Методические рекомендации для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики ''Механика''

Министерство образования Российской Федерации Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Филимонова Л.В., Боброва Т.М.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики

«Механика» В двух частях

(для студентов инженерно-физического и физическо-математического факультетов)

Елец – 2004

УДК 531/534 ББК 22.3я721 Ф 37

Рецензенты:

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЕГУ им. И.А. Бунина

к.т.н., доцент кафедры естественнонаучных дисциплин МГСУ, филиала в г. Воронеже, Полев В.А. к.ф-м н., доцент кафедры физики, Бровко С.В.

Филимонова Л.В., Боброва Т.М. Ф 53 Методические рекомендации для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики «Механика». В двух частях. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2004. – 139 с.: ил.

Целью данного пособия является оказание помощи студентам в подготовке и выполнении лабораторных работ по темам из раздела общей физики «Механика». В пособии приводятся описания к 13 лабораторным работам. Работы первой части затрагивают преимущественно материал по кинематике, колебаниям и волнам, движению тел в вязкой жидкости; во второй части содержатся работы по динамике материальной точки и твердого тела. К каждой работе дается формулировка цели ее выполнения, перечень используемого оборудования, краткие основы теории по теме работы, описание метода, вопросы к допуску, содержание экспериментальных заданий, вопросы к отчету. Представленный в каждой работе материал достаточен для ее выполнения, но требует изучения дополнительных литературных источников для подготовки отчета. В приложениях приводятся краткая справка по вычислению погрешности результатов учебного эксперимента по физике, необходимые справочные таблицы, дополнительный материал. Учебно-методическое пособие рекомендуется к использованию на лабораторных занятиях со студентами инженерно-физического и физико-математического факультетов ЕГУ в лаборатории механики. УДК 531/534 ББК 22.3я721 © ЕГУ им. И.А. Бунина, 2003 © Филимонова Л.В., 2003

3

Эксперимент должен по возможности ставиться так, чтобы не допускать не только ошибок, но и неоднозначного истолкования его результатов.

Введение. Формирование и развитие экспериментальных знаний и умений студентов в процессе изучения общей физики является одной из первостепенных задач ее преподавания в вузе. Это связано со многими причинами, в частности: значением экспериментального метода в физической науке и практике, его местом в обучении физике в школе с учетом разновидностей методики его использования. В процессе подготовки будущих учителей физики необходимо сформировать у студентов знания о составе и структуре экспериментальной деятельности в целом и умения осуществлять эту деятельность в связи с конкретными познавательными целями. В этой связи, главная цель, поставленная в данном пособии, состоит в обеспечении целенаправленного руководства изучением теоретических вопросов по общей физике с активным применением экспери-

ментального метода как для подтверждения теоретических положений, так и для самостоятельного вывода студентами субъективно новых для них физических закономерностей. При этом учитывалась необходимость побуждения студентов к активной творческой работе в физической лаборатории. Для этого им предлагается большой перечень вопросов к допуску перед началом выполнения работы, которые акцентируют их внимание на особенностях постановки конкретного эксперимента, на специфике изучаемых явлений и процессов, на возможности присутствия в работе неучтенных дополнительных факторов, сказывающихся на получаемых результатах и т.д. Предлагаемое пособие посвящено отдельным темам из раздела

4

«Механика» курса общей физики. Изложенные вопросы раскрывают следующие понятия и методы: плотность вещества и тела и методы ее измерения; вязкое трение и метод Стокса; стробоскопический эффект и методы измерения промежутков времени; деформация, модуль Юнга и метод его измерения для проволоки; виды движения и методы изучения соответствующих законов движения и кинематических зависимостей; виды движения твердого тела, его кинематические и динамические характеристики и различные методы определения моментов инерции; колебания и упругие волны, физический и математический маятник, методы определения длины волны и ускорения свободного падения. Все приведенные в пособии лабораторные работы имеют одинаковую структуру: цель, приборы и принадлежности, основные сведения по теории вопроса и метода, перечень вопросов к допуску, содержание экспериментальных заданий, таблицы для занесения данных и результатов, вопросы к отчету. Кроме того, ясно и обоснованно выведены и особо выделены расчетные формулы. Экспериментальные задания содержат указания по расчету погрешностей и требования подведения итогов в соответствии с поставленной в работе целью. Подборка экспериментальных заданий предполагает использование математического аппарата, применения графического метода анализа полученных данных, исследование изучаемого явления в вариативных условиях, контроль за обеспечением необходимой экспериментальной ситуации. Это допускает и обеспечивает дифференцированную по уровню сложности и самостоятельности студентов постановку учебного физического эксперимента. Предлагаемое содержание может быть по-разному использовано преподавателями в соответствии с уровнем подготовки студентов, количеством отводимого на лабораторные занятия аудиторного времени и названием факультета.

5

Лабораторная работа № 0. Вводная фронтальная работа. Нониусы, их назначение и практическое использование при измерении линейных размеров. Цель работы: познакомиться с принципами построения шкал с нониусами, правилами пользования штангенциркулем и микрометром; получить практические навыки в определении с их помощью линейных размеров различных тел. Приборы и принадлежности: различные штангенциркули ( в том числе демонстрационный), микрометр, образцы твердых тел правильной геометрической формы (шар, цилиндр, параллелепипед).

Основные теоретические сведения Опр. Нониусом (линейным или круговым) называется специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10-20 раз.

1. Линейный нониус представляет собой небольшую линейку, скользящую вдоль основной шкалы (рис.1, а)). Чтобы понять принцип действия линейного нониуса, рассмотрим на 2-х примерах его изготовление (построение шкалы) и применение. Пример 1. Пусть имеется основная шкала с сантиметровыми делениями. Выберем следующие значения основных необходимых для достижения поставленной цели параметров: Длина эталона – 10 см,

N=10 - число делений на шкале нониуса, k=1 – коэффициент кратности (натуральное число: чаще 1 или 2). Длина эталона – это отрезок длины на основном масштабе, с кото-

6

рым производится сравнение длины всей шкалы нониуса, равен (k·N) см, т.е. 1·10=10 см. Сравнение состоит в следующем: длина шкалы нониуса берется меньшей на единицу (у нас единица – это 1 см), чем длина эталона. В нашем примере длина всей шкалы нониуса будет равна 10 см – 1 см = 9 см. Следовательно, далее на отрезке длиной 9 см размечаем N делений нониуса, т.е. 10 делений. При этом цена деления шкалы нониуса будет равна:

Δ нониус =

kN − 1 1 =k− N N

(1)

- формула для определения цены деления нониуса.

В формуле (1) цифра 1 означает одно деление основной шкалы. Тогда величина Δ нониус измеряется в делениях основной шкалы. А найти ее величину в единицах длины, т.е. в сантиметрах или миллиметрах и пр. можно, умножая полученную по (1) величину на цену одного деления основной шкалы.

7

Имеем в данном примере:

Δ нониус =

1 1 ⋅ 10 − 1 = 1− = 0,9 (делений) 10 10

⇒

Вывод: одно деление нониуса меньше одного деления основного масштаба на 0,1 см ⇒ эта величина и будет (в данном примере, а не «всегда») точностью измерений на полученном приборе (например, штангенциркуле). Иначе говоря, по построению имеем: 10 делений нониуса меньше 10 делений масштаба на 1 см, тогда 1 деление нониуса меньше 1 деления масштаба на 1/10 см.

Применение. При совмещении нулей обеих шкал расстояние между рабочими зажимами шкал равно нулю (рис.1 б)). При измерении длины образца, например диаметра болта (рис.1 в)), он вплотную располагается между зажимами. При этом нулевая отметка на нониусе смещается относительно нуля основной шкалы на искомое расстояние. По рисунку видно, что в это расстояние вмещается 1 целое деление масштаба и еще какая-то его часть. Для определения длины этой части ищут номер деления на нониусе, совпавшего с некоторым делением основной шкалы: на рисунку это – 9-ое деление, совпадающее в точности по положению с делением номер 10 на основной шкале. Теперь будем рассуждать, следуя от места совпадения делений к месту измерения (отсчета значения диаметра): 9-е деление нониуса отстоит от 10-го деления шкалы на 0 см (они совпадают), 8-е деление нониуса отстоит от 9-го деления шкалы на 0,1 см (т.к. разница в цене деления, определенная нами выше составляет 0,1 см), 7-е деление нониуса отстоит от 8-го деления шкалы на 0,1+0,1=0,2 см, 6-е деление нониуса отстоит от 7-го деления шкалы на 0,2+0,1=0,3 см, 5-е деление нониуса отстоит от 6-го деления шкалы на 0,3+0,1=0,4 см, 4-е деление нониуса отстоит от 5-го деления шкалы на 0,4+0,1=0,5 см, 3-е деление нониуса отстоит от 4-го деления шкалы на 0,5+0,1=0,6 см, 2-е деление нониуса отстоит от 3-го деления шкалы на 0,6+0,1=0,7 см, 1-е деление нониуса отстоит от 2-го деления шкалы на 0,7+0,1=0,8 см, 0-е деление нониуса отстоит от 1-го деления шкалы на 0,8+0,1=0,9 см – а

8

это и есть длина искомой части (см. по рисунку 1 в)). Т.е. длина искомой части равна произведению порядкового номера совпавшего деления нониуса, т.е. 9, на величину разницы цен делений, т.е. на 0,1 см, и равна 0,9 см. В целом размер диаметра болта равен одному целому делению основной шкалы, т.е. 1 см, и плюс длина части 0,9 см, итого 1,9 см. Теперь разберем пример для случая, когда коэффициент кратности равен 2, при равенстве прочих условий и величин. Пример 2. Пусть имеется основная шкала с сантиметровыми делениями. Выберем следующие значения основных необходимых для достижения поставленной цели параметров: Длина эталона 20 см,

N=10 - число делений на шкале нониуса, k=2 – коэффициент кратности. Тогда отрезок длины на основном масштабе (называем его эталоном), с которым производится сравнение длины всей шкалы нониуса равен (k·N) см, т.е. 2·10=20 см. Сравнение состоит в следующем: длина шкалы нониуса берется меньшей на единицу (у нас единица – это 1 см), чем длина этого отрезка. В нашем примере длина всей шкалы нониуса будет равна 20 см – 1 см = 19 см. Следовательно, далее на отрезке длиной 1,9 см размечаем N делений нониуса, т.е. 10 делений. При этом цена деления шкалы нониуса будет равна по формуле (1):

Δ нониус =

1 20 − 1 = 2− = 1,9 делений или 1,9 см ⇒ Вывод: одно 10 10

деление нониуса меньше двух делений (деление на нониусе сравнивается с k делениями на основной шкале) основного масштаба на 0,1 см ⇒ эта величина и будет точностью измерений на полученном приборе (например, штангенциркуле). Иначе говоря, по построению имеем: 10 делений нониуса меньше 20 делений масштаба на 1 см, тогда 1 деление нониуса меньше 2 делений

9

масштаба на 1/10 см, при этом разница распределена в пределах между 2мя этими делениями. Получается, что проделанные изменения в построении не сказались на величине точности (все также 0,1 см). Но что же изменилось? Для нахождения ответа изучим рис. 2. Исходное положение: при совмещении нулей обеих шкал расстояние между рабочими зажимами шкал равно нулю (рис.2 а)), 10-е (последнее) деление нониуса совпадает с 19-м делением основной шкалы.

При помещении образца, например болта (рис.2 б)), между зажимами нулевая отметка на нониусе смещается относительно нуля основной шкалы на искомое расстояние. По рисунку видно, что в это расстояние теперь вмещается 3 целых деления масштаба и еще какая-то его часть. Для определения длины этой части ищем номер деления на нониусе, совпавшего с некоторым делением основной шкалы: на рисунку это – 8-ое деление, совпадающее в точности по положению с делением номер 19 на основной шкале. По аналогии с первым примером мы должны утверждать, что длина искомой части равна 8·0,1=0,8 см, а измеряемое расстояние 3+0,8=3,8 см. Однако заметим следующее: соседние с совпавшим делением, а именно 7-е и 9-е деления нониуса отстоят от ближайших делений основной шкалы (соответственно 17-м и 21-м) на 0,1 см. Эти деления – вторые на очереди претендентов на «совпадение». Чтобы совпало какое-либо из этих

10

делений, расстояние между зажимами должно уменьшиться или увеличиться на 0,1. представим же себе ситуацию, что оно уменьшилось лишь на 0,05, т.е. на половину от 0,1 см. Какое же деление нониуса теперь будет совпадающим? Теперь 8-е деление нониуса будет левее 19 основной шкалы на 0,05 см, а 7-е деление нониуса правее 17-го на такую же величину. При этом истинная длина образца будет 3,75 см, но на данном приборе мы может с имеющейся точностью получить его значение как 3,7 см (примем совпадение на 7-м делении нониуса) или как 3,8 см (если принять совпадающим 8е). Тогда в обоих случаях будет верно: 3,75=3,7 ±0,1 и 3,75=3,8 ±0,1. Полученные значения соответствуют округлению до десятых долей сантиметра, но с недостатком или с избытком. В заключение подумаем, когда же предпочесть второй способ построения первому? Разница между ними состоит в «укрупнении» делений шкалы нониуса, по сравнению с делениями основной шкалы. Поэтому предпочтение второму способу будет отдано скорее всего тогда, когда деления основной шкалы настолько мелки, что построение нониуса с еще более мелкими делениями нецелесообразно из-за возможного возникновения затруднений при снятии показаний, т.е. к возрастанию субъективной погрешности отсчета. Обобщая проделанное, получаем следующие результаты: •

Δ измерения =

цена 1 - го деления масштаба (2) – точность измереN

ний по шкале с нониусом (штангенциркуля). В обоих разобранных примерах это

Δ измерения =

была

величина

1 см = 0,1см . 10

Следовательно, увеличить точность можно за счет увеличения числа делений на нониусе. Но, не меняя при этом длину основного отрезка (эталона), будем получать одновременное «мельчание» этих делений, что также на определенном пределе становится источником дополнительных

11

трудностей, т.е. не целесообразно. Таким образом, при создании шкал с нониусом необходимо подбирать оптимальное соотношении основных параметров: длины эталона (числа делений на основной шкале, по сравнению с общей длиной которых длина шкалы нониуса меньше на одно такое деление; в примере 1 – 10 делений, в примере 2 – 20 делений. Иначе, это эквивалентно выбору размеров шкалы нониуса), числа делений

шкалы нониуса N (примеры 1 и 2 – 10 делений) и коэффициента кратности k (пример 1: k=1; пример 2: k=2). • l = m ⋅ Δ масштаб + n ⋅ Δ измерения

(3) - длина предмета, где m – число

полных делений основной шкалы (масштаба) между нулевыми отметками двух шкал, n – порядковый номер совпадающего деления нониуса.

2. Круговой нониус представляет собой дуговую линейку (рис. 3), скользящую вдоль кругового масштаба (лимба), предназначенного для измерения углов. Так как длина дуги s окружности радиуса R и центральный угол

ϕ связаны соотношением s 180 o ϕ= R π

то измерение углов можно заменить измерением дуг. В принципе круговой норис. 3 ниус ничем не отличается от линейного и для него справедливы те же формулы. Так, для случая кругового нониуса формулу (3) можно записать так:

ϕ = mγ + n

γ N

, где

γ — цена деления

лимба, m – число полных делений лимба, n – порядковый номер совпадающего деления нониуса. Штангенциркуль. Штангенциркуль служит для линейных измерений, не требующих высокой точности. Отсчетным приспособлением у всех конструкций штан-

12

генинструментов служат шкала штанги и линейный нониус. Цена деления основной шкалы штанги равна обычно 1 мм. Нониусы штангенциркулей изготавливаются таким образом, что k=1, 2, 5 (см. формулу (1)). Погрешность нониусов обычно равна 0,1; 0,05 или 0,2 мм. Нониус укреплен в подвижной рамке, скользящей вдоль основной шкалы штанги. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с нулевым штрихом основной шкалы. При измерении детали подвижная рамка 1 с нониусом смещается, и деталь зажимается губками 2 штангенциркуля. Существует несколько видов штангенциркулей. Они отличаются типом и количеством измерительных губок, длиной штанги, типом нониусов или наличием некоторых вспомогательных деталей. При наличии у штангенциркулей верхних 3 и нижних 2 измерительных губок, его можно применить как для внутренних измерений, так и для внешних. Часто штангенциркуль снабжается линейкой 4, служащей для измерения глубин. Микрометр. Для более точных измерений применяют микрометрические инструменты. Они бывают нескольких типов: микрометр для наружных измерений, микрометрический глубиномер и микрометрический нутромер. • Микрометр для наружных измерений (рис. 4) состоит из полого

рис.4 стержня, жестко соединенного со скобой. В полость стержня ввинчен мик-

13

рометрический винт. При измерении предмет зажимается между неподвижным стержнем 2 и подвижным торцом микрометрического винта 3. Микровинт вращают, держась за трещотку 4 (в более совершенных микрометрах момент соприкосновения микрометрического винта с измеряемой поверхностью фиксируется по шкале чувствительного динамометра, укрепленной в скобе); вместе с микровинтом

вращается корпус барабана 1, перемещаясь при этом поступательно относительно стержня. Отсчет ведется по горизонтальной шкале, нанесенной на полый стержень, и по шкале барабана. Отсчетное устройство микрометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала стержня представляет собой двойную шкалу с ценой деления 0,5 мм, нанесенную по обе стороны продольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления. Цена деления шкалы барабана может быть установлена следующим образом: пусть число делений круговой шкалы барабана n=50. Шаг микровинта h =0,5 мм. Следовательно, одному полному обороту микровинта (и барабана) соответствует линейное перемещение края барабана на 0,5 мм. Цена деления круговой шкалы

a=

h 0,5 = мм = 0,01мм n 50

Отсчет производится следующим образом: по горизонтальной шкале стержня отсчитывается размер измеряемого предмета с точностью до 0,5 мм. Сотые доли миллиметра отсчитываются по круговой шкале барабана. Полученные результаты складываются. Число сотых долей соответствует делению шкалы, расположенному против продольной черты на стержне. Порядок отсчета одинаков для всех типов микрометрических инструментов. Микрометры изготовляются с пределами измерений 0-25, 50, 75 мм и т.д., до 1600 мм. Увеличение пределов измерений достигается увеличением размера скобы.

Содержание экспериментальных заданий Задание 1. Рассчитайте точность имеющихся в лаборатории шкал с нониусами (различных штангенциркулей) и сравните свои расчеты с отметками на самих приборах.

Задание 2. Постройте шкалу с нониусом, точность которой будет 1

14

мм (0,5 мм, 0,25 мм, 0,05 мм), считая что основная шкала имеет деления ценой 1 мм. В каждом случае укажите выбранные вами значения трех рассмотренных выше параметров таких шкал.

Задание 3. Для имеющихся твердых тел измерить соответствующие линейные размеры. Вычислить их площади поверхности и объемы и рассчитать погрешности полученных результатов как косвенных измерений.

Часть Первая Лабораторная работа № 1.1. Определение плотности тел, имеющих правильную геометрическую форму. Цель работы: научиться проводить прямые и косвенные измерения физических величин (масса, длина, объем, плотность) и оценивать погрешность полученных результатов; познакомиться с некоторыми источниками погрешностей при измерении плотности тел в воздухе. Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, технические весы, разновесы, исследуемые образцы.

Краткая теория вопроса и метода. Рассмотрим понятие плотности тела. Мы находим ее, определив

m (1). Но V

массу рассматриваемого тела m и его объем V, как частное

ρ=

если тело неоднородное (в обычном смысле этого слова), то

ρ есть так на-

зываемая «средняя плотность». Вырезая из разных мест рассматриваемого тела 2 малых куска, мы в этом случае найдем, что плотности их различны.

15

Если кусок настолько мал, что для каждой его половины мы находим одну и ту же плотность, то мы говорим, что нашли истинную плотность тела в той его точке, около которой вырезан данный кусок. Такое утверждение будет тем более определенным, чем меньше вырезанный кусок. Таким образом, плотность тела – дифференциальная характеристика распределения вещества по объему тела, т.е. приходим к определению:

ρ = lim m (2) V →0

или

V

ρ = dm , где dV - физически малый объем. А также стремление объdV

ема под знаком предела к нулю не следует понимать в математическом смысле! В самом деле, последовательно уменьшая объем V, мы придем к таким объемам, которые заключают немного, а может даже и 1 атом; при дальнейшем разделении таких объемов пополам может оказаться, что в одной половине, скажем, 3, а в другой 5 атомов (потому хотя бы, что вследствие тепловых движений атомы распределились по объему на мгновение неравномерно). Очевидно, поэтому, что постепенное уменьшение V в формуле (2) на опыте сначала будет давать постепенное приближение к какой-то предельной величине значений

ρ , а при дальнейшем делении разбросы

ρ будут расти, и формула (2) потеряет физический смысл. По-

этому для тех определений плотности, которые обычно нужны инженеру и физику, нам надо пользоваться не «математическим», а «физическим» пределом, т.е. предполагать уменьшение V не до нуля, а до некоторого «разумного» предела. Подобные рассуждения относятся и к весьма многим другим физическим понятиям. Масса тела характеризует количество заключенной в теле материи. Масса тела не зависит от того, где находится это тело, так как количество вещества в теле не может измениться от перемены места. Величина массы может быть определена по различным ее проявлениям (инерция, тяготение) путем сравнения с массой эталонного тела, произвольно принятой за единицу. Масса тела связана с весом этого тела соотношением P = mg , где g – ускорение силы тяжести в данной точке земной поверхности. Вес тела численно равен силе притяжения тела к

16

Земле без величины центробежной силы: P = γ

mM 2 − m ω R cos ϕ (3). R2

⇒ Вес тела на различных широтах имеет разное значение (на экваторе вес тела - наименьший). Кроме того, вес тела зависит и от высоты над поверхностью Земли. Поэтому величины масса и вес тела существенно различ-

ны. ⇒ Принцип взвешивания на весах. 1) Непосредственно сила притяжения к Земле может быть определена при помощи пружинных весов на основе закона Гука: Δl = α ⋅ P - абсолютное удлинение пружины пропорционально весу тела. Остается проградуировать шкалу в единицах веса (массы). Но так как вес основного платинового эталона в Париже, т.е. на широте в 450, принят за единицу веса (1 кГ), то вес этого же эталона экваторе окажется меньше, чем 1 кГ, а на полюсе больше, чем 1 кГ. 2) Для сравнения и измерения масс употребляются рычажные весы. Они представляют собой рычаг первого рода (рис.1), в котором расстояния от точек приложения сил до точек опоры равны друг другу (равноплечий рычаг). Поместим на левую чашку весов тело массой

m1 . Для того, чтобы восстановить равновесие, нужно на правую чашку накладывать разновесы до тех пор, пока стрелка В не вернется в первоначальное положение (m2 – масса разновесов). На основании правила моментов сил P1m1 = P2 m2 , где Р1 и Р2 соответственно веса тел – силы, действующие на левую и правую части рычага в точках опоры чашек весов, l1 и

l 2 - расстояния от этих точек до точки опоры коромысла. Так как весы равноплечие, то l1 = l 2 и при равновесии

Р1 = Р2. Но P1 = m1 g и

17

P2 = m2 g ⇒ m1 = m2 . Таким образом, при взвешивании тел на рычажных весах мы сравниваем силу, с которой масса взвешиваемого тела притягивается к Земле, с силой притяжения к Земле эталонной массы. Так как эталоном при этом является масса, то фактически взвешивание на рычажных весах сводится к определению массы. Так как в любой точке земной поверхности веса тел пропорциональны их массам, а величина g является величиной постоянной, то масса тела однозначно определяет его вес. В этом смысле операцию сравнивания масс, выполняемую на рычажных весах, можно назвать взвешиванием. Подводя итог сказанному. Видим: - рычажные весы дают возможность измерить массу тела; - пружинные весы дают возможность измерить вес тела; - на широте в 450 и уровне моря результат измерения массы рычажными весами (в кг) и результат измерения веса пружинными весами (в кГ) совпадаю численно. На других широтах и на различных высотах над уровнем моря эти результаты не совпадают. Методы взвешивания. На практике очень трудно изготовить весы так, чтобы они были строго равноплечими. При взвешивании на неравноплечих весах вес гирь не равен весу тела. Однако существуют различные методы взвешивания, позволяющие определить вес тела достаточно точно. 1. Метод двойного взвешивания (метод Гаусса) заключается в том, что тело взвешивают 2 раза – один раз на левой чашке, другой раз на правой. искомая масса:

m = m1m2 = m12 [1 +

m2 − m1 m1

] ≈ m1[1 +

m2 − m1

2m1

]=

m1 + m2

2

(4),

т.к. m1 ≈ m2 . 2. Метод тарирования (метод Борда). На одну из чашек весов помещают взвешиваемое тело, на другую – любую тару (песок, дробь), которую изменяют до тех пор, пока весы не придут в равновесие.

18

Снимают тело с чашки и накладывают на нее разновесы, пока весы не придут в равновесие. В этом случае вес разновесов равен весу тела. 3. Метод постоянной нагрузки (метод Менделеева). Он позволяет производить взвешивание, не изменяя чувствительности весов. На левую чашку весов помещают гирю определенного веса (например, 100 г), а на правую – мелкие разновесы, общий вес которых равен весу гири. тело помещают на правую чашку и снимают с нее разновесы до уравновешивания весов. Очевидно, вес тела равен весу снятых гирь. Разновес – набор гирь (тел, служащих для измерения массы), составленный по определенной системе. При взвешивании тела трудно подобрать гири так, чтобы положение равновесия стрелки совпало с нулевой точкой ненагруженных весов. Цена деления весов определяется весом перегрузка, вызывающего смещение стрелки весов на 1 деление шкалы: C =

mперегрузка n1 − n2

, где n1 и n2 - число

делений у равновесного положения стрелки до и после нагружения чашки весов перегрузком. Тогда при ненулевом положении стрелки в момент взвешивания, масса тела будет равна: m = mгирь ± C n1 − n2 (5). Поправка на потерю веса тела в воздухе. Все предыдущие рассуждения относились к взвешиванию тел в пустоте. При взвешиваниив в воздухе на тела и гири действует архимедова выталкивающая сила. Так как объемы взвешиваемых тел и гирь, как правило, неодинаковы, то неодинаковы и выталкивающие силы. Рассмотрим условие равновесия при взвешивании в воздухе. Прежде введем обозначения:

ρ - плотность взвешиваемого тела, ρ ' - значение

плотности, определенное в воздухе, т.е.

ρ' =

mгирь Vтела

,

λ = 0,0012 г/см3 -

19

плотность воздуха, Vтела - объем тела, Vгирь - суммарный объем разновесов, mтела - истинная масса тела (равная массе гирь при взвешивании в вакууме), mгирь - суммарная масса разновесов. Пусть на одной чашке весов находится тело массой mтела , приведем весы в равновесие с помощью разновесов общей массой mгирь . Равновесие весов означает, что на каждое коромысло действуют равные силы (равноплечие весы), т.е. получаем с учетом силы Архимеда в воздухе:

mгирь g − Vгирь λg = mтела g − Vтела λg ⇒

mтела = mгирь + λ (Vтела − Vгирь ) (6). Тогда плотность тела в соответствии с формулой (1):

ρ = ρ '+λ (1 −

Vгирь Vтела

) (7).

В случае, когда объем гирь много меньше объема тела (Vгирь 0), A - работа по преодолению трения за 1 оборот. Работа силы трения всегда зависит от пройденного расстояния.

mv 2 - кинетическая энергия груза в конце пути, 2 Iω 2 - кинетическая энергия махового колеса в тот же момент времени. 2

N1 – число оборотов за время падения груза. Уравнение (6) связывает начальное и конечное состояния системы «маховое колесо-груз»: “груз на высоте h, груз и колесо покоятся” и “груз на нулевом уровне, имеет скорость, и колесо вращается”. Силу трения можно вычислить, исходя из следующих соображений. В момент достижения грузом пола, нить к которой он привязан, спадает со шкива, а маховое колесо продолжает вращаться до тех пор пока его кинетическая энергия не будет израсходована на работу по преодолению тре-

93

ния. Вращаясь после падения груза, маховое колесо совершает до полной остановки N2 оборотов за время t. Убыль кинетической энергии равна работе по преодолению силы трения:

Iω 2 = A' тр.2 = A ⋅ N 2 (7), где А’тр.2 — работа по преодолению силы 2 трения за N2 оборотов колеса. С другой стороны по основному закону ди2πN 2 намики вращательного движения: M трения = Iε (8), где ε = и t M трения = Fтр.rв , где rв - радиус конической поверхности, по которой действует сила трения (внутренний радиус шкива или радиус вала). Отсюда, зная I можно оценить силу трения. Покажем, как можно экспериментально определить момент инерции махового колеса. Из (7) выразим А и подставим в (6):

Iω 2 A= 2N 2

2 mv 2 Iω 2 Iω N1 mgh = + + или 2 2 2N 2

(8),

N mv 2 Iω 2 (1 + 1 ) mgh = + 2 2 N2 Так как

(9).

ω = v и v = h , где t – время падения груза с высоты h, r – наr

2

t

ружный радиус шкива (радиус поверхности, с которой сматывается

N1 m 2h 2 I 2h 2 ( 1 ). + + нить!!!), уравнение (9) примет вид: mgh = N2 t2 r 2t 2 mr 2 ( gt 2 − 2h) mgr 2 t 2 − 2mhr 2 Откуда I = ⇒ I = (10) N1 N1 2h(1 + ) 2h(1 + ) N2 N2 Если N – число оборотов от начала движения до полной остановки колеса, то N2=N-N1, N1 =

h ⇒ r - ?. 2πr

94

Вопросы к допуску: 1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

Что такое момент инерции? В каких единицах он измеряется? Когда говорят о вращательном движении? Дать определение. Какова связь линейных и угловых величин? Можно ли считать движение груза равноускоренным? Является ли оно таковым в реальности? Какие пренебрежения имеют место по ходу вывода расчетной формулы? Записать расчетную формулу и пояснить все входящие в нее величины. Как по ходу работы вы будете получать их значение? Что еще надо измерить, чтобы стало возможной оценка величины силы трения? О какой силе трения здесь идет речь? Между какими поверхностями она действует? Расскажите об устройстве прибора. Радиусы каких сечений используются при расчете в работе?

Содержание экспериментальных заданий Задание 1. Определение момента инерции махового колеса. 1)

Измерить штангенциркулем диаметр шкива и определить его радиус r.

2)

Измерить расстояние h от нижней части висящего груза до пола. Рекомендуется не менять по ходу выполнения всего задания.

3)

Измерить время t падения груза секундомером.

4)

Подсчитать число оборотов N колеса от начала вращения до остановки и число оборотов N1 до падения груза.

5) 6)

№ 1. 2. 3.

Момент инерции вычислить по формуле (10) в системе СИ. Проделать опыт несколько раз, занося результаты отдельных отсчетов в таблицу 1.

m, кг

r, м

h, м

t, с

N1

N

N2

I, кг·м2

95

7) 8)

Оценить погрешность результата, как косвенного измерения. Записать полученный результат с указанием границ погрешности.

Задание 2. Оценка величины силы трения между валом и шкивом. 1)

Измерить диаметр вала и вычислить его радиус rв .

2)

Вывести формулу для силы трения в используемом приборе на основе положений, приведенных выше.

3)

Произвести расчеты Fтр. и ее момента M трения .

4)

Сравнить по величине вращающие моменты сил, действующих на маховое колесо при ее вращении по заданию 1. Сделать вывод.

5)

Вопросы к отчету. 1. Что называется моментом инерции точки и тела относительно оси вращения? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении? 2. Запишите основной закон динамики вращательного движения. 3. Как он запишется применительно к маховому колесу до и после падения груза? Какие силы обеспечивают вращение махового колеса в каждом из этих случаев? 4. Приведите план вывода формулы для расчета момента инерции однородного диска. 5. Каким будет движение махового колеса при отсутствии трения? 6. Назвать вид движения маховика и груза, подвешенного к нити. Записать кинематические и динамические уравнения движения груза и маховика. 7. Сформулируйте закон сохранения и изменения механической энергии. 8. Вывести расчетную формулу. 9. Вывести формулу для момента инерции маховика без учета силы трения.

96

Лабораторная работа № 2.4. Определение момента инерции тел различной формы методом крутильных колебаний. Цель работы: экспериментальное определение момента инерции образцов методом трифилярного подвеса и проверка теоремы Штейнера. Приборы и принадлежности: трифиляр, секундомер, штангенциркуль, масштабная линейка, весы, образцы для измерения.

Описание прибора и теория метода. Одним из методов определения момента инерции тел является метод трифилярного подвеса. Трифиляр представляет собой круглую платформу, подвешенную на 3-х симметрично расположенных нитях (рис.1). Верхние концы нитей симметрично прикреплены к диску. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси. При крутильных колебаниях платформы ее центр масс перемещается по оси вращения, занимая наивысшее положение при максимальном отклонении платформы от положения равновесия и наинизшее при прохождении положения равновесия. Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно

Eпот. = mgh , где g – ускорение свободного падения. Вращаясь в другом направлении платформа придет в положение

97

равновесия с кинетической энергией, равной E кин. инерции платформы,

Iω02 = , I – момент 2

ω0 - угловая скорость платформы в момент дости-

жения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основе закона сохранения меха. Iω02 1 2 или I ϕ + mgh = 0 (1). нической энергии имеем: mgh = 2 2 Если l – длина нитей подвеса, R – радиус платформы, r – радиус верхнего диска, то по рис.2 определим h.

В положении равновесия центр нижнего диска находится в точке О. Рассмотрим радиус диска ОА. При его повороте на угол α центр нижнего диска

переходит

в

точку

О1

и

приподнимается

на

расстояние

h = OO1 = d − d1 , где d и d1 - расстояние между верхним и нижним дисками соответственно в положении равновесия и при повороте на угол нижнего диска относительно верхнего.

α

98

Далее требуется провести ряд математических преобразований, чтобы выразить приблизительно высоту подъема h через радиусы дисков и длину нитей, т.е. через R, r и l. Запишем: h = d − d1 = прямоугольного

2

d 2 − d12 d + d1

(2). Из

2

треугольника ВВ2А: d = l − ( R − r ) , аналогично из

ВВ1А1 найдем d1, где В1А1 выражаем по теореме косинусов из треугольни2

2

2

ка В1О1А1: d1 = l − ( R + r − 2 Rr cos α ) . Подставим в (2):

h=

2 Rr (1 − cos α ) = d + d1

2 Rr ⋅ 2 sin 2

α

d + d1

α

4 Rr ⋅ ( ) 2 2 2 ≈ 2 = Rrα 2l 2l

(3),

где приближенные замены оправданы в случае большой длины нитей l и малых углах отклонений

α при крутильных колебаниях нижнего диска

трифиляра (это дает приближение данного движения в форме гармонических колебаний). ⋅ mgRr 2 1 Подставляя (3) в (1), получаем: I ϕ2+ ϕ = 0 . Продиффе2 2l

ренцировав это выражение по времени, сократив на лучим уравнение движения системы:

⋅

ϕ и поделив на I, по-

⋅⋅

ϕ + mg Rr ϕ = 0 (4). Решение этого Il

уравнения имеет вид:

ϕ = ϕ 0 sin(

mgRr t + θ ) , где ω = Il

mgRr - циклическая частота Il

крутильных колебаний нижнего диска, θ - начальная фаза, задающая положение нижнего диска в начальный момент времени. Тогда период колебаний системы равен: T =

2π

ω

= 2π ⋅

Il (5). Разрешив относительно mgRr

I, найдем выражение для момента инерции системы:

99

mgRrT 2 I = (6) – формула для определения момента инерции 2 4π l данным методом. Здесь I – суммарный момент инерции платформы (нижнего диска трифиляра), т.е. в случае. когда на ней находится исследуемое тело, формула (6) дает значение момента инерции платформы вместе с находящимся на ней телом. Причем на опыте это значение будет разным при различных положениях тела на платформе (это следует из определения момента инерции тела). Учитывая свойство аддитивности величины момента инерции, можно найти момент инерции одного лишь тела

I тела = I − I платформы

(7)

при данном его положении относительно оси вращения. Метод трифилярного подвеса позволяет проверить теорему Штейнера. Для этого необходимо иметь два одинаковых тела массой mтела . Располагая их на платформе так, чтобы их центры масс лежали на оси вращения, а затем симметрично по диаметру платформы, определяют по (6) моменты инерции I 1 и I 2 в обоих случаях, тогда в соответствии с теоремой 2

Штейнера: I 2 − I 1 = 2mтела a , где а – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Вопросы к допуску: 1. Что такое трифилярный подвес? Из чего он состоит? 2. Какое движение совершает нижний диск трифиляра в данном методе? Записать уравнение этого движения и пояснить входящие в него величины. 3. Чем обосновано приближение в формуле (3)? Пояснить это с математической и физической точек зрения. 4. Как связан период колебаний платформы с ее моментом инерции? 5. Дать определение момента инерции и пояснить что обозначено буквой I в формуле (6). В чем состоит свойство аддитивности физиче-

100

ской величины I? 6. Сформулировать теорему Штейнера. Как можно убедиться в ее справедливости с помощью описанного в работе метода? 7. Вывести формулу (4). Как получено ее математическое решение?

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Определение момента инерции платформы J платформы

без груза. 1)

Измерьте параметры трифиляра: R, r, l, m.

2)

4)

Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за коротое будет совершено 20-30 колебаний. Колебания отсчитываются по прохождению положения равновесия какойлибо точки диска. Найдите период колебаний Т.

5)

По формуле (6) найдите I платформы .

6)

Повторите опыт 3 раза, начиная с пункта 1) (каждый раз заново приводя платформу в движение!). Вычислите погрешность отдельного косвенного измерения и результата. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

3)

Задание 2. Определение момента инерции исследуемого образца. 1)

2) 3) 4)

Выберите положение оси, относительно которой требуется найти момент инерции данного образца (например, взять ось его симметрии или ось, проходящую через центр тяжести образца, если его (центра тяжести) положение легко определимо или задано). Поместите образец на платформу трифиляра так, чтобы ось ее вращения совпадала с осью из пункта 1). Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за которое будет совершено 20-30 колебаний. Колебания отсчитываются по прохождению положения равновесия какойлибо точки диска.

101

5)

Найдите период колебаний Т платформы с грузом.

6)

По формуле (6) найдите I.

7)

Вычислите момент инерции образца относительно выбранной в пункте 1) оси по свойству аддитивности: см. формулу (7). Данные занести в таблицу. Оценить погрешность результата измерения. Если образец имеет одну из геометрически правильных форм, то сравните полученный результат с теоретическими расчетами момента инерции тела данной геометрической формы.

8) 9)

Задание 3. Проверка выполнения теоремы Штейнера. 1)

Взять 2 одинаковых (например, цилиндрических) образца и найти момент инерции I1 каждого из них как описано в задании 2, выбрав в качестве оси вращения ось, проходящую через их центр инерции.

2)

Найти массу mобразца каждого образца.

3)

Поместить образцы на одном диаметре платформы трифиляра симметрично друг другу относительно центра платформы. измерить расстояние а от центра инерции образца до центра платформы.

4) 5)

Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за которое будет совершено 20-30 колебаний.

6)

Найдите период колебаний Т нагруженной платформы.

7)

По формуле (6) найдите I.

8)

Вычислите момент инерции образца на расстоянии а от оси вращения: I 2 =

9)

I − I платформы 2 2

Подставить полученные значения в формулу: I 2 = I 1 + mобразца ⋅ a .

10) Сравнить значения правой и левой частей этого равенства с учетом величины погрешности измерений. 11) Сделать вывод о выполнении теоремы Штейнера в данном эксперименте.

102

Вопросы к отчету: 1. Как определяется момент инерции материальной точки и твердого тела? 2. Выведите формулу кинетической энергии вращающегося твердого тела. 3. Объяснить возможность применения закона сохранения энергии к выводу формулы (1). 4. Докажите теорему Штейнера. 5. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника? 6. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает крутильные колебания? 7. Почему для определения периода надо измерять время большого числа колебаний? 8. как изменяется период крутильных колебаний трифилярного подвеса от расположения масс на платформе? 9. Что служит источником погрешностей измерений в данной работе?

Лабораторная работа № 2.5. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника. Цель работы: исследование свойств физического маятника (построение графика зависимости периода колебаний маятникастержня от расстояния между верхним концом стержня и осью качания) и экспериментальное определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: однородный стержень с отверстиями, опорная призма, математический маятник, линейка, секундомер.

103

Краткая теория вопроса. Важным видом движения является движение колебательное, т.е. периодическое или повторяющееся. Простейшим периодическим изменением служат гармонические колебания. Опр.1 Гармоническим колебанием физической величины х называется про-

2π t + ϕ ) (1), где А – T амплитуда колебания (максимальное значение величины х), Т — период ко2π лебания. Величина ( t + ϕ ) носит название фазы, ϕ - начальная фаза. T цесс изменения ее во времени t no закону x = A sin(

График такого колебания представлен на рис. 1. Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по исте-

чении которого движение в точности повторяется. Действительно,

x = A sin(

2π 2π t + ϕ ) = A sin[ (t + T ) + ϕ ] T T

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению х. Величина

ϕ соответствует фазе в на-

чальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой. Величина

2π =ω T

(2) называется круговой (циклической) частотой.

Если начальная фаза равна ϕ =

π , то уравнение гармонического колеба-

2 ния записывается в виде: x = A cos ωt (1’).

Опр. 2 Физическим маятником называется тело, укрепленное на не-

подвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, и способное совершать колебания относительно этой оси (рис. 2). Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол

α от положения

104

равновесия, будет совершать гармонические колебания, Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О. Пусть точка C является центром тяжести. Силу тяжести mg можно разложить на две составляющие, одна из которых уравновешивается реакцией опоры. Под действием другой составляющей mg sin α маятник приходит в движение. На основании второго закона механики для вращательного движения имеем:

mg sin α ⋅ a = − Iε

(3), где угловое ускорение по определению равно:

d 2α ε = 2 (4) . dt Здесь а = ОА — расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону противоположную положительному направлению отклонения маятника. Так как угол

α мал, то sinα≈α. Подставляя получим:

d 2α + mgaα = 0 (5). 2 dt Можно показать, что частным решением последнего дифференциального уравнения является: α = A cos ωt , если Сравнивая (2) и (6), получим: T = 2π

ω=

mga (6). I

I (7) ⇒ следует, что период mga

колебания увеличивается с увеличением момента инерции.

Описание установки Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы (7) для периода гармони-

105

ческих колебаний физического маятника. Однако формула (7) непосредственно для вычисления g не используется, так как момент инерции I и расстояние a обычно не могут быть измерены достаточно точно. Поэтому применяются такие методы, которые позволяют исключить данные величины из расчетной формулы для вычисления

g. В данной работе это достигается путем использования физического маятника в форме длинного стержня. Маятник представляет собой однородный стержень (рис. 3) с опорной призмой П, которую можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любом его месте. Для определения положения призмы на стержне нанесена шкала с делениями через 1 см.

Рис. 3

Период колебаний маятника, который выражается формулой (7), можно записать в виде: T = 2π

L=

I (9) ma

L (8), где величина g

называется приведенной длиной физического маятника.

Из (8) вытекает способ экспериментального определения приведенной длины физического маятника с помощью математического маятника:

если взять математический маятник длины L, то период его колебаний будет совпадать с периодом колебания физического маятника с приведенной длиной L, т.е. при одновременном наблюдении их колебания будут оставаться синфазными в течение достаточно большого промежутка времени. Момент инерции стержня относительно оси качания запишем по теореме Штейнера: I = I 0 + ma

2

(10), где I0 - момент инерции стержня

относительно оси, проходящей через центр массы C (середину стержня)

106

ml 2 параллельно оси качания. Для стержня I 0 = (11). 12 Для любого тела момент инерции I0 можно представить в виде: I 0 = ma0 2 (12). Величина a0 называется радиусом инерции и имеет определенное значение для каждого тела. Для стержня a0 =

l ≈ l 3.464 ≈ 0.289 ⋅ l . 12

Подставляя (9) и (12) в (10), получим выражение для приведенной длины

L=

a02 + a 2 a

=

a02 a

+ a (13) ,

и периода колебаний

T = 2π

a02 + a 2 ga

(14)

Таким образом, приведенная длина и, следовательно, период колебаний маятника являются функциями расстояния а от центра инерции до оси качания. Из этих формул видно, что L и T стремятся к бесконечности при двух значениях a: при a→0 и при a→∞. Для определения значений, при которых период является экстремальным, найдем производную

dL и приda

равняем ее к нулю:

dL = − a02 + 1 = 0 da a2 , откуда a=± a0 . Значит, T=Tмин, если опорная призма закреплена на расстоянии a0 ≈ 0.289 ⋅ l от середины стержня. Второе расстояние a=a0 означает, что если перевернуть стержень, то для точек подвеса, симметричных относительно середины, периоды колебаний будут одинаковы. Из графика (риc. 4) видно, что при увеличении или уменьшении расстояния a по сравнению с a0 период колебания увеличивается. Поэтому одно и то же

107

значение периода, большее чем Tмин, маятник может иметь при двух поло-

a >a

0 . Для этих положений жениях опорной призмы: при a1 < a0 и 2 опорной призмы будут одинаковы и приведенные длины маятника, что следует, из формулы (8):

a02 + a12 a02 + a22 L1 = L2 = L = = a2 , a1 откуда

a1a2 = a02 .

Тогда

L = a1 + a2 .

(15) Приведенная длина (рис.4) L=MN+MK , очевидно, что другому периоду колебаний будет соответствовать другая приведенная длина. После подстановки (15) в (8) получим

T = 2π

a1 + a2 g

g = 4π 2

a1 + a2 T2 .

,

откуда (16) Формула (16) является расчетной для вычисления ускорения свободного падения. Значе-

L = a1 + a2

Рис. 4.

и T определяют по экспериния ментально построенному графику. Для этого опорную призму перемещают вдоль стержня и для каждого ее положения измеряют период колебаний. При проведении опыта и построении графика вместо расстояния a удобнее брать расстояние от конца стержня до призмы, которое на рис.3 обозначено х.

Вопросы к допуску: 1. 2.

Какое движение называется колебаниями? Что такое физический маятник?

108

3. 4. 5. 6. 7.

8. 9.

Дайте определение и запишите формулы для вычисления периода и приведенной длины физического маятника. Что называют радиусом инерции? Чему он равен в случае однородного стержня? Пояснить, что отражено на рис.4. Как с помощью математического маятника найти приведенную длину стержня? Записать расчетную формулу для нахождения ускорения свободного падения и пояснить, как в работе находятся значения входящих в нее величин (из формулы (8) и по (16)). По каким данным и измерениям надо построить график в работе? Как он будет использоваться при достижении цели работы? Меняется ли приведенная длина стержня при различном положении оси качания относительно его верхнего края? Обосновать ответ.

Содержание экспериментальных заданий Задание1. Определение приведенной длины стержня с помощью математического маятника. 1)

Установите стержень согласно рис.3. Измерьте и запишите расстояние а от оси качания до середины стержня.

2)

3)

4) 5) 6)

Используя математический маятник, подберите его длину так, чтобы колебания обоих маятников совершались синфазно. Измерьте полученную длину L математического маятника. Отсчитывая 3 раза время 10-15 колебаний стержня в установленном положении, найти период его колебаний (при малом угле отклонения!!!) Из (8) выразить и найти ускорение свободного падения. Вычислить погрешности полученного результата. Записать ответ с указанием абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения g.

Задание 2. Построение графика зависимости периода колебаний маятника-стержня от расстояния между верхним концом

109

стержня и осью качания. 1)

Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ∼ 60. Это означает, что наибольшее отклонение нижнего конца стержня от положения равновесия не должно превышать 0,1 расстояния от конца до опорной призмы.

2)

Определить секундомером время t десяти полных колебаний. Значения х и t записать в табл. 1.

3)

Перемещать опорную призму к середине стержня через 0,01 м, измеряя для каждого ее положения время 10 полных колебаний и занося результаты измерения в табл. 1.

Измерения можно прекратить после того, как получится, что время 10 колебаний стало больше времени, полученного при самом первом измерении, когда опорная призма находилась на конце стержня. Перевертывать маятник и определять периоды для различных положений призмы на другом конце стержня нет необходимости.

4)

Вычислить периоды колебаний Т по формуле Т=t/n и занести в таблицу1.

Таблица 1.

номер опыта

расстояние

i

х, м

число колебаний

n

время

период колебаний

t, с

T, с

1 2 3 ...

5)

Построить график T=f(x). Для этого по оси абсцисс откладывают расстояние х от конца стержня до опорной

Рис. 5.

призмы, а по оси ординат - соответствующее значение периода. Масштаб по оси ординат следует выбрать по возможности больше, чтобы точнее определить по графику величины L и T. Для этого за начало отсчета по оси ординат нужно взять не нуль, а неко-

110

торое значение периода, меньшее Тmin, но близкое к нему. 6) Отметить на оси абсцисс середину стержня и провести через эту точку прямую, параллельную оси ординат. В итоге получится график, показанный на рис.5. 7) По графику определить для 5 различных значения периода соответствующие им значений приведенной длины маятника L, см. ф-лу (15). Для этого нужно провести 5 прямых, параллельных оси абсцисс так, чтобы каждая прямая пересекала построенную кривую в двух точках. Значения Т и L , определенные для каждой такой прямой, записать в табл. 2. По формуле (16) вычислить g для каждого измерения и найти среднее

8)

значение

g ср 9)

1 n = ∑ gi n i =1

Вычислить абсолютную и относительную погрешность по формулам

Δg = t (α , n )

⎡n 1 2⎤ ( g g ) = ∑ ср ⎥ n( n − 1) ⎢⎣ i =1 i ⎦ Таблица 2.

номер опыта i

период колебаний T, c

приведенная длина L, м

(gi - gср)2

ускорение свободного падения, м/с2

gi - gср

gср. =.....

∑ ( g i − g ср ) 2 =…

1 2 3 4 5

где

t(a,n) - коэффициент Стъюдента,

ε=

Δg . g ср

111

10) Записать конечный результат в виде

g =..... ±....... 11) Сформулировать вывод о точности косвенных методов измерения ускорения свободного падения, опробированных в работе.

Вопросы к отчету. 1.

6.

Какие колебания называются гармоническими? Дать определение их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). При каких условиях колебания физического маятника можно считать гармоническими? Вывести формулу периода колебаний физического маятника. Что называется приведенной длиной физического маятника? Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера. Вывести расчетную формулу.

7.

Почему для определения g не пользуются непосредственно формулой

2. 3. 4. 5.

периода колебаний маятника?

Лабораторная работа № 2.6. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Цель работы: исследование свойств математического маятника и экспериментальное определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: математический маятник, линейка, секундомер.

112

Краткая теория вопроса. Важным видом движения является движение колебательное, т.е. периодическое или повторяющееся. Простейшим периодическим изменением служат гармонические колебания. Опр.1 Гармоническим колебанием физической величины х называется про-

2π t + ϕ ) (1), где А – T амплитуда колебания (максимальное значение величины х), Т — период ко2π лебания. Величина ( t + ϕ ) носит название фазы, ϕ - начальная фаза. T цесс изменения ее во времени t no закону x = A sin(

График такого колебания представлен на рис. 1. Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по исте-

чении которого движение в точности повторяется. Действительно,

x = A sin(

2π 2π t + ϕ ) = A sin[ (t + T ) + ϕ ] T T

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению х. Величина

ϕ соответствует фазе в на-

чальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой. Величина

2π =ω T

(2) называется круговой (циклической) частотой.

Если начальная фаза равна ϕ =

π , то уравнение гармонического колеба-

2 ния записывается в виде: x = A cos ωt (1’).

Опр. 2 Математическим маятником называется колебательная система,

состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу идеально гибкой, нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен неподвижно.

113

Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис.2). Рассмотрим основы динамики колебательного движения. Сила, пропорциональная смещению тела и направленная к положения равновесия, возникает при растяжении (или сжатии) упругой пружины. Поэтому сила, описываемая выражением

F ( x ) = − kx (3) (за-

кон Гука), называется упругой силой. Опр.2 Сила иного происхождения, обнаружи-

вающая такую же закономерность (3), т.е. пропорциональная отклонению от положения равновесия и при любом положении тела направленная к положения равновесия (возвращающая сила), независимо от ее природы называется квазиупругой. Система, в которой действует квазиупругая сила с коэффициентом k,

kx 2 обладает потенциальной энергией: U ( x ) = (4). 2 Уравнение движения тела с массой m под действием квазиупругой силы имеет вид:

d 2x m 2 = −kx (5). dt Его решением будет (1’) при условии

mω 2 = k ⇒ ω =

k (6). m

Таким образом, частота гармонического колебания зависит только от свойств системы (упругости и массы), но не от амплитуды. Амплитуда колебаний определяется не свойствами самой системы, а начальными условиями – энергией, переданной системе в результате начального «толчка». Рассмотрим колебательное движение математического маятника. При отклонении от вертикали на угол

α система получает потенци-

114

альную энергию U=mgh. Из рис. 3 по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

x 2 + (l − h ) 2 = l 2 . При малых углах отклонения величина

имеем: 2

h