Regelungstechnik 2, 9.Auflage GERMAN

Heinz Unbehauen Regelungstechnik II Aus dem Programm Automatisierungstechnik Speicherprogrammierbare Steuerungen von...

Author: Heinz Unbehauen

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Heinz Unbehauen

Regelungstechnik II

Aus dem Programm Automatisierungstechnik

Speicherprogrammierbare Steuerungen von W. Braun Mechatronik herausgegeben von B. Heinrich Kaspers/Küfner Messen Steuern Regeln herausgegeben von B. Heinrich Messtechnik von R. Parthier Regelungstechnik für Ingenieure von M. Reuter und S. Zacher Regelungstechnik I Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Fuzzy-Regelsysteme von H. Unbehauen Automatisieren mit SPS Theorie und Praxis von G. Wellenreuther und D. Zastrow Automatisieren mit SPS Übersicht und Übungsaufgaben von G. Wellenreuther und D. Zastrow Übungsbuch Regelungstechnik von S. Zacher

vieweg

Heinz Unbehauen

Regelungstechnik II Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme

9., durchgesehene und korrigierte Auflage Mit 188 Abbildungen und 9 Tabellen

Studium Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1983 2., durchgesehene Auflage 1985 3., durchgesehene Auflage 1986 4., durchgesehene Auflage 1987 5., durchgesehene Auflage 1989 6., durchgesehene Auflage 1993 7., durchgesehene Auflage 1997 8., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Oktober 2000 9., durchgesehene und korrigierte Auflage März 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-528-83348-0

Vorwort zur 8. Auflage Der vorliegende Band II der „Regelungstechnik" fuhrt gemaB der Zielsetzung des Bandes I die Behandlung der Regelungstechnik als methodische Ingenieurwissenschaft fort. Dabei wurden beziiglich der Stoffauswahl weitgehend solche Analyse- und Syntheseverfahren ausgesucht, die bei der Realisierung modemer Regelkonzepte benotigt werden. Hierzu gehoren insbesondere die Grundlagen zur Behandlung von Regelsystemen im Zustandsraum sowie die Grundkenntnisse der digitalen Regelung. Daneben werden aber auch die Methoden zur Darstellung nichtlinearer Regelsysteme behandelt, da viele technische Prozesse nichtlineare Elemente enthalten, und damit die tibliche Linearisierung meist nicht mehr angewandt werden kann. In den fast zwanzig Jahren seit dem Erscheinen der ersten Auflage der „Regelungstechnik 11" hat sich dieses Buch als begleitender Text zu verschiedenen weiterfiihrenden regelungstechnischen Vorlesungen an zahlreichen Hochschulen gut eingeflihrt und bewahrt. Viele Fachkollegen und Studenten haben sich anerkennend liber die zweckmaBige Stoffauswahl geauBert. Gegentiber der 7. Auflage wurden etliche Erganzungen und Erweiterungen vorgenommen, so z. B. bei den Entwurfsverfahren fiir Zustandsregler und reduzierte Beobachter. Vollig neu einbezogen wurden als Anhang sowohl eine umfangreiche Aufgabensammlung mit detaillierten Losungen sowie eine Formelsammlung flir das Rechnen mit Matrizen und Vektoren. Im Rahmen der vorliegenden 8. Auflage der „Regelungstechnik 11" entstand so unter Verwendung des Textverarbeitungssystems Microsoft Word 97 SR-2 eine griindlich tiberarbeitete und erweiterte Fassung des bewahrten Stoffes. Durch die vollige Neugestaltung des Satzes bestand die Gefahr des Einschleichens neuer Schreibfehler. Doch hoffe ich, dass mit dieser 8. Auflage eine ansprechende und weitgehend fehlerfreie Darstellung zur Verfiigung gestellt wird. Aufgrund der beiden unterschiedlichen Textverarbeitungssysteme, die fiir die Bande „Regelungstechnik I" und „Regelungstechnik 11" eingesetzt wurden, lieBen sich bei den nun gleichzeitig erscheinenden Neuauflagen kleine Unterschiede in der Textdarstellung nicht vermeiden. Der Stoff des Buches entspricht dem Umfang einer weiterfiihrenden regelungstechnischen Vorlesung, wie sie fiir Studenten der Ingenieurwissenschaften an Universitaten und Technischen Hochschulen sowie teilweise auch an Fachhochschulen heute angeboten wird. Das Buch wendet sich aber nicht nur an Studenten, sondem auch an Ingenieure der industriellen Praxis, die sich fur regelungstechnische Methoden zur Losung praktischer Probleme interessieren. Es ist daher auBer zum Gebrauch neben Vorlesungen auch zum Selbststudium vorgesehen. Das Buch umfasst drei groBere Kapitel. Im Kapitel 1 werden lineare kontinuierliche Systeme im Zustandsraum behandelt. Dabei werden zunachst die Zustandsgleichungen im Zeit- und Frequenzbereich gelost. Nach der Einfiihrung einiger wichtiger Grundbeziehungen aus der Matrizentheorie werden fur EingroBensysteme die wichtigsten Normalformen defmiert; weiterhin wird die Transformation von Zustandsgleichungen auf Normalform durchgefiihrt. Die Definition der Begriffe der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit als Systemeigenschaften bildet dann den Ubergang zu einer ausfiihrlichen Darstellung

vi

Vorwort zur 8. Auflage

des Syntheseproblems im Zustandsraum. Insbesondere wird die Synthese von Zustandsreglem durch Polvorgabe ftir Ein- und MehrgroBensysteme eingehend behandelt, wobei auch das Problem der Zustandsrekonstruktion mittels vollstandigem und reduziertem Beobachter einbezogen wird. Im Kapitel 2 werden die Gmndlagen zur Beschreibung linearer diskreter Systeme besprochen, wobei sich nach Einftihrung der z-Transformation auch die Ubertragungsflinktion diskreter Systeme defmieren lasst. Die Stabilitat diskreter Systeme kann dann in einfacher Weise analysiert werden. Einen breiten Raum nimmt auch hier die Synthese digitaler Regelsysteme ein. Hier werden bei dem Entwurf auf endliche Einstellzeit gerade die fiir digitale Regelungen besonders typischen Eigenschaften genutzt. Den Abschluss dieses Kapitels bildet die Behandlung diskreter Systeme im Zustandsraum. Das Kapitel 3 ist der Analyse und Synthese nichtlinearer Regelsysteme gewidmet. Es wird gezeigt, dass es hierfiir keine so allgemein anwendbare Theorie wie flir lineare Systeme gibt, sondern nur bestimmte Verfahren, hauptsachlich zur Analyse der Stabilitat, existieren. Auf die wichtigsten Verfahren wird eingegangen. So stellen die Beschreibungsfunktion und die Phasenebenendarstellung wichtige und erprobte Verfahren zur Behandlung nichtlinearer Regelsysteme dar. Die Methode der Phasenebene erweist sich dabei auch fiir die Synthese von Relaisregelsystemen und einfachen zeitoptimalen Regelungen als sehr vorteilhaft. Eine recht allgemeine Behandlung sowohl linearer als auch nichtlinearer Systeme ermoglicht die Stabilitatstheorie von Ljapunow, deren wesentliche Grundztige dargestellt werden. AbschlieBend wird das fiir die praktische Anwendung so wichtige Popov-Stabilitatskriterium behandelt. Auch bei diesem zweiten Band war es mein Anliegen, aus didaktischen Griinden den Stoff so darzustellen, dass der Leser samtliche Zwischenschritte und die einzelnen Gedanken selbstandig nachvollziehen kann. Die zahlreichen Rechenbeispiele im Text sollen zur Vertiefung des Stoffes beitragen. Als Voraussetzung fiir das Verstandnis des Stoffes dient Band I. Dariiber hinaus sollte der Leser die Grundkenntnisse der Matrizenrechnung beherrschen, wie sie gewohnlich in den mathematischen Grundvorlesungen fur Ingenieure vermittelt werden. Einen kurzen Abriss dariiber enthalt Anhang B. Das Buch entstand aus einer gleichnamigen Vorlesung, die ich seit 1976 an der RuhrUniversitat Bochum halte. Meine ehemaligen und jetzigen Studenten und Mitarbeiter sowie viele kritische Leser haben mir in den letzten Jahren zahlreiche Anregungen fiir die LFberarbeitung der fruheren Auflagen unterbreitet. Ihnen alien gilt mein Dank fiir die konstruktiven Hinweise und Verbesserungsvorschlage. Dem Vieweg-Verlag danke ich flir die gute Zusammenarbeit. Ganz besonderer Dank gilt Frau E. Schmitt und Frau P. Kiesel flir das Schreiben des Manuskriptes und Frau A. Marschall fur das Erstellen der Bilder und Tabellen. Alle drei haben mit groBer Geduld und Sorgfalt ganz wesentlich zur auBeren Neugestaltung dieser vollig iiberarbeiteten und erweiterten 8. Auflage dieses Buches beigetragen. Meinen wissenschaftlichen Mitarbeitem, den Herren Dipl.-Ing. U. Halldorsson, Dipl.-Ing. T. Knohl und Dipl.-Ing J. Uhlig gebiihrt Dank fiir die sorgfaltige Durchsicht des neu geschriebenen Textes und dessen endgiiltige Fertigstellung. AbschlieBend danke ich auch meiner Frau, nicht nur fiir das griindliche Korrekturlesen, sondern auch fiir das Verstandnis, das sie mir bei der Arbeit an diesem Buch entgegenbrachte.

Vorwort zur 8. Auflage

vii

Die Leser dieses Buches mochte ich ermuntem, Hinweise und konstmktive Kritik zur Verbesserung kiinftiger Auflagen an mich zu richten.

Bochum, Juli 2000

H. Unbehauen

Vorwort zur 9. Auflage Die groBe Naclifrage und die erfreuliche Resonanz, welche die vollstandig iiberarbeitete und erweiterte 8. Auflage bei den Lesern fand, erforderten eine Neuauflage der Regelungstechnik II. Die 8. Auflage konnte nahezu ohne Anderungen iibemommen werden. Den Lesern wtinsche ich viel Freude beim tieferen Einstieg in das Fachgebiet der Regelungstechnik. Bochum, Dezember 2006

H. Unbehauen

IX

Inhalt

Inhaltsiibersicht zu Band I und Band III

xiii

1 Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum

1

1.1 Die Zustandsraumdarstellung

1

1.2 Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich 1.2.1 Die Fundamentalmatrix 1.2.2 Eigenschaften der Fundamentalmatrix 1.2.3 Die Gewichtsmatrix Oder Matrix der Gewichtsfunktionen

6 6 9 10

1.3 Losung der Zustandsgleichungen im Frequenzbereich

11

1.4 Einige Grundlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fundamentalmatrix 1.4.1 Der Satz von Cayley-Hamilton 1.4.2 Anwendungauf Matrizenfunktionen 1.4.3 Der Entwicklungssatz von Sylvester

15 15 18 20

1.5 Normalformen fiir EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung 1.5.1 Frobenius-Form oder Regelungsnormalform 1.5.2 Beobachtungsnormalform 1.5.3 Diagonalform und Jordan-Normalform 1.5.3.1 Einfache reelle Pole (Diagonalform) 1.5.3.2 Mehrfache reelle Pole (Jordan-Normalform) 1.5.3.3 Konjugiert komplexe Pole (Blockdiagonal-Form)

21 22 25 27 27 29 32

1.6 Transformation der Zustandsgleichungen auf Normalformen 1.6.1 Ahnlichkeitstransformation 1.6.2 Transformation auf Diagonalform 1.6.3 Transformation auf Jordan-Normalform 1.6.4 AnwendungkanonischerTransformationen

34 35 36 39 42

1.7 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 1.7.1 Steuerbarkeit 1.7.2 Beobachtbarkeit 1.7.3 Anwendung der Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitsbegriffe

45 46 50 52

Inhalt 1.8 Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum 1.8.1 Das geschlossene Regelsystem 1.8.1.1 Regelsystem mit Rtickfiihrung des Zustandsvektors 1.8.1.2 Regelsystem mit Rtickfiihrung des Ausgangsvektors 1.8.1.3 Berechnung des Vorfilters 1.8.2 Der Grundgedanke der Reglersynthese 1.8.3 Verfahren zur Synthese von Zustandsreglern 1.8.3.1 Das Verfahren der Polvorgabe 1.8.3.2 Die modaleRegelung 1.8.3.3 Optimaler Zustandsregler nach dem quadratischen Gtitekriterium 1.8.4 Das Messproblem 1.8.5 Einige kritische Anmerkungen 1.8.6 Synthese von Zustandsreglern durch Polvorgabe 1.8.6.1 Entwurf eines Zustandsreglers fiir Ein- und MehrgroBensysteme durch Polvorgabe 1.8.6.2 Reglerentwurf durch Polvorgabe bei EingroBensystemen in der Regelungsnormalform 1.8.6.3 Reglerentwurf durch Polvorgabe bei EingroBensystemen in beliebiger Zustandsraumdarstellung 1.8.7 Zustandsrekonstruktion mittels Beobachter 1.8.7.1 Entwurf eines Identitatsbeobachters flir Ein- und MehrgroBensysteme durch Polvorgabe 1.8.7.2 Beobachterentwurf durch Polvorgabe fur EingroBensysteme in der Beobachtungsnormalform 1.8.7.3 Beobachterentwurf durch Polvorgabe fiir EingroBensysteme in beliebiger Zustandsraumdarstellung 1.8.7.4 Das geschlossene Regelsystem mit Zustandsbeobachter 1.8.7.5 Der Entwurf eines reduzierten Beobachters

56 56 58 59 60 60 61 61 62 62 63 64 64 64 74 77 81 81 89 90 95 97

2 Lineare zeitdiskrete Systeme (digitale Regelung)

101

2.1 Arbeitsweise digitaler Regelsysteme

101

2.2 Grundlagen der mathematischen Behandlung digitaler Regelsysteme 103 2.2.1 Diskrete Systemdarstellung durch Differenzengleichung und Faltungssumme 103 2.2.2 Mathematische Beschreibung des Abtastvorgangs 106 2.3 Die z-Transformation 2.3.1 Definition der z-Transformation 2.3.2 Eigenschaften der z-Transformation 2.3.3 Die inverse z-Transformation

109 109 113 114

2.4 Darstellung im Frequenzbereich 2.4.1 Ubertragungsfunktion diskreter Systeme 2.4.2 Berechnung der z-Ubertragungsfunktion kontinuierlicher Systeme

117 117 119

Inhalt 2.4.2.1 Herleitung der Transformationsbeziehungen 2.4.2.2 Durchfiihrung der exakten Transformation 2.4.2.3 Durchfuhrung der approximierten Transformation 2.4.3 Einige Strukturen von Abtastsystemen 2.4.4 Stabilitat diskreter Systeme 2.4.4.1 Bedingungen ftir die Stabilitat 2.4.4.2 Zusammenhang zwischen dem Zeitverhalten und den Polen bei kontinuierlichen und diskreten Systemen 2.4.4.3 Stabilitatskriterien 2.4.5 Spektrale Darstellung von Abtastsignalen und diskreter Frequenzgang

119 123 126 128 131 131 134 137 139

2.5 Regelalgorithmen fur die digitale Regelung 2.5.1 PID-Algorithmus 2.5.2 Der Entwurf diskreter Kompensationsalgorithmen 2.5.2.1 AUgemeine Grundlagen 2.5.2.2 Deadbeat-Regelkreisentwurf fiir Fiihrungsverhalten 2.5.2.3 Deadbeat-Regelkreisentwurf fiir Storungs- und Fiihrungsverhalten 2.5.2.4 Vor-und Nachteile des Kompensationsverfahrens

143 143 146 146 150 156 164

2.6 Darstellung im Zustandsraum 2.6.1 Normalformen fiir EingroBensysteme 2.6.1.1 Regelungsnormalform 2.6.1.2 Beobachtungsnormalform 2.6.2 Losung der Zustandsgleichungen 2.6.3 Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen und der diskreten Zustandsraumdarstellung 2.6.4 Stabilitat, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

164 165 165 167 169 170 172

3 Nichtlineare Regelsysteme

173

3.1 AUgemeine Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme

173

3.2 Regelkreise mit Zwei- und Dreipunktreglern 3.2.1 Der einfache Zweipunktregler 3.2.2 Der einfache Dreipunktregler 3.2.3 Zwei-und Dreipunktregler mit Rtickfuhrung 3.2.3.1 Der Zweipunktregler mit verzogerter Riickfiihrung 3.2.3.2 Der Zweipunktregler mit verzogert nachgebender Rtickfuhrung 3.2.3.3 Der Dreipunktregler mit verzogerter Riickfiihrung

178 178 184 186 187 188 188

3.3 Analyse nichtlinearer Regelsysteme mit Hilfe der Beschreibungsfunktion 3.3.1 DieMethode der harmonischen Linearisierung 3.3.2 Die Beschreibungsfunktion 3.3.3 Berechnung der Beschreibungsfunktion 3.3.4 Stabilitatsuntersuchung mittels der Beschreibungsfunktion

190 190 192 194 199

xii

Inhalt

3.4 Analyse nichtlinearer Regelsysteme in der Phasenebene 3.4.1 Der Gmndgedanke 3.4.2 Der Verlauf der Zustandskurven

203 204 206

3.5 Untersuchung von Relaisregelsystemen mit der Methode der Phasenebene 3.5.1 Zweipunktregler ohne Hysterese 3.5.2 Zweipunktregler mit Hysterese

209 209 213

3.6 Zeitoptimale Regelung 3.6.1 Beispiel in der Phasenebene 3.6.2 Zeitoptimale Systeme hoherer Ordnung

217 217 220

3.7 Stabilitatstheorie nach Ljapunow 3.7.1 Definition der Stabilitat 3.7.2 Der Grundgedanke der direkten Methode von Ljapunow 3.7.3 Stabilitatssatze von Ljapunow 3.7.4 Ermittlung geeigneter Ljapunow-Funktionen 3.7.5 Anwendung der direkten Methode von Ljapunow

222 222 225 227 232 237

3.8 Das Stabilitatskriterium von Popov 3.8.1 Absolute Stabilitat 3.8.2 Formulierung des Popov-Kriteriums 3.8.3 Geometrische Auswertung der Popov-Ungleichung 3.8.4 Anwendung des Popov-Kriteriums

241 242 244 244 248

ANHANG A: Aufgaben

251

ANHANG B: Rechnen mit Vektoren und Matrizen

417

Literatur

431

Sachverzeichnis

439

Xlll

Inhaltsiibersicht zu Band I und Band III H. Unbehauen, Regelungstechnik I 1.

Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik

2.

Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen

3.

Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich

4.

Beschreibung hnearer kontinuierhcher Systeme im Frequenzbereich

5.

Das Verhalten hnearer kontinuierhcher Regelsysteme

6.

Stabihtat hnearer kontinuierhcher Regelsysteme

7.

Das Wurzelortskurven-Verfahren

8.

Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme

9.

Identifikation von Regelkreisgliedem mittels deterministischer Signale

10.

Grundlagen der Fuzzy-Regelung

H. Unbehauen, Regelungstechnik III 1.

Grundlagen der statistischen Behandlung von Regelsystemen

2.

Statistische Bestimmung dynamischer Eigenschaften linearer Systeme

3.

Systemidentifikation mittels Korrelationsanalyse

4.

Systemidentifikation mittels Parameterschatzverfahren

5.

Adaptive Regelsysteme

6.

Entwurf optimaler Zustandsregler

7.

Sonderformen des optimalen Zustandsreglers ftir zeitinvariante MehrgroBensysteme

1 Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum Die Darstellung dynamischer Systeme im Zustandsraum entspricht vom mathematischen Standpunkt aus im einfachsten Fall der Umwandlung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein aquivalentes System von n Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Anwendung dieser Darstellung auf regelungstechnische Probleme ftihrte seit etwa 1957 zu einer betrachtlichen Erweiterung der Regelungstheorie, so dass man gelegentlich zwischen den "modernen" und den "klassischen" Methoden der Regelungstechnik unterschieden hat. Der Grund fiir diese Entwicklung ist hauptsachlich darin zu suchen, dass zur gleichen Zeit erstmals leistungsfahige Digitalrechner zur Verfiigung standen, die eine breite Anwendung der Methoden des Zustandsraums gestatteten und auch die numerische Losung sehr komplexer Problemstellungen ermoglichten. Besonders bei der Behandlung von Systemen mit mehreren Ein- und AusgangsgroBen, nichtlinearen und zeitvarianten Systemen eignet sich die Zustandsraumdarstellung vorztiglich. Diese Systemdarstellung erlaubt auBerdem im Zeitbereich eine einfache Formulierung dynamischer Optimierungsprobleme, die zum Teil analytisch, zum Teil auch nur numerisch losbar sind. Ein zweiter wichtiger Grund fiir die Anwendung dieser Darstellungsform ist die grundsatzliche Bedeutung des Begriffs des Zustands eines dynamischen Systems. Physikalisch gesehen ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher bestimmt. Allein aus der Kenntnis des Zustands zu einem beliebigen Zeitpunkt ^ = ô ^^^S^ ^^^ Verhalten des Systems fiir alle anderen Zeiten. Natiirlich muss dazu der Einfluss auBerer GroBen, z. B. in der Form des Zeitverlaufs der EingangsgroBen, bekannt sein. Der Zustand eines Systems mit n Energiespeichern wird durch n Zustandsgrofien beschrieben, die zu einem Zustandsvektor zusammengefasst werden. Der entsprechende ^-dimensionale Vektorraum ist der Zustandsraum, in dem jeder Zustand als Punkt und jede Zustandsanderung des Systems als Teil einer Trajektorie darstellbar ist. Gegentiber der klassischen Systemdarstellung ist damit eine eingehendere Analyse der Systeme und ihrer inneren Struktur moglich. In diesem Kapitel konnen aus Platzgrtinden nur die wichtigsten Grundlagen der Methoden des Zustandsraums behandelt werden. Daher erfolgt weitgehend eine Beschrankung auf lineare zeitinvariante Systeme.

1.1 Die Zustandsraumdarstellung Bevor die Zustandsraumdarstellung linearer kontinuierlicher Systeme in allgemeiner Form angegeben wird, soil fur ein einfaches Beispiel die Umwandlung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung durchgefiihrt und anhand eines Blockschaltbildes interpretiert werden. Dazu wird der im Bild 1.1.1a dargestellte gedampfte mechanische Schwinger betrachtet, mit der Masse m, der Damp-

2


flingskonstanten d und der Federkonstanten c, der durch eine Kraft u{t) erregt wird. Die Differentialgleichung ftir den Weg y(t) als AusgangsgroBe lautet my{t) + dy{t) + cy{t) = u(t) ,

(1.1.1a)

Bild 1.1.1. Mechanischer Schwinger (a) und sein Blockschaltbild (b) der Schwingungsdifferentialgleichung 2. Ordnung und aus der umgeformten Gleichung y(t) =

m

—[u(t)-dy(t)-cy(t)]

(1.1.lb)

lasst sich ein Blockschaltbild dieses Systems herleiten, indem man y(t) zweifach integriert und entsprechende Riickfiihrungen von ;;(/) und y(t)vorsiQht (Bildl.l.lb). Es ist nun naheliegend, die Ausgange der I-Glieder als ZustandsgroBen x^ (t), X2 (t) aufzufassen, also in Gl. (1.1.1) die Substitution

xi(0 = XO,

(l-l-2a)

X2{t) = m ,

(1.1.2b)

vorzunehmen. Diese ZustandsgroBen haben unmittelbar auch physikalische Bedeutung: xi (t) beschreibt den Weg und stellt somit ein MaB ftir die Federkraft dar, wahrend die Geschwindigkeit X2(t) = y(t) ein MaB fur die Dampftmgskraft ist. Damit ergibt sich aus dem Blockschaltbild oder direkt aus den Gleichungen das gewiinschte System von Differentialgleichungen erster Ordnung xi(t) = X2it), X2{t) = -~x^{t) m

(1.1.3a)

m

X2(t) + — u{t). m

(1.1.3b)

1.1 Die Zustandsraumdarstellung Wird dieses Gleichungssystem in Matrizenschreibweise dargestellt, so erhalt man xi(r)

(1.1.4)

u(t)

Oder x(t) = Ax(t) + bu(t)

(1.1.5)

mit

x(0 =

xi(t) X2(t)

0

1 A= m

d m_

, b=

1 _m _

Die AusgangsgroBe ist durch Gl. (1.1.2a) gegeben und wird in dieser vektoriellen Darstellung durch die Beziehung y(t)-- -c^ x{t)

mit

c'=[l

(1.1.6)

0]

beschrieben. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass in der weiteren Darstellung im Zeitbereich fett geschriebene Kleinbuchstaben Spaltenvektoren bezeichnen, wahrend Matrizen durch groBe, fett geschriebene Buchstaben gekennzeichnet werden. Der hochgestellte Index T gibt bei Matrizen oder Vektoren jeweils deren Transponierte an. Bei dem soeben besprochenen Beispiel handelt es sich um ein System mit nur einer EingangsgroBe u(t) und einer AusgangsgroBe y(t), also um ein Eingrofiensystem. Ein Mehrgrofiensystem mit r EingangsgroBen i/j{t),U2(t), ...,Uj.(t) und m AusgangsgroBen yi(t),y2(t), ...,yyj^{t) ist dadurch darstellbar, dass die GroBen u{t)\mdy{t) durch die Vektoren u{t) und y{t) mit den Elementen Uy{t) und yj^ît) ersetzt werden. Damit lautet die allgemeine Form der Zustandsraumdarstellung (oder oft kiirzer Zustandsdarstellung) eines linearen, zeitinvarianten dynamischen Systems der Ordnung n x{t) = A x(t) + B u{t),

x(0) =

XQ

(1.1.7b)

y(t) = Cx(t)- \-Du{t) ierbei bedeuten 'xiit)'

x(0 =

Zustandsvektor x„{t)_ U\{t)

Eingangs- oder Steuervektor

"(0 = Ur(0_

(1.1.7a)


Ausgangsvektor

y(t)-

În

(n X n) -Systemmatrix

'Ar

(nxr) -Eingangs- oder Steuermatrix

B

C\n

(m X n) -Ausgangs- oder Beobachtungsmatrix

C =

Hr

(mxr) -Durchgangsmatrix.

D

Gl. (1.1.7a) ist die (vektorielle) Zustandsdifferentialgleichung oder kurz Zustandsgleichung. Sie beschreibt die Dynamik des Systems. Wird als Eingangsvektor u(t) = 0 gewahlt, so ergibt sich die homogene Gleichung x(t) = Ax(t),

x(0) = Xo,

(1.1.8)

die das Eigenverhalten des Systems oder das autonome System kennzeichnet. Die Systemmatrix A enthalt also die vollstandige Information liber das Eigenverhalten und damit auch z. B. liber die Stabilitat des Systems. Entsprechend beschreibt die Steuermatrix B nur die Art des Einwirkens der auBeren Erregung, also der EingangsgroBen. Gl. (1.1.7b) wird als Ausgangs- oder Beobachtungsgleichung bezeichnet. Sie gibt im wesentlichen den Zusammenhang zwischen den AusgangsgroBen und den ZustandsgroBen an, der durch die Matrix C als (rein statische) Linearkombination der ZustandsgroBen gegeben ist. Dazu kommt bei manchen Systemen noch ein direkter proportionaler Einfluss der EingangsgroBen auf die AusgangsgroBen liber die Durchgangsmatrix D. Derartige Systeme werden auch als sprungfdhig bezeichnet. Diese Zusammenhange sind anhand des Blockschaltbildes oder auch des Signalflussdiagramms im Bild 1.1.2, die man aus den Gin. (1.1.7a, b) erhalt, unmittelbar ersichtlich. Es sei abschlieBend noch erwahnt, dass diese Zustandsdarstellung auch flir lineare zeitvariante Systeme anwendbar ist [Fre71]. In diesem Fall ist mindestens ein Element der Matrizen A, B, C und D eine Funktion der Zeit, und die Gin. (1.1.7a, b) gehen liber in die allgemeinere Form x{t)=Â{t)x{t)

+ B{t)u{t),

y{t) = C{t)x{t) + D{t)u{t).

(1.1.9a) (1.1.9b)

1.1 Die Zustandsraumdarstellung Die allgemeinste Form der Zustandsdarstellung eines linearen oder nichtlinearen, zeitinvarianten oder zeitvarianten dynamischen Systems wird spater im Absclmitt 3.7 verwendet. Sie gliedert sich ebenfalls in Zustandsgleichung und Ausgangsgleichung und lautet x{t)-fi[x(t),u{t)J],

(1.1.10a)

y{t) = f2[x{t),u{t)j].

(1.1.10b)

fl und / 2 sind hierbei beliebige lineare oder nichtlineare Vektorflinktionen der Dimension n bzw. m. D

k{t)

u{t) B

«

fit)

[ ..At

©

© Bild 1.1.2. Blockschaltbild (a) und Signalflussdiagramm (b) des MehrgroBensystems nach Gin. (1.1.7a) und (1.1.7b)

6


1.2 Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich 1.2.1 Die Fundamentalmatrix Zunachst soil ein System 1. Ordnung betrachtet werden, dessen Zustandsgleichung die skalare Differentialgleichung x(t) = ax{t)-^ bu(t)

(1-2.1)

ist. Die Anfangsbedingung im Zeitpunkt ô "^ ^ êi x(0) -

XQ

.

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhalt man aus Gl. (1.2.1) SX(S)-XQ

=aX{s) + bU{s)

und daraus X{S) = -^XQ +-^bU{s). (1.2.2) s-a s-a Die Riicktransformation in den Zeitbereich liefert unmittelbar als Losung von Gl. (1.2.1) x{t) = Q""^ XQ + j e^^^~^^ bu(T)dT . 0

(1.2.3)

Nun ist es naheliegend, fiir den vektoriellen Fall der Zustandsgleichung entsprechend Gl. (1.1.7a) die gleiche Struktur der Losungsgleichung anzusetzen und die skalaren GroBen entsprechend GL (1.1.7a) durch Vektoren bzw. Matrizen zu ersetzen. Dies ftihrt rein formal auf die Beziehung t

x(t) = e^^ xo + j e^^^~^^ B w(r)dr .

(1.2.4)

0

Dabei ergibt sich allerdings die Schwierigkeit der Definition der Matrix-Exponentialfiinktion e^^. Sie muss in Analogic zum skalaren Fall die Bedingung

Ae^^=ê^^ dt

(1.2.5)

erfullen. Diese Bedingung wird erfiillt, wenn die e-Funktion als unendliche Reihe auf die Matrix-Funktion (1.2.5) angewendet wird. Damit folgt 2! » k=0

.

3!

4! (1.2.6)

1.2 Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich

Man kann zeigen, dass diese Reihe fur alle Matrizen A und fur | ^ |< oo absolut konvergiert. Deshalb ist die gliedweise Differentiation nach der Zeit zulassig, und man erhalt ^

At

A

^3 ^

A1

&t

>4 *

2!

3!

.2

ÂilÂtÂ^

2!

3

—Â^—^'") 3!

= ê^^ Die Bedingung in Gl. (1.2.5) ist damit erfiillt, und Gl. (1.2.6) kann als Defmitionsgleichung fur die Funktion e ^ benutzt werden. Um die Giiltigkeit von Gl. (1.2.4) nachzuweisen, wird diese Gleichung in die Form t

x(0 = e^^xo+e^^ j e"^''^w(r)dr 0

gebracht und unter Beriicksichtigung von Gl. (1.2.5) die Ableitung gebildet: t

x(t) = AQ'^^ Xo+A e"^^ j e~^^ ^ w(r)dr + e^^ e " ^ ^ ^ u(t)

= A e"^^ -^0 + j e^^^"""^ B u(T)dT | +B u{t) 0 = A x(t) + B u{t). Damit ist nachgewiesen, dass der Losungsansatz gemaB Gl. (1.2.4) die Zustandsdifferentialgleichung, Gl. (1.1.7a), erfiillt. Im allgemeinen wird Gl. (1.2.4) auch in der Form t

x{t) = 0{t) XQ-\- ^ 0{t -T)B

u(T)dT

(1.2.7a)

0 geschrieben, wobei die Matrix cP(0 = e^^

(1.2.8)

als Fundamental- oder Ubergangsmatrix bezeichnet wird. Diese Matrix spielt bei den Methoden des Zustandsraums eine wichtige Rolle. Sie ermoglicht gemaB Gl. (1.2.7a) auf einfache Weise die Berechnung des Systemzustands fur alle Zeiten t allein aus der Kenntnis eines Anfangszustands XQ im Zeitpunkt t^=0 und des Zeitverlaufs des Eingangsvektors. Der Term 0{t)xQ in Gl. (1.2.7a) beschreibt die homogene Losung der Zustandsgleichung, die auch als Eigenbewegung oder als freie Reaktion des Systems bezeichnet wird. Der zweite Term entspricht der partikularen Losung, also dem durch die auBere Erregung {erzwungene Reaktion) gegebenen Anteil.

1 Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum Anmerkung: 1st der Anfangszeitpunkt tQ ^0, so andert sich Gl. (1.2.7a) nur formal, indem das Argument t durch t-tQ ersetzt und /Q als untere Integrationsgrenze eingesetzt wird: x(t) = 0(t-tQ)x(tQ)+

\0(t-T)B

u(T)dT .

(1.2.7b)

Beispiel 1.2.1: Gegeben sei die Zustandsgleichung 0 -1

x{t) =

6 x(0 + -5

u{t), x(0) =

XQ

=

sowie die zugehorige Fundamentalmatrix 0{t) in analytischer Form:

(6e-2^-6e-^0

(3e~^^-2e"^^) (-e~^^+e"^^)

0{t) = \

(-2e"^^+3e"^^)

(Methoden zur Ermittlung von 0{t) in dieser Form werden in den Abschnitten 1.4 und 1.5 besprochen.) Unter Beriicksichtigung der gegebenen Anfangsbedingung soil nun der zeitliche Verlauf des Zustandsvektors ftir einen Einheitssprung u{t) = \,t>0 mit Hilfe von Gl. (1.2.7a) bestimmt werden. Zunachst erhalt man ftir den Term 0{t -r) B u{t) gerade die zweite Spalte der Matrix 0{t - r), und damit folgt als Losung

x(0 = 6e

-2{I-T)

-6e -3it-T)

•2e-2('-^>+3e-3('--)

dr

Oder nach Ausfuhren der Multiplikation und Integration 15e-^^-12e-^^"

xit) = \ X(t):

+

6e-^^-5e-2^

l-3e~^^+2e"^^ -2/

-3/

l + 12e~^^-10e~^^ 5e~^^ - 4 e ~ It

Ebenso lasst sich beispielsweise die Rampenantwort dieses Systems bestimmen, indem XQ = 0 und u(t) = t,t>0 gesetzt wird. Dies ergibt -2{t-T)

x(t)=\

6e -6e -3(/-r) rdr -2e-^^^-^)+3e-^(^-^>

1.2 Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich

x(t) =

6

2

3

6

2

3

1.2.2 Eigenschaften der Fundamentalmatrix Aufgrund der Gl. (1.2.8) ergeben sich die folgenden Eigenschaften der Fundamentalmatrix eines zeitinvarianten Systems: a) C2>(0) = e^"^ = I

(Einheitsmatrix).

(1.2.9)

b) 0{t) ist stets invertierbar. Es gilt: 0~^{t) = (e^^)"^ = e^^~^^ = 0(-t). c) 0^{t) = Q'^^^ =0{kt).

(1.2.11)

d) 0(/i) 0{t2) = 0{h) 0(h) = e^^'1^^2) = 0^t^ +12). Hieraus folgt mit 0{ti -tj) = 0(tj) • 0(-tj) e) 0(t2-h)0(h-to)

(1.2.10)

= 0(tj)0'^

= 0(t2-to)-

(1.2.12a) (tj): (1.2.12b)

Diese Eigenschaften konnen besonders dann vorteilhaft genutzt werden, wenn 0(t) nicht in analytischer Form vorliegt. Hat man beispielsweise ftir t = T die Matrix 0(T) numerisch bestimmt, so ist es mit Hilfe der Gl. (1.2.11) sehr leicht moglich, zumindest die homogene Losung nach Gl. (1.2.7) ftir diskrete Zeitpunkte tj^ = kT und beliebige k zu ermitteln. Anmerkung: Ftir zeitvariante Systeme lasst sich ebenfalls eine Fundamentalmatrix 0{t, t^) angeben, die natiirlich auch vom Anfangszeitpunkt t^ abhangt und im allgemeinen nicht als Exponentialftmktion darstellbar ist. Sie hat jedoch ahnliche Eigenschaften: a) 0{t^,tQ) = l, b)

0{h,t^)^0-\tQ,h),

C) 0{t2.h)0{h,t^)

=

0{t2jQ).

Ebenso ist auch die Losungsgleichung, Gl. (1.2.7b), auf zeitvariante Systeme ubertragbar: x{t) = 0(t, tQ) x(tQ) + \ 0(t, T) B{T) w(r)dr . Diese Gleichung ist allerdings kaum mehr analytisch, sondem nur noch numerisch auswertbar.


10

1.2.3 Die Gewichtsmatrix oder Matrix der Gewichtsfunktionen Bei der Betrachtung von Regelungssystemen interessiert nicht nur der Zeitverlauf der ZustandsgroBen, sondem auch der Zusammenhang zwischen u{t) und dem Ausgangsvektor y{t). Es sei wiederum ein zeitinvariantes System betrachtet, wobei ô - ^ gewahlt wird. Setzt man in die Gleichung des Ausgangsvektors y(t) = C x{t) + Du{t) fiir x{t) Gl. (1.2.4) ein, so ergibt sich t

j ( O = Ce^^x(0)+ jCe^^^"^^J5w(r)dr + / ) w ( 0 .

(1.2.13)

Nun wird die (mxr) -Matrix .At Git) = CQ'''B + DS(t)

(1.2.14a)

bzw. G(t-T)

= Ce^^^"^^ B +

DS(t-T)

(1.2.14b)

in Gl. (1.2.13) eingeflihrt. Beachtet man noch, dass aufgrund der Ausblendeigenschaft der 5 -Funktion die Beziehung j

Du(T)S(t-T)dT=^Du(t)

(1.2.15)

gilt, dann erhalt man aus Gl. (1.2.13) schlieBlich t

y(t) = C e^^ x(0) ^ \G(t-

r) w(r)dr .

(1.2.16)

Wie man leicht erkennt (speziell flir x(0) = 0 ), stellt diese Beziehung eine Verallgemeinerung des Duhamelschen Faltungsintegrals dar. Daher kann die Matrix G(t) = C0(t)B-\-DS(t)

(1.2.17)

auch als Verallgemeinerung der vom skalaren Fall bekannten Gewichtsfunktion g(t) angesehen werden. G(t) wird deshalb auch als Gewichtsmatrix oder als Matrix der Gewichtsfunktionen zwischen den r Eingangs- und m AusgangsgroBen bezeichnet. Beispiel 1.2.2: Fiir das System mit der Zustandsdarstellung 0

6"

x+

"o"

1 -1 - 5 y = [\ 0]x und JC(0) = 0


11

lautet die Fundamentalmatrix 0{t):

(3e -It

.At

-2e~^^)

(-e"^^ + e"^^)

(6e"^^

-6e-^^)

(-2e~^^ + 3e~^0

Mit Gl. (1.2.17) und D = 0 folgt als Gewichtsmatrix (3e~^^ -2e"^0 (-e"^^+e~^^)

G{t) = [\ 0]

(6e"^^ 6e-3^) (-2e~^^+3e"^^)

= 6e

-2?

6e

-3^

Da das hier zugrunde gelegte System ein EingroBensystem ist, wird die Gewichtsmatrix hierbei eine skalare GroBe, die unmittelbar mit der Gewichtsfiinktion g{t) identisch ist.B

1.3 Losung der Zustandsgleichungen im Frequenzbereich Ftir die Behandlung der Zustandsgleichungen im Frequenzbereich wird die LaplaceTransformierte von zeitabhangigen Vektoren und Matrizen benotigt. Dazu wird folgende Schreibweise benutzt: a^{u{t)]=U{s)

und

^{G{t)] = G{s).

(1.3.1a) (1.3.1b)

Die Transformation ist dabei elementweise zu verstehen. Im weiteren werden bei der Darstellung im Frequenzbereich die Laplace-Transformierten der zeitabhangigen Vektoren u{t),y{t) Oder x{t) gemaB Gl. (1.3.1a) durch GroBbuchstaben U{s),Y{s) oder X{s) gekennzeichnet. Um diese GroBen gegentiber der Laplace-Transformierten einer zeitabhangigen Matrix, z. B. G{t), unterscheiden zu konnen, wird diese zusatzlich noch durch eine Unterstreichung gekennzeichnet, also hier entsprechend Gl. (1.3.1b) durch G{s). Zur Berechnung der Ubergangsmatrix 0{t) wird die Zustandsraumdarstellung gemaB den Gin. (1.1.7a) und (1.1.7b) einer Laplace-Transformation unterzogen: sX{s) - x(0) = A X{s) + B U(s)

(1.3.2)

Y(s) = CX(s) + DU(s).

(1.3.3)

Gl. (1.3.2) kann umgeformt werden zu (sl-A)X(s)

= x(0) + BU(s)

oder X(s) = (si - A)~^ x{0) + (si - Ay^ B U(s) ,

(1.3.4)

da (^-I - A) nichtsingular, also invertierbar ist. Diese Beziehung stellt die Laplace-Transformierte der Gl. (1.2.7a) und somit die Losung der Zustandsgleichungen im Bild- oder Frequenzbereich dar. Der erste Term der rechten Seite beschreibt die freie Reaktion (Eigenverhalten), der zweite Term die erzwungene


12

Reaktion des Systems. Durch Vergleich der beiden Gin. (1.2.7) und (1.3.4) folgt unmittelbar fur die Ubergangsmatrix

^(/) = ^ - l [(sI-A)-^]

(1.3.5)

Oder (1.3.6) Die Berechnung der Matrix 0(s) ergibt sich aus der Inversen von (Î - A), also

0(s) =

1

adj(Î-^).

si-A

(1.3.7)

Die Adjungierte einer Matrix M = [mjj] entsteht bekanntlich dadurch, dass man jedes Element my durch den Kofaktor My ersetzt und diese entstehende Matrix transponiert. Der Kofaktor Mjj ist defmiert durch

wobei Dy die Determinante derjenigen Matrix ist, die aus M durch Streichen der /-ten Zeile undy-ten Spalte entsteht. Damit besteht die Moglichkeit, die Fundamentalmatrix 0(t) in analytischer Form zu berechnen. Man bestimmt 0(s) nach Gl. (1.3.7) und transformiert die Elemente dieser Matrix in den Zeitbereich zuriick. Beispiel 1.3.1: Gegeben sei die Systemmatrix A^

0 -1

6" -5

Dann wird -6 ^+5 und als adjungierte Matrix erhalt man adj(Î-^) = Mit

\SI-A\--S^-\-5S

0{s) =

'^ + 5

6l

-1 + 6 = {S + 2)

{s + 3) folgt schlieBHch

s+5 6 1 {sl-Ay=s (^ + 2)(^ + 3) - 1

Die Riicktransformation in den Zeitbereich liefert:


0{t) =

(3e"2' -2e"^') (_e-2'+e-3')

13

(6e"2' -6e"^') (-2e-2'+3e-3')

Nachfolgend soil aus der Zustandsdarstellung eines MehrgroBensystems dessen Ubertragungsmatrix G(s) hergeleitet werden, mit der die Laplace-Transformierte des Ausgangsvektors durch Y (s) = G{s)U(s) mit G(s) = [G^,y(s)]; JLI = 1,2 , ..., m; v = l,2,...,r

(1.3.8)

darstellbar ist, wobei die GroBen Gj^^y(s) die Teiliibertragungsfunktionen des MehrgroBensystems zwischen dem v -ten Eingangssignal und dem // -ten Ausgangssignal beschreiben. Wie im skalaren Fall gilt diese Beziehung nur bei verschwindenden Anfangsbedingungen. Daher wird Gl. (1.3.4) mit x(0) = 0 in Gl. (1.3.3) eingesetzt. Damit erhalt man Y(s) = C(sl - Ay^BU(s)

+ D U(s)

Oder Y{s) = [C(sl-Ay^B

+ D]U(s).

(1.3.9)

Daraus folgt gemaB Gl. (1.3.8) fiir die Ubertragungsmatrix G(s) = C{sl - Ay^B-h D

(1.3.10)

und mit Gl. (1.3.6) schlieBlich G{s) = C0is)B

+ D.

(1.3.11)

Ein Vergleich mit Gl. (1.2.17) zeigt, dass diese Ubertragungsmatrix genau die LaplaceTransformierte der Gewichtsmatrix G{t) ist. Fiir EingroBensysteme sind B und C Vektoren, D ist skalar, und man erhalt als Ubertragungsfunktion G{s) = c^ {s\ - v4)"^ b + d

(1.3.12)

G{s) = c^0{s)b

(1.3.13)

bzw. + d.

Neben dieser Moglichkeit, die Ubertragungsfunktion eines Systems aus der gegebenen Zustandsraumdarstellung zu ermitteln, existiert noch eine weitere, die zunehmend bei der rechentechnischen Analyse dynamischer Systeme angewandt wird. Dazu muss von den Gin. (1.3.2) und (1.3.3) ausgegangen werden. Fiir x(0) = 0 folgt aus Gl. (1.3.2) (Î - A) X{s) - B U(s) = 0 ,

(1.3.14)

und aus Gl. (1.3.3) ergibt sich - C X(s) - D U(s) = -Y(s) . Die beiden Gin. (1.3.14) und (1.3.15) lassen sich in der Form

(1.3.15)


14 si-A

\B

-c

]D

X(s) ~-U(s)

0

(1.3.16)

-7(7)

darstellen. Die Matrix si-A

P(S):

IB

(1.3.17)

D

wird als verallgemeinerte Systemmatrix oder oft auch als Rosenbrock-Matrix bezeichnet [Ros74]. Fiir ein EingroBensystem (m = r = 1) geht diese Matrix iiber in

I b

sl-A

P(S):

(1.3.18)

Fiir die Determinante der (n + m)x(n-\- r) -dimensionalen Blockmatrix des MehrgroBensystems gemaB Gl. (1.3.17) gilt [HtitOO] \P{s)\ =

sl~A -C

IB \D

\sl-A\

D+

C{sl-Ay^B

und entsprechend fiir jene der quadratischen Matrix des EingroBensystems gemaB 01.(1.3.18) \P_{s)\ = \sl -A\[d + c^ {si

-Ayh],

wobei zu beachten ist, dass die zweite Determinante sich hier zu der skalaren GroBe des Klammerausdrucks reduziert. Damit erhalt man fiir das EingroBensystem \P{s)\ = \sl-A\d

+ c^?i6:]{sl-A)b.

(1.3.19)

Schreibt man fiir das EingroBensystem die Gl. (1.3.12) in die Form c^ ?id]{sl- A)b + d\sl- A\

G{s):

(1.3.20)

1^1-^1 dann erkennt man, dass mit Gl. (1.3.19) die tJbertragungsfunktion durch die Beziehung G(s) =

(1.3.21)

N(s)

\sl-A

einfach berechnet werden kann. Anhand eines Beispiels soil die Anwendung der Gl. (1.3.21) gezeigt werden. Beispiel 1.3.2: Gegeben sei ein System in der Zustandsraumdarstellung mit 0 -12

1 7

b=

c^ =[-lO

4],

d = l.

1.4 Einige Gmndlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fundamentalmatrix

15

Ftlr dieses System soil G(s) bestimmt werden. Die zur Berechnung von Z(s) und N(s) benotigte Matrix

sl-A =

s 12

-1 s-7

liefert als Determinante p -y4| = ^ -7s + 12. Die Rosenbrock-Matrix ist gegeben durch r ^ P(s) = \ \2 [_ 10

- 1 0 s-l -4

1 1

Daraus ergibt sich als Zahlerpolynom Z{s) = \Pis)\ = s^ -3s + 2. Somit lautet die gesuchte tJbertragungsfiinktion G{s) =

(^-l)(^-2) (.-3)(.-4)

1.4 Einige Grundlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fundamentalmatrix 1.4.1 Der Satz von Cayley-Hamilton Bei der Einflihrung der Zustandsraumdarstellung wurde festgestellt, dass die Systemmatrix A die vollstandige Information liber das Eigenverhalten des Systems besitzt. Sie muss also insbesondere die Pole des Systems enthalten. In der (Jbertragungsmatrix nach Gl. (1.3.11) tritt 0{s) als einziger von s abhangiger Term auf. Diese Matrix enthalt gemaB Gl. (1.3.7) als gemeinsamen Nenner aller Elemente die Determinante | ^-I - ^ | , also ein Polynom ;7-ter Ordnung, dessen Wurzeln die Pole des Systems liefem. Demnach konnen der reellen quadratischen {n x n) -Matrix A genau n reelle oder komplexe Eigenwerte Si zugeordnet werden, die sich aus der charakteristischen Gleichung oder Eigenwertgleichung P {s) = \sl-A\

(1.4.1)

=Q

ergeben. P {s) stellt ein Polynom /?-ter Ordnung in s dar und ist das charakteristische Polynom der Matrix A . Gl. (1.4.1) hat also die Form P {s) = a{^ + ai s-\-Qj s +•" + s^ =^S\aiS^

mit

a^ = 1.

(1.4.2)

/=0

Hieraus lassen sich die Eigenwerte des Systems ermitteln. Fiir ein System mit einer Einund AusgangsgroBe lasst sich nach Gl. (1.3.21) die Ubertragungsfunktion G{s) berech-

16


nen. Will man die Pole des Systems bestimmen, so muss man berticksichtigen, dass zwar jeder Pol von G(s) gemaB GL (1.4.1) ein Eigenwert von A sein muss, jedoch jeder Eigenwert von A nicht in jedem Fall ein Pol von G(s) ist, da ein Pol unter Umstanden gegen eine Nullstelle gektirzt werden kann. Darauf wird im Abschnitt 1.7 noch naher eingegangen. Sind alle Eigenwerte auch Pole des Systems, so hat G(s) einen Nennergrad, der gleich der Anzahl n der ZustandsgroBen ist. Anhand der Pole der tJbertragungsfunktion lasst sich bekanntlich die Stabilitat des Systems mittels der klassischen Methoden (z. B. Hurwitz- Oder Routh-Kriterium) untersuchen. Im Falle eines MehrgroBensystems ist asymptotische Stabilitat dann gewahrleistet, wenn die Pole samtlicher Teiliibertragungsfunktionen bzw. samtlicher Eigenwerte von^ in der linken s-Halbebene liegen. Man kann leicht nachweisen, dass bei einer Diagonalmatrix ebenso wie bei einer Dreiecksmatrix die Eigenwerte genau die Diagonalelemente sind. Eine zentrale Bedeutung hat flir die weiteren Uberlegungen der Satz von CayleyHamilton: Jede quadratische Matrix A geniigt ihrer charakteristischen Gleichung. Ist demnach P {s) nach 01. (1.4.2) das charakteristische Polynom von^, so gilt: p\A)

= aQl-âiA + a2A^ +--- + A'' =^.

(1.4.3)

Dabei sei angemerkt, dass die Bezeichnung P {A) analog zu Gl. (1.4.2) beibehalten wird, jedoch P {A) eine Matrix darstellt. Zum Beweis dieses Satzes wird die Inverse der Matrix (^-I - A) in der Form =^ ^ ^ ^ ^

isl-AT^='.6iisl-A)

1^1-^1

(1.4.4)

P (s)

geschrieben, wobei fiir die (n x n) -Polynommatrix n-l

^d](sl-A) = Y,A/ i=0

gilt. Hierbei besitzen die Matrizen Aj die Dimension (nxn). Durch Multiplikation der Gl. (1.4.4) mit P\s)(sl-A) von links folgt P\s)l

= (si- A) adjisl-

A),

und durch Einsetzen von Gl. (1.4.2) und des Ausdrucks fiir adj (Î - A) erhalt man n

n-l

Y,a/l = (sl-A)J] V /=0

i=0

Der Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von s liefert

1.4 Einige Gmndlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fundamentalmatrix

17

aol = -AAo ail = -A Ai+ AQ ^2! = ~AA2+Ai ^n-\ I =

-AA^^-\-A n-V ^n-2

I

+ A.7 7 - 1

Nun wird die erste dieser Gleichungen von links mit I, die zweite mit A usw. und die letzte mit A^ multipliziert. Durch Addition dieser so entstandenen Gleichungen folgt schlieBlich ^QI

+ aÂ + a2A^ + • • • + /l^ = 0 ,

womit Gl. (1.4.3) bewiesen ist. Dieser wichtige Satz soil an einem Beispiel noch etwas welter diskutiert werden. Beispiel 1.4.1: Gegeben sei die Matrix A=

0

Mit ^-1 0

(.1-^) =

-1

erhalt man als charakteristische Gleichung

p\s)=:{s-\){s

+ 2)^s'^ +s-2 = 0 ,

und indem s durch A ersetzt wird, muss gelten: (1.4.5)

A''+A-2l: 0.

P (A) = Tatsachlich wird P (A) =

~l

-I

0

4

+

1

1

2

0

0

0

0

-2

0

2

0

0

= 0.

Im weiteren soil ftir dieses Beispiel an zwei Fallen noch gezeigt werden, wie mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton beliebige Potenzen von A einfach berechnet werden konnen: a) Aus Gl. (1.4.5) folgt durch Multiplikation mit A~^ : A-^l-2A und damit

-1

0


2

1

0,5

0

-0,5

b) Um beispielsweise die Summe A -\-2A Gl. (1.4.5) ersetztdurch A^

zu berechnen, wird A

mit Hilfe von

=2l-A.

A ergibt sich durch Multiplikation dieser Gleichung mit A, und durch Einsetzen von A folgt schlieBlich A^ =-21 + 3 A. Damit gilt fiir obiges Beispiel: 3 2 rs A^ +2A^ =2l + A = , 0

1 0

1.4.2 Anwendung auf Matrizenfunktionen Zunachst wird ein allgemeines Polynom F(s) der Ordnung/> betrachtet F(s) = fo+fis

+ - + fpsP .

(1.4.6)

Weiterhin sei (1.4.7) ein gegebenes Polynom der Ordnung n mit n< p . Dann kann F{s) durch P {s) dividiert werden, und man erhalt fiir F{s) die Darstellung F{s) = Q{s)P {s) + R{s).

(1.4.8)

Hierbei ist Q{s) das Ergebnis der Division und R{s) ein Restpolynom von hochstens (^-1) -ter Ordnung. Nun bildet man in entsprechender Weise nach Gl. (1.4.6) die Matrizenfunktion F(A) = fol + M + -- + fÂP

(1.4.9)

Dabei sei A eine (/? x ^)-Matrix, deren charakteristisches Polynom gerade P (s) ist. Dann ist analog zu Gl. (1.4.8) folgende Aufspaltung moglich: F(A)

= Q(A)P\A)

+

R(A).

Da nach Cay ley-Hamilton aber P (^) = 0 ist, gilt F{A) = R(A) = aQl + aiA + '-- + a^_lA''~^ .

(1.4.10)

Als unmittelbare Konsequenz aus dem Satz von Cayley-Hamilton ergibt sich somit: Jede (nxn)-Matrizenfunktion F(A) der Ordnung p>n entsprechend Gl. (1.4.9) ist durch eine Funktion von hochstens {n -1) -ter Ordnung darstellbar.

1.4 Einige Grundlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fundamentalmatrix

19

Ein Beispiel hierfiir wurde bereits zuvor berechnet, indem alle Potenzen A^ mit / > n mit Hilfe des charakteristischen Polynoms eliminiert wurden. Man kann zeigen, dass Gl. (1.4.10) auch fiir /> ^> oo gilt, also wenn F(A) eine unendliche Summe ist, sofem der Grenzwert fm p-ôo existiert. Damit kann diese Beziehung auch zur Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion F(A) = e ^ nach Gl. (1.2.6) benutzt werden, und die Fundamentalmatrix e ^ kann damit in der Form 0(t) = c'^^ =R(A) = ao(t)l + ai(t)A + --- + a^_l(t)A''~^

(1.4.11)

dargestellt werden, wobei die Koeffizienten aj Zeitfunktionen sind, da die Zeit auch in der Potenzreihe explizit auftritt. Zur Berechnung dieser Koeffizienten wird noch einmal Gl. (1.4.8) betrachtet. Setzt man fiir s die Eigenwerte Sj der Matrix^ ein, so folgt wegen P (Sj) = 0 die Beziehung FiSi) = R(si).

(1.4.12)

Die beiden Polynome stimmen also fur die Eigenwerte iiberein. Somit gilt mit ^s^t F(SJ) = Q''' analog zuGl. (1.4.1 l)fur / - l , 2 , . . . , / 7 a-^/^

-

n-\

(1.4.13)

aQ (t) + ai (t) SI + --- + a^_i (0 Sj

Damit ergeben sich fiir die ?7-Eigenwerte s^ gerade n Gleichungen zur Berechnung der n unbekannten Koeffizienten a^ (t). Allerdings ist hier vorausgesetzt, dass alle n Eigenwerte Sj verschieden sind. Treten jedoch mehrfache Eigenwerte auf, so ergeben sich fur jedenEigenwert sj^ der Vielfachheit Wyr. jeweils mj^ Gleichungen der Form: (1.4.14) S=Sk

-•^k

fur // = 0 , 1 , . . . , my^ - 1 . Beispiel 1.4.2: Es ist die Fundamentalmatrix 0{t) fiir das in dem Beispiel 1.2.1 bereits benutzte System mit folgender Systemmatrix zu berechnen:

Die charakteristische Gleichung lautet: p {s) = \sl-A\

\s 1

-6| = 5^+5^ + 6 = 0. 5+5

Es ergeben sich die Eigenwerte si = -2

und

S2 =-3 .

Nun wird der Ansatz entsprechend Gl. (1.4.11) gemacht


20

0(t) = Ât e^ = ^0 (01 + ^1 (0 ^

ao(o 0 1 r 0 0 ^0 (0J [ - ^1 (0

6^1 (0' - ^î (0

Die Koeffizienten ag und ai werden dann mittels Gl. (L4.13) bestimmt: e~^^ = aQ (t) - 2ai (t)

und

e""^^ - aQ (t) - Saj (0 •

Die Losung dieser beiden Gleichungen liefert die gesuchten Zeitfunktionen ao (0 = 3e"^^ - 2e'^^

und

c^j (/) = e~^^ - e"^^ .

Somit erlialt man schlieBlich als Ubergangsmatrix aQ

0(0 = -ai

-2t 2e~^^) (3e(-e~^' + e~^')

6ai aQ - 5ai

(6e"^^-6e~^^) (-2e"^^ + 3e~^')

1.4.3 Der Entwicklungssatz von Sylvester Durch Gl. (1.4.12) ist die Aufgabe der Bestimmung des "Ersatzpolynoms" R{A) fiir eine Matrizenfiinktion F(A) auf folgendes Problem zuriickgeflihrt: Man bestimme ein Polynom R(s) der Ordnung n~l, das in n "Stiitzstellen" Sj die vorgegebenen Funktionswerte F(s,) = R(Si) annimmt. Sind dabei Sj die Eigenwerte der Matrix A, so ist R(A) das gesuchte Polynom, und es gilt F(A) = R(A). Es handelt sich hier um ein Interpolationsproblem, das eine eindeutige Losung hat. Hierfur ist die Interpolationsformel von Lagrange

Si

ns,)Y\f

-S

(1.4.15)

Sj - S j

7=1

anwendbar. Ersetzt man nun die Variable s durch die Matrix A und demgemass s^ im Zahler durch Sj I , so erhalt man unmittelbar den Entwicklungssatz von Sylvester

s^l-A 7=1

i=l :=l

(1.4.16)

'^-'J

Durch Anwendung dieser Beziehung speziell auf F(A) = Q ^ = 0{t) mit F{Sj) = Q^' folgt schlieBlich

1.5 Normalformen ftir EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung

^(0-E 7=1

-'n

s.t

21

Sil-A

(1.4.17)

Hierbei sind die GroBen Si die Eigenwerte von A, die in diesem Fall wiederum alle verschieden sein miissen. Diese Beziehung entspricht dem Gleichungssystem nach Gl. (1.4.13) und schlieBt Gl. (1.4.11) mit ein. Sie ist besonders flir die Auswertung mit Hilfe des Digitalrechners geeignet. Ihre Anwendung geschieht in drei Schritten: 1. Bestimmung der Eigenwerte von A, 2. Berechnung der Produkte in der Klammer von Gl. (1.4.17), 3. Berechnung von f^(t) durch Aufsummieren der Produkte. Beispiel 1.4.3: Ftir das bereits gewahlte Beispiel 1.2.1 mit der Systemmatrix 0 -1

6" -5

und den Eigenwerten ^j = -2 und S2 = -3 erhalt man ftir die beiden Produkte:

s^l-A S\-S2

3

6] -2j

-3 1

-3 + 5

1 -2-(-3)

-2 1

[-2 -6 = -2 + 5 1

1

-6

-1

-3-(-2)

•

=

und

-6] 3

Hiermit wird

0{t):

-2t

-3t

-2 1

(3e -^^-2e-^^) (_e-2^+e-^^)

(6e-^^-6e-3^) (-2e~^^+3e"^^)

Zusammen mit dem im Abschnitt 1.3 beschriebenen Vorgehen zur Riicktransformation von 0(s) stehen damit nun die wichtigsten Verfahren zur Berechnung von 0(t) zur Verfiigung. Beztiglich weiterer Verfahren sei auf [Csa73] verwiesen.

1.5 Normalformen fur EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung Im Folgenden soil gezeigt werden, wie aus der (Jbertragungsfunktion eines linearen EingroBensystems die Zustandsraumdarstellung abgeleitet werden kann. Entscheidend ist hierbei die Definition der ZustandsgroBen. Von der Wahl der ZustandsgroBen hangt die Struktur der Matrix^ und der Vektoren b und c in den Gin. (1.1.5) und (1.1.6) ab.

22


Gegeben sei die Ubertragungsfunktion

G(.) = i^=A±V±z:±Vif!l±Vl, Uis)

(1.5.1)

QQ-\-ais + • • • + aj^_is^ +aj^s^

die immer so normiert werden kann, dass der Koeffizient der hochsten Potenz im Nenner a^ = 1 wird. Das Zahlerpolynom soil nicht vollstandig verschwinden, d. h. mindestens ein Koeffizient bj soil ungleich Null sein. Diese Ubertragungsfunktion entsteht bekanntlich durch Laplace-Transformation aus der Differentialgleichung --Z-^^n-\-—rr'^---

+ ^\y + ^Qy = bQU + biu + ---^-bn—--.

(1.5.2)

Die Aufgabe besteht also darin, diese Differentialgleichung n -ter Ordnung in ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung umzuwandeln. Dazu werden nachfolgend drei Moglichkeiten mit unterschiedlicher Wahl der ZustandsgroBen betrachtet. 1.5.1 Frobenius-Form oder Regelungsnormalform a) Sonderfall Zunachst soUen keine Ableitungen der EingangsgroBe auftreten, d. h. Gl. (1.5.2) geht liber in

^""y

d^"V

•

,

-—^ + ^n-\-—zrT + '--'-ciiy + aQy = bQU.

n . ^^ (1.5.3)

Lost man nach der hochsten Ableitung von y auf

d'V At"

^n-\---rjr''----^îy'-%y df ^

(1.5.4)

so ergibt sich daraus unmittelbar eine Darstellung in Form eines Blockschaltbildes, das gemaB Bild 1.5.1 aus n hintereinandergeschalteten I-Gliedem mit entsprechenden Rtickfiihrungen besteht (vgl. auch Bild 1.1.1). Mit Riicksicht auf den erst spater behandelten allgemeinen Fall ist es hierbei zweckmaBig, den Faktor Z?o, der in Gl. (1.5.4) beim Eingangssignal auftritt, als P-Glied in den Ausgangszweig zu verlagern. Da es sich um ein lineares System handelt, ist dies bekanntlich zulassig. Defmiert man nun wieder - ahnlich wie in dem einfuhrenden Beispiel von Abschnitt 1.1die Ausgange der I-Glieder als ZustandsgroBen, so ergeben sich aus Bild 1.5.1 unmittelbar die Zustandsgleichungen xj = X 2 X2=X3

und

(1.5.5a)

1.5 Normalformen ftir EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung y = b^xx.

23

(L5.5b)

Fasst man die Komponenten x^ zum Zustandsvektor x zusammen, so erhalt man die Darstellung gemaB Gl. (1.1.7) mit

A=

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

0

,B = b =

^n-l

(L5.6a,b) C = c =[Z?o 0 0 ••• 0] und

D = d = 0.

(1.5.6c,d)

Die Stmktur der Matrix A wird als Frobenius-Form oder Regelungsnormalform bezeichnet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass sie in der untersten Zeile genau die negativen d

n

X

Bild 1.5.1. Blockschaltbild zu GL (1.5.4) Koeffizienten ihres charakteristischen Polynoms (normiert auf a^ = 1) enthalt. Man nennt sie auch die Begleitmatrix des Polynoms N{s) = aQ^ +aiS + '--^s^ . b) Allgemeiner Fall Betrachtet man nun zur Behandlung des allgemeinen Falles die Gl. (1.5.2), in der auch Ableitungen von u auftreten, so erkennt man, dass die Aufstellung eines Blockschaltbildes in der obigen Weise nicht mehr direkt moglich ist. Wird aber nun die erste ZustandsgroBe xi so gewahlt, dass ftir die AusgangsgroBe


24

y = bQXi+biXi+---

+ bj^

(1.5.7)

gilt, so erhalt man wiederum die gleiche Struktur der Matrix^ wie bei Gl. (1.5.6a). Um dies zu zeigen, wird die Laplace-Transformierte Y(s) aus Gl. (1.5.7) gebildet Y{s) = Xi(s)[bo+biS

+ --- + b^s''].

(1.5.8)

Setzt man diese Beziehung in Gl. (1.5.1) ein, so ergibt sich nach Ktirzen des Zahlerpolynoms 1

(1.5.9)

Diese tJbertragungsfunktion stellt aber gerade den obigen Sonderfall mit b^ = 1 dar. Hierftir ist die Definition der ZustandsgroBen gemaB Bild 1.5.1 direkt anwendbar, und damit sind die Gin. (1.5.5a) auch die Zustandsgleichungen fiir den allgemeinen Fall. Die Matrix A in Gl. (1.5.6a) bleibt unverandert, ebenso der Steuervektor b. Erganzt man Bild 1.5.1 entsprechend Gl. (1.5.7), so erhalt man das Blockschaltbild fur den allgemeinen Fall gemaB Bild 1.5.2.

Bild 1.5.2. Blockschaltbild zur Regelungsnormalform gemaB Gl. (1.5.10) Ftir die AusgangsgroBe folgt aus GL (1.5.7) mit Gl. (1.5.5a)

1.5 Normalformen fiir EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung

25

;; - b^xi + biX2 + • • • + Z?^_ix^ + b^x^

= bQXi+biX2-\---- + b^_lXj^+b^{u-aQX^

a^_ix^]

(1.5.10)

Hieraus sind die Matrizen C und D leicht ablesbar (siehe unten). Zusammenfassend lautet das Ergebnis fiir den allgemeinen Fall: Fiir ein EingroBensystem n-tov Ordnung mit der Ubertragungsfunktion (normiert auf a^ =1) G(s) =

Y(s)

_

bQ+biS -^••' + b^_is^

U(S)

1- Cln-iSn-\

GQ + aiS +

+ bj^s^

(1.5.1)

+S

sind die Matrizen der Zustandsdarstellung in Regelungsnormalform gegeben durch 0 0 A=

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

0

-^2

-^3

ao

-ai

0 0

B=b =

0 0

-^n-l

1 (1.5.1 la,b)

C = c^ = [(bo-bâo) (bi -bâi) • • - {b^_i -bj,a^_i)].

(1.5.11c)

D = d = b^ ,

(1.5.lid)

Die Regelungsnormalform ist damit sehr einfach aus der Ubertragungsfunktion zu ermitteln. Insbesondere fiir b^=0 enthalt sie neben Nullen und Einsen nur die Koeffizienten von G{s). Die Durchgangsmatrix D tritt nur fiir Z?^ ^ 0 auf, d. h. wenn Zahler- und Nennerordnung von G{s) gleich sind. Dies ist das Kennzeichen sogenannter sprungfahiger Systeme. 1.5.2 Beobachtungsnormalform Eine andere Definition der ZustandsgroBen fiir den allgemeinen Fall der Gl. (1.5.2) erhalt man, wenn anstelle des Ansatzes nach Gl. (1.5.7) die Differentialgleichung ^-mal integriert wird, so dass keine Ableitungen von u mehr auftreten. Dies fiihrt auf die Beziehung y{t) = b^ u(t) + j [bn_i U(T) - a^_i j ( r ) ] d r + • • • + 0 t

t

+ ^--' ^ [Z?ow(r)-aoK^)]dr",

(1.5.12)


26

die wiedemm als Blockschaltbild einfach realisiert werden kann (Bild 1.5.3). Defmiert

u{t)

+

9^

o-

?<S^...v>^

rf^

^4^0

Bild 1.5.3. Blockschaltbild zur Beobachtungsnormalform gemaB Gl. (1.5.12) man wie zuvor die Ausgange der I-Glieder als ZustandsgroBen, dann folgt aus Bild 1.5.3 unmittelbar das Gleichungssystem X2= xi-aiy

-\- biu , (1.5.13a)

^n^^n-\-^n-iy-^b^_lU. Die Ausgangsgleichung lautet y = Xj^ +bjû .

(1.5.13b)

Damit kann>^ eliminiert werden, und es ergeben sich folgende Zustandsgleichungen: Xi=-aQX^

X2 = -ci\Xyi + xj ^3-~^2^^+^2

-}-(bQ -bj^QQ) u ,

+ {pi - bjâi) u , -^ (b2 - bjâ2) u ,

Hieraus lassen sich sofort die Matrizen ftir die Beobachtungsnormalform angeben:

(1.5.14)

1.5 Normalformen fur EingroBensysteme in Zustandsraumdarstellung

A=-

0

0

0

0

1

0

0

0

-^0 -ai

0

1

0

0

0

0

-^n-3

1

0

-^n-2

0

1

~ ^n-\ _

0

0

27

bo-^nÔ 1 bi-bâi .b =

_^n-\ ~^n^n-\ J (1.5.15a,b)

C = c^ =[0

(}

•••

0

1],

D = d = b^

(1.5.15c,d)

Man erkennt unmittelbar, dass diese Systemdarstellung dual zur Regelungsnormalform ist, insofem als die Vektoren b und c gerade vertauscht sind, wahrend die Matrix A eine transponierte Frobenius-Form besitzt, in der die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms als Spalte auftreten. Der strukturelle Unterschied beider Formen wird besonders durch Vergleich der Bilder 1.5.2 und 1.5.3 deutlich. 1.5.3 Diagonalform und Jordan-Normalform Bei der dritten Moglichkeit der Darstellung linearer EingroBensysteme im Zustandsraum wird zur Definition der ZustandsgroBen die Partialbruchzerlegung der Ubertragungsfunktion G{s) benutzt. Hierzu wird vorausgesetzt, dass die Pole von G{s) bekannt sind, und dass der Zahlergrad m kleiner ist als der Nennergrad n. Dies lasst sich durch Abspalten eines Proportionalgliedes mit der Verstarkung b^ aus Gl. (1.5.1), also durch eine Polynomdivision, stets verwirklichen, so dass man im Folgenden nur noch die Ubertragungsfunktion der Form G{s) =

bQ + biS + • • --\-b^^s"^ _

ao + ^1^ + • • • + 5^

Z(s)

, m

^

1 s+\

1 s+2 Bild 1.7.3. Blockschaltbild zum Beispiel 1.7.2 Die Zustandsraumdarstellung dieses Systems lautet:

±(0 =

2 1

0 1 x(t) + w(0, 1 -1

K0 = [o i]x(0. Damit erhalt man: a) Eigenwerte: |sl-^| =

^+2 1

^ l = - 2 ) und

0

= (5 (s + 2) (5 +1) = 0 , = 5+1 s 2 - ~-1.

X,{s)=Y{s)

1.7 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit b)

55

Ubertragungsfunktion: Mit 0{S\

- t^\ _ y^)~^ -

"^ + 1

-

0 ~

{s + 2){s + \) _ - l

s+2

folgt G{s) = c^ 0{s)b

und

rr

-1

1

s + 2\

[i

{s + 2) (^ +1)

1

(^ + 1) (^ + l)(^ + 2) c) Beobachtbarkeit

0 1

"^ + 1

= [O 1]

s +2 '

Steuerbarkeit: "l

Rang[Z> i . 4 ^ ] - : R a n g

1

-2' - 2 _ = 1,

d. h. das System ist nicht s teu erbai

Rang [c \ A c] = Rang

^2,

d. h. das System ist beobachtbar, d) Transformationsmatrix V : AV = VA ~-2

Olhi

-1

-ljlv2i

- 2vi 1 -vn-v2i

m'

^11

^22 _

_V2i

- 2vi12 • > - v ^^2_

^12] [-2 V22J

L ^

-2VH

-1^12

_-2v2i

-^22_

0" -1

Ein Vergleich der Elemente liefert:

-2vn

=-2vii;

_ vi 1 - V21 = - 2 v 2 i ;

-2vi2

=-vi2;

- V12 - V22 = -V22 .

Da hier 2 unabhangige Gleichungen vorliegen, wird v^ i = V22 = 1 gewahlt, und damit folgt V21 = 1 und V12 = 0 . SchlieBlich erhalt man mit der Transformationsmatrix

die Vektoren b =V ^b

1 0] rr -1 ij |_i_

=

0

56

1 Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum und c * ^ = c ^ F = [0

1]

^1 O" 1

1

^[1 1].

Auch hieraus ist ersichtlich, dass das System beobachtbar, aber nicht steuerbar ist, da nicht alle Elemente von b von Null verschieden sind. Bei diesem Beispiel zeigt sich wiederum, dass nicht alle Eigenwerte auch Pole des Systems sind. • Allgemein lasst sich feststellen, dass ein System mit einer Ein- und AusgangsgroBe und einfachen Eigenwerten genau dann steuerbar und beobachtbar ist, wenn alle Eigenwerte Pole der Ubertragungsfunktion G{s) sind. Ist dies nicht der Fall, so kann trotzdem eine dieser Systemeigenschaften vorhanden sein.

1.8 Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum 1.8.1 Das geschlossene Regelsystem Ist eine Regelstrecke in der Zustandsraumdarstellung x = Ax + Bu

mit

JCQ = x(0)

(1.8.1)

und y=^Cx + Du

(1.8.2)

gegeben, so bieten sich fiir ihre Regelung die zwei folgenden wichtigen Moglichkeiten an: a) Rtickfuhrung des Zustandsvektors x und b) Riickfiihrung des Ausgangsvektors j ; . Die Blockstrukturen beider Moglichkeiten sind im Bild 1.8.1 dargestellt. Die Riickfiihrung erfolge in beiden Fallen iiber konstante Verstarkungs- oder Reglermatrizen F{r X n)

oder F\r x m) ,

die oft auch als Ruckfuhrmatrizen bezeichnet werden. Beide Blockstrukturen weisen weiterhin fur die FiihrungsgroBe je ein Vorfilter auf, das ebenfalls durch eine konstante Matrix V(rxm)

oder

V\rxm)

beschrieben wird. (Man beachte, dass diese Matrix des Vorfilters nicht mit der in Gl. (1.6.8) eingefiihrten Transformationsmatrix verwechselt wird). Dieses Vorfilter sorgt daflir, dass der Ausgangsvektor y der Dimension (r x 1) im stationaren Zustand mit dem Filhrungsvektor w der Dimension {mx\) iibereinstimmt. Fur jede der beiden Kreisstrukturen lasst sich nun ebenfalls eine Zustandsraumdarstellung angeben, die nachfolgend hergeleitet wird.

1.8 Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum

57

D

w

+

u

fe&T^^F=x5

B

Regler Regelstrecke

D

w

V

+

+

u

X

"j=^^^

Regler

^Kfc

Regelstrecke 7'

^

Bild 1.8.1. Regelung durch (a) Rtickfiihrung des Zustandsvektors x und (b) Ruckfiihrung des Ausgangsvektors y

58


1,8.1.1 Regelsystem mil Ruckfiihrung des

Zustandsvektors

Dem Bild 1.8.1a kann entnommen werden, dass fiir den Stellvektor die Beziehung u = Vw-Fx

(1.8.3)

gilt. Diese Beziehung, in die Gin. (1.8.1) und (1.8.2) eingesetzt, liefert die Zustandsraumdarstellung des Systems mit Riickfuhrung des Zustandsvektors x = {A-BF)x

+ BVw

(1.8.4)

und y = {C-DF)x^^DVw.

(1.8.5)

Diese beiden Beziehungen haben eine ahnliche Struktur wie die Gin. (1.8.1) und (1.8.2). Somit gelten fiir den Ubergang vom offenen zum geschlossenen Regelsystem folgende Korrespondenzen: A^{A-BF) B-^BV C-^(C-DF) D-^DV. Mochte man die wichtigsten Eigenschaften wie Stabilitat, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit fiir das geschlossene Regelsystem untersuchen, so konnen obige Korrespondenzen fiir die beim offenen System bereits eingefiihrten Beziehungen verwendet werden. Dann ergeben sich - das Stabilitdtsverhalten aus den Eigenwerten der Systemmatrix des geschlossenen Systems {A-BF) unter Verwendung der entsprechenden charakteristischen Gleichung P{s) = 1^1 - (y4 - ^ F)| = 0 ,

(1.8.6)

- die Steuerbarkeit anhand der Matrizen (A-BF) keitsmatrix Si =[BV

\ (A-BF)BV

I (A-BFfBV

und BV \ ••• | (A-B

liber die SteuerbarF)''~^BV]

(1.8.7)

und - diQ Beobachtbarkeit einhand dQv MditvizQn (A-BF) achtbarkeitsmatrix Sj ^KC-DF)"^

\ (A-BF)^(C-DF)^

und (C -DF)

\ ••• | [(A-BF)^

liber die Beobf-\c-DF)^]. (1.8.8)

1.8 Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum 1.8.1,2 Regelsystem mit Riickfiihrung

des

59

Ausgangsvektors

Flir diesen Fall entnimmt man aus Bild 1.8.1b flir den Stellvektor u = V'w-F'y

.

(1.8.9)

Diese Beziehung liefert mit den Gin. (1.8.1) und (1.8.2) die Zustandsraumdarstellung des Systems mit Riickftihrung des Ausgangsvektors x = Ax + B{V'w-F'

y).

(1.8.10)

AuBerdem ergibt sich flir den Ausgangsvektor y = Cx + DV'w-DF'

y

Oder umgeformt y = (l + D FT^

(CX + DV'W).

(1.8.11)

Setzt man Gl. (1.8.11) in Gl. (1.8.10) ein, dann erhalt man als Zustandsgleichung x = Ax + BV'w-BFXl-hDFy\Cx = [A-B

+ DV'w)

F'(l + D F'y^ C] jc + ^ [I - F\l + D F'Y^D] V w .

Mit der Identitat [Zie70] I - F\l + D F'T^D = (I^F'

D)-^

folgt schlieBlich die Zustandsgleichung x = [A-B F'(l + D F'y^C] X + 5 (I + F ' D)~^ V w .

(1.8.12)

Die Zustandsraumdarstellung ist im vorliegenden Fall mit den Gin. (1.8.12) und (1.8.11) gegeben. Diese beiden Beziehungen besitzen dieselbe Struktur wie die Gin. (1.8.1) und (1.8.2) des offenen Regelsystems. Damit lassen sich auch hier fiir den Ubergang vom offenen zum geschlossenen Regelsystem folgende Korrespondenzen angeben: A->A~BF'(l B^B(l

DF'y^C

+ F'D)~^V'

C->(l + D-^{l

+

+

DFy^C DF'y^DV'.

Stabilitat, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit konnen mit diesen Matrizen ahnlich bestimmt werden wie im vorhergehenden Abschnitt fiir den Fall der Zustandsvektorriickfuhrung.

60


1.8.1.3 Berechnung des Vorfilters Nachfolgend soil fur den Fall der Zustandsvektorrtickfuhrung die Berechnung der Matrix Fdes Vorfilters gezeigt werden. Dabei werden folgende Voraussetzungen getroffen: - Die Regler- oder Riickfuhrmatrix F sei bereits bekannt. - Die Anzahl von Stell- und FiihrungsgroBen sei gleich (r = m). - Zusatzlich gelte der Einfachheit halber D = 0 . Das Ziel des Entwurfs des Vorfilters ist, V so zu berechnen, dass im stationaren Zustand Ftihrungs- und RegelgroBen tibereinstimmen. Im vorliegenden Fall wird von den Gin. (1.8.4) und (1.8.5) x = (A-BF)x

+ BVw

und y = Cx ausgegangen. Im stationaren Zustand i = 0 gelte y = w. Damit folgt aus den Gin. (1.8.4) und (1.8.5) 0 = (A-BF)x^BVw

(1.8.13)

y = w = Cx.

(1.8.14)

Lost man Gl. (1.8.13) nachjcauf x=

(BF-Ay^BVw

und setzt diese Beziehung in Gl. (1.8.14) ein, so erhalt man y = w= C(B F-A)~^

BVw.

(1.8.15)

Hieraus ist ersichtlich, dass zur Einhaltung der Forderung y = w gelten muss: C{BF-Ay^BV=^l.

(1.8.16)

Daraus ergibt sich schlieBlich die gesuchte (hier: quadratische) Matrix des Vorfilters V îCiBF-AY^'B]

"^ .

(1.8.17)

Ist also F bekannt, dann kann mit dieser Beziehung das Vorfilter berechnet werden. 1.8.2 Der Grundgedanke der Reglersynthese Die Rtickkopplung des Ausgangsvektors j gemaB Bild 1.8.1b entspricht der klassischen Regelung eines linearen MehrgroBensystems. Bei der Losung dieser Problemstellung ist man i. a. bestrebt, eine weitgehende Entkopplung der einzelnen Komponenten y.^ (t) des Ausgangsvektors, also der RegelgroBen untereinander, so vorzunehmen, dass in geeigneter Weise jeder RegelgroBe y^^(0 eine StellgroBe Uy(t) zugeordnet werden kann. Dabei soil der Einfluss dieser StellgroBe Uy(t) auf die iibrigen RegelgroBen durch entsprechende Entkopplungsglieder moglichst aufgehoben werden. Dadurch erhalt man entkoppelte Einzelregelkreise, fur die dann wiederum der Entwurf eines Reglers nach den klassischen Syntheseverfahren flir EingroBenregelsysteme durchgefiihrt werden kann.


61

Im Gegensatz zur klassischen AusgangsgroBenregelung gehen die Verfahren zur Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum von einer Riickfuhrung der ZustandsgroBen gemaB Bild 1.8.1a aus, da diese ja das gesamte dynamische Verhalten der Regelstrecke beschreiben. Diese Struktur nennt man Zustandsgrofienregelung. Wie bereits gezeigt wurde, wird der Regler durch die konstante (r x n) -Matrix F beschrieben. Er entspricht beziiglich der ZustandsgroBen einem P-Regler. Wahrend man bei der klassischen Synthese dynamische Regler benutzt, um aus der AusgangsgroBe beispielsweise einen D-Anteil zu erzeugen, kann hier der D-Anteil direkt oder indirekt als ZustandsgroBe der Regelstrecke entnommen werden. Allerdings enthalt diese Regelung keinen I-Anteil. Die Standardverfahren im Zustandsraum gehen zunachst davon aus, dass f\ix t>0 keine Fiihrungs- und Storsignale vorliegen. Damit hat die Reglermatrix F die Aufgabe, die Eigendynamik des geschlossenen Regelsystems zu verandem. Die homogene Differentialgleichung, die das Eigenverhalten des geschlossenen Regelsystems beschreibt, erhalt man aus Gl. (1.8.4): x = {A-BF)x-Âx

mit

x(0) = XQ .

(1.8.18)

Nun lasst sich die Aufgabenstellung folgendermaBen formulieren: - Das System befinde sich zum Zeitpunkt ^ = 0 im Anfangszustand XQ , der ungleich dem gewiinschten Betriebszustand x{t) = x^^{t) = 0 ist. Das System kann beispielsweise durch StorgroBen z(t) fiir / < 0 in diesen Anfangszustand gebracht worden sein. - Das System soil aus diesem Anfangszustand XQ in den gewiinschten Betriebszustand x^^ = 0 uberflihrt werden. - Dabei werden gewisse dynamische Forderungen an den Obergangsvorgang gestellt. - Um dieses gewiinschte dynamische Verhalten zu erzeugen, wird der Zustandsvektor x(t) erfasst und liber den Proportionalregler mit der Ubertragungsmatrix F als Steuer- oder Stellvektor u(t) = -F x(t) wieder auf die Regelstrecke geschaltet. Zur Losung dieser Aufgabenstellung haben sich im wesentlichen drei Verfahren besonders bewahrt, auf die nachfolgend kurz eingegangen wird. 1.8.3 Verfahren zur Synthese von Zustandsreglern 1,8,3.1 Das Verfahren der Polvorgabe Das dynamische Eigenverhalten des geschlossenen Regelsystems wird ausschlieBlich durch die Lage der Pole bzw. durch die Lage der Eigenwerte der Systemmatrix A des geschlossenen Kreises bestimmt. Durch die Elemente fiy der Reglermatrix F konnen die Pole des offenen Systems aufgrund der Riickkopplung von x{t) an bestimmte gewiinschte Stellen in der s-Ebene verschoben werden. Will man alle Pole verschieben, so muss das offene System steuerbar sein. Praktisch geht man so vor, dass die gewiinschten Pole Si des geschlossenen Regelsystems vorgegeben und dazu die Reglerverstarkungen fi y ausgerechnet werden.


62

1.8.3,2 Die mo dale Regelung Der Grundgedanke der modalen Regelung ist anwendbar bei Regelstrecken mit mehreren StellgroBen u^ (t) und besteht darin, die ZustandsgroBen Xj (t) des offenen Systems geeignet zu transformieren, so dass die neuen (modalen) ZustandsgroBen x^ (t) moglichst entkoppelt werden und gemaB Bild 1.8.2 getrennt geregelt werden konnen. Da der Steuervektor u nur r Komponenten besitzt, konnen nicht mehr als r modale ZustandsgroBen Xj (t) unabhangig voneinander beeinflusst werden.

x(0

u(t) w*(0

x;(t)

Riicktransformation

Transformation

Bild 1.8.2. Struktur eines modalen Reglers (JC^ enthalt r Elemente von jc ) Jede der r ausgesuchten modalen ZustandsgroBen x, (/) wirkt genau auf eine modale SteuergroBe Uy(t), so dass die Reglermatrix F diagonalformig wird, sofem die Eigenwerte des offenen Systems einfach sind. Die Wahl der ZustandsgroBen x^ (/) erfolgt so, dass sie den dominanten Eigenwerten entsprechen. Bei mehrfachen Eigenwerten ist, wie bereits im Kapitel 1.6 gezeigt wurde, eine derartige vollstandige Entkopplung der Zustandsgleichungen im allgemeinen nicht mehr moglich. Unter Verwendung der frtiher behandelten Jordan-Form lasst sich dennoch eine weitgehende Entkopplung so durchfiihren, dass die zu verschiedenen Eigenwerten gehorenden ZustandsgroBen entkoppelt, und die zum selben Eigenwert gehorenden ZustandsgroBen nur einseitig gekoppelt sind. 1.8.3.3 Optimaler Zustandsregler

nach dent quadratischen

Gutekriterium

In Anlehnung an das klassische, fiir EingroBensysteme im Band „Regelungstechnik I" eingefiihrte Kriterium der quadratischen Regelflache unter Einbeziehung des mit dem Faktor r gewichteten Stellaufwandes

1= j[e^(0 + r^/^(0]d^ = Min

(1.8.19)

lautet das entsprechende quadratische Gtitekriterium fiir MehrgroBensysteme ^ 1= \{x^{t)Q

! x{t) + u^ it) R u{t)] dit = Min.

(1.8.20)

Dann lasst sich das Problem des Entwurfs eines optimalen Zustandsreglers nach diesem Kriterium folgendermaBen formulieren: Gegeben sei ein offenes Regelsystem entsprechend den Gin. (1.8.1) und (1.8.2). Nun ist eine Reglermatrix F so zu ermitteln, dass ein optimaler Stellvektor


ôpt

63

-Fx(t)

(1.8.21)

das System vom Anfangswert XQ SO in die Ruhelage tiberfuhrt, dass der Wert des obigen Integralausdrucks nach Gl. (1.8.20) minimal wird. Die Matrizen Q und R sind positiv semidefmite bzw. positiv definite symmetrische Bewertungsmatrizen, die haufig sogar Diagonalfom besitzen. Oft wird ftir die Losung des Problems gefordert, dass das zu regelnde System steuerbar ist. Allerdings geniigt es bereits, ftir die Losung vorauszusetzen, dass das System stabilisierbar ist, d. h. dass Eigenwerte s^ mit nicht negativen Realteilen durch die Zustandsruckfiihrung beliebig in die linke s-Halbebene gebracht werden konnen, also die zugehorigen Eigenbewegungen stabil sind. 1.8.4 Das Messproblem Bis jetzt wurde bei der Reglersynthese stillschweigend vorausgesetzt, dass alle ZustandsgroBen messbar sind. In vielen Fallen stehen die ZustandsgroBen nicht unmittelbar zur Verfiigung. Oft sind sie auch nur reine RechengroBen und damit nicht direkt messbar. In diesen Fallen verwendet man einen sogenannten Beobachter, der aus den gemessenen Stell- und AusgangsgroBen einen Naherungswert x(t) ftir den Zustandsvektor x(t) liefert. Dieser Naherungswert x(t) konvergiert im Falle deterministischer Signale gegen den wahren Wert x(t), d. h. es gilt lim [x(t)-x(t)]

= 0.

(1.8.22)

Die so entstehende Struktur eines Zustandsreglers mit Beobachter zeigt Bild 1.8.3.

x(t)

«(0

Q

yit)

A,B

x{t) Beobachter Bild 1.8.3. Zustandsregler mit Beobacliter

64


1.8.5 Einige kritische Anmerkungen Seit der Einflihrung der Zustandsraumbeschreibung und den von ihr ausgehenden Syntheseverfahren ist immer wieder die Kritik zu horen, diese „modemen" Verfahren seien stark mathematisiert, fiir die praktische Anwendung kaum zu gebrauchen und batten daher allenfalls akademischen Charakter. Von diesem Gesichtspunkt aus sollen die zuvor genannten Punkte noch einmal kritisch betrachtet werden. Ausgangspunkt fiir die Synthese war eine Zustandsraumdarstellung der Regelstrecke, die sich - wie bereits im Kapitel 1.1 gezeigt wurde - unmittelbar aus den Bilanzgleichungen der Energiespeicher ergab und somit ebenso anschaulich ist wie eine tJbertragungsfunktion oder eine Ubertragungsmatrix. Die kurz vorgestellten Syntheseverfahren erfordem in der Tat einen groBen rechnerischen Aufwand. Die auftretenden Synthesegleichungen sind aber algebraische Gleichungen und somit gut rechentechnisch zu losen. Gerade darin diirfte der Grund liegen, dass sich diese Verfahren weitgehend bewahrt und durchgesetzt haben. Die groBere Problematik liegt sicherlich weniger in den Verfahren als in den Voraussetzungen und Zielvorstellungen, z. B. der Wahl der Eigenwerte fur den geschlossenen Regelkreis oder der Bewertungsmatrizen eines Gutekriteriums. Eine weitere Problematik, die Ermittlung nicht messbarer ZustandsgroBen, wurde durch die Einflihrung des Beobachters gelost. Heute gehoren diese Syntheseverfahren fiir Zustandsregler zum modemen regelungstechnischen Standard der Entwurfswerkzeuge. Daher soil in dem nachfolgenden Kapitel auf einige dieser Verfahren noch naher eingegangen werden, wobei insbesondere deren Anwendung anhand von Beispielen ausftihrlich gezeigt wird. 1.8.6 Synthese von Zustandsregiern durch Polvorgabe 1.8.6,1 Entwurf eines Zustandsreglers fiir Ein- und Mehrgrofiensysteme Polvorgabe

durch

Die Pole Si des geschlossenen Regelkreises erhalt man aus der charakteristischen Gleichung n

P{s) = \sl^-A

+ BF\ = Y\i^-î)

= ^^

(1.8.23)

z=l

wobei I„ die (^ x/?)-dimensionale Einheitsmatrix darstellt. Falls das offene System {A, B) steuerbar ist, dann und nur dann kann mit konstanter Reglermatrix F jede beliebige Lage der Pole Si, sj, .-•, s^^ fur den geschlossenen Regelkreis vorgegeben werden [Won67]. Sind bei bekanntem Verhalten des offenen Systems {A, B) fiir den geschlossenen Regelkreis n Pole Si vorgegeben, so muss F derart bestimmt werden, dass Gl. (1.8.23) fur jede Polstelle erfiiUt ist. Dazu wird Gl. (1.8.23) mittels des Produktsatzes fur Determinanten, \K'H \=\K\-\H \, umgeformt: P{s) = \sl^ - A + B F U\sl^^

l^-\-{s\-Ay^BF\

= 0.

Da nachGl. (1.3.6) 0{s) = {sl^ - A)'^ gilt, folgt fiir Gl. (1.8.24)

(1.8.24)

1.8 Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum P(s) = I Î^ - ^ 111„ +0(s)BF

I

65 (1.8.25a)

Oder umgeformt [Bro74] p(s) = I Î^ - ^ 111^ + F 0(s)B I = P\s) P**(^) = 0

(1.8.25b)

mit dem charakteristischen Polynom P (s) des offenen Regelkreises und der gebrochen rationale!! Funktion P (s): p* (s) = I Î^ - ^ I u!id

P** (^) = 11^ + F 0(s) B I.

Die Ide!!titat der Gin. (1.8.25a) und (1.8.25b) ergibt sich aus der Tatsache, dass die Determinante einer Matrix gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte ist (| ^ | = ^-j S2-"Syi). Man beachte hierbei auch die Anderung der Dimension der Teilmatrizen. Nun muss F so gewahlt werden, dass ftir jeden Pol Si Gl. (1.8.25b) erfiillt ist. Dies ist sicherlich der Fall, wenn ftir die (r x r) -Determinante P {s) mit s = Sf gilt: P'^\si) = \lr^F

0(Si)B \ = 0.

(1.8.26)

Werden in dieser Beziehung fur die Spalten der (r x r) -Einheitsmatrix I^ die Spaltenvektoren e^ eingefiihrt, also I , =[ei 62 •••€,],

(1.8.27)

und als Abkiirzung die (nxr) -Matrix 0(s)B = ^(s) = [W^(s)W2(^) -^.(s)]

(1.8.28)

mit den (/?x 1)-Spaltenvektoren ^y(s),v = 1,2,..., r , so wird Gl. (1.8.26) gerade da!m erfiillt, wenn irgendeine der Spalten oder Zeilen der Determinante 11^ + FT^(si) \ nur Nullelemente besitzt, d. h. we!m fur einen Pol Sj die Beziehung ey + F^,(s,)

=0

oder F^y(Si)

= -ey

(1.8.29)

gilt, wobei die Einheitsvektoren e^ die Dimension ( r x l ) besitzen. Diese Beziehung allein geniigt allerdings noch nicht zur Bestimmung der Reglermatrix F. Es muss vielmehr eine derartige Bedingung unabhangig fur alle vorgegebenen Pole si, S2, •••, s^^ gelten. Dies soil fur verschiedene Falle nachfolgend gezeigt werden. a) Fall der Vorgabe einfacher Pole: Fiir das gewtinschte Verhalten des geschlossenen Regelkreises existieren in der {n X nr) -Matrix

n linear unabhangige Spaltenvektoren


66

wobei V beliebige Werte von 1 bis r annehmen darf. Als Nachweis hierzu gewahrleistet die Steuerbarkeit von (A, B), dass fiir jede Polstelle Sj gerade Rang ^(si) = r gilt [Che84]. Somit erhalt man aus Gl. (1.8.29) die Beziehung ~

oder dieser entsprecliend (1.8.30)

-[e.

wobei der zweite Index nur zur Kennzeichnung der Zuordnung dient. Wichtig ist hierbei, dass samtliche Pole Sj bei den Spaltenvektoren ^y(si) in dieser Beziehung beriicksichtigt werden miissen. Bei Systemen mit nur einer StellgroBe (EingroBensystemen) ist die Wahl der (n x n) -Matrix [^l(^l)^l(^2)---^l(^«)] mit

^^(s)^^(s)

= 0(s)b

eindeutig. Bei MehrgroBensystemen bieten sich gewohnlich mehrere Moglichkeiten zum Aufbau dieser Matrix an. Diese Mehrdeutigkeit kann benutzt werden, um auBer der Polvorgabe weitere Forderungen an das Regelsystem zu stellen (z. B. Beriicksichtigung von StellgroBenbeschrankungen). Die Mehrdeutigkeit hat also zur Folge, dass es verschiedene Reglermatrizen F geben kann, die der gleichen charakteristischen Gleichung, Gl. (1.8.23), bzw. der gleichen Polvorgabe entsprechen. Aus Gl. (1.8.30) folgt nun allgemein fiir die Berechnung der Reglermatrix als Synthesegleichung F =

-[e,e,--ê,][W,(sO'F,(s2)-"T,{s^)y

-1

(1.8.31)

Nachfolgend soil die Vorgehensweise beim Reglerentwurf an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden. Beispiel 1.8.1: Gegeben ist der offene Regelkreis mit

To A = \o [0

1 0 -2

o] \\

m\d B--

-3]

Die Steuerbarkeit ist nach Gl. (1.7.8) gewahrleistet durch die Uberprtifiing von

"o

0

Rang 0 1

1 -3

r -3

= 3,

7

Das offene System besitzt die S^ -Transformierte der Fundamentalmatrix


67

(^^+3^ + 2) 0 0

1

(^ + 3) ^(5* +3) -2s

1 s s'

sowie die Polstellen si = 0, ^2 ^ "^ ^^^ ^3 == - 2 . MitGl. (1.8.28) folgt: Tîs) = 0(s) B = 0is) b = "Fîs) = :r-^ ^(^"^+3^ + 2) Als Polvorgabe fiir das geschlossene Regelsystem wird gewahlt: Mit diesen Polen ergeben sich die Spaltenvektoren: 1.

1. 2'

]_

~6

1

, îfe)^

^l(^l)^

1. ^1(^3)^

i_l 2

2 1

1

Die Synthesegleichung, Gl. (1.8.31), liefert schlieBlich fiir die Reglermatrix

F = -[\

1 1]

1. 2' 1 1.

1. -2'

- + -J

2

2

2

-1

2^ 1

und nach Inversion

-[1 1 1]

-J

-J

11

1 3 .

5j

4 1

1 3 . 6 4" 1 3 6 4^

4 3

44-^ und Ausmultiplikation ^ =

J 5

1£. _ 1 0 . _ 5 ^ . 4 -^ 4 J 6^

F = / ^ =[6

6 2].

_1

2 1 1 . 12 6 1 1. 12 6^


68

b) Fall der Vorgabe mehrfacher Pole: Das zuvor beschriebene Vorgehen muss modifiziert werden, wenn nicht mehr n linear unabhangige Spaltenvektoren ^y{si) fiir / = 1, 2, ..., ;7 gebildet werden konnen. Treten in P{s) mehrfache Pole Si mit der Vielfachheit r^-, / = 1, 2, ..., /, auf, dann gelten neben Gl. (1.8.23) die zusatzlichen Bedingungen d^P(^)

(1.8.32)

=0

d^^ flir ^ = 1, 2 , . . . , (r^ - 1 ) . Die Differentiation der Determinanten aus Gl. (1.8.25) liefert beispielsweise fur einen zweifachen (r^ = 2) Pol Sf bzw. fur /? = 1 die zusatzliche Bedingung dP{s) ds

-^^-ÎK

+ F 'F{s)\ + — | l . + F

'F{s)\p\s)

= 0. (1.8.33)

Da flir den zweifachen Pol s = Sj einerseits Gl. (1.8.29) gilt, folgt andererseits mit -^|l,+F^(.)|P*(.) = -f|i di*' ' d^'

+i7|;(pj(,)(P2(,)...^^(,)]|/>*(,) ' I

FÎM. d^-

j e2+F'F2{s) !

I

1I - I 1 e,+F>F,is)\P (s)

,dîW e i + F ^ l ( ^ ) I F^^ ^^^' I' .-. ' d^ ! ' ei+FTi(s)\e2

+

(1.8.34)

Ff2(s)

\e,+F^^(s)\P (s)

df.is) ds

P (s),

dass nach Aufspaltung der Determinante in Gl. (1.8.34) in Teildeterminanten jeder Term in Gl. (1.8.33) eine Spalte mit Nullen enthalt mit Ausnahme der Teildeterminanten mit dem Spaltenvektor

d^ Damit aber Gl. (1.8.33) erfullt ist, muss daher als zusatzliche Bedingung zur Synthesebeziehung, Gl. (1.8.31), gelten

.dnw d^

-0.

(1.8.35)

s = Si

Auf diese Art erhalt man wiederum n linear unabhangige Spaltenvektoren aus *P^ (Sj) und (d^y(s)/ds)\s:^s- • Zusatzlich tritt in der (r x/?)-Matrix der Einheitsvektoren der zu Gl. (1.8.31) analogen Synthesebeziehung in der zugehorigen Spalte v ein Nullvektor Oy. mit Somit folgt anstelle von GL (1.8.31) flir die Reglermatrix


• [ e^

Oder 0^ ] ^y(Sj)

Oder

69 n-l

d^y(s) ds

(1.8.36a) s = ^,-

fiir i = l,2, ...,n und v e(l,2, ...,r) , wobei der zweite Index / nur zur Kennzeichnung der Zuordnung zu der betreffenden Polstelle Sf dient. Die Einfiihrung der (n x n) -Matrix TV:

^yXî)

Oder

dn.(^) d^

^ ==5',-

in Gl. (1.8.36a) liefert schlieBlich als Synthesegleichung flir den Fall, dass auch doppelte Pole flir das gewiinschte Verhalten des geschlossenen Regelkreises vorgegeben werden, F = -[ey

Oder Oy]N~,

ftir/-1, 2,...,/?.

(1.8.36b)

Beispiel 1.8.2: Gegeben sei wiederum derselbe offene Regelkreis wie im vorherigen Beispiel A^

0 0 0

1 0 -2

0 1 -3

und

0 B =b= 0 1

Fiir den geschlossenen Regelkreis werden als Pole vorgegeben Si=-A

und S2 = si^ = -3 .

Mit ^(^) = ^l(^):

1 s{s^ +3s + 2)

folgt dri(^) d^

- ( 3 ^ ^ + 6 ^ + 2) -^^(2^ + 3) ^^(^^+3^ + 2)^ s^{2-s^)

Mit obigen Polen ergeben sich die Spaltenvektoren 11" 36

J_ î(î) =

24 \_ , ^1(^2)^ 6 2_ 3

d^l(^) d^

5* = ^3

27 36 63 36_


70

Die Synthesebeziehung, Gl. (1.8.31), liefert somit als Reglermatrix F = -[l

--[1

1 0] *^1 (^1)^1(^2)

1 0]

1 24 1 6 2 3

1 6 1 2 3 2

d^ 11 36 27 36 63 36

s = s^ -216 -144 - 2 4 = -[1 1 0] 180 17 113 -72 -6 -42

und nach Ausmultiplizieren den Vektor F = /'^=[36

31 7] .

•

Fiir den Fall, dass eine der vorgegebenen Polstellen Sj des geschlossenen Regelkreises gleichzeitig auch Polstelle Sj des offenen Regelkreises ist, scheint das hier beschriebene Verfahren zur Bestimmung von F zu versagen, da bei dieser Polstelle der zugehorige Spaltenvektor !P,- {Sf) nicht berechnet werden kann. Das Verfahren ist dennoch anwendbar, wenn ein geschickter Grenziibergang durchgeftihrt wird. Dies soil an nachfolgendem Beispiel gezeigt werden. Beispiel 1.8.3: Gegeben sei wieder derselbe offene Regelkreis wie in den vorherigen Beispielen, wobei ^{s) = W^{s)-.

1

1 ^(^^+3^ + 2)

s{s-\-\){s-{-2)

gait. Fiir den geschlossenen Regelkreis werden folgende Pole vorgegeben: ^1 = - 3 ,

5-2 = -1 und

^3 = - 4 .

Man erkennt, dass die Wahl von ^1(^2) nicht direkt moglich ist. Daher wird im Vektor ^l (^2) die Substitution 1

1--

s+\

durchgeftihrt. Diese Substitution wird nur bei denjenigen Faktoren durchgeftihrt, die beim Einsetzen des betreffenden Poles S2 zu Null werden; ansonsten wird ^ = ^2 direkt eingesetzt. Damit ergibt sich die Matrix


[^l(-3)

î(-l,A)

71

24 1

î(-4)] =

2

6

-A

_,

_2

2

3

In der Inversen dieser Matrix wird nun der Grenziibergang fur s -^-\, durchgefiihrt:

lim

2

24

1 12

7 144

X

-1A

" 12

15

3

0

0

0

8 1 = 144

1^

3

also A -> oo ,

-24 -32 -I

3 ^ Mit Gl. (1.8.31) erhalt man fiir die Reglermatrix den Vektor

F = f=-[^

/

12

15

3~

0

0

0

-24

-32

1 1]

=[12 17 5].

Bei den bisher durchgerechneten Beispielen wurden nur EingroBensysteme betrachtet. Die Starke des hier dargestellten Verfahrens zeigt sich allerdings erst voll bei der Anwendung auf Mehrgrofiensysteme. Wesentlich ist dabei, dass die Systemmatrix A auf keine spezielle kanonische Form gebracht werden muss, wie das bei anderen Verfahren (z. B. [Ack77]) gewohnlich der Fall ist. Nachfolgend soil anhand eines einfachen Beispiels das Vorgehen zur Berechnung der Reglermatrix F bei einem MehrgroBensystem gezeigt werden. Dabei lasst sich auch anschaulich die zuvor bereits erwahnte Mehrdeutigkeit der Losung zeigen. Beispiel L8.4: Gegeben sei ein MehrgroBensystem durch folgende Matrizen: A=

-1

o' ,

2 -2_

B=

, c ="o r [o 2j [l -ij "l O"

2) = 0

(Fiir den Entwurf der Reglermatrix F zur Rtickflihrung des Zustandsvektors x sind allerdings die Matrizen C und D nicht erforderlich!) Fiir dieses offene Regelsystem ergibt sich als c^ -Transformierte der Fundamentalmatrix 0{s) = {sl^-A)-^

=

-2

0 s+1

0 s+2 1 5+1 {s +1) (^ + 2) 2


72

mit den Polen bei si = -1 und ^2 = -2- Mit Gl. (1.8.28) folgt nun 1 s+l T^(s) = 0(s) B = 2 (^ +1) (^ + 2)

^+2

1

0

1 s+\

0

2

2 {s + \){s + 2)

s+2

Man erhalt somit die beiden Spaltenvektoren 1 ^l{s) =

0

und 'F2{s) =

2

2 s-\-2

^{s + \){s + 2) Werden fur das geschlossene Regelsystem als Pole si=~ A und

^2 - ~ ^

vorgegeben, so liefern obige Beziehungen die Vektoren

fM)-.

f'l(s2) =

und

, !f2(^l) =

¥'2(^2)^

1 Aus diesen Spaltenvektoren milssen fur die Aufstellung der Matrix [^^(s^) Vy{s2)] nun « = 2 unabhangige Velctoren, von denen der eine s^ und der andere S2 entlialt, ausgewahlt werden. Wie man leiciit erlcennt, ergeben sicii liierfur folgende Moglichkeiten:

a)

[Ti(sO

¥'2(52)] =

b)

[I'M) fM)] =

c)

[¥^2(^1) '^1(^2)] =

1 3

0

1 3

2 3

1 3

4

1 3

1 6

-1

-

r

6 d)

[¥'2(^1) '^2(^2)]=

0

0

-1

-2


73

Die Moglichkeit d) entfallt jedoch, da die beiden Spaltenvektoren ^2('^l) ^^^ ^li^l) linear abhangig sind. Entsprechend den verbleibenden drei Moglichkeiten liefert Gl. (1.8.31) drei verschiedene Losungen zur Ermittlung der Reglermatrix F, obwohl in alien drei Fallen dieselbe charakteristische Gleichung fiir den geschlossenen Regelkreis gilt. Somit folgt fiir 1 0

a)

2 0~ 9 ~3" 1_ 2 1 3

0 1 3]

b)

c)

F=

0

0

"0

1I

6" 1

36

13' '1 (-4)

F =1

0

L

U-36

1

=r

3

0

3 _2

3 2_

1^ 12"

"6

3"

0

0

0

"3". 1

'e i 1

1 3_

21

r

r 1

1 r

0

9 "

0

1

0

1 .6"

1

=4

4 =

2

I_ J

0 1

Die Uberprtifting, ob diese unterschiedlichen Reglermatrizen jp jeweils die charakteristische Gleichung, GL (1.8.23), fiir dieselbe Polvorgabe (^j = - 4 und sj = - 5 ) erfiillen, lasst sich leicht durch Einsetzen der Zahlenwerte von^, B und F verifizieren. Bild 1.8.4 zeigt fiir alle drei oben berechneten Reglermatrizen (a bis c) die Signalverlaufe der zugehorigen Zustands- und StellgroBen, wobei w = ^ angenommen wurde. Fiir diesen Fall ergibt sich fiir den Stellvektor u = -Fx die Komponentenschreibweise

^1 =-fu^l-fl2^2

'

^2 = - / 2 1 ^ 1 - / 2 2 ^ 2 •

Es ist leicht einzusehen, dass groBe Werte der Matrixelemente fi y zum Zeitpunkt / = 0 auch groBe Werte der StellgroBen ui und ^2 ergeben. Verschwindet eine Zeile der Matrix F vollstandig, so wird auch die entsprechende Stellkomponente des Stellvektors zu Null (Fall b: U2=0). •


74

1,0

1,0

[s] 1,5 t

1,0

[s] 1,5 t

[s] 1,5

1,0 [s] 1,5 t ^2f -=+M- 0,0

-H

[-•

— -—

Fall a Fallb Fallc

-10,0-1Bild 1.8.4. Simulationsergebnisse fiir die verschiedenen Reglermatrizen F (Fall a bis c) fiir den Anfangswertzustand x (0) = [2 -1] und w = ^

1.8,6,2 Reglerentwurf durch Polvorgabe bei Eingrofiensystemen lungsnormalform

in der Rege-

Die Regelstrecke eines EingroBensystems sei in der Regelungsnormalform x^=A^x + bû

(1.8.37a)

und y = Cj^^R + du

(1.8.37b)

gegeben, wobei der besseren Unterscheidung halber der Index R eingeflihrt und auBerdem der besseren Ubersicht wegen = 0 gesetzt wird. Bei technischen Anlagen ist dies i. a. nicht der Fall, da ZustandsgroBen nicht notwendig physikalisch messbare GroBen sein miissen oder u. U. nur sehr schwer gemessen werden konnen. In den meisten Fallen ist m R der LaurentReihe geschieht. Zur Vertiefung sollen nachfolgend noch drei Beispiele zur z-Transformation betrachtet werden. Beispiel 2.3.1: Gesucht sei die z-Transformierte der Folge (7{k), die durch Abtastung aus der kontinuierlichen Sprungfunktion a{t) gemaB Bild 2.3.1 entsteht. cj{k),

1 ^

0

0

1

2

3

4

5

t/T

Bild 2.3.1. Darstellung der zur Sprungfunktion (7{t) gehorenden Zahlenfolge <j{k)

2.3 Die z-Transformation

111

Es gilt C7(^) = { 1,1, 1,1,1,...} Oder a{k) = l

fur

^ = 0,1,2,...

Mit Gl. (2.3.6) folgt die z-Transformierte von a(k) CO

k=0 = l-\-z~^ +z~^ +z~^ + '••

Diese Reihe konvergiert fiir | z | > 1, und dafiir ergibt sich ^zW =

z

1 1-z-l

z-\'

Beispiel 2.3.2: Gesucht ist die z-Transformierte der Folge, deren Elemente beschrieben werden durch / ( ^ ) = e"""^ fiir ^ = 0 , 1 , 2 , . . . , die durch Abtasten der Funktion f{t) = e"""^ mit T = 1 entsteht. Hierfiir gilt 00

oo

k=0

k=0

Diese Reihe konvergiert fur | z | > e"'', und man erhalt

^—r = - ^ — •

^z(z) =

l-e-"z-'

•

z-e"^

Beispiel 2.3.3: Gesucht ist die z-Transformierte der Folge f(k) = \^j

,A: = 0 , 1 , 2 , . . .

Man erhalt unmittelbar

Die Konvergenz dieser Reihe ist gesichert fur | z | > j , und es ergibt sich dann

^ 4

4

Fiir die wichtigsten Zeitfunktionen f(t) sind in Tabelle 2.3.1 neben den Laplace-Transformierten auch die z-Transformierten der entsprechenden Folgen f(kT) f{t)\.j, A: = 0 , 1 , 2, ... zusammengestellt.


112

Tabelle 2.3.1. Korrespondenzen zur 2^ - und z-Transformation Nr. 1 2

Zeitfunktion fit)

SB' -Transformierte F(^)=^{/(0}

5 - Impuls 5(t) Einheitssprung

1

1

1

z

s

7T

1

Tz

7

(^-1)^

2

r^z(z + i)

cj(t)

3

t

4

?

5

^-at

6

re-^'

7

^2^-at

8

1-e-^^

9

sin co^t

z-Transformierte

^z(^) = 9{KkT)] mit /(^r) = /(o \t^kT

7 1

z-c

1

cTz

{sâf 2

cT

(5 + a)^

2

z(z + c)

a (z-l)(z-c)'

s{s^d) 2

z sin 6;or 2

10

cos 6^0^

l - ( l + aOe~^^

2

z - 2z cos 6)o7" +1 z -zcosor

2

2

a"

z

s{s + a)^

z-1

z - 2z COS (X>o^ +1 z acJz •

z-c

z ah

12 1 + a-b

s(^s ^

z-\

(a-b)

e~^^ cos co^t

15

a^'^

az

(z-c)

(a-b)(z

\ - d)

d)(s-\-b)

2

cz sin COQT 2

{s + a) + <x>o s+a

14

_^T

C~Q

(z-c)^ '

bz

(OQ

e~^^ sin 0.

(2.3.10)

Ftir die Vorwartsverschiebung (Verschiebung "nach links") gilt //-I

^{/(A + //)} = z^ F,(z)-X Kk)z-

(2.3.11)

k=0

d) Differenzenbildung Mit der Definition

erhalt man fiir die zugehorige z-Transformierte der ersten Differenz ^ } A 1 f{k) j = ( z - l ) F , ( z ) - z / ( 0 ) .

(2.3.12)

Diese Beziehung entspricht dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation. Ftir die m -te Differenz gilt dann allgemein:

^XbJ^' f(k)\^^z-\rF,{z)-z

X (z-l)"-^-^ [A V(0)] ,

(2.3.13)

7=0

wobei A ^ /(O) die j -te Differenz flir ^ - 0 ist, und A ^/(O) = /(O) wird. e) Summierung k

z-\

F^{z)

bzw. ^

1 F,{z). z-\

(2.3.14)

7=0

Diese Beziehung entspricht dem Integrationssatz der Laplace-Transformation. Die zu der Summenfiinktion der linken Seite gehorende Folge ist gegeben durch

114

2 Lineare zeitdiskrete Systeme (digitale Regelung) f{k) = {/(O) , /(O) + / ( I ) , /(O) + / ( I ) + / ( 2 ) , . . . } .

f) Faltungssatz f

Z /lM/2(^-^)

=/^lz(z)^2z(^)-

(2.3.15)

Zusammen mit der Faltungssumme in Gl. (2.2.9) erlaubt dieser Satz die Definition der "z-Ubertragungsfunktion" eines diskreten Systems. g) Satz vom Anfangs- und Endwert f(0)=

lim F , ( z ) ,

(2.3.16)

Zôo

fM=l\m(z-l)F^(z),

(2.3.17)

sofem die Grenzwerte /(O) und /(oo) existieren. 2.3.3 Die inverse z-Transformation Da F^(z) die z-Transformierte der Zahlenfolge f(k) fiir ^ = 0 , 1 , 2 , die inverse z-Transformation von F^(z) f-^

{F^{Z)}

= f{k)

darstellt, liefert (2.3.18)

wieder die Zahlenwerte f{k) dieser Folge, also die diskreten Werte der zugehorigen Zeitfunktion f{t)\ ^^j^j fur die Zeitpunkte t = kT. Da die z-Transformation umkehrbar eindeutig ist, kommen fiir die inverse z-Transformation zunachst nattirlich die sehr ausflihrlichen Tabellenwerke [Doe85], [Jur64], [Tou59], [Zyp67] in Betracht, aus denen unmittelbar korrespondierende Transformationspaare entnommen werden konnen. Fiir kompliziertere Falle, die nicht in den Tabellen enthalten sind oder darauf zuriickgefuhrt werden konnen, kann die Berechnung auf verschiedene Arten durchgefiihrt werden. Nachfolgend sollen dazu drei Verfahren vorgestellt werden: a) Potenzreihenentwicklung Wird F^(z) in eine konvergente Potenzreihe nach z~ entwickelt, also 00

.0

(2.3.19)

= / ( 0 ) + / ( l ) z-1 + / ( 2 ) z-^ + ••• + / ( ^ ) z-^ + •••, dann ergeben sich unmittelbar die Werte f{k) der zugehorigen Zeitfunktion zu den Zeitpunkten kT. Ist F^(z) eine gebrochen rationale Funktion, dann erhalt man die Reihenentwicklung einfach durch Division von Zahler und Nenner. Dieses Vorgehen zeigt das folgende Beispiel.

2.3 Die z-Transformation

115

Beispiel 2.3.4: Es ist f{k)

fiir A: = 0,1, 2 , . . . zu bestimmen, wenn

FJz) = (z-l)(z-2) gegeben ist. Durch Umschreiben folgt ^z(^) =

8z-l l-3z~^+2z~^ '

und durch Division erhalt man F^ (z) = 8z'^ + 24z'^ + 56z"^ + UOz'"^ + • • • Aus dieser Beziehung konnen direkt die Werte der Zahlenfolge f{k)

abgelesen werden:

/ ( 0 ) = 0, / ( 2 ) = 24, / ( 3 ) = 56, / ( 4 ) = 120, Fiir groBe Werte von k ist gewohnlich die Rechnung sehr langwierig. Es soil hier noch darauf hingewiesen werden, dass sich bei z-Tranformierten hoherer Ordnung die Ermittlung des Bildungsgesetzes der Potenzreihe recht schwierig gestalten kann. • b) Partialbruchzerlegung Zur Berechnung von f{k) wird F^{z) einer Partialbruchzerlegung unterzogen. Die Rticktransformation der dabei entstehenden einfachen Terme kann anhand einer Tabelle fiir z-transformierte Standardfunktionen durchgeflihrt werden. Die inverse z-Transerhalt man dann als Summe der inversen formierte von F^(z), also f(k), z-Transformierten der Partialbriiche. Beispiel 2.3.5: Wie im vorigen Beispiel soil fiir ^ r ^

8z (z-l)(z-2)

durch Partialbruchzerlegung von F^(z) die zugehorige Folge f{k) Die Partialbruchzerlegung liefert ^ , ^

-8z z-\

8z z-2

ermittelt werden.

116


AusTabelle 2.3.1 folgt

So erhalt man /(A) = 8(-l + 2^)

ftir

/: = 0 , 1 , 2 , . . .

Oder /(0) = 0, / ( 2 ) = 24, /(3) = 56, / ( 4 ) = 120,

^

c) Auswertung des Umkehrintegrals (Residuensatz) Durch Multiplikation der Gl. (2.3.6) mit z^~^ folgt F , (z) z^-^ = /(O) z^-1 + / ( I ) z^-^ + / ( 2 ) z^-^ + • • • + f{k) z-1 + .. •

(2.3.20)

Diese Gleichung stellt eine Laurent-Reihenentwicklung der Funktion F^(z)z ~ um z = 0 dar. Aus der Cauchyschen Formel ftir die Koeffizienten dieser Laurent-Reihe folgt ftir positive k -Werte das komplexe Kurvenintegral f(k) = — 6 F^(z)z^~^dz, 27rj J

A = 0,1,...

(2.3.21)

Diese Beziehung stellt die Umkehrformel der z-Transformation, also die Definition der inversen z-Transformation dar. Sie wird auch als Umkehrintegral bezeichnet. Die Kontur des Integrals schlieBt alle Singularitaten von F^ (z) z ~ ein und wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Die Auswertung erfolgt mit Hilfe des Residuensatzes

f{k) = Y.K^s[F^{z)z k-\

(2.3.22)

Hierbei sind die GroBen a^ die Pole von Fj^{z)z ~ , d. h. also auch die Pole von F^{z). Besitzt F^{z) Pole bei z = 0, so werden diese gemaB ihrer Vielfachheit als Totzeit interpretiert und nur das Restpolynom mit dem Residuensatz ausgewertet. Bei einem einfachen Pol z = a berechnet sich das Residuum als Res 1^2 (z)z^~^

= lim (z-a)[Fz(z)z^"'^] .

(2.3.23)

1st Fj^{z) eine gebrochen rationale Funktion F,(z)/-'=^,

(2.3.24)

2.4 Darstellung im Frequenzbereich

117

und ist a eine einfache Nullstelle von ^ ( z ) , so gilt cL4(z)| A\a) = dz

^0,

und es folgt aus Gl. (2.3.23) Res

^. ^ ^ B(z) B(a) lim (z - a) ^^-^ = —^—^ zâ A(z) A'{a)

A(z)

Tritt ein q -facher Pol bei z = a auf, dann wird Res \F^(z)z

1

k-\

z=a

{q-l)\

,. lim

d^-^

zâ

dz^"^

[ ( z - a ) ^ F , ( z ) z ^k~\^ ~^].

(2.3.25)

Beispiel 2. J. (5.Fiir das vorherige Beispiel mit 8z ^z(^)^

(z-l)(z-2)

folgt aus Gl. (2.3.21) 27IJ J z ^ - 3 z + 2 2

= Y^ Res /=1

dz

8z^ ^

z^-3z + 2

f=l

2z-3

und mit den Werten a^ = 1 und a2=2 erhalt man schlieBlich / ( ^ ) = 8(-l + 2^),

^ = 0,1,2,...

2.4 Darstellung im Frequenzbereich 2.4.1 tJbertragungsfunktion diskreter Systeme Ein lineares zeitinvariantes diskretes System ;7-ter Ordnung wird entsprechend Gl. (2.2.5) durch die Differenzengleichung n

n

y{k)^-Y^ a,y(k-v)=Y F=l

p,u{k-v)

(2.4.1)

K=0

beschrieben. Wendet man hierauf den Verschiebungssatz der z-Transformation gemaB Gl. (2.3.10) an, so erhalt man r,(z)(l + aiz-l+a2Z-^+.-- + a^z-^)==f/,(z)(,^0+A^~^+--- + y^^^~^). (2.4.2)

118


woraus direkt als Verhaltnis der z-Transformierten von Eingangs- und Ausgangsfolge die Z'Ubertragungsfunktion des diskreten Systems

^^^^^^MH^MA^lmlAll. ^zW

(2.4.3)

l + a^z ^+--- + a „ z ""

definiert werden kann. Dabei sind die Anfangsbedingungen der Differenzengleichung als Null vorausgesetzt. In Analogie zu den kontinuierlichen Systemen ist die z-LFbertragungsfunktion G^Cz) als z-Transfonnierte der Gewichtsfolge g{k) definiert: G,(z) = f { g W } .

(2.4.4)

Dies soil anhand der Faltungssumme in Gl. (2.2.9) gezeigt und damit zugleich der Faltungssatz, Gl. (2.3.15), bewiesen werden. Mit der Defmitionsgleichung der z-Transformation, Gl. (2.3.6), folgt aus Gl. (2.2.9) oo

CO

k=0

00

k=0 v=0

Mit der Substitution JLI = k-v erhalt man 00

oo

yz(^)= Z E "(v)g(//)z-^'^-^ jil= -y i / = 0

Da aus Kausalitatsgrlinden g(//) = 0 fiir // < 0 ist, kann fUr die untere Grenze der ersten Summe auch // = 0 eingesetzt werden, und man erhalt oo

CO

/z=0

i/=0

also 7,(z) = G , ( z ) t / , ( z ) .

(2.4.5)

Anmerkung: In Gl. (2.3.15) wurde als obere Summengrenze anstelle von oo die Variable k verwendet. Da jedoch stets f{k) = 0 ftir k 0

bzw. U^{z) = ^— 2-1

als stationarer Endwert der AusgangsgroBe, K = lim y(k)

(2.4.8)

ergibt. Nach dem Endwertsatz der z-Transformation, Gl. (2.3.17), lim y(k) = y(k)=\\m[(z-l)Y^(z)] gilt mit Gl. (2.4.5) lim y(k)= lim ( z - l ) G , ( z ) k-^co

z^-l L

' z-1

=Gza)> also unter Beriicksichtigung von Gl. (2.4.3) n

K = G,{\) = ^

.

(2.4.9)

1 + S ^v

2.4.2 Berechnung der z-Ubertragungsfunktion kontinuierlicher Systeme 2.4.2.1 Herleitung der

Transformationsbeziehungen

Zur theoretischen Behandlung von Abtastregelkreisen wird - wie frtiher bereits erwahnt auch fur die kontinuierlichen Teilsysteme eine diskrete Systemdarstellung benotigt, also eine z-Ubertragungsfunktion. Dazu betrachtet man den kontinuierlichen Teil des Abtastregelkreises von Bild 2.2.3, der im Bild 2.4.1 noch einmal dargestellt ist. H{s) sei die Ubertragungsfunktion eines zunachst nicht naher spezifizierten Haltegliedes. Das Eingangssignal dieses Systems ist eine Folge diskreter Impulse u{kT), wahrend das Ausgangssignal eine kontinuierliche Zeitfunktion y{t) ist, aus der durch Abtastung die Folge diskreter Impulse y{kT) entsteht. Gesucht ist nun das tJbertragungsverhalten zwischen der Eingangsfolge u{kT) und der Ausgangsfolge y{kT). Zunachst soil die Gewichtsfunktion gîQ (t) des kontinuierlichen Systems einschlieBlich Halteglied betrachtet werden, also g^G{t) = 3-^{His)G{s)],

(2.4.10)


120

Y{s)

Uis)

U*(s)

H(s)

(u(kT))

(u(t))

Gis)

iyikT))

{y{t))

HGiz)-

M

Y^s)

o—b

•

Bild 2.4.1. Zur Definition der z-Ubertragungsfunktion eines kontinuierlichen Systems die sich als Antwort auf einen Dirac-Impuls u'{t) = 5{t) ergibt. Da aber der Dirac-Impuls, als Abtastsignal betrachtet, dem in Gl. (2.2.6) definierten diskreten Impuls S^ (k) entspricht, erhalt man die Gewichtsfolge einfach durch Abtasten der Gewichtsfunktion, zu g^G(kT) =

^-^{H(s)G(s)}\^^ kT

(2.4.11)

Damit ergibt sich als z-Transformierte dieser Gewichtsfolge die Beziehung HGîz) =

^{£^-^{H(s)G(s)}\^^^^\,

(2.4.12)

^{H(S)G(S)}

(2.4.13)

die haufig auch als HG^(Z)

=

geschrieben wird, wobei das Symbol ^ die in Gl. (2.4.12) enthaltene doppelte Operati{•"}\f^j^f} kennzeichnet. Es ist somit falsch, HG^{z) als z-Transformierte on ^{^~ der Ubertragungsfunktion H(s)G(s) zu betrachten; richtig ist vielmehr, dass HG^(z) die z-Transformierte der Gewichtsfolge giiQ(kT) ist. AuBerdem ist zu beachten, dass die durch Gl. (2.4.13) beschriebene Operation nicht umkehrbar eindeutig ist. Dies wird anschaulich klar, wenn man bedenkt, dass HG^{z) ja nur von der Eingangs- und Ausgangsfolge u{kT) und y{kT) abhangt. Die synchrone Signalabtastung bei Systemen mit unterschiedlichen Ubertragungsfunktionen H{s) G(s) kann identische Ergebnisse liefern, und zwar immer dann, wenn die Abtastzeitpunkte so liegen, dass identische Abtastsignale entstehen. Hier wurde fur die z-Ubertragungsfunktion die Beziehung HGr^(z) benutzt, um zu kennzeichnen, dass das vorgeschaltete Halteglied mit berticksichtigt ist. Selbstverstandlich ist diese Transformation auch ohne Halteglied moglich, wobei dann die Ubertragungsfunktion G^ (z) entsteht. In diesem Zusammenhang soil nochmals naher auf die Funktion des Haltegliedes eingegangen werden. Erweitert man die im Bild 2.4.1 dargestellte Blockstruktur um einen vorgeschalteten 5 -Abtaster, der aus dem kontinuierlichen Signal u(t) das Abtastsignal u (/) erzeugt (Bild 2.4.2), dann ware es wtinschenswert, durch ein geeignetes Halte- oder Formglied mit der Ubertragungsfunktion H(s) aus dem abgetasteten Eingangs signal u (t) wieder-

2.4 Darstellung im Frequenzbereich

121

um das tatsachliche kontinuierliche Eingangssignal so zu erzeugen, dass fur das Ausgangssignal des Halte- oder Formgliedes gerade die fundamentale Beziehung u(t) = u(t)

(2.4.14)

gilt. Diese Bedingung kaiin jedoch durch geeignete Halteglieder nur fur wenige Signalformen u(t) exakt erftillt werden, z. B. bei sprungformigen Signalen u(t) durch ein Halteglied nullter Ordnung, bei rampenformigen Signalen durch ein Halteglied erster Ordnung usw. Dagegen ware die Benutzung eines Haltegliedes bei der z-Transformation falsch, wenn u(t) aus 5 -Impulsen bestehen wtirde. Uis)

(«(0)

cr—o

U\s) (uikT))

H(s)

U(s)

G(s)

(u(t))

HGl(z)

M

Yis)^

(XO)

Y\s)^

cr-o

(y(kT))

- •

Bild 2.4.2. Abgetastete Signale eines kontinuierlichen Systems Verwendet man nun ein Halteglied nullter Ordnung gemaB Gl. (2.2.13), so folgt mit H(S) = HQ(S) fur 01.(2.4.13)

HoG.W^J^-'l^-ê-

(2.4.15) t=^kT\

In dieser Beziehung stellt der Term

bekanntlich die Ubergangsfunktion des kontinuierlichen Teilsystems mit der Ubertragungsfunktion G(s) dar. Durch Abtastung von h(t) entsteht die Uhergangsfolge h{kT) = ^~

1 J G{s)

(2.4.16) t=kT

Verwendet man Gl. (2.4.16) in Gl. (2.4.15), so erhalt man HQG^{z) = ^{h{kT)-h{kT

-T)],

und mit dem Verschiebungssatz der z-Transformation folgt (2.4.17) oder unter Berucksichtigung von Gl. (2.4.16) HoG,(z) =

(l-z-')^^^^'^

^

(2.4.18)

122


Fiir den speziellen Fall eines sprungformigen Eingangssignals u(t) formt das Halteglied nullter Ordnung gerade ein Signal u(t) so, dass Gl. (2.4.14) exakt erfullt ist, sofern ein Abtastzeitpunkt mit dem Beginn des Sprunges zusammenfallt. Allgemein kann unter Verwendung eines Haltegliedes nullter Ordnung Gl. (2.4.14) nur erfullt werden, wenn das Eingangssignal u(t) eine Treppenfunktion mit konstanter Schrittweite darstellt. Wird namlich eine derartige Treppenfunktion u(t) mit einer Abtastzeit, die gerade gleich der Schrittweite ist, an den Spmngstellen abgetastet, so entsteht als "geformtes" Signal u(t) am Ausgang des Haltegliedes nullter Ordnung gerade wieder das Eingangssignal u(t), und es gilt somit Gl. (2.4.14). Die Stufenhohe dieser Treppenfunktion ist dabei beliebig. Damit stellt bei Einhaltung der Gl. (2.4.14) die z-Ubertragungsfunktion

eine exakte diskrete Beschreibung des kontinuierlichen Systems mit der tJbertragungsfiinktion G{s) dar; sie wird daher auch exakte z-Ubertragungsfunktion genannt. Interessant ist in diesem Zusammenhang die Transformation von Systemen mit Totzeit, die durch die transzendente Ubertragungsfunktion G\s) = G(s)

Q'^''

beschrieben werden. Es sei der Fall betrachtet, bei dem T^ ein ganzzahliges Vielfaches d der Abtastzeit 7 ist, also T^=dT.

(2.4.20)

Mit Gl. (2.4.12) gilt HG'^(z) = '^\ 3}'^

\H{S)G{S)Q~^''

Fuhrt man die zur Ubertragungsfunktion SHG (0 în, so erhalt man

=

UH{s) G(s)

gehorende Gewichtsfunktion

9{gnG[(k-d)T]},

HG'^(z) = HG^(z)z'"^ .

(2.4.21)

Gl. (2.4.21) zeigt, dass die Totzeit nur eine Multiplikation von HGr^(z) mit z~ bewirkt, d. h. die z-LFbertragungsfunktion bleibt eine rationale Funktion. Dies vereinfacht nattirlich die Behandlung von Totzeit-Systemen im diskreten Bereich auBerordentlich. Auch ohne die Einschrankung, dass T^ ein ganzzahliges Vielfaches von T sei, erhalt man immer eine rationale Ubertragungsfunktion, worauf hier jedoch nicht eingegangen werden soil.

2.4 Darstellung im Frequenzbereich 2,4,2,2 Durchfuhrung

der exakten

123 Transformation

Nachfolgend wird der in digitalen Regelkreisen haufigste Fall betrachtet, dass das Eingangssignal eines kontinuierlichen Teilsystems, z. B. der Regelstrecke, eine Treppenflinktion ist, die durch ein Halteglied nullter Ordnung erzeugt wird. Dies tritt immer dann auf, wenn die vom digitalen Regler (Prozessrechner) berechnete Stellgroiê liber einen Digital/Analog-Umsetzer (D/A-Umsetzer) auf die Regelstrecke einwirkt. Dabei iibt der D/A-Umsetzer die Funktion eines Haltegliedes nullter Ordnung aus. In diesem Fall gilt somitGl. (2.4.18): //0G.(z) = ^ ^ ^ ^ ( ^ ) G{s) sei eine gebrochen rationale Funktion, ^(,) . ^ O ^ V ^ - ^ V ' " = ^3 (^-^N.)(^-^N.)-(^-%„,) ^ ZW ao+ai^ + --- + 5''

{S-SY^){S-S^^)...{S-S^)

(2.4.22)

N{S)

mit mco

z->l

ergibt sich mit

(2.5.18)

Z —1

also (2.5.19) \-K^îl) = 0. Dies bedeutet, dass die Funktion 1 - K^^ (z) mindestens eine Nullstelle bei z = 1 besitzen muss, Oder, da mit Gl. (2.5.13) D(z)G(z) = - ^ ^ ^

(2.5.20)

gilt, dass der offene Regelkreis D(z) G(z) mindestens einen Pol bei z = 1 aufweisen muss, der einem I-Anteil entspricht. Um diese Forderungen zu erfiillen, wird der Ansatz N(z) gemacht, wobei sich durch Einsetzen von K^^(z) gemaB GL (2.5.15) und durch Vergleich der Zahlerausdrticke die Beziehung N(z)-P'(z)z-'^

=Q(z)(l-z-^)

(2.5.22)

als Bestimmungsgleichung fiir Q(z) unter der Voraussetzung ergibt, dass die Polynome P'(z) und N(z) vorgegeben werden.

2.5 Regelalgorithmen fiir die digitale Regelung

149

Werden die obigen Ansatze ftir Ky^(z) nach Gl. (2.5.15) und fur l-K^^{z) nach Gl. (2.5.21) in Gl. (2.5.14) eingesetzt, so erhalt man im vorliegenden Fall als tJbertragungsfunktion des diskreten Kompensationsreglers unmittelbar Di.) = -^Mn^,

(2.5.23a)

Wird in dieser Beziehung Q(z) (i-z~ ) noch durch Gl. (2.5.22) ersetzt, so folgt schlieBlich D(z) =

^Mnzl__^ B(z)[N(z)-nz)z-'^]

(2.5.23b)

Dabei kann K^^(z) nach Gl. (2.5.15) und damit die Polynome P'(z) und N(z) vollig frei gewahlt werden, sofern keine Beschrankung der StellgroBe in Betracht gezogen wird. Die Berechnung des Reglers nach Gl. (2.5.23b) ist dann sehr einfach, wobei die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises garantiert ist. Fall II: G(z) besitzt Pole und Nullstellen in | z^ | > 1 Treten in G(z) jedoch Pole oder Nullstellen auBerhalb und auf dem Einheitskreis der z-Ebene auf, so muss Ky^ (z) noch weitere Bedingungen erfiillen. Nullstellen von G(z) mit einem Betrag | z^ | > 1 liefem gemaB Gl. (2.5.13) keinen brauchbaren Regler. Ein derartiger Regler wlirde wegen der Kompensation der Streckennullstellen durch die Reglerpolstellen zwar theoretisch nicht direkt zur Instabilitat der RegelgroBe fuhren, jedoch treten Stellsignale mit wachsender Amplitude auf, die nach Erreichen der maximalen Stellamplitude praktisch die Instabilitat des Regelkreises ergeben. AuBerdem muss stets auch mit geringen Ungenauigkeiten oder Anderungen in der LFbertragungsflinktion der Regelstrecke gerechnet werden, was eine unvollstandige Kompensation zur Folge hatte. Aus ahnlichen Griinden kann auch die direkte Kompensation instabiler Streckenpole durch entsprechende ReglernuUstellen nicht zugelassen werden. Schreibt man daher Gl. (2.5.11) in der Form G(z)^^^(->^"(-)-"', A'-(z)A-{z)

(2.5.24)

wobei die Polynome A'^(z) und B^(z) nur Wurzeln | z^- | < 1 enthalten, wahrend A~(z) und B~ (z) nur Wurzeln | z J > 1, also auBerhalb und auf dem Einheitskreis der z-Ebene, besitzen, so lautet die Reglertibertragungsfunktion nach Gl. (2.5.14) Diz)= ^'(^^^'(^\ 5"'(z)5"(z)z~^

^W(^) l-^w(^)

(2.5.25)

Anhand dieser Beziehung erkennt man sofort, dass die unerwtinschten Anteile A~(z) und B~ (z) durch den Ansatz K^(z) und

= B-iz)Ki(z)z-'^

(2.5.26)

150


\-K^{z)

= A-{z)K2{z)

(2.5.27)

aus der Reglerubertragungsfiinktion eliminiert werden. Hierbei sind î(z) und K2{z) zunachst noch frei wahlbare, gebrochen rationale LFbertragungsfunktionen. Fiir den Regler gilt dann ^^^^Â\z)K,{z) B^{z)K2{z)

^2.5.28)

Bei der Wahl von Aî(z) und K2{z) ist weiterhin die Giiltigkeit von Gl. (2.5.16) bzw. Gl. (2.5.19), also

zu beriicksichtigen. Diese Bedingung wird ftir Ki{z) und K2{z) unter Beachtung der Gin. (2.5.26) und (2.5.27) gerade erfiillt mit den Ansatzen N{z) und

^,(z)=(l^^:^Mf).

(2.5.30)

In diesen beiden Beziehungen konnen die Polynome N{z) und ^ K ( ^ ) noch frei gewahlt werden. Damit ist K^^(z) vollstandig festgelegt. Die unbekannten Polynome P(z) und Q(z) werden mit minimaler Ordnung so bestimmt, dass ^ K ( ^ ) ^^^ ^ ( ^ ) ^11^ frî wahlbaren Parameter enthalten. Durch Einsetzen von Gl. (2.5.26) in Gl. (2.5.27) folgt unter Beriicksichtigung der Gin. (2.5.29) und (2.5.30) die Polynomgleichung N(z)-B-(z)

% ( z ) P(z)z-'^ = A-{z)(l-z-^)

Q(z)

(2.5.31)

zur Bestimmung von P(z) und Q(z) mittels Koeffizientenvergleich. Hierbei gibt es nur dann einen eindeutigen Zusammenhang, wenn auf beiden Gleichungsseiten die gleiche Anzahl von Koeffizienten auflritt. Durch Einsetzen der Gin. (2.5.29) und (2.5.30) in Gl. (2.5.28) erhalt man schlieBlich als Beziehung ftir den allgemeinen Kompensationsalgorithmus ^ ( , ) , A^(z)B^(z)nz) B^(z)Q(z)(l-z-^) 2.5.2.2 Deadbeat-Regelkreisentwurffur

^^3 3^^

Fuhrungsverhalten

Das Verfahren der diskreten Kompensation bietet die Moglichkeit, Regelkreise mit endlicher Einstellzeit (deadbeat response) zu entwerfen. Dies ist eine fur Abtastsysteme typische Eigenschaft, die bei kontinuierlichen Regelsystemen nicht erreicht werden kann. Daher soil nun K^^(z) so gewahlt werden, dass der Einschwingvorgang nach einer


151

spmngformigen Sollwertandemng innerhalb von n^ = q -\- d Abtastschritten abgeschlossen ist. Offensichtlich wird diese Bedingung erfullt, wenn Kyi^(z) ein endliches Polynom in z~ der Ordnung n^ ist. Dies ist gewaiirleistet, wenn in Gl. (2.5.15) und wegen der Beziehungen gemaB Gin. (2.5.26) und (2.5.27) auch in den Gin. (2.5.29) und (2.5.30) gerade N(z) = 1 gewahlt wird. Somit ergibt sich fiir die Modelliibertragungsfunktion des Ftihrungsverhaltens des geschlossenen Regelkreises

K^{z) = Y, k,z-'-^ .

(2.5.33)

i=l

Anhand der zugehorigen Differenzengleichung y(k) = ^

ki w(k-i-d)

(2.5.34)

i=\

folgt dann bei sprungformiger Sollwertandemng w{k) - 1 ,

^>0

fiir alle k>nQ als AusgangsgroBe

y{k) = Y, k,=\,

(2.5.35)

sofem K^^(z) die Zusatzbedingung gemaB Gl. (2.5.16) ^ ^ ( 1 ) = 1 erfullt. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass bei Betrachtung der im Abtastregelkreis tatsachlich auftretenden kontinuierlichen Signalverlaufe die Regelabweichung im allgemeinen zunachst nur in den Abtastpunkten zu Null wird. Dies schlieBt also nicht aus, dass das kontinuierliche Ausgangssignal y{t), z. B. eine Schwingung mit der halben Abtastfrequenz ausftihrt. Dieser Fall tritt aber sicherlich dann nicht ein, wenn auch die StellgroBe u(k) nach HQ Abtastschritten einen konstanten Wert annimmt. Diese Forderung ist entsprechend obigen tJberlegungen genau dann erfiillt, wenn die Ubertragungsfunktion û(^) = - ^

(2-5.36)

ebenfalls ein endliches Polynom in z~ der Ordnung FIQ ist. Dabei ist noch zu beriicksichtigen, dass u(k) iiber ein Halteglied nullter Ordnung auf die Regelstrecke einwirkt, und somit der Verlauf der StellgroBe u(t) jeweils wahrend eines Abtastintervalls konstant ist. Aus Bild 2.5.1 ergibt sich ^

l + D(z)G(z)

und mit Gl. (2.5.24) folgt hieraus

G(z)

152


G,(z)=^w(^)^-(^)^-(^).

(2.5.37)

Damit G\j{z) ein endliches Polynom in z~ wird, muss nicht wie in Gl. (2.5.26) nur das unerwiinschte Polynom B~(z) in K^j^(z) als Faktor enthalten sein, sondem auch B^{z) . Mit B(z) = B^(z) B~(z) folgt somit in Analogic zu GL (2.5.26) K^(z)

= B(z)K^(z)z-'^ ,

woraus sich nun mit Gl. (2.5.29) bei Berticksichtigung der Bedingung N(z) = 1 die Beziehung K^(z)

= B(z) %(z) P(z)z-'^

(2.5.38)

ergibt. Setzt man noch in Gl. (2.5.25) die Gin. (2.5.27) und (2.5.38) unter Verwendung der Gl. (2.5.30) ein, so erhalt man schlieBlich flir die Ubertragungsflinktion des Reglers mit endlicher Einstellzeit

^(,)îMMfmf).

(2.5.39)

Q(z)(l-z-^) Zur Bestimmung von P{z) und Q(z) werden die Gin. (2.5.30) und (2.5.38) in Gl. (2.5.27) eingesetzt. Dies liefert in Analogic zu Gl. (2.5.31) die Bestimmungsgleichung flir P(z) und Q(z): l-B(z) B^(z) P(z)z-^ = A-(z)(l-z-^) Q(z) .

(2.5.40)

P(z) und Q{z) konnen bei entsprechender Wahl von B^(z) mit Gl. (2.5.40) durch Koeffizientenvergleich gewonnen werden und ermoglichen so einen Entwurf, der den Anteil A~ (z) der Regelstreckentibertragungsfunktion beriicksichtigt. Fiir den speziellen Fall asymptotisch stab Her Regelstrecken fiihrt folgendes Vorgehen auf sehr einfache Weise unmittelbar zum Entwurf eines Reglers mit endlicher Einstellzeit. Benutzt man in Gl. (2.5.38) noch die Abktlrzung q

B\Z) = B(z) B^(z) = ^ b-z-' ,

(2.5.41)

dann wird mit dem Ansatz P(z) = -

^ =-

^ = const

(2.5.42)

i=0

gerade die Zusatzbedingung K^^ (1) =^ 1 erfullt, und es gilt somit fiir das gewiinschte Verhalten der Ftihrungstibertragungsfunktion nach Gl. (2.5.38) * K^{z) = ^ z - ' ' . (2.5.43) B (1)


153

Mit den Gin. (2.5.25), (2.5.41) und (2.5.43) folgt weiterhin flir die Ubertragungsfunktion des Reglers bei stabilen Regelstrecken (A~(z) = 1 und A'^(z) = A(z)): ^^^^ ^

Ai.)Bî.VB\l) ^ / ( ^ ) W . B {\)-B (z)z-'^ l-[B (z)/B mjz'"^

(2.5.44)

Wahlt man in der Gl. (2.5.41) bzw. in den Gin. (2.5.43) und (2.5.44) beispielsweise

so wird gemaB Gl. (2.5.41) q = n, also gleich der Ordnung der Regelstrecke. Damit ergibt sich als minimale Anzahl von Abtastschritten nQ=n + d

(2.5.45)

flir die Ausregelung eines Sollwertsprunges, wodurch die minimale Ausregelzeit festgelegt wird. Bezuglich der Wahl von BY^ (Z) konnen verschiedene Kriterien angewendet werden. Einerseits erhoht sich mit der Ordnung von BY^ (Z) die Reglerordnung und damit bei einem Sollwertsprung die Anzahl der Abtastschritte bis zum Erreichen des stationaren Endwertes der RegelgroBe. Andererseits kann aber durch geeignete Wahl von B^^z) das Stellverhalten verbessert werden. Wahlt man beispielsweise % ( z ) = l + Z)Kl^~^ ^ dann kann der Anfangswert w(0) der StellgroBe bei einer spmngformigen Sollwertanderung frei vorgegeben werden. Um dies zu zeigen, geht man im Fall einer stabilen Regelstrecke von Gl. (2.5.37) Gîz) = ^ ^ = K ^ ^ z ) ^ ^ ^' W{z) ^' B(z)z-^ aus und fiihrt hierin K^^ (z) gemaB Gl. (2.5.43) unter Beachtung von Gl. (2.5.41) ein: U(z)

W(z)

_ B(Z)BY(Z)

^^d A(z)

5(1) %(1)

B(z)z-'^'

Hieraus folgt fiir den Anfangswert der StellgroBe ^r. X 1u(0) = hm U(z) = hm zô.

z

zôoZ-1

Bv (z) A(z) ^^ ^ ^ ^ 5(1)%(1)

Ausgewertet erhalt man I u(0) = 5(l)(l + ^Kl) und aufgelost nach bî ergibt sich schlieBlich ^Kl

1 u(0) B(l)

1.

(2.5.46)

154


Da u(0) gewohnlich die groBte Stellamplitude bei einer sprungformigen Sollwertanderung darstellt, kann man bei Kenntnis der maximal zulassigen Stellamplitude u^^^ den Koeffizienten Z^î direkt berechnen. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass der Entwurf des Reglers mit endlicher Einstellzeit - oft auch als Deadbeat-Regler bezeichnet - gemaB Gl. (2.5.39) auf einen geschlossenen Regelkreis mit folgenden Eigenschaften ftihrt: a) Bei sprungformiger Anderung der FlihrungsgroBe wird die Regelabweichung nach endlicher Zeit t^ =qT -\-T^ ={q + d)T ^n^T exakt Null. b) Die Regelabweichung besitzt ftir t>tQ auch zwischen den Abtastzeitpunkten stets den Wert Null. c) Falls keine Totzeit vorhanden ist, wird die minimale Anzahl der Abtastschritte q gleich der Ordnung n der Regelstrecke. d) Bei Erhohung von q kann das Stellverhalten verbessert werden. e) Der Einschwingvorgang kann mit oder ohne Uberschwingen erft)lgen. Bei Regelstrecken mit PT^ -Verhalten ist ein monotoner Verlauf der AusgangsgroBe fur t Kt^ zu erwarten. Beispiel 2.5.1: Gegeben sei eine stabile Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion

Wird die Abtastzeit T so festgelegt, dass die Totzeit ein ganzzahliges Vielfaches von T, also T^ = dT , d >0 ganzzahlig wird, dann erhalt man unter Berticksichtigung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit den Gin. (2.4.18) und (2.4.24) sowie Tabelle 2.3.1 (Fall 8) die z-tJbertragungsftinktion G(z)

= HQ GSZ (Z) = ^—^ z-c

z'"^

mit

c = Q~^'^^ < 1

Oder L/C Z ) =

=

'— Z

A(z)

l-cz-^

Nach Gl. (2.5.43) und mit B^(z) = 1 folgt filr den geschlossenen Regelkreis die Modelltibertragungsftmktion ^w(2^) = —: 1-c

^

-^

•


155

Die Einstellzeit nach einer sprungformigen Anderung des Sollwertes betragt also bei diesem Regelkreis /g =(d + l)T = T + Ti. Die Ubertragungsflinktion des Deadbeat-Reglers lautet gemaB GL (2.5.44) fur diesen Fall l-cz

D(z) = -

(l-c)[l-z

-(d+l)

Dieser Regler besitzt einen {d +1) -fachen Pol bei z = 1. Filr die Ubertragungsfunktion Gu (z) entsprechend GI. (2.5.37) ergibt sich hierbei Gu(z) =

Ujz) W(z)

' (l-cz-'). 1-c

Das Stellsignal nimmt also nach einem Sollwertsprung nur zwei verschiedene Werte an, namlich u(0) = -

1

und u(k) = l,

k>l.

Fiir zwei verschiedene Abtastzeiten, T = T^ und T = T^/2 sind die Zeitverlaufe von w(t),u(t) und y(t) im Bild 2.5.2 dargestellt. T = Til2 (d = 2) I

1 . •- .

.

A 1

•

0

T IT 37 47 Bild 2.5.2. Verlauf der w(0, u{t) und j;(0 des Abtastregelkreises mit endlicher Einstellzeit • Wie aus Beispiel 2.5.1 anschaulich hervorgeht, bestimmt hauptsachlich die Abtastzeit T die minimale Einstellzeit t^ =T^+nT. Konnte man Tbeliebig klein wahlen, so wtirde t^ nahe an den Wert der Totzeit T^ herankommen. Dies ist jedoch nicht moglich, da fiir T ^'O die StellgroBe unendlich groB werden miisste, was technisch nicht realisierbar ist. Daher ist stets ein Kompromiss zwischen maximal moglicher Stellamplitude und Abtastzeit T zu treffen. Im allgemeinen nehmen die Schwierigkeiten des Entwurfs mit kleiner werdender Abtastzeit zu, jedoch lasst sich durch geeignete Wahl von BY^(Z) meist eine befriedigende Losung erzielen.


156

2.5.2.3 Deadbeat-Regelkreisentwurffur

Storungs- und

Fuhrungsverhalten

Im Kapitel 2.5.2.2 wurde der Regelkreisentwurf fur endliche Einstellzeit bei sprungformiger Anderung der FiihrungsgroBe w{k) behandelt. Noch nicht berticksichtigt wurde dabei das Verhalten des Regelkreises bei deterministischen Storungen z{k). Deshalb soil nachfolgend flir die Ausregelung von Storungen am Eingang der Regelstrecke ebenfalls eine endliche Einstellzeit beim Entwurf des Regelkreises gefordert werden. Zunachst aber wird die im Bild 2.5.3 dargestellte Struktur eines diskreten Regelkreises mit zusatzlicher StorgroBe z{k) betrachtet. Der Regler sei bereits als Deadbeat-Regler flir Fiihrungsverhalten ausgelegt.

Bild 2.5.3. Diskreter Regelkreis mit StorgroBe z(A:) = ^

{Z{z)}

Setzt man in Gl. (2.5.39) der Einfachheit halber ^j^(z)==l, so ergibt sich als Ubertragungsfunktion des Reglers A\z)P{z)

D{z) =

Q{z){\-

(2.5.47)

')

wobei die Polynome P{z) und Q{z) mittels Gl. (2.5.40) zu bestimmen sind. Mit der erhalt man somit als tjbertragungsfunktion der Regelstrecke G{z) = {B{z) I A^z)] z Storungsiibertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises

^z(^)-

Z{z)

G{z) 1 + D{z) G(z)

B(z)z -^Q{z)(\-z-') A{z) Q{z) (1 - z"^) + ^+ (z) P{z) B(z) z-d (2.5.48)

Da die Polynome A^{z), P(z) und zunachst auch B{z) keine Wurzeln bei z = 1 besitzen, folgt aus Gl. (2.5.48) CJ2;(1) = 0 , d. h. beim Ausregeln einer Storung tritt keine bleibende Regelabweichung auf. Allerdings stellt im vorliegenden Fall G^îz) gewohnlich kein endliches Folynom dar, sondem eine gebrochen rationale Funktion, so dass bei diesem auf Deadbeat-Fiihrungsverhalten ausgelegten Entwurf die Storung nicht mit endlicher Einstellzeit ausgeregelt wird. Will man Storverhalten und Fiihrungsverhalten unabhangig voneinander beeinflussen, so ist dies durch Einftihrung eines Vorfilters Dy (z) moglich. Man erhalt dann die im Bild 2.5.4 dargestellte Struktur des Regelkreises. Bei diesem Regelkreisentwurf geht man nun

2.5 Regelalgorithmen fur die digitale Regelung

157

so vor, dass man mit Hilfe des Reglers D{z) das Storverhalten und mit dem Vorfilter Dy{z) das Fuhrungsverhalten des Regelkreises beeinflusst. Z{z) W{z)^

W'iz)

DM)

E(z)^

D(z)

U{z)^ t +

Y{z) G{z)

^

•

+ I

Bild 2.5.4. Diskreter Regelkreis mit Vorfilter Dy (z) Ausgangspunkt fur die Synthase des Regelkreises ist die festzulegende Storungsiibertragungsfunktion Gziz)-

Z{z)

G{z) --Kziz). \ + D{z)G{z)

(2.5.49)

Fiir einen Entwurf mit endlicher Einstellzeit ist die Ubertragungsfunktion K2^{z) ftir das gewtinschte Verhalten (Modelliibertragungsfunktion Kj^) als endliches Polynom in z~ , also als Kjîz) = kQ+ kiz~^ + k2Z~^ + ••• + k^.z''^

(2.5.50)

anzusetzen. Aus Gl. (2.5.49) folgt fur die Ubertragungsftinktion des Reglers D(z) =

G(z)-Kz{z) G(z)Kz(z)

(2.5.51)

Um Aussagen liber die Realisierbarkeit des Reglers zu gewinnen, muss nun Gl. (2.5.50) und die Ubertragungsfunktion der Regelstrecke G(z):

B(z) _ ^(^)

bxz~^ + b2Z~^ + • • • + b^z'""

(2.5.52)

1 + aiz~^ + a2^~^ + • • • + aj^z~^

in Gl. (2.5.51) eingesetzt werden. Ohne Einschrankung der Allgemeingiiltigkeit wird der einfacheren Darstellung wegen hierbei eine Regelstrecke ohne Totzeit angenommen. Als Ergebnis erhalt man —1

—9

(2.5.53) -k^ + {bi -ki - kâi)z + (Z?2 - ^2 ~îî"~ ^0^2)-^ + k(^biz~^ + {kibi + kQb2)z~^ + ••• Damit die tJbertragungsfunktion dieses Reglers realisierbar wird, d. h. der Absolutkoeffizient im Nenner von D(z) vorhanden ist, miissen die Bedingungen D{Z):

Ao=0 und

(2.5.54a)

158

2 Lineare zeitdiskrete Systeme (digitale Regelung) ki=bi

(2.5.54b)

erflillt sein. Durch Einsetzen dieser Werte in Gl. (2.5.53) erkennt man unmittelbar, dass im Nenner- und Zahlerpolynom von D{z) mit z~ gekiirzt werden kann. Damit sprungformige Stomngen vollstandig ausgeregelt werden, muss die Bedingung lim y{k) = Q

(2.5.55)

erflillt sein. Unter Beachtung der Gin. (2.3.17) und (2.5.49) liefert diese Bedingung dann ^2(1) = 0. Daraus wird ersichtlich, dass K^^z) eine Nullstelle bei z-\ enthalten muss. Als erstes Ergebnis folgt damit flir die gewunschte Storungstibertragungsfunktion K^{z) = {\-z-^)K'j,{z),

(2.5.56)

wobei A^2 (^) ^^^ noch zu bestimmendes Polynom ist. Neben der RegelgroBe y{k) muss die StellgroBe u{k) ebenfalls in endlicher Zeit ihren stationaren Wert erreichen. Die zugehorige Ubertragungsfunktion erhalt man unter Verwendung der Gin. (2.5.51) und (2.5.52) als Guz(-) = ^ = - ^ ^ ^ ^ ^ ^ =^ ^ - l = ^^^^^^^^^^^^. ^^^ Z{z) \ + D{z)G{z) G{z) B{z)

(2.5.57)

Die Stellgrofie u{k) kann aber nur dann in endlicher Zeit den stationaren Wert erreichen, wenn Kîz) das Zahlerpolynom B(z) der Regelstrecke als Faktor enthalt. Die Storungstibertragungsfunktion Kjîz) muss somit die Struktur K^{z) = (\-z-^)B{z)B^{z)

(2.5.58)

besitzen, wobei Bîz) hier ein frei wahlbares Polynom in z~ der Form

ist. Damit erhalt man ftir Gl. (2.5.58) Kz(z) = 0-z-^) = b^,t,z-'

[b^Z-^ + - . + V " ] [ * Z O + +

+bze^~']

--b2,b„z-("^^^'K

Der Vergleich mit Gl. (2.5.50) sowie die Beriicksichtigung der Realisierbarkeitsbedingung gemaB den Gin. (2.5.54a) und (2.5.54b) zeigen, dass bzo=^

(2.5.59)

sein muss. Die Ubertragungsfunktion des Reglers folgt nach Einsetzen von GL (2.5.58) in Gl. (2.5.51) zu Z)(z) = l ^ ( l ^ ^ ^ ^ l M f ) ^ . il-z-^)Bziz)B(z)

(2.5.60)


159

Die wichtige Forderung nach einer stabilen Stelliibertragungsfunktion Gu^(z) (und damit meist auch nach einer stabilen Regleriibertragungsfunktion) ist nicht erftillt, wenn B(z) Wurzeln besitzt, die auBerhalb oder auf dem Rand des Einheitskreises liegen. Treten solche Wurzeln auf, so kann B(z) wiederum in der Form Biz) = B^(z)B~(z)

(2.5.61)

geschrieben werden. B~ (z) enthalt alle Wurzeln auBerhalb und auf dem Rand des Einheitskreises. Eine Kompensation dieser Regelstreckennullstellen durch Reglerpolstellen nach Gl. (2.5.60) ist nicht zulassig, da dann zwar theoretisch die RegelgroBe y(k) stabil ist, jedoch die StellgroBe u(k) iiber alle Grenzen anwachst, was aus praktischen Gesichtspunkten nicht realisiert werden kann. Somit wird das interne Verhalten des Regelsystems instabil. Deshalb wird fiir den Zahler von Gl. (2.5.60) der Ansatz l-(l-z~^)Bz(z)A(z)

= B~(z)H(z)

(2.5.62)

gemacht, wobei das Polynom ^^(z) unter Beriicksichtigung von Gl. (2.5.59) eingesetzt wurde. Die Beriicksichtigung einer Aufspaltung des Nennerpolynoms A(z) der Regelstrecke in A~(z) und A'^(z) ist nicht erforderlich, well das Zahlerpolynom von Gl. (2.5.60) nicht A~{z) als Faktor enthalt, und somit eine Kiirzung instabiler Regelstreckenpole nicht auftritt. Die Polynome Bîz) und H(z) werden nun dann durch Koeffizientenvergleich beider Seiten der Gl. (2.5.62) ermittelt. Das ist aber nur dann moglich, wenn die Polynome Bz(z) und H(z) beziiglich ihres Grades bestimmte Bedingungen erfiillen. Fiir den Grad der Polynome in GL (2.5.62) gilt 1 + Grad Bz + Grad A = Grad B~ + Grad H .

(2.5.63)

Damit lasst sich der Grad des Polynoms H(z) nach Grad H = 1 + Grad B^ + Grad A - Grad B~

(2.5.64)

berechnen. Die Ubertragungsfunktion des Reglers wird dann mit Hilfe der Gin. (2.5.60) bis (2.5.62) als D(z) =

- ^ ^ (\-z-^)Bz(z)B^{z)

(2.5.65)

bestimmt. Nach der Synthese des Reglers fiir eine vorgegebene Storungsiibertragungsfunktion muss durch einen entsprechenden Entwurf des Vorfilters dafiir gesorgt werden, dass der Regelkreis gemaB Bild 2.5.4 das geforderte Fiihrungsiibertragungsverhalten Gî.) *^

=^ = D,i.) ^ ( - > ^ ( - ^ = D v ( . ) ^ ( - ^ - ^ ^ ( - ^ = l ^ w ( z ) (2.5.66) W(z) ^ l + Z)(z)G(z) ^ G(z) *

erhalt. Die Auflosung dieser Beziehung liefert die Ubertragungsfunktion des Vorfilters G{z)-Kz{z)

160


Bei spmngformiger EingangsgroBe w{k) miissen nun die RegelgroBe y{k) und die StellgroBe u{k) in endlicher Zeit ihre stationaren Werte erreichen. Um dies zu gewahrleisten, betrachtet man zuerst die z-Transformierte der StellgroBe U{z) = ^^Â{z)W{z),

(2.5.68)

Damit U{z) ein endliches Polynom in z" wird, muss K^^ (z) das Polynom B{z) enthalten. Man kann somit nach GL (2.5.38) den allgemeinen Ansatz K^{z)

= B{z)B^{z)P{z)

(2.5.69)

machen. Da die RegelgroBe keine bleibende Regelabweichung aufweisen soil, muss hier K^{\)-1

(2.5.70)

gelten. Diese Bedingung ist erfiillt, wenn wie in Gl. (2.5.42) der Ansatz P{z) =

^ = const 5(1) %(1)

(2.5.71)

gewahlt wird. B^î^z) bleibt weiterhin frei wahlbar und kann z. B. in der Form % ( z ) = l + Z)KlZ-^

(2.5.72)

wie im Abschnitt 2.5.2.2 bereits beschrieben wurde, benutzt werden, um die Stellamplitude bei einer sprungformigen Sollwertanderung auf den vorgegebenen Wert u{0) einzustellen. Mit den Gin. (2.5.69) und (2.5.71) erhalt man die Fiihrungsiibertragungsfunktion

mM^, ^'

(2.5.73)

5(1) %(1)

Setzt man die Gin. (2.5.58) und (2.5.73) in Gl. (2.5.67) ein, so folgt fiir den Fall, dass die Nullstellen der Regelstrecke innerhalb des Einheitskreises der z-Ebene liegen, als Ubertragungsfunktion des Vorfilters

(^^^M£)M£»)M1)1.

(2.5.74)

l-(l-z-')Bz(z)^(z) Liegen Nullstellen auBerhalb des Einheitskreises, so erhalt man mit Gl. (2.5.62) ein Vorfilter mit der Ubertragungsfunktion Dv(z)= ^ ^ ( ^ ) % ( ^ ) . ^' 5(l)%(l)//(z)

(2.5.75)

Falls das Polynom H{z) Wurzeln | z^ | > 1 enthalt, muss entweder der Ansatz gemaB Gl. (2.5.69) um den Term H~{z) erweitert und dies entsprechend auch in den Gin. (2.5.71), (2.5.73) bis (2.5.75) berucksichtigt werden, oder durch zweckmaBige Wahl des Polynoms ^ ( z ) in Gl. (2.5.62) ein Polynom H{z) mit Wurzeln | z^ | < 1 festgelegt werden.


161

Beispiel 2.5.2: Ausgehend von Bild 2.5.4 soil fur die gegebene Ubertragungsfunktion einer Regelstrecke G{s) = - - ^ s{\-\-s)

(2.5.76)

eine Regelung entworfen werden, mit der sowohl das Ftxhrungs- als auch das Storverhalten in endlicher Einstellzeit erzielt wird. Die z-tJbertragungsfunktion der kontinuierlichen Regelstrecke wird unter Beriicksichtigung eines Haltegliedes nullter Ordnung nach Gl. (2.4.18) zu G(z) = ^ l £ : i l ^ = ^

(2.5.77)

mit —T

bi =T-l + c , b2=l-c-cT , ai=-(l + c) , ci2=c und c = e berechnet. Wahlt man in Gl. (2.5.60) fiir das Polynom B^îz) die einfachste Form B^ (z) = 1, so ist die Ubertragungsfunktion des Reglers durch Z)(.) = l ^ ^ l ^ i ^ (l-z-l)5(z)

(2.5.78)

gegeben. Werden nun die Polynome A(z) und B(z) der Ubertragungsfunktion der Regelstrecke eingesetzt, so erhalt man D(z) = ^-^lHa,-a2)z-'â2Z-^

^^ ^^^^

Der Einfluss der StorgroBe Z{z) auf die RegelgroBe 7(z) wird nach Einsetzen der Gin. (2.5.77) und (2.5.78) in Gl. (2.5.49) durch die tjbertragungsfunktion Gz(z) = ^

= (l-z-^)5(z)

= biz~^-h(b2-bi)z'^ - V ^

(2.5.80)

beschrieben. Legt man sprungformige Storungen z(k) = <j(k) = 1 fiir k>0 zugrunde und wendet den Verschiebungssatz nach Gl. (2.3.10) an, so ergibt sich aus Gl. (2.5.80) fiir die RegelgroBe y(k) die Zahlenfolge y(k) = bia(k-l)^(b2-bi)a{k-2)-b2a(k-3)

(2.5.81)

mit den Werten y(0) = 0 , y(l) = bi , y(2) = Z?2 und y(k) = 0 fiir

k>3 .

Der Einfluss der StorgroBe Z(z) auf die StellgroBe U(z) wird unter Beriicksichtigung von ^z(z) = 1 und der Gin. (2.5.57) und (2.5.58) durch die tjbertragungsfunktion

162


Z{z) = {ai -\)z~^ +(^2 ~ai)z~^ - ^ 2 ^ " ^

(2.5.82)

beschrieben. Als Antwort auf eine sprungformige Storung z(k) = a(k) = 1 ftir k>0 erhalt man hieraus ftir die StellgroBe u(k) die Zahlenfolge u(k) = {ai - l)a(k -1) + (^2 - ai)a(k - 2) - a2cr(k - 3)

(2.5.83)

mit den Werten 1/(0) = 0 , u(l) =ai-\,

u{2) = ^2 - 1 , u{k) = -\

ftir

k>3.

Das geforderte Fiihrungsiibertragungsverhalten Ky^(z) wird, wie bereits beschrieben, durch das Vorfilter Dy (z) festgelegt. Verzichtet man auf eine bestimmte Begrenzung der StellgroBe durch das Polynom B^^ (z), setzt also wiederum B^^ (z) = 1, so folgt ftir die LFbertragungsfunktion des Vorfilters nach Gl. (2.5.74) D,i.)

= -^^^lim_ l-(l-z-')^(z)

(2.5.84a)

_^h±h5:hKk±hl^ —1

(2.5.84b)

—2

1 - a^ + (aj - ^2 ) z + a2Z Die Antwort auf eine sprungformige FiihrungsgroBe w(k) = a(k) = 1 ftir ^ > 0 lasst sich fiir die RegelgroBe nach Gl. (2.5.66) unter Verwendung der Beziehung Kz(z) = Gz(z) gemaB Gl. (2.5.80) und der Gl. (2.5.84a) aus der Ubertragungsfunktion Gw(.) = ^ =^ =- ^ . - ' . ^ - . - ^ ^ W(z) B(l) bi+b2 bi+b2

(2.5.85)

zu y(k) = --^c7(k-l) bi + /?2

+ -â(k-2) ^1 + ^2

(2.5.86)

mit den Werten y(0) = o, y(}) = b\ +^2 y{k) = \ ftir

k>2

bestimmen. Die Ubertragungsfunktion Guw(^) î^^ ^^s Gl. (2.5.68) unter Berticksichtigung der Beziehung Ky^{z) = G^^(z) entsprechend GL (2.5.85) zu ^^

W(z)

B{1)

bi + Z?2

^1 + ^2

^1 + h


163

berechnet. Die StellgroBe ist dann fur eine w{k) = (j{k) -\ fiir A: > 0 durch die Zahlenfolge 1

u{k) =

C7(k)+

Z?i +Z?9

^^ h+b

a(k-\)+

^^

spmngformige

FtihrungsgroBe

a(k-2)

mit den Werten ?

bi +Z)2

u{\) =

l + aj 5

Z?i+Z?2

u{k) -

l + a j + ^2

fiir

k>2

b\ +^2

gegeben. Die interessierenden tJbergangsfunktionen des im Bild 2.5.4 dargestellten Regelkreises sind im Bild 2.5.5 zusammengefasst.

® 1,51,0

h {k)k h (k)

z(k)

L/_

0,5-

h (k) ^ zyV -"

0,03 t/T

3 t/T -0,5-1,0-1,5-

L -hJlc)

-2,0-2,5-

-2,5J

Bild 2.5.5. Ubergangsfimktionen des Regelkreises nach Bild 2.5.4: (a) RegelgroBe h^y{k) und StellgroBe h^îik) fiir z(k) = (T{k) (b) RegelgroBe h^y{k) und StellgroBe h^^{k) fur •w{k) = a{k)

164


2.5.2.4 Vor- undNachteile

des

Kompensationsverfahrens

Das hier beschriebene Verfahren ist besonders wegen seiner Einfachheit interessant. Zunachst muss die z-Ubertragungsfunktion G{z) aus der tJbertragungsfunktion G{s) der Regelstrecke unter Berticksichtigung eines Haltegliedes nullter Ordnung bestimmt werden. Hierbei ist die Abtastzeit schon ein entscheidender Entwurfsparameter. Nun kann der Regelalgorithmus nach Wahl einer geeigneten z-Ubertragungsfunktion ftlr das Fiihrungsverhalten Kyj^ (z) ohne groBen Aufwand berechnet werden. Fordert man minimale Einstellzeit, so hangt diese, abgesehen von einer eventuell vorhandenen Totzeit T^ der Regelstrecke, nur von der gewahlten Abtastzeit T ab. Der geschlossene Regelkreis ist stets stabil, auch bei groBen Abtastzeiten. GroBe Totzeiten, die im allgemeinen Schwierigkeiten bereiten, beeintrachtigen den Entwurf hier nicht. Allerdings sind die Anfordemngen bezilglich der Genauigkeit von G{z), also des diskreten Modells der Regelstrecke, relativ hoch. Aus diesem Grund ist im praktischen Fall die minimale Einstellzeit kaum exakt zu erreichen. Trotzdem ist, wie Untersuchungen gezeigt haben [Bot78], die Empfindlichkeit solcher Kompensationsalgorithmen gegeniiber Ungenauigkeiten der tJbertragungsfunktion der Regelstrecke oder Anderungen der Streckenparameter kaum groBer als bei kontinuierlich entworfenen Kompensationsreglem. Als Nachteil wird gelegentlich auch der Realisierungsaufwand erscheinen, da die Ordnung des Regelalgorithmus in Abhangigkeit von der Ordnung der Regelstrecke sowie der Totzeit relativ hoch werden kann, jedoch fallt dies bei den heute zur Verftigung stehenden Moglichkeiten preiswerter Mikrorechner meist nicht mehr ins Gewicht.

2.6 Darstellung im Zustandsraum Die Zustandsraumdarstellung ist bei diskreten Ubertragungssystemen in der gleichen Art anwendbar wie bei kontinuierlichen. Ebenso wie man eine Hneare Differentialgleichung ^-ter Ordnung in ein System von n Hnearen Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln kann, ist auch eine lineare Differenzengleichung n -ter Ordnung als System von n Hnearen Differenzengleichungen erster Ordnung darstellbar. In Matrixschreibweise ergibt sich damit ftir ein lineares zeitinvariantes diskretes Mehrgrofiensystem die Zustandsraumdarstellung x{k + \) = A^x{k) + Bû{k), y{k)

=C^xik) + Dû(k).

x(0) = XQ

(2.6.1) (2.6.2)

Der Zustandsvektor x{k) hat die Dimension (^ x 1), u{k) ist der Eingangs- oder Steuervektor der Dimension ( r x l ) und y{k) der Ausgangsvektor mit der Dimension (m X1). Die Bezeichnungen der Matrizen entsprechen ebenfalls den friiher schon benutzten: Systemmatrix A^(nxn) , Steuermatrix B^(nxr), Beobachtungsmatrix C^(mxn) und Durchgangsmatrix D^(mxr). Bild 2.6.1 zeigt das Blockschaltbild, das diesen Gleichungen entspricht. Das Laufzeitglied stellt dabei eine "vektorielle" Totzeit, die gleich der Abtastzeit T ist, dar.

2.6 Darstellung im Zustandsraum

165

/>. x(0) u{k)

+

x{k-\-\) Laufzeitglied

B,

*d

ft

x{k)

& = )

\T

Bild 2.6.1. Blockschaltbild der Zustandsraumdarstellung eines diskreten Ubertragungssystems nach den Gin. (2.6.1) und (2.6.2)

2.6.1 Normalformen fiir EingroBensysteme 2.6.1.1

Regelungsnormalform

Ftir den speziellen Fall eines Eingrofiensystems mit der Differenzengleichung gemaB Gl. (2.4.1), also n

n

y{k) + Y^ aj y{k-j)=Y,

Pj

a

Dreipunktverhalten (Xg + a) tan a

ftir

Xg

'ie-'"^^. Ftir t

(3.2.4)

=7] wird gerade der Wert yilit"" = T^) = y^^-^^'^

= y2

(3.2.4a)

erreicht. Somit erhalt man durch Einsetzen der Gin. (3.2.2) und (3.2.3) in Gl. (3.2.4a) schlieBlich

und daraus folgt ^^.nn^S^K-^s)e-^'^^

(3.2.5)

Beschreibt man die aufsteigende Zeitfiinktion III in einem gegenixber dem urspriinglichen um ^2 + ^t verschobenen Koordinatensystem, so ergibt sich

Ftir t

=T2 erhalt man yi=ym{t"""

=T2)-K^

+

{y2-K^)^-^''^

und hieraus folgt durch Einsetzen der Gin. (3.2.2) und (3.2.3) und Auflosung der dabei entstehenden Gleichung

r2-rin"oe-^-^"-^s

(3,,.,)

Nun lasst sich mittels der Gin. (3.2.5) und (3.2.6) die Schwingungsdauer TQ der Arbeitsbewegung berechnen: To=Ti+T2=Tln Oder ro=nn^S^'''^^-^''''^^-o("0-^s\

(3.2.7)

Als doppelte Schwingungsamplitude der Arbeitsbewegung ergibt sich anhand der Gin. (3.2.2) und (3.2.3)

182


-T IT

(i.2.8)

Die mittlere Regelabweichung betragt yi + yi

-

= | [ ^ S + ( w o - ^ s ) e ~ ^ ' ^ ^ + M'oe-^'^^]-wo

(3.2.9)

i^S-o](l-e-^'^^). Der Wert von 'e kann je nach der GroBe von Kq^ positiv oder negativ sein. Ftir K^ - 2wo betragt er Null. Wie aus Bild 3.2.2 hervorgeht, ist die notwendige Bedingung fiir das Zustandekommen einer Arbeitsbewegung, dass

wird. Fiir WQ = 0,5 K^ folgt aus GL (3.2.9) sowie aus den Gin. (3.2.5) und (3.2.6) Ti=T2^T\n{2j''^ -\)

(3.2.10)

und damit ro=2rin(2e^t/^_l)_

(3.2.11)

Spezialfall T^ «T: In diesem Fall diirfen die ^-Funktionen der Arbeitsbewegung naherungsweise durch ihre Tangenten ersetzt werden. Mit der umgeformten Gl. (3.2.6)

und der Naherung e^t/7^ ^ 1 + _L T erhalt man

r2-rin (WQ-^S)

(3.2.12)

3.2 Regelkreise mit Zwei- und Dreipunktreglern

183

T, ^

rin

WQ-KS

und mit der Reihenentwicklung In (1 + x) = x - x / 2 + • • • folgt schlieBlich KsTt

KsTt

(K^-WQ)T

K^-WQ

(3.2.13)

Fiir 7] ergibt sich bei entsprechender Umformung der Gl. (3.2.5) Ti=T In mit der Naherung nach Gl. (3.2.12) Ti^T In

Ks\\ + ^ +WO-K. ^ ^ = r In WQ

und der Reihenentwicklung fur die In-Funktion folgt dann q

(3.2.14) Wo

Die Schwingungsdauer wird somit 70=71+72-71 Fiir WQ = K^/2

Kl (^S-Wo)wo

(3.2.15)

folgt beispielsweise als minimale Schwingungsdauer TQ ~ 4 T^ .

Aus der umgeformten Gl. (3.2.15) To .,

1

Tx

(3.2.16)

WQ/K^-(WQ/K^)

sowie aus dem Verhaltnis Wo 7|

K^-WQ

WQ/^S

(3.2.17)

I-WQ/K^

ist ersichtlich, dass TQ IT^ und T2 17] nur von der GroBe wo / ^ s abhangig sind, wobei dieser Wert im Bereich ^<w^l K^ < 1 liegen kann. Praktisch wahlt man allerdings den Bereich 0,2<WO/A:S < 0 , 8 ,

da fiir wo = 0 und wo = ^ s î^ Schwingungszeit To ^^ 00 geht. Zu groBe Schwingungszeiten sind jedoch unerwiinscht, da in solchen Fallen die Storungen z{t) im Regelkreis nicht genligend schnell ausgeregelt werden konnen.


184

Bild 3.2.4a zeigt die Naherungswerte T2 /7] und TÎT^ sowie die aus den Gin. (3.2.8) und (3.2.9) folgenden exakten Werte von - ^ = 1-2-^^

(3.2.18)

in Abhangigkeit von w^/K^. Zusatzlich dazu ist inm Bild 3.2.4b flir eine PTiT^-Regelstrecke mit T^«T die jeweilige Arbeitsbewegung y(t) fiir verschiedene Sollwerte dargestellt. Betrachtet man den Schwingungsverlauf bei unterschiedlichen Sollwerten, so lassen sich gemaB Bild 3.2.4b folgende Falle unterscheiden: 1. Fiir WQ = WQ 0, 5 K^ wird 7^2 > 7|. 3. Fiir WQ =WQ =0,5K^

werden e =0 und 7] = 72 .

®

K - - - ^ \ p ^ ^ ^ - Ôi

\ /

^^SZST^-

-ô„,

0

Bild 3.2.4. KenngroBen (a) und Zeitverhalten (b) eines Zweipunktreglers fiir eine PTiT^-Regelstrecke mit Zj^ «T {w^ , >iô ' ^0 înd Sollwerte, fiir die die entsprechenden Arbeitsbewegungen dargestellt sind)

3.2.2 Der einfache Dreipunktregler Der einfache Dreipunktregler wird durch einen Schalter mit drei Schaltstellungen realisiert (siehe Kennlinie Nr. 3 in Tabelle 3.1.1). Im Gegensatz zum Zweipunktregler ist es mit diesem Regler moglich, einen konstanten Beharrungszustand zu erzielen, sofern dem Dreipunktregler ein Ubertragungsglied mit I-Verhalten nachgeschaltet ist (Bild 3.2.5a). Bei dem im Bild 3.2.5b dargestellten Anwendungsbeispiel handelt es sich um eine Nachlaufregelung. Das Potentiometer mit der Winkelstellung cpi dient als Sollwertgeber (FiihrungsgroBe). Der Winkel ^2 ^^^ zweiten Potentiometers soil jeder Anderung von (p^

3.2 Regelkreise mit Zwei- und Dreipunktreglern

185

nachgeflihrt werden. Beide Potentiometer sind in einer Briickenschaltung miteinander verbunden. Die Regelabweichung in der Bruckendiagonale wirkt auf ein gepoltes Relais, das eine Totzone besitzt, in der seine Zunge keinen Kontakt beriihrt (Ruhestellung). Von den Kontakten dieses Relais wird ein Gleichstrommotor in Rechts- oder Linkslauf geschaltet. Der Motor besitzt bzgl. der AusgangsgroBe ^2 I-Verhalten und stellt die eigentliche Regelstrecke dar. Durch den Motor wird iiber ein Getriebe das zweite Potentiometer nachgeflihrt, und so die Bruckenschaltung selbsttatig abgeglichen, wodurch der Motor wieder in die Ruhestellung geschaltet wird. Durch die Totzone des Dreipunktreglers entsteht allerdings eine bleibende Regelabweichung. Derartige Nachlaujwerke werden haufig als innere Regelkreise in groBeren Regelkreisen benutzt.

w

\cV A—

e

J

7\ /

^

.i\

y

;0

(D + Z/ o

-UO-

Bild 3.2.5. (a) Blockschaltbild eines Regelkreises mit Dreipunktregler und I-Regelstrecke sowie (b) Anwendungsbeispiel mit gepoltem Relais und Totezone Regelkreise mit einem Zwei- oder Dreipunktregler werden auch als Relaissysteme bezeichnet. Gewohnlich werden die Kennlinien dieser Regler noch mit einer einstellbaren Hysteresebreite versehen, um insbesondere bei Regelstrecken ohne Totzeit ein standiges Umschalten der ReglerausgangsgroBe u^ zu vermeiden.


186 3.2.3 Zwei- und Dreipunktregler mit Riickfiihrung

GemaB Bild 3.2.6 konnen Zwei- und Dreipunktregler mit Hysterese zusatzlich durch eine innere Riickfiihrung - ahnlich wie die stetigen Regler - mit einem einstellbaren Zeitverhalten versehen werden. Das Riickfuhmetzwerk ist dabei linear und wird durch die Ubertragungsfunktion Gj.(^) beschrieben. Die so entstehenden Regler weisen annahemd das Verhalten Hnearer Regler mit PI-, PD- oder PID-Verhalten auf. Daher werden sie oft als quasistetige Regler bezeichnet. Diese Reglertypen sollen nachfolgend hinsichtlich ihres dynamischen Verhaltens kurz behandelt werden [Unb70].

PD

© K,,T

PID

®

e

PI

+ ^

TT

©

Bild 3.2.6. Die wichtigsten Zwei- und Dreipunktregler mit Hysterese und innerer Riickfiihrung (a) Zweipunktregler mit verzogerter Riickfiihrung (PD-Verhalten) (b) Zweipunktregler mit verzogert nachgebender Riickfiihrung (PID-Verhalten) (c) Dreipunktregler mit verzogerter Riickfiihrung und integralem Stellglied (Pl-Verhalten)

3.2 Regelkreise mit Zwei- und Dreipunktreglern 3.2.3,1 Der Zweipunktregler

mit verzogerter

187 Ruckfuhrung

Die Ruckfuhrung des im Bild 3.2.6a dargestellten Reglers wird durch ein PT^ -Glied beschrieben. Es sollen nun die zeitlichen Verlaufe des Ruckfiihrsignals x^ (t) und des Reglerausgangssignals x^(t) = u(t) gemaB Bild 3.2.7 betrachtetwerden. Zur Zeit t = ti besitze das Rtickfiihrsignal gerade den Wert Xj. =e-a. Das Zweipunktglied schaltet somit auf -\-b . Das Rtickfiihrsignal xît) strebt also den Endwert bKj. an. Zum Zeitpunkt t = t2 schaltet das Zweipunktglied unter dem Einfluss Xg = e - Xj. < - a in die Stellung -b . Damit lauft jetzt Xj.(0 in die umgekehrte Richtung. Auf diese Art und Weise kommt im internen Kreis des Reglers eine Arbeitsbewegung zustande. 1st die Kreisfi-equenz ITZ/TQ dieser Arbeitsbewegung gegeniiber der Betriebsfirequenz des gesamten Regelkreises groB, so kann als "ReglerausgangsgroBe" auch der zeitliche Mittelwert des Reglerausgangssignals t

u(t) = - I w(r)dr

(3.2.19)

t J

betrachtet werden. Wie aus Bild 3.2.7 anschaulich hervorgeht, wird die Kreisfrequenz

i

- u-

•

— •

•

t

Bild 3.2.7. Zeitlicher Verlauf des Rtickfiihrsignals x^(t) und der StellgroBe u(t)

3 Nichtlineare Regelsysteme 271 / TJ) sehr groB bei hinreichend kleiner Hysteresebreite 2a. Dann darf auch der Mittelwert des Rtickfiihrsignals Xj. {t), also Xj. {t) durch e{t) ersetzt werden. Somit erhalt man fiir die Ubertragungsfunktion des Reglers ndherungsweise

Gîs) = ^ . B ^ . ^ ,

(3.2.20)

E(s) X,(s) G,(s) wobei GY(S) die Ubertragungsfunktion der inneren Rtickfiihrung ist. Mit GAs) = - ^

(3.2.21)

liefertGl. (3.2.20) G^(s)^^(l + T,s).

(3.2.22)

Offensichtlich besitzt diese Reglertibertragungsfunktion PD-Verhalten, wobei allerdings bei einer sprungformigen Erregung von e(t) der Mittelwert der AusgangsgroBe u(t) zum Zeitpunkt der Erregung auf einem endlichen Wert begrenzt bleibt. 3.2.3,2 Der Zweipunktregler

mit verzogert nachgebender

Ruckfuhrung

Das Blockschaltbild dieses Reglers ist im Bild 3.2.6b dargestellt. Fiir die Rtickfiihrung gilt ]0 der Beziehung x(t) = 0,

(3.7.5)

also einem Punkt im Zustandsraum, den man wegen x(t) = 0 , auch als Ruhelage des durch Gl. (3.7.4) beschriebenen "transformierten" Systems bezeichnet. Da eine solche "Transformation" immer moglich ist, kann in der Theorie die Stabilitat immer als Stabilitdt der Ruhelage, und zwar der Ruhelage des Ursprungs des Zustandsraumes x = 0 interpretiert werden (ohne Verlust der Allgemeingtiltigkeit). Im weiteren wird nur der wichtigste Fall der zeitinvarianten Systeme behandelt mit der Beschrankung auf autonome Systeme (u{t) = 0) und mit der Zustandsraumdarstellung x(t) = f[x(t)],

x(0) = Xo,

(3.7.6)

da zumindest der Fall u(t) = const in ahnlicher Weise durch eine Transformation auf diese Form zuriickgefiihrt werden kann. In der Praxis ist es meist gerade die Ruhelage, deren Stabilitat interessiert. Lineare Systeme besitzen nur eine Ruhelage, namlich x(t) = 0, oder aber unendlich viele, z. B. Systeme mit integralem Verhalten (vgl. Tab. 3.4.1). Aus der Stabilitat einer Ruhelage folgt in diesem Fall die Stabilitat jeder beliebigen Bewegung des Systems, also insgesamt die Stabilitat des Systems. Nichtlineare Systeme konnen mehrere Ruhelagen mit unterschiedlichem Stabilitatsverhalten besitzen, die jeweils in den Ursprung transformiert werden konnen. Nach diesen Vorbetrachtungen lassen sich nun die allgemeinen Defmitionen fur Stabilitat, die ursprtinglich von Ljapunow vorgeschlagen wurden, formulieren. Definition 1: (Einfache) Stabilitat Die Ruhelage jc(0 = 0 des Systems gemaB Gl. (3.7.6) heiBt stabil (im Sinne von Ljapunow), wenn fiir jede reelle Zahl ^ > 0 eine andere reelle Zahl S = S{s)>0 existiert, so dass fur alle jc(0) mit \\x{0)\\^d{s) die Bedingung l|x(OIIo erfullt ist.


224

Dabei beschreibt die Euklidische Norm || x || des Vektors jc(0) die Entfernung des Zustandspunktes von der Ruhelage 0, und zwar durch die Lange des Zustandsvektors I x\\=^^X

X =

/

X;

Definition 1 enthalt die Aussage, dass alle Trajektorien, die in der Nahe einer stabilen Ruhelage beginnen, fiir alle Zeiten in der Nahe der Ruhelage bleiben. Sie miissen nicht gegen diese konvergieren. Bild 3.7.1 veranschaulicht dies fiir ein System 2. Ordnung. Zusatzlich ist jedoch die Bedingung mit enthalten, dass der maximale Abstand der Trajektorie von der Ruhelage beliebig klein gemacht werden kann, indem || x(0) \\ hinreichend klein gewahlt wird.

Bild 3.7.1. Zur Definition der Stabilitat In vielen Fallen begniigt man sich aber nicht mit dieser Definition der einfachen Stabilitat. So ist es z. B. haufig nach einer Storung erforderlich, dass die Bewegung eines Systems in die Ruhelage x = 0 zuriick geht. Dies fiihrt dann zur Definition der asymptotischen Stabilitat. Definition 2: Asymptotische Stabilitat Die Ruhelage jc(/) = 0 des Systems gemaB Gl. (3.7.6) heiBt asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und wenn fiir alle Trajektorien x(t), die hinreichend nahe bei der Ruhelage beginnen, lim||x(O||=0 gilt. Die Gesamtheit aller Punkte des Zustandsraums, die Anfangspunkte solcher Trajektorien sein konnen, die fur t -^co gegen die Ruhelage konvergieren, wird als Einzugsbereich der Ruhelage bezeichnet. Umfasst der Einzugsbereich den gesamten Zustandsraum, so heiBt die Ruhelage global asymptotisch stabil

3.7 Stabilitatstheorie nach Ljapunow

225

3.7.2 Der Grundgedanke der direkten Methode von Ljapunow Die direkte Methode von Ljapunow stellt die wichtigste bisher bekannte Methode zur Stabilitatsanalyse dar. Sie bietet die Moglichkeit, eine Aussage tiber die StabiHtat der Ruhelage eines dynamischen Systems (und damit entsprechend obigen Uberlegungen jeder beHebigen Trajektorie) zu machen, ohne die das System beschreibende Differentialgleichung zu losen. Da es haufig - vor allem bei nichtlinearen Systemen - nicht moglich ist, expUzite Losungen anzugeben, ist dies ein entscheidender Vorteil. Man kann das Prinzip der direkten Methode am zweckmaBigsten durch eine physikaHsche Uberlegung verdeutHchen. Die Ruhelage eines physikaHschen Systems, beispielsweise eines mechanischen Schwingers, ist dadurch gekennzeichnet, dass die Gesamtenergie als Summe aus kinetischer und potentieller Energie gleich Null ist. In jedem anderen Bewegungszustand dagegen ist sie positiv. AuBerdem ist bekannt, dass die Ruhelage eines passiven Systems stabil ist, und dass andererseits die Gesamtenergie autonomer passiver Systeme nicht zunehmen kann. Dies legt den Schluss nahe, dass eine stabile Ruhelage dadurch gekennzeichnet sein muss, dass die zeitliche Anderung der Gesamtenergie des Systems in der Umgebung der Ruhelage nie positiv wird. Gelingt es nun, die Energie als Funktion der ZustandsgroBen darzustellen, und fiir diese skalare Funktion V(x) zu zeigen, dass 1. V(x)>0

fiir alle x^Ô,

2. V(x) = 0 fur

x = 0,

3. F ( x ) < 0 wird, so hat man die Stabilitat der Ruhelage ohne explizite Kenntnis der Losungen bewiesen. Was hier am Beispiel einer Energiebetrachtung veranschaulicht wurde, lasst sich auch verallgemeinem. Dass dies moglich ist, wurde von A.M. Ljapunow gezeigt: Die physikalische Bedeutung der Funktion V(x) ist selbst nicht entscheidend. Falls es gelingt, irgendeine Funktion V(x) zu fmden, die den obigen Bedingungen geniigt, so ist die Stabilitat bewiesen. Das Problem besteht also darin, eine geeignete Funktion V(x) zu fmden, was haufig nicht einfach ist. Bevor die wichtigsten Stabilitatssatze von Ljapunow dargestellt werden, sollen zuerst noch einige Begriffe definiert werden. Eine Funktion V(x) heiBt positiv definit in einer Umgebung Q des Ursprungs jc = 0, falls 1. F(jc)>0 fur alle X G Q , X ^ O 2. F(x) = 0 fur x = 0 gilt. V{x) heiBt positiv semidefinit in Q , wenn sie auch fiir x ^ 0 den Wert Null annehmen kann, d. h. wenn 1. K(x)>0 fiir alle X G Q , 2. V{x) = 0 fiir x = 0


226

wird. Die Begriffe negativ definit und negativ semidefinit werden ganz entsprechend definiert. Im Folgenden werden einige Beispiele positiv definiter Funktionen V{x) betrachtet. Dabei kommt es nicht darauf an, dass die entsprechende Bedingung flir alle x, d. h. im gesamten Zustandsraum erfullt ist. Vielmehr geniigt es haufig, wenn man ein Gebiet Q angeben kann, in dem eine Funktion defmit ist. Q kann beispielsweise durch die Menge aller x defmiert sein, fiir die gilt \\x\\^'

2^ Pii-

Pn Pn

A


227

was gleichbedeutend ist mit det P > 0 . Eine Verallgemeinemng fur Matrizen hoherer Dimension stellt das Kriterium von Sylvester [ZF84] dar: T

Die quadratische Form V{x) = x P jc ist positiv defmit, falls alle ("nordwestlichen") Hauptdeterminanten von P positiv sind. Geniigt eine Matrix P dem Kriterium von Sylvester, so wird sie auch als positiv definit bezeichnet. 3.7.3 Stabilitatssatze von Ljapunow Wie oben bereits erwahnt, ist bei der Stabilitatsanalyse mit Hilfe der direkten Methode die Funktion V{x), eine Art verallgemeinerte Energiefunktion, von entscheidender Bedeutung. Die folgenden von Ljapunow aufgestellten Stabilitatssatze beruhen auf der Verwendung derartiger Funktionen. Satz 1: Stabilitdt im Kleinen Das System X = fix) besitze die Ruhelage x = 0. Existiert eine Funktion V(x), die in einer Umgebung Q der Ruhelage folgende Eigenschaften besitzt: 1. V(x) und der dazugehorige Gradient

VF(JC)

sind stetig ,

2. V(x) ist positiv definit, 3. V(x) = [VF(x)] ^ x = [VF(x)] ^ f(x)

ist negativ semidefmit,

dann ist die Ruhelage stabil. Eine solche Funktion V(x) Funktion bezeichnet.

wird als Ljapunow-

Durch eine Modifikation von Satz 1 unter Punkt 3 erhalt man den folgenden Satz. Satz 2: Asymptotische Stabilitdt im Kleinen Ist V{x) in Q negativ definit, so ist die Ruhelage asymptotisch stabil. Der Zusatz "im Kleinen" soil andeuten, dass eine Ruhelage auch dann stabil ist, wenn die Umgebung Q , in der die Bedingungen erfiillt sind, beliebig klein ist. Man benutzt bei einer solchen asymptotisch stabilen Ruhelage mit sehr kleinem Einzugsbereich, auBerhalb dessen nur instabile Trajektorien verlaufen, auch den Begriff der ''praktischen Instabilitdf\ Die Aussage dieser beiden Satze lasst sich in der Phasenebene leicht geometrisch veranschaulichen. Im Bild 3.7.2 ist eine Ljapunow-Funktion durch ihre Hohenlinien V{x) = c mit verschiedenen Werten c > 0 dargestellt. Schneiden die Trajektorien des Systems die-


228

se Linien in Richtung abnehmender Werte von c, so entspricht dies der Bedingung F ( x ) < 0 , es liegt also Stabilitat vor. Dies gilt auch fiir die Trajektorie x^(t), die fiir t ^-co auf einer Hohenlinie verlaufl (V(x) = 0 fixr xÔ). Die Trajektorie x^(t) entspricht dagegen einer asymptotisch stabilen Ruhelage. Eine Besonderheit stellt die Trajektorie x^Q), dar. Sie strebt von der Ruhelage weg, obwohl V(x) positiv defmit und V(x) negativ semidefmit ist, wie aus Bild 3.7.2 deutlich hervorgeht. Offensichtlich gehort also der Startpunkt dieser Trajektorie nicht zum Einzugsbereich der Ruhelage. Sie verlauft in der Richtung gegen unendlich, in der auch die Hohenlinien von V(x) ins Unendliche streben. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass dies bei solchen Trajektorien sicher nicht geschehen kann, die in dem Gebiet beginnen, in

c^< c^< c^< c^< c^

Bild 3.7.2. Geometrische Deutung der Stabilitatssatze dem die Hohenlinien von V(x) geschlossene Kurven sind. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes. Satz 3: Asymptotische Stabilitat im Grofien Das System X = f(x) habe die Ruhelage jc = 0. Es sei V(x) eine Funktion und Qj^ ein Gebiet des Zustandsraums, definiert durch V(x) 0.

Ist nun 1. Qy^ beschrankt, 2. V(x) und VK(x) stetig in Q^ , 3. V(x) positiv definit in Qj^ , 4. V(x) = [VF(jc)] ^ f(x)

negativ defmit in Q^ ,


229

dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil und Q^ gehort zu ihrem Einzugsbereich. Wesentlich hierbei ist, dass der Bereich Q^, in dem V(x) < k ist, beschrankt ist. In der Kegel ist der gesamte Einzugsbereich nicht identisch mit Qy^, d. h. er ist groBer als Clj^. Um fur die Ruhelage den gesamten Zustandsraum als Einzugsbereich zu sichem, muss folgender Satz erfiillt sein. Satz 4: Globale asymptotische Stabilitdt Das System

x = f{x) habe die Ruhelage x = 0. Existiert eine Funktion V{x), die im gesamten Zustandsraum folgende Eigenschaflen besitzt: 1. V{x) und VK(x) sind stetig , 2. V{x) ist positiv defmit, 3. V{x) = [VF(x)] ^ f{x)

ist negativ defmit,

und ist auBerdem 4. lim

V{x) -> 00 ,

llxIKcx)

SO ist die Ruhelage global asymptotisch stabil. Die Bedingungen 1 bis 3 dieses Satzes konnen durchaus erfullt sein, ohne dass globale asymptotische Stabilitat vorliegt. Ein Beispiel hierfiir ist die im Bild 3.7.2 dargestellte Funktion mit Hohenlinien, die auch bei ins Unendliche strebenden Werten von || jc || endlich bleiben, und die damit Bedingung 4 nicht erftillen. Im zweidimensionalen Fall ist diese Bedingung also gleichbedeutend mit der Forderung, dass alle Hohenlinien von V{x) geschlossene Kurven in der Phasenebene sind. Haufig gelingt es nur, eine Ljapunow-Funktion zu finden, deren zeitliche Ableitung negativ semidefmit ist, obwohl asymptotische Stabilitat vorliegt. In diesen Fallen ist folgender Zusatz wichtig: Asymptotische Stabilitat liegt auch dann vor, wenn V{x) negativ semidefmit ist und die Punktmenge des Zustandsraums, auf der V{x) = 0 ist, auBer x = 0 keine Trajektorie des Systems enthalt. In der Phasenebene bedeutet dies, dass keine Trajektorie mit einer Hohenlinie V(x) = c zusammenfallen darf Die Ljapunowschen Stabilitatssatze liefem nur hinreichende Bedingungen, die nicht unbedingt notwendig sind. Sind z. B. die Stabilitatsbedingungen erfullt, so ist das System sicher stabil, es kann aber zusatzlich auch dort stabil sein, wo diese Bedingungen nicht erfullt sind, d. h. bei Wahl einer anderen Ljapunow-Funktion V{x) kann u. U. ein erweitertes Stabilitatsgebiet erfasst werden. Mit diesen Kriterien lassen sich nun die wichtigsten Falle des Stabilitatsverhaltens eines Regelsystems behandeln, sofern es gelingt, eine


230

entsprechende Ljapunow-Funktion zu fmden. Gelingt es nicht, so ist keine Aussage moglich. Die direkte Methode bietet jedoch auch die Moglichkeit, Instabilitat nachzuweisen. Dazu wird folgender Satz formuliert: Satz 5: Totale Instabilitat Das System

x = f{x) habe die Ruhelage jc = 0 . Existiert eine Funktion V{x), die in einer Umgebung Q der Ruhelage folgende Eigenschaften besitzt: \.V{x)

und VK(jc) sind stetig ,

2. V{x) ist positiv defmit, 3. V{x) ist positiv defmit, dami ist die Ruhelage instabil. Zur Anwendung der direkten Methode sei nun das folgende Beispiel betrachtet. Beispiel 3.7.1: Die Differentialgleichung des mathematischen Pendels im Bild 3.7.3 lautet (2? + — s i n (27 = 0 .

i-icos(p

Bild 3.7.3. Mathematisches Pendel Mit den Zustandsgrolên xi= (p und

X2= (p

ergibt sich die Zustandsraumdarstellung Xi

=X2

X2=-(g/

-^) sin xi .


231

Nun soil die Stabilitat der Ruhelage dieses physikalischen Systems untersucht werden, die dem Ursprung der Phasenebene (x| == ^2 == 0) entspricht. Hierbei kann man versuchen, anhand der Gesamtenergie eine Ljapunow-Funktion zu bestimmen. Ftir die Gesamtenergie folgt 1 2 ^ges = ^pot + ^kin = ^g^ (1 - COS ^) + - m{iq)) . Als Ljapunow-Funktion wird nun eine der Gesamtenergie proportionate Funktion F(jc) = 2 g ( l - c o s x i ) + ^X2 gewahlt. Wegen dieser Proportionalitat zu der Energiefunktion ist V{x) selbstverstandlich positiv, was man auch anhand der Gleichung leicht erkennt. Sie verschwindet ftir xj = X2 = 0, ist also in einem Bereich mit | xj |< 27i sicherlich positiv defmit. Nun muss ihre zeitliche Ableitung betrachtet werden:

• , ^ dv .

V{x) =

dv .

—-Xi+——X2 oxj ax2

•• 2gX2 sin xi + 2^X2 — sm xi Es ist leicht zu erkennen, dass ftir alle xj und X2 die Beziehung V(x) = 0 gilt. Die Funktion V(x) ist somit negativ semidefmit. Deshalb ist nach Satz 1 die Ruhelage xi - X2 = 0 stabil. Aus physikalischen Grtinden ist dieses Ergebnis sofort einsichtig, da ein einmalig erregtes, ungedampftes Pendel eine Dauerschwingung ausflihrt. Dabei bleibt die Gesamtenergie konstant. Ftir ein lineares System fiihrt man in diesem Fall den Begriff der Grenzstabilitat ein, vergleiche Tabelle 3.4.1. Weist die Pendelschwingung eine zusatzliche geschwindigkeitsproportionale Dampfling d auf, dann lauten die Zustandsgleichungen xj - X 2

X2 = - ( g / ^ ) sin xj -dx2 . Es wird nun die gleiche Ljapunow-Funktion wie zuvor verwendet. Damit erhalt man fur V(x) = -llckl

,

wiederum eine negativ semidefinite Funktion, da V(x) nicht nur im Ursprung, sondem bei X2 = 0 flir alle xj ^^ 0 verschwindet. Man kann zwar daraus zunachst nur auf Stabilitat, nicht aber auf asymptotische Stabilitat schlieBen. Letztere liegt hier aber offensichtlich vor. Die weitere Betrachtung zeigt jedoch, dass es keine Trajektorien dieses Systems gibt, die durch X2 = 0, x^ T^ 0 beschrieben werden, d. h. die vollstandig auf der xj -Achse der Phasenebene verlaufen. Aufgrund dieser zusatzlichen tJberlegung kann deshalb geschlossen werden, dass die Ruhelage tatsachlich asymptotisch stabil ist. Diese zusatzliche Priifung hatte man sich eventuell ersparen konnen, wenn man durch eine geschicktere Wahl von V(x) erreicht hatte, dass V(x) negativ defmit wird. Dies zeigt, dass der Ansatz der Gesamtenergie selbst in den Fallen, wo er direkt moglich ist,

232


nicht die "ideale" Ljapunow-Funktion liefert. Beispielsweise ware es damit auch nicht moglich, die Instabilitat der zweiten Ruhelage dieses Systems bei xi=n, X2=0 nach Satz 5 zu beweisen, da die Gesamtenergie bekanntlich konstant ist, hier aber ein V(x) mit positiv definiter Ableitung gefordert wird. • 3.7.4 Ermittlung geeigneter Ljapunow-Funktionen Mit der direkten Methode von Ljapunow wird das Problem der Stabilitatsanalyse jeweils auf die Bestimmung einer zweckmaBigen Ljapunow-Funktion zuriickgefuhrt, die anhand der besprochenen Stabilitatssatze eine moglichst vollstandige Aussage iiber das Stabilitatsverhalten des untersuchten Regelsystems zulasst. Hat man beispielsweise eine Ljapunow-Funktion gefunden, die zwar nur den Bedingungen von Satz 1 gentigt, so ist damit noch keineswegs ausgeschlossen, dass die Ruhelage global asymptotisch stabil ist. Ein systematisches Verfahren, das mit Sicherheit zu einem gegebenen nichtlinearen System die beste Ljapunow-Funktion liefert, gibt es nicht. Meist ist ein gewisses Probieren erforderlich, verbunden mit einiger Erfahrung und Intuition. Fiir lineare Systeme mit der Zustandsraumdarstellung x = Ax

(3.7.9)

kann man allerdings zeigen, dass der Ansatz einer quadratischen Form V(x):=x^ Px

(3.7.10)

mit einer positiv definiten symmetrischen Matrix P immer eine Ljapunow-Funktion liefert. Die zeitliche Ableitung von V(x) lautet V(x) = x^ P x + x^ und mit Gl. (3.7.9) und x

Px,

=x A

V(x) = x^[A^ P + PA]x.

erhalt man (3.7.11)

Diese Funktion besitzt wiederum eine quadratische Form, die bei asymptotischer Stabilitat negativ defmit sein muss. Mit einer positiv definiten Matrix Q gilt also A^ P + PA = -Q.

(3.7.12)

Man bezeichnet diese Beziehung auch als Ljapunow-Gleichung. GemaB Satz 4 gilt folgende Aussage: Ist die Ruhelage x = 0 des Systems nach Gl. (3.7.9) global asymptotisch stabil, so existiert zu jeder positiv defmiten Matrix Q eine positiv definite Matrix P, die die Gl. (3.7.12) erfiillt. Man kann also ein beliebiges positiv definites Q vorgeben, die Ljapunow-Gleichung nach P losen und anhand der Definitheit von P die Stabilitat iiberprlifen. Globale asymptotische Stabilitat bedeutet in diesem Fall gleichzeitig, dass alle Eigenwerte î der Matrix A negative Realteile haben. In diesem Fall ist Gl. (3.7.12) eindeutig nach P auflosbar. Als allgemeine Bedingung fiir eine eindeutige Losung darf die Summe zweier beliebiger Eigenwerte nicht Null werden, d. h. es gilt /L^ + Xj ^0 fur alle ij.


233

Ftir nichtlineare Systeme ist ein solches Vorgehen nicht unmittelbar moglich. Es gibt jedoch verschiedene Ansatze, die in vielen Fallen zu einem befriedigenden Ergebnis fiihren. Hierzu gehort das Verfahren von Aiserman [AG65], [Fol98], bei dem ebenfalls eine quadratische Form entsprechend Gl. (3.7.10) verwendet wird. Die Systemdarstellung muss dabei in der Form x = A{x)x,

(3.7.13)

moglich sein. Ftir die von x abhangige Systemmatrix wird vorausgesetzt, dass sie in einen konstanten linearen und einen nichtlinearen Anteil aufgespalten werden kann: A{x) = A^+A^{x).

(3.7.14)

Lost man Gl. (3.7.12) fiir den linearen Anteil ^ L ' ^- ^- ™^ Q~^ ^ so ergibt sich eine Matrix P, die bei stabilem ^ L positiv defmit ist. Geht nun A-^{x) gegen 0 ftir x -^ 0, so besteht Grund zu der Annahme, dass V{x) auch fiir A{x) negativ definit ist, zumindest in einer Umgebung um den Ursprung. Dies kann mit Hilfe des Kriteriums von Sylvester nachgeprtift werden. Allerdings muss A^{x) nicht unbedingt so gewahlt werden, dass A^ (x) ^^ 0 ftir x —> 0 gilt. In manchen Fallen liefert eine andere Wahl u. U. ebenfalls brauchbare Ergebnisse (siehe Anwendung im nachfolgenden Kapitel 3.7.5). Da das Verfahren von Aiserman recht aufwendig ist, wird haufig bevorzugt das Verfahren von Schultz-Gibson [SG62] (Methode der variablen Gradienten) angewandt, da es auch bei komplizierten Systemen hoherer Ordnung noch einigermaBen handlich ist. Das Verfahren von Schultz-Gibson geht von dem Gradienten VF(x) aus, der als lineare Funktion angesetzt wird. Daraus berechnet man V{x) und F(x) und wahlt die Koeffizienten so, dass die entsprechenden Bedingungen erfullt werden. Fiir ein System 3. Ordnung beispielsweise mit den Zustandsgleichungen x = f{x),

(3.7.15)

Oder in Komponentenform ^1 = / i ( ^ b ^ 2 ' ^ 3 )

(3.7.15a)

^2=/2(^b^2.^3)

(3.7.15b)

^3 =/3(^l'^2'-^3)'

(3.7.15c)

lautet der lineare Ansatz fiir die Elemente des Gradientenvektors —— = ^11X1+^12X2 +^13^3

(3.7.16a)

OXi

dV '^21^1+ 0 , positiv definit; der lineare Anteil Aj^ des Systems ist stabil, und die Ljapunow-Funktion lautet somit V(x) = x Px = axi +X2 .

(3.7.24)

Nun muss mit der Matrix P und der nichtlinearen Systemmatrix A(x) auch die Gl. (3.7.12) mit positiv defmitem Q erfiillt sein, damit die Ruhelage stabil ist. Man erhalt daher mit den Gin. (3.7.12) und (3.7.23) -Q(x) = A^ (x) P + P A(x) = [AIP

+

PAJ^]HA^(X)P^PA^(X)]

2 L wurde oben bereits gewahlt, wahrend Q^(x) jetzt noch berechnet werden muss. Mit A^(x) aus Gl. (3.7.23) folgt aus der vorhergehenden Beziehung

3.7 Stabilitatstheorie nach Ljapunow 0 -1

/ ( x i ) [a 0 [0

0"

o] ij

a

+

1

0

239 0

-1

0 f(xi)-a

f(xO-a 0

-SNW-

Damit erhalt man Q(x) =

4a a-f(xi)

a-f(xi) 2

Wegen V(x) = ~-x Q(x) x entsprechend GL (3.7.11) muss nun die Matrix Q(x) positiv definit sein. Mit dem Kriterium von Sylvester lasst sich der Bereich, in dem dies erflillt ist, ermitteln. Hieraus folgt >0

Oder umgeformt ^JSa >\a0 absolute Stabilitat nachweisen. Das bedeutet in Bezug auf das ursprtingliche System, dass der Wert Ki = -2 nicht mehr zum Sektor der absoluten Stabilitat gehort. b) Aus Bild 3.8.6b ergibt sich, dass jede Gerade mit einer Steigung l/ co . Damit wurde als Popov-Sektor der Sektor [y, K] mit AT ^^ oo ermittelt. Man kann zeigen, dass fiir diesen Fall der Popov-Sektor auch als offener Sektor (0, oo) darstellbar ist, d. h. fur das transformierte System gilt somit

Diese Unterscheidung hat jedoch nur eine mathematische Bedeutung im Zusammenhang mit dem Beweis des Kriteriums. Fiir die praktische Anwendung ist der Unterschied unwesentlich. Nach der Riicktransformation auf das urspriingliche System ergibt sich der neue Sektor (-2, oo) Oder

250


-22_

~-l 0] \xi + 0 - i j U2_

r u{t),

y{t)^[\

-1

Man zeige, dass y{t) unabhangig von u{t) ist. Zielsetzung: Uberprtifling der Ausgangssteuerbarkeit Theoretische Grundlagen: Kap. 1.7.1

1] xi .^2.

(A13.1a,b)

Aufgabe 14

283

Losung: Soil geprtift werden, ob y(t) unabhangig von u(t) ist, so muss gezeigt werden, dass das System nicht vollstandig ausgangssteuerbar ist. Damit das gegebene EingroBensystem 2. Ordnung ausgangssteuerbar ist, mtisste (vgl. Aufgabe 11) die Bedingung Rang ^3 = Rang[c^b \ cÂb

\d]--\

(A 13.2)

erfiillt sein. Der Rang der Matrix S^, muss also gleich der Anzahl der AusgangsgroBen sein. Im vorliegenden Fall ist c^b = [\ 1]

= 0, c M ^ = [l 1]

-1 0

0 -1

-1

= 0 und J = 0.(A13.3a-c)

Damit wird Rang [0 0 0] = 0, d. h. das System ist nicht ausgangssteuerbar und deshalb ist y{t) unabhangig von u{t).

Aufgabe 14 Man priife, ob die Schaltung im Bild A14.1 ^r L = R C steuerbar ist. Zielsetzung: Anwendung der Steuerbarkeitsbedingungen Theoretische Grundlagen: Kap. 1.7.1

Bild A14.1. i?ZC-Netzwerk

ANHANG A: Aufgaben

284

Losung: Fiir die Untersuchung der Steuerbarkeit der Schaltung imBildAM.l werden als ZustandsgroBen der Strom durch die Induktivitat L und die Spannung an der Kapazitat C eingefilhrt, d. h. Z'L^XJ,

UQ=X2.

(A14.1a, b)

Da fiir die Zustandssteuerbarkeit die Systemmatrix A und der Eingangsvektor b von Bedeutung sind, wird eine Darstellung des Systems in der Form i: = Ax + bu

(A14.2)

gesucht. Die Analyse des Netzwerks liefert die Maschengleichungen dxi L — - = Ri^ -Rii,, dt

X2=u-Ri^,

xj = Ri2 -^^"3

(A14.3a-c)

und die Knotengleichungen C d^2

dt

• ^4 + ^3 5

Xj — 73 + /2 •

(A14.3d, e)

Aus Gl. (A14.3a) folgt unmittelbar H=

(A14.4) ~{u-X2) R und aus den Gin. (A14.3c) und (A14.3e) erhalt man durch Elimination von 12 die Beziehung (A14.5)

^3=—(^-^2)-

Durch Einsetzen der Gin. (A14.4) und (A14.5) in Gl. (A14.3b) ergibt sich die erste Zustandsgleichung dxj _

R

1

1

(A14.6) U. dt 2L 2L L Aus Gl. (A14.3d) folgt ebenfalls mit den Gin. (A14.4) und (AM.5) direkt die zweite Zustandsgleichung X9 H

-X]

dx2

1

3

1

(A14.7) U . dt IC IRC ^ RC Damit lassen sich die Gin. (A14.6) und (A14.7) in der vektoriellen Zustandsgleichung 1 1 _R_ IL L IL x+ (A14.8) 1 3 1 .RC_ IC 2RC_ — =

Xi

Xo H

Aufgabe 15

285

zusammenfassen. Fiir das System nach Gl. (A 14.8) ist nun die Kalmansche Steuerbarkeitsbedingung Rang ^1 = Rang [^

Ab] = 2

(A14.9)

zu iiberpriifen. Man erhalt mit L = R C R

L

1 IRLC

R^C

3

1

R'C^ (A14.10)

^ 1 -

1 RC

ILC

2R^C^_

~RC

1 R^C"

Die zweite Zeile der Matrix Si ist iiber den Faktor \lR

linear abhangig von der ersten

Zeile. Damit ist die Bedingung (A14.9) fur die Steuerbarkeitsmatrix Si nicht erftillt und das i^C-Netzwerk nach Bild A14.1 ist fiir L-R

C nicht steuerbar.

Aufgabe 15 Das im Bild A 15.1 dargestellte Netzwerk hat als EingangsgroBe w(/)den Strom /g.am Eingang des Netzwerkes. Als ZustandsgroBen xi{t) und X2(0 werden die Spannung UQ an der Kapazitat und der Strom Z'L durch die Induktivitat defmiert.

R.

R.

Bild A15.1. i^C-Netzwerk Wie muss die in dieser Schaltung enthaltene Briicke dimensioniert werden, damit das Netzwerk steuerbar ist? Zielsetzung:

Anwendung der Steuerbarkeitsbedingungen

Theoretische Grundlagen:

Kap. 1.7.1

ANHANG A: Aufgaben

286 Losung: Zunachst ist die Zustandsraumdarstellung in der Form x = Ax + bu

(A15.1)

gesucht. Festgelegt sind hier bereits die ZustandsgroBen xi = UQ und X2 = i\^ •

(A 15.2a, b)

Das Gleichungssystem zur Ermittlung der GroBen i j und ±2 ergibt sich aus den Knotengleichungen u = Cxi + 74 ,

/4 = zj + ^2 = /3 + i^ ,

i\ ~ i^ + X2 ,

i^ = 12 + ^2

(A15.3a-d)

und den Maschengleichungen xi = 7?2^2 + ^3^3 '

^1 ^ ^1^1 + ^3^5

(A15.4a, b)

i?2?2 = ^1^1 + ^^2 •> ^3h = ^3^3 + ^^2

(A 15 Ac, d)

des T^C-Netzwerkes. Aus den Gin. (A 15.3c) und (A 15.4b) lasst sich /j eliminieren, so dass Xi -

R1X2

(A15.5)

Rl+Ri,

In gleicher Form wird 12 aus den Gin. (A15.3d) und (A15.4a) eliminiert. Man erhalt dann ^3 = -

^1 + Riî

(A15.6)

R2 +i?3

Die Gin. (A15.3b), (A15.5) und (A15.6) in Gl. (A15.3a) eingesetzt liefert unmittelbar 1

1 -+R^ + ^ 3 i?2 ~~ ' ^3

xi=~

1

'

Ri Rn C V^2 + R^

R^ X2+~u. R^1 ++ 7v ^3;

(A15.7)

Die zweite Zustandsgleichung folgt durch Einsetzen der Gin. (A 15.5) und (A 15.6) in Gl. (A 15.4d) in der Form •

7?3

1

1

^3

7?l+i?3

R2+R2

R] 1

Ri+Ri,

-+-

7?2 ^

X2.

(A15.8)

^2+^3

Mit 1 ~ C

1 -+-

R^ + /V3

/V2 + iV3

^9

~c\^R2+R^

^, R1+R3J

(A 15.9a) R^ R\ + 7vo

V-î

/V9 + R3 ;

R^

R-y

R^ + 7?o

i?9 + jR-3 ;

vî

Aufgabe 16

287

und

'c (A 15.9b)

b =\ 0 wird Si wie in Aufgabe 14 gemaB Gl. (1.7.8) berechnet. Man erhalt somit 1 Si=[b

1

1

1

1__

\Ab] =

(A15.10)

Damit die gegebene Bmcke steuerbar ist, muss Rang Si=2

sein, d. h.

R^ LC^

(A15.il) 7^1+^3

^2+^3

Gl. ( A 1 5 . i l ) ist erfiillt fur die Bedingungen - 7^ 0 und i?2 ^ ^1 • Mit diesen Bedingungen ist das Netzwerk vollstandig steuerbar.

Aufgabe 16 Gegeben sei eine MehrgroBen-Regelstrecke mit der Zustandsraumdarstellung

1 0"

"0 0"

3 0 , ^= 0 1 0 2 1 0

[0 0 1]

, c=

1 0 0

, D=

ro 0] 0 0

= 0.

(A16.1a-d)

Gesucht ist eine Reglermatrix F fur eine Zustandsvektorrtickfuhrung mit u = -Fx

ftir

den Fall, dass der geschlossene Regelkreis jeweils folgende Polverteilung besitzt: a) ^1 = - 1 , S2=-2,

^3 = - 4 ;

(A16.2a)

fiir diesen Fall ist auch die Vorfiltermatrix F zu bestimmen; S2=-2,

5-3 = - 2 ;

(A16.2b)

c) ^1 = - 1 , S2=-2,

s^=-3;

(A16.2c)

d ) si=-l,

5*2 = - 3 , 5 * 3 - - 3 ;

(A 16.2d)

e) si=-l,

s2=-3

(A16.2e)

b) si=-l,

f) Si=-20,

+},

S2=-30,

^3--3-j; ^3 = - 4 0 .

(A16.2f)

ANHANG A: Aufgaben

288

Ftir die jeweils ermittelte Reglermatrix F ist die Probe durch Einsetzen derselben in die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises ftir die Falle a) - f) zu machen. Zielsetzung: Reglersynthese durch Polvorgabe Theoretische Grundlagen: Kap. 1.8.1 - 1.8.6 Losung: Zuerst muss gepriift werden, ob es moglich ist, mit einer konstanten Reglermatrix F eine beliebige Polverteilung des geschlossenen Regelkreises zu erhalten. Notwendig und hinreichend dafiir ist die Steuerbarkeit des offenen Systems. Wie bereits aus den Aufgaben 11-15 bekannt ist, muss die Kalmansche Steuerbarkeitsbedingung Rang[J? I AB \ A^B j ••• | A'^'^B] = n = Systemordnung gelten. Das Einsetzen der Matrizen A und B ergibt

'o

0 1 0 1 0 -6' Rang [B \ AB \ A^B] = Rang 0 1 0 - 3 0 9 1 0 i2 0 0 4

:3.

(A16.3)

Die Rangbedingung gemaB 01. (A16.3) ist erfiillt, da alle Zeilen der Steuerbarkeitsmatrix linear unabhangig sind. Somit ist das offene System vollstandig steuerbar. Nun kann die Berechnung der gesuchten Reglermatrizen F erfolgen. Im ersten Rechenschritt ist die Matrix ^(s) = 0{s) B zu bestimmen, die fiir alle gewtinschten Polverteilungen gleich ist. Zunachst ergibt sich die Fundamentalmatrix des durch Gl. (A 16.1) beschriebenen Systems zu

0(s) = {sl-Ay^ =

^+3 0 0

-1 ^+3 0

0 0 s-2

-1

0 0 (s + 3)(s-2) 0 s-2 (^ + 3 ) ( ^ 2 ) 0{s)-. (^ + 3 ) ^ ( ^ - 2 ) ( . + 3)2 0 0

1

0{s)^

1

1

. +3

(. + 3)^ 1

0 0

. +3 0

0

1 s-2

(A16.4)

Aufgabe 16

289

Das offene System besitzt demnach die Pole -ô l - ^' O 2 - ~^' ^' O 3 - +2 ^^^ ist daher instabil. Damit erhalt man 0

^(s) = 0(s)B-

0 1 s-2

1 (. + 3)^ 1

:[^l(^)

s+3

(A16.5)

^2(^)1

0

Die Matrix ^(s) hat die Dimension (nxr)und die Spaltenvektoren !P'^(^)die Dimension (/? X1). Es gibt daher immer genau r dieser Spaltenvektoren. Ftir den geschlossenen Regelkreis werden jedoch n Pole vorgegeben, ebenso viele wie im offenen System. Die Synthesegleichung (1.8.29) muss fiir alle n Pole gelten. Aus diesem Grund miissen nun n dieser Spaltenvektoren ^y(si) ftir i = \,...,n aufgestellt werden, die linear unabhangig sein miissen, damit die aus den Vektoren ^y(si) thesegleichung F = -[e,,

e,^

-

e,J['F,îsO

gebildete (n x n) - Matrix in der Syn-

^,(^2)

-

n„(^«)]"^

(A16.6)

invertiert werden kann. Die Indizes v sind dabei beliebig zwischen 1, 2, •••, r wahlbar. Man beachte, dass die Einheitsvektoren die Dimension (r x 1) besitzen. Durch Einsetzen der n vorgegebenen Pole Sf des geschlossenen Kreises in die r Spaltenvektoren erhalt man insgesamt n • r mogliche Spaltenvektoren ^y (s^), von denen n linear unabhangige ausgewahlt werden miissen. a) si=-l,

S2=-2,

^3 = - 4

Man erhalt hierfiir die n-r = 6 moglichen Spaltenvektoren

o" ^^1,(^1)

0 , ^2,(^l)1 3_

"1 4 1

,

9

0

^1,(^2)-

0 "1 0 , ^ 2 , ( ^ 2 ) - 1 ,(A16.7a,b) 1 0 4_

1 "^1,(^3) =

^2,(^3) =

-1

(A16.7c)

0 Aus diesen 6 Moglichkeiten ist eine Kombination von n = 3 Spaltenvektoren auszusuchen, die linear unabhangig sind, wobei jeder Pol Sf, z = 1, •••, n mindestens in einem Spaltenvektor enthahen sein muss. Es gibt r" = 2 =8 mogliche Kombinationen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Spaltenvektoren ^^ (si), î (s2) und ^lis^,) jeweils paarweise linear abhangig sind. Ebenso ist einer der drei Vektoren

ANHANG A: Aufgaben

290

^2 (^1), ^2 ("^2) ^^d ^2 ("^3) linear abhangig von den beiden anderen. Damit bleiben als mogliche Kombinationen flir die Matrix A^ in Gl. (1.8.36b)

7Vi=['Pl,(s,)

^ 2 =["^2,(^1)

¥-2,(^2)

"Ûfe)

^23(^3)]

'^2,(^3)] =

0 0

1 1 1 -1

1 3

0

0

1 4

0

1

i 0 -1 0 -4 0

(A16.8a)

(A16.8b)

Oder

A^3-[ ^2,(^1)

^2.fe)

^1,(^3)]0

1

0

1

0

0

1

(A16.8C)

tibrig. Gewahlt werde die Moglichkeit nach Gl. (A16.8a), mit der nun Gl. (Al6.6) ausgewertet werden soil. Zu diesem Fall gehort die Matrix der Einheitsvektoren 1 0 0 0

(A16.9)

1 1

Die Inverse der Matrix TV^ ergibt sich zu

V=[*^L(Î)

^2.(^2)

0 1

^2.(^3)]"' = 2 1 2

0 1 2

_1 2

Daraus folgt die Zustandsriickfiihrmatrix

Fi=-

1 0 0 0

1 1

0

0

-3

1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

0 0 3 -10

0

(A16.10)

Probe: An den Polstellen (^ = ^/) muss der Wert des charakteristischen Polynoms verschwinden, d. h. P(^) = | ^ I - ^ + ^ F | = O bzw.

Aufgabe 16

291 0 s + 3 -1 0 ^+3 0 s-2 0 0

P(s) =

"0 0] + 0 1

0 0 3 -10 0

1 oj

^+3 - 1 0 = - 1 ^ + 3 0 = 0. 0 s-hl 0

Einsetzen der gewiinschten Polstellen ergibt

I 2 -1 P(s^ =-I) J-l

2 0

0

0 0 -0, 0

P(s2=-2) =

1 1 0

0 -1 0 = 0, 1 0 -1

-1 - 1 0 P(s^=-4) = -1 - 1 0 0 0-3 so dass die charakteristische Gleichung erfiillt ist. Fiir die beiden anderen moglichen Reglermatrizen erhalt man bei gleicher Vorgehensweise Fn =

0

0 4

2 -1

0

und F^ =

0

0

6

2 -3

0

(A16.il)

Welcher Regler letztlich verwendet wird, hangt von weiteren vorgegebenen Randbedingungen ab, wie z. B. moglichst geringe StellgroBen o. a. Diese Reglereigenschaften miissen durch Simulation iiberpruft werden. Fiir die Zustandsriickfiihrungen nach Gl. (A16.10) und 01. (A16.il) soil nun eine Vorfiltermatrix V bestimmt werden, so dass die stationare Regelabweichung verschwindet. Die Berechnung erfolgt iiber die Gl. (1.8.17), also

V=[C(BF-Ay^Br\ Man erhalt nach elementarer Rechnung die Vorfiltermatrizen V,= b) Si=-l,

"2 0"

"1 0" 0 8_ S2=-2,

.

^2 =

0 4

"4 0" .

^3 =

(A16.12a-c)

0 2

S2= -2

Hier wird ein zweifacher Pol fiir den geschlossenen Regelkreis vorgegeben. Das bedeutet, dass sich bei der Ermittlung der Spaltenvektoren WjXsf) zwei identische Paare

"^1,(^1)=

, fiM)-

(A16.13a)

292

ANHANG A: Aufgaben

und

^1,(^2) = ^1,(^3)^

^ 2 , (^2) = ^ 2 , ( ^ 3 ) -

(A16.13b)

ergeben. Jetzt existiert keine Moglichkeit mehr, 3 linear unabhangige Spaltenvektoren zu wahlen, die zu unterschiedlichen Eigenwerten Sj gehoren. Um bei mehrfachen Polen zu n linear unabhangigen Spaltenvektoren zu gelangen, wird die Ableitung der Vektoren ^y(si) an der Stelle des mehrfachen Pols s = Sj betrachtet, wodurch man nach Gl. (1.8.35) wiederum insgesamt n-r mogliche Vektoren zur Auswahl erhalt. In diesem Fall konnen also zwei weitere Spaltenvektoren 0 0

d'Fu(s)

=

ds

(A16.14a)

1 16_

-1

_(s-2)\

0 0

s=-2

und (s + 3y 1

df2,(s) ds

S = S2

"-2" = -1 0

(5 + 3)2 0

(A16.14b)

s=-2

ermittelt werden. Die zugehorige Bedingung fiir die Zustandsriickfiihrmatrix lautet

d^

= 0.

(A16.15)

S=S2

Nun gibt es wiederum 3 verschiedene Moglichkeiten, 3 linear unabhangige Spaltenvektoren zur Bildung der jeweiligen Matrix N,

dfo

"fiM)

N-,= flM)

'PiS'i)

'F,^(52)

ds dfo ds

(A16.16a)

(A16.16b)

Aufgabe 16

293

(A16.16C)

^2.fe)

A^^-

auszuwahlen. Als Beispiel soil die Matrix Ni nach Gl. (A16.16a) zur Berechnung von F herangezogen werden: -1

1 0 0 F= 0 1 0

0 0

1 1

-2 -1

4

0

0

1 0 0 0

1 0

1

0

1

2

A

(-i)

Die gesuchte Zustandsruckfiihrmatrix lautet F=

"0

0 3"

1 -2

0

(A16.17)

Probe: 0 0 0 BF = 1 - 2 0 0 0 3 s + 3 ~1 0 \sI-A^BF\ = 1 ^ + 1 0 = (^ + 1) (^^+45 + 4) = (^ + l) 0 0 ^ +1 c) si=-l,

S2=-2,

(s-^lf.

5-3 = - 3

In diesem Fall soil ein Pol bei 53 = -3 im offenen und geschlossenen Regelsystem gleich sein. Dieser Pol kann nicht direkt in die Spaltenvektoren î (s) und ^2 (^) eingesetzt werden, da einige Vektorelemente iiber alle Grenzen wachsen wiirden. Daher wendet man hier einen mathematischen Trick an und substituiert in den betreffenden Vektorelementen den Faktor 1

- = A. ^+3

(A16.18)

Es ist wichtig, dass nur Faktoren substituiert werden, die tatsachlich iiber alle Grenzen wachsen, um sich Rechenarbeit zu sparen. Alle anderen Polstellen Sj werden direkt eingesetzt. Fiir die Falle, in denen die einzusetzenden Pole des geschlossenen Regelkreises verschieden sind von denen des offenen, andert sich nichts an der Vorgehensweise gegentiber der Teilaufgabe a). Man erhalt also wie bisher

ANHANG A: Aufgaben

294

^L(Î)^

, 'f'lM)-

, ^2,(^1)^

.(A16.19a,b)

'f'lMy-

Mit der jetzt notwendig gewordenen Substitution nach Gl. (A16.18) ergibt sich .2'

(A16.19C)

, ^2,(^,^3)-

^1.(^3)-

In diesem speziellen Fall sind alle Komponenten von IPj (^3) endlich, weil kein zu substituierender Faktor vorkommt. Von den wiederum 3 verschiedenen Moglichkeiten der Wahl dreier linear unabhangiger Spaltenvektoren wird zur Aufstellung der Matrix die Form N^=VFiM)

^2,(^2)

(A16.20)

^2,(^^3)]

verwendet. Von der Inversen dieser Matrix muss der Grenzwert 2 —> 00 elementweise gebildet werden, d. h.

lim TVj

: lim

0 0

1 r 1 A

4

0 0

n-l

-1

lim A^cx) j ( A - r )

0

0 A

ii

3 1 3

3 1 3

A-r 0

"0 0 - 3 _ 0 1 0 0 0

0

(A16.21)

0

Einsetzen von GL (A 16.21) in die Synthesegleichung liefert die gesuchte Zustandsriickfiihrmatrix 1 0 0 0 1 1

0 0 -3' 0 0 3 0 := 0 1 0 - 1 0 0 0 0

(A 16.22)

Probe: \sl-A-\-BF\

5+3 =\I 1 0

-1 5 +3 0

0 0 s-2

0 0 OI 0 -1 0 0

0 3J

u

0

0 ^+2

0

0

^• + 3

0 0 ^+1

= (5 + 1) (5 + 2 ) (5 + 3).

Durch Einsetzen der vorgegebenen, gewiinschten Pole erhalt man hierfur den Wert Null

Aufgabe 16 d) si=-l,

295 S2=-3,

S2=-3

Das geschlossene Regelsystem soil genau wie das offene einen doppelten Pol bei ^ = -3 besitzen. Demnach miissten beide Vorgehensweisen, die in den Aufgabenteilen b) und c) benutzt wurden, angewendet werden. 1

Mit der Substitution X = erhalt man genau wie bei c): s-h3

(A16.23a)

^2X^1)-

^ ( ^ l ) -

^l,fe)-

^2,(^^2) = A 0

(A16.23b)

^1.(^3)^

^2.a,^3)-

A 0

(A16.23C)

In dem vorliegenden Fall gibt es auch ohne irgendeine Ableitung zwei Moglichkeiten, 3 linear unabhangige Spaltenvektoren zu wahlen: ^l=[^2i(^l)

!/^22(^''^2)

^2 = [¥2, (^l)

^13 ("^S)]

¥1^ (^2 )

(A16.24)

¥2, (^^ ^3 )] '

Ftir die Inverse der Matrix TV erhalt man mit dem Grenztibergang

A^co

-1

lim TVf

A

•• l i m

/l->00

;L->GO

0 A

ii

0

0

2

J_

j_ 20 0

0

0

0

-A--A

0

5

= lim

J

r

10

0

Daraus folgt F=-

0

0

1

1

1 0

0 2 0 0

0" 0 =

0 0 -5

0 -2

5

0-5

ANHANG A: Aufgaben

296 Probe:

I Î __ ^ + BF\ = {S + \) {8 + 3) = 0 fiir die vorgegebenen Pole si, S2 und 5-3 . e) si=-l,

S2=-3 + i,

S2=-3-j

Da das konjugiert komplexe Polstellenpaar ^2 ^^^ ^3 nicht mit den Polen des offenen Regelkreises iibereinstimmt, liegt ein ahnlicher Fall vor wie beim Aufgabenteil a). Es ergibt sich bei Wahl der Spaltenvektoren N = ['FiîsO

¥'2,(^2)

(A16.25)

^23(^3)]

der Regler "^ 0

1 0 0 0 1 1

-1

-1

[0 0 3] 1 0 0

(A 16.26)

f) si=: -20, S2 = -30, ^3 = -40 Genau wie bei Aufgabenteil a) und e) erhalt man mit ^-[^1,(^1)

^2,fe)

^23(^3)]

(A16.27)

den Regler F=

"0 0 22' 999 64 0

(A16.28)

Dieses Beispiel zeigt anschaulich was geschieht, wenn man fiir den geschlossenen Regelkreis Pole fordert, die weit weg liegen von denen des offenen Regelkreises. Es gilt u = -Fx, so dass wegen der sehr groBen Elemente von F eine sehr hohe Stellenergie benotigt wird!

Aufgabe 17 Fiir das System aus Aufgabe 16 ist die Verstarkungsmatrix F^ eines Identitatsbeobachters, siehe Bild A17.1, zu ermitteln, wobei das Beobachtersystem folgende Polverteilungen besitzen soil: a) si=-5,

S2=-5,

^3 = - 6 ;

(AlT.la)

b) si=S2=S2=-l;

(A17.1b)

c) ^ i - - 1 0 , ^2 = - 2 0 , ^3 = - 3 0 .

(AlT.lc)

Zielsetzung: Entwurf eines Identitatsbeobachters durch Polvorgabe Theoretische Grundlagen: Kap. 1.8.7.1

Aufgabe 17

297

x(0)

B

c

^

F)

B N-

i(0)

>v>—TF-ti

A ^ B - ^

^B = ^ t Beobachter

Bild A17.1. Blockschaltbild fur den Identitatsbeobachter

Losung: Vorbemerkung Voraussetzung ftir die freie Vorgabe der Beobachterpole ist die vollstandige Beobachtbarkeit des gegebenen Systems. Es muss also gelten, dass R a n g [ C ^ \A^C^

\{A^)^C^]=n

= 3.

Setzt man die Matrizen aus Gl. (A16.1) ein, so erhalt man " O l i o - 3 1 0 9" 1 0 -6 -3. Rang 0 0 0 0 4 1 0 2 0

(A17.2)

ANHANG A: Aufgaben

298

Das bedeutet, dass das System vollstandig beobachtbar ist und nach dem Separationsprinzip es moglich ist, die Pole des Beobachters genauso wie die Pole des geschlossenen Regelkreises beliebig vorzugeben, und zwar unabhangig voneinander. Die Entwurfsschritte konnen nacheinander durchgefuhrt werden, wobei Eigenschaften, die man im ersten Schritt erhalten hat, im zweiten nicht verloren gehen. Die Polvorgabe ftir den Identitatsbeobachter erfolgt analog zur Polvorgabe fiir die reine Zustandsriickfiihrung, die in Aufgabe 16 behandelt wurde. Der Unterschied liegt lediglich darin, dass anstelle der Matrizen A, B, 0(s) und F nun die duale Systemdarstellung mit T

T

T

T

A , C ,0 (s) und Fg betrachtet werden muss. Damit kann die Vorgehensweise aus Aufgabe 16 direkt iibemommen werden. Gesucht werden wieder n linear unabhangige Spaltenvektoren /2^^(^j), die zur Bildung der Matrix Mnach Gl. (1.8.74) verwendet werden konnen. Mit 0(s) nach Gl. (A16.4) erhalt man 3+3

0 1 0 0 1 0

1

£2(s) = 0^ (s) C^ =

^+3 0

0

1 s+3 1

:[Q^(s)

n2(s)].

(A17.3)

(. + 3)^

s-2

0

Da man beim Beobachterentwurf bemtiht sein wird, in der s-Ebene die Pole des Beobachters weiter nach links zu legen als die Pole des offenen Systems, entfallt normalerweise die Notwendigkeit der Substitution mit A bei gleichen Polen. a) si=-5,

S2=-5,

S2= -6 0

ai^(si) = ni^{s2) =

îMy-

0 0 1 8_

^2,(si)=n2^(s2)

=

(A17.4a)

r , ^23(^3) =

31 9

0

(A17.4b)

Aufgabe 17

299

Die Berechnung der Ableitung

dî(^)

ist hier nicht notwendig, da man mit der

d^

Wahl von (A17.5) nach Gl. (1.8.74) bereits 3 linear unabhangige Spaltenvektoren hat. Mit den zu Gl. (A17.5) gehorenden Einheitsvektoren [^L

eo

63 J :

"1 0 ol 0

(A17.6)

1 1

ergibt sich die gesuchte Beobachter-Verstarkungsmatrix Fg nach Gl. (1.8.75) zu 0 1 0 0 0 1 1

0 i

7

1 2 1 4

1 3 1 9

0

0

-1

1 0 0 = -7,36 0 1 1

0

0

1 36

1 63 1 28

1 21 1 14

0 0

und somit wird FB=

To 5' 0 6 [7 0

(A17.7)

Probe:

\sl-A-^F^C\

b)

6 0

-1

0

^+3

0

0

5 + 51

= {s + 5) [(s + 8) (s + 3) + 6] = 0 fur s^, S2, ^3.

si=S2=s^=-l

Nun ist die Verwendung des abgeleiteten Vektors

da. ds

unbedingt notwendig, S=Si

da sich nur 2 linear unabhangige Zeilenvektoren durch Einsetzen der Pole bei s = si ergeben, jedoch 3 benotigt werden. Man erhalt somit

^L(Î) =

^2,(^1)-

(A17.8a)

ANHANG A: Aufgaben

300

1

dn^

2

da

ds

ds

(s-iy

( . + 3)^

s=-l

di2i

dn^

d^

ds

0

(A17.8b)

Daraus ergibt sich die Beobachter-Verstarkungsmatrix 1-1

-[ei

0] • ^ l , ( « l )

"1 0 0] 0

1 0

r 0 0 1

L 3

•^2,('S2 =•^1)

1 2 1 4

1 4 1 4

0

0

dn^ ds

n-l

1 0 0 0 1 0

0 0 -3 4 -4 0 4 -8 0

und damit gilt

^B-

'0 - 4 ^ 0 4 3

(A17.9)

0

c) ^ i - - 1 0 , S2=-20,

^3--30

Mit der Wahl von 0

M = [n^^(sO n2^(s2)

^23(^3)] =

0 i 12

1 17 1 289

1 27 1 729

0

0

(A17.10)

ergibt sich ' 0 44" 0 459 12 0

(A17.il)

Dabei fallt wiederum auf, dass die Forderung nach Polen weit links in der ^-Ebene mit groBen Signalamplituden im Beobachter erkauft wird (Koeffizienten der Matrix Fg entsprechen Verstarkungsfaktoren), insbesondere dann, wenn die Anfangszustande

Aufgabe 18

301

von System und Beobachter sehr unterschiedlich sind. Daher muss man stets einen Kompromiss treffen zwischen dem Wunsch nach groBtmoglicher Konvergenzgeschwindigkeit des Beobachterfehlers e =x-x und der Rauschempfmdlichkeit des Systems bei gestorter Messung der AusgangsgroBe j .

Aufgabe 18 Man bestimme die z-Transformierten der abgetasteten Signale, die durch folgende nichtparametrische oder parametrische Funktionen gegeben sind: a) Gegeben sind die Abtastwerte f(k) gemaB Bild A18.1.

2

r—9I

/

0

1

2

3

4

' \ I \ I ^ ^ 5 6

Bild A18.1. Abgetastetes Signal

7

f(k)

des Signals s+2 c) Gegeben ist das Ubertragungssystem gemaB Bild A18.2.

b) Gegeben ist die Laplace-Transformierte F(s) •

Bild A18.2. Bildung des Abtastsignals y * (t) Zielsetzung: Berechnung der z-Transformierten von Abtastsignalen Theoretische Grundlagen: Kap. 2.3.1 und 2.3.2

f(t).

302

ANHANG A: Aufgaben

Losung: Ein abgetastetes kontinuierliches System lasst sich darstellen als Zahlenfolge /W^{/(0),/(l),/(2),...}

(A18.1)

Oder als Impulsfolge oo

f\t)=Y.f{kT)5{t-kT).

(A18.2)

/t=0

Durch Laplace-Transformation der Impulsfolge / (t) und Substitution von e

= z ist

die z-Transformierte der Folge [f{k)] defmiert als 00

9{fik)] = F^{z)=Y,f{k)z-K

(A18.3)

Die Berechnung der Gl. (A18.3) kann dabei haufig mit Hilfe der Beziehung 00

.

X/ =T

fur|g|2. z-^-4z^+5z-2

(A19.1a)

(A19.1b)

Zielsetzung: Anwendung verschiedener Verfahren zur inversen z-Transformation Theoretische Grundlagen: Kap .2.3.3 Losung: Die Berechnung der inversen z-Transformation ^-\F^{z)]

= f{kT),

k>0

(A19.2)

304

ANHANG A: Aufgaben

ist entweder durch • Potenzreihenentwicklung, • Partialbruchzerlegung oder mit Hilfe des • Residuensatzes moglich. a) F(z) ist als gebrochen rationale Funktion

gegeben. Die Potenzreihenentwicklung kann hier durch Division von Zahler- und Nennerpolynom durchgefiihrt werden. Fiir eine einfachere Schreibweise wird hier z~ =^x gesetzt. Somit erhah man: (-3 + x): ( l - 2 x + x^) = - 3 - 5 x - 7 x ^ - 9 x ^ - ( - 3 + 6x-3x^) - 5 x + 3x^ - ( - 5 x + 10x^-5x^) -7x^+5x^ -(-Tx^+Hx^-Tx^^) -9x^+7x'^ Demnach ist F(z) = -3-5z~^ - 7 z " ^ - 9 z ~ ^ ^^ = / ( 0 ) + / ( l ) z - ^ +/(2)z-2 +/(3)z-^ + Fiir f{k) folgt daraus - wie man leicht sieht - das Bildungsgesetz / W = -(2^ + 3).

(A19.3)

(A19.4)

Damit kann F{z) nun als unendliche Potenzreihe 00

F(z) = - ^ ( 2 A ; + 3)z"^, | z | > l

(A19.5)

dargestellt werden. Die Potenzreihenentwicklung hat im allgemeinen den Nachteil, dass man keine analytische Losung erhalt und dass das Bildungsgesetz von f{k) nur schwer zu erkennen ist. b) Eine Partialbruchzerlegung der gegebenen Funktion F(Z):

-3z^+z^

-3z^+z

z^ - 4 z ^ + 5 z - 2

z^ - 4 z ^ + 5 z - 2

Aufgabe 19

305

mit den Polstellen

lasst sich in der Form f F{z)^z

\ (A19.6)

^1 + _ ^ + ^3 Jz-1)^ ^-1 ^-2

mit den Koeffizienten q = 2, C2 = 7 und C3 = -10 darstellen. Durch Anwendung des Uberlagerungssatzes der z-Transformation kann man nun die Summanden der Gl. (A19.6) mit Hilfe der Tabelle 2.3.1 riicktransformieren, und man erhalt als Ergebnis:

m=r'\^^W'\^\-r'\^\-2k.i-x,.2' z-\ z-1

(A19.7)

i^-\y

Als zweiter Losungsweg wird die Anwendung des Residuensatzes gewahlt. Nach Gl. (2.3.22) ist in diesem Fall (A19.8) wobei die Residuen ftir den einfachen Pol Z3 = 2 nach GL (2.3.23) Res[F(z)z^-l],.,3

=^L^,k

(A19.9) z=2

und fur den zweifachen Pol zj 2 ~ 1 nach Gl. (2.3.25) {q = 2) Res[F(z)z^-l]

d =lim ^'^ z^l dz

3 /

1x2

-3Z

2 +Z

y^_l

(z-l)^(z-2)

(A19.10)

berechnet werden. Die Auswertung der Gin. (Al9.9) und (A 19.10) ergibt Res[F(z)z^-l],.,^^ ^ 2 ^ + 7, Als Losung erhalt man somit /(A:) = 2A + 7 - 1 0 - 2 \

^^^F{z)z^-\^,^

=-10-2^

(A19.11a,b)

(A19.12)

306

ANHANG A: Aufgaben

Aufgabe 20 Die Werte /(O) und /(oo) for a)

z^+2 Fi(z)^z^+2z-3

b)

F2{z) =

— l-l,5z~^+0,5z~^

(A20.1b)

c)

F^{z) =

z^ + l,4z^ + l,2z ''(z-1) (z^-0,4z + l)

(A20.1C)

(A20.1a)

z-1

sind zu ermitteln. Zielsetzung: Anwendung der Grenzwertsatze der z-Transformation Theoretische Grundlagen: Kap. 2.3.2, Kap. 2.4.4 Losung: Satz vom Anfangswert: Existiert F^ (z) = ^ {/(^)}, so ist / ( 0 ) = limFz(z).

(A20.2)

Z->oo

Satz vom Endwert: Wenn lim f{k)

existiert, so ist

A:->GO

lim f{k) = lim(z-\)F^{z). /:^-oo

(A20.3)

z-^1

Der Endwert existiert, wenn die Pole z^ von F2 (z) alle innerhalb des Einheitskreises der z-Ebene liegen und hochstens ein einfacher Pol bei z = +1 vorliegt. Um Gl. (A20.3) zu iiberprufen, miissen zunachst die Polstellen der Funktionen F^(z)(z = l, 2, 3) bestimmt werden. z^+2 Fi(z) =

z^+2 =

z^+2z-3

(A20.4a) ( z - l ) ( z + 3)

F2(z) =

^ =— = l-l,5z-l+0,5z-^ z^-l,5z + 0,5 ( z - l ) ( z - 0 , 5 )

F3(z)^

^^-^M^^ + U z ^ z'.W.l,2z (z -1) (z^ - 0,4z + 1) {z-1) (z - 0,2 + 0,98j) (z - 0,2 - 0,98j)

(A20.4b)

Aufgabe 21 a)

307

/i(0)= limFi(z) = l. Der Grenzwert

(A20.5)

lim fi (k) existiert nicht, da die Funktion Fj (z) einen Pol bei

z = -3 auBerhalb des Einheitskreises der z-Ebene besitzt und somit instabil ist. b)

/2(0)=limF2(z) = 0 .

(A20.6a)

lim / 2 W = l i m ( z - l ) F 2 ( z ) = l i m c)

—

(A20.6b)

/3(0)= limF3(z) = l . Der Grenzwert

(A20.7)

lim f^{k)

existiert nicht, da die konjugiert komplexen Pole

zi2\Ui2 - V ^^f ^^^ Einheitskreis in der z-Ebene liegen und somit Gl. (A20.3) nicht erflillen. Die z-Transformierte F3 (z) beschreibt einen schwingenden Signalverlauf und besitzt daher keinen Endwert.

Aufgabe 21 Man bestimme die diskrete Ubertragungsfunktion zu (A21.1) s+a unter Einbeziehung eines Haltegliedes nullter Ordnung. Zielsetzung: Berechnung der z-LFbertragungsfunktion kontinuierlicher Systeme Theoretische Grundlagen: Kap. 2.4.2 Losung: Fiir die Berechnung der diskreten (Jbertragungsfunktion wird von der Darstellung im BildA21.1 ausgegangen. HQ{S) ist die tJbertragungsfunktion eines Haltegliedes nullter

i/*(0

u{t) ô(^)

G{s)

yit)

y%t)

Bild A21.1. Kontinuierliches System mit Halteglied und 5 -Abtaster Ordnung, deren Laplace-Transformierte sich aus der im Bild A21.2 gezeigten Impulsantwort ergibt:

308

ANHANG A: Aufgaben

^H(0

Bild A21.2. Impulsantwort eines Haltegliedes nullter Ordnung H^{s) = ^{g^{t)]

=

^{G{t)-cj{t-T)]

1-

-Ts

(A21.2)

Das im Bild A21.1 dargestellte System enthalt sowohl Abtastsignale (w*(/), y*(0) Îs auch kontinuierliche Signale (u(j:),y{t)). Die Schnittstelle zwischen Abtastsignalen und kontinuierlichen Signalen wird hier durch ein Halteglied (nullter Ordnung) und einen 5 -Abtaster realisiert. Gesucht ist das tJbertragungsverhalten des Systems. Da hier synchrone Abtastsignale zu den Zeitpunkten tj^ = kT, k>0 vorliegen, kann man einen Zusammenhang zwischen der Ausgangsfolge y(kT) und der Eingangsfolge u(kT) herstellen. Eine mogliche Darstellung dieses Zusammenhangs ist durch die z-Transformation der Eingangs- und Ausgangsfolge gegeben. Nach Gl. (2.4.12) ist diese Beziehung durch Y(z) U(z)

HoG^(z) =

^\^-'{Ho(s)G(s)}\

t=kT

:^{Ho(s)G{s)}

(All 3)

darstellbar. Da nur Zahlenfolgen betrachtet werden, ist es falsch, //Q^Z (^) ^^^ z-Transformierte der Ubertragungsfunktion HQ(S)G(S) anzusehen, weil es moglich ist, bei unterschiedlichen tjbertragungsfunktionen HQ(S)G(S) identische Folgen durch entsprechende Wahl der Abtastzeitpunkte zu erzeugen. Die Wahl des Haltegliedes richtet sich danach, wie das Signal u(t) dem kontinuierlichen Signal u{t) nachgebildet werden soil. Durch entsprechende Wahl des Haltegliedes ist also (A21.4) u(t) = u(t) moglich. Besitzt u{t) z. B. einen treppenformigen Verlauf, so kann es durch ein Halteglied nullter Ordnung exakt nachgebildet werden, sofem die „Treppenbreite" ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastzeit ist.

Aufgabe21

309

Gl. (A21.3) lasst sich mit Gl. (2.4.18) zu i M ^ . / / 0 G . ( z ) =^

^

m

(A21.5)

berechnen. Gilt zusatzlich Gl. (A21.4), so stellt GL (A21.5) die im Kapitel 2.4.2 definierte „exakte diskrete Beschreibung" des kontinuierlichen Systems mit der Ubertragungsfunktion G{s) dar. Fiir die gegebene tJbertragungsfunktion s+a berechnet sich

HQG^(Z)

U{z)

^^ _ \-c z-c

nach GL (A21.5) und Tabelle 2.3.1 zu

z

\s{s + a)\

z

(z-l)(z-c)

. _(l-c)z~^ 1 - cz~^

(A21.6)

Zur Veranschaulichung der oben gemachten Aussage werden im folgenden verschiedene Eingangsfolgen [u{kT)^ betrachtet. 1. Spmngfolge u{kT) = 1 = {1,1,1,1,...} : z-Riicktransformation von Gl. (A21.6) liefert die Differenzengleichung y{k) - cy{k -1) + (1 - c) u{k -1).

(A21.7)

Fiir verschiedene k>0 erhalt man die Ausgangswerte

XO)-o, y(\) = \-c, y(2) = l - c ^

y{k) = \-c^.

(A21.8)

Die Ausgangsfolge ist, da GL (A21.4) gilt, in den Abtastpunkten identisch mit der Sprungantwort des Systems G{s) = a /(s -\- a). Anschaulich klar wird dieser Zusammenhang bei der Darstellung der im Bild A21.3 gezeigten Signalverlaufe des Systems ausBildA21.1.

ANHANG A: Aufgaben

310

,-

. . . . .

012347

A—j^

0

012347

,-

01234

V

f

,

01234f

Bild A21.3. Sprungantwort des Systems aus Bild A21.1 2. Rampenfolge u{kT) = kT = {0, T, IT, 37,...} : Mit Gl. (A21.7) berechnen sich die Ausgangswerte zu:

y{2) = T-cT, y(3) =

2T-cT-c^T, k-l (A21.9)

y{k) = kT-TY,c~'i=0 Die Rampenantwort u(t) = t(t>0) ergibt yR(t) = ^'^-

des

kontinuierlichen 1 a

[s {s + a)\

und ist ftlr tj^ =kT(k>0), Gl. (A21.9).

mit

yit1

^

~ ^ it-

Halteglied

1 -at a

/

3-

ohne

weil Gl. (A21.4) nicht erftillt ist, nicht identisch mit

U{t) 34 2/ 10 -• 0 12 3 ^

Systems

/

0 V-

0 1 2 3 7

-•

3 2 1 0

-I-

0 1 2 3 Y

1 ^ - ^ 0

O-

0 1 2 3

Bild A21.4. Rampenantwort des Systems aus Bild A21.1

f

Aufgabe 22

311

Aufgabe 22 Ein System ist durch die Differenzengleichung y{k + 2)-y{k

+ \)-2y{k)

= 6u(k + 2)-2u(k +1)

(A22.1)

beschrieben. a) Man bestimme die zugehorige z-Ubertragungsfunktion. b) Man ermittle die z-Transformierte der Ausgangsfolge y(k), die durch die Eingangsfolge u(k) = {l - 1 , 1, - 1 , 0} fur 0 < ^ < 4 u{k) - 0 fur ^ > 4

(A22.2)

erzeugt wird. Zielsetzung: Berechnung der z-tJbertragungsfunktion aus einer Differenzengleichung Theoretische Grundlagen: Kap.2.3.2 Losung: a) Durch Zeitverschiebung erhalt man aus der gegebenen Differenzengleichung die Darstellung y{k) - y{k -1) - 2y{k -2) = 6u(k) - 2u{k -1) .

(A22.3)

Unter Anwendung des Verschiebungssatzes gemaB Gl. (2.3.10) auf Gl. (A22.3) Y{z) - z~^Y(z) - 2z~^Y(z) = 6U(z) - 2z~Ûiz)

(A22.4)

kann G{z) direkt berechnet werden:

GA^) =

Y(z)

6-2z~^

U{z)

\-z-^-2z-^

6z^-2z z^-z-2

z(-2 + 6z) ( z - 2 ) ( z + l)

b) Gegeben ist die im Bild A22.1 dargestellte Eingangsfolge.

Bild A22.1. Signalverlauf der Eingangsfolge u{k)

(A22.5)

ANHANG A: Aufgaben

312

Zur Berechnung der z-Transformierten der Ausgangsfolge y{k) kann man entweder die Beziehung Y{z) = G^{z)U{z)

(A22.6)

Oder direkt Gl. (A22.3) anwenden. Als Ergebnis erhalt man:

^(z)=l-z~^+z~^-z"^ Y{z) =

6-8z~^+8z~^-8z~^+2z~'^ l-z"^-2z'^

(A22.7) (A22.8)

Aufgabe 23 a) Die Antwort y{kT) des Systems nach BildA23.1a auf die EingangsgroBe W{s) ^\l s ist fur die Abtastzeiten T = 0,1s, Is und 3 s zu berechnen. b) Wie lautet die z-Ubertragungsfiinktion des Systems nach Bild A23.1b? c) Die Stabilitat des Systems nach Bild A23.1 c ist zu uberprtifen. Zielsetzung: Berechnung der tJbertragungsfiinktion eines Abtastsystems Theoretische Grundlagen: Kap. 2.4

w{i)

Bild A23.1a. System mit Abtastung der Regelabweichung

Bild A23.1b. System mit Abtastung des Sollwertes und der AusgangsgroBe

Bild A23.1c. System mit Abtastung der Regelabweichung

Losung: a) Zur Berechnung der Antwort y{kT) auf die EingangsgroBe W(s) = 1/ s lasst sich die diskrete Ubertragungsftinktion direkt der Grundschaltung 4 (siehe Tabelle 2.4.2) entnehmen, wenn man 1 s(s + a)

G^(S) = HO(S)G(S)

(A23.1a,b)

G2(s) = l

= HQ(S)-

setzt. Damit wird W(z)

(A23.2)

l + HoG^(z)

HQG^(Z) kann unter Verwendung von Gl. (2.4.18) z. B. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung berechnet werden. Man erhalt somit

HoG,(z) = ^ ^ \

1

A

z-1

B

C

(A23.3)

- + —+ -

s^(s + a)'

S

S +L

mit A=-,B=

2 '

2

Unter Zuliilfenahme von Tabelle 2.3.1 folgt HoG^(z) =

z-1

1

Tz

1

z

a (z-iy a aT{z-c) + {z-\){c-\) {z-\){z-c)

1

, C = Q

-aT

(A23.4)

Durch Einsetzen von Gl. (A23.4) in Gl. (A23.2) folgt daraus die diskrete Fuhrungsiibertragungsfunktion

ANHANGA: Aufgaben

314

t 9 [si 10

2

0 -2

Bild A26.2. Regelverhalten des Deadbeat-Reglers nach Gl. (A26.15b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G^ {s) fiir b = 2

326

ANHANG A: Aufgaben

^ , , 2,367879-1,735785z'^+0,367879z"^ ''-, D(z) = ^ 0,367879-0,103638z~^ -0,264241 z~^

. . o . .o x (A26.18a)

^ , , Dy (z)

. . . ^ .oix (A26.18b)

0,581976 +0,418023z~^ ''-2,367879 - l,735785z~^ + 0,367879z"^

und fiXr b = 2 ^ , , 2,135335-l,270670z~^+0,135335z~^ ', D(z) = -^ 0,567667 - 0,270670 z~^ - 0,296997 z"^ 0,656517 +0,343826 z~^ ^ v ( ^ ) -^ : ' _, 2' 2,135335-l,270670z~^ +0,135335z"

, , ^ ^ ^^ , (A26.19a) (A26.19b)

Die Simulation des Regelverhaltens des zugehorigen Regelkreises ist fiir die beiden Falle in den Bildem A26.3 und A26.4 dargestellt. Wie zu erwarten war, zeigt sich nun auch bei einer Storung am Eingang der Regelstrecke Deadbeat-Verlauf. Das starke Uberschwingen im Fiihrungsverhalten ist beseitigt. Es fallt auf, dass der Regelvorgang bei einem Fiihrungssprung jetzt nur noch zwei Abtastschritte benotigt. Dies ist zuriickzufuhren auf die nicht erforderliche Aufteilung des Nennerpolynoms A{z) der Regelstrecke in A'^(z) und A~{z) (vgl. Kap. 2.5.2.3). In beiden Fallen konnte das Storverhalten auf Kosten von hoheren Stellamplituden durch eine kiirzere Abtastzeit verbessert werden, weil dann der Regler schon in kiirzerer Zeit nach dem Eintreten der Storung dieser entgegenwirken kann. b) Ftir G2 (s) mit b = 1 erhalt man die diskrete Ubertragungsfunktion

G2(z) = i^^^4V^"'

(A26.20)

mit der Nullstelle ZN =0,333333 und der doppelten Polstelle ^Pl,2 = 1 • Damit muss das Polynom A(z) aufgespalten werden in

^+(z) = l, A-(z) = (l-z-^f. Entsprechend erhalt man mit b = 2 G2(z) =

^T^^"^

(l-z-^f mit einem konstanten Zahlerpolynom B(z) -1 und der doppelten Polstelle ^Pl,2 == 1 •

(A26.21)

Aufgabe 26

327

y Flihrungsverhalten

Z

1

0,5

'V

Storverhalten

4

[s]

^^t

5

Bild A26.3. Deadbeat-Regler fur Filhrungs- und Storverhalten nach Gin. (A26.18a,b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G^ {s) fur 6 = 1

Fuhrungsverhalten ^

N

Storverhalten s 3

-^^t [s]

Bild A26.4. Deadbeat-Regler fur Ftihrungs- und Storverhalten nach Gin. (A26.19a,b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G^ {s) fur b-2

328

ANHANG A: Aufgaben

Damit muss das Polynom A(z) ebenfalls aufgespalten werden in

A'-(z) = l, A-(z) =

(l-z-^)\

Da die beiden Polynome A'^(z) und A~(z) in beiden Fallen (b = l und b = 2) identisch sind, kann man durch Einsetzen in Gl. (A26.6) l-(l-z~^)^Q(z)

= (bo+biZ~^)P(z)z-^

(A26.22)

eine allgemeine Losung fur die beiden Regler angeben. Um einen Koeffizientenvergleich zu ermoglichen, der auf ein Gleichungssystem mit eindeutigen Losungen fiihrt, wird ftir die Polynome P{z) und Q{z) der Ansatz Q(z) =

l^q^z-\

(A26.23)

P(z) = PO ^ Pl^~^-^ P2^~^

(A26.24)

gemacht. Fiir den Regler nach GL (A26.5) ergibt sich daraus D(z) =

A\z)P{z)

PO+PlZ

Q{z){\-z-^)

^+P2Z ^

l + (î-l)z-l

(A26.25)

•qiz

Die Werte fur Po, Pi, Pi ^^^ î folgen durch Losung der Gl. (A26.22). Durch Koeffizientenvergleich erhalt man das lineare Gleichungssystem Z?0

0

0

1 \PD Z?i Zô 0 - 3 \p\ 0 Z)i Z?o 3 \P2 0 0 Zî - 1 ^1

3 -3 1 0

(A26.26)

und schlieBlich als Losung desselben 3b^+^bQbi+6bl Po =

3b^+9bobi+^bi Pi=-

b^-}-3bQbi+3bi Pi

^1

(bo+bO^

blbi+3b^l^ +3bl (bo+b^^

(A26.27a, b)

(A26.27C, d)

Fiir die tJbertragungsfunktion G2 (s) folgt im Fall b = 1 der Deadbeat-Regler mit der diskreten Ubertragungsfunktion D(z):

2,25-2z~^+0,75 z~^

(A26.28a)

1 -1,375 z~^+0,375 z"^

und filY b = 2 D(z) =

3-3z~^+z~^ 1-z-l

(A26.28b) •

Aufgabe 26

329

Fiir das Verhalten des geschlossenen Regelkreises, bestehend aus der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G2{s) und den beiden Reglem nach den Gin. (A26.28a,b), erhalt man durch eine Simulation die in den Bildem A26.5 und A26.6 dargestellten zeitlichen Signalverlaufe.

Fuhrungsverhalten

Storverhalten 2

-•f

[s]

vtr--"

Bild A26.5. Regelverhalten des Deadbeat-Reglers nach Gl. (A26.28a) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G2 {s) fiir Z? = 1 Auch fiir die Regelstrecke mit der LFbertragungsfiinktion G2 (s) soil nachfolgend ein Entwurf fiir Stor- und Fiihrungsverhalten durchgefiihrt werden. Da auch hier das Zahlerpolynom B(z) der Regelstrecke nur Wurzeln innerhalb des Einheitskreises besitzt, berechnen sich der Regler D{z) und das Vorfilter Dy^z) nach den Gin. (2.5.60) und (2.5.74) mit % ( z ) = l und Bz(z) = l zu D(z)-.

l-(l-z-^)A(z)

Dv(z) = -

(\-z~')B{z)

B{z)IB{\)

(A26.29a, b)

\-{\-z~')A{z)

Fiir die Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G2 {s) folgt nach einfacher Rechnung als Regler- und Vorfilteriibertragungsfunktion im Falle b = \ D{z) =

?>-l>z~^+z~^

l,5-2z"^+0,5z'^ '

^v(^)^

1,5-0,5 z~^ 3-3z~^+z~^

(A26.30a, b)

ANHANG A: Aufgaben

330

Ftihrungsverhalten Storverhalten

[s]

Bild A26.6. Regelverhalten des Deadbeat-Reglers nach Gl. (A26.28b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G2 {s) fur b = 2 und im Falle b = 2 D{z)

3-3z"^+z"^ \-z~

^v(^)^

3-3z"^+z"^

(A26.31a,b)

Mit der Regelstreckeniibertragungsfunktion G2{s) und den beiden Reglem gemaB den Gin. (A26.30a,b) und (A26.31a,b) erhalt man durch eine Simulation die in den Bildem A26.7 und A26.8 dargestellten Signalverlaufe fiir den geschlossenen Regelkreis. Wie schon bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G^ {s) zeigt sich auch hier ein geringeres Uberschwingen bei den Entwtirfen fiir Stor- und Ftihrungsverhalten. AuBerdem ist die Ausregelzeit fiir Fiihrungsspriinge um zwei Abtastschritte kiirzer, weil das Polynom A~{z) von 2. Ordnung war.

Aufgabe 26

331

Fuhrungsverhalten

\

/ Storverhalten

-V

^

[s]

u ^ 1 [s]

0 -1

-2i I

-3-1

Bild A26 7. Deadbeat-Regler ftir Ftihrungs- und Storverhalten nach Gin. (A26.30a,b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfonktion G2 {s) ftir Z? = 1

Fiihrungsverhalten "^^

Storverhalten

V [s]

Bild A26.8. Deadbeat-Regler fiir Ftihrungs- und Storverhalten nach Gin. (A26.31a,b) bei der Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion G2 {s) ftir h = l

332

ANHANGA: Aufgaben

Aufgabe 27 Das diskrete System mit der z-Ubertragungsfunktion

GAz) =

z^+2z + l

(A27.1)

(z + 2)(z + 3)

ist im Zustandsraum darzustellen. Zielsetzung: Darstellung diskreter Systeme im Zustandsraum Theoretische Grundlagen: Kap. 2.6 Losung: Fiir das diskrete EingroBensystem nach Gl. (A27.1) ist eine Zustandsraumdarstellung der Form x{k +1) = ^^ x{k) + b^ u(k),

y(k) = c^ x(k) -\- d^ u(k)

{All.2^, b)

gesucht. Eine Darstellung in Regelungsnormalform ist sofort mit Hilfe der Gin. (2.6.5) und (2.6.6) moglich und soil nicht naher betrachtet werden. Wie bei kontinuierlichen Systemen kann auch hier bei einfachen Polen die Systemmatrix A^ auf Diagonalform gebracht werden, wobei die Eigenwerte z^ und Z2 gerade die Pole der diskreten Ubertragungsfunktion G^{z) gemaB Gl. (A27.1) sind. Daraus folgt '-2

01

_ 0

-3j

(A27.3)

Zur anschaulichen Darstellung der diskreten ZustandsgroBen xi{k)

und X2{k) wird

Gj^{z) inPartialbrtiche ^ 1 ^/A ^ +2z + l GJz) = =1+ (z + 2)(z + 3) z+2

4

(A27.4)

z+3

zerlegt und das System durch das Blockschaltbild gemaB Bild A27.1 dargestellt. Fiir die diskrete Zustandsraumdarstellung kann man dem Bild A27.1 sofort das Ergebnis x{k +1) -

-2

x{k)-\-

0

u(k) ,

y(k) = [l

-4] x(k) + u(k)

(A27.5a, b)

entnehmen. Diese Darstellung entspricht der Jordan-Normalform fiir einfache reelle Pole: ^1

o"

'l

7

;

, c=

, b= 0

C\

1

.^n_

d^\.

(A27.6)

Aufgabe 28

333

Bild A27.1. Blockschaltbild der Ubertragungsfunktion G^(z) wobei die Cj - Werte sich aus den Residuen der Partialbmchentwicklung der zugehorigenUbertragungsfunktion Gr^(z) ergeben.

Aufgabe 28 a) Wann besitzt das zeitdiskrete System x(k + l) = A^x(k)-i-fi

(A28.1)

fur alle J3 eine eindeutige Ruhelage? Es ist die allgemeine Losung ftir diese Ruhelage anzugeben. b) Um das lineare Gleichungssystem aj jXj + ai2X2 = b\,

ci2\^\ + ^22^2 ~ ^2

(A28.2a, b)

mit an 9^0, ^22 ^ 0 , aiia22 -^12^21 ^ 0 iterativ zu losen, kann man jeweils aus xi{k), nach den Beziehungen aiiXi(k-\-1) + ai2X2(k) = bi,

(A28.3) X2(k) die Werte xi(k +1), X2(k-\-1)

a2iXi(k) + a22X2(k +1) = b2

(A28.4a, b)

berechnen. Durch die Gin. (A28.4a,b) ist ein zeitdiskretes dynamisches System definiert. Unter welcher Voraussetzung besitzt dieses System eine eindeutige stabile Ruhelage? Man zeige, dass diese Ruhelage die Losung von Gin. (A28.2a,b) ist. Zielsetzung:

- Berechnung der Ruhelage - Untersuchung der Stabilitat von zeitdiskreten Systemen in Zustandsraumdarstellung

Theoretische Grundlagen: Kap. 2.3.2 und Kap. 2.6

ANHANG A: Aufgaben

334

Losung: a) Fiir eine mogliche Ruhelage des zeitdiskreten Systems x{k + \) = A^x{k) + p,

p-^ ^

(A28.5)

muss die Bedingung x{k + 1 ) = x{K) •=

(A28.6)

XQO

erfiillt sein. Setzt man Gl. (A28.6) in Gl. (A28.5) ein, so ergibt sich die eindeutige Losung x^={\-A^r^P,

(A28.7)

falls |l-^d|^0-

(A28.8)

Allerdings handelt es sich bei x^ nur dann um eine stabile Ruhelage, wenn A^ die Systemmatrix eines stabilen Systems ist. b) Die Darstellung des gegebenen diskreten Systems nach Gin. (A28.4a,b) in Form von Gl. (A28.1)liefert 0

'hi

^12

, p=

(A28.9)

0 ^22

Das iterative Losungsverfahren nach Gl. (A28.1) konvergiert bei beliebigen Anfangswerten xi(0) und X2(0) nur dann gegen eine eindeutige Ruhelage, wenn Gl. (A28.1) ein stabiles diskretes System beschreibt. Die Anwendung der z-Transformation auf Gl. (A28.1)liefert zX{z)Â^X{z)-^p

^ -1

bzw. (A28.10) X{z)^{z\-A^y^ P ^ z-\ Um die Stabilitat der Losung nach Gl. (A28.10) zu gewahrleisten, mtissen die Nullstellen der charakteristischen Gleichung, also die Eigenwerte der Matrix A^, innerhalb des Einheitskreises der z-Ebene Uegen. Durch Berechnung der charakteristischen Gleichung

Aufgabe 29

335

^12 ail

d e t ( z l - ^ ^ ) = det

, ^2 _

^21

^12^21^0

(A28.il)

aiia22

^22

erhalt man die beiden Eigenwerte ^12^21

^1,2

(A28.12)

'^11^22

fiir die die Bedingung z^ 2 < 1 erftillt sein muss. Daraus folgt die Stabilitatsbedingung ri2l

A:„ = lim(z - l)(zl - ^ d ) " V - ^ = (I - ^d)"V Z->1

(A28.14)

Z-1

Die Losung Gl. (A28.14) stimmt mit der Losung Gl. (A28.7) aus Aufgabenteil a) iiberein.

Aufgabe 29 Ftir den im Bild A29.1 skizzierten Regelkreis mit Zweipunktregler und ITfStrecke sind zu berechnen: a) Gleichung der Arbeitsbewegung fiir das Ausgangssignal y(t) (es gelte z(t) = 0 und w(t) = Woa(t)). b) Maximal- und Minimalwerte yi und J2 sowie Amplitude yQ der Arbeitsbewegung. c) Êin und Âus sowie die Periodendauer 7^ . d) Welche mittlere Regelabweichung e tritt auf ? e) Wie wirken sich sprungformige Storungen, z{t) = ZQa(t), im Vergleich zu sprungformigen Anderungen des Sollwertes w{t) aus? Wie groB ware die Regelabweichung bei Verwendung eines nach Ziegler-Nichols eingestellten stetigen P-Reglers?

ANHANG A: Aufgaben

336

K.^g-.vT-,

"r?^

-b

Bild A29.1. Regelkreis mit Zweipunktregler Zielsetzung: - Analyse von nichtlinearen Regelsystemen - Berechnung der Arbeitsbewegung eines Zweipunktreglers Theoretische Grundlagen: Kap. 3.2 Losung: a,b) Um den grundsatzlichen Verlauf des Ausgangssignals zu ermitteln, geht man von der Ubertragungsflinktion des linearen Teilsystems G{s).

s

(A29.1)

U{s) + Z{s)

aus. Mit z{t) = 0 und dem Ausgangssignal des Zweipunktreglers (A29.2)

u = ±b erhalt man fur das Ausgangssignal y{t)^y{0)^K^

\{U{T-T,)

+ Z{T-T,)]

dr = ±bK^{t-T,)

+y{^) .

(A29.3)

0

Dieses Signal besteht also, je nach Schaltzustand des Reglers, aus Geradenabschnitten mit positiver bzw. negativer Steigung, wobei die Totzeit lediglich eine Verschiebung der Zeitachse bewirkt. Daraus ergibt sich der im Bild A29.2 dargestellte Signal verlauf. MaBgebend ftir den Schaltzustand des Reglers ist das Vorzeichen der Regelabweichung e{t) (siehe Kennlinie des Zweipunktreglers in Tabelle 3.1.1, Nr. 2). Somit schaltet der Regler immer dann, wenn e{t) das Vorzeichen wechselt. Die Umschaltung der StellgroBe wirkt sich erst nach Ablauf der Totzeit auf das Ausgangssignal y{t) aus. Zu diesem Zeitpunkt erfolgt dann ein Vorzeichenwechsel der Steigung in den Geradenabschnitten von y{t) und e{t). Zur einfacheren mathematischen Handhabung werden die Geradenabschnitte I, II, III von y{t) im Bild A29.2 in einem zeitverschobenen Koordinatensystem berechnet.

Aufgabe 29

337

y(!)y\

Bild A29.2. Zeitverlaufe des Ausgangssignals y{t), des Fiihrungssignals w{t), der Regelabweichung e{t) und der StellgroBe u{t) Abschnitt I: ZQitskdila. ^*, wirksamer Schaltzustand u = -\-b Es gilt 3;j(^*) = +Z)^3r*+wo.

(A29.4)

Zur Zeit ^* = 0 schaltet der Regler auf u = -b . Wirksam wird diese Umschaltung jedoch erst zur Zeit t^ = T^; der dann aktuelle y-Wovt ist der maximale, da hier das Vorzeichen der Steigung wechselt. Man erhalt yi (t*-TO = yi= + bKsT, + wo .

(A29.5)

Abschnitt II: Zeitskala /**, wirksamer Schaltzustand u = -b Die AusgangsgroBe nimmt beginnend bei yi linear ab, d. h. 3;jj(/**)=._6^gr** + 3;i.

(A29.6)

Abschnitt II: Zeitskala ^***, wirksamer Schaltzustand u = -b Fiir die AusgangsgroBe gilt die Beziehung 3;jj(^***)^_^^^^***+^^

(A29.7)

Als Minimalwert von y(t) zur Zeit ^ * ** = 7^ ergibt sich analog zum Maximalwert yn(^***-^t) = 3^2=-^^s^t + ô-

(A29.8)

338

ANHANG A: Aufgaben

Mit yi und y2 nach GL (A29.5) und Gl. (A29.8) folgt fiir die Amplitude der Arbeitsbewegung yo=\iyi-y2)

= bK^T,.

(A29.9)

c) Die Ausschaltzeit Tp^^^ ist diejenige Zeit (siehe Bild A29.2), die 7n(^**) benotigt, um vom Wert yi auf WQ abzufallen plus der Totzeit, die nach dem Schalten auf u = -b bis zum Wirksamwerden der Umschaltung vergeht. Fur den Zeitpunkt, an dem y{t) den Wert WQ erreicht, gilt nach Gl. (A29.6) yil(tQ) = -bKsto +yi=wo.

(A29.10)

Daraus ergibt sich

C=î^^ bKs

(A29.il)

und durch Einsetzen der Gl. (A29.5) schlieBlich to =T,. Die Ausschaltzeit des Zweipunktreglers betragt also TAus-t;%T,=2T,.

(A29.12)

Die Einschaltzeit Tî^ ist diejenige Zeit, die yi(^*) benotigt, um von dem Wert j2 auf WQ ZU steigen, plus die Totzeit, nach der die Geradensteigung wieder ihr Vorzeichen wechselt. Es sei darauf hingewiesen, dass Abschnitt III identisch ist mit Abschnitt I bis auf das Anlaufsttick zum Wert j^2 ^ so dass hier die Gl. (A29.4) gilt. Zum Zeitpunkt t^^-t^ wird die StellgroBe u = + b am Ausgang wirksam, so dass man mit Hilfe von Gl. (A29.3) y^{-tl) = -bK/o + wo=y2

(A29.13)

und *

>t^0-y2 ^y.

(A29.14)

erhalt. Analog zu Gl. (A29.12) ergibt sich die Einschaltzeit TEin=t;+T,=2T,.

(A29.15)

Damit folgt ftir die Periodendauer der Schaltbewegung ?0=Âus + 7Ein-4rt. d) Die mittlere Regelabweichung ist defmitionsgemaB

(A29.16)

Aufgabe 29

e

= WQ

339

- y

1 = WQ-

(yi^yi)-

Nach Einsetzen von Gin. (A29.5) und (A29.8) zeigt sich, dass die mittlere Regelabweichung verschwindet, d. h. e=0.

(A29.17)

Dies ist bei einer Regelstrecke mit integralem Verhalten auch zu erwarten. e) Wenn sich der Sollwert sprungformig andert, behalt die Arbeitsbewegung ihre Form bei, da sich die Fonn des Eingangssignals der Regelstrecke (u = ±b) nicht verandert. Abgesehen von einer Einschwingphase bleiben auch die Ein-/Ausschaltzeiten erhalten. Lediglich die Minimal- und Maximalwerte yi und j2 hangen vom Sollwert WQ ab. Bild A29.3 zeigt die resultierenden Signalverlaufe.

Bild A29.3. Zeitverlaufe von y{t), e{t), w{t), u{t) bei sprungformiger Sollwertanderung Beim Auflreten von Storungen wird jedoch das Eingangssignal der Regelstrecke verandert. Im vorliegenden Fall einer integral wirkenden Regelstrecke (siehe auch Gl. (A29.3)) wird die Steigung der Geradenabschnitte des Ausgangssignals verandert, was bei Sollwertanderungen nicht der Fall war. Die Auswirkung einer Stoning am Eingang der Regelstrecke auf den Regelkreis wird im Bild A29.4 verdeutlicht. Der Losungsgang ist analog zum Aufgabenteil a). Ausgehend von u(t) = ± b,

z(t) = ZQO-CO

(A29.18)

340

ANHANG A: Aufgaben

Bild 29.4.

Zeitverlaufe von y{t), e{t), w{t), u(t) + z(t), Stomngen z(t) = ZQa(t)

z(t) bei sprungformigen

erhalt man als wirksames Eingangssignal der Regelstrecke u\t) = ± b-\-ZQ fur t>0 ,

(A29.19)

mit dem nun in den einzelnen Kurvenabschnitten die AusgangsgroBe berechnet werden kann. Abschnitt I: Zeitskala t *; wirksamer Schaltzustand u = -\'b y^(tn = (b + Zo)Kst'^-^Wo,

(A29.20)

y^(t^ = T,) =

(A29.21)

y^=(b^Zo)K^T,-^Wo.

Abschnitt II: Zeitskala / * *; wirksamer Schaltzustand u = -b ;;„(f**) = (-Z) + Zo)^S^** + 3^1.

(A29.22)

Abschnitt II: Zeitskala / * * *; wirksamer Schaltzustand u = -b (A29.23) yil{t^^^ = T,) =

y2={-b^ZQ)K^T,^WQ.

(A29.24)

Aufgabe 29

34J_

Aus den Schnittpunkten der AusgangsgroBe mit dem Sollwert und der Anschlussbedingung der beiden Kurvenabschnitte erhalt man wiedemm die Einschalt- und Ausschaltzeit des Reglers: ' " ( --Z^ + **

ZQ)

^s

- ^t b-ZQ

2Z?

(A29.25)

b-ZQ

o)^s _ * T^ _ T^ 2 ^ Êin - ^0 + M - ^t ^

5 + Zo

•

b + ZQ

(A29.26)

Die Periodendauer der Arbeitsbewegung To = TAUS + Tmn = 71 7 ^ ^

(A29.27)

ist nun abhangig von der Amplitude der Storung. Die Amplitude der Arbeitsbewegung betragt yo=^^~^

= bKsTi,

(A29.28)

und fiir die mittlere Regelabweichung ergibt sich e = -^(yi^y2)

+ Wo= -zoK^T,.

(A29.29)

Zu beachten ist, dass diese Ergebnisse nur dann gultig sind, wenn die Storamplitude kleiner ist als die Amplitude des Zweipunktreglers, weil sonst das Vorzeichen des Eingangssignals der Regelstrecke nie mehr wechseln kann. Fiir die Regelung muss also die Bedingung I ZQ I < 6

(A29.30)

erfiillt sein. f) Bei Verwendung eines P-Reglers anstelle des Zweipunktreglers erhalt man einen linearen Regelkreis mit dem tjbertragungsverhalten

Fiir die bleibende Regelabweichung ergibt sich unter Verwendung des Grenzwertsatzes der Laplace-Transformation

342

ANHANG A: Aufgaben e^ = lim e(t) = lim sE(s) = lim s W{s)--

-sT,

W(s)-

K^Q

(A29.32)

-sT,

Z(s)

a) Ftir z(t) = 0 und w(t) = WQa(t) erhalt man die bleibende Regelabweichung ^R^se" e^ = lim WQ 1 - s-hK^K^Q

-sT,

(A29.33)

=0

unabhangig von der Reglerverstarkung, was bei einer I-Regelstrecke auch zu erwarten war. P) Fiir w(t) = 0 und z(t) = ZQa(t) erlialtman ^0

•- l i m ZQ 5^0

s + K^KsQ

-sT,

(A29.34)

^R

Die bleibende Regelabweichung hangt bei sprungformigen Storungen am Eingang der Regelstrecke also von der Reglerverstarkung A^R ab. Da man jedoch K^ nicht beliebig groB machen kann (die Stabilitat des Kreises ist wegen der Totzeit gefahrdet, siehe auch Bode-Diagramm BildA29.5), soil der Wert von ^ j ^ wenigstens optimal (nach Ziegler-Nichols) eingestellt werden. Dafiir ist nach Tabelle 8.2.8 fiir den PRegler der Wert

-90° -180°Bild A29.5. Bode-Diagramm des offenen Regelkreises bei Verwendung eines P-Reglers mit dem Verstarkungsfaktor K^ ^ Rkrit

^Ropt ~ ^

(A29.35)

zu wahlen, wobei ^R^rit diejenige Reglerverstarkung ist, bei der sich der Regelkreis gerade am Stabilitatsrand befmdet. In diesem Fall ist die Verstarkung des offenen Regelkreises gleich eins (Amplitudengang bei 0 dB) und die Phase -180° (Phasenrand (pj^ =0). Die Phasendrehung rtihrt allein vom Totzeitglied her, der Integrator liefert unabhangig von der Frequenz -90° Phasendrehung, so dass gelten muss a)Tt\

!

71

(A29.36)

Aufgabe 30

343

Fiir die Amplitude des offenen Regelkreises gilt bei der Durchtrittsfrequenz =1 ](0

bzw.

Aus den beiden Gleichungen (A29.36) und (A29.37) ergibt sich schlieBlich der kritische Verstarkungsfaktor zu ^Rkrit=TT^,

(A29.38)

und mit Gl. (A29.35) erhalt man als optimalen Reglerverstarkungsfaktor

Die bleibende Regelabweichung ftir sprungformige StorgroBen errechnet sich dann mittels Gl. (A29.34) zu e^=--K^T,z^. (A29.40) n Damit liegt die bleibende Regelabweichung fiir sprungformige Storungen um den Faktor AIn hoher als bei Verwendung eines Zweipunktreglers. Dies gilt selbstverstandlich nur fur den vorliegenden Fall. Bei der Dimensionierung anderer Regelkreise muss immer wieder iiberpriift werden, welcher Regler die geforderten Ziele besser erreicht. Dabei ist allerdings zu beachten, dass im nichtlinearen Fall eine zeitlich gemittelte Regelabweichung berechnet wurde. Der zeitliche Verlauf der Regelabweichung ist beim Zweipunktregler eine periodische Funktion der Periodendauer TQ .

Aufgabe 30 Die Beschreibungsfunktionen der im Bild A30.1 dargestellten nichtlinearen Kennlinien sind zu bestimmen. Zielsetzung: Analyse nichtlinearer Regelsysteme mit Hilfe der Beschreibungsfunktion Theoretische Grundlagen: Kap. 3.3 Losung: Die Beschreibungsfunktion als „Ersatzfrequenzgang" eines nichtlinearen Ubertragungssystems dient nur zu dessen ndherungsweisen Beschreibung. Voraussetzung fiir eine gute Naherung ist, dass ein nachgeschaltetes lineares Ubertragungssystem des Regelkreises

344

ANHANG A: Aufgaben

„genugende" Tiefpasseigenschaft besitzt, um die hoheren Harmonischen, die von der Nichtlinearitat erzeugt werden, zu unterdriicken.

kK

Ax„

n. a

ix.

H

-a

x^

a' a

X e

•V-b -b

Bild A30.1. Kennlinien typischer nichtlinearer Regelkreiselemente - a) Dreipunktglied, b) Totzone, c) Dreipunktglied mit Hysterese Die Berechnung der Beschreibungsfunktion geschieht in den folgenden Schritten: 1. Man gebe auf den Eingang des nichtlinearen Teilsystems ein sinusformiges Testsignal der Form XQ (t) = XQ sin 0Qt oder in Zeigerdarstellung XQ = XQ . 2.

Dann wird die Antwort x^(t)

des nichtlinearen Teilsystems mittels der statischen

Kennlinie bestimmt. 3. Die Grundschwingung x^\t)

des Antwortsignals x^(t)

wird anhand der Fourier-

reihe berechnet. 4. Die Beschreibungsfunktion N(XQ,(D)

ergibt sich dann aus dem Verhaltnis der kom-

plexen Zeiger von Ausgangssignal (Grundschwingung) zu Eingangssignal. Die Fourierreihenentwicklung von x^(t)

-âv^/ "" -ê

liefert:

^Q + ^ [aj^ cos (k (DQ t) + b]^ sin {k CDQ t)]

(A30.1a)

k=l

mit tn+T

XQQ]^-—

\x^{t)cos{k

(DQt)dt,

(A30.1b)

(ko)ot)dt.

(A30.1c)

ta+T

^Qh=—

jxît) sin

Fiir die Grundschwingung gilt: -â ( 0 = XQ (a^cos coQt + bi sin WQ t).

(A30.2)

Aufgabe 30

345

a) Beschreibungsfunktion des Dreipunktgliedes Das graphisch konstmierte Ausgangssignal x^{t) ist nun in eine Fourierreihe zu zerlegen. Aus Bild A30.2 kann man entnehmen: •

Das Ausgangssignal ist eine ungerade Funktion -âj,=0\fk.

•

(A30.3)

Der Mittelwert ist daher Null ^^0-0.

•

(A30.4)

Es ist nur der Koeffizient bi fiir die Grundschwingung zu berechnen. Es gilt 2^ XQbi=— \x^{t)^m(DQtdt.

(A30.5)

^0 1 271 Mit der Substitution cDQt = T , dt = — dr und 0Q= — folgt mit Gl. (A30.1c) 0)0 T 271

Xg Z?! = — \x^ (—) sinr d r = 0

\n-(p

-COST i(p

\2%-(p

+ cosr \'K+(p

(A30.6)

Ab = — cos (p. 71

Aus Bild A30.2 entnimmt man (A30.7)

a = XQ sin cp 2

2

und wegen sin ^ + cos (p = 1 folgt â^

(A30.8)

COS^ - 1 1 ~

Damit ergibt sich mit den Gin. (A30.1a), (A30.6) und (A30.8) unter Beachtung der Gl. (A30.3) filY die Grundschwingung des Ausgangssignals

xi^)(0=^jl-

a sm (Do ^

und fur den komplexen Zeiger

(A30.9)

ANHANG A: Aufgaben

346

-a

4

Konstruktion mit Hilfe der statischen Kennlinie der Nichtlinearitat 0)^t

Bild A30.2. Signalverlaufe beim Dreipunktglied bei sinusformiger Erregung

Efe)(0 =

Ab

â-'

(A30.10)

Die Beschreibungsfunktion fur das Dreipunktglied ist reell, weil es eine eindeutige Kennlinie besitzt. Da diese Kennlinie statisch ist, ist die zugehorige Beschreibungsfunktion nicht von der Frequenz, sondern nur von der Amplitude des Eingangssignals abhangig. Damit erhalt man c(g)

N{x^,o)) = N{i^) =

â-'

(A30.il)

wobei XQ> a gelten muss, da sonst x^(t) = 0\/t ware. b) Beschreibungsfunktion der Totzone Die Steigung der statischen Kennlinie entspricht dem Verstarkungsfaktor. Mit Ausnahme desjenigen Bereichs, fur den x^{t) = 0 gilt, liegen gemaB Bild A30.3 lineare Verhaltnisse vor. Nach Bild A30.1b gilt fur den Verstarkungsfaktor die Definition tana = ^ . (A30.12) Fiir x^{t) folgt im Bereich Xe(0 > a: x^{t) = K^xît) -a) = K(XQ sin(ôO - 0 also y beliebig also y 0 ,

(A39.3)

wobei die StellgroBe den Wert u = -b hat. Aus der speziellen Wahl der ZustandsgroBen (vgl. Aufgaben 37c und 38) y = X1+X2 = s

folgt X2 = - X j + 8 .

Mit ^ ^ 0 gilt fiir die Schaltlinie in diesem Bereich die Geradengleichung X2 = -xj und fiir die Trajektorien rechts davon wegen y>0

(A39.4a) die Schaltbedingung

u = -b. Fiir den Bereich II erhalt man analog die Schaltgerade X2 = -xj und fiir die Trajektorien links davon u=+b.

(A3 9.4b)

ANHANG A: Aufgaben

386

b) Das lineare Teilsystem ist abgesehen von der Totzeit identisch mit jenem aus den Aufgaben 37e) und 38, so dass die Trajektorienverlaufe bekannt sind. Es gilt also ohne Berticksichtigung der Totzeit (T^=0) analog zu den Gin. (A37.45a) und (A37.45C) (A39.5) und analog zu GL (A37.42) (A39.6)

Ku Oder xi(t) = Ku(t),

X2(t)==-YX2(t)-Ku(t)

=-

X2(t) + TKu(t)

(A39.7a, b)

mit fUYt 0 .

Durch Integration der GL (A39.6) folgt mit ^ =0 analog zu Aufgabe 38, GL (38.2), fur den Zeitverlauf der ZustandsgroBen xi(t) = KuQt^ xi(0),

X2(t) = -KUQ T + [X2(0) + KUQ T] Q~^'^ .

(A39.8a, b)

Ftir den totzeitbehafleten Fall muss in den Gin. (A39.8a,b) die Zeit t ersetzt werden durch t-T^. Also gilt jetzt fiir den Zeitverlauf der ZustandsgroBen X I ( 0 = A:WO[^-71] + X I ( 0 ) ,

(A39.9a)

X2{t) = -KuQT + [x2{0) + Ku^T} Q-^^-^^"^'^ ,

(A39.9b)

wobei t>T^ sein muss. Lost man die GL (A39.9a) nach der Zeit t auf und setzt diesen Ausdruck in GL (A39.9b) ein, so ergibt sich als Gleichung fiir die Trajektorien in der (xj, X2) -Ebene die Beziehung X2 = /2(xi) = -KUQ

T

+ (x2(0) + KUQ T)

Q{Î-Î(^)VKUOT

(A39.10)

Dies ist derselbe Ausdruck wie in GL (A38.5). Damit erhalt man fiir t > T^ denselben Trajektorienverlauf wie bei Aufgabe 38, Bild A38.4. Die Totzeit geht in den Verlauf der Trajektorien X2(xi) nichtein. c) Aus der Identitat der Trajektorien gemaB den Gin. (A38.5) und (A39.10) kann unmittelbar geschlossen werden, dass der hier betrachtete Regelkreis im stationaren Zustand einen analogen Grenzzyklus aufweist wie in Aufgabe 38. Dies kann auch anhand einer einfachen graphischen Abschatzung des Zeitverhaltens dieses Regelkreises

Aufgabe 39

387_

direkt gezeigt werden. Daher soil zunachst dieser Grenzzyklus in der (xj, x^) -Ebene untersucht werden. Die Division der Gin. (A39.7a,b) liefert dx^ _ 6x2

KuT X2 + KuT

und daraus folgt nach Integration als Trajektorie xi(t) = -KuT\n\x2(t)

+ KuT\ + C,

(A39.il)

wobei C eine Integrationskonstante darstellt. Fiir die beiden Schaltzustande gilt somit: I) Fall u = -b: I I (A39.12) ^ ^ xi =KbT In \x2-KbT\ + Ci II) Fall u = b: I 1 (A39.13) xi=-KbT In \x2+KbT\ + C2. Die Umschaltung von u = -b auf u = +b erfolgt an der Schaltgeraden X2 = -xj im Punkt E (siehe Bild A39.3). Infolge der Totzeit wird aber weiterhin wahrend der Zeitdauer T^ derselbe Trajektorienast vom Punkt E bis zum Punkt A (gestrichelte Kurve) durchlaufen. Erst im Punkt A erfolgt der Wechsel auf einen Trajektorienast, der zur StellgroBe u = b gehort. GemaB Bild A39.3 wird fur u = b , ausgehend vom Punkt A, die untere Trajektorie bis zum Punkt D durchlaufen. Obwohl hier auf u = -b umgeschaltet wird, erfolgt wahrend der Totzeit T^ wiederum die weitere Bewegung auf derselben Trajektorie bis zum Punkt B. Erst dort erfolgt dann der Wechsel auf den oberen Trajektorienast. Auf diese Art entsteht als Schwingungsverlauf des hier betrachteten Regelkreises der im Bild A39.3 dargestellte Grenzzyklus aus den beiden Trajektorienasten, die aus den Gin. (A39.12) und (A39.13) hervorgehen. Im Weiteren sollen zunachst die Bedingungen fur die Existenz dieses Grenzzyklus, also insbesondere die Koordinaten des Punktes A, gefunden werden. Da beide Trajektorienaste des Grenzzyklus sich in den Punkten A und B schneiden, gilt aus Symmetriegriinden fiir die Integrationskonstanten

Dann folgt mit den Koordinaten (A39.13): x^j^=KbT

(ÎÂ? ^2,A)

\n\x2^js,-KbT\^C^

^^^ ^ ^^ die Gin. (A39.12) und (A39.14)

und xi A = -KbT ln|x2,A +^^^1 - ^ A •

(A39.15)

Diese beiden Gleichungen (A39.il) und (A39.12) sind identisch mit den Gin. (A38.15) und (A38.16). Um eindeutig die Koordinaten des Punktes A ermitteln

ANHANG A: Aufgaben

388

zu konnen, muss nun noch eine dritte Beziehung zwischen x j ^ und x^^ gefunden werden. Weg

auf der Schaltgeraden folgt weiterhin aus Gl. (A39.12)

fiir den Umschaltpunkt E (x^ g = -X2 E ) Cp,=xi^-KbT

ln\-xi E -KbTl

Oder C'A

= ^l,E -KbT In xi E + ^ ^ ^

(A39.16)

Bild A39.3. Schaltgerade und Grenzzyklus des Systems unter Berlicksichtigung der Totzeit (gestrichelte Kurve) in der (xj, X2) -Ebene fiir 7^ = Is und KbT = 1 Durch Einsetzen von GL (A39.16) in Gl. (A39.14) erhalt man x^j^ =KbT ln|x2Â - ^ ^ ^ | + ^l,E -KbT ln|xi E + ^ ^ ^ | oder durch Zusammenfassen KbT-X2Â

(A39.17)

A/Ji+XjE

da X2Â < ^ ^ ^ =^k2,A - ^^^1 = ^ ^ ^ - ^2,A f^r KbT>0 und X2Â > ^ • Fiir den im BildA39.3 gestrichelt dargestellten Teil der Trajektorie zwischen den Punkten E und A folgt aus Gl. (A39.7b) dx2_ dt

X2 + KuT

1 oder dt = -Tdx2, X2 + KuT

und durch Integration fur u=^-b

Aufgabe 39

389_

1'*' = "^ J

^ ruT ^ 2

(A39.18)

erhalt man die Totzeit

Tt - -7[in|x2Â -^^^1 - in|x23 - A:z?r|] . Unter Beriicksichtigung von xj^^ rt=-rin

-x^ g erhalt man schlieBlich

KbT -X'j A

^^ .

(A39.19)

Wird Gl. (A39.19) in GL (A39.17) eingesetzt, so ergibt sich ^l,A = ^1,E - ^^^t

(A39.20)

und daraus xiE=^l,A+^^^t-

(A39.21)

Aus Gl. (A39.19) folgt unmittelbar auch -{T, IT) ^ ^^T ~^2A ~ KbT + xx^^ und daraus X2,A = -e~^^^ ^^^xiÊ + ^ ^ ^ [1 - e"^^^ ^^^].

(A39.22)

Das Einsetzen von Gl. (A39.21) in Gl. (A39.22) liefert ^^^^ . _e-(^t IT)^^^^ _ ^-(T, IT) ^^^^ ^ ^ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^-iTJT) und zusammengefasst X2Â ==-e~^^'^^^,A -Kb{T + T^) Q~^^''^"^ + KbT

(A39.23a)

Oder xi A =-e^^^''^^^2,A -Kb{T + T^) + KbT e^^^^^^.

(A39.23b)

Da Gl. (A39.23a) bzw. Gl. (A39.23b) nur von der Totzeit abhangig ist, stehen nun zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes A in der (x^, X2)-Ebene die drei Gleichungen (A39.14), (A39.15) und (A39.23a) bzw. GL (A39.23b) zur Verfugung. Zunachst wird die Integrationskonstante CA aus den Gin. (A39.14) und (A39.15) durch Addition derselben und Umformung eliminiert, woraus unmittelbar

1x2 A-^^^1 2x,K=KbT\n[^=^ Oder X2A+^^7^

2X1 A klA+^M iAîni-^ L ^^T

X2A-^^^

390

ANHANG A: Aufgaben

und daraus schlieBlich -{Ix^j^/KbT)

_ | ^ 2 ,AA+KbT\ +-^^^|

(A39.24)

1^2,A-^^^1 folgt. Offensichtlich lasst sich aber diese Beziehung analytisch nicht losen.

Zum Zwecke einer numerischen Losung wird nun Gl. (A39.23a) in Gl. (A39.24) eingesetzt, wobei fur die linke Gleichungsseite -{Ix^j^lKbT)

{2

=e

_

KbT

[2e^^'^^^X2Â+^Kb(Tf+T)-2KbTQ^^f'^^yKbT

^+2iTf+T)/T\

^fl(^2,A)

(A39.25)

und die rechte Gleichungsseite

y2 = H - 4 - /2fe,A) 1^2,A-^^^1

(A39.26)

gesetzt wird. Die beiden Kurven j j und ^2 î^^ ™ î^^ A39.4 dargestellt. Man erkennt daraus, dass zwei Schnittpunkte existieren, von denen allerdings - wie aus Bild A39.3 zu erkennen ist - nur jene Losung infrage kommt, die KbT am nachsten kommt. Dies ist im vorliegenden Fall fiir KbT = 1 der Wert X2,A-0,954. Durch Einsetzen dieses Wertes in Gl. (A39.23b) ergibt sich der Wert xi A = -1,878 . Weiterhin erhalt man mit diesem Wert aus Gl. (A39.14) fur die Integrationskonstante C A = - 1 , 8 7 8 - I n 0,046 = 1,20. Als Schnittpunkte der oberen Teiltrajektorie (fur u = -b) des Grenzzyklus mit der xj - und der X2 -Achse folgt aus Gl. (A39.12) mit KbT = 1 die Beziehung x i = l n | x 2 - l | + l,20, woraus sich fur X2 = 0 der Wert xj-ln

1 + 1,20 = 1,20

und fiir x^ = 0 der Wert X2=l-e~^'^^ =0,700 ergibt.

(A39.27)

Aufgabe 39

391

i yi

yi

Bild A39.4. Graphisch-numerische Losung der Gin. (A39.25) und (A39.26) fiir 7^ = Is und KbT = 1 Die Schaltkurve sowie die Trajektorien der Grenzzyklen in der (xi,X2) -Ebene sind fiir K = ls~ , b = l und 7 = Is und unterschiedliche Totzeiten T^ im Bild A39.5 dargestellt. Man erkennt daraus, dass fiir den Fall Z^ >3s der im Bild A39.3 definierte Umschaltpunkt E ungefahr die Koordinaten x^ ^ ^ -1 und X2 E ^ KbT besitzt. Die Abszisse des zugehorigen Punktes A, bei dem die Trajektorie gewechselt wird, ergibt sich in diesem Fall, indem zu xj g « -1 der konstante Wert -KbT^ addiert wird. Dieses Trajektorienstiick in negativer xj -Richtung folgt unmittelbar aus Gl. (A39.9a), wenn zum Zeitpunkt / = 0 in E gestartet und UQ=b gesetzt wird. Den Verlauf der Grenzzyklen in der Phasenebene, also der (y, y) -Ebene, erhalt man mit Hilfe der Transformationsgleichung (A39.5) fiir T = ls zu y(t) = xi(0 + X2(0

(A39.28)

y(t) = -X2(t).

(A39.29)

und

392

ANHANG A: Aufgaben

V2

7;= 0,1s

7;= 0,5s

7;= Is

7;-1,5s T^=2s T^=3s

Bild A39.5. Grenzzyklen des untersuchten Systems fur verschiedene Totzeiten In der ( j , y) -Ebene ergibt sich die Amplitude y = Jniax ^^^ Grenzzyklus gerade fiir den Wert y = 0 . Aus Gl. (A39.27) folgt mit y~x2=0 und den frliheren aus Gl. (A39.27) abgeleiteten Beziehungen der Wert

Aufgrund der Symmetrie des Grenzzyklus lasst sich dessen Periodendauer T^ einfach anhand der Beziehung 73=27^+2 Jd/

(A39.30)

berechnen, wobei t^ die Zeit ist, die zum Durchlaufen des Trajektorienastes vom Punkt B (fiir den Startzeitpunkt t^ = 0) zum Punkt E benotigt wird. Der in Gl. (A39.30) auftretende Integralterm lasst sich analog zu Gl. (A39.18) wie folgt bestimmen: ^2,E

\dt = -T J

1 6x2, X2-KbT

Aufgabe 39

393

wobei man aufgrund der Symmetrieeigenschaft -^2 B - ~^2 A ^^^ unter Beachtung der speziellen Lage des Punktes E auf der Schaltgeraden X2£= -xj ^ nach Ausfiihrung der Integration die Beziehung t = -Tin

KbT + x^ p —^^

(A39.31a)

KbT+ X2Â

erhalt. Unter Beriicksichtigung von Gl. (A39.21) folgt aus Gl. (A39.31a) 2KbT-\-x^ A

t^=-T

In

^ . (A39.31b) KbT-^X2Â Werden liierin die fur K = b = l und T = ls berechneten Zahlenwerte von xj ^ und X2 A eingesetzt, so ergibt sich , , 2+ (-1,878) ^^,^ tr, = -1 In ^—' -s = 2,746s . 1 + 0,95 Mit GL (A39.30) wird damit fur 7^ = Is die Periodendauer des Grenzzyklus Ts = 2(1 +2,746)s = 7,492 s. Das Einschwingverhalten des hier untersuchten Grenzzyklus (w = 0) ist im Bild A39.6 als Ergebnis einer Rechnersimulation dargestellt. Die oben berechneten Zahlenwerte fur y^Yiax ^^^ ^S werden durch die Simulation dieses Regelkreises bestatigt.

Bild A39.6. RegelgroBe y(t) und StellgroBe u(t) des Grenzzyklus fur den Regelkreis bestehend aus Zweipunktglied (Regler) und ITiT^ -Regelstrecke (w = 0, autonomes System)

394

ANHANG A: Aufgaben

Vergleicht man die Grenzzyklen der Bilder A38.5 und A39.3, so erkennt man, dass zwar die Schaltlinien grundsatzlich verschieden, aber die Trajektorienverlaufe in den Schaltbereiclien I und II gleich sind. Daher stimmen auch die beiden Grenzzyklen prinzipiell tiberein. Die Totzeit bewirkt somit bei dem hier betrachteten Regelkreis fur den Grenzzyklus praktisch dasselbe wie eine Hysterese. Es sei ausdrticklich darauf hingewiesen, dass alle vorherigen tJberlegungen sich zunaclist nur auf den Grenzzyklus und nicht auf andere Trajektorien bezogen. Allerdings kann aus der Analogie der beiden in dieser Aufgabe und in Aufgabe 3 8 behandelten Regelkreise geschlossen werden, dass der Grenzzyklus des hier untersuchten Regelkreises ebenfalls stabil ist. Dies zeigt sich auch an den im Bild A39.7 dargestellten Ergebnissen einer Rechnersimulation fiir die Sollwerte a) w = 1 und b) w = lO . In beiden Fallen wird jeweils derselbe Grenzzyklus erreicht, wobei im Fall a) der betreffende Anfangswert fiir ^ = 0 in der (xi,X2) - oder (_>;, j)-Ebene innerhalb und im Fall b) auBerhalb des sich jeweils einstellenden Grenzzyklus lag. Im Bild A39.8 ist das gesamte Phasenportrat des untersuchten Regelkreises fiir den Fall der oben bereits verwendeten Zahlenwerte als Ergebnis einer Rechnersimulation dargestellt. Dabei fallt auf, dass der jeweilige Anfangsverlauf der Trajektorien durch Geradenstiicke gebildet wird, deren Lange d von dem gewahlten Anfangspunkt (y(0), y(0)) abhangig ist. Dies soil nachfolgend kurz gezeigt werden. Mit den im Bild A39.8 angegebenen Zahlenwerten gelten fur die (7, j)-Ebene die Transformationsbeziehungen gemaB den Gin. (A39.28) und (A39.29), aus denen unmittelbar die Beziehung y(t) = -y(t) + x^(t)

(A39.32)

folgt. Wird Gl. (A39.9a) in Gl. (A39.32) eingesetzt, so ergibt sich y(t) = -y(t) + Xi(0) + KuQ[t-T^],

t>T^.

(A39.33)

Im Zeitintervall 0 < ^ < 7^ ist wegen der Totzeit T^ der dritte Term auf der rechten Seite von Gl. (A39.33) nicht wirksam, da ja fiir das Signal u^(t) im BildA39.1 in diesem Zeitabschnitt gilt. Die StellgroBe u(t) = UQ=±b wird sich also erst nach Ablauf der Totzeit, also fiir t>T^ auf den Einschwingvorgang von y(t) auswirken. Somit erhalt man aus Gl. (A39.33) (A39.34) y(t) = -y(t) + xi(0), 0(0) t^ + y{Q),

Aufgabe 39

399

beschreiben, wobei wegen Gl. (A39.47) die drei letzten Terme verschwinden, so dass schlieBlich yih ^Tt) = \ KbT,^ + J>(0) T, + Kbt^ T, Oder y(t^ + Tt) = Tt ] [Kb{t^ + Tt) + y(0)]

--KbT,

(A39.49)

folgt. Aus Gl. (A39.48) ergibt sich in gleicher Weise y(t^+TO = Kb(t^+TO + KO)-

(A39.50)

Ersetzt man in Gl. (A39.49) die ecicige Klammer der reciiten Seite durch Gl. (A39.50) und lost nach y{t-^ + Tj) auf, so erhalt man y(t^+T,)

= ^y(t^+TO

+ \KbT,

(A39.51)

Diese Geradengleichung in der (3;, y) -Ebene, die unabhangig vom Anfangspunkt [3/(0), j(0)] ist, beschreibt die Punkte der wirksamen Umschaltung, also den Trajektorienwechsel. Da die StellgroBe u(t) = UQ =±b das Vorzeichen wechselt, bedeutet dies, dass wiederum zwei Halbgeraden als „Schaltlinie" existieren, je nachdem welches Vorzeichen die StellgroBe hat. Die Steigung der Geradenabschnitte ist immer l/T^, und die Achsenabschnitte auf der y -Achse sind proportional zur Totzeit (vgl. BildA39.10).

^KbT,.

-{KbT,, T^ klein

7; groB

Bild A39.10. Darstellung der Schaltgeradenabschnitte gemaB Gl. (A39.51) in Abhangigkeit von der GroBe der Totzeit T^ Damit iiberhaupt eine Umschaltung von uo=±b durchgefiihrt werden kann, ist es z. B. nicht erlaubt, mit UQ= + b auf einer Parabel zu starten, deren Scheitel in der rechten Halfte der Phasenebene liegt, da niemals die Schaltbedingung y = 0 erreicht werden kann (vgl. Bild A39.9), d. h. die Schaltgerade y = 0 wird nie geschnitten. Im vorliegenden Fall, wo die wirksame Schaltgerade aus zwei Abschnitten besteht, gelten dieselben Uberlegungen: fiir UQ =-\-b muss es eine Grenzparabel geben, die die zugehorige wirksame Schaltgerade beruhrt (so wie die Parabel durch den Ursprung im

400

ANHANG A: Aufgaben

Fall r^ = 0 ) . Verlangert man die Geradenabschnitte (gestrichelt im Bild A39.10), so gibt es Parabeln, die zwei Schnittpunkte mit der Schaltgeraden haben, aber genau eine, wo diese beiden Schnittpunkte im Bertihrungspunkt zusammenfallen. Diese Schnittpunkte konnen berechnet werden. Durch Gleichsetzen der nach y aufgelosten Geradengleichung (A39.51) mit der Trajektoriengleichung (A39.46) folgt

y^ -y^(0) + 2Kby(0)-2KbT^y

+ {KbT^f =0

(A39.52)

mit der Losung ha =KbT^±^jy^(0)-2Kby(0)

.

(A39.53)

Aus Gl. (A39.51) erhalt man y = yT^--KbT^^

(A39.54)

und daraus mit der eingesetzten GL (A39.53) als Abszissenwerte der Schnittpunkte der Trajektorien fiir u = -\-b mit dem zugehorigen Ast der Schaltlinie 71,2 =\KbT^

±^y^{0)-2Kby{0)T,.

(A39.55)

Die beiden Schnittpunkte {y\,yi) und (y2,y2) f^H^n dann zusammen, wenn der Radikand der beiden Gin. (A39.53) und (A39.55) verschwindet, also wenn y^(0)-2Kby(0)

=0

(A39.56)

gilt. Wtirde man in Gl. (A39.56) anstelle t = 0 das Argument t setzen, so ware diese Beziehung identisch mit der Trajektoriengleichung y = f(y), Gl. (A39.46), fiir den Fall, dass dort die Anfangsbedingungen verschwinden. Diese spezielle Parabel geht also durch den Ursprung. Das bedeutet nun aber, dass alle Anfangsbedingungen, die der Gl. (A39.56) geniigen, auf dieser Ursprungsparabel liegen. Daraus folgt wiederum, dass die Ursprungsparabel den zugehorigen Ast der Schaltlinie bertihrt. Damit existiert aber fiir u = U()=-\-b keine weitere Parabel, deren Scheitel in der positiven (y, y) -Halbebene liegt, die den zugehorigen Ast der Schaltlinie schneiden kann, was anschaulich im Bild A39.il dargestellt ist. Somit ist der Bertihrungspunkt der Ursprungsparabel mit den betreffenden Schaltlinien der Anfang der fur den Schaltzustand u = UQ=-\-b sich ergebenden Halbgeraden. Dieser Bertihrungspunkt ergibt sich demnach aus den Gin. (A39.53) und (A39.55) zu y^=~KbT^

(A39.57a)

y,=KbT^.

(A39.57b)

und

Aufgabe 39

401

X2=y

keine Schaltpunkte

Bild A39.il. Phasenkurven mit Schaltlinienabschnitten fur u = + b

Bild A39.12. Trajektorienverlauf des Regelkreises mit Zweipunktregler und einer Regelstrecke nach Gl. (A39.1) mit I2-Verhalten und Totzeit (K = ls~ , b = l,

Alle Schnittpunkte der Trajektorien, die links von dem Beriihrungspunkt (y^, y^) auf dem verlangerten oberen Schaltlinienabschnitt liegen, sind keine Umschaltpunkte, da bei Erreichen dieser Schnittpunkte die Totzeit noch nicht verstrichen ist.

ANHANG A: Aufgaben

402

Der Verlauf einer Trajektorie des geschlossenen Regelkreises ist Bild A39.12 zu entnehmen. Dabei zeigt sich instabiles Regelverhalten.

Aufgabe 40 Fiir die Regelstrecke mit der tJbertragungsfunktion s{l-\-Ts) ermittle man mit Hilfe des Satzes von Feldbaum und unter Verwendung der Methode der Phasenebene eine zeitoptimale Regelung. Zielsetzung: Entwurf einer zeitoptimalen Regelung in der Phasenebene Theoretische Grundlagen: Kap. 3.4 Losung: Das gegebene, zeitoptimal zu regelnde System ist identisch mit dem, welches bereits in den Aufgaben 37e, 38 und 39 behandelt wurde. Die entsprechenden Trajektorienverlaufe sowie die zugehorigen mathematischen Formulierungen konnen also von dort tibemommen werden. Wie im Bild A40.1 dargestellt, geht das jedoch nur, wenn der zeitoptimale Regler ein Ausgangssignal u = UQ=±b liefert, denn nur fur diesen Fall wurden die Trajektorien in Aufgabe 38 ermittelt. ^2 I.

''

^

/'

\ /

'

\ ^

^

r^^ Tx^ KbT \-6\

\-4\\-2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

\

•

Schaltlinie Xf^ S(x^ Bild A40.1. Trajektorienscharen des Systems fiir u = ±b Zeitoptimales Regelverhalten bedeutet, dass die Ruhelage, also der Ursprung der Phasenebene, von jedem beliebigen Anfangspunkt [y{^), i^(0)] in ktirzester Zeit erreicht

Aufgabe 40

403_

wird. Ausgehend von diesem Zielzustand sieht man im Bild A40.1, dass man den Ursprung nur auf einer der beiden Trajektorien erreichen kann, die durch den Ursprung verlaufen. Auf eine dieser beiden Trajektorien gelangt man, indem die zuvor durchlaufene Trajektorie genau dann verlassen wird, wenn diese eine der beiden Ursprungstrajektorien schneidet. Unabhangig von der Lage des Startpunktes wahlt man entsprechend den beiden Bereichen I und II diejenige StellgroBe u = UQ=±b aus, deren Trajektorie direkt auf die Ursprungstrajektorie flihrt. Bei der hier vorliegenden Systemordnung von n = 2 ist nach dem Satz von Feldbaum nur eine (n-l = l) Umschaltung notwendig, um auf die Ursprungstrajektorie zu gelangen. Liegt der Startpunkt selber auf dieser Zieltrajektorie, so ist keine Umschaltung erforderlich. Damit ist bekannt, wann geschaltet werden muss, und die Schaltkurve selber besteht aus den beiden Asten der jeweiligen Ursprungstrajektorie fiir u = UQ=±b. Diese Schaltkurve soil nun berechnet werden. Es gilt mit den Gin. (A38.2a,b) xi(t) = KuQt-\-xi(0),

X2(t) = -KuQT + (x2(0) + KuQT) Q~^'^

(A40.2a, b)

mit u = UQ=±b und mit den Gln.(A38.3a,c) y(t)^xi(t)

+ X2(t),

y(t) = xi(t) + X2(t) = -j

X2(t).

(A40.3a,b)

Aus den Gin. (A40.3a, b) ergeben sich unmittelbar die Transformationsbeziehungen zwischen der (xj, X2) - und der (y, y) -Ebene zu Xi=y-\-Ty,

X2=-Ty.

(A40.4a, b)

Die Ursprungstrajektorien konnen nun beschrieben werden, indem man die Anfangswerte in den Gin. (A40.2a, b) zu Null setzt. Dann gilt im Bereich I mit u = UQ=-i-b gerade xi(0 = Kbt,

X2(0 =

-KbT{\-Q~^'^).

Nach Elimination der Zeit erhalt man als Ursprungstrajektorie X2(0 = / ( x j ) = -KbT(1 -e"""^ '^^^).

(A40.5a)

Im Bereich II folgt fur u = UQ=-b entsprechend X2(t) = f(xi) = +KbT(l-Q^'''^^^'^)

.

(A40.5b)

Der als Schaltlinienteil wirksame Ast der Ursprungstrajektorie fur u = UQ= + b gemaB Gl. (A40.5a) liegt im 2. Quadranten mit xj < 0 und X2 > 0 . Entsprechend liegt der wirksame Ast der Ursprungstrajektorie fiir u = UQ=-b gemaB Gl. (A40.5b) im 4. Quadranten mit Xj > 0 und X2 < 0. Die eigentliche Schaltkurve - wie aus Bild A40.1 leicht zu entnehmen ist - ergibt sich aus diesen beiden Asten, die zu einer einzigen Funktion zusammengefasst werden konnen. Man erhalt damit die Gleichung der Schaltkurve in der (xj, X2) -Ebene X2 = sgn(xi) KbT 1-e

sgn{x,){\x,/KbT\)'

= 5"(xi).

(A40.6)

404

ANHANG A: Aufgaben

Aus BildA40.1 ist ersichtlich, dass oberhalb bzw. rechts der Schaltkurve, also fiir xj > 5"{xi) Oder X2 -5"(xj) > 0 , die erste Schaltbedingung U = UQ =-b bzw. unterhalb bzw. links von 5" (xj), also ftir X2 < S' (xj) oder X2 - 5" (î) < 0 , die zweite Schaltbedingung uÛQ= + b gilt. Daraus resultiert als zeitoptimale Steuerflinktion in der (xj, X2) -Ebene u = -b sgn [X2 -5"(xi)].

(A40.7)

Mit den Transformationsbedingungen entsprechend den Gin. (A40.4a,b) erhalt man fiir die beiden Schaltkurvenanteile in der (y, y) -Ebene oder Phasenebene anhand der beiden Gin. (A40.5a,b) folgende Beziehungen: a) Fiir den Ast mit uÛQ=-\-b und >^ < 0 : y = Kb{\-Q-^y^^^^^^^^)

(A40.8a)

bzw. durch Logarithmieren und Auflosen y = -Ty-KbT

ln(\-y/Kb)

.

b) Fiir den Ast mit u = UQ=-b und

(A40.8b) y>0:

y = -Kb(l - Q^^y^Ty)IKbT^

(A40.9a)

bzw. durch Logarithmieren und Auflosen y = -Ty + KbT ln(l + ylKb).

(A40.9b)

Eine Zusammenfassung der Gin. (A40.8b) und (A40.9b) ergibt als Gleichung der Schaltkurve in der (y, y) -Ebene j ; = - r j + sgn(y) KbT\n{\ + sgn{y)\y\/Kb)

= S{y).

(A40.10)

Anhand der Voraussetzungen fiir die beiden Schaltkurventeile gemaB den Gin. (A40.8b) und (A40.9b) folgt fiir alle Trajektorien mit y>S{y) bzw. y<S{y)

Oder

y-S{y)>^ die Schaltbedingung

Oder

y-S{y) 1 .

(A42.28)

gilt. Aus dem voUstandigen Differential dF = xj dxj +X2 dx2 folgt die Ljapunow-Funktion

V{x) =

^{xl+xl).

V{x) ist mit der Gl. (A42.22) identisch und damit positiv defmit. Damit hat man eine Ljapunow-Funktion V{x) gefunden, die positiv defmit ist, deren zeitliche Ableitung jedoch ebenfalls positiv definit ist in einer Umgebung der Ruhelage. Damit ist die Instabilitat der Ruhelage (0,0) bewiesen.

Aufgabe 43 a) Ftir das im Bild A43.1 skizzierte nichtlineare Regelsystem soil fur a = 1 der „Stabilitatsgrenzwert" von p ftir alle im Sektor [a, P] zugelassenen Kennlinien mit Hilfe des Popov-Kriteriums gefunden werden.

ANHANG A: Aufgaben

412

Ui

^

\v ^ « \

^ m, -^

u

1

^ ^(5^+3>+3,5)

y

'

^

Bild A43.1. Blockschaltbild des nichtlinearen Regelsystems b) Fur den im Bild A43.2 gegebenen nichtlinearen Regelkreis soil der maximale Sektor K = A^max ' ^^ ^^^ ^^^ Regelkreis stabil ist, bestimmt werden. Dabei sollen fiir den nichtlinearen Block folgende Falle unterschieden werden: 1) u = F(e) ist eine beliebige nichtlineare Funktion im Sektor [0, K]; 2) u== Ke mit K = const, stellt eine lineare Kennlinie dar.

Bild A43.2. Blockschaltbild des Regelsystems in Teilaufgabe b) Der Frequenzgang des linearen Teilystems G(s) im Bild A43.2, der sich aus einer Reihenschaltung von zwei PT2S - Systemen ergibt, wurde punktweise ermittelt und ist in Tabelle 43,1 protokolliert. Zielsetzung: Stabilitatsuntersuchung mit dem Popov-Kriterium Theoretische Grundlagen: Kap. 3.8 Losung: a) Um das Popov-Kriterium anwenden zu konnen, muss zunachst der gegebene Sektor {a, /?] in den Sektor [0, K^ transformiert werden. Nach Gl. (3.8.2) erhalt man G\s)^

G{s) \ + aG{s)

1 s^ +3,5s^ +3,5s + a

(A43.1)

mit K^=a = \, K2=P,

K = p-a

.

(A43.2)

Fiir die Ubertragungsfunktion G\s) ist nun die in Gl. (3.8.7) defmierte Popov-Ortskurve G*(j^) = R e { G ' ( j ^ ) } + j ^ I m { G ' ( j ^ ) }

(A43.3)

Aufgabe 43

413

zu zeichnen, siehe BildA43.3. Das bedeutet eine Verformung der urspriinglichen Ortskurve G'(j) in Richtung der imaginaren Achse, da der Realteil unverandert bleibt und der Imaginarteil mit dem Faktor m multipliziert wird. Man erhalt mit Gl. (A43.1)

K krit -0.2

Popov- v^ Gerade \

Bild A43.3. Ortskurve G\](D) und Popov-Ortskurve G^{]m) sowie Popov-Gerade zur Ermittlung des Popov-Sektors fur das Regelsystem aus Aufgabe 43 a ^^(3,5-^^) a-3,5(0^ G*(j^) = .2^2 .2^2 ;T-J {a-3,5 (D^y +0)^X5-0)^) (a-3,5 0^)2 \ 2 +0)^(3,5-0)^) (A43.4) Vorgehensweise: 1. Man zeichnet die Popov-Ortskurve gemaB Gl. (A43.4) mit a = 1. 2. AnschlieBend legt man eine Tangente an die Popov-Ortskurve derart, dass der Schnittpunkt dieser Tangente mit der reellen Achse so nahe wie moglich am Ursprung der komplexen Ebene liegt. 3. Der Schnittpunkt der Tangente mit der reellen Achse hat den Wert ~-\lKj^j.^. Der zugehorige Popov-Sektor ergibt sich zu [O, Kj^^^jf] und muss eventuell zurlicktransformiert werden. Aus der Zeichnung entnimmt man den Wert 1 K krit

• - - 0 , 0 9 , d.h.

Kk,it^llM-

(A43.5)

Mit a = 1 ergibt sich der maximal mogliche Wert von j3 zu (A43.6)

414

ANHANG A: Aufgaben

Tabelle A43.1. Experimentell bestimmter Frequenzgang des linearen Teilsystems FREQUENZ

REALTEIL

IMAGINARTEIL

l.OOOOOOE-01

1.00114

-.622526E-02

1.00000

1.12703

-.778165E-01

1.20000

1.19269

-.104003

1.40000

1.27981

-.138906

1.60000

1.39573

-.187805

1.80000

1.55195

-.260318

2.00000

1.76700

-.375466

2.20000

2.07105

-.574894

2.30000

2.27016

-.733768

2.40000

2.50900

-.961905

2.50000

2.78990

-1.30299

2.55000

2.94285

-1.53576

2.60000

3.09758

-1.82893

2.65000

3.24251

-2.19885

2.70000

3.35580

-2.66575

2.75000

3.39883

-3.24920

2.80000

3.30830

-3.95754

2.85000

2.99372

-4.76475.

2.90000

2.35765

-5.57521

2.95000

1.36141

-6.20366

3.00000

.114546

-6.43417

3.05000

-1.12436

-6.16848

3.10000

-2,10057

-5.51368

3.20000

-3.00413

-3.87616

3.25000

-3.07575

-3.16844

3.30000

-3.01785

-2.58858

3.35000

-2.89303

-2.12651

3.40000

-2.73915

-1.76174

3.45000

-2.57736

-1.47360

3.50000

-2.41872

-1.24464

Aufgabe 43

415 Fortsetzung Tabelle A43.1. FREQUENZ

REALTEIL

IMAGINARTEIL

5.00000

-.674260

-.769726E-01

6.00000

-.444024

-.246825E-01

7.00000

-.341269

-.479489E-02

8.00000

-.294076

.784833E-02

9.00000

-.282917

.223609E-01

10.00000

-.311886

.526802E-01

10.5000

-.351400

.888652E-01

11.0000

-.418836

.173546

11.100

-.435567

.203396

11.200

-.452325

.240666

11.3000

-.467597

.287460

11.4000

-.478586

.346212

11.5000

-.480404

.419213

11.6000

-.465137

.507261

11.7000

-.421608

.606784

11.8000

-.338027

.705518

11.9000

-.210216

.780245

12.0000

-.525732E-01

.804402

12.1000

.102277

.766595

12.2000

.222859

.681067

12.3000

.297182

.575559

12.4000

.331472

.472821

12.5000

.338559

.384027

12.6000

.329893

.311743

12.7000

.313284

.254472

12.8000

.293398

.209497

12.9000

.272803

.174145

b) Die Losung erfolgt hierbei analog zur Vorgehensweise in Aufgabe 43 a. Es ergibt sich durch Ablesen aus Bild A43.4

ANHANG A: Aufgaben

416

PopovGerade

G*(j^)

Bild A43.4. Popov-Ortskurve und Popov-Gerade fiir Aufgabe 43b

K krit

• = -l,17 Oder ^^^,-^=0,565.

(A43.7)

Damit liefert im Falle 1 jede nichtlineare Kennlinie u = F(e) im Sektor [0, Kj^j^jf] asymptotisch stabiles Verhalten des Regelkreises. Hinweis: Da der maximale Sektor bei ^ = 0 beginnt (siehe Aufgabenstellung), ist keine Sektortransformation notwendig {G\}CD) = G(}0))). Weiterhin lasst sich aus der Popov-Ortskurve als Schnittpunkt derselben mit der reellen Achse der Wert 1 (A43.8) -0,323 Oder KH=3,1 KH ablesen. Dieser Wert kennzeichnet den Hurwitz-Sektor. Dieser ist groBer als der Wert von Kj^jîf. Da es sich im Falle 2 aber urn einen linearen Regelkreis handelt, ist die Stabilitat des Regelkreises bis zum maximalen Wert ^ n

= KH=3^

gewahrleistet.

417

ANHANG B: Rechnen mit Vektoren und Matrizen Bl. Ableiten von Vektoren und Matrizen nach Skalaren und Vektoren Dimensionen: ^G9^^"^ / G 9 ^ , Me^'""',

/ ? e ^ " " ^ , t^^,

we9^"^"^ xGî'^"^

1) Vektoren nach Skalaren: komponentenweise, Dimension bleibt erhalten

6x{t)

2) Matrizen nach Skalaren: komponentenweise, Dimension bleibt erhalten

d^

&t ^ '^

da11 dt

dt

da^ dt

dt

3) Skalare nach Vektoren

9/ = V/ = du

9/ dui

df

= vV =

df du„

Hinweis: Der Gradientenvektor df I du wird in der Literatur sowohl als Spaltenvektor als auch Zeilenvektor defmiert. Die hier verwendete Definition als Spaltenvektor hat den Vorteil, dass sie direkt auf Ableitungen nach Matrizen gemaB (6) erweitert werden kann. 4) Vektoren nach Vektoren

Jacobi-Matrix

dx

dxi dui

dxi

dui

du^

dXy,

418


dxi Gradienten-Matrix

du

dui

dui

dxi

dx^

du^

du^

Hinweis: Wird der Gradientenvektor als Zeilenvektor defmiert, wird flir die JacobiMatrix dxidu geschrieben.

a)

du

Ir

= I„

du

b) —{x^Ru) dx

= -—Ru dx

= Ru,

— (x^Ru) = (x^Rf du Ftir Rem"'''"'

I - R^x .

folgtdaraus

— (u^Ru) = Ru + Rû = (R + R^)u . du T

1st R symmetrisch, R = R

, gilt fiir den letzten Ausdruck

— (u^Ru) = (R + R^)u = IRu . du (Siehe auch Rechenregel 4 unten.) 5) Matrizen nach Vektoren dA dA

dA

dA

dA_

du^

dui

du^

du

dui ~dA du^

6) Matrizen nach Matrizen (beinhaltet (1) bis (5) als Spezialfalle, sofem der Gradientenvektor als Spaltenvektor defmiert wird).

dmii

dA dmIs

dA

dA

dmr\

dm re

dA dA dM

B1. Ableiten von Vektoren und Matrizen nach Skalaren und Vektoren

419

Allgemein gilt: DA

dA'

DM Rechenregeln 1. Regel (Skalarprodukt) Ftir a{p) = g^p = p^g

gilt:

- ^ = — (g^P) = — (P^g) = g • op op op Beweis: g,p

G^^""^

^ = glPl+g2P2+

da

••• -^gnPn îglPl'^'-' dpi

dpi da

+ gnPn) g\ gl

^Pl

^Pl da

-^-ig\P\'^---+gnPn) ^Pn

^Pn

2. Regel („Produktregel") Filr b(p) = i^(p)k(p)

gilt:

— KP) = ^(^ op Beweis:

(P) KP)) = —^

op

KP)

op

+

^

KP)

•

op

/, ^ G 9 l ^ " ^ / ; G 9 ^ ^ ^ 1

KP) = Kpf" KP) " db db_ dp

dpi db dp2 db _^Pn_

= h (P) h (P) + h (P) ^2 (/^) + • • • + ht (P) Kt (P)

dpx

dpi

dpi

dpi

dpi

= dp2

dp2

dp2

dp2

dp2

^ ki + —— ^2 + • •. + —m^ Ki + h ~~^ +••• + /„ 9Pn ^Pn

dp^

420


dii dpi dii

di2 dpi di2

^1

dp2

dp2

^Pl

^Pl \k2 k

îm ^Pn\

dCip)

dki dpi dki

dk2 dpi dk2

dpi

+ dp2

dp2

dP2

dki

^^2

^Pn

^Pn dk^(p) dp

k{p)

dp

SPn i(p) .

3. Kegel Fur i{p) = Ap

gilt:

^ = A 5/7*

und

dijp)

^ ^ dp

= A'

dp\

Beweis: Aedl""""', p eiR"''^' ^12 •••

ail

Pi

^11^+^12/^2+

Pm

^n\P\ + ^nlPl

ai„

•••+^lmPm

KP) = l^nl diip) dp''

^nl

[ail

••• ^

•••

^\m\ = A.

[_^n\

• • • ^nm J

4. Regel (Quadratische Form) Fiir a{p) = pÂp

mit . 4 G 9 ^ " ' ^ " ' gilt:

—- = {A + dp

A')p.

Beweis: Mit i{p) = Ip

und k{p) = Ap

ist a{p) =

i^{p)k{p).

Aus Regel 3 folgen ^ = 1 und ^ = ^^ dp dp Damit gilt nach Regel 2 5a dp

= lApÂ'

lp =

(AÂ')p.

+ • • • + ^nmPm.

B4. Determinanten

421

5. Kegel („Kettenregel") dp

dp

dg

B2. Transposition einer Matrix 1)

(A^)^=A

2) (A + Bf 3) (AB)

=A^+B^ =B A

(^gilt auch beim Skalarprodukt zweier gleichdimensionaler Vekto-

ren: x y = y x,

(xy

) =yx

, (Ax)

y = x (A

y)).

B3. Spur einer Matrix n

n

1) sp(v4) = ^ î {A) = ^ Uji; aji = Diagonalelement von A; A^ (A) == Eigenwert von A 2) sp(.4 + ^ ) = s p ^ + s p ^ 3) spiA^) = spA 4) s p ( ^ ^ ) = sp(BA) = sp(ABf

= sp(BÂ^)

5) s p ( ^ ^ ^ ) = 0 ^ = 0 T

6) sp(Baa

T

) = a Ba .

B4. Determinanten 1) det (AB) = det A dQt B = dQt(BA) fur A, B quadratisch Hinweis: Es gibt auch die Schreibweise det v4 = |y4|. 2) ^ E 9 i ^ " " a)det(^^) = A:''det^ b)det(-y4) = ( - l f d e t ^ 3) dQt(A^) = dQtA


422 4) Spezielle Struktur der Matrix: A

det

b~

T

c

= (det A) (a-c'Â~^b)

= a det ^ -c^(adj A)b

a T

= a dQt A-b (cof A)c ._l adj ^ (cof ^ ) ^ / r ^ • u c ix — (cof A siehe 5.1). mit A = —-— = -^^ det ^ det ^ Beweis: Setze M =

r

I

0"

und TV =

~A cT

b a

Dann gilt A

det(.MN) = det

b

T T +C —C
0

2) Q = M^PM = e ^ > 0 fiir alle regularen M. 3) P

•{P~^f

>0

4) Streicht man in P die /-te Zeile und die z-te Spalte, so erhalt man P = P^ >0 . 5) PiiPjj-Py

>0.

6) Eine positiv definite Matrix P kann immer als P = SS^ faktorisiert werden. Gilt: P = SiSi

= S2S2 •>

dann existiert ein T, so dass 5 1 = ^ 2 ^ und T T^ =1 erfiillt ist.

B9. Defmitheit von Matrizen

429

Mochte man S als eine untere Dreiecksmatrix bestimmen, so kann der rekursive Algorithmus (Cholesky-Faktorisierung) For 7 = 1 , ...,

n-l

^kj = Pkj/^jj

fur ^ = 7 + 1, ..., n ik = j + l, ... , n

Pik =Pik-îj^kj

fur

Nexty ^nn

'SI Pnn

angewendet werden [Bie77].

.

431

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Sachverzeichnis

Abbildung - s-Ebene in die z-Ebene 135 - z-Ebene in die w-Ebene 137 Absolute Stabilitat 242 - Definition 243 Abtaster 106 - Delta-Abtaster 106 Abtastfrequenz 139 Abtastregelkreis 102, 108 Abtastsignal 101, 102, 107, 108 - Darstellung als Pseudofunktion 107, 109 - Darstellung als Zahlenfolge 101, 102 - Darstellung durch Kronecker-DeltaFolge 105 -Pseudofunktion 106 - Spektraldichte eines 141 - spektrale Darstellung 139 Abtastsystem 101 Abtasttheorem von Shannon 142 Abtastzeit 102 - Wahl der Abtastzeit 142 Ahnlichkeitstransformation 35, 36 Aiserman Verfahren 233, 237 Aisermansche Vermutung 241,247 Amplitudendichtespektrum 141 Amplitudengang - eines nichtlinearen Ubertragungsgliedes 192 Amplitudenquantisierung 102 Analog-Digital-Umsetzer 106 Analogie, s-Ebene/z-Ebene 132 Arbeitsbewegung 180, 182, 184, 190, 207 - doppelte Schwingungsamplitude 181 - mit Zweipunktregler 180 - Schwingungsdauer 181 Asymptotische Stabilitat 201, 222, 224, 229,231 -global 131,224,229

- im GroBen 228 - im Kleinen 227 Ausgangsgleichung 4 Ausgangsmatrix 4 Ausgangssteuerbarkeit 49 Ausgangsvektor 4 - diskreter Systeme 164 Ausregelzeit - minimale 153 Autonomes System 4, 223

B Begleitmatrix 23 Beobachtbarkeit 45, 46, 50, 55, 58, 172 - diskreter Systeme 172 - EingroBensysteme 50 - MehrgroBensysteme 50 Beobachtbarkeitsbedingung nach Kalman 50,98 Beobachtbarkeitsmatrix 50 Beobachter 63, 81, 82 -Identitats- 81,82,89,92 - reduzierter 97 Beobachtungsgleichung 4 Beobachtungsmatrix 4 - diskreter Systeme 164 Beobachtungsnormalform 25 Beschreibungsflinktion 190, 191, 192, 193 - analytische Losung 199 - Berechnung 194 - grafische Losung 200 - Ortskurve 195 Bewertungsmatrix 63 Blockdiagonalmatrix 39 Blockdiagonalstruktur 33 Bruckenschaltung - selbsttatig abgleichende 185

Cayley-Hamilton Satz 15,16

440

Sachverzeichnis

Charakteristische Gleichung 15, 137 - des geschlossenen Regelkreises 64 - diskreter Systeme 172 Charakteristisches Polynom 15,16

D Dauerschwingung 190, 191, 199, 200, 201, 202, 203, 205 DDC-Betrieb 102 Deadbeat response 150 Deadbeat-Regelkreisentwurf 150, 156 Deadbeat-Regler 154, 155 - Eigenschaften 154 - fur asymptotisch stabile Regelstrecken 152 Defmit 225 - negativ 226 - positiv 225 Diagonalform 27, 28, 29, 32, 33, 36 Differentialgleichung - numerische Losung mittels EulerVerfahren 104 Differentialquotienten 104 Differenzengleichung 103, 105, 117, 131 - allgemeine Form 105 - Ausgangsfolge 105 - Eingangsfolge 105 - rekursive Form 105 Differenzenquotienten 104 Digital-Analog Umsetzer 103 Digitale Regeiung 102,143 Digitaler Regler 108 - Einstellregeln von Takahashi 144 - Optimierung 144 Dirac-Impuls 120 Diskrete Kompensationsalgorithmen 146 - Vor- und Nachteile 164 Diskrete Systemdarstellung 103 -exakte 108 - kontinuierlicher Systeme 119 Diskreter Impuls 105 Diskretes System - Ausgangsvektor 164 - Beobachtbarkeit 172 - Beobachtungsmatrix 164

- charakteristische Gleichung 172 - Durchgangsmatrix 164 - Eingangsvektor 164 - Frequenzgang 142 - Fundamentalmatrix 169 - Regelungsnormalform 165 -Stabilitat 131, 137 - Steuerbarkeit 172 - Steuermatrix 164 - Steuervektor 164 - Systemmatrix 164 - Ubergangsmatrix (siehe Fundamentalmatrix) 169 - Ubertragungsmatrix 170 - Zustandsraumdarstellung 164 - Zustandsvektor 164 Diskretes Ubertragungssystem 103, 108 Diskretisierung 103 Doppelintegrales Verhalten 217 Dreipunktglied 200 Dreipunktregler 178, 184, 185, 186, 189, 190 - mit Riickfiihrung 186 - mit verzogerter Riickfiihrung 186, 18 Duale Systemeigenschaften 51 Durchgangsmatrix 4 - diskreter Systeme 164 Dynamischer Regelfaktor 96

E Ebene - komplexe 195 Eigenbewegung 7, 42 Eigendynamik - des geschlossenen Regelsystems 61 Eigenvektoren 37 - verallgemeinerte 41 Eigenvektorgleichung 37 Eigenverhalten 11 - des geschlossenen Regelsystems 61 - Differentialgleichung 4 Eigenwerte 15 Eigenwertgleichung 15 Eingangsmatrix 4 Eingangsvektor 3

Sachverzeichnis

- diskreter Systeme 164 EingroBensystem 3 - Beobachtbarkeit 50 - Steuerbarkeit 47 Einheitskreis - der z-Ebene 132 Einstellregeln von Takahashi - fiir diskrete Regler 144 Einzugsbereich 224 Energie 225 Energieflinktion 227 Entwicklungssatz von Sylvester 20 Ersatzfrequenzgang 192 Euklidische Norm 224 Euler-Verfahren - Numerische Integration 127

Faltungsintegral 106 Faltungssatz der z-Transformation 114, 118 Faltungssumme 106,114,118 Feldbaumscher Satz 221 Fourier - Koeffizienten 192 -Reihe 190 Frequenzbereichsdarstellung von Abtastsystemen 117 Frequenzgang - diskreter 139 - eines diskreten Systems 142 Frobenius-Form 22 Flihrungsiibertragungsfunktion - diskrete 146 Fiihrungsvektor 56 Fiihrungsverhalten 156 Fundamentalmatrix 6, 7 - Berechnung 12, 15 - des modalen Systems 42 - diskreter Systeme 169 - Eigenschaften 9 - Spektraldarstellung 44

Gesamtiibertragungsfunktion 128

441

Geschwindigkeitsalgorithmus 144 Gewichtsfolge 105, 132 Gewichtsmatrix 10 Grenzfrequenz 141 Grenzschwingung 190, 200, 207 -instabile 201 - semistabile 202 - stabile 201, 203 Grenzstabil 222 Grenzzyklen 207 -stabile 216 Grundschwingung 190 Gutekriterium - quadratisches 62

H Halteglied 103, 106, 119 - erster Ordnung 107, 121 - nullter Ordnung 107,121 Harmonische Balance 191 -Gleichung 199 Harmonische Linearisierung -Methode 190 Hauptvektoren siehe Eigenvektoren Hintereinanderschaltung 118 Hurwitz-Sektor 240, 246, 250

I I2-Verhalten 217 Identitatsbeobachter - vollstandiger 82 Impuls - Delta-Impuls 106 Innere Rtickftihrung 186 Instabil 222 Instabiles Teilsystem 54 Instabilitat 54 - praktische 227 -totale 230 Inverse z-Transformation 114 - Partialbruchzerlegung 115 - Potenzreihenentwicklung 114 - Residuensatz 116 - Umkehrintegral 116

442

Sachverzeichnis

I-Verhalten U

Jordan-Block 39, 45 Jordanform 27 Jordan-Matrix 32, 40 Jordan-Normalform 27, 29, 31, 32, 33, 39

K Kanonische Formen 34 Kanonische Transformationen - Anwendung 42 Kennlinien - eindeutige 193 - mehrdeutige 193 - Sektor nichtlinearer 239, 242 Knotenpunkt 207 Kompensation - von Polen und Nullstellen auBerhalb des Einheitskreises 149 Komplexe Ebene 195 Komplexe Zustandsraumdarstellung 32, 33 Koordinatentransformation 35 Kriechvorgang 213 Kriterium - von Nyquist 246 - von Popov 244 - Anwendung 248 - von Sylvester 227, 239 Kronecker-Delta-Folge 105

Laplace-Transformation 140 -diskrete 110 - einer Impulsfolge 110 - eines Abtastsignals 107 Laurent-Reihe 110 Linearisierung - Methode der harmonischen L. 176, 190 Linearitat - von Abtastsystemen 103 Ljapunow - Gleichung 232 - Stabilitatssatze 227

- Stabilitatstheorie 222 - zweite Methode 176 Ljapunow-Funktion 227 - Ermittlung geeigneter 232 - Ermittlung nach Aiserman 233, 237 - Ermittlung nach Schultz-Gibson 233

M Matrix - Ausgangs- 4 -Begleit- 23 - Beobachtbarkeits- 58 - Beobachtungs- 4 - Beobachtungsmatrix diskreter Systeme 164 - Bewertungs- 63 - Blockdiagonal- 39 - des Vorfilters 60 - Durchgangs- 4 - diskreter Systeme 164 - dyadisches Produkt 44 - Eingangs- 4 - Fundamental- 6 - Gewichts- 10 - Inversion 12 - Jordan- 32 - maximaler Rang 49 -Regler- 56,95 - Rosenbrock- 14,15 -Ruckfuhr- 56 - Steuer- 4 - diskreter Systeme 164 - Steuerbarkeits- 58, 78 - System- 4, 71 - diskreter Systeme 164 - Transformations- 35 - Ubergangs- 7 - Ubertragungs- 13, 52, 61 - diskreter Systeme 170 - Verstarkungs- 56 Maximumprinzip 221 MehrgroBensystem 3 - Beobachtbarkeit 50 - Steuerbarkeit 47

Sachverzeichnis

443

Methode - der harmonischen Linearisierung 176, 190 - der Phasenebene 176 - zweite M. von Ljapunow 176 Minimalrealisiemng 29 Mittelwert - der Regelabweichung 182 - des Reglerausgangssignals 187 Modale - Regelung 62 - Zustandsdarstellung 42 - ZustandsgroBen 42 Modelliibertragungsflinktion 147, 151 Modulator 107

N Nachlaufregelung 184 Nachlaufwerk 185 Negativ - defmit 226 - semidefinit 226 Nichtlineare Kennlinien - Sektor 239, 242 Nichtlineare Systemkennlinie 173 - asymmetrische 173 - unsymmetrisch 178 Nichtlinearitaten 173 - gewollte 173 - ungewollte 173 Normalformen 34 - der Zustandsraumdarstellung 21 Numerische Integration - Rechteck-Integration 127 - Trapezregel 128 Nyquist-Kriterium 246

o Optimierung - digitaler Regler 144 - mit Nebenbedingungen 221 -Parameter- 221 - Struktur- 221 Ortskurve

• der Beschreibungsftinktion 195 •Popov- 245

Parallelschaltung 118 Parameteroptimierung 221 Partialbruchzerlegung 123 - zur inversen z-Transformation 115 PD-Glied 212 Phasenbahn 204, 205, 211, 212, 215, 217 Phasenebene 203 Phasengang 192 - eines nichtlinearen Elementes 192 Phasenportrat 205, 208 PID-Algorithmus 143 Pol-/Nullstellen-Anpassungsverfahren 128 Polvorgabe 61, 64 - bei EingroBensystemen 74 - fiir geschlossenes System 61 Popov -Gerade 245 - kritische - 246 -Kriterium 241,244 - Anwendung 248 - Ortskurve 245 - Sektor 246 - Ungleichung 244, 245 Positionsalgorithmus 144 Positiv -defmit 225,226,227,231 - semidefmit 225, 226 Potenzreihenentwicklung - zur inversen z-Transformation 114 Prozessrechner 101, 102, 143 PTi-Glied 187,200,202 PTpRegelstrecke 202 PTiTt-Regelstrecke 178 PT2-Glied 203 PT2-Regelstrecke 203 PT3-Glied 200 PT,rGlied 202

Quadratische Form 226

444

Sachverzeichnis

Quadratisches Giitekriterium 62, 146 Quantisierung 103, 146 Quantisierungsrauschen 145 Quantisierungsstufe 103, 145 Quasistetiger - Regelalgorithmus 144 -Regler 186

R Rattern 213 Reaktion - erzwungene 7 - freie 7 Regelabweichung -mittlere 182 Regelalgorithmus 103 - Geschwindigkeitsalgorithmus 144 - Kompensationsalgorithmus 146 - Positionsalgorithmus 144 - quasistetiger 144 - Stellungsalgorithmus 144 - Synthese diskreter Regelalgorithmen 146 Regelfaktor 96 Regelkreis mit endlicher Einstellzeit 150 Regelstrecke -mitTotzeit 147 -PTiTf 178 Regelung - suboptimale 220 - zeitoptimale 217 Regelungsnormalform 22,74, 165 - diskreter Systeme 167 Regler -Deadbeat 156 -Dreipunkt- 178 -Matrix 56,95 -PD- 186 -PI- 186 -PID- 186 - quasistetiger 186 - Zweipunkt- 178 Reglersynthese - modale Regelung 62 - Polvorgabe (geschlossenes System) 61

- Verfahren 61 Rekonstruktionsfehler 83 Relaisregelsysteme 209 Relaissysteme 185 Residuenmethode 124 Residuensatz - der inversen z-Transformation 116 Rosenbrock-Matrix 14, 15 Rtickfiihrung - des Ausgangsvektors 57, 59 - des Zustandsvektors 57, 58 - innere 186 Rtickfiihrvektor 75 - Elemente des 75

Sattelpunkt 207 Satz von Cayley-Hamilton 15 Schaltflache 221 Schaltgerade 211 Schaltlinie 211 - gebrochene 214 Schatzfehler 83 Schnelligkeitsoptimal 217 Schultz-Gibson-Verfahren 233 Schwingung -Dauer- 190 -Grenz- 190 -Grund- 190 Schwingungsamplitude - doppelte der Arbeitsbewegung 181 Schwingungsdauer - der Arbeitsbewegung 181 Seitenbander 141 Sektor nichtlinearer Kennlinien 239, 242 Semidefmit 225 - negativ 226 -positiv 225 Separationsprinzip 96 Shannonsches Abtasttheorem 142 Spektraldichte - eines Abtastsignals 141 - Funktion 141 Spektrale Darstellung von Abtastsignalen 139

Sachverzeichnis

Spektrum - Amplitudendichte- 141 -Teil- 141 - tiefpassbegrenzt 141 Stabil - asymptotisch 222 - grenz- 222 - instabil 222 Stabilisierbarkeit 63 Stabilitat 16, 131 - absolute 242 -Definition 243 - asymptotische 201,222,224 - globale 224, 229 - im GroBen 228 - im Kleinen 227 - der Bewegung 222 - der Ruhelage 223 - diskreter Systeme 131 - einfache 223 Stabilitatsbedingung in der z-Ebene 132 Stabilitatskriterium - fiir diskrete Systeme 137 - Hurwitz-Kriterium 137 - Jury-Kriterium 137 - Routh-Kriterium 137 - Schur-Cohn-Kriterium 137 -von Popov 241, 244 Stabilitatssatze von Ljapunow 227 Stabilitatstheorie nach Ljapunow 222 Stabilitatsverhalten des geschlossenen Regelkreises 58 Stellungsalgorithmus 144 Stellvektor - optimaler 62 Stellverhalten 153, 154 Steuerbarkeit 45, 46, 58, 66 - der AusgangsgroBe 49 - diskreter Systeme 172 - eines EingroBensystems 47 - eines MehrgroBensystems 47 Steuerbarkeitsbedingung nach Kalman 48 Steuerbarkeitsmatrix 58, 78 Steuermatrix 4 - diskreter Systeme 164

445

Steuervektor 3 - diskreter Systeme 164 Storungsiibertragungsfunktion 157 Storverhalten 157 Strudelpunkt 207 Strukturen - von Abtastsystemen 129 Strukturoptimierung 221 Suboptimale Regelung 220 Sylvester - Kriterium von 227,239 Synthese - diskreter Regelalgorithmen 146 - durch Polvorgabe 64 System - autonomes 4 - EingroBen 3 - kontinuierliches (Umwandlung in diskretes) 119 - Matrix 4, 52 - MehrgroBen- 3 - sprungfahiges 4 - zeitvariantes 4 - Zustandsraumdarstellung lineares 3 - zweiter Ordnung 1,203 Systemeigenschaften - duale 51 Systemkennlinie 173 Systemmatrix - diskreter Systeme 164

Teilspektrum 141 Tiefpassfilter 141 Totzeit 122,247 -diskrete 147 - Regelstrecke mit 147 - vektorielle 164 Trajektorie 204 Transformation der Zustandsgleichungen 34 Transformationsmatrix 35 Tustin-Formel 127, 143

446

Sachverzeichnis

u Ubergangsfolge 121 Ubergangsfunktion 121 Ubergangsmatrix 7 Uberlagerungsprinzip 173 UbertragungsfUnktion 114 - diskreter Systeme 117 Ubertragungsmatrix 13, 52, 61 - diskreter Systeme 170 Umformung eines kontinuierlichen Systems in diskrete Form - exakte 122 - Pol-/Nullstellen-Anpassung 128 Umkehrintegral der z-Transformation 116

Variationsproblem 221 Vektoren - Ausgangs- diskreter Systeme 164 - Eigen- 37 - verallgemeinerte 40 - Eingangs- 3 - diskreter Systeme 164 - Fiihrungs- 56 - Haupt- siehe Eigenvektoren - lineare Abhangigkeit/Unabhangigkeit - Definition 37 -Ruckfiihr- 75 - Elemente der 75 - Stell- (optimaler) 62 - Steuer- 3 - diskreter Systeme 164 - Zustands- 1, 3 - diskreter Systeme 164 Vektorgleichung - Eigen- 37 Verstarkungsfaktor von z-Ubertragungsfunktionen 119 Vorfilter 56, 157 - Berechnung 60 -Entwurf 159 - Matrix 60

w w-Ebene 137 - Abbildung der z-Ebene in die 137 Wirbelpunkt 207 w-Transformation 137

Zahlenfolge 101, 102 z-Ebene -Abbildung 134 - in die w-Ebene 137 - s-Ebene in die 134 - Analogie zwischen s-Ebene und 132 - Einheitskreis 132 - s-Ebene in die 132 Zeitdiskretes -Signal 101 - System 101 Zeitkodierung von Zustandskurven 206 Zeitoptimale Regelung 217 Zeitvariante Systeme 4 z-Transformation 106,119,121 - Ahnlichkeitssatz 113 - Anfangs- und Endsatze 114 - approximierte 126 -Definition 109 - Differenzenbildung 113 - Eigenschaften der 113 - Faltungssatz 114 - inverse 114 - Partialbruchzerlegung 115 - Potenzreihenentwicklung 114 - Residuensatz 116 - Umkehrintegral 116 - Summierung der 113 - Uberlagerungssatz 113 - Verschiebungssatz 113 z-Transformierte 109 z-Ubertragungsfunktion 114, 119, 120, 122, 126, 127, 128, 130, 131, 133 - des diskreten Systems 118 - kontinuierlicher Systeme 119 - kontinuierlicher Systeme, approximierte 126

Sachverzeichnis

- kontinuierlicher Systeme, exakte 122 - kontinuierlicher Systeme, von Systemen mitTotzeit 122 - Verstarkungsfaktor der 119 Zustands- Gleichung - Losung im Frequenzbereich 11 -GroBen 1 - modale 42 - Kurve - Eigenschaften 206 ~ singulare Punkte 207 - Zeitkodierung 206 - Raumdarstellung 1, 222 - diskreter Systeme 164 - komplexe 32, 33 - linearer Systeme 3 - modale 42 - Normalform der 21 - Zusammenhang zwischen kontinuierlicher und diskreter 170 - Vektor - diskreter Systeme 164

447

Zustandsdarstellung 5, 33 Zustandsebene 203 Zustandsgleichung 4 ZustandsgroBenregelung 61 Zustandskurve 204 Zustandsraum 1 Zustandsregler 64 Zustandsrekonstruktion 81 Zustandsvektor 1,3, 222 Zweiortskurvenverfahren 200 Zweipunktglied 194 - mit Hysterese 195 Zweipunktregler 178 - Arbeitsbewegung eines 180 - mit Hysterese 213 - mit Riickiuhrung 186 - mit verzogert nachgebender Ruckfiihrung 186, 188 - mit verzogerter Rtickfiihrung 187 - ohne Hysterese 209

Regelungstechnik 2, 9.Auflage GERMAN

Regelungstechnik I - 6.Auflage GERMAN

Regelungstechnik. Eine Einfuhrung GERMAN

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Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme. Digitale Regelung, 4.Auflage GERMAN

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