Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами: Методические указания для самостоятельной работы по курсу ''Теоретические основы электротехники''

Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию Псковский государственный политехнический институт

Н.И. Солнышкин, И.И. Бандурин

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Методические указания для самостоятельной работы по курсу "Теоретические основы электротехники"

Псков 2007

Введение Одним из основных видов занятий по курсу ТОЭ является выполнение студентами самостоятельной работы. Самостоятельная работа направлена на закрепление изучаемого материала и заключается в самостоятельном решении задач по пройденным темам курса. Самостоятельная работа над решением задач помогает студентам проверить степень усвоения ими курса, получить необходимые знания о сравнительных достоинствах и недостатках основных методов расчета, а также физических процессах, происходящих в электрических цепях, вырабатывает у них навык четко и кратко излагать свои мысли. Общие указания Выбор варианта. Индивидуальный вариант студента определяет преподаватель. Номер схемы цепи определяется второй цифрой номера индивидуального варианта. Правила оформления работы 1. Расчетная работа выполняется на отдельных листах, используя только одну сторону листа. Образец выполнения титульного листа приведен в приложении 2. 2. Задание должно быть полностью внесено в работу. Работа должна содержать все пункты задания. 3. Общий план решения и все математические действия должны иметь достаточно полные пояснения. 4. Исходные формулы, промежуточные и окончательные результаты должны быть четко выделены из общего текста. В окончательных результатах для каждой величины должна быть указана размерность в соответствии с международной системой единиц СИ. 5. Схема, потенциальная диаграмма должны быть выполнены аккуратно, в достаточно крупном масштабе в соответствии с действующими стандартами. 6. Работа засчитывается, если решения не содержат ошибок и выполнены перечисленные требования. 7. Если работа не зачтена, она должна быть выполнена заново. Если неправильно выполнена часть задания, то все необходимые поправки делают в конце работы (сохраняя первоначальный вариант).

2

Методы расчета переходных процессов 1. Переходные процессы (общие сведения) Процессы, протекающие в электрических цепях при переходе от одного состояния к другому, называются переходными. Переходные процессы могут сопровождаться перенапряжением или сверхтоками на отдельных участках цепи. Кроме того, целый ряд устройств автоматики и радиотехники работают длительное время в переходном режиме. Поэтому изучение этих режимов весьма важно для инженерной практики. Переходный процесс возникает в результате коммутации. Коммутацией называют включения, отключения, переключения ветвей электрической схемы, приводящие к изменению схемы или ее параметров. Считается, что коммутация происходит мгновенно. При наличии в цепи накопителей энергии: катушек индуктивности и конденсаторов переходный процесс имеет длительность во времени. Объясняется это тем, что каждому состоянию электрической цепи соответствует определенный запас энергии в индуктивностях и емкостях. Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии накопителей. При конечной мощности энергия может изменятся только непрерывно. Здесь рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях. Поэтому исключаются из рассмотрения случаи, когда при коммутации возникает электрическая дуга (нелинейный элемент). Если нет специального указания, будем считать, что коммутация в цепи происходит в момент времени t=0. При этом, последний момент времени перед коммутацией обозначим t=0-, а первый момент времени сразу после коммутации t=0-. Из непрерывности энергии накопителей вытекают законы коммутации. 1. Если значение напряжения, приложенного к индуктивному элементу, конечно и индуктивность в момент коммутации не изменяется, то ток в индуктивном элементе (и потокосцепление) при коммутации изменяется непрерывно:

i L (0+) = i L (0−). 2. Если ток, протекающий через емкостный элемент, имеет конечное значение и значение емкости в момент коммутации не изменяется, то напряжение на емкостном элементе /и заряО) при коммутации изменяется непрерывно:

u C (0+ ) = u C (0−). Так как в реальных физических цепях каждый элемент обладает и индуктивностью и емкостью, то в них не могут скачком изменяться ни токи, ни напряжения. Однако если, абстрагируясь от действительности, пренебречь в катушке ее распределенной емкостью, то получим, что напряжение на катушке может изменяться скачком. Точно так же, если полностью пренебречь индуктивностью конденсатора, то в нем ток может изменяться скачком. Если в результате идеализации процессов теоретически окажется возможным появление длящихся бесконечно малое время бесконечно больших напряжений на последовательно включенных отдельных индуктивных элементах цепи, хотя суммарное напряжение остается конечным, или окажется возможным появление длящихся бесконечно малое время бесконечно больших токов в отдельных, параллельно включенных, емкостных элементах цепи, хотя суммарный ток во всех этих ветвях остается конечным, то условие непрерывности энергии накопителей не выполняется, так как при этом величина ΔW = pΔt = ∞ * 0 становится неопределенной. В них случаях следует различать две стадии переходного процесса. На первой стадии происходит практически мгновенное перераспределение зарядов конденсаторов и потокосцеплений катушек индуктивности. Вторая стадия переходного процесса осуществляется за 3

конечный интервал времени. Можно не рассчитывать переходный процесс на первой стадии, а сразу переходить ко второй стадии. В этом случае будем называть такие задачи - задачами с «некорректными» начальными условиями. При расчете переходного процесса в схемах с «некорректными» начальными условиями следует применять законы коммутации в обобщенной форме. Законы коммутации в обобщенной форме вытекают из законов Кирхгофа. Из второго закона Кирхгофа следует, что при коммутации сумма изменений потокосцеплений индуктивных элементов любого замкнутого контура равна нулю, то есть алгебраическая сумма потокосцеплений индуктивных элементов замкнутого контура после коммутации равна алгебраической сумме потокосцеплений индуктивных элементов этого контура до коммутации.

∑ ± Ψk (0+) = ∑ ± Ψk (0−) Здесь потокосцепление берут со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением тока в индуктивном элементе. Пример.

i1

r1

L1i1 (0−) − Mi 2 (0−) + L 2 i 2 (0−) − Mi1 (0−) =

L1 *

L1i1 (0+ ) − Mi 2 (0+ ) + L 2 i 2 (0+) − Mi1 (0+ ). M

E

После коммутации i1 (0+ ) = i 2 (0+ ) = i(0)

* L2

Тогда

i (0+ ) =

i2 r3

r2

i 1 (0 − ) =

(L1 − M )i1 (0−) + (L 2 − M )i 2 (0−) , L1 + L 2 − 2M

Er3 E ; Где i 2 = rr r1 r3 + r2 r3 + r1 r2 r1 + 2 3 r2 + r3

Рис. 1-1 Из первого закона Кирхгофа следует, что сумма изменений зарядов на емкостных элементах, присоединенных к общему узлу, равна нулю, то есть алгебраическая сумма зарядов на емкостных элементах, присоединенных к общему узлу, после коммутации, равна алгебраической сумме зарядов этих емкостных элементов до коммутации.

∑ ± q k (0+) = ∑ ±q k (0−). Здесь знак заряда берется в соответствии с направлением напряжения на емкостном элементе, по отношению к рассматриваемому узлу. Пример. r1

C1 u C1 (0−) + C 2 u C 2 (0−) = C1 u C1 (0+ ) + C 2 u C 2 (0+) .

E

C1

После коммутации u C1 (0+ ) = u C 2 (0+ ) = u C (0).

C2

Тогда u C (0) =

C1 u C1 (0−) + C 2 u C 2 (0−) C1 + C 2

.

Рис. 1-2 Здесь u C1 (0−) = E ,а u C 2 (0−) - значение напряжения второго емкостного элемента до коммутации. Токи и напряжения в переходном процессе называют переходными величинами (функциями). Переходная величина определяется полным решением дифференциального уравнения относительно этой функции. Решение дифференциального уравнения может осуществляться различными методами.

4

2. Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов заключается в следующем. Составляем уравнения электрического состояния цепи после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа. Если заданными являются э.д.с. источников, то неизвестными будут токи во всех р ветвях цепи. Пусть требуется найти ток iK в к-ой ветви. Исключая последовательно все остальные токи. получим одно дифференциальное уравнение порядка n относительно тока iK: d Si K a S S = f K ( t ). ∑ dt S= 0 Порядок n уравнения определяется конфигурацией цепи и характером ее элементов. Свободный член fK(t) содержит в себе заданные э.д.с. Полное решение этого дифференциального уравнения состоит из частного решения i k ПР n

(принужденная составляющая), определяемого видом функции fK(t), и общего решения i k СВ (свободная составляющая) однородного уравнения: n

∑ aS

dSi K СВ

= 0 , то есть i k = i k ПР + i k СВ . dt S Ток i k СВ (t) называют свободным током, так как он определяется из уравнения при S= 0

отсутствии источников э.д.с. Свободный ток возникает вследствие того, что при коммутации в цепи имеющиеся запасы энергии в полях от предыдущего установившегося режима не соответствуют запасам энергии в полях, которые будут в новом установившемся режиме после происшедших изменений в цепи. При t → ∞ ток i k СВ (t) стремится к нулю, так как процесс в цепи, обладающей конечным сопротивлением, должен затухать при отсутствии в цепи источников энергии. Поэтому ток iK(t) стремится со временем к i k ПР (t). Следовательно, частное решение i k ПР является током установившегося режима, который устанавливается после коммутации. Принужденная составляющая переходной величины (частное решение) определяется по схеме, образованной после коммутации. В схеме с периодическими (постоянными) источниками принужденная составляющая также будет периодической (постоянной) во времени. Для определения i k СВ находим n корней характеристического уравнения n

∑a p S= 0

S

S

= 0.

В случае, если все корни простые, имеем n

i K СВ = ∑ ASe p S t , S =1

и, следовательно, полное решение имеет вид n

i K = i K ПР + ∑ ASe p S t . S =1

5

Здесь

A K S - произвольные постоянные интегрирования. Они определяются из

начальных условий, о чем будет сказано ниже. В случае наличия кратных корней характеристического уравнения приведенного выше выражение для iK после определения всех величин Ак из начальных условий будет содержать неопределенности, раскрывая которые получим выражение iK для этого случая. Характеристическое уравнение можно составить одним из следующих способов. Первый способ. Определитель матрицы контурных сопротивлений (узловых проводимостей), составленный по методу контурных токов (узловых напряжений) для послекоммутационной схемы заменой jω на р. приравнивают к нулю: det Z( k ) (p) = 0 или det Y ( y ) (p) = 0 . Данное алгебраическое уравнение решают относительно р, что позволяет получить корни характеристического уравнения. Для схемы рис. 2-1 имеем матрицу контурных сопротивлений − r3 ⎡r + pL + r3 ⎤ L r Z( k ) ( p) = ⎢ ⎥. 1 r3 + r2 + ⎢⎣ − r3 pC⎥⎦ Приравнивая к нулю определитель этой C матрицы, получим характеристическое E уравнение det Z( k ) (p) = (r + pL + r3 )(r3 + r2 + 1 ) − r32 = 0. pC r3 r2

Рис. 2-1 Второй способ. В схеме, образованной после коммутации, э.д.с. и токи источников принимают равными нулю (источники э.д.с. закорачивают, а ветви с источниками тока разрывают) В полученной схеме разрывают любую ветвь и входное комплексное сопротивление (проводимость) по отношению к этим зажимам с заменой jω на р приравнивают к нулю: ZBX(p)=0 или YBX(p)=0. Для схемы рис. 2-1 имеем входное сопротивление по отношению ко второй ветви. 1 (r1 + pC) ⋅ r3 Z ВХ (p) = r2 + + = 0. pC r1 + pL + r3 Решая это уравнение относительно р, получим два корня p1 и p2. Как было отмечено выше, постоянные интегрирования определяются из начальных условий: значений переходной величины и ее (n-1) производных при t=0+. Начальные значения тока (потокосцепления) индуктивного элемента и напряжения заряда) емкостного элемента определяются из законов коммутации и называются независимыми начальными условиями. Если эти величины равны нулю, то схема имеет нулевые начальные условия. Начальные условия всех остальных токов и напряжений и производных по времени от токов и напряжений на элементах схемы, называются зависимыми начальными

6

условиями. Зависимые начальные условия определяются из уравнений, составленных по законам Кирхгофа, для послекоммутационной схемы с учетом законов коммутации. Пример. Найдем независимые и зависимые начальные условия для схемы рис.2-2 (Е=const).

i

r

Независимые начальные условия

i1

i2

r1

i 1 ( 0 − ) = i 1 ( 0 + ) = i 1 ( 0) =

C

u C (0−) = u C (0+) = u C (0) =

E

E r1 ; r + r1

а) Запишем уравнения электрического состояния послекоммутационной схемы по законам Кирхгофа для момента времени t=0.

r2

L1

E ; r + r1

Рис. 2-2 i(0) = i1 (0) + i 2 (0);

ri(0) + u C (0) + r2i 2 (0) = E; L

di1 dt

= u C (0) + r2i 2 (0); t =0

Отсюда определим зависимые начальные условия, например: E − u C (0) − ri1 (0) i 2 ( 0) = ; r + r2 i(0) =

E − u C (0) − ri1 (0) + i1 (0); r + r2

⎞ rr r u C (0) + r2i 2 (0) 1 ⎛ r2 = ⎜⎜ u C (0) − 2 i1 (0) ⎟⎟. E+ r + r2 r + r2 L L ⎝ r + r2 ⎠ t =0 б) Для послекоммутационной схемы рис.2-2 катушка индуктивности заменяем источником тока с током J = iL(0-) по направлению совпадающему с положительным направлением тока, а конденсатор — источником ЭДС с е = uС(0-) противоположно положительному направлению тока рис.2-3. Отсюда, по методу наложения, можно сразу записать: r i u (0) i L (0) ⋅ r E − u C (0) − ri1 (0) E − C − = i 2 ( 0) = ; i1 r + r2 r + r2 r + r2 r + r2 i2 di1 dt

=

uC(0-) E

iL(0-) r2

i ( 0) =

E − u C (0) − ri1 (0) + i1 (0); r + r2

di1 dt

= t =0

Рис. 2-3 7

u C (0) + r2 i 2 (0) . L

2.1. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом

Расчет переходных процессов классическим методом рекомендуется проводить по следующей алгоритмической схеме: 1. Составить систему уравнений энергетического состояния цепи по любому известному методу, описывающую процесс в цепи после коммутации. 2. Найти принужденную составляющую искомой величины, используя для расчета любой известный метод. 3. Записать с точностью до постоянных выражение для свободной составляющей искомой величины. Для этого: a) сформировать характеристическое уравнение; b) определить его корни; c) записать решение. 4. Записать с точностью до постоянных полное решение для искомой величины как сумму принужденной и свободной составляющих. 5. Определить постоянные интегрирования. Для этого: a) записать выражения для искомой величины и ее (n-1) производной (где n -порядок характеристического уравнения) при t=0; b) расчетом установившегося режима в цепи до коммутации и на основе законов коммутации определить независимые начальные условия iL(0) = iL(0+); uc(0) = uc(0+); c) с помощью независимых начальных условий и системы уравнений п.1, записанной для t=0, определить зависимые начальные условия (значения искомой величины и ее (n-1) производной при t=0); d) определить постоянные интегрирования, содержащиеся в общем решении для свободной составляющей полного решения. 6. Записать окончательное решение для искомой переходной функции. 2.2. Пример расчета переходного процесса классическим методом

В цепи рис. 2-3 размыкается ключ К. При этом начинается процесс перехода от одного установившегося режима к другому. Параметры элементов:

e = 100 2 sin ωt , В;

−1

ω = 1000c ; L = 0,01 Гн; С = 0,0001 Ф; г = 10 Ом. Определить переходные функции токов. r

i1

C

e(t)

i3

i2

r

L

Рис. 2-3 электрического

Составим систему уравнений послекоммутационной схемы di di i1 = i 2 + i3 ; ri1 + u C + L 2 = e( t ), u L = L 2 = ri3 . dt dt 8

состояния

цепи

для

Будем искать ток в индуктивности в переходном режиме. Остальные токи определим по выражению тока i 2 , используя уравнения (1). Рассчитаем принужденную составляющую тока i 2 . Воспользуемся для расчета комплексным методом. Для комплексной схемы рис. 2-4 имеем: Z1 = r − jx c = 10 − j10 Ом; jXC &I1

Z2 = jx L = 10 j Ом; &I 3

E&

r

&I 2

Z23 =

jXL

Z2 r = 5 + j5 Ом; Z2 + r

Zэ = Z1 + Z23 = 15 + j15 Ом;

Рис. 2-4 EZ 23 Er I2 = = = 4,45e − j26, 6° ; i 2 ( t ) = 6,3 sin(ωt − 26,6°), A. Z Э Z 2 Z1 Z 2 + Z 2 r + rZ1 Сформируем характеристическое уравнение. Входное сопротивление для схемы рис.2 равно: 1 pLr Z(p) = r + + . pC pL + r Из условия Z(p)=0 получаем уравнение: p 2 + 2δp + ω02 = 0, где δ =

1 r 2C + L , ω02 = . 4rLC 2LC

Определяем значение корней: p1, 2 = −δ ± δ 2 − ω02 = −δ ± jω' = −500 ± j500.

Корни характеристического уравнения получились комплексными. Выражение для свободной составляющей тока i 2 запишем в виде: i 2CВ = e − δt (A 1 sin ω' t + A 2 cos ω' t ).

Запишем полное решение для тока i 2 и выражение производной по времени от тока i 2 : i 2 ( t ) = i 2 ПР ( t ) + i 2 СВ ( t ) = 6,3 sin(ω' t − 26,5°) + e − δt (A1 sin ω' t + A 2 cos ω' t ).

di 2 ( t ) = 6,3 sin(ω' t − 26,5°) − e − δt (A1 sin ω' t + A 2 cos ω' t ) + e − δt (A1 sin ω' t + A 2 cos ω' t ). dt Для определения постоянных интегрирования, нужно знать начальные условия: i 2 ( 0) и

di 2 dt

. t =0

Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации (рис. 2-5). Z1 = − jx c ; Z 2 = jx L ; -jX &I1

C

&I3

E&

r

Z 23 =

Z2 r ; Z э = Z1 + Z 23 ; Z2 + r

UC =

E Z1 = 100 − j100; u C (0) = 2 Im(U C ) = 141, B. ZЭ

&I 2

jXL

9

I2 =

E ⋅ Z 23 = 10; i 2 (0) = 2 Im(&I 2 ) = 0, А. ZЭ Z2

Рис. 2-5 Запишем систему уравнений (1) для момента времени t=0: di di i1 (0) = i 2 (0) + i 3 (0); ri1 (0) + u C (0) + L 2 = e(0); L 2 = ri3 (0). dt t = 0 dt t = 0 Отсюда находим: di 2 e(0) − ri 2 (0) − u C (0) = = 0,707 ⋅10 4 , A c . dt t =0 2L di 2 Подставляя начальные условия i 2 (0) и в выражения для искомой величины i 2 , и dt t =0 di ее производной 2 при t=0, получим систему алгебраических уравнений dt относительно постоянных интегрирования: 0 = −2,81 + A 2 , 7070 = 5600 − 500A 2 + 500A1. Отсюда A1 = 5,67, A 2 = 2,81. Итак, имеем: i 2 ( t ) = 6,3 sin(ω' t − 26,5°) + 6,32e −500 t sin(ω' t + 26,36°), A. Токи i1 и i 3 найдем из уравнений (1). u L = ri3 = L i3 =

di 2 ; dt

L di 2 = 6,3 sin(ω' t + 63,5°) − 4,45e −δ⋅t sin(ω' t − 18,5°), A; r dt

i1 = i 2 + i 3 = 8,9 sin(ω' t + 18,5°) + 4,47e − δ⋅t sin(ω' t + 71°), A. 2.3. Контрольные вопросы и задачи

1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви? 2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее? Ответ: заряд. 3. Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока? , С=10 мкФ. Чему должна быть равна 4. В цепи на рис. 2 индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась? Ответ: L=0,225 Гн. 5. Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему? 6. Определить ток ;

через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если ;

;

10

;

.

Ответ:

.

7. Определить ток

в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если

;

;

;

.

Ответ: . 8. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение . входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором 9. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический? 10. Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R? 11. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом? 12. Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение? 13. Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях

переходный процесс в ней будет носить апериодический .

характер, если

14. Ответ: 15. Определить

. в цепи на рис. 9, если ,

, .

Ответ:

. 11

,

3. Метод переменных состояния расчета переходных процессов

Метод переменных состояния для определенного круга задач позволяет рассчитать переходные процессы в общей форме, формализуя весь процесс решения таким образом, что оказывается возможным получить это решение при помощи ЭВМ. В электрических цепях переменными состояния являются токи (потокосцепления) в индуктивных элементах и напряжения (заряды) на емкостных элементах. Переменные состояния определяют энергетическое состояние цепи. Переменные состояния совместно с источниками определяют значение любой переменной (ток, напряжение) цепи в любой момент времени. 3.1. Составление уравнений по методу переменных состояния

По методу переменных состояния составляют две системы уравнений (уравнения состояния и уравнения выходных величин): & = A1X+ B1V, X (3-1) Y = A2X + B2V, (3-2) & - вектор-столбец переменных состояния (токи в индуктивных и напряжения на где X емкостных элементах); Y - вектор-столбец выходных величин (искомые токи и напряжения); V - вектор-столбец входных воздействий (токи источников тока и э.д.с. источников); A1, A2, B1, B2 - матрицы, элементы которых определяются параметрами и топологией схемы. Первое уравнение связывает первые производные по времени переменных состояния; переменными состояния и внешними воздействиями. Следует отметить, что представление дифференциальных уравнений для переменных состояния в канонической форме удобно при решении их на ЭВМ, так как для численного решения такой системы можно использовать стандартное математическое обеспечение. Второе уравнение является алгебраическим и связывает выходные величины с переменными состояния и внешними воздействиями. Уравнения состояния и уравнения выходных величин могут быть получены либо с помощью уравнений Кирхгофа для послекоммутационной схемы, либо путем использования метода наложения. В первом случае сначала записывают исходные уравнения для схемы по законам Кирхгофа; затем выбирают переменные состояния и решают уравнения относительно первых производных переменных состояния. Не останавливаясь на втором подходе получения уравнений, отметим лишь, что он основан на замене емкостей источниками э.д.с, индуктивностей - источниками тока и применении метода наложения. Решают уравнения состояния аналитически или численно при заданных начальных условиях для переменных состояния. Начальные условия для переменных состояния являются независимыми и определяются из расчета установившегося режима в цепи до коммутации. 3.2. Пример составления уравнений по методу переменных состояния Рассмотрим пример составления уравнений. 12

Пусть требуется составить уравнения состояния и уравнения для выходных переменных тока i 3 и напряжения u r1 с помощью законов Кирхгофа для послекоммутационной схемы рис. 3-1. Выбираем за переменные состояния ток в индуктивности i1 и напряжение на емкости u C2 . а) Записываем уравнения по законам Кирхгофа r1

i1

i1 = i 2 + i 3 ,

L1 i2

e

C2

di1 + u C 2 = e, dt = r3i 3 ,

i3

r1i1 + L

r3

u C2

i2 = C2

du C 2 dt

.

Рис. 3-1 Из этой системы уравнений получаем уравнения в нормальной форме: du C 2 1 1 =− u C2 + i1 ; dt r3 C 2 C2 di1 r 1 1 = − u C 2 − 1 i1 + e L dt L1 L1 или в матричной форме: ⎡ 1 − ⎡u& C 2 ⎤ ⎢ r3 C 2 ⎢ &i ⎥ = ⎢ 1 ⎣ 1 ⎦ ⎢ − ⎢⎣ L

1 ⎤ ⎡0⎤ C 2 ⎥ ⋅ ⎡u C2 ⎤ + ⎢ 1 ⎥ e ⎥ ⎢ ⎥ r1 ⎥ ⎣ i1 ⎦ ⎢ L ⎥ ⎣ 1⎦ L ⎥⎦

& = A1X+ B1V, или X б) Формируем уравнения по вспомогательной схеме. На схеме L-элемент заменен источником тока i1(t), а C - элемент – источником i1 r 1 i1 напряжения uC2(t). Требуется тем или иным методом получить выражение для iC(t) и uL(t). Используя i2 i3 метод наложения и 2 - ой закон Кирхгофа получаем: e r3 UC2 uC i 2 = − 2 + i1 , r3

i3 =

Рис. 3-2

u C2 r3

,

r1i 1 + u L + u C 2 = e. Таким образом:

di 1 u L e − r1i1 − u C 2 1 r 1 = = = − u C 2 − 1 i1 + e dt L1 L1 L1 L1 L du C 2

i = 2 = dt C2

−

u C2 r3 C2

+ i1 =−

Уравнения выходных величин имеют вид 13

1 1 u C2 + i1 r3C 2 C2

i 3r3 = u C ⎡ i3 ⎤ ⎡ 1 или ⎢ ⎥ = ⎢ r3 u r1 = r1i1 ⎣u r1 ⎦ ⎣⎢ 0

0 ⎤ ⎡ u C2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥, r1 ⎦⎥ ⎣ i1 ⎦

то есть Y=A2X. 3.3. Контрольные вопросы и задачи

1. 2. 3.

Какие требования и почему выдвигаются к уравнениям состояния? Что включает в себя система уравнений при расчете переходного процесса в цепи методом переменных состояния? Перечислите основные этапы методики составления уравнений состояния.

4.

Записать матрицы А и В для цепи на рис. 5, если ,

,

,

,

,

.

; В

Ответ: А

4. Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции

вещественной

переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Изображение заданной функции преобразованием Лапласа:

определяется в соответствии с прямым

(1) . 14

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как: или

Следует отметить, что если оригинал

.

увеличивается с ростом t, то для сходимости

. Функции, с которыми интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют. В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов. Таблица 1. Изображения типовых функций Оригинал

А

Изображение Некоторые свойства изображений 1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

. 2. При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение: . С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что . Изображения производной и интеграла

, то

В курсе математики доказывается, что если

- начальное значение функции . Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности 15

, где

.

Аналогично для интеграла: если , то . С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

Тогда

или при нулевых начальных условиях

откуда операторное сопротивление конденсатора

Закон Ома в операторной форме

Пусть имеем некоторую ветвь

(см. рис. 1), выделенную из некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений переменных можно записать:

. Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

. Отсюда (2) , где

- операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

16

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление комплексному сопротивлению

соответствует

ветви в цепи синусоидального тока при замене

. оператора р на Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

. Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

. При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

. В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 -

;2-

. В первом случае в соответствии с законом Ома

. Тогда

и 17

. , для цепи на рис. 3 следует составить операторную Во втором случае, т.е. при схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда

;

и

.

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами: 1. Посредством обратного преобразования Лапласа

, которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как: . На практике этот способ применяется редко. 2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала. Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

. Тогда в соответствии с данными табл. 1

, что соответствует известному результату. 3. С использованием формулы разложения Пусть изображение

искомой переменной определяется отношением двух полиномов

18

, . где Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей (3) , где

- к-й корень уравнения

.

Для определения коэффициентов

умножим левую и правую части соотношения (3) на (

):

. При . Рассматривая полученную неопределенность типа

по правилу Лапиталя, запишем

. Таким образом,

.

Поскольку отношение

есть постоянный коэффициент, то учитывая, что

, окончательно получаем (4) . Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Частные случаи: 1. Если один из корней уравнения уравнение (4) сводится к виду

равен нулю, т.е.

19

, то

2. Комплексно-сопряженным корням уравнения в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место

3. Если в уравнении (4) F2(p) имеет n различных корней (р1, p2,…,pn ) и из них корень р1 кратностью m1, корень p2 кратностью m2, корень рs кратностью ms, то:

⎡ ⎢ mk −1 s F1 ( p )e pt 1 ⎢d f (t )= ∑ ⋅ mk − 1 F2 ( p ) k = 1( mk - 1)! ⎢ dp ⎢ ( p − p k )m k ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ p = pk

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на (р - pk)mk и лишь после этого дифференцировать. В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения. 4.1. Алгоритм расчета переходных процессов

1. Рассчитать цепь до коммутации и найти независимые начальные условия: i L (0) = i L (0−) и u C (0) = u C (0−) 2. Составить операторную схему. Изображения заданных источников э.д.с. (токов) найти по таблице соответствия между оригиналами и изображениями. Ненулевые независимые начальные условия учесть введением внутренних э.д.с. В ветвях, содержащих индуктивные элементы, внутренние э.д.с. равны Li L (0) и по направлению совпадают с положительным направлением тока. В ветвях с емкостными элементами u внутренние э.д.с. равны C и противоположны положительным направлениям u C (0) . p 3. Определить по операторной схеме изображение искомой величины любым методом (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного источника и т.д.). 4. Найти оригинал искомой величины, пользуясь теоремой разложения или таблицами соответствия оригиналов и изображений. 4.2. Пример расчета переходного процесса операторным методом

Рассчитать переходную функцию i1 ( t ) в схеме рис. 2-3 операторным методом. Из расчета цепи до коммутации (раздел 2.2) получили независимые начальные условия: i 2 (0) = 0 А; uС(0)= -141 В.

20

I1(p)

Составляем операторную схему замещения. Воспользуемся для расчета операторным изображением комплекса мгновенной э.д.с.

u C ( 0) 1 pС p

r

I3(p) E ( p) =

E mω p 2 + ω2

r

I2(p) pL

e( t ) ÷ E ( p ) =

E m (p ⋅ sin ψ E + ω cos ψ E ) p 2 + ω2

или e( t ) ÷ E ( p ) =

E mω p + ω2 2

Рис. 4-1. Внутренняя э.д.с. Li 2 (0) отсутствует, так как i 2 (0) = 0 . По закону Ома: U (0) − U C (0) ⋅ p 2 + E m ω ⋅ p − U C (0) ⋅ ω 2 U (0) E ω U ( p) = I1 ( p) = ; U ( p) = E ( p) − C ; = 2 m 2 − C Z(p) p p p +ω p ⋅ (p 2 + ω 2 ) 1 rpL 2rLCp 2 + (r 2 C + L)p + r ; + = Z(p) = r + pC r + pL p(LCp + rC) (− U C (0) ⋅ p 2 + E m ω ⋅ p − U C (0) ⋅ ω 2 ) ⋅ p(LCp + rC) = p ⋅ (p 2 + ω 2 ) ⋅ (2rLCp 2 + (r 2 C + L)p + r ) 1 1 (− U C (0) ⋅ p 2 + E m ω ⋅ p − U C (0) ⋅ ω 2 )( p + ) 2r 2L , = (p − jω)(p + jω)(p 2 + 2δp + ω 02 ) I1 ( p) =

r 2C + L 1 ; ω02 = . 4rLC 2LC Подставим значения параметров в изображение для тока. 7,05 ⋅ p 3 + 14121 ⋅ p 2 + 14121068 ⋅ p + 7050000000 F1 (p) = I1 ( p) = (p − p1 )(p − p 2 )(p − p 3 )(p − p 4 ) F2 (p) здесь p1, 2 = ± jω = ± j1000; p 3, 4 = −δ ± jω' = −500 ± j500. Применим теорему разложения. где δ =

F2 ' (p) = 4 ⋅ p 3 + 3000 ⋅ p 2 + 3000000 ⋅ p + 1000000000; F1 (p1 ) = -7,07 ⋅ 10 9 + j ⋅ 7,07 ⋅ 10 9 ; F2 ' (p1 ) = -2 ⋅ 10 9 - j ⋅ 10 9 ; F1 (p 3 ) = 1,752 ⋅ 10 9 + j ⋅ 1,763 ⋅ 10 9 ; F2 ' (p 3 ) = 5 ⋅ 10 8 + j ⋅ 10 9 ; o ⎛ F (p ) ⎞ ⎛ F (p ) ⎞ i1 ( t ) = 2 ⋅ Re⎜⎜ 1 1 e p1t ⎟⎟ + 2 ⋅ Re⎜⎜ 1 3 e p3t ⎟⎟ = 2 ⋅ Re 4,47e − j⋅71.5 e j⋅1000⋅t + ⎝ F2 ' (p1 ) ⎠ ⎝ F2 ' (p 3 ) ⎠

(

(

o

)

(

)

)

(

+ 2 ⋅ Re 2,22e − j⋅18.2 e −500 t e j⋅500 t = 8,9 ⋅ cos 1000 ⋅ t − 71.5 o + 4,4 ⋅ e −500 t cos 500 ⋅ t − 18.2 o Окончательно, после преобразования, получим: i1 ( t ) = 8,9 sin(ωt + 18,5) + 4,4e −500 t sin(ω' t − 71°), A.

)

4.3. Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом? 2. Что такое операторная схема замещения? 3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия? 4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу? 21

5. Для чего используются предельные соотношения? 6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания? 7. С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

Ответ:

.

8. С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом. .

Ответ:

5. Расчет переходных процессов при произвольной форме воздействия на цепь Обобщенные функции При анализе цепей во временной области часто используют обобщенные функции: единичную функцию 1(t-t0), единичную импульсную функцию δ(t-t0) и функцию единичного наклона δ2(t-t0). Единичная функция 1(t-t0) – это разрывная функция, равная 0 при t