Uberspannungskonzept zur Modellierung von duktil-spröden Deformationsprozessen in Stahlbeton

 Uberspannungskonzept zur Modellierung von duktil-spr oden Deformationsprozessen in Stahlbeton

vorgelegt von Diplom-Ingenieur Andrej Golowin

Beim Fachbereich 9 - Bauingenieurwesen und Angewandte Geowissenschaften der Technischen Universitat Berlin zur Verleihung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigte Dissertation

Zusammenfassung

 Uberspannungskonzept zur Modellierung von duktil-sproden Deformationsprozessen in Stahlbeton

Durch die Einfuhrung von modernen Regelwerken, z. B. dem EC 2 werden nichtlinearen Berechnungsmethoden im Stahlbetonbau generell zugelassen, wobei deren Anwendung auf monotone und quasistatischen Belastungen beschrankt ist. Die numerische Simulation des Betonverhaltens wird durch die Lokalisierungsphanomene und die nichtassoziierten inelastischen Verzerrungen erheblich erschwert. In der vorliegenden Arbeit wird ein zeitabhangiges Plastizitats-Schadigungsmodell auf der Grundlage der Dissipationsgleichung vorgestellt. Bei der kinematischen und thermodynamischen Betrachtung erfolgt die konsequente Aufteilung in Plastizitat und Schadigung mit Hilfe einer Verteilungsfunktion. Die beiden inelastischen Phanomene werden in Abhangigkeit von einer U berspannung beschrieben. Durch den additiven Aufbau des inelastischen Potentials werden die unterschiedlichen Versagensmechanismen im Zug-, Druck- und im gemischten Bereich erfat. Die vorgestellte Modellierung berucksichtigt das kontraktant-dilatante Verhalten in der Druckzone, die anisotrope Rissbildung in der Zugzone und einen O nen-Schlieen-Mechanismus durch Risse. Das U berspannungskonzept ermoglicht die Tragwerksanalyse bei transienten dynamischen Belastungen wie Erdbeben oder Explosion. Die numerische Umsetzung des Modells erfolgt im Rahmen einer symmetrischen gemischt-hybriden FE-Formulierung mit 8-Knoten Volumenelementen. Die zeitabhangige Formulierung bietet eine eÆziente numerische Losung fur Materialien mit Entfestigung und nichtassoziierter Flieregel. Die Veri zierung des entwickelten Konzepts erfolgt anhand von Beispielen. Dabei wird besonderer Wert auf die Modellierung der Lokalisierungsphanomene bei unbewehrtem Beton und die Modellierung des Betonverhaltens unter zyklischen Beanspruchungen und unterschiedlichen Belastungsgeschwindigkeiten gelegt.

Abstract

Overstress concept for modeling ductile-brittle deformation processes in reinforced concrete

Nonlinear analysis methods for reinforced concrete structures are generally allowed in the modern standarts EC 2 and DIN 1045-1. The area of application is however restricted to monotone and quasistatic loads. The phenomena of localization and the non-associated inelastic strains make the numerical simulation of concrete behavior rather complicated. A time-dependent plasticity and damage model for concrete on the basis of the energy dissipation equation is introduced. Plasticity and damage are consequently separated by means of a distribution function within the framework of kinematics and thermodynamics. Both inelastic phenomena are de ned as functions of one overstress. The additive composition of the inelastic potential allows a realistic description of dierent failure modes in tension, compression and in mixed zones. The model takes into account the contraction and dilatation of concrete in the compression zone, anisotropic crack initiation in the tension zone and opening-closing-mechanisms for cracking. The transient dynamic analysis for earthquake or explosion loading will be possible with a special choice of the overstress function. The numerical implementation is done within a symmetrical mixed/ hybrid nite element formulation using 8-node solid elements. The timedependent formulation allows an eÆcient numerical solution for materials with softening and non-associated ow rules. The proposed model is veri ed with example problems. The simulation of strain localization in plain concrete as well as the structural response to cyclic loading and to variable loading rates are especially emphasized.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fur Bauingenieurwesen, Fachgebiet Statik der Baukonstruktionen der Technischen Universitat Berlin. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Harbord fur die Anregung zu dieser Dissertation, die grozugige Unterstutzung, die kontinuierliche Betreuung und die stets vorhandene Diskussionsbereitschaft. Mein herzlicher Dank gilt Herrn Dr.-Ing. K. Brandes fur die Anregung zur Promotion an der TU Berlin, seine stetige Unterstutzung und fur die U bernahme des Koreferats. Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. mult. P. J. Pahl danke ich fur das dieser Arbeit entgegengebrachte Interesse, die grundliche und kritische Durchsicht, wertvolle Hinweise und fur die U bernahme des Koreferats. Herrn Prof. Dr.-Ing. S. Savidis danke ich fur die U bernahme des Vorsitzes im Promotionsverfahren. Weiterhin mochte ich meinen Kollegen am Fachgebiet Statik der Baukonstruktionen fur die freundliche Zusammenarbeit danken. Herrn Dr.-Ing. R. Alex und Herrn Dr.-Ing. D. Aryee-Boi danke ich fur die Anregungen in der Anfangsphase der Arbeit. Die zahlreichen Diskussionen mit Frau Dipl.-Ing. M. Doig-Ruiz waren von besonderer Bedeutung. Frau Dipl.Ing. K. Pieplow, Herrn Dipl.-Ing. B. Reyher, Herrn Dipl.-Ing. I. Hylla und Herrn Dr.-Ing. S. Kraus danke ich fur das Korrekturlesen und fur die programmtechnische Unterstutzung. Mein herzlicher Dank gilt Frau R. Kasch fur die Unterstutzung der Anfertigung dieser Arbeit. Schlielich mochte ich mich bei meiner Familie und meiner Frau Katja fur die volle Unterstutzung bedanken. Berlin, im April 2001

Andrej Golowin

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

1

2 Grundgleichungen der zeitabhangigen Inelastizitat

9

1.1 Problemstellung und Stand der Forschung . . . . . . . . . 1.2 Zielsetzung und Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Zeitableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Modelle mit Zwischenkon guration . . . . . . . . . 2.2 Spannungen, Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Gleichgewicht in der Momentankon guration . . . . 2.2.2 Gleichgewicht in der Ausgangskon guration . . . . 2.2.3 Objektivitat. Mitrotierende Zeitableitungen . . . . 2.3 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Thermodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . 2.3.2 Das Hooke'sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Inelastische Phanomene. Wahl der inneren Variablen 2.4 Zeitabhangige Inelastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Flie ache und Fliepotential . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Stabilitat der Materialgleichungen . . . . . . . . . . 2.4.3 Entwicklung der inneren Variablen . . . . . . . . . 2.4.4 Verfestigung-Entfestigung des Materials . . . . . . .

3 Materialmodelle

3.1 Beton 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

........................ Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . Bruchkriterium und Flie ache . . . . . . Das inelastische Potential . . . . . . . . . Inelastische Verzerrungsgeschwindigkeiten Verfestigung-Entfestigungsregel . . . . . . v

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

1 5

9 9 10 11 13 16 16 17 19 20 21 25 26 30 30 32 37 38 39

39 39 47 48 52 53

3.1.6 Parameterbestimmung 3.2 Bewehrungsstahl . . . . . . . 3.2.1 Versuchsergebnisse . . 3.2.2 Modellierung . . . . . 3.3 Stahlbeton . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . .

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4 Numerik

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. . . . .

4.1 Schwache Form der Bestimmungsgleichungen . 4.1.1 DGL des Kontinuums . . . . . . . . . 4.1.2 Schwache Form des Problems . . . . . 4.2 Raumliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . 4.3 Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Prediktorschritt . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Korrektorschritt . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Losung des Gleichungssystem . . . . .

5 Testbeispiele auf Strukturebene

5.1 5.2 5.3 5.4

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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Direkter Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stahlbetonbalken unter der Impulsbelastung . . . . . . . Betonbalken mit Kerbe unter zyklischer Belastung . . . . Stahlbetonbalken mit unterschiedlichem Bewehrungsgrad

. . . . . . . . . . . . . . . . .

55 75 75 76 85 89

89 89 92 94 98 99 100 102 103

103 112 115 120

6 Zusammenfassung

125

A Vollstandige Diskretisierung des Problems

129

Formelsymbole

Operatoren a; A

a A I A I

det(A) tr(A) B

:

Ii Ji Ii0 Ji0 i i ni Æa

Indizes A0 Ael Ain Apl  ; S ~ ; S~ Asch As Aa A+; AZ A ; AD ab as

skalare Groe Vektor Tensor zweiter Stufe Einheitsoperator zweiter Stufe Tensor vierter Stufe Einheitsoperator vierter Stufe Determinante von A Spur von A Kon guration tensorielles Produkt:A B doppelt skalares Produkt:A : B = tr(A B) i-te Invariante des Spannungstensors i-te Invariante des Spannungsdeviators i-te Invariante des Vezerrungstensors i-te Invariante des Vezerrungsdeviators i-te Hauptspannung i-te Hauptverzerrung i-te Hauptrichtung Variation Groe in der Anfangskon guration t = t0 elastisch inelastisch plastisch Nettospannungen Spannungen im normierten Koordinatensystem Schadigungsanteil symmetrisch antimetrisch Zuganteil Druckanteil Variable im Materialgesetz fur Beton Variable im Materialgesetz fur Stahl

Av a^

^ A

pa ka

aeq aT S

Variablen F u v L; grad v D D W E

E

t T T P S Tk Q U V n h f C F

 vol s U T

skalare Vergleichsgroe diskretisierte Berechnungsgroe diskretisierte Matrix Berechnungsgroe im Prediktorschritt Berechnungsgroe im Korrektorschritt quasistatisch Tension-Stiening Deformationsgradient Verschiebung Geschwindigkeit Geschwindigkeitsgradient Streckungsgeschwindigkeitstensor Schadigungstensor zweiter Stufe Drehgeschwindigkeitstensor oder Spintensor Green'scher Verzerrungstensor Almansi'scher Verzerrungstensor Spannungsvektor Cauchy'scher Spannungstensor Transformationsmatrix fur Spannungen 1. Piola-Kirchho'scher Spannungstensor 2. Piola-Kirchho'scher Spannungstensor Kirchho'scher Spannungstensor orthogonaler Drehtensor rechter Streckungstensor linker Streckungstensor Normalenvektor Energiestromvektor Massenkraftdichte Elastizitatstensor Nachgiebigkeitstensor Dichte des Materials Volumenanderung spezi sche Entropie spezi sche innere Energie absolute Temperatur

k qk 



Wi Q r Wel Vel

Ain



D

D

F f (F )

L

H H  t


L

W R



oct oct m u (F ) G wr fm

innere Variable thermodynamische Kraft (arbeitskonform zur inneren Variablen) Energiedissipation Helmholz'sche freie Energie Gibb'sche Energiefunktion innere mechanische Leistung thermische Leistung (Kapitel 2) Warmestrahlung elastische Formanderungsenergie elastische Erganzungsenergie inelastischer Richtungstensor inelastisches Potential (Fliepotential) skalare Schadigungsvariable Schadigungstensor vierter Stufe Flie ache Bruch ache inelastischer Multiplikator Lagrange'sches Funktional Hu-Washizu-Funktional Hellinger-Reissner-Funktional Verteilungsfunktion Plastizitat-Schadigung Betonfestigkeit Normierungsfaktor fur die Flieregel Wichtungsfaktor Zug-Druck Verlangerung Viskositatsparameter (Kapitel 2 und 3) normierter Viskositatsparameter oktaedrische Schubverzerrung oktaedrische normale Verzerrung Oktaedernormalspannung U berspannung U berspannungsfunktion Grenzspannung fur Beton (Fliegrenze) Rionung Modi kationsfaktor fur die mehraxialen Spannungszustande

R

X l V


r

Hb

Hb0 Hsr0 0 Hsx

K Kh

isotrope Verfestigungsvariable fur Stahl kinematischer Verfestigungstensor fur Stahl charakteristische Lange Verbundspannung Relativverschiebung zwischen Stahl und Beton Verfestigungsmodul fur Beton (inkrementelle Formulierung) Verfestigungsmodul fur Beton (Ratenformulierung) isotroper Verfestigungsmodul fur Stahl (Ratenformulierung) kinematischer Verfestigungsmodul fur Stahl (Ratenformulierung) Entfestigungsmodul fur Betonzugzone hyperbolischer Entfestigungsmodul fur Betonzugzone

Konstanten E E  ,  G k Gf

Q C a A in u a; b; c; d a0; b0; c0; d0; n

Elastizitatsmodul geschadigter Elastizitatsmodul Querkontraktionszahl Lame'sche Konstanten Schubmodul (G = ) Fliespannung fur Stahl Bruchenergie Parameter der isotropen Verfestigung fur Stahl (Kapitel 3) Parameter der isotropen Verfestigung fur Stahl (Kapitel 3) Parameter der kinematischen Verfestigung fur Stahl Parameter der kinematischen Verfestigung fur Stahl Schadigungskonstante beim Nettospannungskonzept fur Stahl ultimative akkumulierte inelastische Verzerrung Konstanten fur die VerfestigungsEntfestigungsfunktion fur Beton Konstanten fur  -Kurve fur Beton

ar ; br ; cr ; dr A1; A2; A3; A4; A5

Konstanten der Richards-Funktion Konstanten fur die G in-Kurve fur Betondruckzone

Koordinatensysteme, Ansatzfunktionen und Berechnungsmatrizen Xi i 

 

 

^ M C^ B^ ^L D ^N D ^ G p^ K R

i-te globale Koordinatenachse i-te normierte Koordinatenachse

hydrostatische Achse im Haigh-Westergaard Koordinatensystem Lode-Winkel im Haigh-Westergaard Koordinatensystem dritte Koordinatenachse im Haigh-Westergaard Koordinatensystem Ansatzfunktion fur Verschiebungen Ansatzfunktion fur Spannungen Ansatzfunktion fur inelastische Groen normalisierte Zeitkoordinate Massenmatrix Dampfungsmatrix Bettungsmatrix linearer Dehnoperator nichtlinearer Dehnoperator U berspannungsmatrix Lastvektor linke Seite des Gleichungssystems rechte Seite des Gleichungssystems

Kapitel 1 Einleitung 1.1

Problemstellung und Stand der Forschung

Die Schnittgroenermittlung im Stahlbetonbau wird nach DIN 1045 im Rahmen der linear-elastischen Theorie durchgefuhrt. Bei den statischunbestimmten Tragwerken ndet nach dem U berschreiten der elastischen Grenze eine Umlagerung der Schnittgroen statt. Damit ist die Verteilung der Spannungen nach der linear-elastischen Theorie weit von der Realitat entfernt. Aufgrund der wachsenden technischen und wirtschaftlichen Anforderungen im Stahlbetonbau werden in modernen Regelwerken, z. B. im EC 2 und DIN 1045-1 die nichtlinearen Berechnungsmethoden generell zugelassen. Die vorhandenen Stogesetze sind allerdings nur fur monotone und quasistatische Lastfalle geeignet. Die Abschatzung der Lebensdauer von Tragwerken gewinnt immer mehr an Bedeutung und wird eine der wichtigsten Sicherheits- und Wirtschaftlichkeitskriterien in der Zukunft sein. Die Lebensdaueranalyse ist nur mit Stogesetzen moglich, die Schadigungsakkumulierung und kontinuierliche Rissentwicklung berucksichtigen. Das Deformationsverhalten von Stahlbetonkonstruktionen ist durch starke geometrisch und physikalisch nichtlineare Eekte gekennzeichnet, deren Simulation eine komplexe und anspruchsvolle Aufgabe darstellt. Obwohl in der vergangenen Zeit eine Reihe von experimentellen Ergebnissen gesammelt wurde, die wichtigste Erkenntnisse uber den Werksto Stahlbeton und das Tragverhalten von Stahlbetonbauteilen veranschaulichen, waren die ersten nichtlinearen Berechnungen von Tragwerken aus Stahlbeton (Ngo und Scordelis [84]) erst Ende der sechziger Jahre mit dem Einsatz von Grorechnern und numerischen Methoden moglich. Seitdem wurde eine groe Anzahl der verschiedenen, uberwiegend kontinuumsmechanischen Modelle entwickelt. Mikromechanische und stochastische Mo1

delle, die immer mehr an Bedeutung und Popularitat gewinnen, sind fur die praktischen FE-Berechnungen wegen ihrer Komplexitat noch nicht ausgereift [55]. Fur die FE-Modellierung von Stahlbetonkonstruktionen stehen zwei Moglichkeiten zur Verfugung [42]: 1. Beton und Bewehrung werden als zwei unabhangige Komponenten modelliert. 2. Stahlbeton wird als ein komposites Material in der Makroebene modelliert. In dieser Arbeit wird die erste Strategie verfolgt, die eine groere Anwendungsbreite (z. B. Berechnung von Verbundkonstruktionen) bietet. Beton ist ein heterogener Bausto, dessen Eigenschaften von Zement, Zuschlag und Verbund gepragt sind. Da die mechanischen und thermischen Eigenschaften der einzelnen Komponenten sich stark voneinander unterscheiden, stellt sich ein komplizierter Spannungszustand ein, der aus Eigenspannungen und Spannungen infolge der aueren Einwirkungen resultiert. Stahl ist dagegen ein homogenes Material mit isotropem Verhalten. Trotz unterschiedlicher innerer Struktur zeigen beide Materialien ahnliche mechanische Eigenschaften, wie elastisches Verhalten bis zu einer bestimmten Lastgrenze, Entstehen von irreversiblen Verzerrungen, Degradation von elastischen Eigenschaften beim hohen Lastniveau, Ribildung, Erhohung der Festigkeit bei schnellen Belastungen, rheologische Eigenschaften wie Kriechen oder Relaxation usw. Das ermoglicht die Modellierung von verschiedenen Werkstoen mit Hilfe eines mathematischen Apparats, der o. g. physikalische Phanomene beschreibt. In dieser Arbeit werden Stahl und Beton als homogene physikalischnichtlineare Werkstoe modelliert, ohne verschiedene Vorgange in der inneren Struktur zu beschreiben. Das Werkstoverhalten wird dabei im Rahmen der Kontinuumsmechanik und Thermodynamik der irreversiblen Prozesse erfat. Inelastische Vorgange in einem Materialpunkt werden mit Hilfe von inneren Variablen abgebildet, die keine direkte physikalische Bedeutung haben. Unter dem Begri Materialpunkt versteht man ein reprasentatives Volumenelement [60] (z. B. (100 mm)3 fur Beton und (0:1 mm)3 fur Stahl). Die Wahl der inneren Variablen wird von der Natur des physikalischen Phanomens bestimmt. Schwerpunkt dieser Arbeit bildet das Deformationsverhalten von Beton, das man als duktil-sprod bezeichnen kann. Duktiles Verhalten (Bild 1.1)

wird durch irreversible Versetzungen in der Mikrostruktur (Bild 1.2) verursacht, die unter Druckbeanspruchung entstehen. Duktilitat des Materials wird oft als Verhaltnis der gesamten Verzerrung zur elastischen Verzerrung mit konstanten Elastizitatsmoduln de niert [86]. Duktiles Verhalten von Beton wurde mit zahlreichen elastoplastischen Modellen auf der Grundlage der Plastizitatstheorie untersucht [30],[35],[72],[79],[94]. Zur Modellierung unter zyklischer Beanspruchung werden oft Zwei-FlachenModelle verwendet [20],[27]. ε

ε

ε

σ duktil

σ spröd

σ duktil-spröd

Bild 1.1: Typen des Materialverhaltens Sprodes Verhalten (Bild 1.1) ist mit der Entwicklung von Mikrorissen verbunden, die zur Degradation der elastischen Eigenschaften und zur Ausbildung der lokalen Bruch achen fuhrt. Es kann mit bruchmechanischen oder kontinuierlichen Schadigungskonzepten fur dynamische [31],[54],[65] und zyklische Belastungen [90],[109] modelliert werden, wobei der Ansatz der Bruchmechanik wegen der Verfolgung von Makrorissen mit erheblichen numerischen Schwierigkeiten verbunden ist. Im Bild 1.3 ist ein   Diagramm fur Beton unter zyklischer Druckbeanspruchung dargestellt. Man kann feststellen, da bei der Laststeigerung mikroskopische Dislokationen zur Entwicklung der Mikrorisse fuhren, die sich dann in Makrorissen vereinigen. Dieser Prozess wird im Bild 1.4 veranσ 12

σ 12

σ 12

σ 12

σ 12

σ 12

Bild 1.2: Plastische Verzerrungen durch Versetzungen

Bild 1.3: Verzerrungen im Druckbereich eines zyklischen Versuchs [102] schaulicht. Die Versetzungen im Kristallgitter werden durch einen Mikrodefekt oder eine Spannungskonzentration gestoppt, was zur Entstehung einer Schadigungszone bzw. eines Mikrorisses fuhrt. Die Existenz dieser komplett unterschiedlichen Phanomene in einem physikalischen Prozess hat zur Entwicklung von gekoppelten kontinuumsmechanischen Modellen Plastizitat und Schadigung gefuhrt [1],[39],[67], [45],[78],[98],[98],[118]. Ein weiterer Aspekt ist die Modellierung der Abhangigkeit des Tragverhaltens von der Belastungsgeschwindigkeit. Experimentelle Untersuchungen [2], [22] zeigen, da bei schnellen Einwirkungen, z. B. Sto, Explosion oder Erdbeben die Druckfestigkeit bis ca. 35% und die Zugfestigkeit bis zu 50% zunehmen kann. Hier hat sich die Anwendung von viskoplastischen [17],[26] oder endochronen [104] Modellen bewahrt. Bei der numerischen Umsetzung von kontinuumsmechanischen Materialmodellen stehen zwei Problemgruppen im Mittelpunkt, die die sogenannten instabilen Materialien betreen. Unter dem Begri instabil versteht man hier die Werkstoe mit der nichtassoziierten Flieregel und

Bild 1.4: Mikroribildung als Folge der Versetzungen im Kristallgitter [60]

mit dem Entfestigungsast im  -Diagramm. In beiden Fallen ist das Produkt dd negativ und das Drucker-Prager-Stabilitatskriterium nicht erfullt. Die FE-Modellierung der nichtassoziierten Inelastizitat fuhrt in der Regel zu einer Formulierung mit nichtsymmetrischen Matrizen und der erheblichen Erhohung des Rechenaufwandes. Das zweite Problem liegt bei der numerischen Simulation der Verzerrungslokalisierung und der Bildung eines Rissbandes bei den Werkstoen Entfestigung. Die klassischen Plastizitats- und Schadigungsmodelle sind nicht in der Lage dieses Phanomen korrekt zu erfassen, weil die Berechnungsergebnisse netzabhangig sind und eine Skalierung uber die Lange des Elements benotigen. Die fortgeschrittenen Methoden der Kontinuumsmechanik, die die zusatzlichen Anteile zur Beschreibung des Lokalisierungsverhaltens beinhalten, kann man in drei Gruppen aufteilen [103]:  nicht-lokale Modelle [89] und Gradiententheorien [81],  die Theorie polarer Medien (z. B. Cosserat-Kontinuum) [13],  zeitabhangige Inelastizitat [83],[103]. In der ersten Gruppe werden die Deformationsgradienten hoherer Ordnung in die Materialgleichungen eingefuhrt. Die Theorie polarer Medien beinhaltet die zusatzlichen Spannungen in den Gleichgewichtsgleichungen und zusatzliche Weggroen in den kinematischen Beziehungen, so da die Lokalisierungseekte schon im elastischen Bereich erfasst werden konnen. Bei der letzten Gruppe spielt die U berspannung die Rolle des internen Skalierungsparameters, der den Algorithmus stabilisiert. Die Abwesenheit des Konsistenzzwangs ermoglicht die symmetrische Formulierung der nichtassoziierten Flieregel. 1.2

Zielsetzung und Vorgehensweise

Die oben erlauterten numerischen Vorteile, die besonders bei den dynamischen Beanspruchungen an Eektivitat gewinnen, haben die Wahl eines Modells vom U berspannungstyp bestimmt. Auch bei den praktischen Berechnungen ist die Berucksichtigung der inelastischen Reserven des Materials eher fur die "kritischen" Lastfalle, wie Erdbeben oder Explosion, notwendig, wobei die Dehnungsgeschwindigkeit eine wichtige Rolle spielt. Die zeitabhangigen Schadigungsprozesse im Beton werden in existierenden Modellen im Rahmen des Nettospannungskonzepts erfasst. Eine ausfuhrliche Vorstellung dieses Konzepts erfolgt im Abschnitt 2.3.3.1.

Trotz zuverlassiger Ergebnisse ist die Anwendung des Prinzips der Dehnungsaquivalenz im geschadigten und ungeschadigten Zustand auf Beton fraglich. Im Beton entstehen die Anfangsrisse infolge des Schwindensvorgangs noch vor dem Aufbringen der Belastung, was eine Analyse des ungeschadigten Betons ausschliet. Ziel dieser Arbeit ist eine zeitabhangige Formulierung der Schadigung und Plastizitat auf der Grundlage der Energiedissipationsgleichung. Die Aufteilung der dissipierten Energie in einen plastischen und einen Schadigungs-Anteil wird in [78] fur ein zeitunabhangiges Betonmodell verwendet. Das hier vorgestellte Modell hat auch direkte Verwandschaft (besonders bei der numerischen Umsetzung) zum zeitabhangigen PlastizitatsSchadigungsmodell auf der Grundlage des Nettospannungskonzepts in [1]. Im Vergleich zu den o. g. Forschungsarbeiten liegt der Schwerpunkt dieses Vorhabens bei der De nition einer Viskoschadigung als Funktion der U berspannung. Die Plastizitats- und Schadigungsphanomene bei Stahl und Beton werden im Rahmen eines einheitlichen U berspannungskonzepts wirklichkeitsnah erfasst. Die auf der Basis dieses Konzepts getrennt formulierten Werkstogesetze sollen dann zur Berechnung von Stahlbetonkonstruktionen unter Berucksichtigung der Verbundwirkung zwischen Beton und Bewehrung verwendet werden. Die De nition der Viskoschadigung ermoglicht die Beschreibung des Nachgiebigkeitstensors als zeitabhangigen tensoriellen inneren Variablen vierter Stufe mit der eigenen Entwicklungsgleichung. Eine besondere Aufmerksamkeit wird den numerischen Vorteilen dieses Konzepts bei der Behandlung von instabilen Materialien geschenkt Im zweiten Kapitel werden die kontinuumsmechanischen und thermodynamischen Grundlagen des Modells ohne Beschrankung auf ein bestimmtes Material erlautert. Den Schwerpunkt bildet die De nition der Plastizitats- und Schadigungsvariablen und Herleitung derer Evolutionsgleichungen aus den allgemeinen Energieprinzipien. Im dritten Kapitel werden die allgemein geltenden Gleichungen fur die einzelnen Werkstoe konkretisiert. Besondere Aufmerksamkeit wird im ersten Teil dem Werksto Beton geschenkt. Zuerst werden die wesentlichen Materialeigenschaften anhand der Versuchsergebnisse vorgestellt. Dann werden die Entwicklungsfunktionen fur die inneren Variablen und der fur die numerische Modellierung notwendige Parametersatz aufgestellt. Einen wichtigen Schwerpunkt bildet die Simulation der unterschiedlichen Versagensmechanismen in der Zug- und Druckzone, aber auch bei der gemischten Beanspruchung. Viele Betonmodelle [30],[35] haben keinen stetigen U bergang zwischen den

Bruchzustanden, was den Aufbau eines einheitlichen Konzepts ausschliet. Oft werden die Druckzustande im Rahmen der Plastizitatstheorie berechnet und das Zugversagen mit Rimodellen erfat. Anschlieend werden die einzelnen Parameter fur das Modell auf Werkstoebene bestimmt. Zur Absicherung des Modells werden einaxiale und mehraxiale Versuche kraft- oder dehngesteuert auf Elementebene nachgerechnet. Danach wird kurz das Modell fur den Bewehrungsstahl vorgestellt und die verschiedene Konzepte zur Schadigungserfassung bei den metallischen Werkstoen diskutiert. Im letzten Teil des Kapitels wird die Verbundwirkung zwischen Stahl und Beton und deren moglichen Modellierungsansatze diskutiert. Grundgleichungen aus dem zweiten Kapitel werden im Rahmen eines gemischt-hybriden Elementkonzepts schwach formuliert und im vierten Kapitel fur eine FE-Berechnung in der Zeit und im Raum diskretisiert. Das funfte Kapitel stellt die numerischen Beispiele auf Strukturebene vor, die die Leistungsfahigkeit des entwickelten Algorithmus fur verschiedene Probleme demonstrieren sollen.

Kapitel 2 Grundgleichungen der zeitabhangigen Inelastizitat In diesem Kapitel werden kontinuumsmechanische Gleichungen in axiomatischer Form zusammengestellt. Eine ausfuhrliche Darstellung und Herleitung einzelner Beziehungen kann man in der Fachliteratur [6], [66], [101], [106], [119] nden. 2.1

Kinematik

2.1.1 Verschiebungen

Fur die Beschreibung der Bewegung eines Kontinuums B wird ein kartesisches Koordinatensystem eingefuhrt, das mit unabhangigen, raumfesten Basisvektoren ei festgelegt ist. Mit einem Ortsvektor x (in Komponentenform xi) ist ein materieller Punkt P im Koordinatensystem eindeutig de niert. Ortsvektoren aller Teilchen, die zu einem Kontinuum gehoren, bilden zusammen eine von der Zeit abhangige Kon guration des Kontinuums im Raum. Die A nderung der Kon guration mit der Zeit stellt die Bewegung des Kontinuums dar. Die Kon guration zum Anfangszeitpunkt t0 (Ausgangskon guration) wird als B0 und die Kon guration zum Zeitpunkt t (Momentankon guration) als Bt bezeichnet. Fur die Beschreibung der Bewegung mu eine Bezugskon guration eingefuhrt werden. Bei der Lagrange'schen Betrachtungsweise wird die Kon guration B0 als Bezugskon guration gewahlt und jeder Punkt des Kontinuums wird durch den Ortsvektor X zum Zeitpunkt t0 identi ziert. Die Bewegung eines materiellen Punktes kann mit Hilfe eines Verschiebungsvektors u ausgedruckt werden xi = Xi + ui bzw: x = X + u ; (2.1) 9

wobei x die Lage des Punktes in der Momentankon guration und X die Lage des Punktes in der Ausgangskon guration ist (Bild 2.1). B0 Bt u+du dX u

x3

dx

X x x1

x2

Bild 2.1: Verzerrung des Linienelementes 2.1.2 Verzerrungen

Die Bewegung eines Linienelementes dx zwischen zwei benachbarten Punkten wird mit Hilfe eines Deformationsgradienten F ausgedruckt @u dxi = dXi + i dXj = (Æij + ui;j )dXj = Fij dXj @xj bzw. (2.2) dx = (I + Grad u)dX = FdX ; wobei Grad u der Verschiebungsgradient, Æij das Kronecker-Delta und I die Einheitsmatrix sind. Analog zur Bewegung eines Linienelementes wird mit Hilfe von Deformationsgradienten auch die Bewegung eines Volumenelementes dV dV = (detF)dV0 (2.3) und eines Flachenelementes dA dA = (detF)(FT ) 1dA0 (2.4)

beschrieben. Den Deformationsgradienten F kann man durch eine polare Zerlegung [6] S. 43 in einen orthogonalen Drehtensor R (Starrkorperverdrehung) und einen symmetrischen, positiv de nierten rechten U bzw. linken V Streckungstensor (Dehnung) aufspalten F = RU = VR : (2.5) Fur die Beschreibung der Verzerrung eines Linienelementes wird die quadratische Form der Lange dx ausgewahlt, in der die Starrkorperverdrehungen wegen ihrer Orthogonalitat RRT = I ausfallen jdxj2 = dxT dx = dXT (I + GradT u)(I + Grad u)dX = dXT (I + 2E)dX : (2.6) Durch die De nition 1 (Grad u + GradT u + Grad u GradT u) = 1 (FT F I) E = 2 2 bzw: (2.7) 1 (u + u + u u ) Eij = k;i k;j 2 i;j j;i |

{z

}

linearer T eil

|

{z

}

nichtlinearer T eil

wird hier der Green'sche Verzerrungstensor E eingefuhrt, der als Verzerrungsma in der "total" Lagrange'schen Formulierung in dieser Arbeit verwendet wird. Der Almansi'sche Verzerrungstensor (2.8) E = 21 (I V2) wird dagegen auf die Momentankon guration bezogen und bei "updated" Lagrange'scher Formulierung verwendet [4]. 2.1.3 Zeitableitungen Die Geschwindigkeit v eines

materiellen Punktes ist bei Lagrange'scher Darstellung de niert durch [101] S. 245 @ x(X; t) v(X; t) = x_ (X; t) = ; (2.9) @t wobei x_ die materielle Zeitableitung ist. Wenn man die momentane Kon guration als die Referenzkon guration verwendet (Euler'sche Betrachtungsweise), mu man auch den Wechsel der Kon gurationen berucksichtigen. Die materielle Zeitableitung einer Groe a setzt sich dann aus einer

 nderung der Groe a an einem festen lokalen Ableitung, die die zeitliche A Ort angibt, und einer konvektiven Ableitung, die die veranderliche Lage

des Beobachters beschreibt, zusammen @a @a(x; t) @a @ x(X; t) a_ = = + @ x @t : (2.10) @t @t Wenn a zeitunabhangig ist, dann besteht die materielle Zeitableitung nur aus dem konvektiven Anteil. Bei der numerischen Umsetzung wird in dieser Arbeit die total Lagrange'sche Darstellung verwendet, bei der die konvektive Ableitung entfallt und materielle Ableitungen mit lokalen ubereinstimmen. Die zeitliche A nderung des Deformationsgradienten hat folgende Form @ vi @xk @ @xi = = Lik Fkj F_ij = @t @Xi @xk @Xj bzw: (2.11) F_ = (Grad v)F = LF ; wobei L der Geschwindigkeitsgradient ist, den man in symmetrische D(Streckungsgeschwindigkeitstensor ) und antimetrische W- (Drehgeschwindigkeitstensor oder Spintensor ) Anteile zerlegen kann _ 1 =D+W ; L = FF (2.12) wobei gilt 1 1 D = (L + LT ) = (Grad v + GradT v) ; (2.13) 2 2 1 1 W = (L LT ) = (Grad v GradT v) : (2.14) 2 2 Den Streckungsgeschwindigkeitstensor D kann man als Lie-Ableitung des Almansi'schen Verzerrungstensors D = E_ + E L + LT E (2.15) deuten [69]. Bei der Zeitableitung in der Momentankon guration gilt F = I und F_ = Grad v: (2.16) Mit den Beziehungen (2.7), (2.11), (2.13) kann man unter Verwendung von Kettenregeln die materielle Zeitableitung des Green'schen Verzerrungstensors bilden 1 1 E_ = (FT F_ + F_ T F) = FT (L + LT )F = FT DF : (2.17) 2 2 !

Wird die Zeitableitung in der Momentankon guration gebildet, wird (2.17) mit der Verwendung von (2.16) entsprechend vereinfacht 1 (2.18) E_ = (GradT v)F + FT (Grad v) : 2 



2.1.4 Modelle mit Zwischenkon guration 2.1.4.1 Allgemeine Formulierung

Zur Beschreibung des inelastischen Materialverhaltens mit groen inelastischen Verzerrungen wird uberwiegend die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten F nach Lee [57] in elastische Fel- und inelastische Fin- Anteile verwendet. Der Ausgangspunkt dieser Formulierung ist die De nition einer lokalen spannungsfreien Zwischenkon guration Pt, die bei der elastischen Entlastung aus der Momentankon guration Bt entsteht (Bild 2.2). Die Verzerrung eines Linienelementes dX kann man auch als U bergang zu der inkompatiblen Zwischenkon guration Pt durch die inelastischen Verformungsvorgange dy = FindX und die darauf folgende elastische Belastung bis zum Erreichen der Momentankon guration Bt dx = Fel dy verstehen. Daraus ergibt sich: dx = FelFindX = FdX und F = FelFin (2.19) Nach dem Einsetzen von (2.19) in (2.12) erhalt man den folgenden Ausdruck fur den Geschwindigkeitsgradient L: L = (F_ elFpl + Fel F_ in)Fin1Fel1 = F_ el Fel1 + FelF_ inFin1Fel1 = Lel + FelLinFel1 (2.20) σ

B0 Bt

F

dX

Fin

dx

Bt

Fel B0

Pt

ε

Pt dy

Bild 2.2: Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten

wobei L und Lel bezuglich der Momentankon guration und Lin bezuglich der Zwischenkon guration de niert sind. Der Streckungsgeschwindigkeitstensor D stellt den symmetrischen Teil des Geschwindigkeitsgradienten L dar D = Lsel + Fel LsinFel1 = Del + FelDinFel1 : (2.21) Mit der Annahme kleiner elastischer Verzerrungen (Fel = I) kann man den Ausdruck (2.21) erheblich vereinfachen und die Entkopplung der elastischen und der inelastischen Geschwindigkeitstensoren erreichen, was den Ausgangspunkt fur das weitere Vorgehen bildet D = Del + Din : (2.22) Die Transformation in die Ausgangskon guration erfolgt nach (2.17) fur alle Terme in (2.22) und fuhrt zu der additiven Zerlegung des Green'schen Geschwindigkeitstensors E_ = E_ el + E_ in : (2.23) 2.1.4.2 Formulierung fur duktil-sprode Werkstoe In dem Anteil Fin konnen verschiedene Deformationsprozesse, z. B. termi-

sche Dehnungen, viskoelastische und plastische Verformungen, Riverformungen usw. zusammengefat werden. In dieser Arbeit werden Stogesetze im Rahmen einer zeitabhangigen Plastizitat und Schadigungstheorie formuliert, was eine Konkretisierung des multiplikativen Ansatzes (2.19) erfordert F = Fel FschFpl : (2.24) Die Schadigungsverzerrungen, die durch den Schadigungsanteil Fsch des Deformationsgradienten F ausgedruckt werden, sind reversible Verzerrungen und mussen links vom bleibenden plastischen Anteil Fpl und rechts vom elastischen Anteil Fel stehen [115], S. 17.plDamit zerfallt die Zwischenkon guration Pt in zwei Kon gurationen Pt und Ptsch. Im Bild 2.3 wird die Verzerrung eines Linienelementes dX fur einen duktil-sproden Werksto vorgestellt. Der Ausdruck fur den Streckungsgeschwindigkeitstensor D (2.21) nimmt dann folgende Form an D = Del + Dsch + Dpl ; (2.25)

dp

Fpl

Pt pl

Fsch ds

σ

Pt sch

dX

Bt

Fel B0

pl B 0 Pt

Ptsch

ε

F

dx Bt

Bild 2.3: Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten fur duktilsprode Werkstoe wobei man bei allen Komponenten des Streckungsgeschwindigkeitstensors die Bezugskon guration berucksichtigen mu. Del = (F_ elFel1)s; Dsch = Fel (F_ schFsch1 )sFel1; Dpl = Fel Fsch(F_ plFpl1)sFsch1 Fel1 (2.26) Vom physikalischen Standpunkt aus ist der Verformungsvorgang infolge der Ribildung mit den elastischen Verzerrungen gekoppelt und wird von einigen Autoren [66], [71] als ein Teil der elastischen Deformation modelliert. Dabei entsteht die klassische Form der multiplikativen Zerlegung des Deformationsgradienten in elastische und plastische Anteile F = FelFpl, wobei Fel die elastischepl Verzerrung mit dem geschadigten Materialtensor darstellt (U bergang Pt Bt im Bild 2.3). Das fuhrt zur Annahme, da bei kleinen elastischen Verzerrungen auch die Schadigungsverzerrungen klein bleiben (Fsch = Fel = 1), was z. B. fur Beton der Realitat entspricht. Mit dieser Annahme wird die vollstandige Aufteilung des Geschwindigkeitstensors in einen elastischen, einen plastischen und einen Schadigungsanteil in der Momentankon guration (2.25) und nach der Transformation (2.17) auch in der Ausgangskon guration E_ = E_ el + E_ sch + E_ pl (2.27) erreicht. Die vorgestellten kinematischen Beziehungen kann man als Theorie der groen Verformungen, groen plastischen Verzerrungen, aber kleinen elastischen und kleinen Schadigungsverzerrungen klassi zieren, die die Ver-

formungsvorgange im Beton und im Stahl wirklichkeitsnah modellieren und den numerischen Aufwand in Grenzen halten.

2.2

Spannungen, Gleichgewicht

2.2.1 Gleichgewicht in der Momentankon guration

Der Zusammenhang zwischen den inneren und aueren Kraften wird in der Kontinuumsmechanik durch die Impulsbilanz hergestellt, die eine Verallgemeinerung des zweiten Newton'schen Gesetzes darstellt @  v dV = B  f dV + @ B t dA ; @t B Z

Z

Z

(2.28)

wobei  die aktuelle Dichte des Materials, f die Massenkraftdichte, t die Ober achenkraftdichte oder Spannung sind. Der aktuelle Spannungsvektor t in der Momentankon guration wird durch den symmetrischen Cauchy'schen Spannungstensor T (T = TT ist die Folge des lokalen Drallgesetzes [6] S. 65) und den Normalenvektor n de niert t = Tn : (2.29) Nach dem Einsetzen von (2.29) in (2.28) und der Umformung des letzten Terms nach dem Gauss'schen Integralsatz T n dA = B div T dV (2.30) @B entsteht folgender Ausdruck fur den Impulssatz Z

Z

@  v dV = B  f dV + B div T dV @t B Z

Z

Z

(2.31)

oder in lokaler, dierentieller Form  v_ =  f + div T (2.32) mit statischen Randbedingungen (2.29) auf B in der Momentankon guration. Nach der De nition des Geschwindigkeitstensors D und des Cauchy'schen Spannungstensors T kann man die innere mechanische Leistung Wi in der Momentankon guration de nieren: Wi = V T : D dV : (2.33) Z

2.2.2 Gleichgewicht in der Ausgangskon guration

Bei der Lagrange'schen Darstellung mussen die Integrationsbereiche B und @ B in der Impulsbilanzgleichung (2.28) unter Verwendung von (2.3) fur das Volumen und (2.4) fur die Flache in die entsprechenden Bereiche B0 und @ B0 in die Ausgangskon guration transformiert werden. Die Transformation des letzten Terms in (2.28) fuhrt zu folgendem Ergebnis: dA t d A = t dA0 = @ B det(F)(FT ) 1t dA0 @B @ B dA0 = @B t0 dA0 ; (2.34) wobei t0 = Pn0 (2.35) der Spannungsvektor in der Ausgangskon guration ist. Der 1. Piola-Kirchho'sche Spannungstensor P ist die Projektion des Cauchy'schen Spannungstensors T auf das Flachenelement in der Ausgangskon guration P = det(F)(FT ) 1T ; (2.36) eine "Pseudospannung" [119]. Aufgrund des unterschiedlichen Kon gurationsbezugs fur die Richtung und fur die Stelle des 1. Piola-Kirchho'schen Spannungstensors ist er im Gegensatz zum Cauchy'schen Spannungstensor, bei denen T : W = 0 und T:D=T:L (2.37) gilt, nichtsymmetrisch. Nach der De nition des 1. Piola-Kirchho'schen Spannungstensors wird die dierentielle Form der Impulsbilanz in der Ausgangskon guration hergeleitet: 0 v_ = 0 f + div P ; (2.38) wobei 0 die Dichte des Materials in der Ausgangskon guration ist. Statische Randbedingungen (2.35) sind auf die Ausgangskon guration bezogen. Aus der Massenbilanz  dV = 0 dV0 und der Transformationsregel fur ein Volumenelement (2.3) entsteht folgender Zusammenhang zwischen  und 0 dV =  det(F) : (2.39) 0 =  dV0 Z

Z

Z

0

Z

0

0

Nach dem Einsetzen von (2.12) in (2.37) und anschlieender Integration uber das Volumen, erhalt man den Ausdruck fur die mechanische Leistung in der Ausgangskon guration: Wi = V det(F)T(FT ) 1 : F_ dV0 = V P : F_ dV0 : (2.40) Den 2. Piola-Kirchhoschen Spannungstensor S, der zum Green'schen Verzerrungstensor E arbeitskonform ist, kann man mit Hilfe des mechanischen Leistungsausdrucks (2.33) de nieren, wenn man (2.17) fur die Rucktransformation _ 1 D = (FT ) 1EF (2.41) verwendet. Wi = V det(F)F 1T(FT ) 1 : E_ dV0 = V S : E_ dV0 (2.42) Aus (2.40) und (2.42) ergibt sich der Zusammenhang zwischen den beiden Piola-Kirchho'schen Spannungstensoren und dem Cauchy'schen Spannungstensor. S = det(F)F 1T(FT ) 1 = F 1P : (2.43) Da in dieser Arbeit ausschlielich die Lagrange'sche Darstellung mit symmetrischen Tensoren verwendet wird, aber die thermodynamischen Gleichungen normalerweise in der Momentankon guration mit aktuellen Groen aufgestellt werden, hat die Beziehung det(F)T : D = Tk : D = P : F_ = S : E_ (2.44) eine grundliegende Bedeutung fur die numerische Losung der inelastischen Probleme mit niten Deformationen. Mit der Einfuhrung des Kirchho'schen Spannungstensors Tk = det(F)T kann die innere mechanische Leistung (2.33) bezuglich des Ausgangsvolumens (2.3) k : D dV T : D d V = T (2.45) 0 V V ausgegeben werden. Anschlieend wird die Impulsbilanz als lokale Aussage mit dem 2. Piola-Kirchho'schen Tensor formuliert. Das Einsetzen von (2.43) in (2.38) ergibt: 0 v_ = 0 f + div FS (2.46) mit den dazugehorigen Randbedingungen t0 = FSn0 : (2.47) Z

Z

0

0

Z

Z

0

Z

0

Z

0

2.2.3 Objektivitat. Mitrotierende Zeitableitungen

Vor der Bildung der Zeitableitungen der Spannungen wird kurz in die Objektivitatsproblematik in der rationalen Mechanik [8] eingegangen. Das Objektivitatsprinzip besagt [115], da Stogleichungen und Zustandsgroen unabhangig von der Bewegung jeweiliger Beobachter sein mussen. Im Bild 2.4 ist die Bewegung eines Punktes bezuglich zweier Koordinatensysteme (zwei Beobachter), eins davon fest und eins beweglich, dargestellt. Es gilt: y(t) = c(t) + y(t) = c(t) + y0(t)Q ; (2.48) wobei Q ein orthogonaler Drehtensor ist, der die Rotation des Koordinatensystems beschreibt. Die Ortsvektoren y und y0 beziehen sich in ihrer Komponentendarstellung auf das feste und bewegliche Koordinatensystem. In (2.48) handelt es sich um eine Euklid'sche Transformation.

t

y*(t)

y(t)

g we

be

c(t) fest

Bild 2.4: Feste und bewegliche Koordinatensysteme [6] Ein Vektor ist objektiv, wenn er in dem bewegten System als dx und im festen System als dx = Qdx gemessen wird. Die Anwendung des Objektivitatsprinzips auf einen Tensor zweiter Stufe, z. B. auf den Cauchy'schen Spannungstensor T, fuhrt zu folgendem Zusammenhang T = QTQT : (2.49) Ein Tensor zweiter Stufe (z. B. der 2. Piola-Kirchho'sche Spannungstensor S [8] S. 88) ist invariant, wenn die Euklid'sche Transformation folgenden Eekt hat: S = S : (2.50)

Die Ableitung von (2.49) nach der Zeit liefert: _ T+ _ T T_  = QTQ QTQ +QTQ_ T |

{z

}

Objektive Zeitableitung

:

(2.51)

Aus (2.51) kann man erkennen, da sich fur den raumfesten Beobachter die Spannung T andert, auch wenn die Zeitableitung T_ gleich Null ist. Die materielle Zeitableitung des objektiven Cauchy'schen Spannungstensors ist wegen der beiden Q_ enthaltenden Terme nicht objektiv. Zur Eliminierung dieser Anteile werden mitrotierende Zeitableitungen von verschiedenen Autoren vorgeschlagen. Da Q ein orthogonaler Drehtensor ist und QT Q = I gilt, lat sich mit der Einfuhrung des schiefsymmetrischen Spintensors W [6] S. 339 W = Q_ T Q = QT Q_ (2.52) durch Umformung von (2.51) die Jaumann'sche Ableitung de nieren _ T : T_  = Q(T_ WT + TW)QT = QTQ (2.53) Die Zeitableitung des invarianten 2. Piola-Kirchho'schen Spannungstensors S wird durch die Anwendung der Kettenregel auf (2.43) gebildet [51] S. 75 S_ = det(F)_ F 1T(FT ) 1 + det(F)F_ 1T(FT ) 1 + det(F)F 1T_ (FT ) 1 + det(F)F 1T(_ FT ) 1 : (2.54) Durch das Einsetzen von (2.12) in (2.54) und Berucksichtigung nach [115] S. 182, da det(F)_ = det(F)(tr L) ist, wird die objektive Truesdell'sche Ableitung fur den 2. Piola-Kirchho'schen Spannungstensor S_ = det(F)F 1 T_ + (tr L)T LT TLT (FT ) 1 (2.55) de niert. Weitere mitrotierende Zeitableitungen ndet man in der ausfuhrlichen U bersicht in [115]. 

2.3



Materialgesetze

In den Abschnitten 2.1 und 2.2 wurden Spannungs-und Verzerrungsmae eines Kontinuums de niert und materialunabhangige kinematische und statische Gleichungen aufgestellt. Der funktionale Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen wird mit Hilfe von konstitutiven Gleichungen hergestellt. Die rationale Materialtheorie [111],[112] stutzt

sich auf die Prinzipien, die fur alle Materialklassen gultig sind. Damit entwickelt man einen mathematischen Apparat, der gemeinsame Eigenschaften verschiedener Materialien zusammenfat und Rahmenbedingungen fur die Simulation des Verhaltens konkreter Werkstoe setzt. Die ausfuhrliche und kommentierte Zusammenstellung dieser Prinzipe ndet man z. B. in [1],[8] oder [115]. Hier werden die wichtigsten Prinzipien der rationalen Materialtheorie axiomatisch vorgestellt. Prinzip des Determinismus Die Spannungen in einem materiellen Punkt zu einem Zeitpunkt werden durch die momentane und vergangene (aber nicht die zukunftige) Bewegung des Korpers determiniert. Prinzip der lokalen Wirkung Die Spannungen in einem materiellen Punkt hangen nur von der Bewegung der in nitesimalen Umgebung dieses Punktes ab. Objektivitatsprinzip (siehe 2.2.3) Prinzip der Materialsymmetrie Das Stogesetz mu Symmetrien und Isotropien des Materials wiedergeben. Konsistenzprinzip Die Stogleichungen durfen den stounabhangigen Bilanzgleichungen nicht widersprechen. Prinzip der Forminvarianz Die Materialfunktionen sind invariant unter Beobachterwechsel. Prinzip des nachlassenden Gedachtnisses Die Evolution einer Variablen hangt am starksten von den Umstanden, die zuletzt aufgetreten sind, ab. Inelastische Deformationsprozesse sind generell mit Dissipation und Umwandlung der Energie verbunden. Im nachsten Abschnitt werden die Grundgleichungen der Thermodynamik der irreversiblen Prozesse kurz vorgestellt. 2.3.1 Thermodynamische Grundlagen

In der Fachliteratur werden die thermodynamische Beziehungen uberwiegend im Rahmen der Theorie der kleinen Verzerrungen oder in der aktuellen Kon guration aufgestellt. Eine allgemeine Formulierung mit der parallelen Herleitung in Euler'scher und Lagrange'scher Betrachtungsweise ndet man in [55]. In diesem Abschnitt werden die thermodynamischen

Gesetze mit den Lagrange'schen Groen formuliert. Eine Transformation in die Momentankon guration kann jederzeit mit Hilfe von (2.17), (2.43) und (2.44) durchgefuhrt werden. 2.3.1.1 Der erste Hauptsatz

Thermodynamische Gesetze bilden die Grundlage fur eine Materialtheorie. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, da interne Prozesse in einem Korper thermodynamischer Natur sind und postuliert die Existenz der spezi schen inneren Energie U . Die A nderung der inneren Energie resultiert aus der inneren mechanischen Leistung Wi (2.44) und der nichtmechanischen (thermischen) Leistung Q d  U dV = Q + Wi (2.56) dt B Die thermische Leistung Q in einem Korper setzt sich aus massenspezi scher Warmestrahlung r und Warme u durch die Ober ache h(n) in Richtung der Normalen n Q = B  r dV @B h(n) dA (2.57) zusammen. Mit der De nition des Energiestromvektors h, h = hn und der Umwandlung des Flachenintegrals in (2.57) in ein Volumenintegral erhalt man den vollstandigen Ausdruck fur die A nderung der inneren Energie: d  U dV = B ( r div h) dV + @ B S : E_ dV (2.58) dt B oder als lokale Aussage:  U_ =  r div h + S : E_ (2.59) Aus (2.59) folgt, da fur adiabative Prozesse  U_ S : E_ = 0 (2.60) gilt. Z

Z

Z

Z

Z

2.3.1.2 Der zweite Hauptsatz

Z

Durch die Einfuhrung der spezi schen Entropie s wird in dem ersten Teil des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik die spezi sche innere Energie U in Abhangigkeit von den inneren Zustandsgroen de niert: U = U (E; s; k ) ; (2.61)

wobei s die Entropie und k ein Satz der inneren Variablen ist. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik wird in der Form der Clausius-Duhem-Ungleichung veranschaulicht:  T s_   U_ (E; s; k ) S : E_ ; (2.62) wobei T die absolute Temperatur ist. Nach dem Einsetzen von (2.62) in (2.61) folgt: @U _ @U @U s_ + S  : E  _ k  0 (2.63)  T @s @E @ !

!

k

2.3.1.3 Energiedissipation

Die absolute Temperatur T ist die arbeitskonforme thermodynamische Kraftgroe zu der Entropie s, und der 2. Piola-Kirchho'sche Spannungstensor S ist die thermodynamische Kraftgroe, die zum Green'schen Verzerrungstensor E arbeitskonform ist. @U @U T= ; S= (2.64) @s @E Der letzte Term in (2.63) wird als Dissipationsgeschwindigkeit bezeichnet. Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann man in der reduzierten Form als Dissipationsungleichung (Kelvin-Ungleichung) darstellen: qk _ k  0 ; (2.65) k wobei @U (2.66) qk =  @k die arbeitskonforme thermodynamische Kraftgroe zum thermodynamischen Flu k ist. In der Materialtheorie wird die Entropie oft durch die absolute Temperatur ersetzt und nach der Legendre-Transformation die Helmholtz'sche freie Energie  de niert:  = U T s = (E; T; k) (2.67) Das Einsetzen (2.67) in (2.62) ergibt folgende Beziehung:  T s_  T_ s + T s_ + _ + S : E_ =  T_ s  _ + S : E_  0 @ _ @ _ @  s+ T+ S  : E  _ k  0 (2.68) @T @E @ X





!

!

k

Analog zu (2.64) werden die arbeitskonformen thermodynamischen Groen mit Hilfe der Helmholtz'schen freien Energie ausgedruckt: @ @ @ s= ; S= ; qk =  (2.69) @T @E @k Mit der Einfuhrung der Gibb'schen Energiefunktion werden die inneren thermodynamischen Krafte qk als die Funktionen des Spannungstensors S de niert. (2.70) = 1 S : E_  Das Einsetzen von (2.70) in (2.67) und danach in (2.62) ergibt folgende Beziehung:  T s_ +  _ S_ : E  0 (2.71) oder fur die isothermischen Prozesse:  =  _ S_ : E  0 ; (2.72) wobei  die Energiedissipation ist. Die vollstandige Ableitung der Gibb'schen Energiefunktion, vgl. (2.68), @ @  E : S_  _ k  0 (2.73) @S @k fuhrt zu den folgenden Beziehungen: @ @ ; E= (2.74) qk =  @k @S Aus (2.67) bzw. (2.70) folgt, da das Deformationsverhalten eines Korpers sowohl von der Evolution der aueren Variablen, z. B. T , E oder S, die man im Experiment ermitteln kann, als auch von der Entwicklung der inneren Variablen, die keine direkte physikalische Bedeutung haben, bestimmt wird. Die Existenz der Helmholtz'schen freien Energie  ist nach [68] nur dann mit der additiven Zerlegung des Geschwindigkeitstensors E_ in elastische und inelastische Anteile (2.27) kompatibel, wenn auch die additive Zerlegung von (2.67) in elastische und inelastische Anteile moglich ist. (E; T; k) = el(Eel; T ) + in(k ; T ) (2.75) Entsprechend gilt fur die Gibb'sche Energiefunktion: (S; T; k) = el(S; T ) + in(k ; T ) (2.76) !

2.3.2 Das Hooke'sche Gesetz

Im Rahmen der Elastizitatstheorie werden alle thermischen Eekte vernachlassigt und der Energieaustausch wahrend der Deformation des Kontinuums ausgeschlossen. Der aktuelle Spannungszustand wird nur von dem aktuellen Verzerrungszustand und der Temperatur des Korpers bestimmt. S = F (E; T ) (2.77) Fur die isothermischen Prozesse mit Berucksichtigung von (2.74) und (2.69) gilt @W @ @V @ S =  el = el ; (2.78) Eel =  el = el ; @S @S @ Eel @ Eel wobei Wel die elastische Formanderungsenergie und Vel die elastische Erganzungs-energie ist. In dieser Arbeit wird der elastische Bereich des Spannung-DehnungDiagramms mit dem Hooke'schen Gesetz fur isotrope und inkompressible Werkstoe mit den kleinen elastischen Verzerrungen modelliert. Anisotrope Ribildung und kontraktant-dilatantes Betonverhalten in der Druckzone werden als ausschlielich inelastische Phanomene betrachtet. Das Hooke'sche Gesetz setzt die lineare Abhangigkeit zwischen Spannungen und Verzerrungen voraus, was zu folgendem Ausdruck fur die elastische Formanderungsenergie fuhrt. E 1 Wel (Eel ) = 0 S dEel = Eel : Cel : Eel (2.79) 2 In (2.79) ist Cel der elastische Stei gkeitstensor vierter Stufe (2.80) Cel = 2I + I I ; wobei  und  die Lame'schen Konstanten sind. Die Spannungs-DehnungBeziehung nimmt entsprechend folgende Form an: S = 2E + Tr(E)I bzw: ij = 2ij + kk Æij (2.81) Folgender Ausdruck veranschaulicht die alternative Erganzungsenergie: S 1 Vel (S) = 0 Eel dS = S : Fel : S (2.82) 2 In (2.82) ist F der elastische Nachgiebigkeitstensor vierter Stufe 1 + I  I I ; Fel = (2.83) E E Z

Z

el

wobei E der Elastizitatsmodul und  die Querkontraktionszahl sind. Die elastischen Dehnungen werden durch die Spannungen so ausgedruckt: 1 +  S  Tr(S)I bzw: el = 1 +     Æ (2.84) Eel = ij E E E ij E kk ij Zwischen dem Elastizitatsmodul, der Querkontraktionszahl und der Lame'schen Konstanten besteht folgender Zusammenhang: E E = ; = (2.85) (1  )(1 2 ) 2(1 +  ) = G In der Literatur wird G als Schubmodul bezeichnet. 2.3.3 Inelastische Phanomene. Wahl der inneren Variablen

Die inelastischen Vorgange in einem Werksto werden mit Hilfe von inneren Variablen modelliert, die die Verfestigung und Entfestigung des Materials beschreiben. S = F (E; T; k ) (2.86) Der Satz der inneren Variablen wird in Abhangigkeit von der physikalischen Natur des Prozesses bestimmt. 2.3.3.1 Schadigung

Die Schadigung ist die Degradation der elastischen Eigenschaften des Materials. Die erste mathematische Beschreibung der Schadigung fur die eindimensionalen Probleme wurde von Kachanov (1958) [48] in Form einer skalaren Groe k , die die "Nichtzerstorbarkeit" eines Querschnitts beschreibt, vorgeschlagen. Diese Groe wurde im Wertebereich von 0 bis 1 als adigte Flache des Querk = (A AD )=A de niert, wobei A - die ungesch schnitts und AD - die Flache aller Mikrorisse und Mikrohohlraume ist. Der Grad der Schadigung wird dabei durch die skalare Variable D = 1 k ausgedruckt. In einem durch eine Langskraft F belasteten Stab ist  die axiale Spannung und  die axiale Verzerrung. F = (2.87) A In einem geschadigten Stab wird diese Spannung sich erhohen, weil der wirklich tragende Querschnitt sich verringert. F (2.88)  = A A D

Die Spannung  wurde von Rabotnov (1968) [96] eingefuhrt und Nettospannung oder eektive Spannung genannt. Das Einsetzen der Schadigungsvariable D in (2.88) liefert den folgenden Zusammenhang zwischen den beiden Spannungen:   = (2.89) 1 D Die Grundlage fur die Stogesetzformulierungen mit den Nettospannungen bildet das von Lemaitre (1971) [58] formulierte Prinzip der Dehnungsaquivalenz, das besagt, da die Stogleichungen des geschadigten Materials aus den entsprechenden Gleichungen des ungeschadigten Materials bestimmt werden konnen, indem die Spannungen  durch die Nettospannungen  ersetzt werden. Z. B. fur das einaxiale Hooke'sche Gesetz gilt: Ungeschadigt (D = 0) Geschadigt (0 < D  1)    () el = = (2.90) el = E E E (1 D) Die Gleichung (2.90) fur geschadigtes Material kann man auch als  el =  (2.91) E darstellen, wobei E der geschadigte Elastizitatsmodul ist. Die Schadigungsdarstellung durch eine skalare Variable beschrankt die Anwendbarkeit der Schadigungstheorien auf die isotropen Materialien. Eine Vektordarstellung der Schadigug [82] ist eine Erweiterung des einaxialen Modells und erfat die Groe und die Richtung der Mikrorisse. Die geschadigte Flache n dA wird dabei mit einem Schadigungstensor zweiter Stufe D in den ungeschadigten Zustand ndA transformiert. (I D)ndA = ndA bzw: (Iij Dij )nj dA = nj dA (2.92) Der Tensor D wird symmetrisiert und besitzt die Eigenwerte D1; D2; D3, die den orthotropen Schadigungszustand beschreiben. Mit Hilfe von (2.92) wird der Nettospannungstensor S durch die U bertragung von (2.89) auf die Tensoren zweiter Stufe de niert. 1 (2.93) S = S
(I D) 1 + (I D) 1
S 2 Mit den Schadigungstensoren zweiter Ordnung kann man keine allgemeine Materialanisotropie erfassen, weil die A nderung der Riform unberucksichtigt bleibt. h

i

Die optimale Formulierung wird durch die Einfuhrung des Schadigungstensors vierter Stufe D erreicht [18], der die gleichen Symmetrieeigenschaften wie der Elastizitatstensor C besitzt. Die Nettospannungen werden mit dem Prinzip der Dehnungsaquivalenz  = E  = E (1 D) (2.94) als S = (I D) 1 : S (2.95) de niert. Die Schadigungstensoren hoherer Stufen (z. B. achter Stufe) [46] sind fur die praktischen Berechnungen zu aufwendig. Das Nettospannungskonzept bietet eine einfache Moglichkeit, die elastoplastischen Stogesetze auf die Schadigung zu erweitern. Die Schadigungsvariable D wird als innere Variable in die Berechnung eingefuhrt, und alle Materialgleichungen werden mit den eektiven Spannungen formuliert. Dabei werden nicht nur elastische Eigenschaften des Materials beein ut, sondern auch alle plastischen Parameter, wie z. B. die Fliegrenze, die kinematische und isotrope Verfestigung. Die Evolution der Schadigungsvariablen wird ublicherweise in Abhangigkeit von der akkumulierten plastischen Dehnung gesteuert. Diese Vorgehensweise ist bei den homogenen, duktilen Materialien, wie z. B. Stahl anwendbar, deren Stogesetze im ungeschadigten Zustand bekannt sind und die Mikroribildung ab einer bestimmten Groe der plastischen Dehnung nach Erschopfung des Duktilitatsvermogens beginnt. Im Beton sind Mikrorisse schon vor dem Aufbringen der Belastung im Zementstein vorhanden. Sie sind zufallig orientiert und liegen hauptsachlich in der Kontaktzone zwischen dem Zuschlag und dem Zementstein. Innerhalb des Schwindvorgangs entwickelt sich der Eigenspannungszustand, der zu einer Anfangsschadigung des Betons fuhrt. In diesem Fall ist das Materialgesetz fur das ungeschadigte Material unbekannt und die Voraussetzung fur die Anwendung des Prinzips der Dehnungsaquivalenz nicht erfullt. Nach dem Einbringen der Druckbelastung verhalt sich Beton zuerst elastisch. Beim Erreichen eines bestimmten Lastniveaus entstehen die ersten plastischen Verformungen, die zum Abbau der Eigenspannungen fuhren. Dann beginnt die Mikroribildung, wobei die duktilen Reserven des Materials noch nicht vollstandig erschopft sind. Bei den lokalen Bruchvorgangen (der abfallende Ast im   Diagramm) zeigt Beton ausschlielich sprodes Verhalten auf. Diese kurze Analyse des Betonverhaltens, auf die spater detalliert eingegangen wird, zeigt, da es keine direkte

Verbindung zwischen der Entwicklung von plastischen Verzerrungen und Schadigungsverzerrungen gibt. Trotz dieser Kritik kann man eine Reihe von robusten Betonmodellen auf der Grundlage des Nettospannungskonzepts in der Literatur nden, z. B. [1], [39], [70], [63], [98], [99]. Eine universelle thermodynamische Grundlage fur gekoppelte Plastizitats- und Schadigungsmodelle stellen die Energieausdrucke (2.67) und (2.70) dar. Das Einsetzen von (2.82) in (2.76) liefert den Ausdruck fur die Gibb'sche Energiefunktion in Abwesenheit von den plastischen Verzerrungen. 1  = S : F : S +  in (2.96) 2 Die zeitliche Ableitung der Gibb'schen Energiefunktion (2.96) hat folgende Form: 1 @ _ (2.97)  _ = S : F : S_ + S : F_ : S +  2 @k k Wenn man die ersten zwei Terme in (2.97) mit Berucksichtigung von (2.78) nach den Spannungen ableitet, wird nach der De nition der Schadigungsverzerrungsgeschwindigkeit E_ sch zu (2.98) E_ sch = F_ : S die Zerlegung des Geschwindigkeitstensors E_ in einen elastischen und einen Schadigungsanteil erreicht: E_ = E_ el + E_ sch (2.99) Nach dem Einsetzen von (2.97) in (2.72) bekommt man den folgenden Ausdruck fur die innere Energiedissipation: 1 @ sch = S : F_ : S +  _  0 (2.100) 2 @ k {z

|

}

Schadigung

|

k qk _ k {z

2.3.3.2 Plastizitat

}

Der Ausdruck (2.100) entspricht dem (2.27), wenn E_ in = E_ sch ist. Die Energiedissipation infolge des plastischen Flieens ohne A nderung der elastischen Eigenschaften hat folgende Form: @ pl = E_ pl : S +  _  0 (2.101) @ k |

{z

}

P lastizitat

|

k {z qk _ k

}

2.3.3.3 Duktil-sprodes Modell

Wenn das Material ein duktil-sprodes Verhalten zeigt, wird die innere Energie gleichzeitig durch das Flieen und durch die Ribildung dissipiert, d. h., der inelastische Verzerrungsgeschwindigkeitstensor E_ in wird die beiden Anteile E_ pl und E_ sch enthalten. Der vollstandige Ausdruck fur die Energiedissipation sieht so aus: 1 @  = S : F_ : S + E_ pl : S +  _ k  0 (2.102) 2 @ k P lastizitat |

|

{z

Schadigung

{z

}

}

|

{z

}

V erfestigung

Alle Terme in dieser Gleichung sind skalare Produkte zwischen den thermodynamischen Flussen und den thermodynamischen Kraften. Das letzte Glied in (2.102) druckt die Verfestigung und die Entfestigung des Materials aus 1. Im Rahmen dieser Arbeit wird sowohl die isotrope Verfestigung bzw. Entfestigung als auch die kinematische Verfestigung in Betracht gezogen. Die arbeitskonforme Groe zur isotropen Verfestigung R ist die akkumulierte inelastische Dehnung inv, die ein skalares Ma fur den inelastischen Deformationszustand in einem dreidimensionalen Korper bildet. Die kinematische Verfestigung X ist eine tensorielle innere Variable, die arbeitskonform zum kinematischen Verzerrungstensor  ist. Eine detallierte Vorstellung der inneren Variablen erfolgt bei der Beschreibung der konkreten Werkstogesetze im Kapitel 3. Die plastischen Verzerrungen Epl und die Schadigungsverzerrungen Esch, die implizit die Entwicklung des geschadigten Nachgiebigkeitstensors (2.98) erfassen, sind auch innere Variablen, die zu den Spannungen arbeitskonform sind. Beim Nettospannungskonzept sind dagegen die Schadigungstensoren verschiedener Stufen D; D; D als die inneren Variablen mit den eigenen Entwicklungsgleichungen und den arbeitskonformen Weggroen ensprechender Ordnung Y; Y; Y de niert [60]. 2.4

Zeitabh angige Inelastizit at

2.4.1 Flie ache und Fliepotential

Das inelastische Kontinuum be ndet sich im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht, wenn die inneren Variablen bei konstanter Belastung und Temperatureinwirkung konstant bleiben. Die zeitabhangige Inelastizitat 1 Bei ideal-inelastischen Modellen

ist dieser Term gleich Null.

wird durch den thermodynamischen Ungleichgewichtszustand gekennzeichnet. Die rheologischen Prozesse wie Kriechen oder Relaxation sind die Folgen der Evolution der inneren Variablen unter stationaren aueren Bedingungen. Ein elastischer Korper be ndet sich immer im lokalen thermodynamischen Gleichgewichtszustand und die Entwicklung der inneren Variablen ndet nur dann statt, wenn der Materialpunkt den elastischen Bereich, der mit einem Fliekriterium festgelegt ist, verlat. Das Fliekriterium wird normalerweise als eine Funktion des Spannungstensors und der inneren Variablen de niert. F (S; k )  0 (2.103) Zur Beschreibung der Entwicklung der inneren Variablen wird ein inelastisches Potential (Fliepotential)  eingefuhrt. @  _ k = (2.104) @qk Da die Entwicklung der inneren Variablen nur auerhalb des elastischen Bereichs statt ndet, wird (2.104) entsprechend formuliert: @

_ = (F ) ; (2.105) k

@qk

wobei (F ) eine skalare Funktion ist, die folgende Bedingungen erfullen mu: (F ) = 0; wenn F  0 (F ) > 0; wenn F > 0 Bei der zeitabhangigen Inelastizitat wird die Entwicklung von  in Abhangigkeit von dem Abstand des Vorlastpunktes von der Flie ache de niert.  Dieser Abstand wird als Uberspannung u = F F0 bzw: u = v G (2.106) bezeichnet, wobei im eindimensionalen Vergleichszustand v die aktuelle Vergleichspannung und G die aktuelle inelastische Grenze ist. Die Entwicklung der inelastischen Verzerrungen wird von den inneren Variablen bestimmt. Es gilt also: @E _ k (2.107) E_ in = E_ in(k ) =  @ X

k

Nach dem Einsetzen von (2.74) und (2.105) in (2.107) entsteht die Evolutionsgleichung fur den inelastischen Verzerrungstensor: _Ein =  @ 2 _ k = @qk _ k  @ S@k  @S = (F ) @ @qk = (F ) @

(2.108) X

X

X



@qk @ S

@S

Das Prinzip des Maximums der Energiedissipation, das von Mises postuliert hat, besagt, da der tatsachliche Spannungszustand S mit einem vorgegebenen Verzerrungszustand E_ die maximale Dissipationsleistung erzeugt. In der modernen Materialtheorie [101] wird dieses Prinzip zur Formulierung eines Optimierungsproblems mit der Nebenbedingung [10], das man mit der Lagrange'schen Multiplikatorenmethode losen kann, verwendet. Das Lagrange'sche Funktional fur ein duktil-sprodes Material wird unter Berucksichtigung von der Dissipationsgleichung (2.102) nachfolgend de niert L =  + (F )F (S; k ) @ = 21 S : F_ : S + E_ pl : S +  @ _ k (F )F (S; k ) ; (2.109) k wobei (F ) ein Lagrange'scher Multiplikator und F (S; k ) die Flie ache, die eine notwendige Nebenbedingung darstellt [101], ist. Die Berechnung der Extremalwerte des Funktionals (2.109) @L @F = 0 = ) F_ : S + E_ pl (F ) = 0 @S @S E_ in @L @F = 0 = ) _ k (F ) = 0 (2.110) @qk @qk liefert die Entwicklungsgleichungen (2.105) und (2.108). Die fur die Losung des Problems notwendige Kuhn-Tucker Bedingung (F )F (S; k ) = 0 (2.111) kann man als Normalenregel der assoziierten Plastizitat (inelastische Verzerrungen sind senkrecht zur Flie ache, = F ) deuten. |

{z

}

2.4.2 Stabilitat der Materialgleichungen

Die Materialgleichungen eines verfestigenden Materials mit der assoziierten Flieregel sind stabil und stellen ein eindeutiges Rand- und Anfangs-

wertproblem dar. Das Drucker'sche Stabilitatskriterium postuliert, da ein Material stabil ist, wenn in jedem Inkrement die Bedingung dS : dEin  0 bzw: S_ : E_ in  0 (2.112) erfullt ist (siehe Bild 2.5). Im Falle einer nichtassoziierten Flieregel ( =6 F ) dε

in

σ

dσ

dσ

σu

dε in

ε

F=0

dσdε in > 0

assoziierte Inelastizität

Verfestigung dσdε in > 0

Bild 2.5: Stabile Materialgleichungen und einer Materialentfestigung, wie beim Werksto Beton, ist das obengenannte Stabilitatskriterium oensichtlich verletzt (Bild 2.6). Allgemein σ

dε

in

dσ

σu

dσ dε in

Ω ε

F=0

nichtassoziierte Inelastizität dσdε in < 0

Entfestigung

dσdε in < 0

Bild 2.6: Instabile Materialgleichungen wird (2.112) mit dem gesamten Verzerrungstensor E nachfolgend umgeschrieben E_ : C : E_  0 ; (2.113) wobei C die Tangentenmatrix ist. Die Materialinstabilitat wird mit dem Verlust der Posivitat der Tangentenmatrix [12] det (C + CT ) = 0 (2.114)

de niert. Das instabile Materialverhalten verursacht den Verlust der Elliptizitat der dynamischen Gleichgewichtsgleichungen, die in Ratenform im Abschnitt 2.2 vorgestellt worden sind und verletzt damit die Eindeutigkeit der Losung des Rand -und Anfangswertproblems [12]. Die mathematische De nition der Umwandlung der hyperbolischen Gleichungen ist durch die Beziehung (2.115) det (ni C ijkl nl) = 0 gegeben. Die Materialinstabilitat kann zur Strukturinstabilitat fuhren, wenn das Kriterium von Hill S_ : E_ in  0 (2.116) V fur ein Kontinuum mit dem Volumen V nicht erfullt ist. Auf Strukturebene wird der Grenzzustand (2.114) nachfolgend beschrieben det (K + KT ) = 0 ; (2.117) wobei K die tangentielle Stei gkeitsmatrix ist. Bei den zeitabhangigen Modellen wird der Verlust der Elliptizitat durch die Existenz der U berspannung verhindert. Zu dieser Problematik ndet man verschiedene analytische und rechnerische Untersuchungen in der Literatur, z. B. [64], [83], [103]. Hier wird dieses Qualitatsunterschied zwischen zeitabhangigen und zeitunabhangigen Modellen veranschaulicht. Z

2.4.2.1 Zeitunabhangige Formulierung

Die Materialgleichung eines inelastischen Kontinuums hat folgende Form2 S_ = Cel : (E_ E_ in) bzw: S_ = C : E_ : (2.118) Bei der zeitunabhangigen Inelastizitat wird die Entwicklungsgleichung fur den inelastischen Multiplikator  in (2.108) durch die Konsistenzbedingung F_ (S; k ) = 0 (2.119) de niert. Die zeitliche Ableitung des Fliekriteriums (2.103) hat folgende Form: @F @F F_ (S; k ) = S_ + _ : (2.120) @S @ k 2 F ur

die sproden Materialien ist

C

k

el

der geschadigte Materialtensor.

Nach dem Eisetzen von (2.118),(2.105) und (2.108) in (2.120) @F @F el _ @F el _ _ : C : (E Ein) + _ k = :C :E F_ (S; k ) = @S @k @S @F el @ @F @

 : C : @ S + @ @q = 0 (2.121) @S k k erhalt man die folgende Evolutionsgleichung fur  @F el _ :C :E ; (2.122)  = @F @ S @ @

el : C : @ S + @q H @S k wobei H die Verfestigungs-Entfestigungsfunktion ist. Mit Berucksichtigung von (2.108) und (2.122) nimmt der Tangentenmodul C in (2.118) folgende Form Cel elastisch @F @

el el C = Cel C : @ S @ S : C inelastisch (2.123) @F el @ @

: C : @ S + @q H @S k an. Wie man aus dem Ausdruck (2.123) erkennen kann, kann die Verringerung von H (Entfestigung) oder von dem anderen Teil des Nenners (nichtassoziierte Flieregel) zu der Erhohung des inelastischen Anteils in (2.123) und damit zum Stabilitatsverlust (2.114) fuhren. 



8 > > > > > > > < > > > > > > > :

2.4.2.2 Zeitabhangige Formulierung

Die verschiedenen Evolutionsgleichungen fur den inelastischen Multiplikator  werden im Kapitel 3 diskutiert und hier wird nur die allgemeine Form der U berspannungsfunktion als  = u (2.124)

eingefuhrt, wobei ein Viskositatsparameter ist. Mit Berucksichtigung von (2.124) wird (2.118) nachstehend umgeschrieben u @

bzw : S_ = Cvis : E_ ; S_ = Cel : E_ (2.125)

@S wobei Cvis der Tangentenmodul bei der zeitabhangigen Formulierung ist. Um die weitere Herleitung zu vereinfachen, wird die Gleichung (2.125) fur einen eindimensionalen Vergleichzustand u ; (2.126) _ v = E _v

!

!

schrittweise nach einer impliziten Methode [31], die spater bei der Zeitintegration der Bestimmungsgleichungen verwendet wird, integriert. In (2.126) ist v die Vergleichsspannung, die ein Ma fur den aktuellen Spannungstensor S bildet, v die Vergleichsverzerrung, die als Ma fur den aktuellen Verzerrungstensor E dient, und E die Elastizitatsmodul (statt Cel im mehraxialen Spannungszustand). In einem Zeitinkrement gilt der Ansatz a a a_ = n+1 n (2.127)
t und entsprechend fur die Gleichung (2.125) die Beziehung
tE =
tE _v;n+1 + v;n +
tE G;n+1 : v;n+1 1 + (2.128)

#

"

|

{z

}

el v;n +1

Der Tangentenmodul in einem Zeitinkrement wird wie folgt berechnet @ Sn+1 vis = @v;n+1 ; Cvis = bzw : C (2.129) n+1 n+1 @ En+1 @v;n+1 was nach der Ableitung von (2.128) und Berucksichtigung, da el @v;n +1 =E (2.130) @v;n+1 ist, die endgultige Form des inkrementellen Tangentenmoduls fur die zeitabhangige Inelastizitat liefert @ 1 E +
tE @G : (2.131) Cnvis+1 = v;n+1 = @v;n+1 1 +
tE

@v Der Term @G=@v druckt die Abhangigkeit der Fliegrenze von der Gesamtverzerrung aus, die man als zeitunabhangigen Tangentenmodul C deuten kann. Die vollstandige Form von (2.131) ist durch die folgende Beziehung gegeben E elastisch E
t Cnvis+1 = (2.132)
tE 1 + Cn+1 inelastisch : 1+ "

8 > > > > < > > > > :



#



Man kann erkennen, da auch im Falle der negativen Cn+1 der zeitabhangige Tangentenmodul Cnvis+1 positiv bleibt, wenn das Zeitinkrement
t folgende Bedingung erfullt
t < C bei C < 0 : (2.133)

In der Literatur wird diese Vorgehensweise als die viskose Regularisierung eines inelastischen Problems bezeichnet. Abschlieend kann man zusammenfassen, da die zeitabhangigen Modelle ein hohes Stabilitatsvermogen besitzen und die Eindeutigkeit der Losung des Rand- Anfangswertproblems in Ratenformulierung gewahrleisten, die aber im wesentlichen von der Wahl der U berspannungsfunktion und der Dehnungsgeschwindigkeit abhangt. 2.4.3 Entwicklung der inneren Variablen

Um die separate Entwicklung der plastischen Verzerrungen und Schadigungsverzerrungen zu beschreiben, wird das inelastische Potential (2.104) in den plastischen- und den Schadigungsanteil zerlegt:

 = pl + sch (2.134) Aufgrund (2.108) hat dann die Evolutionsgleichung fur inelastische Verzerrungen folgende Form: @

@

E_ in = pl (F ) pl + sch(F ) sch (2.135) @S

@S

Da die beiden Multiplikatoren pl und sch die Funktionen des gleichen Fliekriteriums sind, ist es sinnvoll, durch die Einfuhrung einer Verteilungsfunktion die Entwicklung der plastischen und Schadigungsverzerrungen nur in Abhangigkeit von F zu beschreiben. @

E_ pl = (F ) pl @S @

E_ sch = (1 )(F ) sch (2.136) @S

Die Wahl der Verteilungsfunktion , 0   1, die grundsatzlich von Ein abhangt, wird anhand von einaxialen Versuchen durchgefuhrt. Aus (2.136) kann man die Evolutionsgleichung fur den Nachgiebigkeitstensor F herleiten. @

S : E_ sch = S : F_ : S = (1 )(F )S : sch @S @ sch @ sch

@S : S @ = (1 )(F )S : @ sch : S !

@S

= (1

)(F )S : |

Damit ist: F_ = (1

@ sch @ sch

@S @S @ sch :S @S

@ sch @ sch

@S @ S )(F ) @

sch :S @S

F_ {z

!

:S

(2.137)

}

!

2.4.4 Verfestigung-Entfestigung des Materials

(2.138)

Die Abhangigkeit der Flie ache von den inneren Variablen bestimmt das Verfestigungs- Entfestigungsverhalten eines Werkstoes, das in Form einer aus einaxialen Versuchen gewonnenen  in Kurve in den konstitutiven Modellen verwendet wird. Die U bertragung auf einen allgemeinen dreidimensionalen Zustand wird normalerweise mit dem "Work-Hardening" oder "Strain-Hardening" Konzept durchgefuhrt. Im Rahmen dieser Arbeit wird die Gleichheit der Energiedissipation (2.102) im einaxialen Vergleichszustand und im allgemeinen dreiaxialen Zustand vorausgesetzt. _ in v _in (2.139) v =S:E Der letzte Term in (2.102) ist fur die beiden Zustande gleich und wird deshalb nicht berucksichtigt. Mit (2.139) und (2.108) wird der Zusammenhang zwischen der inelastischen Vergleichsdehnung inv und der skalaren Funktion (F ) aufgestellt: 1 @ : S = (F ) ; _in =  ( F ) (2.140) v v @ S wobei  ein Normierungsfaktor ist. Die Entwicklungsgleichung fur den inelastischen Verzerrungstensor (2.108) wird dann entsprechend modi ziert: 1 @ in E_ in = _in (2.141) v  @ = _v Ain ; wobei Ain ein inelastischer Tensor ist.

Kapitel 3 Materialmodelle Im Rahmen dieser Arbeit werden Beton und Bewehrung als zwei unabhangige Komponenten mit den eigenen Stogesetzen modelliert. Diese Darstellung bietet eine groere Anwendungsbreite als die Modellierung des Stahlbetons als einen kompositen Werksto in der Makroebene. Die Verbundwirkung zwischen Stahl und Beton wird auf der Betonseite berucksichtigt. 3.1

Beton

3.1.1 Experimentelle Ergebnisse 3.1.1.1 Einaxiales Verhalten Druckbeanspruchung Das typische   Diagramm

fur Beton unter einaxialer Belastung ist im Bild 3.1 dargestellt. Unter der Drucklast, die kleiner als 0:3 D ist, verhalt sich Beton nahezu linear-elastisch. Den Punkt A in dem   Diagramm kann man als die elastische Grenzspannung bezeichnen. Ab diesem Punkt beginnt die Entwicklung der irreversiblen Verzerrungen und das Anwachsen der Mikrorisse und der Verlauf der   Kurve wird nicht mehr linear, wobei deren Tangente immer kleiner wird. Eine stabile Mikrorientwicklung dauert solange an bis die Druckspannung den Punkt B ( 0:8 D) erreicht hat. Eine weitere Laststeigerung fuhrt zu der Vereinigung von Mikrorissen und der Bildung von Bruch achen. Eine schematische Darstellung der fortschreitenden Ribildung, die durch UltraschallUntersuchungen bestatigt wurde [62], ist im Bild 3.2 dargestellt. Im Punkt C ist die maximale Druckfestigkeit des Betons erreicht. Die entsprechende Verzerrung liegt im Bereich 0:2 0:4%. Eine weitere Stauchung ist nur mit der abnehmenden Druckspannung moglich. Das Verhalten im Nach39

C

βD

Spannung σ

B

A

εD

Dehnung ε

Bild 3.1: Beton-Druckkurve

A) Anfangszustand

B) Anwachsen der Mikrorissen

C) Vereinigung von Mikrorissen

D) Bildung von Bruchflächen

Bild 3.2: Ribildung bei steigender einaxialer Drucklast

bruchbereich wird von den lokalen Bruch achen bestimmt [114] und wird von der Lokalisierungseekten, auf die im nachsten Abschnitt eingegangen wird, begleitet. Die Untersuchungen des Betonverhaltens unter verschiedenen Dehnungsgeschwindigkeiten [2],[22] haben ergeben, da bei hohen Geschwindigkeiten ( _  1
10 1s 1) die Druckfestigkeit des Betons bis zu 35% zunimmt. Zugbeanspruchung

Das Bild 3.3 zeigt ein typisches Spannungs-Verschiebungs-Diagramm fur Beton im einaxialen Zugversuch. Bei Zugspannungen, die kleiner als 0:8 Z βZ

B

Spannung σ

A

εZ

Verschiebung ∆Lr (µm)

100

Bild 3.3: Beton-Zugkurve sind, zeigt der Probekorper ein linear-elastisches Verhalten. Die Spannungen sind gleichmaig uber die Lange des Probekorpers verteilt (Bild 3.4 A). Kurz nach der U berschreitung dieser Grenze beginnt die Mikroribildung, und das 
L Diagramm wird nichtlinear. Dieser Verfestigungsbereich A B im Bild 3.3 ist bei der Zugbeanspruchung sehr klein und wird durch die Entstehung einer Mikrorikonzentrationszone charakterisiert. Die Verzerrungen in dieser Zone sind wesentlich groer als in anderen Teilen des Probekorpers (Bild 3.4 B). Beim Erreichen der Zugfestigkeit Z , die ca. 0:1 D betragt, verkleinert sich dieser Mikroribereich mit dem gleichzeitigen Anwachsen der Mikrorisse. In den ubrigen Teilen des Probekorpers beginnt der Abbau der Verzerrungen und Spannungen. Man bezeichnet dieses Phanomen als die Lokalisierung der Verzerrungen. Der Nachbruchbereich wird durch eine drastische Entwicklung und

A)

F

B)

ε F

C)

F

F

ε F

ε F

Bild 3.4: Lokalisierung der Verzerrungen Vereinigung von Mikrorissen gekennzeichnet, die schnell einen singularen Ri bilden, dessen Evolution anschlieend zur Werkstotrennung fuhrt (Bild 3.4 C). Die Versuche an den Probekorpern mit den verschiedenen Probehohen [113] lassen bei den reibungsfreien Randbedingungen, die die Querdehnung nicht verhindern, keinen Ein u der Probenhohe auf die 
L Kurve erkennen. Der Vorbruchbereich der Spannungs-Verschiebungslinie kann relativ einfach in ein   Diagramm umgerechnet werden. Dagegen ist der Nachbruchbereich der Spannungs-Dehnungs-Kurve streng von der Probehohe abhangig. Im Bild 3.5 ist zu erkennen, da mit der Vergroerung der Probehohe der Abfall der   Kurve acher wird, weil die Verzerrungen, die intensiv nur in der lokalen Bruchzone wachsen, uber die Lange des Probekorpers verteilt werden mussen.

Bild 3.5: Vergleich zwischen Spannungs-Verschiebungs- und SpannungsDehnungs- Kurven fur Beton (aus [42]) Eine Erhohung der Dehnungsgeschwindigkeit in einem Zugversuch fuhrt zur Erhohung der Zugfestigkeit des Betons um bis zu 50% [108]. Damit ist der Ein u der Dehnungsgeschwindigkeit auf das Zugverhalten noch groer als auf das Druckverhalten.

Zyklische Belastung

In dieser Arbeit wird nur die zyklische Belastung mit niedriger Zyklenanzahl (10 1000) und groer Amlitude (low-cycle fatigue) in Betracht gezogen. Die Versuchsergebnisse fur die zyklische Druckbeanspruchung sind im Bild 1.3 auf S. 4 und fur die zyklische Zugbeanspruchung im Bild 3.6 auf S. 43 dargestellt. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung bei der zyklischen Belastung kann man mit Hilfe von einer Grenzkurve beschreiben, die nahezu identisch mit dem   Diagramm fur monotone Belastung ist.

Bild 3.6:  nach [97]



Diagramm fur Beton unter zyklische Zugbeanspruchung

3.1.1.2 Mehraxiales Verhalten Biaxiale Beanspruchung

In den letzten drei Jahrzehnten wurde eine Reihe von biaxialen Betonversuchen mit unterschiedlichen Prufmethoden [29] durchgefuhrt. Zur Bestimmung der zweiaxialen Betonfestigkeit werden oft die Versuchsergebnisse von Kupfer [56] verwendet. Die Versuche wurden an Betonscheiben (20  20  5 cm) mit monotoner Laststeigerung und einer Lasteinleitung durch Stahlbursten durchgefuhrt.

Die Festigkeit des Betons in biaxialen Versuchen, die im Bild 3.7 dargestellt ist, hangt vom Verhaltniss 1=2 ab. Bei gleichen Druckspannungen (1 = 2) steigert sich die Festigkeit um 16% gegenuber der einaxialen Druckfestigkeit. Aus dem Bild 3.7 wird deutlich, da die maximale Steigerung der Druckfestigkeit (um ca. 25%) im Versuch mit 1 = 0:5252 erreicht wird. Im Bereich der gemischten Druck-Zug-Beanspruchung ndet

Bild 3.7: Biaxiale Betonfestigkeiten nach KUPFER [56] eine Abminderung der Festigkeit statt, wobei beim Lastpfad 1 = 19:22 ein Druckversagen (Crushing) und beim Lastpfad 1 = 9:72 ein Zugversagen (Cracking) auftritt [72]. Bei einem Zug-Zug-Versuch ist die Festigkeit unabhangig von dem 1=2 Verhaltnis. Die Trennung des Probekorpers erfolgt in der zur groten Zugspannung senkrechten Richtung. Im Bild 3.8 ist die Volumenanderung vol vol = 1 + 2 + 3 (3.1) in den Versuchen mit den verschiedenen 1=2 Verhaltnissen dargestellt. Man kann feststellen, da das Volumen bis zur Spannung   0:8max sich kontinuierlich verkleinert. Bei der weiteren Laststeigerung beginnt die intensive Mikroribildung, die einen Wendepunkt in den Volumenanderungskurven verursacht. Besonders bemerkbar ist der Zuwachs von 3

Bild 3.8: Volumenanderungskurven bei biaxialem Druck nach KUPFER [56] Verzerrungen (z. B. Bild 3.21, Seite 70), die senkrecht zur Lastebene sind. Dieses Phanomen wird als das kontraktant-dilatantes Betonverhalten bezeichnet. Dreiaxiale Beanspruchung

Dreiaxiale Versuche [113] zeigen, da die zusatzliche Druckspannung 3, die die Verzerrungen 3 bremst, die Festigkeit des Betons deutlich erhoht. Analog zur biaxialen Festigkeit (Bild 3.7) kann auch die dreiaxiale Festigkeit des Betons durch die Darstellung im Hauptspannungsraum geometrisch interpretiert werden (Bild 3.9). Nach der Aufteilung des Spannungstensors in einen kugelsymmetrischen Anteil und einen deviatorischen Anteil, kann man die Haigh-Westergaard Koordinaten  , und  einfuhren p  = p 2J2 (3.2) cos 3 = 2(3 J 3)J3=32 (3.3) 2

= pI12 ; (3.4) wobei I1 die erste Invariante des Spannungstensors und J2, J3 die zweite und dritte Invariante des Deviators sind. 

−σ 1 chse

at

rost

Hyd

eA isch

−σ 2

−ξ

−σ 3 Θ

ρ

Bild 3.9: Betonbruch ache im Spannungsraum Aus den experimentellen Untersuchungen ist bekannt, da fur die Materialien mit der inneren Reibung die hydrostatische Komponente des Spannungstensors (erste Invariante I1) eine wichtige Rolle spielt. Die deviatorischen Querschnitte der Betonbruch ache im Bild 3.10b, die senkrecht zur hydrostatischen Achse sind, weisen eine dreiachsige Symmetrie auf, wobei sie sich bei hohem hydrostatischen Druck vergroern und eine kreisformigene Gestalt annehmen. Ein stetiger und konvexer U bergang zwischen den positiven Hauptspannungen (Zug-Meridian Z ,  = 00) und negativen Hauptspannungen (Druck-Meridian D ,  = 600) ist mit dem Lode-Winkel  gegeben. Die Meridianen der Bruch ache sind gekrummt (Bild 3.10a). Zug-Meridian (Θ=0°)

ρ

σ1 ρ Θ ρ Z

Hydrostatische Achse

ρD

ξ

σ2

σ3

Druck-Meridian (Θ=60°)

Bild 3.10: Betonbruch ache in der a) Meridianebene b) Deviatorebene

3.1.2 Bruchkriterium und Flie ache

Zur mathematischen Beschreibung der Betonbruch ache wurden mehrere Ansatze mit unterschiedlicher Parameteranzahl vorgeschlagen. Eine ausfuhrliche Vorstellung der existierenden Modelle mit dem Vergleich der Versuchsergebnisse aus mehraxialen Versuchen ndet man in [21]. In der vorliegenden Arbeit wird das funf-parametrige Willam-Warnke [116] Bruchkriterium verwendet. Fbr (; m; ) =  f (m; ) = 0 ; (3.5) wobei m die Oktaederspannung ist. Die Willam-Warnke Bruch ache ist uberall konvex und stetig. Die Deviatorebene besteht aus den drei symmetrischen elliptischen Segmenten. Die Meridiane haben einen parabolischen Verlauf. Im Haigh-Westergaard Koordinatensystem wird die Bruch ache f so de niert: 2D (2D 2Z ) cos f = 4(2D 2Z ) cos2  + (D 2Z )2 D (2Z D ) 4(2D 2Z ) cos2  + 52Z 4Z D (3.6) + 4(2 2 ) cos2  + ( 2 )2 q

D

Z

D

Z

wobei der Zugmeridian Z und der Druckmeridian D die Funktionen der Oktaedernormalspannung m = I1=3 sind: 1 a + a2 4a (a  ) Z = (3.7) 2a2 1 1 2 0 m 1 b + b2 4b (b  ) (3.8) D = 2b2 1 1 2 0 m Die funf notwendigen Parameter (a0 = b0) werden anhand von folgenden experimentellen Bruchzustanden bestimmt: 1. Einaxiale Druckfestigkeit. 2. Einaxiale Zugfestigkeit. 3. Biaxiale Druckfestigkeit. 4. Dreiaxiale Druckfestigkeit mit 1 > 2 = 3. 5. Dreiaxiale Druckfestigkeit mit 1 = 2 > 3. 





q

q



Die Verwendung von Kupfer-Versuchen [56] und den dreiachsigen Versuchen zur Parameterbestimmung liefert folgende Werte [21]: a0 = 0:1025; a1 = 0:8403; a1 = 0:0910 b1 = 0:4507; b2 = 0:1018 Die Flie ache wird aus der Bruch ache konstruiert. F = r k0rf = 0 ; (3.9) wobei k0 der Verfestigungsfaktor aus den einaxialen Versuchen ist. ka  k0  1 (3.10) Die Flie achen in diesem Modell haben keinen kappenformigen Abschlu, und damit ist der Anwendungsbereich des Modells auf die Spannungszustande mit dem niedrigem hydrostatischen Druck beschrankt. 3.1.3 Das inelastische Potential

Beton gehort zu den Werkstoen, die unterschiedliches Verhalten unter Zug- und Druckbeanspruchung vorweisen. Um die Evolution der inneren Variablen und der damit verbundenen Entwicklung der inelastischen Verzerrungen im Zug und Druckbereich zu erfassen, wird die spektrale Zerlegung des Spannungstensors vorgenommen. S=

3

X

i=1

(3.11)

i ni ni ;

wobei i; (i = 1; 2; 3) die Hauptspannungen und ni die entsprechenden Hauptrichtungen sind. Es werden zwei separate inelastische Potentiale fur den Zugbereich + und fur den Druckbereich aufgebaut, die dann zu einem resultierenden Dissipationspotential mit Hilfe des Wichtungsfaktors t , 0  t  1 zusammengefat werden. @

@ + (F ) = t (F ) + (1 t )(F ) @

(3.12) 

@S

@S



@S

Der Wichtungsfaktor t ist im Wertebereich 0  t  1 de niert, und die Konstruktion des Wichtungsfaktors 1 3 j j + i t (S) = i=13 i (3.13) 2 i=1 jij P

P

wird aus [67] ubernommen. Eine alternative Moglichkeit bietet die De nition des Wichtungsfaktors in Abhangigkeit von dem Lode-Winkel .  = 00 () t = 1 Zug  = 600 () t = 0 Druck Man mu auch beachten, da ein inelastisches Potential (2.134) die Plastizitats- und Schadigungsanteile beinhaltet. Es mu die Verteilungsfunktion + fur die Zugzone und die Verteilungsfunktion fur die Druckzone anhand von einaxialen zyklischen Zug- bzw. Druckversuchen de niert werden. Die Evolutionsgleichung fur die inelastischen Verzerrungen (2.108) nimmt nach Einsetzen von (2.135) und (3.12) folgende Form an: E_ in = (F )

2

0

6 6 6 6 4

B B B B @

t

0

+ (1

t )

B B B B @

@ +pl @S +

|

{z

}

+ (1

Zugplastizitat

@ pl @S

|

{z

}

Druckplastizitat

|

@ +sch ) @S +

{z

Zugschadigung

+ (1 |

}

1 C C C C A

@

) sch @S {z

Druckschadigung

13

C7 C7 C7 C7 A5 }

(3.14)

Diese Arbeit beschrankt sich auf die Theorie der kleinen Schadigungsverzerrungen (siehe Abschnitt 2.1.4.2), was eine Zerlegung des Nachgiebigkeitstensors F in einen elastischen Anteil F0 und einen Rianteil F zulat. F = F0 + F (3.15) Da der elastische Anteil des Nachgiebigkeitstensors konstant ist und bei Dierentierung nach der Zeit wegfallt, kann man in (2.138) F durch F ersetzen. Die vollstandige Entwicklungsgleichung fur den Nachgiebigkeitstensor von Beton unter der progressiven Ribildung in den Zug- und Druckbereichen hat folgende Form: @ +sch @ +sch

_F = (F ) t (1 +) @ S + @ S @ sch :S @S @ sch @ sch

@S @S (3.16) + (1 t )(1 ) @

sch : S @S 2

0

1

6 6 6 6 6 6 4

@

A

0

13

@

A7 7 7 7 7 7 5

Mit Berucksichtigung von (2.141) kann (3.16) entsprechend umgeformt werden. + + _F = _inv t (1 +) Asch+ Asch A :S 

2



4

sch

Asch Asch Asch : S



3

+ (1 t )(1 ) (3.17) Das kontraktant-dilatante Betonverhalten im Druckbereich lat sich mit einer nichtassoziierten Flieregel wirklichkeitsnah beschreiben. In dieser Arbeit wird generell die von Mises-Flache als plastisches Potential pl verwendet. Bei einigen Testrechnungen wurde auch die Drucker-Prager Flache verwendet. Fur den Aufbau des anisotropen Schadigungspotentials wird eine ahnliche Strategie wie bei dem "rotating crack model" [34] verfolgt. Das Schadigungspotential wird mit Hilfe der aktuellen Hauptrichtungen aufgebaut und erfat damit die A nderung der Hauptdehnungsrichtung im gerissenen Zustand (Bild 3.11). Alternative Konzepte, z. B. orthogonale und nichtorthogonale Rimodelle mit fester durch die Erstribildung bestimmter Hauptdehnungsrichtung, sind numerisch aufwendig, nicht besonders stabil und bei den Berechnungen fuhren sie oft auf zu groe Traglasten [72]. 5

X2 t

n φr

τ σ X1

Riß

Bild 3.11: Rikoordinatensystem In der Bruchmechanik kann man jeden Ri als Kombination der drei Grundriarten (Bild 3.12) darstellen: Mode I (Zugri), Mode II und Mode III (Schubrisse). Die allgemeine Struktur des Schadigungspotentials fur sprode Werkstoe kann man aus [31] oder [65] entnehmen. 3

sch = aiNi : S ; (3.18) i=1 wobei N1 = ni ni - Ribildung nach Mode I, N2 = 21 (n1 n2 + n2 n1) - Ribildung nach Mode II, N3 = 21 (n1 n3 + n3 n1) - Ribildung nach Mode III und ai skalare Faktoren sind. X

n

t t t

n

t

Mode I

Mode II

Mode III

Bild 3.12: Riarten In dieser Arbeit wird eine vereinfachte Konstruktion des Schadigungspotentials verwendet. Im Zugbereich ist die Rientwicklung nach Mode I magebend. Nach der spektralen Zerlegung werden alle positiven Spannungen bezuglich der maximalen Zugspannung skaliert und mit entsprechenden Wichtungsfaktoren in das positive Schadigungspotential eingefuhrt. Die allgemeine Form des Schadigungspotentials fur den Zugbereich entsteht, wenn alle Hauptspannungen positiv sind.

+sch = (n1 n1) : S + 2 (n2 n2) : S + 3 (n3 n3) : S (3.19) 1 1 Dabei ist 1 die maximale Hauptspannung. Bei der Konstruktion des Schadigungspotentials fur den Druckbereich wird vorausgesetzt, da plastische Verzerrungen und Schadigungsverzerrungen die gleiche Richtung bzw. gleiche Dissipationspotentiale besitzen, d. h., Kristallgitterversetzungen infolge der Schubspannungen entwickeln sich zu Mikrorissen, die sich spater zu Makrorissen vereinigen und das Versagen des Materials verursachen. Eine Erweiterung des Schadigungspotentials zur Beschreibung der Schubrientwicklung wird z. B. in [118] vorgenommen. Bei der Modellierung des Betonverhaltens mu man beachten, da die Risse, die in der Zugzone entstehen, sich bei der Entlastung durch eine Druckbeanspruchung wiederschlieen. Der vorgestellte Aufbau des inelastischen Potentials mit der Aufteilung in Zug- und Druckasnteile, bietet eine korrekte Erfassung des O nen-Schlieen-Mechanismus, weil bei der Umkehrung der Belastung der betroene Potentialsanteil deaktiviert wird. Die Probleme konnen auftreten, wenn eine zyklische ZugDruck-Beanspruchung mit der U berschreitung der Fliegrenze im Zugund Druckbereich vorliegt. Aus den experimentellen Untersuchungen ist

bekannt, da die Schadigung in der Zugzone keine Auswirkung auf die Bruch ache fur die Druckspannungen hat, d. h., ein Betonpunkt, der auf Zug gerissen ist, besitzt volle Druckfestigkeit. Dieses Phanomen kann nur mit einer kombinierten Bruch ache wie z. B. dem Rankine-Kriterium fur Zugspannungen und dem Drucker-Prager-Kriterium fur Druckspannungen [23],[95] oder mit einer kinematischen Verfestigung, die die Verschiebung der Bruch ache entlang der hydrostatischen Achse beschreibt, modelliert werden. 3.1.4 Inelastische Verzerrungsgeschwindigkeiten

In diesem Abschnitt wird die Entwicklungsgleichung fur die Funktion (F ) aufgestellt. Das klassische viskoplastische Modell von Perzyna [88] beinhaltet folgende Form der Flieregel: h (F )i @ ; E_ in = (3.20)

@S wobei (F ) eine Funktion der Flie ache und ein skalarer Viskositatsparameter ist. Der Ausdruck in Eckklammern hat folgende Bedeutung: h (F )i = (F ) +2 j (F )j (3.21) Die einfachste Form der -Funktion ist: (F ) = F F F0 = Fu ; (3.22) 0 0 wobei F0 die aktuelle inelastische Grenze und u die U berspannung ist. Bei dynamischen Berechnungen mit hohen Dehnungsgeschwindigkeiten verhalt sich das Modell (3.20) zu steif. In dieser Arbeit wird die lineare Abhangigkeit  von F modi ziert, indem man den Viskositatsparameter als Funktion der Dehnungsgeschwindigkeit de niert [17].

(eff ) = a0(_eff )a (3.23) Die eektive Verzerrungsgeschwindigkeit kann mit einem bestimmten Kriterium fur Vergleichsverzerrungen berechnet werden. Hier wird den Ansatz von Farag und Leach [26] verwendet: 12 ; _eff = _2oct + _ oct (3.24) 4 wobei oct = 31 I 0 die oktaedersche normale Verzerrung und oct = 2 23 J20 die oktaedrische Schubverzerrung ist. 1

v u u t

q

Anschlieend mu man darauf hinweisen, da die zeitabhangige Formulierung der inelastischen Gleichungen im Rahmen dieser Arbeit erhebliche Vorteile gegenuber spontan-plastischen Modellen hat:  Ohne den Zwang zur Konsistenz bleiben die Systemmatrizen auch bei der nichtassoziierten Inelastizitat symmetrisch.  Die Abhangigkeit des Deformationsverhaltens von den Dehnungsgeschwindigkeiten lat sich zwanglos erfassen. Dies ist besonders bei dynamischen Berechnungen wichtig.  Auch im Nachbruchbereich wechseln die dynamischen Gleichungen nicht den Typ, so da die Ergebnisse unabhangig von der Elementgroe losungsstabil bleiben. Bei spontan-plastischen Modellen ist dagegen die Skalierung von Elementgroen auf die Rilange notwendig [85], um die Energiedissipation, die in Bezug auf eine Volumeneinheit in (2.102) de niert wurde, bei der Entwicklung der einzelnen Risse numerisch erfassen zu konnen. Eine ausfuhrliche Diskussion uber die FE-Netzsensibilitat bei zeitabhangigen Modellen ndet man in [83]. 3.1.5 Verfestigung-Entfestigungsregel

In dieser Arbeit wird nur die isotrope Verfestigung (Bild 3.13a) fur Beton vorausgesetzt. Die kinematische Verschiebung der Flie ache entlang der hydrostatischen Achse (Bild 3.13b) wird von einigen Autoren [79], [80] zur Beschreibung des Verfestigungs- Entfestigungsverhaltens in Zugund Druckzone verwendet. Die allgemeine Verfestigungskurve G inv (Bild 3.14a) wird aus der Versuchskurve G v (Bild 3.14b) abgeleitet ρ

a)

ρ

b)

ξ

Bruchfläche

ξ

Bruchfläche

Bild 3.13: a) Isotrope Verfestigung; b) Kinematische Verfestigung.

σG

a)

βD

b)

σG

B

σ DA

A εD

C

ε

ε in

Bild 3.14: a) Einaxiale   Druckkurve; b) VerfestigungsEntfestigungskurve fur einaxialen Druck und in Form der folgenden Funktion in die Berechnung eingefuhrt:  2 k0 = G = (a + bin + c(in ) ) exp( din (3.25) v v v ) ; b wobei k0 der Verfestigungsparameter fur die Flie ache (3.9), G die Vergleichsspannung bei sehr langsamer Dehnungsgeschwindigkeit, die man als Fliefunktion deuten kann [68], und b die Betonfestigkeit ist. Die resultierende Verfestigungskurve ist von der Zugverfestigungskurve und von der Druckverfestigungskurve abhangig. Im Bild 3.15 ist die Aufweitung und das Schrumpfen der Flie ache auf der biaxialen Ebene dargestellt. Mit dem Wichtungsfaktor t (3.13) wird der Ein u von beiden Kurven berucksichtigt und der stetige U bergang zwischen zwei Bereichen formuliert.  G+ k0 = t + (1 t ) G ; (3.26) Z D wobei G+ + + 2 + = ( a+ + b+in + c+(in ) ) exp( d+in ) v v v Z

G 2 = ( a + b in + c (in ) ) exp( d in (3.27) v v v ) D und Z die Zugfestigkeit und D die Druckfestigkeit des Betons sind. Die inelastische Vergleichsdehnung inv, die nach (2.140) berechnet wird, kann

man in einen positiven und einen negativen Anteil mit Hilfe des Wichtungsfaktors t zerlegen [79]. + in = t inv v in = (1 t )inv (3.28) v

Anfangsfließfläche

σ2 βZ

σ Dv

βD

βZ σ1

βD

Druck 1 2

σAD 1

ε in,D v

2

σ Zv

2 1

βD

Zug

βZ 2

Bruchfläche

ε in,Z v

Bild 3.15: Resultierende Verfestigung fur biaxiale Beanspruchung Eine andere Moglichkeit bietet die Ermittlung von maximalen und minimalen inelastischen Hauptdehnungen und die Annahme, da inv + = max und inv = min sind [67]. 3.1.6 Parameterbestimmung

In diesem Abschnitt wird die Vorgehensweise bei der Parameterbestimmung fur das hier vorgestellte Modell erlautert. Diese Vorgehensweise kann man in funf Schritten zusammenfassen: 1. Bestimmung der einaxialen Verfestigungs-Entfestigungskurve fur Beton unter Druckbelastung. 2. Bestimmung der einaxialen Entfestigungskurve fur Beton unter Zugbelastung. 3. Bestimmung der Plastizitats-Schadigungs-Verteilungsfunktionen fur die Zug- und Druckbereiche. 4. Bestimmung der Parameter fur die U berspannungsfunktion. 5. Bestimmung der Parameter fur den mehraxialen Spannungszustand.

3.1.6.1 Einaxiale Druckkurve

Im ersten Schritt mussen   Kurven fur Beton unter einaxialer Druckbelastung approximiert werden. In der Literatur ndet man eine Reihe der dafur geeigneten mathematischen Funktionen, z. B. [5],[47],[93]. In dieser Arbeit werden   Druckkurven in drei Bereiche aufgeteilt (Bild 3.14). Die linear-elastische Zone wird durch den Elastizitatsmodul Eb und die Anfangs iespannung DA  0:3 D de niert. Die beiden Parameter sind fur die unterschiedlichen Betonklassen aus der Literatur zu entnehmen. Fur den Verfestigungsbereich (A-B) wird ein kubischer Ansatz mit vier Parametern gewahlt: A B = a0 ( A )3 + b0( A )2 + c0 ( A) + d0 ; (3.29) wobei A = DA =Eb die elastische Grenzverzerrung ist. Die Konstanten a0 ; b0; c0 und d0 werden aus den folgenden Bedingungen bestimmt (Bild 3.14): fur  = A;  = DA @ = Eb @ fur  = D ;  = D @ =0 (3.30) @ Nach dem Einsetzen von (3.30) in (3.29) entstehen folgenden Ausdrucke fur die gesuchten Parameter: Eb(D A) D AD 2 a0 = (3.31) 3 (D A) 3a(D A) + ( Eb  ) D A b0 = (3.32) 2 c0 = Eb (3.33) d0 = DA (3.34) Der abfallende Ast (Entfestigungsbereich) der Betondruckkurve wird mit der Funktion von Popovics [93] n B C = D (3.35) D n 1 + (=D )n approximiert. Der Parameter n, 2 < n < 8, der den Verlauf im Nachbruchbereich beschreibt, wird bei der Anpassung an die Versuchsergebnisse gewonnen. 0

1

@

A

Dieser erste Schritt der Parameterbestimmung kann als Digitalisierung der   Kurven verstanden werden. Prinzipiell sind alle Funktionen zulassig, die eine gute U bereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen gewahrleisten. Ein anderer Weg ist die Interpolation der Versuchsergebnisse mit verschiedenen Spline-Funktionen, was wesentlich bessere Ergebnisse liefert, aber auch mit einem groeren numerischen Aufwand verbunden ist. Fur eine inelastische Berechnung ist allerdings nicht das   Diagramm, sondern die Verfestigungs-Entfestigungskurve G in notig. Sie druckt die A nderung der Flie ache oder der Grenzspannung G in Abhangigkeit von der innere Variable in aus (Bild 3.14). Im zweiten Schritt der Parameterbestimmung fur die Betondruckkurve wird aus einem   Diagramm eine G in Kurve hergeleitet. Eine analytische Losung dieses Problems ist nur fur einige spezielle Falle, auf die spater eingegangen wird, moglich. In dieser Arbeit wird diese Transformation grundsatzlich numerisch durchgefuhrt. Zu diesem Zweck wurde ein Programm geschrieben, das die DGL des zeitabhangigen duktil-sproden Kontinuums fur einen Materialpunkt im eindimensionalen Spannungszustand numerisch integriert. Als Eingabeparameter werden die approximierte   Kurve und die Plastizitats-Schadigungs-Verteilungsfunktion (2.136) verwendet. In der Ausgabe wird die Grenzspannung G uber die inelastische Dehnung ausgedruckt. Nach der Approximation durch eine mathematische Funktion, die hier mit einem Kurven-Fitting-Programm durchgefuhrt wurde, kann diese G in Kurve direkt in die FE-Berechnung eingegeben werden. Generell hat sich die Funktion (3.25) 2 in in G = (A1(in (3.36) v ) + A2 v + A3) exp ( A4v ) ; mit vier Konstanten A1, A2, A3 und A4 dafur gut bewahrt. 3.1.6.2 Einaxiale Zugkurve

Das   Diagramm fur Beton unter einaxialer Zugbeanspruchung ist im Bild 3.16 dargestellt. Im Vergleich zur Druckkurve verhalt sich Beton linear-elastisch fast bis zum Erreichen der Zugfestigkeit. Bei der Modellierung des Zugverhaltens wird auf den Verfestigungsbereich verzichtet. Die linear-elastische Zone wird durch den Elastizitatsmodul Eb und durch die Betonzugfestigkeit Z  D =10 de niert. Das inelastische Verhalten beginnt nach dem Erreichen der Zugfestigkeit und wird in der Form einer Entfestigungskurve GZ Zin in die Berechnung eingefuhrt. Dabei wird auf die genaue Anpassung an die experimentell ermittelten   Kurven

a) βZ

σG

σG

b)

A

βZ a b B

εZ

ε

σG,U

ε in ε Z,U

Bild 3.16: a) Einaxiale  len Zug

 Zugkurve;

b) Entfestigungskurve fur einaxia-

verzichtet und es werden ausschlielich verschiedene, z. B. lineare oder exponentielle Entfestigungsgesetze untersucht (Bild 3.16). Die ausfuhrliche Diskussion uber verschiedene Entfestigungsfunktionen fur Plastizitat und Schadigung mit analytischer Herleitung ndet man in [78]. Hier werden einige Ansatze kurz vorgestellt. Die zeitliche Ableitung des Fliekriteriums (2.103) hat folgende Form: @F @F F_ (; k ) = _ + _ k (3.37) @

@k

Das Verfestigungs-Entfestigungsverhalten wird mit den skalaren Vergleichsgroen beschrieben, wobei (3.37) fur den einaxialen Zug (@F=@ = 1) vereinfacht wird. @F _ (3.38) F_ (; k ) = _ + @k k Fur die analytische Betrachtung des Entfestigungsverhaltens ist der Ausdruck (3.38) relativ aufwendig, weil bei der Integration der zeitabhangigen Gleichungen die Zeit berucksichtigt werden mu. Die spontane Inelastizitat mit der Konsistenzbedingung F_ (; k ) = 0 (3.39) stellt einen Grenzfall der zeitabhangigen Inelastizitat dar, der wesentliche Eigenschaften des Entfestigungsphanomens einfacher analysieren lat. Zur Vereinfachung dieser Betrachtung dient auch die Annahme der kleinen Verzerrungen.

Lineare Entfestigung, Plastizitat

Im ersten Schritt wird die lineare Abhangigkeit der Flie ache von den inneren Variablen in Abwesenheit der Schadigungsverzerrungen analysiert. @F =K ; (3.40) @k wobei K ein konstanter Entfestigungsmodul ist. Das Fliekriterium wird in diesem Fall durch folgenden Ausdruck veranschaulicht F (; k ) =  ( Z Kk ) = 0 : (3.41) Die Entfestigung beginnt nach dem Erreichen der Bruchspannung Z . Die kinematische und isotrope Verfestigung wird nicht berucksichtigt. Das Einsetzen von (3.41) und (3.40) in (3.38) fuhrt zur folgenden Gleichung: _ + K _ k = 0 (3.42) Die einfachste Form von (2.107), die in diesem Modell verwendet wurde, entsteht, wenn die akkumulierte inelastische Dehnung als einzige innere Variable de niert wird _ = j_inj = _in : (3.43) v Die Verwendung des Hooke'schen Gesetzes und (3.43) fur den monotonen, einaxialen Zug _plv = _pl ermoglicht folgende Umformung von (3.42) E (_ _pl ) + K _pl = E _ + _pl (K E ) = 0 : (3.44) Durch die Umformung von (3.44) entsteht der Ausdruck fur _pl E _ _pl = : (3.45) E K Nach dem Einsetzen von (3.45) in die Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur elasto-plastische Werkstoe in Ratenformulierung _ = E (_ _pl ) ; (3.46) bekommt man die _ _ Kurve fur das elasto-plastische Material mit der linearen Entfestigung: E Vorbruchbereich _ = (3.47) EK _ Nachbruchbereich K E 8 > > > > > < > > > > > :

!

Aus (3.47) erkennt man, da bei dem linearen Entfestigungsgesetz die Spannungs-Dehnung-Beziehung im plastischen Bereich auch linear ist. Lineare Entfestigung, Schadigung

In einem ideal-sproden Material wird die zeitliche Spannungsableitung mit der Berucksichtigung des veranderlichen Elastizitatsmoduls gebildet _ : _ = E _ + E (3.48) Die Entwicklungsgleichung fur den Nachgiebigkeitstensor (2.138) wird hier unter Berucksichtigung von (2.105) fur die eindimensionalen Probleme verwendet _ _ ; = ) _ = D (3.49) D_ =  wobei D = 1=E und entsprechend _D = E_2 (3.50) E

ist. Das Einsetzen von (3.48), (3.49) und (3.50) in (3.42) und die anschlieende Umformung liefert folgendes Ergebnis: _ K 1 _ = E (3.51)  E2 E Die Dierentialgleichung (3.51) wurde in [78] fur  > 0 und E < E0 gelost, wobei 0 = Z =E0 die elastische Grenzverzerrung und E0 der ungeschadigte Elastizitatsmodul ist. Die resultierende   Beziehung fur das sprode Material hat folgende Form:  Vorbruchbereich E0 = (3.52) z 1 1 ln + Nachbruchbereich  K  E0 Wie man aus Bild 3.17 erkennen kann, ist dieses   Diagramm fur die Berechnung nicht geeignet. !

8 > > > > > > >
> > > > > > :

Exponentielle Entfestigung

Bei den elasto-plastischen Betonmodellen wird oft das exponentielle Entfestigungsgesetz F (; in v)=

Z

2

0

4

@

exp

in v in u

13 A5

=0

(3.53)

σ βZ

σ−ε σ−εin K ε0

ε,εin ε

u in

Bild 3.17: Lineare Entfestigung fur sprode Werkstoe mit der Konstante inu (ultimative akkumulierte inelastische Verzerrung) verwendet. Das   Diagramm im Nachbruchbereich bei Abwesenheit der Riverformungen hat auch einen exponentiellen Verlauf. Fur die sproden Werkstoe mit dem exponentiellen Entfestigungsgesetz erhalt man nach der ahnlichen mathematischen Herleitung [78] wie beim linearen Gesetz (3.48 - 3.51) den folgenden   Verlauf E0 Vorbruchbereich (3.54) =  in u Nachbruchbereich  in 8 > > > > > > < > > > > > > :

0

1

@

A

0

u

Damit ist die   Beziehung sowohl im Vorbruchbereich, als auch im Nachbruchbereich linear. Im Bild 3.18 sind die Ergebnisse einer zeitabhangigen Berechnung auf Elementebene dargestellt. Obwohl die Konstante inu fur das duktile und sprode Material gleich ist, sind groe qualitative und quantitative Unterschiede beim   Verlauf festzustellen. Wie bei der analytischen Losung fur zeitunabhangige Inelastizitat (3.54) erkennt man einen exponentiellen Verlauf beim plastischen Werksto und einen linearen Verlauf beim sproden Werksto (maximale Entfestigung G;U im Bild 3.16 ist in diesem Beispiel auf 0:02 Z gesetzt). Die wesentliche quantitative Dierenz zwischen den beiden Verlaufen bestatigt das analytische Ergebnis in [78], da bei dem exponentiellen Entfestigungsgesetz bei duktilen und sproden Werkstoen verschiedene Energiemengen dissipiert werden.

Spannung

Hyperbolische Entfestigung (Plastizität) Hyperbolische Entfestigung (Schädigung) Exponentielle Entfestigung (Plastizität) Exponentielle Entfestigung (Schädigung)

Verzerrung

Bild 3.18: Hyperbolische und exponentielle Entfestigung fur duktil-sprode Werkstoe Hyperbolische Entfestigung

Das hyperbolische Entfestigungsgesetz 1 (3.55) F (; in v ) =  (1 + K )2 = 0 ; h mit Kh = inv=inu ist fur die duktil-sproden Werkstoe besonders geeignet, weil in diesem Fall die Menge der dissipierten Energie bei Plastizitat und Schadigung vergleichbar ist [78]. Das bestatigt auch das numerische Beispiel zur Plastizitat und Schadigung mit dem hyperbolischen Entfestigungsgesetz im Bild 3.18. Fur die Strukturberechnungen wird hier der hyperbolische Entfestigungsmodul Kh0 = 1=inu verwendet. Das vollstandige   Diagramm fur das hyperbolische Entfestigungsgesetz fur sprode Materialien ist im [78] hergeleitet und hier in der Endform dargestellt: E0 Vorbruchbereich 2 = ; (3.56) (in u) 2 Nachbruchbereich 2 + a +a 2

3

4

5

8 > > > > > > >
> >  > > > > :

1 3

1 3



wobei

p

a = b + b2

6;

b = 3

sind.

in u

2 (30

in u)

(3.57)

Bruchenergie und charakteristische Lange

Bei der numerischen Behandlung von Lokalisierungsproblemen kann man das   Diagramm im Nachbruchbereich nur als Struktureigenschaft des Betons betrachten (Abschnitt 3.1.1.1), die in Verbindung mit der Systemund Elementgroe steht. Die gesamte Verformung
L des Probekorpers mit der Lange L kann in einen elastischen und einen inelastischen Anteil
L = L(el + in) = Lel + wr (3.58) zerlegt werden, wobei wr die Rionung ist. Als Materialeigenschaft des Betons hat sich die Bruchenergie Gf 1 Gf = 0 (wr )dwr (3.59) bewahrt [41], die notwendig ist, einen Ri, der zur vollstandigen Trennung des Querschnitts mit der Flache A = 1 fuhrt, zu erzeugen. Im Falle des hyperbolischen Rionungsdiagramms 1 (wr ) = (3.60) (1 + Kr )2 mit Kr = wr =wr;u und Ribreite wr;u im Bruchzustand, fuhrt die Integration von (3.59) zu folgendem Ausdruck fur die Bruchenergie Gf = wr;u : (3.61) Im Bruchzustand ndet keine Spannungsubertragung durch den Ri statt, aber im vorliegenden Modell wird aus numerischen Grunden der Bruchzustand bei  = 0:02 Z de niert (Bild 3.16). Das Einsetzen von (3.61) in (3.58) liefert die Gleichung fur die Bestimmung der inelastischen Bruchverzerrung in;u Z

2

3

4

5

Gf : L

(3.62) Bei der FE-Analyse entsteht die Lokalisierungszone innerhalb eines Elementes und bei L handelt es sich um die charakteristische Lange l, die die Elementgroe erfat. Den Algorithmus fur die Berechnung von l fur in;u =

zweidimensionale Elemente ndet man in [85] und fur dreidimensionale Elemente in [31]. Bei den zeitabhangigen Modellen ist die Einfuhrung der charakteristischen Lange nicht notwendig, weil die Materialgleichungen die "interne Langenskalierung" beinhalten. Die Analyse der Versuchsergebnisse (Abschnitt 3.1.1.1) hat gezeigt, da die Rientwicklung nur innerhalb eines kleinen Bereichs, der als Lokalisierungszone oder als Riband bezeichnet wird, statt ndet. Die experimentellen Untersuchungen [64] zeigen, da die Breite des Ribandes lbr direkt von der inneren Struktur des Materials abhangig ist. Der Viskositatsparameter , der im Abschnitt 2.4.2.2 eingefuhrt wurde, spielt eine zentrale Rolle bei der zeitabhangigen Formulierung und beein ut die Breite des Ribandes, die als lbr = cw (3.63) in [64] de niert ist, wobei cw die elastische Wellengeschwindigkeit in einem Kontinuum ist. Die Konstante G cw = (3.64)  hangt von der Dichte  und dem Schubmodul G ab. Der Parameter lbr kann als die charakteristische Lange der zeitabhangigen Inelastizitat verstanden werden, dessen experimentelle Bestimmung sich relativ schwierig gestaltet [80]. In der vorliegenden Arbeit wird der Parameter aus den einaxialen Versuchen mit den verschiedenen Dehnungsgeschwindigkeiten im nachsten Abschnitt bestimmt, was einen gewissen Widerspruch zu (3.63) darstellt, weil die charakteristische Lange dann von der Belastungsgeschwindigkeit abhangig wird. Die numerische Untersuchung dieses Problems wird im Testbeispiel 1 auf der Strukturebene durchgefuhrt. v u u t

 3.1.6.3 Uberspannungsfunktion

Die Verfestigungs-Entfestigungskurve G in kann man als die  in Kurve bei sehr langsamer Belastungsgeschwindigkeit deuten. Das U berspannungsmodell, das den Ein u der Belastungsgeschwindigkeit berucksichtigt, wurde ausfuhrlich im Abschnitt 3.1.4 vorgestellt. Fur die Bestimmung der zwei Parameter a0 und a1 in (3.23) stehen einige experimentelle Ergebnisse [2],[22] zur Verfugung. In den vorliegenden Versuchen wurde das Betonverhalten unter verschiedenen Belastungsgeschwindigkeiten (3:3
10 5s 1 < _ < 1
10 1s 1) untersucht. D. h., eine   Kurve fur

die quasistatische Belastung ist aquivalent einer   Kurve bei der im Versuch niedrigsten Dehnungsgeschwindigkeit _qs = 3:3
10 5s 1. Diese Erkenntnis mu bei der Parameterbestimmung fur die G in Kurve berucksichtigt werden. Zur Vereinfachung der Parametersuche wird angenommen, da die Dehnungsgeschwindigkeit hauptsachlich Ein u auf die Betonfestigkeit D bzw. Z hat, was auch durch die experimentellen Untersuchungen bestatigt wurde [1]. Zur Beschreibung der Abhangigkeit der Bruchspannung im Druckbereich von der Belastungsgeschwindigkeit wurden verschiedene mathematische Ansatze vorgeschlagen. Am hau gsten werden die Ansatze von Bazant [2] 1 :50185(_1=8 1) br G ( D ; _) = D 1:4 + (3.65) 1:84 + 3:2_1=8 und des CEB [16] _ 1:026 br G ( D ; _) = D (3.66) _qs verwendet, wobei 0 eine Konstante im Wertebereich 0:024 0:05 in Abhangigkeit von der Betonklasse ist. Die G in Kurve, die im vorigen Schritt berechnet wurde, mu ggf. durch Abminderung der Festigkeit b modi ziert werden, um bei der minimalen Dehnungsgeschwindigkeit 3:3
10 5s 1 die quasistatische Kurve wiederzugeben. Fur die quasistatischen Berechnungen entfallt diesen Schritt, wenn der Parameter a0 groer als 7 gewahlt wird. Dabei wird die Groe der U berspannung minimiert, so da die Belastungsgeschwindigkeit kaum eine Rolle spielt. Diese Parameterwahl ist bei vielen Vergleichsrechnungen vorteilhaft, weil oft keine Angaben uber die Versuchsdauer existiert und nur die Betonfestigkeit mitgeteilt wird. In der Zugzone werden die gleichen Parameter fur die U berspannungsfunktion wie in der Druckzone verwendet. Bei der Anwendung der Bruch achen, die vom hydrostatischen Druck abhangig sind, mu man beachten, da die Bruch ache in diesem Modell unabhangig von der Belastungsgeschwindigkeit ist, und der U berspannungsanteil von der ersten Invariante des Spannungstensors abzuziehen ist. 2

3

4

5

2

3

4

5

0

Numerisches Testbeispiel: Einaxialer Druckversuch mit unterschiedlichen Dehnungsgeschwindigkeiten

Im Bild 3.19 werden die Parameter fur die U berspannungsfunktion mit

ε = 0.2 s-1

Versuch Vergleichsrechnung

Spannung σ (N/mm)

30 25

ε = 3.3*10-3 s-1

20 15

ε = 3.3*10-5 s-1

10 5 0

0

0.002

0.004 Dehnung ε

0.006

0.008

Bild 3.19: Betondruckkurven bei unterschiedlichen Dehnungsgeschwindigkeiten Hilfe von Dilger-Druckversuchen [22] bestimmt. Aus den drei   Kurven fur die unterschiedlichen Dehnungsgeschwindigkeiten werden folgende Werte gewonnen: a0 = 1:15;

a1 = 0:81 :

Die quasistatische Kurve (_ = 3:3
10 5s 1), die mit der im Abschnitt 3.1.6.1 vorgestellten Methode zur Parameterbestimmung berechnet wurde, zeigt gute U bereinstimmung mit den experimentellen Daten. Die in der Tabelle 3.1 aufgelisteten Parameter werden in (3.30), (3.35) und (3.36) diskutiert. Wie man aus dem Bild 3.19 erkennen kann, geben die berechneten   Verlaufe bei den verschiedenen Dehnungsgeschwindigkeiten die experimentellen Kurven gut wieder. 3.1.6.4 Verteilungsfunktion Plastizitat-Schadigung

Die Verteilungsfunktion + fur den Zugbereich und fur den Druckbereich wird aus den einaxialen zyklischen Versuchen gewonnen. Der plastische Anteil wird durch die bleibende Verformung bei der Entlastung ausgedruckt. Fur den Druckbereich kann eine empirische Beziehung [1]

Beton-Werkstoebene (3.30), (3.35)

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Druckfestigkeit Bruchdehnung (Druck) Anfangs iespannung Popovics-Konstante

Eb b c D 0 n

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Parameter gema (3.36)

Eb b A1 A2 A3 A4 a0 a1

Beton-Elementebene (3.36)

2.8E+4 0.0 2.0E+1 1.67E-3 0:3 3.45

N=mm2 N=mm2 N=mm2

2.8E+4 N=mm2 0.0 -159.89 29188.93 12.844 759.72 1.15 Viskositatsparameter 0.81 Tabelle 3.1: Materialparameter fur Dilger-Druckversuche zwischen und der Verzerrung 

=

0 @

 0:035

1=3

1 A

(3.67)

verwendet werden. Fur den Zugbereich wird nach dem Vorschlag von [78] fur + ein konstanter Wert 0.4 ausgewahlt. Generell ist eine dierenzierte Anpassung der Verteilungsfunktion fur die verschiedenen Betonklassen zu empfehlen. 3.1.6.5 Biaxiale Beanspruchung

Nach der Bestimmung der Parameter fur die einaxiale Spannungs-DehnungsLinie und fur die U berspannungsfunktion werden zweiaxiale Spannungszustande betrachtet. Dabei werden die biaxialen Scheibenversuche von Kupfer [56], die im Abschnitt (3.1.1.2) beschrieben wurden, auf Elementebene kraftgesteuert nachgerechnet. Zur Vergleichsrechnung wurde die zweite Versuchsreihe (Beton mit Druckfestigkeit von D = 32:4N=mm2) gewahlt. Die Parameter fur die einaxiale Spannungs-Dehnungskurve wurden in [61] bestimmt und sind in der Tabelle 3.2 aufgelistet. Zur besseren

Beton-Elementebene (3.68)

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Parameter gema (3.68)

3.3E+4 N=mm2 0.195 9.88E+9 -1.77E+7 7.75E+4 15.904 960.59 Viskositatsparameter 1.15 0.81 Tabelle 3.2: Materialparameter fur biaxiale Versuche von Kupfer Eb b A1 A2 A3 A4 A5 a0 a1

Anpassung an die Versuchsergebnisse wird ein Polynom hoheres Grades G = (A1(vin)3 + A2(vin)2 + A3vin + A4) exp( A5in) (3.68) als (3.36) verwendet. Die Versuchsdauer betrug 15-20 min., was einer quasistatischen Einwirkung (_ = 3:3
10 5s 1) entspricht. Die Berechnungsergebnisse fur das Spannungsverhaltnis 1=2 = 1=0 (eindimensionaler Druck) sind im Bild 3.20 dargestellt. Die Qualitat des mehraxialen Betonmodells wird von der Bruch ache und von dem Fliepotential bestimmt. In dieser Arbeit wurde keine spezielle Modi kation des Willam-Warnke-Bruchkriteriums (z. B. nonuniform hardening rule [1],[21]) vorgenommen. Die Verfestigung im mehraxialen Spannungszustand wird mit (3.9) beschrieben. Der Aufbau des inelastischen Potentials ist im Abschnitt 3.1.3 vorgestellt und enthalt keine Materialparameter (auer der Verteilungsfunktion zwischen Plastizitat und Schadigung). In den Bildern 3.21-3.23 sind die Ergebnisse fur die biaxiale Druckbeanspruchung mit den verschiedenen 1=2 Verhaltnissen dargestellt. Fur den gleichmaigen Druck 1=2 = 1= 1 werden die Bruchspannungen korrekt wiedergegeben. Mit Hilfe von nichtassoziierten Flieregeln sind auch plastisch-dilatante Volumendehnungen richtig abgebildet1. Das Rechenmodell verhalt sich beim zweiaxialen Druck etwas steifer als im Experiment, was eine Modi zierung der Verfestigungsregel erfordert. In [79] wird das "Work-Hardening"-Prinzip der Plastizitatstheorie, der Zusammenhang zwischen einaxialen und mehraxialen Verfestigungszustanden der assoziierten Flieregel ist die 3 -Dehnung schon bei niedrigen Volumenspannungen uberproportional gro [79]. 1 Bei

σ1/βD -1.2 ε1

ε 2, ε 3

-1 -0.8 -0.6 -0.4

Versuch Vergleichsrechnung

-0.2 0

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

ε -4

Bild 3.20: Spannungsdehnungslinien des Betons bei einaxialem Druck (1/2 = -1/0) herstellt, durch die Einfuhrung des Faktors fm in v in (3.69) v = fm  :  modi ziert. Die gleiche Vorgehensweise wird hier auf das Prinzip der Gleichheit der Energiedissipation (2.139) angewandt. in fm v _in (3.70) v =  : _ Die Entwicklungsgleichung fur den inelastischen Verzerrungstensor (2.141) nimmt damit folgende Form f @

(3.71) _in = _in m v

 @ an. Der Faktor fm muss fur zweiaxiale Druckzustande groer als 1 sein, um

groere Verzerrungen beim gleichen Spannungsniveau zu erzwingen. Eine neue Vergleichsrechnung mit fm = 3:5 (Groenordnung aus [79] ubernommen) zeigt eine gute U bereinstimmung mit den experimentellen Daten (Bild 3.21). In den Bildern 3.22-3.23 sind die Ergebnisse fur die zwei weiteren Lastfalle dargestellt. Beim Spannungsverhaltnis 1=2 = 1= 0:226 und besonders beim 1=2 = 1= 0:525 ist die berechnete Bruchspannung

σ1/βD ε3

-1.2

ε 1, ε 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 3.5)

-0.2 0

ε 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Bild 3.21: Spannungsdehnungslinien des Betons bei zweiaxialem Druck (1/2 = -1/-1) groer als die experimentell ermittelte. Der maximale Fehler betragt etwa 8%. Diese Dierenz bestatigt die Aussage [35], da die Verwendung des dreiachsigen Bruchkriteriums von Willam-Warnke im zweiaxialen Fall zu groen Abweichungen fuhren kann. Das Problem lat sich nur mit der Anwendung anderer Bruchkriterien, z. B. einer Kombination von DruckerPrager und Rankine Bruch achen speziell fur zweidimensionale Probleme [23] oder den anpassungsfahigeren dreiaxialen Bruch achen beheben. Die Bruch ache von Podgorski [92] hat z. B. die zusatzlichen Freiwerte, die Form der Flache auf Deviatorebene beein uen. Die Form der   Kurven wird durch die Einfuhrung des Modi kationsfaktors fm deutlich verbessert. Bei den kombinierten Zug-Druck-Beanspruchungen verringert sich die Bruchspannung gegenuber der einaxialen Druckfestigkeit. Beim Lastfall mit geringem Zugspannungsanteil (1=2 = 1=0:052) ist die berechnete Bruchspannung um 7% kleiner als die experimentell ermittelte (Bild 3.24). Bei den Lastfallen mit groerem Zuganteil (Bilder 3.25-3.27) zeichnet sich eine bessere U bereinstimmung zwischen den experimentellen Daten und den Vergleichsrechnungen ab. Im Rechenmodell tragen die Zugspannungen erheblich zur Duktilitat des Materials bei, was uberproportional groe Verzerrungen in alle Richtungen verursacht. Auch in diesem Fall ist eine

ε2

ε3

σ1/βD

ε1

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 2.5) ε

-0.2 0

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Bild 3.22: Spannungsdehnungslinien des Betons bei zweiaxialem Druck (1/2 = -1/-0.226) σ1/βD

ε3

ε2

ε1

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 2.5)

-0.2 0

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

ε -4

Bild 3.23: Spannungsdehnungslinien des Betons bei zweiaxialem Druck (1/2 = -1/-0.525)

σ1/βD -0.8

ε3

ε2

ε1 ε3

-0.6

-0.4

Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 0.33)

-0.2

ε 0 0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

-1.6

Bild 3.24: Spannungsdehnungslinien des Betons bei der Zug-DruckBeanspruchung (1/2 = -1/0.052) Modi kation der Entwicklungsgleichung des inelastischen Verzerrungstensors (2.141) notwendig. Um mehr Stei gkeit im System zu erreichen, mu der Faktor fm die Werte im Bereich 0:07  1 annehmen. Der Verlauf des fm- Faktors fur biaxiale Druck- und Druck-Zug-Beanspruchungen kann mit der Richards-Funktion ar (3.72) fm = (1 + exp(br cr x))1=dr approximiert werden, wobei fur die Versuchserie von Kupfer folgende Parameter in (3.72) ar = 3:493 ar = 6:924 br = 0:292 dr = 0:360 (3.73) bestimmt wurden. Die Variable x in (3.72) druckt das Spannungsverhaltnis x = 2=1 aus. Der Verlauf des Faktors fm ist im Bild 3.28 dargestellt. Eine andere Moglichkeit zur Verringerung der Betonduktilitat bei Zug-Druck-Beanspruchungen ist durch die Modi kation der Aufteilung der Zug- und Druckverfestigungsanteile (3.28) gegeben [79]. Bei einaxialer Zugbelastung (1=2 = 1=0) wird der Faktor fm automatisch den Wert 1 annehmen. Im zweiaxialen Zugzustand ist der gegenseitige Spannungsein u sehr gering. Die Risse entstehen senkrecht zu den positiven Hauptspannungen. Der Verfestigungsbereich ist vernachlassigbar

σ1/βD -0.8

ε3

ε2

-0.6

ε1 ε3

-0.4 Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 0.25)

-0.2

ε 0 0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

-1.6

Bild 3.25: Spannungsdehnungslinien des Betons bei der Zug-DruckBeanspruchung (1/2 = -1/0.070) σ1/βD -0.8 ε3 -0.6

ε3 ε2

ε1

-0.4

-0.2

0 0.8

Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 0.18) 0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

ε -1.6

Bild 3.26: Spannungsdehnungslinien des Betons bei der Zug-DruckBeanspruchung (1/2 = -1/0.103)

σ1/βD Versuch Vergleichsrechnung (fm = 1) Vergleichsrechnung (fm = 0.07)

-0.8

-0.6

-0.4

ε3

ε3 ε2

ε1

-0.2

0 0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

ε -1.6

Bild 3.27: Spannungsdehnungslinien des Betons bei der Zug-DruckBeanspruchung (1/2 = -1/0.204) 4

Faktor fm

3

2

1

-0.4

-0.2

0

0

0.2 0.4 Spannungsverhältnis σ2/σ1

0.6

0.8

1

Bild 3.28: Verlauf des Modi kationsfaktors fm in Abhangigkeit vom Spannungsverhaltnis fur biaxiale Druck- und Zug-Druck Beanspruchung

klein und wird nicht modelliert (Abschnitt 3.1.6.2). Eine Vergleichsrechnung ist in diesem Fall nicht zweckmaig, da der gesamte Vorbruchbereich linear-elastisch ist. Die Gegenrechnung der Kupfer-Versuche zeigt, da die zweiaxialen Zustande relativ gut mit dem vorgestellten Modell erfat werden konnen. Eine weitere Verbesserung der Ergebnisse konnte durch die Implementierung der spezi schen Bruch achen mit entsprechender Anpassung derer Parameter an die Versuchsergebnisse erreicht werden. 3.2

Bewehrungsstahl

Fur die Modellierung der Bewehrung ist nur das einaxiale Stahlverhalten von Bedeutung, da die Bewehrungsstabe meistens nur auf Zug oder Druck beansprucht werden. Hier wird allerdings ein allgemeines dreiaxiales Modell formuliert, um die Anwendungsbreite auf die Verbundkonstruktionen auszudehnen. 3.2.1 Versuchsergebnisse

Die einaxialen Spannungs-Dehnungs-Kurven, die fur die Zugbeanspruchung und fur die Druckbeanspruchung gleich sind, sind im Bild 3.29 dargestellt. Der naturharte Stahl hat ein ausgepragtes Flieplateau mit dem anschlieenden Verfestigungsbereich. Nach dem Erreichen der Zugfestigkeit beginnt das Entfestigungsverhalten, das durch die Einschnurung der Probe gekennzeichnet ist. Der kaltverformte Stahl weist einen steσ kaltverformt naturhart

ε

Bild 3.29: Spannung-Dehnung-Kurven fur den Bewehrungsstahl tigen U bergang zwischen den elastischen und plastischen Bereichen auf.

Die Fliespannung wird als die Spannung bei 0.2% irreversibler Dehnung kunstlich de niert. Die Zugfestigkeit des kaltverformten Stahls ist hoher als bei dem naturharten Stahl und das Duktilitatsvermogen ist kleiner. Bei der zyklischen Beanspruchung sind die Streckgrenzen und Festigkeiten fur Zug und Druck nicht gleich. Die Fliespannung bei dem reinen Druckversuch ist groer, als wenn die Druckbelastung nach einer Zugbelastung erfolgt. Dasselbe gilt auch fur die Zug iespannung und wird als Bauschinger Eekt bezeichnet. Fur den Bewehrungsstahl hat dieses Phanomen keine groe Bedeutung, da das Beanspruchungsgebiet der Bewehrung durch groe Zug- aber kleine Druckspannungen gekennzeichnet ist. Bei der Erhohung der Dehnungsgeschwindigkeit weist Stahl eine hohere Streckgrenze und eine hohere Festigkeit auf. Das fuhrt gleichzeitig zur Vergroerung des Duktilitatsvermogens (Bild 3.30).

Bild 3.30: Bewehrungsstahl bei unterschiedlichen Dehnungsgeschwindigkeiten [15],[105] 3.2.2 Modellierung 3.2.2.1 Das viskoplastische Modell

Das physikalisch-nichtlineare Verhalten der metallischen Werkstoe, die ein groes Duktilitatsvermogen besitzen, wird uberwiegend auf der Grundlage der Plastizitatstheorie bzw. Viskoplastizitatstheorie modelliert. Stahl gehort - im Gegensatz zu Beton - zu den inkompressiblen Materialien, deren Versagenszustande unabhangig von dem hydrostatischen Druck sind.

Die Erkenntnis, da die Schubspannungen die Versetzungen im Kristallgitter verursachen, verwendeten Treska (1869) und von Mises (1913) fur die ersten mathematischen Versagenstheorien fur metallische Werkstoe. Das von Mises Fliekriterium p (3.74) F (J2) = 3J2 k stellt einen unendlichen Zylinder entlang der hydrostatischen Achse mit dem Radius k (Fliespannung) dar. Die Aufweitung der Flie ache wird mit der isotropen Verfestigung R modelliert, die eine skalare Funktion der akkumulierten plastischen Dehnung plv ist. Besonders verbreitet sind die linearen und exponentiellen Funktionen2 , z. B. R = Q(1 exp( plv)) bzw: in Ratenformulierung R_ = (Q R)_plv ; (3.75) wobei der Formfaktor der Verfestigungskurve und Q der Sattigungswert der Verfestigung ist. Mit Hilfe der kinematischen Verfestigung wird die Verschiebung der Flie ache im Raum modelliert. Die lineare Abhangigkeit des kinematischen Verfestigungstensors X von dem plastischen Verzerrungstensor E wurde von Prager vorgeschlagen. Zur Modellierung des Bauschinger Eekts bei den metallischen Werkstoen hat sich ein exponentieller Ansatz 2 X_ = C ( aE_ pl X_plv ) (3.76) 3 bewahrt. Fur das von Mises Material ist die plastische Vergleichsdehnung nach der Auswertung von (2.139) so de niert 2 _plv = E_ pl E_ pl ; (3.77) 3 und damit hat (3.76) fur die eindimensionalen Probleme die folgende Form X_ = C (a_pl X _plv ) : (3.78) Aus der Gleichgewichtsbedingung im Vergleichszustand folgt die De nition der U berspannung u = v (k + R) ; (3.79) v u u t

2 Der

Ausdruck gilt fur die Anfangsbedingung R(pl v = 0) = 0

wobei die Vergleichsspannung v auch den Anteil der kinematischen Verfestigung beinhaltet. Speziell fur die von Mises-Plastizitat gilt (3.80) u = 3J2(S X) k R : Als Entwicklungsgleichung fur die akkumulierte plastische Dehnung plv in Abhangigkeit von der U berspannung wird oft der Norton Ansatz fur den sekundaren Kriechbereich u N pl _v = (3.81) K verwendet. Die metallischen Werkstoe werden in der Regel im Rahmen der assoziierten Plastizitat (plastische Verzerrungen sind senkrecht zur von Mises Flache) modelliert. Eine detallierte Beschreibung des viskoplastischen Modells fur Baustahl ndet man in [24]. Fur Betonstahl kann man das vorgestellte Modell erheblich vereinfachen. Fur praktische Berechnungen wird ublicherweise ein bilinearer Ansatz als  -Diagramm verwendet [73]. Die kinematische Verfestigung kann bei vielen Lastfallen vernachlassigt werden. Im Bild 3.31 ist eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur Betonstahl B500B nach EC 2 [11] S. 99 dargestellt. Die Fliegrenze fy liegt bei 500 N=mm2. Bei Stahlen mit hoher Duktilitat3 wird die maximale Spannung ft = 1:08fy bei der Verzerrung u = 5% erreicht. Bei der normalen Duktilitat ist ft = 1:05fy und u = 2:5%. Bei der numerischen Simulation (Bild 3.31) wurde die Fliegrenze auf 500 N=mm2 und die Parameter und Q fur die isotrope Verfestigung in (3.75) entsprechend auf 70 und 50 N=mm2 gesetzt. q

*

+

3.2.2.2 Schadigungsmodelle fur metallische Werkstoe

Die Schadigungsprozesse in den metallischen Werkstoen beginnen nach dem Erreichen einer bestimmten Groe der plastischen Verformung. Im Bild 3.32 ist ein  -Diagramm fur Kupfer dargestellt. Die Degradation des Elastizitatsmoduls fuhrt zur Entfestigung und dem anschlieenden Versagen des Materials. Wie im Abschnitt 2.3.3.1 schon erwahnt, kann die isotrope Schadigung in den metallischen Werkstoen mit Hilfe des Nettospannungskonzepts erfat werden. Hier wird anhand eines Beispiels auf der Werkstoebene der Vergleich zwischen dem Nettospannungskonzept fur Viskoplastizitat und dem zeitabhangigen Plastizitats- Schadigungsmodell durchgefuhrt. 3 Hohe

B500A.

Duktilitat wird durch

B gekennzeichnet; z. B. B500B, und normale Duktilitat durch A; z. B.

600

ft fy

Spannungen σ (N/mm2)

500

400

300

200

100

0

0

1

2

3

Verzerrungen ε (%)

4

5

6

Bild 3.31: Modellierung des Betonstahls Numerisches Testbeispiel: Zyklischer Druck-Zug-Versuch

Das vorliegende Beispiel (ohne Schadigung) ist aus [51] ubernommen und demonstriert das zyklische Verhalten von metallischen Werkstoen in einem einaxialen Spannungszustand. Eine wirklichkeitsnahe Modellierung von Hysterese-Schleifen ist nur mit einer Erweiterung der Verfestigung auf die zyklischen Anteile moglich [51]. Das Ziel dieser Betrachtung ist die qualitative Untersuchung der verschiedenen Schadigungskonzepte, wobei hier auf diese Anteile und auf eine Anpassung auf die Versuchsergebnisse verzichtet wird. Die Parameter fur das viskoplastische Modell des un-

Bild 3.32: Abminderung des Elastizitatsmoduls bei Kupfer infolge duktiler Schadigung (aus [60])

geschadigten Materials (Abschnitt 3.2.2.1) werden aus [44] ubernommen und in der Tabelle 3.3 dargestellt. Elastizitatsmodul Fliespannung Dichte Isotrope Vefestigung Kinematische Vefestigung Norton Parameter Schadigungskonstante Verteilungskonstante Plastizitat-Schadigung

E k s

Q C a N K A

1.8E+5 1.8E+2 0.0 100.0 50.0 500.0 100.0 3.0 100.0 10.0



0.99

N=mm2 N=mm2 Ns2=mm4 N=mm2 N=mm2

Tabelle 3.3: Materialparameter fur den zyklischen Zug-Druck-Versuch Alle Gleichungen werden in Ratenform fur eine eindimensionale dehngesteuerte Berechnung formuliert. Als Kontrolle wird das  -Diagramm des ungeschadigten Materials mit der isotropen und kinematischen Verzerrung berechnet und im Bild 3.33 dargestellt. Der allgemeine Gleichungssatz des Nettospannungskonzepts fur die duktile Schadigung ist im Bild 3.34 zusammengestellt. Dabei werden die Gleichungen der Viskoplastizitat (Abschnitt 3.2.2.1) mit den Nettospannungen neu formuliert [60] und auf die Evolutionsgleichung fur die Schadigungsvariable D erweitert. Diese Gleichung, die die Schadigungsentwicklung bei der zyklischen Beanspruchung beschreibt, ist aus [60] ubernommen und enthalt eine Konstante A. Im Bild 3.37 sind die Gleichungen des Plastizitat-Schadigung-Modells auf der Grundlage der Gibb'schen Energiefunktion (Abscnitt 2.4) dargestellt. Die Anwendung dieses Modells fur Beton wurde schon ausfuhrlich diskutiert. Es wurde eine inelastische Verzerrung de niert, die die plastischen Anteile und die Schadigungsanteile beinhaltet. Der Elastizitatsmodul (3.93) ist eine innere Variable in Abhangigkeit von der Schadigungsverzerrung. Die Entwicklungsgleichung der inelastischen Verzerrung (3.95) ist durch die Norton-Beziehung beschrieben. Die Verfestigungsvariablen R und X sind die Funktionen der inelastischen Dehnung. Die Schadigungs-

400 300

Spannung σ

200 100 0 -100 -200 -300 -400 -0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0 Dehnung ε

0.002

0.004

0.006

0.008

Bild 3.33:  -Diagramm fur Stahl ohne Schadigung unter zyklischer Belastung entwicklung im Material wird im Gegenteil zum Nettospannungskonzept nicht durch die Evolutionsgleichung fur Schadigung, sondern durch die Verteilungsfunktion (oder Konstante) zwischen Plastizitat und Schadigung beschrieben. Bei der Auswertung der Berechnungsergebnisse, die fur das Modell nach dem Nettospannungskonzept im Bild 3.35 dargestellt sind, kann man feststellen, da sowohl der Elastizitatsmodul, als auch die Fliegrenze, die die isotrope und kinematische Verfestigung einschliet, sich verringern. Dagegen kann man beim Plastizitats-Schadigungs-Modell im Bild 3.36 die gleichzeitige Verfestigung (inelastische Grenze wird in jedem Zyklus groer) und Abminderung des Elastizitatsmoduls beobachten.

Verzerrungen:  = el + pl Elastizitatsmodul: E = E0(1 D) U berspannung:  u = 1 D X k R Akkumulierte plastische Dehnung: v N pl _v = K Plastische Dehnung:

(3.82) (3.83)



*

(3.84)

+

(3.85)



X 1 D _pl =  _plv (3.86) 1 D X Spannung:  = E ( pl ) (3.87) Spannungsrate (Einsetzen von (3.83) in (3.87) und Kettenregelableitung): _ = E0 (1 D)(_ _pl ) D_ ( pl ) (3.88) Isotrope Verfestigung: R_ = (Q R)_plv (1 D) (3.89) Kinematische Verfestigung: X_ = C (a_pl X _plv )(1 D) (3.90) Schadigung: 2 pl _D =  _v A 2 (3.91) 2E (1 D) Bild 3.34: Nettospannungskonzept fur viskoplastische metallische Werkstoe



h

i

400 300

Spannung σ

200 100 0 -100 -200 -300 -400 -0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0 Dehnung ε

0.002

0.004

0.006

0.008

Bild 3.35:  -Diagramm fur Stahl mit Schadigung nach dem Nettospannungskonzept 400 300

Spannung σ

200 100 0 -100 -200 -300 -400 -0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0 Dehnung ε

0.002

0.004

0.006

0.008

Bild 3.36:  -Diagramm fur Stahl mit Schadigung (PlastizitatsSchadigungs-Modell)

Verzerrungraten: _ = _el + _pl + _sch = _el + _in + (1 )_in (3.92) Elastizitatsmodul, Nachgiebigkeit: 1 _sch  _ (3.93) E= 1 ; F = v  +F E0 U berspannung: u = j X j k R (3.94) Akkumulierte inelastische Dehnung: v N _in = (3.95) v K Inelastische Dehnung:  X in (3.96) _in = j X j _v Spannungsrate: _ = E (_ _pl _sch) (3.97) Isotrope Verfestigung: R_ = (Q R)_in (3.98) v Kinematische Verfestigung: X_ = C (a_in X _in (3.99) v ) Bild 3.37: Zeitabhangiges Plastizitats-Schadigungs-Modell fur metallische Werkstoe *

+

3.3

Stahlbeton

Bei der Berechnung von Stahlbetonkonstruktionen spielt der Verbund zwischen den beiden Komponenten Stahl und Beton eine wichtige Rolle. Die numerische Modellierung des Verbunds stellt eine komplexe Aufgabe dar, da dessen Qualitat von mehreren Faktoren, unter anderem von der Stahlober ache (glatt, gerippt), dem Durchmesser der Bewehrung, den Eigenschaften der Betonkomponenten usw., abhangig ist. In der Literatur wurden verschiedene FE-Verbundelemente zur expliziten Erfassung des Verbundverhaltens, z. B. das Bond-Link-Element [84] oder die isoparametrischen Stab -und Flachenelemente [52] vorgeschlagen. Vom physikalischen Standpunkt verhalt sich die Verbundschicht wie ein nichtlinearer Werksto: zuerst werden die Spannungen mittels Adhasion ubertragen, wobei in dieser Phase eine starre Kopplung zwischen Stahl und Beton angenommen werden kann, da die vorhandenen elastischen Verschiebungen vernachlassigbar klein sind. Nach dem U berschreiten der elastischen Verbundspannung Ve entsteht eine Relativverschiebung
r zwischen Stahl und Beton. Eine experimentelle Verbundspannung-Relativverschiebungs-Beziehung ist z. B. im Bild 3.38 dargestellt. In dieser Phase werden die Zugspannungen, die der gerissene Beton nicht mehr aufnehmen kann, auf die Bewehrung ubertragen. Das Zusammenwirken von Stahl und Beton wird im Bild 3.39 fur einen Zugstab dargestellt. In dem Bereich, in dem die Trennrisse entstehen, ndet keine Spannungsubertragung im Beton statt, wobei die Normalspannungen in der Bewehrung ihren maximalen Wert erreichen. Zwischen den Rissen ist aber eine weitere Spannungsubertragung im Beton moglich, was zur Entlastung der Bewehrungsstabe fuhrt und deren Flieen verhindert. Dadurch wird die Gesamtstei gkeit des Tragwerks gegenuber dem verbundlosen System erhoht. In der Literatur wird dieses Phanomen als Tension-Stiening Eekt bezeichnet. Ungehinderte Zugribildung in den unbewehrten Tragwerken ist im Gegensatz als Tension-Softening bekannt. Im Bild 3.40 ist qualitativ die experimentell ermittelte Kraft-DehnungsKurve [33] fur den oben beschriebenen Stahlbetonzugstab im Vergleich zur Kraft-Dehnungs-Kurve des nackten Bewehrungsstabs vorgestellt. Bis zum Eintreten des ersten Risses im Beton konnen die Spannungen in den beiden Komponenten durch die Dehnungsaquivalenz mit Berucksichtigung von unterschiedlichen Elastizitatskonstanten ermittelt werden. Beim U berschreiten der Betonzugfestigkeit an einer Stelle werden die Betonspannungen schnell abklingen und im Stahl dagegen entsprechend schnell

Bild 3.38: Verbundspannung-Relativverschiebungs-Diagramm nach Gunter [32] anwachsen. Bei weiterer Laststeigerung entstehen mehrere parallele Risse uber die Stablange, die kontinuierlich zum Systemversagen fuhren. Im Bild 3.40 kann man sehen, da der Tension-Stiening-Eekt keinen Ein u auf die Groe der Traglast hat, die von der Fliegrenze des Stahls bestimmt wird. Im Vorbruchbereich tragt die Mitwirkung des Betons (Kraftanteil Fb) zur Erhohung der Stei gkeit gegenuber dem nackten Bewehrungsstab wesentlich bei. Fur die praktischen FE-Berechnungen ist die explizite Erfassung der Verbundwirkung besonders fur groe Strukturen aufwendig und fur Modelle mit den verschmierten Rissen, wie in dieser Arbeit, kaum durchfuhrbar. Alle inelastischen Vorgange werden in Unterquadermittelpunkten in jedem Element erfat (FE-Modellierung wird im Kapitel 4 ausfuhrlich diskutiert) und die Knoten von Stahl- und Betonelementen starr miteinander verbunden. Die Mitwirkung des Betons in der Zugzone kann dann nur implizit bei den konstitutiven Gleichungen fur Stahl oder Beton berucksichtigt werden. Die Berucksichtigung des Tension-Stiening-Eekts auf der Betonseite ist mehr verbreitet als die Modi zierung des  -Diagramms fur Stahl. In der Literatur ndet man eine Reihe von verschiedenen Ansatzen zur Modi zierung des  -Diagramms fur Beton in der Zugzone. Einen kommentierten Vergleich kann man z. B. [74] entnehmen. Im Bild 3.41 ist eine

Zustand I F

F Betonspannung Stahlspannung

Zustand II F

F Betonspannung Stahlspannung

Verbundspannung

Bild 3.39: Spannungsverteilung im Stahlbetonstab F Stahlbetonstab

nackter Bewehungsstab Fb Fs

ε

Bild 3.40: Kraft-Dehnungs-Kurve fur Stahlbeton und nackten Stahl

σ βZ TensionStifftening σTS TensionSoftening

ε ε

U Z

ε

U,TS Z

Bild 3.41: Erfassung des Tension-Stiening Eekts durch die Modi zierung des   Diagramms fur Beton Spannungs-Dehnungs-Beziehung im Nachbruchbereich fur den bewehrten und unbewehrten Beton dargestellt. Die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen wird durch ein horizontales Plateau bei T S  0:4 Z modelliert. Bei dem vorgestellten duktil-sproden Betonmodell ist die Anwendung solcher Ansatze kaum moglich, da die Schadigungsentwicklung die  Verlaufe erheblich beein ussen kann. Die Diskussion der verschiedenen Entfestigungsgesetze im Abschnitt 3.1.6.2 hat auch gezeigt, da die linearen Funktionen ungeeignet sind. Magebend fur die Modellierung des U;T S Tension-Stiening-Eekts ist die ultimative Verzerrung Z , die als Parameter in die Entfestigungsfunktionen eingeht. Durch die entsprechende Vergroerung dieses Parameters beim Stahlbeton gegenuber dem unbewehrten Beton (Verzerrung UZ im Bild 3.16) wird die Mitwirkung des Betons in der Zugzone bei den verschiedenen Entfestigungsfunktionen U;T S U korrekt abgebildet. Fur das Verhaltnis Z =Z existieren mehrere Vorschl age in der Literatur. In dieser Arbeit wird nach [74] die Beziehung U;T S Z = 2:5UZ bei dem hyperbolischen Entfestigungsgesetz (3.55) gewahlt.

Kapitel 4 Numerik 4.1

Schwache Form der Bestimmungsgleichungen

In diesem Abschnitt wird die schwache Form des Dierentialgleichungssystems gebildet. Alle Gleichungen werden in der Ausgangskon guration aufgestellt, die als Referenzkon guration fur Bewegungsbeschreibung dient ("total" Lagrange'sche Formulierung). Als Spannungsma steht dann der zweite Piola-Kirchho'sche Spannungstensor S und als Verzerrungsma der Green'sche Verzerrungstensor E zur Verfugung. 4.1.1 DGL des Kontinuums

Zusammenstellung der kontinuumsmechanischen Gleichungen:  Dynamisches Gleichgewicht: v_ = Div(FS) + p ; (4.1) mit  als Massendichte, F als Deformationsgradient und p als Einwirkung.  Inelastische Vertraglichkeit: E_ = E_ el + E_ in ; (4.2) mit E_ als kinematische Gesamtverzerrungsgeschwindigkeit, E_ el als elastische und E_ in als inelastische Verzerrungsgeschwindigkeit des Materials. Nach dem Einsetzen des Hooke'schen Gesetzes und der Entwicklungsgleichung fur inelastische Verzerrungen (2.141) bekommt man die endgultige Form der Vertraglichkeitsbedingung: E_ F : S_ _in (4.3) v Ain = 0 : 89

 De nitionsgleichung der U berspannung: u = v

(4.4) mit u als U berspannung, v als Vergleichsspannung der Einwirkung und G als materielle Grenzspannung bei sehr langsamer Dehnungsgeschwindigkeit. Nach Umformung von (2.139) mit Berucksichtigung von (2.141) wird (4.4) fur Beton nachfolgend uberschrieben: u Ain : S + G = 0 : (4.5) Die isotrope Verfestigung und Entfestigung wird bei der Grenzspannung G implizit erfat. Beim Stahl wird noch die kinematische Verfestigung X berucksichtigt und die De nitionsgleichung fur U berspannung (3.80) sieht folgendermaen aus: u Ain : (S X) + k + R = 0 ; (4.6) wobei X der kinematische Verfestigungstensor, k die Anfangs iegrenze und R die isotrope Verfestigungsvariable ist.  Evolutionsgleichung der inelastischen Vergleichsdehnungsgeschwindigkeit (2.140): _in (F ) = 0 ; (4.7) v unter Berucksichtigung von (3.20) und (3.22) fur Beton lat sich (4.7) nachstehend umformen:  _in =

  ;

 = ; (4.8) b u b v

 G ;

G

mit _inv als inelastische Vergleichsdehnungsgeschwindigkeit, b als normierter Viskositatsparameter und u als U berspannung. Fur Stahl gilt die Norton-Beziehung (3.81)  N 1 u N 1 _in = u =  =   : (4.9) *

v

+

K

*

K K

+

u

s u

 Evolutionsgleichungen fur die isotropen Verfestigungs-Entfestigungs-

Variablen und fur den kinematischen Verfestigungstensor. Beton1: G 2 = ( a + bin + c(in ) ) exp( din v v v ) :

1 Die

b

Entwicklung fur die Druck- und Zugzone wird getrennt modelliert.

(4.10)

mit den Konstanten a; b; c und d und b als Betonfestigkeit. Fur die numerische Umsetzung wird (4.10) nachfolgend umgeformt. 2 ) exp ( din ) ( a + bin + c(in ) v v v in = H in ;  = (4.11) G

b

b v

v

in v

wobei Hb ein Verfestigungsmodul fur Beton bei der inkrementellen Formulierung ist. Bei der Zeitintegration wird auch die Ableitung von (4.10) benotigt @ G @t b

= (b + 2cinv) exp( dinv) + (a + binv + c(inv)2)( d) exp( dinv) _inv = Hb0 _inv (4.12) wobei Hb0 ein Verfestigungsmodul fur Beton bei der Ratenformulierung ist. Fur Betonzugzone werden direkt die Entfestigungsgesetze (Abschnitt 3.1.6.2) und denen Ableitungen verwendet. Stahl, isotrope Verfestigung: 0 in ; R_ = (Q R)_in (4.13) v = Hsr _v mit Hsr0 als isotropen Verfestigungsmodul bei der Ratenformulierung fur Stahl. Stahl, kinematische Verfestigung: 2 2 0 _in ; (4.14) ) = C ( aAin X)_in = Hsx X_ = C ( aE_ in X_in v v v 3 3 mit Hsx0 als kinematischen Verfestigungsmodul bei der Ratenformulierung fur Stahl.  Evolutionsgleichung fur den Ritensor fur Beton: _

F

= _inv + (1





2 4

+ + + Asch Asch t (1 ) A+sch : S A Asch t )(1 ) sch Asch : S 





3 5

:

(4.15)

Die akkumulierte inelastische Dehnung inv kann man als primare inelastische Variable bezeichnen, da alle anderen inneren Variablen die Funktionen von inv sind. Die Verfestigungsgroen und der Ritensor werden als sekundare inelastische Variablen bezeichnet.

4.1.2 Schwache Form des Problems

Die oben aufgefuhrten Dierentialgleichungen werden mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Weggroen (PvW) und des Prinzips der virtuellen Kraftgroen (PvK) in ihre schwache Form uberfuhrt. Das Hellinger-Reissner Funktional wird in dieser Arbeit nach den Geschwindigkeiten (Æu_ = Æv) und den Spannungen (ÆS) variiert. Dabei entstehen die virtuellen Leistungsausdrucke. Die arbeitskonformen inelastischen Groen _inv und u bilden einen Energieausdruck, der mit Hilfe des PvW und PvK schwach formuliert wird. Die sekundaren inelastischen Groen (Gleichungen 4.10 4.15) werden in Abhangigkeit von _inv in der Nachlaufrechnung berechnet. 4.1.2.1 Prinzip der virtuellen Weggroen

Der Impulssatz (2.46) mit den dazugehorigen statischen Randbedingungen (2.47) wird mit Hilfe der ersten Variation der wirklichen Geschwindigkeit Æv, die die geometrischen Randbedingungen erfullt, in die schwache Form uberfuhrt. Æv
( 0 v_ + div FS + 0 f ) dV0 = @ B Æv
(t0 FSn0) dA0(4.16) B Die notwendige Umformungsschritte sind aus [1] und [51] ubernommen. Die Anwendung des Gau'schen Satzes (2.30) und der Rechenregel der Tensoralgebra fur die Tensoren erster und zweiter Stufen [9] S. 131 div (aA) = a
div A + Grad a : A (4.17) auf den Randterm in (4.16) ermoglicht die folgende Umformung ÆvFSn0 dA0 = B div (ÆvFS) dV0 @B = B (Æv
div FS + Grad Æv : FS) dV0 (4.18) und fuhrt zu folgendem Ausdruck Æv
(0 v_ + Grad Æv : FS 0 f ) dV0 = @ B Æv
t0 dA0 : (4.19) B Der mittlere Term in (4.19) Grad Æv : FS = FT
Grad Æv : S wird mit Berucksichtigung der Symmetrieeigenschaften des 2. Piola-Kirchho'schen Spannungstensors in die endgultige schwache Formulierung des Gleichgewichts umgeformt. 1 (GradT Æv)F + FT (Grad Æv) : S  Æv
f dV _  + 0 Æv
v 0 0 B 2 ÆE_ = @B Æv
t0 dA0 (4.20) Z

Z

0

0

Z

Z

0

Z

0 0

Z

Z

0

0



Z

0





{z

|

Z

0

}



4.1.2.2 Prinzip der virtuellen Kraftgroen

Die schwache Form der Vertraglichkeitsbedingung (4.3) wird mit der ersten Variation des 2. Piola-Kirchho'schen Spannungstensors als Wichtungsfunktion gebildet. ÆS : E_ F : S_ _in (4.21) v Ain dV0 = 0 B Mit Anwendung von (2.18) fur die zeitliche Ableitung des Green'schen Verzerrungstensors lat sich der Ausdruck (4.21) umformen: 1 (GradT Æv)F + FT (Grad Æv) F : S_ Æ S : B 2 _in (4.22) v Ain dV0 = 0 : 

Z



0



Z





0



4.1.2.3 Schwache Form der Materialgleichungen

Die De nitionsgleichung der U berspannung (4.5) wird mit der virtuellen inelastischen akkumulierten Dehnungsgeschwindigkeit Æ_inv und die Evolutionsgleichung fur _inv (4.8 oder 4.9) mit der virtuellen U berspannung Æu gewichtet. Dabei entsteht folgender Leistungsausdruck ÆLin = B Æ_in v (u S : Ain + G ) dV0 + B Æu _inv u dV0 = 0 : (4.23) Z

Z

0





0

4.1.2.4 Allgemeine schwache Form

Die allgemeine schwache Form [39] entsteht bei der Addition der einzelnen virtuellen Ausdrucke, die in den Abschnitten 4.1.2.1 - 4.1.2.3 diskutiert wurden. ÆL

= + + +

PvW: Dynamisches Gleichgewicht (4:1)

B0

1 Ævv_ + (GradTÆv)F + FT(GradÆv) : S Ævp dV0 2 PvK: Inelastische Vertraglichkeit (4:2) 1 (GradTv)F + FT(Gradv) F : S_ _inA dV ÆS : 0 v in 2

B0

Æin

z Z

}|



B0



}|

z Z



z Z



 PvW: Uberspannung (4:4) }|

_ (u 

_

Æ in B0 u v

!

{

{

S : Ain + G) dV0

PvK: Inelastische Dehnung (4:8) z Z

{

!

}|

{

u dV0 

=0

:

(4.24)

Zwischen den Elementen und auf der Systemberandung sind die geometrischen Randbedingungen zu erfullen. 4.2

R aumliche Diskretisierung

Bei der raumlichen Diskretisierung eines Kontinuums werden die unbekannten Variablenverlaufe a(x) durch die diskreten Freiwerte ^ai und die Ansatzfunktionen Ni(x) im Element approximiert. a(x) =

n

X

k=1

Nk (x)^ak

(4.25)

In dieser Arbeit erfolgt die Diskretisierung mit den gemischt-hybriden isoparametrischen 8-Knoten-Volumenelementen [38], die 24 Verschiebungsfreiwerte und 18 Spannungsfreiwerte haben. Die Geometrie des Elements ist im Bild 4.1 dargestellt, wobei X 1; X 2; X 3 die globalen raumfesten Koordinaten und 1; 2; 3 die normierten Elementkoordinaten ( 1  i  1) sind. Die Geometrie und die Verschiebungen werden mit trilinearen Anξ2 H

G 7 ξ3

8 E

F 6

5

ξ1 X

1

X

D 2

R

X

1 3

4

C

3 2

A

B

Bild 4.1: 8-Knoten Volumenelement mit 8 Unterquadern satzfunktionen k = 81 (1 + ^k1 1)(1 + ^k2 2)(1 + ^k3 3)

(4.26)

approximiert. Die Approximation der Verschiebungen und Geschwindigkeiten hat folgende Form (4.27) bzw: u = ^u ui = k u^ik i i v = k v^k (4.28) bzw: v = ^v ; wobei bei den wiederholten Indizien die Einstein'sche Summationsregel gilt. Zur Ermittlung der Verzerrungen2 @ (4.29) ij = ui;j = ki u^jk bzw:  = dLu^ @X werden die raumlichen Ableitungen der Verschiebungsansatze nach der Kettenregel gebildet @ k @ k @ j @ k 1 = = J ; (4.30) @X i @ j @X i @ j ij wobei dL der lineare Dierentialoperator und Jij

die Jakobi-Matrix ist. Der Green'sche Verzerrungstensor (2.7) beinhaltet im Vergleich zu (4.29) auch die nichtlinearen Glieder 0

1

1 @ k u^j + @ k u^i + @ k u^i
@ k u^j Eij = 2 @X i k @X j k @X j k @X i k Grad u bzw: (4.31) E = (dL + dLGradT u)^u = (dL + dN )^u ; wobei dL der lineare Anteil und dN der nichtlineare Anteil des Dierentialsperators ist. Bei der zeitlichen Ableitung des Green'schen Verzerrungstensors wird (2.2) in (2.18) eingesetzt 1 (GradT v + Grad v) E_ = 2 + 12 (GradT v Grad u + GradT u Grad v) bzw: (4.32) E_ = (dL + dN )^v : Die hier verwendete Konstruktion der Spannungsansatze fur ein 8-Knoten-Volumenelement ist ausfuhrlich in [38] diskutiert. Die normalen Spannungen ~ii werden im normierten Koordinatensystem jeweils durch vier B B B B B @

2 Im

|

Rahmen der Theorie der kleinen Verschiebungen.

{z

}

C C C C C A

Stutzwerte mit i = 0 beschrieben und sind von zwei weiteren Koordinaten abhangig. Z. B. wird die Spannung ~11 nachfolgend diskretisiert: 1 1 (1  )(1  ) + ^ 2 (1 +  )(1  ) ~11 = ^11 2 3 2 2 11 4 + ^113 (1 2)(1 + 2) + ^114 (1 + 2)(1 + 2) : (4.33) 



Fur die Schubspannungen ~ij werden jeweils zwei Stutzwerte mit i = j = 0 verwendet. Die Ansatze sind dann nur von einer Koordinate abhangig, z. B. 1 5 (1  ) + ^ 6 (1 +  ) : (4.34) ~12 = ^12 3 3 12 2 Der unvollstandige lokale Spannungsansatz wird als bezeichnet 



~ = ^ :

(4.35)

Die Transformation in das globale Koordinatensystem erfolgt mit Hilfe der Transformationsmatrix T  = T~ = T ^

(4.36)

deren Aufbau in der Fachliteratur [38], [53] beschrieben ist. Zur Beschreibung des inelastischen Materialverhaltens wird jedes Element in 8 Unterquadern unterteilt. Die inelastischen Groen werden mit einem konstanten Ansatz im Unterquadermittelpunkt approximiert. Approximation der inelastischen Groen: a = k ^ak

:

(4.37)

Bei der numerischen Umsetzung wird fur die inelastischen Groen eine 1-Punkt Gau-Integration in den Unterquadermittelpunkten verwendet, wobei fur die Ansatze im Element eine 8-Punkt Gau-Integration erforderlich ist. Nach dem Ersetzen aller Zustandsgroen in (4.24) durch ihre diskretisierten Formen entsteht folgendes Funktional, das hier in Matrizenform

dargestellt ist. 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

^ M

0

0

0

F^

^ in 0 A

0

0

0

0

0

0

^I

0

0

3

2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4




v^_ S^_ ^_ v

in

^_ u

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

+

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

0

(D^ L + D^ N )T

0

0

(D^ L + D^ N )

0

0

0

0

^ in;T A

^ H

^I

0

0

0

^ G

3

2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4




v^ S^ ^in v ^u

3

2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

=

3

p^ 0 0 0

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(4.38)

Die einzelnen Integralausdrucke in (4.38) sind: ^ = B 0 T  dV0 Massenmatrix M (4.39) ^ L = B T TT dL dV0 (4.40) Linearer Dehnoperator D ^ N = B T TT dN dV0 (4.41) Nichtlinearer Dehnoperator D Nachgiebigkeitsmatrix F^ = B T TT FT dV0 (4.42) ^ in = B T TT Ain T dV0(4.43) Richtungstensor Inelastizitat A ^ = B H T dV0 (4.44) Verfestigungsmatrix H ^I = B T dV0 (4.45) Einheitsmatrix Inelastizitat Z

Z

0

Z

0

0

Z

0

Z

0

Z

0

Z

0

^ = B  T dV0 G (4.46) p^ = B 0  f dV0 (4.47) + @B  t0 dA0 Die Matrizenformulierung mit Berucksichtigung der elastischen Bettung und der viskosen Dampfung ist in der Anlage A vorgestellt. U berspannungsmatrix Lastvektor

Z

Z

Z

0

0

0

4.3

Zeitliche Diskretisierung

Das Gleichungssystem (4.38) stellt ein Rand- und Anfangsproblem dar. Fur eine direkte Zeitintegration stehen verschiedene Ansatze, die in [25] in drei Gruppen Einschrittverfahren, Mehrschrittverfahren und Extrapolationsverfahren aufgeteilt sind, zur Verfugung. Der in dieser Arbeit verwendete Prediktor-Korrektor (PK) Verfahren bildet eine spezielle Klasse unter Ein- und Mehrschrittverfahren. Der Integrationsalgorithmus mit einer impliziten Prediktion und Korrektur wird im wesentlichen aus [51] ubernommen, deshalb wird hier auf eine eingehende Diskussion der Stabilitats- und Genauigkeitsaspekten und auf den Vergleich mit den anderen Integrationsmethoden verzichtet. In einem Zeitinterval
t = tn+ tn, wobei 0    eine normalisierte Koordinate ist, wird einen linearen Ansatz fur die Berechnungsgroen gewahlt. Zn+ = Zn + 
tZ_ n+ ÆZn+ = 
tÆZ_ n+ (4.48) Bekannt ist die Losung am Anfang des Zeitintervals Zn. Die Rate Z_ n+ ist die Losung des Gleichungssystems (4.38). Fur die Zustandsgroen in (4.38) ist (4.48) direkt anwendbar. vn+ = vn + 
tv_ n+ Sn+ = Sn + 
tS_ n+ in in in (4.49) v;n+ = v;n + 
t_v;n+ u;n+ = u;n + 
t_ u;n+ Fur die Verschiebungen u wird auch ein linearen Ansatz mit Berucksichtigung von (4.49) verwendet. 1 un+ = un + 
tun + 
t2v_ n+ (4.50) 2

Die Entwicklung fur die inelastische Grenze (3.25) und fur den Nachgiebigkeitstensor (3.17) wird direkt in Abhangigkeit von der inelastischen Vergleichsdehnung inv durchgefuhrt. G;n+

Fn+

= (a + binn+ + c(inn+ )2) exp(dinn+ ) = F0 + Fn + 
tF_ n+ = F0 + Fn + 
t_inv;n+ t;n+ (1 n+ ) 2 4

+ (1

t;n+ )(1 n+ )

(4.51) A+sch;n+ A+sch;n+ A+sch;n+ : Sn+



Asch;n+ Asch;n+ Asch;n+ : Sn+



3

(4.52)

5

4.3.1 Prediktorschritt

In einem Prediktorschritt werden die Zustandsgroen in der Mitte des Zeitintervalls ( = 1=2) bestimmt. Dabei werden die an Anfang des Intervalls bekannten Elementmatrizen verwendet. Im Vergleich zur klassischen Variante des PK-Verfahrens [25] mit einer expliziten Prediktion wird der Prediktor-Schritt implizit ausgefuhrt, um die Stabilitatsprobleme bei der dynamischen Berechnungen zu vermeiden [51]. Nach dem Einsetzen von (4.49) bei  = 1=2 in (4.38) entsteht folgenden Gleichungssystem 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

3

^ M


t (D^ L + D^ N;n)T 2

0

0


t (D^ L + D^ N;n) 2

F^ n

^ inn A

0

0

^ in;T A n

^ 0n H

^I

0

0

^I


t G^ n 2



7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5




3

2




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

^_ n+

pv

^_ n+

pS

^_

7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 5

2

=

p in v;n+

^_ u;n+

p

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

3

p^ n+ 21

(D^ L + D^ N;n)T : S^ n (D^ L + D^ N;n)^vn

2 in
t (^v;n A^ n : S^ n) ^ n^u;n G

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(4.53)

Mit der Losung des Gleichungssystem (4.53) wird die Entwicklung der Berechnungsgroen durchgefuhrt, deren allgemeine Form nachstehend aussieht 1 Zn+ = Zn +
t pZ_ n+ : (4.54) 2 1 2

1 2

4.3.2 Korrektorschritt

Im Korrektorschritt werden die Elementmatrizen mit Hilfe der Zustandsgroen aus dem Prediktorschritt neu berechnet. Das Gleichungssystem mit diesen Matrizen 3

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4


t (D^ L + D^ N;n+ )T 2

0

0


t (D^ L + D^ N;n+ ) 2

F^ n+ 12

^ inn+ 1 A 2

0

0

^ in;T A n+ 21

^ 0n+ 1 H 2

^I

0

0

^I


t G^ n+ 2

^ M

1 2

1 2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 5




3

2

7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 2 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

^_ n+

kv

^_ n+

kS

^_

k in v;n+

^_ u;n+

k

=

3

p^ n+ 21

(D^ L + D^ N;n+ )T : S^ n 1 2

(D^ L + D^ N;n+ )^vn 1 2

2 in
t (^v;n A^ n+ : S^ n) 1 2

^ n+ 12 ^u;n G

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(4.55)

liefert die verbesserten Werte der Systemunbekannten im Intervallmitte ( = 1=2). Grundsatzlich konnen mehrere Korrektorschritten ausgefuhrt werden, wobei sich nach einigen Proberechnungen ergeben hat, da die Verkleinerung der Zeitschrittlange wesentlich eektiver ist. Mit der neuen Losungen werden die Berechnungsgroen am Ende des Intervalls ermittelt Zn+1 = Zn +
t k Z_ n+ : (4.56) Bei der hier vorgestellten Integrationsmethode wird die Genauigkeit zweiter Ordnung erreicht [51], bei der die Zeitschrittlangenbeschrankung oft als
t  ! 2 (4.57) max angenommen wird, wobei !max die grote Eigenfrequenz des Tragwerks ist. Dieses Kriterium ist aber fur die praktische Berechnung sehr aufwendig, da die numerische Erfassung der hoheren Eigenfrequenzen nicht immer korrekt ist. Die numerischen Untersuchungen in dieser Arbeit haben ergeben, das die Groe des kritischen Zeitinkrementes bei den Lokalisierungsprozessen von der Elementgroe abhangig ist. In [64] wird die Zeit der Wellenausbreitung in einem elastischen Kontinuum als die kritische Lange des Zeitinkrements
t 
tkr = ch (4.58) w vorgeschlagen, wobei h die Lange des kleinsten Elementes und cw die elastische Wellengeschwindigkeit (3.64) ist. Mit der Erhohung des Diskretisierungsgrades erhalt das System immer mehr Eigenwerte, so da sich die 1 2

kritische Zeitschrittlange nach (4.57) immer verringert. Damit sind beide Kriterien praktisch gleichwertig. 4.3.3 Losung des Gleichungssystem

Fur die Gleichungssysteme (4.53) und (4.55) sind die geometrischen Randbedingungen zu erfullen, was eine hybride Ablosung ermoglicht. Als primare Unbekannten treten dann nur die Beschleunigungen v^_ auf der Systemebene auf Kv^_ = R ; (4.59) wobei K die gemischt-hybride Stei gkeitsmatrix und R die abgeloste rechte Seite des Gleichungssystem ist. Die Spannungen und die primare inelastischen Groen werden in der Nachlaufrechnung auf Elementebene bestimmt. Fur die Bestimmung der Viskositatsparameter werden auch die gesamten Verzerrungen im Element und eine Vergleichsverzerrung benotigt. Der Verzerrungstensor wird auch im Nachlaufrechnung mit Hilfe der kinematischen Beziehungen (4.31) aus der Verschiebungen bestimmt. Eine ausfuhrliche Darstellung des Berechnungsalgorithmus fur die oben aufgestellten Gleichungssysteme ndet man in [51] und [1]. Fur die numerische Umsetzung wird hier die FE-Bibliothek FEMAP [37] verwendet.

Kapitel 5 Testbeispiele auf Strukturebene In diesem Kapitel werden einige Anwendungsbeispiele zu den verschiedenen Problemstellungen (dynamische und zyklische Belastungen, verschiedener Bewehrungsgrad usw.) im Stahlbetonbau analysiert. Alle Berechnungsergebnisse werden mit den experimentellen Daten oder den Vergleichsrechnungen anderer Autoren verglichen. 5.1

Direkter Zugversuch

Die Ergebnisse des einaxialen Zugversuchs konnen direkt in Form eines   Diagramms fur die numerische Simulation verwendet werden. Allerdings ist das   Diagramm der Materialien, die Lokalisierungsverhalten aufweisen, keine Materialeigenschaft sondern eine Struktureigenschaft (siehe Abschnitt 3.1.6.2). Daher ist es interessant, einen direkten Zugversuch auf Strukturebene nachzurechnen. Im Mittelpunkt der numerischen Analyse steht sowohl die Erfassung des Lokalisierungsphanomens im Deformationsverhalten von Betonproben unterschiedlicher Lange, als auch die Untersuchung der Netzsensibilitat bei einer FE-Berechnung mit dem entwickelten Materialmodell. Geometrie, FE-Diskretisierung, Materialeigenschaften. Zur Vergleichsrechnung wird die Versuchsreihe aus [43] gewahlt. Es wurden drei Gruppen von Betonproben mit den Langen von 50, 125 und 250 mm quasistatisch getestet. Der Versuchsaufbau und die Probenabmessungen sind im Bild 5.1 dargestellt. Die Dicke des Probekorpers betragt 50 mm. Da alle Abmessungen etwa gleich gro sind, wird der Probekorper als dreidimensionales Kontinuum diskretisiert. Fur die Vergleichsrechnung wird die Versuchsreihe mit den xierten Randbedingungen gewahlt, um die Rotation der Probe und die damit verbundenen nichtsymmetrischen 103

5 mm 5 mm 60 mm

P

35 mm L

Bild 5.1: Direkter Zugversuch Spannungszustande, die zu einer nichtsymmetrischen Riverteilung fuhren, auszuschlieen. Die Rander werden durch starre Platten festgehalten, so da alle Randpunkte die gleichen Verschiebungen erfahren. Bei der FEModellierung werden alle Verschiebungsfreiwerte am linken Rand gesperrt und am rechten Rand in horizontaler Richtung miteinander verbunden. Die starre Platte und die Feder werden mitmodelliert. Bei einer dehngesteuerten Berechnung wird die Verschiebung durch die Feder, die mit einem oder zwei Volumenelementen diskretisiert wird und eine groe Stei gkeit besitzt, eingepragt. Die Normalkraft in diesem Element ist die Last P im Bild 5.1. Diese direkte Dehnsteuerung wird auch bei den weiteren Beispielen in dieser Arbeit verwendet. Bei den Versuchen in [43] wurde eine Kontrolle des Dehnungszustandes durch vier Extensometer mit der Lange 35 mm in der Mitte der Probe (Bild 5.1) vorgenommen. Diese Methodik ist als indirekte Dehnsteuerung bekannt. Bei der Auswertung der Vergleichsrechnungen wird die mittlere Spannung im kleinsten Querschnitt (zwischen den zwei Kerben) mit = P=Amin uber die mittlere relative Verschiebung Æ zwischen den acht Knoten mit dem Abstand von 35 mm in der Mitte der Probe eingetragen. Mit dieser Vorgehensweise konnen allerdings nur die Versuche an den Proben mit der Lange 50 und 125 mm nachgerechnet werden. Im Bild 5.2 sind die Spannungs-VerlangerungsDiagramme fur die Proben mit unterschiedlichen Langen dargestellt. Wie man feststellen kann, wird der Verlauf der 
L-Beziehung im Nachbruchbereich mit der Vergroerung der Melange immer steiler. Ab einer bestimmten Lange kommt es zu einem Sprung (snap-back) in der 
L Kurve (punktierte Linie), wenn man den Versuch oder die Berechnung unter direkter Dehnsteuerung fuhrt. Das beschriebene Phanomen kann nur mit der indirekten Kontrolle des Dehnungszustandes in der Bruchzone

σ kurz mittel

lang

∆L

Bild 5.2: 
L Kurven fur die Proben unterschiedlicher Lange (qualitativ) korrekt untersucht werden. Die wesentlichen Materialparameter sind aus [43] entnommen und in der Tabelle 5.1 aufgelistet, wobei die Erfassung des Betonverhaltens in der Druckzone hier nicht relevant ist. Beton

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Zugfestigkeit Druckfestigkeit im Modell Parameter der hyperbolischen Entfestigung (Zug) Verteilungskonstante Plastizitat-Schadigung Viskositatsparameter

Eb b c c

1.8E+4 0.2 3.4E+0 2.3E+1

Kh0

310

N=mm2 N=mm2 N=mm2

0.4 1.15 0.81 Tabelle 5.1: Materialparameter Beispiel 1.

Berechnungsergebnisse.

a0 a1

In der ersten Berechnung wird die Netzsensibilitat des entwickelten Modells untersucht. Es werden drei unterschiedliche Diskretisierungen der Rizone bei der Probe mit 50 mm Lange mit 106, 424 und 736 Elementen (Bilder 5.3-5.5) vorgenommen. Die berechneten 
L Kurven sind im Bild 5.6 dargestellt. Mit der Verfeinerung des Netzes klingt der Entfestigungsast schneller ab, was aber nur bei einem hohen Schadigungsgrad des Querschnitts deutlich bemerkbar ist. Die Traglast wird kaum beein-

Bild 5.3: Netz 1 (grob)

Bild 5.4: Netz 2 (mittel)

Bild 5.5: Netz 3 (fein)

3.5

Netz 1 (grob) Netz 2 (mittel) Netz 3 (fein)

σ (N/mm2)

2.8

2.1

1.4

0.7

0

0

10

20

30

40

50

60

Verlängerung der Probe 50 mm (mm*10-3)

Bild 5.6: 
L Kurven fur unterschiedliche Elementierungen

ut. Die zweite wichtige Erkenntnis besteht darin, da es kein eindeutiges Konvergenzverhalten im gesamten Nachbruchbereich gibt. Das deutet darauf hin, da sich die vorhandene geringe (im Vergleich zu den zeitunabhangigen Modellen) Netzabhangigkeit nicht mit durch Einfuhrung einer charakteristischen Lange mit Skalierung uber die Bruchenergie Gf (siehe Abschnitt 3.1.6.2) beheben lat. Die zeitabhangigen Modelle andern nicht den Gleichungstyp im Nachbruchbereich und die vollstandige Netzunabhangigkeit kann durch die Modi kation der U berspannungsfunktion und die Skalierung uber die Ribandbreite lbr (3.63) erreicht werden. Hier kann man sich der Kritik in [31] anschlieen, da die gleichzeitige Parameteranpassung zur dynamischen Analyse mit Berucksichtigung des Materialverhaltens bei unterschiedlichen Dehnungsgeschwindigkeiten und zur Behebung der Netzsensibilitat eine komplizierte Aufgabe darstellt. In [80] wird vorgeschlagen, dieses Problem mit der Einfuhrung des Parameters fur den sekundaren Kriechbereich zu entscharfen. In dieser Arbeit wird auf die Modi kation der schon ermittelten U berspannungsfunktion verzichtet. Bei der Erhohung der Belastungsgeschwindigkeit und besonders bei den dynamischen Berechnungen mit transienten Belastungen verringert sich der Ein u der Elementierung [12]. Im zweiten Schritt wird die Qualitat der Zeitintegration uberpruft. Die Materialmodelle mit dem Entfestigungsbereich sind generell bezuglich der Zeitschrittweite sehr emp ndlich, so da die kleinen Fehler innerhalb von wenigen Schritten anwachsen und zur Instabilitat der Losung fuhren. Im Bild 5.7 sind die  Æ Kurven, die mit verschiedener Anzahl von Zeitinkrementen berechnet wurden, dargestellt. Man kann relativ groe Abweichungen im mittleren Bereich des abfallenden Astes und ein deutliches Konvergenzverhalten feststellen. Diese Kurven werden mit den groben FE-Netz berechnet. Bei den feineren Elementierungen fuhrt die Berechnung mit groen Zeitinkrementen schneller zu Instabilitaten als bei groben FE-Netzen, wie z. B im Bild 5.6 zu sehen ist. Generell ist die numerische Simulation des Tragwerkverhaltens im Nachbruchbereich wesentlich komplizierter als im Vorbruchbereich, weil die ganze Struktur den Stabilitatskriterium von Hill (2.116) nicht erfullt. Die Probleme der Genauigkeit spielen dann eine sekundare Rolle. Die Schadigungsverteilung an den unterschiedlichen Laststufen beim System mit feiner Elementierung ist in den Bildern 5.8-5.11 dargestellt. Es ist zu beachten, da die Bilder 5.8-5.9 im Vorbruchbereich und die Bilder 5.10-5.11 im Nachbruchbereich mit verschiedener Farbskalierung gefullt sind. Die vorliegende berechnete Schadigungsverteilung zeigt eine

3.5

Zeitschrittlänge t/600 Zeitschrittlänge t/1200 Zeitschrittlänge t/300 Zeitschrittlänge t/2400

σ (N/mm2)

2.8

2.1

1.4

0.7

0

0

10

20

30

δ (mm*10-3)

40

50

60

Bild 5.7:  Æ Kurven fur unterschiedliche Zeitschrittlangen gute U bereinstimmung mit den Versuchsergebnissen. Im Bild 5.12 sind die numerisch ermittelten  Æ Kurven fur zwei Proben 50 und 125 mm und die Versuchskurve fur die Probe 125 mm dargestellt. Die geringen Dierenzen zwischen den zwei berechneten Kurven sind durch den Ein u der Randbedingungen bei der kurzen Probe zu erklaren. Im Versuch war dieser Ein u noch groer, so da die  Æ Kurve fur die Probe 50 mm wegen ihre Inkonsistenz zu den anderen Ergebnissen nicht in Betracht gezogen wurde. Der verwendete Parametersatz liefert etwas groere Spannungen im Nachbruchbereich, weil der Ein u der U berspannung relativ gro ist. Fur die quasistatischen Probleme fuhrt die Wahl eines groeren Parameters a0 in (3.23) zur besseren U bereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen, wie im Testbeispiel 3 fur eine andere Betonklasse. Auf eine Modi kation der Parameter wird hier verzichtet, weil die anderen Parameter auch betroen sind. Im Bild 5.13 sind die 
L Kurven fur beide Proben dargestellt. Das Testbeispiel zeigt, da das entwickelte Modell die wesentlichen Eigenschaften des Lokalisierungsverhaltens korrekt erfat und fur eine FEBerechnung geeignet ist. Eine Verbesserung des Algorithmus kann mit Einfuhrung einer adaptiven Zeitschrittlangensteuerung erreicht werden [25],[95]. Das gilt aber fast ausschlielich fur den Nachbruchbereich, der bei den praktischen Traglastberechnungen eher von sekundarer Bedeutung ist.

default_Fringe : Max 3.08-04 @Nd 727 Min 0. @Nd 185

Bild 5.8: Schadigung bei Æ = 0:0075mm

default_Fringe : Max 2.41-03 @Nd 727 Min 0. @Nd 185

Bild 5.10: Schadigung bei Æ = 0:015mm

default_Fringe : Max 7.15-04 @Nd 727 Min 0. @Nd 185

Bild 5.9: Schadigung bei Æ = 0:01mm

default_Fringe : Max 6.82-03 @Nd 640 Min 0. @Nd 185

Bild 5.11: Schadigung bei Æ = 0:02mm

3.5

Vergleichsrechnung (Probe 50 mm) Vergleichsrechnung (Probe 125 mm) Versuchskurve (Probe 125 mm)

σ (N/mm2)

2.8

2.1

1.4

0.7

0

0

Bild 5.12: 

10

20

30

δ (mm*10-3)

40

50

60

Æ Kurven fur Proben mit unterschiedlicher Lange

3.5

Probe 50 mm

σ (N/mm2)

2.8

Probe 125 mm

2.1

1.4

0.7

0

0

10

20

30

40

50

60

Verlängerung der Probe (mm*10-3)

Bild 5.13: 
L Kurven fur Proben mit unterschiedlicher Lange

5.2

Stahlbetonbalken unter der Impulsbelastung

Das zweite Beispiel soll die Anwendbarkeit des Modells fur dynamische Analysen von Tragwerken aus Stahlbeton zeigen. Geometrie, FE-Diskretisierung, Materialeigenschaften. Es wird ein gelenkig gelagerter Balken mit zwei symmetrisch angeordneten Einzellasten beansprucht. Die Einzellasten werden zum Zeitpunkt t = 0 impulsformig aufgebracht und bleiben fur t  0 konstant. Die Geometrie und der Zeitverlauf der Belastung sind im Bild 5.14 dargestellt. Die Flache der unteren Bewehrung betragt 1290 mm2. Wegen der SystemP/2

P/2

279

Last (N)

1270

914

1270

152

P=60000

Zeit (s)

Bild 5.14: Beispiel 2: Stahlbetonbalken unter Impulsbelastung und Belastungssymmetrie wird nur die Halfte des Balkens betrachtet. Das FE-Modell besteht aus 10 Volumenelementen fur Beton und 5 Volumenelementen fur Stahl mit einer aquivalenten Dicke von 8:5 mm. Die Zeitschrittlange bei der Prediktor-Korrektor-Integration betrug 0.0005 s. Vergleichsrechnungen mit ahnlicher Elementierung jedoch mit 20-Knoten Elementen werden in [17] und [26] durchgefuhrt. Die Parameter werden aus [26] entnommen. Der vollstandige Satz der Materialparameter ist in Tabelle 5.2 zusammengestellt. Berechnungsergebnisse. Die einzelnen Berechnungsergebnisse sind im Bild 5.15 dargestellt. Zu-

Beton

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Druckfestigkeit Dichte Parameter der hyperbolischen Entfestigung (Zug) Verteilungskonstante Viskositatsparameter Bewehrung

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Fliespannung Dichte Norton Parameter

Eb b c b

4.3E+4 0.0 2.63E+1 2.E{9

Kh0 a0 a1

180 0.4 7.2 0.82

N=mm2 N=mm2 Ns2=mm4

2.07E+5 N=mm2 0.3 3.03E+2 N=mm2 6.535E{9 Ns2=mm4 2.5 112. Tabelle 5.2: Materialparameter Beispiel 2. Es s ks s N K

erst wird eine linear-elastische Berechnung durchgefuhrt. Die maximale Durchbiegung in der Balkenmitte liegt in der Groenordnung von [26] und [17]. Die Ergebnisse der ersten physikalisch-nichtlinearen Berechnung, die im Bild 5.15 dargestellt sind, zeigen keinen groen Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Untersuchungen. Das liegt daran, da die Materialparameter fur die Materialparameter fur die maximale Dehnungsgeschwindigkeit von _ < 1
10 1s 1 bestimmt wurden, wobei der Impuls in diesem Beispiel innerhalb von 1
10 5 s eingebracht wird und eine weit groere Dehnungsgeschwindigkeit verursacht. Der Balken reagiert erwartungsgema sehr steif und die Menge der dissipierten Energie wachst von Zyklus zu Zyklus. Fur die zweite Berechnung werden die Parameter der U berspannungsfunktion modi ziert. In einer Testrechnung auf Materialebene wurde festgestellt, da fur die vorhandene Belastungsgeschwindigkeit die Verwendung des Parameters a0 = 7:2 eine Erhohung der Betonfestigkeit um ca. 35% verursacht, was der Realitat entspricht. Die Ergebnisse der zweiten

Zeit (s) 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0

Verschiebung (mm)

-2

-4

-6

Linear Plastizitäts-Schädigungs-Modell -8

Bild 5.15: Ergebnisse Beispiel 2. (erste Berechnung) Berechnung sind im Bild 5.16 dargestellt. Bei der physikalisch-nichtlinearen Analyse mit Plastizitat und Schadigung verhalt sich das System etwas steifer als in [26], was auf die unterschiedliche Materialformulierung fur gerissenen Beton zuruckzufuhren ist. Bei der Berechnung nach der Plastizitatstheorie kann man feststellen, da die maximale Durchbiegung in beiden nichtlinearen Berechnungen etwa gleich gro (ca. 25% groer als bei der linear-elastischen Berechnung) ist. Die Berechnungen zeigen, da beim ersten U berschreiten der Fliegrenze im Zugbereich so viel Energie dissipiert, da die nachfolgenden Schwingungen fast ausschlielich elastisch verlaufen. Die Amplitude der Schwingungen beim viskoplastischen Modell wird dann deutlich geringer als im linear-elastischen Fall, wahrend die Periodenlange nahezu gleich bleibt. Beim Plastizitats- und Schadigungsmodell ist die Energiedissipation mit der A nderung der elastischen Eigenschaften verbunden, was zur Verlangerung der Periodenlange fuhrt. Die Amplitude der Schwingungen wird dadurch kaum beein ut. Das Testbeispiel bestatigt die grundsatzliche Anwendbarkeit des Modells fur die Strukturberechnungen von Stahlbetonkonstruktionen unter transienten Belastungen. Die zentrale Rolle spielt dabei die Wahl der U berspannungsfunktion mit dem entsprechenden Parametersatz, der die vorhandene Dehnungsgeschwindigkeit korrekt erfat.

0

0.01

Zeit (s) 0.02

0.03

0.04

0

Durchbiegung (mm)

-2

-4

-6

-8

Linear-elastisches Modell Vorgestelltes Modell Viskoplastisches Modell

Bild 5.16: Ergebnisse Beispiel 2. (zweite Berechnung) 5.3

Betonbalken mit Kerbe unter zyklischer Belastung

In diesem Testbeispiel wird ein gekerbter Betonbalken unter zyklischer Belastung analysiert. Die experimentellen Untersuchungen an den Balken mit den verschiedenen Abmessungen und Betonklassen wurden in [87] durchgefuhrt. Geometrie, FE-Diskretisierung, Materialeigenschaften. Fur eine Vergleichsrechnung wird der Balken C2-D1-S3-R2 ausgewahlt, da die Vergleichsrechnung [78] schon existiert. Die Geometrie des Balkens ist im Bild 5.17 dargestellt. Die Materialparameter sind in Tabelle 5.3 zusammengestellt. Der Balken wurde dehngesteuert belastet. Der Lastvorgang bis zur Traglast erfolgte in 10 Minuten, dann wurde der Balken entlastet. Die Belastung wurde wiederholt bis sich die Riuferverschiebung (CMOD, crack mouth opening displacement) bei der Traglast (CMODp) verdoppelte. Die zwei nachsten Entlastung-Belastungs-Vorgange erfolgten bei CMOD = 5
CMODp und CMOD = 10
CMODp. Im Nachbruchbereich war die Belastungsgeschwindigkeit funf mal groer als im Vorbruchbereich. Aufgrund der Symmetrie des Balkens wird nur die Halfte mit 138 Volumenelementen diskretisiert, im gekerbten Bereich feiner, auerhalb

P

78

254

127

5 1016 1118

Bild 5.17: Beispiel 3: Betonbalken mit Kerbe Beton

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Druckfestigkeit Parameter der hyperbolischen Entfestigung (Zug) Verteilungskonstante Plastizitat-Schadigung Viskositatsparameter

Eb b c

4.36E+4 0.2 6.34E+1

Kh0

425

N=mm2 N=mm2

0.4 7.2 0.81 Tabelle 5.3: Materialparameter Beispiel 3. a0 a1

grober.

Berechnungsergebnisse.

Im Bild 5.18 sind die Versuchsergebnisse [87] und die Ergebnisse der Vergleichsrechnung dargestellt. Allgemein zeigt die berechnete Last-DurchbiegungsKurve eine gute U bereinstimmung mit der experimentellen Kurve. Relativ groe Abweichungen sind ab der Mittendurchbiegung von 0:4 mm festzustellen. Aus numerischen Stabilitatsgrunden1 wird die maximale Entfestigung auf 0:05 begrenzt, wobei in der Realitat in den vollgeschadigten Zonen keine Spannungsubertragung mehr statt ndet. Die besseren Ergebnisse fur den Nachbruchbereich sind mit einer groeren Anzahl von Elementen uber die Hohe des Balkens [40] (in diesem Beispiel 16 Elemente) erreichbar. 1 Der

vollstandige Verlust der Stei gkeit ohne Ausschaltung der Elemente aus der FE-Topologie fuhrt zu Singularitaten.

Versuch Berechnung

12

Last (kN)

10 8 6 4 2 0

0

0.2

0.4 0.6 Durchbiegung (mm)

0.8

1

Bild 5.18: Ergebnisse Beispiel 3. Das zyklische Verhalten wird mit einem konstanten Verteilungsfaktor Plastizitat-Schadigung [78] ausreichend gut modelliert. Die Hysteresisschleifen bei der Entlastung und Wiederbelastung werden mit diesem Modell nicht erfat, weil im elastischen Bereich keine A nderung der Elastizitatskonstanten statt ndet. Auf die Modi zierung des Elastizitatsmoduls ohne Evolution der inneren Variablen in Abhangigkeit davon, ob ein Belastungs- oder Entlastungsvorgang vorliegt, wurde verzichtet. Die Erhohung der Belastungsgeschwindigkeit im Nachbruchbereich hat keinen besonderen Ein u auf die Last-Durchbiegungs-Kurve (zum Vergleich wurde eine Berechnung mit der gleichen Geschwindigkeit im Vor und Nachbruchbereich ausgefuhrt). Allerdings hat diese Geschwindigkeitserhohung einen bemerkbaren Beitrag zur Verbesserung der numerischen Stabilitat der Losung geleistet. Der wellenformige Verlauf der Kurve im mittleren Bereich ist auf die relativ grobe Elementierung uber die Hohe, was einen sprunghaften U bergang bei der Plasti zierung von einzelnen Schichten verursacht [40], zuruckzufuhren. In den Bildern 5.19-5.26 sind die Riverschiebungen und die Normalspannungen (senkrecht zum Ri) fur die verschiedenen Lastphasen dargestellt. Bei der Durchbiegung von 0:05 mm (Bilder 5.19-5.20) wird der Ri schon initialisiert und die Spannungskonzentration uber die Kerbe ausgebildet. Im Restteil des Querschnitts herrscht nahezu eine elastische

Spannungsverteilung mit gleichgroen Zug- und Druckbereichen. Beim Erreichen der Traglast (Bilder 5.21-5.22) ist 1=4 des Querschnitts schon gerissen. Die Rispitze, die durch die Spannungskonzentration gekennzeichnet ist, wandert nach oben. Im gerissenen Teil kann man eine Entspannung beobachten. Gleichzeitig wachsen die Spannungen in der verkleinerten Druckzone. Bei der Durchbiegung von 0:13 mm (Bilder 5.23-5.24) be ndet sich der Balken im Nachbruchbereich und 2=3 des Querschnitts ist gerissen. Die Rispitze erreicht die obere Halfte des Balkens, und die untere Halfte ist vorwiegend entlastet. Die Druckspannungen erreichen ihren maximalen Wert. Anschlieend werden die Verschiebungen und die Spannungen nach der vollstandigen Entfestigung bei der Mittendurchbiegung von 0:67 mm auf den Bildern 5.25-5.26 dargestellt. Der ganze Querschnitt ist nahezu spannungsfrei. Bei der Analyse der Riverformungen kann man den eindeutigen Lokalisierungseekt feststellen, da die Rientwicklung nur innerhalb eines Elements (die Berechnung wurde auf der Halfte des symmetrischen Balken durchgefuhrt) statt ndet und die benachbarten Elemente unverzerrt bleiben. Es bildet sich keine wachsende inelastische Zone, wie bei den duktilen Werkstoen, aus. 6.00+00 5.17+00 4.33+00 3.50+00 2.67+00 1.83+00 1.00+00 1.67-01 -6.67-01 -1.50+00 -2.33+00 -3.17+00 -4.00+00 -4.83+00

Z Z

-5.67+00

Y

X Y

default_Deformation : Max 5.26-02 @Nd 286

Bild 5.19: Riuferverschiebungen bei v = 0:05mm

X

-6.50+00 default_Fringe : Max 5.93+00 @Nd 301 Min -3.12+00 @Nd 83

Bild 5.20: Normalspannungen bei v = 0:05mm

6.00+00 5.17+00 4.33+00 3.50+00 2.67+00 1.83+00 1.00+00 1.67-01 -6.67-01 -1.50+00 -2.33+00 -3.17+00

Z

-4.00+00

Y

X -4.83+00

default_Deformation : Max 7.95-02 @Nd 286

Bild 5.21: Riuferverschiebungen bei v = 0:075mm (Traglast)

Z -5.67+00 Y

X

-6.50+00 default_Fringe : Max 4.93+00 @Nd 269 Min -4.60+00 @Nd 83

Bild 5.22: Normalspannungen bei v = 0:075mm (Traglast) 6.00+00 5.17+00 4.33+00 3.50+00 2.67+00 1.83+00 1.00+00 1.67-01 -6.67-01 -1.50+00 -2.33+00 -3.17+00 -4.00+00 -4.83+00

Z Z

-5.67+00

Y

X Y

X

default_Deformation : Max 1.46-01 @Nd 286

Bild 5.23: Riuferverschiebungen bei v = 0:13mm

-6.50+00 default_Fringe : Max 4.76+00 @Nd 119 Min -6.39+00 @Nd 83

Bild 5.24: Normalspannungen bei v = 0:13mm 6.00+00 5.17+00 4.33+00 3.50+00 2.67+00 1.83+00 1.00+00 1.67-01 -6.67-01 -1.50+00 -2.33+00 -3.17+00 -4.00+00 -4.83+00

Z Z

-5.67+00

Y

X Y

default_Deformation : Max 7.71-01 @Nd 286

Bild 5.25: Riuferverschiebungen bei v = 0:67mm

X

-6.50+00 default_Fringe : Max 3.68-01 @Nd 79 Min -2.76+00 @Nd 83

Bild 5.26: Normalspannungen bei v = 0:67mm

5.4

Stahlbetonbalken mit unterschiedlichem Bewehrungsgrad

Der Versagensmechanismus von Stahlbetonbauteilen wird im wesentlichen von dem Bewehrungsgrad bestimmt. Die schwach bewehrten Konstruktionen weisen normalerweise ein duktiles Zugversagen auf, das durch das Stahl ieen verursacht wird. Mit Erhohung des Bewehrungsgrades wachst die Sprodigkeit des Tragwerks und es besteht die Gefahr des plotzlichen Schubversagens oder des Bruchs der Druckzone, die in der Praxis durch das Anlegen von einer Schubbewehrung verhindert wird. Der U bergang zwischen diesen zwei Versagensmechanismen ist sprunghaft und schwerde nierbar. In diesem Beispiel werden zwei Stahlbetonbalken mit unterschiedlichem Bewehrungsgrad numerisch analysiert, um die Eignung des Modells zur Berechnung von Stahlbetonkonstruktionen zu veri zieren. Die experimentellen Untersuchungen wurden von Karihaloo [50] durchgefuhrt. Geometrie, FE-Diskretisierung, Materialeigenschaften. Im Versuch wurden zwei Balken mit der Lange L = 1800 mm (der Abstand zwischen den Stutzen betrug 1600 mm), Breite B = 100 mm und Hohe H = 150 mm (Bild 5.27) quasistatisch auf Biegung getestet. Der Balken 1 100

100

12

2

150

P

Balken 2

1600

1

12

1800

Bild 5.27: Karihaloo-Balken mit unterschiedlichem Bewehrungsgrad erste Balken wurde mit einem Stab 12 mm bewehrt, was einem Bewehrungsgrad  = As=BH von 0:75% entspricht. Im zweiten Balken wurde der Bewehrungsinhalt verdoppelt ( = 1:5%, zwei Stabe 12 mm). Die wesentlichen Materialparameter sind aus [50] entnommen und in der Tabelle 5.4 aufgelistet. Da das System symmetrisch ist, wird nur die Halfte des Tragwerks mit 168 Elementen diskretisiert. Die Bewehrung wird mit einer Stahlschicht

Beton

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Druckfestigkeit Zugfestigkeit Parameter der hyperbolischen Entfestigung (Zug) Verteilungskonstante Plastizitat-Schadigung Viskositatsparameter Bewehrung

Elastizitatsmodul Querdehnzahl Fliespannung Norton Parameter

Eb b c t

3.0E+4 0.17 3.8E+1 3.4E+0

Kh0

175

a0 a1

0.4 7.2 0.81

N=mm2 N=mm2 N=mm2

2.1E+5 N=mm2 0.3 4.63E+2 N=mm2 2.5 100. Tabelle 5.4: Materialparameter Beispiel 3. Es s ks N K

mit einer aquivalenten Dicke von 1:3 mm fur den ersten Balken und 2:6 mm fur den zweiten Balken mit jeweils 24 Volumenelementen modelliert. Um den Versagensmechanismus zu untersuchen, werden die Berechnungen dehngesteuert ausgefuhrt. Berechnungsergebnisse. Im Bild 5.28 ist die Last-Durchbiegung-Kurve fur den Balken mit niedrigem Bewehrungsgrad dargestellt. Es liegt ein duktiles Versagen vor, das durch das Flieen in der Bewehrung verursacht wird. Die Traglast wird bei ca. 4:5 mm (im Versuch 4:3 mm) Durchbiegung erreicht und betragt 24:5 kN (im Versuch 24:25 kN). Im Bild 5.29 sind die inelastischen Zonen (Verteilung der akkumulierten inelastischen Dehnung) beim Erreichen der Durchbiegung von 4 mm dargestellt. Die doppelte Rispitze wird durch die Lasteinleitung uber die starre Platte mit 50 mm Lange verursacht (in der Versuchsbeschreibung wurde keine genaue Information uber die Lasteinleitung mitgeteilt). In der Zugzone ndet eine intensive Ribildung statt. Die oberen Balkenschichten bleiben fast ungeschadigt.

30 25

Last (kN)

20 15 10 Versuch Vergleichsrechnung Berechnung von Suanno und Ramm

5 0

0

2

4 Durchbiegung (mm)

6

8

Bild 5.28: Last-Durchbiegungs-Kurve fur Balken mit einem Bewehrungsstab

default_Fringe : Max 1.83-04 @Nd 87 Min 0. @Nd 1

Bild 5.29: Verteilung der akkumulierten inelastischen Dehnung fur Balken mit einem Bewehrungsstab Im Bild 5.30 ist die Last-Durchbiegungs-Kurve fur den Balken mit zwei Bewehrungsstaben dargestellt. Der Balken weist ein sprodes Versagen auf, das auf die Zerstorung der Betondruckzone zuruckzufuhren ist. Im Bild 5.31, das die Verteilung der inelastischen Verzerrungen bei einer Durchbiegung von 4 mm zeigt, erkennt man die hohe Konzentration der inelastischen Verzerrungen in der Druckzone. Die Traglast in der Vergleichsrechnung liegt bei ca. 36 kN und ist etwas groer als im Versuch (33:32 kN). Die Durchbiegung bei der Traglast betragt 4 mm (im Versuch ca. 3:5 mm). Die Berechnung zeigt, da das vorgestellte Modell das Biegeverhalten von Stahlbetonbalken mit unterschiedlichem Bewehrungsinhalt trotz ei-

40 35 30

Last (kN)

25 20 15 10

Versuch Vergleichsrechnung Berechnung von Suanno und Ramm

5 0

0

2

4

6 8 Durchbiegung (mm)

10

12

Bild 5.30: Last-Durchbiegungskurve fur Balken mit zwei Bewehrungsstaben

default_Fringe : Max 1.81-04 @Nd 85 Min 0. @Nd 1

Bild 5.31: Verteilung der akkumulierten inelastischen Dehnung fur Balken mit zwei Bewehrungsstaben nigen quantitativen Dierenzen korrekt wiedergibt. Zum Vergleich wird hier auch die Berechnungsergebnisse von Suanno und Ramm [107] fur die beiden Balken dargestellt.

Kapitel 6 Zusammenfassung Mit der Zulassung von nichtlinearen Methoden zur Berechnung und Bemessung von Stahlbetonkonstruktionen durch moderne Regelwerke, z. B. der DIN 1045-1 oder dem EUROCODE 2 ist ein neuer Impuls zur weiteren Entwicklung und Anwendung physikalisch nichtlinearer Modelle im Stahlbetonbau gegeben. Die Berucksichtigung der inelastischen Reserven des Materials ist besonders bei dynamischen Beanspruchungen relevant, und die Abhangigkeit des Tragverhaltens von der Dehnungsgeschwindigkeit spielt dabei eine wichtige Rolle. Experimentelle Untersuchungen zeigen, da bei schnellen Einwirkungen z. B. Sto, Explosion oder Erdbeben die Druckfestigkeit des Betons bis ca. 35% und die Zugfestigkeit bis ca. 50% zunehmen kann. Fur dynamische Berechnungen von Stahlbetonkonstruktionen haben sich in der Vergangenheit die viskoplastischen Modelle bewahrt, wobei die Ribildung in der Zugzone mit den verschmierten Rimodellen erfat wurde. In dieser Arbeit wird ein U berspannungskonzept vorgestellt, das die zeitabhangige kontinuierliche Schadigung des Materials berucksichtigt. Die Modellierung der Plastizitat und Schadigung erfolgt im Rahmen der Kontinuumsmechanik und Thermodynamik der irreversiblen Prozesse. Die Aufteilung des inelastischen Geschwindigkeitstensors in einen duktilen und einen sproden Anteil wird durch die Einfuhrung von zwei Zwischenkon gurationen bei der multiplikativen Zerlegung des Deformationsgradienten erreicht. Die Energiedissipationsgleichung stellt eine universelle thermodynamische Grundlage fur gekoppelte Plastizitats-Schadigungsprobleme dar, die mit Hilfe von inneren Variablen modelliert werden. Die allgemeine Formulierung des U berspannungskonzepts fur duktil-sprode Materialien schliet die De nition der Flie ache, des inelastischen Potentials, der U berspannungsfunktion und der Verfestigungsregel ein. Die Vorteile dieses Konzepts gegenuber den spontanen d. h. zeitunabhangi125

gen Modellen werden bei der Erfassung des instabilen Werkstoverhaltens deutlich, das bei nichtassoziierten Flieen mit starken Lokalisierungsphanomene vorliegt. Stahl und Beton werden als unabhangige Komponenten modelliert, wobei die Verbundwirkung auf der Betonseite berucksichtigt wird. Den Schwerpunkt der Arbeit stellt die Modellierung des duktil-sproden Betonverhaltens dar. Die Bestimmungsgleichungen fur die Druck- und Zugzone werden getrennt modelliert. Zur Entwicklung der inelastischen Verzerrungen wird ein inelastisches Potential de niert, das sich aus einem plastischen und einem Schadigungspotential zusammensetzt. Alle inelastischen Vorgange (Flieen und Abminderung der elastischen Stei gkeit) sind von einer U berspannung abhangig. Sie ist als Dierenz zwischen Vorlastpunkt (Einwirkung) und inelastischer Grenz ache (Material) de niert. Um das kontraktante und dilatante Volumenverhalten von Beton in der Druckzone zu beschreiben, wird eine nichtassoziierte Flieregel verwendet. Im Druckbereich wird isotropes Verhalten mit gleichen Richtungen fur plastische- und Schadigungsverzerrungen angenommen. Dagegen wird das Schadigungspotential in der Zugzone als die Kombination der Hauptspannungen aufgebaut und berucksichtigt damit die anisotrope Rientwicklung. Zwischen Zug- und Druckbereichen ist ein stetiger U bergang vorhanden, der durch die spektrale Zerlegung des Spannungstensors und die Berechnung der Zug-Druck-Wichtungsfaktoren de niert ist. Das neu entwickelte inelastische Potential berucksichtigt das Schlieen der Risse bei der Umkehrung der Belastung. Die Parameterbestimmung fur die einaxialen Druck- und Zugkurven wird schrittweise durchgefuhrt, wobei auf die Entfestigungsgesetze fur die Zugzone naher eingegangen wird. Anschlieend werden ein- und zweiaxiale Versuche auf Material- und Elementebene kraft- und dehngesteuert nachgerechnet, um die bestimmten Parameter und Entwicklungsfunktionen zu veri zieren. Die Untersuchung der zweiaxialen Spannungszustande hat ergeben, da eine Modi kation der Flieregel fur mehraxiale Zustande zweckmaig ist. Das Materialverhalten von Bewehrungsstahl wird im Rahmen der Viskoplastizitatstheorie modelliert. Anhand eines Beispiels auf Materialebene wird das vorgestellte Plastizitats-Schadigungsmodell mit dem Nettospannungskonzept fur die metallischen Werkstoe verglichen und eine mogliche Erweiterung der Viskoplastizitat zur Erfassung der Schadigung diskutiert. Fur die Berechnung der Stahlbetonkonstruktionen spielt die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen in der Zugzone eine wichtige Rolle. Die Diskussion der moglichen Ansatze zur impliziten Erfassung des Tension-

Stiening-Eekts schliet die Vorstellung der Materialgesetze ab. Die numerische Umsetzung des Modells erfolgt im Rahmen einer symmetrischen gemischt-hybriden FE-Formulierung mit 8-Knoten Volumenelementen. Die nichtlinearen Berechnungsgleichungen werden in Ratenform aufgestellt und mit einem Zeitschrittverfahren vom Prediktor-KorrektorTyp integriert. Die Veri zierung erfolgt anhand von Beispielen auf Strukturebene. Dabei wird besonderer Wert auf die Modellierung der Lokalisierungsphanomene beim unbewehrten Beton und die Modellierung des Betonverhaltens unter zyklischen Beanspruchungen und unterschiedlichen Belastungsgeschwindigkeiten gelegt. Das Tragverhalten von Stahlbetonkonstruktionen ist im wesentlichen vom Bewehrungsgrad abhangig, was im letzten Beispiel nachgewiesen wurde. Generell ist eine gute U bereinstimmung mit den experimentellen Daten festzustellen, was die Leistungsfahigkeit des neu entwickelten Modells bestatigt. Es wurde bereits zur Losung von anspruchsvollen praxisorientierten Probleme eingesetzt, was im Rahmen von Diplom- und Studienarbeiten am Fachgebiet Statik der Baukonstruktionen an der TU Berlin erfolgte. In [7] wurde z. B. einen massive Stahlbetonschale unter dem Lastfall Flugzeugabsturz geometrisch und physikalisch nichtlinear untersucht. Fur die praktische Anwendung des Modells ist allerdings die Einfuhrung einer adaptiven Zeitschritt- und Netzverfeinerung empfehlenswert. Abschlieend mu darauf hingewiesen werden, da das vorgestellte Konzept eine Basis fur die FE-Modellierung von zeitabhangigen duktilsproden Deformationsprozessen in Stahlbetonkonstruktionen bildet, die alle wesentliche Materialeigenschaften erfat und einen robusten numerischen Algorithmus bietet. Zur Untersuchung von speziellen Problemen, wie Berechnung von Betonbauteilen mit hohem hydrostatischen Druck, unter intensiven zyklischen Belastungen oder Berucksichtigung des Langzeitverhaltens von Beton ist eine Modi kation der Bruch ache und U berspannungsfunktion notwendig. Die aufwendigen "universellen" Materialmodelle weisen numerische Stabilitatsde zite und vor allem Probleme bei der Parameterbestimmung auf. Zu deren U berwindung sind weitere Forschungsarbeiten erforderlich.

Anhang A Vollstandige Diskretisierung des Problems Bei den praktischen Berechnungen ist oft die Berucksichtigung der Strukturdampfung und elastischer Bettung notwendig. Das dynamische Gleichgewicht (4.1) wird dabei um die zusatzlichen Glieder erweitert, v_ + 0v + u = Div(FS) + p ; (A.1) die bei der Variationsformulierung und Diskretisierung zu berucksichtigen sind. Die Dampfungsmatrix C und die Bettungsmatrix B sind folgendermaen de niert: ^ = V 0 T  dV0 ; Dampfungsmatrix C (A.2) Bettungsmatrix B^ = V  T  dV0 ; (A.3) wobei 0 der KoeÆzient der viskosen Dampfung und  der Bettungsmodul ist. Das Gleichungssystem (4.38) nimmt die Form (A.4) an. Z

Z

0

0

129

^

6 6 M 6 6 6 6 6 6 6 0 6 6 6 6 6 6 6 6 0 6 6 6 6 6 6 4 0

2

^

0

I

0

^

in

A

0

0

F

^

0 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 0 5

7

0 7

3




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

^_

^_

^_

7 7 7 7 7 7 7 7 7 S 7 7 7 7 7 7 in 7 v 7 7 7 7 7 7 7 7 u 5

^_

v

3

+

+

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

DL

^

C

DN

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 0 5

7

0 7

3

(^ + ^ )

B

^

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

^

^

^

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

3

=

7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 7 I 7 7 7 7 7 7 7 G 5

0

^

7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 0 5

7

p 7

3

^

^ ^

H

0

0

0

in;T

T

0

^

A

0

DN

7 7 7 7 7 7 7 7 S 7 7 7 7 7 7 7 in 7 v 7 7 7 7 7 7 7 u 5

^

u

DL

(^ + ^ )

3




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

^

^

^

7 7 7 7 7 7 7 7 S 7 7 7 7 7 7 7 in 7 v 7 7 7 7 7 7 7 u 5

^

v

3

(A.4)

=

^

6 6 6 pn 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

+ 21 DL

)

+

T

Sn

) :^

+

^

+

)^

^

Gn  u;n

+

in An  Sn

:^ )

DN;n  vn

vn

+

3

^

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 7 I 7 7 7 7 7 7 7 t 7 Gn  5

0

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Cvn 7 7

7

3


^ 2

^ (^ +
2t ^ ) ^ ^

B un

I

^

0

+

^

in An 

0

0

+

+

T

)

Hn 

^

^

Fn 

+

DN;n 

in;T An 

^ +^

v;n

2
t (^

DL

(^ + ^

DN;n 

+

(^ + ^


(^ + ^ 2

DL

^ +
2 ^ +
4 2 ^
2t ( ^ + ^

6 6 tC t B 6 M 6 6 6 6 6 6 6 t D 6 DN;n  L 6 6 6 6 6 6 6 0 6 6 6 6 6 6 6 6 0 4

2

Die Berechnungsmatrizen nach der Zeitdiskretisierung:




6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

2

+

+

^_

^_

^_ +

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 Sn 7 2 7 7 7 7 7 7 in v;n 1 7 7 2 7 7 7 7 7 7  u;n 1 7 2 5

+ 21

^_

vn

3

=

(A.5)

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