Seminar über Funktionen-Algebren

Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg

1 John Wermer Professor an der Brown University Providence R.I.

Seminar 0ber Funktionen-Algebren Eidg. Technische Hochschule, Z0rich Forschungsinstitut fur Mathematik

Winter-Semester 1963/64

1964

Springer-Verlag

9Berlin 9GSttingen. Heidelberg

Alle Rechte, insbesondere das der 121bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrt~ckliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielf~iltigen, 9 by Springer-Verlag OHG/Berlin 9G6ttingen 9Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 64-24569. Printed in Germany. Titel NR. 7321 Druck : Beltz, Weinheim

Vorwort:

Alle Hinweise auf Originalarbeiten,

auf welche wir Bezug

nehmen, sind im letzten Paragraphen, w 9, zu finden.

Herr Professor Alfred Huber war so freundlich, das Deutsch dieser Seminar-Berichte zu verbessern, und der Verfasser m6chte ihm daf~r herzlich danken.

Der Verfasser ist Fellow der Alfred P. Sloan Foundation.

Anmerkung: Statt des nachstehenden Schriftzeichens f~r das Doppel-S im Wort M a G e Schreibweise: Masse.

verwenden wir die folgende

w i.

EinfGhrung.

Wir werden einige allgemeine S~tze ~ber Diricbletsche Algebren beweisen und diese S~tze dean auf Probleme der komplexen Approximation in der Ebene anwenden. Wir betrachten einen kompakten Hausdorffschen Raum X und auf X eine Menge A yon stetigen komplexwertigen Funktionen, die folgenden Bedingungen gen~gt: (1) A i s t ein Algebra ~ b e r ~

, dem KSrper der komplexen Zahlen.

(2) A i s t abgeschlossen in Bezug auf die gleichm~ssige Konvergenz auf X. (3) A enth~it die Konstanten und separiert die Punkte yon X. (~) F~r jedes stetige reelle U auf X und jedes ~ , 0 h~ A

so dass %U-Re h ~ . e

existiert

auf X.

Man nennt dann A eine Dirichletsche Algebra auf X. Definition i:

C(X) ist die Menge aller komplexwertigen stetigen

Funktionen auf X. Definition 2:

C(X) mist die Menge aller komplexwertigen Baireschen

Masse auf X. Definition 3: A/" = { ~

C(X)* I ~f/4A = O. alle f in A I.

A j" ist also ein linearer Raum. Falls ~A ~ A"L, sagen wir ~ i sei "orthogonal zu A". Definition 4 : ~ ( A ) = ~

~_ C(X)*I ~ /

O, ~

= l~

1.2 Falls ~ ~ ( A ) , sagen wir, ~ sei "multiplikativ auf A". F~r x ~ X, bezeichnen wir mit ~ die Punktmasse 1 in x. X

NatGrlich gilt: A x ~ ~(A). Lemm~ I:

Wenn f ~ A, ist auch exp(f)EA.

Beweis: exp(f) =

~

fn. Die Reihe konvergiert gleichm~ssig

n=o

auf X, und nach (1), (2), (3) gilt damn exp(f)~A. Definition 5:

g~A.

A6~A),

L~,m, 2: Es sei f E A, g = exp(f). F ~ r ~ A ) .Ln ~%.f ~

Beweis: ~g(~)

=~0__~%. n~

g i l t Ag(~)_-exp(~(A)). = o~.(#f~)n =

e~p(~ % )). Im folgenden werden wir die Beziehungen zwischen multiplikativen und orthogonalen Massen untersuchen.

wir b~erken, aass aus ) ~ 3~(A), r6A und f(A) = 0 folgt: f ~ E A ~-. Denn, f~r g~A gilt:

gf~-

A"

fA--g(%)"

A)-o.

Wir wollen noch eine Bemerkung machen. F~r ~ Abbildung

m: f - - > J f ~

,

~(A)

ist die

fGA,

offensichtlich ein Homomorphismus der Algebra A auf ~ , und m ~ 0. Es sei umgekehrt m ein solcher Homomorphismus. Dann ~ibt es ein

eindeutig best~tes A ~ ~(A)mit (*)

re(f) -- ~ f ~

, alle f~A.

-2-

1.3

Beweis:

Man kann zeigen (was bei unseren Anwendungen evident sein

wird), dass

x~

X

Also ist m ein lineares Funktional auf dem Teilraum A des Banachschen Raumes C(X) mit Norm i. Nach dem Hahn-Banachschen Satz und einem Satz yon F. Riesz gibt es daher X ~ C(X)w f~r welches (*) gilt und alas die totale Variation 1 hat. Da auch 1 = I X , ~>jO,

und daher nach ('), ~

~(A).

a l l e f ~ A , und daher nach ( h ) , ~ 1 - ~

eindeutig bestimmt.

-3-

folgt

= O. Also ist ~

dutch (*}

2.1 w 2. Lebesguesche Zerlegung yon Massen aus A j~.

In diesem Abschnitt betrachten wir eine Dirichletsche Algebra A auf einem Raum X. Wir s e t z e n ~

=~(A)

und fixieren

Es sei Seine Menge in X der Form S = U Kn, Kn abgen=l schlossen, K .CC K und A ( S ) n n+l '

= O.

(i)

Ign~ -~ ~ auf X, s3.1e n.

(ii)

gn "~ i

(iii)

gn--~ 0 Gberall auf S.

Beweis:

f:~.- d~.

Da A (Kn) = O, kSnnen wir ein stetiges reelles un

SO

w~hlen, dass (5)

U n < O auf X,

(6)

u ( -n auf

K

n

(7)

n

> n

Wegen (4) existiert f ~ A, dessen Realteil folgende n

Bedingungen erfiillt:

Re f n ~ U n
Ro

> L n

2.2 Da fn + i C n ~ A und Re(fn + iCn ) = Re fn fGr eine b e l i e b i g e r e e l l e Konst~ate c , k6nnen wir ohne Verlust der /Lllgen

meinheit annehmen, dass auch

~Im fn~

r

=

O.

Wir setzen ,,,% gn = exp(fn ). Nach Lemmas i und 2 ist gn6A

/~

u.d gnr A ) = ~P( rn( A ))- D~.n roz~:

I gnl ~ L

(9)

auf X, und

Daher 0 ~,gn-l~2~

= ~gn,2~

+ ~i A

- 2 Re~gn~

Also g n - ~ 1 in tier L2(~ )-Norm, und somit e x i s t i e r t eine Teilfolge

gn~

mit

gn~'~

i f.[i d~ "-

Endlich

sei x ~ S .

"

Dann

ist x

in K

f~ir ein n

no X6Kn. n>/no . Nach (5) und (6) gilt dann. f~r n>/ no : gn(X)l