Quadratische Formen (Springer-Lehrbuch Masterclass)

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Kneser Quadratische Formen

Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Tokio

Martin Kneser

Quadratische Formen Neu bearbeitet und herausgegeben in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau

Springer

Professor Dr. Martin Kneser Guldenhagen 5 37085 Gottingen, Deutschland

Professor Dr. Rudolf Scharlau Universitat Dortmund Fachbereich Mathematik 44221 Dortmund, Deutschland e-mail : [email protected]

Die Deutsch e Bibliothek - CIP-Einh eitsaufn ahm e Kneser,Martin:

Quadratische Formen I Martin Kneser, Neu bearb. und hrsg . in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau.· Berlin ; Heidelberg ; New York; Barcelona ; Hongkong; London; Mailand; Paris; Toki o: Springer. 20 02 ISBN3-540-64650'7

Mathematics Subject Classification (2000): 11-02, 11E04,l1E81 ,l1E88.11E08, 11E12, 11E57, 11E41. 11H55

ISBN 3-540-64650-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadur ch begrilndeten Rechte, insbeso nde re die der Ubersetzung , des Nachdrucks, de s Vor tra gs. der Entnahme von Abbildung en und Tabellen, der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der Ver vielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben , auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes od ervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965in der jeweils geltend en Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratb estimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Sprin ger. Verlag Berlin Heidelberg NewYork ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www .springer.de CO Springer. Verlag Berlin Heidelberg 2002 Print ed in Germany Die Wiedergabe von Geb rauchsna men, Hand elsnarnen , Warenbezeichnungen usw.in diesem Werk b erechtigt auch ohne besondere Kenn zeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenz eich en· und Markens chutz -Geselzgebung als frei zu betrachten waren und dah er von jede rmann benut zt werden durften . Einbandgestaltung: design e-produaion, Heidelberg Satz: Datenerstellung durch R.Scharl au unter Verwendung von ~1EX Gedruc kt auf saurefreiern Papier SPIN 10683216

44/3142ck-5 4 3 2 1 0

Einleitung Zu den altesten und wichtigsten Problemen der Zahlentheorie gehort die Losung diophantischer Gleichungen, also algebraischer Gleichungen in ganz en (oder rationalen) Zahl en. Nach relativ einfach zu behandelnden linear en Gleichungen (oder allgemeiner Systemen) liegt es nahe, quadrat ische Gleichungen zu betracht en, insbesondere Gleichun gen der Gestalt

wo f( X l , . . . ,xn )

=

L

a ij Xi X j

l ::;i ,j ::;n

eine quadratische Form mit ganzen Koeffizient en a ij ist . Mit solchen Problemen wollen wir uns in dieser Vorlesung beschaftigen , Die erste n wesentlichen Er gebnisse hierzu stammen von Ferm at (1601 - 1665), iiberwiegend allerdings ohne Beweise, die erst gut 100 J ahre spater von Eul er und Lagrange geliefert wur den, darunter z.B. die Darstellung natiirlicher Zahlen als Summen von zwei bzw. vier ganz en Quadraten. Weitere Er gebnisse stammen von Gauss (Summen von drei Quadraten) und J acobi (Anzahl der Dar stellungen als Summen von vier Quadraten). Wichti ge For tschritte auf dem Gebiet der quadratischen P robleme verda nken wir dann Hermann Minkowski. Im Jahr 1881 hatte die Pariser Akademie als Preisth ema das Problem der Zerlegung ganzer Zahlen in eine Summ e von funf Quad raten gest ellt, ohne zu bemerken, daB der angesehene englische Mathematiker Henr y J .S. Smith bereits 1868 in den P roceedings of the Royal Society of London einen wesentlichen Beitrag zur Losung des Problems veroffent licht hatte. Minkowski geht in seiner (als siebzehnjahriger Student geschriebenen!) Preisarbeit weit tiber das gestellte Thema hinaus und erhalt - wie auch Smith- den vollen Preis zuerkannt, obwohl seine Arb eit aus Zeitnot nicht wie verlangt in franz osischer Sprache abgefasst war. Mit der Preisarbeit und der bald danach in Konigsberg vorgelegten Inaugur aldissertation hat Minkowski die T heorie der ganzzahligen quadratischen Formen in beliebig vielen Variablen begriindet . Doch zurii ck zu unserer Gleichung (*). Notwendig fiir ihre Losbark eit ist es offenbar , daf die entsprechende Kongruenz

fiir jeden Modul m eine Losung besit zt , und daB t das richtige Vorzeichen hat , falls f definit ist . Man che der erwahnten klassischen Resultat e besagen gerade, daf diese Bedingungen in den behand elten Fallen auch hinreichend sind . Das ist ab er durchau s nicht immer so. Hier war es Helmut Hasse, der

VI

Einleitung

1921 in seiner Dissertati on bemerkte, daf man zweckma lligerweise die Henselschen p-adischen Zahlen Qp heranzieht und zunachst auf Ganzzahligkeit verzichtet . Er beweist dann den "Sat z von Minkowski und Hasse", wonach die Gleichun g (*) genau dann in rationalen Zahlen Q losbar ist , wenn sie es flir jede Primzahl p in Qp und auBerdem in den reellen Zahlen lR ist. Die entsprechende Aussage mit Forderung der Gan zzahligkeit , also mit Z statt Q und den ganzen p-adischen Zahlen Z p st at t Qp , ist , wie schon gesagt, nicht allgemein richtig , da die Losbarkeit der Kongruenz (**) fur alle Moduln m gleichbedeutend ist mit der Losbarkeit der Gleichung (*) in Zp fur alle Primzahl en p. An die Stelle dieser Aussage tri tt der schwierigere aber fund am entale "Satz von Minkowski und Siegel" aus dem J ah r 1935, fur dessen Formuli erun g hier auf Kapitel X verwiesen sei. Sein Beweis (mit Hilfe von Adelen und Haarschem MaB) ist eines der Haup tziele dieser Ausarbeit ung, die grob gespro chen aus zwei Teilen besteht : Einem algebraischen (Ka p. I - V) , in dem der Grundring allgemein oder nur durch st rukt urelle Vorgaben eingeschrankt ist , und einem arit hmet ischen (Kap. VI - X) mit Grundring Z bzw. Q. Wahrend wir in diesem zweiten Teil darauf verzichten, allgemeinere Grundringe, etwa algebraische Zahlkorper zu betracht en, hab en wir im erst en Teil dar auf geachte t, die Voraussetzungen so allgemein zu halte n, wie dies ohne Komplikationen moglich ist. Insbesondere hab en wir ste ts versucht , den Fall der Char akteristik 2 mit einzubeziehen , was sich gelegentlich, z.B. bei dyadischen Rechnung en auszahlt . SchlieBlich verwenden wir wie Ernst Wit t in seiner Habilitationsschrift von 1936 die geomet rische Sprache und betrachten quad ratische Formen als Funk tionen auf Moduln, die zwar mit symmetrischen Bilinearformen eng zusammenha ngen, in Char akteristik 2 aber durchaus von ihnen verschieden sind (§§ 1, 2). Aus dem hier skizzierten Gebiet der Arit hmetik quadratischer Formen hab e ich mehrfach Vorlesungen gehalt en. Ein e von diesen wurd e 1973/74 ausgearbeitet, spar er durch Anmerkungen historis cher oder sachlich-erga nzender Art erweite rt un d im einzelnen ilberarb eitet . GroBer Verdi enst am Zustandekommen der jetzt vorliegenden Neufassung gebilhrt Herrn Rud olf Scharl au , der mich tatkraftig unterstutzt hat und dem ich herzlich daftir danke. Mein Dank gilt dem Springer-Verlag nicht nur fiir seine gewohnt hervorr agende Arbeit, sondern auch fur die erwiesene groBe Geduld. SchlieBlich ein personl iches Wort. Es ist ziemlich gena u 50 J ahre her , daf ich als junger Assistent nach Munster kam, bald an Eichlers Seminar teilna hm, wo gerade die neuest en Ergebnisse aus seinem Buch Quadratische Form en un d orthogonale Gruppen besprochen wurd en. Da ich im Institut mein Arbeits zimmer mit Eichler teilte, hat te ich die besten Moglichkeiten, von einer Seminarsitzung zur nachsten die offen gebliebenen Fragen zu klaren und so die quadrat ischen Formen an der Quelle zu st udieren. Got tlngen , im Dezember 2001 Martin Kneser

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

I.

Bilineare und quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Symm etrische Bilinearformen 1 2 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Wit t 11 4 Lokale Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.

Clifford-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Konstruktion und wichtige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Raum e kleiner Dimension 7 Zentren von Clifford-Algebr en 8 Spin gruppe und Spinornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

21 21 27 32 36

III.

Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Formen. . . . 9 Die Wit t sche Gruppe 10 Diskriminante und Arf-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Die Invarianten von Minkowski, Hasse und Witt. . . . . . . . ..

41 41 42 44

IV.

Quadratische Formen tiber endlichen Korpern . . . .. . . ... 51 12 Klassifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 13 Anzahlb estimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V.

Quadratische Formen tiber Bewertungsringen . . . . . . .. . .. 14 Hauptidealringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lokale Korp er , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 62 66

VI.

Quadratische Formen tiber Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Die Witt-Gruppe von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 Das quad ratis che Reziprozitatsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 Der Satz von Minkowski und Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 74 78

VIII

Inhaltsverz eichnis

VII.

Quadratische Formen tiber Z 20 Reduktionst heorie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 Klassen und Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Darstellungen tiber Z

83 83 86 88

VIII. Approximat.ionssatze und indefinit e Formen . .. . . . . . . . .. 23 Schwache Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Starke Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Spinorgeschlechter 26 Unimodulare Gitter

93 93 97 103 106

IX.

Nachbargitter und definite Formen 27 Unzerlegbare Git ter 28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht . . . . . . . . . . . . 29 Dars tellungen durch eine einzelne Form

111 111 113 119

X.

Der 30 31 32 33 34 35

125 125 130 136 140 146 154

Satz von Minkowski und Siegel Klassen und Geschlechter von Darstellungen Adele und Haarsches Maf Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht Der Satz von Minkowski und Siegel Schluf des Beweises Ein ige Beispiele und Anwendungen

Literatur

161

Index

163

I. Bilineare und quadratische Formen

In diesem Kapitel wird die grundlegende Theorie der symmetrischen Bilinearformen und quadratischen Formen tiber beliebigen kommutativen Ringen in geometrischer Sprechweise entwickelt. Naturgemaf ben6tigen Resultate wie der Wittsche Kurzungssatz oder die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen weitere Voraussetzungen insbesondere an den Grundring: dieser muf ein Korper oder ein lokaler Ring sein. 1st die Charakteristik ungleich 2 (oder besitzt allgemeiner 1 + 1 = 2 im Grundring ein Inverses ~) , so ent sprechen sich symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen umkehrbar eindeutig. Andererseits gibt es in Charakteristik 2 Situationen, wo sich quadratische Formen besser verhalten als symm etrische Bilinearformen, so daf eine sorgfiiltige Unterscheidung angebracht erscheint. AIle in dieser Vorlesung vorkommenden Ringe sollen ein Einselement 1 haben, aIle Ringhomomorphismen Eins in Eins ilberfuhren, und fiir A-Moduln E gelte stets 1 · x = x fur aIle x E E. In diesem ersten Kapitel sind zudem aIle Ringe kommutativ.

1 Symmetrische Bilinearformen 1m folgenden ist A ein kommutativer Ring, E ein A-Modul und b : Ex E -+ A eine symmetrische Bilinearform auf E, also b(x,y) linear in x (bzw. y) bei festem y (bzw. x) und b(x ,y) = b(y,x).

(1.1) Definition a) Zwei Elemente z und y von E stehen senkrecht aufeinander oder sind orthogonal (bezuglich b), falls b(x,y) = 0 ist. b) Fur eine Teilmenge F von E nenn en wir FJ... = {y EEl b(F, y) = O} den zu F orthogonalen Untermodul. c) E heiBt orthogonale Summe der Untermoduln E l , .. . ,En, in Formeln E = E l .L . . . .L En = .Ll=l E i ,

wenn E direkte Summe der E, ist und b(E i , E j ) = 0 ftir i

=I j.

Fur einen A-Modul E bezeichne E* = Hom(E , A) den dualen Modul der Linearformen auf E . Fur den Wert einer Linearform u an der Stelle x schreiben wir auch u(x) = (x, u). M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

2

I. Bilin ear e und quadratische Formen

r».

Wenn E = F ..1 F' ist , so gilt offensichtl ich F' ~ Umgekehr t fragen wir un s bei gegebenem Untermodul F , wann E = F ..1 F .l.. ist . Hierzu fiihr en wir den folgend en Modulhomomorphi smus bF ein:

(1.2)

bF : E --+ F *, (x , bF(Y») = b(x , y) , x E F , Y E E .

Man beachte, daB F .l.. genau der Kern von br ist. Unmitte lbar aus der Definiti on von bF ergibt sich folgendes Kriterium. (1.3) Fur einen Unt ermodul F von E gilt E = F ..1 F .l.. gena u dann , wenn br eine Bijektion von F auf bF(E) induzi ert , wenn also bF(E ) = bF(F) und F n F.l.. = {O} ist.

In der Tat driicken die angegebenen Bedingungen aus, daB es bei gegebenem Y E E gena u ein z E F mit bF(Z) = bF(Y), d.h . mit Y - Z E F .l.. gibt . Im Fall , daB F = Ae frei mit einem erzeugenden Element e ist, hat man eine einfache geometrische Deutung des vorangegangenen Satz es. Der Ansat z Y - ae E e.l.. fiihrt zu b(y, e) - ab(e, e) = 0, und das ist nach a aufl osb ar, wenn bF bijektiv, b(e, e) also invertierb ar ist. Die Komponente von Y in Ae : b(y, e) (1.4) pr e(y) = b(e, e) e bedeutet geometrisch die orthogonale Projekti on von y auf die Gerade Ae. (1.5) Definition Ein Modul mit symmetrischer Bilinearform (E, b) (oder auch einfach E oder b) heiBt nicht ausgeartet, falls be injektiv ist , wenn also E.l.. = {O} ist ; (E, b) heiBt regular, falls bE bijekt iv und E endlich erzeugt pr ojekti v ist.

Dab ei heiBt ein endlich erzeugte r Modul projekti v, wenn er direkter Summand in einem endlich erzeugten freien Modul ist. Im weiteren Verlauf werd en wir es fast ausschlieBlich mit freien Moduln zu t un hab en. Wenn (E, b) ein Modul mit symmet rischer Bilinearform ist und F ~ E ein Unt erm odul , so versehen wir F mit der Einschrankung b! FxF von b und konn en so z.B. davon sprechen, daf F regular oder nicht ausgeartet sei. Die zur Einschr ankung gehorige Abbildung bF : F --+ F* ist gleich der Einschrankung der obigen Abbildung br : E --+ F *. Hierdurch ist gerechtfertigt , daB in unserer Bezeichnun g br der Definitionsbereich E der Form b nicht vorkommt. Wenn speziell F regular bezuglich b ist , so gilt in der lnklusionsket te bF(F ) ~ bF(E ) ~ F * notwendig iiberall Gleichheit , und aus (1.3) folgt (1.6) Satz Jeder requliire Unte rm adul eines Maduls mit symmetrischer Bilinear/arm spaltet als arthaganaler Sum mand abo

Als nachstes betrachten wir das Verh alten der Eigenschaften 'nicht ausgeartet' und 'regular ' bei orthogonalen Summen. Man hat eine kanonische Iso-

1 Symmetrische Bilinearformen

morphie E *

n

= EB E;

fur jede direkte Summe E

i= l

n

= EB E,

3

von A-Moduln. Die

i= l

Orthogonalit at einer solchen direkten Summ e bezuglich einer symmt rischen Bilinearform b druckt sich durch die Gleichung be , IEj = 0 fur i :I j aus. Also ist bE : E -+ E* genau dann injektiv (surjektiv) , wenn aIle be. : E i -+ E; es sind. Weit er gehort wie eben be, IE; zur Einschrankung der Bilinearform auf E i . Wir hab en folgenden Satz bewiesen.

(1.7) Satz E in e orthogonale Summe von M oduln m it B ilin earform ist genau dann nicht ausgeart et bzw. regular, wenn dieses fu r j eden Summanden gilt.

Wir kommen schlieBlich zur Beschreibung von Bilinarformen auf freien Moduln und ihrer Eigenschaft en durch Matrizen. Die Transponierte einer Matrix T bezeichnen wir mit t». Speziell wird fur einen Zeilenvektor x = (Xl, . .. ,xn ) mit x t der zugeh6ri ge Spaltenvektor bezeichnet. Fur el, . . . , en E E betrachte die symmet rische Matrix B = (b(ei , ej» i,j= l, ...,n. Wenn X = L Xiei und Y = L Yj ej , dabei Xi, Yj E A , zwei Linearkombination en der e, sind, so gilt

(1.8)

b(x ,y)

= xByt .

Wenn aIle Vektoren eines weiteren Systems ej , j = 1, ... , m sich linear aus den ei kombini eren lassen, ej = L t jiei, so gilt fiir die ents prechende Matrix B' = (b(ei , ej » und die Uberga ngsmatrix T = (t ji ) die Formel

B'

(1.9)

= TBT t .

Wir bezeichnen mit d( el, .. . , en) die Determin ante der obigen Matrix B. Ist speziell m = n, also T eine quadratische Matrix, so ergibt sich d(e~ , oo . , e~ ) =d(el ,oo . , e n ) det (T )2.

(1.10)

Zerfallt das System {ei . {el, ... , em } und {em+I, (1.11)

, en } in zwei zueinand er orthogonale Teilsyst eme , en }, also bie«, ej) = 0 fur i ::; m

< j, so hat man

d(el ," " en ) = d(el " ' " em )d(em H, " " en )'

(1.12) Ist d( el , .. . , en ) kein Nullt eiler, so sind el, ... , en linear unabh angig. Denn aus L aie ; i

ai d(e l, . . . ,en ) =

=

0 folgt L ai b(ei, ej )

O.

i

=

0 ftir j

=

1'00" n , also weiter

(1.13) Ist E ein freier Modul mit Basis el , ... ,en, so heiBt die obige Matrix B die Gramsche M atrix oder Gram-Matrix I von b oder (E, b) bezilglich der Basis el , .. . , en' Ihre Determinante d( el , . .. , en) andert sich bei Basiswechsel urn ein Quadrat aus der multiplikativen Gruppe A x der Einh eiten von A . Ihr e 1

Nach J.P. Gr am , 1850-1916

4

1. Bilinear e und quadrati sche Formen

Klasse modulo A x2 nennen wir daher die Determinante von (E , b), oder kur z von E , und schreiben daftir d( el , . .. ,en )A x2 = det(E, b) = det E.

(1.14) Einen freien Modul mit Gram-Matrix B = (bij) bezeichnen wir mit (bij ), speziell fur eine Diagonalmatrix mit Diagonalelement en b1 , . .. , bn auch mit (b1 , ... ,bn ) . Sei ei, . .. , e~ die durch i=j i=fij

beschriebene duale Basis von E *. Definieren wir Koeffizienten bE( ej) = L:b~j ek ' so gilt :

b~j

durch

k

bij

= b(ei, ej) = (ei,bE(ej)) = L>~j(ei , ek) = b~j ' k

d. h. die Gram-Matrix B ist die Matrix der linearen Abbildung be : E -+ E* beziiglich der Basen el, . . . , en und ei, . .. , e~. Aus bekannten Satzen der linear en Algebra- folgt , daf bE : E -+ E * genau dann injektiv (bijektiv) ist , wenn d(el , ' .. ,en) kein Nullt eiler (invertierb ar ) ist. Dieses beweist den folgenden Satz.

(1.15) Satz Ein e symmetrische Bilin earfarm b auf eine m fr eien Madul m it Ba sis el, " " en ist genau dann nicht ausgeartet (bzw. regular) , wenn db(el ' . . . , en) kein Nullteiler (bzw. in vertierbar) ist. Aus diesem Satz erhalt man per Induktion iiber den Rang n die folgende, im Grunde schon auf C.G.J. J acobi" (1804-1851) zurii ckgehende Diagonalisierung filr gewisse freie Moduln.

(1.16) Es sei E ein freier Modul mit Basis el, ' .. ,en derart , daf aile Element e di := d(el, ' . . , e.), i = 1, ... ,n Einh eiten in A sind. Dann gilt d -z " "'-d-)'

d2 d3

E~ (d1'-d1

2

n

n- l

Beweis: Nach (1.6) ist j

j- l

i =l

i=l

:E Aei = :E Aei 1. (Cj) 2

3

Wegen der fiir die Inj ektivitat benotigt en Aussage, daB ein linear es homogenes Gleichungssystem, dessen Det erminant e Nullteiler ist, eine nichttriviale Losung hat, vgl. man z.B, N. Bourbaki, Algebra, Chap. III, §8, prop. 14, oder Oeljeklaus/Remmert, Lineare Algebra I, Kap. V, Satz 6. Gesammelt e Werke, vol. 3, p. 590

1 Symmetrische Bilinearformen

5

und d j = dj_l ej nach (1.11). Als Anwendung ergibt sich das bekannte Positivitatskriterium fur reelle quadratische Formen.

(1.17) Sei (E, b) regular und el , . . . , en eine Basis von E. Definiere e1 durch ei = be (e1) · Die Basis et,· . . ,e'ff heiBt die zu el, .. . ,en bezilglich b duale Basis. Die definierenden Gleichungen b(ei , e1)

= bij

und die Symmetrie von b zeigen, daf die Rollen der e, und der e1 in der Tat symmetrisch sind, also die e1 die dual e Basis zu den e, bilden . Ist F der von el , . . . ,em erzeugte Untermodul, so hat Fl. ersichtlich die Basis e~+ l ' ... ,e'ff. Fur Unt ermoduln F mit einer Basis , die sich zu einer Basis von E erganzen laBt, gilt folglich r-» = F . Fur Vektorraume tiber einem Korper ist das natiirlich stets der Fall. Im allgemeinen gilt dagegen nur (1.18)

Fl.l. ;2 F,

wie man z.B. daran sieht , daf (aE)l.l. = E ist, falls a kein Nullteiler ist. Wir setzen nun voraus, daB der Grundring ein Korp er ist und noti eren einige Spezialisierungen bzw. Verscharfungen bisherig er Resultat e.

(1.19) Satz Ein endli chdim ensionaler Vektorraum iiber einem Kiirper ist genau dann regular, wenn er nicht ausgeartet ist. Fur jeden Unterraum F eines regularen Vektorraums E gilt dim F

+ dim Fl. = dim E

und

Fl.l.

=F .

Die zweite Aussage ist ein Spezialfall der tiblichen Dimensionsformel fiir Iineare Abbildungen, denn bF ist surj ektiv und hat Fl. als Kern.

(1.20) Satz Ist A ein Kerp er und E endlich-dimensional, so gibt es eine Zerlegung E = E l 1. . . . 1. E; 1. F in regulare Teilriiume E, der Dim ension 1 oder 2 und einen Raum F mit b(F, F) = O. E ist genau dann regular, wenn F = {O} ist. Ist die Charakteristik von A nicht 2, so braucht man nur Riiume E, der Dimension 1 und kann Erzeugende el, ... , e r von E l , . . . , E; durch Hinzunahme einer Basis von F zu einer Basis von E aus paarweise orthogonalen Vektoren erganzen. Beweis: Durch Induktion nach der Dimension von Emit Induktionsanfang E = {O} . Ist b(E , E) = 0, so sind wir mit r = 0, F = E fertig. Ander enfalls bestehen zwei Moglichkeiten:

a) Es gibt einen Vektor e E Emit b(e, e) i= O. Dann kann man A e nach (1.15) abspalten und auf A el. die Induktionsannahme anwenden.

6

I. Bilineare und quadratische Formen

b) Es ist b(e, e) = 0 fiir alle e E E aber es gibt zwei Vektoren e und f in E mit b(e,f) =I O. Dann ist d(e, f) = -b(e,f)2 =I 0, und man kann Ae+Af nach (1.6) und (1.15) abspalten. Der Fall b) kann wegen 2b(e, f) = b(e + f) - b(e) - b(f) nicht vorkommen, wenn 2 =I 0 ist. (1.21) Beispiele . Wir legen den Ring Z der ganzen rationalen Zahlen zugru nde und definieren dr ei Serien von freien Moduln mit symmet rischer Bilinearform, die wir, der Literatur folgend , mit I n , An, D n bezeichnen. Dab ei ist der Ind ex n gleich dem Rang des Modu ls. a) Sei In

=

z n mit dem St and ardskalarprodukt (x, y)

n

= L: XiYi,

wobei

i=l

x = (Xl , , Xn ), Y = (Y1, , Yn ), Xi, Yj E Z . Eine Basis bilden die Vektoren e , , en mit ei = (0, , 0, 1, 0, . . . , 0). Die Gram-Matrix beziiglich dieser Basis ist die Einh eitsmatrix. Die Determinante von In ist eins, I n ist regular. I n ist zeriegbar als orthogonale Summ e I n = ..l ~ l Z ei mit

z-, ~ 11 •

b) Sei A n = {L: Xiei E In +! I L: Xi = O} . Ein e Basis von A n bilden z.B. die Elemente e1 - e2 ,e2 - es ,· · · ,e n - e n +1. Die zugehorige Gram-Matrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1 det A., = n + 1

0

0

2

-1

-1 2

Die Determinante berechnet man aus der angegebenen Gram-Matrix durch Entwicklung nach der ersten Zeile und Induktion. c) Sei o; = {L: Xiei E I n I L: Xi E 2Z}. Ein e Basis von o; bilden z.B. die Elemente e1 -e2, e2 -es ,. · . , e n-1 - e n , e n-l +e n . Die zugehorige GramMatrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1

0

0

2

-1 -1

-1

-1

2 0

0 2

Die Determinante berechnet man ahnlich wie bei A n .

2 Quadrati sche Form en

7

2 Quadratische Formen (2.1) Definition a) Ein e quadratische Form auf einem A-Modul E ist eine Abbildung q : E -+ A mit den Eigenschaft en q(ax) = a2 q(x ) q(x + y) = q(x)

fur a E A, x E E, + q(y) + b(x ,y)

mit einer symmetrischen Bilinearform b. Ein solches P aar (E , q) (oder auch einfach E) heiBt quadratischer A -Modul. b) Ein e isometrische Abbildung oder kurz Isom etric zwischen zwei quadratischen Moduln (E, q) und (E' , q') ist ein injekt iver Modulhomomorphismus f : E -+ E' mit q'(J(x)) = q(x) fur alle x E E . c) Zwei quadratische Moduln (E, q) und (E' , q') heiBen isometrisch, in Zeichen (E , q) ~ (E' ,q' ) oder kurz E ~ E' , wenn eine bijektive Isomet rie zwischen ihnen existiert. Mit a = 2, x = y erhalt man

(2.2)

2q(x) = b(x , x )

Das zeigt, daf q durch b bis auf einen Summ and en bestimmt ist , der von 2 annulliert wird . Insbesondere ist q durch b eindeutig bestimmt , wenn 2 kein Nullt eiler ist. Darilber hinaus kann man in diesem Fall zu gegebener symmet rischer Bilinearform b durch (2.2) eine quad ratische Form q definieren , falls alle Werte b(x , x ) in 2A liegen. Ist 2 sogar invertierbar, so kann man natii rlich einfach q(x) = ~b(x , x) schreiben. Im allgemeinen kann man immerhin noch versuchen, eine (nicht notwendig symmet rische) Bilinearform a zu finden, so daf

(2.3)

q(x ) = a(x,x )

wird . Fur beliebiges a wird durch (2.3) eine quadratische Form definiert, deren zugehorige symmet rische Bilinearform

(2.4)

b(x , y) = a(x , y) + a(y ,x)

ist . Zu einer gegebenen quadratischen Form auf einem freien Modul kann man ste ts ein solches a finden. Man hat nur aus (2.1) und (2.2) durch Induktion die Form el

(2.5)

q(L Xiei) = L q(ei)x; + L bie«, ej )xiXj i 1 und h, . .. , fr eine Basis von F. Nach Voraus set zun g (1) gibt es Vekt oren hI,"" h; in H mit b(Ji , hj) = Oij . H ist dann dir ekt e Summe von r

L:: A h i und F .Ln H = D , un d die hi bilden eine Basis von H

i= l

wenden die Induktionsannahme auf

r -l

L:: A fi

i =l

ein Produkt von Spiegelungen

S h,

das auf

modulo D. Wir

anste lle von F an und bekomm en

r- l

L:: A], mit t ilbereinstimmt. Ind em

i= l

wir t von links mit dem inversen Produkt multiplizieren , redu zieren wir un sere Aufgabe auf den SpezialfaIl, daf tJi = Ji ist fur i = 1, . .. , r - 1. Fur diese i und x E F ist dann aber b(t x - x , Ji )

= b(t x , t fi ) -

also tx == x mod A h r

b(x , Ji )

= 0,

+D.

Wenn wir den Induktionsanfan g auf A ]; st att Fund A h r + D statt H anwend en konnen , so sind wir fert ig, da bei dem so erhalte nen Automor phismus u von E die zu A h; + D orthogonalen Vekt oren h ,..., fr fest bleiben. Wir miissen die (1) bis (4) entsprechenden Vorausset zun gen fur A ]; und Ah r + D anstelle von F und H priifen. (1) bleibt offenbar erhalte n, und fur (2) hab en wir es eben gesehen . Wir zeigen nun, daB bei geeigneter Wahl der Basis h ,.. . , f r auch (3) bzw. (4) fur A h r + D anstelle von H gilt . Nach Vora usset zung gibt es jedenfalls einen Vektor h mit q( h) =p 0 in fI bzw. fI.L. Wir wahlen h r E fI 0, keine Primzahl p == -1 mod 3 geht in einer ungeraden Potenz in t auf. Diese Bedingungen sind hinreichend , da dann auch t E q(Z 3A2) ist . Schreibt man namlich t = 3au mit u == 1 mod 3 und Z 3A2

i -~ )

=( _

als (2, 6), so wird t durch den ersten Summ and en

da rgestellt , falls a gerade ist , durch den zweiten, falls a ungerade ist. Fur n = 3 ist d(A 3) = - 4, also ZpA3 regular fur p f: 2. Nach (15.8) ist dann q(Z pA3) = Zp. Im FaIle p = 2 ist Z2A3 = Z 2A2 .L (12), und man erhalt durch P robieren aller moglichen Kombin ationen

Also sind die Bedingungen t > 0 und t nicht von der Form 22a +l (8b + 7). Fur n = 4 hab en wir q(Z pA 4) ;2 q(Z pA3) = Zp fiir p f: 2 und q(Z 2A4) = Z2, da Z2A4 wegen dA 4 = 5 regular ist. Es folgt q(A 4) = {t E Zi t > O}.

Anmerkungen zu Kapitel VII Satz (20.1) stammt aus einem Brief von Ch. Hermite an J acobi, Extraits de

a

Lettres de Mr. Ch. Hermit e Mr . C.G.J Ja cobi su r differents objets de La th eorie des nombres, J. reine angew. Math. 40 (1850), 261- 315 = Oeuvres I,

100-163. Die Satze (22.5), (22.3) und (22.4) tiber Quadratsummen gehoren zum klassischen Bestand der elementaren Zahlenth eorie und wurd en bereits von Fermat (1601 - 1665) formuliert - der Satz (22.4) fiir den Spezialfall t == 3 mod 8 als die Aussage, daf jede positive ganze Zahl sich als Summe von

Anmerkungen zu Kapitel VII

91

hochstens drei "Dreieckszahlen" (von der Form n( n2+ 1) ) schreiben HiBt. Allerdings hat Fermat keine Beweise seiner Satz e hinterlassen, und es dau erte tiber hundert Jahre, ehe Euler in einem Brief an Goldb ach seinen Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes mitteilte. Auch urn dem Vier-Qu adrate-Satz hat sich Eul er bemtiht, bis Lagr ange einen Beweis gab, den Euler alsba ld wesentlich vereinfachen konnte. Zum Drei-Qu adrate-Satz schlieBlich gibt es Ansatze in Legendres Essa i sur La Th eorie des Nombres VOn 179S, die jedoch keinen vollgiilti gen Beweis ergeben. Man vergleiche dazu Gau ss' Kritik in den "Adclitam ent a" am SchluB seiner Disquisit iones A rithmeticae [G]. Eine ausfiihrliche Dar st ellung cler Entwicklung der Zahlentheorie dieser Zeit gibt A. Weil, Number Th eory: an Approa ch through History; from Hammurapi to Legendre, Birkhauser Boston 19S4.

VIII. A p proximationssatze und indefinite Formen

Dieses Kapitel kniipft an die Technik der Lokalisierung quadratischer Formen tiber Q und den Satz von Minkowski und Hasse (Kapi tel VI) an und untersucht die analoge Fragest ellung tiber Z sowie allgemeiner tiber Teilringen von Q, die aus Z durch Inverti erun g endlich vieler Primzahlen entstehen. In den Abschnit t en 23 und 24 werd en sogena nnte Approximationssatze bewiesen, die Aussagen dartiber machen, wann ein System von Git tern oder Darst ellungen tiber den Lokalisierungen Zp durch ein Git ter bzw. eine Darstellung tiber Z angenahert werd en kann. In §25 wird gezeigt , daf diese Approx imationssatze eine weitgehende Klassifikation indefiniter Z-Gitter zur Folge hab en, wobei te chnisch der Begriff des Spinorgeschlechtes eine groBe Rolle spielt . Der wicht ige Fall regularer , allgemeiner sogena nnter unimodular er Git ter wird im abschlieBenden §26 behand elt.

23 Schwache Approximation Es sei S eine endliche Menge von Stellen des Korp ers Q (also von Primzahlen oder dem Symb ol 00; siehe §17). Wir bet ten Q verrnoge x -t (x , . .. , x) in das Produkt I1PES Qp von Komplettierungen ein. Ein allgemeiner Satz der Bewertungstheorie besagt , daB das Bild dieser Einbettung dicht liegt , wobei Q durch einen beliebigen Korp er K und S durch eine beliebige endliche Menge nicht-aquivalenter Bewertungen von K ersetzt werden kann . Dieses ist der sogena nnte "schwache Approximationssatz" fiir Zahlen. Wir formuli eren und beweisen diese Tatsache fur K = Q in verscharft er Form . Hierb ei bezeichnen wir mit Z (T ), fur eine endliche Menge T von Primzahlen, den Ring aller rationalen Zah len, deren Nenner ihre Primteiler in T hab en: Z(T) := Z

[~ I PET]

.

Diese Notation wird durch die Festsetzung Z(S) := Z(S ",- {oo}) auf beliebige endliche Mengen von Stellen ausgedehnt . Eine aquivalente Beschreibun g ist Z(S) = {x E Q I x E Zp fur alle P ~ S} ,

wobei Z oo = lR gesetzt ist . Der sogenannte "starke Approximati onssatz" besagt, daB st att Q bereits ein geeignetes Z (T) dicht in I1PE s Qp liegt . M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

94

VIII. Approximationssatze und indefinite Formen

(23.1) Sa t z Es sei 8 eine en dliehe Menge von Stellen von Q und p' eine beliebige Primzahl m it p' (j: 8 . Fur 00 (j: 8 is t Z (8) dieht in ITpEs Qp. Fur 00

E 8 ist Z(8 U {p'} ) dieht in ITpEs Qp.

Beweis: Z ist dieht in IT Z p, da es zu gegebenen a p E Zp und r p E N ein a

E Z gibt mit

IT ( pES

pES

a

== a p mod prp fur p E 8 . Fur jede natiirl iche Zahl mist somit

p~ ) Z dieht in pES IT p~ Zp. Dar aus folgt sofort die erste Behauptung.

Fur die zweite Behauptung seien a p E Qp, fiir p E 8 und e > 0 gegeben. Nach dem ersten Teil findet man ein b E Z(8) mit Ib - a p lp < c ftir p E T := 8" [ co}, Der Ansatz a = b + eq-n IT pm mit e E Z fur das gesucht e a pET

ftihrt zum Zie!' Zunachst wahle man m so groB, daf IpmIp < e ftir aile pET ist . Wegen der scharfen Dreiecksungleichung folgt la - ap lp :::; max(lb - ap lp, leq- n IT pmlp ) < e fiir pET. Wahlt man dann n so groB, daf Iq- n IT pml oo < e wird und e E Z , so daf la - aoo loo = Ib - a oo + eq-n IT v" 100 < c ist, so ist a wie geford ert. Die beiden Fail e des Satzes (23.1) lassen sich wie folgt auf einen Nenner bringen: T sei die Menge 8 U {oo} bzw. 8 U {p', 00 }. Dann besagt die Behaup tung, daf Z(T) a also auch in V nach Minkowski-Hasse. Viertens: Fur (6) hab en wir jetz t einerseits eine Losung x E V , andererseits fur pES Losun gen x p !/:, I p ,2m in Vp . Zusammen liefert (23.5) einen Vektor 12m , der alle noch ausstehend en Ford erun gen (4) und (5) erftillt. (23.7) Sei Vein regularer Raum tiber einem Korp er K , mit positivem Wit tInd ex, und es liege nicht der Ausnahm efall von (3.5) vor. Dann wird die Spin gruppe Spin(V) von den Produkten e] mit e, I E V , q(e)q(f ) = 1 erzeugt. Beweis: Die gena nnte n P rodukte e] erzeugen eine Untergruppe N von = eto:' , Spin (V ) C C (V ) X, die wegen seis:' = e' ]'; e' = geg - \ q(e' )q(f' ) = 1 von allen nichtsingular en 9 aus V normalisiert wird: gNg-1 = N . Nach Vorausset zung spaltet V eine hyperb olische Eb ene H ab: V = H..l W . Ist nun u = i, .. . hm E Spin( V), so gibt es hi E H mit q(h i ) = q(fi ) = ti · Setzen wir gi = hi 1 = t i 1h i , so wird q(fi)q (gi ) = 1, also figi E N , so daf modul o N die Kongruenz u = h .. . 12m == hI ... h 2m gilt , und damit n E SpinH C N nach §8.

t

24 Starke Approximation In diesem Abschnitt betrachten wir Z-Git ter auf quadratischen Q- Vekt orr aumen V und kntipfen an die unter (23.2) festgestellte st arke Approximation in IT Vp durch Vektoren aus Z(T )L an. Der folgende Satz besagt , daf sich pET ,{l}

98

VIII. Approxim ationssatz e und indefinite Form en

unter gewissen Voraussetzungen diese Aussage auf die Vekto ren eines fest gegebenen Formwertes t E QX, d.h . die Menge

L (T , t) := V(t)

n Z( T)L =

{x E Z( T) L I q(x ) = t }

ilbertragt. Die scharfste Fassung dieses starken Approximationssatzes lau tet: (24.1) Satz Es sei Vein reguliirer quadratischer Q- Vektorraum der Dimension dim V ~ 4, t E QX mit V( t) :j:. 0, T eine endliche Menge von Stellen von Q mit 00 E T und f E T so, daft ind Vi > O. Weiter sei L ein Z -Gitter auf V mi t Lp(t) = Vp(t ) n t., :j:. 0 fur alle p (j. T. Dann ist L(T, t ) Y II Vp(t) pET O. Dann ent halt jede Klass e im Spin orgeschlecht eines Gitters Le V ein Gitt er M eV mit M p = L p fiir alle p =f.

e.

Beweis: Der Beweis verlauft wie der zu (25.2) nur mit der App roximat ion fur p ET 0 falls ind Voo = O. Dann exist iert ein u E SO(V ) mit Spinornorm S N u = a .QX2. Beweis: Ist dim V 2: 4, so ist q(Vp) = Qp . Fur dim V = 3 ist ind Vp > 0 fur fast alle p und dah er aueh q(Vp) = Qp. Wenn dim V = 3 und ind Vp = 0 ist , so ist c ;j:. 0 genau da nn nieht aus q(Vp), wenn ind(Vp ..1 (- c}) = 0 ist. Darau s folgt , da Vp ..1 (- c) vierdim ension al ist , d(Vp) . c = Q; 2 und weit er c E dVp . Q; 2. Wir suehen jet zt Vektoren xp, YP E Vp mit q(x p)q(yp) = a fur alle Primst ellen p. Fur die p mit q(Vp ) = Qp und fur p = 00 gibt es offenbar solche Vektoren . Fur die restli chen p wahl e man bp E mit bp f/. Q; . dVp U Q; 2 a . dVp. Da es mindest ens vier Quadratklassen gibt, exist iert ein solches bp. Naeh Wahl von bp gibt es dann x p mit q(x p) = bp und yp mit q(yp) = ab; l . J etzt approximiere man x p fur die endlieh vielen Ausn ahme-p und p = 00 so gut dureh ein x E V, daf q(x)jq(x p) E Q;2 ist . Dann exist iert ein y E V mit q(y) = aj q(x) naeh dem Sat z von Minkowski- Hasse . Denn fur die p mit q(Vp) = Qp ist die Gleiehung q(y) = ajq(x ) losbar , und fiir die restliehen p ist ajq(x) = q(x p)jq(x) . q(yp). Da q(x p)jq(x) ein Quadrat ist , liefert ein geeignet es Vielfaehes von Y P eine Losung, Also ist w = SxSy eine Losung der geforderte n Art.

Q;

(25.6) Es lohnt sich noeh zu untersuehen , wann die Vorau ssetzungen (*) erftillt sind . Dab ei set zen wir q(L ) ~ Z vorau s. Im Falle p ;j:. 2 ist L p or thogonale Summe eindimensionaler Summanden , L p = ..l(aipC>·} , a, E Kommen unt er den Exp onent en (};i zwei gleiehe vor: (};i = (};j, i ;j:. i , so spalte t L p einen ort hogonalen Summanden C M ab mit zweidime nsionalem regular en M, c = t/", un d wir hab en q(M) 2 naeh (15.7), also

Z;.

z;

S N(SO(L p)) 2 S N(SO (CM ) = S N( SO( M )) 2 Z;Q;2 . Unter den (};i kommen sieher dann zwei gleiche vor, wenn L:~ (};i < L:~-l i = n( n - 1) , d.h . dL nicht dureh p n (n-l) / 2 t eilbar ist . 2 Fur p = 2 ist £ 2 lau t (15.1) orthogonale Summe ein- oder zweidimensionaler Gitter ; dabei zeigt der Fall b2 ) im Beweis von (15.1), daf die zweidimensionalen Summan den von der Form C M mit regular em M sind. Wenn ein solcher Summand vorkommt, so gewinnt man die Aussage (*) wie im Fall p ;j:. 2. Ist andere rse it s L 2 = ..l(ai2C>i}, ai E so betraeht en wir zuerst den Fall , daf mindest ens dr ei der Exponenten (};i = (};j = (};k, i ;j:. j ;j:. k ;j:. i gleich sind . Dann b esitz t L 2 einen dr eidim ensionalen Summanden , C M , c = 2C>i, M = Z2ei ..lZ2ej..lZ2ek, der orthogonal spaltet: M = Z2(ei + ej + ek) ..lN mit zweidimensionalem regularen N , so daB wir wie im Fall p ;j:. 2 weit er sehlieBen konnen.

Zi,

Die Voraussetzung (*) ist fur p = 2 auch da nn erfiillt, wenn un t er den Exponenten (};i zwar keine drei gleiehe vorkommen , aber dr ei, die sieh urn

106

VIII. Approximationssatze und indefinite Formen

hochst ens 1 unterscheiden . Unt er diesen kommen dann zwei gleiche vor, etwa Qk = Qj , auch zwei ungleiche, etwa Qm = QI + 1. Schreiben wir £ 2 = ..l(a i 2Qi ) = ..lZ2ei mit b(ei , ei ) = ai2Qi, ai E Z;, so ent halt 0 (£2) die vier Spiegelungen Sa mit a = ej, ej +2ek, ei und ei +e m . Modulo Q;2 ent halt SN(SO(£2» , dann die Quotienten q(ej +2ek)/q(ej ) = 1 +4ak/aj == 5 mod 8 und q(el + em)/ q(et} = 1 + 2a m/al == 3 mod 4 und damit ganz Z;Q;2 . Ordnen wir jetzt die Qi, die wegen q(£) und ist dabei

~

Z aIle

~

1 sind , der GroBe nach ,

n

L Qi < 1 + 1 + 3 + 3 + 5 + . ..

(n Summanden )

I

so ist mindestens einmal Q2jH < 2j + l, und unter den Zahlen QI, Q2,.. . ,Q2jH gibt es mindestens drei aufeinand er folgende, die sich urn hochstens 1 unterscheiden . Wir erhalten (25. 7) Satz S ei V reguliirer Q-Raum, n = dim V ~ 3, L C V ein Gitter mit 2 q(£) ~ Z . Di e Determ inante det£ sei nicht durch 2[(n +1)/2] und fur kein e ung erade Primzahl p durch pn(n-I )/2 teilbar. Dann best eht das Geschlecht von L nur aus eine m Sp inorgeschlecht.

26 U nimodulare Gitter Mit den bisherigen Ergebnissen dieses Kapitels stehen uns kraftige Hilfsmittel zur Untersuchung insb esondere indefiniter quadratis cher Formen zur Verftigung. AuBerdem hab en wir in den Abschnitten 20 und 21 gezeigt, daB es zu gegebener Variablenzah l n und Determinante d, bzw. zu gegebenem Geschlecht nur end lich viele Isomorphieklassen gibt und in (20.7) einige kleine Werte n und d behandelt. Wir wollen dies auf etwas grofiere n ausdehnen und betrachten dazu neben den regularen allgemeiner die sogenannten unimodularen Gitter.

(26.1) Sei Rein Hauptidealring mit Quoti entenkorper K, dessen Charakteristik nicht 2 ist, Vein regularer quadratischer K - Vektorraum mit qua dratischer Form q und zugehoriger Bilinearform b. Ein R-Gitter L in V heiBt -

ganzzahlig, wenn b(£ , £) ~ R , gerade, wenn b(x , x ) E 2R ist ftir aIle x E L, also q(£) ~ R, ung erade, wenn L ganzzahlig, aber nicht gerad e, un imodular, wenn L ganzzahlig und det L ~ R X / R x2 ist .

Urn die unimodularen Z-Git ter zu klassifizieren, betrachten wir vorweg die ents prechenden Q-Raume und Zp-Gitter , insbesondere die tiber Z2, und beweisen zuerst den

26 Unimodulare Gitter

107

(26.2) Hilfssatz Lund L' seien zwei unim odul ar e Z -Gitte r mit der gleichen Signatur (r , s) (im Sinne von (9.6)) . Dann ist Zp L ~ Zp L' fiir aIle ungerad en Primzahlen p und QL ~ QL' . Beweis: Beide Gitter hab en die gleiche Determinante d = (-1 Y, werden daher fiir p i 2 tiber Zp / pZp isomorph (12.5), und diesen Isomorphismus kann man nach Zp heben (15.6). Weit er folgt QpL ~ Qp L' fiir pi 2, und dies impli ziert die Gleichheit der Witt-Invarianten c(QpL ) = c(Qp L'), zuerst fiir p i 2 und 00 , dann fiir p = 00 wegen der Ubereinstimmung der Signaturen , und schlieBlich fiir p = 2 wegen der Produktform el (18.5). Nach (16.9) ist Qp L ~ QpL' fiir aIle p, also QL ~ QL ' nach Minkowski-Hasse (19.1) . (26 .3) Hilfssatz J edes ungerad e unim odulare Z2-Gitter besit zt eine Orthogonalbas is. Beweis: Wir fiihren den Beweis durch Induktion tiber die Dimension n des Gitters L. Sei el E L zuna chst beliebig mit ungeradem b(el , el ) =: al . Dann ist al E Z;, und weil L unimodul ar ist , spaltet el ab: L = Z2el ..L M mit unimodular em M . Wenn M ungerade ist , konnen wir unmittelbar die Indukti onsannahme anwenden. Anderenfalls andern wir el wie folgt aboWir wahlen e2, e3 EMmit b(e2, e3) = 1 und ersetzen el durch e~ := el + e2. Dann ist b (e~ , e~) = al + b(e2, e2) immer noch ungerad e. Fern er gilt e; := el - ale3 E e~..l = M ', und b(e; , e; ) = al + aib(e3, e3) ist ungerad e. Wir sind also mit e~ in der Situation des ersten Falls. (26.4) Zusatz. Die Orthogonalb asis {el , .. . , en } in (26.3) kann so gewahlt werd en , daB ai = bie«, e.) E {±1} ist fiir i = 1, .. . , n - 1. Ist namli ch ai == ±1 mod 8, so kann man e~ = te, ansetze n und t so bestimmen , daB b (e~ , eD = t 2ai = ±1 wird. Ist dagegen ai == ±3 mod 8, und i < n , so ersetze man zunachst ei durch e~' = ei + 2e n mit b(e~' , = ai + 4a n == ai + 4 == ± 1 mod 8, erganze e~' zu einer Orthogonalbasis von Z 2ei..LZ 2en und ist dann in der Situation des ersten Falles. Sukzessive .Anderung der ei fiir i = 1, .. . , n - 1 ergibt die Behauptung.

en

(26.5) Folgerung Hat L die Determinante det L == 1 mod Z;2, ist also n

TI b(ei , ei ) == ±1 mod Z;2, so kann man

i=l fiir aIle i gilt . Dann wird L

~

en so aba ndern, daB b(ei, ei ) = ±1

Z2 Ir,s, wo I r,s wie friiher das Z-Git ter

I r,s = r x (1)..L s x (-1) = I r..L - lIs

und r bzw. s die Anzahl der Ind ices i mit b(ei , ei) gleich 1 bzw. -1 ist. (26.6) Wir wenden uns jetz t den unim odul aren Z-Gittern und ihrer Einteilung in Geschlecht er zu. Geschlechtsinvari anten sind die D et erminante det L , die Signatur (r, s) und die P aritiit, d.h. die Unterscheidung gerade-un gerad e. (26.7) Satz a) Zu j edem Pa ar (r , s) naiiirlicher Zahl en (r = 0, s = 0 zugelass en) existie rt gen au ein Geschlecht ungerader uni m odularer Z- Gitter der S ign atu r (r , s ). Es wird durch das Gitter Ir ,s reptiisentier t.

108

VIII. Approximationssatz e und indefinite Form en

b) Gerade unimodulare Gitt er der Signatur (r, s) existi eren genau dann, wenn r - s == 0 mod 8 ist. Sie qehiiret: alle einem Geschlecht an, das repriisentiert wird durch (s x H ) ..1 (t x E s), falls r ~ s , r = s durch (r x H ) ..1 (t x -IE s ), f alls r :S s , s = r

+ 8t , + 8t ist,

mit H hyperbolische Ebene, e, aus (14.9 ). Speziell gibt es genau dann ein n -dime nsi onales positiv definit es gerades uni m odulares Z -Gitter, wenn n == 0 mod 8 ist. c) Sind r > 0 und s > 0, die Geschlechter aus a) bzw. b) also indefini t, so best ehen diese aus j eweils einer Klass e. Beweis: a) Ir,s hat die gewilnsehte Signatur (r, s) . Ist umgekehrt L ein ungerades unimodulares Z-Git ter der Signatur (r, s), so hab en Lund Ir,s beide die Determinante ±1. Wir konn en also (26.5) auf die Z2-Gitter Z2L und L' = Z2Ir,s anwenden. Zusammen mit (26.2) zeigt das , daf Lund Ir,s im gleichen Gesehleeht liegen. b) Die unter b) genann ten Repr asentanten sind gerade, da H und E s es sind, und hab en die Signatur (r, s), da H bzw. E s die Signaturen (1 ,1 ) bzw. (8, 0) haben. DaB die geraden unim odul ar en Z-Gitter L mit vorgegebener Signatur (r, s) aIle einem Gesehleeht angehoren liegt naeh (16.2) dar an , daB fur jedes p (einsehlieBlieh p = 2) die Lokalisierungen Zp L als quadratisehe Zp-Moduln regular , also in dem naeh (26.2) bis auf Isomorphie eindeut igen Raum QpL maxim al ist. Es bleibt zu zeigen , daf die Bedingung r - s == 0 mod 8 aueh not wendig fur die Existenz eines geraden unimodul ar en Git ters L der Signatur (r , s) ist. Ein solches Git ter ha t notwendig gerade Dimension n = 2m , und wir konnen

eib en sehrrei

'71 1LJ 2

L = '" ..lm . geeignete . i = l \/ 2ai 1 2b1 )mit n ai, bi E i

'71 1LJ2 ·

F"ur diie

m

= detL gilt d = IT(4aibi -1) == (_ l)m mod 4. Andererseits I Es folgt m == s mod 2 und weiter r - s = (n - s) - s =

Determintante d

ist d = (_ l )s. 2(m - s) == 0 mod 4. Den Fall r - s == 4 mod 8 sehlieBen wir nun mittels der Witt-Invariante aus . Da Lund somit jedes Z pL eine regular e quadratisehe Form tragt , ist naeh Satz (16.10) c(QpL ) = 1 fur aIle Primzahlen p, naeh der Produktformel also aueh c(Qoo L ) = 1 und somit r - s ~ 4 mod 8, also == 0 mod 8 naeh (11.13). e) Sind nun unsere Git ter indefinit und fur den Augenbliek die Dimension n mindestens gleieh 3, so besteht naeh (25.4) das Gesehleeht von Ir,s bzw. t X E s ..1 s x H aus nur einem Spinorgesehleeht , und dieses naeh (25.2) aus nur einer Klasse, was sich naeh (20.7) aueh noeh fur n = 2 als riehtig erweist .

Anmerkungen zu Kapi t el VII I

109

Anmerkungen zu Kapitel VIII Der hier behandelte Fragenkr eis der Appr oximation zeigt verschiedene Facetten. Da sind einmal die Unte rschiede zwischen schwacher und starker Approximati on . Wahrend z.B , der schwache Satz (23.5) verhaltnismaflig einfach zu beweisen war , ist dies fur den st arken Satz (24.2) nicht mehr der Fall. Entspr echendes gilt fiir (23.3) (schwach) und (24.16) (st ark) . Allerdings ist (24.16) nicht fur die spezielle orthogonale Gruppe SO formuliert, sond ern fur die Spingruppe bzw. den Kern 0' der Spinornorm . Tatsachlich ist die ents prechende Aussage fiir SO nicht richtig, wovon man sich anha nd von Beispielen ilberzeugen kann . Der tiefere Grund hierfiir ist in der Tatsache zu sehen, daB SO als linea re algebraische Gruppe die Spingruppe als zweiblattrige Uberlageru ng besitzt , wahrend diese keine echte Uberlagerun g zulaBt, also "einfach zusammenhangend" ist. Fur diese Sicht der Dinge vergleiche man M. Kn eser, Starke Approximation in algebraischen Gruppen I, J. reine angew. Math. 218 (1965) , 190 - 203, und Strong Appro ximation, in: Algebraic groups and discontinuous subgroups (Proc. Symp. Pure Math. IX) , Boulder 1965, 187 196 , oder das Han dbu ch V.P. Pl atonov, A.S. Rapin chuk, Algebraic Groups and Numb er Th eory, Acad emic Press 1993. Der Sat z (24.2) mit £ = 00 ste ht bei G.L. Watson , R epresentation of integers by in definite quadrati c forms, Mathematika 2 (1955), 32 - 38. Von M. Eichler stammen die Begriffe Spinornorm und Spinorgeschlecht und deren wichtigste Eigenschaften sowie in diesem Zusamm enhang die erst en Ergbnisse in Richtung auf Approximationsaussagen. Fur all dies vergleiche man das einfluBreiche Werk [E]. Zum Inh alt von §26 siehe auch Chap. V in J.-P. Serr e, Cours d'A rithmetique, Presses Univers. de France, P aris 1970 = A Course in A rithmetic, SpringerVerlag 1973.

IX. N achbargitter und definite Formen

In §27 zeigen wir, daf sich ein positiv definites Git ter eindeut ig in eine ort hogonale Summe von ort hogonal nicht weiter zerlegbaren Git tern zerlegen Hil3t. In §28 wird die Methode der benachbarten Git ter eingefUhrt, mit der man un ter relativ schwachen Bedin gun gen samt liche Gitter eines Spinorgeschlechtes konstruieren kann. In §29 befassen wir uns mit Darstellungen einer nattirlichen Zahl durch ein positi v definites Git ter. Es wird ein ganzzahliges Analogon des Satz es von Minkowski und Hasse bewiesen , namli ch daf eine iiberall lokal darstellbar e Zahl, die allerdings geniigend grof sein muB, auch globa l dar gestellt wird.

27 U nzerlegbare Gitter Wir zeigen in diesem Abschnit t , daB sich ein positiv definites Z- Gitter in eine orthogona le Summe von orthogona l unzerlegbaren Git tern zerlegen laBt , und daf diese Zerlegung sogar eindeutig ist (nicht nur eindeutig bis auf Isomorphie). Hierdurch wird insbesondere das Klassifikationsproblem fiir positiv definite Git ter auf die Klassifizieru ng der unzerlegbaren Gitter zuriickgefUhrt. (21.1) Definition Ein Git ter heiBt unzerlegbar, falls es keine orthogonale Summe von zwei echten Teilgit tern ist . Ein Vekto r x in einem Git ter L heiBt unzerlegbar, falls er sich nicht in der Form x = y + z mit y, z E L , y "I 0, z "I 0, b(y , z) = dar stellen lasst,

°

(21.2) Satz J edes Gitter L in eine m posit iv defin it en Q- Raum besit zt eine Zerlegung L = .LLi in unzerlegbare Teilgitter Li, Diese sind dur ch L bis auf die R eih enfolge ein deutig best immt.

Beweis. Sei L = .LL~ irgend eine ort hogonale Zerlegung. Sind dann in x = I: Xi mindeste ns zwei der Xi "I 0, so ist x zerlegba r. Dementspr ehend liegt jeder unzerlegbar e Vektor in einem der L~ , und zwei unzerlegbar e Vekt oren, die nicht orthogona l zueina nder sind, liegen in demselben L~ . Wir wollen zwei unzerlegbar e Vekto ren y, z "verbunden" nennen , wenn es unzerlegbar e Vekto ren Xo = y , Xl ,··· , Xr = Z gibt mit b(Xi-l,Xi) "I 0. Zwei verb undene unzerlegbar e Vekto ren liegen also in demselben L~ . "Verbunden" ist .Aquivalenzrelation . Bezeichnet man mit K; die .Aquivalenzklassen und mit L , die M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

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IX. Nachbargitter und definite Form en

von den K, erzeugten Unte rgitter, so liefern die L , die gewiinschten Summa nden . Es ist namli ch b(Li ,Lj ) = 0 fiir i f:. i , da b(Ki ,Kj ) = O. Fern er ist L = L: L i, da man jeden Vekt or x f:. 0 als Summe un zerlegbarer Vekt oren schreiben kann: Ist x nicht schon selbst unzerlegbar, so ist x = Y + z mit 0< q(y), q(z) < q(x ). Fortset zen dieses Verfahrens liefert nach end lich vielen Schri t t en eine Zerlegung in unzerlegbar e Vekt oren. Insgesamt ist L = .1.L i . Ist nun L = .1.Lj eine beliebige Zerlegun g, so liegt jedes L, ganz in einem Lj. Die L, sind nach Konstruktion unzerlegbar . Sind es auch die Lj , so ist

L i = Lj . (27.3) Bemerkung. a) Zur pr aktis chen Durchfiihrung dieses Verfahrens reicht es, ein Erzeugend ensyst em in unzerlegbar e Vekt oren zu zerlegen und die hierauf induzierten Aquivalenzkl assen zu betracht en. b) Wenn ein Gitter eine Menge von unzerlegbar en Vektoren ent halt, die in einer Aquivalenzklasse liegen und ein Teilgit t er von endlichem Ind ex erzeugen, so ist das Gitt er unzerlegbar. (27.4) Beispiele (vergl. (1.21) und (14.9» a) Fiir I n = .1. ~1 (1) sind die Z ei die orthogonal unzerlegbaren Summanden . b) An = {L: X i ei E I n+ 1 I L: Xi = O} ist unzerlegba r. Beweis: Nichverschwind end e Gitt ervektoren kiirzest er Lan ge sind unzerlegbar. In diesem Fall sind das die Vektoren e, - ej , i f:. i , und diese erzeugen ganz An . Fiir j f:. i f:. kist b(e i - ej , e, - ek ) f:. 0, also liegen alle kiirzest en Vekt oren in einer Aquivalenzklasse . c) o; = {L: Xi ei E In I L: X i == 0(2)} ist flir n ~ 3 unzerlegbar. Beweis: Die kiirzest en Vektoren sind von der Form ±ei ± ej , i f:. j. Fiir n ~ 3 liegen wieder alle diese Vekt oren in einer Aqui valenzklasse; fiir n = 2 ist D 2 = Z(e l + e2) .1. Z(el - e2) die Zerlegun g in Unzerlegbare. d) ii; = D n + Z ~ (el + ... + en ), dab ei n == 0 mod 4, ist flir n > 4 un zerlegbar , wie man mit t els (27.3.b), an gewend et auf die kiirzest en Vektoren e ; ± ej , erkennt. Fiir n = 4 ist D4 ~ 14 , denn in D4 hab en wir die ort hogonalen Einheits1_( 2' 1111) 1_(1111) 1_(111 1) vekt oren e 1 2 ' 2' 2 ' e2 2' 2 ' - 2' - 2 ' e 3 2' - 2' 2' - 2 '

1_(1111)

e 4 - 2 ' - 2 ' -2 ' 2 . Dieses Resultat war nach den Ergebniss en der Reduktionstheorie (20.4) zu erwarte n; es gibt nur eine Klasse 4-dim ensional er ganz zahlig er Gitter der Det erminante 1. e) Unter einer Partition einer natiirlichen Zahl n versteht man eine Zerlegung n = nl + n 2+· · .+n r in ganze, positive Summanden nl~ n2 n r . J eder solchen P ar tition ordne man das Z-Git te r .1.r=l D Sn i zu. Nach d) und (27.2) ents prechen so verschiedenen Par t iti onen nicht isomorphe Git t er , und die Anzahl der Klassen gera der unimodularer posit iver Git t er der Dimension 8n ist mindestens so grof wie die der P ar ti tionen von n. Insbesond ere st rebt sie mit n gegen 00 .

:s ... :s

28 Best immung von Klassen in einem Geschlecht

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f) E 6 , E 7 und E s sind un zerlegbar. Das folgt aus (27.3.b) mit den Minimalvektoren ! (el + ... + es) und e, + ej , (i , j ::; 5 resp. 6,7). Die folgend e Kiirzungsregel ist eine unmi ttelbare Folgerung aus (27.2) (27.5) Satz Sin d L , M , N positiv definit e Z -Gitter mit L ..L M so ist M ~ N .

~

L ..L N ,

Beweis. Man zerlege L , M und N in orthogonal unzerlegbare Komponent en, L = ..L L i , M = ..L M j , N = ..L N k • Dann kommt jeder unzerlegbare Summ and bis aufIsomorphie ebensooft unter den {L i' M j } vor wie unt er den {Li' N d. Das gilt dann auch fur die Familien { M j } und {Nd , also ist M ~ N . (27.6) Die Behauptung (27.5) ist fur indefinite Gitter falsch. Addiert man namlich zu zwei nicht isomorphen Gittern M , N aus einem Geschlecht die hyperbolische Eb ene H , so liegen H ..L N und H ..L M in einem Geschlecht. Sie liegen nach (25.4) in einem Spinorgeschlecht, denn jede Komplettierung spaltet einen zweidimensionalen regular en Summ and en aboWeil im indefiniten Fall jedes Spinorgeschlecht nur eine Klasse ent halt (25.2), liegen sie sogar in einer Klasse.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht Die klassische Reduk tion stheorie gestattet es im Prinzip, wie wir in §20 gesehen hab en , aIle Z-Git ter einer festen Dimension und Det ermin ante aufzuliste n, da sie die Koeffizient en einer geeigneten Gram-Matri x, d.h. die Lan gen der Vektor en einer sogena nnten "reduzierten" Basis einschrankt . Allerdings ist dieses Verfahren schon fur recht kleine Dimensionen (etwa ab 5) mit erheblichem Rechenaufwan d verbunden. Ind efinite Formen haben wir im vorigen Kapitel mit Hilfe von Approximationssat zen untersucht, hab en dab ei gezeigt, daf Spinorgeschlechter und Isomorphieklassen zusa mmenfallen (25.2), und sind haufig einklassigen Geschlechtern begegnet (26.7c). Gan z anders liegen die Verh altnisse bei definiten Formen. In den Beispielen (27.4e) wachst die Klassenzahl unb eschrankt mit der Dimension n , wahr end die Determinante beschrankt bleibt (namlich gleich 1). Diese Beispiele lassen groBere Klassenzahlen erwarte n, zu deren Bewaltigung wir jetzt ein Verfahr en zur Konstruktion von Gittern vorstellen, das der benachbart en Gitt er. Es ist recht effizient und hat zudem den Vorteil, daf es unter geeignete n Voraussetzungen gezielt die Git ter eines bestimmten Geschlechts , und diese vollst andi g, produz iert. Diese Methode beruht letztlich auf dem st ark en Approximati onssatz sowie der Tatsache, daf lokale Raum e ab der Dimension 5 immer positiven WittInd ex hab en. (28.1) Sei L ein Z-Gitte r in einem positiv-definiten quadratischen Q-Vektorraum V . Wir wollen die Gitter M aus dem Spinorgeschlecht von M bis

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IX. Nachbargitter und definit e Formen

auf Isomorphie klassifizieren . Ausgangspunkt dazu so11 die ApproximationsAussage (25.3) sein. Wir wahlen daher eine Primzahl p mit ind Vp > 0, was nach (16.6) aut oma tisch zutrifft, wenn etwa dim V = n ~ 5 ist , und halten diese im folgend en fest. J ede Klasse im Spinorgeschlecht ent halt da nn ein Git ter M eV mit Ml = L l ftir a11e Primzahlen ef= p , und wir haben M =

n(V n l

M l) S;;

n(V n

l#p

L l ) = Z[~]L

nach (21.5), also Z[~ ]M = Z [~ ] L. Es gilt also prL S;; M S;; p- rL fiir genugend groBe r. Sind M S;; N zwei derartige Git ter und prL S;; M S;; N S;; p-r L , so ist der Gruppenindex [N : M] ein Teiler von [p-r L : pr L] = p2nr, also eine Potenz von p. (28.2) Dem Begriff des Nachbargitters liegt die Idee zugrunde, daf zwei Gitter L, M in Z[~]L = Z[~]M gewisse Gemeinsamkeiten aufweisen, wenn sie einen groBen Durchschnitt L n M , also kleine Indi ces [L : L n M] und [M : L n M] haben. Die Rechnung det (L n M) = [L : L n M]2 det L = [M : L n M ]2 det M (nach (14.7)) zeigt , daf diese Indices den gleichen Wert hab en, etwa [L : Ln n M] =: p", falls det L = det Mist. Unt er dieser Voraussetzung nenn en wir den Exponenten s den p-Abstand von Lund M . Wenn s = 1 ist , so sagen wir , Lund M seien bena chbart , M ein Na chbar von L. M] = [M : L

(28.3) Wir werden allerdings nicht ganz beliebige (ganzzahlige) Z-Gitter M in Z [~] L betrac hte n, sondern nur solche, die eine vorgegebene Determinante d = det L = det M hab en und nicht in einem echt groferen ganzzahligen Gitter ent halten sind. Diese Bedingung , die wir von jetzt ab fur den ganz en Rest des Abschnit ts 28 voraussetzen, ist z.B, erftillt, wenn det M nicht durch p2 te ilbar ist , oder auch dann (und bei p f= 2 nur dann), wenn ZpM maxima l in Qp L ist (14.10). Urn nun , ausgehend von einem gegebenen Git ter L , weitere Git ter in Z[~] L zu erhalte n, formulieren wir den (28.4) Satz Sind L f= M zwei Gitter in Z[~]L = Z[~]M mit der Eigenschaft (28.3) und gleich er D et erminante, so gibt es eine K ette L = L o, L 1 , • • . , L ; =

M von ebensolchen Gittem , bei der L i - 1 und L , bena chbart sind fu r i = 1, ... , r . Wenn p = 2 is t un d L un d M gerade sin d, so kiinnen auch alle L i gerade gewiihlt werden.

Dan ach zeigen wir in (28.7), wie man alle Nachbarn eines Gitters bestimmen kann. Das daraus sich ergebende Klassifizieru ngsverfahren, von einem Git ter a11e Nachbarn zu bilden, von diesen wieder alle Nachbarn, und so fortzufahren, demonstrieren wir dann am Beispiel der definiten unimodul ar en Git ter.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht

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Der folgend e Hilfsatz ent halt einen wesentli chen Teil des Beweises von (28.4). (28.5) Hilfssatz Die Voraussetzungen seien wie in (28.3). Wenn y E L