Термодинамика и статистическая физика Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения
Минис...
198 downloads
350 Views
369KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Термодинамика и статистическая физика Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Шелкунова З.В., Шелкунов Н.Г., Дандарон Г.-Н.Б.
Методическое указания и контрольные задания для студентов заочного обучения инженерно-технических и технологических специальностей. Содержат разделы программ ”Статистическая физика”, ”Термодинамика”, примеры решения типовых задач и варианты контрольных заданий. Ключевые слова: Внутренняя энергия, теплота, работа; изопроцессы, энтропия: функции распределения: Максвелла, Больцмана, Бозе – Эйнштейна; Ферми – Дирака; Энергия Ферми, теплоемкость.
ФИЗИКА (Термодинамика и статистическая физика) Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения
Составитель: Шелкунов Н.Г. Шелкунова З.В. Дандарон Г.-Н.Б.
Редактор Т.Ю.Артюнина Подготовлено в печать 1.06. 2004 г. Формат 60×80 1/16 Усл.п.л. 3,25; уч.-изд.л. 3,0; Тираж ____ экз. Заказ № 34. ___________________________________________________ РИО ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 40а Отпечатано на ротапринте ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 42.
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Тема 1 Динамические и статистические закономерности в физике. Термодинамический и статистический методы. Элементы молекулярно-кинетической теории. Макроскопическое состояние. Физические величины и состояния физических систем. Макроскопические параметры как средние значения. Тепловое равновесие. Модель идеального газа. Уравнение состояния идеального газа. Понятие о температуре. Тема 2 Явления переноса. Диффузия. Теплопроводность. Коэффициент диффузии. Коэффициент теплопроводности. Температуропроводность. Диффузия в газах, жидкостях и твердых телах. Вязкость. Коэффициент вязкости газов и жидкостей. Тема 3 Элементы термодинамики. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Интенсивные и экстенсивные параметры. Тема 4 Обратимые и необратимые процессы. Энтропия. Второе начало термодинамики. Термодинамические потенциалы и условия равновесия. Химический потенциал. Условия химического равновесия. Цикл Карно. Тема 5 Функции распределения. Микроскопические параметры. Вероятность и флуктуации. Распределение Максвелла. Средняя кинетическая энергия частицы. Распределение Больцмана. Теплоемкость многоатомных газов. Ограниченность классической теории теплоемкости.
Тема 6 Распределение Гиббса. Модель системы в термостате. Каноническое распределение Гиббса. Статистический смысл термодинамических потенциалов и температуры. Роль свободной энергии. Тема 7 Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц. Энтропия и вероятность. Определение энтропии равновесной системы через статистический вес микросостояния. Тема 8 Функции распределения Бозе и Ферми. Формула Планка для разновесного теплового излучения. Порядок и беспорядок в природе. Энтропия как количественная мера хаотичности. Принцип возрастания энтропии. Переход от порядка к беспорядку о состоянии теплового равновесия. Тема 9 Экспериментальные методы исследования колебательного спектра кристаллов. Понятие о фононах. Законы дисперсии для акустических и оптических фононов. Теплоемкость кристаллов при низких и высоких температурах. Электронные теплоемкость и теплопроводность. Тема 10 Электроны в кристаллах. Приближение сильной и слабой связи. Модель свободных электронов. Уровень Ферми. Элементы зонной теории кристаллов. Функция Блоха. Зонная структура энергетического спектра электронов. Тема 11 Поверхность Ферми. Число и плотность числа электронных состояний в зоне. Заполнения зон: металлы, диэлектрики и
полупроводники. Электропроводность полупроводников. Понятие о дырочной проводимости. Собственные и примесные полупроводники. Понятие о p-n переходе. Транзистор. Тема 12 Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Электронный ферми-газ в металле. Носители тока как квазичастицы. Явление сверхпроводимости. Куперовское спаривание электронов. Туннельный контакт. Эффект Джозефсона и его применение. Захват и квантование магнитного потока. Понятие о высокотемпературной проводимости.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Основные формулы 1. Количество вещества однородного газа (в молях): m N ν= , или ν = , µ NA где N-число молекул газа; NA- число Авогадро; m-масса газа; µ-молярная масса газа. Если система представляет смесь нескольких газов, то количество вещества системы N N N ν = ν 1 + ν 2 + ...+ν n = 1 + 2 + ...+ n , NA NA NA или m m m ν = 1 + 2 + ...+ n ,
µ1
µ2
µn
где νi, Ni, mi, µi -соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-й компоненты смеси. 2. Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа): m pV = RT = νRT ,
µ
где m - масса газа; µ - молярная масса; R - универсальная газовая постоянная; ν = m/µ - количество вещества; Tтермодинамическая температура Кельвина. 3. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева для изопроцессов: a) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс - Т=const; m=const): pV = const , или для двух состояний газа:
p1V1 = p 2V2 , где p1 и V1 - давление и объем газа в начальном состоянии; p2 и V2 - те же величины в конечном состоянии; b) закон Гей-Люссака (изобарический процесс - p=const, m=const): V = const , T или для двух состояний: V1 V2 = , T1 T2 где V1 и Т1 - объем и температура газа в начальном состоянии; V2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии; c) закон Шарля (изохорический процесс - V=const, m=const): p = const , T или для двух состояний: p1 p 2 = , T1 T2 где р1 и Т1 - давление и температура газа в начальном состоянии; р2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии; d) объединенный газовый закон (m=const): pV pV pV = const , 1 1 = 2 2 , T1 T2 T где р1, V1, Т1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р2, V2, Т2 - те же величины в конечном состоянии. 4. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов: р = р1 + р2 + ... +рn где pi - парциальные давления компонент смеси; n - число компонентов смеси.
5. Молярная масса смеси газов:
m1 + m2 + ...+ mn ν 1 + ν 2 + ...+ν n где mi - масса i-го компонента смеси; νi = mi/µi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси.
µ=
6. Массовая доля ωi i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах): m ωi = i , m где m - масса смеси. 7. Концентрация молекул (число молекул в единице объема): N N n = = A ρ, V µ где N-число молекул, содержащихся в данной системе; ρ плотность вещества. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества. 8. Основное уравнение кинетической теории газов: 2 p= nω , 3 где - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
9. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: 3 ω = kT , 2 где k - постоянная Больцмана. 10. Средняя полная кинетическая энергия молекулы: i ω i = kT , 2 где i - число степеней свободы молекулы.
11. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры: p = nkT. 12. Скорости молекул: средняя квадратичная
19. Работа расширения газа: vк
в
3kT = mi
=
средняя арифметическая v = наиболее вероятная v в =
где δQ - теплота, сообщенная системе (газу); dU - изменение внутренней энергии системы; δА - работа, совершенная системой против внешних сил.
8kT = πmi
2 kT = mi
2 RT
µ
3RT
µ 8RT
πµ
;
в общем случае A =
V2
∫ pdV ;
V1
;
,
при изобарическом процессе A = p(V2 − V1 ) ; изотермическом процессе A =
m
µ
RT ⋅ ln
V2 ; V1
где mi - масса одной молекулы.
при адиабатическом процессе A = − ∆U = −
13. Относительная скорость молекулы: u = v/ vв, где v - скорость данной молекулы.
γ −1 RT1 m V1 , или A = ⋅ 1− γ − 1 µ V2 где γ = c p / cv - показатель адиабаты.
14. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и при постоянном давлении (ср): i R i+2 R cv = ⋅ ; c p = ⋅ . 2 µ 2 µ 15. Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями: C c = ; C = c⋅µ.
µ
16. Уравнение Роберта Майера: Cp -Cv = R. 17. Внутренняя энергия идеального газа: m i m U = ⋅ RT = CV T . µ 2 µ 18. Первое начало термодинамики: δQ = dU + δA ,
m
µ
Cv ∆T ,
20. Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатическом процессе: pV
γ
= const ; γ
p 2 V1 = ; p1 V2
T2 V1 = T1 V2 T2 p 2 = T1 p1
γ −1
; γ −1 γ
21. Термический к.п.д. цикла: Q − Q2 T − T2 η= 1 ; η= 1 Q1 T1
;
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Основные формулы
1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле) n = n0 e-U/(kT), где n - концентрация частиц; U - их потенциальная энергия; n0 -концентрация частиц в точках поля, где U=0; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура; е основание натуральных логарифмов. 2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести) p = p 0 e − mgz /( kT ) , или p = p 0 e − Mg z /( RT ) , где р - давление газа; m - масса частицы; М - молярная масса; z - координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 - давление на этом уровне; g - ускорение свободного падения; R - молярная газовая постоянная. 3. Вероятность того, что физическая величина x, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х+dx, определяется по формуле dW (x ) = f (x )dx * , где f(x) - функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности). 4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х+dx, dN = N ⋅ dW (x ) = N ⋅ f (x )dx . 5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями: a) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v+dv,
3
m 2 − mv 2 /( 2 kT ) 2 dN (v ) = Nf (v )dv = 4πN v dv , e 2πkT где f(v) - функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v+dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N - общее число молекул; m - масса молекулы; b) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du 2 4 dN (u) = Nf (u)du = Ne − u u 2 du,
π
где u=v/vв - относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости vв ; f(u) - функция распределения по относительным скоростям. 6. Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до р+dp, 3/ 2 1 − ( p 2 ) /( 2 mkT ) 2 dN ( p ) = Nf ( p )dp = 4πN p dp , e 2π ⋅ m ⋅ k ⋅ T где f(p) - функция распределения по энергиям. 7. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от ε до ε+dε, e − ε /( kT ) 1/ 2 2 dN (ε ) = Nf (ε )dε = N ε dε , π (kT ) 3/ 2 где f(ε) - функция распределения по энергиям. 8. Среднее значение физической величины х в общем случае ∫ xf (x )dx , x = f (x )dx
а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу, x = ∫ xf (x )dx , где f(x) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х. Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. ∞
средняя арифметическая скорость) v = ∫ vf (v )dv ; 0
средняя v
2
арифметическая
скорость vкв = v
2 12
,
где
∞
= ∫ v 2 f (v )dv ; средняя кинетическая энергия поступа0
∞
тельного движения молекулы ε = ∫ ε ⋅ f (ε )dε . 0
9. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, z = 2πd 2 n v , где d - эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; - средняя арифметическая скорость молекул. 10. Средняя длина свободного пробега молекул газа 1 l = . 2πd 2 n 11. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности, dv dp = η ∆Sdt , dz
dv - градиент (попеdz речный) скорости течения его слоев; ∆S - площадь элемента поверхности; dt - время переноса. 12. Динамическая вязкость 1 η= ρ v l , 3 где ρ -плотность газа (жидкости); - средняя скорость хаотического движения его молекул; - их средняя длина свободного пробега. 13. Закон Ньютона. dp dv F= = η ∆S , dt dz где F - сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 14. Закон Фурье. dT ∆Q = − λ S∆t , dx где ∆Q - теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время ∆t; λ - теплопроводность; dT/dx - градиент температуры. 15. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа 1 1 λ = cv ρ v l , или λ = k ⋅ n v l , 3 6 где cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ - плотность газа; - средняя арифметическая скорость его молекулы; - средняя длина свободного пробега молекул. 16. Закон Фика dn ∆m = − D m1S∆t , dx
где η - динамическая вязкость газа;
где ∆m - масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время ∆t; D - диффузия ( коэффициент диффузии); dn/dx - градиент концентрации молекул; m1 - масса одной молекулы. 17. Диффузия (коэффициент диффузии) 1 D= v l . 3
ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА Основные формулы
1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой Um=3RT, где R -молярная газовая постоянная; T - термодинамическая температура. 2. Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, т.е. C = dU/dT. 3. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Сm химически простых твердых тел Сm = 3R. 4. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов) Cm = n⋅3R, где n - общее число частиц в химической формуле соединения. 5. Среднее значение энергии 〈ε〉 квантового осциллятора, приходящейся на одну ступень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой hω , ε =ε0 + exp hω / ( kT ) − 1
(
[
)
]
где ε0 - нулевая энергия ε 0 = 1 hω ; h - постоянная План2 ка; ω - круговая частота колебаний осциллятора; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура. 6. Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле
U m = U m0 + 3R
θE , θ E −1 exp T
где Um0=3/2 RθE - молярная нулевая энергия по Эйнштейну; θ E = hω / k - характеристическая температура Эйнштейна. 7. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна θ exp E 2 T θ E . Cm = 3R 2 T θ exp E T − 1 При низких температурах (Т