Точность измерительных приборов: Рабочая программа. Задания на контрольную работу. Задания для самостоятельной работы. Методические указания к выполнению контрольных и практических работ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра приборов контроля и систем экологической безопасности

ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Рабочая программа Задания на контрольную работу Задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению контрольных и практических работ

Факультет машиностроительный Направление и специальность подготовки дипломированных специалистов: 653700 – приборостроение 190100 – приборостроение Направление подготовки бакалавров: 551500 – приборостроение

Санкт-Петербург 2005

Утверждено редакционно-издательским советом института УДК 621.317.1(3),(7) Точность измерительных приборов: Рабочая программа. Задания на контрольную работу. Задания для самостоятельной работы. Методические указания к выполнению контрольных и практических работ. – СПб. :СЗТУ, 2005. – 20с. Дисциплина включает основные вопросы теории точности средств измерений: методы анализа и оценки точности функционирования средств измерений (СИ), алгоритмические и структурные методы повышения их точности, статистические методы оценки надежности СИ, методы решения проблемы метрологического синтеза СИ. Рассмотрены принципиальные ограничения на точность функционирования СИ. Содержание дисциплины соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по специальности 190100 приборостроение.

Рассмотрено на заседании кафедры приборов контроля и систем экологической безопасности (ПК и СЭБ) 12.04.01 г.; одобрено методической комиссией машиностроительного факультета 7.06.01 г. Рецензенты: кафедра ПК и СЭБ СЗТУ (зав. каф. А. И. Потапов, д-р техн. наук, проф.); Г. А. Кондрашкова, д-р техн. наук, проф. кафедры автоматизации химико-технологических процессов СПб государственного технологического университета растительных полимеров. Составитель В. Н. Романов, д-р техн. наук, проф.

© Северо-Западный университет, 2005

государственный

заочный

технический

1. Цели и задачи изучения дисциплины Дисциплина «Точность измерительных приборов» имеет целью подготовить студентов к решению практических задач оценки точности средств измерений. Задачей дисциплины является изучение теории и методов метрологического анализа и синтеза при функционировании и проектировании средств измерений. В результате изучения дисциплины студент должен: знать характеристики точности, причины и виды ошибок функционирования приборов; методы оценки различных видов ошибок и их влияния на результирующую точность функционирования приборов; алгоритмические и структурные методы повышения точности; уметь: оценивать различные составляющие ошибки функционирования средств измерений (инструментальные, методические, случайные, систематические); проводить метрологический анализ и синтез при функционировании и проектировании приборов; иметь представление: о первопричинах ошибки функционирования приборов, естественных пределах точности измерений, современных компьютерных технологиях синтеза СИ. Дисциплина «Точность измерительных приборов» базируется на курсах естественнонаучного цикла «Высшая математика», «Физика», «Информатика», специального цикла «Теория измерений» и является в свою очередь основой для специальных дисциплин, связанных с изучением функционирования и проектирования измерительных приборов и систем, а также для выполнения курсовых и дипломных работ. 2. Структура учебной дисциплины

3.1…3.5 – разделы учебной дисциплины: 3.1 – общие сведения о погрешностях и способах их нормирования; 3.2 – естественные пределы точности функционирования средств измерений; 3.3 – классы средств измерений и их погрешности; 3.4 – методы оценки точности функционирования средств измерений; 3.5 – повышение точности средств измерений. При первоначальном ознакомлении с дисциплиной разделы 3.2, 3.5 могут быть пропущены. 3. Содержание учебной дисциплины (объем курса 100 часов) Введение (2 часа) Основные положения теории точности приборов, область ее применения. Характеристики точности функционирования приборов. Связь точности с надежностью и стабильностью. Причины и виды ошибок функционирования приборов. Краткое содержание курса. 3.1. Общие сведения о погрешностях и способах их нормирования (14 часов) [3], с. 5…20 или [1], с. 25…38 и [2], с. 42…54 и [4], с. 13…15 Два подхода к оценке точности измерения: погрешность и неопределенность. Классификация погрешностей: инструментальные, методические и эксплуатационные погрешности; систематические и случайные составляющие погрешности. Нормируемые характеристики средств измерений. Нормирование основной погрешности, нормирование дополнительной погрешности. Нормирование динамической погрешности, нормирование погрешности взаимодействия. Примеры оценки нормируемых характеристик. 3. 2. Естественные пределы точности функционирования средств измерений (10 часов) [3], с. 34…55

Принцип неопределенности В. Гейзенберга и ограничения на точность измерения. Естественная ширина спектральной линии. Шумы и причины их появления в измерительных устройствах. Примеры влияния шумов на точность измерения. Тепловой шум. Формула Найквиста. Дробовой эффект. Уравнение Шотки. Другие виды шумов. Фликкер-шум. Генерационно-регенерационный шум. Квантовый шум. Фазочувствительные детекторы и усилители. 3.3. Классы средств измерений и их погрешности (20 часов) [3], с. 21…32 или [2], c. 12…19 и с.73…90 и с. 109…114 и [4], с. 72…89 Аналоговые приборы: погрешности отсчета и масштабирования. Цифровые приборы: погрешность дискретизации и погрешность квантования. Погрешности вычислений из-за ограниченности разрядной сетки процессора. Оценка погрешности цифровых фильтров. Приборы, использующие макроскопические квантовые эффекты. Интеллектуальные средства измерений и оценка их точности: алгоритмическая погрешность. Измерительные системы на нейронных сетях. Виртуальные средства измерений. 3.4. Методы оценки точности функционирования средств измерений (20 часов) [3], с. 56…97 или [1], с. 39…52 и с. 80…90 и [2], с. 201…220 Аналитические методы. Экспериментальные методы. Имитационное моделирование. Комбинированные методы. Учет влияния различных составляющих на результирующую точность. Метрологический анализ средств измерений(СИ). Метрологический синтез СИ. 3.5. Повышение точности средств измерений (28 часов) [3], с. 98…126 и [2], с. 118…148 или [1], с. 155…180 Классификация методов уменьшения погрешностей СИ. Алгоритмические, структурные и конструкторско-технологические методы. Стабилизация характеристик точности. Компенсация

погрешностей. Коррекция погрешностей. Уменьшение динамической погрешности. Повышение помехоустойчивости измерительных приборов. Измерение постоянных и периодических сигналов на фоне помех. Оценка по многократным измерениям. Изменяющиеся во времени сигналы и помехи. Линейная и нелинейная фильтрация, экстраполяция непрерывных процессов и дискретных последовательностей. Робастные методы оценки сигналов и параметров процессов. Заключение (2 часа) Краткое обобщение основных вопросов курса. Направление самостоятельной работы по углублению знаний в области теории точности измерительных приборов. 3.6. Тематический план лекций для студентов очно – заочной формы обучения (24 часа)

1. Введение …………………………………………… 2. Нормируемые характеристики средств измерений………………………………………… 3. Пределы точности функционирования средств измерений.……………………………….. 4. Классы средств измерений и их погрешности …. 5. Расчетные методы оценки точности средств измерений ………………………………………… 6. Экспериментальные методы оценки точности средств измерений………………………………… 7. Повышение точности средств измерений.……….

2 часа 2часа 2 часа 2 часа 2 часа 2 часа 4 часа

3.7. Темы практических занятий (4 часа) 1. Оценка точности средств измерений. 4. Литература Основная: 1. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных

устройств.–М.: Машиностроение, 1976. 2. Методы электрических измерений: Учебное пособие/Под ред. Э.И. Цветкова – Л.: Энергоатомиздат, 1990. 3. Романов В.Н. Точность средств измерений. – СПб.: СЗТУ, 2003. 4. Романов В.Н., Комаров В.В. Анализ и обработка экспериментальных данных. Учебное пособие. – СПб.: СЗПИ, 1999. Дополнительная: 5. Азизов А.М., Гордов А.Н. Точность измерительных преобразователей. – Л.: Энергия, 1975. 6. Алиев Т.М., Тер-Хачатуров А.А., Шекиханов А.М. Итерациональные методы повышения точности измерений. – М.: Энергоатомиздат, 1986. 7. Алиев Т.М. Тер-Исраелов Г.С., Тер-Хачатуров А.А. Вероятностные измерительно-вычислительные устройства. – М.: Энергоатомиздат, 1983. 8. Алиев Т.М., Тер-Хачатуров А.А. Измерительная техника. –М.: Высшая школа, 1991. 9. Антушев Г.С. Методы параметрического синтеза сложных технических систем. – М.: Наука. 1989. 10. Бромберг Э.М., Куликовский К.Л. Тестовые методы повышения точности измерений. – М.: Энергия, 1978. 11. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей.- М.: Сов. Радио, 1973. 12. ГОСТ 8.009-84, ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.-М., 1984. 13. Земельман М.А. Автоматическая коррекция погрешностей измерительных устройств. – М.: Изд. Стандартов, 1972. 14. Краус М. Измерительные информационные системы. – М.: Мир, 1975 15. Куликовский К.Л., Купер В.Л. Методы и средства измерений.- М.: Энергоатомиздат, 1986. 16. Макшанов А.В., Мусаев А.А. Робастные методы обработки результатов измерений. – М.: Оборонгиз, 1980. 17. Моисеев В.С. Системное проектирование преобразователей информации. – Л.: Машиностроение, 1982.

18. Островерхов В.В. Динамические погрешности аналогоцифровых преобразователей. – Л.: Энергия, 1975. 19. Отт Г.У. Методы подавления шумов и помех в электронных системах. – М.: Мир, 1970. 20. Петров Б.Н., Викторов В.А., Лункин П.В. Принципы инвариантности в измерительной технике. – М.: Наука, 1976. 21. Рабинер В.Н., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1978. 22. Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем. – М: Сов.радио, 1975. 23. Романов В.Н., Соболев В.С., Цветков Э.И. Интеллектуальные средства измерений. – М.: РИЦ "Татьянин день", 1994. 24. Соренков Э.И., Телига А.И., Шаталов А.С. Точность вычислительных устройств и алгоритмов. – М.: Машиностроение, 1976. 25. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. – М.: Энергоатомиздат, 1985. 26. Шлыков Г.П. Измерение параметров интегральных ЦАП и АЦП.- М.: Радио и связь, 1985. 27. Шляндин В.М. Цифровые измерительные устройства. – М.: Высшая школа, 1981. 5. Темы рефератов Приводимые ниже темы рефератов позволяют закрепить изученный по дисциплине материал. 1. Оценка точности измерений. 2. Шумы и причины их появления в измерительных устройствах. 3. Аналоговые средства измерений и их погрешности. 4. Цифровые средства измерений и их погрешности. 5. Интеллектуальные средства измерений и оценка их точности. 6. Расчетные методы оценки точности функционирования средств измерений. 7. Нормирование метрологических характеристик средств измерений. 8. Метрологический анализ средств измерений. 9. Метрологический синтез средств измерений.

10.Структурные методы повышения точности функционирования средств измерений. 11.Методы повышения помехоустойчивости средств измерений. 6. Тестовые задания 1. Что такое инструментальная погрешность, методическая погрешность и эксплуатационная погрешность? Каковы причины их возникновения? 2. В чем различие погрешности и неопределенности измерений? 3. Что такое систематические и случайные погрешности? Каковы причины их возникновения? 4. Какие характеристики средств измерений относят к нормируемым? 5. Как нормируется основная и дополнительная погрешность? 6. Каковы способы нормирования динамической погрешности и погрешности взаимодействия? 7. Приведите примеры оценки нормируемых характеристик. Какие модели при этом применяются? 8. Каковы причины появления шумов в приборах? 9. Какие виды шумов оказывают влияние на точность измерения? Какова степень этого влияния по порядку величины? 10. При каких условиях различные виды шумов особенно заметны? 11. Каковы специфические погрешности аналоговых приборов и чем они обусловлены? 12. Каковы характерные погрешности цифровых приборов и чем они обусловлены? 13. Каковы характерные погрешности цифровых фильтров? 14. Каковы особенности функционирования и специфические погрешности интеллектуальных средств измерений, виртуальных средств измерений? 15. Какие методы используются для оценки точности функционирования приборов? 16. Как учитывается влияние различных составляющих на результирующую точность? 17. Как проводится метрологический анализ? 18. Как проводится метрологический синтез? 19. Каковы методы уменьшения погрешностей приборов?

20. В чем заключаются стабилизация характеристик точности СИ? 21. В чем состоит коррекция погрешности? Какие методы коррекции применяются на практике? 22. Какие методы используются для уменьшения динамической погрешности? 23. Какие методы используются для повышения помехоустойчивости измерительных приборов? 24. Что такое робастные методы оценки сигналов и параметров процессов? Когда они применяются? 25. Для чего применяется фильтрация сигналов 7. Задания на контрольную работу Методические указания к выполнению контрольной работы Задания охватывают основные разделы дисциплины. Контрольная работа для студентов специальности 190100 состоит из 4-х задач. Условия задач варьируются в зависимости от последней цифры i и предпоследней цифры j шифра студента. При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие правила: выполнять работу аккуратно, этапы решения задачи обосновывать, в конце работы привести список используемой литературы. На титульном листе следует указать название дисциплины, фамилию преподавателя, свою фамилию, имя, отчество, номер шифра и домашний адрес. Работы, выполненные небрежно, с большим количеством зачеркиваний и исправлений, к проверке не принимаются. Задача 1. Определите комплексную частотную характеристику (КЧХ) фильтра нижних частот, фильтра верхних частот и полосового фильтра при следующих данных: R=(10+i) кОм, C=(1+j) мкФ. Представьте КЧХ с помощью диаграммы Боде, объясните полученные зависимости. Оцените погрешность фильтра на разных частотах. Задача 2. Проводилось исследование передаточной функции аналогового прибора Y=ƒ(X), где X - входной сигнал, Y - выходной сигнал. Результаты даны в таблице. Из теоретических соображений

известно, что передаточная функция является полиномом не выше второй степени. Определите вид передаточной функции, оцените отклонение от линейности и максимальную погрешность прибора в заданном диапазоне измерения измеряемой величины.

X 1+j Y/X 2,1+i+j

2+j 2,9+i+j

3+j 4,2+i+j

Таблица к задаче 2 4+j 5+j 6,1+i+j 6,9+i+j

X 6+j Y/X 7,3+i+j

7+j 8,3+i+j

8+j 8,7+i+j

9+j 10+i+j

Задача 3. Оцените дополнительную погрешность аналогового прибора по следующим данным: Δоср = 10мВ+i; σp[Δ]=5мB+j; Hop=6мВ+i+j. Номинальные функции влияния на систематическую и случайную составляющие погрешности имеют вид: ψс ном.1,2 (ϕ1,2) = Кc ном.1,2 (ϕ1,2 - ϕ норм 1,2); ψσ ном. 1,2 (ϕ1,2) = К σ ном. 1,2 (ϕ1,2 - ϕ норм 1,2), где Кс ном.1 = 0,5/(1+i) мВ/оС; Кс ном.2 = 0,4/(1+j) мВ/В; К σ ном.1 = 0,1/(1+j) мВ/оС; К σ ном.2 =0,1/(1+i) мВ/В – значения номинальных коэффициентов влияния температуры среды и напряжения источников питания на систематическую и случайную составляющую погрешности прибора соответственно; ϕ норм 1 = 20 оС; ϕ норм 2 = 230 В - номинальные значения влияющих величин. Влияющие величины меняются в следующих пределах: ϕ н 1 = (5 + i) oC; ϕ в 1 = (40 + j)oC; ϕ н 2 = (225 - j) B; ϕ в 2 = (235 + i) B, где ϕ н, ϕ в - нижний и верхний предел соответственно. Примечание. Распределение систематической погрешности влияющих факторов симметрично. Задача 4. На вход цифрового прибора поступает полезный сигнал x, изменяющийся в диапазоне [0, Xmax], и помеха n, изменяющаяся в диапазоне [-Δn/2, Δn/2]. Определите характеристики погрешности (математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение) при квантовании суммы сигнала и помехи при следующих данных: Хmax=1+i; Δn=cΔkx; Δkx=Xmax/2q – интервал квантования; q – число

разрядов процессора: q=2+i+j; параметр c принимает следующие значения: c =1+i+j, 1/c =1+i+j. Примечание. Распределение сигнала и помехи принять равномерными в диапазоне их значений. Считать помеху малой по сравнению с сигналом. Указания Задача

1.

При

определении

КЧХ

полосового

фильтра

воспользоваться формулой: n

n

⎡ n

⎤

k =1

k =1

⎢⎣ k =1

⎥⎦

Н (ω ) = ∏ H k (ω ) = ∏ H k (ω ) exp ⎢i ∑ϕ k (ω )⎥ , где n – число элементов измерительного прибора. Для полосового фильтра n=2. Алгоритм решения задачи дан в [4], с. 81…87. Задача 2. Для решения задачи следует использовать метод наименьших квадратов (МНК). Введите новую переменную Z=Y/X. Алгоритм решения этой задачи приведен в [4], с. 94…98. Задача 3. Полагая, что систематическая погрешность и влияющие факторы распределены симметрично в интервалах своих значений, имеем М ⎡⎣ Δос ⎤⎦ = 0;

М ⎡⎣ϕ1 ⎤⎦ = 0,5 (ϕ Н 1 + ϕ В1 ) ;

М ⎡⎣ϕ 2 ⎤⎦ = 0,5 (ϕ Н 2 + ϕ В 2 ) .

Значения

математического

ожидания

и

дисперсия

дополнительной погрешности находятся из соотношений:

( )

М ⎡⎢ψ с.ном ϕ j ⎤⎥ = kс.номi M ⎡ϕ j − ϕ нормj ⎤ = kс.номj ⎡⎢ M ⎡ϕ j ⎤ − ϕ нормj ⎤⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦

( )

D ⎡⎢ψ с.ном ϕ j ⎤⎥ = kс2.номj D ⎡⎣ϕ j − ϕ нормj ⎤⎦ = kс2.номjσ 2 ⎡⎣ϕ j ⎤⎦ ; j = 1,....., n , ⎣ ⎦

где n – число влияющих факторов. В нашем случае n=2. Приведенные выражения получены в предположении, что функции

( )

)

(

влияния являются линейными, т.е. ϕс.ном ϕ j = kс.ном ϕ j − ϕ нормj . Математическое ожидание M ⎡⎣ Δϕ ⎤⎦ и дисперсия D ⎡⎣ Δϕ ⎤⎦ статической составляющей инструментальной погрешности прибора в реальных условиях эксплуатации могут быть найдены из соотношений: n

( )⎦

М ⎡⎣ Δϕ ⎤⎦ = М ⎡⎣ Δос ⎤⎦ + ∑ M ⎡⎢ψ с.ном ϕ j ⎤⎥ ; ⎣

j =1 n

( )⎦

D ⎡⎣ Δϕ ⎤⎦ = σ 2 ⎡⎣ Δос ⎤⎦ + ∑ D ⎡⎢ψ с.ном ϕ j ⎤⎥ + [σ p [Δ 0 ] + j =1

( )

n

+∑ϕσ ном max ϕ j j =1

где

( )

⎤⎦

2

⎣

0

n 1⎡ + ⎢ Н ор + ∑ϕ Hном max ϕ j 12 ⎢⎣ j =1

( )

( )

ψ Hном max ϕ j ,ψ σ ном max ϕ j

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2

+

μ 2ном , 12

– наибольшие

на интервале ⎡

0

⎤

ϕ нj ≤ ϕ j ≤ ϕвj номинальные функции влияния; σ р ⎢Δ 0 ⎥ – предел ⎢⎣ ⎥⎦ допускаемого значения среднеквадратичного отклонения случайной погрешности прибора; H ор – предел допускаемого значения вариации показаний

при

нормальных

условиях

эксплуатации;

μном

–

номинальная цена единицы наименьшего разряда кода цифрового прибора (для аналогового прибора μном = 0 ).

Полагая,

что систематическая

погрешность и влияющие

факторы распределены равномерно в интервалах их значений, можно записать:

D ⎡⎣ Δоос ⎤⎦ =

σ ⎡⎣ϕ1 ⎤⎦ = σ ⎡⎣ϕ 2 ⎤⎦ =

2 Δосp ; 3

ϕв1 − ϕ н1 12

;

ϕв 2 − ϕн2 12

.

Перед решением этой задачи следует изучить материал в [3], с. 5…18. Задача 4. На вход цифрового прибора поступает сигнал в виде суммы

x + n . На выходе сигнал равен y = ⎡⎣ x + n ⎤⎦

Δk x .

Истинное значение

сигнала на выходе: y0 = ⎡⎣ x ⎤⎦ 0 , где [⋅] – целая часть числа; индекс 0 соответствует бесконечно малой ступени квантования. Тогда погрешность по определению равна: Δy = y − y0 = ⎡⎣ x + n ⎤⎦

Δk x

− ⎡⎣ x ⎤⎦ 0 = Δ n y + Δ k y ;

Δ n y = ⎡⎣ x + n ⎤⎦ 0 − ⎡⎣ x ⎤⎦ 0 = n , Δ k y = ⎡⎣ x + n ⎤⎦ Δ

kx

− ⎡⎣ x + n ⎤⎦ 0 ,

где Δ n y – погрешность, вносимая помехой; Δ k y – погрешность квантования. Так как первая составляющая равна n, то, принимая равномерное распределение для помехи, получим: M ⎡⎣ Δ n y ⎤⎦ = M ⎡⎣ n ⎤⎦ ;

D ⎡⎣ Δ n y ⎤⎦ = D[n] ,

где M– математическое ожидание, D– дисперсия. Вторая составляющая обусловлена квантованием суммы двух случайных величин: z = x + n . Чтобы определить ее характеристики, надо

знать

вид

закона

распределения,

например,

плотность

вероятности ω ( z ) . В общем случае она определяется соотношением: ω(z) =

dF ( z ) , dz

где F ( z ) =

∫∫ ω ( x ) ω ( n ) dxdn – интегральная функция распределения.

x + n< z

В нашем случае задача упрощается, так как распределение полезного сигнала и помехи можно считать равномерными. Получим: ω(x) =

⎧ 1 при x ∈ ⎡⎣0, X max ⎤⎦ ⎪⎪ X max , ⎨ ⎪0 при x ∉ ⎡0, X max ⎤⎦ ⎣ ⎪⎩

ω ( n) =

⎧ 1 при n ∈ ⎡⎢ −Δn 2 , Δn 2⎤⎥ ⎪⎪ ⎣ ⎦. n Δ ⎨ ⎪0 при n ∉ ⎡ −Δn , Δn ⎤ ⎢⎣ 2 2⎥⎦ ⎩⎪

Из

статистики

известно,

что

сумма

двух

равномерно

распределенных величин имеет трапецеидальное распределение, т.е. имеем для величины z или, что одно и то же, для погрешности квантования Δ k y ≡ q трапецеидальное распределение (см. [4]). При Δn > Δ k x :

ω (q ) =

⎧ ⎛ q 1 Δn ⎞ ⎪ при + ⎜ Δk x + X max Δn ⎝ 2 ⎟⎠ ⎪ X max Δn ⎪ ⎪ p ⎡ Δ x Δ x⎤ k ⎪ 1 при q ∈ ⎢ − k , ⎥ x 2 2 Δ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ k ⎨ ⎡ Δ x Δn ⎤ ⎪ −q 1 при q ∈ ⎢ k , + ⎥ ⎪ 2X max 2 ⎦⎥ ⎪ X max Δn ⎣⎢ 2 ⎪ ⎪0 при q ∉ ⎡ − Δn − Δ x, Δn ⎤ ⎢ k ⎪ 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎪⎩

При Δn ≤ Δ k x :

⎡

q ∈ ⎢− ⎢⎣

Δ x⎤ Δn − Δ k x, − k ⎥ 2 2 ⎥⎦

ω (q ) =

⎧ ⎛ q 1 ⎪ + Δ x X max Δn ⎜⎝ k ⎪ X max Δn ⎪ ⎪⎪ p ⎡ −Δ x Δ x ⎤ 2 при q ∈ ⎢ k , k ⎥ ⎨ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎪ Δk x ⎪ ⎪0 при q ∉ ⎡ −Δn − Δ x, Δn ⎤ ⎢ k ⎪ 2 2 ⎥⎦ ⎣ ⎪⎩

+

⎡ −Δn −Δ k x ⎤ Δn ⎞ − Δ k x, ⎥ ⎟ при q ∈ ⎢ 2 ⎠ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

где p1, p2 – константы, определяемые из условия нормировки. −Δ x/2 k ⎛ 1 Δn ⎞ p = 1− ⎜⎜ t + Δ x + ⎟⎟ dt − ∫ 1 k X Δn 2 ⎝ ⎠ −Δn/2 −Δ x max k Δn/2 ⎛ t 1 ⎞⎟ ⎜ dt , − + ∫ ⎜ X ⎟ Δn 2X max max ⎠ Δ x/2 ⎝ k −Δ x/2 k ⎛ ⎞ 1 Δn p = 1− + Δ x ⎟⎟ dt . ⎜⎜ t + ∫ 2 k ⎠ 2 −Δn/2 −Δ x Xmax Δn ⎝ k Систематическая погрешность равна: −

M ⎡⎣ y ⎤⎦ = M ⎡⎣Δ n y ⎤⎦ + M ⎡⎣Δ k y ⎤⎦ . Так как M ⎡⎣Δ n y ⎤⎦ = 0 , то M ⎡⎣ y ⎤⎦ = M ⎡⎢Δ y ⎤⎥ = ⎣ k ⎦

Δn / 2

−

∫ Δn 2

q ω ( q ) dq .

−Δk x

При Δn ≤ Δ k x имеем: M ⎡⎣ y ⎤⎦ =

−Δk x / 2 −

∫ Δn 2

−Δk x

1

X max Δn

При Δn > Δ k x имеем:

⎛ ⎞ Δn + Δ k x ⎟ tdt . ⎜t + 2 ⎝ ⎠

M ⎣⎡ y ⎦⎤

=

−Δk x / 2

∫

− Δn −Δk x 2

Среднее

⎛ ⎞ Δn + Δ k x ⎟ tdt ⎜t + 2 ⎝ ⎠

1

X max Δn

Δn / 2

⎛ t 1 + ⎜⎜ − X max Δn 2X max Δk x ⎝

∫

+

⎞ ⎟⎟ tdt ⎠

2

квадратичное

отклонение

погрешности

определяется

соотношением:

σ

⎡⎣ y ⎤⎦

≡ D

=

12 ⎡

⎣ y ⎤⎦

⎛ ⎡ ⎜ D Δ n y ⎤⎦ ⎝ ⎣

Δ& n y, Δ& k y

где

–

+

D ⎡⎣ Δ k y ⎤⎦

+ 2M

центрированные

⎡Δ & y, ⎢⎣ n

12

Δ& k y ⎤⎥ ⎞⎟ , ⎦ ⎠

значения

составляющих

погрешности Δ n y и Δ k y соответственно. Так как помеха имеет равномерное распределение, то имеем: D ⎡⎣ Δ n y ⎤⎦ = ( Δn ) 12 2

Считая погрешности в первом приближении некоррелированными, после ряда преобразований получим: При Δn ≤ Δ k x : ⎤ ⎣ Δy ⎦ =

12 ⎡

D ×

{

( Δn ) 12

2

−Δ k x / 2

∫

+

1

Δn − −Δ k x 2

⎛ ⎞ Δn + Δk x ⎟ d ⎜ Δk y + 2 ⎝ ⎠

X max Δn

(Δ

k

)

y − M [Δk y]

p22Δ k2 x ( Δk y ) + 12 +⋅⋅⋅

}

12

2

×

.

При Δn > Δ x : k

( Δn ) D ⎣ Δy ⎦⎤ = { 12 ⎡

×

12

2

+

⎛ ⎞ Δn + Δk x ⎟ d ⎜ Δk y + 2 ⎝ ⎠ Δn / 2

⎛ + ⎜− ⎜ Δk x / 2 ⎝

∫

−Δ k x / 2

∫

Δn − −Δ k x 2

1 X max Δn

(Δ

k

y − M [Δk y]

)

2

×

p12Δ k2 x ( Δ k y ) + 12 +

(

Δk y 1 ⎞ + ⎟ ⋅ Δk y − M ⎡Δk y ⎤ ⎣ ⎦ X max Δn 2 X max ⎟⎠

где r ≡ Δ& k y ; s ≡ Δ& n y .

) d ( Δ y ) +⋅⋅⋅ } 2

1/ 2

k

Выполняя интегрирование, например, для математического ожидания имеем следующие соотношения: X M [ y] = − 2max (c 2 /12 + c / 2 + 3/ 4 + 1/ 3c) при c≤1; q+2 2 X M [ y] = − 2max (c / 2 + 1 + 1/ 6c) при c≥1, где c = Δn / Δ k x 2 q+2 Аналогично для дисперсии с точностью до членов следующего

порядка малости по 2-q получим X2 D[ y] = 2max (c 2 + p2 ) /12 при c ≤ 1 q 2 X2 D[ y] = 2max (c2 + p1 ) /12 при c ≥ 1. q 2 8. Задания для практической работы Методические указания к решению задач Задача 5. Оцените влияние шумов на точность следующих приборов: а) осциллографа, если его входное сопротивление R = (1+i) МОм, полоса частот Δν = (100 + 10j) кГц, температура Т = (293+i) К; б) фотодетектора при длине волны λ=(450+10i)нм, оцените минимальное число фотонов, которое может быть зарегистрировано детектором за время Δt = (j+1)/(2Δ ν) с; влияет ли на чувствительность фотодетектора тепловой шум при комнатной температуре (t= 18+j) оС; в) вакуумного диода, если величина тока Iо = 0,1(1+i)мА, полоса частот Δν = (0,25+0,1ij)кГц, температура Т = (300+10ij)К. Задача 6. Оцените систематическую и случайную составляющие погрешности нормализующего преобразователя, выполненного на операционном усилителе, если его погрешность как функция параметров может быть записана в виде: Δy=kи[(1/(kβ+1))x] + (eсм+eсмI), где kи - коэффициент усиления идеального преобразователя (kи=R2/R1), β - коэффициент обратной связи (β= R1/(R1 +R2);

eсм +eсмI – аддитивная погрешность, обусловленная смещением нуля и разностью входных токов усилителя. Значение напряжения смещения приведено к выходу усилителя: eсм = eсм. вх * kи; eсмI=kиR1ΔI. Изобразите схему преобразователя для расчета погрешности. Оценку погрешности проведите для случая, когда величины k, eсм, ΔI распределены равномерно; Значения величин необходимых для расчетов имеют вид: x=(1+i+j) мВ; R1=R2=(1+j+i) Ом; k=[105, 105(1+0,2/(1+j))]; ΔI=[1; 2+i+j] нА; α=(2+j) мкВ/oC – температурный коэффициент смещения нуля, допустимое значение температуры ΔT=20±1/(1+i) oC. Примечание. Изменение параметров резисторов считается пренебрежимо малым. Задача 7. Определите максимальную погрешность измерения и ее характеристики (математическое ожидание и дисперсию) для многоканального измерительного устройства при следующих данных: число параллельных каналов: 1+j+i, число элементов схемы в l-м канале: 1+⏐j+l–i ⏐, входной сигнал для l-го канала: x(l)=l+ij, передаточная функция k-го элемента в l-м канале: f(kl)=a(kl)+b(kl)x(kl), параметры передаточной функции: a(kl)=(i+j+kl)10-1, b(kl)=(1+k+l+ij)102 , погрешность входного сигнала для l-го канала не превышает Δx(l)≤0,1+0,01ij, погрешность преобразования k-го элемента в l-м канале не превышает Δf(kl)≤0,1a(kl)+0,01b(kl)x(kl), где x(kl) – входной сигнал для k-го элемента в l-м канале. Указания Задача 5. Для решения задачи следует использовать:

а) формулу Найквиста: U R,2эфф = 4КТRΔν ; б) соотношение для температуры эквивалентного теплового шума: TR = hν / ( k ln(3 / 2) ) .

Для определения минимального числа фотонов следует положить: S / N = 1 → Po min = PR,эфф = 2hνΔν ;

в) уравнение Шотки: I s2,эфф = 2eI o Δν . Значения постоянной Планка h , постоянной Больцмана k и заряда электрона e взять из таблиц. Задача 6. Значения систематической составляющей погрешности Δc

и дисперсии σ 2 ⎡⎢Δ ⎤⎥ случайной составляющей 0

⎣

⎦

0

Δ

можно найти из

соотношений:

(

)

Δс = М ⎡⎢( k р − kи ) х + Δ ⎤⎥ = М ⎡⎣ k p ⎤⎦ − kи x + M ⎡⎣Δ ⎤⎦ ; ⎣

⎦

⎡0⎤

σ 2 ⎢Δ ⎥ = D ⎡⎢( k p − kи ) х + Δ ⎤⎥ = D ⎡⎣ k р ⎤⎦ х2 + D ⎡⎣Δ ⎤⎦ + 2rx , ⎣⎢

⎣

⎦⎥

⎦

где r – коэффициент корреляции между величинами kp и Δ; kp – коэффициент передачи прибора; Δ – аддитивная погрешность; kи – коэффициент передачи идеального прибора. В нашей задаче погрешность прибора связана с параметрами прибора следующим выражением: ⎡⎛

1 ⎞ ⎤⎥ ⎟ x + ( eсм + eсмi ) , ⎢⎝ k β + 1 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

Δ y = kи ⎢⎜⎜

поэтому получаем для систематической и случайной составляющих: ⎡

1 ⎞ ⎤⎥ х + М ⎡⎣eсм ⎤⎦ + kи R1M ⎡⎣ ΔI ⎤⎦ , ⎟⎟ ⎥ 1 β k + ⎝ ⎠⎦

⎛

Δc = M ⎢kи ⎜⎜ ⎢ ⎣

⎡ ⎤ ⎡0⎤ σ 2 ⎢Δ ⎥ = kи2 х 2 D ⎢ 1 ⎥ + D ⎡⎣eсм ⎤⎦ + R12kи2 D ⎡⎣ΔI ⎤⎦ . ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ k β + 1⎥⎦

Полагая,

что

изменением

параметров

резисторов

можно

пренебречь, и задаваясь видом закона распределения величин k, eсм,

ΔI , можно найти характеристики основной погрешности. В данном случае рекомендуется использовать равномерное распределение для указанных величин. Тогда для случайной величины у математическое ожидание и дисперсия находятся из соотношений: 2

(y − у ) у +у М ⎡⎣ у ⎤⎦ = в н ; D ⎡⎣ y ⎤⎦ = в н , 2 12 где yв,

yн

– верхнее и нижнее значение интервала изменения

величины y соответственно. Перед решением этой задачи следует изучить материал в [4], с. 56…66. Задача 7. Алгоритм решения этой задачи рассмотрен в [3], с. Содержание

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Цели и задачи изучения дисциплины …………………………. Структура учебной дисциплины……………………………….. Содержание учебной дисциплины …………………………….. Литература……………………………………………………….. Темы рефератов………………………………………………….. Тестовые задания………………………………………………… Задания на контрольную работу. Методические указания к выполнению контрольной работы……………………………… 8. Задания для практической работы. Методические указания к решению задач…………………….. ……………………………

3 3 4 6 8 9 10 18

Редактор Т.В. Шабанова Сводный темплан 2001 г. Лицензия ЛР №020308 от 14.02.97 Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Б.кн.-журн.

П.л. 1,5. Б.л. 0,625

РТП РИО СЗТУ.

Тираж 250. Заказ Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации Вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5