Programmieren in C: Eine mathematikorientierte Einfuhrung

Kirsch · Schmitt Programmieren in C

Ralf Kirsch · Uwe Schmitt

Programmieren in C Eine mathematikorientierte Einführung

Mit 24 Abbildungen und 13 Tabellen

123

Dr. rer. nat. Ralf Kirsch Dr. rer. nat. Uwe Schmitt Fachrichtung 6.1 Mathematik Universität des Saarlandes Postfach 15 11 50 66041 Saarbrücken E-mail: [email protected] [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Mathematics Subject Classification (2000): 68-01, 68N15, 65Y99

ISBN 978-3-540-45383-3 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Datenerstellung durch die Autoren unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3100YL - 5 4 3 2 1 0

      

     

         

              

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  -   &     ( C K 0 A  λ+ > λ− B %      λ < 0 A  λ+ < λ− B 

      * (   AENB       λ > 0    2  

  (      &   (   5 2       t        " 4 6       :  (  +           -    &     (  • λ+  λ−  %7 ( " % -I  % A" !   ( ,  %B(       " % 4 λ+ (t)  λ− (t) " (          -I  S • λ+  λ−   N (t)   %(    7 "   2   (  " 4  )%

$        " (    57   N  +   λ+   λ− %  '      (     # λ    : λ(t, N (t)) = λ+ (t, N (t)) − λ− (t, N (t))

   (   "      $    AEKB     "   N ′ (t) = λ t, N (t) N (t) .

AEFB

  J    (          :  y ′ (t) = f (t, y(t))

,

y(t0 ) = y0 ,

AEMB

 t0 , y0 ∈ R     '      N    :(   f    " :  f (t, N (t)) = λ(t, N (t)) N (t)

" 

 -

  : f (  > ?  t  y  %(     :6%      &  " %  % A   QF℄B     :   -6"  -  ,5      AEMB       A  QEM℄B(   

$

"     

'

    ,5     

   AENB 

   /  5  +   %  !     "   ⊓ ⊔ 1! ; < , 0    . ,>;

   :"  A+,)B(    "  : %  ! % 3(   

     A 

  B "   -    n       

  2     -      #  (j)

(j)

x(j) = (x1 , x2 )

 j = 1, . . . n .

! "(    I%    " )"   %

 (   m     %  &  #  (i) (i) y (i) = (y1 , y2 )  i = 1, . . . m ,   

   2  %  ri    +      & (      

 

      9  8 E  %   

    " D     "    -%  ' pj  %        xj (     

      yi   '% Rij =

C pj yi − xj 2

 i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n ,

 '       ·       -8 y − x =

 (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 ,

   ( 

AELB "

x = (x1 , x2 ) , y = (y1 , y2 ).

/    % C > 0      - I     (    5     "  % A,   $   * % B &  (     5       &    # "    +    "      &  (   %7  -I        4    K       (     "  %     %   -  1  yi        %   8 ri = Ri1 + Ri2 + · · · + Rin =

n  j=1

Rij

AEOB

(

     

“` ´ ” (•)

(i)

(j) (i) y2 −x2

“`

(•) x(j)

y (i) ⊕

(j)

y1 −x1

)  “` ´” (•)

yi − xj  ´”

 ! “* "    ! !$ + ,  ` ´”

  

(•)

 ! -  " !   ⊕$

   (     AEOB  

  

i = 1, . . . , m   "

     AELB

aij =    AELB

C , yi − xj 2 Rij = aij pj



i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n ,

   8

ri = ai1 p1 + ai2 p2 + · · · + ain pn =

n 

aij pj ,

i = 1, . . . , m .

           

 2

C C a11 a12 . . . a1n ··· 2 ⎜ y − x  y − xn 2 ⎜ ⎟ 1 1 1 a2n ⎟ ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜   ⎟=⎜   A=⎜  ···   ⎟ ⎜  ⎝  · · · · · ·  ⎠ ⎜ ⎝ C C ··· am1 am2 · · · amn ym − x1 2 ym − xn 2 ⎛

  AB

⎞

AE;B

j=1

⎛

 

⎞ p1 ⎜ ⎟ ⎜ p2 ⎟ ⎟ p=⎜ ⎜  ⎟ , ⎝  ⎠ pn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

A  " QL℄B :     

ri

" 

yi

 % 

$

⎛

"     

.

⎞

r1 ⎟ ⎜ ⎜ r2 ⎟ ⎟ r=⎜ ⎜  ⎟ , ⎝  ⎠ rm

"(  %     AE;B  "   

  Ap = r ,

p ∈ Rn , r ∈ Rm , A ∈ Rm×n ,

AEE 0   1  o(x B     $    x → −∞ :  n ∈ N   

n+ǫ

B

xn = o(ex ) &   "  8 > 2 "  )     



x → ∞.

 -6 %      

⊓ ⊔

x?

f (x) = O(f (x))

  

3     

f (x) = o(g(x)) ⇒ f (x) = O(g(x))  +    -     " "8

;   9   %    :         a + b    "%  (  a, b ∈ R \ {0} '    b    (     :   -  |(a + b) − (a + ˜b)| = |b − ˜b|

       :   "  |b| |(a + b) − (a + ˜b)| = erel (b) . |a + b| |a + b|

 3    :(   a     (    |(a + b) − (˜ a + b)| |a| = erel (a) . |a + b| |a + b|

+ 5    :  8 +   :   a  b     (        

       %"  8 |(a + b) − (˜ a + ˜b)| = |(a + b) − (a + ˜b) + (a + b) − (˜ a + b)| ≤ |(a + b) − (a + ˜b)| + |(a + b) − (˜ a + b)| .

     

-"     erel (a + b) =

|b| erel (b) + |a| erel (a) |(a + b) − (˜ a + ˜b)| ≤ . |a + b| |a + b|

AEELB

&         :   %"   (    :     6   %   (  |a + b| 

      8

/

          *  a, b ∈ R       + a ≈ −b .

           +      "  (   |a + b| = |a| + |b|        |a| ≤ 1, |a + b|

|b| ≤1 |a + b|

 -   % ⊓ ⊔  %      +  "   (   &  "        D  "      A ENB

            " 5     + " -      4

  .   " :(           (           4         -    !   :  (    *   (  "  (             4       

;;     B ∈ N  B ≥ 2  6  " 2 "   x     :  x = (−1)s

N 

xj B j ,

AEEOB

j=0

 N ∈ N0 , xj ∈ {0, . . . , B − 1}

 j = 1, . . . , N , s ∈ {0, 1} .

: x = 0     (   xN = 0

  '     B (    #  $  xj   1       x "  B  x = xN xN −1 . . . x0 |B ,

    :  "  AB = 10B     

$&

1! ;;

 • • •

9  !

0

 " $      x  30  

8    A " ( B = 2B8 x = 11110|2( 5     AB = 8B8 x = 36|8 ( 2   0    AB = 16B8 x = 1E|16 

   "    $  0, . . . , 9, A, B, C, D, E, F "   ⊓ ⊔ 

 #" %         (        " A   QEF℄B8 #, ; ; ) B ∈ N B ≥ 2= 0    >   x ∈ R \ {0}    (    9

s

x = (−1) B

N

∞ 

xn B −n .

AEE;B

n=0

0   N ∈ Z xn ∈ {0, . . . , B − 1}  s ∈ {0, 1}= 0 0         x0 = 0    > m ∈ N  n ≥ m 2   xn = B − 1=

 "    -  %  *  4 (  " 0.99999 · · · = 0.¯9  E  

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