Математика: Учебное пособие по специальности 030701 (350200) - ''Международные отношения''

Ф е де рал ь ное аге нт с т во по образованию Гос ударс т ве нное образоват е л ь ное уч ре ж де ние вы с ш е го проф е с с ионал ь ного образования «Вороне ж с кий гос ударс т ве нны й униве рс ит е т » (ГО У ВП О ВГУ)

М А Т ЕМ А Т И К А Уч е бное пос обие по с пе циал ь нос т и: 030701 (350200) - М е ж дународны е от нош е ния по направл е нию : 080200 (521300) - Ре гионове де ние

Вороне ж 2005

2

Ут ве рж де но науч но-ме т одич е с ким с ове т ом факул ь т е т а ме ж дународны х от нош е ний от 24.01.2005г., прот окол № 5.

Сос т авит е л ь

пре подават е л ь каф едры «М е ж дународной экономики и вне ш не экономич е с кой деят е л ь нос т и», кандидат т е хнич е с ких наук Гайворонс кая С.А.

Ре це нзе нт

Ст арш ий пре подават е л ь , кафе дры М М И О ф акул ь т е т а П М М Вороне ж с кого гос ударс т ве нного униве рс ит е т а, Б ондаре нко Ю .В.

П ос обие подгот овл е но накаф едре «М еж дународной экономики и вне ш не экономич е с кой де ят е л ь нос т и» ф акул ь т е т аме ж дународны х от нош е ний Вороне ж с кого гос ударс т ве нного униве рс ит ет а. Уч е бное пос обие пре дназнач е но дл я с т уде нт ов факул ь т е т аме ж дународны х от нош е ний гуманит арны х с пе циал ь нос т е й. В пос обии рас с мат риваю т с я ос новны е понят ия и ме т оды мат е мат ич е с кого анал иза, т е ории множ е с т в, л ине йной ал ге бры , мат е мат ич е с кого моде л ирования, т е ории ве роят нос т е й и мат е мат ич е с кой с т ат ис т ики. П риводят с я т екс т ы л екций, примеры ре ш е ния задач , конт рол ь ны е вопрос ы и задания по рас с мот ре нны м т емам.

3

В мат е мат ич е с ких пре дл ож е ниях (формул ировках опре де л е ний, т е оре м и т .д.) ч ас т о повт оряю т с я от де л ь ны е с л ова и це л ы е вы раж е ния. П оэт ому при запис и ис пол ь зую т с имвол ы : • ∃ - с ущ е с т вуе т (от англ ийс кого с л оваExistence - с ущ е с т вование ) • ∀ - л ю бой (от англ ийс кого с л оваAny - л ю бой) • : - т акой, ч т о • ⇒ - вы пол няе т с я Г л а в а 1. Э л ем енты теор ии м нож еств . Пр едел посл едов а тел ьности. §1. М нож еств а . О пер а ции на д м нож еств а м и П онят ие множ е с т ваявл яет с я одним из ос новны х в мат емат ике . О но принадл е ж ит к пе рвич ны м, не опре де л яе мы м понят иям. М ы т ол ь ко мож е м приве с т и приме ры : множ е с т во с т уде нт ов в аудит ории, множ е с т во с т уде нт ов, пол уч ивш их наэкзаме не оце нку «пят ь », и т .д. О бъект ы , входящ ие в множ е с т во, будем назы ват ь э л ем ента м и м но ж ес тва . М нож е с т ва обознач аю т с я бол ь ш ими буквами, а их эл е ме нт ы – мал е нь кими. Т акж е множ е с т ва обознач аю т с я кругами, их назы ваю т круги Э йл ер-В ена . Е с л и x явл яе т с я эл е ме нт ом множ е с т ва X , т о пиш ут x ∈ X , в прот ивном с л уч ае - x ∉ X . Если x1 , x 2 , x 3 ,..., x n – не кот оры е эл е ме нт ы , то запис ь X = {x1 , x 2 , x3 ,..., x n } означ ает , ч т о множ е с т во X с ос т оит из эл е ме нт ов x1 , x 2 , x 3 ,..., x n . П ус т ь X и Y – двамнож е с т ва. Е с л и X и Y с ос т оят из одних и т е х ж е эл е ме нт ов, т о говорят , ч т о они с овпадаю т : X = Y . Е с л и множ е с т во с оде рж ит л иш ь коне ч ное ч ис л о эл е ме нт ов, т о оно назы вае т с я ко нечны м , в прот ивном с л уч ае множ е с т во – б ес ко нечно . Способы за да ния м нож еств 1. П ере ч ис л е ние вс е хэл е ме нт ов данного множ е с т ва: A = {a, b, c, d }. Н о не вс е гдаэл е ме нт ы мож но переч ис л ит ь . 2. С помощ ь ю характ е рис т ич е с кого с войс т ва, кот оры м обл адаю т эл е ме нт ы данного множ е с т ваи не обл адаю т эл е ме нт ы другого множ е с т ва. П ус т ь P ( x ) – какое -т о с войс т во ч ис л а x , т огда запис ь {x P (x )} означ ае т множ е с т во вс е х ч ис е л , обл адаю щ их с войс т вом P ( x ) . Пр им ер ы . 1. {x x 2 − 3x + 2 = 0} - е с т ь с овокупнос т ь корне й уравне ния x 2 − 3x + 2 = 0 , т .е . эт о множ е с т во с ос т оит из двух эл е ме нт ов {2, 1}.

4

2. {x 3 < x < 7} – множ е с т во вс ех ч ис е л , удовл е т воряю щ их нераве нс т ву 3 < x < 7 , т .е . x ∈ (3, 7 ) . Пр им ер ы числ ов ы х м нож еств 1. N={1, 2, 3, … } – множ е с т во нат урал ь ны х ч ис е л . 2. Z={N∪N_∪ 0} – множ е с т во це л ы х ч ис е л . 3. Q={

m - не с ократ имы е, m∈Z, n∈N} – множ е с т во рационал ь ны хч ис е л . n

4. R={-∞, +∞} – множ е с т во де йс т вит е л ь ны х ч ис е л . О пер а ции на д м нож еств а м и 1. О бъединение м нож еств . Об ъединением двух м но ж ес тв Х и Y назы вае т с я множ е с т во, с ос т оящ е е из эл еме нт ов, кот оры е принадл е ж ат множ е с т ву Х ил и множ е с т ву Y. О бознач ае т с я Х ∪Y. Х ∪Y = {x х∈Х ил и х∈Y }. 2. Пер есечение м нож еств . П ерес ечением двух м но ж ес тв Х и Y назы вае т с я множ е с т во, с ос т оящ е е из эл е ме нт ов, кот оры е принадл е ж ат как множ е с т ву Х , т ак и множ е с т ву Y, т .е . их общ ая ч ас т ь . О бознач ае т с я Х ∩Y, Х ∩Y = {x х∈Х и х∈Y }, нарис унке пе ре с еч е ние множ е с т в Х и Y – множ е с т во Z.

X

Y

X

Y

Z

М нож е с т ва, кот оры е не име ю т общ ихэл е ме нт ов, назы ваю т с я неперес ека ю щ им ис я. 3. Ра зность м нож еств . Разнос т ь ю множ е с т в Х и Y назы вае т с я множ е с т во, с ос т оящ е е из вс е х эл е ме нт ов множ е с т ваХ , не принадл е ж ащ их множ е с т ву Y. О бознач ае т с я Х \Y = {хх∈Х и х∉Y}, (нарис унке разнос т ь множ е с т в заш т рихована) Д опол нение м нож еств М нож е с т во вс е х эл е ме нт ов Х , не принадл е ж ащ их множ е с т ву Y, явл яе т с я до по л нением множ е с т ваY до множ е с т ва Х . О бознач ае т с я Y Х , (на рис унке заш т рихованная ч ас т ь ). Н априме р, множ е с т во це л ы х не пол ож ит е л ь ны х ч ис е л е с т ь допол не ние множ е с т ва N нат урал ь ны х ч ис е л до множ е с т ваце л ы х ч ис е л .

X

Y

X

X YХ

5

§2. Пр им ер ы р еш ения за да ч на тем у «Э л ем енты теор ии м нож еств » Ра ссм отр им способы за да ния м нож еств : 1. Д ано множ е с т во { x 2 x + 5 = 2 ( x + 5)} . Ч е му оно равно? П е ре пиш е м раве нс т во 2 x + 5 = 2 x + 10 . П роводя пре образования, пол уч им: 0 = 5 . Ч т о не возмож но, поэт ому { x 2 x + 5 = 2 ( x + 5 )} = ∅ . 2.

{ x 2 ( 3x + 7 ) = 6 x + 14}

П е ре пиш е м раве нс т во 6 x + 14 = 6 x + 14 , т .е. раве нс т во ве рно при л ю бом знач е нии x , т огда{x 2 (3x + 7 ) = 6 x + 14} = {x x ∈ (− ∞,+∞ )}. П роводя анал огич ны е рас с уж де ния мож но ре ш ит ь с л едую щ ие задач и: 3. {x x = x } = {x x ∈ [0, + ∞ )} 4. {x x ∈ Z , x ≥ 2} = {x x ∈ Z , x ∈ [2, + ∞ )} В приме рах 5-8 не обходимо рас с мот ре т ь корни уравне ния, ими явл яю т 1 2

с я ч ис л а− 1, , ± 2 .  1  5.  x x ∈ N , ( x + 1)  x −  ( x 2 − 2 ) = 0 = ∅

2    1   6.  x x ∈ Z , ( x + 1)  x −  ( x 2 − 2 ) = 0 = {−1} 2    1 1   7.  x x ∈ Q, ( x + 1)  x −  ( x 2 − 2 ) = 0 =  −1,  2 2     1 1   8.  x x ∈ R, ( x + 1)  x −  ( x 2 − 2 ) = 0 =  −1, , − 2, 2  2 2     

Н айде м пе ре с е ч е ние двух множ е с т в: 9. { x x ∈ Q, x < 0} I { x x ∈ Q, x > 0} И зобразим нач ис л овой прямой заданны е множ е с т ва: x0 x 0

О ч е видно,

что

множ е с т ва

{ x x ∈ Q, x < 0} I { x x ∈ Q, x > 0} = ∅

не

пе ре с екаю т с я,

П роводя анал огич ны е рас с уж де ния, ре ш аю т с я с л е дую щ ие задания: 10. { x x ∈ Z , x < 5} I {x x ∈ Z , x ≥ 0} = {x x ∈ Z , x ∈ [0,5)} 11. Q I Z = Z 12. { x x ∈ Z , x ≤ 5} I {x x ∈ Z , x > −3} = {x x ∈ Z , x ∈ ( −3, 5]}

т .е .

6

13. Н айде м и проил л ю с т рируе м диаграммой разнос т ь с л е дую щ их множ е с т в: a) N \ { x x ∈ N , x = 2n} М нож е с т во { x x ∈ N , x = 2n} - эт о множ е с т во нат у-

N

рал ь ных ч е т ны х ч ис е л . Разнос т ь ю множ е с т вавс ех нат урал ь ны х и нат урал ь ны х ч е т ны х ч ис е л явл яе т с я множ е с т во нат урал ь ны х не ч е т ны х ч ис е л , т .е. N \ { x x ∈ N , x = 2 n} = { x x ∈ N , x = 2n − 1} .

x=2n

c) Z \ {x x ∈ Z , x ≤ 0} = N

b) Z \ N = N _ U {0} Z

Z N_

N

c) K \ P , где K – множ е с т во т оч е к пл ос кос т и, рас с т ояние от кот оры х до т оч ки О не пре вы ш ае т 2 с м, P – множ е с т во т оч е к пл ос кос т и, рас с т ояние кот орых от т оч ки О ме нь ш е 2 с м. М нож е с т во K – эт о круг радиус а2 с м, P – множ е с т во т оч ек внут ре ннос т и кругабе з окруж нос т и. K \ P - окруж нос т ь . 14. Н айде м допол не ния множ е с т в: a. A = { x x ∈ N , x < 5} до множ е с т ва N AN = { x x ∈ N , x ∈ [5, +∞ )}

b. A = { x x ∈ N , 10 ≤ x < 20} до множ е с т ва N AN = { x x ∈ N , x ∈ [1,10 ) U [ 20, +∞ )}

c. М нож е с т во нат урал ь ны х ч ис е л до множ е с т ваце л ы х ч ис е л N Z = {0} U { N _}

d. М нож е с т во це л ы х ч ис е л проме ж ут ка[ −3,10 ) до множ е с т ва Z

{ x x ∈ Z , x ∈ [ −3,10 )} = {x x ∈ Z , x ∈ ( −∞, −3) U [10, +∞ )} { x x ∈ Q, x < −20} = { x x ∈ Q, x ∈ [ −20, +∞ )} Z

e.

Q

§3. Числ ов ы е посл едов а тел ьности. П риме рами ч ис л овы х пос л е доват е л ь нос т е й могут с л уж ит ь пос л едоват е л ь нос т и вс е хч л е нов ариф ме т ич е с кой и ге оме т рич е с кой прогре с с ий.

7

О пр едел ение 1. Е с л и каж дому ч ис л у n из нат урал ь ного ряда ч ис е л 1, 2, 3,… , n,… пос т авл е но в с оот вет с т вие ве щ е с т ве нное ч ис л о x n , т о множ е с т во ве щ е с т ве нны х ч ис е л x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,... (1) назы вае т с я чис ло во й по с л едо ва тел ьно с тью . Ч ис л а x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,... буде м назы ват ь э л ем ента м и ил и чл ена м и по с л едо ва тельно с ти (1), с имвол x n – общ им эл е ме нт ом пос л е доват е л ь нос т и, а ч ис л о n – е го номе ром. Сокращ е нно пос л е доват е л ь нос т ь (1) буде м обознач ат ь с имвол ом {x n }.   Н априме р, с имвол   обознач ае т пос л е доват е л ь нос т ь : 1, , , ..., , ... 1 n

1 1 2 3

1 n

П ос л е доват е л ь нос т ь с ч ит ае т с я заданной, е с л и указан с пос об пол уч е ния л ю бого е е эл е ме нт а. Н априме р, формул а x n = 1 + (− 1)n задае т пос л едоват е л ь нос т ь 0, 2, 0, 2,… П о с амому опреде л е нию пос л едоват е л ь нос т ь с одерж ит бе с конеч ное ч ис л о эл е ме нт ов: л ю бы е два е е эл е мент а от л ич аю т с я, по крайне й ме ре, номерами. Ге оме т рич е с ки пос л е доват е л ь нос т ь изображ аю т на координат ной прямой в виде пос л е доват е л ь нос т и т оч е к, координат ы кот оры х равны с оот ве т с т вую щ им эл е ме нт ам пос л е доват ел ь нос т и. А р ифм етическ ие дей ств ия на д числ ов ы м и посл едов а тел ьностям и. П ус т ь даны пос л едоват е л ь нос т и {x n } и {y n }. 1. П роизве де ние м пос л едоват е л ь нос т и {x n } на ч ис л о m назове м пос л едоват е л ь нос т ь : mx1 , mx 2 , mx3 ,..., mx n ,... , т .е . m ⋅ {x n } = {m ⋅ x n } . 2. Ал ге браич е с кой с уммой данны х пос л е доват е л ь нос т е й назы вае т с я пос л е доват е л ь нос т ь : x1 ± y1 , x 2 ± y 2 , x3 ± y 3 ,..., x n ± y n ,... , т .е .

{x n } ± {y n } = {x n ± y n }

3. П роизве де ние м: x1 ⋅ y1 , x 2 ⋅ y 2 , x3 ⋅ y 3 ,..., x n ⋅ y n ,... , т . е . {x n }⋅ {y n } = {x n ⋅ y n } 4. Ч ас т ны м:

x x1 x 2 x3 {x }  x  , , , ..., n , ... т . е . n =  n , y n ≠ 0. y1 y 2 y 3 yn {y n }  y n 

О пр едел ение 2. П ос л едоват е л ь нос т ь {x n } назы вае т с я огранич е нной с ве рху (с низу), е с л и с ущ е с т вуе т ч ис л о М (m) т акое ч т о, л ю бой эл е ме нт эт ой пос л е доват е л ь нос т и удовл е т воряе т не раве нс т ву x n ≤ M (x n ≥ m ) . ил и ∃ M (m ) : ∀x n ∈{x n } ⇒ x n ≤ M (x n ≥ m ) . О пр едел ение 3. П ос л е доват е л ь нос т ь {x n } назы вае т с я огранич е нной, е с л и она огранич е на с верху и с низу, т .е . с ущ е с т вую т ч ис л а m и M т акие ч т о, л ю бой эл е ме нт эт ой пос л е доват е л ь нос т и удовл ет воряет нераве нс т ву m ≤ xn ≤ M .

8

О пр едел ение 4. П ос л е доват е л ь нос т ь {x n } назы вае т с я нео гра ниченно й, е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ч ис л а А с ущ е с т вует эл е ме нт x n эт ой пос л е доват е л ь нос т и, удовл е т воряю щ ий не раве нс т ву x n > A , т .е. л ибо xn > A , л ибо xn < − A . Пр им ер ы . 1. {n} = {1, 2, 3, ..., n,...} – огранич е нас низу, но не огранич е нас ве рху m = 1 , т .е . xn ≥ 1 . 2. {−n} = {−1, − 2, − 3, ..., − n,...} - огранич е на с верху, но не огранич е на с низу M = −1 , т .е . xn ≤ −1 .   3. 1, , , ..., , ... - огранич е на, ∀ xn ∈ { xn } : 0 ≤ xn ≤ 1 . 1 1  2 3

4.

1 n



{−1, − 2, − 3, − 4, − 5,..., ( −1) ,...} – не огранич е нная, т ак как какого бы не бы л о n

ч ис л о A , с реди эл е ме нт ов эт ой пос л е доват е л ь нос т и найдут с я т акие эл е ме нт ы , ч т о: xn > A . О пр едел ение 5. П ос л е доват е л ь нос т ь { xn } назы вае т с я б ес ко нечно б о л ьшо й, е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ч ис л а А с ущ е с т вует номер N т акой, ч т о дл я вс е х эл е ме нт ов пос л е доват е л ь нос т и с номе рами n > N вы пол няе т с я не раве нс т во xn > A , например, {n} = {1, 2, 3, ..., n,...} , {n2 } = {1, 4, 9, ..., n 2 ,...} . Символ ич е с кая запис ь опре де л е ния бе с коне ч но бол ь ш ой пос л е доват е л ь нос т и: (∀A > 0)(∃N ) : (∀n > N ) ⇒ x n > A . О пр едел ение 6. П ос л едоват е л ь нос т ь {α n } назы вае т с я б ес ко нечно м а л о й, е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ч ис л а ε с ущ е с т вует номер N т акой, ч т о дл я вс е х эл е ме нт ов пос л е доват е л ь нос т и с номе рами n > N вы пол няе т с я не 1 1 раве нс т во α n < ε , наприме р,   ,  3  . n n 

Символ ич е с кая запис ь опре де л е ния бе с коне ч но мал ой пос л е доват е л ь нос т и: (∀ε > 0) (∃N ) : (∀n > N ) ⇒ α n < ε . Т еор ем а . Е с л и { xn } – бе с коне ч но бол ь ш ая пос л е доват е л ь нос т ь , и вс е е е

1 ч л е ны от л ич ны от нул я, т о пос л едоват е л ь нос т ь   - бе с конеч но мал ая, и  хn  обрат но, е с л и {α n } - бе с коне ч но мал ая пос л е доват е л ь нос т ь и α n ≠ 0 , т о по1 с л е доват е л ь нос т ь   - бе с коне ч но бол ь ш ая. α n 

9

§4. Пр едел посл едов а тел ьности. О пр едел ение 1. П ус т ь a - не кот орая т оч канаос и и δ - не кот орое пол ож ит е л ь ное ч ис л о. Т огдал ю бой проме ж ут ок вида ( a − δ , a + δ ) , будем назы ват ь о крес тно с тью ил и δ-окре с т нос т ь ю т оч ки a .

0

а-δ

а

а+δ

Ут ве рж де ние x ∈ δ -окре с т нос т и т оч ки a эквивал е нт но вы пол не нию не раве нс т ва x − а ≤ δ . О пр едел ение 2. Ч ис л о а назы вает с я пре де л ом пос л е доват е л ь нос т и { xn } , е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ч ис л а ε с ущ е с т вует номер N т акой, ч т о при n > N вы пол няе т с я нераве нс т во xn − a < ε . С помощ ь ю с имвол ов эт о опре де л е ние мож но запис ат ь : (∀ε > 0) (∃N ) : (∀n > N ) ⇒ x n −a < ε . П ос л е доват е л ь нос т ь , име ю щ ая пре де л назы вае т с я с хо дящ ейс я. Е с л и пос л е доват е л ь нос т ь с ходит с я и име е т с воим пре де л ом ч ис л о a , т о с имвол ич е с ки эт о запис ы вае т с я: xn → a при n → ∞ ил и lim xn = a . n→∞ П ос л е доват е л ь нос т ь , не явл яю щ аяс я с ходящ е йс я, назы вае т с я ра с хо дящ ейс я. Св ой ств а сходящ ихся посл едов а тел ьностей 1. Сходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь име е т т ол ь ко один пре де л . 2. Сходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь огранич е на. 3. Сумма (разнос т ь ) двух с ходящ ихс я пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } е с т ь с ходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь , пре де л кот орой раве н с умме (разнос т и) пре де л ов пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } . 4. П роизве де ние двух с ходящ ихс я пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } е с т ь с ходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь , преде л кот орой раве н произве де нию пре де л ов пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } . 5. Ч ас т ное двух с ходящ ихс я пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } при ус л овии lim y n ≠ 0 , е с т ь с ходящ аяс я пос л едоват е л ь нос т ь , пре де л кот орой раве н ч аn →∞

с т ному преде л ов пос л е доват е л ь нос т е й { xn } и { yn } . 6. Е с л и эл еме нт ы с ходящ е йс я пос л е доват е л ь нос т и { xn } , нач иная с некот орого номе ра, удовл ет воряю т нераве нс т ву xn ≥ b ( xn ≤ b ), т о и преде л а эт ой пос л е доват е л ь нос т и удовл ет воряе т не раве нс т ву a ≥ b ( a ≤ b ).

10

М онотонны е посл едов а тел ьности О пр едел ение 3. П ос л е доват е л ь нос т ь { xn } назы вае т с я: возрас т аю щ е й, е с л и xn < xn+1 дл я вс е х n ; не убы ваю щ е й, е с л и xn ≤ xn +1 дл я вс ех n ; убы ваю щ е й, е с л и xn > xn +1 дл я вс е х n ; не возрас т аю щ е й, е с л и xn ≥ xn+1 дл я вс ех n . Вс е т акие пос л е доват е л ь нос т и объе диняю т с я общ им название м м о но то нны е по с л едо ва тел ьно с ти. Пр им ер ы . 1 1 1 1. 1, , , ..., , ... - убы ваю щ ая и огранич е нная. 2 3 n 1 1 1 1 1 1 2. 1, 1, , , , , ..., , ,... - не возрас т аю щ ая и огранич е нная. 2 2 3 3 n n 1. 1, 2, 3,… … ., n,… .. – возрас т аю щ ая и неогранич е нная. 1 2 3 n , ... - возрас т аю щ ая и огранич е нная. , , , ..., 2. 2 3 4 n +1 Т еор ем а . М онот онная огранич е нная пос л е доват е л ь нос т ь с ходит с я. n

1 Рас с мот рим пос л е доват е л ь нос т ь { xn } с общ им эл е ме нт ом x n = 1 +  . Э т а 

пос л е доват е л ь нос т ь

с ходит с я

и

ее

пре де л

n

раве н

n

1  lim x n = lim 1 +  = e, e ≈ 2,7182... n →∞ n →∞ n 

§5. Пр им ер ы р еш ения за да чна тем у «Числ ов ы е посл едов а тел ьности» 1. Н апис ат ь пе рвы е пят ь эл е ме нт ов пос л е доват е л ь нос т и: a) x n =

n n +1

И с пол ь зуе м опре де л е ние ч ис л овой пос л е доват е л ь нос т и n = 1, 2, 3, 4, 5 . П одс т авл яем знач е ния в формул у общ е го ч л е на x n , пол уч ае м: 1 2 3 4 5 ; ; ; ; 2 3 4 5 6 1 b) x n = 2n + 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 11

Анал огич но, пол агая n = 1, 2, 3, 4, 5 , име е м: ; ; ; ;

2. Н айт и формул у общ е го эл е ме нт апос л е доват е л ь нос т и: a) 1;

1 1 1 1 ; ; ; ;... 32 5 2 7 2 9 2

11

О бращ ае м внимание , ч т о в ч ис л ит е л е у вс е х эл е ме нт ов пос л е доват е л ь нос т и с т оит 1, ав знаме нат е л е квадрат не ч е т ны х ч ис е л . Н е ч е т ны е ч ис л а запис ы ваю т с я с помощ ь ю формул ы 2n − 1 , где n = 1, 2, 3, ... , в ит оге пол уч ае м, ч т о общ ий ч л е н пос л е доват е л ь нос т и име е т вид: x n = 1 4

7 9

b) 1; 2 ; 2 ; 3

1

(2n − 1)2

.

1 6 ; 3 ;... 16 25

П ере пиш е м эл е ме нт ы пос л едоват е л ь нос т и в виде не правил ь ны х дробе й: 9 25 49 81 1 ; ; ; ; ;... . О ч е видно, ч т о в ч ис л ит е л е и знаме нат е л е дробе й 4 9 16 25 32 5 2 7 2 9 2 пре дс т авл е ны квадрат ы ч ис е л , т .е. 1; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;... . В ч ис л ит е л е с т о2 3 4 5 2 ят квадрат ы не ч е т ны х ч ис е л : (2n − 1) , в знаме нат е л е – n 2 , где n = 1, 2, 3, ... .

В ре зул ь т ат е общ ий ч л е н пос л е доват е л ь нос т и име ет вид: x n =

(2n − 1)2 n2

2n − 1  ил и x n =   . 2



n



3. П ол ь зуяс ь рекурре нт ной формул ой, найт и общ ий ч л е н пос л е доват е л ь нос т и: a) x1 = 1 , x n +1 = x n + 3 . Уч ит ы вая ис ходны е данны е , вы пиш е м не с кол ь ко ч л е нов пос л едоваx1+1 = x 2 = x1 + 3 = 4 т е л ь нос т и: x 2+1 = x3 = x 2 + 3 = 7

x 3+1 = x 4 = x3 + 3 = 10 x 4+1 = x5 = x 4 + 3 = 13

П ол уч ае м пос л е доват е л ь нос т ь : 1; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ;... . П е репиш е м пол уч е нную пос л е доват е л ь нос т ь : 3 − 2 ; 6 − 2 ; 9 − 2 ; 12 − 2 ; 15 − 2 ;... , ил и 3 ⋅ 1 − 2 ; 3 ⋅ 2 − 2 ; 3 ⋅ 3 − 2 ; 3 ⋅ 4 − 2 ; 3 ⋅ 5 − 2 ;... Т огдаобщ ий ч л е н пос л е доват е л ь нос т и: x n = 3n − 2 .

b) x1 = 2 , x n+1 = 3x n Уч ит ы вая ис ходны е данны е , вы пиш е м не с кол ь ко ч л е нов пос л едоват е л ь нос т и: x1+1 = x 2 = 3 x1 = 6 = 2 ⋅ 3 x 2 +1 = x 3 = 3x 2 = 18 = 2 ⋅ 9 = 2 ⋅ 3 2 x 3+1 = x 4 = 3 x3 = 54 = 2 ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 3 x 4 +1 = x 5 = 3 x 4 = 162 = 2 ⋅ 81 = 2 ⋅ 3 4

В ит оге пол уч ае м пос л е доват е л ь нос т ь : 2 ⋅ 3 0 ; 2 ⋅ 31 ; 2 ⋅ 3 2 ; 2 ⋅ 3 3 ; 2 ⋅ 3 4 ;... ,

т огдаобщ ий ч л е н имее т вид: x n = x1 ⋅ 3 n −1 .

12

Г л а в а 2. Пр едел функ ции. Н епр ер ы в ность функ ции. §1. О бщ ее понятие функ ции. О пр едел ение. П ус т ь даны двач ис л овых множ е с т ваX и Y. Е с л и каж дому эл е ме нт у х∈X, по опре де л е нному правил у, с т авит с я в с оот ве т с т вие одно опре де л е нное знач е ние пе ре ме нной y ∈Y, т о говорят , ч т о y е с т ь однознач ная функция от х, и обознач аю т y = f ( x) . П е ре ме нная х назы вае т с я неза вис им о й перем енно й, ил и а ргум енто м . Совокупнос т ь вс ех знач е ний аргуме нт а х, дл я кот оры х ф ункция y = f ( x) опре де л е на, назы вает с я о б л а с тью о предел ения ф у нкции и обознач ае т с я ч ере з D ( f ) . Совокупнос т ь вс е х знач е ний, принимае мы х пе ре ме нной y , назы вае т с я обл ас т ь ю знач е ний ф ункции y = f ( x) и обознач ае т с я - E ( f ) . Н априме р, y = x − 1 : D(y)=[1, +∞), E(y)=[0, +∞) Знач е ния ф ункции f ( x ) при x = a обознач аю т f (a) . Граф иком функции y = f ( x) назы вае т с я множ е с т во т оч е к пл ос кос т и xOy с координат ами [ x , f ( x )] , x ∈ X . Ф ункция, вс е знач е ния кот орой равны ме ж ду с обой, назы вает с я по с то янно й и обознач ае т с я с . Способы за да ния функ ций 1. А на л итическ ий – завис имос т ь ме ж ду пе ре ме нны ми опре де л яе т с я с помощ ь ю формул ы , например, y = x 2 , y = 1 − x 2 . 2. Т а бл ичны й , наприме р, т абл ицы т ригономе т рич е с ких ф ункций, л огариф мов, рас пис ание движ е ния пое здов, кот орое опре де л яе т ме с т опол ож е ние пое здав от де л ь ны е моме нт ы вре ме ни. 3. Г р а фическ ий – ис пол ь зуе т с я в практ ике физич е с ких изме ре ний, когда с оот ве т с т вие ме ж ду пере ме нны ми x и y задае т с я пос ре дс т вом графика. К л а ссифик а ция функ ций . П рос т е йш ие эл еме нт арны е ф ункции: пос т оянная ф ункция f ( x ) = c ; с т е пе нная ф ункция f ( x ) = x a , ∀a ; показат е л ь ная ф ункция f ( x ) = a x , a > 0, a ≠ 1 ; л огариф мич е с кая ф ункция f ( x ) = log a x, a > 0, a ≠ 1 ; т ригономе т рич ес кие функции f (x ) = sin x , f (x ) = cos x , f ( x ) = tgx , f (x ) = ctgx ; обрат ны е т ригономе т рич е с кие ф ункции f ( x ) = arc sin x , f ( x ) = arc cos x , f ( x ) = arctgx , f ( x ) = arcctgx . Вс е ф ункции, пол уч ае мы е с помощ ь ю коне ч ного ч ис л аариф ме т ич е с ких де йс т вий над прос т е йш ими эл е ме нт арны ми ф ункциями, а т акж е с упе рпозицие й (ил и нал ож е ние м) эт их функций, с ос т авл яю т кл ас с эл е ме нт арны х ф ункций, наприме р: f ( x ) = x , f ( x ) = lg3 arctg 2x + sin 3x .

13

И ме ет ме с т о с л едую щ ая к л а ссифик а ция э л ем ента р ны х функ ций : 1. Ц е л ая рационал ь ная функция ил и ал ге браич е с кий многоч л е н с т е пе ни m: P( x) = a0 x m + a1 x m−1 + ... + am−1 x + am , m ≥ 0, m ∈ Z , a0 , a1 ,..., am – л ю бы е ч ис л а, коэф фицие нт ы , a0 ≠ 0 . М ногоч л е н пе рвой с т е пе ни назы вае т с я л ине йной ф ункцие й. 2. Д робно-рационал ь ная ф ункция: R( x) =

a0 x m + a1 x m −1 + ... + am −1 x + am . b0 x n + b1 x n −1 + ... + bn −1 x + bn

3. И ррационал ь ная ф ункция – ф ункция, пол уч е нная с помощ ь ю конеч ного ч ис л ас упе рпозиций и ч е т ы ре х арифме т ич е с ких де йс т вий над с т е пе нны ми ф ункциями как с це л ы ми, т ак и с дробны ми показат е л ями и не явл яю щ аяс я рационал ь ной, например, f ( x) = x + x , f ( x) =

5x 2 + 4 x − 7 + 3x 2 − 8 x + 4

(

5

)

3

x+x .

4. Т ранс це нде нт ная функция – не явл яю щ аяс я рационал ь ной ил и иррационал ь ной, наприме р, f ( x ) = sin x , f ( x ) = sin x + x и т .д. Ф ункция f ( x ) назы вае т с я четно й, е с л и f (− x ) = f ( x ), ∀x . Ф ункция f ( x ) назы вае т с я нечетно й, е с л и f (− x ) = − f ( x ), ∀x . Граф ик ч е т ной ф ункции с имме т рич е н от нос ит е л ь но ос и ординат , а не ч е т ной от нос ит е л ь но нач ал акоординат . Ф ункция назы вае т с я перио дичес ко й в обл ас т и опре де л е ния, ес л и с ущ е с т вуе т т акое ч ис л о T ≠ 0 , ч т о: 1. дл я л ю бы х x ∈ D( x ) , x + T ∈ D( x ) . 2. f ( x + T ) = f ( x ) , ч ис л о T назы вае т с я пе риодом ф ункции f . П римерами пе риодич е с ких ф ункций, явл яю т с я т ригономе т рич е с кие ф ункции y = sin x и y = cos x с пе риодом T = 2π , т .е . при изме не нии аргуме нт анач ис л о, крат ное 2π , знач е ние функции ос т ае т с я пре ж ним. Ф ункция f ( x ) назы вае т с я во зра с та ю щ ей (уб ы ва ю щ ей) в обл ас т и опре де л е ния, е с л и дл я л ю бы х x1 и x2 из обл ас т и опре де л е ния ф ункции т аких, ч т о x1 < x2 вы пол няе т с я f ( x1 ) < f (x2 ) ( f (x1 ) > f (x2 ) ).Ф ункция f ( x ) назы вае т с я нево зра с та ю щ ей (неуб ы ва ю щ ей) в обл ас т и опре де л е ния, е с л и дл я л ю бых x1 и x2 из обл ас т и опре де л е ния ф ункции т аких, ч т о x1 ≤ x2 вы пол няе т с я f (x1 ) ≤ f (x2 ) ( f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ). Вс е эт и ф ункции назы ваю т с я монот онны ми. Ф ункция назы вае т с я о гра ниченно й с верху(с низу) на множ е с т ве X, е с л и с ущ е с т вуе т ч ис л о M (m ) т акое , ч т о дл я л ю бого x ∈ X вы пол няе т с я не раве нс т во f ( x ) ≤ M ( f ( x ) ≥ m ) . Ф ункция, огранич е нная и с верху и с низу, назы вае т с я о гра ниченно й наэт ом множ е с т ве .

14

Е с л и на не кот ором проме ж ут ке Х опре де л е на ф ункция z = ϕ (x ) с множ е с т вом знач е ний Z , а на множ е с т ве Z опре де л е на функция y = f (z ) , т о ф ункция y = f [ϕ (x )] назы вае т с я с ло ж но й функцией от х, апе ре ме нная z - проме ж ут оч ной пе ре ме нной с л ож ной функции. П ус т ь X и Y - не кот оры е множ е с т ваи пус т ь заданаф ункция f , т .е . множ е с т во пар ч ис е л (x, y ) , x ∈ X , y ∈ Y , в кот ором каж дое ч ис л о х входит в одну и т ол ь ко одну пару, акаж дое ч ис л о y , - по крайне й ме ре , в одну пару. Е с л и в каж дой паре эт ого множ е с т ва ч ис л а х и y поме нят ь ме с т ами, т о пол уч им множ е с т во пар ч ис е л ( y, x ) , кот орое назы вае т с я о б ра тно й функцией ϕ к ф ункции f . О брат ную ф ункцию обознач аю т x = ϕ ( y ) . Н апример, y = x 2 и x = ± y ; y = ln x и x = e y . §2. Пр едел функ ции в точк е П ус т ь функция f ( x ) опре де л е нанане кот ором множ е с т ве Х и пус т ь т оч ка a ∈ X ил и a ∉ X . Возь ме м из Х пос л е доват ел ь нос т ь т оч е к, от л ич ны х от а : x1 , x2 , x3 ,..., xn с ходящ ую с я к а . Знач е ние ф ункции в т оч ках эт ой пос л е доват е л ь нос т и т акж е образую т ч ис л овую пос л е доват е л ь нос т ь f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,..., f ( xn )

О пр едел ение 1. Ч ис л о b назы вае т с я пре де л ом функции y = f ( x) , в т оч ке а , е с л и дл я л ю бой пос л едоват е л ь нос т и знач е ний аргуме нт а x1 , x2 , x3 ,..., xn с ходящ е йс я к а и с ос т оящ е й из ч ис е л xn ≠ a , с оот ве т с т вую щ ая пос л е доват е л ь нос т ь знач е ний ф ункции f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,..., f ( xn ) с ходит с я к ч ис л у b. О пр едел ение 2. Ч ис л о b назы вае т с я предело м ф ункции y = f (x ) , в т оч ке а , е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ч ис л а ε с ущ е с т вуе т т акое ч ис л о δ, завис ящ е е от ε, δ > 0 , ч т о дл я вс ех x ≠ a , удовл е т воряю щ их ус л овию x − a < δ , вы пол няе т с я нераве нс т во

(∀ε > 0) (∃δ

f ( x ) − b < ε ил и

= δ (ε ) > 0 ) (∀x ∈ X , x ≠ a, x − a < δ ) ⇒ f (x ) − b < ε

f ( x ) = b ил и f ( x ) → b при x → a О бознач аю т эт о т ак lim x→a

В опре де л е ниях не т ре бует с я, ч т обы ф ункция бы л а опре де л е на в пре де л ь ной т оч ке , но ф ункция дол ж на бы т ь опре де л е на к какой-нибудь окрес т нос т и преде л ь ной т оч ки, О пр едел ение 3. Е с л и x → a и x < a , т о x → a − ( x → a − 0 ) . Соот ве т с т вую щ ий пре де л назы вае т с я л ево с то ро нним предел о м . lim f (x ) = b x →a −

О пр едел ение 4. Е с л и x → a и x > a , т о x → a + ( x → a + 0 ) . Соот ве т с т вую щ ий пре де л назы вае т с я пра во с то ро нним предело м . lim f (x ) = b . x→a+

15

П ре дпол агае т с я, ч т о функция опре де л енанане кот ором проме ж ут ке с л е ва (ил и с права) от пре де л ь ной т оч ки. Т еор ем а . Ф ункция y = f ( x) име е т в т оч ке а пре де л т огда и т ол ь ко т огда, когда в эт ой т оч ке с ущ е с т вуе т как л е вос т оронний, т ак и правос т оронний пре де л ы и они равны . О пр едел ение 5. Ч ис л о b назы вае т с я предело м функции y = f ( x) при x → ∞ , е с л и дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного ε, найде т с я пол ож ит е л ь ное ч ис л о δ т акое , ч т о дл я вс е х знач е ний аргуме нт а x , удовл е т воряю щ их ус л овию x > δ , вы пол няе т с я f ( x ) − b < ε . Символ ич е с кая запис ь опреде л е ния:

( ∀ε > 0 ) ( ∃δ = δ (ε ) > 0 )( ∀x ∈ X : x < δ ) : f ( x ) − b < ε .

О снов ны е св ой ств а пр едел ов . 1. П ус т ь ф ункции f ( x ) и g( x ) заданы на одном и т ом ж е множ е с т ве Х и име ю т в т оч ке а коне ч ны е пре де л ы , равны е с оот ве т с т ве нно b и c, т о ф ункции f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) , f ( x ) / g ( x ) т акж е име ю т в т оч ке а конеч ны е пре де л ы , равны е с оот вет с т ве нно b± c, b⋅ c, b/c (с ≠0) . 2. П ус т ь ф ункции f ( x ) , g( x ) и h(x ) опре де л е ны в не кот орой окре с т нос т и т оч ки а , за ис кл ю ч е ние м, бы т ь мож е т , с амой т оч ки а , и ф ункции f ( x ) и h ( x ) име ю т в эт ой т оч ке а пре де л , равны й b, т .е . lim f ( x) = lim h ( x) = b . П ус т ь , x→a

кроме т ого, вы пол няю т с я не раве нс т ва g ( x ) т акж е име ет пре де л lim g ( x) = b . x→a

x →a

f ( x ) ≤ g ( x) ≤ h( x) . Т огда ф ункция

3. П ре де л пос т оянной раве н с амой пос т оянной, т .е. lim c = c , где c = const . x →a

4. П ре де л с т е пе ни ф ункции раве н т ой ж е с т е пе ни пре де л аос нования, т .е . lim f

x → x0

n

(x ) =  xlim f (x ) →x 

0

n



§3. Беск онечно м а л ы е и беск онечно бол ьш ие функ ции О пр едел ение 1. Ф ункция f ( x ) назы вае т с я б ес ко нечно м а л о й при x → а , е с л и lim f ( x) = 0 . x→ a О пр едел ение 2. Ф ункция f ( x ) назы вае т с я б ес ко нечно б о л ьшо й при x → а , е с л и lim f ( x) = ∞ . x→ a Св ой ств а беск онечно м а л ы х и беск онечно бол ьш их функ ций . 1. Д л я вы пол не ния раве нс т ва lim f ( x) = b не обходимо и дос т ат оч но, ч т обы x→a ф ункция α ( x) = f ( x) − b бы л абе с коне ч но мал ой при x → а .

16

2. Ал ге браич е с кая с умма и произве де ние коне ч ного ч ис л а бе с коне ч но мал ы х ф ункций при x → а , ат акж е произве дение бе с коне ч но мал ой ф ункции на огранич е нную ф ункцию явл яю т с я бе с коне ч но мал ы ми ф ункциями при x → а . Ср а в нение беск онечно м а л ы х и беск онечно бол ьш их функ ций . П ус т ь ф ункции α ( x ) и β ( x ) , заданны е дл я одних и т е х ж е знач е ний аргуме нт ов, явл яю т с я бе с коне ч но мал ы ми в т оч ке x = а , т огда: 1. Е с л и lim x→a

ч е м β ( x) .

α ( x) = 0 , т о α ( x ) – бе с коне ч но мал ая бол е е вы с окого порядка, β ( x)

α ( x) = А ≠ 0 , где А – ч ис л о, т о α ( x ) и β ( x ) – бе с коне ч но мал ы е x → a β ( x)

2. Е с л и lim

одного порядка.

α ( x) = 1 , т о α ( x ) и β ( x ) – эквивал е нт ны е бе с конеч но мал ы е в x → a β ( x)

3. Е с л и lim

т оч ке а , обознач ае т с я α ( x ) ~ β ( x ) .

Пер в ы й за м еча тел ьны й пр едел lim x →0

sin x =1 x

В тор ой за м еча тел ьны й пр едел 1 x

lim (1 + x ) = e ил и x →0

n

1  lim 1 +  = e n →∞ n 

§4. Пр им ер ы р еш ения за да чпо тем е «Пр едел функ ции» I. Пр остей ш ие сл уча и. 1-й сл уча й . Е с л и пре де л ь ное знач е ние аргуме нт а принадл е ж ит обл ас т и опре де л е ния ф ункции, т о вы ч ис л е ние пре де л а ф ункции с водит с я к подс т ановке пре f ( x) = f (a ) , a ∈ D( f ) . де л ь ного знач е ния аргуме нт ав ф ункцию , т . е . lim x→a 1. lim (x 3 − 3 x 2 + 8 x + 5) = lim x 3 − 3 lim x 2 + 8 lim x + 5 = 8 − 12 + 16 + 5 = 17 x →2 x →2 x→2 x →2 2. lim x →3

x −1 3 −1 2 = = x+2 3+2 5

2-й сл уча й . Е с л и аргуме нт с т ре мит с я к бе с коне ч нос т и ил и к ч ис л у, кот орое не принадл е ж ит обл ас т и опреде л е ния ф ункции, т о возмож ны вариант ы : lim ax = ∞ x →∞

2 =∞ x →0 x

4. lim

lim

x →∞

x =∞ a

lim

x →0

a =∞ x

lim

x →∞

a =0 x

17

5. lim

x →∞

4 =0 x2

II. Н еопр едел енность в ида

0 0

В т ом с л уч ае , е с л и при подс т ановке в вы раж е ние в ч ис л ит е л е и знаме нат е л е вы раж е ния пол уч ает с я нул ь , говорят , ч т о задана не опре де л е ннос т ь

0 . 0

Вы де л яю т с л е дую щ ие с л уч аи: 1-й сл уча й . Е с л и под знаком пре де л ас т оит дробно-рационал ь ная функция, т о дл я т ого, ч т обы рас крыт ь неопреде л е ннос т ь

0 , не обходимо ч ис л ит е л ь и знаме на0

т е л ь дроби разл ож ит ь намнож ит е л и и вы пол нит ь не обходимы е пре образования. x 2 − 16 = x−4

6. lim x→ 4

Убе димс я, ч т о пре де л ф ункции не л ь зя найт и не пос редс т ве нной подс т ановкой. Д л я эт ого в ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь вы раж е ния подс т авл яе м пре де л ь ное знач е ние аргуме нт а– 4, пол уч ае м не опреде л е ннос т ь

0 . Разл ож им 0

ч ис л ит е л ь дроби намнож ит е л и, с ократ им дробь на x − 4 , в ре зул ь т ат е име е м: =

( x − 4)( x + 4) 0 = lim = lim ( x + 4) = 8 x → 4 x→4 0 x−4

Анал огич но ре ш аю т с я приме ры 7 и 8. 7. lim

0 1 1 x−2 x−2 = = lim = lim = =1 → 2 → 2 x x 0 ( − 1 )( − 2 ) − 1 1 x x x x − 3x + 2

8. lim

( x + 2)( x + 4) ( x + 4) x 2 + 6x + 8 0 1 = = lim = lim 2 = 3 2 x → − 2 x → − 2 0 x +8 ( x + 2)( x − 2 x + 4) ( x − 2 x + 4) 6

2

x →2

x → −2

2-й сл уча й . Е с л и под знаком пре де л а с т оит иррационал ь ное вы раж е ние , т о дл я т ого, ч т обы рас крыт ь неопреде л е ннос т ь

0 , не обходимо ч ис л ит е л ь и знаме на0

т е л ь дроби домнож ит ь на вы раж е ние , с опряж е нное иррационал ь ному, и вы пол нит ь не обходимы е преобразования.

(

x −1 − 2

)(

)

x −1 + 2 = x −1− 4 = x − 5

иррационал ьное с опряж е нное

9. lim x →0

1− x +1 = x

Вы яс нив пе рвонач ал ь но, ч т о при указанном изме не нии аргуме нт а данная ф ункция пре дс т авл яе т от нош е ние двух бе с коне ч но мал ы х ве л ич ин, преобразуе м зат е м дробь т ак, ч т обы с ократ ит ь е е намнож ит е л ь , с т ре мящ ийс я к

18

нул ю . Д л я эт ого унич т ож ае м иррационал ь нос т ь в ч ис л ит е л е пут е м умнож е ния ч ис л ит е л я и знаме нат е л я на1 + x + 1 , зат е м с окращ ае м дробь на x : =

(

)(

)

1− x +1 1+ x +1 1 1− x −1 0 −1 =− = lim = lim = lim x →0 2 0 x →0 x 1+ x +1 x 1 + x + 1 x →0 1 + x + 1

(

)

(

)

Анал огич но ре ш аю т с я приме ры 10 и 11. 10. lim x →0

x 2− x+4

=

(

)

(

(

)

)

(

)

0 x2+ x+4 x2+ x+4 = lim = − lim 2 + x + 4 = −4 = lim x 0 x 0 x →0 → → 4−x−4 0 2− x+4 2+ x+4

(

)(

)

( 3 x − x)( 3 x + x) 3x − x 2 3x − x 0 = = lim = = lim x →3 x →3 0 x →3 ( x − 3)( 3x + x) x−3 ( x − 3)( 3 x + x) x (3 − x ) x 1 = − lim =− = lim x→ 3 x →3 2 ( 3 x + x) ( x − 3)( 3 x + x)

11. lim

3-й сл уча й . Е с л и под знаком пре де л ас т оит т ригономе т рич е с кое вы раж е ние , т о дл я т ого, ч т обы рас кры т ь не опре де л е ннос т ь

0 , не обходимо преобразоват ь вы 0

раж е ние , ис пол ь зуя ос новны е т ригономе т рич е с кие формул ы . sin 2 x 0 1 − cos 2 x = = lim = x →0 1 − cos 3 x 0 x →0 (1 − cos x )(1 + cos x + cos 2 x ) (1 − cos x )(1 + cos x ) = lim (1 + cos x ) = 2 = lim x → 0 (1 + cos x + cos 2 x ) x → 0 (1 − cos x ) (1 + cos x + cos 2 x ) 3

12. lim

III. Пер в ы й за м еча тел ьны й пр едел sin x x = lim =1 x →0 x → 0 sin x x

lim sin 3 x =1 3x x2 − 3 14. lim =1 x → 0 sin (x 2 − 3) sin 5 x 15. lim = x →0 x

13. lim x →0

Умнож им ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь дроби на 5 , т .к. у ф ункции sin 5 x аргуме нт 5 x , дл я т ого ч т обы приме нит ь 1-й заме ч ат е л ь ны й пре де л , необходимо, ч т обы в знаме нат е л е т акж е бы л о 5 x : = lim x→ 0

5 sin 5 x sin 5 x = 5 lim = 5 ⋅1 = 5 . x → 0 5x 5x

16. lim x →0

sin 6 x − sin 3 x = x

ис пол ь зуе м формул у

a−b a b = − , дал е е ре ш ае м анал огич но приме ру 15. c c c

19

sin 6 x sin 3 x 6 sin 6 x 3 sin 3 x sin 6 x sin 3 x − lim = lim − lim = 6 ⋅ lim − 3 ⋅ lim =6−3=3 x x x x x → 0 → 0 → 0 → 0 → 0 x x 6x 3x 6x 3x tg 3 x sin 3 x 3 sin 3 x 1 17. lim = lim = lim ⋅ lim =3 x →0 x x x → 0 → 0 → 0 x x cos 3 x 3x cos 3x sin 2 x 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ sin 2 x 2 sin 3 x 2x 2 = lim = lim ⋅ lim = 18. lim x → 0 sin 3 x x → 0 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ sin 3 x x x → 0 → 0 3 3x sin 2 x 3 = lim x →0

IV. Н еопр едел енность в ида

∞ . ∞

Е с л и при x → ∞ ил и x → a ф ункция f (x ) пре дс т авл яе т от нош е ние двух бе с ∞ , т о не обходимо ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь ∞ дроби разде л ит ь нанаивы с ш ую с т е пе нь пе ре ме ной x . ∞ 3x 2 − 1 19. lim = = 2 x →∞ 5 x + 2 x ∞ де л им ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь дроби на x 2 , пол уч им: 1 3− 2 x = 3 − 0 = 3 , т .к. при x → ∞ ве л ич ины 1 и 2 явл яю т с я бе с коне ч = lim x→ ∞ 2 5+0 5 x x2 5+ x

коне ч но бол ь ш их ве л ич ин

но мал ы ми. 20

20. lim

x →∞

(x

3

− 2)

20

(x − 2)60

2   3 2  2   x 60 1 − 3  1 − 3   x 1 − x 3  ∞ x     x  = lim  =1 = = lim = lim  60 60 60 x →∞ x→ ∞ ∞ x→ ∞   2  2  2 60  x 1 −  1 −   x1 − x  x  x       20

20

В ч ис л ит е л е зас кобки вы не с е м x 3 , ав знаме нат е л е x ; с ократ им на x 60 и уч т е м, ч т о при x → ∞ ве л ич ины

2 2 и явл яю т с я бе с коне ч но мал ы ми. 3 x x

1   x 2 1 − 2  x  

1 1− 0 1 x −1 ∞ x2 21. lim = = lim = lim = = x →∞ 3 2 1+ 0 2 3  x →∞ 4 x 2 + 3 ∞ x →∞  2x 1 + 2 4 x 2 1 + 2  4x 4x   2

x 1−

V. Н еопр едел енность в ида 1∞ . В тор ой за м еча тел ьны й пр едел n

1 1  lim (1 + x )x = e ил и lim 1 +  = e n →∞ x→0 n 

22. lim (1 + 3x ) x = x →0 1

убе дивш ис ь , ч т о при указанном изме не нии аргуме нт аиме е м неопре де л е ннос т ь вида 1∞ , дал е е преобразуе м ф ункцию т ак, ч т обы ис пол ь зоват ь 2-й заме ч ат е л ь ны й пре де л . Д л я эт ого домнож им ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь с т е n n пе ни на3 и вос пол ь зуе мс я с войс т вом пре де л аlim [ f (x )] = lim f (x ) : x→a x→a

[

]

20

= 1∞ = lim (1 + 3 x ) x →0

1⋅3 x ⋅3

3

3

1     = lim  (1 + 3 x )  =  lim (1 + 3 x ) 3 x  = e 3 x →0    x →0  1 3x

В примере № 23 ч ис л ит е л ь и знаме нат е л ь с т е пе ни домнож ае т с я на-1. −1

23. lim (1 − x ) x = 1∞ = lim (1 + (− x) ) x = lim (1 + (− x) ) x⋅( −1) = lim (1 + (− x) )− x  = 1

1⋅( −1)

1

x →0

x →0

1  −  =  lim (1 + (− x) ) x   x→ 0 

−1

1

x →0

= e −1 =

x →0





1 e 1 b

В примере № 24 ис пол ь зуе т с я формул а a = a . b

1 + 5 x = lim (1 + 5 x ) = lim (1 + 5 x ) 24. lim x →0 x→ 0 x→ 0 1 x

x

1⋅5 x ⋅5

5

5

1 1     = lim  (1 + 5 x )5 x  =  lim (1 + 5 x )5 x  = e 5 x →0  x → 0   

−n

1 В приме ре № 25 ис пол ь зует с я формул а x n =   , дал е е вы де л яе т с я це л ая  x

ч ас т ь . n   n + 1 ∞ 25. lim   = 1 = lim   n →∞ n + 1 n→∞    n  n

−n

1  = lim 1 +  n →∞ n 

−n

n   1    = lim 1 +   n → ∞ n   

−1

= e −1 =

1 e

§5. Н епр ер ы в ность функ ции. Т очк и р а зр ы в а . О пр едел ение. Ф ункция непреры вна в т оч ке x0 , е с л и: 1. Ф ункция опре де л е на в не кот орой окре с т нос т и т оч ки x0 , вкл ю ч ая с аму эт у т оч ку. 2. В т оч ке с ущ е с т вуе т пре де л , и он раве н знач е нию ф ункции в эт ой т оч ке , f ( x) = f ( x0 ) . т .е . xlim →x 0

В прот ивном с л уч ае функция ра зры вна ил и име е т разры в в т оч ке x0 . А р ифм етическ ие дей ств ия на д непр ер ы в ны м и функ циям и П ус т ь ф ункции f ( x ) и g ( x ) не пре ры вны в т оч ке x0 , т огдафункции f ( x ) ± g ( x) , f ( x ) ⋅ g ( x ) и

f ( x) , при ус л овии g ( x ) ≠ 0 , т акж е не преры вны в g ( x)

эт ой т оч ке. Вс е ос новны е эл е ме нт арны е ф ункции не пре ры вны т ам, где они опре де л е ны . О пр едел ение. Е с л и ф ункция f (x ) не явл яе т с я не преры вной в т оч ке x0 , т о говорят , ч т о в т оч ке x0 ф ункция f ( x ) разры вна, ат оч ка x0 назы вае т с я то чко й ра зры ва функции f ( x ) .

21

Разры вы ф ункций кл ас с иф ицирую т с я с л е дую щ им образом: 1. У стр а ним ы й р а зр ы в . Т оч ка x0 назы вае т с я то чко й устра ним о го ра зры ва ф ункции f ( x ) , е с л и пре де л в эт ой т оч ке с ущ е с т вуе т , но в т оч ке x0 ф ункция л ибо не опреде л е на, л ибо е е знач е ние не равно пре де л у в эт ой т оч ке. x2 − x . Рас с мот рим т оч ку x0 = 1 . Н айде м пре де л в x −1  x2 − x x2 − x x( x − 1) , x ≠1  - ус т раняе т разэт ой т оч ке lim = lim = 1 . Ф ункция y =  x − 1 x →1 x − 1 x →1 x −1  x, x = 1 

Н априме р, ф ункция y =

ры в. 2. Ра зр ы в 1 р ода . Т оч ка x0 назы вае т с я т оч кой разры ва 1 рода функции f ( x ) , е с л и в эт ой т оч ке функция f ( x ) име е т коне ч ны е , но не равны е друг другу правы й и л е вы й пре де л ы : lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) . x→ x0 +

x→ x0 −

3. Ра зр ы в 2 р ода . Т оч ка x0 назы вае т с я т оч кой разры ва 2 рода функции f ( x ) , е с л и в эт ой т оч ке ф ункция f ( x ) не име е т , по крайне й ме ре , одного из однос т оронних пре де л ов ил и хот я бы один из однос т оронних пре де л ов бе с конеч е н. Н априме р, дл я функции f ( x ) = т ак как lim x→ 0

+

1 т оч ка x = 0 явл яе т с я т оч кой разрыва2 рода, x

1 = +∞ , а lim− f ( x ) = −∞ . x→ 0 х

Н епр ер ы в ность функ ции на отр езк е Ф ункция f ( x ) не пре ры внанаинт ервал е ( a, b ) , е с л и онане пре рывнав каж дой т оч ке эт ого инт ервал а. Ф ункция f ( x ) не пре ры внана с е гме нт е [ a, b] , е с л и онане пре ры внана инт е рвал е ( a, b ) и не пре ры вна в т оч ке а с права и в т оч ке b с л е ва, т .е . lim f (x ) = f (a ) , lim f (x ) = f (b ) . x →a +

x →b−

Св ой ств а непр ер ы в ны х функ ций 1. Пер в а я теор ем а Б ол ьца но-К ош и (т еоре мао прохож де нии функции ч е ре з нул е вое знач е ние при с ме не знаков). П ус т ь ф ункция y = f (x ) не пре ры вна на от ре зке [ a, b] и на концах от ре зка име е т знач е ния разны х знаков, т .е. f (a ) ⋅ f (b ) < 0 . Т огда с ущ е с т вуе т т оч ка c ∈ [ a, b ] , в кот орой f (с ) = 0 . 2. Пер в а я теор ем а В ей ер ш тр а сса (т еоре ма об огранич е ннос т и не пре ры вной функции наот ре зке ) Е с л и функция f ( x ) опре де л е наи не преры внанаот ре зке [ a, b] , т о онаогранич е нанаэт ом от ре зке .

22

Г л а в а 3. Пр оизв одна я. Д иффер енциа л . §1. Понятие пр оизв одной . П ус т ь нане кот ором проме ж ут ке Х заданаф ункция y = f (x) . Возь ме м произвол ь ную т оч ку x0 ∈ X и придадим аргуме нт у х в т оч ке x0 произвол ь ное приращ е ние ∆x , т ак ч т обы x0 + ∆x ∈ X . О пр едел ение 1. П рира щ ением ф ункции y = f (x) в т оч ке x0 , от ве ч аю щ е му приращ е нию ∆x , буде м назы ват ь ч ис л о ∆ y = f ( x0 + ∆х) − f ( x0 ) . О пр едел ение 2. П ро изво дно й ф ункции y = f (x) в т оч ке x0 назы вае т с я пре де л от нош е ния приращ е ния ф ункции к приращ е нию аргуме нт апри ∆x → 0 , f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f = lim ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x

и онаобознач ает с я f ′(x) = lim

П роце с с нахож де ния производной назы вае т с я диф ф ере нцирование м. Возь ме м на ис с л е дуе мой кривой (с м. рис унок) две т оч ки М и М 0: M (x0 , f (x0 )), M 0 (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x )) . П рове де м ч е ре з М и М 0 с екущ ую , образую щ ую с ос ь ю 0х угол ϕ . ∆f И з ∆ MM0N tgϕ = . ∆x Ус т ре мим ∆x → 0 . П ри эт ом т оч ка

y f (x0+∆x)

M0

∆f M f (x0)

N ϕ

α

0

∆x x0

x0+∆x

x

М 0 будет с кол ь зит ь по кривой, прибл иж аяс ь к т оч ке М , а с е кущ ая М М 0, пос т е пе нно ме няя с вой угол накл она, буде т с т ре мит ь с я к некот орому «пре де л ь ному» пол ож е нию , назы вае мому ка с а тел ьно й к криво й в т оч ке М . А знач ит угол ϕ → α . Гео м етричес кий с м ы с л про изво дно й: f ' ( x ) в каж дой т оч ке х равна т анге нс у угл анакл онакас ат е л ь ной к граф ику f ( x ) : tgα = lim tgϕ = lim ∆ x →0

∆x → 0

∆f = f ′( x) = k , ∆x

где k – угл овой коэф фицие нт кас ат е л ь ной к граф ику функции y = f ( x ) , в т оч ке с координат ой x0 . Уравне ние кас ат е л ь ной к граф ику ф ункции y = f ( x ) име е т вид: y ( x ) = y ( x0 ) + y ' ( x )( x − x0 ) . О пр едел ение 3. Ф ункция y = f ( x ) назы вае т с я дифф еренцируем о й в т оч ке x0 , е с л и е е приращ е ние в эт ой т оч ке мож но пре дс т авит ь в виде : ∆y = A∆x + α ( ∆x ) ∆x , где А- не кот орое ч ис л о, не завис ящ е е от ∆x ; α ( ∆x ) – бе с коне ч но мал ая ф ункция, при ∆x → 0 .

23

Т еор ем а 1. Д л я т ого, ч т обы ф ункция y = f ( x ) бы л а диф ф е ре нцируе ма в т оч ке x0 , не обходимо и дос т ат оч но, ч т обы она име л а в эт ой т оч ке коне ч ную производную . Т еор ем а 2. Е с л и ф ункция дифф е ре нцируе мав данной т оч ке x0 , т о онане пре ры внав эт ой т оч ке. Пр а в ил а диффер енцир ов а ния 1. Е с л и f ( x ) = a , a = const , т о f ′( x ) ≡ 0 , т .е. производная пос т оянной равна нул ю . 2. Е с л и f ( x ) = u( x ) ± v( x ) , т о f ′( x) = u′( x) ± v′( x) , т .е . производная ал ге браич е с кой с уммы дифф е ре нцируе мы х функций равна ал ге браич е с кой с умме производны х эт их ф ункций. 3. Е с л и f ( x) = u ( x) ⋅ v( x) , т о f ' (x ) = u' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v' ( x ) . 4. П роизводная с л ож ной ф ункции: ес л и G (x ) = F ( f (x )) , то G′( x) = F ′( f ( x)) ⋅ f ′( x) . Т а бл ица пр оизв одны х n n −1 1. ( x )′ = n ⋅ x 7. ( e x ) ' = e x 2. (cos x)′ = − sin x

8.

(arcsin x)′ =

1

1 − x2 1 9. (arccos x)′ = − 1 − x2 1 10. (arctgx)′ = 1 + x2 1 11. (arcctgx)' = − 1+ x2

3. (sin x)′ = cos x 1 cos 2 x 1 5. (ctgx)′ = − 2 sin x x x 6. (a )′ = a ln a

4. (tgx)′ =

§2. Пр им ер ы р еш ения за да чпо тем е «Пр оизв одна я функ ции». I. Пр остей ш ие сл уча и на хож дения пр оизв одной . 1. y = x 4 + 3x 2 − 2 x + 1 2.

y ' = 4 x3 + 6 x − 2 1 3 y = 3 x + − 2 + 4 . Д л я удобс т ва нахож де ния производной пе ре пиx x 1

ш е м ф ункцию в с л е дую щ е м виде : y = x 3 + x −1 − 3x − 2 + 4 . 1

3.

4.

2

1 −1 1 − 1 1 6 y ' = x 3 − x −1−1 + 6 x − 2 −1 = x 3 − x − 2 + 6 x −3 = 3 − 2+ 3 2 3 3 x x 3 x 5 y = 4 x − 3 cos x − 5ctgx 5 y ' = 20 x 4 + 3 sin x + sin 2 x tgx x 4 y = ex − + + 2x 2 4

24

1 y = ex − + x3 + 2 x ln 2 2 2 cos x

II.

Н а хож дение пр оизв одной пр оизв едения, ча стног о дв ух функ ций . 5. y = e x sin x

( )

y ' = e x 'sin x + e x (sin x )' = e x sin x + e x cos x = e x (sin x + cos x ) arcsin x 6. y = x 1 x − arcsin x 2 ( arcsin x )' x − arcsin x ⋅ x' x − 1 − x 2 arcsin x − 1 x = y'= = x2 x2 x2 1 − x 2

7. y = x3arctgx y ' = 3 x 2 arctgx + x 3

1 1 + x2

III. Н а хож дение пр оизв одной сл ож ной функ ции. П ус т ь G - с л ож ная ф ункция, т .е . G = G ( x ) , где x = ϕ (t ) . Т огда 1. ( G n ( x ) ) ' = n ⋅ G n−1 ( x ) ⋅ G ' ( x )

7. ( arcsin G ( x ) ) ' =

2. ( c os G ( x ) ) ' = − sin G ( x ) ⋅ G ' ( x )

8. ( arccos G ( x ) ) ' = −

3. (sin G (x ))' = cos G (x ) ⋅ G ' (x )

9. ( arctgG ( x ) ) ' =

4. ( tgG ( x ) ) ' =

10. (arcctgG(x ))' = −

1 ⋅ G '( x ) cos G ( x ) 1 5. ( ctgG ( x ) ) ' = − 2 ⋅ G '( x ) sin G ( x ) 2

(

1 1− G2 ( x )

⋅ G '( x)

1 1− G2 ( x )

⋅ G '( x)

1 ⋅ G '( x) 1+ G2 ( x) 1 ⋅ G ' (x ) 1 + G 2 (x )

)

11. e G ( x ) ' = e G ( x ) ⋅ G ' (x )

6. (a G ( x ) ) ' = a G ( x ) ln a ⋅ G ' (x ) т .е . каж ды й раз производная ф ункции умнож ае т с я напроизводную аргуме нт а. 8. y = sin 6 x y ' = (sin 6 x )' (6 x )' = 6 cos 6 x

9. y = (x 2 − x + 1)

3

(

) (

) (

)

y ' = 3 x 2 − x + 1 ⋅ x 2 − x + 1 ' = 3 x 2 − x + 1 (2 x − 1) 10. y = ln cos x 1 1 y '= ⋅ (cos x )' = (− sin x ) = −tgx cos x cos x 11. y = 5 x ⋅ sin x 2

4

y = ( 5 x )' ⋅ sin x + 5 x (sin x)' =

12. y = tg ( x 2 + 1) y=

1 −5 1 x sin x + 5 x cos x = 5 sin x + 5 x cos x = 5 4 5 5 x

1 2x ⋅ ( x 2 + 1)' = 2 2 cos ( x + 1) cos ( x 2 + 1) 2

2

 1  x  sin x + cos x   5x 

25

§3. Пр оизв одны е в ы сш их пор ядк ов . Д иффер енциа л П роизводная ф ункции y = f (x) т акж е явл яе т с я новой ф ункцие й т ого ж е аргуме нт а. П роизводная е е назы вае т с я производной вт орого порядкапо от нош е нию к ис ходной функции, т .е . y '' = ( y ' ( x ) ) ' , y ''' = ( y '' ( x ) ) ' Пр им ер . Д анафункция y = x 5 . Н айт и производную т ре т ь е го порядка y ' ' ' . y ' = 5 x 4 ; y '' = 20 x 3 ; y ''' = 60 x 2 . Д л я диф ф е ре нцируе мой ф ункции y = f ( x ) е е приращ е ние мож но пре дс т авит ь в виде : ∆y = A ⋅ ∆x + α ( ∆x ) ∆x , где α ( ∆x ) – бе с коне ч но мал ая ф ункция, при ∆x → 0 . О пр едел ение. Диф ференциа л о м dy ил и df ( x ) ф ункции y = f ( x ) в т оч ке x назы вае т с я гл авная л ине йная от нос ит е л ь но ∆x ч ас т ь приращ е ния функции в эт ой т оч ке, т .е . ∆y = f ′( x)∆x . П риращ е ние аргуме нт а ∆x обознач им как dx и т огда ∆y = f ′( x)dx - формул а диф ф е ре нцирования. Пр им ер . y = x3 + 4 x 2 . Н айт и dy . y ' = 3x 2 + 8 x

dy = ( 3 x 2 + 8 x ) dx

Д ифф е ре нциал ф ункции dy явл яе т с я функцие й т ого ж е аргуме нт а. Д иффе ре нциал от эт ой функции назы вае т с я дифф е ре нциал ом вт орого порядка ис ходной функции, т .е . d ( dy ) = d 2 y .

26

Г л а в а 4. Пр им енение диффер енциа л ьног о исчисл ения к иссл едов а нию функ ций §1. О снов ны е теор ем ы диффер енциа л ьног о исчисл ения Т еор ем а Ф ер м а . П ус т ь ф ункция y = f (x) опреде л е нанаинт е рвал е (a, b) и в не кот орой т оч ке x0 эт ого инт ервал а име е т наибол ь ш е е ил и наиме нь ш е е знач е ние , т .е . ∀x ∈ (a , b) , f ( x) ≤ f ( x0 ) ил и f ( x) ≥ f ( x0 ) . Т огда, е с л и в т оч ке x0 с ущ е с т вует производная, т о онаравнанул ю , т .е. f ' ( x0 ) = 0 . Т еор ем а Рол л я. П ус т ь наот ре зке [a, b] опре де л е наф ункция y = f (x) , прич е м: 1. f (x) не пре ры внана[a, b] . 2. f (x) диф ф е ре нцируе мана (a, b) . 3. f (a) = f (b) . Т огдас ущ е с т вуе т т оч кас ∈ (a, b) , в кот орой f ' (c) = 0 . Т еор ем а Л а г р а нж а . П ус т ь наот ре зке [a, b] опре де л е наф ункция y = f (x) , прич е м: 1. f (x) не пре ры внана[a, b] . 2. f (x) диф ф ере нцируе мана(a, b) . Т огда с ущ е с т вуе т т оч ка c ∈ (a, b) т акая, ч т о с праве дл ива формул а f (b ) − f ( a ) = f ' (c ) . b−a

§2. М онотонность функ ции. Э к стр ем ум функ ции и ег о на хож дение Т еор ем а . Е с л и ф ункция f (x) диф ф ере нцируе ма на инт е рвал е (a, b) и f ' ( x) > 0 ( f ' ( x) < 0 ), т о ф ункция возрас т ае т (убы вае т ) наинт е рвал е (a , b) . Т еор ем а . Е с л и ф ункция f (x) диф ф ере нцируе ма на инт е рвал е ( a , b) и f ' ( x) ≥ 0 ( f ' ( x) ≤ 0 ), т о ф ункция не убы вае т (не возрас т ает ) на(a , b) . О пр едел ение. Т оч ка x0 назы вае т с я т оч кой с тро го го ло ка л ьно го м а кс им ум а (м иним ум а ) ф ункции f (x) , е с л и дл я вс е х х из не кот орой δ-окре с т нос т и т оч ки x0 вы пол няе т с я не раве нс т во f ( x) < f ( x0 ) ( f ( x) > f ( x0 ) ) при х≠х0 . y

y max min

0

x0 -δ

x0 x0 +δ

x

0

x0 -δ

x0 x0 +δ

x

27

Л окал ь ны й макс имум (max) и л окал ь ны й минимум (min) объе диняю т с я общ им название м л о ка л ьны й э кс трем ум . Т еор ем а (необходимое ус л овие л окал ь ного экс т ре мума). Е с л и ф ункция f (x) име е т в т оч ке x0 л окал ь ны й экс т ре мум и дифф е ре нцируе мав эт ой т оч ке , т о f ' ( x0 ) = 0 . Э т и т оч ки назы ваю т с та цио на рны м и, ил и то чка м и во зм о ж но го э кс трем ум а . Е с л и т оч ка x0 - т оч кавозмож ного экс т ре мума, т .е . f ' ( x0 ) = 0 , т о она мож е т и не бы т ь т оч кой л окал ь ного макс имумаил и минимума. Н апример, y = x 3 , y' = 3 x 2 = 0 при x = 0 , но, т е м не ме не е , в т оч ке x = 0 не т л окал ь ного экс т ре мума. Т еор ем а ( дос т ат оч ное ус л овие л окал ь ного экс т ре мума). Е с л и ф ункция диф ф ере нцируе ма в не кот орой δ-окре с т нос т и т оч ки x0 . Т огда, е с л и f ' ( x) > 0 ( f ' ( x) < 0 ) дл я вс ех из ( x0 − δ , x0 ) (с л е ва от т оч ки x0 ), а f ' ( x) < 0 ( f ' ( x) > 0 ) дл я вс е х из ( x0 , x0 + δ ) (с права от т оч ки x0 ), т о в т оч ке x0 ф ункция f (x) име е т л окал ь ны й макс имум (минимум ). Е с л и ж е f ' ( x) во вс е й δ-окре с т нос т и т оч ки x0 име е т один и т от ж е знак, т о в т оч ке x0 л окал ь ного экс т ре мумане т . Д ругими с л овами, е с л и f ' ( x) при пе ре ходе ч е ре з т оч ку x0 ме няе т знак с «+» на«-», т о x0 - т оч кал окал ь ного макс имума; е с л и f ' ( x) при пе ре ходе ч ере з т оч ку x0 ме няе т знак с «-» на «+», т о x0 - т оч ка л окал ь ного минимума; е с л и f ' ( x) при пе ре ходе ч ере з т оч ку x0 знака не ме няе т , т о в т оч ке x0 экс т ре мумане с ущ е с т вуе т . Пр им ер . Н айт и т оч ки л окал ь ного экс т ре мумаф ункции f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + 1)3 . Ре ш е ние . Н айде м производную : f ' ( x) = 2( x − 1)( x + 1) 3 + 3( x + 1) 2 ( x − 1) 2 = ( x − 1)( x + 1) 2 (5 x − 1) . Н айде м f ' ( x) = 0 Ре ш ая уравне ние ( x − 1)( x + 1) 2 (5 x − 1) = 0 , находим т ри т оч ки возмож ного экс 1 5

т ре мума x1 = −1 , x2 = 1 , x3 = . +

+ -1

max 1/5

-

min 1

+

Знак f’(x) Знак f(x)

28

1 x = - т оч каmax, x = 1 - т оч каmin, x = −1 - не явл яет с я т оч кой экс т ре мума. 5

§3. Н а пр а в л ение в ы пук л ости и точк и пер ег иба П ус т ь функция y = f (x) диф ф е ре нцируе манаинт е рвал е (a, b) . Т огда с ущ е с т вует кас ат е л ь ная к граф ику функции y = f (x) в л ю бой т оч ке М ( x, f ( x)) эт ого граф ика( a < x < b ), прич е м кас ат е л ь ная не парал л е л ь наос и Oy , т ак как е е угл овой коэф ф ицие нт равны й f ' ( x) , коне ч е н. О пр едел ение 1. Б удем говорит ь , ч т о график ф ункции y = f (x) име е т на (a , b) вы пу кло с ть, на пра вл енную вниз (вверх), е с л и он рас пол ож е н не ниж е (не вы ш е ) л ю бой кас ат е л ь ной к граф ику функции на(a, b) . y

y вниз вве рх

0

a

b

x

0

a

b

x

Т еор ем а . Е с л и ф ункция y = f (x) име е т на инт ервал е (a, b) вт орую производную и f ' ' ( x) ≥ 0 ( f ' ' ( x) ≤ 0 ) во вс ех т оч ках (a , b) , т о граф ик ф ункции y = f (x) име е т на(a, b) вы пукл ос т ь , направл е нную вниз (вве рх). О пр едел ение 2. Т оч ка М ( x0 , f ( x0 )) назы вае т с я то чко й перегиб а граф ика ф ункции y = f (x) , е с л и в т оч ке М граф ик име е т кас ат е л ь ную и с ущ е с т вуе т т акая окре с т нос т ь т оч ки x0 , в пре де л ах кот орой граф ик функции y = f (x) с л е ваи с праваот т оч ки x0 име е т разны е направл е ния вы пукл ос т и. Т еор ем а (необходимое ус л овие т оч ки пе ре гиба) П ус т ь граф ик ф ункции y = f (x) име е т пе ре гиб в т оч ке М ( x0 , f ( x0 )) и пус т ь ф ункция y = f (x) име е т в т оч ке x0 не пре ры вную вт орую производную . Т огда f ' ' ( x) в т оч ке x0 обращ ае т с я в нул ь , т .е . f ' ' ( x) = 0 . Т оч ки М ( x0 , f ( x0 )) граф ика, дл я кот оры х f ' ' ( x) = 0 , назы ваю т с я критичес ким и. Т еор ем а (дос т ат оч ное ус л овие т оч ки пе ре гиба) П ус т ь ф ункция y = f (x) име е т вт орую производную в не кот орой окре с т нос т и т оч ки x0 . Т огда, е с л и в пре де л ах указанной окре с т нос т и f ' ' ( x) име е т разны е знаки с л е ваи с праваот т оч ки x0 , т о график y = f (x) име е т пе ре гиб в т оч ке М ( x0 , f ( x0 )) .

29

Пр им ер . Н айт и т оч ки пе ре гибаф ункции f ( x) = 3 x . Н айде м производную : f ' ( x) =

1 3

3 x2

.

Н айде м вт орую производную : f ' ' ( x) = −

2 3

9x x 2

. Вт орая производная в т оч ке

x = 0 не с ущ е с т вуе т , но график ф ункции f ( x) = 3 x име е т пере гиб в т оч ке (0, 0) , т ак как вт орая производная име ет с л еваи с праваразны е знаки. перегиб

+

0

-

Знак f’’(x) Знак f(x)

§4. А сим птоты г р а фик а функ ции П ри ис с л е довании пове де ния ф ункции на бе с конеч нос т и, т .е . при x → +∞ и при x → −∞ ил и вбл изи т оч е к разрыва2 рода, ч ас т о оказы вае т с я, ч т о график ф ункции с кол ь угодно бл изко прибл иж ае т с я к т ой ил и иной прямой. Т акие прямы е назы ваю т с я а с им пто та м и. Сущ е с т вую т т ри вида ас импт от : вертика л ьны е, го ризо нта л ьны е и на кло нны е. О пр едел ение 1. П рямая x = x 0 назы вае т с я вертика л ьно й а с им пто то й граф ика ф ункции y = f (x ) , е с л и хот я бы одно из пре де л ь ных знач е ний lim x→ x0

+

ил и lim равно + ∞ ил и − ∞ . x → x0

−

О пр едел ение 2. П рямая y = A назы вает с я го ризо нта льно й а с им пто то й f (x ) = A . граф икафункции y = f (x ) при x → +∞ ( x → −∞ ), е с л и x →lim +∞ ( x →−∞ )

О пр едел ение 3. П рямая y = kx + b , (k ≠ 0) назы вает с я на кло нно й а с им пто то й граф ика ф ункции y = f (x ) при x → +∞ ( x → −∞ ), е с л и функцию f (x ) мож но предс т авит ь в виде f (x ) = kx + b + α (x ) , где α ( x ) → 0 при x → +∞ ( x → −∞ ). Т еор ем а . Д л я т ого, ч т обы график ф ункции y = f (x ) име л при x → +∞ ( x → −∞ ) накл онную ас импт от у y = kx + b , не обходимо и дос т ат оч но, ч т обы с ущ е с т вовал и двапре де л а: x →lim +∞

( x → −∞ )

f (x ) = k и lim [ f (x ) − kx] = b . x →+∞ x ( x →−∞ )

30

Пр им ер . Н айт и ас импт от ы графикаф ункции y = Т оч ка x = 3

-

т оч ка разры ва 2

x 2 − 6x + 3 . x−3

рода данной ф ункции,

прич е м

x − 6x + 3 = −∞ , поэт ому прямая x = 3 - верт икал ь ная ас импт от а. x−3 2

lim−

x →3

( x →3 ) +

Н айде м накл онную ас импт от у, дл я эт ого, ис пол ь зуя формул ы , опре де л им знач е ния k и b : k = lim

x → +∞ ( x → −∞ )

f (x ) x − 6x + 3 = lim = lim 2 x x → +∞ → +∞ x ( x → −∞ ) x − 3 x ( x → −∞ ) 2

6 3 + x x2 =1 3 1− x

1−

3 −3+  x 2 − 6x + 3  − 3x + 3 x = −3 b = lim [ f (x ) − kx] = lim  − x  = lim = lim x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ 3 x − 3 x − 3  ( x → −∞ ) ( x → −∞ ) ( x → −∞ ) ( x → −∞ ) 1 − x

Т аким образом, пол уч ае м, ч т о граф ик ф ункции име е т накл онную ас импт от у: y = x − 3 .

§5. О бщ а я схем а иссл едов а ния функ ций и постр оения г р а фик ов О бщ ее ис с л е дование ф ункций и пос т рое ние их граф иков вы пол няе т с я по с л е дую щ е й с хе ме : 1. Н айт и обл ас т ь опре де л е ния. 2. О пре де л ит ь , явл яе т с я л и функция ч ет ной, не ч е т ной ил и общ е го вида. 3. О пре де л ит ь явл яе т с я л и ф ункция периодич е с кой. 4. О пре де л ит ь явл яе т с я л и ф ункция не пре ры вной ил и найт и т оч ки разры ва и опре де л ит ь их характ ер. 5. Н айт и т оч ки пере с е ч е ния граф икаф ункции с ос ями координат . 6. Н айт и ас импт от ы 7. Н айт и т оч ки возмож ного экс т ремума, инт е рвал ы возрас т ания и убы вания функции. 8. Н айт и т оч ки пере гибаграфикаф ункции и инт е рвал ы е го вы пукл ос т и вве рх и вниз. 9. П ос т роит ь граф ик ф ункции, ис пол ь зуя пол уч е нны е ре зул ь т ат ы ис с л е дования.

31

Рас с мот рим приме ры ис с л е дования ф ункции и пос т рое ния е е граф ика. Пр им ер 1. 4x 3 − x 4 , пос т роит ь график. 5 1. Ф ункция опре де л е нанавс е й ч ис л овой ос и, т .е . D( f ) = (− ∞, + ∞ ) .

И с с л е доват ь ф ункцию y =

2. П роверим ч ет нос т ь ф ункции, дл я эт ого рас с мот рим

4(− x ) − (− x ) − 4x 3 − x 4 4x 3 + x 4 = =− 5 5 5 П ол уч ае м, ч т о f (− x ) ≠ f (x ) , f (− x ) ≠ − f (x ) , знач ит , эт о ф ункция общ е го вида. 3

f (− x ) =

4

3. И с с л е дуе мая ф ункция не явл яе т с я пе риодич е с кой. 4. Д анная функция не преры внав каж дой т оч ке обл ас т и опре де л е ния, т .к. 4 x − x0 1 lim (4 x 3 − x 4 ) = 0 , т .е . lim f (x ) = f (x0 ) . x → x0 5 x → x0 5 3

4

5. Н айде м т оч ки пе ре с е ч е ния ф ункции с ос ями координат . x = 0 , т огда f (x ) = 0 f (x ) = 0 , при x = 4 , x = 0 . Знач ит , (4, 0) и (0, 0) - т оч ки пере с е ч е ния с координат ны ми ос ями. 6. Ве рт икал ь ных ас импт от функция не име е т , т .к. вс ю ду не пре ры вна. П рове рим, име е т л и ф ункция накл онную ас импт от у: y 1 = lim x 2 (4 − x ) = −∞ , x 5 x → +∞ y 1 k 2 = lim = lim x 2 (4 − x ) = +∞ x → −∞ x 5 x → −∞ k1 = lim

x → +∞

Сл е доват е л ь но, накл онной ас импт от ы функция не име е т . 7. f ' (x ) = x 2 (3 − x ) , f ' (x ) = 0 , при x = 0 и x = 3 , кот оры е явл яю т с я крит ич е 4 5

с кими т оч ками. И с с л е дуе м эт и т оч ки, опре де л яя знак производной, с л е ваи с праваот эт их т оч е к +

+ 0

max 3

-

Знак f’(x) Знак f(x)

f ' ( x ) > 0 при x ∈ (− ∞, 3) , т .е. функция наэт ом инт е рвал е возрас т ае т ;

f ' ( x ) < 0 при x ∈ (3, + ∞ ) , т .е. функция наэт ом инт е рвал е убы вае т . f ' (x ) при переходе ч ере з т оч ку x = 3 ме няе т знак с «+» на«-», т .е . эт о

т оч камакс имума, f max (3) = 5,4 . f ' (x ) при пе ре ходе ч е ре з т оч ку x = 0 не ме няе т знак, поэт ому в эт ой т оч ке экс т ре мумане т . 12 8. f ' ' (x ) = x (2 − x ) , f ' ' ( x ) = 0 при x = 0 и x = 2 . Э т и знач е ния x могут 5

бы т ь абс цис с ами т оч е к пе ре гиба. И с с л едуе м их, опре де л яя знак f ' ' с л е ваи с праваэт их т оч е к:

32

пе ре гиб

-

00

+

пе ре гиб

-

2

Знак f’’(x) Знак f(x)

f ' ' (x ) < 0 при x ∈ (− ∞, 0 ) U (2,+∞ ) , т .е. функция наэт их инт ервал ах име е т

вы пукл ос т ь , направл е нную вве рх; f ' ' (x ) > 0 при x ∈ (0, 2 ) , т .е. функция наэт ом инт е рвал е име е т вы пукл ос т ь , направл е нную вниз; f ' ' ( x ) при пе реходе ч ере з т оч ки x = 0 , x = 2 функция име е т разны е направл е ния вы пукл ос т и, т .е . эт о т оч ки пе ре гиба, f (2) =

16 = 3,2 , f (0 ) = 0 . 5

Уч ит ы вая вс е пол уч е нны е ре зул ь т ат ы ис с л е дования, с т роим граф ик:

Пр им ер 2. И с с л е доват ь ф ункцию y =

1 − x3 , пос т роит ь график. x2

1. Ф ункция опре де л е нанавс е й ч ис л овой ос и, кроме т оч ки x = 0 , т .е . D( f ) = (− ∞, 0 ) U (0, + ∞ ) . 2. П роверим ч ет нос т ь ф ункции, дл я эт ого рас с мот рим f (− x ) =

1 − (− x )

(− x )2

3

=

1+ x3 x2

П ол уч ае м, ч т о f (− x ) ≠ f (x ) , f (− x ) ≠ − f (x ) , знач ит , эт о ф ункция общ е го вида. 3. И с с л е дуе мая ф ункция не явл яе т с я пе риодич е с кой. 4. Д анная функция не преры внав каж дой т оч ке обл ас т и опре де л е ния, т .к. 1 − x 3 1 − x0 lim = , т .е . xlim f (x ) = f (x 0 ) . 2 x → x0 → x0 x2 x0 3

1 − x3 В т оч ке x = 0 функция име е т разры в 2 рода, т .к. lim− 2 = +∞ . x →0 x

5. Н айде м т оч ки пе ре с е ч е ния ф ункции с ос ями координат . f ( x ) = 0 , при x = 1 . Т оч ка (1, 0 ) - т оч капе ре с е ч е ния с ос ь ю абс цис с . С ос ь ю ординат пе ре с еч е ния не т , т ак как т оч ка x = 0 , не явл яе т с я т оч кой обл ас т и опре де л е ния.

33

6. П рямая x = 0 (ос ь ординат ) явл яе т с я ве рт икал ь ной ас импт от ой, т .к. при x = 0 онаиме е т бе с коне ч ны й разры в. 7. П роверим, име е т л и ф ункция накл онную ас импт от у: 1 − x3 y = lim = −1 . x → +∞ x x → +∞ x3 1− x3  1 b = lim ( y − kx ) = lim  2 + x  = lim 2 = 0 . → +∞ x → +∞ x → +∞ x x   x Сл е доват е л ь но, прямая y = − x - накл онная ас импт от а. k = lim

x3 + 2 , f ' (x ) = 0 , при x = −3 2 , кот орая явл яе т с я крит ич е с кой т оч 3 x кой; f ' (x ) не с ущ е с т вуе т в т оч ке x = 0 , но эт ат оч кане явл яе т с я крит ич е с кой, т .к. x = 0 ∉ D( f ) .

8. f ' (x ) = −

-

min

+

−3 2

0

Знак f’(x) Знак f(x)

( ) f ' (x ) < 0 при x ∈ (− ∞, − 2 ) U (0, + ∞ ) , т .е . ф ункция наэт ом инт ервал е убы вае т . f ' ( x ) > 0 при x ∈ − 3 2 , 0 , т .е. функция наэт ом инт е рвал е возрас т ае т ; 3

f ' ( x ) при пе ре ходе ч е ре з т оч ку x = −3 2 ме няе т знак с «-» на«+», т .е . эт о 3 т оч каминимума, f min − 3 2 = 3 . 4

(

9.

f ' ' (x ) =

6 x4

)

, f ' ' (x ) ≠ 0 , f ' ' (x ) не с ущ е с т вуе т при x = 0 , но т .к. x = 0 т оч ка

разры ва, т о граф ик ф ункции не имее т пере гибав эт ой т оч ке . П о вс е й обл ас т и опре де л е ния f ' ' (x ) > 0 , поэт ому е е граф ик вс ю ду обращ е н вы пукл ос т ь ю вниз. Уч ит ы вая вс е пол уч е нны е ре зул ь т ат ы ис с л е дования, с т роим граф ик:

34

Г л а в а 5. Н еопр едел енны й и опр едел енны й интег р а л ы §1. Пер в ообр а зна я функ ции О дной из ос новны х задач дифф ере нциал ь ного ис ч ис л е ния явл яе т с я от ы с кание производной заданной ф ункции. Разнообразны е вопрос ы мат е мат ич е с кого анал иза и е го многоч ис л е нны е прил ож е ния в геоме т рии, ме ханике , физике и т е хнике приводят к обрат ной задач е : по данной функции f (x) найт и т акую функцию F (x) , производная кот орой бы л а бы равна ф ункции f (x) , т .е. F ' ( x) = f ( x) . О пр едел ение 1. Ф ункция F (x) назы вае т с я перво о б ра зно й дл я функции f (x) нане кот ором проме ж ут ке Х, е с л и дл я вс е х знач е ний x из эт ого проме ж ут кавы пол няе т с я раве нс т во F ' ( x) = f ( x) . Пр им ер ы . 1. Ф ункция F ( x) = sin x явл яе т с я первообразной дл я вс е й ч ис л овой прямой, т ак как при л ю бом знач е нии 2. Ф ункция F ( x) = x3 явл яе т с я пе рвообразной дл я вс е й ч ис л овой прямой, т ак как при л ю бом знач е нии

ф ункции f ( x) = cos x на x (sin x)' = cos x . ф ункции f ( x ) = 3x 2 на x ( x3 )' = 3 x 2 .

Т еор ем а . Ес л и ф ункция F (x) - пе рвообразная дл я ф ункции f (x) нанекот ором проме ж ут ке Х, т о л ю бая другая пе рвообразная дл я f (x) на т ом ж е проме ж ут ке мож е т бы т ь пре дс т авл е нав виде F ( x) + с , где с – произвол ь ная пос т оянная. О пр едел ение 2. Е с л и ф ункция F (x) пе рвообразная дл я ф ункции f (x) на не кот ором проме ж ут ке Х, т о множ е с т во ф ункций F ( x) + с , где с – произвол ь ная пос т оянная, назы вае т с я нео предел енны м интегра л о м от функции f (x) наэт ом проме ж ут ке и обознач ает с я ∫ f ( x)dx = F ( x) + c . П ри эт ом ф ункция f (x) назы вае т с я поды нт е грал ь ной ф ункцие й, f ( x ) dx - поды нт е грал ь ны м вы раж е ние м, пе ре ме нная x – пе ре ме нной инт е грирования. О т ы с кание не опре де л е нного инт е грал а по данной поды нт е грал ь ной ф ункции назы вае т с я инт е грирование м эт ой функции. Вве де нная операция - инт е грирование функции, в от л ич ие от опе рации дифф е ре нцирования, многознач на. Э т им объяс няет с я т ермин «не опре де л е нны й инт е грал ». Св ой ств а неопр едел енног о интег р а л а 1. Н еопре де л е нны й инт е грал от ал ге браич е с кой с уммы двух ф ункций раве н ал ге браич е с кой с умме инт е грал ов, т .е . ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .

35

2. П ос т оянны й множ ит е л ь мож но вы не с т и из-под знака инт е грал а, т .е. ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx, k ≠ 0 . Т а бл ица основ ны х интег р а л ов 1. 2. 3. 4. 5.

x n +1 n + С , n ≠ −1 x dx = ∫ n +1 dx ∫ x = ln x +С x x ∫ e dx = e + С ax +С ln a ∫ cos xdx = sin x + С x ∫ a dx =

6.

∫ sin xdx = − cos x + С

7.

∫x

2

dx 1 x = arctg + С 2 a a +a

dx

8.

∫ cos

9.

∫ sin

10.

∫

11. 12. 13. 14.

2

x

dx 2

x dx

= tgx + С = −ctgx + С

= arcsin x + С = − arccos x + С 1 − x2 dx ∫ 1 + x 2 = arctgx + С = −arcctgx + С dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + С dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + С

∫

dx x +λ 2

= ln x + x 2 + λ + С

§2. О пр едел енны й интег р а л П ус т ь ф ункция y = f (x) опре де л е на на [a, b] , a < b . Разобь е м [a, b] наn произвол ь ны х ч ас т е й т оч ками: a = x0 < x1 < x2 < .... < xi −1 < xi < ..... < xn = b . Т оч ки, разде л яю щ ие от ре зок [a, b] на ч ас т ич ны е от ре зки [xi −1 , xi ] дл иной ∆x = xi − xi −1 , буде м назы ват ь т оч ками разбие ния. Вы бере м в каж дом из ч ас т ич ных от ре зков [xi −1, xi ] т оч ку ξ i : [xi −1 ≤ ξ i ≤ xi ] О бразуе м с умму σ :

y ∆xn

f(ξn) f(ξ2) f(ξ1)

0

∆xi ∆x1

∆x 2

x0=a ξ1 x1 ξ2 x2

xi-1 ξi xi x n-1 ξn xn

x

n

σ = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ 2 ) ∆x2 + ... + f (ξ i ) ∆xi + .... + f (ξ n )∆xn = ∑ f (ξ i )∆xi , i =1

кот орую назове м инт е грал ь ной с уммой дл я ф ункции f (x) на[a, b] , с оот ве т с т вую щ е й данному разбие нию [a, b] нач ас т ич ны е от ре зки и данному вы бору проме ж ут оч ны х т оч е к ξ i . Ге оме т рич е с кий с мы с л с уммы σ : эт о с умма пл ощ аде й прямоугол ь ников с ос нованиями ∆xi и вы с от ами f (ξ i ) . О бознач им ч ере з λ дл ину наибол ь ш е го ч ас т ич ного от ре зка разбие ния λ = max{∆xi } . 1≤ i ≤ n

36

О пр едел ение. Е с л и с ущ е с т вуе т коне ч ны й пре де л I инт е грал ь ной с уммы при λ → 0 , т о эт от преде л назы вае т с я о предел енны м интегра л о м от ф ункb

ции f (x) по от ре зку [a, b] и обознач ае т с я I = ∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ 0 n

→

a

i =1

Ф ункция f (x) назы вает с я инт е грируе мой на [a, b] , ч ис л о а – ниж ним пре де л ом, ч ис л о b – ве рхним пре де л ом, f (x) - поды нт е грал ь ной функцие й, x – пе ре ме нной инт е грирования. Св ой ств а опр едел енног о интег р а л а a

1.

∫ f ( x)dx = 0 . a

b

2.

∫ a

a

f ( x)dx = −∫ f ( x)dx . b

3. К аковы

бы

ни бы л и ч ис л а а , b, с , име е т

b

c

b

a

a

c

ме с т о раве нс т во:

∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . 4. П ос т оянны й множ ит е л ь мож но вы нос ит ь за знак опреде л е нного инт е b

b

a

a

грал а: ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . 5. О пре де л е нны й инт е грал от ал ге браич ес кой с уммы ф ункций раве н ал b

b

b

a

a

a

ге браич е с кой с умме их инт е грал ов: ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x )dx . b

6.

∫ dx = b − a . a

Св язь м еж ду интег р а л ом и пер в ообр а зной (фор м ул а Н ью тона - Л ей бница ) b

b Е с л и F (x) пе рвообразная дл я f (x) на[a, b] , т о ∫ f (x )dx = F (b) − F (a) = F ( x) a a

Пр им ер ы 1

1.

∫x

7

dx =

0

π 4

2.

1 8 x 8

1 0

∫ cos xdx =sin x

1 1 1 = ⋅ 18 − ⋅ 0 = . 8 8 8 π 4 0

= sin

0

π 2 2 − sin 0 = −0= . 4 2 2

§3. О снов ны е м етоды интег р ир ов а ния I. Н епоср едств енное интег р ир ов а ние 1 1 1. ∫  x 5 + 2 − 7 sin x + − 5 dx = 

x

x



пре дс т авим инт е грал как с умму инт е грал ов, пос т оянны й множ ит е л ь вы не с е м зазнак инт е грал а(ис пол ь зуя с войс т ванеопреде л е нного инт е грал а):

37

dx dx − 7∫ sin xdx + ∫ − 5∫ dx = 2 x x

= ∫ x 5 dx + ∫

ис пол ь зуя формул ы 1, 2 и 6 т абл ицы ос новных инт е грал ов, находим: x6 1 − + 7 cos x + ln x − 5 x + C 6 x 2. ∫ 2 2x 3 x 5 x dx = =

пре образуе м поды нт е грал ь ную ф ункцию , ис пол ь зуя формул у a x b x = (ab) x , и вос пол ь зуе мс я формул ой 4 т абл ицы ос новны х инт е грал ов:

(

)

x

= ∫ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 dx = ∫ 60 x dx = dx

∫

3.

2− x

2

= arcsin

x 2

60 x +С ln 60

+C

И нт е грал т абл ич ны й, по формул е 13, где a = 2 : x4 ∫ 1 + x 2 dx =

4.

инт е грал

т абл ич ны й, x = x − 1 + 1 = (x + 1)(x 2 − 1) + 1 : 4

не

4

=∫

(x

2

поэт ому

пре образуе м

е го.

Т ак

как

2

(x 2 + 1)(x 2 − 1) dx + dx = (x 2 − 1)dx + arctgx + C = x 3 − x + arctgx + C + 1)(x 2 − 1) + 1 dx = ∫ 1+ x2 ∫ 1 + x2 ∫ 3 1+ x2

II. М етод подв едения функ ции под зна к диффер енциа л а 5. ∫ cos 5 xdx =

П е ре йде м к новой пере ме нной инт е грирования. Т .к. d (5 x ) = 5dx , умнож им и разде л им данны й инт е грал на5: =

1 1 cos 5 xd (5 x ) = sin 5 x + C ∫ 5 5

6. ∫ cos 5 x ⋅ sin xdx = − ∫ cos 5 xd (cos x ) = −

cos 6 x +C 6

П е реходим к новой пе ре ме нной инт е грирования, d (cos x ) = − sin xdx . Умнож им и разде л им данны й инт е грал на-1: 7.

(arctgx)4 dx = (arctgx)4 d (arctgx ) = (arctgx )5 ∫ ∫ 2 1+ x

5

+C

П е реходим к новой пере ме нной инт е грирования, d (arctgx ) =

1 dx . 1 + x2

III . М етод за м ены пер ем енной : (вводя новую пере ме нную , не обходимо вс е с ос т авл яю щ ие поды нт е грал ь ного вы раж е ния заме нит ь ч е ре з не е ) 8.

∫

e

2 x −1

2x − 1

dx =

П ол ож им t = 2 x − 1 , т огда x =

t2 +1 1 ; dx = ⋅ 2 ⋅ tdt = tdt . Н аходим 2 2

38 t

e tdt = ∫ e t dt = e t + C . Возвращ аяс ь к пе ре ме нной x , оконч ат е л ь но име е м: t e 2 x −1 2 x −1 ∫ 2 x − 1dx = e + C 9. ∫ 3 1 − 4 x dx = =∫

Вос пол ь зуе мс я заме ной t = 3 1 − 4 x , т огда x =

1− t3 3 ; dx = − t 2 dt . Т огда 4 4

3 3 3 t ⋅ t 2 dt = − ∫ t 3 dt = − t 4 + C . О конч ат е л ь но име е м: ∫ 4 4 16 3 3 3 ∫ 1 − 3x dx = − 16 (1 − 4 x ) 1 − 4 x + C .

=−

IV. М етод интег р ир ов а ния по ча стям с ис пол ь зование м формул ы ∫ UdV = UV − ∫ VdU , где U и V - дифф е ре нцируе мы е функции от x . П риме не ние эт ой формул ы це л е с ообразно в т ех с л уч аях, когдапос л е дний инт е грал будет прощ е ис ходного ил и подобны й е му. За U принимае т с я ф ункция, кот орая при диф фе ре нцировании упрощ ае т с я (наприме р: arcsin x, arccos x, ln 3 x, x 4 ), за dV вс е гда вы бирае т с я т акое вы раж е ние , с одерж ащ е е dx , из кот орого пос ре дс т вом инт е грирования мож но найт и V . 10. ∫ x ln xdx = 1 x

П ол ож ив u = ln x; dv = xdx , найде м du = dx; v = ∫ xdx =

x2 , подс т авл яя в фор2

мул у, пол уч им: x2 x2 1 x2 1 x2 x2 x2  1 ln x − ∫ ⋅ dx = ln x − ∫ xdx = ln x − +C =  ln x −  + C 2 2 x 2 2 2 4 2  2 11. ∫ xarctgxdx = =

П ол ож ив u = arctgx; dv = xdx , найде м du = л у, пол уч им: =

1 x2 dx ; v = , подс т авл яя в форму2 x2 +1

x2 1 x2 arctgx − ∫ 2 dx = 2 2 x +1

пос л е дний инт е грал ре ш им от де л ь но:

∫

x2 x2 +1−1 x2 + 1 1 1 dx = dx = dx − ∫ 2 dx = ∫ dx − ∫ 2 dx = x − arctgx + С ∫ ∫ 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1

подс т авл яе м в ис комы й инт е грал : x2 x 1 x 2 +1 x arctgx − + arctgx + C = arctgx − + C 2 2 2 2 2 x 12. ∫ e sin xdx = =

П ол ож ив u = e x ; dv = sin xdx , найде м du = e x dx; v = ∫ sin xdx = − cos x , подс т авл яя в ф ормул у, пол уч им: = −e x cos x + ∫ e x cos xdx =

39

Д л я ре ш е ния пол уч е нного инт е грал авос пол ь зуе мс я инт е грирование м по ч ас т ям. П ол ож ив u = e x ; dv = cos xdx , найде м du = e x dx; v = ∫ cos xdx = sin x , под-

с т авл яя в формул у, пол уч им: = −e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin xdx

П е ре нос я инт е грал из правой ч ас т и в л е вую , пол уч ае м: 2∫ e x sin xdx = −e x cos x + e x sin x + С

О конч ат е л ь но име е м: ∫ e x sin xdx =

ex (sin x − cos x ) + С 2

V. И нтег р ир ов а ние с пом ощ ью фор м ул 1 [sin (α + β ) + sin (α − β )] 2 1 cos α ⋅ cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α ⋅ sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 1 13. ∫ sin 2 x sin 4 xdx = ∫ [cos(2 x − 4 x ) − cos(2 x + 4 x )]dx = ∫ [cos(− 2 x ) − cos 6 x]dx = 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos 2 xdx − ∫ cos 6 xdx = sin 2 x − sin 6 x + C 2 2 4 12 sin α ⋅ cos β =

Г л а в а 6. Ф унк ции м ног их пер ем енны х. §1. Понятие функ ции м ног их пер ем енны х О пр едел ение. Е с л и упорядоч е нной паре ( x, y ) из не кот орого ч ис л ового множ е с т ва D = {( x, y )} пос т авл е но в с оот ве т с т вие , с огл ас но не кот орому правил у f , ч ис л о z из множ е с т ва Z , т о говорят , ч т о намнож е с т ве D заданаф ункция z = f ( x, y ) . П е ре ме нны е x и y назы ваю т с я не завис имы ми пе ре ме нны ми ил и аргуме нт ами, z - завис имая пе ре ме нная ил и ф ункция двух пе ре ме нны х, D - обл ас т ь опре де л е ния ф ункции, Z = { f ( x, y )} - множ е с т во знач е ний ф ункции. Т ак как каж дой упорядоч е нной паре ч ис е л ( x, y ) при ф икс ированной прямоугол ь ной с ис т е ме координат с оот вет с т вуе т е динс т ве нная т оч ка М пл ос кос т и и, обрат но, каж дой т оч ке М с оот ве т с т вуе т е динс т ве нная упорядоч е нная парач ис е л ( x, y ) , т о ф ункцию двух пе ре ме нны х мож но рас с мат риват ь как ф ункцию т оч ки М и вме с т о z = f ( x, y ) пис ат ь z = f (M ) , где M = ( x, y ) . О бл ас т ь ю опреде л е ния ф ункции в эт ом с л уч ае явл яе т с я не кот орое множ е с т во {М } т оч е к пл ос кос т и.

40

Анал огич но мож но опре де л ит ь функцию л ю бого конеч ного ч ис л а z = f (M ) , где не завис имы х пе ре ме нны х z = f ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ил и M = ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) . П риме ры ф ункции двух пе ре ме нны х: 1. z = x 2 + y 2 . О бл ас т ь опре де л е ния эт ой ф ункции – множ е с т во {М } вс ех пар ч ис е л ( x, y ) , т .е . вс я пл ос кос т ь xOy , амнож е с т во знач е ний – проме ж ут ок Z = [0, + ∞) . 2. z = 1 − x 2 − y 2 . О бл ас т ь ю опре де л е ния данной функции явл яет с я множ е с т во вс ех т оч е к, дл я кот орых вы раж е ние 1 − x 2 − y 2 опре де л е но, т .е . множ е с т во т оч е к, дл я кот оры х 1 − x 2 − y 2 ≥ 0 ил и x 2 + y 2 ≤ 1 , - эт о круг с це нт ром в нач ал е координат и радиус ом – е диница. М нож е с т во знач е ний –от ре зок [0,1] . §2. Ча стны е пр оизв одны е и диффер енциа л ы 1-г о пор ядк а дл я функ ции м ног их пер ем енны х П ус т ь функция z = f (M ) опре де л е нав не кот орой окре с т нос т и т оч ки M ( x, y ) . П ридадим пе ре ме нной x в т оч ке M произвол ь ное приращ е ние ∆x , ос т авл яя знач е ние пе ре ме нной y не изме нны м, т .е . пере йде м напл ос кос т и от т оч ки M ( x, y ) к т оч ке M 1 ( x + ∆x, y ) . П ри эт ом ∆x т аково, ч т о M 1 л е ж ит в указанной окре с т нос т и т оч ки M . Т огда с оот ве т с т вую щ е е приращ е ние ф ункции ∆ z x = f ( x + ∆ x, y ) − f ( x , y )

назы вае т с я ча с тны м прира щ ением ф ункции по перем енно й x в то чке M ( x, y ) . Анал огич но опре де л яе т с я ч ас т ное приращ е ние ф ункции по пе реме нной y : ∆ z y = f ( x , y + ∆ y ) − f ( x, y ) . О пр едел ение. Ч а с тно й про изво дно й ф ункции z = f ( x, y ) по пе ре ме нной x назы вае т с я конеч ны й пре де л при ∆x → 0 от нош е ния: lim

∆x → 0

Анал огич но:

∆z x ∂z f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) = lim = = f x ' ( x, y ) ∆x → 0 ∆x ∆x ∂x

Ч а с тно й про изво дно й функции z = f ( x, y ) по перем енно й y назы вае т с я коне ч ны й пре де л при ∆y → 0 от нош е ния: lim

∆y → 0

∆z y ∂z f ( x, y + ∆ y ) − f ( x, y ) = lim = = f y ' ( x, y ) . ∆ y → 0 ∆y ∆y ∂y

Пр им ер ы . 1. z = x 2 − 2 xy 2 + y 3 . Н айт и ч ас т ны е производны е

∂z ∂z , . ∂x ∂y

41

∂z = 2 x − 2 y 2 , y рас с мат ривает с я как пос т оянная ф ункция. ∂x ∂z = −4 xy + 3 y 2 . ∂y 2. z = x 2 sin y ∂z ∂z = 2 x sin y , = x 2 cos y . ∂x ∂y

§3. Д иффер енциа л функ ции м ног их пер ем енны х П о л ны м прира щ ением функции z = f ( M ) в то чке M ( x, y ) , с оот ве т с т вую щ им приращ е ниям ∆x и ∆y пе ре ме нны х x и y , назы вает с я ф ункция ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )

О пр едел ение 1. Ф ункция z = f (M ) на зы ва етс я диф ференцируем о й в т оч ке M , е с л и е е пол ное приращ е ние в эт ой т оч ке мож е т бы т ь предс т авл е но в виде :

∆z = A∆x + B∆y + α (∆x, ∆y )∆x + β (∆x, ∆y )∆y где A и B - не кот оры е не завис ящ ие от ∆x и ∆y ч ис л а; α (∆x, ∆y ) и β (∆x, ∆y ) бе с конеч но мал ы е при ∆x → 0 , ∆y → 0 функции.

Т еор ем а . Е с л и ф ункция z = f ( M ) диф ф ере нцируе ма в т оч ке M ( x, y) , т о она име ет в эт ой т оч ке ч ас т ны е производны е f x '( x, y ) и f y '( x, y ) , прич е м f x '( x, y) = A , f y '( x, y) = B . О пр едел ение 2. Дифф еренциа л о м dz дифф е ре нцируе мой в т оч ке M ф ункции z = f (M ) назы вае т с я л ине йная от нос ит е л ь но приращ е ний ∆x и ∆y ч ас т ь пол ного приращ е ния эт ой ф ункции в т оч ке M , т .е. dz = A∆x + B∆y . ил и dz = f x '( x, y)∆x + f y '( x, y )∆y Д ифф е ре нциал ами не завис имых пе ре ме нны х x и y назове м приращ е ние эт их пере ме нны х: dx = ∆x и dy = ∆y . Т огда дифф е ре нциал ф ункции мож но запис ат ь в виде :

dz = f x '( x, y)dx + f y '( x, y )dy =

Пр им ер ы . 1. y = arctg 2 xy ∂z 2y ∂z 2x , = = 2 2 ∂x 1 + 4 x y ∂y 1 + 4 x 2 y 2 2y 2x dz = dx + dy 2 2 1 + 4x y 1 + 4x2 y 2

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

2. z = xye x + 2 y ∂z ∂z = ye x + 2 y (1 + x), = xe x +2 y (1 + 2 y ) ∂x ∂y x+ 2 y dz = ye (1 + x )dx + xe x+ 2 y (1 + 2 y )dy

42

§4. Ча стны е пр оизв одны е в ы сш их пор ядк ов П ус т ь ч ас т ны е производны е

f x '( x, y ) =

∂z ∂x

и

f y '( x, y ) =

∂z ∂y

функции

z = f ( М ) , опре де л е нной в окре с т нос т и т оч ки M , с ущ е с т вую т в каж дой

т оч ке эт ой окре с т нос т и, назове м их ч ас т ны ми производны ми пе рвого порядка. В с вою оч ере дь ч ас т ны е производны е по пе ре ме нны м x и y от ф ункций f x '( x, y ) и f y '( x, y ) , е с л и они с ущ е с т вую т , назы ваю т с я ч ас т ны ми производны ми вт орого порядка от ф ункции z = f ( М ) в эт ой т оч ке и обознач аю т с я: ∂  ∂z  ∂ 2 z ∂  ∂z  ∂ 2 z  = = f yy ' ' (x, y )   = 2 = f xx ' ' (x, y ) ; ∂y  ∂y  ∂y 2 ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂z  ∂ 2 z ∂  ∂z  ∂ 2 z   = = f xy ' ' (x, y ) ; = f yx ' ' (x, y )  = ∂x  ∂y  ∂x∂y ∂y  ∂x  ∂y∂x

Ч ас т ны е производны е вт орого порядкавида f xy ''( x, y) и f yx ''( x, y ) назы ваю т с я с ме ш анны ми ч ас т ны ми производны ми. Т еор ем а . Е с л и производны е f xy ''( x, y) и f yx ''( x, y) с ущ е с т вую т в не кот орой δ окрес т нос т и т оч ки M ( x, y) и не пре ры вны в с амой т оч ке M , т о они равны ме ж ду с обой в эт ой т оч ке , т .е . име е т ме с т о раве нс т во f xy ''( x, y ) = f yx ''( x, y ) . Запиш е м ч ас т ны е производны е т рет ь е го порядка: ∂  ∂2 z  ∂3z ∂  ∂ 2 z  ∂3 z ∂  ∂ 2 z  ∂3 z ∂3 z ∂  ∂2z  ∂3z ∂3 z  2  =   ; = = =  2= 3 ;  2= 3 ; ∂x  ∂x  ∂x ∂y  ∂y  ∂y ∂x  ∂y  ∂x∂y 2 ∂y 2 ∂x ∂y  ∂x 2  ∂y∂x 2 ∂x 2 ∂y

. Пр им ер ы . 1. z = sin x cos y . Н айт и d 2 z . ∂2 z 2 ∂2 z ∂2 z 2 dx + dxdy + dy ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂z ∂z ∂2 z ∂2z = cos x cos y ; = − sin x sin y ; 2 = − sin x cos y ; = − sin x cos y ; ∂x ∂y ∂x ∂y 2

d 2z =

∂2 z ∂2 z = − cos x sin y ; = − cos x sin y . ∂x∂y ∂y∂x d 2 z = − sin x cos ydx 2 − cos x sin ydxdy − sin x cos ydy 2 .

2. z = x 2 + 2 xy + y 4 . Н айт и d 2 z . ∂z ∂z ∂2z ∂2z ∂2z 2 = 2x + 2 y ; = 2 x + 4 y3 ; = 2 ; = 12 y ; = 2; ∂x ∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 d 2 z = 2dx 2 + 2dxdy + 12 y 2 dy 2 .

43

§5. Э к стр ем ум функ ции дв ух пер ем енны х П ус т ь функция z = f ( x, y ) опреде л е на в не кот орой окре с т нос т и т оч ки M 0 ( x0 , y0 ) . О пр едел ение. Говорят , ч т о ф ункция z = f ( x, y ) име е т в т оч ке M 0 л о ка л ьны й м а кс им ум (м иним ум ), ес л и с ущ е с т вуе т т акая окре с т нос т ь т оч ки M 0 , в кот орой дл я л ю бой т оч ки M ( x, y) вы пол няе т с я не раве нс т во f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) , ( f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ) . Т оч ки л окал ь ного макс имума и л окал ь ного минимума назы ваю т с я т оч ками э кс трем ум а . И з опре де л е ния с л е дует , ч т о е с л и ф ункция z = f ( x, y ) име е т экс т ре мум в т оч ке M 0 , т о пол ное приращ е ние ∆z = f ( M ) − f ( M 0 ) эт ой ф ункции в т оч ке M 0 удовл е т воряе т в некот орой окре с т нос т и т оч ки M 0 одному из с л е дую щ их нераве нс т в: ∆z ≤ 0 (в с л уч ае л окал ь ного макс имума) ∆z ≥ 0 (в с л уч ае л окал ь ного минимума) И обрат но, е с л и в не кот орой окре с т нос т и т оч ки M 0 вы пол няе т с я одно из эт их не раве нс т в, т о ф ункция име ет экс т ре мум в т оч ке M 0 . Т еор ем а (необходимы е ус л овия экс т ре мума) Е с л и ф ункция f ( x, y ) име е т в т оч ке M 0 ( x0 , y0 ) экс т ре мум и име е т в т оч ке M 0 ч ас т ны е производны е пе рвого порядка, т о в эт ой т оч ке ч ас т ны е производны е первого порядка равны нул ю , т .е . f x ' (x 0 , y 0 ) = f y ' (x 0 , y 0 ) = 0 ил и ∂z ( M 0 ) ∂z (M 0 ) = = 0. ∂x ∂y

Т оч ки, в кот орых ч ас т ны е производны е пе рвого порядкаравны нул ю ил и не с ущ е с т вую т , назы ваю т с я то чка м и во зм о ж но го э кс трем ум а , ил и с та цио на рны м и. Т еор ем а (дос т ат оч ны е ус л овия экс т ре мума) П ус т ь в т оч ке возмож ного экс т ре мума M 0 ( x0 , y0 ) и не кот орой е е окре с т нос т и функция f ( x, y ) име е т не пре ры вны е ч ас т ны е производны е вт орого порядка. П ол ож им: A=

∂2 z ∂2z ∂2 z ( M ) , B = ( M ), C = (M 0 ), ∆ = AB − C 2 0 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y

Т огда: 1. Е с л и ∆ > 0 , т о в т оч ке M 0 ф ункция име е т экс т ремум, прич е м при A > 0 - л окал ь ны й минимум, при A < 0 - л окал ь ны й макс имум. 2. Е с л и ∆ < 0 , т о в т оч ке M 0 экс т ре мумане т . 3. Е с л и ∆ = 0 , т о необходимы допол нит е л ь ны е ис с л е дования.

44

Пр им ер . И с с л е доват ь наэкс т ре мум ф ункцию I. z = x 2 − y 2 . 1.

∂z = 2x , ∂x

∂z = −2 y , ∂y

2. Ре ш ая с ис т е му уравне ний (приме няе м т е оре му о необходимы х ус л о2 x = 0 , пол уч ае м т оч ку возмож ного экс т ре мума −2 y = 0

виях экс т ремума)  M 0 (0, 0) .

3. П рове ряе м дос т ат оч ны е ус л овия экс т ремума: ∂2 z ∂2 z ∂2 z = 2, = = − 2, = = 0, B C ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∆ = AB − C 2 = −4 < 0 - экс т ре мумане т . A=

II. z = x3 + y 3 − 3xy + 1 1.

∂z ∂z = 3x 2 − 3 y , = 3 y 2 − 3x ∂x ∂y 3 x 2 − 3 y = 0  x 2 − y = 0  y = x 2 ⇔ ⇔ , пол у 2  2 2 3 y − 3 x = 0  y − x = 0  y − x = 0

2. Ре ш ая с ис т е му уравне ний 

ч ае м т оч ки возмож ного экс т ре мума- M 0 (1, 1) ил и M 0 (0, 0) . 3. П рове ряе м дос т ат оч ны е ус л овия экс т ремумадл я т оч ки M 0 (1, 1) : ∂2 z ∂2z ∂2 z = 6 x , B = = 6 y , C = = −3 , ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∆ = AB − C 2 = 36 − 9 > 0 - экс т ре мум е с т ь . A > 0 - л окал ь ны й минимум. Д л я т оч ки M 0 (0, 0) пол уч ае м ∆ = АВ − С 2 = −9 < 0 - экс т ре мумане т . A=

Г л а в а 7. Э л ем енты л иней ной а л г ебр ы §1. Понятие в ек тор а . О пр едел ение. Л ю бой упорядоч е нны й набор из n де йс т вит е л ь ны х ч ис е л a1 , a2 , a3 ,... an назы вае т с я n -ме рны м векто ро м a , при эт ом ч ис л а, с ос т авл яю щ ие упомянут ы й набор, назы ваю т с я координат ами вект ора a . К оординат ы n -ме рного ве кт ора a мож но рас пол ож ит ь л ибо в с т року a = (a1 , a2 , a3 ,... an ) - вект ор-с т рока,  a1    a л ибо в с т ол бе ц a =  2  - вект ор-с т ол бе ц.  ....     an 

45

Д ваве кт орас одним и т е м ж е ч ис л ом координат назы ваю т с я ра вны м и, е с л и их с оот ве т с т вую щ ие координат ы равны . Ве кт ор, вс е координат ы кот орого равны нул ю , назы вает с я нулевы м . О пер а ции на д в ек тор а м и П ус т ь даны дваве кт ораc координат ами a = (a1 , a2 , a3 ,... an ) и b = (b1 , b2 , b3 ,... bn ) . 1. Суммой вект оров a и b назы вае т с я ве кт ор c , координат ы кот орого равны с уммам с оот ве т с т вую щ их координат эт их ве кт оров: с = a + b = (a1 + b1 , a 2 + b2 ,..., a n + bn ) . 2. П ус т ь λ - л ю бое де йс т вит е л ь ное ч ис л о. П роизве де ние м вект ора a на ч ис л о λ буде м назы ват ь вект ор, координат ы кот орого пол уч аю т с я умнож е ние м с оот ве т с т вую щ их координат ве кт ора a на эт о ч ис л о: с = λ ⋅ a = (λ a1 , λ a2 , λ a3 ,... λ an ) . §2. Понятие м а тр ицы О пр едел ение. П рямоугол ь ная т абл ицач ис е л вида  a11  a A =  21  ...   am1

a12 a22 ... am 2

... a1n   ... a2 n  назы вае т с я м а трицей, ... ...   ... amn 

где ai j - де йс т вит е л ь ны е ч ис л а, назы вае мы е эл е ме нт ами мат рицы , i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n , i и j - с оот ве т с т ве нно индекс ы с т роки и с т ол бца.

П роизве де ние m × n ч ис л а с т рок на ч ис л о с т ол бцов назы ваю т разме ром мат рицы . Ч ас т о мат рицу запис ы ваю т в с окращ е нном виде A = ai j , i = 1, 2, ..., m , j = 1, 2, ..., n . М ат рица, вс е эл е ме нт ы кот орой равны нул ю , назы вае т с я нулево й мат рице й. Е с л и ч ис л о с т рок равно ч ис л у с т ол бцов, т .е . m = n , т о мат рицаназы вае т с я ква дра тно й.  4 −1 5  Н априме р: А =  1 2 1  - квадрат ная мат рица, разме ром 3× 3 .  0 3 −2    Упорядоч е нная с овокупнос т ь эл е ме нт ов a11 , a22 , a33 ,... ann назы вае т с я  a11 гл а вно й диа го на лью квадрат ной мат рицы : A =  a21 a  31

a12 a22 a32

a13  a23  a33 

побоч ная гл авная

К вадрат ная мат рицаназы вает с я диа го на л ьно й, е с л и не нул е вы ми могут бы т ь т ол ь ко эл е ме нт ы гл авной диагонал и, т .е. мат рицаиме е т вид:

46

 a11  0 A=  ...   0

  .   ... ann 

0 ... a22 ... ... ... 0

0 0 ...

Е динично й м а трицей называе т с я диагонал ь ная мат рица, у кот орой вс е эл е ме нт ы гл авной диагонал и равны е динице . Д ве мат рицы A и В назы ваю т с я ра вны м и, ес л и они име ю т одинаковы е разме ры и их с оот ве т с т вую щ ие эл е ме нт ы равны . О пер а ции на д м а тр ица м и 1. Сум м а м а тр иц Суммой двух мат риц A = ai j и B = bi j одинакового разме раназы вае т с я мат рица C = ci j каж ды й эл е ме нт кот орой раве н с умме с оот вет с т вую щ их эл е ме нт ов мат риц A и В : с i j = ai j + bi j , i = 1, 2, ..., m , j = 1, 2, ..., n . Пр им ер .  1 2 5  1 2 4   1 +1 2 + 2 5 + 4   2 4 9   3 1 −2  +  3 1 0  =  3 + 3 1 + 1 −2 + 0  =  6 2 −2           −1 0 4   1 0 2   −1 + 1 0 + 0 4 + 2   0 0 6         

2. У м нож ение м а тр ицы на числ о П роизве де ние м мат рицы А наде йс т вит е л ь ное ч ис л о λ назы вае т с я мат рица, каж ды й эл е ме нт кот орой раве н произве де нию с оот ве т с т вую щ е го эл е ме нт амат рицы А нач ис л о λ . Пр им ер .  4 −1 5  А =  1 2 1  , λ = 4 :  0 3 −2   

 4 − 1 5  16 − 4 20      λ ⋅ А= 4 ⋅1 2 1 =4 8 4   0 3 − 2   0 12 − 8     

3. У м нож ение м а тр иц П роизве де ние м мат рицы A = (aij ) разме ра m × k на мат рицу B = (bij ) разме ра k × n назы вае т с я мат рица С = (с ij ) разме ра m × n , у кот орой эл е ме нт с ij раве н с умме произве де ний эл е ме нт ов i -й с т роки мат рицы A и j -ого k

с т ол бцамат рицы B , т .е. с ij = ∑ ais bsj , i = 1, m ,

j = 1, n .

s =1

П ри эт ом ч ис л о k с т ол бцов мат рицы A дол ж но быт ь равно ч ис л у с т рок мат рицы B . В прот ивном с л уч ае произве де ние не опре де л е но. Д л я удобс т ва запоминания разме ра произведе ния мат риц нуж но пе ре множ ит ь от нош е ния размеров мат риц-с омнож ит е л ей: раве н m × n .

m k m ⋅ = , т .е . размер мат рицы C k n n

47

Пр им ер ы .  1 −1 4   1 − 1 0   , B =  2 0 1  1. A =  4 2 3  3 4 5  

2 × 3 ⋅ 3 × 3 = 2×3 (3=3) А ⋅ В = А⋅В

 1 −1 4  1 ⋅1 − 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 1 ⋅ (−1) − 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 1⋅ 4 − 1 ⋅1 + 0 ⋅ 5  1 − 1 0    ⋅  2 0 1  =   = A ⋅ B =  4  2 3  2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 4 2 ⋅ 4 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 5    3 4 5 −1 −1 3   =   20 14 31

В⋅А не име е т с мы с л а, т ак как 3 × 3 ⋅ 2 × 3 (3≠2).  2   1 − 1 0   , B =  5  2. A =  4 2 3  6  

2 × 3 ⋅ 3 × 1 = 2×1 (3=3) А ⋅ В = А⋅В  2 1 − 1 0    1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 5 + 0 ⋅ 6   − 3   ⋅  5 =  =  A ⋅ B =  4     2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6   43  2 3  6

Т р а нспонир ов а ние м а тр иц (не л ине йная опе рация) Э т а опе рация с ос т оит в заме не с т рок мат рицы на е е с т ол бцы с с охране ние м их порядка, ил и, ч т о т о ж е с амое, заме нас т ол бцов мат рицы на е е с т роки.  a11  a П ус т ь A =  21  ...   an1  a11  a вид: A' =  12 ...  a  1n

a 21

...

a 22 ...

... ...

a2n

...

a12 ... a1n   a22 ... a2 n  , т огдат ранс понированная мат рица име е т ... ... ...   an 2 ... ann  a n1    4 −1 5  4 1 0      a n2  , наприме р А =  1 2 1  , А' =  − 1 2 3   ... 0 3 − 2  5 1 − 2      a nn 

Св ой ств а тр а нспонир ов а нны х м а тр иц 1. A' ' = A . 2. П ри т ранс понировании квадрат ной мат рицы эл е ме нт ы , находящ ие с я на гл авной диагонал и, не ме няю т с я. Сим м етр ическ ие м а тр ицы – эт о квадрат ны е мат рицы , у кот оры х эл еме нт ы , с имме т рич ны е от нос ит е л ь но гл авной диагонал и, равны , т .е . aij = a ji , i = 1, m , j = 1, n .

48

Д л я с имме т рич е с ких мат риц A = A' .  4 −1 5    Н априме р: А =  − 1 2 1  , a12 = a21 = −1 , a13 = a31 = 5 , a23 = a32 = 1 .  5 1 − 2  

§3. О пр едел ител ь м а тр ицы  a1 b1  П ус т ь данаквадрат ная мат рицат ре т ь е го порядка a2 b2 a b  3 3

c1   c2  c3 

(1).

О пр едел ение 1. Определител ем третьего по рядка , с оот вет с т вую щ им мат рице (1), назы вает с я ч ис л о, обознач ае мое с имвол ом: a1 ∆ = a2

b1 b2

c1 c 2 = a1 b2 c 3 + b1 c 2 a 3 + c1 a 2 b3 − c1 b2 a 3 − b1 a 2 c 3 − a1 b3 c 2 .

a3

b3

c3

Ч ис л а a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1, c2 , c3 назы ваю т с я э л ем ента м и о предел ителя. Д иагонал ь , образованная эл е ме нт ами a1 , b2 , c 3 , назы вае т с я гл а вно й, а диагонал ь , образованная эл е ме нт ами a 3 , b2 , c1 - по б о чно й. Д л я выч ис л е ния опре де л ит е л я ис пол ь зую т правил о т ре угол ь ника: «+» «-» a1 a2

b1 b2

c1 c2

a1 a2

b1 b2

c1 c2

a3

b3

c3

a3

b3

c3

Пр им ер . 3 −2 1 − 2 1 3 = 3 ⋅ 1 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 3 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ 3 ⋅ 3 − (−2) ⋅ (−2) ⋅ 4 = −18 2

1. 2. 3. 4.

5. 6.

0

4

Св ой ств а опр едел ител ей Ве л ич инаопре де л ит е л я не изме нит с я, е с л и е го с т роки и с т ол бцы поме нят ь мес т ами. П ере с т ановкадвух с т ол бцов ил и двух с т рок опре де л ит е л я равнос ил ь на умнож е нию е го на–1. Е с л и опре де л ит е л ь име е т дваодинаковы х с т ол бцаил и две одинаковы е с т роки, т о он раве н нул ю : Умнож е ние вс ех эл е ме нт ов одного с т ол бцаил и одной с т роки опре де л ит е л я на л ю бое ч ис л о λ равнос ил ь но умнож е нию опре де л ит е л я на эт о ч ис л о. Е с л и вс е эл е ме нт ы не кот орого с т ол бцаил и не кот орой с т роки опре де л ит е л я равны нул ю , т о и с ам опре де л ит е л ь раве н нул ю . Е с л и вс е эл е ме нт ы двух с т ол бцов ил и двух с т рок опре де л ит е л я пропорционал ь ны , т о опреде л ит е л ь раве н нул ю .

49

О пр едел ение 2. М ино ро м неко то ро го э л ем ента о пределител я назы вает с я опре де л ит е л ь , пол уч ае мы й из данного опре де л ит е л я вы ч еркивание м с т роки и с т ол бца, напере с е ч е нии кот орых рас пол ож е н эт от эл е ме нт . a1 Д ан опре де л ит е л ь ∆ = a2

b1 b2

c1 c2 .

a3

b3

c3

Н априме р, минором эл е ме нт а a1 опре де л ит е л я ∆ явл яе т с я опре де л ит е л ь вт орого порядка

b2

c2

b3

c3

, минором эл е ме нт а b1 опре де л ит е л я ∆ явл яе т с я оп-

ре де л ит е л ь вт орого порядка

a2 a3

c2 . c3

О пр едел ение 3. Ал геб ра ичес ким до по л нением неко то ро го э л ем ента о предел ител я назы вае т с я минор эт ого эл е мент а, умнож е нны й на (− 1)p , где p с умманомеров с т роки и с т ол бца, напере с е ч е нии кот оры х рас пол ож е н эт от эл е ме нт . Ал ге браич е с кое допол не ние эл е ме нт а обознач ае т с я т акой ж е пропис ной буквой, ч т о и с ам эл е ме нт . Т ак, ал ге браич ес кое допол не ние эл е ме нт а a1 обознач ае т с я ч е ре з А 1 , ал ге браич е с кое допол не ние эл е ме нт аb1 обознач ае т с я ч ере з B 1 . Н априме р, найде м ал ге браич е с кое допол не ние эл е ме нт а a1 , находящ е гос я напе ре с еч е нии 1-ого с т ол бцаи 1-й с т роки: A1 = (− 1)

1+1

b2 b3

c2 = b2 c3 − c 2 b3 . c3

§4. О бр а тна я м а тр ица  a1  Д анамат рица A =  a2 a  3

b1 b2 b3

c1   c2  c3 

О пр едел ение. М а трица A−1 на зы ва етс я о б ра тно й по о тно шению к м а трице А, е с л и их произведе ние равно е динич ной мат рице : A−1 ⋅ A = A ⋅ A−1 = E Е с л и опре де л ит е л ь мат рицы не раве н нул ю , т о обрат ной дл я мат рицы А явл яе т с я с л е дую щ ая мат рица:  A1  ∆  −1 A =  B1 ∆ C 1  ∆ 

где

A2 B2 C2

∆ ∆ ∆

 ∆ B3  ∆ C3  ∆  A3

- ал ге браич ес кие допол не ния с оот ве т с т ве нно эл е ме нт ов a i , bi , ci (i = 1, 2, 3) . Ai , Bi , Ci

50

Пр им ер .  1 2 1   Н айт и мат рицу, обрат ную к данной А =  2 1 1  1 3 1   1 2 1 ∆ = 2 1 1 =1+ 6 + 2 −1− 3 − 4 =1 1 3 1 A1 = (− 1)

1 1 1+ 2 2 1 1+ 3 2 1 = 1 − 3 = −2 , A2 = (− 1) = 1 , A3 = (− 1) =1 3 1 3 1 1 1

B1 = (− 1)

2 1 2+2 1 1 2+ 3 1 1 = −1 , B2 = (− 1) = 0 , B3 = (− 1) =1 1 1 1 1 2 1

C1 = (− 1)

2 1 2 2 2 +3 1 3+3 1 = 5 , C 2 = (− 1) = −1 , C 3 = (− 1) = −3 . 1 3 1 3 2 1

1 +1

1+ 2

1+ 3

1  − 2 1   1 . A =  −1 0  5 − 1 − 3   −1

П рове рка 1   − 2 − 2 + 5 1 − 1 1 + 2 − 3  1 0 0   1 2 1  − 2 1         A ⋅ A =  2 1 1 ⋅  − 1 0 1  =  − 4 − 1 + 5 2 − 1 2 + 1 − 3 =  0 1 0  = Е  1 3 1  5 − 1 − 3   − 2 − 3 + 5 1 − 1 1 + 3 − 3   0 0 1          −1

§5. И ссл едов а ние систем ы тр ех ур а в нений пер в ой степени с тр ем я неизв естны м и Т е ория мат риц и опре де л ит е л е й име е т ш ирокое приме не ние , как в с амой мат е мат ике , т ак и в е е прил ож ениях. Э т о оч е нь удобны й и ч ас т о ис пол ь зуе мы й в с амы х разнообразны х ис с л е дованиях мат е мат ич е с кий аппарат . Рас с мот рим приме не ние мат риц и опре де л ит е л е й к ис с л е дованию с ис т е мы т рех уравне ний пе рвой с т е пе ни с т ре мя не изве с т ны ми x, y, z : a1 x + b1 y + c1 z = h1  a2 x + b2 y + c2 z = h2 a x + b y + c z = h 3 3 3  3

(1)

где a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1, c2 , c3 - коэфф ицие нт ы , h1 , h2 , h3 - с вободны е ч л е ны , с ч ит аю т с я заданны ми. Т ройка ч ис е л x0 , y0 , z0 назы вает с я ре ш е ние м с ис т е мы (1), ес л и в ре зул ь т ат е подс т ановки эт их ч ис е л вме с т о x, y, z , вс е т ри уравне ния (1) обращ аю т с я в т ож де с т ва. О пр едел ение 1. Е с л и с ис т е мауравне ний не име е т ре ш е ний, т о т акая с ис т е маназы вае т с я нес о вм ес тно й. Е с л и с ис т е мауравне ний име е т ре ш е ние , т о онаназы вае т с я с о вм ес тно й.

51

О пр едел ение 2. Е с л и с овме с т ная с ис т ема уравне ний име е т е динс т ве нное ре ш е ние , т о онаназы вае т с я о предел енно й. Е с л и с овме с т ная с ис т е ма уравне ний име е т множ е с т во ре ш е ний, т о онаназы вае т с я нео предел енно й. В дал ь не йш е м ос новную рол ь будут играт ь опре де л ит е л и: a1 ∆ = a2

b1 b2

c1 c2 ,

a3

b3

c3

h1 ∆ x = h2

b1 b2

c1 c2

a1 ∆ y = a2

h1 h2

c1 c2 ,

h3

b3

c3

a3

h3

c3

a1 ∆ z = a2

b1 b2

h1 h2

a3

b3

h3

О пре де л ит е л ь ∆ назы вае т с я опреде л ит е л е м с ис т е мы (1). О пре де л ит е л и ∆ x , ∆ y , ∆ z пол уч аю т с я из опреде л ит е л я с ис т е мы ∆ заме ной с вободны ми ч л е нами эл е ме нт ов с оот вет с т ве нно пе рвого, вт орого и т рет ь е го с т ол бцов. Е с л и опреде л ит е л ь ∆ с ис т е мы (1) от л ич е н от нул я, т о с ущ е с т вуе т е динс т ве нное ре ш е ние эт ой с ис т е мы , и оно вы раж ает с я фо рм ула м и К ра м ера :

x=

Пр им ер .

∆x , ∆

y=

∆y ∆

,

z=

∆z ∆

x + 2 y + z = 4 Н айт и вс е ре ш е ния с ис т е мы : 3x − 5 y + 3z = 1 . 2 x + 7 y − z = 8  1 2 1 ∆ = 3 − 5 3 = 5 + 12 + 21 + 10 − 21 + 6 = 33 ≠ 0 , данная с ис т е ма име е т е динс т 2 7 −1

ве нное реш е ние . 4 2 ∆x = 1 − 5 8

7

1 4 ∆y = 3 1

1 3 = 20 + 48 + 7 + 40 − 84 + 2 = 33 −1 1 3 = −1 + 24 + 24 − 2 − 24 + 12 = 33

2 8 −1 1 2 4 ∆ z = 3 − 5 1 = −40 + 4 + 84 + 40 − 7 − 48 = 33 2 x=

7

8

∆ x 33 = = 1, ∆ 33

y=

∆y ∆

=

33 = 1, 33

z=

∆ z 33 = = 1. ∆ 33

О пр едел ение 3. Одно ро дно й с ис тем о й трех ура внений перво й с тепени с трем я неизвес тны м и назы вае т с я с ис т е мавида: a1 x + b1 y + c1 z = 0  a2 x + b2 y + c2 z = 0 a x + b y + c z = 0 3 3  3

(2)

52

Е с л и ∆ = ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 , т о с ис т е ма (1) л ибо с овс е м не име е т ре ш е ний, л ибо их бе с коне ч но много. §6. М етод Г а усса посл едов а тел ьног о иск л ю чения неизв естног о М е т од Гаус с априме ним к л ю бой с ис т е ме л ине йны х уравне ний, при эт ом с ис т е ма буде т не с овме с т ной, е с л и в проце с с е преобразования мат рич ной с ис т е мы пол уч им уравне ние , в кот ором коэф фицие нт ы при вс е х не изве с т ны х равны нул ю , ас вободны й ч л е н от л ич е н от нул я. Е с л и т акого ре ш е ния не пол уч им, т о с ис т е мабуде т с овме с т ной, при эт ом онабуде т опре де л е нной, е с л и онаприводит с я к т ре угол ь ному виду, и не опре де л е нной, е с л и онаприводит с я к тра пециевидно м увиду. Пр им ер .  x1 + 2 x2 + 5 x3 = −9   x1 − x2 + 3 x3 = 2 3 x − 6 x − x = 25 2 3  1

Запиш е м рас ш ире нную мат рицу (е с л и к мат рице с ис т е мы добавит ь с т ол бе ц с вободны х ч л е нов, т о пол уч е нную мат рицу буде м назы ват ь рас ш ире нной мат рице й): 5 − 9 1 2   1 − 1 3 2  =  3 − 6 − 1 25   

из пе рвой с т роки выч т е м вт орую с т року; 1-ю с т року умнож им на 3 и вы ч т е м из 3-е й с т роки  1  1 2 2 5 5 −9  −9     2 +1 5−3 =  1−1 − 9 − 2  =  0 − 3 − 2 11  =  3 − 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 + 6 5 ⋅ 3 + 1 − 9 ⋅ 3 − 25   0 12 16 − 52     

2-ю с т року умнож им на4 и прибавим к 3-е й с т роке :  1 2 5 −9  1    = 0 3 2 − 11  = 0  0 ⋅ 4 − 0 3 ⋅ 4 − 12 2 ⋅ 4 − 16 − 11 ⋅ 4 + 52   0    + 2 + 5 = − 9 + 2 + 5 = − 9 x x x x x x  1  1 2 3 2 3    3 x2 + 2 x3 = −11 ⇔  3 x2 + 2 x3 = −11 ⇔   − 8 x3 = 8 x3 = −1  

О т ве т : {2, -3, -1}.

−9  3 2 − 11 ⇒ 0 − 8 8  2

5

 x1 = 2   x 2 = −3  x = −1  3

53

Г л а в а 8. Э л ем енты м а тем а тическ ог о м одел ир ов а ния Знание конкрет ны х разде л ов мат е мат ики и ос вое ние ряда базовых мат е мат ич е с ких ме т одов явл яе т с я обязат е л ь ной, но л иш ь необходимой ч ас т ь ю мат е мат ич е с кого образования. П ракт ич е с кое ж е приме не ние знаний по мат е мат ике обыч но закл ю ч ае т с я в опис ании объе кт ов ре ал ь ного миранаязы ке мат е мат ики. Т акой пере вод наязы к мат е мат ики назы вае т с я пос т рое ние м мат е мат ич е с кой моде л и. О пр едел ение 1. М а тем а тичес ко е м о дел иро ва ние – эт о разде л прикл адной мат е мат ики, изуч аю щ ий задач и поис канаил уч ш е го ре ш е ния. Н априме р, т акие задач и ре ш аю т с я в экономике , в пл анировании и управл е нии при ре ал изации принципаопт имал ь нос т и. П онят ие «моде л ь » знакомо каж дому: например, игруш е ч ны й с амол е т , бумаж ны й гол убь – моде л и с амол е т а; фот ос нимок пе йзаж а, географич е с кая карт а – моде л ь ме с т нос т и; формул а пут и s = vt – мат е мат ич е с кая моде л ь . О пр едел ение 2. П од м о делью буде м понимат ь ус л овны й образ какогол ибо объе кт а, прибл иж е нно вос с оздаю щ ий эт от объе кт с помощ ь ю не кот орого язы ка. О снов ны е пр инципы постр оения м а тем а тическ их м одел ей 1. Д ос т ат оч нос т ь ис пол ь зуе мой инф ормации: при пос т рое нии моде л и це л е с ообразно ис пол ь зоват ь т у инф ормацию , кот орая т ребуе т с я в с оот вет с т вии с разрабат ы вае мы м ал горит мом. 2. И нвариант нос т ь информации: входная инф ормация дол ж набы т ь не завис имаот параме т ров моде л ируе мой с ис т е мы . 3. П ре е мс т ве ннос т ь : каж дая пос л е дую щ ая моде л ь не дол ж на наруш ат ь с войс т в объект а, пол уч е нного напре дыдущ их эт апах ил и при ис пол ь зовании других моде л е й. 4. Э фф е кт ивная реал изуе мос т ь : пре дпол агае т с оот ве т с т вие т оч нос т и ис ходны х данных ре ш е ния задач и и т оч нос т и ре зул ь т ирую щ е й инф ормации. О снов ны е э та пы м а тем а тическ ог о м одел ир ов а ния. 1. П ос т ановкаце л е й и задач ис с л е дования, прове де ние кач е с т ве нного опис ания объект ав виде моде л и. 2. Ф ормирование мат е мат ич е с кой моде л и изуч ае мого объе кт а, вы бор ме т одов ис с л е дования, программирование моде л и наЭ ВМ , подгот овка ис ходной инф ормации. 3. Анал из мат е мат ич е с кой моде л и, реал изованной в виде программ дл я Э ВМ , прове де ние маш инны х рас ч е т ов, обработ ка и анал из пол уч е нны х ре зул ь т ат ов. П роце дурамат е мат ич е с кого моде л ирования заме няе т дорогос т оящ ие и т рудое мкие нат урал ь ны е экс пе риме нт ы рас ч е т ами. П ри ис пол ь зовании

54

мат е мат ич е с ких ме т одов дос т ат оч но бы с т ро и де ш е во производит с я на Э ВМ с равне ние многоч ис л е нны х вариант ов, в ре зул ь т ат е от бираю т с я наибол е е опт имал ь ны е . Пр им ер ы за да чл иней ног о пр ог р а м м ир ов а ния. О пр едел ение 3. Л инейно е про гра м м иро ва ние – эт о разде л мат е мат ики, изуч аю щ ий ме т оды нахож де ния минимал ь ного (ил и макс имал ь ного) знач е ния л ине йной ф ункции не с кол ь ких пе ре ме нны х, удовл е т воряю щ их коне ч ному ч ис л у л ине йны х уравне ний ил и не раве нс т в. За да ча об испол ьзов а нии р есур сов (задач а пл анирования производс т ва). Д л я изгот овл е ния двух видов продукции P1 и P1 ис пол ь зую т 4 вида ре с урс ов S1 , S2 , S3 , S4 . Запас ы ре с урс ов, ч ис л о е диниц ре с урс ов, зат рач ивае мы х наизгот овл е ние е диницы продукции, приве де ны в т абл ице . Вид ре с урс а

Запас ре с урс а

Ч ис л о е диниц ре с урс ов, зат рач ивае мы х наизгот овл е ние е диницы продукции P1

S1 S2 S3 S4

18 16 5 21

1 2 3

P1

3 1 1 -

П рибы л ь , пол уч ае мая от единиц продукции P1 и P2 – с оот ве т с т ве нно 2 и 3 рубл я. Н е обходимо с ос т авит ь т акой пл ан производс т вапродукции, при кот ором прибы л ь от е е ре ал изации будет макс имал ь ной. Ре ш е ние . Сос т авим мат е мат ич е с кую моде л ь задач и. О бознач им ч е ре з x1 и x2 – ч ис л о единиц продукции, с оот вет с т вую щ их ре с урс ам P1 и P2 , запл анированны х к производс т ву. Д л я их изгот овл е ния пот ре буе т с я (с м. т абл ицу): 1 ⋅ x1 + 3 ⋅ x2 е диниц ре с урс а S1 2 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 е диниц ре с урс а S 2 1 ⋅ x2 е диниц ре с урс а S3 1 ⋅ x1 е диниц ре с урс а S4 Т ак как пот ре бл е ние ре с урс ов S1 , S2 , S3 , S4 не дол ж но превы ш ат ь их запас ов, с оот ве т с т ве нно 18, 16, 5 и 21 е диницы , т о с вязь ме ж ду пот ре бл е ние м ре с урс ов и их запас ами вы разит с я с ис т е мой не раве нс т в:  x1 + 3 x2 ≤ 18, 2 x + x ≤ 16,  1 2  x2 ≤ 5,   3 x1 ≤ 21.

(1)

55

П о с мы с л у задач и пере ме нны е x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0 (2) Суммарная прибы л ь F с ос т авит 2x1 рубл е й от ре ал изации продукции P1 и 3x2 рубл е й от ре ал изации продукции P2 , т .е . F = 2 x1 + 3 x2 (3) Т аким образом, мат е мат ич е с кая моде л ь задач и: с ос т авит ь т акой пл ан вы пус ка продукции X = (x1 , x2 ) , удовл е т воряю щ ий с ис т е ме (1) и ус л овию (2), при кот ором ф ункция (3) (це л е вая ф ункция) принимае т макс имал ь ное знач е ние : X = (x1 , x2 )  F = 2 x1 + 3 x2 → max  x + 3 x ≤ 18, 2  1 2 x1 + x2 ≤ 16,   x2 ≤ 5, 3 x1 ≤ 21,   x1 , x2 ≥ 0.

Рас с мот рим граф ич е с кий мет од ре ш е ния эт ой задач и. I. Постр оение допустим ог о м нож еств а р еш ений . М нож е с т во допус т имы х ре ш е ний (многогранник ре ш е ний) задач и л ине йного программирования пре дс т авл яе т с обой вы пукл ы й многогранник, а опт имал ь ное ре ш е ние задач и находит с я, по крайне й ме ре , в одной из угл овы х т оч е к многогранникаре ш е ний. x2 2 С

1- Fmin - в угл овой т оч ке А (е динс т ве нное ре ш е ние ). 2 - Fmax - в угл овой т оч ке D (е динс т ве нное ре ш е ние ).

D В

F=Fmax

1

E А

0

x1

G

F=Fmin

x2

1- Fmin - в т оч ках от ре зка ВС (ал ь т е рнат ивны й опт имум). 2 - Fmax = +∞ (от с ут с т вие опт имал ь ны х ре ш е ний).

F=a2 (a1 > a2 ) А F=a1

В

0

2 С 1 F=Fmin

x1

И з ус л овия x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0 с л е дуе т , ч т о эт о I координат ная пл ос кос т ь . Н айде м координат ы т оч ки пе ре с е ч е ния л иний x1 + 3x2 = 18 2 x1 + x2 = 16 :

и

56

 x1 + 3 x 2 = 18  x1 = 18 − 3x2  x1 = 18 − 3 x2 ⇔  ⇔  2 x1 + x 2 = 16 2(18 − 3x2 ) + x2 = 16 5 x2 = 20 И з не раве нс т ва x1 + 3x2 ≤ 18 : x1 + 3x2 = 18 : x1 0 x2 6

 x1 = 6 ⇔  x2 = 4

18 0

6 4

И з не раве нс т ва 2 x1 + x 2 ≤ 16 : 2 x1 + x2 = 16 : 0 8 6 16 0 4 Н айде м координат ы т оч ки В - т оч ки пере с е ч е ния л иний x1 + 3x2 = 18 и x1 x2

 x1 = 3  x + 3 x2 = 18 x2 = 5 :  1 ⇒ В (3, 5 ) . ⇔   x2 = 5  x2 = 5 Н айде м координат ы т оч ки D - т оч ки пере с е ч е ния л иний 2 x1 + x2 = 16 2 x + x2 = 16

и x1 = 7 :  1  x1 = 7

 x1 = 7 ⇒ D (7, 2) . ⇔   x2 = 2

ОАВ С DE - эт о допус т имое множ е с т во ре ш е ний.

II. Постр оение в ек тор а -г р а диента и л иний ур ов ней дл я цел ев ой функ ции. F = c1 x1 + c2 x2

( )

grad F = c1 ,c2

( )

grad F = 2, 3 - показы вае т направл е ние с коре йш е го возрас т ания це -

л е вой ф ункции.

F ( x1 , x2 ) = const 2 x1 + 3 x 2 = const 2 x + 3 x = 0 2  1  2 x1 + 3 x 2 = 2   2 x1 + 3 x 2 = − 3 ... 

они вс е парал л е л ь ны , т ак как у них одинаковы й tg

угл анакл она, и они вс е пе рпе ндикул ярны ве кт ору градие нт а.

57

III. Н а хож дение оптим а л ьног о р еш ения. Т ак как рас с мат ривае мая задач а - на от ы с кания макс имума, т о опт имал ь ное ре ш е ние – в угл овой т оч ке С . Fmax = F (C ) = F (6, 4 ) = 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 = 24 - эт о т оч каmax. Fmax = 24 - при опт имал ь ном ре ш е нии x1 = 6 , x2 = 4 , т .е . макс имал ь ная прибы л ь в 24 рубл я мож ет бы т ь дос т игнут а при производс т ве 6 е диниц продукции Р1 и 4 е диниц продукции Р 2 . Е с л и рас с мат риват ь min, т о двигат ь л инии в направл е нии, прот ивопол ож ном ве кт ору градие нт а. Fmin = F (O ) = F (0,0 ) = 0 . За да ча соста в л ения р а циона (задач ао дие т е , задач ао с ме с ях). И ме е т с я два вида корма I и II, с оде рж ащ е е пит ат е л ь ны е ве щ е с т ва (вит амины ) S1 , S2 , S3 . Содерж ание ч ис л ае диниц пит ат е л ь ны х ве щ е с т в в 1 кг каж дого вида корма и не обходимы й минимум пит ат е л ь ны х ве щ е с т в, приве де ны в т абл ице : Н еобходимы й Ч ис л о е диниц пит ат е л ь ных ве П ит ат е л ь ное ве минимум пит ащ е с т в в 1 кг корма щ е с т во (вит амин) т е л ь ны х ве щ е с т в I II S1 9 3 1 S2 8 1 2 12 1 6 S3 Ст оимос т ь 1 кг кормаI и II с оот ве т с т ве нно равна4 и 6 рубл ям. Н е обходимо с ос т авит ь дне вной рацион, име ю щ ий минимал ь ную с т оимос т ь , в кот ором с одерж ание каж дого видапит ат е л ь ны х ве щ е с т в бы л о бы не ме не е ус т ановл е нного пре де л а. Ре ш е ние . Сос т авим мат е мат ич е с кую моде л ь задач и. О бознач им ч е ре з x1 , x2 - кол ич е с т во кормов I и II, входящ их в дне вной рацион. Т огдаэт от рацион буде т вкл ю ч ат ь 3 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 е диниц пит ат е л ь ного ве щ е с т ва S1 1 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 е диниц пит ат е л ь ного ве щ е с т ва S 2 1 ⋅ x1 + 6 ⋅ x2 е диниц пит ат е л ь ного ве щ е с т ва S3 Т ак как с оде рж ание пит ат е л ь ных ве щ ес т в S1 , S2 , S3 в рационе дол ж но бы т ь не ме не е , с оот ве т с т ве нно, 9, 8 и 12 е диниц, т о пол уч им с ис т е му 3 x1 + x2 ≥ 9  не раве нс т в:  x1 + 2 x2 ≥ 8  x + 6 ⋅ x ≥ 12 2  1 К роме т ого, пе ре ме нны е x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0

(4)

(5) О бщ ая с т оимос т ь рационав рубл ях с ос т авит F = 4 x1 + 6 x2 (6) И т ак, мат е мат ич е с кая моде л ь задач и: с ос т авит ь дневной рацион X = (x1 , x2 ) , удовл ет воряю щ ий с ис т е ме (4) и ус л овию (5), при кот ором ф ункция (6) принимае т минимал ь ное знач е ние :

X = (x1 , x2 )  F = 4 x1 + 6 x2 → min 3 x + x ≥ 9,  1 2  x1 + 2 x2 ≥ 8,  x + 6 x ≥ 12, 2  1  x1 , x2 ≥ 0.

58

Рас с мот рим граф ич е с кий мет од ре ш е ния эт ой задач и. I. Постр оение допустим ог о м нож еств а р еш ений . И з ус л овия x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0 с л е дуе т , ч т о эт о I координат ная пл ос кос т ь . 1. И з нераве нс т ва3x1 + x2 ≥ 9 : 3x1 + x2 = 9 : x1 0 3 x2 9 0 (0, 0) - не подходит . 2. И з нераве нс т ва x1 + 2 x2 ≥ 8 : x1 + 2 x2 = 8 : x1 0 8 x2 4 0 (0, 0) - не подходит . 3. И з нераве нс т ва x1 + 6 x2 ≥ 12 : x1 + 6 x2 = 12 : x1 0 12 x2 2 0 (0, 0) - не подходит . А(0, 9 ) , D(12, 0 ) 4. Н айде м координат ы т оч ки пе ре с е ч е ния л иний 3x1 + x2 = 9 и x = 3  x = 9 − 3x1 3 x + x 2 = 9  x = 9 − 3 x1 ⇔ 2 x1 + 2 x2 = 8 :  1 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇒ B(2, 3)  x1 = 2 − 5 x1 = −10  x1 + 2 x 2 = 8  x1 + 2(9 − 3 x1 ) = 8 5. Н айде м координат ы т оч ки пе ре с еч е ния л иний x1 + 2 x2 = 8 и  x + 2x2 = 8 x1 + 6 x2 = 12 :  1 ⇔  x1 + 6 x 2 = 12

x = 6  x = 8 − 2 x2  x1 = 8 − 2 x2 ⇔ 1 ⇔ 1 ⇒ B(6, 1)  4 x 2 = 4  x2 = 1 8 − 2 x2 + 6 x2 = 12

АВ С D - эт о допус т имое множ е с т во ре ш е ний.

59

II. Постр оение в ек тор а -г р а диента и л иний ур ов ней дл я цел ев ой функ ции. М ногоугол ь ник ре ш е ний пре дс т авл яе т с обой не огранич е нную многоугол ь ную обл ас т ь . П о рас пол ож ению л иний уровня, например, 4 x1 + 6 x2 = 12 находим направл е ние вект ора-градие нт а(эт от вект ор указы вае т на возрас т ания л ине йной ф ункции). О ч е видно, ч т о т оч ка минимума – эт о т оч ка В , т ак как при дал ь не йш е м пе ре ме щ е нии л иний уровня в направл е нии ве кт ораградие нт азнач е ния л ине йной ф ункции уве л ич иваю т с я. grad F = (4, 6 ) - показы вае т направл е ние с коре йш е го возрас т ания це л е вой ф ункции. III. Н а хож дение оптим а л ьног о р еш ения. Д вигае мс я в направл е нии, прот ивопол ож ном вект ору градие нт а. Fmin = F (В ) = F (2,3) = 4 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 = 26 Fmax = ∞ .

Г л а в а 9. Э л ем енты теор ии в ер оятностей Т е ория вероят нос т е й – мат е мат ич е с кая наука, изуч аю щ ая закономе рнос т и с л уч айны х явл е ний. Знание закономернос т е й, кот оры м подч иняю т с я с л уч айны е явл е ния, позвол яе т пре двиде т ь , как эт и явл е ния будут прот екат ь . М е т оды т е ории ве роят нос т е й ш ироко приме няю т с я в разл ич ны х обл ас т ях е с т е с т вознания и т е хники: т е ории наде ж нос т и, т е оре т ич е с кой физике , ас т рономии и др. Т е ория вероят нос т е й с л уж ит т акж е дл я обос нования мат е мат ич е с кой и прикл адной с т ат ис т ики, кот орая в с вою оч е ре дь ис пол ь зуе т с я при пл анировании и организации производс т ва, при анал изе т е хнол огич ес ких проце с с ов и дл я многих других це л е й. §1. О снов ны е понятия. И с пы та нием , или о пы то м , назы вае т с я с овокупнос т ь е с т е с т ве нны х ил и ис кус с т ве нны х ус л овий, в кот оры х ож идает с я опре де л е нны й ре зул ь т ат , с обы т ие . С л уча йно е с о б ы тие - эт о с обы т ие , кот орое в рамках данного опы т а мож е т произойт и, амож е т и не произойт и. До с то верно е с о б ы тие – эт о с обы т ие , кот орое в рамках данного опы т аобязат е л ь но произойде т . Н ево зм о ж но е с о б ы тие - эт о с обы т ие , кот орое в рамках данного опы т апроизойт и не мож ет . Собы т ия А и В назы ваю т с я с о вм ес тны м и, е с л и в рамках данного опы т а они могут произойт и одновре менно. В прот ивном с л уч ае с обы т ия нес о вм ес тны е. Собы т ия назы ваю т с я ра вно во зм о ж ны м и, е с л и каж дое из них с т ол ь ж е ве роят но, как и л ю бое другое .

60

Н е с кол ь ко с обы т ий назы ваю т с я единс твенно во зм о ж ны м и, е с л и в ре зул ь т ат е ис пы т ания обязат е л ь но дол ж но произойт и хот я бы одно из них. Д ва с обы т ия назы ваю т с я про тиво по л о ж ны м и, е с л и не появл е ние одного из них вл е ч ет за с обой появл е ние другого. Е с л и одно прот ивопол ож ное с обы т ие обознач е но ч ере з А, т о другое принят о обознач ат ь А . Н е с кол ь ко с обы т ий образую т по л ную группу, е с л и они явл яю т с я е динс т ве нно возмож ны ми и не с овме с т ны ми ис ходами ис пы т ания. §2. К л а ссическ ое опр едел ение в ер оятности В еро ятно с ть – эт о ч ис л о, характ еризую щ е е с т е пе нь возмож нос т и появл е ния с обы т ия. П ус т ь ис ходы не кот орого ис пы т ания образую т пол ную группу с обы т ий и равновозмож ны , т .е. единс т ве нно возмож ны , не с овме с т ны и равновозмож ны . Т акие ис ходы назы ваю т с я э лем ента рны м и ис хо да м и. В еро ятно с тью с о б ы тия А в кл а с с ичес ко м с м ы с л е назы ваю т от нош е ние ч ис л а бл агоприят с т вую щ их эт ому с обыт ию эл е ме нт арны х ис ходов к общ е му ч ис л у вс е х возмож ны х ис ходов. Ве роят нос т ь с обы т ия А опре де л яе т с я ф ормул ой: P ( A ) =

m , n

где n - ч ис л о вс ех возмож ны х ис ходов данного опы т а. m - ч ис л о т ех ис ходов, кот оры е бл агоприят с т вую т с обы т ию A . Пр им ер 1. Н айт и вероят нос т ь т ого, ч т о вы бранное одно ч ис л о из множ е с т ва {1...30} явл яе т с я де л ит е л е м ч ис л а30. Ре ш е ние . Запиш е м эл е ме нт арны е ис ходы с обы т ия А: {1, 2, 3, ...30} , n = 30 . М нож е с т во ис ходов бл агоприят ны х дл я А: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, m = 8 . Т огда: Р ( А) =

m 8 4 = = ≈ 0,26 . n 30 15

И з опре де л е ния кл ас с ич ес кой ве роят нос т и вы т екаю т с л е дую щ ие с войс т ва: 1. В еро ятно с тьдо с то верно го с о б ы тия ра вна единице. Е с л и с обы т ие дос т оверно, т о каж ды й эл е ме нт арны й ис ход ис пы т ания бл агоприят с т вуе т с обы т ию . Т огда m = n и Р ( А) =

m m = = 1. n m

2. В еро ятно с тьнево зм о ж но го с о б ы тия ра вна нулю . Е с л и с обы т ие не возмож но, т о ни один из эл е ме нт арны х ис ходов ис пы т ания не бл агоприят с т вуе т с обы т ию . В эт ом с л уч ае , m = 0 и Р ( А) =

m 0 = = 0. n n

3. В еро ятно с тьс л уча йно го с о б ы тия ес тьпо ло ж ител ьно е чис л о , за кл ю ченно е м еж дунулем и единицей.

61

Сл уч айному с обы т ию бл агоприят с т вуе т л иш ь ч ас т ь из общ е го ч ис л а эл е ме нт арных ис ходов ис пы т ания. В эт ом с л уч ае 0 < m < n , знач ит , 0
10 . Граф ик ф ункции изображ е н нарис унке. *

при x ≤ 2, 0 0,2 при 2 < x ≤ 6, И с комая эмпирич е с кая ф ункция F * (x ) =  0,5 при 6 < x ≤ 10, 1 при x > 10.

72

Пр им ер ны й список к онтр ол ьны х за да ч 1. Н айт и: • пе ре с еч е ние це л ы х и нат урал ь ны х ч ис е л ; • объе дине ние це л ых и нат урал ь ны х ч ис ел ; • пе ре с еч е ние це л ы х и рационал ь ны х ч ис е л ; • объе дине ние це л ых и рационал ь ны х ч ис е л ; • пе ре с еч е ние нат урал ь ных и рационал ь ны х ч ис е л ; • объе дине ние нат урал ь ны х и рационал ь ны х ч ис е л . 2. Н айт и разнос т ь множ е с т в: • це л ы х и рационал ь ны х ч ис е л ; • це л ы х и нат урал ь ны х ч ис е л . 3. Н айт и, ч е му равны множ е с т ва: • X={x| x2-6x-7=0} • X={x| x2+1=0} 4. Д ано: А – множ е с т во т оч е к круга, В – множ е с т во т оч е к окруж нос т и. Н айт и пере с е ч е ние , объе дине ние и разнос т ь множ е с т в А и В. 5. Н айт и пре де л ы : 1 x 2 − 49 8. lim x2 + x + 1 − x2 − x y lim ( 1 − 5 y ) 15. 1. lim x→∞ x−7 x2 − x − 2 2. xlim → −1 x3 + 1

y→0

x →7

3. lim x →3

9.

x 2 − 5x + 6 x2 −9

(x lim

+ 1) x → ∞ ( x + 1)120

10. lim x→∞

4. xlim2 →−

1 4  + 2   x + 2 x − 4 x −1 5. lim x →1 x −1 4+ x + x2 − 2 6. xlim → −1 x +1 1 − cos 3 x 7. lim x →0 1 − cos 5 x

2

60

 3 16. lim 1 +  x→∞  n

(x + 2)8 ( x3 − 1) (3x 2 + 2)3 (x − 1)5

3

17. lim x→∞

27 x 3 + 1 + x 2 − 1 11. lim x→∞ x 5 5x + x 12. lim x→∞ 2 x 4 + 3x 3 3

18. lim

4n

x3 + 1 + 4 x 2 − 7 x+3

9 − x2

3x − 3 sin 2 x 19. lim 2 x → 0 x (1 + cos x ) x 20. lim x → 0 tg 6 x x →3

x3 − x − 2 x4 + 6  x3 x2   14. lim  2 − x → ∞ 3x − 4 3 x + 2  

13. lim x →∞

21. lim x →0

x + 100 − 10 x

6. Н айт и производны е : 2 x

1. y = arcsin − arctg

x 2

2. y = 3 3 x + 2 x3 + 4 1 3

3. y = tg 3 x − tgx + x 4. y = sin 5 x cos

x 5





x    3   x − 2    

10. y = (1 + 5x )3

19. y = ln  arccos ctg 

11. y = (3x − x 2 ) 6

20.

12. y = x + x

21.

1 x

22.

13. y = arcctg

      sin (5 x − 1)    y = sin  ln  cos    5x 3       1  y = tg  cos 2  arcsin 7    x     x y = 4 x − x 2 + 4 arcsin 2

73

2x x −1

5. y = x3 3x

14. y = arcsin

e x + e−x e x − e− x 10 x  7. y =    2x + 1 1 + cos x 8. y = sin x tg 3 x − 5 9. y = sin 6 x

15. y = 2 cos5 (x − x 2 )

6. y =

16. y = arcctg

2

x +1 1− 2x

25. y = ln

18. y = 2e x sin 2 x

27. y = ln

sin x − cos x sin x + cos x

6.

y=

7.

y = 1+ 3 x

(

)

3

8. y = ln (3x 2 + 7 x − 4) 4. y = ctg x 9. y = cos 4 x 2 2 5. y = sin x + sin x 10. y = arcsin (cos x ) 8. П ос т роит ь граф ики ф ункций: 1. y = x 3 − 3x 4. y = 12 x − x 3 2. y =

x3 + x2 3

3. y =

6 x x+2

1+ x 1− x

26. y = 4 1 + cos x 4

7. Н айт и дифф ере нциал ы : x2 − 3 x2 + 3 a x 2. y = + , a = const x a 3. y = x(1 − ln x )

24. y = arcsin sin x

17. y = x x − sin x 3 2

1. y =

23. y = sin 3 2 x − cos3 2 x

x x +1 x 6. y = 2 x −1

5. y =

2

7 − x2 7 + x2

(

11.

y = x2 1 + x e

12.

y = x sin 2 5 x

13. 14. 15.

)

y = arccos(cos x ) y = sin x 2 y = cos2 x − 2 ln cos x

7. y = 3 x 2 − 1 8. y =

2x − 1

(x − 1)2

9. y = x x − 1

9. Н айт и инт е грал ы : 1.

∫

2.

∫

dx 3

7.

5x dx

8.

2 − x2

3. ∫ 3 x 7 x 2 3 x dx

9.

4. ∫ ( sin x − cos x ) dx 2

5.

∫ (2

6.

∫x

5

)

x − 3 2 x + 5 dx

2x + 3 dx 2 −5

10.

2x 2 + x − 1 ∫ x 3 dx 5x − 6 ∫ 1 − 3x dx

∫x ∫

e

x 2 +1 dx

∫ sin (2 − 3x )dx

14.

∫ cos 3x cos 4 xdx

15.

∫ sin 5x sin 7 xdx

16.

∫ ln (x + 1)dx

17.

∫ x ⋅ 3 dx

18.

∫ x cos xdx

x

dx x sin xdx 11. ∫ cos3 x

12.

13.

∫ ctgx dx

x

10. Н айт и ч ас т ны е производны е вт орого порядка: 1. z =

x2 1+ 2y

2. z = x3 + 3x 2 y − y 3

3. z =

xy x− y

4. z = xe y

11. Н айт и экс т ре мумы ф ункций: 1. z = x 2 + y 2 + xy − 4 x − 5 y 3. z = 2 xy − 4 x − 2 y

5. z = x 2 y 6. z = x 2 + y 2

74

2. z = x 3 − y 3 − 3xy 4. z = 3x + 6 y − x 2 − xy + y 2 12. Упрос т ит ь и вы ч ис л ит ь опре де л ит е л и: 12 6 − 4 1. 6 4 4 3

2

8

2.

1 3

2 −4

− 3 12

5 7 − 15

1 + cosα 1 + sin α 1 3. 1 − sin α 1 + cosα 1 1

1

1

13. Ре ш ит ь с ис т е мы уравне ний ме т одом К рамера: 2 x1 − 3 x2 = 1  5 x1 + 4 x2 = 14

 x1 + 2 x2 + x3 = 8  − 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 = −5  3 x − 4 x + 5 x = 10 1 2 3 

=9 3 x1 + x2   x1 − 2 x2 − x3 = 5  3 x + 4 x − 2 x = 13 2 3  1

14. Ре ш ит ь с ис т е мы уравне ний ме т одом Гаус с а: 3 x1 + 2 x 2 + x3 = 5   x1 + x 2 − x3 = 0 4 x − x + 5 x = 3 2 3  1

 2 x1 + x 2 − x3 = 5   x1 − 2 x 2 + 3 x3 = −3 7 x + x − x = 10 2 3  1

 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6  2 x1 + 3 x2 − x3 = 4  3x + x − 4 x = 0 2 3  1

15. Ре ш ит ь задач и с ис пол ь зование м графич е с кого ме т ода: 1. F = 2 x1 − 10 x2 → min при огранич е ниях:  x1 − x2 ≥ 0,   x1 − 5 x2 ≥ −5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .

2. F = 3 x1 + 5 x2 → max при огранич е ниях:  x1 + 4 x2 ≥ 8,   x1 ≤ 4, 2 x ≥ 5,  2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .

3. F = 4 x1 + 6 x2 → min при огранич е ниях: 3 x1 + x2 ≥ 9,   x1 + 2 x2 ≥ 8,  x + 6 x ≥ 12, 2  1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .

16. П ри брос ании играл ь ной кос т и возмож ны 6 ис ходов – вы паде ние 1, 2, 3, 4, 5, 6 оч ков. К аковаве роят нос т ь появл е ния ч е т ного ч ис л аоч ков. 17. Ве роят нос т ь т ого, ч т о с т уде нт с дас т пе рвы й экзаме н, равна0,9; вт орой – 0,9; т ре т ий – 0,8. Н айт и вероят нос т ь т ого, ч т о с т уде нт ом будут с даны а) т ол ь ко один экзаме н; в) т ри экзаме на; д) хот я бы один экзаме н. 18. В л от е ре е 2000 бил е т ов. Н аодин бил е т вы падае т вы игры ш 100 руб., на ч е т ы ре – вы игры ш по 50 руб., наде с ят ь бил е т ов – вы игры ш по 20 руб., на двадцат ь бил е т ов – вы игры ш по 10 рубл е й, на 165 – вы игры ш по 5 руб. О с т ал ь ны е бил е т ы не вы игры ш ны е . К аковавероят нос т ь вы играт ь по бил е т у не ме не е 10 руб.? 19. В урне 10 бе л ы х, 15 ч ерны х, 20 с иних и 25 крас ны х ш аров. Н айт и ве роят нос т ь , ч т о вы нут ы й ш ар бе л ы й ил и ч е рны й.

75

20. В пе рвом ящ ике 2 бе л ы х и 10 ч ерны х ш аров; во вт ором ящ ике 8 бе л ы х и 4 ч е рны х ш ара. И з каж дого ящ икавы нул и по ш ару. К аковавероят нос т ь т ого, ч т о обаш арабе л ы е . 21. О пре де л ит ь вероят нос т ь т ого, ч т о в с е мь е , име ю щ е й 5 де т е й, буде т т ри де воч ки и двамал ь ч ика. Ве роят нос т и рож де ния мал ь ч икаи девоч ки предпол агаю т с я одинаковы ми. 22. В урне 20 бе л ы х и 10 ч е рны х ш аров. Вы нул и подряд 4 ш ара, прич е м каж ды й вы нут ы й ш ар возвращ аю т в урну пе ре д извл е ч е ние м с л е дую щ е го и ш ары в урне пе ре ме ш иваю т . К акова вероят нос т ь т ого, ч т о из ч ет ы ре х вы нут ы х ш аров окаж е т с я двабе л ы х? 23. И ме ю т с я т ри одинаковых по виду ящ ика. В первом ящ ике 20 бе л ы х ш аров, во вт ором – 10 бе л ы х и 10 ч е рны х ш аров, в т ре т ь е м – 20 ч ерны х ш аров. И з вы бранного наугад ящ икавы нул и бе л ы й ш ар. Вы ч ис л ит ь вероят нос т ь т ого, ч т о ш ар вы нут из пе рвого ящ ика. 24. П ус т ь име ю т с я с л е дую щ ие данны е о производс т ве продукт а А рабоч ими бригады зас ме ну: Н оме р рабоч е го 1 2 3 4 5 П роизве де но продукт аА зас ме ну 21 18 20 22 19 О пре де л ит ь с редню ю вы работ ку одного рабоч е го данной бригады . П ос т роит ь пол игон рас пре де л е ния. 25. П риве де ны данны е о кол ич е с т ве ч л е нов с е ме й в 50 обс л е дованны х ф е рмерс ких хозяйс т вах: 2 5 5 6 3 2 5 6 5 6 4 6 8 6 6 4 3 3 5 7 3 5 5 4 3 5 5 4 5 6 4 4 4 4 7 4 6 3 4 3 5 3 7 4 6 6 4 7 7 5 П ос т роит ь дис кре т ны й вариационны й ряд рас преде л е ния 50 хозяйс т в по кол ич е с т ву ч л е нов с е мь и. И зобразит ь ряд графич е с ки с помощ ь ю пол игона рас пре де л е ния. 26. М ногократ ны е измере ния не кот орой ве л ич ины дал и с л е дую щ ие знач е ния (с одерж ание с л уч айной ош ибки): x1 = 1,2 (2 раза); x 2 = 1,3 (3 раза); x 3 = 1,4 (3 раза). Н айт и мат е мат ич е с кое ож идание , дис пе рс ию , с ре днеквадрат ич ное от кл оне ние . 27. Запис ат ь вариационны й ряд рас преде л е ния эл е ме нт ов вы борки 5, 0, 3, 7, 0, 10, 5, 0, 5, 2, 10, 2, 0, 7, 2, 0, 4, 7, 7, 4 – из ч ис л арабоч их дне й в году, пропущ е нны х по бол е зни работ никами пре дприят ия. О преде л ит ь размах вы борки. 28. П о данны м вариационны х рядов опре де л ит ь ме диану: а) 2 3 6 7 9; б) 2 3 5 7; в) 2 2 3 5 7 7 8 9 9 11. 29. В 1980 году с ре дний т оварооборот общ е с т ве нного пит ания надуш у нас е л е ния X1 равнял с я 93,2 руб. при ве л ич ине с редне го квадрат ич ного от кл оне ния σ 1 = 10, 6 руб. В 1986 г. П оказат е л ь X 2 вы рос до 102,1 руб., показат е л ь рас с е яния σ 2 уве л ич ил с я до 11,5 руб. О це нит ь изме не ние с т е пе ни обе с пе ч е ннос т и нас е л е ния ре с публ ик ус л угами общ е с т ве нного пит ания.

76

Л итер а тур а 1. Ш ипач е в В.С. Задач ник по вы с ш е й мат е мат ике : уч еб. пос обие дл я с т уд. вузов / В.С. Ш ипач е в. - 4-е изд., с т е р. - М . : Вы с ш ая ш кол а, 2004. 303 с . 2. Ш ипач е в В.С. Вы с ш ая мат е мат ика : уч е бник дл я с т уд. вузов / В.С. Ш ипач е в. - 6-е изд., с т е р. — М . : Вы с ш ая ш кол а, 2003. - 479 с . 3. Гмурман В.Е . Т е ория ве роят нос т е й и мат е мат ич е с кая с т ат ис т ика : уч е б. пос обие дл я с т уд. вузов / В.Е . Гмурман. - 9-е изд., с т ер. - М . : Вы с ш ая ш кол а, 2003. - 478 с . 4. И с с л е дование опе раций в экономике : уч е б. пос обие дл я с т уд. вузов, обуч . по экон. с пе ц. / Н .Ш . К реме р [и др.]. - М . : Б анки и бирж и, 1997. - 407 с. 5. Воронов М .В. М ат емат икадл я с т уде нт ов гуманит арны х ф акул ь т е т ов : уч е бник / М .В. Воронов, Г.П . М е щ ерякова. - Рос т ов н/Д : Ф е никс , 2002. 374 с . 6. К ал ининаВ.Н . М ат е мат ич е с кая с т ат ис т ика: уч е бник / В.Н . К ал инина, В.Ф . П анкин. - 4-е изд., ис пр. - М . : Д роф а, 2002. - 335с . 7. К рас с М .С. М ат е мат икадл я экономич е с ких с пе циал ь нос т е й : уч е бник дл я с т уд. вузов, обуч . по экон. с пе ц. / М . С. К рас с . - 4-е изд., ис пр. - М . : Д е л о, 2003. - 702 с . 8. М инорс кий В.П . Сборник задач по вы с ш е й мат е мат ике : уч еб. пос обие дл я вт узов / В. П . М инорс кий. - 14-е изд., ис пр. - М . : И зд-во Ф из.-мат . л ит ., 2001. - 336 с . 9. Запорож е ц Г.И . Руководс т во к ре ш е нию задач по мат е мат ич е с кому анал изу : уч е б. пос обие дл я с т уд. вт узов. - 3-е изд., доп. - М . : Вы с ш ая ш кол а, 1964. - 478 с . 10. К рас с М .С. О с новы мат е мат ики и е е прил ож е ния в экономич е с ком образовании : уч е бник дл я с т уд. вузов, обуч . по экон. с пе ц. и направл . / М .С. К рас с , Б .П . Ч упры нов; Акад. народного образования при правит е л ь с т ве Рос . Ф е дерации. - М . : Д е л о, 2003. - 688 с .

77

О г л а в л ение Г л а в а 1. Э л ем енты теор ии м нож еств . Пр едел посл едов а тел ьности. §1. М нож е с т ва. О пе рации над множ е с т вами §2. П римеры ре ш е ния задач нат е му «Э л е ме нт ы т е ории множ е с т в» §3. Ч ис л овы е пос л е доват е л ь нос т и. §4. П реде л пос л е доват е л ь нос т и. §5. П римеры ре ш е ния задач нат е му «Ч ис л овы е пос л е доват е л ь нос т и» Г л а в а 2. Пр едел функ ции. Н епр ер ы в ность функ ции. §1. О бщ е е понят ие ф ункции. §2. П реде л ф ункции в т оч ке §3. Б е с коне ч но мал ы е и бе с конеч но бол ь ш ие ф ункции §4. П римеры ре ш е ния задач по т е ме «П ре де л ф ункции» §5. Н е преры внос т ь ф ункции. Т оч ки разры ва. Г л а в а 3. Пр оизв одна я. Д иффер енциа л . §1. П онят ие производной. §2. П римеры ре ш е ния задач по т е ме «П роизводная ф ункции». §3. П роизводны е вы с ш их порядков. Д ифф е ре нциал . Г л а в а 4. Пр им енение диффер енциа л ьног о исчисл ения к иссл едов а нию функ ций . §1. О с новны е т еоре мы диф фе ре нциал ь ного ис ч ис л е ния. §2. М онот оннос т ь ф ункции. Э кс т ре мум ф ункции и е го нахож де ние . §3. Н аправл е ние вы пукл ос т и и т оч ки пе ре гиба §4. Ас импт от ы граф икаф ункции §5. О бщ ая с хе маис с л едования ф ункций и пос т рое ния граф иков Г л а в а 5. Н еопр едел енны й и опр едел енны й интег р а л ы §1. П е рвообразная ф ункции §2. О пре де л е нны й инт е грал §3. О с новны е ме т оды инт е грирования Г л а в а 6. Ф унк ции м ног их пер ем енны х §1. П онят ие функции многих пере ме нных §2. Ч ас т ны е производны е и диф ф е ре нциал ы 1-ого порядкадл я ф ункции многих пе ре ме нны х §3. Д иф фе ре нциал ф ункции многих пе реме нны х §4. Ч ас т ны е производны е вы с ш их порядков §5. Э кс т ре мум ф ункции двух пе ре ме нны х Г л а в а 7. Э л ем енты л иней ной а л г ебр ы §1. П онят ие ве кт ора. §2. П онят ие мат рицы §3. О пре де л ит е л ь мат рицы §4. О брат ная мат рица §5. И с с л е дование с ис т е мы т рех уравне ний пе рвой с т е пе ни с т ре мя не изве с т ны ми §6. М е т од Гаус с апос л е доват е л ь ного ис кл ю ч е ния не изве с т ного Г л а в а 8. Э л ем енты м а тем а тическ ог о м одел ир ов а ния

3 3 5 6 9 10 12 12 14 15 16 20 22 22 23 25 26 26 26 28 29 30 34 34 35 36 39 39 40 41 42 43 44 44 45 48 49 50 52 53

78

Г л а в а 9. Э л ем енты теор ии в ер оятностей §1. О с новны е понят ия §2. К л ас с ич ес кое опре де л е ние ве роят нос т и §3. Ус л овная ве роят нос т ь §4. Ф ормул апол ной ве роят нос т и §5. Ф ормул аБ е йе с а §6. Ф ормул аБ ернул л и §7. Сл уч айны е ве л ич ины Г л а в а 10. Э л ем енты м а тем а тическ ой ста тистик и §1. О с новны е понят ия. Ст ат ис т ич е с кое рас пре де л е ние вы борки §2. П ол игон и гис т ограмма §3. Ст ат ис т ич е с кие оце нки парамет ров рас пре де л е ния Пр им ер ны й список к онтр ол ьны х за да ч Л итер а тур а О г л а в л ение

59 59 60 61 62 63 64 64 67 67 68 70 72 76 77

79

Сос т авит е л ь Гайворонс кая Свет л анаАнат ол ь е вна Ре дакт ор Б унинаТ .Д .

80