Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma: Mathematische Temperierungstheorie in der Musik

Karlheinz Schüffler Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma

Karlheinz Schüffler

Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma Mathematische Temperierungstheorie in der Musik POPULÄR

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. rer. nat. habil. Karlheinz Schüffler Hochschule Niederrhein FB 4 Maschinenbau und Verfahrenstechnik Reinarzstraße 49 47805 Krefeld karlheinz.schueffl[email protected]

1. Auflage 2012 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Umschlaggrafik: Abigail Hauwede, Leipzig Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1920-8

Für meine Kinder Christine, Stefan und Peter

Vorwort Mathematik und Musik – wie oft bin ich so oder anders gefragt worden: „Passt das überhaupt zusammen?“ Oder: „Sind das nicht völlig gegensätzliche Dinge?“ Ja, und leider reichen dann weder die Zeit noch für gewöhnlich auch die Möglichkeiten, die wunderschönen vielfältigen und tief verankerten Verflechtungen dieser beiden Kulturen zu beschreiben. Es mag sein, dass der „Laie“ (mit nötigem Respekt so angesprochen) in den Mathematikern nur graue Mäuse sieht, die mit dem Lösen vieler Gleichungen mit ganz vielen Unbekannten (die auch immer „x“ heißen) ihr Dasein fristen – oder schlimmer: sich auf ewig mit Zahlenkolonnen beschäftigen. Das heißt dann im öffentlichen Raum stets „trockene Mathematik“. Und es mag ebenso sein, dass wiederum der „Laie“ in der Musik eine Kunst sieht, für die sich eine „Berechenbarkeit“ oder ein „Regelkostüm“ geradezu verbietet – vor allem im Falle künstlerischer Gipfelsphären. Ein Blick in die Antike lehrt uns jedoch eines anderen Weltbildes: In den „Septem Artes Liberales“ erkennen wir, dass die „musica“ ihren Platz neben der „arithmetica“ und der „geometria“ einnahm und diese – ergänzt durch die „astronomia“ – das sogenannte Quadrivium, den „mathematischen Teil“ der sieben freien Künste bildete. Dabei könnte man allerdings sogar zur Auffassung gelangen, dass dies einen wirklichen Glücksfall bedeutete: Für den Kulturbringer Pythagoras war nämlich Musik nachweislich ein Zahlenspiel – obendrein noch ein solches, das nur die beiden Stammzahlen 2 und 3 erlaubte, anderes wurde über tausend Jahre hinweg in seiner Lehre der „consonantiae“ nicht geduldet. Aber ganz gewiss gerade deswegen konnte sich schließlich unser diatonisches und letztlich vertrautes 12-stufiges, chromatisches Tonsystem etablieren, dauerhaft und alles andere ausschließend – denn all dies fußt schließlich fast gänzlich auf den pythagoräischen antiken Intervallbegriffen. Wer weiß? Möglicherweise würden wir uns andernfalls an bizarren Viertel-Tonklängen oder an noch merkwür-digeren MikroTonklängen, die uns orientalisch aus 1001er Nacht her erreichen, erfreuen (müssen). Verehrte Leserinnen und Leser, dies ist lediglich die Geburtsstunde der zweisamen Existenz von Musik und Mathematik; die „ars mathematica“ hat zu keiner Zeit der „ars musica“ geschadet. Die Mathematik ist weder trocken noch kunstfremd – wie in der Tat auch umgekehrt die Musik keineswegs nur dem ausschließlichen Diktat nach irrationaler Eingebung und „Gefühl“ unterliegt. Ebenso wenig nämlich wie man durch bloßes Aneinanderreihen von Zahlen, Zeichen und Formeln einen mathematischen Satz zeigen kann – geschweige denn eine Theorie

VIII

Vorwort

entwickeln kann –, so findet der Musiker eine Komposition nur durch Aneinanderreihung von Noten: Beides setzt eine gehörige Portion sowohl an Fantasie und Inspiration als auch die Beherrschung und Anwendung von Regeln verschiedenster Art voraus. Und wenn wir die Geschichte der Musik studieren, so liest sich dies bisweilen wie die Geschichte der Arithmetik. Ja, der Zusammenhänge beider gibt es viele und auf vielen Ebenen. Erfreulich daher: „Es hat viel miteinander zu tun“ – das hört man immer öfter. Dies zu bestärken, dazu möchte dieses Buch einen kleinen Beitrag leisten.

Die Septem Artes Liberales (aus dem „Hortus deliciarum“ der HERRAD VON LANDSBERG, 12. Jahrhundert)

Vorwort

IX

Dieses Buch ist entstanden aus einer Vorlesungsreihe zur „Mathematischen Temperierungstheorie“ – also dem Bemühen, eine Systematik der Tonleiter-konstruktionen zu entwickeln, verbunden mit dem Ziel, die überaus komplexen historischen Vorstellungen, Zusammenhänge, Rechnungen und Konstruktionen wie die auch teils ebenso abstrusen wie überraschenden Ideen zu verstehen, zu ordnen und anzuwenden. Es ist geschrieben für Musiker, Mathematiker und – ich betone das ausdrücklich – für den stets so titulierten „interessierten Laien“. Demnach müsste es nun drei Vorworte geben – allein dies vertrüge sich wohl nicht mit der erkennbaren Absicht des Verfassers, die „artes“ nicht zu trennen – vielmehr zu vereinen. Gleichwohl möchte ich für beide einen kurzen Impuls geben: Für die Musik: Stellen wir uns vor, ein Chorleiter teilt seinen Chor in zwei Gruppen A und B, die nun auch räumlich getrennt seien. Die Choristen sind topfit – sie singen a cappella und alle gegebenen Tonschritte „rein“, also Quinten stets im Maß 3:2, Quarten demzufolge im Maß 4:3 sowie schöne Terzen – nämlich solche im Maß 5:4. Beide Gruppen bekommen nun einen gemeinsamen Ausgangs-Start-Ton, sagen wir c sowie folgende Anweisungen: Gruppe A singt c-g (Quinte rauf), dann g-d (Quarte runter). Endton ist also d = d(A). Gruppe B singt c-f (Quarte rauf), dann f-a (Terz rauf), dann a-d (Quinte runter). Endton ist d = d(B). Haben nun beide den gleichen Endton? Ist d(A) = d(B)? Nein, bedauerlicherweise nicht. Beide Gruppen singen jeweils rein, zusammen aber unsauber. Wie das? Nun, schuld daran ist ein Komma, das Syntonische – ein kleines Intervall vom Frequenzmaß 81:80 – allerdings ist das bereits ein Fünftel eines gewöhnlichen Halbtonschritts. Das Intervall c-d(A) hat nämlich das Frequenzmaß 9:8 im Gegensatz zum Intervall c-d(B), welches nur das Maß 10:9 besitzt; der Unterschied beider Intervalle ist gerade dieses Syntonische Komma. Und wiederholen wir diesen Vorgang aneinandergesetzt 5-mal, so ist die Gruppe B um einen vollen Halbton unter der Gruppe A angekommen: Der Vorwurf des Chorleiters träfe wohl die Falschen. Wir werden später sehen, dass es kein „reines“ Tonsystem geben kann, welches die Forderung von der Erhaltung der Tonika erfüllt. Für die Mathematik: Stellen Sie sich vor, Sie schichten Quinte auf Quinte mit der praxisnahen Nebenbedingung, bei Oktavüberschreitung immer um eine Oktave zurückzuspringen („reoktavieren“ nennen wir das später). Nehmen wir dabei einmal an, es sei eine Quinte mit einem rationalen Frequenzmaß zwischen 1 und 2. Welche GesamtTonmenge entsteht? Gibt es Muster, Regelmäßigkeiten und anderes Bemerkenswertes? Wir entwickeln hierzu in diesem Buch eine Intervall-Arithmetik, eine “AdjunktionsAlgebra“, die zusammen mit der Eulerschen Cent-Funktion im Reich der Komplexen Zahlen uns zu Antworten führt.

X

Vorwort

Das Buch wendet sich vor allem auch an Studierende und deren Lehrer der Musikwissenschaft einerseits wie auch der Mathematik andererseits. Für die Ersteren bietet es sich zum Beispiel auch als Hilfe an, das leicht undurchschaubar werdende Sammelsurium historischer wie auch aktuell zu behandelnder Temperierungen nicht nur zu berechnen sondern auch in seinen intrinsischen Zusammenhängen verstehen zu lernen. Für die anderen möge es dagegen ein weiteres dankbares Feld sein, auf welchem eine fruchtbare Anwendung sowohl algebraischer als auch analytischer Methoden höchst lohnenswert wie auch nützlich sein kann. Des Weiteren finden auch all jene praktizierenden Musiker, die sich mit dem „Stimmen“ der Instrumente zu befassen haben – wie es zum Beispiel im Orgelbau als ein Charakteristikum gilt – hilfreiche und hoffentlich auch nachhaltige Kenntnisse und Informationen über die vernetzten Strukturen einer systematischen Temperierung. Der inhaltliche Leitfaden ist in der Tat eine „Mathematische Theorie der TonskalenBildung“. Ein wenig simpler ausgedrückt, begleitet uns also die (praktische) Frage: „Wie packe ich 12 Töne in eine Oktave – wenn ich darüber hinaus einige Vorgaben erfüllen soll?“ Solche Vorgaben könnten sein: ̶

Es sollen möglichst viele Intervalle „rein“ sein; ̶

Es sollen möglichst viele Intervalle aus einer „Iteration“ – also aus einer Intervallschichtung eines gegebenen „Erzeugerintervalls“ – stammen; ̶

Es sollen möglichst viele Intervalle eines bestimmten Typs „rein“ (oder anders gegeben) sein;

und dergleichen mehr. Auch ist es ebenso spannend wie durch die Praxis legitimiert zu fragen: „Wann ist ein System geschichteter Intervalle periodisch (modulo einer jeweiligen passenden Oktavierung) – und wann nicht?“ Ferner: „Gibt es regelmäßige Muster in den erzeugten Skalen?“ und: „Welche Mikro-Differenzen, Schwebungen würden sich ergeben?“ usw. Der musikalische Leitfaden besteht in den Stationen der klassischen Temperierung: ̶

Die Pythagräische Stimmung (Reine-Quint-Iteration, Kapitel 3) ̶

Die Reine Stimmung (Reine Quinten, reine Terzen, Kapitel 4) ̶

Die Mittelton-Stimmung (Kapitel 5) ̶

Die Historischen Stimmungen (Kapitel 6) ̶

Die Gleichstufige Stimmung (Kapitel 7)

Vorwort

XI

Die mathematische Beschreibung beruht im Wesentlichen auf den zwei Bausteinen: ̶

Die Messung der Intervalle durch das logarithmische Centmaß ̶

Eine abstrakte Intervall-Arithmetik in der Intervallschichtung („Adjunktion“)

Und genau die Letztere befreit uns von der Last, alle Quinten-, Terz- und sonstigen Iterationen per Zahlenkalkül bestimmen zu müssen – also so, wie man es in den meisten früheren Literaturen vorfand. Das Erkennen von Regeln und Prinzipien ist hierbei jedenfalls kaum denkbar – und umgekehrt erscheinen uns so manche nur vage beschriebenen historischen Wege auf einmal absolut transparent. Um nun noch etwas „entlegene“ Fragen (wie sie nur Mathematiker stellen können) zu beantworten, dient uns noch ein drittes Werkzeug: ̶

Die Eulersche Cent-Funktion

stellt eine vorzügliche Verbindung zwischen musikalischen Intervallen, Analysis und Geometrie dar. Ihr Einsatz ist jedoch nur punktuell vorhanden – dem hierin weniger geübten Leser werden die Ergebnisse auch erfreulicherweise nicht notwendigerweise verschlossen bleiben – allenfalls die eine oder andere Komponente eines Beweises. Dagegen stellt die „Intervall-Arithmetik“ zusammen mit dem „Centmaß“ die durchgängige Methodik unserer Darlegung dar – eigentlich unverzichtbar. Ja, diese Abhandlung ist zweifellos auch eine „Mathematische“. So werden auch hier – wie gewohnt – Sätze, Definitionen, Theoreme formuliert – und zumeist auch „bewiesen“. Der Beweis dient nämlich nicht nur der Überprüfung der angegeben Formeln oder Behauptungen, sondern er schult vor allem auch den Blick für die Zusammenhänge und ermöglicht dadurch erst die Vertrautheit und Verankerung der Inhalte. Versuchen Sie daher auch, die eine oder andere „Rechnung“ nachzuvollziehen oder auch ähnlich gelagerte Aussagen bzw. Formeln bzw. Konstruktionen selbstständig zu prüfen.

Aufbau des Buches Kapitel 1 stellt zunächst einmal die Mehrzahl der Begriffe vor. Insbesondere wird aber eine neue, äußerst effiziente Arithmetik für das Rechnen mit musikalischen Intervallen entwickelt. Ein weiterer Schwerpunkt ist die Messung von Intervallen vermöge des „Centmaßes“, welchem ein entsprechender Raum gegeben wird. Es folgt eine erste Einführung in die Theorie der Iterationsskalen. Einige nette wie nützliche Zahlenspielereien mit musikalischen Intervallen schließen sich an. Kapitel 2 ist ein Theorie-Kapitel; es widmet sich den einfachen und multiplen IntervallIterationen, den passenden Modellen (Tonspiralen und Eulersche Tongitter), der Erstellung von Mustern („Tonartencharakteristiken“) und vielem mehr.

XII

Vorwort

Die Kapitel 3 bis 7 sind – wie oben bereits erwähnt – den klassischen Skalen gewidmet. Sie besitzen dabei in der Regel den Aufbau: Vorstellung – Historisches – Etwaige Verallgemeinerungen – Mathematische Ergänzungen. Diese Kapitel können darüber hinaus auch für`s Erste als weitgehend eigenständige Lektüre genutzt werden, sieht man einmal von den zentralen Begrifflichkeiten (des Kapitels 1) ab. Für einen Überblick empfiehlt sich insbesondere Kapitel 6, welches über eine charakteristische Auswahl der vorwiegend barocken Temperierungen berichtet und dabei tatsächlich einige überraschende Resultate und moderne Betrachtungsmöglichkeiten aufzeigt. Kapitel 8 schließlich führt die allgemeine Iterationstheorie des Kapitels 2 weiter: Wir stellen mittels der Eulerschen Cent-Funktion (die dort erneut erklärt wird) engste Verbindungen der Intervall-Arithmetik zur Komplexen Zahlenebene – und damit zur Geometrie – her und widmen uns derart ausgerüstet dem „Tonverteilungssatz für multiple Intervall-Iterationen“.

Danksagung Dem Vieweg+Teubner Verlag danke ich aufs Herzlichste für die Übernahme des Buches in sein Verlagsprogramm, insbesondere schulde ich der Cheflektorin, Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch, ob ihrer steten Ermunterung zur Erstellung des Textes großen Dank. Die Leistung, ein beinahe unleserliches Vorlesungsmanuskript samt einer ungeheuren Vielzahl an neuen Symbolen in die vorliegende Druckform zu verwandeln, haben meine ehemaligen Master-Studenten Sascha Keil, Markus Tobis und Matthias Abdinghoff vollbracht. Danke. Meinen Leserinnen und Lesern danke ich für eine hoffentlich rege Diskussion; die mathematisch orientierten unter ihnen bitte ich aber auch um Nachsicht, wenn die eine oder andere Betrachtung nicht die vielleicht gewünschte Stringenz besitzt – wie ich aber auch ebenso die eher an den musikalischen Ergebnissen interessierten unter ihnen um Nachsicht bitte, bisweilen für deren Geschmack leider zu viel mathematischen Erklärwillen eingebracht zu haben.

Schlussbemerkung Diese ist weder der Bibel noch deren Schriften entnommen, wenn es auch eine prägnante Analogie zu den 12 Aposteln zu geben scheint: Unter den 12 Quinten eines jeglichen Tonsystems ist stets eine, welche falsch ist, und man gab ihr den Namen „Wolfsquinte“. Bekommt nun der Wolf ein Komma zum Fraß, das ihm eine der anderen 11 gibt, so wird er einer von ihnen – jene aber zum Wolf.

Vorwort

XIII

Ich lade Sie ein, mit mir auf eine Entdeckungsreise zu gehen und zu erfahren, wie die „trockene“ Mathematik durch die Stärke ihrer Abstraktion uns zu neuen Einsichten führen kann, die Vielfalt der historischen Wege ordnet und dabei Gemeinsamkeiten, Methoden und Prinzipien erkennen hilft.

Karlheinz Schüffler, Mathematiker und Organist

Krefeld, im August 2011

Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................................................................................. VII 1

Grundlagen – Töne und Intervalle ................................................................1

1.1

Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium ....................................... 2

1.2

Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip ................ 8

1.3

Adjunktion und Intervallarithmetik .................................................................. 13

1.4

Das Centmaß für Intervalle ............................................................................... 20

1.5

Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung .............................. 24

1.6

Konsonanz – Euler und Helmholtz .................................................................... 31

1.7

Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration .......................................... 33

2

Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik ......................... 45

2.1

Einleitung .......................................................................................................... 46

2.2

Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen ................. 47

2.3

Die quintgenerierte diatonische Skala .............................................................. 52

2.4

Die quintgenerierten chromatischen Skalen .................................................... 53

2.5

Die Tonartencharakteristik – Einbettung der Diatonik in die Chromatik ......... 63

2.6

Anhang: Cent-Schnellrechnung für Iterationsskalen und Beispiele ................. 69

3

Das pythagoräische Tonsystem .................................................................. 73

3.1

Pythagoräische Skalen ...................................................................................... 74

3.2

Historisches zum pythagoräischen System (P7) ................................................ 76

3.3

Pythagoräisches Komma und die Tonspirale .................................................... 82

3.4

Anhang: Satz von der Tondichte pythagoräischer Quintfolgen ........................ 88

4

Das natürlich-harmonische System ............................................................ 91

4.1

Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch .............. 92

4.1.1 4.1.2 4.1.3

Die 7-stufige (heptatonische, diatonische) Skala R7 ......................................... 93 Die 12-stufige (chromatische) Skala R12............................................................ 94 Die 19-stufige (enharmonische) Skala R19......................................................... 96

XVI

Inhaltsverzeichnis

4.1.4

Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne ............................................................. 99

4.2

Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch ..................................101

4.3

Primzahl – Tonsysteme ...................................................................................111

4.3.1 4.3.2 4.3.3

Das Tongitter von Leonhard Euler (Eulergitter) ..............................................111 Prinzip von der Erhaltung der Tonika..............................................................113 Einfach superpartikulare Intervalle.................................................................116

4.4

Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“.............................................................117

4.5

Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave ............ 120

5

Mitteltönigkeit ........................................................................................ 127

5.1

Einleitung ........................................................................................................128

5.2

Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip ..............................................................131

5.3

Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip ............................................................137

5.4

„Mitteltönige mathematische Spiele“ ............................................................140

5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Geometrie und Mitteltönigkeit .......................................................................140 Mitteltönigkeit und Goldener Schnitt .............................................................141 Die mitteltönige Tonspirale und der Tonverteilungssatz ...............................142 Orthogonio und Mesolabio des Zarlino ..........................................................144

6

Historische Temperaturen ....................................................................... 147

6.1

Einleitung ........................................................................................................148

6.2

Henri Arnault de Zwolle: Der Pythagoräiker ...................................................150

6.3

Arnold Schlick: Mitteltönigkeit fast pur ..........................................................151

6.4

Leonhard Euler und Johannes Kepler: Auswahlsysteme im reinen Gitter ..... 153

6.5

Johann Philipp Kirnberger: Das geniale Auswahlsystem ................................154

6.6

Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung ........................................157

6.7

Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel ......................................159

6.8

Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras ........................................163

7

ETS – Gleichstufige Temperierung ............................................................ 169

7.1

Einleitung ........................................................................................................170

7.2

Die gleichstufigen Skalen ................................................................................172

7.3

Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen .....................................................174

Inhaltsverzeichnis

XVII

7.4

Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung................ 181

7.5

Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie ............................................................................................186

8

Analytische Theorie der Iterationsskalen ................................................. 191

8.1

Einleitung ........................................................................................................192

8.2

Modelle der Intervalliterationen ....................................................................193

8.3

Reoktavierte Tonfolgen...................................................................................198

8.4

Periodische und nichtperiodische Iterationen................................................203

8.5

Intervall-Kombinatorik der Tonspirale ............................................................208

8.6

Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel .....................................................213

8.7

Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy ..................................................220

Nachwort ............................................................................................................. 227 Bilderverzeichnis .................................................................................................. 229 Tabellenverzeichnis .............................................................................................. 233 Literaturverzeichnis .............................................................................................. 235 Formeln – Sätze – Kernaussagen ........................................................................... 237 Stichwortverzeichnis ............................................................................................. 239

Kapitel 1

Grundlagen – Töne und Intervalle 1.1

Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium ....................................... 2

1.2

Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip ................ 8

1.3

Adjunktion und Intervallarithmetik .................................................................. 13

1.4

Das Centmaß für Intervalle ............................................................................... 20

1.5

Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung .............................. 24

1.6

Konsonanz – Euler und Helmholtz .................................................................... 31

1.7

Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration .......................................... 33

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

2

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

1.1 Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium Im Unterschied zu allen anderen hörbaren „Geräuschen“ wird ein „Ton“ dadurch charakterisiert, dass er eine (Luft-)Schwingung darstellt, welche periodische, zumindest jedoch annähernd periodische, Grundmuster aufweist. Nur diese werden durch unser Hör- und Nervensystem als musikalischer Ton (einer subjektiv empfundenen Tonhöhe) erkannt. Das Gefüge und die Folge derartiger Töne nennen wir Klänge und Melodien, unbeschadet einer künstlerischen Attitüde. Die Grundform einer periodischen eindimensionalen Schwingung lässt sich als Formel (Funktion) so schreiben: šሺ–ሻ ൌ ሺ–ሻ ή •‹ሺɘ– ൅ Ƚሻ

und

ɘ ൌ ʹɎ ή ˆɘ ൌ

ଶ஠ ୘

Hierbei bedeuten: t: Zeit

f: Frequenz

A(t): Variable Amplitude

T: Dauer einer Schwingung

α: Phasenwinkel

x Auslenkung

T (T ist konstant)

α

t Zeit

Bild 1.1: Grundform einer periodischen Schwingung

Für solche Grundschwingungen gibt es einige Rechenspielchen. Zum Beispiel kann man zwei oder mehrere Schwingungen addieren („überlagern“) so wie es letztlich in der Realität auch gegeben ist. Für gleichfrequente Schwingungen x1, x2 mit šଵ ሺ–ሻ ൌ ଵ ή •‹ሺɘ– ൅ Ƚଵ ሻ šଶ ሺ–ሻ ൌ ଶ ή •‹ሺɘ– ൅ Ƚଶ ሻ entsteht durch Überlagerung die neue Schwingung šଵ ሺ–ሻ ൅ šଶ ሺ–ሻ ൌ  ή •‹ሺɘ–൅‫ן‬ሻ, wobei gesetzt wurde:

1.1 Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium

3

ଶ ൌ ଵ ଶ ൅ ଶ ଶ ൅ ʹଵ ଶ ή …‘•ሺ‫ן‬ଶ െ‫ן‬ଵ ሻ –ƒ ‫ן‬ൌ

ଵ ή •‹ ‫ן‬ଵ ൅ ଶ ή •‹ ‫ן‬ଶ ଵ ή …‘• ‫ן‬ଵ ൅ ଶ ή …‘• ‫ן‬ଶ

Töne, die von meist 1-dimensionalen Erzeugern wie Saiten oder Flöten stammen, sind nun in der Regel aus Schwingungen zusammengesetzt, die als Frequenzen nur ganzzahlige Vielfache einer gewissen „Grundfrequenz“ ω haben. Demnach definieren wir (einstweilen): Definition 1.1 Ein (musikalischer) Ton ist die Überlagerung (= Summe) einer gewissen, theoretisch unendlichen Folge von Einzelschwingungen xn, wobei xn die n-fache Frequenz einer gegebenen Grundschwingung besitzt: n = 1, 2, 3, … Mathematisch drückt sich dieses in der Spektralformel aus, šሺ–ሻ ൌ σஶ ୬ୀଵሾ ୬ ή •‹ሺɘ–ሻ ൅ ୬ ή …‘•ሺɘ–ሻሿ. Der erste Summand šሺ–ሻ ൌ ଵ ή •‹ ɘ– ൅ ଵ …‘• ɘ– ൌ  •‹ሺɘ– ൅ Ƚሻ ist hierbei die „Grundschwingung“ und ω die „Tonhöhe“ des Tons šሺ–ሻ, die man als „gehörte“ Tonhöhe wahrnimmt. Die Anteile š୬ ሺ–ሻ mit  ൐ ͳ heißen Oberschwingungen (respektive Obertöne oder n-te Partialtöne). Die Frequenz ω ist also die kleinste (sprich „tiefste“) gemeinsame Frequenz aller Teiltöne und man nennt ଵ

ˆ ൌ ଶ஠ ɘ (eigentliche) Tonhöhe, die man in der Musik in Hertz (Hz) = Anzahl Schwingungen/sec misst: ሾˆሿ in

…Š™‹‰—‰‡ൗ •‡… ൌ ‡”–œ .

Beispiel 1.1 Kammerton a = def. 440 Hz: Die Grundschwingung vollzieht in 1 Sekunde 440 periodische Bewegungen.

4

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

x Auslenkung slenkung 0 Sek

1 Sek

t Zeit Zei 440 mal

Bild 1.2: Grundschwingung mit 440 periodischen Schwingungen pro Sekunde

Bemerkungen: 1. Die Einzelfrequenzen der Partialtöne sind also Vielfache der Grundfrequenz f (bzw. ω). Dies ist die eigentliche Geburtsstunde der Begriffsbestimmungen der klassischen Intervalllehre: Oktaven, Quinten, Quarten, Terzen (und einige andere) werden – in ihrer reinen Form – durch ganzzahlige Frequenzverhältnisse festgelegt. f

2f

3f

GrundOktave frequenz

4f

5f

6f

Quinte über Doppeloktave Terz über Oktave Oktave Doppeloktave von 3f

Speziell führt die Verdopplung bzw. Halbierung der Frequenzen zu OktavFortschreitungen, in Formeln ሼʹ୫ ˆȁ ൌ Ͳ േ ͳǡ േʹሽ = Oktavenfolge Beachte:

Hat ein Ton die Grundfrequenz ½ f, so liegt er „1 Oktave tiefer“ als der Ton mit Frequenz f.

2. Die unendliche Folge der Partialtöne bildet eine „Naturtonreihe“, welche letztlich nicht durch eine Tastatur realisierbar ist. 3. Die Amplitudenreihenfolge der Obertöne (An, Bn) definiert die Klangfarbe eines Instruments [27, p 130] und die Klangenergie. 4. Obertöne bilden „reine Intervalle“, und mittels des „Schwebungseffektes“ können gewollte Abweichungen vom Reinheitsgrad zu stimmender Töne dank dieser Obertöne erreicht werden.

1.1 Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium

5

Frequenzverhältnisse lassen sich traditionell gut am so genannten Monochord – dem Instrument aus einer einzig gespannten Saite – demonstrieren. Hierzu dienen folgende Grundformeln. Satz 1.1 (1. Monochordformel) Hat eine gespannte Saite (leer = ganz) die Grundfrequenz ˆ଴ , und haben wir die Teilung Länge L0 Länge Lx

Bild 1.3: Teilung einer gespannten Saite

so erhält man für die Frequenz ˆ୶ der Teilsaite š der Länge ୶ die 1. Monochordformel: ˆ୶ ൌ

୐బ ୐౮

ή ˆ଴ .

Folgerung: ଵ

Beim speziellen Abgreifen ୶ ൌ ଴ entsteht der n-te Oberton der Saite. ୬

ଵ

Meist drückt man ୶ in Bruchteilen zu  aus, also ୶ ൌ ƒ ή  ฺ ˆ୶ ൌ ή ˆ଴ . ୟ Beispiel 1.2 ଵ

ƒ ൌ ฺ ˆ୶ ൌ ʹˆ଴ (Oktave) ଶ

und allgemeiner entsteht diese Form der Monochordformel: ୬

ƒ ൌ ୫ ൌ൐ ˆ୶ ൌ

୫

ˆ ୬ ଴

Aufgabe: Wie stehen die beiden „Teiltöne“ – also der Vergleich beider Tonhöhen einer bei ୬ š ൌ  markierten Saite – zueinander, wobei hier  ൏ ݉ vorausgesetzt ist. ୫

Lösung: ୶ ൌ

 െ  ֜ ଴ െ ୶ ൌ ୷ ൌ ଴  ଴ 

֜ ˆ୶ ൌ

୫

ˆ ୬ ଴

୫

und ˆ୷ ൌ ୫ି୬ ଴

woraus ˆ୷ Ԉ୶ ൌ

୬ ୫ି୬

bzw. ˆ୶ Ԉ୷ ൌ

୫ ୬

െ ͳ folgen.

6

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Beispiel 1.3 š ൌ భర ฺ ˆ୶ ൌ Ͷˆ଴

(Doppeloktave über Grundton ˆ଴ )

› ൌ యర ฺ ˆ୷ ൌ రయˆ଴

(Quarte über Grundton ˆ଴ )

und ˆ୶ Ԉ୷ ൌ ͵, das heißt ˆ୶ ൌ ͵ˆ୷

(Oktave + Quinte über ˆ୷ )

Somit haben wir eine 2. Monochordformel erhalten: Satz 1.2 (2. Monochordformel) Ist ୶ ൌ ƒ଴ , ୷ ൌ ଴ െ ୶ ൌ ሺͳ െ ƒሻ଴, so gilt für das Frequenzverhältnis beider Teile zueinander die 2. Monochordformel: ˆ୶ ͳ െ ƒ ൌ Ǥ ˆ୷ ƒ Bemerkung: Zur Begründung der Monochordformeln kann letztlich etwas subtilere Physik dienlich sein. Der berühmte Gelehrte Mersenne (1588-1648) leitete die physikalische Formel her, nach welcher die Grundfrequenz ˆ଴ einer schwingenden Saite sich berechnet aus ୩୥

ihrer Länge ଴ ሺ‹ሻ, der Massendichte  ቀ‹ ቁ und der Zugkraft ሺ‹‡™–‘ሻ: ୫ ˆ଴ ൌ

ଵ ଶ୐బ

ට

୔ ୫

bzw.

ଵ

୔

ଶ

୫

ˆ଴ ή ଴ ൌ ට

Mersenne’sche Frequenzformel

Daher ist für eine gespannte Saite der Gesamtlänge L0 bei Grundfrequenz f0 die Frequenz fx, welche zu einer gewählten Teilstrecke Lx gehört (vgl. Skizze), ebenfalls ଵ

୮

ˆ୶ ή ୶ ൌ ଶ ට୫ ൌ …‘•–ሺšሻ ൌ ˆ଴ ή ଴ , woraus sofort ˆ୶ Ԉ଴ ൌ ଴ Τ୶ (reziprokes Verhältnis) folgt; die Monochordformeln sind damit leicht zu gewinnen. Schließlich wenden wir uns noch dem Phänomen der Schwebung zu. Überlagert man zwei Schwingungen mit Frequenzenɘଵ bzw. ɘଶ , also šଵ ሺ–ሻ ൌ ଵ •‹ሺɘଵ – ൅ Ƚଵ ሻ šଶ ሺ–ሻ ൌ ଶ •‹ሺɘଶ – ൅ Ƚଶ ሻ, so entsteht unter Zuhilfenahme einiger Formeln der trigonometrischen Welt: šሺ–ሻ ൌ šଵ ሺ–ሻ ൅ šଶ ሺ–ሻ ൌ ሺ–ሻ ή •‹൫ɘଵ – ൅ Ƚሺ–ሻ൯

1.1 Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium

7

ɘଵ െ ɘଶ ൌ οɘ

mit:

ሺ–ሻ ൌ ටଵ ଶ ൅ ଶ ଶ ൅ ʹଵ ଶ …‘•ሺȽଵ െ Ƚଶ െ οɘ–ሻ

–ƒ Ƚሺ–ሻ ൌ

ଵ •‹ Ƚଵ ൅ ଶ •‹ሺȽଵ ൅ οɘ–ሻ ଵ …‘• Ƚଵ ൅ ଶ …‘•ሺȽଶ ൅ οɘ–ሻ

Aus diesen Formeln lässt sich Folgendes ablesen: 1. Eine Überlagerung šଵ ሺ–ሻ ൅ šଶ ሺ–ሻ ist periodisch ֞ ɘଵ und ɘଶ stehen in einem rationalen Verhältnis zueinander, †ƒ•Š‡‹é–ɘଵ ൌ ɘଶ mit ǡ  ‫ א‬Գ. 2. Die neue „Amplitude“ ሺ–ሻ ist periodisch mit einer Periode οɘ („Schwebungsfrequenz“); die Schwingungsfrequenz ሺɘଵ ൅ Ƚሺ–ሻΤ–ሻ verändert sich dagegen im Allgemeinen. Diese periodische Amplitudenschwankung ሺ–ሻ kann wahrgenommen werden. Sie heißt Schwebung. Diese besitzt die Frequenz ȁɘଵ െ ɘଶ ȁ. 3. Im vereinfachten Fall Ƚଵ ൌ Ƚଶ ൌ Ͳ, ଵ ൌ ଶ gewinnt man die Formel šሺ–ሻ ൌ ඥʹ ൅ ʹ …‘•ሺοɘ–ሻ ή •‹ ൬ɘଵ – ൅ ൌ ʹ ቚ…‘•

οன ଶ

–ቚ ή •‹ ቀ

னభ ାனమ ଶ

οɘ –൰ ʹ

–ቁ,

so dass auch hier (wegen des Betrags!) die Schwebungsfrequenz ൌ οɘ ist, weil ȁ…‘• Ⱦ–ȁ die doppelte Periode wie …‘• Ⱦ– hat. Beispiel 1.4 ɘଵ ൌ ͶͶͲœ ൠ ฺ Schwebung hat 2 Hz ɘଶ ൌ ͶͶʹœ x Auslenkung

Schwebe-Periode

2A

t Zeit

Ton-Periode

Bild 1.4: Schwingung und Schwebung

8

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Beispiel 1.5 (Nutzung der Schwebung beim Stimmen) -

gegeben

a:

440 Hz

-

gesucht

dt:

gleichstufig temperierte Quinte unter a

Stimme zunächst d rein als Unterquinte zu a. Dann ist keine Schwebung zu hören. Nun gilt für diese gleichstufige temperierte Quinte (nach Kapitel 7.1): భమ

ହ

Hz-Zahl von †୲ ൌ ʹʹͲ ή ൫ ξʹ൯ ൌ ʹͻ͵ǡ͸͸ͶͺœǤ Der 3. partieller Oberton von †୲ Šƒ–—͵ ‫͵ͻʹ כ‬ǡ͸͸Ͷͺœ ൌ ͺͺͲǡͻͻͶͶœǡ Referenzton ist der 2. Partialton von a mit 2 x 440 = 880,000 Hz ՜ Unterschied ~ 1 Hz - das ergibt die Schwebungsfrequenz 1/sec bzw. 10/10 sec. Nun verändert man das ursprünglich reine d, bis diese Schwebungsfrequenz hörbar sich einstellt. Dann hat sich das ursprünglichen reine d zum gleichstufig temperierten dt gewandelt.

1.2 Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip Es muss wohl nicht sonderlich begründet werden, dass wir einen „Einzelton“, mag er auch sehr schön klingen, nicht als „Musik“ bezeichnen. Musik entsteht, wenn mehrere Töne in einem mehr oder weniger geordneten und „zueinander passenden“ Verhältnis unser Ohr erreichen. Dabei stellt sich heraus, dass unsere Hörempfindung, gottlob, eher weniger die absoluten Grundschwingungszahlen (Frequenzen) misst, um dann die Unterschiede verschiedener Töne als deren Differenz zu verarbeiten, sondern vielmehr den Frequenzunterschied faktoriell wahrnimmt. „Wie viel mal schneller/langsamer schwingt der Ton 1 gegenüber dem Ton 2?“ So kommt man zu der allgemeinen Begrifflichkeit: Definition 1.2 Ein Intervall ist die Paarung je zweier Töne, für welche das Frequenzverhältnis der Grundschwingungen stets dasselbe ist. Dies beschreiben wir nun in drei Betrachtungsstufen: ̶

Physikalisch, ̶

musikalisch und ̶

mathematisch.

1.2 Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip

9

Definition 1.3 Es seien zwei Töne šଵ und šଶ durch ihre (Grund-)Frequenzen ˆଵ und ˆଶ gegeben. Dann bilden die Töne šଵ und šଶ (unter Beachtung der Reihenfolge) ein Intervall, welches als geordnetes Paar ሺˆଵ ǡ ˆଶ ሻ ‫ א‬Թା ൈ Թା definiert ist (das ist ein Punkt im ersten Quadranten des Koordinatensystems) und welches wir als physikalisches Intervall ƒ•‡Š‡—†‹–Ȥ ൌ Ȥሺšଵ ǡ šଶ ሻ ൌ ሺˆଵ ǡ ˆଶ ሻ bezeichnen. Die Größe, das Maß, von wird nun so definiert: ȁȤȁ ൌ ˆଶൗˆ

ଵ

für Ȥ ൌ Ȥሺšଵ ǡ šଶ ሻ ൌ ሺˆଵ ǡ ˆଶ ሻ

und heißt Frequenzmaß des physikalischen Intervalls . Ein gutes mathematisches Modell für (physikalische) Intervalle wäre also der rechte obere Quadrant eines gewöhnlichen Koordinatensystems.

“

„P

Aufwärtsintervalle

rim

y=

x

Frequenz

(x, y)

y

Abwärtsintervalle (y, x)

x

x

y

Frequenz

Bild 1.5: Frequenzmaß und Frequenzbereiche physikalischer Intervalle

Im Rahmen dieses Modells lassen sich folgende Aussagen zeigen: Satz 1.3 (Frequenzmaß – Multiplikationssatz – Viertönesatz) (1) Lagebeziehungen a) Alle Intervalle Ȥ(x,y) eines gegebenen Frequenzmaßes liegen auf ein und derselben Geraden durch den Nullpunkt, und umgekehrt haben alle Punkte, sprich physikalische Intervalle, auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden das gleiche (Frequenz-)Maß.

10

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

b) Die Intervalle Ȥ(x,y) und Ȥ(y,x) sind an der 45° -Linie y = x gespiegelt und offenbar sind ihre Frequenzmaße reziprok, ȁȤሺ›ǡ šሻȁ ൌ ͳൗȁȤሺšǡ

›ሻȁ.

c) Die Bereiche „oberhalb“, „unterhalb“ und „auf“ der Winkelhalbierenden korrespondieren auf evidente Weise mit Aufwärts-, Abwärts- und Primintervallen und man erkennt leicht:   š ൏ ‫ ݕ‬฻ ȁȤȁ ൐ ͳ

(„Aufwärts-Intervall“)

š ൌ › ฻ ȁȤȁ ൌ ͳ

(die (reine) Prim)

š ൐ ‫ ݕ‬฻ ȁȤȁ ൏ ͳ

(„Abwärts-Intervall“)

(2) Multiplikationssatz Es seien x, y, z drei Töne, welche die 3 Intervalle I(x,y) und I(x,z) und I(y,z) definieren. Dann gilt folgende Multiplikationsregel für physikalische Intervalle ȁȤሺšǡ œሻȁ ൌ ȁȤሺšǡ ›ሻȁ ή ȁȤሺ›ǡ œሻȁ (3) Viertönesatz Gegeben sind die 4 Töne x, y, u, v. Sind dann die Intervallmaße ȁȤሺšǡ —ሻȁ und ȁȤሺ›ǡ ˜ሻȁ gleich, so sind auch die anderen beiden Intervalle Ȥሺšǡ ›ሻ und Ȥሺ—ǡ ˜ሻ gleich groß (und umgekehrt). Geometrisch: Liegen ሺšǡ —ሻ und ሺ›ǡ ˜ሻ auf ein und derselben Ursprungsgeraden, so gilt dies auch für ሺšǡ ›ሻ und ሺ—ǡ ˜ሻ. Herleitung: Die Aussagen zu (1) sind unmittelbar am Modell ersichtlich; die einfache Umformung: œ › œ ൌ ή š š › sowie die Äquivalenz — ˜ › ˜ ൌ ฻ ൌ š › š — zeigen die Aussagen (2) und (3).

1.2 Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip

11

Bemerkung: Der „Viertönesatz“ ist die Umformulierung des bekannten „Strahlensatzes der Geometrie“ in die Sprache der Intervalle.

v

ȁȤሺšǡ —ሻȁ ൌ ȁȤሺ›ǡ ˜ሻȁ ฻

u

฻

୳ ୶

ൌ

୴ ୷

Die Punkte ሺšǡ —ሻ und ሺ›ǡ ˜ሻ liegen auf der gleichen Ursprungsgeraden.

Nach dem Strahlensatz gilt dann: x

y

›ǣ š ൌ ˜ǣ — ฻ —ǣ š ൌ ˜ǣ ›

Bild 1.6: Strahlensatz – Viertönesatz

Schließlich geben wir eine interessante Anwendung des „Viertönesatzes“ für die Aufbauarithmetik aller diatonischen Tonleitern – und zwar für diejenigen, welche die Struktur zweier aufeinandergesetzter „Tetrachorde“ besitzen. Dies entspricht im Übrigen weitestgehend den historischen kirchentonalen Grundformen. Definition 1.4 (Diatonische Skala) Eine diatonische Skala ist eine 7-stufige Skala (also eine heptatonische Skala), welche aus zwei diatonischen Tetrachorden besteht, die ihrerseits durch einen Ganztonschritt verbunden sind und zusammen eine Oktave durchlaufen. Wir bemerken, dass die Begriffe „Ganz“- und „Halbtöne“ nur sehr vage beschrieben werden: Alles, was in einem diatonischen Tetrachord nicht ein Chroma (Halbton) genannt ist, ist Ganzton. Folglich hat eine diatonische Skala die Struktur ଵ ሾ‰ ସ െ ‰ ହ െ Šଶ ሿ ሾ‰ െ ‰ ଶ െ Šଵ ሿ െ ‰ ଷ െ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ୘ୣ୲୰ୟୡ୦୭୰ୢ

୘ୣ୲୰ୟୡ୦୭୰ୢ

mit Ganztönen ‰ଵ ǡ ǥ ǡ ‰ ହ und Halbtönen Šଵ ǡ Šଶ . Satz 1.4 (Diatonisches Prinzip) Definiert man als Quinte ein Intervall bestehend aus drei Ganz- und einem Halbton, so gilt die Äquivalenz: (1) Alle fünf Ganztöne ‰ ୧ sind gleich groß und die beiden Halbtöne Š୧ sind gleich groß (die diatonische Skala heißt dann „bitonal“). (2) Alle Quinten sind gleich groß.

12

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Wenn nämlich beispielsweise die beiden Quinten ‰ଵ െ ‰ ଶ െ Šଵ െ ‰ ଷ

und

‰ ଶ െ Šଵ െ ‰ ଷ െ ‰ ସ

gleich groß sind, so sind nach dem „Viertönesatz“ auch ‰ଵ und ‰ ସ gleich groß, weil beiden Quinten das Teilintervall ‰ ଶ െ Šଵ െ ‰ ଷ gemeinsam ist. Analog bekommt man alle weiteren Gleichheiten. Am Ende dieses Kapitels werden wir noch eine „mathematische“ Beschreibung des Intervalls vornehmen. Dazu möge folgende Beobachtung hinführen: Bemerkung: Für den praktizierenden Musiker ist eine Quinte eine Quinte – ganz egal, ob nun das (physikalische) Intervall … െ ‰ oder † െ ƒ gemeint ist: Entscheidend ist nur, dass eben das Frequenzverhältnis in beiden Fällen (absolut!) dasselbe ist. Wohl ist es so, dass das Wort „Quinte“ für eine gewisse „Bandbreite“ an Frequenzverhältnissen steht: Ist …ǣ ‰ ൌ ͳǡͷͲ (eine reine Quinte) und ist †ǣ ƒ dagegen „nur“ ͳǡͶͻ, – so sagen wir gleichwohl zu beiden Intervallen „Quinte“ (weil hier ein 5-Töne-Abstand rasterförmig darüber liegt) – wir sprechen jedoch von unterschiedlich großen Quinten; der Unterschied ist hörbar – und zwar deutlich, wenn es beispielsweise zur Überlagerung kommt. Nichtsdestotrotz ist eine – auch numerisch – exakte Begrifflichkeit vonnöten, ansonsten wären alle Differenzen innerhalb der Skalentheorie obsolet bzw. nicht vorhanden und es gäbe überhaupt keine Betrachtung derselben wie auch erst recht keine Tonsystemproblematik. Wir treffen nun folgende Festlegung: Definition 1.5 Mathematisch ist ein Intervall I die Menge aller physikalischen Intervalle, deren Frequenzmaß den gleichen Wert hat, also zu vorgegebenen … ൐ Ͳ ist ୷

Ȥ ൌ ቄሺšǡ ›ሻ ቚ୶ ൌ …‘•– ൌ …ቅ.

Bezeichnungen: Ȥ ൌ Ȥሺ…ሻ ൌ Ȥୡ ൌ ሾšǡ ›ሿ

Anschaulich – geometrisch: Ein Intervall ist im physikalischen Modell eine komplette Halb-Gerade durch 0 (im 1. Quadranten). Alle Tonpaare ሺšǡ ›ሻ, die auf ein und derselben Geraden liegen, bilden das gleiche Tonintervall. Und es gibt noch eine weitere Ausdrucksmöglichkeit. Führt man auf der Menge aller physikalischen Intervalle eine Äquivalenzbedingung ein, wie folgt: ሺšǡ ›ሻ ؆ ሺš ᇱ ǡ ›Ԣሻ ฻ so ist

› ›Ԣ ൌ š šԢ

ሾšǡ ›ሿ ൌ ሼሺš ᇱ ǡ ›Ԣሻȁሺš ᇱ ǡ ›Ԣሻ ؆ ሺšǡ ›ሻሽ

die sogenannte Äquivalenzklasse des physikalischen Intervalls ሺšǡ ›ሻ.

1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik

13

Alle Einzelmitglieder dieser Klasse definieren das gleiche mathematische Intervall I. Damit folgt mit beliebigem ɉ ൐ Ͳ: › Ȥ ൌ ሾሺšǡ ›ሻሿ ൌ ሾɉšǡ ɉ›ሿ ൌ ൣͳǡ ൗš൧ ൌ ሾͳǡ “ሿ ൌ Ȥሺ“ሻ › mit “ ൌ ൗš. Der Faktor “ ist geometrisch die Steigung der – das Intervall Ȥ darstellenden – Ursprungsgeraden und musikalisch der „Frequenzfaktor“ des Intervalls Ȥ: ሾͳǡ “ሿ nennen wir demnach Frequenzfaktordarstellung von Ȥ. Ist ˆଵ eine Grundfrequenz, dann ist ˆଶ ൌ “ˆଵ genau die Frequenz, so dass die beiden Töne das per “ definierte Intervall Ȥሺ“ሻ bilden. Spezialfälle

“ൌʹէ

Ȥ ‫ ؠ‬Oktave aufwärts

“ ൌ ͵ൗʹ է

Ȥ ‫ ؠ‬reine Quinte aufwärts

“ ൌ ͷൗͶ է

Ȥ ‫ ؠ‬reine große Terz aufwärts

“ ൌ ͳൗʹ է

Ȥ ‫ ؠ‬Oktave abwärts

“ ൌ ʹൗ͵ է

Ȥ ‫ ؠ‬reine Quinte abwärts

“ ൌ Ͷൗͷ է

Ȥ ‫ ؠ‬reine große Terz abwärts

Ferner wäre zum Beispiel ሾͶͶͲǡͳ͹͸Ͳሿ ൌ ሾͳǡͶሿ‡‹‡Doppeloktave.

1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik Haben wir ein Intervall – sagen wir: eine Quinte aufwärts – so könnten wir beispielsweise eine Quarte auf den oberen Ton aufsetzen, also in physikalischen Tönen: Quinte x

Æ

Quarte y

Æ

z

ଷ

ሾšǡ ›ሿ ൌ ቂͳǡ ቃ ଶ ସ

ሾ›ǡ œሿ ൌ ቂͳǡ ቃ ଷ

Dann ergibt sich das neue Intervall ሾšǡ œሿ und nach dem Multiplikationssatz (Satz 1.3) ist ȁሺšǡ œሻȁ ൌ œΤš ൌ œൗ› ή ›ൗš ൌ Ͷൗ͵ ή ͵ൗʹ ൌ ʹ. m.a.W.:

Ȥሺšǡ œሻ ‫ א‬ሾͳǡʹሿ – eine Oktave.

Die frequenzfreie Rechnung ist sinnvoll und wir entwickeln nun nachfolgend ein sehr nützliches Instrument: Während man in Frequenzen gegebene reale physikalische Intervalle ሺˆଵ ǡ ˆଶ ሻ und ሺˆଷ ǡ ˆସ ሻ gewiss nur dann zu einem Intervall zusammenfügen kann, wenn ˆଶ ൌ ˆଷ (oder

14

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

ˆଵ ൌ ˆସ ) ist, so sprechen Musiker allgemein in einer davon unabhängigen Abstraktion – wie „drei große Terzen ergeben eine Oktave“ u.v.m. Definition 1.6 (Adjunktion) Seien Ȥଵ ൌ ሾšଵ ǡ ›ଵ ሿ und Ȥଶ ൌ ሾšଶ ǡ ›ଶ ሿ zwei Intervalle, dann heißt das Intervall Ȥଵ ْ Ȥଶ ‫׷‬ൌ ሾšଵ šଶ ǡ ›ଵ ›ଶ ሿ Adjunktion von Ȥଵ u. Ȥଶ Ǥ Offenbar gilt der Intervall-Multiplikatonssatz ȁȤଵ ْ Ȥଶ ȁ ൌ ȁȤଵ ȁ ή ȁȤଶ ȁ. Satz 1.5 (Intervall-Arithmetik) Die zuvor definierte Addition („Adjunktion“, Aneinanderheftung) von Intervallen erfüllt eine Reihe nützlicher Rechenregeln, die einer „Gruppenstruktur“ genügen: (1) Ȥଵ ْ Ȥଶ ൌ Ȥଶ ْ Ȥଵ

(Kommutativregel)

(2) ሺȤଵ ْ Ȥଶ ሻ ْ Ȥଷ ൌ Ȥଵ ْ ሺȤଶ ْ Ȥଷ ሻ

(Assoziativregel)

(3) Es gibt ein „neutrales Element“ – das ist das Intervall Ȥሺͳሻ ൌ ǷPrim“ ൌ ሾͳǡͳሿ – denn es ist Ȥ ْ ”‹ ൌ Ȥ für jedes Intervall Ȥ. (4) Jedes Intervall Ȥ ൌ ሾͳǡ “ሿ hat das eindeutige Inverse Ȥ ିଵ ൌ ൣͳǡ ͳൗ“൧, d. h. Ȥ ْ Ȥ ିଵ ൌ Ȥሺͳሻ ൌ ”‹. Mathematiker sagen aufgrund des Zutreffens der Eigenschaften (1) – (4), dass es unter der Adjunktion ْ zu einer kommutativen Gruppenstruktur auf der Menge aller Intervalle (sprich Ursprungsgeraden in Թା ൈ Թା) gekommen ist. Es gelten ferner die Gesetze: (5) Ȥଵ ْ Ȥଶ ൌ Ȥሚଵ ْ Ȥଶ ฻ Ȥଵ ൌ Ȥሚଶ

(Kürzungsregel)

(6) Ȥଷ ൌ Ȥଵ ٓ Ȥଶ ฻ Ȥଵ ൌ Ȥଶ ْ Ȥଷ

(Subjunktion)

Man erkennt leicht: Die Kürzungsregel ist gleichwertig zum Viertönesatz. Die Subjunktion von der Prim aus entspricht der Inversen ”‹ ٓ Ȥ ൌ Ȥିଵ ൌ ൣͳǡ ͳൗ“൧ für jedes Intervall Ȥ ൌ ሾͳǡ “ሿ. Wir legen noch fest ْ ǥْ ᇣᇧ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ൌ  , dann gilt für das Frequenzmaß die Gleichung ȁ ȁ ൌ ȁ ȁ୬ . ୬ି୫ୟ୪

Oktavieren führt zu den Formeln: ȁ ْ Ͳȁ ൌ ʹȁ ȁ ଵ

ȁ ٓ Ͳȁ ൌ ȁ ȁ ଶ Und diese oder ähnliche Zusammenhänge werden uns häufig begegnen.

1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik

15

Anwendungen in der Skalentheorie Beispiel 1.6 Legt man fest: „Ein Ganztonschritt GT sind 2 Quinten Q minus 1 Oktave O“, so sind die Intervalle: „12 Quinten aufwärts – dann 7 Oktaven abwärts“ und „6 Ganztöne minus 1 Oktave“ gleich groß. Nach den vorstehenden Rechenregeln erhalten wir nämlich: ͸ ‫  ڄ ͳ ٓ  ڄ‬ൌ  ْ  ْ  ْ  ْ  ْ  ٓ  ሾ ᇧ ൌ ᇣᇧ ْ ٓ ሿ ᇣ ْᇧᇤ ǥᇧْ ᇥ ሾ ْ  ٓ ሿ ٓ  ᇧᇤᇧ ᇧᇧᇥ ୋ୘

଺୫ୟ୪

ൌ  ሾͳʹ ‫ ٓ  ڄ‬͸ ‫ ڄ‬ሿ ٓ  ൌ ͳʹ ‫ ٓ  ڄ‬͹ ‫ ڄ‬ Die letzte Gleichung erfolgt mit den Regeln (1) und (3). Im Falle reiner Quinten [2,3] ist diese Differenz das berühmte pythagoräische Komma.

Beispiel 1.7 Dur- und Moll-Akkord (in reiner Stimmung) ȁȤଵ ȁ ൌ ͷൗͶ —†ȁȤଶ ȁ ൌ ͸ൗͷ ฺ ȁȤଵ ْ Ȥଶ ȁ ൌ ȁȤଶ ْ Ȥଵ ȁ ൌ ͵ൗʹ Der Aufbau Ȥଵ ْ Ȥଶ entspricht dem Dur-Dreiklang, der Aufbau Ȥଶ ْ Ȥଵ entspricht dem Moll-Dreiklang.

Theorem 1.1 (Hauptsatz diatonischer tetrachordischer Skalen, Komma-Formel) Eine heptatonische Skala bestehe aus: ̶

5 gleichgroßen Tonschritten T („Ganztöne“, T für Tonos) und ̶

2 gleichgroßen Tonschritten L („Halbtöne“, L für Limma)

Kurz: Es sei  ൌ ͷ ْ ʹ eine Oktave. Wir nennen

୧ ‫׷‬ൌ Ȯ ْ Ȯ ْ  ْ Ȯ ୟ ‫׷‬ൌ Ȯ ْ Ȯ ْ 

Quinte, Quarte ,

somit ist also ୧ ْ ୟ ൌ Oktave O. Dann ist ͳʹ୧ ٓ ͹ ൌ ͸ ٓ  ൌ  ٓ ʹ.

(Komma-Formel)

16

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Beweis: Nach Konstruktion und nach unseren Rechenregeln gilt:  ൌ ͷ ْ ʹ ֜ ͹ ൌ ͵ͷ ْ ͳͶ Andererseits sind ͳʹ ୧ ൌ ͳʹሺ͵ ْ ሻ ൌ ͵͸ ْ ͳʹ ฺ ͳʹ୧ ٓ ͹ ൌ ͵͸ ْ ͳʹ ٓ ͵ͷ ٓ ͳͶ ൌ  ٓ ʹ. Ebenso sieht man die Gleichheit mit ͸ ٓ  ein. Bemerkung: Der Ausdruck  ٓ ʹ wird im Falle, dass  ‫ ؠ‬pythagoräischer Ganztonschritt ( వఴ - Frequenzfaktor)  ‫ ؠ‬pythagoräischer Halbtonschritt ( మఱల - Frequenzfaktor) మరయ ist, pythagoräisches Komma genannt. Nach unserem Multiplikationssatz gilt ȁ ٓ ʹȁ ൌ

ȁ୘ȁ ȁ୐ْ୐ȁ

ȁ୘ȁ

ൌ ȁ୐ȁమ ൌ

ଽൗ ଼ మ ଶହ଺ ൫ ൗଶସଷ൯

ହଷଵସସଵ

ൌ ହଶସଶ଼଼ .

Unsere abstrakte Rechnung hat den Vorteil, dass sie völlig ohne mühselige und fehleranfällige Frequenzverhältnisnumerik auskommt. Theorem 1.2 (Hauptsatz chromatischer Quintskalen) Für eine Oktave gelte die Bilanz  ൌ ͷ ْ ʹ. Es sei ȁȁ ൏ ȁȁ,

 ؔ  ٓ  (A für Apotome).

Mit dem Intervall ୧ ൌ ͵ ْ  („Quinte“) wird nun die „reoktavierte“ Tonfolge ‫כ‬

୧ ሺ଴ሻ , ୧ ሺଵሻ , ǥ,  ୧ଵଵ (also der ͳʹୣ୰ Quintenzirkel) gebildet, wobei ୧

ሺ୩ሻ‫כ‬

‫כ‬ ൌ ሺ ‫ْڮ‬ ୧ ሻ bedeutet, dass eine passende Abwärtsoktavierung dafür ᇣᇧ୧ᇧْ ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇧᇥ ୩ି୫ୟ୪

sorgt, dass der erreichte Zielton in der Ausgangsoktave liegt („reoktaviert“). Dann entsteht eine chromatische Leiter mit der Stufenfolge Start

2

7

c

cis A

9

A

11

e

dis

d L

4

L

6

eis A

fis L

8

1 g L

3 a

gis A

10

L

5

ais A

(12)

h L

his A L

3T

Tritonus (auf)

his – c = L - A

C

1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik

17

Bemerkungen: 1. Beim Abwärtsschreiten in Quinten (d. h. beim Aufwärtsschreiten in Quarten ୟ ൌ ʹ ْ ) erhielte man die Abfolge ges L L A L A L L A L A L L deses c - des - eses - usw. C A Tritonus (ab)

Komma - Differenz

3T

und ሾ‰‡•ǡ ˆ‹•ሿ ‫ ؠ‬ȁ ٓ ȁ ൌ ȁ ٓ ʹȁ ൌ ‘ƒɂ. 2. Möchte man eine gegebene diatonische (heptatonische) Skala „chromatisch“ füllen, so iteriert man meist von der Abwärtsquinte ሺˆሻ aus aufwärts und erhält dann die chromatische Skala: c

cis

e

dis

d L

A

A

L

f L

fis A

g L

a

gis A

L

ais A

h L

(c) L

Änderung eis f

Bild 1.7: Grundmodell der chromatischen Tonleiter

Der Beweis ist recht simpel. Er nutzt die Gleichungen  ൌ ͷ ْ ʹ sowie  ൌ  ٓ . Die Aufzählung der reoktavierten Quintfolgen in Intervallabständen zum Start (TonikaC) lautet: Tabelle 1.1: Aufzählung der Quintfolgen in Intervallabständen zum Start (Tonika-C)

Tonnamen

Konstruktion

Identisch mit

1

ሺ‰ሻ

͵ ْ 

2

ሺ†ሻ

͸ ْ ʹ ٓ 

3

ሺƒሻ

Ͷ ْ 

4

ሺ‡ሻ

͹ ْ ʹ ٓ 

5

ሺŠሻ

ͷ ْ 

6

ሺˆ‹•ሻ

ͺ ْ ʹ ٓ 

͵

7

ሺ…‹•ሻ

͸ ْ  ٓ 

ٓ ൌ

8

ሺ‰‹•ሻ

Ͷ



ʹ

18

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Fortsetzung Tabelle 1.1: Aufzählung der Quintfolgen in Intervallabständen zum Start (Tonika-C)

9

ሺ†‹•ሻ

͹ ْ  ٓ 

10

ሺƒ‹•ሻ

ͷ

11

ሺ‡‹•ሻ

ͺ ْ  ٓ 

͵ ٓ  ൌ ʹ ْ 

(12)

ሺŠ‹•ሻ

͸

 ْ  ٓ ʹ

(12‘)

ሺ…Ԣሻ

ͷ ْ ʹ ٓ 

ʹ ٓ  ൌ  ْ 

Daraus sind die Abstandsangaben der chromatischen Skala leicht ablesbar. Theorem 1.3 (Hauptsatz der Kommata) Es sei  ൌ ͷ ْ ʹ eine bitonale heptatonische Skala. Mit  ؔ  ٓ  ist dann  = ْ  , und es sei ɂ ൌ  ٓ , also ȁɂȁ ൌ ȁ ٓ ʹȁ. A ε

L

Dann gilt: Durch ɂ ist die ganze Skala – d. h.  und  – eindeutig festgelegt. Folgerung: Nach Theorem 1.1 ist die 12-Quinten-Iterations-Skala am Ende vom Ausgangston (modulo passender Oktavierung) um das Komma ɂ entfernt. Ist dieses Komma bekannt, so ist die ganze chromatische Skala ሼͳǡ “ଵ ǡ “ଶ ǡ ǥ ǡ “ଵଵ ሽ‫ כ‬mit Qൌ ȁ͵ ْ ȁ (Quinte) bereits bestimmt. Sinngemäß bedeutet auch hier das *-Symbol, dass durch passende Division durch eine 2er-Potenz erreicht wird, dass die Zahl im Intervall [1,2[ liegt (Reoktavierung). Beweis: Nach Theorem 1.1 ist ͸ ൌ  ْ ɂ ֜ ȁȁ଺ ൌ ʹȁɂȁ ֜ ȁȁ bekannt. Und aus ɂ ൌ  ٓ ȁ୘ȁ ʹ folgt ʹ ൌ  ٓ ɂ ֜ ȁȁଶ ൌ , woraus ȁȁ errechnet wird, und daraus erhält man ȁகȁ

ȁ୘ȁ

sofort ƒ—•†‡” Ž‡‹…Š—‰ȁȁ ൌ ȁ୐ȁ. Wir fassen zusammen: Theorem 1.4 (Hauptsatz diatonischer, quintgenerierter Skalen) Voraussetzung: Es gelte  ൌ ͷ ْ ʹ mit 2 Intervallen  und 5 Intervallen . Es sei gesetzt  ൌ  ٓ  und ɂ ൌ  ٓ  (abstrakt: Tonos – Limma – Apotome – Komma).

1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik

19

Wir setzen noch ୧ ؔ ͵ ْ 

(abstrakte Quinte),

ୟ ؔ ʹ ْ 

(abstrakte Quarte),

so dass die Bilanz  ൌ  ୧ ْ ୟ gilt. Dann gelten: Hauptsatz 1 (Komma-Formel) ͳʹ୧ ٓ ͹ ൌ ͸ ٓ  ൌ  ٓ ʹ ൌ ɂ ͹ ୧ ٓ Ͷ ൌ  ٓ  ൌ .

und

Hauptsatz 2 (Hauptsatz der Quintiterationen) Es gelte zusätzlich ȁȁ ൏ ȁȁ. Dann liefert die Quintenfolge  ୧ ሺ଴ሻ , ǥ,  ୧ ሺଵଵሻ , wobei ୧

ሺ୩ሻ

ൌ ሺ ‫ْڮ‬ ୧ ሻ, ห୧ ᇣᇧ୧ᇧْ ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇧᇥ

ሺ଴ሻ

ห ൌ ͳ (Prim).

୩ି୫ୟ୪

bedeutet, unter Reoktavierung im Oktavraum ൣ୧ ሺ଴ሻ ǡ ୧ ሺ଴ሻ ْ ൧ eine chromatische Leiter mit den Stufen Modelltöne c

cis A

dis

d L

A

e L

eis A

fis

g

L

L

a

gis A

ais

L

A

h A

L L

Tritonus zu c

his ε C

Beim Abwärtsschreiten in Quinten ୧ (d. h. beim Aufwärtsschreiten in Quarten ୟ ) erhält man die Skala c

ces L

usw.

eses L

A

ges L

A

L

deses L

A

L

A

L

Tritonus zu c

L A

Hauptsatz 3 (Charakterisierung durch das Komma) Eine ͷ ْ ʹ Skala ist eindeutig durch das Komma ɂ bestimmt. Das heißt: Ist ɂ ൌ  ٓ  bekannt ֜ ȁȁǡ ȁȁǡ ȁȁ sind alle bekannt. Bemerkung: Einige weitere Formeln mögen zur Übung aufgezählt sein: ʹ୧ ൌ  ْ Ͳ sowie ͷ୧ ‫ כ‬ൌ Ͳ ٓ .

+ ε Cˡ

20

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Die Formeln lassen sich nutzbringend in die reoktavierte Quintenspiral-Konstruktion einbeziehen. So kommt man sehr schnell zu den weiteren Formeln ʹ ୧ ‫ כ‬ൌ ,

Ͷ ୧ ‫ כ‬ൌ ʹ,

͸୧ ‫ כ‬ൌ ͵,

͵ ୧ ‫ כ‬ൌ ͷ ൅ ,

୧ ൌ ᇣ ͵ ᇧᇤ൅ ᇧᇥ ,

ͺ ୧ ‫ כ‬ൌ Ͷ ͷ୧ ‫ כ‬ൌ  െ .

ସ୘ି୅

Das Symbol * bedeutet stets: Reoktavierung in die gegebene Einheitsoktave.

1.4 Das Centmaß für Intervalle Wie gesehen erfüllt das Frequenzmaß die Gleichung ȁȤଵ ْ Ȥଶ ȁ ൌ ȁȤଵ ȁ ‫ כ‬ȁȤଶ ȁ. Diese durchaus plausible – und mit dem Hörempfinden kompatible – Formel zeigt sich dennoch in so manchem Berechnungsmodell als wenig hilfreich: So muss man zum beispielsweise für die beiden Intervalle Ȥଵ ൌ ሾʹ͵ͳǡ ͵ͳ͹ሿ und Ȥଶ ൌ ሾͶʹͻǡ ͷͺ͹ሿ die Frequenzfaktoren ͵ͳ͹Τʹ͵ͳ ሺ؆ ͳǡ͵͹ʹሻ und ͷͺ͹ΤͶʹͻ ሺ؆ ͳǡ͵͸ͺሻ recht genau berechnen, wenn man adjungieren oder vergleichen will. Aufgabe: Wir suchen eine Funktion ˆ, welche die Größe der Intervalle beschreibt, die jedoch die Größe zweier aneinandergesetzter (sprich: adjungierter) Intervalle als Summe der einzelnen (nicht als deren Produkt) ausgibt. Ferner soll diese Funktion wie das Frequenzmaß nur vom Frequenzquotienten der beiden betrachteten Töne abhängen. Somit ist diese Funktion eine solche, die für alle physikalischen Mitglieder eines einzigen Intervalls, also einer festen Nullpunktsgeraden, gleich ist. Es ist also eine Funktion ǣ ሼ –‡”˜ƒŽŽ‡ሽ ՜ Թ gesucht mit den Eigenschaften (1)

ሺȤଵ ْ Ȥଶ ሻ ൌ ሺȤଵ ሻ ൅ ሺȤଶ ሻ,

und ist ȁȤଵ ȁ ൌ ȁȤଶ ȁ, (2)

so soll auch

ሺȤଵ ሻ ൌ ሺȤଶ ሻ sein.

1.4 Das Centmaß für Intervalle

21

Nun sei: ˆǣ Թା ՜ Թ ˆሺšሻ ൌ ሺ ሻ für ȁ ȁ ൌ š Ferner wünscht man eine für die Musiktheorie leicht motivierbare Normierungsbedingung (3)

ሺ–ƒ˜‡ሻ ൌ ሺʹሻ ൌ ͳʹͲͲ.

Warum? Unser gebräuchliches, modernes Skalensystem besitzt 12 gleichstufige Halbtöne HT, und wir stellen uns vor, dass jeder dieser Halbtöne aus gleich vielen – sagen wir 100 Mini-Intervallen – adjunktiv aufgebaut ist. Demnach ist  ൌ ᇣᇧ

ْ ǥْ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ  (4)

und

ଵ଴଴୫ୟ୪

 ൌ ᇣᇧ

ْ ǥْ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ . ଵଶ଴଴୫ୟ୪

Wie finden wir nun eine solche Maßfunktion mit den Eigenschaften (1) – (3)? Hierzu folgende „musikalische“ Lösung der Aufgabe. Ist das in der Formel (4) angedachte Mini-Intervall, so ist demnach mit Formel (1) und Bedingung (3) ˆሺʹሻ ൌ ቆ ᇣᇧ ْ ǥْ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ቇ ൌ ͳʹͲͲ ሺ ሻ ൌ ͳʹͲͲ, ଵଶ଴଴ି୫ୟ୪

woraus zunächst ሺ ሻ ൌ ͳ folgt. ˆ Ist nun Ȥ ein beliebiges Intervall, ȁȤȁ ൌ “ ൌ ଶൗˆ so nehmen wir vorübergehend – und ଵ

wegen der Kleinheit von – an, dass genau x mal (x ganzzahlig) in Ȥ passt, das heißt (5)

ൌ ْ ǥ š െ ƒŽ ǥ ْ .

Dann ist ሺ ሻ ൌ š ሺ ሻ ൌ š. Andererseits ist mit (5) und dem Multiplikationssatz ȁ ȁ ൌ “ ൌ ȁ ȁ୶ . Ebenso ist nach (4) und dem Multiplikationssatz భ

ʹ ൌ ȁͲȁ ൌ ȁ ȁଵଶ଴଴ ֞ ȁ ȁ ൌ ʹభమబబ ൌ

భమబబ

ξʹ.

22

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Dies eingesetzt in die Gleichung für q ergibt – und so viel Schulmathematik muss nun halt sein – schließlich die gesuchte Darstellung für f ౮

(6)

“ ൌ ʹభమబబ ֞ š ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ ሺ ሻ ൌ ˆሺ“ሻ.

Wir fassen nun diese Herleitung zusammen im folgenden Satz: Satz 1.6 (Centmaß) Die Funktion …–ሺ ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ሺȁ ȁሻ heißt Centmaß des Intervalls  und es gilt:: (1) …–ሺ ሻ gibt an, „wie oft das gleichstufige Halbtonhundertstel ሺ ሻ eines ebenfalls gleichstufigen Halbtons in das Intervall passt“.

heißt „das 1-Cent-Intervall“. › ›Ԣ (2) …–൫ ሺšǡ ›ሻ൯ ൌ …–൫ ሺšԢǡ ›Ԣሻ൯ ֞ ൗš ൌ ൗ šԢ Das ct-Maß ist also eindeutig mit dem Frequenzmaß verknüpft. ౮

(3) …–ሺ ሻ ൌ šሺ‹…–ሻ ֞ ȁ ȁ ൌ ʹభమబబ (im Frequenzmaß) Umrechnungsformel (4) …–ሺȤଵ ْ Ȥଶ ሻ ൌ šଵ ൅ šଶ falls …–ሺȤଵ ሻ ൌ šଵ und …–ሺȤଶ ሻ ൌ šଶ (5) Da sich Logarithmen (zu verschiedenen Basen) bekanntlich leicht umrechnen lassen, hat man auch die Formel (ln = Logarithmus naturalis) …–ሺ ሻ ൌ ͳʹͲͲ

୪୬ȁ୍ȁ ୪୬ ଶ

.

Beispiele 1.8 (1)

…–ሺ–ƒ˜‡ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ଶ ሺʹሻ ൌ ͳʹͲͲ – wie konstruiert

(2)

…–ሺ”‹ሻ ൌ Ͳ (weil Ž‘‰ ଶ ሺͳሻ ൌ Ͳ ist)

(3)

…–ሺ”‡‹‡—‹–‡ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ൫͵ൗʹ൯ ൌ ͹Ͳͳǡͻͷͷ ǥ

Dagegen ist die sogenannte gleichtemperierte Quinte (nach Konstruktion aus genau 7 gleich großen Halbtönen zu je 100 1-Cent-Intervallen aufgebaut) demnach genau ͹ͲͲ…– groß. (4)

…–ሺ”‡‹‡—ƒ”–‡ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ൫Ͷൗ͵൯ ൌ ͶͻͺǡͲͶͶ ǥ

Wir sehen sowohl rechnerisch als auch abstrakt, dass …–ሺ”Ǥ —‹–‡ሻ ൅ …–ሺ”Ǥ —ƒ”–‡ሻ ൌ ͹Ͳͳǡͻͷͷ ǥ ൅ ͶͻͺǡͲͶͶ ǥ ൌ ͳʹͲͲ ist. Anders: (5)

Ž‘‰ ଶ ൫͵ൗʹ൯ ൅ Ž‘‰ ଶ ൫Ͷൗ͵൯ ൌ Ž‘‰ ଶ ʹ ൌ ͳ ଵଶ

Sei ൌ ቂቀʹ଻ ǡ ൫͵ൗʹ൯ ቁቃ, also ȁ ȁ ൌ “ ൌ

ହଷଵସସଵ

.

ହଶସଶ଼଼

Wir haben sicher anhand dieses Frequenzmaßes keine sonderlich gute Vorstellung, „wie groß“ dieses Intervall ist – selbst wenn wir den Frequenzfaktor präzise berech-

1.4 Das Centmaß für Intervalle

23

nen ሺ“ ൌ ͳǡͲͳ͵͸Ͷ ǥ ሻ. Jedoch ist …–ሺ ሻ ൌ ʹ͵ǡͶ͸ ǥ ؆ ͳൗͶ eines temperierten Halbtons! Dieses Intervall ist das Intervall des pythagoräischen Kommas: Die Differenz von 12 reinen Quinten aufwärts zu 7 Oktaven aufwärts. Für das schnelle (einfache) Rechnen wollen wir noch eine „Näherungsformel“ zur Ermittlung der ct-Werte eines Intervalls geben: Ausgehend von der analytischen Entwicklung des Logarithmus um den Punkt 1, Žሺͳ ൅ –ሻ ൌ – െ

୲మ ଶ

൅

୲య ଷ

‫ ڮ ט‬für ȁ–ȁ ൏ ͳ

und dem Wert Ž ʹ ؆ Ͳǡ͸ͻ͵ͳͶ͹ ǥ gewinnt man die Näherung …–ሺ ሻ ൌ

ͳʹͲͲ ˆ ˆ ‫ Ž כ‬൭ ଶൗˆ ൱ ؆ ͳ͹͵ͳ ‫ Ž כ‬൭ ଶൗˆ ൱ ଵ ଵ Ž ʹ

ൌ ͳ͹͵ͳ ‫ Ž כ‬൬ͳ ൅

ˆଶ െ ˆଵ ˆଶ െ ˆଵ ൰ ؆ ͳ͹͵ͳ ˆଵ ˆଵ

für Frequenzsituationen, bei denen – ؔ 

୤మ ି୤భ ୤భ

hinreichend klein ist.

Beispiele 1.9 ଷ

(1)

ൌ ൤ቀͷൗͶቁ ǡ ʹ൨ ൎ ሾ͵‰”‘釔‡‹‡‡”œ‡ǡ –ƒ˜‡ሿ(kleine Diesis) ȁ ȁ ൌ ͳʹͷൗͳʹͺ ֜ …–ሺ ሻ ؆ ͶͳǡͷͶ gegenüber dem genauen Wert ͶͳǡͲͷͺ

(2)

ȁ ȁ ൌ

ହଷଵସସଵ

ହଷଵ

଻

ଵଷ

(pyth. Komma) ൎ ହଶସ ൌ ͳ െ ହଷଵ ̱ͳ െ ଵ଴଴଴ ֜ …–ሺ ሻ ൌ ͳ͹͵ͳ ‫͵ͳ כ‬ൗͳͲͲͲ ൎ ʹʹǡͷͲ‰‡‰‡ò„‡”ʹ͵ǡͶ͸ ǥ (genau) ହଶସଶ଼଼

Bemerkung: Natürlich gibt es auch eine rein mathematische Methode, wie man auf die Centfunktion kommt: Ist wie gewünscht zu ermitteln, also ሺ ሻ ൌ ˆሺȁ ȁሻ, so ist ˆǣԹା ՜ Թ

gesucht mit ˆሺ— ‫˜ כ‬ሻ ൌ ˆሺ—ሻ ൅ ˆሺ˜ሻ.

Bilden wir die Zusammensetzung mit der Exponentialfunktion ‡š’ሺ–ሻ ൌ ‡୲ է Šሺ–ሻ ൌ ˆሺ‡୲ ሻ, so ist ŠǣԹ ՜ Թ

und

Šሺ– ൅ •ሻ ൌ ˆሺ‡୲ାୱ ሻ ൌ ˆሺ‡୲ ‫‡ כ‬ୱ ሻ ൌ ˆሺ‡୲ ሻ ൅ ˆሺ‡ୱ ሻ ൌ Šሺ–ሻ ൅ Šሺ•ሻ.

24

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Eine (stetige – was wir stillschweigend (aber notwendigerweise) voraussetzen müssen) Funktion h, welche diese Funktionalgleichung Šሺ– ൅ •ሻ ൌ Šሺ–ሻ ൅ Šሺ•ሻ erfüllt, ist notwendigerweise eine Gerade durch 0; sie erfüllt demnach die Gleichung Šሺ–ሻ ൌ …‘•–Ǥ – ൌ ƒ ‫– כ‬. Nun soll ˆሺʹሻ ൌ ͳʹͲͲ sein; ˆሺʹሻ ൌ ŠሺŽ ʹሻ ൌ ƒ Ž ʹ, woraus ƒ ൌ ͳʹͲͲൗŽ ʹ – also ˆሺ—ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ଶ ሺ—ሻ folgt.

1.5 Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung Musiker verstehen unter „Intervallen“ zunächst einmal mathematische Intervalle – also losgelöst von den realen Tonfrequenzen genau all jene Tonpaarungen, für die das Frequenzverhältnis immer den gleichen (vorgegebenen) Wert hat. Hinzu kommt allerdings eine Rasterung der Intervallfamilie. Die Aussage: „Die Töne x und y bilden eine Quinte.“ sagt nichts darüber aus, wie „genau“ dies eine Quinte ist. Es könnte eine wirklich reine Quinte (Frequenzverhältnis ʹǣ ͵) ebenso sein wie ein Intervall mit beispielsweise ͸ͻͷ…–. Hier ist entscheidend, aus welchen Tönen sich die vorliegenden konkreten Intervalle ableiten lassen bzw. wo im Notenbild die Notation zu suchen ist. Beispielsweise gilt im Falle der 12 gleichstufigen (heute üblichen) Skala zwar ‫ ܋‬െ ‫ ؠ ܛܑ܌‬übermäßige Sekunde

‫ ܋‬െ ‫ܛ܍‬

‫ ؠ‬kleine Terz

‫ ؠ‬große Terz

‫ ܋‬െ ܎‫ܛ܍‬

‫ ؠ‬verminderte Quarte

‫܋‬െ‫܍‬

obwohl ‡• ൌ †‹•, ˆ‡• ൌ ‡ in diesem System ist. Das ist der Preis der gleichstufigen Skalen – Microintervalle sind ausgeschlossen. Ferner halten wir fest: Da historisch bedingt Frequenzverhältnisse stets in rationalem Maß auftraten (man nannte das kommensurabel), will sagen ˆଶ Ԉଵ ൌ Τ mit ganzen Zahlen ǡ , so schreibt man in einer sozusagen musikalischen Notationsweise  ‫  ׷‬statt ȁ ȁ ൌ Τ. So ist eine reine Quinte aufwärts durch die Notation ͵ǣ ʹ deutlich gemacht. Warnung: Man findet hier ebenso ʹǣ ͵ (statt ͵ǣ ʹ) notiert – hier muss man die Reihenfolge aus dem Kontext erfassen. Für die Notation „ʹǣ ͵“ spricht: Die Anordnung entspricht den Frequenzangaben, also ሺˆଵ ǡ ˆଶ ሻ ൌ ሺͶͲͲœǡ ͸ͲͲœሻ ՞ ʹǣ ͵ erkennbar.

1.5 Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung

25

Für die Notation „͵ǣ ʹ“ spricht: Ist ˆଵ Ausgangsfrequenz, so ist ˆଶ ؔ ͵Τʹ ‫ˆ כ‬ଵ ൌ ͳǡͷ ‫ˆ כ‬ଵ die Endfrequenz, so dass die beiden Töne eine reine Aufwärtsquinte bilden. Tabelle 1.2: Tabelle der gebräuchlichsten reinen Intervalle

܎૛ ൗ܎ ૚

܎૛ ǣ ܎૚

Math. Intervall (normiert)

ͳ

ͳǣ ͳ

ሾͳǡͳሿ

gr. Sekunde

ͻൗ ͺ

ͻǣ ͺ

ൣͳǡ ͻൗͺ൧

kl. Terz

͸ൗ ͷ

͸ǣ ͷ

ቂͳǡ ͸ൗͷቃ

gr. Terz

ͷൗ Ͷ

ͷǣ Ͷ

ቂͳǡ ͷൗͶቃ

Quarte

Ͷൗ ͵ ͵ൗ ʹ

Ͷǣ ͵

ൣͳǡ Ͷൗ͵൧

͵ǣ ʹ

ൣͳǡ ͵ൗʹ൧

ͷൗ ͵ ͹ൗ Ͷ

ͷǣ ͵

ቂͳǡ ͷൗ͵ቃ

͹ǣ Ͷ

ൣͳǡ ͹ൗͶ൧

ʹ

ʹǣ ͳ

ሾͳǡʹሿ

Intervall Prim

Quinte Sexte Septime Oktave

Anmerkung

Varianten möglich

Arithmetisches und harmonisches Mittel Wir erinnern an die drei Begriffe der Mittelung von Zahlen, welche im Falle zweier positiver Daten šǡ ‫ ݕ‬so lauten:  ഥୟ ൌ

୶ା୷

arithmetisches Mittel

ଶ

 ഥ ୥ ൌ మඥš› ଵ ଵ

geometrisches Mittel ଵ

ିଵ

 ഥ ୦ ൌ ቂଶ ቀ୶ ൅ ୷ቁቃ

ଶ୶୷

ቀൌ ୶ା୷ቁ

harmonisches Mittel

Folgende Eigenschaften sind leicht zu zeigen: Für š ൏ ‫ ݕ‬gelten: š൏ ഥ୦ ൏  ഥ୥ ൏  ഥୟ ൏ ‫ݕ‬

(Ungleichung der Mittelwerte)

 ഥ୦ ‫ כ‬ ഥୟ ൌ  ഥ ୥ ଶ ൌ š›

(Mittelwertegleichung)

ሺ› െ  ഥ ୦ሻ ›ൗ ൘ሺ ഥ ୦ െ šሻ ൌ š

(Prinzip der harmonischen Teilung)

Nun wenden wir diese Begrifflichkeiten auf Intervalle an – und entdecken einige (von vielen) Zahlenspielereien der Intervallarithmetik, die schon seit jeher als „Verankerung

26

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

der Musik in der Mathematik“ herhalten mussten. Gleichwohl handelt es sich hierbei in der Tat um ebenso verblüffende wie aber auch einleuchtende Zusammenhänge. Gesteuert werden diese durch zwei „Mittelwertsätze“. Satz 1.7 (1. Mittelwertsatz für musikalische Intervalle) Es sei I ein musikalisches Intervall, welches wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o. E.) in der normierten (Frequenzfaktor-)Form gegeben haben, ൌ ሾͳǡ “ሿ.  ഥୟ ൌ

ଵା୯ ଶ

ଵ

und  ഥ ୦ ൌ భቀభశభቁ ൌ మ

Sind dann

౧

ଶ భ ౧

ଵା

seien die normierten Frequenzmittel.

ୟ ؔ ሾͳǡ  ഥ ୟ ሿ und ୦ ؔ ሾͳǡ  ഥ ୦ሿ ,

so ist ୟ ْ ୦ ൌ Die Intervalle ୟ —† ୦ sind komplementär im Ausgangsintervall. Ist ൌ ሾˆଵ ǡ ˆଶ ሿ mit realen Frequenzen, ˆୟ und ˆ୦ deren arithmetisches bzw. harmonisches Mittel, so ergeben sich die beiden Teilungen:

fa

f1

fh

f2 f1

Ia

Ih

Ih

f2

Ia

Bild 1.8: Arithmetische und harmonische Teilung musikalischer Intervalle

ˆ ˆ ˆ Dann ist nämlichȁ ୟ ْ ୦ ȁ ൌ ȁ ୟ ȁ ‫ כ‬ȁ ୦ ȁ ൌ ୟൗˆ ‫  כ‬୦ൗˆ ൌ   ഥୟ ‫ כ‬ ഥ ୦ ൌ ଶൗˆ . ଵ ଵ ଵ Man kann – sowohl gesteuert durch die Skizze als auch durch direktes Einsetzen der Definitionen – sehr leicht nachrechnen, dass in der Tat ˆ ˆଶ ൗˆ ൌ ୦ൗˆ ୟ ଵ

bzw.

ˆୟ ˆ ൗˆ ൌ ଶൗˆ bzw. ଵ ୦

ˆୟ ‫ˆ כ‬୦ ൌ ˆଵ ‫ˆ כ‬ଶ

ist. Also führt die arithmetische und harmonische Mittelung eines Intervalls auf genau zwei mögliche Unterteilungen in Dreiklänge gemäß vorstehender Skizze.

1.5 Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung

27

Beispiele 1.10 (1)

ൌ ሾͳǡ ʹሿ

(Oktave)

֜  ഥ ୟ ൌ ͵ൗʹ

, also ୟ ൌ ൣͳǡ ͵ൗʹ൧ ൌ ”‡‹‡—‹–‡

 ഥ ୦ ൌ Ͷൗ͵

, also ୦ ൌ ൣͳǡ Ͷൗ͵൧ ൌ ”‡‹‡—ƒ”–‡

Dreiklänge: …ถ െ ‰ െ…Ԣ ด ୍౗

oder

…ถ െ ˆ െ…Ԣ ด

୍౞

୍౞

୍౗

Frequenzverhältnisse 2 : 3 : 4 oder 3 : 4 : 6 (2)

ൌ ൣͳǡ ͵ൗʹ൧

(reine Quinte)

֜  ഥ ୟ ൌ ͷൗͶ

, also ୟ ൌ ቂͳǡ ͷൗͶቃ ൌ ”‡‹‡‰”‘采”œ

 ഥ ୦ ൌ ͸ൗͷ

, also ୦ ൌ ቂͳǡ ͸ൗͷቃ ൌ ”‡‹‡Ž‡‹‡‡”œ

֜ Dreiklänge:

ୟ ْ ୦

Dur-Akkord

୦ ْ ୟ

Moll-Akkord

Frequenzverhältnisse 4 : 5 : 6 oder 10 : 12 : 15 (3)

ൌ ቂͳǡ ͷൗͶቃ

(reine große Terz)

֜  ഥ ୟ ൌ ͻൗͺ

(pyth. Ganzton)

ୟ ൌ pythagoräischer Ganzton

(kleiner reiner Ganzton)

୦ ൌ kleiner reiner Ganzton

 ഥ ୦ ൌ ͳͲൗͻ (4)

(5)

ൌ ൣͳǡ Ͷൗ͵൧

(reine Quarte)

֜  ഥ ୟ ൌ ͹ൗ͸

֜

ୟ ൌ ൣͳǡ ͹ൗ͸൧ ൌ ”‡‹‡‡’–‹‡ ٓ —‹–‡

 ഥ ୦ ൌ ͺൗ͹

֜

୦ ൌ ൣͳǡ ͺൗ͹൧ ൌ –ƒ˜‡ ٓ ”‡‹‡‡’–‹‡

ൌ ሾͳǡ Ͷሿ (Doppeloktave) ֜  ഥ ୟ ൌ ͷൗʹ

, also ୟ ൌ ሾʹǡ ͷሿ ൌ ”‡‹‡‡œ‹‡

 ഥ ୦ ൌ ͺൗͷ (6)

, also ୦ ൌ ሾͷǡ ͺሿ ൌ ”‡‹‡‰”‘采š–

Allgemeiner gilt: ൌ ሾǡ  ൅ ͳሿ ֜ ୟ ൌ ሾʹǡ ʹ ൅ ͳሿ und ୦ ൌ ሾʹ ൅ ͳǡ ʹ ൅ ʹሿ

So ist die von Boethius (5. Jahrhundert) angegebene Teilung des pythagoräischen Ganztons ൫“ ൌ ͻൗͺ൯ in die beiden (verschiedenen) Halbtöne ͳ͸ ‫ͳ ׷‬͹ ൌ ୟ und

ͳ͹ ‫ͳ ׷‬ͺ ൌ ୦

28

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

völlig konkordant mit der soeben beschriebenen arithmetischen bzw. harmonischen Mittelung des pythagoräischen Ganzton-Intervalls („Tonos“) samt seiner beiden SubDur- bzw. Mollakkorde ୟ ْ ୦ bzw. ୦ ْ ୟ . ͳ͸ǣ ͳ͹ǣ ͳͺ

– d. h. ͳ͸ ‫ͳ כ‬͹ ‫ͳ ׷‬͹ ‫ͳ כ‬͹ ‫ͳ ׷‬ͺ ‫ͳ כ‬͹ („Dur“) ͳ͸ ‫ͳ כ‬͹ ‫ͳ ׷‬͸ ‫ͳ כ‬ͺ ‫ͳ ׷‬͹ ‫ͳ כ‬ͺ („Moll“)

Boethius hatte die Unterschiedlichkeit der beiden Halbtöne wohl erkannt – sie jedoch völlig fehlgedeutet als Beweis der Nichtteilbarkeit des Tonos in zwei gleiche Teile. Geometrisches Mittel Satz 1.8 (2. Mittelwertsatz für musikalische Intervalle) Ein Intervall ൌ ሾͳǡ “ሿ bestehe aus der Adjunktion von n Intervallen ୩ ൌ ሾͳǡ “ ୩ ሿ ሺͳ ൑  ൑ ሻ, also ଵ ْ ଶ ْ ǥ ْ ୬ ൌ . Dann heißt ein Intervall ଴ Mittelung der ሺ ୬ ሻ ֞ seine n-fache Aneinanderfügung (Adjunktion) führt zum gleichen Gesamtintervall , also ଴ ْ ଴ ْ ǥ ْ ଴ ൌ . ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ ୬ି୫ୟ୪

Dann gilt: ଴ ൌǣ ሾͳǡ “଴ ሿ ist n-fache Mittelung der Intervalle ଵ ǡ ǥ ǡ ୬ ֞  “ ଴ ൌ ౤ඥ“ଵ ‫ “ ڮ‬୬ also:

“ ଴ ୬ ൌ “.

“ ଴ ist das geometrische Mittel der Frequenzfaktoren “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୬ . Beweis: Beide Teile der folgenden Gleichungen ergeben sich aufgrund der Multiplikationseigenschaft des Maßes ȁ ȁ: “ଵ ‫ “ ڮ‬୬ ൌ “ ൌ “ ଴ ୬ Anwendung: (1) Der gleichtemperierte Halbtonschritt ଴ hat den Frequenzfaktor భమ

“ ଴ ൌ ξʹ ൌ ͳǡͲͷͻͶ͸ ǥ ‫ͲͲͳ ؠ‬ǡͲͲͲ…–, ଵଶ୫ୟ୪

ᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇫ denn es soll ja ᇩᇭ ଴ ْ ǥ ْ ଴ ൌ –ƒ˜‡ sein.

1.5 Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung

29

(2) Die Mittelung der drei reinen Intervalle —‹–‡ሺ͵ǣ ʹሻ, —ƒ”–‡ሺͶǣ ͵ሻ und kleine ‡”œሺ͸ǣ ͷሻ ergibt “ ଴ ଷ ൌ ͵ൗʹ ‫ כ‬Ͷൗ͵ ‫ כ‬͸ൗͷ ൌ ͳʹൗͷ է “ ଴ ൌ ͳǡ͵͵ͺͺ ǥ ؆ ͷͲͷǡʹͳͶ…–, also deutlich mehr als die reine—ƒ”–‡ ൎ Ͷͻͺ…–. Diese Quarte ist übrigens die „mitteltönige Moll-Terz-Quarte“, der wir in Kapitel 5.3 begegnen. Harmonische Teilung തതതത eine Strecke mit Zwischenpunkt  (welcher nicht Geometrisch bedeutet dies: Es sei  Mittelpunkt sein darf). Gibt es nun einen Punkt  gemäß der Skizze, welcher die Längenproportion c

b C

A

B

D

a Bild 1.9: Skizze zur harmonischen Teilung

  ൌ ൌ   erfüllt, so heißt  harmonisch konjugiert zu  bzw. umgekehrt. Man sagt auch, dass -

die Strecke  (durch die Punkte  und ) im Verhältnis k harmonisch geteilt ist, die Strecke AD (durch die Punkte und ) im Verhältnis k harmonisch innengteilt ist.

Solche harmonisch konjugierten Punkte  und  kann man bei gegebenem Teilungsverhältnis immer (eindeutig) berechnen bzw. geometrisch konstruieren. Musikalische Anwendung (beim Monochord) Wir stellen uns eine gegebene Saite der Länge ƒ (Strecke ) mit einer Grundfrequenz ˆୟ vor. Darauf greifen wir eine Teilstrecke †‡” Länge „ ab. Dann sei  derjenige Teilpunkt auf , so dass die Punkte —†  harmonisch konjugiert bezüglich des Teilungsverhältnisses „ൗƒ der Strecke AB sind, d. h. … ƒ   ƒ ൌ ൌ ֞ ൌ ǡ ƒ െ ሺ… ൅ „ሻ „   „ woraus folgt …ൌƒ‫כ‬

ƒെ„ Ǥ ƒ൅„

30

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Wir betrachten nun die drei Töne Ganze Saite AD mit der Frequenz fa Teilsaite AB mit der Frequenz fb Teilsaite AC mit der Frequenz fc welche offenbar aufsteigende Frequenzen haben, die sich nach der Monochordformel reziprok zu den Längen verhalten: „ ˆୡ ƒ ƒ ൅ „ ͳ ൅ ƒ ൌ ൌ ൌ ˆୟ … ƒ െ „ ͳ െ „ ƒ und

ˆୠ ƒ ͳ ൌ ൌ ˆୟ ƒ െ „ ͳ െ „ ƒ



Als Resultat haben wir dann den Satz: Satz 1.9 (Harmonische Teilung des Monochords) ୠ

Wird eine Saite AD im gegebenen Verhältnis ୟ ൌ  ൫ ് భమ൯ harmonisch innengeteilt, so stehen die Frequenzen der 3 Töne  െ  െ  im Verhältnis ˆୟ ‫ˆ  ׷‬ୠ ‫ˆ  ׷‬ୡ

ൌ ሺƒ െ „ሻ ‫ ׷ ƒ ׷‬ሺƒ ൅ „ሻ ൌ ሺͳ െ ሻ ‫ ׷ ͳ ׷‬ሺͳ ൅ ሻ.

Speziell ergibt sich für die harmonische Folge „ ‫ ƒ ׷‬ൌ ͳ ‫  ׷‬die Tonfolge ˆୟ ‫ˆ  ׷‬ୠ ‫ˆ  ׷‬ୡ

ൌ ሺ െ ͳሻ ‫ ׷  ׷‬ሺ ൅ ͳሻ.

Beispiele 1.11 (1)

ൌ͵

Akkord

ʹ‫׷͵׷‬Ͷ

(Bsp.: … െ ‰ െ …Ԣ),

(2)

ൌͶ

Akkord

͵‫׷‬Ͷ‫׷‬ͷ

(Bsp.: … െ ˆ െ ƒ), Quart-Sext-Akkord

(3)

ൌͷ

Akkord

Ͷ‫׷‬ͷ‫׷‬͸

(Bsp.: … െ ‡ െ ‰), Dur-Akkord (rein),

(4)

ൌ͸

Akkord

ͷ‫׷‬͸‫׷‬͹

(Bsp.: ‡ െ ‰ െ „‫) כ‬,

 wobei „‫ כ‬Natur-Septime ist (‰ െ „‫ כ‬ist etwas kleiner als eine kleine Terz).

1.6 Konsonanz – Euler und Helmholtz

31

Man beobachtet sofort, dass die beiden Intervallverhältnisse mit wachsendem n immer näher aneinanderrücken – sich also der geometrischen Halbierung nähern, denn ଶ  ൅ ͳൗ ͳ ୬՜ஶ   െͳ ൌ ൌ ͳ െ ଶ  ሱۛሮ ͳǤ ൗ ଶ   െͳ

1.6 Konsonanz – Euler und Helmholtz Kaum ein Begriff der Musiktheorie ist so schwer, präzise zu fassen, wie der Begriff der Konsonanz. Zunächst aus der Antike stammend, bedeutete „consonantia“ (= zusammenklingen) jedwede Paarung von erlaubten Tönen. Erlaubte Tonpaarungen waren nun mal solche, deren Frequenzverhältnisse „commensurabel“ – also in einem rationalen Verhältnis – standen. Eine ästhetische Empfindung, wie wir uns das heute bei diesem Begriff vorstellen, blieb hier außen vor. Dennoch setzte im Laufe der Zeit eine Bewertung des Grads einer Konsonanz ein, welche weitgehend darauf beruht, dass der „Verschmelzungsgrad“ zweier Töne von dem Grad der Gemeinsamkeit der wichtigsten (theoretisch: aller) Obertöne – also der Tonspektren – abhängt. Erfahrungsdefinition Das Intervall I(x,y) zweier Töne x und y wird umso konsonanter empfunden, je größer der Anteil gemeinsamer Partialtöne (des Hörbereichs) ist. Für Orgelbauer ist hiervon ausgehend dann folgende Beobachtung interessant: Satz 1.10 (Satz vom Konsonanzgrad) Sei › ൌ š ‫כ‬

’୫ ൗ“୬ ,

™‘„‡‹’—†“œ™‡‹˜‡”•…Š‹‡†‡‡”‹œƒŠŽ‡•‹†Ǥ

Dann stimmt der “୬-te Partialton von › mit †‡’୫ -ten Partialton von š überein, und entsprechendes gilt auch für alle Vielfachen dieser Teiltöne. Warum? Es ist Ž ‫ › כ‬ൌ Ž ‫כ‬

୮ౣ ୯౤

‫ š כ‬ൌ Œ ‫ š כ‬für ein l, Œ ‫ א‬Գ, genau dann, wenn die

Bedingung gilt: Ž ‫’ כ‬୫ ൌ Œ ‫“ כ‬୬ Ǥ‹‡•‹•–‰‡ƒ—†ƒ‡”ˆòŽŽ–ǡ ™‡ Œ ൌ  ‫’  כ‬୫ und Ž ൌ  ‫“ כ‬୬ mit einer beliebigen positiven natürlichen Zahl k geschrieben werden kann, weil ja ’ und q prim zueinander sind. Gute Konsonanzen erbringen so die Intervalle 2:1, 3:2, 4:3, 5:4 und 5:3.

32

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Bemerkung: Die Schwierigkeit, Konsonanzen „mathematisch“ zu erfassen, besteht natürlich auch in der Komplexität des physikalischen Tonvorgangs einerseits und der Komplexität sowie der kulturell bedingten Tradition des Hörvermögens andererseits. Dennoch gibt es recht viele unterschiedliche Ansätze zur Beschreibung der Konsonanz. Exemplarisch beschreiben wir die Ideen von Leonhard Euler (1707-1783). Definition 1.7 (Eulersche Gradus-Funkion) Es sei  ‫ א‬Գ eine natürliche Zahl. Dann ist bekannt, dass n eine sogenannte Primfaktor-Darstellung hat: Ist ’ଵ ǡ ’ଶ ǡ ’ଷ ǥ die Primzahlfolge 2, 3, 5, 7, 11, …so kann n als endliches Produkt  ൌ ’ଵ ஑భ ‫’ ڮ‬୩ ஑ౡ

ሺȽ୧ ൒ Ͳሻ

geschrieben werden (und spätestens ab  ൌ  wären alle Exponenten Ƚ୩ ൌ ͲሻǤ Man setzt nun ୩

Ȟሺሻ ൌ ͳ ൅ ෍ Ƚ୧ ሺ’୧ െ ͳሻ ୧ୀଵ

Für (gekürzte) Brüche Τ heißt nun die Funktion  Ȟ ቀ ቁ ൌ Ȟሺ ‫ ׷‬ሻ ൌ Ȟሺ ‫ כ‬ሻ 

Gradus suavitatis

Eulersche Gradus-Funktion („Gradus suavitatis“) bzw. Eulersche Konsonanzfunktion.

Beispiele 1.12  ൌ ͸Ͳ ൌ ʹଶ ‫͵ כ‬ଵ ‫ כ‬ͷଵ

(1)

֜ Ȟሺ͸Ͳሻ ൌ ͳ ൅ ʹሺʹ െ ͳሻ ൅ ͳሺ͵ െ ͳሻ ൅ ͳሺͷ െ ͳሻ ൌ ͻ Anwendung: Die kleine Dezime ͳʹǣ ͷ hat Gradus 9. Tabelle der Eulerschen Konsonanz-Grade ൑ ͸

(2) ડ

‫ ܕ ׷ ܖ‬oder ‫ܖ ׷ ܕ‬

2

ʹ‫ͳ׷‬

3

͵‫ ͳ׷‬, Ͷ‫ͳ׷‬

4

͸‫ ͳ׷‬, ͵‫ ʹ׷‬, ͺ‫ͳ׷‬

5

ͷ ‫ ͳ ׷‬, ͻ ‫ ͳ ׷‬, ͳʹ ‫ ͳ ׷‬, Ͷ ‫ ͵ ׷‬, ͳ͸ ‫ͳ ׷‬

6

ͳͲ ‫ ͳ ׷‬, ͷ ‫ ʹ ׷‬, ͳͺ ‫ ͳ ׷‬, ͻ ‫ ʹ ׷‬, ʹͶ ‫ ͳ ׷‬, ͺ ‫ ͵ ׷‬, ͵ʹ ‫ͳ ׷‬

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

33

Satz 1.11 (Eigenschaften der Eulerschen Konsonanzfunktion) (1)

Ȟ൫ౣ౤൯ ൌ Ȟ൫ౣ౤ ൯

(2)

 ‫  כ‬ൌ • ‫ ֜ – כ‬Ȟ൫ౣ౤ ൯ ൌ Ȟ൫౩౪൯

(3)

Ȟሺʹሻ ൌ Ȟሺሻ ൅ ͳ ൌ Ȟ൫౤మ൯

(4)

Ȟሺ͵ሻ ൌ Ȟሺሻ ൅ ʹ

(5)

’ Prim ֜ Ȟሺ’ሻ ൌ ’

(6)

’ଵ ǡ ǥ ǡ ’୫ prim ֜ Ȟሺ’ଵ ‫ כ‬ǥ ‫’ כ‬୫ ሻ ൌ ሺσ୫ ଵ ’୧ ሻ െ ሺ െ ͳሻ

Alle Regeln sind leicht herleitbar und als Hausaufgabe empfohlen Einen anderen Weg zur Beschreibung der Konsonanz beschreiten die Physiker. Vor allem ist hier der große Akustiker Hermann von Helmholtz (1821-1894) zu nennen, der eine analytische Kurve entwickelt hat, die einen Konsonanzgrad in Abhängigkeit von der Entfernung der Grundfrequenz zweier Töne voneinander beschreibt. ([5] [27]) y

cʹ

e

f

g

a

cʹʹ

cʹʹʹ 2. Ton

1. Ton konstant c y ≡ „Rauheitsgrad“ des Intervalls [c, 2. Ton]

Bild 1.10: Helmhotzsche Konsonanzfunktion

Teilweise wurden auch statistische Untersuchungen und Befragungen über „Konsonanz-empfinden“ von Versuchspersonen erstellt – und hiervon ausgehend auch „Konsonanzkurven“ nebst zugehörigen Regeln, welche aus deren Deutungen sich (möglicherweise) ableiten lassen. [25, p 163 ff]

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration Dieses Kapitel gibt einen ersten Einblick in ̶

die Theorie der Tonspiralen ̶

das Multiple Eulersche Primzahl-Tongitter ̶

den Dichtheitssatz bzw. den Tonverteilungssatz

34

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Bei einer vergleichenden Betrachtung der Tonsysteme (pythagoräisch, mitteltönig, rein-harmonisch, etc.) zeigen sich gemeinsame Strukturen und Parallelen in den Aussagen. Woran liegt das? Nun, es ist ein gemeinsames mathematisches Modell – das Modell einfacher oder multipler geometrischer Folgen unter Einschluss der Primzahltheorie, eingebettet in einen musikalischen Rahmen: den Oktavraum. Definition 1.8 (Geometrische Folgen) Für einen gegebenen Parameter “ ൐ Ͳ heißt ሺ“୬ ሻ୬‫א‬Ժ ൌ ‫ି“ ڮ‬ଶ ǡ “ିଵ ǡ ͳǡ “ǡ “ଶ ǡ ‫ڮ‬ (zweiseitige) geometrische Folge. Für “ ൐ ͳ ist “୬ ሱۛሮ λ und “ି୬ ሱۛሮ Ͳ, für Ͳ ൏ ‫ ݍ‬൏ ͳ ist dies umgekehrt. ୬՜ஶ

୬՜ஶ

Bemerkung: Die Centfunktion wandelt geometrische Folgen in arithmetische: …–ሺ“୬ ሻ ൌ  ‫–… כ‬ሺ“ሻ ൌ  ‫–•‘… כ‬

für ganze Zahlen

Definition 1.9 (Multiple geometrische Folgen) Sind mehrere Parameter “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ gegeben, welche „algebraisch unabhängig“ sind (was bedeutet, dass keines der “ ୧ sich als Summe von rationalen Vielfachen der übrigen schreiben lässt), so kann man die multiple geometrische Folge ሺ“ଵ ୬భ ‫ “ כ‬ଶ ୬మ ‫ כ‬ǥ ‫ “ כ‬୩ ୬ౡ ሻ୬భ ‫א‬Ժǡǥǡ୬ౡ‫א‬Ժ bilden. Wir bezeichnen die Gesamtheit aller solchen Werte mit ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ൌ ሼš ൌ “ଵ ୬భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡ ȁଵ ‫ א‬Ժǡ ǥ ǡ ୩ ‫ א‬Ժሽ  heißt in unserem Kontext „multiples“ (d. h. -dimensionales) Eulersches Tongitter.

Beispiele 1.13 (1)

(2) (3)

“ ൌ ͵ൗʹ ֜ ሺ“ሻ ൌ Menge aller Aufwärts- und Abwärtsquinten von einem beliebigen Ton aus  aus (bspw. vom Ton ͳœ). Anders: Ist ein beliebiger Ausgangston (Tonika) gegeben – nehmen wir †‡‘…‹–ʹ͸Ͷœ, ֜ … ‫  כ‬ൌ ሼ…šȁš ‫ א‬ሽ ‫ ؠ‬Menge aller Aufwärts-/ Abwärtsquinten (reine ͵ ‫ʹ ׷‬-Quinten) vom Ton … aus. ర “ ൌ ξͷ ֜ ሺ“ሻ ൌ Menge aller Aufwärts- und Abwärtsquinten mit der ర „mitteltönigen“ Quinte ξͷ ‫ ͳ ׷‬؆ ͳǡͶͻ ‫ͳ ׷‬. “ ൌ ͷൗͶ ֜ ሺ“ሻ ൌ Menge aller Terzschritte auf/ab mit der reinen großen Terz ͷ ‫ ׷‬Ͷ.

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

35

Im Folgenden wollen wir annehmen, dass die betrachteten Frequenzfaktoren “ bzw. “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ് ʹ sind, da dies für unsere Betrachtung irrelevant wäre (“ ൌ ʹ stellt ja die Oktavierungsfolge dar). Grundbeobachtung: Sei šԖሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ. Dann gibt es eine eindeutige Zahl  ‫ א‬Ժ, so dass die Bedingung ͳ ൑ š ‫ʹ כ‬୫ ൏ ʹ erfüllt ist. Dieses so multiplizierte š nennen wir š ‫ כ‬, und es sei:  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ൌ ሼš ‫ʹ ؔ כ‬୫ “ଵ ୬భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡ ሽ ‫ ؿ‬ሾͳǡ ʹሿ

Reoktaviertes Eulergitter

Musikalisch bedeutet das, dass  ‫ כ‬alle Töne aus  – per passender Reoktavierung in die normierte Einheitsoktave ሾͳǡ ʹሾ transportiert – enthält. Im Übrigen sieht man leicht folgende Invarianzeigenschaften: (1)

šǡ › ‫ א‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ֜ š ‫ א › כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ

(2)

š ‫ א‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ֞ š ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ൌ ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ

(3)

šǡ › ‫ א‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ֜ ሺš ‫› כ‬ሻ‫ כ‬ൌ ሺš ‫ כ › כ כ‬ሻ‫ כ‬

(4)

ሺ“ǡ ’ሻ ൌ ሺ“ሻ ‫ כ‬ሺ’ሻ

So besagt die 2. Bedingung z. B. für ൫͵ൗʹ൯, dass die Gesamtheit aller reinen Quintfolgen (auf/ab) beim Ton 1 startend dasselbe ist, als ob sie bei einem anderen ihrer Töne starten würde. Theorem 1.5 (Endlichkeitssatz für geometrische Folgen) Es sind gleichwertig (1)

 ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “୩ ሻ enthält nur endlich viele Töne

(2)

Alle Frequenzfaktoren “ ୧ sind gebrochene Potenzen von 2, d. h. ୫౟ ൗ୪ ౟

“୧ ൌ ʹ ‫ כ‬ሺ“

ଵ ǡ ǥ ǡ “୩ሻ

für ‹ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ǡ —†୧ ǡ Ž୧ ‫ א‬Ժ.

(3)



(4)

Das Centmaß aller “ ୧ ist rational.

ist periodisch bezüglich jeder einzelnen Iteration.

36

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Beweis: (3) ՜ (1): Dieser Schritt ist trivial. (1) ՜ (2): Offenbar ist die spezielle reoktavierte Reihe ଵ ‫ כ‬ሺ“ଵ ሻ ൌ ሼš ‫ כ‬ൌ ʹ୫ “ଵ ୬భ ȁଵ ‫ א‬Ժሽ eine (echte) Teilmenge von  ‫ כ‬, die dann nach Voraussetzung auch endlich ist. Also müssen jedenfalls zwei der Folgenglieder gleich sein (und deshalb auch unendlich viele). Ist aber eine Gleichung der Form ʹ୫ “ଵ ୬ ൌ ʹ୩ “ଵ ୪  erfüllt, so ist zwingend ౡషౣ

“ଵ ୬ି୪ ൌ ʹ୩ି୫ , also “ଵ ൌ ʹ ౤షౢ . Eine solche Beziehung gilt somit für jeden Frequenzfaktor “ ୨ . Demnach ist ౣౡ

ౣభ

“ ଵ ൌ ʹ ౢభ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ൌ ʹ ౢౡ wie gewünscht. ౣ౟

(2) ՜ (3): Sind die “୧ ൌ ʹ ౢ౟ , so folgt für das Produkt die Darstellung ౣ ౣ ൬୬భ భ ା‫ڮ‬ା୬ౡ ౡ ൰

“ ଵ ୬భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡ ൌ ʹ

ౢభ

ౢౡ

wobei  ൌ Žଵ ‫ כ‬ǥ ‫Ž כ‬୩ der Hauptnenner ist. Daher gilt:  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ‫ כ  ؿ‬ሺ“ ଴ ሻ Andererseits ist ‫ כ‬ሺ“ ଴ ሻ periodisch, denn ist ౣ

“ ଴ ൌ ʹ ౤ (m, n teilerfremd), so ist “ ଴ ୪୬ ൌ ʹౢౣ für alle Ž ‫ א‬Ժ, d. h. ‫כ‬

൫“ ଴ ୪୬ ൯ ൌ ͳ. ౣ

Somit besteht  ‫ כ‬ቀʹ ౤ ቁ aus den n Tönen ౣ

ౣ

ౣ

ͳǡ ʹ ౤ ǡ ʹమ ౤ ǡ ǥ ǡ ʹሺ୬ିଵሻ ౤ .

ౣ

భ

୫

ൌ ʹ ౤ ൌ ቀʹ౤ ቁ ൌǣ “ ଴ ୫ ,

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

37

Bemerkung: Für  ൌ ͳ und  ൌ ͳʹ ist dies genau die gleichstufige 12-stufige Skala ሺଵଶ ሻ. ౣ

Zu (4): •–“ ൌ  ʹ ౤ ǡ †ƒ‡”ˆòŽŽ–†ƒ• Centmaß x von “ die Gleichung ౣ

š ൌ ͳʹͲͲ ‫ ‰‘Ž כ‬ଶ ቀʹ ౤ ቁ ൌ ͳʹͲͲ ‫כ‬

୫ ୬

und ist somit rational. Die Umkehrung ergibt sich so: š ൌ ͳʹͲͲ ‫ ‰‘Ž כ‬ଶ ሺ“ሻ ൌ

୫ ୬

(rational)

୫

ౣ

֞ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ ଵଶ଴଴‫כ‬୬ ֜ “ ൌ ʹభమబబ‫כ‬౤ . Erläuterung: Sei  eine Quinte mit z. B. ͹Ͳͳ…– , dann ist die Iteration mit  periodisch, denn  ْ ǥ ْ  ൌ ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ  ْ ǥ ْ , ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ଵଶ଴଴୫ୟ୪

଻଴ଵ୫ୟ୪

weil nämlich ͳʹͲͲȁȁ ᇣᇧ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ  ൌ ͹Ͳͳ ‫ כ‬ȁȁ ൌ ͹Ͳͳ ‫( ͲͲʹͳ כ‬in ct) ଵଶ଴଴‫଻כ‬଴ଵ

ist. Eine analoge Rechnung kann man ebenso für jedes andere beliebige rationalcentwertige Intervall Q durchführen und erkennt dadurch die Periodizität der Iteration.

Das Tonspiralen-Modell Periodizität und Nicht-Periodizität von  ‫ כ‬ሺ“ሻ lässt sich nun grafisch so beschreiben: Wir wählen den relevanten Fall einer 12-stufigen Skala und Fortschreitungen in „Quintschritten“ – das sind 7 Stufen. ళ

Fall A: “ ൌ “଴ ൌ ʹభమ ൌ ͳǡͶͻͺ͵ ǥ ֜  ‫ כ‬hat 12 Töne und ist periodisch.

38

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

C G

F=Eis Start B=Ais

D

Es=Dis

A

As=Gis

E Cis

H Fis

Bild 1.11: Standard-12-Quintenkreis-Modell

Fall B: “ ൌ “ ୰ ൌ ͵ൗʹ ሺ൐ “ ଴ ሻ ଵଶ

“ ൗ Es entsteht die Folge reiner Quinten und es ist ሺ“ ୰ଵଶ ሻ‫ כ‬ൌ ʹ଻ ൌ ͳǡͲͳ͵͸ ǥ („pythagoräisches Komma“). Das bedeutet, dass der 12. Quintenton his „knapp über“ der Ausgangstonika liegt Æ Spirale öffnet sich.

his

fisis

eis cisis c f

g d a

ã=gisis

Bild 1.12: Tonspirale, expandierend ర

Fall C: “ ൌ “ ୫ ൌ ξͷ ൌ ͳǡͶͻͷ ሺ൏ “ ଴ ሻ. Es entsteht die mitteltönige Quintenreihe ሺ“ ୫ଵଶ ሻ‫ כ‬ൌ

ଵଶହ ଺ସ

ൌ ͳǡͻͷ͵ ൏ ʹ.

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

39

Hier liegt die 12. Quinte etwas unter der Oktav des Ausgangstons – so dass die nächsten 12 Quintenschritte genau um diesen Faktor „unter“ den vorherigen liegen. Die Spirale schrumpft. c f

g d

eis his ã

a

Bild 1.13: Tonspirale, kontrahierend

Bemerkung: „Sich öffnen“ oder „sich schließen“ ist leider nicht mit den einfachen Bedingungen భఱ

“ ൐ “ ଴ und “ ൏ “ ଴ gekoppelt. Das ist diffiziler. So ist für “ ൌ ʹమర ൌ ͳǡͷͶ nach 24 Schritten die Spirale „geschlossen“. Man beachte hierbei, dass die Möglichkeiten zur Periodenbildung, dass also der Frequenzfaktor “ von der Form ୬

“ ൌ ʹ୫ ist, zu einer Zahlenmenge führt, welche ihrerseits „dicht“ verteilt liegt: Die Menge aller periodenbildenden Iterationsparameter q ୬

ൌ ቄ“ ൐ Ͳȁ“ ൌ ʹ୫ ‹– ‫ א‬Ժǡ  ‫ א‬Գቅ ‫ ؿ‬ሿͲǡ λሾ liegt „dicht im positiven Zahlenraum ሿͲǡ λሾ. Das heißt: Ist š ൐ Ͳ irgendeine reelle Zahl und ist ɂ ൐ Ͳ beliebig, so gibt es stets ganze positive Zahlen  und , so dass ୬

ቚʹ୫ െ šቚ ൏ ߝ ist.

40

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Multiple Tonfolgen  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ kann man durch das -dimensionale Eulergitter modellieren (wobei die -Dimensionalität dann gilt, wenn die Parameter “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ algebraisch unabhängig sind (z. B. aus verschiedenen Primzahlpotenzen stammen)). Theorem 1.6 (Eindeutigkeit multipler geometrischer Tonfolgen) Sind die “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩von der Form “ ୨ ൌ ʹ୫ౠ ‫’ כ‬୨ ୰ౠ mit ୨ ǡ ”୨ ‫ א‬Է und ’୨ ist Primzahl, derart, dass die Primzahlen ’ଵ ǡ ǥ ǡ ’୨ alle paarweise verschieden sind, dann sind alle Töne aus ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ paarweise verschieden. Allgemeiner gilt: Die Töne (d. h. die Folgenglieder) aus  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୬ ሻ sind genau dann paarweise verschieden – somit durch die Formel š ‫ כ‬ൌ ሺ…ሻ ‫“ כ‬ଵ ୬భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡ eindeutig beschrieben –, wenn die ሺ ൅ ͳሻ reellen Zahlen ሼͳǡ Ž‘‰ ଶ ሺ’ଵ ሻ ǡ ǥ ǡ Ž‘‰ ଶ ሺ’୩ ሻሽüber Է linear unabhängig sind. Beweis: Es sei also š ‫ כ‬ǡ › ‫ כ  א כ‬und š ‫ כ‬ൌ › ‫ כ‬, also š ‫ כ‬ൌ ʹ୫ ‫“ כ‬ଵ ୬భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡ ൌ ʹ୪ ‫“ כ‬ଵ ୪భ ‫ “ ڮ‬୩ ୪ౡ ൌ › ‫כ‬ ֜ “ଵ ୬భ ି୪భ ‫ “ ڮ‬୩ ୬ౡି୪ౡ ൌ ʹ୪ି୫ . Im Falle, dass “ ୨ ൌ ’୨ ୰ౠ ‫ʹ כ‬୫ౠ , Œ ൌ ͳǡ ǥ ǡ  ist, folgt hieraus, dass ’ଵ ୰భ ‫כ‬୬భ ‫’ ڮ‬୩ ୰ౡ‫כ‬୬ౡ ൌ ʹ୬ ‫’ כ‬ଵ ୰భ ‫כ‬୪భ ‫’ ڮ‬୩ ୰ౡ‫כ‬୪ౡ

(mit einem  ‫ א‬Ժ)

ist. Potenziere diese Gleichung mit dem Hauptnenner aller Brüche ”୨ ֜ es entsteht letztlich folgende Gleichung: ’ଵ ୱభ ‫’ ڮ‬୩ ୱౡ ൌ ʹ୫ ‫’ כ‬ଵ ୲భ ‫’ ڮ‬୩ ୲ౡ mit •୧ ǡ – ୧ ‫ א‬Գ Dann muss aufgrund der berühmten Eindeutigkeit der Primfaktordarstellung – ୧ ൌ •୧ —† ൌ Ͳ sein. Den allgemeinen Fall erreicht man durch Logarithmieren der Gleichung š ‫ כ‬ൌ › ‫ כ‬Ǥ Diese ist dann mit den gesetzten Abkürzungen gleichwertig zur Gleichung: ୧ െ Ž୧ ൌ ୧ und  െ Ž ൌ  (gesetzte Abkürzungen)  ൅ ଵ Ž‘‰ ଶ ሺ“ଵ ሻ ൅ ଶ Ž‘‰ ଶ ሺ“ ଶ ሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ ୩ Ž‘‰ ଶ ሺ“ ୩ ሻ ൌ Ͳ, woraus nach der Voraussetzung des Satzes  ൌ ଵ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ୩ ൌ Ͳ folgt. ‫ז‬

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

41

Nun nehmen wir an, dass eine reoktavierte Iterationstonfolge  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ gegeben ist, welche nicht periodisch ist, sondern unendlich viele Töne des Oktavraums ሾͳǡ ʹሿ bildet. Wie verteilen sich diese Töne? Zum Beispiel wäre die Frage interessant, wie sich die Tonmenge  ‫ כ‬ሺ͵Ȁʹሻaller reinen Aufwärts- und Abwärts-Quinten – passend oktaviert – in der Einheitsoktave verteilt. Theorem 1.7 (Satz von Levy – Tonverteilungssatz) Sei  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ eine unendliche Tonmenge in der Einheitsoktave ሾͳǡ ʹሾ. Dann ist  ‫ כ‬dicht im Intervall ሾͳǡ ʹሿ. Beweis: Wir geben an dieser Stelle aus Gründen der Übersichtlichkeit – aber auch, um einen Eindruck über einige mathematische Methoden der Intervalliterationen zu vermitteln eine erste, etwas straffe Darstellung des Beweises. In dem späteren Kapitel 8 folgt eine detailliertere Ausarbeitung, da uns dort noch weitere Hilfsmittel zur Verfügung stehen. Da  ‫ כ‬nicht endlich ist, gibt es mindestens einen Frequenzfaktor, welcher nicht von ౤

der Form ʹౣ ist. Wir nehmen ohne Einschränkung an, dies träfe für †‡ ƒ–‘”“ଵ œ—. Trivialerweise ist nun  ‫ כ‬ሺ“ଵ ሻ ‫ כ  ؿ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ ‫ ؿ‬ሾͳǡʹሿ und wir zeigen, dass die reoktavierte Tonfolge des Frequenzfaktors “ଵ bereits dicht im Oktavraum ሾͳǡ ʹሿ liegt. Vorgehensweise: 1. Wir richten eine umkehrbare, eineindeutige Beziehung (Bijektion) ˆ zwischen der Einheitsoktave S1 [1,2] c à c’

f

C Cˡ

und dem Kreis ଵ im komplexen Körper ԧ ein – und zwar derart, dass, wenn ein Ton – von ͳ ՜ ʹ läuft, die Bildwerte unter der Abbildung f monoton entlang des Kreises einmal herumlaufen.

42

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Wir zeigen zweitens: Auf der ଵ gibt es kein noch so kleines Intervall க , welches durch Töne aus  ‫ כ‬via Übertragung durch ˆ nicht getroffen wird.

IƐ

1 f(M*) liegt auf S1

S1

Zu 1: Diese Abbildung ist nun die „Eulersche Centfunktion“: ˆǣ Թା ՜ ଵ ‫ ؿ‬ԧ ˆሺ–ሻ ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୲ሻ  Wichtige Eigenschaften von ˆ•‹†: a) ˆሺʹ–ሻ ൌ ˆሺ–ሻ und allgemein ˆ൫ʹ୩ –൯ ൌ ˆሺ–ሻ für alle ganzzahligen  ‫ א‬Ժ: ˆ ist also invariant gegenüber Oktavierungen. Warum? ౡ ୲൯

ˆ൫ʹ୩ –൯ ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మ൫ଶ

ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬ሺ୪୭୥మሺ୲ሻା୩ሻ

ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୲ሻ ‫‡ כ‬ଶ஠୧୩ ൌ ˆሺ–ሻ ‫ͳ כ‬ b) ˆǣ ሾͳǡ ʹሾ ՜ ଵ ist bijektiv (umkehrbar, eineindeutig) und stetig, und wenn die Variable – von 1 nach 2 läuft, so läuft ˆሺ–ሻ von 1 längs des Kreises über ‹ǡ െͳǡ െ‹ wieder von unten zum Ausgangspunkt 1, denn Ž‘‰ ଶ ሺ–ሻ ǣ ሾͳǡ ʹሿ ՜ ሾͲǡ ͳሿ ist monoton wachsend. c)

ˆ൫ ‫ כ‬ሺ“ଵ ሻ൯ ൌ ˆ൫ሺ“ଵ ሻ൯, kurz ˆሺ ‫ כ‬ሻ ൌ ˆሺሻ

Warum?: Nach a) spielen Oktavierungen für f keine Rolle. d) ˆ ist auch auf  eineindeutig (injektiv) Warum? Sei š ൌ “୫ und › ൌ “୬, dann ist zu zeigen ist, dass für  ്  auch ˆሺšሻ ് ˆሺ›ሻ folgt. Dies schließen wir nun indirekt:

1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration

౤ሻ

‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୯

43

ౣሻ

ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୯

֞ ‡ଶ஠୧‫כ‬୬‫כ‬ୟ ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୫‫כ‬ୟ

ሺƒ ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“୬ ሻሻ

֞ ‡ଶ஠୧‫כ‬ሺ୬ି୫ሻ‫כ‬ୟ ൌ ͳ ֞ ሺ െ ሻƒ ൌ 

mit  ‫ א‬Ժ

֞ ሺ െ ሻ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ  ୩

Ist nun  ് , so wäre Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ ୬ି୫, also “ ൌ ʹ୰ mit rationalem ”, was wir ausgeschlossen haben. Deshalb ist  ൌ  (und demnach  ൌ Ͳ) und somit š ൌ ›. e)

ˆሺ– ‫• כ‬ሻ ൌ ˆሺ–ሻ ‫ˆ כ‬ሺ•ሻ

Warum? ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୲‫כ‬ୱሻ ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬ሺ୪୭୥మሺ୲ሻା୪୭୥మሺୱሻሻ ൌ ‡ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺ୲ሻ ‫‡ כ‬ଶ஠୧‫כ‬୪୭୥మሺୱሻ ൌ ˆሺ–ሻ ‫ˆ כ‬ሺ•ሻ Als Folgerung ergibt sich die Iterationsgleichung: ୬

ˆሺ– ୬ ሻ ൌ ൫ˆሺ–ሻ൯ ‫ א‬ଵ Geometrisch bedeutet dies: Ist œ ൌ ˆሺ–ሻ, so entsteht œ ୬ durch Ver--fachung des Winkels ߙ, den die Kreiszahl œ‹–†‡””‡‡ŽŽ‡…Š•‡„‹Ž†‡–Ǥ

z3

z2 α α

z1 α 1

Zu 2: Angenommen, es gäbe auf ଵ ein kleines Intervall க ‫ ؿ‬ଵ , so dass gilt: ˆሺሻ ‫ ת‬க ൌ ‫׎‬ was bedeutet, dass க keine Elemente („Töne“) aus ˆሺሻ‡–Š¡Ž–.

44

1 Grundlagen – Töne und Intervalle

Dann wählen wir ɂ maximal mit dieser Eigenschaft, was letztlich aufgrund der Stetigkeit von f möglich ist. S1 IƐ Dort gibt es Punkte von f(M)

Dann folgt: Für alle  ‫ א‬Ժ ist auch க ୫ ؔ க ‫ˆ כ‬ሺ“୫ ሻ frei von Tönen aus ˆሺሻ; க ୫ ist aber genau das um den Winkel ‫( ן‬welcher zu ˆሺ“୫ ሻ gehört) gedrehte Intervall க . Wäre nämlich für ein ݇ ‫ א‬Ժ— ˆ൫“୩ ൯ ‫ א‬க ୫ , so wäre wegen க ൌ க ୫ ‫ˆ כ‬ሺ“ത୫ ሻ ˆ൫“୩ ‫“ כ‬ത୫ ൯ ൌ ˆ൫“୩ି୫ ൯ ൌ ˆ൫“୩ ൯ǡ

ˆሺ“ത୫ ሻ ‫ א‬க

entgegen der Annahme. Für alle  ‫ א‬Ժ haben wir die Familie der Intervalle க ୫ ‫ ؿ‬ଵ

mit ˆሺሻ ‫ ת‬க ୫ ൌ ‫׎‬.

Trivialerweise ist für  ്  auch க ୫ ് க ୩ , da alle diese aus eindeutigen Drehungen hervorgehen. Nun hat க ୫ immer die Länge ɂ (auf ଵ ) und ଵ ist ʹɎ lang. Daher können nicht alle க ୫ paarweise disjunkt sein. Es gibt demnach mindestens ein Zahlenpaar ǡ  mit க ୫ ‫ ת‬க ୩  ് ‫׎‬. Dann ist aber க ୫ ‫ ׫‬க ୩ wieder ein zusammenhängendes Kreisbogenintervall ohne Punkte aus ˆሺሻ, und ؔ க ୫ ‫ ׫‬க ୩ ‫ˆ כ‬ሺ“ത୫ ሻ umfasst க und erfüllt offenbar die Bedingung ‫ˆ ת‬ሺሻ ൌ ‫׎‬, im Widerspruch zur Maximalität von க . ‫ז‬

Kapitel 2

Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik 2.1

Einleitung .......................................................................................................... 46

2.2

Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen ................. 47

2.3

Die quintgenerierte diatonische Skala .............................................................. 52

2.4

Die quintgenerierten chromatischen Skalen .................................................... 53

2.5

Die Tonartencharakteristik – Einbettung der Diatonik in die Chromatik ......... 63

2.6

Anhang: Cent-Schnellrechnung für Iterationsskalen und Beispiele ................. 69

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

46

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

2.1 Einleitung Zentraler Gegenstand unserer Untersuchung sind Skalen – und zwar: ̶

heptatonische (diatonische) – 7-stufige Tonleitern ̶

chromatische („halbtönige“) – 12-stufige Tonleitern

welche „quintgeneriert“ sind. Das heißt, sie entstehen dadurch, dass man einen Anfangston („Tonika“) wählt, im nächsten Schritt eine Quinte weiter geht, dann noch eine Quinte weiter und immer wieder passend rückoktaviert und so fort. Wobei die „Quinte“ a priori eine beliebige vorgegebene Größe hat. Wir begegnen in der Historie zahlreichen Tonskalen, die quintgeneriert sind – die Quinten liegen hierbei alle in einer nahen Umgebung der Universalquinte  ୣ zu ͹ͲͲ…– (welche die gleichstufige Temperierung generiert). Die „Quintgenerierung“ der Tonleitern ist jedenfalls derart zentral, dass das Modell des „Quintenkreises“ die wichtigste Quelle der Tonartenzusammenhänge geworden ist. Leiteraufbau, Tonartenverwandtschaften, Harmonielehre u. v. m. sind hierdurch einprägsam zu veranschaulichen – wenn nicht sogar verankert.

c g

f b

d

es

a

as

e cis

h fis

Bild 2.1: Standard-Modell des geschlossenen Quintenkreises

Seit den Tagen von Pythagoras ist also der Aufbau der Tonsysteme durch Quintenfortschreitung als die weit überwiegende Methodik der Skalentheorie anzu-sehen. Dies hat gewiss seine Ursachen darin, dass der antik-griechische Zugang zur Skalenbildung aus einer Tetrachordik hervorging, die geradezu prädestiniert war, die „Quinte“ – als Startstufe eines weiteren angefügten Tetrachords – zum Skalen-aufbau zu verwenden.

2.2 Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen

47

Bedauerlicherweise ist es nun so, dass Quintfortschreitungen keineswegs unproblematisch sind: Wer mit Eifer und Perfektion eine reine Quinte (͵ ‫ʹ ׷‬-Quinte) an die andere hängt, wird betrübt feststellen, dass er (nach zwischenzeitlich notwendigen Rückoktavierungen) leider nicht den Ausgangspunkt erreicht. Kurz: Geschlossene Quintenkreise gibt es durch reine Quinten nicht! Stets ergibt sich nach 12 Schritten, mithilfe derer wir die Tastatur der 12 zu findenden Töne der Oktave belegen wollen, dass sich der Klangkreis nicht schließt – es entsteht eine (kleine) Lücke, die man „Komma“ nennt. Auch stellen wir fest, dass unsere quintgenerierten „Ganztöne“ (z. B. ‰ െ ƒ) längst nicht durch „Halbtöne“ hälftig geteilt werden – auch hieran ist das Komma schuld. Und wenn wir tiefer eindringen in die Verästelungen der Quintenfolgen, so entdecken wir einen ganzen Zoo von Mikrointervallen, die alle untereinander in Beziehung stehen. Jede (Iterations-)Quinte hat ihr Defizit, ihr Komma: ̶

das „pythagoräische Komma“ ሺʹ͵ǡͷ…–ሻ gehört zur reinen Quinte ̶

die „kleine Diesis“ ሺͶͳǡͲ…–ሻ gehört zur (Dur-)Mitteltönigkeitsquinte die „große Diesis“ ሺ̱͸ʹǡͷ…–ሻ gehört zur (Moll-)Mitteltönigkeitsquinte ̶ ̶

das „syntonische Komma“ ሺʹͳǡͷ…–ሻ ist das Defizit zwischen Terz- und Quintstimmung

und, und, und. Und dann gibt es noch den Wolf (die „Wolfsquinte“), der nur dann, wenn er das Komma gefressen hat, dem Quintenkreis zu seiner scheinbaren Unversehrtheit verhilft. Komma, Quinte und Ganztonteilung stehen in einem prägnanten, ursächlichen Zusammenhang. Das vorliegende Kapitel ist jenem gewidmet.

2.2 Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen Wir werden in diesem Kapitel die Hauptgegenstände unserer Thematik – die TonSkalen – bezüglich ihrer inneren Struktur und ihres Aufbaus untersuchen. Dabei gehen wir sehr „abstrakt“ vor – wir erreichen dadurch das Plateau einer übergeordneten Universalstruktur der Tonleitern. Die meisten Verfahren, Skalen zu bilden, beruhen wie bereits erwähnt auf Quintiterationen – entweder gänzlich, indem mittels Aneinanderreihung (Adjunktion) einer einmal gewählten „Quinte“ eine Tonfolge generiert wird, die bei passender, begleitender

48

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

Reoktavierung in einem Oktavraum liegt – oder indem dies zumindest teilweise oder aber auch mit verschiedenen Iterationsintervallen geschieht. Bei allem haben wir im Blick ̶ ̶

die „diatonische“ Skala, die aus 7 Tönen ሺ–‹…Š™‘”–ǣ… െ † െ ‡ െ ˆ െ ‰ െ ƒ െ Š െ …ሻ besteht – deswegen auch heptatonische Skala genannt wird, die „chromatische“ Skala, die aus 12 Tönen ൫–‹…Š™‘”–ǣ … െ …‹• െ † ǥ Š െ ሺ…ሻ൯ besteht und die eine Aneinanderreihung von ganz bestimmten Halbtonschritten darstellt.

Wenn solche Skalen quintgeneriert sind, gibt es nun folgende Fragen: ̶

Welche Intervalle treten auf? ̶

Wie hängt das Skalengefüge von der erzeugenden Quinte ab?

In den nun folgenden Betrachtungen verwenden wir die Formeln und Fakten der ̶ ̶

Intervall-Adjunktion, Cent-Rechnung,

wie wir diese in Kapitel 1 vorgestellt haben. Es sei  ein (größeres) Intervall („Quinte“) mit (kleinerem) Komplementärintervall “ („Quarte“). Es gilt damit die Bilanz  ْ “ ൌ  (Oktave) O (Oktave)

Q

ȁȁ ൐ ͸ͲͲ‡– ȁ“ȁ ൏ ͸ͲͲ‡– ȁȁ ൅ ȁ“ȁ ൌ ͳʹͲͲ‡–

q

Bild 2.2: Quint-Quart – Teilung der Oktave

Der Gleichheitsfall ȁȁ ൌ ȁ“ȁ ൌ ͸ͲͲ führt nur zu einer trivialen wie auch unbrauchbaren Situation. Mittels dieses gegebenen Intervalls  definieren wir nun alle weiteren „ElementarIntervalle“ – das sind die Bausteine der Skalen. Definition und Basissatz 2.1 (Elementar-Intervalle und Quintformeln) (1)

 ‫ “ ٓ  ؝׷‬ൌ ʹ ٓ 

(2)

 ‫ ͵ ٓ  ؝׷‬ൌ ͵ ٓ ͷ („Limma“, diatonischer Halbton)

(3)

 ‫  ٓ  ؝׷‬ൌ ͹ ٓ Ͷ

(4)

ɂ ‫  ٓ  ؝׷‬ൌ ͳʹ ٓ ͹ („Komma“)

(„Tonos“, Ganzton)

(„Apotome“, chromatischer Halbton)

Diese Gleichungen nennen wir „Quintformeln“.

2.2 Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen

49

Es gilt weiter: Diese Quintformeln sind alle untereinander äquivalent. In Konsequenz gilt: Alle Elementarintervalle ሺǡ “ǡ ǡ ǡ —†ɂሻ lassen sich durch jedes beliebige von ihnen eindeutig berechnen. Dies geschieht z. B. dadurch, dass man die Quintformeln intervall-arithmetisch nach  umstellt und passend einsetzt. (1’)

ʹ ൌ  ْ 

՜ ȁȁ ൌ ͸ͲͲ ൅ భమȁȁ

(2’)

ͷ ൌ ͵ ٓ 

՜ ȁȁ ൌ ͹ʹͲ െ భఱȁȁ భబబ ళ

(3’)

͹ ൌ Ͷ ْ 

՜ ȁȁ ൌ ͹ͲͲ െ

(4’)

ͳʹ ൌ ͹ ْ ɂ

భ ȁɂȁ ՜ ȁȁ ൌ ͹ͲͲ ൅ భమ

(Cent) (Cent) భ ళ

൅ ȁȁ

(Cent) (Cent)

Ist also nur eine der Größen ǡ ǡ ǡ ɂ bekannt, so ist ȁȁ – also  – bekannt und somit wieder alle übrigen Größen. Weitere Folgerungen sind: (5)

“ ൌ ʹ ْ  und  ൌ ͵ ْ 

(Tetrachord-Formeln)

(6)

ͳͳ ْ ሺ ٓ ɂሻ ൌ ͹

(Quintenkreis-Formel)

(7)

 ൌ ͷ ْ ʹ

(Oktavformel der Diatonik)

(8)

 ൌ ͹ ْ ͷ

(Oktavformel der Chromatik)

Beweis: Alle Formeln (1) – (8) sind äußerst einfach zu zeigen. Aus der Oktav-Bilanz von Quinte plus Quarte ergibt sich unmittelbar die Formel (1), die Formel (2) durch Einsetzen von (1), die Formel (3) durch Einsetzen von (2) und (1), die Formel (4) durch die Subtraktion (3) ٓ (2), (1), die Formel (5) mit (1), die Formel (6) mit (4), die Formel (7)) mit (5) und die Formel (8) mit (2) und (3). Die Details seien dem Leser überlassen. ‫ז‬ Bemerkung: Insbesondere sind die Oktavformeln bedeutsam. Die Gleichung  ൌ ͷ ْ ʹ ist nämlich nicht nur eine „Cent-Bilanz“, sondern sie drückt auch aus, dass eine diatonische, quintgenerierte Skala aus genau 5 Ganztönen  und 2 diatonischen Halbtönen  (die deswegen auch leitereigene Halbtöne heißen) besteht. Wir bemerken, dass die Formelwelt (1) bis (8) gültig ist – völlig losgelöst von der Frage musikalisch sinnvoller Realisierung. Es sei noch mal daran erinnert, dass für ein Intervall gilt ȁ ȁ ൏ Ͳ (in Cent) ֞ führt zu tieferen Tönen, d. h.: Ist ൌ ሺ–ଵ ǡ – ଶ ሻ, so hat der Ton – ଶ eine tiefere Frequenz als Ton –ଵ .

50

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

Es ist nun ebenso plausibel wie historisch bedingt wie auch musiktheoretisch sinnvoll zu verlangen, dass ȁȁ ൐ Ͳǡ ȁȁ ൐ Ͳ—†ȁȁ ൐ Ͳ sein sollen. Für  gilt dies schon. Wir fordern daher für das Limma Ͳ ൏ ȁȁ ൏ ȁȁ, was wegen  ْ  ൌ  äquivalent zur Forderung ist, dass beide Halbtöne aufsteigend wirken. Hierdurch ist die Teilung des Tonos in zwei echte Teilintervalle gewährleistet.

Tonos

Apotome

Limma Bild 2.3: Tonos – Limma – Apotome

Was dies für die Iterationsquinte Q bedeutet, steht in folgendem Satz. Satz 2.2 (Semiton-Bedingung) Alle Intervallmaße seien als Centmaß zu verstehen. Dann gelten: (1)

ȁȁ ൐ Ͳ ֞ ȁȁ ൏ ͹ʹͲ

(2)

ȁȁ ൐ Ͳ ֞ ‫ ͲͲʹͳ כ‬؆ ͸ͺͷǡ͹ͳͶ ൏ ȁȁ ଻

ସ

Folgerung: Es sind äquivalent: a) Ͳ ൏ ȁȁ ൏ ȁȁ b) ȁȁ ൐ Ͳ‫݀݊ݑ‬ȁȁ ൐ Ͳ c)

ସ ଻

‫ ͲͲʹͳ כ‬൏ ȁȁ ൏ ͹ʹͲ

Genau dann, wenn die Quinte aus dem Cent-Korridor ሿ͸ͺͷǡ͹ͳ ǥ ͹ʹͲǡͲͲሾ gewählt ist, sind die beiden Semitonia  und  positiv centwertig! Bemerkung: Numerisch mag dieser Korridor klein erscheinen, musikalisch ist er dennoch sehr groß – schließlich umfasst er ja alle bekannten Quintskalen.

2.2 Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen

51

Beispiele 2.1 (für quintgenerierte Skalen) (1)

Gleichstufige Temperierung

֞ ȁୣ ȁ ൌ ͹ͲͲ…–

(2)

Pythagoräische Temperierung

֞ ȁ୔ ȁ ؆ ͹Ͳʹ…–

(3)

Silbermann-Temperierung

֞ ȁୗ ȁ ؆ ͸ͻͺ…–

(4)

Mitteltönige Großterz-Temperierung

֞ ȁ୑ ȁ ؆ ͸ͻ͸ǡͷ…–

(5)

Zarlino-Temperierung

֞ ȁ୸ ȁ ؆ ͸ͻͷ…–

(6)

Mitteltönige Kleinterz-Temperierung

֞ ȁ୫ ȁ ؆ ͸ͻͶǡͷ…–

Schwächere Iterationsquinten als die Letztere (୫ ) sind nicht bekannt – die Unbrauchbarkeit wird zu groß. Vielmehr gruppieren sich die praktikablen Temperierungen um den ungefähren Korridormittelpunkt von ͹ͲͲ…– – der Idealverteilung. Bemerkung: Aussage (1) folgt aus der Formel (2‘) und Aussage (2) aus der Formel (3‘) des Satzes 2.1. Wir diskutieren nun die Sonderfälle: (1)

଼

ȁȁ ൌ ‫ כ‬͸ͲͲሺ̱͸ͻͺǡ ǥ …–ሻ ଻

Nach Gleichung (3’) des Basissatzes 2.1 ist dies gleichwertig zu ȁȁ ൌ Ͳ. Das bedeutet wiederum  ൌ ǡ und nach der Oktavformel (8) gilt dann die Bilanz ൌ ͹. ՜

Dies ist die gleichstufige Temperierung in 7 Stufen. Jede Stufe hat demnach ͳʹͲͲ ‫ ׷‬͹ ؆ ͳ͹ͳǡͶʹ ǥ …– Die Stimmung ist recht exotisch, (vom Typ „Wirtshausklavier“).

(2)

ȁȁ ൌ ͹ʹͲ…–

Nach Gleichung (2’) des Basissatzes ist dies gleichwertig zu ȁȁ ൌ Ͳ. Nach der Oktavformel (7) ist dann  ൌ ͷ. ՜

Dies ist die gleichstufige Temperierung in 5 Stufen. Jede Stufe hat demnach ͳʹͲͲ ‫ ׷‬ͷ ൌ ʹͶͲ…– – ein Intervall, welches um 1/5 Ton größer als ein gewohnter Ganzton ሺʹͲͲ…–ሻ ist.

(3)

ȁȁ ൌ ͹ͲͲ…–

Nach (1) ist dann ȁȁ ൌ ʹͲͲ…– und nach (2) ist ȁȁ ൌ ͳͲͲ…–, weshalb auch ȁȁ ൌ ͳͲͲ…– und ɂ ൌ Ͳ…– ist. ՜

Wir haben die (heute übliche) gleichstufige Temperierung in 12 Stufen,  ൌ ͳʹ; das ist die gleichstufige, chromatische Skala ଵଶ.

52

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

2.3 Die quintgenerierte diatonische Skala Definition 2.1 (Standard-Quintiteration) (1) Es sei  mit ͸ͲͲ ൏ ȁȁ ൏ ͹ʹͲ (so dass ȁȁ ൐ Ͳ und ȁ“ȁ ൌ ȁ ٓ  |0 und A>0

Bild 2.15: Centfunktionen der Elementar-Intervalle

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x [ct]

72

2 Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik

Diese Graphen zeigen die (affin) lineare Abhängigkeit aller Elementarintervalle von der Centabweichung x gegenüber der Gleichstufigkeit. So sehen wir beispielsweise unmittelbar den Zusammenhang: ”œ‡—‰‡”“—‹–‡ˆ¡ŽŽ– ฻Wolfsquinte W steigt. Die Änderung der Wolfsquinte ist dabei das 11-fache derjenigen der Erzeugerquinte. Wir schließen dieses Kapitel mit der tabellarischen Zusammenstellung der Elementarintervalle für die gebräuchlichsten quintgenerierten Temperierungen. Tabelle 2.1: Gebräuchliche Quint-Temperierungen

Temperierung ՜

Equal

Pythag.

՝ Intervalle ۷ Quinte ‫ۿ‬

Silbermann

Große Terz mitteltönig

Zarlino

Kleine Terz mitteltönig

700

702

698

696,5

695,8

694,8

0

2

-2

-3,5

-4,2

-5,2

Tonos ‫܂‬

200

204

196

193

191,6

189,6

Limma ‫ۺ‬

100

90

110

117,5

121

126,1

Apotome ‫ۯ‬

100

114

86

75,5

70,6

63,5

0

24

-24

-42

-50,4

-62,4

700

678

722

738,5

746,2

757,2

க

୔

ୗ

୑

୞

୫

‫ܠ‬

Komma ઽ Wolfsquinte ‫܅‬ Indizierung

Alle Werte sind gerundet – man beachte auch, dass eine Rundung im Zehntelbereich von š sich für ɂ und  auf das gut 10-Fache auswirkt!

Kapitel 3

Das pythagoräische Tonsystem 3.1

Pythagoräische Skalen ...................................................................................... 74

3.2

Historisches zum pythagoräischen System (P7) ................................................ 76

3.3

Pythagoräisches Komma und die Tonspirale .................................................... 82

3.4

Anhang: Satz von der Tondichte pythagoräischer Quintfolgen ........................ 88

3 Das pythagoräische Tonsystem

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

74

3 Das pythagoräische Tonsystem

3.1 Pythagoräische Skalen Die pythagoräische Skala ist – diatonisch – die älteste unserer Kultur. Sie definiert sich ausschließlich über die Quint-Iteration mit der reinen Quinte  ൌ ሾʹǡ͵ሿ ൎ ͹Ͳʹ…–. Definition 3.1 (Diatonische pythagoräische Skala) Ausgehend von einem Grundton, den wir wie üblich c nennen, konstruieren wir: ՜

‰

durch

‰‫…׷‬ൌ͵‫ʹ׷‬

՜

†Ԣ

durch

†Ԣ ‫ ‰ ׷‬ൌ ͵ ‫ʹ ׷‬

՜

ƒ

durch

ƒ‫†׷‬ൌ͵‫ʹ׷‬

՜

‡Ԣ

durch

‡Ԣ ‫ ƒ ׷‬ൌ ͵ ‫ʹ ׷‬

՜

Š

durch

Š‫‡׷‬ൌ͵‫ʹ׷‬

—†

ˆ

durch

…ᇱǣ ˆ ൌ ͵ ‫ʹ ׷‬

՜ † durch భమȁሺ…ǡ †Ԣሻȁ

՜ ‡ durch భమȁሺ…ǡ ‡Ԣሻȁ

Daraufhin ergibt sich die diatonische Skala:

P7

c

ct

d

g

f

e

a

h

cˡ

9/8

9/8

256/243

9/8

9/8

9/8

256/243

204

204

90

204

204

204

90

dˡ

Bild 3.1: Diatonische pythagoräische Skala

Einige Bezeichnungen: Es gibt zunächst die beiden Tonschritte: ̶ ̶

pythagoräischer Ganzton:

ͻ‫׷‬ͺ

(Tonos, )

phythagoräischer Halbton:

ʹͷ͸ ‫ʹ ׷‬Ͷ͵

(Limma, )

Allerdings hat man schon frühzeitig in der Antike die Aufteilung des Tonos in seine zwei (unterschiedlichen) „Halbtöne“ angegeben. Mit gerundeten Centwerten ergeben sich das kleine Diagramm und die Gleichung tonos limma 90

apotome 114

Das Frequenzmaß der Apotome  ist demnach: ଶଵ଼଻ ͻൗ ‫ʹ ׷‬ͷ͸ൗ ͵଻ ͺ ʹͶ͵ ൌ ଶ଴ସ଼ ൌ ൭ൌ ൗʹଵଵ ൱ .

Tonos = Limma ۩ Apotome

3.1 Pythagoräische Skalen

75

Die Apotome ist gleichzeitig der Unterschied zwischen ͵ʹൗ ൯ . großer Terz ᇣᇧᇤᇧᇥ ൫ͺͳൗ͸Ͷ൯ und kleiner Terz ൫ᇣᇧᇤᇧᇥ ʹ͹ ୲୭୬୭ୱْ୲୭୬୭ୱ

୲୭୬୭ୱْ୪୧୫୫ୟ

Apotome und Limma bewirken also eine Teilung des Tonos in zwei verschieden große Halbtöne. Ihr Unterschied beträgt (gerundet)ʹ͵Ǥͷ…–. Das führt zu folgender Definition. Definition 3.2 (Das pythagoräische Komma) Man nennt den „Unterschied der beiden Halbtöne“ – Limma und Apotome – pythagoräisches Komma. Anders: Das Intervall ɂ୮ sei so definiert:

limma

εp

bzw.:  ْ  ْ ɂ୮ ൌ 

Apotome ƒ‹•–หɂ୮ ห ൌ

ଷభమ ଶభవ

 ْ ɂ୮ ൌ 

also

ହଷଵସସଵ

ൌ ହଶସଶ଼଼ ؆ ʹ͵ǡͶ͸ͲͲͳͲ͵ͺ…–.

Formal können wir die 12 Tasten einer (üblichen) Tastatur durch Fortsetzung der Quintfolgen belegen: Wir erhalten eine „chromatische pythagoräische Skala“. Werden durch Quintiteration mit der reinen („pythagoräischen“) Quinte  ൌ ሾʹǡ͵ሿ beginnend bei einer Tonika c 12 Aufwärtsquinten unter passender Reoktavierung gebildet, entsteht die Skala ଵଶ , welche die Wolfsquinte  benötigt, damit der letzte Schritt von eis wieder zum Ausgangston c‘ führt. Im Sinne unserer theoretischen Klassifikation ist ଵଶ – derart konstruiert – eine chromatische quintgenerierte Skala vom Typ ଵଵ ሺሻ. Die mittels Frequenzmaß beschriebene und auf Tonika ͳ ൌ … bezogene Tonfolge bildet den 12-tönigen Quintenzirkel. Definition 3.3 (Die chromatische pythagoräische Skala ‫۾‬૚૛, Typ ‫܁‬૚૚ ሺ‫ۿ‬ሻ) [312/219= his] 1 311/216

3/2

c eis f l o W

310/215

g x 1/2

ais 39/214

e 34/26

12

3 /2

cis 7

33/24

a

dis gis

8

(3/2)2/2 d

h

fis

35/27

11

3 /2

6

3 /2

9

Bild 3.2: Chromatische pythagoräische Skala ଵଶ (Modell Typ ଵଵ ሺሻ)

76

3 Das pythagoräische Tonsystem

Die Centzahl-Struktur inklusive der Apotome-Limma-Abfolge lässt sich dabei sowohl direkt aus der Iterationsvorgabe berechnen als auch durch das Theorem 2.2 über quintgenerierte chromatische Skalen ablesen. Im Einzelnen ergibt sich der Aufbau, den wir mit gerundeten Centwerten versehen: cis A

dis

c

d

1

204 114 A

eis

fis

gis

(his)

ais

L

L

e

g

f

a

h

408 498 906 1110 702 L 318 522 612 816 1020 A L A L L A L A L

c 1224 1200 L

pythagoräische Wolfsquinte Wp Bild 3.3: Chromatische pythagoräische Skala ଵଶ (Centzahlen)

3.2 Historisches zum pythagoräischen System (P7) Das diatonische System ଻ ist zugleich ältestes als auch das am längsten gebräuchliche Tonsystem des abendländischen Kulturraums: Dieses System war von ca. 500 v. Chr. bis knapp 1500 n. Chr. – somit 2000 Jahre – vorherrschend – wobei ab dem Mittelalter um 1100, 1200 n.Chr. die Rein-Harmonische Skala in verschiedenen Ansätzen hinzukam und die pythagoräischen Skalen verdrängte. Über die Ursächlichkeiten zur Entstehung von ଻ gibt es darüber hinaus viele Aspekte und unterschiedliche Theorien (die nur fragmentarisch genannt seien): 1. Monochord-Modell Dagegen spricht allerdings, dass ansonsten die reine Terz ሺͶ ‫ ׷‬ͷሻ – also ͺͲ ‫ ׷‬͸Ͷ statt ͺͳ ‫ ׷‬͸Ͷ – im System vorkommen müsste, welche durch QuartQuint-Schritte aber nicht erreichbar ist. Lediglich Oktave 1:2 und Quinte 2:3 wären „monochordisch“. 2. Legende: Pythagoras soll die Intervalle bei der Beobachtung von Schmiedehämmern gefunden haben. (Phythagoräisch: Ganzzahlige Verhältnisse der Hammermassen entsprechen ganzzahligen Proportionen der Töne.) [5] 3. Die Tetractys des Pythagoras: ͳ ൅ ʹ ൅ ͵ ൅ Ͷ ൌ ͳͲ Basis des abendländischen. ՛ Zählsystems

฻

1 2 3 4

1:2 Okt. 2:3 Quint 3:4 Quart

3.2 Historisches zum pythagoräischen System (P7)

77

4. Das Prinzip der Vollkommenheit des „magischen“ Systems aus den Zahlen ͸ െ ͺ െ ͻ െ ͳʹ Enthalten sind die Oktave ͸ ‫ʹͳ ׷‬, die Quinte ͸ ‫ ͻ ׷‬ൌ ͺ ‫ ʹͳ ׷‬und das Komplementärintervall Quarte: ͸ ‫ ׷‬ͺ ൌ ͻ ‫ʹͳ ׷‬. Außerdem gilt: ͻist das arithmetische Mittel aus 6 und 12 8 ist das harmonische Mittel aus 6 und 12. Enthalten ist auch der Tonos ͺ ‫( ͻ ׷‬pythgoräischer Ganzton) und weitere spekulative Überlegungen schließen sich an, wie z. B. ͳʹ െ ͺ ൌ ͳʹൗ͵ (Doppeloktave), ͺ െ ͸ ൌ ͸ൗ͵ (Oktave). 5. Tetrachord-Theorie (*) Das Aufeinandersetzen zweier „Tetrachorde“ im Ganztonabstand stellt die bekannteste Form der Leiterbildung dar; die Schrittfolge

11 ½ – 1 – 11 ½ dient schon im frühen musikalischen Unterricht als Merkregel für den Aufbau „der ଵ Dur-Tonleiter“. Allerdings stehen hier die Ziffern 1, ଶ für die Ganz- und Halbtonschritte unserer heutigen Gleichtemperierung. Der eigentliche Reichtum antiker Skalenbildung gründet sich dagegen auf einem äußerst vagen wie auch variablen Tetrachord-Begriff, selbst innerhalb der Klasse der „pythagoräischen“ Tetrachorde. Ein pythagoräisches Tetrachord ist eine Tonfolge von 4 aufsteigenden Tönen vom Umfang einer pythagoräischen Quarte, also eiener ͵ǣ Ͷ െ —ƒ”–‡.

Quarte 3:4 I2 I3 I1 Die Zwischenintervalle ଵ , ଶ und ଷ können dabei sehr unterschiedlich ausfallen, teilweise bis in Mikro- sprich: Viertelton-Bereiche angesiedelt sein (wie wir es in manchen orientalischen Formen vorfinden). Im Alt-Griechischen gibt es nun einen ganzen Kosmos an tetrachordischen Skalen. Man kann sie in etwa wie folgt ordnen: Es gibt ̶

drei Familien: dorisch – phrygisch – lydisch, ̶

drei harmonische Geschlechter: diatonisch – chromatisch – enharmonisch

mit folgender Bedeutung:

78

3 Das pythagoräische Tonsystem

1. Das Geschlecht gibt an, welche Stufentypen (Intervalle ଵ , ଶ , ଷ ) im Tetrachord vorkommen, wobei eine ungefähre, jedoch variable Einteilung dieser Stufen durch eine Zuordnung zu folgenden Grundtypen besteht: Vierteltöne (Mikrotonos) –Τʹ ̶

Halbtöne (Semitonos) – ̶

Ganztöne (Tonos)  ̶

Kleine oder große Terz ( ൅ – oder ʹ) ̶

Diese können untereinander tatsächlich auch sehr unterschiedlich ausfallen. Die Tongeschlechter sind dann allein durch das Vorkommen dieser Grundtypen festgelegt: Diatonisch:

Tonos, Tonos, Semitonos

Chromatisch:

Kleine Terz, Semitonos, Semitonos

Enharmonisch: Große Terz, Mikrotonos, Mikrotonos 2. Die Familie legt fest, in welcher Reihenfolge diese Intervalle im Tetrachord angeordnet (adjungiert) sind. Somit gibt es 9 Tetrachordtypen und die nachfolgende Tabelle zeigt deren Strukturen. Dorisch

Phrygisch

Lydisch

–ൗ ʹ

–ൗ ʹ

ʹ

ʹ

–ൗ ʹ

–ൗ ʹ

–ൗ ʹ

ʹ

–ൗ ʹ

Chromatisch

–

–

൅–

൅–

–

–

–

൅–

–

Diatonisch

–







–







–

Enharmonisch

Also: Enharmonisch ՚՜

Tetrachord hat „große Terz“

Chromatisch

՚՜

Tetrachord hat „kleine Terz“

Diatonisch

՚՜

Tetrachord hat „2 Ganztöne“

Nicht zuletzt aufgrund unterschiedlicher Auffassungen über Bemaßungen und Wesen von „Ganztönen“, „Vierteltönen“ usw. ist diese Matrixeinteilung nur eine grobe Klassifizierung historisch höchst bemerkenswerter Tetrachord-Beschreibungen, von denen wir nun einige auflisten wollen. Dabei haben wir die Centangaben hinzugefügt, weil dadurch die Ungewöhnlichkeit mancher Intervalle gut ins Auge fällt; historisch gab es natürlich nur die Angabe in Form von „kommensurablen“ Größen (Proportionen).

3.2 Historisches zum pythagoräischen System (P7)

79

Tabelle 3.1: Antike Tetrachorde

Centtabelle Frequenzmaß

Centmaß

Archytas von Tarent (4. Jh. v. Chr.) (Phrygisch) Enharmonion

5/4

36/35

28/27

386

49

63

(Phrygisch) Chroma

32/27

243/224

28/27

294

141

63

(Lydisch) Diatonon

9/8

8/7

28/27

204

231

63

19/15

39/38

40/39

409

45

44

(Phrygisch) Chroma

6/5

19/18

20/19

316

93

89

(Lydisch) Diatonon

9/8

9/8

256/243

204

204

90

(Phrygisch) Enharmonion

5/4

31/30

32/31

386

57

55

(Phrygisch) Chroma

6/5

25/24

16/15

316

71

112

(Lydisch) Diatonon

9/8

10/9

16/15

204

182

112

(Phrygisch) Enharmonion

5/4

24/23

46/45

386

74

38

(Phrygisch) weiches Chroma

6/5

15/14

28/27

316

119

63

(Phrygisch) hartes Chroma

7/6

12/11

22/21

266

151

81

(Lydisch) weiches Diatonon

8/7

10/9

21/20

231

182

84

(Lydisch) ganztöniges Diatonon

9/8

8/7

28/27

204

231

63

(Lydisch) Doppel ganzt. Diatonon

9/8

9/8

256/243

204

204

90

(Lydisch) hartes Diatonon

10/9

9/8

16/15

182

204

112

(Lydisch) Glm. Diatonon

10/9

10/9

12/11

182

182

151

Erathostenes (3. Jh. v. Chr.) (Phrygisch) Enharmonion

Didymos (1. Jh. v. Chr.)

(Ptolemäus (1. Jh. n. Chr.)

Bemerkung 1: Ptolemäus „erkannte“ auch schon, dass die speziellen Intervalle  ൅ ͳ ‫ ׷‬, die man „superpartikular“ nannte, nicht teilbar (in gleiche Hälften) waren, was bedeutete, dass ୬ାଵ er darlegte, dass die Wurzel aus ୬ nicht rational (kommensurabel) ist.

80

3 Das pythagoräische Tonsystem

Bemerkung 2: Gesichert ist: Die Musik wurde nicht klanglich – sinnlich empfunden und geschaffen –, sie ist vielmehr entstanden als „Verklanglichung von Zahlenverhältnissen“. 1. Alle Tonpaarungen (Intervalle) wurden als „consonantiae“ bezeichnet – es gab (später) „vollkommene“ und „unvollkommene“ Intervalle. 2. Die Intervalle, welche die Pythagoräer kannten (d. h. als musikalische Intervalle zuließen) waren ausschließlich solche, welche sich a) unmittelbar aus der Tetractys errechnen ließen („Consonantiae“): diapason

ൌʹ‫ͳ׷‬

ሺ–ƒ˜‡ሻ

diapente

ൌ͵‫ʹ׷‬

ሺ—‹–‡ሻ

diatesseron

ൌͶ‫͵׷‬

ሺ—ƒ”–‡ሻ

b) dann aus diesen als „Differenzen“ ergaben (abgeleitete Consonantiae): Tonos

ൌ ͵ ‫ʹ ׷‬ΤͶ ‫ ͵ ׷‬ൌ ͻ ‫ ׷‬ͺ

ሺ—‹–‡ ٓ —ƒ”–‡ሻ

Ditonos minor

ൌ ͵ʹ ‫ʹ ׷‬͹

ሺ—ƒ”–‡ ٓ ‘‘•ሻ

Ditonos major

ൌ ͺͳ ‫ ׷‬͸Ͷ

ሺ‘‘• ْ ‘‘•ሻ

(Limma) Semitonus

ൌ ʹͷ͸ ‫ʹ ׷‬Ͷ͵

ሺ—ƒ”–‡ ٓ ‹–‘‘•ƒŒ‘”ሻ

Apotome

ൌ ʹͳͺ͹ ‫Ͳʹ ׷‬Ͷͺ

ሺ‘‘• ٓ ‹ƒሻ

Comma

ൌ ͷ͵ͳͶͶͳ ‫ ׷‬ͷʹͶʹͺͺ

ሺ’‘–‘‡ ٓ ‹ƒሻ

Archytas (ca. 4. Jh. v. Chr.) entwickelte dieses Differenzensystem zum bekannten Intervallsystem: Aber auch schon  ൅ ͳ ‫  ׷‬Intervalle – so genannte super-partikuläre Intervalle – gelten bei ihm als nicht (hälftig) teilbar. 3. Das Comma ist das kleinste Consonantia in der antiken Theorie. Der Tonos gilt als nicht teilbar (in zwei gleiche Teile), da er superpartikular ist. Bemerkung 3: Boethius (5. Jh. n. Chr.) zählt zu den zentralen Figuren der abendländischen Wissenschaften des frühen Mittelalters. ̶

Er erhält und systematisiert die pythagoräische Tetractys-Musik, geleitet durch die wissenschaftliche Strenge des Aristoteles.

3.2 Historisches zum pythagoräischen System (P7)

̶

81

Er erweitert den Begriff „Consonantia“: o einfach überteilige Zahlverhältnisse: ƒ ƒ

୬ାଵ ୬

ଵ

ൌ ͳ൅୬

gelten als Consonantiae, gelten als unteilbar.

[Boethius beweist dies für den Tonos ͻΤͺ. Sein Beweis ist jedoch leider nur mit Augenzwinkern zu kommentieren. Schließt er doch aus der Gleichung ͻ ͳͺ ͳͺ ͳ͹ ൌ ൌ ‫כ‬ ͺ ͳ͸ ͳ͹ ͳ͸ nach einiger Mühe bezüglich des Nachweises, dass die beiden Faktoren nicht gleich sind, dass ͻΤͺ sich nun nicht hälftig (geometrisch) teilen lässt. Heute würden wir sagen, dass die Gleichung š‫šכ‬ൌ

ͻ ͺ

keine Lösung als Bruch besitzt.] o mehrfach überteilige Consonantiae:  ‫  כ‬ሺ ൅ ͳሻ ‫  ׷‬gelten als weniger consonant. Z. B.: Für  ൌ ʹ wäre ʹ ‫ כ‬Ͷ ‫ ͵ ׷‬ൌ ͺ ‫ ͵ ׷‬ൌ –Ǥْ —ƒ”–‡ als „wenig consonant“ zu werten. Er erkennt die Bilanz: ͸‘‘• ٓ –ƒ˜‡ ൌ ‘ƒ. ̶ ̶

Er vermutet die Größenanordnung: 3 Comma < semitonus Limma < 4 Comma. Per fortgesetzter Differenzenbildung findet er noch viele weitere (exotische) sogenannte pythagoräische Töne.

Bemerkung 4: Johannes de Muris (Mönch; 13. Jh.) ̶

Er „beendet” die Universalgültigkeit des pythagoräischen Systems. ̶

Er beobachtet, dass die geometrische Teilung der 2 durch geometrische Mittelung auch die Intervallteilung der Oktave in 2 gleiche Intervalle bedeutet.

ʹ‫š׷‬ൌš‫ͳ׷‬

2 1 x

̶

1



Er erweitert konsequent die pythagoräische Theorie der „Consonantiae“.

82

3 Das pythagoräische Tonsystem

Bemerkung 5: Reine Quintstimmungen (= pythagoräische Stimmung) sind bis zum (späteren) Mittelalter in Anwendung. So finden wir in Arnault de Zwolle (~ 1440) noch einen der letzten Vertreter der pythagoräischen Stimmung (unter Inkaufnahme einer recht deutlichen Wolfsquinte  ൌ ୮ ٓ ɂ୮ ̱͸͹ͺ…–). Näheres ist in Kapitel 6.1 beschrieben.

3.3 Pythagoräisches Komma und die Tonspirale Vorbemerkung: Der Verfasser persönlich – und mit ihm wohl gewiss viele andere – hat in jugendlichen Jahren die leidvolle Erfahrung gemacht, dass das Stimmen seines Instruments (Klavier) total misslingt, obwohl sehr sorgfältig Schritt für Schritt vorgegangen wird: Bilde eine reine (schwebungsfreie) Quintenfolge ՜ am Ende stimmt es doch nicht! Womit hängt das zusammen? Nun, die Antwort kennen wir bereits: Mit dem Pythagoräischen Komma! Kurz: Wer mit 12 Quinten aufwärts (per Rück-Oktavierung alles in einem Oktavraum platziert) „alle“ 12 Töne einer Oktave festlegt, erreicht leider nicht den Ausgangspunkt – und zwar wird dieser um cirka ͳΤͶ Halbton verfehlt. Satz 3.1 (Satz vom pythagoräischen Komma) ଵଶ Das Pythagoräische Komma ist das Intervall ɂଷǣଶ bzw. ɂ୮ mit dem Maß ͵ ൗʹଵଽ

ሺ؆ ʹ͵ǡͶ͸…–ሻ. Dann gelten folgende Struktur - und Frequenzmaßdarstellungen: (1)

ɂ୮ ൌ ’‘–‘‡ ٓ ‹ƒ

(Unterschied der Tonos - Teilung)

(2)

ɂ୮ ൌ ͳʹ—‹–‡ ٓ ͹–ƒ˜‡

ቀ൫యమ൯ Τʹ଻ ቁ

(3)

ɂ୮ ൌ ͷ–ƒ˜‡ ٓ ͳʹ—ƒ”–‡

ቀʹହ ൗ൫రయ൯ ቁ

(4)

ɂ୮ ൌ ͳ–ƒ˜‡ ٓ ͶŽ‡‹‡‡”œ‡ ቀʹΤ൫యమ ൯ ቁ మళ

(5)

ɂ୮ ൌ ͸‘‘• ٓ ͳ–ƒ˜‡

(6)

ɂ୮ ൌ ͵‰”‘采”œ‡ ٓ ͳ–ƒ˜‡ ቀ൫వఴ൯ Τʹቁ

ଵଶ

ଵଶ

ସ

൫൫వఴ൯Τʹ൯ ଺

3.3 Pythagoräisches Komma und die Tonspirale

83

Bemerkungen: Gleichung (1) stellt die Form der Definition des Kommas dar, welche aus der ursprünglichen Intervallkonstruktion unmittelbar erfolgt: „Eine Teilung des Tonos ൫ͻൗͺ൯ ist nicht möglich“: ‹ƒ ْ ‹ƒ ് ‘‘•;

Fehlintervall ൌ ɂ୮

Gleichung (2) stellt die übliche stimmpraktische Anwendung dar: „12 reine Quinten ሺ͵ ‫ʹ ׷‬ሻ ergeben keine Oktavierung“. In den Gleichungen (6) und (4) ist unter „große Terz“ das Intervall Tonos ْ Tonos und unter „kleine Terz“ das Intervall Tonos ْ Limma gemeint. Beide sind demnach „leitereigene“ Intervalle. Beweis: 1. Man kann jeweils unschwer nachrechnen, dass die angegebenen Intervalle das Maß 312 / 219 besitzen; eine Cent - Rechnung ist im Prinzip auch möglich, teilwiese sogar einfacher, sie hat aber den Nachteil der numerischen Ungenauigkeit, weshalb exakte Gleichheiten nicht erkannt werden könnten. 2. Mittels der „Intervallarithmetik“ ist der Nachweis jedoch evidenter – zeigt er doch die Zusammenhänge unabhängig von numerischen Größen. So können die vorstehenden Gleichungen sofort aus den Rechengesetzen der Intervallarithmetik (Kapitel 1.3) bzw. aus dem Basissatz 2.1 abgelesen werden. Zur Bequemlichkeit des Lesers zeigen wir die Herleitung in den folgenden wenigen Zeilen: Nach Konstruktion der pythagoräischen Skala haben wir die Bilanz: ْْْْْْൌ  ْْْْْْ֞ ൌ ֞ ͷ ْ ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ  ْ  ْ ɂ୮ ൌ  ْ ɂ୮

(Kürzungsregel)

୘ ୮୷୲୦Ǥ୘ୣ୰୸

֞ ͸ ൌ  ْ ɂ୮ ֞ ͵ ᇩᇭ ሺᇭᇪᇭ ْᇭᇫ ሻ ൌ  ْ ɂ୮  Bei diesen Umstellungen haben wir die Kommutativ-, Assoziativ- und Kürzungsregel (das ist der Viertönesatz) der Intervallarithmetik benutzt.

84

3 Das pythagoräische Tonsystem

Und die berühmte Quintenbeziehung (2) folgt einfach folgendermaßen:  ൌ ͵ ْ  ֜ ʹ ൌ  ْ  ֜ ͳʹ ൌ ͸ ْ ͸ ൌ ͹ ْ ɂ୮ , woraus alle Formeln des Satzes ablesbar sind. ‫ז‬ Fazit: Unter der Voraussetzung: ͷ ْ ʹ ൌ  sowie der definitorischen Festlegung:  ൌ ʹ ْ ɂ୮ haben wir die Gleichungskette: ሺ ٓ ሻ ٓ  ൌ ɂ୮ ͳʹ ٓ ͹ ൌ ͷ ٓ ͳʹ—ƒ”–‡ ൌ  ٓ Ͷሺ ْ ሻ ൌ ͸ ٓ  ൌ ᇣᇧᇤᇧᇥ ୅୮୭୲୭୫ୣ

Insbesondere bedeutet dies, dass der 12-Quintenkreis reiner Quinten sich nicht schließt! Dieser Umstand kann bspw. durch folgende Modelle visualisiert werden: a) Die pythagoräische Quintenspirale b) Der pythagoräische Quintenkreis Modell a) Alle entstehenden Töne werden hierbei in eine Ausgangsoktave per Reoktavierung transportiert, zum Beispiel in den Oktavraum ሾ…ǡ …Ԣሿ. his

eis

fisis c f

ais

g d a

3/2

dis

e

gis h

cis fis Bild 3.4: Pythagoräische Quintenspirale

3.3 Pythagoräisches Komma und die Tonspirale

85

Man bildet gemäß vorstehender Skizze die Aufwärts- und Abwärtsfolge der reoktavierten Quinten und trägt diese Folge in ͵Ͳι െGrad-Abständen in die angedachte Spirale ein, wobei Aufwärtsquinten dem Uhrzeigersinn folgen. Diese ͵Ͳι െGrad-Einteilung resultiert natürlich aus der 12-Stufigkeit eines „geschlossenen“ Quintenkreises. Die Spirale symbolisiert quasi die „Abweichung“ vom Idealfall des geschlossenen, periodischen Quintenkreises. Bei dieser Anordnung bilden demnach aufgrund der 12-Quintenformel (2) aus Satz 3.1 „übereinanderliegende“ Töne das Intervall des pythagoräischen Kommas ɂ୮ . Also: ˆ ് ‡‹•,

genauer:

ȁሾ…ǡ ‡‹•ሿȁ ൌ ȁሾ…ǡ ˆሿȁ ‫ כ‬ȁɂ୮ ȁ

Š‹• ് …,

genauer:

ȁሾ…ǡ Š‹•ሿȁ ൌ ȁɂ୮ ȁ

Theorem 3.1 (Eindeutig- und Unendlichkeit der pythagoräischen Quintenspirale) Die Tonspirale schließt sich nie. Sowohl durch Quintabwärts- als auch Quintaufwärtsfolgen entstehen unendlich viele Töne, die alle verschieden sind. Ferner: Nach je 12 Schritten erreicht der neue Ton gegenüber dem alten eine solche Lage, die um das pythagoräische Komma ɂ୮ differiert. Beweis: Die arithmetische Cent-Zunahme nach einer – reoktavierten – 12er-Quintenkrette um ein pythagoräisches Komma wurde soeben gezeigt. Warum kommt man aber nie zum Ausgangspunkt? Nun, das liegt einfach daran, dass die Gleichung ᇲ

͵୫ൗ ୬ ൌ ͵୫ ൗ ୬ᇱ ʹ ʹ nur die ganzzahligen Lösungen  ൌ ᇱ und  ൌ ᇱ hat. Sonst erhielte man durch einfache Umstellung eine Gleichung der Form ͵୩ ൌ ʹ୪ , die ganzzahlig offenbar nur mit  ൌ Ž ൌ Ͳ lösbar ist. Anschaulich: Wir beobachten eine Folge von ͳʹୣ୰ Quintschritten auf der Spirale, die in ͵Ͳι-Schritten mathematisch negativ angeordnet ist.

86

3 Das pythagoräische Tonsystem

his

fisis g d

c

h-1 a h

h0

e

h1 h2 h3 h4

Bild 3.5: Pythagoräische Quintenspirale

Die Folge der Töne auf einem fest gewählten Strahl nimmt dabei jeweils um das Komma ɂ୮ zu. So gilt beispielsweise auf dem Strahl durch Š ൌ Š଴ für die benachbarten Intervalle ሾŠ଴ ǡ Šଵ ሿ ൌ ɂ୮

ฺ

ȁሺŠଵ ǡ Š଴ ሻȁ ൌ ʹ͵ǡͶ͸ ǥ …–

ሾŠଵ ǡ Šଶ ሿ ൌ ɂ୮

ฺ

ȁሺŠଶ ǡ Š଴ ሻȁ ൌ ʹ ‫͵ʹ כ‬ǡͶ͸ ǥ …–

ሾŠଶ ǡ Šଷ ሿ ൌ ɂ୮

ฺ

ȁሺŠଷ ǡ Š଴ ሻȁ ൌ ͵ ‫͵ʹ כ‬ǡͶ͸ ǥ …– nicht oktaviert

h0

h1

h2

h4ˡ

h3

hisˡ

c1 limma

In alter Notation würde man übrigens schreiben Šଵ ൌ ƒ‹•‹•, Šଶ ൌ ‰‹•‹•‹•‹•, Šଷ ൌ ˆ‹•‹•‹•‹•‹•‹•, und bei dem 4. Umlauf entsteht über Š଴ der Ton Šସ ൌ ‡‹•‹•‹•‹•‹•‹•‹• mit der Centzahl …–ሾሺŠସ ሻ ‫Š ׷‬଴ ሿ ൌ Ͷ ‫͵ʹ כ‬ǡͶ͸ ǥ ൌ ͻ͵ǡͺͶ…–. Da nun der Schritt ሾŠ଴ ǡ …Ԣሿ ein Limma ist – also ͻͲǡʹʹͷ…– groß ist, liegt Šସ Ԣ um ͻ͵ǡͺͶ െ ͻͲǡʹʹͷ ൌ ͵ǡ͸ͳ…– über …ଵ . Damit ist Šସ ؔ ሺŠସ Ԣሻ ٓ Oktave um lediglich ͵ǡ͸ͳ…– größer als der Ausgangston ….

3.3 Pythagoräisches Komma und die Tonspirale

3,61 h4

his

h0

Ɛp

87

h1

Ɛp

h2

Ɛp

h3

Ɛp

c1

h

c

(h4)

Limma L 90,225

L - 3 Ɛp≈20ct

Der Ton Šସ – den man also durch 53 Aufwärtsquinten von c aus unter Reoktavierungen erreicht – liegt also viel, viel dichter bei … als Š‹• – die einmalige ͳʹୣ୰ -Umrundung; er ist ja nur um ͵ǡ͸ͳ…– entfernt. Im Hinblick auf die Kleinheit dieser Abweichung könnte man also Šସ mit … identifizieren (durch geringfügiges Herabsetzen der Frequenz) oder aber durch „Aufteilung“ des „neuen“ pythagoräischen Kommas ɂ୮Ǣହଷ ‫͵ ؠ‬ǡ͸ͳ…– auf alle 53 Töne, was eine gleichmäßige Veränderung um das winzige 0,07 ct Intervall bedeuten würde. Der Engländer Robert Bosanquet (1841-1912) schuf aufgrund dieser Beobachtung ein Harmonium mit genau 53 Tönen pro Oktave, das also fast (bis auf das Mini-Komma 3,61 ct) ein geschlossenes, periodisches Quintensystem bildete. [5] Mathematischer Hintergrund: Das „neue“ Komma der 53 Iterationen ist eine „bessere Näherung der Gleichung“ ୫

ͳ ؆ ͵ ൗʹ୬ ൌ ɂ୮ǡ୫ †‡ˆ

bzw.

౤షౣ ౣ

ʹ

ଷ

؆ଶ

mit natürlichen Zahlen ǡ . ଵଶ

Im Fall  ൌ ͳʹ‹•– ൌ ͳͻǡ †ƒ‹•–ɂ୮Ǣଵଶ ൌ ͵ ൗʹଵଽ ‫͵ʹ ؠ‬ǡͶ͸…– ଻ൗ ଵଶ

oder: ʹ

ൌ ͳǡͶͻͺ͵Ͳ ହଷ

Im Fall  ൌ ͷ͵‹•– ൌ ͺͶǡ †ƒ‹•–ɂ୮Ǣହଷ ൌ ͵ ൗʹ଼ସ ‫͵ ؠ‬ǡ͸ͳ…– ଷଵൗ ହଷ

oder: ʹ

ൌ ͳǡͶͻͻͻͶ ǥ

Man kann zeigen, dass es eine Folge von Pythagoräischen Kommata ൫ɂ୮ሺ୬ౡሻ ൯

୩஫Գ

gibt,

welche monoton fallend gegen 1 konvergiert. ୩՜ஶ

ɂ୮ሺ୬ౡ ሻ ሱۛሮ ͳ (monoton fallend) ’ Dazu approximiert man Ž‘‰ ଶ ሺ͵ሻ durch rationale Zahlen ൗ“, was auf eine Näherungsgleichung der Form ʹ୮ ൎ ͵୯ ֞

’ ൎ Ž‘‰ଶ ሺ͵ሻ “

88

3 Das pythagoräische Tonsystem

führt. Nun ist Ž‘‰ ଶ ሺ͵ሻ kein Bruch, sondern eine irrationale Zahl. Ein etwas tiefgründiger Satz aus der Theorie der reellen Zahlen sagt nun folgendes aus: ୮

Ist š୬ ൌ ୯౤ eine Folge rationaler Zahlen (also eine Folge von Brüchen), welche gegen ౤

eine irrationale Zahl š଴ konvergiert, so streben die Nenner “ ୬ gegen λ, weshalb dies auch die Zählerfolge tut. Gilt nun ୮౤

ሱۛሮ Ž‘‰ ଶ ሺ͵ሻ,

୯౤ ୬՜ஶ ౦౤

so ist ʹ౧౤ ሱۛሮ ʹ୪୭୥మሺଷሻ ൌ ͵, ୬՜ஶ

also und

୮౤ ି୯౤ ʹ ୯౤

ሱۛሮ ͵ൗʹ ୬՜ஶ

୯౤

ɂ୮ǡ୯౤ ؔ ͵ ൗʹ୮౤

ist dann eine pythagoräische Kommafolge, welche gegen 1 strebt.

3.4 Anhang: Satz von der Tondichte pythagoräischer Quintfolgen Wie wir nun aus der Diskussion der pythagoräischen Tonspirale wissen, führt die fortwährende reoktavierte Auf-bzw. Abwärtsiteration mit reinen Quinten zu einem Tongebilde mit unendlich vielen (und – konsequenterweise (!) – stets paarweise verschiedenen Tönen. Wir untersuchen in diesem Kapitel genauer die Frage: Angenommen, man bildet (ausgehend von einem fest gewählten Ton, den wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit als Tonika-Ton c festlegen) das System aller reoktavierten Auf- und Abwärtsquinten – also stets per passender und eindeutiger Oktavierung mittels eines geeigneten Faktors der Form ʹ୩ in den Oktavraum ሾ…ǡ …Ԣሿ ؆ ሾͳǡ ʹሿ gelegt:, dann stellt sich das Problem: Wie verteilt sich diese Tonfolge in dem Oktavraum ሾ…ǡ …Ԣሿ? Welche Eigenschaften dieser Verteilung sind zu vermuten und beweisbar? Die mathematische Beschreibung sieht nun hierzu so aus: Sei: Sei:

 ൌ ሼ͵୫ ȁ ‫ א‬Ժሽ ୫

‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬  ‫ כ‬ൌ ቄš୫ ቚš୫ ൌ ͵ ൗ ୬ሺ୫ሻ ǡ š୫ ‫ א‬ሾͳǡ ʹሾቅ ʹ

‫ ؠ‬Menge der reoktavierten Quintiterationen im Oktavraum ሾ…ǡ …Ԣሿ

3.4 Anhang: Satz von der Tondichte pythagoräischer Quintfolgen

89

Hierbei haben wir mit ሺሻ den eindeutigen Reoktavierungsfaktor n bezeichnet, so ୫ dass ͳ ൑ ͵ ൗʹ୬ ൏ ʹ gilt. Nun sind die Elemente dieser Mengen und  ‫  כ‬Potenzen bzw. modifizierte Potenzen eines Parameters. Hieraus und unter Anwendung der Regeln des Rechnens mit Potenzen gewinnen wir folgende Eigenschaften: (1)

š୩ ‫š ֜  א‬୩ ‫  כ‬ൌ , das bedeutet  ‫  כ‬ൌ .

(2)

Nach dem Eindeutigkeitssatz Theorem 3.1 besteht  ‫ כ‬aus unendlich vielen verschiedenen Zahlen und es gilt: š୩‫ ֜ כ  א כ‬ሺš୩‫ כ כ‬ሻ‫ כ‬ൌ ሺš୩‫ כ  כ כ‬ሻ‫ כ‬ൌ  ‫ כ‬.

Folgerung: Diese beiden Gesetze bedeuten ein gewisses Invarianzverhalten der Tonmengen  und  ‫ כ‬. Das bedeutet, dass es Eigenschaften gibt, die sich von einem Ton auf alle anderen vererben. Gilt demnach eine solche Eigenschaft für einen Ton š ‫ א‬ሾͳǡ ʹሾ, so gilt sie auch für alle Töne ሺš୩‫š כ כ‬ሻ‫ א כ‬ሾͳǡ ʹሿ. Ein wichtiges Beispiel einer solchen vererbbaren Eigenschaft ist diejenige der Isoliertheit eines Tons oder – deren Gegenteil – die Häufungspunkteigenschaft. Die Isoliertheit eines Tons š meint, dass es ein kleines offenes Intervall gibt, in welchem nur dieser Ton š liegt und kein anderer der Tonmenge. In dieser Betrachtung verstehen wir natürlich Töne als Zahlen im Oktavraum ሾͳǡ ʹሿ. Das logische Gegenteil zur Isoliertheit einer Zahl oder eines Tons führt nun zu den Begriffen des „Häufungspunkt“ und der „Tondichte“. Davon handeln die beiden nächsten Sätze. Satz 3.2 (Grenzwerteigenschaft der pythagoräischen Folge) Die reoktavierte Tonfolge  ‫ כ‬hat mindestens einen Häufungspunkt š ‫ א‬ሾͳǡ ʹሿ – das ist ein Ton, für den gilt: Es gibt mindestens eine Teilauswahl von Tönen der reoktavierten Quintfolge ‫ כ‬, welche diesem Ton š (der a priori selbst nicht zur Tonmenge  ‫ כ‬gehören muß) „beliebig nahekommt“. Folgerung: Jeder der unendlich vielen verschiedenen Töne ሺš ‫š כ‬୩‫ כ‬ሻ‫ כ‬ሺ ‫ א‬Ժሻ ist Häufungspunkt. der Tonmenge  ‫ כ‬. Also: Die in die Oktave ሾͳǡ ʹሾ übertragene Quintfolge  hat sogar unendlich viele verschiedene Teil-Grenzwerte (Häufungspunkte).

90

3 Das pythagoräische Tonsystem

Beweis: Wäre nur ein einziger Ton der Tonmenge  ‫ כ‬.isoliert, so würde dies auch für alle anderen Töne gelten – und zwar aufgrund der mittels der vorstehend aufgelisteten Eigenschaften (1) und (2) leicht nachvollziehbaren Vererbungseigenschaft der Isoliertheit. Nun hat aber nach Theorem 3.1 die Tonmenge  ‫ כ‬.unendlich viele verschiedene Töne und nach dem berühmten Satz von Bolzano-Weierstraß, jenem Theorem, welches ein Fundament der Theorie der reellen Zahlen darstellt, ist die simultane Isoliertheit aller Punkte einer unendlichen beschränkten Zahlenmenge ausgeschlossen. Der Wortlaut dieses Theorems ist nämlich: „Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat mindestens eine konvergente Teilfolge.“ Ist nun der Ton š ‫ א‬ሾͳǡ ʹሾ ein solcher Häufungspunkt für die Tonmenge ‫ כ‬, so können wir gleich mehrere Folgerungen hieraus gewinnen: Zum einen erkennen wir, daß es eine Teilfolge von Tönen aus der Tonmenge P* gibt, deren Centmaße konvergieren – also letztlich immer beieinander liegen. Zum anderen trifft dies wegen der Vererbungseigenschaft auch auf alle Töne der Form š ‫ כ  כ‬zu. Außerdem zeigt diese Argumentation die Existenz einer Folge pythagoräischer Kommata, welche bei immer größer werdenden Iterationsanzahlen schließlich beliebig klein werden, will sagen, dass sie gegen Null konvergieren. Das nun folgende Theorem ist eine weitere Konsequenz der vorstehenden Überlegungen. Es wird in Kapitel 8 abstrakt und auch für alle nicht-periodischen Quintiterationen bewiesen, wobei wir dort die analytischen Eigenschaften der Eulerschen Centfunktion für einen detaillierteren Beweis nutzen können. Theorem 3.2 (Satz von Levy – Satz von der Tondichte pythagoräischer Tonfolgen)  ‫ ؿ כ‬ሾͳǡ ʹሾ ist eine „dichte“ Teilmenge, d. h., jeder Ton aus ሾͳǡ ʹሾ (und damit jeder Ton überhaupt) lässt sich als „Grenzwert“ einer reoktavierten Quintenfolge realisieren. Anders ausgedrückt: Zu jedem Ton š ‫ א‬ሾͳǡʹሾ gibt es eine reoktavierte Quintfolge, so dass eine Auswahlmenge derselben mit wachsender Iteration gegen š strebt. ∞ viele Punkte 1

P*

2

‫ז‬

Kapitel 4

Das natürlich-harmonische System 4.1

Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch .............. 92

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

Die 7-stufige (heptatonische, diatonische) Skala R7 ......................................... 93 Die 12-stufige (chromatische) Skala R12............................................................ 94 Die 19-stufige (enharmonische) Skala R19......................................................... 96 Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne ............................................................. 99

4.2

Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch ..................................101

4.3

Primzahl – Tonsysteme ...................................................................................111

4.3.1 4.3.2 4.3.3

Das Tongitter von Leonhard Euler (Eulergitter) ..............................................111 Prinzip von der Erhaltung der Tonika..............................................................113 Einfach superpartikulare Intervalle.................................................................116

4.4

Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“.............................................................117

4.5

Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave ............ 120

4 Das natürlich-harmonische System

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

92

4 Das natürlich-harmonische System

4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch Vorbemerkung: Für die im Folgenden beschriebene Skala sind – leider – mehrere Namen gebräuchlich: ̶

Reine Skala (bei Neuwirth) ̶

Natürlich-harmonische Skala (bei Kelletat) ̶

diatonische Skala (bei Borucki).

Wir starten mit dem Begriff „rein“: Ein Intervall heißt rein ֞ ist in der Obertonreihe enthalten bzw. lässt sich hieraus ableiten. In der Regel sollen auch die Frequenzverhältnisse kleinere Zahlen enthalten – eine historisch bedingte Zusatzforderung. So entstehen als „reine“ Intervalle: Oktave ʹ ‫ͳ ׷‬, Quinte ͵ ‫ʹ ׷‬, Quarte Ͷ ‫͵ ׷‬, Terzen ͷ ‫ ׷‬Ͷ und ͸ ‫ ׷‬ͷ, Ganztöne ͻ ‫ ׷‬ͺ und ͳͲ ‫ͻ ׷‬, Septime ͹ ‫ ׷‬Ͷ. Mit Ausnahme der Septime sind dies „einfach superpartikulare“ Intervalle. Wir haben gesehen, dass das Pythagoräische System ausschließlich durch die Primzahl 3 entsteht. Frequenzverhältnisse mit anderen Primfaktoren als 3 und 2 kommen nicht vor. Dadurch ist es im Übrigen eindeutig klassifiziert. Natürlich-harmonisch

՞

Skalenaufbau durch Mischung von ͵ถ ‫ ʹ ׷‬und ͷถ ‫ ׷‬Ͷ Schritten ୕୳୧୬୲ୣ୬

୘ୣ୰୸ୣ୬

Das heißt also: Im Natürlich-Harmonischen System gibt es (ausschließlich) Intervallverhältnisse mit den Zahlen 2 (für Oktav-Maße), 3 für Quint-Maße und 5 für (reine!) TerzMaße. Merke: Natürlich-harmonisch ՞ Intervallmaße durch die Primzahlen 2, 3 und 5 gekennzeichnet! Wir beschreiben nun in 4.1.1 ̶

die 7-stufige (heptatonische, diatonische) Skala R7

4.1.2 ̶

die 12-stufige (chromatische) Skala R12

4.1.3 ̶

die 19-stufige (enharmonische) Skala R19

4.1.4 ̶

die 31-stufige Skala R31 von Mersenne

4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch

93

4.1.1 Die 7-stufige (heptatonische, diatonische) Skala R7 Philosophie der Konstruktion: Man behält einige pythagoräische Intervalle bei, ersetzt jedoch einige Töne mittels reiner Terz-Verhältnisse (also ͷΤͶ-Proportionen) mit dem Ziel, eine ausgewogene Mischung „reiner Intervalle“ zu bekommen. Konstruktion: Es sei  der Bezugspunkt („Tonika“). 1. Schritt:

Wähle dazu die (pythagoräischen) Töne Quarte und Quinte ͸ ‫ ׷‬ͺ ‫ͻ ׷‬.

2. Schritt:

Zu jedem dieser 3 Töne bilde die reine große Terz und Quinte Bezugston ՜ Terz ՜ Quinte: Ͷ ‫ ׷‬ͷ ‫ ׷‬͸.

Dann entsteht folgendes Schema:

Ton Æ Terz Æ Quinte 4:5:6 3/2 9/8

4/3

C

F

G 5/4

E

A

H

(G)

(cˡ)

Dˡ

6/5

Bild 4.1: Konstruktionsprinzip der reinen diatonischen Skala

Die eingeklammerten Töne sind bereits vorhanden aufgrund gleicher Frequenzverhältnisse. Ordnen wir dies zu einer aufsteigenden Skala, so entsteht eine Skala, die wir im relativen Maß, im Frequenzmaß und im Centmaß (in gerundeten Werten) angeben: ۱ ʹͶ ‫܀‬ૠ ct

۲ ǣ

ʹ͹

۳ ǣ

͵Ͳ

۴ ǣ

͵ʹ

۵ ǣ

͵͸

‫ۯ‬ ǣ

ͶͲ

۶ ǣ

Ͷͷ

ሺ۲Ԣሻ

۱Ԣ ǣ

Ͷͺ

ǣ

ͻൗ ͺ

ͳͲൗ ͻ

ͳ͸ൗ ͳͷ

ͻൗ ͺ

ͳͲൗ ͻ

ͻൗ ͺ

ͳ͸ൗ ͳͷ

ͻൗ ͺ

ʹͲͶ

ͳͺʹ

ͳͳʹ

ʹͲͶ

ͳͺʹ

ʹͲͶ

ͳͳʹ

ሺʹͲͶሻ

Bemerkung: Diese Skala ǡ ǡ ǥ ሺᇱ ሻ aus 7 Tönen heißt reine diatonische, heptatonische Skala R7. Wir erkennen:

ͷͶ

94

4 Das natürlich-harmonische System

1. Es gibt 2 verschiedene Ganztontypen (204 ct, 182 ct). 2. Beide Halbtöne sind zwar gleich, jedoch um ̱ʹʹ…–ሺʹͳǡͷ…–ሻ größer als das pythagoräische Limma. 3. Es gibt:

3 reine Terzen (386 ct)

(CE, FA, GH)

5 reine Quarten (498 ct) (CF, DG, EA, GC', HE') die Quinte DA ist unrein. 4. Im Vergleich zur pythagoräischen Stimmung haben wir also folgende Gemeinsamkeiten (՞) und Unterschiedlichkeiten(്):

nat. harm.

C

D

E

F

G

A

H

pyth.

C

D

E

F

G

A

H

Bei der Zusammenstellung aller Frequenzmaße leistet übrigens der Viertönesatz (vgl. Kapitel 1.2) wertvolle Dienste.

4.1.2 Die 12-stufige (chromatische) Skala R12 Philosophie der Konstruktion: Die Vorgehensweise bei R7 kann auch so beschrieben werden:

F iteriere 2 reine Quinten ሺ͵ǣ ʹሻ, adjungiere jeweils reine Terzen ሺͷǣ Ͷሻ

֜

3/2

3/2

5/4

5/4

A

C

3/2

E

G 5/4

3/2

H

3/2 x 1/2

D

alle Töne der heptatonischen Skala sind da – außer, welches man über eine reine Quinte zu gewinnt.

Kann dies – ausgehend von der Quintenkette  ՜  ՜  fortgeführt werden? Die Antwort ist Ja und wir gelangen zu folgender Konstruktion.

4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch

95

Konstruktion (Matrix-Modell): r.Q.

gebe 3 reine Quinten r.T.

adjungiere reine Terzen adjungiere reine Terzen

heptatonisch

F

C

G

D

A

E

H

Fis

Cis

Gis

Dis

Ais

Bild 4.2: Konstruktionsprinzip der reinen chromatischen Skala

՜

Es entsteht eine 12-stufige Skala R12 aus 12 Tönen, in welcher per Konstruktion die heptatonische Skala R7 enthalten ist; wir wollen sie in diversen Stufenmaßen angeben:. C

R

Cis

D

Dis

9/8

12

E

10/9

F

G

Fis

16/15

9/8

Gis

A

Ais

9/10

Cˡ

H

9/8

16/15

25/24 27/25 25/24 16/15 16/15 135/ 16/15 25/24 16/15 135/ 16/15 16/15 128 128 0

71 71

1

274

204 133

71

112

386

498

112

25/24 9/8 75/64 5/4

590 92

702

112

4/3 45/32

773 71

3/2

112

884

976,5 1088 (1200) 92

112

25/16 5/3 225/128 15/8

Bild 4.3: Die reine chromatische Skala R12

Bemerkungen: 1. Folgende drei Ganztontypen sind vorhanden: ͻൗ ؆ ʹͲͶ…– ͺ ͳͲൗ ؆ ͳͺʹ…– ͻ und

112

ʹͷ͸ൗ ʹʹͷ ؆ ʹʹͶ…–ሺ‹• ՜ ሻ

2. Folgende vier Halbtontypen sind vorhanden: ̶

71 ct und 133 ct aus der Ganztonteilung 204 ct ̶

112 ct und 92 ct aus der Ganztonteilung 204 ct ̶

71 ct und 112 ct aus der Ganztonteilung 182 ct

(2)

96

4 Das natürlich-harmonische System

Nicht nur aufgrund dieser gerundeten Werte, sondern auch auf abstraktem Wege unter Zuhilfenahme des Viertönesatzes zeigt man leicht, dass es tatsächlich genau 4 Halbtontypen gibt. Die Tonpaare, die im Konstruktionsdiagramm durch eine Parallelverschiebung entstehen, bilden gleichgroße Intervalle. F

C

G

D

A

E

H

Fis

Cis

Gis

Dis

Ais

|[Gis, A]| (=112 ct) = |Dis,E]| (= 112 ct)

3. Bemerkenswert sind die teilweise sehr groben Unsymmetrien in diesen Ganztonteilungen, z. B. ist beidem Ganztonschritt  െ ‹• െ  ͹ͳ ͳ͵͵ fast eine Drittelung erreicht. 4. Die vorstehende Konstruktion kann – in Äquivalenzt zum Matrixmodell – auch so erklärt werden: a) Konstruiere die diatonische Skala   ሺሻ gemäß Konstruktion R7. b) Bilde zu jedem Ton die reine Aufwärtsterz ቀͷൗͶቁ    ͷൗ ՝ ȁ ȁ  ȁ ȁ Ͷ ሺሻ ‹• ‹• ሺሻ

 ȁ  ȁ ሺሻ ‹•

 ሺሻ ȁ ‹•

՚ R7

(geklammert bedeutet: schon vorhanden, gleich mit ungeklammertem Ton). c) Füge noch ‹• vermöge der Forderung ‹• ՜ ‹• ൌ reine Terz hinzu. ՜ Es entsteht die gleiche Skala R12 wie mittels des Matrixmodells.

4.1.3 Die 19-stufige (enharmonische) Skala R19 Die nachfolgende Tabelle 4.1 zeigt, dass die chromatische Skala R12 zwei Großterztypen besitzt, nämlich genau 8 reine Terzen (zu 386 ct) und 4 übergroße Terzen (zu 428 ct). Das Intervall des Unterschieds beider Terztypen (42 ct) heißt auch kleine Diesis. Tabelle 4.1: Terzen in der chromatischen Skala ଵଶ

Klassifizierung Centzahl C՜E

rein

386

Cis ՜ F

nicht rein

428

4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch

97

Fortsetzung Tabelle 4.1: Terzen in der chromatischen Skala ଵଶ

D ՜ Fis

rein

386

Dis ՜ G

nicht rein

428

E ՜ Gis

rein

386

F՜A

rein

386

Fis ՜ Ais

rein

386

G՜H

rein

386

Gis ՜ C‘

nicht rein

428

A ՜ Cis‘

rein

386

Ais ՜ D‘

nicht rein

428

H ՜ Dis‘

rein

386

Eine nochmals erweiterte Skala beseitigt diesen Mangel. neuer Ton Füge zu den vorhandenen Tönen von R12 die neuen Töne hinzu

Dazu alternativ B oder B*

so dass gilt

‡•

‡• െ

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

•

• െ

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

‹•

‹• െ ‹•

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

•

• െ Ԣ

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ



െ

‫כ‬

 ‫ כ‬െ Ԣ

‡•

Dazu dann alternativ Ges oder Ges*

‡•

Dazu schließlich

‹•

reine Quarte 3‫ ׷‬Ͷ reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

‡• െ 

‫כ‬

‫כ‬

‫כ‬

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

‹• െ ‹•

reine Terz Ͷ ‫ ׷‬ͷ

‡• െ 

Diese jeweils 19 Töne ሺଵଽ ሻ ergeben 19 Stufen und wir erhalten (infolge der Alternative) zwei Skalen, von denen wir beispielsweise diejenige mit B und Ges – in absteigender Folge geordnet – notieren wollen: Tabelle 4.2: Die reine enharmonische Skala R19

Frequenzverhältnis zur Tonika C

Frequenzmaß

Centmaß von [C,X] ܎ ‫ ܜ܋‬ቀ ܑൗ܎ ቁ ‫ܗ‬

Centdifferenz zum höheren Ton

۱Ԣ

ʹ‫ͳ׷‬

ʹ

ͳʹͲͲ

۶ܑ‫ܛ‬

ͳʹͷ ‫ ׷‬͸Ͷ

ͳǡͻͷ͵

ͳͳͷͻ

Ͷͳ

۶

ͳͷ ‫ ׷‬ͺ

ͳǡͺ͹ͷ

ͳͲͺͺ

͹ͳ

ͳ͸ ‫ͻ ׷‬

ͳǡ ͹ത

ͻͻ͸

ͻʹ

۰

98

4 Das natürlich-harmonische System

Fortsetzung Tabelle 4.2: Die reine enharmonische Skala R 19

‫ܛܑۯ‬

ʹʹͷ ‫ʹͳ ׷‬ͺ

ͳǡ͹ͷͺ

ͻ͹͸ǡͷ

ʹͲ

‫ۯ‬

ͷ‫͵׷‬

ͳǡ ͸ത

ͺͺͶ

ͻʹ

‫ܛۯ‬

ͺ‫׷‬ͷ

ͳǡ͸ͲͲ

ͺͳͶ

͹ͳ

۵ܑ‫ܛ‬

ʹͷ ‫ͳ ׷‬͸

ͳǡͷ͸ʹ

͹͹͵

Ͷͳ

۵

͵‫ʹ׷‬

ͳǡͷͲͲ

͹Ͳʹ

͹ͳ

۵‫ܛ܍‬

͸Ͷ ‫ ׷‬Ͷͷ

ͳǡͶʹത

͸ͳͲ

ͻʹ

۴ܑ‫ܛ‬

Ͷͷ ‫ʹ͵ ׷‬

ͳǡͶͲ͸

ͷͻͲ

ʹͲ

۴

Ͷ‫͵׷‬

ͳǡ ͵ത

Ͷͻͺ

ͻʹ

۳ܑ‫ܛ‬

ͳʹͷ ‫ͻ ׷‬͸

ͳǡ͵Ͳʹ

Ͷͷ͹

Ͷͳ

۳

ͷ‫׷‬Ͷ

ͳǡʹͷ

͵ͺ͸

͹ͳ

۳‫ܛ‬

͸‫׷‬ͷ

ͳǡʹͲ

͵ͳ͸

͹ͳ

۲ܑ‫ܛ‬

͹ͷ ‫ ׷‬͸Ͷ

ͳǡͳ͹ʹ

ʹ͹Ͷ

Ͷͳ

۲

ͻ‫׷‬ͺ

ͳǡͳʹͷ

ʹͲͶ

͹ͳ

۲‫ܛ܍‬

ͳ͸ ‫ͳ ׷‬ͷ

ͳǡͲ͸ത

ͳͳʹ

ͻʹ

۱ܑ‫ܛ‬

ʹͷ ‫ʹ ׷‬Ͷ

ͳǡͲͶͳ

͹Ͳ

Ͷͳ

۱

ͳ‫ͳ׷‬

ͳ

Ͳ

͹Ͳ

Bemerkungen: 1. In den (gerundeten) Centangaben steht 70 bzw. 71 für 70,6724 ct. 2. Dieses Modell zeigt die alte Bedeutung von „enharmonisch“ in eindrucksvoller Weise. Eine konkretisierende Tastatur besäße nämlich: ̶

Eine Teilung aller schwarzen Tasten ̶

Eine Teilung der beiden weißen Tasten F und C in Eis + F und His + C

cis des dis es

his

c

d

fis ges gis as

e

eis

f

g

Bild 4.4: Tastatur einer 19-stufigen enharmonischen Skala

ais b

a

h

4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch

99

3. Das Modell R19* mit B* und Ges* statt B und Ges berechnet sich völlig analog und stimmt vielfach mit R19 überein. 4. Die enharmonischen Skalen R19 und R19* haben genau 4 Typen von Halbbesser: Vierteltönen, jedoch mit enormer Ungleichmäßigkeit, denn die Spanne reicht von 20 ct bis 92 ct, also von einem „Achtelton“ bis zu einem „Halbton“. 5. Die drei Modelle der reinen Skalen sind konsekutiv geschachtelt  ଻ ‫ ؿ‬ଵଶ ‫ ؿ‬ଵଽ und lassen sich in einem Matrixmodell einheitlich beschreiben:

Ges* 5/4 Quinten 2:3 Terzen 4:5

Ges B ~ D

Des 5

As

Es

3/2

5/4 3/2

B* 5/4

F

C

G

D

A

E

H

Fis

Cis

Gis

Dis

Ais

Eis

His

R7 R19 R12

Bild 4.5: Diatonik, Chromatik und Enharmonik im Eulergitter

4.1.4 Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne Ein kurzer Check genügt, um zu sehen, dass auch das vieltönige System ଵଽ nicht zum Transponieren geeignet ist. Liegt beispielsweise das auf Tonika  abgestimmte System ଵଽ vor, so kann innerhalb ଵଽ keine heptatonische Leiter der gleichen reinen Stufenfolge – beginnend auf – existieren, denn ȁሾ ǡ ሿȁ ൌ ͳͲΤͻ ് ͻΤͺ und so fort. Der Mathematiker Mersenne (1588 – 1648) hat sich ein System ausgedacht, welches noch weitere 12 Töne (aus dem Quint-Terz-System) hinzunimmt mit dem Ziel, auch gewisse Tonartenwechsel innerhalb des bestehenden Tonvorrats unter Wahrung der charakteristischen Stufenfolgen durchführen zu können. Prinzip:

Hinzunahme passender pythagoräischer Quinten entlang verschiedener Terzfolgen im Eulergitter

100

4 Das natürlich-harmonische System

x0 = F (reine Quart) x1 : x1/F = 25/24,

pythagoräischer Ganzton (Tonos) 204 ct

So gibt es beispielsweise zwischen F und G sogar 5 Zwischentöne: (ϵ R19) F + 70ct

neu

x2 : x2/F = 135/128, F + 92ct

x0

F=

(Fis ϵ R19)

x3: x3/F = 16/15,

F + 112ct (Ges ϵ R19)

x4: x4/F = 27/25,

F + 133ct neu

x5: x5/F = 10/9,

F + 182ct neu

kleines Chroma

21,5

syntonisches Komma

20

Diaschisma

21,5

syntonisches Komma

40

kleine Diesis

21,5

syntonisches Komma

x2 x3 x4 x5

G=

x6= G (reine Quinte), F + 204ct

70 x1

x6

Bild 4.6: Zur Konstruktion von Mersenne

In der Darstellung des „Eulergitters“ geschieht diese Auswahl so:

X3

Ces

3/2 Quinten

Ges

X4

3 13

5/4 Terz

Ges

Des

Es

B*

C

G

D

2 11

As

B 2 18

G X5 X1

F

204

70

Es

92

D

A

E

H

Fis

Fis

Cis

Gis

Dis

Ais

Eis

His

X2

R19, Tonika C

Bild 4.7: Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne

Ähnlich verfährt Mersenne mit anderen Ganz- und Halbtonschritten und kommt last not least zu folgender schematischen Tastaturanordnung. (Dabei stellen die eingekreisten Töne die heptatonische Skala  ଻ dar und die Tastennummerierung ist nach aufsteigenden Frequenzen geordnet.)

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch

9/8

c

MersenneTastatur

3 3

10/9

d

e

2

1c

2

8

f

5

11 7

4

9/8

d

10/9

g

15 17

6 5

Anzahl Zwischentöne Æ

3

16/15

101

9

e

a

5

16/15

h

13 12

f

1

c

22 26 28 20

14 16 10

4

9/8

31 21 25 27

19 18

g

24 23

a

30 29

h

32c

Bemerkung: Gegeben sei die Aufgabe: Bestimme eine Skala  ୫ , aus dem Eulergitter reiner Quinten und Terzen, so dass der Parameter m möglichst klein ist mit folgenden Bedingungen: 1. ଵଽ ‫  ؿ‬୫ 2. R7 ist transponierungsinvariant in Rm, d. h., beginnt man auf einem beliebigen Ton š ‫ א‬R7, erneut die heptatonische R7-Stufenfolge mit x als neuer Tonika, so sind auch diese Töne in Rm enthalten. Diese Aufgabe ist jedenfalls leicht lösbar, wenn wir uns am Eulergitter orientieren: Wir haben die 7 Töne der Skala R7. Nun bilden wir für jeden dieser 7 Töne – jeweils als neue Tonika betrachtet – die entsprechende Skala R7, welche dann – geometrisch gesprochen – eine parallel verschobene Anordnung der R7 (mit C als Tonika) darstellt, eine unmittelbare Konsequenz des Viertöne-Satzes. Die Vereinigungsmenge dieser 7 R7-Skalen (die sich ja teils überlappen) wäre dann diatonisch transponierungsinvariant. Die Mersenne-Skala erfüllt diese Aufgabe nur eingeschränkt: Nur wenn die Töne 4 statt 5, 9 statt 10, …, 29 statt 30 als jeweilige Tonika genommen würden, erhielte man innerhalb R31 reine diatonische Skalen. Die Wechsel (4 statt 5 usw.) sind jedoch um das syntonische Komma ͺͳ ‫ ׷‬ͺͲ versetzt.

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch Vorbemerkung: Wir erinnern daran, dass das pythagoräische Komma – definiert als Maß der unsymmetrischen Teilung des Ganztons ͻΤͺ durch den Halbton Limma ሺʹͷ͸ΤʹͶ͵ሻ – in Äquivalenz zu eben dieser Definition ganz entscheidend dafür verantwortlich ist, dass der Quintenkreis mit ͵ൗʹ-Quinten sich nicht schließt.

102

4 Das natürlich-harmonische System

Mit dem reinen System haben wir nun ein solches, welches auf den beiden Primzahlen 5 („Terzen“) und 3 („Quinten“) wie dargelegt aufgebaut ist, mit dem Ergebnis: Es gibt zwei Typen von Ganztönen: ͻΤͺ und ͳͲΤͻ ̶ ̶

Es gibt einen leitereigenen Halbton ሺͳ͸Τͳͷሻ, welcher keinen der beiden Ganztöne halbiert: ଶ

ͳͲൗ ് ቀͳ͸ൗ ቁ ് ͻൗ Ǥ ͺ ͻ ͳͷ Ferner können wir neben den pythagoräischen Quintfolgen ሺ͵Τʹሻ୬ auch reine Terzfolgen ሺͷΤͶሻ୬ bilden – beide per geeigneter Oktavierung in ein fixiertes Oktavintervall gepackt. Dies lässt vermuten, dass wir weitere „Kommata“ zu erwarten haben und zwar ganz einfach deshalb, weil Terzfolgen und Quintfolgen niemals aufeinandertreffen können (wie in Kapitel 4.3 gezeigt wird). In der bestehenden Literatur begegnet man in der Regel einer Auflistung recht vieler „Mikro-Töne“, welche sich zumeist aus der Wirkung von Intervalliterationen ergeben. Und es fällt auch schwer, sich eine nachhaltige Kenntnis hierüber anzueignen, folgt man diesen Auflistungen. Wir strukturieren dieses Kapitel wie folgt: 4.2.1 ̶

In einem historischen Teil stellen wir diese Mikrotöne in der üblichen Sprache vor.

4.2.2 ̶

Ausgehend von einer konsequenten definitorischen Festlegung (darüber, was „Kommata eigentlich sind“) beschreiben wir diese Mikrotöne erneut.

4.2.3 ̶

Im letzten Teil entwickeln wir eine kleine Formelwelt, aus der man intrinsische Zusammenhänge erkennen und nutzen kann.

Historisches Bereits in der griechischen Antike wurde erkannt, dass der pythagoräische Dreiklang („… െ ‡ െ ‰“) dem Ohr weniger gefällig ist als der naturtönige Dreiklang (mit der ͷΤͶTerz). Es stehen sich nämlich hier die Verhältnisse ͸Ͷ ‫ ׷‬ͺͳ ‫ͻ ׷‬͸ (pythagoräisch) und Ͷ ‫ ׷‬ͷ ‫ ׷‬͸ ൌ ͸Ͷ ‫ ׷‬ͺͲ ‫ͻ ׷‬͸ (natürlich) gegenüber. Aus unserer heutigen Kenntnis der Obertonreihe eines Tons und der Vorstellung, dass der „Gradus suavitatis“ – sprich Wohlklang – umso optimaler ausfällt, je häufiger (Ober-)Tonperioden zusammenfallen, ist diese alte Erkenntnis unmittelbar nachvollziehbar.

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch

103

Im ͸Ͷ ‫ ׷‬ͺͳ-Fall ist die Periodizität des gemeinsamen Schwingungsmusters wesentlich seltener als im Ͷ ‫ ׷‬ͷ-Fall. Andererseits wurde noch bis zu Beginn der Renaissance bestritten, dass das Verhältnis Ͷ ‫ ׷‬ͷ zu den „Consonantiae“ zählt, da diese doch nach vorherrschender pythagoräischer Lehre im selbigen System ausgeschlossen sind (besser: nicht als bekannt vorkommen!). Antike Wegbereiter einer „Erweiterung pythagoräischer Töne“ waren u. a.: ̶

Aristoxenos v. Tarent (̱ 330 v. Chr.) ̶

Archytas (̱ 380 v. Chr.) ̶

Eratosthenes (3. Jh. v. Chr.) ̶

Didymus (30 v. Chr.) ̶

Ptolemäus (150 n. Chr.)

„Gehör geht vor Zahl“

ۗ ۖ ۖ

5-Teilung des Monochords und  ۘ „Entdeckung“ der reinen Terz ۖ ۖ ۙ

Allerdings war die Bedeutung solcher Tonerweiterungen allein schon deshalb eher gering, weil zu jener Zeit ja eine Vielfalt von Skalen existierte. In Kapitel 3.2 haben wir erwähnt, dass ̶

es 3 Familien und 3 Geschlechter von Tetrachorden gab, ̶

die Anordnung von Tetrachorden zu Skalen zu einer vielfältigen Tonartenwelt führte.

So hat Archytas die ͷΤͶ-Terz („Durterz“) nur im enharmonischen Geschlecht, Eratosthenes benutzt die ͸Τͷ-Terz („Mollterz“) nur im chromatischen Geschlecht. Erst Didymus führt sie im diatonischen Geschlecht ein. Dennoch dauerte es lange, bis die Starrheit der diatonisch-pythagoräischen Systematik neuen Wegen gewichen war: Sicher war dies ein – wie auch immer zu würdigendes – Verdienst des großen Gelehrten und Bewahrer des Altertums: ̶

Anicius Manlius Torquatus Severinus Boethius (um 500 n. Chr.)

Boethius, war wesentlich geprägt durch die wissenschaftstheoretischen Prinzipien des Aristoteles. Er festigte die pythagoräische Lehre der Diatonik und begründete eine Theorie der „Consonantiae“. Dabei bedeutete für ihn „konsonant“, wenn das Intervall aus der Tetractys ableitbar war. Einfach-überteilige („superpartikulare“) Verhältnisse galten als unteilbar.

104

4 Das natürlich-harmonische System

Ab etwa 1300 wurde die „Reine Stimmung“ in Konkurrenz zur vorherrschenden pythagoräischen Stimmung zunehmend bedeutsamer. Wegbereiter sind: ̶

Walter Odington (um 1300) ̶

Franco von Köln (Ende 13. Jahrhundert) ̶

Marchettus von Padua (14. Jahrhundert) ̶

Jacobus von Lüttich (14. Jahrhundert) ̶

Bartolomeo Ramis de Pareija (15. Jahrhundert) ̶

Franchinus Gafurius (1451 – 1522: erste direkt angegebene reine Temperatur) ̶

Gioseffo Zarlino (1517 – 1590)

Eine Einheitlichkeit im Gebrauch von Mikro-Intervallberechnungen ist dabei – verständlicherweise – kaum zu beobachten. Im Rahmen der Quinte (͵ ‫ – )ʹ ׷‬Terz (ͷ ‫ ׷‬Ͷ)-Beziehung werden als Mikrointervalle bzw. „Differenzen“ genannt (GT bzw. HT steht für Ganzton bzw. Halbton): Syntonisches (oder didymisches) Komma ‫ ؠ‬Unterschied pythagoräische Terz zu reiner Terz.

ԑൌ

ͺͳൗ ͸Ͷ ൌ ͺͳ ͺͲൗ ͺͲ ͸Ͷ

؆ ʹͳǡͷͲ͸…–

Großes Chroma ‫ ؠ‬Unterschied großer GT und diatonischer HT ‫ͻ ؠ‬ൗͺ ‫ͳ  ׷‬͸ൗͳͷ ൌ

ͳ͵ͷ ͳʹͺ

؆ ͻʹǡͳ͹…–

Kleines Chroma ‫ ؠ‬Unterschied kleiner GT und diatonischer HT ‫Ͳͳ ؠ‬ൗͻ ‫ͳ  ׷‬͸ൗͳͷ ൌ

ʹͷ ʹͶ

؆ ͹Ͳǡ͸͹…–

Diaschisma ‫ ؠ‬Unterschied diatonischer HT und großes Chroma ‫ͳ ؠ‬͸ൗͳͷ ‫͵ͳ  ׷‬ͷൗͳʹͺ ൌ

ʹͲͶͺ ʹͲʹͷ

؆ ͳͻǡͷͷ…–

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch

105

Schisma ‫ ؠ‬Unterschied pythagoräisches und didymisches Koma ‫ ؠ‬ͷ͵ͳͶͶͳൗͷʹͶʹͺͺ ‫  ׷‬ͺͳൗͺͲ ൌ

͵ʹͺͲͷ ͵ʹ͹͸ͺ

؆ ͳǡͻͷ…–

Kleine Diesis ‫ ؠ‬Unterschied Oktave und 3 reine große Terzen ଷ

‫ʹ ؠ‬ൗͳ ‫ ׷‬ቀͷൗͶቁ ൌ

ͳʹͺ ͳʹͷ

؆ ͶͳǡͲͷ…–

Große Diesis ‫ ؠ‬Unterschied 4 reine kleine Terzen und Oktave ସ

‫ ؠ‬ቀ͸ൗͷቁ ‫ʹ  ׷‬ൗͳ ൌ

͸Ͷͺ ͸ʹͷ

؆ ͸ʹǡͷͲ…–

Dazu kommen Limma, Apotome, pythagoräisches Komma als bereits existierende Intervalle unterhalb des Tonos. Auch formal wären noch weitere „Differenzen“ zu nennen (Chroma-Limma u. Ä.). Ein systematischer Zugang wird nun so erreicht: Die diatonische reine Skala  ଻ kennt zwei Ganztöne ሺͻΤͺ —† ͳͲΤͻሻ und einen Halbton ሺͳ͸Τͳͷሻ als leitereigene Töne. Dies impliziert zwei weitere „Halbtöne“ vom Typ der pythagoräischen Apotome: 10/9 - GT

9/8 - GT

16/15 HT

Großes Chroma

16/15 HT

Kleines Chroma

Mit den Bezeichnungen T (Tonos, großer Ganzton)

ȁȁ ൌ ͻൗͺ

؆ ʹͲͶ…–

t

ȁ–ȁ ൌ ͳͲൗͻ

؆ ͳͺʹ…–

S (Semitonos, reiner Halbton)

ȁȁ ൌ ͳ͸ൗͳͷ

؆ ͳͳʹ…–

CH (großes Chroma)

ȁȁ ൌ ͳ͵ͷൗͳʹͺ

؆ ͻʹ…–

ch (kleines Chroma)

ȁ…ȁ ൌ ʹͷൗʹͶ

(kleiner Ganzton)

؆ ͹Ͳǡͷ…–

106

4 Das natürlich-harmonische System

erhalten wir also nun 3 Halbtöne („Semitonia“), nämlich kleines und großes Chroma sowie den leitereigenen Halbton . Eingedenk einer grundlegenden Definition eines „Kommas“ als Differenz von Halbtönen erhalten wir so die Struktur:

92 CH

70,5 ch

112 (111,7) S

Syntonisches Diaschisma Komma 21,5 19,5 Kleine Diesis, 41 In der Formulierung der Intervallarithmetik drückt sich dies so aus: Syntonisches Komma

 ൌ  ٓ …Šǡ,

ȁȁ ൌ ԑ ൌ ఴభ ఴబ

؆ ʹͳǡͷ…–

Diaschisma

 ൌ  ٓ ,

ȁȁ ൌ Ɂ ൌ మబరఴ మబమఱ

؆ ͳͻǡͷ…–

ȁȁ ൌ Ɋ ൌ

 ൌ  ٓ …Š,

Kleine Diesis

భమఴ భమఱ

؆ Ͷͳ…–

Bemerkung: Die Frequenzmaße für diese Mikrointervalle in Primfaktordarstellung betragen: ଵଶ

ɂ ൌ ͵ ൗ ଵଽ ʹ ସ ԑൌ͵ ൗ ͷ ‫ʹ כ‬ସ

Pyth. Komma (PK): Synt. Komma (SK):

ଵଵ

Diaschisma (DS):

Ɂൌʹ ൗ ସ ͵ ‫ כ‬ͷଶ

Kleine Diesis (KD):

Ɋൌʹ ൗ ଷ ͷ

ሺ؆ ʹ͵ǡͷ…–ሻ, ሺ؆ ʹͳǡͷ…–ሻ, ሺ؆ ͳͻǡͷ…–ሻ,

଻

ሺ؆ Ͷͳ…–ሻ

sowie die aus der Konstruktion folgende Gleichung ԑ‫כ‬ɁൌɊ

bzw.

ԑ൅ɁൌɊ

ሺ‹…–ሻ.

Allein aus diesen Primzahldarstellungen erkennen wir, dass das pythagoräische Komma als Maß der Nichtkohärenz ͵ୣ୰ gegen ʹୣ୰ ̶

die kleine Diesis als Maß der Nichtkohärenz ͷୣ୰ gegen ʹୣ୰ ̶ ̶

Synt. Komma und Diaschisma als Maß der Nichtkohärenz ͵ୣ୰ gegen ͷୣ୰

Intervallschichtungen anzusehen sind. Wir zeigen nun im folgenden Theorem, dass sich die Vielfalt dieser „Differenzen“, Begriffe und Gleichungen, die „Formelwelt der Kommata“, letztendlich aus je zwei der vier genannten Mikrointervalle entwickeln lässt.

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch

107

Die symbolisch angegebenen Intervallmessungen des folgenden Satzes sind dabei als Angaben im Centmaß zu verstehen Theorem 4.1 (Kommasatz der reinen Skala) (1) Satz vom syntonischen Komma (SK) ሺԑ ൌ ʹͳǡͷ…–ሻ Synt. Komma ൌ ‰”‘釕Š”‘ƒ ٓ Ž‡‹‡•Š”‘ƒ ൌ ͻൗͺ  ƒœ–‘ ٓ ͳͲൗͻ ƒœ–‘ ൌ ’›–ŠǤ ‡”œ ٓ ”‡‹‡‡”œ (2) Satz von der Diesis ሺɊ ؆ Ͷͳ…–ሻ Kleine Diesis ൌ ͳ͸ൗͳͷ ƒŽ„–‘ ٓ Ž‡‹‡•Š”‘ƒ ൌ –ƒ˜‡ ٓ ͵‰”‘釔‡‹‡‡”œ‡ቀͷൗͶቁ Große Diesis ൌ ͶŽ‡‹‡”‡‹‡‡”œ‡ ٓ –ƒ˜‡ ൌ Ž‡‹‡‹‡•‹• ْ •›–Ǥ ‘ƒ (3) Formeln: Mit den Centmaß-Symbolen: ɂ (pyth. Komma), ԑ (synt. Komma), Ɂ (Diaschisma), ɇ (Schisma), Ɋ (kleine Diesis), ɉ (große Diesis) ergeben sich die folgenden Gleichungen െɇ ൌ ԑ െ ɂ

(Schisma),

Ɂ ൌ ʹԑ െ ɂ

(Diaschisma),

Ɋ ൌ ͵ԑ െ ɂ

(kleine Diesis),

ɉ ൌ Ͷԑ െ ɂ

(große Diesis)

und das kann auch so umformuliert werden: െ͵ɇ ൌ Ɋ െ ɂ

(Schisma)

͵ԑ ൌ Ɋ ൅ ɂ

(synt. Komma)

͵Ɂ ൌ ʹɊ െ ɂ

(Diaschisma)

͵ɉ ൌ ͶɊ ൅ ɂ

(große Diesis)

108

4 Das natürlich-harmonische System

Alle Mikrotöne der reinen Skala sind also durch die Kommata ɂ (pyth. Komma, Primzahl 3) und Ɋ (kleine Diesis, Primzahl 5) darstellbar. Außerdem lassen sich die beiden Basis-Mikrotöne ɂ und Ɋ nun auch so definieren: ɂ (pyth. Komma)

ൌ ͵’›–ŠǤ ‡”œ‡൫ͺͳൗ͸Ͷ൯ ٓ –ƒ˜‡

Ɋ (kleine Diesis)

ൌ –ƒ˜‡ ٓ ͵”‡‹‡‡”œ‡൫ͺͲൗ͸Ͷ൯

und durch Summieren beider Gleichungen erhält man für das syntonische Komma ɂ ൅ Ɋ ൌ ͵ሺ’›–ŠǤ ‡”œ‡ ٓ ”‡‹‡‡”œሻ ൌ ͵ԑሺ•›–Ǥ ‘ƒሻ. Beweis: Alle Aussagen dieses Satzes könnten unmittelbar durch Nachrechnen der Frequenzbrüche verifiziert werden, beispielsweise würde man die Diaschisma-Gleichung in (3) so sehen: ଶ

Ɂ ൌ ʹԑ െ ɂሺ‹…–ሻ ֞ Ɂ ൌ ԑ ൗɂ (im Frequenzmaß) ͵଼ ʹଵଽ ʹଵଵ ଵଽ ଼ଵ ଶ ֞ Ɂ ൌ ቀ଼଴ቁ ‫ ʹ כ‬ൗ͵ଵଶ ൌ ଶ ‫כ‬ ൌ ൌ  ٓ  , ͷ ‫͵ ଼ʹ כ‬ଵଶ ͷଶ ‫͵ כ‬ସ sofern klar ist, dass ԑ ൌ ͺͳΤͺͲ ist (was aber in (1) gezeigt ist). Wir wollen jedoch gleichsam als Übung zur Anwendung der Intervall-Arithmetik diese Formelwelt auch derart erschließen, dass strukturelle Beziehungen erkannt und genutzt werden (und es einfach nicht so ist, dass zwei Intervalle nur deswegen gleich sind, weil sie – möglicherweise rein zufällig – die gleichen Frequenzmaße haben!). Zunächst erinnern wir noch einmal an unsere Modelle: ch S

t CH

 ൌ ͳ͸ൗͳͷ – Halbton ch = kleines Chroma

SK T

– ൌ ͳͲൗͻ – Ganzton

CH = großes Chroma

 ൌ ͻൗͺ – Ganzton

SK = syntonisches Komma

Dabei gelten die Strukturgleichungen  ൌ  ٓ , …Š ൌ – ٓ  sowie die Stufenabfolge der reinen Skala.

4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch

T

t

S

t

T

109

T

S

Bild 4.8: Oktavskala der reinen diatonischen Skala

Dies drückt sich nun durch die Oktavgleichung aus:  ൌ  ْ – ْ  ْ  ْ – ْ  ْ  ൌ ͵ ْ ʹ– ْ ʹ Für das syntonische Komma – also zu (1) – folgt daher:  ൌ  ٓ …Š

(nach Definition)

ൌ ሺ ْ ሻ ٓ ሺ…Š ْ ሻ ൌ  ٓ – ൌ ሺ ْ ሻ ٓ ሺ ْ –ሻ ൌ ’›–ŠǤ ‡”œ ٓ ”‡‹‡‡”œ Für die kleine Diesis – also zu (2) – folgt ebenso:  ൌ  ٓ …Š

(nach Definition)

ൌ  ٓ ሺ– ٓ ሻ ൌ ʹ ٓ – ൌ  ٓ ͵ ٓ ʹ– ٓ – ൌ  ٓ ͵ ሺ ْᇧᇥ –ሻ (aus der Oktavgleichung) ᇣᇧᇤ ୰ୣ୧୬ୣ୘ୣ୰୸

Und für die große Diesis ergibt sich:

 ൌ Ͷ reine kleine Terz ٓ 

(nach Definition)

ൌ Ͷሺ—‹–‡ ٓ ”‡‹‡‰”‘采”œሻ ٓ  ൌ Ͷሺ ْ ሻ ٓ  ൌ Ͷ ْ Ͷ ٓ ሺ͵ ْ ʹ– ْ ʹሻ ൌ  ْ ʹ ٓ ʹ– ൌ  ٓ ʹሺ– ٓ ሻ ൌ  ٓ ʹ…Š ൌ

 ٓ– ᇣᇤᇥ ୱ୷୬୲Ǥ୏୭୫୫ୟ

ْ ʹ ᇣᇧᇤٓ ᇧᇥ– ୩୪Ǥୈ୧ୣୱ୧ୱ

Die Formelgruppe (3) wird folgendermaßen gezeigt: ɇൌ ɂെԑ

(nach Definition)

Dann ist nach (2):  ൌ  ٓ ͵”‡‹‡‡”œ ൌ  ٓ ͵ሺ’›–ŠǤ ‡”œ ٓ ›–Ǥ ‘ƒሻ

110

4 Das natürlich-harmonische System

ൌ ሺ ٓ ͵’›–ŠǤ ‡”œሻ ْ ͵›–Ǥ ‘ƒ Ɋ ൌ ȁȁ ൌ െɂ ൅ ͵ԑ Nach (2) ist die große Diesis um ͳԑ größer als die kleine Diesis. Schließlich gilt für das Diaschisma DS  ൌ  ٓ  ൌ  ٓ ሺ ٓ …Š ْ …Šሻ ൌᇣ ᇧ ٓ ٓᇧᇥ …Š , ᇤᇧ…Š ᇥ ٓ  ᇣᇧ ᇧᇤᇧ ୩୪Ǥୈ୧ୣୱ୧ୱ

ୗ୷୬୲Ǥ୏୭୫୫ୟ

was sich in der Centbilanz so ausdrückt:  Ɂ ൌ Ɋ െ ԑ ൌ ͵ԑ െ ɂ െ ԑ ൌ ʹԑ െ ɂ

‫ז‬

Bemerkung: Die Centzahlfolge െɇǡ Ɂǡ Ɋǡ ɉ ist eine arithmetische Folge. Daher ist die entsprechende Frequenzverhältnisfolge geometrisch: Mit dem nur knapp ʹ…–-wertigen reziproken Schisma ȁٓ …Š‹•ƒȁ ൌ െɇ

(in Cent)

ଵହ

ȁٓ …Š‹•ƒȁ ൌ ʹ ൗ ͷ ‫ ଼͵ כ‬ൌ0,99887...

(im Frequenzmaß)

gilt – wenn wir diesen Wert des Frequenzmaßes mit ɐ und mit “ ൌ ͺͳΤͺͲ den Frequenzfaktor des syntonischen Kommas bezeichnen – folgender bemerkenswerte Zusammenhang, bei dem das syntonische Komma als Progressionsparameter und das Schisma als gemeinsame Proportionalität auftreten: Ɂ ൌ ɐ“

Diaschisma

Ɋ ൌ ɐ“ଶ

kleine Diesis

ɉ ൌ ɐ“ଷ

große Diesis

4.3 Primzahl – Tonsysteme

111

4.3 Primzahl – Tonsysteme 4.3.1 Das Tongitter von Leonhard Euler (Eulergitter) Nun haben wir also sogenannte „reine Systeme“ erhalten, indem wir an gegebene Quinten ሺ ǡ ǡ ሻ ͷΤͶ-Terzen ሺǡ ǡ ሻ angehängt haben (bzw. umgekehrt) und diesen Prozess noch ein wenig ausgedehnt haben. Auf Leonhard Euler (1707-1783) geht das folgende zweidimensionale Gittermodell zurück, welches wir in Kapitel 4.1 zur Konstruktion von  ଻ ǡ ଵଶ ǡ ଵଽ ǡ ǥ im Grunde bereits benutzt haben. Gegeben sei ein Ausgangston mit fester Frequenz (z. B. ). 1. Schritt:

Bilde die Quintfolge ሺ͵Τʹሻ୬ ‫ כ‬

2. Schritt:

Bilde durch jeden Punkt der Quintfolge eine Folge reiner ሺͷΤͶሻ-Terzen.

ሺ ‫ א‬Ժሻ.

Dann entsteht folgendes Gittermodell (Eulersches Tongitter) “Gis E H Fis B

F C

G

D As Es “B“

Quinten Terzen

Bild 4.9: Eulersches Tongitter

Nach dem „Viertöne-Satz“ sind dann auch alle Horizontalen Quintfolgen und ebenso alle Vertikalen Terzfolgen. Offenbar wird diese Tonmenge so beschrieben:  ൌ ሼš ൌ  ‫͵ כ‬୫ ‫ כ‬ͷ୬ Τʹ୫ାଶ୬ ȁǡ  ‫ א‬Ժሽ Den einheitlichen Ausgangsfrequenzfaktor C setzen wir ohne besondere Einschränkung zu 1 und wählen als „normiertes Oktavintervall“ das Intervall ሾͳǡʹሾ. Analog zum Quintfolgensystem des Kapitels 3 betrachten wir im Folgenden die – per Oktavierung auf das normierte Oktavintervall – reoktavierte Tonmenge ‫כ‬ ‫ כ‬ൌ ൛š ൌ ͵୫ ‫ כ‬ͷ୬ Τʹ୩ หǡ  ‫ א‬Ժ—†•‘ǡ †ƒ••ͳ ൑ š ൏ ʹൟ. Die Punkte von  und ‫ כ‬entsprechen sich eindeutig: Dies folgt aus dem Eindeutigkeitssatz der Primfaktordarstellung. In unserer speziellen Situation formulieren wir dies in dem Hilfsatz („Lemma“):

112

4 Das natürlich-harmonische System

Lemma: Seien

š ൌ ʹ୩ ‫͵ כ‬୫ ‫ כ‬ͷ୬

und

ᇲ

ᇲ

ᇲ

› ൌ ʹ୩ ‫͵ כ‬୫ ‫ כ‬ͷ୬

mit ganzzahligen Exponenten ǡ ǡ ǡ ᇱ ǡ ᇱ ǡ Ԣ. Dann gilt: š ൌ › ֞ ሺ ൌ  ᇱ und  ൌ ᇱ und  ൌ Ԣሻ Beweis: ᇲ

ᇲ

ᇲ

ᇲ

ᇲ

ᇲ

š ൌ › bedeutet ʹ୩ି୩ ‫͵ כ‬୫ ‫ כ‬ͷ୬ ൌ ͵୫ ‫ כ‬ͷ୬ ֞ ʹ୩ି୩ ൌ ͵୫ ି୫ ‫ כ‬ͷ୬ ି୬ . Ist  ൐ ݇Ԣ, so ist die linke Seite gerade, die rechte nicht; ist  ൏ ݇Ԣ, so betrachtet man die Kehrwerte und erhält, dass schließlich  ൌ  ᇱ sein muss. Nun reduziert sich dies auf die Gleichung ᇲ

ᇲ

͵୫ ି୫ ൌ ͷ୬ ି୬. Ist ൐ ᇱ , so auch ᇱ ൐ ݊ ֜ ͵୩ ൌ ͷ୪ ֜  ൌ Ž ൌ Ͳ, da keine ͵ୣ୰ -Potenz ് Ͳ auf einer 5 endet. Selbstverständlich steht der Eindeutigkeitssatz der Primfaktordarstellung hinter all diesen Argumentationen. ‫ז‬ Für das Eulergitter R* aller reoktavierten Iterationen (von einer festgewählten Tonika ausgehend) mit Terzen (Ͷ ‫ ׷‬ͷ) und Quinten (ʹ ‫ )͵ ׷‬ergibt sich insgesamt das folgende Theorem. Theorem 4.2 (Eulergitter der reinen Terz-Quint-Iteration) (1) R* besteht aus unendlich vielen, paarweise verschiedenen Tönen. (2) R*‫ ؿ‬ሾͳǡʹሾ stellt eine unendliche, dicht verteilte Zahlenmenge im reellen Zahlenintervall ሾͳǡʹሾ dar. (3) Je zwei Punktepaare – sprich Tonpaare – bilden genau dann das gleiche Intervall, wenn sie – als Strecken im Eulerschen Tongitter aufgefasst. durch Parallelverschiebung ineinander überführt werden können. Begründung: Die Aussage (1) haben wir zuvor behandelt. Aussage (2) entnehmen wir dem allgemeinen Satz von Levy (Kapitel 2 und 8), und Aussage (3) ist eine direkte Konsequenz von Aussage (1) und dem Viertönesatz: Seien nämlich šǡ šǮǡ › und ›Ԣ ‫ א‬R* vier Töne mit ȁ ȁ ൌ ȁሾšǡ š ᇱ ሿȁ ൌ ȁሾ›ǡ › ᇱ ሿȁ ൌ ȁ ȁ.

4.3 Primzahl – Tonsysteme

113

Zunächst „verschieben“ wir y nach x, was nichts anderes bedeutet, als dass man eine entsprechende Terz-Quintiteration durchführt, welche auch auf y‘ angewendet zum Ton y‘‘ führt. Nach dem Viertönesatz ist dann ȁሾ›ǡ › ᇱ ሿȁ ൌ ȁሾšǡ › ᇱᇱ ሿȁ ൌ ȁሾšǡ šᇱ ሿȁ. Somit ist › ᇱᇱ ൌ šԢ, da gemäß Aussage (1) alle Tonhöhen, die durch die Iterationen in R* entstehen können, dort auch nur einmal vorkommen.

4.3.2 Prinzip von der Erhaltung der Tonika Ausgehend vom 2-dimensionalen Eulermodell könnte man nun ein 3-dimensionales Gittermodell entwerfen, welches durch alle ሺ͵ǡ ͷሻୣ୰ -Gitterpunkte des 2-dimensionalen Eulermodells zusätzliche Gittergeraden, beispielsweise der Septimenfolge (7n), besäße. Nach der Primzahl 7 käme dann als nächste Primzahl die 11 usw. Abstrakt erhalten wir durch  gegebene Primzahlen (in der Folge ͵ǡ ͷǡ ͹ǡ ͳͳǡ ǥ ǡ ’୩ ) ein -dimensionales Gitter, welches aus allen k-fachen Intervalliterationen der Frequenzfaktoren dieser Primzahlen 3, .., pk besteht mit passender Reoktavierung: ‫ כ‬ሺ୩ሻ ൌ ൛š ‫ כ‬ൌ ʹ୬బ ‫͵ כ‬୬భ ‫ כ‬ͷ୬మ ‫ כ‬ǥ ‫’ כ‬୩ ୬ౡ ห୨ ‫ א‬Ժǡ —†଴ •‘‰‡™¡ŠŽ–ǡ †ƒéͳ ൑ š ‫ כ‬൏ ʹൟ Dann gilt der Eindeutigkeitssatz, der zum Prinzip von der Erhaltung der Tonika führt: Theorem 4.3 (Prinzip von der Erhaltung der Tonika) Die multiple Tonfolge aller iteriertenTöne der Form š୬‫ כ‬భ ǡǥǡ୬ౡ ؔ ʹ୬బ ‫͵ כ‬୬భ ‫ כ‬ǥ ‫’ כ‬୩ ୬ౡ ‫כ‬ ist doppelpunktfrei, d. h. ሺଵ ǡ ǥ ǡ ୩ ሻ ് ሺଵ ǡ ǥ ǡ ୩ ሻ ֜ š୬‫ כ‬భ ǡǥǡ୬ౡ ് š୫ . భ ǡǥǡ୫ౡ

Die Hinzunahme noch so vieler Naturtöne (das sind also ganzzahlige Frequenzvielfache dividiert durch 2er-Potenzen) zur Skalenbildung wird niemals eine Skala ermöglichen, die sich nach endlich vielen Iterationen eines oder mehrerer ihrer enthaltenen Teilintervalle schließt - also zur Oktave der Tonika führt. Dies drückt man auch so aus: Jede auf Naturtönen aufgebaute Skala verletzt das Prinzip von der Erhaltung der Tonika. Anders gesagt: In keinem aus Primzahlen konstruierten Eulergitter kann es möglich sein, dass eine fortgesetzte Iteration zur Oktave des Ausgangstons führt. Ein Melodieverlauf in reinen („schwebungsarmen“) Intervallschritten führt also im Allgemeinen nicht zum Ausgangspunkt zurück. Ein Beispiel soll dies erläutern: Choristen

114

4 Das natürlich-harmonische System

sollen eigentlich „rein“ singen. Angenommen, wir befinden uns in der auf C gebildeten reinen diatonischen Skala R7 und der Notentext würde lauten (b)

kl. Terz 9/8 GT r. Quint 8/9 5/6 2/3 so wäre „der Bass schon beim Mittel-C um das syntonische Komma – also etwa ͳΤͺ Ganzton – gesunken“. Man rechnet unschwer nach, dass die scheinbare Oktave vom Start zum Ziel den Frequenzfaktor ͺͲΤͳ͸ʹ ൌ ͺͲȀͺͳ ‫ͳ כ‬Ȁʹ besitzt. Bei mehrmaliger Wiederholung dieses Motivs/Effektes ist eine „Detonierung“ also vorprogrammiert. Alle singen saubere Stufen – trotzdem „liegen alle irgendwann daneben“. Eine andere Variante des Theorems drückt sich in der Beantwortung folgender Frage aus: Gibt es eine -stufige Skala ( ൐ ͳ beliebig vorgegeben), welche aus reinen Intervallen – also aus Intervallen mit rationalen Frequenzverhältnissen – besteht und der (entscheidenden) Forderung: Alle Stufen haben ein gleichgroßes Intervallmaß? Die Antwort ist natürlich Nein! – Wir schreiben das so auf: Theorem 4.4 (Unmöglichkeit gleichstufiger reiner Skalen) Es sei  ൐ ͳ eine beliebige Stufenzahl und  ൌ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ْ ْ ǥ ْ . ୫ି୫ୟ୪

Dann ist das Frequenzmaß ȁ ȁ nicht rational – somit ist kein reines Intervall. Folgerung: ‫כ‬ Über das bereits gesagte gilt eigentlich noch viel mehr: Es sei ‫ כ‬ൌ ‫ڂ‬ஶ ୩ୀଵ  ୩ sogar die Gesamtheit aller Eulergitter zu allen Dimensionen, also konkret:

‫ כ‬ൌ ൛š ‫ כ‬୬భ ǡǥǡ୬ౡ ൌ ʹ୬బ ‫͵ כ‬୬భ ‫ כ‬ͷ୬మ ‫ כ‬ǥ ‫’ כ‬୩ ୬ౡ ห ൒ ͳ„‡Ž‹‡„‹‰ǡ ୧ ‫ א‬Ժൟ (wobei der ʹ୬బ -Faktor die eindeutige Oktavierung darstellt, so dass ͳ ൑ š ‫ כ‬൏ ʹ gilt). R* ist genau die Menge aller Töne in der Einheitsoktave ሾͳǡʹሿ, für die das Intervall zur Tonika (und zu jedem anderen Ton aus R*) rein ist. Es gibt dann für kein  ൐ ͳ eine (nach aufsteigenden Frequenzen notierte) Tonfolge ›ଵ ǡ ǥ ǡ ›୫ାଵ (mit Tönen ›୩ ‫ א‬R*, mit ›ଵ ൌ ͳ und ›୫ାଵ ൌ ʹ), so dass die m-stufige Skala

4.3 Primzahl – Tonsysteme

115

›ଵ െ ›ଶ െ ›ଷ െ ‫ ڮ‬െ ›୫ െ ›୫ାଵ gleichstufig ist, will sagen: Die Intervalle ୩ ൌ ሾሺ›୩ ǡ ›୩ାଵ ሻሿ

ͳ ൑  ൑ 

wären gleich groß. So etwas gibt es also nicht – und zwar für keine Stufenzahl m (also auch nicht für unsere übliche Stufenzahl  ൌ ͳʹ). Zum Beweis benötigt man einige einfache Fakten der Zahlentheorie: Zunächst zur Folgerung: Offenbar haben alle Intervalle aus Tönen aus ‫ כ‬ein rationales Maß, da ja dann alle Frequenzquotienten selber wieder aus solchen Primzahlprodukten gebildet sind – das heißt, dass sie wieder rationale Zahlen darstellen. Es bleibt ౣ lediglich zu wissen, dass ξʹ ‫  ב‬gilt. ౣ

Lemma: ξʹ ist – für jedes  ൐ ͳ – irrational. Beweis: (Standardmethode) Angenommen, es gäbe teilerfremde natürliche Zahlen p, q, deren ౣ Quotient die Zahl ξʹ ergibt. Dann ergeben sich folgende Schritte: ’ ξʹ ൌ ൗ“

ౣ

֞ ’୫ ൌ ʹ“୫ ֜ ’୫ gerade ֜ ’ gerade֞ ’ ൌ ʹ ֜ ’୫ ൌ ʹ୫  ୫ ֜ “୫ ൌ ʹ୫ିଵ  ୫ . Nun ist  െ ͳ ൒ ͳ, daher ist auch “୫ gerade, woraus ebenso folgt, dass auch “ gerade ist, was auszuschließen ist – denn in einem gegebenen Bruch können wir es ja stets so einrichten, dass Nenner und Zähler nicht beide gleichzeitig gerade sind Ein wenig Mathematik bleibt also doch – reine, gleichstufige Skalen gibt es nicht.

‫ז‬

Bemerkung: Die multiple Skalenbildung mit reinen Intervallen führt – mit fortschreitender Zunahme von Primfaktoren – zu einer immer größer werdenden Welt der Kommata: Jede Gitterrichtung eines k-dimensionalen Eulergitters hat neben dem eigenen Komma (als Maß für die Verletzung des Tonika-Prinzips) mit jeder anderen Gitterrichtung Kommabildungen – ein wahrlich reiches Feld für Tüftler. Schon die ͵ୣ୰ - und ͷୣ୰ -Euler-Ebene eröffnete bereits ein Sammelsurium an Mikrotönen, wie wir im zurückliegenden Abschnitt Kapitel 4.2 gesehen haben.

116

4 Das natürlich-harmonische System

4.3.3 Einfach superpartikulare Intervalle Im historischen Streifzug von Kapitel 3.2 haben wir bemerkt, dass die Konsonanz von Intervallen nach antiker Vorstellung sehr eng mit dem Vorliegen sogenannter „einfach überteiliger“ Frequenzrelationen gekoppelt war. Das bedeutet, dass man hat für das Frequenzmaß des Intervalls zweier Töne das Verhältnis hat: ൌ ሾšଵ ǡ šଶ ሿ ՜ ȁ ȁ ൌ šଶ Ԛଵ ൌ

൅ͳ  

mit einer positiven Zahl n. Solche Intervalle werden auch „einfach superpartikular“ genannt. Bei Verzicht auf eine feste Oktave sind nun alle Töne des pythagoräischen Systems durch  ୮୷୲୦ ൌ ሼʹ୬ ‫͵ כ‬୫ ȁǡ  ൒ Ͳሽ gegeben, und alle Töne der reinen Diatonik sind durch das umfassendere  ୰ୣ୧୬ ൌ ൛ʹ୬ ‫͵ כ‬୫ ‫ כ‬ͷ୩ ȁǡ ǡ  ൒ Ͳൟ gegeben. Nun stellt sich folgende interessante Frage: Wie viele superpartikulare Intervalle gibt es in  ୮୷୲୦ , wie viel mehr in  ୰ୣ୧୬ ? Anders gefragt: Wie viele – und welche – konsekutive Zahlenpaare der Form ሺǡ  ൅ ͳሻ gibt es in den Eulergittern  ୮୷୲୦ bzw.  ୰ୣ୧୬ ? Erstaunlicherweise lautet die Antwort: Es sind nur endlich viele – und alle waren bereits in der Antike bekannt. Theorem 4.5 (Über superpartikulare Intervalle) Die superpartikularen Intervalle sind: a) pythagoräisch:

b) rein – diatonisch:

2:1 (Oktave) 3:2 (reine Quinte) 4:3 (reine Quarte) 9:8 (pythagoräischer Ganzton) Die pythagoräischen Intervalle aus a) sowie 5:4 (reine Großterz) 6:5 (reine Kleinterz) 10 : 9 (kleiner Ganzton) 16 : 15 (reiner Halbton) 25 : 24 (kleines Chroma) 81 : 80 (syntonisches Komma)

4.4 Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“

117

Kommentar: Dieses Resultat ist eine direkte Konsequenz eines Satzes der abstrakten PrimzahlTheorie. Der Norweger Carl Størmer (1874-1957) bewies, dass in der Menge der Primzahldarstellungen ୬

୬

୬

 ୩ ‫׷‬ൌ ൛’ଵ భ ‫’ כ‬ଶ మ ‫ כ‬ǥ ‫’ כ‬୩ ౡ ȁଵ ǡ ǥ ǡ ୩ ൒ Ͳൟ, wobei ’ଵ ǡ ǥ ǡ ’୩ Primzahlen sind und deren Anzahl  jedoch fest gewählt ist, so dass stets nur endlich viele Zahlenpaare konsekutiv ሺǡ  ൅ ͳሻ auftreten können. Sein Theorem wurde von Derrick Henry Lehmer im Jahr 1964 so adaptiert, dass man mittels der „Pell'schen“ Gleichungen diese Zahlenpaare auch berechnen konnte. Hierbei stellte sich tatsächlich heraus, dass die vorstehende Auflistung vollständig ist.

4.4 Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“ Indem wir auf einer „vertikalen“ Geraden des Eulergitters wandern, befinden wir uns in der Situation der Iteration mit dem Intervall der reinen Großterz (ͷ ‫ ׷‬Ͷ – im folgenden mit Te bezeichnet). Per Reoktavierung werden Skalen ermöglicht. Welche bizarre Tonleiter wird entstehen? Wir gehen also auf dem Eulergitter entlang der anderen Basisrichtung. Wir erinnern daran, dass ȁୣ ȁ ൌ ͷൗͶ ؆ ͵ͺ͸ǡ͵…– gilt. Wir kennen aus dem Theorem 4.1, dass mit 3 großen Terzen die Oktavbilanz ୣ ْ ୣ ْ ୣ ْ † ൌ  erfüllt ist, wobei d das Komma „kleine Diesis“ ist und die Iterationslücke der Terzen zur Oktave schließt; wir sind ihm u. a. in Kapitel 4.2 begegnet, ȁ†ȁ ൌ ͳʹͺൗͳʹͷ

† ൌkleine Diesis,

ൎ ͶͳǡͲͷ…–.

Bei der Iteration reiner Terzen und gleichzeitiger Reoktavierung (also Skalenbildung) ergibt sich nun mittels dieser Oktavformel sehr leicht die Tonfolge: C

5/4

e

5/4

gis

5/4 0

dd d

dd d

10 7 4 1

11 8 5 2

I Bild 4.10: Iteration mit reinen Großterzen

I

5/4 5/4 (12)

I

his Cˡ () d dd 96 3

118

4 Das natürlich-harmonische System

Die kleinen Ziffern „k“ geben die Iterationsnummer an: Wir erkennen ein einfaches Muster; bei allen drei Terzintervallen entstehen gleichgroße Reste . So ergibt sich beispielsweise für den Iterationsparameter  ൌ ͵ ‫ ͵ כ‬൅ ͳ ൌ ͳͲ nach ͳͲ Iterationen ein Differenzintervall, das mit ଷ notiert ist: ଷ ൌ ͳͲୣ ٓ ͵

ଵ଴

(weil ʹଷ ൏ ቀͷൗͶቁ

൏ ʹସ

ଵ଴

ȁ ଷ ȁ ൌ

ቀͷൗͶቁ ͺ

؄ ͳǡͳ͸ ؄ ʹ͸͵…–

Andererseits folgt aber auch intervallarithmetisch ଷ ൌ ͳͲୣ ٓ ͵ ൌ ୣ ٓ ͵ሺ ٓ ͵ୣ ሻ ൌ ୣ ٓ ͵†, woraus die Centzahl ȁ ଷ ȁ ൌ ͵ͺ͸ െ ͵ ‫ כ‬Ͷͳ ؄ ʹ͸͵ ebenso folgt wie auch die skizzierte Struktur der Iteration. Würde man also nach 12 Iterationen schließen, so entstünde eine sehr regelmäßig aufgebaute Skala mit 13 Tönen bzw. Stufen, die wir sowohl in Bilanzform als auch gemäß einer inneren symmetrischen Gliederung aufschreiben. ୣଵଷ

 ൌ ሾ ଷ ْ † ْ † ْ †ሿ ْ ሾ ଷ ْ † ْ † ْ †ሿ ْ ሾ ଷ ْ † ْ † ْ †ሿ ْ † ൌ Ͳ

Die beiden Tonschritt-Typen („Halbtöne“) ଷ

mit ̱ʹ͸͵…–,

†

mit ̱Ͷͳ…–

sind offenbar extrem verschieden – eine knappe kleine Terz gegenüber einem Viertelton, herkömmlich gemessen. Die Skala ୣଵଷ hat innerhalb ihrer Oktave genau 9 reine Terzen (das ist die maximal mögliche Anzahl) und genau 4 komplementäre kleine reine Sexten; denn für die kleine reine Sext S  ൌ  ٓ ୣ folgt mit  ൌ ͵ ଷ ْ ͳͲ†  ൌ ʹ ଷ ْ ͹†.

und

ୣ ൌ ଷ ْ ͵† sofort

4.4 Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“

119

Und dann ergeben sich alle Anzahlangaben durch Abzählung am vorstehenden ୣଵଷ Modell. Schließlich sehen wir auch ein, dass diese Terziteration bei Weiterführung in 3erSchritten zu Skalen führt, deren Strukturen sich anfangs gut verfolgen lassen. Die Großterz-Intervalle ሾ…ǡ ‡ሿ, ሾ‡ǡ ‰‹•ሿ und ሾ‰‹•ǡ Š‹•ሿ haben gleiche Unterteilungsstruktur und wir erhalten die Musterfolge: c

e

386 I1 (345)

e

c I2 (304)

d 41

Te7

e

c I3 (263) d d d

d d

Te10

c

e

386

Te13

c

I4 (222) d d d d Te16

e d

386 Ik

kd Te3k+4

Diese Muster haben Gültigkeit bis k=9, weil nicht mehr als 9 kleine Diesen in die reine Terz passen. Das führt zur Skala ୣ ଷଵ . ͵൅Ͷ

͵ሾ ୩ ْ †ሿ ْ † ൌ Ͳ ୣ ൌ ୩ ْ † ْ ǥ ْ † ൌ ୩ ൅ †

ୣ ଷଵ

ቈ ଽ ْ ᇣᇧ †ْ ǥْ †቉ ْ ቈ ଽ ْ ᇣᇧ †ْ ǥْ †቉ ْ ቈ ଽ ْ ᇣᇧ †ْ ǥْ †቉ ْ † ൌ Ͳ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ଽି୫ୟ୪

ଽି୫ୟ୪

ଽି୫ୟ୪

hier ist ଽ ൌ ୣ ٓ ͻ† ؆ ͳ͸ǡ͹ͻ…– Bild 4.11: Skalen der Großterz-Iteration

Die Leiter ୣ ଷଵ besteht also aus 28 gleichen Stufen d zu 41 ct und 3 winzigen Stufen ଽ zu je ̱17 ct, die noch unterhalb des pythagoräischen Kommas (̱23 ct) liegen. Somit könnte die ୣ ଷଵ fast als gleichstufige 28-stufige Leiter durchgehen (wären da nicht die durch ଽ bedingten Schwebungen). Terzgleichung und Sextgleichung ୣ ൌ ଽ ْ ͻ†,  ൌ  ٓ ୣ ൌ ʹ ଷ ْ ͳͻ† führen auf die Bilanz von 21 reinen Terzen und 10 reinen kleinen Sexten. Trotz der hohen Tondichte hat ୣ ଷଵ „schlechte Quinten“; die beste hat ̱690,5 ct (weniger als bei allen anderen Quinttemperierungen).

120

4 Das natürlich-harmonische System

Eine weitere Beobachtung ist, dass neben dem „Grob-Komma“

† ൌ  ٓ ͵ୣ

dieses Restintervall ଽ das nächstfeinere „Komma“ der Terziteration wäre, denn ଽ ൌ ʹͺୣ ٓ ͻ. Und letztlich beobachten wir auch, dass Skalenstrukturen ୫ mit  ൐ ͵ͳ dieses prägnante Muster nicht mehr besitzen können, es kommt zu vielfältigen Zerfaserungen in Mikrointervalle mit dem höheren Komma ଽ ؄ 17 ct. Im Übrigen gilt allerdings auch hier das Gesetz von der limitierenden Tondichte (Satz von Levy), nach welchem die Töne ୫ sich bei  ՜ λ dicht im Oktavraum ሾͳǡʹሿ verteilen, symbolisch durch ୫ ሱۛۛሮ ሾͳǡ ʹሿ ‫ ؿ‬Թ ୫՜ஶ

ausgedrückt. Als Übungsobjekt sei empfohlen, in Analogie zu diesem Modell der Großterz-Iteration auch einmal die Skalen mit der reinen kleinen Terz (Mollterz ͸Τͷ) als Iterationsintervall zu studieren. Hierbei taucht übrigens statt der kleinen Diesis die große Diesis als „Komma“ auf. In der Interpretation anhand des Eulergitters reiner Großterzen und reiner Quinten bedeutet diese Iteration die Skalenbildung „längs der gespiegelten Winkelhalbierenden“ in diesem Gitter.

4.5 Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave Die historischen Kommata verdanken ihre Existenz der Schließungsunverträglichkeit von 2er-, 3er-und 5er-Primzahlpotenzenfolgen. Das haben wir in diesem Kapitel studiert. Reine Oktaven, Quinten und Terzen ergeben also in diversen Intervallschichtungen eine Vielzahl von „Differenzen“ („Kommata“), die in der bunten Welt der historischen Skalen überall, unentwegt und charakterisierend auftreten. Wir stellen in diesem Kapitel noch einmal ihre Definitionen, ihr Kalkül und ihre Verflechtung untereinander vor – allerdings auf der symbolisch-abstrakten Ebene der Intervallarithmetik. Dabei gehen wir diesmal nicht unmittelbar von einer doppelten Iteration (wie im Eulergitter durch ͵ ‫ ʹ ׷‬und ͷ ‫ ׷‬Ͷ Iterationen) aus, sondern wir beschreiben die Komma-Welt ausschließlich ausgehend von zwei gegebenen „Ganztönen“ (T und t) heraus, wobei deren exakte Größe ohne Belang ist.

4.5 Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave

121

Gegeben seien die beiden Ganztöne ̶



(„großer Ganzton“),

̶

–

(„kleiner Ganzton“)

mit den praktikablen (keineswegs jedoch notwendigen) Bedingungen: (a) (b)

ȁ–ȁ ൏ ȁȁ ଵଶ଴଴ ଻

൏ ȁȁ ൏ ʹͶͲ

(in ct)

Die Letztere Ungleichung ist dabei gleichwertig zur Semiton-Bedingung aus Kapitel 2.1. Dann gibt es die Halbtöne „Limma“ (L) und „Semitonos“ (), welche sich – hier – aus den beiden Oktav-Bilanzen abstrakt definieren lassen: (A)

 ْ  ْ  ْ  ْ  ْ  ْ  ൌ  („pythagoräische Form“)

(B)

 ْ – ْ  ْ  ْ – ْ  ْ  ൌ  („rein-diatonische Form“)

Aus (A) wie auch aus (B) gewinnt man die Formeln ʹ ൌ  ٓ ͷ

und

ʹ ൌ  ٓ ͵ ٓ ʹ–,

und durch Subtraktion von (B) und (A) folgt die Formel ʹ ൌ  ْ ሺ ٓ –ሻ. Der Vollständigkeit halber erwähnen wir die Komplementärintervalle: Klein-Chroma

ൌ–ٓ

Groß-Chroma

ൌ  ٓ 

Die Iterationsintervalle Quinte  und („große reine“) Terz ୣ seien definiert durch:  ൌ ͵ ْ  ୣ ൌ  ْ –

122

4 Das natürlich-harmonische System

Die Ganztonschranken a) und b) übertragen sich 1 – 1 auf die Halbtonschranken: (a‘)

ȁȁ ൏ ȁܵȁ

(in ct)

(b‘)

Ͳ ൏ ȁȁ ൏ ȁȁ

(in ct)

Dazu wird noch gefordert: (c‘)

ȁȁ ൏ ȁ–ȁ



Folgende „Mikrotöne“ seien mittels T und t definiert: (1)

Pyth-Komma ൌ ሺ ٓ ሻ ٓ  ൌ  ٓ ʹ (12-Quint-Komma)

(2)

Synt-Komma ൌ  ٓ –

(3)

Klein-Diesis

ൌ  ٓ ሺ– ٓ •ሻ ൌ ʹ ٓ –

(4)

Groß-Diesis

ൌ Klein-Diesis ْ Synt-Komma

(Ganzton-Komma) (3-Großterz-Komma)

ൌ  ٓ ʹሺ– ٓ •ሻ ൌ ሺ ٓ Klein-Chroma)ٓ Klein-Chroma (4-Kleinterz-Komma) (5)

Diaschisma

ൌ ʹ ٓ 

(6)

Schisma

ൌ Pyth-Komma ٓ Synt-Komma

Im nun folgenden Theorem 4.6 werden alle diese Kommata durch Oktav-, Quint- und Terz-Adjunktionen dargestellt. Daraus werden auch die angegebenen Bezeichnungen erkennbar. Dies führt dann zu einer nützlichen Veranschaulichung im ebenfalls abstrakten Eulergitter aller Quint - und Terz-Iterationen mit den beiden Intervallen . und ୣ als Iterationsintervalle. Aber darauf kommen wir später noch zurück. Theorem 4.6 (Terz-, Quint-, Oktav-Formeln der Kommata) (1) Pyth-Komma ൌ ͳʹ ٓ ͹ (2) Synt-Komma ൌ Ͷ ٓ ሺୣ ْ ʹሻ

4.5 Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave

(3) Klein-Diesis

ൌ  ٓ ͵ୣ

(4) Groß-Diesis

ൌ Ͷሺ ٓ ୣ ሻ ٓ  ൌ Ͷ– ୣ ٓ 

(5) Diaschisma

ൌ ͵ ٓ ሺͶ ْ ʹୣ ሻ

(6) Schisma

ൌ ͺ ْ ୣ ٓ ͷ

123

Einige Herleitungen: Wir zeigen exemplarisch die Formeln (1) und (4): Zu (1)

Pyth-Komma ൌ  ٓ ʹ ൌ  ٓ ሺ ٓ ͷሻ ൌ ͸ ٓ  ൌ ͸ሺʹ ٓ ሻ ٓ  ൌ ͳʹ ٓ ͹

Zu (4)

Groß-Diesis

ൌ  ٓ ʹ– ْ ʹ ൌ  ٓ ʹ– ْ ሺ ٓ ͵ ٓ ʹ–ሻ ൌ  ٓ ʹ ٓ Ͷ ൌ  ٓ ሾͶ ٓ ʹሿ ٓ Ͷሺ ْ –ሻ ْ Ͷ ൌ ͵ ٓ Ͷ ٓ Ͷୣ ْ Ͷሾʹ ٓ ሿ ൌ  ٓ Ͷ ٓ Ͷୣ

Die übrigen Rechnungen verlaufen analog, wobei es einfacher ist, die geforderte Gleichung mittels (A), (B), Terz- und Quintgleichung auf die Definitionsgleichung zu überführen als umgekehrt. Anwendung: Betrachten wir das symbolische Eulergitter aller Terz- und Quint-Iterationen: R* ൌ ሼ ْ ୣ ȁǡ  ‫ א‬ԺሽǤ Dann können wir diese zunächst abstrakte Menge durch die gewöhnliche Ժ ‫ כ‬ԺGitterebene visualisieren. Dabei werden zwangsläufig alle Töne – bzw. Intervalle – identifiziert, die sich um ganzzahlige Oktaven unterscheiden. Eindeutigkeit im Gitter ergäbe sich demnach durch die stillschweigende Hinzunahme der passenden Reoktavierung in einen einmal festgelegten Grund-Oktavraum. Fixieren wir nun in dem Gitter einen beliebigen Ausgangston – sprich Tonika –, so erhalten wir für die Mikro-Intervalle folgende Veranschaulichung:

124

4 Das natürlich-harmonische System

Schisma

Tonika 1 + Te - Te

pyth. Komma -4

1

2

3

4

-1

5

6

7

Synt. Komma

-2 Diaschisma -3

kl. Diesis

-4 -Q +Q

gr. Diesis

8

9

10

11

pyth. Komma: synt. Komma: kl. Diesis: gr. Diesis: DiaSchisma: Schisma:

12

(12, 0) (4, -1) (0, -3) (4, -4) (-4, -2) (8, 1)

Bild 4.12: Mikrointervalle im abstrakten Eulergitter

Da nun Parallelverschiebungen von Strecken in diesem Gitter aufgrund des „Viertönesatzes“ zu gleichen Intervallen führen, erkennt man nach einiger Übung und Probieren eine Vielzahl von Zusammenhängen untereinander. Insbesondere bilden das Pythagoräische-Komma und die kleine Diesis eine bequeme „Basis“ – die sogenannte kanonische Basis in diesem Iterationsgitter. So bedeutet die vektorielle Gleichung ͵ሺͶǡ െͳሻ ൌ ሺͳʹǡͲሻ ൅ ሺͲǡ െ͵ሻ beispielsweise nichts anderes als die Bilanz 3 synt. Komma ൌ pyth. Komma ْ kleine Diesis. Ebenso findet man die bekannte Formel synt. Komma ْ kleine Diesis ൌ große Diesis als Vektor-Diagramm bestätigt. Befinden wir uns nun im realen Eulergitter R* der reinen Intervalle (ȁȁ ൌ ͵ȁʹǡ ୣ ൌ ͷȁͶሻ, so sehen wir, dass – von einem beliebigen Skalenton aus iteriert – beispielsweise folgende Differenz entstünde: Wir gehen vom Ton F 8 reine Quinten rauf zu Cis, sodann um eine reine Terz weiter nach oben, reoktavieren, dann entsteht ein Ton ෨ mit der Differenz ሾ ǡ ෨ሿ ൌ Schisma ؆ 2 ct.

4.5 Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave

125

Geometrisch: 4 Punkte nach rechts und 1 Punkt nach unten ergibt als Differenz ein syntonisches Komma (wenn Oktaven unberücksichtigt bleiben). Schließlich bemerken wir, dass diese abstrakte Gitterstruktur bestens geeignet ist, ohne jegliche spezielle Zahlenrechnung („Cent“) die Skalenbildung anderer Konstruktionen strukturell zu verstehen. Dazu führen wir ein Beispiel an, das uns der im Folgekapitel 5 beschriebenen Mitteltönigkeit näherbringt: Gegeben sei das aus zwei Ganztönen T und t vermöge Quint- und Terziteration in der vorstehend beschriebenen Art erzeugte Gitter R*. Wir definieren nun eine „neue Quinte“ Qm durch die Bedingung Ͷ୫ ൌ ʹ ْ ୣ . Qm heißt dann „mitteltönige Quinte“ zur gegebenen Quinte Q und Terz ୣ . Dann gibt es folgende Strukturformeln, deren Gültigkeit daher von der Vorgabe konkreter Centwerten oder Frequenzmaßen unabhängig ist: Theorem 4.7 (Abstrakte Mitteltönigkeit) Mit den vorstehenden Definitionen der abstrakten Mikrointervalle „Pyth-Komma“ und „kleine Diesis“, die gleichzeitig die kanonische Basis des abstrakten Eulergitters der Quint- und Terz-Iterationen bilden, gelten die Formeln: (1) ͳʹ୫ ٓ ͹ ൌٓ kleine Diesis (2)  ٓ  ୫  ൌ ͳȀͳʹ (Pyth-Komma ْ kleine Diesis) Beweis: ͳʹ୫ ٓ ͹ ൌ ͵ሺʹ ْ ୣ ሻ ٓ ͹ ൌ ͵ୣ ٓ . Nun folgt mit Theorem 4.6 Gleichung (3) sofort Aussage (1), und für (2) ersetzt man ebenfalls mit Theorem 4.6 Gleichung (1) die 7 Oktaven durch die 12 Quinten Q. und das Komma. ‫ז‬

Kapitel 5

Mitteltönigkeit 5.1

Einleitung ........................................................................................................128

5.2

Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip ..............................................................131

5.3

Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip ............................................................137

5.4

„Mitteltönige mathematische Spiele“ ............................................................140

5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Geometrie und Mitteltönigkeit .......................................................................140 Mitteltönigkeit und Goldener Schnitt .............................................................141 Die mitteltönige Tonspirale und der Tonverteilungssatz ...............................142 Orthogonio und Mesolabio des Zarlino ..........................................................144

5 Mitteltönigkeit

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

128

5 Mitteltönigkeit

5.1 Einleitung Wir haben nun in den Kapiteln 3 und 4 gesehen, dass es kein 12-stufiges Skalensystem geben kann, welches die beiden Wunschvorstellungen ̶

gleichgestuft, ̶

nur reine Intervalle enthaltend

vereinigt. Die Gleichstufigkeit – die man ja anstrebt, um „ungestört transponieren und modulieren zu können – kann leider auch nicht durch Hinzunahme weiterer „reiner“ Intervalle gewonnen werden. Dies würde vor allem eine Erhöhung der Zahl der Kommata als Maße für die vielfältigen wechselseitigen Unstimmigkeiten bei der Schichtung von Intervallen erfordern. Solange jedoch die Einstimmigkeit verbunden mit streng kirchentonalen Strukturen die vorherrschende Musikform war, genügte die pythagoräische Skala der letztlich 12fachen Iteration der ͵ ‫ʹ ׷‬-Quinte durchaus den meisten Anforderungen – wenn solche überhaupt formulierbar waren. Im Übrigen trat das ̶

reale Defizit der Quintenkreisschließung,

was sich in einer 12. nichtreinen Quinte – nämlich der Wolfsquinte ୮ ൌ ୮ ٓ ɂ୮ ؆ ͸͹ͺ…– – auswirkt, in dieser musikalischen Praxis eher weniger auf. Spätestens im Zeitalter der Renaissance dagegen zeigte das zunehmende Aufkommen an mehrstimmiger Musik, dass der Wunsch nach anderen Tonskalen sowohl seine Berechtigung als leider auch eine Vielzahl von nicht immer miteinander verträglichen Umständen mit sich führte. Was sind nun die Quellen zur „Mitteltönigkeit“ und was sind ihre definitorischen Wesensmerkmale? Nun, bei der Schichtung von Intervallen zu „Akkorden“ trat vor allem (und eigentlich ausschließlich) die Klangvorstellung der reinen – daher schwebungsfreien – ͷ ‫ ׷‬Ͷ-Terz als Leitforderung hervor. Weil die reine Großterz in der Obertonreihe als 5. Partialton (= 4. Oberton) enthalten ist, ergibt sich mit der pythagoräischen ͺͳǣ ͸Ͷ-Terz eine Schwebung. Das Schwebungsintervall ist das syntonische Komma mit den Maßen ͺͳǣ ͺͲ bzw. ʹͳǡͷ…–. Dieses ist dafür verantwortlich, dass der pythagoräische DurDreiklang, der durch die ganzzahligen Proportionen ͸Ͷ ‫ ׷‬ͺͳ ‫ͻ ׷‬͸

5.1 Einleitung

129

beschrieben ist, tremolierend (kurz: unschön) klingt gegenüber dem DurAkkord der reinen Stimmung, der den Proportionen genügt ͸Ͷ ‫ ׷‬ͺͲ ‫ͻ ׷‬͸ ൌ Ͷ ‫ ׷‬ͷ ‫ ׷‬͸. Aus dieser Klangvorstellung des schwebungsfreien Ͷ ‫ ׷‬ͷ ‫ ׷‬͸ - Dur-Akkords wurde die Mitteltontemperatur geboren. In Deutschland begann die Orgelbaukunst etwa im 14. Jahrhundert, und es entstand zwangsläufig die Problematik, „wie denn zu temperiren sey, so vil das Gehör es recht wohl leyden mag“ (vgl. [4]). Hier wie anderswo – insbesondere in Italien – begann man, das pythagoräische System zu überwinden, geleitet durch die neuen akkordischen Klangvorstellungen „besserer Terzen“. Arnold Schlick (1460-1521), dem wir das obige Zitat verdanken, gab als einer der ersten eine Temperatur, welche als Grundmodell der Mitteltönigkeit anzusehen ist. Demnach gilt: Die Mitteltönigkeit nach dem Prinzip möglichst vieler reiner Großterzen ist eine Skala, welche ̶

quintgeneriert ist ̶

die Größe der Quinte ା୫ durch die Forderung festlegt, dass 4 solcher Quinten eine reine Großterz (reoktaviert) ergeben.

Es zeigt sich, dass eine solche Skala die Eigenschaft hat, dass ihre diatonischen ାሻ das charakterisierende Merkmal haben: Ganztöne ሺ୫ ̶

Reine Großterz = 2 Ganztöne

„Die (reine) Terz wird in der Mitteltontemperatur demnach genau hälftig in zwei Ganztöne geteilt“ ՜ so kommt es zu dem Begriffen „Mittelton“ und „Mitteltönigkeit“. Neben dieser „Mitteltontemperatur“ gibt es noch diejenige, die als Quintiteration entsteht, wenn statt der Reinheit großer Terzen die Reinheit kleiner Terzen gefordert wird. Diese Temperatur geht auf Zarlino zurück. Die Forderungen 1. möglichst vieler reiner Großterzen ሺͷ ‫ ׷‬Ͷሻ, 2. möglichst vieler reiner Kleinterzen ሺ͸ ‫ ׷‬ͷሻ schließen sich allerdings gänzlich aus: Eine Quinte, bei welcher in der Iterationsfolge eine ͷ ‫ ׷‬Ͷ-Terz entsteht, kann ja nicht das Frequenzverhältnis ͵ ‫ ʹ ׷‬besitzen – also rein

130

5 Mitteltönigkeit

sein. Demnach ist das Komplementärintervall einer reinen Großterz innerhalb einer solchen Quinte auch nicht die reine Moll- bzw. Kleinterz und vice versa. Aus der Theorie reiner Skalen wissen wir darüber hinaus, dass eine chromatische Skala ̶

höchstens 8 reine Großterzen, ̶

höchstens 9 reine Kleinterzen

besitzen kann. Wir werden später sehen: ̶

Es gibt genau eine Familie von 8 chromatischen Iterationsskalen, welche jeweils genau 8 reine Großterzen haben (Großterzprinzip) Genau eine dieser Skalen hat eine bitonale heptatonische Teilskala tetrachordischer Struktur: nämlich die Mitteltonskala nach Arnold Schlick. Bei den übrigen 7 Skalen liegen die erzeugenden Quinten außerhalb des Semiton-Bereichs (vgl. Satz 2.2) und liefern unbrauchbare exotische Skalen. ̶

Es gibt genau eine Familie von 6 chromatischen Iterationsskalen, welche jeweils genau 9 reine Kleinterzen haben (Kleinterzprinzip). Genau eine dieser Skalen hat eine bitonale heptatonische Teilskala tetrachordischer Struktur: nämlich die Mitteltonskala nach Zarlino. Bei den übrigen 5 Skalen liegen die erzeugenden Quinten ebenfalls teils seht weit außerhalb des Semiton-Bereichs.

Daneben wollen wir in diesem Kapitel noch einige mathematische Spielereien vorstellen: Mitteltönigkkeit hat viel zu tun mit dem ̶ ̶

ξͷ –Kalkül, Quadrat- und Kubikwurzelziehen

und einigen anderen Dingen. Im Übrigen sind in historischen Beschreibungen so manche raffinierten Rechenmaschinen wie auch abenteuerlich anmutende „Anweysungen zur Temperatur“ zu entdecken, mittels derer man diese „neue Temperatur(en)“ sowohl beschreiben als auch ermöglichen wollte. Denn wie sollte man in der Praxis des Instrumentenbaus und des Temperierens (des „Stimmens“) eigentlich die „Hälfte“ eines Intervalls (den Mittelton) finden? Das, was uns heutzutage seltsam anmuten mag, überhaupt ein Problem darzustellen, genau dies war in der Historie der Anlass zu der Schaffung einer nahezu unüberschaubaren Fülle an Tonleitermodellen bis hin zu vieltönigen Skalen und Instrumenten mit Vierteltontechniken. Gleichzeitig erlebte auch die Musikwissenschaft selbst - bedingt durch eine lebhafte Diskussion neuer Denkmodelle rund um die „Mitteltönigkeit“ - eine Blütezeit ihrer Entwicklung.

5.2 Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip

131

5.2 Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip Wir erinnern noch einmal an die Konstruktion der pythagoräischen Skala ଵଶ : Ausgehend von einem gewählten Ton gehe 12 pythagoräische Quinten (also ͵ ‫ʹ ׷‬Quinten) weiter (unter ständiger eventueller Reoktavierung). Die 12. Quinte ist nun um das bekannte pythagoräische Komma ɂ୮ ൌ ʹ͵ǡͷ…– vom Ausgangston entfernt. Man kann natürlich stattdessen bspw. auch 8 Quinten rauf und 3 Quinten runter gehen – dann entsteht das pythagoräische Komma zwischen deren beiden Schlusstönen. Beispiel 5.1 as

es

b

f 2:3

c

g

d

a

e

h

fis

cis

gis

3:2 (gis, as) = 23,5 ct

‹• ist um ʹ͵ǡͷ…– tiefer als ƒ•. Die „Quinte“ ‰‹• െ ‡•Ԣ ist also um ʹ͵ǡͷ…– zu klein („Wolfsquinte“). Keine Terz ist rein. Genauso geht es nun bei der mitteltönigen Temperatur: Nur – und das ist historisch ein gewaltiger Umbruch: Statt der bis dato unangefochtenen reinen, pythagoräischen Quinte wird eine solche verwendet, so dass beim Iterieren reine Terzen entstehen. Definition 5.1 (Mitteltönige Quinte) Das Intervall ା୫ heißt mitteltönige Quinte ֞ ା୫ ْ ା୫ ْ ା୫ ْ ା୫ ൌ Ͷା୫ ൌ ʹ ْ reine Großterz. ర

Das bedeutet ȁା୫ ȁ ൌ ξͷ im Frequenzmaß und ȁା୫ ȁ ؆ ͸ͻ͸ǡͷ͹ͺ ǥ …– im Centmaß. Folgerungen: 1. Reine Quinte und mitteltönige Quinte differieren um ein Viertel eines syntonischen Kommas, symbolisch: ଵ

ሾ‡‹‡—‹–‡ሿ ٓ ሾ‹––‡Ž–ڐ‹‰‡—‹–‡ሿ ൌ ሾ•›–‘Ǥ‘ƒሿ. ସ

Denn nach Theorem 4.1 ist 4୰ୣ୧୬ ٓ Ͷା୫ ൌ Ͷሼ୰ ٓ ା୫ ሽ ൌ ൫ʹ ْ ‡”œ୮୷୲୦ ൯ ٓ ሺʹ ْ ‡”œ୰ୣ୧୬ ሻ ൌ •›–Ǥ ‘ƒ. 2. Durch die neue (mitteltönige) Quinte entsteht auch ein neuer Ganzton:

132

5 Mitteltönigkeit

Definition 5.2 (Mitteltöniger Ganzton) Der mitteltönige Ganzton ist definiert analog zum pythagoräischen Ganzton, nämlich: ା ୫ ൌ ା୫ ْ ା୫ ٓ  ଵ

ା ൌ ȁ୫ ȁ ൌ ଶξͷ ؆ ͳͻ͵ǡͳͷ͸…– ା ା ା ʹ୫ ൌ ୫ ْ ୫ ൌ ”‡‹‡‡”œ ൌ ‰”Ǥ ”Ǥ  ْ ŽǤ ᇣᇧᇤ ”Ǥᇧ

 ᇥ ᇣᇧᇤᇧᇥ వ ୋ୘ ఴ

భబ ృ౐ వ

ା ୫ „mittelt“ demnach die beiden reinen Ganztöne.

Also: Der mitteltönige Ganzton teilt (hälftig! – also im „geometrischen Mittel“) die reine Terz bzw. stellt eine Ersetzung der beiden reinen Ganztöne dar. Hierauf beruht der Begriff „Mitteltönige Stimmung“. Nun wenden wir uns dem 12-Quintensatz zu. Definieren wir die „mitteltönigen“ Halbtöne ା୫ (mitteltöniges Limma) und ା୫ (mitteltönige Apotome) so wie im pythagoräischen Fall, also ା ା ା୫ ൌ ା୫ ٓ ͵୫ und ା୫ ൌ ୫ ٓ ା୫ ,

so ergeben sich die Quintmaßeȁା୫ ȁ ؆ ͳͳ͹ und ȁା୫ ȁ ؆ ͹͸, welche demnach vertauscht und maßverschieden gegenüber dem pythagoräischen Fall erscheinen. Satz 5.1 (12-Quintensatz der Mitteltönigkeit) (1)

ͳʹା୫ ൌ ͹ ٓ Ž‡‹‡‹‡•‹•

(2)

ା ͸୫

(3)

ା ȁൌ ȁ୫ ȁା୫ ْ ା୫ ȁ ؆ ͹͸…– ൅ ͳͳ͹…– ؆ ͳͻ͵…–

ൌ ͳ ٓ Ž‡‹‡‹‡•‹•

Der Fehlbetrag von 12 Quinten bzw. von 6 Ganztönen gegenüber der Oktave ist also knapp doppelt so groß wie im pythagoräischen Fall (Ͷͳ…– gegenüber ʹ͵…–). Die Beweise zu den Aussagen des 12-Quintensatzes sind sehr einfach: z. B. (1): ͳʹ—‹–‡ ൌ ͵ ‫ כ‬ሺͶ—‹–‡ሻ ൌ ͵ ‫ כ‬ሺʹ–ƒ˜‡ሻ ْ ͵”‡‹‡‡”œ‡ ൌ ͸–ƒ˜‡ ْ ͵”‡‹‡‡”œ‡ ൌ ͹–ƒ˜‡ ٓ ŽǤ ‹‡•‡• ା ൌ ͳʹା୫ ٓ ͸ folgt aus (1) sofort (2); (3) rechnet man nach. Wegen ͸୫

5.2 Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip

133

Konstruktion der mitteltönigen Skala ‫ۻ‬ૠ und ‫ۻ‬૚૛ (Grundmodell nach Arnold Schlick) ‫ۻ‬ૠ (diatonische Skala): Referenzton (= Startton Tonika sei „c“) Dann iteriert man im bekannten Muster ˆ ՚ … ՜ ‰ ՜ † ՜ ƒ ՜ ‡ ՜ Š, Ƿ ՜ Dz ‫ ؠ‬mitteltönige Quinte ା୫ auf bedeutet

wobei:

Ƿ ՚ Dz ‫ ؠ‬mitteltönige Quinte ା୫ ab bedeutet Es entsteht dann die heptatonische Skala:

M7 ct-Werte Æ

g a h cˡ f c d e 0 193 386 503,5 696,5 889,5 1082,5 1200 193 193 117,5 193 193 193 117,5

Bild 5.1: Diatonische Mitteltonskala M7

Ergebnis: Die 7-tönige Tonleiter ist eine ՜ mitteltöniger GT (193 ct) ̶

Skala mit 2 Tontypen ՜ mitteltöniger HT (117 ct) ̶

Skala, bei welcher alle (3) leitereigenen großen Terzen rein sind ሺͷΤͶሻ.

‫ۻ‬૚૛ (chromatische Skala): Tonika sei wieder c. Eingedenk der großen Schließungslücke von 12 reoktavierten Quinten ା୫ um eine kleine Diesis (41 ct), legt man die Quintenkonstruktion so an, dass die zwangsläufig entstehende Schließungslücke bei „wenig gebrauchten“ Tönen vorkommt – historisch war das zumeist der Ton ƒ• (oder ‰‹•). F

C

Von  aus:

G

B Qm

Es W As Gis

A E

Cis

Mitteltönige Quinten auf

՜ ‹•

Mitteltönige Quinten ab

՜ •

D

+

H Fis

Bild 5.2: Chromatische Mitteltonskala

Es fehlt zunächst ‹• െ • െ ‘•‹–‹‘

134

5 Mitteltönigkeit

In dieser Konstruktion bekäme ̶ ̶

der Ton ‹•

ሺͺା୫ ٓ Ͷ–ሻ ൌ ͹͹ʹǡ͸ ǥ …–,

der Ton •

ሺ͵– ٓ Ͷା୫ ሻ ൌ ͺͳ͵ǡ͸ ǥ …–,

woraus auch die Differenz als kleine Diesis ሺͶͳ…–ሻ quasi als Bestätigung der Theorie erscheint. Würde man nun die ‹• െ •-Taste mit einem der beiden Werte belegen, entstünde entweder die supergroße Quinte ሾ ‹• െ •ሿ mit ͹͵͹…– oder die ebenso große Quinte ሾ‹• െ •ሿ. Schlick hat sich für eine „Mittelung“ entschieden: Setze ‹• ൌ • ൌ  (für „Wolfsquinte“) auf ‫ ׽‬͹ͻ͵…– (das ist das arithmetische Mittel der beiden „Kontrahenten ‹• und •“). Dann sind die beiden Quinten ሾ• െ •ሿ und ሾ‹• െ ‹•ሿ nur ‫ ׽‬͹ͳ͸ǡͷ…– groß – dennoch deutlich wahrnehmbar! Ergebnis: Die chromatische, mitteltönige Skala ଵଶ hat die Daten (Centangaben):

M12

c 0

e f dis fis a d g gis b h cˡ 193 310 386 503 580 696 773 890 1007 1083 1200 76 76 117 117 117 76 117 117 76 117 76 117 [gis - disˡ] = 737 as alternativ – aber gleichwertig: 813 [cis - gis] = 737 117 76 W [cis - gis] = Ausgleichstemperatur des 793 [gis - disˡ] = 717 Arnold Schlick 97 97 cis 76

Bild 5.3: Chromatische Mitteltonskala M12

Sie hat genau 6 reine Großterzen (ͷ ‫ ׷‬Ͷ) und 2 komplementäre reine kleine Sexten (ͺ ‫ ׷‬ͷ). Bei unserer M12-Konstruktion sind dies ͷ ‫ ׷‬Ͷ-Terzen: … െ ‡ǡ ‰ െ Šǡ † െ ˆ‹•ǡ ‡ െ ‰‹•ǡ ˆ‹• െ ƒ‹•ǡ …‹• െ ‡‹• ͺ ‫ ׷‬ͷ-Sexten: …‹• െ ƒ und †‹• െ Š Bildet man auch Abwärtsquinten, so muss man … sinngemäß durch die letztiterierte Unterquinte ersetzen. Es ergeben sich also bei Oktavüberschreitung 8 große Terzen und 4 Doppel-Großterz-Akkorde:

5.2 Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip

135

… െ ‡ െ ‰‹• ‰ െ Š െ †‹•Ԣ

Das sind 8 große Terzen (bei Oktavüberschreitung).

† െ ˆ‹• െ ƒ‹• ƒ െ …‹•Ԣ െ ‡‹•Ԣ Bemerkung In der mitteltönigen chromatischen Skala M12 gibt es also genau 8 Töne, über denen – bei eventueller Oktavüberschreitung – reine Terzen liegen; innerhalb der Oktave sind es 6 Terzen ୣ und 2 kleine Sexten ( ٓ ୣ ). Wir fragen: Gibt es auch andere Iterationsskalen mit in Summe 8 Terzen oder Sexten? Gegeben sei ein Frequenzfaktor “, ͳ ൏ “ ൏ ʹ, mit welchem die 12-stufige Iteration ଵଶ ሺ“ሻ ൌ ሼͳǡ “ǡ “ଶ ǡ ǥ ǡ “ଵଵ ሽ gebildet wird; die Reoktavierung in die Standard-Oktave ሾͳǡʹሿ bezeichnen wir wie gewohnt mit ‫כ‬

‫כ‬

‫ כ‬ሺ“ሻ ଵଶ ൌ ൛“୩ ൌ “୩ ‫ʹ כ‬୬ሺ୩ሻ ȁͲ ൑  ൑ ͳͳ‹–ͳ ൑ “୩ ൏ ʹൟ. ‫ כ‬ሺ“ሻ Im vorliegenden Fall sind die ሺሻ negative ganze Zahlen. Für solche Skalen ଵଶ gilt nun das folgende Theorem.

Theorem 5.1 (Charakterisierung der Mitteltonskala der reinen Dur-Terz) ‫ כ‬ሺ“ሻ ଵଶ enthält in Summe genau 8 reine große Terzen ୣ ሺͷ ‫ ׷‬Ͷሻ oder reine kleine Sexten ୣ ሺͺ ‫ ׷‬ͷሻ ฻

“ସ ൌ ͷ ‫ʹ כ‬୪ ሺ‹–Ž ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹ‘†‡”͵ሻ oder

“ସ ൌ ͳൗͷ ‫ʹ כ‬୪ ሺ‹–Ž ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹ‘†‡”͵ሻ.

Der Beweis des Theorems ist nicht allzu schwer: Weil es mindestens eine Terz oder Sext gibt, gilt eine Gleichung der Form: Es gibt natürliche Zahlen ǡ  mit “୬ ൗ“୫ ൌ ͷ ‫ʹ כ‬୪

mit einem Ž ‫ א‬Ժ.

136

5 Mitteltönigkeit

Ist  ൏ ݉, so ist “୬ି୫ ൌ ͷ ‫ʹ כ‬୪ , andernfalls ist “୬ି୫ ൌ ͳൗͷ ‫ʹ כ‬୪ . Nun muss  െ  ൌ Ͷ bzw.  െ  ൌ Ͷ sein, weil es genau 8 solcher Intervallwerte gibt, denn “ଵଵ “୬ି୫ାଵൗ “୬ି୫ൗ “ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ൘“ଵଵିሺ୬ି୫ሻ . ͳൌ Jetzt können wir zeigen, dass es genau 8 solcher Skalen gibt; Iterationsparameter sind nun alle diejenigen Parameter, deren vierte Potenz 5 oder eine ganzzahlige 2erPotenzen hiervon ist mit der Nebenbedingung, dass sie im Oktavraum ሾͳǡʹሿ liegen. Es sei noch “ସ୫ ൌ ͷ gesetzt. Dann sind dies genau die Iterationsparameter ଵ

“ସଵ ൌ ସ ͷǡ

ଵ

“ସଶ ൌ ଶ ͷ,

“ସଷ ൌ ͷ,

“ସସ ൌ ʹ ‫ כ‬ͷ

sowie deren Oktavkomplemente “ഥన ൌ ʹൗ“୧ . Die Centzahlen sind dann “ଵ ൌ ͻ͸ǡͷ…–ǡ “ ଶ ൌ ͵ͻ͸ǡͷ…–ǡ “ ଷ ൌ “ ୫ ൌ ͸ͻ͸ǡͷ…–ǡ “ସ ൌ ͻ͸ͻǡͷ… und തതത “ଵ ൌ ͳͳͲ͵ǡͷ…–ǡ

“ തതതଶ ൌ ͺͲ͵ǡͷ…–ǡ

തതത “ ଷ ൌ ͷͲ͵ǡͷ…–ǡ“ തതതସ ൌ ʹͲ͵ǡͷ…–Ǥ

ర

Mit “ ଴ ൌ ξͷ beschreiben sich die weiteren Fälle demnach so: ర

“ଵ ൌ “ ଴ ξʹǡ und

“଴ ൌ തതത

ͳ ǡ “଴

ర

“ ଶ ൌ “ ଴ ξͶǡ ర

തതത “ଵ ൌ തതത “ ଴ ξʹǡ

ర

“ ଷ ൌ “ ଴ ξͺ ర

തതത “ ଶ ൌ തതത “ ଴ ξͶǡ

ర

തതത “ ଷ ൌ തതത “ ଴ ξͺ

Es ergeben sich tatsächlich nur diese 8 Fälle, da Iterationsparameter, die sich um ganzzahlige 2er-Potenzen unterscheiden, identische Skalen bilden unter Reoktavierung. Die Centzahlen der “ ୧ bzw. “ഥన unterscheiden sich genau um ͳΤͶ-Kreiszahlen: 300 ct, 600 ct, 900 ct. Nur der Parameter “ ୫ liegt im Semiton – Korridor gemäß Satz 2.2 und liefert daher eine diatonische wie auch chromatische Skala der gewohnten Struktur. Bemerkung: Die Aufstellung dieser 8 Skalen stellt eine lohnenswerte Übung dar – wenngleich bar jeglicher Anwendung. Gleichwohl ergeben sich überraschende Strukturen: Die Skala mit “଴ ist zunächst unsere mitteltönige Skala M12. Die Skalen mit “ଵ bzw. “ ଷ enthalten Mikrointervalle (20 bzw. 10 ct) als „Halbtöne“, teils alternierend mit großen Halbtönen (~182 ct bei “ଵ ) teils aufeinandergeschichtet (bei “ ଷ ). Die Skala mit “ଶ (؆ 1296,5 ct ؆ 96,5 ct ൌ 1/4 ‫ כ‬386 ct) ist dagegen total gleichstufig in 96,5 ct-Halbtönen geschichtet, die letzte Stufe zur Oktave benötigt jedoch noch die kleine Diesis (41 ct) zwecks OktavSchließung. Diese Skala viertelt die große Terz. Ähnlich verhält es sich mit den SextIterationen “ഥన , ‹ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ ͵.

5.3 Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip

137

5.3 Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip Weil es in der mitteltönigen Skala zwar die höchstmögliche Zahl von 8 reinen großen Terzen (reine kleine Sexten mitgerechnet) gibt – dagegen keine einzige reine Quinte, kann es auch keine einzige reine kleine Terz ሺ͸ ‫ ׷‬ͷሻ geben. „Eine reine Mollterz ist mitteltönig nicht möglich.“ Ersetzt man nun die Forderung der Reinheit der großen Terz (genauer: möglichst vieler großer Terzen) durch diejenige der kleinen Terz, so erhalten wir folgende Konstruktion: Auf der üblichen zwölfstufigen Tastatur treffen 3 Quinten ሺ… െ ‰ െ † െ ƒሻ auf einen Ton, der eine kleine Terz unter der 2. Oktave des Starttons (c) liegt. Verlangen wir also, dass (diese) kleine Terz rein – also ͸ ‫ ׷‬ͷ – ist, so folgt für diese neue Quinte, die wir ି୫ nennen wollen, die Bilanz ି୫ ْ ି୫ ْ ି୫ ൌ ʹ ٓ ”Ǥ ŽǤ ‡”œ, und für ihr Frequenzmaß folgt య

ȁି୫ ȁଷ ൌ Ͷ ‫ כ‬ହ ൌ ଵ଴ ֜ ȁି୫ ȁ ൌ ටଵ଴Ǥ ଺ ଷ ଷ Also: ି୫ ‫ ؠ‬Mitteltönige Quinte der reinen Mollterz-Skala ȁି୫ ȁ ൌ ͳǡͶͻ͵ͺͲͳ ǥ ؆ ͸ͻͶǡ͹ͺ͸…– Nun bilden wir die Quintenfolge mit dieser Iterationsquinte, wobei wir wie im mitteltönigen Dur-Terz-Fall den Ausgangspunkt nicht in die Tonika legen, um im konkreten Realisierungsfall die zu erwartende Unstimmigkeit (Wolfsquinte) an „entlegener“ Stelle vorzufinden, beispielsweise wie folgt: as

es

b

g

c

f -

d

a

e

h

fis

cis

gis

-

Qm Qm

6:5

Nach Konstruktion sind die Intervalle ˆ െ ƒ•ǡ … െ ‡•ǡ ‰ െ „ǡ ǥ ǡ ሺ…‹• െ ‡ሻ reine kleine Terzen bzw. große Sexten (sofern wir die obige Reihenfolge reoktaviert haben). Das sind 9 – und damit die maximal mögliche Anzahl. Frage: Wie weit sind ƒ• und ‰‹• auseinander? Antwort: Sogar eine große Diesis ሺ̱͸ʹ…–ሻ. Der folgende Satz fasst nun alle wesentlichen Merkmale der mit ି୫ erzeugten Skala zusammen:

138

5 Mitteltönigkeit

‫כ‬ത Satz 5.2 (Die mitteltönige Moll-Terz-Skala ‫ۻ‬૚૛ )

(1) Sie ist aus der Quintfolge mit der mitteltönigen Quinte ି୫ gebildet – also vom Typ der geometrischen Folge eines Iterationsparameters. (2) Ihre Daten – bezogen auf … ‫ – –…Ͳ ؠ‬sind: c 0

b h a cˡ g e f fis as es cis d 63,50 189,6 315,6 379,1 505,2 568,7 694,8 820,8 884,4 1010,4 1074 1200 GT

HT

GT

GT

GT

GT

HT

Bild 5.4: Mitteltönige Moll-Terz-Skala

(3) Die diatonische Skala g

c

f -

d

e

a

h

-

Qm Qm

ist vom 5T+2L-Typ:

5 gleichgroße GT (189,6 ct) 2 gleichgroße Halbtöne (126,1 ct)

c 0

cˡ g a h f d e 189,6 397,1 505 694,8 884,4 1074 1200 189

189

126

189

189

189

126

Bild 5.5: Diatonische mitteltönige Moll-Terz-Skala

(4) Die Teilung des Ganztons entspricht (fast) genau einer Drittelung: 189 („Apotome“) 63

126 („Limma“)

Bild 5.6: Zur Ganztonteilung der mitteltönigen Moll-Terz-Skala

Und es gilt:

Limma ٓApotome = 7 Oktaven ٓ12 Quinten = Große Diesis

(5) Sie hat genau 7 reine kleine Terzen ሺ͸ ‫ ׷‬ͷሻ und 2 reine große komplementäre Sexten ሺͷ ‫͵ ׷‬ሻ und diese Eigenschaft charakterisiert sie als Iterationsskala mit heptatonischer tetrachordischer Teilskala eindeutig (6) Es gelten die Formeln: (12-Quintensatz) a) ͳʹ—‹–‡ି୫ ٓ ͹–ƒ˜‡ ൌٓ ”‘釋‡•‹• b) ‡‹‡—‹–‡୰ ٓ ‹––‡Ž–ڐ‹‰‡—‹–‡ି୫ ൌ భయ•›–‘Ǥ ‘ƒ భ c) ା୫ ٓ  ି୫ ൌ భమ •›–‘Ǥ ‘ƒ

d) ʹ ٓ  ൌ ‹ƒ ٓ ’‘–‘‡ ൌ ‰”‘釋‡•‹•

5.3 Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip

139

Zum Beweis – der überwiegend als Übung empfohlen wird – steuern wir exemplarisch bei:  ٓ୩୪Ǥ୰Ǥ୘ୣ୰୸

͵ሺ୰ ٓ

ି୫ ሻ

ᇩᇭ ᇭᇭᇪᇭ ᇭᇭᇫ ‡”œ ٓ ୰ ൱ ൌ ͵ ୰ ٓ ൭ʹ ْ ”Ǥ

ൌ Ͷ୰ ٓ ʹ ٓ ”Ǥ ‰”Ǥ ‡”œ ൌ ‡”œ୮୷୲୦Ǥ ٓ ‡”œ୰ୣ୧୬ ൌ •›–Ǥ ‘ƒ Die Differenz mitteltöniger Quinten finden wir so: ͳʹା୫ ٓ ͳʹି୫ ൌ ͵ሺͶା୫ ሻ ٓ Ͷሺ͵ି୫ ሻ ൌ ͵ሺʹ ْ ‰”Ǥ ‡”œሻ ٓ Ͷሺʹ ٓ ”Ǥ ŽǤ ‡”œሻ ൌ ሺ͵‰”Ǥ ‡”œ ٓ ሻ ٓ ሺ ٓ Ͷ”Ǥ ŽǤ ‡”œሻ ൌٓ Ž‡‹‡‹‡•‹• ٓ ሺٓ ‰”‘釋‡•‹•ሻ ൌ ‰”‘釋‡•‹• ٓ Ž‡‹‡‹‡•‹• ൌ •›–‘‹•…Š‡•‘ƒ ‫ז‬ Bemerkung: ି Die Wolfsquinte ୫ dieser Temperatur hat ͳʹͲͲ ‫ כ‬͹ െ ͳͳ ‫ כ‬͸ͻͶǡͺ ൌ ͹ͷ͹ǡʹ‡–, und ist damit etwa um einen halben („üblichen“) Halbton größer als die 700 ct-Quinte.

Bemerkung Der Beweis der charakterisierenden Eigenschaft vermöge der Aussage, dass die Skala aus einer Iteration entsteht, dass sie ferner in Summe 9 kleine Terzen enthält und dass sie schließlich eine tetrachordische heptatonische Skala enthält, kann analog zur entsprechenden Aussage des Dur-Terz-Falls (Theorem 5.1) durchgeführt werden. Die Iterationsskalen benötigen hierbei Parameter q, welche eine Gleichung der Form “ଷ ൌ

ଵ଴ ଷ

‫ʹ כ‬୬

erfüllen. Hierbei ist der ganzzahlige Oktavparameter n zwar frei, muss aber so gewählt sein, dass die Lösungen q selber im Oktavraum ሾͳǡʹሿ liegen. Hiervon gibt es nun genau 3 Lösungen. Diese und deren jeweilige Oktavkomplemente liefern dann die gewünschten Skalen. Von diesen sind 5 äußerst „exotisch“, und nur diejenige für n=1 liefert die diskutierte Moll-Terz-Mitteltonskala, denn die anderen Iterationsparameter liegen weit außerhalb des Semiton-Bereichs aus Satz 2.2.

140

5 Mitteltönigkeit

5.4 „Mitteltönige mathematische Spiele“ Wir haben nun die beiden Ganzton-Frequenzfaktoren: ାȁ ȁ୫ ൌ భమξͷ für die Großterz-Mitteltönigkeit (Dur-Terz-Prinzip)

̶

య

ିȁ ȁ୫ für die Kleinterz-Mitteltönigkeit (Moll-Terz-Prinzip) ൌ భమටభబబ వ

̶

Solche Zahlen geben in aller Regel Anlass, nach Zusammenhängen mit mathematischhistorischen Gegebenheiten Ausschau zu halten. Exemplarisch gehen kurz wir ein auf: 5.4.1 ̶

Zusammenhänge zur Elementargeometrie

5.4.2 ̶

Zusammenhänge zum Goldenen Schnitt

5.4.3 ̶

Mitteltönige Tonspirale und Tonverteilungssatz

5.4.4 ̶

Orthogonio und Mesolabio des Gioseffo Zarlino

5.4.1 Geometrie und Mitteltönigkeit Das Frequenzmaß des Ganztons der Großterz-Mitteltönigkeit ൫భమξͷ൯ ist mittels des Satzes von Pythagoras leicht zu konstruieren: 1. Im Dreieck mit den Katheten 1 und 2 liefert die Hypothenuse den Wert ξͷ. √5

1

2 Bild 5.7: Konstruktion der Wurzel 5

Hierbei überrascht, dass es in der pythagoräischen Antike nicht diese Intervallkonstruktion gab, was allerdings vor dem Hintergrund, dass nur das „Zahl ist, was kommensurabel (rational) ist“, wiederum verständlich ist. 2. Im pythagoräischen Fünfstern gilt: ‫ ݁ݐ݅݁ܵ ׷ ݈݁ܽ݊݋݃ܽ݅ܦ‬ൌ భమ൫ͳ ൅ ξͷ൯ ‫ͳ ׷‬. Daher ist భమξͷ auch hier „sichtbar“.

1

Bild 5.8: Pythagoräischer Fünfstern

5.4 „Mitteltönige mathematische Spiele“

141

5.4.2 Mitteltönigkeit und Goldener Schnitt Bekanntlich stehen 2 Seiten a und b im Verhältnis des „Goldenen Schnitts“, wenn ሺƒ ൅ „ሻ ‫ ƒ ׷‬ൌ ƒ ‫„ ׷‬ ist.

a

ቑ

b a Bild 5.9: Zum Goldenen Schnitt

Daraus errechnet man leicht die Proportion Ԅേ ൌ ౘ౗ ൌ భమ൫ξͷ േ ͳ൯ ൎ ͳǡ͸ͳͺ ǥ bzw. ൌ 0,618 ;

Ԅା ൌ ͳൗԄ . ି

Eine „Musikalische Anwendung“ könnte nun darin bestehen, die Intervalle zu bestimmen, deren Töne im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Angenommen, zwei Töne stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts, so bilden sie das Intervall ൌ ሾˆଵ ǡ ˆଶ ሿ

und

ˆଶ ൗˆ ൌ ȁ ȁ ൌ Ԅା ଵ

ሺ؆ ͺ͵͵ǡͳ ǥ …–ሻǤ

Für z.B. ˆଵ ൌ … läge also ˆଶ etwas über dem ƒ• der üblichen temperierten Skala. Dann ist

ଶ୤మ ୤భ

ൌ ͳ ൅ ξͷund 

ଶ୤మ ି୤భ ୤భ

ൌ ξͷ ൌ ȁ‘‡୫ ȁ,

wobei „‘‡୫ “ die None (z. B. … െ †Ԣ) der mitteltönigen Temperatur M12 ist. Andererseits lässt sich

ሺʹˆଶ െ ˆଵ ሻ ൘ˆ auch als Intervallmaß der Schwebung des Oktavଵ

tons von ˆଶ - das ist 2 ˆଶ - zu ˆଵ in Bezug auf ˆଵ deuten. Einen anderen Zusammenhang liefert die Gleichung Ԅା ‫ כ‬Ԅି ൌ ͳ, die wir jetzt so hinschreiben: ଵ ൫ξͷ ൅ ଶ

ͳ൯ ‫ כ‬൫ξͷ െ ͳ൯ ൌ ʹ

Sind dann ଵ und ଶ die Intervalle mit ȁ ଵ ȁ ൌ భమ൫ξͷ ൅ ͳ൯ ؆ ͺ͵͵…– (eine etwas zu große kleine Sext) und

ȁ ଶ ȁ ൌ ξͷ െ ͳ ؆ ͵͸͹…–

(eine etwas zu kleine große Terz),

142

5 Mitteltönigkeit

so sind die „Goldenen Schnittintervalle“ komplementär, das heißt ଵ ْ ଶ ൌ –ƒ˜‡, und wir hätten die Oktave „im Goldenen Schnitt“ geteilt.

5.4.3 Die mitteltönige Tonspirale und der Tonverteilungssatz Wir vergleichen die beiden Skalenbildungen – pythagoräisch und mitteltönig – und stellen fest: Es handelt sich um identische Konstruktionen: Wenngleich wir im Rahmen der allgemeinen Quint-Iterationstheorie der Kapitel 1, 2 und 8 die auftretenden Phänomene der Quinten-Iteration im generellen Fall aufzeigen, werden wir im Folgenden die konkrete Situation beschreiben – um dem Leser zumindest an dieser Stelle die Erarbeitung des allgemeinen theoretischen Konzepts zu ersparen. Beginnend bei einem gewählten Startton (Tonika) – … – wählt man die Folge von 11 reoktaviert-aufsteigenden Quinten, und zwar: reine Quinten (pythagoräische Skala ଵଶ ) oder mitteltönige Quinten (mitteltönige Skala M12). In beiden Fällen ergibt sich ein Schließungsdefizit: 1. Pythagoräisch:

ȁሾ–ƒ”–ǡ ͳʹǤ —‹–‡ሿȁ ൌ ȁ’›–ŠǤ ‘ƒȁ ؆ ʹ͵ǡͶ…–

2. Mitteltönig:

ȁሾͳʹǤ —‹–‡ǡ –ƒ˜‡–ƒ”–ሿȁ ൌ ȁŽ‡‹‡‹‡•‹•ȁ ؆ Ͷͳ…–

Die 12. Quinte liegt also im 1. Fall um ʹ͵ǡͶ…– über dem Startton und im 2. Fall um Ͷͳ…– unter der Oktave des Starttons. In völliger Analogie zur pythagoräischen Spirale erhalten wir also eine mitteltönige Spirale, welche sich demgegenüber entgegengesetzt verhält: Aufwärtsquinten führen zu einem „Zusammenziehen“. Ist nun ర

“ ୫ ؔ ξͷ der Frequenzfaktor der mitteltönigen Quinte ሺൎ ͳǡͶͻͷ͵ ؆ ͸ͻ͸ǡͷ…–ሻ, so seien ିଵ ଵ ଶ  ൌ ൛“୩୫ ห ‫ א‬Ժൟ ൌ ሼǥ ǡ “ିଶ ୫ ǡ “ ୫ ǡ ͳǡ “ ୫ ǡ “ ୫ ǡ ǥ ሽ,

‫כ‬

‫כ‬

 ‫ כ‬ൌ ቐ“୩୫ ቮ ‫ א‬Ժǡ “୩୫ ൌ

‫כ‬ “୩୫൘ ‹–ͳ ൑ “୩୫ ൏ ʹቑ ʹ୬ሺ୩ሻ

die Frequenzfaktoren der Iteration – letztere reoktaviert, das heißt:  ist also die beidseitig fortgesetzte Quintfolge, die hier auf der „normierten“ Tonika c mit ͳœ startet, während  ‫ כ‬die gleichen Töne wie  enthält – allerdings alle durch eine eindeutige Oktavierung in die normierte Oktave  ൌ ሾͳǡ ʹሾ platziert.

5.4 „Mitteltönige mathematische Spiele“

143

Satz 5.3 (Unendlichkeit der mitteltönigen Quintfolge)  ‫ כ‬hat unendlich viele Töne. Folgerung: Alle Töne aus  ‫ כ‬sind verschieden – die mitteltönige Tonspirale schließt sich nicht. c f

g his

eis

b

[his, c], [fisis, g] usw... = kleine Diesis

fisis

d

ais

Strahl durch e

dis

e

~ e

a disis Frequenzfaktor-Distanz ist stets eine kleine Diesis ~e = e * 1,024

e

gis h

cis fis

Bild 5.10: Mitteltönige Tonspirale

Beweis: Wir zeigen: Je zwei Töne in  ‫ כ‬sind verschieden: ‫כ‬

‫כ‬

Sei dazu “୩୫ ൌ “୨୫ ֞ “୩୫ ‫ିʹ כ‬୬ሺ୩ሻ ൌ “୨୫ ‫ିʹ כ‬୬ሺ୨ሻ  ୩ି୨

֞ “ ୫ ൌ ʹ୬ሺ୩ሻି୬ሺ୨ሻ ֞ ͷ

୩ି୨ ସ

ൌ ʹ୬ሺ୩ሻି୬ሺ୨ሻ 

֞ ͷ୩ି୨ ൌ ʹସ൫୬ሺ୩ሻି୬ሺ୨ሻ൯ ֜  ൌ Œ, und Letzteres folgt, weil 5n nur für  ൌ Ͳ gerade ist. Auch der „Satz von Levy“ lässt sich übertragen. Theorem 5.2 (Tonverteilungssatz für die Mitteltönigkeit) Die Menge aller (reoktavierten) Frequenzfaktoren („Töne“) der unbeschränkten mitteltönigen Quint-Iterationsskala (M*) liegt dicht verteilt im Oktavraum ሾͳǡ ʹሿǤ  ‫ ؿ כ‬ሾͳǡ ʹሿ ൌ ሼ– ‫ א‬Թȁͳ ൑ – ൑ ʹሽ dicht.

144

5 Mitteltönigkeit

Insbesondere heißt dies: Zu jeder Frequenz im Oktavraum ሾͳǡ ʹሿ gibt es eine Folge von Tönen aus  ‫( כ‬die also durch mitteltönige Quintfolgen nebst passenden Oktavierungen entstanden sind, welche die gegebene Frequenz approximiert). Beweis: Statt  ‫ כ‬betrachten wir sogar nur deren Teilmenge ୩

ହ‫ כ‬ൌ ൝ͷ ൗ ୬ሺ୩ሻ อ ‫ א‬Ժൡ ʹ und können das Theorem 8.5 (vgl. Kapitel 8) buchstabengetreu übertragen, denn alles bleibt richtig, weil das, was wir dort lediglich benötigen auch in diesem Fall zutrifft. Und das ist die Tatsache, dass- Ž‘‰ ଶ ሺͷሻ irrational ist. Dies wiederum ist mit Standardmethoden einfach zu zeigen. Fazit: Es ließen sich demnach Tasteninstrumente bauen mit vieltönigen Oktaven, so dass Mitteltönigkeit vorliegt – das Komma aber immer kleiner wird: Schon nach 2 Umdrehungen wäre aus dem ‹•ሺ͹͸…–ሻ ein neues ෨‹• mit ͹͸ െ ʹ ‫ כ‬Ͷͳǡͷ̱ െ ͹…– geworden. Diesen Ton könnte man (beinahe) mit dem Ausgangston C gleichsetzen. Es entstünde eine Skala mit ʹ ‫ ʹͳ כ‬൅ ͹ ൌ ͵ͳ Tasten. Diese Skala hätte dann den Charme, dass sie jede Menge wohlklingender reiner Terzen enthielte und obendrein so gut wie geschlossen wäre. Man könnte demnach auf ihr recht gut „Transponieren“. Wir können uns jedoch gut vorstellen, warum sich solche und ähnliche Tastaturen nicht durchsetzten – wer behält hier noch die Übersicht!

5.4.4 Orthogonio und Mesolabio des Zarlino Im Zeitalter, da es noch keine „Rechenmaschinen“ à la Computer gab, waren dem Einfallsreichtum an mechanischen Konstruktionen zwecks Wurzel-, Logarithmen- und anderen Rechnungen keine Grenzen gesetzt. Die beiden Temperierungen mit den mitteltönigen Quinten Ͷା୫ ൌ ʹ ْ ”‡‹‡ ”‘é–‡”œ, ͵ି୫ ൌ ʹ ٓ ”‡‹‡Ž‡‹–‡”œ führen hinsichtlich der Frequenzmaße der Quinten und Ganztöne auf die Aufgaben,

5.4 „Mitteltönige mathematische Spiele“

ȁା୫ ȁ ൌ ට൫ξͷ൯ య

bzw.

und ȁି୫ ȁ ൌ ටͳͲൗ͵ bzw.

145

ଵ

ାȁ ȁ୫ ൌ ටͷൗͶ ൌ ଶ ξͷ ଵ య ଵ଴଴

ିȁ ȁ୫ ൌ ට ଶ

ଽ



grafisch bzw. mit „Rechenmaschinen“ zu finden. Der Italiener Zarlino (1517-1590) war in diesen Bemühungen besonders engagiert und erfolgreich. Seinem Einfallsreichtum waren anscheinend kaum Grenzen gesetzt. So erfand er raffinierte mechanische Geräte, mit denen er vor allem geometrische Mittelwerte konstruieren konnte (Orthogonio) oder auch Kubikwurzeln (insbesondere aus der Zahl 2) ziehen konnte (Mesolabio). Dabei bediente er sich uralter antiker Methoden, die man schon bei Erathostenes findet. Der Leser findet hierzu in [1, p. 52ff] eine ausführliche Beschreibung. Zarlino erfand auch eine bemerkenswerte Temperierung, welche auf einer Siebtel-Teilung des pythagoräischen Kommas beruht. Allein dies lässt ahnen, dass er sich bestens mit den Zahlenspielereien seiner Zeit und den antiken Vorbildern auskannte. Wir kommen in Kapitel 6.7 wieder auf ihn zurück.

Kapitel 6

Historische Temperaturen 6.1

Einleitung ........................................................................................................148

6.2

Henri Arnault de Zwolle: Der Pythagoräiker ...................................................150

6.3

Arnold Schlick: Mitteltönigkeit fast pur ..........................................................151

6.4

Leonhard Euler und Johannes Kepler: Auswahlsysteme im reinen Gitter ..... 153

6.5

Johann Philipp Kirnberger: Das geniale Auswahlsystem ................................154

6.6

Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung ........................................157

6.7

Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel ......................................159

6.8

Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras ........................................163

6 Historische Temperaturen

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

148

6 Historische Temperaturen

6.1 Einleitung Wir wollen in diesem Kapitel einen Streifzug unternehmen in die vielfältige Welt der frühneuzeitlichen Temperierungen. Diese Epoche reicht vom 14. bis zum 18. – auch 19. Jahrhundert. Die Entwicklung der mehrstimmigen Musik ließ den damaligen Praktikern und Theoretikern gar keine andere Möglichkeit, immer wieder die Frage der „bestmöglichen“ Temperatur beantworten zu wollen. Denn natürlich war den Meistern jener Zeit klar, dass beispielsweise ̶

eine pythagoräische, quintenreine, ̶

eine mitteltönige, terzreine

Temperatur nicht im 12-gliedrigen Quintenkreis konfliktfrei unterzubringen war. Das Komma – oder auch die Wolfsquinte – stand stets im Wege. Wie gesagt: Bei „sparsamen“ harmonischen Bewegungen treten ja auch bei kluger Tonika-Wahl keine Probleme auf. Eine bewegtere Harmonik muss jedoch zwangsläufig im Wolfsquintenbereich landen und dort zu eher merkwürdigen Akkordklängen führen. In der Historie begegnen wir einer außerordentlichen Fülle an Temperierungen. Eine Unmenge an Skalen entstand und darüber hinaus gab es oftmals skurrile Kreationen vieltöniger Instrumente (31 bzw. 53 Tasten/Oktave u. v. m.), und es ist oftmals spannend zu erkunden, wie vehement und leidenschaftlich hierüber gestritten wurde. Wir können in methodischer Sicht diese Vielfalt an Stimmungen etwa folgendermaßen einteilen: ̶

Da gibt es „neue Quinten“, mittels derer man „Quintenkreise“ berechnet (in der Hoffnung, „der Wolf würde nicht zu arg heulen“) (Neue-Quinten-Temperierungen).

̶

Da gibt es die Temperierungen, welche – ausgehend zumeist von der pythagoräischen – versuchen, das Komma statt auf eine einzige Quinte (nämlich der Wolfsquinte) gleich auf mehrere Quinten zu verteilen (Ausgleichtemperierungen). ̶

Da gibt es Versuche, bekannte Temperierungen (pythagoräische, reine, mitteltönige Temperierung) zu vermischen – sozusagen von jeder das Brauchbarste (im Sinne der eigenen Geschmacksvorstellung) zu nehmen (Auswahltemperierungen).

So kamen im Verlaufe weniger Jahrzehnte Hunderte Temperierungen auf; fast jeder Instrumentenbauer oder auch Musiker erfand seine eigene Stimmung. Es verwundert daher nicht, dass diese Vielfalt auch reich an Konfliktstoffen war.

6.1 Einleitung

149

Dass es zu dieser Vielfalt an Temperierungen überhaupt kam, liegt aber auch daran, welche klanglichen Ideale bevorzugt werden sollten. Denn gesteuert wurden all diese Dinge durch die Forderungen nach (1)

möglichst vielen „ungefähr reinen Terzen“,

(2)

möglichst vielen „ungefähr reinen Quinten“,

(3)

möglichst gutem Transponiervermögen,

(4)

handwerklicher Realisierbarkeit.

So bedeutet die Bedingung (3), dass – wenn es schon nicht gänzlich vermeidbar ist, in der chromatischen Skala unterschiedlich große Halbtonintervalle (Semitonia) zu erhalten – diese wenigstens nicht all zu stark differieren zu lassen. Denn es ist ja auf der anderen Seite klar, dass unterschiedlich große Halbtonschritte einer Skala zu diatonischen Skalen führen, die an vergleichbaren Stufen bspw. unterschiedlich große Leiterintervalle haben. Wir haben dies in Kapitel 2.5 ja auch sehr ausführlich untersucht – Stichwort: Tonartencharakteristik. Die Forderung (4) meint, dass es kaum etwas genutzt hätte, eine präzise Intervallgröße ల berechnen zu können – etwa für Ȥ ൌ ሾ…ǡ †ሿ soll ȁȤȁ ൌ ξʹ ൌ ͳǡͳʹʹ ǥ ൌ ʹͲͲǡͲ‡– betragen, woraus dann zwar folgt, dass der Ton † auf ʹͻ͸ǡ͵ʹͻͻœ zu stimmen ist, wenn … genau ʹ͸ͶǡͲœ hat. Nur: Wie stimmt man † auf diese Frequenz? Referenztöne einer Obertonreihe inklusive einer Schwebungsanalyse – prinzipiell zwar immer nutzbar – lassen auf recht komplizierte Vorgänge schließen, weit davon entfernt, auch von tüchtigen Musikern vor Ort geleistet werden zu können. So begegnet man in den alten Literaturen und denen zur Geschichte der musikalischen Temperierungen nicht nur geheimnisvollen Tabellen mit zunächst komplizierten Frequenzdaten, sondern auch ̶

Anweisungen, wie man die angegebene Temperatur auch finden kann.

Wobei zur Befolgung dieser „Anweisungen“ jede Menge Fantasie und handwerkliches Geschick erforderlich waren und auch immer noch sind („Man stimme die Quinte † െ ƒ um ein Siebtel des syntonischen Kommas kleiner – etc.“). Später kamen dann noch Centtabellen hinzu, welche zumindest einen besseren Vergleich und damit auch einen besseren Überblick über das Geflecht verschiedener Temperierungen zuließen.

150

6 Historische Temperaturen

6.2 Henri Arnault de Zwolle: Der Pythagoräiker Arnault de Zwolle setzt gegen 1440 die pythagoräische Stimmung um, indem er ̶

11 Quinten rein stimmte.

Unter den Schließungsbedingungen des Quintenkreises ist demnach die 12. Quinte um das pythagoräische Komma൫ɂ୮ ̱ʹ͵భమ…–൯ zu klein. Die Wahl dieser Schließungs- bzw. Wolfsquinte ist frei. Wir finden sie in der Literatur sehr häufig in der Situation h-fis. Demnach ist der Quintenkreis von Zwolle so konstruiert: c g

f b

d

es

reine Quinte

a

as

e ges des

h reine Quinte Ɵ pyth. Komma (Wolfsquinte)

fis

setze fis zur Schließung auf ges des c

es

cis

0

d

90 90

c

f

408 114

90

204

588 90

as

702 114

f 90

g

fis

498 90

e

d 204

e

294

204 114

ges

dis

792 90

b

906

1110

1200

114

a 204

c

h

996 90

114

g 204

a

90

h 204

c 90

Bild 6.1: Arnault-Stimmung

Dies ist die aus Kapitel 3 bekannte pythagoräische Skala mit den Intervallen: ̶ ̶ ̶

Tonos Apotome Limma

ʹͲͶ…– (pythagoräischer Ganzton) ͳͳͶ…– (pythagoräischer chromatischer Halbton) ͻͲ…– (pythagoräischer diatonischer Halbton)

Bedingt durch die Wahl der Schließungsquinte ist die A-L-Abfolge der chromatischen Skala entsprechend strukturiert. Die Unsymmetrie der Tonos-Teilung in  ْ  wird auch sehr schön erkennbar an dem Ganztonschritt e-fis zu nur 180 ct; er besteht ja aus zwei Limmas, also aus zwei leitereigenen, diatonischen Halbtönen.

6.3 Arnold Schlick: Mitteltönigkeit fast pur

151

6.3 Arnold Schlick: Mitteltönigkeit fast pur Die von Arnold Schlick (und auch einigen anderen) gegebene mitteltönige Temperatur ist – genauso wie die pythagoräische – als reoktavierte Quintenfolge, mathematisch als geometrische Folge, konstruiert. Dabei entsteht die unvermeidliche Schließungslücke von Ͷͳ…– (kleine Diesis), die zur Wolfsquinten  führt, deren Positionierung im Quintenzirkel frei festlegbar ist (vgl. Kapitel2.5). Die Schlick’sche Temperatur kann nun als eine erste Ausgleichung der Skala M12 betrachtet werden (vgl. Kapitel 5.2): Ist die Lücke mit der Differenz der kleinen Diesis positioniert im Tonschritt ‰Ç•ሶሺ͹͹͵…–ሻ

ƒ•ሺͺͳͶ…–ሻ,

zu

so hat Schlick festgelegt: ‰Ç•ሶ୬ୣ୳ ൌ ƒ•୬ୣ୳ ൌ

଻଻ଷା଼ଵସ ଶ

ൌ ͹ͻ͵ct

Alle anderen Töne vom ଵଶ werden beibehalten. Er verteilt die „kleine Diesis 41 ct“ somit auf 2 Quinten mit dem Ergebnis: Statt 11 mitteltöniger Quinten Qm zu ̱696,58 ct und einer „üblen“ Wolfsquinte Wm zu 737,64 ct gibt es also genau 10 Quinten Qm und zwei Wolfsquinten zu ̱17,1 ct. h e

fis Schlick’scher Ausgleichston 793 mit Spiralschluss

1083 386

a

579

cis

890

76

814

773

d

Qu

int

en

310

0

c

Quinten

696

g

as

ges

193

es

1007

503

b f

Bild 6.2: Arnold Schlick-Temperatur

Gewiss gab es um 1400 und noch Jahrhunderte später keine elektronischen Frequenzmesser und rein gar nichts aus unseren vertrauten physikalischen Wunderkisten. Wie kann also nun eine solche Temperatur überhaupt realisiert werden? Nun, die Angaben von Schlick und seinen Zeitgenossen waren auch (noch) nicht in der Art einer „CentTabelle“ – allenfalls waren einzelne Frequenzanalysen (aufgrund der ͷǣ Ͷ-Vorgabe) möglich.

152

6 Historische Temperaturen

Vielmehr erschöpfte sich die Festlegung der Temperatur in verbalen Anweisungen, von denen wir eine Kostprobe geben: „Nym ffaut darnach iiij. quinten vber einander, so gibt die letzst das ist alamire ein tertz perfekt oder doppel decima vnd doppel sext zü hoch gegen den ffaut vnd csolfaut etc.“ – zu deutsch: „Lege 4 Quinten (reine!) übereinander und nimm von jeder so viel weg, dass du eine reine Terz über der zweiten Oktave bekommst …“ (vgl. [4]) Kein Zweifel, dass dieses „Wegnehmen“ ein (mühseliges) Ergebnis von Gehör, Erfahrung, Talent und intuitivem Wissen um das Dilemma der reinen Temperierung und ihrer Kommata war. Gleichwohl wurde die Schlicksche Temperierungsanweisung lange Zeit erfolgreich angewendet – dank ihrer Systematik: 1. Schritt:

Bilde 4 reine Quinten über f (f-c-g-d-a).

2. Schritt:

Erniedrige a, bis a rein zu f ist, das heißt 5:1 – eine reine Oberterz.

3. Schritt:

Versuche dann eine gleichmäßige Erniedrigung von d, g, c, so dass diese vier Quinten gleichgroß erscheinen.

4. Schritt:

Alle weiteren Töne der Skala lassen sich nun mit 5:4-Terzen bilden.

e2

d2 g1 c1 f0

a1 d1

= 5:2

h1 e1

5:4 5:4 (Kontrolle)

Bild 6.3: Schema der Schlick’schen Stimmung der diatonischen Skala

Einen anderen Weg der Stimmanweisung finden wir in [4, p. 30]: Der Florentiner Aron gibt im 41. Kapitel seines „Toscanello“ ሺ̱ͳͷʹ͵ሻ eine Beschreibung der „Participatione del Monochorde per tuori et semituoni naturali et accidentali“. Er fängt bei … an, stimmt …Ԣ rein und ‡ mit ‡ǣ … ൌ ͷǣ Ͷ. Darauf nimmt er die Quinte ‰ „un poco sparsa“, geht um einen weiteren Quintenschritt zu †Ԣ, nimmt dazu die Unteroktave und dazu die Quinte ƒ; dieses ƒ muss nun (bei richtiger Stimmung) eine mitteltönige Quinte zu † als auch Unterquinte zu ‡Ԣ sein. Die schematische Darstellung zeigt das folgende Bild:

6.4 Leonhard Euler und Johannes Kepler: Auswahlsysteme im reinen Gitter

153

2:1

e1

d1

c1 g0 e0

5:4

c0

h0

a0 e0

d0

c0

=

Bild 6.4: Aron-Stimmung der diatonischen mitteltönigen Skala

6.4 Leonhard Euler und Johannes Kepler: Auswahlsysteme im reinen Gitter Zweifellos liegt es an der Einordnung der Musica als eine der vier naturwissenschaftlichen Künste der „septem artes liberales“, dass auch große Naturwissenschaftler und Mathematiker sich mit deren inneren Zusammenhängen befassten. Hinsichtlich der Temperierung hielten aber sowohl Leonhard Euler (1707-1783) als auch der nicht minder berühmte Johannes Kepler (1571-1630) am „Reinen System“ (dargestellt durch das Eulergitter) – gebaut aus Folgen reiner Quinten und Terzen – fest. Genauso werden wir es später auch bei Kirnberger feststellen. Legen wir also das Quint-Terz-Gitter zugrunde (vgl. Kapitel 4.3), so sind die Auswahlen von Tönen für eine Skala diese: Kepler (1619)

Euler (1729) cis

gis

dis

a

e

h

fis

f

c

g

d

ais (b)

e

h

fis

cis

c

g

d

a

es

b

gis (as)

5/4 f

3/2

Bild 6.5: Auswahltemperierungen von Euler und Kepler

Die Frequenzfaktor- bzw. Centangaben der diatonischen und chromatischen Skalen können wir aus der Gitterwege-Struktur leicht angeben (Bezug zur Tonika C). Dabei spielen wiederum der Viertönesatz als auch das Theorem 4.2 (3) eine hilfreiche Rolle. Für die beiden chromatischen Skalen erhalten wir die Bemaßungen: c

cis

1

25/24

0

d

70 70

274

204 70

f

386

112

d 204

e

9/8 75/64 5/4

134

c

dis

Bild 6.6: Euler-Temperatur

4/3 45/32

3/2

498

702

112

e 182

590 92

112

gis

204

a

b

c

h

25/16 5/3 225/128 15/8 772 70

884

112

g

f 112

g

fis

976 92

1088 1200

112

a 182

112

c

h 204

2

112

154

6 Historische Temperaturen

es dis

e

1 135/128 9/8

6/5

5/4

4/3 45/32

3/2 405/256 27/16 9/5

0

316

386

498

702

c

cis

d

92

204 108

92

c

112

70

d

f

112

e

204

182

590 92

112

a

794 92

204

b

906

112

g

f 112

as gis

g

fis

15/8

1018 1088

112

70

a 204

c

h

2 1200

112

c

h 182

112

Bild 6.7: Kepler-Temperatur

Klar ist, dass durch den Gebrauch von drei (parallelen) Quintenreihen doppelte syntonische Komma-Defizite entstehen – beide Temperaturen sind zwar bequem einzurichten (da nur reine Terzen und reine Quinten zu bilden sind), liefern aber unangenehme Wölfe und andere ungewohnte Intervalle, z. B. bei Euler:

„Halbton“

…‹• െ † ൌ ͳ͵Ͷ…–

(̱͵Ͷ…– über „Soll“)

z. B. bei Kepler:

Quarte

‡• െ ƒ• ൌ Ͷ͹ͺ…–

(Defizit: ʹʹ…– – gegen rein)

z. B. bei Euler:

Quarte

ˆ െ „ ൌ Ͷ͹ͺ…–

(Defizit:ʹʹ…– – gegen rein)

Und so kommt es zu süffisanten Kommentaren einiger Zeitgenossen – wie z. B. von Friedrich Wilhelm Marpurg, welcher darauf hinwies, dass „der berühmte Kepler ein größerer Mathematiker denn als Tonkünstler sey“. Somit blieben beide Temperaturen letztlich unbedeutend – im Gegensatz zu dem deutlich überlegeneren Auswahlsystem von Kirnberger (welches allerdings in praktikableren Modifizierungen auch Ausgleichungen besaß – somit also aus dem Tongitter reiner Quinten und Terzen ausscherte).

6.5 Johann Philipp Kirnberger: Das geniale Auswahlsystem Johann Philipp Kirnberger (1721-1783) geht grundsätzlich einen anderen Weg der „Komma-Ausgleichung“ als Andreas Werckmeister und vielen anderen. Seine Idee ist die folgende: Kirnbergers Methode: Das syntonische Komma ሺ̱ʹͳǡͷ…–ሻ als Unterschied zwischen reiner ሺͷǣ Ͷሻ-Terz und pythagoräischer ሺͺͳǣ ͸Ͷሻ-Terz ist nur um ein „Schisma“ ሺʹ…–ሻ entfernt vom pythagoräischen Komma ɂ୮ ሺʹ͵ǡͷ…–ሻ. Würde man in der pythagoräischen Kette reiner Quinten eine Quinte um dieses syntonische Komma verkleinern, entstünden einerseits reine Terzen, und andererseits müsste auch nur noch eine weitere Quinte um dieses Schisma korrigiert werden.

6.5 Johann Philipp Kirnberger: Das geniale Auswahlsystem

155

Und so wählt Kirnberger im Eulergitter folgende Sequenz:

~ A

~ H

~E

~ Cis

~ Fis

( )

(

As

Des

Es

B

F

G

C

D

)

E

A

5:4 Terzen 3:2 Quinten

Bild 6.8: Schema der Kirnberger‘schen Auswahl

෩, dann von  ෩ aus Also: Er bildet reine Quinten von ‡• bis , dann zu die reine Terz  ෩,  ෩ , ෨‹•. die reinen Quinten  Das Intervall ෨‹• െ ‡• ist dann eine nur um das Schisma von ʹ…– verkleinerte reine Quinte (vgl. hierzu auch Theorem 4.6 ff.). ෩ eine um das syntonische Komma verkleinerte Wir erkennen, dass das Intervall  െ  reine Quinte ist, denn െ  wäre eine pythagoräische Terz. Die 12-Ton-Skala enthält demnach ̶

4 reine große Terzen (auf C, D, F und G), ̶

4 reine Quinten (auf C, D, F und G), ̶

6 reine Quinten (auf C, D, Es, E, F, Fis), ̶

außerdem ist ෨‹• െ ‡• „fast rein“, besser: ‹• െ ‡• hat ͹ͲͲ…– und ist praktisch eine gleichtemperierte Quinte.

Da also alle Intervallschritte durch ͷǣ Ͷ- und ͵ǣ ʹ-Verhältnisse beschreibbar sind, kann die Kirnberger-Temperatur auch noch recht überschaubar im Frequenzmaß angegeben werden und wir erhalten die Skala: Des Cis

C

D

Es

E

F

1 256/243 9/8 32/27 5/4 0

90 90

114

C

294

204 90

386 92

D 204

182

Bild 6.9: Kirnberger Temperatur

A

3/2 128/81 5/3

498

702

590 92

112

792 90

204

B

996

112

2

1088 1200 92

A 182

C

H

16/9 15/8

884

92

G

F 112

As

4/3 45/32 112

E

G

Fis

112

C

H 204

112

156

6 Historische Temperaturen

Der Verlust der anfänglichen pythagoräischen „Apotome-Limma“-struktur ሺͻͲ െ ͳͳͶሻ gegenüber ͻʹ െ ͳͳʹ erklärt sich leicht aus der durch das Schisma ʹ…– verkleinerten Quinte ‹• െ ‹• bzw. der deswegen um ʹ…– vergrößerten Quarte ‹• െ ‹•. ෩ (mit 680 ct) wurde Kirnbergers Wegen der dabei auftretenden Wolfsquinte  െ  System vielfach abgelehnt. Kirnberger selbst variierte seine Temperierung mehrfach. ෩ um etwa ein halbes syntonisches Komma – um diesen Betrag So vergrößerte er  െ  wurde auch die Quinte ‹• െ ‡• größer. Ein andermal ersetzte er unter Beibehaltung (statt మళబ ൌ ఱయ), was etwa der aller übrigen Töne nur den Ton  durch ୬ୣ୳ ൌ మళబ భలభ భలమ Änderung um ein halbes syntonisches Komma భలభ ؆ ͳͲ…– entspricht. భలబ Bemerkung (zur Kirnberger‘schen Tonarten-Charakteristik): Wie wir aus der Theorie (Kapitel 2.5) wissen, ist die Verschiedenartigkeit der Semitonia ̶

Apotome (chromatischer Halbton) und ̶

Limma (diatonischer Halbton)

dafür verantwortlich, dass die Stufung in den einzelnen Tonarten unterschiedlich ist – erst recht, wenn es wie hier mehrere „Apotome“ gibt; „jede Tonart hat ihre Charakteristik“. So gilt in der modifizierten Kirnberger-Temperatur (in der A durch Aneu ersetzt wird) die Abfolge der diatonischen Skalen: Tabelle 6.1: Stufung (Tonarten – Charakteristik) einiger Kimberger-Skalen

C-D

D-E

E-I

I-G

G-A

A-H

H – C‘

۱-Dur

204

182

112

204

193

193

112

۵-Dur

193

193

112

204

182

204

112

۲-Dur

182

204

102

193

193

202

114

‫ۯ‬-Dur

193

202

114

182

204

202

103

۳-Dur

204

202

103

193

202

204

92

204

193

101

204

204

182

112

‫ڭ‬ ۴-Dur

Alle Abfolgen sind untereinander verschieden; ein geschultes Ohr könnte also durch Abspielen der Skalen die Kirnberger-Stimmung erkennen mitsamt der Tonart! Und es ist nicht auszuschließen, dass ehedem dies durchaus möglich war – vieles deutet darauf hin.

6.6 Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung

157

6.6 Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung Andreas Werckmeister lebte von 1645-1706 in Mitteldeutschland. Er war Musiktheoretiker und Organist. Methodisch besteht seine Vorgehensweise darin, die Iteration reiner Quinten dadurch zu verändern, dass 1. einige der reinen Quinten derart verändert (d. h. verkleinert) werden, so dass das pythagoräische Komma verschwindet („ausgeglichen ist“), 2. alle aufgrund dieses ersten Schrittes veränderten Intervalle eine „erträgliche“ Veränderung erfahren. Von Andreas Werckmeister sind mehrere (im wesentlichen 6) Varianten dieser Ausgleichstemperierung bekannt Man nennt sie in Fachkreisen kurz Werckmeister I bis Werckmeister VI. Wir wollen sie nun kurz skizzieren; die hierbei gewählte Reihenfolge (II – I – III – IV) entspricht weitgehend der Komplexitätszunahme der Ausgleichungsmaßnahmen. Wir gehen von einer Kette reiner Quinten aus, die in der Regel – aber auch ohne Einschränkung der Allgemeinheit – wie folgt positioniert ist: Bei einfacher QuintSchichtung haben wir die bekannte Abfolge: As

Es

B

F

C

G

A

D

E

H

Cis (Gis)

Fis

+ reine Quinte = 7 Oktaven + pythagoräisches Komma (Ɛp) Bild 6.10: 12-gliedrige Quintenkette reiner Quinten

Nun wählen wir einige dieser reinen Quinten aus, verkleinern sie „gleichmäßig“, so dass die neue Quinttabelle genau um das Komma ɂ୮ schrumpft. Dann wird

‹• zu • (ْ ͹ Oktaven) und die Tonspirale wäre geschlossen, will sagen: ‹• ‫• ؠ‬ (und • ‫ •‹ ؠ‬usw.). Wir erinnern noch einmal an den Centwert des pythagoräischen Kommas: ɂ୮ ؄ ʹ͵ǡͶ͸…–Ǥ Nun geht es folgendermaßen weiter: Werckmeister II: (die sogenannte „Werckmeister-Temperatur“) Verändere folgende 4 Quinten um je ٓ భరɂ୮ : െ / െ  /  െ  /  െ ‹• alle übrigen 8 Quinten bleiben rein. Dann entsteht die Skala: Des Cis

C 90

0

102

90

Es Dis

D 102

192

E 96

294

F 108

390

90

498

108

588

Bild 6.11: Tabelle der Werckmeister II-Temperatur

As Gis

G

Fis

96

696

A 96

792

B 108

888

996

Cˡ

H 96

108

1092 1200

158

6 Historische Temperaturen

Werckmeister I: 5 Quinten verändere um je ٓ భయɂ୮ :  െ /  െ  /  െ  / ‹• െ ‹• /  െ 2 Quinten verändere um je ْ భయɂ୮ : ‰‹• െ †‹• ሺൌ ƒ• െ ‡•ሻ / ‡• െ „ Alle übrigen 5 Quinten bleiben rein. Dann entsteht die Skala: Des Cis

C 82

0

Es Dis

D

114

82

98

E 98

294

196

F 106

392

90

498

As Gis

G

Fis 106

588

90

694

A

B

106

784

114

890

Cˡ

H 82

114

1004 1086 1200

Bild 6.12: Tabelle der Werckmeister I - Temperatur

Werckmeister III: 5 Quinten verändere um je ٓ భరɂ୮ :  െ  /  െ  / ‹• െ ‹• / ‹• െ ‹• / െ  1 Quinte verändere um ْ భయɂ୮ :

G‹• െ ‹• ሺൌ • െ •ሻ

Alle übrigen 6 Quinten bleiben rein. Dann entsteht die Skala: Des Cis

C 96

0

Es Dis

D

108

96

96

E 96

300

204

F 108

396

96

504

As Gis

G

Fis 102

600

90

702

A 108

792

B 102

900

Cˡ

H 96

102

1002 1098 1200

Bild 6.13: Tabelle der Werckmeister III-Temperatur

Diese Stimmung hat sogar die Besonderheit, dass sie (im ganzzahlig gerundeten Centbereich) teilweise gleichtemperiert ist. Der Tritonus Fis halbiert die Oktave, die 4 kleinen Terzen  െ • / E• െ ‹• / F‹• െ  / AെԢ sind gleich groß. Werckmeister IV: 3 Quinten verändere um je ٓ భళɂ୮ :  െ /  െ /  െ ‹• 1 Quinte verändere um ٓ మళɂ୮ :

‹• െ ‹•

1 Quinte verändere um ٓ రళɂ୮ :

െ

2 Quinten verändere um je ْ భళɂ୮ :  െ  / • െ • ሺൌ ‹• െ ‹•ሻ. Dann entsteht die Skala: Des Cis

C 90

0

97

90

Es Dis

D 111

187

E 97

298

F 103

395

97

498

103

595

Bild 6.14: Tabelle der Werckmeister IV-Temperatur

As Gis

G

Fis

94

698

A 101

792

B 107

893

Cˡ

H 97

103

1000 1097 1200

6.7 Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel

159

Bemerkung 1: Diese Stimmung enthält beispielsweise eine annähernd gleichtemperierte Großterzteilung einer Oktave: • െ െ  െ •Ԣ (je ͶͲͲ…– im Rahmen des ganzzahlig gerundeten Cent-Bereichs) sind kaum zu unterscheiden von der exakten gleichstufigen Terzschichtung. Bemerkung 2: Die Nummerierungsangaben der Werckmeister-Temperierungen I-IV werden in der Literatur teils unterschiedlich benutzt. Darüber hinaus werden noch weitere Temperierungen ähnlicher Art Andreas Werckmeister zugeschrieben.

6.7 Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel Zarlino ist – wie auch andere Musiktheoretiker seiner Zeit – auf der Suche nach einer praktikablen „Ausgleichstemperatur“ – um die „Wölfe zu vermeiden“, die in der mitteltönigen Temperatur vorliegen. Ausgangspunkt Drei geschichtete reine Quarten minus 1 Oktave und 1 reine kleine Terz (über Ausgangston) differieren um ein syntonisches Komma, also um ‫–…ͳʹ ׽‬. Wir wollen diese Rechnung mittels der Intervallarithmetik etwas genauer betrachten: ͵”Ǥ—ƒ”–‡ ٓ ሺ ْ ”Ǥ ŽǤ ‡”œሻ ൌ ሺ͵”Ǥ—ƒ”–‡ ٓ ሻ ٓ ሺ”Ǥ ŽǤ ‡”œሻ ൌ ͵ሺ ٓ ”Ǥ —‹–‡ሻ ٓ  ٓ ሺ”Ǥ —‹–‡ ٓ ”Ǥ ‰”Ǥ ‡”œሻ ൌ ʹ ٓ Ͷ”Ǥ —‹–‡ ْ ”Ǥ ‰”Ǥ ‡”œ ൌ ʹ ٓ ሾʹ ْ ’›–ŠǤ ‡”œሿ ْ ”Ǥ ‰”Ǥ ‡”œ ൌ ”Ǥ ‡”œ ٓ ’›–ŠǤ ‡”œ ൌٓ •›–Ǥ ‘ƒ Das Ausgleichs-Prinzip von Zarlino lautet nun: 1. Erhöhe jede der 3 geschichteten reinen Quarten (z. B.  െ ‡଴ , ‡଴ െ ƒ଴ , ƒ଴ െ †ଵ ) um మళ des syntonischen Kommas (also um ‫ ׽‬͸…–). 2. Erniedrige die kleine reine Terz (hier  െ †଴ ) um భళ syntonisches Komma, wobei H fix ist.

160

6 Historische Temperaturen

Konsequenz: Das neue †ଵ und †଴ bilden eine reine Oktave, und aus den neuen Tönen lässt sich per neuer Quint-Iteration eine neue Skala finden (Zarlino-Skala). Beachte: Die Erhöhung einer Quarte um x Cent erfordert natürlich eine Erniedrigung der Komplementärquinte um ebenfalls x Cent – da Oktaven rein sein müssen. Schematisch stellt sich also Zarlinos „Prinzip“ so dar (K = syntonisches Komma): 6/5

reine kleine Dezime

alt Start

4/3

4/3

4/3 K

Oktave - syntonisches Komma Oktave 1/7 K

2/7 K

6/7 K

4/7 K

neu Oktave

Zarlino - Quint

Zarlino - Quart

Bild 6.15: Ausgleichsprinzip von Zarlino

3. Skalenkonstruktion: Zarlino konstruiert mit „seiner“ Quinte (Zarlino-Quinte = reine Quinte ٓ మళ synt. Komma) die diatonische (wie auch chromatische) Skala durch iterierte, reoktavierte Quinten. Zur rein historisch-rechentechnischen Ausführung bemerken wir, dass eine „Erniedrigung“ eines Intervalles um మళ eines syntonischen Kommas Folgendes bedeutet: Im Frequenzmaß gilt: ȁٓ •›–Ǥ ‘ƒȁ ൌ ଼଴ ൌ ଼଴‫ ଻כ‬ൌ ହ଺଴ ൏ ͳ ൌ ହ଺଻ ଼ଵ

଼ଵ‫଻כ‬

ହ଺଻

ହ଺଻

Daher ist మళ hiervon ca. ఱలఱ (Mittelung der Zählerdifferenz im Verhältnis ʹǣ ͷ). Denn die ఱలళ korrekte geometrische Mittelung weicht hier so minimal von der arithmetischen Mittelung ab, dass dies weit unterhalb einer praktischen Bedeutung ist. Im Sinne unserer modernen Darstellung wollen wir nun die Zarlino-Skalaals Quintiteration beschreiben und werden dazu die Skalentheorie des Kapitel 2 heranziehen.

6.7 Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel

161

Definition 6.1 (Zarlino-Quinte) Die Quinte ଶ

ȡ ൌ ”‡‹‡—‹–‡ ٓ ଻•›–Ǥ ‘ƒ heißt Zarlino-Quinte. ȁȡȁ ൌ ͹Ͳͳǡͻͻͷ െ ൫ʹͳǡͷͲ͸ ‫ כ‬మళ൯ ൌ ͸ͻͷǡͺͷͲ…–̱͸ͻ͸…–.

Sie hat das Maß

Satz 6.1 (Zarlino-Skala) Die reoktavierte Iteration mit der Zarlino-Quinte führt auf die Zarlinosche Tonspirale, welche die Nichtschließung vermöge des Zarlinoschen Kommas  ୞ ,  ୞ ൌ ’›–ŠǤ ‘ƒ ٓ

ଶସ •›–Ǥ ‘ƒ ଻

ȁ ୞ ȁ ؆ ͷͲǡʹ…– besitzt. Also ist der Zarlinosche Ganzton (den man durch 2 Aufwärtsquinten ȡ minus ͳ–ƒ˜‡ erhält) sehr unsymmetrisch geteilt, denn es stellt sich folgende Teilung des Zarlino-Ganztons in ein Zarlino-Limma und eine Zarlino-Apotome ein, die durch die folgende Gleichungen beschrieben wird: ୞ ൌ ୞ ْ ୞ , ୞ ٓ ୞ ൌ  ୞ , ୞ ؆ ͳͻʹ…–, ୞ ؆ ͳʹͳǡͶ…– und ୞ ؆ ͹Ͳǡ͸…–, und die Zarlino-Skala hat die Daten: c

cis

d

es

e

f

fis

g

0

71

192

313

383

504

575

696

AZ

LZ

LZ

AZ

LZ

AZ

LZ

as

a

b

h

cˡ

816 887 1008 1079 1200 LZ AZ LZ AZ LZ

Bild 6.16: Tabelle der Zarlino-Temperatur

Bemerkungen: 1. Unter Verwendung der allgemeinen Strukturformeln der Quinteniteration, wie wir dies in Kapitel 2.2 entwickelt haben, nämlich insbesondere mit ‘ƒ ൌ ͳʹ—‹–‡ ٓ ͹–ƒ˜‡, ‘ƒ ൌ ʹ‹ƒ ٓ ƒœ–‘, findet man in unserem Fall demnach die Bilanzen: ଶ

 ୞ ൌ ͳʹ ٓ ͹ ൌ ͳʹ ቀ”Ǥ —‹–‡ ٓ ଻ቁ ٓ ͹ ሺͳʹ”Ǥ —‹–‡ ٓ ͹ሻ ٓ మర  ୞ ൌ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ •›–Ǥ ‘ƒ ൎ ͷͲ…– . ళ ୮୷୲୦Ǥ୏୭୫୫ୟ

162

6 Historische Temperaturen

Die angegebene Skala ist offenbar stark nicht-schließend. Sie wird im Sinne des Quintenzirkels gebildet von c über g bis cis durch 7 Aufwärtsquinten Z und von c über f bis as durch 4 Abwärtsquinten, woraus sich auch das A – L – Muster der Semiton-Abfolge – die Tonartencharakteristik - ergibt. 2. Die Zarlino-Quinte reiht sich in die mitteltönigen Quinten wie folgt ein:

Komma

Qm-

Z

Qm+

Q rein

694,8

695,8

696,6

702,0

(-) 63 große Diesis

(-) 50 - Kpyt + 24/7 KSynt

(-) 41 kleine Diesis

cent

23 cent pyth. Komma

gleich temperiert 700 ct Komma 0

12 Quinten – 7 Oktaven = Differenz der beiden Halbtöne des Ganztons T = (2 Quinten – Oktave)

Bild 6.17: Einordnung der Zarlino - Quinte in die Mitteltönigkeit

3. Zarlinos Temperierung besitzt keine reinen Intervalle – sie stellt schon eine sogenannte Ausgleichstemperierung dar. Beispiel 6.1 Kleine-Terz-Situation: ሾ‡• െ ˆ‹•ሿ, ሾƒ• െ Šሿ, ሾ„ െ …‹•Ԣሿ haben je ʹ͸ʹ…–, alle anderen haben aber ͵ͳ͵…– und sind demnach fast rein (Sollwert: 315,6 ct). Dieser „Ausgleich“ besteht genau genommen darin: In der reinen Stimmung haben wir die beiden Ganztöne Großer GT ሺͻ ‫ ׷‬ͺሻ und kleiner GT ሺͳͲ ‫ͻ ׷‬ሻ

”‘釔  ٓ Ž‡‹‡”  ൌ •›–Ǥ ‘ƒ mit der Bilanz ൜

”‘釔  ْ Ž‡‹‡”  ൌ ‰”‘釔‡‹‡‡”œǤ Wegen Großer GT ൌ ʹ”Ǥ —‹–‡ ٓ   folgt die Gleichung Zarl. GT

ൌ ʹƒ”Ž‹‘“—‹–‡ ٓ  ଶ

ൌ ʹ ‫ כ‬ቀ”Ǥ —‹–‡ ٓ ቁ ٓ  ଻

ସ

ൌ ”‘釔  ٓ ଻  ସ

ൌ ŽǤ  ْ  ٓ ଻  ଷ

ൌ ŽǤ  ْ ଻ ,

6.8 Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras

163

so dass der Zarlino-Ganzton die beiden reinen Ganztöne „ausgleicht“: Der ସ ଷ große wird um ଻  verkleinert, der kleine um ଻  vergrößert (und dann sind beide gleich groß). Fazit: Die diatonische Zarlino-Leiter ist eine Skala, welche eine Ausgleichung der reinen diatonischen Skala darstellt – was auch die voranstehende Rechnung bestätigt. d

c

g

f

GT

GT

gT

GT

HT

9/8

10/9

16/15

9/8

10/9

9/8

16/15

-4/7 K

+3/7 K

-4/7 K

+3/7 K

-4/7 K

Bilanz 0 +3/7 K

+3/7 K

Bild 6.18:

cˡ

h

a

HT

diatonisch rein Zarlina Abweichung

e gT

Ausgleichsschema der Zarlino-Temperatur

Folgende Cent-Rechnung verdeutlicht dies noch einmal: ଷ

ଵ଺

ଷ

ȁ ْ ଻ ȁ ൌ ቚଵହቚ

ୡୣ୬୲

൅ ଻ ȁȁ ൌ ͳͳͳǡ͹ ൅ ͻǡʹ ൌ ͳʹͳ…–,

und das sind die beiden Zarlino-Halbtonschritte e – f und h – c'.

6.8 Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras Von Gottfried Silbermann (1683-1753), dem bekannten sächsischen Orgelbauer und einem direkten Zeitgenossen des großen Johann Sebastian Bach (1685-1750), sind zwei Temperierungen bekannt, von denen die zweite eine Modifizierung der ersten (Silbermann I) ist. Diese Silbermann I-Stimmung wird in der Literatur wie folgt beschrieben: Alle (11) Quinten der Kette reiner Quinten: Es

B 1

F 2

C 3

G 4

D 5

E

A 6

7

H 8

Fis 9

Cis 10

Gis 11

(Dis) 12

Bild 6.19: Quintenkette aus reinen Quinten Q r

werden je um ein Sechstel des pythagoräischen Kommas verkleinert. Damit dann ହ ‹• ൌ • ist, muss „die 12. Quinte“ ‹• െ ‹• um ଺ des Kommas größer sein. Sie übernimmt damit die Rolle der Wolfsquinte.

164

6 Historische Temperaturen

Man bestätigt nun leicht die Angabe über den Überschuss dieser 12. Quinte: ଵ

ୱ ൌ ‹• െ ‹• und  ୗ ൌ ”‡‹‡—‹–‡ ٓ ଺ ’›–ŠǤ ‘ƒሺɂ୮ ሻ 

Mit

gelten nämlich – falls ‹• ൌ • ْ ͹–ƒ˜‡  sein soll (mit dem Kürzel  ୰ für die reine Quinte) die Umformungen: ୱ ْ ͳͳୗ ൌ ͹– ֞ ୱ ൌ ͹– ٓ ͳͳୗ  ֞ ୱ ൌ ͳʹ୰ ٓ ɂ୮  ٓ ͳͳ ୗ  ֞ ୱ ൌ ͳͳሺ୰ ٓ  ୗ ሻ ْ ͳ୰ ٓ ɂ୮  ֞ ୱ ൌ

ͳͳ ͷ ɂ୮ ْ ͳ ୰ ٓ ɂ୮ ൌ ͳ୰ ْ ɂ୮ ͸ ͸

Dann entsteht die folgende Skala durch Qs-Iteration:

C

Cis 86

0

110

86

Es Dis

D 110

196

E 86

306

F

392

G

Fis

110

86

502

110

588

Gis 86

698

A 110

784

B 110

894

C

H 86

110

1004 1090 1200

Bild 6.20: Silbermann I-Stimmung

Bemerkung: In der chromatischen Leiter von Silbermann I fällt die „Apotome-Limma“-Struktur auf. Dies wiederum ist nicht verwunderlich, denn wir erkennen, dass diese Silbermann ITemperatur eine Quintenreihe ist, welche durch eine Wolfsquinte geschlossen wird. Und dann zeigen uns die theoretischen Ergebnisse des Kapitels 2, dass die Skalenstruktur den angegebenen A – L – Aufbau besitzt. Definition 6.2 (Silbermann-Quinte) Die Quinte ͳ ୗ ൌ ‡‹‡—‹–‡ ٓ ’›–ŠǤ ‘ƒ‹–ȁୗ ȁ ؆ ͸ͻͺǡͲͶͷ…– ͸ heißt Silbermannquinte. Eine gleichwertige Darstellung ist aber auch ୗ ൌ ‰Ž‡‹…Š–‡’‡”‹‡”–‡—‹–‡ ٓ

ଵ ଵଶ

’›–Šƒ‰‘”¡‹•…Š‡•‘ƒ.

6.8 Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras

165

Denn nach dem 12-Quintensatz liegt die gleichtemperierte Quinte  ୣ um ͳΤͳʹ des pythagoräischen Kommas unter der reinen Quinte. Bildet man nun die Iteration mit der Silbermannquinte, so ergeben sich nach Kapitel 2 in der Diatonik die ͷ ْ ʹ – Struktur, ̶ ̶

in der Chromatik die ͷ ْ ͹ – Struktur.

Indem wir noch den 12-Quintensatz anwenden, gelangen wir unschwer zu einer Reihe interessanter Aspekte, etwa folgenden: 1. ʹୗ ٓ ͳ ergibt den Silbermann-Ganzton ୗ ؆ ͳͻ͸ǡͳ…–. 2. Es gibt die beiden Semitonien: ୗ (Leitereigener Halbton (Limma) der diatonischen Skala) und die Apotome ୗ der ergänzenden Chromatik ȁୗȁ ؆ ͳͳͲ…– und ȁୗ ȁ ؆ ͺ͸…– ୗ ْ ୗ ൌ ୗ

und

ୗ ٓ ୗ ൌٓ ’›–ŠǤ ‘ƒ ൌ ‹Ž„‡”ƒ െ ‘ƒ.

3. Das „Komma“ der Silbermann-Quintenspirale ist also genau das Inverse des Kommas der pythagoräischen Spirale – und dies gibt Anlass, folgende Gegenüberstellung zu betrachten: Tabelle 6.2: Vergleich der Basisintervalle: Silbermann – gleichstufig – pythagoräisch

Silbermann

Gleichstufig

Pythagoräisch

Apotome

AS = 86

100

AP = 114

Limma

LS = 110

100

LP = 90

diat. Ganzton

TS = 196

200

TP = 204

Quinte

QS = 698

700

Qr = 702

Komma

- 23,5

0

23,5

Wir erkennen sofort die symmetrische Abweichung von Silbermann I und pythagoräischer Temperatur gegenüber der „Ruhelage“ der Gleichstufigkeit. Dies ist nun keine zufällige Erscheinung aufgrund der gerundeten Daten der Tabelle 6.2, sondern diese Spiegelsymmetrie ist exakt. In allgemeiner Formulierung kann diese bemerkenswerte Spiegelsymmetrie zwischen der Pythagoräischen Stimmung mit reinen Quinten und der Silbermann-Temperierung mit ihrer Silbermann-Quinte auch so ausgedrückt werden: Ist X eines der Intervalle A (Apotome), L (Limma), T (Tonos, Ganzton) oder Q (Quinte) – aber auch ein beliebiges anderes, welches in beiden Iterationsskalen

166

6 Historische Temperaturen

vermöge der Iterationstechnik erzeugt wird (wie zum Beispiel das Komma und die Wolfquinte), so gilt stets die Gleichung:  ୱ ْ ୔ ൌ ʹ ‫  כ‬ୣ (mit den Signierungen s (Silbermann), P (Pythagoräisch), e („equal“, gleichstufig). Anders ausgedrückt heißt das für Centzahlen: ୱ ൌ ୣ ൅ ƒ ֞  ୔ ൌ  ୣ െ ƒሺ‹…–ሻ 4. Insgesamt zeigt die Silbermann-Temperierung eine deutliche Nähe zur Mitteltönigkeit – ohne allerdings ein einziges reines Intervall zu besitzen. Das Komma der Silbermannschen Quintenfolge beträgt ~ -23,5 ct. Um dieses Komma wird – zwecks zu erzwingender Quintenkreisschließung – beispielsweise eine einzige Quinte korrigiert (die Wolfsquinte entsteht); im historischen Fall ist diese für gewöhnlich die „Quinte“ ‹• െ ‹•Ǥ Somit ist ୱ ൌ ȁ ‹• െ ‹•ȁ ൌ ୗ ْ ɂ୮ ൌ  ୣ ٓ

ͳ ͳ ɂ୮ ْ ɂ୮ ൌ  ୰ ْ ɂ୮ ൎ ͹Ͳ͵ǡͻͷ…–Ǥ ͳʹ ͳʹ

5. Schließlich zeigt sich die Spiegelsymmetrie auch in einer anderen KommaInterpretation: ሺ–ƒ”––‘ ْ ͹ሻ ٓ ͳʹ’›–ŠǤ ሺ”‡‹‡ሻ—‹–‡ ൌ  ٓ ’›–ŠǤ ‘ƒ ሺ–ƒ”––‘ ٓ ͹ሻ ْ ͳʹ‹Ž„‡”ƒ—‹–‡ ൌ  ٓ ’›–ŠǤ ‘ƒ Man kommt also zum gleichen Ergebnis, was auch folgende Skizze (mit nach ሾǡ  ْ ሾ reoktavierten Tönen) zeigt: 12 Quinten ab

Ɛp Start

X

Start

nach 12 Schritten

(pythagoräische Quinten)

X+0 (SilbermannQuinten)

12 Quinten auf

Bild 6.21: Vergleich der 12-Quinteniteration: Silbermann – pythagoräisch

Vielleicht ist es diese konsequente Symmetrie – verbunden mit der Nähe zur Mitteltönigkeit –, die Gottfried Silbermann veranlasst hat, an seiner Temperierung (im Wesentlichen) festzuhalten, obwohl eine sehr kontrovers geführte Korrespondenz hierüber

6.8 Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras

167

geführt wurde. In diesem Zusammenhang wird auch immer wieder das Verhältnis von Silbermann zu Bach diskutiert und es ranken sich etliche Anekdoten um deren Beziehung zueinander. Beispielsweise kursierte folgende nette Geschichte: Anlässlich der Orgeleinweihung einer von Silbermann erbauten Orgel durch Johann Sebastian Bach soll dieser sich folgenden Scherz erlaubt haben. Um nämlich zu demonstrieren, dass die von Silbermann verwendete Temperierung nicht sonderlich den harmonischen Anforderung Stand halten würde – man sollte ja schließlich nur den Charakteristiken folgend brave Tonarten der älteren Meister verwenden – spielte Bach in der Tat eines jener älteren Werke: Bedauerlicherweise aber um einen halben Ton transponiert (was für sich genommen gewiss eine beachtliche Leistung). Nun traten aber in diesen Tonarten (wie z.B. in Cis-Dur) jede Menge „Wölfe“ auf mit sicher miserabel klingenden Akkorden. War das nun ein dezenter Hinweis Bachs an den von ihm wohl sehr geschätzten Herrn Orgelbauer, sich das mit seiner ihm eigenen Temperierung nochmal durch den Kopf gehen zu lassen – man weiß nichts genaues hierüber (wie das bei solchen Anekdoten auch ist). (vgl. [3]). Schließlich zeigt sich die Grundsymmetrie „Silbermann – Gleichstufig - Pythagoräisch“ auch in den beiden (besser: drei) Tonspiralen, die dann auch „gespiegelt“ verlaufen:

Pythagoräisch 702

Gleichstufig 700

Silbermann 698

Bild 6.22: Tonspiralen: Pythagoras und Silbermann Tabelle 6.3 (Teil 1): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet

E12

P12

M+12

M-12

Silbermann

c

0

0

0

0

0

cis

100

114

76

64

86

d

200

204

193

189

196

es – dis

300

318

310

316

306

e

400

408

386

379

392

f

500

498

503

505

502

fis – ges

600

612

580

568

588

g

700

702

696

694

698

168

6 Historische Temperaturen

Fortsetzung Tabelle 6.3 (Teil 1): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet

gis – as

800

816

773 ( 813)

821

784

a

900

906

890

884

894

ais – b

1000

1020

1007

1010

1004

h

1100

1110

1083

1074

1090

c‘

1200

1200

1200

1200

1200

Quinte

700

702

696,5

694,8

698

Tabelle 6.4 (Teil 2): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet

Zarlino

R12

Euler *

Neidhardt II

Werck -meister IV

Malcolm **

c

1

0

1

0

0

1

cis

71

71

25/24

96

90

17/16

d

192

204

9/8

196

187

18/17

es – dis

313

274

75/64

296

298

19/18

e

383

386

5/4

394

395

20/19

f

504

498

4/3

500

498

16/15

fis – ges

575

590

45/32

596

595

17/16

g

696

702

3/2

698

698

18/17

gis – as

816

773

25/16

796

792

19/18

a

887

884

5/3

894

893

20/19

ais – b

1008

976

225/128

1000

1000

17/16

h

1079

1088

45/24

1096

1097

18/17

c‘

1200

1200

2

1200

1200

16/15

Quinte

695,5

nein

nein

nein

nein

nein

* Frequenzmaß; ** Folgestufen Frequenz Faktor

Kapitel 7

ETS – Gleichstufige Temperierung 7.1

Einleitung ........................................................................................................170

7.2

Die gleichstufigen Skalen ................................................................................172

7.3

Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen .....................................................174

7.4

Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung................ 181

7.5

Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie ............................................................................................186

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

170

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

7.1 Einleitung Die Frage wird oft gestellt: „Wer hat die gleichstufige 12-Ton-Skala erfunden?“. Die Antworten dazu sind dagegen nicht so leicht. Denn: Heißt „erfunden“ auch schon „praktiziert“? Und bedeutet umgekehrt ein „Ausgleichen der Kommata“ automatisch eine gleichstufige Skala inklusive deren Berechnungsmaterial? Je nach Sichtweise können demnach unterschiedliche Meinungen und Antworten gegeben werden (vgl. [4]). ̶

Maurice Courant hat in seinen Forschungen über chinesische Musik festgestellt, dass „die Stimmung des Ho Tchtung-Thyen (̱ 250 v. Chr.) gleichmäßig sei – nicht ungleichstufig wie unsere“. ̶

In Europa gibt es im Mittelalter die Theoretiker Gafurius (1451-1522) und Ramis de Pareira (1440-1500), die die Gleichstufigkeit gekannt haben sollen, wobei sie sich der griechischen Antike bedienten. Dort soll nämlich ̶

Aristoxenos (um 360 bis 300 v. Chr.) das Tetrachord in ʹͶ ൅ ʹͶ ൅ ͳʹ („gleiche“) Teile geteilt haben. Wenn nun das Limma (12 Teile) genau die Hälfte des Tonos (24 Teile) ist, „so ist die Oktave genau 12 Limma, denn die Oktave ist die Intervallsumme 2er Tetrachorde und eines Tonos“.

̶

Auch die „Ausgleichstemperierungen“ der frühen Neuzeit (insbesondere des Frühbarock) lassen – jedenfalls teilweise – das Wort „Gleichstufigkeit“ zu. So ist doch bereits in der Mitteltönigkeit eine Halbierung der Reinen Terzen gelungen – ein charakterisierendes Merkmal.

Nein, die Grenzen sind sehr fließend zwischen Gleichstufigkeit und klassischen Tonskalen. Wobei im Übrigen beides ja „unvereinbar“ ist: Alle klassischen Skalen (pythagoräisch, rein, mitteltönig, Varianten) sind ja nach den Naturtonprinzipien gebaut – wir wissen sehr wohl, dass kein 12-Stufen-System aus rationalen Frequenzfaktoren gleicher Größe existiert bzw. geschlossen sein kann. Darüber hinaus ist die Geschichte über die Entstehung und Verbreitung der Gleichstufigkeit reich, kompliziert – auch spannend und voller Dramen und Streitlust vieler großer und kleiner Musiker, Theoretiker und experimentierender Zeitgenossen. Diese Spannungen rühren daher, dass die „Gleichstufigkeit“ musikalische – ästhetisch und praktische – Prinzipien in ihrer gleichzeitigen Geltung unmöglich macht: ̶

Die Tonartencharakteristik existiert genau deswegen, weil Leitern auf verschiedenen Stufen (G-Dur und E-Dur oder a-moll und b-moll) auch verschiedene Stufenabfolgen ihrer Semitöne (Apotome und Limma) haben (vgl. Kapitel 2.5). ̶

Die Ästhetik sowohl reiner Terzen als auch reiner Quinten war jahrhundertelang (auch bis heute) ein aller höchst geschätztes Ziel.

7.1 Einleitung

171

Demgegenüber steht aber nun: ̶

Die Entwicklung der chromatischen Harmonik ist quasi undenkbar, wenn verschiedene Leitern verschiedene interne Mikrostrukturen haben. Spielt man nämlich ein Musikstück in verschiedenen Tonarten, so klingt es anders. Das Transponieren ist geradezu unmöglich. Ein Durchwandern der Harmonik durch den Quintenzirkel wäre ebenfalls ein Abenteuer. ̶

Eine feste Tasten-/Ton-Zahl verlangt danach, dass gemäß einem „tonhöhenunabhängigen“ Prinzip Tonfrequenzen festgelegt werden müssen – was letztlich Gleichstufigkeit bedeutet. „Transponieren wird ermöglicht.“

Und um es grafisch auszudrücken: Je gleichmäßiger eine Temperatur ist, umso unreiner werden die Hauptintervalle und damit die „Dur-/Moll-Akkorde (summarisch betrachtet). Ebenso verschwindet die Tonartencharakteristik im gleichen Maße:

100 %

Tra

ns

po

nie

rve

rm

ög

en

tik ß a m its a r e a inh Ch Re ris

kte

Gleichstufig

Abnahme der Gleichstufigkeit

Bild 7.1: Gleichstufigkeit und musikalische Prinzipien

Sicher kann die angedeutete Grafik nur als nichtquantifizierbares Schema gelten – aber es ist gleichwohl zu vermuten und verständlich, warum irgendwann im Jahre ͳ͹ͲͲ ൅ š nicht alle Welt gerufen hat: Prima, alles wird gleichstufig. Keine Kommas, keine Wölfe, jeder Ton ist „gleichberechtigt“ usw. Und auch heute noch wird (mitunter) erbittert gestritte: Soll man diese oder jene Orgel so oder so stimmen (Stichwort „Dresdner Frauenkirche …“). Gerade im Orgelbau und ihrer Musik ist die Frage der Temperierung (gleichmäßig oder nicht) die unter Umständen wichtigste, und sie wird heute bei den „Experten“ gewiss so emotional und kontrovers geführt wie zu Bachs Zeiten. Bei Billeter (siehe [2]) lesen wir das Zitat: „Wer jemals Frescobaldis Musik auf einem mitteltönigen Instrument gespielt hat, wird die Gleichstufigkeit mit anderen Augen sehen bzw. mit anderen Ohren hören.“

172

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

7.2 Die gleichstufigen Skalen Wir beginnen mit der Definition der „Gleichstufigkeit“. Definition 7.1 Eine Oktavskala bestehend aus  Stufen (und  ൅ ͳ Tönen) ist gleichstufig, wenn die Frequenzfaktoren der Stufenfolge konstant ist. Aus  ൌ ଵ ْ ଶ ْ ǥ ْ ୬ folgt ȁ ଵ ȁ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ȁ ୬ ȁ ൌ ȁ ȁ

Anders gesagt:

Leicht zu zeigen ist nun der Satz 7.1 (Satz über gleichstufige Skalen) Eine -stufige Skala  ist gleichstufig ֞

 ൌ  ‫ כ‬୬ ൌ ᇣᇧ ୬ ْ ǥْ ୬ mit einem Intervall ୬ ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇥ ୬ି୫ୟ୪

֞

୫

S ist generiert durch jedes Intervall mit ȁ ȁ ൌ ʹ Τ୬ , wobei ͳ ൑  ൏ ݊, mit ୫ teilerfremden ǡ . Demnach ist dann ȁ ȁ ൌ ୬ ͳʹͲͲ…–.

Dann ist ୬ Stufenintervall von  und ȁ ୬ ȁ ൌ ʹ

ଵൗ ୬

؆

ଵଶ଴଴ ୬

…–.

Gebräuchlich ist heutzutage auch die Bezeichnung ETS („Equal Temperament System“), und am bekanntesten ist die 12-stufige gleichstufige Temperierung ଵଶ ‫ؠ‬

…

…‹•

†

†‹•

‡

ˆ

ˆ‹•

‰

‰‹•

ƒ

„

Š

…Ԣ

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

భమ

mit den Frequenzfaktoren ξʹ der Stufenfolge (Halbtöne). Die wichtigsten Intervalle (Quinte, Ganzton, Halbton) haben also die Daten Centmaß [ct]

Frequenzmaß

Quinte ‫܍ۿ‬

͹ͲͲ

ʹ଻Ȁଵଶ ൌ ͳǡͶͻͺ͵ ǥ

Ganzton ۵‫܍܂‬

ʹͲͲ

ʹଶȀଵଶ ൌ ͳǡͳʹʹͶ ǥ

Halbton ۶‫܍܂‬

ͳͲͲ

ʹଵȀଵଶ ൌ ͳǡͲͷͻͶ͸ ǥ

Es gibt nur einen Halbton: Die Semitonia Limma und Apotome sind gleich groß; der Ganzton der Skala ist exakt hälftig geteilt; ein Komma existiert nicht mehr - besser gesagt: Sein Centwert ist 0, und es ist eine reine Prim.

7.2 Die gleichstufigen Skalen

173

Die Herleitung – z. B. im konkreten Fall  ൌ ͳʹ – ist vielfältig möglich und im Übrigen trivial, wir führen einige Begründungen an: 12 gleiche Halbtöne adjungiert ൌ Oktave ֞ der Frequenzfaktor š erfüllt die భమ Gleichung šଵଶ ൌ ʹ, also š ൌ ξʹ. ̶

12 gleiche Halbtöne adjungiert ൌ Oktave ֞ das Centmaß erfüllt die Gleichung ͳʹ ‫ כ‬ȁ ȁ ൌ ͳʹͲͲ, also ൌ ͳͲͲ. ̶

12 gleiche Quinten schließen sich zu 7 Oktaven (ohne Komma) ֞ “ଵଶ ൌ ʹ଻ , ଻ also “ ൌ ȁୣ ȁ ൌ ʹ ൗଵଶ . ̶

12 gleiche Quinten schließen sich zu 7 Oktaven (ohne Komma) ֞ ͳʹȁୣ ȁ ൌ ͹ ‫ כ‬ȁȁ…– ൌ ͹ ‫ –…ͲͲʹͳ כ‬ൌ ͳʹ ‫ כ‬͹ͲͲ…– ֞ ୣ ൌ ͹ͲͲ…–. ̶

Die Skala ist quintgeneriert mit gleichgroßen Semitonia ሺ ൌ ሻ ֞  ٓ  ൌ ”‹ ֞ Schließungskomma ist ”‹ ֞ ȁୣ ȁ ൌ ͹ͲͲ ൅ Ͳ…– usw. ̶

Wir können – insbesondere mit den Darlegungen des Theorie-Kapitels 2 – viele gleichwertige Begründungen finden, wie Cent- und Frequenzzahlen verlaufen. Bemerkung: ETS-Skalen werden also mathematisch durch die Exponentialfunktion › ൌ ʹ୶ ̶

beschrieben, wobei hier ̶

die ›-Werte die Frequenzmaße eines Intervalls sind, ̶

die š-Werte die „arithmetischen Anteile des Intervalls an der Oktave sind – š ൌ Ž‘‰ଶ ሺ›ሻ ൌ

…–ሺ ሻ ͳʹͲͲ

d. h. nichts anderes, als dass wir die „Skalierung“ der normierten Centwerte. (nct). Dies bedeutet, dass das übliche Centmaß durch ͳʹͲͲ geteilt wird. Dann besitzt eine Oktave den nct – Wert 1 und die Prim (Tonika) den Wert 0. Die Variable š ist dann der normierte Centwert ൫…–ሺ ሻ൯ von . Diese Funktion š ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ›ሻ ordnet also dem Frequenzmaß › eines Intervalls dessen – durch 1200 dividierten Centwert š zu. Die Umkehrung dieser Funktion ist die Exponentialfunktion › ൌ ʹ୶ ൌ ‡୶ ୪୬ ଶ . Diese ordnet also den normierten Centwerten die Frequenzmaße zu.

174

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Die Grafik zeigt den Zusammenhang.

y = 2x

y 4

3

2 1,4983... 1 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8 91011

-1 1 Oktave ab

1 Qe 1 Oktave

2 2 Oktave

3

x = nct(I)

Grundoktave

Tonika Bild 7.2: Gleichstufigkeit und Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ʹ୶ ൌ ‡୶ ୪୬ ଶ sowie ihre Umkehrfunktion, der Logarithmus zur Basis 2, š ൌ Ž‘‰ଶ ሺ›ሻ stellen somit die natürlichen analytischen Beschreibungen der gleichstufigen Temperierung dar. Es ist auch eine Bemerkung wert festzustellen, dass diese Beschreibung einer Temperierung durch eine analytische Funktion die gleichstufige Temperierung unter den anderen hervorhebt.

7.3 Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen Während auf der einen Seite die gleichstufigen Skalen als „Ausnahme“-Skalen betrachtet werden – schließlich ist ja der Aufbau in gleichen Stufen eine Besonderheit wie auch die Tatsache, dass die Skala generiert ist durch ein Intervall mit Frequenzfaktor ୫ ʹ Τ୬ – (wobei m und n teilerfremd sein müssen), so sieht man doch auf der anderen Seite sehr schnell, dass gilt: „In der Nähe jeder (quintgenerierten) Skala liegt eine gleichstufige Skala.“ Denn: Ist ȁ ȁ rational in …–, so ist die Iteration durch periodisch. Und bekanntlich liegt in jeder Nähe einer beliebigen reellen Zahl immer eine rationale Zahl, ein Bruch! Allerdings ist die Anzahl der Töne/Oktaven unter Umständen gewaltig.

7.3 Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen

175

Beispiel 7.1 Es sei  die Quinte mit ȁȁ ൌ ͹Ͳʹ…– (kaum unterscheidbar von ୰ୣ୧୬ ) ֜  erzeugt per Iteration eine gleichstufige Skala, und zwar eine Oktavskala mit ʹͲͲStufen bzw. Tönen, denn ͳʹͲͲ ‫ כ‬͹Ͳʹ ൌ ͹Ͳʹ ‫ͲͲʹͳ כ‬ ֞ ʹͲͲ ‫ כ‬ȁȁ ൌ ቀ

଻଴ଶ ଺

ቁ ‫ כ‬ȁȁ ൌ ͳͳ͹ ‫ כ‬ȁȁ.

ଵଵ଻

Also ist ȁȁ ൌ ଶ଴଴ ‫–…ͲͲʹͳ כ‬, d. h. ȁȁ ൌ ʹ

ଵଵ଻ൗ ଶ଴଴

im Frequenzmaß.

Das Stufen-Intervall ୬ ist also winzig, denn es ist genau ͸…– groß (n =ʹͲͲሻ. Schränken wir also die Tonanzahl nicht ein, so sind die ETS-Skalen gar nicht so selten. Genauer gilt offenbar: Satz 7.2 (Konstruktion beliebiger ETS-Skalen) Zu jedem  ‫ א‬Գ gibt es genau eine gleichstufige Skala ୬ mit  Stufen. Das heißt ଵൗ ୬,

 ൌ ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ ୬ ْ ୬ ْ ǥ ْ ୬ und ȁ ୬ ȁ ൌ ʹ ୬ି୫ୟ୪

ଵ

also ȁ ୬ ȁ ൌ ୬ ͳʹͲͲ…–.

୬ ist Stufenintervall von ୬ und die ETS-Skala ୬ hat die Modelle: ୬ ൌ ሼ– ଴ ǡ ǥ ǡ – ୬ ሽ mit

ଵ – ୩ାଵ ൗ– ൌ ʹ ൗ୬ ୩ ୩

୬ ൌ ሼͲതǡ ͳതǡ ǥ ǡ തሽ mit ത ൌ ୬ ͳʹͲͲ…–

(Frequenzmodell) (Centmodell)

Beweis: Definiert man zu  das Stufenintervall ୬ als das Intervall der Centzahl ͳʹͲͲൗ, so wird mit ୬ die Skala ୬ gewonnen, und umgekehrt folgt aus der Oktavbilanz  ൌ  ‫ כ‬୬ ଵ sofort die Centzahl ͳʹͲͲ für ୬ . ୬ Bemerkung: Die ETS-Skalen sind nun dankbare Objekte, um „strukturtheoretische Zusammenhänge“ zu entdecken und zu beschreiben. Es gibt nämlich einen engen Zusammenhang zwischen ୬ und Ժൗ ‫ כ‬Ժ ൌ ቄതቚത ൌ ሼ ൅ ŒȁŒǡ  ‫ א‬Ժሽቅ.

176

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Zwei Zahlen ‹ǡ Œ ‫ א‬Ժ heißen nämlich äquivalent, wenn ihre Differenz ‹ െ Œ ein Vielfaches von  ist – und dann ist die Menge aller „Äquivalenzklassen“ die Menge Ժൗ തതതതതതത ത ത ത  ‫ כ‬Ժ ൌ ሼͲǡ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ  െ ͳሽ, und der hier benutzte symbolische Querstrich über den Zahlen hat im Grunde die gleiche Bedeutung wie in ୬: Addition von Œ ‫  כ‬bedeutet Erhöhung bzw. Erniedrigung um Œ Oktaven. Wir geben nun eine Charakterisierung der ETS-Skalen, die sie auszeichnet unter allen anderen Skalen. Bezeichnung: Sei  ൌ ሼ– ଴ ǡ ǥ ǡ – ୬ ሽ

bzw.

ሼš଴ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ š୬ ൌ ͳʹͲͲሽ,

eine -stufige Skala (nicht notwendigerweise gleichstufig, sondern beliebig mit wachsender Tonfolge zwischen der Tonika – ଴ und ihrer Oktave – ୬ ). Dann ist ein internes Skalen-Intervall jedes Intervall, welches durch ein Paar leitereigener Töne gebildet wird: ୩ǡ୨ ൌ ൣ– ୩ ǡ – ୨ ൧

mit  ൑ Œǡ Ͳ ൑ ǡ Œ ൑ ǡ

wobei wir von verschiedenen Intervallen sprechen, wenn die Maße differieren: – – ୩୨ ് ୪୧ ֞ ȁ ୩୨ ȁ ൌ ୨ൗ– ് ȁ ୪୧ ȁ ൌ ୧ൗ–  ୩ ୪ Wie viele verschiedene Intervalle haben nun ETS-Skalen? Theorem 7.1 (Minimaleigenschaft der ETS-Skalen) (1) Jede -stufige Skala  hat (inklusive Prim und Oktave) mindestens ሺ ൅ ͳሻ verschiedene Intervalle. (2) Für eine -stufige Skala  ist gleichwertig: a)  ൌ ୬ b)  hat genau ሺ ൅ ͳሻ verschieden große Intervalle. Folgerung: Unter allen Skalen sind die gleichstufigen genau diejenigen, die die Minimalanzahl leitereigener (verschiedener) Intervalle besitzen. Beweis: Zu (1): Die Intervalle ሾ– ଴ ǡ – ୩ ሿ mit Ͳ ൑  ൑  sind alle verschieden.

7.3 Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen

177

Zu (2): Zunächst a) ֜ b): Da die normierten Centwerte von ୬ eine arithmetische Folge bilden, die mit n multipliziert die Folge 0, 1 … n-1, (n) bildet und somit eindeutig mit der Folge Ͳതǡ ͳതǡ ǥ ǡ ሺതሻ  korreliert, hat ein Intervall ൣ– ୩ ǡ – ୨ ൧ die gleiche Größe wie ൣ– ଴ ǡ – ୨ି୩ ൧, denn หൣ– ୩ ǡ – ୨ ൧ห ൌ

୨ି୩ ୬

ͳʹͲͲ…– ൌ หൣ– ଴ ǡ – ୨ି୩ ൧ห.

Daher gibt es nur die ሺ ൅ ͳሻ Intervalle ሾ– ଴ ǡ – ୩ ሿ, Ͳ ൑  ൑ . a) ֜ b): In der Tonfolge ሼ– ଴ ǡ –ଵ ǡ – ଶ ǡ ǥ ǡ – ୬ ሽ betrachten wir das Intervall ሾ–ଵ ǡ – ଶ ሿ. Es ist kleiner als alle Intervalle ሾ– ଴ ǡ – ୩ ሿ mit  ൒ ʹ. Wäre es nun von ሾ– ଴ ǡ –ଵ ሿ verschieden, so hätten wir ሺ ൅ ʹሻ Intervalle entgegen der Voraussetzung. Mit analoger Argumentation findet man, dass alle Nachbarstufen ሾ– ୩ ǡ – ୩ାଵ ሿ gleich große Intervalle sein müssen. Also ist  gleichstufig. ‫ז‬ Bemerkung: Die Tatsache, dass in ୬ die Töne im Centmaß als arithmetische Folge verteilt sind – ଵ sich also vom Vielfachen des Stufenwertes ୬ ͳʹͲͲ unterscheiden – gibt Anlass, sogenannte Transponier-Operatoren ɒ୩ ǣ ୬ ՜ ୬ (Shift-Operatoren) einzuführen: Für Ͳ ൑  ൏ 

sei

ɒ୩ ሺšതሻ ൌ തതതതതതത š ൅ .

Anschaulich bedeutet ɒ୩ , dass ein Ton, auf welchen ɒ୩ angewendet wird, um  Positionen in der Skala ୬ höher geschoben wird. Geht das über die Oktave hinaus, so reoktaviert man (springt also eine Oktave zurück). Beispiel 7.2 തതതതሽ ist dann in musikalischer Bezeichnung unsere vertraute  ൌ ͳʹ, ሼͲതǡ ͳതǡ ǥ ǡ ͳʹ chromatische Gleichstufenskala ሼ…ǡ …‹•ǡ ǥ ǡ Šǡ …Ԣሽ. Für bspw.  ൌ Ͷ ist dann: ɒସ ሺͳതሻ ൌ ͷത

also …‹• ՜ ˆ

തത ൌ ͳത ɒସ ሺͻതሻ ൌ തത ͳ͵

also ƒ ՜ …‹•

Ist nun  ‫ ؿ‬ଵଶ eine heptatonische Dur-Tonleiter – zum Beispiel Cis-Dur, so ist ɒସ ሺሻ die Leiter F-Dur.

178

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Der Operator ɒ୩ transponiert also eine gegebene Tonleiter  (als eine in ୬ gegebene Teiltonmenge mit sagen wir -Tönen) in die Tonleiter ɒ୩ ሺሻ und die Intervallabfolgen in  und ɒ୩ ሺሻ sind gleich. Das Spiel mit diesen Shift-Operatoren findet seine Erfüllung in folgendem Satz, der uns ein wenig in die Kombinatorik führt: Satz 7.3 (Theorem von Babbitt) Es sei  eine beliebige Teilmenge von ୬ und der Parameter  sei gegeben, Ͳ ൑  ൏ ݊. Dann ist die Anzahl ሺሻ der Intervalle in  der „Länge “ (d. h. vom Centmaß ୩ ͳʹͲͲ) genauso groß wie die Anzahl der gemeinsamen Töne von  und ihrer

୬

Transponierten ɒ୩ ሺሻ. In Formeln (das Symbol ͓ bedeutet die Anzahl der Elemente von …): ͓ሼ ‫ ת‬ɒ୩ ሺሻሽ ൌ  ֞ Es gibt genau  Intervalle in  mit Maß  und die Menge aller Endpunkte dieser Intervalle ist die Schnittmenge  ‫ ת‬ɒ୩ ሺሻ. Beweis: (vgl [5, p 152 ff] Sei  ൌ  ‫ ת‬ɒ୩ ሺሻǤ Ist nun – ୧ ‫ א‬, so ist einerseits – ୧ ‫  א‬und – ୧ ‫ א‬ɒ୩ ሺሻ. Letzteres bedeutet, dass es ein – ୨ ‫  א‬gibt mit ɒ୩ ൫– ୨ ൯ ൌ – ୨ା୩ ൌ – ୧ , das heißt, dass Œ ൌ ‹ െ  ist (falls ‹ െ  ൒ Ͳ ist, sonst ist Œ ൌ  ൅ ሺ‹ െ ሻሻ. Deshalb sind also mit – ୧ ‫  א‬auch – ୧ି୩ ‫  א‬und ሾ– ୧ି୩ ǡ – ୧ ሿ ist per definitionem ein Intervall der Länge  (bzw.  െ , komplementär). Und ist umgekehrt ein Intervall ൣ– ୨ ǡ – ୨ା୩ ൧ in , so ist – ୨ା୩ ‫  א‬und – ୨ା୩ ൌ ɒ୩ ൫– ୨ ൯ ‫ א‬ɒ୩ ሺሻ, weil auch – ୨ ‫  א‬ist. ‫ז‬ Wozu ist das gut? Gegeben sei einmal folgende Frage: Wie viel Töne haben a) c-moll und e-moll (natürliches Moll) gemeinsam? b) C-Dur und D-Dur? Antwort: Man kann zählen oder Babbitts Theorem bemühen (wer es mag). (Das Zeichen ͓ soll die Anzahl der Elemente der entsprechenden Menge M angeben):

7.3 Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen

179

Zu a) Shift ist  ൌ ͷ ሺ… հ ‡ሻ,  ൌ c-moll-Skala und ɒହ ሺሻ ൌ e-moll-Skala. Dann ist ͓ሼ ‫ ת‬ɒ୩ ሺሻሽ ൌ Anzahl der Intervalle in c-moll der „Länge 5“ – also große Terzen. Das sind 3 ሺ‡• െ ‰ǡ ƒ• െ … ᇱ ǡ „ െ †Ԣሻ. Gemeinsame Töne sind die Endpunkte dieser Intervalle: ‰ǡ … und† Zu b) Shift ist  ൌ ʹ ሺ… ՜ †ሻ,  ൌ C-Dur-Skala und ɒଶ ሺሻ ൌ D-Dur. Dann ist ͓ሼ ‫ ת‬ɒଶ ሺሻሽ ൌ Anzahl großer Sekunden in C-Dur, das sind 5, Endtöne ൌ ሼ†ǡ ‡ǡ ‰ǡ ƒǡ Šሽ ൌ C-Dur ‫ ת‬D-Dur. Eine andere kombinatorische Spielwiese eröffnet die Frage, mit wie viel Tönen man auskommt, so dass alle Intervalle in ୬ schon in einer gegebenen Teilmenge gefunden werden. Hierzu dient die Definition 7.2 Eine Teilmenge  ‫ ؿ‬୬ heißt Intervallbasis von ୬ ֞ Jedes der  െ ͳ Intervalle (ohne Prim und Oktave) kommt genau 1 Mal in  vor. In Formeln: Ist etwa  ൌ ሼ›ଵ ǡ ǥ ǡ ›୩ ȁ›୧ ‫ א‬୬ ሽ, so muss mengentheoretische Gleichheit herrschen ൛ൣ›୧ ǡ ›୨ ൧ห‹ ് Œൟ ൌ ሼሾ– ୪ ǡ – ୫ ሿȁŽ ് ሽ, und zum Intervall ሾ– ୪ ǡ – ୫ ሿ gibt es genau ein Intervall in , welches gleich groß ist. Da alle Intervalle in ୬ in der Aufzählung ሼሾ– ଴ ǡ –ଵ ሿǡ ǥ ǡ ሾ– ଴ ǡ – ୬ିଵ ሿሽ enthalten sind (wenn Prim und Oktave ausgenommen sind), so sehen wir: Eine Teilmenge  ൌ ሼ›ଵ ǡ ǥ ǡ ›୩ ሽ ‫ ؿ‬୬ ist Intervallbasis von ୬ , wenn jedes Intervall ൣ– ଴ ǡ – ୨ ൧ maßgleich als ሾ›୧ ǡ ›୫ ሿ geschrieben werden kann, wobei es in  nur 1 Intervall eines gegebenen Maßes gibt. തതതതതതത Anders formuliert heißt das, dass ሼȁ›୧ ǡ ›୫ ȁ‘”‹‡”–‡‡–ƒé‡ሽ ൌ ሼͳതǡ ǥ ǡ  െ ͳሽ. Kluge Leute haben nun herausgefunden, wie viele Töne ሺሻ eine solche Intervallbasis genau hat, und folgender Satz gibt Auskunft: Satz 7.4 (Über die Intervallbasis der ETS-Skalen) Erfüllen  und  die Gleichung ሺ െ ͳሻ ൅ ͳ ൌ , so existiert in ୬ eine Intervallbasis , welche dann auch  Töne aus ୬ hat. Kann umgekehrt ሺ െ ͳሻ nicht als Produkt der Formሺ െ ͳሻ aufeinander folgender Zahlen geschrieben werden, so gibt es keine Intervallbasis von ୬ .

180

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Beweis: Ist  ൌ ሼ›ଵ ǡ ǥ ǡ ›୩ ȁ›୧ ‫ א‬୬ሽ, so ist die Menge aller Möglichkeiten ൣ›୧ ǡ ›୨ ൧, ͳ ൑ ‹ ൑ , ͳ ൑ Œ ൑  und ‹ ് Œ genau  ‫ כ‬ሺ െ ͳሻ. Andererseits gibt es in ୬ ja ሺ െ ͳሻ Intervalle (് Prim, ് Oktave). Also müssen beide Anzahlen übereinstimmen. Die Umkehrung ist im Wesentlichen die logische Umkehrung hierzu. Beispiel 7.3  ൌ ͹: Dann ist ͵ ‫ כ‬ሺ͵ െ ͳሻ ൌ ͹ െ ͳ; dann muss es also eine Intervallbasis  mit 3 Tönen geben – tut es auch.  ൌ ሼͲതǡ ͳതǡ ͵തሽ leistet das Gewünschte ȁሾͲതǡ ͳതሿȁ ൌ ȁሾͲതǡ ͳതሿȁ

֜

ȁሾͲതǡ ʹതሿȁ ൌ ȁሾͳതǡ ͵തሿȁ ȁሾͲതǡ ͵തሿȁ ൌ ȁሾͲതǡ ͵തሿȁ ȁሾͲതǡ Ͷതሿȁ ൌ ȁሾ͵തǡ Ͳതሿȁ หൣͲതǡ ͷത൧ห ൌ ȁሾ͵തǡ ͳതሿȁ ȁሾͲതǡ ͸തሿȁ ൌ ȁሾͳതǡ Ͳതሿȁ Alle 6 paarweise verschiedenen Intervallbildungen im ͹ୣ୰ ETS erhält man also schon realisiert durch die 3 Töne Ͳത, ͳത und ͵ത, die damit eine Intervallbasis  darstellen (denn innerhalb  gibt es auch keine Doppelungen gleicher Intervalle). Weitere Beispiele findet man in [5, p 153 f.] Dort wird auch darauf hingewiesen, dass solche Intervallbasen (auch Differenzmengen genannt) in modernen Kompositionen als Bausteine erscheinen (können). Und als Beispiel dient:

՜Töne: Cis – Dis – Fis – G ‫ͳ ؠ‬തǡ ͵തǡ ͸തǡ ͹ത in E12 Bild 7.3: Notenbeispiel: Bartòk, 4. Streichquartett

Hierbei muss man allerdings bemerken: ̶

 ൌ ሼͳതǡ ͵തǡ ͸തǡ ͹തሽ ist Intervallbasis in ଵଷ – einem völlig anders gestimmten 13ଵଶ Stufensystem (mit den 13 Halbtonstufen zu je ͳͲͲ ‫ כ‬ଵଷ ൌ ͻʹǡ͵…–).

7.4 Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung

181

ଵଶ hat keine Intervallbasis, denn ͳʹ െ ͳ ൌ ͳͳ ist Primzahl. ̶

Allerdings ist  „fast“ Basis in ଵଶ : Alle Intervalle ͳͲͲ…–ǡ ǥ ǡ ͳͳͲͲ…– lassen sich mit  angeben, auch alle eindeutig bis auf den Tritonus ͸ͲͲ…–: ሾͳതǡ ͹തሿ und ȁሾ͹തǡ ͳതሿȁ haben die gleiche Centzahl ͸ͲͲ. ̶

Bemerkung: Die vorstehenden Überlegungen führen zu diversen kombinatorisch-abstrakten Fragestellungen in ETS-Skalen mit oft skurrilen Stufenzahlen . Nichtsdestoweniger ist auch dieser Gegenstand eine weitere Komponente im Zusammenspiel Mathematik und Musik.

7.4 Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale GitarrenStimmung Möchten wir die Bünde einer Gitarre gleichstufig einrichten, so müssen wir – da Frequenzen und Seitenlänge umgekehrt proportional zueinander sind – den Halbtonstufenparameter భమ

“ ൌ ξʹ in Form einer geometrischen Folge folgendermaßen einbinden: Aufgabe: Eine gegebene Saite (der Länge Ž ൌ Ž଴ ) soll so eingeteilt werden, dass die Frequenzfaktoren benachbarter Töne stets “ betragen. Skizze: d1

d2

d3

0 l0

l1

l2

d12 l3

l12 = l/2

1

Bild 7.4: Zum Saitenteilungsmodell der Gitarre

Soll der Ton der Länge Žଵ um den Frequenzfaktor “ höher sein als die freie Saite Ž଴ , so muss nach der Monochordformel (Kapitel 1.1) gelten: ଵ

Ž଴ ‫Ž ׷‬ଵ ൌ “ ‫ ͳ ׷‬also Žଵ ൌ Ž଴ ‫ כ‬. ୯

182

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Genauso muss dann ଵ

ଵ

Žଵ ‫Ž ׷‬ଶ ൌ “ ‫ ͳ ׷‬also Žଶ ൌ Žଵ ‫ כ‬୯ ൌ Ž଴ ‫ כ‬୯మ  sein und daraus folgt induktiv Ž୩ ൌ Ž ଴ ‫כ‬

ͳ Ǥ “୩

Setzt man Žଵଶ ൌ ଴ ൌ Ž଴ Τʹ, so ist umgekehrt mit ୩ ൌ Žଵଶି୩ die Beziehung ୩ ൌ ଴ ‫כ‬ “୩ gezeigt, welche also die Saitenlängen beschreibt. Die Längen nehmen also exponentiell ab. Wollen wir noch die Bunddistanzfolge †୩ studieren, so finden wir schließlich die Gleichungen ͳ ͳ †ଵ ൌ Ž଴ െ Žଵ ൌ Ž଴ ൬ͳ െ ൰ ൌ Ž଴ ሺ“ െ ͳሻ ‫ כ‬ǡ “ “ ͳ ͳ †ଶ ൌ Žଵ െ Žଶ ൌ Žଵ ൬ͳ െ ൰ ൌ Ž଴ ሺ“ െ ͳሻ ‫ כ‬ଶ “ “ und †୩ାଵ ൌ

†୩ൗ “

ଵ

sowie †୩ ൌ Ž଴ ሺ“ െ ͳሻ ‫ כ‬୯ౡ Ǥ

So kann man auch – wenn der Ausdruck Ž଴ ሺ“ െ ͳሻ ൌ †଴  gesetzt wird – die ebenfalls exponentiell verlaufende – jedoch abnehmende - Bundfolge mit ͳ ͳ ͳ †଴ ൬ ǡ ଶ ǡ ǥ ǡ ଵଶ ൰ “ “ “ beschreiben. Fazit: Mit einem Taschenrechner bewaffnet kann nun die Einteilung eines Gitarrensteges in die gleichstufige Chromatik zumindest rechnerisch angegangen werden. Nun war in früheren Zeiten handwerklich orientierten Gitarrenbauern vieles bekannt – భమ Iterationsfolgen mit ξʹ-Faktoren dürften jedoch eher wenigen Eingeweihten vertraut gewesen sein. Gleichwohl lieferten Tradition, Erfahrung und das „richtige Händchen“ brauchbare Ergebnisse, wobei insbesondere geometrische Konstruktionen angestrebt waren, Stichwort Planzeichnungen. Es war ein „einfacher schwedischer Handwerker“, Daniel Strähle, der eine überraschend einfache Methode beschrieb, wie das Gitarrenbundproblem zu lösen sei. Das war im Jahre 1743.

7.4 Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung

183

Bedauerlicherweise wurde ausgerechnet von einem Mathematiker Faggot (1776) die Konstruktion von Strähle verworfen – angeblich, weil der Fehler dieser Methode zu groß sei (17 %, musikalisch unakzeptabel). Nur: Der Fehler lag bei Faggot; eine simple Winkeladdition geriet ihm zum Fiasko. Allerdings blieb dies bis Mitte des 20. Jahrhunderts unbemerkt – weshalb auch die Strähle-Methode niemanden interessierte. Erst im Jahre 1957 entdeckte James Murray Barbour das Strähle-Verfahren und konnte zeigen, dass seine Methode ebenso genial wie auch äußerst genau (wenn auch geometrisch genähert) den exponentiell verlaufenden Gitarrenbundprozess beschrieb. Die Konstruktion von Daniel Strähle 1. Errichte über eine gegebene Grundseite ǡ ǡ Länge  ein gleichschenkliges Dreieck  mit ȁȁ ൌ ȁȁ ൌ ʹ. 2. Teile die Grundseite in 12 gleiche Teile. ୐

3. Markiere den 7. Teilpunkt von  aus und zeichne einen Kreis um  mit Radius . ଻ 4. Es entsteht der Schnittpunkt  auf der Seite . 5. Verbinde  und  und verlängere über  bis zum Punkt  mit ȁȁ ൌ ʹȁȁ. 6. Ziehe dann von dem Schenkelschnitt  alle ͳͳ Verbindungen zu den ͳͳ Teilpunkten von . 7. Diese Linien schneiden die Strecke, und dann ist die komplette Strecke  gleichstufig geteilt. C

M

Bünde

S

7/12 L

A

7

B

Bild 7.5: Zur Konstruktion von Daniel Strähle

Bemerkung: Eine trigonometrisch untermauerte „genaue“ Berechnung der Teilungspunkte der Linie  ist gar nicht einfach, und auch die Frage, wieso Strähle den 7. Basispunkt zum Konstruieren nahm, bleibt zunächst einmal im Dunkeln.

184

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Wenn wir – in aller gebotenen Kürze – dennoch umreißen, wie sich Strähles Konstruktion rechtfertigen lässt, so geschieht das so: Wir zeichnen noch einmal die Temperierungsfunktion ein, wozu wir die auf Normierung ଴ ൌ ͳ gebrachte Saitenlängenfunktion nutzen ›ୣ ൌ ʹ୶ ሺͲ ൑ š ൑ ͳሻ. y

ye = 2x

2

2 k/12 1

k/12

x

1

Bild 7.6: Graph der normierten Saitenlängenfunktion

Nun kann man zeigen, dass die verschachtelte Projektion (Schnitt zweier Strahlenpaare) bei passender Koordinatenanpassung einer Gleichung der Form ୟ୶ାୠ

› ൌ ୡ୶ାୢ ᇣᇧᇤᇧᇥ

ƒ ൌ ͳͲǡ „ ൌ † ൌ ʹͶ—†… ൌ െ͹ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ୗ୲୰¡୦୪ୣି୔ୟ୰ୟ୫ୣ୲ୣ୰

୥ୣୠ୰୭ୡ୦ୣ୬୪୧୬ୣୟ୰ୣ୊୳୬୩୲୧୭୬ ୗ୲୰¡୦୪ୣ୤୳୬୩୲୧୭୬

genügt. Die „Strähleparameter folgen aus der Anpassungsbedingung, zunächst einmal so, dass das Strählemodell wie unser ʹ୶ -Modell im Variablen Quadrat Ͳ ൑ š ൑ ͳ und ͳ ൑ › ൑ ʹ angeordnet ist. (Nehme die Grundlinie  (Länge 1!) als š-Bereich und die Linie  (mit  im Nullpunkt) in den ›-Bereich mit Stauchung auf Länge 2.) Strähle-Funktion 10x+ 24 ys = -7x + 24

2

Bundfolge 1

k-ter Teilpunkt 1

1/12 - Teilung Bild 7.7: Strähle-Funktion

7.4 Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung

185

Es braucht schon etwas höherer Mathematik, um dann Folgendes zu beweisen: Von allen Funktionen › der Form ୟ୶ାୠ

› ൌ ୡ୶ାୢ

mit rationalen (ganzen) Koeffizienten a, b, c, d

mit der Nebenbedingung

›ሺͲሻ ൌ ͳ

(also „ ൌ †)

und der Nebenbedingung

›ሺͳሻ ൌ ʹ

(also ƒ ൌ ʹ… ൅ „),

was also bedeutet, dass wir nur noch haben ›ൌ ͳ൅

ሺୡାୠሻ‫୶כ‬ ୡ୶ାୠ

(…ǡ „ ganz),

ist genau diejenige mit … ൌ െ͹ und „ ൌ ʹͶ die Funktion, welche im Intervall ሾͲǡ ͳሿ die Exponentialfunktion › ൌ ʹ୶  an den Punkten š ൌ ൗͳʹ, Ͳ ൑  ൑  am genauesten beschreibt (interpoliert). ଵ଴୶ାଶସ

Und das ist die Strähle-Funktion › ൌ ି଻୶ାଶସ. Die nachfolgende Rechnung deutet jedenfalls an, wie mit „einfachem“ Kalkül die Koeffizientenbestimmung erklärbar ist. Sei ›ୗ ൌ

ୟ୶ାୠ ୡ୶ାୢ

.

Dann folgt aus ›ୗ ሺͲሻ ൌ ͳ und ›ୗ ሺͳሻ ൌ ʹ„ ൌ † und ƒ ൌ ʹ… ൅ †. Dann fordert man noch, dass im Punkt ሺͲǡ ͳሻ der Graph von ›ୗ gleiche Steigung wie ›ୣ haben muss. Es ist nun: ›ୗᇱ ሺͲሻ ൌ Ž ʹ ؆ Ͳǡ͸ͻ͵ ؆ Ͳǡ͹ (mit nur etwa 1%igem Fehler) Und hieraus ergibt sich noch …Τƒ ൌ െ͹ൗͳͲ, was – zusammen mit ganzzahliger Darstellung – auf die angegebene Form führt (von der wir beobachten, dass sie nicht eindeutig wäre: Man kann ja alle Parameter ƒǡ „ǡ …ǡ † mit einer Konstante ɉ multiplizieren, ohne dass sich ›ୗ ändert). (Weitere Details in [1].) Durch dieses Resultat wird – im Nachhinein – die Strählemethode jedenfalls voll rehabilitiert.

186

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Schließlich zeigt auch dieses Beispiel, in welch enger Verzahnung die Problematik der Temperierungen mit mathematischen Rechnungen, Konstruktionen aus Algebra, Funktionslehre und Geometrie stand. Dabei ist stets zu bedenken, dass zu jenen Zeiten alle Begrifflichkeiten, die und deren Benutzung wir heute als selbstverständlich ansehen, nur sehr spärlich entwickelt waren. Das gilt insbesondere für beinahe das gesamte Spektrum unserer heutigen „Differentialrechnung“, mit deren Hilfe man ja bekanntlich äußerst effizient auf die Suche nach „optimalen“ Lösungen eines Problems gehen kann und in der Regel auch geht.

7.5 Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie Die Geschichte der gleichstufigen 12-Ton-Skala ist gefüllt mit den vielfältigsten Versuଵ ଻ chen, die Zahlenreihe “୩ , “ ൌ ʹ ൗଵଶ oder “ ൌ ʹ ൗଵଶ (gleichstufig temperierte Quinte), welche man ja für die konkreten Frequenzverhältnisse benötigt, zu bestimmen. In Kapitel 7.4 haben wir eine geometrische Näherungsmethode von Daniel Strähle gesehen. Völlig anders – aber nicht minder überraschend – zeigt sich eine Methode, die der sächsische Musiktheoretiker Christoph Gottlieb Schröter (18. Jahrhundert) erfand. Gleichstufigkeitsalgorithmus von Christoph Gottlieb Schröter (1750) Der Algorithmus funktioniert so: 1. Beginne mit der 12er-Reihe 1

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3 ሺσ ൌ ʹ͹ሻ.

2. Starte mit der Vorsumme (27) und bilde die Folgezahlen, indem die darüberstehende Zahl dazu addiert wird, 1

2

27 ՜ 28

2

2

2

2

2

2

3

3

3

30

32

34

36

38

40

42

45

48

51

ሺσ ൌ Ͷͷͳሻ. 3. Starte die 3. Reihe mit der neuen Vorsumme 451 und addiere wieder die darüberstehenden Zahlen der 2. Reihe für das nächste Reihenglied, es entsteht 451 851 . . . usw.

478 902

506

536

568

602

638

676

716

758

803

7.5 Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie 187

Beobachtungen: Teilt man die Reihe ʹ durch ʹ͹ሺൌ σ ‡‹Š‡ͳሻ, dann entsteht die 12er-Kette ʹ͹ ǡ ʹ͹

ʹͺ ǡ ʹ͹

ͳͲ ǡ ͻ

͵ʹ ǡ ʹ͹

͵Ͷ ǡ ʹ͹

ǥǡ

ͳ͹ ǡ ͻ

ሺʹሻǤ

Das ist übrigens überraschenderweise eine der Skalen von Zarlino aus dem Eulergitter. Teile Reihe ͵ durch Ͷͷͳሺൌ σ ‡‹Š‡ʹሻ. Dann entsteht eine Skala, die nur noch äußerst geringfügig von ଵଶ abweicht: Tabelle 7.1: Cent-Tabelle des 2. Iterationstableaus des Algorithmus von Schröter

100,66 199,21 298,92 399,32 499,96 600,51 700,67 800,20 898,88 998,72 1099,24

Das heißt: Bereits der 2. Schritt im Algorithmus liefert eine Folge von 12 Frequenzfaktoren, die die Verhältnisse zur Tonika benennen, und die im praktischen Sinn nur unbedeutend von der Gleichstufigkeit abweichen. Die Abweichungen betragen beinahe bei allen Stufen weniger als nur 1 Cent! Zauberei oder Zufall? Wir machen den Versuch mit einem anderen „Startvektor“. 1

1

1

1

12

13

14

15

1

1

1

1

1

1

210 222 235 249

1

1

(∑=12)

Start – Tableau

23 (∑=210)

1. Iterationstableau

397

2. Iterationstableau

Teilt man Reihe ሺ͵ሻ durch ʹͳͲ, so weichen diese Frequenzfaktoren auch nur „wenig“ von ଵଶ ab; die Folge der Abweichungen ist nämlich die Zahlfolge Ͳǡ െ͵ǡ ͺǡ െͷǡ ʹǡ െͷǡ ͳǡ ǥ ǡʹǡ ͷǡ Ͳ (in ct).

188

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Und auch weitere Versuche lassen vermuten: Ganz gleich, wo man beginnt – man landet immer näher an den glatten ͳͲͲୣ୰ -Centwerten – also der Gleichstufigkeit. Wie kommt das? Nun, mit moderner Mathematik können wir eine Erklärung und einen Beweis finden. Wir folgen dabei einer Darstellung aus [1, p. 60 ff]. Leider können wir hierbei nicht darauf verzichten, eine gewisse Vertrautheit mit der Linearen Algebra und ihren Anwendungen für das erste einmal vorauszusetzen. Man bildet die ͳʹ ൈ ͳʹ-Matrix – als eine quadratische Matrix mit 12 Zeilen und Spalten – mit folgenden Eintragungen: ͳ ʹ ‫ۇ‬ ʹ ൌ‫ۈ‬ ‫ڭۈ‬ ‫ڭ‬ ‫ʹۉ‬

ͳ ͳ ʹ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ʹ

ͳ

‫ڮ‬

‫ڰ‬ ‫ڰ‬ ‫ڮ‬

‫ڮ‬

ͳ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڰ‬ ʹ

ͳ ‫ڭ‬ ‫ۊ‬ ‫ڭ‬ ‫ۋ‬ ‫ۋڭ‬ ‫ڭ‬ ͳ‫ی‬

Dann weisen wir die vorstehenden Iterationen nach ሺͳǡ

ʹǡ

ʹǡ ʹǡ ʹǡ ʹǡ ʹǡ

ʹǡ

͵ǡ

͵ǡ

͵ǡ ͵ሻ ൌ ሺʹ͹ǡ ʹͺǡ

͵Ͳǡ

‫ ڮ‬ǡ ͷͳሻ,

also ሺ—ଵ ሻ ൌ —ଶ , wobei —ଵ ein Startvektor ‫ א‬Թଵଶ ist, und das Ergebnis der Matrixanwendung auf —ଵ ist die Folgereihe. So hat also der Algorithmus die Form —ଵ ‫ א‬Թଵଶ

Start ՜ —ଶ ൌ ሺ—ଵ ሻ, ՜ —ଷ ൌ ሺ—ଶ ሻ.

Der Algorithmus besteht in der Iterationsfolge —୩ାଵ ൌ ሺ—୩ ሻ. Ebenso kann gezeigt werden, dass die Vektorkomponenten von —୩ାଵ stets in einem „Oktav-Intervall liegen“. ଵଶ ଵ —୩ାଵ ൌ ൫—ଵ୩ାଵ ǡ ǥ ǡ —ଵଶ ୩ାଵ ൯ und —୩ାଵ ൑ ʹ—୩ାଵ 

und dazwischen verlaufen die Komponenten monoton wachsend. Zu fragen ist nach der Existenz des Grenzwertes Ž‹୩՜ஶ

୳ౡ ౣ ୳ౡ భ

für jede Komponente .

Dazu muss nun ein dickes Geschütz aufgefahren werden und wir kommen in tiefere Bereiche der Eigenwerttheorie von Matrizen und Operatoren, einem Zentralbereich der „Funktionalanalysis: Demnach muss man zunächst einmal die Eigenwerte des Operators T mittels seines „Charakteristischen Polynoms“ berechnen: Das charakteristische Polynom ’ሺɉሻ von  lautet in unserem Fall nun: ’ሺɉሻ ൌ †‡–ሺ െ ɉ †ሻ ൌ ሺͳ ൅ ɉሻଵଶ െ ʹɉଵଶ .

7.5 Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie 189

భమ

Lösungen der Gleichung ’ሺɉሻ ൌ Ͳ sind – mit der Abkürzung “ ൌ ξʹ (!) – die 12 Zahlen: ɉ଴ ൌ ͳൗሺ“ െ ͳሻ ɉ୨ ൌ ͳ൘ ൫“ ‫ כ‬ɂ୨ െ ͳ൯

୨

ൗଵଶ ɂᇣᇧ ‡ଶ஠୧ᇧᇧᇥ ୨ ൌ ᇧᇧᇤᇧ

mit

ሺŒ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ͳͳሻ



ଵଶ୲ୣ୬୉୧୬୦ୣ୧୲ୱ୵୳୰୸ୣ୪୬ ୧୫୩୭୫୮୪ୣ୶ୣ୬୏୰ୣ୧ୱୣୗభ

Die ɂ୨ sind die sogenannten 12. Einheitswurzeln im komplexen Kreis ଵ ଵ ൌ ሼœ ൌ š ൅ ‹›ȁš ଶ ൅ › ଶ ൌ ͳሽ. Nun gilt tatsächlich, dass der Vektor ‡଴ ൌ ሺͳǡ “ǡ “ଶ ǡ ǥ ǡ “ଵଵ ሻ Eigenvektor zum (größten) Eigenwert ɉ଴ ist, also ሺ‡଴ ሻ ൌ ɉ଴ ‡଴ . Indem man für beliebige (Start-)Vektoren —ଵ die Basisdarstellung mittels der Eigenvektoren ‡଴ ǡ ‡ଵ ǡ ǥ ǡ ‡ଵଵ zu den Eigenwerten ɉ଴ ǡ ɉଵ ǡ ǥ ǡ ɉଵଵ nutzt, —ଵ ൌ σଵଵ ୩ୀ଴ …୩ ‡୩

(mit gewissen Koeffizienten …଴ ǡ ǥ ǡ …ଵଵ ),

und mittels der Tatsache, dass, wenn ɉ Eigenwert zu  ist, auch ɉ୫ Eigenwert zu  ୫ ist, gelangt man zu der Eigenwertbasis-Entwicklung derForm ஛

୩

౟  ୩ ሺ—ଵ ሻ ൌ —୩ାଵ ൌ ɉ୩଴ ൤…଴ ‡଴ ൅ σଵଵ ୧ୀଵ …୧ ቀ஛ ቁ ‡୧ ൨. బ

Nun ist tatsächlich der Quotient ȁɉ୧ Τɉ଴ ȁ ൏ ͳ, deshalb gilt für Grenzwertbetrachtung, dass alle unter dem Summenzeichen stehenden Anteile gegen 0 streben, also ஛

୩

౟ ฬσଵଵ ୧ୀଵ …୧ ቀ ቁ ‡୧ ฬ ՜ Ͳ bei  ՜ λ.

஛బ

Und deshalb ergibt sich die Konvergenz ୘ౡ ሺ୳భ ሻ ୡబ ஛ౡ బ

՜ ‡଴ ൌ ሺͳǡ “ǡ ǥ ǡ “ଵଵ ሻ, ՜λ

so dass letztlich ein Vektor limitiert wird, der proportional zum Gleichstufenvektor ist.

190

7 ETS – Gleichstufige Temperierung

Schlussbemerkung: Wir haben es bei dieser knappen Beschreibung belassen, da ansonsten – um alles zu erklären – eine aufwändige Lineare Algebra plus Eigenwert-Numerik, komplexe Arithmetik eingeschlossen, darzulegen notwendig gewesen wäre. Dem mit diesen Dingen einigermaßen vertrauten Leser soll es jedenfalls ein Hinweis sein, wie der Schröter’sche Algorithmus beschrieben – und bewiesen werden kann.

Kapitel 8

Analytische Theorie der Iterationsskalen 8.1

Einleitung ........................................................................................................192

8.2

Modelle der Intervalliterationen ....................................................................193

8.3

Reoktavierte Tonfolgen...................................................................................198

8.4

Periodische und nichtperiodische Iterationen................................................203

8.5

Intervall-Kombinatorik der Tonspirale ............................................................208

8.6

Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel .....................................................213

8.7

Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy ..................................................220

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

192

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

8.1 Einleitung Intervalliterationen: Das ist also die Hauptmethode bei der Bildung von „Skalen“. Ein oder mehrere Grundintervalle werden immer wieder „adjungiert“ – im einfachsten und häufigsten Fall wird Quinte auf Quinte geschichtet und die entstehende Tonfolge unter passender Oktavierung („Reoktavierung“) in einen Referenz-Oktavraum gepackt: Wir erhalten eine „Skala“ von endlich oder unendlich vielen Tönen. Fast alle Quintenschichtungen – oder auch Quinteniterationen –, die uns begegnet waren, führen zu Skalen und – wenn die Iteration nicht abgebrochen wird (und durch eine Wolfsquinte nicht zum „geschlossenen“ Kreis gemacht wird) – zu Tonfolgen im Oktavraum, die offenbar irgendwann eine musikalische Realisierbarkeit verlassen. Dennoch ist es legitim zu erforschen, welche Gesetzmäßigkeiten es auch für den Fall entlegener Iterationsprozesse für solche Intervalliterationen gibt. Eines der Hauptwerkzeuge der Mathematik der Intervallgenerierungen ist die Eulersche Centfunktion. Hierbei handelt es sich um eine Funktion f, ˆǣሼ‡‰‡†‡” –‡”˜ƒŽŽ‡ሽ

՜

Einheitskreislinie ଵ der Komplexen Ebene

Sie ordnet jedem Intervall einen Punkt auf dieser Kreislinie vom Radius 1 zu: Vermehrt man das Intervall um eine Oktave, so läuft der Punkt eine komplette Kreisumdrehung weiter – der neue Punkt ist also geometrisch der alte geblieben. Sie vereinigt ̶

Centmaß-Kalkül der Intervalle, ̶

Winkel- bzw. Kreisgeometrie

und stellt ein hervorragendes mathematisches Instrument zur Beschreibung musikalischer Töne und Skalen dar. Ziel dieses Kapitels ist es nun, allgemeine Eigenschaften von einfachen oder mehrfachen (multiplen) Intervalliterationen herauszuarbeiten. Hierbei haben wir folgende Fragen in den Vordergrund gestellt: 1. Wann genau sind Intervalliterationen periodisch? 2. Welche Intervalle und wie viele gibt es bei periodischen Intervalliterationen? 3. Wie sieht die Tonverteilung bei nichtperiodischen Intervalliterationen aus? Wenngleich die eine oder andere dieser Fragen in einem der zurückliegenden Kapitel schon diskutiert wurde, so fasst dieses Kapitel jene als auch neue Resultate zusammen. Dabei streben wir einen größtmöglichen Allgemeinheitsgrad an um die Theorie der Iterationen in die abstrakten Diatonik und Chromatik generalisierend einzubetten.

8.2 Modelle der Intervalliterationen

193

8.2 Modelle der Intervalliterationen In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten begrifflichen Vorgänge, die uns bei den „Quintiterationen“ klassischer Skalenbildung begegneten, auf eine brauchbare mathematisch inspirierte Basis. Wir erwähnen nochmals die Definition 8.1 (Geometrische Folge) Für einen gegebenen Parameter “ ൐ Ͳ heißt ሺ“୬ ሻ୬‫א‬Ժ ‫ି“ ڮ ؠ‬ଶ ǡ “ିଵ ǡ ͳǡ “ǡ “ଶ ǡ “ଷ ‫ڮ‬ (zweiseitige) geometrische Folge. Sie besitzt die Grundeigenschaft: Für “ ൐ ͳ gilt “୬ ՜ λ und “ି୬ ՜ Ͳ bei  ՜ λ und für Ͳ ൏ ‫ ݍ‬൏ ͳ ist dies umgekehrt. Wir erinnern ebenso nochmal an die Definition 8.2 (Arithmetische Folge) Für zwei Parameter š଴ ‫ א‬Թ und † ‫ א‬Թ heißt ሺƒ୬ ሻ୬‫א‬Ժ ൌ ሺš଴ ൅ †ሻ୬‫א‬Ժ ‫š ڮ ؠ‬଴ െ ʹ†ǡ š଴ െ †ǡ š଴ ǡ š଴ ൅ †ǡ š଴ ൅ ʹ†ǡš଴ ൅ ͵† ‫ڮ‬ arithmetische Folge mit dem Zentrum š଴ ; in unseren Fällen ist das Zentrum š଴ meistens ൌ Ͳ, so dass wir es mit der (zweiseitigen) Folge ሺ†ሻ୬‫א‬Ժ ‫ ڮ ؠ‬െ ͵†ǡ െʹ†ǡ െ†ǡ Ͳǡ †ǡ ʹ†ǡ ͵† ‫ڮ‬ eines „Stufenparameters d“ zu tun haben. Wir haben in Kapitel 1.4 gesehen, dass die Centfunktion (der Logarithmus) Produkte in Summen umwandelt, weil ja die Funktionalgleichung für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis a lautet: Ž‘‰ ୟ ሺš ‫› כ‬ሻ ൌ Ž‘‰ ୟ ሺšሻ ൅ Ž‘‰ ୟ ሺ›ሻ Deswegen wandelt die Centfunktion …–ሺ ሻ ൌ …–ሺ“ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ aufgrund der sich aus dieser Funktionalgleichung ergebenden Regel …–ሺ“୬ ሻ ൌ  ‫–… כ‬ሺ“ሻ

ሺ ‫ א‬Ժሻ

geometrische Folgen in arithmetische Folgen (aber nicht umgekehrt).

194

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Die Centfunktion …–ሺ ሻ ൌ ͳʹͲͲ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ – wobei “ das Frequenzmaß von ist – besitzt den Vergrößerungsfaktor 1200, damit die Oktave ሺ“ ൌ ʹሻ das Centmaß 1200 hat. Für die theoretische Abhandlung ist eine Normierung auf 1 (bezeichnungstechnisch) eleganter; so gelangt man zur Definition 8.3 (Normierte Centfunktion) ȁ ȁଵ ؔ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ‫ؠ‬

ͳ ‫–… כ‬ሺ ሻ ͳʹͲͲ

heißt normierte Centfunktion. Sie ist also nichts anderes als die bekannte Logarithmusfunktion zur Basis 2, der Inversen der Eponentialfunktion ʹ୶ . Offenbar haben wir die Formel ȁ ‫‡˜ƒ– כ‬ȁଵ ൌ 

für  ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ ‫ڮ‬

Wir erinnern nochmal an die genaue Intervall-arithmetische Definition von  ‫  כ‬ൌ ᇣᇧ ْ ‫ْڮ‬  ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇥ

n Oktaven aufwärts für  ‫ א‬Գ

୬୫ୟ୪

ሺെሻ ‫  כ‬ൌٓ ᇣᇧ ٓ ‫ٓڮ‬  n Oktaven abwärts für  ‫ א‬Գ ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇥ ୬୫ୟ୪

Dabei ist Ͳ ‫  כ‬ൌ ”‹ Die normierte Centfunktion ȁ ȁଵ zählt also die Oktaven. Haben wir also ȁ ȁଵ ൌ ͵ǡͳͶ, so ist ൌ ͵ ْ mit einem kleinen Subintervall mit ȁ ȁଵ ൌ ͲǡͳͶ also …–ሺ ሻ ൌ ͳʹͲͲ ‫Ͳ כ‬ǡͳͶ ൌ ͳ͸ͺ…–, einem Intervall zwischen „Halb- und Ganzton“. Und für die pythagoräische Quinte  ୮ ൌ  ୰ ൌ ͹Ͳͳǡͻͷ ǥ …– haben wir das Maß ห୮ ห ൌ ͲǡͷͺͶͻ ǥ ଵ

ሺ…–ሻ.

Satz 8.1 (Frequenzmaß – normiertes Centmaß) (1)

ൌ ሾͳǡ “ሿ ֞ “ ൌ ʹ୶ und š ൌ ȁ ȁଵ ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ

(2)

ȁ ȁଵ rational ֞ es gibt ǡ  mit “୬ ൌ ʹ୫

Den Zusammenhang zwischen Logarithmus und normiertem Centmaß haben wir bereits in Kapitel 7.2 breiten Raum gegeben. Die zweite Aussage folgt direkt aus einer Umstellung der Gleichung (1) nach q wobei ȁ ȁଵ ൌ Ȁ rational gegeben ist.

8.2 Modelle der Intervalliterationen

195

Folgerung: Genau dann, wenn Centwert oder normierter Centwert eines Intervalls rational ist, gibt es eine Iteration, die zu einer Oktave führt, d. h., es gibt (im Falle eines positiven Centwerts) ǡ  ‫ א‬Գ mit  ൌ ᇣᇧ ْᇧᇤᇧ ‫ْڮ‬ ْ ‫ْڮ‬ . ᇧᇥ ൌ  ൌ  ᇣᇧ ᇧᇧᇤᇧ ᇧᇧᇥ ୬୫ୟ୪

୫୫ୟ୪

Bemerkung: Da die rationalen Zahlen Է in Թ „dicht“ verteilt sind, ist die Eigenschaft „schließender“ Iterationen eigentlich kein „Ausnahmefall“. So führt die Quinte  mit …–ሺሻ ൌ ͹Ͳͳ noch 1200 Adjunktionen zur 701 Oktave des Ausgangstons. Auch der Begriff der Intervall-Iteration wird noch einmal formuliert: Definition 8.4 (Einfache Iteration) Gegeben ist ein festes Intervall mit Frequenzmaß “ und entsprechenden Centmaßen …–ሺ ሻ bzw. …–ሺ ሻ. Eine Iteration ist die Folge der Töne, die – von einem festen Ausgangston (der Tonika, meist mit „c“ bezeichnet) – durch sukzessives beidseitiges Schichten (Adjungieren) des Intervalls entsteht. Wenngleich also die Tonfolge selbst gemeint ist, so gibt man doch eigentlich die Intervallfolge bzw. die Frequenzmaßfolge bzw. die Centmaßfolge an. Wir haben also 3 gleichwertige Formen: a) abstrakt: ሺ ‫ כ‬ሻ୬‫א‬Ժ b) Frequenzfaktorenfolge: ሺ“୬ ሻ୬‫א‬Ժ c) Centfolge ሺšሻ୬‫א‬Ժ mit ʹ୶ ൌ “ Natürlich verwendet man im Falle „weniger“ Schritte auch Ton-Namen, sofern möglich. Bei einer Quintfolge ሺሻ mit üblicher Tonika C als Ausgangspunkt entsteht die Abfolge der Töne ‫ڮ‬െ  െ െ  െ െ  െ  െ  െ  െ ‫ڮ‬ ሬԦ  Jedoch dienen diese Namen nur einer Orientierung. Denn sowohl für die pythagoräische (reine) Quinte ୮ als auch für die temperierte ୣ oder die mitteltönige  ୫ wie für viele weitere würde die vorstehende Tonnamenkette stehen – obwohl es sich ja um verschiedene Tonhöhen handelt. Wie wir wissen, wären schon nach wenigen Iterationen pythagoräische und mitteltönige Quint hörbar verschieden bei verschiedenen Tönen angekommen.

196

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Deswegen führt man in der Iterationsfolge in der Regel das Centmaß mit auf: ‫ڮ‬

െ͹Ͳʹ

െ

 Ͳ

െ

͹Ͳʹ

െ

 ͳͶͲͶ

െ

 ʹͳͲ͸

െ

‫ ڮ‬ሺ”‡‹‡—‹–‡ሻ ‰‡”—†‡–‡…–

‫ڮ‬

െ͸ͻ͹

െ

 Ͳ

െ

͸ͻ͹

െ

 ͳ͵ͻͶ

െ

 ʹͲͻͳ

െ

‫ ڮ‬ሺ‹––‡Ž–Ǥ —‹–‡ሻ ‰‡”—†‡–‡…–

Überflüssig zu bemerken, dass Frequenzmaßangaben statt Centangaben jenseits jedweder Vorstellung, sprich Brauchbarkeit, lägen – außer im Falle von „glatten“ Daten. Modelle der einfachen Intervalliteration sind: 1. Wie zuvor das Modell der Ժ-Geraden (Ժ-Modell) -2I

-I

C 0

2I

I

3I

& Centangaben darunterstehend

I

2. Die Tonspirale C G C

G D

D oder Iteration

Iteration

expandierend

kontraktierend

Bild 8.1: Tonspiralen: Expandierend, kontrahierend

Um anzudeuten, dass bspw. 12 Quinten über die 7. Oktave steigen, würde man expandierend modellieren, sonst – wie zum Beispiel bei der mitteltönigen Quinte ୫ – eher kontrahierend. Die Unterscheidung ist eher rein subjektiv und suggestiv. Wir verwenden auch die Sprache der Mengenlehre  ൌ ሺ ሻ ൌ ሼ ‫ כ‬ȁ ‫ א‬Ժሽ ‫ ؠ‬൛“୩ ห ‫ א‬Ժൟ

(mit ȁ ȁ ൌ “ im Frequenzmaß),

und von Interesse sind endliche Teilmengen („Skalen“), hiervon ି୫ǡ୬ ൌ ሼ ‫ כ‬ȁെ ൑  ൑ ሽ  und speziell setzen wir vereinfachend im Falle, dass die Iteration einseitig ist und bei der Tonika durch Aufwärtsiterieren verläuft: ୬ ൌ ሼ ‫ כ‬ȁͲ ൑  ൑ ሽ ൌ ቊ”‹ǡ ǡ ْ ǡ ǥ ǡ ᇣᇧ ْ ǥْ ᇧᇤᇧ ᇧᇥ ቋ. ୬୫ୟ୪

8.2 Modelle der Intervalliterationen

197

Beispiel 8.1 Für ൌ ୣ ‫ ؠ‬͹ͲͲ…– ist ଵଶ ሺ ሻ der gleichstufig temperierte Quintenkreis ଵଶ ሺ ሻ ൌ ሼ െ െ  െ  െ  െ  െ ‹• െ ‹• ൌ ‡• െ • െ • െ  െ  ሽ (in streng aufsteigender Quintenfolge). Nun gibt es im Allgemeinen auch Iterationen mit mehreren gegebenen Intervallen ଵ ǡ ǥ ǡ ୫ . Wir sprechen dann von einer multiplen Iteration. Definition 8.5 (Multiple Iterationen) Für gegebene Intervalle ଵ ǡ ǥ ǡ ୫ mit jeweiligen Frequenzmaßen “ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୫ und entsprechenden Centwerten šଵ ǡ ǥ ǡ š୫ ist ሺ ଵ ǡ ǥ ǡ ୫ ሻ ൌ ሼଵ ଵ ْ  ଶ ଶ ْ ǥ ْ  ୫ ୫ ȁଵ ‫ א‬Ժǡ ǥ ǡ  ୫ ‫ א‬Ժሽ, ୩

୩

ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “୫ ሻ ൌ ቄ“ଵభ ǥ “ ୫ౣ หଵ ‫ א‬Ժǡ ǥ ǡ  ୫ ‫ א‬Ժቅ, ሺšଵ ǡ ǥ ǡ š୫ ሻ ൌ ሼଵ šଵ ൅ ‫ ڮ‬൅  ୫ š୫ ȁଵ ‫ א‬Ժǡ ǥ ǡ  ୫ ‫ א‬Ժሽ eine multiple Iteration (in den drei möglichen Ausdrucksformen). Das Modell dieser Iteration ist das -dimensionale Eulergitter, welches in der Œ-ten Koordinatenrichtung die einfachen Iterationen mit dem Intervall ୨ modelliert.

Beispiel 8.2

oder + 386 ct

Es sei ଵ ൌ ୰ (reine Quinte ͵ǣ ʹ) und ଶ ൌ ୰ (reine Terz ͷǣ Ͷ).

5/4-Terzen

ሺ ൌ ʹሻ:

B

Cis

Gis

Dis

Ais

A

E

H

Fis

F

C

G

D

Des

As

Es

B

Ges

A

+ 702 ct 3/2-Quinten

Bild 8.2: Eulergitter der reinen Quinten und Terzen

198

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Die Striche darüber/darunter deuten das Iterationsniveau bzgl. der Terzbildung an. Der Witz der Sache ist ja, dass im Falle des Beispiels wie auch im Allgemeinen alle Töne des Gitters verschieden sind (auch bei passender Reoktavierung). Das ist uns ja bekannt aus Kapitel 4 über „Reine Skalen“. ഥ in der Situation der reinen Quinten und Terzen: So gilt beispielsweise für  und  …–ሺሻ ൌ ͵ ‫ כ‬͹Ͳʹ ൌ ʹͳͲ͸…– ഥሻ ൌ െ͹Ͳʹ ൅ ͵ͺ͸ ൌ െ͵ͳ͸…– …–ሺ ഥ ْ ʹ–ƒ˜‡ ‫ʹ ؠ‬ͶͲͲ െ ͵ͳ͸ ൌ ʹͲͺͶ…– aber:  Die Differenz ʹͳͲ͸ െ ʹͲͺͶ ൌ ʹʹ ist genau das syntonische Komma, das uns ja im gleichen Kapitel 4 begegnet ist! (Wir haben hier gerundete Centwerte benutzt, die aber nur im hier nicht interessierenden Nachkommabereich zu korrigieren wären). Das Modell soll also auch …–-Werte enthalten!

8.3 Reoktavierte Tonfolgen Indem wir uns von der klassischen Skalenbildung leiten lassen, sehen wir, dass ̶

die Tonfolgen z. B. quintgenerierter Skalen aus der Iteration gewonnen werden, ̶

ihre Tonhöhen jedoch in einem fixierten Oktavraum per passender Oktavierung verändert werden,

sonst würde niemals eine Leiter wie bekannt entstehen.

c

g

dˡ

e -O

d

h -O

a

eˡ

fisˡ -O fis

cis -O cisˡ

usw.

Das kann auch so ausgedrückt werden, dass in einer gegebenen Tonmenge  – z. B.  ൌ ሺ ୣ ሻ – alle Töne ̶

entweder (a) „passend“ in eine Grundoktave oktaviert werden ̶

oder (b) Töne identifiziert werden, die sich lediglich um eine oder mehrere Oktaven unterscheiden.

Mathematisch ist das Modell (b) eleganter; wir geben eine kurze Skizze des sogenannten Äquivalenzmodells:

8.3 Reoktavierte Tonfolgen

199

Es sei  eine gegebene Tonmenge bzw. Intervallmenge (also z. B. eine einfache oder multiple Iteration). Wir nennen zwei Töne šǡ › ‫  א‬äquivalent ሺš ‫› ׽‬ሻ, wenn es ein  ‫ א‬Գ gibt mit š ْ  ൌ › oder › ൌ š ٓ  gilt. Das lässt sich auch so sagen: Es gibt ein  ‫ א‬Ժ mit Frequenz von › ൌ Frequenz von š ‫ʹ כ‬୫ oder …–ሺ›ሻ ൌ …–ሺšሻ ൅  ‫ͲͲʹͳ כ‬ oder …–ሺ›ሻ ൌ …–ሺšሻ ൅ . Diese Festlegung ist eine sogenannte Äquivalenzrelation auf der Menge . Dies führt zu einer oktavunabhängigen Klasseneinteilung von  und zwar wie folgt: Sei š ‫š ֜  א‬ത ؔ ሼ› ‫ א‬ȁ›̱šሽ

(Tonklasse des Tones š)

ഥ ൌ ሼšതȁš ‫ א‬ሽ. und  ഥ ein Tonklassensystem mit den Eigenschaften, dass Töne Dann ist  1. einer Klasse nicht mehr unterschieden werden, da sie per Oktavierung ineinander übergehen. 2. verschiedener Klassen per Oktavierung nicht ineinander übergehen können. ഥ als Untersuchungsobjekte nutzen. Daher könnte eine Skalentheorie diese Mengen  Mathematisch ist dies zweifellos sehr elegant – allerdings auch sehr abstrakt. Das Modell a) ist dagegen weniger „abstrakt“ – dafür jedoch aufwändiger in der konkreten Beschreibung. Wir nennen es einfach Reoktavierungsmodell: Es sei  eine gegebene Tonmenge und – ଴ ‫  א‬ein fixierter Ton (den wir als Tonika einer Skala ansehen können). Dann gibt es zu jedem Ton– eine ganzzahlige Oktavierungszahl  ൌ ሺ–ሻ ‫ א‬Ժ, so dass der Ton – ْ –ƒ˜‡ im Oktavintervall ሾ– ଴ ǡ – ଴ ْ –ƒ˜‡ሾ liegt. Dies drücken wir etwas formeltechnischer aus – eingedenk unserer normierten Iterationsmodelle: q-2, q-1, 1, q, q2 Tonika mit Oktave 2 Tonika mit Oktave 1 -2x, -x, 0, x, 2x, 3x

(Frequ. Maß) q=2x

(Norm. Centmaß)

Bild 8.3: Iterationsmodelle im Frequenz- und im Centmaß

und formulieren die folgende Definition.

200

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Definition 8.6 (Reoktavierungsoperator) 1) ɘ୤ ‫ ׷‬Թା ՜ ሾͳǡ ʹሿ sei so definiert: ɘ୤ ሺ–ሻ ൌ –ൗ ୬ሺ୲ሻ ൌǣ – ‫ כ‬ ʹ wobei ሺ–ሻ eindeutig bestimmt ist dadurch, dass ͳ ൑ –ൗ ୬ሺ୲ሻ ൏ ʹ ʹ erfüllt wird – eine leicht zu verstehende Bedingung. (Fortwährendes Halbieren oder Verdoppeln führt irgendwann in den Intervallraum ሾͳǡ ʹሾ – und der nächste Schritt wieder hinaus.) 2) ɘୡ ‫ ׷‬Թ ՜ ሾͲǡ ͳሿ sei so definiert: ɘୡ ሺšሻ ൌ š െ ሺšሻ ൌ š ‫כ‬ Hierbei ist ሺšሻ die eindeutige ganze Zahl  ‫ א‬Ժ mit  ൑ š ൏ ݊ ൅ ͳ. Bemerkung: Der Operator ɘ୤ oktaviert alle Töne in die Einheitsoktave ሾͳǡ ʹሿ, wenn die Frequenzmaß-Notation vorliegt, und ɘୡ tut dies im Falle der normierten Centbemaßung der Töne in . Wenn es auf die explizite Unterscheidung zwischen Frequenz- und Centmaß nicht ankommt, notieren wir einfach nur ɘ. Beispiel 8.3 š ൌ ͷǡͶ ֜  ൌ ͷ

und

ɘୡ ሺšሻ ൌ š ‫ כ‬ൌ ͲǡͶ

(nct)

š ൌ െͷǡͶ ֜  ൌ െ͸

und

ɘୡ ሺšሻ ൌ  š ‫ כ‬ൌ Ͳǡ͸

(nct)

Bezeichnung: Für eine gegebene Tonmenge  heißt  ‫ כ‬ൌ ɘ୤ ሺሻ bzw.  ‫ כ‬ൌ ɘୡ ሺሻ also

 ‫ כ‬ൌ ሼɘ୤ ሺ–ሻȁ– ‫ א‬ሺ ”‡“—‡œƒéሻሽ,  ‫ כ‬ൌ ሼɘୡ ሺšሻȁš ‫ א‬ሺ‘”Ǥ ‡–ƒéሻሽ

reoktavierte Tonmenge (der Tonmenge M).

8.3 Reoktavierte Tonfolgen

201

Bedeutung: Jeder Ton – bzw. jedes Intervall – wird per passender ൫ሺ–ሻ„œ™Ǥ ሺšሻ൯ Oktavierung in eine Grundoktave transportiert, indem die Frequenzen durch Potenzen von 2 bzw. die Centwerte um ganzzahlige Vielfache der Oktav-Centzahl 1200 (bzw. 1 im normierten Fall) passend geändert werden! Wir bemerken, dass gerade dieses Modell perfekt die Konstruktionsvorgehensweise der antiken/klassischen Skalenbildungen beschreibt, nicht mehr und nicht weniger. Beispiel 8.4 ଻ൗ ଵଶ

“ൌʹ

ൌ ͳǡͶͻ ൌ ͹ͲͲ…– ൌ

͹ …– ͳʹ

Dann ist ଵଶ ሺ“ሻ ൌ ሼͳǡ “ǡ “ଶ ǡ ǥ ǡ “ଵଶ ሽ und ‫ כ‬ሺ“ሻ ଵଶ ൌ ቄͳǡ ʹ

ଽ ଺ ଼ ଷ ଵ଴ ହ ଻ൗ ଶ ସ ଵଵ ଵ ଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ǡ ʹ ൗଵଶ ቅ,

‫ כ‬ሺ͹ͲͲ…–ሻ ൌ ሼͲǡ ͹ͲͲǡ ʹͲͲǡ ͻͲͲǡ ͶͲͲǡ ͳͳͲͲǡ ͸ͲͲǡ ͳͲͲǡ ͺͲͲǡ ͵ͲͲǡ ͳͲͲͲǡ ሺͷͲͲሻሽ. ଵଶ

Es handelt sich um die gleichstufige Quintenfolge der Skala ଵଶ . Im Folgenden wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, wann genau die reoktavierten Gitter periodisch sind. Zuvor beobachtet man sehr leicht: Satz 8.2 (Satz über multiple Iterationen bei gleichen Tönen) (1)

Es sei  ൌ ሺ ሻ eine einfach erzeugte Tonspirale. Gibt es dann 2 Töne, die bis auf eine Reoktavierung gleich sind, so ist  ‫ כ‬ሺ ሻ endlich.

(2)

Sind in einem Eulergitter  ‫ כ‬ሺ ଵ ǡ ଶ ሻ zwei Töne gleich, so gibt es unendlich viele Teiliterationen, die – reoktaviert – gleich sind.

Zusatz: Entsprechende Aussagen gelten in höherdimensionalen Gittern. Beweis: Zu (1): Wir modellieren ሺ ሻ als Ժ-Modell: T-2 T-1 T0 T1 T2 T3 - I

+I

Ist dann für ein Œ ‫ א‬Ժ und  ‫ א‬Գ ‫כ‬ , ୨ା୩ ൌ ୨ ْ –ƒ˜‡ ֞ ୨‫ כ‬ൌ ୨ା୩

Tn Tn+1 Tonfolge

202

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬ so ist nach dem Viertönesatz auch ୨ା୩ାଵ ൌ ୨ାଵ und allgemein ୨ା୩ା୫ ൌ ୨ା୫ für alle  ‫ א‬Ժ.

I Tj

Tj+1

Tj+k Tj+k+1 =

=

Das heißt, die Skala  ‫ כ‬hat höchstens nur die  Töne ୨ ǡ ୨ାଵ ǡ ǥ ǡ ୨ା୩ିଵ . Zu (2): Die Argumentation ist ähnlich wie Fall (1): Wir betrachten dazu ein Gitter:

T ~T ~T

M41

I2

S ~S ~S

M-1

I1 L0

L2

Bild 8.4: Abstraktes 2-dimensionales Eulergitter

Angenommen, die beiden Töne  und  wären reoktaviert gleich, dann sind auch ෨ und ෩ gleich, ebenso sind ധ und  ന gleich – kurz: Die Linien ଴ und ଶ sowie ିଵ und ସ  sind gleich – das heißt, dass sie die gleichen Tonfolgen enthalten. Dies pflanzt sich dann nach dem Viertönesatz allerdings fort: ଴ ‫ ؠ‬ଶ ൌ ସ ൌ ଺ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ିଶ ൌ ିସ ൌ ‫ڮ‬ und

ିଵ ൌ ସ ൌ ଽ ൌ ଵସ ൌ ‫ڮ‬, 

wobei wie gesagt Gleichheit der Linien bedeutet, dass die Gesamtheit der Töne übereinstimmt. Für das „Rechnen in Gittern“ – also in Iterationsfolgen – möge noch nachfolgendes Regelkalkül angeführt sein, welches lediglich die Rechenregeln des Potenzierens umsetzt in eine „mengentheoretische“, algebraische Sprache.

8.4 Periodische und nichtperiodische Iterationen

203

Satz 8.3 (Invarianzeigenschaften der Iterationsgitter) Es liege ein multiples Tongitter in Frequenzmaßform vor:  ൌ ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୫ ሻ (1)

šǡ › ‫ א › כ š ֜  א‬

(2)

š‫כš֞ א‬ൌ 

(3)

š ‫ͳ ֞  א‬Ԛ ‫ א‬ š ൌ ͳ ist also das neutrale Element (musikalisch: die Prim); die Multiplikation auf M macht das Gitter M zu einer algebraischen Gruppe.

(4)

šǡ › ‫ ֜  א‬ሺš ‫› כ‬ሻ‫ כ‬ൌ ሺš ‫ כ › כ כ‬ሻ‫כ‬

Wir überlassen alle Details der Beweise dem Leser zur Übung und Verinnerlichung. Auch sei empfohlen, die Übertragung dieser Regeln hinsichtlich ihrer Konkretisierung in der Tongenerierung zu formulieren. Beispielsweise bedeutet die Bedingung (4), dass die Schichtung (Adjunktion) zweier Intervalle mit anschließender Reoktavierung zum gleichen Ergebnis führt wie die Adjunktion der zuvor einzeln reoktavierten Intervalle mit anschließender erneuter Reoktavierung. (In einem zugehörigen Beispiel sollte dazu wenigstens eines der beiden Intervalle größer als eine Oktave sein, ansonsten ist diese Regel ja von trivialem Zuschnitt).

8.4 Periodische und nichtperiodische Iterationen Betrachten wir die reoktavierte Iterationsfolge der gleichstufig temperierten Quinte ୣ – ȁୣ ȁ ൌ ͹ͲͲ…– – so besteht  ‫ כ‬ሺ ୣ ሻ genau aus 12 verschiedenen Tönen, denn in der unendlichen Tonmenge ሺୣ ሻ wiederholt sich nach 12 Quint-Iterationen der Ausgangston – allerdings um 7 Oktaven nach oben versetzt. Unter Reoktavierung ist dies jedoch ohne Relevanz. Wir fragen nun: Wann haben Iterationsfolgen diese periodische Eigenschaft? Geometrisch: Wann schließt sich die (reoktavierte) Tonspirale? Theorem 8.1 (Periodizität einfacher Iterationen) Es sei ሺ ሻ ‫ ؠ‬ሺ“ሻ eine einfache Iteration. Dann sind äquivalent: 1)

Das Centmaß von (…–ሺ ሻ oder …–ሺ ሻ) ist irrational.

2)

Das Frequenzmaß “ ist keine gebrochene Potenz von 2.

204

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Der Reoktavierungsoperator ɘ ‫ ׷‬ሺ“ሻ ՜  ‫ כ‬ሺ“ሻ ‫ ك‬ሾͳǡ ʹሿ ist eineindeutig („injektiv“) – das bedeutet:

3)

šǡ › ‫  א‬und š ് › ֜ š ‫כ › ് כ‬ Also: Verschiedene Töne haben auch verschiedene reoktavierte Vertreter in der Einheitsoktave [1,2[. Oder: In der Tonfolge ሺ“ሻ gibt es niemals zwei Töne, die durch Reoktavieren des einen übereinstimmen. 4)

Die Tonfolge  ‫ כ‬ist unendlich.

5)

Die Tonfolge  ‫ כ‬ist nichtperiodisch.

Folgerung: Genau für rationale Centzahlen (Brüche) des Iterationsintervalls entsteht eine periodische, geschlossene Tonskala  ‫ כ‬ሺ ሻ, die darüber hinaus ̶

gleichstufig ist, ̶

und gilt ȁ ȁଵ ൌ ୫ …– in gekürzter Bruchdarstellung, so entsteht die gleichstufige Skala ‫ כ‬ሺ ሻ aus genau m Stufen.

୬

Beweis: ͳሻ ֞ ʹሻ per definitionem des Centmaßes. ʹሻ ֜ ͵ሻ: Seien šǡ › ‫ א‬,

d. h. š ൌ “୬ und › ൌ “୫ und š ് ›, also  ് .

Ist dann ɘሺšሻ ൌ ɘሺ›ሻ, so ist mit entsprechenden Abkürzungen ୫ “୬ ൗ ୬ሺ୶ሻ ൌ “ ൗ ୫ሺ୷ሻ  ʹ ʹ

֜ “୬ି୫ ൌ ʹ୬ሺ୶ሻି୫ሺ୷ሻ ֞ “୩ ൌ ʹ୪ , und wegen  ്  ist  ് Ͳ ֜ “ wäre gebrochene Potenz von 2 entgegen der Voraussetzung. ͵ሻ ֜ ʹሻ: Wäre “ ൌ ʹ ɘ ist nicht injektiv.

୬Τ ୫,

so wäre also “୫ ൌ ʹ୬ ֜ ɘሺ“୫ ሻ ൌ ɘሺʹ୬ ሻ ൌ ͳ ൌ ɘሺ“଴ ሻ ֜

͵ሻ ֜ Ͷሻ: Da die Tonfolge  unendlich viele Töne hat, gilt dies wegen der vorausgesetzten Injektivität auch für  ‫ – כ‬das ist ein allgemeiner mengentheoretischer Satz.

8.4 Periodische und nichtperiodische Iterationen

205

Für Ͷሻ ֜ ͵ሻ zeigen wir deren logische Negation: Wenn ɘ nicht injektiv ist, so gibt es (mindestens) zwei verschiedene Töne – sagen wir “୬ und “୫ (mit  ൏ ݉) – mit ɘሺ“୬ ሻ ൌ ɘሺ“୫ ሻ. Dann ist auch ɘ൫“୬ା୩ ൯ ൌ ɘ൫“୫ା୩ ൯ für alle  ‫ א‬Ժ,

denn wenn

ْᇧᇤᇧ ‫ْڮ‬ ْᇧᇤᇧ ‫ْڮ‬ ᇣᇧ ᇧᇥ ൌ ᇣᇧ ᇧᇥ ْ Ž ‫ כ‬, ୫ି୫ୟ୪

୬ି୫ୟ୪

so ist natürlich auch ْᇧᇤᇧ ‫ْڮ‬ ْᇧᇤᇧ ‫ْڮ‬ ᇣᇧ ᇧᇥ ْ ᇣᇧ ᇧᇥ ൌ  ‫ כ  ْ  כ Ž ْ  כ Ž ْ כ‬. ୫ି୫ୟ୪

୩ି୫ୟ୪

Ebenso wäre der Viertönesatz hierzu zitierbar. Somit hat  ‫ כ‬höchstens  െ  verschiedene Töne: ɘሺ“୬ ሻǡ ɘሺ“୬ାଵ ሻǡ ǥ ǡ ɘሺ“୫ିଵ ሻ  Dieses letzte Argument zeigt auch die Äquivalenz zu Aussage (5), nämlich wie folgt:  ‫ כ‬endlich ֞  ‫ כ‬periodisch, was direkt aus der Iterationseigenschaft folgt. Zur Folgerung: Ist also  ‫ כ‬endlich, so rechnet man nach, dass der kleinste Wert aller ɘሺ“୬ ሻ, welcher größer als 1 ist, auch Stufenschritt der Tonfolge ist.

2

1

M*

Stufe der Skala M* Bild 8.5: Illustration zum Stufenaufbau periodischer Skalen ୬

Dann beachtet man beispielsweise lediglich, dass “ ൌ ʹ Τ୫ sein muss (wobei wir ohne Einschränkung  ൏ ݉ annehmen dürfen), so dass letztlich ‫ כ‬ൌ ቄͳǡ ʹ

ౣషభ ଵൗ ୫ǡ ǥ ǡ ʹ ౣ ቅ

ist.

Bemerkung: Eine andere Interpretation der Beschreibung, wann in einer Iteration oktavversetzte Töne auftreten können, ist auch diese: 1.

Die Iterationen ሺ“୬ ሻ (bzw. die Intervallfolge ሺ ‫  כ‬ሻ୬‫א‬Ժ ) und die Folge ሺʹ୬ ሻ (bzw. die Oktavenfolge ሺ ‫ כ‬ሻ୬‫א‬Ժ ) haben – ausgenommen den Ausgangspunkt (Tonika, Iterationszentrum) – keinen gemeinsamen Ton.

206

2.

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Die mathematischen Gleichung  Ž‘‰ ଶ ሺ’ሻ ൌ  ‫ ͳ כ‬ൌ  ‫ ‰‘Ž כ‬ଶ ሺʹሻ,  Ž‘‰ ଶ ሺ’ሻ േ  ‫ ‰‘Ž כ‬ଶ ሺʹሻ ൌ Ͳ bzw. die hierzu äquivalente Gleichung ȁ ȁଵ ൅ ȁȁଵ ൌ Ͳ, hat außer  ൌ  ൌ Ͳ keine Lösung mit ganzen Zahlen.

Beide Bedingungen sind gleichwertig und sie sind genau dann erfüllt, wenn Ž‘‰ ଶ ሺ’ሻ irrational – also nicht als Bruch darstellbar – ist. Man sagt für diesen Umstand auch: Die Zahlen 1 und Ž‘‰ ଶ ሺ’ሻ sind algebraisch unabhängig über dem Körper Q der rationalen Zahlen. Genau dies ist der Schlüssel, wie ein analoges Kriterium nun im Fall multipler Iterationen formuliert und bewiesen werden kann. Dazu dient die mathematische Definition (algebraisch unabhängig): Die reellen Zahlenͳǡ šଵ ǡ ǥ ǡ š୫ heißen algebraisch unabhängig über  ֞ die Gleichung ଵ šଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ୫ š୫ ൅  ൌ Ͳ mit ୧ ǡ  ‫ א‬Ժ hat nur die triviale Lösungen ଵ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ ୫ ൌ Ͳ und  ൌ Ͳ. Notwendigerweise sind alle š୧ irrational im Falle der Unabhängigkeit. Aber leider gilt das – außer im bereits diskutierten Fall  ൌ ͳ – nicht umgekehrt, wie das Beispiel der 3 Zahlen ξʹ, ξͷ und ͵ξʹ ൅ ʹξͷ zeigt. Theorem 8.2 (Periodizität multipler Iterationen) Es sei  ൌ ሺ ଵ ǡ ǥ ǡ ୫ ሻ eine -fache Intervalliteration mit Frequenzmaßen “ ୧ ൌ ȁ ୧ ȁ

‹ ൌ ͳǡ ǥ ǡ .

(A) Sind die Centmaße Ž‘‰ ଶ ሺ“ ୧ ሻǡ ‹ ൌ ͳǡ ǥ ǡ  algebraisch unabhängig – was bedeutet, dass die Gleichung ଵ ‫ ‰‘Ž כ‬ଶ ሺ“ଵ ሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ ୫ ‫‰‘Ž כ‬ሺ“ ୫ ሻ ൌ Ͳ nur mit ଵ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ୫ ൌ Ͳ lösbar ist –, so sind alle Töne im Gitter M paarweise verschieden und umgekehrt. (B) Das Gitter M habe nun paarweise verschiedene Töne. Dann sind äquivalent: (1) Ž‘‰ ଶ ሺ“ଵ ሻǡ ǥ ǡ Ž‘‰ ଶ ሺ“ ୫ ሻ und ͳ ൌ Ž‘‰ ଶ ሺʹሻ sind algebraisch unabhängig. (2) Der Reoktavierungsoperator ɘǣ  ՜  ‫ כ‬ist injektiv. (3) In ‫ כ‬sind alle Töne paarweise verschieden.

8.4 Periodische und nichtperiodische Iterationen

207

Erläuterung: Die wichtige Bedingung (A) bedeutet, dass eben genau dann im Falle der Unabhängigkeit der Centmaße gilt: Unterschiedliche Iterationen führen zu unterschiedlichen Tönen! Bei (B) kommt lediglich hinzu, dass alle Iterationen samt der Oktaveniteration unabhängig sein müssen. Beweis: Zwei Töne šǡ › ‫  א‬haben also die Form ୬

୬

୩

୩

š ൌ “ଵభ ‫ “ ڮ‬୫ౣ , › ൌ “ଵభ ‫ “ ڮ‬୫ౣ  mit ganzen Zahlen ୧ ǡ  ୧ ǡ ሺ‹ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ሻ. Mit Ž୧ ൌ ୧ െ  ୧ folgt nun sofort durch Logarithmieren: š ൌ › ֞ Žଵ Ž‘‰ ଶ ሺ“ଵ ሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ Ž୫ Ž‘‰ ଶ ሺ“ ୫ ሻ ൌ Ͳ, woraus die Aussage (A) folgt. Die Aussage (B) ergibt sich analog, wenn man beachtet, dass nach Definition der Reoktavierung š ‫ כ‬ൌ ɘሺšሻ ൌ š ‫ʹ כ‬୬ሺ୶ሻ ǡ

› ‫ כ‬ൌ ɘሺ›ሻ ൌ › ‫ʹ כ‬୬ሺ୷ሻ

mit gewissen ganzen Zahlen ሺšሻ und ሺ›ሻ gilt. Setzt man noch Ž ൌ ሺšሻ െ ሺ›ሻ, so ist durch Logarithmieren die Aussage š ‫ כ‬െ › ‫ כ‬ൌ Žଵ Ž‘‰ ଶ ሺ“ଵ ሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ Ž୫ Ž‘‰ ଶ ሺ“ ୫ ሻ ൅ Ž ൌ Ͳ gefunden. Ist diese Gleichung nur trivial lösbar so ist mit (A) š ൌ ›, das heißt, ɘ ist injektiv; im Falle der Abhängigkeit gäbe es š ് › mit š ‫ כ‬ൌ › ‫ כ‬. Damit hätten verschiedene Elemente des Gitters (š und ›) die gleichen Reoktavierungen ɘሺšሻ und ɘሺ›ሻ, was wiederum Nicht-Injektivität bedeutet. Die weiteren Aussagen des Satzes übergehen wir. ‫ז‬ Sind die Frequenzfaktoren “୧ selbst Brüche und relativ prim zueinander (wie z. B. “ଵ ൌ ͹ൗͶ ǡ “ଶ ൌ ͷൗ͵ ǡ “ଷ ൌ ʹ͵ൗʹͳ für  ൌ ͵), so wäre die Unabhängigkeit ihrer Logarithmen gegeben. Das „klassische“ Eulergitter ist die 2-fach-Iteration mit ଵ ൌ reine Quinte, “ଵ ൌ ͵ൗʹ, ̶ ̶

mit ଶ ൌ reine Großterz, “ଶ ൌ ͷൗͶ.

208

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Das entsprechende Eulergitter  hat keine 2 Töne, die gleich sind – aber auch nicht, wenn man sie oktavversetzt.

I2

his

Eulergitter (Reoktavierte Intervalle)

μ = [c, his] κ = [e, e]

gis e c

h

fis

g

d

Ɛ = [c, his] (Komma)

a

e

h

fis

cis

gis dis

ais

eis

his

I1 Bild 8.6: Hauptkommata im Eulergitter

8.5 Intervall-Kombinatorik der Tonspirale Gegeben sei wieder eine einfache Intervalliteration ሺ ሻ ൌ ሺ“ሻ mit Frequenzmaß “൐ͳ “ିଷ ǡ “ିଶ ǡ “ିଵ ǡ ͳǡ “ǡ “ଶ ǡ “ଷ ǡ ǥ, deren Iterationszentrum 1 als „Tonika“ dient. Nun gibt es in diesem Tonvorrat offenbar auch nur interne Intervalle der Größe “୫ ൘ ୩ ൌǣ “୪ – jeder Ton aus  kann daher ebenfalls als „Zentrum“ dienen, was auch “ durch die Mengenformel “୪ ‫  כ‬ൌ  symbolisch ausgedrückt wird. Wir erinnern noch einmal an die Bezeichnung einer ሺ ൅ ͳሻ-elementigen Tonauswahl der Tonspirale M, ୬ ሺ“ሻ ൌ ሼͳǡ “ǡ ǥ ǡ “୬ ሽ. Theorem 8.3 (Intervallanzahlen bei einfachen Iterationen) 1)

Es sei  ൒ ͳ fest gewählt. Dann sind alle Intervalle der Form ൣ“୩ ǡ “୩ା୫ ൧ für  ‫ א‬Ժ gleich groß und wir bezeichnen sie mit ୫ , ୫ ൌ ሾͳǡ “୫ ሿ.

2)

Es sei ͳ ൑  ൑ . Dann gibt es in ୬ ሺ“ሻ genau ሺ ൅ ͳ െ ሻ solche Intervalle ୫ .

8.5 Intervall-Kombinatorik der Tonspirale

209

‫כ‬ Es sei ͳ ൑  ൑ . Dann ist das reoktavierte Intervall ୫ ൌ ɘሺ ୫ ሻ ൌ ‫כ‬ ୫ ٓ ሺሻ, wobei ሺሻ eindeutig so gewählt ist, dass ୫ ൌ ሾͳǡ “‫כ‬୫ ሿ in ୫ “ der Grundoktave [1,2[ liegt, will sagen, dass ͳ ൏ “‫כ‬୫ ൌ ൗ ୬ሺ୫ሻ ൏ ʹ ist. ʹ ‫כ‬ ୫ hat somit ein Komplementärintervall in , welches das Maß ʹൗ“‫ כ‬hat. ୫ Dann gilt:

3)

a) Ist  ‫ כ‬nicht periodisch, d. h., ȁ ȁଵ ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ist irrational, so gibt es in ୬‫ כ‬ሺ“ሻ genau ሺ ൅ ͳ െ ሻ Intervalle der Maße “‫כ‬୫ oder ʹൗ“‫ כ‬. ୫

‫כ‬

b) Ist  dagegen periodisch, so ist die Anzahl der Intervalle mit Maß “‫כ‬୫ oder ʹൗ“‫ כ‬in ୬‫ כ‬stets  ൅ ͳ (und damit unabhängig von ). Hierbei ୫

ist der Parameter n jedoch so gegeben, daß er die kleinste positive Zahl ist, für die eine Schließungsgleichung “୩ ൌ “୬ାଵ ൌ ʹ୨ ‡”ˆòŽŽ–‹•–Ǥ Beweis: Die Aussage 1) folgt direkt aus dem Viertönesatz – natürlich auch durch unmittelbare Rechnung. Die Aussage 2) machen wir uns an einem Modell mit m = 3 klar: q

1 I3

q2 q3 q4 q5 I3

qn-3 qn-2 qn-1 qn

I3 I3

Also

ଷ ൌ ሾͳǡ “ଷ ሿ ൌ ሾ“ǡ “ସ ሿ ൌ ሾ“ଶ ǡ “ହ ሿ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ሾ“୬ିଷ ǡ “୬ ሿ,

das sind ሺ െ ͵ሻ ൅ ͳ ‫ ؠ‬ሺ ൅ ͳሻ െ ͵ Möglichkeiten, und es ist unschwer, dies auf den Fall ͳ ൑  ൑  zu verallgemeinern. Die Aussage 3) ist etwas subtiler: Es sei  ൒ ͳ, dann betrachten wir den Ton “୫ sowie “୫ seinen reoktavierten Ton “‫כ‬୫ ൌ ൗ ୬ሺ୫ሻ in der Skala ୬‫ כ‬ሺ“ሻ, welcher nun die Beʹ dingung ͳ ൏ “‫כ‬୫ ൏ ʹ erfüllt. Jetzt betrachten wir die ሺ ൅ ͳሻ െ  Subintervalle ሾͳǡ “୫ ሿǡ ሾ“ǡ “୫ାଵ ሿǡ ǥ ǡ ሾ“୬ି୫ ǡ “୬ ሿ. Ist nun im 1. Fall Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ irrational, so ist ɘ ‫ ׷‬୬ ሺ“ሻ ՜ ୬‫ כ‬ሺ“ሻ injektiv, also bijektiv, da ୬‫ כ‬ሺ“ሻ nicht mehr Töne als ୬ ሺ“ሻ haben kann. Deshalb haben beide gleichviele Töne, nämlich genau ሺ ൅ ͳሻ.

210

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Indem wir auf die aufgezählten Intervalle den Operator ɘ anwenden, erhalten wir die Intervalle ൣ“‫כ‬୨ ǡ “‫כ‬୨ା୫ ൧,

Œ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ  െ 

mit “‫כ‬଴ ൌ ɘሺ“଴ ሻ ൌ ɘሺͳሻ ൌ ͳ und “‫כ‬୩ ൌ ɘ൫“୩ ൯ für ͳ ൑  ൑ . Nun überlegt man sich, dass gilt: “‫כ‬୨ା୫ ൌ ൝

“‫כ‬୨ ‫כ“ כ‬୫

falls ͳ ൏ “‫כ‬୨ ‫כ“ כ‬୫ ൏ ʹ

ଵ ‫כ‬ “ ଶ ୨

falls ʹ ൏ “‫כ‬୨ ‫כ“ כ‬୫ ൏ Ͷ

‫כ“ כ‬୫

(denn andere Möglichkeiten hat das Produkt “‫כ‬୨ ‫כ“ כ‬୫ nicht). Im ersten Fall ist “‫כ‬୨ ൏ “‫כ‬୨ା୫ und หൣ“‫כ‬୨ ǡ “‫כ‬୨ା୫ ൧ห ൌ “‫כ‬୫ . Im zweiten Fall ist “‫כ‬୨ା୫ ൏ “‫כ‬୨ und หൣ“‫כ‬୨ା୫ ǡ “‫כ‬୨ ൧ห ൌ ʹൗ“‫ כ‬. ୫

Warum? Im ersten Fall haben wir folgende arithmetische Situation: Sei œ ൌ š› und ͳ ൏ ‫ ݔ‬൏ ʹ sowie ͳ ൏ ‫ ݕ‬൏ ʹ. Wäre œ ൏ ‫ݔ‬, so wäre š› ൏ ‫ ݔ‬also › ൏ ͳ. Im zweiten Fall schließt man analog: Wäre œ ൌ భమš› ൐ ‫ݔ‬, so wäre › ൐ ʹ. ‫כ‬ die Maße “‫כ‬୫ oder ʹൗ“‫ כ‬. Somit haben wir für alle auftretenden Intervalle ୫ ୫

Der zweite Fall, in welchem  ‫ כ‬periodisch ist, ist dagegen evident. Wir wollen diese Aussagen anhand zweier Beispiele prüfen: Beispiel 8.5 Sei “ ൌ ͵ൗʹ – pythagoräische (reine) Quinte ୮ ൌ . ୬ ሺ“ሻ ist für  ൌ ͳͳ die „chromatische Skala“ P12. ଶ

ଷ

ସ

ଵଵ

ଵଵ ൫͵ൗʹ൯ ‫ ؠ‬ቄͳ െ ൫͵ൗʹ൯ െ ൫͵ൗʹ൯ െ ൫͵ൗʹ൯ െ ൫͵ൗʹ൯ െǤ Ǥ Ǥ െ൫͵ൗʹ൯ ቅ Für den Parameter  ൌ Ͷ bekommen wir die (sehr) großen Terzen ସ ሺ“ሻ ൌ ୮ ْ ୮ ْ ୮ ْ ୮  ൌ ሺ‘‘• ْ ሻ ْ ሺ‘‘• ْ ሻ  ൌ ʹ‘‘• ْ ʹ ൌ ’›–ŠǤ ‡”œ ْ ʹ  und ȁ ସ ȁ ൌ ͺͳൗͳ͸

(Frequenzmaß).

8.5 Intervall-Kombinatorik der Tonspirale

211

Es gibt in ଵଵ genau ሺͳͳ ൅ ͳ െ Ͷሻ ൌ ͺ Intervalle mit diesem Maß ͺͳൗͳ͸ nämlich: ୨ ୨ାସ ቂ͵ൗʹ ǡ ͵ൗʹ ቃ

Œ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ ͹

Nun ist ሺ“ସ ሻ‫ כ‬ൌǣ “‫כ‬ସ ൌ ͺͳൗ͸Ͷ (2-mal reoktavieren) und das Intervall ൣͳǡ ͺͳൗ͸Ͷ൧ hat das komplementäre Intervall ͳʹͺൗͺͳ (kleine pythagoräische Sexte). ଷ

‫כ‬ Jetzt betrachten wir den üblichen (Fast-) Quintenkreis ୑ ሺଶሻ mit Start … und posi-

tiven Iterationen, reoktaviert: = 3/2 c

g

eis 11

0

1 d

ais 10 M11*(3/2)

dis

2 a

3

9 8

gis

4 7

e 6

cis

5 h

fis Bild 8.7: Pythagoräischer Quintenkreis mit Wolfsquinte

ሾ…ǡ ‡ሿ, ሾ‰ǡ Šሿ, ሾ†ǡ ˆ‹•ሿ, ሾ‡ǡ ‰‹•ሿ, ሾˆ‹•ǡ ƒ‹•ሿ und ሾ…‹•ǡ ‡‹•ሿ

Kleine Sexten sind:

ሾ…‹•ǡ ƒሿ und ሾ†‹•ǡ Šሿ

̶

Große Terzen sind:

Zusammen sind dies ebenfalls 8 Intervalle.

Bemerkung: Wir beachten, dass die Barriere zwischen ‡‹• und … nicht übertreten werden darf – es sei denn, man führt konsequent ͵ൗʹ-Schritte weiter und erhielte Š‹•, ˆ‹•‹•, …‹•‹• usw. Dann lässt sich die Betrachtung auch auf ୬‫ כ‬mit  ൐ ͳͳ durchführen. Die Intervalle [gis, c], [dis, g], [ais, d], [eis, a] sind dagegen um das pythagoräische Komma ɂ୮ vergrößerte „Terzen“ – die Wolfsquinte [eis, c] liegt nämlich dazwischen. ‫כ‬ die leicht nachprüfbare Zahl an (reinen) Quinten und Für  ൌ ͳ erhält man in ଵଵ komplementären reinen Quarten, nämlich ሺͳͳ ൅ ͳ െ ͳሻ ൌ ͳͳ.

212

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Quinten:

ሾ…ǡ ‰ሿ, ሾ†ǡ ƒሿ, ሾ‡ǡ Šሿ, ሾ…‹•ǡ ‰‹•ሿ, ሾ†‹•ǡ ƒ‹•ሿ

Quarten:

ሾ†ǡ ‰ሿ, ሾ‡ǡ ƒሿ, ሾˆ‹•ǡ Šሿ, ሾ…‹•ǡ ˆ‹•ሿ, ሾ†‹•ǡ ‰‹•ሿ, ሾ‡‹•ǡ ƒ‹•ሿ

Als Übung sei empfohlen, entsprechende Aussagen auch für andere Intervalle - für das Intervall des Ganztons oder für die kleine Terz - einmal durchzurechnen. Das folgende Beispiel behandelt den periodischen Fall. Und wenn die Stufenzahl 12 vorliegt, können die Ergebnisse auch auf der Klaviatur abgelesen werden. Beispiel 8.6 (Geschlossene (periodische) Skala) Es sei “୩ ൌ ʹ୪ mit teilerfremdem  und Ž ist demnach ‫ כ‬ሺ“ሻ periodisch, denn es ist “୨ା୫୩ ൌ “୨ ‫ʹ כ‬୫୪ , woraus für die reoktavierten Werte folgt: “‫כ‬୨ା୫୩ ൌ “‫כ‬୨

für alle  ‫ א‬Ժ,

Œ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ  െ ͳ

 ‫ כ‬ሺ“ሻ besteht aus den Tönen ሼͳǡ “‫ כ‬ǡ ǥ ǡ “‫כ‬୩ିଵ ሽ mit “‫ כ‬ൌ “ für ͳ ൏ ‫ ݍ‬൏ ʹ. Weil  und Ž teilerfremd sind, sind nämlich alle Werte ሼͳǡ “‫ כ‬ǡ “‫כ‬ଶ ǡ ǥ ǡ “‫כ‬୩ିଵ ሽ ‫ ؿ‬ሾͳǡ ʹሿ paarweise verschieden. Nehmen wir den Standardfall “ ൏ ʹ an, so ist Ž ൏ ݇ und der ଵ

nächste Wert nach 1 in  ‫ כ‬ist ʹ ൗ୩ , und dann ist mit š ൌ ʹ in der Bezeichnung des Satzes ist dann n൅ͳ ൌ 

ଵൗ ୩,

das heißt š ୩ ൌ ʹ und

‫כ‬  ‫ כ‬ൌ ୩ିଵ ൌ ൛ͳǡ šǡ š ଶ ǡ ǥ ǡ š ୩ିଵ ൟ.

Eine gleichstufig temperierte Skala mit  Tönen und ሺ ൅ ͳሻ Stufen und dem Stufenfaktor š. Wie oft kommt das Intervall der Größe š ଷ vor? Nun, das sind die Intervalle ሾͳǡ š ଷ ሿǡ ሾšǡ š ସ ሿǡ ǥ ǡ ൣš ୩ିସ ǡ š ୩ିଵ ൧ ‫ ؠ‬ሺ ൅ ͳሻ െ Ͷ ൌ  െ ͵, und ein in  dazu komplementäres Intervall ist offenbar ൣͳǡ š ୩ିଷ ൧, denn das Frequenzmaß des Produktes ist š ଷ ‫ š כ‬୩ିଷ ൌ š ୩ ൌ ʹ. Die drei Intervalle ൣͳǡ š ୩ିଷ ൧, ൣšǡ š ୩ିଶ ൧ und ൣš ଶ ǡ š ୩ିଵ ൧ sind in  ‫ כ‬die einzigen dieser Größe. Zusammen haben wir ሺ െ ͵ሻ ൅ ͵ ൌ  Intervalle der Größen š ଷ oder ʹൗš ଷ . Bestätige nun diese Ergebnisse für den Fall n൅ͳ ൌ  ൌ ͳʹ, also dem Fall der gleichstufigen Skala anhand einiger Intervalltypen.

8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel

213

8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel Erneut betrachten wir eine simple Iterationsfolge ሺ“ሻ ൌ ሼ“୬ ȁ ‫ א‬Ժሽ mit einem gegebenen Frequenzfaktor “. Ist nun

ˆሺšሻ ൌ “୶ ൌ ʹ୶ ୪୭୥మሺ୯ሻ ൌ ‡୶ ୪୬ ୯ ,

so ist

ሺ“ሻ ൌ ሼˆሺሻȁ ‫ א‬Ժሽ

die diskretisierte Exponentialfolge aus dieser Exponentialfunktion. Im Rahmen einer Skalenbildung zwingen wir nun – mittels eindeutiger und passender Oktavierung – die Tonfolge ሺ“୬ ሻ in eine Einheitsoktave, vorzugsweise in die Oktave [1,2[. Dies haben wir in Kapitel 8.3 mittels eines „Operators“ ɘ beschrieben und sind auf diese Weise von der simplen Menge ሺ“ሻ in der reoktavierten Menge  ‫ כ‬ሺ“ሻ ൌ ɘ൫ሺ“ሻ൯ angekommen, wo alle Töne von ሺ“ሻ in die Grundoktave ሾͳǡ ʹሿ gepackt sind. Wir geben in diesem Kapitel ein anschauliches Modell der Reoktavierung, welches in einzigartiger Weise eine Verbindung herstellt zwischen Tönen – Kreisgeometrie – Intervallarithmetk und der berühmten Eulerschen Formel komplexer Zahlen, Sinus und Kosinus enthaltend, sowie der Centfunktion, die ihrerseits ja mit dem Logarithmus zur Basis 2 zu identifizieren ist. Wir wiederholen noch einmal die Notation der Centfunktion – insbesondere ihre „normierte“ Form – und ihre wichtigen Eigenschaften aus Kapitel 8.2: ଵ

…–ሺ“ሻ ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ ଵଶ଴଴ …–ሺ“ሻ, welche die wichtigen und anschaulichen Eigenschaften hat, dass sie „die Oktaven“ zählt und dass sie Produkte in Summen überführt, was sich durch Formeln folgendermaßen ausdrückt …–ሺʹ୫ “ሻ ൌ  ൅ …–ሺ“ሻ

(Oktavzählung)

…–ሺ“ ‫’ כ‬ሻ ൌ …–ሺ“ሻ ൅ …–ሺ’ሻ

(Funktionalgleichung).

214

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Läuft ein Ton von einer gegebenen Tonika-Frequenz ˆ in die Oktave ʹˆ, so laufen die …–-Werte der entsprechenden Frequenzverhältnisse zu ˆ (die sich also von 1 nach 2 bewegen) von 0 nach 1. Beim Weiterwandern in die höhere Folgeoktave Ͷˆ laufen die Werte dann monoton weiter bis zum Wert 2 usw.

4 3

nct(x) =log12(x)

Oktavzählung

2 auf

1 1/4 1/2

ab

1

2

4

8

16

-1 Oktave

-2

Oktave

Oktave

Bereich Abwärts Oktavieren

Oktave

Frequenzmaß

Bereich Aufwärts Oktavieren

Bild 8.8: Die logarithmische Centfunktion

Insbesondere haben wir den monotonen Verlauf: nct X 1

2 Frequenzmaß

nct(x) 0 1 normiertes Centmaß

So weit, so gut. Jetzt machen wir einen kleinen Sprung in die Geometrie – im Vertrauen, dass die Schulgeometrie uns noch ein wenig in Erinnerung ist: Es sei ɔ die Abbildung ɔ ‫ ׷‬ሾͲǡ ʹɎሾ ՜ Թଶ

definiert durch

ɔሺ–ሻ ൌ ሺ…‘• – ǡ •‹ –ሻ.

Mit dem Satz von Pythagoras folgt sofort, dass ȁɔሺ–ሻȁଶ ൌ …‘• ଶ – ൅ •‹ଶ – ൌ ͳ ist; das heißt: Die Bildpunkte ɔሺ–ሻ liegen auf dem Kreis um Ͳ mit Radius ͳ – und wenn – von Ͳ bis ʹɎ läuft, so läuft ɔሺ–ሻ einmal um diesen Kreis herum. Die Variable – ist hierbei die ஑ liefert den proporWinkelvariable im Bogenmaß, und die Gleichung – ൌ ʹɎ ‫כ‬ ଷ଺଴

tionalen Zusammenhang zwischen Bogenmaß – (= Länge des betreffenden Bogenstücks) und dem Gradmaß Ƚ mit Ͳ ൑ Ƚ ൑ ͵͸Ͳ.

8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel

215

t α 1

Bild 8.9: Winkelmaß und Bogenmaß

Im Reich der komplexen Zahlen gibt es folgende berühmte Formel, ɔሺ–ሻ ‫ – •‘… ؠ‬൅ ‹ •‹ – ൌ ‡୧୲ 

Euler-Formel

Deren bemerkenswertester Spezialfall entsteht im Fall tൌ Ɏ und ergibt dann die Gleichung, die alle mathematischen „Naturkonstanten“ (1,0,i,e,Ɏ) in einer einzigen Formel zusammenführt: ‡୧୲ ൅ ͳ ൌ Ͳ. Damit erreichen wir eine äußerst hilfreiche Notation für eine Funktion, welche ein gegebenes Intervall ሾͲǡ ʹɎሿ eindeutig auf die Einheitskreislinie abbildet, aber auch ሾʹɎǡ ͶɎሿ hat das gleiche Bild – m. a. W. ɔ ist ʹɎ – periodisch und im Übrigen gilt die Funktionalgleichung ɔሺ– ൅ •ሻ ൌ ɔሺ–ሻ ‫ כ‬ɔሺ•ሻ. Das heißt: Die Multiplikation zweier Kreispunkte ist wieder ein Kreispunkt – und der Winkel des Produkts ist einfach die Winkelsumme der Faktoren.

t φ

i sin t

α 0

t

2π

cos t

1

Bild 8.10: Die Bogenmaß-Funktion

Nun ist unsere Überlegung, dass der Kreis sicher auch ein ideales Modell für Intervallanalysen wäre; wir haben folgende Vorstellung: Wächst ein Intervall ሾͳǡ “ሿ von “ ൌ ͳ (Prim) bis “ ൌ ʹ (Oktave), so soll ein das Intervall darstellender Kreispunkt sich entlang des Kreises von ͳ einmal herum bewegen. Bei weiterer Erhöhung bekämen wir ganz automatisch die gleichen Punkte wie zuvor – m.

216

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

a. W.: Der Ton wird von „selbst“ in eine Einheitsoktave reoktaviert – zumindest in Form der Kreisbildpunkte. Wie können wir nun dieses Modell in eine Formel packen? Nun, wir brauchen lediglich die Centfunktion mit der komplexen Euler-Formel zu verbinden, dann sind wir am Ziel: Definition 8.7 (Eulersche Centfunktion) Die Funktion Ȱ ‫  ׷‬Թା ՜ ଵ ൌ ሼœ ‫ א‬ԧȁȁœȁ ൌ ͳሽ ౙ౪ሺ౧ሻ

Ȱሺ“ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୯ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ భమబబ ൌ ‡ଶ஠୧୬ୡ୲ሺ୍ሻ ൌ ‡ଶ஠୧୶, wobei q Frequenzfaktor eines Intervalls ൌ ሾͳǡ “ሿ ist, nennen wir Eulersche Centfunktion für Intervalle. Dem großen Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) verdanken wir ja nicht nur die Zusammenhänge der Exponentialfunktion mit den komplexen Zahlen – wir haben ja auch bereits gesehen, wie dieser Universalgelehrte im Tongitter gearbeitet hat. Theorem 8.4 (Reoktavierungsinvarianz der Eulerschen Centfunktion) Es gelten die Formeln: (1) Ȱሺ“ ‫’ כ‬ሻ ൌ Ȱሺ“ሻ ‫ כ‬Ȱሺ’ሻ für alle ’ǡ “ ‫ א‬Թା (2) Ȱሺʹ୫ ሻ ൌ ͳ

für alle  ‫ א‬Ժ

(3) Ȱሺʹ୫ “ሻ ൌ Ȱሺ“ሻ

(Reoktavierungsinvarianz)

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Euler-Formel, den Funktionsgleichungen für ɔ und für die nct-Funktion. Folgerung: (Cent-Winkel-Zusammenhänge) Für ein gegebenes “ ist Ȱሺ“ሻ ൌ ‡ଶ஠୧୶ mit š ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ. Auf ଵ ist nun ʹɎš die Länge des Bogens von ͳ bis Ȱሺ“ሻ, und es sei Ͳ ൑ Ƚ ൏ ͵͸Ͳ der zugehörige Winkel im Gradmaß. Zwischen Grad- und Bogenmaß gibt es die einfache Proportionalität Ƚ ‫͵ ׷‬͸Ͳ ൌ ʹɎš ‫ʹ ׷‬Ɏ ൌ š ‫ͳ ׷‬. Dann folgt wegen š ൌ …–ሺ ሻ die Beziehung ୡ୲ሺ୍ሻ

஑

š ൌ …–ሺ ሻ ൌ ଵଶ଴଴ ൌ Ž‘‰ʹ ሺ“ሻ ൌ Ž‘‰ʹ ሺȁ ȁሻ ൌ ଷ଺଴. Und deshalb gilt der Zusammenhang: Ƚ ൌ ͵͸Ͳ ‫–… כ‬ሺ ሻ

oder

ଷ

Ƚ ൌ ଵ଴ …–ሺ ሻ

Cent-Winkel-Beziehung für Intervalle

8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel

217

2πx, x=log2(q)

Φ(q) α 1

Bild 8.11: Cent-Tonwinkel-Funktion für Intervalle

Fazit: Ein Intervall lässt sich daher eindeutig als Kreissektor mit einem gewissen Öffnungswinkel Ƚ darstellen. Dabei haben wir eine absolut einfach proportionale Beziehung zwischen der Centbemaßung von Intervallen und den Winkeln, nämlich Ƚൌ͵

…–ሺ ሻ Ǥ ͳͲ

Folgerung: Die Intervall-Adjunktion entspricht eindeutig der Winkeladdition. Das heißt: Ist Ƚଵ Winkel von ଵ und Ƚଶ Winkel von ଶ , so ist Ƚଵ ൅ Ƚଶ Winkel von ଵ ْ ଶ bzw. ሺȽଵ ൅ Ƚଶ ሻ‘†͵͸Ͳι Winkel von ሺ ଵ ْ ଶ ሻ‫ כ‬. Speziell: Adjungieren wir ein Intervall (z. B. reine Quinte) -mal – wir bilden also eine -malige Aufwärtsquint-Folge –, so erhalten wir das Ergebnisintervall als das  -malige Abtragen des Winkels Ƚ, der zur Quinte gehört. Wichtig ist dabei: Zählen wir die dabei eventuell auftretenden Vollumdrehungen nicht mit, so liefert der Ergebniswinkel Ƚԏ‘†—Ž‘͵͸Ͳι das Ergebnisintervall ‫ כ‬reoktaviert. Beispiel 8.7 1) Reine Quinte: Ƚ ൌ ͵͸Ͳ

ୡ୲൫ଷൗଶ൯ ଵଶ଴଴

ൌ ͵͸Ͳ ‫כ‬

଻଴ଵǡଽହ ଵଶ଴଴

ൌ ʹͳͲǡͷͺ͸ι ൌ Ƚ୥ (Winkel des Tons g)

Wo liegen 2 geschichtete Quinten? Nun, bei ʹȽ୥ : Eine Quinte bilden bedeutet in unserem Modell nichts anderes, als genau diesen Winkel abzutragen. Vom Ton ‰ kommt man dann zu „†“ mit dem Winkel Ƚୢ ൌ ሺͶʹͳǡͳ͹ʹ െ ͵͸Ͳሻ ൌ ͸ͳǡͳ͹ʹι.

218

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

d αg

αd c

g Bild 8.12:

Illustration Töne und Winkel

Indem wir den Ton-Winkel Ƚ einfach im Ͳ െ ͵͸Ͳι-Bereich ablesen, haben wir also automatisch die Reoktavierung durchgeführt. Und bei rein geometrischer Betrachtung brauchen wir überhaupt nicht darüber nachzudenken, in welchem Oktavraum eine mehrmalige Intervallschichtung landet. 2) Reine Quarte Ƚ୤ ൌ ͵͸Ͳ

…–൫Ͷൗ͵൯ ͳʹͲͲ

ൌ ͵͸Ͳ

ͳʹͲͲ െ ͹Ͳͳǡͻͷ ൌ ͵͸Ͳ െ Ƚ୥ ൌ ͳͶͻǡͶͳ ǥ ι ͳʹͲͲ

Bemerkung: Die Rechnung zeigt und bestätigt, dass komplementäre Intervalle auch komplementäre Winkel haben. Resümee: Die Eulersche Centfunktion Ȱ ‫  ׷‬Թା ՜ ଵ , Ȱሺ“ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୯ሻ ist ein geometrisch-analytisches Modell der Intervalle, wobei die Variable “ der charakterisierende Parameter (Frequenzmaß) der Intervalle ist. In diesem Modell entspricht jedem Intervall ein Winkel Ƚ auf der Kreislinie (gemessen von der positiven reellen Achse) vermöge der Formel Ƚ ൌ ͵

…–ሺ ሻ ൌ ͵͸Ͳ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ Ǥ ͳͲ

In diesem Modell bedeutet oktavieren (um  Oktaven auf/ab) eine Winkeldrehung um  ‫͵ כ‬͸Ͳ (links/rechts) herum. Deshalb unterscheiden die geometrischen Punkte der Kreislinie keine Intervalle, die um Oktaven differieren. Merke: Werden Winkel nur im Bereich Ͳ െ ͵͸Ͳι angegeben, so sind Töne/Intervalle ggf. automatisch reoktaviert (dargestellt durch das Frequenzfaktorintervall ሾͳǡ ʹሾ). Mathematisch bedeutet das: Für alle “ ‫ א‬Թା ist die Reoktavierungsinvarianz durch die Gleichung Ȱ൫ɘ୤ ሺ“ሻ൯ ൌ Ȱሺ“ሻ

8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel

219

ausgedrückt. Das bedeutet: Ist ሺ“ሻ ൌ ൫“୩ ൯୩‫א‬Ժ eine einfache Intervalliteration, so sind die Punktmengen Ȱ൫ሺ“ሻ൯ ൌ Ȱ൫ ‫ כ‬ሺ“ሻ൯ auf der Kreislinie ଵ identisch. Nun hat die Eulersche Centfunktion die Funktionaleigenschaft, dass Produkte in Produkte übergehen, denn in der Tat ist Ȱሺ“ ‫’ כ‬ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୯‫כ‬୮ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ሺ୪୭୥మሺ୯ሻା୪୭୥మሺ୮ሻሻ  ൌ ‡ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୯ሻ ‫‡ כ‬ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୮ሻ ൌ Ȱሺ“ሻ ‫ כ‬Ȱሺ’ሻ, und aus der berühmten Eulerformel, deren Konsequenz auch ist, dass ‡୧୲ ‫‡ כ‬୧ୱ ൌ ‡୧ሺ୲ାୱሻ ist, lesen wir auch ab, dass Ȱሺ“ ‫’ כ‬ሻ ൌ ‡ଶ஠୧ሺ୶భ ା୶మ ሻ ist, wenn Ȱሺ“ሻ ൌ ‡ଶ஠୧୶భ

und

Ȱሺ“ሻ ൌ ‡ଶ஠୧୶మ ist.

Insbesondere gilt dann für eine einfache Iteration, š ൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ …–ሺ“ሻ ୫

Ȱሺ“୫ ሻ ൌ  ൫Ȱሺ“ሻ൯ ൌ ‡ଶ஠୧ሺ୫୶ሻ  mit Winkeln  ‫ כ‬Ƚ,

Ƚ ൌ ͵͸Ͳ ‫š כ‬,  ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ, …

Ȱ൫ሺ“ሻ൯ besteht daher aus einer Punktmenge auf der Kreislinie, welche man durch sukzessives Abtragen des vorgegebenen Winkels Ƚ ൌ ͵͸Ͳȁ ȁଵ von der positiven šAchse aus erhält. Hieraus sehen wir auch – rein geometrisch -: Zunächst: Ist das normierte Centmaß ȁ ȁଵ – und damit Ƚ – rational, so ist auch ୬

஑ ଷ଺଴

ra-

tional. Ist dann Ƚ ൌ ୫ ͵͸Ͳ, so ist Ƚ ൌ ͵͸Ͳ. Das heißt: Nach  Iterationen landet

der Drehpunkt auf dem Ausgangspunkt: Periode, endliche Skala  ‫ כ‬u. v. m. werden somit geometrisch sichtbar und erkennbar.

220

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

8.7 Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy Es mag durchaus sein, dass nur „Mathematiker“ auf die Idee kommen zu fragen: Angenommen, man hat ein Iterationsintervall ሺ“ሻ – z. B. die reine Quinte  ୰ . Dann ist die reoktavierte Ton-/Intervallmenge ሺ“ሻ‫ כ‬eine Folge in ሾͳǡ ʹሿ. Und wie wir nach Kapitel 8.6 wissen, können wir ሺ“ሻ auch als Punktmenge der Kreislinie ଵ auffassen. Frage: Wie ist diese Punktmenge ሼɘሺ“୫ ሻȁ ‫ א‬Ժሽ ‫ ؿ‬ሾͳǡ ʹሿ bzw. ሼȰሺ“୫ ሻȁ ‫ א‬Ժሽ ‫ ؿ‬ଵ verteilt? Die Antwort ist: ୬

̶

Ist “ ൌ ʹ Τ୫ – also …–ሺ ሻ rational – , so ist diese Punktmenge endlich und auf ଵ in regelmäßigen Winkelabständen angeordnet. ̶

Ist “ nicht gebrochene Zweierpotenz – also …–ሺ ሻ nicht rational –, so liegt die Punktmenge dicht verteilt in ሾͳǡ ʹሿ bzw. auf der Kreislinie.

Dabei wollen/müssen wir einen etwas tiefergehenden analytischen Begriff erklären. Es sei  eine Menge in einem reellen Intervall – z. B. in ሾͳǡ ʹሿ.  heißt „dicht verteilt“ ֞ in jeder Nähe eines jeden Punktes aus ሾͳǡ ʹሿ befindet sich ein Element von . Gleichwertig hierzu ist: Wir können in ሾͳǡ ʹሿ kein Subintervall mit einem Durchmesser ɂ ൐ Ͳ finden, in welchem es keine Elemente von  gäbe, und hierbei ist ɂ beliebig klein frei wählbar. Ɛ 1

2 kleines Subintervall und dort muss es auch Elemente von M (also Töne) geben

Bild 8.13:

Skizze zum Tonverteilungssatz

Wir geben nun gleich das allgemeine Resultat. Theorem 8.5 (Tonverteilungssatz von Levy) Es sei  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ eine multiple (reoktavierte) Iteration, wobei nicht alle Maße ห ୨ ห ‫ א‬Է sind. Dann ist  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ unendliche Tonmenge. Sie liegt dicht verteilt ଵ

in [1,2[. Variante: Die Tonfolge Ȱሺ ‫ כ‬ሻ liegt dicht verteilt auf der Kreislinie ଵ – es gibt keine noch so kleinen Segmente, in denen keine Punkte der Tonfolge liegen; Ȱ ist hierbei die soeben in Kapitel 8.6 eingeführte Eulersche Centfunktion.

8.7 Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy

221

Bemerkung: Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden: Gegeben sei ein beliebiger Ton – ଴ im Intervall ሾͳǡ ʹሾ , und ൌ ሾͳǡ “ሿ sei ein Iterationsintervall mit nicht rationalwertigem Centmaß. Dann können wir eine Folge von Tönen aus unserer Gesamtiteration  ‫ כ‬ሺ“ሻ auswählen, welche gegen – ଴ strebt. Durch reoktaviertes, fortgesetztes reoktaviertes Quintenschichten mit beispielsweise reinen Quinten kommt man also einem beliebig vergebenen Ton (welcher also selbst kein reiner Quinteniterationston sein muss) beliebig nahe.

Folge von Iterationspunkten mit Grenzwert t0

Oktave 9/8

1 (q2r)*

3/2 27/16

qr (q3r)*

2

t0

beliebig vorgeben Bild 8.14:

Skizze zum Tonverteilungssatz

Obwohl also  ‫ כ‬ሺ“ሻ selbst „nur eine abzählbar“ unendliche Menge von Tönen ist, hat sie jeden Punkt des kompletten Tonraums als Approximationspunkt. Musikalisch bedeutet das: „Durch Stimmen mit reinen Quinten kann man jeden Ton bei beliebig vorgegebener, kleiner Fehlertoleranz erreichen. Es bedarf im allgemeinen dann natürlich außerordentlich vieler Iterationsquinten (Tausende, Millionen) jenseits jeglicher praktischer Durchführungsmöglichkeit.“ Beweis: Wir haben in Kapitel 8.6 gesehen, dass vermöge der Eulerschen Centfunktion eine reoktavierte Intervallfolge eindeutig einer Punktfolge œ ୬ des Einheitskreises entspricht:  ‫ כ‬ൌ ሺ“୬ ሻ‫ כ‬୬‫א‬Ժ  ՞  ሺœ ୬ ሻ୬‫א‬Ժ ‫ ؿ‬ଵ  Dabei ist dieser Zusammenhang durch die Gleichungskette œ ൌ ‡୧୲ ൌ ‡ଶ஠୧୶ ൌ ‡ଶ஠୧ ୪୭୥మሺ୯ሻ  gegeben.

222

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Ferner ist ȁœȁ ൌ ͳ, und der Winkel, den der „Vektor“ œ mit der positiven Horizontalachse bildet, ist die Zahl – ൌ ʹɎš ൌ ʹɎ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻ ൌ ʹɎ…–ሺ ሻ bzw. Ƚ ൌ ͵͸Ͳ ‫כ‬

୲ ଶ஠

ൌ ͵͸Ͳ Ž‘‰ଶ ሺ“ሻ ൌ ͵͸Ͳ…–ሺ ሻ

(im Bogenmaß) (im Gradmaß).

Wir beachten, dass tatsächlich die Multiplikationsstrukturen, Frequenzfaktorpotenzen “୬ ሺ ‫ א‬Ժሻ einerseits und die Potenzen von œ – also œ ୬ – andererseits sich eindeutig entsprechen. Nun zum eigentlichen Beweis: Nach Voraussetzung ist mindestens eine reoktavierte Teiliteration nicht periodisch; gilt dies – bezeichnungstechnisch – für “ଵ (will sagen Ž‘‰ଶ ሺ“ଵ ሻ sei irrational), so zeigen wir die Aussage bereits für die einfache Iteration ሺ“ଵ ሻ, denn es ist ja  ‫ כ‬ሺ“ଵ ሻ ‫ כ  ؿ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ. Ist dann  ‫ כ‬ሺ“ଵሻ dicht verteilt, dann erst recht ihre Obermenge  ‫ כ‬ሺ“ଵ ǡ ǥ ǡ “ ୩ ሻ. Sei also “ ൌ “ଵ gesetzt. Dann formulieren und beweisen wir nun den Tonverteilungssatz in seiner mathematischen Übersetzung einer Punktiteration der komplexen Kreislinie ଵ mit diesem Parameter “. Um die Vorgehensweise noch einmal in Worten zu beschreiben: Dieser Frequenzparameter und seine Potenzen wird dazu mit der Eulerschen Centfunktion auf Punkte der Kreislinie übertragen, welche also aus Winkelabtragungen mit einem festen Winkel (nämlich dem Winkel des dem Parameter q entsprechenden Kreispunktes z) entstehen. Und dann beobachten wir, welche Punktemenge hierbei entsteht. Satz 8.4 Es sei œ ‫ א‬ଵ , also œ ൌ ‡ଶ஠୧୶ mit einem š ‫ א‬ሾͲǡͳሾ. Dann gilt: Z α 1

a) Entweder ist Ƚ ؔ ͵͸Ͳ ‫ š כ‬଴ ein rationaler Winkel, dann ist die Punktfolge ሺœሻ ൌ ሼœ ୬ ȁ ‫ א‬Ժሽ endlich und periodisch und liefert somit eine regelmäßige Kreisteilung,

8.7 Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy

223

b) Oder aber Ƚ ist irrational, dann ist ሺœሻ ̶

unendlich, ̶

doppelpunktfrei, ̶

dichtverteilt auf der ganzen Kreislinie ଵ .

Beweis: Entscheidend ist folgendes geometrische Gesetz für das Produkt zweier Kreispunkte œ ‫ א‬ଵ , ™ ‫ א‬ଵ . Wenn œ ൌ ‡ଶ஠୧୶ und ™ ൌ ‡ଶ஠୧୷ , dann ist œ ‫ ™ כ‬ൌ ‡ଶ஠୧ሺ୶ା୷ሻ. Als wichtige Folgerung erhält man die Formel von Moivre œ ୬ ൌ ‡ଶ஠୧୬஑

(Formel von Moivre).

Beim Potenzieren einer Zahl œ ‫ א‬ଵ wird also der Winkel entsprechend oft abgetragen; Positive Potenzen ሺœ୬ ሻ verlaufen links herum; negative Potenzen ሺœ ି୬ ሻ verlaufen rechts herum. Z2 α

Z α α 1

Z0

Z3 Bild 8.15:

Skizze zur Formel von Moivre ୬

୬

1. Ist nun šሺൌ Ž‘‰ ଶ ሺ“ሻሻ rational š ൌ , so können wir Ƚ ൌ ‫͵ כ‬͸Ͳ in gekürzter ୫ ୫ Bruchdarstellung schreiben. Also ist Ƚ ൌ  ‫͵ כ‬͸Ͳι ‫Ͳ ؠ‬ι. Das heißt: Für dieses  ist œ ୫ ൌ ͳ, und dann ist auch œ ୫ାଵ ൌ œ ୫ ‫ œ כ‬ൌ œǡ ǥ Es gibt also nur die  verschiedenen Punkte von ሺœሻ ሼͳǡ œǡ ǥ ǡ œ ୫ିଵ ሽ mit zugehörigen Winkeln ሼͲǡ Ƚǡ ʹȽǡ ǥ ǡ ሺ െ ͳሻȽሽ.

224

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Zur Kreisteilung: Weil ǡ  teilerfremd sind, ist der Nenner  die kleinste Zahl, so dass Ƚ ൌ  ‫͵ כ‬͸Ͳι ؆ Ͳι ist. Nun gibt es in der Winkelfolge Ƚǡ ʹȽǡ ǥ ǡ ሺ െ ͳሻȽ, die wir ausschließlich immer im Bereich Ͳ ൑ ‹‡Ž ൏ ͵͸Ͳι angeben, einen kleinsten Winkel. Nehmen wir an, dies sei ŒȽ, welcher zur Potenz œ ୨ bzw. zur j-ten Iteration gehört. Dann liefert die Iteration mit ™ ൌ œ ୨ die gleiche Menge , und der Kreis hat die Aufteilung in  Sektoren mit Öffnungswinkel ŒȽ. Beispiel 8.8 ଻ൗ ଵଶ

“ൌʹ

֞Ƚൌ

଻ ଵଶ

֞ š ൌ Ž‘‰ ଶ ቀʹ

଻ൗ ଵଶ ቁ

ൌ ͹ൗͳʹ

‫͵ כ‬͸Ͳ ൌ ʹͳͲι ൌ ͳͺͲι ൅ ͵Ͳι.

Dann ist die Winkelfolge ሺ‹Ͳι െ ͵͸Ͳιሻ: Ͳǡ ʹͳͲǡ ͸Ͳǡ ʹ͹Ͳǡ ͳʹͲǡ ͵͵Ͳǡ ͳͺͲǡ ͵Ͳǡ ʹͶͲǡ ͻͲǡ ͵ͲͲǡ ͳͷͲǡ ሺ͵͸Ͳ ൌ Ͳሻ Der kleinste Winkel ist ͵Ͳι und alle 12 Winkel sind Vielfache hiervon: Ͳǡ ͵Ͳǡ ͸Ͳǡ ͻͲǡ ǥ ǡ ͵͵Ͳι Wir haben das Modell der 12-stufigen gleichstufigen Temperatur. Und die „Allerweltsskala“ ଵଶ – die gleichstufige chromatische 12-Tonskala – ist geometrisch und rechnerisch als regelmäßig 12-teiliger Kreis modelliert. 2. Für irrationale Winkel kann also nie œ ୬ ൌ œ ୫ für zwei Iterationen ǡ   ്  sein – sonst wäre œ ୬ି୫ ൌ ͳ, und wir hätten dann ja einen rationalen Winkel. Daher ist ሺœሻ doppelpunktfrei und deshalb auch unendlich. Was also zu zeigen ist, ist die Dichteverteilung. Was bedeutet  ‫ ؿ‬ଵ dicht? M ist eine dichte Teilmenge von ଵ genau dann, wenn gezeigt werden kann: Es sei  ‫ א‬Գ eine beliebig große Kreisteilungszahl und ɂ ൌ ʹɎൗ die Länge des Bogenstücks eines Sektors, wenn wir den Kreis ଵ in  Sektoren teilen. Dann muss auf jedem Bogenstück der Länge ɂ mindestens ein Punkt von  liegen.

Ɛ Ɛ Ɛ

N Segmente = Vollkreis Bild 8.16:

Skizze zum Tonverteilungssatz

8.7 Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy

225

Und das sehen wir nun so: Zunächst gilt:  ist unendlich – deswegen gibt es nach einem grundlegenden Satz der Analysis, dem Satz von Bolzanò und Weierstraß, einen sogenannten „Häufungspunkt“ von  in ଵ . Das bedeutet, es gibt eine Zahl œ଴ ‫ א‬ଵ , so dass in jeder ɂ-Umgebung von ihr es mindestens einen und somit auch unendlich viele Punkte von  gibt.

Teil der S1 Ɛ Ɛ z0 Ɛ-Umgebung von z0 auf S1 Bild 8.17:

Skizze zum Tonverteilungssatz

Dies heißt aber, dass es also mindestens zwei solcher Punkte von  gibt, die sich in dem schraffierten Bogenteilstück um œ଴ herum befinden. Das heißt: Es gibt ǡ  ‫ א‬Գ, so dass œ ୬ und œ ୫ in der ɂ-Umgebung von œ଴ liegen. Jetzt kommen zwei Tricks: 1. Die Winkel von œ ୫ und œ ୬ können sich also höchstens um ʹɂ unterscheiden. Nach der soeben zitierten Formel von Moivre gilt für die Winkel: ୬

֜ ‹‡Ž˜‘ œ ൗœ ୫ ൌ ሺ‹‡Ž˜‘œ୬ ሻ െ ሺ‹‡Ž˜‘œ ୫ ሻ ൌ ‹‡Ž˜‘œ୬ି୫ ൌ ‹‡Ž˜‘œ ୨ ሺ‹–Œ ൌ  െ ሻ ൏ ʹߝ 2. Betrachten wir nun genau diesen Kreispunkt ™ ൌ œ୨ ‫ א‬ଵ . Dann ist der Winkel von ™ ൌǣ Ⱦ ൏ ʹߝ. ̶ ̶

෩ ؔ ൛™୪ หŽ ‫ א‬Ժൟ ‫ ؿ‬, da ™ ୪ ൌ œ ୨୪ eine œ -Potenz (also aus ) ist. 

Die Punktfolge ൛™୪ ൟ, bei welcher nun beidseitig der Winkel Ⱦ sukzessive aufaddiert wird, führt demnach zu einer Kreispunktfolge, die konsequenterweise keine Lücken haben kann mit Winkeln größer als Ⱦ. In jedem Kreisbogenstück, welches die ෩ liegen. Wählen Kreisbogenlänge ʹɂ ൐ ߚ hat, muss also ein Punkt der Iterationsfolge  wir  hinreichend groß, so wird ɂ so klein wie gewünscht, und jedes Bogenteilstück mit Länge ʹɂ hat Punkte von . ‫ז‬

226

8 Analytische Theorie der Iterationsskalen

Schlussbemerkung: Dieser Satz zeigt eindrucksvoll, wie fruchtbar die eng verzahnte Verbindung ist aus ̶

der Arithmetik musikalischer Intervalle, ̶

der Eulerschen Centfunktion, ̶

der Geometrie und Analysis der komplexen Zahlen im Einheitskreis.

Jegliche Intervalllehre könnte per se als pure analytische Rechnung im Reich der komplexen Zahlen behandelt werden: Alles, was wir brauchen, liegt griffbereit: Es entsprechen sich eindeutig: ̶

musikalische Intervalle

՞

Adjunktion von Intervallen ՞ ̶ ̶

Reoktavierung

՞

komplexe Zahlen des Einheitskreises ଵ Multiplikation von komplexen Zahlen des Einheitskreises ଵ Kreisperiodizität

Wobei die Arithmetik der komplexen Zahlen – insbesondere derjenigen, die auf dem Einheitskreis liegen – Geometrie in Reinform darstellt – dank der Möglichkeiten, die ihr aus der Euler-Beziehung und dem Reichtum der Winkel-Strukturgesetze erwachsen.

Nachwort Unsere Reise durch den Kosmos der Quintenzirkel, seinen Wölfen, Kommas und Epsilons ist nun zu Ende. Wir haben aber eigentlich nur an den Hauptbahnhöfen gehalten. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass es oft hingegen gerade die Nebenrouten sind, die zum Verweilen und Erleben einladen. Solche Nebenrouten finden wir, wenn wir an einem unserer Hauptbahnhöfe – ob in Zenthausen oder Pythagolingen, in Eulerburg oder Primweiler, in Mitteltonstadt oder Egalingen - umsteigen und neue, unbekannte Gegenden erkunden. Dabei hilft uns zum einen die Lektüre historischer Episoden als Leitfaden und lohnenswerte Reiselektüre, die wir zum Beispiel in dem Büchlein von Dupont ([4]) (wie aber auch in dem Kompendium von Assayag ([1]) sehen könnten. Zum anderen allerdings überrascht uns umgekehrt auch die Mathematik – gemeint ist hier die unsrige heutige – mit ihrem Angebot, manche ihrer Erkenntnisse mit musikalischer Brille lesen zu können: „ Kannst Du die Form einer Trommel hören?“ – diese vor ein paar Jahrzehnten gestellte Frage lenkte den Zug einiger Neugieriger in die Spektralsphären des Laplace-Operators und dessen Familie, die sich vornehmlich in nicht wirklich sichtbaren Mannigfaltigkeiten wohlfühlt – da nicht so häufig durch Besucher gestört. Auch hat es die Allmacht der Computer mittlerweile geschafft, Bach oder Mozart als „Perpetuum mobile“ - den Originalen beinahe ebenbürtig – ungestraft zu plagiatieren. „Sie wollen einen Vormittag lang neue, zuvor von niemandem jemals gehörte Mozartsche Klaviermusik non stop hören? – Kein Problem!“ Und was steckt da hinter allem? Sicher ein Gebräu aus Statistik, Symmetrie-Algebra, Mustern, Algorithmen und anderen geheimen mathematischen Zutaten. Gute Mathematik – Böse Mathematik? Gottlob können wir uns die Bahnhöfe, an denen wir umsteigen möchten, selbst aussuchen. Die Auswahl ist groß. Aber das ist eine andere Geschichte.

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

Bilderverzeichnis Bild 1.1: Bild 1.2: Bild 1.3: Bild 1.4: Bild 1.5: Bild 1.6: Bild 1.7: Bild 1.8: Bild 1.9: Bild 1.10: Bild 1.11: Bild 1.12: Bild 1.13: Bild 2.1: Bild 2.2: Bild 2.3: Bild 2.4: Bild 2.5: Bild 2.6: Bild 2.7: Bild 2.8: Bild 2.9: Bild 2.10: Bild 2.11: Bild 2.12: Bild 2.13: Bild 2.14: Bild 2.15: Bild 3.1: Bild 3.2: Bild 3.3: Bild 3.4: Bild 3.5: Bild 4.1: Bild 4.2: Bild 4.3: Bild 4.4:

Grundform einer periodischen Schwingung Grundschwingung mit 440 periodischen Schwingungen pro Sekunde Teilung einer gespannten Saite Schwingung und Schwebung Frequenzmaß und Frequenzbereiche physikalischer Intervalle Strahlensatz – Viertönesatz Grundmodell der chromatischen Tonleiter Arithmetische und harmonische Teilung musikalischer Intervalle Skizze zur harmonischen Teilung Helmhotzsche Konsonanzfunktion Standard-12-Quintenkreis-Modell Tonspirale, expandierend Tonspirale, kontrahierend Standard-Modell des geschlossenen Quintenkreises Quint-Quart – Teilung der Oktave Tonos – Limma – Apotome Wolfsquinte und Quintenkreis Wolfsquinte und Quintenkreis Halbtonstruktur der Wolfsquinte Wolfsquinte und Quintenkreis Beispiel einer Typ-8-Skala Beispiel einer Typ-9-Skala Beispiel einer Typ-6-Skala Typ-k-Skala als Quintenkreis Gleichheitsbereiche verschiedener Skalentypen Diatonischer Bereich des Standard-Quintenkreises Heptatonische Halbkreise von ͺ Centfunktionen der Elementar-Intervalle Diatonische pythagoräische Skala Chromatische pythagoräische Skala ͳʹ (Modell Typ ͳͳ) Chromatische pythagoräische Skala ͳʹ(Centzahlen) Pythagoräische Quintenspirale Pythagoräische Quintenspirale Konstruktionsprinzip der reinen diatonischen Skala Konstruktionsprinzip der reinen chromatischen Skala Die reine chromatische Skala R12 Tastatur einer 19-stufigen enharmonischen Skala

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

2 4 5 7 9 11 17 26 29 33 38 38 39 46 48 50 54 55 57 58 58 59 60 60 61 64 66 71 74 75 76 84 86 93 95 95 98

230

Bild 4.5: Bild 4.6: Bild 4.7: Bild 4.8: Bild 4.9: Bild 4.10: Bild 4.11: Bild 4.12: Bild 5.1: Bild 5.2: Bild 5.3: Bild 5.4: Bild 5.5: Bild 5.6: Bild 5.7: Bild 5.8: Bild 5.9: Bild 5.10: Bild 6.1: Bild 6.2: Bild 6.3: Bild 6.4: Bild 6.5: Bild 6.6: Bild 6.7: Bild 6.8: Bild 6.9: Bild 6.10: Bild 6.11: Bild 6.12: Bild 6.13: Bild 6.14: Bild 6.15: Bild 6.16: Bild 6.17: Bild 6.18: Bild 6.19: Bild 6.20: Bild 6.21: Bild 6.22: Bild 7.1:

Bildverzeichnis

Diatonik, Chromatik und Enharmonik im Eulergitter Zur Konstruktion von Mersenne Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne Oktavskala der reinen diatonischen Skala Eulersches Tongitter Iteration mit reinen Großterzen Skalen der Großterz-Iteration Mikrointervalle im abstrakten Eulergitter Diatonische Mitteltonskala M7 chromatische Mitteltonskala Chromatische Mitteltonskala M12 Mitteltönige Moll-Terz-Skala Diatonische mitteltönige Moll-Terz-Skala Zur Ganztonteilung der mitteltönigen Moll-Terz-Skala Konstruktion der Wurzel 5 Pythagoräischer Fünfstern Zum Goldenen Schnitt Mitteltönige Tonspirale Arnault-Stimmung Arnold Schlick-Temperatur Schema der Schlick’schen Stimmung der diatonischen Skala Aron-Stimmung der diatonischen mitteltönigen Skala Auswahltemperierungen von Euler und Kepler Euler-Temperatur Kepler-Temperatur Schema der Kirnberger‘schen Auswahl Kirnberger Temperatur 12-gliedrige Quintenkette reiner Quinten Tabelle der Werckmeister II-Temperatur Tabelle der Werckmeister I - Temperatur Tabelle der Werckmeister III-Temperatur Tabelle der Werckmeister IV-Temperatur Ausgleichsprinzip von Zarlino Tabelle der Zarlino-Temperatur Einordnung der Zarlino - Quinte in die Mitteltönigkeit Ausgleichsschema der Zarlino-Temperatur Quintenkette aus reinen Quinten Qr Silbermann I-Stimmung Vergleich der 12-Quinteniteration: Silbermann – pythagoräisch Tonspiralen: Pythagoras und Silbermann Gleichstufigkeit und musikalische Prinzipien

99 100 100 109 111 117 119 124 133 133 134 138 138 138 140 140 141 143 150 151 152 153 153 153 154 155 155 157 157 158 158 158 160 161 162 163 163 164 166 167 171

Bildverzeichnis

Bild 7.2: Bild 7.3: Bild 7.4: Bild 7.5: Bild 7.6: Bild 7.7: Bild 8.1: Bild 8.2: Bild 8.3: Bild 8.4: Bild 8.5: Bild 8.6: Bild 8.7: Bild 8.8: Bild 8.9: Bild 8.10: Bild 8.11: Bild 8.12: Bild 8.13: Bild 8.14: Bild 8.15: Bild 8.16: Bild 8.17:

Gleichstufigkeit und Exponentialfunktion Notenbeispiel: Bartòk, 4. Streichquartett Zum Saitenteilungsmodell der Gitarre Zur Konstruktion von Daniel Strähle Graph der normierten Saitenlängenfunktion Strähle-Funktion Tonspiralen: Expandierend, kontrahierend Eulergitter der reinen Quinten und Terzen Iterationsmodelle im Frequenz- und im Centmaß Abstraktes 2-dimensionales Eulergitter Illustration zum Stufenaufbau periodischer Skalen Hauptkommata im Eulergitter Pythagoräischer Quintenkreis mit Wolfsquinte Die logarithmische Centfunktion Winkelmaß und Bogenmaß Die Bogenmaß-Funktion Cent-Tonwinkel-Funktion für Intervalle Illustration Töne und Winkel Skizze zum Tonverteilungssatz Skizze zum Tonverteilungssatz Skizze zur Formel von Moivre Skizze zum Tonverteilungssatz Skizze zum Tonverteilungssatz

231

174 180 181 183 184 184 196 197 199 202 205 208 211 214 215 215 217 218 220 221 223 224 225

Tabellenverzeichnis Tab. 1.1: Aufzählung der Quintfolgen in Intervallabständen zum Start (Tonika-C) Tab. 1.2: Tabelle der gebräuchlichsten reinen Intervalle Tab. 2.1: Gebräuchliche Quint-Temperierungen Tab. 3.1: Antike Tetrachorde Tab. 4.1: Terzen in der chromatischen Skala ͳʹ Tab. 4.2: Die reine enharmonische Skala R19 Tab. 6.1: Stufung (Tonarten – Charakteristik) einiger Kimberger-Skalen Tab. 6.2: Vergleich der Basisintervalle: Silbermann – gleichstufig – pythagoräisch Tab. 6.3 (Teil 1): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet Tab. 6.4 (Teil 2): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet Tab. 7.1: Cent-Tabelle des 2. Iterationstableaus des Algorithmus von Schröter

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

17 25 72 79 96 97 156 165 167 168 187

Literaturverzeichnis Zum Thema Mathematik und Musik in der Temperierungstheorie [1]

Assayag, G. (edit.): Mathematics and music. Springer, Berlin (2002)

[2]

Billeter, B.: Anweisung zum Stimmen von Tasteninstrumenten in verschiedenen Temperaturen. Merseburger, Kassel (1989)

[3]

Billeter, B.: Zur Wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach. Internationale Zeitschrift für das Orgelwesen Ars Organi 56/2, Mettlach (2008)

[4]

Dupont, W.: Geschichte der musikalischen Temperatur. Orgelbau – Fachverlag Rensch, Lauffen/Neckar (1986)

[5]

Fauvel, J. (edit.): Music and Mathematics. Oxford UP, New York (2003)

[6]

Götze, H., Wille, R.: Musik und Mathematik. Springer, Berlin (1985)

[7]

Kelletat, H.: Zur musikalischen Temperatur I. Merseburger, Kassel (1981)

[8]

Kelletat, H.: Zur musikalischen Temperatur II. Merseburger, Kassel (1982)

[9]

Lange, H.: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart. In: Die Musikforschung p 482 – 497, (1968)

[10]

Lange, H.: Tonlogarithmen. Heinrichshoven, Wilhelmshaven (1978)

[11]

Neuwirth, E.: Musikalische Stimmungen. Springer Wien (1997)

[12]

Nix, J.: Lehrgang der Stimmkunst. Verlag Erwin Bochinsky, Frankfurt (1988)

[13]

Reckziegel, W.: Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik. in: Forschungsberichte des Landes NRW Nr. 1768, Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen (1966)

[14]

Reimer, M.: Der Klang als Formel. Oldenbourg, München (2010)

[15]

Schröder, E.: Mathematik im Reich der Töne. BSB Teubner, Leipzig (1990)

[16]

Schugk, H. J.: Praxis barocker Stimmungen und ihre theoretischen Grundlagen. Verlag Rolf Drescher (Selbstverlag) (1983)

[17]

Taschner, R.: Der Zahlen gigantische Schatten. Vieweg, Wiesbaden (2004)

[18]

Vogel, M.: Die Lehre von den Tonbeziehungen. In: Systematische Musikwissenschaft, Düsseldorf (1975)

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

236

Literaturverzeichnis

Ergänzende Literatur zum Thema (aus Mathematik, Akustik und Physik) [19]

Adelung, W.: Einführung in den Orgelbau. Breitkopf & Härtel, Wiesbaden (1987)

[20]

Berg, R.E., Stork, D. G.: The Physics of Sound. Prentice Hall, New Jersey (1995)

[21]

Borucki, H.: Einführung in die Akustik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (1989)

[22]

Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart (2004)

[23]

Magnus, K., Popp, K.: Schwingungen. Teubner, Stuttgart (2005)

[24]

Meyer, E., Neumann, E.-G.: Physikalische und technische Akustik. Vieweg, Braunschweig (1967)

[25]

Roederer, J. G.: Physikalische und psychoakustische Grundlagen der Musik. Springer, Berlin (1977)

[26]

Rossing, T.D., Fletcher, N.H.: Principles of Vibration and Sound. Second edition. Springer, New York (2004)

[27]

Wood`s, A.: The Physics of Music. Chapman and Hall, London (1975)

Formeln – Sätze – Kernaussagen 1. Mittelwertsatz für musikalische Intervalle

26

2. Mittelwertsatz für musikalische Intervalle

28

12-Quintensatz der Mitteltönigkeit

132

Charakterisierungseigenschaft der Mitteltonskala der reinen Dur-Terz

135

Chromatische Oktavformel

49

Chromatischer Quintskalen

16

Diatonische Oktavformel

49

Diatonische, tetrachordische Skalen, Komma-Formel

15

Diatonischer, quintgenerierter Skalen

18

Diatonisches Prinzip

11

Eindeutigkeit und Unendlichkeit der pythagoräischen Quintenspirale

85

Eindeutigkeitssatz multipler geometrischer Tonfolgen

40

Elementar-Intervalle und Quintformeln

48

Endlichkeitssatz für geometrische Folgen

35

Eulersches Terz-Quint-Gitter

112

Gleichstufige Skalen

172

Harmonische Teilung des Monochords

30

Intervallanzahlen bei einfachen Iterationen

208

Intervallbasis der ETS-Skalen

179

Kommasatz der reinen Skala

107

Kommata

18

Konsonanzgrad

31

Konstruktion beliebiger ETS-Skalen Mersenne’sche Frequenzformel

175 6

Minimaleigenschaft der ETS-Skalen

175

Monochord-Formeln

5, 6

Multiple Iterationen mit gleichen Tönen

197

Multiplikationssatz

9

Periodizität einfacher Iterationen

204

Periodizität multipler Iterationen

206

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

238

Prinzip der Erhaltung der Tonika

Formeln – Sätze – Kernaussagen

113

Pythagoräisches Komma

75

Quintenkreis-Formel

48

Quintgenerierte, chromatische Skalen

60

Quintgenerierte, diatonische Skalen

53

Quintiterationen

19

Reoktavierungsinvarianz der Eulerschen Centfunktion

216

Schnell-Formeln der Quint-Iteration

70

Semiton-Bedingung

50

Superpartikulare Intervalle

116

Terz – Quint – Oktav – Formeln der Kommata

122

Tetrachord-Formeln

49

Theorem von Babbitt

178

Tonartencharakteristik

65

Tondichte pythagoräischer Tonfolgen

90

Tonverteilung – Theorem von Levy

220

Tonverteilungssatz (Satz von Levy)

41

Tonverteilungssatz für die Mitteltönigkeit

143

Unmöglichkeit gleichstufiger reiner Skalen

114

Viertönesatz

9

Stichwortverzeichnis Adjunktion von Intervallen

14

Andreas Werckmeister - Ausgleichungstemperaturen

157

Apotome, chromatischer Halbton

48

Arithmetische Folge

193

Arithmetisches Mittel

24

Arnold Schlick - Mitteltönigkeit (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

135

Bosanquet - Harmonium

87

Centmaß für Intervalle

22

Cent-Winkel für Intervalle

216

Chromatische Mitteltonskala der reinen Dur-Terz

133

Chromatische Mitteltonskala der reinen Moll-Terz

138

Chromatische pythagoräische Skala

75

Chromatischer Ganzton

67

Diaschisma

104, 107

Diatonische Mitteltonskala der reinen Dur-Terz

133

Diatonische Mitteltonskala der reinen Moll-Terz

138

Diatonische pythagoräische Skala

74

Diatonische Skala

11

Diatonischer Ganzton

65

Die 31-stufige Skala von Mersenne

99, 100

Einfach superpartikulares Intervall

116

Einfache Iterationen

195

Enharmonisch - Chromatisch - Diatonisch

78

Eulersche Centfunktion

42, 213

Eulersche Konsonanz-Funkion „Gradus suavitatis“

32

Eulersches Tongitter (Terz-Quint-Gitter)

111

Frequenz

2

Frequenzfaktordarstellung

13

Frequenzmaß Geometrische Folge

9 34, 35, 193

K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI 10.1007/978-3-8348-8667-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

240

Geometrisches Mittel

Stichwortverzeichnis

25

Gioseffo Zarlino - Ausgleichungstemperatur

159

Gleichstufige Skala

174

Gleichstufige Temperierung

51

Gleichstufigkeitsalgorithmus von Christoph Gottlieb Schröter

186

Goldener Schnitt

141

Große Diesis

105

Großes Chroma

105

Grundschwingung, Tonhöhe

3

Harmonische Teilung

29

Harmonisches Mittel

25

Henri Arnault de Zwolle - pythagoräische Temperatur Heptatonische Skala Intervall

150 11 8

Intervallbasis eines ETS – Systems

179

Johann Philipp Kirnberger - Auswahltemperatur

154

Johannes Kepler - Auswahltemperatur

153

Kleine Diesis

105

Kleines Chroma

105

Komma Leitereigene Halbtöne Leonhard Euler - Auswahltemperatur Limma, diatonischer Halbton

47, 48 49 153 48

Mitteltönige Apotome (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

132

Mitteltönige Apotome (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz)

138

Mitteltönige Großterz-Temperierung

51

Mitteltönige Kleinterz-Temperierung

51

Mitteltönige Quinte (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

131

Mitteltönige Quinte (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz)

137

Mitteltönige Stimmung (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

132

Mitteltönige Tonspirale Mitteltöniger Ganzton (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

142, 143 132

Stichwortverzeichnis

241

Mitteltöniger Ganzton (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz)

138

Mitteltöniger Halbton (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

132

Mitteltöniges Limma (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz)

132

Mitteltöniges Limma (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz)

138

Mitteltönigkeit nach dem Prinzip möglichst vieler reiner Großterzen

129

Monochord Multiple Iterationen Musikalischer Ton Natürlich-Harmonisches System Normierte Centfunktion

5 297 3 92 194

Oberschwingungen, Obertöne, Partialtöne

3

Oktave

4

Periodische eindimensionale Schwingung

2

Pythagoräische Quintenspirale, Pythagoräischer Quintenkreis

84

Pythagoräische Temperierung

50

Pythagoräischer chromatischer Halbton (Apotome)

74

Pythagoräischer diatonischer Halbton (Limma)

74

Pythagoräischer Ganzton (Tonos)

74

Pythagoräisches Komma Quinte

16, 75 4

Reine chromatische Skala

95

Reine diatonische, heptatonische Skala

93

Reine enharmonische Skala

97

Reine Großterz-Skala Reines Intervall Reoktavierte Tonfolgen Reoktavierung

117 92 198 35

Reoktavierungsoperator

200

Schisma

105

Schwebung

7, 8

Silbermann-Ganzton

165

Silbermann-Quinte

164

242

Silbermann-Temperatur

Stichwortverzeichnis

163

Silbermann-Temperierung

51

Standard-Quintiteration

52

Strähle-Verfahren zur Gitarrenbund-Bestimmung Subjunktion von Intervallen

183 14

Syntonisches (oder Didymisches) Komma

104

Temperierter Ganzton

172

Temperierter Halbton

172

Terz

4

Tetractys von Pythagoras

76

Tonartencharakteristik

68

Tonos, Ganzton

48

Wolfsquinte

54

Zarlino-Ganzton

161

Zarlino-Komma

161

Zarlino-Quinte

161

Zarlino-Temperierung

51