Od logiki klasycznej do niemonotonicznej

OD LOGIKI KLASYCZNEJ DO NIEMONOTONICZNEJ David Makinson OD LOGIKI KLASYCZNEJ DO NIEMONOTONICZNEJ Przełożył Tomasz Ja...

Author: David Makinson ; przeł. Tomasz Jarmużek

66 downloads 1872 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

OD LOGIKI KLASYCZNEJ DO NIEMONOTONICZNEJ

David Makinson

OD LOGIKI KLASYCZNEJ DO NIEMONOTONICZNEJ

Przełożył Tomasz Jarmużek

D  David Makinson, Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic, (Text in Computing, Vol. 5), published by King’s College 2005 ISBN 1-904987-00-1 Copyright © by 2005 David Makinson and King’s College

T Tomasz Jarmużek R  dr hab. Zbigniew Tworak P  Maciej Nowicki

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika Toruń 2008 Copyright © for the translation by Tomasz Jarmużek ISBN 978-83-231-2196-1

W N U M K ul. Gagarina 39, 87–100 Toruń Redakcja: tel. (0-56) 611 42 95, fax 611 47 05 e-mail: [email protected] Dystrybucja: ul. Reja 25, 87–100 Toruń tel/fax (0-prefix-56) 611 42 98 e-mail: [email protected] www.wydawnictwoumk.pl Wydanie pierwsze. Nakład 300 egz. Druk: Drukarnia Cyfrowa UMK ul. Gagarina 5, 87-100 Toruń tel. (056) 61122 15

Spis treści

Uwagi tłumacza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Przedmowa do wydania polskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Przedmowa do wydania angielskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

Rozdział 1. Podstawy logiki niemonotonicznej . . . 1.1. Wszyscy wnioskujemy niemonotonicznie . . 1.2. Konsekwencja klasyczna i jej własności . . . 1.3. Nieporozumienia oraz złe przyzwyczajenia . 1.4. Trzy sposoby zwiększania liczby konkluzji . 1.5. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Rozdział 2. Zastosowanie dodatkowych założeń ukrytych 2.1. Od konsekwencji klasycznej do założeń osiowych . 2.2. Od założeń osiowych do założeń domyślnych . . . 2.3. Uszczegółowienia, warianty i uogólnienia . . . . . 2.4. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. 1 . 1 . 3 . 11 . 19 . 20

w tle . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

23 23 30 41 59

Rozdział 3. Ograniczenie zbioru wartościowań . . . . . . . . . 3.1. Od konsekwencji klasycznej do wartościowań osiowych 3.2. Od wartościowań osiowych do wartościowań domyślnych 3.3. Konkretyzacje i uogólnienia . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

61 61 69 75 85

Rozdział 4. Zastosowanie dodatkowych reguł . . . . . 4.1. Od konsekwencji klasycznej do reguł osiowych 4.2. Od reguł osiowych do reguł domyślnych . . . . 4.3. Uogólnienia i warianty . . . . . . . . . . . . . 4.4. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

87 87 95 101 111

Rozdział 5. Związki pomiędzy inferencją niemonotoniczną i probabilistyczną 5.1. Prawdopodobieństwo: podstawowe pojęcia i aksjomaty . . . . . . . . . . 5.2. Probabilistyczne charakterystyki konsekwencji klasycznej . . . . . . . . . 5.3. Nadklasyczne probabilistyczne relacje konsekwencji . . . . . . . . . . . 5.4. Próby zbliżenia inferencji probabilistycznej i jakościowej . . . . . . . . . 5.5. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

114 115 125 130 134 141

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

vi

Spis treści

Rozdział 6. Krótkie porównanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Związki z logiką zmiany przekonań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Związki z logiką aktualizacji przekonań oraz logikami kontrfaktycznych i dyrektywalnych okresów warunkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Wybrane twierdzenia o reprezentacji dla relacji konsekwencji . . . . . . 6.4. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania . . . . . . . . . . . . . . .

. 143 . 143 . 150 . 157 . 166

Dodatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 A. Dowód twierdzenia 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 B. Objaśnienie symboli specjalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Odpowiedzi do wybranych ćwiczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Uwagi tłumacza

Tłumacz chciałby serdecznie podziękować osobom, które przyczyniły się do pojawienia się polskiej wersji Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic. Przede wszystkim należy zacząć od autora oryginału, prof. Davida Makinsona. Bez Jego zgody, wsparcia oraz ogromnej dozy życzliwości ta wersja tłumaczenia nigdy nie ujrzałaby światła dziennego. W procesie przygotowywania i poprawiania translacji dużą rolę odegrały również inne osoby. Tłumacz chciałby wyrazić swoją wdzięczność recenzentowi tłumaczenia, prof. Zbigniewowi Tworakowi z Uniwersytetu Adama Mickiewicza w Poznaniu. Jego krytyczne, ale również konstruktywne uwagi pomogły uniknąć wielu błędów. Do powstania polskiego tłumaczenia przyczyniły się też koleżanki i koledzy z Katedry Logiki UMK w Toruniu. Zawsze można było liczyć na ich pomoc w zakresie prac edytorskich oraz udział w dyskusjach nad problemami merytorycznymi i wyborem terminologii. Szczególne podziękowania należą się zwłaszcza prof. Andrzejowi Pietruszczakowi oraz prof. Jackowi Malinowskiemu. Ponadto należy wspomnieć, że krytyczna i wnikliwa lektura całego rękopisu, której podjął się dr Maciej Nowicki oraz korekta językowa dokonana przez mgr Joannę Szalachę, umożliwiły tłumaczowi poprawienie wielu usterek i uniknięcie niejasnych sformułowań. Osoby te w krytycznych chwilach w znacznym stopniu wspierały tłumacza na duchu. Osobą, o której nie wypada nie wspomnieć, jest również dr Bożena Woźna. Jej cenne uwagi pomogły dopracować część polskiej terminologii. Tłumacz chciałby także podziękować swoim Rodzicom. Ich nieustanne i pełne wyrozumiałości motywowanie nie pozwoliło mu ustąpić z zawczasu obranej drogi, mimo jej licznych i niespodziewanych zakrętów. Należy podkreślić, że wiele terminów użytych w oryginalnym wydaniu nie miało wcześniej swoich polskich odpowiedników. Zaproponowane w tłumaczeniu polskie terminy mogą więc budzić pewne kontrowersje. Decyzje translatorskie są jednak zawsze trudne. Dlatego też w miejscach, gdzie po raz pierwszy pojawiają się polskie propozycje, w nawiasach towarzyszą im, ich angielskie, oryginalne sformułowania.

viii

Uwagi tłumacza

W ostatniej fazie przygotowań do druku tłumacz spotkał się z ogromną pomocą ze strony red. Mirosławy Buczyńskiej. Nadto życzliwość dr. Marka Nasieniewskiego oraz rozmowy z mgr. Piotrem Zegarskim pozwoliły ostatecznie sfinalizować zamierzenie, pomimo jego opóźnienia. Wymienionym tu osobom tłumacz również chciałby wyrazić wdzięczność. Mimo pomocy wielu osób, w polskiej wersji mogą pojawić się pewne usterki. Jest rzeczą oczywistą, że za wszystkie odpowiedzialność ponosi wyłącznie tłumacz.

Przedmowa do wydania polskiego

Z wielką przyjemnością przyjmuję ukazanie się polskiego tłumaczenia mojej książki Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic. Fakt ten cieszy mnie zwłaszcza dlatego, że jej charakter jest głęboko zakorzeniony w tradycji polskiej logiki, która ukształtowała się w okresie międzywojennym i — pomimo zwrotów i zawirowań historii — jest rozwijana do dzisiaj. W szczególności dotyczy to pojęcia operacji konsekwencji, jednego z najważniejszych logicznych narzędzi pochodzących z tej tradycji. Pojęcie to jest centralne dla omówienia problemu rozumowań niepewnych, stanowiących przedmiot tej książki. Chciałbym podziękować Wydawnictwu Naukowemu Uniwersytetu Mikołaja Kopernika za publikację tłumaczenia. Szczególne podziękowania należą się Tomaszowi Jarmużkowi, za inicjatywę oraz podjęcie się zadania przetłumaczenia książki na język polski. Jego głęboka wiedza na temat omawianych problemów umożliwiła mu oddanie sensu każdego paragrafu książki, przy jednoczesnym uwzględnieniu przyjętej w Polsce technicznej terminologii. Korzystając z okazji, poprawiłem kilka drobnych błędów, które pojawiły się w wersji oryginalnej oraz zwiększyłem jasność paru sformułowań. Mam nadzieję, że lektura tej książki będzie równie przyjemna, co pouczająca.

David Makinson

Przedmowa do wydania angielskiego

Dla kogo napisano tę książkę? Niniejsza książka jest przeznaczona dla wszystkich, którzy słyszeli o logice niemonotonicznej i chcieliby posiąść obszerniejszą wiedzę na jej temat. W szczególności chcieliby więc poznać odpowiedzi na następujące pytania: jakie są jej wiodące idee, w jaki sposób różni się ona od logiki klasycznej, jaki jest jej związek z problemem prawdopodobieństwa? Stawiając sprawę bardziej ogólnie: jak logika niemonotoniczna działa i jak można ją stosować? Oto pytania, na które spróbujemy odpowiedzieć tak jasno, jak to możliwe, nie przeciążając tekstu szczegółami technicznymi, ale również nie pozostając wyłącznie na poziomie nieformalnym, pozbawionym detali. Praca ta została napisana dla studentów, nauczycieli prowadzących zajęcia, ale również dla samouków. Czytelnik-samouk spotka się jednak ze szczególnie trudnym zadaniem, gdyż zabraknie mu możliwości konsultacji. Kierując się sympatią, spróbujemy mu jednak możliwie pomóc poprzez wyczerpujące wyjaśnianie wszystkich istotnych kwestii, omawianie pewnych kwestii dla lepszego ich zrozumienia na kilka sposobów, podsumowywanie każdego rozdziału, i wreszcie proponując ćwiczenia oraz rozwiązania niektórych z nich. Zabiegi te będą oczywiście użyteczne dla wszystkich czytelników, jednak zwłaszcza dla tych, którzy uczą się samodzielnie.

Co Czytelnik powinien już wiedzieć? Obcowanie z przedmiotem takim jak nasz wymaga pewnej minimalnej wiedzy i uczciwie rzecz biorąc, musimy już na samym początku powiedzieć, co będzie przy lekturze wymagane. Tym, którzy nie posiadają żadnego doświadczenia w zakresie logiki klasycznej, a którzy być może sięgnęli po tę książkę kierując się ciekawością, musimy poradzić, aby ją na razie odłożyli, udali się zdobyć podstawową wiedzę na temat logiki klasycznej i dopiero wtedy powrócili. W przeciwnym wypadku znajdą się w sytuacji człowieka, który próbuje uczyć się algebry za-


xi

nim dowiedział się czegokolwiek o arytmetyce, poznać technikę kontrapunktu bez znajomości gamy, lub wyrobić sobie dobry literacki styl, nie mając pojęcia o gramatyce. Studenci informatyki, matematyki, filozofii bądź językoznawstwa mogą wziąć udział w podstawowym kursie logiki oferowanym przez ich wydziały oraz przestudiować podręczniki zalecane przez nauczycieli. Jeśli natomiast ktoś studiuje samotnie, interesując się zagadnieniami z zakresu informatyki lub matematyki, może wziąć pod uwagę rozdziały 6–8 książki Jamesa Heina Discrete Structures, Logic and Computability (Jones and Bartlett, Boston, wydanie drugie, 2002). Osoby zaangażowane raczej w humanistyczne studia powinny popracować nad książką L.T.F. Gamuta Logic, Language and Meaning: Volume I. Introduction to Logic (Chicago University Press, 1991). Ci natomiast, którzy będą mieli dość szczęścia, mogą sięgnąć po moją książkę Topics in Modern Logic (Methuen, London 1973; rozdziały 1, 3), której nakład jest już wyczerpany (polski czytelnik może przestudiować książkę Andrzeja Grzegorczyka, Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa 1984, lub inne jej wydanie). We wprowadzeniu przypomnimy pewne własności klasycznej logiki zdaniowej, ale w specjalnym celu. Piszemy o pomijanych w wielu pracach aspektach logiki zdaniowej, które jednak są istotne dla rozwijania tytułowego zagadnienia. W szczególności dotyczy to pewnych bardzo ogólnych pojęć, które pojawiają się nie tylko w kontekście klasycznej operacji konsekwencji, ale także w wielu innych kontekstach. Należy do nich na przykład ogólne pojęcie operacji lub relacji domknięcia, pojęcie zwartości czy pojęcie reguły Horna. Czytelnik powinien również umieć posługiwać się pewnymi prostymi narzędziami matematycznymi. Można je podzielić na dwa rodzaje. Pierwszy jest związany z „praktyczną teorią mnogości”: podstawowymi operacjami na zbiorach (takimi jak skończone przecięcie, suma, dopełnienie), indeksowanymi rodzinami zbiorów, nieskończonymi przecięciami i sumami zbiorów, uporządkowanymi parami, iloczynami kartezjańskimi, traktowaniem relacji i funkcji jako zbiorów uporządkowanych par, pojęciem dobrego porządku. Drugi rodzaj narzędzi to indukcja matematyczna jako środek dowodowy, w różnych jej formach ograniczonych do zbiorów przeliczalnych. Jej znajomość jest wymagana do dowodzenia wielu standardowych własności indukcyjnie zdefiniowanych zbiorów, które napotkamy, od zbioru formuł logiki zdaniowej rozpoczynając. Wszystkie te narzędzia są zwykle nauczane na elementarnym kursie logiki, a także stanowią przedmiot podstawowych kursów z zakresu teorii obliczeniowej i matematyki dyskretnej. Dla tych czytelników, którzy nie mieli z nimi żadnego kontaktu, nie ma innej alternatywy niż powrót do kursu podstawowego lub lektury pierwszych rozdziałów podręcznika do takiego kursu. Sprawdzoną lekturą jest tu książka Seymoura Lipschutza Set Theory and Related Topics (McGraw-Hill

xii


Education, New York, wydanie drugie, 1998), w szczególności pierwsze pięć rozdziałów. Propozycję alternatywną stanowią rozdziały 1–4 wspomnianej wcześniej książki Heinego. Tym jednak, którzy chcieliby się zapoznać z tymi zagadnieniami przedstawionymi w sposób elegancki i systematyczny, polecić należy pierwsze dwanaście rozdziałów książki Paula Halmosa Naive Set Theory (van Nostrand, New York 1960), która stanowi pozycję nie do przecenienia. (Z kolei polskiego czytelnika odsyłamy do książki Kazimierza Kuratowskiego oraz Andrzeja Mostowskiego, Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości, PWN, Warszawa 1978.) Dowody pewnych wyników zaprezentowanych w tej książce, jak np. twierdzenie 2.7, odwołują się do zasad maksimum, takich jak np. lemat Kuratowskiego-Zorna. Znajomość tych zasad, w sposób w jaki zostały one wyłożone w dziewiątym rozdziale książki Lipschutza lub rozdziałach 14–17 książki Halmosa, jest niezbędna dla pełnego zrozumienia dowodów. Trzeba dodać, że ich znajomość sama w sobie stanowi cenną wiedzę. Jednakże nawet bez niej osoba czytająca książkę może osiągnąć częściowe zrozumienie, postępując według następującej dyrektywy: rozważ dane twierdzenie tylko dla skończonego przypadku i pamiętaj, że jeśli podzbiór danego skończonego zbioru ma pewną własność, to jest on zawsze zawarty w przynajmniej jednym podzbiorze maksymalnym, który ma tę własność. W opinii autora wszystkie omawiane tu zagadnienia powinny być nauczane w szkołach i w pewnych wyróżniających się miejscach rzeczywiście są. Uczenie się ich jest nie tylko przyjemne, ale również niezbędne we współczesnym, elektronicznym świecie. Niestety, są jednak również studenci, którzy zdobywają wykształcenie akademickie, nie mając z nimi żadnego kontaktu. Podsumowując, tym, którzy nie mają wymaganego, minimalnego zaplecza wiedzy, musimy powiedzieć: do zobaczenia — mamy nadzieję, że zobaczymy się później. Tym zaś, którzy są gotowi, mówimy: witajcie i rozpoczynajcie lekturę!

Główne zagadnienia poruszane w książce Z zewnątrz logika niemonotoniczna jest często postrzegana jako coś dość tajemniczego. Nawet od wewnątrz może ona jawić się jako rzecz mało uporządkowana, na którą składa się wiele systemów proponowanych przez różnych autorów, podążających w różnych kierunkach. Kilka dostępnych na ten temat podręczników wydaje się utrwalać to wrażenie. Naszym głównym celem jest usunięcie części tej tajemniczej aury i pokazanie, że logika niemonotoniczna nie jest czymś tak trudnym do studiowania, jak może się to wydawać na pierwszy rzut oka. W rzeczywistości jest ona łatwa do przyswojenia dla każdego, kto posiada opisane wcześniej podstawy w zakresie


xiii

logiki klasycznej oraz stosowania wskazanych narzędzi matematycznych. Jak jednak zasygnalizujemy w pierwszym rozdziale, wymaga to pozbycia się pewnych przyzwyczajeń z logiki klasycznej, gdyż mogą one prowadzić do nieporozumień. Dalej pokażemy, że jest wiele systemów logicznych, które spełniają funkcję naturalnych pomostów pomiędzy klasyczną operacją konsekwencji a głównymi rodzajami logiki niemonotonicznej opisanymi w literaturze. Logiki te, nazywane tutaj paraklasycznymi, stosunkowo prosto jest zdefiniować, a następnie badać. Dostarczają one trzech głównych sposobów uzyskiwania większej ilości wniosków z danego zbioru przesłanek, niż zachodzi to w ścisłej dedukcji, czyli przy zastosowaniu starej, dobrej, klasycznej operacji konsekwencji. Te trzy zasadnicze sposoby można po kolei nazwać skradaniem się (creeping), pełzaniem (crawling) lub przeskakiwaniem (jumping) do wniosków. Podobnie jak logika klasyczna, wszystkie one są monotoniczne, chociaż posiadają pewne wyróżniające cechy tych niemonotonicznych systemów, do których prowadzą, stanowiąc konceptualne przejście. W efekcie stanowią one trzy szlaki wiodące od ziemi ojczystej logiki klasycznej do niemonotonicznych wybrzeży. W niniejszej książce badamy każdą z tych dróg po kolei. Zaczynamy od najprostszej, która opiera się na zamyśle stosowania ustalonego i stałego zbioru dodatkowych przesłanek ukrytych w tle. Następnie rozważamy sposoby prowadzące do tego samego efektu przez wykluczenie pewnych klasycznych wartościowań. Na końcu natomiast badamy trzecią z dróg, która opiera się na przyjęciu dodatkowych reguł wnioskowania obok wyjściowych przesłanek. W każdym z tych przypadków otrzymujemy pewien monotoniczny system pomostowy, który może zostać w prosty i rozsądny sposób przerobiony na system niemonotoniczny. W rzeczywistości każdy z systemów pomostowych prowadzi do dość dużego zakresu systemów niemonotonicznych, których różnorodność jest prezentowana w literaturze. W naszym przypadku nie stanowią one już dalej nieuporządkowanej magmy, ponieważ każdy z nich jest wariantem jednej z trzech wyjściowych idei. W dalszej kolejności nasza książka zajmuje się także subtelnym problemem związku pomiędzy logiką a prawdopodobieństwem, a mówiąc bardziej szczegółowo, związku pomiędzy logiką klasyczną, inferencją probabilistyczną i rozumowaniami niemonotonicznymi. Z jednej strony mamy bowiem kilka różnych sposobów charakteryzowania klasycznej konsekwencji w terminach probabilistycznych. Z drugiej zaś, możemy także użyć prawdopodobieństwa do zdefiniowania operacji konsekwencji, zarówno monotonicznej, jak i niemonotonicznej. Okazuje się, że w pewnych istotnych kwestiach różnią się one od operacji zdefiniowanych we wcześniejszych rozdziałach. Pokażemy jednak, iż istnieją również sposoby, aby je do siebie zbliżyć.

xiv


Należy zauważyć, że istnieją oczywiste podobieństwa pomiędzy pewnymi sposobami definiowania niemonotonicznych relacji inferencji oraz konstrukcjami, które są używane do innych celów — np. logik rewizji i aktualizowania przekonań, logik kontrfaktycznych okresów warunkowych oraz logik dyrektywalnych okresów warunkowych (conditional directives). Ostatni rozdział książki traktuje właśnie o związku pomiędzy tymi wszystkimi sposobami „organizacji przekonań” i tym, co je różni. Prezentuje on również przykłady twierdzeń o reprezentacji dla pewnych głównych systemów logiki niemonotonicznej. Nie próbujemy jednak opisać wszystkich reprezentacji, które można znaleźć w literaturze. Jest ich bowiem zbyt wiele, a ich liczba wciąż rośnie. Wybrane zostały natomiast dwa przypadki strategiczne. Jeden z nich jest opisany z pełnym dowodem, natomiast drugi wraz z jego zasadniczą konstrukcją jest jedynie zarysowany.

Czym nie będziemy się zajmować Skoro powiedzieliśmy, czym będziemy się zajmować, winni jeszcze jesteśmy czytelnikowi — w szczególności potencjalnemu nauczycielowi, który zastanawia się nad wykorzystaniem tej książki — wyjaśnienie, jakie tematy związane z niemonotoniczną logiką nie zostaną tu poruszone. Wszystkie relacje inferencji studiowane w książce są zdefiniowane na czysto zdaniowym języku zbudowanym wyłącznie z klasycznych stałych logicznych. Mógłby być on oczywiście rozszerzony do języka pierwszego rzędu, jednak większość interesujących problemów pojawia się już na poziomie zdaniowym. Biorąc pod uwagę tę kwestię, rozszerzenie takie zwiększyłoby poziom trudności, nie przynosząc wcale większej wartości poznawczej. Nie będziemy również badać logik, w których klasyczne spójniki zostały zinterpretowane w sposób nieklasyczny. W taki sposób, dla przykładu, są czasami prezentowane systemy logiki programowania (logic programming) z negacją rozumianą na różny sposób jako niepowodzenie (negation as failure). Jednakże, jak zasugerujemy w rozdziale czwartym, lepiej jest je przedstawiać jako reguły działające na zdaniach, wyrażone w jakimś fragmencie języka klasycznego. Badania nad logiką programowania stały się obecnie dziedziną samą w sobie, gdzie nacisk jest położony na problem obliczeniowej złożoności, co nie należy do zakresu naszych zainteresowań. Osoby zainteresowane stanem obecnych badań nad logikami programowania powinny sięgnąć do następujących pozycji, które realizują różne cele: praca Gelfonda i Leone’a (2002) opisuje logiki programowania z „semantyką zbioru odpowiedzi” (answer set semantics), praca Brewki, Dixa i Konolige’a (1997) — w szczególności rozdziały 6–7 — przedstawia z kolei przegląd różnych podejść do logiki programowania z negacją, natomiast książka Barala (2003) oferuje ujęcie encyklopedyczne.


xv

Do przedmiotu naszych zainteresowań nie będą należały również języki stanowiące rozszerzenie języka logiki klasycznej o funktory nieklasyczne. Dla przykładu, nie będziemy rozważać logik autoepistemicznych. Powstają one właśnie przez dodanie do spójników boolowskich specjalnego typu operatora, którego introspektywne odczytanie daje niemonotoniczny efekt. Pomimo związku tych logik z pewnymi logikami indywidualnych reguł domyślnych (maverick default-rule), poprzez translację Konolige’a i innych, są one dość odmienne od logik głównego nurtu, o czym decydują powody przedstawione w rozdziale czwartym. Czytelnika, który jest zainteresowany studiowaniem logik autoepistemicznych, odsyłamy do podrozdziału 4.2 pracy Brewki, Dixa, Konolige’a (1997) lub do bardziej szczegółowego przeglądu Konolige’a (1994). Warto jeszcze wspomnieć o dwóch podejściach do zagadnienia niemonotonicznych rozumowań, w których stałe logiczne nie odgrywają szczególnie dużej roli. Pierwsze z nich to teoria zawodnych sieci dziedziczenia (the theory of defeasible inheritance nets), a drugie to abstrakcyjna teoria zawodnej argumentacji (the abstract theory of argument defeat). W obydwu przypadkach przedmiot jest zogniskowany na pojęciu ścieżki (w sieci) lub rozumowania (w dyskusji), które obala lub jest konkurencyjne dla innego rozumowania, oraz na ustalaniu ostatecznego efektu złożonych wzorów nakładających się obaleń. W tych przypadkach w grę wchodzą dość specjalne problemy, których nie dyskutujemy w niniejszej książce. Czytelnika zainteresowanego pierwszym z tych zagadnień odsyłamy do przeglądowej pracy Horty’ego (1994). Drugie z zagadnień jest natomiast opracowane przez Prakkena i Vreeswijka (2001) oraz w artykule García i Simariego (w przygotowaniu). Nasza książka nie pretenduje zatem do bycia kompleksowym ujęciem wszystkich badań, które mogą należeć do zakresu nazwy logika niemonotoniczna. Książka ta prezentuje natomiast pewne centralne idee, nadając im koherentną strukturę i starając się wyjaśnić je najlepiej jak to możliwe.

Strategia prezentacji Kiedy rozpocząłem planowanie tej książki, podążałem utrwalonymi przyzywyczajeniami, dążąc do maksymalnej ogólności. Mamy tak wiele różnych dostępnych, formalnych podejść do logiki niemonotonicznej — myślałem. Należałoby wprowadzić tam odpowiedni porządek, co wymagałoby znalezienia możliwie najbardziej ogólnego schematu, pod który one podpadają. Wtedy moglibyśmy zaprezentować te różne podejścia jako wiele szczególnych przypadków tego schematu. Szybko jednak stało się jasne, iż taka strategia jest trudna do realizacji. Sprawdza się dobrze, kiedy skoncentrujemy się na określonych rodzajach relacji konsekwencji i sposobach ich generowania, które mogą być klasyfikowane według

xvi


ustalonego zbioru spełnianych przez nie regularnych warunków. W takim wypadku rozpoczynamy od minimalnego zbioru warunków, definiując tym samym bardzo szeroką klasę operacji konsekwencji i stopniowo dodajemy kolejne warunki, definiując węższe klasy. Ta metoda została wykorzystana w moim artykule General theory of cumulative inference (Makinson, 1989) oraz w pracy General Patterns in Nonmonotonic Reasoning (Makinson, 1994). Jednakże jeśli ktoś jest zainteresowany sposobami generowania relacji konsekwencji, tak jak jest to przedstawione w tej książce, wtedy opisana strategia traci sens. Poszczególne sposoby różnią się bowiem radykalnie. Próba wyabstrahowania na ich gruncie pojęcia bardziej ogólnego sposobu prowadzi do wyniku, który jest nieintuicyjny, nieodpowiedni do dalszej pracy oraz z matematycznego punktu widzenia niewiele wnoszący. Z tego też powodu organizacja tej książki jest podporządkowana zupełnie innej zasadzie. Można by ją opisać jako zasadę tematu i jego wariacji. Każdy z trzech wspomnianych sposobów uzyskiwania logiki niemonotonicznej — przez dodanie stałego zbioru przesłanek, odrzucenie pewnych wartościowań oraz dodanie stałego zbioru reguł — będzie opisany przez wprowadzenie paradygmatycznego sformułowania, a następnie przez naszkicowanie pewnych szczególnych przypadków, wariacji oraz uogólnień. Chociaż zaledwie kilka wariacji pojawia się już na poziomie systemów pomostowych, to na poziomie niemonotonicznym ich ilość znacznie wzrasta. Lepiej jest rozumieć je jako otwartą rodzinę spokrewnioną z jakimś centralnym egzamplarzem niż jako poszczególne przypadki pewnej definicji opisującej całą tę dziedzinę. Matematykom takie podejście może wydawać się niezgodne z ich praktyką, jednak jest to jedyny rozsądny sposób rozwijania naszego problemu. Ponadto trzeba zauważyć, iż nawet matematycy są przyzwyczajeni w pewnych przypadkach do takiego postępowania. Kiedy na przykład weźmiemy pod uwagę przegląd różnych aksjomatycznych podejść do teorii mnogości, widzimy, iż nikt nie spróbowałby na obecnym etapie jej rozwoju podawać abstrakcyjnych definicji pojęć konstytuujących teorię mnogości, które pasowałyby do podejść Zermelo-Fraenkla, Quine’a oraz innych, traktując je jako specjalne przypadki tych pojęć. W takich sytuacjach za standardową procedurę uchodzi konceptualne określanie kilku szerokich linii podejścia, podanie przykładów każdego z nich, a następnie zarysowanie pewnych z ich wielu wariantów. Taką procedurę, jako sposób postępowania, obieramy właśnie w tej książce.

Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania Każdy rozdział kończy się podrozdziałem „Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania”. Podrozdziały te składają się z trzech części, które mają za zadanie pomóc czytelnikowi powtórzyć omówiony materiał oraz sięgnąć po dalsze pozycje


xvii

z zakresu tematu. Pierwsza część stanowi powtórzenie głównej idei przedstawionej w rozdziale. Druga część jest listą podstawowych, wprowadzonych pojęć, zarówno formalnych, jak i nieformalnych. Pojęcia te nie są tam ponownie wyjaśniane, lecz jedynie wymienione na potrzeby sprawdzenia w czasie powtarzania, czy są dobrze rozumiane. Jednakże czytelnik może ustalić ich formalne definicje i nieformalne wyjaśnienia, wyszukując w tekście odpowiadające im terminy, zapisane tam pochyłą czcionką. Ostatnia część to krótki wybór pozycji przeznaczonych do dalszej, samodzielnej lektury. Niektóre z nich opisują dokładnie te same zagadnienia, co podjęte w rozdziale, lecz pod innym kątem, w sposób bardziej szczegółowy lub z mocniejszym naciskiem na problemy, którym nie poświęciliśmy uwagi. Inne zaś poszerzają zakres. Ogólnie rzecz biorąc, proponowane lektury nie są obszerne pod względem objętości. Są to zwykle artykuły bądź rozdziały książek. Jedynie niekiedy zalecamy bardziej obszerne pozycje.

Jaki jest najlepszy sposób czytania tej książki? Najlepiej weź ołówek do ręki i pisz na marginesach. Nie bierz niczego na wiarę. Sprawdzaj twierdzenia, znajduj błędy (koniecznie powiadom o nich autora: [email protected]), stawiaj pytania i problemy. Jak zwykle najlepszym sposobem sprawdzenia, czy ktoś zrozumiał daną definicję jest umiejętność podania zarówno jej egzemplifikacji, jak i przypadków negatywnych. Jeśli ktoś, dla przykładu, nie jest w stanie zastosować danego twierdzenia do prostych przypadków ani wyciągnąć bezpośrednich konsekwencji, to niestety nie rozumie go. Bez tych umiejętności czytelnik łudzi się jedynie, że zrozumiał materiał. Właśnie z tego powodu książka ta zawiera ćwiczenia. Wiele z nich wymaga od czytelnika uzasadniania różnych stwierdzeń, które pojawiają się w tekście. Aby jednak pomóc odważnym samoukom utrzymać dyscyplinę w rozwiązywaniu ćwiczeń, a także aby ułatwić pracę nauczycielom, do niektórych ćwiczeń, oznaczonych gwiazdką, dołączono na końcu książki rozwiązania. Oprócz ćwiczeń w książce podane są również pewne problemy. Są one jednak bardziej skomplikowane niż ćwiczenia, ponieważ wymagają więcej niż tylko podania pozytywnych lub negatywnych przykładów danej definicji lub prostego jej zastosowania wraz z prostym dowodem. Ich rozwiązanie może wymagać umiejętności odnajdywania odpowiedzi i znajdowania dla nich dowodów lub wykazywania, że prowadzą do fałszywych konsekwencji. Obydwie umiejętności mają charakter nabyty, a ich poziom wzrasta wraz z praktyką. Ostatnią propozycją są projekty. Są one zadaniami długoterminowymi, bez względu na to, czy ich realizacja zależy od zainteresowań i zaangażowania cza-

xviii


sowego czytelnika, czy celów nauczyciela. Wymagają one wzięcia pod uwagę dodatkowych pozycji z literatury, które stanowią punkt wyjścia do dalszej pracy. Osoby, którym z jakiś powodów się śpieszy i chcą przestudiować wyłącznie rzeczy najważniejsze, mogą jedynie przejrzeć lub nawet pominąć podrozdział 2.3, prezentujący partykularyzacje i uogólnienia zagadnienia poruszanego w tym rozdziale. Podobnie ma się rzecz z podrozdziałami 3.3 oraz 4.3. Czytelnicy ci muszą jednak obiecać autorowi, że jeszcze kiedyś do nich powrócą! Można również pominąć dość techniczny podrozdział 5.4. Pominięcie większej ilości materiału związane jest jednak z ryzykiem utraty pełnego obrazu przedstawianego problemu.

Wskazówki dla nauczycieli Doświadczenie autora w zakresie prowadzenia zajęć na podstawie materiału z tej książki wskazuje, iż omówienie jednego podrozdziału wymaga średnio jednej godziny, nie licząc podrozdziału 1.1 oraz dodatkowych części sprawdzających. W sumie daje to dwadzieścia godzin nauki na omówienie całej książki lub piętnaście na omówienie wspomnianej powyżej wersji minimalnej. Ostateczny czas wymagany dla takich zajęć zależy oczywiście od poziomu i zaplecza wiedzy studentów. W szczególności nauczanie tych słuchaczy, których wiedza o logice klasycznej nie zawiera takich pojęć, jak relacja, operacja konsekwencji, czy też zwartość, może wymagać więcej czasu niż jedną godzinę na przestudiowanie podrozdziału 1.2. Mając ich właśnie na myśli, autor zawarł tam szczególnie wiele ćwiczeń. Z drugiej strony, podrozdziały zatytułowane „uszczegółowienia i uogólnienia” dają nauczycielom więcej swobody, pozwalając położyć nacisk na ich ulubione zagadnienia.

Przyjęte konwencje Twierdzenia są ponumerowane liczbami, które w pierwszej kolejności odpowiadają numerom rozdziałów. Dla przykładu, pierwsze oznaczone twierdzenie w tej książce pojawia się w podrozdziale 1.3 i jest oznaczone jako twierdzenie 1.1. Należy zauważyć, iż tylko główne fakty są wyszczególnione w ten sposób. Wiele mniej ważnych faktów pojawia się po prostu w tekście, co uważny czytelnik powinien znaleźć i zaznaczyć. To samo dotyczy zresztą definicji. Tylko kilka istotnych definicji zostało tam wyróżnionych. Pozostałe pojawiają się w tekście, gdzie łatwo je zlokalizować, ponieważ definiowane terminy są wydrukowane pochyłą czcionką. Przyjęta w książce notacja jest dość standardowa. Jeden wyjątek stanowi użycie zwykłych nawiasów zamiast ostrych w celu oznaczenia par uporządkowanych. Będziemy zatem pisać (x, y) zamiast hx, yi. W rozdziale czwartym uprościmy


xix

również zwykle przyjmowany sposób zapisu reguł domyślnych (default rules). Ponadto w spisie symboli (dodatek B) przypominamy i objaśniamy symbole stosowane w opisie logik niemonotonicznych. W przedmowie stosowaliśmy pełny opis bibliograficzny wspominanych prac. Podobnie będziemy czynili w częściach poświęconych propozycjom dalszych lektur. W głównym tekście będą one miały jednak charakter skrócony wyłącznie do nazwiska i daty, jak np. Gabbay (1985). Ich rozszerzenie wraz ze wszystkimi niezbędnymi danymi znajduje się na końcu książki.

Podziękowania Podczas rozwijania podstawowych idei towarzyszących tej książce, wielokrotnie były one prezentowane na rozmaitych warsztatach, konferencjach, w pismach naukowych, a także podczas uniwersyteckich kursów. Rozwinięta tutaj ogólna wizja logiki niemonotonicznej, w formie bardziej odpowiedniej dla profesjonalnych logików, została zarysowana w pracy Makinson (2003a). Jej krótki zarys, zaadaptowany dla potrzeb środowiska ekonomistów zainteresowanych logiką, został przedstawiony w pracy Makinson (2003b). Skrócona wersja niniejszej pracy, pozbawiona ćwiczeń, odpowiedzi oraz podrozdziałów powtórkowych pojawiła się jako przegląd Makinson (2005). Znaczna część tekstu została napisana w czasie, kiedy autor nauczał na kursie logiki niemonotonicznej na Wydziale Nauk Komputerowych w King’s College, wiosną, w semestrze 2003/2004. Duże podziękowania za pytania oraz pomoc w uczynieniu książki bardziej przystępną należą się studentom i osobom przeglądającym ten materiał. Mam tu na myśli w szczególności następujące osoby oraz ich pomoc: Audun Stolpe i Robert Schubert — wnikliwe pytania, Xavier Parent i Simon Speed — znalezienie pewnych błędów w ćwiczeniach i propozycje niektórych modelowych odpowiedzi, David Gabelaia — uwagi i ważne spostrzeżenia. Także wielu innych ludzi poczyniło pomocne uwagi w istotnych kwestiach merytorycznych, zwłaszcza podczas procesu powstawania pracy. Należą do nich: Gerd Brewka, Björk Bjurling, Marc Denecker, Michael Freund, Donald Gillies, Dov Gabbay, Jörg Hansen, Daniel Lehmann, João Marcos, Włodek Rabinowicz, Hans Rott, Karl Schlechta oraz pewien anonimowy recenzent z Journal of the IGPL. Książka ta jest dedykowana pamięci mojego wcześniejszego współpracownika, Carlosa Alchourróna, który zmarł w styczniu 1996. Pomimo jego fascynacji logiką zmiany przekonań, nie pokładał on nadziei w jej sąsiadce — logice niemonotonicznej, do czego nie mogłem go zresztą nigdy przekonać. Podczas pisania tej książki uświadomiłem sobie, że stanowi ona kontynuację naszych dyskusji.

Rozdział 1

Podstawy logiki niemonotonicznej

1.1. Wszyscy wnioskujemy niemonotonicznie W dobrze wszystkim znanych opowiadaniach o Sherlocku Holmesie jego towarzysz Watson często wypowiada się na temat zdumiewającej siły dedukcji, którą prezentuje detektyw. Każdy jednak, kto posiada jakąś wiedzę na temat dedukcji czy to w postaci z czasów twórczości Conana Doyla, czy w postaci współczesnej, jest świadomy, że chodzi tutaj o coś innego. Żadna bowiem z konkluzji, do których dochodzi Sherlock Holmes, nie wynika w sposób dedukcyjny z rozważanych przez niego świadectw. Jego rozumowania zawierają natomiast różne ukryte założenia oraz opierają się na domysłach, co powoduje stałą możliwość ich zawodności. Chociaż według relacji Watsona, Sherlock Holmes zazwyczaj wyciąga wnioski zgodne z rzeczywistością, to jednak w prawdziwym życiu możliwość pomyłki jest dużo większa, niż pozwala na to przyjemna fikcja. Mimo zawodności operacji, które wykonuje Holmes, trudno odmówić im miana rozumowań. Holmes odwołuje się nie tylko do jawnie wzmiankowanych obserwacji, ale również pośrednio i w sposób milczący do niewyeksplikowanej wiedzy, zawierającej różne reguły oraz heurystyczne wskazówki. Co istotne, zakres uzyskiwanej w tych wnioskowaniach wiedzy może zmieniać się, kiedy zwiększy się zakres wyjściowych informacji. Dotyczy to w szczególności uzyskanych wcześniej wniosków, które mogą tracić ważność. Niekoniecznie oznacza to jednak, że we wcześniejszych rozumowaniach popełniono błąd. Poprzednie wnioskowania mogą być wciąż kwalifikowane jako najlepsze i najbardziej rozsądne na gruncie wcześniejszej bazy informacyjnej. To właśnie stanowi istotę rozumowań niemonotonicznych. Nie są one jednak domeną jedynie Sherlocka Holmesa. W ten sposób wnioskują lekarze, mechanicy, osoby zajmujące się komputerami i wszyscy ci, którzy muszą coś zdiagnozować, aby podjąć dalsze działania. Roboty, które wybierają sposób poradzenia sobie z przeszkodami, również muszą posłużyć się podobnymi wnioskowaniami, szybko przeprowadzając je w „czasie rzeczywistym” bez przerywania pracy. Archeolodzy porządkujący znalezione zabytki widzą, jak ich wcześniejsze wnioski na temat

2

Rozdział 1. Podstawy logiki niemonotonicznej

wieku, funkcji i pochodzenia danego artefaktu zmieniają się, kiedy pojawiają się nowe świadectwa. W niektórych przypadkach możemy nie uznawać tego typu wnioskowań, uważając, że posiadane świadectwa nie wystarczają do wyciągnięcia jakichkolwiek konkluzji. Byłaby to wyraźnie racjonalna postawa, której celem jest osiąganie konkluzji pewnych. Jest jednak wiele sytuacji, które wymagają natychmiastowego działania, opartego na wnioskach, których niepewność jest wyjątkowo oczywista. Zdarzają się na przykład sytuacje medyczne, w których pacjent może umrzeć, jeśli szybko nie zostanie podjęte jakieś działanie. Może nie być wtedy czasu na przeprowadzanie dalszych testów, które zwiększyłyby ilość wyjściowych informacji. Konieczna jest natomiast natychmiastowa diagnoza, która zadecyduje, jakie działania należy podjąć. Jesteśmy więc czasem zmuszeni dokonywać wnioskowań, będąc jednocześnie świadomi ich zawodności, a nawet słabości. Jeśli bowiem czekalibyśmy na dedukcyjną pewność, nie wyciągając w międzyczasie żadnych wniosków, moglibyśmy się jej nigdy nie doczekać. Opisywany rodzaj wnioskowań jednocześnie wiąże się często z dużą ilością materiału, na podstawie którego lepiej lub gorzej ktoś wnioskuje. Kiedyś Winston Churchill powiedział, że „prawdziwy geniusz posiada umiejętność oceniania informacji pod kątem ich niepewności, niebezpieczeństwa i spójności”. Ogólnie rzecz biorąc, tego typu ocena jest przeprowadzana przez wnioskującego intuicyjnie, z niewielką dawką refleksji i zrozumienia używanych w trakcie jej mechanizmów. Dlatego też wręcz domaga się ona formalnej analizy. Podchodząc do zagadnienia bardziej technicznie, powiemy, że rozumujemy niemonotonicznie, kiedy w taki sposób wyciągamy konkluzję na podstawie danych informacji, że może ona być odrzucona, jeśli zdobędziemy dodatkowe informacje, nawet nie odrzucając żadnej ze starych przesłanek. Krótko mówiąc, daną relację konsekwencji nazwiemy niemonotoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy może być tak, iż zdanie x jest konsekwencją zbioru zdań A, ale nie jest konsekwencją jego nadzbioru A ∪ B. W tym momencie czytelnik może powiedzieć: „Oczywiście, w taki właśnie sposób wszelkie wnioskowania muszą być przeprowadzane, nie może być inaczej. To nic nowego. Na pewno każdy standardowy system logiki musi uwzględniać to zjawisko”. Ostatecznie bowiem, chociaż sam termin jest współczesny, to samo zagadnienie niemonotoniczności nie jest nowe. Przez setki lat było ono badane przez epistemologów; dla przykładu Locke oraz Hume zajmowali się nim w siedemnastym i osiemnastym wieku. Od długiego czasu jest ono bliskie uprawiającym nauki prawne oraz występuje w filozofii nauk empirycznych. Jednakże do dziś żaden z głównych systemów logiki nie uwzględnia problemu niepewności i niemonotoniczności. Koncentrują się one bowiem na problemie czysto dedukcyjnej inferencji, gdzie konkluzje są przyjmowane na podstawie przesłanek w sposób

1.2. Konsekwencja klasyczna i jej własności

3

konieczny, bez jakichkolwiek wyjątków czy wątpliwości. Systemy te są jednak monotoniczne: kiedy poprawnie wywnioskujemy w nich jakieś zdanie na podstawie danego zbioru przesłanek, to jest ono konsekwencją dowolnego większego zbioru przesłanek, który zawiera wszystkie przesłanki wyjściowe. Takie podejście dobrze sprawdza się w pewnych kontekstach, w szczególności w dziedzinie matematyki. Ostatecznie bowiem logika, o której mowa, została rozwinięta w celu lepszego zrozumienia dowodów matematycznych. Mamy tu na myśli tzw. logikę klasyczną, na którą składa się: logika zdaniowa (lub prawdziwościowa) oraz logika predykatów (lub logika kwantyfikatorów). Wyjątkowy sukces logiki klasycznej w zakresie analizy rozumowań matematycznych w dużej mierze przesłonił jednak jej ograniczenia w dziedzinach wykraczających poza jej pierwotny zakres zastosowań. Nie twierdzi się oczywiście tutaj, że logika dedukcyjna działa źle. Nie należy również żałować, że historycznie rzecz biorąc rozwój logiki nastąpił w ten sposób. Chociaż bowiem przedmiotem naszych rozważań jest logika niemonotoniczna, stale będziemy stosować logikę klasyczną. Dzieje się tak z dwóch powodów. Po pierwsze, nasze przedsięwzięcie ma charakter matematyczny. Należy zatem prowadzić je zgodnie z zasadami klasycznej dedukcji. Po drugie zaś, systemy niemonotoniczne, które tutaj będziemy studiować, zostaną zdefiniowane przy użyciu konsekwencji klasycznej.

1.2. Konsekwencja klasyczna i jej własności Jak już powiedzieliśmy, zakładamy, że czytelnik jest chociaż częściowo obeznany z pojęciem konsekwencji klasycznej logiki zdaniowej. Spróbujemy jednak odświeżyć tę wiedzę, przypominając definicje i pewne istotne właściwości, które nie zawsze są omawiane w podstawowych podręcznikach. W dalszych partiach książki ich znajomość będzie bowiem konieczna. Klasyczna logika operuje na formalnym języku, którego formuły są zbudowane ze skończonej ilości liter zdaniowych (lub liter elementarnych) przy użyciu odpowiednio wybranych spójników prawdziwościowych. Dla przykładu, możemy zastosować dwuargumentowe spójniki ∧, ∨ i jednoargumentowy spójnik ¬, rozumiane zgodnie ze zwykłymi prawdziwościowymi tabelami dla koniunkcji, alternatywy oraz negacji. Zbiór tych trzech spójników jest funkcjonalnie zupełny w tym sensie, że za ich pomocą można zdefiniować pozostałe spójniki prawdziwościowe. Formuły zbudowane w powyższy sposób będą tutaj nazywane boolowskimi, a ich zbiór będziemy oznaczać za pomocą litery L. Materialną implikację → oraz równoważność ↔, również określone za pomocą odpowiednich tabel prawdziwościowych, wprowadzamy w zwykły sposób jako skróty.

4


Przez przyporządkowanie będziemy rozumieć dowolną funkcję ze zbioru liter zdaniowych w dwuelementowy zbiór {0, 1}. Każde przyporządkowanie może być w jednoznaczny sposób rozszerzone do wartościowania boolowskiego (krócej — jeżeli kontekst jest jasny — wartościowania), czyli funkcji v ze zbioru wszystkich formuł w dwuelementowy zbiór {0, 1}, która na literach zdaniowych zgadza się z wyjściowym przyporządkowaniem, a jednocześnie dla formuł złożonych z ∧, ∨, ¬ zachowuje się zgodnie z ich tabelami prawdziwościowymi. Kiedy A jest zbiorem formuł, zapis v(A) = 1 będzie skrótem dla stwierdzenia: v(a) = 1, dla dowolnego a ∈ A. Żeby nie komplikować notacji, będziemy używać tej samej litery v zarówno dla oznaczenia przyporządkowania, jak i wartościowania, które ono wyznacza. Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł, niech x będzie dowolną formułą. Powiemy, że x jest klasyczną konsekwencją A wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie wartościowanie, że v(A) = 1, podczas gdy v(x) = 0. Standardowo piszemy: A ` x, gdzie znak ` jest symbolem oznaczającym relację wynikania. Kiedy po jego lewej stronie mamy do czynienia ze zbiorem jednoelementowym, notację upraszczamy, opuszczając nawiasy i pisząc: a ` x, zamiast {a} ` x. Widać zatem, że klasyczna konsekwencja jest relacją pomiędzy formułami, lub precyzyjniej mówiąc pomiędzy zbiorami formuł z lewej strony i pojedynczymi formułami z prawej. Może być ona także opisana jako pewna operacja działająca na zbiór formuł A, i dająca w rezultacie większy zbiór Cn(A). W efekcie operacja konsekwencji gromadzi razem wszystkie formuły, które są konsekwencjami danych przesłanek. Obydwa podejścia do klasycznej konsekwencji są w prosty sposób współdefiniowalne. Mając relację `, operację Cn możemy zdefiniować w następujący sposób: Cn(A) = {x : A ` x}; i odwrotnie, wychodząc od operacji Cn, można zdefiniować ` za pomocą następującej definicji: A ` x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ Cn(A). Także i tutaj uprościmy notację w przypadku, gdy A jest singletonem, pisząc x ∈ Cn(a) zamiast x ∈ Cn({a}). Obydwa podejścia są użyteczne. Niekiedy jedno jest jednak wygodniejsze niż drugie. Na przykład, często łatwiej wyobrażamy sobie pewne własności w terminach relacji, chociaż prościej i bardziej zwięźle dowodzi się ich, używając operacji. To samo można powiedzieć o nieklasycznych konsekwencjach, które dalej będziemy rozważać. Z tego też powodu czasami będziemy stosować jedno, a czasami drugie podejście. Czytelnik powinien się więc nauczyć czynić tak samo. Pojęcie konsekwencji jest blisko powiązane z pojęciem niesprzeczności. Mówimy, że zbiór formuł A jest klasycznie niesprzeczny (lub spełnialny) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie boolowskie wartościowanie v, że v(A) = 1, tj. v(a) = 1, dla każdego a ∈ A. W przeciwnym razie powiemy, że zbiór A jest sprzeczny (lub niespełnialny). Klasyczna konsekwencja oraz niesprzeczność są oczywiście pojęciami współdefiniowalnymi: A ` x wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A ∪ {¬x}


5

jest sprzeczny; i w drugą stronę, zbiór A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy A 0 f , gdzie f jest dowolną kontrtautologią, np. p ∧ ¬p. Relacja klasycznej konsekwencji posiada wiele użytecznych właściwości. Zaczniemy od tego, że jest ona relacją domknięcia, co znaczy, że dla dowolnych zbiorów formuł A, B oraz dowolnych formuł a, x spełnia ona następujące warunki: Zwrotność albo inkluzja

jeśli a ∈ A, to A ` a

Kumulatywna przechodniość (CT) lub cięcie

jeśli A ` b dla każdego b ∈ B oraz A ∪ B ` x, to A ` x

Monotoniczność

jeśli A ` x oraz A ⊆ B, to B ` x

Własności te wyrażone w języku Cn mówią, że klasyczna konsekwencja jest operacją domknięcia w tym sensie, że dla dowolnych zbiorów formuł A, B spełnia następujące warunki: Inkluzja albo zwrotność

A ⊆ Cn(A)

Kumulatywna przechodniość (CT) lub cięcie

jeśli A ⊆ B ⊆ Cn(A), to Cn(B) ⊆ Cn(A)

Monotoniczność

jeśli A ⊆ B, to Cn(A) ⊆ Cn(B)

Pierwszy z warunków posiada dwie nazwy. Jest on zwykle nazywany zwrotnością w wypadku relacji, lub inkluzją, kiedy jest wyrażany w terminach operacji. Jest to jednak dokładnie to samo pojęcie, kiedy dokonamy translacji. Drugi z warunków ma wiele nazw w literaturze, z których najbardziej rozpowszechnioną jest właśnie kumulatywna przechodniość, skracana do CT lub cięcie. Ostatni termin należy jednak używać z pewną ostrożnością. Kiedy bowiem dla przykładu pracujemy z logiką klasyczną w ujęciu Gentzena, jest on używany nie tylko dla tej zasady, lecz również dla wielu jej wariantów. Niektórzy czytelnicy mogą być trochę zdziwieni, widząc warunek kumulatywnej przechodniości dla relacji ` zamiast prostej przechodniości, do której są przyzwyczajeni, albo w singletonowej wersji (jeśli a ` b i b ` x, to a ` x), albo w ogólnej postaci (jeśli A ` b dla wszystkich b ∈ B i B ` x, to A ` x). Faktycznie, gdy mamy zarówno zwrotność i monotoniczność, to kumulatywna przechodniość jest równoważna z ogólną postacią prostej przechodniości. W dalszej części jednak będziemy koncentrować się na relacjach, które nie są monotoniczne i w tym kontekście — jak to pierwszy zauważył Gabbay (1985) — lepiej jest pracować z kumulatywną przechodniością niż z jej prostą wersją. Inni czytelnicy, którzy są już obeznani z operacją domknięcia w logice lub w algebrze abstrakcyjnej, mogą być z kolei zdziwieni widząc warunek kumulatyw-

6


nej przechodniości, podczas gdy zwykle mieli do czynienia z idempotencją, czyli z warunkiem Cn(A) = Cn(Cn(A)). Podobnie jednak jak przedtem, warunki te są równoważne, chociaż nie indywidualnie, lecz na gruncie pozostałych dwóch warunków definiujących pojęcie operacji domknięcia. W wypadku, gdy rozważamy relację, która nie spełnia warunku monotoniczności, również lepiej jest korzystać z warunku (CT) niż z idempotencji. Głównym aktorem naszego spektaklu jest właśnie monotoniczność, a właściwie jej brak, po tym jak ginie w pierwszym akcie. W szczególnym wypadku wynika z niej singletonowa monotoniczność: jeśli a ` x, to {a, b} ` x. Klasyczna relacja konsekwencji posiada również blisko związaną własność, znaną jako singletonowa, koniunkcyjna monotoniczność, wzmacnianie przesłanek lub ∧+(lewostronne): jeśli a ` x, to a ∧ b ` x. Własności te nie są dokładnie takie same. Ostatnia dotyczy koniunkcji. Są jednak równoważne dla każdego systemu, w którym koniunkcja dwóch zdań będąc przesłanką zachowuje się tak samo, jak zbiór tych zdań. Powyższe trzy zasady definiujące pojęcie relacji domknięcia są przykładami reguły Horna, nazywanej tak od nazwiska Alfreda Horna, który zwrócił uwagę na jej znaczenie. Ogólnie rzecz biorąc, w odniesieniu do relacji reguła Horna mówi, że jeśli przedmioty pewnego rodzaju należą do relacji, to należą do niej także pewne inne przedmioty. Żadne z założeń reguły Horna nie jest jednak negatywne — żadne nie wymaga, aby jakieś przedmioty nie należały do relacji. Ponadto konkluzja tej reguły nie może mieć postaci alternatywy, nie może więc mówić, że przy danych założeniach jeden albo drugi przedmiot należy do relacji. Reguły oparte na idei Horna mają bardzo użyteczne własności. Warto wspomnieć, że kiedy każda relacja w pewnej rodzinie relacji spełnia daną regułę Horna, wtedy relacja zdefiniowana za pomocą przecięcia wszystkich relacji w tej rodzinie również spełnia tę regułę. Powyższe trzy warunki dla relacji konsekwencji wzięte razem są — przy założeniu którejś z podanych definicji — równoważne z ich odpowiednikami dla operacji konsekwencji. Należy dodać, że są one także równoważne osobno, jeśli nie liczyć tego, że przejście od warunku (CT) sformułowanego dla operacji Cn do jego sformułowania dla relacji ` wymaga małej pomocy ze strony warunku zwrotności. Warto na końcu jeszcze przypomnieć, że klasyczna konsekwencja posiada własność zwartości, co znaczy, że jeśli A ` x, to istnieje taki skończony podzbiór A0 ⊆ A, że A0 ` x. W języku operacji konsekwencji własność ta przyjmuje postać: jeśli x ∈ Cn(A), to istnieje taki skończony podzbiór A0 ⊆ A, że x ∈ Cn(A0 ). Ze zwartością blisko związana jest następująca własność maksymalności, którą wiele razy będziemy stosować w roli użytecznego narzędzia: jeśli A 0 x, to istnieje taki maksymalny zbiór A+ ⊇ A, iż A+ 0 x. Znaczy to, że dla dowolnego jego nadzbioru A++ ⊃ A+ mamy: A++ ` x. Powyższa własność może być wyrażona


7

bardziej ogólnie, za pomocą pojęcia niesprzeczności: jeśli suma zbiorów A i B jest niesprzeczna, to istnieje taki zbiór formuł A+ ⊇ A, który jest maksymalnie niesprzeczny z B. Innymi słowy, A+ jest niesprzeczny z B i nie ma żadnego jego nadzbioru A++ ⊃ A+ , który byłby niesprzeczny z B. Omówiona własność może być wyprowadzona z własności zwartości (lub otrzymana bezpośrednio podczas dowodu twierdzenia o zwartości), albo dowiedziona niezależnie. Biorąc pod uwagę jej długą nazwę, również będziemy nazywać ją „zwartością”. Wszystkie te własności logiki klasycznej są w tym sensie abstrakcyjne, że nie odnoszą się do żadnych stałych logicznych: ∧, ∨, ¬. Klasyczna konsekwencja ma oczywiście wiele własności dotyczących każdego z tych spójników. Własności te wynikają z ich tabel prawdziwościowych, jak na przykład dwie następujące własności: a ∧ b ` a ` a ∨ b. Wiele z nich jest już czytelnikowi znanych, nie będziemy więc ich wyliczać. Przypomnimy jednak jedną, która odegra ważną rolę w naszych rozważaniach. Jest to własność łączenia przesłanek w alternatywę, OR lub ∨+(lewostronne). Ma ona następujący charakter: jeśli A ∪ {a} ` x oraz A ∪ {b} ` x, to A ∪ {a ∨ b} ` x. Jak widać, jest to również reguła Horna. W języku operacji konsekwencji może być ona wyrażona następująco: Cn(A ∪ {a}) ∩ Cn(A ∪ {b}) ⊆ Cn(A ∪ {a ∨ b}). Część tę zakończymy uwagą o charakterze historycznym. Pojęcie operacji domknięcia jest związane z pracami Kuratowskiego z zakresu topologii z lat dwudziestych zeszłego wieku. W logice jest jednak ono zdefiniowane ogólniej, nie wymaga ani spełnienia warunku, że Cn(∅) = ∅, ani warunku Cn(A ∪ B) = Cn(A)∪Cn(B), z których w topologii korzystał Kuratowski. Obydwa te warunki są fałszywe dla klasycznej oraz wielu innych konsekwencji logicznych. Pojęcie operacji domknięcia w obecnej formie zostało zdefiniowane przez Tarskiego (1930) i stopniowo przenikało do abstrakcyjnej algebry, np. w pracach Cohna (1965) oraz do logiki, np. Brown i Suszko (1973), Wójcicki (1988). Inne pojęcie domknięcia, zdefiniowane przez warunki inkluzji i idempotencji jest użyteczne w teorii krat, gdzie czasami bywa nazywane domknięciem Moore’a.

Ćwiczenia Ta część zawiera więcej ćwiczeń niż pozostałe podrozdziały, aby upewnić osobę podejmującą lekturę, że posiada ona odpowiednie zaplecze do realizacji tego zamiaru. Osoby, które słabo pamiętają zagadnienia z logiki klasycznej, powinny zanim przejdą do udzielania odpowiedzi pewne rzeczy sobie przypomnieć.

8


1. Spójniki prawdziwościowe (a) Opisz tabele prawdziwościowe dla spójników koniunkcji, alternatywy oraz negacji. (b) Podaj ścisłą definicję zbioru wszystkich formuł języka zdaniowego, zbudowanych za pomocą spójników: ∧, ∨, ¬. (c) Opisz tabele prawdziwościowe dla implikacji materialnej: →, równoważ˙ ności materialnej: ↔, oraz alternatywy rozłącznej: ∨. (d) Zdefiniuj →, ↔ oraz ∨˙ za pomocą ∧, ∨, ¬. (e) Zdefiniuj ∨ za pomocą ∧, ¬ oraz ∧ za pomocą ∨, ¬. 2. Definicje klasycznej konsekwencji (a)∗ Używając znaku ∅ na oznaczenie pustego zbioru formuł, wyjaśnij, co według podanej definicji konsekwencji klasycznej znaczy, że ∅ ` x. (b) Niech A będzie skończonym i niepustym zbiorem formuł. Z kolei niech V A będzie koniunkcją wszystkich elementów A (w dowolnej kolejności oraz z dowolnie występującymi nawiasami). Pokaż, że: A ` x wtedy i tylko V V wtedy, gdy A ` x, a także, iż: A ` x wtedy i tylko wtedy, gdy V ∅ ` A → x. (c) Zbadaj prawdziwość stwierdzenia z tekstu, mówiącego, że A ` x wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A ∪ {¬x} jest sprzeczny, oraz że zbiór A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy A 0 f , gdzie f jest dowolną kontrtautologią. (d) Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł zbudowanych co najwyżej za pomocą koniunkcji i alternatywy. Niech x będzie również formułą zbudowaną za pomocą co najwyżej koniunkcji i alternatywy. Pokaż, że jeśli A ` x, to istnieje przynajmniej jedna wspólna litera zdaniowa występująca zarówno w x, jak i w jakimś elemencie A. Jak oceniłbyś to stwierdzenie, jeśli dopuścilibyśmy jeszcze spójnik negacji? (e) Powiemy, że zbiór formuł F, zbudowanych za pomocą spójników: ∧, ∨, ¬, dobrze się zachowuje wtedy, gdy dla dowolnych a, b spełnione są warunki: • a ∧ b ∈ F wtedy i tylko wtedy, gdy a, b ∈ F, • a ∨ b ∈ F wtedy i tylko wtedy, gdy a ∈ F lub b ∈ F, • ¬a ∈ F wtedy i tylko wtedy, gdy a < F. Pokaż, że dla dowolnego wartościowania v : L → {0, 1}, zbiór {a ∈ L : v(a) = 1} dobrze się zachowuje. Pokaż również, że jeśli F dobrze się zachowuje, to istnieje wartościowanie v : L → {0, 1}, takie że: F = {a ∈ L : v(a) = 1}. Stosując powyższe twierdzenie jako lemat, pokaż, że A ` x


9

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem każdego dobrze zachowującego się zbioru formuł X, który zawiera zbiór A. 3. Warunki definiujące operację domknięcia (a)∗ Pokaż, że każdy z warunków domknięcia: zwrotność, kumulatywna przechodniość oraz monotoniczność, wyrażony w języku relacji lub operacji, jest spełniony dla konsekwencji klasycznej. ∗ (b) Sprawdź, czy warunki domknięcia dla Cn są równoważne z odpowiednimi warunkami dla `, używając definicji Cn(A) = {x : A ` x}. Wskaż, w którym dokładnie miejscu wymagany jest warunek zwrotności przy dowodzie (CT) dla relacji ` na podstawie warunku (CT) dla operacji Cn. (c) Przeformułuj warunek (CT) dla operacji Cn w taki sposób, żeby stał się on równoważny analogicznemu warunkowi dla ` bez dodatkowego warunku zwrotności. (d) Przeformułuj (CT) dla ` w taki sposób, żeby stał się równoważny analogicznemu warunkowi dla operacji Cn bez dodatkowego warunku zwrotności. 4. Idempotencja i przechodniość (a) Wyraź warunek zwykłej przechodniości dla operacji Cn. Wyraź idempotencję (będzie wyglądało to dziwnie) jako własność relacji `. ∗ (b) W tekście była mowa o tym, że przy założeniu warunku zwrotności i monotoniczności, warunek kumulatywnej przechodniości jest równoważny ogólnej wersji zwykłej przechodniości. Pokaż, że rzeczywiście tak jest. ∗ (c) W tekście twierdzono również, że w definicji operacji domknięcia możemy zastąpić (CT) przez idempotencję, jeśli założymy warunki inkluzji oraz monotoniczności. Pokaż, że to prawda. (d) Pokaż, że przy założeniu zwartości, singletonowa przechodniość wystarczy do udowodnienia jej ogólnej wersji. 5. Reguły dla alternatywy (a)∗ Pokaż, że konsekwencja klasyczna spełnia warunek łączenia przesłanek w alternatywę (OR). (b)∗ Rozważ następującą regułę: jeśli A ∪ {a ∨ b} ` x, to A ∪ {a} ` x lub A∪{b} ` x. Czy jest to reguła Horna? Czy zachodzi ona dla konsekwencji klasycznej? 6∗ . Reguły dla koniunkcji. Rozważ następującą regułę, zwaną łączeniem konkluzji w koniunkcję (AND) lub ∧+(prawostronne): jeśli A ` x oraz A ` y, to A ` x∧y. Czy jest to reguła Horna? Czy zachodzi ona dla konsekwencji klasycznej?

10


7. Warunek topologiczny. Pokaż, zgodnie z tym co mówiono w tekście, że warunek Cn(A ∪ B) = Cn(A) ∪ Cn(B) nie zachodzi dla konsekwencji klasycznej.

Problemy Pierwsze trzy problemy dotyczą zagadnienia zwartości logiki klasycznej. Są one przeznaczone dla studentów, którzy mieli do czynienia przynajmniej z jednym dowodem twierdzenia o zwartości. Odświeżą one pamięć oraz dadzą okazję rozszerzenia wiedzy. 1. Udowodnij, że klasyczna konsekwencja jest zwarta, stosując następującą strategię. Załóż, że nie istnieje skończony podzbiór A0 ⊆ A taki, że A0 ` x. Użyj lematu Kuratowskiego-Zorna (lub poindeksowanych liczbami naturalnymi formuł języka, którymi będziesz rozszerzał zbiór A), aby pokazać, że istnieje maksymalny zbiór A+ ⊇ A o tej samej własności co A. Pokaż, że A+ dobrze się zachowuje z uwagi na ∧, ∨, ¬, w sensie podanym w ćwiczeniu 2(e); a na koniec zastosuj wynik tamtego ćwiczenia. 2. Dowiedź, że konsekwencja klasyczna jest zwarta, stosując trochę inną strategię. Zacznij od kilku zabiegów wstępnych. Poindeksuj litery zdaniowe liczbami naturalnymi. Przez n-przyporządkowanie będziemy rozumieli funkcję, która pierwszym n literom zdaniowym przyporządkowuje wartości ze zbioru {0, 1}. Zauważ, że każde n-przyporządkowanie wyznacza w sposób jednoznaczny boolowskie wartościowanie formuł złożonych z elementów zbioru liter zdaniowych, na którym przyporządkowanie jest określone. W celu uproszczenia notacji niech litera v oznacza obydwie funkcje. Teraz załóż, że nie ma skończonego podzbioru A0 ⊆ A takiego, że A0 ` x. Nazwij n-przyporządkowanie v specjalnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego m jest takie (n + m)-przyporządkowanie v0 , które spełnia każdą formułę a ∈ A zbudowaną z co najwyżej pierwszych n + m liter, ale nie spełnia formuły x. Na mocy założenia pokaż, że istnieje specjalne 0-przyporządkowanie. Pokaż, że dla każdego n, jeśli istnieje specjalne n-przyporządkowanie, to istnieje również specjalne (n + 1)-przyporządkowanie. Użyj tych dwóch faktów do zdefiniowania na zbiorze liter zdaniowych „przyporządkowania mistrzowskiego”, które spełnia A, lecz falsyfikuje x. Użyj tego przyporządkowania, aby uzyskać wymaganą konkluzję 3. Jeśli jesteś obeznany z podejściem aksjomatycznym do relacji klasycznej konsekwencji oraz z pojęciem mocnej pełności systemu aksjomatycznego względem konsekwencji klasycznej, to pokaż, że zwartość może być uzyskana jako wniosek z mocnego twierdzenia o pełności.

1.3. Nieporozumienia oraz złe przyzwyczajenia

11

Następne dwa problemy są poświęcone bardzo ogólnym pojęciom operacji domknięcia i domkniętych zbiorów. Umożliwiają one generowanie oraz reprezentowanie operacji domknięcia. Problemy te przeznaczone są dla studentów, którzy są obeznani z problematyką zbiorów. 4∗ . Niech X będzie dowolnym zbiorem. O zbiorze X można myśleć jako o zbiorze formuł zdaniowych, ale omawiany problem jest dużo ogólniejszy. Niech F będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru X. Zdefiniujmy operację Cl : 2X → T 2X jak następuje: Cl(A) = {B ∈ F : A ⊆ B}. Pokaż, że Cl jest operacją domknięcia. 5. Odwrotnie, niech teraz Cl będzie pewną operacją domknięcia ustaloną na dowolnym zbiorze X. Zbiór A ⊆ X nazwijmy domkniętym na Cl wtedy, gdy A = Cl(A). Pokaż, że domknięcie dowolnego zbioru A ⊆ X jest identyczne z przecięciem wszystkich domkniętych zbiorów, które go zawierają. Pokaż T więc, że Cl(A) = {B ⊆ X : A ⊆ B oraz B = Cl(B)}. Ostatnie dwa problemy dotyczą relacji pomiędzy pojęciem relacji domknięcia i dość abstrakcyjnym pojęciem dedukcji. Są one przeznaczone dla studentów obeznanych z problematyką zbiorów i dowodami indukcyjnym. 6. Niech R ⊆ 2X × X będzie dowolną relacją pomiędzy podzbiorami X oraz elementami X. Powiemy, że R tworzy łańcuch wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego A ⊆ X zachodzi następujący warunek: (A, x) ∈ R, jeśli istnieje skończony ciąg (x1 , . . . , xn ) elementów z X, taki że xn = x oraz dla dowolnego i 6 n, albo xi ∈ A, albo istnieje taki podzbiór A0 ⊆ {x1 , . . . , xi−1 }, że (A0 , xi ) ∈ R. Pokaż, że jeśli R jest relacją domknięcia, to tworzy łańcuch. 7. Ponownie niech R ⊆ 2X × X będzie dowolną relacją pomiędzy podzbiorami X oraz elementami X. Mówimy, że R tworzy drzewo wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego A ⊆ X zachodzi następujący warunek: (A, x) ∈ R, jeśli istnieje skończone drzewo elementów z X, którego korzeniem jest element x a liśćmi są wszystkie elementy z A, takie że dla wszystkich węzłów y, które nie są liśćmi w drzewie, (Y, y) ∈ R, gdzie Y jest zbiorem rodziców y w drzewie. Pokaż, że jeśli R jest operacją domknięcia, to tworzy drzewo.

1.3. Nieporozumienia oraz złe przyzwyczajenia Osobie, która pierwszy raz słyszy o logice niemonotonicznej, jest raczej trudno w jasny sposób zrozumieć, o co dokładnie w niej chodzi. Jest to częściowo spowodowane pewnymi nieporozumieniami, które już na początku utrudniają zrozumienie problemu. W bieżącym podrozdziale postaramy się więc usunąć niektóre nieporozumienia, aby czytelnik mógł kontynuować lekturę bez przeszkód.

12


Słabsza czy silniejsza? Pierwszą rzeczą, którą słyszy się na temat logiki niemonotonicznej, jest to, że nie jest monotoniczna. Inaczej rzecz biorąc, iż nie spełnia ona zasady, że jeśli x wynika z A, to wynika z dowolnego zbioru B ⊇ A. Logika klasyczna — w przeciwieństwie do logiki niemonotonicznej — spełnia tę zasadę, co widzieliśmy w poprzednim podrozdziale. Biorąc pod uwagę tę cechę, przekonanie, że logika niemonotoniczna jest słabsza niż logika klasyczna wydaje się naturalne. I rzeczywiście, w pewnym sensie jest słabsza. Zbiór reguł Horna, które spełnia logika niemonotoniczna jest właściwym podzbiorem reguł spełnianych przez logikę klasyczną. Dla przykładu, dla relacji konsekwencji preferencji (zostanie ona wprowadzona w rozdziale trzecim) zawsze zachodzą warunki zwrotności i kumulatywnej przechodniości, podczas gdy monotoniczność może nie zachodzić. Zatem klasyczna relacja konsekwencji jest granicznym przypadkiem relacji konsekwencji preferencji, bowiem każda reguła Horna spełniana przez dowolną relację preferencji zachodzi też dla konsekwencji klasycznej. W innym, bardziej podstawowym sensie, systemy logik niemonotonicznych, które będziemy studiować, są jednak silniejsze niż ich klasyczny odpowiednik. Przypomnijmy, że konsekwencja klasyczna jest relacją, tj. w standardowym teoriomogościowym rozumieniu jest zbiorem par uporządkowanych. Zatem ` należy rozumieć jako zbiór par uporządkowanych (A, x), gdzie A jest zbiorem formuł boolowskich, a x pewną formułą boolowską. Właśnie na tym poziomie można przeprowadzić najbardziej podstawowe porównanie siły rozważanych logik. Przypuśćmy, że zastanowimy się nad jakąś niemonotoniczną relacją konsekwencji |z (zwykle nazywaną „wężem”). Relacja ta również jest zbiorem par uporządkowanych (A, x). Zgodnie jednak z zasadami jej konstrukcji, które dalej poznamy, jest ona nadzbiorem klasycznej relacji konsekwencji, zdefiniowanym na tym samym zbiorze boolowskich formuł. Zatem: ` ⊆ |z ⊆ 2L × L, gdzie ⊆ jest zwykłą relacją inkluzji. Podobnie rzecz się ma, jeśli weźmiemy pod uwagę jakąś niemonotoniczną operację konsekwencji, zwykle oznaczaną literą C. Wtedy otrzymujemy Cn ≤ C. Relacja ≤ nie jest inkluzją pomiędzy operacjami, lecz inkluzją pomiędzy jej wartościami. To znaczy, że Cn ≤ C, wtedy i tylko wtedy, gdy Cn(A) ⊆ C(A) dla dowolnego zbioru formuł A. W powyższym sensie niemonotoniczne relacje konsekwencji są mocniejsze niż konsekwencja klasyczna. Relacje posiadające tę własność będziemy nazywać nadklasycznymi (supraclassical). Uczciwie rzecz biorąc, w mówieniu o relacjach „słabszych” i „silniejszych” jest mało precyzji. Ktoś może używać tych słów w znaczeniu podanym wcześniej,


13

mówiąc, że relacje typu |z są słabsze niż relacja klasyczna `. W potocznym języku mówimy np. że relacja bycia siostrą jest silniejsza niż relacja pokrewieństwa. Ta pierwsza jest podrelacją, opisaną jako silniejsza, a druga nadrelacją określaną jako słabsza. Ponieważ jednak ` jest podrelacją |z, więc relacja |z powinna być określana jako silniejsza od niej! Wydaje się jednak, że w praktyce tolerujemy te dwa sprzeczne sposoby opisu. Jeden z nich jest zakorzeniony w nieformalnym dyskursie, a drugi w dyskursie bardziej technicznym. Mamy skłonność do mówienia, że relacja bycia siostrą jest silniejsza od relacji pokrewieństwa: w tym wypadku podrelacja jest traktowana jako silniejsza. Z drugiej strony, logicy, bez wyjątku, opisują konsekwencję klasyczną jako silniejszą niż, powiedzmy, konsekwencja intuicjonistyczna czy relewantna. W tym bowiem wypadku — jako nadrelacja — jest ona uważana za silniejszą. Warto na końcu podkreślić, że nie jest ważne, w jaki sposób mówimy, dopóki rozumiemy się, wiemy, co mamy na myśli, i nie dopuszczamy, aby te sposoby opisu powodowały zamieszanie. Terminologia stosowana w tej książce będzie stała. Nadrelacja będzie nazywana silniejszą, a podrelacja — słabszą. Ponadto każdy przypadek, w którym nie będzie zachodzić któraś z reguł Horna, będzie traktowany raczej jako utrata regularności, a nie siły relacji.

Klasyczna czy nieklasyczna? Dopóki warunek niemotoniczności nie jest spełniony, logika wyznaczona przez niemonotoniczną relację konsekwencji różni się od logiki klasycznej. Byłoby jednak czymś mylącym klasyfikowanie jej jako pewnego rodzaju „logiki nieklasycznej” w znaczeniu, w którym termin ten jest zwykle używany, np. do opisu logiki intuicjonistycznej. W przeciwieństwie do przywołanej logiki intuicjonistycznej, nasze relacje konsekwencji nie odrzucają żadnych elementów klasycznej konsekwencji jako niepoprawnych. Jak wzmiankowaliśmy, każda z nich zawiera klasyczną konsekwencję. Nie ma oczywiście niczego złego we własności monotoniczności. Jest ona jak najbardziej odpowiednia dla czysto dedukcyjnych wnioskowań, może jednak zawodzić w innych rodzajach wnioskowania. Jak podkreśliliśmy, logika klasyczna ma swoje właściwe pole zastosowań. Ponadto potrzebujemy jej do zrozumienia i zastosowania w próbach odtworzenia innych rodzajów rozumowań. Pokażemy więc, w jaki sposób „stara dobra relacja konsekwencji” może być pomocna w pewnych sposobach definiowania relacji silniejszych, które mają praktyczną wartość, chociaż nie spełniają warunku monotoniczności. Zamiast więc mówić o logikach nieklasycznych, lepiej mówić o bardziej wyrafinowanych sposobach użycia logiki klasycznej, które prowadzą do zjawiska niemonotoniczności.

14


Jedna logika czy wiele? Istnieje również trzecie nieporozumienie, dotyczące tego, czym w ogóle jest logika niemonotoniczna. Kontekst logiki klasycznej przyzwyczaił nas do tego, aby sądzić, że — pomijając kwestie notacyjne oraz takie cechy jak wybór pierwotnych stałych logicznych — jest tylko jeden rdzeń logiki. Rdzeniem tym jest logika klasyczna i to właśnie nią posługujemy się w rozważaniach metajęzykowych. Nawet intuicjoniści oraz relewantyści, logicy którzy nie akceptują wszystkich praw logiki klasycznej, mają takie samo przekonanie, chociaż każdy na temat swojego własnego systemu, który jest podsystemem logiki klasycznej. Prowadzi to do pewnych trudności — można by złośliwie dodać — z uzgodnieniem ich przekonania z praktyką metajęzykową, w której używają logiki klasycznej. Jest to jednak inny problem. Mając na uwadze tę jednorodność klasycznej inferencji, studentowi zakłopotanemu wielością różnych rodzajów niemotonicznych konsekwencji naturalne wydają się następujące pytania. Która niemonotoniczna operacja konsekwencji jest prawdziwa bądź podstawowa? Która niemonotoniczna operacja konsekwencji jest poprawna? Którą z nich stosujemy w praktyce, nawet jeśli badamy ich więcej? Odpowiedź na każde z tych pytań brzmi: żadna. Nie ma jednej niemonotonicznej operacji konsekwencji, lecz jest ich nieskończenie wiele. Są nimi wszystkie te relacje, które mogą być generowane z pewnych rodzajów struktur, których elementy mogą różnić się w zakresie granic zakreślonych przez odpowiednie warunki (właśnie to będzie przedmiotem naszych badań). Analogicznie są nimi także relacje spełniające pewne warunki syntaktyczne, które również poznamy. Dodajmy przy tym, że gdyby ktoś chciał uciec przed wielością, szukając części wspólnej tych różnych niemonotonicznych relacji, to doszedłby w końcu do systemu logiki klasycznej. Pozostawiając jednak na boku techniczne detale, nasze główne przesłanie brzmi następująco. Nie spodziewaj się, że znajdziesz jedną niemonotoniczną relację konsekwencji, która zawsze, w każdym kontekście, będzie tą właściwą. Spodziewaj się raczej poznać kilka rodzin takich relacji oraz ciekawe warunki syntaktyczne, czasem przez nie spełniane, a czasami nie, a także ogólne sposoby matematycznego generowania tych relacji z określonych struktur.

Przywyczajenie, którego należy się wyzbyć W kolejnych częściach książki zaprezentujemy systemy, które odgrywają rolę naturalnych pomostów pomiędzy konsekwencją klasyczną i logikami niemotonicznymi. Są one nadklasyczne, choć również i monotoniczne, wyznaczają bowiem operacje domknięcia.


15

„Jeśli są nadklasyczne, to jak jest to możliwe?”, mógłby ktoś zapytać. Konsekwencja klasyczna jest przecież maksymalna, to znaczy, że nie ma operacji silniejszej, określonej na tym samym języku, innej niż operacja trywialna, przypisująca dowolnej formule każdą formułę języka. W jaki zatem sposób „logiki pomostowe” mogą być jednocześnie operacjami domknięcia oraz operacjami nadklasycznymi? Obserwacja dotycząca maksymalności stanowi część standardowej wiedzy logicznej od początku dwudziestego wieku. Powyższe sformułowanie pomija jednak pewien istotny szczegół, który nie zawsze jest bezpośrednio formułowany. Chodzi tutaj o warunek, który teraz wprowadzimy — warunek bycia domkniętym na podstawianie. Przez podstawienie rozumiemy to, co zwykle bywa nazywane jednoznacznym podstawieniem dowolnych formuł za litery zdaniowe w jakiejś formule. Dla przykładu, kiedy a jest formułą p ∧ (q ∨ ¬r), gdzie p, q, r są trzema różnymi literami zdaniowymi, możemy rozpatrzyć podstawienie σ, które zastąpi wszystkie wystąpienia litery p wystąpieniami litery r, wszystkie wystąpienia q formułą ¬p i (jednocześnie, a nie później) wszystkie wystąpienia r formułą ¬(p ∧ s). Operacja ta da nam następujący rezultat: σ(a) = r ∧ (¬p ∨ ¬¬(p ∧ s)). Uproszczenia, takie jak eliminacja podwójnej negacji, nie są częścią podstawiania, ale możliwymi dalszymi działaniami. Podstawienie jest więc funkcją, a nie rodzajem inferencji. Osobom zaznajomionym z algebrą powiemy, że podstawianie jest endomorfizmem określonym na absolutnie wolnej algebrze formuł w nią samą. Nie jest w ogólności więc np. tak, że: a ` σ(a). Wystarczy bowiem wziąć za a literę zdaniową p, a za wynik σ(p) literę q. Z drugiej jednak strony jest prawdą, że kiedy dana formuła boolowska a jest klasyczną tautologią, to również σ(a) jest tautologią dla dowolnego podstawienia σ. Dla przykładu, p ∨ ¬p jest tautologią, tak samo jak jest nią σ(p ∨ ¬p) = σ(p) ∨ ¬σ(p) dla dowolnego σ. Innymi słowy, używając literki T do oznaczenia zbioru wszystkich tautologii i pisząc σ(T ) w celu oznaczenia zbioru {σ(a) : a ∈ T }, dostajemy σ(T ) ⊆ T . Oznacza to, że zbiór tautologii jest domknięty na podstawianie. Również klasyczna operacja konsekwencji jest domknięta na podstawianie. W języku relacyjnym własność tę wypowiemy w następujący sposób: jeśli A ` x, to σ(A) ` σ(x). Z kolei w języku operacji przybierze ona postać: jeśli x ∈ Cn(A), to σ(x) ∈ Cn(σ(A)), lub krócej: σ(Cn(A)) ⊆ Cn(σ(A)). Zauważmy przy okazji, że operacja jednoznacznego podstawiania może być mylona z inną operacją, która czasem posiada tę samą nazwę. Chodzi tu o zastąpienie jednego lub większej ilości wystąpień jakiejś formuły (nie tylko litery zdaniowej) za pomocą innej formuły, z którą jest ona klasycznie równoważna (a więc nie jest dowolną formułą). Oczywiście wynik tej operacji jest klasycznie równoważny formule wyjściowej. W celu uniknięcia pomieszania terminologii ten rodzaj operacji lepiej określać zastępowaniem formułami równoważnymi.

16


Po powyższych uwagach możemy teraz precyzyjnie wyrazić przysługującą logice klasycznej własność maksymalności. T 1.1. Nie istnieje nadklasyczna relacja domkni¦cia okre±lona na tym samym j¦zyku, co relacja `, która byªaby domkni¦ta na podstawianie, ró»na od `

oraz ró»na od relacji peªnej.

Relacja pełna jest jedyną relacją, która wiąże każdą możliwą przesłankę (albo zbiór przesłanek) z każdą możliwą konkluzją. Jako operacja przypisuje ona każdemu zbiorowi formuł zbiór wszystkich formuł. Dowód tego twierdzenia jest prosty i przypomnimy go tutaj. D´ . Niech `+ będzie dowolną operacją domknięcia określoną na zbiorze formuł, domkniętą na podstawianie oraz nadklasyczną, tj.: ` ⊂ `+ . Chcemy pokazać, że B `+ y, dla dowolnych B, y. Na mocy drugiego założenia, są takie A, x, że A `+ x, ale A 0 x. Stąd wiemy, iż jest takie wartościowanie v, że v(A) = 1, ale v(x) = 0. Weźmy teraz takie podstawienie σ, które podstawia tautologię za każdą elementarną literę, która jest prawdziwa w v, oraz kontrtautologię za każdą literę zdaniową fałszywą w v. Korzystając z prostego indukcyjnego dowodu po złożoności formuł, wykazujemy, że σ(A) jest zbiorem tautologii, podczas gdy σ(x) jest kontrtautologią. Ponieważ z założenia `+ jest domknięta na podstawienia, zatem σ(A) `+ σ(y). Jednakże ponieważ σ(A) jest zbiorem tautologii, więc dla dowolnego B jest tak, że B ` σ(a), gdzie σ(a) ∈ σ(A). Podobnie, ponieważ σ(x) jest kontrtautologią, więc σ(x) ` y dla dowolnej formuły y. Teraz, z uwagi na fakt, iż ` ⊂ `+ , mamy: B `+ σ(a), gdzie σ(a) ∈ σ(A), oraz σ(x) `+ y dla dowolnej formuły y. Składamy te fakty razem z σ(A) `+ σ(x), stosując dwukrotnie kumulatywną przechodniość oraz dwa razy monotoniczność dla `+ , i otrzymujemy B `+ y, co kończy dowód. Morał z tej historii jest taki, że nadklasyczne relacje domknięcia, które będziemy traktować jako pomosty pomiędzy konsekwencją klasyczną i niemotoniczną relacją konsekwencji, nie są domknięte na podstawianie. Dotyczy to także tych niemonotonicznych relacji, które z nich powstaną. Kooliduje to jednak z ugruntowanym przekonaniem. Logiki naucza się bowiem razem z przyzwyczajeniem, że każda porządna relacja konsekwencji powinna mieć czysto formalny i strukturalny charakter, a w konsekwencji spełniać warunek podstawiania. W celu zrozumienia logik niemonotonicznych właśnie tego przyzwyczajenia trzeba się pozbyć.


17

Ćwiczenia 1. Podstawianie Podstawianie opisaliśmy jako jednoczesne zastępowanie liter elementarnych dowolnymi formułami. Bardziej rygorystyczna definicja, umożliwiająca indukcyjne dowodzenie różnych faktów z uwagi na złożoność formuł, ma następującą postać. Podstawienie w języku zdaniowym jest funkcją ze zbioru L wszystkich formuł języka w zbiór L, która zachowuje strukturę formuły z uwagi na spójniki występujące w języku (co w żargonie algebraicznym nazywamy homomorfizmem). W przypadku języka, w którym pracujemy, pierwotnymi spójnikami są: ¬, ∧, ∨. Zatem dla naszego języka podstawieniem jest dowolna funkcja: σ : L → L, która dla dowolnych formuł a, b spełnia warunki: σ(¬a) = ¬σ(a), σ(a ∧ b) = σ(a) ∧ σ(b), σ(a ∨ b) = σ(a) ∨ σ(b). (a)∗ Załóżmy, że pracujemy w języku, w którym jedynymi pierwotnymi spójnikami są ¬ oraz →. Jaka byłaby wtedy prawidłowa definicja podstawiania? (b) Złożenie στ podstawień σ, τ jest zdefiniowane: στ(a) = σ(τ(a)), dla dowolnej formuły a. Pokaż przez indukcję po złożoności formuł, że złożenie podstawień jest również podstawieniem. (c) Podstawienie σ jest nazywane jedno-jednoznacznym (iniekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy: jeśli a , b, to σ(a) , σ(b). Podaj przykład podstawienia w naszym boolowskim języku, które nie jest iniekcją. (d) Podstawienie σ jest nazywane na (albo suriekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły x ∈ L jest taka formuła a ∈ L, że x = σ(a). Podaj przykład podstawienia, które jest iniekcją, ale nie jest suriekcją. (e)∗ Przypominając sobie definicję wartościowania z podrozdziału 1.2, pokaż, że złożenie vσ, czyli złożenie podstawienia oraz wartościowania, jest dobrze zdefiniowane oraz samo jest wartościowaniem. (f) Stosując indukcję po złożoności formuł, pokaż że każde podstawienie jest jednoznacznie wyznaczone przez jego wartość na literach zdaniowych. 2. Obrazy oraz domknięcia zbiorów formuł względem funkcji podstawiania Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł boolowskich, a σ dowolną funkcją podstawiania. Przez obraz σ(A) zbioru A wyznaczony przez funkcję σ, rozumiemy zbiór {σ(a) : a ∈ A}. Przez domknięcie σ[A] zbioru A wyznaczone przez funkcję σ rozumiemy najmniejszy zbiór, który zawiera A oraz σ(a), gdy a jest elementem A. a)

∗

Sprawdź, że zawsze σ(A) ⊆ σ[A] oraz podaj prosty przykład, w którym A * σ(A).

18


b) Sprawdź, czy operacja przekształcająca dowolny A w σ[A] jest operacją domknięcia w sensie zdefiniowanym w podrozdziale 1.2. Pokaż, że operacja przekształcająca go w σ(A) nie jest operacją domknięcia. c) Pokaż, że chociaż σ(A) oraz σ[A] nie są tym samym, to dla dowolnego zbioru formuł A oraz dla dowolnego podstawienia σ, jest tak, że: σ(A) ⊆ A wtedy i tylko wtedy, gdy σ[A] = A. 3. Konsekwencja klasyczna Pokaż, że — jak wspomnieliśmy wyżej — relacja klasycznej konsekwencji jest domknięta na podstawianie.

Problemy 1. Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł. Rozważmy regułę odrywania (znaną także jako modus ponens). Jej zastosowanie pozwala przejść od pary formuł a, a → x do formuły x. Może więc być ona traktowana jako relacja trójargumentowa. Sformułuj pojęcie zbioru formuł A domkniętego na regułę odrywania. 2. Uogólnij pojęcie obrazu i domknięcia zbioru ze względu na relację o dowolnej ilości argumentów.

Projekt Projekt ten jest przeznaczony dla studentów zaznajomionych z aksjomatyzacją zbioru wszystkich tautologii logiki klasycznej w stylu Hilberta. 1. Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł. Rozważmy najmniejszy zbiór, który zawiera A oraz jest domknięty na podstawianie i regułę odrywania. Pokaż, że zbiór ten jest identyczny z domknięciem na regułę odrywania zbioru, który jest domknięciem zbioru A na podstawianie. Z drugiej strony podaj przykład na to, że niekoniecznie jest on identyczny z domknięciem na podstawianie zbioru, który jest domknięciem A na regułę odrywania. Co mówi nam to na temat roli schematów aksjomatów oraz reguły podstawiania w aksjomatyzacjach zbioru wszystkich tautologii? 2. Uogólnij pozytywną część pierwszego zadania w taki sposób, aby dotyczyła nie tylko reguły odrywania, ale również dowolnych innych, odpowiednich reguł dowodzenia.

1.4. Trzy sposoby zwiększania liczby konkluzji

19

1.4. Trzy sposoby zwiększania liczby konkluzji W niniejszym podrozdziale wymienimy trzy różne sposoby uzyskiwania z przesłanek większej ilości wniosków niż pozwala na to konsekwencja klasyczna. Pierwsza metoda opiera się na przyjęciu dodatkowych założeń obecnych w tle naszego wnioskowania, druga polega na zredukowaniu zbioru wartościowań uważanych za możliwe do przyjęcia, wreszcie ostatnia metoda wykorzystuje dodatkowe reguły wnioskowania. Każda z tych metod prowadzi do odpowiedniego rodzaju monotonicznej relacji konsekwencji. Nie są one jednak równoważne, chociaż wszystkie prowadzą do operacji domknięcia, zdefiniowanych w 1.2, oraz wszystkie są nadklasyczne. Relacje konsekwencji, które posiadają te dwie własności będziemy nazywać paraklasycznymi (paraclassical). Innymi słowy, relacja paraklasyczna jest dowolną nadklasyczną relacją domknięcia. Trzy powyższe rodzaje paraklasycznych operacji stanowią konceptualne pomosty prowadzące do odpowiednich rodzin konsekwencji niemonotonicznych, wytworzonych w taki sposób, że umożliwiają zmienianie kluczowych elementów ich konstrukcji w zależności od rozważanych przesłanek. Użyteczna jest tutaj metafora systemu słonecznego. Słońce klasycznej konsekwencji oświetla nieboskłon z jego centrum. Trzy rodzaje paraklasycznych konsekwencji krążą wokół niej jak planety: konsekwencje osiowych założeń, osiowych wartościowań oraz osiowych reguł. Ich istotnymi składnikami są właśnie, odpowiednio: pewien zbiór dodatkowych założeń, zbiór wyróżnionych wartościowań oraz zbiór dodatkowych reguł. Dopuszczając, aby te ostatnie zmieniały się w określony sposób w zależności od przesłanek danego rozumowania, otrzymujemy trzy rodzaje-satelity niemonotonicznych operacji konsekwencji: domyślnych założeń, domyślnych wartościowań, oraz domyślnych reguł. Wszystkie te pojęcia są rozwinięte na czysto zdaniowym języku boolowskim bez zastosowania spójników innych niż spójniki prawdziwościowe.

Ćwiczenia Poniższe ćwiczenia dalej sprawdzają znajomość pojęć z podrozdziału 1.2. 1. Nadklasyczne relacje konsekwencji (a)∗ Pokaż, że dowolna nadklasyczna relacja |z, która spełnia zwykłą przechodniość, spełnia także singletonową koniunkcyjną monotoniczność. ∗ (b) Pokaż, że dowolna nadklasyczna relacja |z, która spełnia kumulatywną przechodniość, spełnia także łączenie konkluzji w koniunkcję.

20


2. Egzystencjalny wariant konsekwencji klasycznej Zdefiniujmy relację |z logicznej życzliwości (logical friendliness) pomiędzy zbiorami formuł a pojedynczymi formułami x w następujący sposób: A |z x wtedy i tylko wtedy, gdy: dla każdego częściowego wartościowania v liter zdaniowych występujących w formułach z A, jeśli v(A) = 1, to istnieje takie częściowe wartościowanie w liter zdaniowych występujących w A, które zgadza się z v na wspólnych literach oraz dla którego w(x) = 1. Warunek ten sformułowany równoważnie brzmi: każde częściowe wartościowanie v liter zdaniowych występujących w A, takie że v(A) = 1, może być rozszerzone na częściowe wartościowanie v+ wszystkich liter zdaniowych w A ∪ {x}, które zgadza się z v na A oraz dla którego v+ (x) = 1. Opisana tu relacja konsekwencji jest systematycznie badana w pracy: Makinson (2005a). Udowodnij każdy z poniższych faktów dla |z : (a) Jest to relacja nadklasyczna, ale różna od klasycznej relacji konsekwencji oraz relacji pełnej. (b) Nie jest ona domknięta na podstawianie. (c) Spełnia następującą singletonową wersję warunku (CT): jeśli A |z x oraz A ∪ {x} |z y, to A |z y. (d) Nie spełnia żadnej z reguł: (AND), zwykłej przechodniości oraz singletonowego warunku koniunkcyjnej monotoniczności. (e) Nie spełnia pełnej wersji (CT).

1.5. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania Podsumowanie Niemonotoniczne rozumowania nie są czymś dziwnym i ezoterycznym. W rzeczywistości większość naszych codziennych rozumowań jest niemonotoniczna. Czysto dedukcyjne, monotoniczne inferencje mają miejsce w specjalnych kontekstach, najczęściej tych czysto matematycznych. Mimo tego, zanim zaczniemy stosować sensownie jakikolwiek inny rodzaj rozumowania — monotoniczny czy nie — musimy dobrze zrozumieć działanie konsekwencji klasycznej. Kiedy zaczynamy studiować logikę niemonotoniczną, ważne jest, żeby unikać pewnych nieporozumień. W szczególności nie powinniśmy mylić sensu, w jakim rozumowania niemonotoniczne są słabsze niż ich klasyczne odpowiedniki, z bardziej podstawowym znaczeniem tego słowa, w którym są one typowo silniejsze. Następnie, o ile logikę klasyczną badamy jako pojedynczy system, lub innymi słowy pojedynczą relację konsekwencji, to logikę niemonotoniczną studiujemy

1.5. Powtórzenie materiału i dalsze poszukiwania

21

nie jako jedną, lecz nieskończenie wiele takich relacji. Po trzecie, nie jest dobrze myśleć o logice niemonotonicznej jako o pewnym rodzaju logiki nieklasycznej, w sensie, w którym termin ten jest zwykle rozumiany. Lepiej jest patrzeć na nią jak na szereg sposobów zastosowania klasycznej konsekwencji do uzyskiwania niemonotonicznych rezultatów. Wreszcie, logika klasyczna jest domknięta na podstawianie za litery zdaniowe. Tej własności nie posiadają jednak nadklasyczne relacje konsekwencji — monotoniczne, jak i niemonotoniczne — które będziemy dalej badać. Jest zatem czymś niezwykle istotnym, aby czytelnik nie traktował własności domknięcia jako danej raz na zawsze. W książce opiszemy trzy sposoby uzyskiwania większej ilości wniosków z przesłanek niż pozwala na to konsekwencja klasyczna. Pierwszy polega na zastosowaniu dodatkowych, ukrytych przesłanek; drugi wyróżnia pewne wartościowania; a trzeci opiera się na zastosowaniu dodatkowych reguł wnioskowania. Każdy z tych sposobów prowadzi do jakiegoś rodzaju monotonicznych operacji konsekwencji, stanowiąc konceptualne przejście do korespondującej z nim rodziny konsekwencji niemonotonicznych.

Lista sprawdzająca znajomość pojęć i definicji Podrozdział 1.2. Formuła boolowska, przyporządkowanie wartości, boolowskie wartościowanie, konsekwencja klasyczna, relacja inferencji vs operacja inferencji, operacje domknięcia, reguły Horna, zwartość, specyficzne reguły Horna, które zachodzą dla klasycznej konsekwencji: inkluzja, kumulatywna przechodniość, monotoniczność, łączenie przesłanek w alternatywę, przechodniość, idempotencja. Podrozdział 1.3. Stosunek zawierania pomiędzy relacjami konsekwencji, nadklasyczne operacje konsekwencji, jednoznaczne podstawianie za litery zdaniowe, obraz i domknięcie na podstawienie zbioru lub relacji pomiędzy formułami, sens, w jakim klasyczna logika jest maksymalna. Podrozdział 1.4. Paraklasyczne operacje konsekwencji, intuicje stojące za pojęciami osiowych założeń, wartościowań i reguł, oraz za pojęciem domyślnych założeń, wartościowań i reguł.

Dalsze lektury • Antoniou G., Nonmonotonic Reasoning, MIT Press, Cambridge MA 1997. Podrozdziały 13.1–13.4. • Brewka G., Dix J., Konolige K., Nonmonotonic Reasoning – An Overview, CSLI Publications, Stanford CA 1997. Rozdział 1. • Ginsberg M., AI and nonmonotonic reasoning, w: Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming. Volume 3: Nonmonotonic Reasoning

22


and Uncertain Reasoning, red. Gabbay D. M. i inni, Clarendon Press, Oxford 1994, s. 1–33. • Hodges W., Classical logic I: first-order logic, w: The Blackwell Guide to Philosophical Logic, red. Goble L., Blackwell, Oxford 2001, s. 9–32. • Horty J., Nonmonotonic Logic, w: The Blackwell Guide to Philosophical Logic, red. Goble L., Blackwell, Oxford 2001, s. 336–361. • Makinson D., Ways of doing logic: what was different about AGM 1985?, Journal of Logic and Computation, 13, 2003, s. 3–13. • Makinson D., Bridges between classical and nonmonotonic logic, Logic Journal of the IGPL, 11, 2003, s. 69–96. http://www3.oup.co.uk/igpl/Volume_11/Issue_01/. • Wójcicki R., Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations, Dordrecht, Kluwer 1988. Rozdział 1, podrozdziały 1.0–1.6.

Rozdział 2

Zastosowanie dodatkowych założeń ukrytych w tle

2.1. Od konsekwencji klasycznej do założeń osiowych Rozpoczniemy od zbadania najprostszego rodzaju paraklasycznej konsekwencji oraz jej transformacji w pewien niemonotoniczny rodzaj wnioskowania, nazywany inferencją na gruncie dodatkowych założeń ukrytych w tle (inference with additional background assumptions). Na co dzień, podczas dokonywania wnioskowań, nie wszystkie założenia naszych rozumowań są równie jawne. Zwykle tylko kilka z nich wyrażamy explicite, ponieważ mają bezpośredni związek z rozważaną sytuacją lub w jakiś inny sposób zasługują na uwagę. Poza nimi jest zazwyczaj jeszcze wiele innych założeń, których eksplikacją w ogóle się nie przejmujemy, ponieważ należą one do ogólnej wiedzy, albo z jakiegoś innego powodu są uważane za oczywiste. Pewną rolę odgrywają również inne założenia, których jesteśmy tylko częściowo świadomi. Opisane zjawisko było już znane antycznym Grekom, którzy używali terminu entymemat do nazywania rozumowań, w których część przesłanek jest ukryta. Właśnie ten pomysł będziemy rozwijać w bieżącym podrozdziale. Pozostaniemy w obrębie tego samego języka zdaniowego, co w logice klasycznej, zbiór jego wszystkich formuł oznaczając literą L. Niech teraz K ⊆ L będzie ustalonym zbiorem formuł. Intuicyjnie K będzie odgrywał rolę zbioru założeń ukrytych w tle lub zbioru „oczekiwań” (expectations), jak jest on nazywany w pracy Gärdenforsa i Makinsona (1994). Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł, a x dowolną formułą. D 2.1 (Konsekwencja założeń osiowych).

´ Powiemy, »e x jest konsekwencj¡ zbioru A modulo zbiór zaªo»e« K (co zapiszemy: A `K x lub x ∈ CnK (A)) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje warto±ciowanie, takie »e v(K ∪ A) = 1, podczas gdy v(x) = 0. Równowa»nie: wtedy i tylko wtedy, gdy K ∪ A ` x. ´ Dan¡ relacj¦ lub operacj¦ nazywamy konsekwencj¡ zaªo»e« osiowych wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z `K (odp. CnK ), dla jakiego± zbioru formuª K .

24

Rozdział 2. Zastosowanie dodatkowych założeń ukrytych w tle

Nie ma zatem jednej relacji konsekwencji osiowych założeń, lecz wiele — po jednej dla każdej wartości zmiennej K. Z uwagi na to, że konsekwencja klasyczna jest monotoniczna, operacje i relacje konsekwencji osiowych założeń są nadklasyczne w opisanym wcześniej sensie. Zatem dla dowolnego K mamy, że ` ⊆ `K , lub w notacji operacji konsekwencji Cn ≤ CnK . Operacje te dzielą z klasyczną konsekwencją również wiele abstrakcyjnych własności, spełniają np. warunki: inkluzji, kumulatywnej przechodniości i monotoniczności. Są zatem nadklasycznymi operacjami domknięcia, a więc zgodnie z definicją (podrozdział 1.4) są paraklasyczne. Ponadto mają one własność zwartości oraz własność łączenia przesłanek w alternatywę. Te pozytywne cechy łatwo wykazać stosując w prosty sposób odpowiednie definicje. Dla lepszego zobrazowania podsumujemy je w tabeli 2.1. Tabela 2.1. Pewne własności konsekwencji założeń osiowych Nadklasyczna Zwrotna Kumulatywnie przechodnia (CT)

Operacja domknięcia

Paraklasyczna

Monotoniczna Łączy przesłanki w alternatywę (OR) Zwarta

Z drugiej strony, ponieważ relacje `K są nadklasycznymi relacjami domknięcia, więc na mocy twierdzenia 1.1 powinniśmy spodziewać się, że nie są one w ogólności domknięte na podstawianie. Pouczające może być prześledzenie jakiegoś prostego przykładu, pokazującego dlaczego warunek ten nie jest spełniony. Niech K = {p}, gdzie p jest literą zdaniową. Weźmy dowolną inną literę zdaniową q oraz zbiór A = {q} i x = p ∧ q. Wtedy A `K p ∧ q, ponieważ {p, q} ` p ∧ q. Teraz weźmy podstawienie σ, które każdą literę zdaniową zastępuje nią samą, za wyjątkiem litery p, która zostaje zastąpiona przez pewną literę zdaniową r różną od p oraz q. W rezultacie σ(p) = r oraz σ(q) = q. Wtedy σ(A) 0K σ(x), ponieważ K ∪ σ(A) = K ∪ {σ(q)} = K ∪ {q} = {p, q} 0 r ∧ q = σ(x). Analiza tego przykładu uwidacznia następujący mechanizm: podstawienie jest stosowane do wyeksplikowanych przesłanek A oraz do konkluzji x, nie obejmuje jednak założeń w tle K, ponieważ K się nie zmienia.

2.1. Od konsekwencji klasycznej do założeń osiowych

25

Łatwo zauważyć, że gdyby zbiór przesłanek w tle K był również domknięty na podstawianie, to odpowiednia relacja konsekwencji `K również byłaby domknięta na podstawianie. Ten specjalny przypadek ma charakter zdegenerowany. Jak zauważyliśmy, relacja `K jest paraklasyczna (czyli nadklasyczna i domknięta), zatem zgodnie z twierdzeniem 1.1, jeśli jest ona domknięta na podstawianie, to musi być konsekwencją klasyczną (co ma miejsce gdy K = Cn(∅)) albo relacją pełną (w tym wypadku K ⊃ Cn(∅)). Efekt taki możemy osiągnąć w bardziej bezpośredni sposób: gdy K jest domknięte na podstawianie, to albo wszystkie jego elementy są tautologiami, albo dla jednego z jego elementów istnieje przypadek podstawienia, który daje kontrtautologię należącą do K, tak więc K ∪ A jest sprzeczne, a zatem K ∪ A ` x, dla dowolnych A, x. Uderzającą cechą konsekwencji osiowych założeń, która odróżnia ją od następnych systemów pomostowych opisywanych w książce, jest to, że pozytywne własności wymienione w powyższej tabeli wystarczają do jej scharakteryzowania. Mamy tu na myśli „twierdzenie o reprezentacji” dla operacji konsekwencji założeń osiowych (i — odpowiednio — dla korespondujących z nimi relacji). T 2.2. Niech Cn+ b¦dzie dowoln¡ paraklasyczn¡ operacj¡ konsekwen-

cji, która jest zwarta i speªnia warunek ª¡czenia przesªanek w alternatyw¦. Istnieje wówczas taki zbiór formuª K , »e Cn+ = CnK . Ogólne pojęcie twierdzenia o reprezentacji i jego powiązania z pojęciem twierdzenia o pełności przedyskutujemy w dalszych podrozdziałach. Przedstawione wyżej twierdzenie zostało sformułowane przez Rotta (2001, podrozdział 4.4, obserwacja 5), ale wydaje się, że już od dłuższego czasu było częścią ogólnej wiedzy logicznej. Zanim podamy jego dowód, zwrócimy uwagę na trzy ważne własności, które zostaną w nim wykorzystane. • Mówimy, że operacja konsekwencji C spełnia lewostronny, klasyczny warunek równoważności (LCE) wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli Cn(A) = Cn(B), to C(A) = C(B). Zwróćmy uwagę na ten wzór: w poprzedniku występuje klasyczna konsekwencja Cn, natomiast w następniku operacja, którą jesteśmy zainteresowani. Zasada ta mówi zatem coś o tych dwóch operacjach. Własność przez nią wyrażana jest często znana pod nazwą „lewostronna, logiczna równoważność” (LLE), co może być nieco mylące, dopóki słowo „logiczny” utożsamiamy ze słowem „klasyczny”. • Powiemy, że dana operacja konsekwencji C spełnia warunek prawostronnego osłabiania (RW), wtedy i tylko wtedy, gdy: jeśli x ∈ C(A) oraz y ∈ Cn(x), to y ∈ C(A). W notacji relacyjnej wygląda to tak: jeśli A |z x ` y, to A |z y. Zwróćmy ponownie uwagę na związek między klasyczną operacją Cn oraz rozważaną właśnie operacją C.

26


• Mówimy, że operacja konsekwencji C ma własność uwalniania przesłanek, wtedy i tylko wtedy, gdy: jeśli B ⊆ A, to C(A) = C(C(B) ∪ A). Własność ta nie ma charakteru interakcyjnego, lecz dotyczy tylko C. Warunek ten mówi, że w wypadku, gdy B ⊆ A, formuły z C(B) mogą zostać użyte w sposób niezależny od A, nie wpływając na konsekwencje A. W przypadku, kiedy B jest zbiorem pustym, warunek głosi, iż C(A) = C(C(∅) ∪ A). Inaczej mówiąc, zawartość zbioru C(A) nie ulega zmianie przez dodanie do A konsekwencji zbioru pustego (oczywiście bierzemy tu pod uwagę tę samą operację konsekwencji). Klasyczna konsekwencja posiada wszystkie te trzy własności. Pierwszą spełnia w sposób trywialny, drugą jako konsekwencję przechodniości, zaś trzecia jest prosta do sprawdzenia. W celu przeprowadzenia dowodu poprzedniego twierdzenia, musimy pokazać, że każda konsekwencja paraklasyczna posiada te trzy własności. L 2.3 (do twierdzenia 2.2). Niech Cn+ b¦dzie dowoln¡ operacj¡ paraklasyczn¡. Wtedy Cn+ speªnia lewostronn¡, klasyczn¡ równowa»no±¢, warunek prawo-

stronnego osªabiania oraz warunek uwalniania przesªanek.

Dowód lematu jest oczywisty. Dzięki temu lematowi możemy teraz w następujący sposób dowieść twierdzenie o reprezentacji. D´   2.2. Niech Cn+ będzie dowolną paraklasyczną operacją, która jest zwarta oraz spełnia warunek łączenia przesłanek w alternatywę. Weźmy K = Cn+ (∅). Chcemy pokazać, że Cn+ = CnK . W tym celu wystarczy pokazać, że CnK ≤ Cn+ oraz Cn+ ≤ CnK . Dla dowodu CnK ≤ Cn+ musimy pokazać, że dla dowolnego A, Cn(Cn+ (∅) ∪ A) ⊆ Cn+ (A). Z nadklasyczności Cn ≤ Cn+ , otrzymujemy: Cn(Cn+ (∅) ∪ A) ⊆ Cn+ (Cn+ (∅)∪A) = Cn+ (A), ponieważ dla konsekwencji paraklasycznych spełniony jest warunek uwalniania przesłanek. Dowód drugiej inkluzji Cn+ ≤ CnK wymaga pokazania, że dla dowolnego A, + Cn (A) ⊆ Cn(Cn+ (∅) ∪ A). W tym właśnie miejscu odwołamy się do własności zwartości oraz łączenia przesłanek w alternatywę. Załóżmy, że x ∈ Cn+ (A). Z uwagi na zwartość Cn+ , istnieje taki skończony podzbiór B ⊆ A, że x ∈ Cn+ (B). Niech b będzie koniunkcją wszystkich skończenie wielu elementów z B. Stosując lewostronną klasyczną równoważność otrzymujemy: x ∈ Cn+ (b), a następnie, po zastosowaniu prawostronnego osłabiania, ¬b ∨ x ∈ Cn+ (b). Ponadto, z uwagi na nadklasyczność Cn+ , wiemy, że ¬b ∨ x ∈ Cn(¬b) ⊆ Cn+ (¬b). Używając teraz łączenia przesłanek w alternatywę oraz ponownie stosując warunek lewostronnej klasycznej równoważności, otrzymujemy: ¬b ∨ x ∈ Cn+ (b ∨ ¬b) = Cn+ (∅). Ponieważ ¬b ∨ x ∈ Cn+ (∅), warunek monotoniczności dla klasycznej konsekwencji pozwala stwierdzić, że dla pokazania, iż x ∈ Cn(Cn+ (∅) ∪ A), wystarczy


27

wykazać, że x ∈ Cn({¬b ∨ x} ∪ A). Na mocy konstrukcji b, wiemy jednak, że b ∈ Cn(A). Zatem przez zastosowanie sylogizmu dysjunkcyjnego dla klasycznej konsekwencji, otrzymujemy x ∈ Cn({¬b ∨ x} ∪ A), co kończy dowód. Czytelnik mógłby w tym momencie zapytać: „Chwileczkę, gdzie w tym dowodzie wykorzystano założenie, że Cn+ jest monotoniczna?” Odpowiedź brzmi: monotoniczność nie została wykorzystana bezpośrednio w dowodzie twierdzenia 2.2 w oparciu o lemat 2.3, lecz w dowodzie samego lematu 2.3 oraz w dowodzie własności uwalniania przesłanek. Część tę zakończymy dwoma ogólnymi uwagami. Pierwsza z nich dotyczy istotności warunku zwartości, a druga — różnicy pomiędzy twierdzeniami o reprezentacji a twierdzeniami o pełności. Dlaczego własność zwartości jest tak ważna? Pojęcie zwartości często wprowadza studentów w zakłopotanie. Interesuje ich bowiem zwykle to, czemu jest ono tak ważne i dlaczego powinniśmy brać je pod uwagę? Odpowiedź zależy od tego, czy zajmujemy się skończonymi, czy nieskończonymi systemami. System skończony to taki, w którym jest skończenie wiele wzajemnie nierównoważnych formuł, modulo pojęcie logicznej równoważności, które stosujemy. Oczywiście we wszystkich, nawet najbardziej trywialnych wypadkach, będziemy mieli do czynienia z nieskończoną ilością formuł. Nawet prosta litera zdaniowa, do której sukcesywnie dodajemy negacje, daje w efekcie nieskończenie wiele różnych formuł. Jeśli jednak stosujemy logikę klasyczną, to wśród nich są tylko dwa typy formuł wzajemnie nierównoważnych. Zbiór {p, ¬p, ¬¬p, ¬¬¬p, . . . } z uwagi na klasyczną równoważność można bowiem podzielić tylko na dwie klasy równoważności (formuł z parzystą i nieparzystą ilością negacji). Mówiąc ogólniej, jeśli język zdaniowy zawiera jedynie skończenie wiele liter zdaniowych, wtedy zastosowanie stałych boolowskich daje w efekcie jedynie skończenie wiele wzajemnie nierównoważnych formuł z uwagi na klasyczną równoważność (a zatem także z uwagi na dowolną nadklasyczną równoważność). W tym przypadku powiemy, że system jest skończony. W przypadku systemów skończonych zwartość nie jest własnością interesującą, jest ona bowiem spełniona automatycznie. Załóżmy, że dla pewnego skończonego systemu i pewnej relacji konsekwencji: A |z x. Skoro cały system jest skończony, to A posiada pewien skończony podzbiór A0 , z którym jest równoważny, czyli A0 |z a, dla dowolnego a ∈ A, oraz odwrotnie A |z a, dla dowolnego a ∈ A0 . Zatem, zakładając, że relacja |z spełnia (CT), otrzymujemy A0 |z x.

28


Zainteresowanie zwartością pojawia się dopiero wtedy, gdy system jest nieskończony. Ma to miejsce w klasycznej logice zdań, kiedy to w alfabecie dopuścimy nieskończenie wiele liter zdaniowych. Może to mieć miejsce także w logice pierwszego rzędu (predykatów lub kwantyfikatorów), nawet jeśli „alfabet” jest skończony, a w szczególności, gdy występują w nim tylko dwa predykaty. Rzecz może podobnie wyglądać w pewnych nieklasycznych logikach zdaniowych, nawet jeśli liczba liter zdaniowych jest skończona (jest tak na przykład w bardzo słabych podlogikach logiki klasycznej, które nie dają możliwości wykazania odpowiednich równoważności, a także w rozszerzeniach logiki klasycznej, gdzie język został wzbogacony o dalsze, nieprawdziwościowe funktory, jak w odpowiednich logikach modalnych). W niniejszej książce zajmujemy się jednak tylko językiem klasycznym, boolowskim, bez dodatkowych stałych, a wszystkie badane logiki zawierają konsekwencję klasyczną. Z naszego punktu widzenia zwartość jest więc istotna tylko wtedy, gdy rozpatrujemy nieskończone zbiory przesłanek. W rezultacie własność zwartości gwarantuje nam, że nawet kiedy zbiór formuł jest faktycznie nieskończony (tzn. nie jest równoważny z żadnym ze swoich podzbiorów), to zachowuje się tak, jak zbiór skończony, a więc formuła, która z niego wynika, wynika też z pewnego jego skończonego podzbioru. Zwartość dostarcza zatem konceptualnego przejścia pomiędzy zbiorami skończonymi i nieskończonymi. Z tego też powodu, poprzez wykorzystanie dowodów dla skończonych przypadków, wygodnie dowodzi się wielu własności systemów nieskończonych. Należy jednak zauważyć, że pojawiają są tutaj pewne ograniczenia. Różne konsekwencje zbioru A mogą wymagać odniesienia do różnych jego skończonych podzbiorów, lecz jednocześnie może nie być żadnego skończonego ograniczenia górnego rozmiaru podzbiorów, które za te wszystkie konsekwencje odpowiadają. Ten sposób zastosowania zwartości jest wykorzystywany przez matematyków, którzy dążą do opisania nieskończonych przypadków na podstawie przypadków skończonych. Postrzegają oni zwartość jako cenne narzędzie w logice, podobnie jak w abstrakcyjnej algebrze czy topologii. Logicy filozoficzni, którzy próbują lepiej zrozumieć przejście od przypadków skończonych do nieskończonych, również potrzebują zwartości jako konceptualnego narzędzia. Z kolei przedstawiciele tzw. nauk komputerowych (computer science), pracując ze skończonymi przypadkami, ignorują zwartość. Choć i oni, wcześniej lub później, będą mogli również potrzebować systemów nieskończonych, a wtedy zwartość będzie najlepszym, gotowym narzędziem do zastosowania. Twierdzenia o reprezentacji a twierdzenia o pełności Dla osób zaznajomionych z algebrą abstrakcyjną użycie terminu „twierdzenie o reprezentacji” w opisie twierdzenia 2.2 jest czymś zwyczajnym. Podobnych twier-


29

dzeń jest bowiem w algebrze mnóstwo, na przykład twierdzenie o reprezentacji algebr Boole’a jako ciał zbiorów, czy grup za pomocą przekształceń. Jednak dla tych osób, które wcześniej interesowały się logiką klasyczną (lub jej podsystemami, np. logiką intuicjonistyczną) użycie tego terminu może stanowić pewien problem. W logice jesteśmy bowiem przyzwyczajeni do „twierdzeń o pełności”. Dlaczego więc — chociaż obydwa te rodzaje twierdzeń mogą w praktyce wydawać się czymś podobnym — wprowadzamy tutaj odmienną terminologię? Powodem jest fakt akcentowany w podrozdziale 1.3. Konsekwencja klasyczna jest bowiem jedną relacją, a niemonotonicznych konsekwencji, które tu studiujemy jest wiele: różne konsekwencje są wytwarzane przez wybór różnych parametrów w ramach danego aparatu je generującego (tak jak w wypadku wyboru zbioru założeń ukrytych w tle K). Twierdzenie o pełności dla klasycznej logiki mówi nam, że jeśli x jest konsekwencją A, gdzie relacja ta jest zdefiniowana semantycznie, w terminach wartościowania, to x można również otrzymać z A przez zastosowanie pewnych reguł. Inaczej mówiąc, jeśli A ` x, to x należy do najmniejszego nadzbioru A, który jest domknięty na pewne reguły syntaktyczne. Reguły te muszą być dobrane w taki sposób, aby pojęcie „najmniejszego nadzbioru” miało sens. Przecięcie dowolnej rodziny spełniających je nadzbiorów A musi również spełniać te reguły. Są to zazwyczaj reguły Horna. Z drugiej strony twierdzenie o reprezentacji mówi, że każda struktura spełniająca pewne warunki syntaktyczne jest identyczna (lub w pewnym szerszym sensie równoważna) z pewną strukturą semantyczną określonego rodzaju. Dla przykładu, twierdzenie o reprezentacji dla algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a (zdefiniowana przez, powiedzmy, równości) jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów. Wracając do naszego kontekstu, twierdzenie o reprezentacji dla konsekwencji osiowych założeń (twierdzenie 2.2) mówi, że każda relacja spełniająca pewne warunki syntaktyczne (paraklasyczność, zwartość, łączenie przesłanek w alternatywę) jest identyczna z pewną semantycznie zdefiniowaną relacją (jedną z rodzaju `K ). W wypadku twierdzeń o reprezentacji warunki syntaktyczne mogą przyjmować większą różnorodność niż w przypadku twierdzeń o pełności. Kiedy bowiem nie domykamy zbiorów na określone warunki, mogą one nie przyjmować postaci reguł Horna. Przyjrzymy się potem kilku przykładom z warunkami racjonalnej monotoniczności oraz dysjunkcyjnej monotoniczności, które nie są regułami Horna. Co się jednak stanie, jeśli postaramy się uzyskać twierdzenie o pełności z twierdzenia 2.2, dokonując przecięcia wszystkich relacji spełniających specyficzne warunki syntaktyczne, czyli weźmiemy najmniejszą taką relację? Nie jest trudno sprawdzić, że otrzymamy wtedy ponownie konsekwencję klasyczną!

30


Podsumowując, kiedy mamy do czynienia z nadklasyczną relacją inferencji, powtarza się następujący wzorzec: można udowodnić odpowiednie twierdzenie o reprezentacji, ale próba uzyskania twierdzenia o pełności za pomocą najmniejszej relacji spełniającej dane warunki Horna prowadzi do trywializacji.

Ćwiczenia 1∗ . Sprawdź prawdziwość poczynionego wyżej stwierdzenia, że konsekwencja założeń osiowych spełnia warunki inkluzji, kumulatywnej przechodniości i monotoniczności, a zatem że jest operacją domknięcia. Wskazówka: Przypomnij sobie fakt z rozdziału 1, mówiący, że operacja klasyczna spełnia te warunki, a następnie pokaż, że dziedziczą je również operacje konsekwencji założeń osiowych. 2. Pokaż, że konsekwencja założeń osiowych spełnia także warunek łączenia przesłanek w alternatywę. Wskazówka: Postępuj analogicznie jak w poprzednim ćwiczeniu. 3∗ . Pokaż, że konsekwencja założeń osiowych jest zwarta. Wskazówka: Postępuj analogicznie jak w poprzednim ćwiczeniu. 4. Weź po uwagę przykład podany w tekście, który miał ilustrować fakt, iż konsekwencja założeń osiowych nie jest w ogólności domknięta na podstawianie, a następnie zmodyfikuj go, używając innego zbioru przesłanek, innej konkluzji oraz innego podstawienia w tak sposób, aby nadal był kontrprzykładem. 5∗ . Uzasadnij lemat 2.3.

Problem Uzasadnij poczynione w tym podrozdziale stwierdzenie, mówiące, że najmniejsza operacja Cn+ spełniająca warunki twierdzenia 2.2 jest operacją klasyczną. Wskazówka: Podziel dowód na dwie części, pokazując najpierw, że Cn ≤ Cn+ , a następnie iż Cn+ ≤ Cn.

2.2. Od założeń osiowych do założeń domyślnych Co wspólnego ma to, co do tej pory powiedzieliśmy, z inferencją niemonotoniczną? Relacje konsekwencji założeń osiowych `K są, jak widzieliśmy, wzorcowo monotoniczne. Niemonotoniczność będzie jednak wynikiem tego, że dopuścimy,

2.2. Od założeń osiowych do założeń domyślnych

31

aby przesłanki ukryte w tle ze zbioru K zmieniały się w zależności od przesłanek ze zbioru A. Mówiąc bardziej precyzyjnie, będzie tak, jeśli pozwolimy, aby ta część przesłanek ze zbioru K, którą aktualnie używamy, zmieniała się w określony sposób w zależności od przesłanek ze zbioru A. Stanie się tak, jeśli założymy warunek niesprzeczności i dopuścimy zmniejszanie ilości używanych przesłanek z K w przypadku, gdy są one w konflikcie z przesłankami ze zbioru A. Niemonotoniczność uzyskamy w szczególności wtedy, gdy użyjemy maksymalnych podzbiorów K 0 zbioru K, które są niesprzeczne z A i zaakceptujemy jako konsekwencje te formuły, które są konsekwencjami wszystkich poszczególnych podzbiorów. Tak określoną relację będziemy nazywać konsekwencją założeń domyślnych (default-assumption consequence), uwypuklając w ten sposób bliski związek z jej poprzedniczką, konsekwencją osiowych założeń. Podamy teraz bardziej formalną definicję. Niech K ⊆ L będzie zbiorem formuł, które odgrywają rolę założeń w tle. Niech A będzie dowolnym zbiorem formuł, a x pojedynczą formułą. Powiemy, że podzbiór K 0 zbioru K jest niesprzeczny z A (krócej: jest A-niesprzeczny) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje klasyczne wartościowanie v takie, że v(K 0 ∪ A) = 1. Podzbiór K 0 zbioru K jest maksymalnie niesprzeczny z A (lub w skrócie: maksymalnie A-niesprzeczny) wtedy i tylko wtedy, gdy jest niesprzeczny z A, oraz nie jest właściwym podzbiorem żadnego podzbioru K 00 ⊆ K, który jest niesprzeczny z A. Teraz możemy sformułować główną definicję. D 2.4 (Konsekwencja założeń domyślnych).

´ De niujemy relacj¦ |zK modulo zbiór domy±lnych zaªo»e« K jak nast¦puje: A |zK x wtedy i tylko wtedy, gdy K 0 ∪ A ` x, dla dowolnego podzbioru K 0 ⊆ K , który jest maksymalnie niesprzeczny z A. T ´ Zapisuj¡c to w j¦zyku operacji C K mamy: C K (A) = {Cn(K 0 ∪ A): K 0 ⊆ K oraz K 0 jest maksymalnie niesprzeczny z A}. ´ Dan¡ relacj¦ lub operacj¦ nazywamy konsekwencj¡ domy±lnych zaªo»e« wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z pewn¡ konsekwencj¡ |zK (odp. C K ), dla pewnego zbioru formuª K . Notacja, której tutaj używamy, jest zbieżna z tą, którą używaliśmy w przypadku konsekwencji osiowych założeń. Znak relacji klasycznej konsekwencji staje się „wężem”, a więc `K zamienia się w |zK , i podobnie CnK zamienia się w C K . Zauważmy ponownie, że nie ma jednej konsekwencji domyślnych założeń, lecz wiele, po jednej dla każdej wartości zmiennej K. P 2.5. W celu zilustrowania tej de nicji, rozwa»my nast¦puj¡cy przykªad, który mo»e by¢ nazwany ÿwst¦g¡ Möbiusa". We¹my K = {p → q, q → r, r → ¬p}

32


oraz zbiór przesªanek A = {p}. Wtedy oczywi±cie K jest sprzeczny z A, zatem na mocy konsekwencji osiowych zaªo»e« mamy: CnK (A) = L. Dla wnioskowania przy u»yciu konsekwencji domy±lnych zaªo»e« musimy jednak wzi¡¢ pod uwag¦ te maksymalne podzbiory K 0 ⊆ K , które s¡ niesprzeczne z A. ´ Krótka analiza pokazuje, »e s¡ to trzy dwuelementowe zbiory, nazwijmy je K1 = {p → q, q → r}, K2 = {p → q, r → ¬p}, oraz K3 = {q → r, r → ¬p}. Zatem formuªa x jest konsekwencj¡ domy±lnych zaªo»e« zbioru A modulo zbiór zaªo»e« w tle K ; x ∈ C K (A) wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ Cn(Ki ∪ {p}), dla i = 1, 2, 3. ´ Dokªadniejsza analiza przykªadu pokazuje, »e Cn(K1 ∪ {p}) = Cn({p, q, r}), Cn(K2 ∪{p}) = Cn({p, q, ¬r}) a Cn(K3 ∪{p}) = Cn({p, ¬q, ¬r}). Zatem x ∈ C K (A) wtedy i tylko wtedy, gdy x nale»y do ka»dego z tych trzech zbiorów, tj. gdy x jest klasyczn¡ konsekwencj¡ alternatywy (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧¬q∧¬r). ´ Alternatywa ta jest klasycznie równowa»na formule (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r), czyli p ∧ (q ∨ ¬r), zatem C K (A) jest równe Cn(p ∧ (q ∨ ¬r)). ´ Zatem ani q ani r nie nale»¡ do C K (A). Z drugiej strony C K (A) jest wi¦ksze od klasycznej konsekwencji Cn(A) = Cn(p), poniewa» zawiera jeszcze q ∨ ¬r. W odróżnieniu od swojego osiowego odpowiednika relacje/operacje konsekwencji domyślnych założeń są niemonotoniczne. Zatem może być tak, że A |zK x, ale jednocześnie A ∪ B |z 6 K x, gdzie A, B są zbiorami zdań. Podobnie możemy mieć a |zK x, ale nie a∧b |zK x, gdzie a, b są pojedynczymi formułami. Ponieważ monotoniczność niekiedy nie zachodzi, więc operacje konsekwencji domyślnych założeń nie są na ogół operacjami domknięcia. W celu pokazania, że monotoniczność nie musi zachodzić weźmy K = {p → q, q → r}, gdzie p, q, r są różnymi literami zdaniowymi, a → jest prawdziwościowym spójnikiem implikacji materialnej. Otrzymujemy p |zK r, ponieważ przesłanka p jest niesprzeczna z K i oczywiście {p} ∪ K ` r. Jednak {p, ¬q} |z 6 K r, ponieważ zbiór przesłanek {p, ¬q} nie jest niesprzeczny z K. Istnieje jednak jeden maksymalny podzbiór K 0 ⊆ K, który jest niesprzeczny z {p, ¬q}: jest to singleton K = {q → r}. Oczywiście jest tak, że {p, ¬q} ∪ K 0 0 r, co uzasadnia następujące wartościowanie v: v(p) = 1, v(q) = v(r) = 0. Mówiąc ogólnie, przechodząc od p do p i ¬q uzyskaliśmy przesłankę, ale — z uwagi na wymaganie niesprzeczności — straciliśmy założenie ukryte w tle. Jasne jest, że gdybyśmy w celu zwiększenia zbioru przesłanek zamiast zbioru {p, ¬q} wzięli pod uwagę formułę p ∧ ¬q, to otrzymalibyśmy podobny efekt. Przykład ten ilustruje fakt, że nie zachodzi tutaj też singletonowa, koniunkcyjna monotoniczność. Do pozytywnych własności relacji konsekwencji założeń domyślnych należy zaliczyć to, że są nadklasyczne, co wprost wynika z definicji. Spełniają one rów-


33

nież warunek kumulatywnej przechodniości i łączenia przesłanek w alternatywę, chociaż sprawdzenie tego wymaga już pewnego wysiłku. Jest jeszcze jedna ważna własność relacji konsekwencji domyślnych założeń. Mimo, że nie spełniają warunku monotoniczności, spełniają one jej osłabioną wersję zwaną ostrożną monotonicznością (cautious monotony) (CM). Ta osłabiona lub bardziej restrykcyjna forma monotoniczności wynika z warunku monotoniczności, ale nie jest mu równoważna. W formie singletonowej ostrożna monotoniczność może być przedstawiona następująco: jeśli A |zK x oraz A |zK y, wtedy A ∪ {x} |zK y. W formie ogólnej ma ona postać następującą: jeśli dla dowolnego x ∈ B, A |zK x oraz A |zK y, wtedy A ∪ B |zK y. Z kolei w bardziej zwięzłej notacji operacji konsekwencji, warunek ostrożnej monotoniczności mówi, że: jeśli A ⊆ B ⊆ C K (A), to C K (A) ⊆ C K (B). Warto zauważyć, że konsekwencja założeń domyślnych w dość radykalny sposób nie spełnia również warunku zwartości. Zilustrujemy to przykładem, który podczas prywatnej rozmowy zakomunikował mi David Gabelaia. Otóż weźmy K = K1 ∪ K2 , gdzie K1 = {pi ∧ q : i < ω} a K2 = {¬pi ∧ ¬q : i < ω}. Niech przy tym A = {pi : i < ω}. Otrzymujemy wtedy, że A |zK q, podczas gdy B |z 6 K q, gdzie B jest dowolnym właściwym podzbiorem A (skończonym bądź nieskończonym). Zaraz to uzasadnimy. W celu zrozumienia szczegółów pomocne mogłoby być narysowanie tabeli z trzema kolumnami dla K1 , K2 i A, oraz rozważenie przypadku, gdy B = A − {p1 }. • Pozytywna konsekwencja przykładu, czyli A |zK q, zachodzi, ponieważ K1 ∪A ` q oraz K1 jest w oczywisty sposób jedynym maksymalnym, A-niesprzecznym podzbiorem K. • Negatywna konsekwencja naszego przykładu, tj. B |z 6 K q może zostać sprawdzona w następujący sposób. Rozważmy zbiór K ∗ = {¬pn ∧ ¬q : pn < B}. Ponieważ B ⊂ A, więc istnieje takie n, że pn < B i ¬pn ∧ ¬q ∈ K ∗ . Również zbiór K ∗ jest niesprzeczny z B oraz K ∗ ∪ B 0 q — rozważmy bowiem wartościowanie v, w którym v(pn ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy pn ∈ B, oraz v(q) = 0. Pozostaje teraz tylko sprawdzić, czy K ∗ jest faktycznie maksymalnym B-niesprzecznym podzbiorem K. Załóżmy, że K ∗ ⊂ J ⊆ K. Wtedy istnieje takie i, że albo pi ∧ q ∈ J, albo ¬pi ∧ ¬q ∈ J i pi ∈ B. W pierwszym przypadku, skoro J zawiera pewne ¬pn ∧ ¬q (weź pod uwagę q), więc jest on sprzeczny z B. W drugim zaś przypadku J jest również sprzeczny z B (z uwagi na pi ). Sposób, w jaki nie jest spełniona zwartość, można nazwać radykalnym, ponieważ nie ma właściwego podzbioru B zbioru A, skończonego czy też nieskończonego, takiego że B |zK q. Zatem konsekwencja założeń domyślnych nie spełnia także następującej osłabionej formy warunku zwartości, którą można by nazwać

34


własnością redundancji (redundancy property): jeśli A |z x oraz A jest zbiorem nieskończonym, to istnieje właściwy podzbiór B ⊂ A, taki że: B |z x. Przechodząc na bardziej ogólny poziom rozważań, odnotujemy teraz pewne interesujące związki pomiędzy logiką klasyczną, konsekwencją założeń osiowych oraz konsekwencją założeń domyślnych. • Konsekwencje domyślnych założeń C K skonstruowane zostały przez dodanie warunku niesprzeczności do definicji monotonicznych konsekwencji osiowych założeń. Te z kolei powstały przez dodanie zbioru założeń w tle do definicji klasycznej konsekwencji. Porządek konstrukcji lub porządek konceptualny jest więc następujący: Cn, następnie CnK , a w końcu C K . Pojęcie monotonicznych konsekwencji nadklasycznych może być zatem traktowane jako medium lub stopień pomiędzy konsekwencją klasyczną i konsekwencjami niemonotonicznymi. • Porządek konstrukcji nie jest jednak identyczny z porządkiem zawierania się tych trzech rodzajów konsekwencji. Mamy bowiem następujący związek: Cn ≤ C K ≤ CnK , co uzasadnia monotoniczność konsekwencji klasycznej: Cn(A) ⊆ Cn(K 0 ∪ A) ⊆ Cn(K ∪ A), o ile K 0 ⊆ K. Innymi słowy, możemy myśleć o klasycznej konsekwencji jako — jak określił to w naszej rozmowie João Marcos — o dolnym ograniczeniu wszystkich operacji C K , natomiast każdy wybór zbioru osiowych założeń K określa operację CnK , która stanowi ograniczenie górne dla konsekwencji C K . Ujmując problem jeszcze inaczej, niemonotoniczna operacja konsekwencji założeń domyślnych C K jest interpolowana pomiędzy klasyczną konsekwencją oraz konsekwencją założeń osiowych. Później, kiedy przejdziemy do pozostałych sposobów otrzymywania niemonotonicznych operacji inferencji, zauważymy że ten wzorzec różnicy pomiędzy porządkiem konstrukcji i porządkiem inkluzji będzie się stale powtarzał. • W przypadku, gdy dany zbiór przesłanek A jest niesprzeczny ze zbiorem K przesłanek w tle, podane definicje mówią jasno, że: C K (A) = CnK (A) = Cn(K ∪ A), co znaczy, że obydwie nadklasyczne operacje przyjmują tę samą wartość dla argumentu A. Z punktu widzenia konsekwencji osiowych założeń jest to przypadek standardowy. Jednak z punktu widzenia konsekwencji domyślnych założeń jest to przypadek graniczny, ponieważ operacja domyślnych założeń staje się interesująca właśnie wtedy, gdy A jest sprzeczny z K.

Dylemat Pomimo tego, że pojęcie konsekwencji domyślnych założeń jest dość naturalne, natrafia ono na pewien problem o charakterze pragmatycznym. Problem ten pojawia się wtedy, gdy postawimy sobie pytanie o rodzaje założeń użytecznych do wytwarzania odpowiednich operacji. Przyjrzyjmy się poniższym możliwościom.


35

• Kiedy zbiór K nie jest domknięty na klasyczną konsekwencję, czyli K , Cn(K), wtedy C K (A) może być zależny od sposobu utworzenia elementów zbioru K, inaczej — jest ona zależna od kwestii syntaktycznych. • Kiedy zbiór K jest domknięty na klasyczną konsekwencję, czyli K = Cn(K), wtedy operacja C K przestaje być interesująca, ponieważ w standardowych przypadkach zaczyna zachowywać się jak konsekwencja klasyczna. Powyższe spostrzeżenia opiszemy bardziej formalnie, dowodząc ich, a następnie dyskutując ich istotność. Zacznijmy od sytuacji, kiedy K , Cn(K). O 2.6. Klasycznie równowa»ne zbiory zaªo»e« ukrytych w tle K , K 0 mog¡ prowadzi¢ do ró»nych operacji konsekwencji C K oraz C K 0 . D´ . Podamy prosty przykład. Niech K = {p → (q ∧ r), r → ¬p}, gdzie → jest oczywiście implikacją materialną, i niech K 0 = {p → q, p → r, r → ¬p}. Obydwa te zbiory są z klasycznego punktu widzenia równoważne, co jest dość oczywiste biorąc pod uwagę własności koniunkcji. Rozważamy teraz zbiór A = {p}. Zbiór A jest sprzeczny z K, a jedynymi podzbiorami maksymalnie niesprzecznymi z A są singletony {p → (q ∧ r)} oraz {r → ¬p}. Oczywiście, q < Cn({p, r → ¬p}), zatem q < C K (A). W odróżnieniu od K, maksymalnie p-niesprzecznymi podzbiorami zbioru K 0 są dwie pary: {p → q, p → r} oraz {p → q, r → ¬p}. Ostatnia para {p → r, r → ¬p} jest bowiem sprzeczna z p. Ponieważ q ∈ Cn(K 00 ∪ {p}), dla obydwu tych par z K 0 , więc q ∈ C K 0 (A). Krótko mówiąc, kiedy wnioskowaliśmy, korzystając ze zbioru K, q zaginęło. Pojawiło się natomiast w konsekwencjach, gdy użyliśmy różnego, ale w nieskomplikowany sposób równoważnego zbioru K 0 . Zbiór K jest bowiem bardziej „skondensowany”, przez co musimy — by osiągnąć niesprzeczność z aktualnie przyjętymi przesłankami — odrzucić więcej przesłanek. Podobna zależność syntaktyczna jest często postrzegana jako przecząca intuicji oraz niepożądana, bowiem konsekwencje zbioru A na danym gruncie założeń K powinny zależeć wyłącznie od treści elementów zbioru K, a nie od sposobu ich sformułowania. Rozpatrzymy teraz drugą stronę wyjściowego dylematu — sytuację, w której zbiór K jest domknięty na klasyczną konsekwencję, czyli K = Cn(K). Niepożądany wynik sformułujemy w kolejnym twierdzeniu. Jak zawsze słowo „niesprzeczność” znaczy klasyczna niesprzeczność. T 2.7. Je±li K = Cn(K) i A jest sprzeczne z K , to C K (A) = Cn(A). Jak już zauważyliśmy, w sytuacjach, gdy A jest niesprzeczne z K, to C K (A) = Cn(K ∪ A), bez względu na to, czy K jest, czy też nie jest domknięte na klasyczną konsekwencję. Nie ma w tym wypadku niczego nieprzewidywalnego. W twierdzeniu mowa jest jednak o istotnym przypadku, w którym A jest sprzeczne z

36


K. Wtedy właśnie, gdy K jest domknięte na klasyczną konsekwencję, niemonotoniczna konsekwencja traci prawie całą swoją siłę. Przesłanki w tle ze zbioru K nie wnoszą w tym wypadku niczego i nie otrzymujemy niczego więcej niż w wypadku zastosowania klasycznej konsekwencji do A. D´ . Załóżmy, że K = Cn(K) oraz, że A jest sprzeczne z K. Chcemy pokazać, że C K (A) = Cn(A). Inkluzja z prawej do lewej jest prawdziwa na mocy nadklasyczności C K . Musimy więc pokazać, że C K (A) ⊆ Cn(A). Załóżmy, że x < Cn(A). Powinniśmy pokazać, że x < C K (A). Z definicji C K wystarczy wskazać jakiś maksymalny, niesprzeczny z A podzbiór K 0 zbioru K taki, że x < Cn(K 0 ∪ A). Do jego konstrukcji w dowodzie zastosujemy własność zwartości konsekwencji klasycznej oraz lemat Kuratowskiego-Zorna. Kluczowy krok dowodu będzie w miejscu, gdzie odwołamy się do założenia, że K = Cn(K). Nasza prezentacja dowodu będzie dla wygody na zmianę wykorzystywać notację relacyjną i operacyjną. Z założenia, na mocy własności zwartości wiemy, że istnieje taki skończony podzbiór A0 ⊆ A, który jest sprzeczny ze zbiorem K. Niech a będzie koniunkcją wszystkich, skończenie wielu jego elementów. Wtedy a jest również sprzeczne z K. W celu przeprowadzenia dowodu znajdziemy pewien maksymalnie A-niesprzeczny podzbiór K 0 zbioru K, taki że ¬a∨¬x ∈ K 0 . Będzie to wystarczyło, mając bowiem ¬a∨¬x ∈ K 0 , otrzymujemy także K 0 ∪A ` a∧(¬a∨¬x) ` ¬x, zatem, ponieważ K 0 ∪ A jest niesprzeczne, więc x < Cn(K 0 ∪ A), do czego zmierzaliśmy. Szukając zbioru K 0 , zauważmy po pierwsze, że ¬a ∨ ¬x jest niesprzeczne z A. W przeciwnym razie A ` ¬(¬a ∨ ¬x) ` a ∧ x ` x, co przeczyłoby założeniu, że x < Cn(A). Następnie zauważmy, że ¬a ∨ ¬x ∈ K. Ponieważ wiemy, że a jest sprzeczne z K, zatem K ` ¬a ` ¬a ∨ ¬x. Korzystając z kluczowego założenia, że K = Cn(K), otrzymujemy: ¬a ∨ ¬x ∈ K. Składając te dwa fakty razem, uzyskujemy jednoelementowy podzbiór {¬a ∨ ¬x} zbioru K, który jest niesprzeczny z A. Ponieważ klasyczna konsekwencja jest zwarta, możemy zastosować lemat Kuratowskiego-Zorna, dochodząc do wniosku, że istnieje maksymalny A-niesprzeczny podzbiór K 0 zbioru K taki, że {¬a ∨ ¬x} ⊆ K 0 , co kończy nasz dowód.

Rozwiązania dylematu W jaki sposób powinniśmy rozwiązać powyższy dylemat? Czy konsekwencja domyślnych założeń posiada nieusuwalną wadę, czy też istnieje jakiś sposób jej usunięcia? Zastanówmy się najpierw nad przypadkiem, gdy zbiór K nie jest domknięty na klasyczną konsekwencję. Jedną z reakcji jest stwierdzenie, że w tym przypadku syntaktyczna forma założeń z K w sposób istotny powinna mieć wpływ na wycią-


37

gane konkluzje, nawet jeśli syntaktyczna forma jawnych przesłanek ze zbioru A nie powinna mieć takiego wpływu. Jest to odpowiedź odważna, ale raczej trudno ją zaakceptować. Inną reakcją jest redukcja rozmiaru wspomnianej syntaktycznej zależności przez ograniczenie elementów zbioru założeń ukrytych w tle do formuł o pewnej kanonicznej postaci. Moglibyśmy dla przykładu akceptować w zbiorze K wyłącznie formuły, które są alternatywami liter zdaniowych albo negacji liter zdaniowych. W ogólności, prosta formuła (np. p ∧ q) byłaby wtedy wyrażona przez zbiór zawierający kilka takich alternatyw (np. p ∨ q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q), co powodowałoby, że zbiór K byłby mniej „skondensowany”. Na mocy logiki klasycznej wiemy, że każda formuła może być wyrażona przez zbiór takich alternatyw (pamiętajmy o koniunkcyjnych postaciach normalnych i oddzielmy je jako osobne rodzaje obiektów). Taka restrykcja nie zmniejsza więc siły ekspresji języka, choć zmniejsza poziom syntaktycznej zależności. Ostatecznie więc, w przypadku języka skończenie generowanego, jeśli ograniczymy zbiór K jedynie do alternatyw, które składają się ze wszystkich liter zdaniowych tego języka, to problem syntaktycznej zależności znika. Dlatego, gdy K i J są klasycznie równoważnymi zbiorami, których wszystkie elementy mają kanoniczną postać, wtedy K = J, a stąd C K (A) = C J (A). W przypadku, gdy K = Cn(K), wymagane jest nieco inne rozwiązanie. Musimy tutaj zmodyfikować definicję konsekwencji domyślnych założeń w taki sposób, aby uniknąć jej zamiany w konsekwencję klasyczną. Istnieje wiele sposobów w jakie można to zrobić. Skoncentrujemy się na nich w kolejnym podrozdziale. Zanim jednak do niego przejdziemy, poczynimy kilka uwag dotyczących terminologii i pojęcia maksymalności.

Terminologia: konsekwencja czy inferencja? Mówiąc o monotonicznych operacjach, takich jak Cn i CnK , oraz niemonotonicznych C K , używamy stale terminu „operacja konsekwencji”. Czyniąc to, kierujemy się jego użyciem stosowanym przez wielu badaczy, np. Krausa, Lehmanna i Magidora (1990). Jednocześnie jednak inni autorzy, np. Lindström (1991), Makinson (1994), Rott (2001) oraz Bochman (2001) rezerwują ten termin dla operacji monotonicznych, operacje niemonotoniczne nazywając inferencjami. Takie terminologiczne oddzielenie „konsekwencji” oraz „inferencji” wydaje się w zasadzie atrakcyjne, w praktyce jednak okazuje się raczej nieefektywne. Częściowo bierze się to z tego, że ten werbalny kontrast nie jest zakorzeniony w zwykłym użyciu języka, a częściowo z tego, że czasami chcielibyśmy mówić o operacjach generowanych w określony sposób, zanim dowiemy się, czy są one monotoniczne, lub o takich rodzinach operacji, których część jest, a część nie jest

38


monotoniczna. W naszych rozważaniach zarówno dla monotonicznych, jak i niemonotonicznych przypadków będziemy zatem używać terminu „konsekwencja”. Pomimo tego, jak już powiedziano, zaznaczamy różnicę w notacji, stosując `, Cn (z odpowiednim indeksem) dla monotonicznych przypadków, oraz |z, C dla operacji, o których nie wiadomo, czy są monotoniczne.

Uwaga o użyciu terminu „maksymalny” Osobom, które nie są przyzwyczajone do matematycznej pracy z pojęciem maksymalności, przydać się może kilka słów przestrogi. Mówiąc, że podzbiór K 0 zbioru K jest maksymalny (pośród jego podzbiorów o pewnej cesze), oraz że posiada także pewną inną cechę, nie wypowiadamy tego samego, co wtedy, gdy mówimy, że jest maksymalny (wśród jego podzbiorów posiadających obydwie te cechy). Te dwie kwestie trzeba uważnie rozdzielić. Wcześniejsza wypowiedź pociąga jednak późniejszą. Załóżmy, że K 0 jest maksymalnym zbiorem spełniającym warunek φ, oraz spełnia warunek ψ. Rozważmy jego nadzbiór K 00 ⊇ K 0 , który spełnia zarówno warunek φ oraz ψ. Wtedy K 00 spełnia warunek φ, a zatem z założenia jest identyczny z K 0 . Jednakże drugi przypadek nie implikuje w ogólności pierwszego. Załóżmy, że 0 K jest maksymalnym zbiorem spełniającym warunek φ oraz ψ. Wtedy oczywiście nie ma takiego K 00 ⊃ K 0 , który spełnia zarówno warunek φ oraz ψ. Może istnieć jednak zbiór K 00 ⊃ K 0 , który spełnia warunek φ, nie spełniając jednocześnie warunku ψ. Zatem K 0 nie jest maksymalnym zbiorem spełniającym warunek φ. Problem ten można by również przedstawić, używając języka bardziej teoriomnogościowego, pisząc max⊆ (X) na oznaczenie zbioru wszystkich obiektów maksymalnych z uwagi na relację inkluzji pośród elementów zbioru X. Powinno to być jednak dostatecznie jasne bez takiej formalnej precyzji. Ważną rzeczą jest znajomość intencji wypowiedzi w danym kontekście oraz wyrażanie jej w sposób jednoznaczny. Może to wymagać ostrożnego użycia języka, przy czym mogą tu być również pomocne odpowiednia składania oraz nawiasy. W celu ilustracji tej różnicy, załóżmy, że K 0 jest zbiorem maksymalnym wśród właściwych podzbiorów zbioru K, oraz że jest on niesprzeczny z A. Wynika stąd, że zbiór K 0 jest maksymalny wśród tych właściwych podzbiorów K, które są niesprzeczne z A. Jest jednak łatwo podać przykład, w którym zbiór K 0 jest maksymalny pośród właściwych podzbiorów K, niesprzecznych z A, ale nie jest on maksymalny wśród właściwych podzbiorów K. Niech K = {a, b, (a ∨ b) → c} oraz A = {¬c}. Wtedy K ma dwa maksymalne, właściwe podzbiory wśród podzbiorów niesprzecznych z A: K1 = {a, b} oraz K2 = {(a ∨ b) → c}. Widać jednak, że K1 jest maksymalnym, właściwym podzbiorem K, a K2 nie jest.


39

Pomimo tego, w przypadku gdy K = Cn(K), mamy do czynienia ze wyjątkową sytuacją. Niech A będzie zbiorem przesłanek sprzecznych z K. Jest dość łatwo pokazać, że każdy maksymalny A-niesprzeczny podzbiór K jest domknięty, ponieważ zbiór K jest domknięty na klasyczną konsekwencję. Mamy zatem kolejny ważny fakt, który jest blisko związany z twierdzeniem 2.7 oraz twierdzeniem 2.9 z następnego podrozdziału. Krótko mówiąc, głosi on, że w sytuacji, gdy K = Cn(K), przypadki opisywane w poprzednim paragrafie są wykluczone. O 2.8. Zaªó»my, »e K = Cn(K) oraz A jest zbiorem formuª sprzecznym z K . Wtedy dla dowolnego K 0 ⊆ K nast¦puj¡ce trzy warunki s¡ równowa»ne: a. K 0 jest zbiorem maksymalnym w±ród tych podzbiorów K , które s¡ niesprzeczne z A. b. K 0 jest zbiorem maksymalnym w±ród klasycznie domkni¦tych, wªa±ciwych podzbiorów K , które s¡ niesprzeczne z A. c. K 0 jest zbiorem maksymalnym w±ród klasycznie domkni¦tych, wªa±ciwych podzbiorów K , oraz K 0 jest równie» niesprzeczny z A.

Uwagi historyczne Konsekwencja domyślnych założeń ma długą i skomplikowaną historię. Veltman (1976; 1985) oraz Kratzer (1981) używali podobnych konstrukcji w logice kontrfaktycznych okresów warunkowych. Alchourrón oraz Makinson (1982) zdefiniowali tę operację w badaniach nad zmianą przekonań w danym zbiorze K przez dodanie nowego przekonania a, t.j. przez wprowadzenie nowej informacji, przy jednoczesnym zachowaniu niesprzeczności. Wszyscy ci autorzy zauważyli także, że w wypadku gdy K = Cn(K) (w różnych formach, dla jednoelementowego zbioru przesłanek), dochodzi do uklasycznienia definiowanej operacji. Rodzina wszystkich podzbiorów K maksymalnie niesprzecznych z danym A była natomiast przedmiotem studiów Poole’a (1988) jako część formalnego ujęcia abdukcji, tzn. formowania hipotez wyjaśniających dane.

Ćwiczenia 1∗ . Niech K = {p → q, q → p, p ∨ q}, zaś A = {¬p ∨ ¬q}, gdzie p, q są literami zdaniowymi. Które podzbiory K są maksymalnie niesprzeczne z A? Niech teraz K = {p ↔ q, p ∨ q}. Odpowiedz na poprzednie pytanie, zakładając ten sam zbiór A. 2. Niech K1 = {p, q}, K2 = {p ∧ q}, K3 = {p ∧ q, p, q}, K4 = {p ∧ q, p, q, p ∨ q}. Niech A = {¬p}. Które podzbiory Ki (dla poszczególnych i) są maksymalnie niesprzeczne z A?

40


3∗ . Rozważ boolowski język, który powstał przy użyciu tylko dwóch liter zdaniowych p, q. Niech K = Cn({p, q}) oraz niech A = {¬p}. Które podzbiory K są maksymalnie niesprzeczne z A? Wskazówka: Wypisz wszystkie elementy ze zbioru Cn({p, q}) (aż do klasycznej równoważności). 4. Pokaż, że relacje konsekwencji założeń domyślnych są nadklasyczne, spełniają lewostronną, klasyczną równoważność (LCE) oraz prawostronne osłabianie (RW). 5. Pokaż, że pomimo wskazanej w tekście syntaktycznej zależności konsekwencji założeń domyślnych, występuje co najmniej następujący poziom syntaktycznej niezależności. Niech K, K 0 będą zbiorami założeń ukrytych w tle, takimi że istnieje między nimi jedno-jednoznaczna odpowiedniość Cn(a) = Cn(a0 ), dla dowolnego a ∈ K, gdzie a0 oznacza element K 0 odpowiadający elementowi a ∈ K. Wtedy dla dowolnego zbioru przesłanek A jest tak, że C K (A) = C K 0 (A). 6∗ . W przypadku, gdy operacja konsekwencji spełnia zarówno kumulatywną przechodniość oraz ostrożną monotoniczność jest ona nazywana kumulatywną. Podaj zarówno w relacyjnej, jak i operacyjnej notacji prostą regułę Horna, która wyrazi ten warunek. 7∗ . Sprawdź prawdziwość stwierdzenia poczynionego w tekście, że dla dowolnego maksymalnego, A-niesprzecznego podzbioru K, jeżeli K = Cn(K) oraz A jest sprzeczne z K, to K 0 = Cn(K 0 ). 8. Pokaż, że własność zwartości implikuje własność redundancji. 9. Sprawdź następujący kontrprzykład dla twierdzenia, że konsekwencja domyślnych założeń jest zwarta, wymyślony (w trochę innym celu) przez A. Brodsky’ego oraz R. Brofmana — jak podają Freud i Lehmann (1994). Niech K = {¬p1 ∧ · · · ∧ ¬pi−1 ∧ pi : 1 6 i 6 ω} oraz A = {pi → q : i < ω}.

Problemy 1. Sprawdź prawdziwość stwierdzenia z tekstu, które mówi, że relacje konsekwencji domyślnych założeń spełniają warunek kumulatywnej przechodniości (CT), ostrożnej monotoniczności (CM) oraz łączenia przesłanek w alternatywę.

2.3. Uszczegółowienia, warianty i uogólnienia

41

2∗ . Udowodnij obserwację 2.8. Wskazówka: Pracuj w obrębie trzech warunków. Implikacje od (a) do (b) oraz od (c) do (a) są oczywiste, od nich więc zacznij. W dowodzie implikacji od (b) do (c) należy skorzystać ze zwartości dla klasycznej konsekwencji. Istotne jest, żeby na każdym kroku dowodu mieć jasność, co zostało założone oraz co jest dowodzone. 3. Pokaż, że relacje konsekwencji założeń domyślnych spełniają warunek zachowania niesprzeczności: jeśli Cn(A) , L, to C K (A) , L. Wskazówka: Skorzystaj z własności zwartości logiki klasycznej, na przykład w formie generalnej zasady maksymalizacji podanej w podrozdziale 1.2. 4. Podaj przykład operacji domknięcia, pokazujący, że własność redundancji nie pociąga w ogólności zwartości. Wskazówka: Nie bierz pod uwagę logiki, rozważ to na przykładzie bardziej abstrakcyjnym.

2.3. Uszczegółowienia, warianty i uogólnienia Ten podrozdział rozpoczniemy od opisania specjalnego przypadku pojęcia konsekwencji założeń domyślnych, który ma zarówno historyczne, jak i praktyczne znaczenie. Mamy tu na myśli założenie domknięcia świata (the closed world assumption) (CWA). Później zarysujemy niektóre z wielu wariantów i uogólnień, jakie można znaleźć w literaturze — jest ich ogółem około tuzina, w zależności od tego, jak będziemy je liczyć — zaczynając od najbardziej przypominających przyjęty przez nas w poprzednim podrozdziale prosty paradygmat, a następnie przechodząc do innych, mniej z nim powiązanych. Przypadek specjalny: założenie domknięcia świata Konsekwencja założeń domyślnych, tak jak ją zdefiniowaliśmy w poprzednim podrozdziale, została wyabstrahowana z bardziej szczegółowego pojęcia, znanego jako inferencja stosująca założenie domknięcia świata (w skrócie CWA). Wprowadził je Reiter (1978) w jednym z najwcześniejszych formalnych badań nad niemonotonicznymi rozumowaniami w kontekście jakościowym. W celu wyjaśnienia tego rodzaju inferencji potrzebujemy pojęcia formuły Horna dla języka logiki klasycznej. W podrozdziale 1.2 wprowadziliśmy już pojęcie reguły Horna, rozumianej jako specjalny rodzaj reguły sformułowanej w metajęzyku, w którym mówimy o relacjach inferencji. Teraz jednak, aby opisać pewną klasę boolowskich formuł, potrzebujemy korespondującego z nim pojęcia formu-

42


ły w języku przedmiotowym. Formułą Horna jest każda formuła o następującej postaci: (p1 ∧ · · · ∧ pn ) → q, gdzie p1 , …, pn , q są literami zdaniowymi, a n > 0. Równoważnie, używając tylko pierwotnych stałych ¬, ∧, ∨, jest to formuła postaci: ¬p1 ∨ · · · ∨ ¬pn ∨ q, o tych samych składnikach, czyli alternatywa liter zdaniowych lub negacji liter, z których tylko jedna jest pozytywna. Załóżmy, że obecnie nasz zbiór przesłanek A zawiera jedynie formuły Horna. Załóżmy także, że zbiór przesłanek ukrytych w tle K zawiera negacje ¬p wszystkich liter zdaniowych języka. Innymi słowy, tak dalece, jak jest to niesprzeczne z obecnymi przesłankami, zakładamy, że wszystkie litery zdaniowe są fałszywe. Zbiór K nie jest oczywiście domknięty na klasyczną konsekwencję, jednak dyskutowany wcześniej problem syntaktycznej zależności nie pojawia się, kiedy dopuszczamy tylko jeden wariant K: jest on stały we wszystkich zastosowaniach. W tym specjalnym przypadku nietrudno jest pokazać, że jest tylko jeden maksymalny podzbiór K 0 zbioru K, niesprzeczny z danym zbiorem A. Zatem T definicja konsekwencji domyślnych założeń: C K (A) = {Cn(K 0 ∪ A) : K 0 ⊆ K, gdzie K 0 jest maksymalnie niesprzeczny z A} może być uproszczona do postaci: C K (A) = Cn(K 0 ∪ A), gdzie K 0 jest jedynym maksymalnym podzbiorem K, niesprzecznym z A. Dokładnie ta sama sytuacja zachodzi, gdy zamiast liter elementarnych pi stosujemy w naszym języku formuły elementarne postaci: Pt, gdzie P jest predykatem bądź symbolem relacyjnym, a t = t1 , . . . , tn jest uporządkowaną n-tką nazw indywiduowych. Te proste formuły są składane w bardziej skomplikowane formuły jedynie za pomocą operacji boolowskich (bez zmiennych indywiduowych oraz kwantyfikatorów). Załóżmy, że K zawiera jedynie negacje ¬Pt wszystkich elementarnych formuł, a zbiór przesłanek A zawiera jedynie formuły postaci (P1 t1 ∧ · · · ∧ Pn tn ) → Qs, gdzie P1 t1 , …, Pn tn , Qs są elementarnymi formułami. Wtedy definicja konsekwencji domyślnych założeń ponownie daje się uprościć do postaci C K (A) = Cn(K 0 ∪ A), gdzie K 0 jest jedynym maksymalnym podzbiorem K, niesprzecznym z A. Konstrukcję tę motywuje fakt możliwości pracy z bazą danych dotyczących pewnej dziedziny. Taka baza danych może być pomyślana jako zbiór A formuł Horna (P1 t1 ∧· · ·∧ Pn tn ) → Qs (przy czym n > 0), gdzie stałe indywiduowe w n-tkach t1 , . . . , tn , s desygnują wyznaczone elementy z dziedziny, a symbole P1 , …, Pn , Q oznaczają określone własności i relacje zdefiniowane w dziedzinie. Inferencja domkniętego świata sprowadza się do założenia, w granicach niesprzeczności z bazą danych, że wyznaczone własności i relacje P1 , …, Pn , Q są tak małe, jak to możliwe. W podrozdziale 3.4 zobaczymy, że ten szczególny rodzaj konsekwencji założeń domyślnych może być również sformułowany w terminach semantycznych i uogólniony na rodzaj inferencji zwany cyrkumskrypcją (circumscription).


43

Wariacje i uogólnienia: trzy ogólne rodzaje Konsekwencja założeń domyślnych ma wiele wariantów i może być na różne sposoby uogólniana. W każdym z nich pojęcie niesprzeczności wciąż odgrywa ważną i zwykle dość widoczną rolę. Próbując uporządkować te możliwości, dla wygody pogrupujemy je na trzy główne rodzaje: 1. Operacje częściowego przecięcia (partial meet operations), tj. operacje, których wyniki stanowią przecięcia rezultatów uzyskanych za pomocą tylko niektórych maksymalnych podzbiorów K, niesprzecznych z aktualnymi przesłankami. 2. Operacje podmaksymalne, tj. operacje, których wyniki stanowią przecięcie rezultatów uzyskanych za pomocą podzbiorów K, niesprzecznych z aktualnymi przesłankami, lecz niekoniecznie maksymalnych. 3. Operacje wolne od przecięcia, tj. operacje, które wyróżniają pojedyncze rezultaty bez potrzeby szukania części wspólnej. Wszystkie powyższe operacje mają pewną przewagę w stosunku do prostego wzorca zaprezentowanego w poprzednim podrozdziale, dopuszczają bowiem domknięcie zbioru założeń w tle K na klasyczną konsekwencję, ale jednocześnie nie powodują uklasycznienia niemonotonicznej operacji w sposób opisany w twierdzeniu 2.7. Każdy z tych rodzajów zilustrujemy przykładem z literatury. Podejścia w ramach częściowego przecięcia Tego typu podejścia nadal opierają się na pracy z maksymalnymi podzbiorami wyjściowego zbioru założeń K, które są niesprzeczne z aktualnym zbiorem przesłanek A. Wyróżnia je jednak to, że interesują nas tylko pewne tego typu zbiory, a nie wszystkie. Inaczej rzecz biorąc definiują one C(A) jako przecięcie zbiorów C(K 0 ∪ A) dla pewnych K 0 ⊆ K, które są maksymalnie niesprzeczne z A. Poszczególne z tych podejść różnią się sposobem wyboru zbiorów K 0 . Rozważymy cztery z nich, w porządku ich ogólności. Po kolei weźmiemy pod uwagę: konsekwencję chroniącą (screened consequence) (traktującą pewne elementy K jako nienaruszalne), konsekwencję warstwową (layered consequence) (preferującą pewne elementy K), relacyjną konsekwencję częściowego przecięcia (relational partial meet consequence) (biorącą pod uwagę pewne maksymalne, niesprzeczne z A podzbiory K, jako podzbiory bardziej preferowane niż pozostałe), oraz konsekwencję z funkcjami selekcji (via selection functions) (jest to najbardziej ogólna postać, która obejmuje wszystkie trzy pozostałe, a także wzór konsekwencji domyślnych założeń zdefiniowany w poprzednim podrozdziale).

44


Konsekwencja chroniąca

Bez względu na przyjmowane przesłanki moglibyśmy chcieć zachować niektóre z naszych założeń ukrytych w tle. W celu wyrażenia tego zamiaru w sposób matematyczny bierzemy zbiór przesłanek w tle i ustalamy pewien podzbiór K0 ⊆ K całkowicie chronionych przesłanek. Następnie definiujemy interesującą nas operaT cję C KK0 (A) za pomocą równości: C KK0 (A) = {Cn(K 0 ∪ A) : K0 ⊆ K 0 ⊆ K, gdzie K 0 jest maksymalny i niesprzeczny z A}. W ten sposób wyróżnione przesłanki z K0 są wykorzystywane bez względu na pozostałe formuły, które mogą być odrzucane, jeżeli wprowadzają sprzeczność. Ten rodzaj konsekwencji został wprowadzony przez Makinsona (1997) w kontekście logiki zmiany przekonań (logic of belief contraction and revision). W tamtym kontekście wzięto dodatkowo pod uwagę graniczny przypadek, gdy K0 , zbiór chronionych przesłanek w tle, jest sprzeczny z aktualnym zbiorem założeń. Oczywiście w takim przypadku nie ma maksymalnych zbiorów niesprzecznych z A, które zawierają K0 , a zatem każda formuła naszego języka staje się z definicji konsekwencją zbioru A. Ma to sens, kiedy myślimy o inferencji, jednak wydaje się mniej sensowne w wypadku logiki zmiany przekonań, gdzie moglibyśmy zaniechać rewizji przekonań ze zbioru K, kiedy przychodzące informacje są w konflikcie z jego chronionym jądrem. Z tego też powodu, w kontekście logiki zmiany przekonań, w pracy Makinsona (1997) dane wyjściowe dla tego szczególnego przypadku były zdefiniowane po prostu jako samo K. Zauważmy, że ciąg inkluzji Cn ≤ C K ≤ CnK , o którym wspominaliśmy przy omawianiu konsekwencji założeń domyślnych, staje się w przypadku konsekwencji chroniącej bogatszy: Cn ≤ CnK0 ≤ C KK0 ≤ CnK . Innymi słowy, operacja osiowych założeń wciąż służy jako ograniczenie górne dla opisanej tu niemonotonicznej operacji, podczas gdy ograniczenie dolne przesuwa się od klasycznej operacji Cn do operacji osiowych założeń CnK0 . Kiedy ograniczeniem dolnym nie jest już dalej klasyczna konsekwencja Cn, wtedy w przypadku, gdy K = Cn(K) i K jest sprzeczne ze zbiorem A nie dochodzi do opisanego w poprzednim podrozdziale zjawiska uklasycznienia. Mamy natomiast do czynienia ze „słabszym uklasycznieniem”. Przy powyższych dwóch założeniach, otrzymujemy C KK0 (A) = CnK0 (A), co również nie jest pożądane, bowiem jedynymi wnioskami, które mogą być otrzymane, są wnioski ze zbioru A oraz ze zbioru wyróżnionych założeń ukrytych w tle. Dowód tej obserwacji jest prostym powtórzeniem dowodu twierdzenia 2.7. Możemy zatem powiedzieć, że bez dalszych udoskonaleń konstrukcja ta wciąż nie jest odpowiednia do zastosowań w przypadku zbiorów założeń domkniętych na klasyczną konsekwencję.


45

Konsekwencja warstwowa Kolejny pomysł opiera się na podzieleniu zbioru domyślnych założeń K na poziomy K1 , …, Kn , na których szukamy w poszczególnych krokach zbiorów maksymalnych, preferując wcześniejsze poziomy od późniejszych. Opisując tę procedurę inaczej, przy ustalonym zbiorze przesłanek A bierzemy najpierw maksymalne podzbiory K1 niesprzeczne z A, a następnie rozszerzamy każdy z nich do maksymalnego podzbioru K1 ∪ K2 niesprzecznego z A, i tak dalej. Formalnie rzecz ujmując, preferowanym podzbiorem K z uwagi na A (modulo operacja warstwowa) jest zbiór J1 ∪ · · · ∪ Jn ⊆ K taki, że dla każdego i 6 n, J1 ∪ · · · ∪ Ji jest maksymalnym A-niesprzecznym podzbiorem K1 ∪ · · · ∪ Ki . Jest jasne, że każdy preferowany podzbiór K jest maksymalnym, A-niesprzecznym podzbiorem K, ale nie odwrotnie. Nasze uwaga jest zatem skierowana na pewną podrodzinę tych ostatnich zbiorów. Opisana konstrukcja została zaproponowana przez Brewkę (1989), gdzie nazwano ją „konsekwencją via teorie domyślnych poziomów” (consequence via level default theories). Pewien jej wariant, w którym maksymalna moc zbioru zastępuje maksymalność względem relacji inkluzji, został wprowadzony przez Beneferhata oraz innych autorów (1993). Podejście to zostało wymyślone dla zbiorów założeń ukrytych w tle, które nie są domknięte na klasyczną konsekwencję. Ponadto zwykle zakłada się, że poziomy tworzą partycje K, tzn. że wyczerpują K i są rozłączne. Kiedy jednak K jest domknięte na klasyczną konsekwencję, wymagana jest ostrożność. Jeśli bowiem konstrukcja ta ma zachowywać się w intuicyjnie akceptowalny sposób, to poziomy K1 , …, Kn powinny być rozłączne, a wtedy nie mogą być równocześnie domknięte na klasyczną konsekwencję.

Relacyjna konsekwencja częściowego przecięcia Alternatywną procedurą wybierania podrodziny maksymalnych A-niesprzecznych podzbiorów K jest ustalenie relacji < pomiędzy podzbiorami K 0 zbioru K i wybranie spośród maksymalnie A-niesprzecznych podzbiorów K, tych które są minimalne względem tej relacji. Nakładanie dodatkowych warunków na relację < (takich np. jak modularność), może zagwarantować większą regularność w zachowaniu się definiowanej relacji konsekwencji. Podejście to zastosowane do zbiorów domkniętych na klasyczną konsekwencję unika zjawiska uklasycznienia zarówno w pełnym, jak i w ograniczonym zakresie, wzmiankowanym przy wcześniejszych wariantach konsekwencji domyślnych założeń.

46


Przedstawiona konstrukcja jest w istocie taka sama, jak w podejściu AGM do zmiany przekonań rozwiniętym przez Alchourróna, Gärdenforsa i Makinsona (1985), gdzie była nazywana „relacyjnym, częściowym przecięciem kontrakcji i rewizji” (relational partial meet contraction and revision). Jest ona również blisko spokrewniona z semantycznym podejściem do niemonotonicznych rozumowań, nazywanym inferencją preferencji, które przebadamy bardziej szczegółowo w następnym rozdziale.

Konsekwencja określona za pomocą funkcji selekcji Bardziej ogólną procedurą, niż przedstawione wyżej, jest zastosowanie funkcji selekcji. Polega to na powiązaniu każdej rodziny K podzbiorów zbioru K z podrodziną δ(K) ⊆ K „wyróżnionych” elementów rodziny K. Funkcja selekcji może być zdefiniowana dowolnie lub ograniczana na różne sposoby. Zazwyczaj wymagamy jednak, żeby rodzina δ(K) była niepusta, jeśli tylko rodzina K jest niepusta. T Za pomocą tego pojęcia definiujemy Cδ (A) = {Cn(K 0 ∪ A) : K 0 ∈ δ(KA )}, gdzie KA jest rodziną wszystkich maksymalnie A-niesprzecznych podzbiorów K 0 ⊆ K, a δ jest funkcją selekcji. Podobnie jak K, także δ jest ustalana niezależnie od zbioru przesłanek A. Zarówno różne wybory δ, jak i różne wybory K prowadzą oczywiście do różnych operacji konsekwencji. W granicznym przypadku, w którym funkcja selekcji nie ma rzeczywistego wpływu, to jest kiedy δ(KA ) = KA (jest tak w przypadku funkcji identyczności), powracamy do podstawowego pojęcia konsekwencji domyślnych założeń zdefiniowanego w poprzednim podrozdziale. Widzieliśmy już, że prowadzi to do nieintuicyjnych rezultatów w przypadku, gdy K jest domknięte na klasyczną konsekwencję, tj. K = Cn(K). Na przeciwnym końcu spektrum mamy inny graniczny przypadek, gdzie funkcja selekcji zawsze daje singleton, to jest δ(KA ) = {K 0 } dla pewnego K 0 ∈ KA , gdy jest ona niepusta. Taka funkcja selekcji jest zwykle nazywana funkcją wyboru, a operacja konsekwencji Cδ zdefiniowana przy jej pomocy jest nazywana konsekwencją domyślnych założeń maksymalnego wyboru. W tym przypadku, dla każdego zbioru przesłanek A sprzecznego z K istnieje taki podzbiór K 0 ⊆ K, który jest maksymalnie niesprzeczny z A oraz Cδ (A) = Cn(K 0 ∪ A). Ten graniczny przypadek również prowadzi do nieintuicyjnych konsekwencji w wypadku domknięcia zbioru K na klasyczną konsekwencję. Gdy K = Cn(K), operacja konsekwencji maksymalnego wyboru zawsze daje zbiory konsekwencji, które są w tym sensie zupełne, że zawierają co najmniej jedną z formuł x lub ¬x, gdzie x jest dowolną formułą rozważanego języka. Jest to pewnego rodzaju dziwna i niepożądana nadmiarowość. Fakt ten po raz pierwszy został dowiedziony przez


47

Alchourróna i Makinsona (1982) w kontekście logiki zmiany przekonań (logic of belief change). T 2.9. Niech K = Cn(K) oraz niech zbiór A b¦dzie sprzeczny z K . Wtedy dla dowolnego maksymalnego A-niesprzecznego podzbioru K 0 zbioru K , Cn(K 0 ∪ A) jest zupeªny. D´ . Niech K = Cn(K) oraz niech A będzie dowolnym sprzecznym z K zbiorem przesłanek. Niech K 0 będzie dowolnym maksymalnym A-niesprzecznym podzbiorem K. Niech x będzie dowolną formułą. Zamierzamy pokazać, że x ∈ Cn(K 0 ∪ A) lub ¬x ∈ Cn(K 0 ∪ A). Nasza argumentacja ma pewne wspólne cechy z dowodem twierdzenia 2.7. Ponieważ A jest sprzeczny z K, więc na mocy zwartości logiki klasycznej, istnieje pewien skończony podzbiór A0 ⊆ A, który jest sprzeczny z K. Niech a będzie koniunkcją skończenie wielu elementów z A0 . Wtedy a ∈ Cn(A). Aby skończyć dowód wystarczy pokazać, że ¬a ∨ x ∈ K 0 lub ¬a ∨ ¬x ∈ K 0 , wtedy bowiem K 0 ∪ A ` a ∧ (¬a ∨ x) ` x lub K 0 ∪ A ` a ∧ (¬a ∨ ¬x) ` ¬x. Załóżmy nie wprost, że zarówno ¬a ∨ x < K 0 oraz ¬a ∨ ¬x < K 0 . Ponieważ A0 jest sprzeczne z K, wiemy więc, że a jest również sprzeczne z K. Zatem ¬a ∈ Cn(K), a następnie, stosując kluczowe założenie, że K jest domknięte na klasyczną konsekwencję, ¬a ∨ x, ¬a ∨ ¬x ∈ Cn(K) = K. Z drugiej strony, na mocy założenia, K 0 jest maksymalny pośród podzbiorów K niesprzecznych z A. Zatem obydwa zbiory K 0 ∪ {¬a ∨ x} oraz K 0 ∪ {¬a ∨ ¬x} są sprzeczne z A. Na mocy własności monotoniczności dla klasycznej konsekwencji wynika stąd, że K 0 ∪ {x} oraz K 0 ∪{¬x} są sprzeczne z A. Zatem K 0 jest sprzeczny z A, co daje poszukiwaną sprzeczność. Morał z tej opowieści brzmi następująco. Gdy zbiory przesłanek ukrytych w tle są domknięte na klasyczną konsekwencję, funkcje selekcji nie powinny być ekstremalne. Jedną z niepożądanych konsekwencji otrzymujemy wtedy, gdy funkcja selekcji jest identycznością. Taka sytuacja cofa nas do podstawowej formy konsekwencji domyślnych założeń, co — jak widzieliśmy w twierdzeniu 2.7 — uklasycznia ją w przypadku, gdy K = Cn(K). Inny niepożądany rezultat otrzymujemy, kiedy wybierzemy pojedynczy maksymalny podzbiór: zwiększa to zbiory konsekwencji, powodując, że są zupełne. Funkcje selekcji powinny być więc gdzieś pośrodku tych ekstremów, zgodnie z zasadą złotego środka. Podejście wykorzystujące funkcje selekcji jest bardzo ogólne i obejmuje trzy poprzednie podejścia jako swoje specjalne przypadki. Na szczególną uwagę zasługuje jego powiązanie z ostatnim z nich. Mając dowolną, dobrze ufundowaną relację < pomiędzy podzbiorami K, funkcja przypisująca każdej rodzinie K podzbiorów zbioru K jego p(a ∧ x), a więc p(a ∧ ¬x) > 0, do czego zmierzaliśmy i co kończy cały dowód.

Ćwiczenia W twierdzeniu 5.3 pokazaliśmy, że warunki wypisane w tabeli, domknięte dużymi kwantyfikatorami, są równoważne. Nie jest tak jednak bez domknięcia. Kolejne ćwiczenia pozwalają prześledzić szczegóły. 1∗ . Pokaż, że implikacja ∀p(2t ⇒ 1) może nie zachodzić. Trzymając się kontekstu, przypomnij sobie, że w tekście pokazano zachodzenie jej konwersu ∀p(1 ⇒ 2t) a także warunku ∀p(2t) ⇒ ∀p(1).

130

Rozdział 5. Związki pomiędzy inferencją niemonotoniczną i probabilistyczną

2∗ . Pokaż, że implikacja ∀p(1 ⇒ 5) zachodzi, ale implikacja odwrotna ∀p(5 ⇒ 1) może nie zachodzić. 3. Pokaż, że warunek (1) ani nie implikuje ogólnie, ani ogólnie nie jest implikowany przez warunki (3t), (4t). 4. Sprawdź zachodzenie ogólnych implikacji pomiędzy (2t), (3t), (4t), (5).

5.3. Nadklasyczne probabilistyczne relacje konsekwencji Po tym jak w twierdzeniu 5.3 scharakteryzowaliśmy klasyczną konsekwencję w terminach probabilistycznych, naturalne wydaje się pytanie o to, jak przejść do konsekwencji nadklasycznej, a w końcu niemonotonicznej. Prostym pomysłem — przypominającym to, co zrobiliśmy ze zbiorem funkcji boolowskich w podrozdziale 3.1 — jest ograniczenie zbioru wszystkich funkcji prawdopodobieństwa. Zamiast kwantyfikować po całym zbiorze P wszystkich funkcji prawdopodobieństwa określonych na języku, moglibyśmy jako dziedzinę wziąć pewien niepusty właściwy podzbiór Q ⊂ P. Otrzymamy w ten sposób nadklasyczne relacje konsekwencji dla dowolnie szerokiego zakresu wyborów zbioru Q. Dla przykładu, w wypadku warunku (1), jeśli istnieje jakaś boolowska formuła x, która nie jest tautologią, ale p(x) = 1, dla dowolnego p ∈ Q, to otrzymamy t |z x, mimo, że t 0 x. Uzyskane na tej drodze nadklasyczne operacje będą dla każdego z warunków (1), (2t), (3t) oraz (5) monotoniczne. Rozważmy przykładowo warunek (1). Załóżmy, że p(a) 6 p(x), dla p ∈ Q. Wtedy bezpośrednio z postulatu (K3), otrzymujemy p(a ∧ b) 6 p(a) 6 p(x), dla każdego p ∈ Q. Podobnie jest dla pozostałych wspomnianych warunków, kwantyfikowanych po dowolnej dziedzinie Q ⊂ P. Sprawa warunku (4t) jest bardziej skomplikowana. Ustalmy dziedzinę Q ⊂ P. Załóżmy, że Q jest domknięte ze względu na warunkowanie. Na podstawie twierdzenia 5.3 wiemy, że warunek ∀p∈Q (4t) jest równoważny z pozostałymi, a więc jest też monotoniczny. Kiedy jednak Q nie jest domknięte na warunkowanie, monotoniczność nie zachodzi. W szczególności może nie zachodzić, gdy Q jest singletonem {p}. W celu pokazania tego, musimy tylko znaleźć odpowiednie boolowskie formuły a, b, x i funkcję prawdopodobieństwa p, taką, że p(a ∧ b) , 0 (a więc zarówno pa jak i pa∧b są dobrze określone) oraz pa (x) > t, podczas gdy pa∧b (x) < t. Załóżmy dla przykładu, że nasz język ma tylko dwie litery elementarne q, r. Rozważmy dystrybutywne prawdopodobieństwo, które każdemu z atomów q ∧ r, …, ¬q ∧ ¬r daje tę samą wartość 0,25 i wybierzmy progową wartość t = 0,5. Niech a = q ∨ ¬q, x = q ∨ r, b = ¬q ∧ ¬r. Wtedy p(a) = 1,

5.3. Nadklasyczne probabilistyczne relacje konsekwencji

131

więc p(a ∧ x)/p(a) = p(x) = p(q ∨ r) = p(q ∨ r) = 0,75 > t, podczas gdy p(a ∧ b ∧ x)/p(a ∧ b) = 0 < t. Warunek (4t) jest często uważany za jeden z najbardziej interesujących probabilistycznych warunków definiujących konsekwencję. Dotąd zaobserwowaliśmy następujące jego cechy: • Gdy kwantyfikujemy po wszystkich funkcjach prawdopodobieństwa, daje on właśnie konsekwencję klasyczną. • Gdy kwantyfikujemy po pewnej dziedzinie funkcji prawdopodobieństwa domkniętej ze względu na warunkowe prawdopodobieństwo, prowadzi on do nadklasycznej, ale wciąż monotonicznej konsekwencji. • Gdy rozważymy specjalną funkcję prawdopodobieństwa (lub ogólniej, kwantyfikujemy po dziedzinie funkcji prawdopodobieństwa niedomkniętej ze względu na warunkowe prawdopodobieństwo), wtedy powstała relacja konsekwencji jest typowo niemonotoniczna. W kontekście probabilistycznym kwestia niemonotoniczności staje się jednak mniej ważna. Centralna staje się natomiast inna własność — łączenie konkluzji w koniunkcję (lub (AND)). W celu uściślenia notacji, będziemy pisać (4tp) dla warunku (4t) z wyróżnioną funkcją prawdopodobieństwa p i podobnie dla pozostałych warunków. Relacje konsekwencji określone przez takie szczególne warunki nigdy nie spełniają warunku łączenia konkluzji w koniunkcję, bez względu na to czy są monotoniczne, czy nie. Różnią się więc one w sposób istotny od swoich jakościowych kuzynek, które studiowaliśmy w poprzednich podrozdziałach. Ponieważ niemonotoniczny warunek (4tp) jest najbardziej interesujący w kontekście definiowania konsekwencji, niezachodzenie (AND) sprawdzimy właśnie w jego przypadku. Rozważając prosty przykład, bierzemy język z dwoma elementarnymi literami q, r oraz funkcję prawdopodobieństwa, która każdemu z czterech atomów q ∧ r, …, ¬q ∧ ¬r przypisuje tę samą wartość 0,25. Niech a będzie dowolną tautologią, x = q, y = r i dodatkowo wartość progowa t = 0,5. Wtedy pa (x) = p(x) = 0,5 > t i podobnie pa (y) = p(y) = 0,5 > t, więc na mocy warunku (4tp) otrzymujemy a |z x oraz a |z y. Jednak pa (x ∧ y) = p(x ∧ y) = 0,25, a zatem a |z 6 x ∧ y. Dodajmy, że (AND) nie jest jedynym warunkiem domknięcia, który nie zachodzi przy jego probabilistycznym odczytaniu w definicji (4tp). Ostrożna monotoniczność (CM), kumulatywana przechodniość (CT) oraz łączenie przesłanek w alternatywę (OR) również nie zachodzą. Przy tej probabilistycznej interpretacji prawdziwość utrzymują jednak ich osłabione wersje (podobnie jak (AND)). Mimo tego, niezachodzenie warunku (AND) przy definicji (4tp) jest w pewnym sensie podstawowe. Kiedy bowiem dodamy go do warunków domknięcia (reguł Horna),

132


które spełnia probabilistyczna konsekwencja zdefiniowana przez (4tp), to będzie on — jako jedyny z wymienionych — implikował wszystkie pozostałe wymienione warunki. Osoby zainteresowane dalszymi szczegółami tej interesującej opowieści, powinny sięgnąć do pracy Hawthorne’a oraz Makinsona (w przygotowaniu). Można by argumentować, że niezachodzenie (AND) jest zaletą podejścia probabilistycznego i wadą podejścia jakościowego. Chociaż bowiem zastosowanie (AND) tylko do dwóch przesłanek wydaje się niewinne, to staje się nieintuicyjne, kiedy przez iterację zastosujemy go do większej liczby konkluzji. Prezentuje to „paradoks loterii” Kyburga (1961; 1970) oraz „paradoks przedmowy” Makinsona (1965). Paradoks loterii związany jest z obserwacją, że jeśli uczciwie działająca loteria posiada dużą liczbę n losów, to każdy z losów ma wysokie prawdopodobieństwo, że nie wygra, a zatem w odniesieniu do każdego losu racjonalne jest przekonanie, że los ten nie wygra. Ponieważ jest jednak pewne (ponownie zakładając uczciwość loterii), że jakiś los spośród n losów przyniesie wygraną, to racjonalne jest przekonanie o wygranej. Jednakże te n + 1 zdań prowadzi do sprzeczności. Otrzymujemy zatem sytuację, w której z jednej strony racjonalnie jest wierzyć w każdy element z dużego, skończonego zbioru n + 1 zdań, jednak nie jest racjonalnie wierzyć w koniunkcję ich wszystkich, ponieważ stanowi ona logicznie sprzeczne zdanie. Do tego jednak skłaniałoby nas łączenie konkluzji w koniunkcję. Paradoks przedmowy jest podobny — zarówno strukturalnie, jak i ze względu na konkluzję — do paradoksu loterii, nie odnosi się jednak do prawdopodobieństwa. Jako autor książki, czyniący dużo stwierdzeń, mógłbym sprawdzać i poprawiać każde z nich indywidualnie, co dałoby poczucie pewności, że całość jest poprawna. Jednakże smutne doświadczenie w tych sprawach uczy mnie, że pewna ilość błędów w książce jest nie do uniknięcia. Mógłbym więc w przedmowie zaznaczyć ich istnienie oraz wziąć za nie odpowiedzialność (nie będąc w stanie podać liczby błędów). Zatem całość stwierdzeń w głównym tekście oraz w przedmowie jest sprzeczna. Nie byłoby więc czymś racjonalnym wierzenie w nie wszystkie. Nadal jednak racjonalnie można by wierzyć w nie indywidualnie. Ponownie zatem reguła łączenia konkluzji w koniunkcję wydaje się prowadzić nas na manowce. Opisany problem stanowi filozoficznie trudną kwestię i nie można powiedzieć, że osiągnięto tu kompromis. Wedle wstępnej opinii autora problem bierze się z napięcia pomiędzy dwoma komponentami racjonalności — koherencją oraz praktycznością (practicality). Kryterium koherencji prowadzi nas do odrzucenia reguły łączenia w koniunkcję. Z kolei drugie kryterium zachęca do porządkowania naszych przekonań za pomocą minimalnej ilości kalkulacji i operacji, co jest gwarantowane przez regułę łączenia w koniunkcję. Inferencje probabilistycz-

5.3. Nadklasyczne probabilistyczne relacje konsekwencji

133

ne skłaniają się ku kryterium koherencji, podczas gdy niemonotoniczne logiki jakościowe opierają się o kryterium praktyczności. Podrozdział ten zakończymy dwoma dalszymi uwagami na temat konsekwencji zdefiniowanych za pomocą warunku (4tp). Powtórzmy całą definicję. Dla dowolnej liczby rzeczywistej t ∈ [0, 1], gdzie t , 0, oraz dowolnej funkcji prawdopodobieństwa p, relacja a |ztp x zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy albo pa (x) > t, albo w granicznym przypadku p(a) = 0. Powinniśmy docenić to, że podana definicja wyraża pojęcie wystarczającego prawdopodobieństwa x przy danym a. Nie wolno tego mylić z korespondującym pojęciem zwiększania (incremental) prawdopodobieństwa x przy danym a, które + x wtedy i tylko wtedy, gdy p (x) > p(x), w zasadnizdefiniowalibyśmy: a |ztp a czym przypadku, kiedy p(a) , 0. Wyraża ono odmienną ideę, a mianowicie taką, że warunek a prowadzi do prawdopodobieństwa x, które jest wyższe niż byłoby w przypadku jego braku. Zdefiniowana relacja inferencji jest również niemonotoniczna. W przypadku jakościowym nasze niemonotoniczne operacje konsekwencji zostały zdefiniowane przez relatywizację wyróżnionych nadklasycznych monotonicznych relacji do danego zbioru przesłanek A. Tę relatywizację uzyskaliśmy za pomocą różnych pojęć — warunku niesprzeczności nałożonego na założenia ukryte w tle, warunku minimalności oraz sprawdzania niesprzeczności przy aplikacji reguł. Nie postąpiliśmy jednak w ten sposób z relacjami |ztp . Nasuwa to pytanie, czy istnieją jakieś monotoniczne pojęcia, które mogą posłużyć jako stopnie do niemonotonicznych relacji |ztp w taki sam sposób, jak w dziedzinie jakościowej? Odpowiedź jest pozytywna. Monotoniczny warunek (3tp) (tj. p(a → x) > t), dla pewnej wyróżnionej funkcji p, mógłby być postrzegany właśnie w tym świetle. Jest to widoczne, kiedy przeformułujemy dwa probabilistyczne warunki (3tp) oraz (4tp) w trochę inny, ale równoważny sposób. Z jednej strony warunek (3tp) mógłby być równoważnie zapisany jako: p(a ∧ ¬x) 6 1 − t. Z drugiej strony, w zasadniczym przypadku, gdy p(a) , 0, warunek (4tp) mógłby być równoważnie zapisany jako p(a ∧ ¬x)/p(a) 6 1 − t. Porównując obydwa warunki, widzimy, że drugi stosuje matematyczną operację dzielenia, aby uzależnić lewą stronę od prawdopodobieństwa przesłanek. Innymi słowy, dzielenie przez prawdopodobieńswo przesłanek służy do relatywizacji warunku (3tp) do (4tp). W ten sposób w probabilistycznych kontekstach relacje konsekwencji zdefiniowane przez (3tp) służą jako pewne (nadklasyczne i monotoniczne) pomosty pomiędzy klasyczną i niemonotoniczną inferencją. Podsumujmy ten podrozdział. Charakteryzując klasyczną konsekwencję za pomocą któregoś z pięciu wymienionych probabilistycznych warunków i ograniczając zbiór funkcji prawdopodobieństwa, otrzymujemy nadklasyczne relacje konsekwencji. Kiedy wyznaczony zbiór funkcji jest domknięty ze względu na

134


warunkowanie, wtedy wszystkie wymienione warunki są równoważne i monotoniczne. Kiedy jednak weźmiemy pod uwagę konkretne funkcje, to jeden z warunków — warunek (4tp) — jest notorycznie niemonotoniczny. Ponadto wszystkie warunki nie spełniają wówczas własności łączenia konkluzji w koniunkcję, a stąd także wielu innych własności, które implikują (AND). Istnieją argumenty na rzecz tego, że jest to pożądany stan rzeczy. Ogólna opinia na ten temat nie jest jednak ustalona. Ostatecznie, chociaż nie zaprezentowaliśmy tego wyraźnie, to istnieje monotoniczna wersja probablistycznej konsekwencji, która może służyć jako naturalny stopień prowadzący do konsekwencji niemonotonicznej, w dość podobny sposób jak było w przypadku relacji jakościowych.

Ćwiczenia 1∗ . Pokaż, że każdy z warunków (2tp), (3tp), (5p) jest monotoniczny, jeśli zbiór wyjściowych przesłanek będzie się składał z pewnej formuły a. 2∗ . Pokaż, że żaden z warunków (1p), (2tp), (3tp), (5p) nie spełnia reguły (AND). 3. Pokaż, że dowolna relacja spełniająca (RW) (w uogólnionej formie, opisanej w tekście) spełnia (AND). 4. Pokaż, że dowolna nadklasyczna relacja spełniająca (CT) (w uogólnionej formie, opisanej w tekście) spełnia (AND). 5. Pokaż, że warunek (3tp) może zostać w sposób równoważny zapisany jako: p(a ∧ ¬x) 6 1 − t. Pokaż, że w zasadniczym przypadku, gdy p(a) , 0, (4tp) może również zostać zapisany jako p(a ∧ ¬x)/p(a) 6 1 − t.

5.4. Próby zbliżenia inferencji probabilistycznej i jakościowej Wyniki przedstawione w ostatnim podrozdziale nasuwają kolejne pytanie: czy jest jakiś sposób, aby przybliżyć do siebie podejście ilościowe i jakościowe? W szczególności, czy istnieje jakiś sposób takiego dostosowania tego pierwszego podejścia, aby generowane przez nie relacje konsekwencji zachowywały się bardziej regularnie, spełniając na przykład regułę (AND)? W literaturze można znaleźć kilka takich sposobów. Zarysujemy tutaj dwa z nich, dość różne od siebie. Pierwszy nie zmienia żadnych elementów koncepcji prawdopodobieństwa, pozostawiając ją w standardowej formie, zdefiniowanej przez Kołmogorowa. Stosuje ją natomiast w bardziej wyrafinowany sposób, który gwarantuje spełnianie (AND). Jest to tak zwane podejście przez ograniczone prawdopodobieństwo. Drugi ze sposobów modyfikuje samo pojęcie prawdopodobieństwa, zastępując je innym rodzajem funkcji

5.4. Próby zbliżenia inferencji probabilistycznej i jakościowej

135

w interwał [0, 1], w której, w skrócie, operacja maksimum przejmuje rolę odgrywaną tradycyjnie przez dodawanie. Podejście to zwane jest często podejściem za pomocą funkcji możliwości, ale również, dualnie, za pomocą funkcji konieczności lub funkcji wiarygodności (plausibility functions). W bieżącym podrozdziale naszkicujmy obydwa podejścia oraz rodzaje niemonotonicznych operacji, które one definiują. Ograniczone prawdopodobieństwo Podejście to opiera się na pomysłach pochodzących z prac Adamsa (1966; 1975). Systematycznie zostało ono opisane przez Pearla (1988; 1989) oraz Lehmanna i Magidora (1992). Ma ono dwa warianty: z zastosowaniem konstrukcji typu epsilon/delta oraz przy użyciu analizy niestandardowej, a więc infinitezymali. Różnią się one w pewnych aspektach. W szczególności w drugim z nich zachodzi nie-Hornowy warunek racjonalnej monotoniczności, podczas gdy w podejściu pierwszym nie jest on spełniony. Opiszemy tutaj podejście typu epsilon/delta. W celu uproszczenia rozważań zakładamy poniżej, że operujemy skończenie generowanym językiem boolowskim. Przedstawiona konstrukcja opiera się na dowolnej relacji R określonej na formułach boolowskich. Jej elementy (b, y) stanowią bazę dla naszej konstrukcji. Docelowo chcemy zdefiniować niemonotoniczną i nadklasyczną relację |zR , gdzie R ⊆ |zR . Ustalmy wyjściową relację R i niech ε będzie dowolną liczbą rzeczywistą z interwału [0, 1], różną od zera. Niech PRε będzie zbiorem funkcji prawdopodobieństwa p takich, że dla dowolnej pary (b, y) ∈ R, p(b) , 0 (pb jest więc dobrze określone) i pb (y) > 1 − ε. Mówiąc w skrócie, PRε jest zbiorem wszystkich tych funkcji prawdopodobieństwa, które każdemu elementowi R przyporządkowują warunkowe prawdopodobieństwo ε-bliskie jedynce. Zbiór ten moglibyśmy nazwać zbiorem funkcji prawdopodobieństwa, które są epsilonowo dobre dla R. Możemy teraz za pomocą poniższej reguły zdefiniować relację „konsekwencji ograniczonego prawdopodobieństwa” |zR : a |zR x wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego δ > 0 istnieje takie ε > 0, że dla każdej funkcji prawdopodobieństwa p ∈ PRε , jeśli pa jest dobrze określone, to pa (x) > 1 − δ. W rezultacie otrzymujemy: a |zR x wtedy i tylko wtedy, gdy warunkowe prawdopodobieństwo pa (x) może być dowolnie bliskie 1 poprzez dowolne warunkowe prawdopodobieństwa pb (y) bazowych par (b, y), odpowiednio bliskie 1. Użyliśmy przy znaku relacji górnego, a nie dolnego indeksu, aby uniknąć możliwości pomylenia jej z relacją zdefiniowaną za pomocą reguł domyślnych.

136


Z podanej definicji niemalże bezpośrednio wynika nadklasyczność każdej relacji |zR . Ponadto dla skończonych języków nie trudno jest pokazać, wykorzystując odpowiednie zależności arytmetyczne, że |zR spełnia łączenie konkluzji w koniunkcję, kumulatywną przechodniość, ostrożną monotoniczność oraz warunek łączenia przesłanek w alternatywę (dowody można znaleźć w pracy Makinsona (1994)). Dla nieskończonych języków uogólnione wersje trzech ostatnich reguł mogą nie zachodzić. Natomiast dla skończonych języków odwrotną zależność pokazali Adams (1975) oraz Lehmann i Magidor (1992), co może służyć jako twierdzenie o reprezentacji. Podsumowując, omówiona konstrukcja, zachowując prawdopodobieństwo, prowadzi do niemonotonicznych relacji konsekwencji, które w skończonych językach mają istotnie te same własności, co relacje wygenerowane w jakościowy sposób. Mówiąc precyzyjniej, dla takich języków prowadzi ona dokładnie do tych samych relacji konsekwencji, co zakorkowane modele preferencji (z kopiami). Funkcje możliwości Inny sposób opisania podejścia probabilistycznego, które zachowuje regułę łączenia konkluzji w koniunkcję oraz ogólnie zachowuje się tak, jak podejścia jakościowe, polega na modyfikacji postulatów Kołmogorowa. W aksjomatach definiujących funkcje prawdopodobieństwa dodawanie zastępuje się operacją maksimum. Tego typu funkcje nazywa się zwykle funkcjami możliwości, ponieważ są one pomyślane jako funkcje reprezentujące, w pewnym znaczeniu tego słowa, stopnie możliwości. Podejście to było badane w wielu publikacjach przez Duboisa, Pradę oraz współautorów, np. Dubois, Lang, Prade (1994), Dubois i Prade (2001). W celu uniknięcia pomyłki z funkcjami prawdopodobieństwa w zwykłym znaczeniu tego terminu, będziemy używali litery π zamiast p. Ponadto podkreślmy, że ponownie operować będziemy na języku skończonym. Funkcja możliwości może być zdefiniowana jako dowolna funkcja π określona na języku boolowskim z przeciwdziedziną w zbiorze liczb rzeczywistych, która spełnia następujące warunki: (π1) (π2) (π3) (π4)

0 6 π(x) 6 1 π(x) = 1, dla pewnej formuły x π(x) 6 π(y), o ile x ` y π(x ∨ y) = max(π(x), π(y)).

Nie jest to najbardziej oszczędna aksjomatyzacja, ujawnia ona jednak z całą mocą związki π ze zwykłym prawdopodobieństwem. Pierwsze trzy postulaty są takie same, jak postulaty (K1)–(K3) dla prawdopodobieństwa. Różnica pojawia się dopiero w postulacie ostatnim. Podczas gdy w teorii prawdopodobieństwa jest wy-

5.4. Próby zbliżenia inferencji probabilistycznej i jakościowej

137

magane, aby p(x ∨ y) było sumą p(x) oraz p(y), jeśli x jest klasycznie sprzeczne z y, to w definiowanych funkcjach π(x ∨ y) ma być elementem maksymalnym w zbiorze dwóch obiektów π(x) oraz π(y) bez dodatkowych założeń. Z pierwszych trzech aksjomatów wynika, że π(x) = 1, o ile x ∈ Cn(∅), podobnie jak w teorii prawdopodobieństwa. W połączeniu z π(4) wynika stąd jednak, iż dla dowolnej formuły π(x) = 1 lub π(¬x) = 1, co dość różni się od równości p(¬x) = 1 − p(x), która zachodzi dla prawdopodobieństwa. Podobnie jak w przypadku funkcji prawdopodobieństwa, mamy tu własność rozszerzenia bazującą na opisach stanu. Niech f będzie dowolną funkcją określoną na opisach stanu w L z przeciwdziedziną [0, 1], taką że ich maksimum jest jedynką, tzn. f (s) = 1, dla co najmniej jednego opisu stanu s. Taką funkcję nazywamy dystrybucją możliwości. Wtedy f można rozszerzyć do funkcji możliwości π : L → [0, 1], spełniającej podane aksjomaty. Konstrukcja ta przypomina podejście probabilistyczne. Dla każdej niesprzecznej formuły x należy wziąć alternatywę s1 ∨ · · · ∨ sk wszystkich opisów stanu, które ją klasycznie implikują i zdefiniować π(x) = max( f (s1 ), …, f (sk )). Jeśli x jest sprzeczne, bierzemy π(x) = 0. Łatwo sprawdzić, że otrzymane π jest funkcją możliwości, i że dowolna funkcja możliwości określona na L, która zgadza się z f na opisach stanu, jest identyczna z π, nie licząc wartości przypisywanej przez nią kontrtautologiom (po zastąpieniu (K4) przez (π4) nie muszą być one zerem). Rozszerzenie jest więc „niemalże jedno”. Zdefiniujemy teraz relacje konsekwencji określone przez funkcje możliwości. Dla dowolnej funkcji możliwości π, definiujemy relację |zπ za pomocą reguły: a |zπ x wtedy i tylko wtedy, gdy π(a ∧ ¬x) < π(a ∧ x) lub, w granicznym przypadku, ¬a ∈ Cn(∅). Równoważnie, poprzez własności π oraz przeciwzwrotność relacji

Od logiki klasycznej do niemonotonicznej

Od diktature do demokratije

Od Prasowian Do Polakow

Od Abrahama do Chrystusa

Ekonomija od A do Z

Od neuronu do (samo)świadomości

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Zarys logiki

Zarys Logiki

Podstawy kształcenia ustawicznego od A do Z

Od mitu do historii Wykłady o Japonii

Od koncepcji ekorozwoju do ekonomii zrównoważonego rozwoju

Alchemia kultury: od opium do kawy

Rozwój socjalizmu od utopii do nauki

Historia filozofii: Tom2 Od Augustyna do Szkota

Dzieje europejskiej filozofii klasycznej

Ćwiczenia z logiki

Kwadratura pięciokąta: od załamania gospodarczego do trwałego wzrostu

Trojaki koronne Zygmunta III od 1588 do 1624

Od Magic

Od Magic

Szkło w Polsce od XIV do XVII wieku

Psychologia rozwojowa w zarysie: od niemowlęctwa do dorosłości

Vizantija : vizantijska umetnost srednjeg veka (od VIII do XV veka)

Atom: od greckiej filozofii przyrody do nauki współczesnej

Od szoku do terapii: ekonomia i polityka transformacji

Spór o racjonalność naukową od Poincarégo do Laudana

Od logiki klasycznej do niemonotonicznej

Od diktature do demokratije

Od Prasowian Do Polakow

Od Abrahama do Chrystusa

Ekonomija od A do Z

Od neuronu do (samo)świadomości

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Wprowadzenie do logiki formalnej: podręcznik dla humanistów

Zarys logiki

Zarys Logiki

Podstawy kształcenia ustawicznego od A do Z

Od mitu do historii Wykłady o Japonii

Od koncepcji ekorozwoju do ekonomii zrównoważonego rozwoju

Alchemia kultury: od opium do kawy

Rozwój socjalizmu od utopii do nauki

Historia filozofii: Tom2 Od Augustyna do Szkota

Dzieje europejskiej filozofii klasycznej

Ćwiczenia z logiki

Kwadratura pięciokąta: od załamania gospodarczego do trwałego wzrostu

Trojaki koronne Zygmunta III od 1588 do 1624

Od Magic

Od Magic

Szkło w Polsce od XIV do XVII wieku

Psychologia rozwojowa w zarysie: od niemowlęctwa do dorosłości

Vizantija : vizantijska umetnost srednjeg veka (od VIII do XV veka)

Atom: od greckiej filozofii przyrody do nauki współczesnej

Od szoku do terapii: ekonomia i polityka transformacji

Spór o racjonalność naukową od Poincarégo do Laudana

Recommend Documents