Основы проектирования и конструирования машин: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А. И. Воячек, В. В. Сенькин

ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ МАШИН Учебное пособие

ПЕНЗА 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

А. И. Воячек, В. В. Сенькин

Основы проектирования и конструирования машин Учебное пособие

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2008

УДК 621 В61 Р е ц е н з е н т ы: кафедра «Теоретическая и прикладная механика» Пензенской государственной технологической академии; кандидат технических наук, доцент кафедры «Механизация и автоматизация производства» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства И. В. Березняк

В61

Воячек, А. И. Основы проектирования и конструирования машин : учеб. пособие / А. И. Воячек, В. В. Сенькин. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. – 228 с. : ил. – Библиогр. : с. 225.

Приведены основные этапы проектирования и конструирования машин, требования, предъявляемые к проектируемым изделиям. Изложены основы определения сил, действующих на детали, и расчета элементов конструкций по основному критерию работоспособности – прочности при основных видах нагружения. Даны общие сведения о деталях машин, причинах выхода их из строя и критериях работоспособности. Приведены основные нормы взаимозаменяемости. Учебное пособие подготовлено на кафедре «Прикладная механика и конструирование машин» и предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 080502 «Экономика и управление на предприятии (машиностроение)» и 080507 «Менеджмент организации».

УДК 621

© Воячек А. И., Сенькин В. В., 2008 © Издательство Пензенского государственного университета, 2008

2

СОДЕРЖАНИЕ 1 Этапы проектирования и конструирования машин.............................................. 5 1.1 Этапы создания машин ........................................................................................ 6 1.2 Термины и определения..................................................................................... 10 2 Определение сил, действующих на элементы конструкции.............................. 14 2.1 Система сил......................................................................................................... 16 2.2 Аксиомы статики................................................................................................ 17 2.3 Связи и реакции связей ...................................................................................... 19 2.4 Проекция силы на ось. Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси координат ........................................................................................................... 21 2.5 Момент силы относительно точки.................................................................... 23 2.6 Понятие пары сил. Свойства пар ...................................................................... 24 2.7 Сложение пар...................................................................................................... 27 2.8 Приведение системы сил к данной точке ......................................................... 28 2.9 Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей................................................................................................... 31 2.10 Центр тяжести тела. Центр параллельных сил .............................................. 33 2.11 Понятие о силе тяжести и центре тяжести тела............................................. 34 2.12 Определение положения центра тяжести однородных тел........................... 35 2.13 Момент силы относительно оси...................................................................... 36 2.14 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил ........... 38 2.15 Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил ........................ 39 2.16 Виды опор балочных систем. Определение опорных реакций..................... 40 3 Расчет элементов конструкций на прочность и жесткость при основных видах нагружения..................................................................................................... 43 3.1 Основные задачи расчета................................................................................... 43 3.2 Метод сечений. Основные виды деформированного состояния .................... 48 3.3 Напряжения......................................................................................................... 52 3.4 Растяжение и сжатие .......................................................................................... 54 3.5 Основные механические характеристики при статическом нагружении ...... 59 3.6 Кручение. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге ............................................ 62 3.7 Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции сечений ..................................................................................... 70 3.8 Изгиб прямого бруса .......................................................................................... 73 3.9 Допускаемые напряжения при основных видах нагружения ......................... 84 4 Механические передачи........................................................................................ 91

3

4.1 Общие сведения о передачах............................................................................. 91 4.2 Основные кинематические и силовые соотношения в механических передачах .................................................................................................................. 92 4.3 Зубчатые передачи ............................................................................................. 94 4.4 Червячные передачи......................................................................................... 119 4.5 Цепная передача ............................................................................................... 130 4.6 Ременные передачи .......................................................................................... 136 4.7 Фрикционные передачи и вариаторы ............................................................. 148 5 Валы и оси............................................................................................................ 151 5.1 Общие сведения................................................................................................ 151 5.2 Расчет прямых валов ........................................................................................ 154 6 Подшипники ........................................................................................................ 161 6.1 Назначение и классификация .......................................................................... 161 6.2 Подшипники скольжения ................................................................................ 161 6.3 Подшипники качения....................................................................................... 170 7 Соединения .......................................................................................................... 181 7.1 Резьбовые соединения...................................................................................... 181 7.2 Соединения призматическими шпонками...................................................... 187 7.3 Сварные соединения ........................................................................................ 188 8 Муфты .................................................................................................................. 193 8.1 Общие сведения, назначение и классификация ............................................. 193 8.2 Муфты глухие................................................................................................... 195 8.3 Муфты компенсирующие ................................................................................ 197 8.4 Муфты упругие................................................................................................. 200 8.5 Муфты управляемые или сцепные.................................................................. 208 8.6 Муфты автоматические или самоуправляемые ............................................. 214 9 Основные нормы взаимозаменяемости и проектирования .............................. 217 9.1 Основные термины и определения по допускам и посадкам ....................... 217 9.2 Условные обозначения..................................................................................... 222 9.3 Интервалы номинальных размеров................................................................. 224 Список литературы ................................................................................................ 225

4

1 Этапы проектирования и конструирования машин Основная задача конструктора – создание машины, наиболее полно отвечающей потребностям заказчика, дающей наибольший экономический эффект и обладающей наиболее высокими технико-экономическими и эксплуатационными показателями. Машиной называют устройство, предназначенное для выполнения полезной работы, связанной с производством, или для преобразования одного вида энергии в другой. По характеру работы и производства машины подразделяют на следующие классы: − энергетические (двигатели, генераторы, воздушные и гидравлические насосы и т. п.); − технологические (станки, прессы, сельскохозяйственные машины, швейные машины и др.); − транспортные (автомобили, самолеты, локомотивы, подъемники, транспортеры и др.); − контрольно-управляющие (системы автоматического регулирования рабочих процессов); − логические (счетно-аналитические, счетно-решающие, электронно-вычислительные). В зависимости от класса машины в нее входят механические, гидравлические, пневматические, электрические, электронные и другие элементы. Главными показателями являются производительность; экономичность; надежность; малые вес, металлоемкость, габариты, энергоемкость, объем и стоимость ремонтных работ, расходы на рабочую силу; высокий ресурс долговечности; большие межремонтные сроки; высокие моральный ресурс и степень автоматизации; простота и безопасность обслуживания; удобство управления, разборки и сборки и т. п. В конструкции машин необходимо соблюдать требования технической эстетики. Машины должны иметь красивый внешний вид, изящную и строгую отделку. 5

Удельный вес каждого из перечисленных факторов зависит от назначения машины: − в машинах-генераторах и преобразователях энергии на первом плане стоит величина КПД, определяющего совершенство преобразования затрачиваемой энергии в полезную; − в машинах-орудиях – производительность и безотказность действия, степень автоматизации; − в металлорежущих станках – производительность, точность обработки, диапазон выполняемых операций; − в приборостроении – чувствительность, точность и стабильность показаний; − в транспортной технике, особенно в авиационной и ракетной – малый вес конструкции, высокий КПД двигателя, обусловливающий малый вес бортового запаса топлива. Огромное значение в машиностроении имеет экономика. Проектируя машину, конструктор должен добиваться всемерного увеличения ее рентабельности и повышения экономического эффекта за весь период работы. Основные способы решения этой задачи – повышение полезной отдачи машины, увеличение ее долговечности и снижение эксплуатационных расходов. Вместе с тем конструктор должен заботиться об уменьшении трудоемкости изготовления, снижении себестоимости, сокращении сроков проектирования, изготовления и доводки машин. Стоимость машиностроительной продукции зависит от обширного комплекса технологических, организационно-производственных, экономических, тарифных и других факторов.

1.1 Этапы создания машин Исходными материалами для проектирования могут быть: − техническое задание, выдаваемое заказчиком и определяющее параметры машин, область и условия ее применения; − техническое предложение, выдвигаемое в инициативном порядке проектной организацией или конструкторами; 6

− научно-исследовательская работа или созданный на ее основе экспериментальный образец; − изобретательское предложение или созданный на его основе экспериментальный образец. К техническим заданиям необходимо подходить критически. Конструктор должен хорошо знать отрасль промышленности, для которой проектируют машину. Он обязан проверить задание и в нужных случаях обоснованно доказать необходимость его корректировки. Основное содержание технического задания составляют требования к проектируемой машине. Их задают в виде следующих показателей качества, которыми должна обладать проектируемая машина: 1) назначения, характеризующие функциональные возможности создаваемой машины (мощность, производительность, скорость и т. д.); 2) надёжности, определяющие свойство машины сохранять во времени работоспособность (коэффициент готовности, коэффициент технического использования, вероятность безотказной работы, ресурс, долговечность и т. д.); 3) технологичности, обеспечивающие соответствие конструкции машины возможности и условиям ее изготовления и ремонта; 4) эргономические, характеризующие удобство эксплуатации и управления машиной. Их делят на четыре группы: гигиенические (освещение, температура, влажность, излучения и т. п.), антропометрические (обеспечивают соответствие конструкции машины размерам, форме, распределению массы оператора), физиологические (обеспечивают соответствие конструкции машины силовым и скоростным возможностям человека) и психофизиологические показатели (обеспечивают соответствие конструкции машины возможностям оператора по восприятию и переработке информации); 5) эстетические, отражающие информационную выразительность, рациональность формы, целостность композиции, совершенство исполнения; 6) экологические, показывающие содержание вредных веществ в отходах и т. п.; 7) безопасности; 7

8) транспортабельности, определяющие приспособленность конструкции к условиям транспортировки и другим манипуляциям; 9) патентно-правовые, характеризующие патентную чистоту и патентную защищенность конструкции машины; 10) унификации и стандартизации; 11) экономические, отражающие предполагаемую лимитную цену, срок окупаемости, годовую потребность. Не всегда учитывают то обстоятельство, что с момента начала проектирования до срока внедрения машины в промышленность проходит определенный период, как правило тем более длительный, чем сложнее машина. Этот период складывается из следующих этапов: 1) разработка технического задания с учетом проведения необходимых научно-исследовательских работ и патентного исследования; 2) проектирование и конструирование, включающие разработку конструкторской документации. Конструкторскими документами являются графические (чертежи, схемы и т. п.) и текстовые (спецификации, технические условия, расчеты прочностные и экономические и т. п.) документы, которые в отдельности или в совокупности определяют состав и устройство изделия, содержат необходимые данные для его разработки или изготовления, контроля, приемки, эксплуатации и ремонта; 3) изготовление, заводская отладка и доводка опытного образца, промышленные испытания, внесение выявившихся в ходе испытаний изменений, испытание и приемка опытного образца; 4) изготовление технической документации головной серии, изготовление головной серии и ее промышленные испытания. 5) разработка серийной документации, подготовка производства к серийному выпуску и организация серийного выпуска. Несомненно, над проектом машины трудится большое количество специалистов: конструкторы, технологи, дизайнеры, специалисты по безопасности жизнедеятельности, специалисты по эксплуатации и ремонту и т. п.

8

На стадии конструкторской разработки основное внимание уделяется вопросам обеспечения работоспособности изделия, определяемой как состояние изделия, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Кроме работоспособного состояния различают: − неработоспособное состояние (один или несколько параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, не соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации) (пример: у велосипеда сломано колесо); − исправное состояние – изделие соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации; − неисправное состояние – изделие не соответствует хотя бы одному требованию нормативно-технической и (или) конструкторской документации (пример: у велосипеда отсутствует крыло – неисправен, но работоспособен); − предельное состояние – дальнейшая эксплуатация изделия недопустима или нецелесообразна либо восстановление его работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно. Работоспособность объекта, в частности деталей и узлов машин, характеризуют совокупностью определённых признаков – критериев работоспособности. Основными критериями работоспособности деталей машин являются: − прочность, − жесткость, − износостойкость, − теплостойкость, − виброустойчивость. Конкретный критерий работоспособности определяется видом (видами) отказа для данных условий эксплуатации. В зависимости от условий эксплуатации для одного и того же объекта критерии работоспособности могут быть разными.

9

Прочность – способность материала сопротивляться разрушению, а также необратимому изменению формы. Прочность является главным критерием работоспособности для большинства деталей. Разрушение деталей машин наблюдается в виде: − поломок с нарушением целостности значительных объёмов материала; − повреждений рабочих поверхностей. В этих случаях говорят, соответственно, об объёмной и поверхностной прочности. Жесткость – способность элементов конструкции сопротивляться упругому изменению формы под действием внешних сил. Износостойкость – свойство материала оказывать сопротивление изнашиванию в определенных условиях трения. Теплостойкость – свойство изделия работать при заданных температурах, сохраняя значения всех параметров в норме в течение установленного срока эксплуатации. Виброустойчивость – свойство объекта выполнять требуемые функции при заданной вибрации, сохраняя значения параметров в пределах установленных норм. Указанные критерии работоспособности так или иначе связаны с определением сил, действующих на детали изделия, в узлах трения, в зонах соприкосновения отдельных деталей, на изделие в целом. В курсе «Основы проектирования и конструирования машин» рассматриваются общие вопросы обеспечения работоспособности машин.

1.2 Термины и определения Механизмом называют устройство, предназначенное для передачи или преобразования движения. Механизм обязательно входит в состав машины, но может быть и самостоятельной единицей. Примером является часовой механизм. Во всяком механизме имеется ведущее звено, которому движение сообщается извне, и ведомое звено или звенья, получающие движение от ведущего звена. Деталь – изделие, изготовленное из однородного по наименованию и марке материала без применения сборочных операций. 10

Сборочная единица – изделие, состоящее из нескольких частей, соединенных на предприятии-изготовителе с помощью сборочных операций (посадкой с натягом, свинчиванием, клепкой, пайкой, сваркой, склеиванием и т. п.). Деталь или несколько деталей, связанных в работе между собой неподвижно, называют кинематическим звеном. Звенья бывают подвижные и неподвижные. Неподвижное звено механизма называют стойкой. Соединение двух звеньев, обеспечивающее их относительную подвижность, называют кинематической парой. По характеру движения кинематические пары делят на вращательные и поступательные. Таким образом, механизм состоит из звеньев, соединенных между собой кинематическими парами. По характеру соприкосновения звеньев кинематические пары делятся на низшие и высшие. Низшими называют такие кинематические пары, в которых соприкосновение звеньев между собой происходит по поверхности (рисунок 1.1,а,г–е), а высшими называют кинематические пары, у которых звенья соприкасаются по линии или в точке (см. рисунок 1.1,б,в). Поверхности, линии или точки, которыми звенья касаются друг друга, называют элементами кинематической пары.

Рисунок 1.1 – Низшие и высшие кинематические пары

11

Соединение кинематических пар называют кинематической цепью. Кинематические цепи бывают замкнутые (рисунок 1.2,а) и разомкнутые (см. рисунок 1.2,б). Механизм может состоять из одной или нескольких кинематических цепей.

Рисунок 1.2 – Кинематические цепи

Всякое свободное тело в пространстве имеет шесть перемещений, или шесть степеней свободы: три поступательных перемещения вдоль осей х, у, z и три вращательных движения вокруг этих осей. В кинематической паре каждое из звеньев уже не может иметь шесть перемещений, так как одно звено накладывает на другое звено ограничения (связи), зависящие от способа соединения звеньев. Если q – число степеней свободы звена, входящего в кинематическую пару, a s – число связей, накладываемых на звено кинематической парой, то q = 6 – s. Академик И. И. Артоболевский предложил все кинематические пары разделить на пять классов в зависимости от количества возможных независимых относительных движений звеньев, т. е. по числу степеней свободы: − вращательные и поступательные кинематические пары I класса допускают лишь одно вращательное или поступательное движение (см. рисунок 1.1,а,е); − кинематические пары II класса допускают два относительных независимых движения (см. рисунок 1.1,д), s = 2; − кинематические пары III класса допускают три относительных независимых движения (см. рисунок 1.1,г), s = 3; − кинематическая пара IV класса (см. рисунок 1.1,в), у которой s = 4; − кинематическая пара V класса (см. рисунок 1.1,б), s = 5. 12

В плоских кинематических цепях или механизмах каждое свободное звено обладает в общем случае тремя степенями свободы. В таких механизмах могут существовать только кинематические пары I и II классов, причем низшие пары могут быть только двух типов – поступательные и вращательные. При этом каждая кинематическая пара I класса уменьшает число степеней свободы соединенных звеньев на два, так как допускают одно движение из трех. Каждая кинематическая пара II класса уменьшает число степеней свободы соединения звеньев на одно, т. е. допускает два движения из трех. Механизмом также называют замкнутую кинематическую цепь, имеющую определенное движение всех ведомых звеньев при неподвижной стойке (станине) и при заданном движении одного или нескольких ведущих звеньев (см. рисунок 1.2,в). В современном машиностроении чрезвычайно много разнообразных механизмов, поэтому при их изучении придерживаются какойлибо определенной классификации. В дальнейшем примем краткую классификацию механизмов, учитывающую как основные кинематические свойства, так и конструкции механизмов современного машиностроения и их функциональное назначение. По функциональным признакам выделяют: − механизмы вращательного движения (фрикционные и зубчатые передачи); − механизмы с гибкими звеньями; − кулачковые механизмы; − шарнирно-рычажные механизмы; − винтовые механизмы; − механизмы прерывистого движения. На практике возможны всякого рода комбинации механизмов, например рычажно-зубчатые, рычажно-кулачковые и т. п.

13

2 Определение сил, действующих на элементы конструкции Мы живем в материальном мире, нас окружают материальные тела. Важное практическое значение имеют положения, которые позволяют определить условия равновесия (покоя) материальных тел, а также условия, при которых получаются заданные перемещения этих тел. Например, стены домов, стены тоннелей, мосты и другие сооружения должны находиться в устойчивом равновесии. Части машин, механизмов, рабочие органы станков и т. п. должны совершать вполне определенные перемещения. В механике рассматривают абсолютно твердое тело, т. е. такое тело, у которого расстояние между двумя любыми точками абсолютно постоянно. Иначе можно сказать, что абсолютно твердое тело не изменяет свою форму и размеры при любых взаимодействиях. Абсолютно твердых тел в природе не существует, все реальные тела способны по-разному деформироваться под действием сил. Таким образом, понятие абсолютно твердого тела является условным, или абстрактным. Оно позволяет пренебречь теми свойствами реальных тел, которые отличают их друг от друга и учесть только общие свойства реальных твердых тел, а также дает возможность вывести общие законы равновесия и движения, которые затем можно применять для любых твердых тел. В некоторых задачах механики можно пренебречь не только величиной деформации тела, но и его размерами и формой, тогда это тело можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса. Следующим основным понятием механики является сила. В материальном мире материальные тела находятся во взаимодействии друг с другом. Это взаимное влияние проявляется в виде сил. Можно сказать, что сила – это мера механического взаимодействия тел. Если в результате непосредственного контакта тел происходит их деформация, можно говорить о статическом действии сил. Например, статическим является действие силы тяжести груза на пружину, которая при этом растягивается (деформируется). Если же незакрепленный

14

груз падает под действием силы тяжести с ускорением земного притяжения, то мы наблюдаем динамическое действие той же силы. При динамическом действии сил тело стремится изменить свою скорость. Силы, вызывающие перемещение тела или увеличивающие его скорость, называют активными, например, сила тяжести, давление ветра, мускульная сила человека и т. д. Силы, препятствующие перемещению тела, тормозящие его, называют реактивными, например, силы трения между колесами автомобиля и дорогой, силы сопротивления воздуха, возникающие при движении, и др. Передача воздействия одного тела на другое может происходить в одной точке, вдоль некоторой линии, по некоторой площади либо по всему объему. Например, давление шара на горизонтальную плиту передается через точку касания, давление цилиндра на горизонтальную плиту – через образующую цилиндра, давление цилиндра, поставленного на плиту вертикально, – через площадь основания. Примером силы, распределенной по объему, может служить сила тяжести тела, которая приложена ко всем его частицам. Силы, приложенные к абсолютно твердому телу в одной точке, называются сосредоточенными. Силы, действующие вдоль линии по поверхности либо по объему, называют распределенными. Известно, что величины, определяемые не только численными значениями (модулем), но и направлением в пространстве, называют векторными величинами либо просто векторами. К таким величинам относят, например, скорость, ускорение и т. д., а также и силы. Для удобства действий с векторными величинами их принято изображать графически (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Графическое изображение силы

15

Вектор силы (и других векторных величин) изображают в виде отрезка прямой со стрелкой на конце. Длина этого отрезка в масштабе характеризует модуль силы, а стрелка – ее направление. Начало вектора совмещено с точкой приложения силы (см. рисунок 2.1). Прямая MN, с которой совпадает вектор силы, называется линией действия силы. Обозначают вектор одной буквой, например F. Модуль вектора обозначается той же буквой F. В Международной системе единиц в качестве единицы измерения силы принят 1 ньютон (сокращенно – 1 Н).

2.1 Система сил В механике изучают условия равновесия абсолютно твердого тела под действием различных систем сил. Под равновесием мы понимаем покой или равномерное и прямолинейное движение относительно условно неподвижной системы отсчета. Под системой сил понимают совокупность сил, которые одновременно действуют на данное тело. Две (или несколько) системы сил называют эквивалентными, если они оказывают на одно и то же тело одинаковое механическое воздействие. Это значит, что одну систему сил можно заменить другой, эквивалентной, системой, при этом механическое состояние тела не изменится. Можно подобрать систему, состоящую из одной только силы, которая эквивалентна данной системе сил. Силу, заменяющую действие на тело системы сил, называют равнодействующей этой системы и обозначают буквой R. Различают уравновешенные и неуравновешенные системы сил. Уравновешенной называют такую систему сил, которая не нарушает равновесия тела. В уравновешенной системе силы взаимно уравновешиваются, поэтому их равнодействующая равна нулю. Неуравновешенная система сил, приложенная к абсолютно твердому телу, заставляет его двигаться. Нахождение равнодействующей неуравновешенной системы сил называют сложением сил, а обратное действие – разложением сил. Силы, входящие в состав системы, называют составляющими силами.

16

Если линии действия всех сил системы лежат в разных плоскостях, то систему называют пространственной. Если же линии действия всех сил системы расположены в одной плоскости, то систему называют плоской.

2.2 Аксиомы статики В основе статики лежат некоторые простые положения, не требующие доказательств, – это аксиомы. Аксиомы статики возникли в результате опыта и наблюдений за поведением тел, находящихся в равновесии под действием сил. Аксиома 1. Для равновесия двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю, направлены в противоположные стороны и действовали по одной прямой (рисунок 2.2). Такие силы называют взаимоуравновешенными.

Рисунок 2.2 – Равные и противоположно направленные силы

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять совокупность (систему) уравновешенных сил. Рассмотрим твердое тело (рисунок 2.3), находящееся под действием системы сил F1, F2, F3, …, Fn, прибавим еще две силы Fn+1 и Fn+2, которые являются взаимно уравновешенными. Очевидно, что получилась новая система сил, эквивалентная данной. Из первой и второй аксиом вытекает как следствие следующее положение: механическое состояние абсолютно твердого тела не нарушится, если приложенную к нему силу переносить по линии ее действия в любую точку тела, иными словами, сила есть скользящий вектор.

17

Рисунок 2.3 – Твердое тело под действием системы сил

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано твердое тело, к которому в точке А приложена сила F1 (рисунок 2.4). Приложим в точке В две взаимно уравновешивающиеся силы F2 и F3, равные по модулю данной силе F1 и имеющие с ней одну линию действия. Затем отбросим другие две взаимно уравновешивающиеся силы F1 и F3. Останется сила F2, равная по модулю F1. Ее можно рассматривать как силу F1, перенесенную из точки А в точку В.

Рисунок 2.4 – Перенос силы по линии ее действия

Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу в одной точке под углом друг к другу, равна их геометрической сумме, т. е. выражается по модулю и направлению диагональю параллелограмма (рисунок 2.5), построенного на этих силах. Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой приложения данных сил: R = F1 + F2 .

Рисунок 2.5 – Параллелограмм сил

18

2.3 Связи и реакции связей Незакрепленное тело под действием сил может двигаться в любом направлении. Такое тело называется свободным. На практике обычно встречаются тела, которые соприкасаются или скреплены с другими телами, препятствующими перемещению данного тела в том или ином направлении. Тела, ограничивающие движение данного тела, называют связями. Примером связей могут служить рельсы, на которые опирается вагон; канат, на котором висит груз; направляющие, по которым скользит ползун; опоры моста и др. Связи противодействуют стремлению тела двигаться под действием активных сил. В соответствии с III законом Ньютона о равенстве действия и противодействия со стороны связей к телу приложены силы, которые называют реакциями связей. Шар, лежащий на горизонтальной плоскости и касающийся вертикальной плоскости (рисунок 2.6), давит своим весом только на горизонтальную поверхность, поэтому со стороны только этой поверхности к шару приложена реакция R. Со стороны вертикальной плоскости реакции нет, если бы шар был невесом, то и вертикальная реакция R также отсутствовала бы.

Рисунок 2.6 – Реакция опорной поверхности на шар

Величина и направление реакций связей зависят от величины и направления сил, действующих на них со стороны тела, а также от вида опор и характера закрепления тела (рисунок 2.7). Различают пять основных видов связей и их реакций (без учета трения).

19

1 Гибкие связи (нить, трос, цепь, канат) (рисунок 2.7,а). Реакции гибких связей направлены вдоль их продольной оси и приложены к телу в точке крепления. Работают они только на растяжение.

Рисунок 2.7 – Направление реакций различных связей

2 Если, например, тело опирается на гладкую поверхность в точках А и В и удерживается от скольжения нитью CD, то RА и RB – реакции опорных поверхностей и RС – реакция нити направлены так, как показано на рисунке 2.7,б. 3 Если тело опирается на ребро двугранного угла (опорная точка) (см. рисунок 2.7,в), то реакция ребра RB направлена нормально к поверхности тела в точке касания. 4 Связь, осуществляемая жесткими стержнями с шарнирным закреплением концов (см. рисунок 2.7,г). Реакции стержней направлены по их продольным осям; RA – реакция растянутого стержня, а RВ и RС – реакции сжатых стержней. 5 Неподвижный цилиндрический шарнир (см. рисунок 2.7,д). Втулка 2 может вращаться под действием активных сил вокруг оси пальца. Если пренебречь трением, то реакция шарнирного пальца направлена по нормали к его цилиндрической поверхности в той точке,

20

где поверхность втулки прижимается к пальцу, т. е. лежит в плоскости, перпендикулярной ее оси. Итак, из всего сказанного можно сделать вывод, что на закрепленное тело действуют два рода сил: активные силы и реакции связей. Для решения задач в статике применяют следующий принцип: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно освободить его от связей, заменив их действие реакциями.

2.4 Проекция силы на ось. Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси координат Проекцией силы на ось (рисунок 2.8) является отрезок этой оси, заключенный между проекциями на нее начала и конца вектора силы. Проекцию обычно обозначают той же буквой, что и силу, но с индексом. Например, Fx – проекция силы F на ось х.

Рисунок 2.8 – Проекция силы на ось

Проекция силы на ось есть величина скалярная. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от величины угла α между направлением силы и положительным направлением оси. Из прямоугольного треугольника ABC следует, что Fx = F cos α,

21

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

а

б

в

Рисунок 2.9 – Изменение проекции в зависимости от угла наклона силы к оси

Если угол α острый, то проекция положительна (см. рисунок 2.8), если угол α тупой, то проекция отрицательна (рисунок 2.9,а): Fx = F cos α = F cos (180° – β) = –F cos β. Нетрудно убедиться, что проекция силы на ось будет равна нулю, если α = 90° или 270° (см. рисунок 2.9,б) и равна модулю силы (см. рисунок 2.9,в), если α = 0 или α = 180°. Модуль и направление силы можно определить по ее проекциям на две взаимно перпендикулярные оси (рисунок 2.10): Fx = F cos α; Fy = F cos β = F cos (90° – α) = F sin α.

22

Рисунок 2.10 – Нахождение силы по ее проекциям на оси координат

Из треугольника ABC, поскольку АС = Fx и ВС = Fy, следует, что модуль силы F равен F=

Fх2 + Fy2 .

Направление силы определяют косинусы углов: cos α = Fx/F; cos β = Fy/F.

2.5 Момент силы относительно точки Если к телу, закрепленному с помощью шарнира (рисунок 2.11), приложить силу F, то эта сила будет стремиться вращать тело относительно центра шарнира О (вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа).

Рисунок 2.11 – Момент силы относительно точки

Вращающее действие силы измеряют величиной, называемой моментом силы. Момент силы относительно точки равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от данной точки до линии действия силы. Величину момента обозначают буквой М, а расстояние ОМ от точки до линии действия силы, которое называют плечом силы – буквой а. Точку О называют центром момента. Чтобы найти плечо силы, нужно опустить перпендикуляр из центра момента на линию действия силы F. Момент силы принято считать положительным, если сила стремится вращать тело вокруг центра моментов (в плос23

кости чертежа) по часовой стрелке, и отрицательным – в противном случае. Таким образом, в общем виде Мо(F) = ±Fa. Так как сила измеряется в ньютонах, а расстояние в метрах, то момент имеет размерность: 1 Н·1 м = 1 Н·м. Из определения момента силы относительно точки очевидно следующее: – модуль и знак момента не изменяются при переносе силы по линии ее действия либо центра моментов по прямой, параллельной линии действия силы; – момент силы относительно точки равен нулю, если центр моментов лежит на линии действия силы.

2.6 Понятие пары сил. Свойства пар Система из двух равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны сил называется парой сил (рисунок 2.12). Плоскость, в которой действует пара сил, – плоскость действия пары. Силы, из которых состоит пара, не лежат на одной прямой, следовательно, они не уравновешивают друг друга. Тело под действием пары стремится вращаться в плоскости ее действия. Это означает, что пару нельзя заменить одной силой (равнодействующей), потому что под действием только одной силы тело должно было бы двигаться поступательно. Пара сил в отличие от любой другой неуравновешенной системы сил не поддается дальнейшему упрощению и сама является простейшим элементом.

Рисунок 2.12 – Пара сил

24

Кратчайшее расстояние между линиями действия пары называется плечом пары. Мерой вращательного действия пары на тело является момент пары – М. Момент пары равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля одной из сил пары на плечо. Момент пары М = ±Fa, где F – модуль силы пары, а – плечо. Условимся считать момент пары положительным, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке, и отрицательным – в противном случае. В Международной системе единиц момент пары измеряется в ньютонометрах (1 Нм). Часто бывает удобным представить момент пары в виде вектора. Вектор-момент пары направляют перпендикулярно к плоскости действия пары в сторону, откуда вращательное действие пары наблюдается по часовой стрелке (рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Вектор-момент пары

Пара сил обладает следующими свойствами. 1 Так как пару нельзя заменить одной силой, то ее нельзя уравновесить одной силой. Пару можно уравновесить только парой, имеющей равный по модулю и противоположный по знаку момент. 2 Сумма моментов сил пары относительно любой точки, взятой на ее плоскости действия, есть величина постоянная, равная моменту данной пары. Действительно, если сложить моменты обеих сил пары (рисунок 2.14) относительно произвольной точки А, то, принимая во внимание, что F1 = F2 = F, получим: F1c – F2b = F(с – b) = Fa, 25

где а – плечо заданной пары.

Рисунок 2.14 – Сумма моментов сил пары относительно точки

3 Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю (рисунок 2.15). Действительно: F1 = F2 = F; Fly = F1 cosα = F cos α; F2y = –F2 cos α = –F cosα.

Рисунок 2.15 – Проекция сил пары на ось

Алгебраическая сумма проекций: F cos α – F cos α = 0. 4 Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по модулю и знаку моменты, эквивалентны, т. е. оказывают на твердое тело одинаковое механическое воздействие.

26

Опыт показывает, что под действием пары сил тело, свободное от связей, стремится вращаться вокруг оси, проходящей через его центр тяжести и перпендикулярной плоскости действия пары.

2.7 Сложение пар Пары, как и силы, можно складывать, т. е. заменять действие двух или нескольких пар одной равнодействующей парой. Рассмотрим плоскую систему пар (F1, F1); (F2, F2); (F3, F3), приложенную к твердому телу (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 – Система пар

Моменты этих пар М1 = F1а1; М2 = –F2a2; М3 = F3a3. Заменим данные пары эквивалентными так, чтобы у всех было одинаковое плечо АВ = а (рисунок 2.17). Обозначим силы эквивалентных пар соответственно буквами F11, F22 и F33. Так как моменты у эквивалентных пар равны соответствующим моментам заданных пар, то M1 = F11a; М2 = –F22a; М3 = F33a, а модули сил эквивалентных пар F11 = M1/а; F22 = M2/a; F33 = M3/a.

27

Найдем равнодействующие сил, приложенных в точках А и В нового плеча.

Рисунок 2.17 – Сложение пар

Модули этих равнодействующих равны RA = RB = R = F11 – F22 + F33 и направлены противоположно. Таким образом, они образуют равнодействующую пару, ее момент М = Ra. Учитывая последнее, получим: MR = (F11 – F22 + F33) a = F11a – F22a + F33a, где F1a = M1; F22a = M2; F33a = M3 – следовательно: MR = M1 + M2 + M3 = ∑ Mi. Мы доказали, что момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

2.8 Приведение системы сил к данной точке Если линии действия сил, приложенных к телу, расположены как угодно на плоскости, то их неудобно складывать непосредственно. Целесообразно сначала упростить систему, т. е. заменить ее более простой эквивалентной системой. Такая замена называется приведением системы к данной точке. Эту точку принято называть центром приведения. Предварительно докажем теорему о параллельном переносе силы. Теорема. Силу, приложенную к твердому телу в данной точке, можно перенести параллельно в любую другую точку тела, присоединяя при этом пару. Момент присоединенной пары равен моменту данной силы относительно точки, в которую эту силу перенесли (привели).

28

Доказательство: пусть сила F приложена к телу в точке А (рисунок 2.18). Приложим в центре О две равные и противоположно направленные силы F ′ и F ′′ . Согласно II аксиоме при этом механическое состояние тела не изменится. Пусть модули всех сил равны: F = F ′ = F ′′ . Тогда полученную систему из трех сил можно представить как пару (F, F ′′ ) и силу F ′ , которую можно рассматривать как перенесенную из точки А в точку О силу F. Нетрудно убедиться, что момент пары (F, F ′′ ) М = Fa = Мo(F).

Рисунок 2.18 – Параллельный перенос силы

В частном случае, если центр приведения выбрать на линии действия силы F, то момент присоединенной пары будет равен нулю. Значит, присоединять пару необходимо только при параллельном переносе силы. Рассмотрим теперь произвольную плоскую систему из n числа сил (F1, F2, F3, ..., Fn) (рисунок 2.19). Выберем на плоскости произвольную точку О и перенесем в нее все силы системы. В результате приведения получим пучок приложенных в точке О сил ( F1′ , F2′ , ..., Fn′ ) и систему присоединенных пар (F1 F2′ ); …

29

Рисунок 2.19 – Приведение системы сил к данной точке

Моменты этих пар соответственно равны: М1 = Мо(F1); .. . Mn = Mо(Fn). Сложим все силы пучка с помощью построения силового многоугольника и получим их равнодействующую Rо: Ro = F1′ + F2′ + … + Fn′ = F1 + F2 + F3 …+ Fn . Затем сложим все присоединенные пары и получим одну равнодействующую пару с моментом М = М1 + М2 + М3 + ... + Мn. Итак, произвольная система сил эквивалентна одной силе и одной паре, которые носят название главный вектор и главный момент системы. Можно сказать, что главный вектор – это вектор, представляющий собой геометрическую сумму всех заданных сил, перенесенных параллельно самим себе в точку О, называемую центром приведения. Модуль главного вектора можно определить по его проекциям Rx и Ry на оси координат Ох и Оу (см. рисунок 2.19) по формуле Rо =

Rx2 + R y2 ,

где на основании теоремы о проекции равнодействующей на ось: Rx = F1x + F2x +…+ Fnx; Ry = F1y + F2y +…+ Fny. 30

Направление главного вектора определяется из выражений sin α = = Ry/R и cos α = Rx/R, где α – угол между главным вектором и положительным направлением оси х. Модуль главного момента системы получим, используя уравнения M = M1 + M2 + M3 +…+ Mn = = Mо(F1) + Mо(F2) + Mо(F3) +…+ Mо(Ffi). Отсюда модуль главного момента системы равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения. Если за центр приведения принять другую точку, то нетрудно убедиться, что модуль и направление главного вектора будут такими же, т. е. они не зависят от выбора центра приведения. Что же касается главного момента системы, то его модуль и направление зависят от выбора центра приведения, так как при изменении положения центра приведения изменяются плечи сил заданной системы, а значит, и их моменты. Следует также отметить, что главный вектор не является равнодействующей системы, хотя по модулю и направлению совпадает с ней. Рассмотренный случай приведения системы, когда Ro ≠ 0 и М ≠ 0, является общим. Возможны следующие частные случаи приведения: а) главный вектор оказался равным нулю, а главный момент не равен нулю (Ro = 0, М ≠ 0), т. е. система эквивалентна одной только паре); б) главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю (Ro ≠ 0, М = 0), т. е. система сводится к одной силе, и очевидно, что главный вектор есть равнодействующая этой системы; в) главный вектор и главный момент системы равны нулю (Rо = 0 и М = 0) – система находится в равновесии.

2.9 Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей Рассмотрим более подробно общий случай приведения системы, когда Ro ≠0 и М ≠ 0. Можно убедиться, что в этом случае система

31

имеет равнодействующую, приложенную в некоторой точке, не совпадающей с центром приведения. Пусть данная система сил приведена к главному вектору Ro , приложенному в точке О (рисунок 2.20), и главному моменту системы М (пара RR'). Представим последний в виде пары сил, у которых модуль равен модулю главного вектора системы. Одну из сил пары R' приложим в центре приведения О и направим противоположно главному вектору системы. Тогда точку приложения второй силы пары R найдем, если вычислим плечо пары: а = ОА = M/R' = M/R.

Рисунок 2.20 – Главный момент и главный вектор системы сил в центре приведения

Силы Ro и R', равные и противоположно направленные, взаимно уравновешиваются, их можно отбросить согласно II аксиоме статики. Остается одна сила R = Ro, заменившая собой заданную систему сил. Она и является равнодействующей этой системы. Таким образом, мы доказали, что в общем случае, когда главный вектор и главный момент системы не равны нулю, система имеет равнодействующую, равную по модулю и направленную параллельно главному вектору в ту же сторону. Модуль момента равнодействующей R относительно центра приведения О Mо(R) = Ra,

32

но произведение Ra выражает модуль главного момента системы: Mо(R) = M = ∑Mо(Fi). Следовательно, момент равнодействующей произвольной плоской системы сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого же центра (теорема Вариньона). Плоскую систему сходящихся сил и плоскую систему параллельных сил следует рассматривать как частные случаи произвольной системы. Для них также справедлива теорема Вариньона. Теоремой Вариньона широко пользуются при решении различных задач статики. В частности, ее применяют при определении равнодействующей системы параллельных сил.

2.10 Центр тяжести тела. Центр параллельных сил Пусть задана неуравновешенная система параллельных сил F1, F2, F3, ..., Fn (рисунок 2.21). Известно, что вектор равнодействующей такой системы направлен параллельно составляющим силам, а его модуль равен сумме модулей всех сил системы.

33

Рисунок 2.21 – Определение центра параллельных сил

Применив теорему Вариньона, найдем расстояние l, определяющее положение линии действия равнодействующей MN. Точка приложения равнодействующей лежит где-то на этой прямой. Чтобы определить ее положение, повернем все силы системы, не нарушая их параллельности, вокруг точек приложения на некоторый угол α, как это показано на рисунке 2.21. При этом вектор равнодействующей повернется на тот же угол и его новая линия действия L пересечет прямую MN в некоторой точке С, которая и будет точкой приложения равнодействующей. Положение точки С не изменится при любом повороте сил системы на один и тот же угол, а вектор равнодействующей, оставаясь по модулю постоянным, будет поворачиваться вокруг нее как вокруг центра. Поэтому точку приложения равнодействующей называют центром параллельных сил.

2.11 Понятие о силе тяжести и центре тяжести тела Сила, с которой каждое тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Она распределена по всему объему тела, т. е. приложена к каждой частице тела и направлена вертикально вниз к центру Земли. На рисунке 2.22 изображено твердое тело, представляющее собой совокупность материальных точек, координаты которых известны: А1(х1; y1; z1); А2(х2; y2; z2); ...; Аn(хn; yn; zn). Элементарные силы тяжести этих точек G1, G2, ..., Gn практически параллельны и направлены вниз. Их равнодействующая G, называемая силой тяжести тела, приложена в точке С, являющейся центром тяжести тела. Очевидно, что центр тяжести одновременно является центром параллельных сил.

34

Рисунок 2.22 – Центр тяжести тела

Очевидно также, что G = G1 + G2 + ... + Gi + ... + Gn = ∑Gi. Найдем момент равнодействующей относительно оси Оу как сумму моментов составляющих сил относительно той же оси (теорема Вариньона): Gxc = G1x1 + G2x2 +…+ Gnxn = ∑Gi xi. Отсюда найдем координату центра тяжести хс: xc = ∑Gi xi/G, yc = ∑Gi yi/G. Аналогично из уравнения моментов относительно оси Ох найдем координату yc. Затем мысленно повернем все силы на 90° и, используя уравнение моментов относительно оси Ох, получим координату zc zc = ∑Gi zi/G.

2.12 Определение положения центра тяжести однородных тел Для определения положения центра тяжести однородного тела применяют метод разбивки его на части. Предположим, имеется твердое тело с объемом V и весом G, которое можно разбить на три части (рисунок 2.23) с объемами V1, V2, V3 и весами G1, G2, G3.

35

Объем тела V = V1 + V2 + V 3 , вес тела G = G1 + G2 + G3.

Рисунок 2.23 – Определение положения центра тяжести однородного тела

Пусть будет известно положение центров тяжести каждой части данного тела относительно осей х, у и z. Выразим веса через объемы: G1 = γV1; G2 = γV2; G3 = γV3; G = γV, где γ – удельный вес материала тела. Заменив веса их выражениями через объемы, вынесем общий множитель γ за знак суммы и сократим. В результате получим формулы для определения координат центра тяжести однородного твердого тела: xc = ∑Vi xi/V; yc = ∑Vi yi/V; zc = ∑Vi zi/V. При решении задач на определение положения центра тяжести тела нужно иметь в виду, что, если однородное тело имеет плоскость симметрии, ось симметрии или центр симметрии, то центр тяжести обязательно лежит в этой плоскости, на этой оси, в этом центре. Например, центр тяжести кругового цилиндра лежит на середине оси, соединяющей центры обоих оснований, а центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре.

36

На практике часто необходимо определять положение центра тяжести плоских тел. Можно представить себе эти тела как однородные пластинки с пренебрежительно малой толщиной. Вес такого тела пропорционален его площади. Для определения положения центра тяжести применяют метод разбивки площади плоской фигуры на части, положения центров тяжести которых известны либо легко определяются. Затем вычисляют координаты центра тяжести всей площади по формулам xc = ∑Si xi/S; yc = ∑Si yi/S, где S – площадь всей фигуры; xi и уi: – координаты центров тяжести отдельных частей; Si – площади отдельных частей. В числителях формул стоят величины, называемые статическими моментами плоской фигуры относительно координатных осей х и у, т. е. Sy = ∑Si yi – статический момент плоской фигуры относительно оси у; Sx = ∑Si xi – статический момент плоской фигуры относительно оси х.

2.13 Момент силы относительно оси Если к телу, имеющему ось вращения, приложить силу F, то она будет стремиться вращать тело вокруг этой оси. В этом случае действие силы на тело измеряется величиной момента силы относительно оси (рисунок 2.24).

Рисунок 2.24 – Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную этой оси ( F ′ ), на кратчайшее расстояние а (плечо) от этой проекции до точки пересечения оси с плоскостью: 37

Мz(F) = ±F'a, где F ′ = F cosα – модуль проекции силы F на плоскость (α – угол наклона линии действия силы к плоскости); а – плечо, следовательно: Мz(F) = Fa cos α. Условимся считать момент положительным, если наблюдатель, смотрящий на плоскость со стороны положительного конца оси, видит возможное вращение плоскости по часовой стрелке. В противном случае – момент отрицательный. Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях: если сила параллельна оси (сила F1; рисунок 2.25), т. е. при α = 90 или 270°, когда cos α = 0, и если а = 0,

Рисунок 2.25 – Моменты силы относительно оси

т. е. линия действия силы пересекает ось (сила F2). Момент силы относительно оси будет наибольшим, если α = 0, т. е. сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси (сила F3). Тогда Mz(F3) = F3a.

2.14 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил Пространственную систему произвольно расположенных сил, как и плоскую систему, можно привести к простейшему виду, т. е. к главному вектору и главному моменту. Для этого, выбрав центр приведения, переносим в него параллельно все силы системы, одновременно присоединяя соответствующие пары. В результате в центре приведения получим пространственную систему сходящихся сил и пространственную систему пар. Сложив все силы пучка, найдем главный вектор системы. Его значение можно определить по формуле

38

Ro =

Rх2 + Ry2 + Rz2 ,

где Rx =∑Fix; Ry = ∑Fiy; Rz = ∑Fiz. Складывая присоединенные пары, получим результирующую пару, момент которой называют главным моментом системы. Зная, что момент пары – вектор, разложим вектор главного момента по правилу параллелепипеда на три составляющие, направленные по трем взаимно перпендикулярным осям Мx, Mу и Мz (рисунок 2.26). Тогда модуль главного момента можно определить по формуле M=

М х2 + М y2 + М z2 ,

где Мх, Мy и Мz – проекции главного момента на оси.

Рисунок 2.26 – Разложение главного момента системы на три составляющие

Чтобы пространственная система сил была в равновесии, необходимо соблюдение условий Ro = 0 и М = 0, т. е. Ro =

Rх2 + R y2 + Rz2 = 0; M = М х2 + М y2 + М z2 = 0;

что соответствует шести уравнениям равновесия: Rx = ∑Fix = 0; Мх = ∑ Мх(Fi) = 0; Ry = ∑Fiy = 0; Мy = ∑ Мy(Fi) = 0; Rz = ∑Fiz = 0; Мz = ∑ Мz(Fi) = 0. Итак, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из трех осей координат равнялась нулю.

39

2.15 Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил Произвольная плоская система сил является частным случаем пространственной системы сил, когда все силовые факторы расположены в одной плоскости. В этом случае главный вектор и главный момент находятся в одной плоскости и количество уравнений равновесия уменьшается до трех. Отсюда следует, что для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимы и достаточны три условия: Rx = ∑Fix = 0; Ry = ∑Fiy = 0; Мо = ∑Мо(Fi) = 0. Сокращенная запись условий ∑X = 0; ∑Y = 0; ∑Mo = 0, т. е. алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось х равна нулю; алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось у равна нулю; алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки равна нулю. Первые два уравнения равновесия называют уравнениями проекций, третье – уравнением моментов. Наряду с этой основной формой уравнений плоской системы сил можно доказать справедливость еще двух форм. 1 Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы моментов всех сил относительно двух точек плоскости и алгебраическая сумма проекций всех сил на одну ось, но не перпендикулярную к прямой, соединяющей центры моментов А и В. 2 Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов относительно трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.

40

2.16 Виды опор балочных систем. Определение опорных реакций Балками называют такие элементы конструкций машин, приборов, сооружений, которые в процессе работы воспринимают в основном поперечные относительно оси нагрузки и передают их через опорные устройства другим элементам конструкции или основанию. Примером могут служить такие детали машин, как валы, оси, рычаги, детали строительных конструкций, фермы мостов и т. п. Конструкции опор балок можно свести к трем видам. 1 Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному перемещению балки, но дает возможность последней поворачиваться вокруг оси шарнира (рисунок 2.27,а). Реакция приложена в центре шарнира А. Для определения неизвестных модуля и направления реакции RA необходимо ее заменить взаимно перпендикулярными составляющими Rx и Ry. На рисунке 2.27,б,в,г показаны схематические изображения этой опоры. В качестве примера шарнирнонеподвижной опоры может служить подшипниковый узел (см. рисунок 2.27,г).

Рисунок 2.27 – Две составляющие шарнирно-неподвижные опоры

41

Рисунок 2.28 – Реакция шарнирно-подвижной опоры

2 Шарнирно-подвижная опора – нижняя часть – поставлена на катки (рисунок 2.28,а), поэтому такая опора не препятствует небольшому перемещению балки в направлении, параллельном опорной поверхности. Реакция опоры в данном случае приложена в центре шарнира и направлена по нормали к опорной поверхности (трением катков пренебрегаем). Схематическое изображение показано на рисунке 2.28,б,в. На рисунке 2.28,г показана шарнирно-подвижная (плавающая) опора вала.

Рисунок 2.29 – Составляющие реакции жесткой заделки

3 Жесткая заделка (рисунок 2.29) препятствует любому поступательному движению балки и повороту последней в плоскости действия сил. Поэтому кроме реакции RA, которую мы раскладываем на Rx и Ry, со стороны заделки к балке приложен еще опорный момент МA – уравновешивающий момент активных сил, стремящихся повернуть балку.

42

3 Расчет элементов конструкций на прочность и жесткость при основных видах нагружения 3.1 Основные задачи расчета В отличие от вышеизложенного материала, где рассматривались равновесие и виды движения абстрактных абсолютно твердых тел, в данной главе предметом изучения будут реально существующие твердые деформируемые тела. Все твердые тела под действием приложенных к ним внешних сил деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры. Представим себе жестко заделанную одним концом в горизонтальном положении стальную линейку (пластинку) (рисунок 3.1,а) и 43

допустим, что к другому ее концу приложена вертикальная сила F (см. рисунок 3.1,б). Под действием этой силы прямолинейная форма линейки изменяется на криволинейную – линейка изгибается. Если после прекращения действия силы линейка приобретает первоначальную прямолинейную форму, то это означает, что при нагрузке F в линейке возникает упругая деформация. Если же после прекращения действия силы F прогиб несколько уменьшается, но линейка все же остается деформированной (см. рисунок 3.1,в), то, значит, при нагрузке F кроме упругой деформации возникает еще и пластическая (остаточная) деформация. Возможно, что при действии силы F линейка сломается или, если металл мягкий, прогиб при пластической деформации может достигнуть такой величины, какая показана на рисунке 3.1,г. При проектировании и изготовлении какой-либо механической конструкции в машиностроении, аппарато- или приборостроении необходимо исходить из возможности возникновения деформаций. При этом следует так спроектировать и рассчитать конструкцию или ее отдельный элемент (деталь), чтобы деформации не превосходили определенных предельных величин, при которых возможно нарушение нормальных условий работы конструкции, прибора или машины.

Рисунок 3.1 – Виды деформации стальной пластины

При расчете элементов конструкции используются три задачи. Первая задача расчета – расчет элементов конструкции на прочность. Суть этого расчета состоит в том, чтобы при выбранном материале и при заданной нагрузке определить такие размеры элементов конструкции, которые гарантировали бы необходимую прочность.

44

Кроме прочности элементы конструкции должны обладать еще одним качеством – жесткостью. Жесткостью называют способность конструкции (или отдельного элемента) сопротивляться упругим деформациям. Из рисунка 3.1,б видно, что при деформации линейка изгибается и ее наиболее удаленные от опоры точки перемещаются вниз на расстояние f, называемое стрелой прогиба. Если при упругой деформации стрела прогиба превысила определенную допустимую величину, то линейка имеет недостаточную жесткость. Вторая задача расчета – расчет элементов конструкции на жесткость. Третья задача расчета – расчет элементов конструкции на устойчивость. Представим себе достаточно длинную линейку (рисунок 3.2,а), которая должна под действием сжимающей нагрузки F сохранять прямолинейную форму (т. е. только сжиматься, но не изгибаться). Если же при действии некоторой критической нагрузки Fкp линейка внезапно изогнулась (см. рисунок 3.2,б), то это означает, что она потеряла устойчивость прямолинейной формы.

а

б

Рисунок 3.2 – Потеря устойчивости

Суть расчета на устойчивость состоит в том, чтобы определить условия, гарантирующие сохранение прямолинейной формы сжатых элементов конструкции. Как уже было отмечено, деформирование тел происходит вследствие действия на них внешних сил. Известно, что система внешних сил, приложенных к телу, состоит из нагрузок (активных сил) и реакций связей (пассивных сил).

45

Нагрузки классифицируют по двум признакам: по месту (области) приложения к детали и по характеру действия на нее. 1 По месту или области приложения к телу нагрузки делят на поверхностные и объемные. Поверхностные нагрузки, в свою очередь, делят на распределенные и сосредоточенные. Численное значение (модуль) распределенной нагрузки зависит, во-первых, от производимого ею давления, измеряемого в мегапаскалях (1МПа = 1 Н/мм2), и, во-вторых, от величины площади (мм2) распределения нагрузки. Чтобы определить численное значение распределенной нагрузки, необходимо знать закон изменения ее давления по площади. В частном случае при равномерном распределении нагрузки ее полное численное значение определяется произведением величины давления на величину площади. Сосредоточенных нагрузок в действительности не существует, так как, считая нагрузку сосредоточенной, условно пренебрегают размерами площади взаимодействия тел. К объемным нагрузкам относят силы тяжести тел, а также силы инерции: последние, как известно, начинают действовать на каждую материальную точку тела при его неравномерном (ускоренном или замедленном) поступательном движении или при вращательном движении как неравномерном, так и равномерном. 2 По характеру действия на тело нагрузки делят на статические и переменные. К статическим нагрузкам относят такие, которые медленно возрастают от нуля и, достигнув некоторого конечного значения, далее остаются неизменными. Примером статической объемной нагрузки может служить система центробежных сил инерции, действующая на ротор электродвигателя в период его разгона и при дальнейшем равномерном вращении. К переменным относятся нагрузки, многократно изменяющиеся во времени по какому-либо закону. Примером такой нагрузки являются силы, действующие на зубья зубчатого колеса. При разработке теоретических основ расчета элементов конструкций, выполняемых из разнообразных материалов, принимают ряд допущений.

46

Допущения о свойствах материалов. 1 Материал однороден, т. е. свойства всех как угодно малых его частиц совершенно одинаковы независимо от величины выделенного из тела объема. В действительности абсолютно однородных материалов в природе нет. Например, структура металлов состоит из множества микроскопических кристаллов (зерен). Размеры же рассчитываемых элементов конструкции, как правило, во много раз превышают размеры кристаллов, поэтому допущение об однородности полностью применимо к металлам. 2 Материал представляет сплошную среду и заполняет весь объем. Это допущение вытекает непосредственно из первого – об однородности материала. 3 Материал изотропен, т. е. его физико-механические свойства одинаковые по всем направлениям. Таким образом, выделенный из сплошной среды элемент не зависит от ориентации относительно выбранной системы координат. Металлы благодаря мелкозернистой структуре считают изотропными. Но есть много неизотропных материалов, их называют анизотропными. Обычно это материалы с волокнистой структурой, и их свойства определяются ориентацией волокон. Анизотропны дерево, многие пластмассы, бумага, ткани и т. п. 4 Материал, в определенных пределах нагружения тела обладает идеальной упругостью, т. е. после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает первоначальную форму (деформация исчезает). Допущения о характере деформаций элементов конструкций. 1 Перемещения точек элемента конструкции, обусловленные его упругими деформациями, незначительны по сравнению с размерами самого тела. Согласно этому допущению деформированный элемент конструкции (или даже вся конструкция целиком) несущественно отличается от недеформированного. Поэтому при составлении уравнений равновесия сил, действующих на деформированное тело, можно пренебрегать теми изменениями, которые произошли в расположении сил, т. е. следует исходить из первоначальной формы тела (элемента конструкции) и его начальных размеров. Это положение кратко называют принципом начальных размеров.

47

2 Перемещения точек упругого тела в известных пределах его нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Например, если сила F вызвала перемещение точки В на величину f (см. рисунок 3.3,а), то сила 2F вызовет перемещение точки В на величину 2f (см. рисунок 3.3,б). Конструкции, для которых справедливо это допущение, называют линейно деформируемыми.

Рисунок 3.3 – Перемещение точки В упругого тела

Для линейно деформируемых конструкций справедлив известный принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): результат действия нескольких сил не зависит от последовательности нагружения ими данной конструкции и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности. Все многообразие форм элементов конструкций сведено к трем геометрическим схемам: брус, оболочка и массив. Брусом называют тело, одно из измерений которого (длина) значительно превышает два других. В зависимости от формы оси брус может быть прямым, кривым или пространственно изогнутым. Примером последнего может служить винтовая пружина. Кроме брусьев с неизменным поперечным сечением вдоль всей оси могут быть брусья с непрерывно изменяющимися сечениями или с сечениями, форма и площадь которых меняются скачками, последние называют ступенчатыми брусьями.

48

К оболочкам относят тело, одно из измерений которого (толщина) во много раз меньше двух других. Примером оболочек могут служить стенки баков, цистерн, коробки и др. Массивом считают тело, все три размера которого – величины одного порядка.

3.2 Метод сечений. Основные виды деформированного состояния Растягивая руками резиновый жгут или сгибая толстую стальную проволоку, мы ощущаем сопротивление этих тел; иногда силы наших рук оказывается недостаточно, чтобы еще более растянуть жгут или изогнуть проволоку. Свойство тела сопротивляться изменению первоначальной формы, характеризующее в конечном счете его прочность, зависит от внутренних сил сцепления между отдельными частицами тела. Внутренние силы (иногда их называют силами упругости), как показывают опыты, возрастают вместе с увеличением нагрузок, но до известного предела, после чего сцепления между частицами тела прекращаются и тело разрушается (разрывается, ломается). Чтобы правильно произвести расчет на прочность, необходимо уметь определять величину внутренних сил по заданным внешним силам – нагрузкам и реакциям связей. Для решения этой задачи

Рисунок 3.4 – Метод сечений

в сопротивлении материалов применяется метод сечений, с помощью которого внутренние силы условно переводятся в разряд внешних.

49

Пусть мы имеем брус, нагруженный уравновешенной системой внешних сил (рисунок 3.4,а). Необходимо определить внутренние силы в некотором сечении А, которое делит брус на две части: I и II. О внутренних силах, возникающих в этом (или в любом другом) сечении бруса под действием на него внешних сил, мы знаем только то, что они определяют взаимодействие частей бруса, расположенных по обе стороны от сечения, и благодаря этому взаимодействию одна часть бруса относительно другой сохраняет равновесие. Разрежем мысленно брус по поперечному сечению А и отбросим одну из образовавшихся частей, например часть II. Чтобы сохранить равновесие оставшейся части бруса, заменяем действие на нее отброшенной части системой внутренних сил (см. рисунок 3.4,б). Из статики известно, что произвольная пространственная система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Причем главный вектор можно заменить тремя составляющими: Fz, Qx, Qy, направленными вдоль выбранных осей координат, а главный момент – соответственно тремя моментами Мz, Мx и Мy, возникающими в плоскостях, перпендикулярных этим осям (см. рисунок 3.4,в). Системы трех сил Fz, Qx, Qy и трех моментов Мz, Мх, Му, в совокупности эквивалентные внутренним силам, возникшим в рассматриваемом сечении, называют внутренними силовыми факторами. Шесть внутренних силовых факторов вместе с известными внешними силами на оставшейся части I (см. рисунок 3.4,в) образуют уравновешенную систему сил, для которой можно составить шесть уравнений равновесия (параграф 2.15). Легко заметить, что в каждое из этих уравнений входит какойнибудь один из неизвестных внутренних силовых факторов. Поэтому, решая уравнения, найдем: Nz = ΣFzi; Qx = ΣFxi; Qy = ΣFyi; Mz = ΣMz(Fi); Mx = ΣMx(Fi); My = ΣMy(Fi). Таким образом, метод сечений предусматривает такую последовательность операций:

50

− разрезаем брус на две части; − отбрасываем одну из частей (как правило, целесообразно отбросить ту часть, на которую действует большее число внешних сил); − заменяем действие отброшенной части шестью внутренними силовыми факторами; − уравновешиваем внешние силы оставленной части внутренними силовыми факторами и определяем последние исходя из условия равновесия. Составляющую Fz главного вектора внутренних сил, направленную перпендикулярно плоскости поперечного сечения бруса, называют продольной (или нормальной) силой. Если в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила Nz, то брус растянут (сила Nz направлена от сечения) или сжат (сила Nz направлена к сечению). Брус, работающий на растяжение или сжатие, называют стержнем. Составляющие Qx и Qy главного вектора внутренних сил, лежащих в плоскости поперечного сечения, называют поперечными силами. С возникновением в поперечном сечении бруса только поперечных сил связано деформированное состояние сдвига, или, как говорят, брус работает на срез. Составляющую главного момента – момент Mz – называют крутящим моментом. Он возникает в плоскости поперечного сечения бруса, и при равенстве нулю всех остальных внутренних силовых факторов брус работает на кручение. Составляющие главного момента внутренних сил – моменты Мх и Му – называют изгибающими моментами. Они возникают в плоскостях, перпендикулярных поперечному сечению бруса. При наличии только изгибающего момента Мх или Му (или обоих вместе) брус работает на чистый изгиб. Брус, работающий на изгиб, называют балкой. Из вышеприведенных равенств следует: − продольная сила Nz равна алгебраической сумме проекций на ось z внешних сил, действующих на оставшуюся часть бруса; − каждая из поперечных сил Qx и Qy равна алгебраической сумме проекций на соответствующую ось внешних сил, действующих на оставшуюся часть бруса;

51

− крутящий момент Мz равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса относительно оси z; − каждый из изгибающих моментов Мх и Му равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на оставшуюся часть бруса соответственно относительно оси х или у. Как говорилось выше, внутренние силы определяют взаимодействие между частями бруса, причем это взаимодействие подчиняется аксиоме статики о равенстве действия и противодействия. Поэтому внутренние силовые факторы, возникающие в сечении справа, равны внутренним силовым факторам в сечении слева, но противоположно направлены (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Внутренние силовые факторы в сечении справа и слева

3.3 Напряжения Определив в поперечном сечении бруса внутренние силовые факторы, мы еще не знаем, как внутренние силы распределены по сечению. Чтобы определить закон их распределения, необходимо уметь находить напряжение в любой точке сечения, т. е. величину, характеризующую интенсивность внутренних сил в данной точке сечения. Рассмотрим напряжение внутренних сил в некоторой точке сечения бруса (рисунок 3.6). Выделим около интересующей нас точки малую площадку ΔS и допустим, что на этой площадке действует

52

внутренняя сила Δрвн. Тогда среднее напряжение внутренних сил по площадке рср = Δрвн/ ΔS.

Рисунок 3.6 – Напряжение внутренних сил в некоторой точке сечения

Ясно, что вектор среднего напряжения рср, совпадает по направлению с вектором силы Δрвн. При уменьшении величины площадки ΔS изменяется как модуль, так и направление вектора внутренних сил Δрвн и вектора рср, приближаясь к истинному значению напряжения р в точке сечения. Единицей измерения напряжения служит единица силы, деленная на единицу площади. В Международной системе единиц (СИ) единица силы 1 Н, единица площади 1 м2, а значит, единица напряжения, названная паскалем, в этой системе равна Н/м2, т. е. 1 Па = 1 Н/м2. Паскаль – достаточно мелкая единица напряжения, поэтому более употребительной единицей является мегапаскаль: 1 МПа = 106 Па = = 106 Н/м2, т. е. 1 МПа численно равен напряжению в 1 Н/мм2. Вектор р истинного напряжения в точке сечения можно разложить на две составляющих σ и τ (рисунок 3.7). Вектор σ, направленный перпендикулярно сечению, называют нормальным напряжением. Вектор τ, лежащий в плоскости сечения, называют касательным напряжением.

53

Рисунок 3.7 – Разложение вектора напряжения на две составляющие

Нормальное напряжение σz (или σ) в любой точке поперечного сечения есть следствие возникающей в этом сечении продольной силы Nz, направленной перпендикулярно сечению, или изгибающих моментов Мх и Му, возникающих в плоскостях, перпендикулярных к сечению. Касательные напряжения τ или τх и τу (рисунок 3.8) – следствие внутренних силовых факторов, возникающих в плоскости сечения, т. е. поперечных сил Qx, Qy или крутящего момента Мz.

Рисунок 3.8 – Разложение вектора напряжения на три составляющие

3.4 Растяжение и сжатие Деформированное состояние бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила Nz, называют растяжением или сжатием.

54

Стержневые системы со сжатыми (или растянутыми) стержнями рассматривались в статике. Брус растянут, если внешние силы F, приложенные к его концам, действуют вдоль оси бруса и направлены в стороны от него (рисунок 3.9,а). При действии осевых нагрузок F, направленных к брусу, он сжат (см. рисунок 3.9,б). При таких нагружениях в поперечных сечениях возникает только продольная сила Nz. Действительно, если согласно методу сечений разрезать растянутый брус и отбросить, например, его левую часть (см. рисунок 3.9,в), то для уравновешивания внешней силы F достаточно в сечении приложить только один внутренний силовой фактор – продольную силу Nz, направив ее по оси z от сечения.

Рисунок 3.9 – Продольная сила в поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии)

Согласно уравнениям статики Nz = ΣFzi = F. Остальные внутренние силовые факторы в данном случае равны нулю (проекции силы F на оси х и у равны нулю; моменты силы F относительно каждой из осей х, у и z также равны нулю). Поэтому продольная сила F есть равнодействующая внутренних сил в данном сечении. Аналогичный результат получим, разрезав сжатый брус (см. рисунок 3.9,г), с той лишь разницей, что в последнем случае продольная сила Nz направлена к сечению. Если брус нагружен не двумя, как на рисунке 3.9, а большим числом осевых сил и по одну сторону от выбранного сечения имеются силы, направленные в противоположные стороны (рисунок 3.10,а,б), то целесообразно договориться о правиле знаков при определении продольной силы в сечении: проекции направленных от сечения 55

внешних сил положительны и, наоборот, проекции внешних сил, направленных к сечению, отрицательны. Это правило справедливо для любой оставленной части бруса: правой или левой (при горизонтальном положении бруса) либо нижней или верхней (при вертикальном расположении бруса).

а

б

Рисунок 3.10 – Правило знаков при определении продольной силы

Если в результате алгебраического сложения проекций внешних сил получилось, что Nz > 0, то продольная сила направлена от сечения и брус в этом сечении испытывает растяжение; при значении Nz < 0 продольная сила направлена к сечению и брус испытывает сжатие. В тех случаях, когда при переходе от одного сечения к другому продольная сила изменяется, целесообразно для большей наглядности деформированного состояния бруса строить график изменения значения продольной силы Nz по его длине (рисунок 3.11). Такие графики называют эпюрами.

56

Рисунок 3.11 – Построение эпюр внутренних сил

Задачи определения напряжений в поперечных сечениях бруса решают методом плоских сечений, предложенным Я. Бернулли. Этот метод можно сформулировать следующим образом: перпендикулярное к оси недеформированного бруса плоское сечение А остается таким же (плоским и перпендикулярным к оси) и при растяжении (сжатии) бруса, продольная сила Nz является равнодействующей внутренних сил в поперечном сечении, а нормальное напряжение в любой точке сечения определяется по формуле σ = Nz/А, где А – площадь поперечного сечения. Нормальное напряжение направлено так же, как и продольная сила: при растяжении бруса – от сечения, при сжатии – к сечению. Как указывалось выше, единицей измерения напряжений служит 1 Па = 1 Н/м2, но в практических целях удобнее использовать кратную единицу 1 МПа, численно равную 1 Н/мм2 (1 МПа = 1 Н/мм2). Если нормальные напряжения в разных сечениях бруса не одинаковы из-за изменения продольных сил вдоль оси бруса или изменения площади поперечных сечений, то для уточнения картины дефор-

57

мированного состояния бруса кроме эпюры продольных сил строят эпюру нормальных напряжений (эпюра σ) (рисунок 3.12).

Рисунок 3.12 – Эпюра напряжений

При растяжении бруса его первоначальная длина l увеличивается на величину Δl (рисунок 3.13,а), а первоначальный поперечный размер d уменьшается на величину Δd (см. рисунок 3.13,б).

Рисунок 3.13 – Деформация бруса при его растяжении

Величину Δl называют абсолютным удлинением бруса, а величину Δd – абсолютным поперечным укорочением. При сжатии бруса его длина укорачивается на Δl, а поперечный размер увеличивается 58

на Δd. Рассматривая любую из этих величин как разность между начальным (до нагружения) и конечным (после нагружения) размерами, им следует приписывать противоположные знаки: при растяжении бруса Δl > 0, при сжатии, наоборот Δl < 0. О степени деформированного состояния бруса нельзя судить по значениям Δl или Δd, так как последние зависят не только от внешних сил, но и от начальных размеров бруса. Характеристикой деформированного состояния бруса при растяжении (сжатии) служат величины ε = Δl / l и ε΄ = Δd / d, где ε – продольная деформация; ε΄ – поперечная деформация бруса. Экспериментально доказано, что продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу, т. е. ε = μ ε΄, где μ – зависящий от материала коэффициент пропорциональности, который называют коэффициентом Пуассона. В зависимости от используемого материала он изменяется в пределах от 0 до 0,5 В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость, носящая название закона Гука: σ = Е ε. Коэффициент пропорциональности Е называют модулем продольной упругости (модуль Юнга). Так как ε – величина безразмерная, то модуль продольной упругости имеет ту же размерность, что и напряжение, т. е. в системе СИ ее измеряют в Н/м2, мН/м2 или в Н/мм2. Единице измерения модуля продольной упругости так же, как и единице напряжения, присвоено наименование паскаль (Па). Модуль продольной упругости характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформациям: согласно закону Гука при одних и тех же значениях нормального напряжения в поперечных сечениях брусьев их продольные деформации ε уменьшаются с увеличением модуля упругости Е σ = Еε = Е Δl/l,

59

откуда Δl = σ l/E. Заменяя в последней формуле σ его значением, получим для определения удлинения формулу Гука: Δl = Nz l / E A. Напряженное состояние в любой точке бруса характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, которые возникают в любом сечении бруса. При одноосном растяжении: а) максимальное нормальное напряжение σmax = σ = Nz/A возникает в поперечных сечениях бруса; б) в продольных сечениях нет никаких напряжений.

3.5 Основные механические характеристики при статическом нагружении При выборе материала для какого-либо элемента конструкции и в последующих расчетах учитывают механические свойства материала, определяющие его прочность, упругость, твердость, пластичность и ударную вязкость. Необходимые сведения о различных механических свойствах материалов получают экспериментально в процессе механических испытаний на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб. Самыми распространенными являются испытания на растяжение. Для них из испытуемого материала изготовляют стандартные образцы (рисунок 3.14), которые при испытании помещают в разрывные машины. Последние создают необходимые осевые нагрузки и, растягивая образец, доводят его до разрыва. Поведение образца по мере роста нагрузки фиксируют с помощью записывающего устройства. После обработки результатов испытания получают диаграмму растяжения образца в координатах ε, σ.

60

Рисунок 3.14 – Образец для испытаний на растяжение

На рисунке 3.15 изображена диаграмма, полученная при испытании образца из низкоуглеродистой стали. Прямолинейный участок ОА диаграммы растяжения подтверждает справедливость закона Гука. Точка А соответствует пределу пропорциональности материала σпц, т. е. наибольшему напряжению, до которого справедлив закон Гука.

Рисунок 3.15 – Диаграммы растяжения и сжатия образца из низкоуглеродистой стали: 1 – растяжение; 2 – сжатие

Далее продольная деформация возрастает непропорционально напряжению – в образце возникает пластическая деформация; точка В на диаграмме соответствует началу явления текучести, т. е. росту

61

деформации без увеличения напряжения, а следовательно, и нагрузки. Напряжение σт, при котором происходит рост пластической деформации образца при неизменной нагрузке, называют пределом текучести. Когда явление текучести закончилось, материал опять начинает сопротивляться деформации, причем последняя растет по диаграмме. Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, которую выдержал образец характеризует величину предела прочности σв материала. С этого момента на образце появляется местное утоньшение – шейка, и далее диаграмма фиксирует уже процесс растяжения не всего образца, а его материала в зоне образования шейки. Иначе говоря, появление шейки – начало разрушения образца. Пределы пропорциональности σпц, текучести σт и прочности σв – важные механические характеристики пластичных материалов (сталь, медь, алюминий, титан и их сплавы). С учетом этих характеристик производят выбор материала и расчет элементов конструкций. При испытании на сжатие пластические материалы до предела текучести ведут себя так же, как и при растяжении, но далее пластическая деформация растет медленнее. Образец сплющивается. На рисунке 3.15 зависимость между σ и ε при сжатии образца показана штриховой линией.

Рисунок 3.16 – Диаграмма растяжения и сжатия для хрупкого образца: 1 – растяжение; 2 – сжатие

При испытании хрупких материалов (например, чугунных образцов) установлено, что они способны выдерживать гораздо боль62

шие нагрузки при сжатии, чем при растяжении. Вид диаграмм при их испытании представлен на рисунке 3.16. Сплошной линией показана зависимость между σ и ε при растяжении, а штриховой линией – при сжатии. По этим диаграммам определяют пределы прочности при растяжении σпчр и при сжатии σпчс. Аналогичная диаграмма, но с более высокими ординатами получается для закаленных сталей.

3.6 Кручение. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге Рассмотрим еще одно напряженное состояние, носящее название чистый сдвиг (рисунок 3.17,а). При чистом сдвиге на четырех гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, а две грани свободны от напряжений. Согласно закону парности касательные напряжения τ на всех четырех площадках равны по абсолютной величине, но направлены по смежным граням от ребра или к ребру. Исходя из этих условий достаточно просто доказать равновесие выделенного элемента при сдвиге (см. рисунок 3.17,а,б).

а

б

Рисунок 3.17 – Чистый сдвиг

На вертикальных площадках dSв = dx dy действуют силы τ(dx dy), образующие пару с моментом τ(dx dy) dz; на горизонтальных площадках dSг = dx dz действуют силы τ(dx dz), образующие пару с моментом τ(dx dz) dy,

63

а алгебраическая сумма моментов пар τ dx dy dz – τ dx dz dy = 0. Деформация сдвига состоит в том, что под действием внешних сил первоначальная форма выделенного элемента искажается (см. рисунок 3.17,б), т. е. горизонтальные площадки сдвигаются относительно друг друга на расстояние Adz (величина абсолютного сдвига) и угол π/2 между смежными площадками изменяется на величину γ. Этот угол не зависит от размеров выделенного элемента, он является мерой деформации сдвига и называется углом сдвига. Экспериментально установлено, что касательные напряжения и величина угла сдвига в пределах упругих деформаций связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью τ = G γ, которую называют законом Гука при сдвигe. Коэффициент пропорциональности G называют модулем упругости материала при сдвиге (модуль сдвига). Модуль сдвига характеризует жесткость материала при сдвиге. Для одного и того же материала между модулем продольной упругости Е и модулем сдвига G существует следующая зависимость: G = E/(2 (1 + μ)). Зная Е и μ, по этой формуле легко найти G.

3.6.1 Крутящий момент. Построение эпюр Кручением называют деформированное состояние бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Для этого брус необходимо нагрузить двумя парами сил (рисунок 3.18,а), действующими в противоположных направлениях в плоскостях, перпендикулярных к его оси, моменты М1 и М2 которых называют внешними скручивающими моментами. Для упрощения дальнейшего изложения будем считать, что алгебраическая сумма внешних моментов, приложенных к брусу, равна нулю, т. е. брус находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного вращения).

64

Рисунок 3.18 – Нагружение бруса вращающим моментом

Разрежем брус по сечению А на части I и II (см. рисунок 3.18,а) и, отбросив часть I, заметим, что равновесие оставленной части II (см. рисунок 3.18,б) обеспечивается возникновением только крутящего момента Мz, алгебраические суммы проекций внешних сил, образующих пару, на каждую из осей равны нулю, равны нулю и моменты пары сил относительно осей х и у. Следовательно, из уравнений статики получим Nz = 0, Qx = 0, Qy = 0, Mx = 0, My = 0, и крутящий момент Мz = М2. Разрезав брус по сечению А и отбросив часть II (см. рисунок 3.18,в), заметим, что в сечении А1 крутящий момент Мz = М1 ни численно, ни по знаку не изменился, так как при равновесии бруса М1 = М2. В тех случаях, когда на брус действуют не два, а несколько скручивающих моментов, целесообразно при вычислении крутящих моментов принять такое правило знаков: рассматривая любую из оставленных частей бруса со стороны сечения, внешние моменты, действующие против хода часовой стрелки, считать положительными, действующие по ходу часовой стрелки, – отрицательными.

65

Для получения наглядной картины деформированного состояния бруса по мере вычисления крутящих моментов может быть построена их эпюра по всей длине бруса (рисунок 3.19). 1 2 3

4 5

6

Рисунок 3.19 – Эпюра крутящих моментов

3.6.2 Кручение круглого прямого бруса Зависимость между величинами, характеризующими кручение бруса, представляется в наиболее простом виде при круглом поперечном сечении бруса. Рассматривая кручение круглого прямого бруса, будем исходить из трех допущений: – выбранное в брусе до деформации поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным к оси и после деформации (гипотеза Бернулли); – расстояния между поперечными сечениями при деформации бруса не изменяются; – радиусы поперечных сечений при деформации бруса не искривляются.

66

Представим себе заделанный одним концом в неподатливой стенке брус кругового поперечного сечения радиуса r (рисунок 3.20,а), на цилиндрической поверхности которого вдоль образующих проведены прямые линии. Если теперь свободный конец бруса нагрузить моментом Мо, то брус деформируется (скручивается) и продольные линии на цилиндрической поверхности примут вид винтовых линий (см. рисунок 3.20,б).

Рисунок 3.20 – Деформированное состояние бруса при нагружении вращающим моментом

Для того чтобы исследовать получившееся деформированное состояние бруса, выделим из него на расстоянии z от заделки элемент длиной dz и изобразим этот элемент отдельно в увеличенном виде (рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 – Распределение напряжений кручения

67

Предположим, что левое сечение выделенного элемента повернулось на некоторый угол φ, тогда правое сечение, расположенное несколько дальше от неподвижного сечения бруса в заделке, повернулось на угол φ + dφ. Угол dφ = ВО1В1 называется абсолютным углом закручивания выделенного элемента при одном и том же деформированном состоянии бруса, значение этого угла зависит от длины элемента dz. Деформированное состояние бруса при кручении характеризует величина φ0 = dφ/dz, называемая относительным углом закручивания. Если у поверхности выделенного элемента вырезать слой AB1 CD (см. рисунок 3.20,б,в), который из-за малости его размеров можно считать призмой, то этот призматический элемент находится в состоянии чистого сдвига. Для того чтобы определить τmax – максимальное значение касательных напряжений в крайних точках поперечного сечения бруса, найденное значение γ = rdϕ/dz = ϕ0 r подставим в вышеприведенное выражение τк: τк = G φ0 r. Если мысленно вырезать призматический элемент на расстоянии ρ от оси бруса, то угол сдвига у этого элемента γ' < γ (см. рисунок 3.21), и тогда в любой точке поперечного сечения на расстоянии ρ от центра τρ = G φ0 ρ. Это равенство выражает закон распределения касательных напряжений при кручении. Распределение касательных напряжений по сечению согласно этому закону показано на рисунке 3.22,а. Максимальные касательные напряжения кручения τк возникают у края сечения, и по мере приближения к его центру они убывают до нуля. Таким образом, в большей степени сопротивляется скручиванию та часть бруса, которая расположена ближе к его поверхности. Поэтому для экономии материала брусья, работающие на кручение, иногда изготавливают пустотелыми. Поперечное сечение такого бруса имеет форму плоского кругового кольца, распределение касательных напряжений в нем показано на рисунке 3.22,б.

68

Рисунок 3.22 – Эпюра распределения касательных напряжений по сечению

Зная закон распределения касательных напряжений по сечению, установим зависимость между возникшим в нем крутящим моментом Мк, относительным углом закручивания ϕ0 и максимальными касательными напряжениями τ max. Пусть в некотором сечении (рисунок 3.23) возник внутренний крутящий момент Мк, который можно определить через внешние моменты. На некотором расстоянии ρ от центра выберем в сечении бесконечно малую площадку dS и допустим, что напряжение по этой площадке τр. Тогда элементарный крутящий момент dMк = τp dSρ = G φ0 ρ2 dS.

Рисунок 3.23 – Крутящий момент в поперечном сечении бруса

Просуммировав элементарные крутящие моменты dMк по всей площади, учитывая, что G и φ0 – постоянные величины, получим Мк = G φ0 ∫ ρ2 dS. Обозначив ∫ ρ2 dS буквой Jp, запишем: Мк = G φ0 Jp.

69

Величину Jp = ∫ ρ2 dS, т. е. сумму произведений всех элементарных площадок поперечного сечения и квадратов их расстояний от центра, называют полярным моментом инерции сечения. Из равенства получим выражение относительного угла закручивания (величину деформации при кручении) φ0 = Мк/ G Jρ. Полный угол закручивания бруса (величина углового перемещения при кручении) φ0 = Мк l / G Jρ. Эта формула аналогична выражению для удлинения Δl. Произведение GJρ, как и в первом случае, называют жесткостью сечения бруса. Подставляя в равенство Мк = G φ0 Jρ выражение G φ0 = τк/r, получим Мк = τкJp / r. Откуда максимальные касательные напряжения τк = Мк r / Jρ. Отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу называют полярным моментом сопротивления (момент сопротивления кручению) и обозначают Wρ: Wρ = Jp / r, где Wρ измеряют в сантиметрах в кубе или в миллиметрах в кубе. Таким образом, максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса τк = Мк/ Wρ . Условие прочности при кручении имеет вид τк = Мк/ Wρ < [τк], где [τк] – допускаемое напряжение кручения. Назначается для пластичных материалов исходя из предела текучести τт, а для хрупких материалов – из предела прочности τв. Из условия прочности на кручение производят следующие расчеты.

70

Проверочный расчет. Определив максимальный крутящий момент в поперечном сечении бруса и полярный момент сопротивления сечения, находим τк = Мк/ Wρ и сравниваем его с [τк]. Проектный расчет. Определив крутящий момент в сечении бруса и приняв τк = [τк], находим требуемую величину полярного момента сопротивления: Wρ = Мк / [τк], затем, исходя из формы поперечного сечения (круг или кольцо), находим диаметр бруса. Полученное значение диаметра (в миллиметрах) следует округлить до ближайшего большего из нормального ряда. Расчет допускаемой нагрузки. Определив полярный момент сопротивления сечения и приняв τк = [τк], находим допускаемое значение крутящего момента: [Мк] = Wρ [τк], а затем, исходя из схемы нагружения, определим максимально допустимую нагрузку. Условие жесткости бруса при кручении состоит в том, чтобы относительный угол закручивания φ0 не превосходил некоторого заданного допускаемого значения [φ0], т. е. φ0 = Мк l / (G Jρ) < [φ0].

3.7 Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции сечений Любое плоское сечение бруса имеет определенную геометрическую форму и площадь. В формулы для определения координат центра тяжести сечения входят алгебраические суммы произведений элементарных площадок и координат их центров тяжести. Эти величины называются статическими моментами площади. В интегральной форме статические моменты площади относительно осей х и у можно представить так: Sx = ∫ у2 dS и Sy = ∫ х2 dS. Из формул, выведенных в статике, следует: Sx = Syc и Sy = Sxc, где S – площадь сечения; хс, ус – координаты центра тяжести сечения. 71

При этом при ус = 0 (ось х проходит через центр тяжести сечения) Sx = 0; при xc = 0 (ось у проходит через центр тяжести сечения) Sy = 0, т. е. статические моменты площади относительно центральных осей равны нулю. При исследовании зависимости между крутящим моментом и касательными напряжениями возникла еще одна геометрическая характеристика – полярный момент инерции сечения Jρ. Появление этой величины обусловлено неравномерностью распределения касательных напряжений по сечению при кручении. Теперь познакомимся с новыми геометрическими характеристиками сечения – с осевыми и центробежными моментами инерции относительно координатных осей (рисунок 3.24).

Рисунок 3.24 – Элементарные площадки в сечении

Представим себе, что сечение разделено на множество элементарных площадок dS (на рисунке 3.24 изображена одна из них), координаты которых х и у. Тогда интегралы Jx = ∫ y2 dS и Jy = ∫ x2 dS называют моментами инерции сечения относительно осей х(Jx) или у(Jy). Так же как и полярный момент инерции, осевые моменты инерции измеряют в сантиметрах в четвертой степени или миллиметрах в четвертой степени. Величина площадки положительна, поэтому независимо от знака координаты х или у осевые моменты всегда положительны.

72

Расстояние ρ между элементарной площадкой dS и началом координат связано с координатами площадки зависимостью ρ2 = x2 + y2. Умножив на величину элементарной площади dS обе части последнего равенства, а затем проинтегрировав их по всей площади сечения: ∫ ρ2 dS = ∫ y2 dS + ∫ x2 dS, получим зависимость между осевыми и полярным моментами инерции: Jρ = Jx + Jy. Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции отноcительно точки пересечения этих осей. Моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, называют центральными. Между моментами инерции сечения относительно параллельных осей, из которых одна центральная, существует зависимость, используемая далее в расчетах. Расположим сечение в осях координат х1Оу1, а затем через центр тяжести С сечения проведем оси Сх//Ох1 и Су//Оу1 (рисунок 3.25).

Рисунок 3.25 – Момент инерции сечения относительно параллельных осей

Координаты элементарной площадки dS сечения в осях х1Оу1 определяются координатами в центральных осях равенствами 73

y1 = у + а и х1 = х + е, где а и е – расстояния между осями. Возведем обе части первого равенства в квадрат: y21 = у2 + а2 + 2ay. Умножим обе части полученного равенства на dS и проинтегрируем по всей площади сечения: ∫ y21 dS = ∫ y2 dS + a2∫ dS + 2a ∫ у dS. Рассматривая каждый интеграл в отдельности, заметим, что ∫ y21 dS = Jx1 – момент инерции сечения относительно оси, параллельной центральной; ∫ y2 dS = Jx – центральный момент инерции сечения; ∫ dS = S – площадь сечения; ∫ у dS = Sx = 0 – статический момент площади относительно центральной оси. Поэтому последнее равенство можно записать так: Jxl = Jx + a2S. Аналогичным путем из равенства х1 = х + е получим Jyl = Jy + e2S. Следовательно, момент инерции сечения относительно оси, параллельной центральной, всегда больше центрального момента инерции на величину произведения квадрата расстояния между осями на площадь сечения.

3.8 Изгиб прямого бруса Чистым изгибом называют деформированное состояние бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент. Если кроме изгибающего момента возникает и поперечная сила, то изгиб бруса называют поперечным. И чистый, и поперечный изгибы могут быть прямыми или косыми. Все эти разновидности деформированного состояния определяются характером нагружения бруса. Нагружение бруса, при котором образуется прямой изгиб, показано на рисунке 3.26.

74

Рисунок 3.26 – Прямой изгиб бруса

Плоскость, проходящую через ось бруса и совпадающую с одной из плоскостей симметрии, называют главной плоскостью бруса или главной плоскостью инерции, так как в этой плоскости лежат главные центральные оси поперечных сечений бруса. При прямом изгибе внешние силы и моменты действуют в главной плоскости, и кроме того, силы, направлены перпендикулярно к оси бруса. Если плоскость действия внешних сил не совпадает с главной плоскостью бруса, то изгиб называют косым. При всех этих разновидностях изгиба первоначально прямая ось бруса искривляется. Брусья, работающие на изгиб, обычно называют балками, В дальнейшем будем рассматривать только прямой изгиб балки. Поэтому независимо от формы поперечного сечения балки условно будем изображать ее прямой линией и считать, что нагрузки расположены в главной плоскости. Придав балке, показанной на рисунке 3.26, условное изображение (рисунок 3.27,а), определим внутренние силовые факторы в ее поперечных сечениях. Сообразуясь с местом приложения нагрузки – пары сил с моментом М0, сосредоточенной силы F и равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q, разделим балку на три участка I, II и III.

75

Рисунок 3.27 – Определение поперечной силы Q и изгибающего момента Ми

Рассечем балку на участке I по сечению, расположенному на расстоянии z от места приложения момента М0, и отбросим правую часть балки (см. рисунок 3.27,б). Тогда на основании уравнения статики QI = 0, поскольку проекции сил, образующих пару, на ось у равны нулю, а равновесие оставшейся части балки обеспечивается одним изгибающим моментом, который обозначим Ми. При изменении z от 0 до а, т. е. в любом сечении на участке I (при 0 ≤ z ≤ a) изгибающий момент МIи = Мо. Следовательно, участок I балки находится в состоянии чистого изгиба. Рассечем балку на участке II по сечению, расположенному на расстоянии z (для данного случая а ≤ z ≤ (а + b)) от левого конца балки, и, отбросив ее правую часть (см. рисунок 3.27,в), найдем, что поперечная сила равна здесь проекции внешней силы на ось у, т. е. QII = –F, а изгибающий момент равен алгебраической сумме момента пары и момента силы F относительно центра тяжести сечения, т. е. 76

МIIи = M0 – F(z – a). Действие момента F(z – а) противоположно действию момента М0, поэтому он взят со знаком минус. Балка на участке II находится в состоянии поперечного изгиба – в сечениях этого участка возникают поперечная сила и изгибающий момент. Заметим, что в данном случае значение поперечной силы на участке не зависит от z, т. е. в любом сечении участка II QII = F = = const. Численное значение изгибающего момента находится в линейной зависимости от величины z, т. е. изменяется при переходе от одного сечения к другому. Рассечем балку на участке III по сечению на расстоянии z (для этого случая (а + b) ≤ z ≤ (а + b + с)) от левого ее конца и, отбросив правую часть (см. рисунок 3.27,г), находим поперечную силу QIII = –F – q[z – (a + b)] и изгибающий момент MиIII = Mo – F(z – a) – q [z – (a + b)] (q [z – (a + b)]) /2 или MиIII = M0 – F(z – a) – q [z – (a + b)]2/2. Ha этом участке возникает также поперечный изгиб. Причем из-за наличия равномерно распределенной нагрузки поперечная сила в данном случае зависит от места сечения: по мере передвижения сечения вправо (при возрастании z) увеличивается абсолютное значение второго слагаемого q (z – (а + b)); изгибающий момент меняется в зависимости от z по параболическому закону.

3.8.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов При определении поперечной силы Q и изгибающего момента Ми в различных сечениях балки (см. рисунок 3.27) видно, что их значения изменяются по длине балки в зависимости от характера нагрузки и места их приложения. При расчетах часто бывает важно знать значения Q и Ми в сечениях по всей длине балки, а это возможно только лишь после построения эпюр.

77

Сформулируем правила определения значений Q и Ми, учитывая, что при поперечном изгибе внешние силы перпендикулярны к оси балки, а при ее рассечении можно отбросить правую или левую части. Поперечная сила Q в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от сечения. Изгибающий момент Ми в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно той точки оси бруса, через которую проходит данное сечение. Правило знаков при определении значения поперечной силы (рисунок 3.28): внешним силам, сдвигающим относительно сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрелки, приписывают знак плюс (см. рисунок 3.28,а), а сдвигающим относительно сечения оставленную часть балки против хода часовой стрелки – знак минус (см. рисунок 3.28,б).

Рисунок 3.28 – Правило знаков для поперечной силы Q

78

Правило знаков при определении значения изгибающего момента (рисунок 3.29): внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывают знак плюс (рисунок 3.29,а), а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх, – знак минус (см. рисунок 3.29,б).

Рисунок 3.29 – Правило знаков при определении изгибающего момента Ми

3.8.2 Основные расчетные предпосылки и формулы при изгибе Зависимости между величинами при изгибе выводятся из рассмотрения наиболее простой его разновидности – чистого изгиба, при котором в поперечных сечениях бруса (или какого-либо его участка) Q = 0, а Ми = const. Исследование чистого изгиба основывается на двух допущениях: 1) перпендикулярное к оси недеформированного бруса плоское сечение остается и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса; 2) продольные волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга. Картина деформированного состояния при чистом изгибе, подтверждающая первое допущение, хорошо видна на резиновой модели бруса прямоугольного сечения с нанесенной на боковой грани сеткой из продольных и поперечных линий (рисунок 3.30,а), имитирующих продольные слои и поперечные сечения бруса. При нагружении обоих концов бруса противоположно направленными парами сил продольные линии искривляются, образуя дуги окружности, а попереч79

ные, оставаясь прямыми, лишь поворачиваются на некоторый угол (см. рисунок 3.30,б). Таким образом, при чистом изгибе поперечные сечения поворачиваются и продольные слои бруса у выпуклой части бруса удлиняются, а у вогнутой – укорачиваются. Очевидно, что где-то должен находиться слой, первоначальная длина которого не изменилась. Этот слой называется нейтральным. Его положение пока нам неизвестно. На рисунке 3.30,б нейтральный слой условно выделен жирной линией. Выделим в брусе (см. рисунок 3.30) два смежных поперечных сечения, расположенных одно от другого на расстоянии dz, и допустим, что при изгибе между ними образовался угол dΘ (рисунок 3.31), вершина которого лежит в центре кривизны нейтрального слоя.

Рисунок 3.30 – Чистый изгиб

Исходя из радианного измерения углов, находим, что кривизна нейтрального слоя 1/ρ = dΘ/dz. Из рисунка 3.31 видно, что отрезок А0В0 = АВ′ произвольного слоя изогнутого бруса получил удлинение Δdz = В'В = ydΘ, где у – расстояние этого слоя от нейтрального. Следовательно, продольная деформация любого слоя бруса при изгибе ε = Δdz / dz = (dΘ/dz)y или ε = y/ρ. 80

Рисунок 3.31 – Элемент бруса при чистом изгибе

По закону Гука σ = Eε = E y/ρ, т. е. мы получили выражение закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению бруса. Линию пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называют нейтральной осью (Н.С. на рисунке 3.32). В точках, расположенных на этой оси, σ = 0, так как для них у = 0. В любых других точках сечения нормальные напряжения пропорциональны их удалению от нейтрального слоя, т. е. они изменяются по линейному закону. Если, как обычно, напряжение растяжения направить от сечения, а напряжение сжатия – к сечению, то получим картину распределения напряжений, показанную на рисунке 3.32.

Рисунок 3.32 – Пространственная эпюра нормальных напряжений

81

При чистом изгибе в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент Ми, поскольку продольная сила Nz = 0. Используя это обстоятельство, определим положение нейтрального слоя в изогнутом брусе. Разбив поперечное сечение на множество элементарных площадок dS (рисунок 3.33) и просуммировав элементарные продольные силы σdS = E y/ρ dS по всей площади сечения, получим: Nz = ∫ E y/ρ dS = E/ρ ∫ ydS = 0.

Рисунок 3.33 – Изгибающий момент в поперечном сечении бруса

Вынесенная за знак интеграла постоянная величина E/ρ# 0, следовательно, это равенство имеет смысл лишь при ∫ ydS = 0. Этот интеграл есть статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. И так как он равен нулю, то нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Значит, она совпадает с центральной осью х (осью инерции) сечения и ось бруса лежит в нейтральном слое (см. рисунок 3.32). Таким образом, кривизна нейтрального слоя l/ρ есть не что иное, как кривизна изогнутой оси бруса. Эта формула неудобна для определения напряжений в сечении бруса, в ней неизвестно значение величины l/ρ. Поэтому выразим значение нормального напряжения через Ми, который достаточно просто найти через моменты заданных внешних сил. Возникающие в поперечном сечении бруса при чистом изгибе нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом Ми равенством

82

Ми = ∫ σy dS, где dS – элементарная площадка поперечного сечения (см. рисунок 3.33); σdS – элементарная внутренняя сила; σdSy = σydS – элементарный момент внутренних сил. Следовательно, изгибающий момент равен сумме элементарных моментов внутренних сил, взятых по всей площади сечения. Подставив вместо σ его значение из выражения, находим: Ми = E/ρ ∫ y2 dS, 2 где ∫ y dS = Jx – момент инерции сечения относительно оси х. Таким образом: Ми = E Jx /ρ , отсюда l/ρ = Ми/(EJx). По этой формуле определяют кривизну изогнутой оси бруса, т. е. величину, характеризующую деформацию изгиба. Подставляя это значение кривизны l/ρ получим выражение для нормального напряжения в точке сечения на расстоянии ρ от нейтральной оси σ = Миy/Jx.

3.8.3 Расчет на прочность при изгибе Как было установлено выше, при изгибе нормальные напряжения в поперечном сечении бруса распределяются по линейному закону: в точках, расположенных на нейтральной оси, σ = 0, а в точках, наиболее удаленных от нее, они достигают максимального значения. Опасные (близкие к предельным) напряжения могут возникнуть в сечении, где изгибающий момент достигает максимального значения. Поэтому максимальные напряжения изгиба σ = Ми max ymax/Jx, где ymax – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах сечения. Если материал балки хрупкий, например закаленная сталь, чугун, текстолит и др., то расчет на прочность при изгибе проводят по напряжениям и растяжения, и сжатия. У хрупких материалов предел прочности при сжатии выше предела прочности при растяжении. Следовательно, поперечным сечениям балок из хрупких материалов

83

целесообразно придавать асимметричную форму относительно нейтральной оси (рисунок 3.34) и располагать балку так, чтобы усиленная часть сечения находилась в растянутой зоне.

Рисунок 3.34 – Эпюра нормальных напряжений в несимметричном сечении при изгибе

При расчете балок из пластичных материалов, например из низкоуглеродистой стали или цветных металлов, допускаемые напряжения растяжения и сжатия берутся одинаковыми. Для таких балок целесообразными являются сечения, симметричные относительно нейтральной оси (рисунок 3.35), так как в этом случае наиболее удаленные точки в растянутой и сжатой зонах сечения располагаются на одинаковом расстоянии от нейтральной оси.

а

б

в

Рисунок 3.35 – Эпюра нормальных напряжений в симметричных сечениях при изгибе

В этом случае σр mах = σс mах = Ми max h/(Jx2) = Ми max ymax/Jx = Ми max/ Wx. Величину Wx, равную Jx/ymax, измеряемую в сантиметрах в кубе или миллиметрах в кубе, называют моментом сопротивления сечения при изгибе. 84

Наиболее экономичными при изгибе являются такие формы сечений, при которых материал бруса расположен как можно дальше от нейтральной оси. У таких брусьев при наименьшей затрате материала получается наибольшая величина момента сопротивления Wx. Поэтому и возникли профили стандартного проката (см. рисунок 3.35,б,в), геометрические характеристики которых приведены в справочниках. Таким образом, максимальные напряжения растяжения или сжатия в симметричном относительно нейтральной оси сечении находят по вышеприведенной формуле, и условие прочности балки из пластичного материала имеет вид σmax = Ми max/Wx ≤ [σ], на основании которого выполняют три вида расчетов. Проверочный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят фактическое напряжение σmax и сравнивают его с допускаемым [σ]. Проектный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и приняв σmax = [σ], находят требуемую величину момента сопротивления Wx. Затем, учитывая форму поперечного сечения, находят его размеры. Расчет допускаемой нагрузки также выполняют при σmax = [σ]. Далее по схеме нагружения балки находят допускаемое значение нагрузки.

3.9 Допускаемые напряжения при основных видах нагружения Как было показано выше, условие прочности обеспечивается тогда, когда фактические напряжения в конструкции не превышают некоторого допустимого значения. Допускаемые напряжения назначаются на основании механических испытаний, при которых определяются предельные напряжения: нормальные σlim или касательные τlim σ τ [σ] = lim ; [ τ] = lim , s′ s′ где s′ – запас прочности. 85

Предельными называются такие напряжения, превышение которых приводит к разрушению детали или изменению формы, вызывающему нарушение работы изделия. Величина предельных напряжений зависит от материала детали и вида напряжений. Напряжения могут быть статические (не изменяющиеся во времени) или циклические (изменяющиеся во времени). В зависимости от этого говорят о статической или циклической прочности. Статические напряжения крайне редко встречаются в деталях машин, как правило, это детали, нагруженные в основном силами тяжести или большими рабочими силами, не меняющимися во времени (предварительно затянутые резьбовые соединения). Чаще всего встречаются напряжения, изменяющиеся во времени (напряжения, испытываемые зубом зубчатого колеса и т. п.).

3.9.1 Предельные напряжения при статических напряжениях Предельные напряжения при постоянных напряжениях выбирают по диаграммам растяжения–сжатия или кручения. Для пластичных сталей диаграмма растяжения имеет площадку текучести. Чтобы избежать в работающей конструкции недопустимо больших пластических деформаций, за предельное напряжение принимают предел текучести: σlim = σт или τlim = τт. Для хрупких материалов, в которых остаточные деформации малы, при σ > σт, за предельное напряжение принимают предел прочности σlim = σв, τlim = τв.

3.9.2 Предельные напряжения при переменных напряжениях При переменных напряжениях разрушение происходит в результате усталости материала детали. Усталость – процесс постепенного накопления повреждений материала под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению изделия. Детали, подвергающиеся длительной повторно-переменной нагрузке, разрушаются при напряжениях, которые значительно меньше 86

предела текучести материала при статическом нагружении. Это обстоятельство имеет большое значение для машин, детали которых работают в условиях циклических нагрузок при общем числе циклов, достигающем за весь период службы машины многих миллионов. Как показывает статистика, не менее 80 % поломок и аварий, происходящих при эксплуатации современных машин, связано с усталостными явлениями. Поэтому проблема усталостной прочности является ключевой для повышения надежности и долговечности машин. Переменные напряжения характеризуются циклом изменения напряжений (совокупностью последовательных значений напряжения за один период их изменения) (рисунок 3.36).

Рисунок 3.36 – Циклы изменения напряжения

Основными параметрами цикла являются: − σmax – наибольшее по алгебраической величине напряжение в цикле (растягивающее напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным); − σmin – наименьшее по алгебраической величине напряжение в цикле; − σm = (σmax + σmin)/2 – среднее напряжение цикла; − σа = (σmax – σmin)/2 – амплитуда цикла;

87

− R = σmin/σmax – коэффициент асимметрии цикла (напряжения берут с алгебраическим знаком). Различают семь типовых циклов изменения напряжений (рисунок 3.37).

Рисунок 3.37 – Типовые циклы изменения напряжения: 1, 7 – асимметричные знакопостоянные; 3, 5 – знакопеременные; 4 – симметричные; 2, 6 – отнулевые

При переменных напряжениях в качестве предельных напряжений назначается предел усталости σlim, который определяется экспериментальным путем на специальных стендах. Наиболее распространен способ определения предела усталости при циклическом симметричном изгибе по Велеру (кривые Велера). Консольный или двухопорный образец, вращающийся вокруг собственной оси с постоянной частотой вращения, нагружают постоянной по направлению поперечной силой. За каждый оборот все точки поверхности образца один раз проходят через зону максимального напряжения растяжения и один раз – через зону максимального напряжения сжатия, проделывая полный цикл знакопеременного симмет88

ричного изгиба. Частота циклов равна частоте вращения образца в единицу времени; число оборотов до разрушения равно разрушающему числу циклов. Такой вид изгибного нагружения (круговой изгиб) свойственен многим машиностроительным деталям (например, валы зубчатых колес, ременных и цепных передач и т. п.). Кривая усталости (кривая Велера) обычно строится в двойных логарифмических координатах. При этом по оси абсцисс в равномерном масштабе откладывают значения lgN, а на оси ставят значения N, соответствующие данному lgN; аналогично по оси ординат в равномерном масштабе откладывают lgσа, а ставят значения σа. При этом кривая усталости приобретает вид, показанный на рисунке 3.38.

Рисунок 3.38 – Кривая усталости

Испытания на усталость ведут до разрушения. Если усталостная трещина не образуется и разрушение не наступает, то испытания ведут до базового числа циклов (базы). База – предварительно задаваемая наибольшая продолжительность испытаний. Для стальных образцов при растяжении – сжатии или изгибе достаточна база Nlim = 107, если до N = 107 при действии заданного напряжения разрушения нет, то и не будет. 89

Для получения характеристик сопротивления усталости необходимо провести испытания не менее 10 одинаковых образцов из деформируемых и не менее 15 (в связи с повышенной неоднородностью) из литейных сплавов. При построении кривой усталости первый образец испытывают обычно при амплитуде σа ≈ (0,65...0,75)σт, фиксируя число циклов до его разрушения. Постепенно снижая амплитуду, испытывают следующие образцы. Если образец проработал без разрушения 107 циклов, испытания прекращаются и следующий образец испытывается при несколько больших амплитудах напряжений. При этом определяется положение точки перегиба, соответствующее пределу усталости (пределу длительной выносливости). Левая, нисходящая, ветвь кривой усталости соответствует области ограниченной долговечности. По ней можно определить долговечность (в циклах), которую будут иметь детали, нагруженные напряжениями, превосходящими предел усталости, или напряжениями, являющимися предельными при заданной долговечности. Иными словами, на графике можно показать зону нормальной работы и зону разрушения. При расчетах на ограниченную долговечность необходимо знать величину предельных напряжений. В двойных логарифмических координатах кривая усталости имеет два прямолинейных участка. Левый наклонный, уравнение которого можно записать в виде у = ах + b. При этом y = lgσN, x = lgN. Сомножитель а должен быть мал и иметь отрицательное значение. Принимают а = –1/m. Параметр m характеризует наклон левой ветви кривой усталости, и его величина зависит от свойств материала и формы детали. Подставив выражения для а, x и y, получим: lgσN = –1/m(lgN) + b; m lgσN + lgN = mb; lqσNmN = mb; σNmN = 10mb = const. Точка перегиба кривой усталости также принадлежит наклонному участку и координаты этой точки σlimmN = const.

90

Если равны левые части, то равны и правые части уравнений, т. е. σNmN = σlimmNlim. Отсюда σN = σlim

m

N / N lim = σlim KL.

В этой формуле KL – коэффициент долговечности, позволяющий определить предельные напряжения при расчетах на ограниченную долговечность. Правый участок горизонтальный или непрерывно снижается, но в расчётах и в этих случаях его считают горизонтальным.

91

4 Механические передачи 4.1 Общие сведения о передачах Механическими передачами, или просто передачами, называют механизмы, служащие для передачи механической энергии на расстояние, как правило, с преобразованием скоростей и моментов, иногда с преобразованием видов (например, вращательное в поступательное) и законов движения. Передачи получили широкое распространение в машиностроении; например, в таких машинах, как автомобиль или станок, имеется по нескольку десятков зубчатых передач, а выпуск зубчатых колес в России измеряется сотнями миллионов штук в год. Основные причины применения передач в машинах следующие: 1) требуемые скорости движения рабочих органов машины, как правило, не совпадают с частотами вращения двигателей общемашиностроительного применения, а тихоходные двигатели для низких частот вращения и больших моментов очень громоздки и дороги (примером может служить привод ленточного конвейера, в котором приводной барабан непосредственно соединен с валом двигателя. При синхронной частоте вращения вала двигателя 1500 мин–1 и диаметре барабана 300 мм линейная скорость транспортируемого груза будет составлять 23,55 м/с или 85 км/ч, что недопустимо с точки зрения Правил техники безопасности); 2) для большинства технологических и транспортных машин необходима возможность регулирования скорости и периодическая работа с большими моментами (при малых скоростях); между тем регулирование скорости двигателя не всегда возможно и экономично; 3) двигатели обычно выполняют для равномерного вращательного движения, а в машинах часто оказывается необходимым поступательное движение с заданным законом изменения скорости; 4) двигатели не всегда могут быть непосредственно соединены с исполнительными механизмами из-за требования к габаритам машины, условий техники безопасности, удобства обслуживания, а иногда должны приводить в движение по нескольку механизмов.

92

По принципу работы выделяют: 1) передачи зацеплением с непосредственным контактом (зубчатые, червячные и винт – гайка) и с гибкой связью (цепные); 2) передачи трением с непосредственным контактом тел качения (фрикционные) и с гибкой связью (ременные). В зависимости от назначения передачи выполняют с постоянным или с переменным (регулируемым) передаточным отношением. В последнем случае применяют ступенчатое или бесступенчатое регулирование. Ступенчатое регулирование дешевле и осуществляется более простыми и надежными механизмами. Бесступенчатое регулирование благодаря возможности выбора оптимального процесса способствует повышению производительности и качественных показателей работы машины. Применение автоматических бесступенчатых передач в автомобилях и тракторах приводит к уменьшению расхода топлива до двух раз, оно благоприятно для автоматизации и управления на ходу.

4.2 Основные кинематические и силовые соотношения в механических передачах Любая механическая передача характеризуется следующими основными параметрами (рисунок 4.1): мощностью Р2 – на выходе, кВт; быстроходностью, которая выражается угловой скоростью ведомого вала ω, рад/с, или частотой вращения n, мин–1, и передаточным отношением i. Это три основные характеристики, необходимые для проектировочного расчета любой передачи. Кроме основных различают производные характеристики, которыми часто пользуются при расчетах: – коэффициент полезного действия (КПД) η = P2/ P1; – для многоступенчатой передачи, состоящей из нескольких отдельных последовательно соединенных передач, общий КПД определяют по формуле η общ = η1 η2 η3 … ηi ,

93

где η1 η2 η3 … ηi – КПД каждой кинематической пары, а также других звеньев привода, где имеются потери мощности (подшипники, муфты);

Рисунок 4.1 – Механическая передача

– окружная сила передачи (кН) Ft = P/V, где Р – мощность, кВт; V – окружная скорость, м/с; – вращающий момент на i-м валу (Н·м) Тi = Рi/ωi = 9550 Рi/ni, где Рi – мощность, кВт; ωi – угловая скорость, рад/с; ni – частота вращения i-го вала. Вращающий момент ведущего вала Т1 является моментом движущих сил; его направление совпадает с направлением вращения вала. Момент ведомого вала Т2 – момент сил сопротивления, поэтому его направление противоположно направлению вращения вала. Передаточным отношением механической передачи называется отношение угловой скорости ведущего звена к угловой скорости ведомого звена. i = ω1/ω2 = n1/n2. Передаточным числом называют отношение числа зубьев большего колеса к числу зубьев меньшего колеса и обозначают буквой u. u = z2/z1.

94

В редукторах (устройствах, предназначенных для снижения частоты вращения) числовые значения передаточного отношения и передаточного числа равны. Если передача многоступенчатая (рисунок 4.2), то ее передаточное число равно произведению передаточных чисел ступеней, т. е. uобщ = u1 u2 … ui .

Рисунок 4.2 – Многоступенчатая передача (трехступенчатая)

При выполнении кинематических расчетов может возникнуть необходимость в определении частоты вращения nвых (мин–1) ведомого вала при известном диаметре и окружной скорости колеса шкива, звездочки и т. п.; тогда n = 60000V/(πd), где V – линейная скорость, м/с; d – диаметр выходного звена (например, диаметр барабана, ходового колеса и т. п.), мм. Если заданы шаг цепи t (мм) и число зубьев звездочки z, то можно определить диаметр делительной окружности звездочки: d = tz/π. Наряду с механическими передачами трением и зацеплением широко применяют гидравлические, пневматические и электрические передачи.

4.3 Зубчатые передачи Зубчатая передача – это механизм, который с помощью зубчатого зацепления передает или преобразует движение с изменением угловых скоростей и моментов.

95

Зубчатые передачи применяют для преобразования и передачи вращательного движения между валами с параллельными, пересекающимися и перекрещивающимися осями, а также для преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот. Зубчатые передачи между параллельными валами осуществляются цилиндрическими колесами с прямыми, косыми и шевронными зубьями (рисунок 4.3,а–г).

Рисунок 4.3 – Основные виды зубчатых колес

Передачи между валами с пересекающимися осями осуществляются обычно коническими колесами с прямыми и круговыми зубьями (см. рисунок 4.3,а–з), реже тангенциальными зубьями (см. рисунок 4.3,ж). Зубчатые передачи для преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот осуществляются цилиндрическим колесом и рейкой (см. рисунок 4.3,д). Для валов с перекрещивающимися осями применяют зубчатовинтовые передачи. Зубчатые передачи составляют наиболее распространенную и важную группу механических передач. Их применяют в широком диапазоне областей и условий работы: от часов и приборов до самых тяжелых машин, для передачи окружных сил от миллиньютонов до десятков меганьютонов, для моментов до 107 Н⋅м и мощностей от ничтожно малых до десятков тысяч киловатт, с диаметрами колес от долей миллиметра до 10 м и более. 96

Зубчатые передачи в сравнении с другими механическими передачами обладают существенными достоинствами, а именно: а) малыми габаритами; б) высоким КПД; в) большой надежностью в работе; г) постоянством передаточного отношения из-за отсутствия проскальзывания; д) возможностью применения в широком диапазоне моментов, скоростей и передаточных отношений. К недостаткам зубчатых передач могут быть отнесены требования высокой точности изготовления и шум при работе со значительными скоростями.

4.3.1 Краткие сведения из геометрии и кинематики зубчатых передач Основным кинематическим условием, которому должны удовлетворять профили зубьев, является постоянство мгновенного передаточного отношения передачи. Этому условию удовлетворяют многие классы кривых. Для обеспечения высокого КПД, прочности и долговечности колес профили зубьев должны иметь малые скорости скольжения и достаточные радиусы кривизны в точках контакта. Профили должны допускать легкое изготовление, в частности нарезание простым инструментом независимо от числа зубьев колес. Этим требованиям наиболее полно удовлетворяет эвольвентное зацепление, нашедшее широчайшее применение в машиностроении (эвольвента – кривая, которую описывает точка прямой, катящаяся по окружности без скольжения). Каждое эвольвентное зубчатое колесо должно быть нарезано так, чтобы оно могло входить в зацепление с колесами того же модуля, имеющими любое число зубьев. Эвольвентное зацепление мало чувствительно к отклонениям межосевого расстояния. Эвольвентные зубчатые колеса могут нарезаться простым инструментом, они удобны для контроля. Зацепление зубчатых колес эквивалентно качению без скольжения окружностей с диаметрами dw1 и dw2, называемых начальными 97

окружностями. При качении без скольжения прямой NN (рисунок 4.4) по основным окружностям с диаметрами db1 = dw1 cos αtw и db2 = dw2 cos αtw (где αtw – угол зацепления) точки этой прямой описывают на каждом из колес эвольвенты. Поэтому нужное движение колес можно получить зацеплением зубьев, очерченных по эвольвентам. При увеличении числа зубьев до бесконечности эвольвента превращается в прямую, а зубчатое колесо – в рейку с трапециевидным профилем зубьев, удобную для изготовления и контроля. Поэтому в качестве исходного контура для эвольвентного зацепления принята рейка, и широкое применение нашло формообразование зубьев в процессе зацепления с реечным инструментом. В качестве основного параметра зубчатого зацепления принят модуль зубьев m – величина, пропорциональная шагу р по делительному цилиндру, т. е. цилиндру, на котором шаг зубчатого колеса равен шагу исходного контура, т. е. шагу производящей рейки. Таким образом, m = р/π. Шаг р, так же как и длина окружности, является кратным числу π и поэтому неудобным в качестве основного параметра зацепления. В общем случае для косозубых передач с углом наклона зубьев β рассматривают окружные и нормальные шаги и модули.

Рисунок 4.4 – Образование эвольвентных профилей

98

4.3.2 Нарезание зубьев зубчатых колес Заготовку зубчатых колес получают литьем, штамповкой или ковкой в зависимости от материала, формы и размеров. Существуют два основных метода изготовления зубчатых колес: метод копирования и метод огибания (обкатки). По методу копирования впадина между зубьями образуется инструментом (дисковой фрезой, пальцевой фрезой, протяжкой, шлифовальным кругом), имеющим профиль впадины (рисунок 4.5,а,б). Точность этого метода, особенно по шагу, пониженная. Метод копирования применяют для обработки крупномодульных шевронных колес, для нарезания и для шлифования колес в массовом производстве, а также в условиях ремонтных мастерских.

Рисунок 4.5 – Способы нарезания зубьев

Чаще всего применяется метод огибания. По этому методу зубья нарезают инструментом в виде рейки-гребенки (см. рисунок 4.5,в), червячной фрезы (см. рисунок 4.5,г) или шестернидолбяка. Нарезание происходит в процессе принудительного зацеп-

99

ления инструмента с заготовкой на зуборезном станке. Инструменту дополнительно сообщается движение, обеспечивающее резание. Метод огибания обеспечивает непрерывный процесс нарезания, что дает повышенную производительность и точность по сравнению с методом копирования. Метод огибания позволяет использовать для нарезания колес, а также долбяков реечный инструмент с прямолинейным профилем. Зуборезный инструмент реечного типа профилируют по контуру так называемой производящей или инструментальной рейки. Кроме нарезания применяют также метод накатывания зубьев, который повышает прочность на 15...20 %. Точные зубчатые колеса подвергают отделочным операциям: шевингованию, шлифованию, притирке.

4.3.3 Параметры и конструкции зубчатых передач 4.3.3.1 Параметры и конструкции цилиндрических зубчатых передач Передаточные числа u = z2/z1 = d2/d1 обычно ограничиваются габаритами передач. В редукторных передачах максимальные значения передаточных чисел тихоходной и промежуточной передачи 5,6...6,3, быстроходной передачи 6,3...8. Нижние значения при твердости 56...63HRCэ, верхние – при ≤ 350НВ. Имеется тенденция снижения передаточного числа u при высокой твердости зубьев до 5. В приводах столов больших диаметров u ≤ 20. Номинальные передаточные числа цилиндрических зубчатых передач стандартизованы по СТ СЭВ 312–76; 1-й предпочтительный ряд 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 2-й предпочтительный ряд 1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11. Меньшее из пары зубчатых колес называют шестерней, параметрам которой присваивается индекс 1 (рисунок 4.6), а большее – колесом (присваивается индекс 2). Термин «зубчатое колесо» является общим.

100

Рисунок 4.6 – Основные параметры зубчатого колеса

Минимальное число зубьев шестерен обычно ограничивается условием неподрезания зубьев у основания. Для некорригированных передач zmin = 17, для корригированных zmin = 12... 14 и меньше. Преимущественно числа зубьев выбирают из кинематических условий. Большое значение для ограничения номенклатуры корпусных деталей редукторов и коробок скоростей имеет стандартизация межосевых расстояний передач. Межосевые расстояния aw, мм, цилиндрических передач редукторов должны выбираться из следующих рядов: 1-й предпочтительный ряд 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500; 2-й предпочтительный ряд 140, 180, 225, 280, 355, 450, 560, 710, 900, 1120, 1400, 1800, 2240. Ширину зубчатых колес выбирают в соответствии с установленными эмпирическими соотношениями. Коэффициент ширины ψa = b/aw редукторных зубчатых колес из улучшенных сталей при

101

несимметричном расположении рекомендуют принимать равным 0,315...0,4, а из закаленных сталей 0,25...0,315; при симметричном расположении зубчатых колес относительно опор 0,4...0,5. Стандартные значения ψa для редукторов: 0,100; 0,125; 0,160; 0,200; 0,250; 0,315; 0,400; 0,500; 0,630; 0,800; 1,0; 1,25; значения 0,630... 1,25 – для шевронных передач. Прямозубые колеса применяют преимущественно при невысоких и средних окружных скоростях, при большой твердости зубьев (когда динамические нагрузки от неточностей изготовления невелики по сравнению с полезными), в планетарных передачах, в открытых передачах, а также при необходимости осевого перемещения колес для переключения скорости (коробки передач). Косозубые колеса используют для ответственных передач при средних и высоких скоростях. Объем их применения – свыше 30 % объема применения всех цилиндрических колес в машинах; и этот процент непрерывно возрастает. Косозубые колеса с твердыми поверхностями зубьев требуют повышенной защиты от загрязнений во избежание неравномерного износа по длине контактных линий и опасности выкрашивания. Угол наклона зубьев β косозубых колес выбирают по условию, при котором осевой коэффициент перекрытия более 1,1 (обычно 1,1... 1,2), в большинстве конструкций β = 8...22°, в раздвоенных ступенях редукторов для лучшей самоустановки β ≥ 30°. Значение угла β удобно выбирать таким, чтобы при стандартных значениях нормальных модулей межосевые расстояния aw соответствовали приведенным в стандартах, а для встраиваемых передач по возможности выражались целыми круглыми числами. В зубчатых колесах при твердости ≤ 350 НВ отношение m/аw = = 0,01...0,02, а при твердости ≥ 45 HRCэ m/аw = 0,016...0,0315. В косозубых передачах редукторов для шестерен рекомендуют принимать направление зуба левое, для колес – правое. В мощных редукторах применяют шевронные колеса, не передающие на подшипники осевые нагрузки. У шевронных колес β = 25...45°. Геометрические параметры цилиндрических зубчатых передач приведены в таблице 4.1. 102

Таблица 4.1 – Основные геометрические зависимости цилиндрических зубчатых передач, нарезанных без смещения исходного контура Параметр зацепления

Геометрическая зависимость

Диаметры делительные d1; d2

d1 = mz1/cosβ; d2 = mz2/cosβ

Диаметры вершин зубьев da1; da2

da1 = d1 + 2m; da2 = d2 + 2m

Диаметры впадин зубьев df1; df2

df1 = d1 – 2,5m; df2 = d2 – 2,5m

Межосевое расстояние aw

aw = (d1 + d2)/2

Высота зуба h

h = 2,5m

Высота головки зуба ha

ha = m

Высота ножки зуба hf

hf = 1,25 m

Основные конструкции цилиндрических зубчатых колес показаны на рисунке 4.7,а–ж. Тип конструкции зависит от вида производства, размеров колес и программы выпуска. Основные размеры конструктивных элементов приведены в справочниках.

а

б

в Рисунок 4.7 – Конструкции зубчатых колес

4.3.3.2 Параметры и конструкции конических зубчатых передач

Конические зубчатые колеса применяют в передачах, у которых оси валов пересекаются под некоторым углом ∑ (рисунки 4.8 и 4.9). Наиболее распространены передачи с углом ∑, равным 90°. Половины углов делительных (начальных) конусов обозначают через δ1 для шестерни и δ2 для колеса, причем δ1 + δ2 = 90°.

103

Рисунок 4.8 – Коническая зубчатая передача

Рисунок 4.9 – Основные параметры конических колес

Конические передачи сложнее цилиндрических (изготовление и монтаж). Для нарезания конических колес требуются специальные станки и специальный инструмент. Кроме допусков на размеры зубчатых венцов здесь необходимо выдерживать допуски на углы ∑, δ1 и δ2, а при монтаже обеспечивать совпадение вершин конусов. Выполнить коническое зацепление с той же степенью точности значительно труднее, чем цилиндрическое.

104

Пересечение осей валов затрудняет размещение опор. Одно из конических колес, как правило, располагают консольно (см. рисунок 4.2). При этом увеличивается неравномерность распределения нагрузки по длине зуба. В коническом зацеплении действуют осевые силы, наличие которых усложняет конструкцию опор. Все это приводит к тому, что нагрузочная способность конической передачи составляет лишь около 0,85 по сравнению с цилиндрической. Несмотря на отмеченные недостатки, конические передачи имеют довольно широкое применение, поскольку конструкция машин часто вынуждает располагать валы под углом. Передаточное число u = ω1/ω2 = n1/n2 = ctg δ1 = tg δ2 = z2/z1 = de2/de1. Диаметр внешней делительной окружности конусов: – шестерни de1 = mе z1, – колеса de2 = mе z2, где mе – внешний окружной модуль зацепления. Внешняя высота головки и ножки зуба hae = me; hfе = 1,2mе. Внешняя высота зуба he = hae + hfe. Внешнее конусное расстояние Re = 0,5 me z12 + z22 . Ширина венца (длина зуба) b = 0,285Re. Среднее конусное расстояние Rm = Re – 0,5b. Средний окружной модуль mm = me Re/Rm. Средний делительный диаметр dm1 = mmz1; dm2 = mmz2.

105

4.3.4 Виды разрушения зубьев. Критерии работоспособности и расчета зубчатых передач Поломка зубьев (рисунок 4.10,а) является наиболее опасным видом разрушения, приводящим к выходу из строя передачи и часто к повреждению других деталей (валов, подшипников) из-за попадания в них выломившихся кусков зубьев. Поломка зубьев может происходить при больших перегрузках ударного или статического действия, повторных перегрузках, вызывающих малоцикловую усталость, или при многократно повторяющихся нагрузках, вызывающих усталость материала.

Рисунок 4.10 – Разрушение зубьев

Поломки часто бывают связаны: а) с концентрацией нагрузки по длине зубьев из-за погрешностей изготовления и сборки или больших упругих деформаций валов; б) с износом зубьев, приводящим к их ослаблению и к росту динамических нагрузок; в) с вводом в зацепление на ходу передвижных шестерен. Усталостные трещины обычно появляются у корня зубьев на стороне растянутых волокон, где действуют наибольшие напряжения растяжения и местные напряжения, связанные с формой. Излом происходит преимущественно по сечению у основания зуба. При усталостном разрушении излом имеет вогнутую форму на теле колеса, при разрушении от перегрузки – выпуклую. Зубья шевронных

106

и широких косозубых колес обычно выламываются по косому сечению. Для предотвращения поломок зубья рассчитывают на изгиб. Усталостное выкрашивание (см. рисунок 4.10,б) поверхностных слоев зубьев является наиболее распространенным видом повреждений для большинства закрытых, хорошо смазываемых и защищенных от загрязнений зубчатых колес. Выкрашивание заключается в появлении на рабочих поверхностях небольших углублений, напоминающих оспинки, которые потом растут и превращаются в раковины. Размеры ямок-раковин в зависимости от стадии выкрашивания, материала и других условий бывают весьма малыми, едва различимыми невооруженным глазом, и значительными, величиной в несколько миллиметров. Выкрашивание носит усталостный характер. В результате зацепления зубьев контактные напряжения в каждой точке рабочей поверхности изменяются по отнулевому циклу, а напряжения в поверхностных слоях – даже по знакопеременному, хотя и несимметричному циклу. Усталостные трещины обычно зарождаются у поверхности, где возникает концентрация напряжений из-за микронеровностей. При относительно малой толщине упрочненного слоя, а также при больших контактных напряжениях трещины могут зарождаться в глубине. При увеличении твердости поверхности значение глубинных напряжений возрастает. Выкрашивание может быть ограниченным или прогрессирующим. Ограниченное выкрашивание связано с концентрацией нагрузки по длине зубьев (в косозубых передачах – также с неполнотой использования контактных линий вследствие погрешностей шагов). В колесах из мягких, хорошо прирабатывающихся материалов выкрашивание после приработки может прекратиться, причем оно практически не отражается на работе передачи, так как образовавшиеся ямки постепенно завальцовываются. Опасность представляет только прогрессирующее выкрашивание, распространяющееся на всю или значительную часть длины зубьев. Оно приводит к повышению давления на еще невыкрошенных участках поверхности, выжиманию смазки в ямки и, наконец, к пластическому обмятию или заеданию. Выкрашивание начинается вблизи полюсной линии на ножках зубьев, где в связи с малыми скоростями скольжения возникают

107

большие силы трения. Затем оно распространяется на всю поверхность ножек. Поверхности головок выкрашиваются очень редко. В передачах, работающих со значительным износом, в частности в открытых передачах, выкрашивание наблюдается очень редко. Поверхностные слои истираются раньше, чем в них появляются усталостные трещины. У поверхностно-упрочненных колес переменные напряжения в подкорковом слое могут вызывать отслаивание материала с поверхности. Для предотвращения выкрашивания зубья рассчитываются на поверхностную выносливость. Абразивный износ (см. рисунок 4.10,в) является основной причиной выхода из строя открытых передач и части закрытых передач машин, работающих в среде, засоренной абразивами, а именно: горных, дорожных, строительных, сельскохозяйственных, транспортных и некоторых других машин. Зубья быстроходных передач редукторов типа турбинных, работающих в условиях совершенной смазки и изоляции от пыли с редкими пусками и остановами, сохраняют следы обработки в течение многих лет эксплуатации. Износ неравномерен по профилю в связи с неодинаковой скоростью скольжения и неодинаковыми контактными напряжениями. Однако вследствие изменения радиусов кривизны в процессе изнашивания происходит его выравнивание. Изношенные зубья получают специфическую заостренную форму. Износ приводит к повышению динамических нагрузок и шума, к ослаблению зубьев и в конечном результате к их поломкам. Заедание зубьев (см. рисунок 4.10,г) заключается в местном молекулярном сцеплении контактирующих поверхностей в условиях разрушения смазочной пленки. В заедании зубьев превалирующую роль может играть выдавливание или изнашивание масляной пленки вследствие высоких давлений или понижение вязкости и защитной способности масла от нагрева, связанного с большими скоростями скольжения.

108

Явление заедания часто наблюдается у крупномодульных тихоходных зубчатых передач с малыми числами зубьев и связано с большими скоростями относительного скольжения. Заеданию более подвержены зубья с незакаленными поверхностями из однородных материалов, однако это явление наблюдается также и при разнородных материалах и закаленных поверхностях. Расчеты на заедания зубьев сводятся к проверке температуры в местах контакта и сопоставлению ее с температурой при заедании для различных сочетаний материалов или к проверке толщины масляной пленки. Повреждения торцов зубьев являются одним из основных видов разрушений зубчатых колес, вводимых в зацепление осевым перемещением. В передвижных зубчатых колесах с синхронизаторами износ торцов зубьев, естественно, значительно меньше. Пластические течения материала вблизи полюсной линии возникают под действием больших сил трения в тяжелонагруженных тихоходных передачах при низкой твердости материалов колес. Значительная часть выходов из строя зубчатых передач связана с погрешностями изготовления, шлифовочными прижогами и трещинами, остаточными напряжениями растяжения зуба у переходной кривой при закалке ТВЧ, обезуглероживанием поверхностного слоя и т. д. В особо напряженных колесах избегают шлифования переходной зоны после термообработки. Для этого колеса нарезают специальным инструментом с протуберанцем. Шлифовочные прижоги снижают на десятки процентов предел выносливости на изгиб образцов из легированных сталей, а шлифовочные трещины – в несколько раз. Зубчатые колеса являются источником шума, связанного с пересопряжением (входом в зацепление и выходом) зубьев, циклической ошибкой колес, огранкой зубьев. Отдельные составляющие спектра шума существенно усиливаются, если они по частоте близки к собственной частоте колебания крышек или отдельных стенок корпусных деталей. Основные источники шума определяют путем его частотного анализа и сопоставления с частотой указанных источников колебаний. Основные средства борьбы с шумом: совершенствование

109

зубоотделочных операций, переход на косозубые передачи, фланкирование, увеличение коэффициента перекрытия, выравнивание нагрузок по ширине зубчатого венца, применение бочкообразного зуба, улучшение конфигураций крышек и корпусных деталей.

4.3.5 Материалы. Термическая и химико-термическая обработка зубчатых колес При выборе материалов для зубчатых колес необходимо обеспечить прочность зубьев на изгиб, стойкость поверхностных слоев зубьев и сопротивление заеданиям. Основными материалами являются термически обрабатываемые стали. Допускаемые контактные напряжения в зубьях пропорциональны твердости материалов, а несущая способность передач по контактной прочности пропорциональна квадрату твердости. Это указывает на целесообразность широкого применения для зубчатых колес сталей, закаливаемых до значительной твердости. В массовом и крупносерийном производстве применяют зубчатые колеса исключительно высокой твердости, которые подвергают отделочным операциям после термической обработки. Основным видом термической обработки ранее являлась объемная закалка. Колеса соответственно изготовлялись из сталей типа 40Х, а в более ответственных случаях из 40ХН и др. Однако объемная закалка не сохраняет вязкую сердцевину при высокой твердости поверхности. Обычно твердость поверхности 45...55 HRCэ. Поэтому в настоящее время объемная закалка уступила место поверхностным термическим и химико-термическим методам упрочнений. Такой обработкой можно достигнуть высокой твердости поверхностных слоев материала и создать в них напряжения обратного знака при сохранении вязкой сердцевины. Для зубчатых колес применяют следующие основные виды поверхностных термических и химико-термических упрочнений: поверхностная закалка, цементация и нитроцементация с закалкой, азотирование. Поверхностную закалку в основном применяют с нагревом ТВЧ. В связи с тем, что нагреваются поверхностные слои, деформации при закалке невелики и можно обойтись без последующего шлифования 110

зубьев (однако это понижает точность на одну–полторы степени). Закалка с нагревом ТВЧ получила широкое распространение для средненапряженных колес, особенно в станкостроении, материалы – стали 40Х, 40ХН. Обычно твердость на поверхности 50...55 HRCэ. Закалка с нагревом ТВЧ может также применяться для шестерен, работающих с улучшенными колесами, для обеспечения равнопрочности. Поверхностная закалка зубьев без охвата выкружек, повышающая износостойкость и сопротивление выкрашиванию, понижает прочность при изгибе. Оптимальной последовательной закалкой под водой прочность при изгибе можно повысить в 2 раза. Закалкой в обычном кольцевом индукторе с оптимальной глубиной закалки впадин 0,5...1 мм можно повысить прочность при изгибе в 1,5 раза. Важным достижением является поверхностная закалка с нагревом ТВЧ зубьев и аналогичных деталей в кольцевом индукторе при сквозном нагреве, причем глубина закалки и твердость подслоя определяются пониженной (или регламентированной) прокаливаемостью сталей 58, 45РП и др. Эта закалка уже много лет применяется в отечественном автомобилестроении. Цементация (поверхностное насыщение углеродом) с последующей закалкой обеспечивает большую твердость и несущую способность поверхностных слоев зубьев и весьма высокую прочность зубьев на изгиб. В условиях современного производства целесообразно применять газовую цементацию. Широко используют хромистую сталь 20Х, а для ответственных зубчатых колес, особенно работающих с перегрузками и ударными нагрузками, – хромоникелевые стали 12ХНЗА, 20ХНМ, 18Х2Н4МА, 20Х2Н4А и безникелевые стали 18ХГТ, 25ХГТ и 15ХФ. Цементация и закалка зубьев после шевингования повышают прочность зубьев на изгиб до 3 раз. Однако дефекты обычного шлифования могут снизить этот эффект в 1,3...1,5 раза, а при значительных прижогах – до 2 раз.

111

Азотирование (насыщение азотом) обеспечивает особо высокую твердость и износостойкость поверхностных слоев. Азотируют готовые детали без последующей закалки. Для азотируемых колес применяют молибденовую сталь 38Х2МЮА, расширяется применение этого вида обработки безалюминиевых сталей типа 40ХФА, 40ХНА, 40Х до меньшей твердости, но большей вязкости. Азотирование – длительный процесс, требующий до 40...60 ч. Возможно ускорение процесса до 10 раз применением ионного азотирования и азотирования в тлеющем разряде. Зубья после азотирования в связи с минимальным короблением не шлифуют. Поэтому азотирование применяют для колес с внутренними зубьями и др., шлифование которых трудно осуществимо. Недостатками азотированных колес являются малая толщина упрочненного слоя, равная 0,2...0,5 мм, не позволяющая применять их: а) при ударных нагрузках из-за опасности растрескивания упрочненного слоя; б) при работе с интенсивным изнашиванием (при загрязненной смазке, попадании абразива) из-за опасности истирания упрочненного слоя и быстрого выхода передачи из строя. Нитроцементация – насыщение поверхностных слоев углеродом и азотом в газовой среде с последующей закалкой – обеспечивает им высокую прочность, износостойкость и сопротивление заеданиям. Нитроцементация обладает достаточно высокой скоростью протекания процесса – около 0,1 мм/ч и выше; она получает все более широкое распространение. В связи с малыми деформациями она позволяет во многих случаях обойтись без последующего шлифования. При необходимости минимальных деформаций применяется низкотемпературная нитроцементация. Содержание азота в поверхностном слое позволяет использовать менее легированные стали, чем при цементации, а именно 18ХГТ, 25ХГТ, 40Х и др. Лазерная закалка обеспечивает высокую твердость до 64 HRCэ, не требует легирования, позволяет местное упрочнение, автоматизацию, не вызывает коробления. Но процесс этот пока медленный. Улучшаемые стали применяют для зубчатых колес, преимущественно изготовляемых в условиях мелкосерийного и единичного производства при отсутствии жестких требований к габаритам. Чис-

112

товое нарезание зубьев улучшаемых колес производят после термической обработки, что принципиально облегчает изготовление колес, в частности исключает необходимость шлифования и позволяет обеспечить высокую точность. Кроме того, колеса из улучшенных сталей хорошо прирабатываются. Используют качественные углеродистые стали 40, 45, 50Г и легированные 35ХГС, 40Х и др. Однако область применения улучшенных зубчатых колес непрерывно сокращается из-за низкой контактной прочности рабочих поверхностей зубьев. Твердость улучшенных колес ограничивают технологическими условиями для обеспечения достаточной стойкости инструмента: для небольших колес (280...320) НВ, для крупных колес (240... 200) НВ. Твердость шестерен прямозубых передач рекомендуют выбирать на несколько десятков единиц НВ выше, чем твердость колес, для уменьшения опасности заеданий и для сближения долговечности шестерни и колеса. Твердость шестерен косозубых и шевронных передач должна быть как можно выше, для чего рекомендуют подвергать шестерни поверхностной закалке, цементации или азотированию, это повышает контактную прочность косозубой и шевронной пары. При такой комбинации твердости зубьев ускоряется приработка колес. Стали в нормализованном состоянии для обоих сопряженных зубчатых колес применяют только во вспомогательных механизмах, например в механизмах ручного управления. Основные материалы – среднеуглеродистые стали 40, 45, 50. Для повышения стойкости против заедания следует шестерни и колеса изготовлять из разных материалов. Стальное литье применяют для колес больших диаметров. Основные материалы – литейные среднеуглеродистые стали 35Л...50Л, а также литейные марганцовистые и низколегированные стали 40ХЛ, 30ХГСЛ, 50Г2 и др. Литые колеса подвергают преимущественно нормализации. Чугуны применяют для тихоходных, в основном крупногабаритных и открытых передач. Кроме того, из чугуна изготовляют редко (поочередно) работающие сменные колеса. Чугуны относительно хорошо сопротивляются заеданиям, поэтому они могут работать при 113

скудной смазке, например, в открытых передачах. Прочность обычных серых чугунов на изгиб, особенно при ударных нагрузках, значительно меньше, чем сталей. Поэтому габариты и особенно модули у чугунных колес значительно больше, чем у стальных. Чугунные зубчатые колеса во избежание угловой поломки зубьев при упругих деформациях валов нельзя выполнять такими же широкими, как улучшенные и нормализованные стальные. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что при выборе материалов для зубчатых колес необходимо обеспечить усталостную прочность зубьев на изгиб и усталостную прочность поверхностных слоев зубьев на сопротивление выкрашиванию. Отсюда основными материалами являются термически обрабатываемые стали. Допускаемые контактные напряжения в зубьях пропорциональны твердости материалов, а несущая способность передач по контактной прочности пропорциональна квадрату твердости. Это указывает на целесообразность широкого применения для зубчатых колес сталей, закаливаемых до значительной твердости.

4.3.6 Расчет зубчатых передач на прочность Опыт эксплуатации зубчатых передач показывает, что основными причинами выхода из строя являются усталостное выкрашивание рабочих поверхностей зубьев и их поломка. Для предотвращения этих видов отказов зубчатые колеса рассчитывают на контактную и изгибную прочность. 4.3.6.1 Расчет цилиндрических зубчатых передач на прочность

В косозубой передаче нормальная сила Fn направлена под углом β к торцу колеса (рисунок 4.11). Окружная составляющая нормальной силы для всех типов зубчатых колес определяется по формуле Ft = 2· 103 T/d, где Т – вращающий момент, Нм; d – делительный диаметр, мм. Нормальная сила Fn = Ft /(cosα ⋅cosβ). Разложив нормальную силу Fn на составляющие, получим: – радиальную силу Fr = Ft′ tgα = (Ft /cosβ) tgα;

114

– осевую силу Fa = Ft tgβ. Для прямозубой передачи угол β равен нулю. При определении направлений сил учитывают направление вращения колес, направление наклона зуба (правое или левое) и функциональное назначение колеса (ведущее или ведомое).

Рисунок 4.11 – Силы в зацеплении цилиндрических зубчатых колес

1 Расчет прочности зубьев на контактную выносливость

Исследованиями установлено, что наименьшей контактной выносливостью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления (рисунок 4.12). Взаимодействие зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами ρ1 и ρ2. При этом контактные напряжения определяют по формуле Герца σH =

( wn / ρпр )( Епр / 2π(1 − μ 2 )) ,

где wn – удельная нагрузка; ρпр – приведенный радиус кривизны контактирующих цилиндров; Епр – приведенный модуль упругости; μ – коэффициент Пуассона. Выполнив необходимые преобразования, выбрав материал зубчатых колес и определив допускаемые контактные напряжения [σH] при заданном передаточном числе u и выбранной относительной ширине венца ψba, получим формулу для выполнения проектного расчета цилиндрической зубчатой передачи из условия контактной выносливости рабочих поверхностей зубьев: 115

aw = Ka(u ± 1) 3 K H T2 /([σ H ]2u 2 ψ ba . В этой формуле коэффициент Ka равен 410 для косозубых передач и 450 – для прямозубых; КН – коэффициент нагрузки; T2 – момент на колесе, Нм.

Рисунок 4.12 – Определение радиусов кривизны эквивалентных цилиндров

2 Расчет цилиндрических зубчатых передач на прочность при изгибе

Зуб находится в сложном напряженном состоянии. Наибольшие напряжения изгиба имеют место у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зависимости и уяснить влияние основных параметров на прочность зубьев, рассмотрим вначале прямозубое зацепление и допустим следующее (рисунок 4.13). 1 Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности, ошибки изготовления которых не могут гарантировать наличие двухпарного зацепления.

116

2 Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Фактически зуб подобен зубообразному выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты. Точный расчет напряжений в таких элементах выполняют методами теории упругости. Мы используем результаты этого расчета для исправления приближенных расчетов путем введения теоретического коэффициента концентрации напряжений. На расчетной схеме (см. рисунок 4.13) Fn = Ft / cos α’w , где Ft – окружная сила; α’w – угол направления нормальной силы Fn, приложенной у вершины зуба, к оси симметрии зуба.

Рисунок 4.13 – Расчетная схема зуба на изгиб

117

Силу Fn переносят по линии действия на ось симметрии зуба и раскладывают на составляющие Ft′ и Fr′ , от действия которых возникают напряжения изгиба и сжатия соответственно. Суммарное напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности определится как сумма напряжений σΣ = σи – σсж = Ft′ l / W – Fr′ / A , где W = bws2/6 – момент сопротивления сечения зуба по изгибу; A = bws – площадь; bw, s и l указаны на рисунке 4.13. Выразив W, A, s, bw, l через размеры зубьев c учетом коэффициента формы зубьев у переходной кривой и концентрации напряжений YFS, коэффициента торцового перекрытия Yε, коэффициента наклона зубьев Yβ, и выразив силы Ft′ и Fr′ через Т, определим напряжения у ножки зуба σF = 2000 T KF cosβ YFS Yβ Yε/(m2bz). При выполнении проверочного расчета должно выполняться условие σF ≤ [σF] . После вычисления межосевого расстояния из условия контактной выносливости выполняются геометрический расчет передачи, проверочные расчеты на контактную и изгибную прочность и определяются силы в зацеплении. 4.3.6.2 Расчет конических передач на прочность

При расчетах на прочность коническую прямозубую передачу заменяют эквивалентной цилиндрической (рисунок 4.14) с диаметрами делительных окружностей dv1 и dv2 и используют исходные формулы для расчета цилиндрической прямозубой передачи. При этом расчет проводят для среднего сечения зуба. В зацеплении конической передачи действуют силы: окружная Ft1, радиальная Fr и осевая Fа. Зависимость между этими силами нетрудно установить с помощью рисунка 4.15, где силы изображены приложенными к шестерне. По нормали к зубу действует сила Fn, которая раскладывается на Ft и F'r. В свою очередь F'r раскладывается на Fа и Fr. Здесь Ft = 2T1/dm1, Fn = Ft/cosα, 118

F'r = Ft tgα, Fr = F'r cosδ1 = Ft tgα cosδ1, Fa = F'r sin δ1 = Ft tgα sinδ1. Для колеса направление сил противоположно. При этом Fa является радиальной силой, a Fr – осевой.

Рисунок 4.14 – Эквивалентная цилиндрическая передача

119

Рисунок 4.15 – Силы в зацеплении конической прямозубой передачи

1 Расчет зубьев конической прямозубой передачи на контактную выносливость

Выбор материалов и определение допускаемых напряжений для конической передачи проводят так же, как и для прямозубой цилиндрической. Учитывая особенности соотношений размеров шестерни и колеса, получают расчетную формулу для определения внешнего делительного диаметра колеса de2: de2 = 1650

3

K HV K H β T2 u/([σ H ]2 vН ,

где νH = 0,85 – коэффициент, учитывающий снижение нагрузочной способности конической передачи по сравнению с цилиндрической. Зная передаточное число передачи и задавшись числом зубьев шестерни (z1 = 18…30) и колеса (z2 = uz1), определяют основные геометрические параметры конической передачи (подпункт 4.3.3.2). 2 Расчет конической передачи по напряжениям изгиба

Расчетная модель принимается такой же, как и для цилиндрической прямозубой, а напряжения изгиба зубьев шестерни и колеса определяются по общей формуле σF = 2700 T KFv KFβ YFS /(b de me νF), где νF = 0,85 – коэффициент снижения прочности.

120

4.4 Червячные передачи Червячные передачи предназначены для преобразования частоты вращения с большим передаточным числом и передачи вращающего момента между валами, геометрические оси которых, как правило, скрещиваются под углом 90°. Они представляют собой комбинацию винта (червяка) и косозубого колеса с вогнутыми зубьями. Ведущим звеном обычно является червяк 1 (рисунок 4.16,а,б), представляющий винт с трапецеидальной резьбой (см. рисунок 4.16,в) (бывают червяки с эвольвентными конволютными профилями зубьев (см. рисунок 4.16,г)), а ведомым – червячное колесо 2.

а

б

в

г

Рисунок 4.16 – Червячная передача

Основные достоинства червячных передач: − большой диапазон изменения частоты вращения (передаточные числа для одноступенчатых силовых передач от 6 до 80, в кинематических передачах до 300 и даже 500); − плавность и бесшумность работы; 121

− компактность и сравнительно небольшая масса конструкции; − возможность самоторможения, но при резком снижении КПД. Недостатки червячных передач: − сравнительно невысокий КПД при больших передаточных числах (0,7–0,8; в самотормозящих передачах 0,5 и менее); − значительное тепловыделение в силовых передачах при длительной работе, что требует специальных мер для дополнительного охлаждения; − более низкие передаваемые мощности по сравнению с зубчатыми передачами; − изготовление колес из дефицитной бронзы; − высокая стоимость инструмента для нарезания червячных колес. В зависимости от формы профиля витка цилиндрические червяки подразделяют на архимедовы, конволютные и эвольвентные. Архимедовы червяки (рисунок 4.17,а) представляют собой винты с резьбой, имеющей прямолинейные очертания профиля (трапецию) в осевом сечении (в торцовом сечении витки очерчены архимедовой спиралью). Эти червяки просты в изготовлении, если не требуется их шлифование, поэтому они сохранили применение в тихоходных, не сильно напряженных передачах. Для их шлифования требуется круг, очерченный сложной кривой в осевом сечении, что ограничивает их применение. Конволютными (см. рисунок 4.17,б) называют червяки, имеющие прямолинейный профиль в сечении, нормальном к оси симметрии. Витки в торцовом сечении очерчены удлиненной или укороченной эвольвентой. Эти червяки обладают некоторыми технологическими преимуществами перед архимедовыми. При точении резьбы двусторонним резцом (по профилю канавки) по обеим боковым граням резца имеют место одинаковые углы резания.

122

а

б

в

Рисунок 4.17 – Основные типы цилиндрических червяков

Шлифование конволютных червяков конусными кругами с прямолинейными образующими на обычных резьбошлифовальных станках приводит к получению нелинейчатых боковых поверхностей, весьма близких к поверхностям конволютных червяков. Червячные фрезы для нарезания червячных колес шлифуют тем же способом, поэтому получают правильное зацепление. Нарезание резьбы нелинейчатых червяков перед их шлифованием конусным шлифовальным кругом может быть осуществлено также дисковой фрезой. Эвольвентные червяки (см. рисунок 4.17,в) представляют собой косозубые колеса с малым числом зубьев и очень большим углом их наклона. Зуб в торцовом сечении очерчен эвольвентой. Эвольвентная поверхность имеет прямолинейный профиль в сечении плоскостью, касательной к основному цилиндру червяка, поэтому эвольвентные червяки можно шлифовать плоской стороной шлифовального круга. Исходя из этого шлифуемые червяки (червяки с высокой твердостью рабочих поверхностей витков) следует делать эвольвентными. По количеству заходов нарезки червяки могут быть однозаходными и многозаходными, а по направлению винтовой линии правыми или левыми. Чем больше заходность червяка и соответственно угол подъема нарезки, тем выше КПД передачи. Червячные передачи, как и зубчатые, могут быть некорригированными и корригированными (преимущественно применяются некорригированные). Коррекцию зубьев осуществляют радиальным смещением инструмента относительно оси заготовки нарезаемого червячного колеса.

123

Необходимость в корригировании появляется, если передача не вписывается в заданное межосевое расстояние. Нагрузочная способность всех типов червяков примерно одинакова, поэтому расчет по критериям работоспособности выполняется по методике, выведенной для архимедова червяка.

4.4.1 Геометрические соотношения червячной пары с цилиндрическим архимедовым червяком Основными геометрическими параметрами червячной передачи являются модуль m и коэффициент диаметра червяка q. Коэффициент q характеризует число модулей, содержащихся в делительном диаметре червяка, т. е. q = d1/m. Коэффициент диаметра червяка стремятся выбирать наименьшим для получения более высокого КПД (рекомендуемое значение q для силовых передач равно 0,25z2). Увеличивать q необходимо в случае недостаточной жесткости червяка. В цилиндрических червячных передачах с архимедовыми червяками (рисунок 4.18) шаг червяка р и шаг зубьев червячного колеса совпадают: р = πm.

Рисунок 4.18 – Развертка двухзаходного червяка

Угол γ, образованный касательной к винтовой линии по делительному цилиндру червяка с плоскостью, перпендикулярной к его

124

оси (см. рисунок 4.18), называют делительным углом подъема нарезки червяка на делительном цилиндре: tgγ = pz1/πd1, где pz1 – ход витка червяка; z1 – число заходов нарезки червяка; d1 = qm – делительный диаметр червяка. После подстановки этих значений получим tgγ = pz1/πd1= z1/q, т. е. γ = arctg z1/q. Обычно γ = 2…26°. Геометрические параметры червяка и червячного колеса (рисунок 4.19) приведены в таблице 4.2. Передаточное число червячной передачи u = z2/z1, где z1 – число витков червяка; z2 – число зубьев колеса.

Рисунок 4.19 – Геометрические параметры червячной передачи Таблица 4.2 – Основные геометрические параметры червяков и червячных колес, нарезанных без смещения исходного контура Параметр зацепления Диаметры делительные d1; d2

Геометрическая зависимость d1 = mq; d2 = mz2

125

Диаметры вершин зубьев da1; da2

da1 = d1 + 2m; da2 = d2 + 2m

Диаметры впадин зубьев df1; df2

df1 = d1 – 2,4m; df2 = d2 – 2,4m

Максимальный диаметр колеса dam2

dаm2 ≤ da2 +6m/(z1 + 2)

Межосевое расстояние aw

aw = (d1 + d2)/2 или aw = 0,5 (q + z2) m

Длина нарезанной части червяка b1

b1 = (c1 + c2 z2)m при z1, равном 1,2, c1 = 11; с2 = 0,06 при z1, равном 4, c1 = 12,5; с2 = 0,09

Ширина колеса b2

b2 ≤ 0,75 da1 при z1, равном 1,2; b2 ≤ 0,67 da1 при z1, равном 4

Высота зуба h

h = 2,4m

Высота головки зуба ha

ha = m

Высота ножки зуба hf

hf = 1,2m

Окружная скорость на червяке V1 = πd1n1/(60·1000) м/с, а скорость скольжения Vск = V1/cosγ. КПД червячной передачи определяют по формуле η = (0,95…0,96) tg γ/tg (γ + φ), где φ – угол трения (φ = arctg f; f – коэффициент трения скольжения червячной пары). Несущая способность перемещающихся одна по другой смазанных поверхностей может быть значительно повышена, если обеспечить между ними хотя бы на начальной части контакта клиновой зазор в направлении скорости. Для цилиндрических поверхностей с линейным начальным касанием это соответствует условию, что скорость перпендикулярна линии контакта или имеет значительную составляющую, перпендикулярную к этой линии. При этом сухое трение металлов переходит в процессе работы в жидкостное; масло, затягиваемое в клиновой зазор, воспринимает частично или полностью действующую нагрузку. Если у цилиндрических поверхностей скольжение происходит вдоль линии контакта, масляный слой в контактной зоне образоваться не может.

126

В зубчатых передачах скорости скольжения перпендикулярны контактным линиям (прямозубые передачи) или близки к перпендикулярам (косозубые передачи). Между тем в червячных передачах в средней части зуба червячного колеса имеется зона, в которой скольжение происходит вдоль контактных линий (рисунок 4.20). На рисунке 4.20 цифрами 1, 2, 3 отмечены контактные линии в их последовательном положении в процессе зацепления и скорости скольжения Vcк в некоторых точках (направление Vcк близко к направлению окружной скорости червяка V1). Зона, в которой направление Vcк почти совпадает с направлением контактных линий, заштрихована. Неблагоприятное направление скорости скольжения служит причиной пониженного КПД червячной передачи, повышенного износа и склонности к заеданию.

Рисунок 4.20 – Положение контактных линий

По сравнению с зубчатыми в червячных передачах чаще наблюдаются износ и заедание, а не выкрашивание поверхности зубьев. При мягком материале колеса (оловянистые бронзы) заедание проявляется в так называемом постепенном «намазывании» бронзы на червяк, при котором передача может еще работать продолжительное время. При твердых материалах (алюминиево-железистые бронзы, чугун и т. п.) заедание переходит в задир поверхности с последующим быстрым разрушением зубьев колеса. Повышенный износ и заедание червячных передач связаны с большими скоростями скольжения и неблагоприятным направлением вектора скорости скольжения относительно линий контакта.

127

4.4.2 Причины выхода из строя и критерии работоспособности червячных передач Основными причинами выхода из строя червячных передач являются износ зубьев колеса, заедание, поверхностные разрушения зубьев колеса. Износ ограничивает срок службы большинства червячных передач. Он очень сильно зависит от смазки, увеличивается при неточном монтаже зацепления, при загрязненном смазочном материале, при повышенной шероховатости червяка, а также при частых пусках и остановах передачи, при которых условия смазки ухудшены. Заедание особо опасно, если колеса изготовлены из твердых материалов: безоловянных бронз и чугуна. В этом случае заедание происходит в ярко выраженной форме со значительными повреждениями поверхностей и последующим быстрым изнашиванием зубьев частицами материала колеса, приварившимися к червяку. При мягких материалах колес (оловянных бронз) заедание наблюдается в менее опасной форме: материал колеса (бронза) «намазывается» на червяк. Усталостное выкрашивание происходит главным образом в передачах с колесами из стойких к заеданию бронз. Выкрашивание, как правило, наблюдается только у колеса. Пластическое разрушение рабочих поверхностей зубьев червячного колеса происходит при действии больших перегрузок. Поломку зубьев колеса можно наблюдать главным образом после износа или вследствие ошибок изготовления.

4.4.3 Материалы червяка и колеса Как указывалось, в червячном зацеплении имеется зона с неблагоприятными условиями скольжения. Кроме того, контакт искажается в связи с деформациями тела червяка. Выполнение обоих тел червячной пары из твердых материалов не дает положительных результатов, и одно тело (обычно колесо) должно быть из антифрикционного, относительно мягкого материала. Материалы червячной пары в соответствии с видами разрушения и повреждения зубьев должны обладать износостойкостью, пони-

128

женной склонностью к заеданию, хорошей прирабатываемостью и повышенной теплопроводностью. Червяки в силовых передачах, как правило, выполняют из сталей, термически обработанных до значительной твердости. Наилучшую стойкость передач обеспечивают червяки из цементуемых сталей. Преимущественно применяют сталь 18ХГТ, а также стали 20Х, 12ХНЗА, 15ХФ, имеющие твердость после закалки 56...63 HRCэ. Широко используют также червяки из сталей 40Х, 40ХН, 35ХГСА с поверхностной или объемной закалкой до твердости 45...55 HRCэ. При этом необходимы шлифование и полирование червяка. Применяют также червяки из азотируемых сталей (38Х2МЮА, 38Х2Ю и др.), требующих только полирования (без шлифования). Улучшенные червяки используют вместо закаленных из-за ограниченных технологических возможностей (отсутствия оборудования для шлифования червяков) или из-за необходимости взаимной приработки колеса и червяка. Кроме того, улучшенные и нормализованные червяки применяют во вспомогательных тихоходных и малонагруженных передачах. Для передач с колесами очень больших диаметров можно использовать бронзовые червяки, которые позволяют выполнять колеса чугунными. Венцы червячных колес при скоростях скольжения Vcк > 4 м/с выполняют из оловянно-фосфористых бронз БрО10Н1Ф1, БрО10Ф1, оловянно-цинковой бронзы БрО5Ц5С5. Необходимость применения бронзы с высоким содержанием олова тем выше, чем больше Vcк и относительная продолжительность работы передачи. Для тихоходных передач используют алюминиево-железистые бронзы БрА10Ж4Н4Л, БрА9ЖЗЛ и латуни. При этом червяк должен обязательно иметь высокую твердость, не ниже 45 HRCэ. При малых скоростях скольжения (менее 2 м/с) и при больших диаметрах колес допустимо применять чугуны марок СЧ15, СЧ20. В случае использования хромированных червяков режимы работы червячных передач с чугунными колесами могут значительно повышаться. В опытных условиях достигнуто Vcк = 5 м/с и σH = 230 МПа. Для предупреждения заедания ограничивают величину контактных напряжений и применяют специальные антифрикционные пары

129

материалов: червяк – сталь, колесо – бронза или чугун. Предотвращения заедания в червячных передачах не устраняет абразивного износа зубьев. Интенсивность износа зависит также от величины контактных напряжений. Поэтому расчет по контактным напряжениям для червячных передач является основным. Расчет по напряжениям изгиба производится при этом как проверочный. Только при мелкомодульных колесах с большим числом зубьев (z2 > 100) напряжения изгиба могут оказаться решающими. Расчет по напряжениям изгиба выполняют так же, как основной для передач ручных приводов.

4.4.4 Расчеты на прочность Червячные передачи рассчитывают на сопротивление усталости и статическую прочность по контактным напряжениям и напряжениям изгиба. В большинстве случаев напряжения изгиба не определяют размеры передачи и расчет по ним применяют в качестве проверочного. Он значим только при больших числах зубьев колес (более 90... 100) и для ручных передач. Основное значение имеют расчет на сопротивление контактной усталости, который должен предотвращать в проектируемых передачах выкрашивание, и расчет на заедание. Расчет на износ совмещают с этим расчетом. Условия зацепления и несущая способность передач с цилиндрическими червяками основных типов весьма близки, особенно при малом числе витков червяка. Поэтому расчеты, которые ведут в применении к передачам с архимедовым червяком, распространяются на передачи с другими цилиндрическими червяками. Расчет по контактным напряжениям ведут для зацепления в полюсе, что позволяет упростить расчет. Аналогично расчету зубчатых передач в качестве исходной принимают известную формулу Герца для наибольших контактных напряжений при сжатии цилиндров вдоль образующих (см. расчет цилиндрических передач). После выполнения необходимых преобразований можно получить формулу для предварительного определения межосевого расстояния передачи из условия контактной прочности: aw = 610

3

KβT2 /[σ H ]2 .

130

Расчет по напряжениям изгиба ведут для колеса, так как витки червяка значительно прочнее. Расчет аналогичен расчету косозубых цилиндрических колес, только зубья червячных колес принимают на 20...40 % прочнее косозубых. Повышенная прочность зубьев червячных колес связана с их дуговой формой. Напряжение изгиба зубьев σF = 2000KFYFT2cosγ/(1,3m2d2q) ≤ [σF], где КF – коэффициент нагрузки; γ – начальный угол подъема; q – коэффициент диаметра червяка; YF – коэффициент формы зуба для червячного колеса, выбираемый по эквивалентному числу зубьев Zv = Z2/cos3γ (таблица 4.3); [σF] – допускаемое номинальное напряжение изгиба зубьев колеса, МПа; множитель cos3γ в формуле для Zv учитывает наклон контактных линий и работу зуба как пластины. Расчет зубьев на изгиб обычно ведут в форме проверочного.

Таблица 4.3 – Коэффициенты формы зуба червячного колеса YF ZV

YF

ZV

YF

ZV

YF

ZV

YF

20

1,98

30

1,76

40

24

1,88

32

1,71

45

1,55

80

1,34

1,48

100

1,3

26

1,85

37

1,61

28

1,80

37

1,61

60

1,40

150

1,27

60

1,40

300

1,24

4.5 Цепная передача Цепная передача схематически изображена на рисунке 4.21. Она основана на зацеплении цепи 1 и звездочек 2. Принцип зацепления, а не трения, а также повышенная прочность стальной цепи по сравнению с ремнем позволяют передавать цепью, при прочих равных условиях, значительно большие нагрузки (однако меньшие, чем зубчатыми колесами).

131

Рисунок 4.21 – Схема цепной передачи

Отсутствие скольжения и буксования обеспечивает постоянство передаточного отношения (среднего за оборот) и возможность работы при значительных кратковременных перегрузках. На рисунке 4.22 показаны основные типы цепей, применяемых в машиностроении (а – грузовая круглозвенная; б – грузовая пластинчатая шарнирная; в – тяговая втулочная; г – приводная роликовая однорядная; д – приводная роликовая двухрядная; е – приводная роликовая с изогнутыми пластинами; ж – приводная втулочная; з – приводная зубчатая с внутренними направляющими пластинами; и – приводная зубчатая с боковыми направляющими пластинами; к – приводная фасоннозвенная крюковая; л – приводная фасоннозвенная втулочно-штыревая).

132

Рисунок 4.22 – Основные типы цепей

Принцип зацепления не требует предварительного натяжения цепи, в связи с чем уменьшается нагрузка на валы и опоры. Угол охвата звездочки цепью не имеет столь решающего значения, как угол обхвата шкива ремнем. Поэтому цепные передачи могут надежно работать при малых межосевых расстояниях и при больших передаточных отношениях, а также передавать мощность от одного ведущего вала 1 нескольким ведомым 2 (рисунок 4.23).

Рисунок 4.23 – Передача вращающего момента нескольким звездочкам

Однако цепные передачи имеют и некоторые недостатки. Основной причиной этих недостатков является то, что цепь состоит из отдельных звеньев и располагается на звездочке не по окружности, а по многоугольнику. С этим связаны износ шарниров цепи, шум и дополнительные динамические нагрузки. Затрудненный подвод смазки к шарнирам сокращает срок службы передачи.

4.5.1 Область применения Цепные передачи применяют при значительных межосевых расстояниях, а также для передачи движения от одного ведущего вала нескольким ведомым (см. рисунок 4.23) в тех случаях, когда зубчатые передачи не применимы, а ременные недостаточно надежны. Наибольшее распространение цепные передачи получили в сельскохозяйственном, транспортном и химическом машиностроении, в станкостроении, горнорудном оборудовании и подъемно-транспортных устройствах.

133

4.5.2 Конструкция приводных цепей Основными типами современных приводных цепей являются шарнирные роликовые, втулочные и зубчатые цепи. Они стандартизованы и изготовляются специализированными заводами. Главными характеристиками цепи являются шаг, ширина и разрушающая нагрузка. Роликовая цепь изображена на рисунке 4.24. Здесь ось 3 запрессована в отверстие внешнего звена 2, а втулка 4 запрессована в отверстие внутреннего звена 1. Втулка на валике и ролик 5 на втулке могут свободно поворачиваться. Зацепление цепи с зубом звездочки 6 происходит через ролик. Применение втулки позволяет распределить нагрузку по всей длине валика и этим уменьшить износ шарниров. Перекатывание ролика по зубу частично заменяет трение скольжения трением качения, что снижает износ зубьев. Кроме того, ролик выравнивает сосредоточенное давление зуба на втулку и тем самым уменьшает ее износ. Роликовые цепи применяют при окружных скоростях до 20 м/с. Наряду с однорядными изготовляют двух-, трех- и четырехрядные цепи (см. рисунок 4.22,д). Их собирают из тех же элементов, только

Рисунок 4.24 – Конструкция роликовой цепи

ось пронизывает все ряды. Многорядные цепи позволяют увеличивать нагрузку почти пропорционально числу рядов. Такие цепи применяют при больших нагрузках в сочетании с высокой скоро-

134

стью. В этих случаях нецелесообразно применять однорядные тяжелые цепи с большим шагом из-за больших динамических нагрузок. Втулочные цепи по конструкции аналогичны роликовым, но у них нет ролика 5. Вследствие этого износ цепи и звездочек увеличивается, но снижаются ее масса и стоимость. Зубчатые цепи (см. рисунок 4.22,з,и, рисунок 4.25) состоят из набора пластин с двумя зубообразными выступами. Пластины цепи зацепляются с зубьями звездочки своими торцовыми плоскостями. Угол вклинивания β принят равным 60°.

Рисунок 4.25 – Конструкция зубчатых цепей

Конструкция зубчатых цепей позволяет изготавливать их широкими и передавать ими большие нагрузки. Зубчатые цепи работают плавно, с меньшим шумом. Их рекомендуют применять при сравнительно высоких скоростях – до 35 м/с. Для устранения бокового сползания цепи со звездочки применяют направляющие пластины. Они подобны рабочим пластинам, только не имеют впадины для зуба и располагаются посредине цепи. При этом звездочку изготовляют с соответствующим направляющим пазом посредине зубьев. Известные зубчатые цепи различают в основном по конструкции шарниров. Совершенствование шарниров направлено на уменьшение износа и потерь на трение. Применяют шарниры скольжения (см. рисунок 4.25,а) и шарниры качения (см. рисунок 4.25,б). В шарнирах скольжения вкладыши 1 и 2 пронизывают пластины по всей ширине цепи. При этом вкладыш 1 закреплен в пластинах Б, а вкладыш 2 – 135

в пластинах А. Шарнир допускает поворот пластины в одну или в обе стороны на угол φmax. Обычно φmax равен 30°. Величина угла φmax ограничивает минимальное число зубьев звездочки по условию: Z1min = 360/ φmax = 12. Шарниры качения не имеют валика. Их изготовляют с двумя сегментными вкладышами 1 и 2. При повороте звеньев вкладыши не скользят, а перекатываются, что позволяет повысить КПД передачи и долговечность цепи.

4.5.3 Критерии работоспособности и расчета Цепные передачи выходят из строя по следующим причинам: 1) износ шарниров, приводящий к удлинению цепи и нарушению ее зацепления со звездочками (основной критерий работоспособности для большинства передач); 2) усталостное разрушение пластин по проушинам – основной критерий для быстроходных тяжелонагруженных роликовых цепей, работающих в закрытых картерах с хорошим смазыванием; 3) проворачивание валиков и втулок в пластинах в местах запрессовки – распространенная причина выхода из строя цепей, связанная с недостаточно высоким качеством изготовления; 4) выкрашивание и разрушение роликов; 5) достижение предельного провисания холостой ветви – один из критериев для передач с нерегулируемым межосевым расстоянием, работающих при отсутствии натяжных устройств и стесненных габаритах; 6) износ зубьев звездочек. В соответствии с приведенными причинами выхода цепных передач из строя можно сделать вывод о том, что срок службы передачи чаще всего ограничивается долговечностью цепи. Долговечность же цепи в первую очередь зависит от износостойкости шарниров. В связи с этим материал и термическая обработка цепей имеют решающее значение для их долговечности. Пластины выполняют из среднеуглеродистых или легированных закаливаемых сталей: 45, 50, 40Х, 40ХН, 30ХНЗА твердостью пре136

имущественно 40...50 HRCэ. Изогнутые пластины, как правило, изготовляют из легированных сталей. Пластины в зависимости от назначения цепи закаливают до твердости 40...50 HRCэ. Детали шарниров (оси, втулки и призмы) выполняют преимущественно из цементуемых сталей 15, 20, 15Х, 20Х, 12ХНЗ, 20ХНЗА, 20Х2Н4А, ЗОХНЗА и подвергают закалке до 55...65 HRCэ. В связи с высокими требованиями к современным цепным передачам целесообразно применять легированные стали. Эффективно использование газового цианирования рабочих поверхностей шарниров. Многократного повышения ресурса цепей можно достигнуть диффузионным хромированием шарниров. Усталостную прочность пластин роликовых цепей существенно повышают обжатием краев отверстий. Эффективна также дробеструйная обработка. В шарнирах роликовых цепей для работы без смазочного материала или при скудной его подаче начинают применять пластмассы. Стандартные цепи конструируют примерно равнопрочными по напряжениям во всех деталях. Это достигается соответствующим сочетанием размеров деталей, их материалов и термообработки. Для большинства условий работы цепных передач основной причиной потери работоспособности является износ шарниров цепи. В соответствии с этим в качестве основного принят расчет по износостойкости шарниров, а за основной расчетный критерий p = Ft/(dB) ≤ [p] , где р – удельное давление в шарнире; Ft – окружная сила; d и В –диаметр валика и ширина цепи, равная длине втулки (см. рисунок 4.24).

4.6 Ременные передачи 4.6.1 Принцип действия и классификация Ременная передача является одним из старейших типов механических передач, сохранивших свое значение до настоящего времени. Она применяется почти во всех отраслях машиностроения. Ременная передача состоит из ведущего и ведомого шкивов и ремня, надетого на эти шкивы с натяжением и передающего окружную силу с помощью трения (рисунок 4.26). Предусматривается так137

же натяжное устройство. Возможны передачи с двумя или несколькими ведомыми шкивами.

Рисунок 4.26 – Схема ременной передачи

Ременные передачи в основном используются: а) для привода от электродвигателей небольшой и средней мощности машин-орудий; б) для привода от первичных двигателей (внутреннего сгорания) электрических генераторов, сельскохозяйственных и других машин. Ремни выполняют с сечением в виде узкого прямоугольника – плоские ремни (см. рисунок 4.26,а); трапециевидного сечения – клиновые ремни (см. рисунок 4.26,б) и поликлиновые ремни (см. рисунок 4.26,г); круглого сечения – круглые ремни (см. рисунок 4.26,в) и зубчатые ремни, рабочая поверхность которых выполнена в виде зубьев, входящих во впадины шкива. Наиболее широкое распространение в машинах имеют клиновые и плоские ремни. Плоские ремни применяют как простейшие, испытывающие минимальные напряжения изгиба на шкивах; клиновые и поликлиновые – в связи с их повышенной тяговой способностью. По сравнению с другими типами передач ременная обладает рядом особенностей, которые определяют целесообразность ее применения. Можно отметить следующие основные преимущества ременной передачи: возможность передачи движения на значительное расстояние (до 15 м и более); плавность и бесшумность работы, обусловленные эластичностью ремня и позволяющие работать при высоких скоростях; предохранение механизмов от резких колебаний нагрузки вследствие упругости ремня; предохранение механизмов от

138

перегрузки за счет возможного проскальзывания ремня (ременная передача устраняет необходимость применения специальных предохранительных муфт); простота конструкции и эксплуатации. Основными недостатками ременной передачи являются невозможность выполнения малогабаритных передач (для одинаковых условий диаметры шкивов примерно в 5 раз больше диаметров зубчатых колес); некоторое непостоянство передаточного отношения, вызванное зависимостью упругого скольжения ремня от нагрузки; повышенная нагрузка на валы и их опоры, связанная с большим предварительным натяжением ремня (увеличение нагрузки на валы в 2–3 раза по сравнению с зубчатой передачей); низкая долговечность ремней (в пределах от 1000 до 5000 ч). Ременные передачи применяют преимущественно в тех случаях, когда по условиям конструкции валы расположены на значительных расстояниях или высокие скорости не позволяют применять другие виды передач. Мощность современных передач не превышает обычно 50 кВт. При больших мощностях ременная передача получается громоздкой и невыгодной. В комбинации с зубчатой передачей ременную передачу устанавливают обычно на быстроходную ступень как менее нагруженную. В современном машиностроении наибольшее распространение имеют клиновые ремни. Плоские ремни новой конструкции (пленочные ремни из пластмасс) используются в высокоскоростных передачах. Круглые ремни применяют только для малых мощностей: в приборах, машинах домашнего обихода и т. п.

4.6.2 Материалы ремней Ремни должны обладать высокой прочностью при действии переменных нагрузок, иметь достаточный коэффициент трения в контакте со шкивом для уменьшения сил начального натяжения; высокую износостойкость; невысокую изгибную жесткость во избежание больших напряжений изгиба при обегании шкивов. Плоские ремни имеют прямоугольное сечение и малую толщину. Их получают путем соединения (склеиванием, сшиванием) концов полос ткани (прорезиненной, хлопчатобумажной, шерстяной, капроновой и др.), кожи или синтетических материалов. 139

Для высокоскоростных передач серийно выпускаются два типа приводных ремней: тканые с полиамидным покрытием и прорезиненные с кордшнуровым несущим слоем. Клиновые ремни имеют трапециевидную форму с боковыми рабочими сторонами, работают на шкивах с канавками соответствующего профиля. Глубина канавок должна быть такой, чтобы между внутренней поверхностью ремней и дном желобков шкива сохранялся зазор. Ремни благодаря клиновому действию отличаются повышенными силами сцепления со шкивами и, следовательно, повышенной тяговой способностью. Трапециевидная форма сечения ремня из-за большой высоты неблагоприятна с точки зрения изгиба на шкивах и КПД. Это компенсируется тем, что ремень изготовляют из материала с малым модулем упругости, кроме основного несущего слоя, который имеет небольшую толщину и располагается по нейтральному слою ремня. Ремень должен быть гибким для возможности работы на шкивах малых диаметров и вместе с тем иметь достаточную поперечную жесткость во избежание глубокого заклинивания в канавках шкивов и радиального скольжения вследствие поперечного сжатия. Клиновой ремень состоит из следующих частей (рисунок 4.27): – корда, представляющего собой основной несущий слой, расположенный примерно по центру тяжести сечения ремня; – резиновых слоев, расположенных над и под несущим слоем (кордом), условно называемых слоями растяжения и сжатия; – обертки ремня в виде нескольких слоев прорезиненной ткани, намотанной диагонально.

140

Рисунок 4.27 – Клиновой ремень

Корд выполняют из химических волокон: вискозы, капрона, лавсана. В кордтканевых ремнях (см. рисунок 4.27,а) корд выполнен в виде нескольких слоев кордткани с основой из крученых шнуров и тонких редких нитей. В кордшнуровых ремнях (см. рисунок 4.27,б) корд состоит из одного слоя кордшнура, намотанного по винтовой линии и заключенного в слой мягкой резины для уменьшения трения. Кордтканевые ремни применимы при нестесненных габаритах передачи; в этом случае они обладают достаточной долговечностью. Кордшнуровые ремни, как более гибкие и долговечные, применяют для передач, работающих в напряженных условиях, в частности при необходимости шкивов малых диаметров. Происходит постепенный общий переход на кордшнуровые ремни. Поликлиновые ремни – бесконечные плоские ремни с продольными клиновыми выступами – ребрами на внутренней поверхности, входящими в кольцевые клиновые канавки в шкивах (рисунок 4.28). Ремни сочетают достоинства плоских ремней (монолитность и гибкость) и клиновых (повышенная сила сцепления со шкивами). Несущий слой ремней выполняют в виде кордшнура из химических волокон – вискозы, стекловолокна или лавсана.

141

Рисунок 4.28 – Поликлиновой ремень

4.6.3 Кинематические характеристики ременных передач Работа упругого ремня связана с упругим скольжением по шкивам. Неизбежность упругого скольжения при работе передачи следует из того, что натяжение, а следовательно, и относительное удлинение ведущей и ведомой ветвей ремня различны. При обегании ремнем ведущего шкива натяжение его падает (рисунок 4.29). Ремень укорачивается и проскальзывает по шкиву. На ведомом шкиве ремень удлиняется и опережает его. Скольжение происходит не по всей дуге обхвата α, а на некоторой части ее β, называемой дугой скольжения. Сила трения между ремнем и шкивом передается в основном на дуге скольжения, но частично благодаря тангенциальной податливости ремня также на дуге покоя. В обычных расчетах передачу силы трения на дуге покоя не учитывают. Дуга скольжения располагается со стороны сбегания ремня со шкива.

142

Рисунок 4.29 – Скольжение в ременной передаче

Со стороны набегания ремня находится дуга покоя, т. е. дуга постоянного сцепления ремня со шкивом. Окружная скорость каждого шкива равна скорости набегающей ветви ремня. Окружные скорости (м/с) на шкивах V1 = πd1 n1 / 60 и V2 = πd2 n2 / 60, где d1 и d2 – диаметры соответственно ведущего и ведомого шкивов, м; n1 и n2 – частоты вращения в минуту ведущего и ведомого шкивов, мин–1. Вследствие неизбежного скольжения окружная скорость на ведомом шкиве V2 меньше скорости V1 на ведущем: V2 = (1 – ε)V1. Отсюда истинное передаточное отношение u = n1/n2 = d2/(d1(1 – ε)). Для расчетов могут быть приняты следующие значения относительного скольжения: плоские ремни 0,01; клиновые кордтканевые 0,02 и кордшнуровые 0,01.

4.6.4 Критерии работоспособности и расчета Основные критерии расчета ременных передач: 1) тяговая способность или прочность сцепления ремня со шкивом; 2) долговечность ремня. Если не будет выдержано первое условие, ремень начнет буксовать; если – второе, он будет слишком быстро выходить из строя. В настоящее время для клиновых и поликлиновых ремней применяется комплексный расчет на выносливость и тяговую способность, а для плоских ремней, испытывающих меньшие напряжения изгиба, пока сохраняется расчет на тяговую способность с последующей проверкой на выносливость. Основными критериями работоспособности ременных передач являются долговечность ремня, которая в условиях нормальной эксплуатации ограничивается разрушением ремня от усталости, и тяговая способность, определяемая силой трения между ремнем и шкивом.

143

4.6.4.1 Расчет на долговечность

Можно показать, что при ненагруженной передаче Т1 = 0, при наличии нагрузки Т1 ≠ 0. Обозначим F0 – предварительное натяжение ремня (без учета центробежных сил); F1 и F2 – натяжение ведущей и ведомой ветвей в нагруженной передаче; Ft = 2Tl/D1 – окружная сила передачи. По условию равновесия шкива имеем: Т1 = 0,5D1(F1 – F2), или Ft = F1 – F2 . Связь между F0, F1 и F2 можно установить на основе следующих рассуждений. Полная геометрическая длина ремня не зависит от нагрузки и остается неизменной как в ненагруженной, так и в нагруженной передаче. Следовательно, дополнительная вытяжка ведущей ветви компенсируется равным сокращением ведомой ветви. Запишем: F1 = F0 + ΔF, F2 = F0 – ΔF и, просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим: F1 + F2 = 2F0. Учитывая, что Ft = F1 – F2: F1 = F0 + Ft/2, F2 = F0 – Ft/2. Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными F0, F1 и F2. Эти уравнения устанавливают изменение натяжений ведущей и ведомой ветвей в зависимости от нагрузки Ft и предварительного натяжения F0, но не вскрывают тяговой способности передачи, которая связана с величиной силы трения между ремнем и шкивом. Cвязь между усилиями в ведущей и ведомой ветвях ремня выявлена Эйлером. Эйлер установил зависимость между F1 и F2 на границе буксования, т. е. определил максимально допустимую величину Ft в зависимости от F0 при условии полного использования запаса сил трения. F1 = F2 e fα. 144

В этой формуле е – основание натурального логарифма; f – коэффициент трения между ремнем и шкивом; α – угол обхвата. Обозначим efα через q, получим систему из трех уравнений: F1 + F2 = 2 F0, Ft = F1 – F2, F1 = F2q, отсюда Ft = F2q – F2, F2 = Ft/(q – 1), Ftq/(q – 1) + Ft/(q – 1) = 2F0, Ftq + Ft = 2F0(q – 1). Из этих уравнений получим F1 = Ftq/(q – 1), F2 = Ft/(q – 1), F0 = Ft(q + 1)/(2(q – 1)). Эти формулы устанавливают связь сил натяжения ветвей работающей передачи с величиной нагрузки Ft и факторами трения (f и α). Они позволяют также определить минимально необходимую величину предварительного натяжения ремня F0, при которой еще возможна передача заданной нагрузки Ft. При F0 < Ft(q + 1)/(2(q – 1) в передаче начнется буксование ремня. Если в полученные формулы подставить не полный угол α, а лишь часть его, соответствующую углу упругого скольжения, то получим не предельные, а рабочие величины натяжений ремня. Нетрудно установить, что увеличение значений f и α благоприятно отражается на работе передачи. Так, например, если fα → 0, то F1, F2 и F0 → ∞, т. е. передача нагрузки становится невозможной при сколь угодно большом натяжении ремня. Эти выводы приняты за основу при создании конструкций клиноременной передачи и передачи с натяжным роликом.

145

В первом случае использован принцип искусственного повышения трения за счет заклинивания ремня в пазах шкива. Во втором увеличивается угол обхвата за счет натяжного ролика. Соответствующие напряжения растяжения в ведущей и ведомой ветвях: σ1 = F1/A и σ2 = F2/A. Центробежная сила вызывает напряжения растяжения в ремне, как в свободном вращающемся кольце: σц = 10–6 γV2, где σц – напряжения в ремне, МПа; V – скорость ремня, м/с; γ – плотность материала ремня, кг/м3. Значения плотности ремней γ прорезиненных кордшнуровых и тканевых, а также клиновых 1100…1200 кг/м3, хлопчатобумажных 900…1000 кг/м3, кожаных 1000…1100 кг/м3. При изгибе ремня толщиной δ на шкиве диаметром D относительные удлинения наружных волокон по геометрическим условиям равны δ/D. Напряжения изгиба в предположении постоянства модуля упругости Е: σи = E δ/D. Уточненные расчеты ведут по опасным волокнам корда, учитывая кривизну ремня при изготовлении и т. д. Модули упругости работавших ремней, а также испытанных после предварительного длительного нагружения больше, чем новых. Суммарные напряжения в ремне (рисунок 4.30): а) в ведущей ветви σ1 = F1/A + σц; б) в ведомой ветви (минимальные напряжения) σ2 = F2/A + σц; в) максимальные напряжения на дуге покоя ведущего малого шкива σmax = F1/A + σи + σц.

146

Рисунок 4.30 – Эпюра суммарных напряжений

4.6.4.2 Расчет ременных передач по тяговой способности

Расчет основан на кривых скольжения (рисунок 4.31), которые строят в координатах: коэффициент тяги – относительное скольжение и КПД. Коэффициент тяги, который характеризует уровень нагрузки передачи определяется по формуле φ = Ft/(F1 + F2) = Ft/(2 F0) = σFt/(2 σ0), отсюда напряжение в ремне от передаваемой нагрузки σFt = 2 σ0 φ. Кривые скольжения получают экспериментально: при постоянном натяжении F0 постепенно повышают полезную нагрузку Ft и вычисляют скольжение.

147

Рисунок 4.31 – Кривые скольжения и КПД

До некоторого определенного критического значения коэффициента тяги φ0 скольжение вызывается упругими деформациями ремня, которые пропорциональны коэффициенту тяги, т. е. нагрузке, и кривая скольжения имеет соответственно прямолинейный характер. При дальнейшем росте нагрузки возникает дополнительное проскальзывание и суммарное скольжение возрастает быстрее, чем нагрузка. Затем кривая скольжения резко поднимается вверх и при некотором предельном значении коэффициента тяги φmах наступает полное буксование. КПД передачи, как обычно, вначале растет с ростом нагрузки вследствие уменьшения влияния потерь холостого хода. Он достигает максимума в зоне критического значения коэффициента тяги, а потом начинает падать в связи с дополнительными потерями на буксование. Кривые скольжения и КПД показывают, что оптимальная нагрузка ременных передач лежит в зоне критических значений коэффициента тяги, где наиболее высокий КПД. При меньших нагрузках передача недоиспользуется. Переход за критическое значение коэффициента тяги допустим только при пиковых нагрузках и весьма кратковременных перегрузках. Работа в этой области связана с повышенным износом ремня и потерей скорости.

148

Основные испытания ременных передач с построением кривых скольжения и КПД проводят для типовых условий: V = 10 м/с, α = 180°; δ/D для плоских ремней из традиционных материалов берут 1,25, а из синтетических 1/100 (δ – толщина ремня); экспериментально установлены также влияние условий работы, угла обхвата, скорости и других факторов. Средние критические значения коэффициента тяги φ0 устанавливают по экспериментальным данным: для прорезиненных и кожаных ремней ~0,6, для хлопчатобумажных ~0,5, для синтетических 0,45... 0,5. Для прорезиненных кордных и резинотканевых ремней отношение φmax/φ0 равно 1,15…1,3, для хлопчатобумажных цельнотканых 1,25...1,4, для кожаных 1,35...1,5. Расчет ременных передач на тяговую способность производится по напряжению σFt = Ft/bδ ≤ [σFt] или по удельной нагрузке p = Ft/b ≤ [p], которые устанавливаются по экспериментальным кривым скольжения или приведены в таблицах. Влияние основных параметров передачи и условий работы учитывают корректирующими коэффициентами, с помощью которых находят расчетное допускаемое напряжение [σFt] и допускаемую удельную нагрузку [p] в действительных условиях работы: [σFt] = [σFt]0С и [р] = [р]0С, где С = С0СрСαСv; С0 – коэффициент, учитывающий условия натяжения ремня и расположение передачи в пространстве; Ср – коэффициент режима работы; Сα – коэффициент, учитывающий влияние угла обхвата; Cv – скоростной коэффициент, вводимый для передач без автоматического регулирования натяжения ремня и учитывающий ослабление сцепления ремня со шкивом под действием центробежной силы. Окончательно полные (с учетом коэффициента динамичности) силы Ft, которые могут передаваться ремнями, рассчитываются по допускаемому напряжению [σFt]0 или по удельной нагрузке [р0]: Ft = A[σFt]0С и Ft = b [p]0C. 149

При проектировании передач по требуемой окружной силе Ft соответственно определяется потребная площадь ремня А или ширина b.

4.7 Фрикционные передачи и вариаторы 4.7.1 Принцип действия и классификация Работа фрикционной передачи основана на использовании сил трения, которые возникают в месте контакта двух тел вращения под действием сжимающих сил Fr (рисунок 4.32,а). При этом должно быть выполнено условие Ft ≤ Fтр, где Ft – окружная сила; Fтр – сила трения между катками. Нарушение этого условия приводит к буксованию и усиленному износу катков. Fтр = Frf, где f – коэффициент трения. Все фрикционные передачи можно разделить на две основные группы: передачи нерегулируемые (см. рисунок 4.32), т. е. с постоянным передаточным отношением; передачи регулируемые, или вариаторы (рисунок 4.33), позволяющие изменять передаточное отношение плавно и непрерывно (бесступенчатое регулирование). Каждая из указанных групп охватывает большое количество передач, различающихся по конструкции и назначению. Например, выделяют передачи с параллельными (см. рисунок 4.32,а) и пересекающимися осями валов (см. рисунок 4.32,б); с цилиндрической, конической, шаровой или торовой поверхностью рабочих катков; с постоянным или автоматически регулируемым прижатием катков, с промежуточным (паразитным) фрикционным элементом (см. рисунок 4.32,в) или без него и т. д. На рисунке 4.33 показана схема простейшего вариатора (лобовой вариатор). Ведущий ролик А можно перемещать по валу в направлениях, указанных стрелками. При этом передаточное отношение будет плавно изменяться в соответствии с изменением рабочего диаметра D2 ведомого диска Б.

150

Рисунок 4.32 – Схема работы фрикционной передачи

Рисунок 4.33 – Лобовой вариатор

151

Если перевести ролик на левую сторону диска, то можно получить также и изменение направления вращения ведомого вала – вариатор обладает свойством реверсивности.

4.7.2 Область применения Фрикционные передачи с постоянным передаточным отношением используют сравнительно редко. Их область применения ограничивается преимущественно кинематическими цепями приборов, от которых требуется плавность движения, бесшумность работы, безударное включение на ходу и т. п. Как силовые (не кинематические) передачи они не могут конкурировать с зубчатыми передачами по габаритам, надежности, КПД и пр. Фрикционные вариаторы применяют как в кинематических, так и силовых передачах в тех случаях, когда требуется бесступенчатое регулирование скорости (зубчатая передача не позволяет такого регулирования). Применение фрикционных вариаторов на практике ограничивается диапазоном малых и средних мощностей – до 10, реже до 20 кВт. В этом диапазоне они успешно конкурируют с гидравлическими и электрическими вариаторами, отличаясь от них простотой конструкции, малыми габаритами и повышенным КПД. При больших мощностях трудно обеспечивать необходимое усилие прижатия катков Q. Это усилие, а также соответствующие нагрузки на валы и опоры становятся слишком большими, конструкции вариатора и нажимного устройства усложняются. Фрикционные вариаторы нашли применение в станкостроении, сварочных и литейных машинах, машинах текстильной, химической и бумажной промышленности, различных отраслях приборостроения и т. д. Значение фрикционных вариаторов как бесступенчатых регуляторов скорости возрастает в связи с широким фронтом работ по автоматизации управления производственными и другими процессами. Фрикционные передачи любого типа неприменимы в конструкциях, от которых требуется жесткая кинематическая связь, не допускающая проскальзывания или накопления ошибок взаимного положения валов. В многоступенчатых передачах вариаторы целесообразно ставить на быстроходной ступени как менее нагруженной. 152

5 Валы и оси 5.1 Общие сведения Вращающиеся детали машины устанавливают на валах или осях, обеспечивающих постоянное положение оси вращения этих деталей. Валы – детали, предназначенные для передачи крутящего момента вдоль своей оси и для поддержания вращающихся деталей машин. Простейшие прямые валы имеют форму тел вращения. Валы вращаются в подшипниках. Так как передача крутящих моментов связана с возникновением сил, например сил на зубьях зубчатых колес, сил натяжения ремней и т. д., валы обычно подвержены действию не только крутящих моментов, но и поперечных сил и изгибающих моментов. Валы по назначению можно разделить на валы передач, несущие детали передач, – зубчатые колеса, шкивы, звездочки, муфты (рисунок 5.1,а,б) – и на коренные валы машин и другие специальные валы, несущие кроме деталей передач рабочие органы машин двигателей или орудий, – колеса или диски турбин, кривошипы, инструменты, зажимные патроны и т. д. (см. рисунок 5.1, в–д).

Рисунок 5.1 – Основные типы валов и осей

По форме геометрической оси валы разделяют на прямые и коленчатые. Коленчатые валы (рисунок 5.1,д) применяют при необходимости преобразования в машине возвратно-поступательного дви153

жения во вращательное или наоборот, причем они совмещают функции обычных валов с функциями кривошипов в кривошипноползунных механизмах. Особую группу составляют гибкие валы с изменяемой формой геометрической оси (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Гибкий вал

Оси предназначены для поддержания вращающихся деталей и не передают полезного крутящего момента. Обычно они подвергаются воздействию поперечных сил, изгибающих моментов и не учитываемых при расчетах крутящих моментов от сил трения. Оси (см. рисунок 5.1,е) разделяют на вращающиеся, обеспечивающие лучшую работу подшипников, и неподвижные, требующие встройки подшипников во вращающиеся детали. Валы и оси имеют аналогичные формы и общую функцию – поддерживать вращающиеся детали. Опорные части валов и осей называют цапфами или шейками. Прямые валы разделяют на валы постоянного диаметра (валы трансмиссионные и судовые многопролетные (см. рисунок 5.1,а); валы ступенчатые (большинство валов, см. также рисунок 5.1,б–г); валы с фланцами для соединения по длине, а также валы с нарезанными шестернями (валы-шестерни). По форме сечения валы могут быть гладкими, шлицевыми и профильными. Форма вала по длине определяется распределением нагрузки и условиями технологии изготовления и сборки. Эпюры изгибающих моментов по длине валов, как правило, не постоянны и обычно сходят к нулю к концевым опорам или к концам валов (рисунок 5.3). Крутящий момент обычно передается не на всей длине вала. Поэтому по условию прочности допустимо и целесообразно конструировать валы переменного сечения, приближающиеся к телам равного сопротивления.

154

Рисунок 5.3 – Теоретический профиль вала

Практически валы выполняют ступенчатыми. Эта форма удобна при изготовлении и сборке; уступы валов могут воспринимать большие осевые силы. Желательно, чтобы каждая насаживаемая на вал неразъемная деталь проходила по валу до своей посадочной поверхности без натяга во избежание повреждения поверхностей и ослабления посадок. Валы могут быть полыми. Полый вал с отношением диаметра отверстия к наружному диаметру 0,75 легче сплошного равнопрочного почти в 2 раза. Практически полые валы применяют при жестких требованиях к массе и при необходимости прохода сквозь валы или размещения внутри валов других деталей. Круглая качественная сталь для валов поставляется длиной до 6…7 м, поэтому более длинные валы делают составными, что необходимо также по условиям монтажа и транспортирования. Валы соединяют с помощью соединительных муфт или фланцев. Фланцы делают на фасонных чугунных валах и на тяжело нагруженных стальных валах. К стальным валам фланцы обычно приваривают или их выполняют высадкой. Узкие упорные буртики на валах выполнять нецелесообразно, так как это приводит к увеличению диаметров заготовок и к переводу в стружку значительного количества металла. Диаметры посадочных поверхностей (под ступицы зубчатых колес, шкивов, звездочек и других деталей) выбирают из стандартного ряда посадочных размеров, диаметры под подшипники качения – из стандартного ряда внутренних диаметров подшипников качения. Перепад диаметров ступеней определяется стандартными диаметрами посадочных поверхностей под ступицы и подшипники, достаточной опорной поверхностью для восприятия осевых сил при заданных ра-

155

диусах закругления кромок и размерах фасок и, наконец, условиями сборки. Перепад диаметров ступеней вала при наличии призматических шпонок желательно выбирать так, чтобы иметь возможность разборки без удаления шпонок из вала. Перепад диаметров должен быть минимальным. Если вал имеет форму, показанную на рисунке 5.4 (выходной конец вала, ступени под подшипники качения, ступень под колесом и упорный бурт), то при определении диаметров участков вала следует выполнять следующие соотношения: dвых ≤ dп < dк< dб (здесь dвых – диаметр конического выходного конца вала; dп – диаметр вала под подшипником; dк – диаметр вала под колесом; dб – диаметр бурта вала).

Рисунок 5.4 – Тихоходный вал

Если тихоходный вал имеет несколько шпоночных канавок по длине, то во избежание перестановки вала при фрезеровании их целесообразно размещать в одной плоскости.

5.2 Расчет прямых валов Валы относятся к числу наиболее ответственных деталей машин. Существенное нарушение формы вала из-за высокой радиальной податливости или колебаний, а тем более разрушение вала влекут за собой выход из строя всей конструкции. Поэтому к валам предъявляют высокие требования как по точности изготовления, так и по прочности, жесткости, устойчивости и колебаниям.

156

Для обеспечения работоспособности валы и оси должны удовлетворять условиям прочности и жесткости. Для расчета вала на прочность необходимо знать напряжения в сечениях вала от внешних нагрузок (постоянных и переменных), которые передаются от сопряженных деталей (зубчатых колес, шкивов и др.). Эти нагрузки могут быть определены расчетным путем (в редукторах, конвейерах, грузоподъемных устройствах и т. п.) или экспериментально. Для выполнения расчета вала необходимо знать его конструкцию (места приложения нагрузки, расположение опор и т. п.). В то же время разработка конструкции вала невозможна без хотя бы приближенной оценки его диаметра. На практике обычно используют следующий порядок проектного расчета вала. 1 Предварительно оценивают диаметр вала из расчета только на кручение при пониженных допускаемых напряжениях. Предварительные значения диаметров (мм) различных участков стальных валов редуктора определяют по формулам: − для быстроходного (входного) вала dвых = (7...8) 3 ТI ; − для промежуточного dк = (6...7) 3 Т II ; − для тихоходного (выходного) dвых = (5...6) 3 Т III ,

где TI – вращающий момент на соответствующем валу, Нм. Предварительную оценку диаметра рассчитываемого вала можно также производить, ориентируясь на диаметр того вала, с которым он соединяется (валы передают одинаковый момент Т). Например, если вал (см. рисунок 5.4) соединяется с валом электродвигателя (или другой машины), то диаметр его входного конца можно принять равным диаметру выходного конца вала электродвигателя. После оценки диаметра вала разрабатывают его конструкцию – см. пример на рисунке 5.4.

157

5.2.1 Составление расчетной схемы и определение расчетных нагрузок Расчет валов базируют на тех дисциплинах, в которых рассматривают неоднородное напряженное состояние при переменных напряжениях. При этом действительные условия работы вала заменяют условными и приводят к одной из известных расчетных схем. При переходе от конструкции к расчетной схеме производят схематизацию нагрузок, опор и формы вала. Вследствие этого расчет валов становится приближенным. В расчетных схемах используют три основных типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную или заделку. Заделку применяют иногда в опорах неподвижных осей. Для вращающихся осей и валов заделку не используют, так как это приводит к появлению статической неопределимости. Выбирая тип расчетной опоры, необходимо учитывать, что деформативные перемещения валов обычно весьма малы, и, если конструкция действительной опоры допускает хотя бы небольшой поворот или перемещение, этого достаточно, чтобы считать ее шарнирной или неподвижной. При этих условиях подшипники, одновременно воспринимающие осевые и радиальные нагрузки, заменяют шарнирно-неподвижными опорами, а подшипники, воспринимающие только радиальные нагрузки, – шарнирно-подвижными. Если внешние нагрузки известны, то при расчетном определении внутренних силовых факторов в сечениях вал рассматривают обычно как балку, шарнирно закрепленную в двух жестких опорах (рисунок 5.5,а,в). Такая модель формы вала и закрепления близка к действительности для валов, вращающихся в опорах качения. Если в одной опоре размещают два подшипника качения, то условную опору (опоры) размещают так, как показано на рисунке 5.5,б. Для валов, опирающихся по концам на подшипники скольжения, условную опору располагают на расстоянии (0,25…0,3)l от внутреннего торца подшипника (рисунок 5.5,д), что обусловлено смещением в эту сторону максимальных контактных напряжений вследствие деформаций вала и подшипника. 158

а г

б

д

в

Рисунок 5.5 – Расчетные схемы опор валов

Нагрузки от зубчатых колес, шкивов, звездочек и других подобных деталей передаются на валы через поверхности контакта. В расчетах валов эти нагрузки для упрощения заменяют сосредоточенными эквивалентными силами, приложенными в середине или по краям ступицы (см. рисунок 5.5,г). Условимся в дальнейшем все рассуждения иллюстрировать примером расчета вала, изображенного на рисунке 5.4. Для этого вала, учитывая наклон зуба шестерни, левую опору заменяем шарнирнонеподвижной, а правую – шарнирно-подвижной опорами (рисунок 5.6).

159

Рисунок 5.6 – Расчетная схема вала

Действительные нагрузки не являются сосредоточенными, они распределены по длине ступицы, ширине подшипника и т. п. Расчетные нагрузки рассматривают обычно как сосредоточенные. В нашем примере (см. рисунок 5.4) вал нагружен силами Ft, Fa и Fr, действующими в полюсе зацепления, и крутящим моментом Т на полумуфте. Большинство муфт вследствие неизбежной несоосности соединяемых валов нагружают вал дополнительной силой Fм. Направление силы Fм в отношении силы Ft может быть любым (зависит от случайных неточностей монтажа). В расчетной схеме (см. рисунок 5.6,а) силу Fм направляем так, чтобы она увеличивала напряжения и деформации от силы Ft (худший случай). 160

На рисунке 5.6,б силы Ft, Fr и Fa приведены к оси вала и изображены раздельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. При этом возникли пары сил, равные Ft(d2/2) = Т и Fa(d2/2) = Mи. Здесь d2 – диаметр делительной окружности колеса. Под расчетной схемой построены эпюры изгибающих и крутящих моментов от всех действующих нагрузок (см. рисунок 5.6,в,г,д). По этим эпюрам легко определить суммарные изгибающие моменты в любом сечении вала.

5.2.2 Расчет на сопротивление усталости На практике установлено, что для валов основным видом разрушения является усталостное. Статическое разрушение наблюдается значительно реже. Оно происходит под действием случайных кратковременных перегрузок. Поэтому для валов расчет на усталостную прочность является основным. Расчет на статическую прочность выполняют как проверочный. При расчете на усталость необходимо прежде всего установить характер цикла изменения напряжений. Вследствие вращения вала напряжения изгиба в различных точках его поперечного сечения изменяются по симметричному циклу, даже при постоянной величине нагрузки. Напряжения кручения изменяются пропорционально изменению нагрузки. В большинстве случаев трудно установить действительный цикл нагрузки машины в условиях эксплуатации. Тогда расчет выполняют условно по номинальной нагрузке, а цикл напряжений принимают симметричным для напряжений изгиба (рисунок 5.7,а) и пульсационным для напряжений кручения (см. рисунок 5.7,б). Выбор пульсационного цикла для напряжений кручения обосновывают

а б Рисунок 5.7 – Циклы изменения напряжений изгиба и кручения

161

тем, что большинство машин работает с переменным крутящим моментом, а знак момента изменяется только у реверсивных машин. Неточность такого приближенного расчета компенсируют при выборе запасов прочности. Приступая к расчету, предположительно намечают опасные сечения вала, которые подлежат проверке (сечения I – I и II – II, см. рисунок 5.6). При этом учитывают характер эпюр изгибающих и крутящих моментов (см. рисунок 5.6), ступенчатую форму вала и места концентрации напряжений (см. рисунок 5.4). Для опасных сечений определяют запасы усталостной прочности и сравнивают их с допускаемыми. При совместном действии напряжений кручения и изгиба запас усталостной прочности определяют по формуле S = Sσ S τ

Sσ2 + S τ2 ≥ [S] = 1,5;

где Sσ – запас прочности по напряжениям изгиба; Sτ – запас прочности по напряжениям кручения.

162

6 Подшипники 6.1 Назначение и классификация Подшипники служат опорами для валов и вращающихся осей. Они воспринимают радиальные и осевые нагрузки, приложенные к валу, и передают их на раму машины. При этом вал должен фиксироваться в определенном положении и вращаться вокруг заданной геометрической оси. Во избежание снижения КПД механизма потери в подшипниках должны быть минимальными. От качества подшипников в значительной степени зависит работоспособность и долговечность машин. Подшипники различают по виду трения и по направлению воспринимаемой нагрузки. По первому признаку все подшипники делят на две основные группы: – подшипники скольжения, у которых опорный участок вала (цапфа – шип, шейка, пята) скользит по поверхности подшипника; – подшипники качения, у которых трение скольжения заменяют трением качения посредством установки шариков или роликов между опорными поверхностями подшипника и вала. По второму признаку различают: − радиальные подшипники, воспринимающие радиальные нагрузки; − упорные подшипники, воспринимающие осевые нагрузки; − радиально-упорные подшипники, воспринимающие радиальные и осевые нагрузки.

6.2 Подшипники скольжения Форма рабочей поверхности подшипника скольжения так же, как и форма цапфы вала, может быть цилиндрической (рисунок 6.1,а), плоской (см. рисунок 6.1,б), конической (см. рисунок 6.1,в) или шаровой (см. рисунок 6.1,г).

163

Рисунок 6.1 – Схема подшипников скольжения

Цапфу, передающую радиальную нагрузку, называют шипом, если она расположена на конце вала, и шейкой при расположении в середине вала. Цапфу, передающую осевую нагрузку, называют пятой, а опору (подшипник) – подпятником. Подпятники работают обычно в паре с радиальными подшипниками (см. рисунок 6.1,б). Большинство радиальных подшипников (см. рисунок 6.1,а) могут воспринимать также и небольшие осевые нагрузки (фиксируют вал в осевом направлении). Для этого вал изготовляют ступенчатым с галтелями, а кромки подшипника закругляют. Подшипники с конической поверхностью (см. рисунок 6.1,в) применяют редко. Их используют при небольших нагрузках в тех случаях, когда необходимо систематически устранять зазор от износа подшипника. Также редко применяют и шаровые подшипники. В то же время эти подшипники допускают перекос оси вала, т. е. обладают свойством самоустановки. Пример конструктивного оформления подшипника показан на рисунке 6.2. Основным элементом подшипника является вкладыш 1. Вкладыши изготовляют из антифрикционных материалов. Их устанавливают в специальном корпусе подшипника 2 или непосредственно в корпусе машины (станине, раме и т. д.).

164

Рисунок 6.2 – Конструктивное исполнение подшипника

Вкладыши в неразъемных подшипниках изготовляют в виде втулок, а в обычных разъемных подшипниках – двух половин. Вкладыши за срок службы изнашиваются на глубину, измеряемую как максимум, в десятых долях миллиметра. Однако выполнять вкладыши такой толщины нельзя по условию их прочности и по техническим возможностям. Поэтому их обычно делают биметаллическими; тонкий антифрикционный слой в них наплавлен на стальную, чугунную, а в ответственных подшипниках – на бронзовую основу. Мягкие антифрикционные материалы – баббиты и свинцовые бронзы применяют исключительно в виде покрытий. В мелкосерийном и единичном производстве наряду с биметаллическими вкладышами иногда применяют также более простые в изготовлении сплошные вкладыши из антифрикционных материалов средней и высокой прочности (из антифрикционных чугунов, текстолита, прессованной древесины). Уменьшение толщины заливки баббитом резко повышает сопротивление усталости слоя. В массовом производстве вкладыши штампуют из ленты, на которую нанесен антифрикционный материал. Это приводит к значительному уменьшению расхода цветных металлов (в 3... 10 раз), многократному сокращению трудоемкости (до 10 раз) и повышению качества подшипников. Переход на централизованное изготовление стандартизованных вкладышей из ленты является важнейшей технологической тенденцией развития производства подшипников скольжения. В некоторых западных странах развита мощная промышлен165

ность подшипников скольжения, аналогичная промышленности подшипников качения. Антифрикционный слой (бронзы) наносится заливкой или спеканием порошков на ленте или совместной прокаткой (алюминиевые сплавы). Толщина ленты составляет 1,5...2,5 мм с антифрикционным слоем толщиной 0,2...0,3 мм. Вкладыши устанавливают в корпуса с натягом и предохраняют от проворачивания установочными штифтами. Область применения подшипников скольжения в современном машиностроении сократилась в связи с распространением подшипников качения. Однако значение подшипников скольжения в современной технике не уменьшилось. В целом ряде конструкций подшипниковых узлов они незаменимы. К таким конструкциям относятся: − разъемные подшипники, необходимые по условиям сборки, например, для коленчатых валов; − высокоскоростные подшипники (V > 30 м/с), в условиях работы которых долговечность подшипников качения резко сокращается; − подшипники прецизионных машин, от которых требуется особо точное направление валов и возможность регулировки зазоров; − подшипники тяжелых валов (диаметром до 1 м и более), для которых не изготовляют стандартные подшипники качения; − подшипники, работающие в особых условиях (воде, агрессивных средах и т. п.), когда подшипники качения неработоспособны; − подшипники, воспринимающие ударные и вибрационные нагрузки, здесь используется демпфирующее свойство масляного слоя; − подшипники дешевых тихоходных механизмов и некоторые другие.

6.2.1 Условия работы и виды разрушения Вращению цапфы в подшипнике противодействует момент сил трения. Работа трения нагревает подшипник и цапфу. От поверхности трения тепло отводится через корпус подшипника и вал, а также уносится смазывающей жидкостью. Для любого установившегося режима работы подшипника существует тепловое равновесие:

166

теплоотдача равна тепловыделению. При этом устанавливается определенная температура. Чем больше тепловыделение и хуже условия теплоотдачи, тем выше температура теплового равновесия. Она не должна превышать некоторой предельной величины, допускаемой для данного материала подшипника и сорта смазки. С повышением температуры понижается вязкость масла и увеличивается вероятность заедания цапфы в подшипнике. В конечном результате заедание приводит к выплавлению вкладыша. Перегрев подшипника является основной причиной его разрушения. Работа подшипника сопровождается износом вкладыша и цапфы, что нарушает правильную работу механизма и самого подшипника. Если износ превышает норму, подшипник бракуют. Интенсивность износа, связанная также с величиной работы трения, определяет долговечность подшипника. При действии переменных нагрузок (например, в поршневых двигателях) поверхность вкладыша может выкрашиваться вследствие усталости. Усталостное выкрашивание свойственно подшипникам с малым износом и наблюдается сравнительно редко. В случае действия больших кратковременных перегрузок ударного характера вкладыши подшипников могут хрупко разрушаться. Хрупкому разрушению особенно подвержены малопрочные антифрикционные материалы, такие, как баббиты и некоторые пластмассы.

6.2.2 Режимы трения и критерии расчета Величина работы трения является основным показателем работоспособности подшипника. Трение определяет износ и нагрев подшипника, а также его КПД. Для уменьшения трения подшипники скольжения смазывают. В зависимости от режима работы подшипника в нем может быть полужидкостное или жидкостное трение. При жидкостном трении рабочие поверхности вала и вкладыша разделены слоем масла, толщина h которого больше суммы высот Rz неровностей поверхностей: h > Rz1 + Rz2.

167

При этом условии масло воспринимает внешнюю нагрузку, предотвращая непосредственное соприкосновение рабочих поверхностей, т. е. их износ. Сопротивление движению в этом случае определяется только внутренним трением в смазочной жидкости. Величина коэффициента жидкостного трения располагается в пределах 0,001 … 0,005 (эта величина может быть меньше коэффициента трения качения). При полужидкостном трении это условие не соблюдается, в подшипнике будет смешанное трение – одновременно жидкостное и сухое. Величина коэффициента полужидкостного трения зависит не только от качества масла, но и от материала трущихся поверхностей. Для распространенных антифрикционных материалов коэффициент полужидкостного трения колеблется от 0,008 до 0,1. Полужидкостное трение сопровождается износом трущихся поверхностей. Для работы подшипника самым благоприятным режимом является режим жидкостного трения. Образование этого режима является основным критерием расчета подшипников скольжения. При этом одновременно обеспечиваются критерии работоспособности по износу и заеданию.

6.2.3 Основные условия образования режима жидкостного трения Исследование режима жидкостного трения в подшипниках основано на гидродинамической теории смазки. Эта теория базируется на решениях дифференциальных уравнений гидродинамики вязкой жидкости, которые связывают давление, скорость и сопротивление вязкому сдвигу. Гидродинамическая теория смазки доказывает, что гидродинамическое давление может развиваться только в сужающемся зазоре, который принято называть клиновым. Если конструкция подшипника не имеет клинового зазора, в подшипнике не может образоваться жидкостное трение. Например, простой плоский подпятник (см. рисунок 6.1,б) не имеет клинового зазора и не может работать при жидкостном трении.

168

Для образования клинового зазора, а следовательно, и условий жидкостного трения опорной поверхности подпятника придают специальную форму. В радиальных подшипниках клиновая форма зазора свойственна самой конструкции подшипника. Она образуется в результате смещения центров цапфы вала и вкладыша (рисунок 6.3,а). За счет сил трения между смазочным материалом, валом и подшипником масло начнет втягиваться в клиновой зазор между валом и подшипником. При некоторой угловой скорости ω, превышающей критическую ωкр, цапфа всплывает в масле и несколько смещается в сторону вращения по траектории, указанной на рисунке 6.3,б. С увеличением угловой скорости увеличивается толщина разделяющего масляного слоя h, центр цапфы сближается с центром вкладыша, а нагрузочная способность подшипника увеличивается. Полного совпадения центров быть не может, так как при этом нарушается клиновая форма зазора как одно из условий режима жидкостного трения.

а

б

Рисунок 6.3 – Работа подшипника в режиме жидкостного трения

Исследования показывают, что для подшипников с определенными геометрическими параметрами толщина масляного слоя h является некоторой функцией характеристики рабочего режима подшипника. Оптимальное место подвода смазочного масла в подшипник при принудительной смазке (гидростатические подшипники) – область наибольших зазоров. Подвод масла в эту область особенно выгоден в 169

случае, если необходимо обеспечить хорошее охлаждение подшипника. При подаче масла самотеком (гидродинамические подшипники) оптимальная область подвода масла смещается в сторону увеличения зазора, где возникает разрежение. При определенных условиях возможно даже засасывание масла из ванны, расположенной ниже подшипника. При вращающейся нагрузке (например, от центробежных сил) подвод масла желательно осуществлять через вращающуюся деталь, так как оптимальная область подвода масла вращается вместе с ней. Возможна подача масла также через неподвижную деталь с помощью кольцевой канавки, непрерывно питающей продольную канавку, расположенную на вращающейся детали в области наибольших зазоров. Масло в подшипнике распределяется смазочными канавками (рисунок 6.4). В подшипниках с жидкостной смазкой смазочные канавки можно располагать только в ненагруженной зоне. Канавки в нагруженной зоне вызывают резкое снижение несущей способности масляного слоя. Обычно применяют прямую канавку по образующей, проходящую через отверстие для подвода масла в ненагруженной зоне и не доходящую до торцов подшипника на 0,1 длины подшипника с каждой стороны.

Рисунок 6.4 – Смазочные канавки

170

Следует отметить, что толщина масляного слоя возрастает с увеличением вязкости масла и угловой скорости цапфы. С увеличением нагрузки толщина масляного слоя уменьшается. Таким образом, для образования режима жидкостного трения необходимо соблюдать следующие основные условия: − между скользящими поверхностями должен быть зазор клиновой формы; − масло соответствующей вязкости должно непрерывно заполнять зазор; − скорость относительного движения поверхностей должна быть достаточной для того, чтобы в масляном слое создалось давление, способное уравновесить внешнюю нагрузку. Известно, что все жидкости и газы обладают вязкостью. Это значит, что при определенных условиях в качестве смазывающей жидкости можно применять воду и даже воздух, что и используется на практике.

6.2.4 Расчет подшипников скольжения Подшипники, работающие при полужидкостном трении (к ним относятся подшипники грубых тихоходных механизмов, машин с частыми пусками и остановками, неустановившимся режимом нагрузки, плохими условиями подвода смазки и т. п.), рассчитывают: – по допускаемому давлению в подшипнике р = F/(ld) ≤ [р]; – по допускаемому произведению давления на скорость pv ≤ [pv], где F – радиальная нагрузка на подшипник; d – диаметр цапфы (вала); l – длина подшипника; v – окружная скорость цапфы. Расчет по [pv] предусматривает, в приближенной форме, предупреждение интенсивного износа, перегрева и заедания. Допускаемые значения [р] и [pv] определяют из опыта эксплуатации подобных конструкций. Подшипники жидкостного трения рассчитывают на основании уравнений гидродинамической теории смазки. 171

6.3 Подшипники качения 6.3.1 Общие сведения Подшипники качения (рисунок 6.5) состоят из следующих деталей: а) наружного 1 и внутреннего 2 колец с дорожками 3 качения; б) тел качения (шариков или роликов) 4; в) сепараторов 5, разделяющих и направляющих тела качения. В совмещенных опорах одно или оба кольца могут отсутствовать. В них тела качения катятся непосредственно по канавкам вала или корпуса.

Рисунок 6.5 – Конструкция подшипников качения

В подшипниках качения трение скольжения заменено трением качения. При этом коэффициент трения снижается до 0,0015…0,006. Конструкция подшипников качения позволяет изготовлять их в больших количествах как стандартную продукцию, что значительно снижает стоимость производства. Расход смазки на подшипник также уменьшается. Габарит подшипников качения (по длине) меньше габарита подшипников скольжения. Отмеченные основные качества подшипников качения обеспечили им широкое распространение. Во многих отраслях машиностроения они почти полностью вытеснили подшипники скольжения. Производство подшипников качения ведущими промышленными странами исчисляется сотнями миллионов штук в год. Отечественной промышленностью выпускаются подшипники наружным диаметром от 1,5 до 2600 мм, массой от 0,5 г до 3,5 т.

172

Подшипниковые узлы, кроме собственно подшипников качения, включают корпуса с крышками, устройства для крепления колец подшипников, защитные и смазочные устройства. Подшипники качения имеют ряд достоинств по сравнению с подшипниками скольжения: − меньшие (в 2…3 раза) осевые размеры; − меньшее трение и сопротивление пуску под нагрузкой и вращению при небольших и средних частотах вращения, постоянство сопротивления вращению; − простота технического обслуживания и подачи смазочного материала, низкая стоимость и взаимозаменяемость. Недостатки подшипников качения по сравнению с подшипниками скольжения состоят в следующем: − большие радиальные размеры; − малая радиальная жесткость и, как следствие, склонность к возникновению колебаний вала из-за ритмичного прокатывания через нагруженную зону опоры; − более сложный монтаж; − большее сопротивление вращению (из-за трения между телами качения, кольцами и сепаратором и гидравлических потерь) при высоких частотах вращения и, как следствие, низкая долговечность (из-за перегрева). В последнем случае, несмотря на значительные трудности в условиях эксплуатации, приходится прибегать к установке подшипников скольжения, работающих в условиях жидкостной смазки.

6.3.2 Классификация и обозначение подшипников качения На рисунке 6.6 изображены основные типы подшипников качения. По форме тел качения они разделяются на шариковые и роликовые (цилиндрические, конические, игольчатые и т. д.). По направлению воспринимаемой нагрузки – на радиальные, упорные и радиально-упорные. 173

Рисунок 6.6 – Основные типы подшипников

Радиальные шариковые подшипники (1, см. рисунок 6.6) наиболее простые и дешевые. Они допускают небольшие перекосы вала (до 1/4°) и могут воспринимать осевые нагрузки. Эти подшипники широко распространены в машиностроении. Радиальные роликовые подшипники (4, см. рисунок 6.6) благодаря увеличенной контактной поверхности допускают значительно большие нагрузки, чем шариковые (в среднем на 70…90 %). Однако они совершенно не воспринимают осевые нагрузки и не допускают перекоса вала. При перекосе вала ролики начинают работать кромками и подшипник быстро разрушается. Аналогичное сравнение можно провести и между радиально-упорными шариковыми 3 и роликовыми 5 подшипниками. Самоустанавливающиеся шариковые 2 и роликовые 6 подшипники применяют в тех случаях, когда возможен значительный перекос вала (до 2…3°). Они имеют сферическую поверхность наружного кольца и ролики бочкообразной формы. Эти подшипники допускают небольшие осевые нагрузки.

174

Применение игольчатых подшипников 7 позволяет уменьшить габариты (по диаметру) при значительных нагрузках. Упорный подшипник 8 воспринимает только осевые нагрузки. На рисунке 6.6 изображены два варианта конструкции упорного подшипника: простой – слева от оси (не допускает перекоса оси); самоустанавливающийся – справа от оси (допускает перекос оси). По нагрузочной способности (или по габаритам) подшипники разделяют на пять серий диаметров и ширин: сверхлегкую, особо легкую, легкую, среднюю и тяжелую; по классам точности: 0 (нормального класса); 6 (повышенного); 5 (высокого); 4 (особо высокого) и 2 (сверхвысокого). От точности изготовления в значительной степени зависит работоспособность подшипника, но одновременно возрастает его стоимость. На рисунке 6.7 показано соотношение размеров подшипников с одинаковым диаметром внутреннего кольца разных размерных серий (а – особолегкая; б – легкая; в – легкая широкая; г – средняя; д – средняя широкая; е – тяжелая).

Рисунок 6.7 – Размерные серии подшипников качения

Все подшипники качения изготовляют из высокопрочных специальных подшипниковых сталей (высокоуглеродистых хромистых) с термической обработкой, обеспечивающей высокую твердость. Большое влияние на работоспособность подшипника оказывает качество сепаратора. Сепараторы разделяют и направляют тела качения. В подшипниках без сепаратора тела качения набегают друг на друга. При этом кроме трения качения возникает трение скольжения, увеличиваются потери и износ подшипника. Установка сепаратора значительно уменьшает потери на трение, так как сепаратор является 175

свободно плавающим и вращающимся элементом. Большинство сепараторов выполняют штампованными из стальной ленты. При повышенных окружных скоростях (более 10…15 м/с) применяют массивные сепараторы из латуни, бронзы, дюралюминия или пластмассы (3, см. рисунок 6.6). Подшипники имеют условные обозначения, составляемые из цифр и букв. Условное обозначение подшипников читается справа. Две первые цифры, считая справа, обозначают внутренний диаметр подшипников от 20 до 495 мм, деленный на 5 (иначе для обозначения размера пришлось бы занять три цифры). Третья и седьмая цифры справа обозначают серию подшипников всех диаметров, кроме малых (до 9 мм). Основная из особо легких серий обозначается цифрой 1, легкая – 2, средняя – 3, тяжелая – 4, легкая широкая – 5, средняя широкая – 6 и т. д. Четвертая цифра справа обозначает тип подшипника (таблица 6.1). Таблица 6.1 – Тип подшипника Тип подшипника

Четвертая цифра справа

Радиальный шариковый однорядный

0

Радиальный шариковый двухрядный сферический

1

Радиальный с короткими цилиндрическими роликами

2

Радиальный роликовый двухрядный сферический

3

Роликовый с длинными цилиндрическими роликами или иглами

4

Роликовый с витыми роликами

5

Радиально-упорный шариковый

6

Роликовый конический

7

Упорный шариковый

8

Упорный роликовый

9

Пятая или пятая и шестая цифры, вводимые не для всех подшипников, обозначают конструктивные особенности подшипников, например угол контакта шариков в радиально-упорных подшипниках, наличие стопорной канавки на наружном кольце, наличие встроенных уплотнений и т. д. 176

Цифры 6; 5; 4 и 2, стоящие через тире (разделительный знак) перед условным обозначением подшипника, обозначают его класс точности, в порядке возрастания точности. Класс 0 не указывается. Примеры обозначений подшипников класса точности 0: шариковые радиальные однорядные с внутренним диаметром 50 мм легкой серии 210, средней – 310, тяжелой – 410. Роликоподшипники с внутренним диаметром 80 мм, с короткими цилиндрическими роликами и бортами на внутреннем кольце легкой серии – 2216, средней – 2316, тяжелой – 2416, конические легкой серии – 7216, легкой широкой – 7516, средней – 7316, средней широкой – 7616. Первый из указанных в примерах подшипников класса точности 5 имеет обозначение 5–210. Общие тенденции развития конструкций и применения подшипников следующие: 1) расширение применения радиально-упорных подшипников, что связано с повышением частот вращения валов и с плохой работой шариковых и роликовых подпятников при больших скоростях; 2) расширение применения роликовых подшипников, что связано с общим повышением точности изготовления и жесткости машин; 3) расширение применения подшипников качения в специальных областях благодаря выпуску антимагнитных, антикоррозионных, жаростойких, малошумных и других подшипников; 4) облегчение эксплуатации и встраиваемости подшипников в машины выпуском подшипников герметизированных, самосмазывающихся, с уплотнениями, с упорными бортами и др.; 5) изготовление подшипниковой промышленностью целых подшипниковых узлов.

6.3.3 Основные причины выхода из строя и критерии расчета подшипников качения Для подшипников качения можно отметить следующие основные причины потери работоспособности. Усталостное выкрашивание наблюдается у подшипников после длительного времени их работы в нормальных условиях.

177

Износ происходит при недостаточной защите от абразивных частиц (пыли и грязи). Износ является основным видом разрушения подшипников автомобильных, тракторных, горных, строительных и многих подобных машин. Разрушение сепараторов дает значительный процент выхода из строя подшипников качения, особенно быстроходных. Раскалывание колец и тел качения связано с ударными и вибрационными перегрузками, неправильным монтажом, вызывающим перекосы колец, заклинивание и т. п. При нормальной эксплуатации этот вид разрушения не наблюдается. Остаточные деформации на беговых дорожках в виде лунок, вмятин и прочего наблюдаются у тяжело нагруженных тихоходных подшипников. Современный расчет подшипников качения базируют только на двух критериях: 1) расчет на статическую грузоподъемность по остаточным деформациям; 2) расчет на ресурс (срок службы) по усталостному выкрашиванию. Расчеты по другим критериям не разработаны, так как эти критерии связаны с целым рядом случайных факторов, трудно поддающихся учету.

6.3.4 Расчет статической грузоподъемности Некоторые подшипники качения периодически подвержены нагрузкам без вращения. Это подшипники грузоподъемных, транспортных и других машин, например упорные подшипники поворотных кранов, грузовых крюков, домкратов, нажимных устройств прокатных станов, подшипники для поворота лопастей винтов самолетов и вертолетов и др. Допускаемые нагрузки на невращающиеся подшипники выбирают исходя из условия, по которому общая остаточная деформация тела качения и колец не должна превышать величину, заметно влияющую на работу подшипника (оцениваемую 10–4 от диаметра тел качения). Роликоподшипники обладают значительно более высокой статической грузоподъемностью, чем шарикоподшипники.

178

В практической работе используют данные по статической грузоподъемности подшипников из каталогов. Наибольшая рациональная нагрузка или при совместном действии радиальной и осевой нагрузки эквивалентная статическая нагрузка должны быть меньше статической грузоподъемности С0, подшипника. Нагрузки при частотах вращения n до 10 мин–1 и при медленном качательном движении должны быть меньше статической грузоподъемности подшипника и грузоподъемности при n, равной 10 мин–1. P0 ≤ С0. Эквивалентная статическая нагрузка для радиальных шарикоподшипников, радиально-упорных шарико- и роликоподшипников определяется как большая по следующим формулам: P0 = X0Fr + Y0Fa и P0 = Fr, где значения коэффициентов Х0 и Y0 выбираются по таблицам. В пределах скоростей вращения до 10 мин–1 при невысоких требованиях к плавности вращения допустимо кратковременное повышение нагрузки до 1,5...2 раз, а при повышенных требованиях целесообразно такое же понижение нагрузки.

6.3.5 Расчет на долговечность по динамической грузоподъемности Подшипники качения не могут служить неограниченно долго, даже если они достаточно хорошо предохранены от износа и коррозии. Критерием их работоспособности в этих случаях является усталостное выкрашивание поверхностных слоев. На основе данных многих экспериментальных работ была установлена следующая зависимость между ресурсом – суммарным числом миллионов оборотов до появления признаков усталости – и эквивалентной нагрузкой Рr: L = a1 a23(Cr/Pr)p, где a1a23 – коэффициенты; Сr – динамическая грузоподъемность (постоянная радиальная нагрузка (а для упорных и упорнорадиальных подшипников осевая нагрузка), которую подшипник может выдержать в течение 106 оборотов при вероятности безотказ179

ной работы 90 %); р – показатель степени, равной в соответствии с результатами экспериментов для шарикоподшипников 3, а для роликоподшипников 10/3. Приведенная зависимость представляет собой уравнение наклонной ветви кривой усталости. Горизонтальная ветвь кривой усталости в рабочем диапазоне циклов нагружений не обнаруживается. Расчетная зависимость справедлива при Рr ≤ 0,5Сr. Значение коэффициента а1, вводимого при вероятности безотказной работы 0,9 равно 1. a23 – коэффициент, учитывающий качество металла подшипника и условия эксплуатации. Для обычных условий эксплуатации значения коэффициента для разных типов подшипников: шарикоподшипники (кроме сферических). . . . . . . . . . . . . . 0,7...0,8; роликоподшипники цилиндрические и шарикоподшипники сферические. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5...0,6; роликоподшипники конические. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,6...0,7; роликоподшипники сферические. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3...0,4; подшипники качения одного типоразмера, как и все детали, работающие на усталость, имеют существенно различный ресурс. Рассеяние ресурса, т. е. отношение наработки до отказа наиболее стойких подшипников к наработке наименее стойких, подшипников значительно больше, чем цилиндрических образцов, ввиду того что подшипники состоят из многих деталей, которые к тому же термически обработаны до высокой твердости. Кроме того, рассеяние размеров и шероховатости поверхности может существенно изменить напряжения в контакте тел качения и колец. При расчете или подборе подшипников принято за расчетный или так называемый гарантированный ресурс принимать такое число часов работы, которое выдерживают 90 % всех подшипников, т. е. 10 % подобранных по существующим нормам подшипников могут простоять в машине меньше требуемого (расчетного) срока. Однако средний ресурс в 3...5 раз превышает расчетный, а максимальный еще в несколько раз превышает средний.

180

Таким образом, большая часть подшипников имеет ресурс, значительно больший, чем гарантированный. То, что 10 % подшипников могут быть выбракованы несколько раньше срока, существенного значения не имеет. Фактически выбраковывают значительно меньше подшипников, так как большинство из них в машинах недогружены. Подшипники качения часто подвергаются совместному действию радиальной и осевой нагрузок. Нагрузка может быть постоянной, переменной или сопровождаться ударами. Вращаться может внутреннее или наружное кольцо. Температура может быть нормальной, повышенной или пониженной. Все эти факторы влияют на работоспособность подшипников и должны учитываться при выборе эквивалентной нагрузки. Эквивалентную радиальную нагрузку для радиальных шарикоподшипников и радиально-упорных шарико- и роликоподшипников определяют по формуле Pr = (V X Fr + Y Fa)Kб Kт , где V – коэффициент вращения, равный 1 при вращении внутреннего кольца относительно вектора нагрузки и 1,2 при вращении наружного кольца; Fr – радиальная нагрузка, Н; Fa – осевая нагрузка, Н; X и Y – коэффициенты, учитывающие разное повреждающее действие радиальной и осевой нагрузок, приводимые в справочных таблицах; Кб – коэффициент безопасности, учитывающий динамическую нагрузку; Kт – температурный коэффициент, вводимый только при рабочей температуре больше 100 °С. Расчетная зависимость эквивалентной нагрузки Рr от радиальной Fr и осевой Fa учитывает изменение углов контакта и числа шариков, принимающих участие в восприятии нагрузки. Поэтому коэффициенты X и Y зависят от отношения составляющих Fa/VFr и их уровня, который задается отношением осевой составляющей Fa к статической грузоподъемности Fa/C0r. Зависимость для Рr дается в простой форме, аппроксимирующей действительную сложную зависимость. Из-за радиального зазора в подшипнике при отсутствии осевой нагрузки имеет место повышенная неравномерность нагружения тел качения. С увеличением осевой нагрузки при постоянной радиальной

181

происходит выборка зазора, увеличивается рабочая дуга в подшипнике и нагрузка на тела качения распределяется равномернее. До некоторого значения Fa/VFr ≤ e (e – параметр осевого нагружения) это компенсирует в однорядных подшипниках увеличение общей нагрузки на подшипник с ростом осевой нагрузки Fa, т. е. в этих условиях осевая нагрузка не оказывает разрушающего действия на подшипник, а только улучшает условия его работы. Поэтому значения X и Y различны при Fa/VFr, большем или меньшем е, а в однорядных подшипниках при Fa/VFr ≤ e ведут расчет на действие как бы одной радиальной нагрузки, т. е. принимают X = 1 и Y = 0. При Fa/VFr > e коэффициенты X и Y определяют по таблицам. Долговечность подшипника в часах определяется по формуле Lh = 106 a1a23(Cr/Pr)p/(60n), где n – частота вращения вала, мин–1.

182

7 Соединения В зависимости от назначения сборочной единицы входящие в нее детали образуют разъемные или неразъемные соединения. Разъемными называют соединения, допускающие разборку и повторную сборку без нарушения работоспособности деталей. К таким соединениям относят резьбовые, шлицевые, шпоночные и др. Неразъемными называют соединения, не допускающие разборку соединенных деталей без их повреждения. К этой группе относят сварные, заклепочные, паяные, клеевые и другие соединения. К неразъемным условно относят соединения с гарантированным натягом (прессовые). Они допускают разборку при ремонте сборочной единицы; замену деталей (например, подшипников), но разборка может вызвать незначительные повреждения посадочных поверхностей и ослабление посадки. Основным критерием работоспособности соединений является прочность. Для некоторых конструкций работоспособность соединений определяется критериями износостойкости, жесткости, герметичности и др.

7.1 Резьбовые соединения Соединения деталей с помощью резьбы являются одним из старейших и наиболее распространенных видов разъемного соединения. К ним относятся соединения с помощью болтов, винтов, шпилек, винтовых стяжек и т. д. На рисунке 7.1 показаны соединения деталей с помощью болтов (винты с гайками, см. рисунок 7.1,а), винтов (см. рисунок 7.1,б) или шпилек (см. рисунок 7.1,в). Основным преимуществом болтового соединения является то, что оно не требует нарезания резьбы в соединяемых деталях. Это особенно важно в тех случаях, когда материал детали не может обеспечить достаточную прочность и долговечность резьбы. К недостаткам болтового соединения можно отнести следующее: обе детали должны иметь место для расположения гайки или головки винта; при завинчивании и отвинчивании гайки необходимо удерживать головку винта от проворачивания; по сравнению с винтовым

183

Рисунок 7.1 – Резьбовые соединения

болтовое соединение несколько увеличивает вес изделия и больше искажает его внешние очертания. Винты и шпильки применяют в тех случаях, когда по конструкции соединения постановка болта не рациональна. Если при эксплуатации деталь часто снимают и затем снова ставят на место, ее следует закреплять болтами или шпильками, так как винты при многократном завинчивании могут повредить резьбу в детали. Простую шайбу ставят под гайку или головку винта для уменьшения смятия детали гайкой, если деталь изготовлена из менее прочного материала (пластмассы, алюминия, дерева и т. п.); для предохранения чистых поверхностей деталей от царапин при завинчивании гайки (винта); для перекрытия зазора отверстия при большой его величине. В других случаях простую шайбу ставить нецелесообразно. Кроме простых шайб применяют стопорные, или предохранительные шайбы. Они предохраняют соединение от самоотвинчивания. Предохранение от самоотвинчивания является весьма важным для повышения надежности резьбовых соединений и совершенно необходимым для соединений, воспринимающих переменные и ударные нагрузки. Самоотвинчивание разрушает соединения и может привести к аварии. Расчет на прочность резьбовых соединений осуществляется в зависимости от способа установки болта в соединяемых деталях и вида нагружения конструкции. Различают четыре основных случая нагружения. 184

7.1.1 На стержень винта действует только растягивающая сила Примером может служить нарезанный участок крюка для подвешивания груза (рисунок 7.2). Р

Р Рисунок 7.2 – Установка грузового крюка

Опасным будет сечение, ослабленное нарезкой. Площадь этого сечения оценивают по внутреннему диаметру. При этом условие прочности по напряжениям растяжения в стержне σ = 4Р/(πd12) ≤ [σ].

7.1.2 Болт затянут, внешняя нагрузка отсутствует Примером могут служить болты для крепления герметичных крышек и люков корпусов машин (рисунок 7.3). В этом случае стержень болта растягивается осевой силой Рзат, возникающей от затяжки болта, и закручивается моментом сил в резьбе Тр. В стержне болта возникают нормальные напряжения σ от силы затяжки и касательные напряжения τ от момента завинчивания. Прочность болта определяют по эквивалентному напряжению σэкв =

σ2 + τ2 .

Вычисления показывают, что для стандартных метрических резьб σэкв ≈ 1,3σ. 185

Рисунок 7.3 – Затянутый болт

Это позволяет рассчитывать прочность болтов по упрощенной формуле σ = 1,3 · 4Рзат/(πd12) ≤ [σ]. Расчетами и практикой установлено, что болты с резьбой меньше М10 – М12 можно разрушить при затяжке. Поэтому в среднем и тяжелом машиностроении не рекомендуют применять болты малых диаметров (меньше М8). В настоящее время некоторые заводы используют для затяжки болтов специальные ключи предельного момента. Эти ключи не позволяют приложить к гайке момент больше установленного. В таком случае отпадает необходимость ограничивать применение болтов малых диаметров.

7.1.3 Болтовое соединение нагружено силами, сдвигающими детали в стыке Условием надежности соединения является отсутствие сдвига деталей в стыке. Конструкция может быть выполнена в двух вариантах. 7.1.3.1 Болт поставлен с зазором (рисунок 7.4)

При этом внешнюю нагрузку Р уравновешивают силами трения в стыке, которые образуются от затяжки болта. Условие отсутствия сдвига деталей в стыке: KР ≤ iFтр = iPзат f, или Pзат = KP/(if), где i – число плоскостей стыка деталей (по рисунку 7.4 число стыков i равно 2, при соединении только двух деталей 1 и 2, i = 1); f – коэффициент трения в стыке (f ≈ 0,15…0,20 для сухих чугунных и сталь186

ных поверхностей); К – коэффициент запаса (К = 1,3…1,5 при статической нагрузке, К = 1,8… 2 при переменной нагрузке).

Рисунок 7.4 – Установка болта с зазором

7.1.3.2 Болт поставлен без зазора (рисунок 7.5)

В этом случае отверстие калибруют разверткой, а диаметр стержня болта выполняют с допуском, обеспечивающим посадку типа напряженной. При расчете прочности соединения не учитывают силы трения в стыке, так как затяжка болта необязательна. В общем случае болт можно заменить штифтом. Стержень болта рассчитывают по напряжениям среза. Условие прочности по напряжениям среза: τ = 4Р/(πd2) ≤ [τ], где i – число плоскостей среза (на рисунке 7.5 i = 2; при соединении только двух деталей i = 1).

Рисунок 7.5 – Установка болта без зазора

187

7.1.4 Болт затянут, внешняя нагрузка раскрывает стык деталей Примером могут служить болты для крепления крышек резервуаров, нагруженных давлением жидкости или газа (рисунок 7.6). Затяжка болтов должна обеспечить герметичность соединения или нераскрытие стыка под нагрузкой. Задача о распределении нагрузки между элементами такого соединения является статически неопределимой и решается с учетом деформации этих элементов. Обозначим: Рзат – сила затяжки болта; Р = R/z – внешняя нагрузка соединения, приходящаяся на один болт (z – число болтов).

Рисунок 7.6 – Крепление крышки резервуара

После приложения внешней нагрузки Р к затянутому соединению болт дополнительно растянется на некоторую величину Δр, а деформация сжатия деталей уменьшится на ту же величину. Это значит, что только часть внешней нагрузки дополнительно нагружает болт, а другая часть идет на разгрузку стыка. Если обозначим χ – коэффициент внешней нагрузки (учитывает ту долю нагрузки Р, которая приходится на болт), то дополнительная нагрузка болта будет равна χР, а уменьшение затяжки стыка – (1 – χ)Р. Величина коэффициента χ определяется по условию равенства дополнительных деформаций болта и деталей (условие совместности деформаций): Δр = χ Р λБ = (1 – χ)Р λД, где λ Б – податливость болта; λ Д – суммарная податливость соединяемых деталей. 188

Из этого равенства χ = λ Д/( λ Д + λ Б). Далее получим: – приращение нагрузки на болт Рб = χ Р; – расчетную (растягивающую) нагрузку болта Рр = Рзат + χ Р/z ; – расчетную нагрузку с учетом крутящего момента при затяжке Рр = 1,3 Рзат + χ Р/z. Условие прочности соединения σ = 4Рр /(πd12) ≤ [σ].

7.2 Соединения призматическими шпонками Шпоночные и им подобные (зубчатые и профильные) соединения служат для закрепления деталей на осях и валах. Такими деталями являются шкивы, зубчатые колеса, муфты, маховики, кулачки и т. д. Соединения нагружаются в основном вращающим моментом. Шпоночное соединение требует изготовления вала и отверстия в ступице с большой точностью. Во многих случаях посадка ступицы на вал производится с натягом. Момент передается с вала на ступицу боковыми узкими гранями шпонки. При этом на них возникают напряжения смятия σсм, а в продольном сечении шпонки – напряжения среза τ (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7 – Шпоночное соединение

189

Для простоты расчета допускают, что шпонка врезана в вал наполовину своей высоты, напряжения σсм распределяются равномерно по высоте и длине шпонки, а плечо равнодействующей этих напряжений равно d/2. Рассматривая равновесие вала или ступицы при таких допущениях, получим условия прочности в виде: σсм = 4Т/(hlрd) ≤ [σсм], τ = 2Т/(blрd) ≤ [τ ]. У стандартных шпонок размеры b и h подобраны так, что нагрузку соединения ограничивают не напряжения среза, а напряжения смятия. Поэтому при расчетах обычно используют только формулу определения напряжений смятия. Зная допускаемые напряжения и размеры шпонки, которые выбираются в зависимости от диаметра вала d, можно определить расчетную длину шпонки lр.

7.3 Сварные соединения Сварное соединение – неразъемное. Оно образуется путем сваривания материалов деталей в зоне стыка и не требует никаких вспомогательных элементов (болтов, винтов и т. д.). Прочность соединения зависит от неоднородности и непрерывности материала сварного шва и окружающей его зоны. Применяемые в современном машиностроении способы сварки весьма разнообразны. Каждый из них имеет свои конкретные области применения. Из всех способов сварки наиболее широко распространена электрическая. Различают два основных вида электросварки: дуговую и контактную. Электродуговая сварка основана на использовании тепла электрической дуги для расплавления металла. Для защиты расплавленного металла от вредного действия окружающего воздуха на поверхность электрода наносят толстую защитную обмазку, которая выделяет большое количество шлака и газа, образуя изолирующую среду. Этим обеспечивают повышение качества металла сварного шва, механические свойства которого могут резко ухудшиться под влиянием кислорода и азота воздуха.

190

Контактная сварка основана на использовании повышенного омического сопротивления в стыке деталей и осуществляется несколькими способами. Через детали пропускают ток, сила которого достигает нескольких тысяч ампер. Основное количество тепла выделяется в месте стыка, где имеется наибольшее сопротивление; металл в этой зоне разогревается до пластического состояния или даже до поверхностного оплавления. Затем ток выключают, а разогретые детали сдавливают с некоторой силой – происходит сварка. В зависимости от способа сдавливания деталей различают сварку стыковую, точечную, ленточную или роликовую. Все способы контактной сварки высокопроизводительны, их широко применяют в массовом производстве для сварки труб, арматуры, кузовов автомобилей, металлической обшивки железнодорожных вагонов, корпусов самолетов, тонкостенных резервуаров и т. д. Оценивая сварное соединение, необходимо подчеркнуть, что оно является наиболее совершенным из неразъемных соединений, так как лучше других приближает составные детали к цельным. При сварном соединении проще обеспечиваются условия равнопрочности, снижения массы и стоимости изделия. В настоящее время сварку применяют не только как способ соединения деталей, но и как технологический способ изготовления самих деталей. Сварные детали во многих случаях с успехом заменяют литые и кованые. Для изготовления сварных деталей не требуется моделей, форм или штампов. Это значительно снижает их стоимость при единичном и мелкосерийном производстве. Сварка таких изделий, как шестерня или коленчатые валы, позволяет изготовлять их более ответственные части (венец, шейка) из высокопрочных сталей, а менее ответственные (диск и ступица шестерни, щека коленчатого вала) – из дешевых материалов. По сравнению с литыми деталями сварные допускают меньшую толщину стенок, что позволяет снизить массу деталей и сократить расход металла.

191

7.3.1 Соединение встык Это соединение во многих случаях является наиболее простым и надежным. В зависимости от толщины соединяемых элементов его выполняют по одному из вариантов, изображенных на рисунке 7.8.

Рисунок 7.8 – Соединение встык

При малых толщинах обработка кромок не обязательна, а при средних и больших она необходима по условиям образования шва по всей толщине деталей. Автоматическая сварка под флюсом позволяет увеличить предельные толщины листов, свариваемых без обработки кромок. Зоной термического влияния называют прилегающий к шву участок детали, в котором в результате нагревания при сварке изменяются механические свойства металла. Понижение механических свойств в зоне термического влияния особенно значительно при сварке термически обработанных, а также наклепанных сталей. Для таких соединений рекомендуют термообработку и наклеп после сварки. Практикой установлено, что при качественном выполнении сварки разрушение соединения стальных деталей происходит преимуще192

ственно в зоне термического влияния. Поэтому расчет прочности сварного соединения встык принято выполнять по размерам сечения детали в этой зоне. Возможное снижение прочности деталей, связанное со сваркой, учитывают при назначении допускаемых напряжений. Например, при расчете полосы, сваренной встык (см. рисунок 7.8) на растяжение: σ = P/А = P/(bs) ≤ [σ′ ], где b и s – ширина и толщина полосы; [σ′ ] – допускаемое напряжение.

7.3.2 Соединение внахлестку Соединения внахлестку выполняют с помощью угловых швов (рисунок 7.9). В зависимости от формы поперечного сечения различают следующие виды угловых швов: нормальные 1, вогнутые 2, выпуклые 3. На практике наиболее распространены нормальные швы.

Рисунок 7.9 – Угловой шов

Основные геометрические характеристики углового шва – катет k и высота h; для нормального шва h = k sin 45° ≈ 0,7k. По условиям технологии минимальную величину k принимают равной 3 мм, если толщина листа s ≥ 3 мм. В большинстве случаев k = s. В зависимости от расположения различают лобовые, фланговые и косые швы. Лобовой шов расположен перпендикулярно, а фланговый (рисунок 7.10) – параллельно линии действия нагружающей силы.

193

Рисунок 7.10 – Фланговые швы

Основными напряжениями флангового шва являются касательные напряжения τ в сечении m–m. Это сечение проходит через биссектрису прямого угла и является наименьшим. Условие прочности записывают в виде: τ = P/(2⋅l⋅0,7k) ≤ [τ], где 0,7 k – толщина шва в сечении по биссектрисе m–m; [τ] – допускаемое касательное напряжение.

194

8 Муфты 8.1 Общие сведения, назначение и классификация Муфтами в технике называют устройства, которые служат для соединения концов валов, стержней, труб, электрических проводов и т. д. В настоящей главе рассматриваются только муфты для соединения валов. Потребность в соединении валов связана с тем, что большинство машин компонуют из ряда отдельных частей (узлов) с входными и выходными валами. Такими частями являются, например, двигатель, редуктор и рабочая машина. Непосредственная кинематическая и силовая связь отдельных частей машины выполняется с помощью муфт (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – Схема привода

Соединение валов является общим, но не единственным назначением муфт. Так, например, муфты используют для включения и выключения исполнительного механизма при непрерывно работающем двигателе (управляемые муфты); для предохранения машины от перегрузки (предохранительные муфты); для компенсации вредного влияния несоосности валов, связанной с неточностью монтажа (компенсирующие муфты); для уменьшения динамических нагрузок (упругие муфты) и т. д.

195

Рисунок 8.2 – Классификация муфт

В современном машиностроении применяют большое количество муфт, различающихся по принципу действия и управления, назначению и конструкции. Краткая классификация муфт по этим признакам представлена в виде схемы на рисунке 8.2. В электрических и гидравлических муфтах, указанных на схеме, используют принципы сцепления за счет электромагнитных и гидродинамических сил. Эти муфты изучают в специальных курсах. Здесь рассматриваются наиболее распространенные и типичные конструкции. Широко применяемые муфты стандартизованы. Основной паспортной характеристикой каждой муфты является величина крутящего момента, на передачу которого она рассчитана.

8.2 Муфты глухие Глухие муфты образуют жесткое и неподвижное соединение валов (глухое соединение).

8.2.1 Муфта втулочная Втулочная муфта является простейшим примером глухих муфт. Скрепление втулки с валами выполняют с помощью штифтов (рисунок 8.3), шпонок (рисунок 8.4) или шлиц. Втулочные муфты нашли широкое применение в легких машинах при диаметрах валов не более 60…70 мм. Они отличаются простотой конструкции и малыми габаритами.

Рисунок 8.3 – Глухая муфта со штифтом

Рисунок 8.4 – Глухая муфта со шпонкой

Применение втулочных муфт в тяжелых машинах затруднено тем, что при монтаже и демонтаже требуется смещать валы в осевом направлении.

197

Прочность муфты определяется прочностью штифтового, шпоночного или шлицевого соединения, а также прочностью втулки.

8.2.2 Муфта фланцевая На рисунке 8.5 сверху и снизу от осевой линии изображены различные варианты конструкции фланцевой муфты: полумуфты 1, 2 соединяют болтами, поставленными с зазором (I вариант) или без зазора (II вариант). В первом случае крутящий момент передается за счет сил трения, возникающих в стыке полумуфт от затяжки болтов, во втором случае – непосредственно болтами, которые работают на срез и смятие.

Рисунок 8.5 – Фланцевая муфта

Болты, поставленные без зазора, могут одновременно выполнять функцию центровки валов. При постановке болтов с зазором центровка производится выступом 3, который воспринимает также все поперечные (перерезывающие) нагрузки. Центрирующий выступ затрудняет монтаж и демонтаж соединения, так как при этом необходимо осевое смещение валов. В целях соблюдения правил техники безопасности выступающие части болтов закрывают бортиками 4 (I вариант). В тех случаях, когда муфта имеет общее ограждение, бортики не делают (II вариант).

198

Расчет на прочность выполняют для шпоночных или шлицевых соединений и болтов. Установка болтов без зазора позволяет получить муфты меньших габаритов и поэтому более распространена. Фланцевые муфты широко используются в машиностроении. Их применяют для соединения валов диаметром до 200 мм и более. Достоинством таких муфт является простота конструкции и сравнительно небольшие габариты.

8.3 Муфты компенсирующие При монтаже может возникать радиальное смещение Δr (рисунок 8.6) или эксцентриситет, вызванный неточностью монтажа или биением конца вала (неточность обработки), угловое смещение Δα или перекос, обусловленный теми же причинами, что и Δ r.

Рисунок 8.6 – Смещение валов

На практике чаще всего встречается комбинация указанных отклонении, которую в дальнейшем будем называть общим термином «несоосность валов». При соединении глухими муфтами оси несоосных валов в месте установки муфты приводят к одной общей оси за счет деформации валов и опор. При этом опоры и валы дополнительно нагружают. Чем больше несоосность, тем больше дополнительная вредная нагрузка. Поэтому при соединении глухими муфтами требуется высокая точность расположения валов. Для понижения этих требований и уменьшения вредных нагрузок на валы и опоры применяют компенсирующие муфты. Компенсация

199

вредного влияния несоосности валов достигается за счет подвижности практически жестких деталей – компенсирующие жесткие муфты; за счет деформации упругих деталей – упругие муфты. Наибольшее распространение из группы компенсирующих жестких муфт получили кулачково-дисковая, со скользящим вкладышем и зубчатая.

8.3.1 Муфта кулачково-дисковая Кулачково-дисковая муфта (рисунок 8.7) состоит из двух полумуфт 1 и 2 и промежуточного диска 3. На внутреннем торце каждой полумуфты образовано по одному диаметрально расположенному пазу. На обоих торцах диска выполнено по одному выступу, которые расположены по взаимно перпендикулярным направлениям. У собранной муфты выступы диска располагаются в пазах полумуфт. Таким образом, диск соединяет полумуфты.

Рисунок 8.7 – Кулачково-дисковая муфта

Перпендикулярное расположение пазов позволяет муфте компенсировать эксцентриситет и перекос валов. При этом выступы скользят в пазах, а центр диска описывает окружность радиусом, равным эксцентриситету Δr. Зазоры δ между диском и полумуфтами позволяют компенсировать также и продольные смещения валов. Вследствие того что перекос валов вызывает неблагоприятное распределение давления в пазах, кулачково-дисковую муфту рекомендуют применять в основном для компенсации эксцентриситета Δr до 0,04d; Δα

200

до 0° 30'. Скольжение выступов в пазах сопровождается их износом. Интенсивность износа возрастает с увеличением несоосности и частоты вращения муфты. Для его уменьшения поверхности трения муфты периодически смазывают (отверстие 4 на рисунке 8.7) и не допускают на них больших напряжений смятия (давлений). Последнее является основным условием расчета всех жестких муфт со скользящими деталями.

8.3.2 Муфта зубчатая Зубчатая муфта состоит из полумуфт 1 и 2 с наружными зубьями и разъемной обоймы 3 с двумя рядами внутренних зубьев (рисунок 8.8,а). Наиболее распространен эвольвентный профиль зубьев α = 20°, что позволяет нарезать их нормальным зуборезным инструментом. Муфта компенсирует все виды смещений валов (см. рисунок 8.8,б,в). С этой целью выполняют торцевые зазоры с и увеличенные зазоры в зацеплении (см. рисунок 8.8,б), а зубчатые венцы полумуфт обрабатывают по сферам с радиусами r, центры которых располагают на осях валов. Допускаемые зубчатой муфтой смещения валов (радиальные, угловые или их комбинация) определяют из условия, чтобы углы между осью обоймы и осью одного или другого вала были не больше 0° 30'.

201

Рисунок 8.8 – Зубчатая муфта

Компенсация несоосности валов при работе муфты сопровождается непрерывным скольжением в местах соприкосновения зубьев и их износом. Практикой эксплуатации зубчатых муфт установлено, что износ является основным критерием их работоспособности. Для его уменьшения в обойму заливают жидкую смазку (до уровня уплотнения). Зубчатые муфты обладают компактностью и хорошими компенсирующими свойствами. Их широко применяют в машиностроении, особенно для передачи больших крутящих моментов.

8.4 Муфты упругие 8.4.1 Назначение упругих муфт и их динамические свойства Конструкция одной из упругих муфт изображена на рисунке 8.9. Эту конструкцию можно рассматривать как принципиальную схему, общую для всех упругих муфт. Здесь полумуфты 1 и 2 связаны с упругим элементом 3 (например, склеены или привулканизированы).

202

Рисунок 8.9 – Упругая муфта

Упругая связь полумуфт позволяет компенсировать несоосность валов; изменить жесткость системы в целях устранения резонансных колебаний при периодически изменяющейся нагрузке; снизить величину кратковременных перегрузок узлов машины. Одной из основных характеристик упругой муфты является ее жесткость: Cφ = dT / dφ, где Т – крутящий момент, передаваемый муфтой; φ – угол закручивания муфты моментом Т (угол относительного поворота полумуфт в плоскости вращения валов). В зависимости от характеристики Сφ различают упругие муфты постоянной и переменной жесткости. Для муфт постоянной жесткости Сφ = Т/φ = const. Переменной жесткостью обладают муфты с неметаллическими упругими элементами, материалы которых (резина, кожа и т. д.) не подчиняются закону Гука, а также муфты с металлическими упругими элементами, условия деформирования которых ограничиваются конструкцией. В машиностроении применяют большое количество разнообразных по конструкции упругих муфт. По материалу упругих элементов эти муфты делят на две группы: – муфты с металлическими упругими элементами; – муфты с неметаллическими упругими элементами.

8.4.2 Металлические упругие элементы муфт Основные типы металлических (стальных) упругих элементов муфт изображены на рисунке 8.10: а – витые цилиндрические пружины; б – стержни, пластины или пакеты пластин, расположенные по образующей или по радиусу; в – пакеты разрезных гильзовых пружин; г – змеевидные пластинчатые пружины. Эти элементы

203

работают на кручение (см. рисунок 8.10,а) или на изгиб (см. рисунок 8.10, б,в,г).

Рисунок 8.10 – Металлические упругие элементы муфт

По сравнению с неметаллическими металлические упругие элементы более долговечны и позволяют изготовлять малогабаритные муфты с большой нагрузочной способностью. Поэтому их применяют преимущественно для передачи больших крутящих моментов. Пакетные упругие элементы вследствие трения между пластинами обладают высокой демпфирующей способностью. Муфты с металлическими упругими элементами могут быть выполнены с постоянной или переменной жесткостью в зависимости от условий деформации элемента.

8.4.3 Муфта с цилиндрическими пружинами Конструкция одной из муфт с цилиндрическими пружинами показана на рисунке 8.11. Муфта состоит из обода 1 с ребром 2 и ступицы 3 с диском 4. Ребро обода размещается в кольцевой канавке диска так, что возможен относительный поворот этих двух деталей. Ребро и диск имеют одинаковые фасонные вырезы, в которые закладывают пружины 5 с

204

ограничителями 6. С торцев муфту закрывают дисками 7, которые прикрепляют к ступице или ободу для предохранения пружины и ограничителей от выпадения и загрязнения.

Рисунок 8.11 – Муфта с цилиндрическими пружинами

В разгруженной муфте (см. рисунок 8.11,а) каждый из ограничителей соприкасается своей цилиндрической поверхностью и с диском, и с ребром, а пружины предварительно сжаты. Под нагрузкой (см. рисунок 8.11,б) ребро перемещается в пазу между дисками, а пружины дополнительно сжимаются. При этом один из ограничителей соприкасается только с ребром, а другой – только с диском. Такие муфты целесообразно применять как упругие звенья в системе соединения валов с зубчатыми колесами или цепными звездочками. В этом случае обод является зубчатым венцом, а муфта как бы встраивается в конструкцию зубчатого колеса. Для уменьшения износа деталей необходимо предусматривать смазку трущихся поверхностей муфты.

8.4.4 Муфта зубчато-пружинная, или муфта со змеевидными пружинами Полумуфты 1 и 2 (рисунок 8.12) имеют зубья 3 специального профиля, между которыми размещается змеевидная пружина 4. Кожух 5

205

удерживает пружину в рабочем положении, защищает муфту от пыли и служит резервуаром для смазки.

Рисунок 8.12 – Муфта со змеевидной пружиной

На практике используют две формы сечения зуба по образующему цилиндру (рисунок 8.13,а,б). Первая форма зуба применяется в муфтах с постоянной жесткостью. Здесь расстояние 2а между точками упора зубьев в пружину постоянно и не зависит от нагрузки муфты.

206

Рисунок 8.13 – Форма сечения зуба

Вторая форма зуба (круговая) используется в муфтах с переменной жесткостью. В этих муфтах при увеличении нагрузки пружина, изгибаясь, вступает в контакт с зубом на все возрастающей длине. При этом уменьшается длина активной части пружины 2а, а ее жесткость увеличивается (см. рисунок 8.13,б). Основная область применения зубчато-пружинных муфт – тяжелое машиностроение (прокатные станы, турбины, поршневые двигатели и т. п.). Число зубьев обычно принимают в пределах 50…100. Муфты могут компенсировать несоосность валов.

8.4.5 Неметаллические упругие элементы муфт Основным метериалом неметаллических упругих элементов в настоящее время является резина. Она обладает следующими положительными качествами: – высокой эластичностью. В пределах упругости резина допускает относительные деформации ε до 0,7 ≈ 0,8, а сталь только ε до 0,001 ≈ ≈ 0,002. При таких деформациях единица массы резины может аккумулировать большое количество энергии (в 10 раз больше, чем сталь); – высокой демпфирующей способностью вследствие внутреннего трения. Относительное рассеяние энергии в муфтах с резиновыми элементами достигает 0,3…0,5; – электроизоляционной способностью. Недостатками резиновых элементов являются: – меньшая долговечность, чем стальных; вследствие структурных изменений, ускоряемых внешними воздействиями и нагреванием при переменных деформациях, резина постепенно теряет свою прочность и упругие свойства; – меньшая прочность, которая приводит к увеличению габаритов муфт; для передачи больших крутящих моментов такие муфты становятся нерациональными.

207

Муфты с резиновыми упругими элементами широко распространены во всех областях машиностроения для передачи малых и средних крутящих моментов. Основные типы резиновых упругих элементов муфт и схемы их нагружения изображены на рисунке 8.14,а–и.

Рисунок 8.14 – Резиновые упругие элементы

При выборе типа упругого элемента учитывают следующее: а) упругие элементы с равномерным напряженным состоянием по объему обладают большей энергоемкостью; б) кручение и сдвиг дают большую энергоемкость, чем сжатие; в) выгодно, чтобы упругий элемент занимал большую долю объема муфты. Этим условиям в большей степени удовлетворяют типы упругих элементов, показанные на рисунке 8.14,ж–и.

208

8.4.6 Муфта с резиновой звездочкой Муфта (рисунок 8.15) состоит из двух полумуфт с торцевыми выступами и резиновой звездочки, зубья которой расположены между выступами. Зубья звездочки работают на сжатие. При передаче момента в каждую сторону работает половина зубьев. Муфта стандартизована и широко применяется для соединения быстроходных валов.

Рисунок 8.15 – Муфта с резиновой звездочкой

8.4.7 Муфта упругая втулочно-пальцевая (МУВП) Благодаря легкости изготовления и замены резиновых элементов эта муфта (рисунок 8.16) получила распространение, особенно в приводах от электродвигателей с малыми и средними крутящими моментами. Муфты нормализованы для диаметров валов до 150 мм и соответственно крутящих моментов до 15000 Нм.

209

Рисунок 8.16 – Муфта упругая втулочно-пальцевая

Упругими элементами здесь служат гофрированные резиновые втулки (I вариант) или кольца трапецеидального сечения (II вариант). Вследствие сравнительно небольшой толщины втулок муфты обладают малой податливостью и применяются в основном для компенсации несоосности вала в небольших пределах.

8.4.8 Муфта с упругой оболочкой Упругий элемент муфты (рисунок 8.17), напоминающий автомобильную шину, работает на кручение. Наличие нескольких слоев корда придает муфте большую энергоемкость, высокие упругие и компенсирующие свойства (Δr ≈ 2 …6 мм, Δα ≈ 2…6°, угол закручивания до 5…30°).

Рисунок 8.17 – Муфта с упругой оболочкой

210

Муфта сравнительно новая, она получила широкое распространение и в настоящее время стандартизована.

8.5 Муфты управляемые или сцепные Управляемые муфты позволяют соединять или разъединять валы с помощью механизма управления. По принципу работы все эти муфты можно разделить на две группы: муфты, основанные на зацеплении (кулачковые и зубчатые); муфты, основанные на трении (фрикционные).

8.5.1 Муфты кулачковые На торцах полумуфт 1 и 2 (рисунок 8.18) имеются выступы (кулачки) 3. В рабочем положении выступы одной полумуфты входят во впадины другой. Для включения и выключения муфты одну из полумуфт 2 устанавливают на валу подвижно в осевом направлении (чаще всего скользящая посадка при шпоночном или шлицевом соединении).

Рисунок 8.18 – Кулачковая муфта

Подвижную полумуфту перемещают с помощью специального устройства – отводки. Вилку отводки располагают в пазу 4. На чертеже пунктиром показано выключенное положение полумуфты 2. Кольцо 5 служит для центровки валов, так как их перекос резко снижает работоспособность кулачковых муфт. Чаще всего кулачковые и

211

зубчатые сцепные муфты располагают на одном валу и используют для переключения скоростей. Распространенные формы кулачков изображены на рисунке 8.19 (сечение цилиндрической поверхностью).

Рисунок 8.19 – Профиль кулачков

8.5.2 Муфты зубчатые сцепные По своему устройству зубчатая сцепная муфта (рисунок 8.20) подобна зубчатой компенсирующей муфте (см. рисунок 8.8) с той разницей, что здесь обойма 1 изготовляется подвижной и управляется с помощью отводки. На рисунке 8.20 обойма расположена в положении «включено». Диски 2 и 3 являются ограничителями, а втулка 4 центрирует валы и одновременно выполняет функцию подшипника при их относительном вращении (когда муфта выключена).

Рисунок 8.20 – Муфта зубчатая сцепная

Применяют также зубчатые муфты без обоймы 1, у которых одна полумуфта имеет внутренние, а другая внешние зубья.

212

Для устранения ударов при включении в зубчатых муфтах широко применяют синхронизаторы (например, в коробках скоростей автомобилей). Они выравнивают скорости валов перед их соединением.

8.5.3 Муфты фрикционные При включении фрикционных муфт крутящий момент возрастает постепенно по мере увеличения силы нажатия на поверхности трения. Это позволяет соединять валы под нагрузкой и с большой разностью начальных угловых скоростей. В процессе включения муфта пробуксовывает, а разгон ведомого вала происходит плавно, без удара. Будучи отрегулированной на передачу предельного крутящего момента, безопасного для прочности машины, фрикционная муфта выполняет одновременно функции предохранительного устройства. Все фрикционные муфты в зависимости от формы их рабочей поверхности можно разделить на три группы: муфты дисковые (плоская поверхность); муфты конические (коническая поверхность); муфты колодочные, ленточные и др. (цилиндрическая поверхность). Муфты фрикционные так же, как и кулачковые, не допускают несоосности. Центровка полумуфт достигается расположением их на одном валу или с помощью специальных центрирующих колец. В целях простоты изображения на рисунках 8.21, 8.22 и 8.23 приводятся схемы фрикционных муфт без указания способа центровки. 8.5.3.1 Муфты дисковые

Схема простейшей дисковой муфты с одной парой поверхностей трения изображена на рисунке 8.21. Здесь полумуфта 1 укреплена на валу неподвижно, а полумуфта 2 подвижна в осевом направлении. Для соединения валов к подвижной полумуфте прикладывают силу Q.

213

Рисунок 8.21 – Муфта фрикционная дисковая

Для уменьшения силы Q и габаритов муфты применяют конструкции не с одной, а со многими парами поверхностей трения – многодисковые муфты (см. рисунок 8.22). В этих муфтах имеются две группы дисков: наружные 3 и внутренние 2 (на рисунке 8.22 изображены четыре наружных и пять внутренних дисков). Наружные диски соединены с полумуфтой 1, а внутренние – с полумуфтой 7 с помощью подвижного шлицевого соединения. Правый крайний внутренний диск опирается на регулировочные гайки 4; на левый крайний диск действуют силы нажатия от механизма управления.

Рисунок 8.22 – Многодисковая фрикционная муфта

8.5.3.2 Муфты конические

Схема простейшей конической муфты представлена на рисунке 8.23. От действия силы Q на конической поверхности соприкосновения полумуфт возникают удельное давление р и удельные силы трения pf. Силы трения, направленные по касательной к окружности конуса, используются для передачи крутящего момента.

214

Рисунок 8.23 – Коническая фрикционная муфта

Конические муфты по сравнению с многодисковыми имеют большие габариты. Они сложнее в изготовлении, и при их применении необходима повышенная точность центровки валов. По этим причинам конические муфты применяют реже, чем дисковые.

8.5.3.3 Муфты цилиндрические шинопневматические

Между полумуфтами 1 и 2 (рисунок 8.24) расположена резиновая шина 4 с воздушной камерой. Шина прикрепляется к полумуфте 1, а ее внутренняя поверхность покрывается набором колодок 3 из антифрикционного материала. С помощью штуцера 5 камера шины присоединяется к воздушной магистрали управления.

215

Рисунок 8.24 – Шинопневматическая муфта

При подаче воздуха в камеру колодки прижимаются к полумуфте 2 с силой, необходимой для передачи крутящего момента. Шинопневматическая муфта относится к сравнительно новым конструкциям. В последнее время она получила широкое распространение, в особенности в тяжелом машиностроении (буровые лебедки, экскаваторы и пр.). Основными преимуществами этих муфт являются сочетание свойств сцепной, предохранительной и упругокомпенсирующей муфт; простота управления и широкие возможности регулирования; самокомпенсация износа колодок. Недостатки муфт – старение резины в особенности при попадании масла, кислот, щелочи и т. п.; затруднения с подводом воздуха; относительно высокая стоимость шины.

8.6 Муфты автоматические или самоуправляемые Автоматические муфты предназначаются для автоматического разъединения валов в тех случаях, когда параметры работы машины становятся недопустимыми по тем или иным показателям. Классификация автоматических муфт представлена схемой (см. рисунок 8.2).

216

Требования к строгой соосности полумуфт (валов) в полной мере относятся ко всем самоуправляемым муфтам.

8.6.1 Муфты предохранительные Предохранительные муфты служат для защиты машины от перегрузки. Любая фрикционная муфта, отрегулированная на передачу предельного момента, выполняет функции предохранительной. Специальные предохранительные фрикционные муфты не имеют механизма управления, а силы нажатия в них обычно обеспечивают постоянно действующими пружинами. Другим примером предохранительных муфт является муфта со специальным разрушающимся элементом. Схема одного из многочисленных вариантов конструкции таких муфт представлена на рисунке 8.25.

Рисунок 8.25 – Муфта с разрушающимся элементом

Крутящий момент между полумуфтами 1 и 4 передается через штифт 3, который срезается при перегрузке. Для восстановления работы муфты штифт заменяют. Закаленные втулки 2 предотвращают смятие более слабого материала полумуфт штифтом и тем самым приближают действительные условия среза штифта к расчетным. На рисунке 8.26 изображена кулачковая предохранительная муфта. Здесь полумуфты 1 и 3 зацепляются кулачками 2, имеющими трапецеидальный профиль с углом α.

217

Рисунок 8.26 – Кулачковая предохранительная муфта

8.6.2 Муфты центробежные Центробежные муфты автоматически соединяют валы только тогда, когда угловая скорость превысит некоторую заданную величину. Таким образом, эти муфты являются самоуправляемыми по угловой скорости. Центробежные муфты используют для автоматического включения и выключения исполнительного механизма с помощью регулировки угловой скорости двигателя; для разгона машин с большими маховыми массами при двигателе с малым пусковым моментом; для повышения плавности пуска и т. п. Схема одной из центробежных муфт дана на рисунке 8.27.

Рисунок 8.27 – Центробежная муфта

Центробежная сила С прижимает колодку 3 к барабану полумуфты 2. Этому препятствует сила Р, возникающая от прогиба пружины 4. Величину силы Р регулируют винтом 5.

8.6.3 Муфты свободного хода

218

Муфты свободного хода передают крутящий момент только в одном заданном направлении. Их применяют в станках, автомобилях, мотоциклах, велосипедах и т. д. В велосипедах, например, они передают крутящий момент от педалей на колесо и в то же время позволяют колесу свободно катиться при неподвижных педалях. Простейшим примером муфт свободного хода является устройство с храповиком. Из-за шума на холостом ходу и резкого ударного включения муфты с храповиком применяют сравнительно мало и только при низких скоростях. Бесшумную работу обеспечивают фрикционные роликовые или шариковые муфты. Схема одной из конструкций таких муфт, встроенных в соединение шестерни с валом, представлена на рисунке 8.28.

Рисунок 8.28 – Фрикционная роликовая муфта

Если шестерня 1 вращается по часовой стрелке, то под действием сил трения ролик 5 заклинивается в узкой части паза. Образуется жесткое соединение шестерни с валом через ролик. При вращении шестерни в противоположном направлении ролик выходит в широкую часть паза, и шестерня оказывается разъединенной с валом. В этом направлении она может вращаться свободно. Толкатель 4, имеющий слабую пружину 3, выполняет вспомогательную роль. Он удерживает ролик в постоянном соприкосновении с обоймой.

219

9 Основные нормы взаимозаменяемости и проектирования Точность – один из важнейших показателей качества деталей машин, существенно влияющий на все критерии работоспособности и надежности механизмов, а следовательно, и на выходные показатели машин. Детали машин не могут быть изготовлены абсолютно точно и всегда имеют некоторые отклонения от номинальных размеров. Вместе с тем для эксплуатации, изготовления и конструирования машин огромное значение имеет взаимозаменяемость деталей. Взаимозаменяемость – это способность независимо изготовленных деталей и узлов без дополнительной обработки занимать свои места в машине и обеспечивать доброкачественную работу. Взаимозаменяемость позволяет производить независимую обработку деталей высокопроизводительными методами (так как исключается необходимость пригонки одной сопрягаемой детали к другой), эффективное применение поточной и конвейерной сборки, обработку стандартным инструментом, высокопроизводительный простой и надежный контроль изделий с помощью калибров, быструю замену вышедших из строя деталей машин заранее изготовленными запасными, ускорение проектирования и т. д. Взаимозаменяемость (полная или частичная) обеспечивается стандартной единой системой допусков и посадок (ЕСДП). ЕСДП разработана на базе международной системы допусков и посадок ИСО, которой соответствуют основные закономерности построения системы, числовые значения допусков и предельных отклонений, условные обозначения.

9.1 Основные термины и определения по допускам и посадкам Комплекс терминов и определений, общепринятых для всех видов соединений, в соответствии с ГОСТ 25346–82: − размер – числовое значение линейной величины (диаметра, длины и т. д.) в выбранных единицах измерения;

220

− действительный размер – размер, установленный измерением с допустимой погрешностью; − предельные размеры – два допустимых размера, между которыми должен находиться или которым может быть равен действительный размер; − наибольший предельный размер – больший из двух предельных размеров (рисунок 9.1). Наименьший предельный размер – меньший из двух предельных размеров (см. рисунок 9.1);

Рисунок 9.1 – Основные размеры и предельные отклонения

− номинальный размер – размер, относительно которого определяются предельные размеры и который служит также началом отсчета отклонений (см. рисунок 9.1). Номинальный размер посадки – номинальный размер, общий для отверстия и вала, составляющих соединение (см. рисунок 9.1); − отклонение – алгебраическая разность между размером (действительным, предельным и т. д.) и соответствующим номинальным размером; − действительное отклонение – алгебраическая разность между действительным и номинальным размерами; − предельное отклонение – алгебраическая разность между предельным и номинальным размерами. Различают верхнее и нижнее отклонения; − верхнее отклонение – алгебраическая разность между наибольшим предельным и номинальным размерами (см. рисунок 9.1);

221

− нижнее отклонение – алгебраическая разность между наименьшим предельным и номинальным размерами (см. рисунок 9.1); − основное отклонение – одно из двух отклонений (верхнее или нижнее), используемое для определения положения поля допуска относительно нулевой линии. Обычно это ближайшее к нулевой линии отклонение; − нулевая линия – линия, соответствующая номинальному размеру, от которой откладываются отклонения размеров при графическом изображении допусков и посадок. Если нулевая линия расположена горизонтально, то положительные отклонения откладываются вверх от нее, а отрицательные – вниз (см. рисунок 9.1); − допуск – разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами или абсолютная величина алгебраической разности между верхним и нижним отклонениями (см. рисунок 9.1); − поле допуска – поле, ограниченное верхним и нижним отклонениями. Поле допуска определяется числовым значением допуска и его положением относительно номинального размера. При графическом изображении поле допуска заключено между двумя линиями, соответствующими верхнему и нижнему отклонениям относительно нулевой линии.

Рисунок 9.2 – Расположение полей допусков посадок: S – зазор; N – натяг

Поле допуска посадки – в графическом изображении посадок это поле, заключенное между двумя линиями, соответствующими наибольшему и наименьшему зазорам или натягам посадки (рисунок 9.2).

222

Квалитет (степень точности) – ступень градации значений допусков системы. Каждый квалитет содержит ряд допусков, которые в системе допусков и посадок рассматриваются как соответствующие приблизительно одинаковой точности для всех номинальных размеров. Вал – термин, применяемый для обозначения наружных (охватываемых) элементов деталей. Основной вал – вал, верхнее отклонение которого равно нулю. Отверстие – термин, применяемый для обозначения внутренних (охватывающих) элементов деталей. Основное отверстие – отверстие, нижнее отклонение которого равно нулю. Зазор – разность размеров отверстия и вала, если размер отверстия больше размера вала (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3 – Схема зазора и натяга

Наименьший и наибольший зазоры – два предельных значения, между которыми должен находиться зазор (см. рисунок 9.2). Действительный зазор – зазор, определяемый как разность действительных размеров отверстия и вала. Натяг – разность размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия (см. рисунок 9.3). Наименьший и наибольший натяг – два предельных значения, между которыми должен находиться натяг (см. рисунок 9.2). Действительный натяг – натяг, определяемый как разность действительных размеров вала и отверстия до сборки деталей. Посадка – характер соединения деталей, определяемый величиной получающихся в нем зазоров или натягов.

223

Посадка с зазором – посадка, при которой обеспечивается зазор в соединении (поле допуска отверстия расположено над полем допуска вала). К посадкам с зазором относятся также посадки, в которых нижняя граница поля допуска отверстия совпадает с верхней границей поля допуска вала (рисунки 9.2 и 9.4).

Рисунок 9.4 – Посадка с зазором

Посадка с натягом – посадка, при которой обеспечивается натяг в соединении (поле допуска отверстия расположено под полем допуска вала – рисунки 9.2 и 9.5).

Рисунок 9.5 – Посадка с натягом

Переходная посадка – посадка, при которой возможно получение как зазора, так и натяга (поля допусков отверстия и вала перекрываются частично или полностью – рисунки 9.2 и 9.6).

224

Рисунок 9.6 – Переходные посадки

Посадки в системе отверстия – посадки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных валов с основным отверстием (рисунок 9.7,а).

Рисунок 9.7 – Посадки в системе отверстия и вала

Посадки в системе вала – посадки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных отверстий с основным валом (см. рисунок 9.7,б). Гладкое цилиндрическое соединение – соединение, в котором поверхности отверстия и вала круглые цилиндрические.

9.2 Условные обозначения В системе применяются следующие условные обозначения отклонений (см. рисунок 9.1): верхнее отклонение отверстия ES; верхнее отклонение вала es; нижнее отклонение отверстия EI; нижнее отклонение вала ei. Условное обозначение основных отклонений состоит из одной или двух букв латинского алфавита. Прописными буквами обозначе-

225

ны основные отклонения отверстий, а строчными – валов. Набор входящих в систему основных отклонений с их условными обозначениями показан на рисунке 9.8.

Рисунок 9.8 – Основные отклонения (положения полей допусков) для данного интервала диаметров

226

В обозначениях полей допусков допуск определенного квалитета обозначается его номером. Условное обозначение поля допуска состоит из обозначений основного отклонения и квалитета (допуска). Примеры условных обозначений полей допусков: валов – h6, dll; отверстий – Н6, D11. Условное обозначение посадки состоит из обозначений полей допусков отверстия и вала, которые должны записываться в виде дроби с горизонтальной или косой чертой или разделяться тире. Примеры: H7/g6; H7–g6.

9.3 Интервалы номинальных размеров Числовые значения допусков и основных отклонений в системе определены в зависимости от их номинальных размеров, для чего весь диапазон размеров до 10 000 мм разделен на интервалы. В пределах каждого интервала основные отклонения и допуски неизменны.

227

Список литературы 1 Техническая механика и детали машин и приборов : учебник для техникумов / М. Э. Народецкая, Б. А. Торбан, А. И. Аркуша. – М. : Машиностроение, 1982. – 456 с. 2 Решетов, Д. Н. Детали машин : учебник для студентов машиностроительных и механических специальностей вузов / Д. Н. Решетов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М. : Машиностроение, 1989. – 496 с. 3 Иосилевич, Г. Б. Детали машин : учебник для студентов машиностроительных специальностей вузов / Г. Б. Иосилевич. – М. : Машиностроение, 1988. – 368 с. 4 Дунаев, П. Ф. Конструирование узлов и деталей машин : учеб. пособие для технических специальностей вузов / П. Ф. Дунаев, О. П. Леликов. – 6-е изд., испр. – М. : Высш. шк., 2000. – 447 с. 5 Иванов, М. Н. Детали машин : учебник для вузов / М. Н. Иванов. – 3-е изд., доп. и перераб. – М. : Высш. шк., 1976. – 399 с. 6 Конструирование деталей и узлов технологических и транспортных машин : учеб. пособие для вузов / В. Ф. Пантелеев. С. А. Кулишенко, В. В. Сенькин, П. А. Соколов, Е. А. Чуфистов; под общ. ред. В. Ф. Пантелеева. – Пенза : Информ.-изд. центр ПГУ, 2003. – 204 с. 7 Сенькин, В. В. Расчет деталей машин на ЭВМ : учеб. пособие / В. В. Сенькин, Е. А. Чуфистов; под ред. В. Ф. Пантелеева. – Пенза : Пенз. политехн. ин-т, 1986. – 52 с.

228