Wirtschaftliche Stahlbeton- und Spannbeton-Bemessung, Band 1-5

Max Herzog Wirtschaftliche Stahlbetonund Spannbetonbemessung Neue Traglastformeln auf der Grundlage von Versuchen und ...

Author: Max A. M. Herzog

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Max Herzog

Wirtschaftliche Stahlbetonund Spannbetonbemessung Neue Traglastformeln auf der Grundlage von Versuchen und im Vergleich mit DIN 1045, DIN 4227, EC 2 und DIN 1045 (Ausgabe 2001)

Band 1 Querschnittsbemessung Mit vielen Zahlenbeispielen

/Bauwerk 7

Die Deutsche Bibliothek - Cl P- Einheitsauf nähme

Wirtschaftliche Stahlbeton- und Spannbetonbemessung Neue Traglastformeln auf der Grundlage von Versuchen und im Vergleich mit DIN 1045, DIN 4227, EC 2 und DIN 1045 (Ausgabe 2001) Band 1: Querschnittsbemessung Max Herzog Berlin: Bauwerk, 2001 ISBN 3-934369-20-0

© Bauwerk Verlag GmbH, Berlin 2001 Alle Rechte, auch das der Übersetzung, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlags ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf fotomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen sowie die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen vorzunehmen. Zahlenangaben ohne Gewähr

Umschlaggestaltung: moniteurs, Berlin Druck und Bindung: Runge GmbH, Cloppenburg

Vorwort Das Ziel dieses Buches ist die Sichtbarmachung der Beziehung zwischen der Bemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen und den Ergebnissen von Versuchen, über die beispielsweise in den Heften des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton seit fast 100 Jahren berichtet wird. Obwohl diese Versuchsergebnisse auch zur Begründung von Bemessungsnormen - wie DIN 1045, DIN 4227 und neuerdings EC 2 - verwendet wurden, ist ihre Beziehung im Formalismus der Bemessungsvorschriften nicht mehr erkennbar. Gerade im Zeitalter der Computerstatik ist es jedoch von ausschlaggebender Bedeutung, die mechanische Übereinstimmung von Bemessung und zugrunde liegenden Versuchsergebnissen sichtbar zu machen, wenn das Mitdenken des entwerfenden Ingenieurs nicht ausgeschaltet werden soll. Die mitgeteilten Vereinfachungen und Abkürzungen machen das vorliegende Buch für „alte Hasen" ebenso wertvoll wie für „blutige Anfänger", weil es auf der jahrzehntelangen Konstruktionserfahrung des Verfassers beruht. Prüfingenieure, die beurteilen müssen, ob ein Tragwerk mit nicht planmäßiger Festigkeit noch verantwortbar ist, werden aus diesem Buch großen Nutzen ziehen, weil sein Inhalt solche Beurteilungen überhaupt erst ermöglicht. Die Traglastverfahren des Stahlbetons und Spannbetons werden hier für alle denkbaren Stab- und Flächentragwerke ausführlich dargestellt. Ich bin dem Verlagslektor (Prof. K.-J. Schneider), sowie seinen Fachberatern (Prof. A. Goris und Prof. G. Richter) für die sachliche Kritik und die zahlreichen didaktischen Verbesserungen ebenso dankbar wie für die Geduld bei der Drucklegung des hohe Anforderungen stellenden Manuskripts. Solothurn, im Dezember 2000

Max A.M. Herzog

V

Inhaltsverzeichnis Verwendete Bezeichnungen Verzeichnis der angesprochenen Normen Übersicht über die weiteren Bände

XI XIV XV

1 Einleitung

1

2 Sicherheitsbetrachtung 2.1 Tragfähigkeitsnachweis 2.2 Gebrauchstauglichkeitsnachweis Literatur

2 2 3 3

3 Biegung 3.1 Geschichtliche Entwicklung 3.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren 3.2.1 Allgemeines 3.2.2 Stahlbeton ohne Druckbewehrung 3.2.3 Stahlbeton mit Druckbewehrung 3.2.4 Spannbeton mit Verbund 3.2.5 Spannbeton ohne Verbund 3.2.6 Teilweise vorgespannter Beton mit Verbund 3.2.7 Teilweise vorgespannter Beton ohne Verbund 3.2.8 Kommentar 3.2.9 Bemessungsablauf 3.3 Versuchsnachrechnung 3.3.1 Spannbeton mit Verbund 3.3.2 Spannbeton ohne Verbund 3.3.3 Stahlbeton ohne Druckbewehrung 3.4 Folgerungen 3.5 Biegung mit Normalkraft Literatur

4 4 7 7 9 12 12 12 14 14 15 15 16 16 19 19 21 21 22

4 Schub 4.1 Geschichdiche Entwicklung 4.2 Wirklichkeitsnahe Bemessungsverfahren 4.3 Versuchsnachrechnung 4.3.1 Spannbeton mit Verbund 4.3.2 Spannbeton ohne Verbund 4.4 Zahlenbeispiel 4.4.1 Bemessung nach Abschnitt 4.2 4.4.2 Bemessung nach DIN 1045 (1988) 4.4.3 Bemessung nach EC 2 4.4.4 Bemessung nach DIN 1045-1 neu 4.4.5 Kommentar

23 23 27 31 31 33 34 34 34 35 35 35

vn

Inhaltsverzeichnis 4.5 Folgerungen Literatur 5 Torsion 5.1 Geschichtliche Entwicklung 5.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren 5.2.1 Reine Torsion 5.2.2 Torsion mit Normalkraft 5.2.3 Torsion mit Biegung 5.2.4 Torsion mit Biegung und Querkraft 5.3 Versuchsnachrechnungen 5.4 Vereinfachte Bemessung auf Torsion 5.5 Bemessungsbeispiel 5.5.1 Eingangswerte 5.5.2 Interaktion 5.5.3 Verkehrslast auf beiden Gleisen 5.5.4 Kommentar 5.6 Folgerungen Literatur

35 36 37 37 38 38 39 39 40 42 44 45 45 47 47 48 48 49

6 Durchstanzen 6.1 Geschichtliche Entwicklung 6.2 Wirklichkeitsnahe Bemessungsverfahren 6.3 Versuchsnachrechnungen 6.3.1 Stahlbetonplatte ohne Schubbewehrung unter mittiger Last 6.3.2 Stahlbetonplatte ohne und mit Schubbewehrung unter mittiger Last 6.3.3 Stahlbetonplatte ohne Schubbewehrung bei Randstütze 6.3.4 Stahlbetonplatte mit Schubbewehrung bei Randstütze 6.3.5 Stahlbetonplatte ohne Schubbewehrung bei Eckstütze 6.4 Bemessungsbeispiel 6.4.1 Biegung 6.4.2 Durchstanzen ohne Schubbewehrung 6.4.3 Schubbewehrung mit abgebogenen Stäben 6.4.4 Schubkreuz aus Walzprofilen 6.4.5 Durchstanznachweis nach DIN 1045 (1988) 6.4.6 Durchstanznachweis nach EC 2 6.4.7 Durchstanznachweis nach DIN 1045-1 neu 6.5 Folgerungen Literatur

50 50 54 58 58 59 60 61 62 63 63 64 65 65 67 67 68 68 68

7 Mittiger Druck 7.1 Geschichtliche Entwicklung 7.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren 7.2.1 Unbewehrte Stützen 7.2.2 Verbügelte Stützen 7.2.3 Umschnürte Stützen 7.2.4 Langfristige Lasteinwirkungen

70 70 76 76 76 77 79

vm

Inhaltsverzeichnis 7.2.5 Formänderungen 7.2.5.1 Gebrauchszustand 7.2.5.2 Bruchzustand 7.3 Versuchsnachrechnungen 7.3.1 Verbügelte Stützen mit schwacher Längsbewehrung 7.3.2 Verbügelte Stützen mit starker Längsbewehrung 7.3.3 Umschnürte Stützen 7.4 Bemessungsbeispiele 7.4.1 Verbügelte Quadratstütze 7.4.2 Umschnürte Rundstütze 7.5 Folgerungen Literatur

79 79 81 81 81 81 82 83 83 84 84 85

8 Ausmittiger Druck 86 8.1 Geschichtliche Entwicklung 86 8.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren 88 8.2.1 Rechteckquerschnitte unter einachsig ausmittigem Druck 88 8.2.2 Kreisförmige Querschnitte unter einachsig ausmittigem Druck . . . . 91 8.2.3 Rechteckquerschnitte unter zweiachsig ausmittigem Druck 91 8.3 Versuchsnachrechnungen 92 8.3.1 Verbügelte Quadratstützen unter einachsig ausmittigem Druck . . . . 92 8.3.2 Umschnürte Rundstütze unter einachsig ausmittigem Druck 94 8.3.3 Verbügelte Quadrat- und Rechteckstützen unter zweiachsig ausmittigem Druck 95 8.4 Bemessungsbeispiele 97 8.4.1 Verbügelte Rechteckstütze unter einachsig ausmittigem Druck . . . . 97 8.4.2 Umschnürte Rundstütze unter einachsig ausmittigem Druck 98 8.4.3 Verbügelte Rechteckstütze unter zweiachsig ausmittigem Druck . . 99 8.5 Folgerungen 101 Literatur 101 Stichwortverzeichnis

102

Verwendete Bezeichnungen A A'c = AC-AS Ack A'ck A s i, A s2 A sF , A sS A sw a B b C c Db, Dt d E e Fe, F'e G g h h hs K

k

L M

M AfF Ms MSt N

Arithmetisches Mittel oder Querschnittsfläche (Ac des Betons, A s des Stahls oder der Längsbewehrung, A w der Querbewehrung) Nettoquerschnitt des Betons Kernquerschnitt umschnürter Stützen Netto-Kernquerschnitt umschnürter Stützen Zug- bzw. Druckbewehrungsquerschnitt Biegezugbewehrung im Feld bzw. über der Stütze Querbewehrung (A swl schräge Stäbe, A sw2 vertikale Bügel, A w Wendel) Bügelabstand oder Seitenlänge des Stützenquerschnitts innerhalb der Flachdecke Betongüte Querschnittsbreite (bm der Druckplatte, b0 des Steges) Hilfswert zur Bemessung Kraglänge oder Lastausmitte Druckkraft der Betondruckzone bzw. der Druckbewehrung Querschnittshöhe oder Stützendurchmesser Elastizitätsmodul (Es des Stahls, Ec des Betons) Lastausmitte bezogen auf die Zugbewehrung Zug- bzw. Druckbewehrungsquerschnitt im überholten n-Verfahren (vor 1972) Eigenlast oder Gleitmodul Eigenlast oder Ganghöhe des Wendeis Nutzhöhe des Stahlbetonquerschnitts Abstand der Druckbewehrung vom gedrückten Rand des Querschnitts Höhe des Walzprofils Abminderungsbeiwert (Kh zur Erfassung der Nutzhöhe, Ks zur Erfassung des Seitenverhältnisses rechteckiger Stützenquerschnitte) oder Kalibrierungsbeiwert (# 5 0 % der 50%-Fraktile oder des Mittelwerts, K5% der 5%Fraktile oder der unteren Schranke der Versuchsergebnisse) oder Multiplikator Beiwerte (k\ Völligkeit der Biegedruckzone, k2 Abstand der Druckspannungsresultierenden vom gedrückten Rand des Querschnitts, kz Nutzhöhenverhältnis, km Biegemomentenbeiwert für Flachdecken) Lastkombination oder Stützweite Biegemoment (Afg infolge Eigenlast, Mp infolge Nutz- oder Verkehrslast, Mu Bruchmoment, M0 Tragfähigkeit infolge reiner Biegung, Mpi vollplastisches Biegemoment des Walzprofils) Starreinspannmoment positives Biegemoment im Feld negatives Biegemoment über der Stütze von der Stütze in die Flachdecke eingeleitetes Biegemoment Normalkraft (Ng infolge Eigenlast, Afp infolge Nutz- oder Verkehrslast) XI

Na

Ne Ns Na A^x, Afty Nv n = EJEC p, P Q ßo R Rc /? p /? w Ra #s> ^0,2 Ru /? su R = R/y S s St T T0 U u V v x y Z ZA Ze z = kji a

/5R ßs

xn

achsiale Tragfähigkeit infolge reinem Druck oder reinem Zug, oder Durchstanzlast ohne Schubbewehrung oder Durchstanzlast bei mittiger Beanspruchung Durchstanzlast bei ausmittiger Beanspruchung Anteil der Durchstanzlast infolge der Schubbewehrung Tragfähigkeit (N% Rechenwert, Aft Versuchsweit, Nuo unter mittigem Druck, Nue unter ausmittigem Druck) Tragfähigkeiten unter einachsiger Ausmitte Anteil der Durchstanzlast infolge der Spannglieder Verhältniszahl der Elastizitätsmoduln Nutz- oder Verkehrslast Querkraft (Qg infolge Eigenlast, Qp infolge Nutz- oder Verkehrslast, Q u beim Bruch) Tragfähigkeit infolge reiner Querkraft Festigkeit (R5% 5%-Fraktile der gemessenen Festigkeit) Zylinderdruckfestigkeit des Betons Prismendruckfestigkeit des Betons Würfeldruckfestigkeit des Betons Zugfestigkeit des Betons wirkliche oder konventionelle Streckgrenze der Bewehrung (/?sw der Schubbewehrung) Zugfestigkeit der Bewehrung Stahlspannung im Bruchzustand rechnerische Festigkeit (R'c = RJyc des Betons, R'su = Rsu/ys des Stahls) Beanspruchung (£95% 95%-Fraktile der möglichen Beanspruchung) Seitenlänge des Stützenquerschnitts Stahlgüte Torsionsmoment Tragfähigkeit infolge reiner Torsion Umfang des Kernquerschnitts mittlerer Umfang des Durchstanzkegels Vorspannkraft (V„ i m Zeitpunkt T = 0, Vx im Zeitpunkt T = 00, Vu im Bruchzustand) oder Variationskoeffizient Versatzmaß Höhe der Betondruckzone Höhe des ideellen Druckspannungsblocks Zusatzlast oder Zugkraft (Z„ beim Bruch) Zuggurtkraft am Auflager Zugkraft der Zugbewehrung Hebelarm der inneren Kräfte des Stahlbetonquerschnitts Neigung der Schubbewehrung ( a r Rissneigung, a z Spanngliedneigung) oder Beiwert zur Erfassung des mitwirkenden Betons zwischen zwei Biegerissen Rechenfestigkeit des Betons nach alter DIN 1045 Streckgrenze der Bewehrung nach alter DIN 1045

Y YL YR ö e T) H = AJbh g o T cp 0k

globaler Sicherheitsbeiwert nach alter DIN 1045 Lastbeiwert (yg für Eigenlast, yp für Nutz- oder Verkehrslast, yw für Windlast, Ys für Schneelast, YE für Erdbebenlast) Widerstandsbeiwert (ys für Stahl, yc für Beton) Durchbiegung oder Stützenauslenkung Dehnung oder Stauchung (e c des Betons, cs des Stahls, £v Vordehnung des Spannstahls) Wirkungsgrad oder Schubdeckungsgrad Bewehrungsgehalt (fj^, Schubbewehrungsgehalt) Betonwichte (£>cN des Normalbetons, gcL des Leichtbetons) Spannung (a e bzw. a% des Stahls, ob bzw. ac des Betons, om\ zulässige Spannung) Schubspannung (T 0 rechnerische, rr beim Riss, x^ beim Bruch) Kriechzahl Kerndurchmesser

xni

Verzeichnis der angesprochenen Normen (Ausgabedatum in Klammern)

DIN 1045 (1988):

Beton und Stahlbeton

DIN 1045 (2001):

Beton und Stahlbeton

DIN 4227 Teil 1 (1988) Teil 2 (1984) Teil 3 (1983)

Spannbeton Beschränkte und volle Vorspannung Teilweise Vorspannung Segmentbauart

DIN 1055-6 (1987):

Lasten in Silozellen

EC 2 = DIN V ENV 1992: Stahlbeton- und Spannbetontragwerke Teil 1-1 (1992) Hochbau Teil 1-2 (1997) Brandfall Teil 1-3 (1994) Fertigteile Teil 1-4 (1994) Leichtbeton Teil 1-5 (1994) Spannglieder ohne Verbund

XIV

Übersicht über die weiteren Bände Band 2: Stabtragwerke 9 10 11 12 13 14 15

Schlanke Stützen Ortbetonträger Segmentträger Fachwerkträger Konsolen Rahmen Bögen

Band 3: Ebene Flächentragwerke 16 17 18 19 20 21 22 23

Umfangsgelagerte Platten Punktgestützte Platten Schiefe Bewehrungsnetze Schiefe Platten Platten auf nachgiebiger Unterlage Einzelfundamente Trägerroste Wandartige Träger

Band 4: Räumliche Flächentragwerke 24 25 26 27 28 29 30

Bunker Silos Rotationskuppeln Rotationsbehälter Schalenbögen Schalenträger Schirmschalen

Band 5: Spezialprobleme 31 32 33 34 35 36 37

Betongelenke Bewehrungsstöße und Verankerungslängen Rissbildung Formänderungen Schwingungen Erdbeben Ermüdung

Band 6: Entwicklungsgeschichte 38 Zeittafel 39 Kurzbiographien XV

1 Einleitung Der Stahlbeton- und Spannbetonbau ist grundsätzlich eine empirische Bauweise [1.1], der erst im Nachhinein eine Theorie unterlegt wurde, um ihre praktische Anwendung zu erleichtern. Aus Anlass des 150-jährigen Jubiläums des Baus eines Ruderboots (Bild 1.1) aus „fer-ciment" (drahtbewehrter Mörtel) durch J.L. Lambot, einen promovierten Juristen, auf seinem Landgut Miraval in der Provence wird im Folgenden die historische Entwicklung der wichtigsten Bemessungsverfahren nachgezeichnet. Dabei wird schon aus Platzgründen keine Vollständigkeit angestrebt, aber die entscheidenden Weichenstellungen werden genannt. Dafür wird der letzte Stand der Entwicklung mit den vorhandenen Versuchen (meistens jenen des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton) begründet und jeweils mit einem Versuch am größten bisher geprüften Probekörper ausführlich verglichen. Schließlich ist zu beachten, dass sich mit den ständig zunehmenden Betondruckfestigkeiten (Rc > 60 MN/m2) das Verhalten des Betons, nicht aber das des Stahls, von der plastischen wieder zur elastischen Grenze verlagert. Die hier vorgestellten Bemessungsverfahren weichen von den geltenden Normen so geringfügig ab, dass sie zumindest für Vorbemessungen, Massenschätzungen und Kontrollberechnungen ohne Einschränkung verwendet werden können. Sie lassen jedoch im Gegensatz zu diesen Normen klar erkennen, wie weit die Rechnung vom wirklichen Verhalten des Stahlbetons und Spannbetons entfernt ist. Dieser Umstand gewinnt im Zeitalter der Computerstatik immer mehr Bedeutung.

Literatur [1.1] Herzog, M.: 150 Jahre Stahlbeton (1848 - 1998). Bautechnik 76 (1999) Sonderheft

Bild 1.1: Ruderboot aus „fer-ciment" von J.L Lambot (1848)

1

2 Sicherheitsbetrachtung Jahrzehntelang erfolgte die Bemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauwerken mit zulässigen Spannungen, deren Größe so festgesetzt worden war, dass sie eine ausreichende Sicherheit gegen das Erreichen unerwünschter Zustände (Tragfähigkeit und Formänderung) gewährleisteten.

2.1 Tragfähigkeitsnachweis Bei der aus wirtschaftlichen Gründen erfolgenden höheren Ausnützung der Baustoffe (Stahl und Beton) konnte wegen ihres nichtlinearen Verhaltens die bis dahin verwendete globale Sicherheitsbetrachtung (Bruchsicherheiten nach DIN 1045 für Stahl s = 1,75 und für Beton s = 2,l auf Biegung und s = 3,0 auf zentrischen Druck) jedoch nicht mehr befriedigen [2.1], [2.2], [2.3]. Nach langjährigen Diskussionen einigte man sich schließlich nach amerikanischem Vorbild auf zwei Sicherheitsbeiwerte: erstens den Lastbeiwert (load factor) yt und zweitens den Widerstandsbeiwert (resistance factor) Jg.. Die ausreichende Tragsicherheit ist gewährleistet, wenn die mit dem Lastbeiwert vervielfachte Beanspruchung S kleiner ist als die durch den Widerstandsbeiwert geteilte Festigkeit R: „

s

TL ^95%

' ° 0

0

•

0.5

•

O-i ° o

--*

•

3 -

*

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0.6

1

l"»

»

- 1

w

•

»

a

0.7

• l2mm/m.

Längsstäbe »10mm Klammermaße -Sollmaße

Bild 3.15: Abmessungen des Versuchsträgers B der Deutschen Bundesbahn aus Spannbeton ohne Verbund (1950/51)

18

Versuchsnachrechnungen 3.3.2 Spannbeton ohne Verbund Bei den Versuchen der Deutschen Bundesbahn mit vier verschiedenen Spannbetonträgern in Kornwestheim [3.20] wurde auch der Träger B ohne Verbund (Bild 3.15) bis zum Bruch belastet. Aus Gl. (3.19) folgt die rechnerische Stahlzugspannung der beiden konzentrierten Spannglieder beim Bruch zu Rm = 0,6 • 941 + 0,3 • 1600 + 0,1 • 1800 = 1225 MN/m2 (= 94,2 %) während die gemessene etwa 1300 MN/m2 (= 100 %) betrug. Mit der Zugkraft der beiden Spannglieder aus 144 Litzen 0 7,5 mm der Stahlgüte St 1800 und der schlaffen Bewehrung von 10 0 10 mm aus BSt I Z, = 1225 • 0,00494 + 220 • 0,000785 = 6,05 + 0,17 = 6,22 MN und der Prismendruckfestigkeit der Betons Rc = 46,7 MN/m2 ergibt sich die Höhe der Betondruckzone nach Gl. (3.23) zu x=

3

' 6 ' 2 2 — = 0,111 m (Dicke der Druckplatte 20 cm) 2 • 1,80 • 46,7

und der Hebelarm der inneren Kräfte nach Gl. (3.24) zu z

= h-^x

= 0,913 - | - 0,111 =0,871 m.

Das rechnerische Bruchmoment beträgt nach Gl. (3.12) für a = 1 M*=Z»z = 6,22 • 0,871 = 5,42 MNm (= 90,6 %) während beim Bruchversuch Ml = Mg + Mp = 1,43 + 0,65 • 7,00 = 5,98 MNm (= 100 %) gemessen wurde. Nach DIN 4227 hätte sich wiederum nur das erheblich kleinere Bruchmoment von M™ = [(941 + 140) • 0,00494 + 220 • 0,000785] (o,913 - Q&&>\ = (5,34 + 0,17) • 0,880 = 4,85 MNm (= 81,1 %) ergeben. 3.3.3 Stahlbeton ohne Druckbewehrung Die französische Staatsbahn SNCF ließ 1955/56 vier große Plattenbalken, die mit Torstahl 60 und 80 bewehrt waren, bis zum Bruch belasten [3.21]. Hier wird nur der mit Torstahl 60 bewehrte Plattenbalken mit Zugflansch (Bild 3.16) nachgerechnet. Die Stahlzugspannung beim Bruch ergibt sich mit Gl. (3.14) zu Rsu = 0,75 • 660 + 0,25 • 810 = 495 + 203 = 698 MN/m2 und die Zugkraft der Bewehrung aus 8 0 22 mit As = 30,41 cm2 zu Z, = 698 • 0,003041 = 2,123 MN Für die gemessene Würfeldruckfestigkeit Rw = 31,9 MN/m2 wird die rechnerische Prismendruckfestigkeit zu Rc = 0,8 Rw = 0,8 • 31,9 = 25,5 MN/m2 abgeschätzt. Die Höhe der Betondruckzone folgt dann nach Gl. (3.23) zu 19

Biegung

Versuche 1955: Längsbewehrung Torstahl 60 oder 80 ohne unteren Flansch

I

1

Bügel_ TORiO

i L

'Bügel Sti2-

1»

jeschlossene Bügel zweiscnnimg

Versuche 1956: Längsbewehrung Torstahl 60 oder 80 mit unterem Flansch

I

I

J I

— geschlossene Bügel TORU) e=12S zweischnittig 4 A

A

Versuche 1955: Versuche 1956: Längsbewehrung Torstahl 60 oder 80 ohne unteren Flansch mit unterem Flansch 101

erfasst, so beträgt das rechnerische Bruchmoment schließlich 20

Biegung mit Normalkraft

M\= 1,101 • 1,684 = 1,854 MNm (= 98,1 %), während beim Bruchversuch der Wert M\ = 0,840 • 2,25 = 1,890 MNm (= 100 %) gemessen wurde. Nach DIN 1045 (1988) bzw. EC 2 hätten sich nur die erheblich kleineren Bruchmomente von M*T= 660 • 0,003041 (o,84 - °-4p) = 1,607 MNm (= 85,0 %) bzw. M*P= 0,9 • 810 • 0,003041 (o,84 - *Mp^ = 1,767 MNm (= 93,5 %) ergeben. Vergleichsrechnung nach DIN 1045-1 neu As = 30,41 cm2 = 0,003041 m2 U = 25,5 MN/m2 / pk = 810 MN/m2; 0,9 / pk = 0,9 • 810 = 729 MN/m2 (St 660/810) «=0,003041 • 729 / (1,00 • 0,84 • 25,5) = 0,103 -»Msds = 0,097 Ma = 0,097 • 1,00 • 0,842 • 25,5 = 1,75 MNm (= 92,6 %)

3.4 Folgerungen Aus den Versuchsnachrechnungen geht klar hervor, dass das wirklichkeitsnahe Bemessungsverfahren des Abschnitts 3.2 mit den gemessenen Werten für die drei größten bisher geprüften Balken aus Spannbeton mit Verbund, aus Spannbeton ohne Verbund und aus Stahlbeton ohne Druckbewehrung ausgezeichnet übereinstimmt. Die übliche Bemessung auf Biegung nach DIN 1045, DIN 4227 bzw. EC 2 und auch nach Gl. (3.17) lässt dagegen die in den Versuchen beobachtete Mitwirkung des Betons zwischen den Biegerissen auf Zug (gilt nur bei vorhandenem Verbund der Bewehrung und Spannglieder) ungenutzt. Diese Vernachlässigung entspricht zufällig der unteren Schranke (= 5%-Fraktile) der Versuchsergebnisse.

3.5 Biegung mit Normalkraft Falls die Biegezugbewehrung das Bemessungskriterium darstellt (kein Druckversagen), kann eine gleichzeitig wirkende Normalkraft (Druck oder Zug) sehr einfach berücksichtigt werden. Wenn das Biegemoment nicht wie üblich auf die Querschnittsachse, sondern auf die Höhenlage der Zugbewehrung bezogen wird (Bild 3.17) Ms = M + N (h -11 (3.25) dann beträgt die Biegezugbewehrung RJYS V z

)

Anwendungsbeispiele dieser beiden Gleichungen enthält der Abschnitt 24: Bunker im 4. Teil dieses Buches. 21

Biegung

r

M

r

h H >•

•

d/2

d/2

-N

d/2

Ms

h-d/2 N

Bild 3.17: Rechteckquerschnitt unter Biegung mit Normalkraft Literatur [3.1] Koenen, M.: Für die Berechnung der Stärke der Monierschen Cementplatten. Centralblatt der Bauverwaltung 6 (1886) S. 462-465 [3.2] Neumann, R: Über die Berechnung der Monier-Constructionen. Wochenschrift d. ÖIAV 15 (1890) S. 209-212 [3.3] Coignet, E. und de Tedesco, N.: Du calcul des ouvrages en ciment avec ossature metallique. Memoires de la Societe des Ingenieurs Civils de France 1894/1, S. 282-363 [3.4] Christophe, P. Le beton arme et ses applications. Annales des Travaux Publics de Belgique 56 (1899) S. 429-1118 [3.5] Suenson, E.: Jaemprocentens indflydelse paa jaembeton-pladers baereevne. Ingeni0ren 21 (1912) S. 568 [3.6] Mensch, J.L.: New-old theory of reinforced concrete beams in bending. ACI Journal 10 (1914) No. 7, S. 28-41 [3.7] Stüssi, F.: Über die Sicherheit des einfach bewehrten Rechteckbalkens. IVBH Abhandl. 1 (1932) S. 487-495 [3.8] Talbot, A.N.: Tests of reinforced concrete beams. University of Illinois, Engg. Exp. Station, Bulletin No. 1, Urbana, 1904 [3.9] Brandtzaeg, A.: Der Bruchzustand und Sicherheitsgrad von rechteckigen Eisenbetonquerschnitten unter Biegung oder ausmittigem Druck. Norges Tekniske H0iskole, Avhandlinger til 25-ärsjubileet 1935, S. 667-764 [3.10] Sauger, R.: Bruchzustand und Sicherheit im Eisenbetonbalken. Beton & Eisen 35 (1936) S. 317-320 und 339-346 [3.11] Whitney, CS.: Design of reinforced concrete members under flexure and combined flexure and direct compression. ACI Journal 33 (1937) S. 483-498 [3.12] Maillart, R.: Aktuelle Fragen des Eisenbetonbaues. Schweiz. Bauzeitung 111 (1938) S. 1-5 [3.13] Puwein, M.G.: Die Formgrenze als Grundlage der Bemessung. Zeitschrift d. ÖIAV 93 (1948) S. 104-106 [3.14] Bittner, E.: Das Halbparabelverfahren. Selbstverlag, Salzburg 1948 [3.15] Pucher, A.: Lehrbuch des Stahlbetonbaues. Springer, Wien 1949 [3.16] Morsch, E.: Die Ermittlung des Bruchmoments von Spannbetonträgem. Bautechnik 26 (1949) S. 98-99 [3.17] Rüsch, H.: Bruchlast und Bruchsicherheitsnachweis von Stahlbeton unter besonderer Berücksichtigung der Vorspannung. Beton- & Stahlbetonbau 45 (1950) S. 215-220 [3.18] Herzog, M.: Das Querschnittsbiegebruchmoment von Stahlbeton, teilweise vorgespanntem Beton und Spannbeton nach Versuchen. Beton- & Stahlbetonbau 70 (1975) S. 62-68 [3.19] Fornerod, M.: Load and destruction test of 160 ft girder designed for first prestressed concrete bridge in USA. IVBH Abhandl. 10 (1950) S. 11-35 [3.20] Giehrach, U. und Sattele, C : Die Versuche der Bundesbahn an Spannbetonträgem in Kornwestheim. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, H. 115. Ernst & Sohn, Berlin 1954 [3.21] Lazard, A.: Essais jusqu'ä rupture des poutres armees d'acier TOR 60 et 80. IVBH Abhandl. 16 (1956) S. 333-344 22

4 Schub 4.1 Geschichtliche Entwicklung 1899 betrachtete W. Ritter [4.1] die Bügel eines Stahlbetonbalkens als Pfosten eines gedachten Fachwerkträgers mit Druckstreben aus Beton (Bild 4.1). E. Morsch stellte 1907 das Fachwerkmodell der Schubwirkung, ergänzt um die Wirkung der Aufbiegungen als Zugstreben, in der Hauptversammlung des Deutschen Beton-Vereins vor [4.2]. Er benützte die rechnerische Schubspannung Tn

=

(4.1)

b0z

als Maß der Beanspruchung des Betons und errechnete die erforderliche Schrägbe wehrung (Aufbiegung von Längsstäben unter 45°) für das Fachwerk mit einfach ge kreuzten Druck- und Zugstreben (Bild 4.2) zu Ö (4.2) o-ezV2 bzw. für die vertikalen Bügel zu Q (4.3)

ARV/2 —

TjRc

Rc

5 - 1 4 rJRc

(4.10a)

bzw.

Rc ~ 1 + 14 HvRJRc

(4.10b)

zutreffend beschrieben werden kann. Weil die modernen Sicherheitsbetrachtungen von der 5%-Fraktile (nur 5 % der Versuchswerte liegen unter dem Rechenweit) ausgehen, sollten für Bemessungszwecke stets die entsprechenden Gleichungen (Bild 4.6)

0.01

0,02

0.05 0.1 0.2 Verhältnis n*RsJRc

0.5

1,0

Bild 4.6: Die Schubtragfähigkeit vertikaler Bügel nach 145 Versuchen in der dimensionslosen Darstellung von M. Herzog (1982)

^ _ 5 ßv/Rsw/Rc Ro 2 + 14 LU»RSJRC

(4.11a)

bzw. H*RSW Rc

2 xJRc 5 - 1 4 %JRC

(4.11b)

verwendet werden. 27

Schub

Tabelle 4.1 50%- und 5%-Fraktilen der rechnerischen Schubbruchspannung als Funktion des mechanischen Schubbewehrungsgehalts ß*R sw Rc

Rc

50%

5 fJ^Riw/Rc 1 + 14 H^RsJRc

0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,216 0,272 0,3 0,4 0,5 0,75 1,0

0,057 0,062 0,078 0,106 0,128 0,147 0,183 0,208 0,242 0,263 0,283 0,288 0,303 0,313 0,326 0,333

Rc 5 %

5 ß^RsJRc 2 + 1 4 ß^Rsw/Rc 0,023 0,034 0,044 0,062 0,078 0,093 0,123 0,147 0,183 0,208 0,215 0,242 0,263 0,278 0,300 0,313

Es darf linear interpoliert werden.

Aus dem Vergleich (Bild 4.7) mit der Gleichung SW

Rc

(4.12)

Rc

für die volle Schubdeckung nach E. Morsch (Fachwerkanalogie mit der Strebenneigung von 45°) ist ersichtlich, dass sich zwei Schubdeckungsbereiche unterscheiden lassen, deren Grenze für den Mittelwert (= 50%-Fraktile) der Versuchswerte gemäß Gl. (4.10) bei ßs\* = p&w\* = 0>283 (413a) und für die untere Schranke (= 5%-Fraktile) der Versuchswerte gemäß Gl. (4.11) bei /M \Rcl5%

_ /Av^sw\ _ o;215 \

Rc I

(4.13b)

liegt. Unter diesen Grenzwerten liegt der Bereich der verminderten Schubdeckung, darüber derjenige des Stegdruckbruches. Im unterbewehrten Bereich n^RÎRc < 0,283 bzw. 0,215 ist für die ausreichende Schubsicherung die Zugfestigkeit der Bügel entscheidend, im überbewehrten Bereich ß^RsJR,. > 0,283 bzw. 0,215 die Druckfestigkeit des Steges als Druckstrebe. In diesem Fall wirken die Stegbügel als Querzugbeweh28

Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren rung der gedachten Druckstrebe (Bild 4.8). Aus der, wenn auch flacheren, Neigung der Gin. (4.10) und (4.11) rechts vom Grenzwert (ß^RsJRc)* = 0,283 bzw. 0,215 ist abzuleiten, dass sich die Druckfestigkeit der gedachten Druckstrebe durch eine Verstärkung der Stegbügel anheben lässt. Wirtschaftlicher ist aber stets eine Verbreiterung des Steges, und zwar nach Möglichkeit so weit, dass der Grenzwert nicht überschritten wird.

0.01

0.02

0,05

0.1

0.2

1.0

Verhältnis rt»flsw/fic

Bild 4.7: Vergleich der abgeminderten Schubsicherung nach M. Herzog (1982) mit der vollen Schubsicherung nach E. Morsch (1907)

Bild 4.8: Die vertikalen Bügel als Querzugbewehrung der gedachten Lagerdruckstrebe eines Stahlbetonbalkens Im für die Konstruktionspraxis maßgebenden unterbewehrten Bereich < 0,283 bzw. 0,215 liefert das Verhältnis

p^R^/R,.

Mw&si

(4.14) -= tan ar die Neigung der Druckstreben (= Neigung der Schubrisse) im Steg und damit die Möglichkeit, die erforderliche Längsbewehrung über dem Auflager

Qu tan Or zu berechnen. ASRS =

(4.15)

29

Schub

:

o nicht vorgespannt. 2ürich • vorgespannt. Zürich x vorgespannt, Stuttgart

*»

0.3 61/2/ M=U

«£ %v

^

«

k

aiie

r**Sp""

• /^

•

•

j;

1

-Xj*

• • n •

•

•

jX*

• ^^

0.1 *•""'

°o01

. 0.02

0.05 0.1 0.2 Verhältnis iiJRsJRc

J4 Versuche 1 1 i 1i 1 in Q.S 1.0

5('W 4.9: Schubbruchspannungen von 34 Spannbetonbalken als Funktion der Bügelbewehrung nach M. Herzog (1982)

Trägt man die Ergebnisse der Schubversuche mit verbügelten Spannbetonbalken in einem Diagramm (Bild 4.9) auf, so erkennt man, dass die 50%- und 5%-Fraktilen der Stuttgarter und Züricher Versuche zuverlässig beschrieben werden, wenn die Größe der Längsvorspannung mit dem Multiplikator (zentrische Verspannung 0"v = V/Ac)

*=1+i

(4.16)

und der Einfluss der Spanngliedneigung mit der üblichen Abminderung der Querkraft ßred = ß - V s i n a z (4.17) erfasst wird.

Zur Vermeidung schlagartiger (spröder) Schubzugbrüche darf die Stegbewehrung einen bestimmten Mindestwert nicht unterschreiten. Es genügt, dass die Zugfestigkeit der vertikalen Bügel nicht kleiner ist als diejenige des Stegbetons min/Av^-^-

(4.18)

Dieser verhältnismäßig große Mindestwert ist allerdings nur dann einzuhalten, wenn die rechnerische Schubbruchsicherheit mit der vorgesehenen Stegbewehrung unter den Wert für Brüche ohne Vorankündigung fällt. 1993 gelang M. Herzog [4.16] schließlich noch der Nachweis, dass der rechnerische Abminderungsbeiwert

n=

0,215 Rc

(4.19)

für die verminderte Schubdeckung von Stahlbeton- und Spannbetonbalken die Beibehaltung der allen Bauingenieuren geläufigen Bemessungsgleichungen (4.2) und (4.3) von E. Morsch ermöglicht. Für Schrägbewehrungen (Aufbiegungen) gilt dann die Gleichung 30

Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren

und für vertikale Bügel die Gleichung

A ,--32/1

sw2 —

(4.21)

flswZ

4.3 Versuchsnachrechnungen 4.3.1 Spannbeton mit Verbund Es wird der Bruchversuch [4.17] an einem Einhängeträger der zweiten Brücke über die Lagune von Lagos in Nigeria, dem größten bisher geprüften Spannbetonträger (Bild 4.10), nachgerechnet. Beim Bruch des Balkens unter der Laststellung des Biegeversuchs betrugen am Ansatz der Stegverdickung (2,14 m vom theoretischen Lager entfernt) öuv = ßuo - V sin a 2 = 3,20 - 10,80 • 0,0785 = 2,35 MN Tuv = 0,23'351,70

Dieses Ergebnis war unschwer vorauszusehen, weil die beiden Gleisachsen (Abstand 3,80 m) innerhalb der Kastenstegachsen (Abstand 4,50 m) liegen. 47

Torsion 5.5.4 Kommentar Es spielt für die Bemessung nur eine untergeordnete Rolle, ob die Bezugstragfähigkeiten infolge reiner Torsion und reiner Querkraft als 50%-Fraktilen ermittelt und anschließend mit der Interaktionsgleichung (5.14) abgemindert werden oder ob die Bezugstragfähigkeiten als 5%-Fraktilen bestimmt und die vorhandene Tragsicherheit mit der Gl. (5.12) nachgewiesen wird. Der letztgenannte Vorgang ist der Regelung, welche die Stegbewehrung für Torsion und Querkraft unabhängig voneinander ermittelt und anschließend addiert, gleichwertig.

5.6 Folgerungen Die Auswertung von 95 Torsionsversuchen mit großen Torsionsstäben, die in Braunschweig, Göteborg, Stuttgart und Zürich ausgeführt wurden, lässt folgende Schlüsse zu. a) Wegen der verhältnismäßig großen Streuung der Versuchsergebnisse beträgt die für die Bemessung auf reine Torsion maßgebende 5%-Fraktile (= untere Schranke) nur 83 % des Rechenwerts mit der altbekannten Formel von E. Rausch (1929), die jedoch zur Erfassung des Einflusses der Längsbewehrung mit einem multiplikativen Glied ergänzt werden muss. b) Kombinierte Beanspruchungen von Torsion, Biegung, Schub und Normalkraft können mit ganz einfachen Interaktionsgleichungen wirklichkeitsnah erfasst werden. c) Die alte Regel, nach der die Stegbewehrung infolge Querkraft und Torsionsmoment unabhängig voneinander zu ermitteln und anschließend zu addieren ist, wird von den Versuchsergebnissen bestätigt. d) Zur Berücksichtigung der bei den Versuchen beobachteten Streuung der Ergebnisse ist bei der Bemessung der vorgeschriebene Sicherheitsabstand nicht gegen die 50%-Fraktile (Mittelwert) der Versuchsergebnisse einzuhalten, sondern gegen die 5%-Fraktile (untere Schranke). Das hat eine weniger hohe Baustoffausnützung zur Folge, als bisher auf Torsion üblich war.

48

Literatur Literatur [5.1] Bach, C. und Graf, O.: Versuche über die Widerstandsfähigkeit von Beton und Eisenbeton gegen Verdrehung. Deutscher Ausschuss für Eisenbeton, Heft 16. Ernst & Sohn, Berlin 1912 [5.2] Graf, O. und Morsch, E.: Verdrehungsversuche zur Klärung der Schubfestigkeit des Eisenbetons. Forschungsarb. a.d. Gebiete d. Ingenieurwesens, Heft 258. VDI-Verlag, Berlin 1922 [5.3] Rausch, E.: Berechnung des Eisenbetons gegen Verdrehung und Abscheren. Diss. TH Berlin 1929 (3. Aufl. VDI-Verlag, Düsseldorf 1953) [5.4] Cowan, HJ.: Reinforced and prestressed concrete in torsion. Arnold, London 1965 [5.5] Lampert, R: Bruchwiderstand von Stahlbetonbalken unter Torsion und Biegung. Diss. Nr. 4445, ETH Zürich, 1970 [5.6] Thürlimann, B. und Lüchinger, P: Steifigkeit von gerissenen Stahlbetonbalken unter Torsion und Biegung. Beton & Stahlbetonbau 68 (1973) S. 146-152 [5.7] Lampert, P. und Thürlimann, B.: Torsionsversuche an Stahlbetonbalken. Bericht 6506-2 d. Instituts f. Baustatik & Konstruktion a.d. ETH Zürich, Juni 1968 [5.8] Lampert, P. und Thürlimann, B.: Torsions-Biege-Versuche an Stahlbetonbalken. Bericht 6506-3 d. Ü3K a.d. ETH Zürich, Januar 1969 [5.9] Lampert, R, Lüchinger, P. und Thürlimann, B.: Torsionsversuche an Stahl- und Spannbetonbalken. Bericht 6506-4 d. D3K a.d. ETH Zürich, Februar 1971 [5.10] Leonhardt, F. und Schelling, G.: Torsionsversuche an Stahlbetonbalken. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 239. Ernst & Sohn, Berlin 1974 [5.11] Leonhardt, F., Walther, R. und Vogler, O.: Torsions- und Schubversuche an vorgespannten Hohlkastenträgern. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 202, Ernst & Sohn, Berlin 1968 [5.12] Herzog, M.: Die Bemessung torsionsbeanspruchter Stahlbetonstäbe im Vergleich mit Versuchsergebnissen. Beton- & Stahlbetonbau 86 (1991) S. 135-139 [5.13] Elfgren, L.: Reinforced concrete beams loaded in combined torsion, bending and shear. Publication 71:3, Division of Concrete Structures, Chalmers Tekniska Högskola, Göteborg 1972 [5.14] Lüchinger, P. und Thürlimann, B.: Versuche an Stahlbetonbalken unter Torsion, Biegung und Querkraft. Bericht 6506-5 d. B3K a.d. ETH Zürich, Juli 1973 [5.15] Teutsch, M. und Kordina, K.: Versuche an Spannbetonbalken unter kombinierter Beanspruchung aus Biegung, Querkraft und Torsion. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 334. Ernst & Sohn, Berlin 1982 [5.16] Kordina, K. und Teutsch, M.: Versuche an Konstruktionsleichtbetonbauteilen unter kombinierter Beanspruchung aus Torsion, Biegung und Querkraft. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 362. Ernst & Sohn, Berlin 1985 [5.17] Herzog, M.: Die Aarebrücke Ruppoldingen der Schweizerischen Bundesbahnen. Beton& Stahlbetonbau 75 (1980) S. 186-191

49

6 Durchstanzen 6.1 Geschichtliche Entwicklung Bereits 1913 hatte A.N. Talbot [6.1] erkannt, dass die Biegezugbewehrung der Hauptparameter der Durchstanzfestigkeit von Stahlbetonplatten ist. Er berechnete die Schubspannung mit der Seitenlänge s des Stützenquerschnitts zu (Bild 6.1) N (6.1) r =4(s + 2h) z

3H Bild 6.11: Abmessungen des größten bisher geprüften Versuchskörpers (nach [6.21]) ß = 1,32 %

Rs = 555 N/mm2

/?c = 0,8 • 35,6 = 28,5 MN/m2

beträgt der mechanische Bewehrungsgehalt Mfts 1,32 555 flc ~ 100 '28,5 ' Die Schubbruchspannung (50%-Fraktile für Versuchsnachrechnung) folgt mit ^ 1,6 0,257 = 0,1007 Rc 1 + 12 • 0,257 rechnerisch zu %, = 0,1007 • 28,5 = 2,87 MN/m2 Die rechnerische Durchstanzlast W0R = 2,87 • n • 0,24 (0,50 + 0,24) = 1,601 MN (= 94,5 %) hegt geringfügig unter dem gemessenen Wert von JV0V= 1,694 MN(= 100%).

gem. Gl. (6.12a)

gem. Gl. (6.6)

6.3.2 Stahlbetonplatte ohne und mit Schubbewehrung unter mittiger Last Aus dem Vergleich der gemessenen Druchstanzlasten für die beiden Platten [6.22] P 2 (ohne Schubbewehrung): N0 = 0,640 MN P 3 (lotrechte Bügel 76 0 8 mit R% = 549 N/mm2): NU=N0+ T]NS = 0,893 MN geht hervor, dass die Durchstanzlast der Platte P 3 durch die eingelegte Schubbewehrung um T]NS = 0,893 - 0,640 = 0,253 MN (= 39,5 % von AQ gesteigert wurde. Aus der Fließlast der 28 wirksamen (im Durchstanzkegel liegenden) Bügel (sin a- 1) N* = -KsvAw = 549 • 2 8 ' ° ' 4 8 6 = 0,747 MN s sw 10000 ergibt sich der Wirkungsgrad der Schubbewehrung in guter Übereinstimmung mit der statistischen Auswertung [6.10] zu 77 _

N»zJk = 0253 =U Q34J 4 > U QJ311 Ns

0,747 - >

'

59

Durchstanzen

6.3.3 Stahlbetonplatte ohne Schubbewehrung bei Randstütze 3650

Zugband

8

1130 •

I

.L 800 L

8 Bild 6.12: Abmessungen der Versuchsplatten mit Randstützen (nach [6.23])

Mit den Eingangswerten der Versuchsplatte P 10 B aus [6.23] (Bild 6.12) As = 38,9 cm2/m Rs = 515 N/mm2 Rc = 34,5 MN/m2 hx = 16,2 cm hm = 15,4 cm hy = 14,6 cm yRs_=_As_

Rc

RJL

bhm' Rc

=

38,9 515 100 • 15,4 34,5 = 0,377

ergeben sich mit der rechnerischen Schubbruchspannung T^ _ 1,6 • 0,377 _ Q 1 0 „ Rc 1 + 12 • 0,377

gem. Gl. (6.12a)

die beiden Bezugsgrößen gemäß den Gin. (6.6) und (3.16) zu # 0 = (0,109 • 34,5) • 4 • 0,154 • (0,25 + 0,154) = 0,936 MN _ 38.9 M0 = 10000 • 515 • (0,812 • 0,154) = 0,251 MNm/m. Aus der durchschnittUchen Lastausmitte der sieben Einzellasten (Bild 6.12) em = 1,20 + 2(1,04 + 0,60 + 0) = 0 | 6 4 m ergibt sich das elastische Stützenmoment näherungsweise an einem Rahmen ermittelt (Einspanngrad e und Starreinspannmoment M) zu Mst = eM = 0,612 • (0,503 AQ = 0,308 Ne (6.22) 60

Stahlbetonplatte mit Schubbewehrung bei Randstütze Mit dem Umfang des unter 45° geneigten Durchstanzkegels der Randstütze von u = 3a + 2h = 3- 0,25 + 2 • 0,154 = 1,058 m liefert die Interaktionsgleichung (6.17) 7 r ^ + , » ; 3 o ° 8 ^ , = 1 oder (1,068 + 1,160) • Ne= 1 0,936 1,058 • 0,251 schließlich die rechnerische Durchstanzlast der Randstütze zu

** = 1,068 I 1,160 = 0- 449 M N < =

119 %

>>

während der gemessene Wert N%= 0,376 MN (= 100 %) etwas kleiner ausfiel.

6.3.4 Stahlbetonplatte mit Schubbewehrung bei Randstütze Mit den Eingangswerten für die Versuchsplatte P 11 B aus [6.23] (Bild 6.12) As = 38,9 cm2/m

Rs = 515 N/mm2

Rc = 29,9 MN/m2

/i x =15,7cm /i y =14,lcm hm = 14,9 cm 2 2 Asw = 63 x 2 0 7 = 49,8 cm flsw = 553 N/mm den Hilfswerten ^ /?c

= J4^

fls 38,9 515 Wim Äc 100 • 14,9 29,9

^=lll2Q0,450

'

= 0 112

'

den Bezugswerten N0 = (0,112 • 29,9) • 4 • 0,149 • (0,25 + 0,149) + 0,31 • ^^Ä.. = 0,796 + 0,854 = 1,650 MN M0 = j j j ^ g - • 515 • (0,775 • 0,149) = 0,231 MNm/m

gem. Gl. (6.12a)

553

gem. Gl. (6.6) gem. Gl. (3.16)

sowie dem elastischen Stützenmoment (vgl. Abschnitt 6.3.3) em = 0,64 m MSt = 0,308 Ne und dem Umfang des Durchstanzkegels von u = 3 • 0,25 + 2 • 0,149 = 1,048 m folgt aus der Interaktionsgleichung (6.17)

1J5Ö + 1W%%1 = 1 oder (°' 6 0 6 + 1 - 273 > N ' = 1 schließlich die rechnerische Durchstanzlast der Randstütze zu ^

=

1,606+1,273 = 0 . 5 3 2 M N ( = U 0 % ) ,

während der gemessene Wert A^= 0,483 MN (= 100 %) wiederum etwas kleiner ausfiel. 61

Durchstanzen 6.3.5 Stahlbetonplatte ohne Schubbewehrung bei Eckstütze ^

Kraftetnle tung

-i,

t"

"1

s

Drillung splotte

180,

IM

2400

2220

2580

Kraftein leitung

^> 4* ^> ^

-4 I,

180

2220

180

2580

r

^

^

j

^

1

'80

••

/

- ¥-•

i

\ef0t,.

Masse in mm

o ,480

•

ü

r i

1 i Lj

-

1

OD

Bild 6.13: Abmessungen der Versuchsplatten mit Eckstützen (nach [6.23]) Mit den Eingangswerten für die Versuchsplatte P 14 B aus [6.23] (Bild 6.13) As = 19,45 cm2/m hx = 16,2 cm den Hilfswerten ML=

A . iL.

Rs = 515 N/mm2 hy - 14,6 cm

Rc = 29,7 MN/m2 hm = 15,4 cm

19,45 515 = 0,219 100 • 15,4 29,7

%L= 1,6-0,219 _ 0 0 % 6 Äc 1 + 12 • 0,219 ~ u ' u y o ° den Bezugsgrößen JV0 = (0,0966 • 29,7) • 4 • 0,154 • (0,18 + 0,154) = 0,590 MN 19.45 Mn = 10 000 • 515 • (0,890 • 0,154) = 0,1373 MNm/m sowie dem elastischen Stützenmoment (vgl. Abschnitt 6.3.3) Afs, = 0,140 • (0,228 Ne) = 0,0319 Ne und dem Umfang des Durchstanzkegels von M = 2-0,18 + 0,154 = 0,514m folgt aus der Interaktionsgleichung (6.17) 0,0319 Ne Ne 1 oder (1,695 + 0,452) Nt = 1 0,590 0,514-0,1373 62

gem. Gl. (6.12a)

gem. Gl. (6.6) gem. Gl. (3.16)

Biegung schließlich die rechnerische Durchstanzlast der Eckstütze zu ^ = 1,695 l 0,452 = ° ' 4 6 6 M N ( = 4 7 1 % ) ' während der gemessene Wert iVy = 0,099 MN (= 100 %) erheblich kleiner ausfiel. Dieser Messwert lag jedoch laut Versuchsbericht [6.23] weit unter der erwarteten Bruchlast.

6.4 Bemessungsbeispiel

% Wx

*~A* %S0

'k ' • " - ' - ' y 3 = C

9S'l

—(

ÄS> I —

ÄiTrf 6.14: Abmessungen der Flachdecke des Zahlenbeispiels 6.4.1 Biegung Für die im Bild 6.14 dargestellte Flachdecke (Innenfeld) betragen die maßgebenden Einwirkungen und Lastbeiwerte: Eigenlast Bodenbelag

0,30 • 25 = 7,5 kN/m2 0,04 • 25 = 1,0 kN/m2

ständige Last g = 8,5 kN/m2 7g = 1,35 Nutzlast 7P =1,50 p = 10,0 kN/m2 Mit dem Verhältnis der Auflagerbreite zur Stützweite [6.24] b=s_td = 4Q±J0 = a L 750 ergibt sich das größte negative Biegemoment der Flachdecke über der Innenstütze nach Bild 6.15 zu 63

Durchstanzen

s Q. VS

**

o ö

o es

o.

o

o

ö

Ö

1

v» Ö

S 8 NSOlQ Ö O" ÖÖÖ»'

s+d

Bild 6.15: Momentenbeiwert kmfiir das Stützenmoment von Flachdecken nach M. Herzog (1958) [6.24]

^M = -^-(Ygg

+ YfP) L2 = ^ - ( 1 , 3 5 • 8,5 + 1,50 • 10,0) • 7,502 = - 252 kNm/m (6.22)

Mit den gewählten Baustoffgüten BSt 500 und B 45, den Widerstandsbeiwerten ys = 1,15 und yc = 1,50 sowie den rechnerischen Festigkeiten R's = 500/1,15 = 435 N/mm2 und / ? ' = ° ' 1 8 5 ^ 5 = 24,0MN/m 2 ergibt sich die erforderliche Biegezugbewehrung über der Innenstütze zu

*

=

| F

=

435-O'S2 0,25 = O'00257 m 2 / m = 2 5 ' 7 Cm2/m

Gewählt werden 0 22, a = 15 cm mit Asvorh = 25,4 cm2/m 6.4.2 Durchstanzen ohne Schubbewehrung Mit dem mechanischen Biegebewehrungsanteil /jRs 25,7 435 Ä7 = 2 5 ~ 1 Ö Ö ' 2 4 , 0 -

°' 1 8 8

Uefert die Gl. (6.13a) das Verhältnis Ia_ 1,6 • 0,188 _ n n 7 ä ; Rc " 1 + 16- 0,188 " U ' u / D 64

Schubkreuz aus Walzprofilen

und damit die rechnerische Schubbruchspannung zu T„ = 0,075 • 24,0 = 1,80 MN/m* Die rechnerische Durchstanzlast folgt dann aus Gl. (6.6) zu Na.= 4 • 0,25 • (0,40 + 0,25) • 1,80 = 1,170 MN YR

Dieser Wert ist erheblich kleiner als die Stützenlast y[N = (ygg + yvp)L2 = (1,35 • 8,5 + 1,59 • 10,0) • 7.502 = 1491 kN (6.23) Die Flachdecke ohne Schubbewehrung könnte höchstens die rechnerische Durchstanzlast tragen. Der Unterschied yiAN = JLN- ^ = 1,491 - 1,170 = 0,321 MN

(6.24)

muss von der Schubbewehrung übernommen werden. 6.4.3 Schubbewehrung mit abgebogenen Stäben Für die zunächst geschätzte Schubbewehrung von 20 unter 45° abgebogenen Stäben 0 14 (Bild 6.16a) beträgt die Vertikalkomponente der Fließlast ^ = Asw/?sw sin a = ^ G £ _ . 4 3 5 . 0 ,707 = 0,945 MN

( 6 - 25 )

Mit dem Wirkungsgrad gemäß Gl. (6.9a) kann die Schubbewehrung den Stützenlastanteil UÜL = 0,42 • 0,945 = 0,397 MN > vAN = 0,321 MN 7k übernehmen. 6.4.4 Schubkreuz aus Walzprofilen Für das angenommene vierarmige Schubkreuz aus HEM 100 der Stahlgüte St 37 (Bild 6.16b) beträgt das plastische Flanschbiegemoment eines Armes ê! = R'SAF (h-t)

= Y ^ 4 • 10,6 • 2,0 • (12,0 - 2,0) = 4325 kNcm

(6.26)

Das Verhältnis der Kraglänge zur Profilhöhe

fAs =128 = 4,17 üefert gemäß Gl. (6.10) den Wirkungsgrad zu 17 = | (4,17 - 2) = 1,45 > 1 Das vierarmige Schubkreuz kann daher den Stützenlastanteil ^jt=W^'

4 = 1,0

° • 0 , 0 4 5 3 o 5 ' 4 = °346 MN > yi£N= 0,321 MN

(6.27)

tragen. 65

D Ö iy Schubzulagen 5|14

40

0 jlao i

1,6 v Rd ,= 0,323 ist die Ausführung dieser Flachdecke jedoch auch nach EC 2 nicht zulässig.

67

Durchstanzen

6.4.7 Durchstanznachweis nach DIN 1045-1 neu VSd = 1,489 MN fck = 40 MN/m2 / y k = 500 MN/m2; px = 1,016 %

(C 40/50) (BSt 500)

u = 4 • 0,40 + 2 n- (1,5 • 0,25) = 3,96 m vSd = 1,05 • 1,489 / (3,96 • 0,25) = 1,58 MN/m2 vRd,ct= 0,12 • (l+(200/250)05) • (100 • 0,01016 • 40)°.33 = 0,78 MN/m2 Vsd > VRdc,-» Durchstanzbewehrung erforderlich! v^d,max= 1,7 • vRdjC,= 1,7 • 0,78 = 1,33 MN/m2 < 1,58 MN/m2 -»Ausführung mit Durchstanzbewehrung nicht zulässig

6.5 Folgerungen Die Nachrechnung von über 300 Durchstanzversuchen - auch an großen Stahlbetonplatten ohne und mit Schubbewehrung bei Innen-, Rand- und Eckstützen - lässt klar erkennen, dass erstens das anschauliche Bemessungsverfahren von M. Herzog sehr einfach zu handhaben ist und zweitens seine Ergebnisse für Entwurfszwecke ausreichend wirklichkeitsnah sind. Die Bemessung nach DIN 1045 und nach EC 2 ist dagegen unwirtschaftlich.

Literatur [6.1] Talbot, A.N.: Reinforced concrete wall footings and column footings. University of Illinois, Engineering Experiment Station, Bulletin 67, Urbana 1913. (Deutsche Kurzfassung von Henkel, O.: Die Füße der Eisenbetonstützen. Beton & Eisen 15 (1916) S. 135-139, 157-159 und 180-182) [6.2] Graf, O.: Versuche über die Widerstandsfähigkeit von Eisenbetonplatten unter konzentrierter Last nahe einem Auflager. Deutscher Ausschuss für Eisenbeton, Heft 73. Ernst & Sohn, Berlin 1933 [6.3] Wheeler, W.H.: Thin flat-slab floors prove rigid under tests. Engineering News-Record 116 (1936) S. 49-50 [6.4] Graf, O.: Versuche über die Widerstandsfähigkeit von allseitig aufliegenden, dicken Eisenbetonplatten unter Einzellasten. Deutscher Ausschuss für Eisenbeton, Heft 88. Ernst & Sohn, Berlin 1938 [6.5] Kinnunen, S. und Nylander, H.: Punching of concrete slabs without shear reinforcement. KTH Handlingar Nr. 158, Stockholm 1960 [6.6] Schaeidt, W, Ladner, M. und Rösli, A.: Berechnung von Flachdecken auf Durchstanzen. Techn. Forschungs- und Beratungsstelle d. Schweiz. Zementindustrie, Wildegg 1970 [6.7] Stiglat, K.: Statische und konstruktive Probleme und Lösungsmöglichkeiten bei Flachdecken im Stanzbereich. Arbeitstagung d. Bundesvereinigung d. Prüfingenieure f. Baustatik in Freudenstadt/Braunlage 1979 [6.8] Andersson, J.L.: Punching of concrete slabs with shear reinforcement. KTH Handlingar Nr. 212, Stockholm 1963 [6.9] Yitzhaki, D.: Punching strength of reinforced concrete slabs. ACI Journal 61 (1964) S. 527-542 68

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69

Mittiger Druck

7 Mittiger Druck 7.1 Geschichtliche Entwicklung Die zulässige Last mittig gedrückter Stahlbetonstützen berechnete F. Hennebique bereits 1892 mit dem erst später so genannten Additionsgesetz (Betonquerschnitt Ac und Stahlquerschnitt As) zu Nzui = Acabzal + Ascrezul (7.1) Dabei war die Betonspannung mit Ot,zul = 2,5 MN/m2 und die Stahlspannung mit

-

Aw cm2 2,49 8,84 17,68 17,68

-

Umschnürung Verhältnis der Aw Tragfähigkeit Ganghöhe

mm 70 35

cm2 8,84 17,68

% 100 129 136 146 165 164 168

" Mittelwert aus drei Versuchen > Geschweißte Ringe

2

73

Mittiger Druck

Na = (Ac - As) Rc + AJis = A'CRC + ASRS

(7.4)

Bei den umschnürten Stützen ist nur der Kernquerschnitt Ack (innerhalb der Umschnürung) zu berücksichtigen Nu = (Ack - As) Rc + ASRS + 7jAw/?sw = A'ckRc + As/?s + rjAwfls, während die in Bruchnähe absplitternde Betonschale AA C =A C -A ck

(7.5) (7.6)

vernachlässigt wird. Allerdings hatte O. Graf bereits 1934 in seinen Schlussfolgerungen aus den Stuttgarter Säulenversuchen darauf hingewiesen (vgl. [7.5] S. 60), dass die Gl. (7.4) die Bruchlast verbügelter Stützen aus Beton höherer Festigkeit oder mit hochwertigem Bewehrungsstahl um etwa 5 % überschätzt. In Erdbebengebieten (z.B. Süd- und Südosteuropa) muss die erforderliche Duktilität (Zähigkeit) der Stahlbetonstützen mit einer kräftigen Verbügelung gewährleistet werden. Als Folge davon wächst der Bügelanteil der Stützentraglast dann auf eine aus wirtschaftlichen Überlegungen nicht mehr vernachlässigbare Größe gemäß Gl. (7.5) an. Von erheblicher Bedeutung für die Tragfähigkeit mittig gedrückter Stützen sind einige Einflüsse, die normalerweise (d.h. in den geltenden Normen) überhaupt keine Berücksichtigung finden [7.6]. So betrug das Verhältnis der Säulenfestigkeit (h/d = 7,6) zur Zylinderdruckfestigkeit (h/d = 2) des Betons nach Versuchen an der University of Illinois [7.7] unabhängig von der Größe der Zylinderdruckfestigkeit (Rp - 14,9 bis 57.4 MN/m2) bei feuchter Lagerung im Mittel RJRp = 0,76 für 34 Versuche und bei lufttrockener Lagerung i.M. RJRV - 0,86 für 11 Versuche (0,85 bei 20 Parallelversuchen an der Lehigh University [7.8]). In Deutschland ermittelte O. Graf das Verhältnis der Säulenfestigkeit (h/a = 4,0) zur Würfeldruckfestigkeit des Betons (Rw =15,7 bis 45.5 MN/m2) bei feuchter Lagerung i.M. zu RJRW = 0,70 für 35 Versuche [7.5] und bei lufttrockener Lagerung (für flw = 15,7 bis 91,6 MN/m2) i.M. zu RJRV = 0,81 für 60 Versuche [7.9]. Dass die Feuchtlagerung in einer Nebelkammer zur Herabsetzung des Verhältnisses der Säulenfestigkeit zur Würfeldruckfestigkeit des Betons führt, wird auch durch neuere Versuche mit „Mini"-Stützen in München [7.10] eindeutig bestätigt (i.M. RJRv, - 0,72 für fünf Versuche). Der Wirkungsgrad der Umschnürung schwankt in weiten Grenzen. Nach Versuchen an der University of Illinois [7.11] betrug 77 = 1,03 bis 2,95 und nach O. Graf [7.5] in Stuttgart 77 = 2,0 bis 3,8. Die Abhängigkeit des Wirkungsgrades der Umschnürung von der Betondruckfestigkeit, vom Längsbewehrungsgehalt und vom Verhältnis der Umschnürung zur Längsbewehrung (mindestens AJAS = 0,5) sowie seine Verfälschung durch Kaltbiegung der Umschnürung (= Wendel) und durch Erreichen des Verfestigungsbereichs der Längsbewehrung [7.10] ist schon lange bekannt. Trotzdem muss man sich fragen, ob die Berücksichtigung solcher Feinheiten überhaupt zu rechtfertigen ist. Der Traglastanteil der Umschnürung kann nicht unmittelbar gemessen werden. Er wird vielmehr durch den Abzug der Kernbeton- und Längsbewehrungsanteile von der Traglast rechnerisch bestimmt. In Anbetracht der großen Schwankungen der Säulen- zur Würfel- bzw. Prismendruckfestigkeit des Betons (0,7 < Äc//?w < 0,9) wäre es 74

Geschichtliche Entwicklung

Tabelle 7.4 Veränderung der Stahl- und Betonspannungen in Stahlbetonstützen bei lufttrockener Lagerung nach einem Jahr [7.7] ßin% 1,57 3,98 5,94

Csl/Okc

cr cl /o K Ü

udßunpuiMoe -Mtt

3 * S i X

1

*r-W-

I i 1 •41

EQ

C 3 00 C 3

4

I

-O

•< CO

K 3

«a

80

Versuchsnachrechnungen

7.2.5.2 Bruchzustand Die Säulenverkürzung beim Erreichen der Bruchlast beträgt bei verbügelten Stützen etwa e^ = 2 %o und bei umschnürten Stützen etwa 15 bis 35 %o [7.6]. Daraus folgt, dass die Duktilität (Verhältnis der Formänderung beim Bruch zur derjenigen an der Elastizitätsgrenze) D = 5i

(7.9)

SA

bei verbügelten Stützen etwa D = 7 und bei umschnürten Stützen etwa D = 20 bis 50 beträgt. Eine große Duktilität gewährleistet bei Erdbeben eine große Energieabsorption [7.14]. Bei Bauwerken in Erdbebengebieten ist daher die Umschnürung der Stahlbetonstützen unumgänglich.

7.3 Versuchsnachrechnungen Es werden drei gedrungene (nicht knickgefährdete) Stützen mit den größten bisher geprüften Abmessungen ausführlich nachgerechnet. 7.3.1 Verbügelte Stützen mit schwacher Längsbewehrung Für die Abmessungen der Stützen nach Abb. 4 in [7.15] b = d = 40 cm L = 250 cm flw = 20,5 bis 24,8 MN/m2 (im Mittel 22,5 MN/m2) Rc = 0,8 • 22,5 = 18,0 MN/m2 (gemessen 17,3 MN/m2) Ac = 402 = 1600 cm2 As = 8 0 16 = 16,1 cm2 (p. = 1,00 %) Rs = 377 N/mm2 As = 8 0 22 = 30,5 cm2 (ß = 1,91 %) Rs = 377 N/mm2 Umschnürung 0 5, g = 7,0 cm ->• Aw = 4,0 cm2 beträgt die Tragfähigkeit unter mittigem Druck nach Gl. (7.4) unter Berücksichtigung des Kalibrierungsbeiwerts K50% = 0,97 (vgl. Abschnitte 2 und 7.2.2) A£ = 0,97 (0,1584 • 18,0 + 0,00161 • 377) = 3,354 MN (= 99 %) bzw. Afi = 0,97 (0,1584 • 18,0 + 0,00305 • 377) = 3,881 MN (= 96 %), während im Versuch die Werte N%= 3,383 MN (= 100 %) bzw. Aft = 4,047 MN (= 100 %) gemessen wurden. 7.3.2 Verbügelte Stützen mit starker Längsbewehrung Für die Abmessungen der Stütze HS 0 [7.16] b = d = 20 cm L = 250 cm Rv = 52,7 MN/m2 Äc = 0,8 • 52,7 = 42,2 MN/m2 Ac = 202 = 400 cm2 As = 8 0 32 = 64,4 cm2 (ß = 16,1 %) Äs = 617 N/mm2 0 5, g = 8 cm ->-Aw= 1,62 cm2 Rsw = 235 N/mm2 81

Mittiger Druck beträgt die Traglast unter mittigem Druck nach Gl. (7.4) mit dem Kalibrierungsbeiwert £50% = 0,97 (vgl. Abschnitte 2 u. 7.2.2). A* = 0,97 (0,03356 • 42,2 + 0,00644 • 617) = 5,227 MN (= 105 %), während im Versuch der Wert Aft = 5,00 MN (= 100 %) gemessen wurde.

-4'

15 5

32

32

32

32

32

5 15

Bild 7.9: Querschnitt der mittig gedrückten verbügelten Stahlbetonstütze HS 0 mit sehr starker Längsbewehrung (/u = 16,1 % undRs = 617N/mm2) von F. Leonhardt undK.T. Teichen [7.16] in Stuttgart 1972

7.3.3 Umschnürte Stützen Die beiden größten an der University of Illinois geprüften Stützen der Serie 5 besaßen folgende Abmessungen [7.11]: 0 k = 28" = 71,lcm Ack = 0,3973 m2 2 Rc = 1810 psi = 12,47 MN/m Rs = 45,3 ksi = 312 N/mm2 H = 3,28 % - > A s = 130,3 cm2 2 RSVI = 41,3 ksi = 284 N/mm2 ßv, = 1,00 % -> Aw = 39,73 cm Die rechnerische Tragfähigkeit ergibt sich nach Gl. (7.5) mit j] = 2,5 und dem Kalibrierungsbeiwert K50% = 1,05 (vgl. Abschnitte 2 und 7.2.3) zu /V* = 1,05 (0,3843 • 12,47 + 0,01303 • 312 + 2,5 • 0,003973 • 284) = = 12,28 MN (= 106 %) 82

Bemessungsbeispiele Die bemessenen Bruchlasten betrugen im Versuch a: Aft =2560 kips = 11,61 MN b: Atf = 2526 kips = 11,48 MN und im Mittel 11,55 MN (= 100 %).

7.4 Bemessungsbeispiele 7.4.1 Verbügelte Quadratstütze Normalkraft N=G + P= 1,95 + 1,05 = 3,00 MN Lastbeiwerte yg = 1,35 yp = 1,50 %N= 1,35 • 1,95 + 1,50 • 1,05 = 4,21 MN Beton B 45: Rc = 0,8 • 45 = 36 MN/m2 Betonstahl BSt 500/550: Rs = 500 N/mm2 Widerstandsbeiwerte % = 1,15 y c =l,50 rechnerische Festigkeiten R'c = y^Q = 24 MN/m2

R's = y ^ r = 435 N/mm2

Kalibrierungsbeiwert K5% = 0,91 (vgl. Abschnitte 2 und 7.2.2) geschätzte Längsbewehrung /J. = -r 1 = 2,0 % Ac erforderlicher Betonquerschnitt nach Gl. (7.4) ,, TiN 4.2J 2 c m K(R'C + fjRl) 0,91 (24 + 0,02 • 435) ' gewählter Stützenquerschnitt b = d = 38 Ac = 0,382 = 0,1444 m2 erforderliche Längsbewehrung As = 0,02 • 1444 = 28,9 cm2 gewählte Längsbewehrung As = 8 0 22 = 30,5 cm2 rechnerische Tragfähigkeit nach Gl. (7.4) unter Beachtung des Kalibrierungsbeiwerts K5% = 0,91 (vgl. Abschnitte 2 und 7.2.2) A* = 0,91 (0,1413 • 24 + 0,00305 • 435) = 4,293 MN > %N = 4,21 MN Nach DIN 1045 (1988) mit & = 27 MN/m2 und ftN = 4,21 MN Die DIN 1045 (Abschn. 17.3.2) liefert mit zul N = y j - [27 • | • OÔ2 + 420 • 0,00363 + 1,80 • 0,00173 • 235 - (0,1257 - 0,0963) • 27] = -^-r [3,39 + 1,52 + 0,73 - 0,79] = ^ r = 2,31 MN < 3,00 MN z,i

z,i

wiederum eine zu kleine Tragfähigkeit.

7.5 Folgerungen Die Ergebnisse der Versuchsnachrechnungen zeigen eindrücklich, dass die Bemessung beliebiger mittig gedrückter und gedrungener Stahlbetonstützen (gleich ob verbügelt oder umschnürt) mit dem wirklichkeitsnahen Verfahren des Abschnitts 7.2 ausreichend genau erfolgen kann, selbst dann, wenn extreme Verhältnisse (wie Längsbewehrung /x = 16,1 % oder Stützenkerndurchmesser 0k = 28" = 71,1 cm) vorliegen. Die Bemessungsbeispiele erläutern anschaulich die einfache Handhabung des Bemessungsvorgangs und beweisen die größere Wirtschaftlichkeit gegenüber der DIN 1045 (1988). 84

Literatur Literatur [7.1] Considere, A.: Resistance ä la compression du b&on arme et du b&on frette. Le Genie Civil 42 (1902-03) S. 5-7, 20-24, 38-40, 58-60, 72-74 und 82-86 [7.2] Bach, C : Druckversuche mit Eisenbetonkörpern. VDI-Mitteilungen über Forschungsarbeiten, H. 29, S. 1-49. Springer, Berlin 1905 [7.3] Morsch, E.: Der Eisenbetonbau, 4. Aufl. Wittwer, Stuttgart 1912 [7.4] Saliger, R.: Versuche über den Wert verschiedener Querbewehrungen bei Betonsäulen. Armierter Beton 8 (1915) S. 132-138 [7.5] Graf, O.: Versuche mit Eisenbetonsäulen. Deutscher Ausschuss für Eisenbeton, H. 77. Ernst & Sohn, Berlin 1934 [7.6] Herzog, M.: Tragfähigkeit von Stahlbetondruckgliedern nach Versuchen. BauingenieurPraxis, H. 48. Ernst & Sohn, Berlin 1978 [7.7] Richart, F.E. und Staehle, G.S.: Progress reports on column tests at the University of Illinois. ACI Journal 27 (1930/31) S. 731-790 sowie 28 (1931/32) S. 167-175 und 279-315 [7.8] Slater, W.A., Kreidler, C.L. und Lyse, I.: Progress reports on column tests at Lehigh University. ACI Journal 27 (1930/31) S. 677-730 und 791-835 sowie 28 (1931/32) S. 159166 und 317-346 sowie 29 (1932/33) S. 433-442 [7.9] Graf, O.: Festigkeit und Elastizität von Beton mit hoher Festigkeit. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, H. 113, Teil IV, S. 57-68. Ernst & Sohn, Berlin 1954 [7.10] Rüsch, H. und Stöckl, S.: Versuche an wendelbewehrten Stahlbetonsäulen unter kurz- und langzeitig wirkenden zentrischen Lasten. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, H. 205. Ernst & Sohn, Berlin 1969 [7.11] Richart, F.E. und Brown, R.L.: An investigation of reinforced concrete columns. Bulletin 267, Engg. Exp. Station, University of Illinois, Urbana 1934 [7.12] Richart, F.E. und Heitman, R.H.: Tests of reinforced concrete columns under sustained loading. ACI Journal 35 (1938/39) S. 33-40 [7.13] Washa, G.W. und Wendt, K.F.: Fifty year properties of concrete. ACI Journal 71 (1975) No. 1, S. 20-28 [7.14] Herzog, M : Die Beanspruchung von Bauwerken durch Erdbeben nach Rechnung und Messung. Bautechnik 54 (1977) S. 196-199 [7.15] Bach, C. und Graf, O.: Versuche mit bewehrten und unbewehrten Betonkörpern, die durch zentrischen und exzentrischen Druck belastet wurden. Forschungsarb. auf d. Gebiete d. Ing.-wesens, H. 166-169. VDI-Verlag, Berlin 1914 [7.16] Leonhardt, F. und Teichen, K.T.: Stahlbetonstützen mit hochfestem Stahl St 90. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, H. 222, S. 63-87. Ernst & Sohn, Berlin 1972

85

8 Ausmittiger Druck 8.1 Geschichtliche Entwicklung Die Bemessung ausmittig gedrückter Stützen beruhte schon immer auf der Kombination der Bemessung mittig gedrückter Stützen mit jener auf Biegung (Bild 8.1).

• ••

M=Afc "M

N

••• Bild 8.1: Ersatz der ausmittigen Druckkraft durch eine mittige Druckkraft und ein Biegemoment

1914 zeigten die klassischen Versuche von C. Bach und O. Gra/[8.1], dass das aufnehmbare Biegemoment durch eine gleichzeitig wirkende Druckkraft erheblich gesteigert werden kann (Bild 8.2).

Rechnung mit den Gin.

(8.7) bis 18.10) — - o - — Versuche von Bach und Graf Näherung mit den Gin. (8.13) und (8.%)

Bild 8.2: Tragfähigkeit symmetrisch bewehrter, quadratischer Stahlbetonstützen unter ausmittigem Druck nach den Versuchen von C. Bach und O. Graf [8.1] im Vergleich mit theoretischen Voraussagen

86

Geschichtliche Entwicklung

Beim inzwischen überholten n-Verfahren von E. Coignet und N. de Tedesco [3.3] in der berichtigten Fassung von P. Christophe [3.4] musste für den Spannungsnachweis eine komplizierte kubische Gleichung gelöst werden. Zur Vermeidung der sonst erforderlichen Iteration hatte E. Friedrich [8.2] 1933 ein praktisches Diagramm veröffentlicht und E. Morsch [8.3] gezeigt, wie die Bemessung ausmittig gedrückter Stahlbetonquerschnitte vereinfacht werden kann. Nach Bild 8.3 ergibt sich aus Identitätsgründen das Moment Me (in Höhe der Zugbewehrung) bzw. M'e (in Höhe der Druckbewehrung) zu Me = M + N-e = Db(h-Z) + D'e(h-h') (8.1a) M'e = M - N • e' = Ze(h - h') - Db (*- h') Fe'

h'

'MW, wm h d "

(8.1b)

Jft •

-F.

2

• • • b

Bild 8.3: Spannungen des durch ein Biegemoment und eine mittige Normalkraft belasteten doppelt bewehrten Rechteckquerschnitts

Die praktische Bemessung ausmittig gedrückter Stahlbetonquerschnitte mit dem inzwischen überholten n-Verfahren konnte dabei mit Diagrammen [8.3], [8.4] oder weniger anschaulich mit Zahlentafeln ([8.5] bis [8.7]) erfolgen. 1935 befasste sich A. Brandtzaeg [8.8] erstmals mit der Tragfähigkeit ausmittig gedrückter Stahlbetonquerschnitte aufgrund von 13 Säulenversuchen. Im Falle von Druckversagen führten seine Untersuchungen auf reichlich verwickelte Formulierungen, weil er von der Bruchstauchung des Betons gemäß Gl. (3.7) ausging. 1937 zeigt CS. Whitney [3.11], dass die Tragfähigkeit ausmittig gedrückter Stahlbetonstützen mit einem plastischen Berechnungsverfahren ohne Beachtung der Querschnittsdehnungen zutreffender vorausgesagt werden kann als mit dem elastischen n-Verfahren. Für die 46 Versuche von C. Bach und O. Gra/[8.1] erhielt er das Verhältnis von Messung zu Rechnung im Mittel zu A = 1,007 bei einer Streuung (Standardabweichung) von nur 5 = 0,031. 1953 veröffentlichte A. Pucher ([8.4] 2. Aufl.) Bemessungsdiagramme, welche denjenigen für das inzwischen aufgegebene n-Verfahren entsprachen, aber von den Grenzdehnungen der österreichischen Stahlbetonnorm Önorm B 4200, Teil 4 Beton B 16 ^ = 1,5 %c Beton B 22,5; B 30 und B 40 ^ = 2,0 %c Betonstahl BSt I ^ = 1,7 %c und Rs = 240 N/mm2 Betonstahl BSt II e, = 2,2 %c Rs = 340 N/mm2 Torstahl 40 e, = 4,0 %c Rs = 420 N/mm2 Baustahlgitter ^ = 4,4 %c Rs = 500 N/mm2 Torstahl 60 ^ = 5,4 %c R, = 600 N/mm2 87

Ausmittiger Druck ausgingen. Diese unterschieden sich geringfügig von den Grenzdehnungen der DIN 1045 des Jahres 1972: e^ = 3,5 %o Beton B 15 bis B 55 Et = 2,0 %o) (bei mittigem Druck nur Betonstahl BSt 220/340 £s = 5,0 %c Betonstahl BSt 420/500 Betonstahl Bst 500/550 Für diese Grenzdehnungen wurden 1972 von E. Grasser [8.9] verschiedene Bemessungsdiagramme bereitgestellt.

8.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren Nachdem bereits die ersten Versuchsnachrechnungen von CS. Whitney [3.11] im Jahr 1937 erkennen ließen, dass die Tragfähigkeit von Stahlbetonquerschnitten unter ausmittigem Druck auch ohne Beachtung der Querschnittsdehnungen ausreichend genau berechnet werden kann, soll im Folgenden von dieser erheblichen Vereinfachung Gebrauch gemacht werden. 8.2.1 Rechteckquerschnitte unter einachsig ausmittigem Druck Der ausmittige Druck N kann stets durch den mittigen Druck N und das Biegemoment M = Nc ersetzt werden (Bild 8.1). Mit den Bezeichnungen des Bildes 8.4 gilt - unter Beschränkung auf den Grundfall einer symmetrischen Bewehrung (As = A's) - die Gleichung

M = Nc = /?A (h -/»') + § RM ( | - Y)

(8.2)

Bild 8.4: Symmetrisch bewehrter Rechteckquerschnitt unter einachsig ausmittigem Druck Mit ihrer Hilfe lassen sich bereits die Eckwerte der Interaktion von Normalkraft und Biegemoment im Diagramm des Bildes 8.5 berechnen: a) Tragfähigkeit unter mittigem Druck Ma = 0

(8.3a)

Na = 2 RA* + Rct>d

(8.3b)

88


Rcbd Druckversagen Zugversagen

•4-Rrbd

M=Nc 2R*A 's"*Tb

Bild 8.5: Interaktionsdiagramm für einen symmetrisch bewehrten Rechteckquerschnitt unter ausmittigem Druck

b) Tragfähigkeit unter mittigem Zug Mb = 0

(8.4a) (8.4b)

Nb = 2 RAS c) Tragfähigkeit unter reiner Biegung Ni = Rcbd Nc = 0

(8.5a) (8.5b) (8.5c)

2 d) größtes aufnehmbares Biegemoment für x = •- d Mi = RAs(h-h') + - R ^

(8.6a)

N,d = 5 RM

(8.6b)

Mc = /?A(/*-/0

Zur Bemessung kann zwischen den obigen Eckwerten linear bzw. parabolisch interpoliert werden. a) Bereich ©: Nü> Nu> N'c und 0 < Mu < M'c (Druckversagen) Na = Rctd

+

2*

Nu(l+-f^rü-) N„=-

2c 1 + h-h'

A

[l -

N RAs {£_

,,) ] - RM

+

2 RSAS -

ffi

= Rcbd + 2RsAs (8.7)

89

Ausmittiger Druck b) Bereich @: N'c> Na> Nd und Afc < Mu < Md (Druckversagen)

Na + 3Na^ = RJod N„ =

Rcbd

(8.8)

1+31

c) Bereich ®: Nd>Nu>0

= ^Rcbd

1

~iV

und Mc<Ma< Mä (Zugversagen)

RAs(h-ff)-Nac Rcbd2

1 9

(8.9)

Diese Gleichung wird am einfachsten durch Iteration gelöst. d) Bereich ®:0 . , , A - A ' „ . h-h' R bd2 Na = (2 RSnAS + Rncbd) — < RSAS + c 2e 9c 90

(8.12) beträgt die Tragfähig-

(8.13)

Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren und bei Zt/gversagen (große Ausmitte e > N„ = RA,

h-h')

^=«ff

O

a

Bild 8.6: Ersatz des Kreisquerschnitts durch ein flächengleiches Quadrat

8.2.3 Rechteckquerschnitte unter zweiachsig ausmittigem Druck Werden Tragfähigkeiten unter zweiachsiger Ausmitte mit Mm = Nucx Muy = Nucy

(8.16a) (8.16b)

auf die Tragfähigkeiten unter einachsiger Ausmitte A^x und Afty bezogen, so liefert die lineare Interaktion (Bild 8.7)

Bild 8.7: Interaktion der Traglasten in Stahlbetonrechteckquerschnitten unter zweiachsig ausmittigem Druck 91

Ausmittiger Druck

(8.17) 1

"ux

LT

uy

eine untere Schranke (= 5%-Fraktile) der Traglast Nu, während die biquadratische Interaktion (8.18)

W WJ

nur einen angenäherten Mittelwert (40%-Fraktile statt 50%-Fraktile) der Traglast Nu anzugeben vermag.

8.3 Versuchsnachrechnungen 8.3.1 Verbügelte Quadratstützen unter einachsig ausmittigem Druck Die Nachrechnung von 8 (Mittelwerte aus 3 Versuchen) verbügelten Quadratstützen von C. Bach und O. Gra/[8.1] aus dem Jahr 1914 und von 48 ebensolchen Stützen von E. Hognestad [8.11] aus dem Jahr 1951, deren Parameter in den Grenzen Ac = 644 bis 1600 cm2 2 As = 16,0 bis 31,0 cm2 c/d = 0,25 bis 1,61

b = d = 25,4 bis 40 cm Rc = 10,5 bis 40,2 MN/m2 Rs = 301 bis 377 N/mm2 Na = 0,322 bis 2,25 MN

lagen, lieferte (Bild 8.8) das Verhältnis des Mittelwerts (= 50%-Fraktile) der Versuchsergebnisse zum Rechenwert gemäß Gl. (8.13) bzw. (8.14) von K50% = 1,02 (Kalibrierungsbeiwert nach Abschnitt 2) und das Verhältnis der unteren Schranke (= 5%Fraktile) der Versuchsergebnisse zum Rechenwert von K5% = 0,70.

Sv 2 • 46,1 = 92,2 cm2 ( 100 %) eine erheblich größere Bewehrung erforderlich. 8.4.2 Umschnürte Rundstütze unter einachsig ausmittigem Druck Normalkraft N = Ng + Np= 1,95 + 1,05 = 3,00 MN Biegemoment M = Mg + Mv = 0,30 + 0,15 = 0,45 MNm Lastbeiwerte, Baustoffgüten und Widerstandsbeiwerte gleich wie im Zahlenbeispiel 8.4.1 %M = 1,35 • 0,30 + 1,5 • 0,15 = 0,405 + 0,225 = 0,630 MNm Kalibrierungsbeiwert K5% = 0,80 (vgl. Abschnitte 2 und 8.3.2) geschätzter Stützendurchmesser d = 65 cm Hebelarm der inneren Kräfte z = h-h'

= -^r— = 0,325 m

Lastausmitte, bezogen auf die Zugbewehrung: e = ° ^ + ° i p ^ = 0,15 + 0,163 = 0,313 m < h - K = 0,325 m Für die Bemessung ist daher die Gl. (8.15) maßgebend. Gewählte Längsbewehrung ß = 2,0 % IAS = 0,02 • 0,3318 = 66,4 cm2 (12 0 28 = 74,0 cm2) Traglast unter mittigem Druck gemäß Gl. (7.4) wR - ^ = 2 4 (0,3318 - 0,0074) + 435 • 0,0074 = 7,79 + 3,22 = 11,01 MN JB.

Traglast unter ausmittigem Druck gemäß Gl. (8.13) N%o 3 YR -=0,80- 11,01 • 2 °6 313 98

= 4 58 M N >

'

K-" N

= 4 21

'

M N

Bemessungsbeispiele

Nach DIN 1045 [8.13] wäre mit 8M

8 • 0,45

O,WI_.A)U

=

=2fi>l

n

AN=0

Nlk iWw>

MN zul N0 = y (Abßg, + A8

*

1

2

= 0,495

i+m

uoo/ als Gl. (9.1) erwarten ließ. 1930-33 wurden an der Eidgenössischen Materialprüfungsanstalt (EMPA) in Zürich von O. Baumann [9.2] 47 Bruchversuche an mittig und ausmittig gedrückten Eisenbetonsäulen ausgeführt, deren Ergebnisse für mittigen Druck mit der Näherung Ok = * c ( l - i ^ r # )

(9-2)

zutreffend beschrieben werden. E. Morsch [9.3] empfahl 1938, knickgefährdete verbügelte Eisenbetonsäulen weiterhin mit der altbekannten £w/er-Formel ,\2

(9.3) zu bemessen und den Knickmodul Ek mit Hilfe der Zahl m (aus DIN 1045) aus der Prismendruckfestigkeit /?p des Betons zu ermitteln

* = * ( #

£k=HA\2 Äp

(9.4)

(O \n)

Schlanke umschnürte Eisenbetonsäulen lehnt Morsch grundsätzlich ab. Wegen dieser unbefriedigenden Situation ließ der Deutsche Ausschuss für Stahlbeton 1940-42 in Dresden von W. Gehler [9.4] Knickversuche mit 18 mittig gedrückten verbügelten Eisenbetonsäulen der Schlankheiten l/d = 10 bis 40 und mit 10 mittig gedrückten umschnürten Eisenbetonsäulen der Schlankheiten l/D = 10 bis 30 ausführen, die 1951/52 mit 36 Traglastversuchen von A. Hütter [9.4] an mittig gedrückten verbügelten Rechtecksäulen und teilweise auch mit Horizontallasten in halber Säulenhöhe 1

Schlanke Stützen

039 0,20

~0

50

100

150

X Bild 9.1 Vergleich der Knickversuche mit Stahlbetonstützen verschiedenen Bemessungsvorschlägen

in Stuttgart, Zürich und Dresden mit

Tabelle 9.1 Versuche mit ausmittig gedrückten Stahlbetonstützen von K. Gaede [9.6] Nm Nr.

c d

X

416 416 416

z ea-z

cm

kN I II III

eu

0,2 0,5 0,5

102 102 123

9,43 3,89 12,43 1,51 13,17 1,32

7VuinkN

K Wuo

Rechn. Versuch 89,9 34,9 30,5

90,5 36,1 32,6

0,218 0,087 0,078

mittlere Belastungsdauer t (Tage) 35 394 -

NM

N„

K

kN 66,1 0,73 26,0 0,72 -

bei Schlankheiten von l/d = 15 bis 40 ergänzt wurden. Der Vergleich der gemessenen Knicklasten im Bild 9.1 lässt für die Dresdner Versuche [9.4] eine sehr große Streuung erkennen, nicht jedoch für die Züricher Versuche [9.2]. Nachdem K.H. Krieg 1952 in seiner Dissertation [9.5] den bedeutenden Einfluss des Betonkriechens auf die Tragfähigkeit und Formänderung von Stahlbetonsäulen theoretisch nachgewiesen hatte, lag es nahe, seine Aussagen experimentell zu überprüfen. 1954 wurden von K. Gaede [9.6] in Hannover acht Kurzzeitversuche und 1955/56 acht Langzeitversuche an drei verschiedenen verbügelten Rechteckstützen mit den Schlankheiten X = 102 und 123 unter ausmittigem Druck ausgeführt. Durch die Einflüsse der Ausmitte, der Schlankheit und der Belastungsdauer (Kriechen des Betons) verminderte sich die Tragfähigkeit unter mittigem Druck gemäß Gl. (7.4) ganz erheblich (Tabelle 9.1). 2


Die daraufhin von K. Gaede [9.6] und K. Kordina [9.7] angestellten theoretischen Untersuchungen waren für die Bemessungspraxis viel zu kompliziert. Erst der Bemessungsvorschlag von U. Quast [9.8] enthielt vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehungen zur Berechnung der Verformungen von Stahlbetondruckgliedern, deren Anwendung jedoch immer noch ziemlich aufwendig war. 1969 veröffentlichten P. Ramu, M. Grenadier, M. Baumann und B. Thürlimann [9.9] ihren Bericht über 37 Versuche an der ETH Zürich, von denen immerhin 26 durch Langzeitwirkung (Dauer der Lasteinwirkung 1 bis 477 Tage) versagten. Die wichtigsten Parameter lagen in folgenden Grenzen: b = 25 cm d - 15 bis 25 cm L = 216 bis 433 cm X = 50 bis 150 (hauptsächlich 100) /?w = 28,2 bis 50,4 MN/m2 As = 2,12 bis 8,06 cm2 \i = 0,84 bis 2,15 % A's = 0,56 bis 8,06 cm2 ju' = 0,15 bis 2,15 % Rs = 447 bis 528 N/mm2 c/d = 0 bis 1,00 Nu = 62 bis 922 kN. 1975 berichtete K. Kordina [9.10] über 12 Langzeitversuche in Braunschweig, von denen jedoch kein einziger infolge der Lasteinwirkungsdauer zu Bruch ging. Die Berücksichtigung des Kriechens erschwerte die Traglastberechnung ungemein.

9.2 Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren 9.2.1 Einleitung Nach verschiedenen Anläufen [9.11], [9.12] löste M. Herzog [9.13] 1996 das Bemessungsproblem mit der Überlegung, dass die Stützenauslenkung beim Bruch nicht größer sein kann als die dem plastischen Drehwinkel (Bild 9.2) entsprechende. Da der plastische Drehwinkel eines Fließgelenks aber näherungsweise eine Materialkonstante {Kpi - const) ist, kann sowohl die seitliche Auslenkung des Fließgelenks als auch die Traglast der schlanken Stütze mühelos berechnet werden. Im Fall des Baustoffs Stahlbeton ist zwischen kurz- und langfristiger Lasteinwirkung zu unterscheiden, weil die Verformung schlanker Stahlbetonstützen durch das Kriechen und nur bei unsymmetrischer Bewehrung durch das Schwinden des Betons - letzteres nur bei gerissener Zugzone - auch bei gleichbleibender Last vergrößert wird. 9.2.2 Mechanische Grundlagen Betrachtet man den einfachsten Fall einer ausmittig gedrückten Stahlbetonstütze (Bild 9.2), so unterscheidet man a) die Vorverformung als gedachten Ersatz der wirklichen strukturellen (Veränderlichkeit der Festigkeiten des Betons und der Bewehrung in Längs- und Querrichtung) und der geometrischen (Ungeradheit) Imperfektionen, beispielsweise v = Z7400 (9.5) b) Lastausmitte c, c) elastische Auslenkung 5ei unter kurzfristiger Lasteinwirkung, 3

Schlanke Stützen

t. i

VSe, C*Vl^h in5/fs

r n/

\ x

c+v+öei*ÖKs\ \

il

Bild 9.2 Formänderungen einer schlanken Stahlbetonstütze unter ausmittigem Druck

P„ . a . f i ^ _

Äi'W 9.3 Unverschieblicher Zweigelenkrahmen unter der vertikalen Traglast Pu

d) die zusätzliche Auslenkung ö^s infolge Kriechens und Schwindens des Betons unter langfristiger Lasteinwirkung, e) die plastische Auslenkung als Folge des sich unter der Traglast einstellenden Fließgelenks, bei unverschieblichen Systemen (Bild 9.3) in halber Stützenhöhe a*

2

2

Kill ' —T

(9.6)

und bei verschieblichen Systemen (Bild 9.4) an den Stützenenden öp\ - Kpi" L

(9.7)

Der plastische Drehwinkel des Fließgelenks (Bild 9.2) kann aufgrund von Messungen an Versuchsrahmen (Bild 9.5) [9.12], [9.14] bis [9.17] näherungsweise Kpi = 0,04 bis 0,05 (9.8) gesetzt werden. Hier wird jedoch sicherheitshalber mit dem größeren Wert KJ,I = 0,05 gerechnet. Das Biegemoment I. Ordnung (Stabenden a und b) Ca + Cb

4

(9.9)


Bild 9.4 Verschieblicher Zweigelenkrahmen unter der horizontalen Traglast Hu

H

mpr

I

I

^p"

L = 173 bzw. 376cm

b)

Pc

'Zugstange .1

.1

p 110

W15

Pj. •"

248

p

I 111,1,110 I

* plastische Gelenke

-§• !

I» I• *

0,215 keine Überraschung.

10.2.4 Verankerung der abgestuften Längsbewehrung zur Momentendeckung Die Verankerungslänge der abgestuften Längsbewehrung beherrscht das Problem der Momentendeckung. Aus diesem Grund muss definiert werden, ab welchem Querschnitt des Stahlbetonträgers die Verankerungslänge gezählt wird. Es ist üblich, sie von der Abtreppung der Momentendeckungslinie (Bild 10.18) aus zu zählen. Leider ist in diesem klaren Sachverhalt durch die Einführung des sogenannten Versatzmaßes unnötige Verwirrung gestiftet worden. Das Versatzmaß dient zur Abgeltung der beobachteten horizontalen Verschiebung der Zugkraftlinie gegenüber der Momentenlinie, die bereits 1951 von R.M. Mains [10.22] in der Längsbewehrung von Stahlbetonbalken gemessen worden war und auf die F. Leonhardt [4.10] 1965 erneut hingewiesen hat. 27

Ortbetonträger

Bild 10.18 Die Verankerungslänge der abgestuften Längsbewehrung zur Momentendeckung

USA-Versuche.

hafhpannung

£ in kg/cm2

Eisen - Verschiebung an freien Ende* 0,11s mm.

Durchmesser der Eisen 7/e" (22mm)

Ol

Sefondruckfesh'jto'i' KOkj/on* fZylinder ^fS/j, =JOcin j

t« • «s "w '« \s M« mtfft Höhe der Rippen in mm staHsche ZughafffeHgkefr ^ j 5f

"

",

*

^

B

,

48 ' " . b f e S e HegetafHtaHjW-

2

1

S

7

4 B f 7 5 form der Bewehr-ungssfäMe

U

f

S

1

1

1

0

8

Bild 10.19 Haftfestigkeiten amerikanischer Rippenstähle im Auszieh- und Balkenversuch [10.25]

28

Wirklichkeitsnahes Bemessungsverfahren Hochwerfiger Beten. „^=350f(g/cm', pßj = 280ka.lan*, &=5?/cg/cm'

Mitte/werte der Armierungsstähle <j> 10-20*30 mm. i70w

70

Zug-Haftfes/igkeir

eo

\

= ~25cm

so TJf

E *o

ss

%>55

55

~*

Srah'sch 35 Qio-iOmm

fu iErimiduro.24*i«>;JOmm

.c ^

S \

t

HaPHänge der Sfähte im Beton

20

{&-«»»!

o,8s

an

p Zugfesrigkeir ß z

leg/mm 70 r

Dash'zirätemodul E 63

'

£ ffO kg/mm* JOOOOp 50

™

•

SB

'.~

40 -

30

grenze Propori. -Grenze 0£

20 -

Urspru'ngsfesHgkeif (£

12. d 4 • 5,0 Man könnte nun einwenden, dass die Verankerungslänge bereits ab jenem Querschnitt gezählt werden darf, bei dem die Stahlspannung der Längsbewehrung abzunehmen beginnt. Im Fall des Balkens HV 1 (Bild 10.21) wäre sie dann um 14 cm länger a - 19 + 14 = 33 cm < 30 • 1,6 = 48 cm (für Druckbereich oben). Auch dieser Wert läge noch unter dem empfohlenen. Die mit der Gl. (10.4) berechnete Haftspannung TB = — 5 ^ = 2,66 MN/m2 < 5,0 MN/m2 B 16 5 • 0,0503 • 0,231 liegt allerdings noch weit unter der Haftfestigkeit des Rippentorstahls. 30


X

MOMENTEN-NULLPUNKT

2 0 2 6 Sl III b

HVO

->

Tl -LI

"ra

i HV1

p3£pJJ(j 50 16 St IUI b '

1

'

r

38

JJ U J

i J

1 ^ " ^ r 3 8 —' 11—' — i

V

1 50 —1 30 . —

5 0 16 St IM b P

1 QT HV2

WZ

1 5B16S

III b

^'-1 -38

|

^

W

MN/m2

HQ2 32,5

r

10 7,92 10,52 437

430

14,54

352

10 7,96 10,40 421 10 7,96 10,40 421

424 424

14,54 14,54

352 548 Schub Längsträger 352 553 Schub Querträger

538

Schub Längsträger

'•3

| HIl • | HI 2

32,1 34,3

10.2.6 Mitwirkung der Flanschplatte von Plattenbalken Die Mitwirkung der Flanschplatte von Plattenbalken ist seit den klassischen Versuchen von C. Bach und O. Gra/[10.32] aus den Jahren 1910, 1912 und 1922 ausreichend bekannt. Trotzdem war das Problem der mitwirkenden Breite von Plattenbalken immer wieder Gegenstand elastizitätstheoretischer Spekulationen [10.33]. Im Grunde genommen geht es stets nur um die erforderliche Querbewehrung der Flanschplatte. Mit den 33

Ortbetonträger

L/2

J&

C\/2

\

! ^ "* 6 c m 2 (= 3 0 5

%

) > 17'6

cm2

(= 1 0 °

%

)

Die nach DIN 1045 (1988) erforderliche, schlaffe Biegezugbewehrung beträgt ein Mehrfaches der nach Abschnitt 10.3.1 erforderlichen. ßa,red = ö - y • sin o, = 455 - - ^ • 0,2250 = 329 kN T0 = |îsd =

°'329

= 0,814 MN/m2 < T012 = 1,00 MN/m2

b0 z

0,50 • 0,86 • 0,94

Schubbereich 1: T = 0,4 • 0,814 = 0,326 MN/m2 A

YTb0 L

^sbü = - K-

JI

1,75-326-0,50

=—

Ks

^

!

- -

oi

,

emor\

2

— = 5,7 cm /m (= 66 %)

DU

< 8,6 cm2/m (= 100 %) ßb,red = - 829 + - | ^ - • 0,0872 = -780 kN 16

= 0,50 °0,S. 0,95 = 2 ' ° 5 3 MWm2 < T ° 2 = 2A° MWm2

Schubbereich 2: T =

2,

° 5 3 2 = 1,756 MN/m2 2,40

Asbu = 1 ' 7 5 ' ^ 5 6 • 0,50

= 3Q>7 c m 2 / m ( = J 3 6 % )

> 22,6 cm2/m (= 100 %)

44

Bemessungsbeispiel

Die nach DIN 1045 (1988) erforderliche Schubbewehrung an der Innenstütze ist größer als die nach Abschnitt 10.3.1. Neben der Außenstütze ist jedoch nach DIN 1045 eine kleinere Schubbewehrung ausreichend. 10.3.3 Bemessung nach EC 2 C 35/45: 8 = 0,44 + 1,25 • 0,507 = 1,07 S 500 normalduktil: 8 = 0,85 lineare Berechnung MSdb = -0,125(1,35 • 61 + 1,50 • 85) • 10,502 = -2 893 kNm MSdl = (0,070 • 1,35 • 61 + 0,096 • 1,50 • 85) • 10,502 = 1985 kNm Auch nur eine begrenzte Momentenumlagerung ist nicht zulässig, weil 8= 1,07 > 1,0 ist. / cd = 35/1,50 = 23,3 MN/m2 fyd = 500/1,15 = 435 N/mm2 /pd = 0,9 • 1770/1,15 = 1385 N/mm2 uSdb M

=

y ^ = 0,275 -> ^ = 0,507 und 4 = 0,790 23,3 • 0,50 • 0,952 d d M ^ = 138,5 • (7 • 1,43) • (0,79 • 0,92) = 1008 kNm 2893 - 1008 = 5 9 6 c m 2 ( = 3 3 9 % ) 1 7 6 c m 2 ( = 1 Q 0 % ) A = 43,5 • 0,79 • 0,95 ^ ^ Ö = ° . ° 3 2 -*• h = 0 .975 23,3 • 0,50 • 0,942 d Mpdi = 138,5 • (7 • 1,43) • (0,975 • 0,92) = 1244 kNm _ —1985 - 1244— = l g 6 c m 2 ( = 1 4 3 % ) > B Q c m 2 A 43,5 • 0,975 • 0,94 Msdi = M

( = 10Q % )

Die nach EC 2 erforderliche, schlaffe Biegezugbewehrung ist wegen der unzulässigen Momentenumlagerung wiederum erheblich größer als nach Abschnitt 10.3.1. VW = (0.375 ' 82,4 + 0,438 • 127,5) • (10,00 - 2 • 1,00) = 694 kN /Vpd» = -0,85 • (0,75 • 177) • (7 • 1,43) = -1 130 kN Vpda = -1130 • 0,2250 = -254 kN Vsda = 6 9 4 - 2 5 4 = 440 kN Standardverfahren: v = 0,7 - ^5_ = 0,525 MN/m2 200 VKAI = ^ 5 - 2 ^ • 23,3 • 0,50 • 0,9 • 1,00 = 2,752 MN

45

Ortbetonträger

V cd cd = [ 0 , 3 0 - l . ( l , 2 \\ + 0,15

+

4 0 - 1 0 ' 0 1 + 18'6/2) 50 • 100 /

Ü^P 1 . o,50 • 1,00 0,50 -0,80 + 8,50- 0,20 J

= [0,407 + 0,081] • 0,50 = 0,244 MN 440 ~ 2 4 4 = 5 0 cmz/m (= 58 %) < 8,6 cm2/m (= 100 %) 43,5 0,9-1,00 Vodb = -0,625 • (82,4 + 127,5) • (10,00 - 2 • 1,00) = 1050 kN Vpdb= 1130-0,0872 = 99 kN VSdb = -1050 + 99 = -951kN Vm2 = 2,752 MN (wie oben)

«sw =

Vcd=[0,30-l.(l,2 L \ '

+

40.1MI±5W) 50 •100 /

+ 0,15

^ P 1 • 0,50 • 1,00 0,50 • 0,80 + 8,50 • 0,20 J = [0,456 + 0,081] • 0,50 = 0,269 MN ~269 = 17,4 cm2/m (= 77 %) < 22,6 cmVm (= 100 %) 43,5 • 0,9 • 1,00 Die nach EC 2 erforderliche Schubbewehrung ist sowohl neben der Innen- wie auch neben der Außenstütze kleiner als nach Abschnitt 10.3.1, weil der für die Bemessung nach EC 2 maßgebende Querschnitt um d = 1,00 m gegen die Feldmitte versetzt ist. Im gleichen Bemessungsquerschnitt fiele die Schubbewehrung nach Abschnitt 10.3.1 praktisch gleich groß aus wie nach EC 2. a

=

951

10.4 Folgerungen Erstens ist es mit geringem Aufwand möglich, Ein- und Mehrfeldträger aus Stahlbeton und Spannbeton sowie allen Zwischenstufen wirklichkeitsnah zu bemessen. Momentenumlagerungen sind durch ausgeführte Versuche in den Bereichen 0,19 < rjSt < 2,68 und 0,37 < r/F < 5,28 so weit abgedeckt, dass ihrer praktischen Anwendung nichts im Weg steht. Vielmehr können durch gezielte Momentenumlagerungen (z.B. von den Stützen in die Felder von Durchlaufträgern) Bewehrungskonzentrationen vermieden und das Betonieren heikler Stellen erleichtert werden. Zweitens kann die Längsbewehrung zur Momentendeckung auch dann abgestuft werden, wenn nur eine verminderte Schubsicherung ausgeführt wird. Drittens wurde darauf hingewiesen, dass die in verschiedenen Bemessungsvorschriften verlangten Verankerungs- und Übergreifungslängen übertrieben groß sind, besonders dann, wenn sie zu einem Versatzmaß addiert werden. Viertens ist bei indirekter Lagerung oder Lasteinleitung (beispielsweise mit 46

Literatur Querträgern) an der Kreuzungsstelle eine Aufhängebewehrung anzuordnen, die für die volle Aufhängelast zu bemessen ist. Fünftens wird die Tragfähigkeit eines Plattenbalkens aus Stahlbeton oder Spannbeton durch eine Betonierfuge zwischen Steg und Flanschplatte nicht in Frage gestellt, sofern Bügel vorhanden sind. Literatur [10.1] [10.2] [10.3] [10.4] [10.5] [10.6] [10.7] [10.8] [10.9] [10.10] [10.11] [10.12] [10.13] [10.14] [10.15] [10.16] [10.17] [10.18] [10.19] [10.20] [10.21]

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49

11 Segmentträger Segmentträger sind aus Betonfertigteilen mit Hilfe interner oder externer Spannglieder zusammengespannte Träger.

11.1 Geschichtliches Bereits 1911 hatte J.C.E. Lund, Norwegen, empfohlen, vorgefertigte Betonblöcke mit einem eingelegten Stahlstab zu ganzen Trägern zusammenzuspannen. 1941 baute die Firma Campenon-Bernard unter der Leitung von M. Maltet die Straßenbrücke von Djedeida in Tunesien mit Stützweiten von 20 + 50 + 20 m als Gerberträger. Die einzelnen 30 m langen Balken wurden aus Fertigteilsegmenten mit nachträglich eingezogenen Spanngliedern zusammengespannt [11.1]. Im gleichen Jahr war in Frankreich der Bau der 55 m weit gespannten Straßenbücke über die Marne bei Luzancy nach dem Entwurf von E. Freyssinet begonnen, aber wegen der Kriegsereignisse bald wieder eingestellt worden. Erst 1945 konnten die kastenförmigen Segmente des Rahmenriegels betoniert werden. 1946 wurden sie mit nachträglich eingezogenen Spanngliedern zusammengespannt und montiert (Bild 11.1). 1948 folgte die noch wesentlich elegantere Marnebrücke Esbly (Bild 11.2) mit 74 m Stützweite sowie einige weitere gleich große Brücken in der Region Meaux.

Bild 11.1 Montage der Marnebrücke in Luzancy 50

Geschichtliches

Bild 11.2 Ansicht der Marnebrücke in Esbly

1961/62 baute H. Hossdorf'[11.2] in Wangen bei Ölten (Schweiz) Shedschalen aus vorgefertigten Segmenten, deren Tragwirkung durch externe Spannglieder (Bild 11.3) gewährleistet wurde. 1961 waren in der Sowjetunion verschiedene Fertigteilbrücken über die großen russischen Flüsse im Bau [11.3]. 1962-65 wurde erstmals der Freivorbau mit geklebten Segmentfugen ohne durchgehende schlaffe Bewehrung bei der Seinebrücke Choisy-le-Roi (Bild 11.4) von der Bauunternehmung Campenon-Bernard ausgeführt [11.4]. Bei der 5,0 km langen Brücke mit 48 Öffnungen von je 95 m über die Oosterschelde in Holland setzte man 1963-65 erstmals große Fertigteilsegmente mit Massen von 190 bis 600 t ein (Bild 11.5). 1964 errichtete die Bauunternehmung Züblin & Co, Zürich, in Holderbank bei Wildegg, Kanton Aargau, die erste Spannbandbrücke mit 216 m Stützweite bei 14,75 m Durchhang und 26 cm Konstruktionshöhe der Betonfertigteile für die Förderanlage einer Zementfabrik (Bild 11.6). Im gleichen Jahr wurde in Mittelamerika eine kleine Spannbetonbrücke über einen reißenden Fluss aus nur 1,00 m langen Fertigteilsegmenten (Bild 11.7) mit Hilfe eines Kabelkrans montiert [11.5]. 1964-66 erstellte wiederum die Bauunternehmung Campenon-Bernard die 2,86 km lange Straßenbrücke vom Festland zur Insel Oleron an der französischen Atlantikküste mit 79 m Stützweiten aus Fertigteilsegmenten mit 42 bis 73 t Masse und geklebten Fugen (Bild 11.8) nach dem Entwurf von J. Muller. 1970/71 bauten T.Y. hin und F. Kulka in Costa Rica eine Straßenbrücke über den Rio Colorado als unterspannten Balken aus Fertigteilen (Bild 11.9) mit 124 m Stützweite. 1980-82 entstand in Kuwait die Bubiyan-Brücke mit 6 1 x 4 0 + 1 x 5 4 = 2 494 m Länge nach dem Entwurf von P. Richard. Jedes Feld besteht aus 10 Fertigteilsegmenten von insgesamt 900 t Masse, die

51

Segmentträger

Bild 11.3 Shedschale aus Fertigteilsegmenten mit externen Spanngliedern

52

Geschichtliches

Ortbetonlängsst reifen

Ü LTlfi Li 120.

660

Montagezahn

13 Freyssinel-Kabel aus 120 8

Bild 11.4 Die Seinebrücke Choisy-le-Roi im Bau

extern mit acht Spanngliedern zu je 24 0 15 mm-Litzen zusammengespannt wurden. Jedes Element (Bild 11.10) besteht aus der 19 cm dicken und 18,2 m breiten Fahrbahnplatte, aus der 15 cm dicken und 10,00 m breiten Bodenplatte sowie aus einem räumlichen Stabfachwerk mit Streben 20/20 cm und Pfosten 20/16 cm an Stelle der sonst üblichen Kastenstege. Nach einer Anlaufzeit von drei Monaten wurde wöchentlich ein Feld montiert.

53

Segmentträger

'SOI

2251

275t

6O0t

35^ O ^

\

\

V—Pfeiler HO t

Pfahl köpfbaiken tOOt

-Hohlpfähle 300 bis 5001

Bild 11.5 Fertigteile der Oosterscheldebrücke

Bild 11.6 Spannbandbrücke aus Fertigelementen in Holderbank bei Wildegg, Kanton Aargau, Schweiz Gegenpcwc/tl/Sond)

i

^"A ^

Soonrrjlu'dfü'rutyA

'

"

ß('W / / . 7 Segmentäre Spannbetonbrücke über einen reißenden Fluss in Mittelamerika 54

Geschichtliches

Bild 11.8 Bau der Straßenbrücke zur Insel Oleron aus geklebten Fertigteilen

Bild 11.9 Straßenbrücke über den Rio Colorado in Costa Rica

55

Segmentträger

^ ^ p i ^ l Bild 11.10 Einbau eines Elements der 2,49 km langen Bubyan-Brücke in Kuwait

11.2 Versuche mit Fertigteilfugen Von entscheidender Bedeutung für das Tragverhalten von Segmentträgern ist die Tragfähigkeit der Segmentfugen. Bei den ersten Ausführungen (z.B. Marnebrücke Luzancy) waren die 2 cm dicken glatten Fugen mit einem erdfeuchten Zementmörtel ausgestopft worden. Ihre Schertragfähigkeit r wurde mit dem Coulombschen Reibungsgesetz (in MN/m2) T

= c + o • tan q> Rc
0'283 =

W-fj = 0'298>0'283

Der Träger Z, der vor dem Bruchversuch während 15 Tagen 2 Millionen Lastwechseln zwischen min F = 370 kN und max F = 666 kN unterworfen worden war, erreichte die Bruchlast Fu - 2,07 • 740 = 1530 kN. Die rechnerische Schubbruchspannung Tu = °'4o" ^ 3 Ü - = 12>64 MN/m2 > 5 ' 0 ' 3 1 0 • 37,8 = 10,97 MN/m2 0,08 • 0,605 1 + 14 • 0,310 lag um 15 % höher als der nach Gl. (4.10 a) erwartete Wert. Das zur gemessenen Bruchlast gehörende Biegemoment M v = 1,05 • 1530 = 1607 kNm lag dagegen um 7 % unter dem gemäß Gl. (3.16) erwarteten Wert von M* = 142 • (17 • 1,17); • 0,652 • (l - — • 1 9 ' 8 9 • ^ ) ^ 1 6 120-65,2 37,8/ = 142 • 19,89 • 0,652 • 0,943 = 1737 kNm. Der Träger E erreichte die Bruchlast von Fu - 1,74 • 740 = 1 285 kN. Die rechnerische Schubbruchspannung *u = ° ' 4 ' 1 ; 2 8 5 = 10,62 MN/m2 < 5 ' ° ' 2 9 8 • 38,1 = 10,98 MN/m2 0,08 • 0,605 1 + 14 • 0,298 lag um 3 % unter dem nach Gl. (4.10 a) erwarteten Wert. Das zugehörige Biegemoment M v = 1,05 • 1285 = 1349 kNm lag sogar um 22 % unter dem nach Gl. (3.16) erwarteten Wert. Infolge der gemessenen Vorspannung von o~v = 700 N/mm2 betrug die im Träger Z vorhandene Spannkraft V = 70 • 19,89 = 1392 kN. Die verzahnte Fuge a mit Zementmörtelfüllung hätte daher gemäß Gl. (11.2) die Scherspannung (Ac = 2 • 9,5 • 120 + 8-51 = 2688 cm2) T= 2,8 + 1,34 • * ' 3 9 2 = 9,74 MN/m2 < ^ ^ = 18,9 MN/m2 0,2688 2 bzw. die Querkraft (Acs = 2 • 9,52 + 8 • 70 = 740 cm2) ös = 9,74 • 0,0740 = 0,721 MN > Qu = 0,4 • 1,530 = 0,612 MN 62

Nachrechnung von Versuchen System und Belastung F,.0,6-F,

Fi

I

4

h i

6- 63= 504 -

—

175 -

525

175

Querschnitt

Seitenansicht

Druckgurt i

-+—ru ao

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A)

C

tw\

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Jl

y

4—

- 4 - • lO, _J o» Y

-17

7

'

Betondeckung allgemein 1,0cm Steg 0 , 5 c m ; S p a n n b e w e h r u n g nicht eingetragen

• 8/«10,a

~*

|r-

—+—

^ - B ü g e l «10, a =9 cm

l ä n g s 4L

1

63

, 5 #^,a.9c

«i*

ß u = 0,4 • 1,285 = 0,514 MN übertragen können, die wiederum weit über dem Versuchswert lag. 11.3.4 Versuchsträger mit verzahnten Trockenfugen unter Biegung, Schub und Torsion (Spannglieder mit Verbund) 1984 berichteten K. Kordina, M. Teutsch und V. Weber [11.11] über ihre Versuche an zwei Spannbetonsegmentträgern mit nachträglichem Verbund (Bild 11.18) in Braunschweig. Der Versuchsträger SETMQ 1 wurde zunächst mit dem in 12 Laststufen aufgebrachten Biegemoment M - 600 kNm belastet, um ein ausgeprägtes Biegerissbild zu erzeugen. Unter dem konstanten Torsionsmoment T = 112 kNm wurde der Balken 10000 Lastwechseln zwischen den Biegemomenten min M = 70 kNm und max M = 280 kNm unterworfen. Dann wurde bei M - 600 kNm das Torsionsmoment von Null auf T = 240 kNm gesteigert. Die sich einstellenden Torsionsrisse kreuzten die Biegerisse auch bei den Segmentfugen. Anschließend wurde das Biegemoment bei konstantem Torsionsmoment bis zum Bruch gesteigert, der bei der Lastkombination MÎT^700/240 kNm eintrat. Das Versagen erfolgte durch Fließen der Bügel und der unteren Spannstäbe in Feldmitte, wo keine Querkraft vorhanden war. Aus der vorgespannten Biegezugbewehrung mit Verbund und den Nutzhöhen von /?Ai = 86,5 • 2 • 5,512 = 953 kN mit Ä, = 54,0 cm ÄA2 = 953 kN mit h2 = 47,5 cm ÄA3 = 136,9 • 2 • 1,924 = 527 kN mit h3 = 30,0 cm, der rechnerischen Prismendruckfestigkeit des Betons von Rc = 0,8 • 48,3 = 38,6 MN/m2 und dem mechanischen Bewehrungsgehalt von 2 • 1,924 1369 RL = (2- 5,512 2-5,512\ 865 ß 60 • 30,0 38,6 Rc \ 60 -54,0 60-47,5/ 38,6 = 0,1629 + 0,0758 = 0,2387 ergibt sich das rechnerische Biegebruchmoment gemäß Gl. (3.16) zu Ml = [953 • (0,54 + 0,475) + 527 • 0,30] • (1 - - ^ • 0,2387) 16 = 1125,4-0,866 = 975 kNm Die vorhandene Verbügelung in Feldmitte von 2 0 10, a - 15 cm mit der Streckgrenze /?sw = 455 N/mm2 kann mit dem Kennwert gemäß Gl. (5.3) 86,5 • 22,048 + 136,9 - 3,848 = 1907 + 527 = » g l K_ 5,45 • 45,5 248 64

Nachrechnung

Querschnitt

von Versuchen

A-A

r . i: . . r

—- ® 10 t: io

®

©

©

®

SETMQ 1

4-

t

•754—75-1-75-4754—75-1—75-4-75—1-75—j +-75 -2.042.0 42.0 -I

+ +

-BPHB-

r

Bereich I

- -

Bereich S — - 4 — Bereich I (f) = Torsion

(M) = Biegung

@

QF

= Querkraft

©F

Querschnitt

A-A

60

s4fl£

a CS

££

s

Kl k l I VI

M

V9L-

®

Ü5F

®

-Z37-

© ®

,,F

©

-191

o

Frf I50|50|50|50|50|50|50|50|50|50l50l50l50f50| -7.75-

«1 20 | 20 \K . 30 .,30

W,

-j—97

75 (7) = Torsion

@ = Biegung

|q97F ®

-0.97F @ = Querkraft

*QSF

|

Bild 11.18 Braunschweiger Versuchsträger SETMQ 1 und 2 mit verzahnten Trockenfugen Vorspannung mit Verbund [11.11]

und

65

Segmentträger

das Torsionsmoment gemäß Gl. (5.4) 7*= 2 • 5,45 • 45,5 • 0,482 • V9^81 = 358 kNm aufnehmen. Als Folge der Interaktion von Biegung und Torsion gemäß Gl. (5.10) £ = J l _ ( 2 4 0 ) 2 = o,742 M0 V V358/ vermindert sich das übertragbare Biegemoment auf M^ = 0,742 • 975 = 723 kNm > Afi = 700 kNm in sehr guter Übereinstimmung mit dem gemessenen Wert. Beim Versuchsträger SETMQ 2 hatte sich unter dem Biegemoment M = 485 kNm das endgültige Biegerissbild im Bereich des konstanten Moments ausgebildet. Da die Spannstäbe im Gegensatz zum Balken SETMQ 1 keine Querrippen aufwiesen und daher der Verbund weniger gut war, konzentrierten sich sämtliche Biegerisse auf die Segmentfugen. Nach der Dauerschwellbeanspruchung mit 18500 Lastspielen wurden die Schnittgrößen im Verhältnis MIT - 4 bis zur Lastkombination max MIT 582/150 kNm hochgefahren und anschließend das Torsionsmoment bis T= 193 kNm gesteigert. Bei dieser Laststufe erfolgte schlagartig eine Verdrehung der auflagernahen Segmente 1 und 2 gegeneinander. Die Verschiebung im Bereich des nicht verzahnten Oberflansches löste das Versagen der beiden Stege durch schrägen Druck aus. Nach Sanierung der zerstörten Bereiche mit Kunstharzmörtel wurde das Balkenlager um 1 Meter nach innen versetzt, so dass die zerstörte Zone außerhalb des beanspruchten Bereichs lag, und der Balken erneut belastet, bis sich unter der Lastkombination MJTa - 582/200 kNm der erwartete Bruch infolge schrägem Druck einstellte. Analog zum ersten Versuchsbalken ergibt sich mit RSAS\ = 89,9 • 2 • 5,326 = 958 kN und hx = 54,0 cm RAsi = 143,5 • 2 • 1,911 = 548 kN und h2 = 30,0 cm Rc = 0,8 • 47,5 = 38,0 MN/m2 flRL= M Rc

2 - 5,326 _899 60-54,0 38,0

2- 1,911 60-30,0

1435 = 38,0

Q Q77g

Q ogQ2 =

0l5S0

das rechnerische Biegebruchmoment gemäß Gl. (3.16) zu Ml = (958 • 0,54 + 548 • 0,30) • (1 - - ^ • 0,1580) 16 = (517,3 + 164,4) • 0,911 = 621 kNm Die vorhandene Verbügelung der Segmente 9 und 10 mit 2 0 12, a - 7,5 cm und der Streckgrenze /?sw = 467 N/mm2 kann mit dem mechanischen Bewehrungsgehalt u ^w Rc

Mw

=

31,38 _ j467_ 2 - 1 2 - 100 38,0

0 160?

'

die rechnerische Schubbruchspannung gemäß Gl. (4.10 a) von =

66

5 • 0,1607 1 + 14 • 0,1607

3 g 0 = Q 4Q M N / m 2

Nachrechnung von Versuchen übernehmen und daher die Querkraft gemäß Gl. (4.1) von Ql = 9,40 • 0,24 • 0,48 = 1,083 MN tragen. Die vorhandene Verbügelung kann aber mit dem Kennwert gemäß Gl. (5.3) K

_ 89,9 • 4 • 5,326 + 143,5 • 2 • 1,911 _ 1915 + 548 _ 3 46,7 • 15,69 733

36Q

auch das Torsionsmoment gemäß Gl. (5.4) von 7* = 2 • 46,7 • 15,69 • 0,482 • V3,360 = 619 kNm aufnehmen. Als Folge der Interaktion von Biegung und Torsion gemäß Gl. (5.10) -^

=

J l _ ( 2 0 0 ) 2 = o,946

vermindert sich das übertragbare Biegemoment auf M* = 0,946 • 621 = 587 kNm = M^= 582 kNm Dieser Rechenwert ist mit dem gemessenen Wert praktisch identisch. Die Interaktion von Querkraft und Torsion gemäß Gl. (5.12) Q-= 1-200 = 0,677 ßo 619 vermindert die aufnehmbare Querkraft auf ß* = 0,677 • 1083 = 733 kN > Q\ = | ^ - = 600 kN Dieser Rechenwert liegt zwar um 22 % über dem gemessenen Wert, ist jedoch für das Tragverhalten des Versuchsträgers nicht maßgebend, weil dieser auf Biegung versagte. 11.3.5 Versuchsträger mit verzahnten Trockenfugen unter Biegung, Schub und Torsion (Spannglieder ohne Verbund) 1993 und 1997 berichteten H. Falkner, M. Teutsch und Z Huang [11.13] über ihre Versuche mit drei vorgespannten Segmentträgern ohne Verbund (Bild 11.19) in Braunschweig. Dabei ging es vor allem um den Einfluss der Öffnung der Segmentfugen auf das Tragverhalten unter Torsion. Die beiden Träger TRAG 1 und 2 orientierten sich an den bereits früher in Braunschweig geprüften Trägern SETMQ 1 und 2 mit Verbund der Spannglieder [11.11]. Beim Versuchsbalken TRAG 1 wurde mit dem in 12 Laststufen aufgebrachten Biegemoment M = 600 kNm im Bereich der querkraftfreien Zone zwischen den beiden Lasten ein ausgeprägtes Biegerissbild erzeugt. Die Risse reichten in den drei Segmentfugen dieses Bereichs bis in 25 cm Höhe. Bei konstant gehaltenem Biegemoment wurde das Torsionsmoment in vier Stufen auf T = 80 kNm gefahren. Dabei entstanden Schrägrisse in jenen Bereichen, in denen die Schubspannungen infolge Schub und Torsion die gleiche Richtung aufwiesen. Außerdem bildeten sich an den Enden der Fugenrisse infolge Biegung schräge Torsionsrisse. Als nächstes wurde die Lastkombination M/T= 280/112 kNm während 24 Stunden konstant gehalten und anschließend in 11 Stufen der Bruch angesteuert. Bei der Lastkombination M/T= 600/128 kNm wurde der Versuch abgebrochen und eine andere Laststellung mit einer einzigen Last im Drit67

Segmentträger

TRAGI

M i ,I M 2

1

i

3

75

75

F

F

75

75

|

2.00

-Bereich!

5 | 75 2.00

6

7

8

75

75

75

-U

• Bereich E~

2.00

- Bereich I

© ® ® 0.375,

1.625

2.0

TRAG2

0 5F

\;
2

(Q)

© 1£25

20

^^Q575F2®

TRAG 3 _j

2.0

1.0 0.375 0.375

jt 1 )Q50|Q50|a50[a50|0.50|Q50|Q50|Q50|0,5P| , j>fThpsgjasoßso 0.50 0.50 Oi 7.50 -\Frl5

®

1.375F2 Q375F2 _

^

0.2itF2 F,*0.2UF2

68

® Bild 11.19a Braunschweiger Versuchsträger TRAG 1 bis 3 mit verF.+F, zahnten Trockenfugen und I \F, gs Vorspannung ohne Verbund: Ansichten und Schnittgrößen [11.13]

Nachrechnung von Versuchen

(

Detail A

A-A

1

h

Si (i

4U

B-B

o 1

12

ü

Ö

1

88 —ö

1 -^l12

c-c 1. 6° .

•D 5 1IC » 1 is

12 >

< 12 4^1

o

ö| | a | ~t h»

"+-

ß/W 11.19b Braunschweiger Versuchsträger TRAG 1 bis 3 mit verzahnten Trockenfugen und Vorspannung ohne Verbund: Querschnitte [11.13]

telspunkt verwirklicht. Unter der Schnittgrößenkombination M/T= 600/150 kNm kam es wegen des kleineren Dekompressionsmoments von 450 kNm zu einer klaffenden Öffnung der Segmentfugen im Lasteinleitungsbereich. Das Torsionsmoment konnte wegen der zu großen Verdrehung des Balkens nicht weiter gesteigert werden. Der Bruch trat schließlich unter dem Biegemoment Mu = 664 kNm und dem Torsionsmoment Tu = 150 kNm ein. Das Versagen erfolgte durch Zerstörung der Stege auf schrägen Druck und anschließend auch der Biegedruckzone. Die Nachrechnung des Versuches TRAG 1 erfolgt analog zum Abschnitt 11.3.4. /?Ai = 89,8 • 3 • 5,525 = 1414 kN mit A, = 54,0 cm RAsi = 89,9 • 2 • 5,525 = 943 kN mit A2 = 30,0 cm Rc = 43,3 MN/m2 M

fts=/3-5,525 Rc \ 60 -54,0

2- 5,525 \ 60-30,0/

898 = 43,3

Q 233,

A/§= (1414 • 0,54 + 943 • 0,30) • (1 - - ^ • 0,2334) 16 = 848,4 • 0,869 = 737 kNm. R„, Rc Tu = 43,3

15,31 12 • 100

580 = 0,1709 43,3

5 • 0,1709 = 10,91 MN/m2 1 + 14 • 0,1709

öo = 10,91 • 0,24 • 0,48 = 1,257 MN Näherungswert für geöffnete Segmentfugen ßored = 1257 ^ = 628 kN T, _ 89,8 • 5 • 5,525 _ ~ HQA 58,0 15,31 ' 7* = 2 -58,0- 15,31 • 0,482 • V2,794 = 684 kNm fLQA

Näherungswert für geöffnete Segmentfugen 7^red = 2 ^ = 342 kNm Das aufnehmbare Biegemoment ergibt sich dann unter Beachtung der Interaktion von Biegung und Torsion gemäß Gl. (5.10) zu M* = 737 J l - ( I g ) 2 = 662 kNm = M^ = 664 kNm 69

Segmentträger Dieser Rechenwert ist mit dem gemessenen Wert praktisch identisch. Die aufnehmbare Querkraft unter Beachtung der Interaktion von Querkraft und Torsion gemäß Gl. (5.12) Ql = 628 (1 - | g ) = 352 kN > Ql = | • |

^

= 332 kN

liegt wiederum über der vorhandenen. Beim Versuchsbalken TRAG 2 wurde zunächst ein Biegemoment von M = 550 kNm sowohl im Feld als auch über der Stütze aufgebracht, um die erwünschten Biegerisse zu erzeugen. Anschließend wurde das Biegemoment etwas zurückgenommen und das Torsionsmoment stufenweise auf T= 100 kNm gesteigert. Am folgenden Tag wurde im Verhältnis MSt/T =5,0 neu belastet, bis sich bei MSt = 614 kNm, MF = 460 kNm und T= 125 kNm der bevorstehende Bruch ankündigte. Weil die Dekompressionsmomente über der Stütze nur 414 kNm und im Feld nur 361 kNm betrugen, öffneten sich in beiden Bereichen die Segmentfugen. Anschließend wurde mit dem Verhältnis MSt/T = 1,7 ein zweiter Bruch angesteuert. Dabei öffneten sich die Segmentfugen im Flanschbereich nur teilweise, so dass das Torsionsmoment immer noch durch einen umlaufenden Schubfluss aufgenommen werden konnte. Schließlich versagten die Segmentfugen im Auflagerbereich. Die Bruchschnittgrößen betrugen MSt = 428 kNm, MF = 120 kNm und Tu = 250 kNm. Zuletzt konnte das Biegemoment über der Stütze noch auf MuSt = 675 kNm gesteigert werden. flAst = 90,7 • 2 • 5,555 = 1008 kN mit hSt = 54,0 cm ÄAw = 1008 kN mit K = 30,0 cm Ä A F = 90,7 • 3 • 5,555 = 1512 kN mit hF = 54,0 cm Rc = 49,4 MN/ra2 ^ = / 2 - 5,555 2 • 5,555 x . W7_ = ^ St Rc \ 60 -54,0 60-30,0/ 49,4 Rs _ 13 - 5,555 2 • 5,555 \ 907 _ 0 2 Q 7 7 RC \ 60 • 54,0 60 • 30,0/ 49,4 ' M* = 1008 • (0,54 + 0,30) • (1 - •% • 0,1764) = 846,7 • 0,901 = 763 kNm 16 M£F = (1512 • 0,54 + 1008 • 0,30) • (1 - - ^ • 0,2077) 16 = (816,5 + 302,4) • 0,883 = 988 kNm MF

^xî^wS^' 1491 T =

" TTi^9T-49'4=11'93MN/m2

Ql = 11,93 • 0,24 • 0,48 = 1,374 MN Näherungswert für geöffnete Segmentfugen ßo.red = I^"

"*-'»

"

I

'

J

'

J;JJJ

57,5 • 15,37

r\

C\C\ 1

~ '

t% = 2 • 57,5 • 15,37 • 0,482 • V3,991 = 814 kNm 70

i

- 687 kN

Nachrechnung von Versuchen Näherungswert bei geöffneten Segmentfugen 7g red = =±^ = 407 kNm Für den ersten nicht vollständig erreichten Bruchzustand mit MSt/T= 614/125 kNm betrüge das unter Beachtung der Interaktion von Biegung mit Torsion gemäß Gl. (5.10) aufnehmbare Biegemoment über der Stütze A/ft = 763 A 1 - (125)2 = 726 kNm > Mvt = 614 kNm V U07' nicht unerwartet mehr als das vorhandene. Beim zweiten Bruch neben dem freien Auflager betrug die vorhandene Torsionsschubspannung TT

T

=

°^50

= 3 5y M N /

2

2 • 0,542 • 0,12 bei einer durchschnittlichen Normalspannung im oberen Hansch der Segmentfuge 1-2 von nur o~= -1,26 MN/m2. Es ist daher kaum verwunderlich, dass sich die oberen Flansche der Segmente 1 und 2 horizontal gegeneinander verschoben haben. Das Torsionsmoment musste darum von der Verzahnung der beiden Stege übertragen werden. Die Ersatzquerkraft infolge Torsion ß TT = ± ^ - = ± 5 2 1 k N ^ 0,48 überlagert sich in einem der beiden Stege der vorhandenen Lastquerkraft = 1 2 ° = 30 kN ^ 2 • 2,00 Ihre Summe ß„ = 30 + 521 =551 kN ist kleiner als die von einem Steg aufnehmbare rechnerische Bruchquerkraft bei geschlossenen Segmentfugen von g„ = 687 kN, aber größer als diejenige für geöffnete Segmentfugen von ß?,red = 343 kN. OP P

Für den dritten Bruch des Segmentbalkens TRAG 2 über der Stütze betrug das gemessene Biegemoment von A/vSt = 675 kNm nur 88 % des rechnerischen Wertes mit Verbund, der aber nicht vorhanden war. Beim niedrigeren Versuchsbalken TRAG 3 wurde in sechs Stufen das Biegemoment M = 175 kNm sowohl im Feld als auch über der Stütze aufgebracht und Risse nur in den Segmentfugen beobachtet. Die Dekompressionsmomente betrugen 158 kNm über der Stütze und 138 kNm im Feld. Anschließend wurde in sieben Laststufen das Biegemoment auf M = 246 kNm und das Torsionsmoment auf T = 50 kNm gesteigert. Am folgenden Tag wurde die Belastung im Verhältnis MSt/T= 5,0 hochgefahren. Bei MSt = 280 kNm und T - 56 kNm kündigten die Verdrehungen des Segmentträgers einen Bruch an. Nach einer Unterbrechung von einem Tag wurde eine zweite Bruchlast mit dem Verhältnis MSt/T =1,7 angezielt. Der Bruch trat bei Ms, = 227 kNm, T = 125 kNm und A/F = 72 kNm ein, wobei der Steg auf schrägen Druck versagte. /?As, = 162,2 • 5 • 1,410 = 1144 kN mit ÄSt = 34,2 cm Ä A F = 162,2-4- 1,410= 915 kN mit fcF = 34,0cm Rc = 43,5 MN/m2

71

Segmentträger

R^= 5 - 1 , 4 1 0 . ^st/?c 60-34,2 * , = 4 • 1,410. MF Rc 60 • 34,0 M*St = 1144 • 0,342

1622 43,5 1622 t 43,5 • (1 - - ^ • 0,1281) = 363 kNm 16 M*F = 915 • 0,340 • (1 - £ • 0,1031) = 293 kNm 16 ^ Rc

Mw

u

=

=

J M 7_.^90 8 • 100 43,5

— 5 • 0,1775 1 + 14 • 0,1775

=

43 5 =

n 08 MN/m2

ßS= 11,08 0,16 0,317 = 0,563 MN Näherungswert bei geöffneten Segmentfugen Qo,red = ^563 p = 282 kN g =

162,2- 6- 1,410 59,0 • 10,47

7* = 2 • 59,0 • 10,47 • 0,52 • 0,30 • V2,221 = 287 kNm Näherungswert bei geöffneten Segmentfugen Tîed- =^- = 144 kNm Für den ersten nicht vollständig erreichten Bruchzustand mit MSJT = 280/56 kNm betrüge das unter Beachtung der Interaktion von Biegung mit Torsion gemäß Gl. (5.10) aufnehmbare Biegemoment über der Stütze A/|t = 363 J 1 - i^S

= 334 kNm > Mvt = 280 kNm

nicht unerwartet mehr als das gemessene. Beim zweiten Bruch mit M^SJT^= 227/125 kNm beträgt das rechnerisch aufnehmbare Biegemoment unter Beachtung der Interaktion gemäß Gl. (5.10) M%St = 363 J i _ ( I g ) 2 = 180 kNm nur 79 % des gemessenen. Die vorhandene Querkraft in einem der beiden Kastenstege 227 + 0,7-72 ^ 6 9 k N ^ 2 • 2,00 wird durch das von den geöffneten Segmentfugen nicht übertragbare Torsionsmoment um QT = ± -i=^- = ± 240 kN 0,52 vergrößert auf Ql = 69 + 240 = 309 kN > Qo,red = 282 kN Dieser Wert liegt um knapp 10 % über dem mit offenen Segmentfugen als aufnehmbar vermuteten. 72

Bemessungsbeispiel

11.4 Hinweise zur wirklichkeitsnahen Bemessung Wie die Nachrechnung verschiedener Versuche mit Segmentträgern bei Vorspannung ohne und mit Verbund aus den Jahren 1942 bis 1997 im vorausgegangenen Abschnitt zeigt, bereitet es keine Schwierigkeiten, die Tragfähigkeit solcher Segmentträger auch unter kombinierten Beanspruchungen ohne Verwendung des aufwendigen Fachwerkmodells zutreffend vorauszusagen. Überschreiten die vorhandenen Biegemomente eines vorgespannten Segmentträgers die Dekompressionsmomente der betroffenen Querschnitte (d.h. es treten Zugspannungen auf), so wird die Tragfähigkeit auf Schub und Torsion vermindert. Dieser unerwünschte Zustand muss durch eine ausreichend große Druckspannungsreserve (= übervolle Vorspannung) verhindert werden. Hauptursache unerwarteter Fugenöffnungen sind ungleichmäßige Temperaturverteilungen im Querschnitt. Es empfiehlt sich daher, bei der Möglichkeit direkter Sonneneinstrahlung eine Druckspannungsreserve von 2,0 MN/m2 vorzusehen und in den übrigen Fällen eine solche von 1,0 MN/m2. Im Übrigen können alle erforderlichen Tragfähigkeitsnachweise mit den Formeln der vorausgegangenen Abschnitte 3 (Biegung), 4 (Schub) und 5 (Torsion) erbracht werden, wenn die Schersicherheit der Segmentfugen zusätzlich mit den Gin. (11.1) bis (11.3) nachgewiesen wird.

11.5 Bemessungsbeispiel eines Segmentträgers mit Ortbetonplatte Zur Erläuterung des Rechengangs wird nun noch ein amerikanischer Langzeitversuch an einem großen Segmentträger mit Ortbetonplatte, der sich über mehr als zwei Jahre erstreckte, ausführlich nachgerechnet. Der Segmentquerschnitt (Bild 11.20) ist 147 cm hoch, die Flansche sind 61 cm breit und der Steg ist 12,7 cm dick. Seine Querschnittsfläche misst A - 0,352 m2 und sein Trägheitsmoment / = 0,1036 m4. Die Schwerlinie liegt 71 cm über der Unterkante und die beiden Widerstandsmomente betragen W0 = 0,1363 m3 bzw. Wa = 0,1459 m3. Der Träger (Bild 11.22) bestand aus 11 Segmenten mit Klebefugen. Die Segmente waren Mann an Mann betoniert worden. Ihre 28 Tage-Druckfestigkeit betrug Rc = 51,7 MN/m2. Die Kontaktflächen wurden sandgestrahlt. Der Epoxidharzmörtel mit einer Topfzeit von 25 Minuten wurde in einer Schichtdicke von 1,5 bis 3,0 mm aufgetragen. Nachdem die letzte Epoxidharzfuge 24 Stunden alt war, wurden die Montagehalterungen entfernt und die beiden Spannglieder aus je 12 0 12,7 mm-Litzen eingezogen und an einem Ende mit 1,655 MN gespannt. Auf Grund der Reibungsbeiwerte k = 0,0002/m und fi = 0,20 errechnete sich die Spannkraft in Trägermitte zu 2,905 MN. Der Segmentträger hob sich beim Spannen um 19 mm. Anschließend wurden die beiden Hüllrohre mit reiner Zementmilch verpresst. Zwei Tage später wurde der Träger auf seine Lager in Form von Neoprene-Platten versetzt. Acht Tage nach der Vorspannung des Trägers wurde die 183 cm breite und 15 cm dicke Ortbetonplatte erstellt. Die gemessenen Durchbiegungen wiesen eine interessante Besonderheit auf. Unmittelbar 73

5.1 \l

Segmentträger

=CT

^

—. B7 £

[O

J

OD :S8 I-

u

iz

£ 3 "S a +

O

o o o o in in in in CN CN

1

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ii o\ o

-H* CO*

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co co CO CO

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OS

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Mortada 1936

CM

u

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CN

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SO

co co 1 1

CN SO CO CO

1

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co co

ii Os Os ""t •*0 0 00* 1 1 co co in m CO CO

1

CN (N

CN

SO

in

co t-^ in*

1 1

1

CO

1

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