.   こ の 自由 度,す

な わ ち,実 質 上 の デ ー タ数 に つ い て は,次

の よ う に理 解 す る こ と が

で き ま す.   ａ. 全 体 で の 変 動 は 「 Ｎ 個 の 観 察 値 の 比 較 」だ が,各

観 察 値 の平 均 値 の 平 均 が

「全 体 で み た 平 均 値 だ 」 と い う 条 件 が つ い て い る の で,実

質 上 は 「N-l個

の

観 察 値 の 比 較 だ 」と み る.   ｂ. 区 分 内 変 動 は,ａ

と 同 じ く 「Ｎ 個 の 観 察 値 の 比 較 」だ が,偏

して Ｋ 組 の 平 均 値 を使 っ て い る の で,実

質 上 は 「N-K個

差 を測 る基 準 と の観 察値 の 比 較

だ 」と み る.   ｃ. 区 分 間 変 動 は,「 区 分 数 Ｋ に対 応 す る平 均 値 の 比 較 」す な わ ち 「Ｋ 個 の 変 数 の 比 較 」だ が,「 各 区 分 別 平 均 値 」の 平 均 が 「全 体 で み た 平 均 値 」 と な る の で, 「実 質 上 はK-1個   ま た,上

だ」 とみ る.

記 の 説 明 中 の ｃに つ い て は,各

観 察 単 位 の レベ ル で み る の で な く,想 定 さ

れ た 区 分 の レベ ル で み る こ とに す るた め,「 そ の 平 均 サ イ ズN/Kを 正 が は い っ て い ま す.し

か け る」 とい う補

た が って,

  (SX×A/N)×(N/K) と し た 上,分

母 の Ｋ をK-1と

お き か え た もの と解 釈 す べ き で す .

  ④  この よ う な 変 更 を加 え た分 散 分 析 表 が,次

の 表5.1.3で

  4.3節 の 分 散 分 析 表(for要 因分 析)と 類 似 し て い ま す が,以 が 加 え られ た こ とに な ります.  

ａ. デ ー タ数 Ｎ の か わ りに 自由 度dfを

 

ｂ. 分 散 は,自

 

ｃ. 決 定 係 数 の か わ りに,Ｆ

す. 下 の ３点 で 重 要 な変 更

お く.

由度 で わ っ た も の をお く.

 ⑤  こ の 変 更 の 意 図 は,ｃ,す

比 を計 算 し て 表 示 して い る. な わ ち Ｆ 比 を 使 お う と した こ とに よ る もの で す.

この Ｆ 比 は,   区分 間 変 動 が な い と き に,値

表5.1.3 

１ とな り

分 散 分 析 表for仮

説検定

  区分 間 変 動 が あ る と き に は,１ よ り大 き くな る こ とか ら,そ の 値 が あ る 限 界 値(１ よ り大 きい あ る限 界値)を こ え る か 否 か で 区 分 間 変 動 の 有 意 性(こ の 用 語 の 厳 密 な 説 明 は 後 に し ま す)を 判 定 す る た め に 使 お う と い う も の で す.   す な わ ち,こ

う して 求 め た 比

に 注 目 し て,   Ｆ の 値 が,あ

る 限 界 値 を こ え た 場 合,

  観察 単位 間変 動 の範 囲 をこ えて いる と判 定 し,   そ うで な い 場 合,判

定 を保 留 す る

とい う 方 法 を 採 用 し ます.   この 判 定 基 準 と し て 使 う限 界 値,す

な わ ち,

  P(F＜Fa)=1-α を み た すFα を 「 有 意 水 準 αの 棄 却 限 界 」 と よ び ます.こ 由 度(K-1,N-K)の

の Ｆ 値 の 確 率 分 布 は,「 自

Ｆ 分 布 」 と よ ば れ る 分 布 形 で, Fα は,α=5%,l%な

どに つ

い て 計 算 され て お り,統 計 数 値 表 に 掲 載 され て い ま す.   ⑥  表5.1.2の に よ る差 は,誤

例 で は,自

由 度(2,65)の

Ｆ 分 布 の1%点

は4.9で

す か ら,要

因Ａ

差 範 囲 を こ え て い る と判 定 され ま す(さ ら に 考 え るべ き 問 題 が 残 っ て

い るの で す が).   ⑦  取 り上 げ て い る例 題 に つ い て は,月 で き ます.次

の 表5.1.4が

  こ の 場 合 の Ｆ 値 は,1%限   した が って,要

因Ａ

収 Ｂ に よ る 区 分 に よ る差 に つ い て も検 討

得 ら れ る は ず で す. 界 を こ え て い ます.

に よ る 差 も,Ｂ

  ⑧  こ の 節 で の 説 明 範 囲 で は,こ

に よ る 差 も有 意 だ と い う結 論 で す.

れ で よ し と し ま し ょ う.

  た だ し,さ

らに つ づ け て 考 え るべ き点 が 残 っ て い ます.

  第 一 に,こ

の 節 で 使 っ た Ｆ 比 に 関 す る判 定 基 準 は,「 Ｘ の 確 率 分 布 が 正 規 分 布 だ 」

と仮 定 した 場 合 に つ い て の 計 算 で す か ら,こ の 節 の 方 法 を 実 際 に 適 用 す る に は,そ 仮 定 で き る こ との 確 認 が 必 要 で す.ま

た,5.3節

で 説 明 す る 「こ の 方 法 の 論 理 構 成 」

に つ い て理 解 して お くこ と が 必 要 で す ．

表5.1.4 

う

要 因 Ｂ に 関す る分 散 分 析 表for仮

説検 定

◇ 注   この章 で は,確 率 分 布 とい う コ トバ を無定 義 で 使 い ます が,観 察 値 の 分 布 に対 して 想 定 され る モデ ル だ と解釈 して くだ さい.も う少 し精 密 に い う と,  「 Ｘ の観 察 値 を求め る」こ とを   「同一 条件 で く りか え した とき」 に 得 られ るで あ ろ う値 の分 布 とい う意 味 で す．   現 実 には,こ うい う く りか え しが 実 行 され て い る とは 限 ら ない の で,ま た は,観 察 され て い る と して も必 ず し も 「同 一 条件 」 とは い え な い環 境 下 で求 め られ て い る の で,観 察値 の 分布 と,そ のモ デ ル と して 想定 され る分 布(確 率分 布)を 区別 す るの で す.   ま た,Ｆ

比 の 分 母 に 関 して,問

  例 示 の よ う に,変 で示 し た よ う に,Ａ

数 Ｘ に 対 して ２つ の 要 因 Ａ,Ｂ が 影 響 し て い る と き に,こ

の節

に 関 す る仮 説 検 定 と Ｂ に 関 す る 仮 説 検 定 を 別 々 に 切 り離 し て

扱 っ て よ い で し ょ う か.い と し て,Ａ

題 が 残 っ て い ま す.

い か え る と,要

因の 効果 を判 断す る とき使 う Ｆ 比 の分 母

に 関 す る 仮 説 検 定 の 場 合 と Ｂ に 関 す る仮 説 検 定 の 場 合 と で 異 な る 値 を

使 っ て い る … こ の こ と は,妥   次 の 節 で,説

当 で し ょ うか.

明 し ます.

5.2  Ｆ 比 の分 母 の解 釈 に関 す る 注 意   ①  前 節 の 説 明 を要 約 す る と,Ｆ

比 を使 う検 定 法 で は

  Ｆ 比の分 子が大 きい   ⇒ 区分 間 変 動 が 大 きい   ⇒ 観 察 単位 間 変 動 を 説 明 す る 要 因 と して 有 効 と判 断 せ よ とい う こ と で す が,分   分 母 が 大 き い と き に は,分

母 の大 きさが 問題 に関 与 して きます．

子 が 大 き くて も こ の 比 は 大 き く な り ませ ん.観

察値 に

種 々 の 要 因 が 関 係 して い る と きに は,   「取 り上 げ た要 因 に よ っ て 説 明 さ れ ず に 残 っ た 部 分 」 が 分 母 で す か ら,た

とえ ば さ らに 別 の 要 因 を 追 加 し て分 析 す れ ば,そ

要 因 が 見 出 され,そ

れ を考 慮 に 入 れ て 再 計 算 す る と 「区 分 内 変 動 」が 小 さ くな る 可 能

性 が あ り ま す.し

た が っ て,ま

ず 「そ うい う状 態 に して お く こ と」が,Ｆ

提 と な るの で す.   そ う い う状 態 に な っ て い な い とす れ ば,   分 母 が 大 きい た め に 検 出 され て い な か っ た 区 分 間 変 動 が,   分 母 が小 さ く な った が ゆ え に,   大 き か っ た と評 価 し な お さ れ る 場 合 が あ り う る の で す.   し た が っ て,分

の 中 か ら新 し い

析過程 では

  条 件 １  分 母 す な わ ち 区 分 内 変 動 に つ い て

比 を使 う前

 

こ れ 以 上 小 さ くは な ら な い こ と

 

そ れ が 難 しけ れ ば,十 分 小 さ い こ と

  条 件 ２  分 子 す な わ ち 区 分 間 変 動 が 大 きい こ と の 両 方 を確 認 し な け れ ば な ら な い の で す.   ◇ 注  デ ー タ を求 め る とき に 条件 １をみ たす よ うにす る こ と で も,す で に得 られ て い る デー タに つ いて,前 章の 分 析 を適 用 して有 意 な差 を除 去 す るこ とで もか まい ませ ん.そ う い う状 況 に な って い る場 合,区 分 内変動 を 「誤差 変 動 」とよび ます.   ②  こ の こ とか ら,   「 検 証 さ る べ き 差 」が す べ て 「 検 証 で きる とは限 らな い」 こ とに な り ま す.以

下 に 説 明 す る 方 法 を適 用 し て 検 証 さ れ た と き 「有 意 差 あ り」 とい

う言 い 方 が な さ れ ま す が,適

用 す る方 法 や,適

用 場 面 に よ っ て 検 証 で き る範 囲 が か わ

りま す か ら,「 有 意 差 な し」 と な っ た と して も,「 検 証 さ る べ き差 が な い 」わ け で は な く,見 逃 され て い る 可 能 性 が あ る の で す.   「 有 意 性 」と い う用 語 に つ い て,  

「 個 別 性 に よ っ て 起 こ る範 囲 を こ え て い る こ と 」

あ るいは   「こ れ 以 上 は 要 因 を追 究 で き な い 状 態 に な って い る こ と」 を指 す も の と説 明 さ れ る こ と も あ り ま す が,こ

の 説 明 に つ い て は,

  「 今 採 用 し て い る方 法 で は 」と い う条 件 つ き で す か ら注 意 し ま し ょ う.今 採 用 して い る方 法 で 追 究 で き な くて も,別 の 方 法 で,あ る い は,別

の デ ー タ を使 っ て分 析 す れ ば 原 因 が つ か め る か も しれ ませ ん.

  ③  こ の 節 で 説 明 す る 手 法 は,第 で,第

一の 条件 が み た され て い る こ と を前提 に した上

二 の 条 件 に 関 して 「数 理 的 な論 法 」を与 え る もの で す.

  関 連 す る種 々 の 要 因 を制 御 で き る 問 題 分 野 な ら,第 一 の 条 件 を み た し う る よ うに 計 画 し ま す.そ

う で き な い 問 題 分 野 で は,利

した 上 で,適

当 な 区 分 を見 出 す た め の 試 行 錯 誤 が 必 要 と な る で し ょ う.ま

き る情 報 の 範 囲 で は,Ｆ

用 で き る情 報 を 可 能 な 限 り取 り上 げ て 検 討 た,利

用で

比 を使 う方 法 を適 用 で き な い こ と も あ りえ ま す.

  ④  前 節 で 取 り上 げ た 例 に つ い て 説 明 を つ づ け ま し ょ う.   変 数 Ａ に よ る 差 と 変 数 Ｂ に よ る 差 に つ い て,い が,そ

ず れ も有 意 だ とい う結 果 で し た

れ ぞ れ の 効 果 を別 々 に 扱 う こ とに 疑 問 は な い か … こ う い う 問 題 を提 起 して お

き ま し た.   た と え ばＡ

の 効 果 の 検 定 に 使 っ た Ｆ 比 の 分 母 は,変

差 分 散 σ2X￨Aで あ り,Ｂ

数Ａ

に よ る差 を除 去 した残

の 効 果 が 取 り出 さ れ ず に 残 っ て い る,し

た が っ て,Ｆ

比 を,

「誤 差 に 対 す る 倍 率 と は解 釈 で き な い」の で す.   そ う解 釈 で き る Ｆ 比 に す る に は,Ｂ べ き で す.

の 効 果 も除 去 し た残 差 分 散 σ2X￨ABを分 母 とす

表5.2.1 

２要 因 の場 合 の 分 散 分 析 表for要

因分 析

(要 因 Ａ,Ｂ の順 に 取 り上 げ た 場 合)

表5.2.2 

２要 因 の 場 合 の分 散 分 析 表for要

因 分析

(要 因 Ｂ,Ａ の 順 に取 り上 げ た場 合)

  4.6節 で 「Ｘ の 変 動 をＡ,Ｂ に よ っ て 区 分 す る こ とに よ っ て どの 程 度 ま で 説 明 で き る か 」を み た 場 合 に も これ ら の 級 内 分 散 を計 算 し,分 散 分 析 表 を 表5.2.1の め て あ りま した.ま

た,変 数 を取 り上 げ る順 をか え る と,表5.2.2の

よ うに ま と

よ うに な りま す.

  こ れ ら の 表 に お け る最 後 の 行 の 分 散 が,２ つ の 要 因 の 効 果 を除 去 し た 残 差 分 散 で す.変

数 を取 り上 げ る順 い か ん に か か わ ら ず,2800と

  要 因Ａ,Ｂ

の 効 果 を 除 去 す れ ば そ れ ら の 組 み 合 わせ 区 分 別 平 均 を基 準 と し た 残 差 は

特 定 の 要 因 を もた な い 「個 別 的 な変 動 」で あ り,Ａ,Ｂ す る 」た め の Ｆ 比 の 分 母 と して,こ   表5.2.1お

な っ て い ます.

よ び 表5.2.2を

の効 果 す なわ ち 「 傾 向性 を識別

の 分 散 σ2X￨ABを使 え と い う こ とで す.

仮 説 検 定 用 に 書 き改 め た もの が,次 ペ ー ジ表5.2.3と

表

5.2.4で す.   ま た,表5.2.5の

よ う に,２ つ の 表 を １つ に ま とめ て お くこ と も考 え ら れ ま す.

  ２ とお りの 表 を 用 意 し ま し た が,Ａ か.表5.2.3に ます.Ｂ

お け る26.4の

の 効 果 を検 定 す る た め の Ｆ 比 は ど れ で し ょ う

よ う で も あ り,表5.2.4に

の 効 果 をみ る た め の Ｆ 比 は,表5.2.4に

に お け る2.76で

お け る8.18の

お け る10.2で

よ うで もあ り

し ょ うか,表5.2.3

し ょ うか.

  こ の こ と に つ い て 説 明 をつ づ け ま し ょ う.表5.2.5は,そ

の た め に 用 意 した もの で

す.   結 論 だ け を い え ば,こ ４行 目 の Ｆ 値10.2で 5.2.3,表5.2.4で て 表5.2.5を

の 表 に 示 し た ３行 目 の Ｆ 値26.4で

区 分Ａ

の 効 果 を検 定 し,

区 分 Ｂ の 効 果 を 検 定 せ よ … こ う い う こ と で す.も

い えば,３ 行 目の Ｆ 値 を使 え と い う こ と で す.そ

組 み 立 て た の で す か ら,こ

こ で は,表5.2.3,表5.2.4を

との表

れ らを抜 き出 し 考 慮外 にお い

表5.2.3 

２要 因 の 場 合 の 分 散 分 析 表for仮

説検 定

(要 因 Ａ,Ｂ の順qaに取 り上 げ た 場 合)

「区 分Ａ で の 平 均 値 間 の 差 」は 有 意.Ａ の 差 」は 有 意 で な い.

表5.2.4 

の 各 区 分 ご とに み た 「区 分 Ｂ で の 平 均 値 間

２要 因 の 場 合 の 分 散 分 析 表for仮

説検定

(要 因 Ｂ,Ａ の 順 に 取 り上 げ た場 合)

「区 分 Ｂ で の 平 均 値 間 の 差 」は 有 意.Ｂ

の 各 区 分 ご とに み た 「区 分Ａ で の 平 均 値 間

の 差 」も有 意.

表5.2.5 

２要 因 の場 合 の 分 散分 析 表for仮

説検定

(要 因 Ａ,Ｂ の 取 り上 げ 順 をか え た ２つ の 表 を ま とめ た もの)

て け っ こ う で す.   後 の 節(5.6節)で,２

つ の 要 因 の 相 乗 効 果,相

表 に つ い て 言 及 し ます が,こ た め に,表5.2.5の

こ の 扱 い で は,相

殺 効 果 を 取 り上 げ る と き に こ れ らの 乗 効 果,相

殺 効 果 を 取 り上 げ て い な い

範 囲 で み れ ば よい の で す.

Ｆ 値 の分 母 は 「分 析 に よ っ て 説 明 さ れ ず に 残 っ た部 分 」の 分 散 を 使 う. 複 数 の 要 因 が 想 定 さ れ る と き に は,そ 表5.2.5で

み れ ば,区 分Ａ

れ ら を 一 緒 に 取 り上 げ る.

間 の 差 も区 分 Ｂ 間 の 差 も有 意 で す.

こ の 例 で は 前 節 の 結 論 と一 致 し ま し た が,い

つ もそ うだ とは 限 りませ ん.

上 の ま とめ に 示 した よ うに,２ つ 以 上 の 要 因 が 影 響 して い る と き に は,そ

れ らの影

響 を 除 去 した 残 差 の 分 散 を分 母 に と っ た Ｆ 比 を使 い ま し ょ う.   そ う しな い と,形 式 的 に 有 意 だ と な っ て も,そ れ が,「 区 分 け に 使 っ た 要 因 の 効 果 だ 」 とい う解 釈 に 結 び つ か な い … 重 要 な 注 意 点 で す. ◇ 注 ｌ 表5.2.3,表5.2.4の 要 因Ａ,要

４行 目の Ｆ 値 は,２ つ の要 因 の 交 互 作 用 が 影 響 す る の で,

因Ｂ の効 果 を判 定 す るに は不 適 当だ とい うこ とです.交 互 作 用 が 存 在 しな い

と想 定 で きれば,こ れ らを使 う こ と もで きます.   ◇ 注 ２ 表5.2.5の

４行 目に 交互 作 用 に対 応 す る項(偏 差 平 方 和 は-12105)を

考 え られ ます,表4.7.4で 動414684-190421と

説 明 した よ うに170319+66049-12105が

一 致 す るた め,そ

お くこ とが

Ａ,Ｂ で 説 明 され た変

うす る の が 自然 で す が,こ こ で は,交 互 作 用 を検

定 の 対象 とす るの が 不適 当(5.7節 参 照)だ とい う理 由 で,こ の 表 に は含 め てい ませ ん.

5.3  帰 謬 法 と仮 説検 定 の論 理  ①  帰謬法

  前 節 で例 示 し た手 法 の 論 理 の 運 び 方 につ い て,な

明 しま し ょ う.こ れ が,こ

ぜ そ うす る か を 説

の 節 の テ ー マ で す.

  ま ず,論 理 学 の 基 本 に 立 ち も ど り ま し ょ う.   次 の枠 組 み が,帰

謬 法 と よ ば れ る 論 理 の 運 び 方 で す.

 ◆5.3.1  帰謬法の論理

仮説 帰結

「命題 Ａ が真 」な ら  「命 題 Ｂ が 真 で あ る」 

事実 結論

しか る に,「 命 題 Ｂ は 真 で な い 」こ とが わ か っ た  よ っ て,「

命 題 Ａ は 真 で あ る 」こ とは 否 定 さ れ る 

  検 討 の 対 象 と な っ て い る の は 「命 題 が 真 」 とい う こ と で す か ら,そ れ を 「 仮 説 」とし て い ます.そ

の 仮 説 が,命

果 と な るの で す.ひ

題 Ｂ に 関 し て知 りえ た 事 実 に も とづ い て,否

定 さ れ る結

と こ とで い え ば,

  仮 説 が 正 し い とす れ ば 起 こ りえ な い こ とが 起 こ っ た か ら,仮

説 を否定 す る

とい うこ とで す.  ②

仮 説検 定の論 理

  仮 説 検 定 の 論 理 は,こ

の 帰 謬 法 の 論 理 に 可 能 性 の 大 小 を考

慮 に 入 れ た次 の 形 式 を と り ます.   ◆5.3.2  仮 説検定 の論理

仮説

「命 題 Ａ が 真 」な ら, 

「命 題 Ｂが真 であ る」可能性 が高 い  しか る に,「 命 題 Ｂ は真 で な い 」こ とが わ か っ た  よ っ て,「

命 題 Ａ は 真 で あ る 」こ とは 否 定 す る 

帰結 事実 結論

  ◆5.3.4で 変更 します. 帰 謬 法 の 論 理 で は,帰

結が 「 仮 説 が 正 し け れ ば あ りえ な い 事 実 」で あ っ た の に 対 し

て,仮

説 検 定 の 論 理 で は,「 仮 説 が 正 しけ れ ば 可 能 性 の 低 い 事 実 」 とお き か え ら れ て

い る … こ こ が 要 注 目点 で す.   可 能 性 が 低 い に して も 「仮 説 が 正 し い と き そ の 帰 結 が 起 こ り う る」 と想 定 し て い る の で す.い

い か え る と,

  「起 こ り え な い こ とが 起 こ っ た」 と い う とこ ろ が,   「め っ た に 起 こ ら な い こ とが 起 こ っ た 」 とお き か え られ て い る の で す.   ◇ 注  仮 説 検 定 論 で は,上 記 の 論 理 に お け る 「 可 能 性 が 高 い 」とい う とこ ろ を,確 率 を 計 測 す る こ とに よって 客 観化 して い ます.た だ し,確 率 計 算 が で きな くて も,「可 能 性 が 高 い 」と判 断 で きれ ば,そ の 論理 を適用 で き ます.   ③  第 一種 の過 誤

  こ の お き か え に よ っ て,可

能 性 が 低 い に して も,「 命 題 Ａ が

真 で あ る の に 命 題 Ｂ が 真 で な い 」可 能 性 が あ り う る こ と が 前 提 と さ れ て い ます か ら, 「し か る に 」以 下 の 論 法 を 適 用 す る と   「命 題 Ａ が 真 で あ る 」の に か か わ らず,そ

れ を否 定 す る

と い う 「誤 りを お か す 可 能 性 」 を も っ て い る こ と に 注 意 し て くだ さい.   こ の 誤 り を 「第 一 種 の 過 誤 」 と よ び ます.   仮 説検 定 の 論 法 で は,こ

の 誤 りの 可 能 性 を認 め ま す.こ

れ が,帰

謬 法 と大 き くち が

う点 で す.「 誤 り を お か す 可 能 性 が あ る が ゆ え に 何 も い わ な い 」 と い う態 度 で は 前 進 しに くい,よ

っ て,「 誤 りの 可 能 性 を 十 分 低 くお さ え ら れ る な ら,そ

の リス ク を承 知

の う え で 発 言 しよ う」 と い う態 度 を とる の で す.   以 下 で は,こ

の過 誤 の 大 き さ を α と表 わ し ます.た

  仮 説 検 定 論 の 用 語 と して は,こ  ④

と え ば5%と

の α を 「有 意 水 準 」,1-α

し ます.

を 「信 頼 度 」 と よ び ます.

前 節 の 問 題 に つ い て こ れ を適 用 す る た め,   命 題 Ａ を 「区 分 間 に 差 が な い 」,   命 題 Ｂ を 「F＜Fα だ 」

とお きか え る と,次 の よ うに な りま す.   ◆5.3.3  仮説検定の論理の適用例

仮説

「区 分 間 に 差 が な い 」 と き に  「F＜Fα の 確 率 が 1-α ％ 」  し か る に,「F＞Fα

よ っ て, 

と な っ た 」 

帰結

事実 結論

仮 説 を否 定 す る 

す な わ ち,「 区分 間 に 差 が あ る」 とみ る  ◆5.3.5で 変 更 します.   ⑤   上 の 論 法 に お け る 事 実 「F＞Fα と な っ た 」を 「事 実 Ｒ」 と表 わ し,そ の 否 定 す な わ ち 「F＜Fα と な っ た 」を 「 事 実 Ａ」 と表 わ し ま し ょ う.ま 対 応 す る結 論 を 「結 論 Ｒ」,「結 論 Ａ」 と表 わ しま す.

た,そ

れ ぞれ の事 実 に

  Ｒ,Ａ を添 え た こ とか ら,事 仮 説 をRejectし(棄

実 と結 論 と の つ な が りに 関 して,事

だ と解 釈 して もか ま い ませ ん.た

だ し,Acceptの

方 は,論

る(棄 却 し な い)の

理 と して 注 意 が 必 要 で す.

  この 「事 実 Ａ」は,前 提 か ら普 通 に 起 こ る こ と(確 率 １-α,た   し た が っ て,そ

実 Ｒ が起 こった ら

却 し),事 実 Ａ が 起 こ っ た ら仮 説 をAcceptす

と え ば95%)で

す.

れ が 起 こ っ た と きに は,前 提 を否 定 す る こ とは で き ませ ん.

  しか し,こ の こ とは,前

提 が 正 しい こ との 証 明 に は な っ て い ませ ん.

  さ らに 説 明 をつ づ け ます が,ま

ず,仮

説 検 定 の 論 理 の 枠 に 事 実 Ａ に 関 す る部 分 を

追 加 し て お き ま し ょ う.  

◆5.3.4  仮 説検定 の論理 「命 題 Ａ が 真 」な ら, 

仮説

帰結

「命題 Ｂ が真 であ る」可能性 が高 い  しか る に,「 命 題 Ｂ は 真 で な い 」こ とが わ か っ た  よ っ て,仮

や は り,「 命 題 Ｂ は 真 で あ る」こ とが わ か っ た  よ っ て,仮 また,こ

事実Ｒ 結論Ｒ

説 は 否 定 され る 

事実Ａ 結論Ａ

説 は 否 定 で き な い 

れ に ④ と 同 じ命 題 Ａ,命 題 Ｂ を あ て はめ る と,次 の よ うに な り ます.   ◆5.3.5  仮説検定の論理の適用 「区 分 間 に 差 が な い 」な ら  「F＜Fα の確 率 が1-α%」  し か る に,「F＞Fα

よ って,仮 や は り,「F＜Ｆα

よ って,仮

と な っ た 」 

仮説 帰結 事実 Ｒ 結論 Ｒ

説 は 否 定 され る  だ っ た 」 

説 は 否 定 で き な い 

事実Ａ 結論Ａ

  結 論 Ａ は た い へ ん まわ り くど い 文 に な っ て い ます.   仮 説 を具 体 的 に 特 定 した 書 き方 に す る と,   "区 分 間 に差 が な い"と い う仮 説 は 否 定 で き な い と い う三 重 否 定 に な っ て い る の です.   こ れ を簡 単 化 す れ ば   「区 分 間 に 差 が あ る とは い え な い 」 とお き か え て よ い の で す が,さ

ら に 「区 分 間 に 差 が な い 」 と お き か え る と,論 理 の 筋

が か わ っ て し ま い ま す.   論 理 に 沿 っ た い い か え をす る と   「"区分 間 に 差 が な い"と い う仮 説 を否 定 で き な い 」  ⇒ 「区 分 間 に 差 が な い とい う仮 説 を否 定 す る 」こ と は で き な い  ⇒ 「区 分 間 に 差 が あ る」 と は い え な い

と い い か え る こ とは 可 能 で す が,「 区 分 間 に 差 が な い 」 と い う 断 定 的 言 い 方 は,誘

導

され ませ ん.   「Rejectさ れ な い 」と い う 意 味 で,「Acceptさ

れ る 」の で す が,「Proofは

され て い

な い 」の で す.   ⑥

以 上 を ま とめ ま し ょ う.

  仮 説検 定 の 論 法 で は,「 区 分 間 に 差 が な い」 と い う こ と を 「 仮 説 」 と よ び ま す.そ して,そ

う

の 論 法 で選 択 され る 帰 結 は

  仮 説 が 棄 却 され る(す な わ ち,差 が あ る と結 論 す る)   仮 説 が 棄 却 され な い(す な わ ち,「 差 が あ る とは い え な い 」と結 論 す る) の い ず れ か で す.   こ の 判 定 の 基 準 値Fα を 「棄 却 限 界 」と よ び ま す が,棄 の は,こ   ⑦

却 と い う語 を採 用 し て い る

の論 法で は 「 仮 説 の 棄 却 」に 関 す る 誤 り を制 御 し て い る た め で す .

第二 種の 過誤

  こ の 論 法 の 構 成 に お い て 「仮 説 が 正 し い 」と仮 定 し た 場 合 に

つ い て 確 率 を計 算 し,   「仮 説 が 正 し く な い 」に 該 当 す る事 実 が 起 こ っ た  ⇒ 「 仮 説 を 棄 却 し て,差

が あ る とみ る 」確 率 がl-α

  「仮 説 が 正 し くな い 」に 該 当す る事 実 が起 こ ら な か っ た  ⇒ 「 仮 説 を棄 却 せ ず,差

が あ る と み な い 」確 率 が α

と制 御 し て い ます が,「 仮 説 が 正 し くな い 」場 合 に つ い て は,確

率 を計算 して い な い

こ とに 注 意 し ま し ょ う.「 仮 説 が 正 し く な い 」 と い う場 合 に は 種 々 の ケ ー ス が あ り え ます.そ

う い う 「特 定 さ れ な い状 況 下 で は,確

率 を計 算 で きな い 」の で す.

  確 率 が 計 算 で き な い に して も  「 差 が あ る」の に 「 差 が あ る とは み な い 」 とい うの は 誤 りで す.こ

れ を 「第 二 種 の 過 誤 」 と よ び ま す.

  これ を制 御 す る に は 「差 が あ る 」 とい う こ と を 「あ る特 定 の 差 が あ る」 とお きか え て 論 理 構 成 を拡 張 す る こ とに な りま す.た

だ し,そ

い る仮 説 に 対 立 す る別 の 仮 説 を想 定 し ます.そ

うい う拡 張 で は,検

の よ うに,問

と に よ っ て理 論 の 組 み 立 て を精 密 化 す る の で す が,こ

討 の対象 として

題 を扱 う場 を 限 定 す る こ

こ で は,ふ

れ な い こ とに し ま

す.  ⑧

た だ し,棄 却 限 界 の 決 め 方 に 関 して,片

側 検 定 と両 側 検 定 の ２ とお りが あ る こ

と を 注 意 して お き ま し ょ う.   こ れ ま で の 説 明 で は,棄 却 限 界 を  P(F＜Fα)=α と し て い ま し た が,こ

れ は,Ｆ

の値 が

 「差 が な け れ ば １,差 が あ れ ば １よ り大 き くな る 」 と い う性 格 を もつ 変 数 だ っ た か ら で す.   こ れ に 対 して,検

定 の た め に 使 う変 数 Ｔ の 値 が

  「差 が な け れ ば ０,差 が あ れ ば ０か ら正 ま た は 負 の 方 向 に 離 れ る 」 と い う性 格 を もつ 場 合 に は,一

般 には

  P(￨T￨＜Tα/2)=α と し ま す.   た だ し,「 正 の 方 向 の 差 だ け を 問 題 に す る」 と限 定 して 扱 う場 合 に は,負

の方向の

差 は 問 題 にせ ず,棄 却 限 界 は   P(￨T￨＞Tα)=α と し ま す.   こ の 節 の 問 題 で 使 っ て い る Ｆ は,あ

との 場 合 で す か ら

  P(￨F￨＞Fα)=α い い か え れ ば,「 正 の 方 向 へ の 差 」の 有 無 を 問 題 に す る の だ とい う扱 い を 採 用 す る こ と に な り ます.   こ れ らの 扱 い を 区 別 す る た め に,両 側 検 定,片

側 検 定 と い う呼 び 方 が な さ れ ま す.

5.4  ア ウ トラ イ ヤ ー検 出   ①   こ の 節 で は,ア

ウ トラ イ ヤ ー 検 出 の 問 題(第 ３章)を 考 え,仮

説検 定 の問 題 と

の 類 似 点 と相 違 点 を 説 明 し ま す.   ま ず,5.3節

で 示 し た仮 説 検 定 の 論 理 を 再 掲 し ま す.こ

れ を,ア

ウ トライヤー検 出

の 問 題 に 適 用 す る こ と を考 え て み ま し ょ う.   ◆5.4.1

仮説検定の論理(◆5.3.2の 再掲)

「命 題 Ａ が 真 」な ら

仮説

「命題 Ｂが真 で あ る」可能性 が 高 い しか る に,「 命 題 Ｂ は 真 で な い 」 こ とが わ か っ た よ って,「 命 題 Ａ は 真 で あ る」こ とは 否 定 さ れ る   Ｘ に 関 す る １セ ッ トの 観 察 値 の う ちXKが

帰結 事実 結論

ア ウ トラ イ ヤ ー だ と い う こ とは,XKの

値 が Ｘ の 分 布 と して 期 待 さ れ る範 囲 を こ え る こ と を 意 味 し ます.し 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0だ と し て 偏 差 値T=(X-μ0)/σ0を 値,た

と え ば ３を こ え て い れ ば ア ウ トラ イヤ ー とみ る …

  上 記 の 枠 組 み に 対 応 させ る た め に は   命 題 Ａ を,「 Ｘ の 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0であ る」   命 題 Ｂ を,「T=（X-μ0）/σ0に

つ い て￨T￨＜Cで

の

れが限界

こ う い う見 方 が で き そ うで

す.

とお き ます.

た が っ て,Ｘ

計 算 し,そ

あ る」

◆5.4.2 

仮 説検 定 の 論 理 の 適 用

「Ｘ の 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0であ る」が 真 な ら,  「T=（X-μ0）/σ0に

しか るに,￨T￨＞Cだ よ っ て,仮

つ い て￨T￨＜Cで

あ る 」 

?結論

説 を否 定 す る. 

の ２行 に つ い て,?を

  こ の 節 で は,こ

帰結 ?事 実

っ た 

    こ こ で,下

仮説

◆5.4.3で 変 更 します.

つ け て あ り ます.

こ を考 え るの で す.

  Ｃ を ど う定 め る か は ② 以 下 で 説 明 し ま す.そ

の 上 で,こ

の節 の 最初 にあ げ た問 題

に つ い て 説 明 し ま す.  ②

こ こ で観 察 値Ｘ

を Ｔ す な わ ち 偏 差 値 に お きか え て い ま す が,こ

れ は,種

々の

問 題 に 適 用 す る と きの 数 理 を 一 般 化 しや す くす る た め の 便 宜 を 考 え た もの で す.検 法 を 適 用 す る た め の指 標 と して 使 う もの で,統   こ の 統 計 量 に つ い て,￨T￨＜Cと を信 頼 区 間 とよ び ま す.仮 入 っ て い な い と き は,仮

い う 範 囲 を使 う こ とに な っ て い ま す が,こ

説 を棄 却 す る 」 もの とい い か え る こ と が で き ま す. 上 で 」 と い う言 い 方 に お きか え る

の 信 頼 区 間 の 限 界 値 Ｃ を定 め ま す.

  そ の 場 合 の 信 頼 区 間 を 「信 頼 度95%の  ③

の範 囲

説 検 定 の 論 理 は,観 察 値 に 対 応 す る偏 差 値 が 「 信 頼 区間 に

  ま た,「 ほ ぼ 確 実 」 と した と こ ろ を,「 確 率95%以 た め に,こ

定

計 量 と よ び ます.

信 頼 区 間 」 とよ び ます.

問 題 は こ の Ｃ の 定 め 方 で す.

  こ の Ｃ と し て√20を 使 う こ と が 考 え ら れ ます.   こ れ は,Ｔ

の 分 布 型 が 「平 均 値 ０,標 準 偏 差 １ をみ た す 」ど ん な 型 で あ っ て も成 り

立つ   チ ェ ビ シ ェ フ の 不 等 式P(￨T￨＜C)≧1-〓 に お い てC=√20と

お い た も の を使 う こ と を 意 味 し ます.

  し た が っ て,「 偏 差 値 の 絶 対 値 が4.47を

こ え た も の を ア ウ トラ イ ヤ ー と み よ う」 と

い う こ と に な り ます.  ④

「偏 差 値 が√20を

こ え れ ば 」 と い う基 準 は 広 す ぎ る と感 じ る で し ょ うが,こ

れ

は,分 布 型 に 関 す る仮 定 を お い て い な い た め で す.   い い か え る と,分 布 型 に 関 す る仮 定 を お け る な ら,検 定 法 の 組 み 立 て の 根 拠 式 を そ の仮 定 の も と で計 算 し,信 頼 区 間 の 幅 を 狭 くす る こ とが で き ます.   た とえ ば,Ｘ

の 分 布 が 正 規 分 布 だ とす れ ば

 P(￨T￨＜1.96)=95% で す か ら,√20以  ⑤

下 と し た と こ ろ を1.96以

◆5.4.2の?は,こ

の よ うに,基

下 とお きか え る こ とが で き ます.

準 値 が 「Ｘ の 分 布 型 に 関 す る仮 定 に よ っ て 大

き くか わ る 」こ とに 関 連 し て い る の で す.   統 計 量 Ｔ の 計 算 値 が 基 準 値 を こ え た と き に 採 用 す る こ と と な る結 論 は,   ③ の 場 合,分

布 型 い か ん に か か わ ら な い推 論 に な っ て い る こ とか ら

  「Ｘ の 平 均 値 が μ0で な い こ と」   「Ｘ の 標 準 偏 差 が σ0で な い こ と」 の ２つ の 場 合 を含 む こ と に な り ます.   こ れ に 対 して,   ④ の 場 合 は,正 規 分 布 で あ る と し た 上 で の 推 論 に な っ て い る こ とか ら   「Ｘ の 平 均 値 が μ0で な い こ と」   「Ｘ の 標 準 偏 差 が σ0でな い こ と」   「Ｘ の 分 布 が 正 規 分 布 で な い こ と」 の ３つ の 場 合 を 含 む こ と に な り ます.   い い か え る と,形 式 上 「 仮 説 が 棄 却 さ れ る 」と い っ て も,そ の こ との 意 味 が 特 定 さ れ な い ま まに な っ て い る の で す.   した が っ て,正

規 分 布 で あ る こ と を十 分 な確 度 で 前 提 で き る な ら ば,◆5.4.2の

理 を ア ウ トラ イ ヤ ー 検 出 に 適 用 で き ます が,ア は,ま

論

ウ ト ラ イ ヤ ー の 検 出 を考 え る 段 階 で

だ 「分 布 型 を想 定 し う る状 態 で は な く,◆5.4.2の

論 法 を適 用 で き る 状 態 で は

な い 」とす べ き で す.   ◆5.4.3  仮説検定の論理の適用 「 Ｘ の 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0であ る」が 真 な ら,  「T=（X-μ0）/σ0に

しか る に,￨T￨＞Cだ よ っ て,仮

つ い て￨T￨＜Cで

仮説

帰結 事実

あ る 」 

っ た 

結論

説 を否 定 す る. 

  この論理 におけ る Ｃ は,Ｘ の分布 型いか んに よって大 きくか わるので,正 規分 布を十分な確 度で想定で きる場合以外 は適用 しに くい.  ⑥

そ うい う状 態 下 で は2.5節

ヤ ー 検 出 」が,過

で 説 明 し た 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ トに よ る ア ウ ト ラ イ

度 に 精 密 化 す る の を避 け る と い う意 味 で,適

した 手 法 だ と い う こ と

で す.   ボ ッ クス プ ロ ッ トに お け る フ ェ ン スUF,LFは,偏

差 値 に お きか え る と

 UF=2.7,LF=-2.7 で す.し

た が っ て,チ

ェ ビ シ ェ フ の 不 等 式 を適 用 す る と

  P(￨T￨≦2.7)＜1-〓 で す か ら,信 頼 度86%の

信 頼 区 間 を使 う こ と だ と解 釈 で き ま す.

  正 規 分 布 と仮 定 で き る な ら   P(￨T￨≦2.7)＜0.993

で す か ら,信 頼 度99%の   この よ うに,ボ で き ま す が,ボ

信 頼 区 間 に 相 当 し ます.

ッ ク ス プ ロ ッ ト と仮 説 検 定 と の 関 係 を 「形 式 上 対 応 させ る 」こ とが ッ ク ス プ ロ ッ トを 適 用 す る場 面 で は,分

布 型 を仮 定 で きな い の で,こ

の 節 で述 べ た 「仮 説 検 定 を厳 密 な 形 で 適 用 す る こ と を考 え な い 」の だ と 了解 し ま し ょ う.し た が っ て,た こ とは,し

とえ ば,ボ

ッ ク ス プ ロ ッ トのUF,LFを

分 布 型 に 応 じて か え る

な い の で す.

  ◇ 注 １ チ ェ ビ シ ェ フの 不 等 式 は,Ｘ

の 分 布 型 い か ん にか か わ ら ず成 立 す る もの で す が,

分布 型 に 関 す る仮 定 をか え て,P(X＞K)の

上 限 を評価 す る次 の よ う な不 等 式 が 見 出 され

て い ます.  比 較 の ため に,チ ェ ビ シ ェ フの不 等 式 と正 規 分 布 の 場 合 の 式 も示 し てお き ます.い ず れ も,確 率5%の

場 合を例 示 して あ ります.

  分 散 が 存在(そ の範 囲 で は任 意)P[￨X￨＞√20]=5%   単 峰 形(そ の範 囲 で は任 意)P[￨X￨＞√11.2]=5%   左 右 対 称 な単 峰 形(そ の範 囲 で は任 意)P[￨X￨＞√8.89]=5%   正 規 分 布P[￨X￨＞1.96]=5%  ◇ 注 ２ これ らの不 等 式 か ら,仮 定 を きび し くす れ ば そ れ に 応 じて,不 等式 の 上 限 を狭 く で き るこ とが わ か ります.逆 に い う と,こ の よ う な不 等 式 を精 密 化 し よ う とす る と,き び しい仮 定 をお くこ とが 必 要 だ とい う こ とです.

5.5  平 均 値 に 関す る 仮 説検 定  ①

こ の 節 お よ び次 節 で は,基 礎 デ ー タが 実 験 に よ っ て 求 め られ て い る場 合 を 想 定

し,そ の 場 合 に 適 用 で き る よ う特 殊 化 さ れ た仮 説 検 定 法 を説 明 し ま す.   基礎 デ ー タ の 求 め 方 に 関 して 条 件 が つ くた め,ど ら な い 反 面,条

ん な デ ー タ に も適 用 で き る とは 限

件 をみ た して い る な ら,検 定 方 法 を 精 密 化 で き ま す.

  した が っ て,実

験,す

な わ ち,一

定 の 条 件 下 で 観 察 を く りか え し て 観 察 値 を求 め う

る場 面 で適 用 され る こ とが 多 い の に対 して,実 験 しに くい 問 題 分 野,す を制 御 して 観 察 値 を求 め に くい 問 題 分 野 」で は,こ

な わ ち 「条 件

の 節 で 説 明 す る 方 法 を 適 用 しに く

い … こ う い わ れ て い ま す が,「 な ぜ そ う な の か を知 る 」こ と に よ っ て,適

用 で きる範

囲 を み き わ め る こ とが 必 要 で す.  ②

ま ず 典 型 的 な 例 を使 っ て 説 明 し ます.

  た と え ば 「あ る製 品 の これ ま で の 製 法 で は 平 均 値 が  50,標 て い た が,製

準 偏 差 が  10 だ と み ら れ

法 を 改 善 した た め に 平 均 値 が か わ っ た とみ られ る の で,そ

の こ と を確 認

し た い 」 とい っ た 問 題 を考 え る の で す.  ③5.3節

に 示 した 仮 説 検 定 の論 理(◆5.3.2)を

を 扱 うに は,そ

適 用 す る の で す が,例

れ につ いて

  命 題 Ａ を,「 Ｘ の 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0であ る」   命 題 Ｂ を,「T=（X-μ0）/（σ0/√N)に

つ い て￨T￨＜1.96で

あ る」

示 した問題

とお き ま す.す   た だ し,②

な わ ち,◆5.5.1の

よ う な 論 法 を適 用 し ます.

に 述 べ た 理 由 で,こ

て あ り ます.検

れ ま で の 節 で は な か っ た 「前 提 」 を表 の 中 に 明 示 し

定の 対象 とされ る 「 仮 説 」 と,手

法 適 用 に あ た っ て 考 慮 に 入 れ る 「前

提 」 と を わ け て い る の で す.   ◆5.5.1平

均値 に関 する仮 説検定(１)

  σが既知 と想定 で きる場合 Ｘ の 分 布 は 正 規 分 布 で 表 わ され る

前提

「Ｘ の 平 均 値 が μ0,標 準 偏 差 が σ0であ る」が 真 な ら,仮 「T=（X-μ0）/（

￨T￨＜1.96で

あ る」が ほ ぼ 確 実 

し か る に ￨T￨＞1.96だ

よ っ て,仮

説

σ0/√N） に つ い て 

っ た 

説 を 否 定 す る. 

帰結 事実 結論

す な わ ち σ=σ0と 仮 定 して よ い もの とす れ ば, 「平 均 値 が μ0で な い 」 と い う結 論 と な る   こ の 節 で 扱 う方 法 に つ い て は,  

Ｘ の 分 布 に つ い て,正

です か ら,こ

規 分 布 で 表 わ され る とい う前 提 が 必 要

れ を 「前 提 」 と し て 明 示 し た の で す.

  仮 説 の欄 に,当

面 の 課 題 と した 「 平 均 値 に 関 す る記 述 」 と適 用 に あ た っ て 考 慮 に 入

れ る 「標 準 偏 差 に 関 す る 記 述 」を列 記 し た こ とに つ い て は,後   こ こ で は,仮

で 注 記 し ます.

説 の 欄 に 列 記 し た こ と の うち,「 平 均 値 に 関 す る 仮 説 」に つ い て 検 定

す る 形 に な っ て い る た め,「 結 論 」の 欄 は,１ 行 目 をつ け た 言 い 方 を す る こ と に な っ て い る … こ の こ とに 注 意 して お い て くだ さ い .  ④

こ の 節 で は,観

察 値 Ｘ の 平 均 値Ｘ

に 注 目す る も の と して い ます か ら,統 計 量

Ｔ は,観 察 値 の 平 均 値 Ｘ を偏 差 値 の 形 に し た もの を採 用 して い ます.   2.6節 で 説 明 し た よ う に,平

均 値 の もつ 変 動 に つ い て は

 μX=μX σX=〓

で す か ら,検 定 の た め の 統 計 量 を T=〓

と し ま す.   ま た,2.6節

で 述 べ た よ うに,平

均 値 の 変 動 に つ い て は,正

とが 多 い の で,信 頼 区 間 は  

P[￨T￨＜1.96]=0.95

を使 う こ と に して い ます(⑧  ⑤

した が っ て,

で は 変 更 し ま す).

規 分 布 を想 定 で きる こ

  観 察 値XI(I=1,2,…,N)の

平均 値 Ｘ を求 め

  偏 差 値 Ｔ を計 算 し  ￨T￨＞1.96な

ら仮 説 を 否 定 す る

も の と す れ ば よ い の で す.   こ の 場 合,否

定 され るのは

  「μ=μ0で あ り,σ=σ0で で す が,μ=μ0の

数 理 の 枠 内 で は,特   し たが っ て,当 に は,た

あ る」 とい う仮 説

方 が 否 定 さ れ た の か,σ=σ0の

方 が 否 定 さ れ た の か は,仮

説検 定 の

定 さ れ ませ ん.

初 に あ げ た 「平 均 値 の 変 化 を確 認 し よ う」 とい う問 題 に 答 え る ため

と え ば,

 観 察 単位 の選 び方 や観察値 の求め 方か ら   標 準 偏 差 は か わ ら な い と仮 定 で き る そ うい え る場 面 で な け れ ば な ら な い の で す.い

い か え る と,

  σが 既 知 だ と仮 定 す る の で す.そ

う仮 定 で き る な ら,

  「前 提 が 否 定 さ れ た,よ

っ て,平

均値 が か わっ た」

とい う結 論 を 出 す こ とが で き ます.   こ れ が,◆5.5.1の ◇ 注

最 後 の ２行 で す.

「あ る製 品 の これ ま での 製 法 で は 平均 値 が50,標

準 偏 差 が10だ 」とみ られ て い た

が,当 面 の 問題 と して は 「平均 値 が50」 とい うこ とを検 討 対 象 と しよ うとい う問題 設 定 で す.そ の場 合,手 法 の 組 み 立 て に お い ては 「 平 均 値 が50」 が 「 仮 説 」で あ り,「標 準 偏 差 が 10だ 」は 前 提 だ … こ う説明 す るこ ともで き ます. 検 定 法 の 数理 に注 目す る な ら,こ の 説 明の 方 が受 け 入 れ や す い で し ょ う.   しか し,「 問題 の設 定 」として,平 均値 の ちが い を問 題視 す る場 合 に 標 準 偏 差 を考 慮 外 に お きに くい の で,本 文 に 述 べ た 表 わ し方 を採 用 し ま した.ま た,「 標 準偏 差 を考 慮 に 入 れ る扱 い方 」につ なが ります.  ⑥

σ の 推 定 値 を 使 う場 合

「 標 準 偏 差 が こ れ ま で ど お りだ 」 と い い に くい 状 態

下 で 問 題 を扱 う に は,「 標 準 偏 差 は デ ー タ か ら計 算 さ れ る値 を 使 お う」 と考 え る の で す.   そ れ な ら,仮 説 の うち,「 標 準 偏 差 が σ0だ」と い う部 分 を 外 す こ とが で き ます.い い か え る と,前 提 が 否 定 さ れ た 場 合,「 平 均 値 が μ0で あ る と は い え な い」 と結 論 づ け る こ とが で き ます.   こ の 扱 い 方 を 採 用 す る 場 合,統 とづ く推 定 値 σ2=Σ〓

とお き か え ます.

計 量 Ｔ の 定 義 式 に お け る σ0(想定 値)を デ ー タ に も

  こ う お きか え た 場 合 の 統 計 量 Ｔ に つ い て は,正 もの に な り ます.し

た が っ て,信

規 分 布 で な く,ｔ 分 布 と よ ば れ る

頼 区 間 の 上 限 値1.96は,ｔ

分 布 の 数 値 表 か ら拾 っ

た 値 とお き か え ます.   分 散 の 計 算 式 でN-1で  ｔ 分 布 は,自

わ っ て い る の は,こ

の こ と に 関 係 した 措 置 で す.

由度 す な わ ち 「 観 察 単 位-1」

に 関 係 し ます.し

た が っ て,上

限値 は

自由 度 に よ っ て 異 な っ た 値 と な りま す.   た とえ ば

です.自

  自由 度10の

場 合2.23

  自由 度20の

場 合2.09

  自由 度50の

場 合2.01

由 度 が 大 き くな る とｔ 分 布 は 正 規 分 布 と一 致 し ま す か ら,上

限値 は1.96に

近 づ き ます.   以 上 を ま とめ る と,次 の ◆5.5.2の  ◆5.5.2平

手 順 と な り ます.

均値 に関す る仮 説検定(２)

  分散 を観察値に よって推定す る場合

Ｘの分布 は正 規 分布 で表 わ され る 

前提

標準 偏差 は,観 察 値か ら推定 す る もの とす る 「Ｘ の 平 均 値 が μ0」が 真 な ら,  T=〓

仮説

につ い て

だ っ た 

帰結 事実

説 を否 定 す る. 

結論

「￨T￨＜Tα で あ る」が ほ ぼ 確 実  し か る に,￨T￨＞Tα

よ っ て,仮

す な わ ち,「 Ｘ の 平 均 値 が μ0」を 否 定 す る  ⑦  例 をあ げ て お き ま し ょ う.   例5.5.1「

ち ょ う ど100グ

導 入 した の で,10回

ラ ム ず つ 包 装 す る よ うに 設 計 さ れ た 自 動 包 装 機 械 を

の テ ス トを 行 な っ て 次 の 結 果 を得 た.こ

れ に も と づ い て,

そ の 機 械 は 設 計 仕 様 ど お りに な っ て い る と い っ て よ い か.」 101.1 解 答例

103.2 表5.5.3に

100.1

  μ=100.5,σ=1.42 が 得 ら れ る.  検 定 のため の統 計量 は T=〓 =1 .113

98.4

100.5

101.3

99.3

100.5

98.9

よ っ て 観 察 値 の 平 均 値 と標 準 偏 差 を 計 算 す る と

101.4

  こ れ に 対 す る棄 却 限 界 値 は,自 のｔ 分 布 表 を み る と,2.26で が っ て,仮

由度 ９

す.し

表5.5.3 

例5.5.1の

ため の計 算

た

説 は 棄 却 さ れ な い とい う結 論

で す.   ⑧  こ の 問 題 で は,「 平 均 値 が μ0で な い 」 と い う仮 説 を 問 題 と し て い ま す.す

な わ ち,

「μ0よ り大 き い 場 合 も μ0よ り小 さ い 場 合 も あ り う る 」 と し て検 定 法 を適 用 して い ま す か ら,棄 却 限 界値 を   P(￨T￨＞2.26)=0.05 と して 定 め て い ま す.   こ れ に 対 し て,た は,棄

と え ば,「 μ0よ り小 さ い 場 合 は あ り え な い 」と仮 定 し う る 場 合 に

却域 を   P(￨T￨＞1.83)=0.05

と して 定 め ます.116∼117ペ

ー ジ で 説 明 し た 「片 側 検 定 」を 採 用 す る こ と を 意 味 し ま

す.  ◇ 注 ｌ 片 側検 定 では,μ に関 して,   H0:μ=μ0に

対 してH1:μ＞

を想 定 して,H0かH1か

μ0

を選 択 す る結 果 とな ります.

  この見 方 に たつ と,「観 察 値 につ いて,そ れがH0:μ=μAを

もつ Ａ 群 に属 す るか,H1:

μ=μBを もつ Ｂ群 に属 す るか を判 定 す る」問題 を扱 う方 法 に つ なが りそ うで す が,こ の種 の 問題 で は,２ つ の 可能 性 を対 等 に扱 う こ とか ら,こ の 節 の仮 説検 定 とい くぶ ん ちが っ た 原理 を適 用 し ます.「 判別 の 問題 」と して論 じられ て い ます.   ◇ 注 ２ 上 記 に お け る対 立仮 説H1を

μ＞μ1(μ1＞ μ0)と想 定 で き る場 合 に つ い て は,仮 説

検 定 の方 法 の枠 内で 扱 うこ とが で き ます.

5.6  平 均 値 の 差 に関 す る仮 説 検 定   ①  た と え ば Ｘ の 観 察 値 がN1組,Ｙ す.そ

の観 察 値 がN2組

れ をXI(I=1,2,…,N1),YJ(J=1,2,…N2)と

求 め ら れ て い る もの と し ま

表 わ し ま し ょ う.こ

れに もと

づ い て,「 各 観 察 値 の 観 察 条 件 の ち が い が 平 均 値 に 変 化 を もた らす か 否 か 」 を 判 断 す る問 題 を考 え ま し ょ う.   す な わ ち,Ｘ

の 平 均 値 Ｘ と Ｙ の 平 均 値 Ｙ の 差 に つ い て,差

る こ と を考 え るの で す.た

が ０か 否 か を 判 断 す

だ し,XI(I=1,2,…,N1)もYJ(J=1,2,…,N2)も

差 を も っ て い ます か ら,平 均 値 Ｘ,Ｙ

を手 が か りに す る に し て も,判

観 察 誤 差 を除 い た と きに み ら れ る平 均 値 μX,μYの 差 で す.

観察誤 断 した い の は,

◆5.6.1 

仮 説検 定 の 論理

「命題 Ａ が真 」な ら 

仮説

「命題 Ｂ が真」がほ ぼ確実 

帰結

しか るに 「Ｂ が 真 」で な か っ た 

事実 結論

よ っ て,前   し た が っ て,仮

提 「 Ａ が 真 」を否 定 す る も の とす る 

説検 定 の論理 につ い て

 

命 題 Ａ を,「 μX-μY=0」

 

命 題 Ｂ を,「T=（X-Y)/σX-Yに

つ い て￨T￨＜1.96」

と お き ま す.  す な わ ち,次

の ◆5.6.2の

  ◆5.6.2 

手 順 を 構 成 し ま す.

平 均 値 の 差 に 関 す る仮 説 検 定(１)

 

σx,σYは 既 知 とす る場 合

Ｘ,Ｙ の分布 が正規 分布 で表 わ され る 

前提

 た だ し,そ れ ぞれ の標準偏 差 は既知 とす る 「μX-μY=0」

仮説

が 真 な ら, 

  「T=（X-Y）/σX-Yに

 ￨ T￨＜1.96で

つ い て

よ っ て,仮

量 Ｔ は,平

事実 結論

っ た 

説 を 否 定 す る. 

す な わ ち,「 μX-μY=0」

  ②  こ の 節 で は,観

帰結

あ る」が ほ ぼ 確 実 

し か る に￨T￨＞1.96だ

察 値XI,YJの

均 値 の 差X-Yを

を否 定 す る

平 均 値 に 注 目す る も の と して い ま す か ら,統 計

偏 差 値 の 形 に し た も の を 採 用 して い る の で す が,分

散 の 方 に つ い て 注 意 が 必 要 で す. こ こ で は,Ｘ

の 分 散 σX2お よ び Ｙ の 分 散 σY2が 既 知 だ と し て い ま す か ら,

σX2=〓, 

平均 値 の分散

σY2=〓 

  σX-Y2=σX2+σY2平

均 値 の差 の分散

と し ます.   ③  一 般 に は σX,σYが 既 知 とは い い に くい の で,そ   5.5節 の 場 合 と 同 様 に,σ が,そ

と して,観

うい う場 合 を考 え ま し ょ う.

察 値 に も とづ く推 定 値 を 使 え ば よ い の で す

の 推 定 値 の 求 め 方 に 関 して,２ つ の 場 合 を わ け て 考 え ま す.

  以 下 の ④ と ⑤ で す.   ④  値 は わ か っ て い な い が,等

し い と仮 定 で き る場 合 が あ り え ま す.た

と え ば,条

件(比 較 し よ う とす る条 件 以 外 の 条 件)を そ ろ え て観 察 値 を 求 め て あ る も の とす れ ば, σX2=σY2と 仮 定 し て よ い の で す.   そ の 場 合 に は,そ

の 共 通 値 を次 の 式 で 推 定 し ま す.

分散 の推 定   平 均 値 は 異 な るか も しれ な い,よ - X,YJ-Yを

っ て,そ

れ ぞ れ の 平 均 値 Ｘ,Ｙ

つ く り,そ れ らの ２乗 和 を Ｘ の 分,Ｙ

N1+N2-2で

を 使 っ て 偏 差XI

の 分 を含 め て 計 算 し,自

由度

わ る … こ うい う式 に な っ て い ます.

こ れ を使 っ て,

平 均値 の分 散 平 均値 の差 の分散 と し ま す.   ま た,こ

の こ と に と も な い,統

度N1+N2-2のｔ

計 量 Ｔ の 分 布 と し て,正

規 分 布 の か わ り に,自

由

分 布 を使 う こ と に な り ます.

  し た が っ て,仮   ◆5.6.3平

説 検 定 の 手 順 は,次

の よ うに お きか え ら れ ま す.

均値 の差 に関す る仮説検定(２)

  分散は等 しい と仮定 し観察値 から推 定す る場合

前提

Ｘ,Ｙ の分布 が正 規分布 で表 わ され る   ただ し,そ れ ぞれ の標 準偏 差 は観察 値か ら推 定す る 「μX-μY=0」

仮説

が 真 な ら,

  「T=（X-Y）/σX-Yに

つ いて

帰結

 ￨ T￨＜Tα であ る」が ほぼ確 実  しか る に￨T￨＞Tα  よ って,仮 す な わ ち,「

  ⑤  σX2=σY2を

μX-μY=0」

を否 定す る

仮定 で きな い とき

定 で き な い と きに は,統

事実 結論

だ っ た 

説 を否 定 す る. 

◆5.6.3の

計 量 Ｔ の 計 算 に お い て,次

フ レー ム に お い て σX2=σY2を 仮 の よ う に,そ

れ ぞ れ を 推 定 して

平 均 す る形 に 改 め ます.

分散 の推 定 平均 値 の分散 平均 値 の差 の分 散  ま た,統 計 量 Ｔ の 分 布 は,次 と を 利 用 して 決 め ます.

の 式 で 計 算 さ れ る 自 由 度ν のｔ 分 布 で 近 似 で き る こ

  N1=N2な

らν=N1-1と

措 置 は,N1,N2の

な り ま す.い

い か え る と,上 記 の よ う に 自 由 度 を決 め る

ち が い が もた ら す 影 響 を補 正 す る た め に 必 要 と な る もの と理 解 で き

ます.  ◆5.6.4  平均値の差に関す る仮説検定(３)  分散は等 しい と仮定せ ず,観 察値 から推 定す る場合

Ｘ,Ｙ の分布 が正 規分 布 で表 わ され る 

前提

ただ し,そ れ ぞれの標 準偏 差は観 察値 か ら推 定す る 「μX-μY=0」

仮説

が 真 な ら, 

「T=（X-Y）/σX-Yに

つ い て

￨T￨＜Tα で あ る」が ほ ぼ 確 実  しか る に￨T￨＞Tα よ っ て,仮

帰結 事実 結論

だ っ た 

説 を否 定 す る. 

す な わ ち,「

μX-μY=0」

を否 定 す る

 ⑥  例 を あ げ て お き ま し ょ う.   例5.6.1次

の デ ー タ は,20匹

普 通 の 餌 を 与 え,他

方 に は,血

の ラ ッ ト を10匹

ず つ の ２群 に わ け,一

液 中 の 赤 血 球 数 を 減 らす と考 え られ て い る薬 を混

入 し た餌 を 与 え た 場 合 の 血 液1mm3中

の 赤 血 球 数 で あ る.薬 の 効 果 を確 認 せ よ.

対照群  7.97

7.66

7.59

8.44

8.08

8.05

8.35

7.77

7.98

8.11

実験群  8.06

8.09

8.05

8.45

8.51

8.04

8.27

8.15

8.16

8.42

  な お,２ 群 の わ け 方 は,ラ

方には

ン ダ ム に な さ れ て い る も の と す る.

  実 験 の 目 的 と さ れ る 条 件 を与 え る群 を実 験 群,そ

れ と比 較 す る た め の 群 を対 照

群 と よぶ. 解 答例

ま ず,観

察 値 に つ い て 平 均 値 μX,μYと 標 準 偏 差 σX2,σY2を表5.6.5の

よ うに 計 算 す る. 表5.6.5 

例5.6.1の

た め の 計 算

 

μX=8.00,σX=0.27

 

μY=8.22,σY=0.18

  こ れ に よ る と,σX2と

σY2が か な り ち が う よ う だ か ら,⑤

の 方 法 を 適 用 す る.

よ っ て,

 

σX-Y2=σX2+σY2=0.01074

を 使 っ て,Ｘ,Ｙ

の 差 を 検 定 す る ため の 統 計 量

とな る.こ の Ｔ の 棄 却 限 界 を求 め る た め に,⑤

  よ っ て,Ｔ

の 棄 却 限 界 は,自

由 度15.55に

Ｔ は

の 後 半 に 示 した 計 算 を行 な う.

対 応 す るｔ 分 布 表 か ら2.125と

求め ら

れ る.   観 察 値 に も とづ く Ｔ の 計 算 値 は こ れ を こ え て い な い か ら,平 均 値 に 差 が あ る とは い え な い.  ⑦  

別 の 例 を あ げ ま し ょ う. 例5.6.2 

次 の デ ー タ は,10地

点 で そ れ ぞ れ ２種 の 稲 を栽 培 し て 収 穫 量 を 比

べ る実 験 を行 な っ た結 果 で あ る.こ れ に よ っ て,２ 種 の 稲 の 収 穫 量 に 差 が あ る と い え る か.

 

稲 の種 類 Ａ  7.97

7.66

7.59

8.44

8.08

8.05

8.35

7.77

7.98

8.15

稲 の種 類 Ｂ  8.06

8.09

8.05

8.45

8.51

8.04

8.27

8.15

8.16

8.42

 ◇ 注

栽 培 地 の 効 果 を 除 去 す る た め に 同 じ地 域 で そ れ ぞ れ ２つ の 稲 を 栽 培 して い る. まず,例5.6.1と

比べ て 「ど こが 同 じで ど こが ち が って い る か」を は っ き り把 握 す

るこ と.観 察 値 の数 値 は 同 じ(仮 想例)に して あ って も,異 な る意 味 を もつ もの に な っ てい るか ら,当 然,扱 い 方 はか え な くて は な りませ ん.   こ の例 で の 観 察 値 の 求 め 方 が,「20地

点 を10地

点 ず つ の ２群 に わ け て,一

方 の 群 で種 類 Ａ,他 方 の 群 で 種 類 Ｂ を 栽 培 し て い る 」と い う扱 い で は な い こ

表5.6.6 

例5.6.2の

た め の 計 算

と に 注 意 す る こ と. 解 答 例   こ の例 で は,各

地 点 で の ２つ の 観 察 値 は 同 じ条 件 を も っ て い るの で,各

地 点 ご と に 得 ら れ た ２つ の デ ー タ の 差ZIに

つ い て,差ZIの

平 均 値 が ０か 否 か

を検 定 す る方 法 に よ る の が 妥 当 で あ る.   し た が っ て,各

対 ご と にZ=Y-Xを

計 算 し,そ

の 平 均 値 と標 準 偏 差 を 計 算

す る.  μZ=0.220,σZ2=0.0428 が 得 ら れ る.よ

っ て,仮

説 μ=0を

検 定 す るため の統 計量 は

と な る.   Ｔ に 関 す る棄 却 限 界 は,自

由 度 ９のｔ 分 布 の5%点2.25で

あ り,Ｔ

の 観 察値

は こ れ よ り大 きい.   よ っ て,「 差 が ０で な い 」 とい う仮 説 は 否 定 さ れ る ◇ 注

この 問 題 で は,対 象 デ ー タ を求 め る と き に 条 件 Ｘ を もつ デー タ,条 件 Ｙ を もつ

デー タ を 「 対 とな る よ うに 計 画 」して い る ため,「 各 対 ご とに 求め たX-Yの

平均 値 が ０」

とい う仮 説 を検 定 す る扱 い を採 用 しま した.   これ を,仮 説 「 Ｘ,Ｙ の平 均 値 の差 が ０」の 検 定 と して扱 うの は,観 察 値 の 構 造 を考 慮 に 入 れ て い な い こ とにな り ます.誤 っ た扱 い とい うべ きで す.  ⑧  観 察 値 の 求 め 方 を さ ら に か え た 例 を あ げ て お き ま し ょ う.   例 5.6.310地

点 で そ れ ぞ れ ４種 の 稲 を 栽 培 し た 結 果 が あ る.こ

れ に も とづ

い て稲 の 種 類 に よ る 差 お よ び 地 点 に よ る 差 を 調 べ よ.た

だ し,Ａ

果 を示 す 稲,Ｂ

点 の 効 果 と種 類 の 効 果

地 点 で よ い 結 果 を示 す 稲 … の よ うに,地

地 点 で よ い結

の 間 に 交 互 作 用 が あ り う る こ と を考 え よ. こ の例 で は,例5.6.1あ

る い は 例5.6.2と

ち が っ て,２ つ 以 上 の 平 均 値 を 比 較 す る

形 に な っ て い ま す.し

た が っ て,こ

れ らの例 とちが った 扱 い を考 え る こ とが 必要 で

す.   4.6節 で 説 明 し た よ うに,Ｋ 組 ×N観 察 単 位 の デ ー タ に つ い て,平 均 値 に 差 が な い と し て 計 算 し た 全 分 散 と,各 組 ご と に別 々 の 平 均 値 を 使 っ て 計 算 した 級 内 分 散 を 計 算 し,分 散 を 比 較 す る 問 題 に お きか え て 扱 う の が 普 通 で す.   ま た,デ

ー タ の 求 め 方 に 関 す る注 意 が 必 要 で す か ら,次 の 節 で 説 明 す る こ とに し ま

し ょ う.

5.7  実 験 計 画   ①  5.6節 で あ げ た 例5.6.1と

例5.6.2で

た.そ

う して,そ

は,た

い へ ん 重 要 な注 意 点 で す.こ

は,観

察 値 の 求 め 方 が ちが って い ま し

の こ とか ら,分 析 の 進 め 方 を か え る こ とに な り ま し た.こ の 節 で は,こ

のこ と

の 点 を 一 般 化 して,

  デ ー タの 求 め 方(実 験 計 画)と 分 析 の 仕 方 の 関 係 を 説 明 し ま し ょ う.  「 実 験 計 画 」 とい う表 現 に つ い て は,す

で に 求 め ら れ て い る観 察 値 の 中 か ら,当

面

す る 問 題 を 考 え る た め に 使 うデ ー タ を 選 ぶ 場 合 も含 む も の と解 釈 し て く だ さ い.そ

の

意 味 で は,「 分 析 計 画 」 と表 現 して も よ い で し ょ う が,そ

の 場 合 も,「 観 察 値 が ど う い

う方 法 で 求 め られ て い る か 」 を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 です.   ②  観 察 値 を 求 め る に は,  観 察 単 位 ひ とつ ひ とつ に 「あ る 条 件 を対 応 づ け て 」観 察 し ます.  例5.6.1の

場 合 に つ い て は,次

図5.7.1 

例5.6.1の

の よ うに して あ っ た の で す.

場 合 の 実 験 計 画(１ 要 因 ２水 準 配 置(１))

  観 察 単 位 に 番 号 を つ け て あ り ます が,そ そ の 後 のN2個

の 番 号 順 に 「は じめ のN1個

に は 条 件 Ｅ を わ りあ て た 」 とい う こ と で は あ り ませ ん.観

果 に 影 響 す る こ とが あ りえ ます か ら,

に は 条 件 Ｃ, 察 順序 が結

ど の観 察 単 位 に Ｃ を わ りあ て,ど

の 観 察 単 位 に Ｅ をわ りあ て るか を

  ラ ン ダ ム に 決 め て 観 察 し,  観 察 単位 番 号 は,観

察 後 に つ け か え た もの

と考 え て くだ さ い.   以 下 の 例 で は い ち い ち こ と わ りま せ ん が,こ   こ の こ とか ら,観 察 値XIとYJを

の よ うに し て あ り ます.

比 べ る と き,

  「わ り あ て られ た 条 件 の ち が い」以 外 の 点 は 条 件 が そ ろ っ て い る もの と仮 定 して よ い こ とに な り ます.  ③  実 験 目的 に 対 応 し て か え るべ き 条 件 を 「実 験 条 件 」 と よ び,そ 「 環 境 条 件 」 と よぶ こ とに し ま し ょ う.②

れ以 外 の条 件 を

で 述 べ た 実 験 計 画 は,

  で き る だ け 環 境 条 件 が 同 一 に な る よ うに 観 察 単 位 を 選 ん で   実 験 条 件 を わ りつ け る の だ が,  環 境 条 件 が 全 く同 じ と は 限 ら な い の で,ラ

ンダムに 決め る

こ とに した もの で す.   こ の よ うに,環

境 条 件 が 均 等 に な る よ う に(等 質 化)し た と して も残 る 条 件 の ち が

い が 結 果 に か た よ り を もた ら さ な い よ う に す る処 置 を,   ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン と よ び ます(く わ し くは,⑩  ④  例5.6.2の

で 説 明 し ます).

場 合 の 実 験 計 画 を,図5.7.1と

同 様 に 図 示 して み ま し ょ う.

  た だ し,実 験 の 仕 方 に 関 す る 説 明 に 注 意 し て,変 更 す べ き点 が あ り ま す. 図5.7.2 

例5.6.2の

場 合 の実 験 計 画(１ 要 因 ２水 準 配 置(２))

 この実験 計 画 では,観 察単位 大 区分 の ちが いは観 察結果 に影 響 を もた らす可 能性 が あるの で, 各 大 区分 ご と に,   実 験 条 件 Ｃ に つ い て の観 察 と Ｅ に つ い て の 観 察 を 対 に し て 行 な う. と い う 計 画 を採 用 し た の で す(こ の こ とか ら,観 察 単 位 数 に 関 し て はN1=N2と こ と に な り ます).

す る

図5.7.3 

例5.6.3の

場合 の 実 験 計 画(２ 要 因 組 み 合 わせ 配 置(1))

  し た が っ て,  

各 大 区分 ご とに 差 を とれ ば,   大 区 分 の ち が い に よ る影 響 を 消 去 し た形 で,   条 件 Ｃ と条 件 Ｅ の 比 較 が で き る

こ とに な り ま す.   な お,小 区 分 に つ い て は,結 果 へ の影 響 が 小 さい とみ て い ます が,小 Ｃ,小 区 分 ２に 条 件 Ｅ と機 械 的 に わ りつ け るの で は あ りませ ん .   Ｃ か Ｅ か を ラ ン ダ ム に わ りつ け て 実 験 し た 後,番 5.6.1の

場 合 との ち が い は,各

  ⑤  実 際 の 問 題 で は,条

大 区 分 ご と に,Ｃ,Ｅ

区 分 １に 条 件

号 を つ け な お し た の で す.例

を １組 ず つ わ りつ け る こ と で す .

件 が ２区 分 とは 限 りませ ん.ま

た,ち

が っ た種 類 の 条 件 の

組 み 合 わ せ 区 分 を 想 定 して 比 べ た い こ とが あ り ます.   そ う い う場 合 の 実 験 計 画 の 立 て 方 は 「実 験 計 画 法 」と して 論 じ ら れ て い ます.   こ こ で は,２ 系 統 の 条 件 を組 み 合 わせ る場 合 の 基 本 形 だ け を紹 介 して お き ま す.   ２系 統 の 条 件 を,Al,A2,…,AK,お

よ び,B1,B2,…,BLと

同様 に 実 験 計 画 を 図 示 し た の が,図5.7.3で

し て,こ

れ まで の例 と

す.

  こ の 計 画 に よ っ て 得 ら れ た 「平 均 値 の 比 較 」に よ っ て,２ 系 統 の 要 因 Ａ,Ｂ の 効 果

をみ るか わ りに,   Ａ の 効 果 をみ る た め に,Ａ

の 区 分 別 平 均 値 を 基 準 と した 級 内分 散

  Ｂ の 効 果 を み る た め に,Ｂ

の 区 分 別 平 均 値 を 基 準 と した 級 内 分 散

を 求 め て,「 全 分 散 」 と比 べ る 問 題 と お きか え て 扱 う こ とが で き ま す.す

な わ ち,5.1

節 の 方 法 を適 用 す る の で す.  ◇ 注   図5.7.3で

は,種 々 の 平 均値 につ い て,た とえ ばXI0=ΣMIJ/NIの

よ うに 足 しあ げ

  の 対象 と した添 字 を ０ とお きか え た 記号 を使 って い ます.す べ て の 添 字 に つ い て 足 しあ げ   たX00=Σ

ΣXIJ/Nに つ い て は,Ｘ

  ⑥  前 節 の 例5.6.3に

とか き ます.

お け る計 画 に よ っ て 次 の 観 察 値 が 得 られ て い る も の と して,

２つ の 要 因 Ａ,Ｂ の 効 果 を分 析 し ま し ょ う.

表5.7.4 

  ま ず,こ

例5.6.3の

観 察 値XIJ

れ ま で の 例 と同 様 に,

  全 体 で の 平 均X00そ

れ か らの 偏 差XIJ-X00と

偏 差 平 方 和ST

  Ａ の 区分 別 平 均X10そ

れ か らの 偏 差XIJ-XI0と

偏 差 平 方 和SW（A）

  Ｂ の 区 分 別 平 均X0Jそ

れ か らの 偏 差XIJ-X0Jと

偏 差 平 方 和SW（B）

を 計 算 し ま す.計

算 過 程 と結 果 は,表5.7.5(a)お

よび 図5.7.5(b)の

とお り です.

  こ こ で は,一 連 の 観 察 値 を １列 に 並 べ た 表 形 式 の か わ り に,２ 系 統 の 区 分 を 表 側 と 表 頭 に わ け て お い た 表 形 式 に 配 置 し て,偏 差 を配 置 して 示 し,そ れ らの ２乗 和 の 計 算 結 果 を表 の 下 部 に示 して い ま す.  ◇ 注  分 散 の計 算 フォー ムは これ ま で とか えて あ ります.す な わ ち,  

平均 値 は,基 礎 デ ー タの 表示 の 方 につ け加 え る.

 

分散 成 分 の計 算 表 は,そ れ ぞれ の成 分 ご とにわ け る.

 

平均 値 か らの偏 差 は 「 要 因 Ａ に対 応す る行,Ｂ に 対 応 す る列 」に 配 置.

  偏 差 平 方和 は,各 表 の枠 外 に示 す.

表5.7.5(a) 

図5.7.5(b) 

偏 差 平 方 和 の 計 算for例5.6.3

分 析 の フ ロ ーfor例5.6.3

表5.7.5(c) 

分 散 分 析 表(4.7)節 の 形 式)

  ⑦  計 算 結 果 を示 す フ ロ ー チ ャ ー トは,4.7節 果 を表4.7.4の

と同 じ(図4.7.2)で

す か ら,そ

の結

形 式 に ま とめ て み ま し ょ う(後 で 変 更 し ます).

  表5.7.5(c)で

す.

  こ の 例 の 場 合,Ａ

で 区 分 し,そ れ を Ｂ で細 分 した 場 合,

  各 細 区 分 と も観 察 値 数 が １ と な っ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.Ｂ で 区 分 し,そ れ を Ａ で細 分 し た場 合 も同 じ で す .   こ の こ とか ら,両 方 の 区 分 別 平 均 値 か ら の 偏 差 は す べ て ０に な り ます.こ ら,フ

ロー チ ャ ー トの 最 後 の 枠 の 数 字 は ０,す な わ ち,SX￨AB=0と

  こ の こ とに 注 意 して,以

の こ とか

な っ て い ま す.

下 の 説 明 を フ ォ ロ ー して くだ さ い.

◇ 注  この こ とに ともな って,   SX×B￨A=SX￨A,SX×A￨B=SX￨B   とな ります.左 辺 と右 辺 は,全 く意 味の 異 な る分 散 成分 で す が,SX￨AB=0と

な って い るこ

  とか ら,値 が 等 し くな った の です.い い か え る と,こ れ らは 「 特 別 の 場 合 に成 り立 つ 関 係 で す」か ら,混 乱 を避 け るた め に は,フ ロー チ ャー トの 形 式 に 対 応 づ け て 理 解 す る こ とが 必要 です.   こ の 節 で は,仮

説 検 定 を 適 用 し よ う と考 え て い るの で す か ら,第

４章 の 形 式 の 分 散

分 析 表 を仮 説 検 定 用 の 形 式 に 書 き換 え て お き ま し ょ う.   分 散 を 「偏 差 平 方 和 を 自 由 度 で わ っ た 推 定 値 」 と し,検 定 の た め の Ｆ 比 を示 す 形 に す る の です.   そ う お き か え よ う と し た 場 合,す

で に 注 意 し た 「SX￨ABが ０に な っ て い る こ と」が

問 題 に な り ます.   こ の 問 題 で は,表5.7.5(a)で   残 差 XIJ-XI0-X0J+X00 の 分 散 が17656と

計 算 さ れ て い ます が,4.7節

互 作 用 の 大 き さ」 と解 釈 す べ き 項 で す.要

で 説 明 し た とお り,こ れ は,本

来 「交

因 Ａ の 効 果 と要 因 Ｂ の 効 果 は 除 去 さ れ て

お り,「 そ れ ら を除 去 した と き に 残 っ た 変 動 」で す が,要

因 Ａ と要 因 Ｂ との 交 互 作 用

が 除 去 さ れ て い な い の で,２ つ の要 因 の 効 果 を除 去 した 残 差 に な っ て い る と は い え な い の で す.い

い か え る と,検 定 法 を,「 誤 差 の 評 価 値 とみ られ る 分 散 を 分 母 に と っ た

表5.7.5(d) 

分 散 分 析 表for例5.6.3

Ｆ 比 の 分 母 は 交 互 作 用 の推 定 値 だ が,交 互 作 用 は 存 在 し な い と仮 定 す れ ば,こ

れ

を 誤 差 とみ な し て よ い … よ っ て,そ

れ

を,Ｆ

比 の 分 母 とす る.

分 散 比 を 使 う形 」に 組 み 立 て られ な い の です.   しか し,こ の 問 題 の 実 験 計 画 で は,SX￨ABの

見 積 も り を求 め ら れ ませ ん.

  そ う い う計 画 を採 用 した の は,   「交 互 作 用 」は 存 在 しな い と想 定 して よ い と した た め で す.こ

の 想 定 を 入 れ れ ば,

  そ れ 以 上 に 残 差 を分 析 で き な い こ とか ら,   SX×A×Bを 「 誤 差 」 とみ な す こ とが で き ます.   し た が っ て,SX×A×Bを

自 由 度 で わ っ た 値 を 誤 差 分 散 とみ な し て(交 互 作 用 に 対 応

す る 分 散 で な く)Ｆ 比 を 求 め る こ と とす る の で す.   こ う考 え て 表5.7.5(c)を   以 上 か ら,要

書 き換 え た もの が,表5.7.5(d)で

す.

因 Ａ,要 因 Ｂ と も に 有 意 だ と判 定 さ れ ま した.

  こ こ で 例5.6.3に

つ い て ま とめ を して お き ま す.

例5.6.3の

実験 計画 の ポ イン ト

  観 察 単 位 数 は40   これ に 要 因 Ａ の ４区 分 ×Bの10区

分 を わ りあ て る

  同 一 条 件 の 観 察 値 は １組 ず つ 分

析   ２要 因 の 交 互 作 用 は 存 在 し な い と仮 定 す れ ば   Ａ の 効 果,Ｂ

 ⑧

の 効 果 を検 定 で き る

交 互 作 用 が 存 在 す る場 合 に は,そ

  そ の た め に は,そ

れ を推 定 す る こ とが 必 要 で す.

れ が で き る よ う に,観

察値 の求 め 方 … 実験 計 画 を たて てお き ま

  条 件AIとBJの

組 み 合 わ せ に つ い て,そ

れ ぞ れ ２つ 以 上 の 観 察 値 を求 め て お け ば,

基 礎 デ ー タXIJKに

も とづ い て

す.

  XIJK-XI00-X0J0+X000 を複 数 求 め られ ます か ら,   XIJ0-XI00-X0J0+X000の   XIJK-XIJ0の を そ れ ぞ れ 推 定 で き ます.す

平 方 和 と して 交 互 作 用 平 方 和 と して 誤 差 の 大 き さ な わ ち,

 交 互 作 用 と,そ れ を 考 慮 に 入 れ た 残 差 を分 離 で き る こ とに な りま す.  ⑨

例5.7.1例5.6.3に そ の た め に,要

つ い て ２要 因 の 交 互 作 用 を 検 出 で き る よ うに し た い,

因 Ｂ の 区 分 数 を ５に 減 ら して,Ａ

の ４区 分 ×Bの

５区 分 の 組 み

合 わ せ を そ れ ぞ れ ２回 ず つ 観 察 値 を求 め る もの と し て 次 の 結 果 を得 た.こ とづ い て,要

因 Ａ の効 果,要

因 Ｂ の効 果,交

表5.7.6 

例5.7.1の

例5.7.1の

れに も

互 作 用 の 有 意 性 を検 定 せ よ.

観 察 値XIJK

実験 計画 の ポイ ン ト

観 察 単 位 数 は40 こ れ に 要 因 Ａ の ４区 分 ×Bの

５区 分 を

そ れ ぞ れ １組 ず つ わ りあ て る 分

析 Ａ の効 果,Ｂ

の 効 果 を検 定 で き る

２要 因 の 交 互 作 用 が 存 在 す る場 合 そ れ も検 定 で き る ⑩

こ の 例 の 計 算 手 順 と 結 果 は,次

の 表5.7.7(a),図5.7.7(b)お

よ び 表5.7.7

(c)に 示 して あ り ます. 分 析 手 順 の フ ロ ー を 示 す 図5.7.7(b)を

図5.7.5(b)と

対 照 し て,検

定 のた めに 使 う

Ｆ 比 の 分 母 が か わ っ た理 由 を 把 握 し て くだ さ い. 表5.7.7(a)で

は,表5.7.5(a)の

の 平 方 和 を 計 算 し て い ま す.交 は.こ

こ で 計 算 せ ず,他

場 合 に 交 互 作 用 を計 算 し た と こ ろ で,XIJK-XIJ0 互 作 用,す

な わ ちXIJK-XI00-X0J0+X000の

平方和

の 項 の 計 算 結 果 か ら 差 し 引 き 計 算 で 求 め て い ます(表5.7.7

(c)).   こ の 例 の 場 合 ２つ の 要 因 の効 果 と と も に,そ

れ ら の 交 互 作 用 の 大 き さSX×A×Bが 計

表5.7.7(a) 

図5.7.7(b) 

偏 差 平 方 和 の 計 算for例5.7.1

分 析 の フ ロ ーfor例5.7.1

表5.7.7(c) 

測 され て い ます.い

い か え る と,残

評 価 値 」に な っ て い ま す.し   表5.7.7(c)に

分 散 分 析 表for例5.7.1

差SX￨ABは

た が っ て,表

交 互 作 用 の 影 響 も除 去 さ れ た 「誤 差 の

の よ う に Ｆ 値 を 計 算 す る こ とに な り ます.

示 す よ う に,「 結 果 と して は,交

互 作 用 は 有 意 で は な か っ た 」の で す

が,「 存 在 す れ ば検 出 で き る分 析 方 法 を適 用 し て 検 出 で き な か っ た」の で す か ら,「 存 在 し て も検 出 で き な い 分 析 方 法 を適 用 して 検 出 で き な か っ た 」こ と と は,ち が い ま す.

5.8  実 験 計 画 にお け る ３ 条 件  ①

こ こ で,こ

れ ま で の 節 で取 り上 げ た い くつ か の 実 験 計 画 に 関 して,ま

とめの 説

明 を し ま し ょ う.   Fisherの  ②

３条 件 と よば れ て い る 「基 本 原 則 」で す.

例5.6.で

も例5.7.1で

も,要

因 Ａ の 効 果 を 推 定 す る た め に 使 え る観 察 値 が

複 数 あ り,要 因 Ｂ の 効 果 を推 定 す る た め に 使 え る観 察 値 が 複 数 あ り ま す.   こ れ に 対 して,交 例5.6.3で

互 作 用 に つ い て は,例5.7.1の

場 合 複 数 の観 察 値 を使 え ます が,

は 「同 じ条 件 下 で の 観 察 値 が １つ しか な い た め に」推 定 で き ませ ん.

  した が っ て,要

因 の 効 果 を検 定 す る た め に は

  同 一 条 件 下 で の観 察 値 を複 数 求 め て お く こ とが 必 要(条 件 １) で す.こ

れ が,実

験 計 画 に お い て,考

慮 に 入 れ る べ き条 件 の ひ とつ で す.

  各 条 件 に 対 応 す る く りか え し数 は,例5.7.1で   こ れ は,Ｆ

は 同 数 に し て あ り ます.

検 定 を適 用 す る た め に 必 要 と さ れ る 前 提 で す が,も

う一 歩 進 め る と,

「 観 察 単 位 数 が 不 ぞ ろ い だ と,観 察 値 そ の もの で の 差 と,観 察 値 数 の 差 に よ る影 響 が 分 離 で き な い 」た め で す.   し た が っ て,同   ◇ 注3.5節

一 条 件 下 で の観 察 値 の 数 は そ ろ え て お く方 が よ い の で す.

の分 析 で は,観 察値 を求 め た 後 に,そ の値 を参 照 して要 因 Ａ,要 因 Ｂ を 区 分

け し ま した.こ の た め,各 組 み合 わせ 区 分 に 属 す る観 察 値 数 は 同数 とな る とは 限 りませ ん.こ の ち が い が あ る ため,3.5節

の 分 散 分析 表 で は,決 定 係 数 に よ る評 価 に と どめ,Ｆ

検 定 まで は進 まない の です.  別 の 言 い方 をす る と,こ の 節 の手 法 で は,想 定 され た区 分 につ いて そ の効 果 を判 定 す る こ と を問 題 に して い る のだ か ら,分 析 の過 程 に入 る前 に定 め て お か ね ば な らな い の です. 区 分 の仕 方 を見 出す こ とを分析 の 目的 とす る場 合 とち が う こ とに注 意 しま し ょ う.

 ③

ま た,観

察 値 は,ど

の 要 因 が わ り あ て られ た も の も,同 一 条 件(わ

た 要 因 の ち が い 以 外 の 条 件)下 で 求 め るべ き です.こ   しか し,実 際 の 観 察 で は,そ 使 う材 料,方

法,実

れ は,当

りあ て られ

然 の こ と で す(条 件 ２).

れ を ど こ まで 実 現 で き るか が 問 題 に な りま す.実

験に

験 実 施 の 環 境 な ど,大 小 は と もか く,種 々 の 条 件 が 影 響 して き ま

す.   実 験 に あ た っ て は,で

き る だ け これ らの 条 件 を一 定 に た もつ よ うに し ま す.

  そ の よ う に し て も残 っ て い る細 か い相 違 に つ い て は,ラ

ン ダ ム に 選 ぶ こ とに よ っ て

結 果 に 対 す る か た よ っ た 影 響 を 避 け る(条 件 ３)… こ れ が,基   こ れ らが,②

に あ げ た 条 件 １と合 わ せ て,Fisherの

本 的 な 考 え 方 で す.

３条 件 と よ ば れ て い ま す.

実 験 計 画 に お い て 考 慮 す べ き ３条 件 １.く

りか え し

要 因 の 効 果 を検 定 す るた め に は 同 一 条 件 下 で の 観 察 値 を複 数 求 め て お く こ とが 必 要. ２.局  

所 管理 可 能 な 限 り条 件 を そ ろ え て 観 察 す る.

３.ラ

ン ダ ミゼ ー シ ョ ン

 

制 御 で き な い 差 異 が か た よ り を もた ら さ な い よ う観 察 対 象

 

に対 す る実 験 条 件 の わ りあ て を 「ラ ン ダ ム 」に 行 な う.

  「 局 所 管理 」に も限 度 が あ り ます か ら,「 ラ ン ダ ミゼ ー シ ョン 」が 必 要 で す.し

か し,

「ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン」に よ っ て か た よ り をお さ え られ る に し て も,実 際 の 観 察 値 は, か た よ っ た 結 果 に な るの で,観

察 値 の 数 を 増 や す こ と が 必 要 で す.し

し」を 増 や す こ とに よ っ て,「 局 所 管 理 」が 難 し くな る.だ ン 」を適 用 す る …

とい う形 で,３ 条 件 を 同 時 に考 慮 して 「 実 験 を計 画 す る」の で す .

  ④  観 察 値 を求 め た 後 の 処 理 手 順 は,実 と,実 験 計 画 は,観

か し 「く りか え

か ら,「 ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ

験 計 画 に よ っ て 決 ま り ま す.い

察 値 の 求 め 方 を決 め る と と もに,観

いか える

察 結 果 の 処 理 手 順 も決 め る の

です.   「実 験 の 計 画 に 問 題 が あ っ た 」 と後 で 気 づ くこ とが あ る で し ょ う.そ

の 場 合 に,臨

機 応 変 に 扱 い 方 を考 え る こ と は 「避 け るべ き こ と」で す ．   「分 析 の過 程 に 入 っ て か ら,判 断 を入 れ る こ と を避 け る 」,す な わ ち,す

べ て を客 観

的 な 手 順 で 進 行 させ る と い う趣 旨 で す.   「観 察 結 果 に も とづ く判 断 を一 切 入 れ る な 」 と ま で は い い ませ ん が,「 や む を え な い 場 合 に 限 っ て 認 め られ る」扱 い だ と心 得 ま し ょ う.乱 用 す る と … た と え ば,自 都 合 の よ い観 察 結 果 を選 ん で 説 明 を組 み 立 て る … こ れ で は,実

説に

証 した こ とに は な り

ませ ん.   そ こ ま で は し な くて も,「 結 果 を み て 分 析 方 法 を決 め る 」 と,こ り ます か ら,注 意 せ よ と い うこ と で す.

うな る可 能性 が あ

  こ う い う こ とに き び し い 問 題 分 野 で は,実 性 を重 ん じ る た め に,次

験 の 仕 方 と そ の 結 果 の 分 析 に お け る客 観

の よ うな 処 置 が 要 求 され ます.

  実 験 と分 析 の 手 順 を あ らか じめ は っ き り決 め て, 「計 画 書 」(プ ロ ト コー ル)を 用 意 して お き, そ れ か ら外 れ た こ とは し な い …  

「こ う だ っ た ら こ うす る 」と い う形 の 処 理 も, 計 画 書 に 用 意 して あ っ た 範 囲 に 限 る.

  た と えば 薬 品 の効 果 を確 か め る た め の 実 験 で は,こ

の こ とが き び し く要 求 さ れ て い

ます.  ⑤

ま た,た

と えば 薬 の 効 果 を 判 定 す る た め に は,薬

そ の もの の 効 果 に よ っ て 治 癒

した 場 合 と,自 然 に 治 癒 し た 場 合 な ど を 識 別 し な け れ ば な ら な い の で,実 験 対 象 者 を ２群 に わ け,一

方 の 群 に は そ の 薬 を投 与 し(実 験 群 と よ ぶ),他

方の群 には そ れ を投 与

しな い(対 照 群 と よ ぶ)状 態 に して 経 過 を観 察 し比 較 し ま す.   こ の 場 合,観

察 対 象 者 に は 自分 が ど ち らの ケ ー ス か を知 らせ な い,観

相 手 が ど ち らの ケ ー スか を知 らせ な い … こ うい う状 態 に して,経

察実 施 者に も

過 を観察 す る措 置

を 「ブ ラ イ ン ド化 」 と よ ん で い ま す.「 実 験 群 す な わ ち 効 果 が 認 め られ る は ず,対

照群

す な わ ち効 果 は 認 め られ な い は ず 」 とい う予 断 に 影 響 さ れ な い よ う に す る た め の 措 置 で す.  

ブ ラ イ ン ド化

実 験 の 目的 か ら条 件 を か え る場 合 に も そ の ち が い を 秘 匿 す る 形 で観 察 を進 め る.   ⑥  3.5節 の 分 析 で は,結

果 をみ て 分 析 を 進 め る形 式 を採 用 して い る た め 客 観 性 に

欠 け る とい う批 判 が あ り そ う で す が,観

察 値 の もつ 「情 報 を客 観 的 に 拾 い 出 す 」 と い

う原 理(パ ー シ モ ニ イ)に も とづ い て 分 析 手 法 が 組 み 立 て ら れ て い る の で す.   こ の 原 理 に も とづ く分 析 手 法 を 「探 索 的 デ ー タ解 析 」と よ ん で い ま す.   こ れ に 対 して,こ

の 章 の 分 析 手 法 は,想

定 され た 仮 説 の 検 証 を 目的 とす る場 合 に あ

た り ます か ら,「 検 証 的 デ ー タ解 析 」と よば れ ます.   あ らか じめ 計 画 を た て て 観 察 値 を 求 め る 「実 験 」が 可 能 な分 野 で は,探 解 析 の 考 え 方 を採 用 す べ き で す が,利 野 で は,検

索的 デー タ

用 で き る情 報 の 範 囲 で考 え ざ る を え な い 問 題 分

証 的 デ ー タ解 析 の 考 え 方 を採 用 す る こ と に な りま す.

  一 般 に は,ま

ず 現 実 を把 握 し,現 実 を 説 明 す る仮 説 を 立 て て,次

否 を検 証 す る と い う運 び 方 で す か ら,探 け る の で す.

に,そ

の仮 説の 当

索 的 手 法 と検 証 的 手 法 を場 面 に 応 じて 使 い わ

探 索 の場面 と検証 の場 面 を区別 す る

◇ 注

 

デー タの求 め方 も分析 の仕 方 も

 

場 面に よって使 いわけ るこ とが 必要

探 索 的 デ ー タ 解 析,検

confirmatory

data

analysisと

証 的 デ ー タ解 析 は,そ よ ば れ て い ま す.EDA,

れ ぞ れexploratory CDAが

data

analysis,

そ れ ぞ れの 略称 です .

偏 差,残 差,誤 差   こ れ らの 用 語 は,そ

れ ぞ れ や や ち が っ た ニ ュ ア ン ス で 使 わ れ て い ます.

  あ る 基 準 値 か らの 差 を 「偏 差 」 と了 解 し ま し ょ う.「 標 準 偏 差 」の 偏 差 は,こ

う

い う意 味 で す.   基 準 は,デ

ー タ の 変 動 を 説 明 す る た め に 想 定 さ れ,計

想 定 さ れ た 基 準 の 有 効 性 を 計 測 す る た め に,基

測 され ま す.そ

う し て,

準 値 か ら の 差 を み る 場 面 で は,

「基 準 で 説 明 され ず に 残 っ た部 分 」 とい う意 味 で 「残 差 」 と い う呼 び 方 を し ます. 基 準 の 選 び 方 を含 め て考 え る場 面 で の 用 語 で す.   「 誤 差 」と い う用 語 は,実 い う 意 味 で 使 わ れ ます が,制

験 あ るい は観察 に お いて 制御 の 限 界 を こ え る変動 と 御 し きれ ず に残 っ た変 動 す な わ ち 残 差 と 了 解 して よ

い で し ょ う.統 計 手 法 の 組 み 立 て で は,残 差 と誤 差 を使 い わ け す る 必 要 は あ りま せ ん が,仮

説 検 定 の 場 面 で は,「 種 々 の 基 準 に 対 応 す る 残 差 の う ち,最

の 」,す な わ ち,こ

小の も

れ 以 上 は 減 ら し よ うの な い状 態 に な っ た もの を 「誤 差 変 動 」と

み なす と い う形 で 使 い わ け し ます.

問題 ５

問 ｌ  (1)  5.1∼5.3節

の 例 示 で は,食

費 支 出 Ｘ の 変 動 要 因 と し て 世 帯 人 員Ａ

と収

入 Ｂ を そ れ ぞ れ ３区 分 し,３ 区分 間 の 差 を み る 形 で そ れ ぞ れ の 有 意 性 を 判 定 し た が,分

析 を精 密 化 す る た め に,(a)Ａ

を ４区分 に す る 案,(b)Ｂ

を ４区 分 に

す る 案 の い ず れ か 一 方 を 取 り上 げ て,表5.1.2,表5.1.4,表5.2.3,表5.2.4, 表5.2.5を

改 め よ.

  (2)  Ａ の 効 果 を み る た め の Ｆ 比 が ３ と お り(表5.1.2,表5.2.3,表5.2.4) あ る が,そ

れ ぞ れ の 意 味 の ち が い を 説 明 せ よ.

  プ ロ グ ラ ムTESTH6を

使 う こ と.こ の 問 題 用 の デ ー タが 例 示 用 と し て 用 意 さ

れ て い る. 問 ２  12人 の被 験 者 に 対 して １週 間 の ダ イ エ ッ ト処 方 を適 用 し た 結 果,次

の体 重 減

少 （ポ ン ド）が 観 察 され た.  3.0

1.4

0.2

-1.2

  (1)  こ の 結 果 に よ っ て,体

5.3

1.7

3.7

5.9

0.2

3.6  3.7

2.0

重 減 少 が 達 成 さ れ た とい え るか.

  (2)  １ポ ン ド以 上 の 体 重 減 少 が 達 成 さ れ た とい え るか.   注:仮 説 検 定法 に関 す る説 明お よび適 用 の た め にプ ロ グラムTESTH1∼TESTH3が 用 意 され て い ます.こ の 問題 では,ま ず,TESTH1を

使 ってみ ま し ょ う.

 どの プ ロ グ ラ ム で も,「説 明 を表示 しな が ら進 行 させ ます か」 と表 示 され ます か ら,Ｈ

と入 力 して くだ さい.ひ と とお り説 明 が終 わ った ら,使 い方 に応 じて指 定 す

る箇所 が あ ります か ら,そ れ に応 じて入 力 して い くと,計 算 が進 行 し結 果 が 表示 さ れ ます. 問 ３  プ ロ グ ラ ムTESTH2,TESTH3も

同様 に 使 え る が,適

ど れ を 使 うか を選 択 す る こ と が 必 要 と な る.そ み,各

プ ロ グ ラ ム の ち が い を 把 握 せ よ.ま

用 す る 場 面 に 応 じ て,

れ ぞれ の プ ログ ラ ム の説 明 を よ

た,5.5節,5.7節

の例 示 につ いて 計

算 で き る こ と を確 認 せ よ.   注:問

３∼問 ６で は,ど の プ ロ グ ラム を使 うか を示 し ませ ん か ら,問 題 ご とに 判 断 し

て くだ さ い. 問 ４  次 は,あ

る60歳

の 男 性 に つ い て,毎

圧 を 調 べ た 結 果 で あ る. 表5.A.1

日 の 起 床 時 の 血 圧 と,同

じ 日の 夕 刻 の 血

  (1)  こ れ に よ っ て,起

床 時 と 夕 刻 の 血 圧 に 差 が あ る とい え るか.

同 じ 日に つ い て 起 床 時 の値 と夕 刻 の 値 が 対 に な っ て い る が,そ

の こ と を考 慮 に 入

れ て 例5.6.2の

扱 い をす るか を考

扱 い を す るか,そ

の こ と を考 慮 せ ず 例5.6.1の

え よ.   (2)  例5.6.1の

扱 い を し た理 由 ま た は 例5.6.2の

問 ５  夏 休 み に 補 習 授 業 を行 な い,そ

扱 い を した 理 由 を 説 明 せ よ.

の 前 後 の 成 績 を 比 べ た結 果 が 次 の 表 で あ る. 表5.A.2

  (1)  こ れ に よ っ て,補

習 授 業 の 効 果 が あ っ た と い え る か.な

お,補

習前 後 の

問 題 の 難 易 は ほ ぼ 同 じ とい え る もの とす る.   (2)  補 習 前 の 成 績 が 下 位 の もの ７人 に つ い て み る と ど うか.   (3)  補 習 前 の 成 績 が 上 位 の もの ７人 に つ い て み る と ど うか.   (4)  補 習 が 「下 位 の もの を 引 き上 げ る こ と 」が 目的 だ と い う こ と を考 慮 に 入 れ る と(1)(2)(3)を

通 じて ど う い う結 論 を下 す べ きか.

問 ６  5.7節 の 例 示(表5.7.4,表5.7.6)に

つ い て は,プ

ロ グ ラ ムTESTH5に

て 計 算 で き る こ と を確 認 せ よ.そ の た め に 必 要 な デ ー タは,例

よっ

示 用 として用意 さ

れ て い る.   注:以 下 の 問 いで は,プ ロ グ ラムTESTH6を

使 い ます が,そ の ため に は,仮 説 検 定

に よ って対 比す る区分 を表 わす 変数 をデ ー タ本 体 と と もに 記録 した デー タセ ッ トを 用 意 して お き ます.た とえ ば,問 ７につ い ては デ ー タ フ ァイ ルTESTH_Q7を して くだ さい. 問 ７  表5.A.3は,米

の 品種 ４種 の 収 穫 量 を,

表5.A.3

ラ ン ダ ム に 選 ん だ ４つ の 圃 場 を使 っ て 調 べ た 結 果 で あ る.   こ れ に よ っ て,品

種 に よ る差 の 有 無 を検

定 せ よ. 問 ８  ４ と お りの 加 工 法 に よ る製 品 の 強 度 を比 較 す る た め,そ て,表5.A.4の

れ ぞ れ ４回 の 実 験 を行 な っ 結 果 を得 た.

  こ れ に よ っ て,「 加 工 法 に よ る 差 」が 認 め ら れ る か.   な お,実

験 に 用 い る材 料 は,同

じ種 類 の

も の を ラ ン ダ ム に 選 ん で い る も の と す る. ま た,実 験 の 実 施 順 は,結 と仮 定 で き る もの とす る.

果 に影響 しない

表5.A.4

参照

問 ９  問 ８の 実 験 に お い て,実

験 の 実 施 順 が 影 響 す る と い う指 摘 が あ っ た.こ

の指摘

に 答 え る た め に,「 加 工 法 に よ る差 」 と と もに 「実 施 順 に よ る差 」の 有 無 を 検 定 せ よ.な

お,「 加 工 法 と実 施 順 の 交 互 作 用 は な い 」 と仮 定 で き る もの とす る.

問10  問 ９に お い て 「交 互 作 用 な し」 と い う仮 定 を受 け 入 れ に く い の で,実

施 順 に関

して,１ 回 目 と ２回 目 の 差,３ 回 目 と ４回 目 の 差,５ 回 目 と ６回 目 の 差 は な い と み な す と,「 加 工 法 ４区 分 」,「実 施 順 ３区 分 」,「同 じ条 件 で の く りか え し ２ 回」 の 実 験 結 果 と し て 扱 う こ と が で き る.こ

う して,「 加 工 法 に よ る差 」,「実 施 順 に

よ る 差 」,「交 互 作 用 」の 有 無 を検 定 せ よ. 問11  問 ８の実 験 計 画 に お い て,表5.A．5の

よ うに 材 料 の 種 類C1,C2を

わ りつ け て

あ っ た も の とす る.   こ れ に よ っ て,「 加 工 法 に よ る差 」,「材 料 に よ る差 」,「両 者 の 交 互 作 用 の 有 無 」 を検 定 せ よ.

表5.A.5

ヒン ト:基 礎 デ ー タ を Ａ と Ｃの 組 み合 わせ 表 の形 に 書 き換 えた上,計 算 す れ ば よ い. 問12  問11に

お い て 実 験 の 実 施 順 は 結 果 に 影 響 しな い も の と仮 定 し た が,小

響 が あ り う る場 合 を考 え て,材

料 の わ りつ け 方 を改 め よ.

  ま た,そ れ に と もな っ て,TESTH6を を問12用 問13オ

さい影

使 う ため の デ ー タ フ ァ イルTESTH_Q11

に 改 め よ.

ー ブ ン で 肉 を ロ ー ス トす る た め の 所 要 時 間 Ｘ を,次

の ２種 の 条 件 の 組 み 合

わ せ ６ と お りに つ い て 比 較 す る実 験 を行 な っ た. Ｘ に 対 す る Ａ,Ｂ の 効 果 を 分 析 せ よ. 表5.A.6実

験 条件 の わ りあ て

A1:オ A2:プ

ー ブ ン を プ リ ヒ ー トす る リ ヒー トし な い

B1:生

肉

B2:冷

凍 肉

B3:12時

間 解 凍

B4:24時

間 解 凍

表5.A.7 

実 験 結 果for要

因A1

表5.A.8 

実 験 結 果for要

因A2

問14  仮 説 検 定 の論 理 に お け る 「前 提 」 と 「仮 説 」の ちが い を 説 明 せ よ. 問15  仮 説 検 定 の論 理 に お い て 「 有 意 差 あ り」 と い う語 を 使 い,「 差 あ り」 と い う語 を 使 わ な い理 由 を説 明せ よ. 問16  仮 説 検 定 に お い て 「 有 意 差 あ り」と 判 定 す る基 準 と し て 統 計 量 の 分 布 の5%点 を使 う こ とが 多 い が,こ

れ に 対 して 「1%点 を 使 う と,よ

り精 密 な 検 定 を行 な っ

た こ と に な る」 と い う言 い 方 は 正 し いか.   正 し い あ る い は 正 し くな い とす る理 由 も,簡

明 に述 べ よ.

問17  仮 説 検 定 を適 用 す る た め の 観 察 値 の 求 め 方 に 関 して,   (1)「 ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン」 が 必 要 と さ れ る理 由 を説 明 せ よ.   (2)「 局 所 管 理 」が 必 要 と さ れ る理 由 を 説 明 せ よ.   (3)「

く りか え し」 が 必 要 と さ れ る理 由 を説 明 せ よ.

問18  観 察 値 Ｘ の 平 均 値 μ に つ い て μ=μ0ま た は μ=μ1の い ず れ か で あ る と想 定 で き る もの とす る.こ

の場合 につ い て   P(X＜C)=α,P(X＞C)=β

 

を み た す よ う に Ｃ お よ び 観 察 値 数 Ｎ を 定 め う る こ と を 示 せ.た 布 に つ い て 正 規 分 布N(μ,σ)を   注:こ の場合 は,μ=μ0か

想 定 で き る もの とす る.ま

だ し,Ｘ

の分

た,σ は 既 知 とす る.

μ=μ1か を判別 す る問題 として の扱 いに な る.

６混 同要 因へ の対 処

  ２つ の要 因Ａ,Ｂ の 関係 を み よ うと し てい るの だが,デ ー タの上 で はＡ ,Ｂ に第 三 の要 因 Ｃ が 関与 して い る た めＡ,Ｂ の 関 係 が 適正 に把 握 で きない … そ うい うと き には,Ａ,Ｂ

の 関 係 の 有 意 性 を検 定 した り,説 明

しよ う とす る前 に,ま ず,Ｃ の 効 果 を補 正 す る こ とが 必要 で す.こ の 章 で は,そ の た め の方 法 を説 明 しま す.

6.1  混 同要 因 へ の 対 処   ①  こ の 章 で は,次

の よ うな問題 を扱 い

表6.1.1 

３社 の 給 与 水 準 比 較

ます.   「右 の 表 に よ っ て,甲

社 と乙社 の

給 与 水 準 を比 較 せ よ」   甲社 ・乙 社 の 比 較 だ か ら,そ れ ぞ れ の 社 全 体 の 数 字 す な わ ち26.4,28.3に

注 目 し,

「乙 社 の 方 が 高 い 」と い っ て よ い で し ょ う か.

丙 社 の 数 字 につ い て は 後 述.ミ

  問 題 点 を 明 らか に す る ため に,も

う少 し

ス プ リン トで は

あ りませ ん.

つ け 加 え ま し ょ う.   年 齢 区 分 別 に わ け た 数 字 の 方 をみ る と,ど の 年 齢 で も 「甲 社 の 方 が 高 い 」 と い う結 果 に な っ て い ます.   「全 体 で み る と 乙 社 が 高 く,各 区 分 で み る と 甲社 が 高 い 」 と な っ て い る こ と に 注 目 して くだ さ い.こ

の 「一 見 矛 盾 した 結 果 」を ど う理 解 す れ ば よ い の で し ょ うか.

  も し年 齢 別 の 数 字 が 集 計 さ れ て い な か っ た とす れ ば,「 乙 社 の 方 が 高 い と い う結 論 が 疑 念 を もた れ る こ と な く信 じ ら れ て し ま う」で し ょ う.   そ れ で よ い で し ょ うか.

 ②  問 題 点

  こ の 表 に は 表 示 し て あ り ませ ん が,両

な っ て い る の か を確 認 す る こ とが 必 要 で す.も

社 の従業 者 の年 齢構 成が ど う

し,乙 社 の 年 齢 構 成 が 甲社 と比 べ て 高

くな っ て い た とす れ ば,  高 齢 者(給 与 の 高 い 階 層)が 多 い と い う理 由 で, 同 じ年 齢 層 ど う し を比 べ る と 甲社 の 方 が 高 くて も 全 体 で み た平 均 の 数 字 は,乙

社 の 方 が 高 くな る.

こ う い う こ とが あ りえ ます.   例 示 の 表 の 場 合,両

よ う に な っ て い ま す.こ 6.1.1の

表6.1.2 

社 の年 齢構 成 は右 の

３社 の年 齢 構 成

の こ と か ら,表

よ う な 数 字 が 出 て き た の で す.

  念 の た め 次 の 計 算 を実 行 して,全

体 でみ

た 平 均 値 が 年 齢 別 の 数 字 の 平 均 値(こ こ で は 年 齢 別 人 数 を考 慮 に 入 れ た 加 重 平 均 値) と し て 求 め ら れ る こ と を確 認 し て く だ さ い.

 甲 社:

15.0×40+24.0×20+32.0×20+…=26.4

 乙社:

14.2×25+22.2×25＋30.0×20+…=28.3

  この種 の統 計表 では,全 体 でみ た平均 値 は,内 訳 区分 でみ た値 の単純 な平 均値 に は なって いな いのが普 通 です.す なわ ち

と な っ て い な い の で す.   こ の 場 合,甲

社 ・乙 社 の 給 与 の 平 均 値 比 較 を,「 年 齢 別 構 成 の ち が い 」が ゆ が め て い

る わ け で す.   ③  こ う い う事 態 は こ の例 に 限 ら ず,よ

くみ ら れ ま す.し

た が っ て,こ

う い う 「ゆ

が み 」を 避 け る 方 法 を 一 般 化 し て 考 え る こ と と しま し ょ う.  

比 較 した い 指 標 を Ｘ(例 示 で は 給 与 水 準),

 

比 較 し よ う と す る 区 分 をA1,A2,…

（ 例 で は 甲社 ・乙社 ）

と し ま し ょ う.   "分 析 の 目 的"は,Ｘ   しか し,Ｘ

とＡ の 関 係 で す.

の 大 小 に 影 響 を も た らす 他 の 要 因 Ｃ(例 で は 年 齢)が あ っ て,こ

に 関 し てA1,A2,…

が 等 質 と は い え な い 場 合,Ｘ

の 差 は,Ａ

に よ る も の か,Ｃ

の要 因 によ

る もの か 判 別 で き ませ ん.   こ うい う場 合,Ｃ

を 混 同要 因 と よ び ま す.分

析 の 目的 が Ｘ とＡ の 関 係 で あ り,Ｃ

は 目的 外 で あ っ て も,そ れ が 重 な っ て 観 察 さ れ る が ゆ え に,"分 を考 慮 に 入 れ な け れ ば な ら な い の で す.

析 手 順 と し て"は,Ｃ

被 説明変 数 Ｘ の値 の変動 に対 し

⇒ こ れ が 目的

説明 要 因 Ａが ど う効 くか を計測 混同要 因 Ｃも重 なって い る とき    Ｃ を 無 視 す る と,そ せ ませ ん.な

の 効 果 がA⇒Xの

⇒ こ こ まで含め て分析

効 果 の 中 に 混 じ り こ み,正

ん らか の 対 応 策 が 必 要 で す.④

しい結 論 が 出

以 降 で い くつ か の対 応 策 を説 明 し ま

す.  ◇ 注   表6.1.1の 例 示 にお け る丙社 は,ど の 年齢 層 でみ て も甲社 と同 じ給 与水 準 に な って い ま す.し か し,表6.1.2に 示 す よ うに 年 齢 構 成 が 異 な る た め ,全 体 で み る と,26.4, 30.0と ちが っ た数字 に なっ て い ます.  

つ ま り,「差 が な いの に差 が つ く られ た 」結 果 に な って い るの で す.

 ④

混 同 要 因 へ の 対 処 法―

１:区 分 け

混 同 要 因へ の 対 処 の仕 方 に は,２ つ の 方 向 が あ り ます. 第一は  年 齢 構 成 が 異 な るか ら 比 較 で き な い な ら   年 齢 区 分 別 に わ け た 数 字 を使 え(わ け て い な い 数 字 は 使 う な) とい う考 え 方 で す.一 般 化 して い う と,次 の よ うに せ よ と い う こ と で す .

  混 同要 因へ の対応― １ 混同要 因 に注 目して,比 較 対 象 を細 区分 して 各細 区分 ご とに比較 す る.   こ れ が,基

本 的 な考 え 方 で す.

  こ の 方 針 で 分 析 す る に は,Ａ

の 各 区 分 を,Ｃ

 Ａ の 効 果 を み る ス テ ップ を,Ｃ

で 区 分 け した デ ー タ を使 い ま す.

の各 区分 ご とに わけ て適 用 す るこ とに な りますか

ら,   Ｃ の 構 成 比 が Ａ の 各 区 分 で 異 な る と して も,   そ れ は,比

較 に関与 しない

こ と とな り ます.   Ａ と Ｃ の 組 み 合 わ せ 区 分 別 に Ｘ の 情 報 が 得 ら れ る な ら ば,こ い で す.   冒 頭 に あ げ た 例 で は,甲 社 の 方 が 高 い とい っ て よ い の で す.年

れ が 最 も簡 明 な 扱

齢 構 成 の ちが い の 影

響 を受 け て い る 「 全 体 で み た 数 字 」は無 視 して よ い の で す .誤 解 の 因 に な るか ら,「 全 体 で み た 数 字 は 表 示 す る な」 と い う意 見 も 出 る で し ょ う.   ⑤  た だ し,こ つ た め に は,多

の 方 法 で は デ ー タ を ２つ の 要 因 に よ っ て 細 分 す る た め,精

度 をた も

くの デ ー タ を要 す る こ とに な りま す .

  デ ー タ数 が 少 な い と き に は,細

分 す る こ とに よ っ て 「推 定 値 の ゆ が み を補 正 す る こ

と」 と,「 各 区 分 で の 評 価 値 の 精 度 を た もつ こ と」 とが トレ ー ドオ フ の 関 係 に な りま す

か ら,別 の 対 処 法(6.3節

で 説 明)を 考 え ね ば な ら な い の です.

 ◇ 注  「ゆ がみ 」とい う コ トバ を 「か た よ り」とちが う意 味 で 使 っ て い ます.か た よ り とお きか え て も意 味 が通 じます が,か た よ り とい う語 は,観 察値 と期 待 値(同 じ条 件 で く りか え し観 察 した ときに期 待 され る平均 値)と の差 と定 義 され て い ます.こ こ で い う 「ゆ が み 」 は,差 を もた らす 要 因 が存 在 して い る の に,そ れ に 気づ か ず に平 均 を求 め た こ とに よ って 起 きる もの です か ら,こ の テ キス トでは,用 語 をか え ま した.

6.2  直接 法 に よる 標 準 化  ①  混同要 因 への対 処法― ２:標 準化  混 同要 因へ 対処 す る第二 の考 え方は  年 齢構成 が ちが って 比較 で きな いの な ら  年 齢構成 が そ ろった とした と きの数 字 を計算 しよ う とい う考 え方 です.一 般化 してい うと   混 同要 因へ の対 応―２ 混 同要 因の影 響 を補正 した平均値 を求 め, そ れにつ いて分析 す る. と い う こ とで す が,補

正 の 仕 方 が 問 題 で,い

くつ か の 方 法 が あ り ま す.

  こ の 節 と次 節 で ２つ の 方 法 を説 明 し ます.   ②   直 接 法 に よ る標 準 化

そ の １つ が,以

下 に 述 べ る"直 接 法 に よ る 標 準 化"で

す.   Ａ の 区 分AIに

対 応 す る Ｘ は,そ

の 区 分 に 属 す る 人 々 の 値 の 平 均 値XIで

す が,

混 同要 因 Ｃ を考 慮 に 入 れ ね ば な らな い 状 況 下 で は,   XIが

「Ｃ に よ る 細 区 分CIJに

お け る平 均 値XIJ」 の

 平 均値 で あ るこ と を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.   す な わ ち,   XI=ΣNIJXIJ/NI で す か ら,XIの

差 異 につ い て

XIJの 差 異 

XIの

NIJの 差異 

差異

と,意 味 の ち が う２ と お りの 差 異 が 混 同 さ れ て い る こ と に な り ます.し

た が っ て,

あ る標 準 の ウ エ イ トN0Jを 想 定 し,上 の 加 重 平 均 を計 算 し な お す とい う方 式 で,対  

比 で き る よ う に,平

均 値 を補 正 し ます.す

XI*=ΣN0JXIJ/N0

を対 比 の た め の 指 標 と して 使 う こ と に す る の で す.

な わ ち,

この計 算 では XIJの 差異  XI*の

NIJの差異  とい う扱 い と な りま す.NIJの   こ れ を"標 準 化 平 均 値"と 比 に 使 え ませ ん か ら,"粗

差異

差 異 が 影 響 し な い よ う に す る と い う こ とで す . よ び ま す.こ

平 均 値"と

れ を 使 うべ き状 況 下 で は,XIは,適

よ び ま す.そ

う して,そ

切 な対

れ を補 正 す る 手 順 を,

標 準 化 と よ び ま す.  ◇ 注   加 重平 均 と ウエ イ ト に使 うウエ イ トWKの

区 分 Ｋ の 情 報XKの

加 重 平 均X=ΣWKXKを

求め るとき

選 び方 に つ い ては,次 の よ う な場 合 が あ ります.

 ａ. た とえば標 本 調 査 の 結 果 が年 齢 別 に求 め られ て い るが,調 査 対 象 者 の 年 齢 別 構 成 が 一 般 の年 齢 別構 成 と異 な るた め ,そ れ に見 合 う推 計 値 に す るた め に,ウ エ イ トをつ け る場合.  

ｂ.２ つ の集 団 の情 報 を比べ る場 合,そ れ ぞれ の 構 成(た とえ ば年 齢 別 構 成)が 異 な るこ との影 響 を避け るため に,あ る標 準構 成 を想 定 して,そ れ をウエ イ トとす る場 合 .

 

ｃ.あ る意 図 を もって 定め た ウ エ イ ト(た と えば,こ

うあ るべ きだ と い う 目標値)を 使 う

場 合.   ③  表6.1.1の

例 示 に お け る丙 社 を(実 在 の 企 業 で は な く),甲 社 並 み の 給 与 水 準,

乙社 並 み の 年 齢 構 成 を もつ 仮 想 企 業 だ と み ま し ょ う.す

る と,甲 社 ・乙 社 の 給 与水 準

を 比 べ る た め に は,実 在 の 甲 社 の か わ りに仮 想 し た 丙 社 を使 う … そ れ が,こ

の節 の

標 準 化 の 考 え 方 だ と い う こ とが で き ま す.   た だ し,標 準 の 年 齢 構 成 は,任

意 の 年 齢 構 成 で か ま い ませ ん.こ

れ を 「標 準 」 とす

る とい う観 点 で 決 め て よ い の で す.   ④ XIJの

か わ りに,あ

る標 準 区 分(I=1)に

お け るX1Jに

対 す る相対 比

 YIJ=XIJ/X1J を使 う場 合 も同 じ考 え 方 で,ど

の 区 分AIに

も共 通 す る ウ エ イ トW0Jに

よった加 重 平

均   YI*=ΣW0JYIJ を 求 め て 比 較 し ます.   Ｙ が 物 価,AIが

年 次 区 分 だ と す れ ば,品

目CJの

価 格XIJを

ウ エ イ トW0J(年

次

区 分 に 関 係 し な い ウエ イ ト)に よ っ た 物 価 指 数 を 求 め て 年 次 比 較 を す る 場 合 に あ た り ます.ま

た,AIが

地 域 区 分 だ とす れ ば 地 域 差 指 数 に あ た りま す.

  Ｙ が 死 亡 率,AIが

地 域 区 分 だ とす れ ば,年

齢 区 分CJご

とにみ た死亡 率 の加 重 平

均(あ る標 準 の 年 齢 構 成 を想 定 し た加 重 平 均)を 求 め て 比 較 す る場 合 に あ た り ます.   こ の よ うに,指

数 と よ ば れ て い る 指 標 は,こ

の 節 で 述 べ た 標 準 化 の 方 法 を適 用 した

もの に な っ て い ます.  ⑤  こ の 節 の 方 法 で は,C→Xの ま す が,C→Xの

効 果 そ の も の は,陽

効 果 が Ｘ の 比 較 に 影 響 し な い よ うに な っ て い な 形 で は み て い ませ ん.そ

れ が 目的外 だか ら

そ う した の で あ り,不 要 な Ｃ を表 面 化 せ ず,簡   これ が,こ

明 に 議 論 で き る こ とに な り ます.

の 方 法 の 利 点 で す.

  しか し,A→Xの

効 果 が Ｃ の 区 分 ご と に 著 し くち が う な ら,C→Xの

効 果分 析

を 目的 外 に お くこ と 自体 が 不 適 切 だ と い う こ とに な りま す か ら,前 節 の 方 法 で こ の 点 を検 討 す べ き で す.   この 前 提 を み た し て い る か ど う か は っ き り しな い と き に も,前

節 の 方 法 に よ る方 が

よ い で し ょ う.   こ う い う点 の 検 討 を す ま し て か ら そ れ が 妥 当 と み ら れ る場 合 に,A→Xの

関係 を

要 約 す る た め に こ の 節 の 方 法 を 使 う … こ う考 え るべ き で す.   ⑥  計 算 手 順

表6.2,1,表6.2.2は,直

接 法 に よ る 標 準 化 平 均 値 の 計 算 手順 と

そ の例 示 で す. 表6.2.1 

直 接 法 に よ る標 準 化 平 均 値 の計 算 フ ォ ー ム

表6.2.2 

直接 法 に よ る標 準 化 平 均 値 の 計算 例

  次 の 節 で 述 べ る 間 接 法 と比 較 す る た め に,使

わ な い 箇 所 も設 欄 し,使 わ な い数 字 を

括 弧 書 き して あ り ます.   例 示 に お け るA1,A2に に よ り,(27.1,26.1)に

お け る粗 平 均 値(26.4,28.3)が,混

  Ｃ の 各 区 分 別 の 数 字 に つ い て は,ど  A1で

同 効果 を補 正す る こ と

な り ま し た.大 小 関 係 が 逆 転 し て い ま す.

の 平 均 値＞A2で

の 区分 で も

の平均値

と な っ て い る こ とか ら,混 同 効 果,す た標 準 化 平 均 値 は,当   A1で

な わ ち,Ｃ

の 区分 別 構 成 比 の ちが い を補 正 し

然

の 平 均 値＞A2で

の平均 値

  A１ で の 平 均 値＜A2で

の平均値

とな る の で す.   粗 平均値 が

だ っ た の は,Ｃ

の 区 分 別 構 成 比 の ち が い に よ る も の だ っ た の で す.

  ⑦  多 くの 統 計 資料 に掲 載 さ れ て い る平 均 値 は,そ 応 す る値 に な っ て い ます.し

た が っ て,比

れ ぞれの集 団 区分 での構 成 に対

較 す るに は,構

標 準 化 平 均 値 を 計 算 し なけ れ ば な ら な い の が 普 通 です.そ 均 値 が 掲 載 され て い る場 合 も あ り ます.た め に は,雇

成 比 の ち が い に 注 意 して, う い う標 準 化 の な され た 平

とえば賃金 水準 の企業 間格差 を比較 す るた

用 者 の 年 齢 構 成 の 影 響 を補 正 し た デ ー タ を 使 うべ き場 合 が あ り ます か ら標

準 化 平 均 値 の 計 算 が 必 要 とな り ます.   ま た,時

系 列 デ ー タ の 場 合,標

い ます.構

成 比 自体 も変 化 し ま す か ら,５ 年 ご と に 更 新 し,標 準 化 平 均 を 計 算 し な お

す の が 慣 習 に な っ て い ます.こ

準 とみ ら れ る構 成 比 を 使 った 「指 数 」で 表 わ さ れ て

の 場 合 も,た

と え ば 特 定 の 年 齢 階 層 での 生 計 に 焦 点 を

あ て て 分 析 す る た め に 「当該 階 層 で の 構 成 比 」を ウ エ イ ト とす る指 数 に お き か え る と い う意 味 で 「標 準 化 平 均 値 」 を計 算 し な お す こ と も考 え られ ま す .

6.3  間接 法 によ る標 準 化  ①  こ の 節 の 方 法 も,前 節 と同 じ く  

比 較 し よ う とす る区 分AIの

 

構 成NIJ(混  

同 要 因 Ｃ の 区 分 別 構 成)が 異 な っ て い る の で

各 区 分 に 対 応 す る 平 均 値XIを

比較 で きない

 そ の 数 字 を補 正 して 比 較 で き る よ うに し よ う と い う問 題 を扱 う もの で す が,次

の 形 の"間 接 法"と

よば れ る方 法 を採 用 し ま す.

  混 同要 因へ の対応― ３ 粗 平均 値 に補正 率 を乗 ず る こ とに よって 混 同要 因の効 果 を補 正 す る   前 項 の 方 法 で は,こ

の 問 題 に 対 して,結

が)Ｃ に よ る 細 分 を行 な い,各

  そ れ が 可 能 な ら よ い の です が,た あ りま す.ま て,各

た,細

使 っ て い ま す.

と え ば デ ー タ数 が 少 な くて,細

分 で きない こ とが

分 され た デ ー タ が 集 計 さ れ て い な い 場 合 が あ り ま す.し

細 区 分 に 対 応 す る 数 字XIJを

  こ の た め,こ

果 と し て は 必 要 で な い(経 過 と し て は 使 う

細 区 分 に 対 応 す る数 字XIJを

使 わ な い でXIを

の 節 の 方 法 が 必 要 と さ れ る の で す.

補 正 す る 方 法 が 必 要 で す.

たが っ

  ②  こ の 方 法 の 要 点 は  ａ. Ｃ → Ｘ の 効 果 を補 正 す る補 正 率 を 求 め, そ れ を,粗 平 均 値 邸 に 乗 じ る方 針 を と る形 に な っ て い る こ と, お よび  ｂ. 補 正 率 を求 め る た め に,要 こ と(し た が っ て,ACの

因 Ｃ に よる区分 の な され て い な い デー タ を使 う 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す るXIJを

で 区 分 し た デ ー タX0Jを

使 わ ず,Ｃ

だけ

使 う こ と)

で あ り,次 の よ うに 数 式 表 現 で き ま す. X0=ΣN0JX0J/N0に N0Jの か わ りにNIJを X0（I） NIJ をN0Jに

=ΣNIJX0J/NIを

求め る と

お き か え た こ との 影 響 をX0/X0（I）で 評 価 で き る

よ っ て,C=X0/X0（I） XI×Cと   ③  計 算 手 順 

お いて

使 った

を補 正 率 と し して補正 す る

この 間 接 法 に よ る計 算 手 順(表6.3.1)と

計 算 例(表6.3.2)を,説

明 し ま す.   前 節 の 表(表6.2.1,表6.2.2)と

比 較 す る た め に,使

わ な い 箇 所 も設 欄 して,括

弧

書 き で示 して あ り ま す.   ａ. あ る標 準 的 な 給 与 水 準 を想 定 し ます(基 礎 デ ー タ の ２欄 目X0J,こ 区 分 ０,す な わ ち,甲 社 ・乙 社 の 平 均 を採 用 して い るが,そ

の例 では

れ 以 外 で も よ い).

 ｂ. こ の 区 分 １す な わ ち 甲社 が,「 そ の 年 齢 構 成 」N1Jの も と で こ の 「 標 準 賃金水 準 」X0Jを 適 用 し た ら,平 均 賃 金 は25.6に

表6.3.1 

な る.

間 接 法 に よ る標 準 化 平 均値 の 計 算 フ ォー ム

表6.3.2 

間接 法 に よ る標 準 化 平 均 値 の 計 算 例

 ｃ. い い か え る と,年 齢 構 成 を か え た(標 準 の 構 成N0Jか え た)こ とに よ る変 化 が26.9→25.6で し た が っ て,構 る.逆

成 をN0Jか

に い う と,構

らN1Jに

成 をN1Jか

ら 甲 社 の 構 成N1Jに

か

あ る. か え た こ と に よ る影 響 は25.6/26.9で

らN0Jに

あ

か え た こ と に よ る 補 正 率 は26.9/

25．6で あ る.   ｄ. 次 に 甲 社 に つ い て み る.た ら,そ

の 年 齢 構 成N1JがN0Jに

  ｅ. よ っ て,甲

社 の 平 均 賃 金X1(甲

年 齢 構 成N1JをN0Jに  

だ し,年 齢 構 成 に よ る影 響 を 消 去 し た い の だ か か わ っ た 場 合 を考 え る. 社 の 年 齢 構 成N1Jの

か え る た め に,補

も とで の 平 均)に 対 し て,

正 率26.9/25.6を

適 用 して

X1*=26.4×26.9/25.6

 とす る.   ｆ.こ れ が 甲社 の 値 の 補 正 値 で あ る.   ｇ.乙 社 に つ い て も同 様 に   X2*=28.3×26.9/29.1   こ うい う手順 に な っ て い ます.  ④  こ の 例 の 場 合,  

間 接 法 に よ る 補 正 結 果 は(27.7,26.2)

 

直 接 法 に よ る 補 正 結 果 は(27.7,26.1)

とほ ぼ 一 致 して い ます.   し た が っ て,結

果 と し て は ど ち らで も よ い こ とに な り ます が,間

接 法 で は,計

算例

中 の 括 弧 書 き した 数 字 が 使 わ れ て い な い こ と を確 認 し ま し ょ う.各 企 業 の 雇 用 者 の 年 齢別 賃 金 の 情 報 は 使 っ て い な い … 細 か い 数 字 を 使 っ て い な い の で す.日

本 の全 企業

で み た 年 齢 別 賃 金 は 統 計 書 に は 掲 載 さ れ て い ます が,企 業 別 に は 区 分 さ れ て い な い … そ うだ として も ,各 企 業 の 雇 用 者 の 年 齢 構 成 の 情 報 さ え あ れ ば,粗 平 均 を,比 較 可 能 な 数 字 に 補 正 で き る の です.

この 点 が,こ

の 節 の 方 法 の 利 点 で す.

6.4  指 数 にお ける標 準 化   ①  こ の 章 で 説 明 して い る標 準 化 は,種

々 の 分 野 で 常 用 され て い ます が,分

に 異 な る 用 語 が 使 わ れ て い る こ と も あ っ て,共 れ て い な い よ う で す.こ

の 節 で は,物

野ごと

通 す る 手 法 と して の 位 置 づ け が 意 識 さ

価 指 数 の 分 野 を例 に と っ て,標

準化 の手 法一般

との 対 応 関 係 を示 し て お き ま し ょ う.   ②  対 比 す る 区 分 が 時 点 で あ る 場 合 を考 え ま し ょ う.こ れ ま で の 節 の 記 号 で い え ば,XI(Iは

区 分 番 号)の 比 較 で す が,時

使 い,XTと

か くこ と に し ま し ょ う.

  こ の場 合 も,XTを

点 区 分 の 場 合 で す か ら,Ｉ の か わ り に Ｔ を

比 較 す るた め に,混

同要 因の 影響 を補 正 しなけ れば な ら ない こ

とが あ り ま す.   た とえ ば 物 価 指 数(総 合)XTは,種 標 で あ っ て,品

目Ｊ の 価 格XTJの

々 の 品 目別 物 価 の 動 き を 総 合 し て み る た め の 指 加 重平均

  XT=ΣWTJXTJ と して 計 測 し ま す.た ウ エ イ トWTJの

だ し,こ の 形 のXTで

は,各

変 化 と が 重 な る た め に,変

品 目 レベ ル で の 物 価XTJの

化 が み られ て も,そ

変化 と

れ を物価 の変 動 だ と

解 釈 で き ませ ん.   こ の た め,た

とえ ば,ウ

エ イ トWTJを

い い か え る と,直 接 法 に よ っ て,ウ

特 定 時 点 の 状 態W0Jに

固定 し て 計 算 し ます.

エ イ トの 変 化 の 影 響 を補 正 す る形

  XT*=ΣW0JXTJ を使 うの で す.   指 数 で す か ら,XT*/X0と ま す が,要

し,こ れ を 「ラ ス パ イ レ ス 方 式 」の 物 価 指 数 と よ ん で い

は,

  基 準 時 点 の ウ エ イ トを 使 っ た 加 重 平 均 です.  ③  こ の 他,「 パ ー シ ェ 方 式 」の 物 価 指 数 と よば れ る も の が あ りま す.こ

れ は,

比 較 時 点 の ウ エ イ トを 使 っ た 加 重 平 均 だ と説 明 さ れ て い ま す が,こ   こ の 節 で は,こ

ち ら は,補

れ らの 指 数 算 式 が,こ

足 し な い とわ か りに くい で し ょ う. の 章 で 取 り上 げ た ２つ の 標 準 化 方 式 に 対 応 し

て い る こ と を 説 明 し ま す.  ④  ラ ス パ イ レス 方 式 の 指 数ILは,WTJ,XTJな

ど を使 っ て

基 準 時 の ウ エ イ ト,比 較 時 の 平 均 価 格 基 準 時 の ウ エ イ ト,基 準 時 の 平 均 価 格 と表 わせ ます.  これ に 対 して,パ

ー シ ェ方 式 に よ る指数IPは

比 較 時 の ウ エ イ ト,比 較 時 の 平 均 価 格 比 較 時 の ウ エ イ ト,基 準 時 の 平 均 価 格 と定 義 さ れ て い ます.   こ れ ら の 定 義 式 を 次 の よ うに 書 き換 え て み ま し ょ う.

  そ れ ぞ れ 右 辺 の 第 １項 は,物

価XTJの

平 均 値 を 比 較 す る 指 数 の 形 で す が,WTJの

変 化 が 重 な っ て い ま す か ら,そ の 影 響 を補 正 し た い の で す.し

た が っ て,第

２項 が 補

正 係 数 だ と解 釈 で き ます.   そ の 上 で,第 接 法,間

２項 を6.2節,6.4節

の 計 算 フ ォー ム と計 算 例 と対 照 し て み れ ば,直

接 法 に お け る 補 正 係 数 に あ た る こ とが わ か り ます.

  し た が っ て,   ラ スパ イ レ ス 指 数 は,   直 接 法 に よ っ て ウ エ イ トの 影 響 を 補 正 し た価 格 水 準 指 数 であ り  パ ー シ ェ 指 数 は,  間 接 法 に よ っ て ウ エ イ トの 影 響 を補 正 した 価 格 水 準 指 数 だ と解 釈 で き ま す.  ⑤   この よ う に,物

価 指 数 論 とい う限 られ た 分 野 の 概 念 が,多

「 標 準 化 の 考 え 方 」に よ っ て,理

解 で き る の で す.

くの 分 野 に 共 通 す る

表6.4.1 

本章の要約

問題 ６

問 １  プ ロ グ ラ ムXACOMPは,テ

キ ス ト本 文 とほ ぼ 同 じ順 序 に,同

て 説 明 す る 形 に な っ て い る.ま 表6.2.2,表6.3.2の

ず こ れ に よ っ て,本

じ例 示 を 使 っ

文 の 説 明 を 復 習 せ よ.ま

た,

計 算 を確 認 せ よ.

  注:以 下 の 問題 中の 計 算 に この プ ロ グ ラム を使 う とき に は,適 用 す る手 法(直 接 法 か 間 接 法 か)を 指 定 す る とそれ ぞ れ に対 応す る 入力 画 面 が 表 示 され ます か ら,画 面 の ガ イ ド(入力 位 置 を示 す カー ソル)に し たが って 入 力 して い き ます.た だ し,計 算 自体 は 簡単 で あ り,電 卓 で も可 能 です. 問 ２  表6.2.2の

計 算 を 「区 分 １で の年 齢 構 成 」 を標 準 とみ な す 形 に 改 め よ.

問 ３  表6.3.2の

計 算 を 「区 分 １で の年 齢 別 平 均 給 与 」を 標 準 とみ な す 形 に 改 め よ.

問 ４  (1)  物 価 指 数(総 合)は,さ の 加 重 平 均 で あ る が,各

ま ざ ま な 品 目 に つ い て 調 べ た 価 格 指 数(個 別 指 数)

品 目の 購 入 量 の 変 化 を考 慮 せ ず に(特 定 年 次 の 状 態 が そ

の ま まつ づ く と仮 定 して)計 算 して い る.そ

れ は な ぜ か.

  (2)  そ こ で 仮 定 さ れ て い る購 入 量(ウ エ イ ト)は,個

々 の世 帯 の 属 性 に よ っ て

区 別 せ ず,１ つ の 共 通 な ウエ イ トを 想 定 し て い る.そ の こ とか ら くる 「利 用 上 の 注 意 点 」 を指 摘 せ よ. 問 ５  (1)  付 表I.1の

デ ー タ を使 っ て,総 合 指 数 が 各 費 目 区 分 の 指 数 の 加 重 平 均 に

な っ て い る こ と を確 認 せ よ.   (2)  特 定 の属 性 を もつ 世 帯(た と えば 世 帯 主 の 年 齢 が45∼49歳

の世 帯)で の 購

入 量 を ウ エ イ ト と して 計 算 しな お して み よ.   (3)(2)で

行 な っ た再 計 算 の 意 義 を説 明 せ よ.

問 ６  (1)  付 表I.1の

デ ー タ の うち1985年

分 の 総 合 指 数 に つ い て,付

表I.2に

示す

表I.2に

示す

1985年 分 の ウ エ イ トを使 っ て 計 算 しな お せ.   注:こ の 計 算 に よって,ウ エ イ トを変 更 した こ との 影 響 を評 価 で き る.   (2)  付 表I.1の

デ ー タ の うち1986年

分 の 総 合 指 数 に つ い て,付

1985 年 分 の ウ エ イ トを使 って 計 算 しな お せ. 問 ７  (1)  付 表 Ｊの デ ー タ を使 っ て,２ つ の 地 域 の 死 亡 率 を 比 較 せ よ. な お,比

率 も平 均 値 の 一 種 と み な す こ とが で き るか ら,本 文 に あ げ た 方 法 を そ の

ま ま使 う こ とが で き る.た だ し,粗 平 均 値,標 率,標

準 化 平 均 値 と い うか わ り に,粗

比

準 化 比 率 と い う呼 称 に お きか え る こ と.

  (2) 付 表 Ｊの 情 報 の うち 地 域 Ａ,Ｂ に つ い て は,年

齢区分 別 の数 字 が使 えな い

もの と し て扱 え. 問 ８  (1)  表6.A.1(a)の

形 式 の 情 報 に よ っ て,賃

す 指 数(大 企 業 を100と  計 算 に は,付

金 水 準 の 企 業 規 模 間 格 差 を表 わ

した 指 数)を 計 算 せ よ.

表D.1に

含 ま れ る デ ー タ の う ち,表6.A.1(a)に

該 当 す る部 分

を使 う もの とす る.  (2)(1)の

結 果 に よ っ て 賃 金 格 差 が 計 測 さ れ る か.計

測 の仕 方 の ど こに 問題 が

あ る か.  (3)  表6.A.1(c)の

形 の 集 計 表 に よ っ て,大

従 業 者 の 年 齢 構 成 を 比 べ て み よ.も とが 必 要 で あ る.ど

企 業,小

企業 におけ る

の よ う な 形 で考 慮 に 入 れ る か. 表6.A.1(b)

表6.A.1(a)

  (4)  表6.A.1(b)の 計 算 に は,付

企 業,中

しそ れ に 差 が あ る と,そ れ を考 慮 に 入 れ る こ

情 報 を使 っ て,賃

表D.1に

表6.A.1(c)

金 の 企 業 間 格 差 を表 わ す 指 数 を求 め よ.

含 ま れ る デ ー タ の う ち,表6.A.1(b)あ

る い は 表6.A.1

(c)に 該 当 す る も の を使 う もの とす る.  

(5)  表6.A.1(b)の

情 報 の う ち 網 掛 け の 部 分 が 利 用 で き な い もの と す れ ば,

ど うす る か.表6.A.1(c)は,利   計 算 に は,付  

表D.1に

用 で き る もの とす る. 含 ま れ る デ ー タ の う ち,表6.A．1(b)お

よ び 表6.A.1

(c)  に該 当 す る もの を使 う も の と す る.

問 ９  (1)  付 表D．1,付 円)か ら26.40(千

表D.2に

よ る と,大

企 業 の 平 均 賃 金 が10年

間 に14.75(千

円)に か わ っ て い る とい う数 字 に な っ て い る が,年

齢構 成 もか

な りか わ っ て い る よ う で あ る.   年 齢 構 成 の 影 響 を補 正(直 接 法 に よ っ て)し た数 字 を求 め て 比 較 せ よ.  年 齢 構 成 の 影 響 を 間 接 法 に よ っ て 補 正 し た 数 字 を求 め て 比 較 せ よ. 問10(1)表6.A．2は,女 る.こ

性 の 死 亡 率 を未 婚 者 と有 配 偶 者 とに わ け て み た 数 字 で あ

の 数 字 をみ て,"死

亡 率 が 高 く な る か ら結 婚 しな い"と い う 人 は い な い だ

ろ う.そ れ に し て も,死 亡 率 に 差 が あ る か ど うか 気 に な る だ ろ うか ら,合 理 的 な,そ

う して 比 較 可 能 な数 字 を 求 め よ(付 表 Ｋ の 数 表6.A.2 

字 を 利 用 す る こ と).   (2)  付 表 Ｋ で は,死

別,離

別 の 区 分 も掲 載 さ れ

て い る.   こ れ ら に つ い て も,(1)と

同 様 の 計 算 を 適 用 して

配偶 関係別死亡率

み よ.   (3)  これ らの 計 算 に お い て,デ

ー タ の 構 造 に 関 連 して 注 意 を要 す る 点 が あ る.

そ れ を指 摘 せ よ.   ヒン ト:未 婚 か ら有 配偶,有 配偶 か ら死別 ・離 別 へ と状 態 が か わ る こ と,そ う して,   この 状 態変 化 が 「どん な年 齢 層 で発 生 す るか 」が,結 果 の読 み 方 に 関連 して きます. 問11  (1)第

１章 ９ペ ー ジ の グ ラ フ 「歩 く こ と は 健 康 に よ い 」で は,付

字 の う ち 年 齢 で 区 分 して い な い数 字 をそ の ま ま 使 っ て い る.表 ×年 齢 別 人 数 」の 情 報 を使 っ て,年

表M.1の

数

に あ る 「歩 く距 離

齢 の 影 響 を 補 正 し た 上 で 「歩 く距 離 と血 圧 の

関 係 」を 示 す グ ラ フ を か け.   (2)  同 じ報 告 書 に は,年 わ け て,平

齢40歳

台,50歳

均 血 圧 を求 め た付 表M.2が

台 だ け を取 り上 げ て,歩

掲 載 され て い る.こ

く距 離 別 に

れ を使 う こ と と,(1)

で 計 算 し た数 字 を使 う こ との 利 点 ・欠 点 を指 摘 せ よ.   (3)  付 表M.1に

示 す 女 子 の 場 合 の 数 字 に つ い て,問10(1)と

同 じ分 析 を 行 な

え. 問12  物 価 指 数 の 算 式 に お い て QIT =〓, 

PIT=〓,  とお き,PIT,QITの れ もUI0を IL,パ

UI0=WI0XI0

平 均 値 をPT,QT,標

準 偏 差 を σP,σQ,相 関 係 数 を ρPQ(い ず

ウ エ イ ト とす る もの)と す る と,ラ

ー シ ェ 方 式 に よ る 物 価 指 数IPに

ス パ イ レ ス方 式 に よ る物価 指 数

対 し て 次 の 関 係 式 が 成 り立 つ こ と を証 明

せ よ(ボ ル トキ ー ヴ ィ ッ チ の 関 係 と よ ば れ る).

  注:物 価 指 数 の 場 合 Ｐ が価 格 で Ｑ が購 入 量 です か ら,「価 格 が上 が った ものの 購 入 量 が 減 る」とい う消 費行 動 が 予 想 され る で し ょ う.そ の 場 合,ρ＜0.し IL＞IPが

たが って,

成 り立 ちます.

 物 価 指 数 以 外 の場 合 に つ い て も,こ の 関 係 に よ って,直 接 法 に よ る標 準 化 平 均 値,間 接 法 に よ る標 準化 平均 値 の 大小 関係 につ い て,言 及 で きる場 合 が あ るで し ょ う. 問13  物 価 指 数 の 計 算 に お い て は,西

暦 年 数 の １の 桁 が ０ ま た は ５の 年 に ウ エ イ トが

更 新 さ れ る.し た が っ て,０ ま た は ５の年 の デ ー タ だ け を み る と,同 イ トと価 格 の 情 報 とが 対 に な っ て い る こ と と な る.こ て,ラ

じ年 の ウ エ

れ ら の 年 の 情 報 を利 用 し

ス パ イ レ ス 方 式 に よ る 指 数 と パ ー シ ェ 方 式 と を 計 算 し,比 較 して み よ.

IL＜IPが

成 り立 っ て い る か.

７ 分 布 形 の 比 較

  ２つ の区 分 の情 報 を比べ る と き,そ れ ぞれ の 情 報 の 特 性 を表 わ す 平 均 値 を 比 べ る の で な く,分 布 形 その も の を比 べ た い こ とが あ り ます,ま た,平 均 値 を比 べ る場 合 で も,分 布 形 に関 して あ る仮 定 が 必 要 で あ り, それ を適 用 す る前 に,観 察 値の 分 布 形が その仮 定 と合 致 して い るか否 か を調 べ た い こ とが あ ります.こ の 章 で は,こ うい う 「 分 布 形 を比 較 す る 問 題 」を解 説 します.

7.0  分 布 形 の 比 較   ①  第 ２章 で は,変

数 Ｘ の 分 布 形 の 表 わ し方,分

規 分 布 」に つ い て 説 明 した 後,2.4節

で は,変

布 形 の 特 別 な モ デ ル で あ る 「正

数 Ｘ の 分 布 形 が 「正 規 分 布 」 とみ なせ

るか ど うか を 判 定 す る 方 法 を い くつ か 説 明 し ま し た.   しか し,分 布 形 の モ デ ル は,正 重 要 です.一

規 分 布 だ け で は あ り ませ ん.た

とえ ば,一

様 に な る よ う に 「分 布 を制 御 す る」場 合 が 多 い か らで す .た

様分 布 も

とえば 公共

施 設 は ど の 地 域 に も一 様 に 配 置 す べ きだ と され ます か ら,実 際 に そ う な っ て い る か を 判 定 す る 手 法 が 必 要 で す.   分 布 形 が 一 様 分 布 か 否 か を 判 断 す る 手段 と し て は,ロ ー レ ン ツ カ ー ブ が 慣 用 さ れ て い ま す.こ れ に つ い て,7.2節 で 説 明 し ます .ま た,適 用 上 の 注 意 に 言 及 し ま す.   ②  正 規 分 布 あ る い は 一 様 分 布 以 外 の場 合 に つ い て は,ど うす る の で し ょ うか. こ の 章 で は,分 布 形 を特 定 せ ず,２ 組 の観 察 値 の 分 布 形 を 比 較 す る手 段 を組 み 立 た て う る こ と を 説 明 し ま す.   「デ ー タの 累積 分 布 」 と 「想 定 さ れ る モ デ ル(確 率 分 布)の 累 積 分 布 」 と を比 べ て み れ ば よ い … 理 論 と して は そ れ で す む の で す が,「 比 べ る 手 法 」は,そ せ ん.正 規 確 率 紙 や ロー レ ン ツ カ ー ブ は,想 直 線 に な る 」…

う簡 単 で は あ りま

定 されて い るモ デル に 「 合 致 して い れ ば

この こ とか ら,適 用 しや す い 方 法 に な って い ます .

  正 規 分 布 あ る い は 一 様 分 布 以 外 の 場 合 に つ い て も,同 様 に 適 用 で き な い か … そ の

観 点 で,正

規 確 率 紙 を 使 う方 法 を 一 般 化 し た 「P-Pプ

ロ ッ ト」 と よ ば れ る 方 法 が 提 唱 さ れ て い る こ と を7.2節 とロ ー レ ン ツ カ ー ブ の 関係 を7.3節   ③  ま た,よ

ロ ッ ト」あ る い は 「Q-Qプ で 説 明 し,つ づ け て,そ

れ ら

で 説 明 し ま す.

く知 ら れ て い る適 合 度 検 定(カ イ ２乗 検 定)に つ い て,適

用上 の 注意

点 を 説 明 し ます(7.4節).   ④  こ れ ら の 手 法 は,い

ず れ も 「分 布 形 の 比 較 」 を扱 うの に もか か わ ら ず,そ

の 相 互 関 係 に 関 す る解 説 は 多 く な い よ う で す.こ に 必 要 だ と思 い ます か ら,こ

7.1 

の 章 を 設 け ま し た.

口ー レン ツ カー ブ とジ ニ 係 数

  ①  た とえ ば あ る商 品 を 生 産 し て い る メー カー が ５社 あ っ て,そ 表7.1.1の

れ ら

れ ちの 手 法 を適 正 に 使 い わ け る た め

よ う に な っ て い る と き,ト

ップ の １社 が50%,上

れぞ れの生 産量 が

位 ２社 ま で で80%の

シ ェ ア ー を しめ て い る こ とが わ か り ます.   こ の よ うな 見 方 は,種

々 の 問 題 分 野 で慣 用 され て い ます が,デ

説 明 す る た め の 一 般 的 手 法 と して,広   し た が っ て,順

を追 って,こ

  ②  ロー レ ン ツ カ ー ブ

ー タの分布 につ いて

く使 い う る もの で す.

れ を一 般 化 す る形 で 説 明 し て い き ます.

例 示 した よ うに 「 上 位 ○ 社 で Ｘ の 合 計 の △%を

て い る 」と い う見 方 を 採 用 す る の で す か ら,横

しめ

軸 に ○ す な わ ち Ｘ の 大 き さ の 順 位,

縦 軸 に △ す な わ ち Ｘ の 累 積 百 分 比 を と っ た グ ラ フ を か い て お け ば よ い こ とに な り ま す.し

た が っ て,   基 礎 デ ー タ を大 き さ の 順 に 並 べ て リス ト し  値 Ｘ の 累 積 を求 め る  合 計 が100に

そ の 上 で,グ

な る よ う調 整 す る

ラ フ をか く と い う手 順 を 経 る の で す.

  こ の グ ラ フ の 折 れ 線 ま た は そ れ をス ム ー ジ ン グ した カ ー ブ を,「 ロ ー レ ン ツ カー ブ 」 表7.1.1 

集中度の見方

図7.1.2 

ロー レ ン ツ カー ブ

と よ び ます.

値 の大 きさの順 に並べ 

… 50 …1

企 業 数 を カ ウ ン トす る  ま た,値

も 累積 して お く 

… 50

30

10 

5

2

3 

4

5  横 軸

90  95

100  縦 軸

80

5

これ を プ ロ ッ ト   こ の 書 き方 を す る と,ロ ー レ ン ツ カ ー ブ は,上

に 凸 な折 れ 線 に な り ます.

  大 き い 方 か らの 順 位 で な く,小 さ い 方 か らの 順 位 を 使 う と,下

に 凸な折 れ線 に な り

ま す.   特 別 の 場 合 で す が,一

様 分 布,す

な わ ち,す べ て が 同 じ値 を もつ 場 合 は,直

り ま す(一 様 分 布 と い う表 現 に は 問 題 が あ り ます.次

線 とな

ペ ー ジの コ ラ ム を 参 照 し て くだ

さ い).   ③  デ ー タ 数 が 多 い 場 合 に は,す

べ て の デ ー タ を 大 き さの 順 に 並 べ る か わ りに分 布

表 を使 っ て 求 め る こ と が で き ます.⑤

で 説 明 し ます が,先

に 計 算 結 果 を例 示 し て お

き ま し ょ う.   ④  図7.1.3は,図2.3.4に X.4)を

分 布 図 の 形 で 示 した 「賃 金 月 額 」(基 礎 デ ー タ は 付 表

ロー レ ン ツ カ ー ブ の 形 に 表 わ した もの で す .

  ま た,図7.1.4は,X=「

Ｋ 県 の 市 町 村 別 病 床 数 」の 分 布 を ロ ー レ ン ツ カー ブ に 表

わ した もの で す.   い ず れ も ⑤ で 例 示 す る 手 順 で か か れ る もの で す が,図7.1.4の るべ き問 題 が 残 っ て い ま す.そ

の 点 に つ い て は,7.4節

方 に つ い て は考 え

で 説 明 し ま す.

  ⑤  こ れ ま で の 説 明 で これ らの 図 を か け る と思 い ます が,デ

ー タ数 が 多 い 場 合 な ど

に つ い て 注 意 が 必 要 で す.   表7.1.5は,図7.1.3を

か くた め に 必 要 な 計 算 手 順 を例 示 し た も の で す.表

の後 に

つ け た[計 算 手 順 の 説 明]を 参 照 して くだ さ い. ◇ 注   図7.1.4で は,観 察 単 位 が 「市町 村 」で あ り,指 標 は 「 各 市 町 村 の病 床 数 」です.こ の

図7.1.3 

ロ ー レ ンツ カー ブ の例

賃金 月額

図7.1.4 

ロー レ ン ツ カー ブ の例

市町村の病床数

場 合,「 市 町村 のサ イ ズが 著 し くちが う こ と」を考 慮 に入 れ る 必要 は な い か,考 慮 に入 れ る と,ど うい う形 で扱 うか … これ が,残 され た 問題 で す.

  以 上 の 計 算 過 程 に,「 大 き さ の 順 」お よ び 「 観 察 値 の 累 積 値 」を 百 分 比 に お き か え る た め の 計 算 が つ け加 わ っ て い ま す.大

き さ の順 を 「デ ー タ数 で カ ウ ン ト して 何 番 目 ま

で 」 とい う 説 明 の 仕 方 をす るか,「 大 き い 方 か ら何 ％ ま で 」 とい う 説 明 の仕 方 を す る か に よ っ て 選 択 す れ ば よ い こ と で す. 表7.1.5 

ロ ー レ ンツ カー ブ をか くため の 計 算

[計算 手順 の 説 明]  デ ー タ を分布 表 の 形 に整 理 す る.  観察 値 は(各 値 域 内 で の差 は 無視 され るが)大 き さの順 に並 べ られ る.  累積 度 数 をカ ウ ン トす る.… … 例 示 の １番 目の ブ ロッ ク  そ れが 各 区切 りの上 限値 の 「大 き さの順 」で あ る.  各 区切 り内 の観 察値 を 中央値 とお きか え て,観 察値 の合 計 を計 算す る.  「 観 察 値 の 累積 値 」を カ ウ ン トす る.… … 例 示 の ２番 目の ブ ロ ッ ク   「 大 き さの順 」を横 軸,「 観察 値 の 累 積値 」を縦 軸 に とって グ ラフ をか く.

一様 分布   「変 数 Ｘ の 値 がA＜X＜Bの

範 囲 で 均 等 に 出 現 す る」 とみ られ る と き に Ｘ の

分 布 を 「一 様 分 布 」 と よ び ま す が,ロ

ー レ ン ツカー ブ を適 用 す る問 題 分 野 で は

「す べ て の 観 察 単 位 が 同 じ値 を も つ 」 と き に,均

等 に 分 布 して い る,す

「 一 様 に 分 布 し て い る 」 とい う言 い 方 が な され ます.観

な わ ち,

察値 が あ る特 定 値 を もつ

と想 定 して い る の で 「一 様 分 布 」 と い う表 現 は 不 適 当 で す が,一

様 分布 に おけ る

幅 が ０に な っ た 極 限 の 場 合 だ と解 釈 して よ い で し ょ う.   こ の 節 は ロ ー レ ン ツ カ ー ブ を統 計 手 法 の ひ とつ と位 置 づ け て 説 明 し て い ます か ら,必 要 な場 合 に は 「幅 ０の一 様 分 布 」と い う呼 び 方 を し ます.

  表 に は,さ

ら に,ジ

い ます か ら,そ

ニ 係 数(後 述)を 計 算 す る部 分(３ 番 目 の ブ ロ ッ ク)が つ づ い て

の 部 分 に つ い て は 次 項 で 説 明 し ま す.

  ⑥   ジ ニ 係 数(GINI係 ロ ー レ ン ツ カ ー ブ は,直

数) 

も しす べ て の 観 察 単 位 が 同 じ値 を もつ と す れ ば,

線 に な りま す.し

た が っ て,図7.1.6に

示 す よ う に,実

際の

ロ ー レ ン ツ カ ー ブ と直 線 で か こ ま れ た 弓 形 の 部 分 の 面 積 の 大 小 は,

 観察 単位 の もつ値 の不 平 等度 図7.1.6 

を表 わす指標 だ と解釈 され ます.

ジ ニ係 数

 この こ とか ら,  ジ ニ 係 数=

弓形 の部分 の面積/ 三角 形 の面積

と定 義 し ま し ょ う.   こ の 定 義 か ら,ジ ニ 係 数 の 値 は,０ と １の 間 と な りま す.  ⑦  ジ ニ 係 数 の 計 算 

表7.1.5の

計 算 例 で は,

 

１番 目の ブ ロ ッ ク で

度 数 の 累 積(順 位),

 

２番 目の ブ ロ ッ ク で

値 の 累積

を求 め て い ま す.   こ れ ら を使 っ て か い た ロ ー レ ン ツ カ ー ブ の 左 端 の 部 分 を 拡 大 し た も の が,図7.1.7 で す.こ

の 図 の 弓 形 の 部 分 の 面 積 を計 算 す る過 程 を,図

の 右 側 に 示 して あ り ま す.こ

れ が,図7.1.5の  ３番 目の ブ ロ ッ ク の 「超 過 部 分 の 面 積 」 の 欄 で す.   ⑧  例1987年

の 労 働 白 書 に は,「 所 得 階 層 別 に み た 世 帯 あ た り貯 蓄 保 有 高 の 格

差 を み る 」 と い う 問 題 意 識 で,ジ

図7.1.7 

ニ 係 数 の 推 移 を 示 す 図7.1.8を

ジニ 係 数 の 計算 に 関 す る説 明 図

掲 載 し,「 縮 小 を つ

図7.1.8 

所 得 階 級 別 に み た貯 蓄 保 有 高 に関 す る ジ ニ係 数 の 推 移

づ け て い た 格 差 が 拡 大 す る方 向 に転 じた 」 と説 明 して い ます.   こ の 図 に 掲 載 され て い る ジ ニ 係 数 は,図7.1.5に

例 示 した 計 算 手 順 を 「 貯 蓄保 有高

の 分 布 の デ ー タ」に 適 用 す れ ば よ い … 基 本 的 に は そ う です が,実 と問 題 が か くれ て い ます.7.4節

お よ び7.5節

際 に 計 算 して み る

で 説 明 を つ づ け ま す.

  見 出 しの 「所 得 階 級 別 に み た … 」 と い う句 に 注 意 し て お い て くだ さ い.

7.2  分 布 形 表現 手段 と しての 口ー レン ツカ ー ブ の 位 置 づ け   ①  第 ２章 で は,変

数 Ｘ の 分 布 形 を表 わ す た め に

  「分 布 図 」   「累 積 分 布 図 」 を使 うこ と を 説 明 し ま し た.   また,こ

の 章 で は,前

節 で,一

様 分 布 との 適 合 度 をみ る た め に

  「ロー レ ン ツ カ ー ブ 」 が 使 わ れ る こ と を説 明 し ま した.   こ の 節 で は,こ れ ら の 関 係 を体 系 づ け て 説 明 し ま し ょ う.   ②  分 布 の 表 現 法 と して の 位 置 づ け

ロー レ ン ツ カー ブ は,分

布 の 表現 法 として

周 知 の 「分 布 図 」,「累 積 分 布 図 」 と並 ぶ もの と位 置 づ け る こ と が で き ま す.ま の こ と を 説 明 し ま し ょ う.   変 数 Ｘ の 分 布 を み る と き に,次

の よ う な 見 方 が あ りえ ます.

ず,そ

ａ. Ｘ の 各 値 域 に 包 含 さ れ る観 察 単位 数 の 大 小 を み る 見 方 ｂ. Ｘ 以 下 の 値 を もつ 観 察 単 位 数 は ○%だ ｃ. 小 さ い 方 か ら○%の

と い う見 方

観 察 単 位 の もつ 値 は,Ｘ

以 下 だ とい う

見方 ｄ. 小 さ い 方 か ら○%の ○%だ

観 察 単 位 の も つ 値 の 合 計 は,総 合 計 の

と い う見 方

  分 布 は ａの 見 方   累 積 分 布 は ｂの 見 方,い

い か え れ ば,ｃ の 見 方

  ロー レ ン ツ カー ブ は ｄ の 見 方 に 対 応 し て い ます.   統 計 学 で は そ れ ぞ れ の 表 現 法 を 定 義 して い ま す が,そ

れ を,図7.2.1(a)の

よ うに

並 べ て み ま し ょ う.   各 図 の 対 応 関 係 の 説 明 と その 数 式 表 現 を付 記 して あ りま す が,要

は,

  分 布図 の斜 線の部 分の 面積 Ｐ と Ｘ の 関係  → 累積 分布 図   累積 分布 図 の斜線 の部分 の面 積 Ｓ と Ｐ の 関係   → ロー レ ン ツ カー ブ とな っ て い る こ とで す.   こ の こ と か ら,   分 布 図 は ａの 見 方   累 積 分 布 図 は ｂ ま た は ｃの 見 方   ロー レ ン ツ カ ー ブ は ｄの 見 方 図7.2.1(a) 

 

斜 線 の 面積Xf(X)の

 

P(X)を

f(X) 

求 めXP(X)を

分布 の 表 現 法 の 関 係

か わ りに  斜 線 の 面 積XP(X)の 図 示 

S(P)を

P(X)=∫f(X)dX 

求 めS(P)Pを

か わ りに 図 示 

S(P)=∫X(P)dP

累積 分 布 関 数P(X)は 単 調 増 加 関 数 です.そ の 逆 関数X(P)も Ｐ に 関 し て単 調 増 加 関 数 で す か ら,そ れ を積 分 し たS(P)は,Ｐ に 関 して 下 に 凸 な単 調 増加 関 数.

に 対 応 す る こ とが 確 認 で き ま す.   ③  こ れ ら の 表 現 は い ず れ も 「分 布 形 の 表 現 法 」で す が,観 「あ る 標 準 形 」が 想 定 さ れ て い る と き,そ

察 値 の 分 布 に 対 して

の 分 布 形 と合 致 す るか 否 か を み る た め に 使

う こ とが 考 え ら れ ま す.   簡 単 に 考 え れ ば,観

察 値 の 分 布 と想 定 され る 標 準 の 分 布 形 を 同 じ形 式 で 書 い て 比較

す れ ば よ い の で す が,比 い は,こ

べ や す さ を考 え る と,こ

れ ら の 表 現 法 の どれ を使 うか,あ

る

れ ら の 表 現 法 を変 形 して 使 うか が 問 題 と な りま す .

 ④  口 ー レ ン ツ カ ー ブ は,一 様 分 布 との 適 合 度 を み る た め に使 わ れ て い た   前 節 で 述 べ た とお り,ロ ー レ ン ツ カ ー ブ は,一 れ て い た もの で す が,一   一 様 分 布,す

様 分 布 との 適 合 度 を み る た め に 使 わ

様 分 布 とい う コ トバ の 受 け と り方 に 注 意 し ま し ょ う.

な わ ち,

  あ る範 囲 の Ｘ が 一 定 の 出 現 確 率 を もつ と い う意 味 で 使 わ れ る場 合 と,  す べ て の 観 察 単 位 が 同 じ値 を もつ とい う意 味 で 使 わ れ る場 合 が あ る の で す.   分 布 形 が 範 囲ABで

一 様 分 布 な ら,累 積 分 布 はX=Aか

図7.2.1(b) 

範 囲ABで

一様分 布の場合

図7.2.1(c) 

範 囲ABが

０に な っ た場 合

らX=Bの

範 囲 で右 上 が

りの 直 線,ロ

ー レ ン ツ カ ー ブ は(0,0)と(1,1)を

  一 様 分 布 の 散 布 幅 が ０に な っ た極 限,す 場 合 に は,累

結 ぶ 二 次 曲 線 と な りま す.

な わ ち,す べ て の観 察 単 位 が 同 じ値 を も つ

積 分 布 は 図 の よ う な ス テ ッ プ 関 数,ロ

ー レ ン ツ カ ー ブ は(0,0)と(1,1)

を結 ぶ 直 線 に な りま す.  ⑤

ロ ー レ ン ツ カ ー ブ は,分

  通 常 は,図7.2.1(c)の わ れ て い ます が,ま

布 形 を 比 較 す る 手 段 と して 使 う こ と も で き る

場 合 の 一 様 分 布 との 比 較 手 段 と し て ロー レ ン ツ カ ー ブ が 使

ず,分

布 形 の 表 現 や 比 較 の 手 段 と して は,他

の 表 現 と並 べ う る こ

とに 注 意 し ま し ょ う.   あ る標 準 形 と比 べ る た め に は,観 応 す る(S*,P)を

察 値 の 分 布 形 に 対 応 す る(S,P)と

標 準分 布 に対

１枚 の 図 に 重 ね て 比 較 す る の で す.

  標 準 分 布 が 一 様 分 布,特

に,幅

が0の

で,比 較 しや す い と い う こ と で す が,そ

一 様 分 布 の 場 合,比

較 の 相 手 が 直 線 に な るの

う で な い 場 合 に も,

  標 準 とみ ら れ る グ ル ー プ で の 累積 分 布 が 直 線 と な る よ うに   変 数 を変 換 して お く な ら,   一 様 分 布 と比 較 す る問 題 に お き か え て 扱 う こ とが で き ま す.   こ の こ とを 示 す た め に 例 示 を挿 入 して お き ま し ょ う.  ⑥

正 規 分 布 の 適 合 度 を み る た め に ロ ー レ ン ツ カ ー ブ を使 う

⇔ 一 様 分 布 とス テ ロ タ イ プ に 考 え るの で な く,た

  ロー レ ン ツ カ ー ブ

と え ば 正 規 分 布 との 適 合 度 を み る

ため に 使 う こ と もで き ま す.   次 の 例 は,こ   例7.2.1 

の こ と を 示 す もの で す. あ る変 数 に つ い て,観

のk×10パ

察 値 を偏 差 値 に お きか え た 上,「 標 準 正 規 分 布

ー セ ン タ イ ル 」(k=1,2,…,9),す  

なわ ち

1.28  0.84  0.52  0.25  0.00  -0.25 

-0.52 

-0.84 

-1.28

  で 区 切 っ た 「十 分 位 階 級 区 分 」別 に 度 数 を カ ウ ン ト し た 結 果 が 次 の 表 の よ う に 得 ら れ て い る.   こ れ に よ っ て,観

察 値 の 分 布 に 対 す るモ デ ル と して 正 規 分 布 を 想 定 で き る か 否

か を 調 べ よ.  

十 分 位 階 級 区 分 観 察値 数

区 切 りは,標

準 正 規 分 布 のk×10パ

階 級 区 分  1  度数

 

ー セ ン タ イル に よ る

2  3  4  5  6  7  8  9  10

2  12  10  9  9  4  5  5  5 

7

  ヒ ン ト:こ の 表 の 階 級 区 分 が 「 正 規 分 布 の パ ー セ ン タイ ル に関 して 等 間 隔 」に な って い ます か ら,正 規 分 布 が適 合 す るか否 か とい う問題 を,こ の 表 の度 数 分 布 が一 様 か 否か とい う問題 に お きか えて 扱 えば よい の です. ま ず ロ ー レ ン ツ カ ー ブ を か く た め に,累

積 分 布 Ｐ を 計 算 し ま す(表7.2.2の4列

目)．   つづ い て,図7.2.1(b)の

Ｓ で 示 した 部 分 の 面 積 を求 め,そ

し ます(表7.2.2の8列   こ れ ら を 縦 軸,横 7.2.3の

れ を累積 百 分比 の形 に

目). 軸 に と っ て 図 示 す る と,ロ ー レ ン ツ カー ブ が 得 ら れ ま す.図

実 線 で す.

表7.2.2 

1∼2列:基

礎 デー タ,3∼4列:累

Ｘ は値 域 の 中 央 値,Ｓ

図7.2.3 

S(P),S*（P）

ロー レ ン ツ カー ブ を か くた め の 計 算

積 分 布 Ｐ の 計 算,5∼8列:S(P)の

計 算,

はX×F.

観 察 値 に対 す るP,S(P)と, モ デ ル に 対 す るP,S*(P)の

の 差 は 大 き い.よ

って,十

図7.2.4 

図7.2.3の

別 表 現

図

分

図7.2.3の

縦 軸 の き ざみ√Pに

位 階 級 別 度 数 の 分 布 は,一 様 とは い え な い. い い か え る と,基 礎 デー タの 分 布 は正 規 分 布

図 示 す る と,図7.2.4の

だ とは い え な い.

な る.

よ うに,モ

変 換 して デ ル と合

致 す る か 否 か を直 線 と比 較 す れ ば よ い こ とに

図 に は,  値 域1∼10で

一 様 と想 定 し た と き の ロー レ ン ツ カ ー ブ(放 物 線S(P)=P2),

  す べ て が 同 じ値 を もつ と想 定 し た と き の ロー レ ン ツ カ ー ブ(対 角 線S(P)

 

=P)

を あ わ せ て 示 して あ り ま す.   た だ し,こ の 問 題 で 比 較 す る の は  

観 察値 につ い て計算 した実線 と   値 域1∼10で

で す か ら,こ

一 様 と想 定 し た と きの 放 物 線

の 図 の 縦 軸 の ス ケ ー ル を か え て,図7.2.3の

放 物 線 が 直 線 に な る よ うに

し た 図 を か い て お く方 が よ い で し ょ う.   図7.2.4で

す.

  累 積 分 布 図 に お い て 縦 軸 を変 換 し て,正

規 分 布 が 適 合 す る と きに 直 線 に な る よ う に

し た 「正 規 確 率 紙 」を 使 うの と同 様 の 考 え方 で す.  ⑦

他 の表 現法 との関 係

  ロ ー レ ン ツ カ ー ブ で は,観

察 値 の 分 布 を表 わ す 線 と,

モ デ ル と して 想 定 さ れ る 直 線 との へ だ た りを ジ ニ 係 数 で 測 って い ま す.   図7.2.3に

お け る 実 線(観 察 値 に 対 応)と 対 角 線(均 等 分 布)と の 差 に つ い て こ の ジ

二 係 数 を計 算 で き ます が,こ

の 問 題 で 比 較 し た い の は,実

線(観 察 値 に 対 応)と 放 物

線(一 様 分 布)で す.   こ の 差 に つ い て は,線

が 交 差 し ます か ら,ジ

  差 を 評 価 す る 指 標 を 使 う な ら,カ

二係 数 は 適 用 で き ませ ん.

イ ２乗 統 計 量 が 代 案 で し ょ う(7.4節

で考 え ま

す).   しか し,基 本 的 に は 「線 と線 の 比 較 」で す か ら １つ の 数 値 で 評 価 す る こ と を考 え る よ り も,線 の ど の あ た りで くい ちが っ て お り,ど の あ た りで合 致 し て い る か を み るべ きで す.   例 示 の 場 合,Ｐ

の 小 さ い 部 分 で く い ち が っ て い る こ と か ら,正 規 分 布 の ピ ー ク が

い くぶ ん 左 に うつ っ た 形,た

と え ば 「対 数 正 規 分 布 」に近 い こ と が 示 唆 さ れ ま す.

  し た が っ て,「 線 と線 の 比 較 」 を簡 明 に す る た め に,「 標 準 と み られ る線 が 直 線 に な る よ うに 変 換 して そ れ と比 較 した 」こ とが ポ イ ン トで す.   この 問 題 で は,偏

差 値 に よ る 階 級 区 分 の 区分 番 号 に お きか え る,す

に 変 換 す る こ と に よ って,も

な わ ち ラ ン ク値

と の 数 値 が 正 規 分 布 ⇔ 変 換 値 が 一 様 分 布 とお き か え て

扱 う,そ の 場 合 の ロー レ ン ツ カ ー ブ が 放 物 線 に な る,ス

ケー ル をか えた図 で は直 線に

な る … こ うい う ２段 階 の 変 換 を 適 用 し て い る の で す.   た だ し,そ

う した い な ら他 の 表 現,た

と え ば 累 積 分 布 図 で も同 じ考 え 方 を適 用 で き

ま す か ら,そ れ ら の 表 現 に か え て ロ ー レ ン ツ カ ー ブ を採 用 す る こ との 利 点 を考 え る こ とが 必 要 です.   こ の こ とに つ い て は,次

節 で 「累 積 分 布 図 」の 表 現 法 を 取 り上 げ ます.

7.3  累 積 分布 図 の 表現 法 ①

正 規 確 率 紙 は,累

積分 布 図

  2.4節 で は,正

規 確 率 紙,す

な わ ち,累

積 分布

図7.3.1 

図7.3.2 

正 規確率紙の説 明図

累積 分 布 比較 の た め の 図 示(１)

図(の 軸 を 「モ デ ル が 正 規 分 布 の 場 合 に 直 線 とな る よ う に 」き ざ ん だ もの)だ と い う こ と を説 明 し ま した.図7.3.1は   この 文 に お け る 「 」 と()は

そ こで使 った 説明 図の再 掲 です. 以 下 の 説 明 を 展 開 す る た め に つ け た もの で す.

  「正 規 確 率 紙 」の 説 明 とい う範 囲 で い え ば こ れ で よ い の で す が,そ の 中 に 位 置 づ け る こ と を考 え る の で す .   そ の 場 合 に,()の

中 を 落 と し て,正

れ を,統

計 手法

規 確 率 紙 す な わ ち 累 積 分 布 図 だ と い う こ と,

そ して,()の

中 に 記 し た よ う に特 殊 化 さ れ た もの だ と い う こ とに 注 意 し ま し ょ う.

  ②   ま ず,な

ぜ そ う い う特 殊 化 を行 な っ た の で し ょ うか.ま

つ つ 正 規 確 率 紙 の 説 明 を復 習 して み ま し ょ う.

ず,図7.3.2を

参照 し

  ａ.横 軸 に Ｘ,縦 た も の,す

軸 にP(x<X)す

な わ ち,観

  ｂ.縦 軸 にP*（x<X）,す

な わ ち Ｘ 以 下 の デー タの比 率 をプ ロ ッ トし

察 値 の 累 積 分 布 図 で す. な わ ち 「分 布 形 が 標 準 正 規 分 布 だ と 想 定 さ れ る と した

と き に 」計 算 さ れ る想 定 値 の 累 積 分 布 図 です.   ｃ.２ つ の 図 を重 ね 書 き し た も の で す.Ｐ 域 は0∼1で

と Ｐ*は 意 味 の ち が う もの で す が,値

す か ら,こ の よ う に重 ね る こ と が で き ま す.

  こ の 図 に お い て,２ つ の 線 が 一 致 す る か 否 か を み て,観

察 値 の 分布 が 想定

と合 致 し て い る か 否 か を判 断 で き ます.   ｄ.横 軸 に Ｘ,縦

軸 に Ｘ*（ 図 ｃ 中 に 示 した も の ）を 図 示 し た も の で す.

  この 形 に す れ ば,「 Ｘ Ｘ*の 関 係 が 直 線 か 否 か 」 をみ て,観

察値 の分 布 が想

定 と合 致 して い る か 否 か を判 断 で き ます.   ③Q-Qプ

ロッ 卜

  以 上 の 説 明 に お け る 「分 布 形 が 標 準 正 規 分 布 だ と 想 定 さ れ

る と きに 」 と し た と こ ろ を,「 分 布 形 が 想 定 さ れ る標 準 モ デ ル だ と した と き に 」 とお き か え て,よ

み な お して くだ さ い.論

  した が っ て,図   こ の 図 をQ-Qプ  ④

旨 は 一 切 か え る こ と な く通 じ ま す.

の ｄ を分 布 形 比 較 の 手 段 と位 置づ け る こ とが で き ま す. ロ ッ ト とよ び ます.

正 規 確 率 紙 をQ-Qプ

ロ ッ ト用 の 方 眼 紙 と み な す こ と が で き る

ａ の 縦 軸 を Ｐ か ら Ｑ*に お き か え た もの に な っ て い ます.し 眼 紙 と して は,縦

示 に 使 う方

軸 に Ｐ を よ む た め の き ざ み と Ｑ*を よ む た め の き ざ み の 両 方 を 用

意 し て お くこ と が で き ま す.そ

う し て,Ｐ

の き ざ み が 等 間 隔 だ っ た も の を,Ｑ*の

ざみ が 等 間 隔 に な る よ う に,き

ざ み なお す こ とが で き ます.し

の 方 が 「分 布 形 の 比 較 手 段 と し て 便 利 」で す か ら,図 こ の 項 の 説 明 は 考 慮 外 に お い て,次  ⑤

  図 ｄ は,図

た が っ て,図

か し,図

き

ｃ よ り も図 ｄ

ｄの 表 現 を使 う もの と す れ ば,

の ⑤ の よ うに い え る こ とに な りま す.

Ｘ と Ｘ*の 関 係 を図 示 し たQ-Qプ

ロ ッ ト を 「分 布 形 の 比 較 手 段 」 と位 置 づ け

る こ と が で き ます.   Ｘ*軸 の き ざ み を と る た め に,モ 使 う こ と に な りま す が,そ

デ ル と して 想 定 され た 「累 積 分 布 」の 数 式 表 現 を

れ が 図 ｂ の よ う に 図 示 さ れ て い る と す れ ば,図

ｃ中に示

し た 作 図 に よ っ て よ み と っ て 図 示 す る こ と も で き ます.   観 察 値 の 累 積 分 布 の モ デ ル と し て 「別 の 観 察 値 の 累 積 分 布 」を 想 定 して 比 較 す る こ と も考 え られ ます.た

と え ば,肥

満 度 の 高 い 人 々 の 血 圧 分 布 を健 康 者 の 血 圧 分 布 と比

べ る と い っ た 問 題 で す.   ⑥P-Pプ

ロ ッ ト も考 え ら れ る

  図7.3.2の

ｃ を 図7.3.3の

ｃの よ う に お きか

え る こ と も考 え られ ます.   こ うす る と,「 観 察 値 の 累 積 比 率 Ｐ」と,あ る累 積 比 率 Ｐ*」の 関 係 を示 す 図 に な りま す.   こ れ をP-Pプ

ロ ッ トと よ び ま す.

  この図 につ いて も

る モデ ル を想 定 した と きに 「 期 待 され

 観 察 値 の 累 積 分 布 と,  そ の モ デ ル と して 想 定 さ れ る 累 積 分 布 との 関 係 を  縦 軸 横 軸 に と っ て 図 示 した もの と了 解 し,  そ れ が 直 線 に な るか 否 か に よ っ て 図7.3.3 

図7.3.4 

累 積 分 布 とQ-Qプロ

累積 分 布 比 較 の た め の 図 示 （２ ）

ット

図7．3．5  累 積 分 布 とP-Pプ

ロッ ト

 

モ デ ル と合 致 す るか 否 か を

 

判 断す る

とい う使 い 方 が で き ます.  ⑦

以 上 の 説 明 の ま と め と して,図7.3.4と

累 積 分 布 ⇒Q-Qプ て くだ さ い.Q-Qプ   ⑧Q-Qプ

図7.3.5を

示 し て お き ま す.

ロ ッ ト の 関 係 と,累 積 分 布 ⇒P-Pプ ロ ッ ト とP-Pプ

ロ ッ トとP-Pプ

ロ ッ トの ち が い

な ん ら か の ち が い が あ る は ず で す.ち

ロ ッ ト の 関係 を把握 し

ロ ッ トの 関 係 に つ い て は,説

明 を つ づ け ま す.

  ど ち ら も 同 じ よ うに 使 え ます が,

が い を み る た め に,同

じデ ー タ に つ い て 両 方 の

図 をか い て み ま し ょ う.   図7.3.6と

図7.3.7は,同

じ デ ー タ(38ペ

の適 合 度 を み る た め に か い たQ-Qプ

図7．3．6  Q-Qプ

ー ジ の 図2.4.2)に

ロ ッ ト とP-Pプ

ロ ット

つ い て,正

規分布 と

ロ ッ トで す.

図7.3.7 

P-Pプ

ロ ッ ト

  ど ち ら で み て も正 規 分 布 が 適 合 して い な い と い え ます が,２ つ の 図 は,か

な りち が

う印 象 を与 え ま す.   図7.3.4お

よ び 図7.3.5の

上 下 の 図 を 比 べ る と,

  Q-Qプ

ロ ッ トで は,累

  P-Pプ

ロ ッ トで は,累 積 分 布 の 傾 斜 の 大 き い 部 分 を ひ ろ げ て プ ロ ッ トす る

積 分 布 の 傾 斜 の 小 さ い 部 分 を ひ ろ げ て プ ロ ッ トし

結 果 に な っ て い る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   こ の た め に,え

が か れ た 線 で み る と,

  Q-Qプ

ロ ッ トは 分 布 の 端 の 部 分 で の 適 合 度 が 大 き く影 響 す る

  P-Pプ

ロ ッ トは 分 布 の 中 央 部 分 で の 適 合 度 が 大 き く影 響 す る

こ と に な り ます.   こ れ が,ち

が っ た 印 象 を 与 え た 理 由 で す.

  し た が っ て,分

布 の 中 央 部 で の 適 合 度 を重 くみ るか,端

るか を 考 え て ど ち らの 表 現 を採 用 す る か を決 め ま し ょ う.

の 部 分 で の 適 合 度 を重 くみ

表7.3.8 

P-Pプ

ロ ッ トの ため の 計 算 とQ-Qプ

ロ ッ トの た め の 計 算 

列 １∼２  基 礎 デ ー タ.こ れ につ い て平 均 値 と標 準 偏 差 を 計 算  列 ３   頻 度 の 累 積.観

察 値 の大 き さ につ け た順 位 に相 当 

列 ４   Ｘ を偏 差 値ｘ にお き か え る … こ こ まで は 共 通  列 ５   Ｘ の偏 差 値ｘ に対 応 す るP*=P(x)を 列 ６   Ｐ に 対 応 す るx*:P=P(x*)を

正 規 分 布 の 表 か ら求 め る 

正 規 分 布 の 表 か ら求 め る 

列 ７  x*を 基礎 デ ー タの ス ケ ー ル で表 わ す  P-Pプ ロ ッ トは,列 ５の 数 値 と列 ３の数 値 を プ ロ ッ ト→ 図7.3.5  Q-Qプ

ロ ッ トは,列

６の 数 値 と列 ４の 数 値 を プ ロ ッ ト → 図7.3.4 

ま た は 列 １の 数 値 と列 ７の数 値 を プ ロ ッ ト

 ⑨

「適 合 度 を み る 」 とい う問 題 は,「 形 を 比 べ る」こ と に な り ます か ら, 形 の ど の 部 分 に 注 目 す る か に よ っ て,判

定が か わ る

の は 当 然 で す.   Q-Qプ

ロ ッ トに よ る比 較 とP-Pプ

るの は 当 然 の こ とで あ り,ど

ロ ッ トに よ る 比 較 で 結 論 が か わ る 可 能 性 が あ

ち ら を使 うか は,数 理 の 枠 内 で 答 え を期 待 す べ き こ とで

は あ り ませ ん,   要 す る に,１ つ の 指 標 値 を使 っ て 測 れ る とは い え な い 問 題 で す.だ

か ら,図

を使 う

  ま た,「 適 合 して い る 」あ る い は 「適 合 して い な い 」 とわ り き っ た 答 え は,で

きない

の で す.

の で す.だ

か ら,比 較 の 観 点 や,使

え る デ ー タ に 応 じて,比

較 の仕 方 を選択 すべ きで

す.   こ れ ら の こ とに 関 連 し た い くつ か の 注 意 点 を,7.4節  ⑩

で 説 明 し ま す.

こ れ ら の 図 を か く ため の 計 算 例 を あ げ て お き ま し ょ う.

  こ れ ま で に 説 明 し た とお り,「 正 規 分 布 か 否 か を み る 」場 合 に 限 ら ず 適 用 で き る も の で す が,例

示 で は,そ

  上 の 表7.3.8は,P-Pプ 計 算 例 で す.両 す.相

の 場 合 を 取 り上 げ て い ます. ロ ッ トを か くた め の 計 算 と, Q-Qプ

ロ ッ トを か くた め の

者 の 相 違 点 を 把 握 で き る よ うに 対 比 し た 計 算 フ ォ ー ム に し て あ り ま

違 点 は,列

５と列 ６で す.

  ⑪   ロー レ ン ツ カ ー ブ とS-Sプ

ロ ッ ト 

累 積 分 布 図 に お け る ２本 の 線 の 差 を Ｘ

図7.3.9 

と Ｘ*に

累 積 分 布 とS-Sプ

ロ ッ ト

よ っ て 測 るQ-Qプ

ロ ッ ト,Ｐ

も う ひ と つ の 代 案 と し て,図7.3.9の さ い 方 か ら Ｐ%ま

図7.3.10 

累積 分 布 と ロー レ ンツ カ ー ブ

と Ｐ*に よ っ て 測 るP-Pプ よ う に,Ｐ

ロ ッ トに 対 す る

ま で の 面 積 す な わ ち 「Ｘ の 値 を小

で の 観 察 単 位 に つ い て 累 積 し た値 」(こ れ を Ｓ と表 わ す)で 測 る こ

とが 考 え られ ます.   Ｓ の 定 義 か ら,こ れ が,ロ

ー レンツ カー ブの縦軸 に とった値 に なって い るこ とに注

意 して くだ さ い.   し た が っ て,Ｐ

に 対 応 す る Ｓ と Ｓ*を 求 め,

  Ｓ と Ｐ の 関 係(図 の 太 線)お よ び   が,ロ

Ｓ*と Ｐ の 関 係(図 の 細 線)を1枚

  ま た,図7.3.9の  

よ うに

Ｓ と Ｓ*の 関 係 を プ ロ ッ ト した もの

をS-Sプ

ロ ッ トと よ ぶ こ とに し ます.

  ⑫S-Sプ P-Pプ

の 図 に プ ロ ッ トし た も の

ー レ ン ツ カー ブ だ と理 解 で き ます(図7.3.10).

ロ ッ トは,累

積 分 布 の 形 を 比 べ る と い う 目 的 に 対 し てQ-Qプ

ロ ッ ト,

ロ ッ トと 同 等 性 を も っ て お り,「 分 布 形 の 差 を 図 の Ｓ で 測 る 」 と こ ろ が ち が う

の で す.そ

の 限 りで は,Q-Qプ

ロ ッ ト, P-Pプ

ロ ッ トの ほ か に こ れ を 使 う必 要 は な

い で し ょ う.   た だ し,図

の Ｓ は,ロ

え ま し ょ う.   ロー レ ンツカー ブ は

ー レ ン ツ カー ブ で 使 わ れ て い ま す か ら,そ れ との 関 係 を 考

  モ デ ル と して 想 定 さ れ た 分 布 が 一 様 分 布 な ら,   P,S(P)の

関 係 が 二 次 曲 線(幅0の

場 合 に は 直 線)

に な り ま す か ら,観 察 値 の 分 布 と一 様 分 布 を 比 較 す る た め に 使 う こ とが で き ま す.一 般 に は,幅0の

場 合 を想 定 し て そ れ と比 べ る た め に 使 わ れ て い ま す が,幅

０以 外 の場

合 に も適 用 で き る こ とに 注 意 し ま し ょ う.   ま た,２ つ の ロ ー レ ン ツ カー ブP-SとP-S*を

重 ね て 示 す か わ り に,S-S*を

縦

軸 横 軸 に とっ て,   モ デ ル に合 致 す る か 否 か ⇔ 直 線 か 否 か とい う見 方 が で き る よ う に す る と い う 意 味 でS-Sプ す が,モ

ロ ッ ト を使 う こ とが 考 え ら れ ま

デ ル と し て 一 様 分 布 を 想 定 した 場 合 は そ れ との 差 を ジ 二 係 数 で 測 れ る こ と を

考 慮 に 入 れ る と,２ つ の ロー レ ン ツ カ ー ブP-SとP-S*を

重 ね る表 わ し方 の ほ うが

よ い と い え る で し ょ う.  ⑬

ロ ー レ ン ツ カ ー ブ は 「一 様 分 布 と比 較 す る 手 段 」 と位 置 づ け ら れ て い ます が,

よ り広 い場 面 で 使 う こ とが 考 え られ ま す.   す な わ ち,   累 積 分 布 曲 線 を か く と き,モ デ ル と想 定 され る分 布 形 に 対 応 す る   累 積 分 布 が 直 線 に な る よ う に変 換 して お く な ら,そ の 図 の 上 で 計 算 し た 面 積 Ｓ を使 っ て Ｐ とS(P)の に か く と,同

関係 をロー レン ツ カーブ

じ見 方 を適 用 で き る の で す.

  い い か え る と,「 想 定 され た モ デ ル を一 様 分 布 に 対 応 させ る 変 換 ル ー ル を適 用 して, 観 察 値 を変 換 し,変 換 値 が 一 様 分 布 に な っ て い る か 否 か で,モ る こ とが で き る 」こ と を意 味 し ます.

図7.4.1 

7.4  適 合 度 の 検 定  ①

分 布 形 を 比 べ る方 法 と して,よ

く使 わ れ て い る

の は,「 適 合 度 検 定 」 と よ ば れ て い る もの で す.   こ の 方 法 で は,観

察 さ れ た 分 布 形P(X)と,そ

対 す る モ デ ル と して 想 定 さ れ て い る分 布 形P*（X）

れに を比

べ るた め に,  

Ｘ の 値 域 を い くつ か に 区 分 し

各 値域 ご とに〓   こ れ らの2乗

和X2=ΣZI2を

を求 め 計算 す る

の で す.   こ れ を,カ

イ ２乗 統 計 量 と よ び ます.

  各 値 域 ご と に 計 算 され るZIは,当

デ ル との へ だ た りを み

該 値域 に属 す る度

分 布形の比較

〓

数NIの

割 合 を 表 わ す 比 率PI=NI/Nに

を,PIの

標 準 偏 差√PI*/Nで

つ い て,想

定 さ れ るPI*か

ら の 偏 差PI-PI*

わ っ た形 で す.

  こ れ で 各 値 域 で の 適 合 度 を 測 り,全 体 で み た 適 合 度 を み る た め に,そ をつ くっ た もの …

れ ら の２ 乗 和

こ う解 釈 で き ます.

  実 際 の 計 算 で は,こ

れ を変 形 した 式 NI=NPI ,NI*=NPI*

, 

を使 って 計 算 し ます が,も

との 式 で み る よ うに,各

値 域 で の 偏 差 を対 等 に 扱 っ て(ウ

エ イ トを つ け ず に)総 合 した 形 に な っ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.   こ の こ とか ら,Ｎ そ う して,そ

が 大 きい 場 合,ZIの

の こ と か ら,χ2の

分 布 が 正 規 分 布 と な る と 期 待 で き る こ と,

分 布 が,自

由 度K-1の

カ イ２ 乗 分 布 と よ ば れ る も

の に な る こ と が 証 明 さ れ る の で す.  ◇ 注   こ の こ とは,「 各値 域 での偏 差 を対 等 に扱 え」とい う こ とで は あ り ませ ん.  

「分布 形 を比べ て適 合 度 をみ る」 とい う問題 を取 り上 げ る と きに,中 央 部分 を重 視 した い 場 合 もあ れば,端 の部 分 を重視 した い場 合 もあ る で しょ う.ま た,現 実 の デー タで は,端 の 部 分 に はア ウ トラ イヤー が 混在 してい る可 能性 が 高 い の で,そ の 部 分 の ウ エ イ トを下 げ た い場合 や,そ の部 分 を除 いて み た い場 合 な どが あ る で し ょ う.こ うい う点へ の対 応 につ いて は,後 述 します.

 ②

上 記 の 定 義 か ら,す べ て の 値 域 でPIがPI*に

に近 い値 を も ち ます.こ

の こ と を利 用 し て,分

検 定 す る こ とが で き ます.す

近 い な ら,カ

イ２ 乗 統 計 量 は０

布 形P(X)がP*（X）

に近 い か否 か を

なわ ち

「す べ て の 値 域 に お い てPI=PI*」

が 真 な ら 

帰結 事実 結論

P(χ2Cだ

っ た 

よ っ て,仮   こ こ で 使 っ た 統 計 量χ2は,上

仮説

説 は 棄 却 され る 

に 述 べ た と お り,「 自 由 度K-1の

よ ば れ る 分 布 を も ち ます か ら,そ の 分 布 の 統 計 数 値 表 を み て,棄

カ イ２ 乗 分 布 」 と 却 限 界 Ｃ を定 め る

こ とが で き ます.   こ の 統 計 量χ2を 使 っ て適 合 度 を検 定 す る方 法 は,カ  ③

こ の 方 法 は,本

P(X)とP*(X)を

来,特

イ２ 乗 検 定 と よば れ て い ます.

定 区 分 に 対 応 す る構 成 比 を 比 較 す る 方 法 で あ り,分 布 形

比 較 す る 問 題 に 適 用 す る と きに は,

  値 域 を設 定 す る   想 定 さ れ た 分 布 形 に 対 応 す る(PI*)を

計算 す る

と い う過 程 が つ け加 わ って く る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   こ の 場 合,値 が 必 要 で す.

域 は,「 分 布 の 形 を 把 握 す る た め に 必 要 な 数 と区 切 り方 」に す る こ と

  ま た,「 分 布 の 形 を 比 べ る」 と き に は,位 論 ず る も の と して,そ

置 の ちが い,ひ

ろ が り幅 の ち が い は 別 に

れ らの ちが い を 調 整 し た 上 で(い い か え る と,偏 差 値 に お きか

え て)分 布 形 を 比 べ る の が 普 通 で す.

位 置の 比較  ひ ろ が り幅 の 比 較   … こ れ ら は別 に行 な う もの と し, 

分 布 形の 比較 

偏 差値 の比較    そ うせ ず に 比 べ た 場 合,た

… こ こ に 注 目す る

と え ば,「 分 布 形 は 同 じ で 位 置 が シ フ ト した だ け 」で も,

分 布 形 が 異 な る と結 論 して し ま うこ と に な り ます.   「分 布 形 」を比 べ る 問 題 を 「 選 ん だ値域 にお け る比率」を比べ る問題 と して扱 うこ と に な る の で,値 域 の 選 び 方 を考 え な け れ ば な り ませ ん.   区 切 り方 を 自 由 に 決 め う る な ら,た ろ で 区 切 る(14区

と え ば,偏

差 値 が/3/2.5/2/1.5/…/3/の

分 に な る)と か,/3/2/1/0/1/2/3/の

と よ い で し ょ う,自 由 に 決 め う る の で す が,決

とこ

と こ ろ で 区 切 る(７ 区 分 に な る)

め 方 に よ っ て,x2の

値 が か わ る の で,

特 に 理 由 が な け れ ば 標 準 を採 用 し よ う とい う趣 旨 で す.   た だ し,そ

の た め に は,ひ

が 利 用 で き ず,分

とつ ひ とつ の 観 察 値 が 必 要 で す.ひ

採 用 して い る 区切 り方 を,そ

の ま ま,採 用 せ ざ る を え ませ ん.そ

に お きか え て 使 う こ と に な り ます.

表7．4．2  適 合 度 検 定 の ため の計 算例 

列 １∼３  基 礎 デー タ.こ

れ に も とづ い て 平均 値 と標 準 偏 差 を計 算.

平 均=126,標 準 偏 差=15.8 列 ４   値 域 の 区切 り値 を偏差 値 に お きか え る. 

標準正規分布 が適合 する とした場合 に各値 域に入 る 「比率 」.

列 ５ 

標 準 正 規 分 布 の数 値 表 を 使 っ て 求 め る. 列 ６∼７  期 待 度 数N×P*,度 列 ８

と つ ひ とつ の 観 察 値

布 表 の 形 に ま とめ た情 報 しか 利 用 で き な い と きに は,そ

  (N-N*)2/N.そ

数 の差N-N*. の 合 計 が,適

合 度 をみ る ため の 統 計 量x2.

の分 布表 で

の 区 切 り値 を 偏 差 値

  利 用 で き る分 布 表 の 区 切 り方 が 適 正 で な い(た と え ば 最 上 位 の 区 切 りに 度 数 が 集 中 して い る)と き に は,適   ④

例 と し て2.4節

2.4.2)に

つ い て,こ

正 な 結 果 が 得 ら れ な い こ とに な り ます . で 「 正 規 確 率 紙 を 使 っ て 正 規 分 布 の 適 合 性 」 を み た 例(図

の 節 の 方 法 を適 用 して み ま し ょ う.

  得 ら れ たχ2は1204で

あ り,統 計 数 値 表 で み た 棄 却 限 界 値 は9.5で

す か ら,

  「正 規 分 布 が 適 合 す る 」 とい う仮 説 は 棄 却 さ れ る と い う結 果 で す.  ⑤

こ の 方 法 は よ く使 わ れ て い ます が,次

の 点 に 注 意 し ま し ょ う.

  値 域 の 区 切 り方 が 結 果 に 影 響 す る   値 域 の どの あ た りで 適 合 し,ど の あ た りで 適 合 して い な い か を判 断 で き な い こ の こ とか ら,す で に指 摘 した よ うに,で

きれ ば 値 域 の 区切 り方 を標 準 化 し た い の で す .

  ま た,「χ2の 内 訳 を 表 示 し て お き,適 合 し て い な い」箇 所 を 見 わ け る こ と が で き る よ う な 計 算 フ ォー ム を採 用 し た の で す.   基 本 的 に は,χ2の

計 算 値 だ け で適 合 度 を み る の で な く,「PIとPI*の

差 を み る」 と

い う問 題 意 識 に た ち も ど っ て 考 え ま し ょ う.そ の 意 味 で は,「 正 規 確 率 紙 へ プ ロ ッ ト す る」方 法,あ

る い は,前

節 で あ げ たP-Pプ

ロ ッ トの よ うな 図 示 に よ る 方 法 の 方 が

す ぐれ て い る とい え ます.   上 の 計 算 例 の 中 に 求 め ら れ て い る Ｐ と Ｐ*を 縦 軸,横 P-Pプ

ロ ッ トを え が く こ と が で き ま す.ま

Ｘ*を 使 っ てQ-Qプ  ⑥

た,比

軸 に と っ て プ ロ ッ トす る と

率 Ｐ に 対 応 す る Ｘ*を 求 め,Ｘ

,

ロ ッ トを え が く こ と も で き ます.

こ の 節 の 方 法 は,観

察 値 の 分 布 を 「想 定 さ れ る モ デ ル 」 と比 較 す る 問 題 に 限 ら

ず,「 観 察 さ れ た 分 布 の う ち 標 準 とみ ら れ る もの 」 と比 較 す る問 題 に も適 用 で き ま す . こ の 方 が,適

用 場 面 が 広 い で し ょ う.

  た とえ ば,変

数 Ｘ の 分 布 を年 齢 別 に わ け て み た と き,分 布 が か わ る か 否 か を確 認 表7.4.3 

血 圧 の分 布 形 の 男 女 差(年 齢40歳

台,1975年)

し た い … そ の た め に,「 全 体 で み た と き の 分 布 と比 べ る」 と い う問 題 で す が,「 各 区 分 で み た 分 布 が 全 体 で み た 分 布 と一 致 す る 」 とい う仮 説 を検 定 す る形 で 扱 う こ とが で き ま す.   表7.4.3の

よ うに,全

体 で み た と き の 分 布 と一 致 す る と仮 定 した と き に期 待 され る

度 数 を 計 算 し,「 そ れ と観 察 度 数 との 偏 差 」を も と に してχ2値 を計 算 し て,「 分 布 が か わ ら な い 」 と い う仮 説 を検 定 す るの で す.   棄 却 限 界 は,カ

イ ２乗 分 布 の 統 計 数 値 表 か ら求 め る の で す が,自

由 度は

  (分布 を み る た め の値 域 の 区 分 数-１)×(比 較 区 分 数-１) と し ます.  χ2=47.2で

す.棄

され ます.計

算表 の 「 適 合度 」の 欄 でχ2の 内 訳 が よみ とれ ます か ら,寄

却 限 界値 は,16.9で

す か ら,血

所 に つ い て Ｄ の 符 号 を み る と,血 圧120以

圧 の 分 布 は 男 女 で 異 な る と判 定 与の大 きい箇

下 で は 女 が 多 く,血 圧140台,150台

で

は 男 が 多 い こ とが わ か り ます.   こ こ で は,「 平 均 値 あ る い は標 準 偏 差 の ち が い を含 め た 比 較 」を して い ま す.し が っ て,こ

こ で 見 出 さ れ た 差 が,た

しれ ませ ん.た

とえ ば,偏

う.そ の 場 合,値

差 値 に お き か え た 上 で,男

女 別 比 較 を して み るべ き で し ょ

域 区 分 が ち が うこ と に な る の で,こ

  章 末 の 問 題 の うち,問

た

とえ ば 「平 均 値 の ち が い 」 と して 説 明 さ れ るか も

こ で 示 した 扱 い は で き ませ ん.

６で す.

7.5  ロー レン ツ カー ブ に お け る観 察 単 位 の サ イ ズ 差 の扱 い   ①7.1節

で,「 Ｋ 県 の 市 町 村 別 病 床 数 」の 分 布 に 関 す る ロー レ ン ツ カ ー ブ を 示 し

ま し た(図7.5.1,図7.1.4の ま し た.こ

こ で,そ

再 掲)が,考

の 後 をつ づ け ま し ょ う.

  図 に 付 記 し て あ る よ う に,ジ 大 き い 値 で す.こ

え る べ き問 題 が 残 っ て い る と注 意 して お き 図7．5．1  ロー レ ンツ カー ブ の 例

二 係 数 は0.74と

い う

の こ とか ら,「 病 床 数 が 一 様 に 配 置

さ れ て い る と は い え な い 」… そ う 解 釈 し て よ い で し ょ うか.こ

うい う問 題 で す.

  一 様 と い う語 の 解 釈 が 問 題 で す.ま

た,そ

の 語 の解

釈 に 応 じ て ロー レ ン ツ カー ブ の 書 き 方 や 指 標 の選 び 方 を か え る こ とが 必 要 で す.  ②

問 題 点 を 説 明 す る た め に,ま

ず,ロ

カー ブ の 誘 導 手 順 を要 約 して お き ま し ょ う.

ーレ ンツ

市町村の病 床数

◆ ロ ー レ ンツ カー ブの 書 き方 Ａ

観 察 単位(ｅ)を 観 察値 の大 きさ(Ｘ)の 順 に並 べ その順 位(＝ 観 察単 位数 の 累積)を 横軸 に と り Ｘ の 累積値 を縦 軸 に とって 図示   こ こ で,   観 察 単 位 を大 き さ の 順 に 並 べ る と き,   そ れ ぞ れ を １と カ ウ ン ト して い ます か ら,そ の 順 位 ＝観 察 単 位 数 の 累 積 と解 釈 で き る こ と に な り ます.   ま た,こ

の こ とか ら,ロ

察 単 位 が ○%の

ー レ ン ツ カ ー ブ が 直 線 に な っ た と き,「 順 位 ○%ま

で の観

値 を もつ 」す な わ ち 「Ｘ の 分 布 が 一 様 だ 」と い う解 釈 が 誘 導 さ れ るの

で す.   図7.5.1の

場 合 は,各

市 町 村 を ひ とつ ひ とつ の 観 察 単 位 と み て い ま す か ら,観 察 単

位 の 大 き さ が 異 な り ます.こ

の こ と を考 え に 入 れ る こ とが 必 要 で す.

  各 観 察 単 位 を そ れ ぞ れ １つ の 単 位 と し て 扱 っ た場 合,「 ジ 二 係 数 が 小 さ い,よ っ て 一 様 に 分 布 して い る 」 とい う結 論 は ,「 観 察 単 位 の サ イ ズ い か ん に か か わ ら ず,同 じ 数 だ 」 と い う こ と で す が,こ

れ を 「一 様 だ 」と い う解 釈 に つ な ぐ と,異

論 が出 るで

し ょ う.   「ジ 二 係 数 が 大 き い,よ

っ て,一

様 に 分 布 して い る と は い え な い 」 と い う結 論 に 対

し て は,「 各 市 町 村 の サ イ ズ差 が 考 慮 さ れ て い な い … 大 き い 市 町 村 で 多 く,小

さい

市 町 村 で は 少 な い の は 当 然 だ 」 と批 判 さ れ る で し ょ う.   問 題 と さ れ て い る の は,た か 」を み る こ と で す か ら,こ す.一

と え ば 「人 口 あ た りで み て 公 平 に 配 置 さ れ て い る か 否 の 図 で は,問

題 意 識 に答 え た こ とに な って い な い の で

様 とい う コ トバ を使 う と き に は,こ

う い う問 題 意 識 を もち こ む こ と が 必 要 と さ

れ る の で す.   ③   よ っ て,観

察 単 位 の サ イ ズ差 を考 慮 に 入 れ る こ とに し ま し ょ う.

  まず 考 え られ る の は,「 人 口 あ た りで み て一 様 か 否 か をみ よ 」 と い う な ら,  

基 礎 デ ー タ Ｘ を サ イ ズ Ｓ で わ っ てY=X/Sと

お き か え,

  Ｙ に つ い て の ロー レ ン ツ カ ー ブ をか く こ とで し ょ う.   上 掲 の 書 き方 Ａ に お け る指 標 Ｘ の か わ りにX/Sを が,書

き 方 Ｂ で す.

使 う も の とす る の で す.こ

れ

図7.5.2 

人 口あ た り比 率 に して 扱 う

図7.5.3 

観 察 単 位 の サ イ ズ差 を考 慮

◆ ロー レ ンツ カー ブの 書 き 方 Ｂ

観察 単位(ｅ)を 指標Y=X/Sの

大 きさの 順 に並べ

その順位(＝ 観 察 単位 数の 累積)を 横 軸 に と り Ｙ の累積値 を縦軸 に とって図示   こ の 案 に 沿 っ て か く と,図7.5.2が   ほ ぼ 直 線 に な っ て い ます.ジ れ ば,ほ

小 さ い 値 で す か ら,人

口あ た りでみ

ぼ 一 様 に 配 置 され て い る と判 定 で き ま す.

  こ れ で よ さ そ うで す が,別  ④

得 られ ま す.

ニ 係 数 も0.392と

の 書 き方 が 考 え ら れ ま す.

次 の 書 き方 Ｃ で す.   ◆ ロー レンツカーブの書 き方 Ｃ 観 察 単 位(ｅ)を 指 標Y=X/Sの

大 きさの順 に並 べ

Ｓ の 値 を 累 積 した 値 を横 軸 に と り Ｙ の 累積 値 を縦 軸 に と っ て 図 示   「観 察 単 位 数 の 累 積 」の と こ ろ を,「 観 察 単 位 の サ イ ズ Ｓ の 累 積 」 とお きか え て い る こ と が こ の 案 の 意 義 で す.こ   「Ｓ で み て ○%の

の お きか え に よ っ て

範 囲 に Ｘ の △%が

集 中 して いる」

とい う見 方 に,自

然 な 形 で 対 応 す る 表 わ し方 に な っ て い ま す.

  図7.5.3が,こ

の 書 き方 に よ っ た ロー レ ン ツ カ ー ブ で す.

 ⑤

こ の よ うに ３ とお りの 書 き方 に よ っ て,著

し く ち が う図 に な る とす れ ば,当

然

どれ が 妥 当 か を考 え る こ とが 必 要 で す.   ３ とお りの 扱 い 方 の ちが い は す で に 表 示 し て あ り ます が,ち に 焦 点 を あ て れ ば,次   説 明 図 で は,各

ペ ー ジの 図7.5.4で

市 町 村 の 情 報 を(X,S)を

が った図 に な る とこ ろ

説 明 で き ま す. 成 分 とす るベ ク トル で 表 わ し て い ます.

図7.5.4 

観 察 単 位 の サ イ ズ差 へ の 対 応

  まず,   こ れ ら の ベ ク トル を   X/Sす

な わ ち,ベ

ク トル の 方 向 角 の順 に

  加 え て 得 ら れ る折 れ 線 が ロ ー レ ン ツ カ ー ブ だ と理 解 で き る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   た だ し,   各 観 察 単位 の 情 報X/S(ベ

ク トル の 長 さ)に つ い て,ち

が った扱 い

を して い ます.   す な わ ち,  書 き方 Ｃ で は,(X,S)の

情報 をその ままの形 で扱 ってい る

 書 き方 Ｂ で は,Ｓ ＝ 一 定 の 断 面 の とこ ろ まで ベ ク トル を伸 縮 して い る  書 き方 Ａ で は,Ｓ ＝ 一 定 の 断 面 へ 射 影 した 形 で 扱 っ て い る の で す.   よって  

観 察 単 位 の サ イ ズ 差 を 考 慮 せ ず に 扱 う 

書 き方 Ａ

 

観 察 単 位 の サ イ ズ 差 を 補 正 し た指 標 を 使 う  

観 察 単 位 は サ イ ズ 差 を考 慮 せ ず,そ

れ ぞ れ １つ と扱 う 

書 き方 Ｂ

 

観 察 単 位 は サ イ ズ 差 に応 じた ウ エ イ トを 考 慮 し て 扱 う 

書 き方 Ｃ

とい う使 い わ け をせ よ と い う こ と に な りま す.   「一 様 分 布 か 否 か をみ る 」に して も,

 「 一 様 とい う こ との 意 味 」 を考 え る こ とが 必 要 で あ る こ と,特 に,   サ イ ズ の 異 な る観 察 単位 の 情 報 を 扱 う と き に,   手 法 の 選 択 を 誤 る と,誤 読 の お そ れ が あ る こ と に 注 意 し ま し ょ う.  ⑥

前 項 に お け る サ イ ズ の か わ りに,Ｘ

の 大小 を説明 す る変数 Ｚ を使 っ て同 じよ

うに ロ ー レ ン ツ カ ー ブ をか くこ と が 考 え ら れ ます.  説 明変数 Ｚ の大 きさの順 に   被 説 明 変 数 Ｘ の 値 を 累 積 して み る   こ の 形 で か い た ロー レ ン ツ カ ー ブ が 直 線 に な る こ と は,   比 率X/Zが

一定だ

とい うこ とで す.   し た が っ て,ロ に つ い て は,無

ー レ ン ツ カー ブ を こ うい う場 面 で 使 う こ とが で き ま す が,ジ

条 件 に 使 う こ と は で き ま せ ん.保

留 条 件 が つ き ま す.す

が Ｚ に 対 して 単 調 増 加(ま た は 減 少)し て い る と い う条 件 で す.こ い な い と き は,ロ

ニ係 数

な わ ち,Ｘ

の 条 件 を み た して

ー レ ン ツ カ ー ブ が 対 角 線 と 交 わ る ケ ー ス が あ り う る か ら で す.

7.6  基 礎 デ ー タ の 表 現 に 関 す る問 題  ①

図7.1.8で

例 示 し た 「貯 蓄 保 有 高 の ジ ニ 係 数 」の 推 移 に お い て,基 礎 デ ー タ の

選 択 に つ い て考 え る べ き点 が あ る …   こ の 節 で は,利

と指 摘 して あ り ま した.

用 で き る(利 用 で き そ う な)デ ー タ を あ げ て,ど

れが 採 用 され て い

る か を探 りつ つ,基 礎 デ ー タ の 選 択 が 結 果 に 大 き くひ び く こ と を指 摘 し ま す.  ②

各 世 帯 の 貯 蓄 保 有 高 以 下(貯 蓄 保 有 高 を Ｘ と表 わ す)の 分 布 を表 わ す 統 計 表 と

い う と,次 の 表7.6.1が

典 型 で す.

  こ れ に も とづ い て ロー レ ン ツ カ ー ブ と ジ ニ 係 数 を 求 め る に は,7.1節

に示 した計 算

フ ォ ー ム を適 用 す れ ば よ い の で す.   た だ し,上 位 の 階 級 区分 の 幅 が 広 く,区 間 の上 限 が 明 示 され て い ませ ん.   そ の こ とか ら,各 区 分 の 代 表 値 を ど う想 定 す るか が 問 題 に な り ま す.特

に,年

次変

化 を 調 べ よ う とす る と,  年 々 最 上 位 の 世 帯 数 が 多 く な る こ と   そ の た め,あ

る年 次 に,区

切 り方 が 改 定 され る こ と

か ら,計 算 結 果 に 段 差 が 現 わ れ ま す(図7.6.3の

実 線).

  「区 切 り方 を 改 定 し な け れ ば な ら な い,   しか し,改 定 す る と そ の こ と が 結 果 に ひ び く」 とい う こ とで す.  ③

区 切 り方 を 表7.6.2の

形 式 に し た 統 計 表 が あ り ます.第

３章 で 述 べ た ５数 要 約

表7.6.1 

統 計 調査 に お け る 分 布 の 表 現(１)

表7.6.2 

統 計 調 査 に おけ る分 布 の 表 現(２)

図7.6.3 

図7.1.8に

関 す る別 デー タ に よ る計 算 結 果

の 形 で 表 現 し た も の です.   階 級 区 分 の 区 切 り方 が 実 額 で な く,ラ

ン ク区 分 に よ って い る た め,年

次に かか わ ら

な い 区 切 り方 に な っ て い るの で す.   区 切 り数 が 少 な く,区 切 り幅 が 広 い た め,各 が 残 っ て い ます が,計   図7.6.3で

は,破

区 分 の 代 表 を想 定 しに くい と い う問 題

算 結 果 に 段 差 を生 じ る とい う問 題 は 避 け られ ます.

線 で示 して あ り ます.破

線 の な い 部 分 は,こ

の形 の統 計表 が集 計

さ れ て い な か っ た 部 分 で す.   ラ ン ク区 分 を も っ と細 か くす れ ば,代 表 値 の 想 定 が しや す くな りま す が,貯 蓄 保 有 高 に つ い て は,こ

の 形 式 の 統 計 表 が 集 計 さ れ て い る の は,1978年

以 降 です.

  ◇ 注  た とえ ば,コ ン ピュー タ用 のデ ー タベ ー ス に収録 す る とき,こ の よ うな 区切 り方 の 変 更 に関 す る情報 が 記録 され て い る とは 限 りませ ん.   また,基 本 的 な問 題 と して,「 区 切 り方 が 不 適 当 で あ っ て利 用 しに くい 」こ と もあ りま す.

表7.6.4 

 ④

図7.1.8で

統 計 調 査 に おけ る分 布 の 表現(３)

扱 っ た数 字 は,表7.6.1,表7.6.2の

ど ち ら と も合 致 して い ませ ん.

  図 の 見 出 し に あ る 「所 得 階 級 で み た 」 とい う 句 は,「 貯 蓄 保 有 高 の 分 布 」の デ ー タ に 問 題 が あ る が ゆ え に,表7.6.4の

デ ー タ を代 用 し た こ と を示 して い る の で す.

  キ イ ワ ー ド 「年 収 五 分 位 階 級 」,「貯 蓄 保 有 高 」の 両 方 で 検 索 す る と,表7.6.4の

形

の 統 計 表 が み つ か る で し ょ う(大 き い統 計 表 の 一 部 に な っ て い ます).   こ の 表 は貯 蓄 高 Ｘ の 分 布 を み る た め に 用 意 さ れ た 表 で す が,階

級 区分 の 基礎 デ ー

タが Ｘ で な く,年 収(以 下 こ れ を Ｚ と す る)に な っ て い ます.し や 表7.6.2の

よ うに Ｘ そ の もの の 分 布 に つ い て 計 算 した ジ ニ 係 数 と ち が う値 に な り

ます が,7.5節

で 述 べ た よ う に,Ｘ

の 変 化 を 説 明 す る Ｚ を使 っ て

  Ｚ の 低 い 方 か ら世 帯 を並 べ,Ｘ 形 の ジ ニ 係 数 だ と理 解 す れ ば,こ   ま た,こ

た が っ て,表7.6.1

の シェアー の変化 をみ る

れ を使 う こ とが で き ます.

の 形 の 統 計 表 を 使 う な ら,階 級 区 分 内 の 世 帯 で み た 平 均 値 が 集 計 され て い

ます か ら,各

区 分 の 代 表 値 を 想 定 し な く て す み ま す.し

た が っ て,年

々 の 推 移 を,

「 計 算 手 順 で の 想 定 」に 影 響 さ れ な い 形 で 把 握 で き る こ とに な りま す.   も ち ろ ん,結

果 に 段 差 が 発 生 す る こ とは あ り ませ ん.

 ⑤

こ の 節 の 例 示 で み た よ うに,利

す.ひ

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 の情 報 が 使 え る な ら,こ

用 で き る統 計 表 の 形 式 に 注 意 す る こ と が 必 要 で

が,統

計 調 査 の 場 合 は,「 統 計 表 の 形 に 集 計 され た 結 果 」の 範 囲 で 使 う こ と に な り ま

す.ま

た,こ

うい う 問 題 は 起 こ ら な い の で す

の 節 で例 示 し た 注 意 が 必 要 とな る の で す.

統 計学 で扱 う数 は,具体 的な 意味 を もつ数 的情報   統 計 学 で 扱 う数 は,数 す.そ

学 的 な 扱 い をす るに して も,数 学 で 扱 う数 とは ち が い ま

れ ぞれ の 数 字 は あ る 情 報 を表 わ し て い ま す.そ

う し て,そ

れ が もつ 意 味 を

拾 い 出 す こ と を考 え て い る の で す.   当 然,そ

の 定 義,そ

の 求 め 方 を考 慮 に 入 れ た 扱 い 方 を考 え る こ とが 必 要 で す,

  一 定 の 条 件 下 で く りか え し観 察 さ れ た 「き れ い な デ ー タ 」ば か りで は な く,そ れ ぞ れ 異 な っ た 条 件 下 で 観 察 され た 「よ ご れ た デ ー タ」を 対 象 と し な け れ ば な ら ず,「 き れ い な デ ー タ を 想 定 し た き れ い な 方 法 」を適 用 で き る と は 限 り ま せ ん. し た が っ て,ま 必 要 で す.統

ず,「 デ ー タ を き れ い に す る 」た め の ス テ ッ プ を 適 用 す る こ と が

計 学 を 適 用 す る と きに,注

意 すべ き こ とで す.

問題7

【ロー レ ン ツ カー ブ と ジ ニ 係 数 】 問 １  (１)次

は,わ

1996∼98年  l998年

が 国 に お け るパ ソ コ ン 販 売 台 数 を98年

の 上 位 ７社 に 注 目 し て,

に つ い て 調 べ た 結 果 で あ る. に お け る各 社 の シ ェ ア ー を 示 す ロー レ ン ツ カ ー ブ を か き,ジ

ニ係 数 を

計 算 せ よ. 表7.A.1

  (２)1996年

に お け る各 社 の シ ェ ア ー を 示 す ロ ー レ ン ツ カ ー ブ を か き,ジ ニ 係

数 を 計 算 せ よ.こ で は,1998年

の 場 合,上

位 ７社 の 範 囲 が か わ る可 能 性 が あ るが,こ

に お け る上 位 ７社 に つ い て み る もの と し て い る.1996年

のデー タ の結 果 と

1998年 の 結 果 を 比 べ る と き,こ の こ と が ど う影 響 す る か を 指 摘 せ よ. 問 ２  (１)次 で あ る.こ

は,各

県 の 県 内 総 生 産 額(単 位:百

億 円)を 上 位10県

れ(以 下 Ｘ と表 わ す)に つ い て,経

に つ い て み た もの

済 活動 の地 域別 構 成 の変化 をみ る

もの とす る. 表7.A.2

  ａ.こ の10県

の 範 囲 で み た ロ ー レ ン ツ カ ー ブ と ジニ 係 数 を各 年 次 ご と に 求 め,

比 較 せ よ.  ｂ.順 位 の 入 れ か わ っ た 県 が あ る が,そ の 順 位 を 使 っ て 計 算 す る と,1990年   ｃ.10年

の こ と を無 視 し,1980年

における Ｘ

の結 果 は ど うか わ る か.

間 の変 化 率 を計 算 し,こ れ を 比 べ て 「変 化 の 大 きか っ た 県,小

さか っ

た 県 」を調 べ て み よ. (２)(１)に あ げ た10県 を行 な っ て み よ.た

以 外 の37県

だ し,37県

を 「そ の 他 」と み な し て,(１)の

ｂ,ｃの 計 算

の 値 ひ とつ ひ とつ の ちが い は 考 慮 し な い もの と

す る.い

い か え れ ば,順

県 が37あ

位11以

降 に 同 じ値(37県

の 合 計 値 の1/37の

値)を も つ

る もの と して 計 算 す れ ば よ い.

  (３)(１)に あ げ た10県

以 外 の 値 を適 当 な 資 料 か ら拾 っ て,(２)に 示 し た 簡 単 化

を行 な わ ず に 計 算 す る と,結 果 は ど うか わ る か. 間 ３  (１)付

表X.4に

つ い て ジ ニ 係 数 を 計 算 し,テ

キ ス トの 本 文(表7.1.5)に

示 し

た 値 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.   (１)の 計 算 を プ ロ グ ラ ムBUNPU2に て セ ッ トし て あ る が,テ

よ っ て 行 な え.基

礎 デー タ は例 示 用 と し

キ ス トの 説 明例 ２(大 き い 方 か ら 累 積)と 表 示 され て い る

分 を 使 うこ と.   注:大

きい方 か ら累積 す る表 現 が ロー レン ツ カー ブ での 慣 習 で あ るが,累 積 分 布 図 な

ど と合 わせ るため には,小 さい 方か ら累積 す る表 現 を採 用 す る方 が よい だ ろ う. 【 分布 の表 現】 問 ４  (１)付

表X.4に

つ い て,分 布 図,累

積 分 布 図,ロ

ー レ ン ツ カ ー ブ をか け.

ま た,累 積 分 布 図 に つ い て は,正 規 分 布 と比 較 す る た め のQ-Qプ はP-Pプ

ロ ッ トを か け.す べ て,プ

  (２)付 表X.4の 問 ５  (１)付

ロ グ ラ ムBUNPU2を

デ ー タ を対 数 変 換 し た もの に つ い て,(１)と

表 Ａ の う ち収 入 総 額 に つ い て,分

ブ をか け.ま

た,累

布 図,累

積 分 布 図 に つ い て は,正

ロ ッ トあ る い はP-Pプ

ロ ッ ト をか け.こ

ロ ッ トあ る い

使 うこ とが で き る. 同 じ 図 をか け.

積 分 布 図,ロ

の 場 合,基

礎 デ ー タ が 観 察 単 位 ご との

デ ー タ だ か ら,分 布 表 を求 め る過 程 を含 む プ ロ グ ラ ムBUNPU1と 方 指 定 文 を付 加 し た デ ー タ フ ァ イ ルDH10VXを   注:BUNPU1の

使 う こ と.

使 うこ ともで きます.

  (２)(１)で 取 り上 げ た 収 入 総 額 を 対 数 変 換 し た値 に つ い て,付 累 積 分 布 図,ロ

ー レ ン ツ カー ブ をか け.ま

と比 較 す る た め のQ-Qプ   (３)付

値 域の 区切 り

処理 手順 を 「 正 規 分布 と比 較 す る場 面 に特 化 した もの」がBUNPU4

です.こ の 問題 に 限 れ ばBUNPU4を

7.2.1に

ー レンツ カー

規 分 布 と 比 較 す る た め のQ-Qプ

た,累

ロ ッ トあ る い はP-Pプ

表 Ａ の う ち収 入 総 額 に つ い て,標

表 Ａ の 分 布 図,

積 分 布 図 に つ い て は,正

規分布

ロ ッ トを か け.

準 化 し,デ ー タ を 本 文7.2節

の例

示 し た 区 切 り値 に よ っ て ラ ン ク値 に 変 換 し,そ の ラ ン ク値 に つ い て,(１)

と 同 じ 図 を か け.プ PROBIT変

ロ グ ラ ムBUNPU1に

含 まれ る変 数 変 換 機 能 の う ち

換 を 指 定 す る と,こ の 変 換 が 実 行 さ れ る.

  注:こ の 問 い の ロー レ ンツ カー ブが,本 文7.2節 の例 題 の図7.2.3で 問 ６  図7.4.3で

男女 の 血 圧 の 分 布 を比 べ て い るが,こ

差 の 比 較 は別 に行 な う もの と す れ ば,偏 考 え ら れ る.こ

れ に つ い て,平

あ る. 均 値 と標 準 偏

差 値 に 注 目 して 分 布 形 を 比 較 す る こ とが

の 考 え 方 で 比 較 し て み よ.

【 基礎 デー タの扱 い方 】 問 ７  ａ.付 表B.2は

各 県別に みた 「 一 般 病 院 ・診 療 所 病 床 数 」で あ る.こ

異 を み る た め に,ロ

ー レ ン ツ カ ー ブ をか き,ジ ニ 係 数 を計 算 せ よ.

の 県別 差

ｂ.付 表B.4は,付

表B.2の

れ に つ い て,ロ

デ ー タ を 人 口 あ た りに 換 算 し た もの で あ る.こ

ー レ ン ツ カ ー ブ を か き,ジ

ｃ.ａ の 結 果 と ｂ の 結 果 の ちが い は,ど ｄ.各

県 の 人 口数(付 表B.5)を

サ イ ズ とみ な し て,表7.1.3に

ロ ー レ ン ツ カ ー ブ をか き,ジ

示 した方 法 で

ニ 係 数 を求 め よ.

ｅ.ｂ の 結 果 と ｄの 結 果 の ち が い は,ど 注:プ ロ グ ラムLAURENTZを

ニ 係 数 を計 算 せ よ.

う解 釈 す べ き か.

う解 釈 す べ きか.

用 意 して あ り ます.ま た,こ の 問題 用 の デ ー タの う

ち1975年 分 が例 示 用 と して 用意 され て い ます. 【 順 位 統計 量に よ るジニ係数 計 算】 問 ８  (１)５ 点 表 示 の 基 礎 数Q0,Q1,Q2,Q3,Q4を

使 っ て ジ ニ 係 数 を計 算 す る式

ジ ニ 係 数=〓   を 導 け.   ヒ ン ト:説   (２)五 て,ジ

明 図7.1.7をQ0,Q1,Q2,Q3,Q4で

書 き 表 わ せ ば よ い.

分 位 階 級 の 区 切 り 値Q0,Q1,Q2,Q3,Q4,Q5(す

な わ ち 五 分 位 値)を

使 っ

ニ 係 数 を 求 め る 計 算 式 を 導 け.

  (３)Ｋ

分 位 値Q0,Q1,Q2,…,QKを

使 う 場 合 に 一 般 化 す る と,次

の よ うに な る

こ と を示 せ

ジニ 係 数=〓 問 ９  (１)付

表E.1は,家

計 調 査 の 年 間 収 入 の 階 級 別 世 帯 数 の デ ー タ で あ る.こ

れ

を使 って 年 収 分 布 の ロー レ ン ツ カ ー ブ をか き,ジ ニ 係 数 を 計 算 せ よ.   (２)付

表E.2は,年

間 収 入 の 五 分 位 階 級 区 分 の 区 切 り値 で あ る.こ

て ロ ー レ ン ツ カー ブ を か き,ジ ニ 係 数 を計 算 せ よ.た

だ し,Q0は

れ を使 っ

０,Q5はQ4×

2と み なす もの とす る.   (３)付

表E.3は,年

間 収 入 の 五 分 位 階 級 区 分 ご と に み た 平 均 値 で あ る.こ

を使 っ て ロ ー レ ン ツ カ ー ブ をか き,ジ

れ

ニ係 数 を計 算 せ よ.

  ヒ ン ト:各 階 級 ご との 平均 値 ×世 帯 数 が,そ の 階級 の世 帯 の合 計値 に あ た る こ とを 利 用 す る方 法 と,各 階 級 に おけ る平均 値 を その階 級 に おけ る中位 値 だ とみ なす 方 法 が 考 え られ る.   (４)年

間収 入 十 分 位 階 級 区 分 の 区 切 り値 を 使 っ て,問

た だ し,最 下 位,最 が 高 い の で,こ

８(３)の計 算 を行 な え.

上 位 の 区 分 は 特 別 の 事 情 を もつ デ ー タ が 混 在 して い る 可 能 性

れ ら を 除 い た ８区 分 を 八 分 位 階 級 とみ て 計 算 す る もの とす る.

【ロ ー レ ン ツ カ ー ブ の 定 義 に 関 す る問 題 】 問10  (１)付

表G.1の

年 収 区 分 計 の デ ー タ を 使 っ て ジ ニ 係 数 を 計 算 し,本

文の 図

7.6.3に 示 し た結 果 が 得 られ るか.   (２)付

表G.2の

年 収 区 分 計 の デ ー タ を使 っ て ジニ 係 数 を計 算 し,(１)の 結 果 と

比 較 せ よ.   (３)本 文 の 図7.1.8は,家 有 額 の デ ー タ(付 表G.2)を

計調 査 の年 間収 入五 分位 階級 に お け る平 均貯 蓄 保 使 っ て,貯

蓄 保 有 額 の ジ ニ 係 数 を求 め て そ の 年 次 推

移 を示 し た も の で あ る.図 示 した 結 果 が 得 ら れ る こ とを 確 認 せ よ.   注:年 間 収 入 に よっ て順 位づ け して,そ の 順 に 累積 した貯 蓄 保 有 高 に つ い て の ロー レ ン ツ カー ブ をか く形 に な る.テ キス ト本 文 の 説明 を参 照せ よ. 問11  変 数 Ｘ の 分 布 が 「 指 数 分 布 」す な わ ち 次 の 式 で表 わ さ れ る もの とす る.  f(X)=λe-λX   こ の 分 布 に つ い て,

 累積分 布が  その逆 関数 が  ロ ー レ ン ツ カ ー ブ が

で表 わ さ れ る こ と を示 せ. 注:こ の問題 の よ うに,Ｘ S(P)が  

の値 の上 限 が な い場 合 に は,P⇒1の

と きX(P)あ

るいは

∞ に な るため,ジ ニ係 数 が求 め られ な い(０に なる).

したが って,ジ ニ係 数 は,観 察 単位 数 が 有 限 で あ って,指 標値 の 上 限 を特 定 で き る場 合 に限 っ て適 用 すべ きで あ る.

 

また,観 察 単位 数 が有 限 であ って も,値 が ０に 近 い観 察 単 位 数 が 多い と き に は, そ の部 分 の影 響 で,観 察値 の値 が 大 きい部 分 の状 態 を反 映 しない結 果 に な る.

付録 Ａ

図表番号 

図 ・表 ・例 題 の 資 料 源

図表 名  人口密度 の比較 

1975年 国勢 調 査

図1.3.2(a) 

歩 くこ とは健 康 に よ い 

1991年4月30日

図1.3.2(b) 

図1.3.2(a)中

1989年 国民 栄 養 調 査 

図1.4.1  図1.4.2 

の グ ラ フ 

血圧の年齢別変 化(１)  血圧 の年齢別変 化(２) 

表名  FilelD

資料源 

図1.3.1 

朝 日新 聞

付表 Ｍ  DI50 付表 Ｌ  DI10 1985年 国 民栄 養 の 現状  付表 Ｌ  DI10 1983年 賃 金 構 造 基 本調 査  付表 Ｃ  DE01 DA01 人口動態統計  1985年 国民 栄 養 の 現状 

図1.4.4 

賃 金の年齢別 推移  出生率 の推移 

図1.A.1 

週 休 ２ 日制 普 及率(１) 

図1.A.2 

週 休 ２ 日制 普 及 率(２) 

表2.1.1 

平 均 値,標

モ デ ル例 １ 

付 表X.1

表2.1.2 

平均値,標 準偏 差の計算例 

モ デ ル例 ２ 

付 表X.2

表2.1.3 

平均 値,標

仮 想例

図2.2.1 

賃 金の分布 表 と分布 図 

図2.2.2 

平均 値,標

図2.2.3  表2.2.4 

図1.4.3 

準偏 差 の 計 算 フ ォー ム １と ∼  準偏 差 の 計 算 フ ォー ム ２ と∼ 

賃金労働時間制度総合調査

モ デ ル 例 ４  モ デ ル例 ３ 

付 表X.4  XX0l 付 表X.3  XX0l

中位値,四 分位 偏差 とその図示 

モ デ ル例 ３ 

付 表X.3  XX0l

中位 値,四

分位 値 の 計 算 フ ォー ム(ｌ) 

仮 想例

表2.2.5 

中位 値,四

分位 値 の 計 算 フ ォー ム(２) 

図2.3.2 

慣 用 さ れ る デ ー タ整 理 の 方 法 

表2,3.3(a) 

分布表  分布図をか くための計算 と分布図 

図2.3.4  図2.3.5  表2.3.6  図2.3.7  図2.3.8(a)  図2.3.9 

準偏 差 とそ の 図 示 

モ デ ル例 ３ 

付 表X.3  XX01

仮 想例 仮 想例 付 表X.4  XX01

モ デ ル例 ４ 

仮 想例 区分数 をかえた分布図の例  家計調査 で採用 されてい る分布の情報 表現 家計調査年報  モ デ ル 例 ４  分布図をか くための計算 と累積分布 図  デ ー タ 整理 法  仮 想例 仮 想例 幹葉表示 の表現例 

付表 Ｅ DK10 付 表X.4  XX0l

付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10 付 表X.4 XX0l

モ デ ル 例 ３ 

図2.4.5 

標準正規 分布 と比較す るための計算  正規確率 紙の使用例 

表2.4.6 

正 規確 率 紙 に プ ロ ッ トす る ため の 計 算 

モ デ ル 例 ３  モ デ ル例 ３ 

図2.4.8 

分布形の対数変換 

モ デ ル 例 ４ 

図2.5.1 

「Ｎ 個 の観 察値 の 平 均 値 」200組 の 分 布 図 

1985年 賃 金構 造 基 本 調査* 

DE13

図2.5.2 

平均値 の分布 

1985年 賃 金 構 造 基 本 調 査* 

DE13

表3.2.2 

高 次 の モ ー メ ン トの 計 算 

図3.4.6 

賃金月額の分布比較 

仮想例 賃金構造基本調査 

付表 Ｃ DE03

県別病床 数の地域差 

社会生活統計指標 

付表 Ｂ  DI91

ボ ッ クス プ ロ ッ トに お け る フ ェ ン ス の 表 現  社会生活統計指標 

付表 Ｂ  DI91

図2.4.2 

図3.5.1 ∼ 図3

.5,10 

図3.6.1 

図4.1.1 

２つの要因の効果 比較 

図4.1.2 

区切 り方 を か え る 

図4.1.3 

２つ の 要 因 を組 み合 わせ る 

図4.1.4 

ヒ ン ジ ト レ ー ス 

家計調査 モデルデー タ  家 計調査モデルデー タ  家 計 調 査 モ デ ル デ ー タ 

付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10

表4.2.1 

基準をかえて分散 を計算 

家 計 調査 モ デ ル デ ー タ  モ デ ル 例 ２ 

図4.3.1 

分 析 の フ ロー と偏 差 平 方 和 の減 少 

モ デ ル例 ２ 

付 表X.2

表4.3.3 

モ デ ル例 ２ 

付 表X.2

表4.3.5 

分散分析 表(計算例)  分散分析 表(計算例) 

モ デ ル例 ２ 

付 表X.2

図4.4.1 

分 析 の フ ロ ー 

表4.4.2 

人 口あた り病床 数の県別値の分散分析表  人口あた り病 床数の県別値 の分散分析表 

社会生 活統 計指標  社会生 活統 計指標  社会生 活統 計指標 

付表 Ｂ  DI91 付表 Ｂ  DI91 付表 Ｂ  DI91

(病床数の)県別 差異 

社会生 活統計指 標 

付表 Ｂ  DI91

食 費支 出の世 帯人貝お よび月収別比較 

家計調査 モデルデー タ 

付表 Ａ DH10

２要 因によ る分析例  分散分析表  分散分析表  分散分析表 

家計調査 モデルデー タ  家計調査 モデルデー タ  家計調査 モデルデー タ  家計調査 モデルデー タ 

付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10 付表 Ａ DH10

表4.A.1 

モデ ル デ ー タ ５ 

モデ ル例 ５ 

表4.A.2 

モ デ ル デ ー タ ６ 

モデ ル 例 ６ 

付 表X.5  XX01 付 表X.6  XX0l

分散分析表 

家計調査 モデ ルデー タ 

付 表 Ａ DH10

２要 因の場合 の分散分析 表 

家計調査 モデ ルデー タ 

付 表 Ａ DH10

◆5.6.9 

平均値に関す る仮説検定  平均値の差 に関 する仮 説検定(１)  平均値の差に関す る仮 説検 定(２)  ２つ の要因 の効 果分析 

表4.4.3  図4.4.4 ∼4

.4.5 

図4.6.1 ∼4

.6.6 

図4.7.2  図4.7.3  図4.7.4  表4.7.5 

表5.1,1

付 表X.2

∼5.1.4 

表5.2.1 ∼5

.2.5 

表5.7.4 

例5.6.3の

例5.7.1 

２つの要因の効果分析 

表5.7.6 

例5.7.1の

表5.7.7 

偏差平方和の計算 

仮想例 仮想例 仮想例 仮想例 仮想例 仮 想例 仮想例 仮 想例

問 題 ５用 の デ ー タ 

仮想例

３社 の給与水準 比較  ３社の年齢構成 

モ デ ル例 ７ 

付 表X.7

モ デ ル例 ７ 

付 表X.7

モ デ ル例 ７ 

付 表X.7

表6.3.2 

直接 法によ る標準化平均値 の計算例  間接 法に よる標準化平均値 の計 算例 

モ デ ル例 ７ 

付表X.7

表7.1.1 

集 中度の見方 

図7.1.2 

ロ ー レ ン ツ カ ー ブ 

仮想例 仮 想例

図7.1.3 

ロー レ ン ツ カ ー ブ の 例(賃 金 月 額) 

モ デ ル例 ４ 

図7.1.4 

ロー レ ン ツ カ ー ブ の 例(市 町 村 の病 床数) 

1990年 地域医療施 設基礎調査 

例5.5.1  ◆5.6.2  ◆5.6.3 

表5.A.1

観 察 値Xu  観 察 値XIJK 

∼5.A.8 

表6.1.1  表6.1.2  表6.2.2 

表7.1.5 

ロー レ ン ツ カ ー ブ をか くため の 計 算 

モ デ ル例 ４ 

図7.1.8 

所得階級別 にみた∼ ジニ係数の推移 

図7.2.2 

ロー レ ン ツ カ ー ブ をか くため の 計 算 

貯蓄動 向調査報告  家計調査 モデル例 

付 表X.4  XX0l DI80 付 表X.4  XXOl 付 表G.1  DK20

付表 Ａ XX0l

モデ ル に対

観 察 値 に 対 す る Ｐ,S(P)と,

図7.2.3 ∼ 7.2.4 

す る Ｐ,S*(P)の

図?.3.3 

累積分布 比較の ための図示(１)  累積分布 比較の ための図示(２) 

仮想例 仮 想例

図7.3.6 

Q-Qプ

ロ ッ トの 例 

モ デ ル例 ３ 

図7.3.7 

P-Pプ

ロ ッ トの 例 

モ デ ル例 ３ 

表7.3.8 

P-Pプ

ロ ッ トの ため の 計 算 と∼ 

モ デ ル例 ３ 

図7.3.9 

累積 分 布 とS-Sプ

図7.3.10 

累積 分 布 とロー レ ン ツカ ー ブ 

モ デ ル例 ３ 

図7.4.1 

分布形 の比較  適合度検定 のための計算例  血圧 の分布形 の男女差 

仮 想例

図7.3.2 

図7.4.2  図7.4.3  図7.5.1 

図7.5.2 

図7.5.3 

図7.5.4 

図7.6.1  図7.6.2  図7.6.3  図7.6.4 

付 表 Ａ XX0l

家計調査 モデル例 

図 

付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10

モ デ ル例 ３ 

ロ ッ ト 

1985年 国 民栄 養 の現 状  1985年 国 民栄 養 の現 状 

付 表 Ｌ  DI10 付 表 Ｌ  DI10

1990年 地域 医療施 設基礎

DI80

人 口 あ た り比率 に して 扱 う 

調査  1990年 地域 医療施設 基礎

DI80

観察単位 のサ イズ差 を考慮 

調査  1990年 地域 医療施設 基礎

DI80

市町 村 別 病 床 数 の 分 布 に 関 す る ロー レ ン ツ カー ブ 

調査  1990年 地域 医療施 設基礎 観察単位 のサイズ差への対応  調査  貯 蓄動 向調査 報告  統 計調査 におけ る分布の表現(１)  貯 蓄動 向調査 報告  統 計調査 におけ る分布の表現(２)  図7.1.8に 関す る別 デ ー タに よ る計 算 結 果  貯 蓄動 向調査報告  貯 蓄動 向調査報告  統 計調査 におけ る分布の表現(３) 

表7.A.1 

日 経 パ ソ コ ン1999年

表7.A.2 

県民経 済計算

DI80 付 表F.1 付 表F.2 付 表G.2 付 表G.2

７ 月12日

デ ー タ を使 って い な い図 あ る い は表 は,こ の 表 に は含 め て い な い.

資料源  表名 

基礎 デ ー タが 掲 載 さ れ て い る 資 料 名,す

べ て 国 の 統 計 調 査 な どの 報 告 書.

基 礎 デ ー タ また は そ の参 考 デ ー タ を付 録 Ｂ に掲 載 して い る場 合,そ の 表 名.

フ ァ イル 名  添 付 し たデ ー タベ ー ス に収 録 して い る場 合 その フ ァ イ ル名. 付 録 Ｂ に 掲 載 し た範 囲 以 上 の デー タ をフ ァイ ル に 収 録 して あ る場 合 も あ る. 基 礎 デ ー タ を分 析 用 に編 成 した フ ァ イル もあ る.そ れ に つ い て は 検 索 プ ロ グ ラ ムTBL SRCHを 使 っ て 調 べ る こ と. *報 告 書 に掲 載 さ れ て い る 分 布 表 に 合 致 す る よ う に 「 個 別 観 察 単位 の 値 を ジ ェ ネ レー ト」 した もの で あ る.

付 録 Ｂ● 付 表   図 ・表 ・問題 の基 礎 デ ー タ

付 表X.1  仮 想例(１) 付 表X.2  仮 想例(２) 付 表X.3  仮 想 例(３)(40歳 付 表X.4  仮 想 例(４)(賃

台 男 性 の 血 圧) 金 月額)

付 表X.5 

仮 想例(５)(世 帯の生 計 費)

付 表X.6 

仮 想 例(６)(食

付 表X.7 

仮 想例(７)

費 支 出)

付 表 Ａ  家 計収支 の モデ ルデー タ 付 表 Ｂ  医療 施 設数の 県別 比較(1975年) 付 表 Ｃ  年齢 お よび平 均 月間所定 内給 与階級 別労働 者数(製 造 業 ・1983年) 付 表 Ｄ  企 業 規 模 別 平 均 賃 金 の 比 較(製 造 業 ・男 ・1975年 お よ び1985年) 付表Ｅ

 勤 労 者 世 帯 の 年 間 収 入(E.1分

付表Ｆ

 勤 労 者 世 帯 の 貯 蓄 現 在 高(F.1分

布/E.2五

分 位 値/E.3五

布/F.2分

分 位 階 級 別 平 均 値)

布 特 性 値)

付 表 Ｇ  勤 労者世 帯 の所得 階 級別 貯 蓄現在 高(G.1分 布/G.2分 布 特性 値) 付表 Ｈ  勤 労者世 帯 の年 齢階級別 貯 蓄現在 高(H.1分 付 表 Ｉ 

布/H.2分 布 特性 値)

消 費者物 価指 数 の推移(年 平 均値)

付 表 Ｊ  死亡 率 の地域 別 比較(説 明用仮 想 デー タ) 付 表 Ｋ  死 亡 率 の 配 偶 関 係 別 比 較(女 ・1985年) 付 表 Ｌ  血 圧 値 の 分 布(性 ・年 齢 別 ・1985年) 付 表Ｍ 

歩行 距離 と血圧 の 関係

付 表 Ｎ  身 長 ・体 重 の ク ロ ス 表(男 ・1980年) 付 表 Ｏ  県民経 済 計算 ＊  そ れ ぞ れ の 表 に 記 した 資料 か ら の 引用 です.数

字 の定 義 な ど に つ い て は,そ

れ ぞ れ の 資 料 を参

照 して くだ さい. ＊  刊 行 機 関 の 組 織 名 は,省

庁 再 編 前 の 呼 称 を使 っ て い ます.

＊  数 字 の 表 示 桁 数 な ど をか え た もの も あ ります 。 ＊  数 字 は,そ

れ ぞ れ に 付 記 した フ ァ イル 名 で,UEDAの

＊  フ ァ イ ル に は,表

デ ー タベ ー ス に収 録 さ れ て い ます .

示 し た範 囲 以 外 の 数 字 を掲 載 して い る場 合 もあ り ます .

＊  表 に 付 記 した フ ァ イル 以 外 に,分

析 用 の フ ァ イル を用 意 し て あ る 場合 もあ り ます .

付 表X.1

付 表X.2

付 表X.5

付 表X.3

付 表X.6

付 表X.7

付 表X.4

付 表 Ａ 家 計 収 支 の モ デル デ ー タ 

(百 円/月)X1:世

帯 人員   X2:収

入 総 額   X3:支

出総 額   X4:

消 費支出総額 X5:食 費支 出

X6:被 服 費 X7:住 居費 X8:光 熱 費  X9:雑 費 [フ ァイ ルDH10]

付 表 Ｂ  医療 施 設 数 の 県 別 比 較(1975年) 付 表B.1 

付 表B.2 

付 表B.3 

付 表B.4 

一 般 病 院 ・診療 所 数

一般 病 院 ・診療 所 病 床 数

人 口10万

人 口10万

人 あ た り一般 病 院 ・診 療 所 数

人 あ た り一 般 病 院 ・診 療 所 病 床 数

付 表B.5 

付 表B.6 65歳

人 口総 数(千 人)

以 上 人 口 比率

社 会 生 活 統 計 指 標(総 務 庁 統 計 局)  

[フ ァ イ ルDI91]

付 表 Ｃ 年 齢 お よび 平 均 月 間 所 定 内 給 与 階 級 別 労 働 者 数(製 造 業,男 女 計,1983年)

賃 金 セ ン サ ス 報 告 書(労 働 省)   [フ ァ イ ルDE03]

付 表 Ｄ  企 業 規模 別 平 均 賃 金 の比 較(製 造 業,男) 付 表D.1 

1975年

付 表D.2 

1985年

賃 金 セ ンサ ス報 告 書(労 働 省)   [フ ァ イ ルDE70]

付 表 Ｅ  勤 労 者世 帯 の 年 間 収 入 付表E.1  階級区分別世帯分布

付 表E.2  分布特 性…五分位値(五 分位 階級の区切 り値)

付表E.3  五分位階級別平均値

  家 計 調査 年 報(総 務 庁 統 計局)  [フ ァ イ ルDK10,DK11b,DK12]

付 表 Ｆ  勤 労 者世 帯 の 貯蓄 現在 高 付 表F.1 

付 表F.2 

階級別世帯 数分布

分 布 特 性 値 … 中位 値,四

分位値 な ど

貯 蓄 動 向調 査 報 告(総 務 庁 統 計 局)   [フ ァ イ ルDK20,DK21]

付 表 Ｇ  勤 労者 世 帯 の 所 得 階 級 別貯 蓄現 在 高(1993年) 付 表G.1階

付 表G.2 

級別世帯数分布

分 布 特 性値 … 中 位 値,四

分位 値 な ど(1993)

貯 蓄 動 向調 査 報 告(総 務 庁 統 計 局)   [フ ァ イ ルDK20_1,DK21_1]

付 表 Ｈ 勤 労 者世 帯の 年 齢 階 級 別 貯 蓄 現 在 高(1993年) 付表H.1  階級別世帯数分布

付 表H.2 

分 布 特性 値 … 中位 値,四

分位値 など

貯 蓄動 向調 査 報 告(総 務 庁 統 計 局)   ［フ ァ イ ルDK20_2,DK21_2］

付 表 Ｉ 年 平 均 物価 指 数の 推 移 付 表I.1  1980年 基 準 指 数(全 国)

*持 ち家の帰属 家賃 を除 く総合 消費者物価 指数統計年報(総 務庁統計局)   [ファイルDU10] 付 表I.2 

1985年 基 準 指 数(全 国)

*持 ち家の帰属家賃 を除 く総合 消 費者物価指数 統計年報(総 務庁統計局)   [ファイルDU11]

付 表 Ｊ  死 亡 率 の地 域 別 比 較

Ｎ:人

口数(千 人),Ｄ:死

亡 数(人) 説 明 用 の 仮 想 デー タ [フ ァ イ ル 未 登 録]

付 表 Ｋ 死 亡 率 の 配 偶 関係 別 比 較(女,1985年)

人 口動態調査報告(厚 生省) [フ ァ イル 未 登 録]

付 表 Ｌ  血 圧 値 の分 布(性,年

齢 別,1985年)

国民栄養調査or国

民栄養 の現状(厚 生省)  [フ ァ イ ルDI10]

付 表 Ｍ  歩行 距 離 と血圧 の関 係 付 表M.1

注:括 弧書 きは,平 均 値計算に使われ た対象者数 国 民 栄 養 調査(厚 生 省,1989年) [フ ァ イ ルDI  50]

付 表M.2

国 民栄 養 調 査(厚 生 省,1989年) [フ ァ イ ル 未 登録]

付 表 Ｎ   身 長 と体 重 の ク ロ ス 表(15歳

以 上,男,1980年)

国民栄養調査(厚 生省) [フ ァ イ ルDI40]

付表 ０ 県民経済計算 付 表0.1 

県 内 総 生 産,1990年(億

付 表0.2 

県 民所 得,1990年(百

円)

億 円)

付 表0.3 

県 民 １人 あた り県 民所 得,1990年(千

円)

付 表0.4 

県民 １人 あ た り県 民 所 得,1980年(千

円)

付 表0.5 

県 民 １人 あ た り県 民 所 得,1970年(千

円)

社会生活統計指標(総務庁 統計局)  [フ ァ イルDL40]

付 録 Ｃ● 統 計 ソ フ トUEDA

 ①

まず 明 らか な こ とは   統 計 手 法 を 適 用 す る た め に は,コ

だ と い う こ と で す.計

ン ピ ュー タ が 必 要

算 機 な し で は 実 行 で き な い複 雑 な 計 算,何

か え し て 最 適 解 を見 出 す た め の く りか え し計 算,多 機 能 な ど,コ も,コ

回 も試 行 錯 誤 を く り

種 多 様 な デ ー タ を管 理 し利 用 す る

ン ピ ュ ー タ が 果 た す 役 割 は 大 き い の で す.ま

た,統

計 学の 学習 にお いて

ン ピ ュ ー タの 利 用 を視 点 に 入 れ て 進 め る こ とが 必 要 で す.

  した が っ て,こ

の シ リー ズ に つ い て も,各 テ キ ス トで 説 明 した 手 法 を適 用 す る た め

に 必 要 な プ ロ グ ラ ム を用 意 し て あ り ます.  ②

た だ し,   「そ れ が あ れ ば 何 で も で き る 」 とい うわ け で は な い

こ とに 注 意 し ま し ょ う.   道 具 と い う意 味 で は,「 使 い や す い も の で あ れ 」 と期 待 さ れ ま す.当 が,広

然 の要 求 です

範 囲 の 手 法 や 選 択 機 能 が あ り ます か ら,当 面 して い る 問 題 に 対 し て,   「ど の 手 法 を選 ぶ か,ど

の 機 能 を指 定 す るか 」

と い う 「コ ン ピ ュー タ に は 任 せ ら れ な い 」ス テ ップ が あ り ま す.そ

こ が 難 し く,学 習

と経 験 が 必 要 で す.「 誰 で も で き ます 」 と気 軽 に 使 え る もの で は あ り ませ ん.「 統 計 学 を知 ら な くて も使 え る 」よ うに は で き ませ ん.こ  ③

れ が 本 質 で す.

この ため 「 統 計 パ ッ ケ ー ジ 」は,「 知 っ て い る 人 で な い と使 え な い 」 と い う側 面

を も っ て い る の で す が,そ え ま し ょ う.た

う い う側 面 を考 慮 に 入 れ て 使 い や す くす る … こ れ は,考

と え ば,「 使 い 方 の ガ イ ドを お り こ ん だ ソ フ ト」に す る こ と を考 え る

の で す.   特 に,学

習 用 の テ キ ス トで は

  「学 習 用 とい う側 面 を考 慮 に 入 れ た 設 計 が 必 要 」 で す.   UEDAは,こ

の こ と を考 慮 に 入 れ た 「 学 習 用 の ソ フ ト」で す.

  UEDAは,著

者 の 名 前 で あ る と と もに,Utility

for Educating

称 で す.  ④

教 育 用 とい う こ と を意 図 し て,   ○  手 法 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す る ソ フ ト   ○  処 理 の 過 程 を説 明 つ きで 示 す ソ フ ト

Data

Analysisの

略

  ○  典 型 的 な 使 い 方 を体 験 で き る よ うに 組 み 立 て た ソフ ト を,学 習 の 順 を 追 っ て 使 え る よ う に な っ て い ま す.た

と え ば 「回 帰 分 析 」の プ ロ グ ラ

ム が い くつ か に わ け て あ る の も,こ の こ と を考 え た た め で す.は ム で は,何

選 択 で き る よ うに す る …  ⑤

じめ に 使 うプ ロ グ ラ

で もで き る よ うに せ ず 基 本 的 な機 能 に 限 定 し て お く,次 に 進 む と,機 こ うい う設 計 に して あ る の で す.

学 習 と い う 意 味 で は,そ

とが 必 要 です.し

能を

の た め に 適 した 「デ ー タ」 を使 え る よ う に して お く こ

た が っ て,UEDAに

は,デ

ー タ を 入 力 す る機 能 だ け で な く,

  学 習 用 とい うこ と を 考 え て 選 ん だ デ ー タ フ ァ イ ル を収 録 し た   「デ ー タベ ー ス」が 用 意 さ れ て い る の で す.収

録 され た デ ー タは 必 ず し も最 新 の 情 報 で は あ り ませ ん .そ れ を使 っ た 場 合

に,「 学 習 の 観 点 で有 効 な 結 果 が 得 ら れ る」 こ と を優 先 して 選 択 し て い る の で す.  ⑥

以 上 の よ う な 意 味 で,UEDAは,テ

キ ス トと一 体 を な す 「学 習 用 シ ス テ ム 」だ

と位 置づ け るべ き もの です.  ⑦

こ の シ ス テ ム は,10年

して い た もの のWindows版

ほ ど 前 にDOS版 で す.い

と し て 開 発 し,朝 倉 書 店 を 通 じて 市 販

くつ か の 大 学 や 社 会 人 を 対 象 と す る 研 修 で の 利

用 経 験 を考 慮 に 入 れ て,手 法 の 選 択 や 画 面 上 で の 説 明 の 展 開 を工 夫 す る な ど,大 幅 に 改 定 した の が,本  ⑧

シ リー ズ で 扱 うVersion

次 は,UEDAを

6で す(第 ９巻 に 添 付).

使 う と き に 最 初 に 現 わ れ る メ ニ ュ ー 画 面 で す.こ

の シ リー ズ

の す べ て の テ キ ス トに 対 応 す る 内容 に な っ て い る の で す .   くわ し い 内 容 お よ び 使 い 方 は 第 ９巻 『統 計 ソ フ トUEDAの

使 い 方 』 を参 照 し て く

だ さ い. UEDAの

メ ニ ュ ー画 面

Utilityfor Educating １… デ ー タの 統 計 的 表 現(基 本) ２… デ ー タの 統 計 的 表 現(分 布)

注:プ

Data Analysis ８… 多 次 元 デ ー タ 解 析 ９… 地 域 メ ッ シ ュ デ ー タ

３… 分 散 分 析 と仮 説 検 定

10… ア ン ケ ー ト処 理

４… ２変 数 の 関 係

11… 統 計 グ ラ フ と 統 計 地 図

５… 回 帰 分 析

12… デ ー タ ベ ー ス

６… 時 系 列 分 析

13… 共 通 ル ー テ ィ ン

７… 構 成 比 の 比 較 ・分 析

14…GUIDE

ロ グ ラム は,富 士 通 のBASIC言

語 コ ンパ イ ラーF‐BASIC97を

た プ ロ グ ラム の 実 行 時 に 必 要 な モ ジ ュー ル は,添 Windowsは,95,98,NT,2000の

付 され てい ます.

い ず れ で も動 き ます .

使 って 開 発 し ま した .開 発 し

索引

く りか え し  140

同 じ条件 下 での ６

ア  行

ク リ ー ニ ン グ  51 ア ウ ト ラ イ ヤ ー   50

cleanな

ア ウ ト ラ イ ヤ ー 検 出 基 準   61

区 分 け   77,149

一 様 分 布   162

傾 向 性  ６,88

,165

―と の 適 合 度   169

デ ー タ  50

決定 係 数  91 検 証 的 デ ー タ解 析  141

ウ エ イ ト  151 交 互 作 用   96,99 S‐Sプ

ロ ッ ト  177

Ｆ比   106

誤 差   13,142 ５数 要 約   56,58 個 性   14

力  行

個 別 性   ４,88 個 別 デ ー タ  ４

加 重 平均  151

混 同 要 因   147

仮 説 検 定 の論 理   113 仮 説 の 棄却   116

サ  行

片 側 検 定   117 観 察 単 位  ２,４ ―のサ イ ズ差   183

サ イズ 効果   ８ 残 差   142

観 察 値  ４,５

残 差 分 散  81

間接 法 に よ る標 準 化  153

３数 要約   55

幹 葉 表 示  33 指 数 にお け る標 準化  156 棄 却 限 界  116

実 験 群   141

期 待 値  43

実 験 計 画  130

帰 謬 法   113

実 験 デ ー タ  ５

Q‐Qプ

ジニ 係 数  166

ロ ッ ト  174

級 内 分 散  81 局 所 管 理  ５,140

四分 位 値  25 ―の計 算   26,71

四 分位 偏 差 値  25

統 計 調査 にお け る分 布 の 表現  188

集 団  ２

統 計 的 比較   ２

集 団 的規 則 性  49

統 計 デ ー タ  ２ ―の対 比  52

集 中楕 円 95 自由度   107

等 質 化  ２,131

主 効果  96

尖 り度  53

情 報 の ス トック  85

度 数 分布 表  21

情 報 の表 現 力  51 情 報 の フ ロー  85

ナ  行

情報 表 現 手段   14 シ ンプ ソ ンのパ ラ ドックス   11

２数 要 約  55

信頼 区間  118

ハ  行 ス ペ ー ス フ イ ラ ー   23 箱 ひ げ 図   66

正規 確 率紙  40

パ ー シ ェ 方 式   156

正規 分 布  36

パ ー シ モ ニ イ   28

―の適 合 度  170 全分 散  81

外 れ 値   50 パ ー セ ン タ イ ル  71 反復   ５

相 殺 効 果  100 相 乗 効 果  100

P-Pプ

ロ ッ ト  174

歪 み 度   53

タ  行

標 準 化   36,150

間接 法 に よ る― 153 第 一 種 の 過 誤   114 対 照 群   141 第 二 種 の 過 誤   116 dirtyな デ ー タ  50 探 索 的 デ ー タ解 析   141

指 数 にお け る― 156 直 接 法 に よ る― 150 標 準 偏 差  19 ―の計 算  20 頻 度 原理  63 頻 度 分布  29

チ ェ ビシ ェ フの不 等式  118,120 中位 値   25 ―の 計算  26,71 調査 単 位  ４ 直接 法 に よる標 準化   150

Fisherの

３条 件   140

フ ェ ン ス  57,69 ブ ラ イ ン ド化   141 プ ロ トコ ー ル   141 分 散   15,19

適合 度 の 検定   179

分 散 分 析   84 分 散 分 析 表   91

統計 手 法 の論 理  ２

―for仮 説 検 定   106

―for要 因分 析   106

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト  57,58,66

分 析 結 果 の表 示  87 分 析 手順 の構 成  84

ヤ 行

分 析 手順 の表 示  84 分 析 の フ ロー  90 分 布 形  35 ―の比 較  36

有 意 性   110 ―の 検 定   105 ゆ が み   ８,150

―を比 較 す る手 段   170 分 布 図  13,29

要 因 分 析  84

分 布 の位 置  36 分 布 の ひ ろが り幅  36

ラ 行

分 布 表  28 ラ ス パ イ レ ス 方 式   156

平均 値   ４

ラ ン ダ ミ ゼ ー シ ョ ン   131,140

―に関 す る仮 説 検定   120 ―の 計 算  20

両 側 検 定   117

―の 差 に 関す る仮 説検 定   124 ―の 分 布  42 並 行 ボ ックス プ ロ ッ ト  69 偏 差  11,142

累 積 分 布 図   32 ―の 表 現 法   172 累 積 分 布 表  32

偏 差平 方 和  81 変 数変 換  41

ロ ー レ ン ッ カ ー ブ  162,167,177 ―の 書 き 方   184

/

著者略歴 上

田

尚

一(う

え だ ・し ょういち)

1927年  広 島県 に生 まれ る 1950年   東京大 学第 一工学 部応 用数学科 卒業 総 務庁統 計局,厚 生省,外 務 省,統 計研修 所 な どにて 統 計 ・電子計 算機 関係 の職務 に従事 1982年   龍谷大学 経済 学部 教授 主 著   『パ ソ コ ンで 学 ぶ デ ー タ解 析 の 方 法 』Ⅰ,Ⅱ(朝

倉 書 店,1990,1991)

『統 計 デ ー タ の 見 方 ・使 い 方 』(朝 倉 書 店,1981)

講座〈情 報 をよむ統計学 〉１

統 計学 の 基 礎 2002年9月20日 

定 価は カバー に表 示

初 版第 １刷

著

者  上

田

尚

一

発行者  朝

倉

邦

造

株式

発行所  会社  朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号   162‐8707 電

話

  03  (3260) 

0141

FAX03(3260)0180

〈検 印 省 略 〉 〓 2002〈

ISBN

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

4‐254‐12771‐5

C3341

平 河工業社 ・渡辺製 本

Printed inJapan

元統数研 林 知 己夫 著

21世 紀 の新 しい 科 学 「デ ー タの 科 学 」の 思 想 と こ こ

シ リー ズ〈デ ー タの 科 学〉 １

ろ と方 法 を 第 一 人 者 が 明快 に 語 る。 〔内容 〕科 学 方 法 論 と して の デ ー タの 科 学 ／ デ ー タ を と る こ と― 計 画 と実 施 ／ デ ー タ を分 析 す るこ と― 質 の 検 討 ・

デ

ー

タ

12724‐3  C3341 

の

A5判 

科

学

144頁  本 体2600円

簡 単 な統 計 量分 析 か ら デー タの構 造 発 見 へ

東洋英和大 林 文 ・帝京大 山 岡和 枝 著 シ リー ズ 〈デ ー タ の 科 学 〉２

調査

の

実

際

良 い デー タ を ど う集 め る か?不 完全 な デ ー タか ら 何 が わ か る か?デ ー タの 本 質 を捉 え る方 法 を解 説 〔内容 〕〈デ ー タの 獲 得 〉ど う調査 す るか ／ 質 問 票 ／ 精 度 。 〈デ ー タか ら 情 報 を読 み と る〉デ ー タの 特 性 に 基 づ い た解 析 ／ デ ー タ構 造 か らの 情 報 把 握 ／ 他

る

複雑 なシステムに対 し,複 数 のアプ ローチ を用い て生の デー タ を収集 ・ 分析 ・解釈す る方法 を解 説。 〔 内容 〕 紙 リサ イ クル社会／ 背景／文 献調査 ／世界 の リサ イクル／ 業界紙に見 る／ 関係 者／資源回収 と消費／消 費者 と製紙産業／静脈 を担 う主体 ／他

る

個 と集団 とは ？意識 とは ？複雑 な現 象の様 々な構 造 をデー タ分析 に よって明 らかにする方法 を解説 〔 内容〕国際比較調 査／標本抽 出／調査 の実 施／調 査票の翻訳 ・ 再翻 訳／分析 の実際(方法,社 会 調査 の危機,「計量的文明論 」 他)／調査票の洗練／他

―不完全 なデー タか ら何 を読み とるか― A5判 

12725‐1  C3341 

232頁  本 体3500円

日大 羽 生 和紀 ・東大 岸 野 洋 久 著 シ リー ズ 〈デ ー タ の科 学 〉３

複

雑

現

象

を

量

―紙 リサ イ クル 社 会 の 調 査― 12727‐8C 3341  A5判  176頁 本体2800円 統数研 吉 野 諒 三 著 シ リー ズ 〈デー タ の科 学 〉４

心

を

測

―個 と集 団の 意 識 の科 学― 12728‐6  C3341  A5判  168頁  本体2800円

ひ け る ・読 め る ・わ か る― 。 統 計 学 の 基 本 的事 項302項 目 を具 体 的 な数 値 例 を用 い,か つ 可能 な か

長崎 シーボル ト大 武 藤 眞介 著

統 計 解 析 ハ ン ドブ ッ ク 12061‐3 C3041 

A5判 

ぎ り予 備 知 識 を 必 要 と し な い で理 解 で き る よ うや さ し く解 説 。 全 項 目が 見 開 き ２ペ ー ジ読 み切 りの か た ちで 必 要 に応 じて ど こか ら で も読 め る よ うに ま とめ られ て い る の も特 徴 。実 用 的 な統 計 の 事 典 。 〔内 容 〕記 述 統 計(35項)／ 確 率(37項)／ 統 計 理 論 (10項)／ 検 定 ・推 定 の 実 際(112項)／ ノ ンパ ラ メ ト リ ッ ク検 定(39項)／ 多変 量 解 析(47項)／ 数 学 的予

648頁  本 体22000円

備 知 識 ・統 計 数 値 表(28項)。

柳 井 晴 夫 ・岡 太 彬 訓 ・繁 桝 算 男 ・ 高 木廣 文 ・岩 崎  学 編

多変 量解 析 実例 ハ ン ドブ ック 12147‐4  C3041 

B.S.エ

統

A5判 

ヴ ェ リッ ト著

916頁  本 体30000円

統 計 を使 うす べ て の ユ ー ザ ー に 向 け た「役 に 立 つ 」 用 語 辞 典 。 医 学 統 計 か ら社 会 調 査 ま で,理 論 ・応 用 の全 領 域 に わ た る約3000項 目 を,わ か りや す く

前統数研 清 水 良一 訳

計

科

12149‐0  C3541 

A5判 

学

辞

536頁  本 体12000円

多変量解析は,現 象を分析 す るツー ルと して広 く 用い られてい る。本 書はで きるだけ 多 くの具体的 事例 を紹介 ・解説 し,多 変量解析のユーザー のた めに「 様々 な手法 をい ろいろ な分 野で どの よ うに 使 った らよいか」につい て具体 的な指針を示 す。 〔内容〕【 分野 】 心理／教育 ／家政／環境／経済 ・経 営 ／政 治／ 情報 ／生物 ／ 医学／ 工 学／農学 ／他 【 手法】 相 関 ・回帰 ・判別 ・因子 ・主成分分析／ ク ラスター ・ロジスティ ック分 析／数量化／共分散 構造分析 ／項 目反応理論／ 多次元尺度構成法／他

典

簡 潔 に解 説 す る。100人 を越 え る統 計 学 者 の 簡 潔 な 評 伝 も収 載。 理 解 を助 け る種 々 の グ ラ フ も充 実 。 [項 目例]赤 池 の 情 報 量 規 準 ／ 鞍 点 法 ／EBM／ イ ェ イ ツ／ 一 様 分 布 ／ 移 動 平 均 ／ 因 子 分 析 ／ ウ ィル コ ク ソ ン の 符 号 付 き順 位 検 定 ／ 後 ろ 向 き研 究 ／ SPSS／

Ｆ検 定 ／ 円 グ ラ フ／ オ フ セ ッ ト／ カ イ ２

乗 統 計 量 ／ 乖 離 度 ／ カ オ ス／ 確 率 化 検 定 ／ 偏 り他  上 記価 格(税 別)は2002年8月

現在