Teoria grup w fizyce

RYSZARD GONCZAREK

TEORIA GRUP W FIZYCE

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2003

Recenzent Lucjan Jacak

Opracowanie redakcyjne i korekta Alina Kaczak

Projekt ok³adki Zofia i Dariusz Godlewscy

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-745-0

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. 782/2003.

SPIS TREŒCI 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Wstêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W³asnoœci grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ogólne w³asnoœci grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podgrupy i ich w³asnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy ci¹g³e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ca³kowanie na grupie Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy operatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wyznaczanie reprezentacji grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relacje ortogonalnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przyk³ady wyznaczania reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 16 19 24 29 34 40 44 46 52 55 61 66 73 81 89

102

WSTÊP Pojêcie grupy odgrywa fundamentaln¹ rolê we wspó³czesnej fizyce. Wynika to z faktu, ¿e w³asnoœci symetrii uk³adów, w których rozpatrywane s¹ poszczególne zjawiska fizyczne, tworz¹ grupê, a odpowiadaj¹ce im prawa fizyki staj¹ siê niezmiennicze wzglêdem tej grupy. Podstawowy aparat matematyczny stosowany do badania tych zagadnieñ stanowi¹ metody teorii grup. Sama teoria grup jest bardzo rozleg³¹ i abstrakcyjn¹ dziedzin¹ matematyki, co powoduje wykorzystanie jej w zagadnieniach fizyki, narzuca potrzebê selektywnego wyboru materia³u. Dlatego zdefiniowanie podstawowych pojêæ, wykazanie istniej¹cych zwi¹zków i ograniczeñ oraz poznanie metod stosowanych w badaniach grup i ich reprezentacji powinno dostarczyæ istotnych elementów wiedzy dla osób interesuj¹cych siê zagadnieniami fizyki wspó³czesnej. Niniejszy podrêcznik stanowi zebranie materia³u wyk³adanego od wielu lat przez autora podrêcznika studentom kierunku fizyka Wydzia³u Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wroc³awskiej i powsta³ przy ich wspó³udziale.

6

1. POJÊCIA PODSTAWOWE Operacja zamkniêta, definicja grupy i okreœlenie jej w³asnoœci, grupy cykliczne i abelowe, rz¹d grupy, tabele mno¿enia grupowego, przyk³ady grup sk³adaj¹cych siê z kilku elementów, podgrupy Definicja – Operacja zamkniêta Niech G oznacza zbiór elementów i niech a, b ∈ G, wówczas dowolna operacja np. • „kropka” zdefiniowana na elementach zbioru G nazywa siê operacj¹ zamkniêt¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G zachodzi a • b ∈ G. Operacja • czêsto jest okreœlana jako „mno¿enie” i mo¿e ona oznaczaæ zwyk³e mno¿enie liczb, ale tak¿e np. mno¿enie macierzowe, dodawanie, dodawanie modulo, sk³adanie (superpozycjê) itp. Z tego powodu symbol • jest czêsto zastêpowany przez · lub po prostu pomijany. Definicja – Grupa Grup¹ nazywamy parê {G, •}, tj. zbiór elementów G i operacjê zamkniêt¹ •, która spe³nia nastêpuj¹ce warunki: 1. £¹cznoœci, tzn. je¿eli a, b, c ∈ G to (a • b) • c = a • (b • c). 2. Istnieje element jednostkowy e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi a • e = e • a = a. 3. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny a–1 taki, ¿e a–1 • a = a • a–1 = e. Stwierdzenie. Podan¹ definicjê mo¿na ograniczyæ, zastêpuj¹c warunki 2 i 3 warunkami lewostronnymi, prawostronnymi lub mieszanymi, mo¿na np. uwzglêdniæ jedynie warunki prawostronne, tj.: 2'. Istnieje element jednostkowy prawostronny e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi  a • e = a. 3'. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny prawostronny a–1 taki, ¿e a • a–1 = e zapewnia spe³nienie warunków lewostronnych, a zatem ogó³u warunków podanych w definicji grupy.

1. Pojêcia podstawowe

7

D o w ó d . (Symbol • zosta³ pominiêty) Nale¿y pokazaæ, ¿e je¿eli ae = a i aa–1 = e, to ea = a i a–1 a = e. Poniewa¿ a–1 ∈ G, zatem (a–1)–1 ∈ G jest odwrotny do a–1, z czego wynikaj¹ nastêpuj¹ce relacje:

e = a −1 ( a −1 ) −1 = ( a −1e) (a −1 ) −1 = [a −1 (a a −1 ) ] ( a −1 ) −1 = [ ( a −1a ) a −1 ] (a −1 ) −1 = (a −1a) [ a −1 ( a −1 ) −1 ] = ( a −1a) e = a −1 (a e) = a −1a czyli z warunku aa–1 = e wynika relacja a–1a = e, a ponadto jedynka prawostronna jest równa jedynce lewostronnej, gdy¿

a = ae = a( a −1a) = ( aa −1 ) a = ( a −1a) a = ea Stwierdzenie. Udowodniona w³asnoœæ jest s³uszna dla grup, ale nie musi byæ s³uszna dla ogólnych operacji liniowych. LEMAT. Dla ka¿dego elementu grupy a ∈ G zachodzi (a–1)–1 = a D o w ó d . a = ae = a [a −1 ( a −1 ) −1 ] = (a a −1 ) ( a −1 ) −1 = e ( a −1 ) −1 = (a −1 ) −1 Definicja – Grupa abelowa lub przemienna Grupa {G, •} jest grup¹ abelow¹ zwan¹ tak¿e przemienn¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G spe³niony jest zwi¹zek a • b = b • a. Definicja – Rz¹d grupy Rz¹d grupy G – to liczba elementów grupy oznaczana jako n. Je¿eli n jest skoñczone (n < ∞), to grupa jest skoñczonego rzêdu, je¿eli n = ∞ to grupa jest nieskoñczonego rzêdu.

Okreœlanie w³asnoœci grup – przyk³ady PRZYK£AD 1 Grupa jednoelementowa jest najprostsz¹ mo¿liw¹ grup¹, która tak¿e musi spe³niaæ wszystkie warunki grupy. Poniewa¿ grupa powinna mieæ element neutralny, wiêc G = {e}, a dla dowolnej operacji • zachodzi e • e ∈ G oraz e–1 = e i e–1 ∈ G. Realizacj¹ takiej grupy jest para, której zbiór jednoelementowy zawiera liczbê 1, a • oznacza zwyk³e mno¿enie liczb.

8

1. Pojêcia podstawowe

Definicja – Tabela mno¿enia dla grupy Tabela mno¿enia dla grupy podaje wszystkie operacje mno¿enia elementów grupy. PRZYK£AD 2 Grupa dwuelementowa G = {e, a}, • oznacza mno¿enie na grupie. Poniewa¿ s¹ s³uszne relacje: e • e = e i a • a ∈ G, wiêc a • a = e albo a • a = a. Je¿eli a • a = a, to (a • a) • a–1 = a • a–1 = e, z czego wynik, ¿e a • (a • a–1) = e, wiêc a • e = e i a = e, co jest sprzeczne z za³o¿eniem o elementach grupy, gdy¿ a ≠ e, a zatem a • a = e. Elementem odwrotnym a–1 jest e albo a. Gdyby a–1 = e, to a–1 • a = e • a i e = a, czyli sprzecznoœæ, a zatem a–1 = a. Tabela mno¿enia dla grupy dwuelementowej e

a

e

e

a

a

a

e

Na przyk³ad G = {1, –1} (e = 1 a = –1) i • oznacza mno¿enie liczb. 1

–1

1

–1

–1 –1

1

1

Na przyk³ad G = {0, 1} oraz • oznacza dodawanie modulo 2, tj. a ⊕2 b ≡ (a + b) (mod 2) jest reszt¹ z dodawania po wy³¹czeniu liczby podzielnej przez 2, czyli parzystej. 0

1

0

0

1

1

1

0

Na przyk³ad G jest zbiorem permutacji w zbiorze dwuelementowym, wówczas permutacja to¿samoœciowa jest jedynk¹ grupy e, a permutacja przestawiaj¹ca elementy zbioru jest drugim elementem grupy a e (a, b ) → (a, b )

oraz

a a (a, b ) → (b, a ) → (a, b )

1. Pojêcia podstawowe

9

Elementy e i a spe³niaj¹ relacje okreœlone w pierwszej tabeli. Operacja kropka • mo¿e zarówno oznaczaæ np. mno¿enie, dodawanie modulo, jak i sk³adanie permutacji, co oznacza, ¿e ogólne w³asnoœci i relacje miêdzy poszczególnymi elementami s¹ spe³nione w ka¿dym przypadku realizacji danej grupy. Definicja – Izomorfizm Dwie grupy nazywamy izomorficznymi, je¿eli istnieje jednoznaczna odpowiednioœæ miêdzy elementami tych grup zachowuj¹ca dzia³anie grupowe. Dla grup izomorficznych G z operacj¹ • i G' z operacj¹ ×, gdzie elementom grupy G odpowiadaj¹ tak samo oznaczone, ale z primami elementy grupy G', dla dowolnej pary elementów grupy G zachodzi relacja (a • b)' = a' × b'. Stwierdzenie. Grupy izomorficzne s¹ jednakowego rzêdu. Grupy o tym samym rzêdzie nie musz¹ byæ izomorficzne. Stwierdzenie. Wszystkie grupy dwuelementowe s¹ izomorficzne. Stwierdzenie. Ustalenie wartoœci tabeli mno¿enia na grupie dokonuje siê drog¹ eliminacji sprzecznych relacji. Dla wielu grup mog¹ istnieæ ró¿ne, nie wykluczaj¹ce siê wzajemnie mo¿liwoœci, okreœlenia mno¿enia na grupie. PRZYK£AD 3 Grupa trzyelementowa G = {e, a, b}, • oznacza mno¿enie na grupie. Eliminacja sprzecznych relacji:

e  a • b ∈ G, zatem a • b = a  b Gdyby a • b = a, wówczas po pomno¿eniu przez a–1 •, tj. (a–1 • a) • b = a–1 • a, otrzymuje siê e • b = e, czyli b = e, czyli sprzecznoœæ. Podobnie w pozosta³ych przypadkach e  b • a = a ⇒ b = e sprzecznoœæ  b ⇒ a = e sprzecznoœæ e ⇒ a • b = e ⇒ a • a = a • b ⇒ a = b sprzecznoœæ  a • a = a = a ⇒ a • a = a ⇒ a = e sprzecznoœæ  b ⇒ a • a = b 2

10

1. Pojêcia podstawowe

e ⇒ b • b = e ⇒ b • b = a • b ⇒ b = a sprzecznoœæ  b • b = b 2 = a ⇒ b • b = a  b ⇒ b • b = b ⇒ b = e sprzecznoœæ Dla elementów grupy e, a, b zachodz¹ zatem relacje a2 = b oraz a3 = a • b = e, co pozwala przedstawiaæ grupê trzyelementow¹ w postaci G = {e, a, a2}, gdzie a3 = e. Tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ: e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a 1

Przyk³ad realizacji grupy – pierwiastki jednoœci. Poniewa¿ 1 = e 2πi , wiêc 13 = e a wiêc

a

2 πi =e 3 ,

2

a =b=

2 πi ⋅2 e 3

4 πi =e 3 ,

a

3

6 πi =e 3

=e

2 πi

2 πi 3

,

 2 πi 4πi  = 1 oraz G = 1, e 3 , e 3 .  

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy postaci G = {e, a, a2, a3, an–1}, gdzie an = e. S¹ to np. grupy n pierwiastków n-tego stopnia z jednoœci, gdzie a

2 πi =e n ,

n

 2 πi  a =  e n  = e 2 πi = 1, e = 1     n

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy dowolnego skoñczonego rzêdu n. Stwierdzenie. Dla dowolnej grupy G i dowolnego elementu a ∈ G mo¿na utworzyæ ci¹g

a0 = e, a1 = a, a2, a3, …, ai,… Je¿eli istnieje n < ∞, takie ¿e an = e, to element a jest skoñczonego rzêdu n. W przeciwnym przypadku rz¹d elementu a jest nieskoñ-

czony.

Stwierdzenie. Elementy e = a0, a1, a2 , a3, ..., an–1 s¹ ró¿ne, gdy a jest rzêdu n (an = e).

1. Pojêcia podstawowe

11

D o w ó d . Nie wprost Niech ai = aj, gdy 0 ≤ i < j ≤ n – 1. Wówczas a i ( a i ) −1 = a j ( a i ) −1, a zatem e = aj–i dla 0 < j – i < n. LEMAT. (a • b)–1 = b–1 • a–1 dla dowolnych a, b ∈ G . D o w ó d . e = (a • b)–1 (a • b) = (b–1 • a–1) • (a • b) = b–1 • (a–1 • a) • b = e

( )

LEMAT. a −1

−1

( )

D o w ó d . a −1

=a

−1

• a −1 = a • a −1 = e

Definicja – Grupa cykliczna rzêdu n Gdy wszystkie elementy grupy G = {e, a, b,...} mo¿na zapisaæ w postaci G = {e, a, a2, 1424 3 n

a3, ..., an–1} oraz an = e, wówczas grupa G nazywa siê cykliczn¹ i jest rzêdu n. Stwierdzenie. Wszystkie grupy 1-, 2-, lub 3-elementowe s¹ wy³¹cznie cykliczne. PRZYK£AD 4 Grupa czteroelementowa G = {e, a, b, c}, • oznacza mno¿enie na grupie. Stwierdzenie. Dla grup 4-elementowych istniej¹ dwie nieizomorficzne formy ich realizacji, gdy¿

e  a ⇒ a 2 = a ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœ æ 2 a = b  c Za³o¿enie 1. a2 = b, wówczas

a ⇒ a • c = a ⇒ c = e sprzecznoœæ  2 2 b ⇒ a • c = b = a ⇒ a • c = a ⇒ a = c sprzecznoœæ a•c =  c ⇒ a • c = c ⇒ a = e sprzecznoœæ  e

12

1. Pojêcia podstawowe

oraz

e ⇒ a 3 = e ⇒ a 3 = a • c ⇒ a 2 = c ⇒ b = c sprzecznoœæ  a ⇒ a 3 = a ⇒ a 2 = e ⇒ b = e sprzecznoœæ 3 a = b ⇒ a 3 = b = a 3 = a 2 ⇒ a = e sprzecznoœæ  c zatem a 4 = e oraz

a 3 = a 2 • a = b • a = a • b = c . W tym przypadku grupa

G = {e, a, b = a 2 , c = a 3} jest grup¹ cykliczn¹. Tabela mno¿enia ma postaæ:

e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

Za³o¿enie 2. a2 = a prowadzi do sprzecznoœci: a = e. Za³o¿enie 3. a2 = c jest równowa¿ne za³o¿eniu 1, gdy¿ element c nie jest w ¿aden sposób wyró¿niony w stosunku do elementu b. W tym przypadku grupa G = {e, a, c = a 2 , b = a 3 } jest tak¿e grup¹ cykliczn¹.

Za³o¿enie 4. a2 = e prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci e ⇒ a • b = e = a 2 ⇒ b = a ⇒ sprzecznoœæ  a ⇒ a • b = a ⇒ b = e ⇒ sprzecznoœæ a•b = b ⇒ a • b = b ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœæ  c

oraz e ⇒ a • c = e = a 2 ⇒ c = a ⇒ sprzecznoœæ  a ⇒ a • c = a ⇒ c = e ⇒ sprzecznoœæ a•c =  b  c ⇒ a • c = c ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœæ

1. Pojêcia podstawowe

13

Analogicznie mo¿na wykazaæ, gdy¿ nie ma innych mo¿liwoœci, ¿e b • a = c oraz c • a = b. Uwzglêdniwszy, ¿e c2 = (b • a) • (a • b) = (b • (a • a)) • b oraz a2 = e, otrzymuje siê relacjê b2 = c2, która prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci

e ⇒ b 2 = c 2 = e  a ⇒ b 2 = c 2 = a 2 b = b ⇒ b 2 = b ⇒ b = e ⇒ sprzecznoœ æ  2 2 c ⇒ b = c = c ⇒ c = e ⇒ sprzecznoœæ Za³o¿enie 4a. b2 = c2 = a Po pomno¿eniu a = b2 przez a i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê e = (a • b) • b = c • b oraz e = b • (b • a) = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ:

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a e c b

b c a e

c b e a

Po dokonaniu wzajemnie jednoznacznej zamiany elementów a i b ( a ↔ b ) powy¿sza tabela uzyskuje postaæ

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a b c e

b c e a

c e a b

która jest identyczna z tabel¹ mno¿enia dla grupy otrzyman¹ przy za³o¿eniu, ¿e a2 = b, zatem przyjmuj¹c, ¿e a2 = e oraz b2 = c2 = a otrzymuje siê grupê cykliczn¹. Za³o¿enie 4b. b2 = c2 = e Po pomno¿eniu a • b = c i b • a = c przez b i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê kolejne relacje: a = c • b oraz a = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ

14

1. Pojêcia podstawowe

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

w której na diagonali znajduje siê zawsze element neutralny e. Tabeli tej nie mo¿na poprzez zamianê zmiennych sprowadziæ do postaci uzyskanych dla grupy cyklicznej. Stwierdzenie. Grupa o relacjach podanych w powy¿szej tabeli nie jest grup¹ cykliczn¹. To tzw. czterogrupa. Stwierdzenie. Dla grupach czteroelementowych istniej¹ dwie ró¿ne, nieizomorficzne ich formy. S¹ to grupa cykliczna i czterogrupa. Obie grupy s¹ abelowe (przemienne). Stwierdzenie. Wœród mo¿liwych grup dowolnego rzêdu n zawsze istniej¹ grupy cykliczne. Grupy cykliczne s¹ abelowe. Je¿eli liczba elementów grupy jest liczb¹ pierwsz¹, to grupa mo¿e byæ tylko grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD Przyk³adem realizacji czterogrupy jest grupa symetrii prostok¹ta C2v, która zawiera zbiór wszystkich przekszta³ceñ prostok¹ta zmieniaj¹cych jego po³o¿enia w przestrzeni R2. Grupê C2v = {e, a, b, c} tworz¹ nastêpuj¹ce elementy symetrii: 1. e – przekszta³cenie to¿samoœciowe, 2. a – obrót o k¹t 180° wzglêdem osi OZ, 3. b – odbicie wzglêdem osi OX, 4. c – odbicie wzglêdem osi OY. Elementy a2 = b2 = c2 = e definiuj¹ przekszta³cenia to¿samoœciowe, natomiast z³o¿enie dwóch elementów odbicia daj¹ obrót: b • c = a. Ponadto a • b = c i a • c = b. Definicja – Podgrupa Zbiór elementów H zawarty w w grupie G (H ⊂ G ) nazywamy podgrup¹ grupy G, gdy 1. e ∈ H, 2. a, b ∈ H, to a • b ∈ H, 3. a ∈ H, to a–1 ∈ H, tzn. H jest grup¹ zawart¹ w grupie G. PRZYK£AD W czterogrupie G = {e, a, b, c} zbiory H1, H2 i H3 tworz¹ podgrupy:

1. Pojêcia podstawowe

15

a −1 = a

H1 = {e, a},

a 2 = e,

H 2 = {e, b},

b 2 = e, b −1 = b

H 3 = {e, c},

c 2 = e,

c −1 = c

Stwierdzenie. W ka¿dej skoñczonej grupie G, ci¹g elementów {a, a2, a3,..., an = e}, gdzie n jest rzêdem elementu, a ∈ G stanowi podgrupê cykliczn¹ grupy G. Stwierdzenie. Je¿eli grupa G jest rzêdu n i sk³ada siê z elementów G = {a1 , a 2 ,..., a n } , to w ci¹gach a1 ⋅ ai , a2 ⋅ ai ,..., a n ⋅ ai (ai ∈ G ) oraz a j ⋅ a1 , a j ⋅ a2 ,..., a j ⋅ an ( a j ∈ G ) ka¿-

dy element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.

D o w ó d . Nie wprost Niech ak ≠ al oraz ak ⋅ ai = al ⋅ ai ⇒ ( ak ⋅ ai ) ⋅ ai−1 = (al ⋅ ai ) ⋅ ai−1 ⇒ ak = al , czyli sprzecznoœæ. Wniosek. W tabelach mno¿enia dla grupy w ka¿dym rzêdzie i w ka¿dej kolumnie dany element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz. Stwierdzenie. Przedstawione badania relacji grupowych – to badania indukcyjne. Mog¹ byæ one prowadzone dla grup 5, 6,... rzêdu, ale jest to ma³o pouczaj¹ce, a same badania szybko siê komplikuj¹. Wyj¹tek stanowi¹ grupy, których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹. Grupa rzêdu n = 5 jest tylko cykliczna. Dla zbioru 6 elementów istnieje kilka mo¿liwoœci utworzenia grupy. W zbiorze tych grup istniej¹ grupy nieabelowe (nieprzemienne), ale istnieje tak¿e grupa cykliczna. Stwierdzenie. Grupy nieskoñczonego rzêdu mog¹ byæ przemienne np. grupa liczb ca³kowitych z operacj¹ dodawania, gdy¿ dla dowolnych a i b, a + b = b + a, e = 0 oraz a–1 = –a, lub nieprzemienne, jak np. grupa macierzy unitarnych (U • U–1 = E) z operacj¹ mno¿enia macierzowego, gdy¿ w ogólnoœci U1 • U2 ≠ U2 • U1.

16

2. MORFIZMY GRUP Odwzorowania grup – morfizmy. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm, izomorfizm, endomorfizm, automorfizm. J¹dro homomorfizmu Odwzorowania zbioru X w zbiór Y za pomoc¹ funkcji f wyra¿a siê nastêpuj¹co f : X → Y. Wówczas X jest dziedzin¹, Y – przeciwdziedzin¹, a Im f = {f(x), x ∈ X} = f(X) = Y0 ⊂ Y tworzy tzw. obraz. Zbiór f –1(Y0) = {x ∈ X, f(x) = Y0} to tzw. przeciwobraz. Pojêcia te staj¹ siê istotne przy definiowaniu odwzorowañ o szczególnych w³asnoœciach i pozwalaj¹ okreœliæ nastêpuj¹ce ich rodzaje:

ff X – dziedzina

przeciwobraz

obraz

f –1

f–1

Y – przeciwdziedzina Rysunek. Elementy odwzorowania

• Odwzorowanie zbioru „na” zbiór nazywa siê surjekcj¹ lub odwzorowaniem surjektywnym. • Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru w zbiór „1÷1” to injekcja lub odwzorowanie injektywne. • Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru na zbiór (surjekcja i injekcja) to bijekcja lub odwzorowanie bijektywne. • Ponadto z³o¿enie dwóch odwzorowañ nazywa siê superpozycj¹ odwzorowañ.

2. Morfizmy grup

17

Stwierdzenie. Formalne ujêcie w³asnoœci obiektów matematycznych okreœla siê terminem kategorii, który mieœci w sobie pojêcia obiektów i morfizmów (przekszta³ceñ). W kategorii zbiorów obiektami s¹ zbiory, a morfizmami ich odwzorowania, w kategorii grup natomiast obiektami s¹ grupy, a morfizmami poni¿ej zdefiniowane przekszta³cenia. Definicja – Homomorfizm Odwzorowanie f : {G, •} → {G', ×}, które zachowuje dzia³anie grupowe nazywa siê homomorfizmem, co oznacza, ¿e je¿eli a, b ∈ G oraz f : a → a ' , f : b → b ' , to zachodzi relacja: ( a • b) ' = a ' × b ' . Definicja – Endomorfizm Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie. Definicja – Epimorfizm Epimorfizm to homomorfizm surjektywny, czyli „na” tj. grupy na grupê. Definicja – Monomorfizm Monomorfizm to homomorfizm injektywny, czyli „1÷1” tj. ró¿nowartoœciowy. Definicja – Izomorfizm (por. s. 9) Izomorfizm to homomorfizm bijektywny, czyli ró¿nowartoœciowy i „na”, wówczas ka¿demu elementowi jest przyporz¹dkowany dok³adnie jeden element, a rzêdy obu grup s¹ jednakowe. Definicja – J¹dro homomorfizmu J¹drem homomorfizmu f nazywamy zbiór Ker f = {a ∈ G, ¿e f(a) = e', gdzie e' jest jedynk¹ grupy G'}. Stwierdzenie. Je¿eli j¹dro epimorfizmu Ker f = {e}, to epimorfizm jest izomorfizmem. D o w ó d . Nie wprost Niech dla jakichœ a, b ∈ G oraz a ≠ b zachodzi równoœæ f (a) = f (b). Wynika st¹d, ¿e f (b • a −1 ) = f (b) × f ( a −1 ) = f ( a ) × [ f ( a) ] −1= e' , ale j¹dro epimorfizmu jest jednowartoœciowe, zatem b • a–1 = e, czyli b = a, a wiêc sprzecznoœæ. Stwierdzenie. Zbiór H = Ker f jest podgrup¹ grupy G. Dowód. 1. Operacja zamkniêta. Je¿eli a, b ∈ H, to a • b ∈ H, gdy¿

f (a • b) = f (a ) × f (b) = e '× e ' = e ' . 2. Element odwrotny. Je¿eli a ∈ H, to a–1 ∈ H, gdy¿ f ( a −1 ) = [ f ( a) ] −1 = e ' −1 = e ' .

18

2. Morfizmy grup

3. Element jednostkowy e ∈ H, gdy¿

f (e) = f ( a • a −1 ) = f ( a) × [ f ( a)] −1 = e′ × e′ = e′ . Definicja – Automorfizm Izomorfizm grupy w siebie to automorfizm. Stwierdzenie. Zbiór automorfizmów Aut(G) = {eG, ϕ, ψ, χ, ...} z operacj¹ superpozycji tworzy grupê. Jest to podgrupa grupy S(G) wszystkich bijekcji zbioru G w siebie.

19

3. GRUPY PERMUTACJI Grupa symetryczna i alternuj¹ca, cykle przejœcia, transpozycje, parzystoœæ permutacji, przyk³ady grup symetrycznych nieabelowych Definicja – Grupa symetryczna Grupa S(G) – grupa wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowañ n-elementowego zbioru G w siebie tworzy tzw. n-t¹ grupê symetryczn¹ Sn. Stwierdzenie. Grupa symetryczna Sn to grupa permutacji n elementów w siebie i jest rzêdu n!. Definicja – Elementy grupy Sn Elementami grupy symetrycznej Sn s¹ ró¿nowartoœciowe odwzorowania (permutacje), które oznacza siê nastêpuj¹co:

 1 pi =    m1

2

3

...

n −1

m2

m3

...

mn −1

n   = {m1 , m2 , m3 , . . . , mn }, mn 

gdzie {m1, m2, m3, ..., mn} to pewne ustawienie zbioru pierwszych n liczb naturalnych w stosunku do porz¹dku naturalnego. Stwierdzenie. Elementy pi grupy symetrycznej S6 s¹ np. postaci:

 1 2 3 4 5 6  pi =   6 5 4 3 2 1   W grupie symetrycznej S6 znajduje siê 6! = 720 ró¿nych elementów pi. Stwierdzenie. W ka¿dej permutacji mo¿na wyró¿niæ cykle przejœcia, które s¹ np. postaci:

20

3. Grupy permutacji

1 2 3 4 5 6  = (16) ( 25) (34) pi =   6 5 4 3 2 1 2 2 2   lub

 1 2 3 4 5 6  = (163) ( 24) (5) pj =   3 2 1  6 4 1 2 5 3 Takie wyra¿enie permutacji przez cykle, to rozbicie permutacji na cykle roz³¹czne. Cykle te w zale¿noœci od permutacji mog¹ byæ ró¿nej d³ugoœci. W podanych przyk³adach ich d³ugoœæ wynosi 1, 2, lub 3. Definicja – D³ugoœæ cyklu Cykl zawieraj¹cy l elementów jest cyklem o d³ugoœci l. Stwierdzenie. Cykle jednoelementowe przekszta³caj¹ element zbioru w siebie. Stwierdzenie. Wyró¿nione cykle s¹ zamkniête i roz³¹czne. Stwierdzenie. Dzia³anie cyklu na zbiór uporz¹dkowany naturalnie mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co, np.: (163){1, 2, 3, 4, 5, 6} = {6, 2, 1, 4, 5, 3} ,

lub odpowiednio w uproszczonej formie: (163){136} = {613} , co odpowiada roz³o¿eniu permutacji na cykle roz³¹czne i pominiêciu jednoelementowych (2), (4) i (5) cykli to¿samoœciowych, tj.:

 1 2 3 4 5 6  = (163) pk =   6 2 1 4 5 3   Stwierdzenie. Efekt permutacji nie zale¿y od kolejnoœci wykonywania przestawieñ w cyklu, tzn. od tego, który element cyklu jest pocz¹tkowy. Dlatego w cyklach zamkniêtych, elementy tych cykli mo¿na przestawiaæ cyklicznie, np.: (163) = (316) = (631). Definicja – Transpozycje Cykle dwuelementowe to tzw. transpozycje. Stwierdzenie. Dowolny cykl mo¿na przedstawiæ jako iloczyn transpozycji, które nie musz¹ byæ roz³¹czne, np.: (163) = (13)(16), wówczas (13)(16){136} = (13){631} = {613} lub korzystaj¹c z równowa¿noœci cykli roz³¹cznych (163) i (316) mo¿na otrzymaæ

3. Grupy permutacji

21

(316) = (36)(31), wówczas tak¿e (36)(31){136} = (36){316} = {613}. Stwierdzenie. Dla cykli roz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest nieistotna, natomiast dla cykli nieroz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest istotna, np.: (31)(36){136} = (31){163} = {361} ≠ {613}, zatem (31)(36) ≠ (36)(31). Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu na transpozycje nieroz³¹czne nie jest jednoznaczny. Istniej¹ zawsze ró¿ne mo¿liwoœci roz³o¿enia, np.: (163) = (13)(16) lub (163) = (631) = (61)(63). Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu (1234...n) o d³ugoœci n na transpozycje mo¿na zawsze wyraziæ w jednej z nastêpuj¹cych form: (1 2 3 4 ... n) = (1 n)(1 n –1)(1 n – 2)...(1 3)(1 2), (2 3 4 ... n 1) = (2 1)(2 n)(2 n – 1)...(2 4)(2 3), . . . (n 1 2 ... n – 1) = (n n – 1)(n n – 2)(n n – 3)...(n 2)(n 1). Definicja – Parzystoœæ permutacji Parzystoœæ permutacji okreœla siê przez liczbê P = (–1)N, gdzie N to liczba transpozycji, na które mo¿na roz³o¿yæ permutacjê. Gdy P = 1 permutacja jest parzysta, a gdy P = –1 permutacja jest nieparzysta. Definicja – Permutacja Permutacja to dowolna bijekcja f n-elementowego zbioru w siebie. Zbiór ten nie musi byæ w ¿aden sposób uporz¹dkowany, a wzajemne przyporz¹dkowanie elementów zbioru dokonuje siê jak pokazano na rysunku.

Rysunek. Odwzorowanie zbioru kilkuelementowego w siebie

22

3. Grupy permutacji

Stwierdzenie. Iloczyn dwóch permutacji zbioru n-elementowego, czyli z³o¿enie albo superpozycja dwóch permutacji, jest tak¿e permutacj¹. Operacja sk³adania permutacji zatem jest operacj¹ zamkniêt¹. Stwierdzenie. Zbiór permutacji zbioru n-elementowego z operacj¹ superpozycji tworzy grupê sk³adaj¹c¹ siê z n! elementowów (rzêdu n!). Jest to grupa symetryczna Sn. PRZYK£ADY Grupy symetryczne S1 = {e} jest rzêdu 1! = 1 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e, gdy¿ P = (–1)0 = 1, S2 = {e, (12)} jest rzêdu 2! = 2 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e oraz jedn¹ nieparzyst¹ (12), gdy¿ P = (–1)1 = –1. Grupy S1, S2 s¹ abelowe. S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} jest rzêdu 3! = 6 i zawiera 3 permutacje parzyste e, (123) i (321), gdy¿ P = (–1)0 = (–1)2 = 1, oraz 3 nieparzyste (12), (13) i (23), gdy¿ P = (–1)1 = –1. Grupa S3 jest nieabelowa, poniewa¿ sk³adanie jej elementów nie jest przemienne, np.: (12)(13) ≠ (13)(12), gdy¿ (12)(13) = (132) = (321), a (13)(12) = (123) ≠ (321). Stwierdzenie. Grupy symetryczne Sn dla n ≥ 3 nie s¹ abelowe. LEMAT. Dla dowolnych transpozycji zachodz¹ równoœci (i j) = (j i) oraz (i j)2 = e. Tabela mno¿enia dla grupy S3: e (12) (13) (23) (123) (321)

e e (12) (13) (23) (123) (321)

(12) (12) e (123) (321) (13) (23)

(13) (13) (321) e (123) (23) (12)

(23) (23) (123) (321) e (12) (13)

(123) (123) (23) (12) (13) (321) e

(321) (321) (13) (23) (12) e (123)

Przyk³ady mno¿enia elementów grupy (13)(12) = (123) (12)(13) = (132)(321) (12)(23) = (21)(23) = (231) = (123) (12)(123) = (12)(231) = (12)(21) (23) = (23) 1 424 3 e

(12)(321) = (12)(132) = (12)(12)(13) = (13) (123)(123) = (13)(12)(231) = (13) (12)(21) (23) = (13)(23) = (31)(32) = (321) 1 424 3 e

3. Grupy permutacji

23

Definicja – Podgrupy trywialne Podgrupy trywialne grupy G to ca³a grupa (H = G) oraz podgrupa sk³adaj¹ca siê wy³¹cznie z elementu jednostkowego, H = {e}. Stwierdzenie. Grupa S3 ma 4 nietrywialne podgrupy: trzy dwuelementowe – {e, (12)}, {e, (13)}, {e, (23)} oraz jedn¹ trójelementow¹ – {e, (123), (321)}. Podgrupy te s¹ cykliczne. Stwierdzenie. Ka¿da grupa zawiera podgrupê lub podgrupy cykliczne, które mo¿na wyodrêbniæ w nastêpuj¹cy sposób. Je¿eli a ∈ G, to ci¹g elementów {a = a1, a2, a3, ..., ak = e} tworzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu k. Wartoœæ k jest tak¿e rzêdem elementu a.

24

4. W£ASNOŒCI GRUP SYMETRYCZNYCH Twierdzenie Cayleya, podgrupa regularna, rozk³ad na cykle roz³¹czne, grupy, dla których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹ TWIERDZENIE CAYLEYA. Ka¿da grupa rzêdu n jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ grupy symetrycznej Sn (rz¹d Sn = n!). D o w ó d . Niech G = {a1, a2, ..., an} i niech ai ∈ G, wówczas zbiór {aia1, aia2, ..., aian} zawiera wszystkie elementy grupy G, a ka¿dy element wystêpuje tylko jeden raz, gdy¿ aiak ≠ aial ⇔ ak ≠ al. Nale¿y zatem dokonaæ jednoznacznego przyporz¹dkowania elementom grupy G elementów grupy Sn. Ustala siê nastêpuj¹ce przyporz¹dkowania:

a2 ... an   a1  ai → Pai =   a a a a a a ... i n  i 1 i 2

oraz

a2 ... an   a1  a j → Paj =   a j a a j a ... a j an  1 2  

a2 an  ...  a1  aiaj → Paiaj =   ai a j a ai a j a ... ai a j an  1 2   Aby udowodniæ, ¿e ustalone przyporz¹dkowanie okreœla izomorfizm grupy G we wskazan¹ podgrupê grupy Sn, wystarczy wykazaæ, ¿e spe³niona jest relacja: PaiPaj = Paiaj. Po dokonaniu przestawienia elementów mo¿na wyraziæ Pai nastêpuj¹co a j a 2 ... a j an  a2 ... an   a j a1  a1 .  = Pai =   a a a a ... a a   a a a a a a ... a a a  i j i j i j n 1 2 i n  i 1 i 2  

4. W³asnoœci grup symetrycznych

25

Wówczas

a j a2 ... a j a n   a1 a2 ... an   a j a1   PaiPaj =   ai a j a ai a j a ... ai a j a n   a j a a j a ... a j an  1 2 1 2    a2 an  ...  a1  =P . =  aiaj  ai a j a ai a j a ... ai a j an  1 2   Stwierdzenie. Grupa S3 szeœcioelementowa ma podgrupê trzyelementow¹ {e, (123), (321)}, która jest izomorficzna z ka¿d¹ grup¹ rzêdu n = 3. Stwierdzenie. Grupa S4 dwudziestoczteroelementowa ma podgrupy izomorficzne z czterogrup¹ i z czteroelementow¹ grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD 1. Dla elementów czterogrupy G = {e, a, b, c} zachodz¹ relacje: a2 = b2 = c2 = e, ab = c, bc = a, ca = b. Elementy grupy S4 nale¿y wybraæ w postaci

e a b c , P = Pe =  a  e a b c  

e a b c    a e c b  , Pb =  

e a b c    b c e a  , Pc =  

e a b c    c b a e ,  

wprowadzaj¹c cykle zamkniête wyra¿a siê je nastêpuj¹co: Pe = e, Pa = (e a)(b c),

Pb = (e b)(a c),

Pc = (e c)(a b),

zatem szukany podzbiór grupy S4 jest postaci {Pe, Pa, Pb, Pc} = {e, (e a)(b c), (e b)(a c), (e c)(a b)}. Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych Pab = PaPb = Pc, wykorzystuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli, np.: PaPb = (e a)(b c) (e b)(a c) = (otrzymuj¹c po przekszta³ceniach) = (e c)(a b) = Pc. PRZYK£AD 2. Dla czteroelementowej grupy cyklicznej G = {e, a, b = a2, c = a3}, gdzie a4 = e, elementy grupy S4 nale¿y wybraæ w postaci

e a b c  e a b c e a b c  , Pa =   , Pb =   , Pc = Pe =  e a b c  a b c e b c e a       wówczas odpowiadaj¹ im nastêpuj¹ce cykle: Pe = e, Pa = (e a b c), Pb = (e b)(a c), Pc = (e c b a)

e a b c   c b a e  

26

4. W³asnoœci grup symetrycznych

Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych, ponownie wykorzystuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli. Stwierdzenie. Permutacja na n-elementach daje siê przedstawiæ w formie cykli o d³ugoœciach 1, 2, 3, 4, ... lub n. Stwierdzenie. Permutacje wystêpuj¹ce w dowodzie twierdzenia Cayleya nie pozostawiaj¹ ¿adnego elementu permutowanego zbioru na swoim miejscu z wyj¹tkiem permutacji to¿samoœciowej Pe.

Podgrupy regularne i ich w³asnoœci Definicja – Podgrupa regularna Podgrupa grupy Sn nazywa siê podgrup¹ regularn¹, je¿eli jej ka¿dy element, z wyj¹tkiem elementu Pe, przestawia wszystkie elementy permutowanego zbioru. Na przyk³ad

1 2 3 4  jest permutacj¹ regularn¹, a  2 3 4 1  

1 2 3 4   nie jest permutacj¹ regularn¹.  1 2 4 3   

Stwierdzenie. Podgrupa Sn izomorficzna z grup¹ n-elementow¹ jest podgrup¹ regularn¹, co wynika z konstrukcji dowodu twierdzenia Cayleya, gdy¿ gdyby permutacja

a2 ... an   a1  pozostawia³a jakiœ element na swoim miejscu, wówczas Pai =   a a a a ... a a  i n  i 1 i 2 np. aj = aiaj, ale st¹d wynika, ¿e ai = e, wiêc sprzecznoœæ. LEMAT. W podgrupie regularnej permutacji ¿adne dwa elementy podgrupy nie przekszta³caj¹ danego elementu zbioru w inny, ale taki sam element.

1

1

2

2 4 3

5

3 5

4

Rysunek. Przyk³ad przekszta³cania zbioru piêcioelementowego przez permutacjê regularn¹

4. W³asnoœci grup symetrycznych

27

D o w ó d . Nie wprost Niech p1, p2 (p1 ≠ p2) s¹ ró¿nymi permutacjami pewnej podgrupy regularnej R. Przyjmuj¹c, ¿e dzia³aj¹ one tak na pewien element a, ¿e p1a = b oraz p2a = b, z faktów, ¿e p1, p2 ∈ R oraz p1–1 ∈ R, wynika, ¿e p2 p1–1b = b, czyli ¿e permutacja regularna p2 p1–1 pozostawia element b na swoim miejscu, a zatem p2 p1–1 = e, a st¹d p2 = p1, co stanowi sprzecznoœæ. a1 , a 2 , ..., al ) l = e LEMAT. Cykl (a1, a2, ..., al) o d³ugoœci l musi spe³niaæ to¿samoœæ: (1 4 4244 3 l

oraz zachodzi relacja, ¿e (a1 , a 2 , ..., al ) l ' ≠ e gdy l’ < l. 14 4244 3 l

LEMAT. Je¿eli element podgrupy regularnej da siê roz³o¿yæ na cykle roz³¹czne, to cykle te musz¹ mieæ tê sam¹ d³ugoœæ. Dowód. Niech cykl p = ( a1 ,..., al1 ) ( al1 +1 ,..., al1 +l2 ) , gdzie l = l1 + l 2 oraz l1 < l 2 wówczas l1

l2

l

 1 p = (a1 ,..., al1 ) (al1 +1 ,..., al1 +l2 )  = (a1 ,..., al1 ) l1 (al1 +1 ,..., al1 +l2 ) l1 =e ( al1 +1 ,..., al1 + l2 ) l1   l1 l2 l1 l2 l2 l1

a zatem elementy a1 ,..., al1 nie ulegaj¹ przestawieniu, podczas gdy elementy al1 +1 ,..., al1 +l2 ulegaj¹ przestawieniu, czyli zachodzi sprzecznoœæ z podstawowymi w³asnoœciami elementów podgrupy regularnej R, gdy¿ p ∈ R ⇒ p l1 ∈ R , a permutacja p l1 nie przestawia ¿adnego z elementów a1 ,..., al1 . Stwierdzenie. Cykl o d³ugoœci l umo¿liwia utworzenie podgrupy cyklicznej rzêdu l j l o elementach p1 = (a1 ,..., al ) , p j = ( a1 ,..., al ) oraz pl = (a1 ,..., al ) = e l

l

l

TWIERDZENIE. Ka¿da grupa G rzêdu n jest grup¹ cykliczn¹, je¿eli n jest liczb¹ pierwsz¹. Dowód Grupa G jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ regularn¹ R grupy Sn. Podgrupa R zawiera jedynie elementy, które stanowi¹ jeden cykl d³ugoœci n, gdy¿ n jest liczb¹ pierwsz¹, a elementy podgrupy R mog¹ byæ podzielne wy³¹cznie na cykle roz³¹czne o jednakowej d³ugoœci oraz element jednostkowy e, który jest iloczynem n cykli o d³ugoœci 1. Niech ponadto R = {p1 = e, p2, p3, ..., pn}. Dowolny element p ∈ R, ró¿ny od e, odpowiada pewnemu cyklowi o d³ugoœci n, co pozwala wygenerowaæ podgrupê cykliczn¹ R1 = {p, p2, p3, ..., pn} = e} zawieraj¹c¹ n elementów.

28

4. W³asnoœci grup symetrycznych

Poniewa¿ p ∈ R , wiêc p i ∈ R , czyli R1 ⊂ R . Ale rz¹d grupy R1 wynosi n, zatem podgrupy R1 i R maj¹ jednakow¹ liczbê elementów oraz wszystkie elementy podgrupy R1 nale¿¹ do R. Wynika st¹d, ¿e R1 = R oraz R jest grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD Dowolna grupa trzeciego rzêdu jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ R grupy S3, która zawiera 6 elementów. T¹ podgrup¹ jest R = {e, (123), (321)}, która jest cykliczna, gdy¿ R = {(123), (123)2, (123)3} = {(123), (321), e}. Stwierdzenie. Dla du¿ych n liczba ró¿nych mo¿liwych grup jest na ogó³ du¿a, ale gdy n jest liczb¹ pierwsz¹, wóczas istnieje tylko jedna mo¿liwoœæ utworzenia grupy i jest to grupa cykliczna. Stwierdzenie. Gdy rz¹d grupy jest liczb¹ pierwsz¹, wówczas ka¿dy element p grupy, z wyj¹tkiem e, generuje ca³¹ grupê G = {p, p2, p3,..., pn = e} i jest rzêdu n oraz pk ≠ e, gdy k < n. Definicja – Grupa alternuj¹ca Wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego tworz¹ podgrupê An ⊂ S n , która jest rzêdu n!/2. Jest to tzw. grupa alternuj¹ca. PRZYK£AD Grupa S 3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} i podgrupa permutacji parzystych – grupa alternuj¹ca A3 = {e, (123), (321)}.

29

5. GRUPY KLASYCZNE Grupy symetrii, grupy punktowe, grupy klasyczne, grupy ortogonalne, unitarne, specjalne ortogonalne, specjalne unitarne (unimodularne), parametry grupy, grupy nakrywaj¹ce, przyk³ady Definicja – Grupa symetrii Grupa symetrii to zbiór przekszta³ceñ symetrii wraz z operacj¹ superpozycji. Definicja – Grupy punktowe Grupy symetrii skoñczonego rzêdu, w których przy przekszta³ceniach symetrii zachowuje siê jeden niezmieniony punkt, nazywamy grupami punktowymi. Definicja – Grupy klasyczne W grupach (nieskoñczonego rzêdu) przekszta³ceñ przestrzeni afinicznych, euklidesowych, oraz unitarnych, podgrupy pozostawiaj¹ce niezmieniony jeden ustalony punkt (np. pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych) nazywamy grupami klasycznymi. Definicja – Macierz nieosobliwa Macierz kwadratowa n×n nad cia³em liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C, nieosobliwa jest oznaczana odpowiednio jako Mn(R), gdzie mij ∈ R i det Mn(R) ≠ 0 lub Mn(C), gdzie mij ∈ C i det Mn(C) ≠ 0. Definicja – Ogólna grupa liniowa Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. ogóln¹ grupê liniow¹ GL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub GL(n,C) nad cia³em liczb zespolonych. Stwierdzenie. Warunek det Mn(R) ≠ 0 lub det Mn(C) ≠ 0 zapewnia istnienie macierzy odwrotnych Mn–1(R) lub Mn–1(C), które stanowi¹ elementy odwrotne grupy. Element jednostkowy grupy przyjmuje postaæ:

30

5. Grupy klasyczne

1 0 L 0   0 0 1 E=  O M M   0 0 L 1 czyli E jest macierz¹ jednostkow¹ n×n. Ponadto spe³nione s¹ relacje Mn(R)·Mn(R)–1 = Mn(R)–1·Mn(R) = E lub Mn(C)·Mn(C)–1 = Mn(C)–1·Mn(C) = E. Definicja – Specjalna grupa liniowa Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. specjaln¹ grupê liniow¹ SL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub SL(n,C) nad cia³em liczb zespolonych, gdy macierze Mn(R) lub odpowiednio Mn(C) s¹ unimodularne, tj. det Mn(R) = 1 lub det Mn(C) = 1. Stwierdzenie. Dla obu rozwa¿anych grup, gdy ograniczyæ cia³o liczb, powstaj¹ podgrupy, np.:

SL (n, R ) → SL (n, Q ) → SL (n, Z ) → E (n)

GL(n, R) → GL (n, Q )

gdzie: Q – liczby wymierne, Z – liczby ca³kowite. Definicja – Grupa ortogonalna Grupa ortogonalna lub grupa macierzy ortogonalnych O(n) jest postaci:

{

O (n) = A ∈ {M n ( R )} oraz A ⋅ AT = AT ⋅ A = E

}

Definicja – Grupa specjalna ortogonalna Grupa specjalna ortogonalna lub grupa specjalna macierzy ortogonalnych SO(n) jest postaci:

SO (n) = {A ∈ O( n) oraz det A = 1} Definicja – Grupa unitarna Grupa unitarna lub grupa macierzy unitarnych U(n) jest postaci:

{

}

U (n) = A ∈ {M n (C )} oraz A ⋅ A + = A + ⋅ A = E , gdzie A+ = (A*)T

5. Grupy klasyczne

31

Definicja – Grupa specjalna unitarna Grupa specjalna unitarna lub grupa specjalna macierzy unitarnych SU(n) jest postaci:

SU (n) = {A ∈ U ( n) oraz det A = 1} Stwierdzenie. Dla dowolnych macierzy kwadratowych Mn i M n' zachodzi relacja: det (Mn · Mn') = det Mn· det Mn'. Wynika st¹d, ¿e dla macierzy ortogonalnych A ∈ O(n) det (A·AT) = det A · det AT = (det A)2 = 1, a wiêc det A = ±1 . Przyk³ady. O(1) = {[+1], [–1]} – grupa dwuelementowa, SO(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa, U(1) = {[eiϕ], 0 ≤ ϕ < 2π} – grupa nieskoñczonego rzêdu, SU(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa, gdy¿ eiϕ = 1 dla ϕ = 0,

cos ϕ − sin ϕ   SO (2) =  , 0 ≤ ϕ < 2π  – grupa nieskoñczonego rzêdu cos ϕ  sin ϕ  Stwierdzenie. Jednoelementowe grupy SO(1) i SU(1) s¹ izomorficzne. Elementem tych grup jest macierz 1×1 postaci: [+1]. Stwierdzenie. Grupy SU(1) i SO(2) to jednoparametrowe grupy nieskoñczonego rzêdu i s¹ izomorficzne.

cos ϕ   sin ϕ

− sin ϕ  izomorfizm → e iϕ  ←   cos ϕ 

[ ]

Stwierdzenie. Ka¿dy element A grupy SO(3) przekszta³ceñ izometrycznych w³aœciwych jest obrotem w przestrzeni trzywymiarowej dooko³a pewnej nieruchomej osi i daje siê sparametryzowaæ przez k¹ty Eulera ϕ, ψ i ϑ, gdzie 0 ≤ ϕ ,ψ < 2π oraz 0 ≤ ϑ ≤ π , nastêpuj¹co: A = Bϕ ⋅ Cϑ ⋅ Bψ , gdzie macierze

0 0  cos ϕ − sin ϕ 0 1     Bϕ =  sin ϕ cos ϕ 0 i Cϑ = 0 cos ϑ − sin ϑ      0 1  0 0 sin ϑ cos ϑ 

32

5. Grupy klasyczne

okreœlaj¹ odpowiednio obrót wokó³ osi OZ i wokó³ osi OX. Stwierdzenie. Ka¿dy element G grupy SU(2) daje siê wyraziæ w nastêpuj¹cy sposób:

α β  G ∈ SU ( 2), wiêc G =   , gdzie α , β , γ , δ ∈ C γ δ  α G+ =   β

γ  oraz det G = 1, δ 

zatem

δ G −1 =  − γ

− β  α 

 α β , co powoduje, ¿e G =   oraz β = −γ − β = γ − β α  2 2 det G = α + β = 1 . St¹d wynika, ¿e elementy macierzy α = α1 + iα 2 i β = β 1 + iβ 2 musz¹ spe³niaæ równoœæ: Poniewa¿ G + = G −1 , wiêc

α =δ

α =δ

α12 + α 22 + β12 + β 22 = 1 . Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest topologiczne równowa¿na, czyli homeomorficzna ze stref¹ trójwymiarow¹ S3 w czterowymiarowej przestrzeni R4. Stwierdzenie. Ka¿da macierz G ∈ SU(2) daje siê zapisaæ w postaci: ϕ +ψ  ϑ  i 2  cos  e 2 G (ϕ ,ϑ ,ψ ) ≡ bϕ cϑ bψ =  ϕ −ψ  −i ϑ   i sin   e 2  2

ϕ −ψ

ϑ  i i sin   e 2 2 ϕ +ψ  ϑ  −i 2 cos  e 2

  iϕ  2  , gdzie bϕ = e    0  

 ϑ   ϑ   cos 2  i sin  2    ϑ  ϑ  1 cϑ =    i sin  ϑ  cos ϑ   , α = cos 2  , argα = (ϕ + ψ ) , β = sin  2  2      2  2  

 0  ϕ −i  e 2 

5. Grupy klasyczne

arg β =

33

1 (ϕ + ψ + π ) oraz 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ ϑ ≤ π , − 2π ≤ ψ < 2π 2

Macierze G mo¿na wybraæ tak¿e w postaci

 cosϑ ′ ⋅ eiϕ ′ G= i sin ϑ ′ ⋅ e −iψ ′

i sin ϑ ′ ⋅ e iψ ′   cosϑ ′ ⋅ e −iϕ ′ 

przyjmuj¹c, ¿e 0 ≤ ϕ', ψ', ϑ' < 2π. W obu przypadkach det G = 1. Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest grup¹ nakrywaj¹c¹ dla grupy SO(3). Grupa SU(2) to grupa obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych (obrót + inwersja) w przestrzeni trójwymiarowej R3. Stwierdzenie. Grupa SO(3) jest obrazem homomorficznym grupy SU(2) przy homomorfizmie Φ: SU(2) → SO(3) z j¹drem homomorfizmu Ker Φ = {± E }. Stwierdzenie. Istnieje monomorfim grupy SO(3) w grupê SU(2), gdy¿ SO(3) jest podgrup¹ obrotów w³aœciwych w grupie SU(2) obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych. Stwierdzenie. Obroty niew³aœciwe, a w szczególnoœci inwersje, to przekszta³cenia ortogonalne, dla których wyznacznik macierzy przekszta³cenia A, det A = –1. W przestrzeni dwuwymiarowej inwersj¹ jest np. zamiana wspó³rzêdnych x → –x, y → y, wówczas

 −1 A =  0

0  oraz det A = –1. 1  y→y

x → –x

Rysunek. Inwersja w p³aszczyŸnie, np. x → –x oraz y → y

34

6. OGÓLNE W£ASNOŒCI GRUP Warstwy lewostronne i prawostronne, twierdzenie Lagrange’a, przyk³ady dla grup symetrycznych, relacja sprzê¿enia i jej w³asnoœci, klasy równowa¿noœci, wydzielanie klas równowa¿noœci, przyk³ady Definicja – Warstwy Niech A = {a1, a2, ..., am} bêdzie podgrup¹ grupy G. Rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G odpowiednio n oraz m < n. Ponadto niech b ∈ G i b ∉ A , wówczas ci¹g elementów {ba1, ba2, ..., bam} tworzy tzw. warstwê lewostronn¹ podgrupy A oznaczan¹ bA, a ci¹g elementów {a1b, a2b, ..., amb} tworzy warstwê prawostronn¹ oznaczan¹ Ab. Stwierdzenie. Warstwa nie jest podgrup¹, gdy¿ nie zawiera elementu jednostkowego e. D o w ó d . Nie wprost Niech e ∈ bA ⇒ e = bai ⇒ b = ai−1 ale ai ∈ A ⇒ ai−1 ∈ A ⇒ b ∈ A , a wiêc zachodzi sprzecznoœæ, gdy¿ z za³o¿enia b ∉ A. Stwierdzenie. Warstwa nie zawiera ¿adnego elementu nale¿¹cego do podgrupy A. D o w ó d . Nie wprost − − Niech ai ∈ A i ai ∈ bA ⇒ ai = ba j ⇒ b = ai a j 1 , ale ai a j 1 ∈ A, czyli b ∈ A , a wiêc sprzecznoœæ. LEMAT. Dwie warstwy lewostronne (prawostronne) podgrupy A albo maj¹ wszystkie elementy wspólne, albo nie zawieraj¹ ¿adnego wspólnego elementu. Dowód Niech xA i yA s¹ warstwami podgrupy A = {a 1, a2, ..., a m}. Gdy warstwy xA = {xa1 , xa2 ,..., xam } i yA = {xy1 , ya2 ,..., yam } maj¹ wspólny element, wówczas

6. Ogólne w³asnoœci grup

35

xai = yaj, gdzie ai , a j ∈ A oraz xai ∈ xA , ya j ∈ yA . Poniewa¿ y −1 x = a j ai −1 ∈ A , wiêc ci¹g y −1 xa1 , y −1 xa2 ,..., y −1 xam = A , ale wówczas

{

}

 −1  −1 −1 yA = { yy xa1 , { yy xa 2 ,..., { yy xa m  = {xa1 , xa 2 ,..., xa m } = xA , czyli yA=xA  e  e e Je¿eli zatem dwie warstwy maj¹ jeden wspólny element, to ich wszystkie elementy s¹ wspólne. Stwierdzenie. Podgrupa A i jej warstwy s¹ równoliczne. D o w ó d . Nie wprost A={a1, ..., am} oraz xA = {xa1, …, xam}. Gdyby warstwa zawiera³a mniej elementów ni¿ podgrupa A, wówczas xai = xaj, ale to implikuje, ¿e ai = aj, czyli powstaje sprzecznoœæ. TWIERDZENIE LAGRANGE’A Rz¹d grupy G jest ca³kowit¹ wielokrotnoœci¹ rzêdu jej dowolnej podgrupy. Dowód Niech podgrupa A ⊂ G i rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G – n oraz n