Practicas De Variable Compleja

´ PRACTICAS DE VARIABLE COMPLEJA Departamento de An´alisis Matem´atico Curso 2000/2001

Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica

1 2 3 4 5 6 7 8 9

El Sistema de los n´ umeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. . . . . . . . Integraci´ on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. ´ Indice y Teorema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . Series de Laurent. Singularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo de residuos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo de integrales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 3 6 10 13 17 18 20 22

Curso 2000/2001

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Pr´ actica 1 El Sistema de los n´ umeros complejos. Un n´ umero complejo se escribe como z = x + iy donde x = <ez se denomina parte real de z e y = =mz parte imaginaria. El n´ umero z = xp − iy se llama √ el complejo conjugado de z. El valor absoluto de z = x + iy se define como |z| = x2 + y 2 = z · z. Todo n´ umero complejo z 6= 0 se puede escribir en coordenadas polares como z = |z|(cos t + i sen t), siendo t ∈ R. Cada uno de los valores t que cumplen la anterior igualdad se dice que es un argumento de z. Dos de estos valores difieren en un m´ ultiplo de 2π, con lo cual s´olo hay un valor en el intervalo ] − π, π], que se denomina argumento principal. En los siguientes problemas se utilizan u ´nicamente las propiedades elementales de las operaciones con n´ umeros complejos. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 1.1 Expresar los siguientes n´ umeros complejos en la forma x + iy. (i) (1 + 2i)3 5 (ii) −3+4i  2 2+i (iii) 3−2i (iv) i5 + i16 1+i (v) 1+i −8 (vi) (1 + i)n − (1 − i)n P100 k (vii) k=1 i Ejercicio 1.2 Probar que (i) |z + 1| > |z − 1| ⇐⇒ <ez > 0 (ii) =mz > 0 e =mw > 0 → z−w z−w < 1 (iii) |z − w|2 ≤ (1 + |z|2 ) · (1 + |w|2 ) Ejercicio 1.3 3.- Probar la ley del paralelogramo: |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ) para todo z, w ∈ C. Ejercicio 1.4 Sean a, b, z ∈ C tales que |z| = 1. Probar que az+b = 1. bz+a Ejercicio 1.5 Pn j Sea P (z) un polinomio con coeficientes complejos; esto es, P (z) = j=0 aj z , y sea P (z) = Pn j j=0 aj z . Probar que (i) P (z) = P (z) para todo z ∈ C. (ii) Si aj ∈ R para todo j y z0 es una ra´ız de P (z) = 0, entonces z 0 tambi´en lo es.

Variable compleja

Pr´actica 1:

El Sistema de los n´ umeros complejos.

2

Ra´ıces de n´ umeros complejos Si z ∈ C, con z 6= 0 y n ∈ N, entonces existen ex´actamente n n´ umeros complejos diferentes z0 , z1 , ... ,zn−1 tales que zkn = z para k = 0, . . . , n − 1. Escribiendo z = |z| · (cos t + i sen t ) con t ∈ [0, 2π[, las ra´ıces vienen dadas por las f´ormulas p t + 2kπ t + 2kπ n |z|Cdot(Cos + i sen ), k = 0, 1, . . . , n − 1. n n √ Por tanto, dado z 6= 0, la expresi´ on n z designa un conjunto de n elementos. zk =

Ejemplo 1.1 Vamos a calcular las ra´ıces c´ ubicas de 1. Por ser 1 = cos 0 + i sen 0, se sigue de la f´ormula anterior que las ra´ıces c´ ubicas son z0 = √ √ 3 3 2π 1 4π 4π 1 Cos0 + i sen 0 = 1, z1 = cos 2π + i sen = − + i y z = cos + i sen = − − i . 2 3 3 2 2 3 3 2 2 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 1.6 Calcular las siguientes expresiones. √ (i) 3√2 + 2i. (ii) 4pi. √ 4 (iii) √ 3 + 3i. (iv) 3 −1. Ejercicio 1.7 (i) Resolver la ecuaci´ on z = z n−1 , siendo n ∈ N y n 6= 2. (ii) Determinar los valores x, y ∈ R que satisfacen la igualdad x + iy = (x − iy)2 . Ejercicio 1.8 Probar que las ra´ıces n-´esimas de la unidad distintas de 1 satisfacen la ecuaci´on 1+z+z 2 +· · ·+z n−1 = 0.

Variable compleja

Curso 2000/2001

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Pr´ actica 2 Funciones holomorfas Una funci´on de variable compleja f : D → C se dice que es derivable en z0 ∈ C si existe l´ım

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

∂v y ese n´ umero complejo se denota por f 0 (z0 ). Es f´acil ver que f 0 (z0 ) = ∂u ∂x + i ∂x . La derivaci´ on compleja verifica las propiedades usuales de la derivaci´on de suma, producto, cociente o composici´on de funciones derivables. La relaci´ on entre la derivabilidad de una funci´on compleja y la diferenciabilidad como funci´on de un subconjunto de R2 en R2 viene expresada por el siguiente resultado. Una funci´ on f es derivable en z0 = (x0 , y0 ) si, y s´olo si, es diferenciable en (x0 , y0 ) y se cumplen ∂v ∂v ∂u las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂x (x0 , y0 ) = ∂y (x0 , y0 ) y ∂x (x0 , y0 ) = − ∂y (x0 , y0 ).

Ejemplo 2.1 La funci´on definida por f (x + iy) = (x2 − y 2 ) + i2xy es derivable compleja. En efecto, por un lado es diferenciable en cualquier punto por ser cada componente un polinomio. Por ∂v ∂u ∂v otro lado, como u(x, y) = x2 −y 2 y v(x, y) = 2xy, se verifica que ∂u ∂x = 2x = ∂y y ∂y = −2y = − ∂x . 0 Adem´as, f (z) = 2x + i2y = 2z. Otra manera de verlo es comprobando que, en realidad, f (z) = z 2 .

Ejemplo 2.2 La funci´on definida por f (x + iy) = (x2 − 3y) + i(y 2 + 2xy) no es derivable compleja en ning´ un punto porque, aunque es diferenciable (al ser cada componente un polinomio), no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sean u(x, y) = x2 − 3y y v(x, y) = y 2 + 2xy. Si se cumpliesen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ∂v olo se cumple para y = 0. Por otra parte, de entonces ∂u ∂x = ∂y con lo cual 2x = 2y + 2x que s´ ∂u ∂v = − se deduce que −3 = −2y, con lo cual y = 6 0. ∂y ∂x

1

PROBLEMAS PROPUESTOS

Ejercicio 2.1 Estudiar para qu´e valores son diferenciables y para qu´e valores son derivables las siguientes funciones. (i) f (x + iy) = x. (ii) f (x + iy) = y. (iii) f (x + iy) = x2 + y 2 . Ejercicio 2.2 (i) Demostrar que la funci´ on conjugado f (z) = z es diferenciable en todo punto y derivable en ninguno. (ii) Si f : C → C es una funci´ on derivable en todo punto, demostrar que existe g : C → C derivable tal que g(z) = f (z). Ejercicio 2.3 Probar que las siguientes funciones cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto 0 pero no son derivables complejas.

Variable compleja

Pr´actica 2:

Funciones holomorfas

4

 (i)

f (x + iy) =

x3 −y 3 x2 +y 2

0, 

(ii)

(iii)

f (z) =

3

3

+ i xx2 +y 6 0; +y 2 , si x + iy = si x + iy = 0. z5 |z 4 | ,

0,

f (x + iy) =

si z 6= 0; si z = 0. p

|x| · |y|

Ejercicio 2.4 Estudiar en qu´e puntos las siguientes funciones son derivables y calcular sus derivadas. (i) f (x + iy) = x2 + iy 2 (ii) f (x + iy) = x2 + 2x − iy (iii) f (x + iy) = 2xy + i(x + 23 y 3 ) Ejercicio 2.5 Calcular los valores que deben tomar a, b, c ∈ R para que la funci´on f sea derivable en C. (i) f (x + iy) = x + ay + i(bx + cy) (ii) f (x + iy) = cos x (ch y + a sh y) + i sen x (ch y + b sh y) Ejercicio 2.6 En este problema se muestra que el teorema del valor medio no se cumple para la derivada compleja. Probar que para todo λ ∈ R se cumple |λ + i(1 − λ)|2 ≥ 21 . Deducir que si f (z) = z 3 , no existe ξ ∈ [1, i] tal que f (i) − f (1) = (i − 1)f 0 (ξ). Ejercicio 2.7 Sean D ⊂ C un abierto conexo y f : D → C una funci´on derivable en D (i) Demostrar que si f 0 (z) = 0 para todo z ∈ D, entonces f es constante. (ii) Probar que si para un n ∈ N se cumple que f (n+1) (z) = 0 para todo z ∈ D, entonces f es un polinomio de grado menor o igual que n. Ejercicio 2.8 Sea f : D → C derivable en z ∈ D, con f 0 (z) 6= 0. (i) Probar que f preserva el ´ angulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z. (ii) Demostrar que f preserva la magnitud del ´angulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z, pero invierte la orientaci´ on. Ejercicio 2.9 Sean D ⊂ C un abierto conexo y f : D → C una funci´on derivable en D, con u = <ef y v = =mf . Probar que f es constante en D si se cumple una de las siguientes condiciones: (i) v(x, y) = u(x, y)2 para todo z = x + iy ∈ D. (ii) u(x, y)2 + v(x, y)2 = cte para todo z = x + iy ∈ D. (iii) Existen a, b ∈ R\{0} tales que au(x, y)2 + bv(x, y)2 = cte para todo z = x + iy ∈ D. Ejercicio 2.10 Sea f : C → C de la forma f (x + iy) = u(x) + iv(y). Probar que f es derivable en C si, y s´olo si, existen λ ∈ R y c ∈ C tales que f (z) = λz + c para todo z ∈ C. Ejercicio 2.11 Sea f : D → C, donde D es un abierto convexo. Demostrar que si f es derivable en D y ∂u ∂v 0 es constante. ∂x + ∂y = 0 para todo x + iy ∈ D, entonces f

Variable compleja

Pr´actica 2:

Funciones holomorfas

5

Ejercicio 2.12 Demostrar que una funci´ on derivable en un abierto conexo D y cuyos valores son reales se reduce a una constante.

Variable compleja

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Pr´ actica 3 Series de potencias 1

Radios de convergencia

Presentamos en primer lugar la f´ ormula de Cauchy-Hadamard para el c´alculo del radio de convergencia de una serie de potencias: P∞ Dada la serie de potencias n=0 an (z − a)n , se considera R=

1 1

l´ım supn→∞ |an | n

.

Entonces: a) Si |z − a| < R, la serie converge absolutamente; adem´ as, si 0 < r < R, la serie converge uniformemente en {z : |z| ≤ r}. b) Si |z − a| > R, la serie diverge. Ejemplo 3.1 ∞ X

2

n!z n ,

n=0

Obs´ervese que esta serie puede reescribirse en la forma ∞ X

an z n ,

n=0

donde

 an = 1

n 6= k 2 n = k2

0, si k!, si

∀k ∈ N para alg´ un k ∈ N

1

As´ı, l´ım sup |an | n = sup{0, l´ımn→∞ (n!) n2 } = 1, y por lo tanto el radio de convergencia de la serie es 1. Para calcular el radio de convergencia de las series de potencias, es a veces u ´til la siguiente propiedad: P∞ Sea n=0 an (z − a)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces: R = l´ım | n→∞

an |, an+1

cuando el l´ımite existe. La f´ormulaPde Cauchy-Hadamard no proporciona informaci´on sobre el comportamiento de una serie ∞ de potencias n=0 an (z − a)n en los puntos donde |z − a| = R, siendo R el radio de convergencia. En tales puntos, es necesario un estudio particular de la serie considerada. EjemploP3.2 n ∞ La serie n=1 zn tiene radio de convergencia 1. Debe estudiarse as´ı su convergencia o divergencia para los valores z ∈ C tales que |z| = 1. P∞ La serie arm´onica n=1 n1 es divergente; si |z| = 1, z 6= 1, se tiene que: n X z − z n+1 2 ≤ zj = , 1 − z |1 − z| j=1

Variable compleja

Pr´actica 3:

Series de potencias

7

y por lo tanto la serie:

∞ X zn n n=1

converge por el criterio de Dirichlet: Pn + Sea {an }∞ otona decreciente y convergente a 0 y sea {bn }∞ ⊆ C tal que { j=1 bj }∞ n=1 ⊆ R mon´ n=1 n=1 P∞ est´ a acotada. Entonces la serie n=1 an bn es convergente en C.

2

Problemas propuestos.

Ejercicio 3.1 Calcula el radio de convergencia de las siguientes series de potencias: (i)

∞ X

nlog n z n

∞ X nn n z n! n=0

(ii)

n=2

(iv)

∞ X

n n!

2 z

n=0

∞ X

(v)

sin nz

n

∞ X

(vi)

 ∞  X n+a n

n=0

an z n donde an =

 1  m2 , 

n=0

2

an z 1+2+···+n

n=0

n=0

(vii)

∞ X

(iii)

2m 2m+1 , 4

m ,

si si si

zn a ∈ N

n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m + 2.

Ejercicio 3.2 Estudia el comportamiento en la frontera del disco de convergencia de las siguientes series: (i)

∞ X

zn

(ii)

n=1

(iv)

3

∞ X zn n2 n=1

∞ X z pn p∈N n n=1

(iii)

∞ X

(−1)n

n=1

(v)

∞ X n=1

(−1)n

zn n

z 3n−1 log n

Producto de series. Holomorf´ıa de las funciones anal´ıticas.

Una funci´on que puede expresarse por medio de una serie de potencias se denomina anal´ıtica. Una funci´on anal´ıtica ∞ X f (z) = an (z − a)n n=0

es infinitamentePdiferenciable en el interior de su disco de convergencia D(a, R). Adem´as se cumple: ∞ 1.- f 0 (z) = n=1 nan (z − a)n−1 ∀z ∈ D(a, R). 1 (n) 2.- an = n! f (a) ∀n ≥ 0. Como consecuencia, el desarrollo en serie de potencias de una funci´on anal´ıtica es u ´nico. Ejemplo 3.3 Calcular la serie de potencias de

z (1−z)2 ,.

Consideremos en primer lugar la identidad elemental: n X j=0

zj =

1 − z n+1 , 1−z

Variable compleja

Pr´actica 3:

Series de potencias

de donde se obtiene:

8

∞ X 1 = zn 1 − z n=0

∀z : |z| < 1.

Tomando derivadas en la igualdad anterior y multiplicando por z se deduce que: z = z + 2z 2 + 3z 3 + · · · + nz n + · · · . (1 − z)2 Un criterio de utilidad en el estudio de las series de potencias es el llamado teorema de Mertens: P∞ P∞ n n Sean A(z) = n=0 an (z − a) , B(z) = n=0 bn (z − a) dos series de potencias con radio de convergencia R1 , R2 , respectivamente. Entonces A(z)B(z) define una serie de potencias: A(z)B(z) =

∞ X

cn (z − a)n ,

n=0

cn =

n X

ak bn−k ,

k=0

convergente en el recinto |z − a| < m´ın(R1 , R2 ). Ejemplo 3.4 Calcular la serie de potencias centrada en 0 de ∞ X ez = an z n ∈ H(C − {1, 3}), z 2 − 4z + 3 n=0

Escribimos: 2

(z − 4z + 3)(

∞ X

an z n ) = ez ,

n=0

y el teorema de Mertens asegura que: ∞ ∞ X X zn z = e = 3a0 + (3a1 − 4a0 )z + (an−2 − 4an−1 + 3an )z n . n! n=0 n=2

Por la unicidad del desarrollo en serie, se obtiene: a0 =

4an−1 − an−2 + 1 7 , a1 = , an = 3 9 3

1 n!

∀n ≥ 2.

Ejemplo 3.5 Ejemplo 3. Sea L una determinaci´ on continua del logaritmo en un entorno de 0, calcular el desarrollo 1+z ). en serie de potencias centrado en 0 de f (z) := L( 1−z Observemos que f 0 (z) =

∞ ∞ ∞ X X X 1 1 + = (−1)n z n + zn = 2 z 2n . 1+z 1 − z n=0 n=0 n=0

Por tanto f (z) = a0 +

∞ X n=0

! 2 z 2n+1 , 2n + 1

donde a0 = L(1).

Variable compleja

Pr´actica 3:

4

Series de potencias

9

Problemas propuestos

Ejercicio 3.3 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en 0 de: (i)

1 k∈N (1 − z)k+1

(iii)

z z 2 − 4z + 13

z(1 + z) (1 − z)3

(ii) (iv)

1 1 − z + z2

Ejercicio 3.4 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en 1 y calcula el radio de convergencia del desarrollo obtenido de la funci´ on: z2 . (z + 1)2 Ejercicio 3.5 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.- (1 − z 2 )f 00 (z) − 4zf 0 (z) − 2f (z) = 0, f (0) = f 0 (0) = 1. 2.- (1 − z)zf 0 (z) − f (z) = 0, f (0) = 0. Ejercicio 3.6 Dadas las funciones hiperb´ olicas: sinh z =

ez − e−z , 2

cosh z =

ez + e−z , 2

calcula su desarrollo en serie de potencias centrado en 0. Ejercicio 3.7 Determina las series de Taylor para las funciones sin z y cos z en

π 4.

Ejercicio 3.8 Halla la serie de Taylor en 0 de (z + a)β = eβL(z+a) , donde L es una rama continua del logaritmo y a 6= 0; calcula su radio de convergencia. Ejercicio 3.9 Demuestra que: ∞ X 1 E2n 2n = (−1)n z cos z n=0 2n!

donde En viene dado por la expresi´ on recurrente: E0
= 1,

2n 2n 2n 0 E0 + 2 E2 + · · · + 2n E2n = 0.

Variable compleja

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Pr´ actica 4 Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. La funci´on exponencial se define como la funci´on anal´ıtica en C dada por la serie de potencias: ez :=

∞ X zn n! n=0

∀z ∈ C.

Por medio de las f´ ormulas de Euler se introducen las funciones trigonom´etricas: cos z =

eiz + e−iz 2

sin z =

eiz − e−iz , 2i

de donde se deduce inmediatamente su desarrollo en serie de potencias: cos z =

∞ X (−1)n z 2n , (2n)! n=0

sin z =

∞ X (−1)n z 2n+1 . (2n + 1)! n=0

Dado un n´ umero complejo z no nulo, llamaramos argumento (respect. logaritmo) de z a todo n´ umero real θ (resp. complejo ξ) tal que z = |z|eiθ (resp. z = eξ ). Al conjunto de todos los argumentos (resp. logaritmos) de z lo denotaremos por arg z (resp. log z). Si ξ es un logaritmo de z entonces =m ξ es un argumento de z y si θ es un argumento de z entonces log |z| + iθ es un logaritmo de z. Adem´ as si θ0 y ξ0 son un argumento y logaritmo de z respectivamente entonces log z = {ξ0 + 2pπi : p ∈ Z} y arg z = {θ0 + 2pπ : p ∈ Z} . Dado S ⊂ C diremos que L : S → C (respectivamente A : S → R) es una determinaci´on continua o rama uniforme del logaritmo (resp. argumento) si L (resp. A) es una funci´on cont´ınua en S y L(z) (resp. A(z)) es un logaritmo (resp. un argumento) de z para todo z ∈ S. Para cada α ∈ R denotamos por Hα la semirecta Hα := {−reiα : r ≥ 0}. Existe una u ´nica rama uniforme del logaritmo en C \ Hα tal que α − π < =mz < α + π para todo z ∈ C \ Hα . Ejercicio 4.1 Sea A la rama uniforme del argumento en C\] − ∞, 0] que toma valores en ] − π, π[. Se pide calcular A(z) en los siguientes casos 1. z = cosα + isenα, π < α < 2. z =

1+cosα−isenα 1+cosα+isenα ,

0 0 suficientemente grande para que P (z) no se anule en {z ∈ C :| z |≥ R}. Sea C(0, R)(t) = Reit , t ∈ [0, 2π]. Probar que Z 1 P 0 (z) dz = n. 2πi C(0,R) P (z)

Variable compleja

Pr´actica 5:

Integraci´ on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat.

Ejercicio 5.8 R Desarrollar en serie de potencias centrada en 0 la funci´on f (z) = [0,z]

15

senu u

du.

Principio de prolongaci´ on anal´ıtica Ejercicio 5.9 Sean f, g : U → C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que f (z) · g(z) = 0 para todo z ∈ U . Probar que f ≡ 0 o g ≡ 0 en U . Ejercicio 5.10 Sean f, g : U → C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que ni f ni g son id´enticamente cero en U . Supongamos que existe una sucesi´on (zn ) en U convergente a z0 ∈ U con zn 6= zo , n = 1, 2, . . . y f (zn )g 0 (zn ) − f 0 (zn )g(zn ) = 0, n = 1, 2, . . . . Probar que existe un c ∈ C tal que f (z) = cg(z), z ∈ U . Ejercicio 5.11 Averigua si es posible construir una funci´ on f : B(0, 1) → C holomorfa tal que f (1/n) = zn cuando: (i) zn = (−1)n . (ii) zn = n/(n + 1). (iii) zn = 0 si n es par y zn = 1/n si n es impar. (iv) zn = sen(1/n) si n es par y zn = cos(1/n) si n es impar. Ejercicio 5.12 Sea f una funci´ on entera tal que f (1/n) = 1/n2 para todo n ∈ N. Calcular f (i). Ejercicio 5.13 n+1 Sea f : C \ ] − ∞, 0] → C una funci´ on holomorfa tal que f (ei n ) = i n+1 n para todo n ∈ N. Calcular f (2i). Ejercicio 5.14 Sea f una funci´ on entera tal que f 2 (x) + cos2 x = 1, ∀x ∈ R. Calcula |f (i)|. Principio del m´ odulo m´ aximo y teorema de Liouville Ejemplo 5.4 Sea f : U → C una funci´ on holomorfa no constante en U abierto conexo. Probar que u = Re f (z) y v = Im f (z) cumplen los principios locales del m´odulo m´aximo y m´ınimo. La funci´ on ef es holomorfa, no constante y no se anula en ning´ un punto. Entonces cumple los principios del m´ odulo m´ aximo y m´ınimo, es decir, |ef | = eu no tiene extremos relativos en U . En consecuencia, u tampoco tiene extremos relativos. Para v, bastar´ıa razonar del mismo modo con la funci´on if . PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 5.15 Sea f : cl(U ) → C una funci´ on continua y holomorfa en U abierto conexo acotado. Probar que la parte real y la parte imaginaria de f alcanzan el m´ınimo y el m´aximo en F r(U ). Ejercicio 5.16 Sea f : C → C una funci´ on entera . (i) Probar que si f (C) no es constante entonces para cada c > 0 se cumple que cl{z ∈ C : |f (z)| < c} = {z ∈ C : |f (z)| ≤ c}. (ii) Si f (C) no es un conjunto denso en C entonces f es constante. (iii) Probar que si Re f (z) o Imf (z) es una funci´on acotada entonces f es constante.

Variable compleja

Pr´actica 5:

Integraci´ on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat.

16

Ejercicio 5.17 Si f es entera y toma valores reales en la circunferencia unidad, probar que f es constante. Ejercicio 5.18 Comprobar que Z

+∞ 2

Z

cosx dx = 0

0 iz 2

+∞

√ π senx dx = √ . 2 2 2

y el camino que delimita a la regi´on {z : |z| < r 0 < A(z)
0.

1 z

dz, siendo

Variable compleja

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Pr´ actica 7 Series de Laurent. Singularidades. Ejercicio 7.1 Escribir el desarrollo en serie de Laurent de •

z 2 −2z+5 (z−2)(z 2 +1)

en z = 2 y en la corona 1 < |z| < 2.

1

• z 2 e z en z = 0. 1

• e 1−z en z = 1. 2

z −4z • cos (z−2) 2 en z = 2.

Ejercicio 7.2 Obtener tres desarrollos de Laurent diferentes de unicidad del desarrollo?

7z−2 z(z+1)(z−2)

alrededor de z = −1. ¿Contradice esto la

Ejercicio P+∞ 7.3 Sea n=1 a−n (z − a)−n el desarrollo de una funci´on holomorfa en B(a, r) \ a. Calcular el P de Laurent radio de convergencia de la serie a−n z n . Ejercicio 7.4 (Regla de L’Hopital) Sean f, g anal´ıticas en a, no id´enticamente nulas en un entorno de a con f (a) = g(a) = 0. Probar que existen (en C ∪ {∞}) l´ımz→a

f (z) g(z)

y l´ımz→a

f 0 (z) g 0 (z)

y coinciden.

Ejercicio 7.5 Clasificar las singularidades de las funciones 1.

1 z2

2.

z senz

1 z 2 +1

+

1

3. e(z+ z ) 4.

1 ez2 −1

5.

1+cosz z−π

6.

ez+a z+a

7. zsh z1 Ejercicio 7.6 Clasificar la singularidades de las siguientes funciones, incluyendo el punto del infinito •

sen2 z z4

•

1 z 2 (z+1)

•

1 senz

+ sen z1

− kz .

Ejercicio 7.7   1 Hallar la singularidades aisladas y la naturaleza de las mismas de la funci´on sen sen . 1 z

Variable compleja

Pr´actica 7:

Series de Laurent. Singularidades.

19

Ejercicio 7.8 a) Si f tiene una singularidad esencial en a, tambi´en f 2 la tiene. b) Si, adem´as, f no se anula en un entorno reducido de a, entonces f1 tambi´en tiene una singularidad esencial en a. Ejercicio 7.9 Si f es derivable en {z ∈ C : |z| > R} y l´ım|z|→∞ zf (z) = 0, probar que existe l´ım|z|→∞ z 2 f (z). Ejercicio 7.10 Si f tiene una singularidad aislada en a y Re(f )(z) > 0 en un entorno reducido de a, entonces a es evitable. (En primer lugar,descartar que sea esencial) Ejercicio 7.11 Si f tiene una singularidad aislada esencial en a y P es un polinomio no constante, entonces a es una singularidad aislada esencial de P ◦ f. Ejercicio 7.12 Si f es una funci´ on entera tal que l´ım|z|→∞ f (z) = ∞, f es un polinomio.

Variable compleja

Curso 2000/2001

20

Pr´ actica 8 C´ alculo de residuos y aplicaciones Ejercicio 8.1 Sean g, h anal´ıticas en a con g(a) 6= 0, h(a) = 0 y h0 (a) 6= 0. Entonces f (z) = en a y g(a) res(f, a) = 0 . h (a)

g(z) h(z)

tiene un polo simple (1)

En general, si g tiene un cero de orden k en a y h tiene un cero de orden k + 1, entonces f tiene un (k) polo simple cuyo residuo es (k + 1) hg(k+1)(a) . (a) Ejercicio 8.2 Sean g, h anal´ıticas en a con g(a) 6= 0, h(a) = 0 , h0 (a) = 0y h00 (a) 6= 0. Entonces f (z) = polo de orden 2 en a y 2g 0 (a) 2g(a)h000 (a) − . res(f, a) = 00 h (a) 3h00 (a)2

g(z) h(z)

tiene un

Ejercicio 8.3 Calcular los residuos de la funciones indicadas en sus puntos singulares aislados: •

1 z 3 −z 5

•

z 2n (1+z)n

•

sen2z (1+z)3

• z 3 cos



1 z−2



• z n sen( z1 ) •

1 sen z1

•

1 z 2 senz

Ejercicio 8.4 Demostrar que z 4 + 6z + 3 tiene todas las ra´ıces en el c´ırculo |z| ≤ 2 y que tres de ellas est´an en el anillo 1 < |z| < 2. Ejercicio 8.5 Hallar el n´ umero de ra´ıces de la ecuaci´ on z 7 − 5z 4 + z 2 − 2 = 0 en el anillo 1 < |z| < 2. Idem para 4 2 4z − 29z + 25 = 0 en 2 < |z| < 3. Ejercicio 8.6 Sea f anal´ıtica en un abierto que incluye a D(0, 1) tal que |f (z)| < 1 si |z| = 1. Demostrar que la ecuaci´on f (z) = z n tiene n ra´ıces en D(0, 1). Ejercicio 8.7 ¿Cu´antas ra´ıces tiene en B(0, 1) la ecuaci´on ez − 4z n + 1 = 0? Ejercicio 8.8 Demostrar que la ecuaci´ on z = λ − e−z (λ > 1) tiene en el semiplano derecho una ra´ız unica (y real).

Variable compleja

Pr´actica 8:

C´ alculo de residuos y aplicaciones

Ejercicio 8.9 Demostrar que zeλ−z = 1,

21

λ > 1, tiene en D(0, 1) una sola ra´ız (real y positiva).

Ejercicio 8.10 Sea f holomorfa en B(0, ρ) y sea 0 < r < ρ. Pongamos m := inf|z|=r |f (z)| y supongamos que |f (0)| + r|f 0 (0)| < m. Por medio del desarrollo de Taylor de f, del orden adecuado, demostrar que f tiene al menos dos ceros en B(0.r). Ejercicios complementarios Ejercicio 8.11 Sea f anal´ıtica en C salvo en los polos 1 y − 1 para los que res(f, 1) = −res(f, −1). Probar que f tiene una primitiva en C \ [−1, 1]. Ejercicio 8.12 Probar que si P (z) es un polinomio de grado mayor o igual que 2 la suma de todos los residuos de Pj=n 1 1 ıces distintas, z1 , . . . , zn , entonces j=1 P 0 (z = 0. P (z) es 0. Deducir que si P tiene n ra´ j)

Variable compleja

Curso 2000/2001

22

Pr´ actica 9 C´ alculo de integrales reales TIPO I R 2π

R(senx, cosx)dx , siendo R(x, y) una funci´on racional de dos variables reales, se puede escribir R z− 1 z+ 1 1 dz. Esta u ´ltima integral se resuelve con usando las f´ ormulas de Euler como C(0,1) R( 2iz , 2 z ) iz ayuda del teorema de los residuos. 0

Ejercicio R 2π 1 9.1 dx siendo a ∈ R, | a |> 1. 0 a+cosx Ejercicio 9.2 R 2π 2n sen xdx. 0 En los siguientes 3 lemas γR denotar´ a el arco de circunferencia γR (t) = Reit , θ1 ≤ t ≤ θ2 . Lema A. Sea Rg una funci´ on continua en {z = ρeiθ : ρ ≥ R0 , θ1 ≤ θ ≤ θ2 }. Si limz→∞ zg(z) = 0 entonces limR→∞ γR g(z)dz = 0. Lema B. SeaRg una funci´ on continua en {z = ρeiθ : 0 < ρ ≤ R0 , θ1 ≤ θ ≤ θ2 }. Si limz→0 zg(z) = 0 entonces limR→0 γR g(z)dz = 0. Lema C. Sea g una funci´ on continua en un sector del semiplano superior {z = ρeiθ : ρ ≥ R0 , θ1 ≤ R iλz θ ≤ θ2 }, 0 ≤ θ1 ≤ θ2 ≤ π. Si limz→∞ g(z) = 0, λ > 0 entonces limR→∞ γR e g(z)dz = 0. En lo que sigue Ap (z) y Bq (z) denotar´an dos polinomios (de grado p y q respectivamente), (ak ) A (z) son los ceros de Bq y f representa la funci´on racional f (z) := Bpq (z) . Representaremos por γR la semicircunferencia γR (t) := Reit , 0 ≤ t ≤ π.

TIPO II R +∞ −∞

f (x)dx.

Suponemos que Bq no tiene ceros reales y q ≥ p + 2. Cuando R > 0 es suficientemente grande se tiene, en virtud del teorema de los residuos, Z

R

Z f (x)dx +

−R

f (z)dz = 2πi

X

(Res(f (z), ak ) : Im(ak ) > 0).

γR

Se sigue del Lema A: Z

+∞

f (x)dx = 2πi

X

(Res(f (z), ak ) : Im(ak ) > 0).

−∞

Ejercicio R +∞ x2 9.3 x4 +1 dx. 0 Ejercicio 9.4 R +∞ dx , a > 0. 2 2 −∞ (x +a )n

Variable compleja

Pr´actica 9:

C´ alculo de integrales reales

23

TIPO III R +∞ −∞

f (x)eiλx dx.

Suponemos que Bq no tiene ceros reales, q ≥ p + 1 y λ > 0. Al igual que antes, se tiene para R > 0 suficientemente grande, Z

R

f (x)eiλx dx +

−R

Z

f (z)eiλz dz = 2πi

X

(Res(f (z)eiλz , ak ) : Im(ak ) > 0).

γR

Se sigue del Lema C: Z

+∞

f (x)eiλx dx = 2πi

X

(Res(f (z)eiλz , ak ) : Im(ak ) > 0).

−∞

Debe observarse que cuando q ≥ p + 2 se tiene que f (x)eiλx es integrable Lebesgue en R pero cuando q = p + 1 y λ > 0 la integral anterior debe interpretarse como una integral de Riemann impropia. Ejercicio R +∞ cosmx9.5 (x2 +y 2 )2 dx. 0 Ejercicio 9.6 R +∞ xsenmx 1+x2 +x4 dx. 0

TIPO IV V.P.

R +∞ −∞

f (x)eiλx dx. A (z)

Supongamos ahora que f (z) := Bpq (z) tiene un polo real simple a0 y sean q ≥ p + 1 y λ ≥ 0 (o bien q ≥ p + 1 y λ = 0). Dados R > 0 y 0 <  < R denotamos por γR, la frontera de la regi´on limitada por el eje real y las semicircunferencias γR y a0 + γ , orientada positivamente. Para R suficientemente grande y  suficientemente peque˜ no el teorema de los residuos proporciona Z X f (z)eiλz dz = 2πi (Res(f (z)eiλz , ak ) : Im(ak ) > 0). γR,

R Se sigue de los lemas A,C y la observaci´ on lim→0 a0 +γ g(z)dz = iπRes(g(z), a0 ) que existe el valor principal Z +∞ X V.P. f (x)eiλx dx = 2πi (Res(f (z)eiλz , ak ) : Im(ak ) > 0) + iπRes(f (z)eiλz , a0 ). −∞

Una expresi´ on similar se obtiene cuando f presenta varios polos reales simples. Ejercicio R +∞ senx 9.7 x dx. −∞ Ejercicio R +∞ 9.8 V.P. −∞ costx 1−x3 dx.

Variable compleja

Pr´actica 9:

C´ alculo de integrales reales

24

TIPO V R +∞ 0

xa−1 f (x)dx.

Supongamos que f no tiene polos en ]0, +∞[, a ∈]0, +∞[\N y existen 0 < b < a < c tales que limz→0 | f (z) || z |b = limz→∞ | f (z) || z |c = 0. Entonces Z +∞ 2πi X xa−1 f (x)dx = (Res(z a−1 f (z), ak ) : ak 6= 0) 1 − e2πia 0 siendo z a−1 = e(a−1)logπ (z) , logπ la rama del logaritmo definida en C \ [0, +∞[ con 0 < Im(logπ ) < 2π. Basta integrar z a−1 f (z) a lo largo de la curva γR,r, determinada por los segmentos [rei , Rei ], −i [re , Re−i ] y los arcos de circunferencia γR (t) = Reit y γr (t) = reit ( ≤ t ≤ 2π − ). Despu´es se toman l´ımites cuando R → ∞, r → 0 y  → 0. Ejercicio R +∞ x 31 9.9 x2 +x+1 dx. 0 Ejercicio R +∞ xα 9.10 (x+1)2 dx, 0 < α < 1. 0

TIPO VI R +∞ 0

f (x)logxdx y

R +∞ 0

f (x)dx. A (z)

Suponemos que f (z) = Bpq (z) no tiene polos en [0, +∞[, q ≥ p + 2 y f toma valores reales en la recta real. Procediendo como en el caso anterior se obtiene Z +∞ X 1 f (x)logxdx = − Real( (Res(f (z)(logπ (z))2 , ak )) 2 0 Z +∞ X 1 f (x)dx = − Im( (Res(f (z)(logπ (z))2 , ak )). 2π 0 Ejercicio R +∞ x 9.11 x4 +1 dx. 0 Ejercicio R +∞ logx 9.12 x2 +a2 dx. 0

Suma de series Sean (ak : 1 ≤ k ≤ m) las singularidades aisladas de una funci´on meromorfa f . Suponemos que ak no M es un n´ umero entero (1 ≤ k ≤ m) y existen constantes M, R > 0 tales que | f (z) |≤ |z| 2 siempre que cosπz π | z |> R. Definimos g(z) = π senπz f (z), h(z) = senπz f (z). Entonces +∞ X n=−∞

f (n) = −

m X

Res(g(z), ak )

k=1

y tambi´en +∞ X

(−1)n f (n) = −

n=−∞

m X

Res(h(z), ak ).

k=1

Para obtener las relaciones anteriores basta integrar g y h a lo largo de un cuadrado centrado en el origen y de semilado N + 12 , N ∈ N, para despu´es tomar l´ımites cuando N → ∞.

Variable compleja

Pr´actica 9:

C´ alculo de integrales reales

25

Ejercicio P+∞ 1 9.13 n=0 n2 +1 . Ejercicio P+∞ (−1)n9.14 n=0 n2 +a2 , a > 0. Ejercicios complementarios No todos los siguientes ejercicios propuestos corresponden a alguno de los seis tipos anteriores. Para su resoluci´ on hay que usar recintos adecuados y los t´ecnicas usadas en los ejercicios de los tipos anteriores. Ejercicio 9.15 R 2π cosmx 0

1−2acosx+a2 dx,

0