Nuestro Universo

NUESTRO UNIVERSO (Copyright 2001)

PRÓLOGO.........................................................................................................................................................1 Capítulo I. GRAVEDAD RELATIVISTA....................................................................................................... 5 1. Teorías del espacio-tiempo............................................................................................................................ 5 2. Relatividad General..................................................................................................................................... 14 Capítulo II. CONCEPTOS COSMOLÓGICOS.............................................................................................. 19 1. Parámetros.................................................................................................................................................. 19 2. Estimación de distancias............................................................................................................................ 19 3. Constante cosmológica............................................................................................................................... 22 4. Ley de Hubble............................................................................................................................................. 28 5. Materia oscura y antimateria.................................................................................................................... 31 A. Materia oscura....................................................................................................................................... 31 B. Antimateria............................................................................................................................................ 34 C. Crítica a la interpretación clásica de Dirac............................................................................................ 37 Capítulo III. INFLACIÓN.............................................................................................................................. 51 1. Universo de Einstein- de Sitter............................................................................................................... 51 2. Universos dominados por materia fría de tipo general........................................................................ 51 3. Universo dominado por radiación.......................................................................................................... 52 4. Universo dominado por la densidad de energía de vacío. Universo de de Sitter................................ 52 5. Caso general...............................................................................................................................................52 6. Parámetro de desaceleración....................................................................................................................53 7. El modelo clásico del Big Bang.................................................................................................................54 8. Universo inflacionario...............................................................................................................................54 9. Inflación caótica.........................................................................................................................................60 10. Inflación autorregenerante.......................................................................................................................62 Capítulo IV. OTROS MODELOS COSMOLÓGICOS.................................................................................. 65 1. Modelo del estado estacionario............................................................................................................... 65 2. Modelo relativista del big bang................................................................................................................66 3. Modelo de la aceleración de la expansión...............................................................................................69 4. Modelo del universo pulsante...................................................................................................................71 5. Modelo cósmico de la “fuerza nuclear” (o “teoría unificada del espacio-tiempo-masa”)..................72 6. Modelo de la expansión de la escala del cosmos.....................................................................................73 7. Modelo de la oscilación entrópica............................................................................................................79 8. Modelos para la solución del llamado “problema de la desaparición del tiempo”.............................80 9. Modelo de Stephen W. Hawking..............................................................................................................83 10. Nuestro modelo cosmológico....................................................................................................................84 Capítulo V. ASTRONOMÍA OBSERVACIONAL.........................................................................................91 1. Estimaciones de interés.............................................................................................................................91 2. Parámetros cosmológicos de los distintos modelos relativistas.............................................................92 3. Valores de los parámetros cosmológicos.................................................................................................92 A. Sobre la constante de Hubble H0............................................................................................................92 B. Sobre el parámetro de densidad Ω0 (suponiendo ΩΛ=0)........................................................................93 C. Sobre el parámetro de densidad debido a una cte. cosmológica ΩΛ......................................................93 D. Sobre la edad del universo T0.................................................................................................................94 4.

Verificaciones y problemas en el modelo estándar...............................................................................94 0

A. Verificación de la teoría estándar........................................................................................................94 B. Divergencias respecto a la teoría estándar...........................................................................................96 I. ACELERACIÓN DEL UNIVERSO........................................................................................... 96 II. PROBLEMAS CON LA SIMETRÍA ROTACIONAL DEL U. A ESCALAS CÓSMICAS..... 97 C. En defensa del big bang...................................................................................................................... 98 Capítulo VI. TEORÍAS UNIFICADAS (GTU´s)...........................................................................................101 1. Introducción.............................................................................................................................................101 2. La intensidad fuerte...............................................................................................................................105 3. Cromodinámica cuántica QCD (Quantum Chromodynamics)..........................................................112 4. La interacción débil................................................................................................................................118 5. Resumen de las teorías GTU..................................................................................................................123 Capítulo VII. SUPERSIMETRÍA. SUPERGRAVEDAD..............................................................................129 Capítulo VIII. SUPERCUERDAS Y TEORÍA M.........................................................................................135 1. Supercuerdas...........................................................................................................................................135 2. La teoría M..............................................................................................................................................147 Capítulo IX. RESUMEN DE NUESTRA TEORÍA. IMPLICACIONES.....................................................165 Capítulo X. NOTICIAS Y TENDENCIAS EN ASTRONOMÍA.................................................................181 BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................................................185

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PRÓLOGO En esta obra se ha pretendido un doble objetivo. En primer lugar hemos intentado hacer llegar al lector una visión actual de la cosmología de nuestra época; y es que constituye prácticamente un libro de texto de amplia perspectiva, a la vez que riguroso en algunas cuestiones. Intencionadamente no se han evitado las fórmulas que se consideran estrictamente necesarias en un libro sobre Ciencias Físicas, lo que por otro lado, aunque parezca farragoso el incluirlas, permite tomar una visión de conjunto bastante clara de todo el panorama científico que encuadra la cosmología moderna pisando “suelo firme”, sin un exceso de literatura que acercaría más el libro a la ciencia ficción en la que, lamentablemente, caen muchos textos de divulgación. Así que, si lo que se busca es, en una sola obra, tener una ancha visión de cosmología, este libro cumplirá ese cometido. Al mismo tiempo, dada la importancia tan substancial que está adquiriendo la red informática global de interconexión, Internet, se han dado muchas referencias de sitios Web, sobre todo en lo que se refiere a los distintos modelos teóricos de universo, de los que se ha sacado bastante texto de la obra. En segundo lugar, hemos aprovechado la ocasión tan inmejorable que nos ofrecía el trabajo para aportar nuestro “granito de arena” en la construcción de un modelo cada vez más perfeccionado del Universo, más allá del modelo estándar: nuestro propio modelo, descrito en el Capítulo II (5.c), Capítulo IV (10) y Capítulo IX. 2

materia. A ello se dedican el Capítulo VI citado, el VII y el VIII.

La obra consta de nueve capítulos. En el I, se repasa la base de la teoría matemática que subyace en las teorías del espacio-tiempo, entre las que se incluye la Relatividad General einsteniana. El capítulo puede resultar un poco complicado para los que no tengan una base matemática media, no obstante aunque no se entienda toda la formulación, sí puede obtenerse una idea de cómo se construye el edificio matemático en que están basados prácticamente todos los modelos de universo que gozan de la máxima credibilidad en el estamento científico.

El Capítulo VI estudia con carácter general las Teorías Unificadas de la Física, GTU, en su búsqueda de la misma base de la constitución de la materia. El Capítulo VII hace un resumen de la teoría Supersimétrica, adentrándose en los terrenos de la Supergravedad. En el Capítulo VIII es la popular teoría de las Supercuerdas la que ocupa nuestro interés, rematada por la teoría del Todo o la teoría M, como extensión de las propias Supercuerdas.

El Capítulo II entra ya de lleno en el tema que nos ocupa, puesto que todos los conceptos usados generalmente en cosmología práctica van apareciendo.

La obra termina con una breve historia de los hitos más importantes habidos en la Astronomía científica, rematada con las últimas observaciones más relevantes logradas por nuestra tecnología actual.

El siguiente Capítulo, el III, está dedicado monográficamente a la Inflación, dado que la mayoría de modelos, entre ellos el estándar, la incluyen entre sus fundamentos.

Inmediatamente antes, en el Capítulo IX, es ofrecido un resumen de la teoría que proponemos con las implicaciones y cuestiones que pretende resolver.

El Capítulo IV nos ofrece, como ejemplos, diez tipos de modelos de mayor o menor solidez científica; aquí no entramos en su valoración, simplemente se ofrecen como forma de aproximación al abanico de ideas que se barajan en cosmología. Claro está, el modelo científico preferido es el estándar obtenido a partir de la Inflación.

Una vez más es preciso aclarar al lector que la obra, con separación de las partes correspondientes a los capítulos donde se expone nuestra teoría (ya citados), por lo demás podría constituir un libro de texto con el carácter de imparcialidad que suele adornar a los mismos, como una de las características principales que avalan su utilidad. Queremos decir que su lectura no induce a la adopción de una u otra teoría, en detrimento de las demás, y es que pretende ser bastante aséptica, consecuencia, quizás, de su carácter eminentemente descriptivo.

El Capítulo V está dedicado a La Astronomía Observacional, dándose en el mismo los valores más fiables de los parámetros obtenidos hasta el presente. Ya en el Capítulo VI se inicia el estudio del universo “primordial”, que según se cree tiene estrechos vínculos con el mundo submicroscópico, o de los componentes fundamentales de la

Otra cosa, sin duda, aparece en la parte de la obra dedicada a la enunciación de nuestra teoría cósmica. Aquí sí 3

una continuación en la misma senda que siguieron Kaluza y Klein, y todos los creadores de las teorías unificadas. Esa extrapolación va más allá de la espuma cuántica del espacio-tiempo de Valenkin. Ni siquiera esa espuma cuántica es primordial. Antes de la “Creación”, de su aparición de la Nada, ésta última, matriz de ella, no era el vacío cuántico (por cierto tan particular y altamente “estructurado”) propuesto por las recientes teorías físicas. Hasta dicho vacío cuántico aparece casi a la vez que el mismo espacio-tiempo. El minúsculo átomo primordial, supermasivo y supercaliente, estrechamente vinculado a la incertidumbre cuántica de Heisenberg, es la expresión de las leyes físicas en su más alto grado de unificación, verdaderas constructoras de la propia espuma cuántica, con su aparición explosiva, subsiguientemente materializada en espacio-tiempo.

encontramos ideas propias acuñadas bajo una filosofía de globalidad que va más allá de lo que sería una teoría física, sin que por otra parte dejemos de lado a la misma, por lo menos la teoría física más actual, adentrada en terrenos que hasta hace relativamente poco más corresponderían al dominio de la Filosofía, y hasta de la misma Psicología. Y nos estamos refiriendo a las consecuencias de la explicación del papel del “observador”, en suma de la propia mente en la “definición” de la realidad, en el llamado “colapso” de la función de ondas definido por Roger Penrose. Conceptos como la holografía, la teoría M o la multidimensionalidad, nos adentran en una teoría del Todo, definida indisolublemente junto o inseparablemente a sus partes, lo que da un carácter holístico a la Física y con ello a todo el Universo.

La Nada es nada, no el vacío cuántico (falso o real). El “acto” de creación incluye el vacío cuántico, la espuma cuántica, y las siguientes fases de espacio-tiempo, materia y radiación. El “salto” desde la Nada incluye todo lo anterior, hasta el propio vacío. Una vez el “acto creativo” se produce, todo lo anterior se configura. No es necesario un vacío (cuántico) en el que aparecen universos-burbuja aquí y allá. No existe el aquí, ni el allá, ni el propio vacío sobre el que se definen. Toda definición es consecuencia de la “aparición” de la Ley Física Unificada (de la que se deducen todas las demás). Lo anterior, lo previo, es simplemente Nada.

Se ha dicho que se vislumbra un horizonte en el que todo queda entrelazado, es decir, va deduciéndose de unas teorías globales, cada vez más unificadas, de forma que ya no se necesita un Creador para la creación de la materia, el espacio y el tiempo, el mismo Universo; ahora bien, sigue subsistiendo, cada vez más nítido, el papel de un “Forjador” de las propias leyes de ese Universo, y en este sentido sí existiría un Creador de leyes, creador de la base para que todo se manifieste. Nuestra teoría, como casi todo en cosmología tiene fuertes implicaciones filosóficas. El salto magistral promovido por el propio Einstein, al sustituir, al transmutar algo tan sólido, tan pétreo como las propias masa de los cuerpos y su pesadez, en luz-energía y simplemente geometría, del espacio-tiempo, se nos ha quedado insuficiente. Mejor, necesita de 4

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CapítuloI.GRAVEDAD RELATIVISTA

∑ij=1n gij dxi dxj = ∑ij=1n gij dxi dxj

1.Teorías del espacio-tiempo

Ello no ocurre si se cambia de geometría pasando, por ejemplo de una euclídea una curvada no euclídea. El tensor métrico queda cambiado en la forma:

En 1984, Riemann considera espacios o variedades de un número cualquiera de dimensiones; los puntos de estas variedades quedan unívocamente determinados por n-tuplas de números reales. Si establecemos en una de tales variedades un sistema de coordenadas x1, x2,.....,xn, podemos definir un elemento de arco en n dimensiones, llamado tensor métrico mediante la fórmula:

ds2 = ∑ij=1n g*ij dxi dxj Si la métrica ds2 no es euclídea, no existe ningún sistema de coordenadas en el que g*ij= diag (1,1,.....1). Resumiendo, se puede considerar una variedad riemaniana n-dimensional como una forma o esquema abstracto que podemos “rellenar” mediante distintos tensores métricos para obtener diferentes espacios geométricos concretos. La variedad n-dimensional abstracta carece de estructura geométrica (métricamente amorfa) hasta que en ella no sea definido un tensor métrico. Tal variedad abstracta, entonces, solamente posee una estructura “topológica” localmente euclídea como resultado de la utilización como coordenadas de n-tuplas de números reales.

ds2= Σnij=1 gij dxi dxj (Recordemos que en coordenadas continuas, el arco adopta la forma habitual: ds2= dx12+ dx22 que en coordenadas arbitrarias adopta la forma: ds2= g11 dx12+ g12 dx1 dx2 + g21 dx2 dx1+ g22 dx22) Con la condición de simetría ( gij= gji) y ds>0 (si se renuncia a la última condición de definida positiva se obtienen métricas semirriemanianas, que tienen un papel importante en la Relatividad). Riemann nos muestra cómo definir la curvatura en tales variedades. Para el caso especial de las variedades euclídeas o “llanas” existen coordenadas en las cuales la matriz de coeficientes (gij) adopta la forma diagonal (1,1.....,1), o sea, gij=1 si i=j y gij=0 cuando i≠j. (Si la métrica es semirriemaniana y llana gij= diag (±1, ±1,.....,±1).

En un espacio euclídeo n-dimensional, el nivel mínimo de estructura es la estructura métrica que corresponde a un elemento de arco dado por el teorema de Pitágoras: ds2 = dx12+dx22+.......+dxn2 (1) La citada estructura proporciona una longitud para cada curva, una distancia entre dos puntos cualquiera, una noción de línea recta y también una noción de ángulo entre dos rectas que se corten entre sí. Sin embargo, algunas de estas mismas nociones son más generales que la estructura anterior. Por ejemplo, la estructura afín, o clase de líneas rectas, dada por la condición xi= ai u+ bi (siendo

Entonces, si sólo se cambia de coordenadas, de x1, x2,......xn ,a x1, x2,.xn, los coeficientes gij se transforman en los gij, y el elemento de arco se preserva:

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ai y bi constantes, y el parámetro u recorriendo el conjunto de los números reales), es más amplia que la clase de sistemas de coordenadas que verifican (1). (Métricas distintas pueden originar una misma estructura afín). También la estructura conforme, relacionada por la noción de ángulo, es de igual forma, más general que la estructura métrica (1), puesto que si Ω es una función cualquiera con valores reales positivos definida sobre nuestro espacio, entonces ds2=Ω ds2 proporciona los mismos ángulos que ds2. Por último, el nivel más alto de estructura es justo la propia estructura de variedad: la topología de espacio localmente euclídeo n-dimensional.

Topología (Estructura de variedad) Transformaciones bicontinuas arbitrarias ↑

↑

Ángulos Transfor.conformes

Líneas rectas Transfor.afines

↑

↑

Estructura métrica Isometrías El sistema de cooordenadas: x1 = x1 – vt x2 = x2 x3 = x3

La estructura métrica queda preservada por las isometrías o movimientos rígidos, que en un espacio euclídeo tiene la forma:

(3)

recibe el nombre de referencia inercial; la transformación (3) se denomina galileana.

x*i = ∑j=1n αij xj+ βi Las αij y las βi son ctes. Y la matriz (αij) es ortogonal; o sea,

Einstein demostró que un principio de relatividad para la electrodinámica consiste en dejar intactas las leyes de Maxwell de dicha electrodinámica y modificar, en cambio, las transformaciones que definen las referencias inerciales, de la forma:

∑j αij αkj = δik =1 si i=k y 0 si i≠k (El grupo euclídeo no es más que el grupo de rotaciones y traslaciones) La estructura topológica es preservada por las transformaciones arbitrarias:

t = ( t – v x1/ c2 ) / (1 – v2/ c2)1/2 x1= (x1 – vt) / (1 – v2/ c2)1/2

(2) x*i = fi (x1, x2,......xn) donde las fi son suficientemente continuas.

x2 = x2

O sea, según nos movemos hacia niveles más y más generales de estructura geométrica, los grupos de transformaciones asociados se van haciendo cada vez más amplios.

x3 = x3 que se denominan transformaciones de Lorentz(4). De éstas ultimas se deduce que la velocidad c de la luz, se preserva, es decir, es constante.

(2) Es el grupo de las transformaciones de coordenadas admisibles (esto es, biunívocas y suficientemente continuas).

Las transformaciones de Lorentz son la base de la relatividad restringida. Dicha teoría, según la interpretación geométrica 7

° σ(u) y las Donde xi = xi Tjki(i,j,k=0,1,2,3) son funciones realvaloradas, llamadas componentes de la conexión afín D, que depende del sistema de coordenadas {xi }. Precisamente se dice que una variedad afín es llana o euclídea en un punto p cuando puede hallarse un sistema de coordenadas locales en p tal que todas las funciones Tjki se anulen. Tal sistema de coordenadas se llama sistema cartesiano o inercial, y en el se cumple:

de Minkowski, que data de 1908, describe una variedad tetradimensional semieuclídea, cuyo elemento de arco viene dado por: (5) ds2 = dx02-dx12-dx22-dx32 siendo x0=ct En esta teoría las referencias inerciales son los sistemas de coordenadas cartesianas correspondientes a este elemento de arco. Las transformaciones de Lorentz preservan la forma cuadrática (5) correspondiente a ds2, desempeñando, pues, un papel análogo al de las transformaciones ortogonales euclídeas. Las trayectorias, o “líneas del mundo”, de las partículas libres son “líneas rectas” o geodésicas de la métrica (5): curvas tetradimensionales de longitud mínima, medida según ds, y que satisface la ecuación afín, xi= ai u+ bi, en todas las referencias inerciales.

DTσ Tσi = d2xi/ du2 = la aceleración ordinaria. Las geodésicas verificaran: d2xi/du2 =0 , xi = ai u + bi con ai y bi ctes., es decir, las geodésicas son líneas rectas ordinarias, lo que no cumplen las variedades no-euclídeas, curvadas o alabeadas.

Suponiendo que nos den una curva σ y un campo vectorial X-(p) definido sobre puntos situados sobre σ , y donde X-(p) es una selección continua y diferenciable de vectores elegidos cada uno en el espacio tangente de la variedad en cada punto p de σ, dado Tσ (campo vectorial tangente a σ ), X(p) y un punto q situado sobre σ, un operador de derivación D nos proporciona un vector (DTσ X) (q) en Tq que registra la tasa y la dirección del cambio de X(p) en q. (Conexión afín si posee las propiedades que una derivada debe tener).

Pero la variedad afín anteriormente definida aún adolece de una estructura métrica, pues no se han definido, todavía, la longitud o distancia. Si σes la longitud de la curva σ(t) definida en un proceso de rectificación (resultado de dividir la curva en pequeños segmentos infinitesimales acoplados a los puntos de la misma, y sumados después) es fácil demostrar que: σ= ∫σ Tσ(T) dt

siendo

Tσ(T)=((dx/dt)2+(dy/dt)2+(dz/dt)2)1/2

Una variedad afín, es decir una variedad equipada con un operador de derivación (conexión afín), posee una geometría. En ella hay una clase privilegiada de “líneas rectas”, o geodésicas, que cumplen DTσ Tσ =0. Explícitamente están dadas por

o en otras palabras, la longitud de una curva del espacio euclídeo tridimensional es el resultado de integrar la longitud “infinitesimal” del vector tangente Tσ (t) = (dx/dt,dy/dt,dz/dt) sobre la curva entera.

DTσ Tσi = d2xi/ du2+ Tjki dxj/du * dxk/du

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; el ángulo α comprendido entre dos vectores X,Y de Tp, es definido como cos(α) = gp(X,Y)/XY, y la longitud de cualquier curva σ(u), mediante la fórmula: σ= ∫σTσ(t)dt = ∫σ (gσ(u) (Tσ(u),Tσ(u))1/2 du.

Si nos fijamos, la cantidad que aparece en el radicando anterior es el producto escalar o producto interior euclídeo del vector tangente Tσ (t) por sí mismo. En general, el producto escalar de dos vectores X = (a1,a2,a3) e Y = (b1,b2,b3) de R3 viene dado por X*Y =a1b1+a2b2+a3b3 , y tiene las siguientes propiedades:

También, una noción de geodésica geométrica, es la de una curva de longitud mínima (extremal).

X*X>0 si X≠0 (positiva definida) X*V = V*X (simetría) X*Y =0 para todo Y, si y solo si X=0 (no singularidad)

Si la variedad posee estructura afín (un operador de derivación) y estructura métrica (tensor métrico riemaniano), es preciso exigir que las dos nociones de geodésicas coincidan: una curva es una geodésica afín (la línea más recta) justo en el caso de que sea una geodésica métrica (la curva más corta). O sea, que la métrica g es compatible con D. Entonces, esta variedad se llama riemaniana. En el caso de que g sea semirremaniana la situación se complica algo y en general las geodésicas afines no serán extremales, aunque todas las geodésicas afines lo serán de carácter temporal o cromomorfas (caso de g(Tσ,Tσ)>0) o de carácter espacial o espaciomorfas (si g(Tσ,Tσ)0, se deduce que R0>R1; en otras palabras, el universo se expande.

;donde R(t) es el llamado factor de escala. K sería una constante conectada a la curvatura espacial y que puede valer 0 (universo plano) y ±1.

Entonces, las ecuaciones de Einstein en forma explícita quedan: 8πp = -k/R2-R2/R2-2R¨//R+1 8/3 πρ =k/R2+R2/R2+Λ/3 ρR3 = cte. Siendo R la derivada de R respecto del tiempo y R¨ la derivada segunda de R respecto del tiempo.

2

Como para la luz ds = 0, entonces: dt2/R2(t) = dr2/1-kr2. Si se considera al observador en (0,t0) y la fuente luminosa en (r1,t1), la relación entre frecuencia emitida por la fuente y la recibida por el observador será: ν1/ν0 = δ t0/δ t1 = R(t0)/R(t1) = R0/R1

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Capítulo II.

*El de distancia-luminosidad, dado por:

CONCEPTOS COSMOLÓGICOS

dL = (L/4πl)1/2 ; donde L es la luminosidad intrínseca y l la recibida. También puede expresarse por:

1.Parámetros

dL = R02 r1/R1 = r1 R0 (1+z) ; y desarrollando R(t) alrededor de R0 se obtiene:

*El de densidad: Ω0 = 8π G/3 H02

ρ = ρ0/ρc

;y donde ρc = 3H02/8πG se conoce como densidad crítica, al ser el valor frontera entre los modelos cerrados y los abiertos. G es la cte. de Newton.

R(t)=R0[1+R0/R0 (t-t0)+R0¨/2R0 (t-t0)2+..] Definiendo H0 = R0/R0 (relación de Hubble) y q0 = (R0¨-R0)/R02 (parámetro de deceleración), se obtiene:

*El de presión:

dL = [z+(1-q0)/2 z2+....]/H0

ε =p/ρ ; que en muchos casos se toma como nulo.

2.Estimación de distancias

*El de tiempo T, definido por:

Realmente son muchas las técnicas utilizadas por los astrónomos para resolver el problema de algo tan importante como la distancia a que se encuentran situados los distintos objetos celestes.

T = H0 t ; donde H0 es la constante de Hubble y t el tiempo transcurrido desde el inicio de la expansión. Cuando p = 0 resulta:

A continuación relacionaremos algunos que requieren una calibración, es decir, conocer de algún modo las propiedades de los objetos implicados.

T = ∫10 dy/ [(Ω/2-q) y2+Ω y-1 q+1-3Ω/2]1/2 Los anteriores parámetros no son todos independientes. Para p = 0, sólo tres individualizan cada uno de los modelos cosmológicos.

El primer método es el uso de estrellas pulsantes como candelas estándar. Las Cefeidas son estrellas bastante jóvenes, de masa entre 2 y 10 masas solares, y además pulsantes, con períodos de varios días. Su nombre proviene del miembro más brillante de esta clase, la Delta Cephei. Su pulsación se debe a las zonas de hidrógeno y helio ionizado existentes cerca de su superficie. Este último hecho fija aproximadamente la temperatura de la estrella, produciendo una franja de inestabilidad en el diagrama H-R. Ahora bien, hay, que se sepa, dos

Con p = 0, las relaciones más importantes entre parámetros son: Λ = -3 H2 (q Ω/2) k c2 = H2 R2 (3Ω/2-q-1) ; y si se toma Λ = 0: q = Ω/Z k = H2 R2/ c2 (2q-1) y sólo habría dos parámetros independientes.

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amplitudes por debajo de dos magnitudes. Están en cúmulos globulares; son de baja metalicidad y al parecer tienen todas la misma luminosidad. Puesto que las masas de las RR Lyrae están predeterminadas por las masas de las estrellas que van saliendo de la secuencia principal, la constancia de la luminosidad parece deberse a las similitudes en la edad de los cúmulos globulares.

grupos de cefeidas: las clásicas, con amplitud elevada y representación de la magnitud frente al tiempo (curva de luz) asimétrica, y las cefeidas-s con amplitud moderada y curva de luz simétrica. Las estrellas crecen y se enfrían, disminuyendo posteriormente su tamaño mientras se van calentando. Es decir, las Cefeidas son más brillantes cerca de su tamaño mínimo. Al ser la temperatura aproximadamente la misma, su luminosidad determina el tamaño de la cefeida. Como un objeto pulsante tiene un período de oscilación más largo cuando posee mayor tamaño, debe haber una relación período-luminosidad para las Cefeidas. Si, por ejemplo, dos cefeidas poseen períodos de oscilación que difieren en un factor dos, la de mayor período es 2,5 veces más luminosa que la del período más corto. La facilidad de medir el período de una estrella variable, hace de las Cefeidas una valiosa herramienta para determinar la distancia a las galaxias. Además, al ser tan brillantes las Cefeidas pueden usarse hasta para calcular distancias de galaxias pertenecientes al cúmulo de Virgo. El problema reside en la calibración de la relación período-luminosidad, que se realiza usando Cefeidas localizadas en la Nubes de Magallanes o en cúmulos estelares cuyas distancias se determinan por ajuste de la secuencia principal del cúmulo. Se piensa que la calibración podría depender de la abundancia de metales en la Cefeida, que seguramente es mucho menor en la Gran Nube de Magallanes.

El segundo método de medición de distancias se basa en la función de luminosidad de las nebulosas planetarias. Estas son estrellas que han evolucionado a través de gigante roja y gigante roja asintótica, habiendo expulsado sus capas externas de hidrógeno sin fusionar, lo que forma una nebulosa ionizada que rodea a una estrella central pequeña de elevada temperatura. Estas últimas emiten grandes cantidades de luz en la línea del espectro de 501 nm del oxígeno dos veces ionizado (O III) que permite su fácil identificación. Las nebulosas planetarias más brillantes parecen tener el mismo brillo en muchas galaxias, por ello sus flujos pueden ser usados como indicadores de distancia. Otro método posible en el problema que nos ocupa es utilizar las estrellas más brillantes de una galaxia para estimar la distancia de toda la galaxia. Est es debido a que se asume en general que existe un límite superior fijo al brillo de las estrellas, hipótesis algo débil pero que puede subsanarse si existe en la galaxia una población suficientemente grande de estrellas brillantes. Otro método, igualmente de escasa fiabilidad, es el de la utilización de la ionización del gas hidrógeno existente alrededor de las estrellas muy calientes y luminosas, lo que se denomina una región de H II como la nebulosa de Orión. El

También se aplica el mismo método utilizando las estrellas RR Lyrae que, de igual modo, son pulsantes variables como las Cefeidas. Estas estrellas poseen una masa pequeña, de unas 0,8 masas solares, con períodos cortos entre 0,2 y 1,2 días y 21

Uno es el de la utilización de la relación Tully-Fisher. Y es que la velocidad de rotación V(rot) de una galaxia espiral puede utilizarse como indicador de su luminosidad L. Se observa que:

diámetro de las mayores regiones H II en galaxias se ha utilizado como una “vara” de medir distancias. El siguiente método que también requiere calibración es el de la utilización de Supernovas de tipo I. Éstas son explosiones de enanas blancas situadas en sistemas binarios de estrellas. La acumulación o acreción de materia que se produce desde la estrella compañera hace que la enana blanca llegue a alcanzar el límite superior de masa llamado de Chandrasekhar donde pierde su estabilidad, empezando a colapsar. La compresión propicia la combustión del carbono de forma explosiva, originándose la destrucción total de la estrella. La radiación emitida tiene su origen principalmente en la descomposición radiactiva del níquel y cobalto producidos en la explosión. El pico en la luminosidad puede determinarse con un error menor del 20%. Este método ha servido para que el telescopio Hubble haya obtenido una de las mejores medidas de la constante de Hubble, que estudiaremos a continuación.

L = constante×V(rot)4 La velocidad rotacional se mide un espectrógrafo óptico radiotelescopio. Entonces, si medir el flujo F, la distancia calcularse mediante la relación:

mediante o un podemos D puede

L = F 4π D Otro método de este tipo es el que se basa en la relación Faber-Jackson que utiliza galaxias elípticas. La dispersión de velocidades estelares en las mismas, σ(v), – raíz cuadrada del promedio del cuadrado de las velocidades estelaresviene relacionada con la luminosidad por la expresión: L = const.×σ(v)4 De igual forma que antes, la medición de la dispersión efectuada por un espectrógrafo óptico (medición de la luminosidad), junto con medidas de flujo, nos permite estimar las distancias.

Por último, otro método con calibración emparentado con el de la luminosidad de las nebulosas planetarias, es el de la medida de las fluctuaciones estadísticas del brillo superficial de las galaxias cuando éstas están tan lejanas que es imposible detectar sus estrellas individuales. Una galaxia cercana podría tener ±10% de fluctuaciones en el brillo superficial (100 estrellas por pixel), y una lejana sólo un 3% (1000 estrellas por pixel).

Por último, al igual que en el método de estrellas más brillantes, las galaxias más brillantes de un cúmulo de galaxias se han utilizado como fuentes luminosas estándar; pero igualmente la fiabilidad del método es baja. Como tercer bloque de métodos para la medida de las distancias están los que no requieren calibración.

Otro bloque de métodos para evaluar distancias utiliza propiedades globales de las galaxias y también necesitan calibración.

El primero de ellos se basa en el retraso temporal que se produce en las “lentes gravitatorias”. 22

Si se considera que la anchura a lo largo de la línea de visión es la misma que el diámetro del cúmulo, la distancia puede inferirse a partir del diámetro angular del cúmulo.

Y es que cuando se observa un cuásar a través de lo que se llama una lente gravitatoria, que es la deflexión (desviación) de la luz por el efecto gravitatorio de una galaxia o cúmulo de ellas interpuesto en la línea de visión del observador, pueden verse múltiples imágenes del mismo cuásar. Los caminos que sigue la luz hasta nosotros tienen longitudes que difieren en una cantidad dependiente de la distancia al cuásar y el ángulo de deflexión. Al presentar los cuásares variaciones de luminosidad, la observación de las diferencias temporales en variaciones particulares de la luminosidad de la fuente producida en variadas imágenes, sirve para calcular la diferencia de dichas longitudes.

Como es fácil deducir de lo anterior esta última técnica es harto complicada y sólo ha permitido estimar unas pocas distancias. 3.Constante cosmológica Cuando Einstein construyó la teoría de la relatividad general se suponía que el universo era estático. Entonces la gravedad de la materia y la energía conducirían a un colapso del universo. Einstein suponía tal aserto como inaceptable físicamente, por eso introdujo un término con una constante cosmológica que se oponía a la fuerza de atracción de la gravedad. Más tarde Edwin Hubble descubrió que las galaxias parecen alejarse con respecto a nosotros, así que el universo actualmente está expandiéndose. Estas observaciones provocaron que Einstein afirmara que la introducción de esta constante cosmológica fue el mayor error de su vida, y subsiguientemente fue sacada de las teorías cosmológicas.

El segundo se basa en el efecto SunyaevZeldovich, que se produce cuando el gas caliente situado en los cúmulos de galaxias distorsiona el espectro de la radiación cósmica de fondo. Los electrones libres del gas dispersan una pequeña fracción de los fotones del fondo de microondas, sustituyéndolos por fotones algo más energéticos. Sólo un 1% de los fotones que pasan por el cúmulo son dispersados por los electrones pertenecientes al gas caliente ionizado del mismo, y el aumento de energía de aquellos es de, únicamente, el 2%. Por ello se observa una carencia de fotones de baja energía del orden de 0,02% (0,01×0,02), observada como una reducción de la temperatura de brillo de unos 500 micro K. A frecuencias altas el resultado es que el cúmulo aparece más brillante que el fondo.

Hay razones para creer, sin embargo, que la constante cosmológica puede, todavía, ser aplicada en cosmología. Hoy es mayoritaria la opinión de que el universo estuvo durante un tiempo en una expansión rápida, la llamada inflación, en un período temprano de su historia. Esta inflación actuaría allanando el universo y haciéndolo geométricamente plano. Matemáticamente, esto produce una Ωtotal muy cercana a uno, lo que origina problemas que la constante cosmológica puede remediar. Cuando los astrónomos miden la cantidad de materia y energía

El efecto anterior es proporcional a la densidad de electrones libres, el grosor del cúmulo en nuestra línea de visión y la temperatura de los electrones.

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homogeneidad e isotropía en el universo es la métrica de Robertson-Walker:

del universo, obtienen sólo un 30% de la que se necesitaría para que el universo fuese plano. La constante cosmológica podría “aportar” la masa necesaria para que el universo fuese plano. Incluso si la inflación es errónea y no hay razones para creer que el universo es espacialmente plano, hay todavía un problema aparente con la edad del universo. La edad obtenida de un universo abierto con la cantidad de materia observada y sin constante cosmológica es más joven que la edad de las estrellas más viejas, lo que no puede ser. Sin embargo, un universo plano con materia y constante cosmológica es un universo mucho más viejo, incluso más viejo que las estrellas más antiguas.

ds2= c2dt2-a2(t) [dx2+f(x)2(dθ2+sen2θdρ)] f(x) describe la geometría espacial del universo, parametrizada por la constante k de curvatura: sen(kx)1/2/(k)1/2 k>0 f(x) = x k =0 sen(kx)1/2/(k)1/2 k0 con un grado de confianza del 99%.

Uno de los efectos de la constante cósmica es el cambio de la relación entre distancia y desplazamiento al rojo. En principio, dado un conjunto de objetos con un tamaño y luminosidad estándar puede determinarse la distancia de los mismos. Sabiendo su corrimiento al rojo,

La interpretación física de la constante cosmológica como densidad de energía del vacío tiene su base en la existencia del 27

“punto” cero de energía predicho por la mecánica cuántica. En mecánica cuántica, los pares partícula-antipartícula son creados desde el vacío. Incluso aunque dichas partículas existen únicamente durante poco tiempo antes de aniquilarse una con otra, ellas dan al vacío un potencial de energía no nulo. Este concepto de energía del vacío ha sido experimentalmente confirmado a través del efecto Casimir, donde dos placas conductoras descargadas se atraen una a otra debido a las fluctuaciones cuánticas. En relatividad general, todas las formas de energía tienen efectos gravitatorios, incluida la energía del vacío, por tanto la constante cosmológica.

el intervalo de k a k+dk. La suma se vuelve integral: E0 = 1/4π h L3∫w/ (2π)3 d3k Para evaluar la integral debemos imponer un máximo al vector de onda kmax para que sea mucho menor de 2πm/h. Entonces tenemos: ρvac = lim E0/L3 = h K4max/32 π3 L→∞ La densidad de energía del vacío diverge. Esto es debido a la contribución de moles con muy alta k Esta divergencia no es demasiado preocupante, sin embargo, porque sabemos que una teoría de baja energía no se espera sea cierta a altas energías, donde debe incluirse una nueva física.

El problema de asociar la constante cosmológica con la energía del vacío de la mecánica cuántica aparece cuando hacemos incluso una simple estimación de su valor. La siguiente estimación fue hecha por Carrol en 1992. Un campo relativista puede ser entendido como una simple colección de osciladores armónicos, cada uno con una energía del punto cero:

Podemos, por tanto, estimar el valor de ρvac hasta la escala de energía que seguramente requerirá de una nueva teoría para describirla. Esta energía es la energía de Planck (1019 GeV), donde se estima que las teorías de la física convencional fallan, y donde una nueva teoría de gravedad cuántica deberá introducirse. Si imponemos esta energía como máxima, obtenemos:

E0 = 1/4π hw Para un campo escalar de masa m, la energía del vacío es la suma de todas las energías del punto cero de todos los osciladores armónicos simples:

ρvac ≅ 1092 ergs/cm3 o Ωλo≅10120 Se cree que tan alto valor de la constante cosmológica es seguramente absurdo. Debemos argüir que se ha escogido un valor demasiado elevado, puesto que para satisfacer las observaciones debe usarse una energía de 10-2 eV.

E0 = Σj 1/4π hwj Donde w2 = k2+4 π2 m2/h2 (k = 2π/λ; siendo λ la longitud de onda) para el campo escalar. Esta suma puede ser evaluada poniendo el sistema en una caja de volumen L3, y haciendo a L tender a infinito. Las condiciones frontera de la caja requiere que la longitud de onda cumpla que halla valores discretos de k en

Es posible que la contribución de todos los diferentes campos asociados con las partículas del modelo estándar contribuyan a producir una constante cosmológica más pequeña. Más, ¿cómo podría cancelarse una parte entre 10120? 28

teoría cuántica, algo impensable hasta hace poco. Nos sigue diciendo Krauss que un prodigio de sintonía fina ha de eliminar las energías de las partículas virtuales hasta el lugar 123, pero dejando intacto el 124, lo que supone una precisión no vista en ninguna otra parte de la naturaleza.

Incluso cuando los cálculos teóricos de la constante cosmológica no sean del todo entendidos, permanece el hecho de que verdaderamente la energía del vacío exista. Es interesante citar aquí las consideraciones de Lawrence M.Krauss sobre el tema (Ver la revista Investigación y Ciencia de marzo de 19999).

Eso sí, apunta que ciertos grupos han imaginado, en cambio, que alguna forma de energía cósmica imita a una constante cosmológica, aunque va variando con el tiempo.

Krauss nos dice que “de los descubrimientos de Tytler y Burles midiendo la abundancia primordial del deuterio observando la absorción de la luz de los cuásares por las nubes de hidrógeno intergaláctico se desprende que la densidad media de la materia ordinaria está entre el 4 y el 7% de la necesaria para que el universo sea plano”.

Concluye afirmando que el universo o es abierto o está lleno de una energía desconocida. En su opinión, las observaciones apuntan a favor de lo segundo, aunque, de cualquier forma cree que ambas conclusiones "impondrían una visión de la física radicalmente nueva”.

Añade que uno de los misterios que rodean a la constante cosmológica es la “coincidencia cósmica”. Y es que se nota una discordancia entre la densidad media de la materia ordinaria que disminuye con la expansión cósmica y la densidad equivalente representada por la constante cosmológica que es fija. Sin embargo, hoy día, ambas densidades tienen casi el mismo valor pese a estos comportamientos antagónicos. Krauss nos dice que dicha concordancia, o es puro azar, precondición de la existencia humana, lo que supone el principio antrópico débil, o es “una indicación de que actúa un mecanismo cuya naturaleza no se vislumbra hoy por hoy”.

4.Ley de Hubble Con la ley de Hubble nació verdaderamente la cosmología científica. Hubble obtuvo una relación entre el desplazamiento al rojo z y la distancia D: c z = H0 D ; donde c es la velocidad de la luz y H0 la constante de Hubble que se expresa en Km.s-1 Mpc-1 (El megaparsec vale unos 3 millones de kilómetros). Esta relación, por extrapolación directa, indica una relación lineal entre la velocidad y la distancia. Lo anterior puede ser interpretado como que el universo está en expansión, por una ley de la forma:

Como ya dijimos y como, también, apunta Krauss, la constante cosmológica aporta del 40 al 70 por ciento de la energía necesaria para que el universo sea plano. Hay una constante cosmológica mayor que cero, pero como hemos visto, mucho menor que la predicha por la

v = H D conocida como relación velocidad-distancia y confundida, muchas veces, con la ley de Hubble.

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1+z = λ0/λe

Consecuencia de lo anterior es que la expansión es homóloga, es decir, no cambia la forma de las estructuras del universo; también, que todos los observadores, en cualquier lugar del universo, ven la misma ley.

Es común convertir el desplazamiento al rojo en velocidad a través de la relación v = c z, siendo c la velocidad de la luz, aproximación válida para velocidades mucho menores que c, coincidiendo con la interpretación Doppler al desplazamiento al rojo en este intervalo de velocidades.

Evidentemente, para una distancia lo suficientemente grande, un objeto podría alejarse con velocidad mayor que la de la luz, así que de alguna forma, debe haber un tipo de horizonte cosmológico. Este horizonte es el que corresponde a esta velocidad máxima, c, y se denomina radio de Hubble. Su valor es:

Si se determina que una galaxia tiene sus líneas de espectro desplazadas un 1% hacia el rojo (z=0,01), se moverá a 1% de la velocidad de la luz (3000 Km/s.).

D= c/H0 = 3000 h-1 Mpc.

Para cualquier desplazamiento al rojo, la interpretación válida es que el alargamiento de la longitud de onda de la luz se debe al cambio de escala en las distancias, por efecto de la expansión del universo. Es decir, debe cumplirse:

; h es un número adimensional que vale h= H0/100. Si la expansión se extrapola hacia atrás en el tiempo, las galaxias se irán acercando, aumentando la densidad del universo indefinidamente.

1+z = a(t0)/a(t) donde a(t0) es el parámetro de expansión, o factor de escala hoy día, y a(t) el del momento en que la galaxia emitió la luz.

El tiempo de expansión denominado tiempo de Hubble, es la inversa de la cte. de Hubble:

Hay que decir que, realmente, la expansión cósmica no es más que el incremento de la distancia entre cualquier par de galaxias lejanas a lo largo del tiempo.

tH = 1/H0= 9,78 h-1 Gaños; 1 Gaño= 109años. Al observar el espectro de las galaxias más lejanas se observa que las líneas espectrales están desplazadas con referencia a las que se observan en los laboratorios terrestres.

La obtención de las ecuaciones de la evolución del universo puede hacerse con argumentos clásicos debido al principio cosmológico, que afirma la homogeneidad e isotropía del universo a gran escala, lo que permite aplicar la dinámica newtoniana con excelente aproximación.

Se define el desplazamiento al rojo z de una línea espectral como la diferencia entre las longitudes de onda observada (λ0) y emitida ( λe) en unidades de onda emitida. Es decir:

Elegimos una región esférica del universo, lo suficientemente grande para que rija en ella el principio cosmológico (una esfera de unos 100 Mpc es

z = (λe- λo)/λe = 1- λ0/λe

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suficiente), pero lo bastante pequeña para que las velocidades con que se alejan las galaxias se mantengan muy por bajo de c. Un famoso teorema asegura que pueden ignorarse las fuerzas gravitatorias producidas por el resto de la masa del universo, y aplicar la mecánica newtoniana a dicha región esférica. Imaginemos una galaxia en el borde de dicha esfera moviéndose con velocidad v, y apliquemos el principio de conservación de la energía.

Para k>0, el universo es espacialmente cerrado, puesto que su volumen es finito. La expansión se detendrá y empezará una fase de contracción.

Energía cinética+ Energía potencial = cte.

;donde H(t) es la cte. de Hubble para cualquier instante t del universo, o sea, H =v/R.

La constante k está relacionada con la densidad de materia del universo. Si calculamos el valor de la densidad para un universo plano, k=0, al sustituir en la ecuación anterior queda: ρ(t) = 3/8 H2(t)/πG

½ v2 – G M/R = constante donde R es el radio de la esfera, G la constante gravitatoria newtoniana y M la masa de dentro de dicha esfera.

A esta densidad se denomina densidad crítica. En el presente esta densidad crítica vale: ρ0 = 3/8 H02/πG = 1.879 h2 .10-29 g/cm3 (que corresponde a una densidad de 2 o3 átomos de hidrógeno por metro cúbico).

La densidad media de la esfera será ρ. Luego M = volumen×ρ. M = 4/3 π ρ R3 y v =dR/dt

El parámetro de densidad Ω, como vimos con anterioridad, es la relación de la densidad del universo en unidades de densidad crítica, es decir, Ω = ρ/ρc. Si la densidad de materia actual del universo es igual a la densidad crítica, o sea, Ω =1, universo plano, estamos ante el modelo de Einstein-de Sitter, el más sencillo posible.

De donde por sustitución: v2 = (dR/dt)2 = 8/3 π G ρ R2 – k c2 Siendo k una constante de integración pero que está relacionada con la geometría local del universo. La ecuación anterior se ha deducido de las ecuaciones newtonianas, pero resulta la misma aplicando un tratamiento rigurosamente relativista, aunque ahora k sí tiene un significado preciso.

Se suele poner R(t) = a(t).R, donde a(t) es un factor adimensional conocido como parámetro de expansión o factor de escala, que no depende de los objetos concretos que se elijan.

Para kMpl). Entonces en la inflación caótica, la

Es evidente que incluso con una distribución inicial del campo inflacionario al azar, las regiones con más alto φ podrían dominar pronto el volumen del universo, y aquellas que han sufrido inflaciones mayores que varios radios de Hubble aparecerán homogéneas e isótropas. Con la inflación caótica (una inflación eterna), podemos imaginar un estado estable del universo, con diferentes 61

la variación de φ bajo el potencial queda inalterado. Si, sin embargo, φ es grande las fluctuaciones dominan y por tanto no puede estudiarse la evolución de φ como un problema de difusión, y discutir la fracción del universo con un cierto valor de φ. Esto está directamente relacionado con la probabilidad de que un punto del universo semejante al nuestro exista.

regiones de continua inflación. La singularidad puede ser evitada de varias formas, porque no todo el universo tiene que decrecer hasta la densidad de energía de Planck al mismo tiempo. Como veremos a continuación, partes del universo pueden aumentar su densidad de por encima de la energía de Planck y luego re-disolverse en “espuma cuántica” Otros universos, o partes del mismo, pueden “acceder” a la existencia a partir de esa espuma.

Las fluctuaciones cuánticas enφ obedecen a una incertidumbre que avanza por saltos de valor H(φ)/2π (Vilenkin y Ford, 1982). (Teóricamente cada observador en un universo de de Sitter en expansión exponencial es rodeado por un horizonte de sucesos, y por tanto el universo tiene una temperatura de Hawking más parecida a un agujero negro, igual a H(φ)/2π). Esto da un coeficiente de difusión D = H3/8π2. Combinando esta difusión cuántica con el movimiento clásico del campo se obtiene:

Un universo (o parte del mismo) en el que la densidad de energía está por debajo del nivel de Planck, y es por tanto clásicamente describible, debe satisfacer ciertas condiciones para que la inflación sea posible. Estos requerimientos tienden a ser bastante suaves en la inflación caótica, mientras que pueden ser extremadamente severos (y poner requerimientos poco naturales en las teorías de la física de partículas del universo primordial) en otras variantes de modelos inflacionarios, por ejemplo en la “nueva” inflación. Esta suavidad proviene primero del hecho de que la inflación caótica ocurre mucho antes que en otros tipos, lo que deja menos tiempo para que los efectos de curvatura y anisotropía destruyan el universo antes que la inflación suceda o pueda prevenírsela, y en segundo lugar porque hay pocos requerimientos en la forma del potencial inflacionario.

∂Pc/∂t=∂/∂φ1/3 (3m2pl/8πV)1/2 (8V2/3m2pl ∂Pc/∂φ+ Pc ∂V/∂φ (1+4V/m4pl) ; donde H2 = 8πV/3m2pl durante la inflación y Pc es la distribución de φ en coordenadas comóviles (Starobinsky 1983 en “Interacciones Fundamentales”, y Starobinsky 1986 en “Teoría de Campo, Gravedad Cuántica y Cuerdas”). Casos especiales: Caso 0: Si la evolución clásica del campo es omitida, la solución de la ecuación del movimiento es una distribución gausiana:

Cada región del universo con un suficiente φ0 homogénea se inflará en e3 esferas de Hubbel casualmente desconectadas. En cada una de ellas, el valor del campo φ inflacionario puede cambiar debido a las fluctuaciones cuánticas. Si φ0 es demasiado pequeño, las fluctuaciones en un tiempo de expansión de Hubble 1/H es mucho menor que el cambio clásico del campo y

Pc (φ,t) = (2π/3Ht)1/2 exp(-2π2φ2/H3t) Caso 1: Como un caso simple consideraremos el potencial V = ¼ λφ4 con la condición inicial φ = φ0 sobre una región del orden de 1/H (Linde 1990, 62

“Inflación y Cosmología Cuántica”). Para t