Компьютерный помощник по теории вероятностей

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет информатики

Учебно-методическое пособие

Составитель: Ю.В. Потапов

Томск – 2004

Пособие рассмотрено и одобрено методической комиссией факультета информатики. Декан факультета информатики, доцент Б.А. Гладких Председатель методической комиссии, профессор В.В. Поддубный

Методическое пособие предназначено в помощь освоению простейших понятий теории вероятностей и ориентировано на студентов факультета информатики. Пособие составлено в форме ответов на варианты контрольных задач, предлагавшихся к решению в течение семестра. Ответы даны в развёрнутом виде с подробными теоретическими и методическими комментариями, что должно помочь при подготовке к экзамену. Данный документ «выкладывается» в сеть факультета в сессию, начиная с зачётной недели. Студенты, не успевшие к этому моменту решить какие-либо задачи своего варианта, теперь будут решать аналогичные уже на экзамене. Реализовано пособие в печатном и электронном виде. При работе с электронным вариантом для быстрого листания по разделам документа можно использовать механизм гиперссылок, заложенный в оглавлении. Места ссылок выделены там жёлтой заливкой. Вернуться на начало документа всегда можно с помощью клавиш клавиатуры Ctrl + Home.

©.Потапов Ю.В: 2004 2

Оглавление ВАРИАНТ № 1...................................................................................4 ВАРИАНТ № 2 ..................................................................................6 ВАРИАНТ № 3 ..................................................................................7 ВАРИАНТ № 4 ..................................................................................9 ВАРИАНТ № 5 ................................................................................11 ВАРИАНТ № 6 ................................................................................15 ВАРИАНТ № 7 ................................................................................16 ВАРИАНТ № 8 ................................................................................19 ВАРИАНТ № 9 ................................................................................21 ВАРИАНТ № 10 ..............................................................................22 ВАРИАНТ № 11 ..............................................................................24 ВАРИАНТ № 12 ..............................................................................27 ВАРИАНТ № 13 ..............................................................................29 ВАРИАНТ № 14 ..............................................................................31 ВАРИАНТ № 15 ..............................................................................32 ВАРИАНТ № 16 ..............................................................................35 ВАРИАНТ № 17 ..............................................................................36 ВАРИАНТ № 18 ..............................................................................38 ВАРИАНТ № 19 ..............................................................................41 ВАРИАНТ № 20 ..............................................................................43 ВАРИАНТ № 21 ..............................................................................44 ВАРИАНТ № 22 ..............................................................................47 ВАРИАНТ № 23 ..............................................................................48 ВАРИАНТ № 24 ..............................................................................50 ВАРИАНТ № 25 ..............................................................................53 ВАРИАНТ № 26 ..............................................................................54 ВАРИАНТ № 27 ..............................................................................57 Литература.........................................................................................60

3

ВАРИАНТ № 1 I. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Двое поочерёдно наугад вынимают по шару (без возвращения). С какой вероятностью первый вынет белый шар первым? Ответ: Первый способ решения. Вычислим искомую вероятность, используя противоположные события. Вероятность проиграть в 4 2 4 1-м туре есть ⋅ = . Иначе вероятность выйти во 2-й тур есть 6 5 15 4 3 2 ⋅ = . А вероятность при этом проиграть во 2-м туре есть 6 5 5 2 2 1 ⋅ = . Тогда вероятность всё-таки выиграть получается как: 4 3 3 4 2 1 9 3 1− − ⋅ = = . 15 5 3 15 5 Второй способ решения. Вероятность первому вынуть белый 2 1 шар в 1-ом туре (соб. A1 ) есть = . Вероятность первому вы6 3 нуть белый шар при 2-м вытаскивании (соб. A 2 ) есть

4 3 2 1 ⋅ ⋅ = . Вероятность первому вынуть белый шар в 3-м (по6 5 4 5 4 3 2 1 2 1 следнем) туре (соб. A 3 ) есть ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . События A1 , A 2 6 5 4 3 2 15 и A 3 являются несовместными, поэтому искомая вероятность может быть вычислена как: 1 1 1 3 + + = . 3 5 15 5 II. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие A заключается в выпадении числа очков меньше 6, а событие B состоит в выпадении числа очков больше 2. Тогда что представляет из себя условное событие B A и какова его вероятность?

4

Ответ: Событие B A = {3, 4,5} , причём у события A элементарных

3 . 5 III. (Задача А.Н. Колмогорова, приводящая к логнормальному распределению). Найти плотность распределения p η ( y ) новой

исходов 5; поэтому искомая вероятность есть: P ( B A ) =

НСВ η = e ξ , когда старая СВ распределена нормально, т.е.

(

)

ξ ~ N x µ, σ 2 . Ответ: Прямое преобразование ϕ здесь есть y = e x , а обратное ему

ϕ −1 имеет вид x = ln y . Причём последняя функция имеет поло1 жительную производную x ′y = . Тогда по правилу трансфорy мации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании [1, §12.1] имеем: p η ( y ) = x ′y ⋅ N x( y ) µ, σ 2 =

(

)

  (ln y − µ) 2  1 (1.1) exp−  , y > 0; 2 =  y 2πσ 2 2 σ    0 , y ≤ 0.  Это и есть плотность логнормального закона распределения; её график и свойства см., к примеру, в [2, с.431; 5]. Логнормальный закон широко используется в теории надёжности; им хорошо аппроксимируется распределение атмосферных помех при распространении радиосигнала. Колмогоров пришёл к этому закону в результате анализа размеров осколков при дроблении породы (то же – и при разрыве снаряда). Действительно, при элементарном воздействии dx на кусок породы размер осколка dy пропорционален, очевидно, размеру куска y . Т.е. имеет место дифуравнение dy = kydx , решением которого является экспонента y = e kx+c . Если воздействие x нормально, то это и ведёт к логнормальному закону для y . 5

ВАРИАНТ № 2 I. Два игрока по очереди бросают уравновешенную игральную кость. Выигрывает тот, у кого очков больше. С какой вероятностью выиграет первый? Ответ: Прямой подсчёт по определению Бернулли – Лапласа (с учётом, что достаточно рассмотреть всего один тур) даёт результат 15 5 = . 36 12 II. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у тёмноглазого отца? Ответ: Обозначим как событие A встречу в ходе переписи тёмноглазого отца (при этом противоположное событие A – встреча светлоглазого отца). Далее обозначим как событие B встречу в ходе переписи тёмноглазого сына (при этом событие B – встреча светлоглазого сына). Тогда результаты переписи – это, фактически, следующие оценки вероятностей произведений событий: P ( AB ) = 0.05 , P ( AB ) = 0.08 , P ( AB ) = 0.09 , P ( AB ) = 0.78 . В итоге такой трактовки искомая вероятность есть: P( B A) P( AB ) 0.08 8 P ( B A) =& ≡ = = ≈ 0.62 . P ( A) P( AB) + P ( AB ) 0.05 + 0.08 13 III. (Правило трёх сигма Е.С. Вентцель). С точностью до 5-ти значащих цифр вычислить вероятность, с которой значения нормальной СВ ξ ~ N x µ, σ 2 оказываются в пределах от µ − 3σ до

(

)

µ + 3σ . /В расчётах можно воспользоваться значением интеграла вероятностей Φ (3) ≈ 0.99865 /. 6

Ответ: Нормальная случайная величина – это НСВ с плотностью N . Тогда по свойствам плотности распределения НСВ искомая вероятность P3σ вычисляется через следующий римановский интеграл: µ + 3σ  ( x − µ) 2  1 P3σ = ∫ exp (2.1) dx . 2 µ − 3σ σ 2 π  2σ  x−µ И производя замену t = это сводится к выражению: σ P3σ = 2Φ(3) − 1 ≈ 2 ⋅ 0.99865 − 1 = 0.99730 . (2.2) Величина (2.2) столь близка к единице, что можно считать практически достоверным событием значениям нормальной СВ попасть на интервал (µ − 3σ, µ + 3σ) . В этом и заключается знаменитое правило трёх сигма [1, §6.3]. Однако подчеркнём, что вероятность выпасть за интервал трёх сигма P3σ ≈ 0.00270 (2.3) хоть и мала, но не нулевая. При этом за 1000 наблюдений нормальной СВ можно ожидать в среднем 3 выпадения за интервал трёх сигма, за 10000 – уже 27, а за 100000 – 270 и т.д. Это иллюстрирует тот факт, что спектр значений нормальной СВ всё-таки лежит в пределах (−∞, ∞) .

ВАРИАНТ № 3 I. Пять студентов наугад рассаживают за круглый стол. Какова вероятность, что определённая пара окажется рядом? Ответ: Число студентов n = 5 . Пусть первый в паре уже сел на какое-то место. Тогда всего мест для второго осталось N = n − 1 = 4 . Причём в паре он может сидеть только на M = 2 из этих мест – слева или справа. В итоге искомая вероятность есть: M 2 1 P= = = . N 4 2 7

II. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие A заключается в выпадении числа очков меньше 6, а событие B состоит в выпадении числа очков больше 2. Тогда что представляет из себя условное событие A B и какова его вероятность? Ответ: Событие A B = {3, 4,5} , причём у события B 4 элементарных исхода; поэтому искомая вероятность есть: 3 P ( A B) = . 4 III. Пусть у системы НСВ (ξ, η) совместная ФР Fξ η ( x, y ) имеет вид, показанный значениями на рисунке. Y F=x

F =1

F = xy

F=y

1

F =0

0

1

Каковы безусловные и условные ФР компонент в этой системе? Зависимы ли между собой компоненты? Как выглядит совместная плотность распределения системы? Ответ: Вспоминая теорию (см. [3, §II.3]) безусловные ФР компонент можно установить как маргинальные от совместной ФР, т.е. Fξ ( x) = Fξ η ( x, ∞) , а Fη ( y ) = Fξ η (∞, y ) . Глядя на график совместной ФР видно, что для этого достаточно рассмотреть произвольные сечения Y = const > 1 и X = const > 1 . В результате получаем: x >1 1,  Fξ ( x) =  x, 0 ≤ x ≤ 1 , (3.1) 0, x < 0 y >1  1,  Fξ ( y ) =  y, 0 ≤ y ≤ 1 . (3.2)  0, y 0 ), если ста-

 π π рая НСВ ϕ распределена равномерно в  − ,  ? Нарисовать  2 2 графики. Ответ: Решение этой задачи подобно ответу на вариант № 1III. Прямое преобразование x = x(v) здесь есть x = a sin v , где v – это значения равномерной НСВ ϕ с распределением 1 π π  π π   , − < v < Rϕ  v − ,  =  π 2 2; 2 2   0,  else 

а обратное к исходному преобразование v = v( x) имеет вид x v = arcsin . Причём последняя функция обладает положительa 1

2 −2 1 ной производной v′x = 1 − x a  . Тогда по правилу трансa 

( )

39

формации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании здесь имеем: π π  pξ ( x) = v′x ⋅ Rϕ  v( x) − ,  = 2 2   1 1 π  x π ⋅ , − < arcsin  <  2 π 2 a 2  . =  a 1 −  x  a     0, else Откуда в результате очевидных упрощений для плотности этого распределения окончательно получаем: 1 1 ,− a < x < a  p ξ ( x) =  π a 2 − x 2 . (18.1)  0, else ФР распределения выражается через интеграл от плотности: x

Fξ ( x) = ∫ p ξ (t )dt , −∞

что из (18.1) даёт: x≥a  1, 1 1 x Fξ ( x) =  + arcsin , − a < x < a . a 2 π 0 , x ≤ −a  p ξ (x )

Fξ ( x ) 1

1 πa

−a

(18.2)

0

Рис. 18.2

a

x

−a

a 0 Рис. 18.3

x

По виду формулы (18.2) это распределение и названо законом арксинуса. Его свойства см., к примеру, в [2, с.414; 5]. Интерес40

ную форму имеют графики этого распределения. График плотности показан на рис. 18.2, а график ФР – на рис. 18.3.

ВАРИАНТ № 19 I. В ящике находится 10 карточек с различными номерами. Из ящика по очереди наугад вынимается с возвращением 3 карточки. Какова вероятность, что у них будут разные номера? Ответ: Учитывая, что это схема с возвращением, а номера карточек должны быть разными, искомая вероятность может быть вычислена как: 10 9 8 ⋅ ⋅ = 0.72 . 10 10 10 II. Солдат получает зачёт по стрельбе при условии, что в течение отведённого времени он поразит не менее трёх мишеней из пяти. Каждую мишень не зависимо от других солдат может поразить с вероятностью 2 . Какова вероятность, что он сдаст за3 чёт? Ответ: Искомая вероятность может быть вычислена как: 64 P5 (3) + P5 (4) + P5 (5) = ≈ 0.79 , 81 где при n = 5 Pn (m) =& C nm p m (1 − p ) n −m – это вероятность получить m "успехов" за n опытов Бернулли, когда вероятность "успеха" p есть 2 . 3 III. (Распределение Коши). Какими являются ФР Fξ ( x) и плотность p ξ ( x) у новой СВ ξ = µ + δ ⋅ tg ϕ (где δ = const > 0 , а µ – произвольная const ), если старая НСВ ϕ распределена равно π π мерно в  − ,  ? Нарисовать графики.  2 2

41

Ответ: Решение этой задачи аналогично ответу на вариант № 18III. Прямое преобразование x = x(v) здесь есть x = µ + δ ⋅ tg v , где v – это значения равномерной НСВ ϕ с распределением 1 π π  π π   , − < v < Rϕ  v − ,  =  π 2 2; 2 2   0,  else 

а обратное к исходному преобразование v = v(x) имеет вид x −µ v = arctg . Причём последняя функция обладает положиδ тельной производной: 1 1 δ v′x = ≡ 2 2 δ  x −µ δ + ( x − µ) 2 1+    δ  Тогда по правилу трансформации плотности НСВ при её монотонно возрастающем преобразовании здесь имеем: π π  pξ ( x) = v′x ⋅ Rϕ  v( x) − ,  = 2 2 

 δ 1 π  x−µ π ⋅ , − < arctg  2 < 2 =  δ + ( x − µ) π 2  δ  2,  0, else что даёт просто δ 1 ∀ x p ξ ( x) = ⋅ 2 π δ + ( x − µ) 2

(19.1)

π π до ). 2 2 ФР этого распределения выражается через интеграл от плотности: (учитывая, что arctg всегда находится в пределах от −

x

Fξ ( x) = ∫ p ξ (t )dt , −∞

что из (19.1) приводит к выражению:

42

1 1 x−µ + arctg . (19.2) 2 π δ Формулы (19.1-2) описывают знаменитый закон распределения Коши. Он примечателен тем, что из-за затянутости «хвостов» не обладает моментами. Его свойства и графики см., к примеру, в [2, с.415]. Однако там следует обратить внимание на ошибку: значения ФР в книге указаны в π раз большими, чем нужно; а в остальном всё правильно. Закон Коши связан со многими другими известными распределениями. Например, он является частным вариантом так называемого t -распределения Стьюдента при f = 1 степени свободы (см. [2, с.416; 5]).

Fξ ( x) =

ВАРИАНТ № 20 I. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется больше их произведения? Ответ: Прямой подсчёт исходов по определению Бернулли – Лапласа даёт: 11 . 36 II. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5 ? Ответ: Эту задачу можно трактовать как схему гипотез: H 1 – отличник, H 2 – хорошист, H 3 – троечник; причём гипотезы равновозможны и каждая имеет априорную вероятность 1 . Пусть собы3 тие A – получить 4 или 5; его условные вероятности при гипотезах есть: P ( A H 1 ) = 1, P ( A H 2 ) = 1, P ( A H 3 ) = 1 . 3 43

В задаче требуется установить безусловную вероятность события A , что по формуле полной вероятности в числах даёт: 1 1 7 P ( A) = 1 + 1 +  = ≈ 0.78 . 3 3 9 III. Для экспоненциальной НСВ ξ с плотностью распределе α e − αx , x ≥ 0 ния p ξ ( x) =  найти вероятность выполнения собыx 0 ∀ y Fη ( y ) = P (η < y ) ≡  . (24.1)  P (Ο) = 0, y ≤ 0 Но, как видно из рис. 24.1, через плотность распределения старой НСВ для верхней вероятности в (24.1) имеем: ∀ y > 0 P(ξ 2 < y ) = ∫ N ξ ( x 0,1)dx ≡ x< y

1

y

2

−

x 2

∫ e dx =& g ( y ) . 2π − y Тогда плотность новой НСВ получается как dFη ( y ) ∀ y pη ( y ) = = dy  g ′( y ), y > 0 =/из (24.1-2)/=  , y≤0 0, ≡

(24.2)

(24.3)

51

где производная g ′( y ) берётся от выражения (24.2) по известным правилам дифференцирования интеграла (см., к примеру, [4, с.405]) и имеет формулу:  ( y ) 2  1  (− y ) 2  − 1  1  ≡ exp− − exp− g ′( y ) = ⋅ ⋅ 2  2 y 2  2 y  2π    1  y ≡ exp−  . (24.4) 2π y  2 В итоге из (24.3-4) оказывается, что при возведении в квадрат стандартной нормальной СВ получается новая НСВ с плотностью: y  1 −  e 2,y >0 (24.5) p η ( y ) =  2π y =& χ η2 ( y 1) .  0, y ≤ 0  Формула (24.5) описывает частный вариант χ 2 ( y 1) знаменитого закона распределения χ2 η К.Пирсона при n = 1 степени свободы. График плотности (24.5) показан на рис. 24.2. По закону χ 2 с n степенями свободы расy 0 пределена сумма n некоррелированных станРис. 24.2 дартных нормальных СВ. Этот закон широко используется в математической статистике и связан со многими другими известными распределениями. В частности, при n = 2 (т.е. когда складываются квадраты двух нормальных СВ) он совпадает с односторонним экспоненциальным законом распределения /см. ответ на вариант № 4III при T = 2 /. Общие свойства закона распределения χ 2 при произвольном числе степеней свободы n см., к примеру, в [2, с.423] (при этом там нужно положить α = β = 1 / 2 ).

52

ВАРИАНТ № 25 I. В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. Дважды барабан наугад прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не будет? Ответ: 7−5 2 = . И Первый раз выстрела не будет с вероятностью 7 7 второй раз, учитывая (что выстрела ещё не было) вероятность такая же. Тогда общая вероятность есть: 2 2 4 ⋅ = . 7 7 49 II. Уравновешенная монета бросается 6 раз. Какова вероятность, что выпадет больше гербов, чем решек? Ответ: Вероятность Pn (m) выпадения m "гербов" за n = 6 бросаний может быть рассчитана по формуле Бернулли при вероятности "успеха" 1 . По условию требуется рассмотреть 3 несовместных 2 значения m > 3 , т.е. искомая вероятность устанавливается как: P6 (4) + P6 (5) + P6 (6) = 4

2

6

6

6!  1   1  6!  1   1  11 = ≈ 0.344     +   +  = 4!2!  2   2  5!  2   2  32 III. Пусть имеется протяжённая цель, в которую стреляют снарядом. При этом пусть снаряд полностью попадает в цель с вероятностью 0.25 и тогда площадь поражения максимальная S . Далее, пусть снаряд вообще не попадает в цель с вероятностью 0.05 и тогда площадь поражения нулевая. Во всех прочих ситуациях площадь поражения может быть любой из интервала (0, S ) , причём каждое значение равновозможно. Как выглядит функция распределения площади поражения как случайной величины ξ ? Нарисовать график ФР Fξ (x) , назвать тип СВ.

53

Ответ: Решение этой задачи перекликается с ответом на вариант № 16III. Здесь имеется два значения (0 и S ) СВ ξ , которые наступают с ненулевыми вероятностями (0.05 и 0.25). Такие значения явно принадлежат дискретной части спектра СВ, и в них ФР Fξ (x) должна совершать скачки высотой 0.05 и 0.25. Помимо этого, есть интервал (0, S ) значений СВ, вдоль которого оставшаяся вероятностная масса 1-0.05-0.25=0.7 распределена непрерывно и равномерно. Такой интервал значения явно принадлежит непрерывной части спектра СВ, и на нём ФР должна нарастать линейно с высоты 0.05 до высоты 0.75. Вне сегмента [0, S ] значений у рассматриваемой СВ нет, а значит там ФР постоянна. До абсциссы x = 0 ФР равна 0 (ещё не дошли до точек с вероятностной массой СВ), а после абсциссы x = S ФР равна 1 (уже прошли все точки с вероятностной массой СВ). Fξ ( x ) 1 0.75

0.05 0

S

x

Таким образом, анализируемая СВ имеет дискретнонепрерывный тип, и график её ФР показан на рисунке.

ВАРИАНТ № 26 I. Из букв разрезной азбуки составлено слово АНАНАС. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово? Ответ: Учитывая, что для ребёнка все карточки неразличимы, он мог составить их в любом из 6! порядков. Но в рассматриваемом слове 3 одинаковых буквы А и 2 одинаковых буквы Н, чьи расста54

новки не влияют на значение слова. Поэтому искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа может быть вычислена как: 3!2! 1 = . 6! 60 II. На курсе 40 студентов – юношей. Какова (приближённо по Муавру – Лапласу) вероятность того, что хотя бы двое из них носят имя Александр, если частота встречи такого имени у юношей есть 1 ? 5 Ответ: Обозначим искомую вероятность через P2 A , а через Pn (m) – вероятность получить m "успехов" за n опытов Бернулли; причём у нас вероятность "успеха" p = 1 , а "неудачи" q = 4 . То5 5 гда в терминах противоположных событий требуется вычислить: P2 A = 1 − P40 (0) − P40 (1) . Однако проблема в том, что из-за больших факториалов вычислять бернуллиевы вероятности непросто. Но здесь можно воспользоваться нормальным приближением Муавра – Лапласа для формулы Бернулли: 2  1  1  m − np   . Pn (m) ≈ exp−  npq   2 2π npq     Расчёты по этой формуле дают такие значения P40 (0) ≈ 0.00106, P40 (1) ≈ 0.00343 ; откуда искомая вероятность имеет значение P2 A ≈ 0.99551 . III. Проводится игра в орлянку с 3-хкратным независимым подбрасыванием неуравновешенной монеты, у которой "герб" выпадает с вероятностью p = 0.6 , а "решка" с вероятностью q = 0.4 . За каждый "герб" игрок получает 1 рубль, а за каждую "решку" платит 1 рубль. Показать, что сумма выигрыша представляет из себя дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ. 55

Ответ: Решение данной задачи вполне аналогично ответу на вариант № 11III. Бросание монеты здесь составляет дискретную схему испытаний с 2 3 = 8 исходами, представленными в табл. 26.1. Однако эти исходы неравновозможны – поскольку монета неуравновешенна. Вероятности исходов приведены в табл. 26.1. В силу независимости бросаний они вычисляются как p l ⋅ q k , где l – число «гербов», а k – число «решек», выпавших за три бросания. Табл. 26.1 ω ω ΡΡΡ ω ΓΡΡ ω ΡΓΡ ω ΡΡΓ ω ΓΓΡ ω ΓΡΓ ω ΡΓΓ ω ΓΓΓ Ρ(ω) 0.064 0.096 0.096 0.096 0.144 0.144 0.144 0.216 z = ξ(ω) -3 -1 -1 -1 1 1 1 3 Такая схема испытаний порождает дискретное вероятностное пространство, в котором любое подмножество элементарных исходов – суть случайное событие, наступающее с определённой вероятностью. Эта вероятность вычисляется как сумма вероятностей влекущих событие исходов. Анализируемой в задаче сумме выигрыша ξ на очерченном вероятностном пространстве отвечает отображение z = ξ(ω) , представленное в табл. 26.1 и имеющее всего 4 различных значения z1 = −3, z 2 = −1, z 3 = 1, z 4 = 3 . Причём каждому такому значению z i i = 1,4 соответствует своё подмножество исходов в схеме испытаний – как прообраз ξ −1 ( z i ) отображения. Так значению z1 = −3 соответствует прообраз {ω ΡΡΡ } , значению z 2 = −1 отвечает подмножество – прообраз {ω ΓΡΡ , ω ΡΓΡ , ω ΡΡΓ } , значению z 3 = 1 отвечает подмножество {ω ΓΓΡ , ω ΓΡΓ , ωΡΓΓ } , а значению z 4 = 3 соответствует прообраз {ω ΓΓΓ } . И поскольку все подмножества исходов в рассматриваемой схеме испытаний обладают определёнными вероятностями, отображение табл. 26.1 является измеримым по вероятности, т.е. определяет собой случайную величину ξ (дискретную). Иначе говоря, для каждого значения z k , k = 1,4 отображения по соответст56

вующему прообразу может быть вычислена его вероятность Pξ ( z k ) . Это составляет ряд распределения исследуемой ДСВ. Подсчёты показывают, что этот ряд таков: Табл. 26.2 z -3 -1 1

Pξ (z )

0.064

0.288

0.432

3 0.216

ВАРИАНТ № 27 I. Из букв разрезной азбуки составлено слово КНИГА. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово? Ответ: Учитывая, что правильная расстановка букв единственна (в отличие от ответа на вариант № 26I), а ребёнок мог их составить в любом из 5! порядков, искомая вероятность по определению Бернулли – Лапласа есть: 1 1 . = 5! 120 II. Вероятность сбить самолёт одиночным винтовочным выстрелом весьма мала и составляет порядка 0.004. Какова (приближённо по Пуассону) вероятность сбить самолёт при одновременной независимой стрельбе из 250-ти винтовок? Ответ: Обозначим искомую вероятность через P∑ , а через Pn (m) – вероятность получить m "успехов" за n опытов Бернулли; причём у нас вероятность отдельного "успеха" p = 0.004 . Тогда в терминах противоположного события в задаче требуется вычислить: P∑ = 1 − P250 (0) . Однако проблема в том, что из-за больших факториалов вычислять бернуллиеву вероятность непросто. Но здесь можно воспользоваться пуассоновским приближением для формулы Бернулли: 57

Pn (m) ≈

(np )m e − np .

m! Учитывая, что у нас np = 1 , расчёт по формуле Пуассона для искомой вероятности даёт: P∑ ≈ 1 − e −1 ≈ 0.632 . III. Пусть старая НСВ ξ имеет квадратичную ФР Fξ ( x) = x 2 при x ∈ [0,1] , оставаясь равной 0 при x < 0 и оставаясь равной 1 при x > 1 . И пусть новая СВ η получается из старой в результате 1 1 3 1 операции усечения: η = ξ − , ≤ ξ ≤ , причём η ≡ 0 при ξ < 4 4 4 4 1 3 и η ≡ при ξ > . Как в итоге выглядит ФР Fη ( y ) новой СВ и 2 4 каков тип СВ η ? Ответ: Графики ФР старой СВ Fξ (x) и закона преобразования

η = ϕ(ξ) старой СВ в новую показаны соответственно на рис. 27.1 и рис. 27.2: η

F ( x) ξ

1/2

1

x2

y 3/4

0

1

Рис. 27.1

x

0

1/4

ξ

y + 1/ 4

Рис. 27.2

По смыслу ФР новой СВ определяется как: ∀ y Fη ( y ) = P(η < y ) ≡ P[ϕ(ξ) < y ] = /см. рис. 27.1-2/=  P(Ω) ≡ Fξ (∞), if y > 1 / 2  =  P(ξ − 1 / 4 < y ) ≡ Fξ (1 / 4 + y ), if 0 < y ≤ 1 / 2 .  P (Ο) ≡ Fξ (−∞), if y ≤ 0 

В результате искомая ФР описывается формулой

58

y > 1/ 2  1,  2 Fη ( y ) = (1 / 4 + y ) , 0 < y ≤ 1 / 2  0, y≤0 и имеет график, показанный на рис. 27.3. Из графика видно, что СВ η имеет Fη ( y ) смешанный дискретно - непрерывный 1 тип – поскольку её ФР совершает два скачка в точках 0 и 1/2, а в остальных 9/16 2 точках непрерывна. При этом точки (1 / 4 + y ) 1/16 скачков составляют дискретную часть y x 1/2 спектра с вероятностными массами Рис. 27.3 1/16 и 7/16. Непрерывная же часть спектра сосредоточена в отрезке (0,1/2), где распределена вероятностная масса 8/16. Следует отметить, что операция усечения старой НСВ всегда ведёт к образованию дискретной части спектра у новой СВ в точках концов усечения. При этом вероятности этих точек образуются как вероятностные массы хвостов распределения исходной НСВ.

59

Литература 1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, изд. 4-е, стереотип. – М.: Наука, 1969. 2. Заездный А.М. Основы расчётов по статистической радиотехнике. – М.: Связь, 1969. 3. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. – Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1988. 4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов, изд. 11-е стереотип. – М.: Наука, 1967. 5. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. – СПб.: Наука, 2001.

____________________________________________________________________ Томский государственный университет, пр. Ленина, 36, факультет информатики Тираж 100 экз.

60