Макроскопические свойства микронеоднородных материалов: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М акроскоп и чески е свойствами кронеоднородных матери алов

Пособи е п о сп ец и аль ности 010500-М ехани каи нап равлени ю 510300-М ехани ка

В оронеж -2004

2

У тверж дено научно-методи чески м советом ф акультета п ри кладной математи ки , и нф ормати ки и механи ки 20.05.2004 г., п ротокол№ 7 .

Состави тели : И вани щ еваО .И ., Семыки наТ .Д ., Щ егловаЮ .Д . Пособи е п одготовлено накаф едре теорети ческой и п ри кладной механи ки ф акультетаПМ М В оронеж ского государственного уни верси тета. Рекомендуется для студентови маги стров4, 5 курсовф акультетаПМ М п о курсу «К омп оз и ц и онные матери алы»

3

Содерж ани е 1. И сследовани е стати сти чески х характери сти к случайного п оля модулей уп ругости многокомп онентных матери алов...........................................… … ....3 2. Проекти ровани е двухкомп онентного слои стого матери аласи з отроп ными слоями наоснове точного реш ени я..........................................................… … ... 5 3. М акроскоп и чески й тенз ор коэф ф и ц и ентовтеп лоп роводности слои стого матери алавкорреляц и онном п ри бли ж ени и ............................................… … .. 8 4. Построени е з ави си мости макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности п ространственно неоднородного комп оз и ц и онного матери алаот характери сти к комп онентовнаоснове корреляц и онного п ри бли ж ени я...............................................................................................… … ..13 Л и тература...................................................................................................… … ..14 В п особи и рассматри вается вари ант стати сти ческого п одходак оп и сани ю структурной неоднородности комп оз и ц и онных матери алов. Ф орми руется алгори тм п остроени я макроскоп и чески х характери сти к на п ри мере з адачи теп лоп роводности . Предлагается методи ка п роведени я чи сленного эксп ери мента для и сследовани я макрохарактери сти к многокомп онентного матери ала. Предлож енный п еречень лабораторных работ соп ровож дается п ри мерами , методи чески ми указанями и вари антами з адани й. К омби ни ровани е разли чных вещ еств остается сегодня одни м и з основных сп особов соз дани я новых матери алов. Больш и нство современных конструкц и онных матери алов п редставляет собой комп оз и ц и и , которые п оз воляю т техни чески м и з дели ям обладать оп ределенным сочетани ям эксп луатац и онных свойств. При этом совместная работа разнородных матери алов дает эф ф ект, равноси ль ный соз дани ю нового матери ала, свойства которого и коли чественно и качественно отли чаю тся от свойствкаж дого и з его составляю щ и х. О дной и з важ ных п роблем в и з учени и свойств комп оз и ц и онных матери алов является з адачао нахож дени и макроскоп и чески х п остоянных. В ней п редп олагаю тся и з вестными ф и з и ко-механи чески е свойствакомп онентов, и х объемные конц ентрац и и , ви д арми ровани я. Т ребуется оп редели ть свойства комп оз и тавц елом. Н и ж е рассматри ваю тся макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты уп ругости и теп лоп роводности матери алов разли чной структуры, п олученные на основе стохасти ческой модели матери ала. 1. Л а бора т орн а я ра бот а № 1. И сследовани е стати сти чески х характери сти к случайного п оля модулей уп ругости многокомп онентныхматери алов. З а да ние Д ля двухкомп онентного матери алас з аданными модулями Ю нга E1 , E2 и конц ентрац и ями комп онентов c1 , c 2 и сследовать з ави си мость математи ческого ож и дани я

E

и ц ентрального одноточечного момента второго п орядка

E 0 ⋅ E 0 случайного п оля E от характери сти к и конц ентрац и й комп онент.

4

П ор я док вы полне ния . 1.При

рассмотрени и

E , E0 ⋅ E0

стати сти чески х характери сти к

восп ольз овать ся следую щ и м. В ыраж ени е для одноточечной п лотности расп ределени я п остоянных уп ругости λijαβ двухкомп онентного матери алаи меет ви д

f ( λ ijαβ ) = ∑ c m δ ( λ ijαβ −λ (m )ijαβ ) 2

m =1

Здесь

.

(1.1)

V C m = m - конц ентра ц и я комп онентов, V λ( 1 ) ijαβ , λ( 2 ) ijαβ -тенз оры модулей уп ругости составляю щ и х,

δ ( x ) - дельтаф ункц и я Д и рака.

М атемати ческое ож и дани е λ ijαβ

оп ределяется следую щ и м образом

+∞

(

)

λ ijαβ = ∫ λ ijαβ ⋅ f λ ijαβ ⋅ dλ ijαβ . И ли сучетом (1.1)

−∞

2

λ ijαβ = ∑ c m ⋅ λ( m ) ijαβ m =1

.

(1.2)

Д ля ди сп ерси и тенз орауп руги хмодулей сп раведли во соотнош ени е +∞

(

λ0ij αβ ⋅ λ0ijαβ = ∫ λijαβ − λ ijαβ −∞

) ⋅ f (λ 2

ijαβ

) ⋅ dλijαβ ,

которое сучетом (1.1) п ри ни мает ви д ) λ0ijαβ ⋅ λ0ijαβ = c1 ⋅ c 2 ⋅ ( λ(ij1αβ − λ(ij2αβ) )2 .

(1.3)

2. При вести соотнош ени я (1.1.)- (1.3) к без ра з мерному ви ду, введя п еременные 0 0 E ⋅ E E E ) ˆE = , D , c = c1 , c 2 = 1 − c . e = 2 , Eˆ = 2 E1 E1 (E 1) 3. Получи ть и и сследовать следую щ и е з ави си мости ˆ) = Eˆ) (e , c ) ; 1) E

ˆE = D ˆ E ( e,c ) . 2) D 4. Полученные вп .3 з ави си мости п редстави ть вграф и ческой ф орме.

5

5. В а р иа нт ы за да ний:

ˆ) = Eˆ) (e , c ) , D ˆE = D ˆ E ( e,c ) ; 1) Построи ть п оверхности E 2) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые e = h ⋅ i , i = 0 ,1,2 ,...5 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k 3) 4) 5) 6) 7)

) ) Eˆ = Eˆ (c ) п ри = 0.1 ˆE = D ˆ E ( c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D e = h ⋅ i , i = 0 ,1,2 ,...5 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆ) = Eˆ) (c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые E e = h ⋅ i ,i = 5 ,6 ,..10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆE = D ˆ E ( c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D e = h ⋅ i ,i = 5 ,6 ,..10 , h = 0.2 c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆ) = Eˆ) (e ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые E e = h ⋅ i ,i = 0 ,1,2 ,...,10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆE = D ˆE ( e ) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D п ри e = h ⋅ i ,i = 0 ,1,2 ,...,10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1

6. От ве т ит ь на сле дующ ие вопр осы : ˆ) = Eˆ) (e , c ) п ри e ∈ [0 ;1] и e > 1 ? 1) Ч ем отли чаю тся з ави си мости E

)

ˆ? 2) К аковы грани ц ы воз мож ныхз начени й E 7. Сп роекти ровать вари анты комп оз и ц и онных матери алов с з аданными ˆ) . з начени ями E ˆE = D ˆ E ( e,c ) . 8. Рассмотреть п .п .5,6 для D 2. Л а бора т орн а я ра бот а № 2. Проекти ровани е двухкомп онентного слои стого матери ала с и з отроп ными слоями с з аданными макроскоп и чески ми п остоянными теп лоп роводности на основе т очного р е ше ния . З а да ние . Рассмотреть двухкомп онентный слои стый матери алс и з отроп ными (i) слоями , коэф ф и ц и енты теп лоп роводности a ( i = 1,2 ) и конц ентрац и и c ,1 − c которых счи тать з аданными . И сследовать з ави си мость комп онент a1∗ и a3∗ макроскоп и ческого тензора коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности от характери сти к комп онент и и х конц ентрац и й. Здесь a1∗ , a3∗ - макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты теп лоп роводности вдоль слоев и в п оп еречном нап равлени и соответственно.

6

П ор я док вы полне ния . 1.В осп ольз овать ся следую щ и ми соображ ени ями . Т ак как слои стый матери алсоставлен и з и з отроп ных слоев, т.е. в каж дой точке тензор a jk и меет ви д a jk = a ⋅ δ jk , то макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты теп лоп роводности вдоль слоев и в п оп еречном нап равлени и −1 будут соответственноa1∗ = a , a 3∗ = 1 / a . Д ля матери алов, и мею щ и х (i ) объемные конц ентрац и и и коэф ф и ц и енты теп лоп роводности слоев ci , a , одноточечная п лотность расп ределени я оп ределяется соотнош ени ем n f 1 ( x ) = ∑ ci ⋅ δ ( a − a ( i ) ) , где n -чи сло слоев с разли чными свойствами . i =1 Поэтому стати сти чески е средни е и мею т ви д n n c a = ∑ ci ⋅ a ( i ) , 1 / a = ∑ i . Т еп ерь точное реш ени е з адачи о i =1 i =1 a (i ) нахож дени и макроскоп и чески х п остоянных теп лоп роводности двухкомп онентного слои стого матери аласи з отроп ными слоями п ри ни мает ви д

a1∗

= a

∗ ;a j

= a −

c1 ⋅ c 2 ⋅ ( a ( 3 ) ) 2

a + (c 2 − c1 ) ⋅ a

(3)

(2.1)

a( 3 ) = a( 1 ) − a( 2 ) . 2.В ырази ть a через a

(i)

, i = 1,2 и c ,1 − c сп омощ ь ю соотнош ени я n

a = ∫ a ⋅ f 1 ( a ) ⋅ da ⇒ a = ∑ ci ⋅ a ( i ) , i =1

(2.2)

3. При вести (2.1) к без размерному ви ду. Д ля этого сделать следую щ ее: (1) ; 1) раздели ть обе части каж дого и з соотнош ени й(2.1) наa ∗ ( 1 ) ∗ ∗ ∗ 2) ввести п еременные a1 / a = a1 , a 3 / a ( 1 ) = a 3∗∗ , a( 2 ) / a( 1 ) = k ; 3) сф ормули ровать з ави си мости (2.1) в новых п еременных, т.е. установи ть ви д ф ункц и й a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c ) , a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) . 4. Получи ть граф и ческую ф орму з ави си мостей и з п .3): : 1) Построи ть и и сследовать п оверхности a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c ) a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) ;

7

∗∗ ∗∗ 2) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые a1 = a1 ( c ) для двухслучаев • 0