Theoretische Meteorologie: Eine Einführung, 3.Auflage GERMAN

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Author: Dieter Etling

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Dieter Etling Theoretische Meteorologie

Dieter Etling

Theoretische Meteorologie Eine Einführung

3. erweiterte und aktualisierte Auflage Mit 149 Abbildungen

123

Professor Dr. Dieter Etling Leibniz Universität Hannover Institut für Meteorologie und Klimatologie Herrenhäuser Straße 2 30419 Hannover [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN 978-3-540-75978-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 10 3-540-42815-1 2. Auflage 2002 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 10 3-582-06661-X 1. Auflage 1996 Vieweg Verlag Wiesbaden

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2008 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Satz: Druckreife Vorlage des Autors Herstellung: Christine Adolph Gedruckt auf säurefreiem Papier 30/2133/CA 5 4 3 2 1 0

Vorwort Die Atmosph¨ are der Erde stellt ein ungemein komplexes System physikalischer und chemischer Wechselwirkungen dar. Jeder Satellitenfilm, zusammengestellt aus zeitlich aufeinander folgenden Aufnahmen der Erdatmosph¨ are, zeugt eindrucksvoll von der Dynamik dieses Systems. Dieses Buch m¨ ochte die physikalischen Grundlagen dieser Dynamik untersuchen und daraus eine theoretische Beschreibung f¨ ur eine Vielzahl atmosphärischer Ph¨ anomene ableiten, wie sie etwa anhand der Wolkenstrukturen im nachstehenden Satellitenbild sichtbar werden. Der vorliegende Text war urspr¨ unglich als Lehrbuch f¨ ur das Fach Theoretische Meteorologie im Diplomstudiengang Meteorologie konzipiert. Die hier vorliegende dritte Auflage f¨ allt in die Zeit der Umstellung auf die Bachelor- und MasterStudieng¨ ange, wobei die Inhalte der Theoretischen Meteorologie je nach Universitätsstandort verschiedenen Modulen zugeordnet werden. Auch wenn sich das Buch haupts¨ achlich an Studierende der Meteorologie wendet, so werden Studierende der Physik und der Ozeanographie ebenfalls inhaltlich angesprochen. Der Inhalt dieses Buches ist in sich geschlossen und kann daher als Begleiter entsprechender Kursvorlesungen wie auch f¨ ur das Selbststudium dienen. Um der notwendigen Beschränkung des Umfangs Rechnung zu tragen, wird der Leser im Literaturverzeichnis zu jedem Kapitel auf weiterf¨ uhrende Lehr- und Fachb¨ ucher verwiesen. Im Gegensatz zur Theoretischen Physik ist der Vorlesungs- und Pr¨ ufungsstoff der Theoretischen Meteorologie noch stark von den individuellen Interessen des jeweiligen Hochschullehrers geprägt. Aus diesem Grunde folgt das vorliegende Lehrbuch schwerpunktmäßig der traditionellen Ausrichtung auf die Thermodynamik und Dynamik der Atmosphäre. Darauf wird in der Einleitung noch n¨ aher einzugehen sein. Andere Spezialgebiete mit stark theoretischen Komponenten wie etwa die Strahlungsphysik und die Wolkenphysik einschließlich Konvektion sind hier nur am Rande vertreten. Fachkollegen, die diese Gebiete als Schwerpunkte ihres Ausbildungsinhaltes gewählt haben, mögen mir dies nachsehen. Dieses Buch ist aus einem Skriptum hervorgegangen, das ich f¨ ur die Kursvorlesungen Theoretische Meteorologie an der Universit¨ at Hannover verfasst hatte. In der hier vorliegenden dritten Auflage wurden neben der u ¨blichen Korrektur von Fehlern, die sich leider immer wieder in fertige Druckerzeugnisse einschleichen, zahlreiche Ergänzungen zu einzelnen Abschnitten vorgenommen. Ansonsten wurde der im großen und ganzen bewährte Stoff beibehalten, ohne Anspruch auf Vollst¨ andigkeit f¨ ur das Gebiet der Theoretischen Meteorologie zu erheben. Vielmehr soll im vorliegenden Lehrbuch ein gewisses Grundlagenwissen u ¨ber Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are vermittelt werden, welches dann durch das Studium von weiterf¨ uhrenden Texten, wie sie im Literaturverzeichnis aufgelistet sind, erg¨ anzt werden kann. Die Satellitenbilder im Text wurden freundlicherweise von den Kollegen

VI

Vorwort

M.Eckardt und W.Wehry von der FU Berlin zur Verf¨ ugung gestellt. F¨ ur die Realisierung des Buchprojektes sei den beteiligten Mitarbeitern des Springer-Verlags herzlich gedankt.

Bild 1 Satellitenbild der Norwegischen See und Skandinaviens. Die Wolkenformationen zeigen eine Vielzahl atmosphärischer Strömungsphänomene: eine Karmansche Wirbelstraße im Lee der Insel Jan Mayen (rechts oben), eingebettet in linien- und zellenförmige Muster der thermischen Konvektion, Leewellen im Gebirgsbereich S¨ udnorwegens, Wolkenstraße u ¨ber Mittelschweden sowie einen kleinräumigen zyklonalen Wirbel in der Nähe des Nordkaps (rechts unten)

Dieter Etling

Hannover, im November 2007

Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung und Definitionen 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vektor- und Tensornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gase 2.1 2.2 2.3 3 Der 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

1 1 2 3

und Gasgemische 9 Thermodynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Reale Gase und Gasgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Erste Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Hauptsatz und Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . Das Joulesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezifische Wärmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionale Zusammenhänge f¨ ur Energie und Enthalpie Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adiabatische Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . .

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are 4.1 Wasserdampf als ideales Gas . . . . . . 4.2 Feuchtemaße . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gemisch 4.4 Spezifische Wärmen f¨ ur feuchte Luft . 4.5 Heterogene Systeme . . . . . . . . . . . 4.6 Latente Wärmen . . . . . . . . . . . . 4.7 Der Wasserdampfdruck bei Sättigung .

. . . . . . . . . . . . . . feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 19 21 23 24 26 28

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31 31 32 33 35 37 39 44

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are 5.1 Der thermodynamische Zustand der Atmosph¨ are 5.2 Zur diabatischen Wärmezufuhr δQ . . . . . . . . 5.3 Zur Ber¨ ucksichtigung der latenten Wärme L . . . 5.4 Kondensation in der Atmosphäre . . . . . . . . . 5.5 Der Treibhauseffekt . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 49 50 56 58 61

6 Der 6.1 6.2 6.3 6.4

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65 65 66 72 75

vertikale Aufbau der Atmosph¨ are Das Geopotential . . . . . . . . . . . Die statische Grundgleichung . . . . Der vertikale Temperaturgradient . . Die statische Stabilität . . . . . . . .

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VIII 6.5

Inhaltsverzeichnis Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are . . . . 81

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften 7.1 Die Eulersche Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Die Divergenz von Geschwindigkeitsfeldern . . . . 7.3 Die Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Die Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes . . . 7.6 Die Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Das Geschwindigkeitspotential . . . . . . . . . . . 7.8 Stromfunktion und Geschwindigkeitspotential . .

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87 87 89 91 93 94 96 98 99

8 Die Kontinuit¨ atsgleichung 101 8.1 Fl¨ usse und Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2 Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.3 Bodendrucktendenz und Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . 105 9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen 9.1 Die Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Die Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Zur Ursache von atmosphärischen Bewegungsvorg¨ angen 9.4 Die Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft . . . . . . . 9.6 Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System . . . 9.7 Analyse der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 9.8 Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten . . . . 9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System . . . . . . . . .

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107 107 108 111 115 117 124 125 127 129

10 Der 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

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135 135 137 140 142 144 146

11 Die Vorticitygleichung 11.1 Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung . . 11.2 Stromfunktion und Vorticitygleichung . . . . . . . . . . . . 11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung 11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Die Zirkulationsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 152 153 159 162

geostrophische Wind Definition des geostrophischen Windes . . . . . . . . Der thermische Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geostrophischer und thermischer Wind im p-System Barotrope und barokline Atmosphäre . . . . . . . . . Gradientwind und zyklostrophischer Wind . . . . . . Skalenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange 169 12.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Inhaltsverzeichnis 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

IX

Gleichungen f¨ ur synoptische Bewegungsvorg¨ ange . . . Quasi-geostrophische Gleichungen . . . . . . . . . . . Die Omega-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die potentielle Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . Energiegleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosph¨ are Die Boussinesq-Approximation . . . . . . . . . . . . .

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170 172 176 177 180 183

13 Wellen in der Atmosph¨ are 13.1 Periodische Bewegungen in der Atmosph¨ are: Wellen . 13.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Externe Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Interne Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Schwerewellen u ¨ber ebenem Untergrund . . . 13.3.4 Schwerewellen u ¨ber nicht-ebenem Untergrund

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187 187 189 190 191 195 199 201

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese 207 14.1 Stabilit¨ atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.2 Barotrope Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.3 Barokline Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 14.3.1 Störungsgleichungen f¨ ur das Zwei-Schichten-Modell . . . . 214 14.3.2 Störungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.3.3 Erläuterungen zum Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at222 14.4 Kleinr¨ aumige Instabilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 15 Wirbeldynamik 15.1 Wirbel in der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Die Wirbelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Mechanismen der Wirbelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 . 231 . 232 . 233

16 Einf¨ uhrende Bemerkungen zur Allgemeinen Atmosph¨ arischen Zirkulation 237 16.1 Die Allgemeine Atmosphärische Zirkulation . . . . . . . . . . . . 237 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung 243 17.1 Numerische Wettervorhersage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 17.2 Einf¨ uhrung in die Klimamodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . 250 18 Bewegungsgleichungen mit Reibung 255 18.1 Oberfl¨ achenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.3 Einfache Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . 262 19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

267

X

Inhaltsverzeichnis 19.1 19.2 19.3

Begriffe und Regeln zu Mittelbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 267 Die Reynolds-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte . . . 275

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung 20.1 Gleichung f¨ ur die gesamte kinetische Energie . . . . . . . . . 20.2 Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung 20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Mikro- und Makroturbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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281 281 282 283 287 291

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht 297 21.1 Die Einteilung der atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . 297 21.2 Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 299 21.3 Das Windprofil in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . 300 21.4 Das Windprofil bei diabatischer Schichtung . . . . . . . . . . . . . 303 21.4.1 Erläuterungen zum allgemeinen Sprachgebrauch . . . . . . 303 21.4.2 Die Monin-Obukhov-Stabilitätsl¨ ange . . . . . . . . . . . . 304 21.4.3 Das Windprofil und der Diffusionskoeffizient . . . . . . . . 305 21.4.4 Die Profilfunktionen in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 307 21.5 Das Potenzprofil f¨ ur die Windgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 309 21.6 Das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . 312 21.6.1 Temperaturprofil und Profilfunktion . . . . . . . . . . . . 312 21.6.2 Die Profilmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse . . . . . . . . . . 315 21.7 Die atmosphärische Grenzschicht: Ekman-Schicht . . . . . . . . . 316 21.8 Die H¨ ohe der atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . 320 21.9 Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht . . . . . . . 321 21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 322 21.11 Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz . . . . . . . 327 21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are 328 21.13 Die instationäre Ekmanschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 21.14 Das Temperaturprofil in der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . 336 22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are 22.1 Die Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Die Konzentrationsverteilung f¨ ur momentane Punktquellen . 22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen . 22.4 Die Konzentrationsverteilung als Gaußsche Normalverteilung 22.5 Diffusion unter Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens . . . . . . . 22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung . . . . . . 22.7 Lagrange Partikelmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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341 341 343 345 348 349 351 354

Literaturverzeichnis

361

Sachwortverzeichnis

371

1 1.1

Einfu ¨ hrung und Definitionen Einleitung

Eine allgemein akzeptierte Charakterisierung der Theoretischen Meteorologie als Hochschulfach st¨ oßt auf Schwierigkeiten. Zum einen sind in den Kursvorlesungen die thematischen Schwerpunkte relativ stark von den pers¨ onlichen Pr¨ aferenzen der Hochschullehrer bestimmt, zum anderen haben sich in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Teilgebiete der Theoretischen Meteorologie zu umfangreichen und eigenst¨ andigen Spezialdisziplinen entwickelt. Schaut man daher in aktuelle Lehr- und Fachb¨ ucher, wie sie etwa im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrt sind, stellt man u ¨berraschenderweise fest, dass dort der Begriff Theoretische Meteorologie nirgendwo auftritt. Stattdessen wird der Begriff Dynamische Meteorologie (im Englischen: Dynamic Meteorology) verwendet. Dies kommt wohl daher, dass vor einigen Jahrzehnten Meteorologie meist nur aus synoptischer Meteorologie bestand, unser Fach sich also haupts¨ achlich mit der Beobachtung des Wettergeschehens befasste. Die dazugeh¨ orige theoretische Interpretation bezeichnete man dagegen als dynamische Meteorologie. Das Wort Dynamik heißt soviel wie Bewegung, und so k¨ onnte man die dynamische Meteorologie als die Theorie der Atmosphärenbewegungen bezeichnen. In der Tat befasst sich auch das vorliegende Lehrbuch fast ausschließlich mit den Bewegungsvorgängen in der Atmosphäre und deren Entstehung. Andere Teilgebiete der Meteorologie haben nat¨ urlich auch eine starke theoretische Komponente. Es seien hier die Gebiete Wolkenphysik und Strahlungs¨ ubertragung besonders genannt, die sich mittlerweile als Spezialdisziplinen etabliert haben. Trotzdem wird wohl die Dynamische Meteorologie den Hauptteil der Vorlesungen und Pr¨ ufungsinhalte des Faches Theoretische Meteorologie ausmachen. Aus diesem Grund hat das vorliegende Buch den Titel Theoretische Meteorologie erhalten. Der Aufbau des Buches ist der folgende: Nach dieser Einleitung und einigen Definitionen, die im weiteren verwendet werden, befassen sich die Kapitel 2 bis 5 mit der Thermodynamik der Atmosphäre. Kapitel 6 behandelt die Vertikalstruktur der Erdatmosphäre und schließt damit die Beschreibung der ruhenden Atmosph¨ are ab. Mit Kapitel 7 bis 15 kommt sozusagen Bewegung in die Meteorologie. Hier werden die Eigenschaften von Geschwindigkeitsfeldern aufgezeigt und die Bewegungsgleichungen f¨ ur atmosphärische Strömungsvorg¨ ange in den verschiedensten Approximationen dargestellt. Dabei werden alle in der Atmosph¨ are wirkenden Kr¨ afte ber¨ ucksichtigt, außer der Reibungskraft. Dies ist eine brauchbare N¨ aherung f¨ ur synoptische Vorgänge (z. B. Entstehung von Tiefdruckgebieten), so dass in diesem Teil des Buches schwerpunktmäßig die großr¨ aumige Dynamik der Atmosph¨ are beschrieben wird.

2

1 Einf¨ uhrung und Definitionen

Die Kapitel 16 und 17 u arische Zirkulation und ¨ber die Allgemeine Atmosph¨ die Numerische Wettervorhersage sind als Ergänzung zu den bis dahin beschriebenen physikalischen Grundlagen von Thermodynamik und Dynamik gedacht. Diese Teilgebiete – fr¨ uher meist im Zyklus Theoretische Meteorologie integriert – haben sich in den letzten Jahrzehnten dermaßen ausgeweitet, dass sie heute als Spezialvorlesungen angeboten werden. An dieser Stelle soll deshalb nur ein kurzer Einblick in diese Gebiete der Meteorologie gegeben werden. Die bisher vernachlässigte Reibungskraft wird in Kapitel 18 eingef¨ uhrt. Mit der Problematik, dass die Atmosphäre als turbulente Str¨ omung aufgefasst werden muss, befassen sich Kapitel 19 und 20. Die Turbulenz hat ihre gr¨ oßte Bedeutung in der atmosph¨ arischen Grenzschicht, die ausf¨ uhrlich in Kapitel 21 behandelt wird. Als Verkn¨ upfung zwischen theoretischer Meteorologie und der Umweltproblematik kann schließlich das letzte Kapitel u ¨ber die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are aufgefasst werden. Insgesamt kann man die Kapitel 18 bis 22 unter dem Begriff Dynamik mit Reibung, Turbulenz und Diffusion zusammenfassen. Wie bereits eingangs erwähnt, wird der Leser ausf¨ uhrliche Darstellungen zur Strahlung sowie zur Wolkenphysik (einschließlich Konvektion) vergeblich suchen. Zwar haben diese Teilgebiete ausgesprochen theoretische Komponenten, jedoch haben sie sich zu eigenen umfangreichen Spezialdisziplinen entwickelt, wie auch aus dem Literaturverzeichnis zu ersehen ist. Da das Hauptinteressengebiet des Autors auf der Dynamik der Atmosphäre liegt, wird auf die genannten Teilgebiete hier nur hingewiesen.

1.2

Physikalische Gr¨ oßen und Einheiten

Die in diesem Buch beschriebenen Grundlagen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange lassen sich durch physikalische Gesetzm¨ aßigkeiten beschreiben. Neben der mathematischen Form dieser Beziehungen m¨ ussen stets die dabei auftretenden physikalischen Einheiten ber¨ ucksichtigt werden. Wir halten uns dabei an das internationale Einheitensystem (SI-Einheiten), dessen Grundeinheiten wie folgt festgelegt sind: Gr¨ oße Länge Masse Zeit Temperatur

Einheit Meter Kilogramm Sekunde Kelvin

Symbol m kg s K

Aus den Grundeinheiten lassen sich abgeleitete Gr¨ oßen definieren, die nachfolgend dargestellt sind.

1.3 Vektor- und Tensornotation Gr¨ oße Kraft Druck Energie Leistung

3

Einheit Symbol in Grundeinheiten Newton Pascal Joule Watt

N Pa J W

kg m s−2 N m−2 Nm J s−1

In der Meteorologie verwenden wir als thermodynamische Grundgr¨ oßen die Lufttemperatur (Einheit Kelvin) und den Luftdruck (Einheit Pascal). F¨ ur letzteren gilt hinsichtlich der fr¨ uheren Bezeichnungen Bar bzw. Millibar: Luftdruck:

1 bar = 105 Pa 1 mbar = 100 Pa = 1 hPa (Hektopascal)

Als dynamische Größe tritt noch die Windgeschwindigkeit hinzu, die in der praktischen Meteorologie in die Windrichtung (geographische Orientierung) und den Geschwindigkeitsbetrag (Einheit: m s−1 ) aufgespalten wird. Bei der Behandlung atmosphärischer Schwingungen und Wellen tritt auch der Begriff der Frequenz auf. Mit der Schwingungsdauer τ (Zeitdauer f¨ ur eine Periode des Vorgangs) erhalten wir Gr¨ oße Schwingungsdauer Frequenz Kreisfrequenz

1.3

Definition Einheit τ 1/τ 2π/τ

Symbol

Sekunde s Hertz Hz, s−1 Radians/Sekunde Rad s−1

Vektor- und Tensornotation

Die Vorlesungen u anen meist ¨ber Theoretische Meteorologie sind in den Studienpl¨ erst nach dem Vordiplom vorgesehen. Es kann deshalb vorausgesetzt werden, dass bereits Kenntnisse u ¨ber Differential- und Integralrechnung einschließlich partieller Differentialgleichungen und Vektoranalysis vorliegen. Aus diesem Grund sollen hier lediglich die Notation hinsichtlich der Vektor- und Tensorschreibweise ausgef¨ uhrt werden, wie sie in diesem Buch verwendet wird. Bei der Frage, ob die Gleichungen in Vektor- oder Tensorschreibweise verwendet werden sollen, hat jeder Autor von B¨ uchern aus dem Bereich der Meteorologie eigene Ansichten. Da in den Fachzeitschriften beide Notationsarten verwendet werden, h¨ alt es der Verfasser f¨ ur sinnvoll, wenn die Studenten mit beiden Schreibweisen gleichermaßen vertraut sind. Deshalb werden in diesem Buch beide Methoden verwandt.

4

1 Einf¨ uhrung und Definitionen

...... z, 3, k, e 3 .. ... .. .. .. ... .. ... ....... y, 2, j, e2 .... .. ................ .. ........................... ...................... ..................... ..................... ..................... ....................... ....... x, 1, i, e1

Bild 1.1 Das kartesische Koordinatensystem mit den im Buch verwendeten Bezeichnungen

In den ersten Teilen u ¨ber Thermodynamik und Dynamik ohne Reibung wird u ¨berwiegend die Vektorschreibweise verwendet, wobei Vektoren durch Fettdruck der Buchstaben gekennzeichnet werden (z. B. A, v). Im letzten Teil u ¨ber Dynamik mit Reibung und Turbulenz wird praktisch ausschließlich die Tensorschreibweise (Indexschreibweise) verwendet (z. B. Ai , uk ). Bevor auf die genaue Notation eingegangen wird, muss man sich auf ein Koordinatensystem festlegen. Im folgenden gehen wir von einem rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystem aus, wie es in Bild 1.1 gezeigt ist. Die Bezeichnung der einzelnen Koordinaten wird wie folgt festgelegt: Gr¨ oße

Vektorform Tensorform

Koordinatenachsen – horizontal – vertikal Einheitsvektoren – horizontal – vertikal

x, y z

x1 , x2 x3

i, j k

e1 , e2 e3

Die Vektor- und Indexschreibweise lauten f¨ ur einen Ortsvektor x = xi + yj + zk

und

xi ei = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

und entsprechend f¨ ur einen allgemeinen Vektor A = Ax i + Ay j + Az k

und

Ai ei = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 .

Speziell gilt f¨ ur den Geschwindigkeitsvektor v v = ui + vj + wk

und

ui ei = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3

mit den horizontalen Komponenten u, v bzw. u1 , u2 und der vertikalen Komponente w bzw. u3 . F¨ ur das Skalarprodukt der Einheitsvektoren gelten die Regeln

1.3 Vektor- und Tensornotation i·j=i·k=j·k=0

5 i·i=j·j=k·k=1 ,

und

und f¨ ur das Vektorprodukt die Beziehungen i×j=k ,

i × k = −j ,

j×k=i .

Die Skalar- bzw. Vektorprodukte beliebiger Vektoren A und B folgen den Regeln A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz , A × B = (Ay Bz − Az By ) i + (Az Bx − Ax Bz ) j + (Ax By − Ay Bx ) k . Bei der Tensorschreibweise (Indexschreibweise) erh¨ alt man f¨ ur das Skalarprodukt zun¨ achst formal A · B = Ai ei · Bi ei

= (A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 ) · (B1 e1 + B2 e2 + B3 e3 ) = A1 B1 e1 · e1 + A2 B2 e2 · e2 + A3 B3 e3 · e3 = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 .

Um nicht immer formal das Skalarprodukt unter Mitf¨ uhrung der Einheitstensoren e1 , e2 und e3 durchf¨ uhren zu m¨ ussen, hat man die sogenannte Summationskonvention eingef¨ uhrt: Treten in einem Ausdruck Indizes doppelt auf, so wird u ¨ber diese summiert. Dabei werden auch die Einheitstensoren ei fortgelassen, so dass sich das Skalarprodukt vereinfacht schreiben lässt als A · B = Ai Bi =

3

Ai Bi = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 .

i=1

Das Vektorprodukt A × B kann man mit Hilfe des alternierenden Einheitstensors ijk in der Tensorschreibweise wie folgt darstellen: A × B = ijk Aj Bk ei = (A2 B3 − A3 B2 )e1 + (A3 B1 − A1 B3 )e2 + (A1 B2 − A2 B1 )e3 . Der sogenannte alternierende Einheitstensor εijk , auch Permutationssymbol genannt, hat folgende Eigenschaften: ε123 = ε231 = ε312 = +1 ε132 = ε213 = ε321 = −1 εijk = 0 sonst

1

1

+ AK 2 - 3

− AU 2 3

Außer Vektoren und Skalaren werden im weiteren noch deren r¨ aumliche Ableitungen ben¨ otigt. Da im allgemeinen eine Funktion von allen drei Raumkoordinaten abh¨ angt (z. B. ψ(x,y,z)), benötigen wir die partiellen Differentiale:

6

1 Einf¨ uhrung und Definitionen ∂ , ∂x

∂ , ∂y

∂ ∂z

bzw.

∂ , ∂x1

∂ , ∂x2

∂ . ∂x3

Diese werden h¨ aufig im sogenannten Nabla-Operator ∇ zusammengefasst: ∇=i

∂ ∂ ∂ +j +k . ∂x ∂y ∂z

In der Tensorschreibweise lautet dieser: ∇ = ei

∂ ∂ ∂ ∂ = e1 + e2 + e3 . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3

Mit den bisher vereinbarten Schreibweisen wollen wir einige immer wieder auftretende Differentialoperatoren in Vektor- und Tensorschreibweise auflisten. Als Operanden werden zur Veranschaulichung f¨ ur einen Vektor die Geschwindigkeit v und f¨ ur einen Skalar die potentielle Temperatur θ gew¨ ahlt. Entsprechend der Summationskonvention werden in der Tensornotation die Einheitsvektoren e fortgelassen. Eine Komponente eines Tensors erh¨ alt man, indem man statt i die gew¨ unschte Koordinate einsetzt, also z. B. i = 3 f¨ ur die z-Koordinate. Gradient: ∇θ =

∂θ ∂θ ∂θ i+ j+ k, ∂x ∂y ∂z

∂θ ∂θ ∂θ ∂θ = e1 + e2 + e3 . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3 Divergenz: ∇·v =

∂u ∂v ∂w + + , ∂x ∂y ∂z

∂uk ∂u1 ∂u2 ∂u3 = + + . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3 Advektion: v · ∇θ = u

uk

∂θ ∂θ ∂θ +v +w , ∂x ∂y ∂z

∂θ ∂θ ∂θ ∂θ = u1 + u2 + u3 . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3

1.3 Vektor- und Tensornotation

7

Advektion von v: v · ∇v

∂u ∂u u ∂u ∂x + v ∂y + w ∂z i

=

∂v + v ∂v + w ∂v j u ∂x ∂y ∂z

+

∂w ∂w u ∂w ∂x + v ∂y + w ∂z k ,

+

uk

∂ui ∂xk

=

∂u1 ∂u1 1 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e1 1

+ +

2

∂u2 ∂u2 2 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e2 1

3

2

3

∂u3 ∂u3 3 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e3 . 1

2

3

Laplace-Operator:

Rotation:

∇×v ∂uk εijk ∂xj

=

=

∇2 θ

=

∂2θ ∂2θ ∂2θ + + , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

∂2θ ∂x2k

=

∂2θ ∂2θ ∂2θ + 2+ 2 . 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3

∂w ∂v − i+ ∂y ∂z

∂u3 ∂u2 − e1 + ∂x2 ∂x3

∂u ∂w − j+ ∂z ∂x

∂u ∂v − k, ∂x ∂y

∂u1 ∂u3 − e2 + ∂x3 ∂x1

∂u2 ∂u1 − e3 . ∂x1 ∂x2

Zum Schluss noch einige Regeln zur Vektoranalysis. Es seien A und B Vektoren und ψ ein Skalar. F¨ ur diese gelten folgende Regeln: ∇ × ∇ψ = 0 ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ · (ψA) = ψ∇ · A + (A · ∇)ψ ∇ × (ψA) = ψ∇ × A + (∇ψ) × A = ψ∇ × A − A × (∇ψ) ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) ∇ × (A × B) = A(∇ · B) + (B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A A × (∇ × B) − (A × ∇) × B = A∇ · B − (A · ∇)B .

2

Gase und Gasgemische

2.1

Thermodynamische Systeme

Als System bezeichnet man allgemein Teile von Materie, die physikalische Prozesse durchf¨ uhren können und in Wechselwirkung mit ihrer Umgebung (der nicht zum System geh¨ orenden Materie) treten. Nehmen wir als Beispiel einen K¨ uhlschrank. Das System K¨ uhlschrank f¨ uhrt einen thermodynamischen Prozess durch, indem es ein Luftvolumen abk¨ uhlt. Die dazu ben¨ otigte Energie wird aus der Umgebung des Systems aufgenommen (elektrischer Strom aus der Steckdose). Man unterscheidet häufig zwischen offenen, geschlossenen und isolierten Systemen, wie in Bild 2.1 dargestellt. Offene Systeme k¨ onnen mit ihrer Umgebung sowohl Masse als auch Energie austauschen; geschlossene Systeme k¨ onnen keine Masse austauschen. Kann ein System weder Masse noch Energie mit seiner Umgebung austauschen, nennt man es ein isoliertes System. Unser Beispiel K¨ uhlschrank stellt ein geschlossenes System dar, wenn seine T¨ ur (luftdicht) verschlossen ist: er empfängt von außen nur Energie. Bei ge¨ offneter K¨ uhlschrankt¨ ur kann ein Massenaustausch zwischen kalter K¨ uhlschrankluft und warmer Umgebungsluft stattfinden, was ein offenes System darstellen w¨ urde. Unterbindet man bei geschlossener K¨ uhlschrankt¨ ur die Stromzufuhr, so wird weder Energie noch Masse mit der Umgebung ausgetauscht (perfekt isolierende W¨ ande vorausgesetzt): man hat ein (von seiner Umgebung) isoliertes System. Jedem System kann man physikalische Größen zuordnen, wie z. B. Druck, Temperatur, Geschwindigkeit, Masse, Energie, Impuls usw. Wenn diese Gr¨ oßen sich mit der Zeit nicht ändern, beschreiben sie den Zustand eines Systems und werden dementsprechend Zustandsgr¨ oßen genannt. Im n¨ achsten Abschnitt werden wir sehen, dass die Zustandsgrößen f¨ ur ein Gas sein Volumen, der Druck und die Temperatur sind, der Zustand eines Gases also durch Angabe dieser drei Gr¨ oßen festgelegt ist.

................................................... ...................................................

................................................

offen

.................................................... ...............................................

...............................................

...................................................

geschlossen .....................................................

W¨ armeaustausch Massenaustausch

........... ...................................................... ........................................................ ............................................

.............................. ....................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ............... ......................... ............... ............... . . .. . .............. ................ ................ ......................... ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ .............. .............. . .. .. . . .. .. . ........................ ........................ ............... ............... . .. ............... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ............................... ......................................................................................................................................................

isoliert

w¨ armeleitende Wand isolierende Wand

Bild 2.1 Zum Begriff des Systems. Links ist ein offenes, in der Mitte ein geschlossenes und rechts ein isoliertes System dargestellt.

10

2 Gase und Gasgemische

p, T

p, T +

m, N , V Bild 2.2

p, T

.........................

m, N , V

2m , 2N , 2V

Mischung zweier gleicher Luftmassen

Wenn der Zustand eines Systems an jedem Raumpunkt der gleiche ist, d. h. die Zustandsgr¨ oßen u ¨berall die gleichen Werte haben, nennt man ein System homogen, andernfalls inhomogen. Als Beispiel f¨ ur ein inhomogenes System sei die ruhende Atmosphäre angef¨ uhrt, bei der sich Luftdruck und Temperatur mit der H¨ ohe ¨ andern. Die physikalischen Eigenschaften eines Systems lassen sich in solche Gr¨ oßen aufteilen, die von der Masse abhängen, und solche, die massenunabh¨ angig sind. Die ersteren nennt man extensive, die letzteren intensive Gr¨ oßen. So sind z. B. Druck und Temperatur eines Gases intensive Gr¨ oßen, w¨ ahrend Teilchenzahl und Volumen extensive Größen sind. Betrachten wir zur Veranschaulichung zwei homogene Luftmassen, d. h. solche gleichen Drucks und Volumens bei gleicher Temperatur, Masse und Teilchenzahl. Werden diese zun¨ achst isolierten Luftvolumina zusammengebracht, so dass sie anschließend eine homogene Luftmasse darstellen (Bild 2.2), so kann man leicht einsehen, dass Masse, Teilchenzahl und Volumen der so gebildeten Luftmasse gerade doppelt so groß sind wie die einer jeweils einzelnen Luftmasse vor dem Zusammenschluss. Druck und Temperatur bleiben jedoch gleich, unabh¨ angig davon, ob man die Luftvolumina getrennt oder vereinigt betrachtet. Alle spezifischen Gr¨ oßen, d. h. solche, die auf eine Masseneinheit bezogen sind, stellen auch intensive Gr¨ oßen dar, wie z. B. das spezifische Volumen (gleich dem Kehrwert der Dichte), die spezifische W¨ arme usw. Wenn sich der Zustand eines Systems, definiert durch die Zustandsvariablen, nicht mit der Zeit ändert, nennt man dies einen Gleichgewichtszustand. Jede ¨ ¨ Anderung dieses Zustandes, auch den Ubergang zu einem anderen Gleichgewichtszustand, nennt man einen Prozess. Im weiteren sollen physikalische Prozesse des Systems Atmosph¨ are als Folge von thermischen Zust¨ anden des Gasgemisches Luft betrachtet werden. Der Zustand eines Gases wird charakterisiert durch das Volumen, welches eine bestimmte Masse des Gases einnimmt, durch den Druck und die Temperatur in diesem Gasvolumen, allgemein Z = f (p, T, V ) . Im thermodynamischen Gleichgewicht ist der Zustand eines Gases durch die Zustandsgleichung f (p, T, V ) = 0 bestimmt, d. h. jeweils zwei Zustandsvariablen legen die dritte Variable eindeutig fest. So bestimmt sich z. B. der Druck p eindeutig aus dem Volumen V und der Temperatur T oder die Temperatur aus Druck und Volumen.

2.2 Ideale Gase

11

Diese Gesetzm¨ aßigkeiten m¨ ussen selbstverständlich noch genauer formuliert werden. Dies soll im folgenden Abschnitt geschehen.

2.2

Ideale Gase

Betrachten wir eine Gasmasse m mit N Gasmolek¨ ulen, welche unter dem Druck p und der Temperatur T das Volumen V einnimmt. Wenn wir dieses System Gasmasse als abgeschlossen annehmen, bleiben die Gesamtmasse und die Teilchenzahl konstant; der thermische Zustand der Gasmasse wird also durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt (Bild 2.3). Folgende Zusammenhänge lassen sich f¨ ur eine Gasmasse aus experimentellen Untersuchungen ableiten: Das Gay-Lussacsche Gesetz, das nach dem franz¨ osischen Chemiker J. GayLussac (1778–1850) benannt ist, lautet V /T = konstant

bei p = konstant.

(2.1)

Zu Ehren des englischen Physikers R. Boyle (1627–1691) und des franz¨ osischen Mönches E. Mariotte (1620–1684) wird die folgende Beziehung als das BoyleMariottesche Gesetz bezeichnet: pV = konstant

bei T = konstant.

(2.2)

Aus der Zusammenfassung beider Gesetze erhält man die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: pV = mRT .

(2.3)

R ist die spezielle Gaskonstante, welche f¨ ur jedes Gas verschieden ist. Wenn man die Masse m kennt, ist durch (2.3) der Zustand des Gases eindeutig bestimmt, da R eine konstante Größe ist. H¨ aufiger wird die Zustandsgleichung (auch Gasgleichung genannt) in einer Form angewandt, bei der statt des tatsächlichen Volumens das spezifische Volumen v = V /m (Volumen pro Einheitsmasse) verwendet wird. Diese Form erh¨ alt man aus der Division von (2.3) durch m:

V , m, N p, T

V m N p T

Bild 2.3

Volumen Masse Teilchenzahl Druck Temperatur

Die Beschreibungsgrößen f¨ ur den thermischen Zustand einer Gasmasse

12


pv = RT

(2.4)

oder auch, da v die reziproke Dichte ist (v = 1/ρ): p/ρ = RT

oder

p = ρ RT .

(2.5)

Die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) gilt f¨ ur alle betrachteten Gase, wobei R die auf die Einheitsmasse (1 kg) bezogene Gaskonstante des jeweiligen Gases ist und der individuelle Wert von der Molmasse des Gases abh¨ angt. Betrachtet man jedoch statt des spezifischen Volumens dasjenige Volumen, welches durch ein Mol eines Gases eingenommen wird, so erhält man mit vM = v mol , M = Molmasse in Kilogramm, aus (2.4): pv mol = M RT = R∗ T .

(2.6)

R∗

die universelle Gaskonstante, welche f¨ ur alle Gase denselben Hierbei ist Wert hat. Das kommt daher, dass nach der Hypothese von A. Avogadro (Graf von Quaregna und Ceretto, italienischer Chemiker und Physiker, 1776–1856) ein Mol eines jeden Gases die gleiche Anzahl von Teilchen enth¨ alt (Avogadro-Zahl N0 = 6,022 · 1023 Molek¨ ule mol−1 ) und deshalb das Molvolumen f¨ ur alle Gase (bei gleichem Druck und Temperatur) gleich ist. F¨ ur ein einzelnes Molek¨ ul wird die Gaskonstante durch die Boltzmann-Konstante k angegeben, benannt nach L. Boltzmann (¨ osterreichischer Physiker, 1844–1906). Die universelle Gaskonstante, die ja f¨ ur ein Mol gilt, ergibt sich demnach als Produkt aus Boltzmann-Konstante und Avogadro-Zahl: R∗ = k N0 ,

(2.7)

womit sich die Zustandsgleichung auch schreiben l¨ asst als pv mol = kN0 T .

(2.8)

Zu den Konstanten einige Zahlenwerte: Boltzmann-Konstante k Universelle Gaskonstante R∗ Gaskonstante f¨ ur trockene Luft RL

= 1,38 · 10−23 J K−1 = 8,3144 J mol−1 K−1 = 287 J kg−1 K−1 .

Zur Definition der Temperatur noch einige Bemerkungen: Mit T wird die absolute Temperatur in Kelvin (K) angegeben. Der Name dieser Maßeinheit erinnert an den schottischen Physiker W. Thompson (1824–1907), der seit 1892 als Lord Kelvin bekannt ist. Bei der Festlegung der Zahlenskala f¨ ur die Temperatur setzt man die Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur eines Gases u ¨ber einer siedenden Wasseroberfläche und bei der Schmelztemperatur des Eises (bei jeweils konstantem Druck von 1 bar) zu 100 K fest. Nach dem Gasgesetz gilt f¨ ur ein bestimmtes Gas bei konstantem Druck:

2.3 Reale Gase und Gasgemische V /T = konstant

oder

13 V1 /T1 = V2 /T2

bzw.

V2 /V1 = T2 /T1 .

Setzt man f¨ ur V1 das Volumen des Gases beim Schmelzpunkt des Eises und f¨ ur V2 das Volumen beim Siedepunkt ein, sowie f¨ ur T1 bzw. T2 die Schmelz- bzw. Siedetemperatur und ber¨ ucksichtigt die Definition T2 − T1 = 100 K, so erh¨ alt man: V2 T1 + 100 K = . T1 V1 Durch Messung der Volumina V1 und V2 erhält man den Wert der Temperatur f¨ ur den Schmelzpunkt des Eises T1 aus obiger Beziehung. Es ergibt sich: T1 = TSchmelz (H2 O bei 1 bar) = 273,15 K . Damit ist die Kelvin-Skala eindeutig festgelegt. Bildet man Temperaturdifferen¨ zen, so ergibt die Festlegung der Kelvin-Skala eine Ubereinstimmung mit der häufig verwendeten Celsius-Skala, deren Name an den schwedischen Astronomen A. Celsius (1701–1744) erinnert. Eine Temperaturdifferenz von 1 K (Kelvin) entspricht der Temperaturdifferenz 1 ◦ C (Grad Celsius). Der Zusammenhang der Absolutwerte von Kelvin- und Celsius-Graden ergibt sich aus der Festlegung des Nullpunktes der Celsius-Skala beim Schmelzpunkt von Eis: 0 ◦C = 273,15 K . Es soll allerdings noch einmal darauf hingewiesen werden, dass bei Angaben der absoluten Temperatur, z. B. in der Zustandsgleichung, immer die Kelvin-Skala verwendet werden muss.

2.3

Reale Gase und Gasgemische

Die im vorigen Abschnitt aufgestellte Zustandsgleichung gilt f¨ ur ideale Gase, d. h. f¨ ur solche, bei denen Kraftwirkungen zwischen den Molek¨ ulen innerhalb eines Gasvolumens nicht ber¨ ucksichtigt werden. Als Zustandsgleichung f¨ ur nichtideale, also f¨ ur reale Gase, ist die van der Waalssche Gleichung bekannt (nach J. van der Waals, niederl¨ andischer Physiker, 1837–1923):

p+

a (v − b) = RT . v2

(2.9)

14


a und b sind Materialkonstanten, die von dem jeweiligen Gas abh¨ angen. Der Term a/v 2 stellt einen Zusatzdruck dar, welcher durch die Anziehungskr¨ afte zwischen den einzelnen Molek¨ ulen entsteht. Die Größe b stellt ein Restvolumen in Rechnung, welches dadurch entsteht, dass ein Gas nicht beliebig dicht komprimiert werden kann, da die Molek¨ ule selbst ein endliches Volumen haben. F¨ ur die Atmosph¨ are kann man das Gemisch trockene Luft mit guter N¨ aherung als ideales Gas ansehen, w¨ ahrend Wasserdampf mehr zu den realen Gasen gerechnet werden m¨ usste (in der Praxis wird jedoch auch der Wasserdampf als ideales Gas behandelt). Die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) gilt zunächst f¨ ur jedes ideale Gas der gleichen Zusammensetzung, d. h. in dem betrachteten Volumen sind nur Molek¨ ule der gleichen Substanz vorhanden. Dementsprechend sind die Gaskonstante R und das spezifische Volumen v bzw. die Dichte ρ materialabh¨ angig. Nun wissen wir aber, dass das atmosphärische Gas, also die Luft, ein Gasgemisch ist, sich also aus Anteilen verschiedener Gase zusammensetzt. Wie sieht nun die Zustandsgleichung f¨ ur ein Gemisch idealer Gase aus? Definieren wir dazu einen Partialdruck und ein Partialvolumen f¨ ur ein Gasgemisch. Der Partialdruck pi der i-ten Komponente eines Gasgemisches ist derjenige Druck, den dieses Gas aus¨ uben w¨ urde, wenn es bei gleicher Temperatur das Vo¨ lumen ausf¨ ullen w¨ urde, welches das Gasgemisch innehat. Ahnlich l¨ asst sich das Partialvolumen als dasjenige Volumen Vi definieren, welches das i-te Gas ausf¨ ullen w¨ urde, wenn es die gleiche Temperatur und Druck h¨ atte wie das Gasgemisch. F¨ ur Gasgemische gilt hinsichtlich des Gesamtdruckes p und des Gesamtvolumens V das Daltonsche Gesetz (nach J. Dalton, englischer Chemiker, 1766– 1844):

p=

pi

f¨ ur

T, V = konstant ,

(2.10)

Vi

f¨ ur

T, p = konstant .

(2.11)

i

V =

i

In Worten ausgedr¨ uckt: Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrucke; das Gesamtvolumen ist gleich der Summe der Partialvolumina. Das gleiche gilt auch f¨ ur die Partialmassen und die Partialdichten: m = i mi und ρ = m/V = i mi /V = i ρi . F¨ ur jedes Gas des Gemisches gilt ferner die Zustandsgleichung: pi V = mi Ri T .

(2.12)

Durch Anwendung des Daltonschen Gesetzes (2.10) ergibt als Gasgleichung f¨ ur das Gemisch: pV =

(mi Ri )T .

i

¯ f¨ Definiert man nun eine mittlere Gaskonstante R ur das Gasgemisch,

(2.13)

2.3 Reale Gase und Gasgemische

¯≡ R

15

Ri mi /m , m = Gesamtmasse ,

i

so erh¨ alt man als Zustandsgleichung f¨ ur ein Gasgemisch: ¯ pV = mRT

¯ oder pv = RT

¯ . oder p = ρRT

(2.14)

F¨ ur ein Gasgemisch gilt also die gleiche Zustandsgleichung wie f¨ ur ein einzelnes Gas. Man muss lediglich das spezifische Volumen und die spezifische Gaskonstante f¨ ur das jeweilige Gemisch kennen. Die trockene Atmosphäre (d. h. ohne den Wasserdampf) setzt sich etwa wie folgt zusammen: Gas Stickstoff Sauerstoff Argon Sonstige

Symbol Anteil [Volumen-%] N2 O2 Ar

78,110 % 20,953 % 0,934 % 0,003 %

Man erh¨ alt f¨ ur die Gaskonstante des Gemisches trockene Luft: ¯ = 287 J kg−1 K−1 . R

(2.15)

¯ fortgelassen und die GaskonIm weiteren wird der Mittelbildungsstrich u ¨ber R stante der Luft wie u ¨blich mit R bezeichnet.

3 3.1

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie

Betrachten wir als Beispiel eines abgeschlossenen Gasvolumens einen Luftballon, welcher sich in der Atmosphäre bewegt. Dem System Luftballon k¨ onnen wir zu jeder Zeit eine kinetische Energie zuordnen, welche sich aus der Masse des Ballons und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ergibt. Ebenso k¨ onnen wir seine potentielle Energie angeben, die der Ballon im Schwerefeld der Erde besitzt. Betrachten wir aber die mikroskopische Struktur des Systems Ballon, n¨ amlich die in dem Gasvolumen eingeschlossenen Gasmolek¨ ule, so besitzt jedes einzelne Molek¨ ul aufgrund seiner Eigenbewegung innerhalb des Gasvolumens eine kinetische Energie. Demzufolge kann man dem Gesamtvolumen des Gases eine Energie zuordnen, welche der Summe der kinetischen Energien aller im Volumen vorhandenen Molek¨ ule proportional ist. Diese Energieform nennt man innere Energie, da sie sich aus der mikroskopischen Struktur eines Systems ergibt. Man kann zur inneren Energie auch gewisse Bindungsenergien der Molek¨ ule hinzurechnen, etwa bei Festk¨ orpern, jedoch wollen wir uns hier auf Gase beschr¨ anken, bei denen die kinetische Energie der Molek¨ ule bereits beim Temperaturbegriff eine wichtige Rolle spielte. Obwohl die genaue Definition der inneren Energie erst im folgenden gegeben wird, kann man schon aus dem eben erw¨ ahnten Zusammenhang zwischen kinetischer Energie der Molek¨ ule und Temperatur schließen, dass die innere Energie eines Gases seiner Temperatur proportional ist. Im weiteren betrachten wir die innere Energie eines idealen Gases. Der Zustand eines idealen Gases wird, wie im vorigen Abschnitt erl¨ autert, durch die Zustandsvariablen p, T, V, m und N bestimmt. Die innere Energie, hier zun¨ achst mit E bezeichnet, hängt nicht von der kinetischen und potentiellen Energie des (makroskopischen) Systems Gasvolumen ab, sondern nur vom Zustand des Gasvolumens, also von seinen Zustandsvariablen. Man bezeichnet deshalb die innere Energie E auch als Zustandsfunktion eines Gases, definiert durch: dass E = f (p, T, V, m, N ) .

(3.1)

¨ Wir interessieren uns jetzt f¨ ur die Anderung der inneren Energie eines Gasvolumens. Betrachten wir dazu ein Gasvolumen der Masse m, dessen Zustand durch die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) beschrieben werde. Da seine innere Energie eine Zustandsfunktion der Zustandsvariablen Druck, Temperatur und Volumen ist, ¨ ¨ wird man eine Anderung der inneren Energie durch eine Anderung des Zustandes des Gasvolumens erreichen können. Nehmen wir den Fall einer Gasmasse

18

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. . . . . . . . .... .. . . . . . . . . .......... . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . ........ ... .... .... .... .... . . . . . . . .. ... .. .. .. . . . . . . . . ............ .... .... .... . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . ........ .. . . . . . . . ..... .. .. . . . .. . .. . .. . . . .. . .. .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . . .T2. . . . . T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p

dV

V m

.................

dx Bild 3.1 Ausdehnung eines Gasvolumens durch Wärmezufuhr. m und p seien konstant. Der geschl¨ angelte Pfeil kennzeichnet eine Wärmezufuhr, der gerade Pfeil eine Arbeitsleistung durch das System (hier die Ausdehnung von V ).

¨ unter konstantem Druck an, so erfolgt eine Zustands¨ anderung durch Anderung der Gastemperatur und/oder des Gasvolumens. Wie kann dies praktisch durchgef¨ uhrt werden? Einmal kann die Temperatur des Gasvolumens durch W¨ armezufuhr von außen erhöht werden, etwa mittels Wärmeleitung durch Kontaktnahme mit einem K¨ orper h¨ oherer Temperatur, wie im obigen Beispiel dargestellt. Diese Temperaturerhöhung kann ihrerseits zu einer Ausdehnung des Gasvolumens bei konstant gehaltenem Druck f¨ uhren, was sich in einer Verschiebung des beweglichen Kolbens (siehe Bild 3.1) und damit in einer Verrichtung von Arbeit durch das System ausdr¨ uckt. Nat¨ urlich k¨ onnte man auch das Volumen des Gases verringern, indem man den beweglichen Kolben zur Komprimierung des Volumens verwendet, was bei steigendem Druck ebenfalls zu einer Temperaturerh¨ ohung f¨ uhren w¨ urde. In diesem ¨ Fall h¨ atte man Arbeit an dem System Gasvolumen verrichtet. Eine Anderung der inneren Energie der Gasmasse, die unter dem Kolben eingeschlossen ist, l¨ asst sich durch Zufuhr (bzw. Entzug) von Wärme oder durch Verrichtung mechanischer Arbeit am System (oder durch das System) erreichen. Setzen wir jetzt noch voraus, dass sich die (makroskopische) kinetische und potentielle Energie der Gasmasse nicht ändert (etwa ruhendes Gasvolumen), so folgt ¨ aus dem Prinzip der Erhaltung der Energie, dass die Anderung der inneren Energie dem Betrag nach gleich der Summe aus zugef¨ uhrter W¨ arme und am System ¨ geleisteter Arbeit sein muss. Bezeichnet man die Anderung der inneren Energie mit dE, die zugef¨ uhrte Wärmemenge mit δQ und die vom System verrichtete Arbeit mit δA, so lässt sich diese Aussage wie folgt formulieren: dE = δQ − δA .

(3.2)

Die Beziehung (3.2) nennt man den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Er stellt eine Anwendung des Prinzips der Energieerhaltung auf ein ideales Gas ¨ dar und verkn¨ upft die Anderung der inneren Energie eines Gasvolumens mit den Energieformen Wärme und Arbeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Gleichungen und Gesetzm¨ aßigkeiten tr¨ agt der Erste Hauptsatz der Thermodynamik nicht den Namen eines Wissenschaftlers.

3.2 Erster Hauptsatz und Enthalpie

19

Die Formulierung des Ersten Hauptsatzes wird aber im allgemeinen auf den deutschen Arzt R. Meyer (1814–1878), den englischen Physiker J. Joule (1818– 1889) und den deutschen Physiker H. von Helmholtz (1821–1894) zur¨ uckgef¨ uhrt. ¨ In (3.2) sind die Vorzeichen so gewählt, dass die Anderungen vom System aus als positiv gerechnet werden, wenn eine Zunahme der inneren Energie, eine Zufuhr von W¨ arme oder eine an dem System geleistete Arbeit stattfindet. (Dies wird in verschiedenen Lehrb¨ uchern unterschiedlich definiert!) Zur Verwendung der Differenzensymbole d und δ noch eine Bemerkung: Der Operator d stellt ein Differential dar, während δ lediglich eine kleine Quantit¨ at beschreiben soll, also keinesfalls den Regeln der Differentialrechnung unterliegen ¨ muss. Dass die Anderung der inneren Energie E mit dE bezeichnet werden kann, liegt daran, dass E eine Zustandsfunktion f¨ ur ideale Gase ist, also eindeutig von den Zustandskoordinaten p, V, T, m, N abhängt. Die zugef¨ uhrte W¨ armemenge δQ und die geleistete Arbeit δA sind aber keine Zustandsfunktionen des Systems; sie geben vielmehr den Austausch von Energie mit der Umgebung des Systems an. Bis hier wurde weder eine genaue Definition der inneren Energie gegeben, noch wurde die geleistete Arbeit konkreter gefasst. Beides soll im n¨ achsten Abschnitt geschehen. Es sei nur noch angemerkt, dass man den Ersten Hauptsatz (3.2) auch als allgemeine Definition f¨ ur die innere Energie (in differentieller Form) ansehen ¨ kann: Die Anderung der inneren Energie ist gleich der Differenz zwischen der dem System zugef¨ uhrten Wärme und der vom System geleisteten Arbeit.

3.2

Erster Hauptsatz und Enthalpie

Im Falle des im vorigen Abschnitt dargestellten Systems eines unter konstantem Druck in einem Volumen mit beweglichem Kolben eingeschlossenen Gases wollen wir die vom System geleistete Arbeit berechnen. Wenn man mit F die Fl¨ ache des Kolbens und mit K die auf die Kolbenfläche wirkende Kraft bezeichnet, so ergibt sich f¨ ur die vom Gasvolumen geleistete Arbeit (Verschiebung des Kolbens um dx durch Ausdehnung des Volumens von V auf V + dV ): δA = K dx = pF dx = p dV ,

K = pF , p = konstant

(hier ist dV > 0, da Ausdehnung!). Die durch das System geleistete Arbeit ist gleich dem Produkt aus Druck und Volumenvergr¨ oßerung. In diesem Zusammenhang ist noch anzumerken, dass bei dem hier dargestellten System mit beweglichem Kolben der Druck innerhalb des Gasvolumens mit dem Druck der Umgebung im Gleichgewicht steht (statischer Druck). Bei Ausdehnung des Gases wird vom System Arbeit gegen den äußeren Druck aufgewendet, bei Komprimierung Arbeit gegen den Druck im Gasvolumen geleistet. Mit der obigen Beziehung f¨ ur die durch Expansion geleistete Arbeit l¨ asst sich der Erste Hauptsatz (3.2) konkretisieren:

20


dE = δQ − p dV .

(3.3)

In dieser Form ist noch die Masse des jeweiligen betrachteten Gasvolumens mit ber¨ ucksichtigt, d. h. V ist das tatsächliche Volumen der Gasmasse und δQ und dE die der gesamten Masse zugef¨ uhrte Wärme bzw. Zunahme der inneren Energie. Bezieht man jedoch die Energieumsetzungen auf die Einheitsmasse (1 kg) und bezeichnet man die spezifischen Werte der einzelnen Gr¨ oßen mit kleinen Symbolen, so lautet (3.3), auf die Einheitsmasse bezogen: de = δq − p dv ,

e=

E . m

(3.4)

F¨ ur die Dimension von E bzw. e gilt: [E] = 1 Ws = 1 J = 1 kg m2 s−2 ,

[e] = 1 J/kg = 1 m2 s−2 .

Bezeichnet d ein Differential, dann gilt p dV = d(pV ) − V dp , und der Erste Hauptsatz in der Form (3.3) wird zu dE = δQ − d(pV ) + V dp bzw. d(E + pV ) = δQ + V dp . Die Gr¨ oße E + pV bezeichnet man als Enthalpie H: H = E + pV .

(3.5)

Den spezifischen Wert der Enthalpie (pro Masseneinheit) bezeichnet man mit h. Aus (3.5) ergibt sich: h = e + pv = e +

p . ρ

(3.6)

Die Enthalpie hat die Dimension einer Energie. Ihre Bedeutung als physikalische Größe wird in den folgenden Abschnitten bei der n¨ aheren Betrachtung des Ersten Hauptsatzes klar. Man kann jedoch bereits feststellen, dass auch die Enthalpie eine Zustandsfunktion f¨ ur ideale Gase ist, da die innere Energie eine solche Funktion darstellt und sowohl Druck als auch Volumen Zustandsvariablen sind. Mit der Enthalpie erhalten wir eine neue Form f¨ ur den Ersten Hauptsatz: dH = δQ + V dp ,

(3.7)

3.3 Das Joulesche Gesetz

m, T

Vakuum

p1 , V1

m=0 p=0

Bild 3.2

21

..........................

m, T p 2 , V2

Versuch zum Jouleschen Gesetz

dh = δq + v dp .

(3.8)

Die Formen (3.3), (3.4) und (3.7), (3.8) f¨ ur den Ersten Hauptsatz sind v¨ ollig ur die äquivalent, da sie lediglich aus differentieller Umformung des Ausdrucks f¨ geleistete Arbeit entstanden sind. Es verbleibt die Aufgabe, innere Energie und Enthalpie auf die bekannten Zustandsgrößen wie Druck, Temperatur oder Volumen zur¨ uckzuf¨ uhren, damit der Erste Hauptsatz eine f¨ ur die Handhabung geeignetere Form erh¨ alt. Dies soll in den folgenden Abschnitten geschehen.

3.3

Das Joulesche Gesetz

Im Zusammenhang mit der Herleitung des Ersten Hauptsatzes wurde festgestellt, dass ein Gasvolumen bei Ausdehnung gegen den äußeren Druck Arbeit verrichtet. Nun ist es aber auch möglich, dass sich ein Gas ausdehnt, ohne Arbeit zu leisten, wie im Zweikammersystem in Bild 3.2 dargestellt wird. Das Gas in der linken Kammer expandiert nach Wegnahme der Trennwand in die evakuierte rechte Kammer und nimmt im Endzustand das Volumen V2 ein. Bei dieser Expansion leistet es keine Arbeit, da in der evakuierten Kammer kein Druck herrscht (δA = p dV = 0). Da die Gasmasse nach der Expansion ein größeres Volumen einnimmt als vorher, muss dies aufgrund der Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) eine Veränderung von Druck oder Temperatur oder beider Gr¨ oßen zur Folge haben. Wenn man das dargestellte Zweikammersystem noch gegen die Umgebung isoliert, so dass kein Wärmeaustausch mit dieser stattfinden kann, so findet man bei Durchf¨ uhrung des beschriebenen Experimentes, dass die Temperatur des Gases konstant bleibt. Das ist die Aussage des Jouleschen Gesetzes: Ein Gas, welches keine W¨ arme erh¨ alt, bzw. abgibt und welches keine Arbeit leistet, ¨ andert bei Ausdehnung seine Temperatur nicht. Symbolisch ausgedr¨ uckt lautet das Joulesche Gesetz etwa so: dT = 0 f¨ ur δQ = δA = 0 , aber: dp = 0, dV = 0 .

(3.9)

F¨ ur das oben beschriebene System folgt aber aus dem Ersten Hauptsatz: dE = 0, d. h. ein isoliertes System, welches keine Arbeit leistet, ¨ andert seine innere Energie nicht. Diese Aussage aus dem Ersten Hauptsatz und das Ergebnis des Jouleschen Gesetzes haben eine wichtige Konsequenz zur Folge. F¨ ur ein Gas der Masse m

22


hängt die innere Energie, wie in den vorigen Abschnitten erl¨ autert, nur von den ¨ Zustandsgr¨ oßen p, V oder T ab. Ebenso ist eine Anderung der inneren Energie ¨ mit einer Anderung der Zustandsgrößen verkn¨ upft: E = f (p, V, T ) ,

dE = f (dp, dV, dT ) .

Hier symbolisieren f und f allgemein Funktionen. Wenn aber nach dem Joule¨ ¨ schen Gesetz eine Anderung von Druck und Volumen keine Anderung der Temperatur zur Folge hat und in diesem Fall sich die innere Energie des Systems auch nicht ¨ andert, folgt daraus, dass die innere Energie allein eine Funktion der Temperatur ist: dE = f (dT ) ,

E = f (T ) .

(3.10)

Aus diesem wichtigen Zusammenhang gelingt es im folgenden Abschnitt, einen funktionalen Zusammenhang zwischen innerer Energie und Temperatur herzustellen. Aus der Beziehung (3.10) und der Definition f¨ ur die Enthalpie (3.6) kann man folgern, dass auch die Enthalpie nur von der Temperatur des Gases abh¨ angt: dH = d(E + pV ) = d(E + mRT ) = dE + mR dT = f (dT ) + mR dT . F¨ ur die Enthalpie ergibt sich: dH = g (dT ) ,

H = g(T ) .

(3.11)

Hier symbolisieren g und g allgemein Funktionen. Die Aussagen (3.10) und (3.11) ergaben sich, wenn man die Masse des betrachteten Gases konstant gehalten hatte; da sowohl innere Energie als auch Enthalpie extensive Gr¨ oßen sind, also von der Masse abh¨ angen, kann man nat¨ urlich E und H selbst bei konstanter Temperatur ¨ andern, indem man die Masse des Gasvolumens vergr¨ oßert oder verkleinert. Will man den Einfluss der Zustandsgröße m auf die Aussage u ¨ber Energie und Enthalpie eliminieren, muss man auf die spezifischen Werte (pro Masseneinheit) u ¨bergehen:

de = f (dT ) , dh = g (dT ) ,

e = f (T ) , h = g(T ) .

(3.12) (3.13)

3.4 Spezifische Wärmen

3.4

23

Spezifische W¨ armen

Wenn man einer Gasmasse Wärme zuf¨ uhrt, kann man dadurch die Temperatur der Gasmasse erh¨ ohen. Nun ist von Interesse, welche W¨ armemenge notwendig ist, um eine Einheitsmasse eines bestimmten Gases um eine gewisse Temperaturdifferenz zu erh¨ ohen. Das Verhältnis von zugef¨ uhrter W¨ armemenge pro Masseneinheit und Temperaturerhöhung bezeichnet man als spezifische W¨ armekapazit¨ at oder kurz auch als spezifische W¨ arme: δq . (3.14) dT Die spezifische W¨ arme c hängt im allgemeinen von den Materialeigenschaften des betrachteten Stoffes ab und kann f¨ ur Gase, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper angegeben werden. Bei Gasen spielt es noch eine Rolle, unter welchen Umst¨ anden W¨ arme zugef¨ uhrt wird: Soll das Gas keine Ausdehnungsarbeit leisten, so h¨ alt man bei der W¨ armezufuhr sein Volumen konstant; lässt man eine Ausdehnung zu, so wird die W¨ arme bei konstantem Druck zugef¨ uhrt. Dementsprechend definiert man zwei verschiedene W¨ armekapazit¨ aten f¨ ur Gase: c≡

cv cp

δq ≡ , dT v = konst.

δq ≡ . dT p = konst.

(3.15) (3.16)

Im Falle konstanten Volumens wird die zugef¨ uhrte W¨ arme nur zur Temperaturerhöhung des Gases verwendet. Im Falle konstanten Druckes wird gem¨ aß dem Ersten Hauptsatz ein Teil der Wärmemenge zur Temperaturerh¨ ohung genutzt, während ein anderer Teil zur Arbeitsleistung verwendet wird. Um bei konstantem Druck die gleiche Temperaturerhöhung zu erhalten wie bei konstantem Volumen, muss im ersten Fall eine größere Wärmemenge zugef¨ uhrt werden als im zweiten. Das bedeutet f¨ ur die spezifischen Wärmen: cp > cv . Als Zahlenbeispiele seien die spezifischen W¨ armen f¨ ur trockene Luft genannt: cv = 717

J , kg K

cp = 1005

J . kg K

Verkn¨ upfen wir die Definitionen der spezifischen W¨ armen mit den Aussagen des Ersten Hauptsatzes, so folgt f¨ ur v = konstant, d. h. dv = 0, aus (3.4): de = δq ,

v = konstant .

F¨ ur p = konstant, d. h. dp = 0, folgt aus (3.8):

(3.17)

24

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik dh = δq ,

p = konstant .

(3.18)

Die Definition der spezifischen Wärmen lässt sich dann mit der spezifischen inneren Energie bzw. Enthalpie wie folgt schreiben:

cv cp

3.5

de = , dT v = konst.

dh = . dT p = konst.

(3.19) (3.20)

Funktionale Zusammenh¨ ange fu ¨ r Energie und Enthalpie

Fassen wir die Resultate aus dem Jouleschen Gesetz und die Definitionen der Wärmekapazit¨ aten zusammen, so sehen wir, da sowohl e als auch h nicht von v und p, sondern nur von T abh¨ angen, dass in den Beziehungen (3.19), (3.20) die Einschr¨ ankungen v = konstant bzw. p = konstant fallen gelassen werden können. Es ergeben sich damit eindeutige Beziehungen zwischen innerer Energie und Enthalpie einerseits und Temperatur andererseits:

de = cv dT , dh = cp dT .

(3.21) (3.22)

Um die Energie bzw. Enthalpie selbst zu erhalten, m¨ usste man (3.21) bzw. (3.22) bei konstantem Volumen bzw. bei konstantem Druck integrieren:

e = h =

cv dT + ae ,

v = konstant ,

(3.23)

cp dT + ah ,

p = konstant .

(3.24)

Die Integration l¨ asst sich ausf¨ uhren, wenn man die Abh¨ angigkeit der spezifischen Wärmen von der Temperatur kennt. F¨ ur Gase sind die spezifischen W¨ armen nur in geringem Maße temperaturabhängig, so dass man sie mit guter N¨ aherung als konstant ansehen kann. Bleibt noch die Bestimmung der Konstanten ae und ah , welche nichts anderes als ein Referenzniveau f¨ ur die Energie bzw. Enthalpie darstellen. Will man keine negativen Werte f¨ ur e und h zulassen, so w¨ ahlt man als Referenzzustand e(T = 0) und h(T = 0) und setzt e(T = 0) = h(T = 0) = 0. Mit diesen Bedingungen ergibt die Integration von (3.23), (3.24):

e = cv T , h = cp T .

(3.25) (3.26)

3.5 Funktionale Zusammenhänge f¨ ur Energie und Enthalpie

25

Setzen wir jetzt die Beziehungen (3.21), (3.22) f¨ ur die spezifische innere Energie und Enthalpie in den Ersten Hauptsatz (3.4) bzw. (3.8) ein, so erhalten wir:

= δq − p dv , = δq + v dp .

cv dT cp dT

(3.27) (3.28)

oder in der h¨ aufig verwendeten Form:

δq = cv dT + p dv , δq = cp dT − v dp .

(3.29) (3.30)

In der Form (3.29) sagt der Erste Hauptsatz aus, dass die zugef¨ uhrte W¨ armemenge δq einmal eine Temperaturerhöhung bei konstantem Volumen bewirkt und zum anderen bei konstant gehaltenem Druck das Gasvolumen vergr¨ oßert. In der Form (3.30) erfolgt die Temperaturerhöhung bei konstantem Druck, zum anderen wird der Druck bei konstantem Volumen verändert. Gleichung (3.29) l¨ asst sich wie folgt umformen: δq

= cv dT + p dv = cv dT + d(pv) − v dp = cv dT + R dT − v dp = (cv + R)dT − v dp .

Durch Vergleich mit der Form (3.30) erhält man die Beziehung: cv + R = cp ,

cp − cv = R .

(3.31)

Das Verh¨ altnis von Gaskonstante R zu spezifischer W¨ arme bei konstantem Druck bezeichnet man nach dem französischen Mathematiker S. Poisson (1781–1840) als Poisson-Konstante κ: κ≡

R cp − cv = cp cp

(3.32)

Ebenso wie die Beziehung (3.32) wird im folgenden noch das Verh¨ altnis der spezifischen W¨ armen zueinander häufig auftreten: η ≡ cp /cv . F¨ ur trockene Luft ergeben sich folgende Zahlenwerte: κ = 0,286 ,

η = 1,4 .

(3.33)

26


p ...... p ... .. . .. T = konstant .. ... ..... ... . ...... ..... ..... . ... .... ....... ................ ... ... ...... ..... ......... .. ............. T ..... .. ...... 2 .. ....... .. .................. .. T1 ... T1 < T2 .. ...................................................................................... v (a) p = c1 v1 Bild 3.3

3.6

. v ....... ...... .. .. ... p = konstant ... v = konstant ..... ..... ... ... ..... ..... . v . ..... ..... 1 . ..... ..... .... p1 .. ... ... . ..... ..... . ..... ...... . .... . ....... .... ...... .. . .. . . ... .. .... .v .... ...... p2 .... ... .. ....... 2 .... . . . . . . . . . ...... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ... .. ... ..... .... ... ....... ............ ... ....... ............ .. .............. p1 < p2 v1 < v2 .. ................ .................. ................................................................................... ............................................................................................ T T (b) p = c2 T (c) v = c3 T

Beispiele f¨ ur thermodynamische Diagramme

Zustands¨ anderungen

Betrachten wir eine Einheitsmasse eines beliebigen Gases, so k¨ onnen wir den Zustand dieser Gasmasse durch die Angabe der Werte ihrer Zustandsvariablen p, v, T oder von Zustandsfunktionen wie Energie e oder Enthalpie h festlegen. ¨ Jede Zustands¨ anderung einer Gasmasse manifestiert sich also in der Anderung von Zustandsvariablen oder Zustandsfunktionen. Wie bereits fr¨ uher angedeutet, ¨ bezeichnet man den Ubergang von einem Zustand in einen anderen, also eine Zustands¨ anderung, auch als Prozess. F¨ ur ein Gas ist eine der drei Zustandsvariablen, also Druck, Temperatur oder Volumen, jeweils durch die beiden anderen auf Grund der Zustandsgleichung (2.4) eindeutig festgelegt. Dementsprechend gelingt es, den Zustand einer Gasmasse zu verändern, obwohl jeweils eine der Zustandsgr¨ oßen konstant bleibt. Dies sei an den sogenannten Zustandsdiagrammen veranschaulicht; hierbei sind als Koordinaten jeweils zwei Zustandsvariablen gew¨ ahlt, z. B. p und v, w¨ ahrend die dritte Gr¨ oße, z. B. die Temperatur, als Iso-Linie in diesem Koordinatensystem dargestellt wird. Der Zustand einer Gasmasse wird durch einen Punkt in diesem Diagramm dargestellt; dort sind p, v und T eindeutig durch die Zustandsgleichung miteinander verkn¨ upft. Beispiele von solchen thermodynamischen Diagrammen sind in Bild 3.3 dargestellt. Eine Zustands¨ anderung w¨ urde sich f¨ ur eine Gasmasse dadurch manifestieren, dass diese von einem Zustand p1 , T1 , v1 in einen Zustand p2 , T2 , v2 u uhrt ¨bergef¨ wird. Wenn bei dieser Zustandsänderung jeweils eine der Zustandsgr¨ oßen konstant bleibt, bezeichnet man eine solche Zustands¨ anderung als: isobar isochor isotherm

bei p = konstant bei v = konstant bei T = konstant .

So w¨ are z. B. eine isotherme Zustandsänderung eine solche, bei der eine Gasmasse ihren Druck erniedrigt und dabei ihr Volumen erh¨ oht, ohne dabei ihre Temperatur zu ver¨ andern.

3.6 Zustands¨ anderungen ... p ...... ... ... ... .. ... .. ... ... ... ....Z2 =(p2 ,v2 ,T2 ) ... .. .. ... ..............................•......... .. ...... ......... .. ..... .•.. ... .... T2 .. . . ...Z1 =(p1 ,v1 ,T1 ) ..... ..... .. T1 ... ... ........................................................................................................................ v (a)

27 ...... ... ... ... ... ... ... ... Z2 =(p2 ,v2 ,T2 ) .. v=konstant . .. ........ ... ... ........... ... . .... .. ... ...• .. ... .................................................................................................. ......... ..... . . . .. . . . ......... .......... ... •.... ...p=konstant ..... T2 .. ...Z1 =(p1 ,v1 ,T1 )......... ..... .. T1 ... ... ........................................................................................................................ v (b) p

Bild 3.4 Zustandsänderungen von Z1 nach Z2 im thermodynamischen Diagramm (a) auf beliebigem Wege entlang der Zustandskurve, (b) in jeweils isobaren und isochoren Teilschritten.

In der graphischen Darstellung bezeichnet man entsprechend die Linien gleicher Temperatur als Isotherme, gleichen Druckes als Isobare und gleichem Volumen als Isochore. Bei den oben genannten Zustandsänderungen k¨ onnte man den jeweiligen Zustand in den Diagrammen dadurch bestimmen, dass man sich auf einer Linie mit konstantem T , p oder v bewegt und dabei die jeweils zugeh¨ origen Werte der Zustandskoordinaten bestimmt. Nat¨ urlich k¨ onnen auch solche Zustandsänderungen erfolgen, bei denen sich alle drei Variablen, T , p und v, ändern. Eine solche Zustands¨ anderung ließe sich z. B. in einem p, v-Diagramm darstellen (Bild 3.4, linker Teil). Diese beliebige Zustands¨ anderung lässt sich aber auch dadurch erreichen, dass sie in kleinere Einzelschritte zerlegt wird, wobei man, vom Ausgangszustand p1 , v1 , T1 ausgehend, durch abwechselnd isobare und isochore Zustands¨ anderungen den Zustand p2 , v2 , T2 erreicht. Die Zustandskurve gibt an, in welchem thermodynamischen Zustand sich das betrachtete Gasvolumen befindet, wenn es vom Zustand Z1 in den Zustand uhrt wird. Im Falle jeweils isobarer und isochorer Zustands¨ anderungen Z2 u ¨bergef¨ verl¨ auft die Zustandskurve entlang der Linien mit konstantem p bzw. v. Man kann die oben beschriebene Zustandsänderung auch dadurch erreichen, ¨ dass man die Anderungen jeweils in isobaren und isothermen Einzelschritten ¨ durchf¨ uhrt, oder durch isotherme und isochore Anderungen. Eine Darstellung dieser Realisierungen kann man dann in einem p, T -Diagramm bzw. v, T -Diagramm analog zu Bild 3.4 gewinnen. Die Aufteilung eines thermodynamischen Prozesses, also einer Zustandsänderung, in Einzelprozesse, wie hier erl¨ autert, ist ein h¨ aufig beschrittener Weg zur Realisierung von Zustands¨ anderungen, worauf wir in den folgenden Abschnitten noch zur¨ uckkommen werden.

28

3.7


Adiabatische Zustands¨ anderungen

Im vorhergehenden Abschnitt wurden Zustandsänderungen erl¨ autert, ohne dabei zu kl¨ aren, auf welche Weise man den Zustand einer Gasmasse ¨ andern k¨ onnte. Aus den Betrachtungen, die zur Herleitung des Ersten Hauptsatzes durchgef¨ uhrt wurden, wissen wir bereits, dass der Zustand eines Gasvolumens dadurch ge¨ andert werden kann, dass ihm Energie in Form von W¨ arme von außen zugef¨ uhrt wird, oder dass dem Volumen Energie in Form von Arbeit entzogen wird. Mit diesen beiden Formen des Energieaustausches lässt sich jede beliebige Zustands¨ anderung eines Gases durchf¨ uhren. Bei thermodynamischen Prozessen, besonders auch in der Atmosph¨ are, werden sehr häufig solche Zustands¨ anderungen betrachtet, welche ohne Austausch von Energie in Form von Wärme stattfinden. Eine solche Zustands¨ anderung, bei der weder Wärme einem Gasvolumen zugef¨ uhrt wird, noch von diesem an die Umgebung abgef¨ uhrt wird, nennt man eine adiabatische Zustands¨ anderung oder auch einen adiabatischen Prozess. In der Formulierung des Ersten Hauptsatzes besagt dies: δq = 0

bei adiabatischer Zustands¨ anderung.

(3.34)

In den Ersten Hauptsatz (3.29) oder (3.30) eingesetzt, folgt aus (3.34) f¨ ur adiabatische Prozesse:

cv dT cp dT

= −p dv , = v dp .

(3.35) (3.36)

Bei adiabatischen Prozessen erfolgt die Zustands¨ anderung durch Energieumsetzung in Form von Arbeit. Man stelle sich hierzu z. B. das in Kapitel 2 dargestellte System einer Gasmasse in einem Volumen mit beweglichem Kolben vor, welches aber bei einer adiabatischen Prozessrealisierung von der Umgebung thermisch isoliert sein muss. Die Zustandsänderung kann dann dadurch erfolgen, dass man das Gas mit Hilfe des Kolbens komprimiert, was sowohl Druck und Volumen als auch die Temperatur der eingeschlossenen Gasmasse ändert. Hierzu muss nat¨ urlich Arbeit von außen gegen das System Gasmasse geleistet werden. Unter Verwendung der Zustandsgleichung lässt sich (3.36) auch schreiben: cp dT =

RT dp p

oder R dp dT = T cp p oder unter Verwendung von (3.32): d(ln T ) = κ d(ln p) .

(3.37)

3.7 Adiabatische Zustandsänderungen

29

Die Ausf¨ uhrung der Integration von (3.37) zwischen p1 und T1 (p1 ) als Fixpunkte und einem beliebigen Wert p mit T = T (p) ergibt: ln(T /T1 ) = κ ln(p/p1 )

(3.38)

oder nach Entlogarithmieren:

T1 p1 κ = . (3.39) T p Die Beziehungen (3.37) bis (3.39) stellen die Zustandsgleichung f¨ ur adiabatische Zustands¨ anderungen dar. Druck und Temperatur sind u ¨ber diese Beziehungen eindeutig miteinander verkn¨ upft; die Zustandsvariable v, also das spezifische Volumen, tritt in der Zustandsgleichung nicht mehr auf. Dies ist dadurch m¨ oglich geworden, dass das Zustandekommen der Zustands¨ anderung einer Einschr¨ ankung unterworfen ist, dass nämlich kein Wärmeaustausch m¨ oglich ist. Die Form (3.39) nennt man auch Poissonsche Gleichung; man kann sie auch wie folgt schreiben: T p−κ = T1 p−κ 1 = konstant .

(3.40)

Unter Verwendung der Zustandsgleichung (2.4) und der Definitionen (3.31) bis (3.33) kann man die Zustandsgleichung f¨ ur adiabatische Prozesse (3.40) auch in folgender Form angeben: T v η−1 = konstant ,

(3.41)

p vη

(3.42)

= konstant .

Die Beziehungen (3.40) bis (3.42) nennt man auch Adiabatengleichungen, da durch sie adiabatische Zustandsänderungen beschrieben werden. So lassen sich mit Hilfe dieser Beziehungen adiabatische Zustands¨ anderungen in den bereits erw¨ ahnten Zustandsdiagrammen durch Isolinien darstellen, wie in Bild 3.5 als Beispiel angegeben. Adiabatische Prozesse und die Adiabatengleichung spielen in der Meteorologie eine wichtige Rolle. Betrachten wir dazu noch einmal die Adiabatengleichung in der Form (3.39). Die (zunächst willk¨ urlich festgelegte) Temperatur T1 ist eine Konstante f¨ ur den betrachteten adiabatischen Prozess: Welchen Wert T und p bei adiabatischer Zustandsänderung einer Gasmasse auch annehmen, es gelingt immer, diese Zustandswerte mit Hilfe von (3.39) auf T1 und p1 zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Temperatur T1 ist also f¨ ur jeden adiabatischen Vorgang eine charakteristische Gr¨ oße, wobei ihr Wert selbst nat¨ urlich auf einen gewissen Ausgangszustand bezogen werden muss. Diesen Ausgangszustand hat man in der Meteorologie nun so definiert, dass T1 diejenige Temperatur ist, welche ein Luftteilchen hat, das durch einen adiabatischen Prozess auf den Druck p1 = 1000 hPa gebracht wird. Die so erhaltene Temperatur nennt man die potentielle Temperatur und bezeichnet sie mit θ:

30


θ≡T

1000 hPa κ p

potentielle Temperatur.

(3.43)

Man kann mit (3.43) die Definition einer Adiabate auch so formulieren: θ = konstant, d. h. bei adiabatischen Zustandsänderungen bleibt die potentielle Temperatur einer Gasmasse konstant. Dies f¨ uhrt auf die folgende Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur adiabatische Prozesse: dθ = 0

f¨ ur adiabatische Prozesse.

(3.44)

In graphischen Darstellungen bezeichnet man eine Linie gleicher potentieller Temperatur auch als Isentrope. Zu den verschiedenen M¨ oglichkeiten thermodynamischer Prozesse noch eine Ergänzung: F¨ ur einen adiabatischen Prozess gilt nach (3.42): p v η = konstant . F¨ ur einen isothermen Prozess ergibt (2.4): p v = konstant . Allgemein nennt man einen Prozess, f¨ ur den p v α = konstant

(3.45)

gilt, einen polytropen Prozess; man spricht dann von einer polytropen Zustands¨ anderung.

. p ....... .... ... ........ .... η .. . ... pv =konstant ........ .... .. .. ...................................... ... ... ........... .. .. Adiabate .. .... .... ... .... ... ... ................ ................ .......... .. ..................... ....... .......... ....... ... ...... ............... ....... ... .......... .. ...... ...................... ............ ........................ .. ..... ..... . ... . . . . . . .. . . ..... . . ... . . . . . . . . . . . . . . ............ .......... ... .. ........... .......... .......... .. .......... ... T =konstant .. .. .. Isotherme ....................................................................................................................... v Bild 3.5

. p ....... T p−κ =konstant .. ... Adiabate . .. .... .. .. .... ... . . .... . . . .... ..... ... .. .... .. ......... . .. ... .. ....... ...... ....... . .. . . . . . . . . ... . ... . .... .. ... .... v=konstant .. ............ ..... ............ .. . . . Isochore .. ... .......... ...... .... ... ........... ................ . ... .... . . ......... . . . . . .......... . ... ............. .......... ... ............................ ....... .... ... ............................ ......... .......... .......... .......... ... ... ......... .................................................................................................................................................. T

Adiabaten in p-v- und p-T -Diagrammen

4 4.1

Wasserdampf in der Atmosph¨ are Wasserdampf als ideales Gas

Bei der Behandlung des Gemisches Luft als ideales Gas hatten wir nur die sogenannten trockenen Komponenten bei der Zusammensetzung der Luft ber¨ ucksichtigt. In der Meteorologie spielt nun aber noch eine weitere Komponente eine wichtige Rolle, n¨ amlich der Wasserdampf und auch Wasser in fl¨ ussiger Form (Wassertr¨ opfchen). Wasserdampf gelangt durch Verdunstung von Wasser vornehmlich u ¨ber den Weltmeeren in die Atmosphäre und nimmt dort als Bestandteil der Luft an den physikalischen Prozessen teil. Durch Messungen hat man festgestellt, dass f¨ ur die in Frage kommenden Drucke und Temperaturen der Wasserdampf als ideales Gas behandelt werden kann. Wir können also die in den vorhergehenden Kapiteln ermittelten Gesetzm¨ aßigkeiten der Thermodynamik auch auf das Gas Wasserdampf anwenden. Im folgenden sollen zur Unterscheidung von Wasserdampf und trockener Luft Indices eingef¨ uhrt werden, und zwar w als Index f¨ ur Wasserdampf und als Index f¨ ur trockene Luft. Alle Gr¨ oßen, welche sich auf das Gemisch feuchte Luft beziehen, erscheinen ohne Index. Nimmt eine Wasserdampfmasse mw unter dem Druck pw bei der Temperatur T das Volumen V ein, so gilt die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase auch f¨ ur den Wasserdampf: pw V = mw Rw T ,

(4.1)

pw vw = Rw T ,

(4.2)

pw

= ρw Rw T .

(4.3)

ur den Wasserdampf, vw = V /mw das speEs sind hierbei Rw die Gaskonstante f¨ zifische Volumen des Wasserdampfes und ρw = mw /V die Wasserdampfdichte. pw nennt man den Partialdruck des Wasserdampfes oder auch Wasserdampfdruck und bezeichnet ihn allgemein mit e. Die Gaskonstante f¨ ur Wasserdampf Rw ergibt sich zu: Rw = 461

J . kg K

(4.4)

Man gibt sie jedoch häufiger im Verhältnis zur Gaskonstante f¨ ur trockene Luft R an:

32

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

≡ R /Rw = 0,622 , Rw = R / .

(4.5) (4.6)

Wir werden sp¨ ater noch darauf eingehen, dass der Wasserdampfdruck e in der Atmosph¨ are nicht beliebig hoch sein kann, sondern dass er (bei konstanter Temperatur) nur so lange ansteigen kann, bis die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt ist. Diesen dann erreichten Druck nennt man den S¨ attigungsdampfdruck und bezeichnet ihn mit E. e = E =

4.2

Wasserdampfdruck, Wasserdampfdruck bei Sättigung.

Feuchtemaße

Während die Zusammensetzung der trockenen Luft praktisch konstant bleibt, unterliegt das Gemisch feuchte Luft = trockene Luft + Wasserdampf gr¨ oßeren Variationen. Man ist deshalb an Maßzahlen interessiert, welche angeben, wieviel Wasserdampf jeweils in der Luft vorhanden ist. Betrachtet man ein Volumen Luft, so definiert man als spezifische Feuchte das Verh¨ altnis der im Volumen befindlichen Wasserdampfmasse mw zur Gesamtmasse der feuchten Luft m (m = mw + m ): mw mw = spezifische Feuchte . (4.7) m mw + m Ein anderes Feuchtemaß erhält man, wenn man statt der Gesamtmasse m des Gemisches feuchte Luft die Masse der trockenen Luft m mit der Wasserdampfmasse ins Verh¨ altnis setzt. Diese Größe bezeichnet man als das Mischungsverh¨ altnis r: q≡

r ≡ mw /m

Mischungsverh¨ altnis .

(4.8)

Aus (4.7) und (4.8) ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen q und r: r q , r= . (4.9) 1+r 1−q Wieviel Wasserdampf ist nun eigentlich in der Luft vorhanden? Messungen ergeben, dass in einem Kilogramm Luft nur einige Gramm Wasserdampf (z. B. 10 g) enthalten sind, weshalb die Zahlenwerte f¨ ur die spezifische Feuchte und das Mischungsverh¨ altnis meist in Gramm Wasserdampf pro Kilogramm Luft (g kg−1 ) angegeben werden. Allgemein sind q und r, wenn man sie dimensionslos ausdr¨ uckt, immer kleiner als 0,04, weshalb man statt (4.9) mit guter N¨ aherung schreiben kann: q=

4.3 Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gemisch feuchte Luft

q≈r .

33

(4.10)

Die praktische Messung von q und r durch direkte Bestimmung der jeweiligen Massenanteile ist jedoch schwierig, so dass die Bestimmung dieser Feuchtemaße meist indirekt u ucksichtigt man n¨ amlich, dass ¨ber Druckmessungen erfolgt. Ber¨ sowohl f¨ ur die trockene Luft als auch f¨ ur den Wasserdampf die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase gilt, so erhält man p V = m R T

und eV = mw Rw T .

Daraus ergibt sich weiter: mw R w e = = r/ . p m R Den Messungen leichter zugänglich als p ist der Gesamtdruck p des Gemisches feuchte Luft p = p + e, womit sich f¨ ur das Mischungsverh¨ altnis ergibt: e e = 0,622 . (4.11) p−e p−e Da aber in der Atmosphäre praktisch immer gilt: e ≤ 60 hPa, w¨ ahrend p ≈ 1000 hPa (in Bodenn¨ ahe), kann man statt (4.11) näherungsweise auch r=

e ≈ q (4.12) p schreiben. Neben den beiden Feuchtemaßen q und r, welche die Massenverh¨ altnisse von Wasserdampf und Luft in einem Volumen feuchter Luft angeben, ist noch die Angabe des Sättigungsgrades der Luft mit Wasserdampf eine h¨ aufig verwendete Gr¨ oße. Dieses Maß, relative Feuchte genannt, ist das Verh¨ altnis des Dampfdrucks zum Sättigungsdampfdruck: r ≈ 0,622

e . (4.13) E Je kleiner dieser Wert ist, desto trockener ist die Luft; bei f = 1 ist die maximal mögliche Konzentration des Wasserdampfes in der Luft erreicht. f=

4.3

Die Zustandsgleichung fu ¨ r das Gemisch feuchte Luft

In den vorhergehenden Abschnitten wurden trockene Luft und Wasserdampf jeweils gesondert als ideale Gase betrachtet. In der realen Atmosph¨ are stellt die Luft jedoch immer ein Gemisch aus trockener Luft und Wasserdampf dar, d. h. jede Messung von z. B. Druck und Temperatur ist eine Messung f¨ ur das Gas feuchte Luft. Es liegt deshalb nahe, die thermodynamischen Gleichungen f¨ ur die feuchte Luft aufzustellen. Die Zustandsgleichung f¨ ur feuchte Luft erhalten wir durch die Anwendung des Daltonschen Gesetzes (2.13) auf das Gemisch trockene Luft + Wasserdampf:

34


p = p + e = m R T /V + mw Rw T /V oder pV = (m R + mw Rw )T . F¨ uhrt man nun eine mittlere Gaskonstante f¨ ur das Gemisch feuchte Luft ein, R ≡ (m R + mw Rw )/m ,

(4.14)

ur feuchte Luft: wobei m = m + mw ist, so erhält man als Zustandsgleichung f¨ pV = mRT .

(4.15)

Es ist die gleiche Beziehung wie f¨ ur trockene Luft, jedoch h¨ angt in diesem Fall die Gaskonstante R von der Zusammensetzung des Gemisches gem¨ aß (4.14) ab. Um nicht jedesmal die Gaskonstante neu bestimmen zu m¨ ussen, kann man diese auf die (feste) Gaskonstante f¨ ur trockene Luft zur¨ uckf¨ uhren: (m − mw )R + mw Rw m R + mw Rw = = (1 − q) R + qRw = m m q . = R 1 − q +

R =

Mit = 0,622 ergibt sich f¨ ur R: R = (1 + 0,608 q) R .

(4.16)

ur Die Zustandsgleichung kann jetzt unter Verwendung der Gaskonstanten R f¨ trockene Luft geschrieben werden als pV = m (1 + 0,608 q) R T .

(4.17)

Der Einfluss des Wasserdampfes auf Druck und Temperatur in einem Volumen feuchter Luft wird in (4.17) durch die spezifische Feuchte ber¨ ucksichtigt. Man kann (4.17) auch so schreiben:

pv = (1 + 0,608 q) R T = R (1 + 0,608 q) T , pv = R Tv ,

(4.18)

wobei mit Tv eine neue Temperatur definiert wird: Tv ≡ (1 + 0,608 q) T .

(4.19)

4.4 Spezifische Wärmen f¨ ur feuchte Luft

35

Man bezeichnet Tv als virtuelle Temperatur und meint damit diejenige Temperatur, welche trockene Luft haben m¨ usste, wenn sie die gleichen Werte von p und v h¨ atte wie die feuchte Luft. Man erkennt an (4.19), dass diese Temperatur h¨ oher ist als diejenige des Gemisches feuchte Luft. Durch die Einf¨ uhrung der virtuellen Temperatur (4.19) kann das Gemisch feuchte Luft mit der Zustandsgleichung f¨ ur trockene Luft behandelt werden, wobei der Einfluss des Wasserdampfes durch einen Zuschlag zur aktuellen Temperatur T , den sogenannten virtuellen Temperaturzuschlag ΔT = 0,608 qT , ber¨ ucksichtigt wird. Um wieviel unterscheidet sich nun der Wert der virtuellen Temperatur Tv von der aktuellen Temperatur T ? Nehmen wir als typischen Wert f¨ ur die spezifische Feuchte q = 10 g/kg = 0,01, so erhalten wir ΔT ≈ 6 · 10−3 T und somit bei T = 290 K f¨ ur die virtuelle Temperatur Tv = T +ΔT = 290,0 K+1,7 K = 291,7 K. Der virtuelle Temperaturzuschlag liegt also in der Gr¨ oßenordnung von 1 K.

4.4

Spezifische W¨ armen fu ¨ r feuchte Luft

Ebenso wie f¨ ur die trockene Luft spezifische Wärmen angegeben werden konnten, ist dies auch f¨ ur das Gas Wasserdampf möglich. Als spezifische W¨ arme bezeichneten wir diejenige Wärmemenge, die notwendig ist, um 1 kg eines Gases um 1 K zu erw¨ armen, wobei f¨ ur Gase noch unterschieden werden muss, ob die W¨ armezufuhr bei konstantem Druck oder konstantem Volumen geschieht. F¨ ur den Wasserdampf w¨ urde sich z. B. als Definition der spezifischen W¨ arme bei konstantem Druck ergeben:

cpw =

δQw mw dT p = konstant

=

δqw . dT p = konstant

Aus Messungen erhält man folgende Zahlenwerte f¨ ur Wasserdampf: cpw = 1870

J , kg K

(4.20)

J . (4.21) kg K Häufig ben¨ otigt man die Verhältnisse der spezifischen W¨ armen von Wasserdampf und trockener Luft: cvw = 1410

cpw /cp = 1,87 ,

cvw /cv = 1,97 .

(4.22)

Um die spezifischen Wärmen f¨ ur das Gemisch feuchte Luft zu erhalten, k¨ onnen wir nicht einfach die jeweiligen spezifischen Wärmen addieren, sondern m¨ ussen die im Gemisch bestehenden Massenverhältnisse zwischen trockener Luft und Wasserdampf ber¨ ucksichtigen. Da spezifische Größen gleichzeitig intensive Gr¨ oßen sind, sei hier noch kurz die Additionsregel f¨ ur extensive und intensive Gr¨ oßen dargestellt.

36


Sei X eine extensive Größe und x = X/m deren spezifischer Wert, so gilt f¨ ur die Summe zweier extensiver Größen X1 und X2 : X = X1 + X2 = m1 x1 + m2 x2 , wobei m1 und m2 die Partialmassen der beteiligten Systeme und x1 und x2 die jeweiligen spezifischen Werte sind. Andererseits ist X = mx, wobei m = m1 + m2 die Gesamtmasse der beteiligten Systeme ist. Insgesamt ergibt sich also mx = m1 x1 + m2 x2 und daraus f¨ ur den spezifischen Wert x: m1 x1 + m2 x2 m1 m2 = x1 + x2 . (4.23) m m m Bei der Bildung des spezifischen Wertes einer Größe f¨ ur ein aus unterschiedlichen Komponenten zusammengesetztes System muss man die jeweiligen Massenanteile m1 /m und m2 /m der beiden Komponenten ber¨ ucksichtigen. Die Beziehung (4.23) lässt sich nat¨ urlich auf beliebig viele Einzelkomponenten erweitern: x=

x=

N mi i=1

m

xi ,

m=

N

mi .

(4.24)

i=1

Wenden wir (4.23) auf die spezifischen Wärmen f¨ ur das Gemisch feuchte Luft = Wasserdampf + trockene Luft an, so ergibt sich:

cp

mw m mw mw cpw + cp = cpw + 1 − cp = m m m m

cpw − 1 q cp . = q cpw + (1 − q) cp = 1 + cp =

Mit (4.22) erh¨ alt man schließlich: cp = (1 + 0,87 q) cp .

(4.25)

Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die spezifische Wärme bei konstantem Volumen als Wert cv f¨ ur das Gemisch feuchte Luft: cv = (1 + 0,97 q) cv .

(4.26)

Die spezifischen Wärmen f¨ ur feuchte Luft ergeben sich aus denjenigen trockener Luft durch Ber¨ ucksichtigung der spezifischen Feuchte q gem¨ aß (4.25), (4.26). Setzt man einen Durchschnittswert f¨ ur q ein, z. B. q = 10 g Wasserdampf pro 1 kg feuchte Luft = 0,01, so ergibt sich aus (4.25), (4.26) eine Zunahme der spezifischen Wärmen gegen¨ uber dem Wert f¨ ur trockene Luft um gerade 1 %, so dass f¨ ur praktische Zwecke der Einfluss der Feuchte auf die spezifischen W¨ armen meist vernachl¨ assigt werden kann.

4.5 Heterogene Systeme

4.5

37

Heterogene Systeme

Bei den bisher angestellten Betrachtungen thermodynamischer Prozesse gingen wir davon aus, dass das jeweilige System entweder aus einer einheitlichen Materie bestand (z.B. Einkomponentengas) oder, falls es sich um Gemische handelte (Luft, feuchte Luft), sich die Zusammensetzung w¨ ahrend des Prozesses nicht ¨ haben wir uns auf geschlossene Systeme beschr¨ ankt, in deänderte. Im Ubrigen nen die Gesamtmasse immer konstant war. Obwohl wir uns im Hinblick auf die Atmosph¨ are bei der Ableitung der thermodynamischen Gesetzm¨ aßigkeiten auf die Behandlung von Gasen beschränkt hatten, ist es genauso m¨ oglich, Thermodynamik f¨ ur die anderen Aggregatzustände oder Phasen, n¨ amlich Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper, zu betreiben. Wir wissen aus eigener Erfahrung, dass gerade in der Meteorologie die fl¨ ussige Phase (Regen) und die feste Phase (Eis, Hagel) neben der Gasphase (feuchte Luft) eine große Rolle spielt. Nehmen wir z. B. eine Gewitterwolke als thermodynamisches System, so sind in diesem alle drei Phasen gleichzeitig vorhanden. Ein solches System, bei welchem verschiedene Phasen gleichzeitig vorhanden sind, nennt man ein heterogenes System, im Gegensatz zu einem homogenen System, in welchem jeweils nur eine Phase vorhanden ist. In einem heterogenen System können nun Phasen¨ uberg¨ ange auftreten, d. h. ein Teil der Masse der fl¨ ussigen Phase wird umgewandelt in die gasf¨ ormige Phase (Verdunstung) oder in die feste Phase (Gefrieren) usw. Jede einzelne Phase verliert oder gewinnt dabei Masse auf Kosten einer anderen Phase, wobei bei einem abgeschlossenen System die Gesamtmasse aller Phasen konstant bleibt. Bei einer Zustands¨ anderung eines heterogenen Systems muss man jetzt neben der ¨ ¨ Anderung von Druck, Temperatur oder Volumen auch die Anderung der Massenverh¨ altnisse durch Phasen¨ ubergänge ber¨ ucksichtigen. Dies ist in Bild 4.1 am Beispiel eines heterogenen Systems mit fl¨ ussiger und gasf¨ ormiger Phase (z. B. Wasser und Wasserdampf) schematisch dargestellt, wobei die Phasen¨ uberg¨ ange je nach Richtung des Prozesses als Verdunstung oder Kondensation bezeichnet werden. ¨ Es soll jetzt die Anderung einer beliebigen Zustandsfunktion, z. B. der Energie .... .

fl¨ ussig

mf,1

.... . ... .. .... . .. ..

.... .

Verdunstung ...........................................

p1 .... T1 gasf¨ ormig

mg,1

Z1 (p1 ,T1 ,mf,1 ,mg,1 )

p2 .... T2 fl¨ ussig

Kondensation ............................................

mf,2

.... . ... .. .... . .. ..

gasf¨ ormig

mg,2

Z2 (p2 ,T2 ,mf,2 ,mg,2 )

Bild 4.1 Phasen¨ ubergänge zwischen dem fl¨ ussigen und dem gasförmigen Aggregatzustand. Aufgrund der Massenerhaltung gilt m = mf,1 + mg,1 = mf,2 + mg,2 und somit (mg,2 − mg,1 ) = −(mf,2 − mf,1 ).

38


oder der Enthalpie dieses heterogenen Systems beschrieben werden. Mit dem Index f sei dabei die fl¨ ussige und mit g die gasförmige Phase bezeichnet. F¨ ur die Zustandsfunktion Z gilt dann allgemein: Z = Zf + Zg , Z = Z(p,T,mf , mg ) = Z(p,T,m)

mit m = mf + mg ,

Zf = Zf (p,T,mf ) , Zg = Zg (p,T,mg ) . Bilden wir das totale Differential der Zustandsfunktionen Zf und Zg als Funktionen dreier unabhängiger Veränderlicher, so erhalten wir f¨ ur die Zustands¨ anderungen dZf und dZg :

dZf =

∂Zf ∂p

dZg =

∂Zg ∂p

dp + T,mf

dp + T,mg

∂Zf ∂T ∂Zg ∂T

dT + p,mf

dT + p,mg

∂Zf ∂mf ∂Zg ∂mg

dmf ,

(4.27)

dmg .

(4.28)

p,T

p,T

Die letzten Terme der beiden Beziehungen geben denjenigen Anteil der Zustandsuberänderung an, welcher durch die Massenänderung dm aufgrund der Phasen¨ gänge erfolgt. Hierbei soll im Gesamtsystem wie auch in den Untersystemen (Phasen) der gleiche Druck p und die gleiche Temperatur T herrschen. Betrachten wir ein geschlossenes System, so gilt: m = mf + mg

und wegen dm = 0 :

dmf = −dmg .

Die letztere Beziehung besagt, dass sich die Masse der fl¨ ussigen Phase in dem Maße erh¨ oht oder erniedrigt, wie sich die Masse der gasf¨ ormigen Phase erniedrigt oder erh¨ oht. F¨ ur die Zustandsänderung des Gesamtsystems erh¨ alt man: dZ = dZf + dZg . Setzt man die Beziehungen (4.27), (4.28) ein und ber¨ ucksichtigt die oben genannten Aussagen f¨ ur die Massen in einem geschlossenen System, so erh¨ alt man

dZ =

∂Z ∂p

dp + T,m

∂Z ∂T

dT + p,m

∂Zf ∂Zg − ∂mg ∂mf

dmg .

(4.29)

p,T

Hierbei ist der letzte Term von (4.29), der den Anteil der Zustands¨ anderung durch Phasen¨ uberg¨ ange angibt, auf die gasförmige Phase bezogen. Wenn auch die physikalische Bedeutung dieses Termes nicht ohne weiteres darstellbar ist, so werden ¨ wir im n¨ achsten Abschnitt sehen, dass er im Falle Z = H, wenn also die Anderung der Enthalpie von Interesse ist, die Umwandlungsw¨ armen (Verdunstungsoder Kondensationswärme) angibt.

4.6 Latente W¨ armen Schmelzen ...................................................................... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... Wasser Eis Gefrieren ...... .... . . ...... .... .. .... . . . ... ....VerKonden-.. . ...... ... ..... dampfen sieren ... . .... ... ..... .. . . .. .. ... .... . . Subli- . ... ....... . . . .. Ver. mieren ... ...... ... .... dunsten ... Wasser- .... ... dampf ......

4.6

39

Bild 4.2 Die Phasen¨ ubergänge des Wassers. Die durchgezogenen Pfeile deuten die Prozesse bei Wärmezufuhr, die gestrichelten die bei Wärmeentnahme an.

Latente W¨ armen

Wir hatten im vorigen Abschnitt bereits mehrfach von Phasenumwandlungen ¨ gesprochen, d. h. vom Ubergang von fester zu fl¨ ussiger, oder fl¨ ussiger zu fester Phase, wobei uns als wichtigstes Beispiel f¨ ur die Meteorologie die Phasen des Wassers, n¨ amlich Eis, Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf interessieren. Die einzelnen Phasen zeichnen sich dadurch aus, dass die Materie verschieden kompakt ist, die Bindungskr¨ afte zwischen den Molek¨ ulen also unterschiedlich stark sind. ¨ Der Ubergang von einem Aggregatzustand zu einem anderen geschieht deshalb nicht einfach von selbst, sondern erfordert die Aufwendung von Energie, um die Bindungskr¨ afte zu u ussigen, muss man es ¨berwinden. Um z. B. ein Metall zu verfl¨ ¨ (meist sehr hoch) erhitzen, d. h. Energie in Form von W¨ arme zuf¨ uhren. Ahnlich ist es mit Eis, das man zum Schmelzen bringen will. F¨ ur die Phasen¨ uberg¨ ange des Wassers ist dies in Bild 4.2 schematisch dargestellt. Bei den Phasen¨ ubergängen Eis → Wasser, Eis → Wasserdampf und Wasser → Wasserdampf muss man der jeweils zuerst genannten Phase Energie in Form von W¨ arme zuf¨ uhren, um einen Phasen¨ ubergang zu bewerkstelligen. Verl¨ auft der Phasen¨ ubergang in der umgekehrten Richtung, z. B. Wasserdampf → Wasser (Kondensation), so wird diese Energie in Form von W¨ arme wieder freigesetzt – ein Prozess, der bei der Wolkenbildung in der Atmosph¨ are eine wichtige Rolle spielt. F¨ uhrt man nun einer Phase Wärme zu, so kann dadurch der Zustand der Phase (Temperatur, Druck) verändert werden, und/oder ein Phasen¨ ubergang erfolgen. Man bezeichnet denjenigen Anteil der zugef¨ uhrten W¨ armemenge, welcher nur f¨ ur die Phasenumwandlung verwendet wird, als latente W¨ arme. Diejenige W¨ armemenge, welche f¨ ur eine Phasenumwandlung der Einheitsmasse (z. B. 1 kg) notwendig ist, nennt man spezifische latente W¨ arme und bezeichnet sie mit δQ spezifische latente W¨ arme . dm Damit ergibt sich f¨ ur die latente Wärme: l≡−

(4.30)

40

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are L ≡ δQ = −l dm .

(4.31)

Das negative Vorzeichen in (4.30) und (4.31) r¨ uhrt daher, dass diejenige Phase, der W¨ arme zugef¨ uhrt wird (δ Q > 0), ihre Masse zugunsten einer anderen Phase verringert (dm < 0). Bezeichnen wir die einzelnen Phasen des Wassers mit den Indizes e f¨ ur Eis, f f¨ ur Fl¨ ussigwasser und w f¨ ur Wasserdampf, so erhalten wir f¨ ur die latenten W¨ armen

Lg = −lg dme = lg dmf , Lv = −lv dmf = lv dmw , Ls = −ls dme = ls dmw ,

(4.32) (4.33) (4.34)

wobei die Indizes g die Schmelz- oder Gefrierwärme bezeichnet, v die Verdunstungs- oder Kondensationswärme und s die Sublimationsw¨ arme bezeichnen. Bei den mittleren Teilen der Beziehung (4.32)–(4.34) wird jeweils W¨ arme f¨ ur einen Phasen¨ ubergang aufgewendet (L > 0, dm < 0); die rechten Seiten geben jeweils den f¨ ur die umgekehrte Richtung der Phasenumwandlungen notwendigen Entzug von latenter W¨ arme an (L < 0, dm < 0). Die spezifischen latenten W¨ armen f¨ ur die einzelnen Phasen¨ ubergänge hängen im allgemeinen von der Temperatur ab, bei der der Phasen¨ ubergang stattfindet. F¨ ur praktische Zwecke kann man aber f¨ ur die in der Atmosphäre auftretenden Phasen¨ uberg¨ ange des Wassers diejenigen latenten Wärmen als konstante Werte verwenden, welche sich bei 0 ◦ C (Tripelpunkt Eis-Wasser-Wasserdampf) ergeben:

lg = 0,33 · 106 J kg−1 lv = 2,50 · 106 J kg−1 ls = 2,83 · 106 J kg−1

Schmelzw¨ arme , Verdunstungsw¨ arme , Sublimationsw¨ arme .

(4.35) (4.36) (4.37)

Wie man den Zahlenwerten entnimmt, ist die Sublimationsw¨ arme gerade gleich der Summe der Schmelzwärme und der Verdunstungsw¨ arme ls = lg + lv

oder lg + lv − ls = 0 .

(4.38)

Die Beziehung (4.38) gibt an, dass bei einem Prozess, bei dem eine Einheitsmasse Wasser von der Eisphase durch Schmelzen in Wasser, von Wasser durch Verdunstung in Wasserdampf und von Wasserdampf durch Sublimation wieder in Eis umgewandelt wird, insgesamt keine Wärme aufgewendet werden muss. Die zun¨ achst f¨ ur das Schmelzen und Verdunsten in das System gesteckte W¨ arme wird beim Sublimationsprozess wieder frei und kann dem System wieder entnommen werden.

4.6 Latente W¨ armen

41

In den folgenden Betrachtungen wollen wir uns nur mit dem System Fl¨ ussigwasser → Wasserdampf beschäftigen, die feste Phase also außer Betracht lassen. Es wurde ausgef¨ uhrt, dass die latente Wärme nur zur Phasenumwandlung verwendet wird und während dieses Prozesses keine Zustands¨ anderung der thermodynamischen Variablen erfolgt. Wenn man nun einem System W¨ arme zuf¨ uhrt, kann dies gem¨ aß dem Ersten Hauptsatz aber auch zur Erh¨ ohung seiner inneren Energie sowie zur Arbeitsleistung f¨ uhren. Ist zusätzlich noch eine Phasenumwandlung m¨ oglich, so kann man die zugef¨ uhrte Wärmemenge δQ aufspalten in einen Anteil, welcher zur Zustandsänderung benötigt wird und einen solchen, der die Phasenumwandlung bewirkt: δQ = δQ |Zustand +δQ |Phase = δQ |Zustand +L . Setzt man f¨ ur den Anteil δQ |Zustand die Beziehungen des Ersten Hauptsatzes ein, so erh¨ alt man: δQ = dE + p dV + L .

(4.39)

Dies ist eine erweiterte Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur ein System, welches Phasenumwandlungen zulässt. Nehmen wir ein System, das aus Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf bzw. feuchter Luft besteht, und beziehen den Phasen¨ ubergang auf die fl¨ ussige Phase, ist die latente Wärme gem¨ aß (4.33) L = Lv = −lv dmf , so dass sich f¨ ur (4.39) ergibt: δQ = dE + p dV − lv dmf .

(4.40)

Hierbei ist E die innere Energie des Gesamtsystems, ebenso wie sich der Druck p und das Volumen V auf dieses beziehen (Gemisch trockene Luft + Wasserdampf + Fl¨ ussigwasser/Wassertr¨ opfchen). Unter der weiteren Voraussetzung eines geschlossenen Systems (was wir im u ur alle hier angestellten Betrachtungen ¨brigen f¨ annehmen wollen), ist die Gesamtmasse des Wassers konstant: dm = 0 ,

m = mw + mf =⇒ dmw = −dmf .

Statt die bei der Verdunstung erfolgte Massenabnahme des Fl¨ ussigwassers zu betrachten (dmf < 0), können wir also auch die betragsgleiche MassenZunahme des Wasserdampfes bei der Berechnung der latenten Verdunstungsw¨ arme verwenden: δQ = dE + p dV + lv dmw .

(4.41)

In der Form (4.41) wird die Phasenumwandlung auf den Wasserdampf bezogen, ¨ was f¨ ur die Anwendung in der Meteorologie von Vorteil ist, da sich die Anderungen des Wasserdampfgehaltes der Luft leichter bestimmen lassen. Entsprechend können wir auch den Ersten Hauptsatz mit der Enthalpie schreiben:

42

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are δQ = dH − V dp + lv dmw .

(4.42)

Die Beziehungen (4.41), (4.42) sind f¨ ur thermodynamische Prozesse in Verbindung mit der Bildung von Wolken wichtig, und zwar besonders f¨ ur den Spezialfall, dass einem System feuchter Luft keine Wärme von außen zugef¨ uhrt wird (adiabatischer Prozess). Dies wird noch in einem späteren Kapitel behandelt. Jedoch können wir an dieser Stelle f¨ ur diesen Fall noch eine Betrachtung von Enthalpie und latenter W¨ arme anstellen. F¨ ur einen adiabatischen Prozess (δQ = 0) ergibt sich aus (4.42): dH = V dp − lv dmw . ¨ Soll außerdem nur die Anderung der Enthalpie durch den Phasen¨ ubergang betrachtet werden, so folgt wegen dp = 0 in diesem Fall, dass dH = −lv dmw

(nur Phasen¨ ubergang)

oder lv = −

dH . dmw

(4.43)

¨ Betrachten wir andererseits die Anderung der Enthalpie hinsichtlich der Zustandsgr¨ oßen p,T,mw gemäß der allgemeinen Beziehung (4.29), indem wir dort Z = H setzen und einen reinen Phasen¨ ubergang voraussetzen (d. h. dp = dT = 0), so erhalten wir:

dH =

∂Hf ∂Hw − ∂mw ∂mf

dmw =

∂mf hf ∂mw hw − ∂mw ∂mf

dmw = (hw − hf ) dmw .

Aus dem Vergleich mit der Beziehung (4.43) zwischen der Enthalpie¨ anderung und der latenten W¨ arme erhält man lv =

∂Hf ∂Hw − = hf − hw . ∂mf ∂mw

(4.44)

In einem Zweiphasensystem stellt die Differenz der Enthalpie¨ anderungen der jeweiligen Phase hinsichtlich ihrer Partialmasse gerade die spezifische latente ¨ Wärme des jeweiligen Phasen¨ uberganges dar; (4.44) gibt dies f¨ ur den Ubergang Fl¨ ussigwasser −→ Wasserdampf an. Auf diese Weise können wir analog zu (3.27)–(3.30) Formen des Ersten Hauptsatzes f¨ ur ein System mit Phasen¨ ubergängen erhalten, wobei wir uns hier auf das Gemisch trockene Luft + Wasserdampf + Fl¨ ussigwasser beschr¨ anken:

mcv dT mcp dT

= +δQ − p dV − lv dmw , = +δQ + V dp − lv dmw ,

(4.45) (4.46)

4.6 Latente W¨ armen

43

oder

δQ = mcv dT + p dV + lv dmw , δQ = mcp dT − V dp + lv dmw .

(4.47) (4.48)

Die Beziehungen (4.45)–(4.46) werden uns später noch bei der Betrachtung thermodynamischer Prozesse in der Atmosphäre n¨ utzlich sein, wie z. B. Wolkenbildung oder Nebelentstehung, bei denen der Phasen¨ ubergang zwischen fl¨ ussiger und gasf¨ ormiger Phase eine Rolle spielt. Die Anwendung dieser Beziehungen setzt die Kenntnis der Massenänderung des Wasserdampfes dmw voraus. Im vorhergehenden Kapitel haben wir jedoch erw¨ ahnt, dass in der Meteorologie die Bestimmung des Feuchteanteils in der Luft praktisch durch die Angabe der spezifischen Feuchte oder des Mischungsverh¨ altnisses erfolgt. Es ist deshalb zweckm¨ aßig, dies auch in (4.45)–(4.46) zu tun, d. h. die Wasserdampfmasse mw durch die spezifische Feuchte auszudr¨ ucken. Es ist die Gesamtmasse des Gemisches feuchte Luft + Fl¨ ussigwasser, m = ml + mw + mf . Da im allgemeinen die Masse des Fl¨ ussigwasser mf gering ist, kann man, ohne gr¨ oßere Ungenauigkeiten zu begehen, mw mw ≈ =q m ml + mw setzen oder dmw ≈ d(mq) = m dq + q dm . Da aber die Gesamtmasse m konstant bleiben soll, folgt wegen dm = 0: dmw ≈ m dq .

(4.49)

Die Beziehung (4.49) kann nun in (4.45)–(4.46) eingesetzt werden. Man erh¨ alt z. B. statt (4.46) dH = δQ + V dp − mlv dq .

(4.50)

Von dieser Form ausgehend ist es auch möglich, den Ersten Hauptsatz f¨ ur die spezifischen Werte der Funktionen anzugeben, z. B. h = H/m: dh = δQ/m + v dp − lv dq .

(4.51)

44


e = 0, mw = 0 . . . .

. . . .

. . . .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Wasser . . . . . .

.

. .

.

.

e<E, T mw ...... . . . . . . . ... . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . .

.

.

.

.

T

. .

.

. .

.

trockene Luft

. . . .

.

. .

. .

Wasser . . . .

. .

.

.

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.

feuchte Luft

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e=E, . .

.

.

.

.

T

mw = mws . . . .

. . . .

. .

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. .

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. .

Wasser . . .

. .

. .

.

. .

.

. .

.

. .

. . . .

. . . .

. . . .

feuchte Luft ges¨ attigt

Bild 4.3 Verdunstung an der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft. E bezeichnet den Sättigungsdampfdruck, mws die Masse des Wasserdampfes bei Sättigung.

4.7

Der Wasserdampfdruck bei S¨ attigung

Wir hatten bereits erwähnt, dass der Wasserdampfdruck in einem Luftvolumen bei vorgegebener Temperatur nicht u ¨ber einen maximalen Wert ansteigen kann. Diesen maximalen Wert hatten wir mit Sättigungsdampfdruck bezeichnet, was zum Ausdruck bringt, dass die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt ist, d. h. nicht mehr Masse an Wasserdampf aufnehmen kann. Wie kann man sich diesen Vorgang vorstellen? Betrachten wir dazu in Bild 4.3 ein (zun¨ achst trockenes) Luftvolumen u achst ein ¨ber einer ebenen Wasseroberfläche bei fester Temperatur T . Es wird zun¨ Verdunstungsprozess stattfinden, d. h. Wassermolek¨ ule werden von der fl¨ ussigen in die gasf¨ ormige Phase u ¨bergehen und in das Luftvolumen hineindiffundieren. Dabei steigt die Wasserdampfmasse im Luftvolumen und damit der Dampfdruck e an, und zwar so lange, bis sich die fl¨ ussige und gasf¨ ormige Phase im Gleichgewicht befinden, d. h. gerade so viele Wassermolek¨ ule durch Verdunsten in das Luftvolumen gelangen, wie von dort durch Kondensation wieder in die Wassermasse zur¨ uckkehren. In diesem Fall kann die Wasserdampfmasse nicht weiter ansteigen, sondern bleibt auf dem Sättigungswert mws , so dass der Dampfdruck e den Wert des S¨ attigungsdampfdruckes E erreicht. Man hat durch Experimente festgestellt, dass diejenige Wasserdampfmenge, welche in einem Luftvolumen bei Sättigung aufgenommen werden kann, um so größer ist, je h¨ oher die Lufttemperatur, also auch die Wasserdampftemperatur ist. Man hat dar¨ uber hinaus festgestellt, dass der damit verbundene S¨ attigungsdampfdruck E nur von der Temperatur T abhängt. Eine solche Abh¨ angigkeit ist auf empirischem Wege gefunden worden und ist in Erinnerung an den deutschen Physiker und Chemiker H. G. Magnus (1802–1870) unter dem Namen MagnusFormel bekannt: 7,45 (T [K] − 273) T [K] − 38 E(T ) [hPa] = 6,1 · 10 ,

(4.52)

oder f¨ ur die Anwendung in der Praxis durch die Temperatur in Grad Celsius ausgedr¨ uckt:

4.7 Der Wasserdampfdruck bei Sättigung

7,45 t [o C] 235 + t [o C] . E(t) [hPa] = 6,1 · 10

45

(4.53)

attiSetzt man in (4.52) T in K bzw. in (4.53) t in o C ein, so ergibt sich der S¨ gungsdampfdruck E in hPa. Aus dieser empirischen Beziehung zwischen S¨ attigungsdampfdruck und Temperatur kann man ersehen, welche Werte sich f¨ ur E unter atmosph¨ arischen Verhältnissen einstellen: t = 0 o C → E = 6,1 hPa ,

t = 35 o C → E = 56,4 hPa .

urfte praktisch Der Wert des Dampfdruckes f¨ ur eine Lufttemperatur von 35 o C d¨ der maximal vorkommende f¨ ur die Atmosphäre sein, wenn wir uns u ¨berlegen, dass die Luft mit Wasserdampf meist nur u andig ges¨ attigt ¨ber den Ozeanen st¨ ist, und dort eine Temperatur von 35 o C wohl kaum u ¨bertroffen wird. Der Wasserdampfdruck macht also praktisch höchstens 5% des Luftdruckes am Boden aus. Die Beziehung (4.52), (4.53) wurde aus Experimenten gewonnen; man kann aber auch die Abhängigkeit des Sättigungsdampfdruckes von der Temperatur aus den Gesetzm¨ aßigkeiten thermodynamischer Prozesse erhalten. Betrachten wir dazu im p,v-Diagramm von Bild 4.4 den Phasen¨ ubergang einer Wassermenge m = mf in Wasserdampf der gleichen Masse m = mw . Ausgehend von einem Zustand A im Bereich der Fl¨ ussigwasserphase wird der Wassermasse m bei konstantem Druck Wärme zugef¨ uhrt, wodurch sich Temperatur und Volumen erhöhen, bis der Zustand B erreicht ist: . p ....... T1. T.2 T. 3 T..c .... ... ... ... ........... T...5........ ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ........... ............. ... ... ... ... ... ... ... ..... ............ ... ... ... ..... .. ...... ... ... ... ...... ... ... ... ... . .. ...... . .. ... ... .... ... ...... . .. ........ .... Wasserdampf ... ... ... .. . ... ........ ... .... ... ... ... . ....... . . . .. . .... ... ... ... ... ....... ... . . . . . . . . . . . . ....... . ... .. . ... .. .. . .. .. .. .... ...... . .................... . . . . . ... . . . ... ... . . . . . . . . .. ... ... ... ..... . . ............................. .................. ... ... ... ... ... ... ... ...... . . . . . . . . ..... . .................................................... ... .. .. ... . .. . . . . .. Wasser ..... ..... ...... .... . . . . . . . . . . . . . . .... . ................ ................. ......... ... ... ....... . ... .. .. ......... ....... ... ... .... . . . . . . . . .. ... ... .. ........................................................................................................................................................................ .......................................................................................... ... ... ... ... .. . . T ........ . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. ............................... ............................................ 5 . . . . . . . . . . ... . . ... ......... ............ ... . . .. ... . . . . . . . . ... . . . .......... ....... . . . . . . . ... T . . ... •...........................•.............................................................................................................................................................................................................................•.....................................................................................•............................................... c .. ....... ............D A B C . ... . . T3 .. ... . . . . . . . . . . . . .. .... ........................... . . . ...................... ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . ............. .. ... . . . T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. . . . . 2–Phasen–Bereich ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... .. . . . . .. . . . . und . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . .. .. . . . Wasser . ... ....... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. V Bild 4.4

Das Phasendiagramm des Wassers (schematisch)

46


A→B:

δQ → dT > 0 ,

dv > 0 , dm = dmf = 0 nur Fl¨ ussigwasser.

Der Zustand B liegt im Zwei-Phasen-Diagramm auf der Linie – – –, welche die reine Fl¨ ussigwasserphase vom sogenannten Zwei-Phasen-Bereich trennt, in dem bei gleichem Druck und gleicher Temperatur Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf gleichzeitig existieren können. Wird der Wassermasse jetzt weiter Wärme zugef¨ uhrt, so ¨ andert sich bei gleichbleibendem Druck die Temperatur nicht; die Wärmezufuhr bewirkt lediglich den ¨ Ubergang von der fl¨ ussigen zur gasförmigen Phase (Verdunstung). Dies geschieht nun so lange, bis die gesamte Wassermasse mf in Wasserdampf umgewandelt worden ist, was sich im p,v-Diagramm im Zustand C einstellt: B→C:

dT = 0 , δQ → dv > 0 , dmf < 0 ,

insgesamt:

dmw > 0 ,

δQ = L = −lv dmf = lv mf = lv m .

Der Zustand C liegt auf der Kurve − · − · −·, welche den Zwei-Phasen-Bereich von der reinen Wasserdampfphase trennt. Hier hat der Wasserdampf bei (konstanter Temperatur und konstantem Druck) sein geringstes spezifisches Volumen, also seine gr¨ oßte Dichte. Man sagt in diesem Fall, die Luft sei mit Wasserdampf gesättigt, und nennt den entsprechenden Druck daher auch – wie schon erw¨ ahnt – den S¨ attigungsdampfdruck. W¨ urde man nämlich – vom Zustand C ausgehend – weiter W¨ arme zuf¨ uhren, w¨ urde sich die Temperatur des Wasserdampfes erhöhen, z. B. auf T3 , wobei sich entsprechend der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase das Volumen vergrößern und damit die Wasserdampfdichte verringern w¨ urde (Zustand D). C→D:

δQ → dT > 0 ,

dv > 0 , dm = dmw = 0 , nur Wasserdampf.

Den S¨ attigungsdampfdruck kann man anhand des p,v-Diagramms auch folgendermaßen charakterisieren: Geht man vom Wasserdampfbereich aus und erh¨ oht den Druck bei konstant gehaltener Temperatur (z. B. T = T2 ), so ist derjeni¨ ge Druck, bei dem erstmals ein Ubergang zur fl¨ ussigen Phase m¨ oglich ist, der Sättigungsdampfdruck. Es interessiert jetzt, wie der Sättigungsdampfdruck von der Temperatur abhängt. Rein qualitativ kann man in Bild 4.4 anhand der Trennlinie − · − · −· des Zwei-Phasen-Bereichs erkennen, dass der Sättigungsdampfdruck mit der Temperatur ansteigt (T3 > T2 ). ¨ Betrachten wir jetzt den Phasen¨ ubergang B → C bei geringen Anderungen dp und dT von Druck bzw. Temperatur. Man kann das dadurch bewerkstelligen, dass man entweder den Druck und die Temperatur im Wasserbereich ¨ andert und dann den Phasen¨ ubergang durchf¨ uhrt, oder zunächst die Phasen¨ anderung vornimmt und dann im Wasserdampfbereich Druck und Temperatur erh¨ oht. Da beide Wege im p,v-Diagramm a¨quivalent sind (vgl. Bild 4.5), muss auch ¨ die Anderung einer thermodynamischen Funktion (z. B. Energie, Enthalpie) f¨ ur beide Vorg¨ ange die gleiche sein.

4.7 Der Wasserdampfdruck bei Sättigung B (p+dp,T +dT )

Wasser

. ...

... ..

C (p+dp,T +dT )

.......................................•....... ..................................... .. ....... .....• ............ ... ...•......................................................................................................•.. .. ..

B(p,T ) ...

47

... .

Wasserdampf C(p,T )

Bild 4.5 ¨ Aquivalente Wege im Phasendiagramm: B → B → C und B → C → C

Aus einer genauen Analyse der verschiedenen m¨ oglichen Zustands¨ anderungen (Details sind in den genannten Lehrb¨ uchern der Thermodynamik nachzulesen) erhält man die Beziehung lv dE = . dT T (vw − vf )

(4.54)

(4.54) wird nach dem deutschen Physiker R. Clausius (1822–1888) und dem franz¨ osischen Physiker B. Clapeyron (1799–1864) als Clausius-Clapeyron-Gleichung bezeichnet; sie gibt die Abhängigkeit des S¨ attigungsdampfdruckes von der Temperatur an. In der Form (4.54) ist dies f¨ ur den Phasen¨ ubergang Wasser −→ Wasserdampf g¨ ultig; die gleiche Beziehung gilt aber auch f¨ ur die anderen Phasen¨ uberg¨ ange. Man muss dann nur die entsprechenden latenten W¨ armen und die spezifischen Volumina der beteiligten Phasen einsetzen. F¨ ur den Wasserdampf lässt sich (4.54) noch etwas vereinfachen. Es ist die Dichte des Fl¨ ussigwassers ρf sehr viel größer als die des Wasserdampfes ρw . Damit folgt aber f¨ ur die spezifischen Volumina wegen v = 1/ρ genau das Umgekehrte: vw vf

f¨ ur Wasserdampf und Wasser bei gleichem p, T .

Daher kann die Differenz der spezifischen Volumina in (4.54) n¨ aherungsweise durch das spezifische Volumen des Wasserdampfes ersetzt werden. Ersetzt man weiterhin das spezifische Volumen vw u ¨ber die Zustandsgleichung f¨ ur Wasserdampf Evw = Rw T durch den Sättigungsdampfdruck E, so erh¨ alt man lv E dE = dT Rw T 2

(4.55)

oder als Abh¨ angigkeit des Sättigungsdampfdruckes von der Temperatur d(ln E) =

lv dT . Rw T 2

(4.56)

Nimmt man jetzt in erster Näherung an, dass die latente W¨ arme lv nicht von der Temperatur abhängt, so erhält man aus der Integration von (4.56) und der Kenntnis des Dampfdruckes E bei T = 273 K (aus Messungen, E=6,1 hPa) als Funktion f¨ ur den Dampfdruck bei Sättigung: 8,26 E(T ) [hPa] = 6,1 · 10

T [K] − 273 T [K] .

(4.57)

48


¨ Diese aus thermodynamischen Uberlegungen gewonnene Beziehung weicht f¨ ur die in der Atmosphäre vorkommenden Temperaturwerte praktisch kaum von der empirischen Magnus-Formel (4.52), (4.53) ab, wie man durch Einsetzen verschiedener Temperaturen in die jeweilige Wasserdampfbeziehung ersehen kann. Analog zu (4.54) kann man die Abhängigkeit des Druckes bei der jeweils herr¨ schenden Temperatur auch f¨ ur den Ubergang Eis −→ Wasser und Eis −→ Wasserdampf erhalten. Anhand eines p,T -Diagramms sind diese Abh¨ angigkeiten in Bild 4.6 dargestellt. p ...... G(T ... ) Wasser E(T . ) .. ... ... . ... ... ... .. ... .. .. ...... . . . . . . ........ Kondensieren .. Gefrieren ........... ... ... ... ... . . ... . .. . ... .. .... ... Eis ... .... . . . . . ... ..... ... .. 6.1 hPa ......... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ......•.... Wasserdampf . .. . . ... . . .. . . ... . . ... Sublimieren ................ .... .. .. ... ...... .. ...... ... ... S(T ) ... .. ........................................................................................................................................................................................ 273 K T Bild 4.6 Die Phasen¨ ubergänge im p-T -Diagramm. E(T ) bezeichnet den Druck bei Kondensation oder Verdunstung (Sättigungsdampfdruck), G(T ) den Druck beim Schmelzen oder Gefrieren und S(T ) den Druck beim Sublimieren oder Verdampfen.

5 5.1

Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Der thermodynamische Zustand der Atmosph¨ are

Fasst man die Atmosphäre als ein thermodynamisches System auf, so l¨ asst sich ihr Zustand durch die Variablen p, T und ρ darstellen (bzw. f¨ ur die feuchte Atmosph¨ are zus¨ atzlich noch durch ein Maß f¨ ur den Wasserdampfgehalt, meist die spezifische Feuchte q). Man ist nun in der Meteorologie h¨ aufig an zwei Fragestellungen interessiert: 1. Welchen Zustand besitzt die Atmosph¨ are an einem bestimmten Ort und zu einem bestimmten Zeitpunkt? (Diagnose des Temperatur-, Druck- und Feuchtefeldes) 2. Wie ändert sich der thermodynamische Zustand der Atmosphäre? (Prognose der Entwicklung von Temperatur, Druck und Feuchte) W¨ ahrend f¨ ur Druckdiagnose und -prognose im synoptischen Maßstab auf die statische Grundgleichung, ∂p/∂z = −gp/RT (siehe Abschnitt 6.2), zur¨ uckgegriffen wird und man f¨ ur das Feuchtefeld eine Erhaltungsgleichung f¨ ur den Wasserdampf und zus¨ atzliche Beziehungen zum Temperaturfeld wie die Clausius-ClapeyronGleichung verwendet, steht uns f¨ ur das Temperaturfeld insbesondere der Erste Hauptsatz der Thermodynamik zur Verf¨ ugung. Hierbei betrachten wir ein Luftpaket der Masse m oder mit dem Volumen V als ein abgeschlossenes System, so dass eine Zustands¨ anderung nur durch W¨ armeaustausch mit der Umgebung (anderen Luftpaketen) oder adiabatisch erfolgen kann. Ausnahmen hiervon werden z. B. bei speziellen Problemstellungen der Wolkenbildung gemacht, wo ein Massenaustausch mit der Umgebung zugelassen wird (Entrainment – offenes System). Da in der Praxis Messungen der thermodynamischen Variablen mit Radiosonden oder an Bodenstationen immer auf eine Messung der Temperatur und des Druckes hinauslaufen, während man die Dichte bzw. das spezifische Volumen mit Hilfe der Zustandsgleichung daraus berechnet, bietet sich f¨ ur die Meteorologie die Verwendung der Enthalpieform des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik an. Diese lautet, zun¨ achst noch in der extensiven Schreibweise: m (cp dT − v dp) = δQ .

(5.1)

50

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

Die Druck¨ anderung dp erfolgt bei meteorologischen Prozessen meist entweder großr¨ aumig (Bodendruckänderungen bei synoptischen Prozessen) oder durch eine vertikale Anhebung von Luftpaketen, z. B. beim erzwungenen Aufsteigen an Bergen. Um diese Druckänderungen nicht gesondert betrachten zu m¨ ussen, erweist sich die in (3.43) eingef¨ uhrte potentielle Temperatur θ = T (p0 /p)R/cp als zweckm¨ aßig. Der Erste Hauptsatz (5.1) lässt sich mit Hilfe der potentiellen Temperatur θ in der folgenden Form darstellen: T dθ = δQ . (5.2) θ Anmerkung: Die potentielle Temperatur θ ist auch f¨ ur nicht-adiabatische Prozesse, δQ = 0, definiert. F¨ ur adiabatische Prozesse, δQ = 0, gilt dagegen die bekannte Aussage dθ = 0 bzw. θ = konstant. m cp

5.2

Zur diabatischen W¨ armezufuhr δQ

Bevor wir den Ersten Hauptsatz (5.1) oder (5.2) zu einer Prognose der Temperatur einsetzen, m¨ ussen wir zunächst noch auf die nichtadiabatische W¨ armezufuhr, hier mit δQ symbolisiert, näher eingehen, nicht zuletzt, weil an dieser Stelle in der meteorologischen Literatur unterschiedliche Bezeichnungen verwendet werden. In der urspr¨ unglichen Formulierung des Ersten Hauptsatzes bezeichnet δQ die einem System von außen zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme ( W¨ armemen” ge“), wobei der Begriff W¨ arme andeutet, dass keine innere Energie zugef¨ uhrt wird (was ja aufgrund des Mengencharakters von E nur in einem offenen System m¨ oglich w¨ are), sondern Energie in einer anderen, nicht als Zustandsgr¨ oße definierten Form. Der Begriff zugef¨ uhrt ist seinerseits nicht ganz zutreffend, da ein System ja auch Energie in Form von Wärme nach außen abgeben kann. Bezeichnen wir zur Verdeutlichung die einem System (Luftpaket) zugef¨ uhrte Energieform Wärme mit Qz und die vom System wieder abgegebene W¨ armemenge mit Qa , so tr¨ agt ¨ zu einer Anderung der inneren Energie nur die Differenz Qz − Qa = δQ bei (Nettow¨ armezufuhr). In der urspr¨ unglichen Formulierung w¨ urde man daher den Ersten Hauptsatz wie folgt darstellen können:

dE

¨ Anderung der inneren Energie

=

−p dV

Arbeitsleistung am/vom System

+

(Qz − Qa ) .

Netto-W¨ armeaustausch mit der Umgebung

Wie man dieser Gleichung entnehmen kann, hat sowohl die Arbeit als auch die Netto-W¨ armemenge die Dimension einer Energie (1 Joule). Als Zustandsfunktion eines Systems ist aber nur die innere Energie definiert, d. h. Arbeit und W¨ arme

5.2 Zur diabatischen Wärmezufuhr δQ

51

sind keine Zustandsgrößen; sie treten lediglich dann auf, wenn ein Prozess, d. h. eine Zustands¨ anderung, abläuft. Zur Verdeutlichung dieses Unterschiedes ist die folgende Aufstellung hilfreich: Energie als Zustandsfunktion: Ei Ek Ep

= m cv T innere Energie , = m v2 /2 kinetische Energie , = mgz potentielle Energie .

Dagegen treten folgende Energieformen nur bei Zustands¨ anderungen auf, also bei der Umwandlung oder beim Austausch von Energie: Symbol Energieform p dV δQ

L RW

Arbeit W¨ armeleitung, Strahlungsu ¨bertragung Latente Wärme Reibungswärme

Zustands¨ anderung Umwandlung potentieller in innere Energie Energieaustausch mit anderen Systemen

Phasenumwandlung innerhalb des Systems Umwandlung kinetischer in innere Energie

Die diabatische Wärmezufuhr δQ ist also eine Energieform, die nur bei Zustands¨ anderungen in Erscheinung tritt, und zwar bei Austausch von Energie mit der Umgebung oder anderen Systemen. Dies bedeutet, dass beim Energieaustausch Energie in Form von Wärme oder Strahlung durch die Berandung (Oberfl¨ ache) eines Volumens (z. B. Luftpaket) hindurchtritt. Da jeder Prozess eine gewisse zeitliche Dauer besitzt, bezieht man meist den Energieaustausch auf eine Zeiteinheit und nennt dies dann einen Energiestrom oder Energiefluss. Ein Energiestrom ist also diejenige Energiemenge, welche pro Zeiteinheit einem System zugef¨ uhrt oder entzogen wird. Wird dieser Energiestrom auf eine Einheitsfl¨ ache bezogen, so spricht man von einer Energiestromdichte. Symbol Bezeichnung Q Q˙ Q˙

Dimension

Einheit

Energieaustausch Energie 1J −1 Energiestrom Energie/Zeit 1 Js = 1 W Energiestromdichte Energiestrom/Fl¨ ache 1 W m−2

Beispiel Solarkonstante: Der Wert der Solarkonstanten, 1370 W m−2 , gibt diejenige Energie an, die in Form kurzwelliger Strahlung von der Sonne ausgehend pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit am Rand der Erdatmosph¨ are eintritt (Energiestromdichte der kurzwelligen Einstrahlung).

52 z

..... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. ..

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Q˙ a

. ......... ..... .... .......... ......... ... ... . ............................................................. ................................................................................................................. ............. ................... .......... ... .......... .. ........ .... ............ ..... . . . .......... . ... ............................................................................................................................................................................................. .... .. . .... .... . . .. ... .... .... . .. .... .... .... . .... ... ... .... . .. .... ... .... . .. .... . . . . . .... .. .... .... . . .. ... .... ... . . . ..... ..... .... . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .... ... .... . ....................... ............ .... ......................................................... .............................................................................................................................................. ....... ....... ..... .... .... .... .................

F

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Δz

Bild 5.1 Zur Energiebilanz eines Luftvolumens V = F Δz. Die vier Seitenflächen sind isoliert.

Q˙ z

Mit der Einf¨ uhrung eines Energiestromes Q˙ l¨ asst sich eine Form des Ersten ¨ Hauptsatzes f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie bzw. Enthalpie und damit f¨ ur die zeitliche Temperaturänderung angeben. Hierzu ist es lediglich notwendig, das Differential d in (5.1) oder (5.2) durch die zeitliche Ableitung d/dt zu ersetzen. Damit lautet der Erste Hauptsatz statt (5.1): m cp

dT dp −mv = Q˙ z − Q˙ a = δ Q˙ . dt dt

(5.3)

˙ BeWie groß ist nun aber der Netto-Wärmestrom (besser: Energiestrom) δ Q? trachten wir dazu in Bild 5.1 ein Luftvolumen der Masse m und mit dem Volumen V , welches eine Energiezufuhr erfährt. Der Einfachheit halber sollen die Energiestr¨ ome Q˙ z und Q˙ a nur durch die Flächen senkrecht zur vertikalen Koordinate z hindurchtreten, nicht aber durch die seitlichen R¨ ander. ˙ ˙ ache F ist Es gilt allgemein, dass Q = QF , d. h. der Energiestrom Q˙ durch eine Fl¨ ache, also gleich der Energiestromdichte Q˙ multipliziert mit der betrachteten Fl¨ Q˙ z = Q˙ z F ,

Q˙ a = Q˙ a F ,

δ Q˙ = (Q˙ z − Q˙ a ) F = −(Q˙ a − Q˙ z ) F . Bildet man jetzt den Differenzenquotienten der Energiestromdichten Q˙ u ¨ber die Vertikaldifferenz, ΔQ˙ Q˙ a − Q˙ z = , Δz Δz so ergibt sich f¨ ur δ Q˙ insgesamt, dass ΔQ˙ ΔQ˙ Δz F = − V . δ Q˙ = (Q˙ z − Q˙ a ) F = − Δz Δz Betrachtet man nun eine infinitesimal d¨ unne Luftschicht dz, so kann man den ˙ ˙ Differenzenquotienten ΔQ/Δz durch das Differential dQ/dz ersetzen,


δ Q˙ = −V

dQ˙ dz

53

f¨ ur Δz → dz .

(5.4)

˙ nennt man die Divergenz der EnergieDen Differentialquotienten dQ/dz stromdichte (bzw. Wärmestromdichte, Strahlungsstromdichte). Im obigen Spezialfall ist nur der Anteil der vertikalen Energiestr¨ ome erfasst. Es gibt zwar auch horizontale Energieströme, aber f¨ ur zahlreiche Prozesse in der Atmosph¨ are gen¨ ugt die Betrachtung der vertikalen Energieströme. Mit Hilfe der Beziehung (5.4) l¨ asst sich der Erste Hauptsatz umschreiben als dT dp dQ˙ −mv = −V , (5.5) dt dt dz oder in der intensiven Form (pro Masseneinheit) unter Verwendung der Beziehung v = 1/ρ als m cp

cp

dT 1 dp 1 dQ˙ − =− . dt ρ dt ρ dz

(5.6)

Mit der potentiellen Temperatur θ ergibt sich aus (5.2):

cp

dθ 1 θ dQ˙ =− . dt ρ T dz

(5.7)

Aus der Form (5.7) lassen sich zwei Spezialfälle ableiten, die bei meteorologischen Prozessen eine wichtige Rolle spielen, nämlich • isobare Prozesse: ersetze θ durch T in (5.7), • adiabatische Prozesse: setze Q˙ = 0 in (5.7). Die Formen (5.6), (5.7) des Ersten Hauptsatzes gelten sowohl f¨ ur trockene Luft als auch f¨ ur feuchte, aber ungesättigte Luft. In letzterem Fall muss man nur die ur das Gemisch feuchte entsprechenden spezifischen Konstanten, z. B. cp und R f¨ Luft einsetzen. Ist die Luft jedoch mit Wasserdampf ges¨ attigt, k¨ onnen Phasenumwandlungen auftreten, so dass zusätzlich die latente W¨ arme ber¨ ucksichtigt werden muss. Dies wird am Ende des Kapitels noch n¨ aher erl¨ autert. Welche Energieströme Q˙ f¨ uhren nun aber in der Atmosph¨ are zu thermodynamischen Zustands¨ anderungen? Hier sind es der Strom f¨ uhlbarer W¨ arme (molekulare oder turbulente W¨ armeleitung) und/oder kurzwellige und langwellige Strahlungsströme. Meist werden diese in der Literatur als Energiestromdichten angegeben (in W m−2 ), auch wenn häufig nur von Strahlungs- oder W¨ armestr¨ omen gesprochen wird. Hierzu folgende Tabelle; die Symbole gelten nicht universell:

54

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Symbol Bezeichnung S˙ k S˙ l ˙ W

Beispiel

Strahlungsstromdichte (kurzwellig) Solarkonstante Strahlungsstromdichte (langwellig) σT 4 (Schwarzer K¨ orper) ˙ W¨ armestromdichte (f¨ uhlbare) W = −λ dT /dz

In den Beispielen sind σ die Stefan-Boltzmann-Konstante (nach den ¨ osterreichischen Physikern J. Stefan, 1835–1893, und L. Boltzmann, 1844–1906) und λ die thermische Leitfähigkeit (molekulare Wärmeleitung). Unter der vereinfachenden Annahme, dass nur Energieströme in vertikaler Richtung auftreten, l¨ asst sich der Erste Hauptsatz damit auch wie folgt schreiben: ⎧

⎫

˙ ⎬ dθ 1 θ ⎨ dS˙ k dS˙ l dW cp =− + + . dt ρ T ⎩ dz dz dz ⎭

(5.8)

Wie man aus (5.8) erkennt, kommt es also f¨ ur eine Temperatur¨ anderung in der Atmosph¨ are nicht auf die Größe der Strahlungs- oder W¨ armestromdichten selbst an, sondern auf die Divergenzen der Stromdichten. Dies ist nichts anderes als die Aussage zur Erl¨ auterung von δQ am Anfang dieses Abschnittes, dass es auf die Netto-Energiezufuhr ankommt, wenn man den Zustand eines Systems ändern will. F¨ ur die praktische Durchf¨ uhrung einer Temperaturprognose mit Hilfe von (5.8) ben¨ otigt man noch die Strahlungsströme S˙ k und S˙ l selbst. Dies ist aber keineswegs ein triviales Problem, sondern erfordert umfangreiche Rechnungen, besonders f¨ ur die langwellige Strahlung, was zu einer Spezialdisziplin in der Meteorologie gef¨ uhrt hat (Atmosphärische Strahlung). An dieser Stelle soll deshalb die rechte Seite von Gleichung (5.8) nur anhand eines einfachen Beispiels behandelt werden; vielmehr sei auf die weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen. Im allgemeinen kann gesagt werden, dass die kurzwellige Solarstrahlung nur in geringem Umfang in der Atmosphäre selbst absorbiert wird. Vielmehr gelangt der größte Teil zum Erdboden und wird dort im globalen Mittel zu etwa 70 Prozent absorbiert. 30 Prozent werden wieder in den Weltraum zur¨ uckgestreut, so dass die sogenannte planetare Albedo der Solarstrahlung etwa 0,3 betr¨ agt. Wie tr¨ agt nun aber die Solarstrahlung zur Erw¨ armung der Atmosph¨ are bei? Dies geschieht hauptsächlich indirekt, indem der Erdboden durch die Sonneneinstrahlung erw¨ armt wird und dann wie eine Art Heizplatte f¨ ur die dar¨ uberliegende Atmosph¨ are wirkt. Die Erwärmung der unteren Luftschichten geschieht durch molekulare und turbulente Wärmeleitung (letztere wird ausf¨ uhrlich in Kapitel 21 ˙ behandelt), welche unter dem Symbol W im Ersten Hauptsatz (5.8) aufgef¨ uhrt ist. Es verbleibt in (5.8) noch, die Wirkung der langwelligen Strahlung (Schwarzkörperstrahlung) zu erklären. Prinzipiell gibt jede Materie Energie in Form langwelliger Strahlung entsprechend dem Stefan-Boltzmann-Gesetz


55

W (5.9) m2 K4 ab bzw. kann sie langwellige Strahlung anderer Körper absorbieren. Der Faktor α in (5.9) gibt den Emissions- bzw. Absorptionsgrad an, der von den Materialeigenschaften abh¨ angt (der Maximalwert α = 1 ergibt sich f¨ ur den Schwarzen K¨ orper). Neben festen K¨ orpern (z. B. der Erdoberfläche) emittieren und absorbieren auch Gase die langwellige Strahlung. In der Atmosphäre sind dies haupts¨ achlich Wasserdampf und CO2 . Da diese Gase in der Atmosph¨ are eine starke r¨ aumliche und zeitliche Variabilität aufweisen, kann man leicht einsehen, dass die Wirkung der Divergenz der langwelligen Strahlungsstromdichte (Symbol S˙ in (5.8)) nicht so einfach anzugeben ist, sondern vielmehr umfangreiche Berechnungen erfordert (siehe Literatur zur atmosphärischen Strahlung). Es soll daher zum Schluss dieses Abschnitts nur ein einfaches Beispiel zur Wirkung der diabatischen W¨ armequellen im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik (5.8) angef¨ uhrt werden. Wir nehmen an, dass die kurzwellige solare Einstrahlung die Atmosph¨ are ungehindert passiert und nur am Erdboden absorbiert wird. An einem wolkenlosen Sommertag gelangen in unseren Breiten um die Mittagszeit etwa 900 W m−2 zum Erdboden, wovon 30 Prozent wieder reflektiert werden. Somit verbleiben zur Erw¨ armung der Erdoberfläche etwa 630 W m−2 . Die Erdoberfl¨ achentemperatur betrage 15 ◦ C, also T = 288 K, woraus sich f¨ ur die langwellige Ausstrahlung unter der Annahme α = 1 aus (5.9) ein Wert von 390 W m−2 ergibt. Da die solare Einstrahlung f¨ ur die Erdoberfläche einen Energiegewinn, die langwellige Ausstrahlung jedoch einen Energieverlust darstellt, verbleibt als Nettoenergiezufuhr die sogenannte Strahlungsbilanz S˙ = ασT 4 ,

σ = 5,67 · 10−8

|S˙ k | − |S˙ | = ΔS˙

Strahlungsbilanz

(5.10)

u agt in unserem Beispiel ΔS˙ = 240 W m−2 . Mit dieser Energiezufuhr ¨brig. Sie betr¨ könnte man nun den Erdboden unterhalb der Erdoberfl¨ ache mittels molekularer Wärmeleitung erwärmen, was auch tatsächlich geschieht. Wenn wir diesen Effekt einmal vernachl¨ assigen, muss die Erdoberfläche ihre aus der Strahlungsbilanz gewonnene Energie aber wieder abgeben, da in einer Fl¨ ache keine Speicherung von Energie m¨ oglich ist. Dies geschieht nun durch einen W¨ armestrom in die ˙ bezeichnet. F¨ Atmosph¨ are hinein, in (5.8) mit dem Symbol W ur die Energiebilanz der Erdoberfl¨ ache bedeutet dies: ˙ . |S˙ k | − |S˙ | = W

(5.11)

˙ = 240 W m−2 in die Atmosphäre. Gem¨ aß (5.8) kommt es aber Somit gelangen W hinsichtlich der Temperaturänderung auf die Divergenz des W¨ armestromes an, wir ben¨ otigen also die vertikale Verteilung des W¨ armestromes in den unteren Atmosph¨ arenschichten.

56


Dazu nehmen wir zur Vereinfachung an, dass der am Boden eintretende W¨ armestrom bis zu einer Höhe H vollständig in der Atmosph¨ are absorbiert werden soll (was auch tats¨ achlich der Fall ist). Demzufolge haben wir bei z = 0 den W¨ arme˙ ˙ ˙ strom W = W0 , in der Höhe z = H dagegen ist W = 0. Unter der Annahme eines ˙ (z) erhalten wir schließlich aus (5.8): linearen Verlaufs des Wärmestromprofils W

˙ ˙ dθ 1 θ W (H) − W (0) =− . dt ρcp T H

(5.12)

F¨ ur nicht zu große Werte von H (einige hundert Meter) gilt θ ≈ T und somit erhalten wir ˙ (0) 1 W dT =+ . dt ρcp H

(5.13)

Wie groß ist nun die Temperaturzunahme in der Atmosph¨ are, wenn diese entsprechend (5.13) vom Erdboden her erwärmt wird? In unserem Beispiel war ˙ (0) = 240 W m−2 . Es ergibt sich mit ρ = 1,25 kg m−2 und cp = 1005 J kg−1 K−1 W f¨ ur ρ cp ≈ 1250 J m−3 K−1 und somit z. B. dT /dt = 6,9 K h−1

f¨ ur H = 100 m,

−1

dT /dt = 1,4 K h

f¨ ur H = 500 m,

dT /dt = 0,7 K h−1

f¨ ur H = 1000 m.

Vergleicht man die Erwärmungsraten mit gemessenen Werten des Tagesgangs der bodennahen Lufttemperatur, so liegen diese im Bereich von 1 K h−1 . In der realen Atmosph¨ are ändern sich aber sowohl die Strahlungsbilanz und somit der Wärmestrom am Erdboden als auch die Höhe H der erw¨ armten Luftschicht mit der Tageszeit, so dass das hier angef¨ uhrte Zahlenbeispiel nur einen Anhaltspunkt geben kann. Jedoch sind die Beziehungen (5.12) und (5.13) durchaus geeignet, die Temperatur¨ anderung in der bodennahen Atmosph¨ are durch diabatische Prozesse abzusch¨ atzen.

5.3

Zur Beru arme L ¨ cksichtigung der latenten W¨

Wie bereits erw¨ ahnt, gilt der Erste Hauptsatz (5.8) auch f¨ ur feuchte, aber ungesättigte Luft, bei entsprechender Ber¨ ucksichtigung der spezifischen Konstanten. Die bei der Phasenumwandlung von Wasserdampf freiwerdende bzw. ben¨ otigte latente W¨ arme muß man erst dann ber¨ ucksichtigen, wenn die Luft ges¨ attigt ist, Kondensation also u arme im System ¨berhaupt eintreten kann. Da diese W¨

5.3 Zur Ber¨ ucksichtigung der latenten Wärme L

57

(Luftvolumen) selbst latent vorhanden ist, kann man sie nicht unter dem Symbol δQ der von außen zugef¨ uhrten Wärme auff¨ uhren, sondern muss sie vielmehr ¨ wie die Anderung der inneren Energie und die Arbeit behandeln und somit auf die linke Seite des Gleichheitszeichens im Ersten Hauptsatz (5.1) setzen. In der Enthalpieform lautet der Erste Hauptsatz f¨ ur feuchte, aber ges¨ attigte Luft (Phasen¨ uberg¨ ange m¨ oglich): m cp dT − m v dp + m lv dqs = Qz − Qa = δQ .

(5.14)

arme (Kondensationsw¨ arme) Hierbei ist lv die spezifische latente Verdunstungsw¨ attigungsfeuchte). Der Index s und qs die spezifische Feuchte bei Sättigung (S¨ macht deutlich, dass die latente Wärme erst dann in Erscheinung tritt, wenn die Luft ges¨ attigt ist, also die Phasenumwandlung auch stattfindet. Der Zusammenhang zwischen der Sättigungsfeuchte qs und den beiden thermodynamischen Variablen p und T ergibt sich u attigungsdampfdruck ¨ber den S¨ E und die Clausius-Clapeyron-Gleichung: qs =

E , p

(5.15)

lv dT dE = , E Rw T 2

(5.16)

dqs dE dp − . = qs E p

(5.17)

F¨ ur die Verwendung von (5.14) als prognostische Gleichung f¨ ur Temperatur¨ ande˙ wobei f¨ rungen muß man analog zu (5.5) setzen: d → d/dt und Q → Q, ur die Wärmequellen Q˙ die Gleichungen (5.4) und (5.8) gelten. Zur Erreichung der Sättigungsfeuchte qs muß bekanntlich ein Luftvolumen auf die Taupunktstemperatur abgek¨ uhlt werden. Dies kann entweder durch diabatischen W¨ armeentzug (δQ < 0) geschehen, wie z. B. bei der n¨ achtlichen Abk¨ uhlung der bodennahen Luftschicht durch langwellige Ausstrahlung, oder durch adiabatische Temperaturerniedrigung, wie etwa bei der Anhebung von Luftpaketen während einer Berg¨ uberströmung oder bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen. Da gerade die letzteren Phänomene sehr häufig in der Atmosph¨ are auftreten, spielen auch bei Phasen¨ ubergängen adiabatische Prozesse eine große Rolle. F¨ ur feuchte, ges¨ attigte Luft bedeutet ein adiabatischer Prozess, dass kein W¨ armeaustausch mit der Umgebung erfolgt, aber dennoch Energie in Form von latenter W¨ arme freigesetzt wird, was zu einer Temperaturerh¨ ohung f¨ uhren kann. Der Erste Hauptsatz hat dann f¨ ur adiabatische Prozesse die Form cp dT − v dp + lv dqs = 0 , oder mit der potentiellen Temperatur

(5.18)

58


T dθ + lv dqs = 0 . (5.19) θ Aus der Form (5.19) erkennt man am besten den Unterschied zu adiabatischen Prozessen in trockener bzw. ungesättigter Luft: cp

dθ = −

θ lv dqs T cp

> 0 bei Kondensation < 0 bei Verdunstung

(dqs < 0) (dqs > 0)

.

Dies bedeutet, dass die potentielle Temperatur eines Luftvolumens bei Kondensationsvorg¨ ange zunimmt, auch wenn es sich dabei um einen adiabatischen Prozess handelt. Die dazu benötigte Energie wird aber nicht von außen zugef¨ uhrt, sondern ¨ der latenten W¨ arme des Systems selbst entnommen. Die maximale Anderung der potentiellen Temperatur θ erhält man, wenn der gesamte in einem Luftvolumen enthaltene Wasserdampf kondensiert ist, also f¨ ur dqs = −qs . Nehmen wir z. B. f¨ ur die spezifische Feuchte qs den Wert 10 g kg−1 an, so w¨ urde sich f¨ ur die maximal ¨ mögliche Anderung der potentiellen Temperatur ergeben: dθ = 25 K! An diesem Zahlenwert erkennt man, dass die latente Wärme ein sehr großes Energiereservoir f¨ ur atmosph¨ arische Prozesse darstellt.

5.4

Kondensation in der Atmosph¨ are

Eine wichtige Rolle spielt der Prozess der Abk¨ uhlung in einer feuchten Atmosph¨ are, n¨ amlich dann, wenn ein Luftvolumen so stark abgek¨ uhlt wird, dass der darin vorhandene Wasserdampf kondensiert. Betrachten wir diesen Vorgang einmal f¨ ur einen isobaren und zum anderen f¨ ur einen adiabatischen Prozess. Der Abk¨ uhlungsprozess lässt sich in einem Zwei-Phasen-Diagramm f¨ ur den Dampfdruck e und die Temperatur T wie in Bild 5.2 darstellen. ...... E(T ) ... . ... .. WasserWasser . . .. .. ... dampf .. .... .. .. .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........B.......... .................................................................................A .. •....... .......... .......... e(T ) . ...•..... .. . .... ...... . . . ... . .... .. . . . . . .. ... . ... . .. . . . . . . . . . . .. . ... . . . . .. ... ..... ... . .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... . .................................................................................................................................................................. Te TE T e

Bild 5.2 Phasendiagramm zur Kondensationsbildung. TE bezeichnet die Taupunktstemperatur.

5.4 Kondensation in der Atmosphäre

59

Die Luft wird von der Temperatur Te isobar bis zur Temperatur TE abgek¨ uhlt. Der Dampfdruck e(TE ) entspricht jetzt dem Sättigungsdampfdruck E(TE ). Bei der Temperatur TE kann der in der Luft vorhandene Wasserdampf kondensieren. Ein bekanntes Phänomen der Kondensation durch Abk¨ uhlung ist die Taubildung in Erdbodennähe. Deshalb nennt man auch diejenige Temperatur, auf die man ein Luftvolumen abk¨ uhlen muss, damit erstmals Kondensation eintritt, Taupunktstemperatur. Die eben beschriebenen isobaren Abk¨ uhlungsvorg¨ ange treten vorwiegend in den unteren Luftschichten auf, wodurch neben der Taubildung auch die Entstehung des Nebels durch den Kondensationsprozess mittels Abk¨ uhlung beschrieben werden kann. Als Hauptursachen f¨ ur die Abk¨ uhlung sind die im vorigen Abschnitt erw¨ ahnte langwellige Ausstrahlung und die W¨ armeleitung anzusehen. Man spricht daher im ersteren Fall auch von Strahlungsnebel und meint damit die mit der Abk¨ uhlung einer feuchten Luftmasse durch Ausstrahlung verbundene Kondensation des Wasserdampfes, der sich in Form von Nebel ausbildet. Eine andere Möglichkeit der Abk¨ uhlung ist diejenige, bei der eine feuchte, warme Luftmasse u ¨ber einen kalten Untergrund streicht und sich dabei durch Wärmeleitung mit dem Boden abk¨ uhlt. Wenn es dabei zur Kondensation kommt, entsteht der sogenannte Advektionsnebel. Er kommt z. B. in der k¨ alteren Jahreszeit an den K¨ usten vor, wenn wärmere Luft vom Meer auf das kalte Festland gelangt (advehiert wird) und sich dort abk¨ uhlt. Eine weitere Art der Nebelbildung ist der Mischungsnebel, bei dem die Abk¨ uhlung nicht durch Wärmeentzug verursacht wird, sondern durch Vermischung zweier Luftmassen unterschiedlicher Temperatur und Feuchte. Hier hat man es also mit einem adiabatischen Prozess zu tun. Am einfachsten l¨ asst sich dieser Vorgang anhand des e,T -Diagramms in Bild 5.3 verdeutlichen. Die Luftmasse 1 mit dem Dampfdruck e1 und der Temperatur T1 wird mit der Luftmasse 2 mit e2 und T2 vermischt. Die sich einstellende Mischungstemperatur Tm und der Mischungsdampfdruck em liegen im e-T -Diagramm auf der Linie 1 ↔ 2, je nach Massenverhältnis. Ist dabei der Mischungsdampfdruck em (Tm ) . e ....... Wasser E(T ) . .. e2 ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ................•........ 2 ... ....... . ... Kondensation ..................... .... ... ...... .. Wasser.. m¨ oglich ....................... .................... .... . .. .. .. . . . . . dampf em ........... ........ ........ ........ ........ ..............•.................. ... .. ........ ... ... . . ...... .... . . . . ... ..... . . ... ............... ..... ... ... ...................... .. ... ... .. e1 ........... ........ ........ ....•........ .. ... 1 . ... . .... .... . ... .. ... .. ... .. .. ... ... . ............................................................................................................................................................. .. T1 Tm T2 T

Bild 5.3 Phasendiagramm f¨ ur die Luftmassenmischung

60


größer als der S¨ attigungsdampfdruck E(Tm ), so tritt Kondensation ein. Man erkennt an der Darstellung, dass Kondensation durch Mischung nur unter speziellen Verh¨ altnissen f¨ ur die beteiligten Luftmassen auftreten kann. Deshalb sind die Mischungsnebel seltener als die anderen Arten der Nebelentstehung. Außer durch Entzug von Wärme kann ein Luftvolumen auch adiabatisch abgek¨ uhlt werden, und zwar durch Volumenexpansion oder durch Druckerniedrigung. F¨ ur einen adiabatischen Prozess gilt ja die Beziehung T = θ(p/p0 )κ , d. h. bringt man ein Luftteilchen von seinem Ausgangsdruck p0 auf einen niedrigeren Druck p, so verringert sich auch seine Temperatur T . Wenn die Druckerniedrigung so groß wird, dass die Taupunktstemperatur erreicht wird, findet Kondensation statt. Wie l¨ asst sich nun in der Atmosphäre eine adiabatische Temperatur¨ anderung durchf¨ uhren? Eine Druckabnahme findet z. B. statt, wenn man ein Luftvolumen in Richtung der freien Atmosphäre anhebt und gew¨ ahrleistet, dass der Luftdruck des Teilchens in jeder Höhe dem Luftdruck der Umgebungsluft entspricht. Da gem¨ aß der statischen Grundgleichung der Druck mit der H¨ ohe abnimmt, nimmt auch bei adiabatischer Verschiebung die Temperatur eines Teilchens mit der H¨ ohe ab. Wodurch wird nun aber ein Luftpaket zum Aufsteigen bewegt? Hier sind es zwei Effekte, welche daf¨ ur verantwortlich sind: Einmal die erzwungene Anhebung bei einer Luftstr¨ omung an einem Berg und zum anderen das Aufsteigen eines erwärmten Luftpaketes infolge der Konvektion bei labiler Temperaturschichtung. In beiden F¨ allen kann es bei gen¨ ugender Feuchtigkeit der Luft und entsprechender Temperaturerniedrigung in der Höhe zur Kondensation kommen, was man dann als Wolkenbildung bezeichnet. Betrachten wir diese beiden F¨ alle adiabatischer Abk¨ uhlung: In Bild 5.4 wird die feuchte Luft in Bodennähe wird durch die Str¨ omung am Berg zum Aufsteigen gezwungen, wobei sie sich adiabatisch abk¨ uhlt (und zwar feuchtadiabatisch, d. h. in der Adiabatengleichung h¨ angt der Wert von κ = R/cp noch von der spezifischen Feuchte der Luftmasse ab). Wird dabei die Taupunktstemperatur TE erreicht, kommt es zur Kondensation und damit zur Wolkenbil. z ....... ... p(z) κ ... T (z) = θ .. p0 ... ... ... ... .. ...... ... .... .... ... .... . ... ... Hebungs– ....... .. ..... ...... ..... ... Kondensation . . ... ....... . . . . . . .............................................................. . .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ..........kondensa– ...... ............. .... .. ............... ............. . .............. ..... . ... .. tions– ................................................ ........ . ... . . .. . . . . . . niveau ..... . . . . ... ... ... ... . . ... ........ . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . .. . . . . . .... ..... ... ... ... .... .... .... .... ............................................................................................ . . .... ...... ... . . . . . ... feuchte .............................................. ....... ................................................. ............ . . .. . .......................................................................... . ................................................ ... . ... ...... . Luft . ............................................ . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .......................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... TE T0 T .................................................... Bild 5.4

Kondensation durch Hebung an einem Hindernis

5.5 Der Treibhauseffekt

61

...... . . ... .. ... Adiabate ... ... ... ... ... .... ... ... .... ........ . . . . . .. . ... .... . Kumulus– .......... . . . . . . . . . ... Kondensation . ............... . ... ........... .......... ............ .......... ............... .......... kondensa– ... . ............................................................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... . ..... . . . . . . . ...... ....... ... . ... ... .......... tions– .. .. .. . .. . . . ...... ....... . niveau ... ...... .... .... .. ... .. ... ..... .... ... ...... ... .... .. .... . ... feuchte ...... .............. ... Tu (z) ... .... ........................ TTeilchen ............ ............. ............ ............ ..... ... ............ .... .. Luft .. ... ........................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... TE T0 T .................................................... z

Bild 5.5 Kondensation durch den Aufstieg warmer Luft. F¨ ur eine labile Schichtung gilt ∂Tu /∂z < −Γ, wobei Tu die Umgebungstemperatur ist.

dung. Die H¨ ohe, in welcher aufgrund der erzwungenen Anhebung der Luftmasse erstmals Kondensation eintritt wird als Hebungskondensationsniveau bezeichnet. Eine andere M¨ oglichkeit der adiabatischen Abk¨ uhlung ergibt sich, wenn die Atmosph¨ are labil geschichtet ist (Bild 5.5). Wird in diesem Fall ein Luftpaket in Bodenn¨ ahe nach oben ausgelenkt, so ist es wärmer als seine Umgebung (Temperatur Tu ) und steigt den Auftriebsgesetzen gem¨ aß in die H¨ ohe (diese werden in Abschnitt 6.4 eingehend behandelt). Dabei k¨ uhlt es sich adiabatisch ab und kann gegebenenfalls die Taupunktstemperatur erreichen, so dass Wolkenbildung durch Kondensation erfolgt. Die Höhe, in der bei dieser Methode der Anhebung von Luftpaketen erstmals Kondensation eintritt, nennt man Kumuluskondensationsniveau. Die in diesem Abschnitt eher qualitativ beschriebenen Vorg¨ ange, die zur Nebelund Wolkenbildung f¨ uhren, sollen lediglich einen Einblick in thermodynamische Prozesse geben, die in der Atmosphäre ablaufen. Deshalb wird an dieser Stelle auf eine quantitative Beschreibung, also auf das Aufstellen der physikalischen Gleichungen, verzichtet werden. Es sei lediglich angemerkt, dass gerade die Physik der Kondensationsvorgänge und der Wolkenbildung recht kompliziert ist und diese in einem Spezialzweig der Meteorologie, der Wolkenphysik, ausf¨ uhrlich behandelt werden (siehe Literaturverzeichnis).

5.5

Der Treibhauseffekt

Zum Abschluss des Kapitels u are ¨ber thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ soll noch kurz der sogenannte Treibhauseffekt erl¨ autert werden, der im Zusammenhang mit der Diskussion um k¨ unftige Klima¨ anderungen auch in den Medien häufig Erw¨ ahnung findet. Dazu schätzen wir im Folgenden die globale mittlere Lufttemperatur in der Nähe der Erdoberfläche ab. Diese Temperatur, im Folgenden mit Tm bezeichnet, ergibt sich aus der Mittelung u ache sowie ¨ber die Erdoberfl¨ u ¨ber das Jahr. Aus Letzterem folgt: d Tm /dt = 0 und auch d pm /dt = 0 (pm =

62


mittlerer globaler Bodendruck). Somit muss entsprechend dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (5.3)die Nettoenergiezufuhr δ Q˙ verschwinden. Nehmen wir zunächst an, dass die Atmosphäre f¨ ur kurzwellige solare Einstrahlung (S) und langwellige terrestrische Ausstrahlung (L) v¨ ollig durchl¨ assig ist. Dann entspricht die Gleichgewichtstemperatur Tm gerade der mittleren Temperatur der Erdoberfläche. Da die Nettoenergiezufuhr verschwindet, muss ein Gleichgewicht zwischen der globalen solaren Einstrahlung (S) und terrestrischen Ausstrahlung (L) herrschen, die sogenannte Strahlungsbilanz ist ausgeglichen, d.h. es gilt: S = L. Die prinzipiellen Verhältnisse sind in Bild 5.6 dargestellt.

Bild 5.6 Prinzipielle Energieströme in Form kurzwelliger solarer Einstrahlung (S) und langwelliger terrestrischer Ausstrahlung (L).

Die gesamte, von der Sonne auf die Erde auftreffende Solarstrahlung betr¨ agt S = πR2 So (Einheit: Watt), wobei R der Erdradius und So die Solarkonstante, d.h. der pro Fl¨ acheneinheit einfallende solare Energiestrom (Einheit : Wm−2 ) ist. Diese Energiezufuhr muss nun auf die Erdoberfl¨ ache verteilt werden, da ja ein globales Mittel der Oberflächentemperatur betrachtet werden soll. Die Gr¨ oße der Erdoberfl¨ ache beträgt 4πR2 und somit wird pro Fl¨ acheneinheit der Erde im Mittel an solarer Strahlung zugef¨ uhrt: Sm = So /4 . Die Erdoberfl¨ ache absorbiert aber nicht alle einfallende Sonnenstrahlung sondern reflektiert einen Teil wieder in den Weltraum zur¨ uck. Den Anteil der reflektierten Strahlung bezeichnet man als Albedo (α). Im Endeffekt wird der Erdoberfl¨ ache somit an kurzwelliger Strahlung zugef¨ uhrt: Sm =

So (1 − α) . 4

Dieser Energiegewinn wird durch langwellige thermische Ausstrahlung kompensiert (Bild 5.6). Nimmt man an, dass die Erdoberfl¨ ache ein perfekter Schwarzstrahler ist, so gilt f¨ ur die terrestrische Ausstrahlung pro Fl¨ acheneinheit (Lm ):

5.5 Der Treibhauseffekt 4 Lm = σ Tm

63 ,

σ = 5,67 · 10−8 W/(m2 K 4 ) .

σ ist die bereits in Abschnitt 5.2 eingef¨ uhrte Stefan-Boltzmann Konstante. Die mittlere Gleichgewichtstemperatur der Erdoberfl¨ ache ergibt sich somit aus: S0 4 (1 − α) = σ Tm . (5.20) 4 Setzt man f¨ ur die Albedo einen typischen Wert α = 0.3 und f¨ ur die Solarkonstante den mittleren Wert S0 = 1370W m−2 in (5.20) ein, so erh¨ alt man Tm ≈ 255K = −18◦ C. Aus Messungen ergibt sich aber ein Wert von Tm ≈ +15◦ C, d. h. die mittels (5.20) errechnete globale Mitteltemperatur ist um etwa 33◦ C zu niedrig. Woran liegt das nun? Wir hatten anfangs vorausgesetzt, dass kurz- und langwellige Strahlung die Atmosph¨ are ungehindert durchdringen. Dies ist aber keineswegs der Fall, vielmehr können die in der Atmosphäre vorhandene Gase Strahlung reflektieren, streuen und absorbieren. Die zum Teil komplexen Strahlungsgesetze werden ausf¨ uhrlich in den zu diesem Kapitel zitierten Lehrb¨ uchern behandelt. Hier sei nur angedeutet, dass der Einfluss der Atmosphäre auf die solare Einstrahlung u ¨ber die Albedo α ber¨ ucksichtigt wird. Die langwellige Ausstrahlung wird haupts¨ achlich durch Wasserdampf (besonders Wolken), CO2 , O3 und andere gasf¨ ormige Spurenstoffe bestimmt. Diese Gase strahlen quasi wie schwarze K¨ orper. Die Atmosph¨ are strahlt somit sowohl in den Weltraum aus als auch zur Erdoberfl¨ ache zur¨ uck. Letzteres nennt man langwellige Gegenstrahlung(Lg). F¨ ur die Strahlungsbilanz der Erdoberfl¨ ache bedeutet dies, dass der Erdoberfl¨ ache aus der Atmosph¨ are auch langwellige Strahlung zugef¨ uhrt wird, die Netto-Ausstrahlung also verringert wird. Es ergibt sich bei Ber¨ ucksichtigung der Strahlungswirkung der Atmosph¨ are nunmehr statt (5.20): So 4 (1 − α) = σ Tm − Lg . (5.21) 4 Die Wirkung der Atmosphäre auf die langwellige Strahlung nennt man den Treibhauseffekt. Man meint damit, dass ein Teil der von der Erdoberfl¨ ache ausgehenden langwelligen Strahlung durch die Atmosph¨ are zur¨ uckgestrahlt wird und somit zur Erwärmung der unteren Atmosph¨ arenschichten f¨ uhrt. Die langwellige Gegenstrahlung beträgt im globalen Mittel nach Messungen etwa 150 Wm−2 . Setzt man diesen Wert in (5.21) ein, so erhält man f¨ ur die globale Mitteltemperatur in Bodenn¨ ahe: Tm ≈ 288K = 15◦ C. Dieser Wert stimmt mit den Beobachtungen gut u aß (5.20) ¨berein. Aus dem Vergleich der Mitteltemperaturen gem¨ und (5.21) kann man die Strahlungswirkung der in der Atmosph¨ are vorhandenen ¨ Spurengase (dabei vor allem Wasserdampf) erkennen. Man kann ohne Ubertreibung formulieren, dass der sogenannte Treibhauseffekt, also die atmosph¨ arische Gegenstrahlung, erst ein f¨ ur das Leben auf der Erde f¨ orderliches Klima bewirkt.

64


Die zur Zeit diskutierte Problematik einer k¨ unftigen Zunahme der globalen Mitteltemperatur auf Grund anthropogner Freisetzung der sogenannten Treibhausgase (z.B. CO2 , O3 , Methan, etc.) kann in erster N¨ aherung u ¨ber die Strahlungsbilanz (5.21) verstanden werden. Die langwellige Gegenstrahlung Lg h¨ angt u.a. von der Strahlungswirksamkeit und der Gesamtmasse der einzelnen Luftbeimengungen (Spurengase) ab. Obwohl die Strahlungsphysik des Treibhauseffektes recht komplex ist, kann man grob sagen, dass die langwellige Gegenstrahlung proportional zur Masse der in der Atmosphäre vorhandenen strahlungswirksamen Gase ist. Eine Zunahme dieser Gase, z.B. durch menschliche Aktivit¨ aten, f¨ uhrt zu einer erhöhten Gegenstrahlung und somit entsprechend (5.21) zu einer erhöhten mittleren bodennahen Temperatur Tm . Man spricht daher auch gelegentlich von dem anthropogen verursachten zus¨ atzlichen Treibhauseffekt. In der realen Atmosphäre sind die Wechselwirkungen allerdings viel komplexer als dies durch die einfache Strahlungsbilanz (5.21) beschrieben wird. Eine erh¨ ohte Temperatur hat z.B. eine höhere Verdunstung und somit eine h¨ aufigere Wolkenbildung zur Folge. Wolken wirken aber als Reflektoren der solaren Einstrahlung und erh¨ ohen dadurch die globale Albedo (α) in (5.21). Dies w¨ urde wieder zu einer Erniedrigung der Mitteltemperatur Tm f¨ uhren. Trotz dieser Komplexit¨ aten kann der Begriff Treibhauseffekt in erster Näherung u ¨ber die Strahlungsbilanzen (5.20) und (5.21) erklärt werden.

6 6.1

Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are Das Geopotential

Wirkt auf einen Körper mit der Masse m nur die Gravitationskraft, so erf¨ ahrt dieser eine Beschleunigung, welche durch das Newtonsche Axiom (nach I. Newton, englischer Mathematiker, Physiker und Astronom, 1643–1727) gegeben ist durch: bg = Kg /m , bg = Erdbeschleunigung, Kg = Gravitationskraft. Diese Beschleunigung, auch Erdbeschleunigung genannt, ist zum Erdschwerpunkt gerichtet und h¨ angt vom Abstand der betrachteten Masse von der Erdoberfl¨ ache und (wegen der Erdabplattung und Zentrifugalbeschleunigung) auch von der geographischen Breite ab. Diese Abhängigkeit ist allerdings geringf¨ ugig (≈ 1%) und soll daher f¨ ur die uns interessierenden Probleme in der Meteorologie vernachl¨ assigt werden. Man erhält als mittleren Wert f¨ ur den Betrag der Erdbeschleunigung, der mit g bezeichnet wird: g = 9,80665 m s−2

Erdbeschleunigung.

(6.1)

Betrachten wir nun die potentielle Energie, im weiteren mit Ep bezeichnet, die ¨ ein K¨ orper der Masse m im Schwerefeld der Erde besitzt. Die Anderung von Ep bei Verschiebung des Körpers entgegen der Richtung der Schwerkraft ergibt sich zu: dEp = −Kg · dr = mg dr = mg dz . r ist hierbei der Radiusvektor, welcher vom Erdmittelpunkt ausgeht. Das negative Vorzeichen vor dem Skalarprodukt ergibt sich daraus, dass die potentielle Energie zunimmt, wenn man die Masse gegen die Richtung der Gravitation bewegt, also dr antiparallel zu Kg steht. In der obigen Beziehung ist bereits angenommen worden, dass die Richtung von r mit der Vertikalkoordinaten z u ¨bereinstimmt, die senkrecht zur Erdoberfläche steht, was trotz der nichtsph¨ arischen Gestalt des Erdk¨ orpers angenähert zutrifft. Die Integration der angegebenen Beziehung ergibt f¨ ur die potentielle Energie: Ep (z) − Ep (z0 ) = m g (z − z0 ) .

(6.2)

Hierbei ist E(z0 ) die Referenzenergie in der Höhe z0 . Man hat nun festgelegt, dass diese Referenzenergie in einer Höhe z0 gleich Null sein soll und als diese Referenzh¨ ohe das Meeresniveau (NN) mit z0 = 0 gew¨ ahlt. Es ergibt sich also f¨ ur die potentielle Energie einer Masse m im Schwerefeld der Erde in bezug auf das Meeresniveau:

66

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

Ep (z) = mg z .

(6.3)

Im weiteren wollen wir die Vertikalkoordinate mit z bezeichnen und als Nullpunkt, z = 0, das Meeresniveau (NN) wählen. Bezieht man die potentielle Energie auf die Einheitsmasse 1 kg, so kann man eine neue Größe definieren, das Geopotential Φ Φ ≡ Ep /m = g z

Geopotential.

(6.4)

Das Geopotential hat die Dimension einer Energie pro Masseneinheit, also [Φ] = 1 m2 s−2 . Die Abh¨ angigkeit des Geopotentials von der H¨ ohe z ergibt sich aus (6.4) auch zu: dΦ/dz = g .

(6.5)

Da wir g als konstant annehmen wollen, ist Φ proportional zur H¨ ohe, weshalb man in der Meteorologie das Geopotential auch als H¨ ohenmaß verwendet. Man definiert als geopotentielles Meter zgpm : zgpm ≡ Φ/9,80665

geopotentielles Meter, in m2 s−2 .

(6.6)

¨ Die zahlenm¨ aßige Ubereinstimmung zwischen geometrischem und geopotentiellem Meter ist exakt. Eine Angabe einer Höhendifferenz in geopotentiellen Metern ist daher gleichbedeutend mit der Angabe einer auf die Erdbeschleunigung normierten Geopotentialdifferenz. In der Praxis wird das geopotentielle Meter bei der Angabe der Höhen von Druckflächen verwendet. Es ist in den sogenannten Höhenwetterkarten nicht der Druck in einer bestimmten H¨ ohenfläche (z. B. 5 km) dargestellt, sondern die H¨ ohe einer bestimmten Druckfl¨ ache, z. B. 500 hPa.

6.2

Die statische Grundgleichung

In diesem und den folgenden Abschnitten interessieren wir uns f¨ ur die Struktur der Atmosph¨ are in der Vertikalen, d. h. f¨ ur den Verlauf thermodynamischer Gr¨ oßen wie Druck, Temperatur oder Dichte mit der H¨ ohe. Zun¨ achst betrachten wir den Luftdruck als Funktion der Höhe, wobei wir zun¨ achst voraussetzen wollen, dass die Druckflächen u ¨berall horizontal verlaufen, also parallel zur Erdoberfl¨ ache. In diesem Fall sind keine horizontalen Druckunterschiede vorhanden; es k¨ onnen also auch keine Bewegungen durch Druckkr¨ afte hervorgerufen werden. Diesen Fall nennt man deshalb auch hydrostatisch, was soviel wie ruhend besagt. F¨ ur den Druck p1 in der Höhe z1 gilt

6.2 Die statische Grundgleichung

67

...... .. z = H .... .......................................................................................... p = 0 . . .. ..... ..... .... M 1 ........ ... .... . . .... . . z1 ... ................................................................................. p1 ... F ... ... z2 .... .......................................................................... p2 ... ... z = 0 ............................................................................... p(z = 0) z

Bild 6.1 Zur Herleitung der statischen Grundgleichung

p1 =

Kg,1 , F

wobei Kg,1 die Gewichtskraft der Luftmasse M1 oberhalb z1 und F die Fl¨ ache unter der Luftmasse M1 ist, wie in Bild 6.1 gezeigt. Mit der Erdbeschleunigung g gilt dann weiter: Kg,1 = M1 g , so dass M1 g . F Allgemein gilt f¨ ur den Druck p in einer beliebigen H¨ ohe z entsprechend: p1 =

p(z) =

M (z)g . F

Die Masse der Luftsäule oberhalb z bis zu einer H¨ ohe z = H, in der keine Masse mehr vorhanden ist, der Druck also verschwindet, bestimmt sich aus der Massenverteilung m(z) zu: M (z) = −

z H

dm(z ) = −

z H

ρ(z ) dV = −

z

ρ(z )F dz .

H

Hierbei ist die Massenänderung dm durch die Dichte¨ anderung mittels ρ = m/V ersetzt worden, wobei dV = F dz und F die oben angegebene Fl¨ ache ist. Es ergibt sich insgesamt f¨ ur den Druck in der Höhe z: p(z) = −g

z H

ρ(z ) dz .

(6.7)

68


Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, dass p(z = H) = 0 gilt. Das negative Vorzeichen des Integrals in (6.7) und in den vorhergehenden Integralen r¨ uhrt daher, dass die z-Koordinate positiv nach oben definiert ist, während der Druck p und auch die Masse M von z = H nach unten hin zunehmen. Man erkennt aus (6.7), dass der Luftdruck um so größer wird, je weiter man sich dem Erdboden n¨ ahert. Dort, also bei z = 0, lastet das gesamte Gewicht der Luft oberhalb des Bodens auf der Grundfl¨ ache F , weshalb der Luftdruck am Boden seinen Maximalwert hat. Um nun aber die Druckänderung mit der Höhe an einer beliebigen Stelle in der Atmosph¨ are bestimmen zu können, ist man an einer differentiellen Beziehung zwischen Druck und Höhe interessiert. Man erh¨ alt diese aus der Differentiation von (6.7) nach der Vertikalkoordinaten z: dp(z) = −gρ(z) . (6.8) dz Die Beziehung (6.8) wird als statische Grundgleichung bezeichnet, da sie die vertikale Druckverteilung in einer ruhenden, also statischen Atmosph¨ are beschreibt. An dieser Stelle noch eine Bemerkung zum Gebrauch der Differentiale dp und dz in (6.8). Die Herleitung f¨ ur die statische Grundgleichung geschah zun¨ achst f¨ ur horizontal orientierte Druckflächen, so dass der Druck in diesem Fall nur von der Vertikalkoordinaten z abhing. Die statische Grundgleichung ist aber auch dann erf¨ ullt, wenn ein dreidimensionales Druckfeld vorliegt, wo also p = p(x,y,z) ist. Man betrachtet dann jeweils f¨ ur einen Punkt x,y,z die oberhalb dieses Ortes liegende Lufts¨ aule und deren Gewicht auf eine Fl¨ ache F in der H¨ ohe z. In Bild 6.2 sind zwei zweidimensionale Druckfelder p(x,z) dargestellt, wobei im linken Beispiel die Druckflächen parallel liegen, aber der Bodendruck p(z = 0) sich in der Horizontalen ändert. Im rechten Bildteil h¨ angt zwar der Bodendruck p0 nicht von der horizontalen Koordinate ab, aber in der H¨ ohe variiert p mit x. In einem solchen Fall muss bei der Anwendung der statischen Grundgleichung die partielle Ableitung des Druckes nach der Ortskoordinaten z verwendet werden: z ...... p(x,z) ... ... ............. p = 0 ............................ . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................... .......... p1 .. ............................ ... ...................................................... ............ p2 ............ ................................ ............................................................ ............ p3 .. ................................ ............................................................ ........... p4 .. ............................... .................................................................................................................................... p(z=0) = p(x) x Bild 6.2

z ....... p(x,z) ... ..................... . . . . . . . . . ... . . ............... .... ................... p = 0 ................................. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................................... ............... p1 ... ..................................................................................................... p2 ... .................................................................................................... p3 .. .................................................................................................... p4 .................................................................................................................. p(z=0)=p0 =konstant x

Beispiele f¨ ur zweidimensionale Druckfelder


69

∂p(x,y,z) ∂p = = −gρ . (6.9) ∂z ∂z Da wir es in der Meteorologie im allgemeinen mit Druckfeldern zu tun haben, welche von allen drei Raumkoordinaten abhängen, wollen wir im folgenden die statische Grundgleichung in der Form (6.9) verwenden. Unser urspr¨ ungliches Anliegen, den Luftdruck als Funktion der H¨ ohe zu bestimmen, k¨ onnen wir mit Hilfe von (6.9) aber nur durchf¨ uhren, wenn wir die Dichteverteilung mit der Höhe kennen. Dies ist in der Praxis allerdings nur selten der Fall, weshalb die Dichte der Atmosphäre meist auf die Lufttemperatur zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Dies wird weiter unten noch n¨ aher erl¨ autert werden. Nehmen wir aber zun¨ achst als Beispiel den einfachsten Fall, n¨ amlich den konstanter Dichte, ρ(z) = ρ0 = konstant. Hier lässt sich (6.9) integrieren: ∂p = −gρ0 ∂z

=⇒

p(z) − p(H) = g (H − z) ρ0 .

Hierbei soll z = H die Obergrenze der Atmosphäre sein, also die H¨ ohe, in welcher der Luftdruck verschwindet: p(z=H)=0. Damit ergibt sich:

p(z) = g ρ0 (H − z) = g ρ0 H 1 −

z H

.

(6.10)

Es ist aber f¨ ur z = 0 gemäß (6.10): p(z = 0) = g ρ0 H = p0 , so dass man auch schreiben kann:

p(z) = p0 1 −

z H

,

p0 = Bodendruck.

(6.11)

Da der Druck am Boden am größten ist, nimmt gem¨ aß (6.11) der Druck mit der Höhe linear ab. In der Atmosphäre ist die Dichte nat¨ urlich nicht mit der H¨ ohe konstant, aber da die statische Grundgleichung auch f¨ ur Fl¨ ussigkeiten gilt, wird z. B. durch (6.11) die Druckverteilung in einer Wassers¨ aule beschrieben, wobei man die Dichte in etwa als konstant annehmen kann. F¨ ur den angenommenen Fall konstanter Dichte l¨ asst sich aber aus (6.10) f¨ ur die Atmosph¨ are ein Anhalt gewinnen, wie hoch eigentlich die Atmosph¨ are hinaufreicht, wie groß also H ist. Es ergibt sich: H=

p0 gρ0

Höhe der homogenen Atmosph¨ are.

(6.12)

Nehmen wir als mittleren Bodendruck 1000 hPa und als Dichte 1,2 kg m−3 an, so ergibt sich als Höhe der homogenen Atmosph¨ are: H = 8500 m. Wenn man bedenkt, dass die reale Atmosphäre eine geringere Dichte hat, da diese mit der Höhe abnimmt, so gibt die Höhe der homogenen Atmosph¨ are eine untere Grenze f¨ ur die H¨ ohe der wirklichen Atmosphäre an.

70


F¨ ur die Atmosphäre lässt sich die statische Grundgleichung so umformen, dass die Luftdichte mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase eliminiert wird: p = ρRT , wobei zunächst die trockene Luft betrachtet wird: ∂p gp =− ∂z RT oder ∂ ln p g =− . (6.13) ∂z RT Der Druckverlauf mit der Höhe kann durch (6.13) bestimmt werden, wenn das vertikale Temperaturprofil T (z) bekannt ist. In der Praxis erh¨ alt man z. B. T (z) aus Radiosondenaufstiegen, worauf noch in einem sp¨ ateren Abschnitt eingegangen wird. F¨ ur den einfachen Fall einer isothermen Atmosph¨ are (T =konstant=T0 ) l¨ asst sich (6.13) integrieren. Man erhält:

ln

p p0

=−

gz , p0 = p(z = 0) RT0

Bodendruck

oder

p(z) = p0 exp −

g z RT0

isotherme Atmosph¨ are.

(6.14)

Wo liegt nun die Obergrenze der isothermen Atmosph¨ are? Sie liegt dort, wo der Luftdruck verschwindet, wo also p(z) = 0 ist. Dies ist f¨ ur (6.14) nur m¨ oglich f¨ ur z → ∞. Die isotherme Atmosphäre gibt als anderes Extrem sozusagen die maximal m¨ ogliche Höhe f¨ ur die Atmosphäre an. Man kann aber angeben, wie hoch derjenige Teil der Atmosphäre liegt, bei dem der Druck gerade auf die H¨ alfte des Bodendruckes p0 abgefallen ist. Oberhalb und unterhalb dieses Niveaus liegt also jeweils die H¨ alfte der Gesamtmasse der Atmosph¨ are, weshalb man diese H¨ ohe auch Halbwertsh¨ ohe nennt. Es ist

ln

p0 2p0

= ln

1 2

=−

g H1 RT0 2

oder H1 = 2

RT0 ln 2 g

Halbwertshöhe isotherme Atmosph¨ are.

(6.15)

Mit T0 = 273 K ergibt sich H 1 ≈ 5 500 m. Nimmt man p0 = 1000 hPa an, so 2 läge das 500-hPa-Niveau gerade in der Höhe z = H 1 , also in etwa 5,5 km H¨ ohe, 2 was ein guter Anhaltswert f¨ ur die reale Atmosph¨ are ist. Nehmen wir als letztes einfaches Beispiel den Fall, dass die Lufttemperatur linear mit der H¨ ohe abnimmt, d. h.


71

T (z) = T (z = 0) − γz ,

γ = konstant.

Mit diesem Temperaturprofil ergibt sich f¨ ur den Verlauf des Luftdruckes mit der Höhe aus (6.13) die Beziehung

p(z) = p0

T (0) − γz T (0)

g γR

polytrope Atmosph¨ are,

(6.16)

die man auch als polytrope Atmosph¨ are bezeichnet. Man k¨ onnte f¨ ur spezielle Temperaturprofile T (z) noch weitere L¨ osungen der statischen Grundgleichung (6.13) angeben, jedoch geben die Beziehungen (6.14) f¨ ur die isotherme und (6.16) f¨ ur die polytrope Atmosph¨ are schon eine sehr gute Darstellung f¨ ur die Abnahme des Druckes mit der H¨ ohe in der realen Atmosph¨ are. Betrachten wir als ein Beispiel f¨ ur eine polytrope Atmosph¨ are die sogenannte US-Standardatmosph¨ are. Diese bezieht sich auf die mittleren atmosph¨ arischen Verh¨ altnisse bei 45o nördlicher Breite und geht von st¨ uckweise konstanten Temperaturgradienten aus. Dieser beträgt z. B. in der Troposph¨ are γ = 0,65 K/100 m bis zu einer Höhe von 10 km. In der dar¨ uberliegenden Stratosph¨ are ist die Temperatur zunächst bis 20 km höhenkonstant, also γ = 0, und nimmt dar¨ uber mit γ = 0,1 K/100 m bis zu einer Höhe von 30 km zu. Der vertikale Temperaturverlauf in der US-Standardatmosph¨ are ist in Bild 6.3 dargestellt. Man kann mit Hilfe der statischen Grundgleichung (6.13) die Temperatur sowohl als Funktion der Höhe als auch als Funktion des Druckes darstellen. Den Zusammenhang zwischen Druck und Höhe erhält man aus (6.16), wenn man dort den Temperaturverlauf der US-Standardatmosph¨ are einsetzt. Als Resultat ergibt sich die sogenannte Druck-H¨ ohen-Kurve, die ebenfalls in Bild 6.3 dargestellt ist. h h . . [km] ...... [km] ...... . . . . 30 .... 30 ........ .. .. .... .. .... ... ... .... .. . .. ... ..... ... . ... . ... .. ... .. .... Stratosph¨ are 20 .... 20 .. .. ... ... ... ... ... ... .. .. .... ... ... ... ... ... . ... ... ........ ..... .............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... . ...... Tropopause ... . 10 .... 10 . . ...... ... . ... ...... . . ... ...... ... ... ... . ...... Troposph¨ a re . .. ... ...... ... ... ...... ... ... . ..... . . 0 ............................................................................................................................................... 0 ...................................................................................................................... T [K] 200 250 300 10 100 1000 p [hPa] Bild 6.3 Vertikalprofil der Lufttemperatur und des Luftdruckes f¨ ur die US-Standardatmosph¨ are 1962.

72


Praktisch kann man somit aus Druck- und Temperaturmessungen mittels der statischen Grundgleichung (6.13) die Höhe des Meßger¨ ates (Radiosonde) u ¨ber dem Erdboden erhalten. Tatsächlich geschieht dies auch in H¨ ohenmessern von Flugzeugen oder f¨ ur Bergsteiger anhand von Standardatmosph¨ aren, etwa der in Bild 6.3 gezeigten US-Standardatmosphäre oder der in der Luftfahrt verwendeten ICAO-Atmosph¨ are.

6.3

Der vertikale Temperaturgradient

Zur Bestimmung des Druckverlaufes mit der Höhe mit Hilfe der statischen Grundgleichung (6.13) war die Kenntnis des Temperaturprofils T (z) notwendig. Obwohl in der realen Atmosphäre viele unterschiedliche Temperaturprofile vorkommen, ohe charakteristisch f¨ ur die sind doch gewisse Verläufe der Temperatur mit der H¨ Struktur der Atmosphäre. So kann man z. B. f¨ ur nicht allzu große H¨ ohenintervalle einen linearen Temperaturverlauf mit der Höhe annehmen, wobei in der Mehrzahl der F¨ alle die Temperatur mit zunehmender Höhe abnimmt. Man charakterisiert ¨ nun die Anderung der Temperatur mit der Höhe durch den Temperaturgradienten γ, welchen man wie folgt definiert: ∂T vertikaler Temperaturgradient. (6.17) ∂z Da typische Gradienten einen Wert von 1 K/100 m haben, wird γ meist in Einheiten von 1 K/100 m angegeben, wobei hier f¨ ur die Dimension der Temperatur die Kelvin-Skala verwendet werden muss, da es sich ja um eine Temperaturdifferenz handelt. Wie groß ist nun der vertikale Temperaturgradient in der Atmosph¨ are? Betrachten wir dazu den bereits im vorigen Abschnitt erw¨ ahnten Fall einer homogenen Atmosph¨ are, d. h. höhenkonstanter Dichte. F¨ ur diesen lautet die statische Grundgleichung: γ≡−

∂p = −g ρ0 . ∂z Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gas trockene Luft soll nun f¨ ur jede H¨ ohe in der Atmosph¨ are gelten, d. h. man denkt sich eine Lufts¨ aule zusammengesetzt aus einer Vielzahl von Luftpaketen, f¨ ur welche jeweils die Zustandsgleichung g¨ ultig ist. Damit l¨ asst sich die statische Grundgleichung wegen p = ρ0 RT f¨ ur die homogene Atmosph¨ are schreiben als ∂p ∂T = ρ0 R = −g ρ0 ∂z ∂z und somit

6.3 Der vertikale Temperaturgradient

γhom = −

∂T ∂z

= hom

g R

73

Temperaturgradient bei konstanter Dichte. (6.18)

F¨ ur eine homogene Atmosphäre nimmt die Temperatur gem¨ aß (6.18) linear mit der H¨ ohe ab, u brigens unabh¨ a ngig davon, wie groß die (konstante) Dichte ist. ¨ Setzt man in (6.18) die bekannten Werte f¨ ur die Erdbeschleunigung g und die Gaskonstante R ein, so erhält man f¨ ur den Temperaturgradienten den Wert γhom = 3,42 K/100 m. Dieser Wert ist viel zu groß im Vergleich zu den tats¨ achlich vorkommenden Temperaturgradienten, die im Zusammenhang mit der US-Standardatmosph¨ are angegeben wurden. Er mag aber als Anhaltspunkt f¨ ur die Gr¨ oßenordnung von γ dienen. Ebenso wie man jeder Höhenschicht in der Atmosph¨ are eine Lufttemperatur T zuordnen kann, kann man auch ein Profil der potentiellen Temperatur angeben. Die potentielle Temperatur in der Höhe z w¨ are dann diejenige Temperatur, welche das in der Höhe z liegende Luftpartikel h¨ atte, wenn man es adiabatisch auf das Druckniveau 1000 hPa bringen w¨ urde. Der Begriff der potentiellen Temperatur, welcher zunächst f¨ ur adiabatische Zustands¨ anderungen von einzelnen Luftvolumina eingef¨ uhrt wurde, soll auch f¨ ur die vertikale Struktur der Lufts¨ aule G¨ ultigkeit haben. Dies hat zur Folge, dass die potentielle Temperatur in einer beliebigen H¨ ohe z mit Hilfe der Adiabatengleichung (3.43) aus der Temperatur und dem Druck in dieser Höhe bestimmt werden kann.

θ(z) = T (z)

p0 p(z)

κ

,

p0 = 1000 hPa ,

κ=

R . cp

(6.19)

Ebenso wie man einen Gradienten der aktuellen Temperatur T bestimmen kann, ist dies auch f¨ ur den Gradienten der potentiellen Temperatur m¨ oglich. Um den Zusammenhang zwischen beiden Temperaturgradienten zu erhalten, differenzieren wir die Adiabatengleichung (6.19) nach der Vertikalkoordinaten z und machen von der statischen Grundgleichung (6.13) Gebrauch: ∂θ ∂z

=

=

θ T

p0 p

κ

∂T ∂ +T ∂z ∂z

∂T κ + g ∂z R

p0 p

κ

=

p0 p

κ

∂T κT ∂p − ∂z p ∂z

und somit θ ∂θ = ∂z T

∂T g + ∂z cp

.

(6.20)

Betrachten wir jetzt ein Luftteilchen, das adiabatisch in der Vertikalen verschoben wird, d. h. seine potentielle Temperatur in jeder H¨ ohe beibeh¨ alt. Wenn der Temperaturverlauf in der Atmosphäre nun so ist, dass das adiabatisch verschobene Luftpartikel in jeder Höhe die gleiche Temperatur hat wie die Umgebungsluft, so ist auch die potentielle Temperatur der Atmosph¨ are gleich derjenigen des

74


betrachteten Partikels, d. h. in diesem Fall θ = konstant. Eine so geschichtete Atmosph¨ are, bei der sich die potentielle Temperatur nicht mit der H¨ ohe ¨ andert, nennt man adiabatisch geschichtet. ∂θ =0 adiabatische Schichtung. (6.21) ∂z Wie verl¨ auft nun aber die aktuelle Temperatur T in einer adiabatischen Atmosph¨ are mit der Höhe? Setzen wir dazu (6.21) in die Beziehung (6.20) ein, so erhalten wir f¨ ur den Temperaturgradienten: Γ≡−

g ∂T = , ∂z cp

θ konstant , Γ adiabatischer Temperaturgradient. (6.22)

Setzt man die Werte f¨ ur g und cp (f¨ ur trockene Luft) in (6.22) ein, so erh¨ alt man f¨ ur Γ: Γ = 0,974 K/100 m ≈ 1 K/100 m .

(6.23)

In einer adiabatisch geschichteten Atmosphäre nimmt die Temperatur um etwa 1 K pro 100 m mit der Höhe ab. Aus (6.20), (6.22) und (6.23) erhalten wir f¨ ur die potentielle Temperatur θ: ∂T < −Γ =⇒ ∂z

∂θ < 0 : θ nimmt mit der H¨ ohe ab. ∂z

∂T = −Γ =⇒ ∂z

∂θ = 0 : θ ist höhenkonstant. ∂z

(6.24)

∂T ∂θ > −Γ =⇒ > 0 : θ nimmt mit der H¨ ohe zu. ∂z ∂z Der Zusammenhang zwischen den Gradienten der aktuellen und der potentiellen Temperatur (6.24) wird noch sehr häufig verwendet werden, besonders im Zusammenhang mit dem Begriff der statischen Stabilit¨ at, der im n¨ achsten Abschnitt behandelt wird. Zur Umwandlung beider Temperaturgradienten gem¨ aß (6.20) muss man noch das Verh¨ altnis θ/T f¨ ur jede Höhe kennen. In guter N¨ aherung kann man aber θ/T ≈ 1 setzen, so dass man vereinfacht schreiben kann: ∂θ ∂T ≈ +Γ . (6.25) ∂z ∂z F¨ ur die in Abschnitt 6.2 erwähnte US-Standardatmosph¨ are ergibt sich z. B. in der unteren Troposphäre wegen ∂T /∂z = −0,65 K/100 m f¨ ur die potentielle Temperatur ∂θ/∂z ≈ +0,35 K/100 m.

6.4 Die statische Stabilität

6.4

75

Die statische Stabilit¨ at

Bisher wurde eine statische Atmosphäre betrachtet, d. h. die Luftmassen befanden sich im Ruhezustand und Bewegungsvorgänge wurden nicht ber¨ ucksichtigt. Bei dem im folgenden behandelten Problem untersuchen wir das Verhalten eines Luftpartikels, das sich in einer statischen Atmosphäre befindet, aber unterschiedliche thermische Eigenschaften wie Temperatur und Dichte besitzt. Die Eigenschaften des Partikels sollen im folgenden mit dem Index p gekennzeichnet werden, die entsprechenden Werte f¨ ur die Luft der Umgebung sollen ohne Index verwendet werden. Ein Luftpartikel der Masse Mp nehme das Volumen Vp ein. Unterscheidet sich die Masse des Partikels von derjenigen Masse der Umgebungsluft, die durch das Partikel verdr¨ angt wird, so erfährt das Partikel nach dem griechischen Mathematiker und Physiker Archimedes (285–212 v. Chr.) eine Auftriebskraft, welche gegeben ist durch K = (M − Mp ) g

Archimedischer Auftrieb,

wobei K positiv in positiver z-Richtung (nach oben) definiert ist. Durch die Auftriebskraft erf¨ ahrt das Partikel gemäß dem Newtonschen Axiom eine Vertikalbeschleunigung b = d2 z/dt2 , welche nach oben gerichtet ist, wenn das Partikel leichter als die Luft der Umgebung ist, während ein schwereres Partikel nach unten absinkt: K = Mp b = Mp

d2 z = (M − Mp ) g , dt2

t : Zeit .

Dividiert man diese Beziehung durch das Volumen Vp des Partikels, so erh¨ alt man f¨ ur die Auftriebsbeschleunigung ρ − ρp d2 z = g . dt2 ρp

(6.26)

Ein Luftpartikel, welches sich in einer ruhenden Atmosph¨ are befindet, erf¨ ahrt in dieser eine Vertikalbeschleunigung, wenn seine Dichte von derjenigen der Umgebungsluft abweicht. Es wird gemäß (6.27)–(6.28) aufw¨ arts beschleunigt, wenn seine Dichte geringer, und abwärts, wenn seine Dichte gr¨ oßer ist als die der Umgebungsluft. F¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen sollen noch einige Voraussetzungen hinsichtlich der thermodynamischen Variablen getroffen werden: (a) Die Zustandsänderung des Partikels während der Vertikalbewegung soll adiabatisch erfolgen, d. h. die potentielle Temperatur des Partikels soll konstant bleiben. (b) Der Druck p des Luftpartikels soll zu jeder Zeit gleich demjenigen in der Umgebung sein, pp = p.

76


(c) Die Masse des Partikels soll konstant bleiben, d. h. es soll keine Vermischung mit der Umgebungsluft stattfinden. Unter Verwendung der Voraussetzungen (b) und (c) erh¨ alt man aus (6.26) mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: d2 z Tp − T g . (6.27) = 2 dt T Gem¨ aß (6.27) wird ein Luftpartikel nach oben beschleunigt, wenn es w¨ armer als seine Umgebung ist (Prinzip der thermischen Konvektion). Ist das Partikel k¨ alter als seine Umgebung, wird es in tiefere Schichten absinken. Wegen (b) gilt nun aber f¨ ur die potentielle Temperatur auch: κ p0 θ θp = = . Tp T p Dieses in (6.27) verwendet ergibt: θp − θ d2 z g . (6.28) = dt2 θ Betrachten wir jetzt das Verhalten eines Luftpartikels, welches sich zun¨ achst im Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, d. h. gleiche Temperatur und Dichte hat (f¨ ur den Druck ist dies f¨ ur alle Fälle gemäß Voraussetzung (b) angenommen), und welches gegen¨ uber seiner Ausgangslage z0 um die H¨ ohe δz verschoben wird. Der Einfachheit halber wird hierbei angenommen, dass die Umgebungstemperatur einen linearen Verlauf mit der Höhe hat, der Temperaturgradient also konstant ist. Da nach Voraussetzung (a) die Verschiebung des Teilchens adiabatisch erfolgen soll, es seine potentielle Temperatur θp also beibeh¨ alt, ist es zweckm¨ aßig, f¨ ur die Betrachtung der Auftriebskräfte die potentielle Temperatur zu verwenden, also (6.28). Es sollen zwei Fälle betrachtet werden:

(a) Die potentielle Temperatur nimmt mit der H¨ ohe zu

(b) Die potentielle Temperatur nimmt mit der H¨ ohe ab

∂θ >0 . ∂z

∂θ 0 ..... ... .. ∂z

Bild 6.4 Vertikale Temperaturverhältnisse bei stabiler Schichtung. Bei Auslenkung des Luftpaketes um +δz nach oben wird θp < θ(z0 +δz), und es erfährt eine Abwärtsbeschleunigung d2 z/dt2 < 0. Nach unten ausgelenkte Partikel werden nach oben beschleunigt.

Betrachten wir jetzt den anderen Fall, nämlich eine Luftschicht, in welcher die potentielle Temperatur mit der Höhe abnimmt (vgl. Bild 6.5). Im Fall (b) liegen die Verhältnisse nun genau umgekehrt: Wird das Teilchen von seiner Ausgangslage z0 nach oben um δz ausgelenkt, so ist es in der H¨ ohe z0 + δz wärmer als die Umgebung. Es wird deshalb nach oben beschleunigt, d. h. es entfernt sich immer weiter von seiner Ausgangslage. Wird das Teilchen anf¨ anglich um −δz nach unten verschoben, so ist es in der H¨ ohe z0 − δz k¨ alter als die Umgebungsluft, es wird also nach unten beschleunigt und entfernt sich ebenfalls immer weiter vom Ausgangspunkt. Eine solche Situation, in welcher sich ein anf¨ anglich im Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindliches Luftpartikel nach einer Auslenkung von seiner Ausgangslage immer weiter entfernt, nennt man auch instabile oder labile Gleichgewichtslage, und bezeichnet die dazugeh¨ orige Temperaturschichtung als labile Schichtung. In diesem Fall nimmt die potentielle z ...... θp θ(z) .... ..... .... ..... .... .... ..... ... ..... ... .. ..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ z0 + δz ............ ........ ........ ........ ........ ........ ................. ........ •........ .... ... .... .... . . . . ..... ... +δz . .. ... . ............................................................................................................. θ,θp z0 ............................................................................... .... ... .... .... −δz ..... ........ ..... .... .. ... . . z0 − δz ............. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ •............. ........ ....................... ........ ........ ........ ..... .... .... ..... .... ∂θ .... .... .... .... < 0 .. .. .. ∂z

(b)

Bild 6.5 Vertikale Temperaturverhältnisse bei labiler Schichtung. Bei Auslenkung des Luftpaketes um +δz nach oben wird θp > θ(z0 + δz), und es erfährt eine Aufwärtsbeschleunigung d2 z/dt2 > 0. Nach unten ausgelenkte Partikel werden nach unten beschleunigt.

78


Temperatur mit der Höhe ab. Außer den eben erläuterten Fällen ist nat¨ urlich auch derjenige Fall m¨ oglich, bei dem die Atmosph¨ are selbst adiabatisch geschichtet ist, wo also das Luftpartikel auch nach einer Auslenkung von der Ruhelage die gleiche potentielle Temperatur hat wie die Umgebung. In diesem Fall wird das Partikel gem¨ aß (6.28) nicht beschleunigt; vielmehr bleibt es in der Höhe der anf¨ anglichen Auslenkung liegen. Diese Situation wird auch als neutrale oder indifferente Gleichgewichtslage bezeichnet. Die dazugehörende Temperaturschichtung, also h¨ ohenkonstante potentielle Temperatur, nennt man deshalb neutrale Schichtung. Insgesamt haben wir je nach Temperaturschichtung ein stabiles, labiles oder neutrales Gleichgewicht:

∂θ >0 ∂z

stabile Schichtung ,

(6.29)

∂θ =0 ∂z

neutrale oder indifferente Schichtung ,

(6.30)

∂θ 0, im antizyklonalen dagegen a < 0 zu setzen (vgl. Bild 7.4); r ist die Radiuskoordinate. Die Scherungsvorticity f¨ ur diesen Wirbel betr¨ agt

(a)

...................... .......... ....... ....... ......... ... .... ... ...... ....

............................................................ .............. .......... ......... .......... ........ ..... ..... ..... . . . . .... .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .... ............... ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ........ ...... ... . ... . . . . . . . . .... . ... .. .... .... . . . . ... .... .. ... . . ... . . . ... .. ................................ . ... . . . . ... . . . . . . ..... ... ... ..... ... . . . . . . .... ... ... ... ... ... .... . ... . ... ... ... .. ... .... ... .. ... ... ... . .. . ... . ... ... ... . . . . .. . . . ... ... ... . . .. . . . .... . . . ... ... . .. ... ..... . . . . ... ... . . . . ............ ............. . ... ... ........... ... ... .... ... .... ... .... ... .... ..... ... .... ... ...... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . .... . ............................................... .... .... .... .... ..... ..... ...... ..... ......... ........ . . . . . ........... . . . . ....... ............... ......................................................

Bild 7.4 alwirbels

(b)

...................... ................ ........ . .......... ... ... ... . . .........

............................................................ .......... .............. ........ .......... ...... ......... ..... ..... . . . . .... .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .... ............... ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ....... ...... ... . . ... . . . . . . . . .... ... .. .... . . . . . . . . ... .... .. .... . . . ... . . ... .. ................................ . ... . . . . . ... . . . . . . ..... ... ... .. ..... . . . . . . . .... ... ... . ... ... ... ... . ... .... ... ... .. .. ... .... ... . ... ... ... .. .. . .. . ... . . ... ... . . .. . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . .... ... ... . .. ... . ...... . . . ... ... . . . . .................................. . ... ... ... ... .... ... .... ... .... ... .... ..... ... .... ... ...... ... ..... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . .... ... ............................................... .... .... ..... .... ..... .... ...... ..... ......... ....... . . . . . ........... . . . ........ ................. .................................................

Geschwindigkeitsfeld (a) eines zyklonalen, (b) eines antizyklonalen Potenti-

7.4 Die Deformation

93 ζscher = − ζscher

|a| r2

zyklonal , (7.16)

|a| =+ 2 r

antizyklonal ,

und die Kr¨ ummungsvorticity ζkr = +

|a| r2

zyklonal ,

|a| ζkr = − 2 antizyklonal . r Somit ergibt sich aus (7.15) f¨ ur die Gesamtvorticity des Potentialwirbels ζ = ζkr + ζscher = 0

f¨ ur zyklonale und antizyklonale Wirbel.

(7.17)

(7.18)

Die zun¨ achst paradox erscheinende Aussage, dass ein Wirbel keine Vorticity besitzt, kl¨ art sich dadurch auf, dass der Potentialwirbel im Zentrum r = 0 eine Singularit¨ at besitzt. Hier gilt f¨ ur r → 0, dass v → ∞ und somit ζ → ∞.

7.4

Die Deformation

Divergenz und Rotation waren als räumliche Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes erhalten worden. Dabei war die Divergenz ein Skalar (∇ · v) und die Rotation eine vektorielle Größe (∇ × v). Ein weiteres r¨ aumliches Differential des Geschwindigkeitsfeldes stellt die sogenannte Deformation dar, die ein Tensor zweiter Stufe ist. Sie lässt sich in der Indexschreibweise darstellen als (Def)ik =

∂ui ∂uk + . ∂xk ∂xi

(7.19)

F¨ ur eine zweidimensionale Strömung, z. B. in der x-y-Ebene, l¨ asst sich die Deformation gem¨ aß (7.19) wie folgt schreiben: (Def)xy =

∂u ∂v + ∂x ∂y

Deformation.

(7.20)

Zum Vergleich erh¨ alt man in diesem Fall f¨ ur die Divergenz aus (7.8): ∇·v =

∂u ∂v + ∂x ∂y

und f¨ ur die Vorticity entsprechend (7.14):

Divergenz

(7.21)

94

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften ζ=

∂u ∂v − ∂x ∂y

Vorticity.

(7.22)

Man erkennt, dass Vorticity und Deformation eine ¨ ahnliche Struktur besitzen; lediglich ein Vorzeichen ist verschieden.

7.5

Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes

Die in Abschnitt 7.3 eingef¨ uhrte Größe Vorticity ist ein Maß f¨ ur den Drehsinn in einer Str¨ omung, und zwar f¨ ur jeden beliebigen Ort im Str¨ omungsfeld. In diesem Sinne ist die Vorticity eine Feldgröße, sozusagen ein mikroskopisches Maß f¨ ur die Drehung. Nun kann es aber in einer Strömung vorkommen, dass Gebiete mit positiver und negativer Vorticity abwechselnd vorhanden sind, so dass u. U. die Str¨ omung als Ganzes u ¨berhaupt keinen Drehsinn hat. Zur Bestimmung des Drehsinns einer Str¨ omung insgesamt verwendet man als integrales Maß die sogenannte Zirkulation C. Diese ist definiert als: C≡

S

v · ds .

(7.23)

Hierbei ist v ein Geschwindigkeitsfeld und S eine beliebige geschlossene Kurve in diesem Feld, welche eine ebene Fläche F umrandet (Bild 7.5). Die Zirkulation längs einer Kurve S ist also das Integral der Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Tangentenvektors (Tangentialgeschwindigkeit vs ) entlang der geschlossenen Kurve S selbst. Hinsichtlich des Drehsinns hat man vereinbart, dass gilt: ......s.....0......

............................................................................ ............ ............ ........ ......... ...... ....... ....... ..... ....... . . .... . . . . ... ...... . . . . ... ..... . . . ... ... . . .. ... . . . . . . .... .... . ... ... ... ... ... .. ... ... .... . ..... ... ... ... ... ... ... .... ... ... . . ... . ... ..... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ..... ..... ... ........ .. ........ ......... .. .......... ... ........... ... ............. . . ................ .. . ................... . . ... ..................... .................................

......................................

................... ...................

. s0 ......

............. ............... ......

S

.. ......... ...... . . . . . ..

F

................ s0

v

v

..... s ...

..... s0 .... ...

............. ............... ......

.. . ..... ........... ...... s ..... ........ .... ... . . . . . .... . . . ... .. ..... ... . ........ ... .. ..... ........ .... .......... . . 0 ...................................................................................... .. .... n .. .... ... ..... . . . . ......

v

S

Bild 7.5 Darstellung einer Integrationskurve S f¨ ur die Zirkulation in einem Geschwindigkeitsfeld. Im rechten Bildteil ist eine Komponentenzerlegung des Geschwindigkeitsvektors v in eine Normalkomponente vn senkrecht und eine Tangentialgeschwindigkeit vs parallel zur Integrationskurve gezeigt. Es gilt v · ds = vs |ds|.

7.5 Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes

95

C>0

linksdrehend

........... ...... ...... ... ..... ..... ......... ... . ..... ...................

,

C0 Δx

(uψ)2 − (uψ)1 0 ∂t Druck– ............................. anstieg Bild 8.3

. . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... ............. . . . . . . . . ............... ............................ . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .......................... ............ . . . . . . . . .............. ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . ... . ...... . . . . . . . . ... ... . ... ............................ .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ............................ ... ..... ... . . . . . . . . .... ..... .. ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... ..... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............. . . . . . . . . ............... ............................. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ........................... ........... . . . . . . . . ............. ................................ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................ . ... . ..... . . . . . . . . .. ... . ... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

..............................

..............................

..............................

Massendivergenz

vh ρ vh ρ

..............................

............................. ∂p0 0 .... . .. . ∂2v . .. .... . >0 . . . . ... ∂t2 ...... ... .................. . 0 ..................................................................................................................................................................... ....... t .. ...... 2v .. ...... ∂ ..... 0) oder Abk¨ uhlung (∂T /∂t < 0) an einer anderen Stelle verändert, sondern lediglich auf eine unterschiedliche Temperatur¨ anderung (differentielle Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung). In diesem Sinne ist Erwärmung genauso effektiv wie Abk¨ uhlung. Insgesamt lassen sich diese Aussagen dahingehend zusammenfassen, dass eine atmosph¨ arische Str¨ omung (zumindest anfänglich) so gerichtet ist, dass sie versucht, den durch unterschiedliche Erwärmung entstandenen Temperaturgegensatz auszugleichen, d. h. erw¨ armte Luft wird in Gebiete k¨ uhlerer Luft transportiert. Dies ist in Bild 9.4 dargestellt. Hierin kommt ein Prinzip der Natur zum Ausdruck, demzufolge die Richtung vieler physikalischer Vorgänge im Ergebnis zu einem Abbau bestehender Gegens¨ atze f¨ uhrt. In der Gleichung f¨ ur die Vertikalbeschleunigung (9.16) tritt zum vertikalen Gradienten der Erw¨ armung noch ein weiterer Term hinzu, welcher die lokale Temperatur¨ anderung ∂T /∂t mit dem vertikalen Dichtegradienten verkn¨ upft. Dieser

114

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen Anfangsstr¨ omung .................................................................................................

∂2v ∂v >0 >0⇒ ∂t2 ∂t ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................ . . . . . . . . . . .................................................................................. . . . . . . . . . . . . ............... ...................................................... ...................... ............... ...................................................... ............... ..... ...................................................... ............... ..........

∂T >0 ∂t

Erw¨ armung

.................................... ............ ∂T ∇ ∂t

∂T 0) steigt auf (w > 0), abgek¨ uhlte (∂T /∂t < 0) sinkt ab (w < 0). Hierin spiegelt sich das Prinzip der thermischen Konvektion wieder, dass unter dem Einfluss der Schwerkraft w¨ armere Luftmassen aufsteigen, w¨ ahrend kältere Luftmassen absinken. ¨ Die hier angestellten Uberlegungen zur Ursache von Bewegungsvorg¨ angen in der Atmosph¨ are gelten zunächst nur f¨ ur die Initialbewegung einer zun¨ achst ruhenden Atmosph¨ are nach einer anfänglichen Temperatur¨ anderung. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse, dass nämlich die sich einstellenden Str¨ omungen so gerichtet sind, dass sie einen Temperaturausgleich herbeif¨ uhren, haben auch im weiteren Verlauf der Bewegungsvorgänge ihre G¨ ultigkeit. Die Luftstr¨ omungen erfahren lediglich Modifikationen durch Reibungskr¨ afte und den Einfluss der Erdrotation. Letztlich ist die treibende Kraft aller Luftbewegungen jedoch die unterschiedliche Aufheizung der Atmosphäre durch die Sonneneinstrahlung, wobei die Unterschiede entweder im Kleinräumigen durch Land-Meer-Kontrast oder im ¨ globalen Maßstab durch die unterschiedliche Einstrahlung an Pol und Aquator verursacht werden. Das eben Gesagte ist noch einmal in Bild 9.5 illustriert. ∇h p = ∇h T = 0 p1 ..................................................................................................................

∇h.p, ∇h T ................................

∇h p, ∇..h T ...............................

p1 .......................................................................................

............................

p2 ................................................................................................................... p2 .................................................................................................................. dvh dvh . . . . . . . . . ...dt ............................................................ dt = 0 ................................ . . . . . . . . . p . . . . . . ........................... 3 p3 ..................................................................................................................

............. ................................. .................................. ..................................

p1

.............. ................................................... ..................................................

p2

dvh .............dt ................

....

.............. ....................................................................................................

p3

................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... ..............................

Ruhezustand Bild 9.5

..............................

warm

kalt

.............................

kalt

warm

Druckfelder und Beschleunigungen als Folge differentieller Erwärmung

9.4 Die Bernoulli-Gleichung

9.4

115

Die Bernoulli-Gleichung

Es soll jetzt noch eine vereinfachte Form der Bewegungsgleichung besprochen werden, die unter dem Namen “Bernoulli-Gleichung” in der Str¨ omungsmechanik bekannt ist (nach D. Bernoulli, Schweizer Physiker, 1700–1782). Zun¨ achst formen wir den Advektionsterm in der Bewegungsgleichung (9.8) mit Hilfe der Rotation (ω = ∇ × v) um. Entsprechend der Regeln der Vektoranalysis ergibt sich: v2 v · ∇v = ∇ − v × ω (9.17) 2 Die Bewegungsgleichung kann somit auch wir folgt geschrieben werden: ∂v v2 1 − v × ω = −∇ − ∇p − ∇φ ∂t 2 ρ

(9.18)

Wir betrachten jetzt eine stationäre (∂v/∂t = 0) und rotationsfreie (ω = 0) Str¨ omung mit konstanter Dichte ρ0 . F¨ ur diese folgt aus (9.18):

v2 p ∇ + +φ =0 2 ρ0

(9.19)

p v2 + + φ = konstant 2 ρ0

(9.20)

oder:

Beziehungen (9.19) und (9.20) werden als Bernoulli-Gleichungen bezeichnet (abweichende Formen der Bernoulli-Gleichung, z. B. f¨ ur einzelne Stromlinien, findet man in B¨ uchern zur Strömungsmechanik). Die Bernoulli-Gleichung (9.20) läßt sich auf zwei verschiedene Arten hinsichtlich ihrer physikalischen Bedeutung interpretieren. Im ersten Fall entspricht (9.20) der Erhaltung der Gesamtenergie in einer inkompressiblen, rotationsfreien Str¨ omung. Der erste Term, v2 /2 ist die kinetische Energie pro Masseneinheit, der dritter Term, φ = gz, die potentielle Energie pro Masseneinheit. Der zweite Term entspricht der Differenz zwischen spezifischer Enthalpie h und innerer Energie e, wie in Kapitel 3.2 ausgef¨ uhrt wurde. Die zweite Interpretation von (9.20) bezieht sich auf den Zusammenhang zwischen der Str¨ omungsgeschwindigkeit (Windgeschwindigkeit) und dem so genannten “dynamischen Druck”. Hierzu spalten wir den Druck p in (9.20) auf in einen hydrostatischen Anteil ph und einen dynamischen Anteil pd . Der Anteil ph ist auch bei einem ruhendem Medium (v = 0) vorhanden und entspricht dem Gewicht der Fluids¨ aule (Lufts¨ aule) entsprechend der statischen Grundgleichung: ph = p0 − ρ0 gz Hierbei ist p0 der Bodendruck. Es ergibt sich wegen φ = gz:

116

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen p = pd + ph = pd + p0 − ρ0 gz = pd + p0 − ρ0 φ

Diese Beziehung in (9.20) ergibt: ρ0

v2 + pd + p0 = konstant. 2

(9.21)

F¨ ur den Fall, daß der Bodendruck p0 keine räumliche Variation aufweist (z. B. bei kleinr¨ aumigen Strömungen) kann p0 in eine Konstante gezogen werden (jetzt mit c bezeichnet) und es ergibt sich: ρ0

v2 + pd = c 2

(9.22)

Diese Form der Bernoulli-Gleichung wird in der Str¨ omungsmechanik h¨ aufig zur Bestimmung von Druckgegensätzen an Strömungshindernissen angewandt. Vereinfacht dargestellt besagt (9.22), daß in Gebieten mit erh¨ ohter Str¨ omungsgeschwindigkeit der Druck erniedrigt wird, während in Gebieten mit niedriger Geschwindigkeit der Druck erhöht ist. Der Fall einer Druckerniedrigung ist am Beispiel einer Querschnittsverengung (z. B. Taleinschnitt) im Bild 9.6 dargestellt. Der Fall der Druckerhöhung ist auch unter dem Namen “Staudruck” bekannt. Als Beispiel sei das Auftreffen des horizontalen Windes auf eine senkrechte Geb¨ audewand genannt. Hierbei wird die urspr¨ ungliche Windgeschwindigkeit von z. B. u0 fast auf null abgebremst, was sich im so genannten Winddruck (oder Windkraft, da Druck = Kraft pro Flächeneinheit) an der Geb¨ audewand bemerkbar macht.

Bild 9.6 Schematische Darstellung von Druckund Strömungsverhältnissen entsprechend der BernoulliGleichung. Oben: Querschnittsverengung (z. B. Taleinschnitt), unten: Staudruck auf Strömungshindernisse (z. B. Gebäude)

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft

9.5

117

Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft

Die in den vorhergehenden Abschnitten vorgenommene Anwendung des Newtonschen Axioms auf Gravitations- und Druckkraft gilt in einem Inertialsystem. In der Meteorologie beziehen wir die Bewegungen aber auf ein mit der Erde rotierendes Koordinatensystem, weshalb noch der Einfluss der Erddrehung auf das Kräftegleichgewicht ber¨ ucksichtigt werden muss. Betrachten wir dazu die rotierende Erde von einem Inertialsystem aus, dessen Ursprung im Erdmittelpunkt liegt (Bild 9.7). Ein fester Punkt auf der Erdoberfläche, dessen Position durch den Ortsvektor r gegeben ist, hat gegen¨ uber dem Inertialsystem die Geschwindigkeit

dr = vf = Ω × r . (9.23) dt i ur eine Erdumdrehung, so erh¨ alt man f¨ ur die WinkelgeBezeichnet te die Zeit f¨ schwindigkeit der Erde Ω = 2π /te und damit weiter die sogenannte F¨ uhrungsgeschwindigkeit vf als Ωr sin α oder 2π r sin α /te . Darin ist 2π r sin α der Umfang eines Breitenkreises mit der geographischen Breite φ = 90o − α. Der Vektor der F¨ uhrungsgeschwindigkeit steht senkrecht auf dem Vektor der Erdrotation und dem Radiusvektor und ist nach Osten gerichtet. Hat nun ein Luftpartikel relativ zur Erdoberfl¨ ache die Geschwindigkeit ve , so hat dieses im Inertialsystem die Geschwindigkeit vi mit . Ω...... .... .......... ................ .... ............... ..... ..........

z .. ..........i............................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .... ................. ......... ..... ... ....... ..... ...... ...... . ... ......... ..... ....... ... ..... ....... ..... ........ ... λ . ..... ..... . . . . ..... . ..... . . ... . ..... . ..... ..... . . .... ... ....... . .... . . . . . ... ..... .... . . ..... . .... . . ... .... .... ... .. .... ........ ......... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. .... ....... . . . . . ..... ... . ........................ . . . . . . . . . . . . ..... ... .... ... ..... .. ... r sin α ..... . .............. . ...... ....... ... .... ...... ...... ... .... ... ... .... ... ... ... ........ ... ... .. . . . ... ... ..... ......... Ω × r .......... .. ... ... r... ......... ... ... ... ... . ...... ... ... α . .. ... ... ....... . ... ... ... . .. ... ... ... . .. . . .... ... . ... ... ... .. .......... ... ... ... .. . .. ... φ ... . . . ... ... ... .. ... . . . . .......................... ... ... yi ............. .. . . ..... ..... .................. ... ... .... ......... .... ................................ ..... . . . . . ... ................. ...... .... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . ..... ... ... .................... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ................ ... .. ........ .. .. ................ ..... ... ..... .................... ........ ..... .......... .... .. . ..... .... ................. ......... ..... ..... .............. ................ ..... ..... .. ................ ............. .... . . . . . . . . . . . . . . . ............................... ........ . P (xi ,yi ,t = t1 + Δt) ....................... ...................................................... ... .. .... ..... .... . . ,y ,t = t1 ) P (x . . . i i xi ............ Bild 9.7 Das mit der Erde rotierende System der geographischen Koordinaten (λ,φ,z) und das Inertialsystem (xi ,yi ,zi ). Darin bezeichnet φ die geographische Breite, λ die geographische L¨ ange; r ist der Radiusvektor und Ω = |Ω| = 2π/24 h die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation.

118

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

vi = ve + vf = ve + Ω × r .

(9.24)

¨ Betrachten wir die zeitliche Anderung eines Einheitsvektors E auf der Erdoberfläche im Inertialsystem. Es sei E = r1 − r2 , wobei die Radiusvektoren r1 und r2 fest in bezug auf die Erde sein sollen. Es gilt dann:

dE dt

= i

dr1 dt

− i

dr2 dt

= Ω × r1 − Ω × r2 = Ω × (r1 − r2 ) = Ω × E . (9.25) i

¨ Betrachten wir jetzt die zeitliche Anderung eines beliebigen Vektors A im Erdsystem vom Inertialsystem aus, so gilt

dAe dt

d (iAx + jAy + kAz ) dt i dAy dAz di dj dk dAx +j +k = i + Ax + Ay + Az , dt dt dt dt dt dt

=

i

=

dAe dt

=(9.25) Ω × Ae e

also

dAe dt

= i

dAe dt

+ Ω × Ae .

(9.26)

e

Um den Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen im Inertialsystem und im erdfesten System zu erhalten, wenden wir (9.26) auf die Geschwindigkeit vi (9.24) an, wobei die Erdrotation Ω als konstant angenommen werden soll:

dvi dt

= i

=

dve dt dve dt

+ i

+Ω ×

i

=

dve dt

d Ω×r dt

+ Ω × ve + Ω × e

dr dt

i

i

dr +Ω×Ω×r . dt e ve

Unter Fortlassung des Index e f¨ ur das mit der Erde rotierende Koordinatensystem lautet die Beziehung

dvi dt

= i

dv + 2Ω × v + Ω × Ω × r . dt

(9.27)

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft Ω............. ......... . ......................... ............ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. . ....... . ...... . . . ... . .. ..... ..... ... ..... . . . . ..... −Ω × Ω × r r sin α . . . . . ..................................................................................................... ...... ........................................................ . . . ..................... ....... ..... . . . . .... . . . . . . ............................... ......... r ..... .. ... ... α .......................... ..... ... .. ........ φ ........ .. ............. . ...................................................................................................................................... .... .... ................................................................................................................................. ..... . ... . ..... . ... ... . ..... .. ... . .... .... ... .. ... ... ... ..... .. . . ... .... ... .... ..... ... .... ..... . . . .... ..... ... .... ..... ...... ..... . .... . ......... . . . ... . ......................................................... ..

119

Bild 9.8 Zentrifugalbeschleunigung und Erdrotation

...

Die Beschleunigung im Inertialsystem setzt sich zusammen aus der Beschleunigung im Relativsystem (Erde) und zwei Zusatzbeschleunigungen, die nach dem franz¨ osischen Physiker G. G. Coriolis (1792–1843) als Coriolis-Beschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung bezeichnet werden. Eine beschleunigungsfreie Bewegung im Inertialsystem ({dvi /dt}i = 0) ist im Relativsystem nicht beschleunigungsfrei, sondern folgt der Beziehung dv = dt

−2 Ω ×v

CoriolisBeschleunigung

+

−Ω × Ω × r

.

(9.28)

ZentrifugalBeschleunigung

Betrachten wir zunächst, wie in Bild 9.8 dargestellt, die Zentrifugalbeschleunigung. Der Vektor (−Ω × Ω × r) steht senkrecht auf den beiden Vektoren Ω und Ω × r. Da letzterer, wie in Bild 9.7 dargestellt, parallel zu den Breitenkreisen in Ostrichtung verl¨ auft, zeigt die Zentrifugalbeschleunigung von der Erdachse weg. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung ist Ω Ω r sin α, d. h. gleich dem Produkt aus Erdrotation und F¨ uhrungsgeschwindigkeit (siehe (9.23)). Da r sin α der Abstand eines Punktes der Erdoberfläche von der Erdachse ist, hat die Zentri¨ fugalbeschleunigung ihren größten Wert am Aquator und verschwindet an den Polen. F¨ ur Bewegungsvorgänge auf der Erde kann die Zentrifugalbeschleunigung aber gegen¨ uber der Erdbeschleunigung vernachlässigt werden, welche mit der Komponente g sin α dieser entgegenwirkt (Bild 9.8), da eine Absch¨ atzung beider Gr¨ oßen ergibt: |Ω × Ω × r|max = Ω2 r ≈ 3 · 10−2 m s−2 ,

g ≈ 9,8 m s−2 .

120


Ω...... ...... .......... ................ ..................... −2 Ω × .v .... ... ................................................................................ . . .. . ... ..... .... .... v ........ ..

Bild 9.9 Coriolis-Kraft und Geschwindigkeit

Die Zentrifugalbeschleunigung wird aber auch gelegentlich als Korrektur zur Erdbeschleunigung ber¨ ucksichtigt. Betrachten wir die zweite zusätzlich auftretende Beschleunigung, die sogenannte Coriolis-Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf der durch die Vektoren Ω und v aufgespannten Ebene und zeigt – wie aus Bild 9.9 zu entnehmen – auf der Nordhalbkugel nach rechts zur Bewegungsrichtung. Da die Coriolis-Beschleunigung (oder Coriolis-Kraft pro Masseneinheit) senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, wird lediglich die Richtung, nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit geändert. ¨ Dies kann man auch zeigen, indem man die Anderung der kinetischen Energie eines Partikels mit der Geschwindigkeit v durch die Coriolis-Kraft betrachtet:

d v2 dt 2

Cor

= −2 v · Ω × v = −2 Ω · v ×v =0 . =0

Da durch die Coriolis-Kraft die Energie eines Luftpartikels nicht ver¨ andert wird, also keine Arbeit geleistet wird, nennt man die Coriolis-Kraft auch eine Scheinkraft. Die Coriolis-Kraft ist auch erst dann wirksam, wenn schon eine Geschwindigkeit vorhanden ist, im Gegensatz z. B. zur Schwerkraft, die auch auf ruhende K¨ orper wirkt. Die Wirkung von Zentrifugal- und Coriolis-Kraft wurde bisher allgemein in einem Koordinatensystem betrachtet, welches zwar mit der Erde rotiert, aber im Erdmittelpunkt seinen Ursprung hatte. Hinsichtlich der Betrachtungsweise, die wir selbst von den Strömungsverhältnissen auf der Erde haben, und auch f¨ ur Messungen ist es nat¨ urlicher, ein Koordinatensystem zu w¨ ahlen, das an der Erdoberfl¨ ache orientiert ist. Dazu w¨ ahlen wir in Bild 9.10 ein kartesisches Koordinatensystem, welches tangential zur Erdoberfläche orientiert ist und bei dem die x-Achse parallel zu den Breitenkreisen nach Osten weist (x- und y-Koordinate bilden dabei die sogenannte Tangentialebene). In einem solchen System muss man den Vektor der Erdrotation Ω in einen vertikalen und einen horizontalen Anteil aufspalten: Ω = Ω cos φ j + Ω sin φ k . Hierin bezeichnet man f = 2Ω sin φ und f ∗ = 2Ω cos φ

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft ..... Ω ... ....... . ..... ........... y ........... . ............................. ....... ... .... .... .... ... ... . .. .... . . ..... .... . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............ ........................ .... . ................ z ........... ..... . ........... . . . . . . . . . . . . . . ................. .Ω .... .......................... . .... ..... . . . . . . . . . . φ . .. . . . . . . . . . . .......... . ..... . ..... .... ... Ω cos φ j ............................. .... ..... . .. . . ..... .. Ω sin φ k .. ..... ..... ..... .... . . . ..... . .... .. r ... .... ....... .... ... ... .... ..... .......... . . ... . .... . .... . φ ..... .... ..... ............. .. . . . . . ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ..... . ... . .. ..... .. ... ...

121

Bild 9.10 Tangentialebene mit Komponenten der Erdrotation

als Coriolis-Parameter. Die Coriolis-Kraft kann man mit Hilfe der oben getroffenen Aufspaltung des Rotationsvektors in dem vorstehend gew¨ ahlten Koordinatensystem beschreiben durch −2Ω × v = −(f ∗ j + f k) × (ui + vj + wk) = (f v − f ∗ w)i − f uj + f ∗ uk , (9.29) oder, als Determinante geschrieben, i −2Ω × v = − 0 u

j f∗ v

k f w

.

(9.30)

Betrachten wir eine rein horizontale Bewegung (w = 0), so ergibt sich f¨ ur den horizontalen Anteil der Coriolis-Beschleunigung

dvh dt

= f vi − f uj = −f k × vh .

(9.31)

Cor

Ein Teilchen, das sich in der Horizontalen bewegt, wird durch die Coriolis-Kraft nach rechts zur Bewegungsrichtung abgelenkt. Man spricht daher auch von der ablenkenden Kraft der Erdrotation. Welche Bewegung f¨ uhrt nun ein Luftpartikel aus, wenn nur die Coriolis-Kraft wirksam ist? In diesem Fall lauten die Komponenten der Bewegungsgleichungen (9.31): du dv − f v = 0 und + fu = 0 . dt dt Durch Zusammenfassung beider Gleichungen erhalten wir d2 u + f 2u = 0 dt2

und

d2 v + f 2v = 0 . dt2

(9.32)

(9.33)

122


F¨ ur jede Komponente des Geschwindigkeitsvektors erhalten wir eine Schwingungsdifferentialgleichung, deren Lösung allgemein als u(t) = A sin ωt + B cos ωt und v(t) = C sin ωt + B cos ωt geschrieben werden kann. Zur Bestimmung der Konstanten A, B, C und D ben¨ otigen wir Anfangsbedingungen. Als Beispiel wählen wir u = |v| , v = 0

f¨ ur t = 0 .

Damit ergibt sich aus den Bewegungsgleichungen (9.32) du =0, dt

dv = −f |v| dt

f¨ ur t = 0 .

Mit diesen Anfangsbedingungen ergibt sich als L¨ osung u(t) = |v| cos f t , v(t) = −|v| sin f t .

(9.34)

Die L¨ osung der Bewegungsgleichung ergibt somit einen Windvektor, dessen Betrag konstant ist und dessen Richtung sich im Uhrzeigersinn periodisch dreht. Dies ist in Bild (9.11) dargestellt. Die Kreisfrequenz betr¨ agt ω = f und somit die Periode τ=

2π . f

(9.35)

τ bezeichnet man auch als Tr¨ agheitsperiode und den Hodographen des Windvektors als Tr¨ agheitskreis (Bild 9.11). In unseren Breiten (φ = 50◦ N ) betr¨ agt die Tr¨ agheitsperiode wegen f = 2Ω sin φ etwa τ = 14,5 h. Nach dieser Zeit hat das Luftpartikel seine anfängliche Windrichtung wieder erreicht (in unserem Beispiel in Bild 9.11 West). Welchen Weg legt nun das Luftpartikel in dieser Zeit zur¨ uck? Dazu berechnen wir seine Trajektorie. Diese ist gemäß (7.30) definiert durch ...

v ................. . ...................................................... ............ ... ...... . . . . .... ..... .... .... . ..... . ... . . . ... . . .... . ... . . . ... ... . . . ..... ... .... .... ... .. . .... ..... ... .... ... ... .... .... v(t = 0) ................................................. . ... ................................. ........................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ....... ... .. ........... ....... . . . ... . . . . . . . . u . . .. . . . . . . . . ........ . .... ... ... .... ............................................ ... .... ... ... . ... . .. . . . ... ..... ... .. .... .... ......... ... .... . . ....... . .... .... ..... ..... .... ....... ..... . .... ) v(t = 3π . . . . . . . . . 4f ..................................................... .....

Bild 9.11 Der Hodograph des Windvektors f¨ ur eine reine Trägheitsbewegung unter dem Einfluss der CoriolisKraft

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft . y ...... t= 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ............. ... .............................. ... ... ... ... ... ... ... .... ... .................... • ............ ............ ... ......... .... ......... . ........ . . . . . . . ...... ..... .. .. .................. ..... ..... ... ... . .... . . . .... ... .......... .. ... ... ... . ...... ........ ..... . . . . . . . . . ... ........ . . . . . ... . ........ .. . R ....... . . ... . . . . . .. .... ... ......... ......... ... ......... . . . . . .. . . ... ....... . . . ... . . . . π . . ............ t = 2f y0 ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..•......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..•................ • ... .. ... ... ... ... . .. ... ... ... ... . ... .... ... ... ... . ... ... . .. ... ... . . . . .. ... . . . . ... . ... . .... ... ... .. ..... ... ..... ..... .... .. ..... . . . .. . . .. ..... ... ..... ...... ... ......... ...... . . . . . . . ... . . .......... .. .. .......... .................................................................................•.................................................. ... ........................................................................................................................................................................... x0 x

123

Bild 9.12 Die Trajektorie eines Luftpartikels unter dem Einfluss der reinen Coriolis-Kraft: Trägheitskreis mit dem Radius R = |v|/f

t

x(t) = x(t = 0) +

t

u(t) dt und y(t) = y(t = 0) + 0

v(t) dt . 0

Wählen wir f¨ ur den Zeitpunkt t = 0 als Anfangsbedingung x = x0 und y = y0 + |v|/f , so ergibt sich mit (9.34): x(t) = x0 +

|v| sin f t , f

(9.36)

y(t) = y0 +

|v| cos f t . f

(9.37)

Die Partikelbewegung stellt somit einen Kreis um den Punkt (x0 ,y0 ) mit dem Radius |v|/f dar (Bild 9.12). Diesen nennt man auch den Tr¨ agheitskreis und bezeichnet R=

|v| f

(9.38)

als den Tr¨ agheitsradius. Unter dem Einfluss der Coriolis-Kraft kann sich ein Luftpartikel ohne Einwirkung anderer Kräfte also h¨ ochstens um den Abstand 2R von seiner Ausgangslage entfernen. Nehmen wir das Beispiel |v| = 10 m s−1 und f = 10−4 s−1 (entsprechend einer geographischen Breite von φ = 45◦ ), so erhalten wir 2R = 200 km. Nat¨ urlich wird man einen reinen Trägheitskreis in der realen Atmosph¨ are kaum beobachten, da stets Druck- und Reibungskräfte wirken, jedoch findet man die Tr¨ agheitsbewegungen im Tagesgang des Windvektors h¨ aufig wieder. Auch Driftbojen im Ozean weisen häufig deutliche Einfl¨ usse des Tr¨ agheitskreises in ihren Trajektorien auf.

124


Die bisher angef¨ uhrten Beispiele zur Wirkung der Coriolis-Kraft galten f¨ ur die nördliche Hemisphäre der Erde. Auf der S¨ udhalbkugel erfolgt die Ablenkung nach links zur Bewegungsrichtung. Dies kommt daher, dass der Vektor der Erdrotation definitionsgem¨ aß zum Nordpol gerichtet ist, während sich das Koordinatensystem auf der Erdoberfl¨ ache mit der geographischen Breite ¨ andert. Auf der S¨ udhalbkugel ist der Winkel φ negativ, was einen negativen Wert des Coriolis-Parameters f zur Folge hat. Damit kehrt sich die Richtung der Coriolis-Beschleunigung in (9.31) um.

9.6

Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System

Die aus dem Newtonschen Axiom gewonnenen Bewegungsgleichungen (9.7), die ur ein Luftpartikel im Inertialsystem gelten, sollen mit Hilfe der Beziehung (9.27) f¨ auf die rotierende Erde u ¨bertragen werden, wobei allerdings die Zentrifugalbeschleunigung vernachlässigt werden soll. Man erh¨ alt dann die sogenannten Eulerschen Bewegungsgleichungen im rotierenden System. dv 1 + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p dt ρ

(9.39)

oder mit der Eulerschen Zerlegung 1 ∂v + (v · ∇) v + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p ∂t ρ

(9.40)

bzw. in Tensorschreibweise ∂ui ∂Φ 1 ∂p ∂ui + uk + εijk fj uk = − − . ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi

(9.41)

In der Form (9.41) gilt f¨ ur den Coriolis-Parameter fj die folgende Aufspaltung: f1 = 0 ,

f2 = f ∗ ,

f3 = f .

Die Gleichungen f¨ ur die einzelnen Komponenten der Beschleunigung erh¨ alt man aus (9.40) f¨ ur das im vorigen Abschnitt beschriebene Koordinatensystem tangential zur Erdoberfl¨ ache durch Multiplikation mit dem jeweiligen Einheitsvektor. Dabei ist die Aufspaltung der Coriolis-Beschleunigung nach (9.29) vorzunehmen. Die Bewegungsgleichungen lauten dann in Komponentenschreibweise:

9.7 Analyse der Bewegungsgleichung

125

∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p +u +v +w − f v + f ∗w = − , ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v +u +v +w + fu ∂t ∂x ∂y ∂z

=−

1 ∂p , ρ ∂y

(9.42)

∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p +u +v +w − f ∗u = − −g . ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z Sehr oft werden die Bewegungsgleichungen nur f¨ ur rein horizontale Str¨ omungen betrachtet, wodurch sie eine etwas vereinfachte Form annehmen. Die Bewegungsgleichungen f¨ ur rein horizontale Strömungen lauten: ∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +v − fv = − , ∂t ∂x ∂y ρ ∂x (9.43) ∂v ∂v ∂v 1 ∂p +u +v + fu = − . ∂t ∂x ∂y ρ ∂y oder in Vektorform, wobei der Index h andeuten soll, dass es sich um horizontale Vektoren in der x-y-Ebene handelt: ∂vh 1 + (vh · ∇h ) vh + f k × vh = − ∇h p . ∂t ρ

9.7

(9.44)

Analyse der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung in der Form 9.40 enthält verschiedene Beschleunigungen bzw. Kr¨ afte, welche die Bewegung von Luftmassen bestimmen. Dabei ist nicht von vornherein klar, ob alle Terme von gleicher Bedeutung sind. Im folgenden soll eine vereinfachte Abschätzung f¨ ur die Größenordnung der einzelnen Terme vorgenommen werden. Die Bewegungsgleichung wird in einen horizontalen und vertikalen Anteil aufgespalten mit v = vh + wk , vh = Horizontalwind, w = Vertikalwind. Dabei wird der horizontale Coriolisparameter f ∗ vernachl¨ assigt:

∂vh ∂vh 1 + vh · ∇h vh + w + f k × vh = − ∇h p ∂t ∂z ρ ∂w ∂w 1 ∂p + vh · ∇h w + w = − −g . ∂t ∂z ρ ∂z

(9.45) (9.46)

Im Folgenden gehen wir von einer stationären Str¨ omungssituation aus, d.h. es gelte ∂vh /∂t = ∂w/∂t = 0. Wir betrachten jetzt ein meteorologisches Ph¨ anomen (z.B. Tiefdruckgebiet oder Kumuluswolke) und versuchen hierf¨ ur, die einzelnen Terme in den Bewegungsgleichungen abzuschätzen. Dazu definieren wir f¨ ur das Ph¨ anomen typische Abmessungen, Geschwindigkeiten und Drucke:

126 U W L H ΔPh ΔPv

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen : : : : : :

Horizontalgeschwindigkeit Vertikalgeschwindigkeit Horizontalerstreckung Vertikalerstreckung horizontale Druckdifferenz vertikale Druckdifferenz

Wir setzen nun in die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung die typischen Werte ein, z.B.: vh · ∇h w ≈

∂w W2 UW , w ≈ . L ∂z H

Es m¨ ussen jetzt zur konkreten Abschätzung der einzelnen Beschleunigungen Zahlenwerte festgelegt werden. Im folgenden f¨ uhren wir diese Absch¨ atzung anhand von 2 Beispielen durch, nämlich f¨ ur ein Tiefdruckgebiet und eine große Kumuluswolke (z.B. Cumulonimbus) : L(km) H(km) U (ms−1 ) W (ms−1 ) ΔPh (hP a) ΔPv (hP a) Tief 1000 10 10 0.1 50 1000 Cumulus 10 10 10 10 5 1000 Tabelle 9.1 Typische Dimensionen, Windgeschwindigkeiten und Druckdifferenzen in einem Tiefdruckgebiet und einer großen Kumuluswolke.

Es handelt sich beim Tiefdruckgebiet um ein großr¨ aumiges Ph¨ anomen (L H) und bei der Kumuluswolke um ein kleinräumiges Ph¨ anomen (L ≈ H). In den nachfolgenden Tabellen sind die Größenordnungen der einzelnen Terme zusammengestellt: vh · ∇h vh Tief 10−4 Cumulus 10−2

w∂vh /∂z 10−4 10−2

f k × vh 10−3 10−3

∇h p 10−3 10−2

1 ρ

Tabelle 9.2 Gr¨ oßenordung der einzelnen Terme der horizontalen Bewegungsgleichung in ms−2 .

vh · ∇ w Tief 10−6 Cumulus 10−2

w ∂w ∂z 10−6 10−2

1 ∂p ρ ∂z

10 10

g 10 10

Tabelle 9.3 Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in der vertikalen Bewegungsgleichung in ms−2 .

9.8 Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten

127

Trotz der etwas groben Abschätzung können doch einige generelle Aussagen getroffen werden. In der Bewegungsgleichung f¨ ur den Horizontalwind vh (Tabelle 9.2) sind beim Tiefdruckgebiet die Feldbeschleunigungen etwa eine Gr¨ oßenordnung geringer als Coriolis- und Druckkraft. Die Windverh¨ altnisse sind somit in erster N¨ aherung durch ein Gleichgewicht zwischen Corioliskraft und Druckkraft bestimmt. Dies wird unter dem Begriff geostrophischer Wind in Kapitel 10 noch ausf¨ uhrlich behandelt. F¨ ur ein kleinräumiges Ph¨ anomen wie den Cumulus ist die Corioliskraft hingegen eine Größenordnung schw¨ acher als die u ¨brigen Terme und spielt daher keine große Rolle. In der Gleichung f¨ ur die Vertikalbewegung w (Tabelle 9.3) f¨ allt auf, dass die Feldbeschleunigungen um einige Größenordnungen kleiner sind als Schwerebeschleunigung g und vertikale Druckkraft. Die Letztgenannten sind von der gleichen Gr¨ oßenordnung, nämlich 10 ms−2 . Da Schwerkraft und vertikale Druckkraft entgegengesetzt gerichtet sind, ergeben sich die Feldbeschleunigungen aus kleinen Unterschieden zweier großer Kräfte. Andererseits sind in einem Tiefdruckgebiet die Vertikalbeschleunigungen etwa um 4 Gr¨ oßenordnungen geringer als in einer Kumuluswolke. Man kann daher bei großr¨ aumigen Vorgängen die Vertikalbeschleunigung in der Bewegungsgleichung (9.46) vernachl¨ assigen. Somit kann in diesen Fällen der Luftdruck mit sehr guter Approximation durch die statische Grundgleichung ∂p/∂z = −gρ bestimmt werden. Zum Abschluss soll noch auf das Verhältnis von horizontaler und vertikaler Geschwindigkeitskomponenten bei atmosphärischen Bewegungsvorg¨ angen eingegangen werden. Betrachten wir der Einfachheit halber eine inkompressible Str¨ omung. F¨ ur diese gilt die Kontinuitätsgleichung in der Form ∇ · v = 0 und somit: ∇h · vh = −

∂w . ∂z

Eine Skalenanalyse dieser Kontinuitätsgleichung gem¨ aß der oben gemachten Vorgehensweise ergibt: U W ≈ L H

oder

W H ≈ . U L

F¨ ur ein großr¨ aumiges Phänomen (z.B. Tief) gilt H/L 1 und somit W U . F¨ ur ein kleinr¨ aumiges Phänomen (z.B. Cumulus) gilt H/L ≈ 1 und somit W ≈ U .

9.8

Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten

Die in Abschnitt 9.6 aufgestellten Bewegungsgleichungen gelten in einem kartesischen Koordinatensystem, welches tangential zur Erdoberfl¨ ache orientiert ist. Will man jetzt Bewegungsvorgänge beschreiben, die sich u angen¨ber mehrere L¨ oder Breitenkreise erstrecken, muss man die Kugelgestalt der Erde in angemessener Weise ber¨ ucksichtigen. Man kann dies z. B. durch ein Koordinatensystem

128


.... Ω ... ....... ....................... ........... . ........... .. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . ... ..... ...... ..... ..... ...... .... ..... ... ... . ...... .... ... . . . . . .. . . . . j ........ k.............. ..... .... . ... .... ........ . .. . . . ........................... ... .. ..... . .... ..... ... ... .... r.................. ......... i ..... .... .... . . .. . . . . ... ... ... . ... .. ..... ... ................................ .... .................................... .... ......................... ................. ... .... ........................................................................................................................................................... ......... .........................................φ ............ . ... ........ ... ................. . ..... . . . ... ...... . . . . . . . . . . . . . . ..... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................λ .. . . ... ....................................................... ................. ................................ . .... .......................................................................................................................................................... ... .. ..... ... .... ... .. . . ... ..... .. .... ... ... .... ... . . .... ..... .... .... ... ..... .... ..... . . ...... . . .... .... .. ........ ....................... ....................................... ....... .... ..

Bild 9.13 Die Kugelkoordinaten

tun, welches an der Kugel orientiert ist. Diese sogenannten Kugelkoordinaten oder sph¨ arische Koordinaten werden meist bei der Beschreibung globaler Bewegungsvorg¨ ange verwendet. Bild 9.13 zeigt ein solches Koordinatensystem. Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Erdmittelpunkt, die Koordinaten sind der Abstand vom Erdmittelpunkt r, die geographische L¨ ange λ und die geographische Breite φ. Zwischen den bisher verwendeten kartesischen Koordinaten (nebenstehend durch die Einheitsvektoren i, j, k repr¨ asentiert) und den Kugelkoordinaten besteht folgender Zusammenhang: dx = r cos φ dλ , dy = r dφ , dz = dr . F¨ ur die Geschwindigkeiten in Kugelkoordinaten gilt entsprechend: u = r cos φ dλ/dt ,

v = r dφ/dt ,

w = dr/dt .

Die Bewegungsgleichungen (9.42) kann man durch Koordinatentransformationen auch in Kugelkoordinaten erhalten. Die Herleitung dieser Form der Bewegungsgleichungen soll an anderer Stelle erfolgen; es werde hier lediglich das Ergebnis dargestellt. Die Eulerschen Bewegungsgleichungen lauten in Kugelkoordinaten:

9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System

129

du uv uw 1 1 ∂p − tan φ + − f v + f ∗w = − dt r r r cos φ ρ ∂λ

,

u2 vw dv + tan φ + + fu dt r r

1 ∂p rρ ∂φ

,

1 ∂p ρ ∂r

−g .

dw u2 + v 2 − dt r

=

−

− f ∗u =

−

(9.47)

Die in den obigen Gleichungen auftretenden individuellen Zeitableitungen der Geschwindigkeitskomponenten lassen sich in Kugelkoordinaten wie folgt mit der Eulerschen Zerlegung darstellen: du ∂u u ∂u v ∂u ∂u = + + +w , dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r dv ∂v u ∂v v ∂v ∂v = + + +w , dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r

(9.48)

dw ∂w u ∂w v ∂w ∂w = + + +w . dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r Die Gleichungen (9.47) zusammen mit den Beziehungen (9.48) entsprechen den Bewegungsgleichungen in kartesischen Koordinaten (9.42). Die zweiten und dritten Terme auf der linken Seite von (9.47), die in kartesischen Koordinaten nicht auftreten, ergeben sich aus der Geometrie des verwendeten Kugelkoordinatensystems; sie werden deshalb auch metrische Zusatzterme genannt.

9.9

Die Bewegungsgleichungen im p-System

Bisher wurde ein Koordinatensystem verwendet, bei welchem die vertikale Koordinate z der H¨ ohe u ¨ber NN entsprach. Nun hat es sich von der praktischen Seite der Beobachtungen her ergeben, dass die aufgrund von Radiosondenmessungen erhaltenen Daten u ur H¨ ohenstufen ¨ber Temperatur, Wind, Feuchte usw. nicht f¨ z =konstant geliefert werden, sondern f¨ ur Werte gleichen Druckes, also auf sogenannten Druckfl¨ achen. Wenn die im vorigen Abschnitt aufgestellten Bewegungsgleichungen f¨ ur die numerische Wettervorhersage verwendet werden sollen, ist es daher zweckm¨ aßig, ein solches Koordinatensystem zu w¨ ahlen, welches als Vertikalkoordinate den Druck selbst anstelle der Höhe verwendet. Die horizontalen Koordinaten x und y w¨ urden dann entlang Flächen p =konstant verlaufen. Ein solches Koordinatensystem nennt man p-System. Der Unterschied zwischen dem x-y-z-System und dem x-y-p-System ist in Bild 9.14 veranschaulicht. Wichtig ist hierbei, dass die Einheitsvektoren i, j, k in p- und z-System die gleichen sind. Es wird lediglich f¨ ur die vertikale Koordinate in Richtung von k

130


eine andere Z¨ ahlung verwendet: eine Länge im z-System wird durch einen Druck im p-System ersetzt. Wegen des Nullpunktes f¨ ur den Luftdruck, der ja gerade f¨ ur die gr¨ oßte H¨ ohe erreicht wird, ist im p-System die Vertikalkoordinate nach unten gerichtet. Um die im z-System abgeleiteten Gleichungen auf das p-System u ¨bertragen zu können, muss eine eindeutige Beziehung zwischen den beiden Systemen hergestellt werden. Dies geschieht, indem man die statische Grundgleichung als g¨ ultig voraussetzt, welche ja die Druckänderung mit der H¨ ohe wiedergibt: ∂p = −gρ ∂z ,

(9.49)

∂p = −ρ ∂Φ .

(9.50)

oder mit dem Geopotential Φ:

Wie bereits in Abschnitt 9.2 beschrieben, lässt sich die statische Grundgleichung aus der Bewegungsgleichung f¨ ur die vertikale Geschwindigkeitskomponente w ableiten, wenn man voraussetzt, dass dw/dt = 0 erf¨ ullt ist. Aufgrund der kinematischen Randbedingung w = 0 an der Erdoberfl¨ ache w¨ urde dies strenggenommen bedeuten, dass die Luftpartikel u ¨berhaupt keine Vertikalgeschwindigkeit besitzen, dass also w = 0 gilt. Man will mit dem p-System jedoch atmosph¨ arische Str¨ omungen beschreiben, die auch vertikale Bewegungen enthalten. Deshalb wird die G¨ ultigkeit der statischen Grundgleichung auch dann angenommen, wenn nur geringe Vertikalbeschleunigungen auftreten, so dass gilt: dw/dt ≈ 0. Dies ist f¨ ur großr¨ aumige Bewegungen der Fall, bei denen die Vertikalgeschwindigkeit im Bereich von 0,1 m s−1 liegt (zum Vergleich: in einer Kumuluswolke kann die Vertikalgeschwindigkeit Werte um 4 m s−1 erreichen, in einer Gewitterwolke sogar 30 m s−1 ). Die im folgenden aufgestellten Bewegungsgleichungen im p-System sind deshalb nur auf großr¨ aumige Bewegungsvorgänge, etwa in Zyklonen oder Antizyklonen, anwendbar. Wegen der Definition von z- bzw. p-System gilt . z ....... ... p .. ...................................................................1................................. ... . ... . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . . z2 . ........... ............................. ... p = konst. ... .................................................. .. ............. ........ ......... . ....... . . . . . . . . . . . . . z1 ...................................................................................................................................................................................................................................... z = konst. .. p2 ... ...................................................................................................... x 0 z–System

0 ....................................................................................................... x ... z2 .... ............................ .................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1 ...................... ... p = konst. ... ..................................................................................................... ... . ................................. p2 .............................................................................................................................................................................................................................................................. . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ................ z z = konst. 1 . ...... p p–System

Bild 9.14 Darstellungen von Druckflächen im z- und p-System. Gezeigt sind je zwei Flächen mit konstanter Höhe z bzw. mit konstantem Druck p.


∂z ∂x ∂p ∂x

= z

= p

∂z ∂y ∂p ∂y

131

=0

oder ∇z z = 0 ,

=0

oder ∇p p = 0 .

z

p

Hierbei bedeutet der Index z bzw. p, dass die Ableitung nach x bzw. y jeweils f¨ ur z =konstant bzw. p =konstant zu erfolgen hat. Um die Gradienten einer skalaren Größe ψ vom z-System in das p-System zu u uhren, gehen wir vom totalen Differential aus. Es gilt: ¨berf¨ ψ(x,y,p) = ψ (x, y, z(x,y,p))

und

dψ|z = dψ|p .

Die Indizes z und p geben dabei das jeweilige Koordinatensystem an. Das Ausdifferenzieren der totalen Differentiale ergibt

dψ(x, y, p) =

∂ψ ∂ψ ∂ψ dp , dx + dy + ∂x p ∂y p ∂p

sowie

dψ (x,y,z(x, y, p)) =

+

∂ψ ∂ψ ∂z + dx ∂x z ∂z ∂x p ∂ψ ∂ψ ∂z + dy ∂y z ∂z ∂y p

+

∂ψ ∂z dp . ∂z ∂p p

Durch Koeffizientenvergleich erhält man

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂z = − , ∂x z ∂x p ∂z ∂x p

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂z = − , ∂y z ∂y p ∂z ∂y p

(9.51)

(9.52)

∂ψ ∂ψ ∂p = . ∂z z ∂p ∂z p

(9.53)

Setzen wir zum Beispiel ψ = p, so erhalten wir f¨ ur die Druckgradienten ∂p ∇h z|p ∂z und daraus wegen ∇h p|p = 0 und ∂p/∂z = −gρ ∇h p|z = ∇h p|p −

(9.54)

132


∇h p|z = gρ ∇h z|p

(9.55)

und somit f¨ ur die Druckkraft D=−

1 ∇h p|z = −g ∇h z|p ρ

(9.56)

oder mit dem Geopotential Φ = gz 1 D = − ∇z p = −∇p Φ . ρ

(9.57)

Während man im z-System die Druckkraft aus dem Gradienten des Druckes auf einer Fl¨ ache z =konstant erhält, ergibt sich diese im p-System durch den Gradienten der H¨ ohe einer Druckfläche p =konstant, hier ausgedr¨ uckt in geopotentiellen Metern. Die letztere Darstellungsweise findet man aber gerade auf den H¨ ohenkarten der verschiedenen Druckflächen. Dort ist f¨ ur einen konstanten Druckwert, z. B. 700 hPa, 500 hPa usw., die Höhe bzw. das Geopotential dieses Druckwertes f¨ ur einen bestimmten Ort (x-, y-Koordinate) angegeben. Bevor die Form der Bewegungsgleichungen im p-System angegeben wird, soll noch auf die Vertikalgeschwindigkeit eingegangen werden. Als Vertikalgeschwin¨ digkeit wird die individuelle zeitliche Anderung der Vertikalkoordinate definiert, z. B. im z-System w = dz/dt

Vertikalgeschwindigkeit im z-System (w > 0: Aufwärtsbewegung, w < 0: Abw¨ artsbewegung).

Im p-System wird die Vertikalgeschwindigkeit wie folgt definiert: ω = dp/dt

Vertikalgeschwindigkeit im p-System (ω > 0: Abwärtsbewegung, ω < 0: Aufw¨ artsbewegung). (9.58) Die mit der Bewegungsrichtung verbundene Umkehrung des Vorzeichens gegen¨ uber w r¨ uhrt daher, dass der Druck mit der H¨ ohe abnimmt, und daher ein aufsteigendes Luftteilchen eine Druckerniedrigung mit der Zeit erfährt (dp/dt = ¨ ω < 0). Ubrigens sei daran erinnert, dass ω keine Geschwindigkeit mit der Dimension m s−1 ist, sondern die Dimension Druck/Zeit besitzt! Mit der Vertikalgeschwindigkeit ω ergeben sich der Nabla-Operator und die Advektion im p-System zu: ∇p = i

∂ ∂ ∂ +j +k , ∂x ∂y ∂p

v · ∇p = u

∂ ∂ ∂ +v +ω . ∂x ∂y ∂p

(9.59)

Auf die vollst¨ andige Herleitung der Bewegungsgleichungen im p-System soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden; hier sei lediglich das Ergebnis angegeben:


∂vh + v · ∇ vh + f k × vh = −∇Φ , ∂t

133

(9.60)

oder in Komponenten ∂u ∂u ∂u ∂Φ ∂u +u +v +ω − fv = − , ∂t ∂x ∂y ∂p ∂x (9.61) ∂v ∂v ∂v ∂v ∂Φ +u +v +ω + fu = − . ∂t ∂x ∂y ∂p ∂y Eine gesonderte Bewegungsgleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit gibt es im p-System nicht, da die dritte Bewegungsgleichung (f¨ ur w) bereits in Form der statischen Grundgleichung (9.49) zur Transformation verwendet wurde. Stattdessen atsgleichung erhalten. kann man die Vertikalgeschwindigkeit ω aus der Kontinuit¨ Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung im p-System wenden wir die sogenannte Lagrangesche Betrachtungsweise an. Bei dieser wird nicht wie in Abschnitt 8.2 der Massenfluss durch ein Kontrollvolumen am festen Ort bilanziert; vielmehr betrachtet man ein Volumen mit einer festen Masse m, das sich mit der Str¨ omung bewegt. Die Massenerhaltung f¨ ur dieses Luftpaket lautet daher dm =0. dt

(9.62)

Wegen m = ρV ergibt sich somit d (ρV ) = 0 . (9.63) dt (9.63) besagt, dass sich die Dichte eines Luftpartikels verringert, wenn sich das Volumen vergr¨ oßert und umgekehrt. Wodurch kommt nun die Volumen¨ anderung zustande? Wir betrachten dazu ein Einheitsvolumen mit den Kantenl¨ angen Δx, Δy, Δz. Dieses l¨ asst sich im p-System wegen Δp = −g ρΔz schreiben als V =−

1 1 ΔxΔyΔp = − Vp . gρ gρ

Somit erh¨ alt man aus (9.63): −

1 dVp =0. g dt

(9.64)

Im p-System folgt also aus der Massenerhaltung (9.62), dass das Volumen eines Luftpartikels Vp = ΔxΔyΔp konstant bleiben muss. Aus (9.64) ergibt sich dVp d d d = ΔyΔp (Δx) + ΔxΔp (Δy) + ΔxΔy (Δp) = 0 dt dt dt dt

134


oder wegen d(Δxi ) = Δdxi nach Division durch Vp 1 dVp Δ = Vp dt Δx

dx dt

+

Δ Δy

dy dt

+

Δ Δp

dp dt

=0,

(9.65)

und somit wegen dxi /dt = ui Δu Δv Δω + + =0. Δx Δy Δp

(9.66)

Lassen wir jetzt das Partikelvolumen beliebig klein werden, so gehen die Differenzen Δ in die lokalen Differentiale ∂ u alt schließlich ¨ber, und man erh¨ ∇p · v =

∂u ∂v ∂ω + + =0 ∂x ∂y ∂p

Kontinuitätsgleichung im p-System . (9.67)

10 Der geostrophische Wind 10.1

Definition des geostrophischen Windes

Um die Str¨ omungsverhältnisse in der Erdatmosph¨ are zu beschreiben, k¨ onnte man die in Kapitel 9 abgeleiteten Bewegungsgleichungen verwenden. Die L¨ osung dieser Gleichungen ist aber auf analytischem Wege nur f¨ ur spezielle Probleme möglich. Es soll deshalb im folgenden eine einfache Beziehung hergeleitet werden, die es erlaubt, aus einer bekannten großräumigen Druckverteilung die Windgeschwindigkeit zu bestimmen. Dazu werden die Bewegungsgleichungen gewissen Einschr¨ ankungen unterworfen. Diese lauten: Die Str¨ omung sei

(a)

rein horizontal; dadurch vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zur Form (9.44)

(b) stationär: ∂v/∂t = 0 (c)

horizontal homogen: v · ∇v = 0 .

Die Bedingungen (b) und (c) kann man mittels Eulerscher Zerlegung auch als dv/dt = 0 schreiben. Die Strömung ist also beschleunigungsfrei. Damit folgt aus (9.40), bzw. mit (a) aus (9.44): 1 f k × vh = − ∇h p . ρ Unter diesen Verh¨ altnissen kompensieren sich Coriolis-Kraft und Druckkraft. Damit steht die horizontale Windgeschwindigkeit vh in direkter Beziehung zum Druckgradienten. Man erhält diese Beziehung durch vektorielle Multiplikation der obigen Gleichung mit k: k × (k × vh ) = k (k · vh ) −vh (k · k) = −vh = −

=0

=1

1 k × ∇h p . ρf

ugt, Die so erhaltene Geschwindigkeit vh , die den Voraussetzungen (a) bis (c) gen¨ nennt man geostrophisch und kennzeichnet sie mit dem Index g: 1 k × ∇h p . (10.1) ρf Die Komponenten des geostrophischen Windes ergeben sich aus (10.1) zu vg =

1 ∂p , ρf ∂y 1 ∂p vg = + . ρf ∂x

ug = −

(10.2)

136

10 Der geostrophische Wind

........... ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... .................. ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... .................. .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ...................

T

p1 p2 p3 p4

...... ...................... vg ....................... ... ... ........ ∇h p

H

Bild 10.1 Druckfeld und geostrophischer Wind

Aus der vektoriellen Schreibweise (10.1) ergibt sich, dass der geostrophische Wind senkrecht auf dem Druckgradienten steht, also parallel zu den Isobaren verl¨ auft, und zwar so, dass der tiefe Druck links zur Windrichtung liegt, wie es auch in Bild 10.1 dargestellt ist. Der geostrophische Wind lässt sich aus den Druckfeldern der Wetteranalyse relativ einfach bestimmen. Man misst den Abstand der Isobaren und erh¨ alt dadurch den Druckgradienten. Der Coriolis-Parameter ist f¨ ur einen festen Ort auf der Erdoberfl¨ ache eine konstante Größe; f¨ ur die Luftdichte w¨ ahlt man einen mittleren Wert. Damit kann man den Betrag des geostrophischen Windes berechnen; die Richtung ergibt sich aus dem oben Gesagten. Obwohl die Voraussetzungen, die zum Erhalt der geostrophischen Windbeziehung (10.1) f¨ uhrten, in der Atmosph¨ are selten alle erf¨ ullt sind, ist der geostrophische Wind eine sehr brauchbare Näherung f¨ ur den wirklichen Wind. (10.1) entnehmen wir, dass der geostrophische Wind bei gleichem Isobarenabstand in niederen Breiten größer ist als in h¨ oheren Breiten (da f zum Pol ¨ hin zunimmt). Am Aquator ergäbe sich wegen f = 0 ein vg → ∞. Da aber ¨ die Coriolis-Kraft am Aquator verschwindet, kann dort auch kein Gleichgewicht zwischen dieser und der Druckkraft herrschen, so dass die Gleichung f¨ ur den ¨ geostrophischen Wind am Aquator nicht anwendbar ist. Zur Veranschaulichung der Wirkung der Coriolis-Kraft und des dadurch entstehenden geostrophischen Windes folgendes Gedankenexperiment: In einem vorhandenen Druckfeld wird ein Luftteilchen zum Zeitpunkt t0 in Bewegung gesetzt. Da zun¨ achst nur die Druckkraft wirkt, wird das Teilchen sich vom hohen Druck zum tiefen Druck bewegen. Sobald es aber eine Geschwindigkeit besitzt, macht sich die Coriolis-Kraft bemerkbar und lenkt das Teilchen nach rechts ab (siehe Bild 10.2). Das Teilchen wird aber durch den Druckgradienten weiter beschleunigt und dadurch seine Geschwindigkeit erhöht. Dies wiederum l¨ asst die Coriolis-Kraft größer werden, was eine weitere Ablenkung zur Folge hat. Der Endzustand des geostrophischen Gleichgewichts, bei dem Coriolis-Kraft C und Druckkraft D sich auskompensieren, wird allerdings erst unter der Wirkung von Reibungskr¨ aften und/oder großr¨ aumigen Ausgleichsströmungen (sogenannte geostrophische Ad-

10.2 Der thermische Wind

137

p1 ................................................................................................................................................T ................................................................................................................................................................................. ...... ..... D(t1 ) ... D(t∞ ) = − 1 ∇h p ... ρ . . p2 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . .. .. .... ..... ... D(t0 ) ............................................ ..... ..... ..... ..... ..... . ..................................................... .. .. .. ... v(t∞ ) = vg ....... . . . . . . ....... ) v(t . . . . .......... 1 .... ........ p3 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... .. ............. ........ C(t∞ ) = f k × v C(t1 ) ... ........... ...... C(t ) = 0 p4 .......................................................0..........................................................................................................................................................................................................................................................................

Bild 10.2 Wirkung von Druck- und CoriolisKraft auf ein anfänglich in Ruhe befindliches Luftpartikel.

H

justierung) erreicht. Der geostrophische Wind ist nat¨ urlich nur eine N¨ aherung f¨ ur den wirklichen Wind. Wenn es nur den geostrophischen Wind g¨ abe, k¨ ame es nicht zu einem Druckausgleich zwischen Hoch- und Tiefdruckgebieten und somit auch zu keiner Wetterentwicklung. Daher sind gerade die Abweichungen vom geostrophischen Wind f¨ ur die großräumigen Strömungen besonders wichtig. Man kann den geostrophischen Wind noch etwas mehr den tats¨ achlichen Verhältnissen anpassen, wenn man die Kr¨ ummung der Isobaren bei Hoch- und Tiefdruckgebieten ber¨ ucksichtigt. In diesem Fall muss man noch die durch die Bahnkr¨ ummung bedingte Zentrifugalbeschleunigung ber¨ ucksichtigen, woraus sich dann der sogenannte zyklostrophische Wind, auch Gradientwind genannt, ergibt. Auf diesen wird in Abschnitt 10.5 noch näher eingegangen.

10.2

Der thermische Wind

Der geostrophische Wind war f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung definiert worden. Wir betrachten jetzt aber die Erdatmosph¨ are in ihrer vertikalen Struktur und bestimmen f¨ ur beliebige Flächen z = konstant das sich aufgrund der horizontalen Druckverteilung ergebende Feld des geostrophischen Windes. Wir interessieren uns jetzt daf¨ ur, wie sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe ¨ andert. Wir differenzieren dazu die geostrophische Windbeziehung (10.1) nach z und wenden an den gegebenen Stellen die statische Grundgleichung (9.49) sowie die Gasgleichung p = ρRT an: ∂vg ∂ = ∂z ∂z

1 ∂p 1 1 k × ∇h p = k × ∇h k × ∇h p + ρf ρf ∂z f

(9.49)

(10.1)

∂ ∂z

1 ρ

,

Gasgleichung

138

10 Der geostrophische Wind ∂vg = ∂z =

+ ρ vg

R ∂T RT ∂p − 2 p ∂z p ∂z

gp g 1 vg ∂T 1 k× k× ∇h p + ∇h T − 2 ρf RT ρf RT T ∂z

=

1 k × ∇h (−gρ) ρf

g k × ∇h T fT

vg

ρ vg g p

+

vg

(10.1) =

−

+

g RT

+

vg ∂T T ∂z

g RT

= =

,

so dass sich f¨ ur die Vertikalableitung des geostrophischen Windes schließlich ergibt: ∂vg g vg ∂T = k × ∇h T + . ∂z fT T ∂z

(10.3)

Eine Absch¨ atzung f¨ ur das Verhältnis der beiden Terme auf der rechten Seite von (10.3) ergibt: 10 m s−1 · 5 K km−1 |vg ∂T /∂z| −2 ≈ . g −2 · 104 s·1 K/100 km ≈ 5 · 10 |∇ T | 10 m s h f Der zweite Term in (10.3) kann gegen¨ uber dem ersten vernachl¨ assigt werden, so dass sich ann¨ ahernd ergibt: g ∂vg = k × ∇h T . ∂z fT

(10.4)

Die Beziehung (10.4) wird auch als thermische Windbeziehung bezeichnet, ¨ obwohl nicht der Wind selbst, sondern die vertikale Anderung desselben betrachtet wird. Als thermischen Wind vT bezeichnet man denjenigen Windvektor, der sich aus der Differenz der geostrophischen Windvektoren innerhalb des H¨ ohenintervalls z ergibt: ............ ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............... ................... ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ................ ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ................. ................... .................. .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ...................

K

T1 T2 T3 T4

...... ...................... ....................... vT ... ... ........ ∇h T

W

Bild 10.3 Temperaturfeld und thermischer Wind

10.2 Der thermische Wind

T

p1

K

139 p1

T

W

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T T1 3 vg2 vg2 vT p2 ................................................. ................................................ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... T ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T 2 2 ................................................. ................................................ p3 p3 vg1 vg1 vT ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... T ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T 3 1 p4 p4 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

p2

H

W

H

K

Bild 10.4 Thermischer Wind bei parallelen Isobaren und Isothermen. F¨ ur die Darstellung wird T1 < T2 < T3 und p1 < p2 < p3 < p4 angenommen.

vT = vg = vg2 − vg1 =

z2 z1

∂vg ∂z = ∂z

z2 z1

g k × ∇h T fT

∂z .

(10.5)

Wie aus (10.5) ersichtlich, steht der thermische Wind senkrecht auf den horizontalen Temperaturgradienten, verläuft also parallel zu den Isothermen. Die warme Luft liegt dabei, wie in Bild 10.3 gezeigt, rechts zur Richtung von vT . Die Beziehung zwischen Temperaturgradient und thermischem Wind bildet ein Analogon zur geostrophischen Windbeziehung, wobei das Druckfeld dem Temperaturfeld und das Hoch der Warmluft entspricht (vergleiche Bild 10.1 und Bild 10.3). Betrachten wir jetzt die Orientierung des thermischen Windes relativ zum geostrophischen Wind. Wir gehen aus von einem geostrophischen Wind im Niveau z und bestimmen daraus den durch den thermischen Wind (dieser ist ja ¨ gerade die Anderung des geostrophischen Windes mit der H¨ ohe) verursachten Wind in der H¨ ohe z + z. Wenn Isobaren und Isothermen parallel verlaufen, so gibt es zwei M¨ oglichkeiten: Warmluft f¨ allt mit hohem Druck zusammen oder Warmluft f¨ allt mit tiefem Druck zusammen. T3 .........

T2

T1

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . ...... . ...... . . . ...... ...... ...... ...... . . . . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ...... . . . . ...... ...... ...... . ...... ...... ................. ...... ...... ...... ...... ...... . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... .

T4

g1. T5 ............................v .......................................... vT ............... ..... ..................... ................. .. vg2 W

K

T1...

T2

T3

T4

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. . .... . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . . . ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ......... .. .. .. .. .... . . . . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . ... ... ... ...

K

............ ........ . . . vg2....... .... .... .... vT .... . .. . . .. ... . . . . . ...................................... vg1

W

Bild 10.5 Zur H¨ ohenabhängigkeit der geostrophischen Windrichtung. Es gelte vg1 = vg (z1 ) und vg2 = vg (z2 ) mit z1 < z2 . Im linken Bildteil ist eine Warmluftadvektion dargestellt, die zu einer Rechtsdrehung des geostrophischen Windes mit der Höhe f¨ uhrt. Bei Kaltluftadvektion (rechtes Bild) dreht vg dagegen nach links.

140


Da gilt: vg2 = vg1 +vT , nimmt der geostrophische Wind mit der H¨ ohe zu, wenn der thermische Wind in Richtung des geostrophischen Windes zeigt (Bild 10.4 links), und nimmt ab bei entgegengesetzten Windrichtungen. Wenn Isobaren und Isothermen nicht parallel verlaufen, haben geostrophischer Wind und thermischer Wind nicht die gleiche Richtung. In diesem Fall tritt noch eine Richtungs¨ anderung des geostrophischen Windes mit der Höhe auf. Dies ist in Bild 10.5 dargestellt, wobei auf die Darstellung der Isobaren aus ¨ Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit verzichtet wird. Wenn der geostrophische Wind vom Warmluftgebiet ins Kaltluftgebiet weht (Warmluftadvektion), dreht sich dieser mit der H¨ ohe nach rechts (Bild 10.5 links). Bei Kaltluftadvektion dreht sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe nach links. Mit dieser einfachen Regel lässt sich aus den synoptischen Druckkarten schließen, ob f¨ ur ein bestimmtes Gebiet warme Luft mit der mittleren Str¨ omung herantransportiert wird oder Kaltluftadvektion vorherrscht. Dazu ermittelt man den geostrophischen Wind in zwei Niveaus (z. B. 700 hPa, 500 hPa) und stellt seine Richtungs¨ anderung mit der Höhe fest. Der Drehsinn dieser Richtungs¨ anderung gibt dann Auskunft u ¨ber die Art der Luftmassenadvektion. Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass alle Abbildungen zum geostrophischen und thermischen Wind f¨ ur die Atmosph¨ are auf der Nordhemisph¨ are gelten. Auf der S¨ udhalbkugel liegen dagegen wegen f < 0 der niedrigere Druck und die k¨ altere Luft rechts der Richtung des geostrophischen bzw. thermischen Windes.

10.3

Geostrophischer und thermischer Wind im p-System

Wenn man die Voraussetzungen f¨ ur den geostrophischen Wind aus 10.1 auf die Bewegungsgleichungen im p-System (9.60) anwendet, so erh¨ alt man die Beziehung f¨ ur den geostrophischen Wind im p-System, also auf einer Druckfl¨ ache, z. B. 700 hPa, 500 hPa usw. vg =

1 k × ∇h Φ , f

(10.6)

1 ∂Φ 1 ∂Φ , vg = + . (10.7) f ∂y f ∂x Diese Form der geostrophischen Windbeziehung enth¨ alt nicht mehr die Luftdichte, sondern lediglich den Gradienten des Geopotentials auf der betreffenden Fläche p =konstant, und ist daher f¨ ur die praktische Anwendung zur Windbestimmung aus Höhenwetterkarten besser geeignet als die Form im z-System (10.1). Im allgemeinen Sprachgebrauch bezeichnet man dabei das Feld Φ(x,y) einer Druckfl¨ ache als absolute Topographie und die Linien Φ = konstant als Isohypsen (analog zu p = konstant als Isobaren). ug = −

10.3 Geostrophischer und thermischer Wind im p-System

141

Die H¨ ohen¨ anderung des geostrophischen Windes bezieht sich jetzt auf die Druckkoordinate; man erhält aus (10.6): ∂vg 1 ∂Φ = k × ∇h ∂p f ∂p

statische Grundgl. ↓

=

1 1 k × ∇h − f ρ

Gasgl. ↓

=

−

1 RT k × ∇h , f p

und weiter, da im p-System ∇h p = 0 gilt: ∂vg R = − k × ∇h T . ∂p fp

(10.8)

Dies ist die zu (10.4) analoge Form im p-System, wobei das negative Vorzeichen wegen ∂p = −gρ ∂z zustande kommt. Wenn man nun annimmt, dass f¨ ur eine Schicht ∂p zwischen p1 und p2 die Temperatur h¨ ohenkonstant bleibt, d. h. ∂T /∂p = 0, so kann man (10.8) zwischen zwei Druckniveaus integrieren: p2 p1

∂vg ∂p = ∂p

v g (p2 )

∂vg vg (p1 )

= −k × ∇h T

p2 p1

R p2 R ∂p = − ln fp f p1

k × ∇h T .

vg (p2 ) − vg (p1 ) Daraus kann man eine Beziehung f¨ ur den thermischen Wind im p-System erhalten, welcher als die Vektordifferenz zweier geostrophischer Winde unterschiedli¨ cher Druckniveaus definiert ist. Geht man hierbei von der Anderung des geostrophischen Windes mit der Höhe, also mit abnehmendem Druck, aus und ordnet alt dem h¨ oheren Druck den höheren Index der Druckfl¨ achen zu (p2 > p1 ), so erh¨ man f¨ ur den thermischen Wind im p-System:

vT = vg (p1 ) − vg (p2 ) =

p2 R ln k × ∇h T . f p1

(10.9)

F¨ ur die Richtung des thermischen Windes in bezug auf den horizontalen Temperaturgradienten gilt das gleiche wie in Abschnitt 10.2. Man kann statt (10.9) noch eine andere Beziehung f¨ ur den thermischen Wind erhalten, wenn man die Vektordifferenz direkt unter Verwendung der Definition des geostrophischen Windes (10.6) bildet: vT = vg (p1 ) − vg (p2 ) =

vT =

1 k × ∇h ( Φ) , f

1 k × ∇h {Φ(p1 ) − Φ(p2 )} , f

Φ = relative Topographie .

(10.10)

(10.11)

142


Der thermische Wind lässt sich also gemäß (10.10), (10.11) aus dem Gradienten der relativen Topographie, d. h. der Schichtdicke zwischen zwei Druckfl¨ achen, z. B. 700/850 hPa, gewinnen. Man benötigt daf¨ ur gar keinen horizontalen Temperaturgradienten wie bei (10.9). Da aber beide Beziehungen f¨ ur den thermischen Wind ¨ aquivalent sind (unter der Voraussetzung, dass die Temperatur in der betrachteten Schicht höhenkonstant ist), folgt aus dem Vergleich von (10.9) mit (10.10) und (10.11):

R ln

p2 p1

T = Φ(p1 ) − Φ(p2 ) = Φ .

Daraus folgt f¨ ur die Temperatur zwischen beiden Druckfl¨ achen: T =

Φ R ln pp21

Schichtmitteltemperatur .

(10.12)

Die mit Hilfe von (10.12) aus der Schichtdicke Φ zwischen den Druckniveaus p2 und p1 erhaltene Temperatur nennt man auch Schichtmitteltemperatur. Die relative Topographie lässt sich also mit Hilfe der statischen Grundgleichung in eine Karte der Mitteltemperatur der betrachteten Luftschicht uminterpretieren.

10.4

Barotrope und barokline Atmosph¨ are

Im Zusammenhang mit der Höhenänderung des geostrophischen Windes im pSystem (10.8) wurde festgestellt, dass sich immer dann ein thermischer Wind einstellt, wenn auf Flächen p = konstant ein horizontaler Temperaturgradient existiert. Die Lage von Druckflächen zu Temperaturfl¨ achen oder Dichtefl¨ achen wird andererseits zur Definition zweier unterschiedlicher Atmosph¨ arenzust¨ ande, barotrop und baroklin, verwendet: Man bezeichnet eine Atmosph¨ are als barotrop, wenn Fl¨ achen konstanter Dichte und konstanten Druckes parallel verlaufen. Da die Gradienten von Druck und Dichte aber senkrecht auf den Fl¨ achen p = konstant bzw. ρ = konstant liegen, m¨ ussen in einer barotropen Atmosph¨ are auch Druck- und Dichtegradienten parallel verlaufen. Dies kann mit Hilfe des Vektorproduktes wie folgt ausgedr¨ uckt werden: ∇ρ × ∇p = 0

Barotropiebedingung .

Wegen p = ρRT folgt aber auch

∇ρ × ∇p = ∇ und daraus mit (10.13)

p RT

× ∇p =

p 1 ∇p × ∇p − ∇T × ∇p RT RT 2 =0

(10.13)

10.4 Barotrope und barokline Atmosphäre z ...... .... .. T1 ...... .......... .......... ..... ..... ...... .................... .... ....... .. .................... ... ... .. T2 .......... .......... ....................................................................................................... ........ .......... . . .. . .................... ......... .. p1 .. ... .. T3 .......... ........................................................................................................ .......... .................... .......... . . . . . . . . .. . ........ ................ ............................................................................. .......... .......... p2 .. .. ∇T ∇p .........................................................p3 ................................................................................................

x

z ...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. T1 .. ....................................................... ........ .......... .......... .......... .. T2 .......... .......... .......... ......................................................................... .. ...................................... ... ... .......... .................. p1 ... T3 .......... ......... ..................................................................................................... .................... . ..... p .. ..................∇p 2 .. ... .................... . ........ .................... ∇T .. .................... .................... .................... .. ....... ...................................................................................p.....3........ x

barotrop

baroklin

.................................................................................................. x ... ... ... T1 ................................................................................................................................. .... ... T2 ................................................................................................................................. ... ... T3 ................................................................................................................................. .. ....... p. Bild 10.6

143

.................................................................................................. x ... ... ... .................................................................................................................................. T1 .... .................... ... .............................................................................................................. T2 ... ......... ... ........................................................................................................................ T3 ... ...... p.

Barotropie und Baroklinität im z-System (oben) und im p-System (unten)

∇T × ∇p = 0 ,

(10.14)

∇T × ∇ρ = 0 .

(10.15)

oder auch

Alle drei Definitionen (10.13), (10.14) und (10.15) der Barotropie sind ¨ aquivalent, wobei f¨ ur praktische Zwecke besonders die Form (10.14) geeignet ist, welche besagt, dass in einer barotropen Atmosphäre Temperatur- und Druckfl¨ achen parallel liegen. Spezialfälle einer barotropen Atmosph¨ are ergeben sich, wenn der Dichte- oder Temperaturgradient selbst verschwindet, also ∇ρ = 0 oder ∇T = 0, anders ausgedr¨ uckt: ρ = konstant (homogene Atmosph¨ are) oder T = konstant (isotherme Atmosphäre). Wenn die Bedingungen (10.13) bis (10.15) nicht erf¨ ullt sind, bezeichnet man die Atmosph¨ are als baroklin: ∇ρ × ∇p = 0 ∇T × ∇p = 0 ∇T × ∇ρ = 0

Baroklinit¨ at .

(10.16)

In einer baroklinen Atmosphäre sind Druck- und Dichtefl¨ achen bzw. Druckund Temperaturflächen gegeneinander geneigt. Dies soll in Bild 10.6 verdeutlicht werden. In einer baroklinen Atmosphäre existiert also auf Fl¨ achen p = konstant ein Temperaturgradient, wie man in der rechten Abbildung erkennen kann. Wenn dies der Fall ist, dann folgt aus der thermischen Windbeziehung im p-System

144


(10.8), dass sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe (bzw. mit der Druckkoordinate) ¨ andert. Deshalb verwendet man zur Charakterisierung einer baroklinen bzw. barotropen Atmosphäre auch die Höhenänderung des geostrophischen Windes: ⎧

⎨ =0 ∂vg = ⎩ = 0 ∂p

Barotropie , Baroklinit¨ at .

(10.17)

In einer barotropen Atmosphäre ändert sich der geostrophische Wind nicht mit ur Barotropie). der H¨ ohe (wegen ∂p = −gρ ∂z folgt aus (10.17) auch ∂vg /∂z = 0 f¨ Die Begriffe barotrop und baroklin tauchen in der Meteorologie immer wieder auf, wenn es darum geht, gewisse Eigenschaften der Atmosph¨ are zu charakterisieren. So ist z. B. das barotrope Modell ein einfaches Modell f¨ ur die numerische Wettervorhersage, welches die zeitliche Entwicklung einer barotropen Atmosph¨ are simulieren soll. Ein anderes Beispiel ist die f¨ ur die Zyklonenentstehung wichtige barokline Instabilit¨ at, die in Abschnitt 14.3 behandelt wird.

10.5

Gradientwind und zyklostrophischer Wind

Die geostrophische Windbeziehung (10.1) oder (10.6) ist zwar eine brauchbare Näherung f¨ ur den tatsächlichen Wind in der freien Atmosph¨ are, jedoch wurde zu deren Herleitung vorausgesetzt, dass dv/dt = 0. Dies bedeutet, dass ein Luftpartikel im geostrophischen Gleichgewicht weder den Betrag noch die Richtung seiner Geschwindigkeit ändern darf. Da aber der Geschwindigkeitsvektor parallel zu den Isobaren steht, m¨ ussen in diesem Fall die Isobaren (oder Isohypsen) geradlinig und parallel verlaufen. Jeder Blick auf eine Wetterkarte zeigt jedoch, dass zumindest in Hoch- und Tiefdruckgebieten die Isobaren bzw. Isohypsen eine Kr¨ ummung aufweisen. Um abzusch¨ atzen, wie sich diese Kr¨ ummung auf den geostrophischen Wind auswirkt, greifen wir auf die in Abschnitt 7.2 eingef¨ uhrten nat¨ urlichen Koordinaten zur¨ uck. Mit diesen lauten die Bewegungsgleichungen im z-System: ∂ ∂|v| 1 ∂p |v| + |v| =− , ∂t ∂s ρ ∂s

(10.18)

|v|2 1 ∂p + f |v| = − . R ρ ∂n

(10.19)

Dabei ist R der Kr¨ ummungsradius der Partikelbahn. Wir setzen jetzt lediglich Stationarit¨ at voraus, d. h. ∂/∂t = 0, und verlangen, dass sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändern darf, (∂|v|/∂s = 0). Damit ergibt sich im Gleichgewicht

10.5 Gradientwind und zyklostrophischer Wind |v|2 1 ∂p + f |v| = − . R ρ ∂n

145 (10.20)

Der erste auf der linken Seite von (10.20) beschreibt die durch die Kr¨ ummung der Partikelbahn verursachte Beschleunigung. Da diese immer in die entgegengesetzte Richtung der Bahnkr¨ ummung zeigt, wird sie auch als Zentrifugalbeschleunigung (Zentrifugalkraft) bezeichnet. Im stationären Fall herrscht in einer Str¨ omung somit ein Gleichgewicht zwischen Druckkraft (D), Corioliskraft (C) und Zentrifugalkraft (Z). Dieses Gleichgewicht ist f¨ ur den Fall eines kreisf¨ ormigen Tiefdruckgebietes in Abbildung 10.7 dargestellt.

Bild 10.7 Kr¨ aftegleichgewicht in rotationssymmetrischen Wirbeln. Im Zentrum der Wirbel herrscht jeweils tiefer Luftdruck (T). Es sind: V = Strömungsgeschwindigkeit, P = Isobaren, C = Corioliskraft, D = Druckkraft, Z = Zentrifugalkraft. links: großräumiger Wirbel (Tiefdruckgebiet), rechts: kleinräumiger Wirbel (z.B.: Tornado, Staubteufel).

Im Falle einer geradlinigen Teilchenbahn (R → ∞) erhalten wir das geostrophische Gleichgewicht in nat¨ urlichen Koordinaten: |v| = |vg | = −

1 ∂p . ρf ∂n

(10.21)

Ersetzen wir den Druckgradienten in 10.19 durch |vg |, so erhalten wir |v|2 + f (|v| − |vg |) = 0 . (10.22) R Man erh¨ alt also im Fall gekr¨ ummter Isobaren (R = ∞) eine Korrektur des geostrophischen Windes mit |v| |vg | =1+ . |v| fR

(10.23)

146


Im Falle eines Tiefdruckgebietes (zyklonale Kr¨ ummung: R > 0) ist der Betrag des geostrophischen Windes größer als der des aktuellen Windes, bei einem Hochdruckgebiet (antizyklonale Kr¨ ummung: R < 0) dagegen kleiner. Den sich im Falle gekr¨ ummter Isobaren bzw. Isohypsen aus (10.23) ergebenden Wind |v| bezeichnet man auch als Gradientwind. Nehmen wir als Beispiel einen Kr¨ ummungsradius (Radius eines Tiefs oder Hochs) von 1000 km an. Dann entspricht der Term f R gerade einer Windgeschwindigkeit von 100 m s−1 . Bei |v| = 10 m s−1 betr¨ agt die Abweichung vom geostrophischen Wind bei gekr¨ ummten Isobaren (Isohypsen) etwa 10 %. Der Korrekturterm in (10.23) lässt sich auch als das Verh¨ altnis von Zentrifugalkraft (Z) und Corioliskraft (C) interpretieren, da gilt: |v|2 Z |v| = = . fR Rf |v| C In einem synoptischen Phänomen wie einem Tiefdruckgebiet betr¨ agt die Zentrifugalkraft etwa 1/10 der Corioliskraft. Betrachten wir als weiteres Beispiel einen kleinr¨ aumigen Wirbel mit vertikaler Achse, z.B. einen Tornado. Dieser hat einen typischen Radius von 500m bei einer Windgeschwindigkeit von 50ms−1 . In diesem Fall ergibt sich: Z = 1 ms−2 , C = 10−3 ms−2 und somit Z C. F¨ ur einen kleinr¨ aumigen Wirbel kann die Corioliskraft gegen¨ uber der Zentrifugalkraft vernachl¨ assigt werden. Entsprechend Gleichung (10.20) herrscht dann ein Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Zentrifugalkraft. Dies ist auf der rechten Seite von Bild 10.7 dargestellt. Die Windgeschwindigkeit ergibt sich in diesem Fall gem¨ aß Gl.(10.20) zu:

|v| = −

R ∂p ρ ∂n

1/2

.

(10.24)

Die sich aus dem Gleichgewicht von Druck- und Zentrifugalkraft gem¨ aß (10.24 ergebende Geschwindigkeit bezeichnet man in der Meteorologie auch als Zyklostrophischer Wind . Anhand von Bild (10.7) erkennt man auch folgende Regel: Ein kleinr¨ aumiger Wirbel hat wegen Z = D immer einen tiefen Druck im Kern, unabh¨ angig davon, ob sein Drehsinn zyklonal (R > 0, ∂p/∂n < 0) oder antizyklonal (R < 0, ∂p/∂n > 0) ist.

10.6

Skalenanalyse

Zum Schluss dieses Kapitels soll noch kurz in die Methode der Skalenanalyse eingef¨ uhrt werden. Es handelt sich dabei um eine Absch¨ atzung der einzelnen Terme einer Gleichung hinsichtlich ihrer Größenordnung wie es bereits in Kapitel 9.6 exemplarisch durchgef¨ uhrt worden ist. Hier soll als Erg¨ anzung die Methode der Aufstellung von dimensionslosen Gleichungen erl¨ autert werden. Wir f¨ uhren dies

10.6 Skalenanalyse

147

am Beispiel der Bewegungsgleichung f¨ ur eine rein horizontale Str¨ omung (9.44) durch (der Index h wird hier fortgelassen). ∂v 1 + v · ∇v + f k × v = − ∇p . ∂t ρ Mit der geostrophischen Windbeziehung (10.1) l¨ asst sich diese schreiben als ∂v + v · ∇v + f k × (v − vg ) = 0 . (10.25) ∂t Bei der Skalenanalyse f¨ uhrt man nun f¨ ur die einzelnen Variablen charakteristische Gr¨ oßen ein, in diesem Fall f¨ ur die Geschwindigkeit, die L¨ ange und die Zeit: Geschwindigkeit: U , Länge:

L ,

Zeit:

L/U .

Mit diesen charakteristischen Größen werden die einzelnen Variablen der Bewegungsgleichung dimensionslos gemacht: ˆ= v

v , U

ˆ = L∇ , ∇

U tˆ = t . L

Damit l¨ asst sich (10.25) in dimensionsloser Form schreiben: U fL

ˆ ∂v ˆ v + k × (ˆ ˆ · ∇ˆ ˆg ) = 0 . +v v−v ∂ tˆ

(10.26)

W¨ ahlt man nun f¨ ur die Größen von U und L solche Werte, die f¨ ur ein Ph¨ anoˆ v von der ˆ · ∇ˆ men typisch sind, so sind die dimensionslosen Terme wie z. B. v Gr¨ oßenordnung O(1). Das relative Gewicht der einzelnen Terme in (10.26) wird also durch den dimensionslosen Vorfaktor U/f L bestimmt. Diesen nennt man auch die Rossby-Zahl Ro (nach Carl G. Rossby, schwedischer Meteorologe und Ozeanograph, 1898–1957): Ro =

U fL

Rossby-Zahl .

(10.27)

Physikalisch stellt Ro das Verhältnis von Trägheitskraft zu Coriolis-Kraft dar. ¨ Somit bedeutet eine kleine Rossby-Zahl (Ro 1) ein Uberwiegen der CoriolisKraft und eine große Rossby-Zahl (Ro 1) eine vernachl¨ assigbare Coriolis-Kraft. ˆ g ) → 0 und somit v → vg . F¨ ur den Fall Ro → 0 ergibt sich aus (10.26), dass (ˆ v−v Kleine Rossby-Zahlen deuten also auf ein geostrophisches Gleichgewicht in der Strömung hin.

148


Wie groß ist nun Ro in der Atmosphäre? Dazu betrachten wir ein Tiefdruckgebiet als synoptisches Phänomen und einen Staubteufel als lokale Erscheinung. F¨ ur beide gelte f = 10−4 s−1 , und wir setzen als typische Geschwindigkeit U = 10 ms−1 . Als charakteristische Länge wählen wir den Radius: L ≈ 103 km f¨ ur das Tief und L ≈ 0,1 km f¨ ur den Staubteufel. Somit ergibt sich: Tiefdruckgebiet:

Ro ≈ 0,1 ,

Staubteufel:

Ro ≈ 103 .

Somit ist der Wind in einem Tiefdruckgebiet ann¨ ahernd im geostrophischen Gleichgewicht, w¨ ahrend f¨ ur den Staubteufel die Wirkung der Coriolis-Kraft vernachl¨ assigbar ist. In der Str¨ omungsmechanik und in der Meteorologie f¨ uhrt die Skalenanalyse noch zu vielen anderen dimensionslosen Zahlen, die meist nach bekannten Wissenschaftlern benannt sind (z.B. Reynolds-Zahl, Froude-Zahl, Rayleigh-Zahl usw.).

11 Die Vorticitygleichung Die Beschreibung atmosphärischer Strömungsvorg¨ ange und deren zeitliche Entwicklung kann mit Hilfe der Bewegungsgleichungen (9.42), der Kontinuit¨ atsgleichung (8.2) und, bei Bedarf, des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik (3.2) erfasst werden. Es hat sich aber herausgestellt, dass sich anstelle des Geschwindigkeitsfeldes die Vorticity häufig besser zur Darstellung von Str¨ omungsfeldern eignet. So wurde z. B. bei den ersten Modellen der numerischen Wettervorhersage das Feld der Vorticity prognostiziert, das seinerseits mit dem Geopotentialfeld verkn¨ upft werden kann. Im folgenden soll deshalb eine Gleichung f¨ ur die zeitli¨ che Anderung der Vorticity hergeleitet und ihre Bedeutung f¨ ur atmosph¨ arische Str¨ omungsvorg¨ ange veranschaulicht werden.

11.1

Vorticitygleichung fu omung ¨ r eine zweidimensionale Str¨

Als Vorticity ist die Größe ζ = ∂v/∂x − ∂u/∂y bezeichnet worden. Es soll eine ¨ Gleichung hergeleitet werden, die es gestattet, die zeitliche Anderung der Vorticity einer zweidimensionalen Strömung zu berechnen. Dazu gehen wir von den Bewegungsgleichungen in der Form (9.43) aus und differenzieren die Gleichung f¨ ur die u-Komponente nach y und diejenige f¨ ur die v-Komponente nach x und bilden die Differenz der beiden Gleichungen, ∂/∂x(9.43b) − ∂/∂y(9.43a): −

1 ∂ ∂p ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ = + u + v + fu , ρ ∂x ∂y ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x

− +

1 ∂2p ∂ ∂v ∂u ∂v ∂ ∂v ∂v ∂v ∂ ∂v ∂u ∂f = + +u + +v +f +u , ρ ∂x∂y ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x

1 ∂ ∂p ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ =− − u − v + fv , ρ ∂y ∂x ∂t ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y

+

1 ∂2p ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ ∂u ∂v ∂u ∂ ∂u ∂v ∂f =− − −u − −v +f +v . ρ ∂x∂y ∂t ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

Hierbei ist eine konstante Dichte ρ vorausgesetzt. Die Koordinatenachsen sind in einer Tangentialebene wie in Bild 9.10 dargestellt angeordnet, so dass ∂f /∂x = 0, aber ∂f /∂y = 0. Nach Umgruppierung der einzelnen Terme erh¨ alt man:

150

11 Die Vorticitygleichung

∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u +u +v + + +f ∂t ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x −

=−

1 ∂2p , ρ ∂x∂y

∂ ∂u ∂ ∂u ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f 1 ∂2p ∂ ∂u −u −v − − +f +v =+ , ∂t ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ρ ∂x∂y

und weiter durch Addition dieser beiden Gleichungen ∂ ∂t

∂v ∂u ∂ ∂ + u − +v ∂x ∂y ∂x ∂y

=ζ

∂v ∂v ∂u ∂u + − − ∂x ∂y ∂x ∂y

=ζ

=ζ

∂u ∂v + ∂x ∂y

+

= ∇h · vh = 0 , da ρ = konst.

+ f

∂f ∂u ∂v + v + ∂x ∂y ∂y

= 0.

=0 Es ergibt sich die sogenannte Vorticitygleichung zu: ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂f +u +v +v =0 . ∂t ∂x ∂y ∂y

(11.1)

Da f¨ ur den Coriolis-Parameter f gilt: ∂f /∂t = ∂f /∂x = 0, kann man (11.1) auch in der Form schreiben: ∂ ∂ ∂ {ζ + f } + u {ζ + f } + v {ζ + f } = 0 . ∂t ∂x ∂y Die Summe ζ + f bezeichnet man auch als absolute Vorticity η η =ζ +f .

(11.2)

¨ Damit ergibt sich f¨ ur die zeitliche Anderung der absoluten Vorticity ∂η + vh ∇h η = 0 , ∂t

(11.3)

oder dη =0 . (11.4) dt Die Vorticitygleichung in der Form (11.4) beinhaltet die Aussage, dass in einer horizontalen und divergenzfreien Strömung die absolute Vorticity eine Erhaltungsgr¨ oße (konservative Größe) ist. Untersuchen wir diesen Sachverhalt noch etwas n¨ aher. (11.1) oder (11.4) lassen sich mit der individuellen Zeitableitung f¨ ur die relative Vorticity ζ auch so schreiben:

11.1 Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung

151

.... .... ......... ......... ... .. .. .. .... ... . . ... . . ... ... ... .. .. .. . . ... .. .................................................................. .. ... . .... ... .... . . ... ... .... .... ... . . ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . .... .. ... ... .. .. .... ... .... .... ... ... .. .. .. .. .. .... .. .... ..... ..... ... .. .. .. . .. ..

v

y

...... ..... ......

......................

... ..... . . . ..

..... ..... ......

u

... ..... . . . ..

.... .... ...... .

...... .... ...... ..... . ....... . . .................... ..

A

B

C

x

Bild 11.1 Teilchenbahn aufgrund des β-Effekts. Im Bereich A ist v > 0 und daher dζ/dt < 0, so dass die Bahn antizyklonaler wird und v mit der Zeit abnimmt; beim ¨ Ubergang zum Bereich B hat sich die Geschwindigkeit nach v < 0 umgekehrt, so dass dζ/dt > 0 und die Trajektorie zunächst weniger antizyklonal und anschließend zyklonal wird; im Bereich C gilt wieder v > 0. Dies f¨ uhrt zu einer Pendelbewegung um die Grundstromrichtung herum.

dζ ∂f = −v . dt ∂y

(11.5)

Dies bedeutet, dass sich die relative Vorticity eines Luftpartikels nur dann ändern kann, wenn seine Geschwindigkeit eine Komponente in meridionaler Richtung aufweist. Der Term ∂f /∂y tritt nur deshalb in der Vorticitygleichung auf, weil sich aufgrund der Kugelgestalt der Erde der Coriolis-Parameter mit der geographischen Breite ändert! Der Effekt der Erdrotation zusammen mit der Kugelgestalt l¨ asst sich an folgendem Beispiel veranschaulichen, das in Bild 11.1 illustriert ist. Wir betrachten ein Teilchen, das sich in einem konstanten Grundstrom, der also keine Vorticity aufweist, von West nach Ost bewegt. Wenn das Teilchen nach Norden ausgelenkt wird, also eine Geschwindigkeitskomponente in meridionaler Richtung erhält, wird sich aufgrund der Beziehung (11.5) die anf¨ angliche Vorticity (hier ζ = 0 vorausgesetzt) verringern, was eine antizyklonale Kr¨ ummung der Teilchenbahn zur Folge hat (Kr¨ ummungsvorticity ζ < 0 ⇒ v). Das Teilchen wird sich so lange auf einer antizyklonalen Bahn bewegen, bis es eine Geschwindigkeitskomponente nach S¨ uden aufweist (v < 0). Dann nimmt die relative Vorticity mit der Zeit zu, die Teilchenbahn wird zun¨ achst weniger antizyklonal bis sie nach Erreichen des Ausgangsbreitenkreises in eine zyklonale Kr¨ ummung u ¨bergeht. Ein einmal ausgelenktes Teilchen wird also um seine urspr¨ ungliche geographische Breite hin- und herpendeln und sich dabei weiter nach Osten bewegen. Der Effekt der Erdrotation zusammen mit der Kugelgestalt der Erde ist demnach die Bevorzugung der zonalen Geschwindigkeitskomponente, d. h. die Stabilisierung des zonalen Grundstromes. Diese stabilisierende Wirkung der Erdrotation nennt man auch den β-Effekt (Dies r¨ uhrt daher, dass man die ¨ Anderung des Coriolis-Parameters f mit der Breite ∂f /∂y mit β bezeichnet.):

152


β=

∂f . ∂y

(11.6)

Genaugenommen m¨ ussten hierf¨ ur Kugelkoordinaten verwendet werden, so dass ∂y = r ∂φ und somit β=

1 ∂ 2Ω cos φ f∗ 1 ∂f = 2Ω sin φ = = . r ∂φ r ∂φ r r

In einer Tangentialebene an die Erdkugel, wie in Bild 9.10 dargestellt, wird jedoch der Coriolis-Parameter f = 2Ω sin φ linear approximiert durch f = f0 + β0 y ,

(11.7)

wobei f0 = f (φ0 ) und β0 = β(φ0 ) Coriolis- und β-Parameter in der geographischen Breite φ0 sind, in welcher die Tangentialebene definiert wurde. Eine Koordinatenebene, in der (11.7) gilt, wird wegen ∂f /∂y = β auch β-Ebene genannt. Als Beispiel erhält man unter Verwendung von r = R (R Erdradius) f¨ ur φ0 = 45o einen Wert β ≈ 1,6 · 10−11 s−1 m−1 .

11.2

Stromfunktion und Vorticitygleichung

Die Vorticitygleichung in der Form (11.1) gilt zwar nur f¨ ur den vereinfachten Fall einer zweidimensionalen, divergenzfreien Strömung, ist jedoch zur Beschreibung großr¨ aumiger atmosphärischer Vorgänge sehr n¨ utzlich, wie im n¨ achsten Kapitel gezeigt wird. Will man die Vorticitygleichung f¨ ur bestimmte Probleme l¨ osen, so ben¨ otigt man noch weitere Gleichungen f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten u und v, die ja im Advektionsterm der Vorticitygleichung auftreten. Da die Strömung voraussetzungsgemäß divergenzfrei sein soll, k¨ onnen wir eine Stromfunktion gem¨ aß (7.27) einf¨ uhren: u=−

∂Ψ , ∂y

v=

∂Ψ . ∂x

Andererseits kann man die Vorticity mit Hilfe von (7.35) durch die Stromfunktion ausdr¨ ucken: ζ = ∇2h Ψ . Zur Beschreibung eines Strömungsproblems stehen jetzt also die folgenden zwei Gleichungen zur Verf¨ ugung: ∂Ψ ∂ζ ∂Ψ ∂ζ ∂Ψ ∂f ∂ζ − + + =0 , ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y

(11.8)

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung

∂2Ψ ∂2Ψ + =ζ . ∂x2 ∂y 2

153

(11.9)

Man kann daraus auch eine Gleichung f¨ ur die Stromfunktion gewinnen: ∇2h

∂Ψ ∂Ψ ∂ 2 ∂Ψ ∂ 2 ∂Ψ − ∇ Ψ+ ∇ Ψ+β =0 . ∂t ∂y ∂x h ∂x ∂y h ∂x

(11.10)

Die Gleichungen (11.8), (11.9) oder (11.10) sind (bis auf einige Faktoren) bereits diejenigen Gleichungen, die f¨ ur das sogenannte barotrope Modell in der numerischen Wettervorhersage verwendet werden, mit welchen z. B. die zeitliche ¨ Anderung des Geopotentials der 500 hPa-Fläche berechnet werden kann. Praktisch geschieht dies durch die Einf¨ uhrung des geostrophischen Windes und der geostrophischen Vorticity ζg in die Vorticitygleichung: ζg =

∂ug ∂vg − ∂x ∂y

geostrophische Vorticity .

Unter Verwendung des geostrophischen Windes nach (10.1) oder (10.6) ergibt sich: ζg =

1 2 ∇ p ρf

im z-System,

(11.11)

ζg =

1 2 ∇ Φ f

im p-System.

(11.12)

Damit lautet die geostrophische Vorticitygleichung ∂ζg ∂ζg ∂ζg + ug + vg + β vg = 0 ∂t ∂x ∂y

11.3

geostrophische Vorticitygleichung . (11.13)

Die Vorticitygleichung fu omung ¨ r eine dreidimensionale Str¨

Die Vorticitygleichung in der Form (11.1) oder (11.3), (11.4) wurde f¨ ur eine rein zweidimensionale Strömung hergeleitet. Die Atmosph¨ are ist hingegen dreidimensional, und obwohl f¨ ur großräumige Bewegungsvorg¨ ange die horizontale Erstreckung sehr viel größer ist als die vertikale Ausdehnung, spielen Vertikalbewegungen eine entscheidende Rolle bei der Entstehung großr¨ aumiger Zirkulationen. Man kann aber auch f¨ ur dreidimensionale Vorg¨ ange die Vorticitygleichung verwenden, und zwar f¨ ur horizontale Ebenen in verschiedenen H¨ ohenniveaus. So erh¨ alt man Vorticitygleichungen f¨ ur diese Niveaus, die durch diejenigen Terme miteinander gekoppelt sind, welche die jetzt zugelassene Vertikalgeschwindigkeit enthalten.

154


Diese vollst¨ andige Vorticitygleichung erhält man aus den Bewegungsgleichungen f¨ ur die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten (9.42) unter Vernachl¨ assigung des Terms f ∗ w durch analoges Vorgehen wie im Falle der zweidimensionalen Vorticitygleichung. Lässt man noch zusätzlich eine variable Dichte zu, so erh¨ alt man als Vorticitygleichung: ∂ζ ∂ζ ∂f ∂w ∂v ∂w ∂u + vh · ∇h ζ + w + (ζ + f )∇h · vh + − +v ∂t ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z

(1)

(3)

(2)

=−

1 k · {∇h p × ∇h ρ} . ρ2

(11.14)

(4)

Die nummerierten Terme der Gleichung (11.14) treten zus¨ atzlich zu denjenigen der zweidimensionalen Vorticitygleichung (11.1) auf. Term (1) gibt die vertikale Advektion von Vorticity an. Term (2), auch Divergenzterm genannt, enth¨ alt die horizontale Geschwindigkeitsdivergenz, welche f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung nicht verschwindet. Der dritte Zusatzterm, (3), wird auch Twistingterm oder Drehterm genannt, weil er Produkte von Geschwindigkeitsscherungen enth¨ alt. Term (4) erh¨ alt man nur f¨ ur eine Strömung mit variabler Dichte; er wird Solenoidterm genannt und gibt die Baroklinität der Str¨ omung wieder (siehe Baroklinit¨ atsbedingung (10.16)). ¨ Insgesamt wird die zeitliche Anderung der Vorticity durch zus¨ atzliche Effekte beeinflusst, die im wesentlichen die Vertikalstruktur der Atmosph¨ are widerspiegeln. Gleichung (11.14) kann auch in kompakterer Form f¨ ur die absolute Vorticity geschrieben werden: dη = −η∇h · vh − dt

∂w ∂v ∂w ∂u − ∂x ∂z ∂y ∂z

−

1 k · {∇h p × ∇h ρ} . ρ2

(11.15)

Bei der praktischen Anwendung der Vorticitygleichung (11.14) auf großr¨ aumige atmosph¨ arische Phänomene werden meist die Terme (1) und (3) als klein gegen¨ uber den u amlich die Ver¨brigen Termen vernachlässigt. Diese enthalten n¨ tikalgeschwindigkeit w, die f¨ ur synoptische Vorgänge sehr viel kleiner als die Horizontalgeschwindigkeit vh ist (z. B. |vh | ≈ 10 ms−1 ; w ≈ 0,1 ms−1 ). Gegen¨ uber der Vorticitygleichung f¨ ur eine rein zweidimensionale Str¨ omung (11.1) oder (11.3), (11.3) bewirken noch die Divergenz des horizontalen Geschwin¨ digkeitsfeldes und die Baroklinität eine Anderung des Vorticityfeldes. Dies soll an zwei Beispielen veranschaulicht werden. Betrachten wir zunächst den Divergenzterm; w¨ urde nur dieser Effekt wirksam sein, so reduzierte sich (11.14) zu

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung

155

.................... .............. ... .............. .............. ... .............. ... .............. .............. ..... .............. .............. .... .............. .............. ... ............... ... . ................ .............. ... .. .............. .............. ..... .. .............. .............. .... .............. ... ... .............. .............. ... .. . .............. ... .............. .. . .............. .............. ..... ... .............. .............. .... .............. ............... . . . . . . . . .............. . . . . . . . .... .................. .............. ... ... ...... ..... .............. . ......... ... . .......... . . . . ... . ... . ..... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. .. .. . ... .. .......... ............................ .......... ......... . . . .... . . . ... ..... ... .. . . ... .. ........ . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . ............... ....... . .. ................... ......... ............ .............. .... .. ... ............... .. . . . . ... . . . .............. .. ...... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .............. .. ........ ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .............. .. .... .. ......... ...................... . . . . . . . . . . .... . . . . . .............. ... .... ............................... ........... . . . . . . . ... . . . . . . . ................................ . . . . . . . . . . . ... . . .............. .............. ... ............................. ....... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . . .............. .............. . . .............. .............. ... . ...... . . .............. ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . .. . . .............. ... .............. .............. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ... .............. .............. .............. .............. .. ....... . . . . .............. .................. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .............. .............. .. .............. ... .. ...... . . . . . . . . . . . .. . . . .............. . . . . . . . . . . . ... . . . . . ......... .............. .............. .. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .............. ............... .. ......... . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .............. .............. ..... .......... .............. .. ........................... ..................... .............. .......... .................. ..... .............. .............. .............. .............. .......... .............. .............. ... ... .............. .......... .............. .............. .. ......... .. .............. .............. ............. .......... ............. .. .............. .............. .............. ............ ..... ..... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .............. .............. .............. . .. ..... ..... . . ....... .............. .............. .............. .......... ... ..... ..... .......... .............. .............. ............. ......... ... ... ................... ............ ..... ..... .............. .............. .......... .. ... .............. .............. ..... ..... ......... ..... ............................ ... ....................... .............. ............. ..... ........ .............. ..... ............. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .............. .............. . ..... ..... .............. .............. ......... .. . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . ............................ .............. .............. ..... ..... . ..... .. ........... . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................ ....... .............. ... .............. ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . .............. .......... ..... ..... ..... .. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. ..... .............. .............. .............. . ..... .............. ..... ..... ... .............. .. .. ..... ................. ..... ..... ............... ... . . . . . . ... . .............. ..... ..... . .............. . . . . . . . . . .............. . . . .............. .... ..... . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .. .............. ..... ..... . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... .............. .. ..... ..... .............. ..... .............. ..... ..... .. .... . . . .............. . ............. ... .............. . . . . . .... ..... .............. . .............. ..... ..... ....... ... .............. ... .............. ... .... .............. ..... ... .............. .............. ..... . . . .............. .. .... .............. .............. ........... .......

∇h vh > 0 ........ ... ........ ......................................................... ..... .......................... .. .. .... ........ ........... ......... .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . .... .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ............. ................................................................... .... ..... ...... ∇h vh < 0 ........... ... ........ ...................... .... ..... ....... ................................ . ........ ..... ..... ....... ..... ........ ........... .......................................................................................................................................... ...... ........ ............ ...................................................... ....... . .... ....... ........... ...... .... .. ........ ..... .... .......... .............. .... .... ......... .... .... ....... .... ... .... ... ... .... .... ..... ..... ....................................................................... .............. ........ .. ................. .............. ....................... .............. ........ ......... ......... ....... ..... A ..... ...... ....... N .......... .......... ........... .................... . . .......... ..... .............................................. ....... . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... B ... . . . . . ... O

Bild 11.2 Bildung eines Leeseitentroges durch Divergenz- und β-Effekt an einem von Norden nach S¨ uden verlaufenden Gebirge. Beim Anströmen einer Bodenerhebung (Bereich A) nimmt die Horizontalgeschwindigkeit des Windes zu; die Strömung erfährt eine horizontale Divergenz, und ihre Vorticity wird antizyklonaler. Hinter dem Gebirge (Bereich B) tritt eine Konvergenz auf, und mit dem Auftreten einer meriodionalen Geschwindigkeitskomponente setzt der β-Effekt ein.

dζ = −η∇h · vh . dt Danach w¨ urde die Vorticity zunehmen, also zyklonaler, wenn eine Geschwindigkeitskonvergenz auftritt, und mit der Zeit abnehmen, also antizyklonaler werden, bei einer Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes. Hierbei muss man nat¨ urlich annehmen, dass die absolute Vorticity η, welche ja als Faktor vor der Divergenz steht, immer positiv ist. Dies ist tatsächlich f¨ ur großr¨ aumige Str¨ omungsvorg¨ ange der Fall, wie man aus einer Abschätzung ersehen kann: Es ist f = 10−4 s−1 , ζ ≈ ±Ug /r ≈ 10 ms−1 /1000 km = ±10−5 s−1 und somit ζ/f ≈ ±0,1 und η = f (1 ± ζ/f ) ≈ f (1 ± 0,1) > 0. Wo tritt nun aber eine Divergenz oder Konvergenz des horizontalen Geschwindigkeitsfeldes in der Atmosphäre auf? Betrachten wir dazu in Bild 11.2 eine Str¨ omung mit konstanter Geschwindigkeit, welche von West nach Ost ein Gebirge u omt, das sich in Nord-S¨ ud-Richtung erstreckt. ¨berstr¨ Die Str¨ omung besitzt zunächst voraussetzungsgem¨ aß keine Vorticity. Vor dem

156


Gebirge wird die Luft beschleunigt, da die gesamte Luftmasse das Gebirge u ¨berstr¨ omen will, woraus sich aus Kontinuitätsgr¨ unden eine Zunahme der Windgeschwindigkeit bei Annäherung an das Gebirge ergibt. Dies bedeutet aber eine Geschwindigkeitsdivergenz, was f¨ ur die Vorticity der einzelnen Str¨ omungsteilchen eine zeitliche Abnahme oder eine negative, antizyklonale Vorticity zur Folge hat. Hinter dem Gebirge werden sich die Luftpartikel jetzt mit einer zus¨ atzlichen S¨ udkomponente weiter nach Osten bewegen, die allerdings durch die Konvergenz reduziert wird. Sobald aber aus der urspr¨ unglich rein zonalen Str¨ omung eine solche mit S¨ udkomponente geworden ist, tritt der β-Effekt (siehe Seite 151) hinzu, welcher eine zyklonale Vorticityänderung bewirkt und eine Zonalisierung der Str¨ omung herbeif¨ uhrt. Nimmt man f¨ ur die Ausgangsstr¨ omung eine geostrophische Windgeschwindigkeit an, so verlaufen die Isobaren zun¨ achst breitenkreisparallel, werden aber durch den Divergenzeffekt vor dem Gebirge antizyklonal gekr¨ ummt und sp¨ ater durch den β-Effekt wieder zyklonal. Insgesamt ergibt sich also hinter dem Gebirge die Ausbildung eines Troges in der H¨ ohe. Dieses beobachtet man auch auf Monatsmittelkarten z. B. des 700 hPa-Niveaus im Lee der hochreichenden, in Nord-S¨ ud-Richtung verlaufenden Gebirge (z. B. der Rocky Mountains). Die Bildung des großräumigen Leeseitentroges wird in Abschnitt 12.5 nochmals anhand der sogenannten potentiellen Vorticity erkl¨ art. Es soll hier aber noch einmal betont werden, daß die Ausbildung des Leeseitentrogs durch die Kombination von Divergenzeffekt und Betaeffekt in der Vorticitygleichung (11.14) zustande kommt. Den reinen Effekt des Divergenzterms sieht man am besten f¨ ur den idealisierten Fall einer “Scheibenerde”, bei der keine Variation des Coriolisparameters f mit der geographischen Breite auftritt und somit β = 0. Aus der Vorticitygleichung (11.15) ergibt sich nur f¨ ur die Betrachtung des Divergenztermes: ∂η ∂u + vh · ∇η + w = −η∇h vh ∂t ∂z Wir setzen jetzt stationäre Verhältnisse voraus und vernachl¨ assigen die Vertikaladvektion der absoluten Vorticity η. Daraus ergibt sich: vh · ∇h η + η∇h · vh = 0 , oder ∇h · vh η = 0 Unter der vereinfachten Annahme eines konstanten Grundstroms (u = u0 , v = 0) vor dem Gebirge erhält man ζ = −∂u/∂y = 0 und β = ∂f /∂y = 0 und somit: ∂uη = 0. ∂x Die Integration von einem Ort x = x0 weit vor dem Gebirge aus ergibt wegen ζ0 = 0 (η0 = f0 + ζ0 = f0 ) : uη(x) = u0 f0

oder

u(x)f0 + u(x)ζ(x) = u0 f0 und somit:

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung ζ(x) = f0

157

(u0 − u(x)) u(x)

Auch wenn der genaue Verlauf von ζ(x) vom Verhalten des zonalen Windes u(x) im Bereich des Gebirges abhängt, so kann man doch folgendes aussagen: x = x0 : u = u0 → ζ = ζ0 = 0 x = xGipfel : u = umax → ζ = ζmax < 0 x >> xGipfel : u = u0 → ζ = 0 Der Divergenzeffekt allein bewirkt also eine antizyklonale Vorticity im Bereich des Gebirges. Stromauf und stromab hat die Str¨ omung keine relative Vorticity (ζ = 0) und die Stromlinien (bei Verwendung der geostrophischen Approximation auch die Isobaren) verlaufen geradlinig. Anschaulich gesprochen w¨ urde ohne den ¨ β-Effekt (Kugelgestalt der Erde) eine zonale Weststr¨ omung nach Uberquerung ¨ eines meridional verlaufenden Gebirges sich in Richtung Aquator verlaufen. Zur Ausbildung des Leeseitentroges muß diese Tendenz durch den β-Effekt nicht nur ausgeglichen sondern sogar u ¨berkompensiert werden. Betrachten wir jetzt die Wirkung der Baroklinit¨ at auf die Vorticity¨ anderung. Wenn sich z. B. an einem festen Ort die Vorticity nur durch den Solenoidterm ändern soll, so lautet die Vorticitygleichung: ∂ζ 1 = − 2 k · {∇h p × ∇h ρ} . ∂t ρ Die Vorticity kann sich mit der Zeit ändern, wenn Druckfl¨ achen und Dichtefl¨ achen nicht parallel zueinander liegen, also ∇h p × ∇h ρ = 0. Dies ist aber gerade die Aussage einer nichtbarotropen (10.16), also baroklinen Atmosph¨ are. Der etwas unanschauliche Solenoidterm in obiger Gleichung l¨ asst sich mit Hilfe der Gasgleichung in eine Beziehung f¨ ur den horizontalen Temperaturgradienten umschreiben, von dem wir ja wissen (Abschnitt 10.4), dass er ein Maß f¨ ur die Baroklinit¨ at ist.

−

1 1 k · {∇p × ∇ρ} = k · ∇p × ∇ 2 ρ ρ

=

1 R k · ∇p × ∇T = k × ∇p · ∇T . p ρT

F¨ uhrt man jetzt f¨ ur den Druckgradienten den geostrophischen Wind ein, ergibt sich f¨ ur die Vorticityänderung durch Baroklinität: f ∂ζg = vg · ∇T . ∂t T Der Term auf der rechten Seite ist gerade die (geostrophisch approximierte) Temperaturadvektion. Es ergibt sich Warmluftadvektion vg · ∇T < 0 ⇒ ∂ζg /∂t < 0 ζg antizyklonaler , Kaltluftadvektion

vg · ∇T > 0 ⇒ ∂ζg /∂t > 0 ζg zyklonaler .

158


In der realen Atmosphäre wirken aber der Divergenzterm und der Solenoidterm gleichzeitig auf bewegte Luftpartikel. Um den relativen Einfluss beider Effekte auf die Vorticity¨ anderung zu bewerten, nehmen wir eine grobe Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnungen vor: Divergenzterm: |vh | = 10 m s−1 , ∇h · vh ≈ |vh |/1000 km =⇒ f ∇h · vh ≈ f · 10−5 s−1 , Solenoidterm:

|vg | = 10 m s−1 , ∇T = 3 K/100 km, T = 300 K =⇒

f vg · ∇T ≈ f · 10−6 s−1 . T

Der Solenoidterm ist etwa um eine Größenordnung kleiner als der Divergenzterm, weshalb er in praktischen Anwendungen meist vernachl¨ assigt wird. ¨ Was hat nun die Vorticityänderung mit der Anderung des Druckfeldes oder Isohypsenfeldes zu tun, was ja f¨ ur die Wettervorhersage von besonderem Interesse ist? Wir wissen, dass im Tiefdruckgebiet positive, also zyklonale Vorticity und im Hochdruckgebiet negative, also antizyklonale Vorticity herrscht. Demnach sollte eine Zunahme der Vorticity mit einem Druckfall und eine Abnahme der Vorticity mit einem Druckanstieg verkn¨ upft sein. Betrachten wir dazu die geostrophische Vorticity ζg , welche nach (11.11) mit dem Druckfeld als synoptisch beobachtbare Größe verbunden ist: 1 2 1 ζg = ∇ p= ρf ρf

∂2p ∂2p + ∂x2 ∂y 2

.

Die Kr¨ ummung der Isobarenflächen ist also ein direktes Maß der Vorticity. ¨ Ebenso gilt f¨ ur die zeitliche Anderung der Vorticity: 1 ∂ 2 ∂ζg = ∇ p . ∂t ρf ∂t Da die Kr¨ ummung der Druckflächen aber auch, wie in Bild 11.3 dargestellt, an¨ gibt, ob man tiefen oder hohen Druck hat, kann aus der Anderung der Kr¨ ummung auf Druckanstieg oder Druckfall geschlossen werden. Somit erh¨ alt man eine Beziehung zwischen Vorticityänderung und Druckänderung: z ..... z ..... z ..... .. .. .. H T .. .. .. ............... .......................... ...................................... . . . . . . . . . . . . .. ............................ .. ............................................................................................... p1 . .......... p1 .. ... ............................... ... p1 ........................................................... .. .. ..................... ............ .. ................................. .. ............................................................................................... p2 ............. .. p2 . . . p . . . . . . . . ..................... . . . ................................................. .. .. ................................................................................... 2 .. .. ............................................................................................... p3 ....... p ...... . . ............. . . . . . p . . . . . . . 3 3 ..................... .... .. .. ..................... ....................................................................... x ................................................................................................... x ........................................................................ x ∂2p ∂x2

= 0 ⇒ ζg = 0

Bild 11.3

∂2p ∂x2

> 0 ⇒ ζg > 0

Druckfeld und Vorticity

∂2p ∂x2

< 0 ⇒ ζg < 0

11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung ∂ζg > 0 : Druckfall , ∂t

11.4

159 ∂ζg < 0 : Druckanstieg . ∂t

Die linearisierte Vorticitygleichung

Die Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale, divergenzfreie Str¨ omung (11.1) ist eine nichtlineare, partielle Differentialgleichung, deren L¨ osung nur in speziellen F¨ allen analytisch möglich ist. Es soll daher eine vereinfachte Form dieser Gleichung erstellt und dabei gleichzeitig die in der Hydrodynamik h¨ aufig verwendete Methode der Linearisierung erläutert werden. Wir gehen aus von Gleichung (11.1): ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u +v + vβ = 0 . ∂t ∂x ∂y Die Variablen dieser Gleichung werden jetzt aufgespalten in einen Mittelwert (. . .) und in Abweichungen davon (. . .) : u=u ¯ + u ,

u u ¯

F¨ ur die später vorzunehmende Linearisierung werden die St¨ orungen als klein gegen¨ uber dem Mittelwert angenommen.

v = v¯ + v , v v¯ ζ = ζ¯ + ζ , ζ ζ¯

Diese Aufspaltung in (11.1) eingesetzt ergibt: ∂ ζ¯ ∂ζ + ∂t ∂t

∂ ζ¯ ∂ζ ∂ ζ¯ ∂ζ +u ¯ + u + u ∂x ∂x ∂x ∂x ¯ ∂ ζ ∂ζ ∂ζ ∂ ζ¯ + v¯ + v + v +¯ v + v¯ β + v β = 0 . ∂y ∂y ∂y ∂y +¯ u

(11.16)

Die unterstrichenen Terme sind Produkte der St¨ orgr¨ oßen. Es wird nun angenommen, dass diese Produkte gegen¨ uber den anderen Termen der Gleichung vernachl¨ assigbar sind, also gleich Null gesetzt werden k¨ onnen. So gilt z. B. aufgrund der Voraussetzungen u u ¯ und v v¯, dass u

∂ζ ∂ζ u ¯ ∂x ∂x

und v

∂ζ ∂ζ v¯ . ∂y ∂y

Dieses Vorgehen nennt man Linearisierung. Es wird ferner vorausgesetzt, dass (11.1) von den mittleren Größen allein ebenfalls erf¨ ullt wird:

160


∂ ζ¯ ∂ ζ¯ ∂ ζ¯ +u ¯ + v¯ + v¯ β = 0 . ∂t ∂x ∂y

(11.17)

Subtrahiert man (11.17) von (11.16), so ergibt sich als Gleichung f¨ ur ζ : ∂ ζ¯ ∂ ζ¯ ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u ¯ + u + v¯ + v + v β = 0 . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y

(11.18)

Dies ist die linearisierte Vorticitygleichung. In ihr treten die Variablen nur noch linear auf, da die mittleren Größen als Parameter fest vorgegeben werden. Um eine L¨ osung der linearisierten Vorticitygleichung zu erhalten, werden folgende Vereinfachungen vorgenommen: Es wird ein konstanter Grundstrom in zonaler Richtung angenommen, also ohne Meridionalkomponente. u ¯ = u0 = konstant ,

v¯ = 0

⇒

∂u ¯ ∂¯ v − =0 . ζ¯ = ∂x ∂y

Man erh¨ alt damit aus (11.18): ∂ζ ∂ζ + u0 + v β = 0 . ∂t ∂x Es wird weiter angenommen, dass die Störung nur f¨ ur die v-Komponente vorur die Störungsvorticity ζ bedeutet dies: handen ist, woraus u = 0 folgt. F¨ ζ = ∂v /∂x. Somit ergibt sich aus obiger Gleichung: ∂ 2v ∂ 2v + u0 2 + v β = 0 . ∂t∂x ∂x F¨ ur die St¨ orgeschwindigkeit v nehmen wir an, dass sie nur von der x-Koordinate abh¨ angt, also keine Variation in y-Richtung aufweist. Zur L¨ osung der v -Gleichung machen wir einen Wellenansatz: v (x,t) = v0 cos

2π (x − ct) L

.

Dabei ist v0 die konstante Amplitude, L die Wellenl¨ ange und c die Phasengeschwindigkeit der Welle. Damit erhält man aus der Vorticitygleichung: !

4π 2 2π 4π 2 (x − ct) = 0 . c − 2 u0 + β v0 cos 2 L L L Diese Gleichung kann nur dann f¨ ur alle x- und t-Werte erf¨ ullt sein, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer verschwindet. Eine L¨ osung ist also nur f¨ ur bestimmte Kombinationen der Parameter u0 , β, L und c m¨ oglich, n¨ amlich f¨ ur c = u0 −

βL2 . 4π 2

(11.19)

11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung

161

Dies ist die bekannte, erstmals von C. G. Rossby angegebene Beziehung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit von langen Wellen in der Atmosph¨ are. Die Phasengeschwindigkeit hängt von der Wellenl¨ ange ab; es herrscht also Dispersion. Aus (11.19) lässt sich die Wellenlänge der station¨ aren Wellen (c = 0) angeben, also solcher Wellen, die ihre Lage relativ zur Erdoberfl¨ ache nicht ¨ andern. Mit c = 0 folgt aus (11.19): "

Lstat = 2π

u0 /β .

(11.20)

Eine Absch¨ atzung der Wellenlänge stationärer Wellen f¨ ur mittlere Breiten ergibt mit u0 ≈ 15 m s−1 und β ≈ 1,5 · 10−11 m−1 s−1 : Lstat ≈ 6,3 · 106 m = 6300 km . Die Wellenl¨ ange stationärer Wellen beträgt also etwa 6000 bis 7000 km. Dies ist um die H¨ alfte mehr als die Länge von Zyklonenwellen, weshalb man die oben behandelten Wellen auch als lange Wellen oder Rossby-Wellen bezeichnet. Bei der oben berechneten Länge der stationären Wellen ergeben sich in mittleren Breiten etwa vier Wellen auf einem Breitenkreis; dies stimmt mit den Beobachtungen u ¨berein. Auf Wetterkarten w¨ urden Rossby-Wellen im Idealfall zur Ausbildung periodischer Tr¨ oge und R¨ ucken im zonalen Druckfeld (auf H¨ ohenwetterkarten im Isohypsenfeld) f¨ uhren, wie in Bild 11.4 schematisch dargestellt ist. Aus der Phasenbeziehung (11.19) ergibt sich, dass alle Wellen, die k¨ urzer sind als die station¨ aren, sich nach Osten verlagern, also in Richtung des Grundstromes. Wellen mit größerer Wellenlänge als die der station¨ aren verlagern sich nach Westen, also gegen den Grundstrom. Diese sogenannten retrograden Wellen werden aber in der Natur nicht sehr häufig beobachtet. Im hier vorgestellten einfachen Fall bestehen Rossbywellen aus periodischen ¨ Anderungen der meridionalen Windkomponente v , welche einem konstanten Grundstrom u ¯ u are ¨berlagert sind. Wodurch werden die in der realen Atmosph¨ diese meridionalen Störungen im Windfeld ausgel¨ ost? Eine M¨ oglichkeit besteht ¨ z. B. in der Auslenkung einer zonalen Strömung beim Uberstr¨ omen eines in meridionaler Richtung verlaufenden Gebirges, wie in Detail in Kapitel 11.3 anhand des ... ... T .......... . ... ...... ... ...... ... . ................................................................................ .......... . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ......... . . . . ....... . .. . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ...... ...........p1 ....... ........ ... ....... ...... ... . ................................................................................ ............................................................................................................................ ................................................................................. ........... ........... .. ...... ......... .......... .. ..... ............................ . ........ ... ......... ........ ........ ..........................p2 ...... .... ... .. ......... . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .................................................................... .......... ................................................................................ ........... ..................................................................... ...... . ........... ........... ...... ........... ......... .. . ...... ............................ ... ......... ........ ........ ........ ..........................p3 .. ...... ...... ... ......... . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . ........ . . .. . . ..... . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ................................. ......... ... ... ..... ... H H . . .. .. . ... ...

.. .. . ... ...

←−−−− L ≈ 6000 km −−−−→

Bild 11.4 Rossby-Wellen im großräumigen Druckfeld

162


Divergenzeffektes in der Vorticitygleichung diskutiert wurde. Die dort beschriebene Ausbildung des Leeseitentrogs (Bild 11.2) stellt sozusagen die Anregung f¨ ur eine station¨ are Rossbywelle dar, die sich aufgrund des β-Effektes (Bild 11.1) im ¨ weiteren Str¨ omungsverlauf nach Uberquerung des Gebirges einstellt. Die Rossby-Wellen ergaben sich als Lösung der linearisierten Vorticitygleichung (11.18). Es ist jedoch auch möglich, analytische L¨ osungen der nichtlinearen Vorticitygleichung anzugeben, wobei sich der Grundstrom in meridionaler Richtung ¨ andern kann. Eine solche Lösung stammt von A. Arakawa (chinesischamerikanischer Meteorologe) und lautet f¨ ur die Stromfunktion: Ψ(x,y,t) = −u0 y + A sin(ay + ε) + B sin {k(x − ct − μy)}

(11.21)

mit den Bedingungen k 2 (1 − μ2 ) = a2 ,

k = 2π/Lx ,

c = u0 − β/a2 .

(11.22)

Der zonale Grundstrom lässt sich bestimmen aus: ¯ ∂Ψ = u0 − Aa cos(ay + ε) . (11.23) ∂y Die St¨ orungen in (11.21), die dem Grundstrom (11.23) u ¨berlagert sind, haben die gleiche Struktur wie die Rossby-Wellen, nur sind in diesem Fall die Achsen der Tr¨ oge und R¨ ucken gegen die Meridiane geneigt, was durch die Phasenverschiebung μ bewirkt wird. Eine andere L¨ osung der Vorticitygleichung stammt von dem amerikanischen Meteorologen A. Neamtan: u ¯(y) = −

Ψ(x,y,t) = −u0 y + A sin(ay + ε) + B sin {k(x − ct)} sin(ly) ,

(11.24)

mit k 2 + l2 = a2 ,

k = 2π/Lx ,

l = 2π/Ly ,

c = u0 − β/a2 .

(11.25)

Dies sind zellul¨ are Störungen, deren Wellenlänge in meridionaler Richtung Ly betr¨ agt und die dem gleichen Grundstrom wie (11.23) u ¨berlagert sind.

11.5

Die Zirkulationsgleichung

In Abschnitt 7.5 haben wir als integrales Maß f¨ ur den gesamten Drehsinn einer Str¨ omung die Zirkulation eingef¨ uhrt, die mit der Vorticity entsprechend (7.25) ¨ in Verbindung steht. Ebenso wie f¨ ur die zeitliche Anderung der Vorticity die Vorticitygleichung (11.1) hergeleitet wurde, kann man auch f¨ ur die Zirkulation eine Gleichung f¨ ur deren Zeitentwicklung aufstellen. Zun¨ achst sei noch einmal an die Definition der Zirkulation erinnert:

11.5 Die Zirkulationsgleichung

163

C= S

v · ds =

S

vs ds .

(11.26)

Dabei ist S der Weg entlang einer geschlossenen Kurve und vs die Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Kurvenvektors s. Mit dem Begriff der Zirkulation verbindet man in der Meteorologie h¨ aufig kleinr¨ aumige Systeme wie Land-Seewinde oder Berg-Talwinde, bei denen der Einfluss der Coriolis-Kraft in erster Näherung vernachl¨ assigt werden kann. Wir gehen daher f¨ ur die Ableitung der Zirkulationsgleichung von den Bewegungsgleichungen in der Form (9.7) aus: dv 1 = −∇Φ − ∇p . dt ρ Die Anwendung des Kurvenintegrals auf diese Gleichung ergibt

dv · ds = − dt

∇Φ · ds −

1 ∇p · ds . ρ

(11.27)

Die linke Seite l¨ asst sich mittels partieller Integration umformen:

dv · ds = dt

d (v · ds) − dt

v·

d (ds) = dt

d (vs ds) − dt

vs

d (ds) , dt

und ergibt sich wegen d(ds)/dt = dvs schließlich zu

dv · ds = dt

d (vs ds) − dt

vs dvs .

Auf der rechten Seite von (11.27) gilt außerdem ∇Φ · ds = dΦ und ∇p · ds = dp. Damit erhalten wir insgesamt

d (vs ds) − dt

v2 d s 2

=−

dΦ −

1 dp . ρ

Da ein geschlossenes Linienintegral u ¨ber ein totales Differential verschwindet, gilt

v2 d s 2

=

dΦ = 0 ,

¨ und wir erhalten schließlich mit (11.26) f¨ ur die zeitliche Anderung der Zirkulation: d dC = dt dt

vs ds = −

dp . ρ

(11.28)

In welchem Maße sich die Zirkulation ändert, hängt von der r¨ aumlichen Verteilung des Druckes p und der Dichte ρ ab. Nehmen wir als einfaches Beispiel den Fall konstanter Dichte ρ = ρ0 . Dann verschwindet die rechte Seite von (11.28) wegen

164


dp 1 = ρ0 ρ0

dp = 0 ,

so dass man erh¨ alt: dC =0 f¨ ur ρ = konstant . (11.29) dt Die Beziehung (11.29) besagt, dass in einem Medium konstanter Dichte die Zirkulation eine Erhaltungsgröße ist. Diese Aussage ist auch als Kelvinsches Zirkulationstheorem bekannt. Im allgemeinen Fall ist die Dichte nicht konstant. Wir k¨ onnen jedoch f¨ ur atmosph¨ arische Str¨ omungen in die rechte Seite von (11.28) die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase p = ρ RT einsetzen und erhalten dann die Zirkulationsgleichung dC =− dt

RT dp = − p

RT d(ln p) .

(11.30)

Wenn Temperatur- und Druckfeld bekannt sind, kann die rechte Seite von (11.30) bestimmt werden. Als Beispiel sei die Zirkulation in einem Land-Seewind betrachtet, wie in Bild 11.5 dargestellt. Die geschlossene Kurve zur Berechnung des Linienintegrals wird so gewählt, dass sie sich ausschließlich aus Wegabschnitten mit p = konstant oder T = konstant zusammensetzt. Dann tragen nur die Teilstrecken entlang der Isothermen zum Integral bei, und man erh¨ alt dC p3 = R ln (T3 − T1 ) > 0 dt p1

tags¨ uber .

(11.31)

Geht man von einer zunächst ruhenden Atmosph¨ are aus, wie sie sich zu Zeiten fehlender Temperaturgegensätze aufgrund der Reibung einstellt, l¨ asst sich aus dem Vorzeichen der Zirkulationsänderung direkt die Richtung der sich aufbauenden Zirkulation ablesen. Im Fall des Seewinds in Bild 11.5 ist die Zirkulations¨ anderung positiv. d. h. der Temperaturgegensatz zwischen Land und See bewirkt eine Zirkulation, die nahe den Oberflächen vom Wasser zum Land gerichtet ist (Seewind) und in größeren Höhen umgekehrt vom Land zum Wasser (Landwind). Kehrt man in Bild 11.5 die Temperaturverh¨ altnisse um, so dass die Luft – wie in den Nachtstunden – u alter wird als u ¨ber dem Land k¨ ¨ber dem Wasser (T1 > T2 > T3 ), ¨ andert sich auch das Vorzeichen in (11.31): p3 dC = R ln (T3 − T1 ) < 0 dt p1

nachts .

(11.32)

Dann baut sich in Bodennähe eine Strömung vom Land zum Wasser auf, also ein Landwind. In beiden F¨ allen ergibt sich aus der Zirkulationsgleichung (11.30), dass die Zirkulation immer so gerichtet ist, dass in Bodenn¨ ahe (also unter h¨ oherem Druck) eine Str¨ omung vom Kalten zum Warmen erfolgt.


165

Dar¨ uber hinaus bestätigt (11.30) die bereits in Abschnitt 9.3 getroffene Aussage, dass sich eine Luftströmung nur dann einstellt, wenn eine differentielle Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung vorhanden ist (hier: T1 = T3 ). Die Zirkulation ist dabei so gerichtet, dass das System auf einen Temperaturausgleich zwischen warmen und kalten Gebieten hinwirkt. Die Zirkulationsgleichung lässt sich auch auf andere kleinr¨ aumige Windsysteme anwenden, deren Ursache auf horizontale Temperaturunterschiede zur¨ uckzuf¨ uhren ist, wie z. B. der schon erwähnte Berg-Talwind oder der Flurwind im Bereich von St¨ adten. Eine Untergruppe solcher thermischer Windsysteme stelle die so genannten Dichtestr¨ omungen dar. Das Prinzip dieser Strömungen, die z. B. im bodennahen Ausfluß von Kaltluft aus Schauerwolken zu beobachten sind, soll kurz erl¨ autert werden. Dazu betrachten wir die einfache Situation von zwei Luftmassen unterschiedlicher Temperatur T und Dichte ρ wie in Bild (11.6) dargestellt. Daher gelte: T1 < T2 und ρ1 > ρ2 , d. h. eine kalte Luftschicht (T1 , ρ1 ) mit der vertikalen Mächtigkeit H schiebt sich mit konstanter Geschwindigkeit U unter eine ruhende, warme Luftmasse (T2 , ρ2 ). Die Anwendung der Zirkulationsgleichung (11.31) auf diese Situation w¨ urde eine Zirkulation im Bereich der Luftmassenfront (Dichtefront) ergeben, die der Land- Seewind Zirkulation in Bild (11.5) entspricht. H¨ aufig ist man jedoch lediglich an der Geschwindigkeit U interessiert, mit der sich die Front entlang des Bodens bewegt. Diese kann wie folgt vereinfacht abgesch¨ atzt werden: T1 T2 T ........................................................................................................................................................3....................... p 1 .. . .... .. .. ... ... . .... .. . . ... ... .. ... . .... .. .. .. ... ............................. .. ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... p2 .... ... .. ... ... .. . ... .... S.... . .. . ... ... ... .. ... . ... ... .... ... . ..... .. .. ... .................... . ......................................................... . ............................................................... . .. . . ......................................................................... p3 ... ... .. .. .. .. ..............................................

.. ...

. ..

.. .. ..

.. .......... .. .. .. .. .. .. .. .. ........... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ............. .. ... ... ......... .. .. .. ... ......... .. .. .. .. .. ....... .............................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................................................................................................................................... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ........................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................. .........................................................................

See

Land

Bild 11.5 Integrationskurve S und resultierende Zirkulation in einem Land-Seewindur System. F¨ ur die Isobaren gilt p1 < p2 < p3 . Die Windrichtung und die Isothermen sind f¨ den Fall skizziert, dass die Landoberfläche wärmer ist als die des Wassers, T1 < T2 < T3 , wie es meist tags¨ uber zutrifft.

166


Bild 11.6 Schematische Darstellung einer so genannten Dichteströmung. Ein schweres Fluid ρ1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit u gegen ein ruhendes, leichteres Fluid ρ2 .

In erster N¨ aherung ist U höhenkonstant, sodaß die entsprechende Bewegungsgleichung als ∂U ∂U ∂P +U (11.33) =− ρ1 ∂t ∂x ∂x geschrieben werden kann. Wir bewegen uns jetzt in einem Koordinatensystem, welches an der Dichtefront ρ1 /ρ2 fixiert ist. In einem solchen mitbewegten System ist die Str¨ omung stationär, sodaß (11.33) umgeformt werden kann zu: ρ1

∂ U2 ∂P =− ∂x 2 ∂x

(11.34)

oder wegen ρ1 = konstant zu:

∂ U2 +P ρ1 ∂x 2

=0.

(11.35)

Wir approximieren den Geschwindigkeits- und Druckverlauf im Bereich der Dichtefront durch endliche Differenzen :

2

ρ1 U2 + P

x

=0.

(11.36)

Durch Umstellen erhält man aus der Bedingung, daß der Windsprung im Frontbereich gerade der Geschwindigkeit U der Kaltluftzunge (ρ1 , T1 ) entspricht: ρ1

U2 = P1 − P2 2

(11.37)

ucke vor und hinter der Front sind. wobei P1 und P2 jeweils die statischen Dr¨ Mit der statischen Grundgleichung lassen sich diese wie folgt von einem Niveau z = H + z oberhalb der Kaltluftmasse H aus bestimmen: P1 = P1 (z) + ρ2 g(z ) + ρ1 gH P2 = P1 (z) + ρ2 gz + ρ2 gH


167

Mit der weiteren Annahme, daß in der Höhe z(= H +z ) kein horizontaler Druckgradient herrscht (z. B. die Kaltluftzunge schiebt sich unter eine ruhende, homogene Warmluftmasse), ergibt sich somit f¨ ur die Druckdifferenz: P1 − P2 = g(ρ1 − ρ2 )H und damit aus (11.37) f¨ ur die Frontgeschwindigkeit:

U = 2g

ρ1 − ρ2 H ρ1

1/2

(11.38)

oder wegen (ρ1 − ρ2 )/ρ1 ≈ (T2 − T1 )/T1 :

T2 − T1 U = 2g H T1

1/2

(11.39)

Die Beziehung (11.38) bzw. (11.39) wird in der Literatur h¨ aufig zur Absch¨ atzung der Ausbreitungsgeschwindigkeit kleinräumigen Dichte/Temperatur-Fronten verwendet. Nehmen wir als Beispiel die kalten Fallwinde aus einer hochreichenden Schauerwolke, die auf den Erdboden treffen und sich dann als Dichtestr¨ omung wie in Bild (dichteströmung) horizontal ausbreiten. Die Dicke der Kaltluft sei mit H = 200 m angenommen. Die Temperatur der Kaltluft betrage 280 K und die der warmen Umgebungsluft 295 K (somit T1 − T2 = −15 K). F¨ ur die Windgeschwindigkeit in der Kaltluft ergibt sich nach (11.39): U = 14 ms−1 . Solche Geschwindigkeiten werden in den so genannten B¨ oenwalzen von Schauerwolken durchaus beobachtet.

12 Gleichungen fu arische ¨ r atmosph¨ Bewegungsvorg¨ ange 12.1

Grundgleichungen

Bevor wir im weiteren auf spezielle atmosphärische Ph¨ anomene wie Schall- und Schwerewellen und die Zyklonenentstehung eingehen, soll an dieser Stelle noch einmal zusammengestellt werden, was uns zur Beschreibung solcher Vorg¨ ange an Gleichungen zur Verf¨ ugung steht. Dies sind die Bewegungsgleichungen (9.39) bis (9.41), die Kontinuitätsgleichung (8.4) sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (3.3) und die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase (2.3). Die quantitative Beschreibung von atmosphärischen Bewegungsformen erfolgt mittels der Zustandsvariablen, nämlich dem Geschwindigkeitsvektor v und den thermodynamischen Variablen Druck p, Dichte ρ und Temperatur T . F¨ ur die zeitliche Entwicklung der Bewegungsvorgänge stehen uns die oben genannten prognostischen Gleichungen zur Verf¨ ugung. Diese sollen noch einmal zusammengestellt werden: Bewegungsgleichungen: ∂v 1 + v · ∇v + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p . ∂t ρ Kontinuitätsgleichung: ∂ρ + v · ∇ρ = −ρ∇ · v . ∂t Erster Hauptsatz der Thermodynamik: ∂T 1 dp Q˙ + v · ∇T − = . ∂t ρcp dt cp Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: p = R ρT . Es handelt sich dabei um ein sogenanntes trockenes Gleichungssystem, da der Wasserdampf in der Atmosphäre nicht mit ber¨ ucksichtigt ist, was sich aber durch eine zus¨ atzliche Kontinuitätsgleichung f¨ ur den Wasserdampf und das Fl¨ ussigwasser korrigieren ließe. Der Einfachheit halber soll hier aber auf die Behandlung der feuchten Atmosph¨ are verzichtet werden. F¨ ur adiabatische Prozesse wird häufig auch folgende Form des Ersten Hauptsatzes verwendet:

170

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

dθ ∂θ = + v · ∇θ = 0 . (12.1) dt ∂t Hierbei ist θ die potentielle Temperatur, die mit der aktuellen Temperatur T durch

θ=T

p0 p

R

cp

(12.2)

verkn¨ upft ist. Mit Hilfe des oben aufgestellten Gleichungssystems k¨ onnen wir alle in der Atmosph¨ are vorkommenden Phänomene behandeln, da (abgesehen von der fehlenden Feuchte und der erst in Kapitel 18 hinzugef¨ ugten Reibungskraft) noch keinerlei Einschr¨ ankungen oder Vereinfachungen vorgenommen wurden. Die F¨ ulle der beschreibbaren Vorgänge reicht von den Schall- und Schwerewellen (siehe Kapitel 13) bis zu den Zyklonen und Antizyklonen (Kapitel 14) und zur allgemeinen Zirkulation (Kapitel 16). Meist werden die Gleichungen jedoch so weit vereinfacht, dass sie f¨ ur ein spezielles Problem besonders einfach zu handhaben sind. So kann man sich z. B. vorstellen, dass bei der Behandlung synoptischer Vorg¨ ange das Auftreten von Schallwellen von geringer Bedeutung einerseits und hinsichtlich der Komplexit¨ at der Gleichungen andererseits unerw¨ unscht ist. F¨ ur diese großr¨ aumigen Bewegungsvorgänge hat man die Grundgleichungen insoweit vereinfacht, dass sie f¨ ur den praktischen Gebrauch hinsichtlich einer Wettervorhersage handhabbar sind. Dies soll in den nächsten beiden Abschnitten verdeutlicht werden.

12.2

Gleichungen fu ange ¨ r synoptische Bewegungsvorg¨

Bei der Behandlung der Bewegungsgleichungen wurde bereits darauf hingewiesen, dass sich f¨ ur synoptische Vorgänge die Transformation der Gleichungen in das p-System besonders eignet, da alle routinem¨ aßig erstellten Beobachtungsdaten synoptischer Felder auf Isobarenflächen (z. B. 850 hPa, 500 hPa) erfasst werden. Andererseits war dies nur unter der Voraussetzung m¨ oglich, dass die statische Grundgleichung als g¨ ultig vorausgesetzt wurde, was man aber f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Vorgänge als praktisch immer erf¨ ullt ansehen kann. Als Konsequenz darf man allerdings die dritte Bewegungsgleichung nicht mehr als prognostische Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit verwenden, so dass nur der Horizontalwind durch eine prognostische Gleichung (Bewegungsgleichung) bestimmt werden kann, w¨ ahrend die Vertikalgeschwindigkeit aus der Kontinuit¨ atsgleichung erhalten wird. Die Gleichungen im p-System (9.60), (9.50) und (9.67) seien hier noch einmal zusammengefasst:

12.2 Gleichungen f¨ ur synoptische Bewegungsvorg¨ ange

171

Bewegungsgleichung: ∂vh ∂vh + vh · ∇h vh + ω + f k × vh = −∇h Φ . ∂t ∂p Statische Grundgleichung: 1 ∂Φ =− . ∂p ρ Kontinuit¨ atsgleichung: ∇h · vh +

∂ω =0 . ∂p

Im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik kann man von dem Umstand Gebrauch machen, dass die Vertikalgeschwindigkeit ω im p-System definiert ist durch ω = dp/dt. Damit lässt sich der Erste Hauptsatz schreiben als: ∂T 1 ∂T Q˙ + vh · ∇h T + ω − ω= . ∂t ∂p ρcp cp

(12.3)

In der praktischen Anwendung liefern die Radiosonden nicht immer Temperaturmessungen, daf¨ ur aber die Höhen der jeweiligen Druckfl¨ achen, wobei der Abstand zweier Druckflächen (relative Topographie) proportional zur Schichtmitteltemperatur (10.12) ist. Der Zusammenhang zwischen dem Geopotential der Druckfl¨ achen und der Temperatur ergibt sich, wenn man die Druck¨ anderungen als hydrostatisch voraussetzt. Es folgt dann aus der Zustandsgleichung: 1/ρ = T R/p und aus der statischen Grundgleichung: 1/ρ = −∂Φ/∂p. Daraus ergibt sich f¨ ur die Lufttemperatur T : p ∂Φ . R ∂p

T =−

(12.4)

Wenn man (12.4) in den Ersten Hauptsatz (12.3) einsetzt, so erh¨ alt man nach Zusammenfassung der Terme, welche die Vertikalgeschwindigkeit enthalten: ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+ vh · ∇h

∂Φ ∂p

+σω = −

Q˙ R . cp p

(12.5)

Hierin ist σ der sogenannte Stabilitätsparameter: σ≡−

1 ∂θ . ρθ ∂p

Dieser gibt die statische Stabilität der Atmosph¨ are wieder: σ > 0 : ∂θ/∂p < 0 ⇒ ∂θ/∂z > 0 stabile Schichtung , σ < 0 : ∂θ/∂p > 0 ⇒ ∂θ/∂z < 0 labile Schichtung .

(12.6)

172


Der Erste Hauptsatz in der Form (12.5) wird haupts¨ achlich in Modellen der numerischen Wettervorhersage verwendet, besonders in denjenigen Modellen, welche die quasi-geostrophische Vorticitygleichung benutzen (siehe Abschnitt 12.3), da sich das Vorhersageproblem damit auf die Prognose von relativer und absoluter Topographie (der Druckflächen) reduzieren lässt. Auch f¨ ur die Simulation der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation l¨ asst sich (12.5) in Verbindung mit den Bewegungsgleichungen und der Kontinuit¨ atsgleichung verwenden, da in der diabatischen Wärmezufuhr Q˙ Strahlungsdivergenzen als W¨ armequellen ber¨ ucksichtigt werden können. F¨ ur die kurzfristige Wettervorhersage wird allerdings meist auf die nicht-adiabatischen Effekte verzichtet, so dass sich der Erste Hauptsatz auf adiabatische Temperatur¨ anderungen in der Atmosph¨ are beschränkt. Ein solches vereinfachtes Gleichungssystem soll im nächsten Abschnitt behandelt werden.

12.3

Quasi-geostrophische Gleichungen

Wie im vorigen Abschnitt erläutert, kann f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Bewegungen die statische Grundgleichung als g¨ ultig angesehen werden, d. h. die Atmosph¨ are befindet sich praktisch im statischen Gleichgewicht. Andererseits haben wir in Kapitel 10 eine sehr einfache Approximation der Bewegungsgleichungen f¨ ur großräumige Strömungen kennengelernt, den geostrophischen Wind. Die geostrophische Windbeziehung sagt aus, dass sich Druckkraft und CoriolisKraft im Gleichgewicht befinden, so dass sich der Windvektor eindeutig aus dem Druckfeld bzw. Geopotentialfeld bestimmen lässt. In diesem sogenannten geostrophischen Gleichgewicht weht der Wind immer parallel zu den Isobaren, was in der Atmosph¨ are praktisch immer in sehr guter N¨ aherung zu beobachten ist. Dennoch kann man nicht davon ausgehen, dass sich die Atmosph¨ are hinsichtlich großr¨ aumiger Bewegungen immer im geostrophischen Gleichgewicht befindet. Wäre dies der Fall, so könnte es nicht zu einem Druckausgleich zwischen Zyklonen und Antizyklonen kommen, also auch zu keiner Zyklogenese, da ja der Wind immer parallel zu den Isobaren verlaufen w¨ urde, also keine Komponente in Richtung des tiefen bzw. hohen Druckes vorhanden wäre. Dies soll im folgenden anhand der Bewegungsgleichungen verdeutlicht werden. Gehen wir von den Bewegungsgleichungen im p-System (9.60) aus und ersetzen dort die Druckkraft durch den geostrophischen Wind (10.6), so ergibt sich dvh + f k × (vh − vg ) = 0 . dt (Der Einfachheit halber wird hier und in den folgenden Ableitungen der CoriolisParameter dort als konstant angenommen, f = f0 , wo er bei der geostrophischen Approximation verwendet wird.)

12.3 Quasi-geostrophische Gleichungen

173

W¨ urde man jetzt die geostrophische Approximation als g¨ ultig voraussetzen, m¨ usste man in den Bewegungsgleichungen den Horizontalwind durch den geostrophischen Wind ersetzen, d. h. vh −→ vg . Dann erh¨ alt man aus der Bewegungsgleichung: dvg = −f k × (vg − vg ) = 0 . dt Es ergibt sich, was man ja bereits bei der Herleitung des geostrophischen Windes vorausgesetzt hatte: Der geostrophische Wind ist beschleunigungsfrei. Das ¨ bedeutet aber auch, dass die zeitliche Anderung des Windes verschwindet, also gar keine Entwicklung des Windfeldes möglich ist, wenn man f¨ ur großr¨ aumige Str¨ omungen geostrophisches Gleichgewicht annimmt! ¨ Wodurch kommen nun aber Anderungen der großr¨ aumigen Druckgebilde zustande, wenn man einmal thermodynamische Prozesse und den Einfluss der Bodenreibung außer Betracht lässt? Spalten wir den horizontalen Windvektor vh einmal in einen geostrophischen Anteil vg und eine Abweichung davon, den sogenannten ageostrophischen Windanteil va auf: vh = vg + va .

(12.7)

Damit ergibt sich f¨ ur die Bewegungsgleichungen: dvh = −f k × va . (12.8) dt Daraus folgt, dass Beschleunigungen des Horizontalwindes durch ageostrophi¨ sche Winde hervorgerufen werden. Oder anders formuliert: Zeitliche Anderungen des Windfeldes (und damit des Druckfeldes) werden durch Abweichungen vom geostrophischen Gleichgewicht verursacht. Dieser wichtige Befund hat noch eine andere Konsequenz, nämlich f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen. Betrachten wir dazu die Kontinuitätsgleichung im p-System und nehmen dort eine Aufspaltung (12.7) des Windes vor ∇h · vh = ∇h · vg + ∇h · va = −

∂ω . ∂p

ur f = Wegen der Divergenzfreiheit des geostrophischen Windes (∇ · vg = 0 f¨ f0 = konstant!) folgt daraus: ∇h · va = −

∂ω . ∂p

(12.9)

Dies bedeutet, dass großräumige Vertikalbewegungen in der Atmosph¨ are durch horizontale Divergenzen des ageostrophischen Windes hervorgerufen bzw. dass ageostrophische Winde durch großräumige Vertikalbewegungen induziert werden.

174


Insgesamt besagen die oben gemachten Ausf¨ uhrungen, dass sich die Atmosph¨ are hinsichtlich großräumiger Bewegungen praktisch im geostrophischen Gleichgewicht befindet, die nicht-geostrophischen Windkomponenten jedoch entscheidend f¨ ur die zeitliche Entwicklung von Druck- und Geschwindigkeitsfeldern sind. Diese sogenannten ageostrophischen Vertikalzirkulationen sind auch entscheidend bei der Zyklonenentstehung, auf welche unter dem Stichwort Barokline Instabilit¨ at in Kapitel 14 näher eingegangen wird. Da nun aber die geostrophische Approximation auf einfache Weise erm¨ oglicht, Windfeld und Druckfeld miteinander zu verkn¨ upfen, hat man ein Gleichungssystem f¨ ur großr¨ aumige atmosphärische Bewegungen aufgestellt, das die geostrophische Beziehung verwendet, gleichzeitig aber die f¨ ur Entwicklungen wichtigen Divergenzen des Horizontalwindes ber¨ ucksichtigt. Dieses sogenannte quasigeostrophische Gleichungssystem kann aber aus dem vorher Gesagten nicht von den Bewegungsgleichungen ausgehen, sondern verwendet die Vorticitygleichung (11.14) mit folgenden Einschränkungen: Erstens Vernachl¨ assigung des Twistingterms und der Vertikaladvektion und zweitens Annahme, dass im Divergenzterm ζ f0 gilt. Damit lautet die Vorticitygleichung im p-System (der Solenoidterm verschwindet im p-System!): ∂ζ + vh · ∇h ζ + v β = −f0 ∇h · vh . ∂t Die quasi-geostrophische Approximation besteht nun darin, dass man den Horizontalwind und die Vorticity durch den geostrophischen Wert ersetzt außer im Divergenzterm. Man erhält dann die Gleichung: ∂ζg + vg · ∇ζg + vg β = −f0 ∇h · vh , ∂t oder unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung

(12.10)

∂ζg ∂ω + vg · ∇ζg + vg β = f0 . ∂t ∂p

(12.11)

Hierbei ist die geostrophische Approximation verwendet worden: vg =

1 k × ∇Φ , f0

ζg =

1 2 ∇ Φ , f0

β=

∂f . ∂y

Die Gleichung (12.10) bzw. (12.11) wird als quasi-geostrophische Vorticitygleichung bezeichnet. Sie enthält zusätzlich zur geostrophischen Vorticitygleichung (11.13) die Divergenz des Horizontalwindes, welcher seinerseits Vertikalbewegungen induziert, welche dann in der Form (12.11) ber¨ ucksichtigt werden können.

12.3 Quasi-geostrophische Gleichungen

175

Insgesamt hat man bei der quasi-geostrophischen Approximation zwei Variable, nämlich das Geopotential Φ und die Vertikalgeschwindigkeit ω. Man ben¨ otigt neben der Vorticitygleichung (12.11) also noch eine weitere Gleichung f¨ ur die zweite Variable. Diese erh¨ alt man aus dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der hydrostatisch approximierten Form (12.5) unter der Voraussetzung adiabatischer Vorg¨ ange, d. h. mit Q˙ = 0, und der Verwendung eines konstanten Stabilit¨ atsparameters, σ = σ0 = konstant:

∂Φ ∂ ∂Φ + vg · ∇ = −σ0 ω . (12.12) ∂t ∂p ∂p Die Vorticitygleichung (12.11) zusammen mit dem Ersten Hauptsatz (12.12) nennt man das quasi-geostrophische Gleichungssystem f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Bewegungen. Hierbei erfolgt die Advektion von Vorticity und Temperatur geostrophisch, während die Entwicklung durch ageostrophische Windfelder erm¨ oglicht wird. Die Atmosph¨ are befindet sich dabei praktisch sowohl im geostrophischen als auch im hydrostatischen Gleichgewicht – eine Annahme, die nur bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen gerechtfertigt ist. Deshalb wird das Gleichungssystem (12.11), (12.12) auch nur bei der Beschreibung synoptischer Vorg¨ ange angewendet, etwa bei der Zyklonenentstehung infolge barokliner Instabilit¨ at (siehe Kapitel 14) oder bei der allgemeinen Zirkulation (Kapitel 16). Außerdem bilden die quasigeostrophischen Gleichungen die Grundlage f¨ ur zahlreiche Modelle der numerischen Wettervorhersage. Der Vorteil dieser Gleichungen liegt auf der Hand: Es k¨ onnen die in der Synoptik verwendeten Felder des Geopotentials der Hauptdruckfl¨ achen (z.B. 850 hPa, 500 hPa)prognostiziert und außerdem die Schichtmitteltemperatur mit Hilfe der relativen Topographien erhalten werden. Schließlich kann man durch Zusammenfassen der Gleichungen (12.11) und (12.12) eine Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit ω erhalten (die sogenannte ω-Gleichung) und daraus die großr¨ aumigen Vertikalbewegungen bestimmen, was aufgrund von Messungen praktisch gar nicht m¨ oglich wäre. Auch bei der Analyse synoptischer Vorg¨ ange wird auf die quasi-geostrophische Vorticitygleichung zur¨ uckgegriffen. Da in den Gleichungen (12.11) und (12.12) Vertikalableitungen vorkommen, kann damit die vertikale Struktur der Atmosphäre erfasst werden, insbesondere die Baroklinit¨ at. Deshalb spielt die quasi-geostrophische Vorticitygleichung eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung der baroklinen Instabilit¨ at, welche f¨ ur die Zyklonenentwicklung von fundamentaler Bedeutung ist. Hierbei wird die Gleichung (12.11) als Gleichung f¨ ur das Geopotentialfeld Φ verwendet, wie man sie durch Einsetzen der geostrophischen Beziehungen erh¨ alt: ∂ 2 ∂ω 1 ∂Φ ∂ 2 1 ∂Φ ∂ 2 ∂Φ ∇ Φ− ∇ Φ+ ∇ Φ+ β = f02 . (12.13) ∂t f0 ∂y ∂x f0 ∂x ∂y ∂x ∂p Diese Form der Vorticitygleichung wird in Kapitel 14 die Grundlage der Analyse der baroklinen Instabilität bilden.

176


12.4

Die Omega-Gleichung

Die im vorigen Abschnitt abgeleiteten quasi-geostrophischen Gleichungen (12.12, 12.13) enthalten als Variable die Felder des Geopotential φ und der Vertikalgeschwindigkeit (im p-System) ω. Die lokale zeitliche Ableitung wird dabei jeweils auf das Geopotential angewendet, so dass man zwei prognostische Gleichungen f¨ ur φ hat. Die Vertikalgeschwindigkeit ω ließe sich z.B. aus der Vorticitygleichung (12.13) erhalten, in dem die linke Seite u ¨ber die Druckkoordinate integriert wird. Dazu w¨ urde man neben dem Feld des Geopotentials auch dessen zeitliche Entwicklung ben¨ otigen. Dies ist aus Beobachtungen aber praktisch nicht zu realisieren, da dreidimensionale Sondierungen der Atmosph¨ are bestenfalls im Abstand von 6 Stunden (Routinetermine meist nur 00.00 UTC und 12.00 UTC) vorliegen. Aus diesem Grund versucht man durch Kombination von (12.12) und (12.13) ¨ eine Gleichung f¨ ur ω zu erhalten, in welcher die zeitlichen Anderungen von φ nicht mehr auftreten. Diese soll hier kurz hergeleitet werden. Dazu werden die quasi geostrophischen Gleichungen in leicht ver¨ anderter Form noch einmal zusammengestellt:

∂ 1 1 2 ∇2 Φ + vg · ∇ ∇ Φ+f ∂t fo fo

∂Φ ∂ ∂Φ + vg · ∇ ∂t ∂p ∂p

∂ω ∂p

(12.14)

= −σ0 ω .

(12.15)

= fo

¨ Die lokalen zeitlichen Anderungen werden durch folgende Operationen eliminiert: fo ∂/∂p (12.14) − ∇2 (12.15) . Es ergibt sich nach Arrangieren der einzelnen Terme:

f 2 ∂2 ∇ + 0 σ0 ∂p2 2

#

ω=

f0 ∂ vg · ∇ σ ∂p

1 2 ∇ Φ+f f0

$

+

#

$

1 2 ∂Φ ∇ vg · ∇ − . σ0 ∂p (12.16)

Diese Gleichung wird in der Literatur als Omega-Gleichung bezeichnet. In ihr treten keine zeitlichen Ableitungen auf; vielmehr kann das Feld der Vertikalgeschwindigkeit im p-System (ω) zu jedem Zeitpunkt t = t0 aus dem dreidimensionalen Feld des Geopotentials Φ bzw. der geostrophischen Vorticity und dem geostrophischen Wind bestimmt werden. Man nennt eine solche Beziehung daher auch diagnostische Gleichung im Gegensatz zur Vorticitygleichung (12.14), die man wegen der M¨ oglichkeit, daraus eine Vorhersage abzuleiten, auch als prognostische Gleichung bezeichnet.

12.5 Die potentielle Vorticity

177

Formal handelt es sich bei der Omega-Gleichung (12.16) um eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom Typ einer Poisson-Gleichung. Diese kann bei Kenntnis der rechten Seite und Vorgabe von Randbedingungen im Prinzip nach der Vertikalgeschwindigkeit ω gelöst werden (in der Praxis meist nur auf numerischem Weg). An dieser Stelle soll wenigstens eine qualitative Interpretation der Omegagleichung gegeben werden. Nehmen wir als Beispiel das Feld der Vertikalgeschwindigkeit sei durch eine periodische Funktion etwa der Form ω(x, y, p) = W o sin(πp/p0 ) sin k · sin ly gegeben. F¨ ur diesen Fall ergibt sich f¨ ur die linke Seite von 12.16:

f 2 ∂2 ∇ + 0 σ0 ∂p2 2

1 ω =− k +l + σ0 2

2

fo π po

2 !

ω = −α ω .

Die linke Seite von der Omegagleichung ist also angen¨ ahert proportional zu −ω. Der erste Term auf der rechten Seite von (12.16) enth¨ alt die Vertikalableitung der (geostrophischen) Advektion von absoluter Vorticity. Der zweite Term enth¨ alt die zweite Horizontalableitung (Kr¨ ummung) der Temperaturadvektion (es war: ∂Φ/∂p = −RT /p). Diese ist in erster N¨ aherung zur negativen Temperaturadvektion selber proportional. Zusammengefasst kann die Omegagleichung angen¨ ahert wie folgt interpretiert werden: Aufsteigende Bewegung (ω < 0) ∼ Zunahme von positiver Vorticityadvektion mit der H¨ ohe + Warmluftadvektion. Absinkende Bewegung (ω > 0) ∼ Zunahme von negativer Vorticityadvektion mit der H¨ ohe + Kaltluftadvektion.

12.5

Die potentielle Vorticity

Die quasi-geostrophische Vorticitygleichung (12.11) soll dazu verwendet werden, auf die sogenannte potentielle Vorticity kurz einzugehen, die in den vierziger Jahren von dem deutschen Meteorologen H. Ertel (1904–1971) eingef¨ uhrt wurde und seit den letzten Jahren eine Art Renaissance erlebt. Dazu ben¨ otigen wir außer der Gleichung f¨ ur die absolute Vorticity im p-System, ∂η ∂ω + v · ∇η = η , ∂t ∂p

(12.17)

noch den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik f¨ ur adiabatische Prozesse: dθ ∂θ = + v · ∇θ = 0 . dt ∂t Wir differenzieren (12.18) nach p:

(12.18)

178

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange ∂ ∂θ ∂θ ∂v +v·∇ =− · ∇θ . ∂t ∂p ∂p ∂p

Der Term auf der rechten Seite lässt sich aufspalten in ∂vh ∂ω ∂θ · ∇h θ + , ∂p ∂p ∂p wobei der erste Term sich wiederum mit der thermischen Windbeziehung (10.8) zu

∂vh p R · ∇h θ = − k × ∇h T · ∇h θ = − ∂p fp p0

κ

R k · ∇h θ × ∇h θ = 0 fp

ergibt. Wir multiplizieren jetzt (12.17) mit ∂θ/∂p und (12.18) mit η:

η

∂θ ∂η ∂θ ∂θ ∂ω + v · ∇η = η ∂p ∂t ∂p ∂p ∂p

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

∂ ∂θ ∂θ ∂ω ∂θ +η v·∇ = −η ∂t ∂p ∂p ∂p ∂p

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

+

Die Summation beider Gleichungen ergibt schließlich:

∂ ∂θ η ∂t ∂p

+v·∇ η

∂θ ∂p

=0 .

(12.19)

Dies ist die Gleichung f¨ ur die potentielle Vorticity. Letztere wird mit Z oder im Englischen meist mit P V bezeichnet und ist definiert als P V ≡ −η

∂θ . ∂p

(12.20)

(In der Literatur werden auch leicht abweichende Definitionen der PV verwendet.) Wegen der Eulerschen Zerlegung lässt sich (12.19) auch als

d ∂θ η dt ∂p

=0

(12.21)

schreiben. Somit ist die potentielle Vorticity eine Erhaltungsgr¨ oße f¨ ur adiabatische Vorgänge. Mit Hilfe der potentiellen Vorticity lässt sich auch die Bildung eines Leeseitentrogs hinter großräumigen Gebirgen erklären, wie bereits in Abschnitt 11.3 im Zusammenhang mit dem Divergenzterm in der Vorticitygleichung diskutiert. Wir betrachten dazu eine Luftmasse zwischen zwei Isothermenfl¨ achen θ1 und Δθ ¨ θ2 , die eine anf¨ angliche P V = η1 Δp besitzen. Bei der Uberstr¨ o mung eines Ge1 birges werden die Isothermenflächen zusammengedr¨ angt, so dass die Vertikalerstreckung der Luftmasse (im p-System) abnimmt: Δp2 < Δp1 .

12.5 Die potentielle Vorticity

179

...... ζ ...... 1 ζ2 . . . ............................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............................................................................................................................................................................................. .. ζ3 θ1 ...................... ............ ........... ................ .......... ... ............... ............................................ ......................................................................................................................................................... ................................... ............... ........ ....... ......................................................................................................................................... ............................ ........................ ................ ..... .... .... ........................... .. ..... .... .. ..................................... Δθ, .......Δp2 ............................. Δθ, ........Δp1 .......................... ... ....................................................... . . . . . . . . . . ........ ... ........................................................................................... Δθ, ...Δp3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... ................ ........ ...... ................. .. ......... .................... θ.2............................... .. . ............. ... ................................................................... .......... . . . ............................ .................... ................... . ........ ..................................................................... ................ . ... ..... .............. ..... ............. .. .. ..... ............... . . ..... . . . . . .... .. ................................... .. ....................... .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ... . . . . . . . . . .. ........ .............................. .. ... .... . . . .... .. ... . ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

. .............................................. .. ............................................................... .. .. ... .. ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... .

.......... ......... ..... . . . . . . . . . ... ∂θ ................................................. .. = konstant PV = η ... ....... . . . . . . . . ∂p . . . . .. ... ............................................. .... .. . . . . . . . . . . . . . . ..................... ... . .. .. .................................................. .. .......... ........... .................................................. . . ............. ........................................................ . . . . . . . . ............................................................ ................................................................... .....

¨ Bild 12.1 Anderung der Vorticity bei Gebirgs¨ uberströmung. Da f¨ ur die hier dargestellten Isothermenfl¨ achen Δθ = Δθ1,2,3 gilt, ergeben sich aus der Erhaltung der potentiellen Vorticity P V = η ∂θ/∂p = konstant wegen Δp2 < Δp1,3 u ¨ber dem Gebirge Minima der absoluten und relativen Vorticity: η2 < η1,3 bzw. ζ2 < ζ1,3 .

Es ergibt sich wegen der Erhaltung der potentiellen Vorticity gem¨ aß (12.21): η

Δθ ∂θ = konstant = η1 ∂p Δp1

und somit u ¨ber dem Gebirge η2

Δθ Δθ = η1 . Δp2 Δp1

Wegen Δp2 < Δp1 ergibt sich f¨ ur η2 : η2 = η1

Δp2 < η1 . Δp1

Die absolute Vorticity ist also u om¨ber dem Gebirge geringer als in der Anstr¨ ebene. Wegen η = f + ζ ergibt sich f¨ ur die relative Vorticity: η2 − η1 = ζ2 − ζ1 < 0 und somit ζ2 < ζ1 . ¨ Die Str¨ omung wird also beim Uberstr¨ omen des Gebirges antizyklonaler, ein Ergebnis, das bereits in Abschnitt 11.3 erhalten wurde und in Bild 12.1 noch einmal schematisch dargestellt ist.

180

12.6


Energiegleichungen fu are ¨ r eine reibungsfreie Atmosph¨

Im folgenden interessieren wir uns f¨ ur eine zeitliche Ver¨ anderung von kinetischer, innerer und potentieller Energie in einer atmosph¨ arischen Str¨ omung. Wir definieren die einzelnen Energiearten wie folgt: 1 Ek = ρv2 2

kinetische Energie (pro Volumen) ,

Ei = cv ρT

innere Energie (pro Volumen) ,

Ep = ρΦ

potentielle Energie (pro Volumen) .

Bei der Aufstellung von Energiegleichungen ist es zweckm¨ aßig, diese in der Form einer sogenannten Bilanzgleichung zu erhalten. Dazu gehen wir von der allgemeinen Erhaltungsgleichung f¨ ur eine skalare Gr¨ oße φ aus: ∂φ + v · ∇φ = Q . ∂t Dar¨ uber hinaus benötigen wir die Kontinuitätsgleichung in der Form

(12.22)

∂ρ + ∇ · vρ = 0 . (12.23) ∂t Der zweite Term in (12.23) stellt die Divergenz des Massenflusses f¨ ur ein Einheitsvolumen dar. Eine Bilanzgleichung f¨ ur φ enthält ¨ ahnlich wie (12.23) die Divergenz des Flusses von φ anstelle der Advektion wie in (12.22). Multipliziert man (12.22) mit ρ und (12.23) mit φ, so ergibt sich durch die Addition

ρ· φ·

∂φ + v · ∇φ = Q ∂t ∂ρ + ∇ · vρ = 0 ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

+

die Bilanzgleichung ∂ (ρφ) + ∇ · v(ρφ) = ρQ ∂t

Bilanzgleichung .

(12.24)

Die Bilanzgleichungen f¨ ur die einzelnen Energiearten Ek , Ei und Ep erh¨ alt man wie folgt. Zun¨ achst behandeln wir die kinetische Energie 12 ρv2 . Wir gehen von den Eulerschen Bewegungsgleichungen im rotierenden Koordinatensystem (9.39) aus: ∂v 1 + v · ∇v + 2 Ω × v = − ∇p − ∇Φ . ∂t ρ

12.6 Energiegleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosph¨ are

181

Die Multiplikation dieser Gleichung mit v ergibt ∂ v2 v2 1 +v·∇ = − v · ∇p − v · ∇Φ . (12.25) ∂t 2 2 ρ Dies ist bereits eine Form der Energiegleichung, allerdings f¨ ur die kinetische Energie pro Masseneinheit, 12 v2 . Die Bilanzform f¨ ur die kinetische Energie pro Volumeneinheit, 12 ρv2 , erhält man aus der Multiplikation von (12.25) mit ρ und der atsgleichung (12.23) mit v2 und anschließender Addition, wie oben f¨ ur Kontinuit¨ den allgemeinen Fall einer skalaren Größe φ vorgef¨ uhrt. Man erh¨ alt schließlich als Gleichung f¨ ur die kinetische Energie:

1 2 ∂ 1 2 ρv + ∇ · v ρv = −v · ∇p − ρ v · ∇Φ . (12.26) ∂t 2 2 Bei der Herleitung der Bilanzgleichung f¨ ur die innere Energie cv ρT gehen wir vom Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form cv

dT p dρ − 2 =Q dt ρ dt

aus. Hierbei sollen mit Q die diabatischen Wärmequellen und -senken bezeichnet werden. Ersetzt man den zweiten Term durch die Kontinuit¨ atsgleichung dρ/dt = −ρ∇v, so erh¨ alt man p ∂ (cv T ) + v · ∇(cv T ) + ∇ · v = Q . (12.27) ∂t ρ Das weitere Vorgehen ist analog zur Herleitung von (12.26): Man multipliziert (12.27) mit ρ und addiert dazu die mit cv T multiplizierte Kontinuit¨ atsgleichung (12.23). Mit einigen weiteren Umformungen erhält man schließlich ∂ (cv ρT ) + γ∇ · v cv ρT = v · ∇p + ρQ . ∂t

(12.28)

Dabei ist γ = cp /cv . F¨ ur das Geopotential Φ = gz haben wir noch keine prognostische Gleichung der Form (12.22) aufgestellt. Um sie zu erhalten, beachten wir, dass sich das Geopotential am festen Ort nicht ändert: ∂Φ/∂t = 0. Zu dieser Beziehung addieren wir eine Identit¨ at:

∂Φ ∂t

= 0 v · ∇Φ = v · ∇Φ

∂Φ + v · ∇Φ = v · ∇Φ . ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

+

182


Eine Bilanzgleichung f¨ ur die potentielle Energie ρΦ erhalten wir wiederum durch Multiplikation dieser Gleichung mit ρ und von (12.23) mit Φ und anschließender Addition: ∂ (ρΦ) + ∇ · vρΦ = ρv · ∇Φ . (12.29) ∂t Die Energiegleichungen (12.26), (12.28) und (12.29) werden jetzt noch einmal zu¨ sammengestellt, um die Uberg¨ ange zwischen den einzelnen Energiearten deutlich zu machen. ∂ Ek : ∂t

ρv2 2

+ ∇·v

ρv2 2

= −v · ∇p −ρ v · ∇Φ ,

∂ (cv ρT ) + γ ∇ · v(cv ρT ) = +v · ∇p ∂t

Ei :

∂ (ρ Φ) ∂t

Ep :

∇ · v(ρΦ)

+

zeitliche ¨ Anderung der Energie am festen Ort

+ ρQ ,

(12.31)

+ρ v · ∇Φ .

=

Divergenz des Energieflusses

(12.30)

(12.32)

Transformationen, Energie¨ d. h. Anderung einer Produktion oder Energieart zugunsten -vernichtung einer anderen

Die in den Energiegleichungen mit Energietransformationen bezeichneten Terme treten bei verschiedenen Energiearten jeweils mit entgegengesetzten Vorzeichen auf. Sie k¨ onnen zur Veränderung der Gesamtenergie (E = Ek +Ei +Ep ) nicht beitragen, da sie sich bei der Summation gegenseitig wegheben. Diese Transformationsterme geben an, wie sich eine Energieart zugunsten einer anderen ¨ andert. Betrachten wir dazu als Beispiel den Term ρv · ∇Φ. Dieser l¨ asst sich wegen ¨ Φ = gz auch als ρwg schreiben. Die Anderung von kinetischer und potentieller Energie aufgrund dieser Transformation lässt sich darstellen als ∂Ek ∂t

= −ρ wg ,

∂Ep = +ρ wg . ∂t Physikalisch bedeutet dies: Findet eine Aufwärtsbewegung statt (w > 0), so verringert sich die kinetische Energie zugunsten der potentiellen Energie (∂Ek /∂t < 0, ∂Ep /∂t > 0). Eine Aufwärtsbewegung ist mit einer Hebung des Schwerpunktes der Luftmasse verbunden, was ja eine Erhöhung der potentiellen Energie darstellt. Abw¨ artsbewegungen (w < 0) f¨ uhren zu einer Schwerpunktsenkung. Die dabei freiwerdende potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.

12.7 Die Boussinesq-Approximation

183

Es soll hier noch erwähnt werden, dass die Energietransformationen nicht immer eindeutig zwischen bestimmten Energiearten stattfinden, so dass es auf die jeweiligen Einschränkungen f¨ ur das physikalische System ankommt (z. B. homogene Atmosph¨ are, G¨ ultigkeit der statischen Grundgleichung). Bilden wir aus den Gleichungen (12.30) bis (12.32) die Bilanz f¨ ur die Gesamtenergie des Systems, so finden wir: ∂E + ∇ · v E = ρQ , E = Ek + Ei + Ep . (12.33) ∂t F¨ ur ein abgeschlossenes System, dem weder Energie zugef¨ uhrt noch entzogen wird (Q = 0), erh¨ alt man als Gesamtenergie ∂E +∇·vE = 0 . (12.34) ∂t Betrachten wir jetzt ein abgeschlossenes Luftvolumen V , so ergibt sich f¨ ur die Gesamtenergie unter Verwendung des Integralsatzes von Gauß ∂ ∂t

V

E dV = −

∇ · vE dV = −

V

vE · dF = 0 .

(12.35)

F

Letzteres folgt aus der Bedingung, dass in einem abgeschlossenen Volumen V keine Fl¨ usse durch die Volumenoberfläche F stattfinden, die Normalgeschwindigkeit dort also verschwindet. (12.35) bestätigt die Erhaltung der Gesamtenergie eines abgeschlossenen Luftvolumens, wenn keine Quellen oder Senken vorhanden sind.

12.7

Die Boussinesq-Approximation

Im folgenden soll eine spezielle Form f¨ ur die Bewegungsgleichungen hergeleitet werden, bei der eine Strömung als inkompressibel behandelt wird, Dichteunterschiede jedoch f¨ ur die Archimedischen Auftriebskr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Dies bedeutet, dass die Kontinuitätsgleichung in der Form ∇·v = 0 verwendet werden kann. Dazu definieren wir zunächst einen Grundzustand f¨ ur ein Medium (etwa die Atmosph¨ are), bei dem sich Druck, Dichte und Temperatur nur mit der H¨ ohe ur diesen Grundzustand, der mit dem Index 0 bezeichnet wird, ändern sollen. F¨ sollen die statische Grundgleichung und die Gasgleichung gelten: ∂p0 (z) = −g ρ0 (z) , ∂z

p0 = Rρ0 T0 .

Die aktuellen Werte von Druck, Dichte und Temperatur k¨ onnen zerlegt werden in deren Grundzustand und Abweichungen davon:

184

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange p(x,y,z,t) = p0 (z) + p∗ (x,y,z,t) , ρ(x,y,z,t) = ρ0 (z) + ρ∗ (x,y,z,t) , T (x,y,z,t) = T0 (z) + T ∗ (x,y,z,t) .

Wir gehen von der mit der Dichte ρ multiplizierten Bewegungsgleichung aus:

ρ

dv + 2 Ω × v = −ρgk − ∇p . dt

(12.36)

Darin nehmen wir die oben definierte Aufspaltung von Dichte und Druck in Grundzustand und Abweichung vor und ber¨ ucksichtigen, dass gilt: ρ = ρ0 + ρ∗ = ∗ ρ0 (1 + ρ /ρ0 ):

ρ0 1 +

ρ∗ ρ0

dv + 2 Ω × v = −ρ0 gk − ρ∗ gk − ∇p0 − ∇p∗ dt

(12.37)

F¨ ur den Druckgradienten des Grundzustandes gilt vereinbarungsgem¨ aß: ∂p0 ∂p0 = =0 ∂x ∂y und ∂p0 = −gρ0 . ∂z Damit heben sich der erste und dritte Term auf der rechten Seite von (12.37) auf. Wir setzen jetzt voraus, dass die Abweichungen von Dichte, Druck und Temperatur klein gegen¨ uber dem Grundzustand sind, d.h. es gelte z.B. ρ∗ ρ0 und ∗ somit ρ /ρ0 1. Damit erhält man schließlich aus (12.37): ρ∗ dv 1 + 2 Ω × v = − g k − ∇p∗ . dt ρ0 ρ0

(12.38)

Dies ist die sogenannte Boussinesq-Approximation der Bewegungsgleichungen (benannt nach dem französischen Physiker J. Boussinesq, 1841–1898). Den Term ρ∗ /ρ0 g k bezeichnet man als Auftriebsterm, da Dichteunterschiede in Richtung der Erdbeschleunigung Vertikalbewegungen hervorrufen k¨ onnen. Bevor die physikalische Bedeutung der Boussinesq-Approximation n¨ aher erl¨ autert wird, soll noch folgende Umformung des Auftriebsterms vorgenommen werden. Aus der logarithmischen Differentiation der Gasgleichung p = ρ RT ergibt sich die Beziehung dp dρ dT = + p ρ T

⇒

Δp Δρ ΔT ≈ + . p ρ T

Setzen wir ann¨ ahernd Δp = p−p0 = p∗ , Δρ = ρ−ρ0 = ρ∗ und ΔT = T −T0 = T ∗ , so ergibt sich schließlich

12.7 Die Boussinesq-Approximation p∗ ρ∗ T ∗ ≈ + p0 ρ0 T0

185 ⇒

ρ∗ p∗ T∗ − ≈− . ρ0 p0 T0

Mit den weiteren (im allgemeinen g¨ ultigen) Voraussetzungen ρ∗ p∗ , p0 ρ0

T∗ θ∗ ≈ , T0 θ0

wobei θ die potentielle Temperatur ist, ergibt sich f¨ ur den Auftriebsterm: −

T∗ θ∗ ρ∗ gk = + gk = + g k . ρ0 T0 θ0

Da die Temperatur eine einfacher messbare Gr¨ oße ist als die Dichte, verwenden wir f¨ ur meteorologische Betrachtungen die Temperaturform des Auftriebsterms, womit die Boussinesq-Form der Bewegungsgleichungen nunmehr lautet: dv θ∗ 1 + 2 Ω × v = gk − ∇p∗ . dt θ0 ρ0

(12.39)

Der Auftriebsterm tritt nur in der Bewegungsgleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w auf. Der Einfluss der Auftriebskr¨ afte sei am Beispiel der Vertikalgeschwindigkeit eines Luftteilchens dargestellt, wobei hier alle anderen Kr¨ afte unber¨ ucksichtigt bleiben: θ∗ θ − θ0 dw = g= g. dt θ0 θ0 (a) θ∗ > 0, d. h. Teilchentemperatur größer als die des Grundzustandes bedeutet dw/dt > 0, also Aufwärtsbewegung. (b) θ∗ < 0, d. h. Teilchentemperatur geringer als die des Grundzustandes bedeutet dw/dt < 0, also Abwärtsbewegung. Die Boussinesq-Approximation der Bewegungsgleichungen (12.38) erlaubt es, Dichteunterschiede in einer Strömung u ucksichtigen. ¨ber die Temperatur zu ber¨ Die Luftdichte taucht als zeitlich variable Größe aber auch in der Kontinuit¨ atsgleichung (8.2) auf. Daher muss im Sinne der Boussinesq-Approximation auch diese Gleichung entsprechend linearisiert werden. Mit der oben gemachten Aufspaltung der Dichte, ρ = ρ0 + ρ∗ , ergibt sich f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung:

ρ∗ ∂ ρ0 1 + ∂t ρ0

= −∇ · v ρ0 1 +

Mit der Voraussetzung ρ∗ /ρ0 1 erhält man: ∂ρ0 = −∇ · v ρ0 . ∂t

ρ∗ ρ0

.

(12.40)

186


Da der Grundzustand ρ0 sich nicht mit der Zeit ändern soll und nur von der H¨ ohe z abh¨ angt, ergibt sich schließlich: ∇ · vρ0 = ρ0 ∇ · v + w

∂ρ0 =0. ∂z

(12.41)

Diese Form der Kontinuitätsgleichung bezeichnet man auch als anelastische Approximation. Wenn man nur kleine Höhenintervalle betrachtet und in denen die Dichte des Grundzustandes als annährend höhenkonstant annimmt (∂ρ0 /∂z ≈ 0), so erh¨ alt man aus (12.41): ∇·v =0 .

(12.42)

Sowohl in der Form (12.41) als auch in (12.42) ist die Dichte zeitlich nicht variabel. Damit k¨ onnen in den Boussinesq-Approximation Gleichungen auch keine Schallwellen (Kompressionswellen) auftreten, wie sie in Kapitel 13.2 noch behandelt werden. Die Boussinesq-Approximation wird in der Meteorologie sehr h¨ aufig zur Beschreibung kleinräumiger Phänomene wie Schwerewellen oder thermische Konvektion verwendet (siehe Kapitel 13.3 und 14.4).

13 Wellen in der Atmosph¨ are 13.1

Periodische Bewegungen in der Atmosph¨ are: Wellen

Neben der Vielfalt von Strömungsformen treten in der Atmosph¨ are auch periodische Bewegungen – Wellen – auf, wobei die Schallwellen und die Leewellen hinter Gebirgen am geläufigsten sein d¨ urften. Im Prinzip treten drei verschiedene Arten von Wellen auf: solche, deren Schwingungsebene in der Ausbreitungsrichtung liegt (Schallwellen), solche, deren Schwingungen in vertikaler Richtung bei einer horizontalen Ausbreitungsrichtung erfolgen (Schwerewellen) und diejenigen mit horizontaler Schwingungsebene und Ausbreitungsrichtung (Tr¨ agheitswellen, Rossby-Wellen). Die letzteren sind schon bei der Lösung der linearisierten Vorticitygleichung behandelt worden, weshalb im folgenden nur noch auf Schallwellen und Schwerewellen eingegangen wird. Die Untersuchungsmethode ist die gleiche wie bei den Rossby-Wellen: Man linearisiert die den Wellenerscheinungen zugrundeliegenden Gleichungen, macht f¨ ur diese dann einen Wellenansatz und erh¨ alt die Phasengeschwindigkeit der betreffenden Wellenart. Zun¨ achst seien noch einmal einfache Wellenparameter am Beispiel einer Temperaturwelle dargestellt. Im Prinzip sind Wellen nichts anderes als periodische Ph¨ anomene in Raum und Zeit. Hier wollen wir uns auf eine eindimensionale Welle beschr¨ anken und nehmen an, dass sich diese in x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit c bewegt, wie in Bild 13.1 dargestellt. Die Temperaturwelle hat dann die Form:

2π (x − ct) + φ0 . (13.1) L Dabei ist T0 ein konstanter Basiswert, um den es Temperaturschwankungen der Form Ta sin(2π/L(x − ct) + φ0 ) gibt. Ta ist dabei die Wellenamplitude, L die T (x,t) = T0 + Ta sin

... T ..... ............................................................................................ L ............................................................................................ ... .t .. ...... .. ................................................ .........t + Δt .......................... . . . . . . . . . .. . .. . ... .... ... ............. ............................. .... ... ...... .... ... ... ... .. ... .... ... ..... .... . . ... ... ... ... T0 .... . .. .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ..... .... ... . . . . . . . . . .... .. ... . ..... ... ..... ... .. . ........ .......... .... ....................... .. ..... ... .. ... . . . . . . .................................... ..................................... .. ... Δx = c Δt .. .. ........................................................................................................................................................................................................... x

Bild 13.1 Zur Definition der Wellenparameter

188

13 Wellen in der Atmosph¨ are

Wellenl¨ ange, c die Phasengeschwindigkeit und φ0 eine Phasenverschiebung gegen den Nullpunkt (x = 0). Da letztere durch Koordinatenverschiebung beliebige Werte annehmen kann, ohne den Charakter der Welle zu ver¨ andern, lassen wir sie im folgenden außer Betracht. Anstelle der Wellenl¨ ange L wird auch h¨ aufig die Wellenzahl k verwendet: 2π Wellenzahl . (13.2) L Die Phasengeschwindigkeit c gibt die Verlagerung von Wellenbergen und -t¨ alern mit der Zeit an. In Bild 13.1 ist die Welle zu einem festen Zeitpunkt t = t0 als durchgezogene Linie dargestellt; zum Zeitpunkt t0 + Δt ist sie um Δx = cΔt in positive x-Richtung verschoben gezeigt (gestrichelte Linie). Was registriert nun ein Temperaturmessgerät, das an einem festen Ort x = x0 ¨ installiert ist? Betrachten wir dazu die lokale zeitliche Anderung ∂T /∂t beim Durchgang der Welle. Wir erhalten ∂T 2π cTa x − ct =− cos 2π ∂t L L oder 2π cTa ct x ∂T =− cos 2π − 2π . ∂t L L L Am festen Ort x = x0 beobachten wir eine periodische Temperaturschwankung mit der Schwingungsdauer τ k=

τ = L/c oder mit der Kreisfrequenz ω ω = 2π/τ . Somit ergibt sich 2π c L

(13.3)

ω = kc .

(13.4)

ω= oder mit der Wellenzahl k

Dies ist die sogenannte Frequenzbeziehung f¨ ur einfache, sinusf¨ ormige Wellen. Somit kann die Welle auch wie folgt dargestellt werden: T (x,t) = T0 + Ta sin(kx − ωt) . Im allgemeinen Fall können sich Wellen in alle drei Raumrichtungen ausbreiten. Mit der Definition eines Wellenzahlvektors k und einer vektoriellen Phasengeschwindigkeit c l¨ asst sich z. B. die Temperaturwelle allgemein schreiben als T (x,t) = T0 + Ta sin (k · (x − ct)) .

(13.5)

13.2 Schallwellen

13.2

189

Schallwellen

Schallwellen sind Druckwellen, bei denen die Luft in Ausbreitungsrichtung periodisch komprimiert wird, wobei die Volumenänderung nicht durch W¨ armezufuhr erfolgt, sondern durch Kompression, d. h. adiabatisch. Im folgenden sollen der Einfachheit halber eindimensionale Schallwellen betrachtet werden. Die Ausbreitungsrichtung soll hierbei in Richtung der x-Achse verlaufen. Die zugrundeliegenden Gleichungen sind die Bewegungsgleichung (nur u-Komponente), die Kontinuit¨ atsgleichung und eine spezielle Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur adiabatische Vorg¨ ange. Sie lauten: ∂u ∂u 1 ∂p +u =− , ∂t ∂x ρ ∂x

(13.6)

∂ρ ∂u ∂ρ +u = −ρ , ∂t ∂x ∂x

(13.7)

cp dρ cv dp = . ρ dt p dt

(13.8)

Mit Hilfe von (13.8) kann aus der Kontinuitätsgleichung (13.7) die Dichte elimi¨ niert werden, so dass man eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung des Druckes erh¨ alt: ∂p ∂p ∂u +u = −γ p , ∂t ∂x ∂x

γ=

cp . cv

(13.9)

Die Gleichungen (13.6) und (13.9) werden jetzt linearisiert. Zun¨ achst setzt man u(x,t) = u ¯ + u (x,t) ,

p(x,t) = p¯ + p (x,t) ,

ρ(x,t) = ρ¯ + ρ (x,t) .

Die Linearisierung erfolgt analog zum Vorgehen bei der Vorticitygleichung (Abschnitt 11.4), und man erhält unter der weiteren Voraussetzung, dass die Mittelwerte u ¯, p¯ und ρ¯ r¨ aumlich konstant sind, als linearisierte Gleichungen: ∂u 1 ∂p ∂u +u ¯ =− , ∂t ∂x ρ¯ ∂x

(13.10)

∂p ∂u ∂p +u ¯ = −γ p¯ . (13.11) ∂t ∂x ∂x Diese beiden Störungsgleichungen kann man durch Differentiation und Zusammenfassen zu einer Gleichung f¨ ur den Stördruck p umformen: 2 ∂ 2 p p¯ ∂ 2 p ∂ 2 p 2∂ p + u ¯ + 2¯ u = γ . ∂t2 ∂t∂x ∂x2 ρ¯ ∂x2

(13.12)

190


F¨ ur p wird ein Wellenansatz gemacht: p (x,t) = p0 sin k(x − ct) . Dieser ergibt in (13.12) eingesetzt eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c der Schallwellen:

p¯ k 2 c2 − 2 u ¯k 2 c + u ¯2 k 2 − γ k 2 ρ¯

p0 sin k(x − ct) = 0 .

Da diese Gleichung f¨ ur alle x, t gelten soll, muss die Determinante verschwinden. Somit erh¨ alt man aus dem Klammerausdruck eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit der Schallwellen, also die Schallgeschwindigkeit c:

c=u ¯±

γ

p¯ , ρ¯

(13.13)

oder mit der Gasgleichung p¯ = R ρ¯T¯: c=u ¯±

"

γRT¯ .

(13.14)

Die Schallgeschwindigkeit hängt nicht von der Wellenl¨ ange der Schallwellen ab, sondern lediglich von der mittleren Lufttemperatur. F¨ ur u ¯ = 0 und T¯ = 273 K ergibt sich c ≈ 330 m s−1 . Die Schallgeschwindigkeit ist gegen¨ uber der mittleren Windgeschwindigkeit u ¯ um ein Vielfaches größer, selbst bei u ¯ = 30 m s−1 noch um eine Gr¨ oßenordnung. Obwohl die Schallwellen f¨ ur die atmosphärischen Str¨ omungen praktisch ohne Bedeutung sind, spielen sie doch bei der numerischen Wettervorhersage eine wichtige Rolle: Da sie als Lösungen in den Bewegungsgleichungen enthalten sind, treten sie auch bei der numerischen Behandlung dieser Gleichungen auf. Dies f¨ uhrt aber zu gr¨ oßeren Schwierigkeiten bei der praktischen Durchf¨ uhrung der Vorhersage, weshalb man die Ausgangsgleichungen dergestalt vereinfachen muss, dass keine Schallwellen mehr auftreten können. Diese sogenannte Filterung der Bewegungsgleichungen wird in B¨ uchern u uhrlich ¨ber Numerische Wettervorhersage ausf¨ behandelt.

13.3

Schwerewellen

Bei den Schwerewellen spielt die Schwerkraft (siehe Abschnitt 9.1), welche auf eine Luftmasse (oder auch Wassermasse) wirkt, die entscheidende Rolle bei der Schwingungserzeugung. Eine Schwingungsebene liegt hierbei senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (transversale Welle). Bevor die zwei Untergruppen (externe und interne Schwerewellen) behandelt werden, sei hier noch ein Ergebnis der atmosphärischen Statik aus Abschnitt 6.4 wiederholt:

13.3 Schwerewellen

191

F¨ ur die Auslenkung eines isolierten Luftteilchens aus seiner Ruhelage ergab sich f¨ ur den Abstand h vom Ausgangspunkt folgende Gleichung (vgl. (6.33)): d2 h = −N 2 h . dt2 Mit den Anfangsbedingungen h = h0 ,

w=

dh =0 dt

f¨ ur t = 0

ergibt sich als L¨ osung dieser Gleichung eine Schwingung h(t) = h0 cos(N t) , worin N die in Kapitel 6 definierte Brunt-Vaisala-Frequenz ist,

N=

g ∂ θ¯ . θ¯ ∂z

(13.15)

Diese Frequenz, die praktisch die Eigenfrequenz einer vertikal ausgelenkten Lufts¨ aule in einer stabil geschichteten Atmosph¨ are darstellt, spielt auch bei den Schwerewellen eine Rolle. 13.3.1

Externe Schwerewellen

Externe Schwerewellen treten an der Grenzfläche zweier Medien unterschiedlicher Dichte auf, wobei das dichtere Medium (ρ2 ) unter dem weniger dichten (ρ1 ) liegen muss (stabile Schichtung). Die Wellen treten dann als Grenzfl¨ achenwellen in Erscheinung, d. h. die Höhe der Grenzfläche h schwankt periodisch um ein Ausgangsniveau, z = H, wie in Bild 13.2 dargestellt (h(x,t) = H + h0 sin [k(x − ct)], k = 2π/L mit der Wellenlänge L). Im folgenden soll angenommen werden, dass sich die Wellen in x-Richtung ausbreiten und in y-Richtung homogen sind (d. h. ∂/∂y(. . .) = 0). Als Voraussetzung f¨ ur die Behandlung der externen Schwerewellen wird der Druck als hydrostatisch angenommen, d. h. es soll die statische Grundgleichung ∂p/∂z = −gρ gelten. F¨ ur den Druck p2 im unteren Medium (ρ2 ) erh¨ alt man aus Integration der statischen Grundgleichung von einem Druckniveau p1 im oberen Medium (ρ1 (z1 )) aus: p2 (z) = p1 (z1 ) + ρ1 g(z1 − h) + ρ2 g(h − z) = p1 (z1 ) + ρ1 gz1 − ρ2 gz + (ρ2 − ρ1 )gh . F¨ ur den horizontalen Druckgradienten im unteren Medium erh¨ alt man daraus: ∂p1 ∂h ∂p2 (z) = (z1 ) + (ρ2 − ρ1 )g . ∂x ∂x ∂x

192


. z ..... .. Medium 1: ρ1 .. ... .. ... .. ......... .... .. .................................... . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. H ............ .......... .......... .......... ..................................................................... ..................................................................... .......... ....................... .......... .......... ........ .. .. .. .. h0 .. .. .. Medium 2: ρ2 .. .. 0 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................... x

Bild 13.2 Wellenbildung an der Grenzfläche zweier Medien mit homogenen, aber unterschiedlichen Dichten ρ1 < ρ2 : h(x,t) = H + h0 sin [k(x − ct)].

Es wird jetzt vorausgesetzt, dass im oberen Medium (ρ1 ) kein Druckgradient herrscht (z.B. waagerechte Oberfläche). Dann ist der Druckgradient im unteren Medium gegeben durch: ∂p2 ∂h = (ρ2 − ρ1 )g . ∂x ∂x Durch die Auslenkung der Grenzfläche in der Vertikalen entsteht im unteren Medium eine horizontale Druckkraft, welche sich mit der Grenzfl¨ achenh¨ ohe h unter Verwendung der statischen Grundgleichung schreiben l¨ asst als: 1 ∂p2 gΔρ ∂h = , ρ2 ∂x ρ2 ∂x

Δρ = ρ2 − ρ1 .

Wir setzen jetzt voraus, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit im unteren Medium nicht von der Höhe abhängt (∂u/∂z = 0). Da der Druckgradient und somit die Druckkraft ebenso höhenunabhängig ist, muss ∂u/∂z = 0 auch f¨ ur t > 0 gelten. Damit entfällt die Vertikaladvektion w ∂u/∂z in der Bewegungsgleichung. Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen v = 0, und f = 0 (keine CoriolisKraft) ergibt sich f¨ ur die u-Komponente der Bewegungsgleichung im unteren Medium (ρ2 ): ∂u gΔρ ∂h ∂u +u =− . ∂t ∂x ρ2 ∂x

(13.16)

¨ Eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung der Grenzfl¨ achenh¨ ohe h erh¨ alt man aus der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine Strömung mit konstanter Dichte (8.6) ∇·v =0

oder

∂w ∂u =− . ∂z ∂x

Die Vertikalintegration dieser Beziehung zwischen dem Boden mit z = 0 und der Grenzfl¨ ache bei z = h ergibt unter Ber¨ ucksichtigung der oben gemachten Voraussetzung ∂u/∂z = 0:

13.3 Schwerewellen

193 w(h) − w(0) = −h

∂u . ∂x

Mit der Randbedingung w(0) = 0 und der Definition der Vertikalgeschwindigkeit ¨ w(h) = dh/dt erh¨ alt man schließlich f¨ ur die zeitliche Anderung der Grenzfl¨ achenhöhe: dh ∂h ∂h ∂u = +u = −h . (13.17) dt ∂t ∂x ∂x Das weitere Vorgehen erfolgt analog der Behandlung von Schallwellen: (13.16) und (13.17) werden linearisiert (mit u = u ¯ + u und h = H + h ), wobei die Wel lenh¨ ohe h als klein gegen¨ uber der vertikalen Ausdehnung des dichteren Mediums angenommen wird (h H). Schließlich erhält man durch Zusammenfassung der beiden Gleichungen einen Ausdruck f¨ ur die Auslenkung der Grenzfl¨ ache h , die die gleiche Struktur aufweist wie Gleichung (13.12) f¨ ur den St¨ ordruck der Schallwellen. ∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h Δρ ∂ 2 h +u ¯2 2 = gH + 2¯ u . 2 ∂t ∂t∂x ∂x ρ2 ∂x2

(13.18)

Aus 13.18 kann man mit dem Wellenansatz h (x,t) = h0 sin k(x − ct) ,

k=

2π , L

f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c die Beziehung

c=u ¯±

gH

Δρ ρ2

(13.19)

ableiten. Wie bei den Schallwellen ist die Phasengeschwindigkeit der externen Schwerewellen unabhängig von der Wellenlänge; dieses Ergebnis erh¨ alt man allerdings nur bei Verwendung der statischen Grundgleichung bei der Beschreibung der Wellenbewegung. Diese ist aber nur g¨ ultig, wenn die horizontale Ausdehnung eines atmosph¨ arischen Phänomens groß gegen¨ uber der vertikalen Erstreckung ist, (siehe Ausfhrungen in Kapitel 9.7) daher muss f¨ ur die Wellenl¨ ange L gelten: L H. Ein bekanntes Beispiel f¨ ur externe Schwerewellen sind die Oberfl¨ achenwellen der Ozeane. In diesem Fall ist ρ1 = ρ(Luft) und ρ2 = ρ(Wasser). Wegen ρL ρW vereinfacht sich (13.19) zu c=u ¯±

%

gH

Flachwasserwellen .

(13.20)

Diese Wellen werden wegen Lx H auch als Flachwasser-Wellen und die Gleichungen (13.16) und (13.17) entsprechend als Flachwasser-Gleichungen (engl. shallow water equations) bezeichnet.

194


Bei einer mittleren Tiefe des Meeres von H = 4 km ergibt sich f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c ≈ 200 m s−1 , f¨ ur eine Wassertiefe von 100 m immer noch ur die Wellenl¨ ange der 32 m s−1 . Wegen L/H ≈ 10 ergibt sich mit H = 4 km f¨ Flachwasserwellen L ≈ 40 km, mit H = 100 m erh¨ alt man L = 1 km. Daher beschreibt man mit (13.20) die Phasengeschwindigkeit der sogenannten Langen Wellen an der Meeresoberfläche. Aber auch in der Atmosphäre kommen externe Schwerewellen vor. Hier gibt es zwar nicht solch drastische Dichtespr¨ unge wie an der Grenzfl¨ ache WasserLuft, aber an Inversionen kann sich die Dichte u ¨ber eine relativ geringe vertikale Erstreckung rasch ändern. Nun arbeitet man in der Meteorologie anstatt mit Dichteunterschieden lieber mit Temperaturunterschieden, da sich die Lufttemperatur direkt messen lässt. Unter nahezu isobaren Verh¨ altnissen ergibt sich aus der Gasgleichung und der Definition der potentiellen Temperatur Δρ ΔT Δθ ≈− ≈− . (13.21) ρ T θ Der Vorzeichenwechsel ergibt sich daraus, dass bei Zunahme der Dichte die Temperatur abnimmt und umgekehrt. Bei stabiler Schichtung gilt nat¨ urlich f¨ ur die Situation in Bild 13.2: ρ2 > ρ1 und θ2 < θ1 , d. h. Δθ = θ2 − θ1 < 0. F¨ ur meteorologische Anwendungen ist somit in (13.19) Δρ/ρ2 durch −Δθ/θ2 zu ersetzen. Wie groß ist nun die Phasengeschwindigkeit von externen Schwerewellen an Inversionen? Nehmen wir als typische Werte f¨ ur die Inversionsh¨ ohe u ¨ber Grund H = 500 m, f¨ ur den Temperatursprung Δθ = 6 K. Damit erhalten wir f¨ ur eine ruhende Atmosph¨ are (¯ u = 0): c ≈ 10 m s−1 . Die bisherigen Ausf¨ uhrungen bezogen sich auf die Welleneigenschaft der Grenzfläche h(x,t) zwischen zwei Medien unterschiedlicher Dichte (bzw. Temperatur). Wir wollen zum Abschluß des Kapitels noch untersuchen, welche Bewegung ein Partikel im unteren Fluid (Wasser oder Luft) unter dem Einfluß der Grenzflächenwelle h(x,t) ausf¨ uhrt. Dazu benötigen wir die Geschwindigkeitskomponenten u(x,z,t) und w(x,z,t). Wir betrachten jetzt ein zun¨ achst ruhendes Medium ohne Grundstrom, d. h. es gilt: u = 0. Die linearisierte Form von Gleichung (13.16) lautet dann: ∂u

ρ ∂h = −g ∂t ρ2 ∂x F¨ ur die linearisierte Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

(13.22)

∂u ∂w =− (13.23) ∂z ∂x Setzt man die Wellenlösung h (x,t) = h0 sin k(x − ct) in (13.22) ein, so erh¨ alt man f¨ ur die horizontale Geschwindigkeitskomponente u : u (x,t) = u0 sin k(x − ct),

u0 = ch0 /H

13.3 Schwerewellen

195

Die vertikale Geschwindigkeitskomponente w erh¨ alt man durch Integration von (13.23) mit der Randbedingung w(z = 0) = 0: w (x,z,t) = u0 k cos k(x − ct)z angig von der H¨ ohe w¨ ahrend Die Bewegung in der Horizontalen (u ) ist somit unabh¨ die Vertikalbewegung vom Boden (z = 0) linear bis zur H¨ ohe h der Grenzfl¨ ache zunimmt.

Bild 13.3 Partikeltrajektorien im Fluid unterhalb einer sich in Richtung der Phasengeschwindigkeit c ausbreitenden externen Schwerewelle. F¨ ur die Wellenlänge L und die Dicke der Fluidschicht H gilt dabei tief: H >> L, mittel: H ≈ L, flach: H > L auch als “Tiefwasserwelle”), variieren sowohl u als auch w mit der Höhe (Tiefe). Als Trajektorien ergeben sich Kreise, deren Radius von der Grenzfläche h zum Boden hin abnimmt, wie im linken Teil von Bild 13.3 dargestellt. 13.3.2

Interne Schwerewellen

Wenn Schwerewellen nicht an der Grenzfläche zweier Medien auftreten, sondern innerhalb eines kontinuierlich stabil geschichteten Mediums, nennt man sie interne Schwerewellen. Im Gegensatz zu den externen Schwerewellen, bei welchen die Ausbreitungsrichtung entlang der Grenzfl¨ ache, also in der Horizontalen verl¨ auft, k¨ onnen sich interne Schwerewellen beliebig im Raum ausbreiten. So

196


weisen denn auch diese Wellen neben der horizontalen Komponente der Phasengeschwindigkeit je nach Art der Auslösung (z. B. an einem Hindernis) auch eine vertikale Komponente der Ausbreitungsgeschwindigkeit auf. Betrachten wir der Einfachheit halber eine zweidimensionale Schwerewelle in der x-z-Ebene. Die Herleitung der Wellengleichung sei hier nur kurz angedeutet: ben¨ otigt werden die Bewegungsgleichungen in der Boussinesq-Approximation (siehe Gl. 12.39), die Kontinuitätsgleichung f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik f¨ ur adiabatische Prozesse. Bei der u ¨blichen Linearisierung wählen wir als Grundzustand eine ruhende Atmosph¨ are, d. h. es gilt u ¯=w ¯ = 0. F¨ ur das Vertikalprofil der potentiellen Tempe¯ ratur des Grundzustandes θ(z) wird vorausgesetzt, dass der Temperaturgradient ¯ konstant ist, d. h. ∂ θ/∂z = konstant. Damit ergibt sich folgendes vereinfachtes Gleichungssystem f¨ ur die linearisierten Größen u , w , p und θ : ∂u 1 ∂p =− , ∂t ρ¯ ∂x

(13.24)

∂w 1 ∂p g =− + ¯θ , ∂t ρ¯ ∂z θ

(13.25)

∂u ∂w + =0, ∂x ∂z

(13.26)

∂ θ¯ ∂θ + w =0. (13.27) ∂t ∂z Es ist allgemein u ur Schwerewellen ¨blich, die Vertikalgeschwindigkeit w als eine f¨ typische Gr¨ oße zu untersuchen. F¨ ur diese ergibt sich als linearisierte Wellengleichung aus der Kombination der Gleichungen (13.24) bis (13.27): ∂2 ∂t2

∂2w ∂2w + ∂x2 ∂z 2

+ N2

∂2w =0 . ∂x2

(13.28)

Hierbei ist N die in (13.15) definierte Brunt-Vaisala-Frequenz, die den Tempe¯ raturgradienten ∂ θ/∂z des Grundzustandes enth¨ alt. Da die Schwerewellen nicht nur rein horizontal verlaufen sollen, kann der Wellenzahlvektor m bzw. die Phasengeschwindigkeit c mit m · c = ω zun¨ achst eine beliebige Richtung annehmen, so dass gilt: m = ki+lk ,

(13.29)

wobei k die horizontale und l die vertikale Wellenzahl ist. Wir versuchen jetzt zur L¨ osung von (13.28) einen Wellenansatz der Form w = w0 cos(m · x − ωt) = w0 cos(kx + lz − ωt) .

(13.30)

13.3 Schwerewellen

197

Dieser ergibt, in die Wellengleichung (13.28) eingesetzt, als L¨ osungsbedingung: ω 2 (k 2 + l2 ) − N 2 k 2 = 0 und somit f¨ ur die Kreisfrequenz ω: ω=N √

k k = N cos α , =N 2 m +l

k2

(13.31)

wobei α der Winkel zwischen dem Wellenzahlvektor m und der Horizontalachse x ist. Dies ist in Bild 13.4 illustriert. Die gr¨ oßtm¨ ogliche Frequenz von Schwerewellen ergibt sich f¨ ur α = 0o , d. h. horizontal laufende Wellen. Dann ist ω = N , und die Schwingungsebene verl¨ auft in der Vertikalen. Im anderen Extremfall, α = 90o , ergibt sich ω = 0, d. h. es treten keine Schwerewellen auf. Das ist verst¨ andlich, da in diesem Fall die Schwingungsebene in der Horizontalen (x-Achse) liegt und somit die Gravitation nicht als r¨ ucktreibende Kraft wirken kann. Wegen m · c = mc = ω gilt f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c in m-Richtung c=

ω k m=N 3m 2 m m

(13.32)

oder f¨ ur den Betrag von c k N ω =N 2 = cos α . (13.33) m m m Die x-Komponente cx ergibt sich zu cx = ω/k = (N/k) cos α. F¨ ur eine rein horizontal verlaufende Schwerewelle (l = 0, α = 0) erh¨ alt man aus (13.33) somit den Betrag der Phasengeschwindigkeit c=

c=

N , k

k=

2π , Lx

(13.34)

wobei Lx die horizontale Wellenlänge ist. Ist noch ein konstanter Grundstrom u0 vorhanden, so beträgt die Phasengeschwindigkeit in bezug auf einen erdfesten Beobachter

z

... ......... ... .. .... ... .... .... ... . ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ................. ..... .. .... . .... .... .... .. .... .... .... .... . .... ... .... .... .. .... .... .... .... .... .. .... .... .... . . . .... .... .... .. .... .... .... .... ... ... . .... .... .... ... ... ... .... .... .... .... ... .. .... .... . ... .... .. ... ... .... ... .... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . ........................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................. ....................................................

........ ....... ....... m . . . . .. . . .. ....... .. ....... . . . . . l .. ..... .. ....... .. ............ .......................α ................................k ............................

x

Bild 13.4 Der Wellenzahlvektor bei internen Schwerewellen. Senkrecht zu m sind Wellenfronten skizziert.

198


N . (13.35) k Das Vorzeichen ± in (13.35) ist nötig, da die Welle sowohl mit dem Grundstrom (+) als auch gegen den Grundstrom (−) laufen kann. N ist wieder die in (13.15) definierte Brunt-Vaisala-Frequenz, die den mittleren vertikalen Gradienten der potentiellen Temperatur enth¨ alt. Dieser ist bei der Herleitung von (13.35) als höhenkonstant angenommen worden. Die Phasengeschwindigkeit der internen Schwerewellen hängt im Gegensatz zu Schallwellen und externen Schwerewellen von der Wellenlänge ab; es herrscht also Dispersion. Hierzu einige Zahlenbeispiele: Nimmt man eine m¨ aßig stabile Schichtung an, ¯ z. B. ∂ θ/∂z = 1 K/100 m, so ergeben sich in ruhender Atmosph¨ are ungef¨ ahr folgende Phasengeschwindigkeiten: c = u0 ±

Lx = 1 km ⇒ c ≈ 3 m s−1 , Lx = 10 km ⇒ c ≈ 30 m s−1 , Lx = 100 km ⇒ c ≈ 300 m s−1 . In der Atmosph¨ are kann man interne Schwerewellen h¨ aufig in Form von b¨ anderf¨ ormig angeordneten Wolken in mittleren Höhen beobachten, die gelegentlich auch als Helmholtz-Wogen bezeichnet werden. Wie ist nun die Darstellung der Wellenfronten in Bild 13.4 bez¨ uglich der Geschwindigkeitsverteilung und der Partikeltrajektorie in internen Schwerewellen zu interpretieren? Dazu betrachten wir zunächst nochmals die L¨ osung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit. w(x,z,t) = w0 cos(kx + lz − ωt)

(13.36)

Die Phasenlinien verbinden nun alle Orte der Vertikalgeschwindigkeit mit gleichem Wert (w = konstant) zu einem festen Zeitpunkt t = t0 . Aus der Wellenbeziehung folgt daher f¨ ur die Phase der Vertikalgeschwindigkeit: kx + lz = konstant = a oder k z =− x+b. l Die Phasenlinie ist somit eine Gerade mit negativer Steigung, wie in Bild 13.4 dargestellt. Wie verh¨ alt es sich nun f¨ ur die Horizontalgeschwindigkeit u? Aus der Kontinuit¨ atsgleichung (13.26) folgt mit dem Wellenansatz (13.30): l u(x,z,t) = − w0 cos(kx + lz − ωt) k

(13.37)

13.3 Schwerewellen

199

Bild 13.5 Geschwindigkeitsverteilung in einer internen Schwerewelle, die sich in Richtung m ausbreitet. Dargestellt sind die Maxima (Pfeile) und Nullpunkte (Punkte) des Geschwindigkeitsfeldes zu einem festen Zeitpunkt t = t0

Die Phasenlinien f¨ ur u sind die gleichen wie f¨ ur w, da aus (13.36) und (13.37) folgt: l u = − w. k Daraus folgt, daß die Luftpartikel in einer internen Schwerewelle sich parallel zu den Wellenfronten (Bild 13.4) bewegen. Das zugeh¨ orige Geschwindigkeitsfeld f¨ ur einen festen Zeitpunkt t = t0 ist in Bild 13.5 dargestellt. 13.3.3

Schwerewellen u ¨ ber ebenem Untergrund

Die in vorigen Kapitel abgeleiteten einfachen Dispersionsbeziehungen f¨ ur interne Schwerewellen gelten zum einen nur f¨ ur konstante Brunt-Vaisala-Frequenz N sowie f¨ ur konstanten Grundstrom u ¯. Dar¨ uberhinaus wurde die L¨ osung der linearisierten Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w (13.28) nur in allgemeiner Form, d. h. ohne Bestimmung der Integrationskonstanten, angegeben. Demzufolge gilt der Wellenansatz (13.30) f¨ ur alle Raumpunkte in der x-z Ebene. Nun ist die reale Atmosphäre nach unten durch die Erdoberfl¨ ache begrenzt, welche die theoretisch mögliche Ausbreitung der Schwerewellen in der Vertikalen begrenzt. Der Effekt des Erdbodens auf die Eigenschaft interner Schwerewellen soll daher nun kurz untersucht werden. Betrachten wir dazu noch einmal die Wellengleichung (13.28) f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w. Diese ist von 2. Ordnung in x und z und ben¨ otigt somit zur Lösung noch Randbedingungen an Ober- und Untergrenze sowie an den seitlichen Rändern des Integrationsgebietes. Nehmen wir als unteren Rand eine horizontale Erdoberfl¨ ache bei z = 0. Wie noch in Kapitel (18.3) erl¨ autert wird, muß die Normalgeschwindigkeit an einer festen Wand verschwinden. In unserem Fall lautet somit die untere Randbedingung: z=0

:

w=0.

200


Der obere Rand der Atmosphäre kann formal bei z → ∞ angesetzt werden (in Realit¨ at in einigen Kilometern Höhe). Da dort keine Atmosph¨ are mehr vorhanden ist (Luftdichte → 0), kann auch keine vertikale Luftbewegung mehr auftreten, somit k¨ onnen wir als obere Randbedingungen setzen: z→∞

:

w = 0.

Außer im trivialen Fall verschwindender Schwerewellen (w(z) = 0) muß also in einer bestimmten Höhe H ein Maximum der Vertikalgeschwindigkeit auftreten. F¨ ur die L¨ osung der Wellengleichung (13.28) wird daher folgender Ansatz gew¨ ahlt: w(x,z,t) = w0 (z) cos(kt − ωt) Nach Einsetzen in die Wellengleichung (13.28) ergibt sich f¨ ur die Amplitude w0 (z): ∂ 2 w0 + k 2 (N 2 − ω 2 )w0 = 0 (13.38) ∂z 2 Wir betrachten jetzt eine Welle in der Höhe z = H mit der maximalen Amur z > H als auch f¨ ur plitude w0 (H) = wm . Die Amplitude w0 (z) soll sowohl f¨ z < H abfallen und formal f¨ ur z − H → ±∞ die Randbedingung w0 (Rand) = 0 erf¨ ullen. Dies ist möglich f¨ ur den Fall w > N , da dann die L¨ osung von (13.38) eine Exponentialfunktion ergibt: w0 (z) = wm e−α(z−H) , z > H

(13.39)

w0 (z) = wm e+α(z−H) , z < H

(13.40)

Hierbei ist α eine Wellenzahl, welche die in (13.38) auftretenden Parameter zusammenfasst: "

α=

k 2 (w2 − N 2 )

(13.41)

Die Wellengleichung lautet somit insgesamt: w(x,z,t) = wm e−α(z−H) cos(kx − ωt) , z > H

(13.42)

w(x,z,t) = wm e+α(z−H) cos(kx − ωt) , z < H

(13.43)

Die L¨ osung der Wellengleichung ist in Abbildung 13.6 dargestellt. Die Schwerewellen breiten sich in horizontaler Richtung mit der Phasengeschwindigkeit c = ω/k aus, wobei ihre Phasenlinie rein vertikal verläuft. Die Amplitude der Vertikalgeschwindigkeit nimmt dabei oberhalb und unterhalb von z = H (w0 = w0 (max)) ab. Diese Art von Schwerewellen nennt man auch ged¨ ampfte Wellen oder im englischen Sprachgebrauch “evanescent waves”.

13.3 Schwerewellen

201

Bild 13.6 Schwerewelle u ¨ber ebenem Untergrund mit maximaler Amplitude in der Höhe H. Dargestellt sind Isolinien der potentiellen Temperatur zu einem festen Zeitpunkt. Die Ausbreitungsrichtung der senkrecht verlaufenden Phasenlinie ist durch die Phasengeschwindigkeit c angedeutet

13.3.4

Schwerewellen u ¨ ber nicht-ebenem Untergrund

In den vorhergehenden Kapiteln hatten wir interne Schwerewellen ohne Raumbegrenzung (13.3.2) und unter dem Einfluß eines festen unteren Randes (13.3.3) behandelt. Dabei wurde die Welle selbst in Form einer periodischen Funktion vorgegeben und analysiert, unter welchen Zwangsbedingungen (z. B. Dispersionsbeziehung) die Wellengleichung (13.28) erf¨ ullt wird. In der Natur kann eine Welle aber nicht einfach so entstehen, vielmehr muß die schwingungsf¨ ahige Atmosph¨ are zur Wellenbildung angeregt werden. Wie bereits im Kapitel (6.4) diskutiert ist zur Anregung einer Schwingung in der stabil geschichteten Atmosph¨ are die Auslenkung eines Luftpaketes in der Vertikalen notwendig. In der realen Atmosph¨ are ¨ entsteht ein solcher Mechanismus ber der Uberstr¨ omung langgestreckter, quasi zweidimensionaler Berge. Dabei wird die Luft im Luv des Berges zum Aufstieg gezwungen und kann im Lee wieder in das Ausgangsniveau absinken. Die Anregung einer m¨ oglichen Schwerewelle w¨ urde also auf der Luvseite des Bergr¨ uckens folgen. Tats¨ achlich k¨ onnen dabei im Lee des Gebirges interne Schwerewellen entstehen, die auch als Leewellen bezeichnet werden. Bevor auf diese eingegangen wird, untersuchen wir das formal einfachere Problem einer periodisch angeordneten Reihe von zweidimensionalen Bergen und Tälern. Die Topographie des Erdbodens sei gegeben durch: z(x) = h(x) = h0 sin kx ,

(13.44)

wobei k = 2π/L die Wellenzahl der Topographie (L ist der Abstand zweier Berggipfel) und 2 h0 der Gesamthöhenunterschied ist (siehe Bild 13.7).

202


Diese Topographie soll bei einer stabilen Schichtung mit konstanter BruntVaisala Frequenz N durch einen konstanten Wind U u omt werden. Unmit¨berstr¨ telbar am unteren Rand soll die Strömung der Topographie folgen. Die Vertikalgeschwindigkeit auf der Topographie h(x) läßt sich im Sinne der Linearisierung der Wellengleichung wie folgt ansetzen: ∂h Randbedingung (13.45) ∂x Wir suchen jetzt Lösungen der linearisierten Boussinnesq-Gleichungen (13.2413.27) f¨ ur einen stationären Strömungszustand (∂/∂t = 0) bei konstantem Grundstrom U . In diesem Fall werden in (13.24-13.27) die zeitlichen Ableitungen durch die Advektion U ∂/∂x ersetzt. Statt (13.28) ergibt sich als linearisierte Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w w(x,0) = U

∂2 ∂x2

∂2w ∂2w N 2 + + 2w ∂x2 ∂z 2 U

=0 .

(13.46)

Zur L¨ osung dieser Gleichung nehmen wir als Wellenansatz: w(x,t) = w1 (z) sin kx + w2 (z) cos kx

(13.47)

F¨ ur die Amplitudenfunktion der Vertikalgeschwindigkeit ergibt sich nach einsetzen von (13.47) in (13.46): ∂ 2 wi 2 2 + l + k wi = 0 , ∂z 2

i = 1,2

(13.48)

Hierbei ist l2 definiert durch: l2 ≡

N2 U2

Scorer-Parameter

(13.49)

Der Parameter l wird auch als Scorer-Parameter bezeichnet (nach R. Scorer, englischer Meteorologe) und spielt in der Theorie interner Schwerewellen eine wichtige Rolle. Ein erster Blick auf die Amplitudengleichung (13.48) zeigt, daß je nach Vorzeichen des Ausdrucks (l2 − k 2 ) als Lösung Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen in Frage kommen. Als untere Randbedingung erh¨ alt man aus (14.25) und (13.45): ∂h = U k cos kx ∂x F¨ ur die L¨ osung von (13.48) machen wir folgende Fallunterscheidung: w(x,0) = U

(a) k > l → (l2 − k 2 ) ≡ μ < 0

(13.50)

13.3 Schwerewellen

203

Die L¨ osung ist dann eine Exponentialfunktion, die f¨ ur z → ∞ verschwinden muß, da sonst (bei anwachsender Exponentialfunktion) die Amplitude w mit der H¨ ohe anw¨ achst, was zu einem unphysikalischem Ergebnis f¨ uhrt: w(x,z) = U h0 ke−|μ|z cos kx

(13.51)

Diese L¨ osung der Wellengleichung ist anhand von Stromlinien, die auch als Linien potentieller Temperatur intepretiert werden können, in Bild (13.7) dargestellt. (b) k 2 < l2 → (l2 − k 2 ) ≡ μ > 0 Die L¨ osung enth¨ alt jetzt trigonometrische Funktionen und ist von der Form: w(x,z) = U h0 k cos(kx + μz)

(13.52)

Es handelt sich um eine Kosinusfunktion mit konstanter Amplitude (w0 = U h0 k) aber mit gegen die Strömungsrichtung geneigter Phase μz. Die L¨ osung ist in Bild 13.8 dargestellt.

Bild 13.7 Stationäre Schwerewelle u ¨ber einer zweidimensionalen, sinusförmigen H¨ ugelkette mit der Wellenlänge L und der Höhe h f¨ ur den Fall kU > N , k = 2π/L. Die Phasenlinie ist durch einen senkrechten Strich markiert. Dargestellt sind Stromlinien f¨ ur eine Anströmung u von links

Warum ergeben sich nun unterschiedliche Lösungen f¨ ur die Wellengleichungen? Dazu betrachten wir noch einmal die beiden Fälle k > l und k < l: (a) k > l = N/U → kU > N Nun ist kU = 2π/(LU ) = ωa gerade die Anregungsfrequenz f¨ ur die Vertikal¨ bewegung, welche die Luftpartikel beim Uberstr¨ omen der Topographie h(x) = h0 sin kx erfahren. Der Fall k > l bedingt somit ωa > N . Da die Anregungsfrequenz ωa gr¨ oßer als die nat¨ urliche Schwingungsfrequenz N der stabil geschichteten Atmosph¨ are ist, k¨ onnen angeregte Wellen nicht aufrecht erhalten werden, sondern m¨ ussen mit der Entfernung von der Ausgangsquelle (hier: wellenf¨ ormige Topographie) ausged¨ ampft werden. (b) k < l = N/U → kU < N

204


und somit: ωa < N . Die Anregungsfrequenz ωa ist kleiner als die Brunt-Vaisala Frequenz N und erf¨ ullt somit die Dispersionsbeziehung f¨ ur freie Wellenausbreitung (13.31).

Bild 13.8 Stationäre Schwerewelle u ¨ber einer sinusförmigen H¨ ugelkette wie in Bild 13.7, jedoch f¨ ur den Fall kU < N . Die Phasenlinien sind entgegen der Anströmung u geneigt

F¨ ur die Situation k = l ergibt sich ωa = N und die maximal m¨ ogliche Anregungsfrequenz f¨ ur ungedämpfte Wellen ist erreicht. In diesem Fall ergibt sich die Lösung der Amplitudengleichung (13.48): w(z) = w0 = U h0 k = konstant und somit f¨ ur das Wellenfeld w(x,z) = w0 cos kx. Ein spezielles Problem stellen die sogenannten Leewellen hinter Gebirgen dar. Bei ihnen handelt es sich um stationäre Schwerewellen, die bei stabiler Schichtung der Atmosph¨ are durch Auslenkung der Grundstr¨ omung u ¨ber dem Gebirgskamm entstehen. Man kann diese an den Wolken im Lee des Gebirges erkennen, welche sich bei gen¨ ugender Feuchtigkeit u ¨ber den Wellenkämmen bilden und praktisch stehenbleiben (Bild 13.9). Da die Leewellen ein stationäres Ph¨ anomen sind, d. h. c = 0, kann man ihre Wellenlänge aus (13.35) bestimmen: Lstat = 2π

u ¯ , N

Leewellen .

(13.53)

ur Leewellen mit dem F¨ ur einen mittleren Wind u ¯ = 10 m s−1 ergibt sich f¨ oben als Beispiel angef¨ uhrten Temperaturgradienten eine Wellenl¨ ange von etwa L ≈ 3 km. Leewellen kann man häufig auf Satellitenbildern als b¨ anderf¨ ormig angeordnete Wolkenstrukturen beobachten. Ein Beispiel hierf¨ ur ist in Bild 13.10 zu sehen. Bei den bisherigen Betrachtungen von Schwerewellen, etwa bei der Herleitung von (13.28), sind wir von einem ruhenden Medium bzw. von einer konstanten Grundstromgeschwindigkeit u ¯ sowie von einer konstanten Brunt-Vaisala-Frequenz N ausgegangen. In der realen Atmosphäre ändern sich aber im allgemeinen der Wind und die Temperatur mit der Höhe, so dass in die Wellengleichungen als Grundzustand u ¯(z) und N (z) aufgenommen werden m¨ ussen. Dadurch ergibt sich,

13.3 Schwerewellen

205

... ........................................................................................... .... ... .. ........ . . . . . ... ............... . . . .........................................

... .

Lx ................................................................................................

.... ...... ................ . . .... ..........................................

u ¯ .................... .......................... ...... .......................... ....... ....... . . . . . . . ................... .................. .......................... ....... . .......................... ...... ....... .......................... ................ .................... . . . . . . . . . . . . . . ...... . .......................... ... .............................. ....................... ........ . . . ........ ........................

... ... .......................... .... . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . ..... ............................... .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ...................................... ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................... ..............................................................

Bild 13.10

Bild 13.9 Leewellen hinter Gebirgen in einer stabil geschichteten Atmosphäre

Satellitenphoto von Schwerewellen u ¨ber Spanien.

dass auch die Wellenamplituden w0 nicht mehr konstant sind, sondern sich ebenfalls mit der H¨ ohe ändern, so dass w0 = w0 (z). Auf die Herleitung der Wellengleichung f¨ ur diesen Fall soll an dieser Stelle verzichtet werden. Mit einem Wellenansatz der Form w(x,z,t) = w0 (z) cos [k (x − ct)] ergibt sich f¨ ur die Amplitude die Taylor-Goldstein-Gleichung

(¯ u(z) − c)

2

¯ ∂2u ∂ 2 w0 − k 2 w0 − (¯ u(z) − c) w0 + N 2 (z) w0 = 0 , 2 ∂z ∂z 2

(13.54)

benannt nach den englischen Physikern S. Goldstein und G. I. Taylor (1886– 1975), einem der Begr¨ under der modernen Strömungsmechanik.

206


F¨ ur beliebige Profile u ¯(z) und N (z) kann keine analytische Phasenbeziehung wie etwa (13.31) mehr angegeben werden. Im Spezialfall u¯ = u0 = konstant und N (z) = N = konstant erhält man wegen w(z) = w0 = konstant aus (13.54): '

(

(u0 − c)2 k 2 − N 2 w0 = 0

und somit als Phasenbeziehung c = u0 ±

N , k

wie sie schon f¨ ur ebene Schwerewellen in (13.35) abgeleitet wurde. Die Taylor-Goldstein-Gleichung besitzt als Lösungen eine Vielzahl von Modifikationen der internen Schwerewellen wie etwa Reflexion, Ausl¨ oschung oder Wel¯ bzw. N (z). Die im lenbrechen, je nach Wahl der Grundstromprofile u¯(z) und θ(z) Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrten B¨ ucher enthalten ausf¨ uhrliche Darstellungen zu diesem Problemkreis.

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese 14.1

Stabilit¨ atsanalyse

Es sollen hier a ¨ltere und neuere Vorstellungen u ¨ber die Entstehung von Zyklonen und Antizyklonen behandelt werden. Die Methode der Untersuchungen zu diesem Problem ist meist die sogenannte Störungsrechnung, die Auskunft dar¨ uber gibt, ob ein Grundzustand der Atmosphäre instabil gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen ist. Als einfaches Beispiel sei hier noch einmal die vertikale Auslenkung eines Luftpartikels aus seiner Ruhelage in einer geschichteten Atmosph¨ are behandelt, wie es schon einmal kurz in Abschnitt 13.2 angedeutet wurde. Es ergab sich f¨ ur die Auslenkung h die Schwingungsgleichung: d2 h + N2 h = 0 dt2 mit der Brunt-Vaisala-Frequenz

N=

g ∂θ . θ ∂z

F¨ ur den Fall N > 0 (stabile Schichtung) ergab sich als L¨ osung: h(t) = h0 cos N t , wobei h0 die Auslenkung zur Zeit t = 0 aus der Ruhelage war. Das Partikel f¨ uhrt Schwingungen um die Ruhelage aus, ist also bestrebt, seinen Ausgangszustand wieder einzunehmen. Wir nennen dies auch ein stabiles Gleichgewicht oder sagen, dass die Atmosphäre sich stabil in bezug auf eine aufgepr¨ agte St¨ orung (hier: Auslenkung h0 um die Gleichgewichtslage) verh¨ alt. Im Fall einer labilen Schichtung ∂θ/∂z < 0 haben wir N 2 < 0 oder N = i|N | (imagin¨ ar). Die L¨ osung der Schwingungsgleichung ist jetzt von der Form: h(t) = h0 e|N |t . F¨ ur t → ∞ geht h(t) → ∞, d. h. das Luftpartikel entfernt sich immer weiter von seiner anf¨ anglichen Gleichgewichtslage. Ein solches Verhalten nennt man instabil, die Amplitude der Anfangsstörung (hier h = h0 ) w¨ achst mit der Zeit an. Im n¨ achsten Schritt gehen wir der Frage nach, ob auch Wettererscheinungen in der Atmosph¨ are ein stabiles bzw. instabiles Verhalten aufweisen k¨ onnen. In Kapitel 13 hatten wir Wellenerscheinungen in der Atmosph¨ are behandelt und eine Welle mit der Wellenlänge L bzw. mit der Wellenzahl k = 2π/L formal etwa durch

208

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

. ψ0 ...... .... α > 0 .. ...... . . . . . .. ...... .. ...... . . . .. . . .. ....... .. ........ . . . . . . . . ......... ψ¯ ............................................................................ α = 0 .. ...... ...... .. ....... ....... .. ........ .. ......... ............ .. ........ α < 0 .. ....................................................................................... t

Bild 14.1 ¨ Anderung der Störungsamplitude mit der Zeit

ψ(x,t) = ψ0 cos(k[x − ct]) dargestellt. ψ0 war dabei die Amplitude, die als zeitlich und r¨ aumlich konstant angenommen wurde. Am festen Ort kann man nat¨ urlich bei einer Phasengeschwin¨ digkeit c = 0 eine periodische Anderung ψ(t) beobachten, aber es gilt immer ψmax = ψ0 . Wir lassen jetzt die Einschränkung ψ0 = konstant fallen und setzen ψ0 = ψ0 (t) , d. h. die Amplitude der Welle kann sich mit der Zeit ¨ andern. Von den beliebig vielen Funktionen ψ0 (t) wählen wir zur Vereinfachung die Form ψ0 (t) = ψ¯ eαt ,

ψ¯ = konstant .

Hierbei hat α die Dimension einer Frequenz. Es ergibt sich je nach Vorzeichen von α folgendes Verhalten der Wellenamplitude (siehe auch Bild 14.1): α > 0:

ψ0 → ∞

f¨ ur t → ∞ ,

α = 0:

ψ0 = ψ¯

f¨ ur t ≥ 0 ,

α < 0:

ψ0 → 0

f¨ ur t → ∞ .

Identifizieren wir jetzt ψ¯ mit einer kleinen Anfangsst¨ orung der Wellenamplitude ¯ so ergibt sich folgendes Bild: F¨ zur Zeit t = 0 (ψ(0) = ψ), ur α = 0 bleibt die Amplitude ψ0 = ψ¯ = konstant, und wir haben die u ¨blichen Wellen wie in Kapitel 13 beschrieben. F¨ ur α < 0 nimmt die Amplitude mit der Zeit ab und f¨ uhrt somit zu einem Abbau (Dämpfung) der Anfangswelle (Anfangsst¨ orung). Im Fall α > 0 nimmt die Wellenamplitude stetig mit der Zeit zu. Ein solches Verhalten nennt man instabil. Dies ist der interessanteste Fall f¨ ur folgende Problemstellung: ¯ ρ¯, p¯) geDie Atmosph¨ are sei durch einen gewissen Grundzustand (z. B. u¯, θ, kennzeichnet, wobei die einzelnen Variablen des Grundzustandes noch von den Ortskoordinaten abhängen können. Es werden diesem Grundzustand wellenf¨ ormige St¨ orungen kleiner Anfangsamplitude ψ¯ etwa in der Form

14.2 Barotrope Instabilität

209

ψ(x,t) = ψ¯ eαt cos(k[x − ct]) aufgepr¨ agt. Die Frage ist jetzt: wie verhalten sich diese Anfangsst¨ orungen f¨ ur t > 0? Nach dem eben Gesagten m¨ ussen durch einen gewissen Formalismus (siehe nachfolgende Ausf¨ uhrungen) Vorzeichen und Betrag des Faktors α bestimmt werden. Diese sogenannte St¨ orungsrechnung gibt Aufschluss u ¨ber das Verhalten des atmosph¨ arischen Grundzustandes:

L¨ osung der Störungs- Amplitude der Grundstrom/ rechnung ergibt Anfangsstörung Grundzustand α>0 wächst an instabil α=0 bleibt gleich neutral α 0 zu erwarten ist. Dieses lautet:

212


∂ η¯ = 0 in y . (14.10) ∂y Oder in Worten: weist der Grundstrom ein Extremum der absoluten Vorticity auf (Maximum oder Minimum), so wächst die Amplitude der Anfangsst¨ orungen an: ci > 0

wenn

Ψ (x,y,t) = Ψ0 (y) ekci t cos (k[x − cr t]) .

(14.11)

Einen solchen Grundstrom nennt man instabil. Der Begriff barotrope Instabilit¨ at r¨ uhrt daher, dass sich hier der Grundstrom u¯(y) nur mit der geographischen Breite, nicht aber mit der Höhe ändert: ∂ u ¯/∂z = 0 → Barotropie. F¨ ur eine f -Ebene (β = 0, Scheibenerde oder auch Str¨ omungen in nichtrotierenden Systemen) ergibt sich statt (14.10): ¯ ∂2u ∂ ζ¯ =− 2 =0 . (14.12) ∂y ∂y In diesem Fall bedeutet das Vorhandensein eines Vorticity-Extremums, dass das Windprofil einen Wendepunkt (∂ 2 u ¯/∂y 2 = 0) haben muss. Deshalb nennt man die hier behandelte Instabilität auch Wendepunkt-Instabilit¨ at. F¨ ur den Fall (14.12) zeigt Bild 14.3 typische Profile mit und ohne Instabilit¨ at. Profil (a) weist einen Wendepunkt () und ein Vorticity-Maximum auf und (b) zwei Wendepunkte und zwei Vorticity-Extrema (je ein Minimum und ein Maximum). Diese Grundzustände sind also instabil gegen kleine St¨ orungen, w¨ ahrend (c) aufgrund der Konstanz der Vorticity stabil ist, obwohl wir auch hier eine Scherstr¨ omung vorliegen haben. Profil (b) ähnelt dem Strahlstrom, wie er in der oberen Atmosph¨ are gefunden wird. ci > 0

f¨ ur

Was hat nun das Instabilitätsproblem mit der Zyklogenese zu tun? Schon seit langem war bekannt, dass eine (zweidimensionale) Str¨ omung, wie eben erl¨ autert, bei gewissen Formen des Profils (etwas exakter: Es muss ein Wendepunkt vorhanden sein, d. h. es gilt ∂ 2 u ¯/∂y 2 = 0 an mindestens einer Stelle y) instabil werden kann und sich wellenförmige Störungen ausbilden. Aus der synoptischen Beobachtung hatte man die Erfahrung gemacht, dass Zyklonen besonders h¨ aufig an Frontalzonen entstehen, in Gegenden also, an denen nicht nur starke Temperaturgegens¨ atze herrschen, sondern auch der Wind eine große horizontale Scherung aufweist. Die fr¨ uheren Theorien gingen deshalb davon aus, dass sich die Zyklonen aufgrund von Instabilitäten des Grundstromes ausbilden. Hierbei sah man aber nicht die vertikale Scherung des Grundstromes als Instabilit¨ atsursache an, sondern diejenige in der Horizontalen. F¨ ur eine solche Betrachtungsweise war die vertikale Wind¨ anderung also ohne Belang; man konnte die Str¨ omung als barotrop betrachten. Die Instabilität einer solchen Strömung bezeichnet man deshalb auch als barotrope Instabilit¨ at.

14.2 Barotrope Instabilität

(a)

(b)

(c)

213

y ...... y ...... . instabil ... ... ... ... ... . . .. . ... ... ... ...... ... ....... .. ... .... ......... .. ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........................................ ..... ..... .. . ...... . ... .... .......... ... ... ............ ... . . . . . ... ... ... ..... ... ... ... ... ... .... ...................................................... ¯ .................................................................................... u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ ¯ 0 . . . . . . . . y .. y .... instabil ... ..... .. .... . ......... . ... . . . . . . ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....................................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ............... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ... .... .. ... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ................................................ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... .. ........... ...... .... .... ... . . . . . . . . . . .. ... .... ..... .... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... .................... .............. ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... .. ... ..... . .... ... . .. ... .. . . .................................................................................. u ¯ .................................................................................... ζ¯ 0 y ...... y ...... ... ... stabil ... .. .... .... ............................................................................................ ... .... ... .................................................................................................... . .... . . ... ... . ... . .... .................................................................................................................... ... . ... ... ... . . ... ................................................................................................................................ .... ... ......................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ..................................................................................... . . .. u ¯ .................................................................................... ζ¯ 0

Bild 14.3 (a), (b) instabile und (c) stabile Windprofile. Die Wendepunkte von u¯ bez¨ uglich y sind mit gekennzeichnet.

Wenn Zyklonen und Antizyklonen also durch barotrope Instabilit¨ at entstehen sollten, woher nehmen diese dann ihre Energie? Da f¨ ur das barotrope Problem weder potentielle noch innere Energie zur Verf¨ ugung stehen, bleibt als Energiequelle f¨ ur die St¨ orungen nur die kinetische Energie des Grundstromes u ¨brig. Bei barotroper Instabilität geht kinetische Energie des Grundstromes in kinetische Energie der Störungen u ¨ber. Schematisch stellt sich diese Energieumwandlung dar, wie in Bild 14.4 gezeigt. ¯ nimmt mit der Zeit ab; im gleichen Maße Die Energie des Grundstromes E nimmt die Energie der Störungen E zu. F¨ ur das Grundstromprofil bedeutet das eine Abnahme der Geschwindigkeit, wie etwa im rechten Bild dargestellt. W¨ are die Zyklogenese auf barotrope Instabilität zur¨ uckzuf¨ uhren, so w¨ urden sich bei einer anf¨ anglich kleinen Druckstörung die Druckgegens¨ atze mit der Zeit verst¨ arken, d. h. ein Tiefdruckgebiet w¨ urde noch vertieft und ein Hochdruckgebiet verst¨ arkt. Gem¨ aß der geostrophischen Windbeziehung w¨ urden auch die Windgeschwindigkeiten in den Zyklonen und Antizyklonen verst¨ arkt, was – wie in Bild 14.4 dar-

214


. . y ..... Ekin ..... ..... ... ......... ............................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ... ... ............. .. ...... ... ... ¯ ...... E ... ... ................ ... .............. ... ..... ........ ... ... ....................................................................... ..... ....... t = t . ... ..... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 . . . .......... . . . . . . . . . .. . . . ....... ... t = t2 ...... .... ......... ..... ... ........... .... .. . ....................................................................... .. .. ................................... .......... E ..... .... ... ....................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... . . .. .. .... .... t2 t1 u ¯ t Bild 14.4 Str¨ omung

¨ Energieumsetzung bei barotroper Instabilität und Anderung der mittleren

gestellt – nichts anderes als eine Zunahme der St¨ orungsenergie E zur Folge hat. Die oben angef¨ uhrte Theorie der Zyklonenentstehung trifft aber nach heutigen Erkenntnissen f¨ ur die Atmosphäre nicht zu. Vielmehr ist gerade die vertikale ¨ Anderung des Windes mit der Höhe, also die Baroklinit¨ at, der wesentliche Faktor bei der Zyklogenese. Dies wird im nächsten Kapitel noch genauer ausgef¨ uhrt. Die barotrope Instabilität kann aber möglicherweise zur Erkl¨ arung anderer Wellenph¨ anomene in der Atmosphäre herangezogen werden, welche bei einer starken Scherung des mittleren Windes entstehen können.

14.3 14.3.1

Barokline Instabilit¨ at St¨ orungsgleichungen f¨ ur das Zwei-Schichten-Modell

Im vorigen Abschnitt hatten wir die Stabilität einer solchen Str¨ omung untersucht, bei der sich die Windgeschwindigkeit nur in der horizontalen Ebene ¨ anderte, weshalb auch der Begriff der Barotropie verwendet werden konnte. Jetzt wollen wir das andere Extrem betrachten: Der Grundstrom soll sich nur mit der H¨ ohe omung, bei der sich der (geostrophische) Wind mit der H¨ ohe ändern. Eine Str¨ ändert, bezeichnet man als barokline Strömung; siehe Gleichung (10.17). Die Ursache f¨ ur eine solche Höhenveränderlichkeit ist nach der thermischen Windbeziehung (10.8) das Vorhandensein eines horizontalen Temperaturgradienten. Der einfachste Fall eines baroklinen Grundstromes ist derjenige einer linearen Zunahme des Geschwindigkeitsbetrages mit der H¨ ohe, was einem h¨ ohenkonstanten horizontalen Temperaturgradienten entspricht. Diese Situation ist in Bild 14.5 dargestellt: Einer solchen baroklinen Strömung werden jetzt horizontale Wellenst¨ orungen (in der x-y-Ebene!) aufgeprägt, wie im barotropen Fall dargestellt, und untersucht, unter welchen Verhältnissen eine barokline Str¨ omung instabil wird. Ein wesentlicher Parameter f¨ ur die barokline Instabilit¨ at ist nat¨ urlich die Baroklinit¨ at des Grundstromes selbst, ausgedr¨ uckt entweder durch die vertikale Wind-

14.3 Barokline Instabilität z

215

ug ...... ... ..... ... .... ..... . .. ......................... ... ..................... ..... ..... . ... ... ..... ..................... .. . . . . . . . . . . ............ ..... ..... ..... ............................................. .............................................................. ..... ..... ........................ ........... ... ... .. ....................................... ................................................ ..... ..... ..... ... p ... ... ...................... ....... .................. ... ... ... ... .... ... .. ............ . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . ... ....... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .......... . ............. ..... ... .. .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... ..... ..... ..... ..... ............................................... .. ............................................ ... ...... .......................................... ............ ..... ........................ ...... ... ... .............. .. ...... ... . ....... . . .. ... .... ..... . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ... ... ... .. ..... .... .. ................ .......... ..... ..... .... ..... ..... ... ................y ... ..... ..... ..... ..... ..................................................... ..... ..... ..... ........... .... ... ..... ........................... .. .. ........ ........................................... ..... ... .. . ........ ........................................................................................................ K ... ...... . . . . . . . . . . . . ........................... .... ........................... ... ...... ............. ................................................................................................................................ T1 ........................... .. .......................................................................................................... ............. .......................... .......................... T .................................. 2 .......................... . . . ........................... ........................... 3 ........................T W ........................... . T4 ........ x

Bild 14.5 Einfache barokline Strömung mit dazugehörigem Temperaturfeld

scherung oder durch den horizontalen Temperaturgradienten. Ein weiterer Faktor ist der vertikale Temperaturgradient, der ein Maß f¨ ur die statische Stabilit¨ at der Luftmasse ist. Wie weiter unten erläutert wird, spielen Vertikalbewegungen bei der baroklinen Instabilität eine entscheidende Rolle. Diese werden bekanntlich um so mehr unterdr¨ uckt, je stabiler die Atmosphäre geschichtet ist, d. h. je st¨ arker die potentielle Temperatur mit der Höhe zunimmt. Die mathematische Behandlung des Stabilit¨ atsproblems ist im allgemeinen sehr komplex und dann kaum noch mit analytischen Methoden zu behandeln. Im folgenden soll die barokline Instabilit¨ at auf m¨ oglichst einfache Weise untersucht werden, wobei aber bereits die wesentlichen Zusammenh¨ ange deutlich werden, besonders hinsichtlich der Abh¨ angigkeit der Stabilit¨ at von der Baroklinität und der Schichtung des Grundzustandes sowie von der Wellenl¨ ange der aufgeprägten Störungen. Wir gehen dazu von den quasi-geostrophischen Gleichungen aus, n¨ amlich von der Vorticitygleichung (12.11) und dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik (12.12). Diese Gleichungen werden einer Linearisierung unterworfen, wie es in Abschnitt 11.4 bei der linearisierten Vorticitygleichung vorgef¨ uhrt wurde. Dazu ¯ ζ¯g und Abweichungen davon, ¯ g , Φ, werden die Variablen in einen Grundzustand v vg , Φ , ζg , ω aufgespalten, wobei ω ¯ = 0 gewählt wird: ¯ g + vg , vg = v

¯ + Φ , Φ=Φ

ζg = ζ¯g + ζg ,

ω = ω .

Nach der Linearisierung lauten die quasi-geostrophische Vorticitygleichung und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik: ∂ζg ∂ω ¯ g · ∇ζg + vg · ∇ζ¯g + β vg = f0 +v , ∂t ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

¯g · ∇ +v

∂Φ ∂p

+ vg · ∇

¯ ∂Φ ∂p

(14.13)

= −σ0 ω .

(14.14)

216


Zur weiteren Vereinfachung wird jetzt, wie in Bild 14.5 dargestellt, der Grund¯ g so gew¨ strom v ahlt, dass dieser nur von der Vertikalkoordinate abh¨ angt und in Richtung der x-Koordinate verläuft. Es soll also gelten: ⇒

vg = u ¯g i

v¯g = 0 ,

∂u ¯g ∂u ¯g = =0 . ∂x ∂y

⇒

u ¯g = u ¯g (p)

Daraus folgt aber f¨ ur die geostrophische Vorticity des Grundstromes: ∂u ¯g ∂¯ vg ζ¯g = − =0 . ∂x ∂y Wegen der geostrophischen Windbeziehung folgt außerdem f¨ ur das Geopotentialfeld der Grundströmung: ¯ ∂Φ = f0 v¯g = 0 . ∂x Macht man in den linearisierten Gleichungen (14.13) und (14.14) von diesen Voraussetzungen Gebrauch, so erhält man ∂ζg ∂ζg ∂ω +u ¯g + β vg = f0 , ∂t ∂x ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+u ¯g

∂ ∂x

∂Φ ∂p

+ vg

∂ ∂y

¯ ∂Φ ∂p

= −σ0 ω .

onnen wir noch umformen: Den dritten Term im linearisierten Ersten Hauptsatz k¨ vg

(10.7) ¯ ¯ (10.7) ∂ ∂Φ ∂u ¯g ∂Φ 1 ∂Φ ∂ ↓ ↓ ∂ ∂Φ ∂ = = vg f0 u . ¯g = − ¯g = − − vg f0 u ∂y ∂p ∂p ∂y ∂p f0 ∂x ∂p ∂p ∂x

F¨ ur die Vorticity der Störungen f¨ uhren wir die geostrophische Beziehung ein: ζg =

1 2 ∇ Φ , f0

vg =

1 ∂Φ . f0 ∂x

Damit erh¨ alt man die endg¨ ultige Form der linearisierten, quasi-geostrophischen Gleichungen in einer baroklinen Atmosphäre: ∂ 2 ∂ ∂ω ∂Φ ∇ Φ +u = f02 , ¯g ∇2 Φ + β ∂t ∂x ∂x ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+u ¯g

∂ ∂x

∂Φ ∂p

−

∂u ¯g ∂Φ = −σ0 ω . ∂p ∂x

(14.15)

(14.16)

14.3 Barokline Instabilität ..

... ... p ... ... . [hPa] .........

... ... ... ... ... ... .......... ....

217

0 ....................................................... ω0 ......................................................... ¯g1 ..... ..... ..... ..... 250 ..... ..... ..... ..... Φ1 ..... ..... ..... u 500 ....................................................... ω2 ......................................................... ¯g3 ..... ..... ..... ..... 750 ..... ..... ..... ..... Φ3 ..... ..... ..... u

1000 ....................................................... ω4 .........................................................

Bild 14.6 Das Zwei-Schichten-Modell der Atmosphäre

Bevor wir eine weitere Analyse der linearisierten Gleichungen vornehmen, sollen die bestimmenden Faktoren f¨ ur die Störungen herausgestellt werden. Als Grundstrom wird der geostrophische Wind u¯g vorgegeben, wobei dessen H¨ ohenver¨ anderlichkeit ∂ u ¯g /∂p, also die Baroklinität des Grundzustandes, ber¨ ucksichtigt werden kann (im Gegensatz zur barotropen Vorticitygleichung (11.18), welche zur Analyse der Rossby-Wellen verwendet wurde). Als weitere Faktoren spielen die Erdkr¨ ummung, ausgedr¨ uckt durch die Breitenkreisvariation des Coriolis-Parameters β, sowie die statische Stabilität der Atmosphäre u atparameter σ0 ¨ber den Stabilit¨ f¨ ur die Entwicklung von aufgeprägten Störungen eine Rolle. Um eine weitere analytische Behandlung der St¨ orungsgleichungen (14.15) und (14.16) zu erm¨ oglichen, f¨ uhren wir eine weitere Vereinfachung f¨ ur die Atmosph¨ are ein, welche unter dem Begriff Zwei-Schichten-Modell in der Literatur sehr häufig Verwendung findet. Dahinter steht die Vorstellung, dass man die Atmosph¨ are in zwei gleich dicke Luftschichten einteilt, in welchen jeweils die einzelnen Variablen h¨ ohenunabhängig sind, in den beiden Schichten jedoch unterschiedliche Werte aufweisen können. Zur Veranschaulichung ist in Bild 14.6 die Schichtenaufteilung dargestellt, wie sie im p-System u ¨blicherweise vorgenommen wird. Hierbei wird die Atmosphäre in je eine Schicht zwischen der Obergrenze bei p = 0 und p = 500 hPa und zwischen 500 hPa und 1000 hPa aufgeteilt. Die Variablen werden dann wie folgt den Druckfl¨ achen zugeordnet: In der jeweiligen Schichtmitte, also bei 250 hPa und 750 hPa, wird das Geopotential Φ und der geostrophische Wind u¯g als repräsentativ (h¨ ohenkonstant) f¨ ur die Atmosph¨ arenschicht angesehen. Die Vertikalgeschwindigkeit ω wird auf den Begrenzungsfl¨ achen der Schichten, also 0, 500, 1000 hPa, berechnet. Zur weiteren Vereinfachung wird als Randbedingung angenommen, dass die Vertikalgeschwindigkeit an Ober- und Untergrenze der Atmosphäre verschwindet. ω0 = ω4 = 0 . ¨ Außerdem wird eine lineare Anderung aller Variablen zwischen den beiden Schichten angenommen (wie f¨ ur den geostrophischen Wind in Bild 14.5 dargestellt), was f¨ ur das Geopotential Φ und den geostrophischen Wind u¯g in der Fläche 2, in welcher nur die Vertikalgeschwindigkeit ω berechnet wird, zur Folge hat, dass gilt:

218


u ¯g2 =

1 (¯ ug1 + u ¯g3 ) , 2

Φ2 =

1 (Φ + Φ3 ) . 2 1

Um die linearen Gleichungen (14.15) und (14.16) auf eine Zwei-Schichten-Atmosph¨ are anwenden zu können, m¨ ussen die vertikalen Ableitungen durch Differenzen ersetzt werden, wobei im Differentialquotienten ∂p durch Δp = 500 hPa ersetzt wird. Im einzelnen ergibt sich f¨ ur die Vertikalableitung der oben angef¨ uhrten Randbedingungen: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

∂ω ω − ω2 ω − ω0 ω = 0 = 2 = 2 , ∂p 1 p0 − p2 p2 − p0 Δp

∂ω ω − ω4 ω − ω2 ω = 2 = 4 =− 2 . ∂p 3 p2 − p4 p4 − p2 Δp F¨ ur das Geopotential Φ :

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − ⎪ ⎪ −→ = ⎪ . = − ⎪ ⎪ ∂p 2 Δp 2 p1 − p3 Δp ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F¨ ur den thermischen Wind: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ¯g ¯g3 ¯g3 ⎪ Δ¯ ug u ¯g1 − u u ¯g1 − u ⎪ ⎪ ⎪ . −→ = = − ⎪ ⎭ ∂Φ

∂p

ΔΦ

2

Δp

Φ1

2

Φ3

p1 − p3

Φ1

Δp > 0 (= 500 hPa)

Φ3

Δp

Mit diesen Approximationen können die Vorticitygleichung (14.15) f¨ ur die Fl¨ achen 1 und 3 (250 und 750 hPa) sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (14.16) f¨ ur die Fl¨ ache 2 (500 hPa) geschrieben werden: ∂ 2 ∂ ω ∂Φ1 ∇ Φ1 + u = f02 2 , ¯g1 ∇2 Φ1 + β ∂t ∂x ∂x Δp ∂ ω ∂Φ3 ∂ 2 ∇ Φ3 + u = −f02 2 , ¯g3 ∇2 Φ3 + β ∂t ∂x ∂x Δp

(14.17)

1 ∂ ∂ (Φ − Φ3 ) + (¯ ug1 + u ¯g3 ) (Φ1 − Φ3 ) ∂t 1 2 ∂x 1 ∂ − (¯ ug1 − u ¯g3 ) (Φ1 + Φ3 ) = σ0 Δp ω2 . 2 ∂x Damit liefert das Zwei-Schichten-Modell Bestimmungsgleichungen f¨ ur das Geopotential der St¨ orungen in 250 und 750 hPa, sowie die Vertikalgeschwindigkeit ω im 500-hPa-Niveau. (Dieses Zwei-Schichten-Modell ist das einfachste barokline Modell, welches in der numerischen Wettervorhersage verwendet wurde.)

14.3 Barokline Instabilität 14.3.2

219

St¨ orungsanalyse

Zur Untersuchung der Fragestellung, ob eine barokline Grundstr¨ omung gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen instabil wird oder nicht, wird jetzt wie folgt vorgegangen: Es wird eine wellenförmige Störung f¨ ur das Geopotential Φ1 und Φ3 und f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit ω2 angesetzt, wobei zur weiteren Vereinfachung angenommen wird, dass diese nicht von der meridionalen Koordinate y, sondern nur von der zonalen Koordinate x und der Zeit t abh¨ angen soll, also Φ = Φ (x,t), ω = ω(x,t). Daraus ergibt sich f¨ ur Φ : ∂Φ =0 ∂y

⇒

∇2 Φ =

∂ 2 Φ . ∂x2

Wir machen einen komplexen Wellenansatz: Φ1 (x,t) = A1 exp {ik (x − ct)} , Φ3 (x,t) = A3 exp {ik (x − ct)} ,

(14.18)

ω2 (x,t) = A2 exp {ik (x − ct)} mit k = 2π/Lx , wobei Lx die Wellenlänge in x-Richtung ist, und der komplexen Phasengeschwindigkeit c = cr + ici . Der Wellenansatz lässt sich auch so schreiben: Φ (x,t) = A exp {ik (x − cr t − ici t)} = A exp(kci t) exp {ik (x − cr t)} . Hier gibt die zweite Exponentialfunktion den wellenf¨ ormigen Anteil (in komplexer Schreibweise) wieder, während die erste Aufschluss u ¨ber das zeitliche Anwachsen der Str¨ omungsamplitude, d. h. u at, gibt, wie in Abschnitt ¨ber die Instabilit¨ 14.1 erl¨ autert. Wenn man die Wellenansätze (14.18) in die linearisierten Gleichungen (14.17) einsetzt, so erh¨ alt man ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die St¨ orungsamplituden A1 , A2 und A3 , welches nach Zusammenfassen verschiedener Terme folgende Gestalt annimmt: )

*

+

f02 A2 Δp

=0 ,

¯g3 ) k 2 + β A3 − ik (c − u

f02 A2 Δp

=0 ,

ik (c − u ¯g1 ) k 2 + β A1 )

−ik {(c − u ¯g3 )} A1

+ ik {(c − u ¯g1 )} A3

*

(14.19)

− σ0 Δp A2 = 0 .

Da dieses Gleichungssystem homogen ist, existiert nur dann eine L¨ osung, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Aus dieser Forderung erh¨ alt man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die komplexe Phasengeschwindigkeit c, welche lautet:

220


c=u ¯m −

√ β(k 2 + λ2 ) ± δ . 2 2 2 k (k + 2λ )

(14.20)

Hierbei bedeuten δ=

λ2 =

f02 , (Δp)2 σ0

k 2 − 2λ2 β 2 λ4 +u ¯2T 2 , 2 2 + 2λ ) k + 2λ2

k 4 (k 2

1 ug1 + u u ¯m = (¯ ¯g3 ) , 2

1 ug1 − u u ¯T = (¯ ¯g3 ) . 2

u ¯m ist der mittlere geostrophische Wind und u¯T der mittlere thermische Wind zwischen den Fl¨ achen 250 und 750 hPa. Aus (14.20) wird klar, dass eine komplexe Phasengeschwindigkeit (also auch eine Instabilit¨ at) nur dann auftreten kann, wenn δ < 0 wird. Nun ist δ die Abk¨ urzung f¨ ur einen recht komplizierten Zusammenhang zwischen dem thermischen Wind u ¯T , der statischen Stabilität σ0 , dem Beta-Term β und der Wellenzahl k (bzw. der Wellenlänge L = 2π/k). Deshalb soll zun¨ achst ein Spezialfall behandelt werden, nämlich β = 0, d. h. der Einfluss der Erdkr¨ ummung soll vernachl¨ assigt werden. Dann nimmt (14.20) eine einfache Gestalt an:

c=u ¯m ± u ¯T

k 2 − 2λ2 k 2 + 2λ2

f¨ ur β = 0 .

(14.21)

Dann existiert ein Imaginärteil ci , wenn gilt k 2 < 2λ2 oder L2 > 2π 2 /λ2 . Dies bedeutet, dass alle Wellen mit einer Wellenlänge L, welche gr¨ oßer als eine kritische Wellenl¨ ange Lc ist, instabil werden können, d. h. dass ihre St¨ orungsamplitude mit der Zeit anw¨ achst. Aus (14.21) folgt f¨ ur diese kritische Wellenl¨ ange Lc =

√ π Δp π √ 2 = 2σ0 . λ f0

(14.22)

Aus dieser Beziehung geht hervor, dass die kritische Wellenl¨ ange mit zunehmender statischer Stabilität anwächst, oder anders ausgedr¨ uckt, je geringer die urzere Wellen können bereits instabil werden. Diestatische Stabilit¨ at σ0 , desto k¨ ser stabilisierende“ Einfluss der statischen Stabilit¨ at (thermische Schichtung) ” auf k¨ urzere Wellenlängen der Störungen hängt physikalisch mit der D¨ ampfung von Vertikalbewegungen durch eine stabile Luftschichtung zusammen. F¨ ur mittlere atmosphärische Werte der Parameter f0 und σ0 erh¨ alt man f¨ ur die kritische Wellenlänge Lc ≈ 3000 km, also eine Wellenl¨ ange der St¨ orungen, welche im synoptischen Bereich liegt.

14.3 Barokline Instabilität

221

Es soll noch darauf hingewiesen werden, dass f¨ ur den Fall β = 0 die Existenz einer komplexen Phasengeschwindigkeit gemäß (14.21), also die M¨ oglichkeit zu barokliner Instabilität, nicht von der Größe der Baroklinit¨ at selbst (ausgedr¨ uckt durch den thermischen Wind u ¯T ) abhängt. Dieses Verhalten ¨ andert sich, wenn die Erdkr¨ ummung mit ber¨ ucksichtigt wird, d. h. β = 0 gesetzt wird. Dann ergibt sich aus (14.20) und der Definition von δ, dass eine komplexe Phasengeschwindigkeit nur dann auftreten kann, wenn gilt (wegen δ < 0): β 2 λ4 2λ

1±

β2 1− 4 2 4λ u ¯T

.

(14.23)

Da die Wellenzahl bzw. die Wellenlänge aber nicht imagin¨ ar werden darf, muss zus¨ atzlich f¨ ur die Wurzel in (14.23) gelten: |¯ uT | >

β βσ0 (Δp)2 = . 2λ2 2f02

Dies bedeutet, dass der thermische Wind einen von der thermischen Schichtung σ0 und dem β-Term abhängigen Mindestwert u ¨berschreiten muss, damit barokline Instabilit¨ at auftreten kann. Wegen der Bedingung (14.23) kann ein Imagin¨ arteil der Phasengeschwindigkeit, also ein Amplitudenwachstum der St¨ orungen, nicht f¨ ur alle m¨ oglichen Kombinationen von k, β, λ und u ¯T auftreten; vielmehr wird der Wertebereich von ci ≥ 0 durch (14.23) eingeschr¨ ankt. Dies f¨ uhrt insbesondere dazu, dass wegen des β-Effektes nun auch solche Wellen nicht instabil werden können, welche l¨ anger als eine gewisse Wellenlänge L > Lc sind (im Gegensatz zum Fall β = 0 (14.22)!). Der β-Effekt (oder die Breitenver¨ anderlichkeit des Coriolis-Parameters) wirkt sich also stabilisierend auf die langen Wellen in einem baroklinen Grundstrom aus. Das eben Gesagte lässt sich aus (14.23) quantitativ in einen sogenannten Instabilit¨ atsdiagramm darstellen, wobei f¨ ur Kombinationen der Werte der Wellenzahl k bzw. der Wellenlänge L der Störungen und der Baroklinit¨ at u ¯T des Grundstroms der Imaginärteil der Phasengeschwindigkeit berechnet wird, woraus auf ein Amplitudenwachstum und somit auf ein Instabilwerden des Grundzustandes geschlossen werden kann (siehe Bild 14.2). Es ergibt sich schematisch dargestellt das Bild 14.7. Innerhalb des Bereichs ci > 0 ergibt die Stabilit¨ atsuntersuchung, z. B. mit Hilfe des Zwei-Schichten-Modells, eine positive Wachstumsrate der St¨ orungen, was zu einer Instabilit¨ at des Grundstromes f¨ uhrt. Außerhalb dieses Bereiches verh¨ alt sich der barokline Grundstrom stabil gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen. Mit |¯ uT |c ist die kritische Baroklinität bezeichnet, also derjenige Wert des thermischen

222


.. |uT | ...... .. .. ... .. .. . . instabil .. ... ... ... ... ... . . . ... .. ... ... .. ... ci > 0 . ... ... . . ... ... .. ... ... .. . . ... .. .... ... .. .... β–Effekt . . . .. σ–Effekt ...... . ...... . |uT |c .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......................... ... ... ... ... .. ... .. stabil .. ... ... .. .. ... . .................................................................................................................................................... Lc L

Bild 14.7 Schematische Darstellung eines Stabilitätsdiagramms f¨ ur eine barokline Strömung. Stabilisierende Effekte sind die statische Stabilität (σ-Effekt) f¨ ur kurze Wellen und die Kugelgestalt der Erde (βEffekt) f¨ ur lange Wellen. Der Instabilitätsbereich ist durch die Bedingung ci > 0 charakterisiert.

Windes, welcher mindestens notwendig ist, damit Instabilit¨ at eintreten kann. Die Wellenl¨ ange derjenigen Störung, welche bei der kritischen Baroklinit¨ at gerade zur Instabilit¨ at f¨ uhren kann, nennt man kritische Wellenl¨ ange Lc . Die wesentlichen Ursachen, weshalb nicht alle möglichen Wellenlängen zur baroklinen Instabilit¨ at f¨ uhren, sind, wie im Diagramm vermerkt, der Einfluss der thermischen Schichtung (stabile Schichtung ∂θ/∂z > 0) und der Erdkr¨ ummung (β = ∂f /∂y). F¨ ur typische atmosph¨ arische Verhältnisse ergeben sich aus einem Zwei-Schichten-Modell, wie hier vorgef¨ uhrt, f¨ ur |¯ uT |c und Lc : |¯ uT |c ≈ 4 m s−1 −→ u ¯g (250 hPa) − −1 u ¯g (750 hPa) = 8 m s ; Lc ≈ 4000 km . Der kritische thermische Wind von 8 m s−1 zwischen dem 250- und dem 750hPa-Niveau wird in der Atmosphäre praktisch st¨ andig erreicht und meist sogar u ur die Entstehung barokliner ¨bertroffen. Das bedeutet, dass die Bedingungen f¨ Instabilit¨ at in der Atmosphäre immer vorhanden sind. Die kritische Wellenl¨ ange andererseits liegt gerade im Bereich der Größenabmessung synoptischer Systeme, d. h. der Hoch- und Tiefdruckgebiete der mittleren Breiten. Aufgrund der Ergebnisse der Theorie der baroklinen Instabilität ist man seit etwa 1950 zu der Ansicht gelangt, dass die Zyklonen und Antizyklonen durch barokline Instabilit¨ at in den mittleren Breiten der Atmosphäre entstehen. 14.3.3

Erl¨ auterungen zum Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at

Die formale Herleitung der Bedingungen f¨ ur die Instabilit¨ at eines baroklinen Grundzustandes, wie sie im vorangegangenen Abschnitt im Detail diskutiert wurde, gibt Anhaltspunkte dar¨ uber, welche meteorologischen Parameter dabei eine Rolle spielen. Der eigentliche physikalische Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at geht jedoch aus der Beziehung f¨ ur die komplexe Phasengeschwindigkeit der aufgepr¨ agten Anfangsstörungen (14.20) nicht hervor. Die Entwicklung von Tiefdruckgebieten (Zyklonen) aus einer schwachen Anfangsst¨ orung heraus ist allerdings auch kein trivialer Vorgang, da es dabei zu einer r¨ aumlichen und zeit-


223

lichen Umstrukturierung von Druck-, Temperatur- und Geschwindigkeitsfeldern kommt, wie dies z.B. ausf¨ uhrlich in den im Literaturverzeichnis genannten Monographien von Bluestein und Carlson beschrieben wird. An dieser Stelle soll dagegen nur versucht werden, den grundlegenden Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at nahe zu bringen.

Bild 14.8 Verhalten eines Luftpaketes (x) in einem baroklinen Grundstrom bei Auslenkung aus seiner Gleichgewichtslage (Höhe zp ) in die Positionen A, B, C bzw. A’, B’, C’. Vertikale Pfeile: Bewegungsrichtung, verursacht durch Auftriebskraft; horizontale Pfeile: Bewegungsrichtung, verursacht durch Coriolis- und Druckkraft. F¨ ur die Linien gleicher potentieller Temperatur gilt: θ3 > θ2 > θ1 .

Der Begriff Instabilität bezieht sich immer auf einen Grundzustand, welchem eine St¨ orung aufgeprägt wird. Der Grundzustand selbst wird hier durch eine barokline Atmosph¨ are gegeben. Dies bedeutet, dass die Atmosph¨ are sich zum einen im hydrostatischen Gleichgewicht, zum anderen gem¨ aß der thermischen Windbeziehung im geostrophischen Gleichgewicht befindet. Dieser Gleichgewichtszustand ist nun f¨ ur gewisse Werte der vertikalen Temperaturschichtung und des thermischen Windes gegen¨ uber aufgeprägten Störungen (Wellen) stabil, in anderen Fällen instabil, d. h. das geostrophische und hydrostatische Gleichgewicht kann nicht mehr aufrecht erhalten werden. Um dies zu veranschaulichen, machen wir von der Methode der Auslenkung einzelner Luftpakete aus ihrer Gleichgewichtslage heraus Gebrauch, wie es schon zur Herleitung der statischen Stabilit¨ at in Abschnitt 6.4 vorgef¨ uhrt wurde. Der Grundzustand der einfachen baroklinen Atmosph¨ are, wie sie in Abschnitt 14.3.1 definiert wurde, ist anhand der Isentropen noch einmal in Bild 14.8 dargestellt. In der Vertikalen ist die Atmosph¨ are stabil

224


geschichtet, d.h. es gilt ∂θ/∂z > 0. In der Meridionalen herrscht ein h¨ ohenkonstanter horizontaler Temperaturgradient ∂θ/∂y < 0, welcher das u ¨bliche Tem¨ peraturgef¨ alle zwischen Aquator und Pol darstellen soll. Wegen der thermischen Windbeziehung (siehe Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 10.2) ∂ug g ∂θ ≈− ∂z f θ ∂y herrscht ein mit der Höhe zunehmender zonaler geostrophischer Westwind (in Bild 14.8 aus der Bildebene heraus wehend). Physikalisch entspricht der thermische Wind gerade dem Gleichgewicht zwischen Corioliskraft und Druckkraft in jedem H¨ ohenniveau. Die hier dargestellte Konfiguration der Isentropen kann nur in einem rotierenden System (durch die Wirkung der Corioliskraft) im Gleichgewicht gehalten werden. Im nicht-rotierenden System w¨ urde entsprechend der Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 9.3 ein horizontaler Temperaturgradient unmittelbar zu Str¨ omungen meridionaler Richtung f¨ uhren (siehe auch Bild 9.5). Es soll jetzt ein Luftpaket betrachtet werden, welches aus seiner Gleichgewichtslage (als x in Bild 14.8 gekennzeichnet) in verschiedene Positionen oberhalb (A, B, C) oder unterhalb A’, B’, C’) seiner Ausgangsh¨ ohe zp ausgelenkt wird. Entsprechend der Ausf¨ uhrungen zur statischen Stabilit¨ at in Abschnitt 6.4 und zum ageostrophischen Wind in Abschnitt 12.3 erfährt das Partikel nach seiner Auslenkung folgende Beschleunigungen:

dw dt dv in y-Richtung : dt

in z-Richtung :

=

g (θp − θu ) θp

= −f (up − ug ) .

(14.24) (14.25)

Mit θu und ug werden potentielle Temperatur und zonale geostrophische Windgeschwindigkeit des Grundzustandes bezeichnet. Dabei ist vorausgesetzt worden, dass es sich um einen adiabatischen Vorgang handelt, d.h. es gilt dθp /dt = 0, wobei θp die potentielle Temperatur des Luftpartikels ist. Ferner wurde angenommen, dass das Luftpaket seine zonale Gleichgewichtsgeschwindigkeit (up ) zunächst beibeh¨ alt. Betrachten wir zunächst nur den Einfluss der Auftriebskr¨ afte. Nach der Auslenkung in Position A bzw. A’ ist das Partikel jeweils k¨ alter bzw. w¨ armer als die Umgebungsluft. Demzufolge erfährt es jeweils eine Beschleunigung in Richtung auf seine Gleichgewichtslage. Dieser Fall ist bereits in Abschnitt 6.4 ausf¨ uhrlich diskutiert worden. Wird das Partikel entlang seiner Ausgangsisentrope verschoben (Position B und B’), so entspricht seine Temperatur θp jeweils der Umgebungsluft und es treten keine Auftriebskräfte auf. Diesen Fall hatten wir als neutrale Gleichgewichtslage bezeichnet.


225

Interessant sind jetzt die Fälle C und C’. Bei der Anhebung in die Position C findet sich das Luftpaket in einer kälteren Umgebungsluft, was zu einer aufsteigenden Bewegung f¨ uhrt, womit sich das Luftpaket weiter von seiner Gleichgewichtslage entfernt. Diesen Fall hatten wir in Abschnitt 6.4 als labiles oder instabiles Gleichgewicht bezeichnet. F¨ ur die Auslenkung nach unten auf Position C’ ergibt sich analog, dass das Partikel in wärmere Umgebungsluft ger¨ at, somit absinkt und sich dabei ebenfalls weiter vom Gleichgewichtsniveau entfernt. Auch diese Verlagerung f¨ uhrt zu einem instabilen Verhalten. Aus Bild 14.8 kann man nun erkennen, dass sich das Luftpaket immer dann von seiner Gleichgewichtslage entfernt, wenn es in einen Bereich ausgelenkt wird, der zwischen seiner Ausgangsisentrope (hier θ2 ) und seiner Ausgangsh¨ ohe zp liegt. Dieser Bereich ist durch den Winkel α in Bild 14.8 gekennzeichnet. Man kann also formulieren, dass eine barokline Grundströmung statisch instabil werden kann, wenn die Auslenkung von Luftpaketen nicht nur in vertikaler, sondern auch in meridionaler Richtung erfolgt. Betrachten wir neben diesem statischen Effekt noch den Tr¨ agheitseffekt, der dadurch entsteht, dass das betrachtete Luftpaket auch noch eine zonale Gleichgewichtsgeschwindigkeit up = ug (zp ) besitzt. Bei einer Anhebung in die Position A, B, C kommt das Partikel in eine Umgebung, die einen geostrophischen Wind ug aufweist, der gr¨ oßer ist als seine Ausgangsgeschwindigkeit up . Hinsichtlich des Kräftegleichgewichts ist somit die Corioliskraft geringer als die (in y-Richtung wirkende) Druckkraft. Entsprechend (14.25) wird das Luftpaket in allen Positionen in positive y-Richtung (d.h. nach Norden) beschleunigt, wie anhand der Pfeile in Bild 14.8 symbolisiert ist. F¨ ur eine Auslenkung in tiefere Luftschichten (A’, B’, C’) gilt das Umgekehrte. Das Partikel hat eine h¨ ohere zonale Geschwindigkeit als der geostrophische Wind der Umgebungsluft. Somit ist die Corioliskraft gr¨ oßer als die Druckkraft und das Partikel wird entsprechend (14.25) in die negative y-Richtung (nach S¨ uden) beschleunigt. Der soeben geschilderte Trägheitseffekt f¨ uhrt insbesondere in den bereits statisch instabilen Positionen C und C’ dazu, dass das Partikel eine zus¨ atzliche Anfangsbeschleunigung von seiner Gleichgewichtslage weg erf¨ ahrt, die den Effekt der Instabilit¨ at noch verstärkt. Es seien zum Schluss dieser einfachen Stabilitätsanalyse noch zwei Grenzf¨ alle betrachtet. (a) α = 0 , d.h. ∂θ/∂y = 0 . In diesem Fall liegen die Isentropen parallel zur y-Achse, womit der thermische Wind verschwindet. Man hat dann den klassischen Fall einer stabil geschichteten barotropen Atmosphäre, und keine horizontale oder vertikale Auslenkung eines Luftpaketes f¨ uhrt zu einer Instabilität. (b) α = 90◦ , d.h. ∂θ/∂z = 0 . In diesem Fall stehen die Isentropen senkrecht auf der y-Achse, die Atmosph¨ are ist somit neutral geschichtet. Bei jeder Auslenkung in der Horizontalen findet sich ein Luftpaket in einer Umgebungstemperatur, welche entsprechend (14.24) zum Absinken bzw. Aufsteigen und somit zum Entfernen von seiner Gleichgewichts-

226


lage f¨ uhrt. Bei Auslenkung in der Vertikalen erf¨ ahrt das Partikel nat¨ urlich keine Auftriebskraft (neutrale Schichtung). Jedoch f¨ uhrt der Tr¨ agheitseffekt (Gleichung 14.25) sofort zu einer horizontalen Auslenkung und somit in eine instabile Gleichgewichtslage. Diese Situation ist somit in Bezug auf einzelne Luftpakete immer baroklin instabil und f¨ uhrt selbst bei kleinsten Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage zur Instabilität. Die hier angestellten einfachen Betrachtungen zur physikalischen Ursache der baroklinen Instabilität können allerdings nur einen ersten Anhaltspunkt zum Verst¨ andnis dieser Instabilit¨ at liefern. In der realen Atmosph¨ are muss man bei der Verlagerung von Luftpaketen immer das Kontinuum Luft als Ganzes betrachten. Umlagerungen bestehen dabei immer aus komplexen Verkn¨ upfungen der Felder von Temperatur, Dichte, Druck und Geschwindigkeit, was eine einfache anschauliche Interpretation der tatsächlichen Vorgänge bei der baroklinen Instabilit¨ at und der damit verbundenen Zyklonenentstehung sehr erschwert. Dem interessierten Leser seien hierzu die ausf¨ uhrlichen Darstellungen in den Monographien von Bluestein und Carlson (siehe Literaturverzeichnis) empfohlen. Im Fall der baroklinen Instabilität kommt es zu einer Umstrukturierung der ¨ urspr¨ unglichen Grundströmung durch Uberlagerung und Verst¨ arkung von Zyklonenwellen. Hinsichtlich der Energie dieses Grundzustandes ist uns aus Kapitel 6 von der Betrachtung der statischen Atmosphäre bekannt, dass eine Atmosph¨ are mit horizontalen Temperaturgradienten potentielle und innere Energie besitzt, die in Bewegung umgesetzt werden kann. Die Summe dieser beiden Energieformen wird auch als totale potentielle Energie bezeichnet. Dies ist nun auch die Quelle, aus welcher die St¨ orungen ihre Energie gewinnen, welche zu einem Amplitudenwachstum notwendig ist. Dies geschieht dadurch, dass durch die ageostrophischen Windkomponenten der aufgepr¨ agten Wellen, Meridionalgeschwindigkeit v und Vertikalgeschwindigkeit ω, der Temperaturgradient des baroklinen Grundzustandes abgebaut wird, was zu einer Verminderung der totalen potentiellen Energie der Grundströmung zugunsten der totalen potentiellen Energie der St¨ orungen f¨ uhrt. Dies geschieht im wesentlichen durch Aufgleitund Hebungsvorgänge im synoptischen Bereich, d. h. durch großr¨ aumiges Absinken von Kaltluft und Aufsteigen von Warmluft. Schematisch ist dieser Umwandlungsprozess in Bild 14.9 dargestellt. Allerdings kommt es in der Natur nie zu einem vollst¨ andigen Abbau des horizontalen Temperaturgradienten wie in (c) skizziert. Im wesentlichen wird bei barokliner Instabilit¨ at der horizontale Temperaturgegensatz der Grundströmung, und damit deren Baroklinit¨ at, abgebaut. Daf¨ ur baut sich in den Störungen ein Temperaturgradient auf (Temperaturasymmetrie der Zyklonen), was eine Baroklinität und somit totale potentielle Energie in den Störungen selbst erzeugt. Diese Energie der Störungen wird nun ihrerseits in kinetische Energie umgewandelt, was sich im Ausbau eines Geschwindigkeitsfeldes der baroklinen Wellen auswirkt. Insgesamt hat man bei der baroklinen Instabilit¨ at die in Bild 14.10 aufgef¨ uhrten Energieumwandlungen.

14.4 Kleinr¨ aumige Instabilitäten

227

p ....... p ...... p ...... ... . ... . . . . . . . . . ............. θ3 .. ........................ .............................. θ3 .... ..................................................................................................................................... θ . .... ....................................... ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .... ............................. .... ........................................... .... . . ... . .. .. .. . . . ....................... θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . θ2 .. ..................................................................................................................................... θ .................... .... ............................................................................................................. 2 .. W ............................................. .... ... .. K . ... . . . . .... . . .................. θ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............................................................................................................. θ1 .... ..................................................................................................................................... θ1 .... ............................................................................................ .. . .... .... ... ...................................................................................... y ........................................................................................ y ........................................................................................ y (a) (c) (b) Bild 14.9 (a) barokliner Grundzustand mit ∇h θ = 0, ∂θ/∂z > 0, (b) Vertikalzirkulation bei barokliner Instabilität, (c) Grundzustand nach barokliner Umwandlung

F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Behandlung der Energieumwandlungen bei barokliner Instabilit¨ at (Zyklogenese) sei auf die im Literaturverzeichnis zitierten B¨ ucher verwiesen. Das formale Vorgehen ist dabei ähnlich der Aufstellung von Energiegleichungen, die in Abschnitt 12.6 exemplarisch durchgef¨ uhrt wurde.

14.4

Kleinr¨ aumige Instabilit¨ aten

In den vorangegangenen Abschnitten wurde das Stabilit¨ atsverhalten großr¨ aumiger atmosph¨ arischer Strömungen im Zusammenhang mit der Zyklogenese untersucht. Dabei spielten die Erdrotation und der β-Effekt eine wichtige Rolle. Nun beobachtet man in der Atmosphäre aber häufig auch Instabilit¨ atsph¨ anomene auf sehr kleinen Skalen, etwa im Bereich von wenigen Kilometern Ausdehnung, wobei sich die Grundstr¨ omung nicht im geostrophischen Gleichgewicht befinden muss. Wir wollen uns daher zum Schluss dieses Kapitels u aten mit solchen ¨ber Instabilit¨ kleinr¨ aumigen Ph¨ anomenen befassen. Als Grundzustand wählen wir ein mittleres Windprofil u¯(z) und ein Tempe¯ raturprofil θ(z) und betrachten die Stabilität dieser Grundstr¨ omung in einer xz-Ebene (Vertikalebene). Die Herleitung der Störungsgleichungen soll an dieser Stelle nicht erfolgen; im Prinzip geht man von denselben Gleichungen aus, wie sie mit (13.24)–(13.27) auch schon bei der Behandlung der internen Schwerewellen verwendet wurden. Es muss jetzt lediglich zusätzlich die H¨ ohenabh¨ angigkeit der Wind- und Temperaturprofile ber¨ ucksichtigt werden. Dies f¨ uhrt, wie in Abschnitt ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

¯p , E ¯i E

Ep , Ei

=⇒

Grundstrom

=⇒

St¨ orungen

t

Ek

Bild 14.10 Energieumwandlungen bei barokliner Instabilität. Ep bezeichnet die potentielle, Ei die innere und Ek die kinetische Energie.

228


13.3 ausgef¨ uhrt, auf die Taylor-Goldstein-Gleichung (13.54), die hier noch einmal wiederholt sei:

2

(¯ u(z) − c)

∂ 2 w0 ¯ ∂2u − k 2 w0 − (¯ u(z) − c) w0 + N 2 (z) w0 = 0 . 2 ∂z ∂z 2

(14.26)

Hierbei war f¨ ur die wellenförmige Anfangsstörung der Vertikalgeschwindigkeit der Ansatz w (x,y,z,t) = w0 (z) exp [ik(x − ct)] gemacht worden; w0 (z) bezeichnet die Störungsamplitude, k = 2π/L die Wellenzahl und c = cr + ici die komplexe Phasengeschwindigkeit (analog zum Ansatz (14.7) f¨ ur die Stromfunktion bei der barotropen Instabilit¨ at). Die Bestimmung des Imaginärteils der Phasengeschwindigkeit f¨ ur beliebige ¯ Profile u ¯(z) und θ(z) ist auf analytischem Wege meist nicht m¨ oglich. Aber wie schon bei der Rayleigh-Gleichung (14.9) lassen sich einige allgemeine Aussagen treffen. Dazu betrachten wir zunächst eine neutral geschichtete Str¨ omung, d. h. ¯ ∂ θ/∂z = 0, so dass N 2 = 0 gilt. Damit reduziert sich (14.26) zu

(¯ u(z) − c)

∂ 2 w0 ¯ ∂2u − k 2 w0 − 2 w0 = 0 . 2 ∂z ∂z

(14.27)

(14.27) hat damit die gleiche Struktur wie die Rayleigh-Gleichung (14.9), wenn man dort f¨ ur die Vorticity des Grundstroms die Beziehung (14.12) einsetzt. In der Tat ist (14.27) die Rayleigh-Gleichung f¨ ur eine ebene Scherstr¨ omung in der x-z-Ebene. (14.9) war f¨ ur eine Strömung in der x-y-Ebene mit dem Grundstrom u ¯(y) aufgestellt worden. Mithin gilt das in Hinblick auf die barotrope Instabilit¨ at Gesagte auch f¨ ur eine Scherstr¨ omung mit u ¯(z). Insbesondere lassen sich die Aussagen aus Bild 14.3 hinsichtlich der Wendepunktstabilität auf kleinr¨ aumige vertikale Scherstr¨ omungen u ohenkoordinate z ¨bertragen, wenn man dort die Ordinate y durch die H¨ ersetzt. Demzufolge kann eine Scherströmung u ¯(z) instabil werden, wenn im vertikalen Windprofil ein Wendepunkt ∂ 2 u ¯/∂z 2 = 0 existiert. Windprofile, die wie in Bild 14.3 (b) ein Windmaximum besitzen, nennt man auch Strahlstr¨ ome (engl. jet streams). Diese kommen z. B. in der atmosphärischen Grenzschicht oder im Bereich der Tropopause vor. Dort f¨ uhren sie zu Instabilit¨ aten, die in der Luftfahrt unter dem Begriff Clear Air Turbulence bekannt sind. Nun ist die reale freie Atmosphäre praktisch immer stabil geschichtet, so dass ¯ ∂ θ/∂z > 0 und somit N 2 > 0 gilt. Daher muss (14.26) anstelle von (14.27) herangezogen werden. Die Aussagen zu Windprofilen mit einem Wendepunkt, die ja im neutralen Fall die Ausbildung von Instabilit¨ aten hervorrufen, gelten nach wie vor – jedoch hat eine stabile Schichtung die Eigenschaft, Vertikalbewegungen zu unterdr¨ ucken. Folglich ist zu erwarten, dass bei stabiler Schichtung (N 2 > 0)

14.4 Kleinr¨ aumige Instabilitäten

229

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .. ........ . . . . . . . . . . . . . ........ .......... . . . . . . ............ ........ . . . . . . . . . ... .................................................................... .... ............... ............ .... . ................................ . . . ..... ... . . . . . . . . . .................... .......................................... .................................... ...................................... ............................ .................................... ........... . . . . . ............ ..... . . . . . . ... . . .... ...... ....................................... ............. .... .................... ..................................... ..... . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . ..... ................................ ............................. ............ ...................................... ................... ................................... ................................. .................................................. ................................ .... ............................... .............. ....................................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... ............. . ....... ............ ................... .... ........................ ..................................... ................ .... ............................................ ........................... ................................................ ................................................................................... . .............................. .. . . . . .. .... . . . . . ..... ..... . . . . . . . .... ............ ................................ .................... .... ........................................................................ ............................ ...................................................................................................................... .................................................................................................................. ............................................... . . . . . . . . . . ... ........................................................................ .................................................................................................................. ............................................... . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... ............................................................................. ........................................... ........................ ........................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .... . . . . . . . . . . . . . ......... ............................................. ............................................................... ...................... ...................................... ........... . . . . . . . . .......... ............. . . . . . . . . . . . . . . . ............... .......................... ............. . . . . ........ ........................................................... .................................................................................................... ........................................... .........................

........ x Bild 14.11 Die Entwicklung von Kelvin-Helmholtz-Wellen mit Ausbildung sogenannter Katzenaugen

die Amplituden w0 der Instabilitäten gegen¨ uber dem neutralen Fall (N = 0) ¨ gedämpft werden. Bei Uberschreiten eines gewissen kritischen Temperaturgradienten, N > Nkrit , wird die dämpfende Wirkung so stark sein, dass keine Instabilitäten auftreten, also auch eine Strömung mit einem Wendepunkt im Windprofil stabil bleibt. Man hat herausgefunden, dass dies der Fall ist, wenn im Bereich des Wendepunktes folgende Ungleichung erf¨ ullt ist: Ri =

N2 > 0,25 . ∂u ¯ 2 ∂z

(14.28)

Das in (14.28) definierte quadratische Verhältnis der Brunt-Vaisala-Frequenz zur Windscherung nennt man auch Richardson-Zahl und bezeichnet sie mit Ri. Auf diese Maßzahl wird in Abschnitt 20.4 noch näher eingegangen. Umgekehrt l¨ asst sich aus (14.28) schließen, dass f¨ ur Ri < 0,25 eine stabil geschichtete Scherströmung instabil werden kann, wenn ein Wendepunkt im Grundstromprofil vorhanden ist. Die unter solchen Umst¨ anden entstehenden Instabilitäten bezeichnet man auch als Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ aten oder Kelvin-Helmholtz-Wellen. In der Atmosphäre (und auch im Ozean sowie in Laborströmungen) haben Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ aten die Form sogenannter Katzenaugen oder im späten Entwicklungsstadium diejenige brechender Meereswellen. In Bild 14.11 sind einige Wellenformen schematisch dargestellt. Kelvin-Helmholtz-Wellen stellen eine der häufigsten Instabilit¨ atsformen kleinr¨ aumiger atmosph¨ arischer Str¨ omungen dar. Betrachten wir zum Schluss den Fall einer ruhenden Atmosph¨ are (¯ u = 0) bei höhenkonstanter Brunt-Vaisala-Frequenz N , dann vereinfacht sich die TaylorGoldstein-Gleichung (14.26) zu (−c2 k 2 + N 2 ) w0 = 0 . F¨ ur den Fall einer stabil geschichteten Atmosphäre ergibt sich mit c=±

N k

c reell

(14.29) N2

> 0 daraus

230

14 Instabilit~ten und Zyklogenese

Bild 14.12 Aufsicht und Querschnitte dutch geschlossene und offene Konvektionszellen. Grau: Wolken, Pfeile: Zirkulation. und damit nichts anderes als die Phasenbeziehung fiir interne Schwerewellen (13.35) fiir ~, 0. Fiir eine labil geschichtete Atmosph~tre mit O0/Oz < 0, also N 2 < 0 ergibt sich hingegen c

+

i Ix21 ~7

+i

c

irnaginS~r.

Damit ergibt sich ein nichtverschwindender hnaginS~rteil der Phasengeschwindigkeit und entsprechend den Aussagen aus Abschnitt 14.1 eine Instabilit~t des Grundstroms: Diese in einem labil geschichteten Medium auftretende Instabilit~t nennt man aueh k o n v e k t i v e Instabilit~it (thermische Konvektion) oder R a y l e i g h - T a y l o r - I n s t a b i l i t f i t . Sie ist praktisch die Ursache fur die Entstehung s~mtlieher Wolkenfbrmen, die dureh aufsteigende Warmluft gebildet werden. Beispiele fiir die versehiedenen Wolkenstrukturen, die sich dabei ausbilden kSnnen (Zellenmuster, Wolkenbgnder), sind im Satellitenbild am Anfang dieses Buches zu sehen. Die Zirkulation in solehen Konvektionszellen ist schematisch in Bild 14.12 dargestellt.

15 Wirbeldynamik 15.1

Wirbel in der Atmosph¨ are

Die markantesten atmosphärischen Bewegungsformen sind St¨ urme wie Orkan, Hurrikan oder Tornado, in denen sehr hohe Windgeschwindigkeiten auftreten können. Diesen Phänomenen ist gemeinsam, dass es sich dabei um Wirbel unterschiedlicher Größe handelt. In der nachstehenden Tabelle sind einige atmosphärische Wirbelformen und deren Charakteristika aufgef¨ uhrt. Bezeichnung Tiefdruckgebiet Hurrikan Orographischer Wirbel Tornado Staubteufel

Durchmesser (km) 2000 500 50 1 0.1

Lebensdauer 4d 10d 1d 1h 1 min.

Geschwindigkeit (ms−1 ) 20 80 5 100 10

Tabelle 15.1 Beispiele f¨ ur Wirbel in der Atmosph¨ are Auf dem Satellitenfoto 15.1 kann man die Wirbelstruktur eines Tiefdruckgebietes anhand der spiralförmigen Anordnung von Wolkenfeldern erkennen.

Bild 15.1

Tiefdruckgebiet (Zyklone) im Satellitenbild.

232

15.2

15 Wirbeldynamik

Die Wirbelgleichung

In einigen Wirbeln (Hurrikan, Tornado) erreichen die Windgeschwindigkeiten Sturmst¨ arke. Die interessante Frage bei diesen St¨ urmen ist, wie es zu einer solchen Verst¨ arkung der Windgeschwindigkeiten kommen kann. Es soll daher im folgenden die Dynamik von Wirbeln näher untersucht werden. Am besten eignet sich daf¨ ur die Rotation: ω =∇×v mit den horizontalen Komponenten ωx , ωy und der vertikalen Komponente ωz . ¨ Man erh¨ alt eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung der Rotation (im folgenden dem internationalen Sprachgebrauch folgend auch als Vorticity bezeichnet), in dem der Operator ∇× auf die Boussinesq-Form der Bewegungsgleichung angewandt wird. Unter Voraussetzung einer konstanten Dichte ρ0 ergaben sich als Bewegungsgleichung (12.39) und als Kontinuitätsgleichung (12.42): ∂v 1 θ∗ g k − ∇p∗ + v · ∇v + 2Ω × v = ∂t θ0 ρ0 sowie ∇ · v = 0. Zunächst soll der Advektionsterm umgeformt werden. v · ∇v = ω × v + ∇

v2 . 2

(15.1)

Damit l¨ asst sich die Bewegungsgleichung schreiben als:

p∗ v 2 θ∗ ∂v + (ω + 2Ω) × v = gk−∇ + ∂t θ0 ρ0 2

.

(15.2)

Im weiteren wird die absolute Vorticity η = ω + 2Ω eingef¨ uhrt. Nach Anwendung des Rotationsoperators ∇× auf (15.2) ergibt sich nach Regeln der Vektoranalysis: ∂ ∇ × v + η ∇ · v + v · ∇η − v∇ · η − η · ∇v ∂t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

p∗ v 2 g = − k × ∇ θ∗ − ∇ × ∇ + θ0 ρ0 2

(6)

.

(7)

Term 2 entf¨ allt wegen ∇ · v = 0 und Term 7 da die Rotation eines Gradienten verschwindet. In Term 1 lässt sich die Vorticity ω einf¨ uhren. Term 4 l¨ asst sich schreiben als: v∇ · η = v∇ · ω + v∇ · 2Ω .

15.3 Mechanismen der Wirbelbildung

233

Der erste Term auf der rechten Seite entfällt wegen ∇ · ω = ∇ · ∇ × v = 0, der zweite Term wegen ∇ · 2Ω = 0 da Ω konstant ist. Somit verbleibt: ∂ω g k × ∇θ∗ . + v · ∇ω + v · ∇2Ω = ω · ∇v + 2Ω · ∇v − ∂t θ0

(15.3)

Dies ist die Boussinesq-Approximation der Vorticity Gleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung. In ihr treten bis auf die erst in Kapitel 18 behandelte ¨ Reibung alle Mechanismen auf, die zu einer zeitlichen Anderung der Vorticity (Verst¨ arkung oder Abschwächung) f¨ uhren. Diese sollen im folgenden Abschnitt näher diskutiert werden.

15.3

Mechanismen der Wirbelbildung

Zur weiteren Diskussion der verschiedenen Mechanismen der Vorticity¨ anderung soll die Vektorgleichung (15.3) aufgespalten werden in eine vertikale Komponente ωz (welche der in Kapitel 11.1 behandelten Vorticity ζ entspricht) und einen horizontalen Anteil ω h = ωx i + ωy j. Es ergeben sich mit 2Ω = f :

dωz ∂f +v dt ∂y dω h dt

∂w ∂z ∂vh g = ω · ∇vh + f − k × ∇h θ∗ . ∂z θ0

= ω · ∇w + f

(15.4) (15.5)

F¨ ur den Fall einer rein horizontalen Strömung (w = 0) ergibt sich aus (15.4) die bereits aus Kapitel 11.1 bekannte barotrope Vorticitygleichung (dort ist : ωz = ζ). Die Vorticity Gleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung (11.14), wie sie in Kapitel 11.3 behandelt wurde, ergibt sich aus (15.4) nach Umformung der rechten Seite: ω · ∇w + f

∂w ∂z

∂w ∂w +f ∂z ∂z ∂w = ω h · ∇h w + (ωz + f ) . ∂z = ω h · ∇h w + ωz

Der zweite Term l¨ asst sich wegen ∇·v = ∇h ·vh +∂w/∂z = 0 in −(ωz +f )∇h ·vh umformen und entspricht somit dem Divergenzterm in (11.14). Der Term ω h ·∇h w entspricht dem Twisting-Term in Gleichung (11.14). Ein Solenoidterm, welcher die Baroklinität der Str¨ omung beschreibt, tritt in der Boussinesq-Form der Vorticity Gleichung nicht auf. Stattdessen machen sich horizontale Temperaturunterschiede in der Gleichung f¨ ur die Horizontalkomponente ω h der Vorticity (15.5) bemerkbar. Dies soll im Weiteren erl¨ autert werden. Nehmen wir vereinfacht an, dass der horizontale Vorticityvektor in x-Richtung weist. Dann ergibt sich f¨ ur die Wirkung des Auftriebsterms aus (15.5):

234

15 Wirbeldynamik dwx g 00* g O0 ---dt Oo Oy Oo Oq

(15.6)

Wenn kein horizontaler Temperaturgradient vorliegt, d.h. 0 0 / 0 y 0 , kann keine horizontale Vorticity erzeugt werden. Bei Vorhandensein eines horizontalen Temperaturgradienten /indert sich die Vorticity wie in Bild (15.2) dargestellt. Dabei ist, generell gesprochen, der Drehsinn so gerichtet, dass durch Str6nmng ein horizontaler Temperaturausgleich erreicht wird. K6nnen sich Temperaturunterschiede auch auf die vertikale Vorticity Wz auswirken? Zun~tchst kann dies nicht direkt geschehen, da in der entsprechenden Gleichung (15.4) kein Auftriebsterm erscheint. Betrachten wir im Folgenden zur Vereinfachung eine Str6mung, die nicht von der Erdrotation beeinflusst wird (also z.B. kleinr~tumige Stramung wie Kunmluswolken). Dann 1/isst sich (15.4) nfit den vorher gemachten Umformungen fiir den Term co 9 V w schreiben: d6oz

~zu

83 N

02 1

u Bild 15.2

/

Produktion von horizontaler Vorticity dutch Temperaturunterschiede.

Auf der rechten Seite tritt der Term cob 9 Vh w auf, welcher die horizontale Vorticity cob enthfilt, die durch Temperaturunterschiede produziert werden kann. Die Deutung dieses sogenannten ,,Twisting-Term" oder ,,Dreh-Term" 1/isst sich wieder fiir den einfachen Fall darstellen, dass cob in x-Richtung zeigt: dwz dt

--

Ow Ox

~x)x__

In Bild (15.3) ist die geometrische Deutung dieses Terms dargestellt. Ger~tt ein zun/i(',hst horizontal liegender Vorticityvektor in ein vertikales Windt~ld, welches sich in Richtung des Vorticityvektors/indert, so wird der Vektor in die Vertikale gedreht (deshalb auch der Name Drehterm). Der Vorticityvektor hat danach eine vertikale Komponente Wz w/ihrend die horizontale Komponente Wx verkleinert wird. Dieser Mechanismus spielt bei der Entstehung yon Wirbeln mit vertikaler

15.3 Mechanismen der Wirbelbildung

Z'

@

235

Z/

@ ~0z

~z

X

>

•

>

Bild 15.3 ~:irkung des Drehterms auf die Anderung der vertikalen Vorticity wz 9(a): Anfangszustand (t to), (b): sp~terer Zustand (t > to).

Achse (z.B. Staubteutbl, Tornado) eine wichtige Rolle im Zusammenspiel mit dem 2. Term auf der rechten Seite yon (15.7). Dieser Term verst/irkt die vertikale Komponente der Vorticity entsprechend: do3 z

Ow

- -UJzVh - vh 9 (15.8) dt Oz Wenn ein Wirbel in ein Aufwindfeld ger/~t, welches mit der H6he zunimmt (Ow/Oz > 0), so wird die anfiinglieh vorhandene Vorticity cv~ verst~trkt. Da die VertikMstr6mung in Riehtung der Wirbelkomponente azz erfblgt, nennt man diesen Term auch ,Streckungs-Term" oder ,Dehnungs-Term". Alternativ 1/isst sich die vertikale Divergenz (Konvergenz) in 15.8 mittels der Kontinuit/itsgleichung aueh dureh eine horizontMe Konvergenz (Divergenz) darstellen. Ansehaulieh ist dieser Effekt der Wirbelverst/irkung in Bild 15.4 dargestellt. Der Streckungs-Effekt bzw. Divergenz-Effekt ist der wichtigste Mechanismus zur Verst/irkung von vertikMer Vortieity. Damit dieser wirksam wird, muss bereits eine Vorticity azz vorhanden sein. Da in einem nicht rotierenden System ffir azz keine Quelle existiert (siehe 15.4), muss eine anfiingliche vertikale Vorticity u2~ aus der horizontalen Vorticity wh mittels des Drehterms wh 9 V h w erzeugt werden (siehe 15.7). Zum Abschluss dieses Kapitels zur Wirbeldynamik soll noch der Einfluss der Erdrotation beleuchtet werden. Dieser wirkt fiber den Coriolisparameter f in Gleichungen (15.4, 15.5). In (15.4) taucht f im Beta-Term auf der linken Seite auf und bewirkt die bereits in Abschnitt (11.4) behandelten Rossby-Wellen. Auf der rechten Seite wirkt die Erdrotation durch:

~tt

- ~z

_ f0'w Oz = - f V h - v h .

(15.9)

Von der Struktur her ist dies mit (15.8) vergleiehbar und der Term auf der reehten Seite Mmn als Streekungsterm bzw. Divergenz bezeiehnet werden. Hier wirken

236

15 Wirbeldynamik

diese Terme aber als richtige Quellen zur Verstärkung (oder Abschw¨ achung) der vertikalen Vorticity ωz , da der Coriolisparameter st¨ andig wirksam ist. Letzterer ist auf der Nordhemisphäre positiv (f ≈ 10−4 s−1 ) und somit gilt f¨ ur die an die Erdoberfl¨ ache angrenzenden Luftmassen bei großr¨ aumiger Bewegung: aufsteigende Luft ; zyklonale Vorticity (Tiefdruckgebiet) absinkende Luft ; antizyklonale Vorticity (Hochdruckgebiet).

Bild 15.4 Verst¨ arkung vertikaler Vorticity durch Streckungs- bzw. Divergenzeffekt. Die schraffierte Fl¨ ache deutet die trichterförmige Ausbuchtung einer Wolke an, die dem sichtbaren Teil eines Tornado entspricht.

16 Einfu ¨ hrende Bemerkungen zur Allgemeinen Atmosph¨ arischen Zirkulation 16.1

Die Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

Unter der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation versteht man die Bewegungsvorg¨ ange im globalen Maßstab, wobei die Zeitdauer dieser Vorg¨ ange im Bereich von Monaten, Jahreszeiten oder Jahren liegt. Man interessiert sich dabei nicht f¨ ur einzelne Wetterphänomene wie Zyklonen, tropische Wirbelst¨ urme oder Gewitter, sondern f¨ ur zonale und meridionale Zirkulationen der Atmosph¨ are insgesamt. Die beobachtete Struktur der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation sowie die dazugeh¨ origen physikalischen Prozesse werden in anderen Lehrb¨ uchern ausf¨ uhrlich behandelt. Im folgenden soll aber zum Abschluss dieses Buchteils, der sich haupts¨ achlich mit den Grundlagen der großr¨ aumigen atmosph¨ arischen Bewegungen befasste, kurz auf die Problematik der allgemeinen Zirkulation eingegangen werden. Alle Bewegungsvorgänge in der Atmosphäre h¨ angen letztlich davon ab, ob eine Energiequelle vorhanden ist, welche die benötigte kinetische Energie produziert. F¨ ur die Atmosphäre sowie f¨ ur die Erde u ¨berhaupt ist diese Energiequelle die Sonne, welche Energie in Form von kurzwelliger Strahlung zur Verf¨ ugung stellt. Diesem Energiegewinn steht ein Energieverlust dadurch gegen¨ uber, dass die Erdoberfl¨ ache und ein Teil der Atmosphäre als Schwarze Strahler im langwelligen Bereich ausstrahlen. W¨ urde jetzt die Erdoberfl¨ ache an jeder Stelle gleich viel Sonnenenergie erhalten, so w¨ urde sich im sogenannten Strahlungsgleichgewicht mit der langwelligen Ausstrahlung u ¨berall auf der Erde die gleiche Temperatur einstellen. Dass dies aber nicht so ist, wissen wir aus dem Vergleich der Verh¨ alt¨ nisse in den Aquatorregionen und den Polgebieten. Dies liegt in der Kugelgestalt der Erde begr¨ undet. Diese bedingt, dass die ¨ Gebiete in der N¨ ahe des Aquators pro Flächeneinheit mehr kurzwellige Strahlung erhalten als die in höheren Breiten. Aus Messungen ergibt sich f¨ ur die kurzwellige und langwellige Strahlung in Abhängigkeit von der geostrophischen Breite der in Bild 16.1 qualitativ dargestellte Verlauf. ¨ Man erkennt, dass die kurzwellige Sonneneinstrahlung ihr Maximum am Aquator hat und zum Pol hin stark abnimmt. Wegen der dadurch bedingten h¨ oheren Temperaturen in den niederen Breiten ist dort auch die langwellige Ausstrahlung (∼ σT 4 ) gr¨ oßer als in Polnähe. Da die kurzwellige Einstrahlung einen Energiegewinn f¨ ur die Atmosphäre bedeutet, die langwellige Ausstrahlung aber einen Energieverlust, ergibt sich der Nettoenergiegewinn f¨ ur jede geographische Breite aus der Differenz beider Strahlungsströme.

238

16 Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

SI KW−LW0 ............. ................. . . . . . . . . . ........ ............. ... KW ........ .......

... .

90o Pol

... .

... .

... .

60o

... .

... .

φ

... .

30o

... .

... .

... .

0o ¨ Aquator

Bild 16.1 Strahlungsbilanz im Breitenkreismittel. KW bezeichnet hier die kurzwellige Einstrahlung, LW die langwellige Ausstrahlung.

¨ Wie man Bild 16.1 entnehmen kann, existiert zwischen Aquator und etwa 40o Breite ein Energie¨ uberschuss und von dort zum Pol hin ein Energiedefizit. F¨ ur die Temperaturverhältnisse w¨ urde das bedeuten, dass es im Laufe der Zeit in andig k¨ uhler werden m¨ usste. äquatorialen Breiten ständig wärmer, in polaren st¨ Dies beobachtet man jedoch nicht. Vielmehr bleiben die Temperaturen in den jeweiligen Breitengraden abgesehen von jahreszeitlichen Schwankungen auf einem nahezu konstanten Wert. Damit sich dieses Temperaturgleichgewicht einstellen kann, muss der Energie¨ uberschuss in den a¨quatornahen Gebieten abgebaut werden, indem die u bersch¨ u ssige Wärme in die polnahen Gebiete transportiert wird, ¨ um dort das Energiedefizit auszugleichen. Dieser W¨ armetransport zu den Polen hin geschieht in der Hauptsache durch die großr¨ aumigen Luftstr¨ omungen, zum geringeren Teil auch durch Meeresströmungen (z. B. Golfstrom). Wie kommen nun diese f¨ ur den Wärmetransport verantwortlichen Str¨ omungen in der Atmosph¨ are zustande? Betrachten wir dazu ein sehr einfaches Modell der ¨ Atmosph¨ are in der Meridionalebene zwischen Pol und Aquator. Zun¨ achst nehmen wir an, dass die Atmosphäre in jeder Breite die gleiche vertikale Struktur hat und keine horizontalen Druck- und Temperaturunterschiede aufweist. Jetzt lassen wir die kurzwellige Einstrahlung der Sonne auf die Erdoberfl¨ ache wirken, wie etwa in Bild 16.1 dargestellt. Es wird sich dann eine unterschiedliche Erw¨ armung in den verschiedenen Breitengraden einstellen, die bewirkt, dass sich aufgrund ¨ des jetzt entstehenden Temperaturgefälles zwischen Aquator und Pol die Druckflächen u uhlten Gebie¨ber den erwärmten Gebieten anheben und u ¨ber den abgek¨ ten absenken. Damit ist ein Aufsteigen wärmerer Luftmassen in den ¨ aquatorialen Gebieten und ein Absinken kalter Luft in Polargebieten verbunden. Durch den entstehenden Druckunterschied zwischen verschiedenen Breitengraden bildet sich in den h¨ oheren Schichten der Atmosphäre eine Str¨ omung von S¨ ud nach Nord aus, die aus Kontinuitätsgr¨ unden eine Strömung von Nord nach S¨ ud in den unteren Luftschichten zur Folge hat. Insgesamt stellt sich eine Zirkulation in der Meridionalebene ein, wie sie in Bild 16.2 angedeutet ist. Eine solche Zirkulation nennt man auch direkte Zirkulation, weil die entstehenden Bewegungen direkt durch horizontale Temperaturunterschiede bewirkt werden (thermische Zirkulation; sie-

16.1 Die Allgemeine Atmosphärische Zirkulation ..... z ... p1 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T 1 .. p2 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T2 .. .. p3 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T3 .. p4 .. .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T4 .................................................................................................................................. ¨ φ Aquator Pol

239

..... ... .............................. p1 z ... .............................. .. ..................................................................................................................................................................... .......... ........ T1 ........................... ......... .............................. .......... ................... ............ .......... . ................................... p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................... ......................... ........ .... T2 .. ................... .......... .......... .......... ... ........... .... ... .............................................. p3 . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................... .....T .. 3 .. .......................... ......... .......... ... . .. .. ................... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................ .......... T p4 ........................ ... ... 4 ... ..... .. .......... ....... ............ ................K ......................................................................................................W ¨ φ Aquator Pol

Bild 16.2 Entstehung der Hadley-Zirkulation durch den Temperaturgegensatz zwi¨ schen Pol und Aquator. Im linken Bildteil ist der Anfangszustand dargestellt, im rechten die Situation nach unterschiedlicher Erwärmung.

he Abschnitt 11.5). Nach ihrem Entdecker G. Hadley (britischer Meteorologe, 1685–1768) wird sie meist als Hadley-Zirkulation bezeichnet. Aus der Darstellung kann man auch ersehen, dass eine Hadley-Zirkulation in ¨ der Lage ist, einen Wärmeausgleich zwischen Aquator und Pol zu erreichen. Warmluft steigt in den äquatornahen Gebieten auf, wird in den oberen Luftschichten zum Pol hin transportiert, sinkt dort ab und k¨ uhlt sich dabei ab. Von ¨ den Polargebieten wird k¨ uhlere Luft zum Aquator geschafft, was dort ebenfalls zum Ausgleich der Temperaturgegensätze f¨ uhrt. Dieser Mechanismus des Temperaturausgleiches w¨ urde auch auf der Erde vonstatten gehen, wenn die Erdrotation die sich einstellende Strömung nicht beeinflussen w¨ urde. ¨ Wir wissen, dass ein Luftteilchen auf seiner Bahn vom Aquator zum Pol auf der Nordhalbkugel aufgrund der Coriolis-Kraft nach rechts, d. h. nach Osten ¨ abgelenkt wird, ein solches auf einer Pol-Aquator-Bahn nach Westen. In den höheren Luftschichten wird sich also eine Westwindkomponente und in den unteren eine Ostwindkomponente einstellen, wobei das Verh¨ altnis der Ost-WestGeschwindigkeit zur S¨ ud-Nord-Geschwindigkeit von der Gr¨ oße der Coriolis-Kraft, d. h. insbesondere von der Winkelgeschwindigkeit der Erde abh¨ angt. In Bild 16.3 betrachten wir dazu ein Luftteilchen, welches sich im oberen Teil einer Hadley............................................. ................................................. Aquator ... ...... ............ ...... .....¨ ..... . . . . ... . . . . .... . .... .......... ........... ... ...... .... . ... . . ... ... . . . ... ... . ... ... . ... .. . . ..... . ... . . .... ... . . ... ... .. ... .. ....................... ... ... ... ... . ... . ... .. . . . . ...............Pol . . ..... ... . ... ... ...... .... ... ... ... .. .... ... . ......... .... ... ... .. . ..... . . . . . . . . . . ... Ω klein .... ... . . .... Ω = 0 . .. . ... ... ... .... ...... ... ... ............ . .... .......... . . . . . . . ... . ..... . .. ..... ... ..... ... ....... ........ .......... ............. ............................................. ...........................

....................................................... ......................... ..... . . . . . .... . ... .................. ... . ... ..... ......... ... ... ................................. ... ... ... .. . . ..... . .... .... . . . . ..... ... ...... . . . . . . . ........................ . . . . ... ... ... ...... ... ... . . . . ... . ... ... ... ... .. .... Ω groß .................... ..... . ..... .... .... . ..... ........ ......................................................

Bild 16.3 Einfluss der Erdrotation auf die polwärts gerichtete Komponente der HadleyZirkulation. Links ist die Situation f¨ ur die nichtrotierende Erde dargestellt, in der Mitte f¨ ur eine geringe, rechts f¨ ur eine hohe Winkelgeschwindigkeit Ω.

240

16 Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

¨ Zirkulation vom Aquator zum Pol bewegt, und zwar f¨ ur den Fall einer nichtrotierenden Erde und f¨ ur eine langsame und eine schnelle Erdrotation. Auf einer nichtrotierenden Erde wird sich ein Teilchen aufgrund des Druck¨ bzw. Temperaturgefälles geradlinig vom Aquator zum Pol bewegen und damit innerhalb k¨ urzester Zeit einen Wärmetransport zu den polnahen Gebieten erzielt. Unter dem Einfluss der Erdrotation wird das Teilchen auf seiner Bahn nach Osten abgelenkt, legt also bis zum Erreichen der Polargebiete einen l¨ angeren Weg zur¨ uck. Je schneller die Erdrotation ist, desto gr¨ oßer wird die zonale Komponente der Teilchengeschwindigkeit und um so geringer die (f¨ ur den W¨ armetransport ¨ maßgebende) Meridionalgeschwindigkeit. Der W¨ armeausgleich zwischen Aquator und Pol wird durch den Einfluss der Erdrotation wesentlich langsamer und ineffektiver. Auf der Erde haben wir gerade eine solche Konstellation zwischen dem Tem¨ peraturgef¨ alle Aquator-Pol und der Wirkung der Erdrotation, dass allein durch eine Hadley-Zirkulation ein Temperaturausgleich zwischen beiden Gebieten nicht erzielt werden kann. Vielmehr wird der meridionale Temperaturgradient besonders in mittleren Breiten so groß, dass er eine u at im ¨berkritische Baroklinit¨ zonalen Grundstrom hervorruft. Es kommt dann in diesen Gebieten zur Ausbildung der baroklinen Instabilität (siehe Kapitel 14) und damit zur Zyklogenese. Die entstehenden Zyklonen und Antizyklonen sind ihrerseits in der Lage, aufgrund ihrer Temperaturasymmetrie (z. B. Warmluft auf der Vorderseite, Kaltluft auf der R¨ uckseite einer Zyklone) einen W¨ armetransport in meridionaler ¨ Richtung zu bewirken und damit das Temperaturgef¨ alle Aquator-Pol abzubauen. In den mittleren Breiten der Atmosphäre kommt es zu einem Zusammenbruch der Hadley-Zirkulation infolge u at; die dadurch entste¨berkritischer Baroklinit¨ henden Zyklonen und Antizyklonen u ¨bernehmen anstelle der Hadley-Zirkulation den großr¨ aumigen meridionalen Wärmetransport, der zum Temperaturausgleich zwischen ¨ aquatornahen und polaren Gebieten auf der Erde f¨ uhrt (Bild 16.4). Die allgemeine Zirkulation der Atmosphäre wird also prim¨ ar durch das Tem.. z ........... ........... Hadley–Zirkulation ......

....... .................................. . ... ..... . .... ... ....... .... .... ..... . . ... ..... ....... ............ .... ... ... .................. ... ... ............................... ...... ........ ... .... . .. ... .... . .. ............. . . . ......................... .. ... ................. ............. ..... . . . . ... .. ..... .... ... .. .... .... ..... ........ .. . .. .... .... ..... .......... ... ............. . ................... . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... .... ..... ... .... . ............ ...... ..... ..... . .................................................................................................... ..... ..... ....... ........ ..... ...... . . .......... .... .......... ........ ........... ..... ...... ...... ..... .... .... ....... ... .............. .......................... .... ...... .. ... .. ... ...... ...... .... ....................... . .... ................ ....... . . .. . .... .... . . . ..... ............. ... ... ... .. .. ..... . . . . . . . . . ... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . ......... .. .. . ... ............. ...... ....................... ... ... ..................... .......... ................ .. ......... ........ ..... . ..... ... .... ..... .... ........................... .. .. . ............ ... ............. ... ... .............. .. . . .. . . . .. ... .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .... ..... ..... .... ................................. . . ......... ....... . . .... ......... ............ .... ... .. . . .................. . ... . ... .. .. .............................. ... ....... ....... .... . . .... . . . . . ........ .... ...... .... ... ............ .... ... .... . . . . . ........... . . . . . . . . . . .................... ... .. .. ... .. ....... ............... ... .. ... .. ... ............... ..................... .................................... ..................... .. .. . ..... . ...................................................................................................................... .......... ..... .... ...... .... ... ... ... ... .. ........ ........... ......... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ... ... .. ...... ...... ..... ...... . . . . . ... .......... ... ... . . . . . . . . . . .. .. . . ... .... ..... .... .... ... .. .... .... ..... ... ... . . . . . . . . . . ........................ ... . . . . .. ... .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ......................... ... ... ..... . . . . . . ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . ......... ........ .............. ................................. .. ............................ ..................... . . . . . . .............. . .....................

Pol indirekte Zirkulation ............................ o.................. ......... (nur schwach ausgepr¨ agt) 70 . . . . ....... .... ...... ...... . . . . ..... T ... ..... T ... ... . . ... . o . H ... 30 .. ... ... Westwinde ... .... ... Hadley–Zirkulation ... ... . ... Ostwinde .... . 0o ...... (Passate) .. . . .......... . . . . ...... .................. ......................................................................... Bild 16.4

Schematische Darstellung der globalen atmosphärischen Zirkulation

16.1 Die Allgemeine Atmosphärische Zirkulation

241

¨ peraturgef¨ alle zwischen Aquator und Pol verursacht, wobei die entstehenden großr¨ aumigen Bewegungen einen Temperaturausgleich erreichen sollen. Dies geschieht im wesentlichen durch zwei unterschiedliche Mechanismen: zum einen durch eine in der Meridionalebene existierende thermische Zirkulation (HadleyZirkulation) und zum anderen durch großräumige Wirbel (Zyklonen und Antizyklonen). Nach dem heute vorliegenden Datenmaterial aus Messungen, Laborexperimenten und numerischen Simulationen ergibt sich f¨ ur die allgemeine atmosph¨ arische Zirkulation etwa folgende Situation: In den ¨ aquatornahen Gebieten und in den polaren Breiten findet man je eine Hadley-Zirkulation, verkn¨ upft mit Ostwinden in den unteren Atmosph¨ arenschichten (Passate). Der meridionale Wärmetransport wird hier durch Vertikalzirkulation bewirkt. In den mittleren Breiten ist diese Vertikalzirkulation nur schwach ausgepr¨ agt und lediglich eine Folge der jeweils angrenzenden Hadley-Zirkulationen (deshalb die Bezeichnung indirekte Zirkulation). In den mittleren Breiten erfolgt der meridionale Wärmetransport durch Zyklonen und Antizyklonen, welche in die allgemeine Westdrift eingebettet sind. Diese Westwinde werden ihrerseits dadurch aufrecht erhalten, dass Hoch- und Tiefdruckgebiete in ihrem Aufl¨ osestadium ihre kinetische Energie in diejenige des Grundstroms u uhren. Diesen ¨berf¨ Vorgang nennt man Zyklolyse. Insgesamt ergibt sich f¨ ur die allgemeine Zirkulation der Atmosph¨ are das in Bild 16.5 gezeigte Schema der Energieumsetzungen.

Sonneneinstrahlung ... ... ... ... ... ... ....

Hadley– Zirkulation

¯i ¯p + E E Temperaturgefälle ¨ Aquator −→ Pol

.. .......... ................. .......... ..

zonaler Grundzustand

barokline Instabilität ... .. ... ... ... ... ....

Ep + Ei

.......... .......... .. .......... ......... .......... .......... .. .......... ..........

¯k E zonaler Grundstrom .... ... .... ... .. .. ...

Zyklolyse

barokline Instabilität Zyklonen und Antizyklonen

.......... .......... .. ......... ..........

Ek

Bild 16.5 Schematische Darstellung der globalen Energieumsetzungen in der Atmosphäre. Ep bezeichnet die potentielle Energie, Ei die innere und Ek die kinetische Energie.

17 Einfu ¨ hrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung 17.1

Numerische Wettervorhersage

In den bisherigen Abschnitten des Buches sind die grundlegenden Gleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosphäre aufgestellt und einige L¨ osungen wie z. B. der geostrophische Wind und die Rossby-Wellen angegeben worden. An dieser Stelle soll auf die h¨ aufig gestellten Fragen der Studierenden Kann ich mit der Theorie ” u ¨berhaupt etwas Praktisches anfangen?“ und Brauche ich diese vielen Gleichun” gen u ater im Berufsleben?“ eingegangen werden. ¨berhaupt sp¨ ¨ Das Berufsbild des Meteorologen in der Offentlichkeit ist stark mit der Wettervorhersage in Presse, Funk und Fernsehen verbunden. Zun¨ achst mag man meinen, dass die bisherigen Ausf¨ uhrungen zur Dynamik der Atmosph¨ are damit nichts zu tun haben. Deshalb soll an dieser Stelle ein kleiner Einblick in die Durchf¨ uhrung der Wettervorhersage gegeben werden. Wir wollen zun¨ achst den Begriff Wetter näher spezifizieren. Dazu geh¨ oren zum einen die Wettererscheinungen wie Regen, Schnee, Nebel, sodann die Wolken und schließlich die Grundgrößen Luftdruck, Lufttemperatur und Windgeschwindigkeit. Unter Wettervorhersage versteht man nun die Bestimmung der oben aufgezählten Elemente zu einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt. Wie wird dies nun gemacht? Fr¨ uher verwendete man in der sogenannten Synoptischen Meteorologie gewisse empirische Regeln, die aufgrund der Besch¨ aftigung mit der Wetterentwicklung entstanden sind. Dagegen basieren die heutigen Wettervorhersagen in Presse, Funk und Fernsehen ausschließlich auf den Ergebnissen der Numerischen Wettervorhersage. Der Begriff numerisch ist dabei allerdings etwas ungl¨ ucklich gewählt; besser wäre die Bezeichnung mathematischphysikalische Wettervorhersage, wie im folgenden ausgef¨ uhrt wird. Betrachten wir als Beispiel die Prognose der Lufttemperatur. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Temperaturänderungen adiabatisch verlaufen (keine W¨ armequellen und Senken) und dass der Luftdruck dabei konstant bleibt. Dann erh¨ alt der Erste Hauptsatz der Thermodynamik die einfache Form: dT ∂T = + v · ∇T = 0 . dt ∂t F¨ ur die Temperaturänderung am festen Ort ergibt sich ∂T = −v · ∇T . ∂t

(17.1)

244 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Gleichung (17.1) besagt, dass die Temperaturänderungen an einem Ort durch Kalt- oder Warmluftadvektionen mit dem Windfeld erfolgen. Ausgehend von einem Temperaturfeld T (x,t0 ) zum Zeitpunkt t = t0 erh¨ alt man die Temperatur T (x,t) zu sp¨ ateren Zeitpunkten t aus der Integration von (17.1): T (x, t) = T (x, t0 ) −

t

v · ∇T dt .

(17.2)

t0

Um eine Temperaturprognose durchf¨ uhren zu können, muss man zun¨ achst von einem bekannten Anfangswert T (x,t = t0 ) ausgehen, den man z. B. messen kann. Zur Integration von (17.2) benötigt man noch das Windfeld, das man aus der simultanen L¨ osung der Bewegungsgleichungen erh¨ alt. Nehmen wir als einfaches Beispiel den Fall, dass die Windgeschwindigkeit konstant ist und der Wind nur in x-Richtung weht, d. h. v = u i. Die Prognosegleichung f¨ ur die Temperatur (17.1) lautet dann in differentieller Form: ∂T ∂T = −u . (17.3) ∂t ∂x Das Temperaturfeld zum Zeitpunkt t = 0 sei durch eine periodische Funktion T (x,0) = T0 + T1 sin(kx + φ0 )

(17.4)

gegeben, wobei k = 2π/L die Wellenzahl und φ0 eine beliebige Phase ist. Mit der Anfangsbedingung (17.4) lässt sich eine analytische L¨ osung der Gleichung (17.3) angeben: T (x,t) = T0 + T1 sin(kx − kut + φ0 ) .

(17.5)

Am festen Ort a ¨ndert sich die Temperatur periodisch mit der Zeit, wobei sich die Periode τ aus 2π = kuτ gerade zu τ = L/u ergibt. (17.5) stellt sozusagen eine Temperaturvorhersage dar, die auf einer analytischen L¨ osung der Prognosegleichung (17.3) beruht. Die Ausgangsgleichung (17.1) selbst ist – wie bereits erwähnt – nichts anderes als eine vereinfachte Form des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik. Die Temperaturvorhersage basiert somit auf physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten, die durch (17.1) mathematisch beschrieben werden. Es handelt sich also um eine physikalisch-mathematische Wetter“-Vorhersage. ” Daß die Vorhersage sogar auf analytischem Wege m¨ oglich war, liegt an der einfachen Form der Gleichung und der Voraussetzung eines konstanten Windfeldes. Der Begriff numerische Wettervorhersage betrifft also mehr die L¨ osungstechnik der Vorhersagegleichungen. Die numerische Vorhersage der u ¨brigen Wetterelemente funktioniert praktisch genauso wie am Beispiel der Temperaturprognose dargestellt. Als Ausgangsgleichungen k¨ onnen etwa die Bewegungsgleichung, die Kontinuit¨ atsgleichung und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik im p-System (siehe Abschnitt 12.2) verwendet werden.

17.1 Numerische Wettervorhersage

245

Wir wollen hier aber eine viel einfachere Modellatmosph¨ are betrachten, n¨ amlich eine barotrope Atmosphäre. Diese können wir mit der barotropen, geostrophischen Vorticitygleichung (11.13) beschreiben: ∂ζg + vg · ∇ζg + βvg = 0 . (17.6) ∂t Der geostrophische Wind vg und die geostrophische Vorticity ζg sind mit dem Isohypsenfeld einer Druckfläche (z. B. 500 hPa) durch (10.6) und (11.12) verkn¨ upft vg =

1 k × ∇Φ ; f

ζg =

1 2 ∇ Φ. f

(17.7)

Diese Beziehungen enthalten keine zeitlichen Ableitungen, weshalb man sie auch als diagnostische Gleichungen bezeichnet, im Gegensatz zur Vorticitygleichung, die man wegen der zeitlichen Ableitung ∂/∂t auch eine prognostische Gleichung nennt. Zwar lassen sich f¨ ur das System (17.6), (17.7) einige spezielle analytische L¨ osungen angeben (siehe z. B. Kapitel 12), jedoch wird im allgemeinen eine numerische Lösung notwendig sein. Wie geschieht dies nun? Wir können hier nicht ausf¨ uhrlich auf Probleme der numerischen Mathematik eingehen; vielmehr soll eine typische Vorgehensweise dargestellt werden. Grob gesprochen m¨ ussen zunächst die partiellen Differentiale in den Gleichungen (17.6) und (17.7) durch finite Differenzen approximiert werden, was schließlich auf ein System algebraischer Gleichungen f¨ uhrt, die numerisch gel¨ ost werden m¨ ussen. Als erster Schritt wird das Integrationsgebiet in der x-y-Ebene in diskrete Intervalle der L¨ ange Δx und Δy unterteilt (Bild 17.1). Die Variablen ζg , vg und Φ sind jetzt nicht mehr kontinuierliche Funktionen Φ(x,y) usw., sondern nur an diskreten Schnittpunkten des Rechengitters definiert, also z. B. Φ(m · Δx, n · Δy), m = 0, 1, 2 . . . , n = 0, 1, 2 . . . . Alle r¨ aumlichen Ableitungen werden durch finite Differenzen ersetzt: y ..... . Δy .... • • • • • • 4 •.... .. ... • • • • • • 3 •.... .. Δy ... • • • • • • 2 •.... ... Δx .. • • • • • • 1 •.... .. ... . 0 •.......................•........................•........................•.......................•........................•........................•......................... x/Δx 0 1 2 3 4 5

Bild 17.1 Aufteilung der x-y-Ebene in ein diskretes Rechengitter mit den Intervallen Δx und Δy

246 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung ∂x → Δx ,

∂y → Δy ,

∂ζ Δζ → , ∂x Δx

∂ζ Δζ → ∂y Δy

usw.

Auch die zeitliche Entwicklung der Vorticity wird in diskreten Schritten verfolgt. Dies ist in Bild 17.2 skizziert. ∂t → Δt

und

Δζ ∂ζ → . ∂t Δt

Mit diesen Approximationen lautet die Vorticitygleichung (der Index g wird im folgenden weggelassen) in Differenzform Δζ Δζ Δζ +u +v + βv = 0 , Δt Δx Δy u=−

ζ=

1 ΔΦ , f Δy

1 f

v=+

(17.8)

1 ΔΦ , f Δx

Δ ΔΦ Δ ΔΦ + Δx Δx Δy Δy

(17.9)

.

(17.10)

Die Vorticity an den St¨ utzpunkten m · Δx und n · Δy zum Zeitpunkt t + Δt erh¨ alt man aus (17.8) mit #

ζ(x, y, t + Δt) = ζ(x, y, t) − u

Δζ Δζ +v + βv Δx Δy

$

Δt .

(17.11)

t

Zum Zeitpunkt t muss also das Feld der Vorticity und das Geschwindigkeitsfeld bekannt sein, um mit Hilfe von (17.11) die Vorticity zum Zeitpunkt t + Δt berechnen zu k¨ onnen. Will man nun zum nächsten Zeitpunkt t + 2Δt u ¨bergehen, so muss in (17.11) t + Δt durch t + 2Δt und t durch t + Δt ersetzt werden. Dabei erh¨ alt man das Geschwindigkeitsfeld u(t + Δt), v(t + Δt) aus der Beziehung f¨ ur den geostrophischen Wind (17.7). Das hierin benötigte Geopotentialfeld Φ(t + Δt) erh¨ alt man wiederum aus der Vorticity ζ(t + Δt) mittels (17.10). Diesen Prozess kann man solange fortsetzen, bis das Ende des Vorhersagezeitraumes erreicht ist. Dies ist in Bild 17.2 dargestellt. .............................................. .......... ........ . . . . . . . ...... .... . . ...... . . . .....I .... . . . ..... . . . . . .... . ............ 2 ...........................................3 ...................... ............................... 1 ... .......... .............. .... ..... ..... ..... ...... .... . ..... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ......................... ...................... ...................... . . . •.. ................................•......................................•.....................................•..........................................................................•................................

t0

t0 + Δt

t0 + 2Δt

t0 + 3Δt

τ = t0 + I Δt

Bild 17.2 Aufteilung des Prognosezeitraums von t = t0 bis t = τ in I diskrete Intervalle (Zeitschritte) Δt

17.1 Numerische Wettervorhersage . .. .. ... .. ... ψ ..... .. ... .. ... .. (17.13) .. ... . . . ..... . ..... ..... .... ... ............ .......... ......... .. .... ... .... ... ... .... .... (17.14) ............................................................................................................................................... ...... ... ..... ...... .... .. ... ...... ... ..... ... .......................... .... ... .... ........ . .... .... ...... ...... ....... ... .... ...... ............ ....... .... .. ....... .......... .. . ... . ... ... ...................... . ...... . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ... ... ................. .. ... ... ................... .. ... ... . . . . . . . . .. . . . . . .. (17.12) ... ...... .... . .... . . . . . . . ... ... . . . .... . . . .... . . . ... ... ..... ... .. ..... .. ..... ... ... ..... ...... . . . .. ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... . .. .. ... . ............................................................................................................................................................................ x x0 − Δx x0 + Δx x 0

247

Bild 17.3 Approximation der Ableitung ∂ψ/∂x am Punkt x = x0 durch zentrierte, Vorwärts- und R¨ uckwärts-Differenzen Δψ/Δx

Ein Problem besteht in der Wahl der Differenzenapproximation in den Gleichungen (17.8) bis (17.10). Dies sei an einer beliebigen Funktion ψ(x) verdeutlicht. Wir wollen am Punkt x = x0 die Ableitung ∂ψ/∂x durch die Differenz Δψ/Δx ersetzen. Wie in Bild 17.3 dargestellt, gibt es daf¨ ur im einfachsten Fall drei M¨ oglichkeiten: 1. Zentrierte Differenzen: ψ(x0 + Δx) − ψ(x0 − Δx) ∂ψ → , ∂x 2Δx

(17.12)

2. Vorw¨ arts-Differenzen: ∂ψ ψ(x0 + Δx) − ψ(x0 ) → , ∂x Δx

(17.13)

3. R¨ uckw¨ arts-Differenzen: ∂ψ ψ(x0 ) − ψ(x0 − Δx) → . ∂x Δx

(17.14)

Statt der r¨ aumlichen Ableitung kann man in (17.12) bis (17.14) auch die zeitlichen Differenzen ∂ψ/∂t → (ψ(t + Δt) − ψ(t))/Δt usw. einsetzen. Prinzipiell wird dabei die Steigung der Tangente ∂ψ/∂x durch die der Sekante ¨ Δψ/Δx ersetzt. Uber Vor- und Nachteile der Differenzenapproximationen (17.12) bis (17.14) hinsichtlich Genauigkeit und Konvergenz der numerischen L¨ osung soll hier nicht n¨ aher eingegangen werden. Ausf¨ uhrliche Darstellungen dar¨ uber finden sich in den zitierten B¨ uchern. Bei der Vorticity-Stromfunktion-Beziehung (17.7) treten auch zweite Ableitungen auf. Diese werden u ur ¨blicherweise durch zentrierte Differenzen approximiert, f¨ eine allgemeine Funktion ψ z. B. ∂2ψ ψ(x0 + Δx) − 2 ψ(x0 ) + ψ(x0 − Δx) −→ . 2 ∂x (Δx)2

(17.15)

248 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Mit den einfachen Differenzenapproximationen (17.12) bis (17.15) sollen nun die Vorticity-Gleichung (17.8) sowie die diagnostischen Beziehungen f¨ ur den geostrophischen Wind (17.9) und die geostrophische Vorticity (17.10) in Differenzenschreibweise angegeben werden. Dazu verwenden wir zentrierte Differenzen (17.12) f¨ ur die r¨ aumlichen Ableitungen und vorw¨ arts gerichtete Differenzen (17.13) f¨ ur die zeitliche Ableitung:

ζ(x,y,t + Δt) = ζ(x,y,t) −

u(x,y,t) ·

ζ(x + Δx,y,t) − ζ(x − Δx,y,t) 2 Δx

+ v(x,y,t) ·

ζ(x,y + Δy,t) − ζ(x,y − Δy,t) 2 Δy

+ β v(x,y,t) Δt , (17.16) sowie u(x,y,t) = −

1 Φ(x,y + Δy,t) − Φ(x,y − Δy,t) , f 2 Δy

(17.17)

v(x,y,t) = +

1 Φ(x + Δx,y,t) − Φ(x − Δx,y,t) , f 2 Δx

(17.18)

und gem¨ aß (17.15) f¨ ur die zweiten Ableitungen:

ζ(x,y,t) =

1 Φ(x + Δx,y,t) − 2 Φ(x,y,t) + Φ(x − Δx,y,t) f (Δx)2 Φ(x,y + Δy,t) − 2 Φ(x,y,t) + Φ(x,y − Δy,t) + (Δy)2

(17.19)

.

Die Koordinaten x und y sind dabei jeweils an den Gitterpunkten x = m · Δx und y = n · Δy mit m, n = 0, 1, 2, 3 . . . zu konkretisieren. Die Zeit t ist jeweils f¨ ur t = i Δt mit i = 0, 1, 2, 3 . . . definiert. Die Differenzengleichungen (17.17) bis (17.19) stellen die einfachste M¨ oglichkeit einer numerischen Wettervorhersage dar und wurden in den Anf¨ angen dieses Zweiges der Meteorologie auch häufig verwendet. Damit wurde zun¨ achst eine Routinevorhersage f¨ ur das Geopotential Φ der 500-hPa-Fl¨ ache f¨ ur den Zeitraum von 24 h durchgef¨ uhrt. In der Praxis sind dabei nach der geeigneten Programmierung der Modellgleichungen folgende Schritte notwendig:

17.1 Numerische Wettervorhersage

249

Zu Beginn des Prognosezeitraumes t = t0 muss die rechte Seite der Vorticitygleichung (17.16) bekannt sein. Tatsächlich taucht dort nicht das Geopotential Φ, sondern die Vorticity sowie das Windfeld auf. Diese m¨ ussen nun aus gemessenen Anfangswerten des Geopotentials Φ(x,y,t0 ) mittels (17.17) bis (17.19) bestimmt werden. Erst danach kann mit dem ersten Prognoseschritt, also der Bestimmung von ζ(x,y,t0 + Δt) aus (17.16) begonnen werden. Als Ergebnis erh¨ alt man nun das Vorticityfeld in der rechten Seite von dieser Gleichung zum Zeitpunkt t0 +Δt. Das Geschwindigkeitsfeld u(x,y,t0 + Δt), v(x,y,t0 + Δt) wird ben¨ otigt, damit der n¨ achste Schritt, die Bestimmung von ζ(x,y,t0 + 2Δt) durchgef¨ uhrt werden kann. Dazu muss man das Geopotentialfeld Φ(x,y,t0 + Δt) kennen, das man z. B. mittels spezieller Iterationsverfahren unter Vorgabe von Randwerten aus (17.19) erh¨ alt. Zahlreiche numerische Lösungsmethoden dieser Gleichung, die vom Typ einer Poisson-Gleichung ist, findet man in den zitierten B¨ uchern. Das barotrope Modell (17.16) bis (17.19) kann heute praktisch jede Studentin bzw. jeder Student auf einem PC selbst programmieren und damit eine numerische Wettervorhersage durchf¨ uhren. In den Anf¨ angen der numerischen Wettervorhersage, etwa um das Jahr 1950 herum, ben¨ otigte man dazu noch einen Großrechner, dessen Hardware einen ganzen Raum ausf¨ ullte. Falls der eine oder andere Leser dies nun gleich in die Tat umsetzen m¨ ochte, wird er unter Umständen eine völlig unsinnige Prognose erstellen. Dies liegt nicht unbedingt daran, dass ein Programmfehler aufgetreten ist. Vielmehr ist bei der Anwendung von (17.16) bis (17.19) noch eine wichtige Einschr¨ ankung zu beachten. Diese h¨ angt damit zusammen, dass die vorzugebenden diskreten Gitterweiten Δx und Δy sowie der Zeitschritt Δt nicht beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen. Vielmehr muss dabei folgende Bedingung erf¨ ullt sein: umax ≤

Δx Δt

bzw. Δt ≤

Δx . umax

(17.20)

Die Ungleichung (17.20) nennt man nach den Mathematikern, die diese Bedingung f¨ ur die L¨ osung von Differenzengleichungen bei Anfangswerten aufgestellt haben, auch Courant-Friedrichs-Levy- oder CFL-Kriterium. In (17.20) steht Δx f¨ ur den kleinsten räumlichen Abstand Δx oder Δy. Mit umax ist die in dem zu lösenden Gleichungssystem auftretende maximale Signalgeschwindigkeit gemeint. Dies kann entweder die tats¨ achliche Str¨ omungsgeschwindigkeit oder die Phasengeschwindigkeit von Wellen sein. In unserem Beispiel der barotropen Vorticitygleichung (17.6) treten lediglich Rossby-Wellen auf, deren Phasengeschwindigkeit gemäß (13.2) in der Größenordnung der Windgeschwindigkeiten liegt, also f¨ ur großräumige Strömungen bei 30 m s−1 . Verwendet man jedoch die vollständigen Bewegungsgleichungen (siehe z. B. Abschnitt 13.2) f¨ ur eine numerische Wettervorhersage, so beinhalten diese als L¨ osung auch Schallwellen. In diesem Fall m¨ ußte im CFL-Kriterium umax = cSchall ≈ 300 m s−1 gesetzt werden, so dass bei gleicher räumlicher Aufl¨ osung Δx, Δy nun ein zehnmal kleinerer Zeitschritt Δt gewählt werden muss als f¨ ur die Vorticitygleichung.

250 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Dies ist zwar formal kein Problem; der Rechenaufwand f¨ ur eine numerische Wettervorhersage ist jedoch proportional zur Anzahl der Gitterpunkte (M · N ) und zur Anzahl der Zeitschritte I. Deshalb versucht man, f¨ ur eine Prognose u oglichst weni¨ber einen bestimmten Zeitraum (z. B. 24 h, 48 h, 72 h) mit m¨ gen Zeitintervallen auszukommen. Der maximal erlaubte Zeitschritt Δt ist dabei ¨ durch das CFL-Kriterium (17.20) gegeben. Bei Uberschreiten dieser Grenze, also Δt > Δtmax , werden die numerischen Lösungen der Vorticitygleichung (17.16) bis (17.19) unsinnig und sind f¨ ur eine Wettervorhersage nicht mehr zu gebrauchen. Nat¨ urlich wird die numerische Wettervorhersage heute von den Wetterdiensten nicht mehr mit der barotropen Vorticitygleichung erstellt. Vielmehr stellen Bewegungs- und Kontinuitätsgleichung im p-System sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (ergänzt durch diabatische Prozesse wie Reibung, Strahlung und Phasenumwandlungen) sowie fortschrittliche numerische Methoden zur Lösung der Differenzenapproximationen dieser Gleichungen die Grundlage der modernen Wettervorhersage dar. Trotzdem ist der prinzipielle Weg der gleiche, wie er hier anhand der Vorticitygleichung von ihrer Ausgangsform (17.6) bis zu ihrer programmierbaren Differenzenform (17.16) dargestellt worden ist. So gesehen stellt die Theoretische Meteorologie die Grundlage der numerischen Wettervorhersage und somit der täglichen Wetterberichte in Presse, Funk und Fernsehen dar. Ein Beispiel f¨ ur eine Vorhersage des Bodendruckfeldes, wie sie mit einem numerischen Modell des Deutschen Wetterdienstes erhalten wurde, ist in Bild 17.4 dargestellt.

17.2

Einfu ¨ hrung in die Klimamodellierung

Im vorherigen Abschnitt wurde die praktische Anwendung der Grundgleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Thermodynamik und Dynamik (Tabelle 17.1) in der numerischen Wettervorhersage beschrieben. Im Prinzip lassen sich diese Gleichungen auch u angere Zeiträume in die Zukunft integrieren als dies bei der numeri¨ber l¨ schen Wettervorhersage der Fall ist (hier: wenige Tage). Wegen der Unsicherheit in den Anfangsbedingungen, sowie der Nichtlinearit¨ at und des chaotischen Verhaltens des Gleichungssystems, sind Vorhersagen u angere Zeitr¨ aume nicht ¨ber l¨ mehr exakt. Die Ergebnisse der numerischen Integration k¨ onnen dann nur noch als r¨ aumliche bzw. zeitliche Mittel f¨ ur die verschiedenen Variablen interpretiert werden (z. B. mittlere Lufttemperatur im Januar in Norddeutschland). Auf der Beobachtungsseite entspricht dies den mittleren Verh¨ altnissen in der Atmosph¨ are, welche man als Klima bezeichnet. Auch wenn sich die klassische Klimadefinition auf einen Mittelbildungszeitraum von 30 Jahren bezieht, sollen hier k¨ urzere Zeitr¨ aume (Monatsmittel, Jahreszeitenmittel) betrachtet werden, da in der aktuellen Forschung u unftige ¨ber zuk¨ Klima¨ anderung kurzfristige Klimaschwankungen durchaus diskutiert werden. Worin liegt nun der Unterschied zwischen der numerischen Wettervorhersa-

17.2 Einfiihrung in die Klimamodellierung

251

Bild 17.4 Beispiel for eine 48-sttindige Vorhersage des Druckfeldes am Erdboden (z NN) im Bereich des Nordatlantik mittels eines numerischen Modells ge und der Klimamodellierung? Auch wenn irn Prinzip die selben Gleichungen (Tabelle 17.1) verwendet werden, so gibt es aufier in der r~umlichen AuflSsung der Rechengitter (numerische Wettervorhersage: /~ ~ 5 - 50 kin, Klimamodelle: /~ ~ 100 - 500 kin) noch mehr grunds~tzliche Unterschiede. Man kSnnte etwas vereinfacht formulieren: 9 die numerische Wettervorhersage ist ein Anfangsproblem 9 die Klimamodellierung ist ein Randwertproblem Die Wettervorhersage ist umso genauer, je besser die meteorologischen Felder (Temperatur, Druck, Feuchte, Wind) zum Startzeitpunkt der Integration (Anf~ngswert) bek~rmt sind. In der Klimamodellierung ist der genaue Anfangszustand eher unwesentlich, da sich hier auf den l~ngeren Zeitr~umen der Integration (mehrere Jahre, Jahrzehnte) die Wechselwirkungen zwischen der Atmosphere und der Erdoberfl~che (Land, Ozean, Meereis, Biosphere) stark bemerkbar machen (z. B. Energieaustausch am Erdboden). Neben der Wichtigkeit der Randbedingungen kommt es in der Klimamodellierung besonders auf die Wechselwirkung verschiedener physikalischer Prozesse an, die in den Gleichungen in Tabelle 17.1 stark vereinfacht in

252 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Form von Quelltermen im ersten Haupsatz der Thermodynamik, der Gleichungen f¨ ur den Wasserkreislauf sowie f¨ ur atmosphärische Spurenstoffe (Treibhausgase) dargestellt sind. Ohne genauer darauf einzugehen (Einzelheiten sind in der umfangreichen Literatur zu Klimamodellen zu finden), seine als Beispiele genannt: • Wechselwirkung Wolken – Strahlung • Wechselwirkung Gase + Aerosole – Strahlung • Wechselwirkung Ozean – Atmosphäre • Wechselwirkung Biosphäre – Atmosphäre • Wechselwirkung Kryosphäre (Landeis, Meereis) – Atmosph¨ are Diese Wechselwirkungen machen sich meist auf l¨ angeren Zeitskalen im Zustand der Atmosph¨ are bemerkbar, weshalb sie in Modellen der numerischen Wettervorhersage nur vereinfacht oder u ucksichtigt werden. Dar¨ uber¨berhaupt nicht ber¨ hinaus sind z. B. f¨ ur die Wechselwirkung zwischen der Atmosph¨ are und den anderen Kompartimenten des Klimasystems (Ozean, Kryosph¨ are, Landoberfl¨ ache, Biosph¨ are) eigene Modelle f¨ ur diese Medien notwendig (z. B. Ozeanzirkulationsmodelle), was weit u ur die numerische Wetter¨ber die Struktur der Modelle f¨ vorhersage hinausgeht. Dennoch bleibt festzuhalten, daß die hier beschriebenen Gesetzm¨ aßigkeiten der Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are fester Bestandteil eines jeden Klimamodells sind. Es fehlt hier der Platz, die vielfältigen Ergebnisse umfangreicher Klimasimulationen auch nur ansatzweise zu beschreiben. Solche finden sich im regelm¨ aßig erscheinendem Bericht des “Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)”, in welchem die Prognosen des zuk¨ unftigen Klimas, wie sie von verschiedenen Klimamodellen ermittelt werden, dargestellt sind. 4 o ΔT / C 3

G

2

G+A

1 0 -1

1900

1950

2000

¨ Bild 17.5 Anderung der global gemittelten bodennahen Lufttemperatur aufgrund der Zunahme von Treibhausgasen (G) und Aerosolen (A), wie sie aus einem globalen Klimamodell erhalten wurde. Simulation G: nur Treibhausgase, Simulation G+A: Treibhausgase und Aerosole

2050 2100 Jahr

Als Beispiel sei hier lediglich die Simulation der global gemittelten, bodennahen Lufttemperatur eines einzelnen Klimamodells vorgestellt. Dabei geht es besonders um den Einfluß des Treibhausgases CO2 und der Aerosole auf den

17.2 Einf¨ uhrung in die Klimamodellierung ¨ lok. zeitl. Anderung 1 ∂v/∂t 2 ∂/∂t 3 ∂T /∂t 4 ∂qi /∂t 5 ∂cn /∂t

+ + + + +

Advektion v ·∇ v v ·∇ v ·∇T v ·∇qi v ·∇cn

= = = = =

253 Kr¨ afte/Quellen Fi Q QT Qqi Qcn

+

Diffusion Kv ∇2 v

+ + +

KT ∇2 T Kq ∇2 qi Kc ∇2 cn

Erl¨ auterungen zu den Gleichungen 1. Bewegungsgleichung: v = Geschwindigkeit Fi = −f k × v − 1 ∇p − ∇φ 2. Kontinuit¨ atsgleichung: = Dichte Q = −∇· v (inkompressibles Medium) 3. Gleichung f¨ ur die innere Energie: T = Temperatur QT = W¨ armequellen- und Senken (z.B.: Q = −1/(cp ) dp/dt : adiabatische Kompression; Divergenzen von lang- und kurzwelligen Strahlungsstr¨ omen; Phasenumwandlung von Wasser: latente W¨ arme). 4. Bilanzgleichung f¨ ur die Wasserphasen (qi ): q1 = Wasserdampf, q2 = Fl¨ ussigwasser, q3 = Eis. Qq = Phasenumwandlungen (z.B.: Kondensation, Verdunstung, Gefrieren). 5. Bilanzgleichung f¨ ur Inhaltsstoffe cn (n = 1, 2, 3, ...). z.B.: Gase: c1 = CO2 , c2 = N O, c3 = O3 u.s.w. im Ozean auch: c = Salzgehalt Qc : Quellen und Senken sowie chemische Umwandlungen von Spurenstoffen. Im Diffusionsterm der Gleichungen bedeuten Kv , KT , Kq , Kc die turbulenten Diffusionskoeffizienten f¨ ur die jeweilige Str¨ omungseigenschaft. Die thermodynamischen Variablen Druck (p), Dichte () und Temperatur (T ) sind noch u upft: ¨ber Zustandsgleichungen verkn¨ Atmosph¨ are: p = RT ; Ozean: = (p, T, c), c = Salzgehalt. Tabelle 17.1 Struktur der Gleichungen zur Beschreibung des Systems Atmosphäre Ozean, wie sie z.B. in Klimamodellen verwendet werden.

Strahlungshaushalt und somit auf die Lufttemperatur. Das Ergebnis einer solchen Klimasimulation ist in Bild 17.5 dargestellt. In einer Simulation wurde lediglich der Effekt der Treibhausgase ber¨ ucksichtigt, welche u ohte langwelli¨ber eine erh¨ ge Gegenstrahlung zu einem Anstieg der globalen Mitteltemperatur f¨ uhrt. Eine zweite Modellsimulation ber¨ ucksichtigt zusätzlich den Effekt von Aerosolen (z. B. Reflexion der Solarstrahlung, Erhöhung der Albedo), was zu einem reduzierten

254 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Treibhauseffekt f¨ uhrt. Beide Effekte kann man sich auch anhand des sehr einfachen “Klimamodells” aus Kapitel 5.5 klarmachen.

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung 18.1

Oberfl¨ achenkr¨ afte

Die auf ein Luft- oder Fl¨ ussigkeitsvolumen einwirkenden Kr¨ afte kann man aufteilen in Volumen- und Oberflächenkräfte. Die Volumenkr¨ afte wirken auf das gesamte Volumen, während die Oberflächenkräfte nur auf die Oberfl¨ ache des betrachteten Volumens wirken. Als Volumenkraft ist in der Meteorologie praktisch nur die Schwerkraft wirksam; ein anderes Beispiel f¨ ur eine Volumenkraft ist die Magnetkraft. Als Beispiel f¨ ur eine Oberflächenkraft haben wir bei der Behandlung der Eulerschen Bewegungsgleichung bereits die Druckkraft kennengelernt. Im folgenden sollen die auf die Oberfläche eines Luft- oder Fl¨ ussigkeitsvolumen wirkenden Kr¨ afte näher untersucht werden. Wir betrachten in Bild 18.1 die an ein Einheitsvolumen angreifenden Oberflächenspannungen. (Diese sind aufgrund der Zähigkeit des Mediums vorhanden, die wiederum durch molekulare Kräfte hervorgerufen wird.) Das Einheitsvolumen ist so gelegt, dass seine Kanten mit den Achsen des kartesischen Koordinatensystems {x,y,z} zusammenfallen. Die mit τ bezeichneten Spannungen lassen sich in Normalspannungen (senkrecht auf einem Fl¨ achenelement stehend) und Tangentialspannungen (in der Fl¨ achenebene liegend) aufteilen. Die Indexbezeichnung der einzelnen Komponenten der Spannungen geschieht nach folgendem Prinzip: der erste Index gibt die Richtung der Fl¨ achennormalen an, der zweite die Richtung, in der die Spannung wirkt. So bedeutet z. B. τxy eine Spannung auf der Fläche des Volumens, deren Normale in x-Richtung liegt, wobei die Spannung in y-Richtung weist. ...

z ..................... τ ............... . zz . . ....... ... .......... ...................................................... . . . . . . . . . . . ........... . ..... . . ............. .. . ......................... . ............................ .... τzy .......... .... ... ..................τzx.............. . ... . . . ..................... .. ... ...................... .......... ... . . . τ . .... . ... ... τxz ..... ...yz .... . . . . ... ... ..... .. ... ..... ... . .. ............................................................ .... . dz ..... .. . . . . . . . . .............. . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . ..... ... τ......................................................... .... τyy .. τxx ............................................................. ............... . .......... τxy ... yx ... .................. ....... .... ................................................................ ... ........................ . . . . . . . y . . .. . ... ... . .. . . . . . . . . . . . . . ............ ..... . .. . ......... . . . . . . . ...................... . . . . . . . . ........... .......... . ... dx x dy ........................ .... ....... ............ ...... ......

Bild 18.1 Zerlegung der an einem Volumenelement angreifenden Oberflächenkräfte nach Normal- und Tangentialspannungen

256

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

Die Oberfl¨ achenkräfte an sich erhält man aufgrund der Definition Spannung gleich Kraft pro Fl¨ ache aus der Multiplikation der entsprechenden Spannung mit der Fl¨ ache, auf die sie wirkt. Aus der Darstellung des Einheitsvolumens entnehmen wir, dass die Normalspannungen mit τxx , τyy , τzz und die Tangentialspannungen mit τxy , τxz , τyx , τyz , τzx , τzy bezeichnet werden. In Richtung der x-Koordinate weisen also alle Spannungen, deren zweiter Index x ist, analog gilt dies f¨ ur die y- und z-Koordinate. Die Gesamtspannung lässt sich bequem als ein Tensor zweiter Stufe (Spannungstensor τki ) wie folgt darstellen: ⎛

τki

mit

⎞

⎛

⎞

τxx τyx τzx τ11 τ21 τ31 = ⎝ τxy τyy τzy ⎠ = ⎝ τ12 τ22 τ32 ⎠ . τxz τyz τzz τ13 τ23 τ33 k = x, y, z i = x, y, z

k = 1, 2, 3 i = 1, 2, 3

Wir wollen jetzt untersuchen, welche Nettokraft durch die Spannungen auf die Oberfl¨ ache des Volumens ausge¨ ubt wird. Dazu betrachten wir als Beispiel alle Spannungen, die in x-Richtung wirken. F¨ ur die Normalspannungen τxx gilt: = Spannung am Flächenelement dy dz an der Stelle x und τxx (x) τxx (x + dx) = Spannung am Flächenelement dy dz an der Stelle x + dx . F¨ ur die Kr¨ afte soll jetzt angenommen werden, dass die an der Stelle x + dx wirkende Spannung in positive x-Richtung wirkt. Dem entgegen wirkt an der Stelle x eine Spannung in negative x-Richtung. F¨ ur die Kr¨ aftebilanz ergibt dies: K0xx (x) + K0xx (x + dx) = τxx (x + dx) dydz − τxx (x) dydz . F¨ ur die Spannung τxx f¨ uhren wir eine Taylor-Entwicklung durch: τxx (x + dx) ≈ τxx (x) +

∂τxx dx . ∂x

Damit erhalten wir f¨ ur die Nettokraft, die aufgrund der Normalspannungen τxx auf das Fl¨ achenelement dy dz ausge¨ ubt wird: K0xx =

∂τxx dx dy dz . ∂x

Analog geht man bei der Behandlung der ebenfalls in Richtung der x-Koordinate wirkenden Spannungen τyx und τzx vor, wobei die Kr¨ aftebilanz jeweils u ¨ber zwei gegen¨ uberliegende Flächen gebildet wird (f¨ ur die Tangentialspannung τyx z. B. f¨ ur die Fl¨ achen dxdz an den Stellen y und y + dy). Unter Ber¨ ucksichtigung der Anordnung der Spannungskomponenten in Bild 18.1 erh¨ alt man daf¨ ur die insgesamt auf die Volumenoberfläche in x-Richtung wirkenden Kr¨ afte:

18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen

257

∂τxx dx dy dz , ∂x ∂τyx dx dy dz , = ∂y

K0xx = K0yx

K0zx =

∂τzx dx dy dz . ∂z

F¨ ur die gesamte in x-Richtung wirkende Oberfl¨ achenkraft eines Volumens V = dx dy dz ergibt sich

K0x = V

∂τxx ∂τyx ∂τzx + + ∂x ∂y ∂z

.

(18.1)

Durch analoges Vorgehen erhält man die Oberfl¨ achenkr¨ afte in der y- und zRichtung, die mit K0y und K0z bezeichnet werden sollen.

K0y = V

K0z = V

∂τxy ∂τyy ∂τzy + + ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂τzz + + ∂x ∂y ∂z

,

(18.2)

.

(18.3)

Die gesamte auf das Volumen wirkende Oberfl¨ achenkraft l¨ asst sich als Summation von (18.1) bis (18.3) in der Indexschreibweise darstellen: K0i = V

∂τki ∂xk

,

i = x, y, z k = x, y, z

oder i = 1, 2, 3 oder k = 1, 2, 3

.

(18.4)

Zur Herleitung der Oberflächenkräfte ist noch zu bemerken, dass der Druck p an sich in den Komponenten der Normalspannungen enthalten ist, da er senkrecht auf die Volumenoberfläche wirkt. Da der Druck aber bei der Behandlung der Eulerschen Bewegungsgleichungen bereits als separate Oberfl¨ achenkraft behandelt wurde, soll er hier im Spannungstensor τki nicht auftreten.

18.2

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Während die Eulerschen Bewegungsgleichungen f¨ ur eine Str¨ omung ohne Reibung, also ohne Oberflächenkräfte gelten, haben u. a. L. Navier (franz¨ osischer Ingenieur, 1785–1836) und G. G. Stokes (britischer Mathematiker und Physiker, 1819–1903) die Oberflächenkräfte bei Fl¨ ussigkeiten und Gasen in den Bewegungsgleichungen ber¨ ucksichtigt. Man erhält die sogenannten Navier-StokesGleichungen, wenn man den Eulerschen Bewegungsgleichungen (9.41) die Oberflächenkraft (18.4) hinzuf¨ ugt:

258

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung Eulersche Bewegungsgleichungen

∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p 1 ∂τki − + uk + . = −εijk fj uk − ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂xk

(18.5)

Volumenkräfte Oberfl¨ achenkr¨ afte

Tr¨ agheitskräfte

Die Bewegungsgleichungen in der Form (18.5) sind noch nicht direkt zu geoße enthalten. brauchen, da sie noch den Spannungstensor τki als unbekannte Gr¨ Man ben¨ otigt noch einen Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und den Geschwindigkeitskomponenten, damit die Gleichung (18.5) l¨ osbar wird. Dieser Zusammenhang ist aufgrund von Postulaten von Stokes hergestellt worden. Vereinfacht dargestellt soll die Spannung proportional der Deformation des Geschwindigkeitsfeldes (7.19) sein:

τxy = μ

τxz = μ

τyz = μ

∂v ∂u + ∂x ∂y ∂w ∂u + ∂x ∂z ∂w ∂v + ∂y ∂z

= τyx ,

(18.6)

= τzx ,

= τzy .

In den Gleichungen (18.6) ist davon Gebrauch gemacht worden, dass man τki = τik setzen kann, was bedeutet, dass die jeweiligen antisymmetrischen Komponenten des Spannungstensors betragsmäßig gleich sind (dies folgt aus der Forderung, dass das Volumen kein Drehmoment aufweisen soll). Die Proportionalitätskonstante μ bezeichnet man als Viskosit¨ at oder Z¨ ahigkeitsbeiwert. Sie ist eine Materialeigenschaft des jeweils betrachteten Mediums. Bei den Normalspannungen wird f¨ ur eine kompressible Str¨ omung noch zus¨ atzlich die Volumen¨ anderung aufgrund der Geschwindigkeitsdivergenz ber¨ ucksichtigt: τxx = μ 2

∂uk ∂u − μ , ∂x ∂xk

τyy = μ 2

∂uk ∂v − μ , ∂y ∂xk

τzz = μ 2

∂uk ∂w − μ . ∂z ∂xk

(18.7)

Man kann zeigen, dass der Faktor μ gleich 23 μ ist. Insgesamt lassen sich die Komponenten des Spannungstensors in den Gleichungen (18.6) und (18.7) wie folgt zusammenfassen:

τik = μ

∂ui 2 ∂uj ∂uk + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xj

.

(18.8)


259

Zum Erhalt der Navier-Stokes-Gleichungen in der vollst¨ andigen Form setzt man (18.8) in (18.5) ein und erhält mit einem als konstant vorausgesetzten Z¨ ahigkeitsbeiwert μ: ∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p μ ∂ + uk = −εijk fj uk − − + ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂xk

∂ui 2 ∂uj ∂uk + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xj

Der Reibungsterm kann explizit ausdifferenziert werden:

μ ∂ 2 ui ∂ ∂uk + − 2 ρ ∂xk ∂xk ∂xi

∂ ∂uk ∂xi ∂xk

δik

2 ∂ ∂uj 3 ∂xk ∂xj

,

.

= 0 nur, wenn k = i, so dass δii = 1.

Aufgrund der Summationskonvention gilt ∂uj ∂uk = . ∂xk ∂xj Somit ergibt sich der Reibungsterm zu

∂ ∂uk 2 ∂uk μ ∂ 2 ui + − ρ ∂x2k ∂xi ∂xk 3 ∂xk

μ ∂ 2 ui 1 ∂ ∂uk = + ρ ∂x2k 3 ∂xi ∂xk

.

Die Navier-Stokes-Gleichungen lauten damit:

∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p μ ∂ 2 ui 1 ∂ ∂uk + uk = −εijk fj uk − − + + ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂x2k 3 ∂xi ∂xk

, (18.9)

oder in Vektorschreibweise

1 μ 1 ∂v + (v · ∇) v = −2 Ω × v − ∇Φ − ∇p + ∇2 v + ∇(∇ · v) ∂t ρ ρ 3

. (18.10)

F¨ ur die einzelnen Komponenten u, v, w (verabredungsgem¨ aß gilt f¨ ur die Indexschreibweise u1 = u, u2 = v, u3 = w) erhalten wir beispielsweise in einem geographisch orientierten Koordinatensystem (x = Ost, y = Nord):

∂u ∂u + uk = f v − f∗ w ∂t ∂xk

1 ∂p μ ∂ 2 u 1 ∂ ∂uk + − + ρ ∂x ρ ∂x2k 3 ∂x ∂xk

∂v ∂v + uk = −f u ∂t ∂xk

1 ∂p μ ∂ 2 v 1 ∂ ∂uk + − + ρ ∂y ρ ∂x2k 3 ∂y ∂xk

∂w ∂w + uk = ∂t ∂xk

f∗ u

1 ∂p μ ∂ 2 w 1 ∂ ∂uk + −g − + ρ ∂z ρ ∂x2k 3 ∂z ∂xk

,

,

. (18.11)

260


. z ....... ... u(z) = u0 . u0 .... .......... ... ... .. ............ ... ... .. ........... ... .. ... ... ........... .. ... .. .. .......... ... ............................................................................................................................................................ ............................................................... .. ............................................................... ............................................................... x

. z ...... ... u(z) .... u0 ............ .... .. .. ... ............. .. .. .... ... ........... .... .. .. ... ..... .. ............... ..... . ... . . .. .. . ... .. ......... ..... .... ... ..... . . . . . . .. ... .... ..... ..... ..... ............................................................................................................................................................................................ ................................................................ ................................................................ x ................................

Bild 18.2 Geschwindigkeitsverlauf einer Fl¨ ussigkeit nahe einer Oberfläche, links ohne, rechts mit Reibung

Hierbei sind f = 2Ω sin φ und f ∗ = 2Ω cos φ die u ¨blichen Coriolis-Parameter. Die Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) und (18.10) oder in Komponenten (18.11) unterscheiden sich von den Eulerschen Bewegungsgleichungen (9.41) durch die Ber¨ ucksichtigung der molekularen Reibung als zus¨ atzlich wirkende Kraft. Die Wirkung der Reibung sei an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. Betrachten wir eine eindimensionale Strömung in x-Richtung u ¨ber einer festen Unterlage mit der konstanten Geschwindigkeit u0 . Im Fall einer reibungsfreien Fl¨ ussigkeit hat die Unterlage keinen Einfluss auf die Strömung; die Geschwindigkeit ¨ andert sich nicht oberhalb der Unterlage (Bild 18.2 links). Bei einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit (mit molekularer Reibung) haftet die Str¨ omung an der festen Unterlage (hier ist u = 0), was den in Bild 18.2 rechts skizzierten Geschwindigkeitsverlauf bewirkt. Die weiteren Betrachtungen sollen zur Vereinfachung f¨ ur eine inkompressible Strömung angestellt werden. In einer solchen ist dρ/dt = 0, woraus sich nach der Kontinuit¨ atsgleichung (8.4) die Divergenzfreiheit der Str¨ omung (∂uk /∂xk = 0) ergibt. Damit entfällt der letzte Term in (18.9) bis (18.11). Betrachten wir den Einfluss der Reibung auf die zeitliche Ver¨ anderung der Geschwindigkeit ui . Wenn nur die Reibung wirkt, l¨ asst sich (18.9) schreiben als μ ∂ 2 ui ∂ui = . ∂t ρ ∂x2k Diese Gleichung hat die Form einer Diffusionsgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit uckt: f¨ ur den Impuls pro Masseneinheit. Man nennt die ui , oder anders ausgedr¨ Größe μ/ρ deshalb auch den molekularen Diffusionskoeffizienten f¨ ur den Impuls und bezeichnet diesen mit ν: ν=

μ . ρ

(18.12)

F¨ ur μ und ν von Luft bei 20 o C gelten etwa folgende Zahlenwerte: μ = 1,81 · 10−4 g cm−1 s−1 ,

ν = 0,15 cm2 s−1 .


261

Die molekulare Reibung strebt eine Gleichverteilung der Geschwindigkeit an. Dieser Effekt ist um so größer, je stärker der Geschwindigkeitsgradient des Str¨ omungsfeldes ist. Untersuchen wir noch die Wirkung der Reibung auf die kinetische Energie der Strömung. Wir gehen von den Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) aus, betrachten aber eine divergenzfreie Strömung. Multiplikation dieser Gleichung mit ui ergibt: ∂ ∂t

u2i ∂ +uk 2 ∂xk

u2i 2

= −ui

∂Φ ui ∂p − ∂xi ρ ∂xi

+ ν ui

=ν

∂ ∂xk

=ν

∂ 2 ui . ∂x2k

∂ui ui ∂xk

∂ ∂ 12 u2i − ∂xk ∂xk

∂ui ∂ui − ∂xk ∂xk ∂ui ∂xk

2

Somit ergibt sich f¨ ur die kinetische Energie pro Masseneinheit: ∂ ∂t

u2i 2

∂ + uk ∂xk

u2i 2

= −ui

∂Φ ui ∂p − + ∂xi ρ ∂xi

ν

∂ 2 u2i ∂x2k 2

− ν

∂ui ∂xk

2

.

dissipativer Anteil der Reibung (18.13) Der diffusive Anteil der Reibung hat f¨ ur die kinetische Energie die gleiche Wirkung wie f¨ ur den Impuls, nämlich eine Gleichverteilung der Energie anzustreben (wo viel kinetische Energie vorhanden ist, wird sie verringert, wo wenig ist, wird sie vermehrt). Den dissipativen Anteil wollen wir gesondert betrachten: diffusiver Anteil der Reibung

∂ ∂t

u2i 2

= −ν dissip.

∂ui ∂xk

2

≤0 .

(18.14)

¨ Die zeitliche Anderung der kinetischen Energie durch den dissipativen Anteil der molekularen Reibung ist immer negativ, d. h. durch die Reibung wird die kinetische Energie stets verringert. Diese Energievernichtung oder Energiedissipation ist um so größer, je größer der Geschwindigkeitsgradient der Str¨ omung und je gr¨ oßer der (auch als kinematische Z¨ ahigkeit bezeichnete) Koeffizient ν ist. Der durch molekulare Reibung vernichtete Anteil der kinetischen Energie wird in innere Energie umgewandelt (Reibungsw¨ arme). Die rechte Seite von (18.14) w¨ urde im System der Energiegleichungen (12.30) bis (12.32) mit positivem Vorzeichen in der Gleichung f¨ ur die innere Energie (12.31) auftreten.

262

18.3


Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Mit den Navier-Stokes-Gleichungen (18.10) können praktisch alle in Gasen und Fl¨ ussigkeiten auftretenden Strömungen in ihrer r¨ aumlichen Struktur und zeitlichen Entwicklung beschrieben werden. Formal gesehen handelt es sich um eine nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit t und zweiter Ordnung im Raum xi . Zu deren Lösung werden somit eine Integrationskonstante f¨ ur die zeitliche Integration und zwei Integrationskonstanten f¨ ur die r¨ aumliche Integration benötigt. Diese Konstanten werden f¨ ur die Zeit auch als Anfangswerte und f¨ ur den Raum als Randwerte bezeichnet. Bevor wir einige einfache L¨ osungen f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichungen angeben, soll kurz auf das Anfangs- und Randwertproblem eingegangen werden. Als Anfangswerte m¨ ussen zum Startpunkt der Integration t = t0 die Geschwindigkeiten im gesamten Integrationsgebiet bekannt sein: ui (xi , t0 ) = ui0 (xi , t0 ) . Diese Anfangswerte richten sich nach dem jeweils zu behandelnden Problem. Zum Beispiel kann das Fluid zum Startpunkt t = t0 in Ruhe sein, also ui (xi ,t0 ) = 0 und dann aufgrund der wirkenden Kräfte in Bewegung versetzt werden. Beim Problem der Randbedingungen muss man zun¨ achst das Integrationsgebiet der betrachteten Strömung wählen. Da es sich bei der Anwendung der NavierStokes-Gleichungen immer um konkrete physikalische Problemstellungen handelt, hängt die Wahl des Integrationsgebietes und der Randbedingungen von der jeweiligen Situation ab. Generell kann man sagen, dass die meisten Str¨ omungen durch feste Berandungen begrenzt sind, z. B. Rohre oder Kan¨ ale in technischen Anwendungen oder durch die Erdoberfläche im Falle atmosph¨ arischer Str¨ omungen. Auf diesen physikalischen Rändern werden deshalb auch u ¨blicherweise die mathematischen Randbedingungen formuliert. Im folgenden sollen die am häufigsten verwendeten Randbedingungen angegeben werden. Dazu betrachten wir eine feste, undurchl¨ assige Wand und bezeichnen die Achse l¨ angs der Wand als Tangentialrichtung xt und die Achse senkrecht dazu als Normalrichtung xn (siehe Bild 18.3). Ebenso bezeichnen wir die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Wand mit ut und normal zur Wand mit un . Da es sich um eine feste (starre), undurchlässige Wand handelt, kann keine Str¨ omung durch den Rand hindurchdringen. Somit lautet die Randbedingung f¨ ur die Normalgeschwindigkeit an der Wand xn = 0: un (xn = 0) = 0 .

(18.15)

ur xn = 0) also nur Der Geschwindigkeitsvektor ui kann an der Wand selbst (f¨ eine Tangentialkomponente ut besitzen. Die Randbedingung f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit richtet sich danach, ob wir es mit einer reibungsbehafteten oder reibungsfreien Strömung zu tun haben. Da wir hier die Navier-Stokes-Gleichungen

18.3 Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen . xn...... ... ... ... un ut .... ... .... .. .. .... .............................................................................................. . . . . .. . . ... .... .... . ... ... .................................................................................................. . .. ... . .. .. . ... .. ................................................................................... .. .. .. . . . .. .... .................................................................... .... .. .. .... ... ... . ...................................................... .... .. . . ... ... .... ............................................ .. .. .. .. .. . . ............................ .. ..... .. ... .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................... xt

263

Bild 18.3 Normal- und Tangentialgeschwindigkeit einer zähen Fl¨ ussigkeit in der Nähe einer festen Wand

behandeln, soll zunächst ein zähes Medium (ν = 0) betrachtet werden. F¨ ur ein solches gilt die sogenannte Haftreibungsbedingung f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit: ut (xn = 0) = 0

Haftreibung.

(18.16)

An einer festen Wand kommt die Strömung zur Ruhe, das Fluid haftet sozusagen am Rand. H¨ aufig werden Strömungsvorgänge näherungsweise als reibungsfrei angesehen (z. B. die Potentialströmungen). Auch f¨ ur diese idealisierten Str¨ omungen werden Randbedingungen benötigt. Man erhält sie aus der Forderung, dass die Wand keine Tangentialkraft auf die Strömung aus¨ ubt, d. h. das Fluid nicht an der Wand haftet. Dies bedeutet, dass die Tangentialkomponente der Schubspannung τnt verschwinden muss: τnt (xn = 0) = 0 . Mit dem Stokesschen Ansatz (18.6) folgt daraus, dass

τnt (xn = 0) = ν

∂ut ∂un + ∂xn ∂xt

=0.

F¨ ur die Normalgeschwindigkeit un gilt gemäß (18.15) an der Wand (xn = 0): un = 0. Somit verbleibt als Randbedingung im reibungsfreien Fall ∂ut =0 Gleitreibung. (18.17) ∂xn Diese Randbedingung wird auch als Gleitreibung bezeichnet, und man meint damit, dass ein z¨ ahes Fluid (ν = 0) am Rand keine Reibungskraft aus¨ ubt. Zusammenfassend kann man sagen, dass bei Haftreibung die Tangentialgeschwindigkeit am Rand verschwindet, während bei Gleitreibung die Normalableitung der Tangentialgeschwindigkeit am Rand zu null gesetzt wird. Die Wirkung dieser Randbedingungen auf die Str¨ omung innerhalb des Integrationsgebietes soll anhand einfacher Beispiele dargestellt werden.

264


Couette-Str¨ omung Dieser Str¨ omungstyp entsteht, wenn ein Fluid zwischen zwei ebenen Platten eingegrenzt ist, welche sich mit unterschiedlicher Tangentialgeschwindigkeit bewegen (Bild 18.4 links). Es werden folgende Voraussetzungen getroffen: (a) Stationarit¨ at ∂v/∂t = 0. (b) horizontale Homogenität ∂v/∂x, ∂v/∂y = 0). (c) w = 0 folgt mit der Kontinuitätsgleichung ∇ · v = 0 aus (b). (d) Es wirken weder Coriolis- noch Druck- noch Schwerkraft. (e) Die R¨ ander (Platten) bewegen sich in x-Richtung. Damit vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) zu ∂2u =0. (18.18) ∂z 2 Wir nehmen zur weiteren Vereinfachung an, dass die untere Platte ruht (u = 0) und sich die obere Platte mit der Geschwindigkeit u = u0 bewegt. Somit lauten die Randbedingungen f¨ ur (18.18) ν

u(0) = 0 ,

u(H) = u0 .

(18.19)

Die L¨ osung von (18.18) mit den Randbedingungen (18.19) ergibt sich zu: u(z) = u0 z/H

Couette-Str¨ omung.

(18.20)

Die Geschwindigkeit ändert sich linear zwischen beiden Platten (Bild 18.4 links); diese Str¨ omung zwischen zwei Platten wird nach dem franz¨ osischen Ingenieur M. Couette (1858–1943) in der Literatur als Couette-Str¨ omung bezeichnet. ............................................................... ............................................................... ............................................................... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ........ ... ... ..... ... .. . ... .. .. ... ... ... ... ... ... . ... .. . ... . .. ... ... .... ... .... .... ... ... .... . ... . .. ... .... ... .... ... ... .... ... . ... .. ... ... ... .. ... ... .. .... ... . ... . .. ... .... ... .... .... ... ... ... ... ..... ... . ... .... ....... ..................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................

•..................................... u = u0

................................................................... .......................................................... ................................................ u(z) H ...................................... ............................. .................... ...........

•

u=0

.............................................................. .............................................................. .............................................................. . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... .... . ... ....... .... ... .... .... .. .... .. .... .... . .... .. ... ... ... ... .. .. ... .. .. ... .. . ... .. .. .. . . ... .. . .. ... ... ... ... .. . ... . .. . . . . .... .. .... ... .... ... ... .... . . . . . ... ........ ...................................................................... .............................................................. .............................................................. ...............................

•

u=0 ......................... ............................................ u(z) ....................................................... D ............................................................ ...................................... ....................................................... ............................................ ......................... •

u=0

Bild 18.4 Str¨ omungen zwischen zwei ebenen Platten. Links: Couette-Strömung, rechts: Poiseuille-Str¨ omung

18.3 Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen

265

Poiseuille-Str¨ omung Wir betrachten wieder eine Strömung zwischen zwei parallelen Platten, allerdings sollen jetzt beide Ränder ruhen (u = 0 f¨ ur z = 0,H). Wir behalten Voraussetzungen (a) bis (c) der Couette-Strömung bei, lassen aber als einzige Kraft einen konstanten Druckgradienten in x-Richtung zu (Bild 18.4 rechts), so dass wir als (d) haben: (d) (1/ρ)∂p/∂x = konstant = D . Es ergibt sich somit aus der Navier-Stokes-Gleichung D=

∂2u 1 ∂p =ν 2 . ρ ∂x ∂z

(18.21)

Mit den Randbedingungen u(0) = u(H) = 0

(18.22)

erhalten wir als Lösung von (18.21) D z(H − z) Poiseuille-Str¨ omung. (18.23) 2ν Die Str¨ omung (18.23), die durch das Gleichgewicht von Druckkraft und Reibungskraft entsteht (18.21) bezeichnet man nach dem franz¨ osischen Mediziner J.L.M. Poiseuille (1799–1869) als Poiseuille-Strömung oder auch nach dem deutschen Ingenieur G. Hagen (1797–1884) als Hagen-Poiseuille-Str¨ omung. Da durch eine analoge Form von (18.23) in Zylinderkoordinaten auch die Str¨ omung in geraden Rohren mit kreisförmigem Querschnitt beschrieben wird, bezeichnet man die Hagen-Poiseuille-Strömung (18.23) auch als Rohrstr¨ omung. Die technische Anwendung in Rohrleitungen aller Art ist offensichtlich, f¨ ur die Atmosph¨ are ist diese Strömungsform nicht anwendbar. Deshalb soll zum Schluss noch ein weiterer Strömungstyp vorgestellt werden, der in geophysikalischen Str¨ omungen eher auftritt. u(z) =

Str¨ omung auf geneigten Ebenen Wir betrachten eine Fluidschicht der Dicke H, die unter dem Einfluss der Schwerkraft eine geneigte Ebene herunterfließt. Das Koordinatensystem ist so gew¨ ahlt, dass die x-Koordinate in Richtung des Hanges weist und die z-Koordinate senkrecht dazu (Bild 18.5). Es werden wieder die Voraussetzungen (a) bis (c) wie bei der Couette- und Poiseuille-Str¨ omung gewählt. Als wirkende Kraft wird jetzt nur die Schwerkraft g zugelassen. Entsprechend Bild 18.5 wirkt davon in Richtung der Ebene die Komponente g sin α. Somit lauten die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur diese Str¨ omung

266


. z ....... . g sin α H ............................ .................... ∂u ................. .. ... .... .................................... .................................. ∂z = 0 ... ... . . ................. .. ................. .............. .... .... g .... .... .. ... ...... .................................. ................................... ...... . . .................. . . .. .................... . ... .... . . . . ................. .. ... .. .............. .. ........................ ........................... ................................ .................................... ..... .................. .............................. . ................ . .................. . ..... ..... ... ..................... ..................... ......... .............................. .. .... .................... ..................................... .................................. .... .................................................... ..... ..... ..... .............. ........................................... . ... ................................................... . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..................... ............................................................................................. ................... ......................................................................... ............................................................................... ................. ......................................................................................... ....... .. ................................................................................................ ....... ......................................................................................................... .. ................................................................................................ .... ............... ..................x. ................................................................................................ ... α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ......... Bild 18.5

Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeitsschicht auf einer schrägen Ebene

∂2u , (18.24) ∂z 2 d. h. es herrscht ein Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und Reibungskraft. Hinsichtlich der Randbedingungen soll wieder Haftreibung auf dem festen unteren Rand (der Ebene) bestehen, und somit u(z = 0) = 0. An der Obergrenze der Schicht bei z = H wird angenommen, dass auf die Oberfl¨ ache des Fluids (z. B. Wasser) keine Tangentialspannungen wirken, d. h. τzx (z = H) = 0 (Gleitreibungsbedingung). Entsprechend (18.17) erhält man daraus ∂u/∂z = 0 f¨ ur z = H und somit als Randbedingungen f¨ ur (18.24): g sin α = ν

z=0 : u=0 z = H : ∂u/∂z = 0

Haftreibung Gleitreibung

(18.25)

Als L¨ osung der vereinfachten Navier-Stokes-Gleichung (18.24) ergibt sich mit den Randbedingungen (18.25): g sin α z(2H − z) . (18.26) 2ν Der Verlauf ist eine Parabel zwischen z = 0 und z = H und gleicht somit dem Str¨ omungsprofil der Poiseuille-Strömung (18.23) bis zu deren Kanalmitte. Str¨ omungen von Fl¨ ussigkeitsschichten auf geneigten Ebenen findet man zahlreich in der Natur, z. B. in Fl¨ ussen oder beim Ablauf von Regenwasser auf einer absch¨ ussigen Straße. Aber auch in der Meteorologie finden sich solche Bewegungen in Form von Kaltluftabfl¨ ussen auf geneigten H¨ angen. Abschließend sei bemerkt, dass bei den hier beschriebenen einfachen L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen die Strömung in allen H¨ ohen parallel zum festen Rand verl¨ auft und dabei dem Betrage nach mit der Entfernung vom unteren Rand zunimmt. Man bezeichnet solche Strömungen deshalb in der Literatur auch als ebene Scherstr¨ omungen. u(z) =

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen 19.1

Begriffe und Regeln zu Mittelbildungen

In den vorangegangenen Kapiteln waren wir davon ausgegangen, dass eine meteorologische Feldgröße zu allen Zeiten und an allen Orten bekannt sei. In der Praxis ist dies jedoch meist nicht der Fall; vielmehr sind wir gezwungen, uns mit (gemessenen) mittleren Werten der Größe ψ innerhalb eines Zeit- oder L¨ angenintervalls zu begn¨ ugen. Im folgenden sollen deshalb einige Definitionen und Regeln u ¨ber Mittelbildungen zusammengestellt werden. Eine Gr¨ oße ψ soll von der Zeit t und vom Ort x abh¨ angen. Wir betrachten jetzt entweder ein zeitliches Mittel am Ort x oder ein r¨ aumliches Mittel zur Zeit t. Bild 19.1 ist deshalb f¨ ur beide Fälle interpretierbar. Wir ordnen entsprechend der Darstellung dem Ort x0 ein räumliches Mittel und der Zeit t0 ein zeitliches zu. Als Mittel definieren wir:

1 ¯ ψ(x,t 0) = Δt

t0 + Δt 2

ψ(x,t0 + t ) dt ,

zeitliches Mittel ,

t0 − Δt 2

(19.1) ˜ 0 ,t) = 1 ψ(x Δx

x0 + Δx 2

ψ(x0 + x ,t) dx ,

r¨ aumliches Mittel .

x0 − Δx 2

Wenn das Mittelbildungsintervall Δt oder Δx kleiner ist als die gesamte zeitliche oder r¨ aumliche Erstreckung der Größe, kann das zeitliche Mittel ψ¯ noch angen. Als von der Zeit (t0 ) und das räumliche Mittel ψ˜ noch vom Ort (x0 ) abh¨ ein Beispiel f¨ ur ein zeitliches Mittel sei der im Wetterdienst gebr¨ auchliche zehnmin¨ utige Mittelwert der Windgeschwindigkeit genannt, der aber nat¨ urlich einen . . . ........................................................ Δx, Δt.......................................................... . . ψ(x,t) ........ ..... ..... ... .... .... .... .... ... ... .... ........ .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... ..... ..... ..... ................... ..... ................................................................................................................................................................................................................................................ ............ ................... . . ¯ ψ˜ .. ...................................................................................................................................................................................... ........... ... .. ... ψ, .. ... ... ... ...... .... ... ... ... ... .. ......... ... ... ........... ... ... .... ..... ... ..... ..... .... .... ... ... .... ... ... .... ... .... ... ... .... .. . .... ... ................................................................................................................................................................................. .. x, t x0 , t0

Bild 19.1 Zur Definition des zeitlichen und räumlichen Mittels einer veränderlichen Größe ψ

268

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

zeitlichen Verlauf (Tagesgang) aufweist. Ein Beispiel f¨ ur ein r¨ aumliches Mittel ist das Breitenkreismittel um die Erdoberfläche herum. Dieses Mittel h¨ angt nicht mehr vom Ort ab, da der Breitenkreis ein geschlossenes Mittelbildungsintervall darstellt. Ein weiteres Mittel ist das Ensemblemittel, das sich u ¨ber die N Partikel eines Ensembles erstreckt: N 1 = ψi . ψ N i=1

(19.2)

Bei der Betrachtung kompressibler Strömungen wird h¨ aufig das sogenannte gewichtete Mittel verwendet, bei dem die Dichteverteilung ρ/¯ ρ als Gewicht gew¨ ahlt wird: ρψ . ψˆ = ρ¯

(19.3)

F¨ ur die folgenden Rechenregeln betrachten wir das zeitliche Mittel. Eine Gr¨ oße ψ(t) l¨ asst sich aufspalten in Mittelwert und Abweichung von diesem Mittelwert: ¯ 0 ) + ψ (t) . ψ(t) = ψ(t

(19.4)

Definitionsgem¨ aß verschwindet das Mittel u ¨ber die Abweichungen: ψ (t) = 0 .

(19.5)

Seien a und b beliebige Größen, so gelten folgende Regeln: a+b = a ¯ + ¯b ka = k a ¯ a ¯ = a ¯

, wenn k = konstant .

Wichtig ist die Regel f¨ ur die Mittelbildung von Produkten: a · b = (¯ a + a )(¯b + b ) = a ¯ · ¯b +¯ a · b + a ·¯b + a · b =0 =0 a ¯ · ¯b und somit a·b=a ¯ · ¯b + a · b .

(19.6)

Durch analoges Vorgehen ergibt sich f¨ ur das Mittel eines Produktes aus drei Größen: a·b·c=a ¯ · ¯b · c¯ + a ¯ · b · c + ¯b · a · c + c¯ · a · b + a · b · c .

(19.7)

19.1 Begriffe und Regeln zu Mittelbildungen

269

Regel (19.6) ben¨ otigen wir später bei der Mittelbildung der Navier-Stokes-Gleichungen und (19.7) bei der Mittelbildung der Gleichung f¨ ur die kinetische Energie. Wenden wir (19.6) auf den Fluss der Größe ψ an (wobei der Fluss das Produkt der transportierenden Geschwindigkeit v mit der transportierten Gr¨ oße ψ ist), so ergibt sich:

¯ ψ¯ v

=

vψ

Zeitmittel des Flusses der Gr¨ oße ψ

v ψ .

+

Fluss von ψ durch Schwankungen der Geschwindigkeit

Fluss der mittleren Größe ψ¯ mit der mittleren Ge¯ schwindigkeit v

(19.8)

Als Beispiel f¨ ur die Mittelbildung von Fl¨ ussen betrachten wir den W¨ armestrom pro Masseneinheit cp uT , am festen Ort hervorgerufen durch einen periodischen Verlauf von Geschwindigkeits- und Temperaturfeld:

2π t τ

u(t) = u0 + u1 sin

,

2π (t + Δt) T (t) = T0 + T1 sin τ

.

u und T seien zeitlich um 2πΔt/τ phasenverschoben. Wir berechnen den innerhalb einer Periode τ erfolgten Wärmestrom: ¯T¯ + cp u T . W = cp uT = cp u Es ist hierbei: u ¯ = u0 , T¯ = T0 , u = u1 sin(2π t/τ ) und T = T1 sin(2π (t+Δt)/τ ) . W = cp u0 T0 + cp u1 T1

1 τ

τ

sin 0

2π t τ

sin

2π (t + Δt) τ

2π 1 Δt = cos 2 τ

und damit: W

cp u0 T0

=

+

durch mittleres Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld hervorgerufener Wärmestrom

dt

2π 1 cp u1 T1 cos Δt 2 τ

.

durch periodisches Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld hervorgerufener W¨ armestrom

270


Der Anteil am Wärmestrom, der durch die periodischen Schwankungen von Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld verursacht wird, verschwindet, wenn beide Felder in Gegenphase sind (Δt = 14 τ , 34 τ ), und er ist am gr¨ oßten, wenn u und T in Phase sind (Δt = 0, 12 τ ). Wie bereits eingangs erwähnt, ist es in der Meteorologie (und nicht nur hier!) meist nur m¨ oglich, Mittelwerte einer Größe zu messen, da die Messinstrumente zu tr¨ age sind, um jede kurzfristige Schwankung zu registrieren (z. B. Schalenkreuzanemometer f¨ ur Windgeschwindigkeit oder Quecksilberthermometer f¨ ur Temperatur). Jeder einzelne Messwert solcher tr¨ ager Instrumente stellt bereits einen gemittelten Wert der jeweiligen Messgröße dar. Auf der anderen Seite möchte man meteorologische Gr¨ oßen vorhersagen, d. h. ihren zeitlichen Verlauf in der Zukunft kennen (siehe Kapitel 17 zur numerischen Wettervorhersage). Dazu stehen im Prinzip prognostische Gleichungen zur Verf¨ ugung, jedoch zunächst f¨ ur die ungemittelten Gr¨ oßen. Als Ausgangswerte f¨ ur diese Berechnungen hat man aber nur die gemessenen, mittleren Werte der vorherzusagenden Gr¨ oße. Um diese Messwerte zu verwenden, muss man die jeweiligen Gleichungen einer Mittelbildung unterziehen, um so prognostische Gleichungen f¨ ur die mittleren Gr¨ oßen zu erstellen. Diese Mittelbildung einer prognostischen Gleichung soll am Beispiel einer allgemeinen, skalaren Größe ψ demonstriert werden, deren Quellen wir mit Q bezeichnen wollen: ∂ψ ∂ψ + uk =Q. ∂t ∂xk Die Aufspaltung von uk und ψ in ¯k + uk , uk = u

(19.9)

ψ = ψ¯ + ψ

und Anwendung der zeitlichen Mittelung auf (19.9) ergibt mit Hilfe von (19.5): ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ¯ + Q , + + u¯k + uk =Q + uk +u¯k ∂t ∂t ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk =0 = 0 =0 =0 ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ ψ¯ ¯. +u ¯k + uk =Q (19.10) ∂t ∂xk ∂xk (19.10) ist eine Gleichung f¨ ur die mittlere Größe ψ¯ und k¨ onnte somit f¨ ur die Vorhersage dieser Größe verwendet werden. Durch den Mittelbildungsprozess tritt jetzt aber ein zus¨ atzlicher Term auf, der das mittlere Produkt der Schwankungsgrößen enth¨ alt. Dieser Term enthält aber gerade die nicht messbaren (oder besser: nicht gemessenen) Schwankungen der mittleren Gr¨ oßen, so dass in der Bestimmungsgleichung f¨ ur ψ¯ eine weitere Unbekannte auftritt. Die Gleichung (19.10) ist daher nur l¨ osbar, wenn ein Zusammenhang zwischen den Schwankungsgr¨ oßen und den mittleren Gr¨ oßen gefunden werden kann:

19.2 Die Reynolds-Gleichungen

uk

271

∂ψ ¯ . = F (¯ uk , ψ) ∂xk

oder allgemein a b = F (¯ a, ¯b) . Die Aufgabe, die Schwankungsgrößen durch mittlere Gr¨ oßen auszudr¨ ucken und somit die Gleichungen f¨ ur die mittleren Größen (f¨ ur eine L¨ osung) zu schließen, ist eines der Hauptanliegen von Turbulenztheorien. Sie ist in der Literatur als das Schließungsproblem bekannt. Hierbei soll es sich bei den Schwankungen nicht um streng periodische Vorgänge handeln (diese k¨ onnte man ja bei Kenntnis der Frequenzen direkt berechnen), sondern um nichtperiodische, zuf¨ allige Abweichungen vom mittleren Zustand, allgemein als turbulente Schwankungen bezeichnet.

19.2

Die Reynolds-Gleichungen

Die im vorigen Abschnitt zusammengestellten Methoden der Mittelbildung von Gleichungen sollen jetzt auf die Navier-Stokes-Gleichungen angewendet werden. Wir gehen von (18.9) aus, betrachten aber im folgenden zus¨ atzlich eine inkompressible Str¨ omung, was das Verschwinden des Divergenztermes in (18.9) zur Folge hat. Somit haben wir als Ausgangsgleichung: ∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p ∂ 2 ui + uk = −εijk fj uk − − +ν . ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ∂x2k

=

∂uk ∂ (uk ui ) − ui ∂xk ∂xk

= 0, da inkompressible Str¨ omung Eine weitere Vereinfachung ergibt die Annahme, dass die Str¨ omung keine turbulenten Dichteschwankungen aufweisen soll, d. h. ρ = 0, also ρ = ρ¯. Unter Ber¨ ucksichtigung der oben vorgenommenen Umformung des Advektionstermes erhält man die sogenannte Impulsstromform der Navier-Stokes-Gleichungen: ∂ui ∂uk ui ∂Φ 1 ∂p ∂ 2 ui + = −εijk fj uk − − +ν . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k Eine gleitende zeitliche Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu:

(19.11)

272

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen ∂u ¯i + ∂t

¯ ¯i ∂uk ui ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u = −εijk fj u ¯k − − +ν . ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k

∂ (¯ uk u ¯i + uk ui ) ∂xk ∂u u ∂ (¯ uk u ¯i ) + k i = ∂xk ∂xk =

∂u ¯i ∂u ¯k =u ¯k +u ¯i ∂xk ∂xk

= 0, da Strömung divergenzfrei Mit diesen Umformungen erhalten wir f¨ ur die gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ¯i ∂uk ui ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u ∂u ¯i +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − +ν − . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂xk ∂x2k

(19.12)

Diese Gleichung hat die gleiche Form wie die f¨ ur die ungemittelten Gr¨ oßen (19.11), jedoch tritt jetzt zusätzlich (durch die Nichtlinearit¨ at von (19.11) bedingt) ein Term auf, der die Divergenz des turbulenten Impulsflusses (pro Masseneinheit) darstellt. Betrachten wir den Zusatzterm etwas n¨ aher. F¨ ur die einzelnen Komponenten der Gleichung (19.12) lautet dieser: i = 1 , u1 = u :

∂uk u ∂u u ∂v u ∂w u + + = ∇ · (v u ) , = ∂xk ∂x ∂y ∂z

i = 2 , u2 = v :

∂uk v ∂u v ∂v v ∂w v + + = ∇ · (v v ) , = ∂xk ∂x ∂y ∂z

i = 3 , u3 = w :

∂uk w ∂u w ∂v w ∂w w + + = ∇ · (v w ) . = ∂xk ∂x ∂y ∂z

Die mit der mittleren Dichte ρ¯ multiplizierten Impulsfl¨ usse uk ui bezeichnet man auch als turbulente Schubspannungen oder als Reynoldssche Schubspannungen (nach dem britischen Physiker O. Reynolds, 1842–1912). Diese seien hier mit τki bezeichnet: ρ uk ui = −¯ ρ ui uk = τik . τki = −¯

(19.13)

Analog zum molekularen Spannungstensor (Kapitel 18) kann man τki = τik als Reynoldsschen Spannungstensor bezeichnen, wobei dieser die folgende Struktur besitzt:

19.2 Die Reynolds-Gleichungen ⎛

τki

u2 ⎜ = −¯ ρ·⎝ uv u w

v u v 2 v w

273 ⎞

⎛

w u τxx ⎟ w v ⎠ = ⎝ τxy τxz w2

τyx τyy τyz

⎞

τzx τzy ⎠ . τzz

(19.14)

Hierbei gilt zwar v u = u v , w u = u w und w v = v w , so dass der turbulente Spannungstensor insgesamt nur sechs unbekannte Komponenten besitzt, jedoch soll die in (19.14) dargestellte Form beibehalten werden, und zwar aus folgendem Grund: Jede Komponente stellt den Transport einer Geschwindigkeitskomponente durch eine andere Geschwindigkeitsfluktuation dar, wobei im Ausdruck uk ui uk die transportierende und ui die transportierte Geschwindigkeit sein soll. Also ist u w der Transport von Vertikalgeschwindigkeit w mit der Horizontalgeschwindigkeit u in Richtung von u (hier x-Richtung), w¨ ahrend w u den Transport von u mit w in z-Richtung darstellt. Ersetzen wir nun uk ui in (19.12) durch den turbulenten Spannungstensor (19.14) und verwenden f¨ ur die molekulare Reibung wieder die urspr¨ ungliche Form des molekularen Spannungstensors (wie in (18.5), hier aber zur Unterscheidung von τki mit Mki bezeichnet), so ergibt sich eine andere Form der gemittelten NavierStokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ∂u ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ 1 ∂M ki 1 ∂τki +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − + + . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ρ¯ ∂xk ρ¯ ∂xk

1 ∂ 1 M ki + τki ρ¯ ∂xk

(19.15)

2

Neben der molekularen Reibung ρ1¯ ∂M ki /∂xk tritt in den gemittelten NavierStokes-Gleichungen noch ein zusätzlicher Reibungsterm ρ1¯ ∂τki /∂xk auf, der durch die turbulenten Schwankungen der Strömung verursacht wird. Die Wirkung der turbulenten Reibung soll in Bild 19.2 zunächst rein qualitativ an einer Rohrstr¨ omung gezeigt werden, wobei jeweils der gleiche Druckgradient die Str¨ omung erzeugt. z ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................................................................................................................... .... ..... .................................................. .. ....... nur molekulare ........ .... ..... ... ........ . .......... ... ... .. ........... .... Reibung ... ... .................... ... ........ ... .... .. ... .. .. ... .... .. ....... .............................. ... .... . ................ ............ ... .... ............ molekulare und ... ..... ............ . . .... . .. ... ... ........ . . . . . . .... . turbulente Reibung ............ . . . ... .... ......................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................. ............................................................................. u ¯

Bild 19.2 Rohrströmung einer zähen Fl¨ ussigkeit mit und ohne Turbulenz

274


Durch die turbulente Reibung wird der Gesamtwiderstand der Str¨ omung im Rohr erh¨ oht, was sich im Abflachen des Geschwindigkeitsmaximums und in einer Verst¨ arkung der Geschwindigkeitsgradienten in Wandn¨ ahe ausdr¨ uckt. Mit (19.15) haben wir jetzt eine Gleichung f¨ ur die gemittelten Geschwindigkeiten erhalten, jedoch tauchen als zusätzliche unbekannte Gr¨ oßen die turbulenten Schubspannungen τki auf. Das in Abschnitt 19.1 dargestellte Schließungsproblem f¨ ur gemittelte Gleichungen bedeutet hier, die unbekannten turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen uk ui durch die bekannten Geschwindigkeitskomponenten der mittleren Bewegung u ¯i auszudr¨ ucken. Wegen der gleichen Struktur von molekularem Spannungstensor Mki und turbulentem Spannungstensor τki liegt es nahe, f¨ ur τki einen Ansatz analog zum molekularen (18.8) zu machen. In Abschnitt 18.2 hatten wir erhalten:

Mki = μ 1 Mki = ν ρ¯

∂ui ∂uk + ∂xk ∂xi ∂ui ∂uk + ∂xk ∂xi

= Mik ,

=

1 Mik . ρ¯

Analog machen wir einen Deformationsansatz f¨ ur die turbulenten Schubspannungen:

τki

= −¯ ρuk ui

1 τki ρ¯

−uk ui

=

=

A

= K

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi ∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

= −¯ ρui uk

= τik , (19.16)

=

−ui uk

1 τik . ρ¯

=

Der Viskosit¨ at μ entspricht hier der Austauschkoeffizient A und dem molekularen Diffusionskoeffizienten ν der turbulente Diffusionskoeffizient K. Als mittlere Zahlenwerte hatten wir f¨ ur μ und ν: μ = 1,8 · 10−5 kg m−1 s−1 ,

ν = 1,5 · 10−5 m2 s−1

.

In der Atmosph¨ are erhält man als typische Werte f¨ ur A und K etwa: A = 5 kg m−1 s−1 ,

K = 4 m2 s−1

.

Der turbulente Diffusionskoeffizient ist etwa um f¨ unf Zehnerpotenzen gr¨ oßer als der molekulare. Setzt man nun den Ansatz (19.16) in (19.12) ein, so ergibt sich f¨ ur die Divergenz des turbulenten Impulsflusses unter Ber¨ ucksichtigung der Voraussetzung ∂ u ¯k /∂xk = 0 und f¨ ur den Fall K = konstant: −

∂uk ui ∂xk

(19.16) ↓

=

∂ ∂xk

K

#

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

$

= K

¯i ¯k ∂2u ∂ ∂u + 2 ∂xi ∂xk ∂xk

=0

=K

¯i ∂2u . ∂x2k

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte . u ...... ... ...... ..... .... .. .. ... . ..... .................................................................................................................................................................. ..... ..... ................................................... ..... ..... ...................................................................................................................... ......... ............ .......... ... ... .. ... ... ..... ... ....... ... u ¯ .... .. ... ... .... .... . .......... ..... ... ....... ..................... ..................... ... .... . ... . . ... .... ... .... . . .. .. .... ... ... ... .... .. ... .. .... ... ... .... laminar ..... Wellenst¨ orung ...... turbulent . .. .... ... ¯ + u0 sin ωt ....... u = u u=u ¯ ... u = u ¯ + u ... .. . ........................................................................................................................................................................................................ t

275

Bild 19.3 Charakteristik laminarer, wellenartiger und turbulenter Strömungen am Beispiel des zeitlichen Verlaufes der Geschwindigkeit u am festen Ort

Damit erh¨ alt man f¨ ur die gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ∂u ¯i ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u +u ¯k = εijk fj u ¯k − − + (ν + K) . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k

(19.17)

In den meisten Fällen kann man die molekulare Reibung gegen¨ uber der turbulenten Reibung vernachlässigen (wegen der Größenunterschiede von ν und K), so dass man etwas vereinfacht formulieren kann: In den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen tritt die turbulente Reibung an die Stelle der molekularen Reibung. Dies gilt nat¨ urlich nur, wenn eine Str¨ omung turbulent ist, d. h. turbulente Geschwindigkeitsschwankungen aufweist. Eine Str¨ omung, die keine turbulenten Schwankungen besitzt (u = u ¯), nennt man laminar. Als Ph¨ anomen zwischen laminarer und turbulenter Str¨ omung kann man die einem Grundstrom u orungen ansehen (Bild 19.3). ¨berlagerten Wellenst¨ Bei einer turbulenten Strömung setzt sich die Momentangeschwindigkeit u(t) aus dem zeitlichen Mittel u ¯ und einer nichtperiodischen Geschwindigkeitsfluktuation u (t) zusammen. Die Ursache f¨ ur die Turbulenz liegt in den physikalischen Eigenschaften der jeweiligen Strömung, wor¨ uber umfangreiche Literatur existiert. Einige weiterf¨ uhrende B¨ ucher sind in den Literaturhinweisen aufgef¨ uhrt.

19.3

Gradientansatz und Mischungsweg fu ¨ r turbulente Transporte

Bei der Behandlung der gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen sind analog zum molekularen Fall die turbulenten Impulsfl¨ usse uk ui mit der Deformation des mittleren Geschwindigkeitsfeldes verkn¨ upft worden. In der allgemeinen Erhaltungsgleichung (19.10) f¨ ur die mittlere Größe ψ treten die turbulenten Fl¨ usse uk ψ auf. Diese Fl¨ usse (oder Transporte) m¨ ussen zur Schließung der Gleichung mit der mittleren Gr¨ oße ψ verkn¨ upft werden. Dazu wenden wir wieder eine Analogie zu molekularen Vorg¨ angen an. F¨ ur die molekulare Diffusion der Eigenschaft α gilt die folgende Diffusionsgleichung:

276


∂α ∂2α ∂ = να 2 = ∂t ∂xk ∂xk

να

∂α ∂xk

=−

∂Mαk . ∂xk

Hierbei ist Mαk der molekulare Fluss von α und να der molekulare Diffusionskoeffizient f¨ ur die Quantität α. (Setzt man z. B. α gleich der Temperatur T , also α = T , so w¨ are obige Gleichung die Wärmeleitungsgleichung und νT der molekulare W¨ armeleitf¨ ahigkeitskoeffizient.) Den Ansatz Mαk = −να

∂α ∂xk

(19.18)

nennt man den Gradientansatz f¨ ur molekulare Fl¨ usse. Die molekulare Diffusion versucht, die Gegensätze des α-Feldes auszugleichen; deshalb ist der molekulare Fluss dem Gradienten von α entgegengesetzt gerichtet. Analog zum Molekularen nehmen wir an, dass auch die Turbulenz eine ausgleichende (diffusive) Wirkung auf das mittlere Feld einer Quantit¨ at besitzt. Der turbulente Fluss uk ψ soll also gegen den Gradienten von ψ¯ erfolgen. Wir setzen somit: uk ψ = −Kψ

∂ ψ¯ ∂xk

,

Gradientansatz f¨ ur turbulente Fl¨ usse .

(19.19)

ur die Gr¨ oße ψ. Dieser ist, wie Hierbei ist Kψ der turbulente Diffusionskoeffizient f¨ wir sp¨ ater noch genauer ausf¨ uhren werden, nicht eine Konstante wie der molekulare Diffusionskoeffizient, sondern hängt im allgemeinen vom Ort und von der Zeit ab, Kψ = Kψ (xk ,t). Als Beispiel f¨ ur die Verwendung des Gradientansatzes nehmen wir die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine z¨ ahe, divergenzfreie Str¨ omung: ∂T + ∂t

uk

∂T ∂xk

= −νT

∂2T . ∂x2k

∂uk T ∂uk −T ∂xk ∂xk

=0 Die Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu ∂ 2 T¯ ∂uk T ¯k T¯ ∂ T¯ ∂ u + = νT − , ∂t ∂xk ∂xk ∂x2k und durch Anwendung des Gradientansatzes (19.19) auf uk T und Umformung der Gleichung erhält man ∂ T¯ ∂ 2 T¯ ∂ T¯ +u ¯k = (νT + KT ) 2 . ∂t ∂xk ∂xk

(19.20)

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte

277

Dies ist die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Str¨ omung, wobei KT der turbulente Diffusionskoeffizient f¨ ur Wärme ist. Zum Gradientansatz noch ein Hinweis: Die ausgleichende Wirkung turbulenter Fl¨ usse kann nur voll wirksam werden, wenn das Feld einer Gr¨ oße nicht durch Quellen oder Senken dieser Größe zeitlich und räumlich ver¨ andert wird. Der Gradientansatz ist deshalb nur f¨ ur konservative Gr¨ oßen gerechtfertigt, denn bei solchen ist dψ/dt = 0, was das Verschwinden von Quellen und Senken bedeutet. In der Praxis l¨ asst sich jedoch der Gradientansatz auch f¨ ur nichtkonservative Gr¨ oßen verwenden, wenn der betrachtete Mittelungszeitraum nicht zu groß gew¨ ahlt wird. Der Gradientansatz ist ein empirischer Zusammenhang zwischen turbulenten Fl¨ ussen und mittleren Feldern; er ist deshalb nicht f¨ ur alle physikalischen Ph¨ anomene turbulenter Strömungen brauchbar, was bei der Anwendung von (19.19) bedacht werden sollte. Der Gradientansatz (19.19) war in Analogie zu molekularen Vorg¨ angen hergeleitet worden. Eine andere Möglichkeit zum Erhalt des Gradientansatzes ist die von L. Prandtl (deutscher Physiker, 1875–1953, Mitbegr¨ under der modernen Grenzschichttheorie) stammende Idee des Mischungsweges f¨ ur turbulente ¨ Schwankungen. Die Uberlegungen dazu sind folgende: Wir betrachten ein (eindimensionales) Profil f¨ ur die Gr¨ oße ψ, und zwar sowohl f¨ ur die mittleren als auch f¨ ur die momentanen Werte (Bild 19.4). F¨ ur den Momentanwert ψ(z1 ) kann nach obiger Darstellung folgende Aussage gemacht werden ¯ 1 ) + ψ (z1 ) ψ(z1 ) = ψ(z oder ¯ 2 ) = ψ(z ¯ 1 + l ) . ψ(z1 ) = ψ(z . z ....... .. .. ψ¯ .... ψ . . ... ... . . ... ........ .. . . . . . ... . . .. . .. .... . z2 ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ............ ⎫ ... .. ⎬ ... .... ......... . . . ... l .. .. ... .... ........ ⎭ . . . z1 ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......................... ..... ..... ..... ..... ......... .. ... ... ... ......... ... ... ......... .......... ..... ... ..... ... . ... .. . ....... ... ... ... ... ... ... ....... . . . . . .. ψ (z1 ) ... ... .... ... .. . . .. . . . . ... ... ... ............... .... .. . . ................................................................................................................................................................................................ ¯ ¯ ψ(z1 ) ψ(z2 ) ψ

Bild 19.4 Prandtlscher Mischungswegansatz mit Darstellung der äquivalenten Verschie¯ 1) + bung. ψ(z1 ) = ψ(z ¯ ψ (z1 ) = ψ(z1 + l )

278


Die zweite Aussage bedeutet, dass man zu jedem Momentanwert ψ in der H¨ ohe z1 einen gleich großen Wert im mittleren Profil an der Stelle z2 finden kann, wobei uckt: Man z2 wiederum um die Strecke l von z1 entfernt ist. Oder anders ausgedr¨ kann den Momentanwert der Größe ψ an der Stelle z1 erhalten, wenn man den mittleren Wert an der Stelle z2 = z1 + l um die Strecke l verschiebt. Die L¨ ange l nennt man deshalb auch die ¨ aquivalente Verschiebung. F¨ ur jede beliebige arts oder abw¨ arts gerichtet Höhe z ist l eine Funktion der Zeit und kann aufw¨ sein. Nimmt man zwischen zwei Höhen z1 und z2 den Verlauf von ψ¯ als linear an, was bedeutet, dass nur ein kleines Höhenintervall betrachtet werden kann, so kann man schreiben: ¯ ¯ 1 + l ) = ψ(z ¯ 1 ) + ∂ ψ l . ψ(z1 ) = ψ(z ∂z Wegen ¯ 1 ) + ψ (z1 ) ψ(z1 ) = ψ(z ergibt sich f¨ ur die Schwankungsgröße ψ allgemein: ¯ ∂ ψ(z) l (z) . (19.21) ∂z Die turbulenten Schwankungen sind mit dem Gradienten des mittleren Feldes durch die ¨ aquivalente Verschiebung verkn¨ upft. Bildet man nun den turbulenten Fluss der Quantit¨ at ψ, so erh¨ alt man: ψ (z) =

∂ ψ¯ ∂ ψ¯ l = w l . (19.22) ∂z ∂z Der turbulente Vertikalfluss der Größe ψ ist proportional dem Gradienten des mittleren ψ-Feldes, wobei der Proportionalitätsfaktor wiederum das Produkt turbulenter Schwankungen enthält. Man hat zwar den Gradientansatz aus dem Konzept der ¨ aquivalenten Verschiebung hergeleitet, daf¨ ur aber eine neue, unbekannte Gr¨ oße w l erhalten. Aus dem Vergleich des Gradientansatzes in der Form (19.19) mit (19.22) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen w l und dem turbulenten Diffusionskoeffizienten: w ψ = w

(19.22)

w ψ

↓

=

w l

∂ ψ¯ ∂z

(19.19) ↓

=

Kψ = −w l .

− Kψ

∂ ψ¯ , ∂z (19.23)

Der turbulente Diffusionskoeffizient ist das mittlere Produkt aus ¨ aquivalenter Verschiebung und Geschwindigkeitsfluktuation in Richtung der Verschiebung. Die Beziehungen (19.21) bis (19.23) sind f¨ ur den einfachen Fall erhalten worden, dass die ¨ aquivalente Verschiebung nur in einer Richtung (hier z-Richtung) erfolgte. Ber¨ ucksichtigt man aber alle Ortskomponenten, so erh¨ alt man f¨ ur die Fluktuation der Gr¨ oße ψ:

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte

ψ = lj

279

∂ ψ¯ , ∂xj

wobei die ¨ aquivalente Verschiebung lj in die Richtung der Ortskomponente j erfolgt. F¨ ur den turbulenten Fluss von ψ erhält man damit ui ψ = ui lj

∂ ψ¯ . ∂xj

(19.24)

Aus Vergleich von (19.24) mit dem Gradientansatz (19.19) ersieht man, dass der turbulente Diffusionskoeffizient ein Tensor zweiter Stufe ist, Kij = −ui lj .

(19.25)

¨ Uber die Tensoreigenschaft von Kij ist aber praktisch nichts bekannt, weshalb man sich damit begn¨ ugt, nur die Komponenten von K in Richtung der transportierenden Geschwindigkeit zu verwenden: ui ψ = −K(i)

∂ ψ¯ . ∂xi

(19.26)

H¨ aufig jedoch ist es nicht einmal möglich, diese drei Komponenten des Diffusionskoeffizienten zu bestimmen, so dass man in der Form (19.19) des Gradientansatzes mit nur einem Wert von K f¨ ur alle Richtungen operiert. Die Verkn¨ upfung des Diffusionskoeffizienten K mit der ¨ aquivalenten Verschiebung in der Form (19.22) oder (19.25) hat das Problem der Bestimmung von turbulenten Fl¨ ussen mit Hilfe des Gradientansatzes nur in eine weitere Unbekannte, nämlich ui lj , verlagert. Um das Prandtlsche Konzept auch praktisch zu nutzen, verwendet man als Schließung f¨ ur das unbekannte Produkt ui lj den Ansatz: ui lj = −uc l .

(19.27)

Hierbei ist uc eine f¨ ur das jeweilige Problem charakteristische Geschwindigkeit und l der sogenannte Mischungsweg, wobei gilt: l = |l | .

(19.28)

Der Mischungsweg ist das zeitliche Mittel der ¨ aquivalenten Verschiebung, gibt also an, wie weit ein Teilchen im Mittel verschoben werden muss, damit sein Momentanwert der Eigenschaft ψ mit dem zeitlichen Mittel ψ¯ u ¨bereinstimmt. Der Mischungsweg f¨ ur turbulente Strömungen ist physikalisch etwa mit der freien Wegl¨ ange der Molek¨ ule vergleichbar. F¨ ur die Bestimmung von turbulenten Fl¨ ussen aus den mittleren Gradienten haben wir somit im einfachsten Fall folgende Beziehungen:

280


∂ ψ¯ , ∂xi

ui ψ

= −K

ui ψ

∂ ψ¯ = −uc l . ∂xi

(19.29)

Um (19.29) anwenden zu können, muss man entweder den turbulenten Diffusionskoeffizienten oder den Mischungsweg und eine charakteristische Geschwindigkeit kennen bzw. vorgeben. Spezielle Ansätze f¨ ur diese Gr¨ oßen werden in sp¨ ateren Kapiteln noch ausf¨ uhrlich behandelt.

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung 20.1

Gleichung fu ¨ r die gesamte kinetische Energie

Im folgenden soll die mittlere kinetische Energie pro Masseneinheit u2i /2 einer Str¨ omung mit Reibung betrachtet werden. Sie kann in die Energie der mittleren Str¨ omung u ¯2i /2 und die sogenannte Turbulenzenergie u2 i /2 aufgespalten werden, u2i u ¯2 u2 = i + i . (20.1) 2 2 2 Es soll zun¨ achst eine Gleichung f¨ ur die mittlere Energie der gesamten Str¨ omung hergeleitet werden, sodann eine solche f¨ ur die kinetische Energie des Grundstromes. Eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie erh¨ alt man aus diesen beiden Energien mit Hilfe der Beziehung (20.1). Wir gehen von der um die Reibungskraft erweiterte Boussinesq-Form der Bewegungsgleichungen (12.39) aus, wobei noch eine konstante Dichte und eine kon˜ sowie p∗ stante Temperatur des Grundzustandes angenommen (ρ0 = ρ˜, θ0 = θ) ∗ und θ wieder mit p bzw. θ bezeichnet werden. Die Ausgangsgleichung wird mit ui multipliziert: ∂ui + ∂t ui

∂ ∂t

u2i

2

ui uk

∂ui ∂xk

= −εijk fj uk ui +

∂ + uk ∂xk

u2i

∂ ∂xk

2

uk

=

0

u2i

νui

−ν −

∂ 2 ui ∂x2k

θ 1 ∂ui p ∂2 + ui g δi3 − + ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk θ˜

2

θ ui ∂p gui δi3 − + ρ˜ ∂xi θ˜

u2i

u2i 2

∂ui ∂xk

2

.

∂uk 2 ∂xk

=0 Bei der Umformung des zweiten, f¨ unften und sechsten Termes ist von der Divergenzfreiheit der Strömung (∂uj /∂xj = 0) Gebrauch gemacht worden. Die Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu

∂ u2i ∂t 2

∂ u2 + uk i ∂xk 2

g 1 ∂ ∂2 = ui θ δi3 − ui p + ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk θ˜

u2i 2

−ν

∂ui ∂xk

2

.

282

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

Durch Anwendung der Mittelbildungsregeln lassen sich die Ausdr¨ ucke dieser Gleichung auswerten.

u2i 2

uk

u ¯2 = i + 2

u2i 2

u 2i 2

,

=u ¯k

u ¯2i u2 +u ¯k i 2 2

ui θ

=u ¯i θ¯ + ui θ ,

ui p

=u ¯i p¯ + ui p ,

∂ui ∂xk

2

=

∂u ¯i ∂xk

2

+

+u ¯i uk ui + uk

∂ui ∂xk

u2 i 2

,

2

.

Damit erh¨ alt man die Gleichung f¨ ur die mittlere gesamte kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung:

u ¯2 ¯2i ∂ u2 ∂ ∂ u i + + u ¯k i + ∂t 2 ∂t 2 ∂xk 2

+

∂ u2 u ¯k i ∂xk 2

+

u2 ∂ ∂ u ¯i uk ui + uk i ∂xk ∂xk 2

g ¯ ¯i θ δi3 + = u θ˜

=

g 1 ∂ 1 ∂ ui θ δi3 − u ¯i p¯ − u p ˜ ρ˜ ∂xi ρ˜ ∂xi i θ

+ν

¯2i ∂ 2 u2 ∂2 u i +ν 2 2 ∂xk 2 ∂xk 2

−ν

∂u ¯i ∂xk

2

−ν

∂ui ∂xk

(20.2)

2

.

(20.2) soll lediglich dazu dienen, später eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie aufstellen zu k¨ onnen.

20.2

Gleichung fu o¨ r die kinetische Energie der mittleren Str¨ mung

Um eine Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung u ¯2i /2 zu erhalten, geht man von den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen aus. Die gemittelte Form der Gleichung (12.39) ergibt sich analog zur Herleitung von (19.12) zu

20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie

283

∂u ¯i ∂u ¯i ¯i ∂u u g 1 ∂ p¯ ∂2u +u ¯k = −εijk fj u ¯k + θ¯ δi3 − +ν 2 − k i . ∂t ∂xk ρ˜ ∂xi ∂xk ∂xk θ˜

(20.3)

Die Multiplikation von (20.3) mit u¯i f¨ uhrt nach Umformung wie bei der Herleitung der Gleichung (20.2) zu

∂ u u ¯2 ¯2i ∂ + u ¯k i ∂t 2 ∂xk 2

¯2 ¯i p¯ g ¯ 1 ∂u ∂2 u ¯i θ δi3 − = u +ν 2 i −ν ρ˜ ∂xi ∂xk 2 θ˜

∂u ¯i ∂xk

2

−u ¯i

∂uk ui . ∂xk

=

∂u ¯i ∂ u ¯i uk ui − uk ui ∂xk ∂xk Die Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung (Grundstrom) lautet somit

u ¯2 ¯2i ∂ ∂ u + u ¯k i ∂t 2 ∂xk 2

∂ + u ¯i uk ui ∂xk

=

¯i p¯ ¯2 1 ∂u ∂2 u g ¯ +ν 2 i −ν ¯i θ δi3 − = u ρ˜ ∂xi ∂xk 2 θ˜

20.3

∂u ¯i ∂xk

2

(20.4) ∂u ¯i + uk ui . ∂xk

Gleichung fu ¨ r die Turbulenzenergie

Eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie einer Str¨ omung u 2i /2 erh¨ alt man durch Subtraktion der Gleichung (20.4) von (20.2). F¨ ur die Turbulenzenergie ergibt sich nach Ausf¨ uhrung dieser Operation:

∂ u2 i ∂t 2

=

+

u2 ∂ u ¯k i ∂xk 2

+

∂ui p

u2 ∂ uk i ∂xk 2 ∂2

ui 2

=

∂ui

g 1 −ν ui θ δi3 − +ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk ∂xk 2 θ˜

2

(20.5) − uk ui

∂u ¯i . ∂xk

Zur Erl¨ auterung der einzelnen Terme wird Gleichung (20.5) umgeordnet, wobei f¨ ur die turbulente kinetische Energie die Abk¨ urzung e = u 2i /2 eingef¨ uhrt wird. Die Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie lautet jetzt:

284


∂u ¯i ∂ui 2 ∂¯ e 1 g + uk p = −uk ui + u3 θ − ν . ˜ ∂xk ρ˜ ∂xk ∂xk θ

↑ Produktion und Dissipation Divergenz von Energiefl¨ ussen von Turbulenzenergie ¨ lokale zeitliche Anderung der Turbulenzenergie (20.6) ∂¯ e ∂ + ∂t ∂x k

u ¯k e¯ + uk e − ν

Die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme in der Gleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie soll nachstehend erläutert werden: ∂¯ e ∂t

¨ zeitliche Anderung der Turbulenzenergie am festen Ort,

u ¯k e¯

Fluss von Turbulenzenergie mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit u ¯k ,

uk e

turbulenter Fluss von Turbulenzenergie,

∂¯ e ∂xk

molekulare Diffusion von Turbulenzenergie,

1 u p ρ˜ k

turbulenter Fluss von Druckschwankungen,

ν

uk ui

∂u ¯i ∂xk

Produktion oder Vernichtung von Turbulenzenergie durch turbulente W¨ armefl¨ usse (Auftriebskräfte),

g u3 θ θ˜

ν

∂ui ∂xk

Produktion von Turbulenzenergie aus der Scherung der mittleren Strömung (Grundstrom),

2

Vernichtung von Turbulenzenergie durch molekulare Reibung.

Bei den weiteren Betrachtungen sollen die Divergenzterme in der Gleichung (20.6) außer acht gelassen werden. Diese w¨ urden nämlich bei der Integration der Energiegleichung u usse ¨ber ein abgeschlossenes Volumen verschwinden, falls keine Fl¨ ¨ durch die Volumenoberfläche hindurchgehen. F¨ ur die zeitliche Anderung der Turbulenzenergie sind dann nur die Produktions- oder Dissipationsterme auf der rechten Seite von (20.6) verantwortlich. Im folgenden sollen diese Terme n¨ aher betrachtet werden. ¨ Wir untersuchen die lokale zeitliche Anderung der Turbulenzenergie, bedingt durch die einzelnen Produktions- oder Dissipationsterme. Zun¨ achst f¨ ur den Term

20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie

285

uk ui ∂ u ¯i /∂xk . Aus ∂¯ e ∂u ¯i = −uk ui ∂t ∂xk ergibt sich unter Verwendung des Deformationsansatzes (19.14) f¨ ur die Reynoldsschen Schubspannungen uk ui : ∂¯ e =K ∂t

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

=K

∂u ¯i ∂xk

2

∂u ¯i = ∂xk

¯i ∂u ¯k ∂ u ∂xi ∂xk

+

!

.

Man kann zeigen, dass sich der Term in der Klammer mit Hilfe der Deformation auch folgendermaßen schreiben lässt:

∂u ¯i ∂xk

2

+

¯i ∂u ¯k ∂ u 1 = ∂xi ∂xk 2

∂u ¯k ∂u ¯i + ∂xi ∂xk

2

.

Die rechte Seite ist somit positiv definit; die Turbulenzenergie w¨ achst also mit der Zeit an, bedingt durch die Scherung der mittleren Str¨ omungsgeschwindigkeit. Die Produktion von Turbulenzenergie ist um so gr¨ oßer, je st¨ arker die Scherung des Grundstromes ist. Der Gewinn von Turbulenzenergie aus dem Grundstrom bedeutet, dass der mittleren Strömung diese Energie entzogen wird. Dies kann man formal auch daran erkennen, dass man die Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung (20.4) mit der f¨ ur die Turbulenzenergie vergleicht: (20.4) :

∂ u ¯2i + ... ∂t 2

=

+uk ui

∂u ¯i + ... ∂xk

(20.5) :

∂ u2 i + ... ∂t 2

=

−uk ui

∂u ¯i + ... ∂xk

oder unter Verwendung des Deformationsansatzes: (20.4) :

¯2i ∂ u + ... ∂t 2

= −K

∂u ¯i ∂xk

!

2

+

¯k ∂u ¯i ∂ u + ... ∂xk ∂xi

⇓ (20.5) :

∂ u2 i + ... ∂t 2

=+K

∂u ¯i ∂xk

2

!

¯k ∂u ¯i ∂ u + + ... . ∂xk ∂xi

Wegen der positiven Definitheit des Termes auf der rechten Seite ist die Richtung des Transformationspfeiles eindeutig: Es wird kinetische Energie des Grundstromes in Turbulenzenergie umgewandelt.

286


¨ Betrachten wir nun den Einfluss der Auftriebskr¨ afte auf die Anderung der turbulenten kinetischen Energie. Aus (20.6) folgt mit u3 = w g ∂¯ e = w θ . ∂t θ˜ Jetzt h¨ angt die Energieerzeugung vom Vorzeichen des turbulenten W¨ armestromes ab. (a) w θ > 0 , =⇒

∂¯ e > 0 , d. h. Zunahme der Turbulenzenergie. ∂t

(b) w θ < 0 , =⇒

d. h. aufwärts gerichteter W¨ armestrom

d. h. abwärts gerichteter W¨ armestrom

∂¯ e < 0 , d. h. Abnahme der Turbulenzenergie. ∂t

Die physikalische Bedeutung dieser Aussage lässt sich besser veranschaulichen, wenn man f¨ ur den Wärmefluss den Gradientansatz ∂ θ¯ w θ = −K ∂z verwendet. Damit ergibt sich g ∂ θ¯ ∂¯ e =− K . ∂t θ˜ ∂z Die Verst¨ arkung oder Abschwächung von Turbulenzenergie h¨ angt vom Gradienten der mittleren potentiellen Temperatur, also von der Temperaturschichtung ab. (a)

(b)

∂ θ¯ < 0 d. h. labile Temperaturschichtung. ∂z Die wärmere Luft liegt unterhalb der k¨ alteren; die Luftteilchen werden durch Archimedische Kräfte nach oben bewegt. Die durch den Auftrieb bedingten turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen tragen zur Erh¨ ohung der turbulenten kinetischen Energie bei. ∂ θ¯ > 0 d. h. stabile Temperaturschichtung. ∂z Die wärmere, also leichtere Luft liegt u ¨ber der kälteren, schwereren Luft. Teilchen, die turbulente Vertikalbewegungen ausf¨ uhren, m¨ ussen gegen den Temperaturgradienten der Umgebungsluft Arbeit leisten. Die dazu notwendige Energie wird der Turbulenzenergie entzogen.

20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz

287

Durch die thermischen Auftriebskr¨ afte kann sowohl Turbulenzenergie erzeugt als auch vernichtet werden. Der Effekt des letzten Termes von (20.6) auf die Turbulenzenergie wird beschrieben durch ∂¯ e = −ν ∂t

∂ui ∂xk

2

.

Wegen der positiven Definitheit dieses Terms ist die rechte Seite immer negativ, d. h. die Turbulenzenergie wird vernichtet. Man bezeichnet deshalb

=ν

∂ui ∂xk

2

(20.7)

als Energiedissipation. Diese Energievernichtung wird durch die molekulare Reibung bewerkstelligt (der Term resultierte ja aus der Herleitung der Energiegleichung f¨ ur eine Strömung mit molekularer Reibung). Die dadurch verlorengegangene Energie wird in Reibungswärme umgewandelt und f¨ uhrt zu einer – wenn auch meist nur geringf¨ ugigen – Temperaturerhöhung der Str¨ omung.

20.4

Maßzahlen fu ¨ r die Turbulenz

Im vorigen Abschnitt wurde der Einfluss der verschiedenen physikalischen Effekte auf die turbulente kinetische Energie untersucht. Der wesentliche Faktor war neben der stets vorhandenen Energiedissipation durch molekulare Reibung die Produktion von Turbulenzenergie durch die Scherung des Grundstromes oder durch die Auftriebskr¨ afte. Um das Verhalten der Turbulenzenergie beim gleichzeitigen Auftreten dieser beiden Effekte zu studieren, nehmen wir eine Vereinfachung der Energiegleichung (20.6) vor: • Die Divergenzen der Energiefl¨ usse werden vernachl¨ assigt, ∂ ∂¯ e 1 d. h. u ¯k e¯ + uk e − ν + uk p = 0 , ∂xk ∂xk ρ˜ • F¨ ur den Grundstrom wird horizontale Homogenit¨ at angenommen, ∂u ¯i ∂u ¯i = =0, ∂x ∂y • Es soll eine einfache Scherströmung in x-Richtung betrachtet werden, also u ¯2 = u ¯3 = 0, u ¯1 = u ¯, • Die Energiedissipation soll vernachlässigt werden: = 0 .

288


Mit diesen Voraussetzungen erhält man aus Gleichung (20.6): ∂u ¯ g ∂¯ e = −w u + wθ ∂t ∂z θ˜ oder auch ⎧ ⎫ g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w θ ⎬ ∂¯ e ∂u ¯⎨ ∂u ¯ ˜ = −w u 1− θ = −w u (1 − Rif) . ⎪ ∂ u ¯ ∂t ∂z ⎪ ∂z ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ w u

(20.8)

∂z Das Verh¨ altnis der Energieproduktion durch Auftriebskr¨ afte zu der durch Scherungskr¨ afte des Grundstroms nennt man nach dem britischen Physiker und Mathematiker L. F. Richardson (1881–1953) die Richardson-Flusszahl (Rif ): g wθ ˜ . (20.9) Rif ≡ − θ ∂u ¯ −w u ∂z Der Scherungsproduktionsterm im Nenner ist, wie in Abschnitt 20.3 erl¨ autert, positiv definit, da sich mit dem Gradientansatz ergibt: w u = −K

∂u ¯ ∂z

=⇒

−w u

∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ¯ =K >0. ∂z ∂z ∂z

Das Vorzeichen der Richardson-Flusszahl Rif h¨ angt demnach mit der thermischen Schichtung wie folgt zusammen: Schichtung stabil neutral labil

∂ θ¯ ∂z

w θ

Rif, Ri

>0 =0 0 =0 1 ⇒ ∂t mehr Energie gegen die negativen Auftriebskräfte verbraucht als durch die Scherung des Grundstromes produziert wird. ∂¯ e Rif = 1 ⇒ = 0 d. h. die Turbulenz ver¨ andert ihre Intensit¨ at ∂t nicht, da die aus dem Grundstrom gewonnene Energie gerade durch die Arbeit gegen die stabile Temperaturschichtung kompensiert wird.

20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz Rif < 1 ⇒

Rif < 0

∂¯ e >0 ∂t

289

d. h. die Turbulenz verstärkt sich. Es wird mehr Energie aus dem Grundstrom gewonnen, als gegen die Auftriebskräfte wieder verloren geht. Auch hier verstärkt sich die Turbulenz; die Turbulenzenergie wird jedoch sowohl aus dem Grundstrom als auch durch die Auftriebskr¨ afte gewonnen (der Wärmestrom ist aufw¨ arts gerichtet, d. h. labile Temperaturschichtung).

Der Name Richardson-Flusszahl r¨ uhrt daher, dass in dieser Zahl außer der Scherung des Grundstromes die turbulenten Fl¨ usse von W¨ arme und Impuls auftreten. Die Richardson-Flusszahl ist zwar ein Maß f¨ ur das zeitliche Verhalten der Turbulenz, jedoch benötigt man zu ihrer Bestimmung die zun¨ achst noch unbekannten turbulenten Fl¨ usse. Was man jedoch kennt (und auch viel einfacher messen kann), sind die mittleren Gradienten von Temperatur und Geschwindigkeit in einer turbulenten Strömung. F¨ ur die praktische Anwendung eines Turbulenzkriteriums verwendet man deshalb die sogenannte Richardson-Zahl, die man aus Rif (20.9) durch Anwendung der Gradientansätze f¨ ur die Temperatur und die Geschwindigkeit erhält: w u = −Km

∂u ¯ ∂z

,

w θ = −Kh

∂ θ¯ . ∂z

Hierbei ist Km der turbulente Diffusionskoeffizient f¨ ur Impuls (Index m f¨ ur englisch: momentum) und Kh derjenige f¨ ur Wärme (Index h f¨ ur englisch: heat). Damit erh¨ alt man aus (20.9): g ∂ θ¯ g Kh wθ ˜ θ˜ ∂z ≡ Ri . = Rif = θ ∂ u ¯ Prt ∂u ¯ 2 w u Km ∂z ∂z

(20.10)

Dabei bezeichnet man Ri als Richardson-Zahl: g ∂ θ¯ ˜ ∂z Ri = θ 2 . ∂u ¯ ∂z

(20.11)

und Prt als turbulente Prandtl-Zahl: Prt =

Km . Kh

(20.12)

290

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung Turbulenz– verst¨ arkung

..... . .. .... .. ...

Turbulenz– abschw¨ achung

1 3 − 12 0 1..... Rif 2 2 ...................................................................................................................................................................................................................... Ri .... . ∂ θ¯ ∂ θ¯ 0 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....

..... .

w θ

∂ θ¯ ∂z

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... ..

w θ >0

labile Schichtung

w θ 0 ⎪ ⎪ ∂z ⎪ ⎬ ∂t = +w u ∂z < 0 ⎪ ⎬ ... .. ..... ............ .......... .......... .......... .......... ....................... .......... .......... E→e ... .... ⎪ ⎪ ... ⎪ ⎪ ∂u ¯ ∂e ⎪ ⎪ ..... ⎪ ⎪ . . ... . = −w > 0 u ⎪ ⎪ ∂u ¯ wu 0⎪ ⎪ ∂E v ¯ ⎪ ..... . .. .... ⎪ ∗ ∗ . 3 . . ⎪ ⎪ . =+ > 0⎪ ⎪ .................. v u < 0 R ∂φ ⎪ ⎬ ⎬ 60o... .. ∂t R ∂φ ........................................................................................................................ .......... .......... .......... E←e ⎪ ⎪ ∗ u∗ ∂ u .. .. ..... ⎪ ⎪ v3 ¯ ∂e ⎪ ⎪ 30o...................................................................................... ⎪ ⎪ ∗ ∗ 3 ∗ ∗ =− < 0⎪ ⎪ ¯ v3 u > 0 v u ∂u ......... .. ⎭ ⎪ R ∂φ > 0⎪ ⎪ ......... ⎭ ∂t R ∂φ .......................................................................................................................... u ¯ Bild 20.4 Grundstrom, Impulsfluss und Energietransfer einer großräumigen Strömung (Makroturbulenz)

20.5 Mikro- und Makroturbulenz

293

Die bei der Mittelbildung u ¨ber einen Breitenkreis entstehenden Geschwindigkeitsfluktuationen und deren Produkte (hier mit (. . .)∗ bezeichnet) nennt man auch makroturbulente Fluktuationen, oder man verwendet f¨ ur die gesamten Be∗ u∗ wegungsvorg¨ ange häufig den Ausdruck Makroturbulenz. Das Produkt v3 w¨ urde man dann als makroturbulenten Impulsfluss bezeichnen. Es ist jedoch umstritten (bzw. Auffassungssache), ob man die Zyklonen und Antizyklonen als atmosph¨ arische Makroturbulenzen ansehen und somit Ergebnisse der Turbulenztheorie f¨ ur kleinr¨ aumige Strömungen auch auf großr¨ aumige Bewegungsvorg¨ ange u ¨bertragen kann. Das gegensätzliche Verhalten von Mikro- und Makroturbulenz wurde bei der Betrachtung des Energie¨ uberganges zwischen Grundstrom und ¨ Störungen (Turbulenzkörpern) deutlich. Ahnlich ist es auch mit der Anwendbarkeit des Gradientansatzes f¨ ur die Makroturbulenz. Wie die in Bild 20.4 dargestellte Auswertung atmosph¨ arischer Daten zeigt, ist f¨ ur großr¨ aumige Vorgänge der makroturbulente Impulsfluss zum Maximum des Grundstromes hin gerichtet, also gegen¨ uber der Mikroturbulenz gerade umgekehrt. Wollte man jetzt den Gradientansatz auch auf makroturbulente Str¨ omungen anwenden, so w¨ urde dies bedeuten, dass der turbulente Diffusionskoeffizient negativ sein m¨ usste, da Impulsfluss und Grundstromgradient (wie beobachtet) das gleiche Vorzeichen besitzen. Die von der Mikroturbulenz her bekannte Eigenschaft turbulenter Strömungen, die Gegensätze des Grundstromfeldes abzubauen, w¨ urde bei großr¨ aumigen Bewegungsvorgängen ins Gegenteil verkehrt, d. h. die Gegens¨ atze des Grundstromfeldes w¨ urden noch verst¨ arkt. Um die Bezeichnung dieser gegensätzlichen Vorg¨ ange unter dem gemeinsamen Begriff Turbulenz zu vermeiden, soll unter einer turbulenten Str¨ omung eine Str¨ omung im Sinne der Mikroturbulenz verstanden werden. Im Zusammenhang mit den verschiedenen Gr¨ oßenordnungen der Turbulenz soll noch auf das Spektrum der kinetischen Energie der atmosph¨ arischen Bewegungsvorg¨ ange eingegangen werden. Unter einem Energiespektrum versteht man die Darstellung der auf Bewegungsvorgänge mit bestimmten zeitlichen Perioden oder Wellenl¨ angen entfallenden Anteile der gesamten kinetischen Energie der Atmosph¨ are. Ein solches Energiespektrum, wie man es z. B. aus der Fourier-Analyse von Messungen der Windgeschwindigkeit erhält, ist in Bild 20.5 dargestellt, wobei E(τ ) die kinetische Energie eines Bewegungsvorgangs mit der Schwankungsperiode τ ist. Das (aus atmosphärischen Messungen gewonnene) Spektrum weist zwei Maxima auf. Das größere Maximum liegt bei Bewegungen mit etwa viert¨ agiger Periode und kann den Zyklonen und Antizyklonen zugeordnet werden. Die Bezeichnung Makroturbulenz f¨ ur Bewegungsvorg¨ ange mit Perioden zwischen etwa 12 Stunden und 30 oder mehr Tagen soll darauf hinweisen, dass man innerhalb dieses Bereiches einen Energietransfer von k¨ urzerperiodischen (mit kleineren Wellenl¨ angen) zu längerperiodischen Bewegungsvorg¨ angen finden kann (mit dem Begriff Antikaskade angedeutet). Das kleinere Maximum liegt bei Perioden von einer bis drei Minuten und entspricht der Energieerzeugung durch mechanische Turbulenz (aus der Scherung des

294


. .. ... .. E ....... Makroturbulenz ...... Mesoturbulenz ..... Mikroturbulenz .. .. ....... ... ... ... ... ..... .... ..... .. .. .. .. ...... ...... ... . . .. .. . . . . ... Energiekaskade . .... . . . . . . . . . . . . ... . . .. .............. .... ..... . .... .... .. . . . . . . .. . . . . ...... . . .... ..... .... ..... ... ....... . .... .... . .. . . . .... ............................... ................. ................. .............................. ............ .. .. ...... .. ... ... . . ........ . . .... .... .. ....... ... . . . .. ... Anti– ..... . ... . . . . . . . ... .. ... ... kaskade ..... .... .. .. ..... . . . .... . . . . . . . ... ..... ..... . . . .. . .. .. .... . . . . . . ... ... .... .. .... . . . .. . . . .... .... . . . . . . . . ..... . ..... . . . . . . ... . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . ....... ... ... ... ... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10 s 1 min 30 d 4d 1d 1h ←− Schwankungsperiode τ Bild 20.5 Das Spektrum der kinetischen Energie atmosphärischer Bewegungsvorgänge (schematische Darstellung)

Grundstromes in der Grenzschicht) und thermischer Konvektion. In diesem Bereich findet man auch die Energiekaskade der Mikroturbulenz. Beide Energiemaxima werden getrennt durch einen gelegentlich als Mesoturbulenz bezeichneten Bereich von energiearmen Bewegungsvorgängen mit Schwankungsperioden von einigen Minuten bis Stunden. Von dem in Bild 20.5 dargestellten Spektrum ist der Bereich der Mikroturbulenz, mit Perioden zwischen einigen Minuten und einigen Sekunden, am besten durch Messungen belegt. Diese erfolgen typischerweise mit Windmessger¨ aten, die an einem festen Ort – etwa an einem Mast – aufgestellt sind. Die turbulente atmosph¨ arische Str¨ omung zieht sozusagen mit der mittleren Geschwindigkeit u¯ am Messort vorbei. Somit kann man einem Bewegungsvorgang mit der Zeitdauer τ auch eine typische L¨ angenskala L gemäß L = u ¯τ zuordnen. Beispielsweise ergibt sich f¨ ur eine mittlere Windgeschwindigkeit von u ¯ = 5 m s−1 : τ ≈ 200 s τ ≈ 30 s τ≈ 1s

⇒ ⇒ ⇒

L ≈ 1000 m L ≈ 150 m L≈ 5m.

Bewegungselemente mit L ≈ 1000 m können z. B. den aufsteigenden Warmluftblasen u ¨ber einer erwärmten Bodenoberfläche zugeordnet werden. Kurzfristige Geschwindigkeitsschwankungen mit τ ≈ 1 s werden durch kleinr¨ aumige Turbulenzwirbel mit Ausdehnungen um L ≈ 5 m verursacht. Da die charakteristische Länge L der Zeitdauer τ proportional ist, findet man in der Literatur h¨ aufig auch das auf die Länge L bzw. auf die Wellenzahl k = 2π/L bezogene Energiespektrum. F¨ ur den kurzperiodischen, also kleinr¨ aumigen ¨ Bereich des Spektrums aus Bild 20.5 haben sowohl theoretische Uberlegungen

20.5 Mikro- und Makroturbulenz

295

als auch zahlreiche Messungen ergeben, dass die auf die Wellenzahl k bezogene Energiedichte E(k) folgender Gesetzmäßigkeit folgt: 5

E(k) ∝ k − 3 .

(20.13)

Die Beziehung (20.13) wird in der Literatur auch das 53 -Gesetz oder nach dem russischen Physiker A. N. Kolmogorov (1907–1987) das Kolmogorov-Spektrum genannt. Hierzu finden sich detaillierte Ausf¨ uhrungen in den B¨ uchern zur atmosph¨ arischen Grenzschicht (siehe Kapitel 21). An dieser Stelle soll lediglich auf die Form des Spektrums (20.13) hingewiesen werden.

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht 21.1

Die Einteilung der atmosph¨ arischen Grenzschicht

Unter der atmosphärischen Grenzschicht versteht man die oberhalb der Erdoberfläche (Land oder Wasser) liegende Luftschicht mit einer vertikalen Erstreckung von einem bis zwei Kilometern. Die Luftströmung in dieser Schicht ist praktisch als st¨ andig turbulent anzusehen, so dass man die in den vorhergehenden Abschnitten hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten f¨ ur turbulente Str¨ omungen auf die atmosph¨ arische Grenzschicht anwenden kann. Die Bedeutung dieser vergleichsweise d¨ unnen Schicht f¨ ur die atmosphärische Zirkulation generell ist außerordentlich groß, wie anhand einiger wichtiger physikalischer Prozesse erl¨ autert werden soll. Die Prim¨ arquelle von Energie f¨ ur alle atmosph¨ arischen Bewegungen ist die kurzwellige Einstrahlung von der Sonne. Diese Strahlungsenergie wird zum Teil von der Atmosphäre selbst absorbiert und dort in andere Energieformen umgewandelt. Der gr¨ oßere Teil gelangt jedoch zur Erdoberfl¨ ache und f¨ uhrt dort zur Erw¨ armung des Erdbodens oder der Wasserflächen. Die Erw¨ armung der dar¨ uberliegenden Luftmassen erfolgt dann von der Erdoberfl¨ ache aus durch molekulare und insbesondere turbulente Wärmeleitung, was wiederum Druckgegens¨ atze und damit Luftbewegungen auslöst. Die Luftbewegungen werden ihrerseits durch die in der Grenzschicht entstehende Reibung (aufgrund der durch Haftung an der Erdoberfl¨ ache erwirkten Windscherung) gebremst und geben Impuls an die Erdoberfl¨ ache ab. Auf den Wasseroberflächen f¨ uhrt dies zur Ausbildung von Wellen und bei gr¨ oßerer Erstreckung (bei Meeren) zu Driftströmungen. Der Austausch von W¨ arme und Impuls zwischen dem Erdkörper und der Atmosph¨ are geschieht also zwangsl¨ aufig durch die Grenzschicht hindurch, wie in Bild 21.1 schematisch dargestellt wird. Auch der in der Atmosphäre vorhandene Wasserdampf gelangt durch turbulente Transporte in der Grenzschicht in höhere Luftschichten, nachdem er durch . .... kurzwellige langwellige ..... . ..... Einstrahlung Ausstrahlung .... .... ... .. ..... .. .... ... ... armefluss Feuchtefluss Impulsfluss ..... . W¨ .. ... ... .... .... ..... ... ... .. .. ... .. ... w u . ... .. w s .. w θ . ... ... . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................

Erw¨ armung

Verdunstung

Reibung

Bild 21.1 Wärme- und Impulsaustausch zwischen Erdoberfläche und Atmosphäre durch die Grenzschicht hindurch

298

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

. z ....... ... 1 km .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .. .... ... . .... .. Windscherung .. ... . ... . |¯ v (z)| mit der H¨ ohe . Ekman-Schicht .. ... ... . (Windspirale) .. ... ... ... . .......... .......... .......... .......... .......... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 100 m ... .. .. ... .. . Zunahme des Windes . . ... .... .. . . mit der H¨ ohe; . Prandtl-Schicht ... ... .. ............. keine Winddrehung . .... 1 cm .................................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... molekulare Transporte Unterschicht ..................................viskose ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ..............................................................................

Bild 21.2 Aufbau der atmosphärischen Grenzschicht aus der viskosen Unterschicht, der Prandtl-Schicht und der Ekman-Schicht

Verdunstung an der Grenzfläche zwischen Meer oder Land und Atmosph¨ are produziert wurde. Der Aufbau der atmosphärischen Grenzschicht sowie die in dieser Schicht ablaufenden physikalischen Prozesse sollen im weiteren n¨ aher behandelt werden. Die atmosph¨ arische Grenzschicht lässt sich in drei Einzelschichten einteilen, wie es in Bild 21.2 dargestellt ist. Die viskose Unterschicht, meist nur wenige Millimeter stark, weist keine Turbulenz auf, so dass der Transport von Wärme und Feuchte von der Erdoberfläche in die Atmosphäre hier durch molekulare Vorg¨ ange erfolgt. Diese Schicht wird bei der Betrachtung der atmosphärischen Grenzschicht meist außer acht gelassen, muss aber bei Wechselwirkungen zwischen Atmosph¨ are und Land bzw. Meer ber¨ ucksichtigt werden. Auf die nähere Behandlung dieser Schicht soll aber an dieser Stelle verzichtet werden, da sie auf die Dynamik der Grenzschicht keinen unmittelbaren Einfluss hat. Die Prandtl-Schicht, auch bodennahe Grenzschicht genannt, hat eine von der thermischen Schichtung anhängende vertikale Erstreckung von etwa 20 bis 100 Metern. In dieser Schichtung sind die turbulenten Fl¨ usse ann¨ ahernd h¨ ohenkonstant, was eine vereinfachte Berechnung von Wind und Temperaturprofilen erm¨ oglicht. Der Einfluss der Coriolis-Kraft ist in diesen H¨ ohen noch gering, so dass keine Winddrehung mit der Höhe erfolgt, sondern lediglich eine betragsm¨ aßige Zunahme der Windgeschwindigkeit. Diese erreicht jedoch bereits 70 bis 80% derjenigen Geschwindigkeit, die man an der Obergrenze der gesamten Grenzschicht vorfindet. Den Hauptanteil der Grenzschicht nimmt die an die Prandtl-Schicht grenzende Ekman-Schicht ein, die sich bis in Höhen von einem bis zwei Kilometern erstreckt. Die turbulenten Fl¨ usse nehmen in dieser Schicht mit der H¨ ohe ab und verschwinden an der Obergrenze, so dass man oberhalb der Ekman-Schicht eine mehr oder weniger laminare Luftströmung vorfindet. Der Einfluss der Coriolis-

21.2 Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht

299

Kraft bewirkt in dieser Schicht eine Drehung des Windvektors mit der H¨ ohe zum aufgepr¨ agten geostrophischen Wind hin, weshalb man auch die Bezeichnung Spiralschicht verwendet. Häufig wird auch die gesamte atmosph¨ arische Grenzschicht einschließlich der Prandtl-Schicht als Ekman-Schicht oder planetare Grenzschicht bezeichnet.

21.2

Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht

Wir gehen im folgenden von den Navier-Stokes-Gleichungen in der gemittelten Form (19.12) aus: ∂u ¯i ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u ∂ ∂u ¯i +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − +ν − u u . 2 ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂xk k i ∂xk Es werden jetzt folgende Voraussetzungen getroffen: (a) Station¨ are Verhältnisse:

∂u ¯i ∂t

= 0.

(b) Horizontale Homogenität des Grundstromfeldes:

∂u ¯i ∂xk

= 0, außer f¨ ur k = 3.

¯ = 0; aus (b) und (c) folgt: (c) Keine mittlere Vertikalgeschwindigkeit: u ¯3 = w ∂u ¯i u ¯k ∂x = 0. k (d) Die Coriolis-Kraft sei in geringeren Höhen (≈ 50 m) vernachl¨ assigbar: f = 0. (e) Der horizontale Druckgradient sei vernachlässigbar: (f) Die molekulare Reibung bleibt außer Betracht: ν

∂2u ¯i ∂x2k

∂ p¯ ∂x1

=

∂ p¯ ∂x2

= 0.

= 0. Man kann (e) und

(f) auch so deuten, dass sich die entgegengesetzten Kr¨ afte des Druckgradienten und der Reibung gerade aufheben. (g) Horizontale Homogenität der turbulenten Impulsfl¨ usse: k = 3.

∂uk ui ∂xk

= 0, außer f¨ ur

(h) Die Str¨ omung soll in x1 -Richtung verlaufen. Mit diesen Voraussetzungen erhält man aus den Navier-Stokes-Gleichungen die Aussage ∂ u u =0 ∂x3 3 1

oder

∂w u =0. ∂z

ur die turbulente Schubspannung und f¨ ur den turbulenten Impulsfluss w u bzw. f¨ τzx = τ = −¯ ρ w u

300

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht −w u =

τ = konstant . ρ¯

(21.1)

Somit lautet die Definition der Prandtl-Schicht: In der Prandtl-Schicht ist der turbulente Impulsfluss bzw. die turbulente Schubspannung h¨ ohenkonstant. Diese Aussage gilt angesichts der vielen Voraussetzungen, welche zu ihr f¨ uhrten, nur in einer Schicht von etwa 20 bis 50 Metern oberhalb des Erdbodens. ¨ Streng genommen ist gerade in dieser Schicht die Anderung der turbulenten Schubspannung mit der Höhe am größten (wenn man den horizontalen Druckgradienten ber¨ ucksichtigt), weshalb man meist in einer etwas abgeschw¨ achten Form die Prandtl-Schicht definiert: Innerhalb der Prandtl-Schicht nimmt der Betrag der Schubspannung um nicht mehr als 10% ihres Bodenwertes ab. Diese Abnahme der turbulenten Schubspannung mit der Höhe wird auch durch Messungen in der atmosph¨ arischen Grenzschicht bis zu maximal 100 Metern gefunden. Zum Erhalt von Gesetzmäßigkeiten in der Prandtl-Schicht wird jedoch die Definition (21.1) beibehalten. Die Schubspannung in der Prandtl-Schicht ist dann gerade gleich ihrem Wert am Erdboden (τ0 bzw. w u 0 ), wobei der Index 0 f¨ ur die sp¨ ater noch zu erläuternde Rauhigkeitsh¨ ohe z0 (eine H¨ ohe sehr nahe am Erdboden) steht. Es ist allgemein u ¨blich, statt w u 0 bzw. τ0 die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ zu verwenden: "

u∗ =

−w u0 =

4

τ0 . ρ¯

(21.2)

Das negative Vorzeichen unter der Wurzel kommt daher, dass der turbulente Impulsfluss w u zum Erdboden hin gerichtet, also kleiner als null ist, da die mittlere Geschwindigkeit u ¯ vom Erdboden aus mit der H¨ ohe zunimmt (∂ u ¯/∂z > 0).

21.3

Das Windprofil in der Prandtl-Schicht

Aus der Definition der Prandtl-Schicht (21.1) allein l¨ asst sich noch keine Aussage u are gewinnen. ¨ber das Windprofil in den untersten Dekametern der Atmosph¨ Dazu muss eine Beziehung zwischen dem konstanten Impulsfluss und dem Windprofil hergestellt werden. Benutzt man dazu den Gradientansatz (19.19), so erh¨ alt man: w u = w u 0 = −Km oder mit (21.2)

∂u ¯ ∂z

21.3 Das Windprofil in der Prandtl-Schicht

301

∂u ¯ . (21.3) ∂z Man ben¨ otigt jetzt noch einen Ansatz f¨ ur den turbulenten Diffusionskoeffizienten f¨ ur Impuls (Index m f¨ ur momentum, engl. f¨ ur Impuls). Verwendet man den Mischungswegansatz (19.27), so ergibt sich u2∗ = Km

Km = l uc . F¨ ur die charakteristische Geschwindigkeit uc wird der Ansatz

∂u ¯ uc = l ∂z

gew¨ ahlt. F¨ ur Km ergibt sich somit ∂u ¯ Km = l . ∂z 2

(21.4)

Dies ist einer der gebräuchlichsten Ansätze f¨ ur den turbulenten Diffusionskoeffizienten, wobei l der noch zu beschreibende Mischungsweg ist. Man kann (21.4) auch noch auf andere Weise aus dem Prandtlschen Mischungswegkonzept herleiten. Gleichung (21.3) wird unter Verwendung von (21.4) jetzt

u2∗

=l

2

∂u ¯ ∂z

2

oder f¨ ur den Gradienten des Windes ∂u ¯ u∗ = . (21.5) ∂z l Der Mischungsweg l muss jetzt noch spezifiziert werden. Prandtl hat dies f¨ ur eine Grenzschicht u ¨ber einer festen Unterlage getan und gefordert, dass l(z) = κ z ,

(21.6)

´rma ń, amewobei κ die von K´ armánsche Konstante ist (benannt nach T. von Ka rikanischer Hydrodynamiker ungarischer Herkunft, 1881–1963). Die gemessenen Werte von κ schwanken zwischen 0,36 und 0,45; der am h¨ aufigsten verwendete Wert f¨ ur κ betr¨ agt 0,41. Dem Ansatz (21.6) liegt die Vorstellung zugrunde, dass der Mischungsweg ein Maß f¨ ur die Gr¨ oße der Turbulenzkörper (Wirbel) ist, welche die Durchmischung in der Grenzschicht bewirken. In der Nähe einer festen Oberfl¨ ache kann der Wirbelradius aber kaum größer sein als der Abstand des Wirbelmittelpunktes von der Begrenzungsfl¨ ache. Je weiter ein Wirbel von der festen Wand entfernt ist, desto größer kann er sein. Im einfachsten Fall nimmt der Wirbelradius und damit der Mischungsweg linear mit der Höhe bzw. mit dem Abstand von der festen Wand zu. Aus (21.5) erhält man mit (21.6) eine gewöhnliche Differentialgleichung f¨ ur die mittlere Windgeschwindigkeit u ¯:

302


∂u ¯ u∗ = , ∂z κz

(21.7)

Mit der Randbedingung z = z0 ,

u ¯=0

ergibt eine Integration dieser Gleichung

z u∗ ln , (21.8) u ¯= κ z0 wobei z0 die sogenannte Rauhigkeitsl¨ ange ist. Gleichung (21.8) stellt das logarithmische Windprofil in der Prandtl-Schicht dar. Man erh¨ alt es aus der Definition der Prandtl-Schicht (w u = konstant) unter Verwendung des Gradientansatzes f¨ ur den Impulsfluss und des Prandtlschen Mischungswegansatzes. Die Rauhigkeitslänge z0 ist diejenige Höhe u ¨ber dem Erdboden, in der die mittlere Geschwindigkeit u ¯ den Wert Null erreicht. Dass die Windgeschwindigkeit nicht bei z = 0 verschwindet, liegt daran, dass die Erdoberfl¨ ache nicht glatt ist, sondern mit Unebenheiten und Hindernissen bedeckt ist. Diese sogenannten Rauhigkeiten des Erdbodens wirken dergestalt auf das mittlere Windprofil, dass u ¯ = 0 bereits in einer Höhe z0 erf¨ ullt ist. Diese bereits erw¨ ahnte Rauhigkeitsl¨ ange z0 ist nicht identisch mit der Höhe der Hindernisse, sondern liegt tiefer, wie einige nachfolgende Zahlenangaben verdeutlichen. Art der Bodenbedeckung Rauhigkeitsl¨ ange z0 Glatte Eisfläche Sand Schnee Gras, bis 10 cm hoch Gras, bis 50 cm hoch

0,001 cm 0,01–0,1 cm 0,1–0,6 cm 0,6–4 cm 4–10 cm

Die Rauhigkeitlänge ist eine Eigenschaft der Bodenbedeckung, ¨ ahnlich der Oberfl¨ achenrauhigkeit von festen Körpern. Man erh¨ alt den Wert von z0 aus Messungen des mittleren Windprofils, wenn man die G¨ ultigkeit des logarithmischen Profils (21.8) voraussetzt. Dazu wird, wie in Bild 21.3 dargestellt, die Windgeschwindigkeit in verschiedenen H¨ ohen gemessen und in ein z-¯ u-Diagramm eingetragen. Wenn das logarithmische Profil vorhanden ist, m¨ ussen die gemessenen Werte von u ¯ in der halblogarithmischen Darstellung auf einer Geraden liegen. Diese Gerade trifft die ln z-Achse f¨ ur u ¯ = 0 gerade in der H¨ ohe z0 . Aus diesem Diagramm lässt sich auch der Wert der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ gewinnen, wenn man, wie angedeutet, den Wert von u ¯ bei z = 2,7 z0 ermittelt (e ≈ 2,71). Da f¨ ur z = 2,7 z0 ln(z/z0 ) = 1 ist, erhält man aus (21.8): u ¯(2,7z0 ) = u∗ /κ und somit den Wert f¨ ur die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ .

21.4 Das Windprofil bei diabatischer Schichtung

303

z

z/z0 ... . . . . . .•..... 10 m ...... u ¯(z) •............• • 1000 ... ...... . . . . . 1m ....• ...... 100 •........•... . . . . . . 1 dm ...... •........... • 10 . . .......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . e 1 cm ............... ....... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 1 . .. ... .. .

1 mm 0

u∗ /κ

u ¯ −→

Bild 21.3 Die Windgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe. Die Höhenskala ist hier logarithmisch aufgetragen. e = 2,71828 bezeichnet die Eulersche Zahl.

Mit Hilfe des logarithmischen Windprofils (21.8) und des Mischungswegansatzes (21.6) l¨ asst sich aus (21.4) der Verlauf des turbulenten Diffusionskoeffizienten in der Prandtl-Schicht erhalten: Km (z) = κ u∗ z .

(21.9)

In der Prandtl-Schicht nimmt der turbulente Diffusionskoeffizient (bei adiabati¯ scher Schichtung ∂ θ/∂z = 0) linear mit der H¨ ohe zu. Die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ spielt hierbei die Rolle der charakteristischen Geschwindigkeit uc in der Mischungswegbeziehung Km = l · uc .

21.4 21.4.1

Das Windprofil bei diabatischer Schichtung Erl¨ auterungen zum allgemeinen Sprachgebrauch

Bei der Herleitung des Windprofils in der Prandtl-Schicht im vorangegangenen Abschnitt wurde der Einfluss von Temperaturgradienten auf den Turbulenzzustand unber¨ ucksichtigt gelassen; deshalb gelten die dort erhaltenen Ergebnisse ¯ nur f¨ ur eine adiabatisch geschichtete Prandtl-Schicht, d. h. f¨ ur ∂ θ/∂z = 0 bzw. w θ = 0. Andererseits haben wir in Abschnitt 20.4 gesehen, welchen Einfluss ein Temperaturgradient auf die Zu- oder Abnahme der Turbulenz in einer Grenzschichtstr¨ omung hat; als Maßzahl hierf¨ ur erhält man die Richardson-Zahl. Im folgenden wollen wir deshalb das Windprofil in der Prandtl-Schicht bei nichtadiabatischer Temperaturschichtung untersuchen. Zun¨ achst jedoch einige Erläuterungen zum Sprachgebrauch f¨ ur turbulente Fl¨ usse. Bisher wurden die Ausdr¨ ucke ρ¯w u und w u sowohl als Impulsfluss wie auch als turbulente Schubspannung bezeichnet. Ebenso wurde der turbulente W¨ armestrom durch w θ und cp ρ¯w θ dargestellt. Streng genommen m¨ usste zu jedem Ausdruck noch der Zusatz pro Masseneinheit oder pro Volumeneinheit hinzugef¨ ugt werden, oder man m¨ usste z. B. w u als Geschwindigkeitsfluss und w θ als

304


Temperaturfluss bezeichnen. Zur Klarstellung sei daher die folgende Zusammenfassung gegeben:

Gr¨ oße

Dimension

Bezeichnung

ρ¯w u

kg m−1 s−2

Impulsfluss pro Volumeneinheit; Schubspannung = Kraft/Fl¨ ache Impulsfluss pro Masseneinheit; Geschwindigkeitsfluss Wärmefluss pro Volumeneinheit; Wärmestromdichte Wärmefluss pro Masseneinheit, normiert mit der spezifischen Wärme; Temperaturfluss

w u

m2 s−2

cp ρ¯w θ

W m−2

w θ

m s−1 K

Dem allgemeinen Sprachgebrauch entsprechend sollen die Begriffe Impulsfluss und Schubspannung sowie Temperaturfluss bzw. Wärmestrom f¨ ur die oben definierten Gr¨ oßen ohne weitere Zusätze gleichzeitig verwendet werden. 21.4.2

Die Monin-Obukhov-Stabilit¨ atsl¨ ange

Es soll nun der Einfluss der thermischen Schichtung auf das Windprofil untersucht werden. Diese Einwirkung muss u ¨ber den Turbulenzzustand und damit u ¨ber den Mischungsweg geschehen. Zunächst soll der Zustand der Turbulenz der PrandtlSchicht durch ein neues Stabilitätsmaß ähnlich der Richardson-Flusszahl charakterisiert werden. Durch die russischen Hydrodynamiker A. S. Monin (1921–) und A. M. Obukhov (1918–1989) wurde als charakteristische H¨ ohe f¨ ur eine thermische Schichtung diejenige Höhe eingef¨ uhrt, in der die Produktion von Turbulenzenergie durch Scherung des Grundstroms w u ∂ u ¯/∂z und durch thermische Prozesse w θ g/θ˜ dem Betrage nach gleich sind. In diesem Fall ist die RichardsonFlusszahl (20.9) betragsmäßig gerade gleich eins. Rif war definiert als Rif =

g wθ θ˜ w u ∂∂zu¯

.

Setzt man darin die im vorangegangenen Abschnitt erhaltenen Gesetzm¨ aßigkeiten der Prandtl-Schicht ein, nämlich −w u = u2∗ und ∂ u ¯/∂z = u∗ /κz, und fordert die Höhenkonstanz des turbulenten Wärmestroms, w θ (z) = w θ 0 (die im folgenden Kapitel noch gezeigt werden wird), so erhält man f¨ ur Rif in der Prandtl-Schicht

Rif =

g wθ0 θ˜ −u2∗ uκz∗

=−

κg w θ 0 z z=+ . L θ˜ u3∗

(21.10)

21.4 Das Windprofil bei diabatischer Schichtung

305

Die Gr¨ oße L ist eine f¨ ur die Prandtl-Schicht charakteristische L¨ ange und wie folgt definiert: L=−

θ˜ u3∗ . κg w θ 0

(21.11)

Man bezeichnet L als die Obukhov-Stabilit¨ atsl¨ ange oder meist als Monin-Obukhov-L¨ ange. Aus (21.10) ersieht man, dass f¨ ur z = L die RichardsonFlusszahl gerade den Betrag eins hat. (Streng genommen h¨ atte man in (21.10) bereits das Windprofil bei diabatischer Schichtung einsetzen m¨ ussen, da ja w θ = 0. Wie unten beschrieben ist, unterscheidet sich dann die Windscherung ∂ u ¯/∂z durch eine Korrektur zum Mischungsweg κz vom adiabatischen Fall. Der genaue Zusammenhang zwischen Rif und L ergibt sich dann gem¨ aß (21.19). An dieser Stelle soll die Aussage gen¨ ugen, dass f¨ ur z ≈ L gilt: Rif = 1.) Der Zusammenhang zwischen L und der thermischen Schichtung lautet wie folgt: stabile Schichtung:

w θ 0 < 0 ⇒ L > 0

neutrale Schichtung:

w θ 0 = 0 ⇒ L → ∞

labile Schichtung:

w θ 0 > 0 ⇒ L < 0

Die Monin-Obukhov-Länge ist neben der Richardson-Flusszahl die am h¨ aufigsten verwendete Maßzahl f¨ ur die thermische Schichtung in der Prandtl-Schicht und gleichzeitig ein Maßstab f¨ ur den Turbulenzzustand in dieser Schicht. 21.4.3

Das Windprofil und der Diffusionskoeffizient

Um das Verhalten des Windprofils in der Prandtl-Schicht bei nichtadiabatischer Schichtung (1/L = 0) zu untersuchen, gehen wir von der dort allgemein g¨ ultigen Beziehung (21.5) aus, ∂u ¯ u∗ = . ∂z l Zusammen mit dem Prandtlschen Mischungsweg (21.6) l = la = κz , wobei la den Mischungsweg im adiabatischen Fall bezeichnet, hatte man daraus das logarithmische Windprofil (21.8) erhalten.

306


F¨ ur den nichtadiabatischen Fall muss der Ansatz f¨ ur den Mischungsweg die thermische Schichtung ber¨ ucksichtigen. Dies ist von zahlreichen Autoren auf verschiedenste Weise durchgef¨ uhrt worden. Allen Ans¨ atzen liegt die physikalisch plausible Vorstellung zugrunde, dass die Turbulenzk¨ orper, also die Wirbel, in der Grenzschicht bei labiler Schichtung aufgrund der Auftriebskr¨ afte eine gr¨ oßere Abmessung haben als im neutralen Fall. Bei stabiler Schichtung ist es gerade umgekehrt: Die Wirbel werden in ihrer vertikalen Ausdehnung behindert und sind folglich kleiner als im adiabatischen Fall. Dementsprechend sollte der Mischungsweg l bei labiler Schichtung größer bzw. bei stabiler Schichtung kleiner sein als derjenige, der f¨ ur eine neutral geschichtete Prandtl-Schicht erhalten wurde (21.6). Als Beispiel f¨ ur den nichtadiabatischen Fall soll hier der von Monin und Obukhov angegebene Ansatz f¨ ur den Mischungsweg verwendet werden. Dieser lautet: l(z) = la (z)

1 . 1 + α z/L

(21.12)

Die Werte der Konstanten α schwanken f¨ ur verschiedene Messungen; ein gebräuchlicher Wert ist α ≈ 5. Dieser Mischungswegansatz gilt allerdings nur f¨ ur nicht zu große Werte von z/L, also f¨ ur eine nicht zu starke Abweichung von der adiabatischen Schichtung. Setzt man jetzt (21.12) in die Beziehung (21.5) f¨ ur den Windgradienten ein, so erhält man ∂u ¯ u∗ = (1 + α z/L) ∂z la oder mit (21.6) f¨ ur la : u∗ ∂u ¯ = (1 + α z/L) . (21.13) ∂z κz Die Integration dieser Gleichung ergibt mit der Randbedingung u¯(z0 ) = 0 das sogenannte Log+linear-Profil f¨ ur die Windgeschwindigkeit in einer thermisch geschichteten Prandtl-Schicht,

z z − z0 u∗ ln +α . (21.14) κ z0 L Zum logarithmischen Verlauf mit der Höhe tritt noch ein linearer Anteil hinzu, der bei labiler Schichtung (L < 0) die Windgeschwindigkeit gegen¨ uber dem neutralen Fall verringert und bei stabiler Schichtung (L > 0) erh¨ oht. Schematisch l¨ asst sich der Einfluss der thermischen Schichtung darstellen, wie in Bild 21.4 gezeigt, wenn man f¨ ur alle Schichtungen den gleichen Betrag der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ annimmt. F¨ ur den turbulenten Diffusionskoeffizienten in einer thermisch geschichteten Prandtl-Schicht ergibt sich statt (21.9) u ¯(z) =

Km = l u∗ =

la u∗ 1 + α z/L

21.4 Das Windprofil bei diabatischer Schichtung . z ..... Schichtung ... .. labil neutral stabil . ... .. ... . ... .. . .. . . .. .. ... .. ... .. .. . . . .. . .. . ... ... .... ... .... .. ... . . . . . . . . .. ...... ... ..... .. ... ............ ............... . .. . . . . . . . .. .............................................. ... .......................................................................................................................................................................... . u ¯(z)

307

Bild 21.4 Log+linear-Profil der Windgeschwindigkeit f¨ ur labile, neutrale und stabile thermische Schichtungen.

und daraus mit (21.6) Km (z) =

κ u∗ z . 1 + α z/L

(21.15)

Im Z¨ ahler von (21.15) steht nichts anderes als der Diffusionskoeffizient im neutralen Fall. Man erkennt, dass bei labil geschichteter Prandtl-Schicht Km gr¨ oßer wird als im Neutralen und bei stabiler Schichtung kleiner, wie es in Bild 21.5 angedeutet ist. Wenn man statt des Mischungswegansatzes von Monin und Obukhov (21.12) einen der zahlreichen anderen aus der Literatur verwendet, erh¨ alt man nat¨ urlich f¨ ur das Windprofil und den Diffusionskoeffizienten eine andere Darstellung als die in (21.14) und (21.15) angegebenen; die qualitative Aussage der beiden graphischen Darstellungen bleibt jedoch davon unber¨ uhrt. In der Praxis ist das Windprofil nach (21.14) durch Messungen f¨ ur nicht zu extreme thermische Schichtungen best¨ atigt worden. 21.4.4

Die Profilfunktionen in der Prandtl-Schicht

Das Windprofil in der Prandtl-Schicht wurde bisher dadurch gewonnen, dass man f¨ ur den Mischungsweg Ansätze machte und damit u ¨ber den Gradientansatz eine . z ..... Schichtung ... ... stabil .. .. .. neutral ... .. ...... . . . . . ... ...... .. ... ...... . . . . . . .. . ... .. ...... ..................... labil ... .......... .. . . ............... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .... ........ .. .. ........................ ....... .. ............. ... ........................................................................................................................................................ 0 Km

Bild 21.5 Höhenprofil des turbulenten Diffusionskoeffizienten bei verschiedenen thermischen Schichtungen.

308


Beziehung zwischen dem konstanten Impulsfluss und dem Vertikalgradienten des mittleren Windes erstellte. ¨ Bereits Monin und Obukhov haben mit Hilfe der sogenannten Ahnlichkeitstheorie Aussagen u ¨ber das Windprofil gewonnen. Der Gedankengang ist der folgende: In der Prandtl-Schicht kann das Windprofil nur von der konstanten Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ , der Höhe z und dem Stabilit¨ atsparameter L abh¨ angen, da sonst keine weiteren Größen in den Gleichungen f¨ ur diese Schicht auftreten, ∂u ¯ = F (u∗ ,z,L) . ∂z Betrachtet man nun den dimensionslosen Windgradienten, so h¨ angt dieser von einer ebenfalls dimensionslosen Funktion ab: ¯ z ∂u = G(z/L) . u∗ ∂z ¨ Die Ahnlichkeitstheorie besagt nun, dass die dimensionslose Windscherung eine eindeutige Funktion der dimensionslosen Höhe z/L ist, oder anders ausgedr¨ uckt: alt Wenn man den Gradienten des mittleren Windes mit u∗ und z normiert, so erh¨ man f¨ ur alle m¨ oglichen Profile von u ¯ die gleiche dimensionslose Funktion G(z/L), unabh¨ angig davon, wie groß u∗ oder L f¨ ur ein spezielles Windprofil ist. Alle so normierten Profile der Windscherung nennt man ¨ ahnlich. Die Funktion G muss man aus Messungen bestimmen, indem man u¯(z), u∗ und L misst und dann die entsprechenden Normierungsvorschriften anwendet. Im neutralen Fall ist L → ∞, so dass die Funktion G nicht mehr von der Höhe abh¨ angt, sondern eine Konstante ist. Diese Konstante ist gerade der reziproke Wert der bereits in (21.9) eingef¨ uhrten K´ arm´ an-Konstante κ. Sie wird ¨ in den meisten Arbeiten u in der Prandtl-Schicht mit zur ¨ber Ahnlichkeitstheorie Normierung verwendet, so dass die allgemeine Profilbeziehung f¨ ur die Windgeschwindigkeit wie folgt geschrieben wird: κz ∂ u ¯ = Φm (z/L) . (21.16) u∗ ∂z F¨ ur die Profilfunktion Φm (m f¨ ur englisch: momentum, Impuls) erh¨ alt man aus Messungen folgende empirisch bestimmte Beziehungen (nach dem australischen Meteorologen A. Dyer und seinem amerikanischen Kollegen J. Businger h¨ aufig als Dyer-Businger-Funktionen bezeichnet): Φm = 1 + 5

z L

Φm = 1

Φm

z = 1 − 15 L

f¨ ur

z > 0 stabile Schichtung, L

f¨ ur

z = 0 neutrale Schichtung, L

f¨ ur

z < 0 labile Schichtung. L

− 1 4

(21.17)

21.5 Das Potenzprofil f¨ ur die Windgeschwindigkeit

309

Aus (21.16) erh¨ alt man f¨ ur den dimensionsbehafteten Gradienten: u∗ ∂u ¯ = Φm . (21.18) ∂z κz Nach Einsetzen der Werte f¨ ur Φm aus (21.17) kann man das Windprofil u¯(z) aus der Integration von (21.18) erhalten. F¨ ur den neutralen Fall ist Φm = 1, und man erh¨ alt das bereits in (21.8) gefundene logarithmische Windprofil. Im stabilen Fall ist (21.18) identisch mit der Monin-Obukhov-Formulierung (21.13) und man erh¨ alt das Log+linear-Profil (21.14). F¨ ur die labile Schichtung lassen sich ebenfalls analytische L¨ osungen gewinnen, deren Struktur sich allerdings komplexer als das Log+linear-Profil darstellt. Hierzu sei auf die weiterf¨ uhrende Grenzschicht-Literatur verwiesen. Unter Verwendung der Φ-Funktionen lässt sich die thermische Schichtung in der Beziehung zwischen Richardson-Flusszahl Rif und Monin-Obukhov-L¨ ange L (21.10) ber¨ ucksichtigen, wenn man in der Definition f¨ ur Rif (20.9) die Beziehung (21.18) f¨ ur die Windscherung verwendet: Rif =

z . L Φm

(21.19)

Diese Beziehung gilt nur in der Prandtl-Schicht bei h¨ ohenkonstanten Impuls- und Wärmefl¨ ussen.

21.5

Das Potenzprofil fu ¨ r die Windgeschwindigkeit

Die Verwendung der in den vorhergehenden Abschnitten erhaltenen Beziehungen f¨ ur das Windprofil in der Prandtl-Schicht ist in der Praxis nicht immer einfach, manchmal sogar unmöglich. Selbst bei adiabatischer Schichtung ben¨ otigt man nämlich zur Bestimmung des Windprofils Messwerte der Windgeschwindigkeit in mindestens zwei verschiedenen Höhen, um damit, wie in 21.3 dargestellt, u∗ und z0 zu erhalten und daraus u ur ¨ber das logarithmische Profil (21.8) weitere Werte f¨ u ¯(z) zu berechnen. Bei nichtadiabatischer Schichtung kommt die meist schwierige Bestimmung der Obukhov-Länge L noch hinzu. Im Routinedienst hat man aber nur die Windgeschwindigkeit in einer Höhe vorliegen (meist 10 Meter), so dass man auf solche Windmessungen das logarithmische Profil nicht anwenden kann. In der Praxis hat man daher das sogenannte Potenzprofil f¨ ur die mittlere Windgeschwindigkeit eingef¨ uhrt, welches die Bestimmung des Windprofils aus einer Windmessung ermöglicht. Es lautet

u ¯(z) = u ¯(za )

z za

m

.

(21.20)

310


Hierbei ist za (a f¨ ur Anemometerhöhe) die Messh¨ ohe f¨ ur die Windgeschwindigkeit u ¯(za ). Der Exponent m muss aus Messungen bestimmt werden. Er h¨ angt von der thermischen Schichtung in der Prandtl-Schicht ab, wof¨ ur einige Zahlenangaben gegeben werden sollen: m = 0,3

stark stabile Schichtung,

m = 0,14

neutrale Schichtung,

m = 0,05

stark labile Schichtung.

Das Potenzprofil ist eine brauchbare Näherung f¨ ur das Windprofil in der bodennahen Luftschicht, wenn nicht zu extreme Verh¨ altnisse hinsichtlich der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung herrschen. F¨ ur praktische Zwecke wird es auch bis in Höhen von einigen hundert Metern verwendet, f¨ uhrt dann aber zu gr¨ oßeren Ungenauigkeiten und kann auch nicht die in h¨ oheren Schichten erfolgende Drehung des Windes ber¨ ucksichtigen. Aus dem logarithmischen Windprofil (21.8) bzw. (21.14) kann man auch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ erhalten, ben¨ otigt dazu aber wiederum mindestens zwei Windgeschwindigkeiten in verschiedenen H¨ ohen. Um eine Bestimmung von u∗ auch aus nur einem Wert f¨ ur die Windgeschwindigkeit zu erm¨ oglichen, hat man eine empirische Beziehung zwischen der turbulenten Schubspannung am Boden, −w u 0 = u2∗ , und der Windgeschwindigkeit in zehn Metern Höhe eingef¨ uhrt, −w u 0 = cD u ¯2 (10 m) ,

(21.21)

oder u∗ =

√

cD u ¯(10 m) .

(21.22)

Die dimensionslose Konstante cD nennt man den Widerstandsbeiwert (engl. drag coefficient). Ihr Wert hängt von der thermischen Schichtung ab und ist im labilen Fall gr¨ oßer als im stabilen. Ein mittlerer Wert ist etwa cD ≈ 2·10−3 . Wenn man f¨ ur alle Schichtungsverhältnisse den gleichen Wert der Windgeschwindigkeit in zehn Metern H¨ ohe annimmt, so stellt die Abh¨ angigkeit von cD von der thermischen Schichtung gleichzeitig den Verlauf von u2∗ bzw. von w u 0 dar, was in Bild 21.6 schematisch dargestellt ist. Die Schubspannungsgeschwindigkeit bzw. der turbulente Impulsfluss am Boden ist um so gr¨ oßer, je labiler die Schichtung in der Prandtl-Schicht ist, und um so geringer, je stabiler sie ist. Physikalisch lässt sich das so erkl¨ aren: Bei labiler Schichtung wird die durch die Scherung des Grundstromes entstehende Turbulenz noch verstärkt, während sie bei stabiler Schichtung abgeschw¨ acht wird (siehe auch die Darstellung des turbulenten Diffusionskoeffizienten f¨ ur verschiedene Schichtungen in Bild 21.5).

21.5 Das Potenzprofil f¨ ur die Windgeschwindigkeit .. u2∗ ...... Schichtung cD ... labil neutral stabil ... ... .. ... ...... .. ... ...... ... ... ....... ... ....... .. ........ ...... .. ............ .. ... .......... ... ............... ... .................... .. ... ..................... ... ... .. ... .. ... .......................................................................................................................................................... Schichtung

311

Bild 21.6 Der Widerstandsbeiwert cD und die turbulente Schubspannung u2∗ in Abhängigkeit von der thermischen Schichtung. Der Wert der Windgeschwindigkeit in 10 Metern Höhe wird als konstant vorausgesetzt.

Warum interessiert man sich aber so besonders f¨ ur die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ ? Wie aus (21.2) ersichtlich, h¨ angt diese mit der turbulenten Schubspannung wie folgt zusammen: τ = ρ¯u2∗ . Nun ist aber physikalisch gesehen die Schubspannung eine Kraft pro Fl¨ acheneinheit. Im Fall der Prandtl-Schicht ist es gerade die Tangentialkraft, welche die Atmosph¨ are u ubt, bzw. die Kraft, welche ¨ber den Wind auf die Erdoberfläche aus¨ die Erdoberfl¨ ache als untere Berandung auf die Atmosph¨ are aus¨ ubt. Die Schubspannung in der Prandtl-Schicht wirkt sozusagen als Bremse f¨ ur die Atmosph¨ are oder als Antrieb f¨ ur den Untergrund. Letzteres ist zum Beispiel f¨ ur die Meeresoberfl¨ ache der Fall, welche ja eine bewegliche Grenzfl¨ ache zur Atmosph¨ are darstellt. Der Schubspannungseintrag in die Meeresoberfl¨ ache f¨ uhrt seinerseits zur Erzeugung von Meeresströmungen, die durch den Wind angetrieben werden. Ohne hier n¨ aher auf die Problematik der oberfl¨ achennahen Ozeanbewegung einzugehen, kann allgemein gesagt werden, dass Richtung und Betrag der aufgepr¨ agten Schubspannung maßgeblich die Geschwindigkeitsverteilung im Ozean bestimmen. Da in der Prandtl-Schicht die Richtung der Schubspannung h¨ ohenkonstant und mit der Windrichtung identisch ist, ben¨ otigt man f¨ ur den Betrag der Schubspannung gemäß (21.2) außer der Luftdichte noch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ . Diese kann aus Windmessungen entweder u ¨ber das Potenzprofil (21.20) und die Beziehung f¨ ur den Widerstandsbeiwert (21.22) oder u ¨ber das logarithmische Windprofil (21.8) bei neutraler Schichtung bzw. das Log+linear-Profil (21.14) bei diabatischer Schichtung berechnet werden. Bei letzterem ist allerdings wegen der Bestimmung der Monin-Obukhov-Länge L die simultane Messung des Temperaturprofils erforderlich.

312

21.6 21.6.1


Das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht Temperaturprofil und Profilfunktion

Wir gehen vom gemittelten Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form f¨ ur die potentielle Temperatur θ¯ aus, ∂ θ¯ ∂ θ¯ ∂ ¯˙ +u ¯k =− u θ +Q . ∂t ∂xk ∂xk k

(21.23)

Es sollen jetzt die gleichen Voraussetzungen gelten wie bei der Herleitung der ¯ Definition der Prandtl-Schicht in 21.2, nämlich station¨ are Verh¨ altnisse, ∂ θ/∂t = 0, horizontale Homogenität des Temperaturfeldes und verschwindende mittlere ¯ Vertikalgeschwindigkeit (dies ergibt zusammen u¯k ∂ θ/∂x k = 0) sowie horizontale Homogenit¨ at der Wärmefl¨ usse, ∂u1 θ /∂x1 = ∂u2 θ /∂x2 = 0. Außerdem soll keine ¯˙ = 0. Mit diesen Bedingungen diabatische W¨ armezu- oder -abfuhr stattfinden, Q vereinfacht sich (21.23) zu ∂w θ =0 ∂z

(21.24)

w θ = w θ 0 = konstant .

(21.25)

oder

In der Prandtl-Schicht ist der turbulente W¨ armefluss ebenso wie der turbulente Impulsfluss h¨ ohenkonstant. Diese Aussage allein reicht nicht aus, um das Profil der potentiellen Temperatur zu bestimmen, vielmehr muss man dazu noch eine weitere Annahme machen. Analog zum Windprofil soll auch f¨ ur die Temperatur der Gradientsatz verwendet werden: w θ = w θ 0 = −Kh

∂ θ¯ . ∂z

(21.26)

Hierbei ist w θ 0 der Wärmefluss am Boden und Kh der turbulente Diffusionskoeffizient f¨ ur W¨ arme (h f¨ ur engl. heat). F¨ ur Kh wird nun angenommen, dass er proportional zu Km , dem Diffusionskoeffizienten f¨ ur Impuls ist, Kh = αt Km .

(21.27)

21.6 Das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht

313

Der Proportionalitätsfaktor αt ist gerade der Reziprokwert der in (20.12) definierten turbulenten Prandtl-Zahl Prt = Km /Kh . Aus Messungen ergibt sich hierf¨ ur ein mittlerer Wert von αt = 1,35 bei nicht zu großer Abweichung von adiabatischen Schichtungsverhältnissen. Verwendet man jetzt f¨ ur Km den in der Prandtl-Schicht geltenden Ansatz (21.9), so ergibt sich mit (21.26) und (21.27) f¨ ur den Gradienten der potentiellen Temperatur 1 w θ 0 1 ϑ∗ ∂ θ¯ =− =+ . ∂z αt κ u∗ z αt κz

(21.28)

Die Gr¨ oße ϑ∗ , definiert als ϑ∗ = −

w θ 0 , u∗

(21.29)

bezeichnet man als charakteristische Temperatur f¨ ur die Prandtl-Schicht. Sie spielt f¨ ur das Temperaturprofil die gleiche Rolle wie die Schubspannungsgeur das Windprofil. Der Zusammenhang zwischen thermischer schwindigkeit u∗ f¨ Schichtung und ϑ∗ ist wie folgt: ϑ∗ > 0 :

w θ 0 < 0

stabile Schichtung

ϑ∗ = 0 :

w θ 0 = 0

neutrale Schichtung

ϑ∗ < 0 :

w θ 0 > 0

labile Schichtung

Gleichung (21.28) hat die gleiche Struktur wie die Beziehung zwischen Schubspannungsgeschwindigkeit und dem Gradienten der Windgeschwindigkeit. Mit der Randbedingung θ¯ = θ¯0

f¨ ur z = z0 .

ergibt die Integration von (21.28) deshalb analog zum Windprofil das logarithmische Temperaturprofil f¨ ur die Prandtl-Schicht, ¯ = θ¯0 + 1 ϑ∗ ln z . θ(z) αt κ z0

(21.30)

Ob die potentielle Temperatur mit der Höhe zu- oder abnimmt, h¨ angt vom Vorzeichen der charakteristischen Temperatur ϑ∗ , also von der Richtung des Bodenw¨ armestromes ab. Schematisch lässt sich der Temperaturverlauf in der Prandtl-Schicht etwa darstellen, wie in Bild 21.7 gezeigt. Das logarithmische Temperaturprofil (21.30) wurde dadurch erhalten, dass die Beziehung (21.9) f¨ ur den turbulenten Diffusionskoeffizienten verwendet wurde, die aber streng genommen nur bei adiabatischer Schichtung, also w θ 0 = 0 bzw.

314


. z ..... Schichtung .. ... neutral labil stabil ... w θ > 0 w θ. 0 w θ 0 < 0 0 ... .. ... ... .. .. ... ... .. .. ... . ... .. . ... .. ... ... ... ... .. ... .. . ... ... ... . ... .. ... ... ... . .. .... . . .. ..... ...... ..... . z0 ............................................................................................................................................................... θ¯0 θ¯

Bild 21.7 Schematische Darstellung des Temperaturverlaufes in der Prandtl-Schicht

ϑ∗ = 0, g¨ ultig ist. Insofern tut man bei der Herleitung von (21.30) so, als ob die thermische Schichtung keinen Einfluss auf die Turbulenz h¨ atte und betrachtet in diesem Fall die Temperatur als passive Transportgr¨ oße. Tats¨ achlich haben wir aber in Abschnitt 21.4 gesehen, dass der turbulente Zustand in der PrandtlSchicht von der thermischen Schichtung abhängt und somit die Beziehung (21.30) nur bei nahezu neutraler Schichtung brauchbar ist. Will man den Schichtungseinfluss auf das Temperaturprofil selbst ber¨ ucksichtigen, so kann man statt (21.9) die Beziehung (21.15) f¨ ur den Diffusionskoeffizienten in einer nichtadiabatischen Prandtl-Schicht verwenden, was nach Einsetzen in (21.26) und (21.27) zum Log+linear-Profil f¨ ur die potentielle Temperatur f¨ uhrt. Wie bereits beim Windprofil (21.16) ist auch f¨ ur das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht eine dimensionslose Profilfunktion eingef¨ uhrt worden. Diese ist wie folgt definiert:

κz ∂ θ¯ z = Φh . (21.31) ϑ∗ ∂z L F¨ ur die Profilfunktion Φh (h f¨ ur englisch: heat) erh¨ alt man analog zur Profilfunktion f¨ ur den Impuls Φm (21.17) aus Messungen:

Φh = 0,74 Φh = 0,74 Φh = 0,74

1+6

z L

z 1−9 L

> 0 stabile Schichtung ,

f¨ ur

z L z L

f¨ ur

z L

< 0 labile Schichtung .

f¨ ur − 1 2

=0

neutrale Schichtung ,

(21.32)

Die Integration von (21.31) mit (21.32) f¨ uhrt im Fall der stabilen Schichtung zum Log+linear-Profil: #

¯ = θ¯0 + 0,74 ϑ∗ ln z θ(z) κ z0

+6

z − z0 L

$

.

(21.33)

¯ Im Falle labiler Schichtung ergibt sich ein komplexerer Ausdruck f¨ ur θ(z). Angaben hierzu finden sich in den zitierten B¨ uchern u ¨ber die Grenzschicht.

21.6 Das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht 21.6.2

315

Die Profilmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse

In den Abschnitten 21.4.4 und 21.6.1 ist gezeigt worden, dass sich das Wind- und das Temperaturprofil in der Prandtl-Schicht aus der Integration der Profilfunkur eine stabile Temperaturtionen Φm (21.17) und Φh (21.33) erhalten lassen. F¨ schichtung (z/L > 0) sei dies noch einmal dargestellt:

u ¯(z) =

z u∗ ln κ z0

+5

z − z0 L

,

(21.34)

¯ = θ(z ¯ 0 ) + 0,74 ϑ∗ ln z + 6 z − z0 . (21.35) θ(z) κ z0 L ¯ Zur Bestimmung von u ¯(z) und θ(z) benötigt man außer der Rauhigkeitsl¨ ange z0 auch noch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ und den turbulenten (kinematischen) W¨ armestrom w θ . Aus u∗ und w θ lassen sich nach (21.29) die charakteristische Temperatur ϑ∗ und nach (21.11) die Monin-Obukhov-L¨ ange L erhalten. Somit m¨ usste man zunächst die turbulenten Impuls- und W¨ armefl¨ usse messen, um daraus mittels der integrierten Profilfunktionen das mittlere Wind- und Temperaturprofil zu bestimmen. Dies ist in der Praxis ein v¨ ollig unsinniges Vorgehen, da die Messung der turbulenten Fl¨ usse w u und w θ nicht nur Messger¨ ate mit kurzen Tr¨ agheitszeiten, sondern auch eine nicht unerhebliche Datenbearbeitung erfordert. Die Profile des mittleren Windes u ¯ und der mittleren Temperatur T¯ lassen sich dagegen bequem mit Standardmessgeräten gewinnen. Tats¨ achlich werden deshalb die Gesetzm¨ aßigkeiten der Prandtl-Schicht nicht zur Bestimmung der mittleren Wind- und Temperaturprofile, sondern zur Bestimmung des turbulenten Impulsund W¨ armestromes verwendet. Dies geschieht dadurch, dass mittlere Windgeschwindigkeiten und Temperaturen in verschiedenen H¨ ohen der Prandtl-Schicht gemessen werden. Dadurch ist die linke Seite der Profilgleichungen (21.34) und (21.35) bekannt, und die in u∗ , ϑ∗ und L enthaltenen turbulenten Fl¨ usse w u und w θ k¨ onnen mittels (21.34) und (21.35) auf iterativem Wege ermittelt werden. Diese indirekte Bestimmung turbulenter Fl¨ usse aus gemessenen Profilen der mittleren Windgeschwindigkeiten und Temperaturen mit Hilfe der Gesetze der Prandtl-Schicht (z. B. f¨ ur den in den Gleichungen (21.34) und (21.35) betrachteten Fall der stabilen Schichtung) nennt man deshalb auch die Profilmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse. Diese wird neben der direkten Messung der turbulenten Fl¨ usse mittels schneller Messsensoren sehr h¨ aufig in der Mikrometeorologie verwendet.

316

21.7


Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht

Im vorangegangenen Abschnitt wurde derjenige Teil der atmosph¨ arischen Grenzschicht behandelt, der sich bis etwa 20 bis 100 Meter oberhalb der Erdoberfl¨ ache erstreckt und in dem die turbulenten Fl¨ usse als h¨ ohenkonstant angenommen wurden. Der Wind nahm in dieser Schicht mit der H¨ ohe zu (logarithmisches Windprofil), ¨ anderte aber seine Richtung nicht. Im folgenden soll nun die Grenzschicht in ihrer gesamten Erstreckung von ca. 1000 Metern behandelt werden, wobei die Bezeichnung Ekman-Schicht an den schwedischen Ozeanographen W. Ekman (1874–1954) erinnert. Wir gehen bei der Herleitung der Definition der Ekman-Schicht von den NavierStokes-Gleichungen (19.12) aus und machen gewisse Einschr¨ ankungen wie in Abschnitt 21.2, n¨ amlich die dort f¨ ur die Prandtl-Schicht aufgestellten Voraussetzungen (a), (b), (c), (f) und (g), die stationäre Verh¨ altnisse und horizontale Homogenit¨ at von Grundstrom und turbulenten Größen beinhalten. Wir erhalten dann f¨ ur die Komponenten der horizontalen Windgeschwindigkeit folgende Gleichungen: −f v¯ +

1 ∂ p¯ ∂w u =− , ρ¯ ∂x ∂z (21.36)

∂w v 1 ∂ p¯ =− . +f u ¯+ ρ¯ ∂y ∂z Im Gegensatz zur Prandtl-Schicht (laut deren Definition in (21.36) die linken Seiten jeweils gleich null wären) wird in der Ekman-Schicht zus¨ atzlich der Einfluss von Coriolis- und Druckkraft ber¨ ucksichtigt. Schreibt man die obigen Gleichungen in Vektorform, so kann man die Ekman-Schicht als eine Schicht definieren, in der Druckkraft, Coriolis-Kraft und Reibungskraft im Gleichgewicht stehen. ¯h fk×v

+

1 ∇h p ρ¯

+

∂w vh ∂z

Coriolis-Kraft

Druckkraft

Reibungskraft

=0 ,

wobei der Index h die Horizontalkomponente bezeichnet. Die Vorstellung des Zusammenwirkens dieser drei Kräfte und des daraus resultierenden Windprofils in der Grenzschicht ist – vereinfacht dargestellt – die folgende: In gen¨ ugend großer Entfernung von der Erdoberfl¨ ache (ca. 1000 bis 2000 m) soll die turbulente Reibung verschwinden, so dass nur noch Druck- und CoriolisKraft im Gleichgewicht stehen. Dann erhält man aber gerade die geostrophische Windbeziehung, d. h. der Wind weht parallel zu den Isobaren. Je mehr man sich nun der Erdoberfl¨ ache von oben herab nähert, um so gr¨ oßer wird die turbulente Reibung, die den Betrag der Windgeschwindigkeit verringert, bis am Erdboden der Wert null erreicht wird. Gleichzeitig bewirkt die Reibung eine Drehung des

21.7 Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht . ...... .. ¯=v ¯g ... v ... ... .. . T ........................................................................................................ . . D C

(a)

317

. ...... v .. ¯ g ...... ... ... ¯ ... v ... ... ...α ............................ C ............ ... ... ... . ............ ......... . . . . . . T ..................................................................................................... . ... ... ...... ...... ... ...... ...... D . ...... . . . . . . . R .............

(b)

H

H

Bild 21.8 Vektordiagramm der Kräfte (a) an der Obergrenze der Ekman-Schicht, links, und (b) in Erdbodennähe, rechts

Windvektors von der geostrophischen Windrichtung aus nach links, wie man aus der Darstellung des Kräftediagramms in Bild 21.8 ersehen kann. In der N¨ ahe des Erdbodens wird die Druckkraft D durch die Summe von ¯ ist Coriolis-Kraft C und Reibungskraft R kompensiert. Der aktuelle Wind v ¯ g und gegen¨ betragsm¨ aßig geringer als der geostrophische Wind v uber diesem um den Winkel α gedreht. F¨ uhren wir jetzt in (21.36) die Beziehungen f¨ ur die Komponenten des geostrophischen Windes ein, u ¯g = −

1 ∂ p¯ , ρ¯f ∂y

v¯g = +

1 ∂ p¯ , ρ¯f ∂x

und machen f¨ ur die turbulenten Impulsfl¨ usse den Gradientansatz w u = −Km

∂u ¯ , ∂z

w v = −Km

∂¯ v , ∂z

so ergeben sich als Gleichungen f¨ ur die Komponenten der horizontalen Geschwindigkeit in der Ekman-Schicht −f (¯ v − v¯g ) =

∂u ¯ ∂ Km , ∂z ∂z

(21.37) ∂¯ v ∂ Km . f (¯ u−u ¯g ) = ∂z ∂z Um eine analytische Lösung des Gleichungssystems (21.37) zu erm¨ oglichen, werde noch zus¨ atzlich vorausgesetzt, dass der turbulente Diffusionskoeffizient Km und die Komponenten des geostrophischen Windes u¯g , v¯g h¨ ohenkonstant sein sollen; letzteres nennt man die Barotropiebedingung, d. h. der horizontale Druckgradient ändert sich nicht mit der Höhe. Da das System (21.37) von zweiter Ordnung ist, werden f¨ ur jede Gleichung zwei Randbedingungen ben¨ otigt. Diese lauten

318

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht f¨ ur z = 0 :

u ¯ = v¯ = 0 ,

f¨ ur z → ∞ :

u ¯=u ¯g ,

(21.38) v¯ = v¯g .

Die Randbedingungen geben die physikalischen Forderungen an die Str¨ omung in der Grenzschicht wieder, nämlich dass am Boden die Windgeschwindigkeit aufgrund der Haftreibung verschwinden soll und sich an der Obergrenze der Grenzschicht der Wind der geostrophischen Strömung anpasst. Die L¨ osung der Gleichungen (21.37) mit den Randbedingungen (21.38) lautet (zun¨ achst f¨ ur ein beliebig orientiertes x-y-Koordinatensystem): #

u ¯(z) = u ¯g 1 − exp − #

v¯(z) = v¯g

z D

z 1 − exp − D

$

cos

z z − v¯g exp − D D $

z z cos +u ¯g exp − D D

sin

z , D (21.39)

z . sin D

Orientiert man das Koordinatensystem so, dass die x-Achse die Richtung des ¯ g hat, also |¯ geostrophischen Windes v vg | = u ¯g , v¯g = 0, so erh¨ alt man aus (21.39): #

u ¯(z) = u ¯g 1 − exp −

z z cos D D

z v¯(z) = u ¯g exp − D

$

, (21.40)

z . sin D

Die sich aufgrund der Integration der Gleichungen ergebende Konstante D ist eine Kombination der in den Gleichungen (21.40) auftretenden Parameter f und Km :

D=

2

Km . f

(21.41)

Die Konstante D hat die Dimension einer Länge und wird deshalb h¨ aufig als Ekman-L¨ ange bezeichnet, nach W. Ekman, der als erster die Windverteilung in der Grenzschicht gemäß (21.40) angegeben hat. Diese Windverteilung wird auch Ekman-Spirale genannt, und zwar aus folgendem Grund: Wenn man die Windvektoren, die man aus (21.40) gewinnt, f¨ ur verschiedene Höhen in ein x-y-System aufträgt und die Endpunkte der Vektoren miteinander verbindet, so ergibt sich eine Spirale um den Endpunkt des geostrophischen Windvektors, wie aus Bild 21.10 zu ersehen ist. Die Windverteilung entsprechend der Ekman-L¨ osung (21.40) wird oft als so genannter Hodograph wie in Bild 21.9 dargestellt. Der Wind ist in Bodennähe (z. B. in zehn Metern H¨ ohe) vom geostrophischen Wind nach links abgelenkt und dreht mit der H¨ ohe zum geostrophischen Wind

21.7 Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht

319

Bild 21.9 Windvektoren entsprechend der Ekman-Lösung (21.40) f¨ ur den konkreten Fall ug = 10 ms−1 , Km = 5 m2 s−1 und f = 10−4 s−1 .

. z .... .. vg . ......................................................................................................... .. .. .. . .. ....................................................... ....................................................... .. ..... ............................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . ... .... .............................. ... .......................... ............. ............................... . ... .................. .. ..................... .................................y, . ... .....................................v¯......................................................................................................................... ... ......................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .......................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .... ........ .. •................................................................................................... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .................................................................... . . . .................................................................................. x, u ¯ ........................................................................................................................ . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................... . . ................................................................................ . . ................................................................................ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Bild 21.10 Die Höhenabhängigkeit des Betrages und der Richtung der Windgeschwindigkeit ergibt im Vektordiagramm die sogenannte EkmanSpirale.

hin, bis der aktuelle Windvektor schließlich mit diesem u ¨bereinstimmt. Den Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind bezeichnet man als Ablenkungswinkel α0 . Wie groß ist nun α0 im Falle der in (21.40) angegebenen Ekman-Spirale? ......

v¯ ..............

. ..... .... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .. . . ..... . .. .... ... ... .. ... .... ... ..... ... .... ... .... ... ... ... ... .... ... ..... ..... .... ... .... ... ... ... ... ... ..... .. . ................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....

¯0 v ....... . . .... ... . . . .... v¯0 .... . . . ... . . ... .... 0 .............α ................................................................................................... ¯g v u ¯0

u ¯

Bild 21.11 Der Ablenkungswinkel α0 zwischen dem Bodenwind und dem geostrophischen Wind f¨ ur den Fall der Ekman-Spirale

320


Wie aus Bild 21.11 ersichtlich, ergibt sich α0 aus den Komponenten des Bo¯ 0 zu denwindes v α0 = arctan

v¯0 . u ¯0

¯(z = 0) und v¯(z = 0) aus den BeziehunWenn man f¨ ur u ¯0 und die Werte von u gen (21.40) einsetzt, so erhält man f¨ ur v¯0 /¯ u0 den unbestimmten Ausdruck 0/0. Die Anwendung der Regel von de l’Hospital auf v¯(z = 0)/¯ u(z = 0) f¨ uhrt jedoch zu dem Ergebnis (∂¯ v /∂z)/(∂ u ¯/∂z)|z=0 = 1 und somit f¨ ur α0 zu dem Wert von 45o . Bei der Ekman-Spirale beträgt der Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind 45o . Dieser Wert f¨ ur α0 ist zu groß; man beobachtet im allgemeinen Werte zwischen 15o und 25o . Bei der Herleitung der Ekman-Spirale wurde jedoch die einschneidende Voraussetzung gemacht, dass der turbulente Diffusionskoeffizient Km mit der Höhe konstant sein sollte. Diese Annahme ist allerdings in der atmosphärischen Grenzschicht nicht erf¨ ullt, wie sp¨ ater noch gezeigt werden wird. Die Ekman-Spirale gibt jedoch qualitativ den H¨ ohenverlauf des mittleren Windes in der atmosph¨ arischen Grenzschicht recht gut wieder.

21.8

Die H¨ ohe der atmosph¨ arischen Grenzschicht

Die Lage der Obergrenze der atmosphärischen Grenzschicht ist nicht eindeutig festgelegt; man muss vielmehr definieren, welches Kriterium daf¨ ur herangezogen werden soll. H¨ aufig wird als Definition der Grenzschichth¨ ohe die H¨ ohe gew¨ ahlt, in der der tats¨ achliche Wind erstmals die Richtung des geostrophischen Windes hat. Wenn das Koordinatensystem so orientiert ist wie beim Erhalt von (21.40) f¨ ur die Komponenten des Windes, dann ist diese H¨ ohe gerade die, in der die vKomponente des Windvektors – abgesehen vom Boden – zum ersten Mal verschwindet: v¯(zG ) = 0, wobei zG die Höhe der Grenzschicht bezeichnen soll. Setzt man diese Bedingung in die zweite der Gleichungen (21.40) ein, so erh¨ alt man

0=u ¯g exp −

zG D

sin

zG . D

Diese Bedingung ist erf¨ ullt f¨ ur zG /D = nπ mit n = 0, 1, 2, . . .; n = 0 ergibt den Bodenwert f¨ ur v¯ und n = 1 den ersten Nulldurchgang. Man hat also gem¨ aß obiger Definition f¨ ur die Höhen der Grenzschicht

zG = π D = π

2

Km . f

(21.42)

21.9 Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht

321

Wie groß ist nun zG in der Atmosphäre? Dazu setzen wir gebr¨ auchliche Zahlenwerte f¨ ur den Diffusionskoeffizienten Km und den Coriolis-Parameter f ein: Km = 5 m2 s−1 , ergibt f¨ ur zG zG = π

√

f = 1 · 10−4 s−1 .

105 m ≈ 1000 m .

Die H¨ ohe der Grenzschicht (oder Ekman-Schicht) betr¨ agt also etwa 1000 m. Abh¨ angig von der Größe des turbulenten Diffusionskoeffizienten kann diese H¨ ohe aber auch doppelt oder nur halb so groß sein.

21.9

Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht

Bei der Behandlung der Prandtl-Schicht hatte man vorausgesetzt, dass der turbulente Impulsfluss w u höhenkonstant sein sollte. Es war aber schon darauf hingewiesen worden, dass diese Annahme nur in den untersten Dekametern der Grenzschicht ann¨ ahernd erf¨ ullt ist. Bei der Herleitung der Ekman-Spirale (21.40) war u ¨ber den Verlauf der turbulenten Schubspannung keine Aussage gemacht worden; vielmehr wurde nur die Voraussetzung eines höhenkonstanten Diffusionskoeffizienten getroffen. Im folgenden soll aus der Windverteilung in der Ekman-Schicht mit Hilfe des Gradientansatzes eine Aussage u ¨ber den Verlauf der Schubspannung mit der H¨ ohe gewonnen werden. Im Gegensatz zur Prandtl-Schicht erhalten wir in der Ekman-Schicht zwei Komponenten des horizontalen Windes und somit auch zwei Komponenten der Schubspannung. Der Gradientansatz lautet f¨ ur die einzelnen Komponenten w u = −Km

∂u ¯ , ∂z

w v = −Km

∂¯ v . ∂z

Setzt man nun f¨ ur u ¯ und v¯ die Beziehungen (21.40) f¨ ur die Ekman-Spirale ein und f¨ uhrt die Differentiation nach z aus, so erhält man f¨ ur die Komponenten der Schubspannung

w u (z) = −Km

u ¯g z exp − D D

#

cos

z z + sin D D

$

,

(21.43) # $ u ¯ z z z g exp − w v (z) = −Km cos − sin . D D D D Die Komponenten des turbulenten Impulsflusses sind nicht mehr h¨ ohenkonstant wie in der Prandtl-Schicht, sondern verändern sich mit der H¨ ohe und verschwinden f¨ ur sehr große Werte von z (exakt f¨ ur z → ∞). Dieser Verlauf mit der H¨ ohe wird anschaulicher, wenn man sich den Betrag der Schubspannung aus (21.43) berechnet:

322

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht "

|w v |(z) =

2

2

w u + w v =

√

2 Km

u ¯g z exp − D D

.

(21.44)

Der Betrag der Schubspannung nimmt exponentiell mit der H¨ ohe ab, auch im unteren Teil der Grenzschicht. Die Werte der Schubspannung am Boden (z = 0) errechnen sich aus (21.43) und (21.44) unter Verwendung der Definition f¨ ur die Länge D (21.41) zu

−w u 0 = u ¯g

Km

f , 2

− w v 0 = u ¯g

| − w v |0 = u2∗ = u ¯g

Km

f , 2

%

Km f .

(21.45)

(21.46)

Der Wert der turbulenten Schubspannung am Boden h¨ angt vom Betrag des geostrophischen Windes und des Diffusionskoeffizienten ab. Der Einfluss der thermischen Schichtung auf die Windverteilung und auf die Schubspannung kann im Falle der Ekman-Spirale nur u ¨ber den turbulenten Diffusionskoeffizienten Km ber¨ ucksichtigt werden. Dieser ist entsprechend den Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 21.4 bei labiler Schichtung größer, bei stabiler kleiner als im neutralen Fall. Entsprechend ergibt sich aus (21.46), dass bei gleichem geostrophischem Wind die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ bei labiler Schichtung gr¨ oßer ist als bei stabiler Schichtung.

21.10

Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

Mit der einfachsten Annahme f¨ ur den Diffusionskoeffizienten, n¨ amlich Km = konstant, hatten wir als Lösung der Grenzschichtgleichungen (21.37) die EkmanSpirale (21.40) erhalten. Diese Lösung gibt den Verlauf der Windgeschwindigkeit ¨ mit der H¨ ohe zwar qualitativ richtig an; die Ubereinstimmung mit Beobachtungen in der Atmosphäre ist jedoch nicht sehr gut. Das liegt eben daran, dass man in der tats¨ achlichen Grenzschicht keinen h¨ ohenkonstanten Diffusionskoeffizienten vorfindet, sondern sich dieser vielmehr mit der H¨ ohe ¨ andert. (Im Falle der Prandtl-Schicht hatten wir diese Höhenabh¨ angigkeit bereits erhalten.) Zum anderen kann bei der Ekman-Spirale der Einfluss der Bodenrauhigkeit, charakterisiert durch die Rauhigkeitslänge z0 , nicht ber¨ ucksichtigt werden. Aus diesen Gr¨ unden soll nun eine andere Lösung der Grenzschichtgleichungen gesucht werden, die die Gegebenheiten in der Atmosphäre besser ber¨ ucksichtigt, aber noch auf analytischem Wege erhalten werden kann. Dazu wird f¨ ur den Verlauf des Diffusionskoeffizienten Km die folgende Annahme gemacht: vom Erdboden aus soll Km bis zu einer H¨ ohe zP linear mit der H¨ ohe zunehmen und dar¨ uber einen konstanten Wert beibehalten.

21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

..... Km

323

. z ... . ¯ v ....................................................g..................................................... .. .. .. .................................................... ........................................................ ..... ... .. . .... Km,E = κu∗ zP .................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ......................... ......................... vP ....................................... . . . . . . . . . . . . . y, v¯ ... ............................................................................................... ......................................................................................................................................... ..................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...z.. ..P... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . .. . . . . . . . . ... . .... .. .............. . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . .. . . . .. .. .. ....... ...................................... ... ............................................ ............................................................ ..................... ............................................... ..... ...... .. .... .. .. ... ................. ... ........... .... .... ....................................................... . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . .............. ....... ........ ...... .... ... .................................... ... .... ... ................................................................................................ .............................................................................................. . . .. ................. .... .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....... .. . . ....... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ....... ...............................................................................................................α.....0.................................................................................. ... Km = κu∗ z .....................................................................•.............................. . ..... ... . . . . . . . . . . . . . . ................................. .. ....................... . .¯. . . . . . . . . . . . . . . ....... .................................v Km,E .......................................................g.................................................................. x, u ¯ . . ................................................................................ . . ................................................................................. .................................................................................. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. ................................................................................ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bild 21.12 Der Aufbau der Zwei-Schichten-Grenzschicht, die sich aus einer PrandtlSchicht als unterer und einer Ekman-Schicht als oberer Komponente zusammensetzt. Im linken Bildteil ist der Höhenverlauf des Diffusionskoeffizienten Km skizziert.

Wir setzen also die Grenzschicht aus zwei Schichten zusammen. Die untere Schicht soll den Voraussetzungen der Prandtl-Schicht gen¨ ugen (aus denen sich ein linearer Verlauf von Km ergab), während die daran anschließende Schicht mit höhenkonstantem Km die Ekman-Gleichungen erf¨ ullen soll. Die Darstellung in Bild 21.12 verdeutlicht den Aufbau dieser Zwei-Schichten-Grenzschicht. ¯ P angedeutet) In der Prandtl-Schicht (bis zP ) a¨ndert der Windvektor (mit v seine Richtung nicht, der erste Teil der Hodographenkurve in Bild 21.12 von 0 bis zP ist also eine Gerade. Ab der Höhe zP beginnt die Ekman-Spirale wie sie auch im vorigen Abschnitt ohne vorhandene Prandtl-Schicht hergeleitet wurde. Der Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind α0 betr¨ agt jetzt nicht mehr 45o , sondern ist geringer. Aus Bild 21.12 ersieht man außerdem, dass der Wind am unteren Rande der Ekman-Schicht, also bei zP , den gleichen Winkel α0 mit der Richtung des geostrophischen Windes einschließt. Auf die Herleitung der Windprofile aus den Gleichungen f¨ ur die Prandtl-Schicht bzw. Ekman-Schicht soll hier verzichtet und lediglich die Ergebnisse dargestellt werden. Es ergeben sich in der Prandtl-Schicht (0 ≤ z ≤ zP ): u ¯(z) =

u∗ z ln cos α0 , κ z0

v¯(z) =

u∗ z ln sin α0 . κ z0

in der Ekman-Schicht (z ≥ zP ):

(21.47)

324


#

u ¯(z) = u ¯g 1 − v¯(z) = u ¯g

√

√

2 exp −

z − zP D

z − zP 2 exp − D

sin α0 cos

z − zP π + − α0 D 4

z − zP π + − α0 sin α0 sin D 4

$

, (21.48)

.

Wie groß ist nun der Betrag der Windgeschwindigkeit in der H¨ ohe zP , d. h. an der Obergrenze der Prandtl-Schicht bzw. an der Untergrenze der Ekman-Schicht? Aus (21.48) l¨ asst sich die folgende Beziehung erhalten: |¯ v(zP )| = u ¯g (− sin α0 + cos α0 ) .

(21.49)

alle Aus dieser Beziehung lassen sich hinsichtlich des Winkels α0 zwei Grenzf¨ ermitteln: (a)

α0 = 0

(b) α0 =

π 4

¯g : Die Prandtl-Schicht erstreckt sich u ; |¯ v(zP )| = u ¨ber die gesamte Grenzschicht; es ist keine EkmanSchicht vorhanden. ;

|¯ v(zP )| = 0:

Die Ekman-Schicht erstreckt sich bis zum Erdboden (zP = 0); es ist keine PrandtlSchicht vorhanden.

In der Atmosph¨ are liegt der Winkel α0 im allgemeinen zwischen diesen Extremen und somit auch die Aufteilung der Grenzschicht in Prandtl- und EkmanSchicht. Die Berechnung des Windprofils mit Hilfe des Ergebnisses des ZweiSchichten-Modelles aus den Beziehungen (21.47) und (21.48) ist nun bei Vorgabe der Gr¨ oßen u ¯g , z0 , zP und u∗ möglich, wobei der Ablenkungswinkel α0 z. B. mit Hilfe von (21.47) und (21.49) bestimmt werden kann. Man hat damit aber die gleiche Situation wie bei der Anwendung des logarithmischen Windprofils, n¨ amlich dass man die Schubspannungsgeschwindigkeit vorgeben muss, die man als Turbulenzgr¨ oße eigentlich zunächst aus dem Windprofil bestimmen m¨ usste. Die eigentliche Aufgabenstellung bei der Behandlung des Windprofils in der Grenzschicht ist aber die folgende: Gegeben sind als Konstanten f¨ ur den jeweils betrachteten Ort die Rauhigkeitsl¨ ange z0 und der Coriolis-Parameter f (letzterer steckt in der Ekman-L¨ ange D). Bekannt ist weiter der aufgeprägte geostrophische Wind u ¯g und gegebenenfalls die thermische Schichtung der Grenzschicht. Gesucht sind jetzt die Profile des Windgeschwindigkeitsvektors und der turbulenten Schubspannung (bei letzterem interessiert hauptsächlich die Bodenschubspannung), die sich in der Grenzschicht aufgrund der vorgegebenen (sogenannten äußeren) Parameter einstellen.

21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

325

Die L¨ osung dieses Problems geschieht nun im Falle des Zwei-Schichten-Modells (21.47) und (21.48) wie folgt: In der Höhe zP , also am oberen Rand der PrandtlSchicht, m¨ ussen die Profile der Windgeschwindigkeitskomponenten aus dem logarithmischen Windprofil mit denen aus der Ekman-Spirale u ¨bereinstimmen. Aus (21.47) und (21.48) erhält man f¨ ur z = zP die zwei Beziehungen: u∗ zP ln cos α0 κ z0 u∗ zP ln sin α0 κ z0

'

= u ¯g 1 − √

= u ¯g

√

2 sin α0 cos

2 sin α0 sin

5π 4

5π 4

− α0

6

6(

, (21.50)

− α0 .

Diese beiden Beziehungen enthalten außer den vorzugebenden Gr¨ oßen ug , z0 und zP die unbekannten Größen u∗ und α0 . Es ist jetzt m¨ oglich (wenn auch nur iterativ), diese Gleichungen zur Bestimmung der Werte der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ und des Ablenkwinkels α0 zu l¨ osen und mit den so erhaltenen Werten die Profile in der Grenzschicht mit Hilfe von (21.47) und (21.48) zu berechnen. Dabei ist noch zu ber¨ ucksichtigen, dass die in (21.48) ben¨ otigte EkmanLänge D u ¨ber ihre Definition (21.41) mit dem turbulenten Diffusionskoeffizienten Km und u ¨ber diesen mit der Höhe der Prandtl-Schicht zP (siehe Bild 21.12) in folgender Beziehung steht:

D=

2

Km = f

4

2κ u∗

zP . f

(21.51)

Die H¨ ohe der Prandtl-Schicht zP bestimmt also die Gr¨ oße von Km in der Ekman-Schicht. Die Festlegung der Höhe zP kann man nun dazu verwenden, die thermische Schichtung im Zwei-Schichten-Modell zu ber¨ ucksichtigen: Je gr¨ oßer zP , desto labiler ist die thermische Schichtung; je kleiner, desto stabiler ist die Grenzschicht geschichtet. Man kann sich diese Annahmen qualitativ aufgrund des in Abschnitt 21.4 geschilderten Effektes der thermischen Schichtung auf die H¨ ohe der Prandtl-Schicht u ¨berlegen. Die Einfl¨ usse der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung auf das Windprofil in der Grenzschicht, wie man sie z. B. mit dem oben aufgestellten Zwei-Schichten-Modell erhalten kann, sind qualitativ in Bild 21.13 angedeutet. Einige Zahlenwerte f¨ ur den Ablenkungswinkel α0 und die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ sind in folgender Tabelle angegeben. Dabei ist der Betrag des geostrophischen Windes u ¯g konstant gehalten, z. B. 10 m s−1 . Die angegebenen Zahlenwerte sollen nur einen Anhaltspunkt f¨ ur die in der atmosph¨ arischen Grenzschicht vorkommenden Verh¨ altnisse darstellen. Die Abh¨ angigkeit des Ablenkungswinkels α0 und der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ von der Größe des geostrophischen Windes u ¯g l¨ asst sich daher wie folgt beschreiben: je größer u ¯g ist, desto kleiner ist α0 und desto gr¨ oßer ist u∗ . Insgesamt kann man das Verhalten der atmosphärischen Grenzschicht folgendermaßen charakterisieren:

326


.. v¯ ...... ... ... rauh....................... .. ................ ............ .. ...... ...................... . . . . . . . . . . .... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... .. ..................................... . .....................................................................glatt ................................................................................................... ..................... u ¯g v ¯ . v¯ ....... .. ... stabil ... ........................................... ... ........................... . . ...... . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... .. ............................................. . . . . .......................................................................labil ................................................................................................... . . . ................... u ¯g v ¯

Bild 21.13 Einfl¨ usse der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung auf das Windprofil in der Grenzschicht

Die Turbulenz in der Grenzschicht ist um so stärker, je gr¨ oßer der geostrophische Wind und die Bodenrauhigkeit und je labiler die Temperaturschichtung ist.

Rauhigkeit sehr klein (Meer) mittel (Land, flach) sehr groß (Land, bewachsen)

Ablenkungswinkel α0 Schichtung labil neutral stabil 15o 20o 30o

20o 25o 35o

30o 35o 45o

Rauhigkeit sehr klein mittel sehr groß

Schubspannungsgeschw. u∗ cm s−1 Schichtung labil neutral stabil 30 40 60

25 35 45

15 20 25

Warum ist man nun am Ablenkungswinkel α0 sowie an der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ interessiert? Hier gilt das bereits in Abschnitt 21.5 Gesagte: Die Schubspannungsgeschwindigkeit ist mit der auf die Erdoberfl¨ ache wirkenden Schubspannung u upft. Die Richtung von τ ist dabei mit ¨ber τ = ρ¯ u2∗ verkn¨ der Windrichtung in der Prandtl-Schicht identisch. Letztere wiederum ist um den Winkel α0 nach links (auf der Nordhalbkugel) gegen die Richtung des geostrophischen Windes gedreht. Der geostrophische Wind l¨ asst sich aber recht gut aus Bodendruckkarten bestimmen, ohne dass eine direkte Windmessung vorliegen muss. Die Gesetze zur Ekman-¨ uber-Prandtl-Schicht lassen somit eine Bestimmung

21.11 Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz

327

von Betrag und Richtung der auf die Erdoberfl¨ ache (Meeresoberfl¨ ache) wirkenden Windschubspannung aus der Kenntnis des geostrophischen Windes zu. Dies erm¨ oglicht z. B. die Berechnung der windgetriebenen Meeresstr¨ omungen, ohne dass Messungen der bodennahen Windgeschwindigkeit vorliegen m¨ ussen. Das ist angesichts der schwierigen Datenlage u ¨ber den Ozeanen von besonderer Bedeutung.

21.11

Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz

Die in den beiden vorigen Abschnitten vorgestellten Modelle zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (21.37) machen die einfachsten Annahmen hinsichtlich des turbulenten Diffusionskoeffizienten Km , um das Gleichungssystem zu schließen. Neben diesen beiden Ansätzen f¨ ur Km existieren in der Literatur noch zahlreiche andere, wobei besonders häufig der Mischungswegansatz

¯ ∂v Km (z) = l2 (z) ∂z verwendet wird. F¨ ur den Mischungsweg l(z) werden die verschiedensten Annahmen hinsichtlich seines Verlaufes mit der Höhe gemacht, wobei im bodennahen ¨ Bereich in Ubereinstimmung mit dem Prandtlschen Mischungswegansatz meist ein linearer Verlauf angenommen wird. Es soll stellvertretend f¨ ur alle Mischungswegans¨ atze in der Grenzschicht der von dem amerikanischen Meteorologen Blackadar eingef¨ uhrte angegeben werden, der besonders h¨ aufig verwendet wird: l(z) =

κz . 1 + κ λz

(21.52)

Dieser Mischungsweg zeigt den folgenden Verlauf: in der Prandtl-Schicht nimmt l linear mit der H¨ ohe zu, erreicht dann aber bei geringerer Zunahme mit der H¨ ohe den konstanten Wert λ. Diesem konstanten Verlauf f¨ ur gr¨ oßere H¨ ohen liegt der Gedanke zugrunde, dass die Größe der Turbulenzk¨ orper (repr¨ asentiert durch den Mischungsweg) weit genug von der Erdoberfläche sich nicht mehr ver¨ andert. Der Grenzwert des Mischungsweges, λ, hängt von der thermischen Schichtung ab, wie in Bild 21.14 dargestellt. Die L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (21.37) mit Mischungswegans¨ atzen wie (21.52) ist nur noch mit numerischen Methoden m¨ oglich. Die Ergebnisse die¨ ser Modelle ergeben zwar etwas bessere Ubereinstimmung der Windprofile mit den gemessenen Daten, aber alle grundsätzlichen Erkenntnisse u ¨ber die Struktur des gemittelten Windprofils lassen sich bereits aus dem im vorigen Abschnitt dargestellten, einfachen Zwei-Schichten-Modell gewinnen, das von einer EkmanSchicht oberhalb einer Prandtl-Schicht ausgeht. Deshalb sollen in Bild 21.14 als Ergänzung lediglich die mit einem Mischungswegansatz erhaltenen Profile des turbulenten Diffusionskoeffizienten in Abhängigkeit von der thermischen Schichtung

328


z ...... . ... ... ... ... .. .. ... . .. .. .. .. ... stabil neutral labil .. .. ... ... ... ... .. .. ... . .. ... ... .. ... .. ... . .. . . .. .. ... .. ... . .. . ... .. .... .. .. . .... ........ .. .. . . . . . . . . .. . ... ... ................................................................................................................................................................................................ ... λl λs λn 10 30 100 m l

z ...... .. .. .. ... .... .... .... ... .... .... .... ... ... .... ..... ... .... .... ....... .. .... .... .......... ...... ... ... ....... ..... ..... ... ..... ......... .... ..... ... ... .... . . .... ... ... ... . ... ... ... ... .. .. stabil labil . neutral . .. ... .. ...... ....... .................................................................................................................................................................................... ... 1

5

50

m2 s

Km

Bild 21.14 Profile des Mischungsweges l(z) und des turbulenten Diffusionskoeffizienten angigkeit von der thermischen Schichtung Km (z) in Abh¨

dargestellt werden, wie man sie als typische Ergebnisse von Modellrechnungen erhält. Ausf¨ uhrliche Darstellungen zu Wind- und Temperaturprofilen in der atmosph¨ arischen Grenzschicht sowie zum turbulenten Diffusionskoeffizienten findet man in den B¨ uchern zur atmosphärischen Grenzschicht, die im Literaturverzeichnis angegeben sind.

21.12

Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are

Bisher hatten wir die atmosphärische Grenzschicht nur einseitig gekoppelt an die dar¨ uberliegende, reibungsfreie Atmosphäre betrachtet. Bei vorgegebenem geostrophischem Wind ug ergab sich das Windprofil in der Grenzschicht entsprechend der Ekman-Spirale aus Gleichung (21.40). In Bezug auf das großr¨ aumige Druckfeld ergab sich entsprechend Bild 21.8, dass in der Grenzschicht der Wind eine Komponente vom hohen zum tiefen Druck aufweist, er also vom Hoch in das Tief hineinweht. Diese ageostrophische Windkomponente stellt folglich einen Massentransport quer zu den Isobaren dar und bewirkt einen Druckausgleich zwischen den großräumigen Systemen. (Im geostrophischen Gleichgewicht oberhalb der Reibungsschicht weht der Wind immer parallel zu den Isobaren bzw. Isohypsen.) Nun sind in der realen Atmosphäre die Druckfelder nicht gerade so gestaltet, dass u ¨berall der gleiche geostrophische Wind herrscht, vielmehr weist auch der Druckgradient eine räumliche Variation auf. Wir untersuchen jetzt, welche Konsequenz eine horizontale Variation des geostrophischen Windes auf die EkmanSchicht hat. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass der geostrophische Wind nur seinen Betrag ändert, und zwar senkrecht zu seiner Windrichtung, d. h. es

21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are y ...... v0 (y) ... ...... .. . .. . ..................................................... ... .... .. ... ... .. ..................................................................... ug (y) . .. .. ... . .. ... .. . .. .... ...................................................................................... .. . .. ... ... . .. . ....................................................................................................... ... .................................................................................................................................... x

329

Bild 21.15 Variation des geostrophischen Windes ug (y) und daraus resultierende Divergenz des Bodenwindes v0 (y)

soll ug = ug (y), vg = 0 gelten. Diese Situation ist in Bild 21.15 dargestellt. Wie ändert sich nun der Wind in der Ekman-Schicht? Nimmt man an, dass der turbulente Diffusionskoeffizient Km und der Coriolis-Parameter r¨ aumlich konstant sind, ergibt sich aus der Ekman-L¨ osung (21.40), ¨ dass die Anderung des Windes in der Horizontalen nur vom geostrophischen Wind abh¨ angt. ∂u ∂v = =0, ∂x ∂x #

∂u ∂ug z = 1 − exp − ∂y ∂y D #

∂v ∂ug z = exp − ∂y ∂y D

(21.53)

$

cos

z D

$

z sin D

,

.

(21.54)

(21.55)

Mit den speziellen Bedingungen ∂u/∂x = 0 (21.53) lautet die Kontinuit¨ atsgleichung in ihrer inkompressiblen Form ∂v ∂w + =0 ∂y ∂z

∂w ∂v =− . ∂z ∂y

⇒

(21.56)

Man erkennt sofort, dass im Fall einer horizontalen Divergenz der ageostrophischen Windkomponente (∂v/∂y = 0) eine Vertikalgeschwindigkeit in der Grenzschicht induziert wird:

w(z) = w(0) −

z 0

∂v dz . ∂y

(21.57)

Setzen wir (21.55) in (21.57) ein und integrieren zwischen z = 0 und der Grenzschichth¨ ohe zG = πD aus (21.42), erhalten wir mit der Randbedingung w(0) = 0

330

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht w(zG ) = −

oder wegen D =

%

∂ug D (1 + e−π ) ∂y 2

(21.58)

2K/f und der Näherung 1 + e−π ≈ 1: ∂ug w(zG ) = − ∂y

K . 2f

Nun ist −∂ug /∂y nichts anderes als die geostrophische Vorticity (in unserem Fall war ja ∂vg /∂x = 0), so dass sich f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit am oberen Rand der Grenzschicht ergibt:

w(zG ) = ζg

K . 2f

(21.59)

Damit ergibt sich f¨ ur das Vorzeichen von w: ζg Tiefdruckgebiet

> 0 (zyklonal)

w(zG ) > 0 (Aufsteigen)

Hochdruckgebiet < 0 (antizyklonal) < 0 (Absinken) Die atmosph¨ arische Grenzschicht bewirkt also reibungsbedingt eine großr¨ aumige Vertikalbewegung im unteren Bereich synoptischer Systeme, wie in Bild 21.16 schematisch dargestellt ist. Wie groß ist nun w(zG )? Setzen wir als typische Werte f¨ ur f = 10−4 s−1 , ζg = −5 −1 2 −1 f /10 = 10 s und K = 10 m s , so erhalten wir w(zG ) ≈ 0,5 cm s−1 . Dieser geringe Wert ist nicht messbar, und dennoch reicht diese Vertikalgeschwindigkeit aus, um die Lebensdauer der synoptischen Systeme deutlich zu beeinflussen, wie im folgenden ausgef¨ uhrt wird. .... Höhenwind Bodenwind ... ....... ...... ......... ..................................................•.......................................... ............................................................................................................................... ...................................•......................................................... .... .... ....... ....... ... .. . .................. ... .............. ..... ..... ...... ... ..... .......... .... .... .. ......... .................. .... ......... .... .... . . ... . . . ... . .. . . ... . . . . . . ... . . . .. . . . ... . . . . . ... ..... .......... . ... .... ... ....... ...... . . ... .... . .. . . . . . •......... •........ •....... •............ + − . . . ... .. ........... ... .... .. ... ... .... . ... ... ... ... . .. ................... ... ... ... . . . ... . . . . . . . .... ..... ... ..... . ..... .... ...... ..... ..... .......................... ............................... ..... . ........ . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . ............... ......... ......................................•................................ •........................................ .... ..... ... ......... Tief Hoch

Bild 21.16 Der Höhenwind (gestrichelt) und der Bodenwind (durchgezogen) in Hoch- und Tiefdruckgebieten und daraus resultierendes Vorzeichen der Vertikalgeschwindigkeit in der Grenzschicht

21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are

331

Die atmosph¨ arische Grenzschicht bewirkt nach (21.59) eine großr¨ aumige Vertikalgeschwindigkeit, welche zum Auff¨ ullen der Tiefdruckgebiete und zum Abbau der Hochdruckgebiete f¨ uhrt. Wir wollen nun absch¨ atzen, wie lange es eigentlich dauert, bis z. B. eine Zyklone aufgef¨ ullt ist und demnach keine Druckgegens¨ atze mehr aufweist. Wenn keine Druckgegensätze mehr vorhanden sind, sind geostrophischer Wind und geostrophische Vorticity gleich null, so dass wir statt des ¨ Druckverlaufs auch die zeitliche Anderung der Vorticity einer Zyklone untersuchen k¨ onnen. Wir gehen dabei von der quasi-geostrophischen Vorticitygleichung (12.10) aus und nehmen zur weiteren Vereinfachung eine barotrope Atmosph¨ are und einen verschwindenden β-Term an. Damit lautet die Vorticitygleichung: dζg ∂w =f . (21.60) dt ∂z Wir integrieren jetzt (21.60) zwischen dem Oberrand der Grenzschicht bei z = zG und dem Oberrand der freien Atmosphäre bei z = H. Wegen der Barotropiebedingung ist der geostrophische Wind und somit die geostrophische Vorticity höhenkonstant. Damit ergibt die Vertikalintegration von (21.60): (H − zG )

dζg = f (w(H) − w(zG )) . dt

Mit der Bedingung, dass die Vertikalgeschwindigkeit am Oberrand der Atmosph¨ are verschwinden soll, w(H) = 0, und der Vereinfachung H − zG ≈ H (typischerweise gilt zG /H ≈ 0,1) ergibt sich schließlich w(zG ) dζg = −f . (21.61) dt H aß (21.59) ein, so erhalten wir Setzen wir die Vertikalgeschwindigkeit w(zG ) gem¨

dζg = −ζg dt

Kf . 2H 2

(21.62)

Nehmen wir an, ein Tiefdruckgebiet habe zum Zeitpunkt t = 0 die Vorticity ¨ ur die zeitliche Anderung der ζg (0). Dann ergibt sich als Lösung von (21.62) f¨ geostrophischen Vorticity, bedingt durch die Reibung in der Grenzschicht: ⎛

ζg (t) = ζg (0) exp ⎝−

⎞

fK ⎠ t . 2H 2

(21.63)

Die Vorticity nimmt exponentiell mit der Zeit ab. Der Grund hierf¨ ur ist letztendlich die ageostrophische Windkomponente, welche durch die Reibung in der Ekman-Schicht hervorgerufen wird. Man nennt das durch (21.61) bis (21.63) beschriebene Verhalten synoptischer Druckgebilde auch Ekman-Pumpe (engl. Ekman pumping).

332


Wie lange dauert es nun, bis eine Zyklone nur unter dem Einfluss der Grenzschichtreibung zum Erliegen kommt? Gemäß (21.63) exakt erst f¨ ur t → ∞. Da diese Aussage aber nicht weiterhilft, nimmt man bei einem zeitlichen Verlauf, der sich durch einen exponentiellen Abfall beschreiben l¨ asst, jenen Wert, bei dem die Vorticity auf 1/e ihres Anfangswertes abgesunken ist, also ζ(t)/ζ(0) = 1/e. Aus (21.63) ergibt sich f¨ ur diese Zeit, hier mit τe bezeichnet:

τe =

2H 2 . Kf

(21.64)

Verwenden wir als typische Werte H = 10 km, K = 10 m2 s−1 und f = 10−4 s−1 , so erhalten wir τe ≈ 4 Tage. In diesem Zeitraum hat die Vorticity aber erst auf etwa 1/3 des Anfangswertes abgenommen. Setzen wir aber f¨ ur das Verschwinden einer Zyklone etwa die Zeitspanne an, innerhalb derer die Vorticity bis auf nur noch 10% ihres Anfangswertes absinkt, so ergibt sich aus (21.64) τ10% ≈ 9 Tage, was in der Gr¨ oßenordnung der beobachteten Lebensdauer von Tiefdruckgebieten in der Atmosph¨ are liegt. Erinnern wir uns dabei aber noch einmal daran, dass bei dieser Absch¨ atzung in der Vorticitygleichung f¨ ur das synoptische System (21.60) selbst kein Reibungsterm auftrat. Der Effekt der Bodenreibung in der Ekman-Schicht auf Zyklonen und Antizyklonen ist somit indirekt, indem durch die Divergenz der ageostrophischen Windkomponenten entsprechend (21.56) bis (21.59) eine Vertikalzirkulation in der freien Atmosphäre oberhalb der Ekman-Schicht induziert wird. Diese f¨ uhrt wiederum u ¨ber den Divergenzterm auf der rechten Seite der Vorticitygleichung (21.60) zur Abschwächung der Vorticity. Man nennt diesen (indirekten) Effekt der Bodenreibung auf synoptische Systeme deshalb auch Spin-Down. Man k¨ onnte nun fragen, ob die auch in der freien Atmosph¨ are vorhandene turbulente Reibung nicht bereits gen¨ ugt, um die Zirkulation in Hoch- oder Tiefdruckgebieten nach einiger Zeit zum Erliegen zu bringen. Hierzu soll zum Schluss dieses Kapitels eine kurze Abschätzung vorgenommen werden. Dabei ist es notwendig, in der Vorticitygleichung Reibungseffekte zu ber¨ ucksichtigen. Auf eine Herleitung des Reibungsterms aus den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (19.17) soll hier verzichtet werden. Es ergibt sich f¨ ur die Vorticitygleichung, wenn nur die Reibung in vertikaler Richtung ber¨ ucksichtigt wird: dζg ∂ 2 ζg =K 2 . (21.65) dt ∂z Tats¨ achlich hat die Vorticitygleichung (21.65) die gleiche Form wie etwa die Wärmeleitungsgleichung (19.20); Reibung f¨ uhrt somit zur Diffusion von Vorticity. Zur Absch¨ atzung des Reibungseinflusses nehmen wir jetzt an, dass in einem Tief mit einer vertikalen Erstreckung H und anfänglich h¨ ohenkonstanter Vorticity zum Zeitpunkt t = 0 die Haftreibung am Erdboden (z = 0) zu wirken beginnt. Wegen u = v = 0 f¨ ur z = 0 folgt daraus auch ζ(z = 0) = 0. Dann l¨ asst sich (21.65) ann¨ ahern durch

21.13 Die instationäre Ekmanschicht

333

dζg K ≈ − 2 ζg . (21.66) dt H Mit dieser Vereinfachung hat die Vorticitygleichung (21.66), in der nur Reibungseffekte wirken, die gleiche Form wie diejenige, in der nur der Divergenzeffekt auftritt (21.63). Als Lösung von (21.66) ergibt sich somit analog mit der Anfangsbedingung ζg (t = 0) = ζg (0):

K ζg (t) = ζg (0) exp − 2 t H

.

(21.67)

F¨ ur den Abfall der Vorticity auf 1/e ihres Anfangswertes erh¨ alt man die Zeitskala τe =

H2 . K

(21.68)

Setzen wir als Zahlenwerte K = 10 m2 s−1 und H = 10 km, so erhalten wir τe ≈ 100 Tage. Aus dem Vergleich mit der Spin-Down-Zeit nach (21.64) von τe ≈ 4 Tage erkennt man, dass die innere Reibung bei der Dynamik der synoptischen Systeme eine untergeordnete Rolle spielt. Vielmehr sind sekund¨ are Effekte bedingt durch Reibungsvorgänge in der nur etwa zehn Prozent der gesamten Atmosph¨ are umfassenden Grenzschicht f¨ ur die Aufl¨ osung von Zyklonen und Antizyklonen ausschlaggebend.

21.13

Die instation¨ are Ekmanschicht

Bisher haben wir die Windverteilung in der Ekmanschicht unter der Voraussetzung der horizontalen Homogenität und der Stationarit¨ at betrachtet. Wie die täglichen Beobachtungen uns zeigen ist der Wind weder in seinem Betrag noch hinsichtlich seiner Richtung zeitlich konstant. Selbst bei station¨ arer Großwetterlage kann man einen Tagesgang des Windes beobachten. Deshalb soll zum Abschluß noch die instationäre Ekmanschicht betrachtet werden. Wir lassen die Voraussetzung der (lokalen) Stationarität fallen, sodass sich die Ekman-Gleichung (21.37) schreiben lassen als: ∂u ¯ ∂u ¯ ∂ − f (¯ v − v¯g ) = Km , ∂t ∂z ∂z

(21.69) ∂¯ v ∂¯ v ∂ + f (¯ u−u ¯g ) = Km . ∂t ∂z ∂z Die zeitliche Variation der Windkomponenten u¯ und v¯ kann nun durch folgende Effekte verursacht werden. andern sich mit der Zeit (a) ug und vg ¨

334


¨ Dies bedeutet eine zeitliche Anderung der großräumigen Druckverteilung, wie sie ja praktisch die Regel ist. Etwas subtiler ist die folgende M¨ oglichkeit: (b) Km ¨ andert sich mit der Zeit Wie in Abschnitt 21.11 aufgef¨ uhrt, ist der turbulente Diffusionskoeffizient Km keine Materialkonstante sondern eine Funktion der Windscherung und der thermischen Schichtung (der letzte Effekt ist in Bild 21.14 dargestellt). Die thermische ¯ Schichtung (Vertikalprofil der potentiellen Temperatur θ(z)) ist andererseits eine Funktion der Tageszeit (tags¨ uber labile Schichtung, nachts stabile Schichtung), wie im n¨ achsten Kapitel noch ausgef¨ uhrt wird. Die Variable Km (z,t) in Gleichung (21.69) f¨ uhrt nun zu recht komplexen zeit¨ lichen Anderungen der Windprofile u¯(z,t) und v¯(z,t), die praktisch nur durch numerische L¨ osungen der Gleichungen erhalten werden kann. Als Beispiel seien jedoch Beobachtungen der Windgeschwindigkeit in verschiedenen H¨ ohen in Bild 21.17 dargestellt. Man erkennt besonders die wohl den meisten gel¨ aufige Windabschw¨ achung in den Abendstunden.

Bild 21.17 Beobachtete zeit¨ liche Anderung des Betrages der Windgeschwindigkeit in verschiedenen Höhen bedingt durch Variationen des turbulenten Diffusionskoeffizienten Km im Tagesverlauf

¨ Der ziemlich rasche Ubergang von einer labilen, mehr turbulenten Tagesgrenzschicht auf eine stabile, turbulenzarme nächtliche Grenzschicht f¨ uhrt noch zu einem anderen Windphänomen, das unter dem Begriff Tr¨ agheitskreis und Grenzschichtstrahlstrom bekannt ist. Hierzu machen wir folgendes Gedankenexperiment: Es werde eine stationäre Grenzschicht betrachtet, in der sich entsprechend ¨ (21.37) eine Windverteilung wie etwa in Bild 21.9 eingestellt hat. Der Ubergang von Tages- auf die Nachtgrenzschicht soll schlagartig erfolgen, wobei gelten soll: tags: Km = 0, nachts: Km = 0 Wegen Km = 0 f¨ ur t = 0 erhält man statt Gleichung 21.69:

21.13 Die instationäre Ekmanschicht

335

∂u ¯ − f (¯ v − v¯g ) = 0 , ∂t

(21.70) ∂¯ v + f (¯ u−u ¯g ) = 0. ∂t Die großr¨ aumige Druckverteilung soll stationär angenommen werden, woraus sich f¨ ur den ageostrophischen Wind ergibt: ∂ug ∂vg = =0 ∂t ∂t Mit der Definition des geostrophischen Windes u ¯a = u ¯ − ug , v¯a = v¯ − vg läßt sich 21.70 schreiben als: ∂u ¯a − f v¯a = 0 , ∂t

(21.71) ∂¯ va + fu ¯a = 0. ∂t Diese Gleichung hat dieselbe Form wie Gleichung (9.32), die als L¨ osung den so genannten Tr¨ agheitskreis (9.34) hatte. Somit erh¨ alt man f¨ ur (21.71) mit den Anfangsbedingungen: t=0:u ¯a = u ¯a (0) , v¯a = v¯a (0) die L¨ osung: ¯a (0) cos f t , va (t) = v¯a (0) sin f t . ua (t) = u Die L¨ osung ist in Bild 21.18 f¨ ur den Fall dargestellt, dass der ageostrophische Wind in u ¯-Richtung liegt (vg = 0 , |vg | = ug ). Der geostrophische Windvektor va beschreibt mit der Zeit einen Kreis um den Endpunkt des ageostrophischen Windvektors. Die Kreisfrequenz beträgt wie beim Tr¨ agheitskreis (9.34) ω = f und die Tr¨ agheitsperiode τ = 2π . F¨ u r das zeitliche Verhalten des Windvektors f u(t) selbst erkennt man aus Bild 21.18, daß dieser f¨ ur einen gewissen Zeitabschnitt den Betrag des geostrophischen Windes deutlich u ¨bertrifft. Im Vertikalprofil der Windgeschwindigkeit entsteht dadurch in der unteren Grenzschicht (ca. 300 − 600 m H¨ ohe) ein Windmaximum, welches als “Grenzschichtstrahlstrom” oder im englischen als “Low Level Jet” bezeichnet wird.

336


Bild 21.18 Zeitlicher Verlauf des Windvektors v(t) und des ageostrophischen Windes va im Fall einer schlagartigen Reduzierung der turbulenten Reibung zum Zeitpunkt t = 0

21.14

Das Temperaturprofil in der Grenzschicht

Nachdem in Kapitel 21.6 der Verlauf der Lufttemperatur in der bodennahen Grenzschicht (Prandtl-Schicht) behandelt wurde, soll zum Abschluss das Temperaturprofil in der gesamten Grenzschicht behandelt werden. Wir gehen vom gemittelten ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form (21.23) aus und setzen, wie bei der Behandlung des Windprofils in den vorausgegangenen Kapiteln, horizontale Homogenität voraus. In diesem Fall h¨ angt der Temperaturverlauf nur von der Zeit (t) und der Höhe (z) ab: ∂ θ¯ ∂ ¯˙ . = − w θ + Q (21.72) ∂t ∂z ¯˙ kann durch die Divergenzen von kurz- und Die diabatische Wärmezufuhr Q langwelligen Strahlungsfl¨ ussen sowie durch Phasenumwandlungen des Wasserdampfes erfolgen (siehe Kapitel 5). Im weiteren behandeln wir nur eine trockene Atmosph¨ are und schließen somit Phasenumwandlungen aus. Hinsichtlich der Strahlungsstromdivergenzen kann man in erster Näherung annehmen, dass die solare Strahlung praktisch ungehindert die Grenzschicht durchdringt und die langwellige Strahlung in der wasserdampffreien Atmosph¨ are keine Wirkung hat. Somit verbleibt f¨ ur die weitere Betrachtung ∂ θ¯ ∂w θ =− . ∂t ∂z

(21.73)

¨ Die zeitliche Anderung der gemittelten potentiellen Temperatur ist somit proportional zur negativen Divergenz des turbulenten W¨ armestromes w θ . Im Falle

21.14 Das Temperaturprofil in der Grenzschicht

337

¯ von Stationarit¨ at, d.h. ∂ θ/∂t = 0 ergäbe sich aus (21.73) ein h¨ ohenkonstanter turbulenter W¨ armestrom . Dieser Fall wurde bereits in Kapitel 21.6 f¨ ur die PrandtlSchicht ausf¨ uhrlich behandelt. Aus Messungen hat sich aber ergeben, dass u ¨ber die gesamte Grenzschicht (also bis in 1-2km Höhe) der turbulente W¨ armestrom keineswegs konstant ist, sondern im allgemeinen betragsm¨ aßig mit der H¨ ohe abnimmt (dies ist schematisch in Bild 21.19 dargestellt). Aus (21.73)folgt somit, dass es in der Grenzschicht keine stationären Temperaturverh¨ altnisse geben kann. Dieser Fall soll im Folgenden näher betrachtet werden. Mit Hilfe des Gradientansatzes f¨ ur den turbulenten W¨ armefluss (21.26) w θ = ¯ −Kh ∂ θ/∂z l¨ asst sich (21.73) auch schreiben als: ∂ θ¯ ∂ ∂ θ¯ = Kh . (21.74) ∂t ∂z ∂z Dies ist die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Grenzschicht. Bei Kenntnis des turbulenten Wärmeleitkoeffizienten Kh und der Randbedingungen l¨ asst sich (21.74) als Rand-Anfangswert-Problem lösen (h¨ aufig nur auf numerischem Weg).

Bild 21.19 Typische Vertikalprofile der mittleren potentiellen Temperatur θ und des turbulenten W¨ armestroms w θ bei labiler Schichtung. Der obere Rand der Grenzschicht ¨ in der H¨ ohe zi ist durch den Ubergang zu einer stabilen Schichtung gekennzeichnet.

Typische Vorgaben f¨ ur die Randwerte ergeben sich aus den Beobachtungen, dass sich die Lufttemperatur in großer Entfernung von der Erdoberfl¨ ache nur wenig ¨ andert und am Erdboden einen Tagesgang aufweist: z → ∞ : θ¯ = θ∞ = konstant z = 0 : θ¯ = θ0 (t) Woher erh¨ alt man nun Werte f¨ ur die Variation der bodennahen Lufttemperatur? Dazu ist in Kapitel 5.5 u ¨ber den Treibhauseffekt bereits der globale Mittelwert dieser Temperatur aus dem Strahlungsgleichgewicht hergeleitet worden. Die Wirkung von solarer Einstrahlung und langwelliger Ausstrahlung gilt nat¨ urlich auch f¨ ur die lokale Betrachtung der Grenzschichtprozesse. Neben diesen Energieumsetzungen treten an der Erdoberfl¨ ache noch weiter Prozesse auf

338


(Bild 21.20).

Bild 21.20

Energieströme an der Erdoberfläche

Die durch den Tagesgang der solaren Einstrahlung bedingten Temperaturveränderungen f¨ uhren zu einem Temperaturgradienten im Erdboden, da in ein bis zwei Metern Tiefe die Temperatur praktisch keinen Tagesgang aufweist. Den durch diesen Temperaturgradienten erzeugten W¨ armestrom nennt man auch Bodenw¨ armestrom : ∂T B = −μ ,z < 0 . (21.75) ∂z μ ist die W¨ armeleitfähigkeit des Erdbodens und muss aus Messungen bestimmt werden. Die erw¨ armte (oder abgek¨ uhlte) Erdoberfläche bewirkt außerdem, dass Temperaturgradienten in der dar¨ uberliegenden Luft entstehen, die ihrerseits einen turbulenten W¨ armestrom bewirken. Dieser wird im allgemeinen als f¨ uhlbarer W¨ armestrom (H) bezeichnet und steht u ¨ber den Gradientansatz mit der Temperatur in Beziehung: ∂ θ¯ . (21.76) ∂z Im allgemeinen ist der Erdboden feucht. Dies f¨ uhrt zur Verdunstung von Wasserdampf, d.h. es entsteht ein Wasserdampftransport in die dar¨ uber liegende Atmosph¨ are. Dieser turbulente Wasserdampftransport wird auch als latenter W¨ armestrom (E) bezeichnet. H = cp ρ¯w θ = −cp ρ¯ Kh

∂ q¯ . (21.77) ∂z Hierin ist lv die latente Verdunstungswärme und q die spezifische Feuchte. Kw ist der turbulente Diffusionskoeffizient f¨ ur Wasserdampf. Die Erdoberfl¨ ache kann selber keine Energie in Form von W¨ arme speichern, da sie ja nur die Grenzfläche zwischen zwei Medien (Luft, Boden) ist. Daher muss an dieser Grenzfl¨ ache die Bilanz der Energieströme ausgeglichen sein, d.h. es gilt: E = lv ρ¯w q

= −lv ρ¯Kw

21.14 Das Temperaturprofil in der Grenzschicht S0 + L0 + B0 + H0 + E0 = 0 .

339 (21.78)

Der Index 0“ besagt, dass die jeweiligen Energiestr¨ ome an der Erdoberfl¨ ache ” gewonnen werden m¨ ussen.

Bild 21.21 Oben: Tagesgang der Energiefl¨ usse am Erdboden u ¨ber einem unbewachsenen, feuchten Untergrund. Hinsichtlich der Vorzeichen gilt hier: Q = B + E + H. Unten: Tagesgang der Oberflächentemperatur (T0 ) sowie der Temperatur im Erdboden in 0.2m Tiefe (T−0,2 ) und in der Luft in 1.2m Höhe (T1,2 )

Die Summe aus kurzwelliger Strahlung S0 und langwelliger Strahlung L0 wird häufig auch als Strahlungsbilanz bezeichnet und mit Q0 symbolisiert. Die Energiebilanz erm¨ oglicht nun eine Bestimmung der Oberfl¨ achentemperatur T0 , wie sie in der W¨ armeleitungsgleichung (21.74) als unterer Randwert ben¨ otigt wird. Die langwellige Ausstrahlung des Erdbodens ist nämlich entsprechend dem StefanBoltzmann Gesetz (siehe Kapitel 5.2) gegeben durch: L0a = σT04 . Diese wird durch die langwellige Gegenstrahlung der dar¨ uberliegenden Atmosph¨ are (L0g ) teilweise kompensiert (siehe Kapitel 5.5). In Bodenn¨ ahe ist die potentielle Temperatur θ0 praktisch gleich der aktuellen Temperatur T0 . Somit kann die als untere Randbedingung in der Wärmeleitungsgleichung (21.74) ben¨ otigte Bodentemperatur θ¯0 aus (21.78) bestimmt werden durch:

340


4

σ θ¯0 = −(S0 + Log + B0 + H0 + E0 ) .

(21.79)

Der tageszeitliche Verlauf von θ¯0 wird stark durch den Tagesgang der solaren Einstrahlung S0 geprägt. Da aber die turbulenten W¨ armefl¨ usse H0 und E0 ¨ wiederum von der Anderung der Temperatur- bzw. Feuchte in der bodennahen Luftschicht abh¨ angen, weisen auch diese Energiefl¨ usse, sowie der Bodenw¨ armestrom B0 , eine tageszeitliche Variation auf. Ein Beispiel f¨ ur den Tagesgang der Energiefl¨ usse an der Erdoberfläche und die daraus folgende Variation der Temperatur in Bodennähe ist in Bild 21.21 dargestellt. Kurz- und langwellige Strahlungsstr¨ ome sind dabei zur Strahlungsbilanz Q zusammengefasst, der Index 0“ ” f¨ ur den Bodenwert wurde fortgelassen. Man erkennt die unterschiedlichen Amplituden der Temperaturen an der Erdoberfläche, in der Luft und im Erdboden. Aus dem Vergleich der Verläufe der Bodentemperatur T0 und der Lufttemperatur in 1,2m H¨ ohe ist auch der starke vertikale Temperaturgradient in der bodennahen Luftschicht zu erkennen. Dies ist auch im vertikalen Temperaturprofil f¨ ur die gesamte Grenzschicht in Bild 21.19 skizziert.

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are Das Berufsbild der Meteorologen hat sich in den letzten Jahrzehnten stark erweitert. Wurden fr¨ uher die meisten Studienabgänger in den Wetterdiensten mit der Problematik der Wettervorhersage beschäftigt, so hat sich in letzter Zeit in der Umweltproblematik ein weites Betätigungsfeld f¨ ur Meteorologen er¨ offnet. Von meteorologischer Seite geht es dabei vor allem um die Ausbreitung von anthropogenen Spurenstoffen z. B. SO2 , CO2 , NOx in der Atmosph¨ are. Dies reicht von der Ausbreitung von Luftschadstoffen im Nahbereich von Quellen (z. B. Schornsteinen) bis hin zum globalen Transport von radioaktiven Substanzen (z. B. beim Unfall von Tschernobyl) oder Staubpartikeln beim Ausbruch von Vulkanen. Da aber die meisten Luftbeimengungen in der unteren Grenzschicht freigesetzt werden, liegt das Hauptinteresse im Umweltbereich auf der Ausbreitung dieser Stoffe und deren Auswirkung auf Mensch, Tier und Pflanzenwelt. Die Atmosph¨ are tritt dabei sozusagen als Transportmittel auf. Zum einen werden freigesetzte Schadstoffe mit dem Wind von der Quelle wegtransportiert. Andererseits bewirkt die Turbulenz in der atmosph¨ arischen Grenzschicht auch eine Verteilung der Stoffe quer zur Windrichtung, was man auch als turbulente Diffusion bezeichnet. Es liegt somit nahe, im Anschluss an das Kapitel Atmosphärische Grenzschicht einige theoretische Grundlagen zur Ausbreitung von anthropogenen Stoffen in der Atmosphäre bereitzustellen, was im folgenden geschehen soll.

22.1

Die Diffusionsgleichung

Die atmosph¨ arische Strömung hat wie jede Str¨ omung die F¨ ahigkeit, Substanzen (z. B. Wasserdampf, Staub, Schadgas) zu transportieren. Dieser Transport geschieht zum einen durch die mittlere Strömung (Windfeld) und zum anderen durch turbulente Bewegungen. Durch letztere kann die Substanz auch senkrecht zur mittleren Bewegungsrichtung verbreitet werden: ein Vorgang, den man als Diffusion bezeichnet. Da wir es in der Atmosph¨ are mit einer turbulenten Str¨ omung zu tun haben, bezeichnet man eine Ausbreitung von Substanzen, die nicht mit der mittleren Strömung erfolgt, als turbulente Diffusion. Der Begriff turbulente Diffusion war schon in den vorangegangenen Kapiteln u ¨ber turbulente Strömungen verwendet worden, und zwar im Zusammenhang mit dem turbulenten Transport von Impuls und W¨ arme. Letztere sind zwar keine Substanzen, jedoch wird in diesem Fall eine Eigenschaft der Luftstr¨ omung (nämlich Impuls oder Wärme) transportiert. Aus diesem Grund war bereits die Bezeichnung turbulenter Diffusionskoeffizient f¨ ur Impuls oder W¨ arme eingef¨ uhrt

342

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

worden. Im folgenden soll aber nicht die Diffusion von Eigenschaften, sondern von Beimengungen in der Atmosphäre betrachtet werden. Die in einem Luftvolumen enthaltenen Substanzen werden im allgemeinen durch eine Konzentrationsangabe quantifiziert, die im weiteren mit c bezeichnet werden soll: [c] = kg m−3 , z. B. SO2 , CO, Staub usw. Die Transportgleichung f¨ ur die Konzentration lautet: dc = Pc . (22.1) dt Diese Gleichung besagt, dass sich die Konzentration c einer Substanz in einem individuellen Luftvolumen mit der Zeit nur ver¨ andert, wenn eine Quelle oder ur c vorhanden ist, d. h. wenn Substanz in das Luftvolumen hinein- bzw. Senke Pc f¨ herausgebracht oder aufgrund chemischer Reaktionen produziert bzw. abgebaut wird. Auf die obige Gleichung wird nun die Eulersche Zerlegung angewendet und die daraus resultierende Gleichung einer zeitlichen Mittelung unterworfen, wobei bereits von einer divergenzfreien Strömung ausgegangen wird. Man erh¨ alt damit aus (22.1) die Gleichung: ∂u c ∂¯ c ∂¯ c +u ¯k = − k + P¯c . (22.2) ∂t ∂xk ∂xk Diese Gleichung hat die gleiche Struktur wie die in Kapitel 19 hergeleitete Wärmeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Strömung. Sie enth¨ alt auf der linken ¨ Seite die zeitliche Anderung der Konzentration am festen Ort und den Transport von c¯ mit der mittleren Geschwindigkeit u ¯k . Auf der rechten Seite stehen die Divergenz des turbulenten Transportes uk c und die Quellen bzw. Senken Pc . Wie bereits beim Problem des turbulenten Impuls- und W¨ armetransportes werden auch hier die turbulenten Fl¨ usse mit Hilfe des Gradientansatzes durch die gemittelten Konzentrationen ausgedr¨ uckt, ∂¯ c . (22.3) ∂xk Der Index c,k beim Diffusionskoeffizienten K soll andeuten, dass es sich um den turbulenten Diffusionskoeffizienten f¨ ur die sich ausbreitende Substanz der Konzentration c handelt, der drei Komponenten in Richtung des jeweiligen xk besitzt. (22.3) lautet in Komponenten: uk c = −Kc,k

u c = −Kc,x

∂¯ c , ∂x

v c = −Kc,y

∂¯ c , ∂y

w c = −Kc,z

∂¯ c . ∂z

(22.4)

Im weiteren soll der Index c beim Diffusionskoeffizienten weggelassen werden, da es sich stets um die Ausbreitung von Luftbeimengungen handeln soll. Die Gleichung f¨ ur die Beschreibung der Ausbreitung einer Substanz mit der Konzentration c¯ in der Atmosphäre lautet mit (22.2) bis (22.4):

22.2 Die Konzentrationsverteilung f¨ ur momentane Punktquellen

343

∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂ ∂ ∂ +u ¯ + v¯ +w ¯ = Kx + Ky + Kz + P¯c . (22.5) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Gleichung (22.5) wird häufig als Diffusionsgleichung bezeichnet, obwohl neben den Diffusionstermen auch die Advektionsterme auftreten. Eine geeignetere Bezeichnung w¨ are Transportgleichung, da der Transport der Konzentration durch Advektion und Diffusion insgesamt von (22.5) beschrieben wird. In den folgenden Abschnitten sollen nun einige Lösungen der Transportgleichung angegeben werden, mit denen man dann die Konzentrationsverteilung von Luftbeimengungen in der Atmosphäre bestimmen kann.

22.2

Die Konzentrationsverteilung fu ¨ r momentane Punktquellen

Das Problem der Berechnung von Konzentrationsverteilungen von Luftbeimengungen (h¨ aufig Schadstoffe) besteht darin, die Ausbreitung der aus einer Quelle in die Atmosph¨ are austretenden Substanz räumlich und/oder zeitlich zu erfassen. Man unterscheidet zwischen Punktquellen (z. B. Schornsteine), Linienquellen (z. B. Kondensstreifen von Flugzeugen) und Flächenquellen (z. B. große Sandflächen). Als momentane Quelle bezeichnet man eine solche, bei der nur zu einem Zeitpunkt t0 Substanz freigesetzt wird, wie z. B. bei einer Explosion. Im Gegensatz dazu nennt man eine Quelle, bei der st¨ andig, und zwar mit gleichbleibender St¨ arke, Substanz ausgestoßen wird, kontinuierliche Quelle. Es soll zun¨ achst die Ausbreitung einer Substanz aus einer momentanen Punktquelle betrachtet werden. Dazu werden noch einige Voraussetzungen gemacht und so die Transportgleichung (22.5) vereinfacht: (a)

u ¯ = v¯ = w ¯=0

D. h. es erfolgt kein Transport mit der mittleren Str¨ omung. Da aber ohne mittlere Strömung außer bei labiler Schichtung keine turbulenten Transporte auftreten, l¨ asst sich diese Voraussetzung auch dahingehend formulieren, dass die Ausbreitung in einem Koordinatensystem betrachtet wird, das mit der mittleren Str¨ omung mitdriftet.

(b)

∂Kx ∂Ky ∂Kz = = = 0 D. h. die turbulenten Diffusionskoeffizien∂x ∂y ∂z ten sind räumlich konstant.

(c)

Pc = 0

Während der Ausbreitung wird weder Substanz vernichtet noch produziert.

Mit diesen Voraussetzungen erhält man aus (22.5)

344


∂¯ c ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ = Kx 2 + Ky 2 + Kz 2 . ∂t ∂x ∂y ∂z

(22.6)

Diese Gleichung enthält nur noch Diffusionsterme als Ursache f¨ ur die Ausbreitung der Substanzkonzentration c¯ und wird nach dem deutschen Physiologen A. Fick (1829–1901), der sie erstmals f¨ ur molekulare Diffusion aufstellte, als Ficksche Diffusionsgleichung bezeichnet. Zur Lösung dieser Gleichung m¨ ussen wir noch angeben, an welchem Ort (xq ,yq ,zq ) im kartesischen Koordinatensystem sich die Punktquelle befindet und welche Substanzmenge Q (mit der Dimension einer Masse) zur Zeit t = 0 freigesetzt wird. Die Lösung der Fickschen Diffusionsgleichung lautet dann:

c¯(x,y,z,t) =

Q 3

1

(4π t) 2 (Kx Ky Kz ) 2

(x − xq )2 (y − yq )2 (z − zq )2 − − exp − 4Kx t 4Ky t 4Kz t

!

.

(22.7) Die physikalische Aussage dieser Lösung f¨ ur die Konzentrationsverteilung ist die folgende: Nach Freisetzen der Masse Q zur Zeit t = 0 breitet sich die Substanz gem¨ aß einer Exponentialfunktion räumlich um den Quellpunkt (xq ,yq ,zq ) aus, und zwar symmetrisch hinsichtlich jeder Achse des Koordinatensystems. Gleichzeitig wird die Konzentration mit der Zeit verringert (beachte den Faktor vor der expFunktion). Dieser Ausbreitungs- oder Diffusionsvorgang l¨ asst sich anschaulich f¨ ur eine zweidimensionale Konzentrationsverteilung (in der y-z-Ebene) darstellen. Dies ist in Bild 22.1 gezeigt. In dieser Darstellung sind die geschlossenen Kurven Linien gleicher Konzentration, wobei die jeweils aüßere diejenige mit dem Konzentrationswert c¯ = c¯0 ≈ 0 ist. Die unteren Kurven stellen die Konzentrationsverteilung in der y-Richtung symmetrisch zum Quellpunkt dar, die seitlichen die entsprechende Verteilung in z-Richtung. Die Diffusionskoeffizienten sind so gew¨ ahlt, dass √ Ky = 2Kz ist. Dadurch erfolgt Ausbreitung in y-Richtung um den Faktor 2 schneller als in z-Richtung. Dies l¨ asst sich am einfachsten einsehen, wenn man zun¨ achst Ky = Kz setzt, so dass die Ausbreitung isotrop erfolgt und somit die Linien gleicher Konzentration kreisf¨ ormig sind. Multipliziert man dann den Diffusionskoeffizienten f¨ ur die yRichtung mit einem dimensionslosen Faktor α ≥ 1 (hier α = 2), so muss man dies, √ um auf derselben Linie gleicher Konzentration zu bleiben, durch einen Faktor α vor der Entfernung (y − yq ) von der Quelle kompensieren. Dies bedeutet aber gerade, dass die Isolinie in y-Richtung entsprechend weiter von der Quelle entfernt ist als in z-Richtung. Der zeitliche Verlauf der Ausbreitung der Substanz vom Quellpunkt aus ist durch die Abfolge der beiden Darstellungen von links nach rechts angedeutet:

22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen

345

Zum Zeitpunkt t = t2 hat sich die Substanz gegen¨ uber dem Zeitpunkt t = t1 u ¨ber eine gr¨ oßere Entfernungen zur Quelle ausgebreitet. Gleichzeitig ist die maximale Konzentration der Verteilung gesunken. Dies verdeutlicht das Prinzip der turbulenten Diffusion: Die an einem Ort freigesetzte Substanzmasse wird u ¨ber den gesamten Raum verteilt, wobei die Konzentration am Quellpunkt ständig verringert wird.

22.3

Konzentrationsverteilung fu ¨ r kontinuierliche Punktquellen

Es soll jetzt die Ausbreitung einer Substanz aus einer kontinuierlichen Punktquelle betrachtet werden. Bei einer solchen Quelle wird zu jedem Zeitpunkt die gleiche Substanzmenge pro Zeiteinheit (kg s−1 ) freigesetzt. Wenn man in diesem Fall den reinen Diffusionsvorgang untersucht, also ohne Transport durch mittlere Strömung, so erh¨ alt man zwar auch eine ähnliche Konzentrationsverteilung wie in Bild 22.1 dargestellt, der Betrag der Konzentration nimmt aber mit der Zeit zu, da st¨ andig zusätzliche Substanzmengen aus der Quelle freigesetzt werden. Ein station¨ arer Zustand, d. h. ein solcher, bei dem sich die Konzentration am festen Ort nicht mit der Zeit ändert, kann sich bei einer kontinuierlichen Punktquelle nur einstellen, wenn durch die mittlere Strömung ein Abtransport der Substanz vom Quellpunkt stattfindet und sich die Substanz gleichzeitig durch turbulente Diffusion ausbreitet. (a) Fr¨ uher Zeitpunkt t = t1 : ... ........ z z ........... . c¯0...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... ........ c¯0 .... c¯.1.................. ..... .. c¯. .......... .. .. .............. .............. .. ... .. zq .... .................. .... y ......... ........... ........ ........ ....... ............... ... .. .

c¯................ . .. .. .... ... ... ... ... .... ... . . . ... c¯0 ... ..... . . . . ....... . ...... yq

(b) Sp¨ aterer Zeitpunkt t = t2 :

... ........ z .. z ........... . c¯0... ............................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... . .....c¯ ...................... ....... . . . ... ... .. c¯0 ... 1... ... .. ................ ...c¯............ ... zq ... ... . . . ... ...... ...... .. y ... . . . . . . . . . . . ..... ...... ..... .... ........ ....... ................................. ...... ... .. .

c¯0 < c¯1 Ky = 2 Kz ................

y

c¯ ......... ....................... .... ... . . ... . ... ... . ... . . . .... c¯0 .... ..... . . . . ....... ................ . ..... yq y

Bild 22.1 R¨ aumlicher und zeitlicher Verlauf der Diffusion nach der Fickschen Gleichung, dargestellt f¨ ur zwei Zeitpunkte nach der Emission. Die Abbildung zeigt die horiur zwei zontalen und vertikalen Konzentrationsprofile f¨ ur Ky = 2 Kz und die Isolinien f¨ beliebig gew¨ ahlte Konzentrationen c¯0 < c¯1 .

346


Um die Konzentrationsverteilung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle zu erhalten, gehen wir von der Transportgleichung (22.5) aus und machen neben den Punkten (b) und (c) von Seite 343 zus¨ atzlich folgende Voraussetzungen: (d) (e)

∂¯ c =0 ∂t

Stationäre Verhältnisse

u ¯(x,y,z,t) = konstant Es bleibt von Voraussetzung (a): v¯ = w ¯ = 0. Dies impliziert, dass die x-Achse in Richtung von u ¯ weist.

Mit diesen Voraussetzungen vereinfacht sich die Transportgleichung (22.2) zu ∂¯ c ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ = Kx 2 + Ky 2 + Kz 2 . (22.8) ∂x ∂x ∂y ∂z Dies l¨ asst sich auch aus der Gleichung (22.6) f¨ ur eine momentane Quelle erhalten, wenn man dort die Transformation t = x/¯ u einsetzt. In diesem Fall geht ∂¯ c/∂t in u ¯ ∂¯ c/∂x u ¨ber. Man erhält die Lösung der Gleichung (22.8) durch analoges Vorgehen aus der Lösung f¨ ur den instationären Fall (22.7), indem man dort t durch x/¯ u ersetzt. Die Analogie zwischen (22.6) und (22.8) bedeutet anschau¨ lich, dass man die zeitliche Anderung der Konzentration durch reine Diffusion beschreiben kann (jeweils die rechte Seite beider Gleichungen), wenn man sich im Fall einer kontinuierlichen Quelle mit dem mittleren Wind u¯ parallel zur x-Achse bewegt. In jeder Entfernung x vom Quellpunkt entspricht die Konzentrationsverteilung derjenigen einer momentanen Punktquelle am Quellpunkt xq zur Zeit t = x/¯ u. Man kann so die Darstellung der zweidimensionalen Konzentrationsverteilung in der y-z-Ebene in Bild 22.1 auch f¨ ur eine kontinuierliche Quelle interpretieren, wenn man f¨ ur die Zeitpunkte. t1 und t2 die Entfernungen x1 = u ¯t1 und x2 = u ¯ t2 einsetzt. Um die L¨ osung der Gleichung (22.8) zu erhalten, macht man h¨ aufig noch eine weitere Voraussetzung, die allerdings an den obigen Betrachtungen prinzipiell nichts ¨ andert: u ¯

(f)

∂¯ ∂ 2 c¯ c K u ¯ x ∂x ∂x2

D. h. die Advektion der Konzentration mit dem Grundstrom soll wesentlich gr¨ oßer sein als die Diffusion in Richtung des Grundstromes, so dass letztere gegen¨ uber der ersten vernachlässigt werden kann.

Diese in der Diffusionstheorie häufig getroffene Annahme l¨ asst sich wie folgt interpretieren: Wenn man die Diffusion in x-Richtung ber¨ ucksichtigt, breitet sich die Substanz um einen Punkt in Quellhöhe mit zunehmender Entfernung von der Quelle

22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen . (a) z .....

... .... .

.............................................. ..... ... .... .... .... .... ........................................ .......................... ... ... .... .... . ..... .. ... .. ... ... ... ... .. .. .... ... .... ... ... ... ... .......... .. .... . .. ....... ... . ... .... .. ... ... ... . .... .... . ... ... ... .. . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... . . .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ....... ... ... ...... ......................... ....... Q ..... .... .... .... .... ................................................. .. .... ......................... . . . . . . . . . . . . . . ......... .... .... .... ..................................................................... . . . . . . . . ... ....................................... .. . . . . . . .... .... .. .. ... ... .... ........ ... . ... .. ... .. ..................... .... .... ..... ......... y........... ... ... .... .... .... . .. ... . ... .... .. .... ... ..... . . . . . . . . . . . ..................................................................... ... .... . ...... ... . ....... ...... . . . . . . . x x x . x 1 2 3 .... . ... . .... .... . ...... .. (b) z ..... u ¯ ........ ..... ... .... .... .... .... .... .... .... ......... ....... . . ... ....... ... ... ....... ... . ... .... . ... ... ... .... . . . ..... . .... .... . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . .. ..... ..... . . ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ..... .... . ..... . ......... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Q .... .... .... ............ .. ... .............. . . ....... .... .... .... ............. ... . . . . . . . ........ .... .... . . . . ... ... ..... ... .. ...... .... ... y........... ... .... .... . . ... .... .. . . . . . . .... .... . .. . ... .... ... ... ... ..... ..... .. ..... .. ... . .... .... . ...... . ........ . . . .... . x x x . x . 1 2 3 . .. u ¯

347

Bild 22.2 Konzentrationen f¨ ur eine in den Grundstrom emittierende Quelle (a) mit Diffusion in x-Richtung: dreidimensional, (b) ohne Diffusion in x-Richtung: zweidimensional

räumlich aus (in Bild 22.2 kugelförmig angedeutet). L¨ asst man aber die Voraussetzung (f) zu, so erfolgt die Diffusion nur noch zweidimensional in der y-z-Ebene (in der Abbildung als Kreisscheibe dargestellt). In diesem Fall erfolgt die Ausbreitung einer Substanz in x-Richtung nur durch Advektion mit der mittleren Geschwindigkeit u ¯. Mit der Voraussetzung (f) lautet die Lösung der Transportgleichung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle (22.8): Q u ¯ % c¯(x,y,z) = exp − 4x 4π x Ky Kz

y2 (z − h)2 + Ky Kz

!

.

(22.9)

Hierbei ist zur Vereinfachung das Koordinatensystem so gew¨ ahlt worden, dass die Quelle bei x = 0, y = 0 und z = h liegt. Im Gegensatz zur L¨ osung (22.7) hat hier die Quellst¨ arke Q die Dimension [Q] = kg s−1 , gibt also an, wieviel Masse der Substanz pro Zeiteinheit aus der Quelle freigesetzt wird. Die Konzentrationsverteilung (22.9) hat f¨ ur jeden Abstand x vom Quellpunkt die Form einer zweidimensionalen Gauß-Verteilung in der y-z-Ebene (dazu N¨ aheres im folgenden Abschnitt). Der Betrag der Konzentration in der H¨ ohe z = h nimmt mit zunehmender Entfernung von der Quelle ab. Gleichzeitig verbreitert sich die Rauchfahne, d. h. es diffundiert Substanz in y- und z-Richtung. Dieses Verhalten ist in Bild 22.3 graphisch dargestellt. Die Grenze der sichtbaren Rauchfahne (Konzentrationsverteilung) ist durch den Ausbreitungskegel angedeutet. Die zweidimensionale Gaußsche Form der Konzentrationsverteilung ist in der Kegelschnittfl¨ ache dargestellt.

348

...... ... ... .... .... ... ... ..... .... ...

h.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ........


. z ...... z ....... .. ..... .. ........ y ............... ........................ ................... . . . . . . . . . . . . . ... . . . ..... . . . ... ... .............. . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . ..... .... ...... . . . ....... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . .. . . . . .. ... . . . ..... . ............... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... .. . .......... ... ... ... .................... ..... ..... .................. ..... ... .............................. ...... .... .................. . ...................................... .................. ... . ... .... ................................................... ... . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ....... .......... .. ..... ... .................................................................. ..... .... .... ............ .... ................... . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . ..... . . . ............ ................. .......... .............................. ... ... ... . ..... . . . . ..................................................... . . . . . . . . . .................. ... . .. .......... ...... ..... c¯ .................. ........................ ........ .. .................. .................. ... ........................................................ .................. ..... . . . . . . ... .................... ... ....... ...... .... .................. .. .. ....... .... .................. ... ........ .. .. .................. ...... ......... ... ....... . ..... .................. ........................ ... .......... .... .................. ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. ..... .. ................... .... .............. ................ ....... .... .... ... ..

y .......... .... . . . . ¯..................................... .... ...................................u . . . . ...... ........ ................................................................................................................................................................................... .............. . x

22.4

Bild 22.3 Konzentrationen f¨ ur eine kontinuierlich in den Grundstrom emittierende Quelle, dargestellt f¨ ur den Fall, dass die Diffusion in Richtung des Grundstroms gegen¨ uber der Grundstromadvektion vernachlässigbar ist

Die Konzentrationsverteilung als Gaußsche Normalverteilung

Die Konzentrationsverteilungen (22.7) und (22.9), die man als L¨ osungen der Transportgleichung f¨ ur eine momentane bzw. f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle erhält, haben die Form einer symmetrischen Exponentialfunktion, deren Argument quadratisch von x, y und z abhängt. Diese Gestalt hat aber auch die aus der Statistik bekannte Gaußsche Normalverteilung, die allgemein geschrieben werden kann als

1 (y − y0 )2 G(y) = √ exp − 2σ 2 2π σ

.

(22.10)

Die Kurve G(y) ist in Bild 22.4 graphisch dargestellt. Die √ Streuung σ gibt seines an, bei welchem Wert von y − y0 der Betrag von G(y) auf 1/ e ≈ 5/8 √ maximalen Wertes bei y = y0 abgefallen ist. Der Normierungsfaktor 1/ 2πσ ist gerade so gew¨ ahlt, dass das Integral u ¨ber G(y) in den Grenzen −∞ bis +∞ den Wert 1 ergibt. Wählt man stattdessen als Integrationsbereich das Intervall . G(y) .... .. ............................... . . . . . . . . . . ..... .... ..... .......... .... .... ... . . . .... .... . . .... . .... .... . .... .. ... . . . . ... .. G(y0 ) ... . . . .... . . ... G(y ... .. G(y √ 0) √ 0) .... . ... . . . . e e ..... . .... . ... .. ...... . ... . . . . . ... . ........ . . . . . . . . . . .. ......... . . .................................................................................................................................................................................... y y0 −σ +σ

Bild 22.4 Darstellung der Gauß-Verteilung mit Definition der Breite der Verteilung

22.5 Diffusion unter Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens

349

(−σ, + σ), so erhält man den Wert 0,683, d. h. etwa zwei Drittel des gesamten Integrals (oder anschaulich: etwa zwei Drittel der Fl¨ ache unter der Kurve G(y) liegen zwischen den Grenzen −σ und +σ). Auf die Rauchfahne im vorangegangenen Abschnitt u ¨bertragen, bedeutet dies mit y0 = 0, dass sich innerhalb einer Entfernung y = ±σ von der Rauchfahnenachse 68,3 % der gesamten sich ausbreitenden Materie befinden. Der Betrag der Konzentration ist bei y = ±σ auf etwa 5/8 des Wertes bei y = 0 (Rauchfahnenachse) abgefallen. Statt der oben angegebenen eindimensionalen Gauß-Verteilung kann man nat¨ urlich auch zwei- und dreidimensionale Verteilungen erhalten. In diesen F¨ allen hätte man eine Funktion G(x,y,z), wobei f¨ ur jede Koordinatenachse eine Verteilung wie oben dargestellt erhalten wird, aber die Streuungen σx , σy und σz voneinander verschieden sein können. Im Fall der Konzentrationsverteilung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle (22.9) haben wir es mit einer zweidimensionalen Verteilung zu tun. Es soll jetzt (22.9) mit Hilfe einer Gauß-Verteilung dargestellt werden. Dies l¨ asst sich mit folgender Transformation erreichen: Ky =

¯ 1 2u σ , 2 yx

Kz =

¯ 1 2u σ , 2 zx

bzw.

(22.11) 4

4

x x σz = 2Kz . σy = 2Ky , u ¯ u ¯ Die Streuungen σy und σz hängen gemäß (22.11) von der Entfernung x von der Quelle ab. Bei konstanten Kx , Ky und u ¯ werden die Streuungen mit wachsender Quelldistanz immer größer, was sich als Verbreiterung der Rauchfahne auswirkt (siehe Bild 22.3). Die Konzentrationsverteilung (22.9) lautet nun mit Hilfe der Streuungen:

(z − h)2 y2 Q exp − 2 − c¯(x,y,z) = 2π σy (x)σz (x) u ¯ 2 σy (x) 2 σz2 (x)

.

(22.12)

Diese Form der Konzentrationsverteilung wird in der Praxis an Stelle der Form (22.9) verwendet, worauf im u aher eingegangen ¨bernächsten Abschnitt noch n¨ wird.

22.5

Diffusion unter Beru ¨ cksichtigung des Erdbodens

In den vorangegangenen Abschnitten sind bei der L¨ osung der Transportgleichung die notwendigen Randbedingungen nicht näher erw¨ ahnt worden. Die Diffusion von Substanzen ist dabei im unbegrenzten dreidimensionalen Raum betrachtet worden, d. h. die Ränder des Integrationsgebietes der Transportgleichung lagen im Unendlichen. Eine plausible Randbedingung f¨ ur die Konzentration ist in einem solchen Fall

350

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are c¯ = 0

f¨ ur y → ±∞ ,

z → ±∞ .

Die L¨ osung der Gleichung (22.8) in der Form (22.9) oder (22.12) erf¨ ullt diese Bedingungen. Will man sich aber mit der Ausbreitung von Substanzen in der realen Atmosph¨ are beschäftigen, so muss man das Vorhandensein des Erdbodens ber¨ ucksichtigen. Die Quellhöhe h ist dann gerade die H¨ ohe der Quelle u ¨ber dem Erdboden. Die Erdoberfläche beeinträchtigt nur die Diffusion in z-Richtung, während diejenige in y-Richtung davon unber¨ uhrt bleibt. Auch f¨ ur den Raum oberhalb der Quelle (z → +∞) bleibt die oben angegebene Randbedingung erhalten. Am Erdboden (z = 0) muss jetzt eine neue Randbedingung formuliert werden, welche die physikalischen Eigenschaften der Erdoberfl¨ ache hinsichtlich der Diffusion von Materie ber¨ ucksichtigt. Man unterscheidet folgende Randbedingungen:

(a) (b) (c)

∂¯ c =0 ∂z

f¨ ur

z=0

Totalreflexion,

c¯ = 0

f¨ ur

z=0

Totalabsorption,

∂¯ c + β¯ c=0 ∂z

f¨ ur

z=0

partielle Absorption.

−w c = Kz

Kz

(22.13)

Die Bedeutung der ersten Zeile in (22.13) besteht darin, dass sich der Erdboden f¨ ur die sich ausbreitenden Materieteilchen wie eine feste Wand verh¨ alt, d. h. diese k¨ onnen sich nicht weiter nach unten ausbreiten. Am Erdboden selbst, also bei z = 0, kann also kein turbulenter Materiefluss w c vorhanden sein. Eine weitere Diffusion der dort angelangten Substanzteilchen kann von der Erdoberfläche aus nur nach oben erfolgen. Man kann das anschaulich so auffassen, als wenn die Teilchen bei z = 0 reflektiert w¨ urden und so wieder in die Atmosph¨ are zur¨ uck gelangen, wo sie an der weiteren Ausbreitung teilnehmen k¨ onnen. Deshalb bezeichnet man die Randbedingung (22.13a) auch als Totalreflexion. Bei der Randbedingung (22.13b) ist genau das Gegenteil der Fall. Jedes Teilchen, das den Boden erreicht, verschwindet dort, kann also an der weiteren Ausbreitung der Substanz nicht teilnehmen. Man kann sich das als Absorption des Teilchens durch eine Wasseroberfläche oder durch Pflanzen vorstellen. Die Teilchenkonzentration in der Atmosphäre ist deshalb dort gerade gleich null, weil die Substanzteilchen der Atmosphäre entzogen werden. Die Konzentration der Teilchen innerhalb der absorbierenden Materie (Wasser, Pflanzen . . .) nimmt nat¨ urlich in einem solchen Fall ständig zu, was aber hinsichtlich der Ausbreitung in der Atmosph¨ are ohne Belang ist. Man spricht hier von Totalabsorption. Die Randbedingung (22.13c) stellt einen Mittelweg zwischen den Extremen Totalreflexion und Totalabsorption dar und wird als partielle Absorption bezeichnet. Der Faktor β regelt dabei, welcher Anteil der sich ausbreitenden Materie reflektiert und welcher Anteil absorbiert wird.

22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

351

Die L¨ osung der Transportgleichung (22.8) soll hier nur mit der am h¨ aufigsten verwendeten Randbedingung der Totalreflexion (22.13a) angegeben werden. Sie lautet:

Q u ¯y 2 c¯(x,y,z) = exp − · 4Ky x 4π x Ky Kz %

· exp −

u ¯(z − 4Kz x

h)2

+ exp −

h)2

u ¯(z + 4Kz x

!

(22.14)

oder, mit den Streuungen (22.11) ausgedr¨ uckt,

c¯(x,y,z) =

y2 Q exp − 2 2π σy σz u ¯ 2σy

(z − h)2 · exp − 2σz2

·

(z + h)2 + exp − 2σz2

(22.15)

!

.

Durch Vergleich von (22.14) und (22.15) mit (22.9) bzw. (22.12) erkennt man, dass bei Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens im Sinne der Totalreflexion noch eine zweite Exponentialfunktion mit dem Ausdruck z + h hinzukommt. Diese entspricht gerade derjenigen Konzentration, die durch eine (fiktive) Quelle unterhalb des Erdbodens bei z = −h hervorgerufen und oberhalb z = 0 dem Konzentrationsfeld der realen Quelle bei z = h hinzuaddiert w¨ urde. Die gleiche Konzentrationsverteilung erhielte man auch, wenn man denjenigen Teil der von der Quelle bei z = h hervorgerufenen Konzentration, der ohne Totalreflexion unterhalb von z = 0 gelangen w¨ urde, nach oben spiegelte und zu der dort bereits vorhandenen Konzentrationsverteilung addierte. Diese Methode zur L¨ osung der Transportgleichung bei Totalreflexion nennt man deshalb auch Spiegelungsmethode.

22.6

Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

In den vorangegangenen Kapiteln wurde das Problem der turbulenten Diffusion von Substanzen (Gase und Partikel) in der Atmosph¨ are untersucht. Unter stark vereinfachenden Voraussetzungen konnte man analytische L¨ osungen der Diffusionsgleichung erhalten. Wie kann man nun die dort angegebenen Beziehungen f¨ ur die Konzentrationsverteilung auf praktische Fragen der Luftreinhaltung anwenden?

352


Dazu muss zun¨ achst das zu lösende Problem dargestellt werden. Man ist bei der Frage der Luftreinhaltung daran interessiert, wie hoch die Konzentration eines Schadstoffes (z. B. SO2 , CO, NOx ) in der N¨ ahe der Erdoberfl¨ ache ist (also dort, wo m¨ oglicherweise Schäden auftreten können), die sich aufgrund der Emission dieses Stoffes aus einer Quelle einstellt. Wenn diese Konzentration einen höchstzul¨ assigen Wert u adigung von Mensch, ¨berschreitet, ist die Gefahr der Sch¨ Tier, Pflanze usw. gegeben. Die an die Ausbreitungsrechnung gestellte Frage lautet nun: Unter welchen Umständen u ¨berschreitet die durch eine Schadstoffquelle verursachte Konzentration den höchstzulässigen Wert und wo (in welcher Entfernung von der Quelle) tritt dies auf? Um die bereitstehenden Beziehungen f¨ ur die Konzentrationsverteilung, z. B. (22.14) und (22.15), anwenden zu k¨ onnen, ben¨ otigt man Kenntnisse u ohe h der Quelle, Betrag ¨ber die Stärke Q und die H¨ und (zur Festlegung der Ausbreitungsrichtung) Richtung des Windes u¯, sowie Werte der Diffusionsparameter Ky , Kz bzw. σy , σz . Hinsichtlich der letzteren hat es sich erwiesen, dass man nur sehr schwer Werte eines h¨ ohenkonstanten turbulenten Diffusionskoeffizienten angeben kann, die in der Grenzschicht einigermaßen realistisch sind. Man hat deshalb f¨ ur praktische Zwecke den folgenden Weg beschritten: Es wurden unter kontrollierten Ausbreitungsbedingungen, also bei bekannter Quellst¨ arke und bei definierten meteorologischen Parametern, Diffusionsexperimente durchgef¨ uhrt und die Konzentrationsverteilung gemessen. Unter der Annahme, dass sich diese Verteilung durch die Gaußsche Normalverteilung in der speziellen Form f¨ ur die Konzentration (22.15) darstellen l¨ asst, hat man die darin ben¨ otigten Streuungen σy und σz in Abhängigkeit von der Quelldistanz und von meteorologischen Größen bestimmt. Letztere sind die Windgeschwindigkeit und die thermische Schichtung der Grenzschicht; beides zusammen ergibt eine Aussage u ahigkeit der ¨ber den Turbulenzzustand und damit u ¨ber die Diffusionsf¨ Atmosph¨ are. Aus diesen Messdaten hat man sogenannte Ausbreitungsklassen konstruiert, mit denen aus synoptischen Daten der meteorologischen Felder die Ausbreitungsparameter σy und σz als Funktion der Quelldistanz erhalten werden ... ... σy (x) ..... σz (x) ..... ... ... I I ... ... . II . . .. .. ... .II .. . . . . . . . ... ... labil .... ...... ... .... III . . . . . III . . . ... labil ..... ....... . . .. .. .. ... .... ....... ... ...... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ..... ..... ..... ...... ........IV .... ... IV ... ...... ........ .......... ... ........................ ........... ........................ ...... .. ....... ....... .. ....... ........................... . . .. . . . . . . . . . . . .. ....... .... .................. stabil ... ... ... stabil ..... ... ... ............................................................................................................................ ......................................................................................................................... x x Bild 22.5 Schematische Abhängigkeiten der Streuungen in y- und z-Richtung von der thermischen Schichtung (Ausbreitungsklassen I-IV )

22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

353

.

y ..................

0

................................................................................ .................... .............. . . . . . . . . . . . . ....... ....... .......................................................................................... . . ...... c0 . . ......... ..... .... ........... ................................................ . c . . 1 . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... c2 . . . . . . . ... . . . . . . . ..... ... . . .. ........................... c3 ... . .... .... ..... ..........c....max . .... . . ... . .. .. ... ... ... ... • . . . . . . . . . . ... ... .... .......... . . . . . . . . .. .. ... .... ....... ........................... . . . . . . . . . . . ..... ...... .............. ... ..... .... ..... ........ ................................................... ....... ..... . . . ...... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ........ ....... ............... .............................................................. .............. . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ xmax

.... .... .. ..... .... ... ... .... .... ... .... .... .... ..... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .... ... .... ... .... ... .... ... .... .. .... . .... ... .... .. .... .... ... .... ... .... ....... ... ...................................... ........................................... . . ... .....

x

Bild 22.6 Konzentrationsverteilung am Erdboden (z = 0) im Lee einer Punktquelle, die sich bei x = 0, y = 0, z = h befindet

können. Solche Schemata, wie sie in Bild 22.5 dargestellt sind, werden heute f¨ ur praktische Ausbreitungsrechnungen verwendet. Man erkennt, dass bei labiler Schichtung die Streuungen gr¨ oßer sind als bei stabiler Schichtung, d. h. die Diffusion in y- und z-Richtung ist bei labiler Schichtung stärker als bei stabiler. Jetzt ist man an der Konzentrationsverteilung am Erdboden interessiert, speziell am Konzentrationsmaximum. Letzteres muss auf der Linie y = 0, also parallel zur Rauchfahnenachse am Boden liegen, da die Konzentrationsverteilung gem¨ aß (22.15) symmetrisch zu y = 0 ist (Bild 22.6). F¨ ur die Konzentration entlang der x-Achse am Boden ergibt sich aus (22.15),

Q h2 c¯(x,0,0) = exp − 2 π σy σz u ¯ 2σz

.

(22.16)

alt man aus (22.16) mit ∂¯ c/∂x = Die Lage des Konzentrationsmaximums c¯m erh¨ 0. Dazu ben¨ otigt man aber eine analytische Beziehung zwischen σy und σz und der Quelldistanz x. Solche Beziehungen existieren zwar, die Verh¨ altnisse sind jedoch einfacher und anschaulicher, wenn man statt (22.16) eine Beziehung f¨ ur die Bodenkonzentration aus (22.14), also mit den Diffusionskoeffizienten statt den Streuungen ableitet.

Q u ¯h2 % c¯(x,0,0) = exp − 4Kz x 2π x Ky Kz

.

(22.17)

Setzt man die partielle Ableitung von (22.17) nach x gleich null, ∂¯ c/∂x = 0, so erh¨ alt man f¨ ur die Lage des Konzentrationsmaximums c¯m xm =

u ¯ h2 . 4Kz

(22.18)

354


Das Konzentrationsmaximum liegt also um so weiter von der Quelle entfernt, je h¨ oher diese liegt, je größer die Windgeschwindigkeit ist und je kleiner der vertikale Diffusionskoeffizient ist. Da letzterer die thermische Schichtung beinhaltet, kann man die Aussage treffen: je labiler die Schichtung (großes Kz ), desto n¨ aher liegt das Konzentrationsmaximum an der Quelle, f¨ ur stabile Schichtung ist es umgekehrt. Das liegt physikalisch gesehen daran, dass bei labiler Schichtung die Durchmischung groß ist, die freigesetzte Substanz also fr¨ uher den Erdboden erreicht als bei stabiler. Der Wert der Maximalkonzentration c¯m ergibt sich durch Einsetzen von xm in (22.17) zu 2Q c¯m = c¯(xm ,0,0) = πe u ¯ h2

Kz Ky

1 2

.

(22.19)

Die Maximalkonzentration hängt nicht von der Entfernung xm ab, wie man auch durch Einsetzen von xm in die Exponentialfunktion von (22.17) ersehen kann. Vielmehr ist die Maximalkonzentration um so gr¨ oßer, je st¨ arker die Quelle, je kleiner die Windgeschwindigkeit und je geringer die Quellh¨ ohe ist. Letztere ist der entscheidende Faktor bei der Frage, wie hoch eine Quelle (Schornstein) liegen muss, damit eine maximal zulässige Konzentration c¯mz bei vorgegebener Quellst¨ arke nicht u ¨berschritten wird. Diese Höhe ergibt sich aus der Forderung c¯m ≤ c¯mz und der Beziehung (22.19) zu ⎡

hmin

2Q ≥⎣ πe¯ uc¯mz

Kz Ky

1 ⎤ 12 2 ⎦ .

(22.20)

Diese Mindesthöhe f¨ ur die Quelle hängt einmal von der Quellst¨ arke ab, zum anderen von der Windgeschwindigkeit und der maximal zul¨ assigen Bodenkonzentration. Die hier gemachten Ausf¨ uhrungen sollen nur eine Einf¨ uhrung in die Problematik der Ausbreitung von Luftbeimengungen in der Atmosph¨ are darstellen. Ausf¨ uhrlich wird dieser Themenbereich in den B¨ uchern behandelt, die im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrt sind.

22.7

Lagrange Partikelmodelle

Der im vorherigen Abschnitt behandelte einfache L¨ osungsansatz der TransportDiffusionsgleichung (22.8) in Form einer Gaußverteilung (22.9) f¨ ur die Konzentration c¯ von Luftbeimengungen war jahrzehntelang auch Bestandteil der Umweltrichtlinie “Technische Anleitung zur Reinhaltung der Luft” (kurz: TA Luft). Mit einem so genannten “Gaußmodell” wurde u. a. die zu erwartende Konzentration von Luftschadstoffen f¨ ur neu zu errichtende Industrieanlagen (z. B. Kraftwerke) ermittelt.

22.7 Lagrange Partikelmodelle

355

Seit dem Jahr 2002 wurde das Gaußmodell in der TA Luft durch ein so genanntes “Partikelmodell” ersetzt, welches seitdem in der Praxis der Genehmigungsverfahren von Bauvorhaben eingesetzt wird. Daher soll die Methodik von Partikelmodellen an dieser Stelle kurz erläutert werden. Zun¨ achst sei noch einmal die Transport-Gleichung f¨ ur die Konzentration c¯ einer Luftbeimengung aufgef¨ uhrt: d¯ c =Q dt

Lagrange-Form

(22.21)

oder mit der Eulerschen Zerlegung ∂¯ c ¯ · ∇¯ +v c=Q Euler-Form (22.22) ∂t Hierbei symbolisiert Q sowohl die Quelle als auch die turbulente Diffusion der Luftbeimengung. In der hierbei behandelten Eulerschen-Form (22.22) wurde ein Kontrollvolu¨ men um einen festen Ort betrachtet und dort die lokale zeitliche Anderung der Konzentration ∂¯ c/∂t aufgrund von Advektion (¯ v · ∇¯ c) und Quellen/Diffusion (Q) berechnet. In der Lagrange-Form (22.21) hingegen wird das Kontrollvolumen mit der Strömung (¯ v) mitbewegt und die Konzentrations¨ anderung berechnet, die das Volumen entlang seiner Trajektorie erfährt. Um mit dieser Methode eine Feldverteilung c(x,y,z) der Konzentration zu erhalten, m¨ ussen viele solche Lagrange Volumina verfolgt werden. Das ist nun die Idee der Lagrange-Partikelmodelle. Nehmen wir als Beispiel an, daß zu einem Zeitpunkt t = 0 an einem festen Ortsvolumen V0 (x0 , y0 , z0 ) eine bestimmte Menge einer Substanz in die Atmosph¨ are freigesetzt wird. Die Konzentration im Anfangsvolumen wird jetzt in einige tausend gleichgroße Untervolumen vi mit jeweils entsprechendem Massenanteil mi unterteilt, wobei gilt: i

vi = V0 ,

mi = M0

i

Die Idee der Partikelmodelle ist nun die, daß jedes Untervolumen vi als ein Luftpartikel definiert wird, das sich in der Luftströmung bewegt, dabei aber seine Masse mi beibeh¨ alt. Der Ort jedes Partikels nach seiner Freisetzung zum Zeitpunkt t = 0 wird durch seine Trajektorie bestimmt. Wie bereits in Kapitel (7.6) erl¨ autert, ist die Trajektorie eine Partikels definiert durch: t

xp (t) = xp (t = 0) + 0

v(t)dt .

(22.23)

356


Dabei kann das Geschwindigkeitsfeld auch noch r¨ aumlich variabel sein, d. h. allgemein: v(x,y,z,t). In der Praxis wird die kontinuierliche Bestimmung der Partikeltrajektorie xp (t) nach (22.23) durch eine diskrete Form f¨ ur kleinere Zeitabschnitte t ersetzt: xp (t + t) = xp (t) + v(t) · t .

(22.24)

Bei Kenntnis des Geschwindigkeitsfeldes v(t) kann die Trajektorie f¨ ur jedes Luftpartikel p entsprechend (22.24) bestimmt werden. Dabei wird die Geschwindigkeit jetzt in einem mittleren und einen turbulenten Anteil zerlegt: ¯ (t) + v (t) . v(t) = v

(22.25)

¯ wird entweder vorgegeben oder mit einem Str¨ Der mittlere Wind v omungsmodell berechnet. Die Bestimmung des turbulenten Windvektors v soll Beispielhaft f¨ ur die u -Komponente dargestellt werden: Die turbulente Bewegung u (t) setzt sich zusammen aus einem Anteil u1 (t), der mit der Geschwindigkeit des Partikels zum vorangehenden Zeitpunkt (t− t) verkn¨ upft ist, und einem Anteil u2 (t), der eine zufällige Geschwindigkeitsfluktuation beinhaltet. F¨ ur die Verkn¨ upfung von u1 (t) gilt: u1 (t) = R · u (t − t) ,

(22.26)

wobei R die so genannte Lagrangsche Autokorrelationsfunktion ist: R( t) ≡

u (t) · u (t + t) . u (t)2

(22.27)

Die Mittelbildungsstriche symbolisieren dabei das Kollektiv u ¨ber die turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen aller Partikelbewegungen. Die Autokorrelationsfunktion R( t) gibt an, inwieweit die Geschwindigkeit eines Partikels zum Zeitpunkt (t + t) mit derjenigen zum vorherigen Zeitpunkt (t) zusammenh¨ angt. ¨ Aus Beobachtungen und theoretischen Uberlegungen hat sich ergeben, daß f¨ ur kleine Zeitr¨ aume, d. h. t ≈ t0 die Geschwindigkeiten u (t) und u (t + t) fast identisch sind und somit R( t) = 1. F¨ ur große Zeitr¨ aume ( t → ∞) besteht kein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeitsfluktuationen (R = 0). Die Autokorrelation R stellt gewissermaßen das “Ged¨ achnis” der turbulenten Partikelbewegung. Diese kann in guter Näherung dargestellt werden durch:

R( t) = exp −

t TL

.

(22.28)

Hierbei ist TL die Lagrangsche Zeitskala welche angibt, u ¨ber welche typische Zeitspanne sich ein Partikel an seine angängliche turbulente Geschwindigkeit “erinnert”. Auf die Bestimmung von TL wird später noch eingegangen.


357

Der zuf¨ allige turbulente Geschwindigkeitsteil u2 (t) wird u ¨ber einen Zufallsansatz wie folgt bestimmt: u2 (t) =

%

1 − R 2 σu χ .

(22.29)

Hierbei ist σu die Varianz der Geschwindigkeitsfluktuationen aller Partikel:

σu ≡ u2

1/2

und χ eine Zufallszahl, die einer Gaußverteilung mit einem Mittelwert 0 und einer Standardabweichung 1 entnommen wird. Insgesamt ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeit u des Partikels zum Zeitpunkt t: u(t) = u ¯(t) + Ru (t) +

%

1 − R 2 σu χ .

(22.30)

Die Geschwindigkeitskomponenten v und w werden analog zu (22.30) bestimmt. Die Partikeltrajektorien werden entsprechend (22.24) mit den Geschwindigkeitsfeldern (22.30) bestimmt. Als Beispiel seien die Trajektorien zweier Partikel in Bild (22.7) dargestellt, die sich zum Zeitpunkt t = 0 nahe beieinander befanden.

Bild 22.7 Trajektorie zweier Luftpartikel unter dem Einfluß turbulenter Geschwindigkeitsschwankungen

F¨ ur die mittleren Windverhältnisse ist hierbei ein konstanter Wind u¯ angenommen. Die turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen u und v verursachen eine Abweichung der Partikeltrajektorien von der geradlinigen Partikelbahn, die sich unter dem alleinigen Wirken des Grundstromes u¯ ergeben w¨ urde. Die Lagrange-Methode der Ausbreitungsrechnung besteht nun darin, viele tausend Partikel, die jeweils einen Anteil der Quellst¨ arke (Emission) darstellen, an einem festen Ort (Quelle) freizusetzen und deren Trajektorien unter dem Einfluß der mittleren und turbulenten Windfelder entsprechend (22.24) und (22.30) zu bestimmen. Zu jedem Zeitpunkt nach der Freisetzung an der Quelle k¨ onnen die Orte der einzelnen Massenpartikel ermittelt werden. Um nun auf die in der

358


Luftreinhaltevorschriften benötigten Konzentrationen (kg/m3 ) zu erhalten, muss das Ausbreitungsgebiet der Partikel in ortsfeste Kontrollvolumina eingeteilt werden, in denen jeweils die Anzahl der sich dort befindlichen Partikel ausgez¨ ahlt wird. Dies ist schematisch in Bild (22.8) dargestellt. Daraus l¨ aßt sich ein Konzentrationsfeld c¯(x,y,z,t) ermitteln, wie es auch beim Gaußmodell (z. B. Gleichung (22.12)) der Fall ist.

Bild 22.8 Schematische Darstellung der momentanen Verteilung von Massepartikeln in einem Kontrollgitter, wie sie mit einem Lagrange-Ausbreitungsmodell erhalten wurde. Die Quelle befindet sich in der stark umrandeten Gitterbox

Zur Durchf¨ uhrung der Modellrechnungen entsprechend (22.30) werden noch die Varianzen der turbulenten Geschwindigkeitsfelder

σu ≡ u2

1/2

, σv ≡ v 2

1/2

, σw ≡ w2

1/2

(22.31)

aufig mit und die Lagrangsche Zeitskala TL benötigt. In der Praxis werden diese h¨ der Turbulenten kinetischen Energie E E≡

1 2 u + v 2 + w2 2

(22.32)

verkn¨ upft, die in Kapitel (20.3) ausf¨ uhrlich behandelt worden ist (dort mit e¯ bezeichnet). Folgende Ans¨ atze sind dabei u ¨blich: σu = c1 E 1/2 , σv = c2 E 1/2 , σw = c3 E 1/2 , TL = c4

l E 1/2

(22.33) (22.34)

aric1 − c4 sind dabei Konstanten, die aus Turbulenzmessungen in der atmosph¨ schen Grenzschicht bestimmt werden. In (22.34) ist l der Mischungsweg in der atmosph¨ arischen Grenzschicht (siehe Kapitel 21.11). Obwohl die turbulente kinetische Energie E im allgemeinen von den Ortkoordinaten (x,y,z) und der Zeit (t),


359

z. B. Tagesgang, abhängt, geht man f¨ ur praktische Zwecke von einer horizontal homogenen und stationären Grenzschicht aus, d. h. ∂E/∂x = ∂E/∂y = ∂E/∂t = 0. Demnach ist E und somit σu , σv , σw und TL nur eine Funktion der H¨ ohe z. In den Luftreinhaltevorschriften (siehe Literatur zu Kapitel 22) werden typische Profile von E und TL f¨ ur verschiedene Temperaturschichtungen bereitgestellt.

Literaturverzeichnis Im folgenden werden zu den einzelnen Kapiteln erg¨ anzende Literaturhinweise angegeben. Dabei handelt es sich bis auf wenige Ausnahmen um Lehrb¨ ucher, die den Stoff der jeweiligen Kapitel in sehr viel größerer Breite behandeln, als es hier möglich ist.

Kapitel 1 Die Theoretische Meteorologie im Sinne von Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are wird in folgenden Lehrb¨ uchern behandelt: Bluestein, H. B. Synoptic-Dynamic Meteorology in Midlatitudes. Vol. I: Principles of Kinematics and Dynamics. Oxford University Press, Oxford (1992). Brown, R. A. Fluid Mechanics of the Atmosphere. Academic Press, London (1992). Dutton, J. A. The Ceaseless Wind. McGraw-Hill, New York (1986). Holton, J. R. An Introduction to Dynamic Meteorology. Academic Press, London, 4. Aufl. (2004). Lange, H. J. Die Physik des Wetters und des Klimas. Dietrich Reimer Verlag, Berlin (2002). Lindzen, R. Dynamics in Atmospheric Physics. Cambridge University Press, Cambridge (1990). Pichler, H. Dynamik der Atmosphäre. Spektrum Verlag, Heidelberg (1997). Zdunkowski, W. und Bott, H. Dynamics of the Atmosphere. Cambridge University Press, Cambridge (2003). In den letzten Jahren hat sich f¨ ur Bewegungsvorg¨ ange in der Atmosph¨ are und im Ozean auch der Begriff Geophysical Fluid Dynamics (zu deutsch etwa: Geophysikalische Str¨ omungsmechanik) eingeb¨ urgert. In den nachfolgenden B¨ uchern werden Ozean und Atmosphäre gemeinsam behandelt: Cushman-Roisin, B. Introduction to Geophysical Fluid Dynamics. Prentice Hall, London (1994). Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, London (1982).

362


McWilliams, J. C. Fundamentals of Geophysical Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2006). Pedlosky, J. Geophysical Fluid Dynamics. (1994).

Springer-Verlag, Berlin, 2. Aufl.

Vallis, G. K. Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2006). Weitere Ausf¨ uhrungen zur Vektor- und Tensorschreibweise findet man ebenfalls in den oben genannten B¨ uchern.

Kapitel 2, 3 und 4 In diesen Kapiteln werden die Grundlagen der Thermodynamik erl¨ autert. Die Thermodynamik wird meist als Bestandteil der Lehrb¨ ucher u ¨ber Experimentalphysik oder Theoretische Physik sowie Allgemeine Meteorologie und Theoretische Meteorologie abgehandelt. Speziell mit der Thermodynamik befassen sich beispielsweise: Falk, G. und Ruppel, W. (1982).

Energie und Entropie.

Springer-Verlag, Berlin

M¨ uller, J. Grundz¨ uge der Thermodynamik. Springer-Verlag, 3. Aufl. Berlin (2001). Eine detaillierte Behandlung der atmosphärischen Thermodynamik findet sich in: Bohren, C.F. und Albrecht, B.A. Atmospheric Thermodynamics. Oxford University Press, Oxford (1998). Curry, J.A. und Webster, P.J. Thermodynamics Oceans. Academic Press, London (1999). Iribarne, I. V. und Godson, W. L. del, Dordrecht (1981).

of

Atmospheres

and

Atmospheric Thermodynamics. D. Rei-

Tsonis, A.A. An Introduction to Atmospheric Thermodynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2002). Zdunkowski, W. und Bott, H. Thermodynamics of the Atmosphere. Cambridge University Press, Cambridge (2004). In folgenden B¨ uchern u uhr¨ber Allgemeine Meteorologie finden sich ebenfalls ausf¨ liche Darstellungen der Thermodynamik: Kraus, H. Die Atmosphäre der Erde - Eine Einf¨ uhrung in die Meteorologie. Springer Verlag, Berlin (2004).


363

Liljequist, G. H. und Cehak, K. Allgemeine Meteorologie. Nachdruck, Springer Verlag, Berlin (2006). Salby, M. Fundamentals of Atmospheric Physics. (1996).

Academic Press, London

Wallace, J. M. und Hobbs, P. V. Atmospheric Science—an Introductory Survey. Academic Press, London, 2. Aufl. (2006).

Kapitel 5 Strahlungsprozesse in der Atmosphäre werden in folgenden B¨ uchern ausf¨ uhrlich dargestellt: Goody, R. M. und Young, Y. L. Atmospheric Radiation. Oxford University Press, Oxford, 2. Aufl. (1995). Liou, K. N. An Introduction to Atmospheric Radiation. Academic Press, London, 2. Aufl. (2002). Liou, K. N. Radiation and Cloud Processes in the Atmosphere. Oxford University Press, Oxford (1992). Paltridge, G. W. und Platt, C. M. R. Radiative Processes in Meteorology and Climatology. Elsevier, Amsterdam (1976). Prozesse, die bei der Wolkenbildung eine Rolle spielen, werden u ¨blicherweise im Spezialgebiet Wolkenphysik behandelt. Lehrb¨ ucher zu diesem Teilaspekt der Meteorologie sind u. a.: Cotton, W. R. und Anthes, R. A. Press, London (1989).

Storm and Cloud Dynamics. Academic

Emanuel, K. A. Atmospheric Convection. (1994).

Oxford University Press, Oxford

Houze, R. A. Cloud Dynamics. Academic Press, London (1993). Pruppacher, H. R. und Klett, J. D. Microphysics of Clouds and Precipitation. Kluwer, Dordrecht (1997). Rodgers, R. R. und Yau, M. K. A Short Course in Cloud Physics. ButterworthHeinemann, London (1989). Young, K. C. Microphysical Processes in Clouds. Oxford University Press, Oxford (1993).

364


Kapitel 6 Die Vertikalstruktur der Atmosphäre wird praktisch in allen Lehrb¨ uchern u ¨ber Meteorologie und Thermodynamik der Atmosphäre behandelt. Als Beispiel seien die unter Kapitel 2 bis 4 aufgef¨ uhrten B¨ ucher erw¨ ahnt.

Kapitel 7 und 8 Die formale Beschreibung von Geschwindigkeitsfeldern sowie die Kontinuit¨ atsgleichung wird in allen Lehrb¨ uchern u ¨ber Theoretische Meteorologie behandelt (siehe Literatur zu Kapitel 1). Ebenso findet sich hierzu in jedem Buch u ¨ber Str¨ omungsmechanik ausreichend Material.

Kapitel 9 Die Bewegungsgleichungen werden in den zu Kapitel 1 genannten B¨ uchern ausf¨ uhrlich diskutiert. Speziell mit der Wirkung der Coriolis-Kraft auf Bewegungsvorg¨ ange befasst sich die Monographie: Greenspan, H. P. The Theory of Rotating Fluids. Reprint, Breukelen Press, Brooklyn (1990).

Kapitel 10 Geostrophischer und thermischer Wind sind fester Bestandteil jeden Lehrbuches u ¨ber Meteorologie.

Kapitel 11 Die Vorticitygleichung wird in allen f¨ ur Kapitel 1 aufgef¨ uhrten B¨ uchern u ¨ber Dynamical Meteorology und Geophysical Fluid Dynamics behandelt. Kleinr¨ aumige Zirkulationssysteme (Abschnitt 11.5) sind in folgenden B¨ uchern dargestellt: Atkinson, B. W. Meso-scale Atmospheric Circulation. Academic Press, London (1981). Simpson, J. E. Sea Breeze and Local Winds. Cambridge University Press, Cambridge (1994).


365

Whiteman, C. D. Mountain Meteorology: Fundamentals and Applications. Oxford University Press, Oxford (2000).

Kapitel 12 Die verschiedenen Gleichungen f¨ ur atmosphärische Bewegungsvorg¨ ange werden ebenfalls in den zu Kapitel 1 aufgef¨ uhrten B¨ uchern behandelt. Die Originalarbeit zur potentiellen Vorticity (Abschnitt 12.5) von Ertel lautet: Ertel, H. Ein neuer Hydrodynamischer Wirbelsatz. Meteorologische Zeitschrift 59, 217 (1942). Ein Nachdruck dieser Arbeit sowie weitere Artikel zu potentiellen Vorticity finden sich in folgendem Sonderheft der Meteorologischen Zeitschrift: Meteorologische Zeitschrift Special issue: Hans Ertel and potential Vorticity – a century of geophysical fluid dynamics. Heft 6, Vol. 13, Gebr. Borntr¨ ager, Berlin (2004). Die Energiegleichungen f¨ ur atmosphärische Vorg¨ ange werden ausf¨ uhrlich behandelt in: Mieghem, Van, J. Atmospheric Energetics. Clarendon Press, Oxford (1973). Wiin-Nielsen, A. und Chen, T. C. Fundamentals of Atmospheric Energetics. Oxford University Press, Oxford (1993). Die Boussinesq-Approximation (Abschnitt 12.7) wird ausf¨ uhrlich diskutiert in: Dutton, J. A. und Fichtl, G. H. Approximate equations of motion for gases and liquids, Journal of Atmospheric Sciences 26, 241–254 (1969).

Kapitel 13 Wellen in Fl¨ ussigkeiten und Gasen werden u ¨berwiegend theoretisch in dem bekannten Standardwerk Lighthill, J. Waves in Fluids. Cambridge University Press, Cambridge (1989). behandelt. Speziell mit der Atmosphäre befassen sich: Gossard, E. E. und Hooke, W. H. Waves in the Atmosphere. Elsevier, Amsterdam (1975)

366


Pedlosky, J. Waves in the Ocean and Atmosphere. Introduction to Wave Dynamics. Springer Verlag, Berlin (2007), in welchen auch zahlreiche Beobachtungen von atmosph¨ arischen Wellen zu finden ¨ sind. Uber Schwerewellen und Leewellen findet man eine ausf¨ uhrliche Diskussion auch in: Baines, P. G. Topographic Effects in Stratified Flows. Cambridge University Press, Cambridge (1995). Nappo, C. J. An Introduction to Atmospheric Gravity Waves. Academic Press, London (2002).

Kapitel 14 Die verschiedensten Instabilitäten in Strömungen werden behandelt in: Drazin, P. G. und Reid, H. W. Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press, Cambridge, 2. Aufl. (2004). Oertel, H. und Delfs, J. Strömungsmechanische Instabilitäten. Springer-Verlag Berlin (1995). Die Theorie der Baroklinen Instabilität wird in allen B¨ uchern u ¨ber Dynamic Meteorology und Geophysical Fluid Dynamics (siehe Kapitel 1) dargestellt. Die Struktur und Energetik barokliner Systeme in der Atmosph¨ are wird im Detail beschrieben in: Bluestein, H. B. Synoptic-Dynamic Meteorology in Midlatitudes. Vol. II Observations and Theory of Weather Systems. Oxford University Press, Oxford (1992). Carlson, T. N. Mid-Latitude Weather Systems. Rutledge, London (1994).

Kapitel 15 Ausf¨ uhrliche Darstellungen zur Vorticity und Wirbeldynamik findet man in den Monographien. Saffmann, P. G. Vortex Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (1992). Wu, J. Z., Ma, H. Y. und Zhou, M. D. Vorticity and Vortex Dynamics. Springer Verlag, Berlin (2006).


367

Kapitel 16 Beobachtungen, Theorien und numerische Simulationen zur allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation findet man in folgenden Monographien: Grotjahn, R. Global Atmospheric Circulations: Observations and Theory. Oxford University Press, Oxford (1993). James, J. Introduction to Circulating Atmospheres. Cambridge University Press, Cambridge (1994). Lorenz, E. N. The Nature and Theory of the General Circulation of the Atmosphere. World Meteorological Organization, Genf (1967). Peixoto, J. P. und Oort, A. H. Physics, New York (1992).

Physics of Climate. American Institute of

Kapitel 17 Die Entwicklung der numerischen Wettervorhersage seit ihren Anf¨ angen wird beschrieben in: Nebeker, F. Calculating the Weather: Meteorology in the 20th Century. Academic Press, London (1995). Balzer, K. Enke, W. und Wehry, W. Wettervorhersage: Mensch und Computer, Daten und Modelle. Springer Verlag, Berlin (1998). Die numerische Simulation der allgemeinen troposh¨ arischen Zirkulation und des Klimas wird behandelt in: Randall , D. A. General Circulation Model Development: Past, Present, and Future. Academic Press, London (2000). Satoh ,M. Atmospheric Circulation Dynamics and General Circulation Models. Springer Verlag, Berlin (2004). Der aktuelle Stand der Klimamodellierung wird dokumentiert in: Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) The Physical Science Basis. Cambridge University Press, Cambridge (2007). Zur numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen, wie sie z. B. in der Wettervorhersage verwendet werden, gibt es eine F¨ ulle an Literatur. Es seien davon nur als Beispiele genannt:

368


Durran, D.R. Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin (1999). Fletcher, C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. I + II. Springer-Verlag, Berlin (1991).

Kapitel 18 Die Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen erfolgt praktisch in allen B¨ uchern zur Str¨ omungsmechanik. Als Beispiele seien hier nur genannt: Landau, L. L. und Lifschitz, E. M. Lehrbuch der Theoretischen Physik VI: Hydrodynamik. Harri Deutsch Verlag, Berlin (1991). Oertel, H. jr. (Hrsg.) Prandtl-F¨ uhrer durch die Strömungslehre. Vieweg Verlag, Braunschweig (2007).

Kapitel 19 und 20 Die Bewegungsgleichungen f¨ ur turbulente Strömungen (Reynolds-Gleichungen) sowie die generelle Problematik der Turbulenz werden unter anderem behandelt in: Davidson, P. A. Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press, Oxford (2004). Frisch, U. Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press, Cambridge (1995). Lesieur, M. Turbulence in Fluids. Nijhoff, Dordrecht (1987) Monin, A. S. und Yaglom, A. M. Statistical Fluid Mechanics. MIT Press, Cambridge (1971), Nachdruck: Dover Publications (2007) Pope, S. B. Turbulent Flows.Cambridge University Press, Cambridge (2000). Tennekes, H. und Lumley, J. L. A first Course in Turbulence. MIT Press, Cambridge (1972). Das Turbulenzproblem in der Atmosphäre wird ausf¨ uhrlich in den in Kapitel 21 aufgef¨ uhrten B¨ uchern u ¨ber die atmosphärische Grenzschicht dargestellt.


369

Kapitel 21 ¨ Uber die atmosphärische Grenzschicht liegen die nachfolgend aufgef¨ uhrten Monographien vor, in denen sowohl theoretische Aspekte als auch Messergebnisse im Detail beschrieben werden: Araya, P. Introduction to Micrometeorology. Academic Press, London, 2. Aufl. (2001). Garratt, J. R. The Atmospheric Boundary Layer. Cambridge University Press, Cambridge (1992). Geiger, R., Aron, R. H. und Todhunter, P. The Climate Near the Ground. Vieweg Verlag, Braunschweig (1995). Kaimal, J. C. und Finnigan, J. J. Atmospheric Boundary Layer Flows. Oxford University Press, Oxford (1994). Oke, R. T. Boundary Layer Climates. Methuen, London (1987). Sorbjan, Z. Structure of the Atmospheric Boundary Layer. Prentice Hall, New Jersey (1987). Stull, R. B. An Introduction to Boundary Layer Meteorology. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1988). Die Wechselwirkung der Grenzschichten in Atmosph¨ are und Ozean wird behandelt in: Kraus, E. B. und Businger, J. Ocean–Atmosphere Interaction. Press, London (1994).

Academic

Die Profilfunktionen in der Prandtl-Schicht (Abschnitt 21.4.4) werden im Detail in folgenden Originalarbeiten beschrieben: Businger, R. A., Wyngaard, J. C., Izumi, Y. und Bradley, E. F. Flux profile relationships in the atmospheric surface layer. Journal of Atmospheric Sciences, 28, 181–189 (1971). Dyer, A. J. A review of flux-profile relations. Boundary Layer Meteorology, 1, 363–372 (1974). Monin, A. S. und Obukhov, A. M. Basic laws of turbulent mixing in the atmosphere near the ground. Trudy Academia Nauka SSR. 24, 1963–1987 (1954).

370


Kapitel 22 Probleme der turbulenten Diffusion werden ausf¨ uhrlich behandelt in: Arya, S.P. Air Pollution Meteorology and Dispersion. Oxford University Press, Oxford (1999). Berljand, M. E. Moderne Probleme der atmosphärischen Diffusion und Verschmutzung der Atmosphäre. Akademie Verlag, Berlin (1982). Blackadar, A.K. Turbulence and Diffusion in the Atmosphere. Springer Verlag, Berlin, 2. Aufl. (2005). Nieuwstadt, F. T. M. und van Dop, H. Atmospheric Turbulence and Air Pollution Modelling. D. Reidel, Dordrecht (1982). Pasquill, F. und Smith, F. B. Atmospheric Diffusion. Ellis Horwood, Chichester (1983). Praktische Anwendungen der Gesetzmäßigkeiten f¨ ur die turbulenten Diffusion in der Luftreinhaltung werden beschrieben in: Baumbach, G. Luftreinhaltung. Springer Verlag, Berlin (1993). Zenger, A. Atmosphärische Ausbreitungsmodellierung. Springer Verlag, Berlin (1998). Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung des Lagrange-Partikelmodells sowie der ben¨ otigten Wind- und Turbulenzfelder finden sich in den folgenden Richtlinien: VDI: Richtlinie VDI 3945, Blatt 3 Umweltmeteorologie. Atmosphärische Ausbreitungsmodelle: Partikelmodell. Beuth Verlag, Berlin (2000). VDI: Richtlinie VDI 3783, Blatt 8 Umweltmeteorologie. Meßwertgest¨ utzte Turbulenzparametrisierung f¨ ur Ausbreitungsmodelle. Beuth Verlag, Berlin (2002).

Sachwortverzeichnis Ablenkungswinkel, 319 Absorption — partielle, 350 Adiabate, 30 Adiabatengleichung, 29 Advektion, 6 Advektionsnebel, 59 Albedo, 62 — planetare, 54 Anfangswerte, 262 Antikaskade, 293 Arbeit, 18 Atmosph¨ are — barokline, 144 — barotrope, 144 — H¨ ohe der homogenen, 69 — ICAO-, 72 — isotherme, 70 — polytrope, 71 — ruhende, 111 — trockene, 15 — US-Standard-, 71 Auftriebskraft — Archimedische, 75 Auftriebsterm, 184 Ausbreitungsklassen, 352 Austauschkoeffizient, 274 Avogadro-Zahl, 12 Axiom — Newtonsches, 65, 107 baroklin, 143 Baroklinit¨ at — kritische, 221 barotrop, 142 Bernoulli-Gleichung, 115 β-Ebene, 152 β-Effekt, 151 β-Parameter, 152 Bewegungsgleichungen, 111, 169 — Eulersche, 124 — im p-System, 133 Bilanzgleichung, 180 Bodendrucktendenz, 105 Bodenw¨ armestrom, 338

Boltzmann-Konstante, 12 Boussinesq-Approximation, 184 Breite, geographische, 128 Brunt-Vaisala-Frequenz, 79 Celsius-Skala, 13 CFL-Kriterium, 249 Coriolis-Beschleunigung, 119 Coriolis-Parameter, 121 Couette-Strömung, 264 Deformation, 93 Deformationsansatz, 274 Diagramm — thermodynamisches, 26, 27 Dichte — des Wasserdampfes, 31 Dichteströmung, 165 Differenzenapproximation, 247 Diffusion, 341 — turbulente, 341 Diffusionsgleichung, 343 — Ficksche, 344 Diffusionskoeffizient — turbulenter, 274 Divergenz, 6, 89, 154 Divergenzeffekt, 156 Drehterm, 154 Druck, 10 Druckbeschleunigung, 110 Druckfläche, 68 Druckgradientkraft, 110 Druckkraft, 108, 110 Druckwellen, 189 Dyer-Businger-Funktionen, 308 Dynamik, 89 Eigenwertproblem, 211 Ekman-Länge, 318 Ekman-Pumpe, 331 Ekman-Schicht, 298 Ekman-Spirale, 318 Energie — innere, 17, 25, 180 — kinetische, 180

372 — — des Grundstroms, 283 — potentielle, 65, 82, 180 — totale potentielle, 83, 226 — verf¨ ugbare potentielle, 85 Energiebilanz, 339 Energiedissipation, 261, 287 Energiefluss, 51 Energiegleichung, 181 Energiekaskade, 291, 294 Energiespektrum, 294 Energiestrom, 51, 52 Energiestromdichte, 51, 52 Energietransformation, 182 Ensemblemittel, 268 Enthalpie, 20, 25 Erdbeschleunigung, 65 Erw¨ armung — differentielle, 113 Eulersche Zerlegung, 88 f¨ uhlbarer W¨ armestrom, 338 F¨ uhrungsgeschwindigkeit, 117 F¨ unf-Drittel-Gesetz, 295 Feld — station¨ ares, 89 Feuchte — relative, 33 — spezifische, 32 Filterung, 190 Flächenquelle, 343 Flachwasser-Gleichungen, 193 Flachwasserwellen, 193 Fluss, 101 Flussdivergenz, 101 Formeln, Frenetsche, 90 Frequenz — Brunt-Vaisala-, 79 Frequenzbeziehung, 188 Gas — ideales, 11 — reales, 13 Gasgemische, 14 Gasgleichung, 11 Gaskonstante — f¨ ur trockene Luft, 12, 15 — f¨ ur Wasserdampf, 31 — universelle, 12

Sachwortverzeichnis Gasphase, 37 Gegenstrahlung — langwellige, 63 Geopotential, 66 geostrophisch, 135 Geschwindigkeitsdivergenz, 91 Geschwindigkeitsfluss, 303 Geschwindigkeitspotential, 99 Geschwindigkeitsschwankungen — turbulente, 275 Gesetz — Boyle-Mariottesches, 11 — Daltonsches, 14 — Gay-Lussacsches, 11 — Joulesches, 21 — Stefan-Boltzmannsches, 54 Gleichgewicht — stabiles, 207 Gleichgewichtslage — indifferente, 78 — labile, 77 — stabile, 76 Gleichgewichtszustand, 10 Gleichung — Clausius-Clapeyronsche, 47, 57 — Poissonsche, 29 — Rayleigh-, 211, 228 — Taylor-Goldstein-, 205, 228 — van der Waalssche, 13 Gleichungen — Boussinesq-, 185 — diagnostische, 245 — prognostische, 169, 245 — quasi-geostrophische, 216 Gleichungssystem — quasi-geostrophisches, 174 — trockenes, 169 Gleitreibung, 263 Größe — extensive, 10 — intensive, 10 — konservative, 89 Gradient, 6 Gradientansatz, 276 Gradientwind, 146 Gravitation, 65 Gravitationsgesetz, 107 Grenzschicht, planetare, 299

Sachwortverzeichnis Grenzschichth¨ ohe, 320 Grundgleichung — statische, 68, 111 — — im p-System, 130 Höhenkarten, 132 Hadley-Zirkulation, 239 Haftreibungsbedingung, 263 Hagen-Poiseuille-Str¨ omung, 265 Halbwertsh¨ ohe, 70 Hauptsatz — Erster der Thermodynamik, 18, 169 Hebungskondensationsniveau, 61 Helmholtz-Wogen, 198 Hodograph, 122 Horizontalbeschleunigung, 113 hydrostatisch, 66 Impulsfluss, 303 Impulsfluß — makroskopischer, 293 Impulsstromform, 271 Indexschreibweise, 4 Inertialsystem, 117 Instabilit¨ at — barokline, 214 — barotrope, 212 — Kelvin-Helmholtz, 229 — kleinr¨ aumige, 227 — konvektive, 230 — Rayleigh-Taylor-, 230 Isentrope, 30 isobar, 26 Isobare, 27 isochor, 26 Isochore, 27 Isohypse, 140 isotherm, 26 Isotherme, 27 Kaltluftabfluß, 266 Kaltluftadvektion, 140 Kelvin, 12 Kelvin-Helmholtz-Instabilitäten, 229 Kelvin-Skala, 13 Kinematik, 89 Klimamodellierung, 250 Kolmogorov-Spektrum, 295

373 Kondensation, 37, 39 Konstante — von Kármánsche, 301 Kontinuitätsgleichung, 103, 169 — im p-System, 134 Konvektion — thermische, 80, 84 Konvergenz, 89 Konzentrationsmaximum, 353 Koordinaten — nat¨ urliche, 90 — sph¨ arische, 128 Koordinatensystem — kartesisches, 4 — rotierendes, 117 Kr¨ ummungsvorticity, 91 Kreisfrequenz, 188 Kugelgestalt, 151 Kugelkoordinaten, 128 Kumuluskondensationsniveau, 61 Länge, geographische, 128 Lagrange-Methode, 355 laminar, 275 Land-Seewind, 164 Laplace-Operator, 7 latenter Wärmestrom, 338 Leewellen, 204 Linearisierung, 159 Linienquelle, 343 Log+linear-Profil, 306, 314 Luft — feuchte, 31 Luftmassenadvektion, 140 Luftpaket, 87 Luftsäule, 81 Magnus-Formel, 44 Makroturbulenz, 293 Massenerhaltung, 133 Massenfluss, 102 Maximalkonzentration, 354 Mesoturbulenz, 294 Meteorologie — Synoptische, 243 Meter — geopotentielles, 66 Mikroturbulenz, 291, 294

374

Sachwortverzeichnis

Mischungsnebel, 59 Mischungsverh¨ altnis, 32 Mischungsweg, 279 Mittel — gewichtetes, 268 — räumliches, 267 — zeitliches, 267 Molmasse, 12 Monin-Obukhov-Stabilitätslänge, 305

Profilmethode, 315 Prozess, 10, 26 — adiabatischer, 28, 58 Punktquelle, 343

Navier-Stokes-Gleichungen, 257 — Boussinesq-Form, 185 — gemittelte, 272 — Impulsstromform, 271 Nebel — Advektions-, 59 — Mischungs-, 59 — Strahlungs-, 59 Nettow¨ armezufuhr, 50 Normalgeschwindigkeit, 262 Normalspannungen, 255 Normalverteilung, Gaußsche, 348

Randbedingungen, 262 Randwerte, 262 Rauhigkeitslänge, 302 Rayleigh-Gleichung, 211 — f¨ ur ebene Scherströmung, 228 Rayleigh-Taylor-Instabilität, 230 Reibungswärme, 261 Richardson-Flusszahl, 288 Richardson-Zahl, 229, 289 Richtungsdivergenz, 91 Rohrströmung, 265 Rossby-Wellen, 161 Rotation, 7, 91

Quelle — kontinuierliche, 343 — momentane, 343 Quellpunkt, 344

Oberfl¨ achenkr¨ afte, 255 p-System, 129 — Bewegungsgleichungen, 133 — Gleichungen im, 170 — Kontinuit¨ atsgleichung, 134 — Statische Grundgleichung, 130 Partialdruck, 14 — des Wasserdampfes, 31 Partialvolumen, 14 Partikelmodell, 354 Phase — feste, 37 — fl¨ ussige, 37 Phasen¨ ubergang, 37, 39, 57 Phasengeschwindigkeit, 188 — komplexe, 211, 219 Poiseuille-Str¨ omung, 265 Poisson-Konstante, 25 Potentialstr¨ omung, 99 Potenzprofil, 309 Prandtl-Schicht, 298, 300 Prandtl-Zahl — turbulente, 289 Profilfunktion, 308, 314

Sättigungsdampfdruck, 32, 46 Sättigungsfeuchte, 57 Sättigunsgrad, 33 Satz — Stokesscher, 95 Schallgeschwindigkeit, 190 Schallwellen, 189 Scheinkraft, 120 Scherströmung — ebene, 266 Scherungsvorticity, 91 Schichtmitteltemperatur, 142 Schichtung — adiabatische, 74 — labile, 77 — neutrale, 78 — stabile, 76 Schließungsproblem, 271, 274 Schmelzen, 40 Schubspannung — Reynoldssche, 272 — turbulente, 272, 303 Schubspannungsgeschwindigkeit, 300 Schwankungen

Sachwortverzeichnis — turbulente, 271 Schwerewellen, 190 — externe, 191 — interne, 195 Schwerkraft, 107 Schwingungsdauer, 79, 188 Schwingungsebene, 187 Skalenanalyse, 146 Solarkonstante, 51 Solenoidterm, 154, 157 Spannungstensor — Reynoldsscher, 272 Spiegelungsmethode, 351 Spin-Down, 332, 333 Stördruck, 189 Störungen — zellul¨ are, 162 Störungsrechnung, 207, 209 Störungsstromfunktion, 210 Stabilit¨ at — statische, 78 Stabilit¨ atsanalyse, 209 Str¨ omung — Couette-, 264 — Hagen-Poiseuille-, 265 — inkompressible, 104 — laminare, 275 — Poiseuille-, 265 Strahlstr¨ ome, 228 Strahlung — kurzwellige, 237 — langwellige, 237 Strahlungsbilanz, 55, 339 Strahlungsnebel, 59 Streckungs-Effekt, 235 Streuung, 348 Strom, 101 Stromfunktion, 97 Stromlinie, 97 Sublimation, 40 System — geschlossenes, 9 — heterogenes, 37 — homogenes, 37 — isoliertes, 9 — offenes, 9 Tangentialebene, 120

375 Tangentialspannungen, 255 Taupunktstemperatur, 59 Taylor-Goldstein-Gleichung, 205, 228 Temperatur, 10 — absolute, 12 — charakteristische, 313 — potentielle, 29 — virtuelle, 35 Temperaturfluss, 304 Temperaturgradient — adiabatischer, 74 — vertikaler, 72 Temperaturprofil, logarithmisches, 313 Temperaturprognose, 54 Temperaturvorhersage, 244 Temperaturzuschlag — virtueller, 35 Tensorschreibweise, 4 Tiefdruckgebiete, 231 Topographie — absolute, 140 — relative, 142 Tornado, 236 Totalabsorption, 350 Totalreflexion, 350 Trägheitsbewegung, 122 Trägheitskreis, 122, 123 Trägheitsperiode, 122 Trägheitsradius, 123 Trajektorie, 98 Transport, 101 Transportgleichung, 343 Treibhauseffekt, 61, 63 Turbulenzenergie, 281 — Produktion von, 285 Twistingterm, 154 Unterschicht, viskose, 298 US-Standardatmosphäre, 71 Vektorschreibweise, 4 Verdunsten, 40 Verdunstung, 37 Verdunstungsprozess, 44 Verschiebung — äquivalente, 278 Vertikalbeschleunigung, 113 Vertikalgeschwindigkeit

376 — der Grenzschicht, 330 — im p-System, 132 — im z-System, 132 Viskosit¨ at, 258 Volumen, 10 — spezifisches, 11 Vorticity, 91, 149 — absolute, 150 — geostrophische, 153 — Kr¨ ummungsvorticity, 91 — potentielle, 177 — relative, 150 — Scherungsvorticity, 91 Vorticitygleichung, 150 — geostrophische, 153 — linearisierte, 160 — potentielle, 178 — quasi-geostrophische, 174 Wärmemenge, 50 Wärme, 18 — latente, 39, 40 — — spezifische, 39 — spezifische, 23 — — f¨ ur feuchte Luft, 36 — — f¨ ur Wasserdampf, 35 Wärmekapazit¨ at — spezifische, 23 Wärmeleitungsgleichung, 337 Wärmestrom — turbulenter, 303 Wachstumsrate, 211 Warmluftadvektion, 140 Wasserdampf, 31 Wasserdampfdichte, 31 Wellen — Druck-, 189 — Kelvin-Helmholtz-, 229 — lange, 161, 194 — retrograde, 161 — Rossby-, 161 — Schall-, 189 — Schwere-, 190 Wellenamplitude, 208 Wellenansatz, 160 Wellenl¨ ange — kritische, 220, 222 Wellenst¨ orung, 275

Sachwortverzeichnis Wellenzahl, 188 Wellenzahlvektor, 188 Wendepunkt-Instabilität, 212 Wetter, 243 Wettervorhersage, 243 — Numerische, 243 Widerstandsbeiwert, 310 Wind — zyklostrophischer, 146 — ageostrophischer, 173 — geostrophischer, 136 — thermischer, 139 Windbeziehung — thermische, 138 Windprofil — logarithmisches, 302 Wirbel, 231 Wirbelgleichung, 232 Wolkenbildung, 60 Zähigkeit — kinematische, 261 Zähigkeitsbeiwert, 258 Zentrifugalbeschleunigung, 119 Zerlegung — Eulersche, 88 Zirkulation, 94, 162 — allgemeine atmosphärische, 237 — direkte, 238 Zirkulationsgleichung, 164 Zirkulationstheorem — Kelvinsches, 164 Zusatzterme, metrische, 129 Zustandsänderung, 26 — adiabatische, 28 — polytrope, 30 Zustandsdiagramm, 26 Zustandsfunktion, 17, 26 Zustandsgleichung, 11 — f¨ ur ideale Gase, 169 Zustandsgröße, 9 Zustandsvariable, 26 Zwei-Phasen-Diagramm, 58 Zwei-Schichten-Modell, 217 Zweikammersystem, 21 Zweiphasensystem, 42 Zyklolyse, 241, 292

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