Supernovae Ia

Supernovae Ia Felix Stadler, Michael Kogan 4. April 2011

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit soll einen Überblick zu Supernovae des Typs Ia bieten. Dies umfasst die Klassifikation der Supernovae, Weiße Zwerge als mögliche Vorläufersterne und in diesem Zusammenhang eine Herleitung der Chandrasekhar-Grenzmasse. Weiterhin werden infrage kommende Vorläufersysteme und Explosionsmodelle vorgestellt. Eine genauere Betrachtung soll zudem der Anwendung der Supernovae des Typs Ia als Standardkerzen in der Kosmologie gewidmet werden.

Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung

3

1 Weiße Zwerge 1.1 Weiße Zwerge als Vorläufer der SNIa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Degeneriertes Elektronengas und die Chandrasekhar-Grenzmasse . . . . . . . . .

5 5 5

2 Vorläufersysteme 12 2.1 Double Degenerate Scenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Single Degenerate Scenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Sub-Chandrasekhar-Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Explosion 14 3.1 Explosionsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Fusionierte Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Überreste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Anwendung in der Kosmologie 4.1 Theoretischer Hintergrund – einige Parameter in der Kosmologie 4.2 Die Helligkeitsdistanz-Rotverschiebung-Beziehung . . . . . . . . 4.3 Messmethoden und Korrekturen bei der Helligkeitsbestimmung . 4.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ausblick

. . . .

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17 17 22 25 29 30

0

Einleitung

Der Begriff „Supernova“ wurde von dem Schweizer Astronomen Fritz Zwicky geprägt und ist eine Steigerung der auf Tyho Brahe zurückgehenden Bezeichnung „Nova“ für, wie man damals dachte, einen neuen Stern. Er bezeichnete ursprünglich eine Unterklasse von besonders hellen Novae, heute ist jedoch bekannt, dass es sich hierbei um zwei vollkommen unterschiedliche Phänomene handelt. Bei beiden handelt es sich zwar um die Explosion eines Sterns, jedoch werden bei einer Nova nur die äußeren Hüllen des Sterns abgestoßen, während die Supernova eine vollständige Zerstörung des Vorgängersterns darstellt. Die Benennung der Supernovae folgt dem Schema „SN“ für „Supernova“ , Entdeckungsjahr und ein großer oder zwei kleine Buchstaben, die die im Verlauf des Jahres entdeckten Supernovae chronologisch anordnen, wobei die Kombinationen aus zwei Buchstaben verwendet werden, wenn bereits alle Einzelbuchstaben vergeben sind. So trägt die erste im Jahre 2011 entdeckte Supernova die Bezeichnung „SN2011A“ und die 28. „SN2011ab“. Es gibt Indizien, die auf zwölftausend Jahre zurückliegende Beobachtungen von Supernovae hinweisen, die erste dokumentierte Supernova wurde jedoch 185 n. Chr. von chinesischen Beobachtern entdeckt. Sie war über einen Zeitraum von acht Monaten mit bloßem Auge sichtbar und ihr mutmaßlicher Überrest trägt die Bezeichnung RCW 86 [Vin]. Weitere bedeutende historische Supernovae sind die Brahesche Supernova von 1572 sowie die Keplersche Supernova von 1604. Die wohl bedeuntendste Supernova der Neuzeit ist die relativ erdnahe SN1987A (Große Magellanische Wolke), deren Lichtkurve erstmals vollständig und in allen Spektralbereichen vermessen werden konnte. Dank technischer Entwicklungen stieg die Anzahl der jährlich beobachteten Supernovae im letzten Jahrzehnt auf einige hundert Exemplare mit einem vorläufigen Maximum von 573 Exemplaren im Jahre 2007. Zum Zeitpunkt des Verfassens wurden insgesamt deutlich über fünftausend Supernovae beobachtet [CBAT]. Abschätzungen zufolge beläuft sich die Häufigkeit der Supernovaexplosionen in der Milchstraße auf ein Exemplar in 40 ± 10 Jahren, davon ca. 15% vom hier behandelten Typ Ia [Tam]. Tatsächlich liegt die jungste bekannte Supernova in unserer Galaxis schon 140 Jahre zurück [Nas], eine Beobachtung ist also schon seit geraumer Zeit überfällig. Seit Minkowski (1941) werden Supernovae in zwei Hauptklassen unterteilt: Spektren von Typ-I-Supernovae zeichnen sich durch die Abwesenheit von Wasserstofflinien aus, während Spektren von Typ-II-Supernovae diese beinhalten. Außerdem sind die Lichtkurven von Typ-I-Supernovae außerordentlich homogen, während Typ-II-Lichtkurven eine hohe Varianz aufweisen [Sil]. Weiterhin relevant für diese Arbeit ist eine Unterteilung des Typs I in die Untertypen Ia, Ib und Ic, es existiert aber auch eine Unterteilung des Typs II in die Untertypen IIL, IIP und IIn anhand Abbildung 1: Klassifikation der Supernovae [Cap] der Lichtkurvenform, auf die hier allerdings nicht näher eingegangen werden soll. Spektren des Typs Ia enthalten eine ausgeprägte SiII-Linie bei 6150Å, während diese in den Spektren der anderen zwei Untertypen fehlen, welche sich wiederum durch das Vorhan-

3

densein (Typ Ib) bzw. Nichtvorhandensein (Typ Ic) der HeI-Linie unterscheiden (siehe Abbildung 1. Des Weiteren ist in den Lichtkurven von TypIa-Supernovae ein zweites Maximum im roten und insbesondere im infraroten Bereich zu beobachten [Kas]. Die Standardmodelle für Supernovae der Typen Ib, Ic und II gehen von einem Kernkollaps aus, wohingegen für Supernovae des Typs Ia (im Folgenden SNIa) eine thermonukleare Explosion angenommen wird [Tur]. Charakteristische Lichtkurven und Spektren von Supernovae unterschiedlicher Typen sind in den Abbildungen 2 und 3 dargestellt. Abbildung 2: Lichtkurven unterschiedlicher SN-Typen [WhH]

Abbildung 3: Spektren unterschiedlicher SN-Typen [WhB] 4

1

Weiße Zwerge

Als Weiße Zwerge werden kompakte Objekte mit typischen Durchmessern von 10 000 km und Massen um 0,6 Sonnenmassen bezeichnet, ihre Dichten sind also außerordentlich hoch. Sie entstehen als Kerne von leichten und mittelschweren Sternen mit Massen von unter 8 bis 9 Sonnenmassen und bestehen zumeist aus C und O, es existieren jedoch auch sog. O-Ne-Mg Weiße Zwerge - abhängig davon, ob die Masse des Vorläufersterns und damit die Temperatur in dessen Inneren ausreichend hoch ist, um den Kohlenstoff zur Fusion zu bringen [Car].

1.1

Weiße Zwerge als Vorläufer der SNIa

Weiße Zwerge aus Kohlenstoff und Sauerstoff gelten als mit Abstand wahrscheinlichste Kanditaten für SNIa-Vorläufer. Dies rührt daher, dass die sehr spezifischen Eigenschaften einer SNIa nur wenige Optionen zulassen, von denen Weiße Zwerge bei Einbeziehung möglicher Explosionsmodelle die wenigsten Probleme aufwerfen. So war es bisher bei keiner SNIa möglich, einen direkten Vorläufer zu beobachten, was auf ein Objekt von geringer Helligkeit hindeutet. Die für das Spektrum charakteristische Abwesenheit der im Universum häufigsten Elemente, Wasserstoff und Helium, die nur bei einem Anteil derselben von weniger als 0,1 Sonnenmassen möglich ist, begrenzt die Auswahl auf eine in der Sternevolution weit fortgeschrittene Vorgängerklasse. Ein weiteres Argument hierfür ist möglicherweise die Seltenheit der Supernovae, die auf seltene, also üblicherweise weit fortgeschrittene Objekte oder aber anderweitig strenge Kriterien wie etwa die Notwenigkeit eines Begleitersterns schließen lässt. SNeIa treten nicht nur in jungen, sondern auch in alten Galaxien auf, was massereiche Sterne als Vorläufer ausschließt. Zudem verlangen die homogenen Messwerte nach einer homogenen Vorgängerklasse, was auf Weiße Zwerge mit dem Chandrasekhar-Grenzmassenmodell zweifellos zutrifft. [Lei, Hil] Die Si-II-Linien im Spektrum liefern Hinweise auf eine nukleare Fusion bei nachfolgender Explosion des Objekts, weiterhin stimmen die berechneten Ausstoßgeschwindigkeiten der Materie von durchschnittlich 5000 km/s mit Spitzengeschwindigkeiten bis zu 20 000 km/s mit der Fusion von etwa einer Sonnenmasse Kohlenstoff und Sauerstoff zu sogenannten „Intermediate (Mass) Elements“ wie Silizium überein. Die Leuchtkurvenform passt qualitativ zum Verlauf des radioaktiven Zerfalls von 56 Ni über 56 Co zu 56 Fe und das kurze Leuchtmaximum und der schnelle Abfall der Kurve weisen auf eine geringe Austoßmasse und damit auf ein kompaktes Objekt hin. Alternativen zum C+O Weißen Zwerg, etwa der He Weiße Zwerg, scheiden wegen zu starker Explosionsverläufe oder anderer Widersprüche aus. Somit verbleiben nach dem derzeitigen Kenntnisstand einzig die C+O Weißen Zwerge als realistische Vorläuferklasse. [Lei, Hil]

1.2

Degeneriertes Elektronengas und die Chandrasekhar-Grenzmasse

Betrachten wir nun die Physik der Materie im Inneren eines Weißen Zwerges. Qualitativ lässt sich ihr Zustand folgendermaßen beschreiben: Nachdem ein mittelschwerer Stern der Hauptreihe seinen gesamten Wasserstoff über Helium zu Kohlenstoff und Sauerstoff verbrannt hat, endet das thermonukleare Brennen und der Stern beginnt zu kollabieren, da Temperatur und Druck in seinem Inneren durch das Aussetzen der Kernfusion rapide sinken. Ist der Stern nicht massiv genug, um die nächste Stufe der Kernfusion zu zünden, kommt ein anderer Mechanismus ins Spiel, der den Sternkollaps stoppt. Es handelt sich um den Gegendruck der Elektronen, die auf einmal auf ein sehr kleines Volumen zusammengedrängt wurden und deswegen als Folge der Heisenberg’schen Unschärferelation sowie des Pauli’schen Ausschließungsprimzips einen hohen Druck ausüben. Materie, deren innerer Druck nur durch diesen quantenmechanischen Effekt zustande kommt, wird als degeneriert bezeichnet. Im Falle eines Weißen Zwerges sind die Elektronen degeneriert, 5

während die C- und O-Kerne sich eher wie ein ideales Gas beschreiben lassen. Eine exaktere Definition von Degeneration ist: Materie ist dann vollständig degeneriert, wenn alle Teilchen die niedrigstmöglichen Zustände einnehmen, die bei Nichtverletzung von Pauli’s Ausschließungsprinzips möglich sind, die Temperatur der Teilchen also genau T = 0 K beträgt [Car]. Da ein solcher idealisierter Zustand in der Realität nie erreicht werden kann, spricht man aber schon von degenerierter Materie, wenn ein erheblicher Teil aller Teilchen die niedrigsten Zustände einnehmen, die Temperatur also leicht über 0 K liegt. Betrachten wir nun ein kubisches Volumen V = L3 , in dem sich N Teilchen aufhalten. Da die Anzahl der Teilchen endlich ist und sie im Falle der vollständigen Degeneration nur die niedrigsten Energie-Niveaus einnehmen, müssen eine gewisse maximale Energie sowie ein maximaler Impuls existieren, die gerade vom Teilchen mit dem höchsten Energie-Niveau eingenommen werden. Letzteren werden wir nach [Fey] berechnen, um dann mit dessen Hilfe auf eine Masse-Radius-Beziehung für Weiße Zwerge zu kommen (Herleitung nach [Gar]). Dafür drücken wir zunächst die Anzahl der besetzten Zustände durch diesen maximalen Impuls im Zustand der höchsten Energie aus, den sogenannten Fermi-Impuls. Betrachten wir dafür zunächst einen eindimensionalen „Kasten“, also einen unendlichen Potentialtopf der Breite L. Aus den Stetigkeitsbedingungen der Wellenfunktion eines Teilchens an den Topfwänden folgt, dass L ein ganzes Vielfaches einer halben Wellenlänge λ sein muss, es gilt also λj 2 mit einer natürlichen Zahl j oder mit der Wellenzahl k, die durch L=j

k≡

2π λ

(1.1)

(1.2)

definiert ist:

2π jπ = (1.3) λj L Zwischen zwei benachbarten Wellenzahlen kj und kj+1 liegt im Wellenzahl-Raum der Abstand π (1.4) δk = kj+1 − kj = L also ist die Anzahl der Zustände dN in einem kleinen Intervall dk gegeben durch kj =

dN =

L dk = dk δk π

(1.5)

Nun ist k so definiert, dass es nur positive Werte annehmen kann (denn λ ist immer positiv). Wir möchten aber, dass k auch negative Werte annehmen kann, das entspricht physikalisch zwei in entgegengesetzte Richtungen laufenden Wellen mit denn Wellenzahlen ±k für jedes |k|. Da sich die Anzahl der Zustände durch diese Neudefinition nicht ändern soll, gilt für das so definierte k L dN = dk (1.6) 2π Kehren wir wieder zum dreidimensionalen Fall zurück. Die Wellenzahl k eines Zustandes in einem dreidimensionalen Volumen ist gegeben durch   kx  k = ky  (1.7) kz wobei für die Komponenten kx , ky und kz von k alle Überlegungen und Einschränkungen aus dem eindimensionalen Fall gelten. Da abseits der obigen Einschränkungen aber alle Kombinationen von kx , ky und kz möglich sind, ergibt sich die Anzahl der Zustände, deren kx -Komponente 6

im Intervall dkx liegt und Analoges auch für die anderen beiden Komponenten gilt, als Produkt der Zustandszahlen im Eindimensionalen:  3 L dkx dky dkz (1.8) dN (k) = 2π Das Dreifachdifferential dkx dky dkz lässt sich nun als Volumendifferential im dreidimensionalen Wellenzahl-Raum interpretieren und mit k = |k| in Kugelkoordinaten umparametrisieren: dkx dky dkz = d3 k = 4πk 2 dk

(1.9)

Damit wird aus (1.8) dN (k) =

4πV k 2 dk (2π)3

(1.10)

oder mit p ≡ k~

(1.11)

als Definition des Impulses: dN (p) =

4πV p2 dp (2π~)3

(1.12)

Nun haben wir bei den obigen Überlegungen nicht berücksichtigt, dass jedes Elektron zwei Spin-Zustände annehmen kann, also muss die Anzahl der Zustände verdoppelt werden: dN (p) =

V p2 dp 2 · 4πV p2 dp = (2π~)3 π 2 ~3

(1.13)

Integrieren wir das Ergebnis nun von 0 bis zum gesuchten maximalen Impuls pmax , dann erhalten wir die Anzahl aller besetzten Zustände N : Z Z pmax V p2 V p3max dp = (1.14) N = dN = π 2 ~3 3π 2 ~3 0 Lösen wir noch nach pmax auf, dann haben wir umgekehrt den maximalen Impuls durch die Anzahl der Elektronen N ausgedrückt: r r 2 3 2 3 3π N 3 3π ~ N =~ (1.15) pmax = V V Da die Dichte ρ der Teilchen sich im Folgenden als leichter zu handhaben herausstellen wird als ihre Anzahl, drücken wir pmax durch sie aus. Dabei benutzen wir, dass der Weiße Zwerg elektrisch neutral ist, also genauso viele Protonen wie Elektronen hat: NP = N . Die Anzahl der Neutronen hingegen ergibt sich als NN =

A−Z NP Z

(1.16)

wobei A für die Anzahl der Nukleonen steht, während Z die Kernladungszahl, also die Anzahl der Protonen angibt. Insgesamt gibt es also NK = NP + NN = NP +

A−Z A A NP = NP = N Z Z Z

(1.17)

Kernteilchen. Die Masse eines Kernteilchens ist mH , die Masse der Elektronen können wir vernachlässigen und so ergibt sich für die durchschnittliche Dichte ρ: ρ=

M NK mH A N mH = = V V Z V 7

oder

N Z ρ = V A mH

(1.18)

Für pmax ergibt sich also: r pmax = ~

3

r 3π 2 N Z ρ = ~ 3 3π 2 V A mH

(1.19)

Wir können außerdem Gleichung (1.13) benutzen, um die gesamte innere Energie aller Teilchen zu berechnen. Die Energie dU (p) aller Teilchen, die den Impuls p besitzen, ergibt sich als Produkt der Energie eines solchen Teilchens mit der Anzahl der Teilchen: ε(p)V p2 dp dU (p) = ε(p)dN (p) = π 2 ~3 Die gesamte Energie erhalten wir durch abermalige Integration von 0 bis pmax : Z pmax Z pmax ε(p)V p2 dp V U= ε(p)p2 dp = 2 3 2 ~3 π π ~ 0 0

(1.20)

(1.21)

Nun brauchen wir aber nicht die innere Energie der Elektronen, sondern den Druck, den sie der Gravitation entgegensetzen. Wir erhalten ihn aus der folgenden Gleichung der Thermodynamik: P =−

dU dV

(1.22)

Da das Integral in (1.17) nur von pmax abhängig ist, welches wiederum von V abhängt, müssen wir Produkt- und Kettenregel beim Differenzieren verwenden: Z pmax V 1 dpmax ε(p)p2 dp − 2 3 ε(pmax )p2max P =− 2 3 (1.23) π ~ 0 π ~ dV wobei wir beim Ableiten des Integrals verwendet haben, dass die untere Integrationsgrenze konstant ist. Berechnen wir noch die fehlende Ableitung im zweiten Summanden nach Gleichung (1.15) √ dpmax d −1/3 1 √ 1 pmax 3 3 = ~ 3π 2 N V = − ~ 3π 2 N V −4/3 = − (1.24) dV dV 3 3 V dann erhalten wir Z pmax 1 1 P =− 2 3 ε(p)p2 dp + 2 3 ε(pmax )p3max (1.25) π ~ 0 3π ~ Nun gehen wir die Sache von der Seite der Gravitation an. Betrachten wir ein infinitesimales Volumen im Abstand r vom Zentrum des Weißen Zwerges. Da die gravitative Wirkung der äußeren Materieschichten sich aufhebt, üben nur die Schichten, die sich näher am Zentrum befinden eine anziehende Kraft aus: Fi = −

GM (r)dM r2

(1.26)

M (r) ist dabei die Masse aller Schichten, die innerhalb einer Kugel mit Radius r um das Zentrum liegen, während dM die Masse des infinitesimalen Volumens dV ist mit dM = ρ(r)dV = ρ(r)Adr

(1.27)

Insgesamt erhalten wir also: GM (r)ρ(r)Adr (1.28) r2 Die Kraft nach außen wird von dem eben berechneten Druck erzeugt und ergibt sich als Differenz der nach außen wirkenden Kraft FP (r) und der ihr entgegengesetzten Kraft FP (r+dr). Fi = −

8

Wäre der Druck an beiden Stellen gleich, so würde er keine Netto-Kraft ausüben, in unserem Fall aber ergibt sich als Resultierende: Fa = FP (r) − FP (r + dr) = P (r)A − P (r + dr)A = −A

dP P (r + dr) − P (r) dr = −A dr (1.29) (r + dr) − r dr

Im Gleichgewicht müssen sich alle Kräfte zu Null summieren, also sind Fa und Fi gerade gegengleich GM (r)ρ(r)Adr dP dr = Fa = −Fi = −A (1.30) dr r2 und somit ergibt sich für den Druckgradient dP GM (r)ρ(r) =− dr r2

(1.31)

Nun haben wir den Druck aus der quantenmechanischen Betrachtung des Problems in Abhängigkeit vom Fermi-Impuls pmax erhalten, auf Seiten der Gravitation hängt er aber von der Masse, von der Dichte und vom Radius ab. Da die Dichte auch aus quantenmechanischer Sicht gut behandelt werden kann, wählen wir sie also als Verbindungsglied zwischen der Quantenmechanik und der Gravitation und schreiben GM (r)ρ(r) dP dρ =− dρ dr r2

(1.32)

da der Druck nur von der Dichte, nicht aber von der Temperatur abhängt (diese ist in unserem vereinfachten quantenmechanischen Modell sowieso überall sehr niedrig). Allerdings muss noch die Masse eliminiert werden. Für sie gilt: Z Z Z r 4πr02 ρ(r0 )dr0 (1.33) M (r) = dM = ρdV = 0

Um keine Integrale in der endgültigen Gleichung zu haben, differenzieren wir M einmal nach r: dM = 4πr2 ρ(r) (1.34) dr Nun müssen wir aber auch in (1.28) M (r) nach r ableiten, also lösen wir nach M auf M (r) = − und differenzieren:

r2 dP dρ Gρ(r) dρ dr

dM 1 d =− dr G dr



(1.35)

r2 dP dρ ρ(r) dρ dr

 (1.36)

Wir sind nun endlich in der Lage M zu eliminieren, indem wir (1.30) und (1.32) voneinander abziehen:  2  1 d r dP dρ 2 4πr ρ(r) + =0 (1.37) G dr ρ(r) dρ dr oder

1 d ρ(r) + 2 4πGr dr



r2 dP dρ ρ(r) dρ dr

 =0

(1.38)

Kehren wir nun wieder zur quantenmechanischen Seite des Problems zurück. Wir müssen einen Ausdruck für dP/dρ finden, den wir in die obige Gleichung einsetzen können. Verwenden

9

wir hierfür Gleichung (1.25). Da P in (1.25) aber lediglich von pmax abhängt, gehen wir nach der Kettenregel vor. Bestimmen wir also zunächst dpmax /dρ mithilfe von Gleichung (1.19): r r Z Z 1 −2/3 1 pmax dpmax 1 d ~ = ~ 3 3π 2 ρ1/3 = 3 3π 2 ρ = (1.39) dρ A mH dρ 3 A mH 3 ρ Nun leiten wir (1.25) nach pmax ab: dP 1 1 1 1 dε dε = − 2 3 ε(pmax )p2max + 2 3 ε(pmax )3p2max + 2 3 (pmax )p3max = 2 3 p3max (pmax ) dpmax π ~ 3π ~ 3π ~ dp 3π ~ dp (1.40) Insgesamt ergibt sich also dP dpmax 1 pmax 1 1 dε dP dε = = p3max (pmax ) = 2 3 p4max (pmax ) 2 3 dρ dpmax dρ 3 ρ 3π ~ dp 9π ~ ρ dp

(1.41)

Schließlich können wir noch (1.19) verwenden, um das Ergebnis durch ρ auszudrücken: dP 1 = 2 3 dρ 9π ~ ρ

r ~

3

Z ρ 3π 2 A mH

!4

dε · dp

r ~

3

Z ρ 3π 2 A mH

!

Nun können wir diesen Ausdruck in (1.38) einsetzen und erhalten  !4 !  r r 2 d r dρ  ~ Z ρ dε Z ρ 3 ~ 3 3π 2 =0 3π 2 · ρ+ 3 2 2 36π Gr dr ρ A mH dp A mH dr

(1.42)

(1.43)

Noch ist der Term dε/dp eine Unbekannte in der sich ergebenden Differentialgleichung für ρ. Wir können uns nun ansehen, was passiert, wenn wir den klassischen Ausdruck für ε εk (p) =

p2 2me

verwenden, aber auch das Ergebnis für den relativistischen Ausdruck p εr (p) = p2 c2 + m2e c4

(1.44)

(1.45)

betrachten. Leiten wir hierzu beide Varianten ab, dann erhalten wir: dεk p = dp me

und

dεr pc2 =p dp p2 c2 + m2e c4

Setzen wir dies in (1.43) ein, dann erhalten wir für den klassischen Fall:  !5  r 2 2 ~ d r Z ρ dρ  3 ρ+ 3π 2 =0 3 2 2 36π Gme r dr ρ A mH dr und für den relativistischen Fall:   ! r 5 r2 3 Z ρ 1 dρ  ~2 c2 d  2  =0 3π ρ+ · r q   3 2 2  2 36π Gr dr ρ A mH dr Z ρ 3 2 2 4 ~c 3π A mH + me c 10

(1.46)

(1.47)

(1.48)

Leider lassen sich die Differentialgleichungen in beiden Fällen nur numerisch lösen. Die Vorgehensweise ist dabei wie folgt: Zunächst wählt man einen passenden Wert für das Verhältnis A/Z der Massenzahl zur Ladungszahl der vorherrschenden Elementen. In einem C-O Weißen 16 Zwerg gilt mit 12 6 C und 8 O mit sehr guter Genauigkeit A/Z = 2. Als Anfangsbedingung wählt man eine zentrale Dichte ρZ = ρ(0) und erhält somit für jede zentrale Dichte einen passenden Dichteverlauf ρ(r). Hat man diesen ermittelt, dann benutzt man Gleichung (1.33) um eine Beziehung zwischen der Gesamtmasse M und dem Radius R des Weißen Zwerges zu erhalten: Z R M= 4πr2 ρ(r)dr (1.49) 0

So erhält man einen Punkt M (R), der auf dem Graphen der gesuchten Beziehung zwischen der Masse und dem Radius eines Weißen Zwerges liegt. Führt man diese Prozedur für alle möglichen Werte von ρZ durch, so erhält man den gesamten Graphen. Das Ergebnis ist auf der Grafik unten dargestellt.

Abbildung 4: Masse-Radius-Beziehung von Weißen Zwergen [Wik] Man kann zwei wichtige Punkte an dem Verlauf der Kurven erkennen. Zunächst mal sind beide Kurven fallend, mit steigender Masse sinkt also der Radius des Weißen Zwergs! Mithilfe von Abschätzungen kommt man im nichtrelativistischen Fall auf die Beziehung M ∝ R−3 [Car]. Wie ist das zu verstehen? Mit steigender Masse steigt auch die den Weißen Zwerg zusammenpressende Gravitationskraft, damit müssen die entarteten Elektronen auf ein noch engeres Volumen zusammengedrückt werden, um einen ausreichenden Gegendruck zu gewährleisten. Schließlich sieht man im relativistischen Fall – der ja im Gegensatz zur klassischen Näherung tatsächlich eintritt – dass die Funktion Null wird, wenn ein bestimmter Grenzwert für die Masse erreicht wird. Dies ist die sogenannte Chandrasekhar-Grenze, für C-O Weiße Zwerge beträgt sie ca 1,44 Sonnenmassen. Nähert sich ein Weißer Zwerg durch Akkretion oder andere Mechanismen der Chandrasekhar-Grenze, dann wird er instabil und die Bedingungen für die Zündung einer SNIa sind gegeben.

11

2

Vorläufersysteme

Die Mehrzahl aller beobachteten SNIa zeigten sich hinsichtlich des Verlaufs der Lichtkurve, des Spektrums und der Austoßgeschwindigkeit der Materie beim Explosionsvorgang, die sich über die Blauverschiebung einzelner Spektrallinien bestimmen lässt, als in hohem Maße homogen. Eine spektren-bezogene Studie aus dem Jahr 1993 klassifizierte 83%-89% der SNIa als „normal“ also mit nur sehr geringen Unterschieden zwischeneinander. Dennoch lassen sich die übrigen Supernovae nicht unterschlagen, deren Spektren teilweise beträchtliche Abweichungen aufweisen. So setzt sich das Spektrum einer „normalen“ SNIa kurz vor und während des Maximums der Leuchtkraft aus P-Cygni-Linien von Si II, Ca II, S II, O I und Mg II zusammen, die kurz darauf um Cygni-Linien von Fe II und zuletzt durch Emissionslinien von Co und Fe ergänzt werden. Bei den auffällig lichtschwachen SN1991bg und SN1986G ließ sich jedoch zusätzlich eine breite, auf niederangeregte Ti-II Linien zurückgehende Absortionslinie bei etwa 4200 Å beobachten. Das Spektrum von SN1991T zeigte zunächst vor und während des Leuchtmaximums hochangeregte Fe-III-Linien, glich sich aber dann im Verlauf weniger Wochen einem „normalen“ Spektrum an. [Bra] Interessanterweise scheinen Abweichungen des Spektrums, der Steigung der Leuchtkurve nach dem Maximum (allgemein durch ∆m15 , der Differenz von Maximalleuchtkraft und der Leuchtkraft 15 Tage darauf, ausgedrückt), der maximalen Leuchtkraft und der Ausstoßgeschwindigkeit der Materie in hohem Maße zu korrelieren, sodass sich die SNe anschaulich als Ein-Parameter-Sequenz anordnen lassen. Eine geringe maximale Leuchtkraft geht üblicherweise mit einem raschen Abfall der Lichtkurve und relativ niedriger Ausstoßgeschwindigkeit einher und vice versa. Als eine wahrscheinliche Ursache hierfür werden unterschiedliche Massen an während der Explosion fusioniertem 56 Ni gehandelt, dessen Zerfall den Hauptanteil der während der Explosion freigesetzen Energie bereitsstellt, andere Möglichkeiten sind jedoch nicht ausgeschlossen. [Bra, Hil] Die Auswahl eines möglichen Modells des Vorläufersystems einer SNIa unterliegt also mehreren Kriterien. So muss das System entsprechende Eigenschaften aufweisen, sodass sich eine daraus entwickelnde Explosion mit dem beobachteten Lichtkurvenverlauf, dem Spektrum und der Materieausstoßgeschwindigkeit deckt. Das Modell sollte weitgehend resistent gegenüber kleinen Abweichungen sein, sodass die Homogenität der Beobachtungsergebnisse auch bei leicht unterschiedlichen Ursprungsparametern gesichert ist, gleichermaßen jedoch eine Variabilität bezüglich mindestens einer Variable aufweisen [Hil]. Darüber hinaus wäre auch die Existenz mehrerer unterschiedlicher Vorläufersysteme und damit Explosionsmechanismen mit ähnlichem Ergebnis denkbar, wenn auch wenig elegant.

2.1

Double Degenerate Scenario

Da Weiße Zwerge typischerweise eine Masse von 0,6 Sonnenmassen aufweisen, müssen sie zum Erreichen der Chandraskhar-Grenzmasse Materie akkretieren. Das Double Degenerate Scenario, im folgenden als DDS abgekürzt, geht dafür von der Kollision zweier Weißer Zwerge aus C und O in einem Binärsystem aus. Hierbei umkreisen sich die Weißen Zwerge, verlieren durch Abstrahlung von Gravitationswellen Energie und nähern sich einander an. Das sogenannte Roche-Volumen bestimmt den Raum um einen Stern in einem Binärsystem, innerhalb dessen umlaufende Materie gravitativ an den Stern gebunden ist. Es kann mit einer Kugel angenähert werden, wobei der Radius ri der Kugel um den i-ten Stern mit der folgenden empirischen Formel gegeben ist, die eine Genauigkeit von ca 1% ermöglicht [Moc]: 2/3

ri =

0,49 qi 2/3

0,6 qi

1/3

+ ln (1 + qi ) 12

R

(2.1)

wobei R für den gegenseitigen Abstand der beiden Sterne im Binärsystem steht, während Mi das Verhältnis der Masse des i-ten Sterns zur Masse seines Begleitsterns angibt. qi ≡ M j Da ri linear mit dem Abstand R der Weißen Zwerge abnimmt, unterschreitet er irgendwann den Radius des größeren und leichteren Weißen Zwergs und der schwerere Weiße Zwerg beginnt Materie von der Oberfläche des leichteren zu akkretieren. Das nachfolgende Geschehen lässt sich in drei Phasen unterteilen [Moc]: In der ersten Phase steigt der Druck an der Oberfläche des schwereren Weißen Zwerges durch die Akkretion, die äußeren Schichten hitzen sich auf und expandieren stark. Es entsteht eine leichte Hülle, die auch den leichteren Weißen Zwerg mitumschließt. Durch die Reibung an der Materie der Hülle beschleunigt sich die Annäherung der Weißen Zwerge aneinander beginnt, die zweite Phase beginnt, die bis zum Erreichen eines kritischen Zustands andauert. Schließlich ist dieser erreicht und in einer schnellen dritten Phase wird der leichtere Weiße Zwerg durch Gezeitenkräfte auseinandergerissen und bildet eine Materiescheibe um seinen verbleibenden Partner. Die typische Dauer der jeweiligen Phasen wird in [Moc] für ein System aus zwei Weißen Zwergen der Massen M1 = 1,2 Sonnenmassen und M2 = 0,9 Sonnenmassen wie folgt angegeben: Die erste Phase dauert ca 0,18 Jahre, die zweite etwa 0,03 Jahre und die dritte nur noch drei Umlaufperioden, also 1,5 Minuten für eine Umlaufperiode von P = 29 s. Für das weitere Geschehen ist die Akkretionsrate der Materie aus der Scheibe von entscheidender Bedeutung: Ist diese höher als einige 10−6 Sonnenmassen pro Jahr, führt dies mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einer dezentralen Zündung des Kohlenstoffbrennens an der Oberfläche und mit dem vollständigen Verbrennen des Weißen Zwergs zu Sauerstoff, Neon und Magnesium zu einem Gravitationskollaps. Das Resultat ist ein Neutronenstern. Vermeiden lässt sich dieses Szenario möglicherweise durch unmittelbares Detonationsbrennen beim Kollisionsvorgang, entweder von Zentrum des massereicheren Weißen Zwergs oder von der Kollisionsfläche ausgehend, diese Möglichkeit bedarf jedoch weiterer Forschungsarbeit. [Hil] Eine geringere Akkretionsrate lässt sich physikalisch nur schwer begründen und ginge selbst unter sehr spezifischen Annahmen bei einer Akkretionsdauer von etwa 109 Jahren mit einer hohen Emission im UV-Breich einher, was bedeuten würde, dass sich alleine in unserer Galaxis 107 dieser Gebilde befinden müssten, die jedoch bislang nicht beobachtet werden konnten. [Hil] Die Abwesenheit von H- und He-Linien im Spektrum würde durch die Zusammensetzung der Weißen Zwerge erklärt. Zudem ergibt sich die Konstellation zweier Weißer Zwerge in einem Binärsystem als direkte Konsequenz der Sternevolution, allerdings bringen nur Systeme mit mindestens einem weit überdurchschnittlich massereichen Weißen Zwerg die erforderliche Gesamtmasse auf, was die Häufigkeit der infrage kommenden Systeme stark reduziert. Von den derzeit acht bekannten Systemen, die innerhalb von 13 bis 14 Milliarden Jahre kollidieren könnten, übersteigt nur die Gesamtmasse eines einzigen die Chandrasekhar-Grenzmasse. Weiterhin ist unklar, wie sich ob der Vielzahl an Parametern hinsichtlich Masse und Zusammensetzung der Weißen Zwerge, Drehmoment und Kollision die erforderliche Homogenität bezüglich der Verbrennung, also 56 Ni-Produktion und damit der Leuchtkurve und Ausstoßgeschwingkeit gewährleisten lässt. [Hil]

2.2

Single Degenerate Scenario

Das derzeit favorisierte Modell für den Vorläufer von SNeIa ist das Single Degenerate Scenario, im folgenden als SDS bezeichnet, das ein Binärsystem aus einem Weißen Zwerg und einem weiteren Stern beschreibt. Letzterer ist gängigen Annahmen nach ein Hauptreihenstern, ein Roter Riese oder ein Heliumstern [For]. Zum Erreichen der Chandrasekhar-Grenzmasse akkretiert der Weiße Zwerg Materie von der Hülle des Begleitersterns. Die akretierte Materie besteht üblicherweise je nach Begleitstern zu verschiedenen Anteilen aus Wasserstoff und Helium. Wie das DDS krankt auch dieses Modell am Betrag der Akkretionsrate. Bei geringen Raten 13

wird davon ausgegangen, dass der Weiße Zwerg durch regelmäßige sogenannte Nova-Ausbrüche, explosivem Verbrennen von Materie an der Oberfläche, mehr Masse verliert, als er durch die vorhergehende Akkretion gewinnen konnte. Es soll jedoch nicht unerwähnt bleiben, dass der Wert der minimalen Akkretionsrate, ab der Nova-Ausbrüche nicht mehr zu erwarten sind, nicht gesichert ist, da sämtliche Modelle zur Berechnung stark vereinfacht sind und etliche Aspekte wie die Zusammensetzung der akkretierten Materie, den Einfluss von Magnetfeldern, asphärische Akkretion und anderes vernachlässigen. Die Folge davon sind uneineitliche Ergebnisse, die bis zu mehreren Größenordnungen voneinander abweichen. Durch mittlere Akkretionsraten würde sich gängigen Modellen zufolge eine Hülle aus degeneriertem Helium um den Weißen Zwerg bilden, die sich mit hoher Wahrscheinlichkeit entzünden würde, noch bevor der Weiße Zwerg die Chandraselhar-Grenzmasse erreicht hätte. Dies entspräche einem Sub-Chandrasekhar-Modell, das im nachfolgenden Unterkapitel näher betrachtet werden soll. Höhere Akkretionsraten dürften zu einer hydrostatischen Verbrennung von Wasserstoff und Helium an der Oberfläche des Weißen Zwerg führen, was über große Distanzen hinweg sichtbar sein müsste. Bis dato ließen sich derartige Objekte als Vorläufer einer SNIa jedoch nicht zweifelsfrei bestätigen. Zwar wurde mit den „Super Soft X-ray Sources“ eine Klasse von Weißen Zwergen entdeckt, die akkretierten Wasserstoff direkt verbrennt, dabei unanfällig für Nova-Ausbrüche erscheint und die gewonnene Masse behält, jedoch weisen Schwankungen im Röntgenbereich auf Änderungen der Akkretionsrate hin. Dies könnte bedeuten, dass die erforderliche durchschnittliche Rate von etwa 10−7 Sonnenmassen pro Jahr über die Lebensdauer eines solchen Systems von mehreren Milliarden Jahren nicht erreicht würde. Bei noch höheren Akkretionsraten müsste sich eine Hülle beachtlicher Ausdehnung aus Wasserstoff und Helium, ähnlich der eines Roten Riesen, um den Weißen Zwerg bilden. Die Überreste einer solchen Hülle müssten sich durch Spektroskopie der Supernova nachweisen lassen, was jedoch nicht der Fall ist. [Hil]

2.3

Sub-Chandrasekhar-Szenario

Ein weiteres Modell stellt das Sub-Chandrasekhar-Szenario dar, das hier der Vollständigkeit halber aufgeführt sei. Die Ursprungskonstellation entspricht im Groben der des SDS, allerdings entzündet sich die Hülle aufgrund einer entsprechenden Akkretionsrate, bevor die Chandrasekhar-Grenzmasse erreicht wird. Bei einer ausreichend starken Detonation könnte dadurch der Kern des Weißen Zwergs zu detonationsartigem Brennen angeregt werden und als Auslöser der Supernova dienen. Die Varianz der Masse des Weißen Zwerges zum Zeitpunkt der Explosion könnte dabei die gesuchte Variable zur Erklärung der Ein-Parameter-Abhängigkeit darstellen. Ob eine ausreichend starke Heliumexplosion in der Hülle des Weißen Zwerges überhaupt möglich ist, um den Kern zur Detonation zu bringen, steht allerdings noch in Frage. Im Rahmen numerischer Berechnungen stimmt die modellierte Lichtkurve mit den Messdaten von SNeIa überein, allerdings wären entgegen den Beobachtungen anstelle von Silizium und Calcium deutliche Spuren von Nickel und Helium im Spektrum zu erwarten. Dies macht das Sub-Chandrasekhar-Szenario derzeit zu einem sehr unwahrscheinlichen Kandidaten für ein SNIa-Vorläufermodell. [Hil]

3

Explosion

Die Explosion ist bisher im physikalischen Sinne nicht vollständig verstanden und kann wie auch die Auswahl der dazu passenden Vorläufersysteme allenfalls anhand numerischer Modelle nachvollzogen werden. Somit lässt sich der Explosionsmechanismus an dieser Stelle lediglich qualitativ beschreiben. Zudem lässt sich auch hier aufgrund erheblicher Diskrepanzen sowohl 14

zwischen verschiedenen Berechnungen als auch zwischen Beobachtungsdaten einzelner Supernovae nicht ausschließen, dass neben Supernovae, die vom allgemein anerkannten Modell erfolgreich beschrieben werden, solche mit deutlichen Abweichungen von diesen existieren, für die andere Modelle zutreffender sind.

3.1

Explosionsmechanismus

Im Folgenden soll der Explosionsmechanismus am Vorläufermodell des SDS nachvollzogen werden. Dieser ist jedoch mit einigen Einschränkungen ebenso für das DDS zutreffend. Einzelne Aspekte sind auch auf das Sub-Chandrasekhar-Szenario übertragbar. Der Zeitraum von der Entstehung des Weißen Zwerges bis zur thermonuklearen Explosion lässt sich in drei Phasen untergliedern. Die erste davon umfasst das Abkühlen des Weißen Zwerges bei nahezu konstanter Dichte über einen Zeitraum von 100 bis 1000 Myr (Millionen Jahre). In der folgenden Akkretionsphase, die sich über etwa 1 Myr vollzieht, schrumpft der Weiße Zwerg aufgrund des Massenzuwachses. Die dabei erfolgende Kompression und die Diffusion der heißen, akkretierten Hülle mit der Materie des Weißen Zwerges verursachen einen Temperaturanstieg: Die Folge ist das Einsetzen von hydrostatischem Kohlenstoffbrennen im Kern des Weißen Zwerges. [For] Die anschließende Konvektions- oder, bildlich umschrieben, Köchelphase umfasst die sukzessive Ausbreitung des Konvektionsradius, innerhalb dessen sich die Konvektionsschleifen befinden und der sich in manchen Fällen bis zur Größe des Radius des Weißen Zwerges ausdehnt. Im Zuge dessen setzt der sogenannte konvektive Urca-Prozess ein. Hierbei absorbieren Natriumnukleonen im Kern des Weißen Zwergs ein Elektron, transformieren dadurch zu Neon, treiben durch die Konvektion in die äußeren Regionen der Konvektionszone, geben dort aufgrund energetisch günstiger Bedingungen das Elektron als β-Teilchen ab, wodurch sie zu Natrium zurücktransformieren, und treiben wieder nach innen. Bizarrerweise wirkt dieser Prozess je nach Berechnungsmodell entweder exponentiell aufheizend oder – aufgrund der Emission von nahezu nicht mit Materie wechselwirkenden Neutrinos bei Absorption und Emission des Elektrons – kühlend und den nachfolgenden Prozess verzögernd. [For, Mpa, Hil] Im Falle der Kühlung wird weiterhin davon ausgegangen, dass die Energiegenerierungsrate durch sogenanntes Electron Screening ab einer Dichte von etwa 2 · 109 g cm−3 die Energieverlustrate durch Neutrinos übersteigt. [Hil] Ungeachtet dessen sorgt die steigende Hitze für eine Beschleunigung der Brennrate weit über die Konvektionsrate hinaus, sodass der Kohlenstoff nahezu auf der Stelle verbrennt. Die dabei erzeugte Energie kann somit lediglich durch Konduktion und damit nicht mehr ausreichend schnell abgeführt werden: Eine nukleare Flamme entsteht. [Hil] Hiervon ausgehend stehen drei Szenarien zur Auswahl: Deflagration, Detonation und eine Deflagration mit Übergang zur Detonation. Die reine Deflagration beschreibt das Ausbreiten der Brennfront durch den Weißen Zwerg mit einer Geschwindigkeit weit unterhalb der Schallgeschwingkeit, typischerweise unter 1%. Dies ermöglicht der Materie des Weißen Zwerges, ob der generierten Hitze zu expandieren und damit die Dichte und die Hitze zu verringern. Das wiederum hat einen direkten Einfluss auf die Reaktionsrate und somit darauf, wie weit die Materie fusioniert werden kann. Für das reine Deflagrationsmodell bedeutet das, dass im Vergleich zu den Beobachtungen ein Überschuss an mittelschweren, sogenannten „Intermediate Elements“ wie Silizium und ein Mangel an schwereren Elementen besteht, die nur bei hohen Temperaturen entstehen können. [Kho] Besonders schwer wiegt dabei der Mangel an 56 Ni, welches bei einer Halbwertszeit von 6,1 Tagen zu 56 Co und dann bei einer Halbwertszeit von 77 Tagen entweder durch Elektroneneinfang (81%) oder β + -Zerfall zu stabilem 56 Fe zerfällt und dadurch den Großteil der Explosionsenergie freisetzt [Lei]. Das bedeutet, dass sich bei einer reinen Deflagration neben dem nicht mit 15

den Beobachtungen übereinstimmenden Spektrum außerdem die maximale Helligkeit und die Ausstoßgeschwindigkeit als deutlich zu niedrig erweisen würden. Unter bestimmten Annahmen bleibt eine Explosion sogar gänzlich aus und die Fusionsprodukte bleiben gravitativ gebunden. [Hil] Eine reine Detonation, also das Ausbreiten der Brennfront oberhalb der Schallgeschwindigkeit, lässt hingegen keine nennenswerte Expansion der Materie vor der Brennfront zu. Die Folge sind hohe Fusionsraten und im exakten Gegensatz zur Deflagration ein Überschuss an schweren Elementen und ein Mangel an mittelschweren Elementen. [Gam, Hil, Kho] Am besten deckt sich daher das dritte Modell, eine anfängliche Deflagration mit Übergang zur Detonation, auch „Deflagration-Detonation-Transition“ oder DDT genannt, mit den Beobachtungsdaten. Der Zeitpunkt des Übergangs und somit die Dichte am Ort desselben bestimmt dabei, wie weit der Weiße Zwerg bei der vorhergehenden Deflagration expandieren konnte, woraus sich bei Berücksichtigung des radialen Dichtegradienten die Verteilung der schweren und der mittelschweren Elemente ergibt. Unterschiedlichen Berechnungen zufolge muss die Dichte am Ort der Transition zwischen 107 g cm−3 und 5 · 107 g cm−3 betragen, um die gewollte Verteilung zu gewährleisten. [Gam, Hil, Kho]

3.2

Fusionierte Elemente

SNeIa synthetisieren durch die Fusion von Kohlenstoff und Sauerstoff eine Vielzahl an unterschiedlichen Elementen. So ließen sich bislang neben neben C und O Isotope sämtlicher Elemente von Neon bis Zink spektroskopisch nachweisen, wovon Nickel, das wiederum zu einem hohen Prozentsatz zu Eisen zerfällt, den mit Abstand größten Anteil stellt. Dessen Anteil kann jedoch um bis zu 50% vom Durchschnitt abweichen. [Lei, Mae] Eine Studie aus dem Jahr 2010 [Mae], die das ursprüngliche, als „W7“ bezeichnete eindimensionale, also sphärisch symmetrische Explosionsmodell, ein zweidimensionales Deflagrationsmodell, ein zweidimensionales DDT-Modell mit zentralem und eines mit dezentralem Deflagrationsverlauf untereinander verglich, stellte bei einigen Isotopen Abweichungen bis zu etwa zwei Größenordnungen fest. Bleibt das aller Wahrscheinlichkeit nach unzutreffende reine Deflagrationsmodell außen vor, beträgt die Abweichung noch immer mehr als eine Größenordnung. Selbst der Vergleich der zweidimensionalen DDT-Modelle liefert für sehr leichte und sehr schwere Elemente Diskrepanzen bis zu einer halben Größenordnung, woraus sich schließen lässt, dass diese nicht alleine auf die Unzulänglichkeiten der vereinfachten Berechnungsmodelle zurückzuführen sind.

3.3

Überreste

Anders als die Supernovae der Typen Ib, Ic und II hinterlassen SNIa keine gravitativ gebundenen Überreste am Ort ihrer Explosion. Vielmehr sorgt die freigesetzte kinetische Energie in der Größenordnung von 1051 ergs (1044 J) für eine sich mit etwa 5 · 103 km/s bis 104 km/s ausdehnende Materiehülle, die als Emissionsnebel beobachtbar ist. SNeIa hinterlassen ihrem Aussehen nach benannte schalenförmige Nebel. Andere Arten von Supernova-Überresten oder SNRs (Supernova Remnants) umfassen die ausschließlich durch andere SN-Typen entstandenen sogenannten krebsartigen Nebel und Mischformen aus den vorigen [Wei]. Einer Katalogisierung vom März 2009 zufolge sind derzeit 274 SNRs aller Art bekannt, hinzu kommen etliche Objekte, deren Klassifizierung noch nicht zweifelsfrei geklärt ist. [Mra] Die Ausbreitung der SNR-Hülle vollzieht sich als Schockwelle, die sich auf das in der Umgebung befindliche, zu einem hohen Prozentsatz aus Wasserstoff bestehende Interstellare Medium (ISM) überträgt. Dies sorgt für die Anregung der Teilchen und somit für eine Emission von Balmer-Linien, die ein wichtiges spektroskopisches Identifikationsmerkmal darstellen [Wei]. Zu-

16

dem wird angenommen, dass die von SNRs emittierte Strahlung einen bedeutenden Anteil an der kosmischen Strahlung im Bereich bis zu 1015 eV pro Teilchen innehat [Nac]. Insgesamt beläuft sich die freigesetzte Strahlung auf 1049 ergs Strahlung im sichtbaren Bereich und je nach Berechnungsmodell zwischen 1044 und 1049 ergs Gamma- und Röntgenstrahlung. Einen verhältnismäßig geringen Beitrag leistet dabei die nach dem Synchrotronprinzip erzeugte Röntgenstrahlung, die allerdings im Vergleich zur von Sternen emittierten Strahlung einen deutlich breiteren Bereich umfasst. [Che] Weiterhin erfolgt eine Vermischung mit dem nicht völlig homogenen ISM. Hinzu kommt, dass die vorhergehende Supernova u. a. aufgrund von Turbulenzen beim Deflagrationsvorgang und einer möglichen konvektionsbedingten dezentralen DDT nicht sphärisch symmetrisch ist, was dann in gleichem Maße auf die SNR-Hülle zutrifft. Diese beiden Aspekte sorgen in Kombination mit der Bildung weiterer Turbulenzen in der Hülle dafür, dass sich im Verlauf der Ausbreitung der zunehmend dünner werdenden Hülle nach und nach Materieblasen bilden, die sich aufgrund ihrer Gravitation sukzessiv verdichten. Dies stellt den Ausgangspunkt für die Entstehung neuer Objekte dar.

4

Anwendung in der Kosmologie

Dank ihren sehr ähnlichen absoluten Helligkeiten im Maximum eignen sich SNIa-Explosionen sehr gut als Standardkerzen, Objekten, die dank konstanter absoluter Helligkeit zur Entfernungsbestimmung verwendet werden. Da ihre absolute Helligkeit zudem sehr hoch ist, lassen sich mithilfe der SNIa auch sehr große Entfernungen vermessen, was eine der wichtigsten Aufgaben der beobachtenden Kosmologie ist.

4.1

Theoretischer Hintergrund – einige Parameter in der Kosmologie

Die aktuellen kosmologischen Modelle gehen von einem homogenen und isotropen Universum aus, eine Annahme, die von Beobachtungen der Materieverteilung auf großen Skalen (ab ca 100 MPc) durchaus gerechtfertigt wird [Muk]. Ein solches Universum wird im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie mit einer Raumzeitmetrik beschrieben, deren Raumanteil aus geometrischer Sicht eine Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung darstellt. Diese Metrik ist eindeutig, heißt FLRW-Metrik und hat die folgende Form (hier und im Folgenden [Pal]):  
dr2 2 2 2 2 2 2 2 + r dϑ + sin ϑdϕ (4.1) ds = (cdt) − a (t) 1 − kr2 Dabei steht a für den sogenannten Skalenparameter, eine Größe der Dimension einer Länge, die die Ausdehnung des Universums beschreibt, während r für die dimensionslose RadiusKoordinate eines Punkts im Raum steht. Die „gewöhnliche“ Radius-Koordinate eines Punkts ergibt sich als Z r dr0 √ (4.2) R(t) = a(t) 1 − kr02 0 a wächst dabei durch die Expansion des Universums, während r für ein ruhendes Objekt konstant bleibt - erst wenn ein Objekt eine Eigengeschwindigkeit bezüglich des „Ruhesystems des Raums“ besitzt, ändert sich seine r-Koordinate. Ein solches System kann zum Beispiel durch die Hintergrundstrahlung definiert werden: Ist sie aus der Sicht eines Beobachters in jeder Richtung weder rot- noch blauverschoben, so kann man den Beobachter als ruhend annehmen. k steht für den Kurvenparameter und kann die Werte 0, 1 und -1 annehmen. Der Kurvenparameter gibt das Vorzeichen der Raumkrümmung an: Ist das Universum wie eine Kugeloberfläche in sich geschlossen, so gilt k = 1 und das Universum wird als geschlossen bezeichnet, ist 17

es hingegen ähnlich einer Sattelfläche gekrümmt, so gilt k = −1 und das Universum ist offen. Hat es schließlich ähnlich einer Ebene keine Krümmung, so ist k = 0 und das Universum wird als flach bezeichnet. Verwendet man die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie, so lassen sich aus der obigen Metrik Bewegungsgleichungen für den Skalenparameter a herleiten, die sogenannten Friedmann-Gleichungen. Wir werden nur eine der beiden Friedmann-Gleichungen benötigen, diese sieht folgendermaßen aus:  2 8πG Λc2 kc2 a˙ = − 2 ρ (t) + (4.3) M a 3c2 3 a Dabei steht ρM für die mittlere Dichte der Materie im Universum (der Beitrag der Strahlung zur Gesamtdichte wird vernachlässigt!) und Λ ist die kosmologische Konstante, wie sie in Einsteins Feldgleichungen auftaucht. Verweilen wir kurz bei der kosmologischen Konstante Λ. Da ihr physikalischer Ursprung noch offen ist, können wir sie als eine Materieform interpretieren, als sogenannte Dunkle Energie, die neben der gewöhnlichen baryonischen Materie im Universum vertreten ist. So können wir ihr auch eine Dichte ρΛ zuweisen, die neben der Dichte der gewöhnlichen Materie ρM in den Friedmann-Gleichungen auftaucht, sodass die obige Gleichung folgende Form annimmt:  2 8πG kc2 a˙ = (ρ + ρ ) − (4.4) M Λ a 3c2 a2 Daraus erhalten wir sofort die Definition von ρΛ , denn sollen beide Gleichungen äquivalent sein, so muss gelten: Λc2 Λc4 8πG ρ = oder ρ ≡ (4.5) Λ Λ 3c2 3 8πG Trotz der Expansion des Universums bleibt die Dichte der Dunklen Energie also konstant! Eine wichtige Größe in der Kosmologie ist die sogenannte Hubble-Konstante. Im Gegensatz zur kosmologischen Konstante ist der Name der Hubble-Konstante aber irreführend, denn sie ist nur räumlich aber nicht zeitlich konstant. Die räumliche Konstanz der Hubble-Konstante wurde von Edwin Hubble entdeckt und im sogenannten Hubble-Gesetz verankert: v = H(t)d oder äquivalent dazu a˙ = H(t)a

(4.6)

wobei d für den Abstand zweier Objekte steht und v für ihre Relativgeschwindigkeit entlang der Verbindungslinie. Für den jetzigen Zeitpunkt t = t0 können wir Gleichung (4.4) mithilfe der Hubble-Konstante wie folgt schreiben: H02 =

8πG kc2 8πG kc2 (ρ (t ) + ρ ) − = ρ − M 0 Λ 0 3c2 a20 3c2 a20

(4.7)

wobei ρ0 = ρM (t0 ) + ρΛ für die Gesamtdichte des Universums zum Zeitpunkt t0 steht. Daraus lässt sich die sogenannte kritische Dichte ρc wie folgt definieren: Es ist die Dichte, bei der das Universum gerade flach ist, also k = 0 gilt. Ursprünglich, bevor die kosmologische Konstante in Mode kam, markierte die kritische Dichte den Übergang von einem ewig expandierenden zu einem rekollabierenden Universum, bei Berücksichtigung der kosmologischen Konstante verliert sie jedoch diese Eigenschaft, wie wir sehen werden. Dennoch wird sie zur Definition der gängigen kosmologischen Parameter benötigt. Aus Gleichung (4.7) ergibt sich mit k = 0 also für den aktuellen Wert der kritischen Dichte folgende Definition ρc ≡

3c2 H02 8πG 18

(4.8)

Nun können wir den dimensionslosen Parameter Ω definieren als Verhältnis der tatsächlichen Dichte ρ0 und der kritischen Dichte ρc zum jetzigen Zeitpunkt: Ω≡

8πGρ0 ρ0 = 2 2 ρc 3c H0

(4.9)

Analog lassen sich die derzeitigen Anteile ΩM und ΩΛ der Dichten ρM der gewöhnlichen Materie und ρΛ der Dunklen Energie an der kritischen Dichte definieren: ρM (t0 ) 8πGρM (t0 ) = ρc 3c2 H02

(4.10)

ρΛ 8πGρΛ Λc2 ΩΛ ≡ = 2 2 = ρc 3c H0 3H02

(4.11)

ΩM ≡

Teilen wir nun (4.7) durch H02 , dann können wir die neu definierten Parameter einsetzen: 1=

8πG kc2 kc2 (ρ (t ) + ρ ) − = Ω + Ω − M 0 Λ M Λ 3c2 H02 a20 H02 a20 H02

(4.12)

Oft wird auch der letzte Summand der obigen Gleichung als Ωk zusammengefasst und man erhält die schöne Gleichung mit Ωk ≡ −

1 = Ω M + ΩΛ + Ωk

kc2 a20 H02

(4.13)

Allerdings ist die Definition von Ωk nicht unbedingt intuitiv und kann eher als formale Abkürzung gesehen werden. Auch ist Ωk keine unabhängige Größe und kann mithilfe der obigen Gleichung aus den Dichteanteilen ΩM und ΩΛ der beiden dominanten Materiearten erhalten werden. Verwenden wir nun die Ω-Parameter, um Gleichung (4.3) umzuschreiben. Zuvor müssen wir aber noch die zeitabhängige Materiedichte ρM eliminieren: Wegen (4.2) gilt für eine Materiekugel mit Radius R(t) M=

4πr3 a3 (t) 4πr3 a30 4πR3 (t) ρM (t) = ρM (t) und analog für t = t0 : M = ρM (t0 ) 3 3 3

(4.14)

und dank Massenerhaltung ist die Masse zu beiden Zeitpunkten gleich, sodass wir für ρM (t) die Beziehung a30 ρM (t) = 3 ρM (t0 ) (4.15) a bekommen. Teilen wir noch die Gleichung (4.3) durch H02 und setzen die eben erhaltene Beziehung ein, dann können wir endlich die Ω-Parameter einsetzen:  2 a˙ 8πG a30 Λc2 kc2 a20 a30 a20 = 2 2 ρM (t0 ) 3 + − = ΩM 3 + ΩΛ + Ωk 2 (4.16) aH0 3c H0 a 3H02 a20 H02 a2 a a Betrachtet man die rechte Seite, so bietet es sich an, den Skalenparameter mit dem dimensionslosen Parameter y mit a y≡ (4.17) a0 zu ersetzen, der für die relative Größe des Universums im Verhältnis zu seiner momentanen Größe steht. Wir erhalten  2  2 y˙ 1 1 y˙ 1 = ΩM 3 + ΩΛ + Ωk 2 oder = ΩM + y 2 ΩΛ + Ω k (4.18) yH0 y y H0 y 19

Zudem lässt sich das störende H0 auf der linken Seite durch Einführen des ebenfalls dimensionslosen Parameters τ eliminieren, der durch τ ≡ H0 (t − t0 )

(4.19)

gegeben ist und das Verhältnis der seit dem heutigen Tag vergangenen Zeit zur sogenannten Hubble-Zeit dH ≡ H0−1 angibt. Wegen y˙ =

dy dτ dy = H0 dτ dt dτ

(4.20)

erhalten wir

2 dy 1 (4.21) = ΩM + y 2 ΩΛ + Ωk dτ y wobei mithilfe von (4.13) noch der Parameter Ωk durch die zwei anderen Ω-Parameter ausgedrückt und eliminiert werden kann:  2  
dy 1 1 2 = ΩM + y ΩΛ + 1 − ΩM − ΩΛ = 1 + ΩM − 1 + ΩΛ y 2 − 1 (4.22) dτ y y 

oder

dy dτ = r   1 + ΩM y1 − 1 + ΩΛ (y 2 − 1)

(4.23)

Integrieren wir diese Gleichung von tU , dem Zeitpunkt des Urknalls, bis zum jetzigen Zeitpunkt t0 , so erhalten wir wegen y(tU ) = 0 und y(t0 ) =

a(t0 ) =1 a0

(4.24)

sowie τ (tU ) = H0 (tU − t0 ) und τ (t0 ) = H0 (t0 − t0 ) = 0 für das Alter des Universums aus Z Z τ (t0 ) dτ = τ (tU )

y(t0 )

y(tU )

r 1 + ΩM



1 y

dy  − 1 + ΩΛ (y 2 − 1)

(4.25)

(4.26)

folgende Beziehung: Z H0 (t0 − tU ) = 0

1

dy r   1 1 + ΩM y − 1 + ΩΛ (y 2 − 1)

(4.27)

Das Alter des Universums t0 − tU ist also keine unabhängige Größe, sondern kann aus den Größen H0 , ΩM und ΩΛ ermittelt werden! Wählt man als obere Integrationsgrenze einen allgemeinen Zeitpunkt t, so erhält man auf die gleiche Art mit τ (t) = H0 (t − t0 ) (4.28) eine implizite Darstellung der relativen Größe des Universums y(t) in Abhängigkeit von der Zeit sowie wiederum von den Parametern H0 , ΩM und ΩΛ : Z y(t) dy 0 r H0 (t − tU ) = (4.29)   0 1 1 + ΩM y0 − 1 + ΩΛ (y 02 − 1) tU kann selbstverständlich durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems Null gesetzt werden. 20

Betrachten wir nun den Charakter der Lösungen y(t) für unterschiedliche Parameterkombinationen. Ist ΩΛ = 0, dann erhalten wir Lösungen wie in Abbildung 5. Wie man sieht, sind die Kurven für große ΩM stark gekrümmt, während die Krümmung für kleine ΩM abnimmt. ΩM = 1 (Kurve A) markiert die Grenze zwischen einem ewig expandierenden und einem rekollabierenden Universum. Da alle Kurven im Punkt (0; 1) fixiert sind – dem jetzigen Moment und der jetzigen Größe – variiert auch die Zeit bis zum Urknall: Die stark gekrümmten Universen sind offensichtlich junger, als die weniger stark gekrümmten (die Krümmung bezieht sich hier auf den Kurvenverlauf, nicht auf die Kümmung der Abbildung 5: Lösungen mit ΩΛ = 0 (ΩM ; ΩΛ ) : Raumzeit!). Das alles ist leicht zu erklären: A = (1; 0), B = (0,1; 0), C = (1,5; 0), D = (3; 0) Je höher die Materiedichte ΩM , umso schnel- [Pal] ler wird das Expandieren des Universums abgemremst, die Grenzdichte ΩM = 1 entspricht gerade dem Fall ρM = ρc , der für Λ = 0 die Grenze zwischen einem ewig expandierenden und einem rekollabierenden Universum darstellt.

Abbildung 6: Geschlossen: Lösungen mit ΩΛ + ΩM > 1; D = (3; 0), E = (3; 0,1), F = (3; 1) Offen: Lösungen mit ΩΛ + ΩM < 1; B = (0,1; 0), G = (0,1; 0,5), H = (0,5; −1) [Pal] Anders sieht die Situation für ΩΛ 6= 0 aus. Wie den Grafiken zu entnehmen ist, ist sowohl für ΩΛ + ΩM > 1 als auch für ΩΛ + ΩM < 1 ein rekollabierendes und ein ewig expandierendes Universum möglich. Aus diesem Grund wird in der modernen Terminologie ein ewig expandierendes Universum hyperbolisch und ein rekollabierendes elliptisch genannt, während die Bezeichnungen „offen“ und „geschlossen“ den Wert der Gesamtdichte Ω angeben. Statt die Expansion des Universums zu bremsen, beschleunigt ein hoher Wert von ΩΛ diese sogar – dies ist in den Kurven für ein geschlossenes Universum sehr gut zu sehen, wo bei einem konstantem Wert für ΩM mit steigendem ΩΛ die Kurven immer steiler nach oben abbiegen. Außerdem ist sehr schön zu sehen, dass die Wirkung von ΩΛ sich erst zu späteren Zeiten entfaltet, während die frühe Phase von der normalen Materie dominiert wird.

21

4.2

Die Helligkeitsdistanz-Rotverschiebung-Beziehung

Das Ziel der Supernova-Vermessung ist es nun, die Parameter H0 , ΩM und ΩΛ zu bestimmen, aus welchen, wie eben hergeleitet, y(t) erhalten werden kann. Könnte man durch SNIaBeobachtungen (t, y(t))-Wertepaare messen, dann wäre es ein Leichtes, die am besten zu den Beobachtungen passenden Werte der obigen Parameter zu bestimmen: Es würde reichen, die vermessenen Wertepaare mit y(t) zu fitten und die gesuchten Parameter als Fit-Parameter zu erhalten. Leider kann bei der Beobachtung eines fernen Objekts weder der Zeitpunkt t der Ausstrahlung seines Lichts noch der relative Skalenfaktor y(t) zu diesem Zeitpunkt direkt gemessen werden. Stattdessen wird die scheinbare Helligkeit sowie die Rotverschiebung des Objekts gemessen. Letztere beschreibt dabei die Verschiebung der Spektrallinien im Spektrum des Lichts, wie wir es messen, gegenüber dem Spektrum des Lichts direkt nach seiner Emission und ist definiert als das Verhältnis der Wellenlängenverschiebung und der ursprünglichen Wellenlänge: z≡

λbeob − λemit λemit

(4.30)

Hat man eine Spektrallinie bei λbeob identifiziert (zum Beispiel anhand der allgemeinen Linienkonstellation im Spektrum), so kennt man λemit und kann z mithilfe der obigen Gleichung berechnen. Wie kommt aber die Rotverschiebung zustande und wie hängt sie mit den vorher verwendeten Größen zusammen? Betrachten wir die am Anfang des Kapitels definierte Metrik (4.1). Da das Licht eines Himmelskörpers sich auf einer geraden Linie ausbreitet, können wir dϑ = dϕ = 0 annehmen und nur den radialen Teil der Metrik betrachten: ds2 = (cdt)2 − a2 (t)

dr2 1 − kr2

(4.31)

Schreiben wir sie nun in den folgenden (sogenannten konformen, also „winkelerhaltenden“) Koordinaten dt dr sowie dη ≡ (4.32) dχ ≡ √ a(t) 1 − kr2 dann erhalten wir ds2 = a2 (t)(c2 dη 2 − dχ2 ) (4.33) Nun gilt für die Ausbreitung von Licht ganz allgemein ds = 0, denn der infinitesimale Abstand dR wird von Licht mit der Lichtgeschwindigkeit c in der Zeit dt zurückgelegt, wir erhalten also ds2 = c2 dt2 − dR2 = c2 dt2 − (cdt)2 = 0 (4.34) Aus (4.33) wird damit dχ = ±cdη

oder χ = ±cη + χ0

(4.35)

In diesen Koordinaten bewegt sich das Licht also auf Geraden mit der Steigung ±c. Betrachten wir nun einen Lichtpuls der Länge ∆ηemit , dessen erste Wellenfront von einem Stern am Ort χStern zum Zeitpunkt η1 (χStern ) = 0 und dessen letzte Wellenfront entsprechend zum Zeitpunkt η2 (χStern ) = ∆ηemit emittiert wird, dann bewegen sich die Wellenfronten entlang der Geraden χ1 (η) = χStern − cη

und χ2 (η) = χStern − c(η − ∆ηemit )

(4.36)

, also erreicht die erste Wellenfront den Beobachter bei χ = 0 zum Zeitpunkt η1 = χS tern c χS tern während die letzte Wellenfront ihn zum Zeitpunkt η2 = c + ∆ηemit erreicht. Die Länge des empfangenen Pulses ist also immer noch ∆ηbeob = η2 − η1 = ∆ηemit 22

(4.37)

In den konformen Koordinaten bleiben Zeitintervalle also erhalten! Damit können wir ausgehend von der Definition (4.32) sofort eine Beziehung zwischen zwei Zeitintervallen in tKoordinaten und den zugehörigen Skalenparametern herstellen: ∆t2 ∆t1 = a(t1 ) a(t2 )

(4.38)

Insbesondere gilt dann für das Verhältnis der Periodendauern von emittiertem und beobachtetem Licht Temit a(temit ) a(temit ) = = (4.39) Tbeob a(tbeob ) a0 und wir erhalten für z: z=

λbeob − λemit λbeob νemit Tbeob a0 = −1= −1= −1= −1 λemit λemit νbeob Temit a(t)

(4.40)

wobei t eigentlich für den Zeitpunkt der Emission temit steht. Nun sind wir imstande, den unzugänglichen Parameter y durch die leicht zu messende Rotverschiebung z zu ersetzen. Aus der Definition (4.17) von y folgt z=

1 − 1 und y

dz 1 = − 2 = −(1 + z)2 dy y

(4.41)

Aus (4.23), (4.41) und y2 − 1 =

1 − (1 + z)2 2z + z 2 1 − 1 = = − (1 + z)2 (1 + z)2 (1 + z)2

(4.42)

erhalten wir also dτ = −

dz dz q p = − (4.43) 2 (1 + Ω z) − Ω z(2 + z) 2z+z 2 (1 + z) (1 + z) M Λ (1 + z)2 1 + ΩM z − ΩΛ (z+1) 2

Wenden wir uns nun der Zeit zu, die wir ebenfalls nicht direkt messen können. Als zweite messbare Größe haben wir noch die scheinbare Helligkeit Mbeob in petto, diese müssen wir mit der Zeit τ in Beziehung setzen. Als Zwischenschritt wollen wir aber die Zeit durch die sogenannte Helligkeitsdistanz DL ausdrücken. Diese ist definiert als die Distanz, für die in jeder Raumzeit – unabhängig von deren Metrik – die folgende, sehr intuitive Beziehung zwischen der Leuchtkraft (also der Gesamtleistung) eines Sterns L sowie seiner Intensität I gilt: I=

L 4πDL2

(4.44)

Die Leistung soll sich also gleichmäßig auf die Oberfläche einer Sphäre mit dem Radius DL verteilen. Diese Bedingung ist in einer allgemeinen Raumzeit bei Weitem nicht selbstverständlich und wir werden gleich sehen, welche Form die auf diese Art definierte Helligkeitsdistanz hat. Verwenden wir die reduzierte Metrik (4.31) sowie die Bedingung ds = 0 für die Lichtausbreitung, so können wir die Zeitkoordinate t durch die Ortskoordinate ausdrücken: dt =

a(t) dr √ c 1 − kr2

(4.45)

In dieser Form kommt allerdings noch der zeitabhängige Skalenfaktor a(t) in der Gleichung vor. Wir ersetzen ihn also mithilfe von (4.40) durch die Rotverschiebung z: dt =

dr a0 √ c(z + 1) 1 − kr2 23

(4.46)

Setzen wir diesen Ausdruck in (4.43) ein, so haben wir die Zeit τ durch die Koordinate r vollständig ersetzt: −

a0 H0 dr dz p √ = dτ = H0 dt = c(z + 1) 1 − kr2 (1 + z) (1 + z)2 (1 + ΩM z) − ΩΛ z(2 + z)

(4.47)

Der Term 1 + z lässt sich kürzen, außerdem ersetzen wir k mithilfe von (4.13) durch Ωk und erhalten a0 H0 dr dz q (4.48) = −p 2 c (1 + z) (1 + ΩM z) − ΩΛ z(2 + z) 1 + Ω ( a0 H0 r)2 k

c

Substituieren wir noch

a0 H0 r (4.49) c dann nimmt das Integral auf der linken Seite folgende Form an p  1 √ arcsin( |Ωk |s) für Ωk < 0   |Ωk | Z Z  ds a0 H0 dr q √ = = Φ(s) ≡ s für Ωk = 0 p  c 1 + Ω k s2  1 1 + Ωk ( a0cH0 r)2 √ arcsinh( |Ωk |s) für Ωk > 0 s=

|Ωk |

(4.50) Integrieren wir also (4.48) vom jetzigen Zeitpunkt t0 bis zu einem allgemeinen Zeitpunkt t, dann erhalten wir wegen z(t0 ) =

a(t0 ) − 1 = 0 und s(t0 ) = r(t0 ) ≡ 0 a0

(4.51)

die folgende Beziehung: s = Φ−1

Z 0

z

!

dz

−p (1 + z)2 (1 + ΩM z) − ΩΛ z(2 + z)

oder c r(z) = − Φ−1 a0 H0

Z

z

0

dz p (1 + z)2 (1 + ΩM z) − ΩΛ z(2 + z)

(4.52)

! (4.53)

Nun benötigen wir eine Beziehung zwischen r und DL (für folgende Herleitung siehe auch [Wei]). Betrachten wir eine Lichtquelle in einigem Abstand zum Beobachter, die in regelmäßigen Zeitintervallen ∆temit in alle Richtungen Photonen der Frequenz νemit emittiert. Als „Beobachter“ soll ein Detektor der Fläche A dienen, der senkrecht zur Strahlenrichtung positioniert ist. Dann ist die Leuchtkraft der Lichtquelle gegeben mit L=

Eγ(emit) ~νemit = ∆temit ∆temit

(4.54)

Was ist aber die Leuchtkraft aus der Sicht der Beobachters? Durch die sogenannte kosmologische Zeitdilatation muss die Zeitachse reskaliert werden, ein Effekt von Gleichung (4.39). Danach gilt nämlich ∆tbeob a0 = (4.55) ∆temit a(t) Für die Frequenzen der Photonen gilt die umgekehrte Beziehung: νemit a0 = νbeob a(t) 24

(4.56)

Insgesamt gilt also: L Lbeob

νemit ∆tbeob = = ∆temit νbeob



a0 a(t)

2 (4.57)

Berechnen wir nun die Leistung P , die vom Detektor empfangen wird. Der Detektor empfängt das Licht, das in den Raumwinkel Θ abgestrahlt wird, der als Verhältnis der Detektorfläche und des Abstandsquadrats zur Lichtquelle, also Θ=

A (a0 r)2

(4.58)

gegeben ist. Der verwendete Abstand a0 r ist jedoch nur eine Näherung in erster Ordnung! Die gemessene Leistung ist also  2 Θ A a(t) A P = Lbeob = L (4.59) Lbeob = 4π 4π(a0 r)2 4π(a0 r)2 a0 und die gemessene Intensität entsprechend P 1 I= = A 4π(a0 r)2



a(t) a0

2

L L= 4π



a(t) a20 r

2 (4.60)

Zusammen mit (4.44) ergibt das folgenden Ausdruck für DL : DL =

a20 r = (1 + z)a0 r a(t)

(4.61)

Es bleibt nur noch mithilfe dieser Beziehung (4.53) umzuschreiben: c(1 + z) −1 Φ DL = − H0

Z 0

z

dz p (1 + z)2 (1 + ΩM z) − ΩΛ z(2 + z)

! (4.62)

Dies ist die Helligkeitsdistanz-Rotverschiebung-Beziehung.

4.3

Messmethoden und Korrekturen bei der Helligkeitsbestimmung

Nun, da wir eine Beziehung zwischen z und dem einfach zu handhabenden Entfernungsparameter DL gefunen haben, ist es ein Leichtes, auf die scheinbare Helligkeit, die direkt gemessen werden kann, zu kommen. Die Definition der scheinbaren Helligkeit ist dabei wie folgt [Zem]:   I(L, DL ) (4.63) mit I0 ≡ 2,51 · 10−8 mW2 m ≡ −2,5 log I0 Dabei ist I0 eine willkürlich definierte Intensität, auch Referenzfluss genannt. Statt der Leuchtkraft L wird üblicherweise die absolute Helligkeit verwendet. Sie ist definiert als scheinbare Helligkeit, wie man sie aus dem (ebenfalls willkürlich festgelegten) Abstand D0 ≡ 10 pc messen würde:   I(L, 10 pc) M ≡ −2,5 log (4.64) I0 Für die Messung des Helligkeitsabfalls durch hohe Entfernung wird das sogenannte Distanzmodul µ verwendet, das einfach als Differenz der scheinbaren und der absoluten Helligkeiten definiert ist:       I(L, DL ) I(L, 10 pc) I(L, 10 pc) µ ≡ m − M = −2,5 log + 2,5 log = 2,5 log (4.65) I0 I0 I(L, DL ) 25

Verwenden wir noch (4.44), dann sehen wir, dass µ nur von der Helligkeitsdistanz abhängt:  µ = 2,5 log

L 4πDL2 4π(10 pc)2 L



 = 2,5 log

DL 10 pc

2

 = 5 log

DL 10 pc

 (4.66)

Wäre die absolute Helligkeit M der beobachteten SNIa bekannt, dann wäre hier auch schon das Ende der Berechnungen. Allerdings ist die Streuung der absoluten Helligkeiten von SNIa im Lichtkurvenmaximum zwar vergleichsweise gering, allerdings völlig ausreichend, um die Genauigkeit der Ergebnisse im Falle der Anwendung einer einzigen gemittelten absoluten Helligkeit (von etwa −19,3 mag) soweit zu senken, dass die Methode nicht zur bestimmung kosmologischer Parameter geeignet wäre. So gibt es Abweichungen von der durchschnittlichen absoluten Helligkeit um über 2 mag nach oben (SN1991bg) und bis zu 0,9 mag nach unten (SN1991T) [Rie]. Es gibt mehrere Methoden, um die wahre absolute Helligkeit im Maximum zu bestimmen. Da die existierenden DDT-Explosionsmodelle zwar breite Variationsmöglichkeiten in der Helligkeit ermöglichen, aber keine quantitative Vorhersage für einen Zusammenhang zwischen der absoluten Helligkeit im Maximum und anderen messbaren Parametern machen, sind alle diese Methoden rein empirisch. Das heißt, dass die Herangehensweise folgende ist: Es wird ein allgemeiner Ansatz mit freien Parametern gewählt (meist eine lineare oder quadratische Näherung) und die Parameter werden an die Daten von nahen Supernovae gefittet, deren Entfernung aus anderen Quellen bekannt ist, etwa weil die Entfernung ihrer Heimatgalaxis durch andere Standardkerzen wie Cepheiden bereits bestimmt wurde. Es gibt aber auch Ansätze, bei denen die Lichtkurven selbst an einige gut vermessene Vorlage-Lichtkurven gefittet werden. Da die Menge und Qualität der bisher gesammelten Daten sich in Grenzen hält, sind die Ergebnisse aber in beiden Fällen nicht sehr präzise. Kommen wir nun zu den einzelnen Methoden. Zum einen existiert die sog. MLCS-Methode (von „multicolor lightcurve shapes“). Hier werden Farbkurven aus mehreren Bändern (B – blau, R – rot, I – infrarot) zusammen mit der Lichtkurve (V – sichtbar) verwendet, um eine Beziehung zwischen der intrinsischen Farbe und der absoluten Helligkeit einer SNIa herzustellen. Kennt man die intrinsische Farbe, so kann man aus der gemessenen Farbe die Entfernung der SNIa bestimmen [Rie]. Ursprünglich wurden Korrekturen erster Ordnung verwendet, mittlerweise ist man aber sogar zu Korrekturen zweiter Ordnung übergegangen. Eine weitere Methode ist die sogenannte Stretch Factor-Methode. Bei dieser Methode werden die gemessenen Lichtkurven durch Reskalierung der Zeitachse um einen willkürlichen Faktor an Vorlage-Lichtkurven gefittet. Die ∆m15 -Methode schließlich macht sich die Beobachtung zunutze, dass der Helligkeitsabfall ∆m15 der B-Lichtkurven von SNIa während der ersten 15 Tage nach dem Helligkeitsmaximum mit der absoluten Helligkeit des Maximums (ebenfalls in B) zusammenhängt, es wird hier ein linearer Zusammenhang vermutet [Phi]. Da viele Supernovae erst nach ihrem Maximum entdeckt werden, sodass der ∆m15 -Wert nicht direkt gemessen werden kann, werden die gemessenen Lichtkurven an vollständig vermessene Vorlage-Kurven gefittet und aus diesen durch Interpolation der Wert von ∆m15 bestimmt. Alle diese SNIa-spezifischen Korrekturmethoden bedürfen allerdings noch weiterer, allgemeiner Korrekturen. Manche von ihnen sind schon in den oben beschriebenen Methoden berücksichtigt, andere müssen zusätzlich verwendet werden. So ist die Lichtkurve ferner Supernovae a0 = z + 1 entlang der Zeitachse gestreckt, ein Effekt nach Gleichung (4.38) um den Faktor a(t) der kosmologischen Zeitdilatation. Vor der Bestimmung der absoluten Helligkeit müssen also alle Lichtkurven um eben diesen Faktor gestaucht werden (siehe Grafik auf der nächsten Seite). Eine solche Streckung der Lichtkurven stellt übrigens die endgültigen Bestätigung des Modells des expandierenden Universums dar (gegenüber dem Modell des „ermüdenden Lichts“) [Gol].

26

Eine weitere Korrektur betrifft die Rotverschiebung des Spektrums. Lichtkurven werden in bestimmten Spektralbereichen aufgenommen, das heißt, dass zum Beispiel bei der Aufnahme einer Lichtkurve im Roten ein Detektor verwendet wird, der nur im roten Bereich empfindlich ist und alle anderen Bereiche „filtert“. Daraus ergibt sich folgendes Problem: Möchte man zum Beispiel bei der Anwendung der ∆m15 -Methode die Lichtkurve einer fernen Supernova mit der Lichtkurve einer nahen, gut vermessenen Supernova, die als Vorlage dient, vergleichen, dann sollen beide Lichtkur- Abbildung 7: Durch kosmologische Zeitdilatation geven natürlich mit dem gleichen Filter, am streckte Lichtkurve von SN1994H [Gol] besten dem B-Filter, aufgenommen worden sein. Durch die Rotverschiebung des Lichts der fernen Supernova ist der Teil ihres Lichts, der mit einem Blau-Filter gemessen wird, ursprünglich viel energiereicher, etwa ultraviolett gewesen. Entsprechend hat es natürlich eine andere absolute Helligkeit als das „echte“ blaue Licht, welches seinerseits aber eher im Rotfilter empfangen werden dürfte. Um vergleichbare Lichtkurven zu erhalten, müssen die gemessenen Helligkeiten also korrigiert werden. Eine solche Korrektur nennt man K-Korrektur. Wir werden nun [Hog] folgend eine Beziehung für den entsprechenden Korrekturterm herleiten. Der Korrekturterm KXY ist durch mY = MX + µ + KXY

(4.67)

definiert, es wird also die Definition von µ einfach um KXY erweitert. Dabei stehen die Indizes X und Y für die Systeme, in welchen jeweils die Messung stattfindet. Leider können wir die Definition von m und M über ein Verhältnis von Intensitäten hier nicht verwenden, da die zur Beobachtung verwendeten Detektoren keine Intensitäten, sondern lediglich die Anzahl der eintreffenden Photonen messen können. Deswegen werden folgende, etwas modifizierte Definitionen verwendet:  Z dνbeob beob  ~νbeob fν (νbeob )R(νbeob )   (4.68) mY ≡ −2,5 log    Z dνbeob R gν (νbeob )R(νbeob ) ~νbeob Dabei steht fν für die spektrale Intensitätsdichte (also Intensität pro Frequenz), sodass Z I = fν (ν)dν (4.69) gilt, während R eine dimensionslose Verteilungsfunktion ist, die die Empfindlichkeit des Detektors in Abhängigkeit von der Frequenz des detektierten Photons angibt. Da nur ganze Photonen registriert werden, ist die Empfindlichkeit hier als eine Detektionswahrscheinlichkeit zu verstehen. gνR ist eine Referenz-Flussdichte, die der Flussdichte fν eines Sterns mit der scheinbaren Helligkeit m = 0 entspricht. Der Tatsache, dass der Detektor nur die Anzahl der Photonen, nicht aber ihre Energie registriert, wird damit Rechnung getragen, dass der Integrand durch die Energie eines Photons Eγ = ~νbeob normiert wird. Wir haben es also nicht mit einem Verhältnis von zwei Intensitäten, sondern vielmehr mit einem Verhältnis von zwei Photonenanzahlen pro Zeit zu tun. 27

Die Definition von MX geschieht analog:  Z dνemit emit  ~νemit fν (νemit )Q(νemit )   MX ≡ −2,5 log    Z dνemit Q gν (νemit )Q(νemit ) ~νemit

(4.70)

wobei Q wie schon R die Empfindlichkeit des Detektors und fνemit die spektrale Intensitätsdichte bei der Messung aus 10 pc Entfernung angibt. In praktischen Anwendungen gilt R(ν) = Q(ν) und gνR = gνQ . Nun gilt zwischen der spektralen Intensitätsdichte fν und der spektralen Leuchtkraftdichte Lν , die durch Z L = Lν (ν)dν (4.71) definiert ist, wegen (4.44) folgender Zusammenhang: Z Z Z Lν (νemit ) Lν (νemit ) beob fν (νbeob )dνbeob = dνemit = (1 + z)dνbeob 2 4πDL 4πDL2

(4.72)

und durch Vergleich der Integranden: fνbeob (νbeob ) =

Lν (νemit ) (1 + z) 4πDL2

(4.73)

Lν (νemit ) 4π(10 pc)2

(4.74)

Für DL = 10 pc ist aber z ≈ 0, damit gilt fνemit (νemit ) ≈ und aus (4.70) wird Z

 dνemit Lν (νemit ) Q(νemit )   νemit 4π(10 pc)2   Z MX = −2,5 log   dνemit Q gν (νemit )Q(νemit ) νemit

(4.75)

Setzen wir nun (4.66), (4.68) und (4.75) in (4.67) ein, wobei wir (4.67) nach KXY auflösen: Z  dνbeob beob f (νbeob )R(νbeob )   νbeob ν   Z KXY = mY − MX − µ = − 2,5 log   dνbeob R gν (νbeob )R(νbeob ) νbeob Z  dνemit Lν (νemit )  2 Q(ν ) emit  2  D ν 4π(10 pc) L emit  − 2,5 log + 2,5 log  (4.76)  Z dνemit Q  10 pc g (νemit )Q(νemit ) νemit ν Fassen wir alle Summanden zusammen, dann erhalten wir Z  Z dνbeob beob dνemit Q f (νbeob )R(νbeob ) g (νemit )Q(νemit )   νemit ν  Z νbeob ν  KXY = −2,5 log     Z 2 dνbeob R   dν L (ν ) 10 pc emit ν emit gν (νbeob )R(νbeob ) Q(ν ) emit νbeob νemit 4π(10 pc)2 DL (4.77) 28

Im Integral rechts unten lässt sich offensichtlich (10 pc)2 kürzen und der Rest nach (4.73) ersetzen. Damit haben wir fνemit über Lν durch fνbeob ersetzt:   νemit beob  2 fν Lν (νemit ) fνbeob (νbeob ) Lν (νemit ) 10 pc 1+z = = = (4.78) 2 2 4π(10 pc) DL 4πDL 1+z 1+z wobei wir im letzten Schritt νbeob nach (4.56) ersetzt haben, damit ein Integrieren nach νemit möglich ist. Insgesamt erhalten wir für KXY also folgenden Ausdruck: Z Z   dνbeob beob dνemit Q f (νbeob )R(νbeob ) g (νemit )Q(νemit )   νbeob ν νemit ν    Z  Z KXY = −2,5 log (1 + z)  dνbeob R dνemit beob νemit gν (νbeob )R(νbeob ) fν Q(νemit ) νbeob νemit 1+z (4.79) Schließlich müssen noch Korrekturterme berücksichtigt werden, die die Abschwächung des Lichts durch die Materie der Heimatgalaxis sowie der Milchstraße verursacht werden.

4.4

Ergebnisse

Kommen wir nun zu den Ergebnissen der Messungen. Es gibt zwei große Forschungsprogramme, die ferne Supernovae vermessen und aus den Messungen den Wert von ΩM sowie ΩΛ ermittelt haben: das High-Z Supernova Search Team [HiZ] sowie das Supernova Cosmology Project [SCP]. Die Ergebnisse beider Programme sind auf Abbildung 8 zu sehen. Das auf der Ordinate angetragene „effektive mB “ ist proportional zum Distanzmodul µ im B-Band, das wiederum proportional zur logarithmierten Helligkeitsdistanz DL ist.

Abbildung 8: Plots der logarithmierten Helligkeitsdistanz DL und der Messergebnisse von SCP [Pal]

Abbildung 9: Ergebnisse unterschiedlicher Messmethoden der Bestimmung von ΩM und ΩΛ [SCP]

DL wurde dabei für einige Parameterkombinationen (ΩM ; ΩΛ ) (siehe Grafikbeschriftung) geplottet. Außerdem sind die Wertepaare der effektiven Helligkeit sowie der zugehörigen Rotverschiebungen einiger vermessener SNeIa in die Grafik eingetragen. Leider liegen die Fits für 29

unterschiedliche Kombinationen der kosmologischen Parameter sehr nah beieinander, während die Streuung der Supernova-Messungen sowie ihre Messunsicherheiten trotz logarithmischer Helligkeitsskala sehr groß sind. Eine statistische Auswertung der Fits legt einen Bereich in der ΩM -ΩΛ -Ebene fest, in dem die tatsächliche Kombination von ΩM und ΩΛ mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt (siehe Abbildung 9). Dank alternativen Bestimmungsmethoden wie der Analyse der Mikrowellenhintergrunds (CMB) sowie der sogenannten baryonischen akustischen Oszillationen (BAO) lässt sich dieser Bereich noch weiter einschränken und als wahrscheinlichsten Wert erhält man in etwa ΩM ≈ 0,3 und ΩΛ ≈ 0,7. Die Suche nach fernen Supernova-Explosionen (auch z > 1!) geht weiter (z.B. [Daw]), in Zukunft wird durch verbesserte Messmethoden und -geräte eine weitere Eingrenzung der möglichen Parameterkombinationen erfolgen.

5

Ausblick

Das Feld der Supernovae bedarf auch in Zukunft noch einiger Forschungsarbeit. Angefangen bei der zweifelsfreien Ermittlung der Vorläufer und der jeweiligen Systeme über die exakten Explosionsvorgänge bis zur genauen Eingrenzung der möglichen Parameterkombinationen im Bezug auf die Kosmologie sind noch viele Fragen offen. Auch die Unterscheidung der einzelnen Supernova-Typen ist möglicherweise in der bisherigen Form noch nicht ausreichend, neue Entdeckungen machen weitere Unterteilungen oder aber das Zusammenfassen von Klassen denkbar [Ouc]. Der technische Fortschritt in etlichen Bereichen bescherte insbesondere im vergangene Jahrzehnt eine ganz erheblich gesteigerte Anzahl an jährlich entdeckten Supernova [CBAT]. Mit zunehmenden Rechenkapazitäten werden zudem immer komplexere Berechnungsmodelle auch in drei Dimensionen möglich, die neue Einsichten eröffnen sollen. Auch Entwicklungen in anderen Bereichen der Physik, etwa der Hydrodynamik, lassen ein besseres Verständnis der Prozesse in und um Supernovae Ia erhoffen. Ungeachtet dessen scheint, wie in so vielen Forschungsgebieten, jede beantwortete Frage neue Fragen aufzuwerfen. Ein Ende hiervon ist bislang nicht abzusehen.

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