Was ist Mathematik?, 5. Auflage

Was ist Mathematik? Richard Courant · Herbert Robbins Was ist Mathematik? Fünfte, unveränderte Auflage Mit 287 Abbil...

Author: Richard Courant | Herbert Robbins

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Was ist Mathematik?

Richard Courant · Herbert Robbins

Was ist Mathematik? Fünfte, unveränderte Auflage Mit 287 Abbildungen

123

Richard Courant (1888–1972) New York University Courant Institute of Mathematical Sciences New York, USA

Herbert Robbins (1915–2001) Rutgers University Department of Mathematics Piscataway, USA

Die Fotovorlage für die Abbildung von Richard Courant auf der Einbandvorderseite wurde dem Band C. Reid: „Courant“, Springer-Verlag, 1996, entnommen. Die Fotovorlage für die Abbildung von Herbert Robbins auf der Einbandvorderseite wurde dem Band Donald. J. Albers, G.L. Alexanderson (Eds.): „Mathematical People, Profiles and Interviews“ mit freundlicher Genehmigung des Birkhäuser Verlags Basel entnommen. Das englische Original dieses Buches erschien seit dem Jahre 1941 unter dem Titel WHAT IS MATHEMATICS? im Verlage der Oxford University Press, New York, in neun Auflagen. Die vorliegende autorisierte Übersetzung stammt von Dr. Iris Runge und wurde von Dr. Arnold Kirsch und Brigitte Rellich bearbeitet.

ISBN 978-3-642-13700-6 e-ISBN 978-3-642-13701-3 DOI 10.1007/978-3-642-13701-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (1991): 00-01, 00A05 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1962, 1967, 1973, 1992, 2001 (Hardcover), 2010 (Softcover) Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Dem Andenken an

Franz Rellich gewidmet

Vorwort zur vierten Ausgabe Richard Courant hatte immer etwas Skrupel wegen des Buchtitels "Was ist Mathematik?", fand er ibn doch "ein klein wenig unehrlich". Diese Bedenken wurden, wenn nicht behoben, so doch gemildert durch einen Ratschlag, den ihm Thomas Mann gab, und von dem Courant oft und mit sichtlichem Vergniigen erzahlte·). Bei einer Abendgese11schaft in Princeton, Courants attester Sohn Ernst hatte gerade den Doktortitel erworben und Thomas Mann den Grad eines Ehrendoktors erhalten, kam Courant neben dem Dichter zu sitzen. Er lieS sich die Gelegenheit nicht entgehen, den beriihmten Autor zu fragen, ob er sein Buch "Was ist Mathematik?" oder doch lieber "Mathematische Untersuchungen grundlegender elementarer Probleme fiir das allgemeine Publikum" nennen sol1te. Mann entgegnete, zwar konne er Courant nicht raten, aber er wolle ihm von seiner eigenen Erfahrung berichten. Vor einiger Zeit niimlich habe seine Lotte in Weimar in einer englischen Obersetzung bei einem amerikanischen Verlag erscheinen sol1en. Da sei sein Verleger, Mr. Knopf, zu ibm gekommen und habe gesagt: "Herr Mann, wir sol1ten uns noch einmal iiber den Titel Ihres Buches unterhalten. Meine Frau, die in solchen Dingen ein ausgezeichnetes Gespiir hat, meint, wir sol1ten das Buch The Beloved Returns nennen." Als der Autor ein gewisses Unbehagen iiber dies en Vorschlag auSerte und meinte, schlieSlich tauge Lotte in Weimar ebensogut als deutscher wie als englischer Titel, habe Knopf gesagt: "Herr Mann, Sie haben ja durchaus recht, aber bitte bedenken Sie: Wenn wir Ihr Buch unter dem Titel Lotte in Weimar herausbringen, werden wir vie11eicht 10000 Exemplare absetzen; nennen wir es aber The Beloved Returns, so verkaufen wir 100 000 StUck." "Darauf", so Mann, "habe ich mich entschieden, fUr The Beloved Returns". Courant wahlte den Titel "What is Mathematics?" Was also ist Mathematik? Courant und Robbins geben eine Antwort, der wohl die meisten Mathematiker zustimmen konnen, namlich, daB man nicht iiber Mathematik philosophieren, sondern sich mit ihr beschaftigen solI. Freilich, so Euklid, gibt es keinen bequemen Konigsweg in die Mathematik, und daher kommt es schon darauf an, welchen Fiihrern man folgen will, wenn die Reise in die Mathematik Erkenntnis und Vergniigen bringen solI. Es ist wohltuend, daB die beiden Autoren die Mathematik nicht als Sammlung unzusammenhangender Probleme, als Ratselecke der Naturwissenschaften darste11en, sondern dem Leser einen Einblick in das innere GefUge der Mathematik und ihre historische Entwicklung gewahren. Zugleich zeigen sie ihm, worin die Starke der Mathematik besteht, namlich in der engen Verbindung von Problemanalyse, Intuition und abstrakt-integrativem Denken. Die Bedeutung des letzteren, von Mathematikern als Axiomatik bezeichnet, kann man gar nicht hoch genug veranschlagen fUr die Erfolge der Mathematik. Andererseits lauft die axiomatische Methode leicht ins Leere, wenn sie nicht mit der Anschauung, der Intuition und *) Vgl. Constance Reid, Courant, iibersetzt von Jeanette Zehnder-Reitinger, Springer-Verlag 1979, Seite 272.

VIII

Vorwort zur vierten Ausgabe

der Einsicht in den organischen inneren Zusammenhang der verschiedenen mathematischen Gebiete gepaart ist. In bester Absicht wird zuweilen die axiomatische Methode iiberbetont oder gar als allein selig machender Weg gepriesen, wo es doch auch angebracht ware, die Phantasie des Lesers zu starken und seine schopferische Kraft anzuregen. So schrieb schon Lagrange 1788 in seiner Analytischen Mathematik: "Man findet in diesem Werk keine Figur. Die hier angewandten Methoden erfordem weder Konstruktionen noch geometrische oder mechanische Schliisse. Algebraische Operationen aIlein geniigen, die auf einem regularen und einformigen Wege ausgefUhrt werden." Ganz ahnlich auBerte sich Dieudonne, einer der Vater von Bourbaki, im Vorwort seiner Grundlagen der modernen Analysis (1960): Axiomatische Methoden seien strikt zu befolgen ohne jedweden Appell an die "geometrische Intuition", zumindest in den formalen Beweisen, und diese Notwendigkeit habe er dadurch betont, daB absichtlich kein einziges Diagramm in seinem Buch zu finden ware. Freilich hat auch die Mathematik ibre Moden, und inzwischen ist der puristische Standpunkt wieder einmal der Einsicht gewichen, daB man das eine tun kann, ohne das andere zu lassen. Die Anziehungskraft von Arnolds Mathematischen Methoden der klassischen Mechanik besteht unter anderem darin, daB viele hilfreiche Figuren die Anschauungskraft des Lesers stiitzen und ibm das Verstandnis der abstrakten Begriffsbildungen erleichtem. Zum Gliick sind auch Courant und Robbins keine Dogmatiker, sondem zeigen uns die Vielfalt mathematischen Denkens, also die gebaIlte Kraft der axiomatischen Methode und die belebende, anregende Wirkung einer gliicklich gewahlten Figur, die das Denken befliigelt und den Beweisgang in die richtige Bahn lenkt. AuBer der Anschaulichen Geometrie von Hilbert und Cohn-Vossen kenne ich kein fUr einen breiten Leserkreis geschriebenes Buch iiber Mathematik, das dem Geist, dem Charakter und der Schonheit dieser Wissenschaft so gerecht wird wie das vorIiegende. Obwohl seit seinem Erscheinen ein halbes Jahrhundert vergangen ist, scheint es mir so frisch, lebendig und aktuell zu sein wie am ersten Tag, was unter anderem auch im Verzicht auf billige Moden undEffekthascherei begriindet sein mag; die schone schlichte Sprache tut ein iibriges. Was ist Mathematik? ist fUr Leser jeden Alters und jeder Vorbildung gedacht, sofem sie nur Ausdauer und etwas intellektuelle Fahigkeiten mitbringen. Den Schiiler wird die Fiille und Vielgestalt der beschriebenen mathematischen Probleme reizen und anspomen, seine geistigen Krafte zu erproben. Studenten werden vielleicht zu diesem Buch greifen, wenn sie die Orientierung zu verlieren meinen und sich den Ausgangspunkt der modemen Mathematik vor Augen fiihren wollen. Hier ist die Einheit mathematischen Denkens in der Vielgestalt seiner Ideen, Methoden und Resultate meisterhaft dargestellt. GymnasiaIlehrer finden eine reiche Auswahl an Beispielen aIler Schwierigkeitsstufen aus den verschiedensten Gebieten - Zahlentheorie, geometrische Konstruktionen, nichteuklidisch~ und projektive Geometrie, Kegelschnitte, Topologie, Extremalaufgaben, Infinitesimalrechnung -, mit denen sich der Unterricht be-

IX

Vorwort zur ersten deutschen Ausgabe

leben last, undo rur Arbeitsgemeinschaften und Leistungskurse gibt es vielfaItige interessante Anregungen. Auch Universitatsdozenten werden mit Gewinn zu diesem Buch greifen, zeigen ihnen doch zwei Meister ihres Faches, wie sich mathematischer Stoff fesselnd und verstindlich darstellen last ohne billige Kompromisse hinsichclich Strenge der Beweisfiihrung. Freilich scheuen sich die Autoren nicht, auch Pseudobeweise vorzufiihren, wenn diese einen wirklichen Erkenntniswert haben und ein technisch perfekter Beweis nur dem geschulten Mathematiker zuzumuten ware. Beispiele solcherart Beweise sind Johann Bemoullis Losung des Brachystochronenproblems und die faszinierende Herleitung des Primzahlsatzes aus statistischen Annahmen. Der Abschnitt iiber Minimalflachen, Seifenhautexperimente, Steinerproblem und isoperimetrische Aufgaben wird jedermann fesseln, den Kenner ebensogut wie den Anfanger. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis geniigt, den Leser in erwartungsvolle Spannung zu versetzen. Ich freue mich, daB der Springer-Verlag Was ist Mathematik? wieder aufgelegt hat. Dieses klassische Werk sollte in der Bibliothek jedes Gebildeten stehen, gleich neben Lotte in Weimar. Bonn, den 11. Mai 1992

S.

HILDEBRANDT

Vorwort zur etsten deutschen Ausgabe In der Zeit seit dem Erscheinen der ersten Auflage von "What is Mathematics" ? im Jahre 1941 ist das allgemeine Interesse an der Mathematik uberall erheblich gestiegen. Es wird durch den Unterricht in Schulen und Hochschulen meistens nicht recht befriedigt, trotz mancher Bestrebungen zur Unterrichtsreform. Und doch besteht bei vielen Menschen, ungeachtet der Stufe ihrer Ausbildung, der Wunsch nach einem Verstandnis dessen, was die Mathematik als das Produkt einer J ahrtausende alten Tradition und als ein integrierender Bestandteil unserer Kultur bedeutet. Ausgezeichnete populare Bucher haben dieses Interesse stimuliert. Aber ein wirkliches Verstiindnis kann nicht von auBen durch muhelose Lektiire gewonnen werden, sondem nur durch emsten Kontakt mit dem Inhalt der lebendigen Mathematik. Das vorliegende Werk versucht, den Leser von einem durchaus elementaren Niveau ohne Umwege zu Aussichtspunkten zu fuhren, von denen man einen Einblick in die Substanz der neueren Mathematik gewinnt. Es ist insofern elementar, als es keine Vorkenntnisse uber die gelaufige Schulmathematik hinaus erfordert. Es vermeidet unnotige Komplikationen und die leider so oft geubte dogmatische Darstellungsform, welche Wurzeln, Motive und Ziele der Mathematik verschleiert. Aber trotz allen Bemuhens, so direkt wie moglich den Kern mathematischer Entwicklungen verstiindlich zu machen, kann dem Leser nicht jede Anstrengung erspart bleiben: ein gewisser Grad von intellektueller Reife und Bereitschaft zum eigenen Nachdenken ist erforderlich.

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Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe

Das Buch wendet sich an einen weiten Kreis: an SchUler und Lehrer, an Anfanger und Gelehrte, an Philosophen und Ingenieure. Es mag vielleicht als Erganzung zu FELIX KLEIN8 klassischem Werke "Elementarmathematik vom hOheren Standpunkte" betrachtet werden, indem es "hOhere Mathematik" von einem elementaren Standpunkte behandelt. Das Buch ist in mehr als 10 J ahren intensiver Vorbereitung entstanden. Den zahlreichen Freunden und Helfem, welche in jenen Jahren mitgearbeitet haben, kann ich hier nicht im einzelnen danken. Wahrend der letzten zwei Jahre vor dem Erscheinen des englischen Originals hat Dr. HERBERT ROBBINS, damals Instructor an der New York University, jetzt Professor der mathematischen Statistik an der Columbia University, als Assistent bei der Fertigstellung des Manuskriptes und bei der Drucklegung sehr wesentliche Hilfe geleistet. Wenn auch die Verantwortung flir den Plan und den Inhalt des Buches bei dem unterzeichnenden Autor liegt, so soll doch der Name von HERBERT ROBBINS auf dem Titelblatt zum Ausdruck bringen, daB seine Mitarbeit in den letzten Stadien der Vorbereitung flir die endgiiltige Form des Originals wesentlich war. Flir die Dbersetzung ins Deutsche und flir die Bearbeitung des Manuskriptes sowie flir das Korrekturlesen danke ich Frau Dr. IRIS RUNGE, Herrn Dr. ARNOLD KIRSCH, Frau BRIGITTE RELLICH, Frau LISELOTTE JANKE und Herm DIETER SCHMITT; dieser hat liberdies das Sachverzeichnis angefertigt. Die vorliegende deutsche Ausgabe ist dem Andenken meines unersetzlichen Freundes FRANZ RELLICH gewidmet. Arosa, Februar 1962

RICHARD COURANT

Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe Die vorliegende Ausgabe unterscheidet sich von der ersten durch einige Korrekturen und Erganzungen, die ich hauptsachlich meinen Freunden OTTO NEUGEBAUER in Providence und CARL LUDWIG SIEGEL in G6ttingen verdanke. New Rochelle, N. Y. Oktober 1966

RICHARD COURANT

Ratschlage fur die Leser Es ist keineswegs notig, daB dieses Buch Seite fUr Seite, Kapitel fur Kapitel durchstudiert wird. Trotz der systematischen Anordnung sind die einzelnen Abschnitte weitgehend unabhangig voneinander. Oft sind die ersten Teile der Kapitel leichter zu verstehen als die darauffolgenden Entwicklungen. Der Leser, der vor allem einen allgemeinen 'Oberblick gewinnen will, mag sich mit einer Auswahl des Stoffes begnugen und viele ins Einzelne gehende Diskussionen auslassen. Ebenso sollte ein ungeubter Leser mit nur geringen Vorkenntnissen sich zunachst auf solche Teile der Darstellung beschranken, die ihm ohne groBe Schwierigkeiten zuganglich sind und sein Interesse erregen. AusfUhrungen, welche solche Leser uberschlagen mogen, sind durch Kleindruck oder durch Sternchen (*) bezeichnet. Viele der Aufgaben haben keinen Routinecharakter; manche sind schwierig. Wer die Losung nieht leicht findet, braucht sich nicht zu beunruhigen. Lehrer, die das Bueh zur Erganzung des Unterrichts an hOheren Sehulen benutzen wollen, seien auf die Abschnitte uber geometrische Konstruktionen und fiber Maxima und Minima hingewiesen. Die Kapitel VI und VIII bilden eine zusammenhangende EinfUhrung in die Differential- und Integralrechnung vom Standpunkt des ansehaulichen Verstandnisses; in den Handen eines Lehrers, der erganzendes Material an Aufgaben und Beispielen heranziehen will, mogen diese Kapitel eine brauehbare Grundlage fUr systematischen Klassenunterrieht geben. - Vielfache Erfahrungen mit dem Original haben gezeigt, daB auch im Hoehschulunterrieht das Buch nfitzlich sein kann, wenn es sich urn unkonventionelle 'Obersichtskurse oder Kurse fUr die Lehrerbildung handelt. Alles in allern ist zu hoffen, daB auch die vorliegende deutsehe Ausgabe eine vielfaehe Anwendungsmoglichkeit bietet.

Inhaltsverzeichnis Vorwort zur vierten Ausgabe

.. vn

Vorwort zur Deutschen Ausgabe .

. .. XIV

Ratschlii.ge fUr die Leser

.

Was ist Mathematik? . .

XI

. XIX

Erstes Kapitel Die natiirUchen Zahlen Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . . .

1

§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 1. Gesetze der Arithmetik S. 1 - 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen S. 4 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen S. 6 § 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion . . . . . . . 1. Das Prinzip der mathematisehen Induktion S. 8 - 2. Die arithmetisehe Reihe

8

S. 10 - 3. Die geometrisehe Reihe S. 11 - 4. Die Summe der ersten n Quadrate S. 12 - 5. Eine wiehtige Ungleiehung S. 13 - 6. Der binomisehe Satz S. 13 -7. Weitere Bemerkungen zur mathematisehen Induktion S. 15 Erganzung zu Kapitel 1. Zahlentheorie .

17

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

§ 1. Die Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . • 1. Grundtatsachen S. 17 - 2. Die Verteilung der Primzahlen S. 20 - a) Formeln

17

zur Konstruktion von Primzahlen S. 21 - b) Primzahlen in arithmetischen Folgen S. 21 - e) Der Primzahlsatz S. 22 - d) Zwei ungeloste Probleme, die Primzahlen betreffen S. 24 § 2. Kongruenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1. Grundbegrifie S. 26 - 2. Der kleine Fermatsche Satz S. 30 - 3. Quadratisehe Reste S. 31 § 3. Pythagoreisehe Zahlen und groBer Fermatseher Satz

32

§ 4. Der euklidisehe Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die allgemeine Theorie S. 34 - 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der

34

Arithmetik S.38 - 3. EULltlU tp-Funktion. Noehmals kleiner Fermatseher Satz S. 39 - 4. Kettenbriiehe. Diophantisehe Gleiehungen S. 40 Zweites Kapitel Einleitung

Das Zahlensystem der Mathematik .................................

§ 1. Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Messen und Zahlen S. 42 - 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen.

42 42

Prinzip der Verallgemeinerung S.44 - 3. Geometrisehe Deutung der rationalen Zahlen S. 46 § 2. Inkommensurable Streeken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff . . .

1. Einleitung S. 47 - 2. Unendliehe Dezimalbriiehe S. 49 - 3. Grenzwerte. Unendliehe geometrische Reihen S. 51- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimalbriiehe S. 54 - 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen dureh Intervallschaehtelungen S. 55 - 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsehe Sehnitte S. 57

47

XIV

Inhaltsverzeichnis

§ 3. Bemerkungen fiber analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 58 1. Das Grundprinzip S. 58 - 2. Gleichungen von Geraden und Kurven s. 59 62 § 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen. . . . . . . . . . . . . . 1. Grundbegri1Ie S. 62 - 2. Die Abziihlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums S. 63 - 3. CANTORS "Kardinalzahlen" S. 67 4. Die indirekte Beweismethode S. 68 - 5. Die Paradoxien des Unendlichen S. 69 6. Die Grundlagen der Mathematik S. 70 § 5. Komplexe Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen S. 71 - 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen S. 74 - 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln S. 78 4. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 80 § 6. Algebraische und transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1. Definition und Existenz S. 82 - Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen S. 83 Erganzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra). . . . . . . . . . . . 1. Allgemeine Theorie S. 86 - 2. Anwendung auf die mathematische Logik S. 89 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 91

86

Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlldirper ZahlkOrper. . Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . .

I. TeiI. UnmOgIichkeitsbeweise und Algebra . § 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen

93 93

95 95

1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln S. 95 - 2. Regelma.6ige Vielecke S. 97 - 3. Das Problem des Apollonius S. 99 § 2. Konstruierbare Zahlen und ZahlkOrper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1. Allgemeine Theorie S. 101 - 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch S.106 § 3. Die Unl6sbarkeit der drei griechischen Probleme . . . . . . . . . . . . . . 107 1. Verdoppelung des Wfirfels S. 107 - 2. Ein Satz fiber kubische Gleichungen S. 108 - 3. WinkeldreiteiIung S. 109 - 4. Das regelma.6ige Siebeneck S. 111 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises S. 112

II. TeiI. Verschiedene Konstruktionsmethoden. .

112 § 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 1. Allgemeine Bemerkungen S. 112 - 2. Eigenschaften der Inversion S. 113 3. Geometrische Konstruktion inverser Punkte S. 115 - 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein S. 116 § 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Wfirfels S. 117 - Beschril.nkung auf die Benutzung des Zirkels allein S. 117 - 3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten. Mechanische Kurven. Zykloiden. S. 121 - 4. Gelenkmechanismen. PEAUCELLIERS und HARTS Inversoren. S. 123 125 § 6. Weiteres fiber die Inversion und ihre Anwendungen . . . . . . . . 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen S. 125 - 2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS S. 127 - 3. Mehrfache Refiexionen S. 128 Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik. NichteukUdische Geometrien 130 § 1. Einleitung . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Klassifizierung geometrischerEigenschaften. Invarianz bei Transformationen S. 130 - 2. Projektive Transformationen S. 131

Inhaltsverzeichnis

xv

§ 2. Grundlegende Begrifie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen S. 132 - 2. Der Satz von DEsAI!GUES S. 134 § 3. Das Doppelverhliltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Definition und Beweis der Invarianz S. 135 - 2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit S. 139 § 4. Parallelitat und Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Unendlich ferne Punkte als .. uneigentliche Punkte" S. 140 - 2. Uneigentliche Elemente und Projektion S. 143 - 3. Doppeiverhllltnisse mit unendlich femen Elementen S. 144 § 5. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Vorbereitende Bemerkungen S. 144 - 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene S. 145 - 3. Der Pascalsche Satz S. 146 - 4. Der Satz von BRIANCHON S. 147 5. Das Dualitatsprinzip S. 147 § 6. Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 1. Einleitende Bemerkungen S. 148 - 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat S. 149 § 7. Aufgaben iiber Konstruktionen mit dem Lineal allein . . . . . . . . . . . . § 8. Kegelschnitte und Flachen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . • . . 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte S. 153 - 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte S. 156 - 3. Kegelschnitte als Hiillkurven S. 158 4. Pascals und Brianchons allgemeine Satze fiir Kegelschnitte S. 161 - 5. Das Hyperboloid S. 162 § 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die axiomatische Methode S. 163 - 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie S. 166 - 3. Geometrie und Wirklichkeit S. 170 - 4. Poinca.res Modell S. 171 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie S. 172 Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen . . . . • . • . . . . . . . . . . 1. Einleitung S. 174 - 2. Die analytische Definition S. 174 - 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition S. 176

Fiinftes Kapitel Topologie Einleitung . . . . . . . . . . . § 1. Die Eulersche Polyederformel . . . . . . § 2. Topologische Eigenschaften von Figuren. . 1. Topologische Eigenschaften S. 184 - 2. Zusammenhang S. 185 § 3. Andere Beispiele topologischer Sitze. • • . . . . . . . . • . 1. Der Jordansche Kurvensatz S. 186 - 2. Das Vierfarbenproblem S. 188 - 3. Der Begrifi der Dimension S. 189 - 4. Ein Fixpunktsatz S. 192 - 5. Knoten S. 195 § 4. Topologische Klassifikation der Flli.chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Das Geschlecht einer Flache S. 195 - 2. Die Eulersche Charakteristik einer Fliiche S. 197 - 3. Einseitige Flli.chen S. 198 Anhang . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der Fiinffarbensatz S. 200 - 2. Der Jordansche Kurvensatz fiir Polygone S. 202 3. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 204

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180 181 184 186 195

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Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte Einleitung • . . . . . . . . 207 § 1. Variable und Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 208 1. Definitionen und Beispiele S. 208 - 2. Das BogenmaB eines Winkels S. 211 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen S. 212 - 4. Zusammengesetzte Funktionen S. 214 - 5. Stetigkeit S. 215 -6. Funktionen von mehreren Verii.nderlichen S. 217 -7. Funktionen und Transformationen S. 219

XVI

Inhaltsverzeichnis

§ 2. Grenzwerte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1. Der Grenzwert einer Folge a" S. 220 - 2. Monotone Folgen S. 224 - 3. Die Eulersche lahl e S. 226 - 4. Die lahl n S. 227 - 5. Kettenbrtiche S. 229 § 3. Grenzwerte bei stetiger Annaherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1. Einieitung. Allgemeine Definition S.231 - 2. Bemerkungen zum Begriff des sin x Grenzwertes S. 232 - 3. Der Grenzwert von - - S.234 - 4. Grenzwerte flir

x_ 00 S.235

x

§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 § 5. lwei grundlegende Satze tiber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . 237 1. Der Satz von BOLZANO S. 237 - 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes S. 238 - 3. Der Satz von WEIERSTRASS tiber Extremwerte S. 239 - 4. Ein Satz tiber lahlenfolgen. Kompakte Mengen S. 240 § 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO . . . . . . . . . . . . . . . 241 1. Geometrische Anwendungen S. 241 - 2. Anwendung auf ein mechanisches Problem S. 243

Erganzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele flir Grenzwerte und Stetigkeit. . . . . . _245 § 1. Beispiele von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 1. Allgemeine Bemerkungen S. 245 - 2. Der Grenzwert von q" S. 245 - 3. Der Grenz-

.. Vp

wert von S. 246 - 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen S. 247 - 5. Grenzwerte durch Iteration S. 248 § 2. Ein Beispiel flir Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Siebentes Kapitel Maxima und Minima Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 § 1. Probleme aus der elementaren Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten S. 252 - 2. Der

§ 2. § 3.

§ 4.

§ 5.

§ 6.

§ 7.

§ 8.

Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen S. 252 - 3. Anwendungen auf Probleme ftir Dreiecke S. 253 - 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften S. 254 - 5. Extreme Abstande von einer gegebenen Kurve S. 256 Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen 1. Das Prinzip S. 258- 2. Beispiele S. 259 Stationare Punkte und Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Extremwerte und stationare Punkte S. 260 - 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte S. 261 - 3. Minimaxpunkte und Topologie S. 262 - 4. Der Abstand eines Punktes von einer FliI.che S. 263 Das Schwarzsche Dreiecksproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der Schwarzsche Spiegelungsbeweis S. 264 - 2. Ein zweiter Beweis S. 265 3. Stumpfwinklige Dreiecke S. 267 - 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen S. 267 - 5. Bemerkungen tiber Refiexionsprobleme und ergodische Bewegung S. 268 Das Steinersche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Das Problem und seine LOsung S. 269 - 2. Diskussion der beiden Altemativen S. 270 - 3. Ein komplementil.res Problem S. 272 - 4. Bemerkungen und Obungen S. 272 - 5. VeraIlgemeinerung auf das StraBennetz-Problem S. 273 Extrema und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GraBen S. 274 2. VeraIlgemeinerung auf n Variablen S.275 - 3. Die Methode der kIeinsten Quadrate S. 276 Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip . . . . . . . . . . 1. Allgemeine Bemerkungen S. 277 - 2. Beispiele S. 279 - 3. Elementare Extremalprobleme S. 280 - 4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen S. 282 Das isoperimetrische Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258 260

264

269

274

277

283

Inhaltsverzeichnis

XVII

§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steiner-

schen Problem und dem isoperimetrischen Problem . . '. . . . . . . . . . . 285 § 10. Die Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

1. Einleitung S. 288 - 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der

Optik S. 289 - 3. BERNOULLIs Behandlung des Problems derBrachystochrone S.290 - 4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und MaxiMinima S. 291 § 11. Experimentelle LOsungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente. . . 292

1. Einfiihrung S. 292 - 2. Seifenhautexperimente S. 293 - 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem S. 294 - 4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme S. 297 Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 § 1. Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

1. Der Flacheninhalt als Grenzwert S. 303 - 2. Das Integral S. 304 - 3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition S. 307 - 4. Beispiele. Integration von ~ S. 308 - 5. Regeln der Integralrechnung S. 312 § 2. Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

1. Die Ableitung als Steigung S. 315 - 2. Die Ableitung als Grenzwert S.316 3. Beispiele S. 317 - 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen S. 320 5. Differentiation und Stetigkeit S. 320 - 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung S. 321 -7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung S. 323 - 8. Maxima und Minima S. 324 § 3. Die Technik des Differenzierens. . . . . . . . . . . . .

324

§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das .. Unendlich Kleine" .

329

§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 1. Der Fundamentalsatz S. 331 - 2. Erste Anwendungen. Integration sinx, arc tanx S. 334 - 3. Die Leibnizsche Formel fiir n S. 336

331 von~,

cou,

§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus. . . . . . . . . . . . . . . 337 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e S. 337 - 2. Die Exponentialfunktion S. 339 - 3. Differentiationsformeln fiir 8", a", x' S.341 4. Explizite Ausdriicke fiir e, e" und lnx als Limites S. 342 - 5. Unendliche Reihen fiir den Logarithmus. Numerische Berechnung S. 344 § 7. Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 1. Definition S. 346 - 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins S. 346 - 3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen S. 349 - 4. NEWTONS Grundgesetz der Dynamik S. 351 Erganzung zu KapiteJ VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 § 1. Grundsatzliche Fragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

1. Differenzierbarkeit S. 353 - 2. Das Integral S. 355 - 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lange S. 355 § 2. GrOBenordnungen. . • . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x S. 358 - 2. Die GrOBenordnung von ln (n I) S. 360 § 3. Unendliche Reihen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1. Unendliche Reihen von Funktionen S. 361 - 2. Die Eulersche Formel cos x + i sinx= e' • S.365 - 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fiir den Sinus S. 367

§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden. . . . . . . . . . . 369

XVIII

Inhaltsverzeichnis Anhang

Ergli.nzungen, Probleme und Ubungsaufgaben

373

Arithmetik und Algebra

373

Analytische Geometrie .

374

Geometrische Konstruktionen

379

Projektive und nichteuklidische Geometrie

380

Topologie . . . . . . . . . . . . .

381

Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.

384

Maxima und Minima

384

Infinitesimalrechnung' .

386

Integrationstechnik . .

388

Hinweise auf weiterfiihrende Literatur .

392

Namen- und Sachverze.ichnis •.

394

Was ist Mathematik? Die Mathematik ist tief im menschlichen Denken verankert. Betrachtender Verstand, untemehmender Wille, iisthetisches Gefiihl finden in ihr den reinsten Ausdruck. Sie vereint Logik und Anschauung, Analyse und Konstruktion, Individualitiit der Erscheinungen und Abstraktion der Formen. Wenn auch Mode oder Tradition den einen oder anderen Gesichtspunkt betonen m6gen, so beruht doch auf dem Zusammenspiel dieser Antithesen und dem Streben nach Synthese die Vitalitiit und der letzte Wert der mathematischen Wissenschaft. Zweifellos ist die Entwicklung der Mathematik in allen ihren Zweigen urspriinglich von praktischen Bediirfnissen und von Beobachtungen realer Dinge angeregt worden, selbst wenn dieser Zusammenhang im Unterricht und in der spezialisierten Forschung vergessen wird. Aber einmal begonnen unter dem Druck notwendiger Anwendungen, gewinnt eine mathematische Entwicklung ihren eigenen Schwung, der meistens weit iiber die Grenzen unmittelbarer Niitzlichkeit hinausfiihrt. Dieser "Obergang von der angewandten zur theoretischen Wissenschaft zeigt sich in der antiken Entwicklung ebenso wie in vielen Beitriigen von Ingenieuren und Physikem zur modemen Mathematik. Die Geschichte der Mathematik beginnt im Orient, wo urn 2000 v. Chr. die Babylonier ein reiches Material sammelten, das wir heute in die elementare Algebra einordnen wiirden. Jedoch als Wissenschaft im modemen Sinne tritt die Mathematik erst spiiter auf griechischem Boden im 5. und 4. Jahrhundert v. Chr. hervor. Kontakte zwischen dem Orient und Griechenland, die zur Zeit des persischen Reiches begannen und in der Zeit nach ALEXANDER einen H6hepunkt erreichten, machten die Griechen mehr und mehr mit den Leistungen der babylonischen Mathematik und Astronomie vertraut. Bald wurde die Mathematik Gegenstand der philosophischen Diskussionen in den intellektuellen Kreisen der griechischen Stadtstaaten. Griechische Denker erkannten die groBen Schwierigkeiten in den Begriffen der Stetigkeit, der Bewegung, des Unendlichen und in dem Problem der Messung beliebiger Gr6Ben mittels gegebener Einheiten. Diese Schwierigkeiten wurden in bewundemswerter Weise ge16st. Das Ergebnis war EUDOXUS' Theorie des geometrischen Kontinuums, eine Leistung, die erst mehr als 2000 Jahre spiiter in der modemen Theorie der IrrationaIzahlen ihresgleichen fand. Die deduktiv-axiomatische Richtung in der Mathematik entstand zur Zeit des EUDOXUS und kristallisierte sich spiiter in EUKLIDI "Elementen". Wenn auch die theoretische und axiomatische Einstellung der griechischen Mathematik eines ihrer wichtigen Kennzeichen bleibt und bis heute einen ungeheuren EinfluB ausgeiibt hat, so kann doch nicht stark genug betont werden, daB die Anwendungen und der Kontakt mit der physikalischen Wirklichkeit in der antiken Mathematik durchaus eine ebenso wichtige Rolle spielten und daB auch in der Antike haufig eine weniger strenge Darstellung als die euklidische vorgezogen wurde.

xx

Was ist Mathematik?

Die friihe Einsicht in die Schwierigkeiten, die mit "inkommensurablen" GraBen zusammenhangen, mag die Griechen davon abgeschreckt haben, die Kunst des Zahlenrechnens weiterzuftihren, obwohl sie im Orient schon weit entwicke1t war. Statt dessen bahnten sich die Griechen den Weg durch das Gestrupp der reinen axiomatischen Geometrie. So begann einer der merkwtirdigen Umwege der Wissenschaftsgeschichte, und vie1leicht wurde eine groBe Gelegenheit verpaBt. Das hohe Ansehen der geometrischen Tradition der Griechen verzogerte fast 2000 Jahre lang die unvermeidliche Weiterentwicklung des Zahlbegriffs und der algebraischen Methoden, we1che heute die Grundlage der Wissenschaft bilden. Nach einer langen Periode der Stagnation und langsamen Vorbereitung begann im 17. Jahrhundert eine Revolution in den mathematischen Wissenschaften mit der analytischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung. In einer wahren Orgie der Produktivitat eroberten die Pioniere der neuen Mathematik eine faszinierende Welt mathematischer Reichttimer. Die griechische Geometrie spielte weiter eine wichtige Rolle; aber das griechische Ideal der axiomatischen Kristallisation und strengen systematischen Deduktion verblaBte im 17. und 18. Jahrhundert. Logisch zwingende Beweise, schade Definitionen, klare Axiome erschienen den Pionieren der neuen Mathematik unwesentlich. Intuitives Geftihl fUr Zusammenhange und eine fast blinde "Oberzeugung von der Ubermenschlichen Kraft der neu erfundenen formalen Methoden, mit einer Beimischung von beinahe mystischem Vertrauen in das logisch nicht faBbare "unendlich Kleine" gaben den AnstoB zu neuen Eroberungen. Jedoch allm1i.hlich wurde die Ekstase des Fortschritts durch einen neu erwachenden Sinn der Selbstkritik abge1ost. 1m 19. Jahrhundert wurde das lange verdrangte Bediirfnis nach Sicherung der Ergebnisse und nach Klarheit unabweisbar, als sich nach der franzOsischen Revolution die Basis des wissenschaftlichen Lebens ungeheuer verbreiterte und die Beherrschung der neuen Methoden nicht einer kleinen Elite von Gelehrten mit sicherem mathematischen Instinkt vorbehalten bleiben konnte. Man wurde also gezwungen, die Grundlagen der neuen Mathematik zu revidieren und zu klaren; insbesondere war es natig, die Differential- und Integra1rechnung und ihren Grenzbegriff einem viel graBeren Kreise von Lemenden zuganglich zu machen. So wurde das 19. Jahrhundert nicht nur eine Periode neuer Fortschritte, sondem es war zugleich gekennzeichnet durch die edolgreiche Besinnung auf das klassische Ideal der Prazision und der strengen Beweise. In dieser Hinsicht Ubertraf es sogar das Vorbild der griechischen Wissenschaft. Mit der Zeit schlug das Pende1 nach der Seite der reinen Logik und Abstraktion aus, und zwar so weit, daB eine gef1ihrliche Trennung der "reinen" Mathematik von lebenswichtigen Anwendungsgebieten entstand. Vielleicht war eine solche Entfremdung zwischen den Mathematikem und anderen Wissenschaftlem in den Zeiten kritischer Revision unvermeidlich. Aber es scheint, und es ist jedenfalls zu hoffen, daB diese Periode der Isolation beendet ist. Die wiedergewonnene innere Starke und die ungeheure Vereinfachung. die durch das tiefere Verstandnis erreicht wurden. machen es heute maglich. die mathematische Theorie zu beherrschen. ohne die Anwendungen zu vemachl1i.ssigen. Eine neue organische Einheit von reiner und angewandter Wissenschaft und einen Ausgleich zwischen abstrakter Allgemeinheit und den farbigen. konkreten Erscheinungen zu schaffen. ist vielleicht die wichtigste Aufgabe fUr die nachste Zukunft.

Was ist Mathematik?

XXI

Eine pbilosophische Definition der Mathematik ist hier nicht angebracht. Nur auf einige Punkte soil hingewiesen werden. Die Betonung des deduktivaxiomatischen. Charakters der Mathematik birgt eine groBe Gefahr. Ailerdings entzieht sich das Element der konstruktiven Erfindung, der schOpferischen Intuition einer einfachen philosophischen Formulierung; dennoch bleibt es der Kern jeder mathematischen Leistung, selbst auf den abstraktesten Gebieten. Wenn die kristallisierte, deduktive Form das letzte Ziel ist, so sind Intuition und Konstruktion die treibenden Krafte. Der Lebensnerv der mathematischen Wissenschaft ist bedroht durch die Behauptung, Mathematik sei nichts anderes als ein System von Schlussen aus Definitionen und Annahmen, die zwar in sich widerspruchsfrei sein mussen, sonst aber von der Willkur des Mathematikers geschaffen werden. Ware das wahr, dann wiirde die Mathematik keinen intelligenten Menschen anziehen. Sie ware eine Spie1erei mit Definitionen, Regeln und Syilogismen ohne Ziel und Sinn. Die Vorsteilung, daB der Verstand sinnvoile Systeme von Postulaten frei erschaffen konnte, ist eine triigerische Halbwahrheit. Nur aus der Verantwortung gegen das organische Ganze, nur aus innerer Notwendigkeit heraus kann der freie Geist Ergebnisse von wissenschaftlichem Wert hervorbringen. Trotz der Gefahr der einseitigen Ubertreibung hat die Axiomatik zu einem tieferen Verstandnis der mathematischen Tatsachen und ihrer Zusammenhange und zu einer klareren Einsicht in das Wesen mathematischer Begriffe gefiihrt. Hieraus hat sich eine Auffassung entwickelt, welche uber die Mathematik hinaus fUr moderne Wissenschaft typisch ist. Welchen pbilosophischen Standpunkt wir auch immer einnehmen mogen, ffir die wissenschaftliche Beobachtung erschOpft sich ein Gegenstand in der Gesamtheitseiner moglichen Beziehungen zum beobachtenden Subjekt oder Instrument. Freilich, bloBe Beobachtung steilt noch keine Erkenntnis oder Einsicht dar; sie mull eingeordnet und gedeutet werden durch Beziehung auf ein zugrundeliegendes Etwas, ein "Ding an sich", das selbst nicht Gegenstand direkter Beobachtung sein kann, sondem zur Metaphysik gehort. Aber fur die wissenschaftliche Methode ist es wichtig, aile metaphysischen Elemente auszuschalten und die beobachtbaren Tatsachen als die einzige Queile ailer Vorsteilungen und Konstruktionen zu betrachten. Dieser Verzicht auf das Ziel, das "Ding an sich" zu verstehen, die "letzte Wahrheit" zu erkennen, das innerste Wesen der Welt zu entschleiern, mag fur naive Enthusiasten bitter sein; aber gerade er hat sich als eine der fruchtbarsten Wendungen im modernen Denken erwiesen. Entscheidende Erfolge in der Physik verdanken wir dem Festhalten an dem Prinzip der Ausschaltung des Metaphysischen. EINSTEIN reduzierte die Idee der Gleichzeitigkeit an verschiedenen Orten auf beobachtbare Erscheinungen; so wurde der naive Glaube an einen absoluten Sinn dieser Vorsteilung als metaphysisches Vorurteil erkannt und der Schlussel zur Relativitatstheorie gefunden. NIELS BOHR und seine Schiller gingen der Tatsache auf den Grund, daB jede physikalische Beobachtung von einer Einwirkung des beobachtenden Instruments auf das beobachtete Objekt begleitet sein muB; so wurde z. B. klar, daB die gleichzeitige scharfe Bestimmung von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens physikalisch unmoglich ist. Die weitreichenden Konsequenzen dieser Entdeckung sind heute jedem Wissenschaftler gelaufig. 1m 19. Jahrhundert herrschte die Auffassnng,

XXII

Was ist Mathematik?

daB mechanische Krafte und Bewegungen der Teilchen im Raum etwas "Wirkliches" waren. Das Phanomen der Warme wurde befriedigend auf dieser Basis verstanden, und man setzte sich das Ziel, auch Elektrizitat, Licht und Magnetismus auf mechanische Erscheinungen zurUckzufuhren und so zu "erklaren". Zu diesem Zweck wurde der "Ather" als einhypothetisches Medium erfunden, welcher zu noch nicht ganz erklarbaren, mechanischen Bewegungen fahig sein sollte. Langsam erkannte man, daB der Ather unbeobachtbar ist und zur Metaphysik gehOrt, nicht aber zur Physik. Mit Erleichterung und zugleich Enttauschung wurde schlieBlich die mechanische Erklarung des Lichtes und der Elektrizitat und mit ihnen der Ather aufgegeben. Eine ahnIiche Lage, vielleicht noch starker ausgepragt, bestand in der Mathematik. Durch die J ahrhunderte batten die Mathematiker ihre Objekte, z. B. Zahlen, Punkte usw., als "Dinge an sich" betrachtet. Da diese Objekte aber den Versuchen, sie angemessen zu definieren, von jeher getrotzt haben, dammerte es den Mathematikern des 19. Jahrhunderts allmablich, daB die Frage nach der Bedeutung dieser Objekte als "wirkliche Dinge" fUr die Mathematik keinen Sinn bat - wenn sie uberhaupt einen hat. Die einzigen sinnvollen Aussagen uber sie beziehen sich nicht auf die dingliche Realitat; sie betreffen nur die gegenseitigen Beziehungen zwischen undefinierten Objekten und die Regeln, die die Operationen mit ihnen beherrschen. Was Punkte, Linien, Zahlen "wirklich" sind, kann und braucht in der mathematischen Wissenschaft nicht erortert zu werden. Worauf es ankommt und was "nachprofbaren" Tatsachen entspricht, ist Struktur und Beziehung, etwa, daB zwei Punkte eine Gerade bestimmen, daB aus Zahlen nach gewissen Regeln andere Zahlen gebildet werden, usw. Eine klare Einsicht in die Notwendigkeit, die elementaren mathematischen Begriffe ihrer Dinglichkeit zu entkleiden, ist eines der fruchtbarsten Ergebnisse der modernen Entwicklung der Axiomatik. Glucklicherweise vergessen schOpferische Menschen ihre dogmatischen Vorurteile, sobald diese die konstruktive Leistung behindern. In jedem Fall, fUr Gelehrte und Laien gleichermaBen, kann nicht Philosophie, sondern nur das Studium der mathematischen Substanz die Antwort auf die Frage geben: Was ist Mathematik ?

Erstes Kapitel

Die natiirlichen Zahlen Einleitung Die Zahlen sind die Grundlage der modernen Mathematik. Aber was sind Zahlen? Was bedeutet etwa die Aussage ! +! = 1, !.! = t oder (- 1) (- 1) = 1 ? Wir lernen in der Schule die mechanischen Rechenregeln fiir Bruche und negative Zahlen, aber um das Zahlensystem wirklich zu verstehen, miissen wir auf einfachere Elemente zuruckgreifen. Wiihrend die Griechen die geometrischen Begriffe Punkt und Gerade zur Grundlage ihrer Mathematik wahlten, ist es heute zum Leitprinzip geworden, daB alle mathematischen Aussagen letzten Endes auf Aussagen iiber die naturlichen Zahlen 1, 2, 3, ... zuruckfiihrbar sein miissen. "Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles iibrige ist Menschenwerk." Mit diesen Worten bezeichnete LEOPOLD KRONECKER (1823-1891) den sicheren Grund, auf dem der Bau der Mathematik errichtet werden kann. Vom menschlichen Geist zum Zahlen geschaffen, haben die Zahlen keinerlei Beziehung zu der individuellen Natur der gezahlten Dinge. Die Zahl Sechs ist eine Abstraktion von allen wirklichen Gesamtheiten, die sechs Dinge enthalten; sie hangt nicht von den speziellen Eigenschaften dieser Dinge oder von den benutzten Symbolen abo Erst auf einer etwas hOheren Stufe der geistigen Entwicklung wird die abstrakte Natur der Idee der Zahl deutlich. Fiir Kinder bleiben die Zahlen immer mit greifbaren Dingen wie Fingern oder Perlen verkniipft, und primitive Sprachen zeigen einen konkreten Zahlensinn, indem sie fiir verschiedene Arten von Dingen verschiedene Zahlworte verwenden. Gliicklicherweise braucht sich der Mathematiker nicht um die philosophische Natur des "Obergangs von Gesamtheiten konkreter Gegenstande zum abstrakten Zahlbegriff zu kiimmern. Wir wollen daher die natiirlichen Zahlen als gegeben ansehen, zusammen mit den beiden Grundoperationen, Addition und Multiplikation, durch die sie verkniipft werden k6nnen.

§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen 1. Gesetze der Arithmetik

Die mathematische Theorie der natiirlichen Zahlen oder positiven ganzen Zahlen heiBt Arithmetik. Sie beruht auf der Tatsache, daB die Addition und Multiplikation der ganzen Zahlen gewissen Gesetzen unterworfen sind. Um diese Gesetze in voller AUgemeinheit auszusprechen, k6nnen wir nicht Symbole wie 1,2,3 benutzen, da sich diese auf bestimmte Zahlen beziehen. Die Behauptung

1+2=2+1

2

I. Die natiirlichen Zahlen

ist nur ein spezielles Beispiel des allgemeinen Gesetzes, daB die Summe von zwei Zablen dieselbe ist, gleichgiiltig, in welcher Reihenfolge sie betrachtet werden. Wenn wir daher die Tatsache aussprechen wollen, daB eine gewisse Beziehung zwischen Zablen unabhiingig von den speziellen Werten der beteiligten Zablen giiltig ist, so werden wir die Zablen symbolisch durch Buchstaben a, b, e, ... bezeichnen. Mit dieser Verabredung konnen wir nun flinf arithmetische Grundgesetze aussprechen, die dem Leser vertraut sind:

1) a + b = b + a, 2) ab = ba, 3) a + (b + e) = (a + b) + e, 4) a (be) = (ab) e, 5) a (b + e) = ab + ae. Die ersten beiden von diesen, die 'kommutativen Gesetze der Addition und Multiplikation, sagen aus, daB man bei Addition und Multiplikation die Reihenfolge der beteiligten Elemente vertauschen darf. Das dritte, das assoziative Gesetz der Addition, sag! aus, daB die Addition dreier Zablen dasselbe ergibt, einerlei, ob wir die erste zu der Summe der zweiten und dritten oder die dritte zu der Summe der ersten und zweiten addieren. Das vierte ist das assoziative Gesetz der Multiplikation. Das letzte, das distributive Gesetz, drilckt die Tatsache aus, daB eine Summe sich mit irgendeiner Zabl multiplizieren liiBt, indem man jedes Glied der Summe mit der Zabl multipliziert und dann die Produkte addiert. Diese Gesetze der Aritbmetik sind sehr einfach und konnten a1s selbstverstiind. lich erscheinen. Es ware aber moglich, daB sie auf andere Gegenstiinde a1s positive Zablen nicht anwendbar waren. Wenn a und b Symbole nicht fiir Zablen, sondem fiir chemische Substanzen sind und wenn Addition im Sinne von "Hinzuffigen" gebraucht wird, so ist ldar, daB das kommutative Gesetz nicht immer gilt. Denn wenn z. B. SchwefeIsaure zu Wasser hinzugefiigt wird, so erhlilt man cine verdiinnte LOsung, wahrend die Hinzufugung von Wasser zu konzentrierter Schwefelsaure ffir den Experimentator eine Katastrophe bedeuten kann. Ahnliche Beispiele zeigen, daB bei solcher "Arithmetik" auch das assoziative und distributive Gesetz der Addition versagen konnen. Man kann sich demnach Typen einer Aritbmetik vorstellen, bei denen eins oder !llehrere der Gesetze 1) bis 5) nicht gelten. Solche Systeme sind tatsachlich in der modemen Mathematik untersucht worden. Ein konkretes Modell fiir den abstrakten Begriff der naturlichen Zabl wird die anschauliche Grundlage andeuten, auf der die Gesetze 1) bis 5) beruhen. Statt die gewohnlichen Zahlzeichen 1,2,3 usw. zu benutzen, wollen wir diejenige positive ganze Zabl, die die Anzabl der Dinge in einer gegebenen Gesamtheit (z. B. die Gesamtheit der Apfel auf einem bestimmten Baum) angibt, durch eine

1·····1+1····1-1·········1 Fig. 1. Addition

Anzabl Punkte in einem rechteckigen Kastchen bezeichnen, je einen Punkt fur jedes Ding. Indem wir mit solchen Kastchen operieren, konnen wir die Gesetze der Arithmetik der positiven Zablen untersuchen. Um zwei Zablen a und b zu addieren, setzen wir die beiden Kastchen aneinander und entfemen die Trennwand.

3

1. Gesetze der Arithmetik

Um a und b zu multipIizieren, bilden wir einen neuen Kasten mit a Zeilen und b Spalten von Punkten. Man sieht, daB die Rege1n 1) bis 5) unmitte1bar anschaulichen Eigenschaften dieser Operationen mit den Kasten entsprechen.

1·····lxl····I=

·... ··• ..• ..• ..• ••••

Fig. 2. MaltipJlkation

Auf Grund der Definition der Addition zweier positiver ganzer Zahlen konnen

wir nun die Kleiner- bzw. Groperbeziehung definieren. Jede der beiden gleichwertigen Aussagen a < b (lies: a kleiner als b) und b > a (lies: b groBer als a) bedeutet,

~x(B+I"."I)=

::

••••• ••••• •_ • •_ • •...J

L-~

Fig. S. Das distributive Gesetz

daB der Kasten b aus dem Kasten a erhalten werden kann, indem man einen geeignet gewahlten Kasten c hlnzufligt, so daB b = a + c. Wenn das zutrifft, schreiben wir c= b .... a, womit die Operation der Subtraktion definiert ist.

I·········I-I····I=I·····~I Fig. 4. Subtraktion

Addition und Subtraktion heiBen inverse OPerationen; denn wenn auf die Addition der Zahl d zu der Zahl a die Subtraktion der Zahl d folgt, so ist das Ergebnis wieder die urspriingliche Zahl a:

(a+ d) - d= a. Man beachte, daB die ganze Zahl b - a bisher nur definiert ist, wenn b > a. Die Deutung von b - a als negative ganze Zahl, falls b < a, wird spater erortert werden (S.44). Es ist haufig bequem, die Schreibweise b ~ a (lies: b groBer oder gleich a) oder a ~ b (lies: a kleiner oder gleich b) zu benutzen, urn die Verneinung der Aussage a > b auszudriicken. So ist z. B. 2 ~ 2 und 3 ~ 2. Wir konnen den Bereich der positiven ganzen Zahlen, dargestel1t durch Kasten mit Punkten, noch ein wenig erweitern, indem wir die ganze Zahl Null einflihren, dargestel1t durch einen leeren Kasten. Wenn wir den leeren Kasten durch das gewohnte Symbol 0 bezeichnen, so gilt nach unserer Definition der Addition und Multiplikation

a+O=a, a'O=O, fiir jede Zahl a. Denn a + 0 bezeichnet die Addition eines leeren Kastens zu dem

4


Kasten a, waIn-end a . 0 einen Kasten ohne Spalten, also einen leeren Kasten bedeutet. Es ist dann sinnvoll, die Definition der Subtraktion dahin zu erweitern, daB a-a=O ffir jede ganze Zahl a. Dies sind die charakteristischen arithmetischen Eigenschaften der Zahl Null. Geometrische Modelle wie diese Kasten mit Punkten, z. B. der antike Abacus, sind bis in das spate Mittelalter vie1fach zur Ausfiihrung numerischer Rechnungen benutzt worden; spater wurden sie allmahlich ersetzt durch weit iiberlegene symbolische Methoden, die auf dem Dezimalsystem beruhen.

2. Die Darstellung der positiven ganzen Zahlen Wir miissen sorgfaItig unterscheiden zwischen einer Zahl und dem Symbol 5, V, ... usw., das zu ihrer Darstellung benutzt wird. 1m Dezimalsystem werden die 10 Ziffersymbole 0, 1, 2, 3, ... , 9 fUr Null und die ersten 9 positiven ganzen Zahlen benutzt. Eine gr6Bere Zahl, z. B. "dreihundertzweiundsiebzig", kann in der Form 300 + 70 + 2 = 3 . lOll + 7 . 10 + 2 ausgedriickt werden und wird im Dezimalsystem durch das Symbol 372 bezeichnet. Der wichtige Punkt hierbei ist, daB die Bedeutung der Ziffern 3, 7, 2 von ihrer SeeUung auf dem Einer-, Zehner- oder Hunderterplatz abhangt. Mit dieser "Stellenschreibweise" k6nnen wir jede ganze Zahl durch ausschlieBliche Benutzung der 10 Ziffersymbole in verschiedener Zusammensetzung darstellen. Nach der allgemeinen Regel wird eine ganze Zahl in folgender Form dargestellt

z = a' 103 + b . 102 + e . 10 + d, wobei die Ziffern a, b, e, d ganze Zahlen von Null bis neun sind. Die Zahl z wird dann durch das abgekiirzte Symbol abed

ausgedriickt. Nebenbei bemerken wir, daB die Koeffizienten d, e, b, a die Reste sind, die bei aufeinanderfolgenden Divisionen von z durch 10 bleiben. Also 372 : 10 = 37 Rest 2 37: 10 = 3 Rest 7 3: 10 = 0 Rest 3 . Der oben angegebene spezielle Ausdruck ffir z kann nur ganze Zahlen unter zehntausend darstellen, da gr6Bere Zahlen flinf oder mehr Ziffern verlangen. Wenn z eine ganze Zahl zwischen zehntausend und hunderttausend ist, so k6nnen wir sie in der Form z = a' 104 + b· 103 + e' 102 + d· 10 + e ausdriicken und durch das Symbol abcde darstellen. Eine ahnliche Aussage gilt flir ganze Zahlen zwischen hunderttausend und einer Million usw. Es ist nlitzlich, samtliche Zahlen durch eine einheitliche Bezeichnungsweise zu erfassen. Zu diesem Zweck bezeichnen wir die verschiedenen Koeffizienten e, d, e, ... durch den Buchstaben a mit verschiedenen "Indexwerten": ao• al • all' aa•... und deuten die

2. Die Darstellung der positiven ganzen Zahlen

5

Tatsache, daB die Potenzen von 10 so groB wie notig genommen werden konnen, dadurch an, daB wir die hOchste Potenz nicht durch 103 0 der 10', wie in den obigen Beispielen, sondem durch Ion bezeichnen, wobei n eine beliebige natiirliche Zahl bedeuten solI. Die allgemeine Darstellung einer Zahl z im Dezimalsystem ist dann (1) oder symbolisch anan- 1 · .. a1aO • Ebenso wie in dem oben betrachteten Spezialfall sehen wir, daB die Ziffem ao, ~, ai' ... , an einfach die aufeinanderfolgenden Reste sind, die bei wiederholter Division von z durch 10 auftreten. 1m Dezimalsystem ist die Zahl Zehn als Basis gewlihlt. Der Laie macht sich vielleicht nicht klar, daB die Wahl der Zehn nicht wesentlich ist, sondem daB jede ganze Zahl groBer als Eins demselben Zweck dienen konnte. Man konnte z. B. ein Septimalsystem (Basis 7) benutzen. In einem solchen System wiirde eine ganze Zahl als (2) bn • 7n + bn- 1 . 7n- 1 + ... + b1 . 7 + bo ausgedriickt werden, worin die b Ziffem von Null bis sechs sind, und die Zahl durch das Symbol bnbn- 1 · .. b1bo dargestellt wird. So wiirde hundertneun im Septimalsystem durch das Symbol 214 bezeichnet werden, was 2.711 + 1· 7 + 4 bedeutet. Zur Vbung moge der Leser beweisen, daB die allgemeine Regel fiir den Vbergang von der Basis zehn zu einer beliebigen anderen Basis B darin besteht, aufeinanderfolgende Divisionen der Zahl z durch B durchzufiihren; die Reste werden die Ziffem der Zahl in dem System mit der Basis B sein. Zum Beispiel: 109 : 7 = 15, Rest 4 15 : 7 = 2, Rest 1 2 : 7 = 0, Rest 2 109 (Dezimalsystem)

=

214 (Septimalsystem).

Es liegt nahe, zu £ragen, ob irgendeine spezielle Wahl der Basis besondere Vorziige hat. Wir werden sehen, daB eine zu kleine Basis Nachteile hat, wahrend eine groBe Basis das Lemen vieler Ziffersymbole und ein erweitertes Einmaleins erfordert. Die Wahl der Zwolf als Basis ist empfohlen worden, da zwol£ durch zwei, drei, vier und sechs teilbar ist und daher Aufgaben, in denen Divisionen und Briiche vorkommen, vielfach vereinfacht werden wiirden. Um eine beliebige ganze Zahl auf. Grund der Basis zwolf (Duodezimalsystem) auszudriicken, brauchen wir zwei neue Ziffersymbole ffir zehn und elf. Schreiben wir etwa at ffir zehn und fJ ffir elf. Dann wiirde im Duodezimalsystem zwol£ als 10 geschrieben werden, "zweiundzwanzig" wiirde als 1at, "dreiundzwanzig" wiirde 1fJ und "einhunderteinunddreiBig" wiirde atfJ heiBen. Die Erfindung der Ste1lenschreibweise. die den Sumerern oder Babyloniem zugeschrieben wird und von den Hindus weiterentwickelt wurde, war von auBer-

6


ordentlicher Bedeutung fiir die Kultur. Die friihesten Zahlsysteme waren auf dem rein additiven Prinzip aufgebaut. In der romischen Darstellungsweise schrieb man z. B. CXVIII = hundert + zehn + fUnf + eins + eins + eins. Die agyptischen, hebraischen und griechischen Zahlsysteme standen auf dem gleichen Niveau. Einer der Nachteile einer rein additiven Bezeichnungsweise ist, daB man mehr und mehr Symbole braucht, je groBer die Zahlen werden. (Selbstverstandlich waren die damaligen Wissenschaftler noch nicht mit unseren modernen astronomischen und atomaren GroBenordnungen geplagt.) Aber der Hauptnachteil der antiken Systeme, z. B. des romischen, lag darin, daB das Zahlenrechnen auBerst schwierig war; nur Spezialisten konnten sich fiber die aIlereinfachsten Aufgaben hinauswagen. Das Stellensystem der Hindus, das wir jetzt benutzen, hat demgegenfiber enorme Vorteile. (Es wurde in das mittelalterliche Europa durch italienische Kaufleute eingefUhrt, die es von den Moslems gelemt hatten.) 1m Stellensystem konnen aIle Zahlen, groB oder klein, mit Hille einer relativ geringen Anzahl von Ziffersymbolen dargestellt werden (im Dezimalsystem sind dies die "arabischen Ziffem" 0, 1, 2, ... , 9). Dazu kommt der noch wichtigere Vorteil der bequemen Rechenmethoden. Die Regeln ffir das Rechnen mit Zahlen im Stellensystem konnen in der Form von Additions- und Multiplikationstabellen fUr die ZiffemgroBen dargestellt werden, die man ein ffir aIlemal auswendig lemen kann. Die uralte Kunst des Rechnens, die einst nur auf wenige Eingeweihte beschrankt war, wird jetzt in der Grundschule gelehrt. Es gibt nicht viele Beispiele daffir, daB der wissenschaftliche Fortschritt das Alltagsleben so stark beeinfluBt und erleichtert hat. 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen Die Benutzung der Zahl Zehn a1s Basis geht auf die Anfange der Zivilisation zuruck und beruht zweifellos auf derTatsache, daB wir zehn Finger haben, mit denen wir zahlen konnen. Aber die Zahlworte vieler Sprachen zeigen noch Spuren von der Verwendung anderer Basen, insbesondere zwolf und zwanzig. 1m Englischen und Deutschen werden die Worter ffir elf und zwolf nieht nach dem Dezimalprinzip der Verbindung der 10 mit den Ziffem, wie bei 13, 14 usw., gebildet, sondem sie sind sprachlich unabhangig von dem Wort ffir 10. 1m Franzosischen deuten die Worter "vingt" und "quatrevingt" fiir 20 und 80 an, daB ffir manche Zwecke ein System mit der Basis 20 gebraucht worden ist. 1m Danischen bedeutet das Wort ffir 70 "halvfjerds" halbwegs von dreimal zu viermal zwanzig. Die babylonischen Astronomen hatten ein Bezeiehnungssystem, das teilweise sexagesimal (Basis 60) war, und man nimmt an, daB sich hieraus die herkommliche Einteilung der Stunde und des Winkelgrads in 60 Minuten erklart. In einem Niehtdezimalsystem sind die Rechenregeln dieselben, aber die Tabellen ffir Addition und Multiplikation (Einmaleins) der ZiffergroBen sind andere. Da wir an das Dezimalsystem gewohnt und auch durch die Zahlworter unserer Sprache daran gebunden sind, werden wir dies wohl zuerst als etwas verwirrend empfinden. Versuchen wir einmal eine Multiplikation im Septimalsystem. Vorher empfiehlt es sieh, die Tabellen, die wir zu benutzen haben, hinzuschreiben:

7

3. Das Rechnen mit nichtdezimalen Systemen Addition 1 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 10

2 3 4 5 6 10 11

3

M ultiPlikation 4

5

6

4 5 6 5 6 10 6 10 11 10 11 12 11 12 13 12 13 14

10 11 12 13 14 15

1 1 2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 2 4 6 11 13 15 6 12 15 21 24 3 4 11 15 22 26 33 5 13 21 26 34 42 6 15 24 33 42 51

Wir wollen nun 265 mit 24 multiplizieren, wobei diese beiden Zahlensymbole im Septimalsystem geschrieben sind. (1m Dezimalsystem wiirde dies der Multiplikation von 145 mit 18 entsprechen.) Die Rege1n der Multiplikation sind dieselben wie im Dezimalsystem. Wir beginnen, indem wir 5 mit 4 multiplizieren, was nach der Multiplikationstabelle 26 ergibt. 265 24 1456 563 10416 Wir schreiben 6 an die Stelle der Einer und iibertragen die 2 "im Kopf" auf die nachste Stelle. Dann finden wir 4 . 6 = 33 und 33 + 2 = 35. Wir schreiben die 5 hin und gehen auf dieselbe Art weiter, bis alles ausmultipliziert ist. Bei der Addition von 1456 und 563 erhalten wir 6 + 0 = 6 auf der Einerstelle, 5 + 3 = 11 in der Stelle der Siebener; wieder schreiben wir 1 hin und behalten 1 ffir die Neunundvierziger-Stelle, ffir die wir 1 + 6 + 4 = 14 erhalten. Das Endergebnis ist 265 ·24= 10416. A1s Probe ffir dieses Resultat kOnnen wir dieselben Zahlen im Dezimalsystem multiplizieren. 10416 (Septimalsystem) kann im Dezimalsystem geschrieben werden, wenn man die Potenzen von 7 bis zur vierten berechnet: 78 = 49, 78 = 343, 74.= 2401. Also haben wir 2401 + 4 . 49 + 1 . 7 + 6, wobei hier Zahlen im Dezimalsystem gemeint sind. 'Addieren wir die Zahlen, so finden wir, daB 10416 im Septimalsystem gleich 2610 im Dezimalsystem ist. Multiplizieren wir schlieBlich 145 mit 18 im Dezima1system, so ergibt sich 2610, also stimmen die Rechnungen iiberein. (lbungen: 1. Man stelle die Additiollll- und Multiplikationstabellen im Duodezimalsystem auf und rechne einige Beispiele der gleichen Art. 2. Man driicke ..dreiBig" und ..hundertdreiunddrei13ig" in den Systemen mit den Basen 5, 7, 11 und 12 aus. 3. Was bedeuten die Symbole 11111 und 21212 in diesen Systemen ? 4. Man bilde die Additions- und Multiplikationstabellen fUr die Basen 5, 11, 13.

In theoretischer Hinsicht ist das Stellensystem mit der Basis 2 dadurch ausgezeichnet, daB es die kleinstmogliche Basis hat. Die einzigen Ziffem in diesem dyadischen System sind 0 und 1; jede andere Zahl z wird durch eine Reihe dieser beiden Symbole ausgedrftckt. Die Additions- und Multiplikationstabellen bestehen einfach aus den Rege1n 1 + 1 = 10 und 1 . 1 = 1. Aber der Nachteil dieses Systems liegt auf der Hand: Man braucht lange Ausdriicke, urn kleine Zahlen darzustellen. So z. B. wird neunundsiebzig. das man als 1 . 26 + 0 . 211+ 0 . 24.+ 1 . 23+ + 1 . 22+ 1·2 + 1 ausdriicken kann. im dyadischen System 1001111 geschrieben.

8

I. Die naturlichen Zahlen

Ais Beispiel fur die Einfachheit der Multiplikation im dyadischen System wollen wir sieben und funf multiplizieren, die hier 111 bzw. 101 heiBen. Behalten wir im Sinn, daB 1 + 1 = 10 ist, so haben wir 111 101 111 111 100011 = 2" + 2 + 1 ,

was tatsachlich fiinfunddreiBig ist. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), einer der bedeutendsten Kopfe seiner Zeit, schatzte das dyadische System sehr. LAPLACE sagt von ihm: "LEIBNIZ sah in seiner dyadischen Arithmetik das BUd der SchOpfung. Er stellte sich vor, die Einheit stelle Gott dar und die Null das Nichts; das hOchste Wesen habe alle Dinge aus dem Nichts erschaffen, ebenso wie die Einheit und die Null aIle Zahlen seines Zahlensystems ausdrucken". Obung: Man diskutiere das Problem der Zahlenbenennung, wenn eine beliebige Basis a zugrundegelegt wird. Um die ganzen Zahlen in dem betr. System benennen zu konnen, brauchen wir Worler fur die Ziffem 0, 1, ... , a - I und fur die verschiedenen Potenzen von a: a, ai, as, ...• Wieviel verschiedene Zahlworler braucht man zur Benennung aller Zahlen von Null bis tausend, wenn a = 2, 3, 4, 5, ... , 15 ist; bei welcher Basis werden die wenigsten gebraucht? (Beispiele: Wenn a = 10, brauchen wir 10 Warler fur die Ziffem, dazu Worler fur 10, 100 und 1000, also im ganzen 13. Fur a = 20 brauchen wir 20 Worler fUr die Ziffem, dazu Worlerfur 20 und400, im ganzen also 22. Wenna = 100, brauchen wir l00pJus 1.)

*§ 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems Mathematische Induktion 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion Die Folge der naturlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, ... hat kein Ende; denn hinter jede Zahl n, die man erreicht, kann man noch die nachste Zahl n + 1 schreiben. Wir drucken diese Eigenschaft der Zahlenreihe aus, indem wir sagen, daB es unendlich viele natiirliche Zahlen gibt. Die Gesamtheit der natiirlichen Zahlen stellt das einfachste und nachstliegende Beispiel des mathematisch Unendlichen dar, das in der modernen Mathematik eine beherrschende Rolle spielt. Dberall in diesem Buch werden wir es mit Gesamtheiten oder "Mengen" zu tun haben, die unendlich viele mathematische Objekte enthalten, wie z. B. die Menge alIer Punkte einer Geraden oder die Menge aller Dreiecke in einer Ebene. Die unendliche Folge der naturlichen Zahlen ist das einfachste Beispiel einer unendlichen Menge. Der Vorgang, schrittweise von n zu n + 1 iiberzugehen, durch den die unendHche Folge der naturlichen Zahlen erzeugt wird, bUdet zugleich die Grundlage fur eine der wichtigsten mathematischen SchluBweisen, das Prinzip der mathematischen Induktion. Die "empirische Induktion" in den Naturwissenschaften geht von einer speziellen Beobachtungsreihe gewisser Erscheinungen zur Behauptung eines allgemeinen Gesetzes iiber, das alle vorkommenden Falle dieser Erscheinung beherrscht. Der Grad der Sicherheit, mit dem dieses Gesetz verbiirgt ist, hangt von der Anzahl der einzelnen Beobachtungen und deren Bestatigungen abo Diese Art des induktiven SchlieBens ist haufig vollkommen iiberzeugend; die Voraussage, daB die

1. Das Prinzip der mathematischen Induktion

9

Sonne morgen im Osten aufgehen wird, ist so sicher, wie nur etwas sein kann; aber der Charakter dieser Aussage ist ein dqrchaus anderer als der eines durch streng logische oder mathematische SchluBfolgerung bewiesenen Gesetzes. Auf vollig andere Weise wird die mathematische Induktion angewandt, um die Wahrheit eines mathematischen Satzes fiir eine unendliche Folge von Fiillen, den ersten, zweiten, dritten usw., ohne Ausnahme zu erweisen. Es moge A eine Behauptung bedeuten, die eine willkiirliche Zahl n enthalt. Zum Beispiel sei A die Behauptung: "Die Summe der Winkel in einem konvexen Polygon von n + 2 Seiten ist das n-fache von 180 Grad." Oder A I sei die Behauptung: "Durch n in einer Ebene gezogene Geraden kann man die Ebene nicht inmehr als 2" Teile zerlegen." Um einen solchen Satz fur jede naturliche Zahl n zu beweisen, genugt es nicht, ibn einzeln fUr die ersten 10 oder 100 oder sogar 1000 Werte von n zu beweisen. Das wiirde tatsachlich dem Gesichtspunkt der empirischen Induktion entsprechen. Statt dessen mussen wir eine streng mathematische, nicht-empirische SchluBweise benutzen, deren Charakter durch die folgenden Beweise der Beispiele A und A' hervortreten wird. 1m Falle A wissen wir,. daB fUr n = 1 das Polygon ein Dreieck ist, und aus der elementaren Geometrie ist bekannt, daB die Winkelsumme im Dreieck 1 . 180° ist. Fur ein Viereck, n = 2, ziehen wir eine Diagonale, die das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt. Dies zeigt sofort, daB die Winkelsumme im Viereck gleich der Summe aller Winkel in beiden Dreiecken ist, was 180°+ 180°= 2· 180° ergibt. Wir gehen weiter zum Funfeck, n = 3: dieses zerlegen wir in ein Dreieck und ein Viereck. Da dieses die Winkelsumme 2 . 180° hat, wie eben bewiesen, und das Dreieck die Winke1summe 180°, so erhalten wir 3·180 Grad fUr das Fiinfeck. Nun ist es klar, daB wir in derselben Weise unbegrenzt weitergehen und den Satz fur n = 4, dann fur n = 5 usw. beweisen konnen. Jede Behauptung folgt in derselben Weise aus der vorhergehenden, so daB der allgemeine Satz A fur alle n giiltig sein muB. In ahnlicher Weise konnen wiF die Behauptung A' beweisen. Fur n = 1 ist sie offenbar richtig, da eine einzelne Gerade die Ebene in zwei Teile teilt. Fugen wir nun eine zweite Gerade hinzu: Jeder der vorherigen Teile wird wieder in zwei Teile geteilt, wenn nicht die neue Gerade der ersten parallelist. In beiden Fiillen haben wir fur n = 2 nicht mehr als 4 = 22 Teile. Jetzt fugen wir eine dritte Gerade hinzu: jedes der vorherigen Gebiete wird entweder in zwei Teile zerschnitten oder unveriindert gelassen. Also ist die Anzahl aller Teile nicht groBer als 28 .2 = 23. Nachdem wir dies wissen, konnen wir den nachsten Fall in derselben Art beweisen und so unbegrenzt fortfahren. Der wesentliche Gedanke bei den vorstehenden "Oberlegungen ist, einen allgemeinen Satz A fur alle Werte von n dadurch zu beweisen, daB man nacheinander eine Folge von Spezialfiillen A l , All' ... beweist. Die Durchfiihrbarkeit beruht auf zweierlei: a) Man kann mit einer allgemeinen Methode zeigen, daB, wenn eine Aussage Ar wahr ist, dann die nachsteAussage Ar+1 ebenjaUs wahr sein muB;b) Von der ersten Aussage Al weifJ man, daB sie wahr ist. DaB diese beiden Bedingungen ausreichen, um die Gultigkeit aUer Aussagen AI' All' A a, .•. sicherzustellen, ist ein logisches Prinzip, das fur die Mathematik so grundlegend ist wie die klassischen Regeln der aristotelischen Logik. Wir formulieren es wie folgt: Es sei die Aufgabe, eine unendliche Folge von mathematischen Satzen AI, A., As, ... ,

10

1. Die natiirlichen Zahlen

die zusammen den allgemeinen Satz A darste1len, zu beweisen. Wenn a) du,ch tine mathematische Oberlegung gezeigt werden kann, daP ju, beliebiges , aus der GUltigkeit der Aussage Ar die GUltigkeit tlon Ar+1 jolgt 14M b} die erste Aussage Al als wan, bekannt ist, dann mUssen aUe Aussagen der unendlichen Folge wah, stin, 14M A ist bewiesen. Wirwerden dies ohne Bedenken anerkennen, ebenso wie wir die einfachen Rege1n der gewohnlichen Logik als grundlegendes Prinzip der mathematischen Schliisse anerkennen. Denn wir konnen die Giiltigkeit jeder einze1nen der Aussagen Aft nachweisen, indem wir vonder gegebenen Voraussetzung b), daB Al gilt, ausgehen und durch wiederholte Anwendung der Voraussetzung a) schrittweise auf die Giiltigkeit von A., A a, A .. usw. schlieBen, bis wir zu der Aussage A" kommen. Das Prinzip der mathematischen Induktion beruht somit auf der Tatsache, daB es zu jeder natiirlichen Zahl , eine nachste , + 1 gibt, und daB jede gewiinschte Zahl n durch eine endliche Anzahl solcher von der Zahl 1 ausgehenden Schritte erreicht werden kann. Oft wird das Prinzip der mathematischen Induktion angewandt, ohne daB es ausdrticklich erwahnt wird, oder es wird nur durch ein beilaufiges "etc." oder "und so weiter" angedeutet. Dies geschieht besonders oft im Elementarunterricht. Aber bei genaueren Beweisen ist die ausdrtickliche Durchfiihrung des induktiven SchlieBens unerIaBlich. Wir wollen einige einfache, aber doch nicht triviale Beispie1e anfiihren.

2. Die arithmetische Reihe Fu, jeden Wcrt von n ist die 5umme 1 + 2 + 3 + ... + n der ersten n ganzen

Zahlen gleich

11 (11 : -

1) • Um diesen Satz durch mathematische Induktion zu bewei-

sen, miissen wir zeigen, daB fiir jedes n die Behauptung A"

(1)

1 + 2 + 3 + ... + n =

11(11

2+ 1)

giiltig ist. a) Wenn , eine natiirliche Zahl ist und wenn wir wissen, daB Ar richtig ist, d. h. daB die Gleichung

1+ 2 + 3 +

... +, = r(r 2+ 1)

gilt, dann erhalten wir durch Addition der Zahl , Gleichung

1+ 2 + 3 +

+ 1 auf beiden Seiten die neue

i

... + r + (r + 1) = r(r 1) + r + 1

= _r..:....(r-'+~I)-:+:--2(:. . '. .;.+_1..:-) 2

(, + 1)(, + 2) 2

und das ist genau die Behauptung A r + l . b) Die Behauptung Al ist offensichtlich richtig, da 1 = 1 ~ 2 • Folglich ist nach dem Prinzip der mathematischen Induktion die Behauptung A" fiir jedes n giiltig, was zu beweisen war. Gewohnlich wird dies dadurch gezeigt, daB man die Summe 1 + 2 auf zwei Arten schreibt:

5,,=1+ und

S,,= n

2

+ (n -

+"'+(n-l)+n 1)

+ ... +

2

+ 1.

+ 3 + ... + n

11

3. Die geometriscbe Reihe

Beim Addieren beider ,Zei1en bemerkt man, daB jedes Paar von iibereinanderstehenden Zahlen die Summe n + 1 ergibt, und da es n Kolonnen sind, so folgt 2Sft = n{n

+ 1) ,

womit das gewiinschte Resultat bewiesen ist. Aus (1) kann man sofort die Forme1 fiir die Summe der (n + 1) ersten Glieder einer beliebigen arithmetisc'hen Folge ableiten.

(2)

P ft = a + (a + d)

+ (a + 2d) + ... + (a + nd) =

denn Pft= (n

(n

+ 1) ~4 + nd)

+ 1) a + n(n + 2 1)4 2(n + 1) 4 + n(n + 1) d = 2 =

+ 1) a + (1 + 2 + ... + n) d =

;

(n

(n

+ 1) (2a + nd) 2

Fiir den Fall a = 0, d = 1 ist dies gleichwertig mit (1).

3. Die geometrische Reihe Die allgemeine geometrische Reihe kann man in ahnlicher Weise behande1n. Wir werden beweisen, da.6 fiir jeden Wert von n l_q,o+l (3) Gft=a+aq+aqll+"'+aq"=al'-:q' (Wir setzen q =t= I, lies: q ungleich I, voraus, da sonst die r~te Seite von (3) keinen Sinn hatte.) Diese Behauptung ist fiir n = 1 sicher giiltig; denn dann besagt sie, da.6 4(1 +q) (l-q) Gl=a+ aq= 4(I-ql) a(1 + q) . 1 -q = 1 -q Wenn wir nun annehmen, daB G, = a + aq + ... + aqr = a

1l-q'+1 _q

dann finden wir als Folgerung daraus G,+l = (a

+ aq + ... + aqr) + aqr+1 = =a

,

1-9'+1 + aqr+l

G,+ aqr+l= a l-q

(1-9"+1) +9"+l(l-q) l-q =a

1_9"+1+9"+1_9"+1 1-q

l-q'+I =a l-q

Dies ist aber gerade die Behauptung (3) fiir den Fall n = r + 1. Damit ist der Beweis vollstandig. In elementaren Lehrbiichem wird der Beweis gewohnlich so gefiihrt: Man setzt Gft = a + aq +

... + aq"

und multipliziert beide Seiten dieser Gleichung mit q, also qGft= aq + aql+ ••• + aq"+l.

Subtrahiert man nun die Seiten dieser Glei~ung von den entsprechenden der vorigen, so erhaIt man Gft - qGft = a - aq"+l,

(1 - q)Gft = a(1 - q"+l) , l_qa+1

Gft = a -:-1---!~ -q


12

4. Die Summe der ersten n Quadrate Eine weitere interessante Anwendung des Prinzips der mathematischen Induktion betrifft die Summierung der ersten n Quadrate. Durch Probieren findet man, wenigstens fUr kleine Werte von n: (4)

18+21+38+' .. +nl= n(n + 1)6(2n+ I) ,

und man kann vermuten, daB diese bemerkenswerte Forme! ffir alle natul'lichen Zahlen n gilt. Um dies zu beweisen, werden wir wieder das Prinzip der mathematischen Induktion benutzen. Zuerst stellen wir fest: Wenn die Behauptung An' die in diesem Falle die Gleichung (4) ist, fUr den Fall n = l' gilt, so daB 12 + 22 + 31 + ... + 1'1 =

1'(1'

+ I)

(21'

6

+ I) ,

dann erhalten wir durch Addition von {I' + 1)1 auf beiden Seiten: 111+ 28 + 38 + ... + 1'2+ (I' + 1)1= _ 1'(1'

-

(I'

1'(1' +'1)6(21'+ 1)

+ 1) (21' + 1) + 6

6(1'+ 1)1 _

-

+ 1) (21'1+ 71' + 6)

+ (I' + 1)2 (I'

+ 1)

[1'(21'

+ 1) + 6

6(1'

+ 1)]

(,. + I) (I' + 2) (2,. + 3)

6

6

also gerade die Behauptung A r +1' die ja erhalten wird, indem man n in (4) durch l' + 1 ersetzt. Um den Beweis zu vervollstandigen, brauchen wirnurnochzu bemerken, daB die Behauptung AI' also in diesem Falle die Gleichung

18 _ -

1 (I

+ 1) (2 + 1) 6

'

offensichtlich zutrifft. Also gilt die Gleichung (4) ffir alle n; Formeln abnlicher Art konnen auch fUr die hOheren Potenzen der ganzen Zahlen aufgestellt werden, also fUr lk+ 2k + 3 k + ... + nk, worin k eine beliebige, positive ganze Zahl ist. Zur 'Obung moge der Leser mittels mathematischer Induktion beweisen, daB (5)

+

n(n 1)]1 P+2 3 +33 + " ' + n3 = [ 2 •

Es ist zu bemerken, daB das Prinzip der mathematischen Induktion wohl ausreicht, urn die Formel (5) zu beweisen, nachdem diese Forme! einmal hingeschrieben ist, daB der Beweis jedoch keinerlei Andeutung gibt, wie diese Forme! zuerst

r [n (n:- r

gefunden wurde, warum man gerade auf den Ausdruck [n(n:der ersten n Kuben gekommen ist, anstatt vielleicht auf

fUr die Summe

1)

1)

oder (19nl-

- 41 n + 24)/2 oder sonst auf einen der unendlich vie!en Ausdrucke abnlicher Art, die man Mtte betrachten konnen. Der Umstand, daB ein Theorem durch Anwendung einfacher Regeln der Logik bewiesen werden kann, schaltet das schOpferische Element in der Mathematik, das in der Wahl der zu untersuchenden Moglichkeiten liegt, keineswegs aus. Die Frage nach dem Ursprung der Hypothese (5) gehOrt in ein Gebiet, ffir das keine allgemeinen Regeln angegeben werden konnen; Experiment, Analogie und konstruktive Intuition spie!en dabei eine wesentliche Rolle. Wenn aber einmal die richtige Hypothese formuliert ist, genfigt oft das Prinzip der

6. Der binomische Satz

13

mathematischen Induktion, urn den Beweis zu liefem. Da ein solcher Beweis keinen Hinweis auf die eigentliche Entdeckung gibt, konnte man ihn passender eine Bestiitigung nennen. *5. Eine wichtige Ungleichung1

In einem der spateren Kapitel werden wir die Ungleichung

(6)

(1

+ P)fI ~ 1 + np

benotigen, die ffir jedes p > -1 und ffir jedes positive ganze n giiltig ist. (Urn der Allgemeinheit willen nehmen wir hier die Benutzung negativer und nicht ganzer Zahlen vorweg, indem wir peine beliebige Zahl groBer als -1 sein lassen. Der Beweis fUr den allgemeinen Fall ist genau derselbe wie in dem Falle, daB p eine positive ganze Zahl ist.) Wir benutzen wieder die mathematische Induktion. a) Wenn es zutrifft, daB (1 + p)r ~ 1 + rp, dann erhalten wir durch Multiplikation beider Seiten dieser Ungleichheit mit der positiven Zahl (1 + P):

+ py+1 ~ 1 + rp + p + rp2. Das Weglassen des positiven Gliedes rpl verstarkt diese Ungleichheit noch, so daB (1 + P)r+l ~ 1 + (r + I)P . (1

Dies zeigt, daB die Ungleichung (6) auch fUr die nachste ganze Zabl r + 1 giiltig ist. b) Es trifft offensichtlich zu, daB (1 + P)l ~ 1 + p. Damit ist der Beweis erbracht, daB (6) ffir jedes n gilt. Die Beschrankung auf Zahlen p > - 1 ist wesentlich. Wenn p < -1, dann ist 1 + p negativ, und die Argumentation in a) wird falsch; denn wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen GroBe multipliziert werden, so kehrt sich der Sinn der Ungleichung urn (wenn wir z. B. beide Seiten der Ungleichung 3> 2 mit -1 multiplizieren, so ergibt sich -3 > -2, was falsch ist). *6. Der binomische Satz Es ist oft wichtig, einen entwickelten Ausdruck ffir die n-te Potenz eines Binoms, (a + b)fI, zu besitzen. Wir finden durch Ausrechnen

+ W = a + b, (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b) = as+ 2ab + bl, (a + b)8 = (a + b) (a + b)z= a {a 2 + 2ab + bl ) + b{a2 + 2ab + bl) = a8+ 3a1 b + 3abl + b3,

fUr n = 1 : (a ffir n = 2: ffir n

=

3:

usw. Welches allgemeine Bildungsgesetz steckt in den Worten "und so weiter"? Untersuchen wir den Vorgang der Ausrechnung von {a + b)z. Da (a + b)2= (a + b) (a + b), erhalten wir den Ausdruck ffir (a + b)', indem wir jedes Glied des Ausdrucks a + b mit a und dann mit b multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Dasselbe Verfabren wird angewandt, urn {a + b)3= (a + b) {a + b)2 zu berechnen. Wir konnen in derse1ben Weise fortfahren, urn (a + bY', {a + b)1i zu berechnen und so unbegrenzt. weiter. Der Ausdruck ffir (a + b)fI wird erhalten, indem man jedes Glied des vorher gewonnenen Ausdrucks ffir (a + b)fI-l zuerst mit a, 1

Auch "Bemoullische Ungleichung" genannt.

I. Die natiirJichen Zablen

14

dann mit b multipliziert und die Ergebnisse addiert. Dies fiihrt zu folgendem Diagramm:

a+b =

(a + b)' = ....................................................................................... '." ......................................... , aus dem sich sog1eich die allgemeine Regel fiir die Bildung der Koeffizienten in der Entwicldung von (a + b)· ergibt. Wir bauen eine dreieckige Anordnung von Zahlen auf, indem wir mit den Koeffizienten 1, 1 von a + b beginnen, derart, daB jede Zahl des Dreiecks die Summe ihrer beiden Nachbarzahlen in der vorhergehenden Zei1e ist. Diese Anordnung heiBt das Pascalsche D,eieck.

1 1 1

5

6

1 1

3

7

10 15

21

1 3

6

4

1

1 2

1

1

10

5

35

1

6

15

20

35

1

4 21

1

7

1

..................................................................................................

Dien-IeZeiledieser Anordnunggibtdie Koeffizientenin der Entwicklungvon (a nach abnehmenden Potenzen von a una zunehmenrlen Potenzen von b an, also

+ b)"

(a + b}7= a7 + 7a1b + 21 alibi + 35a'b8+ 35a8b'+ 21a2bli + 7abl + b7 • Wenn wir eine abgekiirzte Schreibweise mit unteren und oberen Indizes benutzen, konnen wir die Zahlen in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks wie folgt bezeichnen : (:) = I, (~), (;). (:) •... , ("~1)' (:) = 1. Dann kann man die allgemeine Formel schreiben:

(7)

(a + b)·= a·+

(~)a"-lb

+ (;)a"-Ibl + ... +("~l)ab"-l+ btl.

Nach dem Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks haben wir

m

(8) = (~=D + ("i 1) • Zur Obung mage der fortgeschrittenere Leser diese Beziehung zusammen mit der Tatsache, daB (A) = = 1, benutzen, um durch mathematische Induktion zu zeigen, daB

m

(9)

nl (")_ n(n-l) (n-2)· .. (n-i+l) _ i - I ' 2·3 .. · i - il(n-i)1 •

(Fiir jede positive ganze Zahl bedeutet das Symbol nl (lies: n Fakultiit) das Produkt der ersten n ganzen Zahlen: nl = 1·2·3· .. n. Es ist zweckmiiBig, auch 01 = 1 zu defurleren, so daB (9) auch fiir i = 0 und i = n gilt.}

7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion

15

Diese explizite Formel fiir die Koeffizienten der binomischen Entwicklung wird bei der Entwicklung des binomischen Satzes verwendet. (Siehe auch S. 363). (Jbungen: Man beweise durch mathematische Induktion: 1

1

1.

t:2 + 2:a + ... +

2.

2"+21+21+"'+

1

2

3

*3. 1 + 2q *4. (1

n(n

1

+

n

n

+1

n n+2 2" =2-~.

+ 3q! + ... + nq"-l =

+ q) (1 +

=

1)

1-

(n

+

l)q" + nqw+1 (I-q)1

---='---;=---'~-;;'-""':""

" ql) (1 + q') ••• (1 + q! )

I_ql"+1

= ---=-~ l-q

Man bestimme die Summe der folgenden geometrischen Reihen: 1

5.

1

+ ~I

+ (1

1

+ X2)1 + ... + Xl

X

6. 1 + 1

+ Xl +

Xl - yl 7. Xl + yl

+

(1

+ XI)I

( Xl - yl Xl + yl

+ ...

1

(1

+

+ Xl)"

.

:It"

(1 + Xl)"

)1 + ... + (XlXl _+ ylyl )" •

Man beweise mit Hilfe der Formeln (4) und (5): *8. II + 31 + ... + (2n + 1)1 = (n + 1) (2n ~ 1) (2n + 3)

*9. P+ 3'+'" + (2n + 1)1 = (n + I)I(2nl+ 4n + 1). Man beweise dieselben Formeln durch mathematische Induktion.

*7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion Man kann dem Prinzip der mathematischen Induktion die folgende, etwas allgemeinere Form geben: "Wenn eine Folge von AussagenA" A'+l> A,+., ... gegeben ist, worin seine positive ganze Zahl ist, und wenn a) fiir jeden Wert r ~ s die Giiltigkeit von Ar+l aus der Giiltigkeit von A, folgt und b) A, als wahr bekannt ist, dann sind aIle Aussagen A" A'+l> A,H, ... wahr, d. h. An ist wahr flir alIe n ~ s". Genau dieselbe tl'berlegung, aus der die Giiltigkeit des gewohnlichen Prinzips der mathematischen Induktion folgt, ist auch hier anwendbar, wo die Folge 1,2,3, ... durch die entsprechende 1, s 2, ... ersetzt ist. Indem wir das Prinzip in die~r Form benutzen, konnen Folge s, s wir die Ungleichung auf S. 13 noch etwas verschlirfen, indem wir die Moglichkeit des Gleichheitszeichens ausschlieBen. Wir behaupten: Fur jedes p*-O und > - 1 und jede ganze Z ahZ n ~ 2 ist

+

(10)

+

(1

+ p)" > 1 + np .

Der Beweis kann dem Leser iiberlassen bleiben. Nahe verwandt mit dem Prinzip der mathematischen Induktion ist das "Prinzip der kleinsten natiirlichen lahl", das behauptet, daB jede nicht leere Menge C von positiven ganzen ZahZen eine kleinste Zahl entMlt. Eine Menge ist leer, wenn sie kein Element enthlilt, z. B. die Menge der geradlinigen Kreise oder die Menge der ganzen lahlen n, flir die n > n ist. Aus einleuchtenden Griinden schlieBen wir solche Mengen bei der Formulierung des Prinzips aus. Die Menge C kann endlich sein, wie die Menge 1, 2, 3, 4, 5, oder unendlich, wie die Menge alIer geraden lahlen 2, 4, 6, 8, 10, ...• Jede nicht leere Menge C muB mindestens eine natiirliche lahl enthalten, sie sei n, und die kleinste von den lahlen 1, 2, 3, ... , n, die zu C gehOrt, ist dann die kleinste lahl in C.

16

1. Die natiirlichen Zahlen

Die Bedeutung dieses Prinzips erkennt man am besten daran, da/3 es niche auf jede Menge C von Zahlen beliebiger Art anwendbar ist. Zum Beispiel enthlilt die Menge aller ganzen Zahlen 0, ± 1, ± 2, . .. und auch die Menge der positiven Briiche 1, l, -}, t, . " kein kleinstes Element. In logischer Hinsicht ist es interessant, da/3 das Prinzip der kleinsten natiirlichen Zahl benutzt werden kann, um das Prinzip der mathematischen Induktion als Theorem zu beweisen. Zu diesem Zweck betrachten wir eine beliebige Folge von Aussagen A l , AI' As, ... derart, da/3 a) fiir jede positive ganze Zahl r die Giiltigkeit von A,+1 aus der von A, folgt und b) Al als wahr bekannt ist. Wir werden zeigen, da/3 die Annahme, irgendein A sei falsch, unhaltbar ist. Denn wenn auch nur ein A falsch ware, so ware die Menge Caller positiven ganzen Zahlen n, fUr die A" falsch ist, nicht leer. Nach dem Prinzip der kleinsten natiirlichen Zahl mii/3te C eine kleinste Zahl p enthalten, die> 1 sein mu/3, wegen b). Daher ware A" falsch, aber A"-l richtig. Dies steht im Widerspruch zu a).

Noch einmal wollen wir hervorheben, daB das Prinzip der mathematischen Induktion von der empirischen Induktion in den Naturwissenschaften vollig verschieden ist. Die Bestatigung eines allgemeinen Gesetzes in einer endlichen Anzahl von Fallen, so groB sie auch sein moge, kann niemals einen Beweis fur das Gesetz im streng mathematischen Sinn des Wortes liefern, selbst wenn zur Zeit keine Ausnahme bekannt ist. Ein solches Gesetz wiirde immer nur eine sehr verniinftige Hypothese bleiben, die durch Ergebnisse spaterer Erfahrungen moglicherweise abzuandern ware. In der Mathematik ist ein Gesetz oder Theorem nur dann bewiesen, wenn gezeigt werden kann, daB es eine notwendige, logische Folge aus gewissen Annahmen ist, die als giiltig angesehen werden. Es gibt viele Beispiele fur mathematische Aussagen, die in jedem bisher untersuchten Einzelfall bestatigt worden sind, aber die noch nieht allgemein bewiesen werden konnten. (Beispiel siehe S.24.) Man kann vermuten, daB ein Satz in voller Allgemeinheit giiltig ist, wenn man seine Giiltigkeit in einer Anzahl von Fiillen festgestellt hat; man kann dann versuchen, ihn durch mathematische Induktion zu beweisen. Gelingt dieser Versuch, dann ist der Satz bewiesen. Wenn der Versuch nieht gelingt, so kann der Satz immer noch wahr oder falsch sein und vielleieht eines Tages mit anderen Methoden bewiesen oder widedegt werden. Bei Anwendung des Prinzips der mathematischen Induktion mu/3 man sich immer davon iiberzeugen, da/3 die Bedingungen a) und b) auch wirklich erfiillt sind. Versaumt man dies, so kann sich ein Unsinn wie der folgende ergeben (der Leser mOge den Trugschlu/3 aufdecken): Wir wollen "beweisen", da/3 zwei beliebige natiirliche Zahlen einander gleich sind, z. B. 5 = 10. Zunachst eine Definition: Wenn a und b zwei verschiedene ganze Zahlen sind, so definieren wir max (a, b) als a oder b, je nachdem, welches die grO/3ere Zahl ist; wenn a = b, so setzen wir max (a, b) = a = b. Also ist max (3, 5) = max(5,3) = 5, wlihrend max (4, 4) = 4 ist. Nun sei A" die Behauptung: "Wenn a und b zwei positive ganze Zahlen sind, derart da/3 max (a, b) = n, so ist a = b." a) Angenommen, A, sei giiltig. Es seien a und b zwei beliebige positive ganze Zahlen, derart, da/3 max (a, b) = r 1. Man betrachte die beiden Zahlen

+

ex=a-I P=b-I, dann ist max(ex, P) = r. Foiglich ist ex = p, da ja angenommen wurde, da/3 A, giiltig ist. Daraus folgt a = b, demnach ist A,+1 giiltig. b) Al istoffenbar giiltig, denn wenn max (a, b) = I, so miissen a und b, da sie nach Voraussetzung positive ganze Zahlen sind, beide gleich 1 sein. Daher ist nach mathematischer Induktion A" fiir jedes n giiltig. Nun seien a und b zwei beliebige positive ganze Zahlen; wir bezeichnen max (a, b) mit r. Da nun A" wie bewiesen fUr jedes n giiltig ist, so ist auch A, giiltig. Foiglich ist a = b.

Erganzung zu Kapitel I

Zahlentheorie Einleitung Ihren mystischen Nimbus haben die natfulichen Zahlen nach und nach verloren; aber niemals ist das Interesse von Mathematikem und Laien an den Gesetzen der Zahlenwe1t schwacher geworden. Es mag sein, daB EUKLIDB Ruhm auf der geometrischen Deduktion seiner "Elemente" beruht; bis heute haben die "Elemente" jedenfalls den Unterricht in der Geometrie entscheidend beeinfluBt. Und doch war EUKLIDS Geometrie im wesentlichen eine Zusammenstellung alterer Ergebnisse, wahrend seine Beitragezur Zahlentheorie anscheinend origineUe Leistungen waren. DIOPHANT von Alexandria (etwa 275 n. Chr.) hat spater die Zahlentheorie wesentlich weiter entwickelt. PIERRE DE FERMAT (1601-1665), ein Jurist aus Toulouse und einer der greBten Mathematiker der neueren Zeit, begriindete die modeme ZahIentheorie. EULER (1707-1783), vieUeicht der erfindungsreichste Mathematiker Uberhaupt, hat die Zahlentheorie durch viele Arbeiten und Beitrage bereichert. GroBe Namen in den Annalen der Mathematik - LEGENDRE, RIEMANN, DIRICHLET - kennen dieser Liste hinzugerugt werden. GAUSS (1777 bis 1855), der hervorragendste und vielseitigste Mathematiker der Neuzeit, hat seine Begeisterung fUr die Zahlentheorie in die Worte gefaBt: "Die Mathematik ist die Konigin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist die Konigin der Mathematik. II

§ 1. Die Prim%ahlen 1. Grundtatsachen Die meisten Aussagen der Zahlentheorie, wie Uberhaupt der ganzen Mathematik, betreffen nicht einzelne Objekte - die Zahl 5 oder die Zahl 32 - sondemganze Klassen von Objekten, charakterisiert durch eine gemeinsame Eigenschaft, wie die Klasse der geraden Zahlen 2,4,6,8, ... oder die Klasse aller durch 3 teilbaren Zahlen

3,6,9,12, ... oder die Klasse aller Quadrate ganzer Zahlen

1,4,9,16, ... und so weiter. Von grlllldlegender Bedeutung in der Zahlentheorie ist die Klasse der Primzahlen. Die meisten positiven ganzen Zahlen konnen in kleinere Faktoren zedegt werden: 10 = 2· 5, 111 = 3· 37, 144 = 3·3·2·2·2·2 usw. Zahlen, die sich Courant u. Robbins, Mathematik

2

18

Erganzung zu I. Zahientheorie

Genaue~ ausgedriickt ist eine Primzaht eine ganze Zaht Pgroper als I, die keine anderen Faktoren enthiiU als sick selbst 14nd eins. (Eine Zahl a heiBt ein Faktor oder Teiler einer Zahl b, wenn es eine Zahl c gibt, so daB b = ac.) Die Zahlen 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, ... sind Primzahlen, wah-

nicht zerlegen lassen, heiBen Primzahlen.

rend z. B. 12 keine ist, da 12 = 3 . 4. Die groBe Bedeutung der Klasse der Primzahlen beruht darauf, daB iede positive ganze Zahl (=l= 1) als Prod14kt von Primzahlen darstellbar ist: Wenn eine Zahl nicht selbst eine Primzahl ist, kann sie schrittweise in Faktoren zerlegt werden, bis alle Faktoren Primzahlen sind; so ist z. B. 360 = 3 . 120 = 3 . 30 . 4 = 3 . 3 . 10 . 2 . 2 = 3 . 3 . 5 . 2 . 2 . 2 = 23 .32 .5. Eine positive ganze, von 1 verschiedene Zahl, die keine Primzahl ist, bezeichnet man als zerlegbar oder zusammengesetzt. Eine der ersten Fragen iiber die Primzahlen ist, ob es nur eine endliche Anzahl verschiedener Primzahlen gibt, oder ob die Menge der Primzahlen unendlich viele Elemente enthalt, wie die Menge aller natiirlichen Zahlen, von der sie ein Teil ist. Die Antwort lautet: Es gibt 14nendlick viele Primzahlen . • Der Beweis fiir die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, den EUKLID gibt, wird immer ein Musterbild mathematischer SchluBweise bleiben. Er verfahrt nach der "indirekten Methode". Wir machen zunachst versuchsweise die Annahme, daB der Satz falsch ist. Das bedeutet, daB es nur endlich viele Primzahlen gibt, vielleicht sehr viele - etwa eine Billion - aber jedenfalls eine bestimmte endliche Anzahl n. Mit Hilfe der Indexschreibweise konnen wir diese Primzahlen mit PI' Pi' ... ' p" bezeichnen. Jede andere Zahl wird dann zerlegbar sein und muB durch mindestens eine der Zahlen PI' PI' .. ., p" teilbar sein. Wir werden jetzt einen Widerspruch aufzeigen, indem wir eine Zahl A angeben, die von samtllchen Primzahlen PI' P'I.' ... , p" verschieden ist, weil sie groBer ist als jede von ihnen, und die doch durch keine von ihnen teilbar ist. Diese Zahl ist

A = PIP" ... P.. + I, d. h. urn eins groBer als das Produkt der Zahlen, von denen wir angenommen hatten, daB sie die samtllchen Primzahlen waren. A ist groBer als jede der Primzahlen und muB daher zerlegbar sein. Aber bei Division durch PI oder durch PI oder durch irgendein P laBt A immer den Rest 1, daher hat A keine der Zahlen pals Teller. Unsere urspriingliche Annahme, daB es nur eine endliche Anzahl von Primzahlen gabe, fiihrt zu einem Widerspruch, also ist die Annahme unsinnig, und daher muB ihr Gegenteil zutreffen. Obwohl dieser Beweis indirekt ist, kann er leicht so abgeli.ndert werden, daB er wenigstens im Prinzip eine Methode zur Herstellung einer unendlichen Foige von Primzahlen liefert. Beginnen wir mit irgendeiner Primzahl, z. B. Pl = 2, und nehmen wir an, daB wir n Primzahlen Pl' PI' ... , P.. kennen, so bemerken wir (wie oben), daB PlP.Pa' .. P.. 1 entweder selbst eine Primzahl ist oder einen Primfaktor haben mu.6, der von den bereits bekannten verschieden ist. Da dieser Faktor immer durch einfaches Probieren gefunden werden kann, so sind wir sicher, daB wir jedenfaiis eine neue Primzahl P.+l finden kOnnen. Fahren wir in derselben Weise fort, so sehen wir, daB die Foige der konstruierbaren Primzahlen niemais abbricht. ()bung: Man fUhre diese Konstruktion durch, indem man mit Pl = 2, P. = 3 beginnt und 5 weitere Primzahlen bestimmt.

+

Wenn eine Zahl als Produkt von Primzahlen dargeste11t ist, so konnen wir diese Primfaktoren in beliebiger Reihenfolge anordnen. Ein wenig Probieren laBt keinen Zweifel, daB, abgesehen von dieser Willkiir in der Anordnung, die Zerlegung einer

19

1. Grundtatsachen

Zahl N in Primfaktoren eindeutig ist: ] de ganze Zah/, N groper als 1 kann nur auf eine einzige Art als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Diese Behauptung erscheint auf den ersten Blick so naheliegend, daB man geneigt ist, sie fiir selbstverstandlich zu halten. Aber sie ist keineswegs eine Trivialitat; der Beweis erfordert, obwohl er durchaus elementar ist, einen gewissen Scharfsinn. Der klassische Beweis, den EUKLID ffir diesen "Fundamentalsatz der Arithmetik" gibt, stiitzt sich auf ein Verfahren oder "Algorithmus" zur Auffindung des groBten gemeinsamen Tei1ers zweier Zahlen. Dies wird auf S. 35 f. erortert werden. Hier wollen wir statt dessen einen Beweis jiingeren Datums bringen, der etwas kiirzer und vielleicht etwas raffinierter ist als der euklidische. Er ist ein typisches Beispiel eines indirekten Beweises. Wir werden annehmen, daB es eine natiirliche Zahl gibt, die auf zwei wesentlich verschiedene Weisen in Primzahlen zerlegt werden kann, und aus dieser Annahme werden wir einen Widerspruch herleiten. Dieser Widerspruch wird zeigen, daB die Annahme der Existenz einer Zahl mit zwei wesentlich verschiedenen Prirnzahlzerlegungen unhaltbar ist, und daB folglich die Primzahlzerlegung jeder Zahl eindeutig ist. *Wenn es eine positive ganze Zahl gibt, die in zwei wesentlich verschiedene Produkte von Primzahlen zerlegt werden kann, dann muB es eine kleinste solche Zahl m geben (siehe S. 15). Fiir diese gilt

m = PIP.· •. Pr= qlqa· •. q"

(1)

worin die P und q Primzahlen sind. Wenn wir die Reihenfolge der P und q notigenfalls abandern, diirfen wir annehmen, daB

PI ~ P. ~ ... ~ Pr'

ql ~ q. ~ ... ~ q, . Nun kann PI nicht gleich ql sein; denn wenn das der Fall ware, konnten wir von beiden Seiten der Gleichung (1) den ersten Faktor wegheben und erhielten zwei wesentlich verschiedene Primzahlzerlegungen einer positiven ganzen Zahl kleiner als m; dies ware ein Widerspruch dagegen, daB wir m als die kleinste Zahl dieser Eigenschaft gewahlt hatten. Daher ist entweder PI < qloder ql < Pl. Nehmen wir an, es sei PI < ql' (Wenn ql < PI' brauchen wir nur die Buchstaben p und q im folgenden zu vertauschen.) Wir bllden die ganze Zahl (2) m'= m - Plq.qa' .. q•. Indem wir fiir m die beiden Ausdriicke der Gleiehung (1) einsetzen, konnen wir tn' in den folgenden beiden Formen schreiben: (3) (4)

tn' =

(PIPS· .. Pr) - (PI q" ... q,) = PI (P.Pa ... Pr - qsqa ... q,), q,) - (PI q• ... q,) = (ql- PI) (q.qa ... q,) .

tn' = (ql q• ...

Da PI < ql' so folgt aus (4), daB tn' eine positive ganze Zahl ist, wahrend tn' wegen (2) kleiner als tn sein muB. Folglich muB die Primzahlzerlegung von tn', abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, eindeutig sein. Aber aus (3) ergibt sieh, daB PI ein Faktor von tn' ist, daher muB nach (4) PI entweder ein Teller von ql - PI oder von q.qa . .. q, sein. (Dies ergibt sich aus der angenommenen Eindeutigkeit der Zerlegung von m', siehe die Uberlegung im nachsten Absatz.) Das letzte ist unmoglich, da alle q groBer sind als Pl' Folglich muB PI ein Teller von ql - PI sein, so daB es eine ganze Zahl h geben muB, fiir die

ql- PI= PI • h oder ql= Pt(h + 1) .

2*

20

Ergiinzung zu I. Zahlentheorle

Aber hiernach miiBte PI ein Teiler von ql sein, im Widerspl1lch zu der Tatsache, daB ql eine Primzahl ist. Dieser Widerspl1lch zeigt, daB unsere urspriingliche Annahme unhaltbar ist, und damit ist der Fundamentalsatz der Arithmetik bewiesen. Ein wichtiges Corollar des Fundamentalsatzes ist das folgende: Wenn eine

Primzahl der Teiler eines Produktes ab ist, so mup P ein Teiler entweder von a oder von b sein. Denn wenn P weder ein Teiler von a noch von b ware, so wiirde das Produkt der Primzahlzerlegungen von a und b eine Primzahlzerlegung das Produkts ab ergeben, die P niche enthielte. Da andererseits P nach Voraussetzung ein Faktor von ab ist, so existiert eine ganze Zahl t von der Art, daB ab = pt. Daher wiirde das Produkt von p mit einer Primfaktorzerlegung von t eine Primfaktorzerlegung der Zahl ab ergeben, in der p enthalten ist, im Widerspl1lch zu der Tatsache, daB ab nur eine einzige Primzahlzerlegung besitzt. Beispiele: Wenn man festgestellt hat, daB 13 ein Faktor von 2652 ist, und daB 2652 = 6 . 442, so kann man schlieBen, daB 13 ein Faktor von 442 ist. Andererseits ist 6 ein Faktor von 240 und 240 ist = 15·16, aber 6 ist weder ein Faktor von 15 noch von 16. Dies zeigt, daB die Voraussetzung, daB peine Primzahl ist, wesentlich ist. tlbung. Um aIle Teller einer beliebigen Zahl a zu finden, brauchen wir nur a in ein Produkt a

= P':' •P:I ... P';'

zu zerlegen, worin die p verschiedene Prlmzahlen sind, die jede zu einer gewissen Potenz erhoben sind. Samtliche Teller von a sind die Zahlen b=

worln die {J beliebige ganze Zahlen

~

pt, . pel . .. pp, ,

0 sind, die die Ungleichungen

o ;;;;; {Jl ;;;;; Ctl' 0 ;;;;; {JI ;;;;; Ct., ••• , 0 ;;;;; {J, ;;;;; at, erfiillen. Man beweise diese Behauptung. Dementsprechend zeige man, daB die Anzahl der verschiedenen Teiler von a (einschlieJ3lich der Teller a und 1) durch das Produkt (Ctl + 1) (Ct. + 1) ... (at, + 1) .

gegeben ist. Zum Beispiel hat 144 = 2" 3S . 3 Teiler. Diese sind I, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144.

2. Die Verteilung der PrimzahIen

Eine Tabelle aIler Primzahlen bis zu einer gegebenen natiirlichen Zahl N kann man herstellen, indem man der Reihe nach aIle Zahlen bis N hinschreibt, dann diejenigen wegstreicht, die Vielfache von 2 sind, dann von den iibrigen aIle, die Vielfache von 3 sind, und so weiter, bis aIle zerlegbaren Zahlen ausgeschieden sind. Dieses Verfahren, das "Sieb des Eratosthenes" genannt, fangt in seinen Maschen aIle Primzahlen bis zu N. Vollstandige Tabellen der Primzahlen bis etwa 10000000 sind im Laufe der Zeit mit Hilfe einer verfeinerten Methode zusammengestellt worden; sie liefern uns eine ungeheure Menge empirischer Angaben fiber Verteilung und Eigenschaften der Primzahlen. Auf Grund dieser Tabellen lassen sich viele plausible Vermutungen aufstellen (als ob die Zahlentheorie eine Experimentalwissenschaft ware), die haufig sehr schwierig zu beweisen sind.

2. Die Verteilung der Primzahlen

21

a) F orme/,n zur Konstruktion von Primzahlen Man hat versucht, einfache arithmetische Forme1n zu finden, die !auter Primzahlen, wenn auch nicht alle Primzahlen liefem. FERMAT sprach die beriihmte Vermutung (aber nicht die ausdriickliche Behauptung) aus, daB alle Zahlen der Form F(n) = 21"+ 1 Primzahlen seien. Tatsachlich erhalten wir fUr n = I, 2, 3, 4 F(I) =22 +1=5,

F(2) = 22" + 1 = 2' + 1 = 17, F (3) = 22' + 1 = 28 + 1 = 257 , F(4) = 22' + 1 = 218 + 1 = 65537 , also stets Primzahlen. Aber im Jahre 1732 entdeckte EULER die Faktorzerlegung 22" + 1 = 641 . 6700417, also ist F(5) keine Primzahl. Spater wurden noch mehr von diesen "Fermatschen Zahlen" a1s zerlegbar erkannt, wobei in jedem Fall tiefere zahlentheoretische Methoden erforderlich waren, da die Schwierigkeiten des direkten Ausprobierens unUberwindlich sind. Bis heute ist noch nicht einmal bewiesen, daB irgendeine der Zahlen F(n) fUr n > 4 eine Primzahl ist. Ein anderer merkwUrdiger und einfacher Ausdruck, der viele Primzahlen liefert, ist f(n) = nl- n + 41 . FUr n

f(n)

1,2,3, ... ,40 sind die f(n) Primzahlen, aber fUr n 41 2 , eine Zahl, die keine Primzahl ist. Der Ausdruck n2 - 79n + 1601 =

=

41 erhalten wir

=

liefert Primzahlen fUr alle n bis 79, versagt aber fUr n = SO. 1m ganzen hat es sich a1s erfolgloses BemUhen erwiesen, nach Ausdrllcken einfacher Art zu suchen, die nur Primzahlen liefem. Noch weniger aussichtsreich ist der Versuch, eine algebraische Formel zu finden, die siimtliche Primzahlen liefert.

b) Primzahlen in arithmetischen Folgen Wahrend es einfach zu beweisen war, daB in der Folge aller natUrlichen Zahlen 1,2,3,4, ... unendlich viele Primzahlen vorkommen, bereiten Folgen wie 1,4, 7, 10, 13, ... oder 3,7, 11, 15, 19, ... oder, allgemeiner, beliebige arithmetische Folgen a, a + d, a + 2d, ... , a + nd, ... , worin a und d keinen gemeinsamen Teller haben, erhebliche Schwierigkeiten. AIle Beobachtungen wiesen auf die Tatsache hin, daB es in 1'eder solehen Folge unendlich viele Primzahlen gibt, ebenso wie in der einfachsten, I, 2, 3, .... Der Beweis dieses allgemeinen Satzes war eine derberiihmten Leistungen von LEJEUNE-DIRICHLET (1805-1859), einem der groBen Meister seiner Generation. Sein Erfolg beruhte auf einer genialen Anwendung der hOheren Analysis. Noch heute, nach hundert J ahren, zahlt DIRICHLETB Arbeit Uber diesen Gegenstand zu den hervorragendsten Leistungen der Mathematik. Es ist bisher nicht gelungen, seinen Beweis so zu vereinfachen, daB er denen zuganglich ist, die nicht in der Technik der Infinitesimalrechnung' und Funktionentheorie bewandert sind.

22

Erginzung zu I. Zahlentheorie

Wahrend wir bier den Beweis fUr DIRlCHLETI allgemeines Theorem nicht darste1len konnen. ist es leicht. fUr gewisse spezielle arithmetische Folgen. z. B. 4n + 3 und 6n + 5. den einfachen euklidischen Beweis abzuwande1n. Um die erste dieser beiden Folgen zu behandeln. bemerken wir. daB jede Primzahl groBer a1s 2 ungerade ist (da sie sonst durch 2 teilbar ware) und daher die Form 4n + 1 oder 4n + 3 hat. mit einer geeigneten ganzen Zahl n. Ferner ist das Produkt zweier Zahlen der Form 4n + 1 wieder von dieser Form. da

(4a

+

1) (4b

+

1) = 16ab + 4a

+ 4b +

1 = 4(4ab + a + b)

+

1.

Nun nehmen wir an. es gabe nur eine endliche Anzahl von Primzahlen

Pa•...• Pn von der Form 4n + 3. und betrachten die Zahl N = 4 (PIP• .. . Pn) - 1 = 4(PI" .Pn- 1) + 3.

Pl. P".

Entweder ist N selbst eine Primzahl. oder es kann in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden. unter denen Pl' PSI ...• Pn nicht vorkommen konnen. da diese, wenn N durch sie geteilt wird. den Rest -1 geben. Ferner konnen nicht alle Faktoren von N von der Form 4n + 1 sein; denn N selbst ist nicht von dieser Form. und wie wir gesehen haben. ist jedes Produkt von Zahlen der Form 4n + 1 wieder von dieser Form. Daher muB mindestens ein Primfaktor von der Form 4n + 3 sein. und dies ist unmoglich. da keine von den Zahlen Pl' PI' ...• Pn. von denen wir annahmen. daB sie alle Primzahlen der Form 4n + 3 darstellten. ein Faktor von N sein kann. Also fUhrt die Annahme. daB die Anzahl der Primzahlen der Form 4n + 3 endlich sei. zu einem Widerspruch. und folglich muB die Anzahl dieser Primzahlen unendlich sein. (Jbung. Man beweise den entsprechenden Satz fiir die Folge 6n

+ 5.

c) Der Primzahlsatz Auf der Suche nach einem Gesetz uber die Verteilung der Primzahlen wurde der entscheidende Schritt getan. a1s man die erfolglosen Versuche aufgab. eine einfache mathematische Formel zu finden. die alle Pritnzahlen oder die genaue Anzahl der Primzahlen unter den ersten n ganzen Zahlen angibt. und sich stattdessen mit einer Auskunft uber die aurchschnittliche Verteilung der Primzahlen unter den naturlichen Zahlen begnugte. FUr eine beliebige natUrliche Zahl n moge An die Anzahl der Primzahlen unter den Zahlen 1.2.3•...• n bezeichnen. Wenn wir in einer Liste der ersten ganzen Zahlen alle Primzahlen unterstreichen: 123 4 5 6 7 89 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 ...• so konnen wir die ersten Werte von An feststellen:

AI= O. A.= 1. Aa= 2. A,= 2. As= A.= 3. A7= A8= A.= AIO= 4. Au= AIIl= 5. Ala= Au= AIS= A18= 6. A17= A18= 7. A19= 8. usw. Wenn wir jetzt eine beliebige Folge von Werten n nehmen. die unbegrenzt zunimmt. sagen wir n = 10. lOll. 103• 10'•...• dann werden die zugehOrigen Werte von An.

AIO' AIO"' Alo". AlO"

••••

23


ebenfalls unbegrenzt zunehmen (alIerdings langsamer). Da, wie wir wissen, unendlich viele Primzahlen existieren, miissen die Werte von A" fUr wachsendes n frilher oder spater jede endliche Zahl iiberschreiten. Die "Dichte" der Primzahlen unter den ersten n ganzenZahlen wird durch den Quotienten einer Primzahltabel1e kann man die Werte von Werte von n entnehmen.

nI

~" gegeben, und aus

~" empirisch filr einige groBe

A "In

loa 0,168 10' 0,078498 109 0,050847478

Der Quotient A"ln kann a1s Wahrscheinlichkeit darur aufgefaBt werden, daB eine aufs Geratewohl aus den ersten n ganzen Zahlen herausgegriffene Zahl eine Primzahl ist, da es n Mijglichkeiten der Wahl gibt und darunter A" Primzahlen sind. 1m EinzeInen ist die Verteilung der Primzahlen unter den natttrlichen Zahlen auBerordentlich unrege1maBig. Aber diese UnregelmaBigkeit "im Kleinen" verschwindet, wenn wir unsere Aufmerksamkeit der durchschnittlichen Verteilung der Primzahlen, wie sie durch das Verhli.ltnis A" gegeben wird, zuwenden. Das n

einfache Gesetz, dem dieses Verhli.ltnis gehorcht, ist eine der merkwtlrdigsten Entdeckungen der Mathematik. Um den Primzahlsatz zu formulieren, miissen wir den "natiirlichen Logarithmus" einer Zahl n definieren. Hierzu wli.hlen wir zwei zueinander senkrechte Achsen in einer Ebene und betrachten die Gesamtheit alIer Punkte in der Ebene, 9 ffir die das Produkt ihrer Abstande x und y von den beiden Achsen gleich 1 ist. Dies ist eine gleichseitige Hyperbel, mit der Gleichung xy = 1. Wirdefinieren nun In n a1s diejenige Hache in Fig. 5, die begrenzt wird von der Hyperbel, der x-Achse und den beiden Vertikalen x = 1 und x = n. (Eine eingehendere Besprechung des Logarithmus findet sich in Kap. VIII.) Fig. 5. Die F1lcbe des scbraffierten Ge· Auf Grund einer empirischen Untersuchung von Prim- biets UDter der Hyperbel de60iert In" zahltabellen bemerkte GAUSS, daB das Verhli.ltnis

~.. angenahert gleich lflnn ist, und daB die Annli.herung sich mit wachsendem n zu verbessem scheint. Die Giite der Annli.herung ist durch das Verhli.ltnis ~;;: gegeben, dessen Werte fur n = 1000, 1000000 und 1000000000 in der folgenden Tabelle angegeben sind. n

A,Jn

I/1nn

loa 0,168 0,145 10' 0,078498 0,072382 lOti 0,050847478 0,048254942

. ....... .. .... .... . .

A "In I/1nn

1,159 1,084 1,053

24

Ergii.nzung zu I. Zahlentheorie

Auf Grund solcher empirischer Feststellungen sprach GAUSS die Vermutung aus, daB das VerhaItnis Aflln der GroBe Ifln n "asymptotisch gleich" ist. Dies bedeutet : wenn wir eine Folge von immer groBeren Werten n nehmen, sagen wir wie eben

n = 10, 10·, 1011, 10', •.. , dann nahert sich das VerhaItnis von AJn zu Iflnn, A ..ln 1f1nn '

berechnet fUr diese aufeinanderfolgenden Werte von n, immer mehr dem Wert 1, d. h. die Differenz zwischen dem Wert dieses VerhaItnisses und 1 kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir genfigend groBe Werte von n wahlen. Diese Behauptung wird symbolisch durch das Zeichen .... dargestellt: A

1

A,.fn

.

-:,.., mn bedeutet 11m n strebt gegen 1, wenn n zurummt. Das Zeichen .... kann natiirlich nicht durch das gewohnliche Gleichheitszeichen = ersetzt werden, wie aus der Tatsache hervorgeht, daB Afl immer eine ganze Zahl ist, wahrend dies fUr nfln n nicht zutri1lt. DaB das durchschnittliche Verhalten der Primzahlverteilung durch die Logarithmusfunktion beschrieben werden kann, ist eine sehr merkwiirdige Entdeckung; denn es ist erstaunlich, daB zwei mathematische Begriffe, die scheinbar gar nichts miteinander zu tun haben, in Wirklichkeit so eng miteinander verknfipft sind. Obwohl die Formulierung der GauBschen Vermutung einfach zu verstehen ist, ging ein strenger Beweis weit fiber die Leistungsfahigkeit der mathematischen Wissenschaft zu GAUSS' Zeiten hinaus. Um diesen Satz, in dem nur ganz elementare Begri1le auftreten, zu beweisen, benotigt man die stli.rksten Methoden der modernen Mathematik. Es dauerte fast hundert Jahre, ehe die Analysis so weit entwickelt war, daB HADAMARD (1896) in Paris und DE LA VALLEE POUSSIN (1896) in Lowen einen vollstandigen Beweis des Primzahlsatzes geben konnten. Vereinfachungen und wichtige Abanderungen wurden von v. MANGOLDT und LANDAU angegeben. Lange vor HADAMARD hatte RmMANN (1826-1866) entscheidende Pionierarbeit geleistet in einer beriihmten Arbeit, in der er gleichsam die Strategie £fir den Angriff auf das Problem entwarf. Der amerikanische Mathematiker NORBERT WmNER hat jetzt den Beweis so umgestaltet, daB die Benutzung komplexer Zahlen bei einem wichtigen Schritt des Gedankengangs vermieden wird. Aber der Beweis des Primzahlsatzes ist noch immer keine leichte Angelegenheit. Wir werden auf diesen Gegenstand noch auf S. 36911. zurUckkommen.

d) Zwei ungeloste Probleme, die Primzahlen betreffen Wahrend das Problem der durchschnittlichen Primzahlverteilung befriedigend gelost worden ist, gibt es noch viele Vermutungen, die durch aUe empirischen Feststellungen gestfitzt werden, aber bis heute noch nicht bewiesen werden konnten. Eine davon ist die beriihmte Goldbachsche Vermutung. GOLDBACH (1690 bis 1764) hat nur durch dieses Problem, das er 1742 in einem Brief an EULER aufstellte, in der Geschichte der Mathematik Bedeutung erlangt. Er bemerkte, daB


25

jede von fum untersuchte gerade Zabl (auBer 2, die selbst eine Primzahl ist) als Summe zweier Primzahlen dargeste11t werden kann. Zurn Beispiel:

4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 20 = 13 + 7, ... , 48 = 29 + 19, ... , 100 = 97 + 3 usw. GOLDBACH fragte EULER, ob er beweisen konnte, daB dies fiir alle geraden Zahlen zutrifft, oder ob er ein Gegenbeispiel angeben konnte? EULER gab niemals eine Antwort, auch ist sonst bisher kein Beweis oder Gegenbeispiel gefunden worden. Die empirischen Ergebnisse zugunsten der Behauptung, daB jede gerade Zahl so dargestellt werden kann, sind durchaus fiberzeugend, wie jeder bestatigen kann, der eine Anzahl von Beispielen prilft. Der Grund fUr die Schwierigkeit ist, daB Prlmzahlen durch Multiplikation definiert sind, wahrend es sich bei diesem Problem urn Additionen handelt. Ganz allgemein ist es schwierig, Zusammenhange zwischen den multiplikativen und additiven Eigenschaften der ganzen Zahlen aufzufinden. Bis vor kurzem schien ein Beweis der Goldbachschen Vermutung vollkommen unangreifbar. Heute scheint die Losung nicht mehr ga.nzlich hoffnungslos zu sein. 1931 wurde, vollig unerwartet und zurn groBten Erstaunen der Fachleute, von einem bis dahin unbekannten jungen russischen Mathematiker, SCHNIRELMANN (1905-1938), ein bedeutender Erfolg errungen. SCHNIRELMANN bewies, daB ide positive ganze Zahl als Summe von niche melw als 300000 Primzahlen dargestellt werden kann. Obwohl dieses Ergebnis im Vergleich zu dem urspronglichen Ziel, die Goldbachsche Vermutung zu beweisen, beinahe komisch anmutet, so ist es jedenfalls der erste Schritt in dieser Richtung. Der Beweis ic;t ein direkter, konstruktiver, obwohl er keinerlei praktische Methode angibt, urn die Zerlegung einer be1iebigen Zahl in eine Summe von Primzahlen zu finden. Etwas spater ge1ang es dem russischen Mathematiker VINOGRADOFF mit Hilfe von Methoden, die von HARDY, LITTLEWOOD und ihrem indischen Mitarbeiter RAMANUJAN stammen, die Zahl der Summanden von 300000 auf 4 herabzudrilcken. VINOGItADOFFB groBartige Leistung kommt der Losung des Goldbachschen Problems schon sehr viel naher. Es besteht aber ein prinzipie11er Unterschied zwischen SCHNIRELMANNI und VINOGRADOFF8 Ergebnis, noch bedeutsamer vie11eicht als der Unterschied von 300000 und 4. VINOGRADOFFB Satz ist nur fUr aUe "hinreichend groBen" Zahlen bewiesen, genauer gesagt, VINOGRADOFF bewies, daB es eine Zahl N gibt, derart, daB jede Zahl n > N als Summe von bOchstens 4 Primzahlen dargestellt werden kann. VINOGRADOFFB Beweis erlaubt nicht, N abzuschlitzen; im Gegensatz zu SCHNIRELMANN8 Satz ist er wesentlich indirekt und nicht konstruktiv. Was VINOGRADOFF wirklich bewiesen hat, ist, daB die Annahme, es gabe unendlich viele ganze Zahlen, die nicht in bOchstens 4 Primzahlsummanden zerlegt werden konnen, zu einem Widerspruch ffihrt. Hier haben wir ein gutes Beispiel des tiefliegenden Unterschieds zwischen den beiden Beweistypen, dem direkten und dem indirekten. Zum SchluB sei noch ein anderes ungelostes Problem fiber Primzahlen erwahnt, welches mindestens ebenso reizvoll ist wie die Goldbachsche Vermutung, welches aber noch weiter von einer befriedigenden Antwort entfemt zu sein scheint. Es ist auffallend, daB in den Tabe11en der Primzahlen immer wieder Paare p und p + 2 vorkommen, die sich nur um zwei unterscheiden, z. B. 3 und 5, 11 und 13, 29 und 31 usw. Die sich aufdrangende Vermutung ist nun, daB es unendlich viele solcher

26

Erganzung zu I. Zahlentheorie

Paare gibt. - Obwohl kaum ein Zweifel an der Richtigkeit der Vermutung besteht, ist bisher noch kein entscheidender Fortschritt in der Richtung auf einen Beweis gelungen.

§ 2. Kongruenzen 1. GrundbegriHe tJberall, wo die Frage nach der Teilbarkeit ganzer Zahlen durch eine bestimmte ganze Zahl d auftritt, dient der Begriff und die Bezeichnung "Kongruenz" (auf GAUSS zurUckgehend) zur Klarung und Vereinfachung der V'bedegungen. Um diesen Begriff einzufilhren, wollen wir die Reste untersuchen, die bei der Division der ganzen Zahlen durch 5 tibrigbleiben. Wir haben

0=0·5+0 1=0·5+1 2=0·5+2 3=0'5+3 4=0,5+4 5=1'5+0 6=1'5+1

7=1·5+2 8=1'5+3 9=1·5+4 10=2,5+0 11=2·5+1 12 = 2·5 + 2

-1=-1·5+4 -2=-1'5+3 -3=-1·5+2 -4=-1'5+1 -5=-1'5+0 -6=-2'5+4

usw.

usw.

Wir bemerken, daB der Rest, der bleibt, wenn eine beliebige ganze Zahl durch 5 geteilt wird, stets eine der fUnf Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 ist. Wir sagen, daB zwei ganze Zahlen a und b "kongruent modulo 5" sind, wenn sie bei Division durch 5 denselben Rest lassen. So sind 2,7, 12, 17,22, ... , -3, -8, -13, -18, ... alle kongruent modulo 5, da sie den Rest 2 lassen. Allgemein ausgedriickt sagen wir, daB zwei ganze.zahlen a und b kongruent modulo d sind, wobei d eine bestimmte ganze Zahl ist, wenn es eine ganze Zabl n gibt, derart, daB a - b = nd. Zum Beispiel sind 27 und 15 kongruent modulo 4, weil

27 = 6 . 4 + 3 ,

15 = 3 . 4 + 3 .

Der Begriff der Kongruenz ist so ntitzlich, daB es wUnschenswert ist, daffir eine kurze Schreibweise zu haben. Wir schreiben a == b (mod Ii)

,

um auszudriicken, daB a und b kongruent modulo d sind. Wenn tiber den Modul kein Zweifel besteht, kann man auch das "mod d" der Formel weglassen. (Wenn a nicht kongruent b modulo d ist, schreiben wir a$; b (mod d)). Kongruenzen kommen im Alltagsleben haufig vor. Zum Beispiel geben die Zeiger einer Uhr die Stunde modulo 12 an, und der Kilometerzahler im Auto zeigt die insgesamt zurUckgelegten Kilometer modulo 100000. Ehe wir mit der Erorterung der Kongruenzen im einzelnen beginnen, sollte sich der Leser klar machen, daB die folgenden Aussagen alle einander aquivalent sind:

1. a ist kongruent b modulo d. 2. a = b + nd ffir eine gewisse ganze Zahl n. 3. d ist ein Teller von a-b. Der Nutzen der GauBschen Kongruenzschreibweise liegt darin, daB die Kongruenz in bezug auf einen bestimmten Modul viele der formalen Eigenschaften

27

1. Grundbegriffe

der gewohnlichen Gleichheit hat. Die wichtigsten fonnalen Eigenschaften der Gleichheits-Beziehung a = b sind die folgenden: 1) Es ist immer a = a. 2) Wenn a = b, dann ist auch b = a. 3) Wenn a = b und b = c, dann ist a = c. Ferner: wenn a = a' und b = b', Cilann ist 4) a + b = a' + b'.

5) a - b = a' - b'.

6) ab = a'b'. Diese Eigenschaften bleiben erhalten, wenn die Beziehung a = b durch a == b (mod d) ersetzt wird. So ist I') immer a == a (mod d), 2') wenn a == b (mod d), dann auch b == a (mod d), 3') wenn a == b (mod d) und b == c (mod d), dann auch a == c (mod d). Die triviale Nachprlifung dieser Tatsachen bleibe dem Leser fiberlassen. Ferner: wenn a == a' (mod d) und b == b' (mod d), dann ist 4') a + b == a' + b' (mod d), 5') a - b == a'- b' (mod d), 6') ab == a' b' (mod d). Es konnen also Kongruenzen in bezug auf denselben Modul addiert, subtrahierl und multipUziert werden. Urn diese drei Aussagen zu beweisen, brauchen wir nur folgendes zu bemerken: Wenn a= a'+rd, dannist

b = b'+ sd,

a + b = a' + b' + (r + s) d, a - b = a' - b' + (r - s) d, ab = a'b' + (a's + b'r + rsd)d,

woraus die gewfinschten Eigenschaften folgen. Der Begriff der Kongruenz erlaubt eine anschauliche geometrische Deutung. Wenn wir die ganzen Zahlen geometrisch darzustellen wfinschen, w1i.h1.en wir gewohnlich eine Strecke der Lange 1 und erweitern sie durch Vielfache derselben Lange nach beiden Seiten. Auf diese Weise finden wir ffir jede ganze Zahl einen entsprechenden Punkt auf der Geraden wie in Fig. 6. Wenn wir es dagegen mit den -.!

-3

-1

o

1

3

Fig. 6. Geometrische Darstellung der ganzen Zahlen

ganzen Zahlen modulo d zu tun haben, so werden zwei beliebige kongruente Zahlen als dieselbe Zahl angesehen, da es nur auf ihr Verhalten bei Division durch d ankommt und sie denselben Rest lassen. Urn dies geometrisch zu veranschaulichen, w1i.h1.en wir einen Kreis, der in d gleiche Teile geteilt ist. Jede ganze ZahllliBt bei Division durch d als Rest eine der d Zahlen 0, 1,2, ... , d - I, die in gleichen Abstanden auf dem Umfang des Kreises angeordnet werden. Jede ganze Zahl ist


28

einer dieser Zahlen kongruent modulo d und wird daher geometrisch durch einen dieser Punkte dargestellt. Fig. 7 ist fUr den Fall d = 6 gezeichnet. Das Zifferblatt einer Uhr ist ein weiteres Beispiel aus dem taglichen Leben. Als Beispiel fUr die Anwendung der multiplikativen Eigenschaft 6') der Kongruenzen konnen wir die Reste bestimmen, die bei der Division aufeinanderfolgender Zehnerpotenzen durch eine gegebene Zahl bleiben. Zum Beispiel ist 10 == -1

· ··

(mod 11) ,

da 10 = - 1 + 11. Multiplizieren wir diese Kongruenz wiederholt mit sich selbst, so ergibt sich

-$

3 9

10· == (-1) (-1) 103 ==-1 1()4 == 1

=

1

(mod 11), (mod 11), (mod 11) usw.

Hieraus laBt sich zeigen, daB eine beliebige naturliche Zahl Fig. 7. Geometrische Darstellung der ganzen Zahlen modulo 6

z = ao+ a1 • 10 + as· 101 + .•. + an . 10" ,

im Dezimalsystem ausgedriickt, bei Division durch 11 denselben Rest laBt wie die Summe ihrer Ziffem mit abwechselndem Vorzeichen genommen, t = ao- a1 + a.- aa+ .... Denn wir konnen schreiben

z- t=

~

·11 + a.(102- 1) + aa(103 + 1) + a,(l0'- 1) + ....

Da alle Zahlen 11, 102 - I, 103 + I, ... kongruent 0 mod 11 sind, gilt dies von z - t ebenfalls, und daher la.6t z bei Division durch 11 denselben Rest wie t. Insbesondere folgt, da.6 eine Zahl dann und nur dann durch 11 teilbar ist (d. h. den Rest 0 la.6t), wenn die Summe ihrer Ziffem mit abwechse1ndem Vorzeichen durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel: da 3 - 1 + 6 - 2 + 8 - 1 + 9 = 22, ist die Zahl z = 3162819 durch 11 teilbar. Noch einfacher ist es, ein Kennzeichen ffir die Teilbarkeit durch 3 oder 9 zu finden, da 10 == 1 (mod 3 oder 9) und daher 10" == 1 (mod 3 oder 9 )fUr jedes n. Daraus folgt, da.6 eine Zahl z dann und nur dann durch 3 oder 9 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffem - die sogenannte Quersumme -

s = ao+

~

+ a.+ ... + an

ebenfalls durch 3 bzw. durch 9 teilbar ist. Fur Kongruenzen modulo 7 haben wir 10 == 3, loa == 2, 103 == -I, 10' == -3, 105 == -2, lOS = 1. Diese Reste wiederholen sich dann heim Weitergehen. Daher ist dann durch 7 teilbar, wenn der Ausdruck

r = ao+

3~+

z dann und nur

2aa - aa- 3a,- 2aa+ a8 + 3a 7 + ...

durch 7 teilbar ist. tJbung: Man suche ein ahnliches Kennzeichen fur die Teilbarkeit durch 13.

29

1. Grundbegriffe

Beim Addieren oder Multiplizieren von Kongruenzen mit Bezug auf einen fest en Modul, etwa d = 5, konnen wir verhindem, daB die auftretenden Zahlen zu groB werden, wenn wir jede Zahl a immer durch diejenige aus der Menge

0, 1, 2, 3, 4 ersetzen, zu der sie kongruent ist. Urn also Summen und Produkte von ganzen Zahlen modulo 5 zu berechnen, brauchen wir nur die folgenden Tabellen fiir die Addition und die Multiplikation zu benutzen.

a·b

a+b b==O 1 2 3 4 a==O

1 2 3

4

0 1 2 3 4

b==O 1 2 3 4 a==O

1 2 3 4 2 3 4 0 3 4 0 1 4 0 1 2 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1

Aus der zweiten Tabelle geht hervor, daB ein Produkt ab nur dann kongruent 0 (mod 5) ist, wenn a oder b kongruent 0 (mod 5) ist. Das deutet auf das allgemeine Gesetz ab == 0 (mod d) nur, wenn a == 0 oder b == 0 (mod d) . 7) Dies ist eine Erweiterung des gewohnlichen Gesetzes fUr ganze Zahlen. nach dem a b nur = 0 sein kann. wenn a = 0 oder b = O. Das Gesetz (7) gilt dann und nur dann, wenn d eine Primzahl ist. Denn die Kongruenz

ab == 0

(mod d)

bedeutet. daB d ein Teiler von ab ist; ist nun d eine Primzahl. dann wissen wir. daB sie nur dann Teiler des Produkts ab sein kann. wenn sie entweder Teiler von a oder von b ist, also nur, wenn a == 0

(mod d)

oder

b == 0

(mod d) .

Wenn aber d keine Primzahl ist, dann k6nnen wir d = r . s setzen. worin r und s kleiner alS d sind. so daB

r$O und trotzdem

(mod d).

rs = d == 0

s$O

(mod d)

(mod d);

d. h. das Gesetz ist nicht giiltig. Zum Beispiel ist 2 $ 0 (mod 6) und 3 $ 0 (mod 6). aber 2 ·3= 6 == 0 (mod 6). iJbung: Man zeige. daB die folgende KUl'zungsfegel fiir Kongruenzen in bezug auf einen Primzahlmodul gilt: Wenn ab == ac und a =1= O. dann ist b == c. iJbungen: 1. Welcher Zahl zwischen 0 und 6 (einschlieBlich) ist das Produkt 11 . 18·2322· 13 • 19 kongruent modulo 7 ? 2. Welcher Zahl zwischen 0 und 12 (einschlieBlich) ist 3·7· 11 . 17· 19·23·29' 113 kongruent modulo 13? 2 22 219 3. Welcher Zahl zwischen 0 und 4 (einschlieBlich) ist die Summe 1 kongruent modulo 5 ?

+ + + ... +

30


2. Der kleine Fermatsche Satz 1m 17. Jahrhundert entdeckte FERMAT, der Begrlinder der modernen Zahlentheorie, den wichtigen Satz: Fur eine beUebige Primzahl p, die nicht Teiler der ganzen Zahl a ist, gilt aP - 1 == 1 (modp) . Das heiBt, daB die (P - I}te Potenz von a bei Division durch p den Rest 1 HiBt. Einige unserer friiheren Rechnungen bestiitigen diesen Satz; z. B. fan den wir, daB 108 == 1 (mod 7), 102 == 1 (mod 3) und 1010 == 1 (mod 11). Ebenso konnen wir zeigen, daB 212 == 1 (mod 13) und 510 == 1 (mod 11). Urn die letzteren Rongruenzen nachzupriifen, brauchen wir nicht diese hohen Potenzen wirklich auszurechnen, da wir uns die multiplikative Eigenschaft der Rongruenzen zunutze machen konnen: 2' == 16 == 3 (mod 13), 28 == 9 == -4 (mod 13), 212 == -4·3 = -12 == 1 (mod 13).

52 == 3 5' == 9 == -2 58 == 4 51 0 == 3 . 4 = 12 == 1

(mod (mod (mod (mod

11), 11), 11), 11).

Urn den Fermatschen Satz zu beweisen, betrachten wir die Vielfachen von a

ma= 3a, ... , m

p-

1=

(P - 1) a.

Reine zwei dieser Zahlen konnen kongruent modulo p sein; denn dann ware p ein Teller von m r - m,= (r - s) a fiir ein gewisses Paar von ganzen Zahlen r, s mit 1 ~ r < s ~ (P - 1). Aber nach Satz (7) kann dies nicht sein, denn da s - r kleiner als p ist, ist p kein Teller von s - r, wiihrend nach Voraussetzung p kein Teller von a ist. Auch kann keine der Zahlen kongruent 0 sein. Daher muB jede der Zahlen~, m 2 , ••• , m p - 1 genau einer entsprechenden unter den Zahlen 1,2,3, ... . . ., p - 1 kongruent sein. Daraus foIgt m1 m2

'"

m p - 1 = 1·2·3··· (P - I)a P -

1

== 1· 2·3··· (P -

1) (modP),

oder, wenn wir K als Abkiirzung ffir 1·2·3· .. (P - 1) schreiben, K (a P -

1 -

1)

== 0

(modp) .

Aber Kist nicht durch p tellbar, da keiner seiner Faktoren es ist, daher muB nach dem Satz (7) a P -1_ 1 durch p teilbar sein, d. h.

aP - 1 - 1 == 0

(modp) .

Das ist der Fermatsche Satz. Urn den Satz nochmals zu kontrollieren, nehmen wir p = 23 und a = 5. Wir haben dann, immer modulo 23, 52 == 2, 5' == 4, 58 == 16 == -7, 518 == 49 == 3, 520 == 12, 522 == 24 == 1. Mit a = 4 anstelle von 5 erhalten wir, wiederum modulo 23, 42 == -7, 43 == -28 == -5, 4' == -20 == 3,48 == 9,411 == -45 == 1, 422 == 1 . In dem oben angegebenen Beispiel mit a = 4, P = 23 und in anderen bemerken wir, daB nicht nur die (P - l)te Potenz von a, sondern schon eine niedrigere Potenz kongruent 1 sein kann. Es gilt dann immer, daB die kleinste derartige Potenz, in diesem Fall!l, ein Teiler von (P - 1) ist. (Siehe die folgende Cbung 3).

== 1 (mod 17); 38 == == -1 (mod 29); 214 == -1 (mod 29); 41' == 1 (mod 29); 514 == 1 (mod 29).

(Jbungen: 1. Man zeige durch ahnliche Rechnung, daB 28

17); 314

1 (mod

3. Quadratische Reste

31

2. Man bestatige den kleinen Fermatschen Satz fur p = 5, 7, 11, 17 und 23 mit verschiedenen Werten von Q. 3. Man beweise den allgemeinen Satz: Die kleinste positive ganze Zahl e, filr die Q' == 1 (mod P), muB Teiler von p -1 sein. Anleitung: Man teile p -1 durch e, was p - l =ke

ergibt, wobei 0

~

,. < e, und benutze, daB

QP-l

+,.

== == 1 (mod Pl. Q'

3. Quadratische Reste

Betrachten wir die Beispiele zum Fermatschen Satz, so finden wir, daB nicht nur immer a P - 1 == 1 (modp) ist, sondern daB (wenn peine von 2 verschiedene Primzahl, also ungerade und von der Form 2P' + 1 ist) dariiber hinaus fur manche 11-1

Werte von a auch aP' = a-z- == 1 (mod P) ist. Diese Tatsache regt zu interessanten Untersuchungen an. Wir konnen den Fermatschen Satz in folgender Form schreiben: (modp) . Da ein Produkt nur dann durch p teilbar ist, wenn einer der Faktoren es ist, so ergibt sich sofort; daB entweder a P' - 1 oder a P' + 1 durch p teilbar sein muB, so daB fUr jede Primzahl p > 2 und jede Zahl a, die nicht durch p teilbar ist, entweder 11-1

11-1

a-Z-== 1 oder a-z-==-1

(modp) •

Seit dem Beginn der modernen Zahlentheorie haben sich die Mathematiker bemuht herauszufinden, fur we1che Zahlen a der erste Fall vorliegt und fur we1che der zweite. Nehmen wir an, a sei modulo p kongruent dem Quadrat einer Zahl x, (modp) .

11-1

Dann ist a-z-== x P - 1 , was nach dem Fermatschen Satz kongruent 1 modulo p ist. Eine Zahl a C* 0 (mod P)), die modulo p einer Quadratzahl kongruent ist, heiBt 0 (mod P)), die keiner ein quadratischer Rest von p, wahrend eine Zahl b Quadratzahl kongruent ist, ein quadratischer Nichtrest von p genannt wird. Wir

u, wenn u und v keinengemeinsamen Teiler haben und nieht beide ungerade sind, siimtliche primitiven pythagoreischen Zahlentripelliefern. • Obung: Man beweise die letzte Behauptung. Courant u. Robbins, Mathematik

3

34


A1s Beispiele fiir primitive pythagoreische Zahlentripel haben wir u = 1, v=2: (3,4,5), u=2, v=3: (5,12,13), u=3, v=4: (7,24,25), ... , "=7, v = 10: (51, 140, 149), usw.

Dieses Ergebnis fUr pythagoreische Zahlen laBt natiirlich die Frage entstehen, ob ganze Zahlen a, b, c gefunden werden konnen, fiir die a3 + bS = CS oder a'+ b'= c' ist, oder allgemeiner, ob fUr einen gegebenen positiven ganzen Exponenten n > 2 die Gleichung

00

~+~=~

mit positiven ganzen Zahlen a, b, c gelost werden kann. Diese Frage fiihrte zu einer in der Geschichte der Mathematik h&hst bemerkenswerten Entwicklung: FERMAT hat viele wichtige zahlentheoretische Entdeckungen in Randbemerkungen in seinem Exemplar des Werkes von DIOPHANTUS, dem groBen Zahlentheoretiker der Antike, niedergelegt. Er hat dort viele S~tze ausgesprochen, ohne sich mit deren Beweis aufzuhalten, und diese S~tze sind alle sp~ter bewiesen worden, mit einer wichtigen Ausnahme. Bei seinen Anmerkungen zu den pythagoreischen Zahlen schrieb FERMAT, dap die Gleichung (3) nicht in ganzen Zahlen losbar sei, sobald n eine ganze Zahl > 2 ist; aber der elegante Beweis, den er hierfiir gefunden habe, sei leider zu lang fiir den Rand, auf den er schreibe. . Diese allgemeine Behauptung FERMATS konnte bisher weder widedegt noch bewiesen werden, obwohl sich viele der groBten Mathematiker darum bemiiht haben:" Der Satz ist allerdings fUr viele spezieUe Werte von n bewiesen worden, insbesondere fUr alle n < 619, aber nicht fUr alle n, obgleich niemals ein Gegenbeispiel geliefert worden ist. Wenn der Satz selbst auch mathematisch kein iiberw~tigendes Interesse bieten mag, so haben die Versuche, ihn zu beweisen, doch manche bedeutende zahlentheoretische Untersuchung veranlaBt. Das Problem hat auch in nichtmathematischen Kreisen viel Aufsehen erregt, zum Teil wegen eines Preises von 100000 Mark, der fiir denjenigen ausgesetzt wurde, der die erste LOsung des Problems lie£em wiirde. Der Preis wurde von der Gottinger Akademie der Wissenschaften verwaltet, und bis zu seiner Entwertung durch die Inflation wurde jedes Jahr eine groBe Anzahl unrichtiger "Losungen" den Treuhmdem eingesandt. Selbst emstzunehmende Mathematiker tauschten sich zuweilen und ilbersandten oder veroffentlichten Beweise, die zusammenbrachen, nachdem irgendein oberfl~chlicher Fehler entdeckt worden war. Das allgemeine Interesse scheint seit der Geldentwertung etwas nachgelassen zu haben; doch von Zeit zu Zeit findet sich noch immer die sensationelle Mitteilung in der Presse, daB das Problem von einem bis dato unbekannten Genie gelost worden sei.

§ 4. Det euklidische Algorithmus 1. Die allgemeine Theorie

Der Leser kennt die gewohnliche Methode der Division einer ganzen Zahl durch eine andere und weiB, daB das Verfahren so lange weitergeffthrt werden kann, bis der Rest kleiner ist als der Divisor. Wenn z. B. a = 648 und b = 7 ist, so haben wir

* Anrnerkung des Vedages: Der Satz von Fennat wurde im Oktober 1994 von Andrew

Wiles bewiesen

35

1. Die allgemeine Theorie

den Quotienten q = 92 und einen Rest r

=4

648:7=92Rest4648=7'92+4 63 18 14 4 Wir konnen dies a1s allgemeinen 5atz· aussprechen: Wenn a eine beliebige ganze Zahl und b eine ganze Zahl groper als 0 ist, dann konnen wir stets eine ganze Zahl q linden, so dap (1) a = bq + r,

wobei r eine ganze Zahl ist, die der Ungleichung 0

~

r

< b genilgt.

Um diese Behauptung zu beweisen, ohne das Verfahren der ausfiihrlichen Division zu benutzen, brauchen wir nur zu bemerken, daB eine beliebige ganze Zahl a entweder selbst ein Vielfaches von b ist, a= bq, oder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vie1fachen von b liegt,

bq < a < b(q + 1) = bq

+ b.

1m ersten Fall gilt die Gleichung (1) mit, = O. 1m zweiten Fall haben wir nach der linken Ungleichung a-bq=,> 0 und nach der rechten Ungleichung a-bq < b, so daB 0 < , < b, wie in (1) verlangt.

=,

Aus dieser einfaehen Tatsaehe werden wir mannigfaehe wiehtigeFolgerungen ableiten, z. B. ein Verfahren zur Bestimmung des groBten gemeinsamen Tellers von zwei ganzen Zahlen. Es seien a und b zwei ganze Zahlen, die nieht beide Null sind, und wir betrachten die Menge aller positiven ganzen Zahlen, die sowohl Teller von a als aueh von b sind. Diese Menge ist sieherlieh endlich; denn wenn z. B. a =l= 0 ist, dann kann keine Zahl, die absolut genommen groBer a1s a ist, Teller von a sein, d. h. a hat nur endlieh viele Teller. Also kann es aueh nur eine endliehe Anzahl von gemeinsamen Tellein von a und b geben, und d moge der groBte sein. Die ganze Zahl d heiBt der gropte gemeinsame Teiler von a und b und wird d = (a, b) gesehrieben. 50 finden wir fiir a = 8 und b = 12 dureh Probieren (8, 12) = 4, wahrend wir fUr a = 5 und b = 9 nur (5,9) = 1 finden. Wenn a und b groB sind, z. B. a = 1804 und b = 328, so ware der Versueh, (a, b) dureh Probieren zu finden, reeht miihselig. Eine kurze und sichere Methode liefert der euklidische Algorithmus. (Ein Algorithmus ist eine systematisehe Reehenmethode.) Er beruht auf der Tatsaehe, daB aus jeder Beziehung der Form (2) gesehlossen werden kann, daB (3)

a = bq+ r (a, b)

= (b, r) .

Denn jede Zahl u, die sowohl in a wie in b enthalten ist,

a=su,

b= tu, 3*

36

Ergiinzung zu 1. Zahlentheorie

muB auch in , enthalten sein, da , = a - bq = su - qtu = (s - qt)u, und umgekehrt muB jede Zahl v, die in b und, enthalten ist,

b= s'v,

, =

t'v,

auch in a enthalten sein, da a = bq + , = s'vq + t'v = (s' q + t') v. Demnach ist iede, gemeinsame Teller von a und b zugleich ein gemeinsamer Teller von b und r und umgekehrt. Wenn daher die Menge alZer gemeinsamen Teller von a und b mit der Menge aller gemeinsamen Teller von b und , identisch ist, dann muB auch der

g,opte gemeinsame Teller von a und b dem groBten gemeinsamen Teller von b und, gleich sein, womit (3) bewiesen ist. Der Nutzen dieser Beziehung wird sich sogleich ergeben. Kehren wir zur Frage nach dem groBten gemeinsamen Teller von 1804 und 328 zuriick. Durch gewohnliche Division 1804: 328 = 5 Rest 164 1640 164 fmden wir

1804 = 5 . 328 + 164 .

Also konnen wir nach (3) schlieBen, daB (1804, 328)

=

(328, 164) .

Man beachte, daB die Aufgabe, (1804, 328) zu finden, ersetzt worden ist durch eine Aufgabe mit kleineren Zahlen. Wir konnen das Verfahren fortsetzen. Wegen 328: 164 = 2

328 0, oder 328 = 2 . 164 + 0 haben wir (328, 164) = (164, 0) = 164. Also ist (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164, womit das gewiinschte Ergebnis gefunden ist. Dieses Verfahren zur Bestimmung des groBten gemeinsamen Tellers zweier Zahlen wird in geometrischer Form in EUKLID8 Elementen angegeben.Fiir beliebige ganze Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, kann es arithmetisch in folgender Form beschrieben werden. Wir konnen voraussetzen, daB b> 0 ist. Dann erhalten wir durch wiederholte Division: a = bq1 + r1 (0 '3>'. > ... > 0 .

Also muB nach hOchstens b Schritten (oft viel frUher, da der Unterschied zwischen

37

1. Die allgemeine Theorie

zwei aufeinanderfolgenden Resten meist groBer als 1 ist) der Rest 0 auftreten:

',,-1 = '''-lq"+',, ',,-1 = '"q,,+1+ O. Wenn dies geschieht, wissen wir, daB

= ',,;

(a, b)

mit anderen Worten, (a, b) ist der letzte positive Rest in der Folge (5). Das folgt aus der wiederholten Anwendung der Gleichung (3) auf die Gleichungen (4), denn aus den aufeinanderfolgenden Zeilen (4) ergibt sich

(a, b) = (b, '1);

(b, '1) = ('1' '1);

= ('., 'a); ('B' 'a) = ('a, ,,); ... ; ('''-1' ',,) = ('",0) = ' f l ' ('1' ,.)

Obung: Man beatimme mit dem euklidischen Algorithmus den groBten gemeinsamen Teiler von (a) 187 und 77, (b) 105 und 385, (c) 245 und 193.

Eine auBerst wichtige Eigenschaft von (a, b) kann aus den Gleichungen (4) abgeleitet werden. Wenn d = (a, b), dann kOnnen positive ode, negative ganze Zahlen k und 1gefunden werden, so dap

d = ka + lb .

(6)

Um das einzusehen, betrachten wir die Folge (5) der aufeinanderfolgenden Reste. Aus der ersten Gleichung von (4) folgt

'l=a-q1 b ,

so daB '1 in der Form ~a + ~b geschrieben werden kann (in diesem Fall ist k1 = 1, II = -qJ. Aus der nachsten Gleichung folgt

'.= b - qB'l = b - q.(k1a + ~b) =

(-ql~)a

+ (1- qll~)b = k.a + lib.

Offenbar kann dieses Verfahren fUr die folgenden Reste '3' '" ... fortgesetzt werden, bis wir zu der Darstellung kommen:

',,=ka+lb,

wie zu beweisen war. A1s Beispiel betrachten wir den euklidischen Algorithmus fiir (61,24); der groBte gemeinsame Teiler ist 1, und die gesuchte Darstellung fiir 1 kann aus den Gleichungen 61 = 2 . 24 + 13, 24 = 1 . 13 + 11, 13 = 1 . 11 + 2, 2= 2.1+0 11 = 5· 2+ 1, gefunden werden. Aus der ersten dieser Gleichungen erhalten wir 13 = 61 - 2 . 24 , aus der zweiten 11

= 24 -

13 = 24 - (61 - 2 . 24)

=-

61

+ 3 . 24 ,

aus der dritten 2 = 13 - 11

= (61- 2·24) -

(-61

+ 3· 24) = 2· 61 -

5·24

und aus der vierten 1 = 11 - 5·2 = (-61

+ 3·24) -

5(2' 61- 5·24)

= -11· 61 + 28·24.

38


2. Anwendung auf den Func1amentalsatz der Arithmetik

Die Tatsache, daB d = (a, b) immer in der Form d = ka + Ib geschrieben werden kann, laBt sich benutzen, urn einen Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik zu geben, der unabhangig von dem auf S. 19 gegebenen Beweis ist. Wir werden zuerst als Lemma das Corollar von S. 20 beweisen, und dann werden wir aus dem Lemma den Fundamentalsatz ableiten, indem wir also die Reihenfolge der Beweise umkehren.

Lemma: Wenn eine Primzahl P Teiler eines Produkts ab ist, dann mup P Teiler von a oder von b sein. Wenn eine Primzahl P nicht Teller der ganzen Zahl a ist, dann ist (a, P) = 1, da die einzigen Teller von P die Zahlen P und 1 sind. Daher konnen wir ganze Zahlen k und I finden, so daB 1 = ka + Ip. Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit b, so erhalten wir

b= kab+ Ipb. Wenn nun P ein Teller von a b ist, so konnen wir schreiben

ab= pr, so daB

b = kpr + IPb = p(kr + Ib} ,

woraus klar wird, daB p ein Teller von b ist. Wir haben also gezeigt: wenn p Teller von ab, aber nicht von a ist, muB p notwendig Teller von b sein, so daB auf jeden Fall die Primzahl p entweder Teller von a oder von b ist, wenn sie Teiler von ab ist. Die Verallgemeinerung fiir Produkte von mehr als zwei ganzen Zahlen ergibt sich sofort. Wenn zum Beispiel P Teller von a be ist, so konnen wir durch zweimalige Anwendung des Lemmas zeigen, daB P Teller von mindestens einer der Zahlen a, b, e sein muB. Denn wenn p weder Teller von a noch von b, noch von e ist, so kann es nicht Teller von ab sein und daher auch nicht von (ab)e = abe. tJbung: SoIl diese Beweisfiihrung auf Produkte einer beliebigen Anzahl n von ganzen Zahlen ausgedehnt werden, so muB explizit oder implizit das Prinzip der mathematischen Induktion angewandt werden. Man fiihre dies im einzelnen aus.

Aus diesem Ergebnis folgt der Fundamentalsatz der Arithmetik. Nehmen wir an, es seien zwei verschiedene Zerlegungen einer positiven ganzen Zahl N in Primzahlen gegeben: N = PIP• ... Pr = ql q• ... q•. Da PI Teiler der linken Seite dieser Gleichung ist, muB es auch Teller der rechten sein und daher nach der obigen tJbung auch Teller eines der Faktoren q". Aber q" ist eine Primzahl, daher muB PI gleich dies em q" sein. Nachdem man diese beiden gleichen Faktoren gestrichen hat, folgt in derse1ben Weise, daB pz Teller eines der Ubrigen Faktoren q, und daher ibm gleich sein muB. Man streicht P. und q, und verfahrt ebenso mit den Pa, ... , Pro Am Ende dieses Vorgangs sind alle p gestrichen, so daB nur 1 auf der linken Seite bleibt. Kein q kann auf der rechten Seite Ubrig sein, da alle q groBer als eins sind. Also sind die P und q paarweise einander gleich, und das bedeutet, daB die beiden Zerlegungen, allenfalls abgesehen von der Reihenfolge, identisch waren.

3.

EULER.

Ip-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz

39

3. EULERs 9l-FUDktiOD. NochmaIs k1einer Fermaischer Satz Zwei ganze Zahlen heiBen relativ prim, wenn ihr groBter gemeinsamer Teiler 1 ist: (a, b) = 1. Zum Beispiel sind 24 und 35 re1ativ prim, wihrend 12 und 18 es nicht sind. Wenn a und b relativ prim sind, so· kann man immer mit geeignet gewahlten positiven oder negativen ganzen Zahlen k und I schreiben: ka

+ lb = 1.

Das folgt aus der auf S. 37 besprocherten Eigenschaft von (a, b). tJbung: Man beweise den Satz: Wenn eine ganze Zahl r Teiler eines Produkls ab unil reiativ prim zu a ist. dann mup r Teiler von b sein. (Anleitung: Wenn r re1ativ prim zu a ist. dann gibt es ganze Zahlen k und 1. so daB kr la = 1.

+

Man multipliziere beide Seiten dieser Gleichung mit b.) Dieser Satz umfaBt das Lemma auf Seite 38 als spezie1len Fall. da eine Primzahl dann und nur dann relativ prim zu einer ganzen Zahl a ist. wenn p nicht Teiler von a ist.

FUr eine beliebige positive ganze Zahl n moge a, denn nur dann hat die Gleichung a + x = b eine natiirliche Zahl x als LOsung. Es war schon ein wichtiger Schritt auf die Beseitigung dieser Einschriinkung hin, als das Symbol 0 eingefiihrt wurde, indem wir a - a = 0 setzten. Von noch groBerer Bedeutung war es, als durch die Einfiihrung der Symbole - 1, - 2, - 3, ... , zusammen mit der Definition b - a = -(a - b) fiir den Fall b < a, dafiir gesorgt wurde, daB die Subtraktion im Gebiet der positiven tend negativen ganzen Zahlen ohne Einschriinkung ausfiihrbar wurde. Urn die neuen Symbole -1, -2, -3, ... in eine erweiterte Arithmetik einzufiigen, die sowohl negative als auch positive ganze Zahlen umfaBt, miissen wir natiirlich das Rechnen mit ihnen so dejinieren, dafJ die ursprunglichen Regeln jur die arithmetiscken OPerationen erhalten bleiben. So ist zum Beispiel die Regel (3)

(-I) (-I) = 1,

die wir fiir die Multiplikation negativer ganzer Zahlen aufstellten, eine Konsequenz unseres Wunsches, das distributive Gesetz a{b + c) = ab + ac beizubehalten. Denn wenn wir (-I) (-I) = -1 festgesetzt hatten, dann wiirden wir fiir a = -1, b = 1, c = -1 erhalten haben -1 (I - 1) = -1 - 1 = - 2, wahrend in Wirklichkeit -1 (I - 1) = - 1 . 0 = 0 ist. Es hat lange gedauert, bis die Mathematiker erkannten, daB die "Vorzeichenregel" (3), ebenso wie aile anderen Definitionen, welche die negativen ganzen Zahlen und Briiche betreffen, nicht "bewiesen" werden konnen. Sie werden von uns jestgesetzt, urn die freie Durchfiihrbarkeit der Rechnungen unter Beibehaltung der Grundgesetze der Arithmetik zu sichem.

2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen

45

Was man beweisen kann - und auch muB -, ist nur, daB auf Grund dieser Definitionen die kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze der Arithmetik erhalten bleiben. Selbst EULER nahm seine Zuflucht zu einem sehr wenig uberzeugenden Argument, urn zu zeigen, daB (-1) (-1) gleich + 1 sein "muB". Denn, so schloB er, es muB entweder + 1 oder - 1 sein, kann aber nicht - 1 sein, weil -1 = (+ 1) (-1). Ebenso wie die Einfuhrung der negativen ganzen Zahlen und der Null den Weg fur die uneingeschrankte Subtraktion frei macht, so beseitigt die EinfUhrung der Briiche das entsprechende arithmetische Hindernis fUr die Division. Der Quotient x = bJa zweier ganzer Zahlen a und b, definiert durch die Gleichung

(4)

ax= b,

existiert nur dann als ganze Zahl, wenn a ein Teiler von b ist. 1st dies nicht der Fall, z. B. wenn a = 2, b = 3, so fiihren wir einfach ein neues Symbol bJa ein, das wir einen Bruch nennen, und das der Regel a (bJa) = b unterliegt, so daB b/a "nach Definition" eine L6sung von (4) ist. Die Erfindung der Briiche als neue Zahlensymbole macht die Division ohne Einschrankung ausfuhrbar, auBer der Division durch Null, die wir ein fur aUemal ausschliefJen. Ausdriicke wie 1/0, 3JO, % usw. werden fur uns sinnlose Symbole sein. Denn wenn Division durch 0 erlaubt ware, so k6nnten wir aus der richtigen Gleichung o . 1 = 0 . 2 den unsinnigen SchluB ziehen 1 = 2. Es ist jedoch manchmal niitzlich, solche Ausdriicke durch das Symbol 00 (lies "unendlich") zu bezeichnen, sofern man nur nicht versucht, mit diesem Symbol so umzugehen, als ob es den gewohnlichen Rechenregeln fur Zahlen unterworfen ware. Die rein arithmetische Bedeutung des Systems aller rationalen Zahlen - ganze Zahlen und Briiche, positive und negative - ist nun offenbar. Fur dieses erweiterte Zahlengebiet geIten nicht nur die formalen kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze, sondern es haben auch die Gleichungen a + x = b und ax = b ohne Einschrankung L6sungen, x = b - a und x = bfa, sofern nur im letzten Fall a =l= 0 ist. Mit anderen Worten, im Bereich der rationalen Zahlen k6nnen die sogenannten rationalen OPerationen - Addition, Subtraktion, MuItiplikation und Division - uneingeschrankt ausgefiihrt werden und fiihren niemals aus diesem Bereich hinaus. Ein derartiger abgeschlossener Zahlenbereich heiBt ein Korper. Wir werden anderen Beispielen von K6rpern spater in diesem Kapitel und in Kapitel III begegnen. Das geschilderte Vorgehen ist charakteristisch fUr den mathematischen ProzeB der Verallgemeinerung. Er besteht darin, neue Symbole einzufUhren, die als Spezialfalle die urspriinglichen Symbole enthalten und mit denen auch in dem erweiterten Gebiet die urspriinglichen Gesetze giiItig bleiben. Die Verallgemeinerung von natiirlichen auf rationale Zahlen befriedigt sowohl das theoretische Bediirfnis nach der Beseitigung der Einschrankungen bei Subtraktion und Division als auch das praktische Bedurfnis nach Zahlen, mit denen das Ergebnis einer Messung angegeben werden kann. Die volle Bedeutung der rationalen Zahlen liegt in dieser zweifachen Funktion. Wie wir gesehen haben, wurde diese Erweiterung des Zahlbegriffs m6glich durch die Schaffung neuer Zahlen in Form der abstrakten Symbole wie 0, - 2 und 3/4. Da uns heute die rationalen Zahlen selbstverstandlich erscheinen, k6nnen wir uns schwer vorstellen, daB diese noch im 17. Jahrhundert

46

II. Das Zahlensystem der Mathematik

nicht fUr ebenso gerechtfertigt gehalten wurden wie die positiven ganzen Zahlen, und daB sie nur mit gewissen Zweifeln und Bedenken angewendet wurden. Die menschliche Neigung, sich an das "Konkrete" zu halten, hier also an die naturlichen Zahlen, hat den unaufhaltbaren Fortschritt zunachst gehemmt. Nur im Reich des Abstrakten kann ein wirklich befriedigendes System der Arithmetik geschaffen werden.

3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen Eine anschauliche geometrische Deutung des Systems der rationalen Zahlen bietet die folgende Konstruktion. Auf einer geraden Linie, der "Zahlenachse", tragen wir die Strecke 0 bis 1 ab, wie in Fig. 8. Hiermit ist die Lange der Strecke von 0 bis 1, die wir nach Belieben wahlen k6nnen, als Langeneinheit festgesetzt. Die -J _8 _! ~ , ; ;-- positiven und negativen ganzen Zahlen werden dann als eine Menge aquidistanter Punkte auf Fig. 8. Die Zahlenachse der Zahlenachse dargestellt, die positiven zur Rechten des Punktes 0 und die negativen zur Linken. Urn Bruche mit dem Nenner n darzustellen, teilen wir jede Strecke von der Lange 1 in n gleiche Teile; dann stellen die Teilpunkte die Bruche mit dem Nenner n dar. Wenn wir das fUr alle ganzen Zahlen n tun, dann sind alle rationalen Zahlen durch Punkte der Zahlenachse dargestellt. Wir werden diese Punkte rationale Punkte nennen und die Ausdrucke "rationale Zahl" und "rationaler Punkt" als gleichbedeutend gebrauchen. 1m Kapitel I, § 1 definierten wir die Beziehung A < B fur naturliche Zahlen. Diese entspricht auf der Zahlenachse der Beziehung "Punkt A liegt links von Punkt B". Da diese geometrische Beziehung fUr alle rationalen Punkte gilt, sehen wir uns veranlaBt, die arithmetische Beziehung so zu erweitern, daB die relative geometrische Ordnung fur die entsprechenden Punkte erhalten bleibt. Das leistet die folgende Definition: Die rationale Zahl A soIl kleiner als die rationale Zahl B genannt werden (A < B) und B groper als A (B > A), wenn B - A positiv ist. Dann ergibt sich, im Fall A < B, daB die Punkte (Zahlen) zwischen A und B diejenigen sind, die zugleich > A und < B sind. Jedes Paar getrennter Punkte, zusammen mit den dazwischenliegenden Punkten, wird als Strecke oder Intervall [A, BJ bezeichnet. Die Entfernung eines Punktes A vom Anfangspunkt, positiv gerechnet, wird der absolute Betrag von A genannt und durch das Symbol

IAI bezeichnet. In Worten: Wenn A ~ 0, so haben wir IAI = A; wenn A ~ 0, so haben wir IA I = - A. Es ist klar, daB bei gleichen Vorzeichen von A und B die Gleichung IA + BI = IAI + IBI gilt, daB aber bei entgegengesetzten Vorzeichen von A undB IA + BI < IAI + IBlist.DurchZusammenfassungdieserbeidenAussagen erhalten wir die allgemeine Ungleichung IA + BI ~ IA I + IBI , die unabhangig von den Vorzeichen von A und B gilt. Eine Tatsache von grundlegender Bedeutung findet ihren Ausdruck in der Aussage: Die rationalen Punkte liegen uberall dicht aUf der Achse. Damit meinen wir, daB in jedem Intervall, so klein es auch sei, rationale Punkte gelegen sind. Wir

1. Einleitung

47

brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, lIn] kleiner wird a1s das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist.

§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vorkommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b durch das von a ausdriicken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange aln teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke aln gleich b wird:

(1)

b=!!!..a. n

Wenn eine Gleichung der Form (1) besteht, sagen wir, daB die beiden Strecken a und b kommdnsurabel sind, da sie als gemeinsames MaB die Strecke aln haben, die n-mal in a und m-mal in b aufgeht. Die Gesamtheit aller mit a kommensurablen Strecken enthaIt alle die, deren Lange fUr eine gewisse Wahl der ganzen Zahlen m und n (n =1= 0) in der Form (1) ausgedriickt werden kann. Wenn wir a a1s die Einheitsstrecke [0, 1] in Fig. 9 wahlen, dann entsprechen die mit dieser Einheitsstrecke -_".....-cl~_.....;--Qo-o~l:--....;~~!':"-a.... · --;-kommensurablen Strecken allen rationalen -7 16 Fig. 9. Rationale Punkte Punkten mIn auf der Zahlenachse. FUr alle praktischen Zwecke beim Messen reichen die rationalen Zahlen vollkommen aus. Selbst vom theoretischen Standpunkt konnte man, da die Menge der rationalen Punkte die Achse dicht bedeckt, meinen, daB alle Punkte der Achse rationale Punkte waren. Wenn das wahr ware, wiirde jede beliebige Strecke mit der Einheit kommensurabel sein. Es war eine der Uberraschendsten Entdeckungen der fruhen griechischen Mathematiker (der pythagoraischen Schule), daB die Sachlage keineswegs so einfach ist. Es gibt inkomme-nsurable Strecken oder, wenn wir annehmen, daB jeder Strecke eine Zahl entspricht, die ihre Lange (ausgedriickt durch die Einheit) angibt, so gibt es i"ationale Zahlen. Diese Einsicht war ein wissenschaftliches Ereignis von h6chster Bedeutung. Sie muB a1s einer der entscheidenden, typischen und vie11eicht a1s der wichtigste der griechischen Beitrage zur Schaffung einer wirklich wissenschaftlichen Betrachtungsweise angesehen werden. Seither hat die Entdeckung der irrationalen GroBen auf Mathematik und Philosophie einen wesentlichen EinfluB gehabt. EUDOXUS' Theorie des Inkommensurablen, in geometrischer Form in EUKLID8 Elementen dargestellt, ist ein Meisterstllck der griechischen Mathematik, obwohl


48

sie in der verwasserten Schulbuchdarste11ung dieses klassischen Werkes meist weggelassen wird. Die Bedeutung dieser Theorie wurde erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts voU erkannt, nachdem DEDEKIND, CANTOR und WEIERSTRASS eine strenge Theorie der irrationalen Zahlen aufgeste11t hatten. Wir werden die Theorie in der modem en arithmetischen Fonn darste11en. Zuerst zeigen wir: Die Diagonale eines Quadrats ist inkommensurabel mit seiner Seite. Wir konnen annehmen, daB die Seite eines gegebenen Quadrats als Langeneinheit gewahlt wird und daB die Diagonale die Lange x hat. Dann haben wir nach dem Satz des PYTHAGORAS

Xl= 11+ 11= 2 . (Wir konnen x durch das Symbol V2 bezeichnen). Wenn nun x mit 1 kommensurabel ware, so gabe es zwei ganze Zahlen p und q, so daB x = P/q und

pl= 2ql.

(2)

Wir dfirfen annehmen, daB. p/q schon in den kleinsten Zahlen ausgedrfickt ist, denn ein etwa vorhandener gemeinsamer Teller in Zahler und Nenner konnte schon vorweg herausgekfirzt ~orden sein. Da 2 als Faktor auf der rechten Seite steht, ist pI eine gerade Zahl, und daher ist p selbst gerade, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Wir konnen daher schreiben p = 2r. Gleichung (2) wird dann zu 4rl= 2ql oder 2r2= q2. Da nun 2 ein Faktor der linken Seite ist, muB ql und folglich auch q gerade sein. Also sind p und q beide durch 2 tei1bar, was unserer Annahme, daB p und q keinen gemeinsamen Teller haben, widerspricht. Daher kann Gleichung (2) nicht gelten und x kann keine rationale Zahl sein. Das Ergebnis kann durch die Aussage ausgedrfickt werden, daB es keine rationale Zahl gibt, die gleich J!2ist. Die Beweisfiihrung des vorstehenden Absatzes zeigt, daB eine sehr einfache geometrische Konstruktion eine mit der Einheit inkommensurable Strecke liefem kann. Wenn ~e solche Strecke mit Hilfe eines Zirke1s auf der Zahlenachse abgetragen wird, so kann der so gefundene Punkt mit keinem der rationalen Punkte zusammenfaUen: Das System der rationalen ~ Zahlen bedeckt, obwohl es fiberaU dicht ist, nicht die -ooCIO~---o6of-"yr~'Z::--- ganze Zahlenachse. Dem "gesunden Menschenverstand" muB es sehr sonderbar und paradox erscheiFig. 10. KODStruktion von VI nen, daB die dichte Menge der rationalen Punkte nicht die ganze Linie bedecken soU. Nichts in unserer "Anschauung" hilft uns, die irrationalen Punkte als verschieden von den rationalen zu "sehen". Kein Wunder, daB die Entdeckung des Inkommensurablen die griechischen Philosophen und Mathematiker stark erregte und selbst bis zum heutigen Tage auf nachdenkliche Kopfe wie eine Herausforderung wirkt. Es ware sehr leicht, so viele mit der Einheit inkommensurable Strecken zu konstruieren, wie wir nur irgend wollen. Die Endpunkte solcher Strecken, wenn diese vom O-Punkt der Zahlenachse aus abgetragen werden, nennt man i"ationaie Punkte. Bei der Einffihrung der Brfiche war das Messen von Langen durch Zahlen

L1J

49

2. Unendliche Dezimalbriiche

das leitende Prinzip. Wir mochten nundieses Prinzip gem beibehalten, wenn es sich urn Strecken handelt, die mit der Langeneinheit inkommensurabel sind. Wenn wir fordem, daB es eine wechselseitige Entsprechung von Zahlen einerseits und Punkten einer geraden Linie andererseits geben so11, so ist es notwendig, i"ationale Z ahlen einzufuhren. Fassen wir die bisherige Sachlage zusammen, so konnen wir sagen, daB eine irrationale Zahl die Lange einer mit der Einheit inkommensurablen Strecke darste11t. In den folgenden Abschnitten werden wir diese etwas vage und rein geometrische Definition verfeinem, so daB wir zu einer Definition ge1angen, die vom Standpunkt der logischen Strenge besser befriedigt. Wir werden zuerst versuchen, mit Hilfe der Dezimalbrfiche einen Zugang zu unserem Problem zu finden. Obungen: 1. Man beweise, daB das Lemma von S. 38).

Jf3

l'2, va. vs. V3nicht rational sind (Anleitung: Man benutze 8

•

V"2 JI3 4

2. Man beweise, daB y'2 + und + nicht rational sind (Anleitung: Wenn z. B. die erste dieser Zahlen einer rationalen Zahl r gleich ware, dann wiirde sich, wenn man = rschreibt und quadriert, y'2 als rationale Zahl ergeben). 3. Man beweise, daB nere Beispiele zu bilden.

Va-

V2

V"2 + va + VS irrational ist. Man versuche 1i.hnliche und allgemei2. UnendHche Dezimalbriiche

Urn die Zahlenachse mit einer tiberall dichten Punktmenge zu tiberdecken, brauchen wir nicht die Gesamtheit aller rationalen Zahlen; z. B. gentigt es, nur so1che Zahlen zu betrachten, die durch Division jeder Einheitsstrecke in 10, dann in 100, 1000 usw. gleiche Teile entstehen. Die so erhaltenen Punkte entsprechen den "Dezimalbrfichen". Zum Beispiel entspricht der Punkt 0,12 = 1/10 + 2/100 dem Punkt, der im ersten Einheitsintervall' im zweiten Teilintervall der Lange 10-1 und am Anfang des dritten Teil-Teilintervalls der Lange 10-2 liegt (a- ft bedeutet llaft ). Ein so1cher Dezimalbruch hat, wenn er n Ste11en nach dem Komma enthaIt, die Form

f

=

z + a1 10-1 + a. 10-1 + iZa 10-3 + ... + aft 10-ft ,

worin z eine ganze Zahl ist und die a Ziffem von 0 bis 9 sind, welche die Zehntel, Hundertstel usw. angeben. Die Zahl f wird im Dezimalsystem durch das abgekurzte Symbol z, iZt a.tIs ... aft bezeichnet. Wir sehen sofort, daB diese Dezimalbrfiche in der gewohnlichen Bruchform Plq mit q = 10ft geschrieben werden konnen; z. B.f = 1,314 = 1 + 130 + I~ + 10~ = ::: . Wenn P und q einen gemeinsamen Teller haben, so kann der Dezimalbruch auf einen Bruch, dessen Nenner ein gewisser Teller von IOta ist, reduziert werden. Andererseits kann kein geldirzter Bruch, dessen Nenner kein Teiler einer Potenz von 10 ist, als Dezimalbruch dargeste11t werden. Zurn Beispiel ist = 0,004, aber

! = :0 = 0,2 und 2~ = I!O

! kann nicht als Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl n von

Dezimalste11en geschrieben werden, so groB man n auch wahlt; denn eine Gleichung der Form Courant u. Robbins, Mathematik

4


50

wiirde verlangen, daB 10"= 3b, was unmoglich ist, da 3 nicht Teiler irgendeiner Potenz von 10 ist. Wahlen wir nun irgendeinen Punkt P auf der Zahlenachse, der keinem Dezimalbruch entspricht, z. B. den rationalen Punkt 1/3 oder den irrationalen Punkt dann wird es bei dem Verfabren der Unterteilung der Einheitsstrecke in 10 gleiche Teile usw. niemals vorkommen, daB P der Anfangspunkt eines Teilintervalls wird. Aber P kann in immer kleinere Intervalle der Dezimaleinteilung mit jedem ge~ wiinschten Annliherungsgrad eingeschlossen werden. Diesen AnnliherungsprozeB konnen wir wie folgt beschreiben: Nehmen wir an, P liege im ersten Einheitsintervall. Wir teilen dieses Intervall in 10 gleiche Teile, je von der Lange 10-1, und finden beispielsweise, daB P zwischen den Dezimalbriichen 0,2 und 0,3 liegt. Wir unterteilen das Intervall von 0,2 bis 0,3 in 10 gleiche Teile, je von der Lange 10-1, und finden, daB P beispielsweise in dem vierten dieser Intervalle liegt. Indem wir nun dieses wiederum unterteilen, finden wir, daB P vielleicht im ersten Intervall der Lange 10-3 liegt. Wir konnen jetzt sagen, daB P zwischen 0,230 und O,231liegt. Dieses Verfahren kann unbegrenzt fortgesetzt werden und fiihrt zu einer unendlichen Folge von Ziffem "t, a2 , as, .. " aft, ••• mit folgender Eigenschaft: welche Zabl n wir auch wahlen, der Punkt P liegt in dem Intervall 1ft , dessen linker Endpunkt der Dezimalbruch O,"taA . .. aft-Iaft und dessen rechter Endpunkt O,"taA ... aft-I(a ft + 1) ist, wobei die Lange von 1ft = 1O-fI ist. Wenn wir nacheinander n = 1,2,3,4, ... wahlen, sehen wir, daB jedes der Intervalle II' II' I a, • •• in dem vorhergehenden enthalten ist, wwend die Langen 10-1, 10-1, 10-8, ... gegen Null streben. Wir sagen, daB der Punkt P in einer Schacktelung von Dezimalinteroallen enthalten ist. 1st z. B. P der rationale Punkt 1/3, dann sind alle Ziffem gleich 3, und P ist in jedem Intervall 1ft enthalten, das von 0,333 ... 33 bis 0,333 ... 34 reicht, d. h. 1/3 ist groBer als 0,333 ... 33, aber kleiner als 0,333 ... 34, wobei man die Anzahl der Ziffem beliebig groB wahlen kann. Wir driicken diesen Sachverhalt aus, indem wir sagen, daJ3 der n-stellige Dezimalbruch mit zunehmendem n "gegen 1/3 strebt". Wir schreiben

V2.

1

3=0,333 ... , wobei die Punkte bedeuten, daB der Dezimalbruch ohne Ende fortgesetzt werden soU. Der irrationale Punkt ~ der im Abschnitt 1 definiert wurde, fiihrt auch auf einen unendlich fortgesetzten Dezimalbruch. Hier jedoch ist das Gesetz, das die Werte der einze1nen Ziffem bestimmt, keineswegs offenkundig. Tatsachlich kennt man keine explizite Formel, welche die aufeinanderfolgenden Ziffem bestimmt, obwohl man beliebig viele Ziffem berechnen kann: 11= 1 < (1,4)1= 1,96 < (1,41)21= 1,9881 < (1,414)1= 1,999396 < (1,4142)2= 1.99996164
np

oder (siehe Regel 4, S. 245)

O 1 ist die Ungenauigkeit einer solchen Approximation groBer als lit'+!; d. h. fur hinreichend groBe Nenner q muB die Ungleichung gelten

Iz- : I> qLl .

(3)

Wir werden diesen Satz sogleich beweisen; vorher wollen wir jedoch zeigen, daB er die Konstruktion transzendenter Zahlen erlaubt. Nehmen wir die folgende Zahl (wegen der Definition des Symbols n! vgl. S. 14)

z = lit· 10-1 '+ a2 ' 10-2 '+ =

as' 10-3 '+ ... +

am • 10-ml + am+! . 1O-(m+!)I+ ...

O,a1a2OOOasOOOOOOOOOOOOOOOai>OOOOOO •• . ,

worin die ai beliebige Ziffem von 1 bis 9 sind (wir konnten zum Beispiel alle ai gleich 1 wahlen). Eine solche Zahl ist gekennzeichnet durch rapide anwachsende Abschnitte von Nullen, die von einzelnen von Null verschiedenen Ziffem unterbrochen werden. Unter Zm wollen wir den endlichen Dezimalbruch verstehen, den 6*

84


man erhalt, wenn man von Dann ist (4)

Z

nur die Glieder bis einschlieBlich am • lO-m ! nimmt.

zml < 10· 10-(m+1)! .

IZ -

Angenommen, Z sei algebraisch vom Grade n. Dann wollen wir in (3) P/q = Zm = P/I0m ! setzen, so daB wir

Iz -

zml >

1

10IH1) .. !

fUr geniigend groBe m erhalten. Zusammen mit (4) wiirde dies 1 10111 +1)"'1

1 sind, dann ware 1'8- 31'sB= S3. Hieraus folgt, daB S8= 1'(1'B- 3s2 ) durch l' tellbar ist, also l' und s einen gemeinsamen Teilerhaben, auBerwenn l' = ± 1 ist. EbensoistsBeinTellervon 1'8= SB(S+ 31'), so daB l' und s einen gemeinsamen Teller haben, auBer wenn s = ± 1 ist. Da wir angenommen hatten, daB l' und s keinen gemeinsamen Teiler haben, so ergibt sich, daB die einzigen rationalen Zahlen, die moglicherweise der Gleichung (8) geniigen konnten, die Zahlen + 1 oder -1 sind. Indem wir + 1 und -1 fiir v einsetzen, sehen wir, daB keine dieser Zahlen die Gleichung (8) erfiillt. Daher hat (8) und folglich auch (7) keine rationale Wurzel, und die Unmoglichkeit der Winkeldreitellung ist bewiesen. Das Theorem, daB der allgemeine Winkel nicht mit Zirkel und Lineal allein dreigeteilt werden kann, gilt nur unter der Voraussetzung, daD das Lineal als Instrument zum Ziehen einer geraden Verbindungslinie durch zwei gegebene Punkte und fur nichts ande,es benutzt wird. Unsere allgemeine Definition der konstruierbaren Zahlen beschrinkte die Benutzung des Lineals auf diese Operation. Lii.Bt man andere Verwendungen des Lineals zu, so kann die Gesamtheit der mOglichen Konstruktionen noch stark erweitert werden. Die folgende Methode A 0 fur die Dreiteilung des Winkels, die sich schon Fig. 36. Dreiteilung des Winkels nacb Archimedes in den Werken von ARCHIMEDES findet, ist ein gu tes Beispiel hierfiir. Es sei ein beliebiger Winkel x gegeben wie in Fig. 36. Man verliingere den einen Schenkel des Winkels nach links und schlage einen Halbkreis um 0 mit beliebigem Radius ,. Man markiere auf der Kante des Lineals zwei Punkte A und B, so daB A B = , ist. Indem man B auf dem Halbkreis hiilt, verschiebe man das Lineal in die Lage, in der A auf der Verliingerung des Schenkels von x liegt, wiihrend die Kante des Lineals durch den Schnittpunkt des anderen Schenkels von x !nit dem Halbkreis um 0 geht. Langs des Lineals in dieser Lage ziehe man eine

111

4. Das rege1miflige Siebeneck

gerade Linie, die den Winkel y mit der Verliingerung des Schenkels des urspriinglichen Winkels ~ bildet. tlbung: Man zeige, daB diese Konstroktion wirklich 'Y = ~/3 lieferl.

4. Das regelmii8ige Siebeneck Betrachten wir nun das Problem, die Seite x des dem Einheitskreis einbeschriebenen reguHiren Siebenecks zu finden. Dieses ProblembewaItigt man am einfachsten mit Hllfe komplexer Zahlen (siebe Kap. II, § 5). Wir wissen, daB die Ecken des Siebenecks durch die Wurzeln der Gleichung ~

~-1=0

gegeben sind, und die Koordinaten x, y der Eckpunkte werden a1s Real- bzw. Imaginartell der komplexen Zahlen z = x + yi betrachtet. Eine Wurzel dieser Gleichung ist z = 1, und die iibrlgen sind die Wurzeln der Gleichung

(10)

z7-1 z-1 = Z8+ Z6+ :4+ :3+ Z2+

z + 1 = 0,

die man aus (9) erhaIt, indem man den Faktor z - 1 abspaltet (siehe S.79). Teilt man (10) durch:3, so ergibt sich die Gleichung (11)

:3+ 1/:3+ Z2+ l/z2+ z + l/z + 1 =

o.

Durch eine einfache algebraische Umformung erhalt man hieraus

(12)

(z + l/z)3- 3 (z + l/z) + (z + l/z)2- 2 + (z + l/z) + 1 = 0 .

Bezeichnen wir die GroBe (z + l/z) mit y, so liefert (12) die Gleichung

(13) Wir wissen, daB

(14)

y3+ y2_ 2y - 1 =

o.

z, die siebente Einheitswurzel, durch z=cos~+isin~

gegeben ist, wobei ,p = 360°/7 der Winkel ist, der im Mittelpunkt des Kreises der Seite des reguUi.ren Siebenecks gegeniiberliegt; ebenso wissen wir aus V'bung 2 auf S.77, daB l/z = cos~ - i sin~, so daB Y = z + l/z = 2 cos,p ist. Wenn wir y konstruieren konnen, so konnen wir auch cos,p konstruieren und umgekehrt. Konnen wir beweisen, daB y nicht konstruierbar ist, so haben wir damit gezeigt, daB z, und also das Siebeneck, nicht konstruierbar ist. Wegen des Satzes von Abschnitt 2 brauchen wir nur zu zeigen, daB die Gleichung (13) keine rationalen Wurzeln hat. Der Beweis ist wiederum indirekt: wir nehmen an, daB (13) eine rationale Wurzel r/s hat, worln r und s ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teller sind. Dann haben wir

(15) woraus man, wie oben gezeigt, sieht, daB r3 den Teller s und S3 den Teller r besitzt. Da r und s keinen gemeinsamen Teller haben, so miissen beide ± 1 sein; daher kann y, wenn es rational sein 5011, nur die Werte +1 oder -1 haben. Setzt man diese Zahlen in (13) ein, so sieht man, daB keine von beiden die Gleichung erftillt. Foiglich ist y, und damit die Seite des regula.ren Siebenecks, nicht konstruierbar.

112

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der ZahlkOrper

5. Bemerkungen zum Problem der guadratur des Kreises Die Probleme der Verdoppelung des Wiirfels, der Dreitellung des Winkels und der Konstruktion des rege1maBigen Siebenecks haben wir mit verhaItnismaBig elementaren Methoden bewaItigen konnen. Das Problem der Quadratur des Kreises ist sehr viel schwieriger und setzt die Kenntnis der hOheren mathematischen Analysis voraus. Da ein Kreis mit dem Radius r den Flacheninhalt r2n; hat, so bedeutet die Konstruktion eines Quadrats mit demselben FHicheninhalt wie ein konstruieren konKreis mit dem Radius I, daB wir eine Strecke von der Lange nen. Diese Strecke ist dann und nur dann konstruierbar, wenn die Zahl n; konstruierbar ist. Mit Hille unserer allgemeinen Definition der konstruierbaren Zahlen konnen wir die Unmoglichkeit der Quadratur des Kreises zeigen, wenn wir zeigen konnen, daB die Zahl n; in keinem Korper K1c enthalten sein kann, der sich durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln aus dem rationalen Korper Ko erreichen laBt. Da alle Elemente eines solchen Korpers algebraische Zahlen sind, d. h. Zahlen, die algebraischen Gleichungen mit ganzen Koeffizienten genfigen, so ist es hinreichend zu zeigen, daB n; nicht algebraisch, also transzendent ist (siehe S.82). Die erforderliche Technik flir den Beweis, daB n; eine transzendente Zahl ist, wurde von CHARLES HERMITE (1822-1901) geschaffen, der bewies, daB die Zahl e transzendent ist. Durch eine geringfiigige Erweiterung der Hermiteschen Methode gelang es F. LINDEMANN (1882), die Transzendenz von n; zu beweisen und damit das uralte Problem der Quadratur des Kreises endgiiltig zu "erledigen". Der Beweis ist jedem, der mit der hOheren Analysis vertraut ist, zuganglich; er fiberschreitet aber den Rahmen dieses Buches.

v;t

II. Teil

Verschiedene Konsttuktionsmethoden § 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion 1. Allgemeine Bemerkungen 1m zweiten Tell dieses Kapitels wollen wir einige allgemeine Prinzipien systematisch besprechen, die sich auf Konstruk.tionsprobleme anwenden lassen. Viele dieser Probleme lassen sich vom allgemeinen Standpunkt der "geometrischen Transformationen" klarer fiberschauen; anstatt eine einzelne Konstruk.tion zu untersuchen, werden wir eine ganze Klasse von Problemen zugleich betrachten, die durch gewisse Umformungsverfahren miteinander verknfipft sind. Diese Betrachtungsweise fordert nicht nur das Verstandnis bei Konstruktionsproblemen, sondem bewahrt sich fast fiberall in der Geometrie. In den Kapiteln IV und V werden wir die allgemeine Bedeutung der geometrischen Transformationen erortem. Hier wollen wir einen speziellen Typus von Transformationen betrachten, die Inversion (Spiegelung) einer Ebene an einem Kreis, eine Verallgemeinerung der gewohnlichen Spiegelung an einer Geraden. Unter einer Transformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Punkt P der Ebene einen Punkt P' zuordnet, das "Bild von P" bei dieser Transformation; der Punkt P heiBt das Urbild von

113

2. Eigenschaften der Inversion

P'. Ein einfaches Beispiel einer solchen Transformation ist die Spiegelung der Ebene an einer gegebenen Geraden L: Ein Punkt P auf einer Seite von L hat a1s Bild den Punkt P' auf der anderen Seite von L, wenn L die Mittelsenkrechte der Strecke PP' ist. Eine Transformation kann gewisse Punkte, "Fixpunkte", der Ebene ungeandert lassen; im Fall der Spiegelung gilt dies von den Punkten auf L selbst. Weitere Beispiele ffir Transformationen sind die Drehungen der Ebene urn einen festen Punkt 0, die Parallelverschiebungen, die jeden Punkt urn einen festen Betrag d in einer gegebenen Richtung verschieben (eine yP solche Transformation Hillt keinen Punkt fest), und noch ! I allgemeiner alle starren Bewegungen der Ebene, die man sich aus Drehungen und Parallelverschiebungen zusammengesetzt -----+I--t denken kann. 1pI Die besondere Klasse von Transformationen, die uns hier Fig. 37. spiegelung eines interessiert, sind die Inversionen in bezug auf Kreise. (Diese Punktes an eiDer Geraden werden zuweilen a1s Spiegelungen an Kreisen bezeichnet, weil sie angenahert die Beziehung zwischen Gegenstand und Bild bei der Reflexion an einem spiegelnden Kreis darste1len.) In einer bestimmten Ebene sei C ein gegebener Kreis urn den Mittelpunkt 0 (der das Zentrum der Inversion genannt wird) mit dem Radius r. Das Bild des Punktes P wird definiert als der Punkt P' auf der Geraden OP, der auf derselben Seite von 0 gelegen ist wie P und der Bedingung .

(1)

OP ·OP'= r 8

geniigt. Die Punkte P und P' heiBen inverse Punkte in bezug auf C. Aus dieser Definition folgt, daB wenn P' der inverse Punkt zu P ist, ebenso auch P invers zu P' ist. Eine Inversion vertauscht das Innere des Kreises C mit dem AuBeren, da wir ffir 0 P < r stets 0 P' > r und entsprechend ffir OP > r stets OP' < r erhalten. Die einzigen Punkte, die bei der Inversion ungeandert bleiben, sind die Punkte auf dem Kreis C selbst. Die Regel (1) definiert keinen Bildpunkt ffir den Mittelpunkt O. Wenn ein beweglicher Punkt P sich 0 nahert, dann rUckt der Bildpunkt P' auf der Ebene weiter und ~~ !!": weiter nach auBen. Aus diesem Grunde sagt man zuweilen, daB 0 bei der Inversion dem unendlich jernen Punkt entspricht. Der Vortei1 dieser Ausdrucksweise liegt darin, daB sie die Aussage erlaubt, eine Inversion stelle eine Beziehung zwischen den Punkten einer Ebene und ihren Bildern her, die ohneAusnahme umkehrbar eindeutig ist: Jeder Punkt der Ebene hat einen und nur einen Bildpunkt und ist selbst das Bild eines und nur eines Urpunktes. Diese Eigenschaft hat sie mit allen bereits betrachteten Transformationen gemeinsam.

:=

2. Eigenschaften der Inversion

Die wichtigste Eigenschaft einer Inversion ist, daB sie Geraden und Kreise in Geraden und Kreise iiberfiihrt. Genauer gesagt: wir werden zeigen, daB durch Courant u. Robbins, Mathematik

8

114

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

eine Inversion in eine Gerade durch 0 (a) eine Gerade durch 0 in einen Kreis durch 0 (b) eine Gerade, dienicht durchO geht, in eine Gerade, die nicht durch 0 geht, (c) ein Kreis durch 0 in einen Kreis, der nicht durch 0 geht, (d) ein Kreis der nicht durch 0 geht, iibergefiihrt wird. Die Behauptung (a) ist selbstverstandlich, da nach der Definition der Inversion jeder Punkt auf der Geraden durch 0 in einen anderen Punkt derselben Geraden abgebildet wird, so daB, wenn auch die Punkte auf der Geraden ausgetauscht werden, die Gerade als Ganzes in sich transformiert wird. fJ

Fig. 39. Inversion einer Geraden L an einem Kreis

Fig. 40. Inversion eines Kreises

Urn die Behauptung (b) zu beweisen, fallen wir ein Lot von 0 auf die Gerade L (Fig. 39). Es sei A der FuBpunkt des Lotes auf Lund A' der inverse Punkt zu A. Wir wahlen einen Punkt P auf L, und es sei P' der zugehOrige inverse Punkt. Da OA'·OA = OP'· OP = ,.2, so folgt OA' OP'

=

OP OA •

Also sind die Dreiecke OP'A' und OAP ahnlich, und der Winkel OP'A' ist ein rechter Winkel. Aus der elementaren Geometrie folgt dann, daB pi auf dem Kreis K mit dem Durchmesser OA' liegt, und daher ist dieser Kreis das inverse Bild von L. Hiermit ist (b) bewiesen. Die Behauptung (c) folgt aus derTatsache, daB, wenn K invers zu List, auch L invers zu K sein muB. Es bleibt noch die Behauptung (d). Sei K irgendein Kreis, der nicht durch 0 geht, mit dem Mittelpunkt M und dem Radius k (Fig. 40). Urn sein Bild zu finden, ziehen wir eine Gerade durch 0, die K in A und B schneidet, und untersuchen, wie sich die Bilder A', B' andem, wenn die Gerade durch 0 den Kreis K in allen moglichen Lagen schneidet. Bezeichnen wir die Abstande OA, OB, OA', OB',OM mit a, b, ai, b', m und die Lange derTangente von 0 an K mit t. Dann gilt aa' = bb' =,.z nach der Definition der Inversion und ab = t Z nach einer elementargeometrischen Eigenschaft des Kreises. Dividieren wir die erste Beziehung durch die zweite, so erhalten wir a'/b = b'la =

,.z/t'= c' ,

wobei CZ eine Konstante ist, die nur von r und t abhangt und ffir alle Lagen A und B denselben Wert hat. Wir ziehen nun durch A' eine Parallele zu BM, die OM

115

3. Geometrische Konstruktion inverser Punkte

in Q schneidet. Es sei OQ = q und A'Q = e. Dann ist qlm = a'lb = elk oder

q = ma'lb = mc 2 ,

e = ka'lb = kc 2

•

Das bedeutet, daB flir jede Lage von A und B der Punkt Q stets derselbe Punkt auf OM ist und der Abstand A'Q immer denselben Wert hat. Ebenso ist auch B'Q = e, da a'lb = b'Ja. Daher sind die Bilder aller PunkteA, B aufK lauter Punkte, deren Abstand von Q = e ist, d. h. das Bild von Kist ein Kreis. Hiermit ist (d) bewiesen. 3. Geometriscbe Konstruktion inverser Punkte Der folgende Satz wird in Abschnitt 4 dieses Paragraphen von Nutzen sein: Der Punkt P', der zu einem gegebenen Punkt Pin bezug auf einen Kreis C invers ist, lii/3t sick geometrisck allein mit Hilfe des Zirkels konstruieren. Wir betrachten zuerst den Fall, daB der gegebene Punkt P auBerhalb von C liegt (Fig. 41). Mit OP als Radius beschreiben wir urn P als Mittelpunkt einen Kreisbogen, der C in R und 5 schneidet. Urn diese beiden Punkte schlagen wir KreisbOgen mit dem Radius r, welche sich im Punkte 0 und in einem Punkt P' auf der Geraden OP schneiden. Flir die gleichschenkligen Dreiecke ORP und ORP' gilt 'I, sind irgendwo in der Ebene gegeben. Unter Benutzung von 1. ist eine Strecke von der Liinge x = pi 'I' zu konstruieren. 3. Zu einer gegebenen Strecke a ist die Strecke a V"2" zu konstruieren. (Anleitung: Man beachte, daB (a V2)1 = (a V"3)'- al). 4. Zu den gegebenen Strecken p und 'I ist eine Strecke x = pi 'I' zu konstruieren. (Anleitung: Man benutze die Relation x' = 2pl- (p'- 'I').) Man suche weitere iihnliche Konstruktionen. 5. Unter Benutzung der friiheren Ergebnisse sind die Strecken der Lange p + 'I und p - 'I zu finden, wenn p und 'I irgendwo in der Ebene gegeben sind. 6. Man priife und beweise die Richtigkeit folgender Konstruktion fiir den Halbierungspunkt M einer gegebenen Strecke A B von der Lange a. Auf der Verliingerung von A B werden Punkte C und D bestimmt, so daB CA = AB = BD. Man konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ECD mit EC = ED = 2a und finde M als Schnittpunkt der beiden Kreise mit den Durchmessem EC und ED. 7. Die senkrechte Projektion eines Punktes A auf eine Gerade BC ist zu bestimmen. B. Man bestimme x, so daB x: a = p : 'I ist, wenn a, p, 'I gegebene Strecken sind. 9. Man bestimme x = ab, wenn a und b gegebene Strecken sind.

V

V+

Angeregt durch MASCHERONI, versuchte JAKOB STEINER (1796-1863) das Lineal anstelle des Zirkels a1s einziges Hilfsmitte1 auszuzeichnen. Natiirlich kann das Lineal aIlein nicht fiber einen gegebenen Zahlkorper hinausfiihren und kann also nicht fiir aIle geometrischen Konstruktionen im klassischen Sinne ausreichen. Um so bemerkenswerter ist es, daB STEINER die Benutzung des Zirke1s auf eine einmalige Anwendung zu beschranken vermochte. Er bewies, daB aIle Konstruktionen in der Ebene, die mit Zirkel und Lineal ausffihrbar sind, auch mit dem Lineal aIlein ausgefiihrt werden konnen, sofem nur ein einziger fester Kreis und sein Mitte1punkt* gegeben sind. Diese Konstruktionen erfordem projektive Methoden und sollen spater besprochen werden (siehe S. 152). *Auf diesen Kreis und seinen Mittelpunkt kann nicht verzichtet werden. Wenn zum Beispiel ein Kreis, aber nicht sein Mittelpunkt gegeben ist, so ist es unm6glich, diesen mit dem Lineal allein zu konstruieren. Um das zu beweisen, benutzen wir eine Tatsache, die spater erartert werden soIl (S. 169). Es gibt eine Transformation der Ebene in sich selbst, die die folgenden Eigenschaften hat: a) der gegebene Kreis bleibt bei der Transformation fest, b) jede Gerade geht wieder in eine Gerade iiber, c) der Mittelpunkt des Kreises geht in einen anderen Punkt iiber. Allein die Existenz einer solchen Transformation zeigt die Unm6glichkeit, den Mittelpunkt des gegebenen Kreises mit dem Lineal allein zu konstruieren. Denn wie man die

3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten. Mechanischen Kurven. Zykloiden

121

3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten. Mechanische Kurven. Zykloiden Ersinnt man Mechanismen, mit denen andere Kurven als Kreis und Gerade gezeichnet werden konnen, so liiBt sich der Bereich der konstruierbaren Figuren noch betriichtlich erweitern. Wenn wir zum Beispiel ein Gerat zum Zeichnen der Hyperbeln xy = k besitzen und ein weiteres zum Zeichnen von Parabeln y = ax2 + bx + e, dann kann jedes Problem, das auf eine kubische Gleichung (1) ax3 + bx2 + ex = k fiihrt, durch Konstruktion gelost werden, indem nur diese Gerate benutzt werden. Denn setzen wir (2) xy = k , y = ax2 + bx + e, so bedeutet die Auflosung der Gleichung (1) die Auflosung der simultanen Gleichungen (2) durch Eliminieren von y; d. h. die Wurzeln von (1) sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Hyperbel und Parabel (2). Daher konnen die LOsungen von (1) konstruiert werden, wenn man Gerate besitzt, mit denen die Hyperbel und Parabel der Gleichungen (2) ge11 zeichnet werden konnen. Seit dem Altertum war den Mathematikern bekannt, daB mancherlei interessante Kurven mit einfachen mechanischen Geraten definiert u.nd gezeichnet werden konnen. Unter diesen "mechanischen Kurven" zahlen die Zykloiden mit zu den merkwtlrdigsten. PTOLEMAUS (etwa 200 n. Chr.) benutzte sie in sehr geistvoller Weise zur Darstellung der Planetenbewegung am Himmel. Die einfachste Zykloide ist diejenige Kurve, die ein bestimmter Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschreibt, wenn dieser, ohne zu Fig. 52. Graphlsche LOsung elner kublschen Gleichung gleiten, auf einer geraden Linie rollt. Fig. 53 zeigt vier Lagen des Punktes P auf dem rollenden Kreis. 1m ganzen genommen, bietet die Zykloide den Anblick einer Reihe von Bogen, die auf der Geraden ruhen. Abanderungen dieser Kurve erhaIt man, wenn man den Punkt P entweder im Innern des Kreises (wie auf den Speichen eines Rades) oder auf einer Verlangerung seines Radius (wie auf dem Flansch eines Eisenbahnrades) wahlt. Fig. 54 veranschaulicht diese beiden Kurven. Konstruktion auch durchfiihren wiirde, man miiBte eine Anzahl von Geraden ziehen und ihre Schnittpunkte miteinander und mit dem gegebenen Kreis aufsuchen. Wenn nun die ganze Figur, die aus dem gegebenen Kreis und allen Punkten und Geraden der Konstruktion besteht, dieser Transformation, deren Existenz wir angenommen haben, unterworfen wird, so wird die transformierte Figur alle Bedingungen der Konstruktion erfiillen, aber als Ergebnis einen anderen Punkt als den Mittelpunkt des gegebenen Kreises liefem. Daher ist eine solche Konstruktion unmOglich.

122

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlk6rper

Eine weitere Variation der Zykloide ergibt sieh, wenn man den Kreis nicht auf einer Geraden rollen laBt, sondem auf einem zweiten Kreis. Wenn der rollende Kreis emit dem Radius r den groBeren Kreis emit dem Radius R dauemd von

Fig. 53. Die Zykloide

innen beriihrt, SO heiBt der Ort, den ein auf dem Umfang von c gelegener Punkt durchlauft, eine Hypozykloide. Wenn der Kreis eden ganzen Umfang von C genau einmal durchlauft, so wird der Punkt P nur dann in seine urspriingliche Lage zuriickkehren, wenn der Radius

Fig. 54. Allgemeine Zykloiden

von C ein ganzes Vielfaches des Radius von c ist. Fig. 55 zeigt den Fall, daB R = 3r ist. Wenn, allgemeiner, der Radius von C das mln-fache dessen von i; ist, wird die Zykloide sieh nach n Umlaufen urn C schlieBen und wird aus m Bogen bestehen. Ein interessanter Sonderfall entsteht, wenn R = 2r. Jeder Punkt des inneren

Fig. 55. Hypozykloide mit drei Spitzen

Fig. 56. Geradlinige Beweg1ing von Punkten eines ~, der in einem Kreis vom doppelten Radius ro1lt

Kreises beschreibt dann einen Durchmesser des groBeren Kreises (Fig. 56). Wir iiberlassen den Beweis dieser Tatsache dem Leser als 'Obungsaufgabe. Ein weiterer Zykloidentyp wird durch einen rollenden Kreis erzeugt, der einen festen Kreis dauemd von auBen beriihrt. Diese Kurve wird Epizykloide genannt.

4. Gelenkmechanismen.

PEAUCELLIERS

*4. Gelenkmechanismen.

und

PEAUCELLlER8

HARTS

und

Inversoren

HART8

123

Inversoren

Wir wollen uns vorHiufig von den Zykloiden abwenden (sie werden an einer unerwarteten Stelle wieder auftauchen), urn andere Methoden der Kurvenerzeugung kennenzulemen. Die einfachsten mechanischen Instrumente zum Kurvenzeichnen sind die Gelenkmechanismen. Ein Gelenkmechanismus besteht aus einer Anzahl starrer Stabe, die in bestimmter Weise gelenkig verbunden sind, und zwar so, daB das ganze System gerade genug Bewegungsfreiheit hat, urn einen seiner

Fig. 57. Umformung einer geradlinigen Bewegung in eine Drehbewegung

Punkte eine gewisse Kurve beschreiben zu lassen. Genau genommen, ist der Zirkel ein einfacher Gelenkmechanismus, da er im Prinzip aus einem einzigen Stab besteht, der an einem Punkt festgehalten wird. Gelenkmechanismen sind seit langem beim Bau von Maschinen benutzt worden. Eines der berfihmten historischen Beispiele, das "Wattsche Parallelogramm", wurde von JAMES WATT erfunden, urn das Problem zu lOsen, den Kolben seiner Dampfmaschine mit einem Punkt des Schwungrades in solcher Weise zu verbinden, daB die Drehung des Schwungrades S den Kolben langs einer geraden Linie bewegt. WATTs Losung war nur angenahert, und trotz der Bemfihungen vieler angesehener Mathematiker blieb das Problem ,/ der Konstruktion eines Gelenkmechanismus, der einen Punkt genau auf einer Geraden bewegt, ungelost. In einer Zeit, in der Beweise ffir die Unlosbarkeit gewisser Probleme eine groBe Rolle spielten und einen besonderen Anreiz ausfibten, Fig. 58. PEAUCIILLlER' Umformung einer Drehbewegung in eine exakt geradlinige Bewegung entstand sogar die Vermutung, daB die Konstruktion eines solchen Mechanismus unmoglich ware. Es gab eine groBe 'Oberraschung, als im Jahre 1864 der franzosische Marineoffizier PEAUCELLIER einen einfachen Gelenkrnechanisrnus erfand, der das Problem loste. Durch die Einffihrung wirksamer Schrnierrnittel hatte allerdings inzwischen das technische Problem flir die Dampfmaschine an Bedeutung verloren. Der Zweck des Gelenkmechanismus von PEAUCELLIER ist die Umwandlung einer Drehbewegung in eine geradlinige. Er beruht auf der in § 4 behandelten Theorie der Inversion. Wie Fig. 58 zeigt, besteht der Mechanismus aus sieben

124


starren Stiiben, zwei sind von der Lange t, vier von der Liinge s, und ein siebenter ist von beliebiger Lange. 0 und R sind zwei feste Punkte, die so angeordnet sind, daB OR = PR. Das ganze Gerat ist innerhalb der gegebenen Bedingungen frei beweglich. Wir werden beweisen, daB Q ein Stuck einer geraden Linie beschreibt, wenn P einen Kreisbogen mit dem Radius PR beschreibt. Bezeichnen wir den FuBpunkt des Lotes von S auf OQ mit T, so bemerken wir, daB OP . OQ = (OT - PT) (OT + PT) = 01'2- P1'2 = (01'2+ S1'2) - (P1'2+ S1'2) =t2 - S2 .

Die GroBe t2- S2 ist eine Konstante, di~ wir r2 nennen wollen. Da OP' OQ = r2, sind P und Q inverse Punkte in bezug auf einen Kreis urn 0 mit dem Radius r. Wenn P seine kreisformige Bahn durchr liiuft (die durch 0 geht), beschreibt Q die zu dem Kreis inverse Kurve. Diese muB eine Gerade sein, da wir bewiesen haben, daB die Inverse zu jedem Kreis, der durch 0 geht, eine Gerade ist. Folglich ist die Bahn von Q eine gerade Linie, die ohne Benutzung eines Lineals gezeichnet wird. Ein anderer Gelenkmechanismus, der Fig. 59. DerHartsche lnversor dasselbe Problem lOst, ist der Hartsche Inversor. Dieser besteht aus fUnf Stiiben, die gemaB Fig. 59 verbunden sind. Hier ist AB = CD, BC = AD. 0, P und Q sind Punkte, die auf den Staben AB, AD bzw. CB festliegen, und zwar so, daB AO/OB = APjPD = CQ/QB = mjn. Die Punkte 0 und S liegen in der Ebene fest, wobei OS = PS, wahrend das ubrige Gestange frei beweglich ist. Offenbar ist AC immer parallel zu BD. Foiglich liegen 0, P und Q auf einer Geraden, und OP ist auch parallel AC. Wir ziehen AE und CF senkrecht zu BD. Dann haben wir AC· BD = EF . BD = (ED

+ EB) (ED -

EB) = ED2- EB2 .

Aber ED2+AE2= AD2, undEB2+AE2=AB2. DaheristED2_EB2=AD2_AB2. Jetzt ist OPjBD = AOjAB = mj(m + n) und OQ/AC = OBjAB = nj(m + n). Also erhalten wir OP· OQ = [mnj(m + n)2] BD . AC = [mnj(m

+ n)2] (AD2- ABa) .

Diese GroBe ist dieselbe fur alle moglichen Stellungen des Gestiinges. Daher sind P und Qinverse Punkte in bezug auf einen gewissen Kreis urn O. Wird der Mechanismus bewegt, so beschreibt P einen Kreis urn S, der durch 0 geht, wahrend der inverse Punkt Q eine gerade Linie beschreibt. Man kann weitere Gelenkmechanismen (wenigstens im Prinzip) konstruieren, mit denen Ellipsen, Hyperbeln und sogar beliebige Kurven, die algebraischen Gleichungen f(x, y)= 0 von beliebigem Grade befriedigen, gezeichnet werden konnen.

1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen

125

§ 6. Weiteres liber die Inversion und ihre Anwendungen 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen Obwohl die Inversion an einem Kreis das Aussehen geometrischer Figuren stark verandert, besteht die merkwiirdige Tatsache, daB viele Eigenschaften der Figuren bei der Transformation unverandert oder "invariant" bleiben. Wie wir bereits wissen, verwandelt die Inversion Kreise und gerade Linien in Kreise und gerade Linien. Wir fiigen dieser Kenntnis jetzt eine weitere bedeutsame Eigenschaft hinzu: Der Winkel zwischen zwei Geraden oder Kurven ist bei der Inversion invariant. Darunter verstehen wir, daB irgend zwei sich sc1meidende Kurven durch die Inversion in zwei andere Kurven iibergehen, die sich unter demselben Winkel schneiden. Unter dem Winkel zwischen zwei Kurven verstehen wir natiirlich den Winkel zwischen ihren Tangenten. Der Beweis wird anhand von Fig. 60 verstandlich; sie stellt den Spezialfall dar, daB eine Kurve C eine Gerade OL in einem Punkt P schneidet. Die Inverse C' von C trifft OL in dem inversen Punkt pi, der auf OL liegt, da OL zu sich selbst invers ist. Wir werden nun Fig. 60. Invarianz der Winkel bei der Inversion zeigen, daB der Winkel %0 zwischen OL und der Tangente an C in P der GroBe nach dem entsprechenden Winkel Yo gleicht. Zu diesem Zweck wahlen wir einen Punkt A auf der Kurve Cinder Nahe von P und ziehen die Sekante AP. Der inverse Punkt zu A ist A', der sowohl auf der Geraden OA wie auf der Kurve C' liegen muB, und daher deren Schnittpunkt bildet. Wir ziehen die Sekante A P'. Nach der Definition der Inversion ist I

oder

r2= OP' OP' = qA ,OA' OP OA

=

OA' OP' •

d. h. die Dreiecke OAP und OA'P' sind ahnlich. Fo1glich ist der Winkel % dem Winkel OA' P' gleich, den wir y nennen wollen. Unser letzter Schritt besteht darin, den Punkt A langs C gegen P wandem zu lassen. Dadurch dreht sich die Sekante AP in die Lage der Tangente an C in P, wahrend der Winkel % in %0 iibergeht. Zugleich nahert sich A' dem Punkt P', und A' P' dreht sich in die Lage der Tangente in P'. Der Winkel y nahert sichyo. Dain jeder Lage von A % gleich y ist, so muB in der Grenze %0= Yo sein. Unser Beweis ist jedoch noch unvollstandig, da wir nur den Fall des Schnitts einer Kurve mit einer Geraden durch 0 betrachtet haben. Aber der allgemeine Fall zweier Kurven C, C*, die bei Peinen Winkelzbilden, HiBt sich nun rascherledigen. Denn es ist klar, daB die Gerade OPP' den Winkel z in zwei Winkel zerlegt, die beide, wie wir wissen, bei der Inversion erhalten bleiben. Es ist zu beachten, daB die Inversion, obwohl sie die Grof3e der Winkel unverandert lil.Bt, deren Drehsinn umkehrt, d. h. wenn ein Strahl durch P den Winkel.%"o entgegen dem Uhrzeigersinn iiberstreicht, so iiberstreicht sein Bild den Winkel Yo im Uhrzeigersinn.

126


Eine besondere Konsequenz der Invarianz der Winkel bei der Inversion ist es, daB zwei Kreise oder Geraden, die orthogonal sind, d. h. sich im rechten Winkel schneiden, auch nach der Inversion orthogonal bleiben, und daB zwei Kreise, die sich beriihren, d. h. sich unter dem Winkel Null schneiden, dies auch nach der Inversion tun. Betrachten wir nun die Schar alIer Kreise, die durch das Zentrum 0 der Inversion und durch einen anderen festen Punkt A der Ebene gehen. Aus § 4.

I

I

I

I

/

I

I I

I

I

I

Fig. 61. Zwei durch Inversion aufeinander bezosene Systeme orthogonaler Kreise

Abschnitt 2 wissen wir, daB diese Kreisschar in eine Schar von Geraden transformiert wird, die alle durch A', den Bildpunkt von A, gehen. Die Kreisschar; die zu der ursprtlnglichen Schar orthogonal ist, geht in eine Schar von Kreisen fiber, die zu den Geraden durch A' orthogonal sind, wie Fig. 61 zeigt. (Die orthogonalen Kreise sind gestrichelt gezeichnet.) Die einfache Figur des Geradenbiindels scheint von der des Kreisbiindels ganz verschieden zu sein, aber wir sehen, daB beide eng miteinander verwandt sind - vom Standpunkt der Theorie der Inversion sind sie sogar volIkommen aquivalent.

8 A Fig. 62. Sich berilhrende Kreise, die in parallele Geraden transformiert werden

Ein wei teres Beispiel fiir die Wirkung der Inversion liefert eine Schar von Kreisen, die sich im Zentrum der Inversion beriihrE!n (Fig. 62). Durch die Inversion verwandeln sie sich in ein System paralIeler Geraden. Denn die Bilder der Kreise sind gerade Linien, und diese Geraden konnen sich nicht schneiden, da die urspriinglichen Kreise sich nur in 0 treffen.

2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS

127

2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS

Ein gutes Beispiel ffir die Brauchbarkeit der Inversion ist die folgende einfache geometrische Losung desapollonischen Problems. Durch Inversion in bezug auf einen beliebigen Mittelpunkt kann das apollonische Problem fiir drei gegebene Kreise in das entsprechende Problem rur drei andere Kreise transformiert werden. Wenn wir also das Problem rur irgendein Tripel von Kreisen losen konnen, so ist es zugleich ffir jedes andere Tripel gelost, das man aus dem ersten durch Inversion

---0 o (

u \,

.0

I

)

Fig. 63. Vorbereitung filr die Ulsung des Apollonischen Problems

erhalten kann. Wir werden diese Tatsache ausniitzen, indem wir aus all diesen aquivalenten Tripeln eines aussuchen, rur welches das Problem von fast trivialer Einfachheit ist. Wir gehen von drei Kreisen mit den Mittelpunkten A, B, C aus und wollen annehmen, daB der gesuchte Kreis U mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius (! die drei gegebenen Kreise von auBen beriihren solI. Wenn wir die Radien der drei gegebenen Kreise urn denselben Betrag d vergroGem, so wird offenbar der Kreis um denselben Punkt 0 mit dem Radius e - d das neue Problem losen. Wir benutzen zunachst diese Tatsache, urn die drei gegebenen Kreise durch drei andere zu ersetzen, von denen zwei sich im Punkt K beriihren (Fig. 63). Dann unterweden wir das Ganze einer Inversion an einem Kreis mit dem Mittelpunkt K. Die c Kreise B und C werden dabei zu parallelen Fig. 64. Ulsung des Apollonischen Problems Geraden b und c, wahrend der 0 zu betrachten haben, so k6nnen wir sie lUlS als die Halbebene zur Rechten der y-Achse vorstellen. Ailgemeiner kann man sich die Gesamtheit der Zahlenpaare x, y mit der Eigenschaft

L(x, y) = ax + by + d> 0 als eine Halbebene auf einer Seite der Geraden L heit der Zahlentripel x, y, z mit der Eigenschaft

=

0 vorstellen lUld die Gesamt-

L(x, y, z) = ax + by + cz + d> 0 als "Halbraum" auf einer Seite der Ebene L (x, y, z) = O. Die Einfuhrung eines "vierdimensionalen Raumes" oder sogar eines "n-dimensionalen Raumes" erscheint nlUl ganz naturlich. Betrachten wir etwa ein Zahlenquadrupel x, y, z, t. Von einem solchen Quadrupel sagen wir, es sei dargestellt durch einen Punkt oder, einfacher, es sei ein Punkt im vierdimensionalen Raum R 4 • Allgemeiner ist ein Punkt im n-dimensionalen Raum R", nach Definition einfach eine geordnete Menge von n reellen Zahlen Xl' x 2, ••. , X"'. Es schadet nichts, daB wir uns einen solchen Punkt nicht vorstellen k6nnen. Die geometrische Ausdrucksweise bleibt ebenso suggestiv fur algebraische Eigenschaften, die vier oder n Variable betreffen. Der Grund dafur ist, daB viele der algebraischen Eigenschaften linearer Gleichungen usw. ihrem Wesen nach unabhangig sind von der Anzahl der vorkommenden Variablen oder, wie wir auch sagen k6nnen, von der Dimension des Raumes dieser Variabeln. Zum Beispiel nennen wir die Gesamtheit aller Punkte Xl> x2, ••• , Xn im n-dimensionalen Raum Rn, die einer linearen Gleichung

.L (Xl' x2,

••• , Xn)

= at Xl + a 2 X 2 + ... + an Xn + b = 0

genugen, eine " Hyperebene" . Dann laBt sich das fundamentale algebraische Problem der Aufi6slUlg eines Systems von n linearen Gleichungen in n Unbekannten

Ll(Xl , x2 , ••• , x.. ) = 0 L 2 (x], x 2 , ••• , xn) = 0

176

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

in geometrischer Sprache ausdrucken a1s das Problem, den Schnittpunkt der n Hyperebenen It = 0, L'I.= 0, ... , L" = 0 zu bestimmen.

Dcr V O1'zug diescr geometriscken A usdrucksweise ist nur, da/3 sie gewisse algebraisene Eigenheiten betont, die unabhiingig von n sind und die sick fur n ~ 3 anschaulick deuten lassen. In vielen Fiillen hat die Anwendung einer solchen Terminolo-

gie den Vorteil, die eigentlich analytischen Vberlegungen abzukfirzen, zu erleichtern und zu lenken. Die Relativitatstheorie ist ein Beispiel dafiir, daB ein wichtiger Fortschritt erzielt wurde, a1s die Raumkoordinaten x, y, z und die Zeitkoordinate t eines "Ereignisses" in eine vierdimellsionale Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit von Zahlenquadrupeln x, y, z, t zusammengefaBt wurden. Durch Einffihrung einer nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie in diesem analytischen Rahmen wurde es moglich, viele sonst sehr komplizierte Sachverhalte in bemerkenswert einfacher Weise darzustellen. Ahnliche Vorteile haben sich in der Mechanik und in der physikalischen Statistik sowie auf rein mathematischen Gebieten gezeigt. Hier erwalmen wir noch einige Beispiele aus der Mathematik. Die Gesamtheit alier Kreise in der Ebene bildet eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, da ein Kreis mit dem Mittelpunkt x, y und dem Radius t durch einen Punkt mit den Koordinaten x, y, t dargestellt werden kann. Da der Radius des Kreises eine positive Zahl ist,erffillt die Gesamtheit der Punkte, die Kreise darstellen, einen Halbraum. In derselben Weise bildet die Gesamtheit alier Kugeln im dreidimensionalen Raum eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, da jede Kugel mit dem Mittelpunkt x, y, z und dem Radius t durch einen Punkt mit den Koordinaten x, y, z, t dargestellt werden kann. Ein Wfirfel im dreidimensionalen Raum mit der Kantenlange 2, mit Seitenflachen paraliel zu den Koordinatenebenen und dem Mittelpunkt im Ursprung besteht aus der Gesamtheit alier Punkte Xl' X.' Xa, ffir die IX11 ~ 1, Ix.1 ~ 1, Ix.1 ~ 1. In derse1ben Weise ist ein "Wiirfe1" im n-dimensionalen Raum mit der Kante 2, mit den Seiten parallel zu den Koordinatenebenen und dem Mittelpunkt im Ursprung, definiert als die Gesamtheit der Punkte Xl' XI' ••• , X"' ffir die zugleich

IX11

~ 1,

IX21

~ 1, ... ,

Ix,,1

~ 1

ist. Die "Oberfiache" dieses Wfirfels besteht aus allen Punkten, fUr die mindestens ein Gleichheitszeichen gilt. Die Oberfiachenelemente von der Dimension n - 2 bestehen aus den Punkten, fiir die mindestens zwei Gleichheitszeichen gelten, usw. (Jbung: Man beschreibe die Ober1l.lI.che eines solchen Wiirfels in1 drei-. vier- und n-dimensionalen Fall.

·3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

Obwohl der analytische Zugang zur n-dimensionalen Geometrie einfach und fUr die meisten Anwendungen am geeignetsten ist, verdient noch ein anderes, rein geometrisches Verfahren erwalmt zu werden. Es beruht auf der Reduktion von nauf (n - 1)-dimensionale Daten, wodurch wir die Geometrie hOherer Dimensionen durch mathematische Induktion definieren konnen. Beginnen Wir mit der Begrenzung eines Dreiecks A BC in zwei Dimensionen. Schneiden wir das geschlossene Polygon im Punkte C auf und drehen AC und BC in die Gerade AB, so erhalten wir die einfache gestreckte Linie der Fig. 116, in welcher der Punkt C zweimal vorkommt. Diese eindimensionale Figur gibt eine vollstandige Darstellung der

177

3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

Begrenzungslinie de;; zweidimensionalen Dreiecks. Biegen wir die Strecken A C und BC in der Ebene zusammen, so konnen wir die heiden Punkte C wieder zusammenfallen lassen. Aber - und dies ist der springende Punkt - wir brauchen das Zusammenbiegen nieht vorzunehmen. Wir brauchen nur zu vereinbaren, daB wir die zwei Punkte C in Fig. 116 "identifizieren" wollen, d. h.

~

A

8

A

B

0

co

0

8

A 0

0

8

C

A

c 0

Fig. 116. Dreleck, definiert durch Strecken mit einaDder zupordneten EDdpunkten

keinen Unterschied zwischen ihnen machen, wenn sie auch nicht wirklich als geometrische Objekte im gewohnlichen Sinn zusamtnenfallen. Wir konnen sogar noch einen Schritt weitergehen und die drei Strecken auch n~h an den Punkten A und B auseinandemehmen, so daB wir drei einze1ne Strecken CA, AB, BC 7

~

VI IIV:;---+-_~

8

II

J

n S

[]J[]1I0 O []v OVI 1

I

W

Ii'

asI[

Ii'

8

5"

13

f

3

m

6'

7

II

J

m

I f

7

7

w 6'

~

8

S

V

5"

Ii'

oS

.10'------00'

30

oli'

Qo------008

10

oil

So0 - - - - - - 0 0 8

Jo

oil

80'-----007

Jo

03

70-----00,$

10

03

Soo------oo.6'

10

Fig. 117. Wiirfel, definiert durch Zuordnung von Ecken und Kanten

erhalten, die sich wieder zu einem "wirklichen" Dreieck zusammensetzen, indem man die identifizierten Punktpaare zusammenfallen llUlt. Diese Idee, verschiedene Punkte einer Anzah! Strecken zu identifizieren, urn ein Polygon (in diesem Fall ein Dreieck) daraus zu bilden, ist zuweilen sehr praktisch. Wenn ein kompliziertes Courant u. Robbins, Matbematik

178

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Gitterwerk aus Stahltragern, wie die Tragerkonstruktion einer Brocke, transportiert werden soIl, so verladen wir die einzelnen Trager und bezeichnen mit gleichen Zeichen diejenigen Endpunkte, die zusammengehoren, wenn das Gitterwerk raumlich zusammengefiigt werden soIl. Das System der Trager mit bezeichneten Endpunkten ist ein vollstandiges Aquivalent des raumlichen Gitterwerks. Diese Bemerkung deutet an, wie ein zweidimensionales Polyeder im dreidimensionalen Raum auf Figuren geringerer Dimension zurockgefiihrt werden kann. Nehmen wir zum Beispiel die Ober1lache eines Wiirfe1s (Fig. 117). Sie kann sofort auf ein System von sechs ebenen Quadraten zurUckgefiihrt werden, deren begrenzende Seiten in geeigneter Weise identifiziert werden, und durch einen weiteren Schritt auf ein System von 12 geraden Strecken mit richtig identifizierten Endpunkten. Allgemein laDt sich jedes Polyeder im dreidimensionalen Raum Ra in dieser Weise auf ein System von ebenen Polygonen oder ein System von Strecken zurockfiihren. Obung: Man fubre diese Reduktion fur aIle reguliren Polyeder durch (siehe S. 181).

Es ist nun klar, daB wir unsere 'Oberlegung umkehren konnen. Das heiDt, wir konnen ein Polygon in der Ebene definieren durch ein System von Strecken und ebenso ein Polyeder im Ra durch ein System von Polygonen im R" oder auch mit einer weiteren Reduktion durch ein System von Strecken. Daher ist es natiirlich, ein "Polyeder" im vierdimensionalen Raum R, zu definieren durch ein System von Polyedern im Ra mit geeigneter Identifizierung ihrer zweidimensionalen Seitenflachen, ein Polyeder im Ra durch Systeme von Polyedern im R, und so weiter. Letzten Endes konnen wir jedes Polyeder im Rn auf Systeme von Strecken zurUckfiihren. Es ist nicht moglich, dies bier weiter auszufiihren. Nur einige Bemerkungen seien noch ohne Beweis angefiigt. Ein Wiirfel im R, wird von 8 dreidimensionalen Wiirfe1n begrenzt, von denen jeder mit seinen "Nachbam" an je einer zweidimensionalen Flache identifiziert ist. Der Wiirfel im R, hat 16 Ecken, in denen stets 4 von den 32 Kanten zusammentreffen. 1m R, gibt es sechs regullire Polyeder. AuDer dem "Wiirfel" gibt es eins, das von 5 regularen Tetraedern begrenzt wird, eins, das von 16 Tetraedern, eins, das von 24 Oktaedern, eins, das von 120 Dodekaedern, und eins, das von 600 Tetraedern begrenzt ist. Fiir Dimensionen n > 4 ist bewiesen worden, daB nur drei regulare Polyeder moglich sind: eins mit n + 1 Ecken, begrenzt von n + 1 Polyedern im R n - l mit n Seiten von der Dimension n - 2, eins mit 2n Ecken, begrenzt von 2n Polyedern im R n - l mit 2n - 2 Seiten, und eins mit 2 n Ecken und 2" Polyedern von n Seiten im R n - l als Begrenzungen. *Obung: Man vergleiche die Definition des Wurfela im R" die im Abschnitt 2 gegeben wurde, mit der Definition in diesem Abschnitt und zeige, daB die "analytische" Definition der Oberflache des Wurfels in Abschnitt 2 der "kombinatorischen" Definition dieses Abschnitta aquivalent ist.

Vom strukturellen oder "kombinatorischen" Standpunkt sind die einfachsten geometrischen Figuren von der Dimension 0, 1,2,3 der Punkt, die Strecke, das Dreieck und das Tetraeder. Der Einheitlichkeit wegen nennen wir diese Figuren die "Simplexe" der betreffenden Dimension und bezeichnen sie durch die Symbole So, 51' 5., Sa. (Der Index gibt jeweils die Dimension an.) Die Struktur jeder dieser Figuren wird durch die folgenden Aussagen gekennzeichnet: jedes 5,. besitzt n + 1 Ecken; jede Teilmenge von i + 1 Ecken eines Sn (i = 0, 1, ... , n) bestimmt ein

179

3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

St. Das dreidimensionale Simplex Sa (das Tetraeder) enthiilt z. B. 4 Ecken, 6 Strecken (oder Kanten) und 4 Dreiecke. Es ist nun klar, wie wir fortzufahren haben. Wir definieren ein vierdimensionales Simplex S4 a1s eine Menge von 5 Ecken derart, daB jede Teilmenge von vier Ecken ein Sa bestimmt, jede Teilmenge von drei Ecken ein Sa und so weiter. Das schematische Diagramm eines S4 zeigt Fig. 118. S4 enthiilt offenbar 5 Ecken, 10 Strecken, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder.

5. Fig. 118. Die Simplexe in I, 2, 3, " Dimensionen

Die Verallgemeinerung auf n Dimensionen ergibt sich sofort. Aus der Theorie der Kombinationen ist bekannt, daB es genau (~) = i I (r ~ i) I verschiedene Teilmengen zu je i Elementen gibt, die sich aus einer gegebenen Menge von, Elementen bilden lassen (vgl. S. 14). Daher enthiilt ein n-dimensionales Simplex

(IItl)= n + 1

+

Simplexe So (Ecken),

("+1) =

(11 I)! Simplexe SI (Strecken) , 21(1I-l)!

("+1)=

(11 1)1 31(,.- 2)1 Simplexe

S. (Dreiecke),

("+1) =

41(,.-3)1 Simplexe

Sa (Tetraeder),

2

s 4

.

+ (11 + I)!

Simplex S" • ()bu1Ig: Man zeichne ein Diagramm des 5. und bestimme die Anzahl der verschiedenen 5,. die es fiir i = 0, I, ... , 5 enthiilt.

12·

Ffinftes Kapitel

Topologie Einleitung Urn die Mitte des 19. Jahrhunderts begann eine vollig neue Entwicklung in der Geometrie, die bald in der modemen Mathematik eine groBe Rolle spielen sollte. Das neue Gebiet - Analysis Situs oder Topologie genannt - betrifft das Studium derjenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die selbst dann bestehen bleiben, wenn die Figuren so drastischen Defonnationen unterworfen werden, daB alle ihre metrischen und projektiven Eigenschaften verlorengehen. Einer der bedeutenden Geometer der damaligen Zeit war A. F. MOBIUS (1790-1868), ein Mann, dessen geringe Selbsteinschatzung ihn dazu verurteilte, sein Leben lang ein unbekannter Astronom an einer zweitrangigen deutschen Stemwarte zu bleiben. 1m Alter von 68 Jahren legte er der Pariser Akademie eine Arbeit fiber "einseitige" Flachen vor, die einige der erstaunlichsten Tatsachen dieser neuartigen Geometrie enthielt. Wie so manche friihere bedeutende Arbeit lag diese Abhandlung jahrelang in den Schubfachem der Akademie begraben, bis sie schlieBlich von MOBIUS selbst veroffentlicht wurde. Unabhangig von ihm hatte der Astronom J. B. LISTING (1808-1882) in GOttingen ahnliche Entdeckungen gemacht und auf Anraten von GAUSS im Jahre 1847 ein kleines Buch "VoTstudien ZUT Topologie" veroffentlicht. Als der Student BERNHARD RIEMANN (1826-1866) nach Gottingen kam, fand er die Atmosphare dieser Universitat erfiillt von lebhaft em Interesse fUr diese seltsamen neuen geometrischen Ideen. Bald war ihm klar, daB hier der Schlfissel zum Verstandnis der tiefsten Eigenschaften der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen lag. Der groBartige Bau der Funktionentheorie, den RIEMANNS Genius in den folgenden Jahren errichtete und fur den topologische Begriffe grundlegend sind, ist fur die spatere Entwicklung dieses neuen Zweiges der Geometrie von entscheidender Bedeutung gewesen. Anfangs lieB die Neuheit der Methoden auf diesem Gebiet den Mathematikem keine Zeit, ihre Resultate in der axiomatischen Fonn der elementaren Geometrie darzustellen. Statt dessen verlieBen sich die Pioniere, z. B. POINCARE, hauptsachlich auf die geoml'!trische Anschauung. Auch heute noch kann man beim Studium der Topologie bemerken, daB durch starres Festhalten an einer "strengen" Darstellungsfonn leicht der wesentliche geometrische Gehalt unter einem Berg fonnaler Einzelheiten verdeckt wird. Urn so hOher ist die Leistung zu bewerten, daB die Topologie in den Rahmen der strengen Mathematik eingegliedert werden konnte, wo die Anschauung die Quelle, aber nicht das letzte Beweismittel der Wahrheit ist. 1m Laufe dieser Entwicklung, fur die L. E.J. BROUWER entscheidend war, hat die Bedeutung der Topologie fur die gesamte Mathematik standig zugenommen.

§ 1. Die Eulersche Polyederformel

181

Wahrend die systematische Entwicklung der Topologie kaum hundert Jahre alt ist, hat es schon friiher Einzelentdeckungen gegeben, die spater in dem modernen systematischen Ausbau ihren Platz gefunden haben. Bei weitem die wichtigste unter diesen ist eine Formel, die die Anzahlen der Ecken, Kanten und Flachen eines einfachen Polyeders miteinander in Beziehung setzt, und die bereits 1640 von DESCARTES gefunden und 1752 von EULER wiederentdeckt und benutzt wurde. Der typische Charakter dieser Beziehung als topologisches Theorem wurde erst viel spater klar, als POINCARE die "Eulersche Formel" und ihre Verallgemeinerungen als einen der zentralen Satze der Topologie erkannte. Daher wollen wir sowohl aus historischen wie aus sachlichen Grunden unsere Diskussion der Topologie mit der Eulerschen Formel beginnen. Da das Ideal vollkommener Strenge bei den ersten Schritten in ein ungewohntes Gebiet weder notwendig noch erwiinscht ist, werden wir uns nicht scheuen, von Zeit zu Zeit an die geometrische Anschauung zu appellieren.

§ 1. Die Eulersche Polyederformel Obwohl das Studium der Polyeder in der griechischen Mathematik einen zentralen Platz einnahm, blieb es DESCARTES und EULER vorbehalten, die folgende Tatsachezu entdecken: In einem einfachen Polyeder moge E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flachen bedeuten. Dann ist immer (1)

E- K

+F

= 2•

Unter einem Polyeder wird ein Korper verstanden, dessen Oberflache aus einer Anzahl polygonaler Fliichen besteht. 1m Falle eines reguliiren Korpers sind die Polygone alle kongroent, und an jeder Ecke des Korpers stoBen gleich viele Kanten zusammen. Ein Polyeder heiBt einjach, wenn es keine "LOcher" hat, so daB also seine Oberflache sich stetig in eine Kugelflache deformieren laBt. Fig. 120 zeigt ein einfaches Polyeder, das nicht regular ist, und Fig. 121 ein Polyeder, das nicht einfach ist. Der Leser moge nachprlifen, daB die Eulersche Formel fur die einfachen Polyeder der Figuren 119 und 120, nicht aber ffir das Polyeder der Fig. 121 zutrifft.

Fig. 119. Die reguliirell Polyeder

182

V. Topologie

Urn die Eulersche Formel zu beweisen, stellen wir uns vor, daB das gegebene einfache Polyeder hohl ist, mit einer Oberflache aus Gummihaut. Wenn wir dann eine der Flachen des hohlen Polyeders herausschneiden, konnen wir die ubrige Oberflache so stark deformieren, daB sie schlieBlich Bach in einer Ebene liegt. Naturlich haben sich dabei die Flachen und die Winkel zwischen den Kanten des Polyeders verandert. Aber das Netz der Ecken und Kanten in der Ebene wird genau dieselbe Anzahl von Ecken und Kanten enthalten wie das ursprungliche Polyeder, wahrend die Zahl der Polygone urn eins kleiner ist als bei dem

Fig. 120. Ein einfaches Polyeder. E - K + F - 9 - 18 + 11 - 2

Fig. 121. Ein nicbt-einfaches Polyeder. E - K + F - 16 - 32 + 16 = 0

ursprunglichen Polyeder, da ja eine Flache weggeschnitten worden ist. Wir werden nWl zeigen, daB fUr das ehene Netz E - K + F = 1 ist, so daB, wenn die herausgeschnittene Flache mitgezahlt wird, E - K + F = 2 fur das urspriingliche Polyeder herauskommt. A Q an> sagt man, daB sie monoton zunimmt oder monoton wiichst. Entsprechend sagt man von einer Folge, fur die an > an+1, also etwa von der Folge 1,1/2,1/3, ... , daB sie monoton abnimmt. Solche F olgen nahem sich ihrem Grenzwert nur von =

einer Seite. 1m Gegensatz zu ihnen gibt es Folgen, die oszillieren, wie zum Beispiel die Folge -1, +1/2, -1/3, +1/4, .... Diese Folge nahert sich dem Grenzwert 0 von beiden Seiten (siehe Fig. 11, S. 56). Das Verhalten einer monotonen Folge ist besonders leicht zu bestimmen. Eine solche Folge kann ohne Grenzwert sein und unbegrenzt zunehmen, wie die Folge 1,2,3,4, ... , bei der an = n ist, oder wie 2,3, 5, 7, 11, 13, ... , wo an gleich der n-ten Primzahl Pn ist. In diesem Falle strebt die Folge gegen 00. Wenn aber die Glieder einer monoton wachsenden Folge beschriinkt bleiben -

2. Monotone Folgen

225

das heiBt, wenn jedes Glied kleiner ist a1s eine obere Schranke S, die man von vornherein kennt -, dann ist es anschaulich klar, daB die Folge sich einem gewissen Grenzwert a nahern muS, der kleiner als der Wert Soder hOchstens gleich S ist. Wir formulieren dies a1s das P,inzip der monotonen Folgen: 1'ede monoton zunehmende F olge, die eine obere Sch,anke hat, konvergiert gegen einen Grenzwert. (Ein analoger Satz gilt fUr jede monoton abnehmende Folge, die eine untere Schranke hat.) Es ist bemerkenswert, daB der Wert des Limes a nicht gegeben oder im voraus bekannt zu sein braucht; der Satz besagt, daB unter den angegebenen Bedingungen der Limes existiert. Natiirlich hangt dieser Satz I "" I aT von der Einfiihrung irrationaler Zahlen ab und wiirde ohne diese nicht Fig. 166. Eine monotone beschrinkte Folge immer zutreffen; denn wie wir in Kapite1 II gesehen haben, ist jede irrationale Zahl (wie z. B. y2) der Grenzwert einer monoton wachsenden, beschriinkten Folge von rationalen Dezimalbriichen, die man erhaIt, wenn man einen gewissen unendlichen Dezimalbruch hinter der n-ten Ziffer abbricht. *Obwohl das Prinzip der monotonen Folgen unmittelbar einleuehtet, ist es doch lehrreieh, einen strengen Beweis in modemer Fassung dafiir zu geben. Zu diesem Zweck miissen wir zeigen, daB das Prinzip eine logische Konsequenz aus der Definition der reellen Zahlen und des Grenzbegriffs ist. Nehmen wir an, daB die Zahlen ai' ai' aa, ... eine monoton waehsende, aber besehrankte Folge bilden. Wir kOnnen die Glieder dieser Folge als unendliehe Dezimalbriiehe ausdriieken.

a l = AI' 1'11'.1'• ...• a. = AI, qlqlq•. ..•

as = A., 'I'.'•....

in denen die A. ganze Zahlen sind und die 1'•• q., usw. Ziffem von 0 bis 9. Nun verfolgen wir die Spalte der ganzen Zahlen AI' AI' As, .•. abwlirls. Da die Folge ai' ai' aa' .• besch,4nkt ist. kOnnen diese ganzen Zahlen nieht immer weiter zunehmen, und da die Folge monoton wllchst, miissen die ganzen Zahlen AI' AI' A •• ... nach El'7'eichung eines Hochstwerles konstant bleiben. Nennen wir diesen H6chstwert A und nehmen wir an, daB er in der No-ten Zelle erreieht wird. Nun verfolgen wir die zweite Spalte PI' ql' 1'1' ••• abwlirls, indem wir uns auf die Glieder der No-ten und der folgenden Zeilen besehranken. Wenn Xl die graBte Ziffer ist. die nach der No-ten Zeile in dieser Spalte vorkommt, dann muB Xl nach seinem ersten Erscheinen dauemd wieder auftreten; dies mage von der Nl-ten Zeile an der Fall sein, wobei Nl ~ No. Denn wenn die Ziffer dieser SpaJte irgendwann spater wieder abnlihme, dann konnte die Folge ~, al' a l •... nieht monoton zunehmen. Sodann betrachten wir die Ziffem PI. ql' 1'••••• der dritten Spal1le. Die gleiehe "Oberlegung zeigt. daB naeh einer gewissen ganzen Zahl NI ~ Nl die Ziffem dieser SpaJte konstant gleich einer Ziffer X. sind. Wenn wir diese Betrachtung fiir die 4te, Ste•... Spalte wiederholen, erhalten wir die Ziffem xa, xc. X 5• ••• und die entspreehenden ganzen Zahlen N a• N,. N 5 , •••• Man sieht leieht ein, daB die Zahl

a = A, Xl X. XI X, •.• der Limes der Folge ai' aI' a., •.. ist. Denn ist das gewlihlte 8 ~ 10- m. dann stimmen fiir alle n ~ N m der ganzzahlige Anteil und die ersten m Ziffem naeh dem Komma von all mit denen von a iiberein, so daB die Differenz la - a,,1 nieht graBer sein kann als 10-". Da man dies fiir jedes positive. noeh so kleine 8 durehfiihren kann. indem man m geniigend groB wlihlt, so ist der Satz bewiesen. Aueh mit Hilfe jeder der anderen, in Kapitel II gegebenen Definitionen der reellen Zahlen kann der Satz bewiesen werden; z. B. mit Hilfe der Definition dureh Intervallsehaehtelungen oder durch Dedekindsehe Schnitte. Solehe Beweise sind in den meisten Lehrbiiehern der hoheren Mathematik zu finden. Courant u. Robbins, Mathematik

226

VI. Funktionen und Grenzwerte

Das Prinzip der monotonen Folgen hlitte in Kapitel II benutzt werden konnen, um Summe und Produkt zweier positiver unendlicher Dezimalbriiche zu definieren a = A,ala,/.Ia . .. , b = B, blb,b, ...•

Zwei solche Ausdrucke kOnnen nicht auf die gewOhnliche Art attdiert oder multipliziert werden, indem man am rechten Ende anfa.ngt, denn ein solches Ende gibt es nicht. (Der Leser moge einmal versuchen, die beiden unendlichen Dezimalbriiche 0,333333... und 0,989898 .•. zu addieren.) Wenn aber x. den endlichen Dezimalbruch bezeichnet, den man erhilt, indem man die Ausdriicke fur a und bander n-ten Stelle abbricht und dann in der gewohnlichen Weise addiert, so nimmt die Folge XI' X" Xa, ••• monoton zu und ist bescluiinkt (zum Beispiel durch die ganze Zahl A + B + 2). Foiglich hat diese Folge einen Limes, und wir konnen definieren a b = limx". Ein ilmliches Verfahren dient zur Definition des Produktes abo Diese Definitionen lassen sich dann mit Hilfe·der gewOhnlichen Regeln der Arithmetik erweitern, so daB sie alle Fille umfassen, in denen a und b positiv oder negativ sind. Cbung: Man zeige auf diese Weise, daB die Summe der oben genannten beiden unendlichen Dezimalbriichegleich der reellen Zahll,323232 ... = 131/99 ist.

+

Die Bedeutung des Grenzbegriffs in der Mathematikliegt in der Tatsache, daB

viele Zahlen nul' als Grenzwerle definierl sind - haufig als Grenzwerte monotoner, beschrankter Folgen. Das ist der Grund, weshalb der Korper der rationalen Zahlen, in dem ein solcher Grenzwert nicht immer existiert, fUr die Bediirfnisse der Mathematik nicht ausreicht. 3. Die Eulersche Zahl e Seit dem Erscheinen von EULER. Introductio in Analysin In/initorutn im Jahre 1748 nimmt die Zahl e neben der archimedischen Zahl n einen zentralen Platz in der Mathematik ein. Sie illustriert in glanzender Weise, wie das Prinzip der monotonen Folgen dazu dienen kann, eine neue reelle Zabl zu definieren. Unter Verwendung der Abkiirzung. n! = 1 ·2·3·4· .. n fur das Produkt der ersten n nattlrlichen Zahlen, betrachten wir die Folge

(4)

1

1

1

a,,= 1 +-11.+-21 . + ... +-, n. .

Die Glieder a" bilden eine monoton wachsende Folge, da a,,+ 1 aus a" durcb Addition des positiven Wertes oben beschrankt:

(n

~ I)! entsteht. Ferner sind die Werte der an nach

(5) Denn wir haben

111 111 1 1 - = - - ... - < - - ... - = - s! 2 3 s 2 2 2 2'-1

und folglich

= 1 + 2 (1-

(!)") < 3,

wenn wir die auf S. 11 angegebene Formel ffir die Summe der erst en

11

Glieder

227

4. Die Zahl n

einer geometrischen Folge benutzen. Daher muB nach dem Prinzip der monotonen Folgen aft sich einem Grenzwert nahern, wenn n gegen unendlich strebt, und diesen Grenzwert nennen wir e. Urn die Tatsache auszudriicken, daB e = lim aft ist, konnen wir e als "unendliche Reihe" schreiben 1

1

1

1

+ nr + ....

e = 1 + IT + 2T + 3! + ...

(6)

Diese "Gleichung", mit einer Anzahl von Punkten am Ende, ist nur eine andere Ausdrucksweise fiir den Inhalt der beiden Aussagen 1

1

aft = 1 + IT + 2T + ...

1

+ nt

und

an ~ e, wenn n ~ 00

•

Die Reihe (6) gestattet die Berechnung von e bis zu jeder gewiinschten Genauigkeit. Zum Beispiel ist die Summe der Glieder von (6) bis zu 1/12! einschlieBlich (auf acht Stellen hinter dem Komma) E = 2,71828183 ...• (Der Leser sollte dies nachpriifen.) Der "Fehler", d. h. die Differenz zwischen diesem Wert und dem wahren Wert von e, HiBt sich leicht abschatzen. Wir haben fiir die Differenz (e - E) den Ausdruck 1

13! +

1 14!

+ ...
K. (Vgl. die entsprechende Definition auf S. 232). 1m Fall der Funktionf(x) = l/x mit dem Grenzwert a = 0 genugt es, K = lIe zu wahlen, wie der Leser sofort nachpriifen kann. (Jbungen: 1. Es ist zu zeigen, daB die vorstehende Definition der Aussage !(x) -+ a, wenn x -+ 00 , aquivalent ist mit der Aussage !(x) -+ a, wenn l/x -+ 0 . Die folgenden Grenzrelationen sind zu beweisen: x+l ~+x+l 2. x-I -+ 1 , wenn x -+ 00 • 3. Xl- x-I -+ 1 ,

wenn x -+

00 •

sin x 4. - x - -+ 0 ,

wenn x -+

00 ,

6. x

sin x

+ cos x

wenn x -+

00 •

x+l 5. Xl + 1 -+ 0 ,

-+ 0 ,wenn x -+

00 •

sin x 7. cos x hat keinen Grenzwert, wenn x -+ 00

8. Man deliniere ..!(x) -+ 00, wenn x -+

00"

und gebe ein Beispiel.

•


236

Es besteht ein gewisser Unterschied zwischen den pefinitionen des Grenzwertes einer Funktionf(x) und einer Folge a... 1m Fall der Folge kann n nur gegen unendlich streben, indem es wachst, aber bei einer Funktion konnen wir x sowohl positiv wie negativ unendlich werden lassen. Wenn wir uns nur fiir das Verhalten von f(x) fiir groBe positive Werte von x interessieren, so konnen wir die Bedingung Ixl > K durch die Bedingung x> K ersetzen; fiir groBe negative Werte von x benutzen wir dagegen die Bedingung x < - K. Um diese beiden Arten des "einseitigen" Unendlichwerdens zu kennzeichnen, schreiben wir

x

~

+ 00

bzw.

x

~

-

00 •

§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit In § 1 Abschnitt 5 gab en wir das folgende vorlaufige Kriterium fur die Stetigkeit einer Funktion: "Eine Funktion f(x) ist im Punkte x = Xl stetig, falls, wenn X sich Xl nahert, die GroBe f(x) sich dem Grenzwert f(x l ) nahert." Betrachten wir diese Definition genauer, so erkennen wir, daB sie aus zwei verschiedenen Forderungen besteht: a) es muB fur X ~ Xl ein Grenzwert a vonf(x) existieren, b) dieser Grenzwert a muB gleich dem Wertf(xI) sein. Wenn wir in der Definition des Grenzwerts auf S.232 a = f(x l ) setzen, so nimmt die Stetigkeitsbedingung die folgende Form an: Die Funktion f(x) ist stelig fur X = Xl> falls sick zu ieder nock so kleinen positiven Zakl e eine von e abhangige posi-

tive Zahl t5 jinden la/3t, so da/3 fur alle x, die der Ungleickung

IX - xII < t5

genugen. (Die Einschrankung

X =1= Xl' die bei der Grenzwerldefinition verlangt wurde, ist hier unnotig, da die Bedingung If(xl ) - f(x l ) I < e von selbst erfiillt ist.)

u

,x,

,x

Fig. 170. Eine bei x = x, stetige Funktion

Fig. 171. Eine bei " = '" unstetige Funktion

AIs Beispiel wollen wir die Stetigkeit der Funktion f(x)

Xl

= 0 nachpriifen. Wir haben

=

x 3 an der Stelle

f(x l ) = 03 = O. Nun geben wir e einen beliebigen positiven Wert an, zum Beispiel e = 10~O • Dann mussen wir zeigen: Wenn X auf Werle beschrankt wird, die hinreichend nahe an Xl = 0 liegen, dann unterscheiden sich die entsprechenden Werte von f(x) nicht mehr als

l~O

von 0, d. h. sie liegen zwischen -

lO~O

und

lO~O. WiT sehen sofort,

237

1. Der Satz von BOLZANO

daB diese Abweichung nicht iiberschritten wird, wenn wir ken, diesich von Ixi
0, I(b) < 0, dann gibt es einen Wert 1% von x mit den Eigenschaften a < 1% < b unll 1(1%) = O. Der Satz von BOLZANO entspricht durchaus der anschaulichen Vorstellung von einer stetigen Kurve, welche notwendig irgendwo die Achse schneiden muS, wenn sie von einem Punkt unterhalb der x-Achse zu einem Punkt oberhalb gelangen soil. DaB dies bei unstetigen Kurven niche der Fall zu sein braucht, zeigt Fig. 157 auf S. 216.

*2. Beweis des Bolzanoschen Satzes Wir geben jetzt einen strengen Beweis dieses Satzes. (Man vergesse nie, daB GAUSS und andere groBe Mathematiker den Satz ohne Beweis als selbstverstandlich akzeptiert und angewandt haben.) Unser Ziel ist, den Satz auf die grundlegenden Eigenschaften des ree1len Zahlensystems zuriickzufiihren, insbesondere auf das Dedekind-Cantorsche Postulat iiber Intervallschachtelungen (5. 55). Zu diesem Zweck betrachten wir das Intervall I, IS ;:;i Z ~ b, in dem die Funktion f(z) definiert ist, und halbieren es, indem wir seinen Mittelpunkt ZI =

IS

~b

markieren. Wenn wir finden, daB in diesem Mittelpunkt /(ZI) = 0 ist, so ist niehts mehr zu beweisen. 1st dagegen f(zl) =1= 0, dann muB f(zl) entweder grOBer oder kleiner a1s NuH sein. In beiden Fillen wird eine der heiden Hlilften von I wiederum die Eigenschaft haben, daB das Vorzeichen von fez) an den heiden Enden verschieden ist. Nennen wir dieses Intervall 11' Wir setzen das Verfahren fort, indem wir 11 halbieren; dann ist im Mittelpunkt von 11 entweder f(z} = 0, oder wir kOnnen ein Intervall I. wahlen, das halb so groB ist wie 11 und die Eigenschaft besitzt, daB das Vorzeiehen von f(z) an seinen beiden Enden verschieden ist. Wiederholen wir dieses Verfahren, so finden wir entweder nach einer endlichen Anzahl von Halbierungen einen Punkt, fiir den f(z) = 0, oder wir erhalten eine 1J Folge von ineinandergeschachtelten Intervallen II' .rJ I., I., ... • 1m zweiten Fall garantiert das DedekindCantorsche Postulat die Existenz eines Punktes at in I, der all diesen Intervallen angeh6rt. Wir behaupten, daB f(at) = 0 ist, so daB at der Punkt ist, Fig. 172. Sab von BoLlAIIO dessen Existenz der Satz behauptet. Bisher haben wir die Voraussetzung der Stetigkeit noch nicht benutzt. Jetzt wird sie den entscheidenden Beweisschritt ermOglichen. Wir werden indirekt beweisen. daB f(at} = 0 ist. indem wir das Gegenteil annehmen und daraus einen Widerspruch ableiten. Angenommen also, es sei f(lI.) =1= 0, z. B. sei f(at) = 26 > O. Da f(z) stetig ist, kOnnen wir ein (vie1leicht sehr kleines) IntervallJ von der Llinge 2d mit II. als Mittelpunkt finden, innerhalb dessen der Wert von f(z} iiberall um weniger als 6 von f(lI.) abweieht. Da nun f(lI.) = 26, so kOnnen wir sieher sein, daB in ] iiberall f(z) > 6 und also f(z) > 0 ist. Aber das Intervall ] ist fest, und wenn n hinreichend groB ist, so muB das kleine Intervall I. notwendig ganz innerhalb ] liegen, da die Lingen der Intervalle I. gegen Null streben. Darin liegt ein Widersprueh, denn aus der Art, wie I. gewihlt wurde, folgt, daB die Funktionf(z) an den Endpunkten jedes Intervalls I.

3. Der Satz von WEIERSTRASS iiber Extremwerte

239

entgegengesetzte Vorzeichen hat, so daB f(~) in einem Teil von] negative Werte haben muB. Also fiihrt die Annahme f(a.) > 0 (und in der gleichen Weise auchf(a.) < 0) zu einem Widerspruch, und es ist bewiesen, daB f(a.) = 0 sein muB.

·3. Der Satz von

WEIERSTRASS

tiber Extremwerte

Ein zweiter wichtiger lUld anschaulich plausibler Satz uber stetige Funktionen wurde von KARL WEIERSTRASS (1815-1897) fonnuliert, der das modeme Streben nach Strenge in der mathematischen Analysis wohl mehr als jeder andere beeinfluBt hat. Der Satz sagt aus: Wenn eine Fun'ktion f(%} in einem IntervaU I,

a ~ % ~ b, einsehlieplieh der Endpunkte a und b des Intervalls stetig ist, dann mup es mindestens einen Punkt in I geben, an dem f(%} einen gropten Wert M annimmt und einen anderen Punkt, an dem f(%} einen kleinsten were m annimmt. Fur die

Anschauung bedeutet dies, daB der Graph einer stetigen Funktion mindestens einen hOchsten und einen tiefsten Punkt haben muB. Die Aussage des Satzes ist so einleuchtend, daB man das Bedfirfnis nach einem Beweis als ubertriebene Pedanterie empfinden konnte. Obwohl die groBten Leistungen der Mathematik ohne ein derartiges Bediirfnis erzielt wurden, ist es in dem jetzigen Stadium der Entwicklung nicht mehr zulassig, beim systematischen Aufbau der Analysis den WeierstraBschen Satz als eine Trivialitat anzusehen. DaB keine logische Trivialitat vorliegt, sieht man schon aus der Tatsache, daB die Behauptung nicht immer zutrifft, wenn die Funktion f(%} an den Endpunkten von I unstetig ist. So hat zum Beispiel die Funktion

~ keinen groBten Wert

im "offenen" Intentall 0 < %< I, obwohlf(%} uberall im Innem dieses Intervall stetig ist. Selbst wenn sie beschrankt ist, braucht eine unstetige Funktion keinen groBten und kleinsten Wert anzunehmen. Man betrachte zum Beispiel die griindlich unstetige Funktion, die definiert ist durch

f(%}

=

und /(%)

=

% ffir irrationale %

! fUr rationale x,

im Intervall 0;:;; x ~ 1. Diese Funktion nimmt uberall nur Werte zwischen 0 und 1 an, und zwar Werte beliebig nahe an 0 und 1, wenn x als irrationale Zahl geniigend nahe an 0 oder 1 gewahlt wird. Aber f(%} kann niemals glden 0 oder 1 sein, denn fUr rationale x haben wir f(%} = ~ und ffir irrationale %haben wir f(%} = x. Daher werden 0 und 1 niemals a.ngenommen. Wir tibergehen den Beweis des WeierstraBschen Satzes. Der Satz gilt in iihnlicher Weise auch fiir stetige Funktionen von zwei oder mehr Variablen y, ...• Anstelle eines Intervalls mit seinen Endpunkten baben wir dann ein abgesclllossenes Gebiet. z. B. ein Rechteck in der ~, y-Ebene einschlieBlich seines Randes, zu betrachten.

~,

Die Beweise der Satze von BOLZANO und WEIERSTRASS haben einen ausgesprochen nicht-konstruktiven Charakter. Sie liefem keine Methode, um die wirkllche Lage einer Nullstelle oder eines groBten oder kleinsten Wertes einer Funktion mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit in einer endlichen Anzahl von Schritten aufzufinden. Nur die bloBe Existenz oder vielmehr die Unmoglichkeit der Nichtexistenz der gewiinschten Werte wird bewiesen. Dies ist ein weiterer wichtiger Fall, in dem die Intuitionisten (siehe S.69) Einwande erhoben haben;

240


einige sind so weit gegangen, die Ausschaltung solcher Satze aus der Mathematik vorzuschlagen. Aber selbst die radikalsten intuitionistischen Kritiker haben oft in der Praxis ihre Einwendungen nicht konsequent befolgen kannen. Um lebensfahig zu sein, darf die Mathematik sich nicht durch intuitionistische Verbote fesseln lassen, sondem muB im Gegentei1 versuchen, sich aus der Zwangsjacke zu befreien, welche ihr unter dem an sich natigen Druck der Grundlagenkritik angelegt worden ist. *4. Ein Satz tiber ZahlenfoIgen. Kompakte Hengen Es sei Xl' X.' xa, ... eine unendliche Folge von Zahlen, die nicht voneinander verschieden zu sein brauchen und die alle in dem abgeschlossenen Intervall I, a ;;;! X ;;;! b, enthalten sind. Die Folge kann einen Grenzwert haben oder auch nicht. Aber es ist immer miiglich, aus einer solchen F olge durch F ortlassen gewisser ihrer

Glieder eine unendliche Teilfolge Y1' Ys, Y3' ... auszuwiihlen, die gegen einen im Intervall I enthaltenen Limes Y strebt. Um diesen "Haufungsstellensatz" zu beweisen, teilen wir das Intervall I in zwei abgeschlossene Teilintervalle I' und I", indem wir den Mittelpunkt .a ~ b von I markieren: a+b

I': a:5: x:5:-2 ' I ,,·a+b:5: . 2 -

:5:b

X -

•

Mindestens in einem von diesen, es mage II heiBen, miissen unendlich viele Glieder x" der urspilnglichen Folge liegen. Wir wahlen irgendeines dieser Glieder, etwa X"I' und nennen es Yl' Jetzt verfahren wir in derselben Weise mit dem Intervall II' Da unendlich viele Glieder x.. in II enthalten sind, miissen unendlich viele Glieder in mindestens einer der beiden Halften von II liegen, diese heiBe Is' Also kannen wir gewiB ein Glied x" in Is finden, fur das n > n1• Wii.hlen wir irgendeines davon und nennen es Y.' Fahren wir in dieser Weise fort, so erhalten wir eine Intervallschachtelung II' Is, la, ... und eine Teilfolge Yl' Y2' Y3' ... der urspriinglichen Folge, derart daB y" fur jedes n in I .. liegt. Diese Intervallschachtelung charakterisiert einen Punkt Y in I, und es ist klar, daB die Folge Yl' Y., Y3' ... den Grenzwert Y hat, wie behauptet wurde. *Diese Betrachtungen lassen eine Verallgemeinerung zu, deren Charakter fiir die moderne Mathematik typisch ist. Betrachten wir eine beliebige Menge S, in der ein gewisser "Abstandsbegriff" definiert ist. S kann eine Punktmenge in der Ebene oder im Raume sein, aber das ist nicht notwendig, zum Beispiel kann S auch die Menge aller Dreiecke in der Ebene sein. Wenn X und Y zwei Dreiecke mit den Ecken A, B, C bzw. A', B', C' sind, dann konnen wir als "Abstand" zwischen den beiden Dreiecken die Zahl d(X, y) = AA'+BB' CC' definieren, worin AA' usw. den gewohnlichen Abstand zwischen den Punkten A und A' bedeutet. Immer wenn in einer Menge S ein solcher "Abstand" zwischen den Elementen erkliirt ist, liiSt sich der Begriff einer Folge von Elementen Xl' XI' X., ... definieren, die gegen ein zu S gehOriges Grenze1ement X strebt. Damit ist gemeint, daB d(X, X,,) _ 0, wenn n _ 00. Wir sagen nun, daB die Menge S konJpakt ist, wenn aus jedM Folge Xl' XI' XI' •.. von Elemenlen von Seine Teilfolge ausgewlJhlt werden kann, die gegen ein Element X von S als Grenzwerl strebt. Wir haben im vorigen Absatz gezeigt, daB ein abgeschlossenes Intervall a;;;! x ;;;! b in diesem Sinne kompakt ist. Es kann daher der Begriff der kompakten Menge als eine Verallgemeinerung eines abgeschlossenen Intervalls der Zahlenachse gelten. Man beachte, daB die Zahlenachse als Ganzes nicht kompakt ist, da wederdie Folge der natiirlichen Zahlen 1,2,3,4,5, ... selbst, noch

+

241

1. Geometrische Anwendungen

irgendeine ihrer Teilfolgen gegen einen Grenzwert strebt. Auch ein oftenes Intervall, wie etwa

o< x
1 bewiesen. Hier haben wir ein typisches Beispiel daffir, daB eine Limesrelation, in diesem Fall hn -+ 0, erkannt wird, indem man hn zwischen zwei Folgen einschlieBt, deren Grenzwerte ubereinstimmen und leichter zu bestimmen sind. Nebenbei haben wir eine Abschatzung fiir die Differenz h" zwischen abgeleitet: diese Differenz muB immer kleiner als PIn sein.

Vi und 1

247

4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen

Wenn 0 < p < 1, so ist

VP < 1, und wir konnen tr:i. 1 Vp= l+h"

setzen, wobei hn wiederum eine von n abhangige positive Zahl ist. Es folgt, daB

P=

so daB

1

+ h,,)"
1.

Hier ist die unstetige Funktion f(x) als Limes einer Folge von stetigen rationalen Funktionen dargestel1t. Ein weiteres interessantes Beispiel von ahnlichem Charakter bildet die Folge

fn(x)=x 2+

~

~

~

l+xl + (I+XI)1 + ... + (1 + Xl)" .

Fur x = 0 sind alle Werte fn (x) Null, und daher f(O) = limfn (0) = O. Fur x =1= 0 ist der Ausdruck 1/(1 + Xli) = q positiv und kleiner a1s I; unsere Ergebnisse uber geometrische Reihen sichern die Konvergenz vonfn (x) fur n -+ 00. Der Limes, d. h. die Summe der unendlichen geometrischen Reihe, ist

1 Xl q

=

XII' 1--1 Xl

was

+

gleich 1+ x2 ist. Also strebt fn (x) gegen die Funktionf(x) = 1+ X2, wenn x =1= 0 und gegen f(x) = 0 fur x = o. Diese Funktion hat eine hebbare Unstetigkeit bei x = o.

"'5. Grenzwerle durch Iteration Haufig sind die GIieder einer Folge so beschaffen, daB an+! aus an durch das gleiche Verfahren erhalten wird, wie an aus an-I; die fortlaufende Wiederholung derselben Operation liefert die ganze Folge aus einem gegebenen Anfangsglied. In solchen FaIlen sprechen wir von einem "lterationsverfahren". Zum Beispiel hat die Folge 1,

Vf+T, VI + V2, y'1 + Y1 + V2, ...

ein solches Bildungsgesetz; jedes Glied nach dem ersten entsteht, indem man die Quadratwurzel aus 1 plus dem vorhergehenden Glied zieht. Daher wird durch die Formel al = 1, an+!= + an

VI

die ganze Folge definiert. Wir wollen ihren Grenzwert bestimmen. Offenbar ist an groBer als 1, sobaId n > 1. Ferner ist an eine monoton zunehmende Folge, denn a~ + 1 - a;

=

(1

+ an) -

(1

+ an -1) =

an - an - 1 .

Also wird immer, wenn an> an-I> auch an+! > an sein. Wir wissen aber, daB a.- al = 1 > 0, daraus schIieBen wir durch mathematische Induktion, daB an+1 > an fur aIle n, d. h. daB die Folge monoton zunimmt. AuBerdem ist sie beschrankt; denn nach dem Vorhergehenden haben wir

Vi -

1 + a" an + l =---< a.+l

1

+ an + a"+ 1

1

=

1 +--< 1 2. U,,+1

Nach dem Prinzip der monotonen Folgen schlieBen wir, daB an -+ a fUr n -+ 00,

249

§ 2. Ein Beispiel fur Stetigkeit

wobei a eine gewisse Zahl zwischen 1 und 2 ist. Man sieht leicht ein, daB a die positive Wurzel der quadratischen Gleichung x 2 = 1 + x ist, denn wenn n -+ 00, wird die Gleichung a~ + 1 = 1 + an zu as = 1 + a. Losen wir diese Gleichung, so

-t; (5· . Daher konnen wir diese quadrati-

finden wir die positive Wurzel a = 1

sche Gleichung durch ein Iterationsverfahren losen, das den Wert der Wurzel mit jedem beliebigen Genauigkeitsgrad ergibt, wenn wir lange genug fortfahren. Viele andere algebraische Gleichungen lassen sich in ahnlicher Weise durch Iterationsverfahren losen. Zum Beispiel konnen wir die kubische Gleichung x3- 3x + 1 = in der Form

°

1

x=--3-XI schreiben. Wir wahlen einen beliebigen Wert fur aI' etwa

0, und definieren

~=

an + l = - 3 1 "so daB wir die Folge as = 1/3 = 0,333 ... , aa = 9/26 -a"

= 0,3461 ... ,

a,= 676/1947 = 0,3472 ... , usw. erhalten. Es laBt sich zeigen, daB die Folge an gegen einen Grenzwert a = 0,3473 ... konvergiert, der eine Losung der gegebenen kubischen Gleichung ist. Iterationsprozesse wie diese sind auBerst wichtig, sowohl fur die reine Mathematik, fur die sie "Existenzbeweise" liefem, a1s auch fur die angewandte Mathematik, fur die sie Naherungsmethoden zur Losung vieler Arten von Problemen angeben. (Jbungen ubu Grenzwerte: fur n -+

00.

1. Man beweise, daB yn:+T - V-;a -+ o. (Anleitung: Man schreibe die Diflerenz in der Form

~-in· n+l + n (Vn+1 + Vn).) 2. Man bestimme den Grenzwert von 3. Man bestimme den Grenzwert von 4. Man bestimme den Grenzwert

yna+a - V"I + b • Vn + an + b - n . l

1

von.~

V- .

rn+ 1 + n 5. Man beweise, daB der Grenzwert von f gleich 1 ist. 6. Was ist der Grenzwert von V~, wenn a > b > o? 7. Was ist der Grenzwert von Va" + b" + c" , wenn a > b > c > o?

Vn+

+

8. Was ist der Grenzwert von Va"b" a"c"+ b"c", wenn a > b > c > o? 9. Wir werden spater sehen (S. 342), daB e = lim (1 lIn)". Was ist dann lim (1

+

+ l/nl)"?

§ 2. Ein Beispiel fUr Stetigkeit Ein exakter Beweis fur die Stetigkeit einer Funktion verlangt die ausdruckliche Nachpriifung der Definition auf S. 236. Zuweilen ist dies ein langwieriges Unternehmen, und es ist daher giinstig, daB Stetigkeit, wie wir im Kapitel VIII sehen werden, eine Konsequenz der Differenzierbarkeit ist. Da wir diese systematisch bei allen elementaren Funktionen feststellen werden, so konnen wir, wie es gewohnlich geschieht, die etwas langweiligen einzelnen Stetigkeitsbeweise bier ubergehen. Aber zur Verdeutlichung der allgemeinen Definition wollen wir doch noch ein weiteres Beispiel untersuchen, die Funktion /(x)

=

1

~

Xl •

Wir konnen x auf

250

Erganzung zu VI. Weitere Beispiele fiir Grenzwerle und Stetigkeit

ein festes Intervalllxl ~ M einschranken, wobei Meine beJiebig gewiihlte positive Zahl ist. Schreiben wir

/(X1) - /(x) =

1

1

+4 -

1

1

+ SI =

Sl-

(1

4

+ SI) (1 + 4) = (x - xJ

(s

(1

+ Sl)

+ SI) (1 + sf) ,

so finden wir ffir Ixl ~ M und IX11 ~ M

l/(x1)

-

/(x)l ~ Ix - xII Ix + xII ~ Ix - xII' 2M .

Also ist es klar, daB die Differenz auf der linken Seite kleiner sein wird a1s eine beJiebige positive Zahl e, wenn nur Ix1 - xl < (j = 2~ • Dabei sollte man beachten, daB wir hier recht groBzfigig mit unseren Abscbatzungen sind. Ffir groBe Werte von x und Xl wfirde. wie der Leser leicht einsehen wird, ein vie! groBeres (j genfigen.

Siebentes Kapitel

Maxima und Minima Einleitung Eine Strecke ist die kfirzeste Verbindung zwischen ihren Endpunkten. Ein Bogen eines GroBkreises ist die kiirzeste Kurve zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Unter allen geschlossenen ebenen Kurven von gleicher Lange umschlieBt der Kreis die groBte Flache, und unter allen geschlossenen Flachen yom gleichen Flacheninhalt umschlieBt die Kugel das groBte Volumen. Maximum- und Minimumeigenschaften dieser Art waren schon den Griechen bekannt, wenn auch die Resultate hliufig ohne den Versuch eines Beweises ausgesprochen wurden. Eine der bedeutsamsten griechischen Entdeckungen wird dem alexandrinischen Gelehrten HERON aus dem ersten Jahrhundert n. ehr. zugeschrieben. Es war schon lange bekannt, daB ein Lichtstrahl von einem Punkt P, der einen ebenen Spiegel in dem Punkt R trifft, in Richtung auf einen Punkt Q so reflektiert wird, daB PR und QR gleiche Winkel mit dem Spiegel bilden. HERON entdeckte: Wenn R' irgendein anderer Punkt des Spiegels ist, dann ist der Gesamtweg PR' + R'Q langer als der Weg PR + RQ. Dieser Satz, den wir sogleich beweisen werden, kennzeichnet den tatsachlichen Lichtweg PRQ zwischen P und Q als den kiirzesten moglichen Weg von P nach Q iiber den Spiegel, eine Entdeckung, die man als den Ausgangspunkt der geometrischen Optik ansehen kann. Es ist ganz natiirlich, daB sich die Mathematiker ffir derartige Fragen interessieren. 1m taglichen Leben entstehen fortwahrend Probleme iiber Maxima und Minima, iiber das "beste" oder "schlechteste". Viele praktisch wichtige Probleme stellen sich in dieser Form dar. Wie muB man zum Beispiel die Gestalt eines Bootes wahlen, damit es den geringstmoglichen Widerstand im Wasser bietet? Welches zylindrische GefaB aus einer gegebenen Materialmenge hat den groBten Rauminhalt? Seit dem 17ten Jahrhundert ist die allgemeine Theorie der Extremwerte - Maxima und Minima - zu einem der Prinzipien geworden, die der systematischen Zusammenfassung und Vereinheitlichung der Wissenschaft dienen. FERMATa erste Schritte in seiner Differentialrechnung ergaben sich aus dem Wunsch, Fragen iiber Maxima und Minima mit allgemeinen Methoden zu untersuchen. 1m folgenden J ahrhWldert wurde die Reichweite dieser Methoden durch die Erfindung der "Variationsrechnung" stark erweitert. Es wurde immer deutlicher, daB allgemeine physikalische Gesetze ihren pragnantesten Ausdruck in Minimalprinzipien finden und daB so ein Zugang zu einer mehr oder weniger vollstandigen Losung spezieller Probleme geoffnet wird. Eine Erweiterung des Begriffes der Extremwerte hat neuerdings zu der bemerkenswerten Theorie der stationaren Werte gefiihrt, in welcher Analysis und Topologie verkniipft sind. Wenn auch die Verzweigungen der Theorie der Extremwerte in hohe Regionen der Mathematik fiihren, so wird doch im vorliegenden Kapitel eine vollig elementare Darstellung gegeben werden.

252

VII. Maxima und Minima

§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie 1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten

Gegeben seien zwei Strecken a und b; gesucht sei das Dreieck mit der groOten Flliche, welches a und b als Seiten hat. Die Losung ist einfach das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten a und b sind. Dazu betrachten wir irgendein Dreieck mit den Seiten a und b wie in Fig. 176. Wenn h die Hohe auf der Basis a ist, dann

!

ist die Flache des Dreiecks A = ~ ah. Nun ist ah offenbar ein Maximum, wenn h seinen groOten Wert annimmt, und das tritt ein, wenn h mit b zusammenfillt, d. h. fUr das rechtwinklige Dreieck. Daher ist die maximale

" Fig. 176

2. Der Satz des

Flache

! abo

HERON.

Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen

Gegeben seien eine Gerade Lund zwei Punkte P und Q auf derselben Seite von L. Fiir we1chen Punkt R auf List PR + RQ der kiirzeste Weg von P iiber L nach Q? Dies ist das Heronsche Lichtstrahl-Problem. (Wenn L das Ufer eines Flusses ware, und jemand so schnell als moglich von P nach Q zu gehen und dabei unterwegs einen Eimer Wasser von L zu holen hatte, so hatte er genau dasselbe Problem zu losen.) Um die Losung zu finden, spiege1n wir Pander Geraden L und erhalten den Punkt P', so daO L die Mittelsenkrechte auf PP' ist. Dann schneidet die Gerade P' Q die Gerade L in dem gesuchten Punkt R. Fiir jeden andem Punkt R' auf List nun PR' + R'Q groOer als PR + RQ. Denn PR = P'R und PR'= P'R'; daher ist PR + RQ = P'R + RQ = P'Q und PR'+ R'Q = P'R' + R'Q. Aber P'R' + R'Q ist groBer a1s P'Q (da die Summe zweier Seiten eines Dreiecks groBer a1s die dritte Seite ist), also R ist auch PR'+ R'Q groOer a1s PR + RQ, was zu beweisen war. 1m folgenden nehmen wir an, daB weder P noch Q auf L liegen. Aus Fig. 177 sehen wir, daB ~3 = ~2 und ~2 = ~ 1, so daB ~ 1 = ~3. Mit andem Worten, R ist der Punkt,Jur den PR und QR gleiche Winkel mit L bilden. Daraus folgt, daO ein an L reflektierter Lichtstrahl (bei dem Einfalls- und Reflexionswinkel gleich groO sind, wie man aus dem Experiment weiO) tatsachlich den kiirzesten Weg von P iiber Fig. 177. Der Satz des HERON L nach Q wahlt, wie in der Einleitung behauptet wurde. Das Problem laOt sich allgemeiner auch fUr mehrere Geraden L, M, ... stellen. Zum Beispiel betrachten wir den Fall, daO wir zwei Geraden L, M und zwei Punkte P, Q haben, wie in Fig. 178, und der kiirzeste Weg gesucht ist, der vom Punkt P zu der Geraden L, dann zu M und von da nach Q fiihrt. Es sei Q' das Spiege1bild von Q an M und Q" das Spiegelbild von Q' an L. Man ziehe PQ", wobei L in R geschnitten wird, und RQ', wobei M in S geschnitten wird. Dann sind R und S die gesuchten Punkte, so daB PR + RS + SQ der kiirzeste Weg von

3. Anwendungen auf Probleme fiir Dreiecke

253

P iiber Lund M nach Q ist. Der Beweis ist ganz ahnlich dem fiir das vorige Problem und sei dem Leser zur 'Obung iiberlassen. Wenn Lund M Spiegel waren, so wiirde ein Lichtstrahl von P, der von L nach M und von da nach Q reflektiert wird, L in R und M in S treffen; daher wiirde der Lichtstrahl wiederum den kiirzesten Weg wahlen. Man kann auch nach dem kiirzesten Weg von P fiber M nach Lund von da nach Q fragen. Dies wiirde einen Weg PRSQ ergeben (siehe Fig. 179), der in ahnlicher Weise zu ermitteln ist wie der vorige Weg PRSQ. Die Lange des ersten Weges kann groBer, gleich oder kleiner als die des zweiten sein.

o

----~------+-----------~O

, ,, I

I

,

\,

'" ,

' \ I

''b

Fig. 179

Fig. 178. Reflexion an zwei Spiegeln

• Obung: Man zeige. daB der erste Weg kiirzer ist als der zweite. wenn 0 und R auf derselben Seite der Geraden PQ liegen. Wann werden beide Wege gleiche Langen haben?

3. Anwendungen auf Probleme fUr Dreiecke

Mit Hilfe des Heronschen Satzes lassen sich die Losungen der folgenden beiden Aufgaben leicht ermitteln. a) Gegeben sei der Flacheninhalt Fund eine Seite c = PQ eines Dreiecks; unter allen solchen Dreiecken sei dasjenige zu bestimmen, fiir das die Summe der beiden andem Seiten den kleinsten Wert hat. Anstatt die Seite c und den Flacheninhalt des Dreiecks vorzuschreiben, kann man ebenso gut die Seite c und die Hohe h auf c geben, da F =

! ch ist. Nach Fig. 180 besteht also die Aufgabe darin, einen

Punkt R zu tinden, dessen Abstand von /I' /I der Geraden PQ gleich dem gegebenen -----/r.:--:~----------- -----------------I " h und fiir den die Summe a + b ein '--, ,/ ,I Minimum ist. Aus der ersten Bedingung I : atI i:h folgt, daB R auf der Parallelen zu PQ I , in Abstand h liegen muB. Die Antwort / ergibt sich aus dem Heronschen Satz ! fiir den Spezialfall, daB P und Q gleich p¥---L-----------~U weit von L entfernt sind; das gesuchte Fig. 180. Dreieck mit mjnjmaJ_ Umfang bei gegebener Dreieck ist gleichschenklig. Basis unci FIiche b) In einem Dreieck sei die Seite c und die Summe a + b der beiden anderen Seiten gegeben; es solI unter allen solchen Dreiecken das mit dem groBten Flacheninhalt gefunden werden. Dies ist ein genaues Gegenstiick zum Problem a). Die Losung ist wieder das gleichschenklige Dreieck, bei dem a = b ist. Wie wir eben I

254


gezeigt haben, hat dieses Dreieck den kleinsten Wert fur a + b bei gegebenem Flacheninhalt; das heiBt, jedes andere Dreieck mit der Basis c und derselben Flache hat einen groBeren Wert ffir a + b. Ferner ist nach a} klar, daB jedes Dreieck mit der Basis c und einem groBeren Flacheninhalt als das gleichschenklige Dreieck auch einen groBeren Wert fur a + b hat. Daher hat jedes andere Dreieck mit denselben Werten ffir a + b und c einen kleineren FIacheninhalt, so daB das gleichschenklige Dreieck bei gegebenem c und a + b den maximalen Flacheninhalt besitzt. 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel

Entsprechende Extremaleigenschaften

Das Heronsche Problem hangt mit einigen wichtigen geometrischen Satzen zusammen. Wir haben bewiesen: wenn Rein Punkt auf List, fur den PR + RQ ein Minimum ist, dann bilden PR und RQ gleiche Winkel mit L. Diese minimale Gesamtentfernung wollen wir 2a nennen. Nun mogen p und q die Abstande eines beliebigen Punktes der Ebene von P bzw. Q bedeuten, und wir betrachten den geometrischen Ort, d. h. die Menge aller Punkte der Ebene, ffir die p + q = 2a. Dieser Ort ist eine Ellipse mit P und Q als Brennpunkten, die durch den Punkt R auf der Geraden L geht. Dariiber hinaus mufJ L die Tangente an die Ellipse in R sein. Wenn namlich L die Ellipse noch an einem anderen Punkt als R schnitte, dann gabe es einen Abschnitt von L, der innerhalb der Ellipse lage; fur jeden Punkt dieses Abschnitts warep + q kleiner als 2a, da man leicht sieht, daB p + q innerhalb der Ellipse kleiner als 2a und auBerhalb groBer als 2a ist. Auf L ist aber, wie wir wissen p + q ~ 2a. Dieser Widerspruch zeigt, daB L die Ellipse in R beriihren muB. Aber wir wissen auch, daB PR und RQ mit L gleiche Winkel

,f , \\

----~~~-------t

,

\

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Fig. 181. Tangenteneigenscbaft der Ellipse

Fig. 182. IPR - QRI - Maximum

bilden, daher haben wir zugleich den wichtigen Satz bewiesen: eine Tangente an eine Ellipse bildet gleiche Winkel mit den Verbindungslinien von dem Beriihrungspunkt zu den Brennpunkten. Nahe verwandt mit dem vorstehenden ist das folgende Problem: Gegeben sei eine Gerade L und zwei Punkte P und Q auf entgegengesetzten Seiten von L (siehe Fig. 182), gesucht ist ein Punkt R auf L, ffir den die GroBe IP - ql, das heiBt der absolute Betrag der Differenz der Abstande von R nach P und Q, ein Maximum ist. (Wir wollen annehmen, daB L nicht die Mittelsenkrechte von PQ ist; denn dann ware p - q Null fur jeden Punkt R auf L, und das Problem ware sinnlos.) Urn dieses Problem zu losen, spiegeln wir zuerst P an Lund erhalten den Punkt P' auf derse1ben Seite von L wie Q. Ffir jeden Punkt R' auf L haben wir p = R' P =

4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel

255

R'P', q = R'Q. Da R', Q und P' als Ecken eines Dreiecks betrachtet werden konnen, ist die GroBe IP - ql = IR'P' - R'QI nie groBer als P'Q; denn die Differenz

zweier Dreiecksseiten ist nie groBer als die dritte Seite. Wenn R', P', Q alle auf einer Geraden liegen, ist IP - ql gleich P' Q, wie man aus der Figur sieht. Daher ist der gesuchte Punkt R der Schnittpunkt von L mit der Geraden durch P' und Q. Wie im vorigen Falle sieht man leicht, daB die Winkel, die RP und RQ mit L bilden, gleich groB sind, da die Dreiecke RPR' und RP'R' kongruent sind. Dieses Problem ist mit einer Tangenteneigenschaft der Hyperbel verknupft, ebenso wie das vorige mit der Ellipse. Wenn die maximale Differenz IPR - QRI den Wert 2a hat, dann betrachten wir den geometrischen Ort aller Punkte der Ebene, fur die P - q den absoluten Betrag 2a hat. Dies iSt eine Hyperbel mit P und Q als Brennpunkten, die durch den Punkt R geht. Wie man leicht zeigt, ist der absolute Betrag von P - q kleiner als 2a in dem Bereich zwischen den beiden Hyperbelasten und groBer als 2a auf der Seite jedes l Zweiges, auf welcher der zugehorige Brennpunkt liegt. Aus einer ahnlichen 'Oberlegung wie bei der Ellipse folgt, daB L die Hyperbel in R be- Fig. 183. Tangenteneiglmscbaft der Hyperbel riihren muB. Welchen von den beiden Asten L bertihrt, hangt davon ab, ob P oder Q naher an L liegt; wenn P naher liegt, wird der Ast um P von L beriihrt; das Entsprechende gilt fUr Q (siehe Fig. 183). Wenn P lind Q gleich weit von L entfemt sind, so bertihrt L keinen von heiden Asten, sondem ist eine der Asymptoten der Kurve. Diese Festste1lung wird plausibel, wenn man bedenkt, daB in diesem Fall die beschriebene Konstruktion keinen (endlichen) Punkt R liefert, da die Gerade P' Q dann parallel zu L verIauft. In derselben Weise wie oben beweist diese 'Oberlegung den bekannten Satz: die Tangente an eine Hyperbel in einem beliebigen Punkt halbiert den Winkel zwischen den Verbindungslinien des Punktes mit den Brennpunkten der Hyperbel. Es konnte sonderbar erscheinen, daB wir ein Minimumproblem zu losen haben, wenn P und Q auf derselben Seite von L liegen, wahrend sich ein Maximumproblem ergibt, wenn sie auf verschiedenen Seiten von L liegen. DaB dies ganz naturlich ist, kann man aber sofort einsehen. 1m ersten Problem nimmt jede der Entfemungen p, q, und daher auch ihre Summe, unbegrenzt zu, wenn wir entlang L nach irgendeiner Richtung ins Unendliche gehen. Es ware also unmoglich, einen maximalen Wert von P + q zu finden; ein Minimumproblem ist also die einzige Moglichkeit. 1m zweiten Fall, wo P und Q auf verschiedenen Seiten von L liegen, ist es anders. Hier mussen wir, um Konfusion zu vermeiden, unterscheiden zwischen p - q, dem entgegengesetzten Wert q - p und dem absoluten Betrag IP - ql; der letzte ist es, der zum Maximum gemacht wurde. Man versteht die Situation am besten, wenn man den Punkt R entlang der Geraden L durch die verschiedenen Lagen R1 , RB, Ra, ••• wandem laBt. Es gibt einen Punkt, fUr den die Differenz P - q Null ist: namlich den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von PQ mit L. Dieser Punkt liefert demnach ein Minimum fur den absoluten Betrag IP - ql· Auf der einen Seite von diesem Punkt ist P groBer als q, auf der andem kleiner; also ist die GroBe P - q auf der einen Seite des Punktes positiv, auf der

256


andem negativ. Folglich hat p - q selbst weder ein Maximum noch ein Minimum an dem Punkt, an dem IP - ql = O. Dagegen liefert der Punkt, der IP - ql zum Maximum macht, auch ein wirkliches Extremum von p - q. 1st P > q, so haben wir ein Maximum von P - q; ist q > p, ein Maximum von q - p und daher ein Minimum von p - q. Ob sich ein Maximum oder ein Minimum von p - q finden laBt, hangt von der Lage der beiden gegebenen Punkte P und Q in bezug auf die Gerade Lab. Wir sahen, daB es keine LOsung des Maximumproblems gibt, wenn P und Q den gleichen Abstand von L haben, da dann die Gerade P'Q in Fig. 182 parallel zu List. Dies entspricht der Tatsache, daB die GroBe IP - ql gegen einen Grenzwert strebt, wenn R auf L in irgendeiner Richtung ins Unendliche riickt. Dieser Grenzwert ist gleich der senkrechten Projektion s von PQ auf L. (Zur "Obung moge der Leser dies beweisen.) Wenn P und Q die gleiche Entfemung von L haben, so ist IP - ql immer kleiner a1s dieser Grenzwert, und es existiert kein Maximum, denn zu jedem Punkt R konnen wir immer einen finden, der noch weiter entfemt ist und ffir den IP - ql groBer ist und doch noch nicht gleich s. *5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve

Wir wollen den kleinsten und griiftten Abstand eines Punktes P von einer gegebenen Kurve C bestimmen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daB C eine einfache geschlossene Kurve ist, die fiberall eine Tangente hat, wie in Fig. 184. (Der Begriff der Tangente wird hier aus der Anschauung entnommen; er solI im nachsten Kapitel genauer analysiert werden.) Die Antwort ist sehr einfach: ein Punkt R auf C, ffir den der Abstand PR seinen kleinsten oder seinen groBten Wert hat, muB so liegen, daB die Gerade PR auf der Tangente an C in R senkrecht steht. Der Beweis ist der folgende: der Kreis durch R urn P muB die Kurve beriihren. Denn ist R der Punkt mit dem minimalen Abstand, so muB C ganz auBerhalb des Kreises liegen, und kann ihn daher nicht bei R schneiden; ist R der Punkt mit dem maximalen AbAIr &-------~~---=-.,p stand, so muB C ganz innerhalb des Kreises liegen und kann ihn wiederum nicht in R schneiden. (Dies folgt daraus, daB die Entfernung eines Punktes von P offenbar kleiner ist als RP, wenn der Punkt innerhalb des Kreises, Fig. 184. Extremale Abstlinde von einer Kurve und groBer a1s RP, wenn er auBerhalb liegt.) Daher mfissen Kreis und Kurve sich in R beriihren und eine gemeinsame Tangente haben. Da nun die Gerade PR, als Radius des Kreises, auf der Tangente des Kreises in R senkrecht steht, ist sie auch senkrecht zu C in R. "Obrigens muB jeder Durchmesser einer solchen geschlossenen Kurve, das heiBt jede Sehne von maximaler Lange, in beiden Endpunkten senkrecht auf C stehen. Der Beweis sei dem Leser als Obung fiberlassen. Eine ahnliche Behauptung moge auch ffir drei Dimensionen formuliert und bewiesen werden. ()bung: Man beweise, daB jede kiirzeste bzw. langste Strecke, die zwei sich nicht schneidende geschlossene Kurven verbindet, an ihren Endpunkten senkrecht auf den Kurven stehen.

5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve

257

Die Probleme des Abschnitts 4 iiber die Summe und Differenz von Entfernungen konnen jetzt verallgemeinert werden. Betrachten wir anstelle der Geraden L eine einfache geschlossene Kurve C, die in jedem Punkt eine Tangente hat und zwei nicht auf C gelegene Punkte P und Q. Wir wollen die Punkte auf C charakterisieren, fiir welche die Summe p + q und die Differenz p - q ihre Extremwerte annehmen, wobei p und q die Abstande eines beliebigen Punktes auf C von P bzw. Q bedeuten. Hier konnen wir nicht von der einfachen Konstruktion der Spiegelung Gebrauch machen, mit der wir die Probleme fUr den Falliosten, daB C eine Gerade war. Aber wir konnen die Eigenschaften der Ellipse und Hyperbel zur LOsung der

Fig. 185. GrlI8te und kIei1Iste Werle von PR

+ QR

Fig. 186. KleIDste Werle von PR - QR

vorliegenden Probleme benutzen. Da C eine geschlossene Kurve ist und nicht mehr eine ins Unendliche verlaufende Linie, sind hier sowohl die Minimum- a1s die Maximumprobleme sinnvoll, denn man kann als gesichert annehmen, daB die GraBen p + q und P - q auf einem beschriinkten Kurvenstiick, insbesondere auf einer geschlossenen Kurve, einen groBten und einen kleinsten Wert haben (siehe §7). Fiir den Fall der Summe p + q moge R ein Punkt auf C sein, fUr den p + q maximal ist, und es sei 2a der Wert von p + q in R. Wir betrachten die Ellipse mit den Brennpunkten P und Q, die der geometrische Ort fiir alle Punkte mit p + q = 2a ist. Diese Ellipse muB C in R beriihren (der Beweis sei als tJbung dem Leser iiberlassen). Nun haben wir gesehen, daB die Geraden PR und QR mit der Ellipse in R gleiche Winkel bilden; da die Ellipse C in R beriihrt, miissen die Geraden PR und QR auch mit C in R gleiche Winkel bilden. Wenn p + q in R ein Minimum ist, so sehen wir in derselben Weise, daB PR und QR mit C in R gleiche Winkel bilden. Also haben wir den Satz: Gegeben sei eine geschlossene Kurve C und zwei Punkte P und Q auf derselben Seite von C; ist dann Rein Punkt auf C, in dem die Summe p + q ihren groBten oder kleinsten Wert annimmt, dann bilden die Geraden PR und QR in R gleiche Winkel mit der Kurve C (d. h. mit ihrer Tangente). Wenn P innerhalb von C liegt und Q auBerhalb, so gilt dieser Satz auch noch fiir den groBten Wert von p + q; aber er versagt fiir den kleinsten Wert, da hier die Ellipse in eine Gerade entartet. Durch ein genau analoges Verfahren, das die Eigenschaften der H yperbel anstelle der Ellipse benutzt, moge der Leser selbst den folgenden Satz beweisen: Gegeben seien eine geschlossene Kurve C und zwei Punkte P und Q auf ver-

258


scbiedenen Seiten von C; dann bilden in den Punkten R auf C, in denen p - q den groBten oder kleinsten Wert auf C annimmt, die Geraden PR und QR gleiche Winkel mit C. Wir betonen wiederum, daB sich das Problem fur die geschlossene Kurve C von dem ffir die unbeschrankte Gerade insofem unterscheidet, als bei der Geraden das Maximum des absoluten Betrages IP - ql gesucht wurde, wahrend bier ein Maximum (und auch ein Minimum) von P - q existiert.

*§ 2. Ein allgemeines PrbWp bei Extremalproblemen 1. Das Prinzip Die eben behandelten Probleme sind Beispiele ffir eine allgemeine Fragestellung, die sich am besten analytisch formulieren laBt. Wenn wir bei dem Problem, die Extremwerte von p + q zu finden, mit x, Y die Koordinaten des Punktes R, mit Xl' Yl die Koordinaten des festen Punktes P und mit X.' YI die von Q bezeichnen, soist p = V(x - XJI+ (y - Yl)l, q = V (x - X.)I+ (y - YI)1l , und das Problem besteht darin, die Extremwerte der Funktion

f(x,y) = p + q zu finden. Diese Funktion ist iiberall in der Ebene stetig; aber der Punkt mit den Koordinaten x, Y ist auf die gegebene Kurve C beschrankt. Diese Kurve ist durch eine Gleichung g(x, y) = 0 bestimmt, z. B. Xl+ yl- 1 = 0, wenn sie der Einheitskreis ist. Unser Problem ist also, die Extremwerte von f(x, y) zu finden, wenn X und Y durch die Bedingung eingeschrankt sind, daB g(x, y) = 0 sein soll, und wir wollen jetzt dieses allgemeine Problem betrachten. Um die LOsungen zu charakterisieren, betrachten wir die Schar der Kurven mit den Gleichungen f(x, y) = c; das heiBt die Kurven, die durch Gleichungen dieser Form gegeben sind, wobei fUr jede Kurve c konstant ist, wahrend verscbiedene Werte von c verscbiedenen Kurven der Schar entsprechen. Wir wollen annehmen, daB durch jeden Punkt der Ebene eine und nur eine Kurve der Schar f(x, y) = c geht, wenigstens wenn wir uns auf die Umgebung der Kurve C beschranken. Wenn sich dann c stetig andert, so uberstreicht die Kurve f(x, y) = c einen Teil der Ebene, und kein Punkt 0 im Innem von B, dann muB es auf der Insel mindestens einen GebirgspaB geben, der in Fig. 194 durch den Kreuzungspunkt der Hohenlinien gezeigt Fig. 194. StatfoDlre Punkte in einem zweifach wird. Dies lli.Bt sich anschaulich erkennen, Zllsamnl!mbingenden Gebiet wenn man versucht, von C nach C' zu kommen, ohne daB der Weg hOher als notwendig ansteigt. Jeder Weg von C nach C' muB einen hOchsten Punkt besitzen, und wenn wir den Weg auswahlen, dessen

4. Der Abstand eines Punktes von einer Flii.che

263

hOchster Punkt moglichst niedrig liegt, dann ist der h6chste Punkt dieses Weges der Sattelpunkt von u = f(x, y). (Man beachte Grenzfalle, in we1chen stationare Punkte nieht isoliert sind, wenn z. B. eine horizontale Ebene den Bergkamm urn den ganzen Ring herum beriihrt.) Fur ein Gebiet, das von P Kurven begrenzt wird, mussen im allgemeinen mindestens p - 1 stationare Punkte vom Minimaxtypus existieren. Ahnliche Beziehungen gelten, wie MARSTON MORSE entdeckt hat, auch fur hOhere Dimensionen, wo eine noch groBere Mannigfaltigkeit von topologischen Moglichkeiten und von Typen stationiirer Punkte besteht. Diese Beziehungen bilden die Basis fur die modeme Theorie der stationaren Punkte, we1che insbesondere von MARSTON MORSE entwicke1t worden ist.

4. Der Abstand eines Punktes von einer Flkhe Fiir den Abstand zwischen einem Punkt P und einer geschlossenen Kurve gibt es (mindestens) zwei stationare Werte, ein Minimum und ein Maximum. Niehts Neues tritt auf, wenn wir dieses Ergebnis auf drei Dimensionen zu erweitem

Fig. 195

Fig. 196

suchen, solange wir nur eine Flache C betrachten, die topologisch einer Kugel aquivalent ist, z. B. ein Ellipsoid. Dagegen ergeben sich neue Erscheinungen, wenn die Flache von hoherem Geschlecht ist, z. B. ein Torus. Natiirlich gibt es auch eine kiirzeste und eine langste Entfemung zwischen dem Punkt P und einem Torus C, wobei beide Strecken senkrecht auf C stehen. AuBerdem aber existieren Extremwerte anderer Art, Maxima eines Minimums oder Minima eines Maximums. Urn sie zu finden, zeichnen wir auf dem Torus einen geschlossenen "Meridiankreis" L wie in Fig. 195 und suchen auf L den Punkt Q, der P am nachsten liegt. Dann versuchen wir L so zu verschieben, daB der Abstand PQ entweder a) ein Minimum wird: dies ergibt einfach den Punkt Q auf C, der P am nachsten liegt oder b) ein Maximum wird: so erhalten wir einen anderen stationaren Punkt. Ebenso gut konnen wir auf L den von P am weitesten entfemten Punkt bestimmen und dann ein solches L suchen, daB dieser maximale Abstand c) ein Maximum wird; dies liefert den Punkt von C, der am weitesten von P entfemt ist, oder daB der Abstand d) ein Minimum wird. Damit ergeben sich vier verschiedene stationare Werte des Abstandes. • (Jbung: Man wiederhole die Uberlegung fiir den Typ der geschlossenen Kurven L' auf C, die sich nicht in einen Punkt zusammenziehen lassen, siehe Fig. 196.

264


§ 4. Das Schw8nsche Dreiecksproblem 1. Det Schwarzsche Spiegelungsbeweis HERMANN AMANDUS SCHWARZ (1843-1921) war einer der hervorragenden Mathematiker an der Universitat Berlin; er hat bedeutende Beitriige zur modernen Funktionentheorie und Analysis geleistet, aber er verschmahte es nicht, auch elementare Gegenstande zu behandeln. Eine seiner Arbeiten betrifft das folgende Problem: Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck; diesem solI ein zweites Dreieck mit dem kleinstmoglichen Umfang einbeschrieben werden. (Mit einem einbeschriebenen Dreieck ist ein Dreieck gemeint, dessen Ecken je auf einer Seite des urspriinglichen Dreiecks liegen.) Wir werden sehen, daB es genau ein solches Dreieck gibt, und daB seine Ecken die FuBpunkte der Hohen Fig. 197. HlShendreieck vonABCmit Kennzeichnung gleicher Winkel des gegebenen Dreiecks sind. Wir wollen dieses Dreieck das H iihendreieck nennen. SCHWARZ bewies die Minimaleigenschaft des Hohendreiecks mit der Spiegelungsmethode auf Grund des folgenden elementargeometrischen Satzes (siehe Fig. 197): an jeder der Ecken P, Q, R bilden die Seiten des Hohendreiecks gleiche Winkel mit der Seite des urspriinglichen Dreiecks, und dieser Winkel ist gleich dem Winkel an der gegenuberliegenden Ecke des urspriinglichen Dreiecks. Zum Beispiel sind die Winkel ARQ c und BRP beide gleich dem Winkel bei C, usw. Urn diesen vorbereitenden Satz zu beweisen, bemerken wir, daB OPBR ein Viereck ist, 8r;~"*----::~c das einem Kreis einbeschrieben werden kann, da ~ OPB und ~ ORB beide rechte Winkel sind. Daher ist ~P BO = ~PRO als Peripheriewinkel fiber derselben Sehne PO in dem umbeschriebenen Kreis. Nun ist ~PBO komplementiir zu ~C, da CBQ ein rechtwinkliges Dreieck ist, und I, so ware x, > x, also kOnnte x nicht die grO.l3te ganze Zahl sein. Also mu.13 x gleich 1 sein. Diese Absurditil.t beruht natiirlich auf der sti1lschweigenden Annahme, daB eine grO.I3te ganze Zahl existiert.

Wegen der scheinbaren Selbstverstandlichkeit der Priimisse, daB eine Losung existiert, haben die Mathematiker bis weit in das 19. Jahrhundert hinein die erwahnte Schwierigkeit nicht beachtet und die Existenz einer LOsung bei Extremalproblemen ohne weiteres angenommen. Einige der groBten Mathematiker des 19. Jahrhunderts - GAUSS, DIRICHLET und RIEMANN - benutzten diese Voraussetzung bedenkenlos als Grundlage fUr tiefe und sonst kaum zugangliche Theoreme der mathematischen Physik und Funktionentheorie. Eine dramatische Wendung trat ein, a1s RIEMANN 1851 seine Doktorarbeit fiber die Grundlagen der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen einreichte. Die in knappster Form geschriebene Arbeit, eine der groBen Pionierleistungen der modemen Mathematik, war so vollig unorthodox und neuartig, daB viele Fachleute sie am liebsten ignoriert batten. WEIERSTRASS, spater der ffihrende Mathematiker an der Universitat Berlin und der anerkailDte Schrittmacher beim Aufbau einer strengen Funktionentheorie, war beeindruckt, aber doch etwas zweifelnd. Bald entdeckte er eine logische Lficke in der Arbeit, mit deren Ausfiillung der Verfasser sich nicht abgegeben hatte. WEIERSTRASS' Kritik beirrte RIEMANN zwar nicht, :fiihrte aber zunachst zu einer fast allgemeinen bedauemden Abkehr der Fachwelt von seiner genialen Theorie. Nach wenigen Jahren fand RIEMANN. meteorische Laufbahn ihr Ende, a1s er an Schwindsucht starb. Doch fUr seine faszinierenden Ideen fanden sich immer wieder begeisterte Anhanger, und endlich, fiinfzig Jahre nach dem Erscheinen der Riemannschen Arbeiten, gelang es endgiiltig HILBERT, einen Weg ffir die vollstandige Beantwortung der Fragen, die RIEMANN unerledigt ge1assen hatte, zu ofinen. Diese Entwicklung in der Mathematik und mathematischen Physik war einer der groBten Triumphe in der Geschichte der modemen mathematischen Analysis. In RIEMANN' Arbeit war der Angriffspunkt gerade die obenerwiihnte Frage nach der Existenz eines Minimums. RIEMANN griindete einen groBen Tell seiner Theorie auf das, was er das Dirichletsche Prinzip nannte. (DIRICHLET war in Berlin RIEMANNB Lehrer gewesen und hatte fiber dieses Prinzip wohl vorgetragen, aber nie etwas verofientlicht.) Das Prinzip kann physikalisch veranschaulicht werden. Nehmen wir zum Beispiel an, daB ein Tell einer Ebene oder einer andersartigen Fliiche mit Zinnfolie fiberzogen ist, und daB ein stationarer elektrischer Strom durch die Zinnfolie geschickt wird, indem zwei ihrer Punkte mit den Polen einer Batterle verbunden werden. Niemand wird daran zweife1n, daB dieses Experiment zu einem bestimmten Ergebnis, d. h. zu einer wohlbestimmten Stromvertellung in der Folie, ffihren wird. Aberwie steht es mit dem entsprechenden

279

2. Beispiele

mathematischen Problem, das von groBer Bedeutung ffir die Funktionentheorie und andere Gebiete ist? Die beschriebene physika1ische Anordnung entspricht einem "Randwertproblem" einer partiel1en Diflerentia1gleichung, der sogenannten Potentia1gleichung. Dieses mathematische Problem steht bier zur Debatte; seine LOsbarkeit wird wohl plausibe1 durch dieAquivalenz mit einem physikalischen Versuchsergebnis, ist aber dadurch noch keineswegs mathematisch bewiesen. RIEMANN beantwortete die mathematische Frage in zwei Schritten. Zuerst zeigte er, daB das Problem mit einem Minimalproblem aquivalent ist: Eine gewisse GroBe, we1che die Energie des e1ektrischen Stromes ausdrftckt, ist fUr den wirklich auftretenden Strom ein Minimum im Vergleich zu den anderen, mit den vorgeschriebenen Bedingungen vertriiglichen Stromvertei1ungen. Dann erklarte er a1s "Dirichletsches Prinzip", daB ein solches Minimalproblem eine LOsung besitzt. RIEMANN machte nicht den geringsten Versuch, diese zweite Behauptung mathematisch zu beweisen, und dies war der Punkt, den WEIERSTRASS angrifl. Nicht nur war die Existenz des Minimums in keiner Weise evident, sondern das Problem erwies sich sogar a1s eine auBerst schwierige Frage, auf we1che die Mathematik der damaligen Zeit noch nicht vorbereitet war und die erst nach Jahrzehnten intensiver Forschung endgfiltig beantwortet wurde.

2. Beispie1e Wir wollen an zwei Beispie1en die Art der Schwierigkeit illustrieren. 1. Wir betrachten zwei Punkte A und B mit einem Abstand d auf einer Geraden L und fragen nach dem kfirzesten Streckenzug, der o in A in der Richtung senkrecht zu L beginnt und in B endigt. Da die Strecke AB die kiirzeste Verbindung zwischen A und B ist, so ist sicher jeder zum Vergleich zugelassene Weg A 8 langer a1s d; denn der einzige Weg der Lange d Fig. 222 ist die Strecke AB, und diese hat in A nicht die verlangte Richtung, ist also nach den Bestimmungen des Problems nicht zulassig. Andererseits betrachten wir den zulassigen Weg AOB in Fig. 222. Wenn wir 0 durch einen Punkt 0' ersetzen, der nahe genug an A liegt, so konnen wir einen zulassigen Weg erhalten, s dessen Lange sich be1iebig wenig von d unterscheidet; wenn daher ein kurzeste1' zulassiger Weg existiert, so kann er keine Lange haben, die d iiberschreitet und miiBte daher die genaue Lange d haben. Aber der einzige Weg, der diese Lange hat, ist nicht zulassig, wie wir sahen. Daher kann kein kiirzester zulassiger Weg existieren, und das aufgestellte Minimalproblem hat keine Losung. 2. Wie in Fig. 223 moge C ein Kreis sein und S ein Punkt im Abstand 1 iiber seinem Mitte1punkt. Wir betrachten die Klasse aller Flachen, die von C begrenzt werden, durch den Punkt S gehen und so iiber C liegen, daB keine zwei verscbieFig. 223 denen Punkte die gleiche senkrechte Projektion auf die Ebene von C haben. We1che dieser Flachen hat den Ideinsten Inhalt? Dieses Problem hat, so natiirlich es zu sein scheint, keine LOsung; es gibt keine zulassige Flache von

q~

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minimalem Flacheninhalt. Wenn nicht verlangt wiirde, daB die Flache durch S gehen 'soU, so ware die Losung offenbar die von C begrenzte ebene Kreisscheibe, deren Flacheninhalt sei mit A bezeichnet. Jede andere von C begrenzte Flache hat einen Flacheninhalt, der groBer ist als A. Wir konnen aber eine zulassige Flache finden, deren Flacheninhalt sich beIiebig wenig von A unterscheidet. Zu diesem Zweck nehmen wir einen Kegel von der Hohe 1 und so spitz, daB seine Mantelllache kleiner ist als irgendein beIiebig kleiner vorgeschriebener Wert. Diesen Kegel setzen wir auf die Kreisscheibe mit der Spitze in S und betrachten die Flache, die aus dem Mantel des Kegels und dem Teil der Kreisscheibe auBerhalb der Kegelgrundflache besteht. Es ist sofort klar, daB diese Flache, die nur in der Nahe des Mittelpunktes von der Kreisscheibe abweicht, einen Flacheninhalt hat, der sich von A urn weniger als den vorgeschriebenen Wert unterscheidet. Da dieser Wert beIiebig klein gewahlt werden kann, so folgt wiederum, daB das Minimum, wenn es existiert, nichts anderes sein kann als der Flacheninhalt A der Scheibe. Aber von allen durch C begrenzten Flachen hat nur die Kreisscheibe selbst diesen Inhalt, und da diese nicht durch S geht, ist sie nicht zulassig. FolgIich hat das Problem keine Losung. Wir konnen hier auf die von WEIERSTRASS angegebenen spitzfindigeren Beispiele verzichten. Die beiden dargesteUten zeigen deutIich genug, daB die Existenz eines Minimums kein trivialer Teil eines mathematischen Beweises ist. Urn den Sachverhalt allgemein zu formuIieren, betrachten wir eine Klasse von ObjektenZ, z. B. Kurven oder Flachen, denen je eine gewisse Zahl, etwa Lange oder Flacheninhalt, als Funktion J(Z) zugeordnet ist. Wenn zu der Klasse nur eine endliche Anzahl von Objekten geMrt, so muB es offenbar unter den entsprechenden Zahlen eine groBte und eine kleinste geben. Aber wenn die Klasse unendlich viele Objekte enthii.lt, braucht es weder eine groBte noch eine kleinste ZahlJ(Z) zu geben, selbst wenn alle diese Zahlen zwischen zwei festen Schranken liegen. Ganz aUgemein werden diese Zahlen eine unendliche Punktmenge F auf der Zahlenachse bilden. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daB die Zahlen alle positiv sind. Dann hat die Menge eine "untere Grenze", das heiBt, es gibt einen Punkt IX, unterhalb dessen keine Zahl der Menge F liegt, und der entweder selbst ein Punkt der Menge ist oder dem sich Punkte der Menge mit beliebiger Genauigkeit nahern. Wenn IX zur Menge F geMrt, so ist IX das kleinste Element; wenn nicht, so enthalt die Menge iiberhaupt kein kleinstes Element. So enthalt zurn Beispiel die Zahlenmenge 1, 1/2, 1/3, ... kein kleinstes Element, da die untere Grenze 0 nicht zur Menge gehort. Der Unterschied zwischen den Begriffen "kleinster Wert" und "untere Grenze" ist die QueUe der logischen Schwierigkeiten, die mit dem Existenzproblem zusammenhangen. Die mathematische Losung eines Minimalproblems ist nicht voUstandig, sofern nicht explizit oder implizit ein Beweis geliefert worden ist, daB die mit dem Problem verkniipfte Menge von Werten ein kleinstes Element enthalt. 3. Elementare Extremalprobleme Bei elementaren Problemen bedarf es nur einer Berufung auf einfache, grundlegende Tatsachen, urn die Frage nach der Existenz einer Losung zu entscheiden. In Kapitel VI, §5 wurde der allgemeine Begriff einer kompakten Menge besprochen; es wurde dort gesagt, daB eine stetige Funktion, die fiir die Elemente einer kom-

3. Elementare Extremalprobleme

281

pakten Menge definiert ist, stets ihren groBten und kleinsten Wert irgendwo in der Menge annimmt. In jedem der bisher behandelten elementaren Probleme konnen die zur Auswahl stehenden Werte als Werte einer Funktion von einer oder mehreren Variablen angesehen werden in einem Gebiet, das entweder kompakt ist oder doch leicht zu einem solchen gemacht werden kann, ohne daB das Problem wesentlich verandert wird. In einem solchen Fall ist die Existenz eines Maximums und eines Minimums gesichert. 1m Steinerschen Problem zum Beispiel ist die betrachtete GroBe die Summe von drei Abstanden, und diese hangt stetig von der Lage des beweglichen Punktes abo Da der Bereich dieses Punktes die ganze Ebene ist, schadet es nichts, wenn wir die Figur in einen groBen Kreis einschlieBen und den Punkt auf dessen Inneres nebst Rand beschranken. Denn sobald der bewegliche Punkt genugend weit von den drei gegebenen Punkten entfemt ist, wird die Summe seiner Abstande von diesen sicherlich die GroBe AB + AC ubertreffen, die einer der zulassigen Werte der Funktion ist. Wenn es daher ein Minimum gibt fUr einen Punkt, der auf einen groBen Kreis beschrankt ist, so wird dies auch das Minimum fUr das ursprungliche Problem sein. Es ist leicht zu sehen, daB der aus einem Kreis und seinem Inneren bestehende Bereich kompakt ist, also existiert ein Minimum fUr das Steinersche Problem. Die Bedeutung der Annahme, daB der Bereich der unabhangigen Variablen kompakt ist, laBt sich an folgendem Beispiel erkennen. Gegeben seien zwei geschlossene Kurven C1 und C2 ; dann gibt es stets zwei Punkte PI' P z auf CI bzw. C2, die den kleinstmoglichen Abstand voneinander haben, und Punkte QI' Qz, die den groBtmoglichen Abstand haben. Denn der Abstand zwischen einem Punkt Al auf C1 und einem Punkt A z auf C2 ist eine stetige Funktion auf der kompakten Menge, die aus den betrachteten Punktpaaren AI> Az besteht. Wenn jedoch zwei Kurven nicht beschrankt sind, sondem sich ins Unendliche erstrecken, dann kann es vorkommen, daB das Problem keine Losung hat. In dem Fall, den Fig. 224 zeigt, wird weder ein kleinster noch ein groBter Abstand zwischen den Kurven erreicht; die untere Grenze der Abstande ist Null, die obere Grenze ist unendlich, denen es keinen Jangsten oder kiirzesten und keine von beiden wird er- Fig. 224. Kurven, zwischen Abstand gibt reicht. In manchen Fii.llen existiert ein Minimum, aber kein Maximum. 1m Fall der beiden Aste einer Hyperbel (Fig. 17, S.61) wird nur ein minimaler Abstand zwischen A und A' erreicht; Punkte mit maximalem Abstand existieren nicht. Wir konnen diesen Unterschied im Verhalten erklaren, indem wir kunstlich den Bereich der Variablen beschranken. Wir wahlen eine beliebige positive Zahl R und beschranken x durch die Bedingung Ixl ~ R. Dann existiert sowohl ein Maximum wie ein Minimum in jedem der beiden letzten Probleme. 1m ersten garantiert eine solche Beschrankung des Bereichs die Existenz eines maximalen und eines minimalen Abstandes, indem beide auf der Begrenzung erreicht werden. Wird R vergroBert, so liegen die Punkte, in denen die Extrema erreicht werden, wiederum auf der Begrenzung. Wenn also R wachst, so rticken diese Punkte ins

282


Unendliche. 1m zweiten Fall wird der minimale Abstand im Innem angenommen, und die betreffenden beiden Punkte bleiben dieselben, wie stark Rauch zunimmt.

4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen Wahrend die Existenzfrage keine emstliche Schwierigkeit bietet, wenn es sich urn elementare Probleme mit einer, zwei oder einer anderen endlichen Anzahl von unabhangigen Variablen handelt, so ist es ganz anders bei dem Dirichletschen Prinzip oder selbst bei einfacheren Problemen von ahnlicher Art. Der Grund ist

/LA A A /\

"7

VVVvV

Fig. 225. Approximation einer Strecke durch Polygone von der doppelten Uoge

in diesen Fiillen entweder, daB der Bereich der unabhangigen Variablen nicht kompakt ist oder daB die Funktion nicht stetig ist. In dem ersten Beispiel des Abschnitts 2 hatten wir eine Folge von Wegen AO'B, wobei 0' auf den Punkt A zustrebte. Jeder Weg dieser Folge war zulassig, aber die Wege AO'B strebten gegen die Strecke A B, und dieser Limes gehort nicht mehr zu der zulassigen Menge. Die Menge der zulassigen Wege verhiilt sich in dieser Hinsicht iihnlich wie das Intervall 0 < x ~ 1, fiir das der WeierstraBsche Satz iiber Extremwerte nicht gilt (siehe S. 239). 1m zweiten Beispiel besteht eine ahnliche Situation: Wenn der Kegel diinner und diinner wird, so nahert sich die Folge der entsprechenden zulassigen Flachen der Scheibe plus einer senkrechten Strecke, die bis S reicht. Dieser "Limes" gehOrt jedoch nicht zu den zulassigen Flachen, und es trifft wiederum zu, daB die Menge der zulassigen Flachen nicht kompakt ist. Als Beispiel einer nicht stetigen Abhiingigkeit konnen wir die Lange einer Kurve betrachten. Diese Lange ist nicht mehr eine Funktion von endlich vielen Veranderlichen, da man eine ganze Kurve nicht durch eine endliche Anzahl von "Koordinaten" kennzeichnenkann, und sie ist auch keine stetige Funktion der Kurve. Urn dies einzusehen, verbinden wir zwei Punkte A und B, die den Abstand d haben, durch ein Zickzackpolygon P"" das mit der Strecke AB n gleichseitige Dreiecke bildet. Nach Fig. 225 ist klar, daB die Gesamtliinge von P", fiir jeden Wert von n genau gleich 2d ist. Nun betrachten wie die Folge der Polygone PI' P.", .... Die einzelnen Zacken dieser Polygone verlieren an Hohe, wenn sie an Zahl zunehmen, und es leuchtet ein, daB das Polygon P", auf die Strecke AB zustrebt, wo im Limes die Gezacktheit vollig verschwindet. Die Lange von P", ist, unabhangig vom Index n, stets 2d, wahrend die Lange der Grenzkurve nur gleich d ist. Also hangt die Lange nicht stetig von der Kurve abo

283

§ 8. Das isoperimetrische Problem

AIle diese Beispiele bestatigen die Behauptung, daB hinsichtlich der Existenz einer LOsung fur kompliziertere Minimalprobleme Vorsicht geboten ist.

§ 8. Das isoperimetrische Problem DaB der Kreis unter allen geschlossenen Kurven von vorgeschriebener Lange den groBten Flacheninhalt einschlieBt, ist eine der "offensichtlichen" Tatsachen der Mathematik, fur die erst in neuerer Zeit ein strenger Beweis geliefert werden konnte. STEINER erfand verschiedene geistreiche Methoden fur einen Beweis, von denen wir eine betrachten wollen.

Fig. 226

Fig. 227

Gehen wir von der Annahme aus, daB eine Losung existiert. Es sei also C die verlangte Kurve mit der vorgeschriebenen Lange L und maximalem Fliicheninhalt. Dann konnen wir leicht zeigen, daB C konvex sein muB in dem Sinne, daB jede gerade Verbindungslinie zweier beliebiger Punkte von C ganz innerhalb von C oder hOchstens auf C liegt. Denn ware C nicht konvex, wie in Fig. 226, dann konnte eine Strecke wie 0 P zwischen einem gewissen Punktepaar 0 und P auf C gezeichnet werden, so daB 0 P auBerhalb von C lage. Der Bogen OQ' P, der das Spiegelbild von OQP an der Geraden OP ist, wiirde dann zusammen mit dem Bogen ORP eine Kurve von der Lange L bilden, die einen groBeren Flacheninhalt einschlosse als die ursprungIiche Kurve C, da sie zusatzIich noch die Flachen I und II enthielte. Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, daB C den groBten Flacheninhalt bei der gegebenen Lange L einschlieBt. Daher muB C konvex sein. Nun wiihlen wir zwei Punkte A, B, welche die Losungskurve C in Bogen gleicher Lange zerlegen. Dann muB die Gerade AB die Flache von C in gleiche Teile zerlegen, denn sonst konnte der Tei1 mit dem groBeren Inhalt an AB gespiegelt werden (Fig. 227), so daB eine andere Kurve der Lange L entstiinde, die einen groBeren Flacheninhalt hiitte als C. Daraus folgt, daB die Hiilfte der Losungskurve C das folgende Problem losen muLl: man bestimme den Bogen von der Lange L/2, dessen Endpunkte A, B auf einer Geraden liegen und der zwischen sich und dieser Geraden maximalen Fliicheninhalt einschlieBt. Nun werden wir zeigen, daB die Losung dieses neuen Problems ein Halbkreis ist, so daB die ganze Kurve C, die das isoperimetrische Problem lost, ein Kreis ist. Es sei der Bogen AOB die LOsung des neuen Problems. Es genugt zu zeigen, daB jeder einbeschriebene Winkel, wie etwa -1 s-1 s-l·

Wenn n wachst, streben s und q beide gegen 1 und daher streben beide Quotienten auf der rechten Seite gegen u + v bzw. v, womit der Grenzwert wiederum u + v = II + 1 wird. v In § 5 werden wir sehen, wie diese langatlnige und etwas ki,instliche Oberlegung durch die einfacheren und leistimgsfiihigeren Methoden der Integralrechnung ersetzt werden kann. (Jbungen: 1. Man fiihre die vorstehende Integration von x" durch fiir die Fiille II = 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3. 2. Man bestimme den Wert folgender Integrale: -1

a) f

-2

X

dx.

+1

b) f

X

-1

dx.

2

c) f x1d.x. 1

-2

d) f x 8 dx. -1

3. Man bestimme den Wert folgender Integrale: +1

a) f x1dx. -1

+2

b) f x 3 cosxdx. -2

+1

c) f x'cos·xsin1xdx. -1

..

e) f xdx.

o

+1

d) ftanxdx. -1

(Anleitung: Man betrachte die Kurven der Funktionen unter dem Integralzeichen, beachte ihre Symmetrie in bezug auf X = 0 und deute die Integrale als Fliichen.) . ·4. Man integriere sinx und cos x von 0 bis b, indem man LI X = "setzt und die Formeln auf S. 374 benutzt.

VIII. Die Infinitesimalrechnung

312

5. Man integrieref(x) = x undf(x) = x· von 0 bis b, indem man in gleiche Teile unterteilt

!

und in (Sa) die Werte vI =

(xI

+ x1+ 1) einsetzt.

*S. Mit Hilfe der Formel (7) und der Definition des Integrals mit gleichgroLlen Werten von if x beweise man die Grenzbeziehung 111

+ 21: + ... + nl:

(Anleitung : Man setze

nl:+1

!=

Vn

1 ~

+

k

+1 '

wennn_oo.

f

I

if x und zeige, daLl der Grenzwert gleich

xid x ist.)

o

*7. Man beweise, daLl fiir n _ _1_ (

1

-

00

1

V2 + n

+ ... +

1

Vn+n

) _ 2

(V2 _

1)

.

(Anleitung: Man schreibe diese Summe so, daLl ihr Grenzwert als Integral erscheint.) 8. Man driicke die F1iche eines Parabeisegments, das durch einen Bogen P 1 P. und die Sehne P 1 P. der Parabel y= ax· begrenzt wird, durch die Koordinaten Xl und x. der beiden Punkte aus.

5. Regeln der Integralrecbnung Fur die Entwicklung der Infinitesimalrechnung war entscheidend, daB gewisse allgemeine Regeln aufgestellt wurden, mit deren Hilfe man verwickelte Probleme auf einfachere zurUckfuhren und sie dadurch in einem fast mechanischen Verfahren losen konnte. Diese algorithmische Behandlung wird durch die Leibnizsche Bezeichnungsweise auBerordentlich unterstutzt. Man sollte allerdings der bloBen Rechentechnik nicht zuviel Gewicht beimessen, da sonst der Unterricht in der Integralrechnung in leere Routine ausartet. Einige einfache Regeln zum Integrieren folgen sofort entweder aus der Definition (6) oder aus der geometrischen Deutung der Integrale als Flachen.

Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der beiden Funktionen. Das Integral des Produkts einer Konstanten c mit einer Funktion f{x} ist gleich dem c-fachen des Integrals von f(x). Diese beiden Regeln zusammen lassen sich in der Formel ausdriicken (9)

b

f

•

[c f(x)

b

+ eg(x)] dx = c f •

b

f(x) dx + e f g(x} dx. 4

Der Beweis folgt unmittelbar aus der Definition des Integrals als Grenzwert einer endllche Summe (5), da die entsprechende Formel fur eine Summe SfI offenbar zutrifft. Die Regel laBt sich sofort auf Summen von mehr als zwei Funktionen ausdehnen. Als Beispiel rur die Anwendung dieser Regel betrachten wir ein Polynom

ao+ alx + azxlll + ... + aflX" mit konstanten Koeffizienten ao, ai' ... ,afl' Urn das Integral von f(x) von a bis b I(x)

=

zu bilden, gehen wir der Regel entsprechend gliedweise vor. Mittels der Formel (7) erhalten wir

Eine weitere Regel, die ebenfalls aus der analytischen Definition und zugleich aus

5. Regeln der Integralrechnung

313

der geometrischen Deutung folgt, wird durch die Formel 6

c

c

f 1(x) dx + f I(x) dx = f I(x) dx

(10)

b

II

II

gegeben. Ferner ist klar, daB das Integral Null wird, wenn b gleich a ist. Die Regel von S. 307 6

II

fl(x)dx=-ff(x)dx

(11)

b

II

ist mit den beiden letzten Regeln in Einklang, da sie sich aus (10) ergibt, wenll c = a ist. Zuweilen ist es eine Erleichterung, daB der Wert 11 des Integrals in keiner Weise von dem speziellen Namen x abhangt, den man der unabhangigen Variablen in 1(x) gibt; zum Beispiel ist b

b

b

f 1(x) dx = f I(u) du = f f(t) dt, usw., II

of'

II

II

denn eine bloBe Umbenennung der Koordinaten in l.r I dem System, auf das sich der Graph einer FunkI tion bezieht, andert die Flache unter der Kurve 0 0' nicht. Die gleiche Bemerkung gilt auch dann, wenn Fig. 265. Verschiebung der ,,·Achse wir gewisse Anderungen am Koordinatensystem selbst vornehmen. Zum Beispiel konnen wir den Ursprung urn eine Einheit von 0 bis 0' nach rechts verschieben, wie in Fig. 265, so daB x ersetzt wird durch eine neue Koordinate x', fiir die x = 1 + x'. Eine Kurve mit der Gleichung y = I(x) hat in dem neuen Koordinatensystem die Gleichung y = 1(1 + x'). (Zum Beispiel y

=

~ = 1 ~ x'

.) Eine gegebene Flache F unter dieser Kurve, etwa zwischen

x = 1 und x = b, ist im neuen Koordinatensystem die Flache unter dem Kurvenstiick zwischen x' = 0 und x' = b - 1. Daher haben wir b-l

6

f 1(x) dx = f 1(1 + x') dx'

1

0

oder, wenn wir die Benennung x' durch u ersetzen,

(12) Zum Beispiel

6

6-1

f f(x) dx = f 1(1 + u) du.

1

0

f

1

J'

b-1

6

(12a)

1 -dx=

x

0

- -1 d u ' 1

+u

'

und fiir die Funktion I(x) = xl: (12b)

Ebenso ist

(12c)

6

6-1

f xl:dx = f (I + u)l:du . 1

0

6

6-1

f x1:dx = f (I

o

-1

+ u)l:du

(k

~

0) •

314


Da die linke Seite von (12c) gleich

f

kb~ll

ist, so erhalten wir

6-1

(12d)

(I

+ u)kdu =

bHl 1 .

k

+

-1

+ + Xl + ... + X" von 0 bis b. + X)II von - I bis z gleich

(Jbungen: 1. Man berechne das Integral von 1 x 2. Man beweise. daB fur" > 0 das Integral von (I

(I

ist.

+

Z)"+1 n+1

3. Man zeige. daB das Integral von 0 bis 1 von:;ll sin x ldeiner als (n

~

I) ist. (Anleitung:

der angegebene Wert ist das Integral von :;II). 4. Man zeige direkt und mit Benutzung des binomischen Satzes. daB das Integral von-I . (I X)" . (I Z)II+1 . b1S Z von n glelch n (n + I) 1St.

+

1L--"L-----..L,,-.r; Fig. 268. Vergleich von lntegralen

+

SchlieBlich erwahnen wir noch zwei wichtige Regeln. welche die Form von Ungleichungen haben. Diese Regeln gestatten grobe, aber ntitzliche Absch1i.tzungen des Wertes von Integralen. Wir nehmen an, daB b> a, und daB die Werte von I(x) in dem Intervall nirgends die einer anderen Funktiong(x) tiberschreiten. Dann haben wir 6

(13)

6

JI(x)dx~

..

Jg(x)dx.

..

wie man sofort aus Fig. 266 oder aus der analytischen Definition des Integrals erkennt. Wenn insbesondere g(x) = Meine Konstante ist, die nirgends von den 6

6

Werten von/(x) iiberschritten wird, sohaben wir J g(x) dx = J M dx II

Es folgt also, daB (14)

6

J 1(x) dx

..

~

=

M(b - a).

"

M(b - a) .

Wenn I(x) nicht negativ ist, so ist I(x) = I/(x)l. Wenn I(x) < O. so ist I/(x)1 > I(x). Setzen wir daher in (13) g(x) = l/(x)l, so ergibt sich die niitzliche Formel (15)

6

6

J I(x) dx ~ J I/(x)1 dx.

..

..

Da I-/(x)l = I/(x)l, erhalten wir 6

6

- J 1(x) dx ~ J I/(x)1 dx.

"

"

Dies ergibt in Verbindung mit (15) die etwas scharfere Ungleichung (16)

11 I(x) dxl ~

1

I/(x)1 dx.

1. Die Ableitung als Steigung

315

§ 2. Die Ableitung 1. Die Ableitung als Steigung Wahrend der Integra1begriff im Altertum wurzelt, wurde der andere Grundbegriff der Infinitesimairechnung, die Ableitung, erst im 17. Jahrhundert von FERMAT und anderen formuliert. NEWTON und LEIBNIZ entdeckten dann, daB zwischen diesen beiden scheinbar ganz verschiedenen Begriffen ein organischer Zusammenhang besteht, wodurch eine beispiellose Entwicklung der mathematischen Wissenschaft eingeleitet wurde. FERMAT stellte sich die Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion y = 1(x) zu bestimmen. In der graphischen Darstellung einer Funktion entspricht ein Maximum einem Gipfel, der haher liegt als alle benachbarten Punkte, und ein Minimum einem Tal, das tiefer liegt als alle benachbarten Punkte. In der Fig. 191 auf S. 260 ist der Punkt B ein Maximum und der Punkt C ein Minimum. Urn die Punkte des Maximums und Minimums zu charakterisieren, liegt es nahe, daB man die Kurventangente benutzt. Wir nehmen an, daB die Kurve keine scharfen Ecken oder sonstige Singularitaten besitzt, und daB sie an jeder Stelle eine bestimmte, durch die Tangente gegebene Richtung hat. In Maximum- und Minimumpunkten muB die Tangente der Kurve y = I(x} der x-Achse parallel sein, da andernfalls die Kurve in diesen Punkten steigen oder fallen wiirde. Diese Einsicht regt dazu an, ganz allgemein in jedem Punkt der Kurve y = I(x} die Richtung der Kurventangente zu betrachten. Urn die Richtung einer Geraden in der x, y-Ebene zu charakterisieren, gibt man fiblicherweise ihre Steigung an, das ist der Tangens des Winkels ae, den die Gerade mit der positiven x-Achse bildet. 1st P irgendein Punkt der Geraden L, so gehen wir nach rechts bis zu einem Punkt R und dann hinauf oder hinunter 1/

Fig. 267. Die Stelgung von Geraden

3J

.

bis zu dem Punkt Q auf der Geraden; dann ist die Steigung von L = tanae = ~i Die Lange PR wird positiv genommen, wahrend RQ positiv oder negativ ist, je nachdem, ob die Richtung von R nach Q aufwarts oder abwms weist, so daB die Steigung den Auf- oder Abstieg je Langeneinheit langs der Horizontalen angibt, wenn wir auf der Geraden von links nach rechts gehen. In Fig. 267 ist die Steigung der ersten Geraden 2/3, die der zweiten -1. Unter der Steigung einer Kurve in einem Punkt P verstehen wir die Steigung der Tangente an die Kurve in P. Wenn wir die Tangente einer Kurve als anschaulich gegebenen mathematischen Begriff akzeptieren, bleibt nur noch das Problem, ein Vet'lahren zur Berechnung der Steigung zu linden. Vorderhand wollen wir diesen Standpunkt einnehmen und cine genauere Analyse der damit zusammenhangenden Probleme auf die Erganzung (S. 353) verschieben.

316

VIII. Die In1initesimalrechnung

2. Die Ableitung als Grenzwert Die Steigung einer Kurve y = f(x) im Punkte P(x, y) kann nicht berechnet werden, wenn man sich nur auf die Kurve im Punkt P selbst bezieht. Man muB stattdessen zu einem GrenzprozeB greifen, der dem fUr die Berechnung der Flache unter einer Kurve ganz lihnlich ist. Dieser GrenzprozeB bildet die Grundlage der DifferentiaIrechnung. Wir betrachten auf der Kurve einen anderen, P nahegelegenen Punkt PI mit den Koordinaten XI' YI' Die geradeVerbindungslinie von P und PI nennen wir II; sie ist eine Sekante !I der Kurve, welche die Tangente in :P annahert, wenn PI dicht bei P liegt. Den Winkel von der x-Achse bis zu ~ nennen wir ~. Wenn wir nun Xl gegen X riicken lassen, so bewegt sich PI auf der Kurve gegen P, und die Sekante II wird in ihrer Grenzlage zur Tangente I an die Kurve in P. Wenn oc den Winkel zwischen der x-Achse und t bezeichnet, dann gilt fiir xc~ X * YI-Y'

PI-P,

~_t

und

OCI-OC •

Die Tangente ist der Limes der Sekante, und Fig. 268. Die Ableitung aJs Grenzwert die Steigung der T angente ist der Limes der Sleigung der Sekante. Wahrend wir keinen expliziten Ausdruck fUr die Steigung der Tangente t .r;

. . . . c ; . . . - - L . : : . . L - - . . . . L . - - - ' - . J . - - - - - ' - - -__

selbst haben, ist die Steigung der Sekante ~ gegeben durch die Fonnel Steigung von

t1

= Yl -

Y

Xl-X

=

f(x 1) -

f(x) ,

Xl-X

oder, wenn wir die Operation der Differenzenbildung wieder durch das Symbol LI ausdriicken, .

Lfy

Lff(x)

Stelgung von 11 = Lr.; = --:;:r;- . Die Steigung der Sekante 11 ist ein "Differenzenquotient" - die Differenz LI Y der Funktionswerte, geteilt durch die Differenz LI X der Werte der unabhangigen Variabeln. Ferner gilt: Steigung von t = lim der Steigung von t = lim f(x l ) - f(x) = lim Lfy 1

.

XI -

X

Lfx '

wobei die Limites fiir x1- x, d. h. fUr LI X =

Xl - X - 0, genommen werden. Die Steigung der Tangente t an die Kurve ist der Limes des Differenzenquotienlen Lly/LI x, wenn LI X = x1 - X gegen Null strebt. Die urspriingliche Funktion f (x) gab die Hoke der Kurve y = f (x) an der Stelle X an. Wir konnen jetzt die Steigung der Kurve fiir einen variablen Punkt P mit den Koordinaten X und y [= f(x)] als eine neue Funktion von X betrachten, die wir mit /'(x) bezeichnen und die Ableitung da- Funktion f(x) nennen. Der GrenzprozeB, durch den wir sie erhielten, wird Differentiation von 1(x) genannt. Dieser

• Unsere Schreibweise ist hier etwas verschieden von der in Kapite1 VI, insofem als wir dort X_ Xl hatten, wobei der zweite Wert festlag. Durch diesen Wechse1 der Symbole dad man sich nicht verwirren lassen.

317

3. Beispiele

ProzeB ist eine Operation, die einer gegebenen Funktion 1(x) nach einer bestimmten Regel eine neue Funktion I' (x) zuordnet, genau so, wie die Funktion 1(x) durch eine Regel definiert ist, die jedem Wert der Variablen x den Wert I(x) zuordnet:

I(x) I' (x)

= =

Rohe der Kurve y = I(x) an der Stelle x, Steigung der Kurve y = I(x) an der Stelle x.

Das Wort "Differentiation" beruht auf der Tatsache, daB I' (x) der Grenzwert der Differenz 1(Xl) - 1(x), dividiert durch die Differenz Xl - x, ist:

(1) Eine andere vielfach nfitzliche Schreibweise ist

I'(x)

=

DI(x),

!J

worin D einfach eine Abkfirzung ist fUr "Ableitung von"; eine weitere Schreibweise ist die Leibnizsche ffir die Ableitung von y = I(x): dy d df(x) ([";0 er~,

Fig. 269. Das Vorzeichen der Ableitung

die wir in § 4 besprechen werden und die den Charakter der Ableitung a1s Grenzwert eines Differenzenquotienten LJy/LJ x oder LJ/(x)/LJ x andeutet. Wenn wir die Kurve y = /(x) in der Richtung zunehmender x-Werte durchlaufen, dann bedeutet eine Positive Ableitung, I' (x) > 0, ein Ansteigen der KU1Ve (wachsende y-Werte) in dem betreffenden Punkt, eine negative Ableitung, I' (x) < 0, bedeutet ein Fallen der KU1Ve, wahrend I'(x) = 0 einen horizontalen Verlauf der Kurve ffir den Wert x anzeigt. Bei einem Maximum oder Minimum muB die Steigung Null sein (Fig. 269). Folglich kann man durch Auflosen der Gleichung

I'(x)

= 0

nach x die Lage der Maxima und Minima finden, wie es FERMAT erstmalig durchgeffihrt hat. 3. Beispiele Die "Oberlegungen, die zu der Definition (1) ffihrten, konnten fUr die Praxis ziemlich wertlos erscheinen. Ein Problem ist durch ein anderes ersetzt worden: anstatt die Steigung der Tangente an eine Kurve y = I(x) zu bestimmen, sollen wir einen Grenzwert (1) berechnen, was auf den ersten Blick ebenso schwierig erscheint. Aber sobald wir die allgemeinen Begriffsbildungen auf spezielle Funktionen I(x) anwenden, erkennen wir einen greifbaren Vorteil. Die einfachste derartige Funktion ist 1(x) = e, worin e eine Konstante ist. Der Graph der Funktion y = I(x) = e ist eine horizontale Gerade, die mit allen ihren Tangenten zusammenfaIlt, und es ist offenbar, daB

I'(x)

=

0

318


fiir alle Werte von x gilt. Dies folgt auch aus der Definition (I), denn wegen LI y _ f(xl )

""JX -

-

Xl -

f(x) _ X

-

c-

c _

Xl -

X -

_ 0

0 Xl -

X -

ist es trivial, daB lim

f(x l ) - f(x) Xl-X

= 0, wenn X1-+ x .

Sodann betrachten wir die einfache Funktion y = t(x) = x, deren Graph eine Gerade durch den Nullpunkt ist, die den ersten Quadranten halbiert. Geometrisch ist klar, daB I'(X) = 1 fiir alle Werte von x, und die analytische Definition (1) liefert wiederum f(xl)-f(x)

=

XI-X

XI-X XI -

so daB

=

1,

X

Das einfachste, nicht triviale Beispiel ist die Differentiation der Funktion

y = t(x) = X2, die darauf hinausHiuft, die Steigung einer Parabel zu finden. Dies ist der einfachste Fall, der uns lehrt, wie man den Grenziibergang ausfiihrt, wenn das Ergebnis nicht von vornherein evident ist. Wir haben LI y

""JX=

f(x l ) -

xI

-

f(x)

xl -

Xl

X

xI

X

-

Wollten wir versuchen, direkt in Zahler und Nenner zur Grenze iiberzugehen, so erhielten wir den sinnlosen Ausdruck 0/0. Wir konnen dies aber vermeiden, wcnn wir den Differenzenquotienten umformen und den storenden Faktor Xl - X wegkiirzen, ehe wir zur Grenze ubergehen. (Beim Auswerten des Limes des Differenzenquotienten betrachten wir nur Werte Xl + X, so daB dies erlaubt ist; siehe S. 243). Dann erhalten wir den Ausdruck:

Jetzt, nach dem Kiirzen, besteht keine Schwierigkeit mehr mit dem Grenzwert Xl-+ x. Wir erhalten den Grenzwert "durch Einsetzen"; denn die neue Form Xl + X des Differenzenquotienten ist stetig, und der Limes einer stetigen Funktion fUr X1-+ X ist einfach der Wert der Funktion fiir Xl = X, also in diesem Fall X + X = 2 x, so daB I'(X) = 2x fUr t(x) = X2.

fiir

In iihnlicher Weise konnen wir beweisen, daB t(x) = x3 die Ableitung I'(x)

= 3 X2 hat. Denn der Differenzenquotient LI y

""JX=

f(x 1) -

f(x)

XI-X

=

kann vereinfacht werden nach der Formel

xl -

xl

XI-X

xf -

x3=

(Xl -

X) • (XI

+ Xl X + xl);

319

3. Beispie1e

der Nenner L1 x =

Xl -

X

kfirzt sich weg, und wir erhalten den stetigen Ausdruck Lly Lis

=

2 Xl

+

+

XIX

I X •

Wenn wir nun Xl gegen x rUcken lassen, so nahert sich dieser Ausdruck einfach XI+ XI+ Xl, und wir erhalten als Grenzwert f'(x} = 3XIl. Ganz allgemein ergibt sich flir /(X) = x", wenn n eine be1iebige positive ganze Zahl ist, als Ableitung

I' (x)

nx,,-l .

=

(Jbung: Man beweise dieses Resultat. (Man benutze die algebraische Formel

Xi -

s"

=

(Sl -

x)

(Xi-1 +

x~-!l X

Xi-a Xl +

+

••. +

Xls"-I

+

s"-l)) •

Als weiteres Beispiel ffir einfache Kunstgriffe, die eine explizite Bestimmung der Ableitung erlauben, betrachten wir die Funktion

~.

y=/(x}=

Wir haben

~ ~ =~: ~

=(:1 - ~).

Xlix

Xl

=

X

X,

X Xl XXI • Xlix •

=-

Wieder konnen wir kfirzen und erhalten LiLly tion in

=

_1_ ; dies ist eine stetige FunkXIX

also haben wir nach dem Grenzfibergang

I' (x)

-.!.- .

= -

X

Natfirlich ist weder die Ableitung noch die Funktion selbst flir (Jbungen: Man beweise in derselben Weise: fiir f(x) = •

= xra1

ist!'(x)=-

n

xra+ l

1

X

X=

0 definiert.

2 ist /'(x) = - . ' fiir f(x) X

undfiirf(x) = (1 +x)-ist!,(x) =n(1 +X)_-l.

Wir wollen jetzt die Differentiation von

y

=

/(x)

=

Vx

durchffihren. Ffir den Differenzenquotienten erhalten wir Yl - Y

= y;;-- yx

Nach der Forme1 X1 - X = (~- yx) (~+ kfirzen und erhalten die stetige Funktion YI-Y Xl -

X

1

I'(x} 1 = 3l'ii' fiirf(x)

1~ = r 1 - x' istj'(x)=

konnen wir den einen Faktor

= y;;- + Vi

Gehen wir zur Grenze fiber, so ergibt sich

(Jbufllen: Man beweise: Fiir f(x) =

yx)

=

1 yx

2V; .

ist /'(x)

VI-xx'

-1 = 2 (YX)' ,

und fiir f(x) =

fiir f(x)

--

= .VX- ist f'(x)

Vx istf'(x)

1 n vxra- 1

•

320

VIII. Die Infinitesima1rechnung

4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

Wir behandeln jetzt die wichtige Aufgabe der Differentiation der trigonometrischen Funktionen. Hier werden wir ausschlieBlich das BogenmaB benutzen. Um die Funktion y = 1(x) = sinx zu differenzieren, setzen. wir xl - x = h, so daB Xl = X + h und 1(Xl) = sin Xl = sin (X + h). Nach der trigonometrischen Formel fur sin (A + B) ist I(xl )

=

Daherist f(x 1) -f(x)

(2)

sin (x + h)

sin (x

+ h)h -

=

sin x cosh + cos x sinh.

sin x

sin h = cosxh

. cos h -+ smx h

1

Wenn wir jetzt Xl gegen X gehen lassen, strebt h gegen 0, sinh gegen 0 und cosh gegen 1. Ferner ist nach den Ergebnissen von S. 234

1 Iimsinh h -= und

Iim cosh-l_O h -. Daher strebt die rechte Seite von (2) gegen cos x, so daB sich ergibt: Die Funktion I(x) = sin x hat die Ableitung I' (x) = cosx, oder kurz Dsinx=cosx. (Jbung: Man beweise, daB D cos x

=-

sinx.

Um die Funktion tan X zu differenzieren, schreiben wir tan X = sin x und cos x

erhalten f(x

+ h) -

f(x)

h

=

+ II) _ sin X) .!.. + h) cosx II sin (x + h) cos x - cos (x + h) sin x ---:---:--:-:--h cos (x + h) cos x

(Sin (x cos (x

1

sin h

=-11- cos (x+ 11) cos x •

(Dieletzte GleichungfolgtausderFormel sin (A - B) = sinA cosB - cosA sinB, fur A = X + h-und B = x). Wenn wir jetzt h gegen Null rUcken lassen, nahert

sich Si~ h dem Wert I, cos (x + h) nahert sich cos x, und wir schlieBen: Die A bleitung der Funktion 1(x)

=

tan X ist I' (x)

= -\-

cos x

oder

1

Dtanx=--. cos· x .

(Jbung: Man bewelse, daB D cotx

1 = - -.-.. sm x

*5. DiHerentiation und Stetigkeit Die Differenzierbarkeit einer Funktion impliziert ihre Stetigkeit. Denn existiert der Limes von LJy/LJ x, wenn LJ X gegen Null geht, so sieht man leicht, daB die Anderung LJ y der Funktion 1(x) beliebig klein werden muB, wenn die Differenz LJ X gegen Null geht. Wenn sich daher eine Funktion differenzieren laBt, so ist ihre

6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung

321

Stetigkeit automatisch gesichert; wir werden deshalb darauf verzichten, die Steqgkeit der in diesem Kapitel vorkommenden differenzierbaren Funktionen ausdriidklich zu erwahnen oder zu beweisen, es sei denn, daB ein besonderer Grund dafiir vorliegt.

6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung Die bisherige Diskussion der Ableitung wurde in Verbindung mit dem geometrischen Begriff der Kurve einer Funktion durchgefiihrt. Aber die BedeutUng des Ableitungsbegriffs ist keineswegs beschrankt auf das Problem der Bestimmung der Tangentensteigung einer Kurve. Noch wichtiger ist in der Naturwissenschaft die Berechnung der Anderungsgeschwindigkeit einer GroBe f(t), die mit der Zeit t variiert. Dieses Problem fiihrte NEwrON auf die Differentialrechnung. NEwrON suchte insbesondere das Phanomen der Geschwindigkeit zu analysieren, bei dem die Zeit und die momentane Lage eines bewegten Teilchens als die variablen Elemente betrachtet werden, oder, wie NEwrON es ausdriickte, 3.Is "die flieBenden GroBen". Wenn ein Teilchen sich auf einer Geraden, der x-Achse, bewegt, wird seine Bewegung vollkommen durch die Lage x zu jeder Zeit t a1s Funktion x = f (t) beschrieben. Eine "gleichformige Bewegung" mit konstanter Geschwindigkeit langs der x-Achse wird durch die lineare Funktion x = a + bt definiert, wobei a die Koordinate des Teilchens zur Zeit t = 0 ist. In einer Ebene wird die Bewegung eines Teilchens durch zwei Funktionen

x = f(t),

y = g(t),

beschrieben, welche die beiden Koordinaten als Funktionen der Zeit charakterisieren. Gleichformige Bewegung insbesondere entspricht einem Paar von linearen Funktionen,

x = a + bt ,

y

= c + dt ,

wobei b und d die beiden "Komponenten" einer konstanten Geschwindigkeit sind und a und c die Koordinaten des Teilchens im Augenblick t = 0; die Bahn des Teilchens ist eine Gerade mit der Gleichung (x - a) d - (y - c) b = 0, die man erhalt, wenn man die Zeit taus den beiden obigen Relationen eliminiert. Wenn ein Teilchen sich in der vertikalen x, y-Ebene unter dem EinfluB der Schwerkraft allein bewegt, dann laBt sieh, wie in der elementaren Physik gezeigt wird, die Bewegung durch zwei Gleichungen beschreiben: x

=

a + bt,

worin a, b, c, d Konstanten sind, die von dem Anfangszustand des Teilchens abhangen, und g die Erdbeschleunigung, die angenahert gleich 9,81 ist, wenn die Zeit in Sekunden und die Entfemung in Metem gemessen werden. Die Bahn des Teilchens, die man erhalt, wenn man taus den beiden Gleichungen eliminiert, ist jetzt eine Parabel,

y

=

d

C

+b

1

(x - a) -"2g

(x-a)1 bl

,

wenn b =1= 0; andemfalls ist sie eine vertikale Gerade. Courant u. RobbinS, Mathematik

21

322


Wenn ein Teilchen gezwungen ist, sich auf einer gegebenen Kurve in der Ebene zu bewegen (wie ein Zug auf den Gleisen), so kann seine Bewegung beschrieben werden, indem man die BogenIange s, gemessen von einem festen Anfangspunkt Po langs der Kurve bis zu der Lage P des Teilchens zur Zeit t, aIs Funktion von t angibt: s = f(t). Auf dem Einheitskreis Xlii + ylll = 1 zum Beispiel stellt die Funktion s = ct eine gleichformige Rotation mit der Geschwindigkeit c auf dem Kreise dar. (Jbungen: *Man zeichne die Bahnen der ebenen Bewegungen, die beschrieben werden durch 1. x = sin I, y = cos I. 2. x = sin 21, y = sin 3t. 3. x = sin 21, Y = 2 sin 31. 4. In der oben beschriebenen parabolischen Bewegung mOge sich das Teilchen zur Zeit I = 0 im Ursprung befinden und es sei b > 0, d > O. Es sind die Koordinaten des Mchsten Punktes der Bahn zu bestimmen, ferner die Zeit lund der x-Wert fur den zweiten Schnittpunkt der Bahn mit der x-Achse.

NEWTONs erstes Ziel war, die Geschwindigkeit einer nicht-gleichformigen Bewegung zu definieren. Der Einfachheit haIber betrachten wir die Bewegung eines Teilchens liings einer Geraden, gegeben durch eine Funktion X = f(t). Ware die Bewegung gleichformig, d. h. die Geschwindigkeit konstant, so konnte die Geschwindigkeit gefunden werden, indem man zwei Werte der Zeit t und t1 mit den zugehorigen Werten der Lage X = f(t) und Xl = f(t1) wii.hlt und den Quotienten bildet: G h' di k't Entfemung x1 - x /(11) - /(t) tJ = esc WIn g et = Zeit '1 _ t = tl - t Wenn zum Beispiel t in Stunden und X in Kilometem gemessen werden, so bedeutet ffir t1 - t = 1 die Differenz x 1 - X die Anzahl der Kilometer, die in einer Stunde durchlaufen werden, und tJ ist die Geschwindigkeit in Kilometem pro Stunde. Die Aussage, daB die Geschwindigkeit der Bewegung konstant ist, bedeutet einfach, daB der Differenzenquotient (3)

/(1 1)

-

/(1)

t1 -1

fur aile Werte von t und t1 derselbe ist. Wenn aber die Bewegung nicht gleichformig ist, wie im FaIle eines frei failenden Korpers, dessen Geschwindigkeit wahrend des Failens zunimmt, dann gibt der Quotient (3) nicht die Geschwindigkeit im Augenblick t an, sondem nur die mittlere Geschwindigkeit wahrend des Zeitintervalls von t bis tx. Urn die Geschwindigkeit in dem exakten Augenblick t zu erhaIten, miissen wir den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit nehmen, wenn t1 gegen t geht. So definieren wir nach NEWTON (4)

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = lim /(I~

=

{(I)

I' (t)

.

Mit anderen Worten: die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Entfemungskoordinate in bezug auf die Zeit oder die ..mornentane Anderungsgeschwindigkeit" der Entfemung in bezug auf die Zeit (irn Unterschied zu der mittleren Anderungsgeschwindigkeit, die durch (3) gegeben ist). Die Anderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit selbst nennt man Beschleunigung. Sie ist einfach die Ableitung der Ableitung, wird gewohnlich mit I" (t) bezeichnet und heiBt die zweite Ableitung von f(t). GALILEI rnachte die Beobachtung, daB bei einem frei fallenden Korper die vertikaIe Strecke, urn die der Korper wahrend der Zeit t fallt, gegeben ist durch die

7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung

323

Formel

(5)

X =

t(t)

=

1

zgt2 ,

worin g die Gravitationskonstante ist. Durch Differentiation von (5) ergibt sich, daB die Geschwindigkeit v des Karpers zur Zeit t gegeben ist durch

v = I' (t) = gt (6) und die Beschleunigung b durch b = I"(t) = g , eine Konstante. Nehmen wir an, es werde verlangt, die Geschwindigkeit zu bestimmen, die der Karper nach 2 Sekunden freien Fallens besitzt. Die mittlere Geschwindigkeit wahrend des Zeitintervalls von t = 2 bis t = 2,1 ist

~g(2,l)2- ~g(2)2 2,1- 2

=

4,905(0,41)

01

20,11 (mfsec).

=

Setzen wir jedoch t = 2 in (6) ein, so finden wir die momentane Geschwindigkeit nach zwei Sekunden zu v = 19,62. tJbung: Wie groB ist die mittlere Geschwindigkeit des Korpers wahrend der Zeitintervalle

= 2 bis t = 2,01 und von t = 2 bis t = 2,001 ? Fur Bewegungen in der Ebene geben die beiden Ableitungen I' (t) und g' (t) der Funktionen x = t (t) und Y = g (t) die Komponenten der Geschwindigkeit. Fur eine Bewegung langs einer festen Kurve ist der Betrag der Geschwindigkeit durch die Ableitung der Funktion s = (t) gegeben, worin s die Bogenlange bezeichnet. von t

t

7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Die zweite Ableitung ist auch in der Analysis und der Geometrie von Bedeutung; denn I" (x), d.h. die .. Anderungsgeschwindigkeit" der Steigung f' (x) der Kurve y = t(x) in bezug auf x, gibt eine Vorstellung davon, in welcher Weise die Kurve y !I

o

o Fig. 270

.:c Fig. 271

sich kriimmt. Wenn I"(x) in einem Intervall positiv ist, dann ist die Anderung von im Verhaltnis zu der von x positiv. Ein positives Anderungsverhaltnis einer Funktion bedeutet, daB die Werte der Funktion zunehmen, wenn x zunimmt. Daher bedeutet I"(x) > 0, daB die Steigung I' (x) zunimmt, wenn x zunimmt, so daB die Kurve steiler wird, wenn sie eine positive Steigung hat, und weniger steil, wenn sie eine negative Steigung hat. Wir sagen dann, daB die Kurve nach oben konkav ist (Fig. 270). Umgekehrt ist, wenn I"(x) < 0, die Kurvey= t(x) nachunten konkav (Fig.271).

I' (x)

21*

324


Die Parabel y = 1(x) = x2 ist iiberall nach oben konkav, da I"(x) = 2 stets positiv ist. Die Kurve y = I(x) = x3 ist nach oben konkav fur x> 0 und nach unten konkav fiir x < 0 (Fig. 153), da I"(x) = 6x, wie der Leser leicht nachpriifen kann. Nebenbei haben wir flir x = 0 die Steigung I' (x) = 3x2 = 0 (aber kein Maximum oder Minimum!); femer ist I"(x) = 0 fiir x = O. Dieser Punkt wird ein Wendepunkt genannt. An einem solchen Punkt durchsetzt die Tangente, in diesem Fall die x-Achse, die Kurve. Wenn s die Bogenlange liings der Kurve und ex den Steigungswinkel bezeichnet, so ist ex = h (s) eine Funktion von s. Indem wir die Kurve durchlaufen, andert sich ex = h (s). Die "Anderungsgeschwindigkeit" h' (s) heiBt die Krummung der Kurve an dem Punkt, in dem die BogenHinge s ist. Wir erwiihnen ohne Beweis, daB die Kriimmung" sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung der Funktion I(x), welche die Kurve bestimmt, ausdriicken liiBt: f"(x)

8. Maxima und Minima Wir konnen die Maxima und Minima einer gegebenen Funktion I(x) ermitteln, indem wir zuerst I' (x) bilden, dann die Werte von x bestimmen, flir welche diese Ableitung verschwindet, und zum SchluB untersuchen, we1che dieser Werte Maxima und welche Minima liefem. Diese Frage liiBt sich entscheiden, wenn wir die zweite Ableitung I"(x) bilden, deren Vorzeichen angibt, ob die Kurve nach oben oder nach unten konkav ist, und deren Verschwinden gewohnlich einen Wendepunkt anzeigt, an dem kein Extremum auftritt. Indem man die Vorzeichen von I'(x) und I" (x) beachtet, kann man nicht nur die Extrema bestimmen, sondem iiberhaupt die Gestalt der Kurve y = t(x) erkennen. Diese Methode,liefert die Werte von x, bei denen Extrema auftreten; urn die zugehorigen Werte von y = t(x) zu finden, haben wir diese Werte von x in I(x) einzusetzen. Als Beispiel betrachfen wir das Polynom

I(x) und erhalten

=

2x3 - 9x2 + 12x + 1

I'(x) = 6x2 - 18x + 12,

I"(x) = 12x - 18.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung I' (x) = 0 sind Xl = 1, x2 = 2, und wir haben l"(x1) = - 6 < 0, l"(x2 ) = 6 > O. Daher hat I(x) ein Maximum l(x1) = 6 und ein Minimum 1(x 2) = 5. Obungen: 1. Man skizziere die Kurve der obigen Funktion. 2. Man diskutiere und skizziere die Kurve von j(x) = (x' - I) (Xl - 4). 3. Man bestimme das Minimum von x I/x, von x + a'/x und von px und q positiv sind. Raben diese Funktionen Maxima? 4. Man bestimme die Maxima und Minima von sinx und sin(xl).

+

+ q/x, wenn P

§ 3. Die Technik des Differenzierens Bisher haben wir uns bemiiht, eine Reihe spezieller Funktionen zu differenzieren, indem wir den Differenzenquotienten vor dem Grenziibergang umformten. Es war ein entscheidender Fortschritt, als durch die Arbeiten von LEIBNIZ, NEWTON und ihren Nachfolgem diese individuellen Kunstgriffe durch leistungs-

325

§ 3. Die Technik des Differenzierens

fahigere allgemeine Methoden ersetzt wurden. Mit diesen Methoden kann man beinahe automatisch jede Funktion differenzieren, die normalerweise in der Mathematik auftritt, sofem man nur einige einfache Regeln beherrscht und richtig anwendet. So hat das Differenzieren geradezu den Charakter eines "AIgorithmus" erhalten. Wir konnen hier nicht auf die feineren Einzelheiten der T echnik eingehen. Nur einige einfache Regeln sollen erwahnt werden. a) Differentiation einer Summe. Wenn a und b Konstanten sind, und die Funktion k (x) gegeben ist durch k(x) = af(x) + bg(x) , so ist, wie der Leser leicht bestatigen wird,

k' (x)

=

af'(x)

+ bg' (x) .

Eine entsprechende Regel gilt flir beliebig viele Summanden. b) Differentiation eines Produktes. Flir ein Produkt

P(x)

=

f(x) g(x)

ist die Ableitung

P'(x)

=

f(x) g'(x)

+ g(x) I'(x).

Dies kann man leicht durch den folgenden Kunstgriff beweisen: wir schreiben, indem wir denselben Ausdruck nacheinander addieren und subtrahieren .

P(x + h) - P(x)

= =

+ h) g(x + h) -f(x) g(x) + h) g(x + h) -f(x + h) g(x) + f(x + h) g(x) -f(x)g(x)

f(x f(x

und erhalten, indem wir die beiden ersten und die beiden letzten Glieder zusammenfassen, P(x+h)-P(x) h

=f(

x+

h) g(x+h)-g(x)

"

Nun lassen wir h gegen Null streben; da f(x sofort die Behauptung, die zu beweisen war.

+ () gx

+ h)

f(x+h)-f(x) h •

gegen f(x) strebt, ergibt sich

(Jbung: Man beweise mit dieser Regel, da/3 die Funktion P(x) = x" die Ableitung P' (x) = nx,,-l hat. (Anleitung: Man schreibe x" = X· X,,-l und benutze die mathematische In-

duktion.)

Mit Hilfe der Regel a) konnen wir jedes Polynom

f(x)

=

ao+ a1x + a2 x 2 + ...

+ anxn

differenzieren; die Ableitung ist

a1+ 2a ll x + 3a 3 x2 + ... + nanxn- 1 . Als Anwendung konnen wir den binomischen Satz beweisen (vgl. S. 15). Dieser Satz betrifft die Entwicklung von (1 + x)n als Polynom: I'(x)

=

(1 ) und sagt aus, daB der Koeffizient ak gegeben ist durch die Formel

(2) Natlirlich ist an = 1.

ak =

n(n-1)··· (n-h h!

+ 1)


326

n(l

Nun wissen wir (Obung S. 319), daB die linke Seite von (I) die Ableitung + x},,-lliefert. Daher erhalten wir nach dem vorigen Absatz

(3) In dieser Forme! setzen wir nun x = 0 und finden, daB n = at ist, was (2) fUr k = 1 entspricht. Dann differenzieren wir (3) nochmals und erhalten n(n - 1 HI

+ X),,-2= 2as+ 3· 2aax + ... + n(n -

l)a"X"-s.

Setzen wir wieder x = 0, so ergibt sich n(n - 1) = 2a., in Obereinstimmung mit (2) fur k = 2.

= 3, 4

tJbung: Man beweise (2) fiir k

Induktion.

und fiir allgemeines k mittels mathematischer

c) Differentiation eines Quotienten. Wenn

q(x}

f(x)

= g(x) •

so ist , ( ) _ g(x)f'(x) - f(x)g'(x)

q

X -

(g(X))1

Der Beweis bleibe dem Leser uberlassen. (Naturlich muB g(x) =+= 0 angenommen werden.) tJbung: Man leite mit dieser Regel die Formeln von S.320 fiir die Ableitungen von tanx und cot x aus denen von sinx und cosx abo Man zeige, daB die Ableitungen von secx = l/cosx und cosecx = l/sinx gleich sinx/cos1x bzw. -eosx/sinlx sind.

Wir sind jetzt in der Lage, jede Funktion zu differenzieren, die sich als Quotient zweier Polynome schreiben Hi.Bt. Zum Beispiel hat I(x)

die Ableitung

f'( x ) =

-(1

l-x

= 1

+x

+ x) - (1- x) (I + X)I

tJbung: Man difterenziere

-2 (1

+ X)I

•

1

f(x) = x'" = x-a,

wenn m eine positive ganze Zahl ist. Das Ergebnis ist f'(x) = - m r .. - l

•

d) Differentiation inverser Funktionen. Wenn y

=

f(x)

inverse Funktionen sind (z. B. y reziprok zueinander: g'(y)

= f'~X)

=

und

x = g(y)

x2 und x =

Vy), dann sind ihre Ableitungen

oder Dg(y) ·DI(x) = 1.

Dies laBt sich leicht beweisen, indem man auf die reziproken Differenzenquotienten

~~ bzw. ~; zuriickgeht; man kann es ebenfalls aus der geometrischen

Deutung der inversen Funktionen auf S. 214 erkennen, wenn man die Steigung der Tangente auf die y-Achse statt auf die x-Achse bezieht.

327

§ 3. Die Technik des Differenzierens

Als Beispiel differenzieren wir die Funktion 1

Y=/(x)=Vx=xm , die invers zu x = ym ist. (Siehe auch die direkte Behandlung ftir m Da die letzte Funktion die Ableitung mym - 1 hat, so gilt ,

I

1 (x) =

my.. - l

I

Y

=

2 auf S. 319.)

I

=-;n y" = myy-m, 1

woraus man durch die Substitutionen y ~-I

I

I'(x) =-x'" m

x'" und y-m= x-1

=

( - I)

I

1

--I

D x'" =-x'" m

oder

erhalt. Als weiteres Beispiel differenzieren wir die inverse trigonometrische Funktion (siehe S. 214)

Y = arc tan x, was gleichbedeutend ist mit x = tan y . Hier ist die Variable y, die das BogenmaB angibt, auf das Intervall-

< ~

1&

~ 1& < Y
r > 0, da 1

dann nr/n'= --~O. I n,-r Wenn das Verhaltnis a..lb,. sich einer endlichen Konstanten C nahert, die von Null verschieden ist, so sagen wir, daB die beiden Folgen a.. und b.. gleich schnell gegen unendlich streben oder von gleicher GrofJenordnung sind. So sind a.. = n2 und b.. = 2n2+ n von derselben GroBenordnung, da 1

1

--1-~2'

2+n

1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x

3S9

Man konnte annehmen, daB man mit den Potenzen von n als MaBstab die GroBenordnungen rur beliebige gegen unendlich strebende Folgen aft charakterisieren konnte. Zu diesem Zweck mtiBte man eine geeignete Potenz n' suchen, die von derselben GroBenordnung ware wie aft; d. h. von der Art, daB aft/n' gegen eine endliche, von Null verschiedene Konstante strebt. Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, daB dies keineswegs immer moglich ist, da die Exponentialfunktion aft, mit a > 1 (beispielsweise e"), schneller als iede Potenz n' gegen unendlich strebt, wie grop wir auch s wahlen, wahrend In n langsamer als iede Potenz n' gegen unendlich strebt, wie klein der Exponent s auch sei. Mit andern Worten: es bestehen die Beziehungen n' a"

(1)

--+0

und Inn-+- O

(2)

n'

,

wenn n -+- 00. Der Exponent s muB keine ganze Zahl sein, sondern kann eine beliebige teste positive Zahl sein. Urn (1) zu beweisen, vereinfachen wir zuerst die Behauptung, indem wir die s-te Wurzel aus dem Verhaltnis ziehen; wenn diese Wurzel gegen Null geht, gilt das auch von dem ursprtinglichen Verhaltnis. Also brauchen wir nur zu beweisen, daB n

a"" -+-0,

wenn n wachst. Es sei b = all'; da a > 1 angenommen wurde, ist auch b und groBer a1s 1. Wir konnen schreiben

Vb =

bill

bill = 1 + q, worin q positiv ist. Nun ist nach der Ungleichung (6) auf S. 13 so daB

b"/'I.= (1 + q)"

~

1 + nq > nq ,

und n

n

1

-=an"< -nlql nql' Da diese GroBe bei wachsendem n gegen Null strebt, ist der Beweis erbracht. Tatsachlich gilt die Beziehung (3)

auch dann, wenn x auf beliebige Art unendlich wird, indem es eine Folge Xl' XI' ••• durchlauft, die nicht notwendig mit der Folge der nattirlichen Zahlen 1,2,3, ... identisch zu sein braucht. Denn wenn n - 1 ~ X ~ n, so ist X,

n'

n'

- n werden alle Koeffizienten (:) in (11) gleich Null, so daB wir die endliche Formel des gewohnlichen binomischen Satzes erhalten. Es war eine von NEWTONS groBen Entdeckungen am Beginn seiner Laufbahn, daB der elementare binomische Satz von positiven, ganzzahligen Exponenten a auf beliebige positive oder negative, rationale oder irrationale Exponenten a erweitert werden kann. Wenn a keine positive ganze Zahl ist, liefert die rechte Seite von (11) eine unendliche Reibe, die fUr -1 < x < +1 giiltig ist. Fur Ixl > 1 wird die Reihe (11) divergent, so daB das Gleichheitszeichen sinnlos ist. Insbesondere finden' wir, wenn in (11) a = (12)

VI + x =

1

1 +"2 x -

1

"'2i-:-2T x'+

! gesetzt wird, die Entwicklung

1·3 2" 3!

r-

1·3·5 2" 4! x4+ ..•.

Wie die andem Mathematiker des 18. Jahrhunderts gab NEWTON keinen eigentlichen Beweis fUr die Giiltigkeit dieser Forme!. Eine befriedigende Analyse der Konvergenz und des Gultigkeitsbereichs solcher unendlicher Reihen wurde erst im 19. Jahrhundert gegeben.

3M

Erginzung zu Kapitel VIII Obung: Man stelle die Potenzreihen fur

y1 -

",8

und

vr=1 ... auf. 1- '"

Die Entwicldungen (4) bis (11) sind SpezialfaIle der allgemeinen Forme! von BROOK TAYLOR (1685-1731), die darauf abzie!t, be1iebige Funktionenf(x) einer groBen Funktionenklasse in Potenzreihen zu entwicke1n, (13)

f(x) = co+ c10X + c.xl + cax8+ ..• ,

indem ein Gesetz angegeben wird, das die Koeffizienten c, durch die Funktion f und ihre Ableitungen ausdriickt. Es ist nieht moglich, bier einen exakten Beweis der Taylorschen Formel durch Formulierung und Priifung der Bedingungen ihrer Giiltigkeit zu geben. Aber die folgenden Plausibilitatsbetrachtungen werden die Zusammenhiinge der erforderlichen mathematischen Tatsachen erIautem. Nehmen wir versuchsweise an, daB eine Entwicldung (13) moglich ist. Nehmen wir weiter an, daB f(x) differenzierbar ist, daB auchl' (x) difierenzierbar ist und so fort, so daB die unendliche Folge der Ableitungen

l'(x),J"(x), ... ,ffl)(X), •.. tatsachlich existiert. Endlich wollen wir voraussetzen, daB eine unendliche Potenzreihe wie ein endliches Polynom gliedweise differenziert werden kann. Unter diesen Annahmen konnen wir die Koeffizienten CfI aus der Kenntnis des Verhaltens von f(x) in der Umgebung von oX = 0 bestimmen. Zuerst finden wir durch Einsetzen von oX = 0 in (13) Co= f(O), da alle Glieder der Reibe, die oX enthalten, verschwinden. Jetzt differenzieren wir (13) und erhalten (13') I'(x) = c1+ 2c.x + 3eaxl+ ., . + nc"x"-l+ .... Setzen wir wiederum x = 0 ein, aber jetzt in 13', nicht in (13), so finden wir

c1 =1'(0) . Durch Differentiation von (13') erhalten wir

(13")

J"(x) = 2cl + 2· 3eax + ... + (n - 1) nc"x"-z+ ... ,

und setzen wir oX = 0 in (13'1 ein, so sehen wir, daB 2! c. = fIt (0) . Ebenso ergibt Differentiation von (13") und Einsetzen von x

=

0

3! ca=f"'(O), und durch Fortsetzung dieses Verfahrens ge1angen wir zu der allgemeinen Formel 1

c" = -n., f(") (0) , worinf(") (0) der Wert der n-ten Ableitung vonf(x) in oX = 0 ist. Das Ergebnis ist die Taylorsche Reihe (14) f(x) = f(O) + oX I' (0) + ~ fIt (0) + ~ fill (0) + ....

2. Die Eulersche Forme! cos:;

+ i sin:; =

,'.

365

A1s tlbung im Differenzieren mage der Leser an den Beispielen (4) bis (11) festste1len, daB das Bildungsgesetz der Koeffizienten einer Taylorschen Reihe erftillt ist. 2. Die Eulenche Formelcos:t

+ ; sin:t =

"III

Eines der reizvollsten Ergebnisse von EULER' formalistischen Manipulationen ist der enge Zusammenhang im Gebiet der komplexen Zahlen zwischen den Sinusund Cosinusfunktionen einerseits und der Exponentialfunktion andererseits. Es solI gleich gesagt werden, daB der Eulersche "Beweis" und unsere bier folgende Ableitung keinen strengen Charakter tragen; sie sind typische Beispiele fUr die formale Behandlungsweise des 18. Jahrhunderts. Beginnen wir mit der in Kapitel II bewiesenen Moivreschen Formel cosn 9' + i sin n 9' = (cos 9' + i sin 9')" . Hierin setzen wir 9' = x/n und erhalten

..

(

:;

..

:;)" .

!:osx + Hmx = cos" + ,sm"

Wenn nun x gegeben ist, so wird cos : fUr groBe n sich nur wenig von cos 0 = 1 unterscheiden. Ferner sehen wir, da

.

:;

sm--.;- -+ 1, wenn n

=-+ 0

(siehe S.234), daB sin: asymptotisch gleich : ist. Wir kannen es daher a1s plausibel ansehen, zu der folgenden Grenzformel1iberzugehen: cosx+isinx=lim(l+

i:)"', wenn n-+

00.

Vergleichen wir die rechte Seite dieser Gleichung mit der Formel (S. 342) es=lim(l+ :)", wenn n-+oo, sohabenwir (15) cos x + i sin x = eh , und das ist EULER. Resultat. Wir konnen dasselbe Ergebnis auch auf andere formalistische Weise aus der Entwicklung z zI zI e'= I+TI+2T+3T+'"

erhalten, indem wir darin z = i x einsetzen, wobei x eine reel1e Zahl ist. Erinnern wir uns, daB die sukzessiven Potenzen von i gleich i, -1, -i, + 1 sind und so weiter in periodischer Wiederholung, dann haben wir durch Zusammenfassen der ree1len und der imaginaren Glieder :;1 :t':;I ). ( :;I :;I:;' ) ( 1 - - + - - - + · · · +, x--+---+··· . e'a21 41 61 31 51 71 '

vergleichen wir die rechte Seite mit den Reihen fUr Sinus und Cosinus, so ergibt sich wieder die Eulersche Formel.

366

Erginzung zu Kapitel VIII

Eine solehe Oberlegung ist keineswegs ein wirklicher Beweis der Beziehung (15). Der Einwand gegen unsere zweite Argumentation ist, daB die Reihenentwieklung ftir e" unter der Annahme abgeleitet war, daB z eine reelle Zahl ist; daher ist ftir die Substitution z = i x eine Rechtfertigung erforderlieh. Ebenso ist die Schlussigkeit der ersten Argumentation aufgehoben durch den Umstand. daB die Formel e"= lim

(1 + :r, wenn n-+

00

nur fUr reelle Werte von z abgeleitet worden war. Urn die Eulersehe Formel aus der Sphare des reinen Formalismus in dit: der strengen mathematisehen Wahrheit zu erheben, war die Entwieklung der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabelnnotwendig, eine der groBen mathematischen Leistungen des 19. Jamhunderts. Viele andere Probleme regten diese weitreichende Entwieklung an. Wir haben zum Beispiel gesehen, daB die Potenzreihenentwicklungen verschiedener Funktionen in verschiedenen x-IntervaIlen konvergieren. Warum konvergieren einige Entwieklungen immer, d. h. fUr aIle x, wahrend andere fUr Ixl > 1 sinnlos werden? Betraehten wir zum Beispiel die geometrische Reihe (4), S.362, die fur Ixl < 1 konvergiert. Die linke Seite dieser Gleichung ist vollkommen sinnvoll fUr

!

x = I, sie nimmt den Wert 1 ~ 1 = an, wahrend die Reihe auf der reehten Seite sich hOchst sonderbar benimmt, da sie zu 1-1+1-1+··· wird. Diese Reihe konvergiert nicht, da ihre Partialsummen zwischen 1 und 0 hinund herschwanken. Dies laBt erkennen, daB Funktionen divergente Reihen entstehen lassen kannen, auch wenn sie selbst keinerlei UnregelmiiBigkeit zeigen. Allerdings wird die Funktion 1 ~ ~ unendlich, wenn x -+ -1. Da man leieht zeigen kann, daB die Konvergenz einer Potenzreihe fur x = a > 0 immer die Konvergenz ftir -a < x < a zur Folge hat, so kannten wir eine "Erkliirung" filr das seltsame Verhalten der Reihe in der Unstetigkeit der Funktion finden. Aber die Funktion .1 ~ 1

1

xl

+ ~I =

1

~ x fur x =

-1

laBt sich in die Reihe 1-

Xl+

X4-

xI+· ..

entwickeln, indem man in (4) x· fUr x setzt. Diese Reihe konvergiert ebenfalls ftir Ixl < 1,wiihrend sie fUr x = 1 wieder auf die divergente Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + ... fUhrt und fUr Ixl > 1 explosionsartig divergiert, obwohl die dargestellte Funktion selbstilberaIl regulir ist. Es hat sich gezeigt, daB eine vollstandige Erklirung solcher Erscheinungen nur mOglieh ist, wenn man die Funktionen nicht nur fUr reelle, sondern auch ftir komplexe Werte von x untersucht. Zum Beispiel muB die Reihe fUr 1 ~ x, ftir x = i divergieren, well der Nenner der Funktion Null wird. Daraus folgt, daB die Reihe fur aIle x mit Ixl > Iii = 1 aueh divergieren muB, da sich zeigen laBt, daB ihre Konvergenz fUr irgendein solches x die Konvergenz· fUr x = i nach sieh ziehen wilrde. So wurde die Frage der Konvergenz von Reihen, die in der ersten

3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fur den Sinus

367

Zeit der Inftnitesimalrechnung vollig unbeachtet blieb, zu einem der Hauptfaktoren bei dem Aufbau der Funktionentheorie einer komplexen Variabeln. 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fUr

den Sinus Reihen, deren Glieder sich in einfacher Weise aus den ganzen Zahlen aufbauen, sind von besonderem Interesse. Als Beispiel betrachten wir die "harmonische Reihe" 1

1

1

1

1+-+-+-+·· .+-+'" 2 3 4 n

(16)

'

die sich von der fUr In 2 nur durch die Vorzeichen der geradzahligen Glieder unterscheidet. Die Frage nach der Konvergenz dieser Reihe ist die Frage, ob die Folge worin 111

sft-1+-+-+,··+2 3 n'

(17)

einem endlicben Grenzwert zustrebt. Obwohl die Glieder der Reihe (16) sicb der Null nahern, wenn wir immer weiter geben, kann man leicht einsehen, daB die

Reihe nicht konvergiert. Denn nimmt man genugend viele Glieder, dann kann man jede beliebige positive Zahl uberschreiten, so daB Sft unbegrenzt zunimmt und daher die Reihe (16) "gegen unendlich divergiert". Urn das zu erkennen, bemerken wir, daB 1

S2=

1 +2'

S,--S,

(1- + ' .. + -81) -- S, + -21> 1 + -.-32 1 1 1) 8 + (-1 5 + -6 + -7 + -8 > S'+

und aUgemein (18)

Es ist also zum Beispiel die Partialsumme sa- groBer als 100, sobald m ~ 200. Wahrend die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert, laBt sich zeigen, daB die Reihe (19)

1

1

1

1

1+-+-+-+" '+-+ , .. 2' 3' 4' n'

fUr jeden s-Wert groBer als 1 konvergiert, so daB sie fUr aIle s > 1 die sogenannte Zetafunktion (20)

n- '

. ( C(s) = lim 1+ 2'1 + 3'1 + 4'1 + ... + 1) wenn n -+ 00 •

als Funktion von s deftniert. Es bestebt eine wichtige Beziehung zwiscben der Zetafunktion und den Primzahlen, die wir mit Hille unserer Kenntnis der geo-

metrischen Reihe ableiten konnen. Es seip = 2,3,5,7, ... eine beUebige Primzahl;

368

Ergii.nzung zu Kapitel VIII

dann ist fUr s ~ 1 1

0< P' < 1 , so daB 1

1

1

l+ p +pi'+pi'+.· ..

1 1--

P'

Wir wollen nun alle diese Ausdriieke fUr samtliehe Primzahlen Pl = 2, P.= 3, P.= 5, p,= 7, ... miteinander multiplizieren, ohne uns zunaehst um die Zulii.ssigkeit einer solchen Operation zu kfimmem. Auf der linken Seite erhalten wir das unendliche "Produkt" lim ffir n -+ 00 von [

. 1 1 ). ( 1 1 ) ( 1 1 ) ... = ( 1-1-1--

V

•

~

1 1 I--

M

.

1 1 1- P:.

1 •

auf der reehten Seite dagegen die Reihe 1

1

1 + 2' + 3' + ... = C(s) auf Grund der Tatsaehe, daB jede ganze Zahl groBer als 1 auf eine einzige Weise als Produkt versehiedener Primzahlpotenzen dargestellt werden kann. Also haben wir die Zeta-Funktion ausgedriiekt als ein Produkt

(21)

c(s) = ( 11-1-). ( 11-1-). ( 11-1-) ..•• 2'

3'

~

Wenn es nur eine endliehe Anzahl versehiedener Primzahlen gabe, etwa PI' PI' ... , Pr, dann ware das Produkt auf der rechten Seite von (21) ein gewohnliches endliehes Produkt und hatte daher einen endliehen Wert, aueh fUr s = 1. Aber wie wir sahen, divergiert die C-Reihe fUr s = I, 1

1

C(I) = 1 +2+3+· ..• gegen unendlieh. Diese 'Uberlegung, die man leieht zu einem strengen Beweis erganzen kann, zeigt, daB es unendlieh viele Primzahlen geben muB. Allerdings ist sie viel verwiekelter und kiinstlieher als der Euklidische Beweis hierffir (siehe S. 18). Sie hat aber denselben Reiz wie die sehwierige Ersteigung eines Berggipfels, den man von der anderen Seite her auf einem bequemen Wege hatte erreichen konnen. Unendliehe Produkte wie (21) sind oft ebenso nfitzlieh fUr die Darstellung von Funktionen wie unendliehe Reihen. Ein anderes unendliehes Produkt, dessen Entdeekung aueh zu EULER- Leistungen gehOrt, betrifit die trigonometrische Funktion sin x. Um diese Formel zu verstehen, gehen wir von einer Bemerkung fiber Polynome aus. Wenn f(x) = ao+ ~x + ... + a,,%" ein Polynom n-ten Grades ist und n verschiedene Nullstellen Xl' XI' ••• , x" hat, so wissen wir aus der Algebra, daB man 1(x) in Linearfaktoren f(x) = a,,(x -

XI) •••

(x - x,,)

zerlegen kann (siehe S.80). Klammem wir das Produkt

XiX••••

x" aus, so

§ 4. Ableitung des Primzahisatzes mit statistischen Methoden

konnen wir schreiben

t (x) =

C (1 -

369

:J :J ... ( :J ' 1-

(1 -

worin C eine Konstante ist, die wir, wenn x = 0 gesetzt wird, als C = ao erkennen. Wenn wir kompliziertere Funktionen f(x) an Stelle von Polynomen betrachten, so entsteht die Frage, ob auch hier eine Produktzerlegung mit Hilfe der Nullstellen moglich ist. (Dies kann nicht allgemein gelten, wie man aus dem Beispiel der Exponentialfunktion sieht, die iiberhaupt keine Nullstellen besitzt, da eG:9= 0 flir alle Werte von x.) EULER entdeckte aber, daB fiir die Sinusfunktion eine solche Zerlegung moglich ist. Urn die Formel auf die einfachste Art zu schreiben, betrachten wir nicht sin x sondem sin nx. Diese Funktion hat die Nullstellen x = 0, ± 1, ±2, ±3, ... , da sin nn = 0 ist fiir alle ganzzahligen n und nur fiir diese. EULER8 Formel sagt nun aus, daB

sinnx=nx(I-~) 11 (1-~) 21 (1-~) 31 (1-~)'" 41

(22)

.

Dieses unendliche Produkt konvergiert flir alle Werte von x und ist eine der 1

schOnsten Formeln der Mathematik. Fiir x = Tliefert sie sin ;

= 1 = ; (1 -

21

~ 11) (1 -

~

21 2' ) (1 -

Schreiben wir 1- _1_= (2n-1) (2n 21 , n l

2n ' 2n

2'

~ 3' ) (1 -

+ 1)

~

2' 4' ) . . . ,

'

so erhalten wir das Wallissche Produkt n

22446688

T=I'3'3'5'5']']'9" , das auf S. 229 erwiihnt wurde, Fiir die Beweise dieser Tatsachen miissen wir den Leser auf die Lehrbiicher der Infinitesimalrechnung verweisen (siehe auch S. 391).

**§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden Wenn mathematische Methoden auf das Studium der Naturerscheinungen angewandt werden, begniigt man sich gewohnlich mit tJberlegungen, in deren Verlauf die streng logische Beweiskette durch mehr oder weniger plausible Annahmen unterbrochen wird, Sogar in der reinen Mathematik begegnet man Betrachtungen, die, wenn sie auch keinen strengen Beweis bilden, doch die richtige Losung liefem und die Richtung andeuten, in der ein strenger Beweis gesucht werden kann. BERNOULLI8 Losung des Problems der Brachystochrone (siehe S. 290) hat diesen Charakter, ebenso wie das meiste aus dem Anfangsstadium der Analysis. Mit Hilfe eines Verfahrens, das flir die angewandte Mathematik und insbesondere die statistische Mechanik typisch ist, wollen wir hier einen Gedankengang entwickeln, der die Giiltigkeit des beriihmten Gesetzes von GAUSS iiber die Verteilung der Prirnzahlen zum mindesten plausibel macht, (Ein ahnliches Verfahren wurde einem der Verfasser von dem Experimentalphysiker GUSTAV HERTZ vorgeschlagen.) Dieses Gesetz, das in der Erganzung zu Kapitel I (S,22ff,) empirisch Courant u, Robbins, Mathematik

24

370

Erga.nzung zu Kapitel VIII

behandelt wurde, sagt aus, daB die Anzahl A (n) der Prirnzahlen, die nicht groBer sind als n, asymptotisch gleich der GroBe nfln n ist: n

A (n) ,..., Inn' Hiermit ist gemeint, daB das Verhliltnis von A (n) zu nlIn n gegen den Grenzwert 1 strebt, wenn n gegen unendlich strebt. Wir beginnen mit der Annahme, daB ein mathematisches Gesetz existierl, welches die Verteilung der Primzahlen in dem folgenden Sinn beschreibt: Fiir II

groBe Werte von n ist die Funktion A (n) angenahert gleich dem Integral f W(x) d x, 2

worin W (x) eine Funktion ist, welche die "Dichte" der Primzahlen millt. (Wir wahlen 2 als untere Grenze des Integrals, weil ffir x < 2 offenbar A (x) = 0 ist.) Damit solI folgendes gemeint sein: 1st x eine groBe Zahl und A x eine andere groBe Zahl, wobei aber die GroBenordnung von x groBer sei als die von A x (zum Beispiel konnten wir A x = vereinbaren), dann nehmen wir an, daB die Verteilung der Primzahlen so gleichmaBig ist, daB die Anzahl der Primzahlen in dem Intervall zwischen x und x + A x angeniihert gleich W (x) A x ist und ferner, daB

VX

W(x) als Funktion von x sich so langsam andert, daB das Integral

II

f

W(x)dx

2

durch die im folgenden beschriebene treppenformige Anniiherung ersetzt werden kann, ohne seinen asymptotischen Wert zu andern. Wir haben bewiesen (S. 360), daB fUr groBe ganze Zahlen Inn! asymptotisch gleich n In n ist: Inn!,...,nInn. Jetzt gehen wir dazu tiber, eine zweite Formel fUr In n! aufzustellen, welche die Primzahlen enthlilt, und dann beide FormeIn z~ vergleichen. Wir wollen abz1ih1en, wie oft eine beliebige Primzahl p (kleiner als n) als Faktor in der ganzen Zahl n! = 1 . 2 . 3 ... n enthalten ist. Es moge [a]" die groBte ganze Zahl k bezeichnen, fUr die pIc Teiler von a ist. Da die Primzahlzerlegung jeder ganzen Zahl nur auf eine Art moglich ist, so folgt [ab],,= [a],,+ [b]" ffir zwei beliebige ganze Zahlen a und b. Daher ist [nl],,= [1],,+ [2],,+ [3J,,+ ... + [n]" .

Die Glieder der Zahlenfolge 1,2,3, ... ,n, die sich durch pIc teilen lassen, sind pIc, 2P", 3P", .... Ihre Anzahl N" ist fUr groBe n angeniihert nIP". Die Anzahl M" dieser Glieder, die durch pIc, aber durch keine hOhere Potenz von p teilbar sind, ist gleich N" - N "+1- Also ist [n!]p = Ml + 2MII + 3M.+ ...

= (Nl- N,.) + 2 (NII = N1 + N.+ N.+··· n

n

n

N.) + 3 (Na- NJ + ... n

=p+j1I+P'+"'=P-l' (Alle diese Gleichheiten gelten natiirlich nur niiherungsweise.)

§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden

.

371

Hieraus folgt. daB fiir groBe n die Zahl n! angenlihert gegeben ist durch das Produkt aller AusdrUcke die Formel

pp -

1

fUr samtliche Primzahlen

Inn! --

p < n. Also haben wir

1: ~llnP. p< .. p-

Vergleichen wir dies mit unserer friiheren asymptotischen 13eziehung fiir lnn!, so finden wir, wenn wir x statt n schreiben,

(1) Der nachste und entscheidende Schritt ist, die rechte Seite von (1) asymptotisch mit W (x) in Beziehung zu setzen. Wenn x sehr groB ist. konnen wir das Inter': vall von 2 bis x = n in eine groBe Anzahl r von Teilintervallen unter1;eilen. indem wir Teilpunkte 2 = Ev EI •••• , Er. Er+l = x wahlen; die zugehOrigen Intervalle haben dann die Langen..1 EI = E/+1- EI . In jedem Teilintervall kann es Primzahlen geben, und alle Prlmzahlen im i-ten Teilintervall haben angenahert den Wert EI • Nach unserer Annahme iiber W(x) gibt es angenlihert W(EI) ..1EI Primtahlen im i-ten Teilintervall; daher ist die Summe auf der rechten Seite von (1) angenlihert gleich

Ersetzen wir diese endliche Summe durch das Integral, dessen Nliherungswert sie bildet, so haben wir als eine plausible Konsequenz von (1) die Beziehung s

(2)

lnx --

JW(E) E-I dE· .

In ~

2

Hieraus wollen wir die unbekannte Funktion W(x) bestimmen. Wenn wir das Zeichen -- durch ein gewohnliches Gleichheitszeichen ersetzen und beide Seiten nach x differenzieren. so erhalten wir nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung 1

(3)

-;= W(x)

In x

x-I'

also

x-I

W (x) = x In x . s

Wir nahmen zu Beginn unserer Betrachtung an, daB A (x) angenlibert gleich

J W(E) dE ist; mithin ist A (x) angenli.hert gegeben durch das Integral

2

(4) Um dieses Integral auszuwerten. bemerken wir, daB die Funktion f(x) = xflnx die Ableitung hat:

f'(x)

=

In\ -

(ID\)I • 24*

372

Erganzung zu Kapitel VIII

FUr groBe Werte von x sind die beiden Ausdrticke. 1 In x -

1 (In X)I

,

1 In x -

1

x In x

= W (x)

angenahert gleich, da fUr groBe x das zweite Glied in beiden Fallen viel kleiner ist als das erste. Daher ist das Integral (4) asyrnptotisch gleich dem Integral

"

/f'(E)dE=/(x)-/(2)

=

2

I:x - ~2'

da die Integranden Uber dem groBten Teil des Integrationsbereichs beinahe gleich

1:2

sind. Der Ausdruck kann bei groBem x vemachlassigt werden, da er konstant ist, und so erhalten wir schlieBlich das Resultat A (x)

" " -x1 ,

nx

also den Primzahlsatz. Wir konnen nicht behaupten, daB der vorstehenden 'Oberlegung mehr als ein heuristischer Wert zukommt. Aber bei genauer Untersuchung ergibt sich immerhin folgende Tatsache: Es ist nicht schwer, fUr alle die Schritte, die wir so unbekUmmert untemommen haben, eine vollstandige Rechtfertigung zu geben, insbesondere fiir die Gleichung (1), fiir die asyrnptotische Aquivalenz zwischen dieser Summe und dem Integral in (2), und fUr den Schritt, der von (2) zu (3) fiihrt. Es ist sehr viel schwieriger, die Existenz einer glatten Dichtefunktion W(x) zu beweisen, die wir ja am Anfang vorausgesetzt hatten. 1st diese einmal angenommen, so ist die Berechnung dieser Funktion verhaItnismaBig einfach; von diesem Gesichtspunkt aus ist der Existenzbeweis einer solchen Funktion die Hauptschwierigkeit bei der Behandlung des Primzahlproblems.

Anhang'

Erganzungen, Probleme und Vbungsaufgaben Viele der folgenden Probleme sind flir den fortgeschritteneren Leser bestimmt. Sie bezwecken weniger Dbung in mathematischer Routine als Anregung eines besseren Verstandnisses. Anordnung und Auswahl sind nicht systematisch.

Arithmetik und Algebra (1) Woher wissen wir, daB 3 nicht Teiler irgendeiner Zehnerpotenz ist, wie auf S. 50 behauptet wird? (Siehe S. 38.) (2) Man beweise, daB das Prinzip der kleinsten natfirlichen Zahl aus dem Prinzip der mathematischen Induktion folgt (Siehe S. 16). (3) Durch Anwendung des binomischen Satzes auf (1 + 1)" ist zu zeigen, daB (~) + (~) + (;) + . . . + (:) = 2" . (4*) Man nehme eine beliebige positive ganze Zahl z = abc . .. , bilde die Summe ihrer Ziffern a + b + c + ... , subtrahiere diese von z, streiche von dem Ergebnis eine beliebige Ziffer weg und bezeichne die Summe der fibrigen Ziffern mit w. LaBt sich eine Regel finden, urn aus der Kenntnis von w allein den Wert der weggestrichenen Ziffer zu bestimmen? (Es kann dabei ein zweideutiger Fall auftreten, wenn w = 0 ist.) Wie manche anderen einfachen Tatsachen fiber Kongruenzen, kann man dies als Grundlage flir ein "Rechenkunststfick" benutzen. (5) Eine arithmetische Folge erster Ordnung ist eine Folge von Zahlen a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... , bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder eine Konstante ist. Eine arithmetische Folge zweiter Ordnung ist eine Folge von Zahlen all a2, tl:!, ... , bei der die Differenzen ai+l- a. eine arithmetische Folge erster Ordnung bilden. Ebenso ist eine arithmetische Folge k-ter Ordnung eine Folge, bei der die Differenzen eine arithmetische Folge (k - l)-ter Ordnung bilden. Man beweise, daB die Quadrate der natfirlichen Zahlen eine arithmetische Folge zweiter Ordnung bilden, und zeige durch Induktion, daB die k-ten Potenzen der natfirlichen Zahlen eine arithmetische Folge der Ordnung k bilden. Man beweise ferner, daB jede Folge, deren n-tes Glied a" durch den Ausdruck co+ cin + + csn2+ ..• + crenTe gegeben ist, worin die c irgendwelche Konstanten sind, eine arithmetische Folge der Ordnung kist. ·Man beweise die Umkehrung dieser Behauptung flir k = 2, k = 3 und allgemein flir k. (6) Man beweise, daB die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge k-ter Ordnung eine arithmetische Folge (k + I)-ter Ordnung ist. (7) Wieviele Teiler hat die ZahlI0296? (siehe S. 20.) (8) Aus der algebraischen Formel (a 2+ b2) (c 2 + d2) = (ac - bd)2+ (ad + bC)2 solI durch Induktion bewiesen werden, daB jede ganze Zahl , = a,. a2 • •• a", in der jedes ai eine Summe zweier Quadrate ist, selbst auch eine Summe zweier Quadrate ist. Man kontrolliere dies mit 2 = 12+ 12, 5 = 12+ 2s, 8 = 22+ 22 usw.,

374

Anhang

fur, = 160, , = 1600, , = 1300, , = 625. Wenn moglich, gebe man mehrere verschiedene Darstellungen dieser Zahlen als Summen zweier Quadrate. (9) Man wende die Ergebnisse der Aufgabe (8) an, um aus gegebenen pythagoriiischen Zahlentrip~ neue zu konstruieren. (10) Man stelle Teilbarkeitsrege1n, ahnlich denen von S. 28, fur Zahlensysteme mit der Basis 7, 11 und 12 auf. (11) Man zeige, daB fUr zwei positive rationale Zahlen , = alb und 5 = eld die Ungleichung, > s aquivalent ist mit ad - be > O. (12) Man zeige, daB fUr positive, und 5 mit, < 5 stets

"+5

' 1 haben wir eine Hyperbel, fUr k = 1 eine Parabel, fUr k < 1 eine Ellipse. Die Gerade 1 erhii.1t man, wenn man die Schnittlinie der Ebene des Kegelschnitts mit der Ebene des Kreises aufsucht, in dem die Dandelinsche Kugel den Kegel beriihrt. (Da der Kreis nur a1s Grenzfall unter diese Kennzeichnung fant, ist es nicht zweckmaBig, diese Eigenschaft zur Definition der Kegelschnitte zu benutzen, obwohl dies zuweilen geschieht.) (50) Man diskutiere folgenden Satz: "Ein Kegelschnitt, zugleich a1s System von Punkten una a1s System von Geraden betrachtet, ist zu sich selbst dual." (Siebe S. 160.)

Topologie

381

(*51) Man versuche den Desarguesschen Satz in der Ebene zu beweisen, indem man aus der dreidimensionalen Konfiguration der Fig. 73 den Grenziibergang vollzieht. (Siehe S. 134.) (*52) Wieviele Geraden gibt es, die vier gegebene windschiefe Geraden schneiden? Wie konnen sie charakterisiert werden? (Anleitung: Man lege durch drei der gegebenen Geraden ein Hyperboloid, siehe S. 162.) (*53) Wenn der Poincaresche Kreis der Einheitskreis der komplexen Ebene ist, dann definieren zwei Punkte ZI und ZI und die z-Werte WI' WI der beiden Schnittpunkte der "Geraden" durch die beiden Punkte mit dem Einheitskreis ein DoppelverhlUtnis

WI, 8.- W.

81 WI : 8. ZI-W.

das gemaB Obung 8 auf S. 78 reell ist; dessen

Logarithmus ist nach Definition der hyperbolische Abstand von ZI und z•. (*54) Man transformiere durch eine Inversion den Poincare-Kreis in die obere Halbebene. Man entwickle das Poincaresche Modell und seine Eigenschaften fUr diese Halbebene auf direktem Wege und mit Hilfe dieser Inversion. (Siehe Seite 171£.)

Topologie (55) Man bestatige die Eulersche Formel fiir die fiinf regularen und fUr andere Polyeder. Man fUhre die entsprechenden Reduktionen des Netzes durch. (56) In dem Beweis der Eulerschen Formel (S. 182) wurde verlangt, daB man ein ebenes Netz aus lauter Dreiecken durch sukzessive Anwendung zweier Grundoperationen schlieBlich auf ein Netz aus einem einzigen Dreieck reduzieren sollte, fiir das dann E - K + F = 3 - 3 + 1 = 1 ist. Wodurch haben wir die Gewiihr, daB das Endergebnis nicht ein Paal' von Dreiecken sein kann, die keine Ecke gemeinsam haben, so daB E - K + F = 6 - 6 + 2 = 2 ist? (Anleitung: Wir konnen annehmen, daB das urspriingliche Netz zusammenhlingend ist, d. h. daB man von jeder Ecke iiber Kanten des Netzes zu jeder anderen Ecke ge1angen kann. Man zeige, daB diese Eigenschaft durch die beiden Grundoperationen nicht zerstort werden kann.) (57) Wir haben bei der Reduktion des Netzes nur zwei Grundoperationen zugelassen. Konnte es nicht in irgendeinem Stadium vorkommen, daB ein Dreieck auftritt, das mit den iibrigen Dreiecken des Netzwerks nur eine Ecke gemeinsam hat? (Man konstruiere ein Beispiel.) Dies wiirde eine dritte Operation notig machen: Entfemung zweier Ecken, dreier Kanten und einer Flache. Wiirde dies den Beweis beeintrachtigen? (58) Kann man einen breiten Gummiring dreimal urn einen Besenstiel wicke1n, so daB er flach (d. h. unverdreht) auf dem Besenstiel anliegt? (Natiirlich muB der Gummiring sich irgendwo selbst iiberkreuzen.) (59) Man zeige, daB eine kreisformige Scheibe, deren Mittelpunkt herausgeschnitten ist, eine fixpunktfreie, stetige Transformation in sich se1bst zulaBt. (*60) Die Transformation, die jeden Punkt einer Scheibe um eine Langeneinheit in einer bestimmten Richtung verschiebt, hat offenbar keinen Fixpunkt. Selbstverstandlich ist dies keine Transformation der Scheibe in sick selbst, da gewisse Punkte in Punkte auBerhalb der Scheibe transformiert werden. Warum gilt die Argumentation von Seite 194, die auf der Transformation P -+- p* beruhte, in diesem FaIle nicht ?

382

Anhang

(61) Angenommen, wir haben einen Fahrradschlauch, dessen Innenseite weill und dessen AuBenseite schwarz gefarbt ist. Es sei erlaubt, ein kleines Loch einzuschneiden, den Schlauch zu deformieren und das Loch wieder zuzukleben. 1st es moglich, dabei den Schlauch so von innen nach auBen zu kehren, daB er innen schwarz und auBen weiB ist? (*62) Man zeige, daB es in drei Dimensionen kein "Vierfarbenproblem" gibt, indem man nachweist, daB es fUr jede Zahl n maglich ist, n Korper so im Raurn anzuordnen, daB jeder allen andem anIiegt. (*63) Entweder auf einer wirklichen Torusflache (Fahrradschlauch, Trauring) oder auf einem ebenen Gebiet mit Kantenidentifizierung (Fig. 143) solI eine Karte konstruiert werden, die aus sieben Gebieten besteht, von denen jedes allen andem anIiegt. (Siehe S. 189.) (64) Das 4-dimensionale Simplex der Fig. 118 besteht aus ffinf Punkten, a, b, e, d, e, von denen jeder mit den vier anderen verbunden ist. Selbst wenn man gekrfimmte Verbindungs1inien zuliiBt, kann die Figur in der Ebene nicht so gezeichnet werden, daB sich keine zwei VerbindungsIinien kreuzen. Eine andere Konfiguration mit neun VerbindungsIinien, die sich ebenfalls in der Ebene nicht ohne 'Oberkreuzungen zeichnen laBt, besteht aus sechs Punkten a, b, e, a', b', e', wobei jeder der Punkte a, bj emit jedem der Punkte a', b', c' verbunden ist. Man bestatige diese Tatsachen experimentell und suche einen Beweis dafUr mit Hilfe des Jordanschen Kurvensatzes. (Es ist bewiesen worden, daB jede Konfiguration von Punkten und Linien, die sich nicht ohne 'Oberkreuzungen in de~ Ebene darstellen lassen, eine dieser beiden Konfigurationen a1s Teil enthalten muB.) (65) Eine Konfiguration werde gebildet, indem man zu den seehs Kanten eines 3-dimensionalen Simplex eine Linie, welche die Mitten zweier gegenfiberliegender Kanten verbindet, hinzufUgt. (Zwei Kanten eines Simplex heiBen gegenuberliegend, wenn sie keinen Eckpnnkt gemeinsam haben.) Es ist zu zeigen, daB diese Konfiguration einer der beiden in der vorigen Aufgabe beschriebenen aquivalent ist. (*66) Es seienp, q, r die drei Endpunkte des Zeichens E. Das Zeichen wird eine Strecke weit verschoben, so daB ein zweites E mit den Endpunkten P', q', r' entsteht. Kann man P mit P', q mit q' und r mit r' durch drei Kurven verbinden, die weder einander noch die heiden E's kreuzen ? Wenn man urn ein Quadrat herumgeht, so wechselt man die Richtung viermal, jedesmal urn 90°, so daB die Gesamtanderung Lf = 360° ist. Gehen wir urn ein Dreieck, so ist aus der Elementargeometrie bekannt, daB Lf = 360°. (67) Man beweise: Wenn C ein beliebiges einfaches geschlossenes Polygon ist, gilt immer Lf = 360°. (Anleitung: Man zerlege das Innere von C in Dreiecke und entfeme nacheinander die Randdreiecke, siehe Seite 182. Die sukzessiv entstehenden Polygone seien BI , B., Ba, ••• , BfI; dann ist BI = C, und BfI ist ein Dreieck. Lf, sei die gesamte Richtungsanderung des Polygons B,. Man zeige, daB dann Lf,= Lf'-l ist.) (*68) Es sei C eine beliebige einfache geschlossene Kurve mit einem sich stetig drehenden Tangentenvektor; Lf bezeichne die Gesamtanderung des Tangentenwinkels hei einmaligem Durchlaufen der Kurve. Man zeige, daB auch bier Lf = 360° ist. (Anleitung: Es seien Po, PI' PI' ... ,PfI = Po Punkte, die C in kleine, nahezu geradlinige Stficke teilen. Es sei C, die Kurve, die aus den geraden Strecken

Topologie

383

PoPl. PIP•• ...• P,-IP, und aus den ursprlinglichen Kurvenoogen PiPH1' ...• PnPo

besteht. Dann ist Co= C und CII besteht aus lauter geraden Strecken. Man zeige. daB ..1,= ..11+1' und benutze das Ergeb:nis der vorigen Aufgabe.) Gilt dies auch ftir die Hypozykloide der Figur 55 ? (69) Man zeige: Wenn in dem Diagramm der Kleinschen Flasche auf S.200 aIle vier Pfeile im Uhrzeigersinn gezeichnet werden. entsteht eine FIache. die aquivalent einer Kugelfiache ist. an der ein kreisformiges Stiick durch eine Kreuzhaube ersetzt ist. (Diese Flliche ist topologisch aquivalent der erweiterten Ebene der projektiven Geometrie.) (70) Die Kleinsche Flasche der Figur 142 Ui..l3t sich durch eine Ebene in zwei symmetrische Hiilften zerlegen. Man zeige, daB das Resultat aus zwei Mobiusschen Biindem besteht. (*71) Bei dem Mobiusschen Band der Figur 139 sollen die heiden Endpunkte jeder Querlinie miteinander identifiziert werden. Man zeige, daB ein topologisches Aquivalent der Kleinschen Flasche entsteht. Alle moglichen geordneten Punktepaare einer Strecke (wobei die zwei Punkte zusammenfaIlen konnen oder nicht) bilden im folgenden Sinn ein Quadrat: Wenn die Punkte der Strecke durch ihre Abstiinde x, y yom einen Ende A der Strecke gekennzeichnet werden, so konnen die geordneten Zahlenpaare (x, y) als kartesische Koordinaten eines Punktes des Quadrates betrachtet werden. Alle moglichen Punktepaare einer Strecke. ohne Riicksicht auf die Ordnung [d. h. wenn (x,y) als dasselbe gilt wie (y. x)], bilden eine Flliche S, die topologisch dem Quadrat aquivalent ist. Urn das einzusehen, wlihle man die Darstellung, bei welcher der erste Punkt jeden Paares naher am Ende A der Strecke ijegt, sofem x=+: y. Dann ist S die Menge aIler Paare (x, y), bei denen entweder x kleiner ist als yoder x = y. Benutzt man kartesische Koordinaten, so ergibt dies das Dreieck in der Ebene mit den Ecken (0,0). (0, 1), (I. 1). (*72) Welche Flliche wird durch die Menge aIler geordn'eten Punktepaare gebildet, von denen jeder erste Punkt zu einer Geraden und der zweite zum Umfang eines Kreises gehOrt? (Antwort: ein Zylinder.) (73) Welche Flliche wird durch die Menge aIler geordneten Punktepaare auf einem Kreise gebildet? (Antwort: ein Torus.) (*74) Welche Flliche wird durch die Menge aIler ungeordneten Punktepaare eines Kreises gebildet? (Antwort: ein Mobiussches Band.) (75) Die folgenden Regeln gelten ftir ein Spiel, das mit Pfennigstiicken auf einem kreisformigen Tisch gespielt wird: A und Blegen abwechselnd Miinzen auf den Tisch. Die Miinzen brauchen sich nicht zu beriihren, und jede Miinze darf auf eine beliebige Stelle des Tisches gelegt werden, nur darf sie nicht iiber den Rand ragen oder eine liegende Miinze ganz oder teilweise iiberdecken. Jede niedergelegte Miinze darf nicht verschoben werden. N ach hinreichend langer Zeit wird der Tisch so weit mit Miinzen bedeckt sein, daB kein Platz fiir eine weitere Miinze mehr iibrig ist. Der Spieler, der in der Lage ist, die letzte Miinze auf den Tisch zu legen, hat das Spiel gewonnen. Man beweise: Wenn A das Spiel beginnt, kann er, einerlei wie B spielt, mit Sicherheit gewinnen, sofem er richtig spielt. (76) Man beweise: Wenn bei dem Spiel von Aufgabe (75) der Tisch die Form von Fig. 125b hat, kann B immer gewinnen.

384

Anhang

Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit (77) Man entwickle das Verhaltnis OB: AB von S. 98 in einen Kettenbruch. (78) Man zeige, daB die Folge a o= an+ 1 = + an monoton zunimmt, die obere Schranke S = 2 hat und daher einen Grenzwert besitzt. Man zeige ferner, daB dieser Grenzwert die Zahl2 sein muB. (Siehe S. 99 und 248.) (*79) Man suche durch ahnliche Methoden wie auf Seite 242 zu beweisen, daB sich zu jeder glatten, geschlossenen Kurve ein Quadrat zeichnen laBt, dessen Seiten die Kurve beriihren. Die Funktion u = 1(x) heiBt konvex, wenn der Mittelpunkt jeder Strecke, die zwei beliebige Punkte ihres Graphen verbindet, oberhalb des Graphen liegt. Zum Beispiel ist u = eZ (Fig. 278) konvex, wahrend u = In x (Fig. 277) es nicht ist. (SO) Man beweise, daB die Funktion u = 1(x) dann und nur dann konvex ist, wenn

V2

V2,

wobei das Gleichheitszeichen nur fur Xl = X. gilt. (*81) Man beweise, daB fur konvexe Funktionen die noch allgemeinere Ungleichung

Al/(x1) + A2/(x2) ~ I(A1 Xl+ A2 X 2)

gilt, wenn AI' As zwei be1iebige Konstante sind, fur die Al + As= 1 und Ax ~ 0, A2 ~ o. Dies ist aquivalent mit der Behauptung, daB kein Punkt der Verbindungsstrecke zweier Kurvenpunkte unterhalb der Kurve liegt. (82) Mit Hilfe der Bedingung der Aufgabe SO beweise man, daB die Funktionen u = yT+Xi und u = l/x (fur x> 0) konvex sind, d. h. daB

Vf+Xf -; Vl+Xf ~

1(1

-2 -

Xl

+ -!EO 1) '" XI

Xl

VI + (

Xl -; XI

r'

+2XI f··ur POSI·t·Ive Xl und x 2•

(83) Man beweise dasselbe fur u = ~2n,u = tan x fur 0 < x ~ n/2, u =

XII, U

= x" fur X > 0, u = sin X fur n

-Vl-

Xl

~ X ~

fur /x/ ~ 1.

Maxima und Minima (84) Man ermittle den kUrzesten Weg zwischen P und Q, wie in Fig. 178, wenn der Weg die beiden gegebenen Geraden abwechselnd n-mal beriihren soIl. (Siehe S.253f.) (85) Man suche die kurzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten P und Q im Innem eines spitzwinkligen Dreiecks, wenn der Weg die Seiten des Dreiecks in einer vorgeschriebenen ReihenfoJge beriihren soIl. (Siehe S. 254.) (86) In einer FIache uber einem dreifach zusammenhangenden Gebiet, deren Randlinie in einer horizontalen Ebene liegt, zeichne man die H6henlinien und weise die Existenz von mindestens zwei Sattelpunkten nacho (Siehe S. 262.) Wieder muB der Fall, in dem die Beriihrungsebene langs einer ganzen geschlossenen Kurve horizontal ist, ausgeschlossen werden.

385

Maxima und Minima

(87) Ausgehend von zwei beliebigen positiven rationalen Zahlen a o und bobilde man SchrittfUr SchrittdieZahlenpaareafl +! = Vaflb fl , bfl+! = ~ (a n + bfl)' Manzeige, daB sie eine Intervallschachtelung definieren. (Der Grenzpunkt fur n ~ 00, das sogenannte arithmetisch-geometrische Mittel von a o und bo, spielte in den fruhen Untersuchungen von GAUSS eine groBe Rolle.) (88) Man bestimme die Gesamtlange der Strecken in der Fig. 219 und vergleiche sie mit der Summe der beiden Diagonalen. (·89) Man untersuche die Bedingungen fur vier Punkte AI> As, As, A" die entscheiden, ob sie zu Fig. 216 oder zu Fig. 218 fuhren. (·90) Man suche Systeme von funf Punkten auf, fur die es verschiedene StraBennetze gibt, welche die Winkelbedingung erfiillen. Nur einige von ihnen ergeben relative Minima. (Siehe S. 273.) (91) Man beweise die Schwarzsche Ungleichung (~bl+ ••.

+ aflbfl)2

~ (a~

+ ... + a~)

(b~

+ ... + b~)

,

die flir ein beliebiges System von Zahlenpaaren ai' bi gilt; man weise nach, daB das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn die at den bi proportional sind. (Anleitung: Man verallgemeinere die algebraische Formel der Aufgabe 8.) (·92) Aus n positiven Zahlen Xfl bilden wir die Ausdrticke Sk, die durch

"l> ... ,

Sk=

XIX1'" XJ:+'" (~)

definiert sind, wobei das Symbol .. + ... " bedeutet, daB aIle (~) Produkte aus Kombinationen von k dieser GroBen addiert werden sollen. Dann solI gezeigt werden, daB

V

1:+1

S k+l

~

J:

VS;,

worin das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn alle GroBen Xi einander gleich sind. (93) Fur n = 3 sagen diese Ungleichungen aus, daB fur drei positive Zahlen a, b, c gilt:

ravc_y1/ ab + ae3 + be

IT,;j;-;:b ::;;.

::;;. a

=-

+ 3b + e

.

Welche Extremaleigenschaften des Wurfe1s ergeben sich aus diesenUngleichungen? (·94) Man ermittle den kiirzesten Kurvenbogen, der zwei Punkte A, B verbindet und mit der Strecke AB einen vorgeschriebenen Flli.cheninhalt einschlieBt. (Losung: die Kurve muB ein Kreisbogen sein.) (·95) Gegeben sind zwei Strecken A B und A' B'; gesucht ist ein Bogen, der A und B und ein zweiter, der A' und B' verbindet, derart, daB die beiden Bogen mit den beiden Strecken eine vorgeschriebene Flache einschlieBen und eine minimale Gesamtlli.nge haben. (Losung: die Kurven sind Kreisoogen mit demselben Radius.) (·96) Dasselbe fur eine beliebige Anzahl von Strecken, A B, A' B', usw. (·97) Auf zwei von 0 ausgehenden Halbgeraden sollen zwei Punkte A bzw. B gefunden und durch eine Kurve minimaler Lange verbunden werden derart, daB die von ihr und den Halbgeraden eingeschlossene FlachengroBe vorgeschrieben ist. (Losung: die Kurve ist ein Stuck eines Kreises urn 0.) (·98) Dasselbe Problem, aber jetzt solI der Gesamtumfang des eingeschlossenen Gebietes, d. h. der Bogen plus OA plus OB, ein Minimum sein. (LOsung: die Kurve ist ein nach auBen gewolbter Kreisbogen, der die beiden Geraden beriihrt.) Courant u. Robbins, Mathematik

25

Anhang

386

(·99) Dasse1be Problem filr mehrere Winkelsektoren. (·100) Man beweise, daB die nahezu ebenen Flii.chen der Figur 240 nicht eben sind, abgesehen von der stabilisierenden Flii.che in der Mitte. Zu beach ten : Die Bestimmung und analytische Kennzeichnung dieser gekriimmten Flii.chen ist ein noch ungelostes Problem. Dasselbe gilt von den Flii.chen der Figur 251. In Figur 2.58 dagegen haben wir tatsachlich zwolf symmetrische ebene Flachen, die langs der Diagonalen unter 1200 zusammentreffen. Hinweise filr einige weitere Seifenhautexperimente: Man filhre die in den Fig. 256 und 257 angedeuteten Experimente filr mehr als drei Verbindungsstabe durch. Man untersuche die GrenzfaIle, wenn der Luftinhalt gegen Null strebt. Experimente mit nichtparaIlelen Ebenen oder sonstigen Flii.chen. Die wfirfelformige Blase in Fig. 258 ist durch Einblasen von Luft zu vergroBem, bis sie den ganzen Wiirfel erftlllt und iiber die Kanten hinausschwillt. Dann sauge man die Luft wieder ans, so daB sich der Vorgang wieder umkehrt. (·101) Man bestimme zwei gleichseitige Dreiecke mit gegebenem Gesamtumfang und minimaler GesamtBache. (Losung: die Dreiecke miissen kongruent sein. [Differentialrechnung anwenden IJ) (·102) Man bestimme zwei Dreiecke mit gegebenem Gesamtumfang und maximaler GesamtBache. (Losung: das eine Dreieck entartet zum Punkt, das andere ist gleichseitig.) (·103) Man bestimme zwei Dreiecke mit gegebenem Gesamtinhalt und minimalem Gesamtumfang. (·104) Man bestimme zwei gleichseitige Dreiecke mit gegebenem Gesamtinhalt und maximalem Gesamtumfang. Infinitesimalrechnung

Vf+X. VI +

V: +!

(105) Man differenziere die Funktionen Xl. durch direkte Anwendung der Ableitungsdefinition, indem man den Differenzenquotienten bildet und so umformt, daB der Grenzwert leicht durch Einsetzen von Xl = X ermittelt werden kann. (Siehe S. 319.) (106) Man beweise, daB aIle Ableitungen der Funktion y = r l/z', wobei y = 0 fiir X = 0 sein soIl, an der Stelle X = 0 den Wert Null haben. (107) Es ist zu zeigen, daB die Funktion der Aufgabe (106) sich nicht in eine Taylorsche Reihe entwickeln laBt. (Siehe S. 364.) (108) Es sind die Wendepunkte (I" (x) = 0) der Kurven y = r z' und y = xe-III' zu bestimmen. (109) Man beweise, daB fiir ein Polynom 1(x), dessen n Wurzeln Xl' X., • •• , XII aUe voneinander verschieden sind, die Formel gilt

E

f'(tr} = _1_ f(tr} i - I tr - tr, •

(·110) Mit Hilfe der direkten Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe ist zu beweisen, daB filr n ~ 00 n(

1

1

1

11 +,.1 + 21 +,.1 + ... + ,.1 +,.1

)

n

~ 4" .

Intinitesimalrechnung

387

(*111) Man beweise auf ahnliche Weise, daB . nb) b nb (.sm nb + sm. n2b +··· + SInn -+ cos -

1

.

(112) Indem man Figur 276 in groBem MaBstabe auf Koordinatenpapier zeichnet und die kleinen Quadrate auszahlt, solI ein Naherungswert fUr:lt gefunden werden. (113) Man benutze die Formel (7) S. 336 zur numerischen Berechnung von :It mit einer garantierten Genauigkeit von mindestens 1/100. (114) Man beweise, daB en' = -1. (Siehe S. 365.) (115) Eine geschlossene Kurve von gegebener Gestalt wird im Verhiiltnis 1: x vergroBert. L (x) und F (x) bedeuten Lange und FIache der vergroBerten Kurve. L(x) 0 fU' r x -+ 00 und allgememer . L(x) 0 fU'r x -+ 00, wenn . d aB F(x) Man zetge, -+ F(x).I: -+

k > !. Man kontrolliere dies fUr den Kreis, das Quadrat und *dieEllipse. (Die Flache ist von hOherer GroBenordnung als der Umfang. Siehe S. 358.) (116) Haufig kommt die Exponentialfunktion in besonderen Verbindungen vor, die folgendermaBen definiert und geschrieben werden:

v=

u = sinh x = ! (e z - e- z ) , W

= tanh x =

coshx = ! (eZ+ e- Z )

,

t/"-e- Z t/" e '"

+

und die als hyperbolischer Sinus, hyperbolischer Cosinus bzw. hyperbolischer Tangens bezeichnet werden. Diese Funktionen haben manche Eigenschaften, die denen der trigonometrischen Funktionen analog sind; sie stehen mit der Hyperbel v2 = 1 in etwa dem gleichen Zusammenhang wie die Funktionen u = cos x und v = sin x mit dem Kreise u2 + vl = 1. Der Leser moge die folgenden Tatsachen nachprfifen und mit den entsprechenden Tatsachen bei den trigonometrischen Funktionen vergleichen. US -

D coshx = sinh x ,

D sinhx = cosh x ,

D tanh x =

1

COShlX •

+ x') = sinh x cosh x' + cosh x sinh x' , cosh (x + x') = cosh x cosh x' + sinh x sinh x' . sinh (x

Die inversen Funktionen heiBen x = ar sinh u (sprich: Areasinus) = 1n(u + x=arcoshv=1n (v±Vv2-1) (v~l)undx=artanhw= !1n Ihre Ableitungen sind gegeben durch Darsinhu=

~,

Dar cosh v = 1

D ar tanh w = -1-·-w --I

•

±

1

y'fii=T'

V

US

+1}.

!~: (lwl 1) •

(Iwl < 1).

(117) Auf Grund der Eulerschen Formel kontrolliere man die Analogie zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Funktionen. (*118) Man stelle einfache Summationsforme1n auf fUr sinhx + sinh 2 x +

... + sinhnx 25*

388

Anhang

und 1

"2+ cosh x + cosh 2x + ... + coshnx, analog zu den in Aufgabe 14 angegebenen fur die trigonometrischen Funktionen.

Integrationstechnik Der Satz auf S. 334 fuhrt das Problem, eine Funktion f (x) zwischen den Grenzen a und b zu integrieren, darauf zurUck, eine primitive Funktion G(x) fUr f(x) zu finden, d. h. eine so1che, fUr die G' (x) = f(x) ist. Das Integral ist dann einfach G(b) - G(a). Fur diese primitiven Funktionen, die durch f(x) (his auf eine willkurliche additive Konstante) bestimmt sind, ist der Name "unbestimmtes Integral" und die Schreibweise G(x) = J f(x) dx ohne Integrationsgrenzen gebrauchlich. (Diese Schreibweise konnte auf den Anfanger verwirrend wirken; vgl. die Bemerkung auf S. 333.) Jede Differentiationsformel enthii.lt zugleich die Losung eines unbestimmten Integrationsproblems, da man sie einfach umgekehrt als Integrationsformel interpretieren kann. Wir konnen dieses etwas empirische Verfahren mit Hilfe zweier wichtiger Regeln erweitern, die nur das Aquivalent der Regeln ffir die Differentiation von zusammengesetzten Funktionen und von Produkten mehrerer Funktionen sind. Fur die Integration heiBen diese die Regeln der Integration durch Substitution und der Produktintegration oder partiellen Integration. A) Die erste Regel ergibt sich aus der Formel fur die Differentiation einer zusammengesetzten Funktion, H(u) = G(x), worin x = tp (u) und u = tp (x) Funktionen voneinander. sein sollen, die in dem betrachteten Intervall eindeutig definiert sind. Dann haben wir H' (u)

G' (x) tp' (u) .

=

1st G'(x)

=

so konnen wir schreiben G(x)

f(x),

J f(x)dx

=

und auch G'(X)tp/(U)

=

f(x)tp'(u),

was gemaB der oben angegebenen Formel ffir H' (u) aquivalent ist zu H(u)

=

J f(tp(U))tp/(U)du.

Folglich ist, wegen H(u)

=

G(x),

(I)

J f(x)ax = J f(tp(u»

tp' (u)au.

In der Leibnizschen Schreibweise (siehe S. 330) erhii.lt diese Regel die suggestive Form

f

f(x)dx=

f

f(x) :: au,

389

Integrationstechnik

das heiBt, daB das Symbol dx durch das Symbol :: du ersetzt werden darf, genau als ob dx und du Zahlen waren und :: ein Bruch. Wir wollen die Niitzlichkeit der Fonne1 (I) an einigen Beispielen demonstrieren. a) ] =

fu

Rier gehen wir von der rechten Seite von (I) aus, indem

_}1_ duo nu

wir x = In u =

tI, (u) T

setzen. Wir haben dann

oder

f u:u

tIl'

T

(u) =

-.!., / (x) = -.!.; X "

folglich ist

=lnlnu.

Wir konnen dieses Resultat nachpriifen, indem wir beide Seiten differenzieren.

= Wir erhalten _}1_ u nu b) ] =

f

dd

cotu du =

(In In u), was sich leicht als richtig nachweisen HiBt.

f :~::

u

duo Setzt man x = sin u = tp(u), so hat man 1

"1" (u) = cos u ,

und daher J= oder

f

/(x) =-;

dX

--;-=Inx

J CQtudu =

lnsinu. '.1

Dieses Resultat kann wieder durch Differenzieren bestatigt werden. c) Raben wir ganz allgemein ein Integral von der Fonn

f

] =

y'(u) y(u)

du

,

so setzen wir x = tp(u), /(x) = l/x und erhalten

d) ] =

J

f

d"

-;-=Inx=lntp(u).

sin x cos x dx. Wir setzen sin x = u, cos x = :: . Dann ist

)] J

e

J=

=

J

u :: d x =

] = }n u d

-u-

U.

J

u du =

W·lr setzen In u = x,

J=

f

x :: du=

f

U1

xdx=

~I = ~ =

dx

d,,'

sins x .

Dann 1St .

~I = ~

(Inu)s.

In den folgenden Beispielen wenden wir (I) an, gehen aber von der linken Seite aus.,

f) ] =

f ;; . Man setze y'X = u. Dann ist x = u ] =

J~

2u du = 2u = 2

2

und :: = 2u. Daher ist

yx.

g) Durch die Substitution x = au, in der a eine Konstante ist, finden wir

J

a2

+

dx

,,2

= J~'''' ~_l_du_ J2.~=2.arctan~ d u a' 1 + US a 1 + u· a a .

390

Anhang

h) 1 =

JVI 1 =-

Xl d x.

J.

Man setze x = cos u,

2 d smu U=-

J

1 - cos 2u

2

Benutzen wir sin 2u = 2 sinu cosu = 2 cosu

1=

-

:: = -sin u. Dann ist

1

d u=-2 u + sin 2u -4-'

VI - cos2;-, so haben wir 1

2 arc cos x + 2

X

1~

r 1 - x2 •

Die folgenden unbestimmten Integrale sind auszuwerten und die Ergebnisse durch Differenzieren zu kontrollieren:

(119) (121) (123) (125) (127)

J + J J +d; + J yT+t2 J~ . J udu

u!- u

(120)

1

(122)

U(!UU)" • Xl

t2 I

I

(124)

dt .

(126) (128)

dt.

t

J

ue"·du.

J !X J + ::x + J + J JVal + 3

4x

dx .

b

Xl

t I VI-II

dt.

cos"t . sin t dt .

I x dx (129) Man bewelSe, daB al dx Xl = -; . ar tanh -; ; (Vgl. die Beispiele g, h). B. Die Regel (S. 325) ftir die Differentiation eines Produktes

(P(x)· q(x))'= P(x)· q'(x) kann als Integralformel geschrieben werden:

p (x) . q(x)

oder (II)

=

f

Xl

arsinh":" . a

+ P'(x)· q(x)

P(x)q' (x)dx + f p' (x)q(x) dx

f

P(x) q'(x) dx = P(x) q(x) - f P'(x) q(x) dx. In dieser Form heiBt sie die Regel ftir die Produktintegration oder partielle Integration. Diese Regel ist ntitzlich, wenn die zu integrierende Funktion als Produkt von der Form P(x)q'(x) geschrieben werden kann, wobei die primitive Funktion q (x) von q' (x) bekannt ist. In diesem Falle reduziert die Formel (II) das Problem, das unbestimmte Integral von p (x)q' (x) zu finden, auf die Integration der Funktion P'(x)q(x), die sich haufig viel einfacher durchftihren laBt. Beispiele: a) 1 = f In xdx. Wir setzen P(x) = In x, q'(x) = 1, so daB q(x) = x. Dann liefert (II) IlnXdx=xlnX- I

;dx=xlnx-x.

b) ] = f x In x d x. Wir setzen p (x) = In x, q' (x) = x. Dann ist XlIX' Xl Xl 1=21nx- ZXdx=21nx-T' c)

1=f

x sin x dx. Hier setzen wir P(x) = x, q(x) = - cos x und finden

f

x sin x dx

= -

x cos x + sin x.

391

Integrationstechnik

Man werte die folgenden Integrale durch partielle Integration aus: (130) J%ezd%

(13l) J%lJln%d%

(132) J %2cos %d%

(133) J %2e"d%

(Anleitung: (II) ist zweimal anzuwenden.)

(Anleitung: man benutze das Beispiel (130}.)

(a=F-l)

Partielle Integration des Integrals J sinm%d %fUhrt zu einem bemerkenswerten Ausdruck fUr die Zahl n als unendliches Produkt. Urn diesen abzuleiten, schreiben wir die Funktion sinm%in. der Form sinm- 1 %• sin % und integrieren partiell zwischen den Grenzen 0 und n/2. Dies fUhrt auf die Formel n/2

3/2

o

0

J sinm%d%= (m-l) J sinm-2%cos2 %d% 3/2

3/2

=-(m-l)J sinm%d%+(m-l)J sinm-z%d% o 0

oder

f

11/2

f

11/2

sinm%d% =

mm 1

sinm- I %d% ;

o 0 denn das erste Glied auf der rechten Seite von (II), pq, verschwindet fUr die Werte o und n/2. Durch wiederholte Anwendung der letzten Formel erhalten wir den n/2

folgenden Wert fUr 1m= J sinm%d% (die Formeln unterscheidensich, jenachdem, o ob m gerade oder ungerade ist): 1

2n - 1

2"=~·

2n - 3 2n-2··

1 n

·22'

2n 2n - 2 2 2n + 1 . 2n - 1 . . . 3" "

lin+! =

Da 0 < sin x < 1 fUr 0 < x < n/2, haben wir sinln - 1 x> sinh x> sinh+! x, so daB (siehe S. 314) oder

Setzen wir die oben fUr 11n - 1 usw. berechneten Werte in die letzten Ungleichungen ein, so ergibt sich 2n+l >~"1.."1.."~"~"~""" 211.-1" 211.+1 "~>1 2

211.

2

4

4

6

6

211.

211.

2

"

Wenn wir jetzt zur Grenze fUr n,.. 00 Ubergehen, so sehen wir, daB der mittlere Ausdruck gegen 1 strebt; also erhalten wir die Wallissche Produktdarstellung fUrn/2: n

2

2

4

4

6

6

2=T·a"a"s"s"'f·"" .

= lim

211. 211. 211.-1" 211.+1

2'-(nl)· [(2n) 1)1 (2n

+ 1)

,

wenn n ,.. 00

•

Hinweise auf weiterfiihrende Literatur Allgemeine Hinweise AHRENS, W.: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 2. Aud., 2 Bande. Leipzig 1910 und 1918. BELL, E. T.: The development of mathematics, 2. Aud., New York 1945. - Men of mathematics. New York 1937 (auch: Penguin Book 1953). ENRIQUES, F. (Herausgeber): Fragen der Elementargeometrie, 2. Aud., 2 Binde. Leipzig 1923. KASNER, E., U. J. NEWMAN: Mathematics and the imagination. New York 1940. KLEIN, F.: Elementarmathematik vom hOheren Standpunkte aus, 3. Aud., 2 Bande. Berlin 1924 und 1925. KRAiTCHIK, M.: La mathematique des jeux ou recreations mathematiques, 2. Aud. Briissel und Paris 1953. NEUGEBAUER, 0.: Vorlesungen uber Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band: Vorgriechische Mathematik. Berlin 1934. RADEMACHER, H., U. O. TOEPLITZ: Von Zahlen und Figuren, 2. Aud. Berlin 1933. RousE BALL, W. W.: Mathematical recreations and essays, 11. Aud., hrg. von H. S. M. COXETER. New York 1939. RUSSELL, B.: Einfiihrung in die Mathematische Philosophie. t)bertragung aus demEnglischen. Darmstadt und Genf 1953. STEINHAUS, H.: Kaleidoskop der Mathematik. Deutsche Ausgabe. Berlin 1959. VAN DER WAERDEN, B. L.: Erwachende Wissenschaft. Basel 1956. WEYL, H.: The mathematical way of thinking. Science 92,43711. (1940). - Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Handbuch der Philosophie, Band II S. 3-162. Munchen 1926.

Kapite1 I DICKSON, L. E.: Einfuhrung in die Zahlentheorie. Deutsche Ausgabe, hrg. von E. BODEWIG. Leipzig 193I. - Modern elementary theory of numbers, 3. Aud. Chicago 1947. HARDY, G. H.: An Introduction to the theory of numbers. Bull. Am. Math. Soc. 35, 778--818 (1929). - u. E. M. WRIGHT: Einfuhrung in die Zahlentheorie. t)bersetzt von H. RUOFF. Munchen 1958. HASSE, H.: Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1950. SCHOLZ, A.: Einfiihrung in die Zahlentheorie, 2. Aud., hrg. von B. ScHONEBERG. Sammlung GOschen, Band 1131. Berlin 1955.

KapitellI BIRKHOFF, G., and S. MACLANE: A survey of modern algebra, 10. Aud. New York 1951. ENRIQUES, F.: Zur Geschichte der Logik, Deutsch von L. BIEBERBACH. Leipzig und Berlin 1927. FRAENKEL, A.: Einleitung in die Mengenlehre, 3. Aud. Berlin 1928. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. Aud. Cambridge 1952. HILBERT, D., U. W. ACKERMANN: Grundziige der theoretischen Logik, 4. Aud. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1959. KNopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 4. Aud. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1947. PERRON, 0.: Irrationalzahlen. Berlin 1947. TARSKI, A.: Einfiihrung in die Mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik. Wien 1937.

Kapitel m

ARTIN, E.: Galoissche Theorie. Leipzig 1959. BIEBERBACH, L.: Theorie der geometrischen Konstruktionen. Basel 1952.

Hinweise auf weiterftihrende Literatur

393

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Kapitel IV BLASCHKE, W.: Projektive Geometrie, 3. Aufl. Basel und Stuttgart 1954. COXETER, H. S. M.: Non-Euclidian geometry, 3. Aufl. Toronto 1957. GRAUSTEIN, W. C.: Introduction to higher geometry. New York 1930. HESSENBERG, G.: Grundlagen der Geometrie. Berlin und Leipzig 1930. HILBERT, D.: Grundlagen der Geometrie, 8. Aufi. Stuttgart 1956. O'HARA, C. W., and D. R. WARD: An introduction to projective geometry. Oxford 1937. ROBINSON, G. DE B.: The foundations of geometry, 2. Aufi. Toronto 1946. SACCHERI, G.: Euclides ab omni naevo vindicatus. Englische tl'bersetzung von G. B. HALSTED. Chicago 1920. VEBLEN. 0., and J. W. YOUNG: Projective geometry, 2. Bande, Boston 1910 und 1918.

Kapitel V ALEXANDROFF, P.: Einfachste Grundbegriffe der Topologie. Berlin 1932. HILBERT, D., U. S. COHN-VOSSEN: Anschauliche Geometrie. Berlin 1932. NEWMAN, M. H. A.: Elements of the topology of plane sets of points. 2. Aufl. Cambridge 1951. SEIFERT, H., U. W. THRELFALL: Lehrbuch der Topologie. Leipzig 1934.

Kapitel VI COURANT, R.: Vorlesungen iiber Diflerential- und Integralrechnung, 3. Aufl., 2 Bande. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1955. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. Auf!. Cambridge 1952. OSTROWSKI, A.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, Band lund U,2. Aufl. Basel/Stuttgart 1960. Ftir die Theorle der Kettenbrtiche siehe Z. B. PERRON, 0.: Die Lehre von den Kettenbrtichen, 3. AufI., 2 Bande, Stuttgart 1954 und 1957.

Kapitel VII COURANT, R.: Soap film experiments with minimal surfaces. Am. Math. Monthly 47,167-174 (1940). PLATEAU. J.: Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur. Mem Acad. Roy. Belgique, nouvelle serle 23, XXIII (1849). Statique experimentale et tMoretique des Liquides. Paris 1873.

Kapitel VIII BOYER, C. B.: The concepts of the calculus. New York 1939. COURANT, R.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, 3. Auf!., 2 Biinde. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1955. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. AufI. Cambridge 1952. OsTROWSKI, A.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, Band I und II, 2. Aufl. Basel/Stuttgart 1960. TOEPLlTZ, 0.: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1949.

Sachvetzeichnis Abbild\Jng 112 abhiingige Variable 209 Ableitung 315-329 -, zweite 322-324 absoluter Betrag 46 Abstand 59, 240 Abzii.hlbarkeit der rationalen Zahlen 63 - 64 Achsen eines Kege1schnittes 60-61 - (Koordinatenachsen) 59 Addition irrationaler Zahlen 56 - 57 komplexer Zahlen 72 natiirlicher Zahlen 1-2 rationaler Zahlen 43 von Mengen 87 Adjunktion von Quadratwurzeln 105-106 .Aquivalenz von Mengen 62 Algebra, BooLEsche 90 - der ZahlkOrper 93 - 112 -, Fundamentalsatz der 80-82, 204-206 algebraische Gleichung 80, 204 - Zahlen 82 Algorithmus, Definition 35 -, euklidischer 34-41 analytische Geometrie, 58-61, 148-152, 374-379 - -, n-dimensionale 174-176 ApOLLONIUS, Problem des 93, 99-101, 127 Arbeit 355-356 Archimedes, Dreiteilung des Winkels nach 110 Arithmetik, Fundamentalsatz der 19, 38 -, Gesetze der 1- 4 arithmetische Folge 21, 373 - Folgen, Primzahlen in 21- 22 - Reihe 10-11 arithmetisches Mittel 274-276 assoziative Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zahlen 43 Asymptoten der Hyperbel 61 asymptotisch gleich 24 ausgeschlossenes Drittes, Prinzip vom 69 AusscMpfungsmethode 304 Axiomatik 163-166 Axiome 163 -166 Bereich (Gebiet) einer Variablen 208 Beschleunigung 322 beschrankte Foige 224-225 Bewegung, ergodische 268 -, starre 113

Beweis, Existenz- 69 -, indirekter, konstruktiver 68-69 Bildpunkt einer Abbildung 112 Binomialreihe 363 binomischer Satz 13-15 BogenmaLl 211-212 BoLZANO, Satz von 237 -239 -, - -, Anwendungen 241-244 BooLESChe Algebra 90 Brachystochrone 288, 290-291 Brennpunkte eines Kegelschnittes 60-61 BRIANCHON, Satz von 147, 161-162 Briiche, Dezimal- 49-51 -, Ketten- 40-41,229-230 CANTORS Punktmenge 189-190 - Theorie der unendlichen Mengen 62-68 cartesische (rechtwinklige) Koordinaten 59 Charakteristik, EULERsche 181-184, 197 -198, 199, 381 DEDEKINDscher Schnitt 57 -58 Deformation 185 Delta (.1) 306 DE MOlvREsche Formel 77 DESARGUESscher Satz 134-135, 145-146 Dezimalbriiche 49 - 51 -, unendliche 51 Dichte der rationalen Zahlen 46 Differential329-331 Differentialgleichungen 346 - 352 Differentialquotient 330 Differentiation 316 Differentiationsregein 325 - 327 Differenzenquotient 316 Differenzierbarkeit 353-354 Dimension 189-192 diophantische Gleichungen 40 - 41 DIRICHLETsches Prinzip 279 distributive Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zahlen 43 Divergenz von Folgen 223 - von Reihen 361 Division durch Null 45, 72 Doppeiverhliitnis 136-140, 144 Drehsinn eines Winkels 125 Dreiecke, Extremaleigenschaften von 252, 253-254,264-268,269-272 Dreiteilung des Winkels 93, lOS-Ill - - - nach Archimedes 110

Sachverzeichnis Dualitatsprinzip inderGeometrie 147, 149 bis 152, 160, 166 - in der Mengena1gebra 89 Duodezimalsystem 5 Durchschnitt von Mengen 87 dyadisches System 7 Dynamik, NEWToNsche 351-352 " EULERsche Zah1226-227 -, - -, als Basis des natiirlichen Logarithmus 339 -, - -, a1s Grenzwert 342-343 -, - -, Ausdriicke fiir 227,230 -, - -, Irrationalitat von 227 Ebene, uneigentliche (unendlich feme) 144 Ecole Polytechnique 132 eindeutige Zerlegung in Primzahlen 19, 38 eineindeutige Zuordnung 62 einfach zusammenhil.ngend 186 einfache geschlossene Kurve 186 einfaches Polyeder 181 Einheitskreis 75 Einheitswurzeln 78-80 einseitige Flii.chen 198-200 Ellipse, Gleichung der 60 -, Tangentialeigenschaften der 254-255 elliptischc (Riemannsche) Geometrie 172 -17" - Punkte 173 empirische Induktion 8 Epizykloide 122 ERATOSTHENES, Sieb des 20 ergodische Bewegung 268 Erlanger Programm 131 Erweiterungsk6rper 104 euklidischer Algorithmus 34-41 EULERSChe Charakteristik 181-184, 197 bis 198, 199, 381 - IP-Funktion 39 Existenz, mathematische 70 Existenzbeweis 69 . experimentelle L6sungen von Minimumproblemen 292-301 Exponentialfunktion 339-343 -, Difierentiaigleichung der 346-349 -, GrOBenordnung der 358-360 Extrema und Ungleichungen 274-277 ExtremaIprobleme 251-301 -, allgemeines Prinzip bei 258-260 - in der elementaren Geometrie 252-258 -mit Randbedingungen 285-288 extreme Abstinde von einer Kurve 256-258 Exzentrizitat 60-61 FarbungeinerLandkarte 188-189, 200-202 Fakultat (!) 14 FERMATS letzter Satz 32-34 FERMATSChe Zahlen 21,94 FERMATscher Satz 30, 40

395

FERMATsches Prinzip 289-290 Fixpunktsatz 192-195 Flii.che unter einer Kurve 303-305, 355 Flii.chen, einseitige 198-200 - zweiter Ordnung 162-163 Folgen 220-230 -, beschril.nkte 224 - 225 -, konvergente, divergente, oszillierende 223 bis 224 -, monotone 224 -226 -, Satz iiber 240-241 Formalisten 70, 164 Fiinfeck, Konstruktion des regulii.ren 79, 98 Fiinffarbensatz 200-202 Fundamentalsatz der Algebra 80-82, 204-206 - der Arithmetik 19, 38 - der Infinitesimalrechnung 332 Funktion, Definition 208 - einer komplexen Variablen 365 - 367 -, Graph einer 212 _., inverse 212-214 -, konvexe 384 - mehrererVariabler 217-219 -, monotone 214 -, primitive 333 -, stetige 236 -, zusammengesetzte 214-215 Funktionen und Grenzwerte 207 - 250 ganze Zahlen, negative 44 - -, positive 1-8 GAussscher Satz 80 gedimpfte Schwingungen 350 Gelenkmechanismen 123-124 geodli.tische Linien 173 - - auf einer Kugel 291-292 Geometrie, anaiytische 58-61, 148-152, 374-379 -, Axiome der 163-166 -, elliptische (RxEMANNsche) 172 -174 -, Extremaiprobleme in der elementaren 252-258 -, hyperbolische 166-172 -, Inversions- 112-117, 125-129 -, kombinatorische 176-179 -, metrische 133 -, n-dimensionale 174-179 -, nichteuklidische 166-174 -, projektive 130-163 -, RxEMANNsche (elliptische) 172 -174 -, synthetische 130 -, topologische 180-206 geometrische Abbildung (Transformation) 112-113, 130-131 Konstruktionen, Theorie der 93-129, 152-153

396

Sachverzeichnis

geometrisches Mittel 274-276 Gerade, Gleichung der 60, 375-377 -, uneigentliche (unendlich feme) 142 Geraden, konkurrente 133 -, koplanare 138 Geradenbftndel 157 Geschlecht einer FllI.che 195-197, 199 Geschwindigkeit 321-323 Gleichung der Ellipse 60, 379 der Geraden 60,375-377 - der Hyperbel 61, 379 - des Kreises 60 -, diophantische 40-41 - einer Kurve 60-61 -, KreisteUungs- 79 -, kubische 107,108-109 -, quadratische 73-74,230 -, Vie1fachheit von Wurzeln einer 81 -, Wurzeln einer 80 GOLDBACBsche Vermutung 24-25 goldener Schnitt 98 Graph einer Funktion 212 Grenzwerle 220 - 244 - bei stetiger Anniiherung 231- 237 -, Beispiele von 243 - 249 durch Iteration 248-249 unendlicher Dezimalbriiche 51-53 von Folgen 220-230 von geometrischen Reihen 52-53 griechische Probleme 93, 107-112 GroBenordnungen 358-360 grOBter gemeinsamer Teller 35-37 Grundlagen der Mathematik 70-71 Gruppcn 132 Haufungsstellensatz 240 Halbierung einer Strecke mit dem Zirkel allein 116 harmonisch konjugiert 137 harmonische Reihe 367 HAR'IScher Inversor 124 HERON, Satz des 252 HOhenlinien 218 homogene Koordinaten 150-152 Hftllkurve eines Kegelschnittes 160 Hyperbe1, G1eichung der 61, 379 -, Tangentialeigenschaften der 254-256 hyperbolische Funktionen 387 - Geometrie 166-172 - Punkte 173 llyperbolisches Paraboloid 218 Hyperboloid 162-163 Hyperebene 175 Hypozykloide 122 imaginire Zahlen (s. komplexe Zahlen) Indexwerle 4

indirekter Beweis 68 - 69 Induktion, empirische 8 -, mathematische 8-16 Infinitesimalrechnung 302-372, 386-391 -, Fundamentalsatz der 332 inkommensurab1e Strecken 47-49 Integral 303-314, 355, 388-391 Intervall 46 Intervallschachte1ung 55 Intuitionisten 69, 164 Invarianz 130-131 - des Doppe1verhiltnisses 135-136 - von Winkeln bei Inversion 125-126 inverse Funktionen 212-214 Operationen 3 - Punkte 113 - -, Konstruktion von 115-116 Inversionsgeometrie 112-117, 125-129 Inversoren 123-124 inzident 133 irrationa1e Zahlen, als unendliche Dezimalbriiche 51 -, definierl durch Folgen 58 -, - durch Intervallschachtelung 55-57 -, - durch Schnitte 57-58 isoperimetrische Prob1eme 283-285 Iteration, Grenzwerl durch 248-249 JORDANscher Kurvensatz 186-187,202-204 Kardinalzahlen 67-68 Karte, regulire 201 Kege1schnitte 153-162 - als Hiillkurve 158-160 -, Gleichungen von 59-61 -, metrische Definition von 154,378-379, 380 -, projektive Definition von 157 Kettenbruche 40-41, 229-230 Klassifikation (topologische) der Flii.chen 195-200 KLEINsche Flasche 199 KLEINSChes Modell 168-170 kleinste natiirliche Zahl, Prinzip der 15-16 - Quadrate, Methode der 276-277 Knoten 195 koaxiale Ebenen 138 KOrper45 kollineare Punkte 133 kombinatorische Geometrie 176-179 kommutative Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zah1en 43 kompakte Menge 240 Komplement einer Menge 89 komplexe Variable, Funktionen einer 365 bis 367

Sachverzeichnis komplexe Zahlen 71-82 -, absoluter Betrag von 75 -, Modul von 75 -, Operationen mit 72-73 -, trigonometrische Darstellung von 76 -, Winkel von 75 Kongruenz geometrischer Figuren 130 Kongruenzen 26-32 konjugiert komplex 74 konkurrente Geraden 133 Konstante 208 konstruierbare Zahlen, Definition 106 - - und Zahlkorper 101-107 Konstruktion, geometrische 93-129 rationaler Gro.l3en 95-97 regularer (regelma.l3iger) Vielecke 97 -99 von Quadratwurzeln 97 von Zahlkorpem 97, 101-106 Konstruktionen, MASCHERONI- 117 -120 mit dem Lineal allein 120, 152-153 - mit dem Zirkel allein 116-120 - mit verschiedenen lnstrumenten 112-129 konstruktiver Beweis 69 Kontinuum, Zahlen- 55 -, -, Nichtabzii.hlbarkeit des 65-66 Kontinuumhypothese 70 Konvergenz von Folgen 221-223 - von Reihen 361 Koordinaten 59, 148 -, cartesische (rechtwinklige) 59 -, homogene 150-152 koplanare Geraden 138 Kreisg1eichung 60 Kreismittelpunkt, Bestimmung des, mit dem Zirkel allein 116 Kreisteilungsgleichung 79 Kreuzhaube 199 Krummung, mittlere 293 Kurve, glatte 260 -, Gleichung einer 59-61 Lange einer Kurve 356-358 leere Menge 15 LEIBNIzsche Formel fur 11 336-337 Lichtstrahlen, Dreiecke aus 267-268 -, Extremaleigenschaften von 252-253 LIOUVILLEscher Satz 83-85 In(n!), Gro.l3enordnung von 360 Logarithmus, natiirlicher 23, 337 -339, 342-346, 359-360 Logik, mathematische 69-71, 89-90 logische Summe (5. Vereinigung) logisches Produkt (s. Durchschnitt) MASCHERONI-Konstruktionen 117 -120 mathematische lnduktion 8-16 - Logik 69-71,89-90

397

Maxima und Minima 251-301, 324, 329 mechanische Gerate, Konstruktionen mit 121-122 mehrfach zusammenhangend 186 Menge 62 -, kompakte 240 -, Komp1ement einer 89 -,leere 15 Mengen, Aquivalenz von 62 Mengenalgebra 86 - 92 Minimaxpunkte 261-263 Mittel, arithmetisches 274-276 -, geometrisches 274-276 Modul einer komplexen Zahl 75 modulo 426 MOBIUssches Band 198-200 monotone Fo1ge 224 - Funktion 214 MORSE und die Theorie der stationaren Punkte 263 Fakultat (n!) 14 n-dimensionale Geometrie 174""': 179 llaturliche Zahl, Prinzip der kleinsten 15-16 - Zahlen 1-16 negative Zahlen 44 NEWToNsche Dynamik 351-352 Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums 65-66 nichteuklidische Geometrie 166-174

II

PAPPUS, Satz des 146 Paradoxien des Unendlichen 69-70 - des ZENO 232-233 Parallelenaxiom 167 Parallelitat und Unendlichkeit 140-144 PASCALScher Satz 146,147,161-162 PASCALsches Dreieck 14 PEAUCELLlERscher Inversor 123-124 Perspektive 133 Pflastersatz 191 11 112,227-229,230,336-337 PLATEAusches Problem 292 POINCAR~S Modell 171- 172 Polyeder 181 -, einfaches 181 - -formel, EULERsche 181-184 - im n-dimensionalen Raum 178 -, reguliire 181-184 Postulate 164 primitive Funktionen 333 Primzahl18 Primzahlsatz 22-24,369-372 Produkt, logisches (s. Durchschnitt) -, unendliches 229,368-369 projektive Geometrie 130-163 Transformation 131-134 - Zuordnung 139-158

398

Sachverzeichnis

Punkte, kollineare 133 Punktreihe 160 pythagorii.ische Zahlen 32-34 Quadrant 59 quadratische Gleichungen 73-74,230 - Reste 31-32 Quadratur des Kreises 112, 117 Quadratwurzeln, geometrische Konstruktion von 97 radioaktiver Zerfal1347-348 Randbedingungen bei Extremalproblemen 285-288 rationale GrODen, geometrische Konstruktion von 95-97 Zahlen 42-47 -, Abzll.hlbarkeit der 63-64 -, Dichte der 46 reelle Zahlen 47-58 - -, Operationen mit 57 Refiexion an einem Kreis 112-117 an einer oder mehreren Geraden 252 - 253 - in einem Dreieck 267 - 268 - in einem System von Kreisen 128-129 -, mehrfache 128-129 regulire Polyeder 181-184 - (regelmaDige) Vielecke, Konstruktion von 94, 97 -99, 379 Reihen, unendliche 51-53,361-365 Relativitatstheorie 174, 176 Reste, quadratische 31-32 RIEMANNSChe (elliptische) Geometrie 172-174 Sattelpunkt 261 Schnitt 57-58 SCHWARZSChes Dreiecksproblem 264-269, 286 Schwingungen 349-350 -, gedampfte 350 Sechseck, Konstruktion des reguliren 98 Seifenhautexperimente 292-301 Septimalsystem 5-7 Sieb des Eratosthenes 20 Siebeneck, UnmOglichkeit der Konstruktion des reguliren 111 sprunghafte Unstetigkeit 216 Stammfunktion (s. primitive Funktion) starre Bewegung 113 stationil.re Punkte 260-263 Steigung 315, 375 STEINBRSChe Konstruktionen 120, 152-153 STBlNERSChes Problem 269-274, 286-288, 298

Stellenschreibweise 4 stetig in beiden Richtungen 184 stetige Variable 208

Stetigkeit von Funktionen einer Variablen 215-217, 236-237, 249-250, 320-321 - - - mehrerer Variabler 219 StraDennetzproblem 273-274 Strecke 46 -, gerichtete 59 Summe der ersten n Kuben 12 - - - - Quadrate 12 synthetische Geometrie 130 Tangens 315 Tangentialeigenschaften von Ellipse und Hyperbe1254-256 TAYLORSChe Reihe 364 Topologie 180-206 - und stationare Punkte 262-263 topologische KIassi1ikation der Flachen 195-200 - Transformation 184 Torus 189 -, drei-dimensionaler 200 Trajektorie 268 Transformationen, geometrische 112-113, 130-131 -, Gleichungen von 219-220 -, projektive 131-134 -, topologische 184 transzendente Zah1en 82 Transzendenz von n 82, 112 trigonometrische Funktionen, Definition 211 Umkehrfunktionen (s. inverse Funktionen) unabbil.ngige Variable 209 uneigentiiche Elemente in der projektiven Geometrie 140-144 (unendlich ferne) Ebene 144 (- -) Gerade 142 (- -) Punkte 140-144 unendlich (00) 45, 62-71 unendlich klein 329-331 unendliche Dezimalbriiche 51 Kettenbriiche 229-230 - Produkte 229,368-369 - Reihen 51-53,361-365 Unendlichkeit der Menge der Primzahlen 18, 21,368 Ungleichungen 3, 13, 46, 75, 245, 274-277, 385 UnlOsbarkeit der drei griechischen Probleme 107-112 UnmOglichkeitsbeweise 95-112 unstetige Funktionen a1s Limites stetiger Funktionen 247-248 Unstetigkeit, sprunghafte 216 - von Funktionen 216-217 UnterkOrper 104

Sachverzeichnis Untermenge (Teilmenge) 87 -, echte 63 Urbildpunkt bei einer Abbildling 112 Variable (Veriinderliche) 208-211 -, abhiingige 209 -, allgemeiner Begriff der 208 -, komplexe 366 -, reelle 208 -, stetige 208 -, unabhiingige 209 Variationsrechnung 288 - 292 Verallgemeinerung, Prinzip der 45 Verdoppelung des Wiirfels 93, 107 - 108, 117 Vereinigung 87 Vielfachheit einer Wurzel einer algebraischen Gleichung 81 Vierfarbenproblem 188-189 Vierseit, vollstiindiges 139-140 Wachstumsgesetz 348 Wahrscheinlichkeitstheorie 91- 92 WALLIssches Produkt 369,391 WEIERSTRAssscher Extremwertsatz 239 bis 240, 241 Winkel einer komplexen Zahl 75 Wurzeln einer Gleichung 80

399

Zahlen, algebraische 82 -, FERMATsche 21, 94 -, Kardinal- 67-68 -, komplexe 71-82 -, konstruierbare 101-107 -, natiirliche 1- 16 -, negative 44 -, Prim- 17-26 -, pythagoraische 32 - 34 -, rationale 42-47 -, reelle 47 -58 -, transzendente 82 -, zusammengesetzte (zerlegbare) 18 Zahlenkontinuum 55 Zahlentheorie 17-41,369-372 Zahlkorper 97, 101-107 Zehneck, Konstruktion des reguliiren 97-98 Zerlegung, eindeutige 19, 38 Zeta-Funktion 367 - 368 Zinseszins 348 Zuordnung, projektive 139, 157 - zwischen Mengen 62 zusammengesetzte Funktionen 214 - 215 Zusammenhang 185-186 Zykloide 121-122, 288

Was ist Mathematik?, 5. Auflage

Was ist Mathematik? Fünfte Auflage

Vorkurs Mathematik, 5. Auflage

Taschenbuch der Mathematik, 5. Auflage

Mathematisch denken. Mathematik ist keine Hexerei, 5. Auflage

Was ist Was. Demokratie

Was ist Was. Türme

Was ist Was. Fernsehen

Was ist Was. Schlangen

Was ist Was. Pinguine

Was ist Was. Wölfe

Was ist Was. Mumien

Was ist Was. Mittelalter

Was ist Was. Naturkatastrophen

Was ist Was. Tierwanderungen

Was ist Was. Brücken

Was ist Was. Gladiatoren

Was ist Was. Elefanten

Was ist Was. Europa

Übungsaufgaben zur Mathematik für Ingenieure, 5. Auflage

Taschenbuch der Mathematik und Physik, 5. Auflage

Es ist was es ist

Was ist Was. Der Regenwald

Es ist was es ist

WAS IST WAS, Band 5: Entdecker und ihre Reisen

Was ist Was. Die Päpste

Was ist Liebe

Was ist Aufklärung

Was ist das Lehnswesen?

Was ist Wahrheit

Was ist Intelligenz

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