Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.Г. ГЕТМАНОВ

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Издание 2-е, расширенное и переработанное Допущено УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400 «Прикладная математика» специальности 230410 «Прикладная математика»

Москва 2010

УДК 372.542 (075) ББК 32.98я7 Г44 Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. Изд. 2-е, расш. и перераб. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 232 с. Даны материалы по цифровой обработке сигналов и включены основные разделы этой технической дисциплины, касающиеся построения моделей и оценивания параметров сигналов, предварительной обработки сигналов, дискретного спектрально-корреляционного анализа и цифровой фильтрации сигналов. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 230401 «Прикладная математика», а также может быть использовано студентами, которые заняты подготовкой в области задач обработки результатов физических экспериментов и проектирования информационно-управляющих систем. Учебное пособие написано при поддержке гранта № 2.1.2/1427 программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009– 2010 годы)» Министерства образования и науки РФ. Рецензенты: декан фак. «Радиотехнические системы», зав. каф. «Техническая физика» МИРЭА, д-р техн. наук, проф. Битюков В.К.; зав. каф. «Прикладная математика» МИРЭА, д-р физ.-мат. наук, проф. Самохин А.Б; зав. каф. 405 «Теоретическая радиотехника» МАИ, д-р техн. наук, проф. Кузнецов Ю.В., проф. каф. 405, д-р техн. наук Латышев В.В.; доц. каф. 22 «Кибернетика» НИЯУ МИФИ, канд. техн. наук, доц. Мишулина О.А.

ISBN 978-5-7262-1304-0

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ..........................................................................................................

7

Глава 1. ЦИФРОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ............................................................................................. 10 1.1. Структура цифровых информационно-управляющих систем ............................. 10 1.1.1. Блок-схема и составляющие системы для цифровых информационно-управляющих систем ................................................................. 10 1.1.2. Модельная цифровая ИУС .................................................................................... 12 1.2. Сигналы и варианты алгоритмов ЦОС ................................................................. 14 1.2.1. Классификация сигналов, непрерывные и дискретные сигналы ............................................................................................ 14 1.2.2. Этапы проведения ЦОС ......................................................................................... 17 1.2.3. Варианты алгоритмов ЦОС ................................................................................... 18 1.3. Структура ССД ........................................................................................................ 20 1.3.1. Датчики ССД ........................................................................................................... 20 1.3.2. Усилители, противомаскировочные фильтры, электронные коммутаторы .................................................................................... 28 1.3.3. Аналого-цифровые преобразователи................................................................... 30 1.3.4. Устройства буферной памяти................................................................................ 33 Список вопросов для самопроверки к гл. 1........................................................... 34 Глава 2. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ, ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ................................................................ 36 2.1. Синусоидальные сигналы ...................................................................................... 36 2.1.1. Гармонические и полигармонические сигналы .................................................... 36 2.1.2. Синусоидальные сигналы с амплитудной и частотной модуляцией ........................................................................................ 40 2.2. Комплексные сигналы. Энергетические характеристики сигналов .................... 45 2.3. Наблюдения и модели сигналов ........................................................................... 49 2.4. Оценивание параметров моделей сигналов ........................................................ 53 2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации ........................................................................................................ 53 2.4.2. Оценивание параметров линейных моделей для действительных сигналов ............................................................................... 56 2.4.3. Оценивание параметров линейных моделей для комплексных сигналов .................................................................................... 58 2.5. Модели сигналов на основе рядов Фурье. Интеграл Фурье ............................... 59 2.5.1. Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье .......................................................................................................... 59 59 2.5.2. Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье ...................................... 65 2.5.3. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье ....................................................... 67 3

2.6. z-Преобразование дискретных последовательностей ........................................ 72 Список вопросов для самопроверки к гл. 2........................................................... 76 Список задач к гл. 2 ................................................................................................ 76 Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ............................... 79 3.1. Оценивание статистических характеристик для стационарных и нестационарных сигналов .................................................. 79 3.1.1. Определение статистических характеристик сигналов .................................................................................................................. 79 3.1.2. Оценивание статистических характеристик сигналов на множестве реализаций ..................................................................... 82 3.1.3. Стационарные сигналы, оценивание статистических характеристик для стационарных сигналов .................................................................................. 84 3.1.4. Нестационарные сигналы, оценивание локальных статистических характеристик для нестационарных сигналов........................... 85 3.2. Оценивание и устранение трендов для нестационарных сигналов .............................................................................. 86 3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов .............................................................................. 86 3.2.2. Алгоритмы локального оценивания трендовых функций, устранение трендовых функций ........................................................... 87 3.3. Фильтрация аномальных значений в наблюдениях сигналов ............................ 93 3.3.1. Определение аномальных наблюдений сигналов ............................................... 93 3.3.2. Пороговые алгоритмы ............................................................................................ 95 3.3.3. Медианные фильтры ............................................................................................. 96 3.4. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова........................ 99 3.4.1. Дискретизация во времени и задача восстановления непрерывных сигналов .............................................................. 99 3.4.2. Появление «кажущихся» частот ............................................................................ 100 3.4.3. Теорема Котельникова ........................................................................................... 103 3.4.4. Противомаскировочные фильтры ......................................................................... 105 Список вопросов для самопроверки к гл. 3........................................................... 105 Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ .................................................................... 107 4.1. Дискретное преобразование Фурье ...................................................................... 107 4.1.1. Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа ........................................................... 107 4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов ............................................................................... 109 4.1.3. Дискретное преобразование Фурье для комплексных сигналов .................................................................................... 113 4

4.2. Свойства дискретного преобразования Фурье .................................................... 118 4.2.1. ДПФ для комплексной экспоненциальной функции ............................................. 118 4.2.2. Элементарные свойства ДПФ ............................................................................... 123 4.2.3. Разрешающая способность ДПФ .......................................................................... 127 4.3. Функция спектральной плотности мощности сигналов ....................................... 130 4.3.1. Теорема Парсеваля ............................................................................................... 130 4.3.2. Определение функции спектральной плотности мощности сигналов ................................................................................................ 132 4.3.3. Функции временных окон ....................................................................................... 133 4.3.4. Технологические этапы оценивания функции СПМ сигналов ......................................................................................................... 143 4.4. Функция взаимной спектральной плотности мощности сигналов ................................................................................................. 145 4.4.1. Определение функции взаимной спектральной плотности мощности сигналов .............................................................................. 145 4.4.2. Применение функции ВСПМ в задачах оценивания разностей фаз для систем многочастотных сигналов......................................... 149 4.4.3. Применение функции ВСПМ для оценивания коэффициента когерентности колебательных сигналов..................................... 154 4.5. Алгоритм быстрого преобразования Фурье ......................................................... 158 Список вопросов для самопроверки к гл. 4........................................................... 162 Список задач к гл. 4 ................................................................................................ 164 Глава 5. ДИСКРЕТНЫЕ СВЁРТКИ ....................................................................... 166 5.1. Определение дискретных свѐрток ........................................................................ 166 5.2 Вычисление прямых и обратных круговых свѐрток ............................................. 167 5.3. Вычисление апериодических свѐрток ................................................................... 170 Список вопросов для самопроверки к гл. 5........................................................... 173 174 Глава 6. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ ............................................. 174 6.1. Разностные уравнения и импульсно-переходные функции цифровых фильтров ............................................................................... 174 6.1.1. Разностные уравнения цифровых фильтров ....................................................... 174 6.1.2. Импульсно-переходные функции ЦФ ................................................................... 177 6.2. Передаточные функции и условия устойчивости для ЦФ ............................................................................................................... 118 180 6.2.1. Передаточные функции для ЦФ ............................................................................ 180 6.2.2. Устойчивость ЦФ .................................................................................................... 188 6.3. Задачи синтеза ЦФ ................................................................................................. 191 6.3.1. Классификация фильтров по типу АЧХ ................................................................ 191 6.3.2. Постановки задач синтеза ЦФ ............................................................................... 195 6.3.3. Метод билинейного z-преобразования ................................................................. 198 5

6.4. Синтез ЦФ Баттерворта ......................................................................................... 203 6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта ......................................................................... 203 6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта ............................................................ 207 6.4.3. Синтез высокочастотного, полосового пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта ....................................................................... 209 6.5. Синтез КИХ-фильтров ............................................................................................ 210 6.5.1. Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области .................................................................... 211 6.5.2. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ.............................................................................. 213 6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций ................................................................................................................... 214 6.5.4. Синтез КИХ-фильтров методом частотных выборок ................................................................................................................... 221 6.5.5. Синтез КИХ-фильтров по методу аппроксимации во временной области ................................................................. 222 Список вопросов для самопроверки к гл. 6........................................................... 226 Список задач к гл. 6 ................................................................................................ 226 Список литературы ..............................................................................................

6

228

Предисловие Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – техническая дисциплина, в которой рассматриваются вопросы решения вычислительных задач для больших массивов экспериментальных данных – дискретизованных сигналов. ЦОС в настоящее время стремительно развивается, в основном, по направлениям создания новейшего математического и программного обеспечения, разработки систем и элементов специализированной вычислительной техники и конструирования совершенных периферийных устройств. Техника ЦОС сейчас вытесняет системы аналоговой электроники. ЦОС имеет очень широкие приложения. Методы и системы ЦОС используются во многих фундаментальных и прикладных областях: технике обработки информации физических экспериментов, экспериментальной механике, измерительной технике; энергетике, машино-, судо-, автомобилестроении, авиации и ракетной технике, атомной технике, нефтехимической и газовой промышленностях; акустике, гидроакустике, геофизике, сейсмологии, строительной механике, материаловедении; биомеханике, медицине, физиологии; цифровой радиотехнике, техники цифровой связи, технике цифровой обработки звуковых сигналов, технике обработки цифровых изображений, цифровом телевидении, цифровой радио- и лазерной локации. На основе ЦОС решаются актуальные научно-технические проблемы, например по вибрационной диагностике машиностроительных конструкций и неразрушающему контролю сложных технических систем, по защите систем от механических вибраций и шума, по задачам типа томографии, анализу и обработке изображений, анализу нестационарных быстропротекающих физических процессов, исследованию и извлечению информации из сигналов со сложной и неопределѐнной природой и т.д. Области применения ЦОС постоянно расширяются. Следует отметить неуменьшающееся из года в год большое количество зарубежных публикаций, связанных с цифровой обработкой сигналов. В США и ряде европейских стран можно насчитать издание более двух десятков толстых научных журналов, специально посвящѐнных вопросам ЦОС, выпускается множество книг 7

по различным аспектам ЦОС, регулярно созывается большое количество международных конференций и семинаров по указанной проблематике. Имеется много различных по размерам и успешных зарубежных фирм, занятых выпуском математического и программного обеспечения, специализированных вычислительных систем и измерительных средств для обеспечения задач ЦОС. Рынок, на котором фигурируют продукты для ЦОС, обладает большой ѐмкостью, имеет свои традиции и является вполне сложившимся. Настоящее пособие написано для студентов, обучающихся по специальности 230401 «Прикладная математика» и базируется на лекциях, которые автор читает на 4-м курсе факультета «К» НИЯУ МИФИ. Материалы пособия могут быть использованы студентами, обучающимися по специальности 140306 «Электроника и автоматизация физических установок», а также полезны студентам, которые специализируются на задачах обработки экспериментальной информации в различных предметных областях. Данное пособие является расширенным и существенно переработанным изданием работы [9]. Для успешного изучения предлагаемой дисциплины «Цифровая обработка сигналов» студенты должны владеть курсом математического анализа и теории функций комплексного переменного, элементами теории вероятностей, методами оптимизации и основами теории управления. Для повышения эффективности изучения материалов пособия отдельные участки текста, основные положения, определения и т.д., являющиеся информативно значимыми, или на которые студентам, по мнению автора, следует обратить внимание, отмечены курсивом. Цель пособия состоит в ознакомлении студентов с основными методами и алгоритмами цифровой обработки сигналов в части построения моделей и оценивания параметров сигналов, реализации предварительной обработки сигналов, спектрально-корреляционного анализа и цифровой фильтрации. Первая глава пособия является вводной и в ней помещены материалы, связанные со структурами ЦОС и системами сбора данных. Во второй главе приведены необходимые математические сведения, касающиеся характеристик сигналов, параметров и моделей сигналов, задачи оценивания параметров сигналов. В третьей главе собраны материалы, объединѐнные общим названием «Предварительная обработка сигналов» и включающие задачи вычисления статистических характеристик сигналов, устранения трендов и аномаль8

ных наблюдений. В этой же главе приведены сведения по теореме Котельникова. Основу четвѐртой главы составляет дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Предложен вывод формул коэффициентов ДПФ, основанный на задаче оценивания параметров полигармонических моделей сигналов, рассмотрены свойства ДПФ. Приведены сведения относительно функции спектральной плотности мощности сигналов. В краткой форме содержится вывод алгоритма быстрого преобразования Фурье. Пятая глава представляет собой краткое изложение вопросов вычисления дискретных свѐрток и ковариационных функций. В шестой главе вводятся основные понятия теории цифровой фильтрации, рассматриваются основные практические задачи синтеза БИХ и КИХ-фильтров. В пособии помещѐн список из 27 источников, достаточно полно представляющих весь спектр существующей литературы по ЦОС. Ознакомление хотя бы с некоторыми из них будет полезно для студентов, приступающих к изучению ЦОС. Однако, к сожалению, большинство книг из списка являются малодоступными. Приведѐнные литературные источники целесообразно подразделить на три группы. Книги [10, 19, 17, 13, 26, 6, 11], в основном, иностранных авторов являются классическими работами по ЦОС, однако они изданы давно и в настоящее время представляют собой настоящие раритеты; они часто цитируются и в них изложены базисные вопросы ЦОС. Книги [10, 19, 6] из этой группы целесообразно использовать для первоначального ознакомления с ЦОС. Другая часть приведѐнных источников по ЦОС [1, 22, 14, 15, 20, 23, 7, 8, 5, 25] издана относительно недавно и в них содержится много материалов, отражающих современную проблематику ЦОС. Как правило, эти книги изданы малыми тиражами – в библиотеках вузов они, быть может, имеются, но в очень ограниченных количествах. В книгах [2, 12, 21, 18, 3, 4, 16, 24, 27] рассматриваются вопросы ЦОС, частично отражѐнные в пособии с учѐтом особенностей содержания стандарта 230401 в части задач анализа характеристик колебательных сигналов, задач построения моделей и оценивания параметров сигналов на основе оптимизации и элементов технологий обработки данных на ЭВМ. В предлагаемом учебном пособии имеются контрольноизмерительные материалы в виде списков вопросов для самопроверки и задач, помещѐнных в конце каждой главы.

9

Глава 1. ЦИФРОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ 1.1.

Структура цифровых информационно-управляющих систем

1.1.1. Блок-схема и составляющие системы для цифровых информационно-управляющих систем Структура цифровых информационно-управляющих систем (ИУС) для общего случая представлена на блок-схеме рис. 1.1.1. Типовая цифровая ИУС состоит из четырѐх составляющих систем: 1) ОУ – объекта управления; 2) ССД – системы сбора данных; 3) СОИ – системы обработки информации; 4) СВУ – системы выработки управления. На рис. 1.1.1 системы ОУ, ССД, СОИ и СВУ изображены прямоугольниками; для каждой из систем стрелками показаны направления движения входной и выходной информации.

Рис. 1.1.1. Блок-схема цифровой информационно-управляющей системы

Система ЦОС, являющаяся частью ИУС, состоит из ССД и СОИ и помещена в пунктирный прямоугольник. Функционирование систем ЦОС, как правило, не осуществляется отдельно от ОУ и СВУ. Реализация ЦОС почти всегда производится с учѐтом осо10

бенностей информации от ОУ и требований к информации для СВУ. Рассмотрим более детально назначения и основные характеристики составляющих систем. ОУ – объект управления – характеризуется векторами входных управляющих переменных u1(Ti) (u1 (t )) и векторами выходных переменных, которые в ряде случаев определяются как векторы фазовых координат x(t) x( p(t ), t ), p(t ) – векторные параметрические функции. Решение задач ЦОС, в ряде случаев, может быть сопряжено с необходимостью построения для ОУ математических моделей, которые связывают зависимостями входные и выходные переменные. В простейшем случае для статических ОУ связь между входными и выходными переменными определяется модельными нелинейными функциями от нескольких переменных, которые можно представить в скалярном или векторном виде:

x1(t )

f1( p1(t ),..., pq (t), u11(t),..., u1m (t)),

x1(t )

f1( p1(t ),..., pq (t ), u11(t),..., u1m (t)),

. . .

x(t )

f ( x(t ), p(t ), u1(t )) .

(1.1.1) (1.1.2)

Связь между векторами управляющих переменных и векторами фазовых координат для динамических ОУ определяется системами модельных дифференциальных уравнений. Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами модельные дифференциальные уравнения в векторном виде представляются следующим образом: dx f ( x(t ), p(t ), u1(t )) . dt ОУ с распределѐнными параметрами описываются модельными дифференциальными уравнениями с частными производными. Необходимо отметить отличия параметрических функций p(t ) и управляющих переменных u1(Ti) . Управления u1 (Ti) являются полностью известными; параметрические функции p(t ) – некоторые неизвестные функции, относительно которых могут быть сведения только об их самых общих характеристиках. 11

В инженерной практике ЦОС иногда рассматриваются чрезвычайно сложные ОУ, функционирование которых не может быть адекватно описано с достаточной точностью предлагаемыми статическими или динамическими моделями. В этом случае описание моделей ОУ осуществляется с привлечением теоретико-вероятностных представлений. ССД – система сбора данных – обеспечивает промежуточное накопление и предварительную цифровую обработку многоканальной информации об объекте управления. На вход системы ССД поступает вектор фазовых координат x(t) x( p(t), t) и вектор управления u2 (Ti) , реализующий настройку ССД. Выходом ССД являются векторы наблюдений y(Ti) фазовых координат, связанные с фазовыми координатами x(Ti) и помеховыми возмущениями w(Ti) , которые обусловливают погрешности в наблюдениях. Наблюдения описываются следующей модельной зависимостью: (1.1.3) y(Ti) h( x(Ti), w(Ti), u2 (Ti)) , где вид модельной функции наблюдения h( , , ) определяется конструкцией ССД. СОИ – система обработки информации – обеспечивает по входной информации-наблюдениям от ССД y(Ti) и вектору управления u3 (Ti), который предназначен для настройки алгоритмов СОИ, решение задачи вычисления оценок фазовых координат x (Ti) и оценок параметрических функции p (Ti) , которая, по-существу, является центральной для ЦОС. СВУ – система выработки управлений – осуществляет формирование необходимых управляющих воздействий u1(Ti) для ОУ, u2 (Ti) для ССД и u3 (Ti) для СОИ по информации от СОИ. В общем виде можно записать: u1(Ti) u1( x (Ti), p (Ti)), u2 (Ti)

u2 (x (Ti), p (Ti)), u2 (Ti) u2 (x (Ti), p (Ti)), u3 (Ti) u3 (x (Ti), p (Ti)) . 1.1.2. Модельная цифровая ИУС Рассмотрим пример модельной цифровой ИУС, предназначенной для проведения виброиспытаний конструкции крыла самолѐта. 12

На рис. 1.1.2 изображена еѐ упрощѐнная блок-схема. Одна из возможных целей проведения виброиспытаний может заключаться в построении математической модели изгибно-крутильных колебаний крыла под действием распределѐнных нагрузок. При динамическом нагружении крыло ведѐт себя как упругодеформируемая система и колебательные движения крыла описываются в общем случае дифференциальными уравнениями с частными производными.

Рис. 1.1.2. Блок-схема системы виброиспытаний конструкции крыла самолѐта

На верхней поверхности крыла 1 устанавливается система датчиков виброускорений 2 в заданной системе точек. Выходные сигналы от датчиков подаются на систему усилителей 3 и далее на многоканальные входы электронного блока 4, где производится их аналоговая фильтрация, оцифровка в устройстве дискретизации и промежуточное хранение в буферном запоминающем устройстве. Специализированная ЭВМ 5 связывает блок 4 с линией локальной вычислительной сети ЛВС 6. Специализированная ЭВМ 7, подсоединѐнная к ЛВС, производит управление электронным блоком 8, который задаѐт режимы работы системы динамических вибровозбудителей 9 и реализует силовые воздействия в определѐнных точках на нижней поверхность крыла. Специализированная ЭВМ 10 управляет вибровозбудителями, производит сбор информации от датчиков и осуществляет обработку результатов виброиспытаний. Представленная блок-схема является сильно упрощѐнной. Реальные подобные цифровые ИУС включают в свой состав сотни 13

датчиков и десятки вибровозбудителей. Управление такими системами может осуществляться только на основе ЭВМ. Для малых воздействий от вибровозбудителей колебательные движения крыла описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые связывают функции смещений в заданных точках и функции силовых воздействий в определѐнной системе точек на нижней поверхности крыла. В случае, если динамические вибровозбудители реализуют тестовые синусоидальные воздействия, то установившиеся колебания в системе точек крыла, где размещены датчики виброускорений, также являются синусоидальными и характеризуются соответствующими амплитудами и фазовыми сдвигами. С помощью проведения измерений амплитуд и фазовых сдвигов колебаний в системе точек крыла и измерений системы тестовых воздействий могут быть вычислены соответствующие амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ), которые составляют основу математической модели крыла. В рассматриваемой ИУС датчики 2, усилители 3, электронный блок 4 и специализированная ЭВМ образуют ССД; вибровозбудители 9, электронный блок 8, специализированная ЭВМ 7 образуют СВУ; ЛВС 6 и ЭВМ 10 реализует СОИ; крыло 1 представляет собой ОУ. 1.2.

Сигналы и варианты алгоритмов ЦОС

1.2.1. Классификация сигналов, непрерывные и дискретные сигналы Сигналы могут классифицироваться многими способами, например, в зависимости от предметной области и решаемых задач. Сигналы бывают детерминированными и случайными: 1) детерминированными или регулярными называются сигналы, которые описываются функциями заданного вида и в которых известны все параметры этих функций; 2) квазидетерминированными называются сигналы, которые описываются функциями известного вида, однако один или несколько параметров этих функций являются случайными величинами; 3) случайными называются сигналы, значения которых в каждый момент времени представляют собой слу14

чайные величины. Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными. Сигналы различаются видом дискретизации. Дискретизация сигналов может быть осуществлена по времени и по уровню. На рис. 1.2.1а–1.2.1г проиллюстрированы различные виды дискретизации сигналов. Исходный физический сигнал x(t ) (напряжение, ток и т.д.) является непрерывной функцией времени t, определѐнной на конечном или бесконечном интервале времени (см. рис. 1.2.1а). Подобные непрерывные сигналы в ряде случаев называются аналоговыми. Последовательность чисел, представляющая собой значения сигнала в дискретные моменты времени, называется отсчѐтами сигнала и составляет дискретный ряд. Как правило, отсчѐты берутся через равные промежутки времени T, называемые периодом дискретизации (интервалом, шагом дискретизации). Процесс преобразования непрерывного сигнала в последовательность отсчѐтов называется дискретизацией и результат подобного преобразования является сигналом хДВ (Ti), в котором произведена дискретизация по времени (см. рис. 1.2.1б). Представление непрерывного сигнала в виде набора дискретных отсчѐтов приводит к потере информации, поскольку не учитываются значения сигнала в промежутках между отсчѐтами.

Рис. 1.2.1а. Непрерывный сигнал x(t ) (аналоговый сигнал) 15

Рис. 1.2.1б. Сигнал, xДВ (Ti), дискретизованный по времени

Рис. 1.2.1в. Сигнал xДУ (ti ), дискретизованный по уровню

Рис. 1.2.1г. Сигнал x(Ti), дискретизованный по времени и по уровню 16

Квантование по уровню пояснено на рис. 1.2.1в. Сигналы, квантованные только по уровню и обозначаемые как xДУ (ti ), представляют собой последовательность кусочно-постоянных функций с переключениями ti , расположенными неравномерно во времени, х – шаг квантования по уровню. При обработке сигналов в вычислительных устройствах отсчѐты представляются в виде двоичных чисел с конечным числом разрядов. Из-за этого отсчѐты могут принимать только конечное множество значений, приводящее к округлению и внесению погрешностей. Сигнал, дискретизованный во времени и квантованный по уровню x(Ti), называется цифровым (см. рис. 1.2.1г). Вычислительные устройства, предназначенные для обработки сигналов, оперируют только с цифровыми сигналами. Однако в ряде случаев, когда рассматриваются дискретные сигналы, эффекты, связанные с квантованием по уровню, не принимаются во внимание. 1.2.2. Этапы проведения ЦОС Проведение цифровой обработки сигналов удобно подразделить на два этапа. В соответствии с этими двумя этапами, на которых решаются специальные задачи, может быть произведена классификация алгоритмов ЦОС. Этап предварительной обработки. Первый этап ЦОС состоит в проведении вычислительных процедур, которые направлены на решение задач типа редактирования, повышения точности и достоверности и определения элементарных статистических характеристик для дискретизованных сигналов. На этом этапе реализуются процедуры, которые используют алгоритмы: устранения аномальных значений в дискретизованных сигналах; устранения пропусков в дискретизованных сигналах в дискретизованных сигналах; устранения помеховых аддитивных и мультипликативных трендов в дискретизованных сигналах; вычисления элементарных статистических характеристик для дискретизованных сигналов; сжатия (архивирования) и разархивирования сигналов. Разумеется, этот перечень алгоритмов может быть расширен и уточнѐн. После проведения первого предварительного этапа осу17

ществляется второй этап цифровой обработки, заключающийся в решении задач анализа сигналов. Этап анализа сигналов. Второй этап ЦОС состоит в проведении вычислительных процедур, осуществляющих, главным образом, определение физической природы (идентификации) сигналов и оценивания их параметров. Второй этап цифровой обработки, как правило, реализует алгоритмы: цифрового спектрально-корреляционного анализа дискретизованных сигналов; цифровой фильтрации дискретизованных сигналов; построения математических моделей и оценивания параметров дискретизованных сигналов. Так же, как и для первого этапа, этот перечень алгоритмов может быть уточнен и значительно дополнен. 1.2.3. Варианты алгоритмов ЦОС Опишем основные варианты типовых алгоритмов ЦОС, реализующих линейные преобразования дискретных сигналов. Будем обозначать: y(Ti) – входной, в общем случае комплексный сигнал; T – интервал дискретизации; i – дискретный индекс. В ряде случаев выходной сигнал будем обозначать как x(Ti); иногда выходную последовательность будем обозначать как c(k ). Разумеется, для ЦОС реализуются и нелинейные преобразования сигналов, например при вычислении корреляционных или ковариационных функций. Алгоритм дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Для данного алгоритма входной дискретный, в общем случае комплексный сигнал в виде конечной последовательности y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, и выходная конечная комплексная последовательность c(k ) связаны зависимостью

c(k )

1N1 e Ni 0

j

2 ki N y(i) ,

k 0, 1,..., N 1.

(1.2.1)

ДПФ представляет собой линейное преобразование вектора yT ( y(0), y(1),..., y( N 1)) в вектор cT (c(0), c(1),..., c(N 1)). 18

Данное линейное преобразование (1.2.1) может быть представлено в матрично-векторном виде

c Dy, где элементы квадратной матрицы D(N, N), обозначаемые как dik , вычисляются как значения комплексной синусоидальной функции

dik

1 e N

j

2 ki N

1 2 cos ki N N

j sin

2 ki , i, k 0, 1,..., N 1 . N

Алгоритм ДПФ является фактически основным в рассматриваемой ЦОС; одно из основных применений ДПФ – спектральный анализ дискретных данных. Алгоритм дискретной свёртки. Этот алгоритм в частном случае представлен выражением i

x(i)

h(i s) y(s) ,

(1.2.2)

s 0

где y(s) – входная последовательность, s 0, 1,..., N 1; x(i) – выходная последовательность, i 0, 1,..., N 1 , а функция целочисленного переменного h(m), являющаяся весовой, иногда называется ядром свѐртки. Далее будет показано, что алгоритм дискретной свѐртки (1.2.2) может быть реализован в форме ДПФ. Алгоритм дискретной свѐртки используется при вычислениях реакции линейных динамических систем. Алгоритм цифровой фильтрации. Дискретное разностное уравнение m

x(i)

k

br x(i r) r 1

as y(i s) .

(1.2.3)

s 0

представляет собой общее описание алгоритма цифровой фильтрации в рекуррентном виде; y(i) – фильтруемый входной, x(i) – отфильтрованный выходной сигнал Далее будет пояснено, что алгоритм цифровой фильтрации (1.2.3) может быть реализован в форме дискретной свѐртки. Алгоритмы цифровой фильтрации широко используются в решениях задач обработки дискретизованных сигналов для различных предметных областей. 19

1.3. Структура ССД Структура ССД существенным образом определяет возможности проведения ЦОС. ССД состоит из системы датчиков, усилителей, противомаскировочных фильтров, электронных коммутаторов, аналого-цифровых преобразователей и устройств буферной памяти. На рис.1.3.1 схематически изображѐн один из вариантов упрощѐнной конструкции ССД, цифрами отмечены основные элементы системы.

Рис. 1.3.1. Блок-схема системы сбора данных

1.3.1. Датчики CCД Объекту управления (ОУ) в рамках ССД придаѐтся набор первичных информационных преобразователей – система датчиков, назначение которых состоит в преобразовании фазовых координат объекта x(t ) в систему электрических сигналов – выходные напряжения V (t ) , в которых содержится информация о параметрах объекта. Каждому датчику ставится в соответствие функция преобразования, которая связывает значение величины x(t ) со значением напряжения V (t ). Функции преобразования могут быть двух видов. Для статических измерений связь между фазовыми координатами и выходными напряжениями реализуется в виде линейных или нелинейных функциональных зависимостей, соответствующих случаю статических функций преобразования. Для динамических измере20

ний связь между фазовыми координатами и выходными напряжениями реализуется в виде дифференциальных уравнений, соответствующих случаю динамических функций преобразования. Как правило, точный вид функций преобразования почти всегда оказывается достаточно сложным; поэтому в качестве функций преобразования могут выступать их модели, приближѐнно описывающие связи между фазовыми координатами и выходными напряжениями. Функции преобразования или их модели используются для решения задач ЦОС. Статические функции преобразования для датчиков устанавливают связь между входом и выходом в виде соотношений, которые являются нелинейными модельными функциями

V (t) g(x(t)).

(1.3.1)

Функции g( ) формируются на основе рассмотрения математических моделей датчиков. Функции (1.3.1) определяют вид статических характеристик датчиков. Для реальных датчиков разработана целая система вариантов модельных функций преобразования – статических характеристик. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто встречающиеся в практике ЦОС. Линейная статическая характеристика для датчика в виде функции V (t) a bx(t) является простейшим вариантом статической связи. Статическая характеристика датчика в виде нелинейной функции V (t) g(x(t)) в некоторых случаях может представляться графиком, изображѐнным на рис. 1.3.2. Условие 0 x(t ) xнс определяет рабочий диапазон датчика, точка xнс определяет границу области насыщения.

Рис. 1.3.2. Модельная статическая функция преобразования датчика 21

Описание функционирования многих типов датчиков в ряде случаев не может основываться на статических соотношениях. Благодаря наличию инерционных частей, трения и других факторов конструкций реальных датчиков между измеряемой фазовой координатой и выходным сигналом могут иметь место зависимости более сложного вида, чем статические. Достаточно часто, когда входная измеряемая фазовая координата x(t ) и выходной сигнал V (t ) являются функциями времени t (иногда x(t) x может быть константой), следует учитывать динамические свойства датчиков. Фукции преобразования для динамических датчиков устанавливают связи между входами и выходами в виде соотношений, которые являются модельными дифференциальными уравнениями. Указанные модельные дифференциальные уравнения формируются на основе рассмотрения математических моделей датчиков, которые базируются на уравнениях механики и электротехники. В инженерных приложениях наиболее часто рассматриваются модельные линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, соответствующие линейным динамическим датчикам и определяющие динамические функции преобразования. Для практики ЦОС целесообразно рассмотреть два наиболее часто встречающихся вида линейных дифференциальных уравнений, связывающих в динамике измеряемые фазовые координаты x(t ) и выходные сигналы V (t ) . Датчикам с апериодическими функциями преобразования ставятся в соответствие модельные линейные дифференциальные уравнения первого порядка

V (t )

k 1 V (t ) 0 x(t ), T T

(1.3.2)

где T – постоянная времени, обусловливающая его инерционность; k0 – коэффициент усиления. Датчики с колебательными функциями преобразования описываются модельными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка

V (t) 2

2 0V (t)

0V (t )

22

2 0k0 x(t ).

(1.3.3)

Значения параметров

,

2 0

и k0 определяют динамические свой-

2 ства датчиков. Сочетание параметров 2 0 0 соответствует колебательным функциям преобразования. Линейным динамическим датчикам ставятся в соответствие передаточные функции. Эти характеристики позволяют производить анализ динамических свойств и погрешностей линейных динамических датчиков. Передаточные функции определяются на основе применения преобразований Лапласа для функций времени

x(t), V (t): Х ( р)

х( )е

р

d , V ( р)

V ( )е

0

р

d ,

0

p – комплексный параметр. Передаточные функции H ( p) для линейных динамических датчиков определяют связь между входом и выходом при нулевых начальных условиях следующим образом:

V ( p) H( p) X ( p) . Для апериодических и колебательных динамических измерительных преобразователей (1.3.2), (1.3.3) передаточные функции записываются в виде полиномов от переменной p:

H1( p)

k0 , Tp 1

H2 ( p)

2 0 k0

p2 2 p

2 0

.

Для p j выражения X ( j ), V ( j ) представляют собой преобразования Фурье для функций времени x(t), V (t). Функция H ( j ) в этом случае для линейных динамических датчиков определяет связь входов и выходов в частотной области:

V ( j ) H( j ) X ( j ) . Функция H ( jω) является комплексной функцией частоты, которую можно представить в экспоненциальном виде:

H ( jω) где

H( j ) e j

( ),

H ( j ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

( ) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) для линейных динамических датчиков. Функции АЧХ и ФЧХ позволяют определить 23

амплитудные и фазовые искажения в зависимости от частоты для линейных динамических датчиков, когда эталонная величина x(t ) изменяется по гармоническому закону в соответствии с формулой

x(t) X cos t, для которой заданы X – амплитуда; – частота. Общеизвестно, что значение сигнала V (t ) для линейного динамического измерительного преобразователя в установившемся режиме в этом случае также будет описываться гармонической функцией

V (t) V cos( t

),

где V – амплитуда измеренного сигнала; – фазовый сдвиг между синусоидальной выходной и входной функциями. С помощью функций АЧХ и ФЧХ H ( jω) и ( ) можно оценивать амплитудные и фазовые искажения, вносимые динамическим измерительным преобразователем. Для заданной частоты амплитудное и фазовой искажение V / X и между измерительным сигналом и измеряемой величиной определяются следующим образом:

V X

H( j ) ,

( ).

Рассмотрим более детально конструкцию и характеристики одного из вариантов датчиков виброускорений. На рис. 1.3.3 представлен схематический чертѐж электромеханической конструкции пьезоакселерометра. Действие пьезоэлектрических датчиков виброускорений основано на использовании прямого пьезоэффекта – свойства некоторых материалов (пьезоэлектриков) генерировать электрический заряд под действием приложенной к ним механической силы. Инерционный элемент 3 прикреплѐн к верхней грани пьезоэлемента 2, а нижняя грань пьезоэлемента прикреплена к корпусу 1, пружина 4 воздействует на верхнюю поверхность инерционного элемента. При установке датчика на исследуемом объекте эта система воспринимает его вибрацию. Выходом пьезоэлектрического датчика является напряжение V (t), снимаемое с пьезоэлемента. 24

Рис. 1.3.3. Схематический чертѐж конструкции пьезоакселерометра

Рис. 1.3.4. Схема механической модели пьезоакселерометра

Упрощѐнная схема механической модели этого датчика приведена на рис. 1.3.4. Дифференциальное уравнение для смещения x(t ) инерционного элемента под действием комплексной гармонической силы F(t)

Fe j t , имеет вид mx cx kx Fe j t ,

где m, c, k определяют параметр массы, коэффициент демпфирования и коэффициент упругости. От данного уравнения можно перейти к дифференциальному уравнению вида

x 2

0x

2 0x

25

2 0

F j t e , k

где

2 0

k / m,

0.

c/2m

Положим, что установившееся решение

этого дифференциального уравнения имеет вид x(t)

Xe j t , где

X – комплексная амплитуда. После подстановки x выражение для амплитуды 2 F 1 0 X 2 2 2 j2 0 0 k 1 j2

t

0

Xe j

получим

F . k

(1.3.4)

0

С использованием (1.3.4) сформируем передаточную функцию H0 ( j ) , связывающую в частотной области амплитуду X с амплитудой силы F: X 1 1. (1.3.5) H0 ( j ) 2 F k 1 j2 0

0

Выделим в передаточной функции (1.3.5) действительную и мнимую часть 2 2 j 1 0 0 H0 ( j ) . 2 2

1 0

2 2

2

2

0

0

2

2

1

0

На основе формул для действительной и мнимой частей представим выражения для АЧХ H0 ( j ) и ФЧХ ( ) рассматриваемого пьезоакселерометра: 2

1

H0 ( j ) 2

2 2

1 0

2

2

, ( ) arctg

0 2

.

1 0

0

Поскольку выходное напряжение V (t ) и смещение x(t), ускорение a(t ) и возбуждающая сила F(t) связаны линейными зависимостями V (t ) kv x(t ), a(t ) ka F (t ), то передаточная функция пьезоакселерометрического датчика, связывающая V (t ) и a(t ) представится очевидным образом: 26

H ( j ) k0 H0 ( j ) . На рис. 1.3.5а–1.3.5б изображены АЧХ и ФЧХ передаточной / 0. функции H ( j ) для k0 1 и относительных частот w w2 для таких датчиков Рабочий частотный диапазон w1 соответствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона следует учитывать величину фазового запаздывания ФЧХ. АЧХ пьезоакселерометров содержат области, примыкающие к резонансной частоте w p . Перечисленные сведения по частотным характеристикам присущи почти всем видам датчиков практически независимо от их физической природы. Здесь не конкретизируется возможный перечень типов датчиков, применяемых в системах ЦОС.

Рис. 1.3.5а. АЧХ передаточной функции пьезоакселерометра

Рис. 1.3.5б. ФЧХ передаточной функции пьезоакселерометра 27

1.3.2. Усилители, противомаскировочные фильтры, электронные коммутаторы Выходные электрические сигналы V (t ) от датчиков поступают на входы системы широкополосных усилителей (УС) с коэффициентами усиления K1; назначение данных усилителей cостоит в обеспечении усиления входных сигналов до стандартного значения: K1V (t ) V1(t ) , V1(t) V1 , чаще всего V1 1 В. Частотные характеристики передаточной функции для УС должны быть подобраны таким образом, чтобы для входного сигнала V (t ) в заданном частотном диапазоне амплитудные и фазовые искажения были незначительными. На вход аналогового противомаскировочного фильтра подаѐтся сигнал V1(t ), выходной сигнал фильтра обозначается в виде V2 (t ). Низкочастотные аналоговые фильтры (непропускающие высокие частоты) с передаточными функциями ( j ) обеспечивают устранение высокочастотных составляющих в выходном сигнале V2 (t ). Подобная аналоговая фильтрация необходима для согласования частоты последующей дискретизации и верхней частоты сигнала V2 (t ). Физическое содержание процесса противомаскировочной фильтрации будет прояснено в разд. 3.4, в котором будут рассмотрены вопросы дискретизации сигналов. Для противомаскировочного фильтра АЧХ имеет вид, изображенный на рис. 1.3.6, где параметр с – частота среза фильтра, удовлетворяет условию

(j

2 c

1/ 2 . Как правило, для противо-

маскировочных фильтров их АЧХ в точке среза с должны иметь большую крутизну. Вследствие чего в рабочей полосе частот (0, c ) коэффициент усиления фильтра должен быть примерно равен 1, в высокочастотной области ( c , ) коэффициент усиления фильтра должен быть близок к нулю:

( j ) 1, 0

(j )

c;

0,

c

.

Частота среза c аналогового фильтра обычно регулируется в зависимости от полосы исходного сигнала (его частотных свойств) и 28

заданной частоты дискретизации. Линии 1 и 2 АЧХ на рис. 1.3.6 отличаются крутизной.

Рис. 1.3.6. АЧХ противомаскировочного фильтра

Выход противомаскировочного фильтра V2 (t ) фактически является информационным сигналом, который далее подвергается дискретизации. Электронный коммутатор (мультиплексор) реализует переключение измерительных каналов с частотой дискретизации fd 1/ T , T – интервал временной дискретизации. На вход электронного коммутатора поступают аналоговые сигналы от противомаскировочных фильтров V2i (t ), i 1,..., n, n – число информационных каналов ССД (по числу датчиков). На единственном выходе электронного коммутатора формируется последовательность кусочнопостоянных сигналов VМП VМП (t ), которая подаѐтся на устройство дискретизации. Пример временной диаграммы работы электронного коммутатора для трѐх информационных входных каналов, на которые подаются напряжения V21(t ), V22 (t ), V23 (t ) , приведѐн на рис. 1.3.7. С временным шагом дискретизации T происходит запоминание на время t k (время коммутации) соответствующего кусочнопостоянного напряжения, которое предназначено для подачи в устройство дискретизации. Для работы электронного коммутатора T. должно выполняться соотношение n tк 29

VМП (t )

tк

Рис. 1.3.7. Временная диаграмма работы электронного коммутатора

Для некоторых задач цифровой обработки при многоканальном вводе высокочастотных сигналов необходимо учитывать фазовые сдвиги для информации в дискретизованных сигналах, которые вносятся при работе по предлагаемой схеме. Следует отметить, что использование в ССД электронного коммутатора не является обязательным; его применение диктуется в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для снижения числа микросхем АЦП или, например, для обеспечения идентичности дискретизации по различным каналам. Вполне возможно построение ССД без электронного коммутатора с использованием в каждом канале отдельных микросхем АЦП. 1.3.3. Аналого-цифровые преобразователи Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) осуществляют преобразование последовательности кусочно-постоянных напряжений от мультиплексора VМП VМП (t ) в последовательность цифровых кодов у0 y0 (Ti) . Следует отметить существенные параметры АЦП для формирования систем ЦОС: 1) tАЦП – время преобразования АЦП аналогового напряжения V2i (t ) в цифровой код; очеtk ; 2) LA – число видно, должно выполняться неравенство tАЦП 30

разрядов цифрового кода с выхода АЦП (не считая знака); 3) VАЦП – рабочий диапазон АЦП по входному напряжению; этот параметр устанавливается стандартным рядом значений – чаще всего VАЦП 1 и 5 В. Последовательность y0 (Ti) с выхода АЦП является дискретизованной по времени и по уровню. Благодаря дискретизации по времени из непрерывного информационного сигнала V2 (t ) с шагом T формируется последовательность значений V2 (Ti). Вследствие дискретности по уровню последовательность V2 (Ti) преобразуется с помощью функции преобразования АЦП FАЦП в последовательность целых чисел y0 (Ti) :

y0 (Ti)

FАЦП (V2 (Ti), VАЦП , LA ) .

На рис. 1.3.8 показан график рассматриваемой нелинейной функции преобразования FАЦП для VАЦП 5 В, LA 4 . В соответствии с принятыми значениями параметров АЦП преобразуемые сигналы y0 (Ti) представляются целыми числами в диапазоне от 0 до 15 (без учѐта знака).

FАЦП

Рис. 1.3.8. Функция преобразования АЦП

31

Дискретность по уровню вносит погрешности в информационVАЦП ный сигнал. Нетрудно подсчитать величину

VАЦП /(2LA 1) , соответствующую цене одного разряда АЦП, которая позволяет ориентировочно оценить величину погрешности от дискретизации по уровню. При работе АЦП следует обеспечивать согласование (примерное равенство) максимального значения напряжения сигнала V2 и диапазона VАЦП . Рассмотрим необходимость такого согласования. С

этой

целью

смоделируем

синусоидальный

сигнал

вида

N 1000; V2 (Ti) Asin(2 f Ti), i 0, 1,..., N 1; T 0,01 c; f 0,1 Гц и двумя амплитудами А1 4,32 , А2 0,65 Для АЦП были выбраны параметры VАЦП 5 В, LA 4, для которых

VАЦП 0,33 В. На рис. 1.3.9 помещены графики дискретизованных по уровню модельных синусоидальных сигналов, кусочно-постоянная линия с индексом 1 соответствует А1 4,32 , линия с индексом 2 соответствует А2 0,65 . Из-за того, что во втором случае амплитуда

Рис. 1.3.9. Результаты дискретизации синусоидальных сигналов 32

синусоиды существенно меньше величины VАЦП , преобразованный синусоидальный сигнал на выходе представляет собой двухуровневую последовательность. 1.3.4. Устройства буферной памяти На вход буферного запоминающего устройства (БЗУ) поступают данные от АЦП. БЗУ обеспечивает промежуточное хранение массивов дискретизованных данных. Для БЗУ следует отметить параметры, существенные при реализации сбора данных: 1) tБЗУ – время ввода одного кода от АЦП в БЗУ; tБЗУ T n ; 2) объем памяти БЗУ – VБЗУ в Кб (Мб), где б – байт. При формировании конкретной системы сбора данных необходим учѐт типа памяти БЗУ. При использовании микросхем с электродинамической памятью реализуется принудительный режим регенерации; при отключении питания в подобных БЗУ информация не сохраняется. При использовании в БЗУ элементов памяти электромагнитного типа при отключении питания информация сохраняется. При реализации сбора дискретных данных целесообразно рассмотреть особенности организации непрерывного сбора (режим "пинг-понг") для обеспечения сбора без пропусков наблюдений. Основной фактор, который необходимо учитывать при организации непрерывного сбора, состоит в необходимости согласования частоты дискретизации с максимально возможной частотой ввода оцифрованных данных в ОЗУ или ДЗУ. Обозначим tо , tз – время, затрачиваемое на открытие и закрытие файла; tN – время передачи файла из N чисел из ОЗУ в ДЗУ; tВ – время ввода одного числа в ОЗУ, tКПД – время ввода одного кода в ОЗУ по каналу прямого доступа (с автоматической адресацией). Первый вариант сбора в режиме "пинг-понг" реализуется на основе разбиения БЗУ на две переключающиеся зоны, в каждой из которых записывается по N чисел (рис. 1.3.10а); условие непрерывности ввода представляется неравенством NtБЗУ NtB to tз tN . Второй вариант организации непрерывного сбора осуществляется на основе канала прямого доступа (КПД) в ОЗУ и выделении программным способом в ОЗУ двух переключающихся зон 33

(массивов) по N чисел (рис. 1.3.10б); в этом случае непрерывность сбора данных обеспечивается при выполнении неравенства

NtКПД to tз tN .

Рис. 1.3.10а. Схема режима «пинг-понг» для БЗУ

Рис. 1.3.10б. Схема режима «пинг-понг» для ОЗУ

Список вопросов для самопроверки к гл. 1 1. Каково назначение основных элементов для структуры системы ЦОС? 2. Из каких элементов состоит ССД? 3. Какие основные элементы входят в состав конструкций пьезоэлектрических датчиков ускорений? 4. В чѐм состоит назначение усилителей выходных сигналов датчиков ССД? 5. В чѐм состоит назначение противомаскировочных фильтров? 34

6. Какие основные характеристики противомаскировочных фильтров существенны при построении систем ЦОС? 7. В чѐм состоит назначение электронных коммутаторов каналов (мультиплексоров) для ССД? 8. Какие основные характеристики мультиплексоров существенны при построении систем ЦОС? 9. В чѐм состоит назначение АЦП? 10. Какие основные характеристики АЦП существенны при построении систем ЦОС? 11. Каким образом разрядность и диапазон по входному напряжению АЦП влияют на точность ЦОС? 12. В чѐм состоит назначение БЗУ? 13. Какие основные структуры БЗУ используются в системах ЦОС? 14. Какие основные типовые алгоритмы реализуются в СОИ?

35

Глава 2. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ, ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 2.1. Синусоидальные сигналы 2.1.1. Гармонические и полигармонические сигналы Сигналы, которые рассматриваются в технической дисциплине ЦОС, определяются устройством и особенностями конструкции объектов управления, видом управляющих воздействий и описываются различными функциями времени. Как правило, сигналы – это действительные функции времени, обозначаемые как x(t ) , опt ределѐнные на бесконечном или на конечном t0 t t f временном интервале. Для наиболее типичных случаев ЦОС, имеющих многочисленные приложения, используются варианты синусоидальных сигналов. Гармонический (синусоидальный или монохроматический) сигнал являет собой простейший пример сигнала, который рассматривается в ЦОС. Общий его вид представляется выражением

x(t) Acos( t

)

a cos t bsin t ,

(2.1.1)

где a Acos , b Asin , A (a2 b2 )1/2 – амплитуда гармонического сигнала; (t) – фазовая функция; – начальная t фаза и arctg( b / a) . Частота сигнала связана с фазовой функцией через производную – (t) . Поскольку в данном случае фазовая функция изменяется по линейному закону, то частота гармонического сигнала постоянна во времени. Частота, обозначаемая в виде , измеряется в рад/с ; частота сигнала, обозначаемая в виде f и удовлетворяющая соотношению 2 f , измеряется в Гц. Полигармонический сигнал описывается в виде суммы нескольких гармонических составляющих L

L

Al cos( l t

x(t)

l)

(al cos l t bl sin l t ).

l 1

(2.1.2)

l 1

Частоты l для (2.1.2) в общем случае являются произвольными и для определѐнности будем считать их упорядоченными – удовле36

творяющими системе неравенств

1

2

...

L,

(al2 bl2 )1/2 Al

амплитуды, arctg( bl / al ) l – начальные фазы гармонических составляющих, l 1,..., L . Составить наглядное представление о полигармонических сигналах позволяет их амплитудный и фазовый спектр – графическое изображение распределения амплитуд Al и начальных фаз l гармонических составляющих по дискретным частотам l , l 1,..., L. Отметим, что значения начальных фаз l приводятся к диапазону [0, 2 ] . Пример амплитудного и фазового спектра для некоторого полигармонического сигнала изображѐн на рис. 2.1.1а, 2.1.1б.

Рис. 2.1.1а. Амплитудный спектр полигармонического сигнала

Рис. 2.1.1б. Фазовый спектр полигармонического сигнала 37

Модулированный по амплитуде и фазе (модулированнный по частоте) синусоидальный сигнал является обобщением монохроматического сигнала и представляется следующим выражением:

x(t) E(t)cos (t), где E(t) – амплитудная функция (огибающая); (t ) – нелинейная фазовая функция. При фиксированном значении x(t ) амплитуда и фаза модулированного сигнала не определены однозначно, поскольку для любого момента времени t справедливо соотношение

x(t)

E1(t )cos 1(t )

E2 (t )cos

2 (t ) .

Для обеспечения однозначности представления необходимо введение дополнительных условий, накладываемых на сигнал. Производная по времени фазовой функции есть мгновенная частота сигнала по определению, т.е. (t) (t) . Вследствие этого модулированной фазовой функции соответствует модулированная частотная функция и наоборот. Если выполняется неравенство для частоты 0 (t ) , то x(t ) является полосовым сигналом, 0 – его средняя 0 частота, 2 – ширина частотной полосы сигнала. Узкополосный сигнал с условием 2 0 может быть записан в виде

x(t)

a(t )cos

0t

b(t )sin

0t

E(t )cos( 0t

где функции a(t) E(t)cos (t) , b(t) E(t)sin ниченные нулевые и первые производные

a01

a(t )

a02 , b01

b(t )

b02 , a11

a(t )

(t )) ,

(t) имеют огра-

a12 , b11

b(t )

b12 .

Очевидно, амплитудная функция E2 (t ) a2 (t) b2 (t) в этом случае ограничена сверху и снизу: 2 b2 2 2 2 a01 01 E (t ) a02 b02 .

Для фазовой функции справедливы соотношения

(t )

0t

После дифференцирования ной во времени частоты

(t ) ,

(t) arctg( b(t) / a(t)) .

(t ) получим выражение для перемен38

b(t )a(t ) b(t )a(t ) . a2 (t ) b2 (t ) С учѐтом введѐнных ограничений на амплитуды и их производные из последней формулы вытекает неравенство для частоты (t ): 2 b2 ) , , (t) 0 (b12a02 b02a12 ) / (a01 0 01 (t )

0

где 2 – верхнее значение полосы сигнала. Ограничения на производные для амплитуд a(t), b(t) влияют на ширину полосы узкополосного сигнала и обусловливают медленные изменения амплитудой E(t) и частотой (t ) функций. На рис. 2.1.2а представлен пример реализации сигнала x(t ) с модулированными по синусоидальному закону амплитудными и фазовыми функциями

х(t ) E(1 1 cos(2 f1t 1)) (2.1.3) cos(2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 ). Для (2.1.3) E(t ) E(1 1 cos(2 f1t 1)) представляет собой выражение для модулированной амплитудной функции, (t) 2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 – для модулированной фазовой функции.

Рис. 2.1.2а. Реализация узкополосного сигнала с синусоидальной амплитудной и частотной модуляцией 39

Рис. 2.1.2б. Функция синусоидальной частотной модуляции

Сигнал рис. 2.1.2а определѐн на интервале времени t f

15,5 c

0), E 1, несущая частота f0 1,5 Гц, 0 0,5, 1 0,5 – глубина амплитудной модуляции, f1 0,05 Гц – частота амплитудной модуляции, 1 0,1 , 2 10 – индекс модуляции фазовой функции, f2 0,075 Гц – частота фазовой модуляции, 2 1,5. Для данного узкополосного сигнала частотная функция f (t) меня(t0

ется в соответствии с

(t)

f (t)

f0

2 f2 cos(2

f2t

2) ,

(2.1.4)

где 2 f2 – индекс частотной модуляции. На рис.2.1.2б изображен график частотной функции f (t) (2.1.4). 2.1.2. Синусоидальные сигналы с амплитудной и частотной модуляцией Рассмотрим простейшие случаи синусоидальных амплитудных и фазовых модуляций гармонических сигналов, которые обусловливают их полигармонический характер. Гармонический сигнал с амплитудной синусоидальной модуляцией представляется выражением

x1(t ) E(1

1 cos(2

f1t 40

1))cos(2

f0t

0 ).

(2.1.5)

На рис. 2.1.3а изображена реализация сигнала с амплитудной модуляцией, определѐнного на отрезке времени 0 t t f ,

t f 14,5 c, E 1, несущая частота f0 1,5 Гц, 0 0,5, 1 2,1.

1

0,4, f1 0,12 Гц,

Рис. 2.1.3а. Реализация сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией

Рис. 2.1.3б. Реализация сигнала с синусоидальной частотной модуляцией 41

Сигнал (2.1.5) может быть разложен на сумму трѐх гармонических составляющих сигналов с частотами 0 , 0 , 0 , где 2 f1. Положим для удобств выкладок, что 0 0, 0 2 f0 , 0, разложим произведение косинусов в сумму

x1(t ) E cos

0t

E cos(( 2

)t )

0

E cos(( 2

0

)t ).

Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией, изображѐн на рис. 2.1.4.

Рис. 2.1.4. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией

Гармонический сигнал с фазовой (частотной) синусоидальной модуляцией описывается выражением

x2 (t ) E cos(2 f0t Для

(2.1.6)

2 sin(2

f2t

2)

0 ).

(2.1.6)

модулированная

фазовая функция имеет вид (t ) 2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 . Введѐм обозначения 0 2 f0 , 2 f2 , 2 , положим 0, 0 0. Для сигнала (2.1.6) частота модулируется по гармоническому закону

(t )

cos t,

0

где определяет амплитуду функции частотной модуляции; – частота частотной модуляции. На рис. 2.1.3б представлен пример реализации модельного сигнала с частотной модуляцией, 42

определѐнный на отрезке времени 0 t t f , t f

2 f0 , f0 1,5 Гц,

14,5 c, E 1,

2 f2 , f2 0,15. Глубина частотной модуляции составляет величину f2 0,6 Гц и частота 0

4,

2

данного частотно-модулированного сигнала колеблется в пределах

(0,9 2,1) Гц.

Сигнал (2.1.6) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических составляющих. Запишем (2.1.6) в виде

x2 (t ) E(cos

0t sin(

sin t ) sin

0t cos(

sin t).

(2.1.7)

Воспользовавшись работой Г.М. Фихтенгольца , разложим периодические функции sin( sin t) и cos( sin t) в ряд по синусам и косинусам кратных дуг

sin( sin t ) 2

J 2l 1( )sin(2l 1) t, l 1

(2.1.8)

cos( sin t ) J0 ( ) 2

(

1)l 1 J

2l (

)cos2l t,

l 1

где Jl ( ) – функции Бесселя первого рода порядка l, для которой справедливо разложение в степенной ряд

Jl ( ) m

( 1)m 0 m!(m l )! 2

2m l

, l 0.

На рис. 2.1.5 представлены графики функции Бесселя в зависимости от для 0 , 15 и l 0, 1, 2. Подставим в (2.1.7) выражения разложений (2.1.8), получим

x2 (t )

ЕJ2l 1( )sin(2l 1) t

сos 0t 2 l 1

sin

0t

ЕJ0 ( ) 2

( 1)l 1 ЕJ2k ( )cos2l t . l 1

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с. 43

Рис. 2.1.5. Графики функций Бесселя первого рода

Сделаем очевидные преобразования

x2 (t ) ЕJ0 ( )sin

( 1)l 1 ЕJ2l ( )[sin(

0

0t

2l )t sin(

2l )t ]

0

l 1

ЕJ2l 1( )[sin(

0

(2l 1) )t sin(

(2l 1) )t]

0

l 1

и соберѐм гармонические составляющие с частотами 0 , 0 2l , 0 (2l 1) , 0 2l , 0 (2l 1) , которые располагаются с дискретным шагом по частоте относительно несущей частоты

x2 (t) ЕJ0 ( )sin 0t

( 1)l 1 ЕJ 2l ( )sin(

0

2l )t

l 1

ЕJ 2l 1( )sin(

0

(2l 1) )t )

(2.1.9)

l 1

( 1)l 1 ЕJ 2l ( )sin(

0

2l )t

ЕJ 2l 1( )sin(

l 1

0

(2l 1) )t ).

l 1

Из (2.1.9) видно, что амплитуды гармонических составляющих определяются значениями функций Бесселя. 44

На рис. 2.1.6 представлен пример амплитудного спектра частотно-модулированного по синусоидальному закону сигнала вида (2.1.9), симметричного относительно f0 , Al ЕJl ( ) , l 0, 1,..., 8; для l 8 , Jl ( ) 0. Из (2.1.9) можно заключить, что данный частотно-модулированный сигнал допускает представление в виде полигармонического сигнала с достаточно широким спектром, который в данном случае состоит из 15 гармонических составляющих.

2.1.6. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной частотной модуляцией

2.2. Комплексные сигналы. Энергетические характеристики сигналов Комплексные сигналы являются естественным обобщением действительных сигналов и записываются в виде

x(t) x1 (t) jx2 (t) , где x1(t ), x2 (t ) – действительная и мнимая составляющие комплексного сигнала x(t), которые определены на бесконечном инt тервале или конечном интервале t0 t t f времени. Комплексные сигналы могут быть представлены в показательной форме 45

x(t) E(t)e j

(t ) ,

E 2 (t ) x12 (t ) x22 (t ),

(t) arctg(x2 (t) / x1(t)).

В качестве примера комплексного сигнала приведѐм выражение для комплексной синусоиды с параметрами A, 0 ,

x(t ) Ae j (

0t

)

Acos( 0t

) j Asin( 0t

).

Для любого момента времени t значения комплексных сигналов x(t ) представляют собой комплексные числа, над которыми можно производить все операции комплексной арифметики. Использование комплексных сигналов доставляет определѐнные математические удобства; в том числе основные соотношения ЦОС записываются в комплексной форме с целью обеспечения компактности формул. Многие распространѐнные программы вычислений, используемые для задач ЦОС, работают с комплексными входными и выходными данными. Энергия E комплексного сигнала x(t), по определению, записывается в виде интеграла

E

( x12 (t ) x22 (t ))dt,

x* (t ) x(t )dt

где звѐздочка наверху * является знаком комплексного сопряжения. Данное определение энергии сформулировано в соответствии с аналогией из электротехники – величиной энергии, выделяемой на активном сопротивлении R при действии комплексного тока I (t)

E

I * (t ) I (t ) Rdt.

Очевидно, что сигналы x(t), которые фигурируют в ЦОС, должны обладать конечной энергией

E

x* (t ) x(t )dt

.

Однако необходимо иметь в виду, что не все сигналы, фигурирующие в ЦОС, обладают конечной энергией; например, у периодических сигналов, очевидно, энергия бесконечна. Средняя мощность P(T0 , t ) сигнала x(t ) определяется энергией, отнесѐнной к заданному интервалу времени Т0 : 46

t T0

1 P(T0 , t ) T0

x* ( ) x( )d . t

Мгновенная мощность сигнала P0 (t ) в момент времени ляется как предел

P0 (t )

1 0 T 0

t T0

T0

x* (t)x(t).

x* ( ) x( )d

lim

t опреде-

t

Средняя мощность действительного гармонического сигнала, определѐнного в разд. 2.1

x(t) Acos( 0t

)

на интервале времени, который соответствует периоду T0 2 / 0 , не зависит от начального момента времени t, частоты 0 и начальной фазы , поскольку на таком интервале времени укладывается в точности одно колебание рассматриваемого гармонического сигнала. В самом деле, величина средней мощности гармонического сигнала может быть вычислена с помощью следующего интеграла t

2 0

P

0

2

A2 cos2 (

0

)d

0

2

t

A2

1 sin 2( 2 4

t

0

)

0

2

t

A2 . 2

Средняя мощность действительного полигармонического сигнала L

(al cos l t bl sin l t )

x(t) l 1

на отрезке времени Т 0 должна представиться в виде интеграла

P(T0 , t )

1 T0

t T0

2

L

(al cos t

l

bl sin

l

d ,

l 1

который вычисляется достаточно сложным образом для произвольных значений t, T0 и частот 1,..., L. Рассмотрим частный случай, когда частоты сигнала являются упорядоченными 1 < 2