小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 ...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな け れ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な いで あ ろ う. 編 者 らは,こ の よ うな事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 にお け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ と を目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る. 上 の 主 旨に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の 基 本 を 悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 には い れ る よ う書 か れ て あ る. これ に よ って,高 校 の数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る. この シ リー ズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る と と も に,つ
ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.
ま
え
が
き
微 分 解 析 幾 何 学 と は,微 分 幾 何 学 的 方 法 を 用 い て,解
析 的 多様 体 ない しは解
析 空 間 の研 究 を 主 要 な 目的 とす る数 学 の 分 野 で あ る と い って も よい か と思 う. 当 然,そ
の 守 備 範 囲 は 非 常 に 広 く,多 変 数 関 数 論,微 分 方 程 式 論,代 数 幾 何 学,
微 分 位 相 幾 何 学 等 が 関 連 し て く る. 本 書 で は,そ
の 中 の 一 分 野 で あ る,複 素 数 空 間 の 中 の 有 界 領 域 の 幾 何 学 に ま
とを しぼ っ て,ど を 試 み た.出 空 間,位
の よ うな 微 分 幾 何 学 的 手 法 が 用 い られ る か を 明 か に す る こ と
来 る 限 りself-containedで
あ る よ うに つ と め た の で,ベ
相 空 間 な ど に つ い て も予 備 知 識 を 殆 ん ど仮 定 せ ず,常
の 存 在 定 理,陰
微 分 方程 式 の解
関 数 の 定 理 等 も くわ し く証 明 を 与 え た.
1章 か ら3章 ま で は,多 様 体 へ の 準 備 で あ って,4∼9章 リー 群 に 関 す る基 本 的 事 項 の解 説 を 行 った.従 入 門 と 呼 ん で も差 支 え な い で あ ろ う.10章 を 若 干 仮 定 し,11章
っ て,こ
に お い て,多
様体 と
れ らを も って,多 様 体
で は 一 変数 の関 数論 に関 す る知 識
で は 複 素 多 様 体 に つ い て 簡 単 な 説 明 を 行 った.12∼13章
で は 有 界 領 域 の 正 則 変 換 群 に つ い て 述 べ,14章 が 対 称 領 域 に な る とい うE.カ な お,微
ク トル
に お い て,2変
数 等 質有 界 領域
ル タン の 定 理 の証 明 を 試 み る.
分 幾 何 学 の 教 科 書 に は 必 ず 登 場 す る リ ー マ ン幾 何 学 お よび 微 分 型 式
な い し テ ン ソル に つ い て の 解 説 は(そ の 方 面 の 文 献 は 豊 富 で あ る の で)一 切 割 愛 し,用 い な い こ とに し た.主 終 りに,本
な る武 器 は ベ ク トル 場 で あ る と い っ て よ い.
書 を 書 く よ うに お す す め 戴 い た 小 松 醇 郎 先 生 に 感 謝 の 意 を 表 した
い.
1972年4月
著
者
目 1. 可 微 分 関 数 1.1 Cr級 1.2
次 1
関 数
2
テー ラーの公 式
4
1.3 C∞ 級 関 数 の 構 成 1.4 逆 写 像 の 定 理
6 8
1.5 微 分 方 程 式 の 解
11
2. ベ ク トル 空 間
21
2.1
21
ベ ク トル 空 間 の 定 義
2.2 ベ ク トル 空 間 の 基 と 次 元
24
2.3 線 型 写 像
28
2.4
3. 位
陰 関 数 定 理,階
相
空
数定理
間
31
37
3.1
位 相空 間 の定 義
37
3.2
直 積 と 位 相 の は り合 わ せ
40
3.3 連 続 写 像,位
相 同型写 像
3.4
連 結 集 合,連
結成 分
3.5
コ ン パ ク ト集 合
3.6
コ ン パ ク ト開 位 相
4. 多
様
42 43 47 50
体
52
4.1
多様 体 の定 義
52
4.2
C∞ 関 数,C∞
4.3
接 バ ン ドル
写 像 と 接 ベ ク トル
55 65
4.4
ベ ク トル 場 と1径
4.5
複 素 ベ ク トル 場
数 変換 群
67 76
5. 部 分 多 様 体 と 積 分 多 様 体
78
5.1 部 分 多 様 体
78
5.2 微 分 系 と積 分 多 様 体
79
5.3 フ ロベ ニ ウス の 定 理
82
5.4 可 算 公 理
85
6. リー
91
6.1
環 リー 環 の 定 義 とそ の 例
6.2 部 分 リ ー 環,イ 6.3 根 基,半 6.4
デ ア ル,可
91 解 リー環
92
単 純 リー環
95
リー の 定 理
97
6.5 〓0(C)の
部 分 リ ー環
101
6.6 〓0(C)の
有 限 次 元 実 部 分 リー環
105
7. 位
相
群
110
7.1 位 相 群 の 定 義
110
7.2
111
単位 元 の近 傍系
7.3 連 結 位 相 群
114
7.4 位 相 変 換 群
116
7.5 ハ ー ル 測 度
8. 被 覆 空 間 8.1 基
本
119
126 群
8.2 被 覆 空 間 8.3 普 遍 被 覆 空 間
126
130 136
8.4 被
9. リ
覆
ー
群
群
9.1
リー群 の定 義
9.2
リー 群 の リー 環
9.3
リ ー群 の 準 同 型 と リ ー 部 分 群
148 148 148 150
9.4 指 数 写 像 と 標 準 座 標 9.5
リー 変 換 群
10. 正 則
関
数
10.1
1変 数 正 則 関 数
10.2
多 変 数正 則 関 数
10.3
コー シ ーの積 分公 式
10.4 正 則 関 数 の 性 質
142
153 161
163
163
165 168
170
10.5 正 則 写 像
173
10.6
174
微 分 方程 式 の解
11. 複 素 多 様 体
176
11.1
複 素 多 様 体 の定 義
176
11.2
複 素 構 造 テ ン ソル
178
11.3
正 則 ベ ク トル 場
12. 正 則 変 換 群
179
184
12.1 無 限 小 変 換
184
12.2 準 連 続 群
188
12.3 正 則 変 換 の 極 限 と 固 定 群
195
13. 有 界 領 域
202
13.1 正 則 無 限 小 変 換
202
13.2 有 界 領 域 の 同 型,局
所 同 型
204
13.3 対 称 領 域
14. 2次
209
元 等 質 有 界領 域
210
14.1
C1の
等 質有 界 領域
210
14.2
C2の
等 質有 界 領域
211
14.3
dima(D)=2の
場合
212
14.4
dima(D)=1の
場合
216
14.5
2次
元等 質有 界 領域 の分 類
問題 解 答 の ヒン ト 参 索
考
223
226
書
229
引
231
1. 可 微 分 関 数
n個 の 変 数 を も った(微 分 の で き る)関 数 に つ い て の 基 本 的 な 性 質 を 調 べ るの が こ の 章 の 目標 で あ る.導 関 数 の 記 号 を 簡 略 に して 取 扱 い を 容 易 に す る た め, い くつ か の 記 号 を 導 入 す る. 実 数 全 体 か らな る集 合 をR,整
数 全 体 か らな る集 合 をZで
n個 の 実 数(順 序 の つ い た)の 組(x1,…,xn)全 わ す.従
っ て,R1=Rは
実 数 直 線,R2は
と 思 っ て よい.x=(x1,…,xn)∈Rnに
あ らわ す.
体 か ら な る 集 合 をRnで
平 面,R3は3次
あら
元 空 間 を あ らわ す
対 し て,
(1.1)
と お く.ま
た,x,y∈Rn,a∈Rに
対 し
x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn),
(1.2) a・x=(ax1,ax2,…,axn)
に よ っ て"和"x+y,"ス
Rnの
カ ラ ー 倍"a・xを
点 列{x(ν)│ν=1,2,…}に
と な る と き,x(ν)はx(0)に
定 義 す る.
対 しx(0)∈Rnが
存 在 し て
収 束 す る と 言 い,x(ν)→x(0)(ν
→ ∞)ま
た は
で あ らわ す. 点x∈Rnと
正 数rに
対 し, U(x,r)={y│y∈Rn,│x−y│0}, U2={(x,y,z)∈S2│y>0}, U3={(x,y,z)∈S2│x