Контрольные задания по высшей математике с основами математической статистики: Методические указания для студентов факультета географии и геоэкологии

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе т ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и К а фе др а пр и р о до по льзо ва ни я К о нтр о льные за да ни я по высше й м а те м а ти ке с о сно ва м и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ки : м е то ди ч е ски е ука за ни я Для студе нто в 1-2 кур са за о ч но го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и

Со ста ви те ли Ф е ти со в Ю .М . Уксусо в С.Н .

В о р о не ж 2002

Со ста ви те ли : Ф е ти со в Ю .М ., Уксусо в С.Н . УДК 51.07 К о нтро л ь ны е з а д а ния по вы сш ей м а тем а тике с о сно ва м и м а тем а тич еско й ста тистики: м е то ди ч е ски е ука за ни я для студе нто в 1-го и 2-го кур со в за о ч но го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и / В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т. Со ст.: Ю .М . Ф е ти со в, С.Н . Уксусо в. – В о р о не ж , 2002 – 43 с.

М е то ди ч е ски е ука за ни я со де р ж а ткр а тки е те о р е ти ч е ски е све де ни я по высше й м а те м а ти ке с о сно ва м и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ки , пр о гр а м м у кур са высше й м а те м а ти ки , р а ссч и та нную на тр и се м е стр а , пр и м е р ыр е ше ни я на и б о ле е ти пи ч ных за да ч , а та кж е ва р и а нтывсе х ла б о р а то р ных и ко нтр о льных р а б о т. Ил. 2. Би б ли о гр .: 7 на зв.

Пе ч а та е тся по р е ше ни ю р е да кци о нно -и зда те льско го со ве та В о р о не ж ско го го суда р стве нно го уни ве р си те та

Ре це нзе нт– ка нд. фи з.-м а т. на ук, до ц. ка ф. ур а вне ни й в ч а стных пр о и зво дных В ГУ А .Д. Ба е в.

2

С О Д ЕРЖ АНИ Е В ве де ни е … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3

Ч А СТ Ь I Пр о гр а м м а 1-го се м е стр а (за ч е т)… … … … … … … … … … … … … … … … … … ...4 Ре ше ни е ти пи ч ных за да ч , пр е дла га ю щ и хся в пе р во м се м е стр е .… … … … .5 Л и не йна я а лге б р а … … … … … … … .… … … … ..… … … … … … … … … … … … … .5 В е кто р на я а лге б р а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...7 А на ли ти ч е ска я ге о м е тр и я… … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … .8 М а те м а ти ч е ски й а на ли з… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 Пр е де лфункци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .10 Пр о и зво дна я функци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...12

Ч А СТ Ь II Пр о гр а м м а 2-го се м е стр а (экза м е н)… … … … … … … … … … … … … … … … … ..15 Н е о пр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .16 Ре ше ни е ти пи ч ных за да ч , пр е дла га ю щ и хся во вто р о м се м е стр е … … … … 16 О пр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .18 Ф ункци и не ско льки х пе р е м е нных… … … … … … … … … … … … … … … … … … 19 Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .20 К О Н Т РО Л Ь Н А Я РА БО Т А … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20

Ч А СТ Ь III Пр о гр а м м а 4-го се м е стр а (за ч е т)… … … … … … … … … … … … … … … … … .… .29 Ре ше ни е ти пи ч ных за да ч , пр е дла га ю щ и хся в тр е тье м се м е стр е … … … … .29 Т е о р и я ве р о ятно сте й… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..29 Л а б о р а то р ные р а б о тыпо м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке … … … … … … … … … ...36 Ре гр е сси о нный и ко р р е ляци о нный а на ли з… … … … … … … … … … … … … … ..39 Л и те р а тур а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..43

В В Е ДЕ Н ИЕ Да нные м е то ди ч е ски е ука за ни я со ста вле ныдля студе нто в 1-го и 2-го кур со в за о ч но го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и . В ысша я м а те м а ти ка и зуч а е тся на фа культе те в те ч е ни е тр е х се м е стр о в. В пе р во м и в ч е тве р то м се м е стр е студе нтысда ю тза ч е т, а во вто р о м се м е стр е – экза м е н. К р о м е то го , во вто р о м се м е стр е студе нтыо б яза ныр е ши ть до м а шню ю ко нтр о льную р а б о ту, а в ч е тве р то м се м е стр е выпо лни ть р яд ла б о р а то р ных р а б о т. Со о тве тстве нно м е то ди ч е ски е ука за ни я со сто яти з тр е х ч а сте й. В пе р во й ч а сти пр и ве де ныпр о гр а м м а 1-го се м е стр а , р е ше ни е ти пи ч ных за да ч , пр е дла га е м ых на за ч е те . К р о м е то го , в пе р во й ч а сти и м е е тся та б ли цыпр о и зво дных, а та кж е о сно вные пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я. Д ля усп е шн о й сдачи заче т а в п е р во м се ме ст р е н е о бхо димо изучит ьсо о т ве т ст вующ ие во п р о сы п р о гр аммы кур са высше й мат е мат ики и н аучит ься р е шат ьп р о ст е й шие задачи п о дан н ым т е мам. В о вто р о й ч а сти р а зб и р а ю тся р е ше ни я пр о сте йши х за да ч , встр е ч а ю щ и хся на экза м е не и в ко нтр о льных р а б о та х, привед ены д есять ва риа нто в ко нтро л ь но й ра бо ты . Н о м е р ва р и а нта ко нтр о льно й р а б о тыстуде нта о пр е де ляе тся по по 3

сле дне й ци фр е но м е р а е го за ч е тно й кни ж ки . Из ка ж до го за да ни я студе нтр е ша е т за да ч у, но м е р ко то р о й со впа да е тс но м е р о м е го ва р и а нта (все го 10 за да ни й). Ре ше нную ко нтр о льную р а б о ту студе нтыо б яза ныпр и сла ть (пе р е да ть) на пр о ве р ку м е то ди сту за о ч но го о тде ле ни я не по здне е 30 а пр е ля те кущ е го го да . З а щ и та ко нтр о льных р а б о ти сда ч а экза м е на пр о хо дятво вр е м я ле тне й экза м е на ци о нно й се сси и . Э кза м е на ци о нные во пр о сыпр и во дятся во вто р о й ч а сти пр о гр а м м ыкур са высше й м а те м а ти ки . Э кза м е на ци о нный б и ле тсо сто и ти з двух те о р е ти ч е ски х во пр о со в и за да ч и . В тр е тье й ч а сти и м е е тся пр о гр а м м а 4-го се м е стр а , р а зо б р а ныр е ше ни я на и б о ле е ти пи ч ных за да ч по те о р и и ве р о ятно сте й, а та к ж е привед ены ва риа нты л а бо ра то рны хра бо т по м а тем а тич еско й ста тистике. В че т ве р т о м се ме ст р е заче т выст авл яе т ся п о ит о гам вып о лн е н ия л або р ат о р н ыхр або т .

ЧАС ТЬ I Про гра м м а 1-го сем естра (за ч е т) 1. О пр е де ли те ли 2-го , 3-го и n-го по р ядка . Спо со б ы и х выч и сле ни й. 2. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й м е то до м Кр а м е р а . 3. М е то д Га усса р е ше ни я си сте м ли не йных ур а вне ни й. 4. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й с по м о щ ью о б р а тно й м а тр и цы. 5. Де ка р то ва и по ляр на я си сте м ы ко о р ди на т на пло ско сти . Де ка р то ва си сте м а ко о р ди на т в пр о стр а нстве . 6. В е кто р ы на пло ско сти и в пр о стр а нстве . К о о р ди на ты ве кто р о в. 7. Пр о сте йши е о пе р а ци и на д ве кто р а м и : ум но ж е ни е ве кто р а на ч и сло , сло ж е ни е и выч и та ни е ве кто р о в. 8. Ска ляр но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. Пр о е кци я ве кто р а на ве кто р . 9. В е кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 10. См е ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 11. Ур а вне ни е ли ни и на пло ско сти . А лге б р а и ч е ски е ли ни и . 12. Пр ям а я ли ни я на пло ско сти . Ра зли ч ные ви ды ур а вне ни я пр ям о й ли ни и . 13. Уго л м е ж ду двум я пр ям ым и . Ра ссто яни е о т то ч ки до пр ям о й. 14. К р и вые вто р о го по р ядка : о кр уж но сть, элли пс, ги пе р б о ла , па р а б о ла . 15. Пр е де л ч и сло во й по сле до ва те льно сти и функци и . ∞ 0 16. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да   ,   , (0 ⋅ ∞ ) и (∞ - ∞ ). ∞ 0 17. Пе р вый и вто р о й за м е ч а те льные пр е де лы и сле дстви я и з ни х. 18. Пр о и зво дна я функци и . Т а б ли ца пр о и зво дных и пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я. 19. Пр о и зво дна я о б р а тно й, не явно й функци и и функци и , за да нно й па р а м е тр и ч е ски . 20. Л о га р и фм и ч е ско е ди ффе р е нци р о ва ни е . 4

21. Ди ффе р е нци а л функци и и е го пр и м е не ни е к пр и б ли ж е нным выч и сле ни ям . 22. Пр а ви ло Л о пи та ля выч и сле ни я пр е де ло в. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да 00 , ∞ 0 и 1∞ .

( ) ( )

( )

23. Ф о р м улы Т е йло р а и М а кло р е на .

Реш ение типич ны х з а д а ч , пред л а га ю щ ихся в перво м сем естре Линейна я а л гебра Пр и м е р 1. Ре ши ть си сте м у ли не йных ур а вне ни й: 1) м е то до м К р а м е р а ; 2) м е то до м Га усса ; 3) с по м о щ ью о б р а тно й м а тр и цы.  5 x − y + 2 z = −2,  2 x + 3 y − 4 z = 19,  x + 2 y + 3z = 1.  Ре ше ни е . 1) М е то д К р а м е р а . В ыч и сли м гла вный о пр е де ли те ль си сте м ы: 5 −1 ∆= 2 1

2

3 − 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ (− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (− 4 ) ⋅ 5 = 2

3

= 45 + 4 + 8 − 6 + 6 + 40 = 97. Т а к ка к ∆≠0, то си сте м а и м е е те ди нстве нно е р е ше ни е , ко то р о е м о ж но на йти по фо р м ула м К р а м е р а : ∆x ∆y ∆z x= , y= , z= , ∆ ∆ ∆ где ∆x, ∆y, ∆z по луч а ю тся и з о пр е де ли те ля ∆ путе м за м е ны1-го , 2-го и ли 3-го сто лб ца , со о тве тстве нно , на сто лб е ц сво б о дных ч ле но в.

− 2 −1 2 5 −2 2 5 −1 − 2 ∆x = 19 3 − 4 = 97, ∆y = 2 19 − 4 = 291, ∆z = 2 3 19 = −194. 1

2

3

1

1

3

1

2

1

97 291 − 194 = 1, y= = 3, z= = −2. 97 97 97 2) М е то д Га усса . З а пи ше м си сте м у в м а тр и ч но й фо р м е , пе р е ста ви в м е ста м и 1-е и 1 2 3 1    3-е ур а вне ни я:  2 3 − 4 19 .  5 1 2 −2    Т а ки м о б р а зо м , x =

5

В ыч те м и з вто р о го ур а вне ни я пе р во е ур а вне ни е , ум но ж е нно е на 2. Из тр е тье го ур а вне ни я выч те м пе р во е ур а вне ни е , ум но ж е нно е на 5. 1 2 3 1    По луч и м :  0 − 1 − 10 17 . В ыч те м и з тр е тье го ур а вне ни я вто р о е , ум но ж е нно е  0 − 11 − 13 − 7    1 1 2 3  на 11:  0 − 1 − 10 17  0 0 97 − 194 

  .    x + 2 y + 3z = 1,  y + 10 z = −17, М ыпо луч и ли си сте м у:   97 z = −194.  Из по сле дне го ур а вне ни я на хо ди м z = -194 / 97= -2. По дста ви м z во вто р о е ур а вне ни е и на йде м y = -17 + 20 = 3. По дста ви в y и z в пе р во е ур а вне ни е , на йде м x = 1 – 6 + 6 = 1. 3) Ре ши м си сте м у с по м о щ ью о б р а тно й м а тр и цы. Для это го за пи ше м е е в м а тр и ч но м ви де : A ⋅ x = b , 2   x  5 −1     где A =  2 3 − 4  - гла вна я м а тр и ца си сте м ы, x =  y  - сто лб е ц не и зве стных z 1 2 3     − 2    и b =  19  - сто лб е ц сво б о дных ч ле но в.  1    5 −1 2 Т а к ка к гла вный о пр е де ли те ль си сте м ы ∆ = 2 3 − 4 = 97 ≠ 0 , то о сно вна я 1 2 3 -1 м а тр и ца си сте м ы А и м е е то б р а тную м а тр и цу А . Для на хо ж де ни я о б р а тно й м а тр и цы А-1, выч и сли м а лге б р а и ч е ски е до по лне ни я ко все м эле м е нта м м а тр и цы А, пр и ч е м а лге б р а и ч е ски е до по лне ни я к стр о ка м м а тр и цы А за пи ше м в со о тве тствую щ и е сто лб цы: 3 −4 −1 − 4 −1 2 A11 = = 17, A21 = − = 7, A31 = = −2, 2 3 2 3 3 −4 2 −4 5 2 5 2 A12 = − = −10, A22 = = 13, A32 = − = 24, 1 3 1 3 2 −4 2 3 5 −1 5 −1 A13 = = 1, A23 = − = −11, A33 = = 17. 1 2 1 2 2 3 Из по луч е нных ч и се л со ста ви м м а тр и цу и р а зде ли м е е на о пр е де ли те ль ∆. Т а ки м о б р а зо м , м ына шли о б р а тную м а тр и цу:

6

 17 1  − 1 A = ⋅  − 10 97   1

−2 24 17

7 13 − 11

Ре ше ни е си сте м ына хо ди м по 7  x  17   1  13  y  = ⋅  − 10 97 z  1 − 11     x = 1,  О тве т:  y = 3,  z = −2. 

−2 24 17

7 2  17 −  97 97   97   10 13 24  = − 97 97 97  11 17   1 −  97 97  97 фо р м уле : x = A−1 ⋅ b

   .    

 − 2   − 34 + 133 − 2   97   1     1   1      ⋅  19  = ⋅  20 + 247 + 24  = ⋅  291 =  3  .   1  97  − 2 − 209 + 17  97 194   2          

Векто рна я а л гебра Пр и м е р 2. Да на пи р а м и да ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ). Н а йти : 1) уго л BCD; 2) пло щ а дь гр а ни ABC; 3) о б ъе м пи р а м и ды. Ре ше ни е . 1) Н а йде м ко о р ди на тыве кто р о в CB и CD , о б р а зую щ и х уго л BCD : a = CB = ( 3 − 1; 2 − (− 3); 0 − 2 ) = ( 2; 5 − 2 ), b = CD = ( 5 − 1; − 1 − (− 3); 3 − 2 ) = ( 4; 2; 1 ). a ⋅b Уго л BCD на йде м по фо р м уле : cos ϕ = , где a ⋅ b -ска ляр но е пр о и зве де a ⋅ b ни е ве кто р о в a и b . Т а ки м о б р а зо м , 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 1 8 + 10 − 2 = cos ∠BCD = ≈ 0,65. 2 2 2 2 2 2 4 25 4 16 4 1 + + ⋅ + + 2 + 5 + (− 2 ) ⋅ 4 + 2 + 1 Сле до ва те льно , ∠BCD = arccos 0,65. 1 S ∆ABC = ⋅ AB × BC , Пло щ а дьгр а ни ABC на хо ди м по фо р м уле 2 где AB × BC - ве кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB и BC . AB = ( 3 − 2; 2 − 4; 0 − (− 1 )) = ( 1; − 2; 1 ).

BC = ( 1 − 3; − 3 − 2; 2 − 0 ) = (− 2; − 5; 2 ). i AB × BC =

1

j

k

−2 1 =i⋅

−2 −5 2

−2 1 −5 2

− j⋅

1

1

−2 2

7

+k⋅

1

−2

−2 −5

= i − 4 j − 9k .

( )

1 1 Сле до ва те льно , S ∆ABC = ⋅ 12 + (−4) 2 + (−9) 2 = ⋅ 1 + 16 + 81 ≈ 4,95 е д 2 . 2 2 1 О б ъе м пи р а м и дына хо ди м по фо р м уле : V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , где 6 AB ⋅ AC ⋅ AD -см е ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB = ( 1; − 2; 1 ), AC = (− 1; − 7; 3 ), и AD = ( 3; − 5; 4 ). 1 −2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 7 3 = −28 − 18 + 5 + 21 − 8 + 15 = −13. ⇒ 3 −5 4

( )

1 13 3 ⋅ − 13 = ед . 6 6  ∠BCD = arccos 0,65,  О тве т:  S ∆ABC = 4,95 е д 2 ,  13 3 ед .  Vп ир . = 6 

V=

( ) ( )

Ана л итич еска я гео м етрия Пр и м е р 3. Да н тр е уго льни к A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). Н а йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну м е ди а ныAM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо ты BD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы AK; 5) то ч ку пе р е се ч е ни я м е ди а ны AM с высо то й BD и уго л м е ж ду ни м и . Ре ше ни е . 1) Ур а вне ни я сто р о н AC и BC на хо ди м и спо льзуя ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дяx−x y−y 1 = 1 . щ е й ч е р е з две то ч ки : x2 − x1 y 2 − y1 x−2 y−7 x−2 y−7 Ур а вне ни е AC : − 4 x + 8 = 3 y − 21. = ; = ; −4 5−2 3−7 3 Ита к, AC : 4 x + 3 y − 29 = 0. x+5 y−7 x+5 y−7 = ; = ; − 2 x − 10 = 5 y − 35. 5+5 3−7 10 −4 Ита к, BC : 2 x + 5 y − 25 = 0. Ур а вне ни е AB на хо ди тся е щ е пр о щ е . Н уж но то лько за м е ти ть, ч то вто р а я ко о р ди на та то ч е к A и B о ди на ко ва и р а вна 7. Сле до ва те льно , ур а вне ни е AB : y = 7 и ли y − 7 = 0. 2) Н а йде м то ч ку M – се р е ди ну сто р о ны BC: x +x y +y C = − 5 + 5 = 0, C = 7 + 3 = 5. x = B y = B M M 2 2 2 2 Ур а вне ни е BC :

8

Со ста ви м

ур а вне ни е м е ди а ны AM :

x−2 y−7 = ; 0−2 5−7

x−2 y−7 = . −2 −2

Ита к, AM : x − y + 5 = 0. Дли ну м е ди а нына йде м ка к р а ссто яни е м е ж ду двум я то ч ка м и : AM =

(x A − xM )2 + (y A − yM )2 =

2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 (е д.).

3) О пр е де ли м угло во й ко эффи ци е нтсто р о ны AC. Для это го ур а вне ни е 4 29 4 AC за пи ше м в ви де y = − x + . Сле до ва те льно , k = − . k BD на йде м AC 3 3 3 1 3 и з усло ви я пе р пе нди куляр но сти пр ям ых ли ни й : k BD = − = . k AC 4 Со ста ви м ур а вне ни е высо ты BD, и спо льзуя ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й ч е р е з за да нную то ч ку B и с угло вым ко эффи ци е нто м k: y – y0 = k⋅( x - x0 ). 3 Т о е сть, y − 7 = ⋅ ( x + 5 ), и ли 4 y − 28 = 3x + 15. BD : 3 x − 4 y + 43 = 0. 4 Дли ну высо ты BD на йде м ка к р а ссто яни е то ч ки B до пр ям о й AC по фо р м уле : ax + by + c 0 0 d= , где ax + by + c = 0 - о б щ е е ур а вне ни е пр ям о й AC , 2 2 a +b а

( x0;y0 )- ко о р ди на ты B.

Ита к,

BD =

4 ⋅ (− 5) + 3 ⋅ 7 − 29 − 20 + 21 − 29 28 = = (е д.). 5 25 4 2 + 32

4) Н а йде м о сно ва ни е б и ссе ктр и сы(то ч ку K), и спо льзуя то , ч то то ч ка K де ли т о тр е зо к BC на ч а сти , пр о по р ци о на льные пр и ле ж а щ и м сто р о на м тр е уго льни ка : BK AB 2 2 2 2 = , где AB = (− 5 − 2 ) + ( 7 − 7 ) = 7, AC = ( 5 − 2 ) + ( 3 − 7 ) = 5. KC AC BK 7 Сле до ва те льно , =λ = . KC 5 Для на хо ж де ни я ко о р ди на тто ч ки K и спо льзуе м фо р м улыде ле ни я о тр е зка в да нно м о тно ше ни и :

9

7 ⋅5 − 25 + 35 10 5 5 xK = = = = = . 7 1+ λ + 5 7 12 6 1+ 5 7 7 + ⋅3 yB + λ ⋅ y C = 5 = 35 + 21 = 56 = 28 . yK = 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5 xB + λ ⋅ x C

−5+

Со ста ви м ур а вне ни е AK, и спо льзуя ко о р ди на тыто ч е к A и K: x−2 y−7 = ; 28 5 −7 −2 6 6

x−2 y−7 = ; 5 − 12 28 − 42

x−2 y−7 = . −7 − 14

2 ⋅ ( x − 2 ) = y − 7; 2 x − 4 = y − 7. Ита к, AK: 2 x − y + 3 = 0. 5) Н а йде м то ч ку О пе р е се ч е ни я м е ди а ны AM с высо то й BD, р е ши в си сте м у:

− 3 x + 3 y − 15 = 0,  x − y + 5 = 0, − y + 28 = 0, y0 = 28, x − 28 + 5 = 0, x0 = 23.   − + = 3 x − 4 y + 43 = 0 , 3 x 4 y 43 0 ,   Ита к, то ч ка O и м е е тко о р ди на ты: O( 23; 28 ). Для на хо ж де ни я угла м е ж ду пр ям ым и ли ни ям и BD и AM во спо льзуе м ся фо р м уло й: k −k 3 tgϕ = 2 1 , где k1 = k BD = , 1 + k1 ⋅ k 2 4 k 2 = k AM = 1 (т. к. АМ и м е е т ур а вне ни е y = x + 5). 3 1 1− 1 4 = 4 = 1, Ита к, tgϕ = ϕ = arctg . 3 7 7 7 1 + ⋅1 4 4

М а тем а тич еский а на л из Пред ел фу нкц ии 4 x 2 + 3x − 8 Пр и м е р 4. Н а йти пр е де л lim . x→∞ 2 x 2 + x 4 + 3x

∞ Ре ше ни е . Для р а скр ыти я не о пр е де ле нно сти ви да   р а зде ли м ч и сли те ль и ∞ 2 зна м е на те ль др о б и на ста р шую сте пе нь x (т.е . на x ). По луч и м : 10

3 8 3 8 4+ − 4+ − 2 x x2 x x2 4 x + 3x − 8 4 ∞ = , =   = lim = lim lim x→∞ 2 x x→∞ 3 3 2 x + x 4 + 3 x  ∞  →∞ x 4 + 3x + + 2 1 2+ x3 x4 3 8 3 та к ка к пр и x → ∞, выр а ж е ни я , и стр е м ятся к нулю . 2 3 x x x О тве т: 4/3. x3 − 8 Пр и м е р 5. Н а йти пр е де л lim . x→2 x 2 + 6 x − 4 Ре ше ни е . Пр и по дста но вке вм е сто x ч и сла 2 м ыпо луч а е м не о пр е де ле нно сть 0 ви да   . Для р а скр ыти я это й не о пр е де ле нно сти сна ч а ла и зб а ви м ся о ти р р а ци о 0 на льно сти в зна м е на те ле др о б и , а за те м р а зло ж и м выр а ж е ни я, стр е м ящ и е ся к нулю , на м но ж и те ли : x 3 − 8 ⋅  x 2 + 6 x + 4  3 x −8 0   =   = lim = lim x→2 x 2 + 6 x − 4  0  x→2  x 2 + 6 x − 4  ⋅  x 2 + 6 x + 4         

(

= lim x→2

= lim x→2

)

(x3 − 8 )⋅ 

(

)

(x − 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 4 ⋅  x 2 + 6 x + 4  x 2 + 6 x + 4   = = lim (x − 2 ) ⋅ (x + 8 ) x→2 x 2 + 6 x − 16

(x 2 + 2x + 4 )⋅ 

x 2 + 6 x + 4   = 12 ⋅ 8 = 48 = 9,6. (x + 8 ) 10 5

О тве т: 9,6. cos 2 x Пр и м е р 6. Н а йти пр е де л lim . 2 x→π  π 2  − x  2  0 Ре ше ни е . М ыи м е е м де ло с не о пр е де ле нно стью ви да   . 0 π π Пр о и зве де м за м е ну x − = t , то гда x = t + и t → 0. 2 2

11

 π cos 2  t +  2 sin 2 t 2  sin t  0  = = lim = lim  =  = 1, lim 2  0  tlim 2 2 t → 0 t → → 0 t 0   x→π  π t − t ( ) 2  − x  2  sin t та к ка к lim = 1 (пе р вый за м е ч а те льный пр е де л). t →0 t О тве т: 1. cos 2 x

Про из во д на я фу нкц ии Пр о и зво дно й функци и y = f (x) в то ч ке x на зыва е тся пр е де л о тно ше ни я пр и р а щ е ни я функци и к пр и р а щ е ни ю а р гум е нта , ко гда пр и р а щ е ни е а р гум е нта стр е м и тся к нулю : f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim . ∆x ∆x→0 Та бл иц а про из во д ны х:

( x )′ = 2 1 x .

′ 1. (x n ) = n ⋅ x n−1.

1′ .

′ 2. a x = a x ⋅ ln a.

′ 2′. e x = e x .

( )

′ 3. (log a x ) =

( )

′ 1 3′. (ln x ) = . x

1 . x ⋅ ln a

′ 4. (sin x ) = cos x.

′ 5. (cos x ) = − sin x.

′ 6. (tgx ) =

′ 7. (ctgx ) = −

1 . cos 2 x

′ 8. (arcsin x ) = ′ 10. (arctgx ) =

1 1 − x2 1

1 + x2

.

.

1 . sin 2 x

′ 9. (arccos x ) = − ′ 11. (arcctgx ) = −

12

1 1 − x2 1 1 + x2

.

.

1. 2. 3.

′

О сно вны е пра вил а д ифференц иро ва ния:

(c ⋅ f (x )) = c ⋅ f ′(x ). (u(x ) ± v(x ))′ = u′(x ) ± v′(x ). (u (x ) ⋅ v(x ))′ = u′(x ) ⋅ v(x ) + u(x ) ⋅ v′(x ).

′  u ( x )  u ′( x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) 4.  .  = 2  v( x )  v (x ) ′ 5. ( f (ϕ ( x ))) = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ), где u = ϕ (x ). cos x 2 . Пр и м е р 7. Н а йти пр о и зво дную функци и y = arctg 4 x + e x Ре ше ни е . ′ ′ ( cos x 2 ) ⋅ (arctg 4 x + e x ) − (arctg 4 x + e x ) ⋅ cos x 2 y′ = =

(arctg 4 x + e x )2

=

(− sin x 2 )⋅ (x 2 )′ ⋅ (arctg 4x + e x ) −  (arctg 4x )′ + (e x )′  ⋅ cos x 2 (arctg 4 x + e x )2

.

  1 − sin x 2 ⋅ 2 x ⋅ (arctg 4 x + e x ) −  ⋅ 4 + e x  ⋅ cos x 2 2  1 + (4 x )  . О тве т: y ′( x ) = x 2 (arctg 4 x + e ) Пр и м е р 8. Н а йти пр о и зво дную y′(x) не явно й функци и : xy 2 + sin ( x + y ) − 3 x = 0. Ре ше ни е . Пр о ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x: 1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ y ′ + cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) − 3 x ⋅ ln 3 = 0. Ра скр о е м ско б ки : y 2 + 2 xy ⋅ y ′ + cos( x + y ) + y ′ ⋅ cos( x + y ) − 3 x ⋅ ln 3 = 0.

y ′ ⋅ (2 xy + cos( x + y )) = 3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ). О тве т: y ′ =

3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ) . (2 xy + cos(x + y ))

13

Пр и м е р 9. Н а йти пр о и зво дную функци и y = (arcsin x ) . Ре ше ни е . Л о га р и фм и р уя да нно е р а ве нство , по луч и м не явную функци ю : ( ctg 2 x )

ln y = ctg 2 x ⋅ ln(arcsin x ).

Ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x и на хо ди м y′(x): 1 1 1 1 ⋅ y ′ = − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. y sin 2 x arcsin x 1 − x 2

  1 1 1 2 x . ⇒ y ′ = y ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 arcsin x 1 − x 2  sin 2 x    1 1 1 ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x . 2 arcsin x 1 − x 2   sin 2 x Пр и м е р 10. Н а йти пр о и зво дную y′(x) функци и , за да нно й па р а м е тр и ч е ски :

О тве т: y ′ = (arcsin x )

ctg 2 x

 y = 8 ⋅ sin 3 t ,  3  x = 4 ⋅ cos t.

′ y ′(t ) (8 ⋅ sin 3 t ) t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 ⋅ sin t = = − = −2 ⋅ tgt. Ре ше ни е . y ′( x ) = = x′(t ) (4 ⋅ cos 3 t )′t 4 ⋅ 3 ⋅ cos 2 t ⋅ (− sin t ) cos t  y ′( x ) = −2 ⋅ tgt , О тве т:  3  x = 4 ⋅ cos t. Пр и м е р 11. В ыч и сли ть 4 16,6 пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла . Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м функци ю y = 4 x . Пусть x0 = 16, x1 = 16,6. Т о гда ∆x = x1 - x0 = 16,6 − 16 = 0,6. y0 = y ( x0 ) = 16 = 2. 4

3

1 − y ′( x0 ) = ⋅ x 4 4

= x =16

1

( )

4 ⋅ 4 16

3

=

1 1 = . 4 ⋅ 8 32

Для на хо ж де ни я y1 = 4 x1 = 4 16,6 во спо льзуе м ся фо р м уло й: y1 ≈ y0 + dy( x0 ), где dy( x0 ) = y ′( x0 ) ⋅ ∆x - ди ффе р е нци а л функци и . 1 Т а ки м о б р а зо м , 4 16,6 ≈ 2 + ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. 32 О тве т: 2,019.

14

ЧАС ТЬ II Про гра м м а 2-го сем естра (экза м е н) 1. По няти е м о но то нно сти функци и . До ста то ч ные усло ви я во зр а ста ни я и уб ыва ни я функци и . 2. По няти е экстр е м ум а функци и . Н е о б хо ди м о е усло ви е экстр е м ум а . 3. До ста то ч ные усло ви я экстр е м ум а . 4. В ыпукло сть, во гнуто сть гр а фи ка функци и . То ч ки пе р е ги б а . 5. До ста то ч ные усло ви я выпукло сти , во гнуто сти . Н е о б хо ди м о е и до ста то ч но е усло ви я пе р е ги б а . 6. А си м пто ты пло ско й кр и во й. Н а хо ж де ни е ве р ти ка льных, го р и зо нта льных и на кло нных а си м пто т. 7. По лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е е е гр а фи ка . 8. Пе р во о б р а зна я функци и . Т е о р е м а о б о б щ е м ви де все х пе р во о б р а зных. По няти е не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 9. Сво йства не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . “Н е б е р ущ и е ся” и нте гр а лы. 10. Т а б ли ца и нте гр а ло в. 11. Пр о сте йши е пр и е м ы и нте гр и р о ва ни я. По две де ни е м но ж и те ля по д зна к ди ффе р е нци а ла . 12. З а м е на пе р е м е нно й в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 13. Инте гр и р о ва ни е по ч а стям в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 14. Инте гр и р о ва ни е выр а ж е ни й, со де р ж а щ и х ква др а тный тр е хч ле н в зна м е на те ле . 15. Инте гр и р о ва ни е тр и го но м е тр и ч е ски х функци й. 16. З а да ч а о пло щ а ди кр и во ли не йно й тр а пе ци и . 17. О пр е де ле ни е о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 18. О сно вные сво йства о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 19. Ф о р м ула Н ью то на -Л е йб ни ца . 20. З а м е на пе р е м е нно й в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 21. Инте гр и р о ва ни е по ч а стям в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 22. В ыч и сле ни е пло щ а де й с по м о щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 23. В ыч и сле ни е дли ны дуги пло ско й кр и во й. 24. В ыч и сле ни е о б ъе м а те ла с и зве стным по пе р е ч ным се ч е ни е м . 25. О б ъе м те ла вр а щ е ни я. 26. Н е со б стве нные и нте гр а лы пе р во го р о да . 27. Н е со б стве нные и нте гр а лы вто р о го р о да . 28. О пр е де ле ни е функци и не ско льки х пе р е м е нных, е е ге о м е тр и ч е ски й см ысл. 29. О б ла сть о пр е де ле ни я функци и не ско льки х пе р е м е нных. 30. Л и ни и ур о вня функци и двух пе р е м е нных, и х ге о м е тр и ч е ски й см ысл. 31. Ч а стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка . 32. Пр о и зво дна я по на пр а вле ни ю и гр а ди е нт функци и не ско льки х пе р е м е нных, и х ге о м е тр и ч е ски й см ысл. 33. Ди ффе р е нци а л функци и не ско льки х пе р е м е нных и е го пр и м е не ни е к пр и б ли ж е нным выч и сле ни ям . 15

34. Ч а стные пр о и зво дные высши х по р ядко в. 35. Э кстр е м ум функци и не ско льки х пе р е м е нных. Н е о б хо ди м о е усло ви е экстр е м ум а . 36. До ста то ч но е усло ви е экстр е м ум а функци и двух пе р е м е нных. 37. Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я. О пр е де ле ни е по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, р е ше ни я, о б щ е го р е ше ни я и ч а стно го р е ше ни я. 38. З а да ч а К о ши . 39. Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . Ур а вне ни я с р а зде ляю щ и м и ся пе р е м е нным и . 40. О дно р о дные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 41. Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 42. Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я вто р о го по р ядка с по сто янным и ко эффи ци е нта м и .

Нео пред ел енны й интегра л Та бл иц а интегра л о в; x dx + C (n ≠ −1), 2. ∫ = ln x + C , 1. ∫ x n ⋅ dx = n +1 x x a 4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , + C, 3. ∫ a x ⋅ dx = ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx dx 7. ∫ = tgx + C , 8. ∫ 2 = −ctgx + C , 2 cos x sin x dx x dx x 1 9. ∫ 10. ∫ 2 = arcsin + C , = ⋅ arctg + C , 2 a a +x a a a2 − x2 dx a+x dx 1 11. ∫ 2 = ⋅ ln + C , 12. ∫ 2 = ln x + x 2 + a + C. 2 a −x a−x 2a x +a С во йства нео пред ел енно го интегра л а : 1. ∫ α ⋅ f (x )dx = α ⋅ ∫ f ( x )dx, n +1

2.

∫ ( f (x ) ± ϕ (x )) ⋅ dx = ∫ f (x )dx ± ∫ ϕ (x )dx.

Ф о рм у л а интегриро ва ния по ч а стям :

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du. Реш ение типич ны х з а д а ч , пред л а га ю щ ихся во вто ро м сем естре x3 Пр и м е р 12. Н а йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ ⋅ dx. cos 2 x 4 Ре ше ни е . Ум но ж и м и р а зде ли м по дынте гр а льную функци ю на 4 и вне се м м но ж и те ль 4x3 по д зна к ди ффе р е нци а ла : x3 1 4x3 1 dx 4 ⋅ dx = ⋅ ⋅ dx = ⋅ = ∫ cos 2 x 4 4 ∫ cos 2 x 4 4 ∫ cos 2 x 4 16

1 dt 1 1 ⋅∫ = ⋅ tgt + C = ⋅ tgx 4 + C. 2 4 cos t 4 4 1 ⋅ tgx 4 + C. О тве т: 4 =

x +1 ⋅ dx. x +4 x + 4 = t . Т о гда

Пр и м е р 13. Н а йти не о пр е де ле нный и нте гр а л

∫

∫

Ре ше ни е . Пр о и зве де м за м е ну пе р е м е нно й x +4=t x +1 (t − 4 )2 + 1 ⋅ 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = 2 ⋅ dx = x = (t − 4 ) =∫ t x+4 dx = 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt

t 3 − 4t 2 + 17t − 4t 2 + 16t − 20 − 4t + 17 ) ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = 2⋅∫ ⋅ dt = t t t 3 − 8t 2 + 33t − 20 20   = 2⋅∫ ⋅ dt = 2 ∫  t 2 − 8t + 33 −  ⋅ dt = 2 ⋅ ∫ t 2 ⋅ dt − t t   3 2 dt 2t 16t − 16 ⋅ ∫ t ⋅ dt + 66 ⋅ ∫ dt − 40 ⋅ ∫ = − + 66t − 40 ⋅ ln t + C = 3 2 t 2 ⋅ x + 4 3 16 ⋅ x + 4 2 = − + 66 ⋅ x + 4 − 40 ln x + 4 + C = 3 2 3  2  = ⋅  x 2 + 3 x ⋅ 4 + 3 x ⋅ 16 + 64  + 8 ⋅ x + 8 x + 16 + 66 x + 264 − 3   3 2 − 40 ln x + 4 + C = ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln x + 4 + C1 , 3 2 где C1 = C + 64 ⋅ + 16 ⋅ 8 + 264. 3 3 2 О тве т: ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln x + 4 + C . 3 Пр и м е р 14. Н а йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ x ⋅ e 3 x dx . = 2⋅∫

(t

2

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

)

(

(

)

)

Ре ше ни е . В о спо льзуе м ся фо р м уло й и нте гр и р о ва ни я по ч а стям . Для это го о б о зна ч и м x ч е р е з u, а e2xdx ч е р е з dv:

∫x⋅e

u=x 3x

dv = e 3 x dx

dx =

3x

1 e du = dx v = ∫ e 3 x dx = ⋅ ∫ e 3 x d (3x ) = 3 3 3x 3x x⋅e 1 e = − ⋅ + C. 3 3 3 x ⋅ e3 x e3 x О тве т: − + C. 3 9 17

x ⋅ e3 x 1 = − ⋅ ∫ e 3 x dx = 3 3

О пред ел енны й интегра л Пр и м е р 15. В ыч и сли ть пло щ а дьзе м е льно го уч а стка , о гр а ни ч е нно го ли ни ям и : y = −3x 2 − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2. Ре ше ни е . По стр о и м да нные ли ни и в де ка р то во й си сте м е ко о р ди на т:

Ри с. 1. З е м е льный уч а сто к и зо б р а ж е н за штр и хо ва нным . Н а йде м то ч ку А пе р е се ч е ни я па р а б о лы с пр ям о й y = x - 1. Для это го р е ши м си сте м у:  y = −3 x 2 − 5 x + 8,   y = x − 1. x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8. ⇒ 3x 2 + 6 x − 9 = 0. ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0. ⇒ x1 = −3,

Т а ки м о б р а зо м , x B = −3,

x A = 1. b

Иско м ую пло щ а дь на йде м по фо р м уле :

S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x )) ⋅ dx. a

S=

∫ (− 3x −2 1

2

− 5 x + 8 − ( x − 1)) ⋅ dx =

∫ (− 3x −2 1

2

− 6 x + 9 ) ⋅ dx =

18

x2 = 1.

  3x 3 6 x 2 =  − − + 9 x  2   3 2 О тве т: 27(е д ).

1

= (− x − 3 x + 9 x ) 3

1

2

−2

= −1 − 3 + 9 − (8 − 12 − 18 ) = 27(е д 2 ).

−2

Ф у нкц ии неско л ь кихперем енны х x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в то ч ке y 4 М ( 4; 2 ) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l = ( 8;−6 ). Ре ше ни е . Н а йде м ч а стные пр о и зво дные Пр и м е р 16. Н а йти гр а ди е нт функци и z = 3 ln

πx π πx 3 πy ′ 3y 1 1 zx = ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ + 0 = + ⋅ cos , 4 4 2x 4 4 x y 2 x и 2 3  1  1 − 3 4 πx πx ′ 3y . ⋅ x ⋅  − 2  + sin + 3 4 ⋅ ⋅ y 3 = − + sin + zy = 2 3 4 3 4 y y x 3⋅ y   В ыч и сли м зна ч е ни я ч а стных пр о и зво дных в то ч ке М : zx

′ M

zy

′ M

3 π 3 π = + ⋅ cosπ = − ≈ −1,2. 8 2 8 2 3 3 3 4 1 7 = − + sin π + 3 = − + 0 + = − ≈ −1,17. 2 2 3 6 3⋅ 4

Т а ки м о б р а зо м , гр а ди е нто м функци и б уде т ве кто р : ′ ′ grad z =  z x ; z x  = (− 1,2; − 1,17 ).  M M  Пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l на йде м по фо р м уле : ∂z grad z ⋅ l = . ∂l l ∂z − 1,2 ⋅ 8 + (− 1,17 ) ⋅ (− 6 ) − 2,58 = = = −0,258. 10 ∂l 64 + 36  grad z = (− 1,2; − 1,17 ), О тве т:  ∂z = −0,258.  ∂l

19

Д ифференц иа л ь ны е у ра внения Пр и м е р 17. Ре ши ть за да ч у К о ши : y ′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0; y (0 ) = 0. Ре ше ни е . 1) Н а йде м о б щ е е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. Да нно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е пе р во го по р ядка являе тся ли не йным . Сле до ва те льно , пр о и зве де м сле дую щ ую за м е ну пе р е м е нно й: 2

y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ),

y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′.

Т о гда 2 u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e − x = 0, и ли

u ′ ⋅ v + u ⋅ (v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0. 2

По дб е р е м те пе р ь та кую функци ю v(x), ч то б ы v′+2xv=0. То е сть v(x) б уде м и ска ть ка к р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с р а зде ляю щ и м и ся пе р е м е нным и : dv dv dv x2 = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, = − = − ⋅ + C. 2 xdx , ln v 2 ∫v ∫ dx v 2 2

Пр и С = 0 по луч и м : ln| v | = -x2. Сле до ва те льно , v = e − x . Пр и та ко м выб о р е функци и v(x) и схо дно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е 2 2 пр и м е т ви д: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , и ли u ′( x ) = x. x2 Сле до ва те льно , u ( x ) = ∫ x ⋅ dx = + C . Т а ки м о б р а зо м , 2 2  x2  y( x ) = u (x ) ⋅ v( x ) =  + C  ⋅ e − x .  2  2) Для р е ше ни я за да ч и К о ши во спо льзуе м ся на ч а льным усло ви е м y(0)=0. x 2 − x2 0 Т о гда C ⋅ e = 0. ⇒ C = 0. ⇒ y ( x ) = ⋅e . 2 x 2 − x2 О тве т: y ( x ) = ⋅ e . 2

К О НТРО ЛЬНАЯ РАБ О ТА За д а ние № 1. Ре ши ть си сте м у ли не йных ур а вне ни й: 1) м е то до м Га усса ; 2) м е то до м К р а м а р а ; 3) с по м о щ ью о б р а тно й м а тр и цы.  2 x + 4 y + 5 z = 3,  1. − 4 x + 3 y − 7 z = 8,  3 x + 8 y − z = −2. 

 5 x + 4 y − 3 z = −3,  2.  − 2 x + 3 y + 8 z = 1,  x − 4 y − 7 z = 1.  20

 4 x + y − 3z = −3,  3.  5 x + 4 y + z = 5, − 6 x − 2 y + 5 z = 7. 

 5 x + 2 y + 6 z = −1,  4. − 3x + 2 y + z = 1,  8 x − 3 y + 3 z = −7. 

 2 x + 4 y − 5 z = 5,  5.  3x + 2 y − 4 z = −1,  x − 3 y + 4 z = −6. 

 3x + 5 y + 4 z = 6,  6. − 2 x + 3 y + 5 z = −9,  2 x + y − 3z = 3. 

 5 x + 2 y + 3z = 5,  7. − 6 x − y + 2 z = 1,  3x + 2 y − 2 z = −7. 

− 4 x + 5 y + 3z = 6,  8.  3x + 8 y + 2 z = 5,  x − 9 y − 3 z = −5. 

− 3x + 4 y − 4 z = 7,  9.  2 x + y + 3 z = 2,  3 x − 5 y − 4 z = 7. 

 4 x + y − 3z = −4,  10.  5 x + 3 y + 2 z = 7, − 2 x + 6 y + 5 z = −7. 

За д а ние № 2. Да на пи р а м и да ABCD. Н а йти : 1) уго л CBD; 2) пло щ а дь гр а ни ABC; 3) о б ъе м пи р а м и ды. 1. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 6;-2; 1 ), D(-2;-3; 4 ). 2. A( 4; 2; 3 ), B( 1;-4; 5 ), C( 2;-4;-1 ), D(-3; 2; 3 ). 3. A(-1; 3; 3 ), B( 7; 2; 0 ), C(-2;-1; 4 ), D( 4; 3; -1 ). 4. A(-2; 5; 6 ), B( 0; 5;-8 ), C(-3; 2; 4 ), D( 5; -2; 6 ). 5. A( 1; 5; 3 ), B( 7; 0; -1 ), C(-6; 2; 3 ), D(-2; 3; 3 ). 6. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 3; -2; 1 ), D( 2; 3;-7 ). 7. A( 3; 0; 5 ), B(-4; 3; -1 ), C(-5; 2; 3 ), D( 1; 1; 4 ). 8. A( 5;-2; 1 ), B(-2;-3; 0 ), C( 7;-1;-1 ), D(-1; 0; 5 ). 9. A(-3; 1; 0 ), B( 4; 1; -5 ), C(-6; 1; 1 ), D( 3;-1;-1 ). 10. A(-7; 1;-5 ), B( 3; -6; 1 ), C( 4;-1; 4 ), D( 2; 5; 0 ). За д а ние № 3. Да н тр е уго льни к ABC . Н а йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну м е ди а ны AM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо т BD и CK; 21

4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы угла B; 5) то ч ку пе р е се ч е ни я м е ди а ны А М то й BD и уго л м е ж ду ни м и .

с высо -

1. A( 2; 3 ), B(-4; 3 ), C(-1; -1 ).

2. A(-2; 4 ), B(-2; 1 ), C( 1; 5 ).

3. A( 4; 1 ), B( 3; 1 ), C( 0; -3 ).

4. A( 3; -2 ), B( 3; 0 ), C(-1; -3 ).

5. A( 6; 4 ), B(-3; 4 ), C( 1; 1 ).

6. A(-2; 2 ), B(-2; 6 ), C( 1; 10 ).

7. A( 5; 1 ), B( 3; 1 ), C(-1; -2 ).

8. A( 3; 0 ), B( 3; -6 ), C( 0; -2 ).

9. A(-2; 3 ), B( 4; 3 ), C( 1; -1 ).

10. A( 6; 1 ), B( 6; -3 ), C( 3; 1 ).

За д а ние № 4. Н а йти пр е де л сле дую щ и х функци й: 6x 2 − x3 + 2x , x →∞ 3 x 2 + 2 x − 5 π cos x 2 , в) lim x →1 x − 1

1. а) lim

б) lim

x →−1

(x

(

 x + 5 г) lim   . x →∞ x + 4   3x

3x 2 + 4 x 4 + 1 2. а) lim , x →∞ 5 x 2 + 3 x − 1 sin 3 x в) lim , x →π sin 5 x 3x 2 + x 5 + 2 3. а) lim , x →∞ 2 x 2 − 6 x + 8

x 2 − 12 − 2 б) lim , x →4 3x + 4 − x

cos x в) limπ , π2 x→ 2 2 x − 4 2 6x + 3 x + 1 4. а) lim , x →∞ 2 x 2 − 4 x + 2 π  tg  x −  2 в) limπ  , π x→ −x 2 2

 4 + 2x  г) lim   . x →∞ 3 + 2 x  

г) lim ( x − 1) x −2 . 1

x →2

б) lim x →2

x3 − 8 , x+2−x x −1

б) lim

x →−3

1− x − 2 , x2 + x − 6

г) lim (4 − x ) x−3 . 2

x →3

22

)

+ 1) ⋅ x + 1 , 2 x 2 − 3x − 5 3

2x3 + 4x − 3

5. а) lim

x + 3x + 8 x

x →∞

4

3

,

x −1 в) limπ , x → tgπ x 6. а) lim

x6 + 3 + 2x3 sin 6 x , в) lim x →0 arctg 2 x x →∞

7. а) lim x →∞

2 x 2 + 3x − 5 6 x + 2 − 3x 4

x →1

1− x  г) lim   x →∞ 3 − x  

2

6 x3 − 8x 2 + 3

5 x + 4 − 3x , 3x 2 + 5 x − 8

б) lim

,

4 x−2

.

x + 1 ⋅ (x 2 − 1) б) lim , x →−1 x 2 + 3x + 2 г) lim (2 + x ) x+1 . 3

x → −1

,

б) lim

x →−2

2− x + x , x3 + 8 x −1

π  в) limπ tgx ⋅  x − , 2 x→  2

 4 + 3x  г) lim   . x →∞ 2 + 3 x  

7 x − 3x 2 + 2

x 3 + 27 , 6− x + x

8. а) lim

9x4 + x2 + 3 π  sin  ⋅ x  2  в) lim  , x→2 x−2 x →∞

9. а) lim x →∞

,

8 x 6 + 3x + 2 x 3 , 6 x 3 + 3x − 1

x2 − 1 в) lim , x →−1 πx cos 2 2 4 x + 3x + 8 10. а) lim 2 , x →∞ 2x + x2 + 4

б) lim

x → −3

г) lim ( x − 3 ) x→4

5 x −4

.

x − 5 ⋅ (x 2 − 25) , 2 x 2 − 6 x − 20

б) lim x →5

 6 + x2   г) lim  x →∞ 3 + x 2    б) lim

x →−4

x 2−1

.

x+8 − − x , 1 − 2 x − 13 + x 3− 2 x

sin x  6 − 2x  в) lim 2 , г ) lim   . x →π x − π 2 x →∞ 5 − 2 x   За д а ние № 5. Н а йти пр о и зво дную y′ ( x) сле дую щ и х функци й: 1. а ) y =

ctg 3x − 3 x , sin 2 4 x

в) lg (xy 2 + 2 x+ y ) = 0,

(

б ) y = arctg x

)

 y = arcsin t , г)   x = 1 − t.

23

cos x

,

2. а ) y = 4 x arccos 7 x - 3-ctgx , x3 в) tg (x + y ) − =1, y 2

3. а ) y =e

−sin 2 x

(arctgx + tg3 x ),

(

)

в) xy = lg x − y + 3, 4 − sin x − arcsin 2 x 4. а ) y = , lg( x − cos x ) в) x - y 2 + e

x y3

= 0,

5. а ) y = (arccos 4 x − tg 2 2 x )e - x ,

в)

x - y + lg

x = 0, y

16 x − cos 3x 6. а ) y = , arcsin 2 5 x в) y 2 + e x ⋅ cosy = x,

7. а ) y = (3 − tgx + cos 2 x )arcsin x , в) y x − e x−2 y = 4,

б ) y = (sin 5 x ) , ex

 y = lg(1 + t 2 ), г)  2  x = 1+ t .

(

б ) y = arccos 4 x

)

x

,

 y = arcsin(1 − t ), г)  2  x = 2t − t .

(

б ) y = tg x

)

−arccos x

,

 y = arctg (1 + t ), г)  2  x = lg(t + 2t + 2). б ) y = (ctg 3 x ) , 3x

 y = arcctg t , г)   x = lg(1 + t ). б ) y = (arctg 8 x ) , 5x

(

)

 y = lg t + t ,  г)  x = 2 t + 1 2 . 

(

)

б ) y = (ctg 2 x )

−3 x

,

 y = 8t − t 2 − 15, г)   x = arcctg (4 − t ).

24

2

3− x 8. а ) y = , arccos x + lg(1 − x )

б) y=x

(

2

x

)arcctg

4

б ) y = x arcsin

x,

3 cos 7 x − 2e x arctg x 2 + 1

,

б ) y = (lg x ) arccos 2 x ,

,

 y = tg 3t , г)  4  x = sin t.

в) 3 - x + y = 4 , xy

1− x 2

 y = cos 2 t , г)   x = log 5 (ctg t ).

x3 в) sin (x - 5y ) + =1 , y 10. а ) y =

,

 y = ctg 2 t , г)  3  x = sin t.

в) cosx - 5y 2 + e xy = 0,

9. а ) y = 2 − x + 3e

arcctg  x 2 −1   

3

За д а ние № 6. В ыч и сли ть пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла : 16,13,

б)

sin 32 o 15 ′.

7,91,

б)

24,76 ,

б)

cos 31o 45 ′. tg 43o 30 ′.

27,34 ,

б)

arctg 0,93.

15,23,

б)

arcctg 1,12.

35,46 ,

б)

1. а ) 2. а )

3

3. а ) 4. а )

3

5. а )

4

7. а )

4

81,21,

б)

ctg 46 o 18 ′. sin 47 o 12 ′.

8. а )

3

7,73 ,

б)

cos 43o 48 ′.

64,93,

б)

arctg 1,15.

63,18 ,

б)

arcctg 0,89.

6. а )

9. а ) 10. а )

4

За д а ние № 7. Н а йти не о пр е де ле нный и нте гр а л: dx

1. а )

∫ x lg 2 x,

б)

2. а )

∫x

б)

2

sin x 3 dx,

xdx , x +3

∫ ∫

xdx , x+3

25

в)

∫ x sin 3xdx.

в)

∫ xe

−2 x

dx.

3. а )

∫e

4. а )

∫

3− 2 x

dx,

dx 1 − 2x

, 2

б)

∫

dx , x x +3 x

в)

∫x

б)

∫

xdx , x −2

в)

∫ x cos 2 xdx.

(

dx 5. а ) ∫ , 2 cos (7 x + 4 )

e x dx б) ∫ x , e +1

x 2 dx 6. а ) ∫ 3 , x +4

б)

∫

б)

∫

arccos 2 xdx

7. а )

∫

8. а )

tgxdx ∫ cos 2 x,

9. а )

∫ (1 + x 2 )arctgx ,

10. а )

1 − x2

,

dx

sin xdx

∫ cos 2 x ,

б)

∫

)

2

ln xdx.

в)

∫ arctgxdx.

в)

∫ arccos xdx.

в)

∫ x sin 2 xdx.

xdx , x +5

в)

∫ x ln xdx.

x dx , x −4

(x + 1 )dx, x −1

б)

∫3

dx , x +1

в)

∫ x cos 4 xdx.

б)

∫

xdx , x−7

в)

∫ xe

1− x

dx.

За д а ние № 8. С по м о щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла выч и сли ть пло щ а дь зе м е льно го уч а стка , о гр а ни ч е нно го ли ни ям и :  y = 2 x 2 + 3 x − 4, 1.   y = 2 x − 1.

 y = −3 x 2 + 4 x + 1, 2.   y = −2 x + 1.

 y = 3x 2 + 2 x − 7, 3.   y = 2 x + 5.

 y = − x 2 + 5 x − 6, 4.  y = x − 3. 

 y = 2 x 2 − 5 x + 4, 5.   y = 3 x − 2.

 y = x 2 + 8 x − 7, 6.   y = x + 1.

26

 y = −2 x 2 + 3 x + 6, 7.  y = − x. 

 y = 3 x 2 + 4 x − 8, 8.   y = −2 x + 1 .

 y = −3x 2 + 6 x + 4, 9.  y = 3x − 5. 

 y = −2 x 2 + 5 x + 1, 10.  y = x − 5. 

За д а ние № 9. Н а йти гр а ди е нт функци и z = z( x; y ) в то ч ке М и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l . x

1. z = 3 x ⋅ y 2 + 2 cosπy − y ⋅ e 4 ;

M ( 4 ; 1 ); l = (− 1; 5 ).

πx 2. z = 2 x ⋅ y + y ⋅ sin + 3e 8 ; 3

M (1 ; 8 ); l = ( 3; 2 ).

xy

3

πy − 6e 3 ⋅ y + x 3 ; 3

M (3 ; 1); l = ( − 1; 5 ).

πx x + ; 4 y2

M (2 ; 1); l = (− 3; 4 ).

x

3. z = 3x ⋅ tg

4. z = x 2 ⋅ 3 y + e y ⋅ sin

πx 5. z = 2 x ⋅ y + 3 sin e 2 + 2 y ; 9

M (9 ; 2 ); l = ( 4 ;−8 ).

6. z = 4 ln (e ⋅ yx 2 ) + y sin πx +

M (− 1 ; 1); l = ( 3;−6 ).

y

3

7. z = 3 y ln 2

8. z = 3ctg

9. z =

x πy y 2 + 5 cos + ; 4 x 4

y πx xy + ln − ; y 2 3x

x2 4y + ln − 3 x; πy x sin 2

2y ; x

M ( 4 ; 8 ); l = ( 4 ; 5 ). M (2 ; 4 ); l = ( 7 ; 5 ). M (4 ; 1); l = (− 5; 4 ).

x π  10. z = 3 y ⋅ tg  ⋅ x 2  + − y 2 + 5 x + ; M ( 2 ; 1); l = ( 4 ; 2 ). 2y 2  27

За д а ние № 10. Н а йти ч а стно е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, удо вле тво р яю щ е е на ч а льно м у усло ви ю (за да ч а Ко ши ):

1. 2.

1 − y 2 dx + y 1 − x 2 dy = 0;

(1 + x )dx + (1 + y )dy = 0; 2

2

y (0 ) = 1.

1 ; cos x

y(0 ) = 0.

+ x 2 )dx − 2 xydy = 0;

y(4 ) = 0.

3. y ′ − ytgx =

4.

(y

5.

(x + xy )dx + (yx

2

y (0 ) = 0.

2

2

− y )dy = 0;

y (0 ) = 1.

6. xy ′ + y − e x = 0;

y(1) = 1.

(1 + e )yy′ = e ;

y (0 ) = 1.

7. 8.

x

x

x 2 + y 2 dx = xdy − ydx;

9. sin y cos xdy = sin x cos ydx; 10.

y′ −

y = 1 + x; 1 − x2

y (1) = 1. y (0 ) =

π . 4

y (0 ) = 0.

28

ЧАС ТЬ III Про гра м м а 4-го сем естра (за ч е т) 1. Случ а йные со б ыти я. Кла сси ч е ско е , ста ти сти ч е ско е и ге о м е тр и ч е ско е о пр е де ле ни е ве р о ятно сти . 2. А лге б р а со б ыти й. Те о р е м ысло ж е ни я и ум но ж е ни я ве р о ятно сте й. 3. Ф о р м ула по лно й ве р о ятно сти 4. Ф о р м ула Бе р нулли . Л о ка льна я и и нте гр а льна я те о р е м ыЛ а пла са . 5. Ди скр е тные случ а йные ве ли ч и ны. З а ко н р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. З а ко ныб и но м и а льный и Пуа ссо на . 6. Ч и сло вые ха р а кте р и сти ки ди скр е тных случ а йных ве ли ч и н: м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е , ди спе р си я и ср е дне е ква др а ти ч е ско е о ткло не ни е . З а ко н б о льши х ч и се л. 7. Н е пр е р ывные случ а йные ве ли ч и ны. Ф ункци я р а спр е де ле ни я и пло тно сть р а спр е де ле ни я. 8. Ч и сло вые ха р а кте р и сти ки не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н. 9. Ра вно м е р но е , но р м а льно е и по ка за те льно е р а спр е де ле ни я. 10. В ыб о р о ч ный м е то д. Э м пи р и ч е ска я функци я р а спр е де ле ни я. По ли го н и ги сто гр а м м а . 11. Т о ч е ч ные и и нте р ва льные о це нки па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я. 12. К о р р е ляци я. Л и не йна я и кр и во ли не йна я ко р р е ляци я. 13. К о эффи ци е нтко р р е ляци и . Л и ни и р е гр е сси и . 14. М но ж е стве нна я ко р р е ляци я. 15. Ста ти сти ч е ска я пр о ве р ка ста ти сти ч е ски х ги по те з.

Реш ение типич ны х з а д а ч , пред л а га ю щ ихся в треть ем сем естре Тео рия веро ятно стей С л у ч а йны е со бы тия Пр и м е р 18. Н а скла д хле б о за во да по ступи ло 20 м е шко в м уки высше го со р та и 10 м е шко в пе р во го со р та . Н а уда ч у б е р уттр и м е шка . К а ко ва ве р о ятно сть то го , ч то все о ни пе р во го со р та ? Ре ше ни е . Пусть А – и ско м о е со б ыти е . В се го на скла д по ступи ло 20+10=30 м е шко в. Т р и м е шка м о ж но выб р а ть и з 30 ч и сло м со ч е та ни й и з 30 по 3, зна ч и т 3 n= С 30 , ср е ди ни х б ла го пр и ятствую щ и х случ а е в р а вно ч и слу со ч е та ни й и з 10 по 3, зна ч и тm= С 103 . По кла сси ч е ско м у о пр е де ле ни ю ве р о ятно сти и м е е м 3

m 6 P(A)= = C10 = . n C 330 203 Пр и м е р 19. Ре б е но к и гр а е тс ше стью б уква м и а зб уки : А , А , Е , К , Р, Т. Н а йти ве р о ятно сть то го , ч то о н см о ж е тсло ж и ть случ а йно сло во КА РЕ Т А (со б ыти е А ). 29

Ре ше ни е . Ре ше ни е о сло ж няе тся те м , ч то ср е ди б укв е сть о ди на ко вые – две б уквы "А ". По это м у ч и сло все х во зм о ж ных случ а е в в да нно м и спыта ни и р а вно ч и слу пе р е ста но во к с по вто р е ни ям и и з 6 б укв: n = P6 =

6! = 360 . 1!

Э ти случ а и р а вно во зм о ж ны, по па р но не со вм е стны и о б р а зую тпо лную гр уппу со б ыти й, т.е . о б р а зую т схе м у случ а е в. Л и шь о ди н случ а й б ла го пр и ятствуе т со б ыти ю А . По это м у P ( A) =

1 . 360

Пр и м е р 20. Т а ня и В а ня до го во р и ли сь встр е ч а ть Н о вый го д в ко м па ни и и з 10 ч е ло ве к. О ни о б а о ч е нь хо те ли си де ть р ядо м . К а ко ва ве р о ятно сть и спо лне ни я и х ж е ла ни я, е сли ср е ди и х др узе й пр и нято м е ста р а спр е де лятьпуте м ж р е б и я? Ре ше ни е . О б о зна ч и м ч е р е з А со б ыти е "и спо лне ни е ж е ла ни я Т а ни и В а ни ". 10 ч е ло ве к м о гутусе сться за сто л10! р а зным и спо со б а м и . Ско лько ж е и з эти х n = 10! р а вно во зм о ж ных спо со б о в б ла го пр и ятны для Т а ни и В а ни ? Т а ня и В а ня, си дя р ядо м , м о гутза нять 20 р а зных по зи ци й. В то ж е вр е м я во сьм е р ка и х др узе й м о ж е тсе сть за сто л8! р а зным и спо со б а м и , по это м у m = 20 ⋅ 8!. Сле до ва те льно , P ( A) =

20 ⋅ 8! 2 = . 10! 9

Пр и м е р 21. Гр уппа и з 5 ж е нщ и н и 20 м уж ч и н выб и р а е ттр е х де ле га то в. Сч и та я, ч то ка ж дый и з пр и сутствую щ и х с о ди на ко во й ве р о ятно стью м о ж е тб ыть выб р а н, на йти ве р о ятно сть то го , ч то выб е р утдвух ж е нщ и н и о дно го м уж ч и ну. Ре ше ни е . О б щ е е ч и сло р а вно во зм о ж ных и схо до в и спыта ни я р а вно ч и слу спо со б о в, ко то р ым и м о ж но выб р а ть тр е х де ле га то в и з 25 ч е ло ве к, т.е . n = C253 . По дсч и та е м те пе р ь ч и сло б ла го пр и ятствую щ и х случ а е в, т.е . ч и сло случ а е в, пр и ко то р ых и м е е т м е сто и нте р е сую щ е е на с со б ыти е . М уж ч и на -де ле га т м о ж е тб ыть выб р а н два дца тью спо со б а м и . Пр и это м о ста льные два де ле га та до лж ны б ыть ж е нщ и на м и , а выб р а ть двух ж е нщ и н и з пяти м о ж но m = 20 ⋅ C 52 . По это м у

30

C52 . Сле до ва те льно ,

P ( A) =

20 ⋅ C52 2 = . 3 C 25 23

Пр и м е р 22. Стр е ло к пр о и зво ди то ди н выстр е л по м и ше ни . В е р о ятно сть выб и ть 10 о ч ко в (со б ыти е А ), 9 о ч ко в (со б ыти е В ), и 8 о ч ко в (со б ыти е С) р а вны со о тве тстве нно 0,11; 0,23; 0,17. Н а йти ве р о ятно сть то го , ч то пр и о дно м выстр е ле стр е ло к выб ье тм е не е 8 о ч ко в (со б ыти е D). Ре ше ни е . Пе р е йде м к пр о ти во по ло ж но м у со б ыти ю D - пр и о дно м выстр е ле стр е ло к выб ье тне м е не е 8 о ч ко в. Со б ыти е D на ступа е т, е сли пр о и зо йде тА и ли В , и ли С, т.е . D =А +В +С. Т а к ка к со б ыти я А ,В ,С по па р но не со вм е стны, то , по те о р е м е сло ж е ни я, P( D ) = P(А ) + P(В ) + P(С) = 0,51. О ткуда Р(D) = 1- P( D ) = 1 – 0,51 = 0,49. Пр и м е р 23. О т ко лле кти ва б р и га ды ко то р а я со сто и т и з 6 м уж ч и н и 4 ж е нщ и н, на пр о фсо ю зную ко нфе р е нци ю выб и р а е тся два ч е ло ве ка . К а ко ва ве р о ятно сть, ч то ср е ди выб р а нных хо тя б ыо дна ж е нщ и на (со б ыти е А ). Ре ше ни е . Е сли пр о и зо йдёт со б ыти е А , то о б яза те льно пр о и зо йдёт о дно и з сле дую щ и х не со вм е стных со б ыти й: В – “выб р а ным уж ч и на и ж е нщ и на ”; С – “выб р а ны две ж е нщ и ны”. По это м у м о ж но за пи са ть: А = В + С. Н а йдём ве р о ятно сть со б ыти й В и С. Два ч е ло ве ка и з 10 м о ж но выб р а ть С 210 спо со б а м и . Двух ж е нщ и н и з ч е тыр ёх м о ж но выб р а ть С 24 спо со б а м и . м уж ч и ну и ж е нщ и ну м о ж но выб р а ть 6*4 спо со б а м и . Т о гда P(B) = 4 * 6/ С 210, P(C) = С 210 /С 24. Т а к ка к со б ыти я В и С не со вм е стны, то , по те о р е м е сло ж е ни я, P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3. Пр и м е р 24. Из ур ны, в ко то р о й 5 б е лых и 10 ч е р ных ша р о в, выни м а ю тпо др яд два ша р а . Н а йти ве р о ятно сть то го , ч то о б а ша р а б е лые (со б ыти е А ). Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м со б ыти я: В – пе р вый вынутый ша р б е лый; С – вто р о й вынутый ша р б е лый. Т о гда А = В С. О пытм о ж но пр о ве сти двум я спо со б а м и : 31

1) с во звр а щ е ни е м : вынутый ша р по сле фи кса ци и цве та во звр а щ а е тся в ур ну. В это м случ а е со б ыти я В и С не за ви си м ы: Р(А ) = Р(В ) ⋅ Р(С) = 5/15⋅5/15 = 1/9; 2) б е з во звр а щ е ни я: вынутый ша р о ткла дыва е тся в сто р о ну. В это м случ а е со б ыти я В и С за ви си м ы: Р(А ) = Р(В ) ⋅ Р(С/В ) . Для со б ыти я В усло ви я пр е ж ни е , P ( B) =

5 1 = , а для С си туа ци я и зм е ни 15 3

ла сь. Пр о и зо шло В , сле до ва те льно в ур не о ста ло сь 14 ша р о в, ср е ди ко то р ых 4 б е лых. P (C/B ) =

4 2 = . 14 7

Ита к, 1 2 2 P ( A) = ⋅ = . 3 7 21 Пр и м е р 25. Ср е ди 50 эле ктр и ч е ски х ла м по ч е к 3 не ста нда р тные . Н а йти ве р о ятно сть то го , ч то две взятые о дно вр е м е нно ла м по ч ки не ста нда р тные . Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м со б ыти я: А – пе р ва я ла м по ч ка не ста нда р тна я, В – вто р а я ла м по ч ка не ста нда р тна я, С – о б е ла м по ч ки не ста нда р тные . Я сно , ч то

С = А ⋅ В . Со б ыти ю А б ла го пр и ятствую т 3 случ а я и з 50 во зм о ж ных, т.е .

Р(А ) = 3/50. Е сли со б ыти е А уж е на ступи ло , то со б ыти ю В б ла го пр и ятствую тдва случ а я и з 49 во зм о ж ных, т.е . Р(В /А ) = 2/49. Сле до ва те льно , P(C ) = Р( А) ⋅ Р( В / А) =

3 2 3 ⋅ = . 50 49 1225

Пр и м е р 26. В ко р зи не яб ло ки с ч е тыр е х де р е вье в о дно го со р та . С пе р во го – 15% все х яб ло к, со вто р о го – 35%, с тр е тье го – 20%, с ч е тве р то го – 30%. Со зр е вши е яб ло ки со ста вляю тсо о тве тстве нно 99%, 97%, 98%, 95%. а ) К а ко ва ве р о ятно сть то го , ч то на уга д взято е яб ло ко о ка ж е тся спе лым (со б ыти е А ). б ) Пр и усло ви и , ч то на уга д взято е яб ло ко о ка за ло сь спе лым , выч и сли ть ве 32

р о ятно сть то го , ч то о но с пе р во го де р е ва . Ре ше ни е . а ) Им е е м 4 ги по те зы: Н 1 – на уга д взято е яб ло ко снято с 1-го де р е ва ; Н 2 – на уга д взято е яб ло ко снято с 2-го де р е ва ; Н 3 – на уга д взято е яб ло ко снято с 3-го де р е ва ; Н 4 – на уга д взято е яб ло ко снято с 4-го де р е ва . Их ве р о ятно сти по усло ви ю : Р(Н 1) = 0,15; Р(Н 2) = 0,35; Р(Н 3) = 0,2; Р(Н 4) = 0,3. Усло вные ве р о ятно сти со б ыти я А : Р(А /Н 1) = 0,99; Р(А /Н 2) = 0,97; Р(А /Н 3) = 0,98; Р(А /Н 4) = 0,95. В е р о ятно сть то го , ч то на уда ч у взято е яб ло ко о ка ж е тся спе лым , на хо ди тся по фо р м уле по лно й ве р о ятно сти : Р(А ) = Р(Н 1) ⋅ Р(А /Н 1) + Р(Н 2) ⋅ Р(А /Н 2) + Р(Н 3) ⋅ Р(А /Н 3) + Р(Н 4) ⋅ Р(А /Н 4) = = 0, 969. б ) Ф о р м ула Ба йе са для на ше го случ а я и м е е тви д: Р ( Н 1 / А) =

Р ( Н 1 ) ⋅ Р( А/ Н 1 ) = 0,153 . Р( А)

Пр и м е р 27. Н а йти и нте гр а льную функци ю р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ныХ , за да нно й р ядо м р а спр е де ле ни я: Х

1

2

3

Р

0,3

0,2

0,5

и по стр о и ть е е гр а фи к. Ре ше ни е . Пусть х ≤ 1, то гда F(x) = 0, та к ка к со б ыти е Х < х б уде тне во зм о ж ным . Е сли 1< х ≤ 2, то по о пр е де ле ни ю и нте гр а льно й функци и р а спр е де ле ни я и м е е м F(x) = p1 = 0,3. Е сли 2< х ≤ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5. Е сли х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. О ко нч а те льно по луч а е м

33

0, е сл и х≤ 1, 0,3, е сл и 1 < х≤ 2,  F ( х) =  0,5, е сл и 2 < х≤ 3, 1, е сл и х> 3. Гр а фи к функци и F(х) и зо б р а ж е н на р и с. 4. F(х) 1

0,5 0,3

0

1

2

х

3 Ри с. 2.

Пр и м е р 28. Ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на Х за да на за ко но м р а спр е де ле ни я: Х

0

1

2

3

р

0,4

0,1

0,3

0,2

Н а йти м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е , ди спе р си ю , ср е дне е ква др а ти ч е ско е о ткло не ни е . Ре ше ни е . Т а к ка к случ а йна я ве ли ч и на являе тся ди скр е тно й, то для выч и сле 4

ни я М (Х ) во спо льзуе м ся фо р м уло й M ( X ) = ∑ xi ⋅ pi . Им е е м i =1

М (Х ) = 0⋅0,4 + 1⋅0,1 + 2⋅0,3 + 3⋅0,2 = 1,3. Н а йде м ди спе р си ю D(X). Пр е два р и те льно на йде м м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е о тХ 2: М (Х 2) = х12 ⋅ р 1 + х22⋅ р 2 + х32⋅ р 3 + х42⋅ р 4 = 02⋅0,4 + 12⋅0,1 + 22⋅0,3 + 32⋅0,2 = 3,1.

34

Да ле е по фо р м уле D ( X ) = M (X 2 ) − (M ( X )) по луч а е м 2

D(X) = 3,1 –1,32 = 3,1 – 1,69 = 1,41. Н а йде м ср е дне е ква др а ти ч е ско е о ткло не ни е . Им е е м σ(Х ) = D( X ) = 1,41 ≈ 1,22 . Пр и м е р 29. Н е пр е р ывна я случ а йна я ве ли ч и на Х за да на функци е й р а спр е де ле ни я пр и x ≤ 0, 0 1 1  F ( x) =  − ⋅ cos x пр и 0 < x ≤ π , 2 2 1 пр и x > π . Н а йти м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю это й случ а йно й ве ли ч и ны. Ре ше ни е . По о пр е де ле ни ю ди ффе р е нци а льно й функци и ϕ(х) = F′(x). О тсю да пр и x < 0, 0  1 ϕ ( x) =  ⋅ sin x пр и 0 < x < π , 2 0 пр и x > 0. В

то ч ка х х = 0 и х = π функци я ϕ(х) не ди ффе р е нци р уе м а . По фо р м уле +∞

M ( X ) = ∫ x ⋅ ϕ ( x )dx по луч а е м −∞

0 π +∞ 1 M ( Х ) = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ sin xdx + ∫ x ⋅ 0dx = 2 −∞ π 0 π dx = du  1 x = u 1π π = ∫ x ⋅ sin xdx =   = ( − x ⋅ cos x 0 + ∫ cos xdx) = 20 sin xdx = dv v = − cos x  2 0

π π 1 1 = (− x ⋅ cos x 1π + sin x π0 ) = (−π ⋅ cos π ) = − (−1) = . 2 2 2 2 Н а хо ди м сна ч а ла М (Х 2). Им е е м

35

+∞ 0 π +∞ 1 M ( Х 2 ) = ∫ x 2 ⋅ ϕ ( x )dx = ∫ x 2 ⋅ 0dx + ∫ x 2 ⋅ sin xdx + ∫ x 2 ⋅ 0dx = 2 0 −∞ −∞ π

2 xdx = du  x 2 = u 1π 2 = ∫ x ⋅ sin xdx =  = 20 sin xdx = dv v = − cos x  π π 1 1 = (− x 2 ⋅ cos x π0 + ∫ 2 x ⋅ cos xdx) = (π 2 + 2∫ x ⋅ cos xdx) = 2 2 0 0 π dx = du  1 2 x = u π =  = (π + 2( x ⋅ sin x 0 ) − 2 ∫ sin xdx) = cos xdx = dv v = sin x  2 0

1 1 = π 2 + cos x π0 = π 2 − 2. 2 2 Да ле е по фо р м уле D( X ) = M (X 2 ) − (M ( X )) по луч а е м 2

D( X ) =

π2 π2 π2 −2− = − 2. 2 4 4

Ла бо ра то рны е ра бо ты по м а тем а тич еско й ста тистике О ц енива ние па ра м етро в и про верка гипо тез ы о но рм а л ь но м з а ко не ра спред ел ения По выб о р о ч ным да нным , пр е дста вле нным ни ж е в 25 ва р и а нта х, тр е б уе тся: 1) по стр о и ть и нте р ва льный ва р и а ци о нный р яд р а спр е де ле ни я; 2) выч и сли ть выб о р о ч ные ха р а кте р и сти ки по ва р и а ци о нно м у р яду: ср е дню ю а р и фм е ти ч е скую ( х), це нтр а льные м о м е нты (µk, k = 1 ,4) ди спе р си ю (s2), ср е дне е ква др а ти ч е ско е о ткло не ни е (s), ко эффи ци е нты а си м м е тр и и (As) и эксце сса (Ek), м е ди а ну (Me), м о ду (Mo) и ко эффи ци е нтва р и а ци и (Vs); 3) по стр о и ть ги сто гр а м м у, по ли го н и кум уляту; 4) cде ла ть выво д о фо р м е р яда р а спр е де ле ни я по ви ду ги сто гр а м м ы и по ли го на , а та кж е по зна ч е ни ям ко эффи ци е нто в As и Ek; 5) р а ссч и та ть пло тно сть и и нте гр а льную функци ю те о р е ти ч е ско го но р м а льно го р а спр е де ле ни я и по стр о и ть эти кр и вые на гр а фи ка х ги сто гр а м м ыи кум уляты со о тве тстве нно ; 1) пр о ве р и ть ги по те зу о но р м а льно м за ко не р а спр е де ле ни я по кр и те р и ю со гла си я Пи р со на ( χ 2 ). 36

За д а ч а № 1 (ва р и а нты№ 1–5). В а р и а нты№ 1+i (i=0,1,2,3,4). Ур о ж а йно стьпше ни цы(ц/га ) на по лях ко лхо зо в р а йо на со ста ви ла : 20,4 19,0 19,5 13,7 23,1 27,4 30,1 22,5 23,1 24,1 32,0 24,4

19,5 13,1 19,1 20,5 23,2 33,1 25,4 20,6 25,1 25,3 24,5

14,3 11,5 15,1 23,9 20,1 30,1 29,3 20,5 29,1 26,1 36,5

18,1 32,1 22,1 18,6 21,4 27,3 20,8 27,1 25,7 21,3 20,1

25,7 33,2 21,1 22,5 25,3 23,8 23,1 24,1 25,1 24,0 23,1

30,1 31,5 24,5 26,1 20,5 23,1 21,3 26,1 30,7 21,3 30,4

20,1 32,0 23,7 27,5 21,4 23,0 28,1 20,3 24,0 24,2 21,3

18,4 29,5 13,5 27,9 24,5 26,2 23,4 29,3 21,9 21,0 22,0

13,5 + i 25,1 + i 28,1 22,4 + i 23,5+ i 31,5 28,5 22,1 + i 30,1 28,4 24,3 + i

За д а ч а № 2 (ва р и а нты№ 6 - 10). В а р и а нты№ 6 +i (i = 0,1,2,3, 4). Пр о и зво ди те льно сть тр уда по пр е дпр и яти ям на 1 р а б о та ю щ е го (тыс. р уб ) за не ко то р ый пе р и о д со ста ви ла : 11,70

9,03

13,70

12,31

6,68

5,60

8,06

12,90

7,35

7,76

12,30

5,91

6,23

12,37

11,50

8,69 +1

11,35

13,70

11,11

9,74

12,33

14,75

6,86

12,90

13,90

9,70

12,00

13,56

6,67

12,75

15,33

9,73 + i

11,00

15,30

9,50

11,99

14,40

10,36

13,00

10,60+1

9,75

10,79

14,10

12,05

11,25

15,67

14,67

15,95

15,21

16,00

12,41

9,02

16,20

9,32

8,81

10,11+1

1 3,57

10,32

13,85

13,60

16,60

15,05

12,97

13,60

9,21

17,00

12,80

17,60

10,81

16,95

9,85

10,70 + i

1 4,90

15,95

13,40

16,80

6,96

12,03

12,00

11,50

1 2,90

7,39

16,10

9,35

13,75

8,80

13,01

8,64 +i

11,80

10,48

15,85

11,56

12,56

11,67

12,27

12,07

10,51

12,09

12,31

9,76

37

За д а ч а № 3 (ва р и а нты№ 11 - 15). В а р и а нты№ 11 + i (i = 0,1, 2,3, 4). Пр о до лж и те льно стьго р е ни я эле ктр о ла м по ч е к (ч ) сле дую щ а я: 750

750

756

769

757

767

760

743

745

759 + 2i

750

750

739

751

746

758

750

758

753

747 + 2i

751

762

748

750

752

763

739

744

764

755 + 2i

751

750

733

752

750

763

749

754

745

747 + 2i

762

751

758

766

757

769

739

746

750

753 + 2i

738

735

760

738

747

752

747

750

746

748 + 2i

742

742

758

751

752

762

740

753

758

754 + 2i

737

743

748

747

754

754

750

753

754

760

740

756

741

752

747

749

745

757

755

764

756

764

751

759

754

745

752

755

765

762

За д а ч а № 4 (ва р и а нты№ 16 - 20). В а р и а нты№ 16 +i (i= 0,1,2,3,4). О пла та тр уда ко лхо зни ко в о дно го и з ко лхо зо в де ньга м и и на тур о й (р уб .) за не ко то р ый пе р и о д вр е м е ни сле дую щ а я: 338 348 304 314 326 314 324 304 342 308

336 304 302 338 314 308 320 324 322 321

312 323 336 324 312 312 364 356 362 302

381 310 334 292 362 381 304 366 298 304

302 368 304 298 368 290 340 324 316 322

296 314 292 262 324 322 290 332 298 296

38

360 298 324 338 352 326 318 304 332 322

342 312 331 331 304 316 332 282 342 338

334 322 324 275 302 328 354 330 316 324

322 + i 350 + i 334 + i 324 + i 340 + i 324 + i 314 + i 326 323

За д а ч а № 5 (ва р и а нты№ 21–25). В а р и а нты№ 21 + i (i = 0, 1, 2, 3, 4). В ысо та кр ыше к тр уб о пр о во дных ве нти ле й (м м ) сле дую щ а я:

109,6 106,8 110,3 106,7 104,5 116,6 114,9 113,3 110,4 110,8 112,6 106,9 114,5

108,9 108,6 107,9 110,8 106,3 107,1 104,7 112,6 113,4 109,1 111,4 108,6 106,1

107,3 112,9 107,8 104,1 111,2 104,1 112,0 110,4 111,9 109,6 105,1 109,7 110,0

105,0 109,5 111,8 110,2 111,2 110,8 112,6 109,4 113,5 111,2 107,4 113,3 104,0

106,5 107,3 116,6 107,3 107,2 113,6 111,8 112,9 111,0 110,3 106,9 106,4

113,3 107,6 108,6 108,6 108,6 116,8 109,7 111,3 108,6 109,9 107,8 112,1

109,2 111,6 110,9 108,7 109,4 104,7 105,3 112,1 110,2 109,9 111,0 107,9

110,9 + i 115,7 106,9 + i 110,3 113,4 112,3 115,5 110,8 + i 114,7 108,6 + i 107,3 + i 109,7 + i

Регрессио нны й и ко ррел яц ио нны й а на л из В а р и а нтыза да ч 1 - 25 с ука за ни е м р е зульта ти вно го у и фа кто р ных х1, х2 пр и зна ко в да ныв та б л. 1. По выб о р о ч ным да нным , пр е дста вле нным в та б л. 2, и ссле до ва ть на о сно ве ли не йно й р е гр е сси о нно й м о де ли за ви си м о сть о дно го и з р е зульта ти вных пр и зна ко в о т по ка за те ле й пр о и зво дстве нно -хо зяйстве нно й де яте льно сти пр е дпр и яти й м а ши но стр о е ни я. Для это го тр е б уе тся: 1) на йти о це нку ур а вне ни я р е гр е сси и ви да

39

 b0    ~ y = b0 + b1 x1 + b2 x2 , т.е . ве кто р b =  b1  ; b   2 2) пр о ве р и ть зна ч и м о сть ур а вне ни я р е гр е сси и пр и α = 0,05 и ли α = 0,01; 3) пр о ве р и ть зна ч и м о сть о тде льных ко эффи ци е нто в р е гр е сси и β0, β1, β2; 4) по стр о и ть и нте р ва льные о це нки для зна ч и м ых ко эффи ци е нто в р е гр е сси и пр и γ = 1 - α; 5) пр и не о б хо ди м о сти пе р е йти к а лго р и тм у по ша го во го р е гр е сси о нно го а на ли за , о тб р о си в о ди н и з не зна ч и м ых ко эффи ци е нто в р е гр е сси и ; 6) по стр о и ть м а тр и цыпа р ных и ч а стных ко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 7) на йти м но ж е стве нные ко эффи ци е нтыко р р е ляци и и де те р м и на ци и ; 8) пр о ве р и ть зна ч и м о сть ч а стных и м но ж е стве нных ко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 9) по стр о и ть и нте р ва льные о це нки ч а стных ко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 10) пр о ве сти со де р ж а те льный эко но м и ч е ски й а на ли з по луч е нных р е зульта то в. Т а б ли ца 1. В а р и а нтыза да ч для са м о сто яте льно й р а б о тыпо р е гр е сси о нно м у и ко р р е ляци о нно м у а на ли зу Н о м е р ва - Ре зульта ти в- Ф а кто р ные р и а нта ный пр и зна к пр и зна ки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Y1 Y2 Y2 Y2 Y2 Y1 Y2 Y2 Y1 Y2 Y2 Y2 Y2

Н о м е р ва - Ре зульта ти в- Ф а кто р ные р и а нта ный пр и зна к пр и зна ки

X1, X3 X1, X5 X1, X7 X1, X11 X1, X10 X3, X4 X3, X11 X11, X15 X3, X5 X11, X16 X1, X6 X1, X12 X1, X2

14 I5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

40

Y3 Y2 Y3 Y3 Y3 Y3 Y1 Y1 Y2 Y2 Y3 Y3

X1, X14 X5, X9 X8, X10 X7, X14 X3, X6 X1, X14 X2, X6 X3, X7 X5, X8 X9, X10 X4, X11 X1, X12

О б о зна ч е ни я и на и м е но ва ни я по ка за те ле й: Y1 – пр о и зво ди те льно сть тр уда , тыс. р уб ./ч е л.; Y2 – и нде кс сни ж е ни я се б е сто и м о сти пр о дукци и ; Y3 – р е нта б е льно сть, %; X1 – тр удо е м ко сть е ди ни цыпр о дукци и , ч е л.-ч ; Х 2 – уде льный ве с р а б о ч и х в со ста ве пр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла ; Х 3 – уде льный ве с по купных и зде ли й; Х 4 – ко эффи ци е нтсм е нно сти о б о р удо ва ни я, см е н; X5 – пр е м и и и во зна гр а ж де ни я на о дно го р а б о тни ка ППП, тыс. р уб .; X6 – уде льный ве с по те р ь о тб р а ка , %; X7 – фо ндо о тда ч а а кти вно й ч а сти О ПФ , р уб ./р уб .; Х 8 – ср е дне го до ва я ч и сле нно сть пр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла , ч е л.; Х 9 – ср е дне го до ва я сто и м о сть о сно вных пр о и зво дстве нных фо ндо в, м лн. р уб .; Х 10 – ср е дне го до во й фо нд за р а б о тно й пла тыпр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла , тыс. р уб .; X11 – фо ндо во о р уж е нно сть тр уда , тыс. р уб ./ч е л.; X12 – о б о р а ч и ва е м о сть но р м и р уе м ых о б о р о тных ср е дств, дн.; X13 – о б о р а ч и ва е м о сть не но р м и р уе м ых о б о р о тных ср е дств, дн.; Х 14 – не пр о и зво ди те льные р а схо ды, тыс. р уб .

41

Та б ли ца П. 2.2 Т а б ли ца 2.

Но м е р пр е дпр и яти я

З на ч е ни е по ка за те ле й пр о и зво дстве нно -хо зяйстве нно й де яте льно сти м а ши но стр о и те льных пр е дпр и яти й

Y1

Y2

Y3

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9,4 9,9 9,1 5,5 6,6 4,3 7,4 6,6 5,5 9,4 5,7 5,2 10,0 6,7 9,4

62,0 53,1 56,5 30,1 18,1 13,6 89,8 76,6 32,3 199,6 90,8 82,1 !< 76,2 37,1 51,6

10,6 9,1 23,4 9,7 9,1 5,4 9,9 19,1 6,6 14,2 8,0 17,5 17,2 12,9 13,2

0,23 0,43 0,26 0,43 0,38 0,42 0,30 0,37 0,34 0,23 0,41 0,41 0,22 0,31 0,24

0,62 0,76 0,71 0,74 0,72 0,68 0,77 0,77 0,72 0,79 0,71 0,79 0,76 0,79 0,70

0,40 0,19 0,44 0,25 0,02 0,06 0,15 0,24 0,11 0,47 0,20 0,24 0,54 0,29 0,56

1,35 1,39 1,27 1,10 1,23 1,39 1,38 1,35 1,24 1,40 1,28 1,33 1,22 1,35 1,20

0,88 0,57 1,70 0,84 1,04 0,66 0,86 1,27 0,68 0,86 0,45 0,74 1,03 0,96 0,98

0,15 0,34 0,09 0,05 0,48 0,41 0,62 0,50 1,20 0,21 0,66 0,74 0,32 0,39 0,28

1,91 1,68 1,89 1,02 0,88 0,62 1,09 1,32 0,68 2,30 1,43 1,82 2,62 1,24 2,03

7394 11586 7801 6371 4210 3557 14148 15118 6462 24628 1948 18963 9185 6391 6555

39,53 40,41 37,02 41,08 42,39 37,39 101,78 81,32 59,92; 107,34 80,83 59,42 36,96 37,21 32,87

14257 22661 14903 12973 6920 5736 26705 28025 11049 45893 36813 33956 17016 11688 12243

5,35 3,90 4,88 5,65 8,85 8,52 7,19 5,38 9,27 4,36 4,16 3,13 4,02 5,82 5,01

173,9 162,3 101,2 177,8 93,2 126,7 91,8 70,6 97,2 80,3 128,5 94,7 85,3 85,3 116,6

11,88 12,60 8,28 17,28 13,32 17,28 9,72 8,64 9,00 14,76 10,44 14,76 20,52 7,92 18,72

28,13 17,55 19,52 18,13 21,21 22,97 16,38 16,66 20,09 15,98 22,76 15,41 19,35 14,63 22,62

ЛИ ТЕРАТУ РА 1. К удр явце в В .А . Кр а тки й кур с высше й м а те м а ти ки / В .А . К удр явце в, Б.П. Де м и до ви ч . – М .: Ф и зм а тги з, 1978. – 623 с. 2. М и но р ски й В .П. Сб о р ни к за да ч по высше й м а те м а ти ке : Уч е б . по со б и е для втузо в / В .П. М и но р ски й. – 13-е и зд. – М .: Н а ука , 1987. – 352 с. 3. Ш и па ч е в В .С. О сно вывысше й м а те м а ти ки : Уч е б . по со б и е для втузо в / В .С. Ш и па ч е в; По д р е д. А .Н . Т и хо но ва . – 2-е и зд., сте р е о ти п. – М .: В ысш. шк., 1994. – 352 с. 4. Ш и па ч е в В .С. Сб о р ни к за да ч по высше й м а те м а ти ке : Уч е б . по со б и е / В .С. Ш и па ч е в. – М .: В ысш. шк., 1994. – 192 с. 5. Гм ур м а н В .Е. Т е о р и я ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ска я ста ти сти ка / В .Е. Гм ур м а н. – М .: В ысш. шк., 1998. – 479 с. 6. Гм ур м а н В .Е. Руко во дство к р е ше ни ю за да ч по те о р и и ве р о ятно сти и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке . – М .: В ысш. шк., 1998. – 400 с. 7. Ф е ти со в Ю .М . Т е о р и я ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ска я ста ти сти ка для ге о гр а фо в и ге о эко ло го в: Уч е б но е по со б и е / Ю .М . Ф е ти со в. – В о р о не ж , 2001. – 124 с.

Со ста ви те ли : до ц. Ф е ти со в Ю р и й М и ха йло ви ч , ст. пр е п. Уксусо в Се р ге й Н и ко ла е ви ч . Ре да кто р : Буни на Т.Д.

43