М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И
В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ ...
52 downloads
219 Views
318KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И
В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
ЗА Д А ЧИ ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н О ГО ЭК ЗА М Е Н А П Р А КТ И КУ М специ альность 010501 – П РИ К ЛА Д Н А Я М А Т Е М А Т И К А И И Н Ф О РМ А Т И К А
В О РО Н Е Ж 2004
2
У тверждено у ч ебно-м етоди ч еск и м советом ф ак у льтета при к ладной м атем ати к и , и нф орм ати к и и м ехани к и проток ол № 7 от 18.06.2004г.
Состави тели : В оронк овБ.Н ., Радч енк оТ .А . Рецензент: к .ф .-м .н., доцентк аф едры ради оф и зи к и В оронежск ого госу дарственногоу ни верси тета М арш ак овВ .К .
П рак ти к у м подготовлен на к аф едре техни ч еск ой к и бернети к и и автом ати ч еск ого регу ли ровани я ф ак у льтета при к ладной м атем ати к и , и нф орм ати к и и м ехани к и В оронежск огогосу дарственного у ни верси тета. Рек ом енду ется для сту дентов4-го, 5-го к у рсовдневногоотделени я и сту дентов6-го к у рса веч ернегоотделени я .
3
П р едис л ов ие Д анны й прак ти к у м содержи т задач и по теори и вероя тностей и м атем ати ч еск ой стати сти к е, к оторы е предлагали сьсту дентам ф ак у льтета П М М на госу дарственном эк зам ене в 1998 – 2004 годах. Разбор и реш ени е представленны х задач м ожет ок азать сту дентам пом ощь в освоени и к у рса теори и вероя тностей и м атем ати ч еск ой стати сти к и , а так же м ожет бы ть полезны м при подготовк е к вы пу ск ны м эк зам енам . 1. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 1997/1998 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
1 x − a ≤ b, , f ( x) = 2b 0 , x − a > b , a , b = const . Н айти F(x), Mξ,
P(ξ≥Mξ).
2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
f ( x) = C ⋅ x ⋅exp(−
x2 2a 2
),
x ≥ 0 , a > 0.
Н айти к онстанту С и вероя тности P(ξ≥a) и Ρ(ξ 1.
Mξ=0 . Н айти к онстанту p, Mη и Dη, где η=2|ξ|-1. 4. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η незави си м ы и и м ею т оди нак ову ю ф у нк ци ю распределени я :
0, x ≤ 1, F ( x) = c ⋅ ( x − 1), 1 < x ≤ 3, 1, x > 3.
Слу ч айны е вели ч и ны γ и ϕ определены следу ю щи м образом : γ=Αξ+Βη, ϕ=Αξ−Βη. Н айти к онстанту « с», М γ, М ϕ и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду слу ч айны м и вели ч и нам и γ и ϕ. 5. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по норм альном у зак ону с парам етрам и (a, σ2). Н айти М η и Р(η< b), если η=
π ⋅ξ . 2
6. М етодом м ом ентов найти по вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей распределени е Лапласа
f ( x) = оценк у парам етра « θ ».
x 1 exp( − ), 2θ θ
− ∞ < x < ∞,
7. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотность распределени я вероя тностей 1 (x − a ) f ( x ) = exp(− ), x ≥ a , θ θ найти сценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери ть ее несм ещенность. 8. В табли це при ведены данны е о ф ак ти ч еск ом сбы те товара (в у словны х еди ни цах) впя ти районах Район О бъ ем сбы та
1 110
2 130
3 70
4 90
5 100
7
Согласу ю тся ли эти данны е с предположени ем , ч то объ ем сбы та в районах оди нак ов? П ри ня тьу ровеньзнач и м ости α=0,01. 9. П ри и спы тани и аппарату ры ф и к си ровалось ч и сло отк азов у при боров. Резу льтаты и спы тани й 60 при боровпри ведены втабли це Чи слоотк азов Чи слопри боров
0 43
1 10
2 4
3 3
Согласу ю тся ли эти данны е с предположени ем о пу ассоновск ом зак оне распределени я ч и сла отк азов? П ри ня тьу ровеньзнач и м ости α=0,05. 10. П ри 20 подбрасы вани я х дву х м онетф и к си ровалосьч и сло вы падени й герба К оли ч ество вы павш и х гербов Чи сло вы падени й
0
1
2
6
8
6
Согласу ю тся ли эти резу льтаты с предположени ем о си м м етри ч ности м онеты и незави си м ости резу льтатов отдельны х подбрасы вани й? П ри ня ть у ровеньзнач и м ости α=0,05. 4. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 1998/1999 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на η=|ξ|−1. П лотность распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ:
вероя тностей
a ⋅ x 4 , x ∈ [− 1, 1] , f ( x) = 0 , x ∉ [− 1 ,1].
Н айти к онстанту « а », F(x), Mη, Dη. 2. П лотностьраспределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ и м еетви д: 1 ( x − 2) 2 f ( x) = exp( − ), − ∞ < x < ∞. 8 2 2π Слу ч айная вели ч и на η равном ернораспределена ви нтервале [0, 2]. Н айти Mγ, Dγ, если γ=ξ+η−ξη. 3. Слу ч айная вели ч и на η=4+|ξ|. Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ: x ≤ −1, 0, 0, 3, − 1 < x ≤ 0 , F ( x) = 0, 5 , 0 < x ≤ 2 , 1, x > 2. Н айти М η , Dη, P(η≥5).
8
4. Слу ч айная вели ч и на η=1+3ξ, М ξ=1, Dξ=2. В ы ч и сли ть Mη, Dη, M(ξη) и к оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη. 5. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей: 0 , x ≤ −1, 0,1, − 1 < x ≤ 0, F ( x) = 0,1 + p, 0 < x ≤ 1, 1, x > 1. Mξ=0. Н айти к онстанту « р», М η и Dη, если η=|ξ|+2. 6. Н айти к оэф ф и ци ент к орреля ци и м ежду слу ч айны м и вели ч и нам и ξ и η, если Dξ=Α, Dη=B, D(ξ+η)=C. 7. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей: A ⋅exp( x), x ≤ 0 , F ( x) = 1 − A ⋅ exp(− x), x > 0 . Н айти плотностьраспределени я вероя тностей f(x), к онстанту « А », Р(|ξ| 0, найти θ θ
м етодом м ак си м ального правдоподоби я и м етодом м ом ентов оценк и парам етра θ. О предели тьсостоя тельностьнайденны х оценок . 11. Чи сло вы падени й герба при 20 подбрасы вани я х дву х м онетраспредели лось следу ю щи м образом : К оли ч ество гербов Чи сло вы падени й
0 4
1 8
2 8
9
Согласу ю тся ли эти резу льтаты с предположени ем о си м м етри ч ности м онеты и незави си м ости резу льтатов подбрасы вани й? П ри ня ть у ровень знач и м ости α=0,05. 5. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 1998/1999 уч. год 1. Н а ри с. 1 при веден граф и к плотности распределени я вероя тностей f ξ (x) слу ч айной вели ч и ны ξ . Н айти : a ; анали ти ч еск и е вы ражени я для fξ (x) и
1 1 Fξ (x) ; Mξ , Dξ ; P{− < ξ ≤ }. 2 2 f ξ (x )
a
-1
0 Ри с. 1
2
x
2. Задана ф у нк ци я :
x ≤ 0, 0 , Fξ ( x ) = a ⋅ x 2 , 0 < x ≤ 1, a , b=const. −x 1 − b ⋅ e , 1 < x < ∞ . П ри к ак и х знач ени я х парам етров a и b данная ф у нк ци я я вля ется ф у нк ци ей 1 распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ , для к оторой P (ξ < 1) = ? 2 1 П острои тьграф и к и ф у нк ци й fξ (x) , Fξ (x ) ; найти Mξ , Dξ ; P{ < ξ ≤ 2}. 2 3. Задан р я д распределени я вероя тностей ди ск ретной слу ч айной вели ч и ны
xi
pi
-4 0,2
-2 0,1
-1 p
0 1 0,15 q
x6
0,2
5 0,15
и Mξ = 0,19, Fξ ( x = 2,5) = 0,58. Н айти знач ени я x6, p, q. В ы ч и сли тьDξ . Запи сатьанали ти ч еск ое вы ражени е и построи тьграф и к ф у нк ци и Fξ (x) . 4. Cлу ч айны е вели ч и ны
π π ξ ~ R (− ; ) , η = cos ξ . Н айти fη ( y ), Mη. 2 2
ξ
10
5. Слу ч айная вели ч и на
ξ распределена по зак ону Релея сплотностью
x < 0, 0 , fξ ( x ) = x x2 2 ⋅ exp( − 2 ) , x ≥ 0 , σ > 0 . 2σ σ Н айти fη ( y ), Fη ( y ), Mη , Dη , если η = exp(−ξ 2 ) . 6. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 1999/2000 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей 1 x2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ . 8 2 2π Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: F ( y ) = 1 − exp(− y / 2), y ≥ 0. 1 0,5 . М атри ца к оэф ф и ци ентовк орреля ци и ξ и η: ρ = 0,5 1 Н айти Mγ и Dγ, если γ=1-2ξ+3η. 2. Ф у нк ци я распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: y ≤ 0, 0, y F ( y) = , 0 < y ≤ 2, 2 y > 2. 1, Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей 1 x f ( x) = exp(− ), x ≥ 0 . 2 2
1
М атри ца к оэф ф и ци ентовк орреля ци и ξ и η: ρ = 3/2 Н айти Mγ и Dγ, если γ=4ξ-3η+5.
3 / 2 . 1
3. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей x x2 f ( x) = exp(− ), x ≥ 0 , θ 2θ найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на несм ещенность, состоя тельностьи эф ф ек ти вность.
11
4. Среди 1000 сем ей, и м ею щи х дву х детей, в 265 сем ьях - два м альч и к а, в 230 две девоч к и , в 505 сем ьях - м альч и к и девоч к а. М ожно ли при у ровне знач и м ости α=0,05 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к оввсем ье с дву м я детьм и би ном и альная слу ч айная вели ч и на? О ценк у парам етра би ном и ального распределени я найти м етодом м ак си м ального правдоподоби я по тем же данны м . 7. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 1999/2000 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
a ⋅ x , f ( x) = 0,
x ∈ [− 1;1], x ∉ [− 1;1].
Н айти к онстанту « а», Fξ(x), а так же Mη и Dη, если η=ξ2. 2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
0, x ≤ −2, 0,2 , − 2 < x ≤ −1, F ( x) = 0,5 , − 1 < x ≤ 1, 1, x > 1.
Н айти Mη, Dη и P(η 0,
найти
м етодом
м ак си м ального
правдоподоби я оценк у парам етра θ. О предели ть, я вля ется ли найденная оценк а состоя тельной.
13
14. Н айти м етодом м ом ентов оценк у парам етра θ пок азательного распределени я 1 x f ( x) = exp( − ) при х≥0. θ θ Я вля ется ли эта оценк а несм ещенной, состоя тельной, эф ф ек ти вной? 15. А нали з 120 вопросов, заданны х сту дентам на эк зам ене, пок азал, ч то 42 вопроса и з I-ой ч асти к у рса, 35 – и з II-ой ч асти к у рса, 43 – и з III-ей ч асти к у рса. Справедли ва ли ги потеза о том , ч то вопросы с оди нак овой вероя тностью беру тся и з к аждой ч асти ? П оложи тьу ровеньзнач и м ости α=0,05. 8. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 1999/2000 уч. год 1. Задана ф у нк ци я вели ч и ны ξ
распределени я
вероя тностей непреры вной слу ч айной
x ≤ −1 , 0 , Fξ ( x) = ax 2 + bx + c , − 1 < x ≤ 1 , a, b, c = const , 1, x > 1. Н айти a, b, c, f ξ ( x ), Mξ , Dξ , м еди ану - Me . П острои ть граф и к и ф у нк ци й fξ (x) , Fξ (x ) . 2. Д и ск ретная слу ч айная вероя тностей
вели ч и на
ξ
задана
ф у нк ци ей распределени я
x ≤ 2, 0 , 0,3 , 2 < x ≤ 3 , Fξ ( x) = 0,5 , 3 < x ≤ 4 , 1 , x > 4. О пи сатьзак он распределени я вероя тностей данной слу ч айной вели ч и ны , найти Mξ , Dξ ; P{ξ ≥ 3,5} , P{ x < 2,5} . 3. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по зак ону Си м псона и задана плотностью распределени я вероя тностей f ξ (x) , и зображенной на ри су нк е 2 f ξ (x )
а>0
1/а
-а
0
а Ри с. 2
x
14
Н апи сать вы ражени е для
fξ (x) , определи ть ф у нк ци ю распределени я
вероя тностей Fξ (x) ; найти Mξ , Dξ ; м оду , м еди ану и к оэф ф и ци ентэк сцесса.
4. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по зак ону К ош и , определя ем ом у ф у нк ци ей распределени я вероя тностей
x Fξ ( x ) = b + c ⋅ arctg , x ∈ R ; a , b − const . a Н айти a, b, c, fξ ( x ), Mξ , Dξ , м оду и м еди ану . 5. Слу ч айная вели ч и на ξ подч и ня ется зак ону арк си ну са с плотностью распределени я вероя тностей
x ≥ a, 0 , fξ ( x ) = 1 , 2 2 π ⋅ a − x
x < a.
Н айти Fξ (x ) , построи тьграф и к и f ξ (x) и Fξ (x) . В ы ч и сли ть Mξ , Dξ ; м оду и м еди ану . 6. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по зак ону Лапласа с парам етрам и m ∈ R , σ > 0 . П лотность распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ
f ξ ( x) =
1 σ ⋅ 2π
− x−m ⋅ 2
⋅e
2
, −∞ < x 0 . В ы ч и сли тьвероя тности p k = P{ x < k ⋅ σ } для k = 1, 2, 3 . 7. Слу ч айная вели ч и на ξ подч и нена норм альном у зак ону распределени я вероя тностей ξ ∈ N (a , σ 2 ) . Н айти плотностьраспределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны η = (ξ − a ) 3 . 8. Д и ск ретная слу ч айная вели ч и на ξ распределена по зак ону , определя ем ом у табли цей xi
pi
-2 0,25
0 0,5
2 0,25
15
1) найти харак тери сти ч еск у ю ф у нк ци ю и с ее пом ощью вы ч и сли ть
Mξ , Dξ ;
2) док азать, ч то если
харак тери сти ч еск ая
ф у нк ци я
ϕξ (t )
-
действи тельная ф у нк ци я , тоона обя зательно ч етная . 9. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2000/2001 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей f ( x ) = exp(− x ), x ≥ 0 . Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: 0, y ≤ 1, F ( y ) = y − 1, 1 < y ≤ 2, 1, y > 2. К оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη=1/2. Н айти М γ, Dγ, если γ=ξ+η+1. 2. Ф у нк ци я распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ и м еетви д: x ≤ −1, 0, 0,2, − 1 < x ≤ 0, F ( x) = 0 < x ≤ 1, p, 1, x > 1, М ξ=0. Н айти Mγ и Dγ, если γ=ξ3+ ξ. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей a ⋅ x , x ∈ [− 2, 2], f ( x) = x ∉ [− 2, 2]. 0, Н айти к онстанту « а », Fξ(x), а так же Mη и Dη, если η=│ ξ│ +1. 4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей р аспределени я вероя тностей
0, x ≤ 1, F ( x) = C ⋅ ( x − 1) , 1 < x ≤ 3, 1, x > 3. Н айти к онстанту « С », плотностьраспределени я вероя тностей и к оэф ф и ци ент к орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 5. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η распределены по стандартном у норм альном у зак ону , к оэф ф и ци ент к орреля ци и м ежду ни м и ρξη=1/2. Н айти М (ξ-η), М (ξη), D(ξ-η).
16
6. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по норм альном у зак ону с парам етрам и m 2 − 2mξ 2 2 М ξ=m, Dξ=σ . Н айти М η и М η , если η = exp( ). 2σ 2 7. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей x x f ( x ) = 2 exp(− ), x ≥ 0 , θ θ найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. 8. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей x x f ( x ) = 2 exp(− ), x ≥ 0 , θ θ найти м етодом м ом ентовоценк у парам етра θ и провери тьее на несм ещенность и эф ф ек ти вность. 9. П ри 50 подбрасы вани я х м онеты герб вы пал 20 раз. М ожно ли сч и татьм онету си м м етри ч ной? П ри ня тьу ровеньзнач и м ости α=0,1. 10. П ри 120 бросани я х и гральной к ости ш естерк а вы пала 40 раз. Согласу ю тся ли эти резу льтаты с у тверждени ем , ч то к остьправи льная ? П ри ня ть у ровень знач и м ости α=0,05. 10. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 2000/2001 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
f ( x) = C ⋅ x ⋅exp(−
x2 2a 2
), x ≥ 0.
Н айти к онстанту C, F(x), P(ξ≥Μξ). 2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
x ≤ −1, 0, 0,3 , − 1 < x ≤ 0 , F ( x) = 0,3 + p, 0 < x ≤ 1, 1, x > 1.
Н айти к онстанту p, Mξ , Mη и Dη, где η=|ξ| - 1. 3. Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д:
17
0, y F ( y) = , 2 1,
y ≤ 0, 0 < y ≤ 2, y > 2.
Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей 1 x f ( x) = exp(− ), x ≥ 0 . 2 2
1
М атри ца к оэф ф и ци ентов к орреля ци и ξ и η: ρ = 3/2 Dγ, если γ=ξ-η+1.
3 / 2 . Н айти Mγ и 1
4. Слу ч айная вели ч и на η=1+|ξ|. Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ:
Н айти М η , Dη, P(η≥1,5).
0, 0 ≤ −1, 0,3 , − 1 < x ≤ 0, F ( x) = 0,5 , 0 < x ≤ 2, 1, x > 2.
5. Слу ч айная вели ч и на η=|ξ| + 1. П лотность распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ:
a ⋅ x 4 , x ∈ [− 1;1], f ( x) = 0, x ∉ [− 1;1].
Н айти к онстанту « а», Fξ(x) Mη и Dη. 6. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей:
a , f ( x) = 0 ,
x ∈ [γ , b], x ∉ [γ , b].
Н айти к онстанту γ , ф у нк ци ю распределени я F(x), Mξ и Dξ. 7. А нали з 150 вопросов, заданны х сту дентам на эк зам ене пок азал, ч то 52 вопроса и з I ч асти к у рса, 45 – и з II ч асти к у рса, 53 – и з III ч асти к у рса. Справедли ва ли ги потеза о том , ч то вопросы с оди нак овой вероя тностью беру тся и з к аждой ч асти ? П оложи тьу ровеньзнач и м ости α=0,01. 8. В ы борк а Х =(Х 1, Х 2,...Х N) и з генеральной совок у пности , плотность распределени я вероя тностей к оторой
18
f ( x ) = 2 exp(− x + θ)(1 − exp(− x + θ)), θ ≥ 0, θ ≤ x < ∞ вы бороч ное среднее несм ещенной оценк ой парам етра θ?
.
Я вля ется
ли
9. П ри 50 подбрасы вани я х дву х м онет заф и к си ровано следу ю щее ч и сло вы падени й герба. К оли ч ество вы павш и х гербов Чи сло вы падени й
0
1
2
10
29
11
Согласу ю тся ли эти резу льтаты с предположени ем о си м м етри ч ности м онеты и незави си м ости резу льтатов отдельны х подбрасы вани й? П ри ня ть у ровеньзнач и м ости α=0,025. 11. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2000/2001 уч. год 1. Задан ряд распределени я вероя тностей ди ск ретной слу ч айной вели ч и ны ξ
xi
pi
-5 0,1
-3 0,2
x3 p3
0 0,2
1 0,15
3
p6
5 0,1
и Mξ = −0,6 , Fξ ( x = 0) = 0,5. Н айти знач ени я x3 , p3 , p 6 . В ы ч и сли ть Dξ . Запи сатьанали ти ч еск ое вы ражени е и построи тьграф и к ф у нк ци и Fξ (x) . 2. Н а ри с. 3 при веден граф и к плотности распределени я вероя тностей f ξ (x) слу ч айной вели ч и ны ξ . Н айти : a ; анали ти ч еск и е вы ражени я для f ξ (x) и
Fξ (x) ; Mξ , Dξ ; P{−1 < ξ ≤ 1}. f ξ (x )
a -1
0 Ри с. 3
2
x
3. Задана ф у нк ци я :
x ≤ 1, 0 , Fξ ( x) = a ⋅ (1 + x) 2 , − 1 < x ≤ 1, −x 1 − b ⋅ e , 1 < x < ∞ , a , b = const .
19
П ри к ак и х знач ени я х парам етров a и b данная ф у нк ци я я вля ется ф у нк ци ей ξ , для к оторой распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны
2 ? П острои ть граф и к и ф у нк ци й 3 P{0 ≤ ξ < 2}. P (ξ ≤ 1) =
4. Cлу ч айная
ξ
распределена по равном ерном у ξ ~ R (0 ; π ), а η = sin ξ . Н айти fη ( y ), Fη ( y ) , Mη , Dη.
5.
вели ч и на
Cлу ч айная
вели ч и на
ξ
распределена
Mξ ,
f ξ (x) , Fξ (x) ; найти
по равном ерном у
зак ону
зак ону
ξ ~ R (0 ; 2π ), а η = cos ξ . Н айти fη ( y ), Fη ( y ) , Mη , Dη. 12. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2001/2002 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
1 ( x − 2) 2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ . 8 8π
Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: F ( y ) = 1 − exp(− y ), y ≥ 0 . К оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη=1/2. Н айти М γ, Dγ, если γ=ξ-η+2. 2. Ф у нк ци я распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ и м еетви д: x ≤ 0, 0, F ( x) = A ⋅ (1 − exp(− x)), x > 0 . Н айти к онстанту « А », Mγ и Dγ, если γ=ξ2 + ξ – 1. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей A ⋅ x , x ∈ [− 1, 2], f ( x) = x ∉ [− 1, 2]. 0, Н айти к онстанту « А », Fξ(x), а так же Mη , если η=aξ2 + bξ + c. 4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей x ≤ 1, 0, F ( x) = 0,5, 1 < x ≤ 3, 1, x > 3. Н айти Mξ, Dξ и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 5. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
20
1 x2 exp(− ), − ∞ < x < ∞ , θ πθ найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. f ( x) =
13. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 2001/2002 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
a ⋅ ( x + 1), f ( x) = 0,
x ∈ [− 1;1], x ∉ [− 1;1].
Н айти к онстанту « а», F(x), а так же Mη и Dη, если η=|ξ|+1. 2. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по стандартном у норм альном у зак ону , а слу ч айная вели ч и на η и м еет плотность распределени я вероя тностей f(x)=exp(-x), x≥0. Н айти М (ξ+η), Μ(ξη), Μξ2, D(ξ−η), если к оэф ф и ци ент к орреля ци и м ежду ξ и η равен ρ. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
0 , x ≤ −1, 0,2 , − 1 < x ≤ 0, F ( x) = 0,2 + p, 0 < x ≤ 1, 1, x > 1.
Mξ=0. Н айти к онстанту p, Mη и Dη, где η=ξ2+ξ+1. 4. Cлу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я 1 2 exp( x ), x ≤ 0, F( x ) = 1 1 − exp(−x ), x > 0. 2 Н айти f(x), Mξ, P(|ξ|>2). 5. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η - незави си м ы е слу ч айны е вели ч и ны , распределенны е равном ерносоответственно ви нтервалах [a,b] и [c,d]. Н айти М (ξ+η), М (ξη), D(ξ+η), D(ξη). 6. Слу ч айная вели ч и на η=2ξ+1. М ξ=1, Dξ=4. Н айти М η, Dξ, М (ξη), к оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη. 7. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
21
1 ( x − θ )2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ , 2 2π
найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. 8. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей 1 ( x − θ) 2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞. , 2 2π найти м етодом м ом ентовоценк у парам етра θ и провери тьее на несм ещенность и эф ф ек ти вность. 9. В резу льтате и спы тани я датч и к а слу ч айны х ч и сел полу ч ено 1000 ч и словы х знач ени й. И нтервалы знач ени й Чи сло знач ени й ви нтервале
0.0÷0.2
0.2÷0.4
0.4÷0.6
0.6÷0.8
0.8÷1.0
204
190
211
189
206
П ровери ть с пом ощью к ри тери я χ2- П и рсона ги потезу о равном ерном в и нтервале [0;1] зак оне распределени я слу ч айной вели ч и ны , генери ру ем ой датч и к ом . П ри ня тьу ровеньзнач и м ости α=0,05. 10. Среди 2020 сем ей, и м ею щи х дву х детей, в 527 сем ьях два м альч и к а, в 476 две девоч к и , в 1017 сем ьях м альч и к и девоч к а. М ожно ли при у ровне знач и м ости 0,01 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к ов в сем ье с дву м я детьм и слу ч айная вели ч и на, распределенная по би ном и альном у зак ону с парам етрам и (2, ½ )? 14. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2001/2002 уч. год 1. Д и ск ретная слу ч айная вероя тностей
вели ч и на ξ
x ≤ 0,5 , 0 , 0,2 , 0,5 < x ≤ 2 , Fξ ( x) = 0,5 , 2 < x ≤ 3 , 0,7 , 3 < x ≤ 3,5 , 1 , x > 3,5 .
задана ф у нк ци ей распределени я
Н айти : 1) зак он распределени я вероя тностей данной слу ч айной вели ч и ны ; 2) Mξ , Dξ ; 3) P{ξ ≥ 2,5} , P{ ξ < 2 } ; 4) м оду ( Mo ) и м еди ану ( Me ).
22
2. Задана ф у нк ци я распределени я вероя тностей непреры вной слу ч айной вели ч и ны ξ
x ≤ −1, 0 , 2 Fξ ( x) = ax + bx + c , − 1 < x ≤ 2 , 1, x > 2 , a, b, c = const . Н айти a, b, c, f ξ ( x ), Mξ , Dξ , м еди ану - Me . П острои тьграф и к и ф у нк ци й
f ξ (x) , Fξ (x) . 3. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η незави си м ы и
ξ ~ R (−1 ;1 ) − ра в ном ерны й з а кон ; η ~ N (0 ; σ 2 ) − норм а льны й з а кон. Н айти Mγ иDγ , если γ = (ξ + 1)(ξη − 1) . 4. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по зак ону К ош и , определя ем ом у ф у нк ци ей распределени я вероя тностей
Fξ ( x ) = a +
1 x ⋅ arctg , − ∞ < x < ∞ ; a, b − const . π b
Н айти a, b, f ξ ( x ), Mξ , Dξ , м оду и м еди ану . 5. П о резу льтатам подбрасы вани я стати сти ч еск ое распределени е
xi ni
и гральной
1
2
3
4
5
6
5
11
15
7
7
9
к ости
составлено
где xi - ч и сло оч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а; ni - ч и сло вы падени й соответству ю щей грани . И спользу я к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона при у ровня х знач и м ости α = 0, 01 и α = 0, 025 , провери ть ги потезу о ди ск ретном равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к ов. 15. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2002/2003 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей a ⋅ ( x + 1), x ∈ [− 1, 2], f ( x) = x ∉ [− 1, 2]. 0, Н айти к онстанту « а », F(x), а так же Mη и Dη, если η=ξ.
23
2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей 0, x ≤ −1, 0,5, −1 < x ≤ 0, F ( x) = 0 < x ≤ 1, 0,5 + p, 1, x > 1. Н айти к онстанту p, Mξ , Mη и Dη, где η=|ξ| - 1. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей 1 ( x − 1) 2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ . 8 2 2π Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: y ≤ 0, 0, 0 ≤ y < 2, F ( y ) = 0,5 ⋅ y, 1, y > 2. К оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη=1/2. Н айти М γ, Dγ, если γ=ξ – η + 2. 4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей x ≤ 0, 0, F ( x) = 0,5 ⋅ x, 0 < x ≤ 2, 1, x > 2. Н айти Mξ, Dξ и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 5. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
f ( x) =
2 θ
exp(−
2⋅ x ), x ≥ 0 , θ
найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. 16. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 2002/2003 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
x ≤ 0, 0, 2 F ( x) = A ⋅ x , 0 < x ≤ 2 , 1, x > 2. Н айти к онстанту А , Mγ, Dγ, если γ=ξ2−ξ+1.
24
2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
0, 0,2 , F ( x) = 0,5 , 1,
x ≤ −1, − 1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1.
Н айти М ξ, Dξ, а так же к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 3. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η - незави си м ы е и и м ею т следу ю щи е плотности распределени я вероя тностей:
x ∈ [0 ;1],
fξ ( x ) = 1 ,
fη ( y ) = 2 ⋅ exp( −2 y ) , x ≥ 0 . Н айти М (ξ+η), М (ξη), D(ξ+η), D(ξη). 4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
f ( x) = exp( − x),
x ≥ 0,
слу ч айная вели ч и на η задана ф у нк ци ей распределени я
0, Fη ( y ) = y / 2 , 1,
y ≤ 0,
0 < y ≤ 2, y > 2.
К оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду эти м и вели ч и нам и ρξη= Н айти Mγ, Dγ, если γ=ξ−η+1.
3 . 3
5. Слу ч айная вели ч и на ξ задана рядом распределени я xi pi
-1 0 0,3 q
1 0,2
Н айти q, F(x), Mη и Dη, если η=|ξ|+1. 6. Слу ч айная вели ч и на ξ задана рядом распределени я xi pi
1 2 3 0,2 0,3 0,5
Н айти Fξ(x) и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 7. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
25
a ⋅ x + 1 , f ( x) = 0,
x ∈ [0 ; 2] , x ∉ [0 ; 2] .
Н айти к онстанту “а”, F(x), P(ξ>1), Mη и Dη, если η=2ξ2+1. 8. Н и же при водя тся данны е о ф ак ти ч еск и х объ ем ах сбы та проду к ци и ( в у словны х еди ни цах) впя ти районах города Район 1 О бъ ем сбы та 210
2 220
3 180
4 190
5 200
Согласу ю тся ли эти резу льтаты с предположени ем о том , ч то сбы т проду к ци и в районах осу ществля ется с равны м и вероя тностя м и . П ри ня ть у ровеньзнач и м ости α=0,1. 17. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2002/2003 уч. год 1. В у рне находя тся 7 ш аров, и з к оторы х 4 к расного цвета. И з у рны нау дач у и звлек аю т 3 ш ара. Н айти зак он распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ , равной ч и слу к расны х ш аров в вы борк е. Запи сатьанали ти ч еск ое вы ражени е и построи ть граф и к ф у нк ци и распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ . 2. Н а ри су нк е 4 при веден граф и к плотности распределени я вероя тностей f ξ ( x ) слу ч айной вели ч и ны ξ . Н айти анали ти ч еск ое вы ражени е для ф у нк ци и распределени я Fξ (x) , построи тьграф и к ф у нк ци и Fξ (x) . В ы ч и сли тьMξ , Dξ ;
P{−1 < ξ ≤ 2}.
f ξ (x )
( f ξ ( x) = 0 ,
x ≤ −1, x ≥ 3 . )
a -1
0 Ри с. 4
3
x
3. Я вля ется ли ( и поч ем у ? ) плотностью распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны к аждая и з следу ю щи х ф у нк ци й:
0 , x ∉ (−1, 1] , 1, x ∈ (−1, 1] ;
1). f ( x) =
x ∉ (0 , 1 ] , 0 , x(1 − x) , x ∈ (0 , 1] ;
2). f ( x) =
26
x ∉ ( −1 , 1 ] , 0 , x 2 4). f ( x) = 3). f ( x) = 3 x , −∞ < x < ∞ ? 2 ∈ − , x ( 1 , 1 ] ; 1 + x 2 Д ана ф у нк ци я
4.
π x≤− , 0 , 2 π Fξ ( x) = cos x , − < x ≤ 0 , 2 x > 0. 1,
П ок азать, ч то эта ф у нк ци я я вля ется ф у нк ци ей распределени я нек оторой слу ч айной вели ч и ны ξ . Н айти Mξ и P{− 5. П о резу льтатам подбрасы вани я стати сти ч еск ое распределени е
xi ni
1 4
2 12
3 16
4 7
5 6
π < ξ ≤ 0 }. 3
и гральной
к ости
составлено
6 9
где xi - ч и сло оч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а; ni - ч и сло вы падени й соответству ю щей грани . И спользу я к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона при у ровне знач и м ости α = 0, 05 и α = 0, 01 , провери ть ги потезу о равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к ов. 18. З а дачик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2003/2004 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
a ⋅ x , x ∈ [− 2 ; 2], f ( x) = x ∉ [− 2 ; 2]. 0,
Н айти к онстанту « а», Fξ(x), а так же Mη и Dη, если η=2ξ+1. 2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
0, x ≤ 1, F ( x) = C ⋅ ( x − 1) , 1 < x ≤ 3 , 1, x > 3.
27
Н айти к онстанту « С», плотность распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей f (x) =
1 x2 exp( − ), − ∞ < x < ∞ . 18 3 2π
Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны η и м еетви д: F ( y ) = 1 − exp(− y / 2), Kоэф ф и ци ентк орреля ци и
y ≥ 0.
ρξη=0,5. Н айти Mγ и Dγ, если γ=1-2ξ+3η.
4. Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ и м еетви д:
0, 0,2 , F ( x) = p, 1,
x ≤ −1, −1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1,
м атем ати ч еск ое ожи дани е М ξ=0. Н айти Mγ и Dγ, если γ=ξ2+ ξ . 5. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η распределены по зак ону П у ассона с парам етром λ=2, к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ни м и ρξη=1/2. Н айти М (ξ-η), М (ξη), D(ξ-η). 6. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
x ≤ 1, 0, F ( x) = 0,5 , 1 < x ≤ 3 , 1, x > 3.
Н айти Mξ, Dξ и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ3. 7. Слу ч айная вели ч и на ξ задана рядом распределени я xi pi
-1 0 1 0.2 0.2 0.4
2 q
Н айти q, Fξ(x), Mη и Dη, P(η>5), если η=3ξ2+2. 8. Н айти м етодом м ак си м альногоправдоподоби я оценк у парам етра θ пок азательного распределени я 1 x f ( x) = exp( − ) при х≥0. θ θ Я вля ется ли эта оценк а несм ещенной и состоя тельной?
28
9. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
x x2 f ( x) = exp(− ), θ 2θ
x≥0
найти оценк у м ак си м альногоправдоподоби я парам етра θ. 10. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
1 x2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ , θ πθ
найти оценк у м ак си м альногоправдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. 19. З а дачик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 2003/2004 уч. год 1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей
a ⋅ x , f ( x) = 0 ,
x ∈ [−1,1] , x ∉ [ −1 , 1] .
Н айти к онстанту « а», Fξ(x), а так же Mη и Dη, если η=ξ3. 2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
0 , 0,4 , F ( x) = 0,4 + 0,6 +
x ≤ 1, −1 < x ≤ 0, p , 0 < x ≤ 1, p , x > 1.
Н айти к онстанту p, Mξ , Dξ, Mη и Dη, где η=|ξ|+1. 3. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по стандартном у норм альном у зак ону . Слу ч айная вели ч и на η=ξ2. Н айти Mη, Dη и к оэф ф и ци ентк орреля ци и ρξη. 4. Слу ч айная вели ч и на η=1+|ξ|. Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ:
0 , 0 ≤ −1, 0,3 , − 1 < x ≤ 0 , F ( x) = 0,5 , 0 < x ≤ 2 , 1, x > 2 .
Н айти М η , Dη, Fη (y), P(η≥1,5).
29
5. Слу ч айная вели ч и на ξ распределена по стандартном у норм альном у зак ону , а слу ч айная вели ч и на η и м еетплотностьраспределени я вероя тностей f(x)=exp(-x), x≥0. 2 Н айти М (ξ+η), Μ(ξη), Μξ , D(ξ−η), если к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и η равен 1/2. 6. Слу ч айная вели ч и на ξ задана рядом распределени я xi pi
-1 0 0,2 q
1 0,4
2 0,1
Н айти q, Fξ(x), Mη и Dη, P(η>5), если η=|ξ|+5. 7. Слу ч айная вели ч и на η=ξ2. П лотностьраспределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ:
a ⋅ x 4 , x ∈ [− 1;1 ], f ( x) = 0 , x ∉ [− 1;1]. Н айти к онстанту « а», Fξ(x) Mη и Dη. 8. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
x ≤ 0, 0 , F ( x) = A ⋅ (1 − e − 2 x ) , x > 0 . Н айти к онстанту А , P(ξ≥2), Mγ, Dγ, если γ=ξ+1. 9. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2, ...Х n) и з генеральной совок у пности , и м ею щей плотностьраспределени я вероя тностей
1 ( x − θ )2 f ( x) = exp(− ), − ∞ < x < ∞ , 2 2π
найти оценк у м ак си м ального правдоподоби я парам етра θ и провери тьее на эф ф ек ти вность. 10. Н айти м етодом м ом ентов оценк у парам етра θ распределени я слу ч айной 1 x вели ч и ны , плотность распределени я вероя тностей к оторой f ( x) = exp( − ) θ θ при х≥0. Я вля ется ли эта оценк а несм ещенной, состоя тельной, эф ф ек ти вной? 11. Среди 1000 сем ей, и м ею щи х дву х детей : в230 сем ьях два м альч и к а, в240 две девоч к и , в 530 сем ьях - м альч и к и девоч к а. М ожно ли при у ровне
30
знач и м ости 0,05 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к ов в сем ье с дву м я детьм и слу ч айная вели ч и на, распределенная по би ном и альном у зак ону с парам етрам и (2, ½ )? 20. З а дачик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2003/2004 уч. год 1. Н а отрезк е [0; 2] нау дач у вы браны два ч и сла х и у . Н айти вероя тностьтого, ч то эти ч и сла у довлетворяю тнеравенствам х 2 ≤ 4у ≤ 4х. 2. В ероя тность того, ч то собы ти е поя ви тся хотя бы оди н раз в трех незави си м ы х и спы тани я х, равна 0,973. Н айти вероя тностьпоя влени я собы ти я в одном и спы тани и ( предполагается , ч то во всех и спы тани я х вероя тность поя влени я собы ти я одна и та же ). 3. Н айти ф у нк ци ю распределени я F (x) слу ч айной вели ч и ны ξ , плотность распределени я вероя тностей к оторой определена ф у нк ци ей
приx ≤ 0 иx > 2, 0 f ( x) = x при 0 < x ≤ 1, 2 − x при1 < x ≤ 2. П острои тьграф и к и ф у нк ци й f ( x )
и F ( x).
4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я
при x ≤ 0, 0 F ( x) = x 2 при 0 < x ≤ 1, 1 при x > 1. Н айти нач альны е и слу ч айной вели ч и ны ξ .
центральны е м ом енты
первы х трех порядк ов
5. Д и ск ретная слу ч айная вели ч и на ξ и м еетзак он распределени я
xi pi
0 0,1
1 0,3
2 0,4
3 0,2
π Н айти зак он распределени я слу ч айной вели ч и ны η = sin ξ + 1 . 2 6. П ри м еня ем ы й м етод леч ени я при води т к вы здоровлени ю в 90% слу ч аев. К ак ова вероя тностьтого, ч тои з 5 больны х поправя тся не м енее 4?
31
7. Н а ф ак у льтете обу ч ается 500 сту дентов. К ак ова вероя тность того, ч то 1 сентя бря я вля ется днем рождени я одноврем енно для к сту дентов данного ф ак у льтета? В ы ч и сли тьвероя тностьдля знач ени й к =0, 1, 2, 3, 4. 8. П о резу льтатам подбрасы вани я и гральной к ости составлено стати сти ч еск ое распределени е 1 5
xi ni
2 13
3 17
4 8
5 8
6 9
где xi - ч и сло оч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а; ni - ч и сло вы падени й соответству ю щей грани . И спользу я к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона при у ровне знач и м ости α = 0, 05 и α = 0, 01 , провери ть ги потезу H 0 о ди ск ретном равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к ов. 21. О тв еты ип р им ер ы р еш ения за дач 21.1 О тветы к задач ам эк зам ена на степеньбак алавра, 1997/1998 у ч . год
x ≤ a − b, 0, x − a + b 1. F ( x) = , a − b < x ≤ a + b, ; 2b x > a + b. 1, 2. C =
1 Mξ = a ; P (ξ ≥ Mξ ) = . 2
1
1 1 ; ( ξ ) exp( ) ; ( ξ ) 1 exp( ). P ≥ a = − P < a = − − 2 2 2 a
0 , 1 − 3. C = 2; F ( x) = 2 1 2 + 1,
x ≤ −1, x4 , −1 < x ≤ 0, 2 ;
P( ξ < 0,3) = 0,0081.
4
x , 0 < x ≤ 1, 2 x > 1.
4. B = 1; Mξ = 1; P(T ≤ ξ < 2T ) = 5. p = 0,2 ; Mη = 1,8 ; Dη = 0,16 .
e −1 e2
.
32
x ≤ 0, 0 , 0,729 , 0 < x ≤ 1, 6. F ( x) = 0,972 , 1 < x ≤ 2 , ; 0,999 , 2 < x ≤ 3 , 1, x > 3.
Mξ = 0,3 .
1 109 . 7. Mγ = − ; Dγ = 3 135 8. a* = x − 3 ⋅ Dв ; b* = x + 3 ⋅ Dв . 9. Д а. 10. θ * =
1 n θ2 ; ⋅ ∑ xi = xв ; M xв = θ ; D xв = n i =1 n
xв − несм ещ енна я, состоятельна я, эффективна я оценка θ .
21.2 О тветы к задач ам госэк зам ена, дневное отделени е, 2000/2001 у ч . год
x ≤ 0, 0 , ; F ( x) = 1. C = x2 π 2 − − > ≥ = − ) , x 0 ; P ( ξ M ξ ) exp( ). a 1 exp( 4 2a 2 1
2. p = 0,2 ;
Mη = 1,8 ; Dη = 0,16 .
1 Dγ = 4 − 2 2 . 3 4. Mη = 2,3 ; Dη = 0,61; P (η ≥ 1,5) = 0,8 . x ≤ −1 , 0 , 5 1 5 1 x5 5. a = ; F ( x) = + , − 1 < x ≤ 1, Mη = − ; Dη = . 2 6 252 2 2 x > 1; 1,
3. Mγ = 2 ;
1 x≤b− , 0 , a 1 1 1 6. γ = b − ; F ( x) = a ⋅ ( x − b) + 1 , b − < x ≤ b , Mξ = b − ; a a 2 a x > b; 1, Dξ =
1 12a
2
.
33
7. Ги потеза о том , ч то вопросы с оди нак овой вероя тностью беру тся и з к аждой ч асти к у рса, справедли ва при у ровне знач и м ости α = 0,05 . 8. О ценк а см ещенная . 9. О ценк а несм ещенная , состоя тельная , эф ф ек ти вная . 10. Ги потеза о си м м етри ч ности м онеты справедли ва при у ровне знач и м ости α = 0,05 . 21.3 О тветы к задач ам госэк зам ена, веч ернее отделени е, 1997/1998 у ч . год 1. a =
1 1 1 1 ; F ( x ) = ⋅ arctg ( x) + ; P (−1 < ξ < 1) = . π π 2 2
3 29 1 3 15 3 2. a = ⋅ e ; Mξ = ; P( < ξ < ) = − . 4 24 4 4 16 4 ⋅ exp( 1 ) 4 3. q = 0,1; x5 = 2; Dξ = 3,25 . a 1 4. Mη = + b; c = 2; Mξ = . 2 2 2 2 5. χ на бл. = 3 , χ кр. = 11,1. Н ет основани й отвергну тьги потезу о ди ск ретном равном ерном распределени и . 21.4 Реш ени я задач госэк зам ена, веч ернее отделени е, 2001/2002 у ч . год 1. П о заданной ф у нк ци и распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны запи ш ем зак он распределени я
xi pi
0,5 0,2
2 0,3
3 0,2
3,5 0,3
М атем ати ч еск ое ожи дани е n
Mξ = ∑ xi ⋅ pi = 0,5 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,3 + 3 ⋅ 0,2 + 3,5 ⋅ 0,3 = 2,35 . i =1
Д и сперси я Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 ,
Mξ = 2
n
∑ xi2 ⋅ pi = 0,25 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,3 + 9 ⋅ 0,2 + 12,25 ⋅ 0,3 = 6,725 ,
i =1
Dξ = 6,725 − (2,35) 2 = 6,725 − 5,5225 = 1,2025 . P (ξ ≥ 2,5) = F (∞) − F ( 2,5) = 1 − 0,5 = 0,5 ,
P ( ξ < 2) = P( −2 < ξ < 2) = F ( 2) − F (−2) = 0,2 . М одой слу ч айной вели ч и ны ( M o ) назы вается ее наи более вероя тное знач ени е. В наш ем слу ч ае так и х знач ени й два: x2 = 2 и x4 = 3,5 . Т ак ая слу ч айная вели ч и на назы вается би м одальной: M o = 2 и M o = 3,5 .
34
М еди аной слу ч айной вели ч и ны ξ назы вается так ое ее знач ени е M e , для к оторого P (ξ < M e ) = P(ξ > M e ) . О бы ч но так ой ч и словой харак тери сти к ой слу ч айной вели ч и ны к ак м еди ана пользу ю тся тольк о для непреры вны х слу ч айны х вели ч и н, хотя ф орм ально ее м ожно найти и для ди ск ретной вели ч и ны . В наш ем слу ч ае м еди ана отсу тству ет. 2. Д ля нахождени я неи звестны х парам етров a , b , c состави м одну и з возм ожны х си стем у равнени й
g ( −1) = a − b + c = 0 , g ( 2) = 4a + 2b + c = 1 , g (5) = 25a + 5b + c = 0 . Здесьg ( x ) = ax 2 + bx + c и у ч тены основны е свойства ф у нк ци и распределени я вероя тностей. Реш ая си стем у ли нейны х алгебраи ч еск и х у равнени й, полу ч и м
1 4 5 a=− , b= , c= . 9 9 9
Следовательно, ф у нк ци я распределени я бу детравна
0 , x ≤ −1 , 2 4 5 x F1 ( x) = − + ⋅ x + , −1 < x ≤ 2, 9 9 9 1, x > 2 . Т огда плотностьраспределени я вероя тностей
2 dF1 ( x) − ⋅ ( x − 2) , x ∈ (−1; 2] , f ( x) = = 9 dx 0 , x ∉ (−1; 2] . 2 2 32 2 x x 2 2 Mξ = ∫ x ⋅ f ( x) d x = ∫ ⋅ (2 x − x 2 ) d x = ⋅ [( − )] = 9 9 2 3 −∞ −1 −1 −1 2 8 1 = ⋅ [(4 − 1) − ( + )] = 0 . 9 3 3 ∞
Mξ 2 =
2
2
2 2 2 1 2 x ⋅ [ − ⋅ ( x − 2 )] d x = ⋅ (2 x 2 − x 3 ) d x = . ∫ ∫ 9 2 −1 −19
Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 =
1 1 −0 = . 2 2
35
Д ля нахождени я м еди аны реш и м у равнени е F ( x = M e ) =
1 . 2
x2 4 5 1 + ⋅ x + = и ли 2 x 2 − 8 x − 1 = 0 . О тсю да полу ч и м 9 9 9 2 3 2 3 2 x1,2 = 2 ± . И ск ом ое реш ени е - M e = 2 − . 2 2
−
Е ще две возм ожны е ф у нк ци и распределени я и м ею тви д:
0 , x ≤ −1, 2 2 1 x F2 ( x) = + ⋅ x + , − 1 < x ≤ 2 , 9 9 9 1, x > 2 . 0 , x ≤ −1, 1 F3 ( x) = ⋅ ( x + 1) , − 1 < x ≤ 2 , 3 1, x > 2 . 1 1 Dξ = , Dη = σ 2 , Mξ 2 = Dξ − ( Mξ ) 2 = . 3 3 4 Mγ = Mξ 2 ⋅ Mη + Mξ ⋅ Mη − Mξ − 1 = −1, Dξ 2 = . 45 Д ля незави си м ы х ξ и η
3. Mξ = Mη = 0 ,
D (ξ ⋅ η ) = Dξ ⋅ Dη + ( Mξ ) 2 ⋅ Dη + ( Mη ) 2 ⋅ Dξ . Следовательно,
Dγ = Dξ 2 ⋅ Dη + ( Mξ 2 ) 2 ⋅ Dη + ( Mη ) 2 ⋅ Dξ 2 + Dξ ⋅ Dη + ( Mξ 2 ) ⋅ Dη + 2 4 4 σ 2 1 8σ 2 1 2 σ + ( Mη ) ⋅ Dξ + Dξ = ⋅σ + + 0⋅ + + = + . 45 9 45 3 3 15 3 Т отже резу льтатполу ч и м , и спользу я ф орм у лу Dγ = Mγ 2 − ( Mγ ) 2 . 2
d F ( x) 1 b = ⋅ 2 . И з свойства плотности f ( x) ≥ 0 π x + b2 dx следу ет, ч то b > 0 . У ч и ты вая одно и з свойств ф у нк ци и распределени я , 4. f ( x) =
полу ч и м
1 π 1 ⋅ (− ) = 0 и a = . Т ак и м образом , π 2 2 1 1 x F ( x ) = + ⋅ arctg , − ∞ < x < ∞ , b > 0 . 2 π b F (−∞) = a +
36
Mξ
и Dξ для данной слу ч айной вели ч и ны не су ществу ю т. М ода M o (ξ ) = arg max f ( x) , а м еди ана определя ется и з соотнош ени я x
P (ξ < M e ) = P (ξ > M e ) =
1 . В наш ем слу ч ае M o = M e = 0 . 2
5. О бъ ем вы борк и n = 54 . В ероя тность вы падени я лю бой грани к у би к а
1 pi = , i = 1, 6 . Н аблю даем ое знач ени е к ри тери я χ 2 - П и рсона 6 6 (n − n ⋅ p ) 2 2 i ≈ 7,1. К ри ти ч еск и е знач ени я к ри тери я χ на бл. = ∑ i ⋅ n p i i =1 2 2 χ кр . (5 ; 0,01) = 15,1; χ кр. (5 ; 0,025) = 12,8 . Т ак к ак в обои х слу ч ая х
наблю даем ое знач ени е к ри тери я м еньш е к ри ти ч еск ого, ги потезу о ди ск ретном равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к овм ожно при ня тьпри у ровня х знач и м ости α = 0,01 и α = 0,025 . 21.5 Реш ени я задач госэк зам ена, веч ернее отделени е, 2002/2003 у ч . год 1. В озм ожны е знач ени я слу ч айной вели ч и ны ξ – ч и сла к расны х ш аров в вы борк е:
x1 = 0 , x2 = 1, x3 = 2 , x4 = 3 .
В ероя тности соответству ю щи х собы ти й:
C3 ⋅ C3 1 p1 = P (ξ = 0) = 4 3 3 = ; 35 C7
C1 ⋅ C 2 12 p2 = P (ξ = 1) = 4 3 3 = ; 35 C7
C 2 ⋅ C1 18 p3 = P (ξ = 2) = 4 3 3 = ; 35 C7
C3 ⋅ C0 4 p4 = P (ξ = 3) = 4 3 3 = . 35 C7 Зак он распределени я слу ч айной вели ч и ны ξ
xi pi
0 1/35
1 12/35
2 18/35
3 4/35
37
Ф у нк ци я распределени я
x ≤ 0, 0 , 1 , 0 < x ≤ 1, 35 13 Fξ ( x) = , 1 < x ≤ 2 , 35 31 35 , 2 < x ≤ 3 , x > 3. 1,
2. П о граф и к у определи м анали ти ч еск ое вы ражени е для распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ . fξ ( x) = k ⋅ x + b , x ∈ (−1; 3] . И з у слови я норм и ровк и
x2 ∫ fξ ( x) dx = ∫ (kx + b) dx = k ⋅ 2 −1 −1 3
3
3 3
−1
+ bx −1 = 4k + 4b = 1 .
У ч и ты вая у слови е fξ (3) = 0 , полу ч и м
3k + b = 0 , 1 3 1 отк у да k = − , b = . Т ак и м образом , 8 8 k + b = 4 1 −1 < x ≤ 3, − ( x − 3) , fξ ( x ) = 8 0 , x ≤ −1 , x > 3 . Т ак к ак
lim
x → −1+ 0
1 fξ ( x) = a , то a = . 2
Ф у нк ци я распределени я
x ≤ −1, 0 , x F ( x) = ∫ f (t ) dt , − 1 < x ≤ 3 , −1 1, x > 3. 1 1 t2 F ( x ) = ∫ fξ (t ) dt = ∫ [− (t − 3) dt = − ⋅ 8 2 −1 −1 8 x
=
x
1 ⋅ ( − x 2 + 6 x + 7) , − 1 < x ≤ 3 . 16
x −1
3 3 + ⋅ t −1 = 8
плотности
38
О к онч ательно
x ≤ −1, 0 , 1 F ( x) = ⋅ ( − x 2 + 6 x + 7) , − 1 < x ≤ 3 , 16 x > 3. 1, Mξ =
3
1
1
2 2 ∫ x ⋅ [− 8 ⋅ ( x − 3)] dx = 3 , Dξ = Mξ − ( Mξ ) .
−1
Mξ = 2
3
1
1
8
2 ∫ x ⋅ [− 8 ⋅ ( x − 3)] dx = 1, Dξ = 1 − 9 = 9 . −1
P (−1 < ξ ≤ 2) = F ( 2) − F (−1) =
15 . 16 1
3. 1) Н е вы полня ется у слови е норм и ровк и
∫ 1 ⋅ dx = 2 ≠ 1.
−1 1
2) Н е вы полня ется у слови е норм и ровк и
1
2 ∫ ( x − x ) dx = 6 ≠ 1.
0
3) Ф у нк ци я f (x) я вля ется плотностью распределени я вероя тностей, так к ак вы полня ю тся свойства ∞
3x 2 f ( x ) ≥ 0 , − ∞ < x < ∞ ; ∫ f ( x ) dx = ∫ dx = 1 . 2 −∞ −1 4) Н е вы полня ется свойство f ( x) ≥ 0 при x < 0 . 1
4. Ф у нк ци я F (x) я вля ется ф у нк ци ей распределени я , так к ак 1) 0 ≤ F ( x) ≤ 1 всвя зи с тем , ч то 0 < cos x ≤ 1 при − 2) F (x) - неу бы ваю щая ф у нк ци я : при − ∞ < x ≤ −
π < x ≤ 0. 2
π она равня ется const=0; при 2
π ; 0] - возрастает; при x ∈ (0 ; ∞ ) - равня ется const=1; ф у нк ци я 2 F (x) непреры вна в лю бой точ к е x0 области ее определени я – пром ежу тк а (−∞ ; ∞) , поэтом у непреры вна слева и справа, то естьвы полня ется равенство lim F ( x ) = F ( x0 ) ; вы полня ю тся и равенства x ∈ (−
x → x0 − 0
39
lim F ( x) = 0 ,
x → −∞
lim F ( x) = 1.
x →∞
Следовательно, ф у нк ци я F (x) у довлетворяетвсем свойствам , харак терны м для ф у нк ци и распределени я .
P (−
π π 1 1 < ξ < 0) = F ( 0) − F ( − ) = 1 − = . 3 3 2 2 0
Mξ = − ∫ x ⋅ sin x dx = − (sin x − x ⋅ cos x) −
π 2
0 −
π 2
= 1.
5. О бъ ем вы борк и n = 54 . В ероя тностьвы падени я лю бой грани и гральной
1 6
к ости pi = , i = 1,6 . Н аблю даем ое знач ени е к ри тери я 2 χ на бл
(ni − n ⋅ pi ) 2 25 + 9 + 49 + 4 + 9 96 =∑ = = ≈ 10,7 ; n p ⋅ 9 9 i i =1 6
2 χ кр (5; 0,01) = 15,1;
2 χ кр (5; 0,05) = 11,1.
Т ак к ак в обои х слу ч ая х
2 2 χ на етном бл < χ кр , то ги потезу о ди ск р
равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к овм ожно при ня тьпри у ровня х знач и м ости α = 0,05 и α = 0,01 . 21.6 Реш ени я задач госэк зам ена, веч ернее отделени е, 2003/2004 у ч . год 1. П о у слови ю задач и к оорди наты точ к и (x,y) у довлетворяю т си стем е неравенств 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2. Т ак и м образом , точ к а (x,y) нау дач у вы би рается и з м ножества точ ек к вадрата со стороной a = 2 . П лощадьф и гу ры , расположенной вну три к вадрата и у довлетворяю щей неравенствам
x2 x ≤ 4 y ≤ 4 x , или ≤ y ≤ x , равна 4 2 x2 4 S g = ∫ ( x − )dx = . П лощадь к вадрата 4 3 0 2
SG = 4. Следовательно,
и ск ом ая вероя тностьравна
p=
Sg
1 = . SG 3
2. О бознач и м вероя тностьнепоя влени я собы ти я в одном и спы тани и ч ерез
q . Т огда вероя тностьпоя влени я собы ти я хотя бы оди н раз в n - незави си м ы х и спы тани я х бу детравна
P ( A) = 1 − q n . В наш ем слу ч ае P ( A) = 0,973 ; n = 3 . Следовательно,
40
q 3 = 0,027 и q = 0,3 . В ероя тность поя влени я и спы тани и p = 1 − q = 0,7 .
собы ти я
3. П ри x ≤ 0 F ( x) =
0
∫ 0dx = 0 . Е сли 0 < x ≤ 1, то
−∞
x2 F ( x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt = ∫ t dt = . 2 −∞ −∞ 0 0 П ри 1 < x ≤ 2 0 1 x 1 1 x2 F ( x) = ∫ 0 dt + ∫ t dt + ∫ (2 − t ) dt = + ( 2 x − ) − ( 2 − ) = 2 2 2 0 1 −∞ x
x
0
x
x2 = − + 2 x − 1. 2 П ри x > 2 2
x
x
−∞
2
2
F ( x) = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt = F (2) + ∫ 0 dt = 1 . Т ак и м образом , 0 , x ≤ 0 , 2 x , 0 < x ≤ 1, 2 F ( x) = 2 x − 2 + 2 x − 1, 1 < x ≤ 2 , x > 2. 1, 0 , x ≤ 0 , dF ( x) = 2 x , 0 < x ≤ 1 , 4. f ( x) = dx 0 , x > 1. ν 1 = Mξ =
∞
1
−∞ ∞
0
2
∫ xf ( x) dx = ∫ x ⋅ 2 x dx = 3 . 1
1 ν 2 = Mξ = ∫ x f ( x) dx = ∫ x 2 ⋅ 2 x dx = . 2 −∞ 0 2
ν 3 = Mξ = 3
∞
2
1
2
3 ∫ x f ( x) dx = ∫ x ⋅ 2 x dx = 5 .
−∞
3
0
1 2 1 µ1 = M (ξ − Mξ ) = 0 , µ 2 = ∫ ( x − ) 2 ⋅ 2 x dx = . 3 18 0
в одном
41 1 2 1 µ3 = ∫ ( x − )3 ⋅ 2 x dx = − . 3 135 0
π 2
5. Н айдем знач ени я ф у нк ци и y = g ( x) = sin( ⋅ x) + 1.
π π y1 = sin( ⋅ 0) + 1 = 1, y2 = sin( ⋅ 1) + 1 = 2 , 2 2 π π y3 = sin( ⋅ 2) + 1 = 1, y4 = sin( ⋅ 3) + 1 = 0 . 2 2
Т огда
P (η = 0) = P (ξ = 3) = 0,2 ;
P (η = 1) = P(ξ = 0) + P(ξ = 2) = 0,1 + 0,4 = 0,5 ; P (η = 2) = P (ξ = 1) = 0,3. 6. Pn ( k1 ≤ k ≤ k2 ) =
n = 5,
k2
∑ Cnk p k q n − k .
В
k = k1
наш ем слу ч ае k1 = 4 ,
p = 0,9 и q = 0,1 . В ероя тность собы ти я
А ={и з пя ти
k2 = 5 , больны х
поправя тся не м енее ч еты рех}:
P( A) = C54 ⋅ 0,94 ⋅ 0,11 + C55 ⋅ 0,95 ⋅ 0,10 = 5 ⋅ 0,6561 ⋅ 0,1 + + 0,590 = 0,328 + 0,590 = 0,918 . 7. Т ак к ак n = 500 я вля ется достаточ но больш и м , а вероя тность p =
1 365
достаточ но м алой, то м ожно сч и тать, ч то ч и сло ξ сту дентов, роди вш и хся 1 сентя бря, подч и ня ется зак ону П у ассона, спарам етром λ = n ⋅ p =
λk ⋅ e − λ Pn ( k ) ≈ ; k!
Pn (k + 1) =
500 ≈ 1,3699 . 365
λ ⋅ Pn (k ) . k +1
p0 = p(ξ = 0) = Pn (0) ≈ e − λ ≈ 0,2541 ; p1 = p(ξ = 1) = Pn (1) ≈
λ −λ ⋅ e = λ ⋅ p0 ≈ 0,3481 ; 1!
λ2 − λ λ p2 = p (ξ = 2) = Pn ( 2) ≈ ⋅ e = ⋅ p1 ≈ 0,2385 ; 2! 2 p3 = p(ξ = 3) = Pn (3) ≈ λ ⋅ p2 ≈ 0,1089 . 8. О бъ ем вы борк и n = 60 . В ероя тностьвы падени я лю бой грани и гральной 1 к ости pi = , i = 1,6 . Н аблю даем ое знач ени е к ри тери я 6
42 2 χ на бл
(ni − n ⋅ pi ) 2 25 + 9 + 49 + 4 + 4 + 1 =∑ = = 9,2 ; 10 n ⋅ pi i =1 6
2 2 (5; 0,01) = 15,1; χ кр (6; 0,05) = 11,1. χ кр 2 2 Т ак к ак в обои х слу ч ая х χ на гну ть бл < χ кр , то нет основани й отвер ги потезу о ди ск ретном равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к ов.
Библ иогр а фичес кий с п ис ок 1. Гу сак А .А . Т еори я вероя тностей. Справоч ное пособи е к реш ени ю задач / А .А . Гу сак , Е .А . Бри ч и к ова . – И зд-е 3-е, стереоти п. – М и нск : Т етраСи стем с, 2002. – 288 с. 2. Гм у рм ан В .Е . Ру к оводство к реш ени ю задач по теори и вероя тностей и м атем ати ч еск ой стати сти к е: у ч еб. пособи е для сту дентов ву зов / В .Е . Гм у рм ан. – И зд-е 6-е, стереоти п. – М .: В ы сш . ш к ., 2003. – 400 с. 3. Сборни к задач по теори и вероя тностей, м атем ати ч еск ой стати сти к е и теори и слу ч айны х ф у нк ци й / П од ред. А .А Свеш ни к ова. - М .: Н ау к а, 1970. – 656 с. 4. Сборни к задач по м атем ати к е. Т еори я вероя тностей и м атем ати ч еск ая стати сти к а. / П од ред. А .В . Е ф и м ова. – М .: Н ау к а, 1990. – Ч.3. - 426 с. 5. Е м ельянов Г.В . Задач ни к по теори и вероя тностей и м атем ати ч еск ой стати сти к е / Г.В . Е м ельянов, В .П . Ск и тови ч . - Л.: И здательство ЛГУ , 1967. – 235 с. 6. Зу бк ов А .М . Сборни к задач по теори и вероя тностей / А .М . Зу бк ов, Б.А . Севастьянов, В .П . Чи стя к ов. -М .: Н ау к а, 1989. – 319 с. 7. И вч енк о Г.И . Сборни к задач по м атем ати ч еск ой стати сти к е / Г.И . И вч енк о, Ю .И . М едведев, А .В . Чи стя к ов. - М .: В ы сш ая ш к ола, 1989. – 253 с. 8. Чи би сов Д .М . Задач ни к по м атем ати ч еск ой стати сти к е / Д .М . Чи би сов, В .И . П агу рова. - М .: -И здательство М ГУ , 1990. – 171 с. 9. М етоди ч еск и е у к азани я к прак ти ч еск и м заня ти я м по к у рсу « Т еори я вероя тностей и м атем ати ч еск ая стати сти к а» / Сост.: В оронк ов Б.Н ., Голу б В .А ., Ж у к ова Т .М ., Радч енк о Т .А . – В оронеж: В ГУ , 1997. – 32 с. Элек тронны й к аталог Н ау ч ной би бли отек и В ГУ – (http//www.lib.vsu.ru)
43
СО Д Е Р Ж А Н И Е П реди слови е… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 1. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 1997/1998 у ч . год… … … … .3 2. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 1997/1998 у ч . год.… … … 4 3. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 1998/1999 у ч . год… ..… … ...5 4. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 1998/1999 у ч . год… .… … .7 5. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 1998/1999 у ч . год… … … .9 6. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 1999/2000 у ч . год… … … ...10 7. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 1999/2000 у ч . год… … .....11 8. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 1999/2000 у ч . год… … … 13 9. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 2000/2001 у ч . год.… … … ...15 10. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 2000/2001 у ч . год… .… ....16 11. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 2000/2001 у ч . год… … ...18 12. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 2001/2002 у ч . год.… … … ..19 13. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 2001/2002 у ч . год… … … .20 14. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 2001/2002 у ч . год… … ....21 15. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 2002/2003 у ч . год… … … ...22 16. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 2002/2003 у ч . год… … … 24 17. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 2002/2003 у ч . год… … ...25 18. Задач и к эк зам ену на степеньбак алавра, 2003/2004 у ч . год… … … ...26 19. Задач и к госэк зам ену , дневное отделени е, 2003/2004 у ч . год… … ....28 20. Задач и к госэк зам ену , веч ернее отделени е, 2003/2004 у ч . год… … ...30 21. О тветы и при м еры реш ени я задач … … … … … … … … … … … … … … 31 Би бли ограф и ч еск и й спи сок … … … … … … … … … … … … … … … … … … .42
Состави тели : В оронк овБори с Н и к олаеви ч Радч енк о Т атьяна А нтони новна Редак тор Т и хом и рова О .А . Зак аз №
от
2004г. Т и раж 50 эк з. Лаборатори я операти вной поли граф и и В ГУ