Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 262—289
УДК 510.53:512.52
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ
РАСШИРЕНИЯ
П Р Ю Ф Е Р О В Ы Х КОЛЕЦ*) ...
3 downloads
153 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 262—289
УДК 510.53:512.52
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ
РАСШИРЕНИЯ
П Р Ю Ф Е Р О В Ы Х КОЛЕЦ*)
Ю. Л. Е Р Ш О В
В настоящей работе изучаются вопросы, естественно возникающие при "геометрическом" взгляде на прюферовы кольца, развитом в [1]. Пред полагается знакомство читателя с главой 2 этой книги. Благодаря получен ным результатам стало возможным построение кольца главных идеалов, имеющего бесконечно много простых и такого, что его поле частных не является гильбертовым. Это дает отрицательный ответ на вопрос Ленга, сформулированный им в [2, 3] и повторенный в [4].
§ 1, Непосредственные расширения и подъемы Пусть R — прюферово кольцо с полем частных F ; через W(R) обозна чим семейство { Д т | т — максимальный идеал в R} колец нормирования поля F. Если W — семейство колец нормирования поля F , то через R(W) обозначим кольцо голоморфности C\{R \ R £ W} семейства W. Для прюферова кольца R выполняется равенство R(W(R))
— R. Се
мейство W колец нормирования поля F является аффинным, если кольцо голоморфности R(W) семейства W прюферово и W = W(R(W)).
Основ
ные результаты, касающиеся прюферовых колец и аффинных семейств, изложены в [1, глава 2]. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00600, а также Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект N 00-15-96184. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
Непосредственные расширения прюферовых колец
263
Расширение R < До прюферовых колец называется геометрическим, если для любого максимального идеала то кольца Ro простой идеал т о П R кольца R является максимальным. Если R < RQ ~ геометрическое расши рение прюферовых колец, то отображение к : (i?o)mo ^ #mon/lj m o ~~ мак симальный идеал в Ro, является (непрерывным в топологии Зарисского) отображением из W(RQ) в W(R) и называется отображением ограниче ния. Геометрическое расширение R < Ro прюферовых колец (с полями частных F < FQ) называется непосредственным, если 1) отображение ограничения 7г : W(Ro) -» W(R) является гомеомор физмом (пространств) W(JRO) и W(R)\ 2) для любого максимального идеала т о кольца Ro расширение нор мированных полей (F, Дщопя) < (Foi (Ro)mo) является непосредственным. Заметим, что если R < RQ — непосредственное расширение, то R — = Ro П F. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Пусть R < Ro — непосредственное расши рение прюферовых колец и W(R) независимо. Тогда и W(Ro)
независимо.
Будем доказывать более общее утверждение: Пусть R < Ro — геометрическое расширение прюферовых колец такое, что отображение ограничения 7г : W{Ro) —> W(R) f
и, для любого R 0 £ W(RQ),
разнозначно
^R'nF ~~ конфинальное подмножество TRt
(т. е. не существует собственной выпуклой подгруппы А < Г#/ такой, что Г*Я' nF < Д)- Тогда независимость W(R) влечет независимость W{Ro). Действительно, пусть R'Q ф Щ € W(R0); R' т± R'0n F , R" ^ Щ П OF. Поскольку R'Q ф RQ, TO R9 ф R" и, следовательно, R'R" = F. Если Rx ;=± RQR'O Ф FO, TO имеется разложение R'Q = R0oRx;
этому разложению
соответствует собственная выпуклая подгруппа Д < Гя* [1, §1.1] такая, что Jf?i = RQA = {а | а € Fo, v^(a)
> О, или vR>Q(a) £ А}. По условию,
Г fit конфинальна TR>, поэтому существует у Е Г#/ \ А; выберем его от рицательным. Если для a G F выполняется vRi(a) = 7 < 0, то vR/ (a) = = *>Я'(а) = 7 ^ Д?
и
7 < 0 влечет, что а & R\\ с другой стороны, J?i =
= RQRQ > R'R" = F влечет, что а е Ri = Д^ д . Получили противоречие. •
264
Ю. Л. Ершов Ниже предполагается знакомство читателя с понятиями булева и по
чти булева семейства колец нормирования, а также соответствующими им понятиями JB-кольца и iVB-кольца. ПРЕДЛОЖЕНИЕ
2. Непосредственное расширение
B-(NB-)
кольца является В-(N В-) кольцом. Пусть W — булево семейство колец нормирования поля F , WQ — аф финное семейство колец нормирования расширения FQ ПОЛЯ F такое, что отображение ограничения 7Г : RQ К+ R0 п F , R0 E Wo, является гомеомор физмом WQ и W, a (F, RoOF) < (Fo, Ro) ~ непосредственным расширением для любого До £ Wo. Достаточно установить замкнутость множеств вида Vj^° для любого #0 € FQ \ {0}. Действительно, если замкнутость установлена, то 7r(V^°) является открыто-замкнутым подсемейством W и, следовательно, имеет вид Vf для подходящего а 6 F \ {0} (и тогда V^0 = Vf°).
Поскольку
W булево, то существует а* € F \ {0}, при котором W \ Vf — V^, тогда W0 \ V$ = Wo \ Vf° = Vj? и, по предложению 2.4.1 [1], W0 булево. Покажем, что Wo \ Vj^° открыто. Пусть До € WQ \ V**\ тогда VR0{a0) < 0. Поскольку Г/^ = Г л , где R^± R0nF0
« F , R) < (F0,R0)
-
непосредственное расширение!), то найдется элемент а Е F такой, что ЗДо(ао) = vRo(a) - vR(a). Пусть а* е F такой, что W\Vf
- V£. Рас
смотрим открытое множество V ^ V^0 _х П VF°_! П V^ 0 . Из определения множества V видно, что Rf0 из Wo принадлежит V тогда и только тогда, когда vRi (a 0 ) = vR> (a) = vRinF(a)
< 0. Следовательно, R0 EV С WQ\VJ£
,
и открытость Wo \ "К£° установлена. Итак, Wo булево и R(Wo) — это JB-КОЛЬЦО.
ЗАМЕЧАНИЕ. При доказательстве булевости семейства Wo не ис пользовалось, что Wo аффинно; учитывалось лишь то, что п —- гомеомор физм (отсюда следует компактность и отделимость Wo) и ГяоПр = Гяо для любого R0 E WoОбратимся к случаю NJB-колец (почти булевых семейств). Пусть W — почти булево семейство колец нормирования поля F , Wo — аффинное семейство колец нормирования расширения FQ ПОЛЯ F такое, что отобра-
Непосредственные расширения прюферовых колец
265
жение ограничения тг : До >-» До П F , До Е Wo, является гомеоморфизмом 14^0 и W, a (F, R П F) < (FQ, RO) ~ непосредственным расширением для любого Ro Е Wo. Для доказательства почти булевости семейства WQ требуется уста новить, что для любого непустого открытого V С Wo семейство Wo \ V булево. Множество n(V) открыто и не пусто; тогда W \ тг(У) булево и тг"1 (W\TT(V))
= Wo\ V гомеоморфно W\ir(V).
В силу замечания W 0 \ V
булево. Предложение доказано. • Естественно встает вопрос о том, можно ли в доказательстве почти булевости Wo отказаться от условия аффинности Wo (как в случае булевых семейств)? Следующее предложение показывает, что ответ положителен в случае, когда W независимо. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3. Пусть W — независимое почти булево се мейство колец нормирования поля F, Fo — расширение F, WQ — семей ство колец нормирования поля Fo такое, что выполняются
следующие
условия: 1) для любого Ro Е WQ кольцо R ^± Ro П F принадлежит W и Г я = Г#о; 2) отображение ограничения я*: До *-> -Ro Л F, Ro Е WQ, является гомеоморфизмом Wo и W. Тогда Wo аффинно (и, следовательно, почти булево). Установим справедливость следующего утверждения: Л Е М М А 1. Для любых а0 Е F0 \ {0} и с Е R(W) \ {0} найдется элемент а Е F\ {0} такой, что и ч=± аа^1 Е R(Wo) и и £ U(R(W*r°)) (где W^^W0\V^). Множество 7г (V Д J открыто; следовательно, существует элемент 6 Е Е R(W) \ {0} такой, что 7г (vjl 0 ,) Э V £ . Элемент Ь можно выбрать так, что V^LX Э V^j (если V£LX 2 V£LX, то вместо Ь можно взять элемент Ь' = be). Из условия 1) вытекает, что для любого До Е Wo найдется элемент a
Ro E F \ {0} такой, что vRQ{a0) = F
F
v^a^).
Полагаем VS ?± V ° _, П V ° _x; Vg открыто и Д 0 Е V2 ; множе-
266
Ю. Л. Ершов
ство VRQ ;=Ь ^ ( V ^ ) также открыто и R ^ Д 0 П F Е V)^. Семейство Уд0, До € Wo \ V^Ji, покрывает булево пространство W \ V^LX; следовательно, существуют Д 0 , . . . , Rn Е WoXV^i такие, что W\V^X
С |J VR { . Используя
булевость W \ V£_x, найдем его открыто-замкнутое разбиение VoU . . . UVn, для которого Vi С Vnn i ^ п. Тогда Vb,... , V„, V£_x — компактное разбие ние почти булева семейства W. Выберем е Е R(W)D J(R(W^))\{0} что для любых г ^ п и R Е К выполняется v^a^)
таким,
> г>д(£). Используя
свойство блочной аппроксимации (см. §2.6 в [1]), найдем элемент а Е F такой, что для любых г ^. п и R E Vi имеют место vR(a — а#.) > г?д(£г) и "я (а) > г>д(е) для R E V ^ . Проверим, что ^ ( а ) = г;я0(а0) для любого R0 £ Wb° = Wo \ ^-°iДействительно, пусть для г ^ п выполняется R ^± Ro П F E Vt; С VR(. Тогда R0 Е Vg. = 7Г"1(У«,.)» *;Яо(ао) = ияЛад,-); с другой стороны, ид (а - O,R.) > vR(s) > !7д(аЛ|.) влечет, что vR(a) = ид (ад.) = ^Ло( а я,) = ^д 0 (а 0 ). Далее, если Д 0 Е К ^ С VF2X, то ид 0 (а 0 ) = 0 < идДе) < ид 0 (а). Итак, а
и
а
и
а
Яо( о) < Яо( ) Д
ля
о
всех Ro Е PVb, отсюда и ;=± aeiQ1 E Д(И/о)- Поскольку
^Яо(^о) = идо(а), «До 00 = 0 для всех Д 0 Е W F ° С РГ0 \ VbF°n то u E Е (7(fl(W c Fo )). Лемма доказана. D Установим теперь, что Wo слабо аффинно. Пусть До Е Wo и R ;=± ^ iZoHF. Пусть с Е Д(И0\{0} такой, что Д Е W F (тогда Д 0 Е Wf°). Пусть а 0 G Ло \ {0}; по лемме 1 существует элемент а Е F0\ {0}, для которого и ^=± аои"1 Е Д(И^о) и w Е С/(Д(И/(Г0)), тогда u, w~ 1 Е Д(И^°) < Д 0 . Так как 0 = VRoiu) = «/^(aao 1 ) = «ЯоИ - ^ ( a 0 ) , то идо(а) = «дЛ^о) > 0, а тогда a G Д = Д 0 П F и а 0 = агг"1 Е Д(И / 0 ) т (я 0 )пЯ(^ 0 )- Отсюда Д 0 = = i2(Wb)m(flo)nfl(Wb)
и
Wo слабо аффинно.
Поскольку Wo компактно (Wo гомеоморфно компактному W), то по замечанию 2.3.1 [1] для доказательства аффинности Wo достаточно уста новить, что при любых с 0 , . . . , сп Е R(WQ)\{0},
ДЛЯ
которых W0 = (J V Fo i,
идеал ( с о , . . . . Cn)fl(w0)> порожденный элементами Со,... , сп в R(Wo), яв ляется несобственным. Пусть / ^=± Д(ТУ) П ( с 0 , . . . , с„)я(ж0)- Если идеал I несобственный, то и идеал ( с 0 , . . . , сп)щщ) несобственный, что и требова лось. Предположим, что / собственный, и пусть m E mSpecR(W)
такой,
Непосредственные расширения прюферовых колец
267
что I < т . Полагаем R ^ R(W)m и пусть R0 Е Wo такое, что Ro П F = R. Пусть с Е m \ {0}; тогда R Е WCF (и i? 0 Е WCF°). Используя лемму 1, найдем элементы а о , . . . , а п € F \ {0} такие, что м, ^
««с^1 Е i^JVo),
гл,- Е 1^(Д(И^ 0 )); щ,и~1 Е i2(WcFo) < Д 0 , % ^ п. Заметим, что а; = гад E / , i ^ п. Если Wo = U V^\, то существует i ^ п, для которого i? 0 G V J i ; тогда из Ci £ Ro\ т ( Д 0 ) и щ}и^г
€ До следует, что at = и,-с,- € До \ тп(До)-
С другой стороны, CiU{ = a; E / < m < m(i?o)« Полученное противоречие завершает доказательство предложения. • В силу этого предложения для случая булева семейства W из лем мы 1 вытекает, что вложение Y\v < ^w0 является равенством. Здесь Tw (Туу0) — решеточно упорядоченная группа, определенная в §3 [5] (в §4.5 [1]). Если еще (F, R) < (F0,.Ro) ~ непосредственное расширение для лю бого До € Wo и R ;=± Ro П F , то нетрудно установить, что и вложение Щ
И R(W)/J{R(W)))
(F).
{Ro I Ro — кольцо нормирования поля Fo такое, что
До П F € W}. По следствию 2.5.3 [1] WQ является почти булевым семей ством колец нормирования поля Fo. Заметим, что для ао £ R(Wo) \ {0} имеет место включение V Д D VN°, ,х
(где N(ao) 6 Д ;=± Д(И^) — норма
элемента для расширения Fo/F), так как N(ao)aQl e
R(WQ).
Непосредственные расширения прюферовых колец
269
Используя это замечание и счетность поля FQ, находим последова тельность V0DVXD
...DVnD
... ,
песо
(непустых) базисных открытых подмножеств Wo такую, что Vn = V Д для подходящего ап £ R\ {0} (и тогда VF2i = л*-1 [VF^ ), где 7Г : W0 -> W — отображение ограничения), и для любого непустого V С Wo найдется к £ 6 о; такое, что Vk С У. Из последнего сразу следует, что f] Vn = 0 . Полагаем W° ^ W 0 \ Vb, • • • , W' n+1 ^ V„\ V n + b . .. и Wn ^ 7r(W n ), n
n
Тогда W™, W ~ булевы семейства и W n
Для каждого из булевых семейств W
n£u.
= T r ^ W " ) , n 6 u?.
выполняются условия пред
ложения 4.4.3 [1], и доказательство этого предложения позволяет найти открыто-замкнутое подсемейство Wfn С Wn такое, что п \ W„ — гомео морфизм W'n и Wn, а для любого R! G W'n верно H(R' П F) = Полагаем W' ^
H(R').
IJ W^, W С Wo, и W' является, по предложе-
нию 2.5.2 [1], компактным подсемейством Wo, а следовательно, по пред ложению 2.5.1 [1], почти булевым. Установим, что ж \ Wf является го меоморфизмом W' и W. Достаточно показать открытость 7г, так как 7Г непрерывно и 7г f W9 является взаимнооднозначным отображением W1 на W. Пусть V ф 0 — открытое подсемейство семейства Wo; тогда для неко торого к е и имеем Vk С V и 7г(У П W ) Э 7r(V)k П W7) = 7r(Vjb); последнее множество тг (Vfc) = ж ( V^?, ) = VF.i - базисное открытое. Множество У П W П (Wo \ 14) является открытым подсемейством булева семейства Wo \ Т4, и тогда, по теореме 2.2.1 [1], n(V П Wf П (Wo \ Vjk)) — открытозамкнутое подсемейство булева семейства W \ 7r(V*). Имеем n(V П W ) = = ic(VnW'n(Wo\Vk))Uir{VT\W'nVk)
и, следовательно, ir(VnW')
откры
то. Из доказанного и построения следует, что R(W') является собственным подъемом R = J?(W), а это приводит к противоречию. Предложение дока зано. • ЗАМЕЧАНИЕ. Предложение 4 является правильным уточнением за мечания 4.4.3 [1].
270
Ю. Л. Ершов § 2. Обобщенно дедекиндовы кольца В [6] установлена следующая характеризация дедекиндовых колец
(теорема 3.16). Кольцо R является дедекиндовым тогда и только тогда, когда вы полняются следующие два условия: 1) для любого максимального идеала m кольца R кольцо частных Rm является кольцом дискретного нормирования; 2) любой элемент поля частных кольца R содержится почти во всех кольцах из
W(R).
Эта характеризация подсказывает введение следующего определе ния: прюферово кольцо R назовем обобщенно дедекиндовым, если любое непустое открытое множество U семейства W(R) коконечно (т.е.
W(R)\U
конечно) и для любого R' E W(R) группа нормирования Г#/ является ар химедовой. С Л Е Д С Т В И Е . Если R обобщенно дедекиндово, то любой ненуле вой простой идеал р кольца R является
максимальным.
Действительно, если р < m, m — максимальный идеал Д, то F ф Ф Rp > Д т , и это противоречит следствию 1.1.6 [1]. • ЗАМЕЧАНИЕ. Всякое обобщенно дедекиндово кольцо является, оче видно, iVS-кольцом, а всякое дедекиндово кольцо является обобщенно де декиндовым. Топология на семействе W(R) обобщенно дедекиндова кольца за служивает внимания. Топологическое пространство назовем
^-простран
ством, если его открытыми непустыми множествами являются в точности все (непустые) коконечные множества; Ti-пространства — это простран ства с наименьшей Т\-топологией. Справедливы следующие простые (но весьма полезные) свойства: 1) всякое т\ -пространство компактно; 2) всякое подпространство Т\-пространства является
^-простран
ством, в частности, любое подмножество Т\ -пространства компактно; 3) отображение f : X -~* Y Т\-пространства X в Т\-пространство
Непосредственные расширения прюферовых колец
271
Y является непрерывным тогда и только тогда, когда f~l{rj)
конечно
для любого 7] 6 Y] 4) любое отображение Ту-пространства на г\-пространство
явля
ется открытым. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 5. Пусть R — обобщенно дедекиндово кольцо и F — его поле частных. Тогда 1) cyvjficmeyem соответствие Галуа между всеми подсемействами семейства W(R)
и всеми промежуточными
кольцами RQ (Д < RQ
W(R) — отображение
ограничения (тг : Rf0 ь-> Rf0 П F , R'Q £ W(RQ))1
a nmml(Rt) содержит не
более [Fo : F] элементов для любого R1 £ W(R). пространство. Если R'0 £ W(RQ),
.
конечно, и тогда соотно-
= W(R0) \ V*^
кут конечность
w
TO вложение
Итак, W(RQ) — т\-
(F, Rf0nF) < (Fo, До) влечет,
что [Гд^ : Гд£П/г] < [F0 : F]. Так как Rf0DF £ И^(Д), то r # / n F архимедова, следовательно, и Г#/ архимедова. Предложение доказано. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 6. Пусть R < RQ — непосредственное расши рение прюферовых колец, тогда
272
Ю. Л. Ершов 1) если R обобщенно дедекиндово, то и До обобщенно дедекиндово; 2) если R дедекиндово, то и До дедекиндово; 3) если R — кольцо главных идеалов, то и RQ — кольцо главных
идеалов. 1) Поскольку W(RQ) гомеоморфно W(R), то W(RQ) является ^-про странством, а До — Л^Б-кольцом. Остается заметить, что непосредствен ность расширения (F, RfQC\ F) < (Fo, Д^) для Rf0 E И^(До) влечет архиме довость группы Гд/ = Гд/ П ^, что и устанавливает обобщенную дедекин довость До2) По 1), До обобщенно дедекиндово, и все Д^ € W(RQ) являются кольцами дискретного нормирования (так как (Fo, R'Q) — непосредственное расширение (F, Д^ П F), а R'0 П F £ W(R) — кольцо дискретного норми рования). По характеризации дедекиндовых колец, приведенной в начале раздела, До дедекиндово. 3) По 2), До дедекиндово. Для доказательства того, что Д 0 — коль цо главных идеалов, достаточно установить, что всякий ненулевой про стой (т.е. максимальный) идеал то кольца До является главным. Пусть пг ^=± пго П Д; m — максимальный идеал в Д; следовательно, ттг = (а)# для подходящего а £ R\ {0}. Рассмотрим разложение (а)я0 = т£° • . . . • т£* главного идеала (а)яо кольца Д 0 , где m i , . . . , т ^ — попарно различные максимальные идеалы, отличные от то- Так как а Е mi П Д и mi П R — максимальный идеал в Д, отличный от т , то включение m = (a)R < Ш\ П Д приводит к противоречию. Следовательно, к = 0. Предположение п0 > 1 противоречит неразветвленности расширения (F, Д ш ) < (Fo^omo)- Итак, ( а )я 0 ~ т о и До ~ кольцо главных идеалов. Предложение доказано. D П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 7. Всякое обобщенно дедекиндово кольцо имеет М-подъем. Достаточно установить, что если Д обобщенно дедекиндово и не име ет собственных подъемов, то Д удовлетворяет свойству (М). Пусть суще ствует собственное конечное сепарабельное расширение Fo поля частных F кольца Д такое, что для любого Д' € W(R) поле Fo будет F-вкладываться в поле
HRI(F).
Непосредственные расширения прюферовых колец
273
Пусть R0 — целое замыкание R в Fo, тогда, по предложению 5, До обобщенно дедекиндово. В силу условия на Fo, сформулированного выше, для любого Rf £ W{R) найдется Rf0 G W{R0) такое, что Д' < R'0 < # ( Д ' ) . Семейство WQ, состоящее из таких Rf0 (по одному для каждого Rf G И^Д)), является ^-пространством, а следовательно, компактным подсемейством Тогда WQ аффинно по предложению 2.3.7 [1]. Включения До =
W(RQ).
= Д(ЩДо)) < R{WQ) < F, по предложению 5, влекут, что R(WQ) обоб щенно дедекиндово, и тогда по выбору WQ, R(WQ) — (собственный) подъ ем Д. Полученное противоречие доказывает предложение. • Применим предложения 6 и 7 для решения одной проблемы Ленга, сформулированной в [2—4]. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 8. Существует кольцо главных идеалов, име ющее бесконечно много простых идеалов, поле частных которого не яв ляется
гильбертовым.
Пусть Е — поле вещественных чисел, 5 ^ {/ | / Е Щх] — унитар ный многочлен, не имеющий корней в R}; 5 является мультипликативным семейством в кольце многочленов Щх]. Полагаем Д ^± 5""1R[x]; кольцо Д является кольцом главных идеалов, а W(R) состоит из всех колец норми рования Д' поля Щх) таких, что Д' > Щх] и F#/ = R. В частности, Д имеет бесконечно много простых идеалов. Пусть До — М-подъем Д. Тогда До — кольцо главных идеалов, име ющее бесконечно много простых. Установим теперь, что поле частных Fo кольца До не является гильбертовым. Это будет следовать из такого свой ства поля Fo: любой элемент вида 1 + t2, t £ Fo, имеет в FQ квадратный корень. Это свойство легко вытекает из того, что До удовлетворяет свойству (М), и из следующей леммы. Л Е М М А 2. Пусть Д' — гензелево кольцо нормирования поля F' такое, что FR/ вещественно замкнуто. Тогда в поле F ' любой элемент вида 1 + t 2 , t £ F1', имеет квадратный корень. Рассмотрим два случая: С л у ч а й 1: VRt(t) > 0; тогда, если i — образ элемента t в FR/, TO
274
Ю. Л. Ершов
образом элемента 1 + t 2 в F#/ будет 1 + * 2 ;1 + * 2 > 0 и имеет квадратный корень в FR>. Тогда по лемме Гензеля и элемент 1 + t2 имеет квадратный корень в F ' . С л у ч а й 2: vRt[t) < 0; 1 + t2 = t 2 (l + *" 2 ), VR^t'1)
= -vR 0
и согласно случаю 1 элемент 1 +1~~2 имеет квадратный корень ( в F ' ; но тогда (££)2 = t2(l + t~2) = 1 + t2 и 1 + 1 2 имеет квадратный корень в F ' . Лемма доказана. • Теперь предположим, что Fo гильбертово. Тогда по предложе нию 14.1 [4] должны существовать элементарное расширение F\ поля Fo и элемент t G Fi \ FQ такие, что поле Fo(t) алгебраически замкнуто в F\. Так как F\ — элементарное расширение FQ, TO поле F\ должно содержать корень квадратный из 1 + t2, что приводит к противоречию. Итак, Fo не будет гильбертовым. Предложение доказано. П ЗАМЕЧАНИЕ. После сдачи этой работы в печать автору стало из вестно от профессора М. Ярдена, что предложение 8 установлено и в [7, теор. 1].
§ 3. е-замкнутые кольца Предложения 1, 2 и 6 показывают, что ряд свойств прюферовых ко лец сохраняется при непосредственных расширениях, а предложения 4 и 7 показывают, что среди непосредственных расширений можно найти кольца с дополнительными свойствами. В этом параграфе установим ряд дополнительных свойств у е-замкнутых колец, а также покажем, что у любого (счетного) прюферова кольца существует е-замкнутое (счетное) непосредственное расширение. Прюферово кольцо R назовем е-замкнутым, если для любого непо средственного расширения RQ > R кольцо R е-замкнуто в RQ (R