Небесная механика. Общий курс

Глава 8. Функции Вейерштрасса 8.1. Определение функций Вейерштрасса Рассмотрим аналитическую (голоморфную) функцию — одн...

Author: Герасимов | Мушаилов

391 downloads 310 Views 797KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Глава 8. Функции Вейерштрасса 8.1. Определение функций Вейерштрасса Рассмотрим аналитическую (голоморфную) функцию — однозначную и непрерывную функцию f(z) = u + iv комплексной переменной z = x + iy (i2 = −1), определенную в некоторой области G и имеющую в каждой точке этой области производную f′(z) *). Предположим, что f(z) отлична от постоянной и обладает набором периодов z = {Ω1,...,Ωn,...}, то есть в каждой регулярной точке z **) для любого конечного целого индекса k выполняется равенство f(z + Ωk) = f(z),

(8.1.1)

в котором Ωk ≠ 0. Обозначим период с наименьшим (отличным от нуля) модулем через Ω1. Если бы не существовало наименьшего ⏐Ωk⏐ ≠ 0, то имелось бы бесконечно много точек, для которых нуль являлся бы предельной точкой, так что lim Ω k = 0. Но тогда во k→∞

всякой регулярной точке z с учетом (8.1.1) выполнялось бы равенство ⎡ f ( z + Ω k ) − f ( z) ⎤ lim ⎢ ⎥ = f ′ ( z) = 0 k →∞ Ωk ⎣ ⎦

и, вопреки исходному предположению, функция f(z) была бы константой. Произвольный период Ω′, лежащий в комплексной плоскости z = x + iy на одной прямой с периодом Ω1 (имеющим наименьший модуль), можно представить в виде Ω′ = kΩ1, где k — целое число. Так как, в противном случае, существовало бы такое целое число m, что m⏐Ω1⏐ R ⎩⎪|T |≤ R ⎭⎪

(8.1.11)

Здесь первая сумма — рациональная функция, имеющая в каждой точке T полюс третьего порядка, а вторая, как было только что установлено, обладает в круге |z| < R равномерной сходимостью и является аналитической. Следовательно, Q(z) — мероморфная функция (то есть аналитическая, не имеющая в конечной части комплексной плоскости других особых точек, кроме полюсов). При этом, так как

Q( z + Ω j ) = −2

∞

∑ [ z − (T − Ω )] j

−3

= −2

m, n =−∞

∞

∑ ( z − T ′)

−3

,

(8.1.12)

m, n =−∞

а преобразование T′ =T − Ωj (j =1, 2) не изменяет полную последовательность периодов (“решетку периодов”), переводя ее саму в себя, то ряд (8.1.12) лишь порядком слагаемых отличается от ряда Q(z). Таким образом, Q(z+Ωj) = Q(z), j = 1, 2. Поэтому величины Ω1 и Ω2 являются периодами функции Q(z). Мероморфная двоякопериодическая функция носит название эллиптической функции *). Поскольку порядок эллиптической функции определяется как число ее полюсов (с учетом их кратности) в основном параллелограмме периодов, то, как следует из (8.1.10), Q(z) является эллиптической функцией третьего порядка с полюсом в точке z = 0 ( T = 0; см. (8.1.4)). На основе Q(z) построим теперь эллиптическую функцию второго порядка, то есть минимально возможного порядка **). Для этого проинтегрируем почленно ряд (8.1.10), или (8.1.11), от точки z до точки z0 вдоль кривой, не проходящей через T, и образуем функцию z

f ( z) = C + ∫ Q( z) dz = C + z0

∞

∑ {( z − T )

m, n =−∞

−2

}

− ( z 0 − T ) −2 ,

(8.1.13)

где C = const. Полученный функциональный ряд (8.1.13), если отбросить конечное число слагаемых, имеющих полюсы, является равномерно сходящимся в любой конечной области, так как получен путем интегрирования равномерно сходящегося ряда Q(z).

*)

Эллиптические функции были введены в связи с обращением эллиптических интегралов, впервые рассмотренных Я. Бернулли в теории упругости и Маклореном в задаче “о спрямлении дуги эллипса”. **) По теореме Лиувилля (согласно которой аналитическая и ограниченная по модулю во всей комплексной плоскости функция f(z) тождественно равна постоянной) эллиптическая функция , отличная от постоянной, должна иметь, по крайней мере, один полюс. Но так как интеграл от эллиптической функции по периметру основного параллелограмма периодов равен нулю, ввиду равенства, из-за периодичности, по абсолютной величине и противоположности по знаку интегралов вдоль противоположных сторон основного параллелограмма (при интегрировании по противоположным сторонам основного параллелограмма периодов обход производится в противоположных направлениях), то сумма вычетов эллиптической функции относительно всех полюсов, расположенных в основном параллелограмме периодов, должна быть также равна нулю. Следовательно, минимальный порядок эллиптической функции равен двум.

234

Часть II. Аппарат специальных функций

Следовательно, f(z) является мероморфной функцией, имеющей полюс второго порядка в каждой точке z = T. Выделяя слагаемое с T = 0, представим (8.1.13) в виде ∞ 1 1 f ( z) − 2 = C − 2 + ∑ / ( z − T ) −2 − ( z0 − T ) −2 . (8.1.14) z z0 m,n =−∞

{

}

Здесь правая часть есть мероморфная функция, для которой начало координат z = 0 является уже правильной регулярной точкой. Выбирая постоянную C таким образом, чтобы правая часть (8.1.14) обращалась в нуль при z = 0, то есть полагая C = z0−2 −

∞

∑ {T /

−2

}

− ( z 0 − T ) −2 ,

m,n =−∞

из (8.1.14) получим f ( z) =

∞ 1 / + ( z − T) −2 − T −2 . ∑ 2 z m,n =−∞

{

}

(8.1.15)

Мероморфная функция с полюсами второго порядка в точках z = T, определяемая выражением (8.1.15), была введена К. Вейерштрассом и носит название ℘-функция Вейерштрасса (читается “пэ”). Покажем, что мероморфная ℘-функция является двоякопериодической, то есть эллиптической функцией. Поскольку при |z| < |T| справедливы оценки: z( 2T − z) 1 1 − 2 = 2 ≤ 2 T T ( z − T)2 ( z − T)

⎛ | z| ⎞ 2 T ⎜1 + ⎟ | z| ⎝ 2| T |⎠ ⎛ | z| ⎞ |T | ⎜1 − ⎟ ⎝ | T |⎠

2

4

0, τ =Ω2 ⁄ Ω1. Обозначая через τ ′ = Ω ′2 / Ω 1′ , из (8.3.3), очевидно, будем иметь ε + δτ τ′ = , τ = τ$ + i τ~ (i 2 = −1), α + βτ поэтому αδ − βε ~ Im(τ ′) = ~ τ , τ = Im(τ ) > 0. 2 α + βτ Полагая Im(τ ′) > 0 , мы далее в условии (8.3.5) будем выбирать знак плюс:

det( A) = αδ − βε = +1. Преобразования вида (8.3.6), при которых det(A) = 1, принято называть унимодулярными. В качестве базисных унимодулярных преобразований в дальнейшем будут рассматриваться S и Q-преобразования, которым отвечают, соответственно, матрицы S = ⎛⎜ 1 ⎝1

0⎞⎟ , Q = ⎛⎜ 0 1⎠ ⎝ −1

1⎞⎟ . 0⎠

(8.3.8)

Таким образом, ℘-функция Вейерштрасса, а следовательно, согласно (8.1.19), (8.1.27), и дзета- и сигма- функции Вейерштрасса инвариантны относительно унимодулярных преобразований. Использование указанного свойства позволяет, как будет показано в дальнейшем (разделы 8.12-8.15), существенным образом упростить задачу практического вычисления функций Вейерштрасса. 8.4. Дифференциальное уравнение для ℘-функции Из равенства (8.1.21) ∞ 1 1 z ⎫ ⎧ 1 ζ ( z) = + ∑ / ⎨ + + 2 ⎬, z m,n =−∞ ⎩ z − T T T ⎭ 2 2 в котором T = mΩ1 + nΩ2, m + n ≠ 0, следует, что в окрестности z = 0 справедливо разложение ∞ ⎧ z2 z3 ⎫ 1 ζ ( z) = − ∑ / ⎨ 3 + 4 +...⎬, z m,n=−∞ ⎩ T T ⎭ или, с учетом нечетности ζ(z), в общем виде имеем

244


1 ∞ ζ ( z) = − ∑ Ck z 2 k +1 , z k =1

(8.4.1)

где Ck =

∞

∑

/

T −2( k +1) .

m, n =−∞

Отсюда, из соотношения (8.1.19)

ζ ′( z) = −℘( z),

в окрестности z = 0 для функции ℘(z) находим следующее разложение ∞ 1 ℘( z) = 2 + ∑ Ck z 2 k , z k =1

(8.4.2)

в котором Ck = ( 2 k + 1) Ck . Учитывая абсолютную сходимость (см. раздел 8.1) при z→0 ряда (8.4.2), будем иметь 2 3 (8.4.3) ℘′( z) = − 3 + 2C1 z + 4C2 z +... z В то же время 4 8C ℘′ 2 ( z) = 6 − 21 − 16C2 +..., z z (8.4.4) 1 3C1 3 ℘ ( z) = 6 + 2 + 3C2 +..., z z причем, как нетрудно видеть, не выписанные в (8.4.4) слагаемые стремятся к нулю при z→0. Сопоставляя (8.4.2) с (8.4.4), находим 2 3 2 ℘′ ( z) − 4℘ ( z) + 20C1℘( z) = −28C2 + O( z ).

(8.4.5)

Левая часть равенства (8.4.5) представляет собой эллиптическую функцию, которая в основном параллелограмме периодов, согласно определению (8.1.15), не имеет полюсов, отличных от z = 0. Но, как следует из вида правой части (8.4.5), и эта точка не является полюсом. Таким образом, согласно результатам раздела 8.1, эллиптическая функция в левой части (8.4.5) является тождественно постоянной, и мы приходим к уравнению 2 3 ℘′ ( z) − 4℘ ( z) + 20C1℘( z) = −28C2 , или, с учетом (8.4.1), (8.4.2), вводя обозначения Вейерштрасса g2 = 20C1 = 60

∞

∑

/

−4

g3 = 28C2 = 140

T ,

m,n =−∞

∞

∑

/

m,n =−∞ 2

2

T = mΩ1 + nΩ 2 , m + n ≠ 0,

T− , 6

(8.4.6)

Глава 8. Функции Вейерштрасса

245

получим искомое дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса ℘(z) *) ℘′ 2 ( z) = 4℘3 ( z) − g2℘( z) − g3. .

(8.4.7)

Величины g2 и g3, непосредственно определяемые основными периодами Ω1, Ω2, принято именовать инвариантами ℘-функции Вейерштрасса. Дифференциальное уравнение (8.4.7) позволяет выразить производные ℘функции Вейерштрасса любого порядка через саму ℘-функцию и ее производную первого порядка. Так, например, легко видеть, что 1 2 ℘′′( z) = 6℘ ( z) − g2 , ℘′′′( z) = 12℘( z)℘′( z), (8.4.8) 2 ( IV ) 3 ℘ ( z) = 120℘ ( z) − 18g2℘( z) − 12 g3 . Нетрудно также показать, что при n = 2, 3,... ℘( 2 n+1) ( z) = ℘′( z) Pn [℘( z)]. Здесь Pn — полиномы степени n относительно ℘(z) с коэффициентами, зависящими от g2 и g3. Подставляя в правую часть первого уравнения (8.4.8) разложение (8.4.2), получим, с учетом (8.4.6), 2

∞ ⎧ ⎫ 6℘ ( z) − 10C1 = −10C1 + 6⎨ z −2 + ∑ Ck z 2 k ⎬ = k =1 ⎩ ⎭ 2

∞

∞

k −1

k =1

k =2

m=1

(8.4.9)

= −10C1 + 6z −4 + 12∑ Ck z 2 k −2 + 6∑ z 2 k ∑ CmCk − m . Но, с другой стороны, если непосредственно дважды продифференцировать (8.4.2), то будем иметь ∞

℘′′( z) = 6z −4 + ∑ 2 k ( 2 k − 1)Ck z 2 k −2 .

(8.4.10)

k =1

Приравнивая теперь правые части (8.4.9) и (8.4.10), получим ∞

k −1

∞

k =2

m=1

k =2

6∑ z 2 k ∑ Cm Ck −m = ∑ {2 k (2 k − 1) − 12}Ck z 2 k −2 , или k −2

{2 k (2 k − 1) − 12}Ck = 6∑ CmCk −m−1,

k ≥ 3.

(8.4.11)

m=1

Следовательно, для коэффициентов разложений функций Вейерштрасса (8.4.1), (8.4.2) справедливы рекуррентные соотношения вида *)

В общем случае можно показать, что дифференциальному уравнению первого порядка 2 ⎛ dw ⎞ 3 ⎜ ⎟ = 4w − λ 2 w − λ 3 , ⎝ dz ⎠ в котором λ2 и λ3— произвольные комплексные числа, такие, что λ32 − 27λ23 ≠ 0, соответствует единственная эллиптическая функция Вейерштрасса w = ℘( z; λ 2 , λ3 ) , являющаяся его решением.

246

Часть II. Аппарат специальных функций k −2

Ck =

3∑ Cm Ck −m−1 m=1

( k − 2)( 2 k + 3)

, k ≥ 3.

(8.4.12)

В частности, C3 =

C12 3 1 , C4 = C1C2 , C5 = 2C13 + 3C23 . 3 11 39

(

)

Таким образом, коэффициенты разложений (8.4.1), (8.4.2) функций Вейерштрасса

ζ(z) и ℘(z) являются полиномами с положительными рациональными коэффициентами

от инвариантов (8.4.6) g2 и g3 *). При этом, как следует из (8.4.2), если g2 и g3 — действительные числа, то ℘-функция от действительного или чисто мнимого аргумента может принимать только действительные значения. Введем далее величины полупериодов (ω j , j = 1,3) функции ℘(z) по формулам 2ω 1 = Ω 1, 2ω 2 = − Ω1 − Ω 2 , 2ω 3 = Ω 2 ,

(8.4.13)

так что ω1 + ω2 + ω3 = 0. На рис. 31 изображен основной параллелограмм периодов Π0,0 в новых обозначениях. Поскольку, согласно (8.1.21), ζ ′′( z) является нечетной функцией, то из (8.1.19) имеем ℘′(− z) = − ℘′(z), или ℘′( 2ω j − z) = −℘′( z), j = 1,3. (8.4.14) 2ω 2

2ω 3

ω3

O

ω2 ω1

2ω 1

Рис. 31.

*)

Из (8.1.28) в окрестности точки z = 0, с учетом (8.4.1), нетрудно получить разложение для сигмафункции Вейерштрасса ⎧ ⎫ z8 σ ( z ) = z exp{− z 4 R( z )} = z ⎨1 − z 4 R( z ) + R 2 ( z ) − ...⎬, 2! ⎩ ⎭ 2 k −2 ∞ z в котором R ( z ) = ∑ C k , то есть тейлоровское (маклореновское) разложение целой ( 2 1)(2k + 2) k + k =1 функции σ(z) имеет вид

σ ( z ) = z + b1 z 5 + b2 z 7 + ..., где bn (n = 1, 2, ...) — полиномы от инвариантов g2 и g3.


247

Полагая в (8.4.14) z = ωj, получим равенство ℘′(ω j ) = 0,

j = 1,3,

(8.4.15)

которое означает, что точки z = ω j ( j = 1,3) являются нулями функции ℘′(z). При этом, так как ℘′(z) представляет собой эллиптическую функцию 3-го порядка (то есть число ее полюсов, с учетом их кратности, в основном параллелограмме периодов равно трем; см. (8.4.3)), то все три нуля z = ω j , ( j = 1,3) — простые (не кратные). Из (8.4.15) и (8.4.7) непосредственно следует, что полином третьей степени 4℘3 ( z) − g 2℘( z) − g 3 относительно w = ℘(z) должен обращаться в нуль при ℘(ω j ) = γ j ( j = 1,3),

(8.4.16)

где γj ( j = 1,3) — корни уравнения 4w3 − g2w − g3 = 0, так что 4 w 3 − g2 w − g 3 = 4( w − γ 1 )( w − γ 2 )( w − γ 3 ),

(8.4.17)

и уравнение (8.4.7) представимо в виде

[℘′( z)]

2

= 4[℘( z) − γ 1 ][℘( z) − γ 2 ][℘( z) − γ 3 ].

(8.4.18)

Поскольку в общем случае γ1, γ2 и γ3 — неравные между собой числа *), то дискриминант D кубического уравнения 4 w 3 − g2 w − g3 = 0 должен быть отличен от нуля, то есть D=

(8.4.19)

1 Δ ≠ 0, Δ = g 23 − 27 g 32 . 16

(8.4.20)

Если, в частности, g2 и g3 — вещественные величины, то при Δ > 0 все корни уравнения (8.4.19) будут являться действительными величинами, а если Δ < 0, то два из них — комплексно-сопряженные и один — действительный [21]. Выпишем также c учетом (8.4.17) соотношения, следующие, согласно теореме Виета, из самого вида уравнения (8.4.19)

γ 1 + γ 2 + γ 3 = 0, γ 1γ 2 + γ 1γ 3 + γ 2γ 3 = − *)

g2 , 4γ 1γ 2γ 3 = g3 . 4

(8.4.21)

Если, например, ℘(ω1) = ℘(ω2), то эллиптическая функция второго порядка℘(z) − ℘(ω1), очевидно,

имела бы в основном параллелограмме периодов два нуля второго порядка ω1 и ω2, но, поскольку, как было показано в разделе 8.2, внутри параллелограмма периодов эллиптическая функция имеет столько же нулей, сколько и полюсов, с учетом их кратности, то функция ℘(z) −℘(ω1) должна была бы иметь не второй порядок, а четвертый, что невозможно. Вырожденные — предельные случаи кратных корней (γ j , j = 1,3), как будет показано в разделе 9.4, соответствуют элементарным функциям.

248


Из (8.4.21), в свою очередь, можно получить соотношения, связывающие дискриминант Δ = 16D с корнями γ1, γ2, γ3 *) Δ = 16(γ 1 − γ 2 ) 2 (γ 1 − γ 3 ) 2 (γ 2 − γ 3 ) 2 .

(8.4.22)

8.5. Свойство однородности Из определения (8.1.15) функции Вейерштрасса ∞

∑ {( z − T)

℘( z) = z −2 +

/

−2

−T

−2

m,n =−∞

},

в котором, согласно (8.4.13), T = 2mω1 + 2nω3 (m2 + n2 ≠ 0), следует, что для произвольного числа λ ≠ 0 выполняются соотношения ℘( λz; λω 1, λω 3 ) = λ−2℘( z; ω 1, ω 3 ),

(8.5.1)

℘′( λz; λω 1, λω 3 ) = λ−3℘′( z; ω 1, ω 3 ),

то есть функция ℘(z) и ее производная ℘′(z), рассматриваемые как функции трех переменных z, ω1, ω3, являются однородными с показателями однородности, соответственно равными −2 и −3. Аналогично из выражений (8.1.21) и (8.1.28) непосредственно следует

ζ (λz; λω 1, λω 3 ) = λ−1ζ ( z;ω 1 , ω 3 ), σ ( λz; λω 1 , λω 3 ) = λσ ( z;ω 1, ω 3 ),

(8.5.2)

так что ζ и σ — функции Вейерштрасса, рассматриваемые как функции переменных z, ω1, ω3, являются однородными с показателями однородности −1 и 1 соответственно. Если в качестве величины λ в равенствах (8.5.1), (8.5.2) выбрать λ = 1/ ω1, то, очевидно, будем иметь ℘( z;ω 1, ω 3 ) = ω 1−2℘( z ω 1 ;1, τ ), ζ ( z;ω 1, ω 3 ) = ω 1−1ζ ( z ω 1 ;1, τ ), (8.5.3) σ ( z;ω 1, ω 3 ) = ω 1σ ( z ω 1 ;1, τ ).

*)

Выражение (8.4.22) можно рассматривать как определение дискриминанта кубического уравнения (8.4.19), и тогда, используя определитель Вандермонда, 1 1 1 d = γ 1 γ 2 γ 3 ≡ (γ 3 − γ 2 )(γ 3 − γ 1 )(γ 2 − γ 1 ),

γ 12 γ 22 γ 32 1

для

дискриминанта

D=

3 0 g2

0

g2 2

1

1 1 γ 1 γ 12

D = Δ⁄ 1 6 ≜ γ 1 γ 2 γ 3 1 γ 2 γ 22 , γ 12 γ 22 γ 32 1 γ 3 γ 32

с

1 g 2 2 3g 3 4 = ( g 23 − 27 g 32 ), что совпадает с (8.4.20). 16 2 3 g 3 4 g 22 8

учетом

(8.4.21),

получим


249

Здесь, как и ранее, ω 3 ω 1 = Ω 2 Ω1 = τ и Im(τ) > 0. Из соотношений (8.5.3) следует, что ℘, ζ и σ-функции Вейерштрасса можно рассматривать как функции двух переменных z/ω1 и τ. Заметим также, что, поскольку согласно (8.4.6), g2 = 60

∞

∑

/

T −4 ,

g3 = 140

∞

∑

/

−

T 6 , T = 2mω 1 + 2nω 3 ,

m,n =−∞

m,n =−∞

то из (8.5.1) и (8.5.2) следует, что ℘( λz; g2∗ , g3∗ ) = λ−2℘( z; g 2 , g3 ), ℘′( λz; g 2∗ , g 3∗ ) = λ−3℘′( z; g 2 , g 3 ),

ζ (λz; g2∗ , g3∗ ) = λ−1ζ ( z; g2 , g3 ), σ (λz; g2∗ , g3∗ ) = λσ ( z; g2 , g3 ), g 2∗ = g 2 / λ4 ,

(8.5.4)

g 3∗ = g 3 / λ6 .

Если в (8.5.4) выбрать λ = − i, z = iy (i2 = −1), то будем иметь ℘(iy; g2 , g3 ) = −℘( y; g2 , − g3 ), ℘′(iy; g2 , g3 ) = i℘′( y; g2 , − g3 ),

ζ (iy; g2 , g3 ) = −iζ ( y; g2 , − g3 ), σ (iy; g2 , g3 ) = iσ ( y; g2 , − g3 ),

(8.5.5)

так что в случае вещественных значений g2 и g3 на мнимой оси (z = iy) функции ℘′, ζ и σ принимают чисто мнимые значения, а эллиптическая ℘-функции Вейерштрасса остается вещественной величиной. 8.6. Теорема сложения Рассмотрим функцию F ( z1, z2 ) = ℘( z1 ) −℘( z2 ),

(8.6.1)

в которой z2 ≠ 2mω1 +2nω2— фиксированная величина. Согласно определению функции Вейерштрасса (8.1.15), эта функция в основном параллелограмме периодов имеет полюс второго порядка в точке z1 = 0, а также из (8.6.1) очевидно, что F(z1, z2) имеет простые (не кратные) нули в точках z1 = ± z2. Поэтому, как было показано в разделе 8.2, для F(z1, z2) справедливо представление вида (8.2.8) ℘( z1 ) −℘( z2 ) = const

σ ( z1 − z2 )σ ( z1 + z2 ) . σ 2 ( z1 )

(8.6.2)

2 Для определения постоянной умножим обе части (8.6.2) на z1 и, полагая z1 → 0, с учетом (8.1.15), (8.1.29) и того факта, что σ(z) ∼ z при z → 0 (см. комментарий перед формулами (8.4.13)) получим const = − 1 ⁄ σ 2(z2), так что

℘( z2 ) −℘( z1 ) =

σ ( z1 − z2 )σ ( z1 + z2 ) . σ 2 ( z1 )σ 2 ( z2 )

(8.6.3)

Вычисляя логарифмы от обеих частей (8.6.3) и определяя затем производную по z1 (то есть находя “логарифмическую производную”), согласно (8.1.27), будем иметь

250

Часть II. Аппарат специальных функций ℘′( z1 ) = ζ ( z1 − z2 ) + ζ ( z1 + z2 ) − 2ζ ( z1 ). ℘( z1 ) −℘( z2 )

(8.6.4)

Если теперь в функции (8.6.1) фиксировать z1 ≠ 2mω1 +2nω2, а производную вычислять по z2, то после нахождения выражения, аналогичного (8.6.4) (с точностью до замены z1 → z2, z2 → z1) и сложения его с (8.6.4), учитывая нечетность ζ-функции, получим *)

ζ ( z1 + z2 ) = ζ ( z1 ) + ζ ( z2 ) +

1 ℘′( z1 ) − ℘′( z2 ) . 2 ℘( z1 ) −℘( z2 )

(8.6.5)

Наконец, находя производные от обеих частей (8.6.5) последовательно по z1 и z2 и складывая одноименные части полученных в результате равенств, с учетом (8.1.19) и (8.4.8), окончательно будем иметь 2

1 ⎡℘′( z1 ) − ℘′( z2 ) ⎤ ℘( z1 + z2 ) = −℘( z1 ) −℘( z2 ) + ⎢ ⎥ . 4 ⎣ ℘( z1 ) −℘( z2 ) ⎦

(8.6.6)

Выражение (8.6.6) принято именовать формулой (или теоремой) сложения для ℘-функции Вейерштрасса. Из (8.6.6) легко определить значение ℘-функции при изменении ее аргумента на величину полупериода ω j ( j = 1,3) . Полагая в (8.6.6) z1 = z, z2 = ω1 и учитывая (8.4.15)(8.4.18), получим ℘( z + ω 1 ) =

[℘( z) − γ ][℘( z) − γ ] −℘( z) − γ 2

3

℘( z) − γ 1

1

,

или ℘( z + ω 1 ) = γ 1 +

2γ 12 + γ 2γ 3 − (γ 1 + γ 2 + γ 3 )℘( z) . ℘( z) − γ 1

(8.6.7)

Но, поскольку, как следует из (8.4.21), γ1 + γ2 + γ3 = 0, то есть 2γ 12 + γ 2γ 3 = γ 12 − γ 1 (γ 2 + γ 3 ) + γ 2γ 3 = (γ 1 − γ 2 )(γ 1 − γ 3 ), из (8.6.7) будем иметь ℘( z + ω 1 ) = γ 1 +

(γ 1 − γ 2 )(γ 1 − γ 3 ) . ℘( z) − γ 1

(8.6.8)

Аналогично для случаев z2 = ω2 и z2 = ω3 выводятся следующие выражения:

*)

Учитывая, что ℘(z) = − ζ ′(z), ℘′(z) = − ζ ′′(z), соотношение (8.6.5) иногда называют формулой сложения для дзета-функции Вейерштрасса.


251

(γ 2 − γ 3 )(γ 2 − γ 1 ) , ℘( z) − γ 2 (γ − γ 1 )(γ 3 − γ 2 ) ℘( z + ω 3 ) = γ 3 + 3 . ℘( z) − γ 3 ℘( z + ω 2 ) = γ 2 +

(8.6.9)

Получим теперь формулу удвоения аргумента ℘-функции. Для этого, используя тейлоровские разложения, учтем, что при z1 → z2: ⎡℘′( z1 ) − ℘′( z2 ) ⎤ ℘′′( z2 ) lim ⎢ , ⎥= z1 → z2 ℘( z ) −℘( z ) ℘′( z2 ) 1 2 ⎦ ⎣

где, согласно (8.4.7) и (8.4.8), 2

3

2

℘′ ( z2 ) = 4℘ ( z2 ) − g2℘( z2 ) − g3 , ℘′′( z2 ) = 6℘ ( z2 ) −

g2 . 2

Тогда при z1 = z2 = z из (8.6.6) получим искомое равенство 2

1 ⎡℘′′( z) ⎤ − 2℘( z). ℘(2 z) = ⎢ 4 ⎣ ℘′( z) ⎥⎦

(8.6.10)

Заметим также, что если выбрать в (8.6.6) z1 = x, z2 = ±iy (i2 = −1), так что x, y — действительные числа, то с учетом (8.5.4), (8.5.5) будем иметь 2

1 ⎡℘′ ( x) m i ℘ ′( y) ⎤ , ℘( x ± iy) = −℘( x) + ℘ ( y) + ⎢ 4 ⎣ ℘( x) + ℘ ( y) ⎥⎦

(8.6.11)

где ℘ ( y) = ℘( y; g2 , − g 3 ), ℘ ′( y) = ℘′( y; g2 , − g3 ).

Отсюда непосредственно следует, что функции ℘(x+iy) и ℘(x−iy) являются комплексно-сопряженными. В разделе 8.2 было установлено, что произвольная эллиптическая функция f(z), имеющая в основном параллелограмме периодов полюсы z = bm ( m = 1, M ) с главными частями Cm, sm C gm ( z) = m,1 +...+ , s z − bm ( z − bm ) m может быть представлена в виде (8.2.11): M sm −1

q +1

( −1) ( q 1) f ( z) = C0 + ∑ Cm,1ζ ( z − bm ) + ∑ ∑ Cm,q +1℘ − ( z − bm ), q! m=1 m=1 q =1 M

M

причем

∑C

m,1

= 0.

m=1

Но, ввиду полученного в настоящем разделе выражения (8.6.5),

252

Часть II. Аппарат специальных функций M

∑C

M

ζ ( z − bm ) = ζ ( z) ∑ Cm,1 + ℜ(℘,℘′) = ℜ(℘,℘′).

m,1

m=1

(8.6.12)

m=1

~ Далее через ℜ,ℜ1,..., а также ℜ1,..., ℜ1,... будем обозначать рациональные функции от своих аргументов. Согласно теореме (формуле) сложения для ℘-функции справедливы также следующие соотношения: M

∑C

℘( z − bm ) = ℜ q +1 (℘,℘′), q = 1, sm − 1,

m, q +1

m=1

дифференцируя обе части которых по z последовательно q − 1 раз, согласно (8.4.8), получим M ~ (8.6.13) ∑ Cm,q +1℘(q −1) ( z − bm ) = ℜq +1 (℘,℘′,...,℘(q) ) = ℜ q +1 (℘,℘′). m=1

Следовательно, на основании (8.6.12) и (8.6.13) заключаем, что произвольная эллиптическая функция f (z) выражается рационально через ℘(z) и ℘′(z) При этом, поскольку с учетом дифференциального уравнения (8.4.7), для произвольной натуральной степени n = 1, 2, ... 2n 2 n +1 [℘′( z)] = P3n , [℘′( z)] = ℘′( z) P3n , где P3n — полиномы степени (3n) относительно ℘(z), то любую рациональную функцию ℜ(℘,℘′) можно представить в виде ℜ(℘,℘′) =

A1 + ℘′ B1 . A2 + ℘′ B2

(8.6.14)

Здесь A1,2 и B1,2 — некоторые полиномы относительно ℘(z). Умножая числитель и знаменатель (8.6.14) на A2 − ℘′B2, будем иметь ℜ(℘,℘′) = ( A3 + ℘′ B3 ) A4 , 2 где A3 = A1 A2 − ℘′ B1 B2 ,

B3 = A2 B1 − A1 B2 ,

A4 = A22 − ℘′ 2 B22 — полиномы относитель-

но ℘(z), так как ℘′ 2 = 4℘3 − g2℘− g 3 . Таким образом, произвольная эллиптическая функция f(z) может быть представлена в виде f ( z) = ℜ1 (℘) + ℘′ ℜ 2 (℘), (8.6.15) причем, так как ℘(z) — четная, а ℘′(z), — нечетная функции (см. (8.1.16) и (8.4.14)), то f(z) = ℜ1(℘), когда f(z) — четная функция, и f(z) = ℘′ℜ2(℘) в случае, если f(z) — нечетная функция.


253

8.7. Периоды ℘-функции

Нелинейное дифференциальное уравнение (8.4.7) для ℘-функции Вейерштрасса инвариантно относительно изменения знака производной ℘′(z), так что оно представимо в виде *) 3

℘′( z) = ± 4℘ ( z) − g2℘( z) − g 3 .

(8.7.1)

Интегрируя уравнение (8.7.1) вдоль некоторой кривой L, не проходящей через полюсы функции ℘(z) и соединяющей две произвольные точки z0 и z1 комплексной плоскости, будем иметь: d℘( z) z1 − z0 = ± ∫ . 3 4℘ ( z) − g 2℘( z) − g3 L Полагая w0 = ℘(z0) и w1 = ℘(z1) , последнее выражение можно представить в виде интеграла вдоль кривой L′ (являющейся отображением L на плоскость w, задаваемую функциональным преобразованием w = ℘(z) комплексной плоскости z = x + iy): w1

z1 − z0 = ± ∫

w0

dw 3

4 w − g2 w − g3

При z0→0, согласно определению (8.1.15) ℘(z0) = w0 → ∞, поэтому из (8.7.2) следует, что w1

dw

z1 = ± ∫

4 w 3 − g2 w − g3

∞

.

(8.7.2) ℘-функции

Вейерштрасса,

.

(8.7.3)

Сходящийся несобственный интеграл (8.7.3) именуют эллиптическим интегралом первого рода в форме Вейерштрасса. Если теперь в (8.7.3) выбрать z1 = ω j ( j = 1,3), то для полупериодов (8.4.13) функции ℘(z) получим выражение γ

j

ω j = ±∫

∞

dw 3

4 w − g2 w − g3

,

(8.7.4)

в котором, согласно (8.4.16), γ j = ℘(ω j ), j = 1,3, а в качестве L′ следует брать соответствующие отображения кривых L, соединяющих z = 0 с точками z = ω j ( j = 1,3) . В разделе 8.4 было установлено, что если инварианты g2 и g3 функции Вейерштрасса w = ℘(z) являются отличными от нуля вещественными величинами, то либо Δ = g23 − 27 g32 > 0, (8.7.5) и тогда все корни уравнения *)

Поскольку, как было показано в разделах 8.1 и 8.4, ℘(z) является четной функцией, а ℘′(z) — нечетной, то замена в (8.7.1) переменной z на (−z) вызывает изменение знака правой части этого равенства.

254


4 w 3 − g2 w − g3 = 0

(8.7.6)

действительны, так что можно их представить в виде γ1 > γ2 > γ3 *), либо Δ < 0, и здесь корень γ2 = −2a — действительный, а два остальные — комплексно-сопряженные (см. (8.4.21) ): γ 1 = a + ib, γ 3 = a − ib (i 2 = −1). (8.7.7) Для определенности будем считать a > 0, b > 0. Предположим сначала, что Δ < 0, тогда, поскольку при w >γ1 выполняется неравенство **) 3 4 w − g2 w − g 3 > 0, то согласно (8.7.4) мы может положить γ1

ω1 = −∫

∞

∞

dw 3

4 w − g2 w − g3

=∫

γ1

dw 3

4 w − g2 w − g3

,

(8.7.8)

так что ω1= Ω1/2 будет, с учетом первого соотношения (8.4.21), действительным положительным числом. Для определения второго полупериода Ω2/2 = ω3 (см. (8.4.13)) обратимся к соотношению однородности (8.5.4) при λ = −i, z = iw: ℘( w; g2 , − g3 ) = −℘(iw; g2 , g3 ), i 2 = −1.

(8.7.9)

Обозначим периоды функции ℘ ( w; g 2 ,− g 3 ) через 2ω 1 и 2ω 3 . Корни уравнения 4 w 3 − g2 w + g3 = 0 , полученного заменой в (8.7.6) g3 на −g3, расположенные в порядке их убывания, согласно теореме Виета (8.4.21), будут уже равны γ 1 = −γ 3 , γ 2 = −γ 2 , γ 3 = −γ 1. Поэтому аналогично (8.7.8) будем иметь ∞

ω1 = − ∫

−γ 1

dw 3

4 w − g2 w + g3

, ω 1 > 0.

Но, как следует из (8.4.16) и (8.7.9), ℘( ±iω 1; g2 , g3 ) = − ℘ ( ±ω 1; g2 , g3 ) = −γ 1 = γ 3

( g2 = g2 , g3 = − g3 ),

(8.7.10)

так что, полагая в соответствии с (8.4.16), ω 3 = iω 1, получим ∞

ω3 = i ∫

−γ 3

*)

dw 3 4 w − g2 w + g3

.

(8.7.11)

Случай кратных корней, как будет показано в разделе 9.4, приводит к элементарным функциям. В случае γ1>γ2>γ3 (γ1>0) очевидно, что при w >γ1 справедливо условие

**)

4w3 − g2w− g3 = 4(w−γ1) (w−γ2) (w−γ3) > 0.


255

Таким образом, период Ω1=2ω1 является действительным положительным, а Ω2=2ω3 — чисто мнимым с положительной мнимой частью. Поэтому в случае Δ > 0 основной параллелограмм периодов ℘-функции Вейерштрасса является прямоугольником. Пусть теперь Δ < 0. Аналогично предыдущему можно определить *)

ω2 =

γ2

∫

∞

∞

dw 4 w 3 − g2 w − g3

dw

= −∫

4 w 3 − g2 w − g 3

γ2

.

Следовательно, ω2 будет действительным числом, причем, в соответствии с (8.4.13), ω2 < 0. Обращаясь далее также к функции ℘ ( w; g 2 , − g3 ) и сохраняя прежние обозначения, будем иметь ∞ dw ω2 = − ∫ , 3 4 w − g2 w + g3 −γ 2 то есть ω 2 будет действительным числом, причем ω 2 < 0. По определению полупериодов (8.4.13)

ω 1 + ω 2 + ω 3 = ω 1 + ω 2 + ω 3 = 0, при этом, согласно (8.7.10), ω 3 = iω 1, ω 1 = −iω 3 (i 2 = −1). Следовательно **),

ω 1 + ω 3 = −ω 2 , ω 1 − ω 3 = iω 2 .

(8.7.12)

~ = −ω , для периодов ℘-функции ВейТаким образом, вводя обозначения ω = −ω 2 , ω 2 ерштрасса Ω1 = 2ω1, Ω2 = 2ω3 получим выражения: ~ , 2ω = ω + iω ~, 2ω 1 = ω − iω 3

(8.7.13)

в которых ∞

ω=

∫

γ2

dw 3 4 w − g2 w − g3

~ = , ω

∞

∫

−γ 2

dw 3 4 w − g2 w + g3

(8.7.14)

— вещественные положительные величины. *)

В случае Δ < 0, когда γ1 = a + ib, γ2 = −2a , γ3 = a − ib (i2 = −1) имеем

4w 3 − g 2 w − g 3 = 4( w − γ 1 )( w − γ 2 )( w − γ 3 ) = 4[( w − a ) 2 + b 2 ]( w − γ 2 ),

так что при w > γ2 справедливо неравенство 4w3 − g2w− g3 > 0. **) Аналогично (8.7.10) имеем ℘(±iω 3 ; g 2 , g 3 ) = − ℘ (±ω 3 ; g 2 , g 3 ) = −γ 3 = γ 1 . Поэтому ω 1 = −iω 3 , так как, если бы ω 1 = +iω 3 , то из (8.7.12) следовало, что ω 2 = iω 2 , или, ввиду вещественности ω 2 и ω 2 , ω 2 = ω 2 = 0. Но тогда, согласно (8.4.13), Ω 1 = −Ω 2 , что невозможно, поскольку по определению периодов Im(Ω 2 Ω1 ) ≠ 0 (отношение периодов Ω 2 и Ω 1 не может быть вещественной величиной).

256


Для практических вычислений, как мы убедимся в дальнейшем, целесообразно представить полученные периоды (8.7.8), (8.7.11) и (8.7.13), (8.7.14) через функции полных эллиптических интегралов вида π /2

∫

K( k ) =

dϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ

0

(8.7.15)

,

где ϕ и k — действительные числа, причем 0 < k < 1. Определенный таким образом интеграл (8.7.15) называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Якоби *). Число k принято именовать модулем этого интеграла. Подстановкой t = sinϕ интеграл (8.7.15) легко приводится к нормальной форме Лежандра: 1

K( k ) =

dt

∫

2

2 2

(1 − t )(1 − k t )

0

.

Итак, обратимся к случаю (8.7.5), когда Δ > 0. Периоды ℘-функции в этом случае, согласно (8.7.8), (8.7.11) и (8.4.17), определяются в виде ~, 2ω 1 = 2ω , 2ω 3 = 2iω (8.7.16) где γ

∞

3 dw dw ~ ω=∫ , ω= ∫ . −∞ 2 (γ 1 − w)(γ 2 − w)(γ 3 − w) γ 1 2 ( w − γ 1 )( w − γ 2 )( w − γ 3 )

(8.7.17)

Так как γ1 > γ2 > γ3, то в указанных в (8.7.17) пределах интегрирования выражения, находящиеся под знаком радикала, принимают положительные значения. Подстановкой 2 w = γ 3 + (γ 1 − γ 3 ) t первое из выражений (8.7.17), с учетом того, что ω > 0, преобразуется к виду

ω=

1 γ1 −γ 3

1

dt

∫

γ − γ 3 2⎞ 2 ⎛ (1 − t )⎜ 1 − 2 t ⎟ γ 1 −γ 3 ⎠ ⎝

0

так что, вводя обозначение 2

,

γ 2 −γ 3 , γ 1 −γ 3

(8.7.18)

1 K ( k ), γ 1 −γ 3

(8.7.19)

k =

получим

ω=

*)

Иногда представление (8.7.15) называют нормальной тригонометрической формой полного эллиптического интеграла первого рода. Наряду с интегралом K(k) часто приходится рассматривать также интеграл K(k′), где k ′ = 1 − k 2 принято именовать дополнительным модулем для модуля k.


257

причем, ввиду неравенств γ1 > γ2 > γ3, 0 < k < 1. Аналогично, используя подстановку

γ 1 −γ 3

w=γ1−

t

2

,

для второго из выражений (8.7.17) найдем следующее искомое представление: 1

~= ω

K ( k ′),

γ 1 −γ 3

(8.7.20)

где k ′ = 1 − k 2 . Пусть теперь Δ < 0. Тогда, осуществляя в первом выражении (8.7.14) замену переменных вида w = γ 2 +ρt2, где, с учетом (8.7.6), γ 2 = −2a, ρ = (γ 2 − γ 1 )(γ 2 − γ 3 ) = ( 9a 2 + b 2 ) 1/2 , (8.7.21) находим ∞ 1 dt , ω= ∫ ρ 0 ⎛ ρ ρ 2⎞⎛ 2⎞ t ⎟ ⎜1 + t ⎟ ⎜1 + ⎝ γ 2 − γ 1 ⎠⎝ γ 2 − γ 3 ⎠ или, учитывая, что (см. (8.7.6)),

γ 2 − γ 1 = −3a − ib = ρ exp(iψ ), γ 2 − γ 3 = −3a + ib = ρ exp( −iψ ), (8.7.22)

⎛ b⎞ 2 ⎟ , i = −1, ⎝ 3a ⎠

ψ = arctg⎜ получим

Здесь

∞

1

ω=

ρ

[

∫ F (t)dt.

(8.7.23)

]

(8.7.24)

0

F (t ) = (1 + t 2 ) 2 − 4 k 2 t 2

−1/ 2

k 2 = sin 2 (ψ / 2).

,

∞

Поскольку интеграл

∫ F (t )dt

1

после подстановки t = 1/τ приводится к виду

1

∫ F (τ )dτ , то 0

из (8.7.23) будем иметь

ω=

1

2

dt

ρ∫

(1 + t )

2 2

0

. 2 2

− 4k t

Наконец, полагая t = tg(ϕ/2), получим

ω=

1

ρ

π /2

∫ 0

dϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ

,

258


так что 1

ω=

ρ

K ( k ).

(8.7.25)

Здесь, согласно (8.7.22), (8.7.24), k=

1 3γ 2 − , ρ = 9a 2 + b 2 . 2 4ρ

(8.7.26)

Для второго выражения (8.7.14) ~ = ω после замены переменных

∞

dw − γ 2 2 ( w + γ 1 )( w + γ 2 )( w + γ 3 )

∫

w = ρt2 − γ2

аналогично найдем следующее представление: ~= ω

1

ρ

K ( k ′),

(8.7.27)

где k′ = 1− k2 = 1+

3γ 2 , ρ = 9a 2 + b 2 . 4ρ

8.8. Поведение функции ℘(z) с действительными инвариантами В разделе 8.1 было показано (см. комментарий перед формулой (8.1.13)), что интеграл от эллиптической функции по периметру основного параллелограмма периодов равен нулю. Покажем теперь, что эллиптическая функция f(z) порядка n принимает в параллелограмме периодов n раз всякое конечное значение A. Для этого рассмотрим функцию Φ(z) = f(z) − A, в которой A — произвольное конечное число. Поскольку периоды и полюсы функции f(z) будут периодами и полюсами (той же кратности) функции Φ(z), то Φ(z) будет также (как и f(z)) эллиптической функцией n-го порядка. Поэтому согласно результатам раздела 8.2 в основном параллелограмме периодов функция Φ(z) будет иметь n нулей и n полюсов, то есть уравнение f(z) − A = 0 содержит n корней, а значит, функция f(z) принимает n раз любое конечное значение A. Соответствующее величине f(z) = A значение z будем называть в дальнейшем A-точкой. Таким образом, эллиптическая ℘-функция Вейерштрасса 2-го порядка в основном параллелограмме периодов П0,0 принимает всякое конечное значение A два раза. То есть для всякого A < ∞ в П0,0 существуют две точки (A-точки), в которых ℘(z) = A. Если A → ±∞, то указанные точки сливаются в одну — полюс O (кратности два), соответствующий z = 0 (рис. 32). При A = γj ( j = 1,3) , согласно (8.4.16), ввиду четности ℘функции, имеем двукратные точки полупериодов z = ±ωj (действительно, как следует из (8.4.8) и (8.4.15), ℘′(ωj) = 0, а в общем случае ℘′′(ωj) ≠ 0, j = 1,3) .


z'0

ω3

259

z0

Π 0,0

ω2

z0 O

z0 ω 1

z'0

z'0

Рис. 32. Предполагая, что A ≠ γj ( j = 1,3) и A ≠ ±∞, рассмотрим, как именно расположены A-точки каждой пары в основном параллелограмме П0,0. Ввиду четности ℘-функции ℘(− z) = ℘(z) так что, согласно (8.1.18), (8.4.13), ℘(2ω j − z) = ℘( z),

j = 1,3.

(8.8.1)

Это означает, что ℘(z) принимает одинаковые значения в точках, симметрично расположенных относительно полупериодов ωj ( j = 1,3) . То есть если точка z0 располагается внутри основного параллелограмма П0,0, то z0′ = 2(ω 1 + ω 3 ) − z0 , являясь второй Aточкой функции ℘(z), также будет находиться внутри П0,0 симметрично относительно центра основного параллелограмма периодов. Если же точка z0 находится на одной из сторон параллелограмма П0,0, то, как следует из (8.8.1), вторая A-точка z0′ = 2ω k − z0 ( k = 1,3) будет располагаться на той же стороне симметрично относительно соответствующего полупериода ωk (см. рис. 32). Рассмотрим более конкретно поведение ℘-функции (то есть характер изменения величины A) при изменении z ∈ П0,0 в очень важном для небесной механики случае вещественных инвариантов ℘-функции Вейерштрасса g2 и g3. Как было показано в предыдущем разделе, при положительном значении дискри1 ⎛ ⎞ минанта ⎜ D = Δ > 0⎟ характеристического уравнения (8.7.6) основной параллело⎝ ⎠ 16 грамм периодов П0,0 представляет собой прямоугольник со сторонами, равными ~ |, причем ω и ω ~ являются действительными положительными 2ω 1 = 2ω и |2ω 3 | =|2iω числами, i2 = −1. Представим П0,0 в виде четырех прямоугольников G1 — G4 (рис. 33а) и ~ ( z = x + iy) . обратимся сначала к прямоугольнику G1, для которого 0 ≤ x ≤ ω , 0 ≤ y ≤ ω Согласно (8.8.1), этому прямоугольнику не могут принадлежать (за исключением точек, являющихся его вершинами) никакие различные A-точки функции ℘(z), так что эта функция ℘(z) принимает различные значение в различных точках G1. Это означает, что ℘(z) отображает взаимнооднозначно и конформно G1 на некоторую область G1′ , причем ее граница является образом границы G1.

260


y

a)

Н 2w~

б)

F G4

B

C G1 O

v

E G2

A

g2 g1

g3

G3

2w

O

u

D x Рис. 33.

Покажем, что граница прямоугольника G1 отображается на действительную ось. В самом деле, при действительных значениях z = x, близких к нулю, доминирующим в разложении (8.4.2) функции ℘(z) является слагаемое 1/x2, поэтому при изменении 0 ≤ ( z = x) ≤ ω (y = 0), как следует из (8.4.2), (8.4.12) и (8.4.16), значение w =℘(z), оставаясь действительной величиной, убывает от +∞ до γ 1 = ℘(ω 1 = ω ). Если же z = iy, и значение y близко к нулю, то в разложении ℘(z), доминирует слагаемое −1/ y2, поэтому ~ ≥ y ≥ 0, функция при изменении z от точки C к 0 (см. рис. 33а), то есть когда ω w =℘(iy) будет, согласно (8.5.5), также действительной величиной, убывающей от ~ ) до −∞. γ 3 = ℘(ω 3 = iω Значения функций ℘(ω 1 + iy) и ℘( x + ω 3 ) , отвечающие сторонам |AB| и |BC| (рис. 33а), как непосредственно следует из (8.5.5), (8.5.6) и (8.6.9), также являются действительными величинами, причем, согласно (8.4.16), ℘(z) = γ2 в точке B, когда z = −ω2. Таким образом, мы показали, что при обходе контура прямоугольника G1 точка w = ℘(z) однократно описывает всю действительную ось, проходя последовательно значения ℘(ω1) = γ1 (когда z совпадает с точкой A), ℘(ω2) = γ2 (z→B), ℘(ω3) = γ3 (z→C). Так как граница прямоугольника G1 отображается на действительную ось и при этом сама область G1 при обходе в направлении O→A→B→C (чему соответствует изменение ℘(z) от +∞ до −∞) все время остается слева, то и область G1′ (являющаяся конформным отображением G1) должна располагаться слева при соответствующем обходе действительной оси от +∞ до −∞, то есть область G′ является нижней полуплоскостью на рис. 33б. Из (8.8.1) нетрудно видеть, что прямоугольник G3 (см. рис. 33а) также, как и G1, отображается на нижнюю полуплоскость на рис. 33б, а прямоугольники G2 и G4 — на верхнюю комплексную полуплоскость w = v + iu, v ≥ 0. Поскольку ℘(z) принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно полупериодов ω j ( j = 13 , ), то очевидно, что все действительные значения из интервала (γ1,∞) функция ℘(z) принимает по два раза на стороне |OD| основного параллелограмма Π0,0, то есть когда 0 ≤ x ≤ 2ω , y = 0. Аналогично значения из интервала (γ2,γ1) функция ℘(z) принимает по


261

~ , значения из интервала два раза на средней линии |AF|, то есть когда x = ω , 0 ≤ y ≤ 2ω ~ ) и, наконец, действительные значения из (γ3,γ2) — на отрезке [CE] ( 0 ≤ x ≤ 2ω , y = ω ~ . В остальных интервала (−∞,γ3) (γ3,γ2) — на стороне |OH|, то есть когда x = 0, 0 ≤ y ≤ 2ω точках основного параллелограмма периодов Π0,0 функция ℘(z), как функция второго порядка (принимающая любое конечное значение A лишь два раза), может принимать только комплексные значения. Обратимся теперь к случаю дискриминанта D < 0. В этом случае, согласно результатам предыдущего раздела, функция ℘(z) обладает парой комплексносопряженных периодов ~ , 2ω = ω + iω ~, 2ω 1 = ω − iω 3

~ где ω и ω — действительные положительные величины, причем 2ω2 ≜ − 2ω1 − 2ω 3 = −2ω . Поэтому здесь параллелограммы периодов будут являться ромбами (рис. 34а).

y

a)

ω∼

C G3 D G1 G2 G4

O

ω∼

б)

v

B − 2ω

γ1 x

γ2 O

u

A Рис. 34.

Согласно (8.4.2), (8.4.12), а также (8.6.9) и (8.5.5), при вещественных значениях инвариантов g2 и g3 функция ℘(z) принимает на диагоналях ромба |OB| и |AC| действительные значения. Рассуждения, аналогичные случаю D > 0, показывают также, что при изменении z = x в пределах 0 ≤ x ≤ 2ω (от точки O до точки B) функция ℘(z), являясь действительной, убывает от +∞ до γ2 = ℘(−ω2), а затем возрастает вновь до +∞. При этом, со~ ≤ y ≤ω ~ гласно (8.7.6), γ2 = −2a — действительная величина. Если же z = ω + iy и −ω (“движение” по диагонали |AC| от точки A до точки C), то функция ℘(z) сначала возрастает от −∞ = ℘(2ω1) до γ2 (точки D), а затем убывает до −∞ = = ℘(2ω3) (точка C). Таким образом, все действительные значения из интервала (γ2,∞) функция ℘(z) два раза принимает по диагонали |OB|, а из интервала (−∞,γ2) — на диагонали |AC|. При обходе контура треугольника ODA (G1), выделенного на рис. 34а, при движении из вершины O по стороне |OA| функция w =℘(z), как следует из (8.6.11), будет принимать комплексные значения в пределах от +∞ до ℘(ω1) = γ1 = a + ib (см. (8.7.6)), а затем те же значения, но уже в обратной последовательности. При последующем движении по катету |AD|, как было установлено выше, ℘(z) будет действительной величи-

262


ной, изменяющейся в интервале (−∞,γ2), а при движении по стороне |DO| треугольника G1 функция ℘(z) будет возрастать от γ2 до ∞. Следовательно, треугольник G1 отображается взаимнооднозначно и конформно на верхнюю полуплоскость w = u + iv (v ≥ 0) с разрезом, начинающимся от точки γ1 = a + ib (i2 = −1) до +∞ и показанным пунктиром на рис. 34б *). Из (8.8.1) непосредственно следует, что треугольник G3 (см. рис. 34а) отображается также, как и G1, а G2 и G4 отображаются на нижнюю полуплоскость, но с разрезом, идущим уже отγ3 = a − ib (i2 = −1). 8.9. Решение дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков Будем искать решение дифференциального уравнения вида 2

⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ = P( z), ⎝ dτ ⎠

(8.9.1)

в котором P(z) — полином четвертой степени P4 ( z) = a0 z 4 + 4a1 z 3 + 6a 2 z 2 + 4a 3 z + a 4

(8.9.2)

с действительными коэффициентами a l ( l = 0,4) . Прежде всего, рассмотрим частный случай, когда a0 = 0, то есть случай полинома третьей степени **) P3 ( z) = 4a1 z 3 + 6a 2 z 2 + 4a3 z + a 4 . (8.9.3) Переходя в этом случае от z к новой переменной w, так что z=

a2 ⎞ 1⎛ ⎜ w − ⎟, 2⎠ a1 ⎝

(8.9.4)

из (8.9.1), (8.9.3) получим уравнение 2

⎛ dw ⎞ 3 ⎜ ⎟ = 4 w − g2 w − g 3 , ⎝ dτ ⎠

(8.9.5)

где g2 = 3a 22 − 4a1a 3 ,

g3 = 2a1a2 a3 − a12 a 4 − a23 .

(8.9.6)

Но (8.9.5) совпадает с полученным ранее дифференциальным уравнением первого порядка (8.4.7) для функции Вейерштрасса w = ℘(z). Поэтому если ввести постоянную τ0 и по инвариантам (8.9.6) построить ℘-функцию Вейерштрасса, то решение уравнения *)

При движении по контуру треугольника G1 по направлению O→A→D→O сама область G1 все время остается слева, поэтому и образ G1′ (являющийся конформным отображением G ) должен располагать1

ся слева при соответствующем обходе действительной оси от −∞ до +∞ (A→D→O). **) Решение (8.9.1) при a0 = a1= 0, то есть в случае полинома 2-го порядка, как нетрудно видеть, выражается в элементарных функциях.


263 2

⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ = P3 ( z) , ⎝ dτ ⎠

(8.9.7)

с учетом (8.9.4), можно представить в следующем виде: z=

1 a1

a2 ⎤ ⎡ ⎢℘(τ − τ 0 ; g2 , g3 ) − 2 ⎥. ⎦ ⎣

(8.9.8)

Обратимся теперь к общему случаю (8.9.2), когда a0 ≠ 0. Осуществляя замену переменных a u z = p − 1 , τ −τ 0 = , (8.9.9) a0 a0 в которой τ0 по-прежнему постоянная, уравнение (8.9.1) преобразуем к виду 2

⎛ dp ⎞ 4 2 ⎜ ⎟ = p + 6 A1 p + 4 A2 p + A3 , ⎝ du ⎠ где

( = (a a

A1 = a0 a2 − a12 A3

3 0 4

)

a02 ,

(

A2 = a02 a3 − 3a0 a1a2 + 2a13

− 4a02 a1a3 + 6a0 a12 a2 − 3a14

)

(8.9.10)

)

a03 ,

a04 .

(8.9.11)

Для нахождения решения уравнения (8.9.10) воспользуемся формулой (теоремой) сложения (8.6.6) для ℘-функции Вейерштрасса: 2

1 ⎡℘′( z1 ) − ℘′( z2 ) ⎤ ℘( z1 ) +℘( z2 ) = ⎢ ⎥ −℘( z1 + z2 ), 4 ⎣ ℘( z1 ) −℘( z2 ) ⎦

(8.9.12)

которую при z1 = u, z2 = −v, с учетом четности ℘-функции и нечетности функции ℘′(z), представим в виде 2

1 ⎡℘′(u ) + ℘′( v ) ⎤ ℘(u ) − ℘(u − v ) = 2℘(u ) + ℘( v ) − ⎢ , 4 ⎣ ℘(u ) −℘( v ) ⎥⎦ или ℘(u ) − ℘(u − v ) =

R(u, v ) . 2[℘(u ) − ℘( v )]2

Здесь 1 R (u , v ) = 2[℘(u ) − ℘( v )]2 [2℘(u ) + ℘( v )] − [℘′(u ) + ℘′( v )]2 . 2 Учитывая, что R (u, v ) = [℘(u ) − ℘( v )][4℘2 (u ) − 2℘(u )℘( v ) − 2℘2 ( v )] −

− ℘′(u )[℘′(u ) + ℘′( v )] +

℘′ 2 (u ) − ℘′ 2 ( v ) , 2

(8.9.13)

264


или, согласно (8.4.7), (8.4.8),

R (u , v ) = ℘′′(u )[℘(u ) −℘( v )] − [℘′(u ) + ℘′( v )]℘′(u ), для формулы сложения (8.9.13) будем иметь: ℘(u ) − ℘(u − v ) = так что, полагая q=

1 d ⎡℘′(u ) + ℘′( v ) ⎤ , 2 du ⎢⎣ ℘(u ) − ℘( v ) ⎥⎦

1 ℘′(u ) + ℘′( v ) , 2 ℘(u ) − ℘( v )

(8.9.14)

(8.9.15)

получим 2

⎛ dq ⎞ 2 ⎜ ⎟ = [℘(u ) −℘(u − v )] , ⎝ du ⎠ или 2

⎛ dq ⎞ 2 ⎜ ⎟ = {[℘(u ) − ℘( v )] − [℘(u − v ) − ℘( v )]} . ⎝ du ⎠

(8.9.16)

Из формулы сложения (8.9.13) с учетом (8.9.15) следует, что [℘(u − v ) − ℘( v )] + [℘(u ) − ℘( v )] = q 2 − 3℘( v ).

(8.9.17)

С другой стороны, если в (8.9.12) положить z1 = v, z2 = −u (то есть формально осуществить замену u на v, а v — на u), то, проводя преобразования, аналогичные (8.9.13)(8.9.14), будем иметь ℘( v ) − ℘(u − v ) = то есть

℘′′( v )[℘( v ) −℘(u )] −℘′( v )[℘′( v ) + ℘′(u )] , 2[℘( v ) − ℘(u )]2

2[℘(u ) − ℘( v )][℘(u − v ) − ℘( v )] = ℘′′( v ) + 2q℘′( v ).

(8.9.18)

На основании (8.9.17), (8.9.18) тогда для правой части (8.9.16) получим [℘(u ) − ℘(u − v )]2 = [q 2 − 3℘( v )]2 − 2[℘′′( v ) + 2q℘′( v )]. Подставляя это выражение в (8.9.16) и учитывая, что, согласно (8.4.8), 2℘′′( v ) = 12℘2 ( v ) − g 2 , устанавливаем, что 2

⎛ dq ⎞ 4 2 2 ⎜ ⎟ = q − 6q ℘( v ) − 4q℘′( v ) + g 2 − 3℘ ( v ). ⎝ du ⎠

(8.9.19)

Сопоставляя полученное уравнение (8.9.19) с (8.9.10) и полагая g2 = A3 + 3℘2(v), а также определяя аргумент v так, чтобы ℘( v ) = − A1 , ℘′( v ) = − A2 ,

что возможно, если ℘-функцию, удовлетворяющую уравнению (8.4.7):

(8.9.20)


265

℘′ 2 ( v ) = 4℘3 ( v ) − g 2℘( v ) − g 3 , строить по инвариантам g2 = A3 + 3 A12 ,

g3 = A1 A3 − A22 − A13 ,

(8.9.21)

заключаем, что искомое решение уравнения (8.9.1), согласно (8.9.9) и (8.9.15), имеет вид: a 1 ℘′(u ) + ℘′( v ) z=− 1 + . (8.9.22) a 0 2 ℘(u ) − ℘( v ) Здесь u = a0 (τ − τ 0 ), а ℘-функция Вейерштрасса построена по инвариантам (8.9.21), определяемым через коэффициенты A j ( j = 1,3) , которые, в свою очередь, связаны с коэффициентами ai (i = 0,4) исходного полинома (8.9.2) выражениями (8.9.11). Для представления решения в функции от независимой переменной

τ =τ0 +u

a0

воспользуемся формулами однородности (8.5.4)

(

)

℘( z; g2 , g3 ) = λ2℘ λz; g 2 λ4 , g 3 λ6 ,

(

)

℘′( z; g2 , g 3 ) = λ3℘′ λz; g 2 λ4 , g 3 λ6 , в которых примем z = u, λ = a0−1/ 2 , тогда будем иметь

(

)

℘( u; g2 , g3 ) = a0−1℘ τ − τ 0 ; a02 g2 , a03 g3 , ℘′( u; g2 , g3 ) = a

−3/ 2 0

(

)

℘′ τ − τ 0 ; a g2 , a g3 . 2 0

3 0

Определяя теперь ℘-функцию по инвариантам G2 = a02 g2 , G3 = a03 g 3 ,

или, согласно (8.9.21), (8.9.11), G2 = a0 a4 − 4a1a 3 + 3a 22 , G3 = a 0 a 2 a 4 − a0 a32 + 2a1a 2 a 3 − a12 a4 − a 23 ,

(8.9.23)

для решения уравнения (8.9.1) получим следующее представление: z=−

a1 a 0−1/ 2 ℘′(τ − τ 0 ) + ℘′( s) + , a0 2 ℘(τ − τ 0 ) −℘( s)

(8.9.24)

где аргумент определяется уравнениями *) *)

Как уже отмечалось в разделе 8.7, из свойств ℘-функции следует, что определение аргумента s по первому условию (8.9.25) не однозначно, поэтому даже при заданных величинах инвариантов G2, G3 для однозначного определения s в основном параллелограмме периодов необходима информация о знаке производной ℘-функции.

266


a12 ℘( s) = − a 2 , ℘′( s) = a 0−3/ 2 3a 0 a1a 2 − a02 a 3 − 2a13 . a0

(

)

(8.9.25)

Решение в виде (8.9.24) будем называть первой формой Вейерштрасса. Если обозначить через z0 какой-либо корень уравнения P4(z) = 0, в котором полином P4(z) определяется в виде (8.9.2), то ряд Тейлора позволяет представить этот полином следующим образом: P4 ( z) = 4 B3 ( z − z0 ) + 6B2 ( z − z0 ) 2 + 4 B1 ( z − z0 ) 3 + B0 ( z − z0 ) 4 ,

(8.9.26)

где B0 = a0 ,

B1 = a0 z0 + a1,

B2 = a0 z02 + 2a1 z0 + a 2 ,

B3 = a0 z03 + 3a1 z02 + 3a2 z0 + a3 .

(8.9.27)

Учитывая полученное представление (8.9.26) и переходя от z к переменной w по формуле B3 B w= + 2, (8.9.28) z − z0 2 исходное уравнение (8.9.1) нетрудно привести к виду 2

⎛ dw ⎞ 3 ⎜ ⎟ = 4 w − g2 w − g3 . ⎝ dτ ⎠

(8.9.29)

Здесь g2 = 3B22 − 4 B1 B3 ,

g 3 = 2 B1 B2 B3 − B0 B32 − B23 .

(8.9.30)

Следовательно, для искомого решения, согласно (8.4.7), или (8.9.5), получим следующее выражение: z = z0 +

α , ℘(τ − τ 0 ) − β

(8.9.31)

где

α = a0 z03 + 3a1 z02 + 3a2 z0 + a3 , β = (a0 z02 + 2a1 z0 + a2 ) 2 , а ℘-функция построена по инвариантам (8.9.30), которые, как следует из (8.9.27), полностью совпадают с (8.9.23). Решение в виде (8.9.31) назовем второй формой Вейерштрасса. 8.10. Решение канонической системы второго порядка Рассмотрим достаточно важный для приложений случай канонической системы второго порядка (системы с одной степенью свободы), когда решение может быть получено в ℘-функциях Вейерштрасса. Будем искать решение автономной канонической системы

dq ∂ F = , dτ ∂ p

с гамильтонианом

∂F dp =− dτ ∂q

(8.10.1)


(

267

F = q 2 + p2

)

2

(

)

+ A q 2 + p 2 + Bq,

(8.10.2)

коэффициенты которого A ≠ 0, B ≠ 0. Поскольку гамильтониан F явно не зависит от τ, то (см. раздел 1.1) dF ∂ F dq ∂ F dp = + ≡ 0, dτ ∂ q dτ ∂ p dτ так что F является первым интегралом системы (8.10.1) F + u =0.

(8.10.3)

Стационарные решения системы (8.10.1), определяемые условиями

∂F ∂F = = 0, на∂q ∂ p

ходятся из системы алгебраических уравнений:

[

]

[

]

2q A + 2( q 2 + p 2 ) + B = 0, 2 p A + 2( q 2 + p 2 ) = 0.

(8.10.4)

Так как по исходному предположению B ≠ 0, из (8.10.4) следует, что *) p = 0, 4q3 + 2Aq + B = 0.

(8.10.5)

Число действительных корней кубического уравнения (8.10.5), как уже отмечалось в разделе 8.4, зависит от значения дискриминанта (см. (8.4.20)) Γ=−

(

)

1 8 A 3 + 27 B 2 . 16

(8.10.6)

При Γ < 0 вещественное решение одно (q1), а если Γ > 0, то таких решений три — q j ( j = 1,3) .

Обратимся теперь к поиску общего решения системы (8.10.1). С этой целью перейдем к комплексно-сопряженным переменным h1 = q − ip, h2 = q + ip (i 2 = −1).

(8.10.7)

Тогда интеграл (8.10.3), с учетом (8.10.2), примет симметричный вид 2

2

h1 + h2 + u = 0, 2

(8.10.8)

dh2 ∂F = −2i . ∂ h1 dτ

(8.10.9)

h1 h2 + Ah1h2 + B

а система (8.10.1) будет представима в виде: dh1 ∂F = 2i , ∂ h2 dτ

Если ввести далее обозначения

*)

В случае B = 0, как следует из (8.10.4) для стационарных решений получим условия: q = p = 0, q2 + p2 = − A/2, так что при A < 0 (и B = 0) стационарным решениям системы (8.10.1) отвечает окружность радиуса − A / 2 и точка начала координат (q = 0, p = 0).

268

Часть II. Аппарат специальных функций 2

B1 = h1 ,

B2 = Ah1 +

B , 2

B3 =

Bh1 + u, 2

(8.10.10)

то относительно переменной h2 интеграл (8.10.8) запишется следующим образом при этом

B1h22 + B2 h2 + B3 = 0,

(8.10.11)

∂F = 2 B1 h2 + B2 . ∂ h2

(8.10.12)

Определяя далее из (8.10.11) 2

− B2 ± B2 − 4 B1 B3 h2 = 2 B1

(8.10.13)

и подставляя это выражение в (8.10.12), будем иметь

∂F = ± B22 − 4 B1 B3 . ∂ h2

(8.10.14)

Таким образом, если возвести в квадрат первое уравнение (8.10.9), то, с учетом (8.10.10) и (8.10.14), окончательно получим следующее уравнение для канонической переменной h1: 2

⎛ dh1 ⎞ 3 2 ⎜ ⎟ = 4a1h1 + 6a2 h1 + 4a3h1 + a 4 , ⎝ dτ ⎠

(8.10.15)

где 2 2 2 ( 4u − A ), a3 = − AB, a4 = − B . 3 Но решение уравнения вида (8.10.15) было уже получено в предыдущем разделе, поэтому, согласно (8.9.8), имеем a1 = 2 B, a2 =

h1 = a1−1[℘(τ − τ 01 ) − a2 / 2].

(8.10.16)

Здесь ℘-функция Вейерштрасса определяется через инварианты (8.9.6) g2 = 3a22 − 4a1a3 ,

g3 = 2a1a2 a3 − a12 a4 − a23 .

Так как канонические переменные h1 и h2 входят в интеграл (8.10.8) симметрично, то сразу можно представить решение для h2 в виде: h2 = a1−1[℘(τ − τ 02 ) − a2 / 2].

(8.10.17)

Определим теперь постоянные τ01 и τ02. Из формулы (теоремы) сложения (8.6.11) для ℘-функции Вейерштрасса 2

1 ⎡℘′(τ ) m i ℘ ′ (τ 0 ) ⎤ ℘(τ ± iτ 0 ) = −℘(τ ) + ℘ (τ 0 ) + ⎢ ⎥ , 4 ⎣ ℘(τ ) + ℘ (τ 0 ) ⎦ где


269

℘ (τ 0 ) = ℘(τ 0 ; g2 ,− g3 ), ℘ ′(τ 0 ) = ℘′(τ 0 ; g2 ,− g3 ),

следует, что при действительных значениях переменной τ для комплексной сопряженности h1 и h2 (см. (8.10.7)) достаточно выполнение равенств R e(τ 01 ) = Re(τ 02 ) = 0, Im(τ 01 ) = − Im(τ 02 ),

то есть

τ 01 = iτ 0 , τ 02 = −iτ 0 (i 2 = −1).

(8.10.18)

Для определения τ0 формально будем считать, что переменная τ может принимать и чисто мнимые значения *). Тогда, устремляя τ → τ01, из (8.10.16) с учетом (8.4.2) получим h1 → −∞, а следовательно, согласно (8.10.13) и (8.10.10), h2 → 0. Поэтому из (8.10.17) и (8.10.18) находим, что ℘(2τ01) = a2/2, при этом, как следует из (8.4.7), (8.9.6) a12 и (8.10.15), ℘′( 2τ 01 ) = ±i . 2 Таким образом, с учетом свойства однородности (8.5.5) для функций Вейерштрасса, определим τ0 из условий **)

℘(2τ 0 ; g2 , − g3 ) = − Дискриминант (8.4.20)

a2 a2 , ℘′(2τ 0 ; g2 , − g3 ) = − 1 . 2 2

(

(8.10.19)

)

1 3 g2 − 27 g 32 16 ℘-функции Вейерштрасса на основании выражений (8.9.6), (8.10.15) нетрудно представить в виде: D=

[

]

D = B 4 256u 3 − 128 A2 u 2 + 16 A( A 3 + 9 B 2 ) u − B 2 (4 A3 + 27 B 2 ) .

(8.10.20)

При D > 0, обозначая корни характеристического уравнения (8.7.6) через γ1 > γ2 > γ3, а также учитывая, что ℘′( 2iτ 0 ) = i℘′(2τ 0 ; g 2 ,− g 3 ) и аргумент 2τ01= i2τ0 являются чисто мнимыми величинами, причем, согласно (8.4.7), получим *)

℘′ 2 ( 2τ 01 ) = 4℘3 (2τ 01 ) − g 2℘(2τ 01 ) − g 3 ,

Если τ принимает чисто мнимые значения, то согласно (8.10.1) и (8.10.7) переменные h1 и h2 уже не будут комплексно-сопряженными величинами, поскольку в этом случае при вещественных значениях коэффициентов A и B гамильтониана (8.10.2) переменная p может быть чисто мнимой величиной, а q — вещественной. В случае чисто мнимых значений τ постоянные τ01 и τ02формально также можно определить выражениями (8.10.18). **) Знак в правой части второго равенства (8.10.19) был выбран в соответствии с (8.4.3) так, чтобы ℘′ → −∞ при τ0 → 0 + ε (или B → ±∞). Решение (обращение) уравнений (8.10.19) будет рассмотрено в разделе 9.6. *) Условию 4℘3(2τ01) − g2 ℘ (2τ01) − g3 < 0, как нетрудно видеть, отвечают два неравенства: *)

− ∞ 0, max ψ 2 ( z) = M 2 < ∞, поэтому для достаточно больших n = N, учитывая, что |q| < 1 (см. (8.12.2)), имеем: 2N

q q 2 N ψ −2 q2N 2N = ≤ ≤ M3 q , 2N 2 2N 2N −2 ψ −q 1− q ψ M1 − q

2N

q q 2 Nψ 2 2N ≤ −1 ≤ M3 q . 2N 2 2N 1− q ψ M2 − q

И следовательно, ряд (8.13.13) мажорируется сходящимся рядом ∞

∑2M

2n

3

q ,

n= N

⎧ 1 ⎫ 1 2N , −1 в котором M 3 = max⎨ ⎬, M = max| q| , что и обусловливает абсолют⎩ M1 − M M 2 − M ⎭ ную сходимость ряда (8.13.13). Для значений z, расположенных в полосе | q 2 | 0, так что все величины γ i ( j = 1,3) являются действительными величинами, тогда, выбирая в (8.14.1) j = 1, с учетом (8.14.5)-(8.14.7), для ℘-функции Вейерштрасса будем иметь следующее представление: 2

⎡ Θ ( z Ω 1 ; q) ⎤ ℘( z) = γ 1 + (γ 1 − γ 2 )(γ 1 − γ 3 ) ⎢ 2 ⎥ . ⎣ Θ 1 ( z Ω 1 ; q) ⎦ Здесь, согласно (8.4.13), (8.7.18) и (8.7.19),

ω1 =

(8.14.8)

γ 2 −γ 3 K( k ) 1 Ω1 = , k= , 2 γ 1 −γ 3 γ1 −γ 3

⎡ ω ⎤ а как следует из (8.1.5), (8.12.2), q = exp ⎢iπ 3 ⎥ (i 2 = −1), или, с учетом (8.7.16), ⎣ ω1 ⎦ (8.7.20), ⎡ K (k ′) ⎤ 2 (8.14.9) q = exp ⎢− π ⎥, k ′ = 1 − k , K ( k ) ⎣ ⎦ π /2

где K( k ) =

∫

dϕ

— полный эллиптический интеграл первого рода. 1 − k 2 sin 2 ϕ Поскольку, согласно формуле бинома Ньютона, 1 1⋅ 3 4 (1 − k 2 sin 2 ϕ ) −1/2 = 1 + k 2 sin 2 ϕ + k sin 4 ϕ +..., 2 2⋅4 или ∞ (2n − 1)!! 2 n 2 n k sin ϕ , (1 − k 2 sin 2 ϕ ) −1/2 = 1 + ∑ n =1 ( 2n)!! 0

*)

Для вывода соотношений (8.14.7) необходимо в (8.14.1) последовательно выбрать z = ω1, j = 3, а также z = ω2 = −(Ω1 +Ω2)/2, j = 3 и воспользоваться затем представлением (8.14.5) и результатами, приведенными в таблице 2. В (8.14.6) и (8.14.7), согласно (8.7.8) и (8.7.13), (8.7.14), предполагается, что Re(ω1) > 0.

284


то, учитывая, что (см. (6.3.14)-(6.3.15)): π /2

∫ sin

2n

ϕ dϕ =

0

( 2n − 1)!! π ( 2n)!! 2

( n = 1, 2,...),

получим следующее разложение в ряд по степеням модуля k полного эллиптического 2 ∞ ⎡ (2n − 1)!!⎤ 2 n ⎫⎪ π ⎧⎪ интеграла K( k ) = ⎨1 + ∑ ⎢ k ⎬, то есть 2 ⎪ n=1 ⎣ (2n)!! ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ K( k ) =

π⎡

2 2 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1⋅ 3 ⎞ 4 + 1 + k ⎢ ⎜ ⎟ ⎟ k +...⎥. ⎜ ⎝ 2 ⋅ 4⎠ 2 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

(8.14.10)

Данное разложение, как нетрудно видеть, сходится при k < 1 *). Если γ2 < 0, то ввиду того, что γ1 + γ2 + γ3 = 0 и γ1 > γ2 > γ3 (см. разделы 8.4 и 8.7), имеем: γ −γ 3 γ 2 −γ 3 1 2 k = 2 < < . 2 γ 1 −γ 3 −2γ 3 В этом случае, как следует из (8.14.9) и (8.14.10), q < exp(−π ) ≈ 0,0432, так что ряды (8.12.14) для тета-функций Якоби сходятся достаточно быстро. Поэтому целесообразно сводить все вычисления к нахождению значений функций Вейерштрассе при модуле k2 < 1/2. Если k2 > 1/2, то следует обратиться к унимодулярным преобразованиям, рассмотренным в разделе 8.3, где было показано, что для периодов Ωj (j =1, 2) или полупе1 1 риодов ω 1 = Ω1 , ω 3 = Ω 2 преобразования вида 2 2 ⎛ ω 1′ ⎞ ⎛ω ⎞ (8.14.11) ⎜ ⎟ = A⎜ 1 ⎟ , ⎝ ω ′3 ⎠ ⎝ω 3 ⎠ где α β⎞ A = ⎛⎜ ⎟ , det( A) = 1, δ⎠ ⎝ε не изменяют значений всех функций Вейерштрасса: ℘(z), ζ(z), σ(z). При этом, согласно (8.3.1), (8.3.2), множество точек T = 2mω1 + 2nω3 эквивалентно множеству T′ = 2m′ω′1 + 2n′ω′3 где m, m′ и n, n′ — целые числа, так что, как следует из (8.4.6), ин1 варианты g2, g3 и дискриминант D = ( g23 − 27 g 32 ) характеристического уравнения 16 (8.4.19) не изменяются при унимодулярных преобразованиях (8.14.11). Нетрудно также видеть, что при данных преобразованиях в величинах (8.4.16)

γ j = ℘(ω j ), *)

j = 1,3

Еще одно эффективное для вычислений представление полного эллиптического интеграла первого рода приведено в разделе 10.7.


285

могут быть лишь перестановки, поскольку они являются корнями инвариантного уравнения 4w3 − g2w − g3 = 0. Результаты некоторых унимодулярных преобразований (8.14.11), построенных на основе базисных преобразований (8.3.8) S = ⎛⎜ 1 ⎝1

0⎞⎟ , Q = ⎛⎜ 0 1⎠ ⎝ −1

1⎞⎟ , 0⎠

представлены с учетом (8.4.13), (8.6.8) и (8.6.9) в таблице 3 *) Таблица 3 Преобразования

ω 1′

ω ′3

γ 1′

γ ′2

γ ′3

S

ω1

ω1+ω3

γ1

γ3

γ2

Q

ω3

−ω1

γ3

γ2

γ1

SQS

ω1+ω3

ω3

γ2

γ1

γ3

SQSQ

−ω1+ω3

−ω1

γ2

γ3

γ1

Очевидно, что преобразованию периодов (8.14.11) отвечает преобразование параметра τ = ω3/ω1 следующего вида: ε + δτ τ′ = . (8.14.12) α + βτ Определим теперь изменения тета-функций Якоби (8.12.13), (8.12.14) при преобразованиях вида (8.14.11). Согласно (8.13.6), (8.12.14) и (8.12.2) ⎡ η z2 ⎤ ⎞ Θ ′ (0) ⎛ z Θ1 ⎜ ;τ ⎟ = 1 σ ( z)exp ⎢− 1 ⎥, 2ω 1 ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎣ 2ω 1 ⎦ где η1 = ζ(ω1), τ = −

i

π

(8.14.13)

2

ln( q), i = −1. Учитывая выражение (8.4.22) для дискриминанта D = (γ 1 − γ 2 ) 2 (γ 1 − γ 3 ) 2 (γ 2 − γ 3 ) 2

(8.14.14)

и представления (8.14.6), (8.14.7), будем иметь 3

4

⎛ π ⎞ 2 2 2 D =⎜ ⎟ Θ 0 (0)Θ 2 (0)Θ 3 (0), ⎝ 2ω 1 ⎠

или, на основании (8.14.5),

*)

В соответствие со свойствами матриц последовательное применение преобразований SQSQ к вектору⎛ω ⎞ строке ω = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ предполагает выполнение сначала преобразования Q, затем S, далее Q, и, наконец, S⎝ω 3 ⎠ преобразования.

286


π [Θ1′ (0)]2 . 3 (2ω 1 )

D=

(8.14.15)

Поэтому из (8.14.13)-(8.14.15) получим ⎞ ⎛ z Θ1 ⎜ ;τ ⎟ = ⎝ 2ω 1 ⎠

⎡ η z2 ⎤ 1/ 8 D σ ( z ) exp ⎢− 1 ⎥. π ⎣ 2ω 1 ⎦

2ω 1

(8.14.16)

Преобразование (8.14.11) приводит к периодам 2ω 1′ = 2(αω 1 + βω 3 ), 2ω ′3 = 2(εω 1 + δω 3 ),

и поскольку при этом дискриминант D, а также σ-функция Вейерштрасса, как было показано в разделе 8.3, не изменяются, то ⎡ η1′ z 2 ⎤ D σ ( z ) exp ⎢− ⎥. π ⎣ 2ω 1′ ⎦

2ω 1′

⎞ ⎛ z Θ1 ⎜ ; τ ′⎟ = ⎝ 2ω 1′ ⎠

1/ 8

(8.14.17)

z (2ω 1 ) . 2ω 1′ α + βτ После деления друг на друга одноименных частей равенств (8.14.17) и (8.14.16), очевидно, будем иметь:

Здесь

z

=

⎡ ⎛ η ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z ω 1′ η′ ⎞ ⎤ Θ1 ⎜ ; τ ′⎟ = Θ 1 ⎜ ;τ ⎟ C exp ⎢ z 2 ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎥, ω1 ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎝ 2ω 1′ ⎠ ⎣ ⎝ 2ω 1 2ω 1′ ⎠ ⎦

(8.14.18)

1/ 8 где ω 1′ ω 1 = α + βτ , а ввиду многозначности величины D в общем случае

C=

(

8

D

8

)

D ′ ≡/ 1.

Поскольку, как следует из (8.1.22),

ζ ( z + 2mω 1 + 2nω 3 ) = ζ ( z + nΩ 2 ) + 2mη 1 = ζ ( z) + 2mη 1 + 2nη 2 ,

(8.14.19)

где m и n — целые числа, η2 = ζ(Ω2/2), Ω2 = 2ω3 *), то, полагая в (8.14.19) z = −mω1 −nω3, а затем, согласно (8.3.4), m = α и n = β, будем иметь η 1′ = ζ (ω 1′ ), то есть

ζ (αω 1 + βω 3 ) = ζ ( −αω 1 − βω 3 ) + 2(αη1 + βη 2 ), так что, с учетом нечетности ζ-функции, получим:

η 1′ = αη 1 + βη 2 .

(8.14.20)

Следовательно, учитывая соотношение Лежандра (8.1.24), устанавливаем, что

η1 η1′ β (η1ω 3 − η 2ω 1 ) π iβ = = , i 2 = −1. − ω 1 ω 1′ ω 1ω 1′ 2ω 1ω 1′

*)

Так как , согласно (8.4.13), ω1 = Ω1/2, ω2 = −Ω1/2 − Ω2/2, ω3 = Ω2/2, то возможны также следующие обозначения: η1 = ζ (ω1 ), η 2 = ζ (ω 2 ), η3 = ζ (ω 3 ), то есть η 2 = ζ (Ω 2 / 2) = η 3 .


287

Таким образом, обозначая через θ =

z

и θ′ =

2ω 1

z 2ω 1′

, из (8.14.18) приходим к

следующему соотношению: ⎡ πiβ 2 ⎤ θ ⎥Θ 1 (θ ;τ ). Θ 1 (θ ′;τ ′) = C α + βτ exp ⎢ ⎣ α + βτ ⎦

(8.14.21)

Для получения явного выражения для множителя C продифференцируем обе части (8.14.21) по z и, полагая далее z = 0, будем иметь: C=

ω 1 / ω 1′ Θ 1′ (0;τ ′) , α + βτ Θ 1′ (0;τ )

но, согласно (8.12.2) и (8.12.8), ∞ dΘ 1 ( 0;τ ) 1/ 4 2n 3 = Θ 1′ ( 0;τ ) = 2πq ∏ (1 − q ) , dθ n =1

так что ( q ′) C = (α + βτ )

1/ 4

−3/ 2

q

1/ 4

∞

∏ (1 − q ′ n =1 ∞

∏ (1 − q

2n 3

)

.

(8.14.22)

2n 3

)

n =1

Здесь q = exp[iπτ], q′ = exp[iπτ′], а τ′ определяется (8.14.12). Преобразования остальных тета-функций Якоби (Θ2, Θ3, Θ0) легко могут быть получены из (8.14.21) на основании выражений (8.12.7). Обратимся теперь непосредственно к базисным преобразованиям S и Q. Для первого из них, как следует из (8.4.11)-(8.14.12), τ′ = 1 +τ и ω 1′ = ω 1 , поэтому, согласно (8.14.21), (8.14.22), имеем Θ 1 (θ ;τ + 1) = CΘ 1 (θ ;τ ). Поскольку при этом q′ = exp[iπ(1+τ)] = −q, или ( q ′) 1/4 = q 1/4 exp(iπ / 4), то из (8.14.22) следует, что C = exp(iπ/4). Если теперь воспользоваться соотношениями (8.12.7) (или результатами таблицы 2), согласно которым 1 1 τ ⎞ ⎛ iπτ Θ 2 (θ ;τ ) = Θ 1 (θ + ;τ ), Θ 3 (θ ;τ ) = exp ⎜ + iπθ ⎟ Θ 1 (θ + + ;τ ), ⎠ ⎝ 4 2 2 2 πi ⎞ τ ⎛ iπτ + iπθ − ⎟ Θ 1 (θ + ;τ ), Θ 0 (θ ;τ ) = exp ⎜ ⎝ 4 2⎠ 2

(8.14.23)

то для S-преобразования, с учетом результатов, представленных в таблице 2, окончательно получим: Θ 1 (θ ;τ + 1) = exp(iπ / 4)Θ 1 (θ ;τ ), Θ 2 (θ ;τ + 1) = exp(iπ / 4)Θ 2 (θ ;τ ), Θ 3 (θ ;τ + 1) = Θ 0 (θ ;τ ), Θ 0 (θ ;τ + 1) = Θ 3 (θ ;τ ).

(8.14.24)

288


1⎞⎟ отвечает, согласно (8.14.12), переСоответственно, преобразованию Q = ⎛⎜ 0 ⎝ −1 0⎠ ход от τ к τ′ = −1/τ, так что q′ = exp[−iπ /τ]. Учитывая, что C8 = D⁄D′ = 1 не зависит от τ (а поэтому и величина C также не должна зависеть от значения τ), то, полагая в (8.14.22) τ = i, а следовательно, q′ = q = exp(−π), найдем, что C = i−3/2. Обращаясь далее к (8.14.21), (8.14.23) и результатам, приведенным в таблицах 2 и 3, для Q-преобразования получим *): 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Θ 1 ⎜ θ / τ ;− ⎟ = i −1 A(θ ;τ )Θ 1 (θ ;τ ), Θ 2 ⎜θ / τ ;− ⎟ = A(θ ;τ )Θ 0 (θ ;τ ), ⎝ ⎝ τ⎠ τ⎠ 1⎞ ⎛ Θ 3 ⎜θ / τ ;− ⎟ = A(θ ;τ )Θ 3 (θ ;τ ), ⎝ τ⎠ где

1⎞ ⎛ Θ 0 ⎜θ / τ ;− ⎟ = A(θ ;τ )Θ 2 (θ ;τ ), ⎝ τ⎠

(8.14.25)

⎡ iπ ⎤ A(θ ; τ ) = i −1/2 τ exp ⎢ θ 2 ⎥. ⎦ ⎣τ

Возвращаясь теперь к вычислению ℘-функции Вейерштрасса при k2 > 1/2 и D > 0, r r ⎛ω ⎞ r из (8.14.8), переходя от вектора основных полупериодов ⎜ 1 ⎟ = ω к вектору ω ′ = Qω , ⎝ω 3 ⎠ то есть реализуя Q-преобразование, с учетом (8.12.2) и (8.14.25), будем иметь: 2

⎡ Θ 0 (θ ∗ ; q ∗ ) ⎤ . ℘( z) = γ 1 − (γ 1 − γ 2 )(γ 1 − γ 3 ) ⎢ ∗ ∗ ⎥ ⎣ Θ 1 (θ ; q ) ⎦

(8.14.26)

Здесь, согласно (8.7.16) и (8.7.20),

θ∗ =

z iK( k ′) θ = , ω3 = , k ′ = 1 − k 2 , i 2 = −1, τ 2ω 3 γ 1 −γ 3

(8.14.27)

а для параметра q* = exp[−iπ /τ], то есть ⎡ ⎡ ω ⎤ K( k ) ⎤ ∗ q = exp ⎢−iπ 1 ⎥ = exp ⎢−π ⎥, ω3⎦ ⎣ K ( k ′) ⎦ ⎣

(8.14.28)

в рассматриваемом случае k2 > 1/2, как следует из (8.14.28) и (8.14.10), уже выполняется неравенство q* < exp(−π), так что фактически вычисления в (8.14.26), (8.14.27) будут 2 производиться по дополнительному модулю k ′ < 1 / 2. Пусть теперь D < 0. В этом случае, как было установлено в разделе 8.7,

γ 1 = a + ib, γ 2 = −2a, γ 3 = a − ib, ~ ~ ω − iω ω + iω ω1 = , ω3 = , i 2 = −1, 2

*)

(8.14.29)

2

В (8.14.25) было учтено, что, согласно (8.12.13), (8.12.14) функции Θ0(θ), Θ2(θ) и Θ3(θ) являются чет-

ными, а Θ1(θ) — нечетная функция.


289

~ определяются из (8.7.25)-(8.7.27). Полагая в (8.14.1) j = 2 и учитыа величины ω и ω вая (8.14.5)-(8.14.7), будем иметь: 2

⎡ ⎛ z ⎞⎤ ; q⎟ ⎥ ⎢ Θ3 ⎜ ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎥ ℘( z) = γ 2 + (γ 1 − γ 2 )(γ 2 − γ 3 ) ⎢ . ⎢ ⎛ z ⎞⎥ ; q⎟ ⎥ ⎢ Θ1 ⎜ ⎢⎣ ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎥⎦

(8.14.30)

~⎤ ⎡ ω + iω Здесь непосредственно вычисление параметра q = exp ⎢iπ ~ ⎥⎦ не является целесо⎣ ω − iω образным. В этом случае для упрощения вычислений следует применить последовательно унимодулярные преобразования SQS, тогда, согласно результатам таблицы 3, мы перейдем к периодам ~ 2ω ′ = 2ω , 2ω ′ = ω + iω 1

и новому параметру

то есть

3

~⎤ ~ ⎞ ω ⎛ iπ ⎡ ω + iω exp = − q 0∗ = exp ⎢iπ π ⎟, ⎜ ⎝2 2ω ⎥⎦ 2ω ⎠ ⎣ ~⎞ ⎛ πω q0∗ = i q$ , q$ = exp⎜ − ⎟, ⎝ ω ⎠

(8.14.31)

а величина q$ , как следует из (8.7.25)-(8.7.27), определяется аналогично (8.14.9): ⎛ K ( k ′) ⎞ q$ = exp⎜ −π ⎟, ⎝ K (k ) ⎠ но с модулем k, равным *) k=

1 3γ 2 − , ρ = 9a 2 + b 2 . 2 4ρ

(8.14.32)

Выражение для ℘-функции Вейерштрасса (8.14.30) при SQS преобразованиях, согласно (8.14.24), (8.14.25) и (8.14.29), примет следующий вид: 2

⎡ ⎛ z ∗⎞ ⎤ ⎢ Θ 2 ⎜⎝ 2ω ; q 0 ⎟⎠ ⎥ ⎥ . ℘( z) = γ 2 + ρ ⎢ ⎢ ⎛ z ∗⎞ ⎥ ⎢ Θ 1 ⎜⎝ 2ω ; q 0 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(8.14.33)

Если γ2 > 0, то есть когда, согласно (8.14.32), k2 > 1/2, применим к (8.14.30) последовательно SQSQ преобразования, тогда на основании (8.14.24), (8.14.25) и результатов, представленных в таблице 3, для ℘-функции получим:

*)

В случае γ2 > 0, как следует из (8.14.32), k2 < 1/2.

290


⎡ ⎛ z ∗⎞ ⎤ ⎢ Θ 2 ⎜⎝ 2iω ~ ; q1 ⎟⎠ ⎥ ⎥ . ℘( z) = γ 2 − ρ ⎢ ⎢ ⎛ z ∗⎞ ⎥ ~ ; q1 ⎟⎠ ⎥ ⎢ Θ 1 ⎜⎝ 2iω ⎣ ⎦

(8.14.34)

Здесь ⎡ ω1 ⎤ ∗ =i q q1 = exp ⎢−iπ ω 3 − ω 1 ⎥⎦ ⎣

и, как следует из (8.7.25) и (8.7.27), для параметра ⎡ K( k ) ⎤ ⎛ ω⎞ q = exp ⎜ −π ~ ⎟ = exp ⎢−π ⎥ ⎝ ω⎠ ⎣ K ( k ′) ⎦

(8.14.35)

аналогично (8.14.28) будем уже иметь q < exp( −π ) , что обеспечит достаточно быструю сходимость рядов для функций Якоби Θ1(θ) и Θ2(θ). Для вычисления значений производной ℘′(z) обратимся к дифференциальному уравнению (8.4.7) для ℘-функции Вейерштрасса, которое с учетом (8.4.18), представимо в виде *) ℘′ 2 ( z) = 4[℘( z) − γ 1 ][℘( z) − γ 2 ][℘( z) − γ 3 ].

(8.14.36)

Если далее воспользоваться соотношениями (8.13.9) и (8.14.5) то из (8.14.36) получим: ⎡ 2π Θ ′ 2 (0)Θ 0 ( z Ω1 )Θ 2 ( z Ω1 )Θ 3 ( z Ω1 ) ⎤ ℘′ ( z ) = ⎢ 3 1 ⎥ . Θ13 ( z Ω1 ) ⎢⎣ Ω1 ⎥⎦ 2

2

[

(8.14.37)

]

Но согласно (8.4.3), lim z 3℘′( z) = −2, поэтому из (8.14.37) с учетом (8.14.5) и (8.13.6) z→ 0

будем иметь

**)

℘′( z) = −

2πΘ 1′ 2 ( 0)Θ 0 ( z Ω1 )Θ 2 ( z Ω1 )Θ 3 ( z Ω1 )

Последнее выражение упрощается, 2 D1/ 4 = πΩ 1−3 [Θ 1′ ( 0)] , тогда

Ω13Θ 13 ( z Ω1 )

если

℘′( z) = −2 D1/4

*)

использовать

Θ 0 (θ )Θ 2 (θ )Θ 3 (θ ) Θ 13 (θ )

,

.

соотношение

(8.14.38) (8.14.15):

(8.14.39)

По известному значению ℘(z) абсолютная величина производной ℘-функции Вейерштрасса может быть непосредственно определена из выражения (8.14.36): ℘′( z ) = 2 (℘( z ) − γ 1 )(℘( z ) − γ 2 )(℘( z ) − γ 3 ) .

В (8.14.38) учтено, что, согласно (8.14.5) и (8.13.6), имеем при z → 0 ℘′2(0) → 4/σ6(0), но как показано в разделе 8.4, σ(z) ∼z при z → 0, так что ℘′2(z) ∼ 4/z6 при z → 0.

**)


291

где θ = z ( 2ω 1 ), D = (γ 1 − γ 2 ) 2 (γ 1 − γ 3 ) 2 (γ 2 − γ 3 ) 2 . Полупериод ω1 и параметр q (входящий в выражения для тета-функций) в случае D > 0 и k2 < 1/2 определяются выражениями (8.14.8)-(8.14.9). В случае же k2 > 1/2 целесообразно применить Q-преобразование, тогда на основании (8.14.25) и данных таблицы 3 будем иметь ℘′ ( z) = −2iD

1/ 4

(

) ( ) ( Θ (θ ; q )

Θ 0 θ ∗ ; q∗ Θ 2 θ ∗ ; q∗ Θ 3 θ ∗ ; q∗ 3 1

∗

∗

).

(8.14.40)

⎡ ω ⎤ ∗ Здесь θ = z ( 2ω 3 ) и q ∗ = exp ⎢−iπ 1 ⎥ определяются (8.14.27), (8.14.28). ω3⎦ ⎣ Если D < 0, то обращаясь к SQS-преобразованиям из (8.14.39) получим

℘′( z) = 2iD где

θ = z 2ω ,

а параметр

1/ 4

(

∗

) ( ) ( Θ (θ ; q ) ∗

∗

Θ 0 θ ; q0 Θ 2 θ ; q 0 Θ 3 θ ; q0 3 1

⎡ ω3 ⎤ ∗ q0 = exp ⎢iπ ⎥ ⎣ ω1 + ω3 ⎦

∗ 0

),

(8.14.41)

определяется представлениями

(8.14.31)-(8.14.32). Наконец, в случае k2 > 1/2 (и D < 0) последовательное применение к (8.14.39) SQSQ-преобразований позволяет получить следующее выражение для производной ℘-функции Вейерштрасса: ~ ~ ~ Θ 0 θ ; q1∗ Θ 2 θ ; q1∗ Θ 3 θ ; q1∗ 1/ 4 ℘′( z) = −2 D (8.14.42) , ~ Θ 13 θ ; q1∗ ~ ~ ), q ∗ = i q , а величина ω ~ и параметр q определяются, соответств котором θ = z ( 2iω 1 венно, (8.7.27) и (8.14.35).

(

) ( (

) ( )

)

8.15. Вычисление дзета- и сигма- функций Получим сначала удобные для вычислений преставления дзета-функции Вейерштрасса через быстро сходящиеся ряды тета-функций Якоби. Так, при D > 0 и k2 < 1/2 из (8.13.7) сразу находим для ζ(z) требуемое выражение *).

ζ ( z) =

η1 1 Θ1′ ( z (2ω )1 ; q ) z+ . 2ω 1 Θ1 ( z (2ω 1 ); q ) ω1

(8.15.1)

Здесь основной полупериод ω1 и параметр q определяются (8.14.8)-(8.14.9), а для величины η1 = ζ(ω1), согласно (8.13.21), имеем представление

η1 = *)

∞ π2 ⎡ q 2n ⎤ . 1 − 24 ⎢ ∑ 2n 2 ⎥ 12ω 1 ⎣ n =1 (1 − q ) ⎦

(8.15.2)

Для вычисления дзета-функции может быть также использовано представление (8.13.16), приведенное в разделе 8.13.

292


Нетрудно показать, что для η1 справедливо также следующее выражение *)

η1 = −

1 Θ1′′′( 0; q) , 12ω 1 Θ1′ (0; q)

(8.15.3)

в котором тета-функция Θ1(θ) определяется (8.12.14). γ −γ 3 1 В случае k 2 = 2 применение Q-преобразования с учетом (8.14.25) и > γ 1 −γ 3 2 (8.1.24) позволяет получить следующее представление:

( (

) )

∗ ∗ η2 1 Θ 1′ θ ; q ζ ( z) = z+ . ω3 2ω 3 Θ 1 θ ∗ ; q ∗

(8.15.4)

∗ ∗ Здесь θ = z ( 2ω 3 ), q = exp[ − iπω 1 / ω 3 ] определяются (8.14.27) и (8.14.28), а для

η 2 = ζ (Ω 2 2) = ζ (ω 3 ),

учитывая,

что

после

Q-преобразования

(см. таблицу 3) и ζ (Ω 2 2) = η 2 , из (8.15.3) будем иметь:

η2 = −

ω 1′ = ω 3 = Ω 2 / 2

∗ 1 Θ1′′′(0; q ) . 12ω 3 Θ1 (0; q ∗ )

(8.15.5)

Пусть теперь D < 0, так что основные полупериоды ω1 и ω3 определяются (8.14.29). Аналогично случаю вычисления ℘-функции Вейерштрасса обратимся к SQSпреобразованиям, и тогда из (8.14.24) и (8.14.25) получим: ⎡ i 5/ 2 θ2 ⎤ ∗ exp ⎢−iπ Θ 1 (θ ; q) = − ⎥Θ 1 (θ ; q0 ), τ + 1⎦ 1+ τ ⎣

(8.15.6)

∗ где θ = z (2ω1 ) , θ = z (2ω ), τ = ω 3 / ω 1 , а параметр q0 определяется (8.14.31). Диф-

ференцируя обе части (8.15.6) по переменной θ = (1 + τ )θ , будем иметь *)

*)

*)

⎛ η z2 Ω1Θ1 ( z Ω1 ) , где ϕ ( z ) = exp⎜⎜ − 1 Θ ′1 (0) ⎝ Ω1

⎞ ⎟⎟, Ω 1 = 2ω 1 . Вычис⎠ ляя по формуле Лейбница производную третьего порядка в точке z = 0 от левой части данного соотношения и учитывая, что σ(z) = z + b1z5 + b2z7 + ... (см. раздел 8.4), так что σ′(0) = 1, σ(0) = σ′′(0) = σ′′′ (0) = 0, получим 3 d3 [σ ( z )ϕ ( z )] z =0 = ∑ 3! σ ( m) (0)ϕ (3−m) (0) = −6η1 / Ω1 . 3 dz m = 0 (3 − m )! m! После непосредственного вычисления производной третьего порядка по z от левой части рассматриваемого равенства мы и приходим к представлению (8.15.3). В соотношении (8.15.7), как и ранее, штрих означает производную по аргументу функции, то есть d d Θ ′1 (θ ; q 0∗ ) = Θ1 [θ ; q 0∗ ] и соответственно Θ 1′ (θ ; q) = (Θ1 [θ ; q]) . dθ dθ

В самом деле, из (8.13.6) имеем σ ( z )ϕ ( z ) =

(

)


Θ 1′ (θ ; q) = −

293

⎡ 1 i 5/ 2 θ 2 ⎤⎧ ⎫ ∗ exp ⎢−iπ Θ 1′ (θ ; q0∗ ) ⎬. ⎥ ⎨−2iπθΘ 1 (θ ; q0 ) + 1+ τ τ + 1⎦ ⎩ 1+ τ ⎭ ⎣

(8.15.7)

Следовательно, в рассматриваемом случае ∗

Θ1′ ( z ( 2ω 1 ); q) 1 Θ1′ (θ ; q0 ) . = −2iπθ + Θ1 ( z ( 2ω 1 ); q) 1 + τ Θ1 (θ ; q0∗ )

(8.15.8)

Подставляя (8.15.8) в выражение (8.15.1) с учетом (8.14.29) и соотношения Лежандра (8.1.24) найдем искомое представление для дзета-функции Вейерштрасса:

ζ ( z) =

∗ 1 Θ 1′ (θ ; q0 ) η z+ , 2ω Θ 1 (θ ; q0∗ ) ω

(8.15.9)

в котором η = η 1 + η 2 , или, поскольку согласно (8.14.19) η 1 + η 2 = ζ (ω 1 + ω 3 ), то η = ζ (ω ). После последовательного применения к (8.15.3) SQS-преобразований, как следует из таблицы 3, будем иметь ' ∗ 1 Θ 1′′′ 0; q0 η=− . (8.15.10) 12ω Θ 1′ 0; q0∗

( ) ( )

В случае γ2 > 0, когда согласно (8.14.32), k2 > 1/2, применение SQSQ-преобразований, как следует из (8.14.24), (8.14.25), приводит к следующему результату: ~ ∗ Θ1′ ( z ( 2ω 1 ); q) 1 Θ1′ (θ ; q1 ) ~ . = −2iπθ + ~ Θ1 ( z ( 2ω 1 ); q) τ − 1 Θ1 (θ ; q1∗ ) ~ ~ и параметр q соответственно определяются Здесь θ = z (2iω~ ), q1∗ = i q , а величина ω (8.7.27) и (8.14.35). Таким образом, из (8.15.1) с учетом соотношения Лежандра (8.1.24) η1ω3 − η2ω1 = πi/2 в рассматриваемом случае получим ~ ∗ ~z 1 Θ 1′ (θ ; q1 ) η (8.15.11) ζ ( z) = ~ + ~ , iω 2iω Θ 1 (θ~; q1∗ ) ~ = η −η . η Но поскольку, как следует из (8.14.19), где 1

2

ζ ( z − 2ω 1 + 2ω 3 ) = ζ ( z) − 2η1 + 2η 2 , то при z = ω1 − ω3 с учетом свойства нечетности дзета-функции и выражений (8.14.29) находим ~, ~) = η η 2 − η1 = ζ (ω 3 − ω 1 ) = ζ (iω

так что на основании таблицы 3 из (8.15.3) будем иметь ~=− η

∗

1 Θ 1′′′(0; q1 ) , i 2 = −1. ∗ ~ 12iω Θ 1′ (0; q1 )

(8.15.12)

294


Обратимся теперь к вычислению сигма-функции Вейерштрасса. Пусть D > 0 и k < 1/2, тогда, согласно (8.13.6), для σ(z) будет справедливо следующее выражение: 2

) ΘΘ ′((θ0;;qq)) ,

(

σ ( z) = 2ω 1 exp 2ω 1η 1θ 2

1

(8.15.13)

1

в котором θ = z ( 2ω 1 ), q = exp(iπτ ), τ = ω 3 ω 1 . γ −γ 3 1 При k 2 = 2 > , как и в случаях с ℘- и ζ-функциями, следует применить γ 1 −γ 3 2 Q-преобразование, при котором (см. (8.14.25)) ∗ ∗ ⎛ iπθ 2 ⎞ Θ1 (θ ; q ) Θ1 (θ ; q) = τ exp⎜ − . ⎟ Θ1′ (0; q) τ ⎠ Θ1′ (0; q ∗ ) ⎝

∗ ∗ Здесь θ = z ( 2ω 3 ), q = exp(− iπ ω 1 ω 3 ) определяются выражениями (8.14.27) и (8.14.28). Следовательно, для σ(z) в рассматриваемом случае из (8.15.13), учитывая (8.1.24), будем иметь: Θ (θ ∗ ; q ∗ ) . (8.15.14) σ ( z) = 2ω 3 exp 2ω 3η 2θ ∗2 1 Θ 1′ (0; q ∗ )

(

)

В случае D < 0 SQS-преобразования согласно (8.15.6), (8.15.7) приводят к следующему выражению: ⎛ iπθ 2 ⎞ Θ 1 (θ ; q0∗ ) Θ 1 (θ ; q) = (1 + τ )exp ⎜ − , ⎟ ∗ Θ 1′ (0; q) ⎝ τ + 1 ⎠ Θ 1′ (0; q0 ) в котором θ = z ( 2ω ), τ = ω 3 ω 1 , а параметр q0∗ выражается в виде (8.14.31). Для функции σ(z)в этом случае тогда из (8.15.13) получим

(

σ ( z) = 2ω exp 2ωηθ

2

)

Θ 1 (θ ; q0∗ ) . Θ 1′ (0; q0∗ )

(8.15.15)

Здесь η = η 1 + η 2 определяется (8.15.10). Если же k2 > 1/2 и D < 0 (то есть γ2 > 0), то после последовательного применения SQSQ-преобразований на основании (8.14.24) и (8.14.25) будем иметь: ⎡ iπ ⎛ z ⎞ 2 ⎤ Θ (θ~ ; q ∗ ) Θ1 ( z ( 2ω 1 ); q) 1 = (τ − 1) exp ⎢− , ⎜ ⎟ ⎥ 1 ∗ − Θ1′ (0; q) τ 1 2 ω ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ Θ1′ (0; q1 ) 1

и для σ(z) из (8.15.13) получим: ~ ∗ ~ 2 Θ1 (θ ; q1 ) ~ ~~ , σ ( z) = 2iω exp 2iωηθ Θ1′ (0; q1∗ )

(

)

(8.15.16)


295

~ ), q ∗ = i q , причем величины ω ~ = η − η , θ~ = z ( 2iω ~ и q определяются соответгде η 1 2 1 ~ — (8.15.12). ственно (8.7.27) и (8.14.35), а η

8.16. Дополнения При проведении вычислений функций Вейерштрасса в ряде практических случаев целесообразно (наряду с минимизацией параметра q, входящего в выражения для тетафункций) предварительно минимизировать величину аргумента рассматриваемой функции Вейерштрасса, а следовательно, минимизировать и значения аргументов тетафункций Якоби Θ i (θ ), i = 1,3, через которые выражаются функции Вейерштрасса. Так, при θ = θ0 + iθ1 (θ0, θ1 — вещественные величины, i2 = −1) согласно (8.12.14) имеем ∞

{

Θ 1 (θ ) = 2q 1/4 ∑ ( −1) k q k ( k +1) sin[( 2 k + 1)πθ 0 ]ch[( 2 k + 1)πθ 1 ] + k =0

}

+ i cos[( 2 k + 1)πθ 0 ]sh[( 2 k + 1)πθ 1 ] , i = −1,

(8.16.1)

2

откуда следует, что достаточно большие значения θ1 могут существенно ухудшить сходимость ряда (8.16.1). На первом этапе минимизацию значений аргументов вычисляемых функций Вейерштрасса можно производить на основе соотношений (8.1.18), (8.4.14), (8.14.19) и (8.13.2) *) ℘( z + Δz) =℘( z), ℘′( z + Δz) = ℘′( z), ζ ( z + Δz) = ζ ( z) + 2mη 1 + 2nη 2 , (8.16.2)

σ ( z + Δz) = ( −1) m+ n+ mn σ ( z)exp[( z + Δz / 2)( 2mη 1 + 2nη 2 )],

в которых Δz = 2mω1 + 2nω3, а m и n — целые числа. При этом правые части выражений (8.16.2) уже являются функциями с аргументами, принадлежащими основному параллелограмму периодов, то есть |z| < |Ω1 + Ω2|. Но установленные ранее свойства функций Вейерштрасса позволяют при проведении вычислений ограничиться еще более узкой областью изменения аргумента. В самом деле, в случае D > 0, когда основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех прямоугольников G1−G4 (см. рис. 33а), обозначая через zk значение аргумента z ∈ Gk ( k = 1,4), на основании соотношений (8.8.1), (8.4.14), а также ~ (то есть (8.1.22), (8.1.26) и (8.1.31) для величины z2 = x2 + iy2, ω ≤ x2 ≤ 2ω , 0 ≤ y2 ≤ ω

*)

Последнее соотношение (8.16.2) следует из (8.1.31) и основано на следующих очевидных преобразованиях: σ [( z + Δz − Ω1 ) + Ω1 ] = −σ ( z + Δz − Ω1 ) exp[2η1 ( z + Δz − Ω1 / 2)] = ... = = (−1) m σ ( z + nΩ 2 ) exp[2η1 m( z + mΩ1 / 2 + nΩ 2 )] = ... =

= (−1) m+ n σ ( z ) exp[2η1 m( z + Δz / 2 + nΩ 2 / 2) + 2η 2 n( z + nΩ 2 / 2)]

и с учетом соотношения Лежандра η1Ω 2 − η 2 Ω 1 = πi, получаем искомое выражение

σ [( z + Δz )] = (−1) m + n + mn σ ( z ) exp[(2mη1 + +2nη 2 )( z + Δz / 2)]. .

296


когда изменение аргумента z происходит в области, ограниченной прямоугольником G2) будем иметь: ℘( z2 ) =℘( z1 ), ℘′( z2 ) = −℘′( z1 ), ζ ( z2 ) = 2η 1 − ζ ( z1 ),

σ ( z2 ) = σ ( z1 )exp[ 2η 1 (ω − z1 )],

(8.16.3)

∗ где z1 = x1 − iy2, x1 = 2ω − x2 , так что 0 ≤ x1 ≤ ω и точка z1 = x1 + iy2 (являющаяся комплексно-сопряженной к точке z1) располагается уже внутри прямоугольника G1. Если же точка z3 = x3 + iy3 (i2 = −1) располагается в области G3, то полагая ~ − y ), то есть согласно (8.4.13) z$ = −2ω − z (ω = −ω − ω ), так z$1 = 2ω − x 3 + i ( 2ω 3 1 2 3 2 1 3 $ что z1 ∈ G1 , получим:

℘( z 3 ) = ℘( z$1 ), ℘′ ( z 3 ) = −℘′( z$1 ), ζ ( z 3 ) = 2(η1 + η 2 ) − ζ ( z$1 ), σ ( z 3 ) = σ ( z$1 ) exp[ −2(η1 + η 2 )(ω 2 + z$1 )].

(8.16.4)

Для области G4 (z4 = x4 + iy4) аналогично находим ℘( z 4 ) = ℘(~z1 ), ℘′ ( z 4 ) = −℘′ ( ~ z1 ), ζ ( z 4 ) = 2η 2 + ζ ( ~ z1 ), ~ ~ ~ σ ( z 4 ) = −σ ( z1 ) exp[ 2η 2 ( z1 + 2iω )], ~ − y ), а следовательно, точка (~z ) ∗ , комплексно сопряженная к ~z , где ~z1 = x4 − i( 2ω 4 1 1 уже располагается внутри области, ограниченной прямоугольником G1. Если D < 0, то основным параллелограммом периодов является ромб (см. рис. 34а), который можно разделить на четыре треугольника G j (θ ), j = 1,4 . При z1 ∈ G1 (z1 = x1 + iy1, i 2 = −1 ), как нетрудно видеть (см. рис. 34а), комплексносопряженная величина z* = x1 − iy1 уже располагается в области G4, для которой ~ ω ~. 0 ≤ x ≤ ω , 0 ≤ y ≤ x или заведомо 0 ≤ y ≤ ω

ω

В области z2 ∈ G2 , предполагая, что z = x + iy = 2ω − z2 , то есть z = −2ω 2 − z2 , мы приходим к соотношениям (8.16.4), в которых следует осуществить замену z3 на z2, а z$1 на z. При этом для z ∗ = x + iy, где y = − y, заведомо выполняются неравенства ~. 0 ≤ x ≤ ω, 0 ≤ y ≤ ω И, наконец, для области G3 также справедливы соотношения (8.16.4), где следует заменить z$1 на z = 2ω − z3 . Таким образом, во всех возможных случаях нахождение тета-функций Якоби можно свести к вычислению тета-рядов вида (8.16.1) с аргументами, для которых 1 τ |θ 0 | ≤ , |θ 1 | ≤ . 2 2 ~ / ω |, а после Q или SQSQ-преобразований (см. раздел 8.14) τ =| ω / ω ~|. Здесь τ =|ω В заключение заметим, что, как было показано в разделе 8.9, через эллиптические функции Вейерштрасса удается выразить решения уравнений вида


297 2

⎛ dz ⎞ (8.16.5) ⎜ ⎟ = P4 ( z), ⎝ dτ ⎠ где P4(z) — полином четвертой (либо третьей) степени с действительными коэффициентами *). В общем случае, когда комплексная функция w(z) задается неявно уравнением P( w, z) = 0, (8.16.6) в котором P — полином от z и w с комплексными коэффициентами, интеграл от произвольной рациональной функции ℜ(w,z) от w и z вида

∫ ℜ( w, z)dz,

(8.16.7)

L

взятый по некоторому пути L на комплексной плоскости z = x +iy (i2 = −1), называется интегралом Абеля для функции w. Если уравнение (8.16.6) имеет вид (8.16.5) w 2 − Pn ( z) = 0 ( w = dz / dτ ),

(8.16.8)

где Pn(z) — полином степени n ≥ 3, абелевы интегралы (8.16.7) принято называть гиперэллиптическими интегралами **). В частности, при n = 4 (или n = 3) они сводятся к рассмотренным в данной главе эллиптическим интегралам, например, при ℜ = 1 w и n = 4 dz мы имеем интеграл ± ∫ . А в случае n = 5 или n = 6 их иногда называют ультраP4 ( z) эллиптическими интегралами. Аналогично случаю эллиптических функций, рассмотренному в разделе 8.6, можно показать, что всякая рациональная функция от w и z представима в виде: ℜ( w, z ) = ℜ1 ( z) + wℜ 2 ( z ), где ℜ1 и ℜ2 — рациональные функции от z, или, согласно (8.16.8),

ℜ 3 ( z) . w Здесь ℜ3(z) = ℜ2(z)Pn(z) — также рациональная функция от z. Поэтому всякий гиперэллиптический интеграл путем выделения интеграла от рациональной функции ∫ ℜ1 ( z)dz, может быть приведен к виду ℜ( w, z) = ℜ 1 ( z) +

L

ℜ( z) dz, w L

∫

(8.16.9)

где w = Pn ( z), ℜ(z) — рациональная функция от z.

*)

В случае комплексных коэффициентов полинома P4(z) согласно (8.9.6), (8.9.23) инварианты, по кото-

рым строятся ℘-функции Вейерштрасса, оказываются, в общем случае, также комплексными. При n ≤ 2 абелевы интегралы (8.16.7) приводятся к интегралам от рациональной функции z и выражаются в элементарных функциях.

**)

Небесная механика. Общий курс

Recommend Documents