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?,. En uti lisa nt ce théorème on montre que ct{X1o , X11} est un an n eau noethérien et factoriel. Notons encore que ct{X10 , X11} est un anneau régulier et q ue son complété par rapport à la topologie donnée par les puissances de l'idéal maximal s'identifie avec l'anneau des séries formelles ct UX1 , , X,]]. .
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b. Une ct-algèbre isomorphe à un qu otient =F 0 d'une algèbre ct{X1, X11} est appelée algèbre analytique (sur ct); elle est locale. Si A, B sont des algèbres analytiques, on entend par morphisme f: A _. B t out •
• •
morphisme de ct-algèbres; il n'est pas difficile de montrer qu'un tel mor phisme est local, i.e. J-1(m8) =m où m" et m8 so n t les idéaux maxi maux respectifs.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
2
Pour toute algèbre analytique
fonctorielle:
A
et
tout ent i e r
n
Hom((J:{Xlo ..., X,}, A)=+ mA x . . . x
on a la bijection tn.4
n -fois ft-+ (/(Xx),
.
. . ,f(X,.))
Le m orphisme f: A -+ B est fini si B est un A-module de type fini. Le morphisme fest dit être quasi-fini si B/mAB est un espace vectoriel de dimension finie sur A /mA � (J: (ou bien, ce qui est équivalent, si l'idéal m.4B con tien t une puissance de l'idéal maximal mB). Une forme équiva lente remarquable du théorème de division est: «Un morphisme d'algèbres analytiq ues est fini si, et seulement si, il est quasi-fini». Comme conséquence on prouve qu•un morphisme f: A -+ B est sur jectif si et seulement si mAB = m B, si et seulement si l'application entre les espaces tangents de Zariski mA/m� - mB/m� est surjective. Une autre conséquence est le lemme de normalisation de E. N oether: «Si A est une algèbre analytique de dimension n, il existe un m orph isme fini et i njectif (J: { X1o ... , X,.} -+ A».
II. La catégorie des espaces complexes a. Rappelons qu'un espace annelé est une paire (X, él) dans laquelle X est un espace topologique et eJ un faisceau d'anneaux (que l'on supposera toujours commutatifs et unitaires). On notera Mod eJ la catégorie des él-modules unitaires. Si (X, eJx), (Y, élr) sont deux espaces annelés, un morphisme ent re ces espaces sera un couple .f = (fo,!t) avec /0 : X- Y une application continue et fx: élr -+ (fo).(élx) un morphisme de faisceaux d'anneaux. Si l'on donne l'application fo, alors donner !t est équivalent à donrier un morphisme de faisceaux d'anneaux f01(élr)-+ élx. On note d'habitude la composante fo par f Les propriétés de fonctorialité de l'image directe permettent de définir d'une manière évidente la composition des morphismes d'espaces annelés. On obtient une catégorie. Si � est un élx-module, au lieu d'écrire (fo). (�) on écrit fi�); alors f.(�) est un (.fo).(élx)-module donc aussi un ély-module par l'intermédiaire defx. Si qJ : � -+ �est un morphisme d� Mod élxon désigne (/0)(qJ):f.(� )-+ -+ f.(�) par f.(qJ); f.(qJ) est lJ n morphisme de ély-modules. On obtient ainsi un foncteur f.: Mod é!J x -+ Mod élr nommé l'image directe. Soit maintenant � un élr-module; /01(�) possède une structure de f01(é!Jr)-module, élx une structure naturelle de j-1(élr)-module et on note/*(�)= J-1(�)®!-' -+ ex.x obtenus à partir de h sont locaux. On considérera aussi des espaces annelés en a;-algèbres, i.e. des espaces annelés pour lesquels les anneaux de sections sont des (J;-algèbres et les morphismes de restriction sont des morphismes de a;-algèbres. Les mor phismes entre de tels espaces annelés sont supposés compatibles avec la structure de a;-algèbres. b. Soit (X, e) un espace annelé et � un e-module. On dit que � est de typefini si pour tout x e X il existe un voisinage Ude x et un épimorphisme de la forme e"IU-+ �-lU-+ 0 (ou bien, ce qui est équivalent, que � est engendré localement par un nombre fini de sections). � est de présentation finie si pour tout xe X il existe un voisinage U 3 x et une suite exacte e"IU-+ e""IU-+ .-lU-+ O.� est cohérent s'il est de type fini et si le noyau de tout morphisme e"l U-+ � 1 U a vec U ouvert de X est encore de type fini. c. Considérons un espace numérique a;" avec la topologie usuelle. A l'aide du théorème de division on démontre le théorème de cohérence de Oka : «le faisceau e.,-module a:x est engendré par les sections glo bales F(X, S:) (théorème A) ; - H9(X, S:) = 0 pour tout q � 1 (théorème B) ». Si (X, é>) est un espace de Stein, on peut construire des exhaustions de Runge: ce sont des familles (U")" telles que les U, soient des ouverts de Stein, U,c. c. u,+l et que é>(U,+l> -+ é>(U,) soit à image dense, n E [N. Rappelons aussi le théorème de plongement des espaces de Stein: « Soit X un espace de Stein tel que sup dim (m.x/mi) < ex:>. Il existe .x ex
alors une immersion fermée de la forme X-+ CI:N» (on utilisera souvent un fait plus élémentaire : tout ouvert de Stein relativement compact de X peut être plongé dans un espace numérique) . . Les domaines d'holomorphie (en particulier les ouverts convexes) sont des exemples d'espaces de Stein.
Pour
la
théorie générale des espaces complexes nous suivons surtout [1], [1 8],
[41], [46], [71].
CHAPITRE
1
La cohomologie à support compact sur les espaces de Stein Introduction Rappelons les deux théorèmes suivants de la théorie des fonctions de plu
sieurs variables complexes:
«Si D est un ouvert d'un espace numérique a:n, n � 2 et K c: D un ensemble compact tel que D ""-. K est connexe, alors toute fonction holo morphe sur D ""-. K se p ro longe en une fonction ho lom orphe sur D (théo rème de H artogs [50], Ch. II, §3)». «Si X est une variété de Stein de dimension supérieure ou ég ale à 3 et U c: X un ensemble ouver t de Stein relativement compact, alors le problème de Cousin add itif a une solution sur X""-. U; si on suppose de plus que H 2(X""-. U, 7l) = 0, alo rs aussi le problème multiplicatif de Cousin a une solution sur X""-. U (théorème de Serre [91])». Les généralisations suggérées par le premier théorème sont de la nature ,
suivante: - Remplacer D par une va riété
a n alytiq u e compl ex e ou, plus géné ralement , par un espace analytique complexe. - Remplacer les fonctions par des entités plus générales (section s dans un faisceau, classes de coh omologie , d i viseu r s , s ec ti ons méromorphe s , sous-espaces, faisceaux co hérents). Ces extensions rentrent dans un problème plus général, celui du pro longement des entités analytiq ues définies en dehors d'un ensemble
compact.
Le second théorème rentre aussi dans le cadre d'une problématique à savoir l 'étude des p rop ri é tés d u complé mentaire d'un ensemble compact ou d'un ouvert relativement compact d'un espace complexe . Soit X un espace topologique, K c: X un e ns e m bl e compact et fi un faisceau sur X de groupes abéliens. La suite exacte de co homol ogie
générale,
... -+ Hq(X, SF)-+ Hq(X""'K, SF)-+ Hft+1(X, SF)-+
•
.
.
montre que les éléments du groupe de cohomologie à support dans K, Hft+I(X, SF), représentent l ' obst ruc tion au prolongement à X des q-classes de cohomologie sur X""K, à coe ffic ients dans fi.
Si U
c:
X est un ouvert relativement compact ,
on a la suite exacte
12
MtTHODES ALGéBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il en résulte que les éléments du groupe de cohomologie à support compact H!+l(U, �) représentent l'obstruction au prolongement à X des q-classes de cohomologie sur X"- U, à valeurs dans �. On voit ainsi le rôle des invariants H;, Hx dans l'étude des problèmes énoncés ci-dessus. Le but du présent chapitre e st d'étudier ces invariants sur les espaces de Stein et, en particulier, de trouver des théorèmes d'annu lation de H;, HK:. Le premier paragraphe contient les préliminaires nécessaires de la théorie des faisceaux, des espaces vectoriels topologiques et d'algèbre locale. Au second paragraphe on démontre deux théorèmes de dualité (th. 2.1 et 2.9) pour les variétés de Stein, qui permettent d'exprimer les invariants n;, HKen termes d'invariants globaux Ext'(X; . . . ), Ext'(K; . . . ) . Au paragraphe 3 on définit les notions algébriques de profondeur et de dimension po:u un faisceau analytique cohérent. Sous l'hypothèse que X est un espace de Stein et K un compact holomorphiquement convexe les Ext globaux déterminent complètement les Ext locaux ; ceci permettra, via la dualité prouvée au § 2, de réduire les invariants n;, HK: aux invariants Extê,. . . . (elx étant l'anneau local du point xe X). On fait ainsi la liaison avec la profondeur et la dimension et on obtient pour celles-ci les caracté risations cohomologiques 3.6 et 3. 7 : les groupes de cohomologie sont nuls en dehors de l'intervalle [prof, dim] et non nuls pour ses extrémités. Le quatrième paragraphe contient des applications (dans le contexte des problèmes rappelés au début) : résultats de type Hartogs et de type Cousin, propriétés de la frontière d'un espace de Stein, applications relatives aux espaces compacts. Par exemple, lorsque X est un espace de Stein et K eX un compact holomorphiquement convexe on démontre les assertions: -L'application de restriction r(X, el) -+ r(X"- K, el) est bijective si et seulement si prof 6,. ;;il: 2 pour tout point x de K (corollaire 4.4). - Si prof el,. ;;il: 3 pour tout x de K, alors le problème de Cousin additif a une solution sur X"- K; si en plus H2(X""'-K; 7l) = 0, alors aussi le problème de Cousin multiplicatif admet une solution sur X"- K (corollaire 4.5). -Si prof 6,. ;;il: 2 au p oints x de K, alors X est connexe si et seulement si �K est connexe (corollaire 4.8).
§ 1. Préliminaires (a) Rappelons quelques faits de la théorie des faisceaux [34], [43]. Soit X ·un espace topologique. Une famille cp de parties fermées de X est une famile de supports si tout sous-ensemble fermé d'un élément de cp appartient à cp et si la réunion de deux é!léments quelconques de cp est encore un élé ment de If>. Soit � un faisceau de groupes abéliens sur X (on écrira � e Ab( X)). On note r�(X, �) le sous-groupe de T(X, �) constitué par les sections dont le support appartient à If>. On obtient ainsi un foncteur additif, exact à gauche, � 1-+ r�(X, � ), de la catégorie Ab(X) dans la catégorie Ab des
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
13
groupes abéliens. Les foncteurs dérivés à droite sont notés H;(X, • ) et on les nomme les groupes de cohomologie à supports dans tP. Ces invariants peuvent être calculés en utilisant des résolutions flasques ([34], Ch. II, § 4 ; [43], Ch. I II, § 3). On a H�(X, If) � rJ(X, If). En particulier, lorsque tP est la famille des sous-ensembles fermés de X, on obtient les groupes usuels de cohomologie n·cx, • ) . Dans la suite, on suppose que X est paracompact. Lorsque tP est la famille des sous-ensembles compacts on obtient les invariants H;(X, •) , qui sont les groupes de cohomologie à support compact. Pour les calculer on peut utiliser aussi les résolutions avec des faisceaux mous ([34], Ch. II, § 4). On a les isomorphismes naturels lim n;(u, W) =+ n;(x, If), u
où la limite inductive est prise suivant la famille des ouverts U de X (ou suivant une partie cofinale de celle-ci). Si tP est la famille des fermés d'un compact K c X, les invariants obtenus sont notés Hic(X, •) et sont appelés les groupes de cohomologie à support dans K. Pour tout voisinage ouvert U de K on a les isomorphismes canoniques Hi
Home;(§,
où
Soit M un objet de fC1 et
J" une
résolution injective de M. L'exactitude
à gauche de T donne des isomorphismes
Ker ( TS( l") -+ TS(J��+ 1)) ::. T(Ker(S(f") -+ S(f" + l))). On déduit du diagramme commutatif TS(l" - 1) --+ TS(I")
� / T(B") où B" = Im(S(J"- 1) -+ S(J")), un morphisme (même un monomorphisme) Im(TS(J" - 1) -+ TS(l")) -+ T( lm(S(J"- 1 ) -+ S(J"))). On obtient alors des
morphismes
R"(TS)(M)
=
H"( TS(J")) -+ T( H"( S(J')))
=
T(R"S)(M ).
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LiES ESPACES COMPLEXES
16
On peut montrer que ces derniers so.nt indépendants du choix de la résolution r, et qu'ils sont fonctoriels en M. On procède de manière analogue pour les autres morphismes 1attéraux. On utilisera la propriété suivante : si, pour un objet M de tel> on a R'T(R:I S(M)) = 0 pour tout q et tout p � 1 , alors les morphismes natu rels R"(TS) (M) -+ T(R" S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n �0. Ce fait est une conséquence immédiate des prvpriétés générales des suites spec trales [19], [34], [43], mais il peut être proavé aisément par une voie directe : S
T
LEMME 1 . 1 . Soit (6'1 -+ te1 -+ f(/3 comme ci-dessus et M un objet de fi1• Si R'T(R:IS(M)) = 0 pour p � 1 et q ;;: 0, alors les morphismes naturels R"(TS)(M) -+ T(R"S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n � O. Démonstration. Soit 0 -+ M -+ 1° -+ 11 -+ . . une résolution injective de M. Les R" S(M) sont les objets de cohomologie: du complexe S(J") et R" ( TS)(M) ceux de TS(J"). Soit Z" = Ke r( S{r) -+ S(f" + 1)), B" = Im(S(J"- 1) -+ S(/")), 'Z" Ker(TS(J") -+ TS(J"+ 1)) et 'B" lm(TS(l" - 1) -+ TS(l")) . Evidem ment, zo = S(M). L'exactitude à gauche du foncteur T donne les isomorphismes 'Z" :: T(Z"). En utilisant les suites exactes (n � 0) 0 -+ Z" -+ S(l") -+ B" + 1 -+ 0 _
=
=
0 -+ B"-+ Z"-+ R"S(M)-+ 0
(n � 1 )
et la récurrence croissante suivant n, o n vérifie ensuite que R' T(Z")
=
R"T(B"+ 1)
=
0 (p ;;: 1 ) et ' B" + 1 :: T(B"+ 1).
La conclusion du lemme résulte alors du diagramme commutatif et exact suivant 0 -+ 'B" . -+ 'Z"-+ R"( TS)(M)-+ 0 l !! !1 0 -+ T(B")-+ T(Z") -+ T(R"S(M)) -+ O. Remarque. Avec le même raisonnement o n établit aussi le résultat suivant : si RPT(R:IS(M)) 0 pour p � 1 et 0 � q � n0, alors les morphismes naturels R"( TS) (M) -+ T(R"S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n, 0 � n � n0 + 1 . On utilise aussi le résultat qui suit, connu aussi sous le nom de «théo rème de De Rham abstrait». =
T
LEMME 1 .2. Soit fi -+ n, ou seulement p o ur i = n + 1 . On appelle dimension cohomologique globale de l'a nnea u A, notée dimcoh A , le plus petit n (entier ou + oo) tel
LA COHOMOLOOlE SUR LES ESPACES DE STEIN
23
que dh M � n pour tout A-module M. I l résulte que n est le plus petit nombre tel que pour toute paire de A-modules M et N on ait Ext�(M, N) =O pour i > n, ou bien seulement pour i = n + 1 . Nous supposons maintenant que A est 1un anneau noethérien et que M est un A-module de type fini. On peut alors, dans la définition de dh M, considérer seulement des résolutions projectives avec des modules de type fini. Il en résulte que dh M � n si et seulement si Ext�(M, N) = 0 pour i ;; n + 1 (ou bien seulement pour i = n + 1 ) et pour tout A-module N de type fini (en utilisant la récurrence sur le nombre des générateurs on peut se restreindre en fait aux modules N monogènes). Comme tout tel module N a une suite de composition 0 = N0 c . . . c Nk = N telle que les quotients successifs NdN1 _ 1 soient isomorphes à des modules de la forme A fp , p e Spec A, on déduit : dh M � n si et seulement si Ext�(M, Afp) = 0 pour tout i ;; n + 1 (ou seulement pour i = n + 1) et pour tout idéal p e Spec A . O n va s e restreindre maintenant à u n cas encore plus particulier, lorsque A est local, noethérien, d'idéal maximal m. Alors, un A-module de type fini M est libre si et seulement s'il est projectif, si et seulement si Tort (M, A/m) = 0 ([1 3], Ch. II, § 3, n° 2, cor. 2, prop 5 ; [96] , IV, pro p. 20). De ce qui précède on déduit que dh..M � n si et seulement si Tor1+ 1(M, A fm) = 0 (M étant un A-module de type fini) et que dimcoh A �n si et seulement si Tor1+ 1(A/m, A/m) = 0 (pour la démonstration on utilise les définitions de dh et de dimcoh à l'aide des résolutions projectives ; pour plus de détails on peut consulter [96], Ch. IV). Rappelons qu'un anneau local noethérien A, d'idéal maximal m, ayant pour corps résiduel k = A/m est dit régulier si dim A = dimk m/m1 (en général la théorie de la dimension donne dim A � dimk m/m2). On utilisera essentiellement dans ce qui suit le résultat suivant («théorème de Hilbert-Serre» [96], Ch. IV, th. 9 ou [45], Ch. Om, 17.3. 1 ) : «Soit A un anneau local noethérien. Pour que A soit régulier il est nécessaire et suffisant que sa dimension cohomologique soit finie et on a alors dimcoh A = dim A». Dans ce qui suit on va donner quelques conséquences de ces faits, reliées à la notion de profondeur. LEMME 1 1 0 . Soit A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, M un A-module de type fini et x un élément de m. Si x est M-régulier alors ·
.
dh MfxM = dh M + 1 . Démonstration. La suite exacte (induite par l'homothétie par x)
0 fournit la suite exacte Torf (M, A/m)
-+
M -+ M -+ MfxM -+ 0
-+
Torf(M, A/m)
-+
-+
Torf_ I (M, A/m)
Torf(MfxM, A/m)
-+
Torf_ 1 (M, Afm),
24
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dans laquelle la première et la dernière flèche sont les homothéties par x. Mais comme x e m, ces deux morphismes sont nuls et donc on obtient la suite exacte 0 -+ Torf(M, A/m) -+ Torf(MjxM, A/m) -+ Tor;4_ 1 (M, A/m)
-+
0,
d'où la conclusion résulte aisément. PROPOSITION 1 . 1 1 . Soit A un anneau local, noethérien, régulier de dimension
n. Alors, pour tout A-module de type fini M, non nul, on a l'égalité
prof M + dh M
=
n.
Démonstration. Par récurrence suivant r = prof M. Si r 0, alors il existe un A-sous-module N de M isomorphe à A/nt ( I .6 (i)). De la suite exacte 0 -+ N -+ M -+ M/N -+ 0 on tire la suite exacte =
Tor1+ 1(M/N, A/m) -+ Tor:(N, A/m) -+ Tor:(M, A/m).
L'hypothèse dim A. Pour passer de q + 1 à q, supposons que Ext�(M, A) = 0 pour i > q et prouvons que dh M � q (l'autre implication est évidente). On a dh M � q + 1 et soit par absurde un module de type fini N tel que
dimcoh A
Ext?4+ 1(M, N) :F O. On obtient une contradiction à l'aide d'une suite exacte 0 -+ P -+ L -+ N -+ 0 , avec L libre de type fini.
CoROLLAIRE 1 . 1 5 . Soit A un anneau local noethérien, régulier et de dimension n. Pour tout A-module de type fini M et pour tout entier q, prof M > q si et seulement si Ext�(M, A) = 0 pour i � n - q. Donnons maintenant une caractérisation de la dimension à l'aide des
Ext�(•, A).
LEMME 1 . 1 6. Soit A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, M et N deux A-modules de type fini, N ayant son support réduit à l'idéal maximal, et q un entier. Alors prof M � q + 1 est équivalent à Ext�(N, M) = 0 pour tout i � q.
Démonstration. Soit 0 = N0 c: N1 c: . . . c: N, = N une suite de compo.. sition telle que les quotients successifs soient de la forme Afp avec p e Supp N. Comme Supp N = {rn}, ces quotients sont en fait isomorphes à A /m . Si prof M � q + 1 alors Ext�(A/m, M) = 0 pour i � q et l'impli cation directe résulte en utilisant les suites exactes en �<Ext» associées aux suites exactes
Démontrons l'implication inverse. On procède encore par récurrence. Considérons d'abord Je cas q = 0 et supposons par absurde que prof M = O. Il existe alors un monomorphisme 0 -+ A/m -+ M et un monomorphisme 0 -+ Hom A/m) -+ Hom..c(N , M), do nc Hom..c(N, A/ m) = 0 ; mais ceci est absurde car il existe une surjection N = N, -+ N,/N, + 1 � A/m. Suppo sons maintenant q � 1 et que l'assertion est prouvée pour q - 1 . On a prof M � q � 1 et soit x e m un élément M-régulier. On tire de la suite exacte 0
-+
x
M-
M -+ MfxM -+ 0
que Ext�(N, Mfx M ) 0 pour i � q - 1 , donc prof(MfxM) � q. Donc = p r o f (Mf xM ) + 1 � q + 1 . Soit A u n anneau régulier et p u n idéal premier d e A . I l résulte du théorème de Hilbert-Serre que l'anneau Ap est encore régulier (car on a dimcoh Ap � di m A !). Dans la proposition suivante on utilise la relation p ro f M
=
dim A
=
dim Ap + d im Afp
26
MéTHODES ALGéBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dont on trouve une démonstration dans ([96], IV, th. 6), ou dans ([45], Ch. Om, 1 7. 1 .3 et 1 6.5. 10) ou enfin dans le chapitre 2, corollaire 1 .28, lorsque A est un anneau de séries convergentes, le seul cas où l'on applique la proposition 1 . 1 7. PROPOSITION 1 . 1 7 . Soit A un anneau local noethérien, régulier et de dimen sion n. Pour tout A-module de type fini M et pour tout entier q, l'inégalité dim M � q est équivalente à Ext�(M, A) = 0 pour i < n - q. Démonstration. Supposons que Ext� (M, A) = 0 pour i < n - q. Soit p un idéal appartenant à Supp M, minimal pour cette propriété. On a
L'anneau A p est régulier, donc de Cohen-Macauley et prof A p = dim A p = dim A - dim Afp. Il est aisé de vérifier que Supp M p (dans SpecA p) se réduit à l'idéal maximal p A p ; il résulte alors du lemme 1 . 1 6 que prof A p � n - q donc dim Afp � q, d'où il résulte que dim M � q. Démontrons maintenant l'implication inverse, par récurrence suivant q. Le cas q = 0 résulte du lemme 1 . 1 6, car Supp M contiendra tout au plus l'idéal maximal de A, et prof A = dim A = n. S oit maintenant q � 1 et supposons l'assertion prouvée pour q- 1 . On considère une suite de compo sition O =Mo c: M1 c: . . . c: M, = M telle que les quotients M1/M1 _ 1 soient de la forme Afp, p .e Spec A . Il suffit de montrer que Ext�(M1fM1 _ 1 , A) = 0 pour i < n - q et 0 � j � r et d onc on peut supposer que M est de la forme Afp (remarquons que dim M1/M1_ 1 � dim M � q). Si p = m , alors la conclusion résulte de la définition de la profondeur. Dans le cas contrairè, il y a un élément x M-régulier, appartenant à m . Il résulte de la suite exacte Ext�(M, A) _:. Ext� (M, A) -. Ext�+ 1 (MfxM, A), en utilisant l'hypothèse d'induction, que le premier morphisme est surjectif pour i < n - q. Orr finit la démonstration en appliquant le lemme de Nakayama. Nous finissons cette section en considérant une classe remarquable d'anneaux, construite à partir des anneaux réguliers. Un anneau est nommé intersection complète s'il est isomorphe à un anneau de la forme A
/±
1- 1
x1A,
avec A anneau local noethérien régulier et (xl> . . . , x,) une suite A-régulière. PROPOSITION 1 . 1 8 . Tout anneau intersection
Macauley.
Démonstration. Soit B = A
dim B = dim A
-
/±
complète est de Cohen
x1A comme ci-dessus. D'après 1 . 5 et 1 .6, 1- 1 r et prof B = prof A - r. La conclusion résulte de 1 . 12.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
27
(e) Soient X et Y deux espaces topologiques séparés. Rappelons qu'une application continue f: X -+ Y est finie si c'est une application fermée (T fermé dans X => f(T) fermé dans Y) et si ses fibres f- 1(y), y e Y, sont des . ensembles finis. LEMME 1 . 1 9. Soit f: X -+ Y une application finie et y un point de Y. Si Of est un système fondamental de voisinages pour y, alors f- 1(0fl) est un système fondamental de voisinages pour lafibre f- 1(y). La
démonstration est un simple exercice de topologie.
CoROLLAIRE 1 .20. Soit f: X -+ Y une application finie entre des espaces topologiques séparés. (i) Si � e Ab(X), alors le morphisme canonique
est bijectif pour tout y e Y. (ii) Le foncteur f. : Ab(X) -+ Ab( Y) est exact. (iii) Si cp est un morphisme de Ab(X) tel quef. (cp) soit un isomorphisme, alors cp est un isomorphisme. _
Démonstration. L'assertion (i) résulte immédiatement du lemme et de la définition de f. . Les assertions (ii) et (iii) sont des conséquences évidentes de (i). LEMME 1 .2 1 . Dans les conditions de 1 . 20 les morphismes canoniques n·( Y,f.(N')) -+ H"(X, �).
H;( Y, f.(!i)) -+ H;(X, �)
sont bijectifs. Démonstration. Soit g,• une résolution flasque pour �. Alors f.(81") est une réso lution flasque pour f.(N"). La conclusion résulte des égalités
§ 2. La dualité sur les variétés de Stein Le
premier résultat du paragraphe est le théorème suivant :
THÉORÈME 2. 1 . Soit (X, 6) une variété complexe de Stein de dimension n et U le faisceau de formes différentielles de type (n, 0) sur X à coefficients analytiques. Alors, pour tout faisceau analytique cohérent 5' sur X et pour tout entier q � 0, Ext'éJ- q(X; �. U) possède une structure naturelle d'espace de Fréchet-Schwartz et son dual topoloqique est algébriquement isomorphe à Ht(X, 5').
28
M ÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
La démonstration nécessite quelques préparatifs. Soit (X, e) un espace complexe. Notons Coh(X) la catégorie des faisceaux analytiques cohérents sur X. Si :§' e Coh(X), alors r(X, �) possède une structure natu relle d'espace vectoriel topologique, laquelle est même FS lorsque X est à topologie dénombrable ([46], Ch. VII et Chapitre 7). Rappelons comment on la définit. Nous allons nous borner à considérer le cas de X à topologie dénombrable (c'est-à-dire possédant une base dénombrable d'ouverts). Soit 'tl un recouvrement de X avec une famille dénombrable d'ouverts de Stein «suffisamment petits». Pour chaque U e "t il existe une immersion 1 fermée U -+ V, où V est un ouvert de Stein d'un espace numériq ue. Supposons aussi que le faisceau i.(� 1 U) est le quotient d'un faisceau ey par un sous faisceau cohérent � c: et. Il résulte du théorème B que r(U, �) = r( V, i. (�)) � r( V, et)fr( V, �). Si l'on considère sur r( V, ey) la topologie de la convergence uniforme sur les compacts on obtient une structure d'espace FS. D'après un théorème de Cartan, r( V, �) est un sous espace fermé de r( V, en On a obtenu ainsi sur r( U, �) une structure d'espace FS. L'espace r(X, �) est un sous-espace fermé dans Il r( U, �) et avec la u
e 'lt
structure induite, r(X, �) aura même une structure d'espace FS. On montre que celle-ci est indépendante des différents choix qu'on a faits ; ainsi � devient un faisceau de Fr échet-Schwartz, c'est-à-dire un faisceau tel que pour tout ouvert U, l'espace r(U, �) a une structure FS et pour tout couple d'ouverts V c: U, l'application de restriction F(U, 5) -+ r( V, �) est conti nue. Si � -+ � est un morphisme de faisceaux analytiques cohérents sur X, l'application r(X, 5) -+ F(X, �) est continue pour les topologies que l'on vient d'introduire.
LEMME 2.2. Soient X un espace de Stein, 5 -+ cj un morphisme de faisceaux analytiques cohérents sur X. Alors l'application rex, �) -+ r(X, (j) est stricte.
= Coker (5 -+ cj). De la suite exacte 5 -+ cj -+ X on obtient, d'après le théorème B, la suite exacte d'applications linéaires et continues entre des espaces FS
Démonstration. Soit X
r(X, 5) -+ r(X, (j) -+ rex, X).
Il en résultera que l'image de F(X, 5) dans r(X, cj) est un sous-espace fermé,
d'où la conclusion en appliquant le théorème de Banach. On fera .la convention suivante. Si X est un espace analytique complexe, 1 K c: X un compact, 5 e Coh(X), U un voisinage de Stein de K, U -+ V une immersion fermée où V (;St un ouvert de Stein dans un espace numérique, L un compact de V tel que ;- 1 (L) = K et e� -+ ï.(5) un épimorphisme de faisceaux alors, en prenant le supremum sur L, on obtient une seminorme sur r(V, e�). Par l'intermédiaire de la surjection r(V, ey) -+ r( V, i. (5 )) = r(U, 5) on obtient une seminorme sur r(U, 5) ; la seminorme sur F(X, 5) déduite de celle-ci à l'aide de la restriction r(X, 5) -+ r(U, 5)
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DB STEIN
29
sera nommée une seminorme du type «sup» sur r(X, S). Une telle semi K
norme a la propriété suivante : toute suite de Cauchy par rapport à «sup» K est encore suite de Cauchy pour la restricti dn à r(D, S), chaque fois que 0 D est un ouvert tel que D c K et i(D) c L. La famille
Les faisceaux � ® e�0• * sont mous (en tant que modules sur le faisceau des germes de fonctions C"' sur X). La conclusion résulte alors du fait que H;(X, �) sont les groupes de cohomologie du complexe rc(X, � ® e tl0· * ). LEMME 2.6. Soit (X, el) une variété de Stein de dimension n et f un faisceau libre de rang fini. Alors H�(X, f) = 0 pour q =!= n et H�(X, f) est isomorphe au dual topologique de Home (f, 0), ce dernier étant muni de la topologie FS qui a été définie sur le module des sections d'un faisceau analytique cohérent, Home(f, .Q) = r(X, Home(f, .Q)). On a aussi que les isomorphismes de dualité sont compatibles avec les el�morphismes entre faisceaux libres de rang fini. Démonstration. Soit
0 -+ et
.a
-+
d"
d"
tl'· 0 -+ 6"• 1 -+
•
•
d"
. -+ ,... Il
-+
0
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
31
les résolutions d e Dolbeault-Grothendieck de 0 (respectivement d e e) avec des formes différentielles à coefficients C""(respectivement distributions). Le faisceau f étant de la forme eP on en déduit les résolutions
.
.
.
d"
__. Home( f , S"· ") -+ 0,
d"
0 -+ f -+ f ® e �o�o __. f ® e �o , 1
d"
__.
•
•
•
d"
-
f ® e�o . " -+ O.
Les faisceaux Home(f, S"· *) et f ® e �0• * sont mous (ce sont des modules sur le faisceau des germes de fonctions C"" sur X). Il en résultera que les invariants n·cx, Home(f, .Q)) sont les groupes de cohomologie du com plexe r(X, Home(f, S•· *)) = Hom e ( f , S"· *) et que les invariants H;(X, f) sont les groupes de cohomologie du complexe re(X, f ® e � 0• *). Le complexe r( X, $"• *) est FS et son dual topologique est isomorphe à rcCX, 81C0• *) (l'iso morphisme change le degré q en n - q). Comme f est de la forme eP, il en résulte facilement que Home(f, S"• *) est un complexe FS et que son d ual topologique est isomorphe à re<X, f ® e.;J{ 0 • *). La topologie FS que l'o n obtient sur Ho m e (f , .Q), co m m e noyau de l'application Hom e(f , :l"· 0) '!: H o m e(f , �"· 1), coïncide avec celle définie au début du paragraphe (il résulte imméd i at em e n t q u ' el le est plus fine que cette dernière et les deux sont des t opo l ogi es de Fréchet !). La conclusion du l e m :n e résulte alors aisément du théorème B et de 1 . 3 .
Démonstration du théorème 2. 1 . Nous allons munir les invariants Exté,(X; � , .Q) de la topologie F3 donnée par l e lemme 2.4 et nous allons montrer que celle-ci vérifie le théorème. On fait d'abord l'hypothèse supplémentai re : • a une résolution (non nécessairement fi ni e !) , , , -+ f2
-+
f l -+ fO -+ �
-+ 0
avec des faisceaux libres de rang fini. Considérons alors le complexe .
•
.
-+ 1/�(X, f2) -+ H;(X, f 1 ) -+ H;( X, f0) -+ O .
D'après le lemme 2.6, Hg(X, f1) 0 pour tout i et q :1: n, et do n c H�(X, �) s'identifie au groupe d'homologie en dimension n - q de ce complexe : cette assertion se justifie aisément par récurrence descendante suivant q en utilisant les faisceaux �1 = Coker (f1 + 1 -+ fi), i � O. Considérons maintenant le complexe =
( ** )
.
.
•
+-
Ho m e(f2 , .Q) +-_ Hom e(ft, 0) +- Hom e(f0 , Q}
+-
0.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
32
Les groupes de cohomologie de ce complexe s'identifient à Extë, (X; f!i, .Q). Il résulte du lemme 2.6 que ( • • ) est un complexe FS et que son dual topo logique est algébriquement isomorphe à ( • ) . Du lemme 2.2 il résulte que les applications de (**) sont strictes. Il résulte alors de 1 .3 que H!(X, f!i) est algébriquement isomorphe au dual t opologique de Extê- q(X; f!i, .Q), ce dernier muni de la topologie FS déduite de ( * * ). Les faisceaux d'homologie du complexe .
•
•
+-
Home; (f.2, Q)
+-
Home(�1, .Q) +- Home;(f0, .Q)
+-
0
coïncident avec Ext"eJ(f!i, .Q). On en déduit facilement, en utilisant le lemme 2.2, que la topologie sur Ex tf,- q(X; S:, Q) déduite de ( **) est identique à celle déduite de ExtêJ- q(ft', Q) à l 'aide du lemme 2.4. Le théorème est donc démontré, sous l'hypothèse supplémentaire portant sur f!i . Passons maintenant au cas géné ral. Soit ( U,),.,. 1 une exhaustion de X avec des ouverts de Stein relativement compacts, tels que les applications de restriction rex. e>) __. r( u, e>) soient à image dense, pour tout r ;;y-modules él� -+ i.(IF) -+ O. On déduit du théorème B une surjection F(i(K) , él�) -+ F(i(K), i.(W)) = r(K, W). Mais r(i(K), e�) a une structure naturelle d'espace DFS (§ 1 , (c)) e t on munit r(K, 8') de sa topologie quotient. On vérifie facilement que cette topologie coïncide avec la topologie limite inductive considérée ci-dessus en utilisant les définitions de ces topo logies et le fait que la topologie sur cha qu e F( Ur, IF) coïncide avec la topo logie quotient sur F( i( Ur) , é>y).
PROPOSITION 2. 10. Soit X un espace complexe, K c: X un compact de Stein et W e Coh(X). La topologie sur T(K, IF) construite ci-dessus est de type LF et DFS. Elle est aussi indépendante des différents choix que l'on
a faits.
Démonstration. Soit x e X un point arbitraire. Pour tout entier n � 0, Wxfm;w" est un élx/m� -module de type fini , donc un ct-espace vectoriel de dimension finie. On y considère la topologie séparée d'espace vectoriel topologique. Soit U un ouvert contenant le point x. Montrons que l'application composée
r(U, IF) -+ IF" -+ IFxfm ;IF"
est continue. On peut supposer que U est un ouvert de Stein et qu'il existe une immersion fermée U � V, o ù V est un ouvert de Stein d'un espace numérique , tel que i.(W I U) soit le quotient d'un faisceau ee. La conclusion résultera du diagramme commutatif r( V, é>t) -+ r( V, i.(IF I U)) ,J.
=
r(U, 8') -+ 0 ,J.
�. ltxl /mfcx> et , ltx l -+ W,./m;wx
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
3S
car r( U, �) est muni de la topologie quotient de T( V, ee) et la première flèche verticale est évidemment continue. Si x e K on a donc montré que les applications T( U, �) --. §xfm 'i§ sont continues pour tout n � 1 et par con�équent il en est de même pour les applications r(K, §) --. §,cfmZ�x · Il résultera du théorème de Krull que l'application continue T(K,
§) - II err §x/m :�x) x e K n ;;. o
est injective et donc T(K, §) sera séparé. La topologie sur T(K. §) est maintenant LF et DFS d'après la manière dont elle a été définie. Son indé pendance des différents choix qui ont été faits s'obtient facilement en utili sant le théorème de l'application ouverte pour les espaces DFS (ou pour les espaces LF). La proposition est démontrée. Un cas remarquable est cel ui de K réduit à un point. La topologie ainsi obtenue est appelée la topologie canonique ou la topologie de la con vergence uniforme sur les voisinages [41], [52]. LEMME 2. 1 1 . Soient X un espace complexe, K c X un compact de Stein et § --. 36
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
le théorème B montre que la suite spectrale est dégénerée et la conclusion du lemme en résulte. Le lemme permet de définir une topologie DFS sur chaque Ext�(K; fi, �). LEMME 2. 13. Soit X un espace paracompact à base dénombrable, K c: X un compact et fi un faisceau de groupes abéliens sur X. Alors le morphisme canonique
Hq(X""-. K; tf) -+ lim Hq(X""-. U, fi ) U ::J K
est un épimorphisme pour tout q. Si on suppose en plus que les applications de restriction Hq - I(X, fi) -+ Hq 1(X""-. U, 5) sont surjectives pour tout ouvert U appartenant à un système fondamental de voisinages de K, alors ce morphisme est un isomorphisme. Démonstration. On considère une résolution 8!(.' de § IX""-.K avec des faisceaux injectifs (ou mous !), qui permet le calcul des invariants H'(X""-.K, tf) et H'(X""-. U, fi), U voisinage de K. On choisit un système fondamental dénombrable ( U,), .,. 1 pour K (respectivement un système vérifiant l'hypothèse supplémentaire ! ). Les applications F(X""-. U, + I> &>t')-+F(X""-. U, S!t') sont sur jectives, r � 1 . La conclusion du lemme résulte facilement d'un raisonne ment élémentaire sur les systèmes projectifs en utilisant un diagra mm e convenable. Démonstration du théorème 2.9. Le problème étant au voisinage de Kon peut supposer X de Stein. Nous allons considérer les invariants Exté,(K; fi, 0) munis des topologies DFS données par Je lemme 2. 1 2 et la proposition 2.10. Il existe un m orphisme canonique (donné par la restriction)
Hl(X, fi) -+ lim H:(U, fi), U ::J K
où q � 0 est un entier arbitraire. L'ensemble K étant un compact de Stein, la limite projective peut être supposée indexée suivant un système fonda mental dénombrable de voisinages de Stein relativement compacts U de K. D'après Je théorème 2. 1 , chaque «:-espace vectoriel Extê- q(U; fi, 0) possède une structure naturelle FS, pour laquelle Je dual topologique est algébri quement isomorphe à H�(U, §). De plus ces isomorphismes sont com patibles avec les applications induites par les inclusions U' c: U. On obtient ainsi un isomorphisme naturel lim H�( U, fi) � lim(Extë,- 9( U; fi, 0))' � (Extë,- q(K; fi, 0))',
-
U ::J K
,._
U ::J K
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
37
le dernier isomorphisme étant une conséquence des lemmes 2.4, 2. 1 2 et des topologies considérées. On obtient par composition avec ( • ) Je mor phisme suivant ( n) pour tout entier q � O. Ces morphismes sont fonctoriels en � et compatibles avec les suites exactes courtes. Les applications (* *) sont bijectives si et seulement si les applications ( • ) sont bijectives. En utilisant ce fa i t on peut supposer dans la suite que X est un espace numérique. Montrons d'abord que ( u ) est un isomorphisme lorsque en plus � est supposé -localement libre. Pour cela il suffit de montrer que ( •) est un isomorphisme. Le cas q · 0 est évident. Pour q = 1 on utilisera les suites exactes o -+ rKcx, �> = o -+ rex. �> -+ T(X '\. x, g;> -+ nk(x, �>
-+ o
0 -+ r,(U, �) = 0 -+ r(X, �) -+ r(X""'U, �) -+ H�(U, � ) -+ 0
crK(X, �) et r,(U, �) sont des sous-espaces de r.,cx, �). qui est nul d'après le corollaire 2.7). En prenant la limite projective (que l'on peut supposer prise suivant une famille dénombrable d'indices) on obtient aisément la suite exacte
0 -+ r(X, �) -+ lim r(X""'U, �) -+ lim Hi(U, �) -+ O. U =:J K
U =:J K
L'application de restriction r(X""'K, �) -+ lim r(X""' U, �) étant bijective, -
U =:J K
la conclusion recherchée en résulte. Supposons maintenant q � 2. On a les suites exactes
. . . -+ H9- 1(X, �) -+ H9 - 1(X""'K, �) -+ H'l(X, �) -+ H9(X, g;) -+ . . . . . . -+ H9- 1(X, �) -+ H9 - 1(X""' U, �) -+ Hl(U, �) -+ H9(X, �) -+ . . .
La conclusion pour q ::/= n + 1 résulte du lemme 2 . 1 3 , en utilisant le corollaire 2. 7. Il nous reste à montrer que H�+ 1(X, �) = O. Pour cela il suffit de mon trer que l'espace nn(X'\.K, ê>) � H�+ 1(X, e>) est nul. Dans ce but on utilisera les propriétés du Laplacien [65]. Soit co = oc dz1 A . . . A dzn une forme de type (0, n) sur X".K à coefficients cao ; il existe une fonction p de classe cao sur X". K tel que _!_ L1P = � azp _ = oc, donc la forme ro égale à 4 ; ôz,ôz , ôP 1 dz1 A . . . A dz 1 A . . . A dzn vérifie d"ëô = ro . On peut donner � (- 1 )1+ ôz,
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
38
aussi un autre argument, utilisant les hyperfonctions (Schapira [85], Ch. IV), pour montrer que H"(X""'-K, él) O Prouvons maintenant que ( * *) est un isomorphisme dans le cas général 8' e Coh(X). En remplaçant X par un voisinage convenablement choisi de K (notons que les invariants considérés ne changent pas), on peut supposer que 8' admet une résolution finie avec des faisceaux localement libres de rang fini. En utilisant une récurrence porta nt sur la longueur de ces réso lutions, il reste pour finir la démonstration, à prouver l'affirmation suivante : Si =
.
est une suite exacte dans Cob(X) et si le morphisme ( * * ) est un isomorphisme pour tf et �. alors il en est de même aussi pour �. On a les suites exactes . . . -. H1(X, tf) --. Hl(X, <j) --. Hl(X, X) --. H7/ 1 (X, tf ) --. Hr 1(X, éj)-. . . . ,
. . . +-Extê-q(K; !f , Q)
+-
+- Extë-q- 1 (K; tf , Q)
Extê
+-
q (K; éJ, Q)
+-
ExtêJ- q(K;
Extë,- q- 1 (K; �. Q) +-
�.
Q)
+-
. . .
Les applications qui figurent dans la seconde suite sont strictes, d'après
2. 1 1 et 2. 1 2. E n utilisant 1 .4, en passant au dual (topologique) on obtient
une nouvelle suite exacte. On finit la démonstration en appliquant le «lemme des cinq» . Il ressort facilement de la démonstration que les dualités de 2. 1 et 2.9 sont compatibles avec les applications naturelles Hx(X, tf ) --+ H;(X, 8'), Ext8(K; tf, D)
+-
Extë(X, tf, Q).
Remarques. 1 ) On a utilisé le fait su ivant : si X est un ensemble analy tique dans un (1: ", alors tout compact de Stein de X est un compact de Stein dans (1: ". Ce fait n'est pas tout à fait fa c i le à prouver. Si l'on veut éviter ce résultat, on doit se borner à considérer seulement des couples (X, K), où X est un espace de Stein et K un compact holomor
phiquement convexe. 2) Si X = (1:" et si K = K1 x . . . x K, est un polycompact, alors il n'est pas nécessaire d'appliquer les propriétés de l'opérateur de Laplace. En effet, le fait que est nul résulte alors du fait que l'on peut recouvrir X". K par n ouverts de Stein, U1 {z e , on obtienne l'identité. On est donc ramené à démontrer la conti nuité des applications H9(X""-K, S')-+H'Jc+ 1 (X, a') avec l'hypothèse supplé-
42
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
mentaire : le faisceau Sô est un facteur direct d'un O. Il en résulte facilement que H§+ 1(X, Sô) est un sous-espace fermé de Hj+ 1(X, él:P). En utilisant le diagramme commutatif Hq(X""-. K, Sô) �
-+
Hq(X""-. K, é')
H'/t 1( X, �) �
HJ+ l (X, é')
-+
donné par le morphisme § -+ él', on se ramène à montrer la continuité des applications Hq(X""-.K, �)-+ Ht-+1(X, 3') pour § é)P et donc, grâce à l'additivité, au cas § él. On a Hk(X, él) = 0 pour i ::;: n et H'K(X, e) est le dual topologique de l'espace Q( K). Il faut donc prouver la continuité de l'application =
=
H"- 1 (X""-.K, él )
-+
Hfc(X, él).
Rappelons que la topologie sur H" - 1(X ""-. K, él) coïncide avec· la topologie induite par le complexe de Dolbeault (cf., par exemple, ch. 7). •Pour U ouvert de Stein de X, on sait que H�( U, él) est isomorphe (algé briquement) au dual topologique de l'espace n u, .Q) ; muni de la topologie forte H;( U; él) devient un espace DFS. Soit ( U,),;; un systèm� fondamental de voisinages de Stein pour K, tels que U, + 1 c c U, pour tout r. O n a l'isomorphisme d'EVT localement convexes
r(K, .Q) � lim r( U, .Q). -
,
Par passage au dual fort topologique on obtient un isomorphisme topo logique Hi(.X, él):: Iim Hg( U, él), -E r
en utilisant le fait que chaque ensemble borné de r(K, .Q) est l'image d'un borné d'un r( U, .Q). Il suffit donc de montrer que, U étant un voisinage de Stein relativement compact de K, le morphisme canonique
est continu. Nous allons exvliciter ce morphisme à l'aide de la résolution de Dolbeault. Considérons deux ouverts U', U" tels que K c U' c: c U" c c U et choisissons fP e C""(X), fP étant identiquement nulle sur U' et identi quement égale à 1 sur X""-. U". Considérons une suite Ç, de cycles de vers un cycle e E r(X""-.K, $0 • " - 1). O n doit r(X""-.K, $0· " - 1") convergeant " montrer que c5(Ç,;) -+ c5(Ç), où «" » désigne la classe de cohomologie associée.
LA COHOMOLOGIE SUR. LES ESPACES DE STEIN
43
Les éléments d"(q>Ç,), d"(q>Ç) appartiennent à t(X, �o.n) et ont leurs supports dans l'adhérence de U" ; ce sont donc des éléments de rc< U, �04. Le mor phisme est le composé des morphismes H"- 1(X"'-.K, 8) -+ H"- 1(X"'-. U, 8)-+ n:(u, 8), la première flèche étant la restriction, et la seconde l'application «cobord». Cette dernière peut être construite à partir de la suite exacte de complexes 0 -+ rc(U, $0• *) -+ t(X, $0• *) -+ T(X"'-. U, &0• * ) -+ 0,
reliant les invariants H;(U, 8), n·(x, 8), n·cx"'-. U, 8). II en résultera que " ()(Ç,), ()(Ç) représentent les classes de cohomologie associées aux éléments d"(q>Ç,.), d"(q>Ç) et la conclusion en résulte aisément . Passons maintenant au cas général . Nous allons donc prouver que pour tout faisceau !1 e Coh(X) les applicatio ns Hq(X"'-.K, !1) -+ Hf+ l(X, !1)
sont continues. Nous allons utiliser la récurrence suivant prof !1 = inf (profe" !1"), le cas prof = n étant déjà traité . On peut supposer qu'il
.x ex
existe une suite exacte
0 -+ <j -+
8"o
-+ !1 -+ o .
D'après 1 . 1 3 il en résulte que prof <j = prof !1 + 1 (pr o f !1 < n) . Le dia gramme suivant .•.
-+Hq(X"'-.K, 8"•) -+ Hq(X"'-.K, !1 ) -+ HH 1(X"'-.K, �)-+ HH 1(X"K, 8"•) -+ . . .
( •) • . •
--+
l
l
l
1
H'// 1 (X, 8"•) � Hfc+ 1 (X, !1) --+ H1+2(X, �) � H!/2(X, 6"•) �·
.• .
est commutatif (m od ul o le signe !). Les flèches horizontales y sont co n ti nues , et celles de la seconde ligne sont mêmes strictes (cette ligne é t ant une suite exacte d'espaces FS). Soit q "'- n - 2 ; on a Hj+ 1(X, ê"•) = 0 d ' ap rès 2. 1 4 et l'assertion à dé m ont rer résulte du diagramme ( • ) en appliquant l'hypothèse de récurrence. Si q � n - 1 , alors HH 1(X"'-.K, �) � Hfc+'l·(X, (j) = 0 et la conclusi o n résulte de n o u v ea u du diagram m e ( • ) , en utilisant 2. 1 8. Le théorème est démontré. CoROLLAIRE 2.20. Soit X compact de Stein et 0 -+ !1 Alors la suite
un
-+
espace
� -+ X
-+
de Stein, K c X un ensemble 0 une suite exacte dans Coh( X).
est exacte dans la catégorie des espaces vectoriels topologiques.
44
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. Les applications de la suite considérée sont continues ; les espaces respectifs étant des FS, elles sont donc strictes.
COROLLAIRE 2 . 2 1 . Soit X un espace de Stein, x un point arbitraire de X et � e Cob(X). Alors les espaces topologiques H"(X"'-{x}, t§') sont séparés (donc de Fréchet-Schwartz) .
§
3. La dimension et la profondeur d' u n faisceau analytique cohérent
Soit (X, t'>) un espace complexe et � e Coh(X). On note, depuis Andreotti Grauert [3] prof � = inf profex�" xex
(on écrira prof �" au lieu de profe"�x>· Ce nombre est dénommé la profondeur du faisceau Fi . Rappelons quelques propriétés simples de la profondeur : - prof � oo si et seulement si � = O. - Si X .!. Y est une immersion fermée d'espaces complexes et si � e Coh{X), alors prof � = prof i.(FF) (ceci résulte de 1 .7). - Si X est une variété de dimension n et � e Cob {X), alors prof If = n - dhFf, où dh� = sup dhe" If" (ceci résulte de 1 . 1 1). =
JC E X
Rappelons qu'un espace complexe est appelé un espace parfait si les fibres du faisceau structural sont des anneaux de Cohen-Macauley. Des cas particuliers de tels espaces sont les espaces localement intersection complète, pour lesquels les fibres du faisceau structural sont des anneaux intersection complète. Si X est un espace parfait et si Fi e Coh{X) est locale ment libre de rang positif, alors les formules prof Fi" = prof e>., = dim e>", pour x point arbitraire de X, permettent de calculer prof If. THÉORÈME 3. 1 . Soit X un espace complexe, Kc. X un ensemble compact de Stein, If e Cob(X) et N � 0 un entier. Alors (a) prof Fi" � N + 1 pour tout x e K si et seulement si Hl(X, If) = 0 pour tout q � N; (b) il existe un voisinage U de K tel que prof (Ff i U"'-K) � N+ 1 si et seulement si les (!;-espaces vectoriels Hl(X, If ) sont de dimension finie pour tout q � N. Démonstration. (a) Supposons 1d'abord que X est une variété de dimension n. D'après le théorème 2.9, le l emme 2. 12 et le théorème A on a les équivalences : Hl(X, If) =0 � Ex tê- q( K ; Fi, Q)--:- 0� Extf; q(lf , .Q)IK=O � Extë-:q(lf"' .Q") = 0 pour tout point x e K � Extë-:q(lf"' t'>") = 0 pour tout point x e K. Les anneaux t'>x, " étant réguliers, la conclusion résulte du corollaire 1 . 1 5.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
4S
Dans le cas général, en remplaçant éventuellement X par un voisinage de Stein de K convenablement choisi, on peut supposer qu'il existe une 1 immersion fermée X - ([; ' pour un certain entier p. L'image K' de K par i est un ensemble compact de Stein dans ([!:'. Si nous notons �· = i. (� ) . alors HK(X, � ) � Hic.( ([; ", �·) et prof �" = prof ��", pour tout point x e X. On est ainsi ramené au cas des variétés. L'assertion (b) peut être prouvée de la même manière, en appliquant aux faisceaux Ext le lemme suivant : LEMME 3 .2. Soit X un espace de Stein, K c X un compact et X e Coh(X). Alors dima;T(K, X) < oo , si , et seulement si, il exist e un voisinage U de K tel que Xl U""-K = O.
Démonstrat(on. Soit U un voisinage de K et supposons que XI U""-K=O. Alors Supp (XI U) c K est un ensemble fini, disons {xl> . . . , x,.} . D'après le «NullstellensatZ>> chaque fibre X"' est annulée par une puissance de l'idéal p
maximal m" ' ' donc dim X"' < oo . Comme r(K, %) = II %" " il en résulte k-1 dima;T(K, X) < oo . Réciproquement, si m(x) est l'idéal maximal de r(X, 6) déterminé par x, point arbitraire de K, l'hypothèse dima;T(K, X) < oo implique l'existence d'un nombre r tel que m(x)' T(K, X) = m (x)' + 1 r(K, X) = . . . . Il résultera alors du théorème A que miXx = m�+ lX" = . . . et du théorème de Krull, m�X" = O. Il en découle que les points de K n Supp X sont isolés. On trouve alors un voisinage U de K tel que Xl U""-K = O.
CoROLLAIRE 3.3. Soit X un espace complexe, x e X, � e Cob(X) et N un
entier. Alors (a) prof �" � N + 1 si et seulement si H'j(X, � ) = 0 pour q � N; (b) il existe un voisinage U de x tel que prof(� 1 U""- {x}) � N + l si seulement si les espaces H'j(X, � ) sont de dimension finie pour q � N.
et
Remarque. Si U est un voisinage de K, alors Hi( U, � ) � Hk(X, if). En utilisant la suite exacte de cohomologie
. . . � H'k( U, S' ) � Hq(U, S') � Hq( U""-K, S') � H'k+l(U, �) �
. . .
on obtient une interprétation de l'assertion (a) de 3 . 1 en termes de prolon gements des classes de cohomologie. Pour le résultat suivant on aura besoin de deux lemmes. LEMME 3.4. Si X est un espace de Stein et X e Cob(X), alors d i ma;T(X, X) N. Pour tout x � A, Extê-q(f'i", 8") = 0 " pour q > N, donc dim f'i" � N. Par conséquent dim (t'i iX'\ A) � N et A étant discret et N '";?; 0, il en résulte dim f'i � N. Les théorèmes 3 . 6 et 3 .7 montrent que les groupes de cohomologie à support compact pour les faisceaux analytiques cohérents sur les espaces de Stein sont nuls en dehors de l'intervalle [prof, dim]. En ce qui concerne ]es extrémités de cet i ntervalle on a les deux corollaires suivants : =
Soit x un espace de Stein et f'i E Coh(X). Alors n-gror g (X, �) est de dimension complexe finie (respectivement au plus dénombrable) si et seulement si l'ensemble {xlprof f'i" = prof f'i} est fini (respectivement discret) . . CoROLLAIR E 3.8.
Le corollaire résulte du théorème 3 .6.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
49
CoROLLAIRE 3.9. Soit X un espace de Stein et If e Coh(X). Alors n:im S(X, If) est de dimension (sur SI) et (U2, S2) s'il existe un voisinage U de la frontière, U c UI n U2, tel que si n u = s� n u. Soit ôX le germe défini par n'importe quel voisinage de la frontière. On dira qu'un espace complexe X (paracompact, mais non compact) est irréductible à la frontière si le germe ô X ne peut pas être écrit comme réunion de deux germes distincts de X (les réunions, les intersections, etc. de germes comme ceux de ci-dessus se définissent de manière naturelle). Tout tel espace est connexe à la frontière : en effet, pour tout compact K on a X = K U ( U V1) U ( U U,) où V" U,. sont les composantes connexes de ,.
X ""'-.K, les V, désignant celles qui sont relativement compactes et U,. les autres. Pour tout compact K' => K et pour tout cc:, on a U,. n (X"'- K') =1: 0 ; l'irré ductibilité implique que l'ensemble d'indices {cc:} est réduit à un seul élément COROLLAIRE 4.7. Soit (X, é>) un espace de Stein connexe tel que prof e> � 2.
Alors X est connexe à la frontière.
LA
COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
S3
Démonstration. Soit K un compact arbitrair.e et X = K U ( U V1) U ( U U,) « 1\ ; comme ci-dessus. Pour tout ex on a (X"'K) n U., =1= 0 et il suffira donc de montrer que X"'K est connexe (il en résultera1 q ue l'ensemble des indices {ex} est réduit à un seul élément et donc que X est connexe à la frontière). On a
l'assertion suivante.
CoROLLAIRE 4.8. Soit (X, e) un espace de Stein et K c: X un compact holomorphiquement convexe tel que prof ex � 2 pour tout x E K. A lors x est connexe si et seulement si X"' K est connexe.
Démonstration. D'après 4.4, l'application r(X, e)-. r(X"'K,e) est bijective. La conclusion résulte alors du lemme suivant :
LEMME 4.9. Un espace annelé en anneaux locaux (X, e) est connexe si et seulement si l'anneau r(X, é') ne peut pas s'écrire comme produit de deux anneaux (commutatifs, unitaires) non nuls. Démonstration. Si X = U U V avec U et V ouverts disjoints, alors r(X, e) = r(U, e) x r( V, él). Pour l'implication réciproque supposons r(X, e) = A x B (avec A, B anneaux commutatifs, unitaires). La section unité s'écrit 1 = e1 + e2, e1 e A, e2 e B. Soit U = {x E Xle1(x) =1= 0} -et V = {x e Xle2(x) =1= 0}. Comme d'habitude, pour une section fe r(X, e) on note f(x) son i mage par le morphisme composé : r(X, él) -+ ex --. él:x:lm:x: (mx étant l'idéal maximal de él"). La condition f(x) =1= 0 signifie que fx ; m", donc est équivalente à f inversible au · point x. Il en résultera alors que U et V sont ouverts. D'autre part, on a visiblement X = U U V et u n V = 0.
COROLLAIRE 4. 1 0. Soit X un espace de Stein irréduct ib le , de dimension � 2. Alors X est irrédu ctible à la frontière et en particulier connexe à la frontière .
Démonstration. I l suffit de montrer q ue, pour tout compact holomorphi quement convexe K c: X, l'esp1c! X"' K est i rréductible. Soit X' le normalisé de X et K' l'image i nverse de K par le morphisme de normalisation. L'espace X' vérifie les conditions du corollaire précédent et K' est holomorphiquement convexe. Il en résultera que X' "' K' est connexe. La conclusion résultera alors du fait que X' "'- K' est le normalisé de X"' K. Soit (X, ex) un espace complexe, pas nécessairement réduit. L'algèbre des sections r(X, élx) a une structure naturelle de a:-algèbre topologique. Si X est à base dénombrable, alors r(X, ex) est une algèbre de Fréchet. Si (X, ex) --. ( Y, er) est un morphisme d'espaces complexes, alors le morphisme correspondant r( Y, élr) --. r(X, élx) est un morphisme d'algè bres topologiques. Nous utiliserons le résultat suivant de Forster [27], la démonstration qu'on va lui donner appartenant aux auteurs.
M ÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
54
THÉORÈME 4. 1 1 . Si Y est un espace de Stein, alors l'application canonique
Hom(X, Y) -+ H om �a tg.top. ( r( Y, é' y} , r( X, é'x))
est bijectit'e, pour tout espace complexe X. Démonstration. Soit 0 l'application de l'énoncé. Nous distinguerons
deux cas. ( 1 ) Y est plongeable. Soit i: Y -+ /}1 s'iden tifie au système des images dans r(X, é'x) des fonctions coordonnées z" . . . , z,. e r(
0
H�(X, If)
LEMME 1 .2. Si 0 -+ If' -+ If -+ If" -+ est une suite exacte dans Ab(X) et si A est localement fermé dans X , alors on a la suite exacte de cohomologie
0 -+
H� (X, If') -+ Hj(X, If) -+ Hj(X, If") -+ Hj (X, If' ) -+ H]. (X, If) -+ . . . La
démonstration résulte des propriétés générales des foncteurs dérivés. Soit A u ne partie localement fermée de X et A' un sous ensemble fermé dans A ; alo rs A" = A"-A' est aussi une partie localement fermée de X. -
PROPOSITION
0 -+
1 .3. Pour tout faisceau If e Ab(X) on obtient une suite exacte __.
Hj. (X, If )
Hj(X, If)
-+
Hj.. (X, If) -+ H} (X, If) -+ . . .
fonctorielle en If et compatible avec les suites exactes courtes dans Ab(X), les applications H".4: (X, If) -+ HA,(X, If) et HA. (X, If) -+ HA. .. (X, If) étant celles naturellement induites, la première par l'inclusion A ' c: A et la seconde HA(X, If ) -+ HA.,...CX"-A', If) � n;. . (x, If) par la restriction. Démonstration. Si j est un faisceau sur X, on a une s ui te exacte donnée par l'inclusion A' c: A et par la restriction : .
Lorsque j est injectif (donc flasque !), l'application
est surjective ( U est un ouvert dans lequel A est un sous-ensemble fermé). Soit j " une résolution injective pour If. D'après ce qu'on vient de dire, on obtient une suite exacte
0 -+ r
..
·(X, j")
-+ r
..
ex, r>
-+ r
A"(X,
r > -+
0
et l'assertion de la proposition en résulte. CoROLLAIRE 1 .4. Si A est un sous-ensemble fermé de X et If e Ab(X), on
obtient une suite exacte naturelle
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
62
Cette suite exacte montre que les invariants H�+ 1(X, �) représentent les obstructions relatives à la surjectivité des applications de restriction H1(X, � ) -+ H1(X""'A , �). CoROLLAIRE 1 .5. Soit A un ensemble localement fermé de X et � un faisceau flasque sur X. Alors H�(X, �) = 0 pour tout i � 1 . Démonstration. Si U est un ouvert dans lequel A est fermé, alors le faisceau g- l U est flasque sur U. En remplaçant X par U on peut supposer que A est un fermé de X. L'application H0(X, �) -+ H0(X""'-A , �) est surjective et H1(X, �) = H 1(X""'-A , ti) = 0 pour i � 1 . La conclusion résulte alors du corollaire précédent.
Les groupes de cohomologie locale à support dans un ensemble localement fermé peuvent être calculés à l'aide de résolutions flasques. Il résulte du corollaire précédent, d'après une propriété générale des foncteurs dérivés («le théorème de De Rham abstrait», 1 . 1 .2.).
CoROLLAIRE 1 .6.
Remarque. Pour l'étude des invariants H�(X, • ) , ainsi que pour les autres invariants de ce chapitre, on peut éviter l'utilisation des faisceaux injectifs. Pour un faisceau � e Ab(X) on considère la résolution flasque de Godement ([34], Ch. II, 4.3.) 0 -+ � -+ eo -+ E: 1 -+ e• -+ •
.
.
et on définit H�(X, ti) comme étant les groupes de cohomologie du com plexe
A partir de cette définition on démontre les propriétés antérieures de la cohomologie locale. Il résultera du corollaire 1 .5 que, pour le calcul des invariants HA,(X, ti), on peut remplacer la résolution de Godement par n'importe quelle résolution flasque. Nous allons conclure les considérations cohomologiques globales en introduisant d'un nouvel invariant. Si � c 'P sont deux familles de supports dans X (non nécessairement paracompactifiantes), alors pour tout faisceau ti e Ab(X) on n otera
On obtient ainsi un foncteur dont les foncteurs dérivés à droite sont notés H;,1 �tX, • ) . En général r .,1� (X, �) n'est pas isomorphe à H3-1�(X, �). On déduit des propriétés des foncteurs dérivés le lemme suivant : LEMMA 1 .7. Sous
-+
naturelle 0
les conditions précédentes il existe une suite exacte
H�(X, S'") -+ H!i(X, �)
-+
H3-1�(X, lf) -+ H�(X, lf) -+ HJ,(X, lf) -+
.
•
.
63
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Passons maintenant à l'étude des invariants cohomologiques locaux, définis par Grothendieck et Sato. On garde les notations antérieures, donc X est un espace topologique, A c: X un ensemble localement fermé et !f 1e Ab(X). Pour i entier, on désignera par ��If le faisceau associé au préfaisceau U �o+ H�( U, !f), (U
c:
V) �- l'application naturelle H�(U, tf) (c) et (c) => (a) résultent aisément du lemme antérieur (l'ensemble Ass associé à un module de type fini est vide si et seulement si le m odule est nul !). L'équivalence (c) .- (d) résulte de ce que l'ensemble des diviseurs de zéro p ou r M coïncide avec la réunion des idéaux de Ass M et de [ 1 3], Ch. IV, § 1 , n°] , cor. 2, prop. 2. La démonstration du théorème. L'implication (a) => (b) est évidente. (b) => ( c) . Le cas q � 0 est évident, on peut donc supposer q > O. Hom (N, M) = 0 donne (d' ap rès 1 . 1 9) l ' e x i s t ence d'un élément fe a qui soit M-régulier. On a la suite exacte
Démonstration. L'implicatiop (a)
0
-.
1
M --+ M -. M/fM
-.
O.
En utilisant l 'hypothèse et la suite exacte donnée par les Ext il en résulte que Ext�(N, M/fM) = 0 pour i < q - 1 . D'ici , par induction suivant q, on déduit aisément l'assertion cherchée.
COHOMOLOG lE LOCALE ANALYTIQUE
67
(c) => (a). On utilise d e n ouveau la récurre nce s ui vant q. Le cas q � 0 est clair. S uppo s ons q > 0 et démontrons le passage de q - 1 à q. S oit ,/q) d onnée p ar (c) . On a la su ite exac te (f /1 , =
•
.
•
0
-+
f
M - M -+ M/fM -+ O.
D'après l'hypothèse de récurrence, o n déduit que Ext�(N, M/fM) = 0 pour tout A-module de type fini N ayant l a propriété que Supp N c V(a), p ou r tout i < q - 1 . Par conséquent, la multiplication donnée par f, Ext�(N, M) !. Ext�(N, M), est injective. L'élément/appartenant à a, une de ses p ui s sa nce s annule N, et donc au ss i Ext�(N, M). Il en résultera alors Ext� (N, M) 0 p our i < q et le t héo rèm e est dém ontré. Soient A, a et M comme dans l'énoncé du théorème. Le p l us grand entier q vé rifiant les assertions équiv al e ntes de 1 . 1 7 es t nommé la profon deur de M relative à a et est notée profa M. Lorsque A est local et a so n idéal maximal, on retrouve la notion usuelle de p r ofondeur. CoROLLAIRE 1 .20. Toutes les suites M-régulières formées avec des éléments de a et maximales pour cette propriété ont toutes le même nombre d'éléments, égal à profa M. =
CoROLLAIRE 1 .2 1 .
Si f e a est M-régulier, alors
prof0 M
=
prof0M/fM + 1 .
La démonstration se fait exactement comme pour 1 . 1 .6 (ii) .
COROLLAIRE 1 .22.
On a
prof0M = i nf (profA p Mp) . P E V< n l
Démonstration. Si les éléments f1, , fq de a cons t ituent une suite M-réguli è re , alors, pour tou t p de V(a), leu rs image s dans Ap appartiennent à p A, et elles cons tit u ent une suite Mp-régulière. Par conséquent profnM � � inf (prof Mp). •
•
•
P E V . . . , Xn} _:. ct { Y., + h . . . , Y,} et un nombre r � d + 1 tels que aP n a: {x., + l . . . . , Xn} = (X4 u . . . . , X,) a: {Xd + 1, • • • , Xn}· Le m o rph ism e •
•
• •
X1 1-+ Y1 pour 1 � i � d et X1 H: v(X1) pour d + 1 � i � n, est fi n i et en le composant avec u on trouve un morphisme fini i nject i f a: { Xh . . . , Xn} -+ A. En posant h(p) = r o n conclut la démonstration.
Remarque. L' hyp o thèse suivant laquelle les algèbres an a ly t iques le sont sur le corps a: d es nombres c o mp lexes n'est pas essentielle ; on peut re m place r a: par un c orps valué complet arbitrai re.
CoROLLAIRE 1 .28. Soit A une algèbre analytique intègre et p un idéal premier de A. Alors dim A
= dim Afp + dim Ap.
Démonstration. Il existe un morphisme fini injectif ct { X} = ct {X�> . . . , X,} -+ A et un entier h, O �h �n, tels que p n ct { X} = (Xh . . . , X11) ct {X}. En appl iquant les théorèmes de Cohen-Seidenberg ([9 6], Ch. III) on trouve dim A = dim ct {X} = n, dim A /p = dim ( n, � est nul et l'assertion est évidente. Démontrons le pas général de récurrence. Soit x un point arbitraire de D. Si �"' est libre, alors � sera libre dans un voisinage de x; il en résultera q � n - d et donc (X��)"' = 0 pour 0 � i < q, d'après ce qui a été démontré ci-dessus. Supposons maintenant que �"' n'est pas un &"'-module libre. On aura alors l'inégalité n > d + q. Il existe une suite exacte de la forme -
..
..
..
0 -+ 'I U -+ � l U -+ 0
avec U vo1smage convenable de x. On en déduit l'inégalité prof
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
77
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant d'annulation de la cohomologie locale dû à Scheja et Trautmann [88], [108], [101].
THÉORÈME 3.6. Soit X un espace complexé, A c: X un sous-ensemble analytique fermé et � un faisceau cohérent sur X. Alors, pour tout entier q � 0, les conditions suivantes sont équivalentes: a) profA� � q + 1 . b) dim(A n SH q + l(�)) � k pour tout k. c) %�� 0 pour i � q. d) Pour tout ouvert U de X les applications de restriction
=
sont bijectives pour i < q et injectives pour i = q.
Démonstration. L'équivalence (c) (d) résulte de 1 . 1 6. (a) � (b). Soit a: le faisceau d'idéaux déterminé par A et soit x un point arbitraire de A. Le fait que profa:x �x � q + 1 implique l'existence d'un voisinage U de x et des sections ft, . . . , f't + 1 appartenant à r(U, d) telles que, pour tout y e U n A, les germes (f1)7(1 � i � q + 1) forment une suite �,-régulière (conformément à la démonstration du lemme 3. 1). En appliquant 1 .21 on obtient : A n u n Su q + l
=An
( j :t: f� }
u n s" �
En utilisant le théorème 2. 1 on en déduit que dim,x(A n Su11 + 1(�)) � k. (b) � (c). On utilise une récurrence suivant la dimension de A. Suppo et soit x un point arbitraire de A. On a dim (A n S11(�)) � - 1 , sons dim A donc l'intersection U n Sq(�) est vide pour un voisinage convena�le U de x. Il en résultera alors prof (� 1 U) � q + l. En utilisant la proposition 3.5 (et les assertions de 1 . 1 3 et 1 .25 !) on a X�� I U = 0 pour i � q. Démontrons le pas général de récurrence. Soit d = dim A et supposons que l'implication a été démontrée pour les sous-ensembles analytiques de dimension < d. On note A' = A n Sq + d(� ) et A" = A"'-A'. D'après 3.5, X� . . S" = 0 pour i � q. L'ensemble A' est de dimension � d - 1 et vérifie la condition (b), donc d'après l'hypothèse de récurrence x� . � = 0 pour i � q. La conclusion recherchée résulte alors de la suite exacte
=0
(c) => (a) . On va prouver le résultat plus précis : si (X��}x = 0 pour un point x appartenant à A et pour i � q, alors p rofA ,.x� � q + 1 . En uti lisant 3.3 on trouve un voisinage U pour x et un élément fe r( U, d) tel que la suite
78
M �THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
soit exacte, la flèche 11 1 U -+ 11 1 U étant la multiplication par f. On obtient la suite exacte sur U . . . -+ X�§ -+ X� (§ //11) -+ x�+ 1§ -+ • •
•
donc X�(§ //!f)x = 0 pour i � q - 1 . On conclut la démonstration par une récurrence suivant q et en utilisant le corollaire 1 .2 1 . Le théorème est démontré. Remarque. Pour q = 0 on obtient des conditions nécessaires et suffisantes pour que les applications H0( U, 11) -+ H0( V""-A, 11) soient injectives. Pour q 1 on trouve des conditions nécessaires et suffisantes pour que les appli cations H 0( U, 11 ) -+ H0(U""-A, 11) soient bijectives, et que H1{U, §) -+ -+ H1(U""-A, �) soient injectives. Donnons maintenant des conséquences du théorème d'annulation. et
=
COROLLAIRE 3.7. Soit x un point de A tel que (X�!f)x = 0 pour i � q. 1/ existe alors un voisinage U de x tel que X�!f l U = 0, i � q. Ceci résulte de la démonstration de l'implication (c) � (a), du lemme 3 . 1 et de l'équivalence (a) (c) .
un espace . complexe, fe r(X, é'), V(j) = Supp (é'//é') l'ensemble des zéros def et § e Coh(X) . Les deux conditions suivan tes sont équivalentes : (a) dim V(f) n SH 1(§) � k pour tout k ; (b) h est un non diviseur de zéro pour §x, quel que soit le point x de X. Démonstration. (a) � (b). On applique le théorème pour A = V(f) et q O Il en résulte profy(/)§ � 1 . Soit x un point de V(f). Il existe un élément gx e :J( V(f))x, non diviseur de zéro pour §x · Une certaine puissance de cet élément est de la forme fxh", h" e e". Il résulte alors que fx est un non diviseur de zéro pour §x · Si x n'est pas dans V(f), alors k est i nversible et (b) est e ncore vérifiée. L'implication inverse est une conséquence immédiate du théorème. Reformulons 3.5 pour les espaces complexes, comme une conséquence d u théorème. CoROLLAIRE 3.9. Soit X un espace complexe, A c X un sous-ensemble analytique fermé, � e Cob(X) et q un entier. Si prof § � dim A + q + 1 . alors X�§ 0 pour tout i � q. On obtient une autre conséquence en considérant l'ensemble analytique A du théNème de dimension zéro. CoROLLAIRE 3.8. Soit (X, é')
=
.
=
CoROLLAIRE 3 . 1 0. Soit X un ,espace complexe, x un point de X, ?F e Cob(X) et q un entier. Alors prof §x � q + 1 si et seulement si, pour tout voisinage
U de x, les applications canoniques
H1(U, §) -+ H1( U""'{x}, §) sont bijectives pour i < q et injectives pour i
=
q.
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
79
CoROLLAIRE 3 . 1 1 . Soit (X, él) un espace complexe et soit A un sous-ensemble analytique fermé de X tel que profAé' ;;?; 2. Alors X est connexe û et seule
ment si �A est connexe. La démonstration résulte de 1.4.9. De ce qui a été démontré on déduit des résultats remarquables concer nant les espaces parfaits (en particulier pour les variétés, pour les espaces localement intersection complète, pour les sous-ensembles analytiques de dimension pure (n - 1) des variétés de dimension n). En particulier on obtient le résultat suivant de Thimm et Scheja, [106] et [87].
COROLLAIR E 3. 12. Soient (X, é') un espace complexe parfait et A un sous on de resensemble analytique fermé de codimension ;;?; 2. Alors l'applicati . triction F(X, él) -+ F(X"'A, é') est une bijection.
Pour le corollaire suivant on suppose que X est un espace complexe réduit et A un sous-ensemble analytique fermé de X. Une fonction holo morphe sur X"'-A est bornée aux points de A si pour tout point x de A il existe un voisinage U de x tel que fi U"'-A soit bornée.
CoROLLAIRE 3. 1 3. (Scheja [87]). Soit X un espace analytique réduit et parfait. Alors X est normal si et seulement si codim S(X) ;;?;2, où S(X) est le lieu singulier de X. Démonstration. L'assertion «X normal = codim S(X) ;;?; 2» est une pro priété générale des espaces complexes (1], [ 1 8], [7 1]. Supposons que codim S(X) ;;a-; 2. Soit xe X un point arbitraire et fx/g,. un élément de l'anneau total des fractions de él,., entier sur é'". Il existe un voisinage U de x et des fonctions holomorphes J, g, ai> , a, sur U telles que les germes de J, g au point x soient fx, g,. et que l'on ait l'égalité : .
•
.
(fig)' + al(f/g) ' - 1 + . . + a, = O. .
f/g est une fonction holomorphe sur U"'-A, A étant l'ensemble des zéros de g. En prenan t éventuellement pour U un voisinage plus petit on déduit que fig est bornée aux points de A. En appliquant le premier théorème de prolon gement de Riemann (7 1 ] il en résulte l'existence d'une fonction holomorphe h sur U"-._S(X) telle que h =flg sur ( U"-S(X))"-._A . On applique maintenant le corollaire précédent et on trouve que cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur U. II en résultera alors que fx/g,. e é',., donc é',. est un anneau normal. Donnons maintenant un résultat plus général. CoROLLAIRE 3 . 1 4 . Soit (X, él) un espace complexe et S = {x e X I é',. n'est pa.s régulier} le lieu singulier. Alors {i) X est réduit si et seulement s i dim (S n S1(é')) � k - 1 pour tout k ; (ii) (Markoe [68]) X est normal si et seulement si dim (S n S"(é')) � k - 2 pour tout k.
80
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. (i) Il est évident que X est réduit si et seulement si, pour tout ouvert U de X, l'application r(U, 6) -+ r(U""'S, 6) est injective. La conclusion résulte alors du théorème ((b) *> (d)). (ii) X est normal si et seulement si, pour tout ouvert U de X, l'appli cation F(U, 6) -+ r(U""'S, 6) est bijective (ceci résulte des propriétés géné rales concernant la normalisation des espaces complexes [71]). On appli que le théorème ainsi que le : LEM ME 3. 1 5. Soit X un espace topologique, A un sous-ensemble fermé et 8l un faisceau de groupes abéliens sur X. Supposons que, pour tout ouvert U de X, l'application F(U, 8l)-+ r(U""'A, 8l) est bijective. Alors l'application H1(X, 8l) -+ H1(X""'A, 8l) est injectil'e.
Démonstration. Il résu l te de la suite exacte
que X�8l = X�8l = 0 et la conclusion résulte du corollaire 1 . 1 6. CoROLLAIRE 3. 1 6 (Scheja [87]). Soient (X, 6) un espace normal, A un sous ensemble analytique fermé de codimension ;;31: 2. Alors l'application de res triction F(X, 6) -+ F(X""'A, 6) est bijective. Ceci résulte du théorème, en utilisant 1 .24. Rappelons qu'un e-module � est dit être réflexif si le morphisme ca noni qu e � -+ (� v ) v = Home;(Home;(� . 6), 6) est un isomorphisme. 3. 1 7. (Serre [97]). Soit X un espace normal, A e X un sous ensemble analytique fermé de codimension ;;31: 2 et � e Coh(X) un faisceau réflexif. Alors profA� ;;31: 2. En particulier, l'application canonique CoROLLAIRE
F(X, �) -+ F(X""'A, �)
est bijective. Démonstration. On notera i l'inclusi on X""'A c X. Soit éj=Home;(� , 6), donc � � Home;(�, 6). On a i*� = Hom (i*�, ex,..t) et donc i.i· � = i.(Hom(i* (fj , 6x ,..))= Hom ((fj , i.ex,..t)=Hom ((fj, é',T) � � (la seconde égalité résulte du fait que i. et ;• sont adjoints, et l'égalité ;.ex,A = 6x du corollaire précédent). De la suite exacte
il résulte X� � = X�� = 0 et la conclusion recherchée résulte m aintenant du théorème.
81
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
CoROLLAIRE 3 . 1 8. Soit (X, él) un espace de Stein et A c X un sous ensemble analytique tel que profAél � 3 (par exemple X variété et codim A � 3). Alors le problème de Cousin additif a une solution sur X"-A· Si en plus on suppose que H 2(X"-A Z) = 0, alor6 aussi le problème de Cousin multiplicatif a une solution sur X"-A. La démonstration est la même que celle de 1. 4.5. ,
CoROLLAIRE 3 . 19. (Rothstein [83]). Soit X une variété complexe et A c X un sous-ensemble analytique de codimensions � 3. Alors les données de
Cousin additives sur X"'-A se prolongent sur X.
Démonstration [87]. On considère le diagramme commutatif ayant les lignes exactes F(X, &m. ) --· F(X, &m.fél)
!
l
--
H1(X, fJ) -- H1(X, &m.)
l
1
F(X"'A, &m.) --· F(X"'A , g}[feJ) --· H1(X"'A, fJ) --· H1(X"'A , g}[) et la troisième flèche verticale bijective. Pour tout ouvert U, l appl ication de restriction F( U, &m.) -+ F(U"-A , &m.) est bijective [7 1]. On déduit du lemme 3 . 1 5 que la dernière flèche verticale est injective. Il en résulte aisément que l'application nx, g}[feJ) -+ -+ r(X'-'A, &m.fél) est surjective. '
§ 4. Le théorème de finitude On garde les notations des paragraphes précédents. On notera Sm(� IX"'-A) l'adhérence dans X de Sm(� IX"'-A). Il est facile de voir qu'il s'agit de la réunion des composantes irréductibles de Sm(�) qui ne sont pas contenues dans A. Le résultat principal du paragraphe est le théorème de finitude pour la cohomologie locale de Siu et Trautmann [100], [ I l l], [101], analogue à un théorème de Géométrie algébrique de Grothendieck. THÉORÈME 4 . 1 . Soit X un espace complexe, A c X un sous-ensemble analytique fermé et � e Coh(X). Pour tout entier q � 0 les deux conditions suivantes sont équivalentes : (a) dim A n Slt+ q+l(� IX"-A) � k pour tout k ; (b) Les faisceaux X�� sont cohérents pour 0 � i � q. La démonstration de l'impl ication (a) => (b) nécessite quelques pré liminaires qui permettrons de déduire que , lorsque la condition (a) est vérifiée, les faisceaux ��� (0 � i � q) sont annulés localement par des puissances convenables de tt 2(A). A l'aide de ce fait , en utilisant une récurrence suivant q, on pe ut démontrer sans difficultés l i m plication considé rée . =
'
82
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
LEMME 4.2. Soit D un domaine de ([", A c D 1111 sous-ensemble analy tique fermée de dimension � d et � e Coh(D). Pour 0 � q � n - d soit ��� le faisceau maximal d'idéaux définissant S9+11- 1(�). Alors, pour tout ourert X c c D dont l'adhérence est holomorphiquement convexe, il existe un en tier k tel que pour tout ouvert U de X et i < q on ait r(U, �,)" · H�(U, �)
= O.
Démonstration. On considère d'abord Je cas q = n - d. L'hypothèse faite sur X donne l'existence sur un voisinage de X d'une suite exacte de la forme e étant le faisceau de germes de fonctions holomorphes dans ([;" et �· le dual de � . E n appliquant le foncteur d e passage a u dual o n obtient l a suite de morphismes de q ces deux assertions sont automatiquement vérifiées. En utilisant la suite exacte 0 -+
g.,J -+ �J -+ �J
-+ 0
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
83
on obtient la suite exacte H�- 1(U, �1) -+ H�(U, �1) -+ H�( U, S1).
On en déduit à l'aide de (Il), que (•)1 suite exacte
=>
1
(u)1. Soit j � 1 . En utilisant la
ainsi que le fait que H�(U, é>) 0 pour i < q (q = n - d) , on déduit les isomorphismes H�-1(U, gr,1) � H�(U, $1_ 1) pour i < q- j + 1 . On a ainsi l'implication (u )1 => ( • )1 - � > j � 1 . Ainsi les assertions ( • ) et ( * * ) sont démontrées. On déduit de la suite exacte =
o - s _ 1 - tl'
la suite exacte
-
&)0 - o
. . . -+ H�( U, $ _ ) -+ H�(U, �) -+ H�(U, 8ù0) -+ . . . 1
On a $ _ 1 ! _ 1 et en utilisant (Il) et ( u )0 on obtient facilement la conclusion du lemme. Le lemme étant prouvé pour q = n - d, passons maintenant au cas général. On utilise une récurrence décroissante suivant q. Soit q < n - d. D'après l'hypothèse faite sur X il existe sur un voisinage de X une suite exacte 0 -+
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Puisque St +.JW ffW)
c:
8S
s, +t + 1(s:-), on a
dim A n S +t + t((s:-fjs:-) I U"'A ) � k pour tout k. D'après l'hypothèse de récurrence les faisceaux X�(W ffs ) et x�- t s:- sont cohérents sur U pour i � q. De la suite exacte écrite ci-dessus on déduit la cohérence de �� s au voisinage de x et l'impli cation est ainsi prouvée. La démonstration de l'implication (b)=> (a). Si q = 0, alors Sm(�IX"'A) c: Sm(s:- fX�s:-). Comme X�(s:-/'3 (c). Soit S = Sd + 9 + 1(/f), donc dim S � d. Mais comme prof (g; IX"'-S) ;il:d+q +2 il résulte de 4.4 que Xi§ est cohérent pour i �q + 1 . Soit U u n ouvert arbitraire et A e m:iU). Il résulte d e 3.9 que X�lf l U"'-S=O donc Xi§ = X� u s g; sur U. Par conséquent X�lf = X� pour i � q + 1 . Démontrons l'implication (c') => (b). Soit S1 = Supp X�. Confor mément au lemme antérieur, S1 est analytique de dimension � d pour q+1
i � q + 1 . Notons S = U S1• Comme X � l X"'- S = 0 pour i � q + 1 , il 1-1
résulte d e 5.1 que l'on a dim Sd + q + 1(g; IX"'-S) � d - 1 < d. E t comme l'on a dim S � d on en déduit dim Sd + 9 + 1 (g; ) � d. L'implication (b) => (d) se démontre exactement comme l'implication (b) => (c), en écrivant sd + q + l(lf ) = s( d + p) + (q -p) + 1(1f). Les implications (d) => (d') => (c'), (d) => (a) sont évidentes. CoROLLAIRE 5.7. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(a) (b) (c) (d)
dim Supp 1C�+ l(lf) � d. x�+ 1� = x� . dim sd+ 1(1f ) � d.
Il.� est cohérent.
La démonstration résulte de 5.6 et de la suite exacte
0
-+
1C�
-+
If
-+
��.�
-+
%�
-+
o.
APPLICATION. On va construire pour chaque espace analytique un com
plexe naturel de faisceaux. La construction sera faite en plusieurs étapes.
90
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(a) Soit V un ouvert d'un espace numérique G:". Pour un entier q et un ouvert U de V on notera iP9(U) �..-/U), donc iP9(U) est la famille des sous-ensembles fermés de U de codimension � q. Soit � un faisceau analytique sur V. On notera �:q(.f") (respecti vement �:q/!14 + 1 (�)) le faisceau associé au préfaisceau U �- H;•(U, �) (respectivement au préfaisceau U �- H;•f!l< + l(u>(U, of")), p et q étant =
des entiers arbitraires. Avec les notations antérieures, �:.(3') pour un entier p, la suite exacte
=
X� - 9�. On déduit de 1 .7,
Pour l'indice p + 1 on a la suite exacte . . . -+ �:t!l(3') -+ ��! ! . ,(jiP + •(3') -+ ��t!.(3') -+ . . .
On déduit de ces deux suites, par composition, un morphisme
Si l'on écrit les suites exactes ci-dessus pour p = 0, on obtiendra un morphisme � -+X�'J!I(�). Il est facile de voir qu'on a obtenu ainsi un complexe o -+ "�''!Il' (�) -+ x�.,(ji. (�) -+ x!.,(ji.(�) -+ . . . , ·
le complexe de Cousin associé au faisceau �. avec un morphisme d'aug:. mentation � -+ %!1'1!1' (�). Considérons maintenant le cas particulier � él. =
LEMMB 5.8 . Le complexe de Cousin associé au faisceau structural eJ est une résolution de eJ, autrement dit la suite est exacte. Démonstration. Montrons que ��.(él) 0 pour p #: q ; en utilisant seulement les définitions, le lemme se déduira alors aisément. L'assertion étant évidente pour q = 0, on supposera q � 1 . On a x:q {é>) �!- 9él. Si p < q, %�- 9é> = 0 d'après le théorème 5 . 1 . Considérons u n point arbitraire x d e V. Soit U u n voisinage d e x et A e �..-q( U). On va montrer (en choisissant si nécessaire U plus petit) qu'il existe B e �. -9(U) tel que A c: B et H'B(U, é>) = 0 pour p > q. Il en résultera alors que ��_9 (é>),. 0 pour p > q, ce qui finira la démons tration. En choisissant éventuellement U encore plus petit on trouvera un =
=
=
92
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
On établira, pour tout entier q, un isomorphisme
De la suite exacte écrite ci-dessus on déduit les suites exactes
X�wt<J�f.t t (eJ w)) -+ X�r.,t<Jif.t t (él w) � X!w tt�>f.t t(élw)
0 -+ Homew U.eJv,
•
. . . -+ x��ttZ>f.t l (eJ w) -+ x��ttl> l (f.eJv) -+ V
' Xq<JIWI <J�yt t (él -+ . . -+ xq<J�'/v t<JI?J" t (eJ w) -+ w) On a Xpt�>'/v (eJw)
=
,
0 pour p =1: q (la démonstration du lemme 5.8) ,
d'où il résulte X�� t<J�f.t l (eJw)
=
O. On en déduit un isomorphisme
q - 1 t<J1ft1 (/.eJv) � Homew (f•eJv , i:ff,). 1C<JI'fv
Si
]q : ië� � f* HomewU.c.:Jv,
8Kw)
à l'aide de .1; et du morphisme naturel Dw -+ f. (D v) . lequel associe à la forme 1/1 " d t la forme 2nil/ll V. Si l'on remplace t par un autre paramètre t ' , alors .1,· = (tft'l V) .1,. On peut vérifier aisément que le morphisme Dw -+ f.(Dv) associé à t' diffère de celui associé à t par la multiplication par t'fti V. Il en résultera alors que les m o rphi sm es fq sont indépendants du paramètre t et que la famille ] = (Jq) est un isomorphisme de complexes. Lorsque l'immersion V .!. W se décompose en un nombre fini d'immer sions du type considéré, la construction de 1 se fait d'une manière récursive, par compositions successives.
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
93
On peut montrer que 1 ne dépend pas de la décomposition considérée. fait permettra en particulier de construire 1 pour une immersion arbi traire (localement, cette dernière est du type ci-dessus ; les morphismes définis localement peuvent se recoller , . . . ) et de vérifier le caractère fonctoriel de la correspondance f 1-+ 1 Ce
(c) On passe maintenant au cas général d'un espace complexe X. Pour un ouvert U de X ayant la propriété qu'il existe une immersion U � V, avec V ouvert d'un espace numérique, on pose iëü = ({J• Home,.(({J.eJu, 81C�).
où ci� est le complexe défini auparavant. Si U' est un autre ouvert ayant la même propriété, les deux immersions pour U n U' obtenues de ({J et de ({J ' peuvent être raffinées à l'aide d'une troisième. Du lemme précédent résultera un isomorphisme -ru, u· :
•
U'
=:
81i'u! U n U' .
Considérons un recouvrement de X avec des ouverts comme ci-dessus. Les isomorphismes -r vérifient les relations usuelles de compatibilité (on applique de nouveau 5.9) et donc les complexes &lü se raccordent et défi nissent ainsi un complexe �.
§ 6. Le théorème de séparation On garde les notations des paragraphes antérieurs et on supposera en plus X à topologie dénombrable. On a la suite exacte cll - 1 .. . 1 1 -+ H• - (X"'A,.t") � H!A_(X. � ) - H (X, cf" ) -+ .
.
•
.
•
.
•
Les invariants n·(X,.t"), n·cx"'-A,.t") ont des structures vectorielles topo logiques naturelles, quotients d'espaces de Fréchet-Schwartz. Pour i ;;il= 1 on munit H�(X, cf") de la plus fine topologie qui rende l'application � i - l continue. L'application ex sera donc continue, car cx� 1 - 1 = O. L'invariant H�(X,.t") peut être muni de la topologie induite par r(X,cf") et devient alors un espace FS, en tant que noyau de l'application rfX,.t") -+ r(�A,.t"). Lorsque X est de Stein, l'espace H�(X, cf") a la même topologie que H1 1(X"'-A cf") pour i ;;il= 2, et H� (X, cf") a la topologie quotient -
,
F(X, cf")/r(X"'A, cf").
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de sépara tion pour la cohomologie locale, de Siu et Trautmann [101] :
THÉORÈME 6. 1 . Soit X un espace complexe. On considère un sous-ensemble analytique fermé A de X, un entier q et cf" un faisceau analytique cohérent sur X
' 94
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
tel que les faisceaux X�� soient cohérents pour i < q. Alors, pour tout ouvert de Stein Q de X, H�(Q, �) est un espace de Fréchet-Schwartz pour i � q. La démonstration nécessite quelques préparatifs.
LEMME 6.2. Soit Li le polydisque unité de G:" et A = Li n {zd + 1 = . . . = = 0} avec 0 � d � n - 1 . A lors H:J- d(LJ , él) est séparé.
z,.
Démonstration. Soit U1 = Li n {z; ::/= 0} pour d + 1 � i � n. Alors '\t = { Ud + 1 , , U,.} est un recouvrement de Stein pour Li"' A. Considérons le cas d � n - 2. Comme H:J - 4(Li , él) � nn - d - 1(Li"'A . , él), il faudra prouver que H " - 4- 1 ( 'H , él) est séparé. •
•
•
Il
Soit u• = n U1• Comme zn - d - 1 ('tt , él) = r(' u•, él), chaque cycle l - d+ l
Ç e zn- d- 1 (1\l , él) est une série de Laurent Ç=
00
�
Vrl + l• · · · • v,. - - co
avd
+
1,
. . . , Yn (zl >
. , , , ZtJ) z;�+ll , , • z:n ,
où les coefficients a...,. , . . .. . .." sont des fonctions holomorphes dans le poly disque unité de «: 4• On vérifie aisément que Ç e B"- 4- 1('\t, él) si et seulement si a.. d . . . . . . . .." = 0 pour vtJ+ 1 � - 1 , . . . , v, � - l. Il en résultera alors, d'après la formule intégrale de Cauchy, que B"- 4 - 1 ('lt, él) est un sous-espace fermé de nu•, él) (ce dernier muni , comme d'habitude, de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts). Il en résulte que n n - d- 1('tt , él), et donc aussi n:,- 4(..1 , él), est séparé. Le cas d = n - 1 est semblable. Revenons à la situation générale (X, A, �). , Pour un ouvert U de X on notera N!c(U, �) l'adhérence de zéro dans H�(U, �). Si V est un ouvert de U, la restriction H�( U, �) .! H�( V, §) est continue. Il en résulte que ft(N�( U, �)) c N�( V, �). Notons &n �(� ) le faisceau associé au préfaisceau U � N�f U, �) . U::J v� l'application de resh iction N�(U, �) --+ N�( V, � ) donnée par p. LEMME 6.3. Soit D un domaine de G: " ; dans D on considère un sous-ensemble
analytique fermé A de dimension.d. Alors 8Jt�(él) = 0 pour i � n - d et
n:.-4(D, él) est séparé. Si en plus D est de Stein, alors n:, - 4(D , él) est même un espace de Fréchet-Schwartz. Démonstration. Comme X�él = O pour t < n - d, on a n:,-4(U, él) = r(U, x�- 48) pour tout ouvert U de D (v. le corollaire 1 . 1 5). Pour i < n - d l'égalité 8Jt�(él) = 0 est une conséquence de l'égalité ?C�él = O. Si on montre que m �- 4(8) = 0, du diagramme commutatif N':f- 4(D, él) --+ r(D , &Jt�-48)
+
+
n:. - 4(D, e) = r(D, x�- 4e) on .déduit l'égalité N':.- 4(D, él) = 0, donc nr4(D, él) est séparé.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
96
et le fait que Supp � 1 c S,._ 1(�) (et donc que des puissances convenables de :19 = �(S,. - I(�)) annulent les faisceaux � 1• donc aussi les invariants coho mologiques associés) la conclusion du lemme en résulte aisément pour q=n d. Considérons maintenant le cas q < n - d. On a une suite exacte -
0
__.
Hj (U, �)
__.
H'!t+ 1(U, (!j)
et donc, l'application cobord étant continue, N'h(U, � ) c N�+ 1(U, � ). La conclusion résulte du cas q = n - d en utilisant une récurrence des cendante suivant q.
LEMME 6.5. Soient D c ([:" un domaine, un ensemble analytique fermé V dans D et � e Coh(D) tel que 11:� = O. Soit � le faisceau maximal d'idéaux de V. Pour tout compact holomorphiquement convexe K de D il y a un voisinage Y et des sections ft, . . . . [p de r( Y, :J) tels que chaque (i"i);, soit un non diviseur de zéro pour �" pour tout x de Y(l � i �p) et que pour un entier convenable m, :Jml K soit contenu dans le faisceau d'idéaux engendré sur K par ft , . . . , [p . Démonstration. Il existe un voisinage Y de K et des sections gi• · . . , g, e r( Y, :J) telles que KI> . . . , g, engendrent :JI Y. Comme XY,� = 0 , dim V n SH 1(�4 � k pour tout k . Notons SH I la réunion des composantes irréducti bles de dimension k + 1 de Y n SHI(�). On choisit un ensemble dénombrable A {xv}, dense dans u SH I" v et tel que A n SH I soit k
=
dense dans SH 1" V. Pour tout v , on a(gi(xv), . . . , g,(xv)) :;é O. Dans l'espace ([:9, ayant zi, . . . , z9 comme coordonnées, il existe une forme linéaire q
:E
a1z1(a1 e Cl:) telle que
q
:E
a1g1(xv) :;é 0 pour tout v. Soit ft =
q
:E
a1g1 de 1-1 1 -1 1 -I F( Y, :J) ;.ft(xv) :;é 0 pour tout v . Il e n résulte alors que dim V(JJ n SHi�) �k pour tout k . Conformément au corollaire 3.8, (.ft)x n'est pas d iviseur de zéro pour �" ' quel que soit x e Y. Si V(.ft) V le lemme résultera du théorème des zéros. Dans le cas contraire, en remplaçant A par un ensemble dénombrable dense B dans ((U SH 1) U V(.ft))""'-V dont l'inter=
k
section avec SH I est dense dans SH1"V et dont l ' intersection avec toute composante irréductible W de V(h)" V est dense dans W""'- V, on trouve un élément h e rf Y, :1) ayant la propriété que f2(x) :;é 0 pour tout xe B. En utilisant de nouveau 3.8 il résulte que (f,)x est un non diviseur de zéro pour �" ' quel que soit le point x de Y. On a aussi dim ( V(ft) n V(/1)" V) < dim( V(ft)" V).
Si V(J;.) n
V(fa) =
V, alors {ft, fa) vérifie le lemme.
98
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Conformément à 4.3, en prenant éventuellement l'entier /1 plus grand, on peut supposer ( U, !') = O. F(U, <JY•. Comme dans la démonstration de 4.3 on prouvera, par récurrence suivant k, l'égalité F(U, 'J)1 N� ( U, !') = 0 k pour 1 suffisamment grand. Pour k 0, dim A 0 � 0 et l'égalité résulte du lemme 6.4 car S1 _ 1(!') c V dans un voisi n age de A 0 • Supposons maintenant qu'il existe un entier /1 � 0 tel que =
nu, :JY• Nlk( u, !') = o
pour tout ouvert de Stein U de X. On va démontrer l'égalité
pour les ouverts U. La récurrence sera complète et, comme pour k suffisamment grand on a At = A, le lemme sera démontré. On appliqu e le lemme antéri eur pour K = x- et soient Y, fr, . . . , f,, m les entités que l'on obtient. On peut supposer que :1 coïncide sur X avec le faisceau engendré par fr, . . . , !, car l 'annulation par des puissances convenables de r(U, 'J) est équivalente à l 'annu l ation par des puissances convenables de r(U, (,h, . . . , f,)fJ), U ouvert de X. Pour U de Stein on a les isomorphismes . ·
.
H�/ U, §) � F( l/'A" , !') / F(U, !'), Hjk( U, !') � H1 - 1( U""'A to §), q �2. Soit "tl un recouvrement de Stein pour U""'A" et "f un recouvrement de Stein pour U ""'At+ l > plus fin que la restriction de "tl à U""'AH1• Considérons l'application 1 e : zt- ("\.l, !') œ o 2{"'. §) .. zq- l("f, !') '1) = Ç 1 V + c5 , , où c- t ("f , !') = F(U, §) et où c- l("f, !')!Z0("f, §) est la restriction r(U, !') -+ r(U""' A ir.+ 1, !'). On désignera par }Jt- l("f, §) l 'adhé rence de ,Bf- l("f, §) dans zt- l("f, !'). Comme F(U, :tY•N'. k+ 1(U, §) c lm oc , on a gÏftl- 1 ("f, §) c lm (J pour tout g E F(U, :J)h. . Soit g = fi, . . . jj1 1 Alors, pour tout x e X, gx est un non diviseur de zéro pour §x et donc l 'application
définie par O(Ç
E9
•
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
99
donnée par la mult i plicat ion par g est un monomorphisme strict. Par conséquent gB" - 1("f, � ) est un sous-espace fermé, donc de Fréchet Schwartz. D'après le théorème de Banach l'application 0- 1(g B"- 1("f, �)) gÏJq- 1("f, �). induite par 0, est ouverte. Soit Ç e B'�- 1("f, �) et { Çv} une suite de Bq - l(><e, �) convergeant vers Ç. On peut trouver une suite {CvEB 'lv} dans 0 - 1(g ii9- 1("f , §")) convergeant vers un élément c e ,, telle que O(Cv EB 'lv )=gÇ v e B9- 1("f, �) et 0({ EB 'l)=gÇ. Comme gÇv e Bq- 1(""1 , �) . il en résulte que h{v e B"- 1('\t, �) pour t out h e r(U, �i· ca r la classe définie par Cv dans H!k(U, � ) est dans l'image de {J, On en déduit que h{ e Bq- 1('\t, �) . Confo r mé ment à l'hypothèse d'induction, h' h{ e Bq- 1(1\t, �) pour tout h' e r( U, �Y·. On obtient donc que h'hgÇ est dans Bq- 1("f, �). Mais comme /1 1 U, . . . , J;, 1 U engendrent r( U, �) il en résultera que (pour U ouvert de Stein). r(u �)'•+2It!fJc ( U �) = o ·
'
k+ l
'
Ceci finit la démonstration du lemme. DémonStration du théorème 6. 1 . En vertu des isomorphismes H�(!2, �) =+ r(a, X�� ). i � q, l'application N!t(O, �) - r(!2, dn��) . i � q, est inj ective . Il suffit donc de montrer que dn�� = 0 pour i � q ; i l en résultera alors que les espaces H�(!2, �) sont séparés et, en utilisant les suites exactes . . .
_
H'- 1(!2, �) - Hi- 1(!2 "'- A, � ) - H�(!2, �) - . . . ,
qu'ils sont justement de type FS. Le problème est de nature locale. Grâce à un plongement convenable en un espace numérique (les topologies sur H':4(U, �) sont compatibles avec de tels plongements), on peut supposer que X est un ouvert relativement compact dans un domaine D c: ([;", tel que le compact x- soit ho lomo rp h iqueme nt convexe, que A c: D soit un sous-ensemble analytique fermé et que � e Coh(D). En vertu du théorème de finit ude ·
dim A n Sk + .,(� 1 D"'A) � k, pour tout k.
Soit 3J = 31 (A ) . On va prouver, par récurrence par rapport à q, l'assertion suivante : pour tout ouvert de Stein U de X, l'espace H�(U, �) est séparé pour i � q et tout r(U, él)-homomorphisme r( U, ey - HHU, �) ayant la propriété que son image est annulée par une certaine puissance de r(U, 31) est d'image fermée. La démonstration sera ainsi te rm i née . Pour q=O cette assertion s'obtient aisément. Soit q � 1 . E ffectuons le passage de q - 1 à q. Soit U un ouvert de Stein dans X. Co nfor mé ment aux lemmes 4.3 et 6.6, il existe u n entier 1 � 0 (dépendant de X) tel que r(U, 31)1 H� (U, � ) = 0 pour i < q e t r(U, 31)1 N?4_(U, �) = O . Pour le problème qui nous intéresse, en remplaçant � par �j'X��, on peut supposer que X�� = O. On applique 6.5 et on trouve un voisinage
100
MÉTIJODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Y de x- ainsi que g e r( Y, :�y tels que g soit non diviseur de zéro pour §:., quel que soit x dans Y. On obtient ainsi la suite exacte
D'après l'hypothèse de récurrence, H<J.-1(U, g; fg5-) est un espace FS. Puisque X?4- 1g; est cohérent, on a un épimorphisme de faisceaux eJS
� X?4- 1 g;
sur X. Comme H'!f- 1(U, §) = T( U, X?4- 1§), r/J induit un T(U, é>)-épimor phisme
Conformément à l'hypothèse de récurrence, lm a.r/J * = Ima. étant annulée par T(U, :�y, il en résultera que lm a. est un sous-espace fermé. Comme g*N'ft(U, §) = 0, on obtient N'ft(U, g;) c lm 1>. En utilisant la cohomologie de C ech, exactement comme au cours de la démonstration du lemme 6.6, on en déduit que l'application o - 1(N'f4(U, §)) -+ N'f.( U, §)
est ouverte. Donc N'f4( U, g;) est isomorphe à l'espace {>- 1(N'f4(U, g;))/Ima. qui est de type FS. Il en résulte alors que N<J.( U, §) = 0 et donc H'f4(U, §) est séparé. La séparation des espaces H�( U, §) pour i < q résulte de l'hypothèse de récurrence. Soit maintenant cp :
F( U, é>)' -+ H'ft(U, §)
un T(U, é>)-morphisme tel que lmcp soit annulée par une puissance ·de r( U, �). Sans restreindre la généralité on peut supposer que r( U, :JY Imcp = 0, 1 étant l'entier qui apparaît dans les considérations précédentes. On obtient de (•) que m cp c lmf>. Il existe un T(U, é>)-morphisme
I
cp : T(U, é>)' -+ H'f.- 1(U, §jg§)
tel que cp = f>êp. On définit maintenant le morphisme
I
par la formule y\a Eab) = a.rjl •(a) + êp(b). Du fait que T(U, :1)1 o( mêp) = 0, il résulte que Imy est annulée par une puissance de T( U, :J) et conformé ment à l'hypothèse de récurrence, Imy est fermée. L'application IJ surjective H'f.-1(U, § /gg;) - lmf> est stricte (lmf> = Ker g* est FS) et
1 02
Mi;THODES ALGDR.IQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Indications bibliographiques Ce chapitre a été conçu d'après le livre Gap sheaves and extension of coherent analytic subsheaves de Y. T. Siu et G. Trautmann.
La démonstration donnée du théorème 2.1 est celle de [104] ; on peut en trouve r d'autres dans [ 1 8 ], [101 ]. Une d ém onstratio n différente du corollaire 2.2 se trouve dans [18 ] et dans [62 ] . Dans l'art icle de Schej a [88 ] on montre le rô le j o ué par les ensembles de défaut Dm (11) dans les problèmes de prolongement des entités analytiques définies en dehors d u n ensemb le an a lytiq ue . '
Les d émonstrat ions des théorèmes d'annulation 3 .6, de finitude 4. 1 et de sépara ti o n
6. 1 , qu i représentent les résultats centraux du chapitre, sont celles de [ 1 0 1 ]. Le corollaire · 3.10 est démontré différemment (en utilisant la dualité) dans [10], [48 ] (cf. 1. 3 .3). La posi t ion des corollaires 3 . 1 2 et 3 . 1 3 d a ns le contexte de résultats d'Abhyankar, Oka, Rothstein, Thimm est montrée dans [87 ] . On trouvera des démonstrations du théorème de finitude dans [ l OO], [1 1 1 ]. Une démonstration directe du corollaire 4.4 se t rouve dans [109 ] . Le corollaire 4.5 es t démontré à l'aide de la dualité dans [10] (cf. 1. 3 . 3). Les rés ultats du § S, à l'exception de l'application qui en est donnée, sont du livre [101 ]. L'étude des faisceaux lacunaires relatifs, la relation avec les décompositions de Lasker-Noether, la position de ceux-ci par rapport à certains résultats de Thimm ainsi que d'autres résultats dans ce contexte peuvent être trouvés dans ce même livre.
Le complexe i• c ons tru it au § S est en analogie avec le cas a lgébrique [47] et avec le complexe dualisant de Ramis et Ru ge t [77 ) (cf. le chapitre 7). Récemment Fouché a montré [30] que les fibres des composantes de ce complexe sont des mo du les i njectifs et d onc i• est un nouveau complexe dualisant.
L'hypothèse de l'énoncé du théorème de séparation 6.1 fait que le problème est de nature locale et on peut ainsi utiliser les faisceau x 4Jl.A · Cette hyp othèse est seulement suffisante pour assurer que les invariants HA sont séparés, mais elle n'est nullement nécesaire (cf. 1 . 2.21).
CHAPITRE
3
Morphismes propres d'espaces complexes
Introduction Soit X une surface de Riemann compacte et D = On considère l'espace vectoriel complexe L(D) = {
q
pour lesquelles on établit des résultats de semi-continuité et de continuité (théorème de Grauert, 4. 12), résultats généralisant ceux de Kodaira et Spencer (61].
§ 1. Préliminaires (a) Soit f: X -+ Y une application continue d'espaces topologiques et soit � un faisceau de groupes abéliens sur X. On notera R'lf.(W) le faisceau associé au préfaisceau sur Y
les applications de restrictions étant évidentes. Les faisceaux Mf.(�) sont dénommés les images directes généralisées de �. En particulier, �/.{�) coincide avec l'image directe f.(�). A tout morphisme � -+ (fj de Ab(X) correspondent naturellement des morphismes R'!f.(� ) -+ R'!f.((fj) et ces associations sont fonctorielles. Si 0 -+ � ' -+ � -+ �" -+ 0
est une suite exacte dans Ab(X), alors on obtient une suite exacte
Il est d'ailleurs aisé de démontrer que R"f. représentent les foncteurs dérivés du foncteur f. : Ab(X) -+ Ab( Y).
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
lOS
Si V est un ouvert de Y et JY :f- 1(V) -+ V la restriction de f, on obtient évidemment des isomorphismes R.f.(�) 1 V � R·/�(� 1 J- 1 (V)).
On considère maintenant un morphisme d'espaces annelés f : (X, é>x) -+ ( Y, e>r) ·
Lorsque � est un e>rmodule, les faisceaux Rtif.(�) possèdent une structure naturelle de é>rmodules ; en particulier, si f est un morphisme d'espaces complexes et � un faisceau analytique sur X, alors les Rtif.(�) sont des faisceaux analytiques sur Y. Rappelons que � est f-plat ou plat relativement à Y si les e>1<x> ·modules �"' sont plats pour tout x e X (on trouvera des généralités concernant la platitude au chapitre 5, § 1 ). On supposera que X et Y sont paracompacts et soit � un é>x-module, 81 un é>rmodule. Pour tout ouvert V de Y on obtient, en utilisant la v cohomologie de Cech, les applications naturelles
On en déduit, en passant aux faisceaux associés, des morphismes Rqf.(� ) ®e r
81lt -+ Rqf.(� ® ex r (81lt)),
fonctoriels en � et 81. On considère maintenant un diagramme commutatif d'espaces annelés 1
x �, y r'
i
ir
X ' � · Y' /'
et un é>x-module �. Pour tout ouvert V de Y on a des morphismes naturels
On déduit de ces morphismes et des morphismes
106
MÉTHODES ALGÉBRIQUES PAN� LES ESPACES COMPLEXES
des morphismes de faisceaux Rq f.(a: ) -+ g. ( Rqf; (g' * (§ ))). On obtient par adjonction des m o rphismes naturels
Il est facile de vérifier leur caractère fonctoriel. Une application continue e ntre deux es paces topologiques séparés est propre si l'image inverse de tout sous-ensemble compact est un sousensemble compact. ·
LEMME 1 . 1 . To u te application propre entre deux espaces localement com pacts est fermée . "
"
Démonstration. Soit f: X -+ Y une telle · application. Si X et Y sont les compactifiés d' Alexandroff de X, respectivement de Y, f se prolonge en A A A A . une application continue f: X -+ Y. Soit T une partie fermée de X. . Si T A A A A est son adhérence dans X, alors f{T) = f( T) n Y. T étant compacte, la con clusion en résulte. CoROLLAIRE 1 .2. Soit f: X -+ Y une application propre. Si L est un ensemble fermé de Y et "1L un système fondamental de voisinages de L, alors f- 1("1L) est un système fondamental de voisinages pour f- 1(L). ,
Démonstration. Soit U un ouvert contenant f- 1 {L) . Alors est un ouvert contenant L, donc il existe V e "1L tel que V c On a f- 1( V) c f 1( Y"J(X"' U)) c U.
·
U).
LEMME 1 . 3 . Soit f: X -+ Y une application propre entre deux espaces localement compacts, paracompacts et soit a: e Ab( X). Pour tout point y de Yei tout q R9 f.(a: )1 � Hq{f- 1(y), §).
La démonstration résulte de 1 .2 et de [34], Ch. II, 4. 1 1 . 1 .
(b) Soit ( Y, e r) u n espace complexe e t soit d une er-algèbre cohérente. Dans [18] on démontre l'existence d'un espace complexe au-dessus de Y, Specan d -! Y, dénommé le spectre analytique de d et d'un morphisme d ._. q.(especan a:) possédant la propriété suivante d'universalité : pour tout espace complexe X au-dessus de Y, X --! Y, l'application naturelle H om r(X, Speci m d) -+ Homer-at1{d, p.(ex))
est bijective. On montre aussi que le morphisme structurel q est fini et morphisme d -+ q. (es pec&n a;) est un isomorphisme.
le
107
MORPHISMES PROPRES l>'ESPACES COMPLEXES
Si d -+ d' est un morphisme de élr-algèbres cohérentes on obtient un Y-morphisme Specan d' -+ Specan d. Cette association est fonctorielle ; e n plus, s i l e morphisme d -+ d ' est un épimorphisme, le morphisme associé est une immers ion fermée. Rappelons encore la propriété de changement de base : pour tout morphisme Y' !. Y il existe un isomorphisme canonique Specan g*(d) � Specan d X r Y'. (c} Soit A un anneau et M un A-module. Sur la somme directe A ED M on considère l'opération de multiplication
On c;>btient ainsi un anneau, denommé l'anneau de Nagata associé à M. A ED 0 devient un sous-anneau de A ED M, isomorphe à A et 0 ED M un idéal (de carré nul) dans A ED M, isomorphe (en tant que A ED 0-module) à M. Cette construction a des propriétés fonctorielles et peut être facile ment généralisée aux faisceaux. PROPOSITION 1 .4 [27]. Soit (X, d) un espace complexe et ffi e Coh(d).
Alors l'espace annelé (X, d ED .W.) est un espace complexe.
Démonstration. Le problème étant de nature locale on peut supposer que . X est un sous-ensemble analytique dans le polydisque unité ouvert P" et que d = élfll X, él étant le faisceau structural de P" et j un el-faisceau d'idéaux
tel que Supp (é>/j) X On peut encore supposer que m e._kf.!il., avec .lit un sous-mOdule cohérent de ttk. Montrons d'abord que l'espace annelé (X, d ED dk ) est un espace com plexe. Soit pour cela P" + k P" x pk le polydisque unité c�ntré en l'origine , y" les coordonnées. Soit de G; " +k et désignons par xh . . . , x, ; Yt> él' le faisceau de germes de fonctions holomorphes de P" + k et '}' l'idéal de él' engendré par j et par les fonctions Y.. Yp . 1 � a,p � k. Notons X' = Supp (él'/l') et d' = é>'/'}'IX'. On a X' = X X O. On définit un morphisme (qJ, * qJ) : (X, é1 ED dk ) -+ (X', d') =
.
=
=
•
•
•
·
•
de la manière suivante : qJ(a) = (a , 0) pour a e X. Tout élément fe e.;a, OJ peut être représenté par une série de él(a. OJ de la forme co
i1,
:E
• • .
, in - 0
C;,
. . . in (xl - al)11
•
•
•
(x, - a,)i" +
1 08
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
On notera avec g, respectivement Kœ• les éléments de étœ définis par les séries 00
L
Il• , . . , ln - 0
respectivement
00
Il•
et on posera
L, ln - 0
. • •
Cil •
• •
ln
(xl - al) l1
•
•
•
(x,. - a,)i" e ea,
c�:� . . l" <xl - a1Y' . . . (x, - a,)'" e ea
On vérifie aisément que l'on obtient ainsi un isomorphisme (({), * qJ) : (X, ét $ ttk) - (X', ét')
d'espaces annelés sur le corps complexe et donc (X, ét 9 ttk) est un espace complexe. Le faisceau elit détermine un idéal cohérent cl!l. * = 0 9 cl!l. c: ét El) ttk. L'ensemble des zéros de elit* coïncide avec X et donc (X, ét 9 étlcfelit*) est un espace complexe. Comme la démonstration
est terminée. Faisons encore la remarque qu'il y a un morphisme d'espaces com plexes (X, ét $ �) - (X, ét) obtenu à l'aide de l'application identique X - X et de l'inclusion ét tl $ �.
c:
(d) Soit (X, k(x)-espace vectoriel de dimension finie ; conformément au lemme de Naka yama, sa dimension est égale au nombre minimum de générateurs de § sur e%. LEMME 1 .5. (i) Pour chaque eJ-modu/e § de type fini, la fonction x �-+ diml(%) §(x) est semi-continue supérieurement.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
109
(ii) Pour tout morphisme de �-modules d: e' -+ .�q la fonction
x 1-+ rg« d(x) est semi-continue inférieurement. Démonstration. (i) Soit sf, . . . , s! un système minimal de générateurs de 1'�"-module �.x· Il existe un voisinage U de x ainsi que des sections sb . . . , s,. e r( U, �) ayant la propriété : (s1).x = sf, . . . , (s,.)" = s!. La conclu sion résulte du fait qu'en restreignant, si nécessaire, le voisinage U, les germes (s1)1 , , (s,.), engendrent 1'�1-module a> 1 pour tout y de U. (ii) De la suite exacte •
•
•
•
•
•
d
eJI' -+ �q
-+
Co ker d -+ 0
on déduit la suite exacte d(.x)
eJI'(x) � �f(x) -+ (Coker d) (x) -+ 0 et on applique (i). Rappelons qu'un espace annelé en anneaux locaux (X, �) est dit être réduit si pour tout ouvert U de X et toute section f e r(U, �). les relations f(x) = 0 pour tout x e U impliquent f = O. LEMME 1 .6. Soit (X, �) un espace annelé en anneaux locaux, réduit. (i) Si S est un �-module de type fini ayant la propriété que la fonction x 1-+ dimk a> (x) est localement constante, alors a' est localement libre. (ii) Si d: eJI' -+ �q est un �-morphisme tel que la fonction x 1-+ rgk(.x) d(x)
soit localement constante, alors Coker d est localement libre. Démonstration. (i) Soit x e X et soit n = dim�: �(x). Il existe un voisinage U de x eJ u n épimorphisme ({J : �"1 U -+ SO l U. En restreignant U on peut supposer n = dim�:< ,.> �(y) pour tout point y de U. Montrons que ({J est injectif. Soit V un ouvert de U et prenons f = (ft, , !,.) e r(V, Ker ({J) . Pour chaque y de V on a f1(y) = 0, 1 � i � n ; dans le cas contraire le nombre minimal de générateurs de S1 serait plus petit que n. Il en résulte donc f = O. (ii) On déduit des suites exactes .
�P(x)
-+
�f(x)
-+
.
•
Coker d(x) -+ 0
que la fonction x �-+- rg1Coker d(x) est localement constante.
MÉTHODES ALGDRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
1 10
PROPOSITION 1 .7. SoJt (X, el) un espace annelé en anneaux locaux. On considère un complexe f" de el-modules libres de rang fini. Alors (i) Pour chaque q la fonction
est semi-continue supérieurement. (ii) Si X est réduit et si pour un entier q la fonction
est localement constante, alors Coker d"- 1 et Coker d" sont des faisceaux localement libres. (iii) Si
f" est borné, alors la fonction x 1-+ � q
(- 1 )" dimk(.xl H'�(.f"(x))
est localement constante. Démonstration. On notera r., le rang de .f9. (i) On a dim H9(f." (x)) = dim (Ke r d9(x)) - dim (lm d9- 1(x)) = r9 rg d9(x) - rg d9 - 1(x) et . on applique 1 .5. {ii) On a d im H9(f"(x)) = r9 rg d9(x) rg d9- 1(x). Les fonctions x 1-+ rg d" 1(x) et x 1-+ rg d9(x) étant semi-continues inférieurement, l'hypo thèse impliquera qu'elles sont localement constantes. La conclusion résulte alors de 1 .6. .
-
-
-
( iii)
� {- 1)9 dim H'�(f" (x}) = � { -1)9 dim f9(x) q
Il
=
:E (- l}"r.,. q
(e) Soit u : A" -+ E un morphisme de complexes de groupes abéliens (ou de modules sur un anneau, ou de faisceaux . . . ). Le cône de l'application u sera par définition le complexe C"( = C" (u)) construit de la manière sui vante : C"= B" E9 A"+ 1 , les différentielles C" -+ C"+ 1 étant données par les formules (b, a) �- (ds.(b) + u(a), - dÂ. (a)) Les inclusions et les projec tions naturelles définissent une suite exac�e de complexes .
0 -+ B" -+ c· -+ A"[l] -+ 0,
où A"[l] est le complexe obtenu par la translation du complexe . A" avec un degré à gauche, les différentielles changeant de signe. On obtient la suite longue exacte . . . -+ H"(B") -+ H"(C") -+ H4+ 1(A") -+ HH l(B") -+
•
•
.
On vérifie facilement que le morphisme bord H9(A. [l]) = HH 1(A•) -+ -+ HH l(B") coincide avec le morphisme H"+ 1(u) induit par u.
111
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
Rappelons que u est dit. être un quasi-isomorphisme si tous les morphis mes Hq(u) : H9(A') -+ Hq(B') sont des isomorphismes. Le morphisme u est un n-quasi-isomorphisme si les morphismes Hq(u) : H9(A') -+ Hq(B') sont des isomorphis10es pour q > n et si H"(u) : H"(A' ) -+ H"(B') est tin épimorphisme. De ce qui précède on obtient : LEMME 1 .8. (i) Soit n un entier. Le morphi�me u est un n-quasi-isomor phisme si et seulement si Hq ( C') 0 pour q � n. (ii) Le morphisme u est un qu�i-isomorphisme si et seulement si Hq(C�)=O pour tout q (donc si et seulement si le cône de u est acyclique) . ·
=
Soient A' � B' ·� M' des morphismes de co.,plexes avec quasi-isomorphisme. Dans ces conditions le morphisme canonique , C' (u) -+ C'(lf'u) est un quasi-isomorphisme. Démonstration. Le lemme résulte du diagramme commutatif can onique LEMME i .9. lf'
. . . -+ Hq(A ' ) -+ Hq(B') -+ Hq(C'(u)) -+ HH 1(A') -+ HH 1(B') -+ . . .
� id
•
•
•
-+
��
�
� id
H9(A) -+ H9(M') -+ H9(C'(qJ u)) -+
et du· O
•
, k,) e Lf et P = (/0 , a c p {ku •
On définit ensuite
. . .
•
•
•
, lm) e Lf on convient d'écrire
, k,} c rio •
. . .
Il
, lm}· Il
U,.(r, V) = n u.. (r, V) et D,.(r) = II Dk. (r) . v-o
"
v-o
"
Le produit fibré des applications A détermine une immersion fermée "
j,. : U,.(r, V) -+ D,.(r) x V.
Pour a c p on notera
1t,.1
: D, (r) x V -+ D,.(r) x V
la projection canonique. Le diagramme U, (r, V) -+ U,.(r, V) Jp
�
J,.
t
D , (r) x V -+ D,.(r) x V,
dans lequel U1(r, V) -+ U,.(r, V) est l'inclusion canonique, est commutatif. On entend par un système à liaisons covariantes au-dessus de (D,.(r) x V, 1t,.,) : (i) une famille (lj,.),. e ..t de faisceaux analytiques lj,. sur D,.(r) x V;
M�THODES ALGtBIUQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
:1 14
(ii) une famille ((/), .).cp de morphismes de faisceau x (anal y tiques) (/)p. :
i!j. -+ (1t.,).i!j,
telle que l'on ait (/)«« ;_ id et ({) 7• = ((Tr.,).({)7p)({)p. pour ex c: p c: y. Si (i!j • • (/)p11) et (i!j�, ({)p.) sont deux tels systèmes, alors un morphisme entre eux sera par définition une famille (O..). e .
Pour tout r, r' < r< 1 , et pour tout ouvert de Stein V, V' c: c: V c: c: v• . il existe des morphismes surjectifs e,. : &,. � j.(�). les &,. étant des (!)v,.< n x r modules libres de rang fini. En appliquant le lemme antérieur on trouve un système libre A0 au-dessus de (D,.(r) x V, 1t,.,) et un morphisme surjectif &\.0 � j.(a:-). Pour le passage, en général, de k à k + 1 on procède de manière analogue, en remplaçant j.(a:-) par le système de faisceaux 5Pk = Ker (Ak � Jlk - 1) (on notera Jit - 1 = j.(a:-)).
MéTHODES
1 16
ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
5 . Le calcul des images directes. Soient � e Cob(X) et r •• un nombre tel que r. < '•• < 1 . En utilisant le lemme 2.3 et en notant V' toujours par v. on peut supposer qu'il existe au- dessus de (D"'(r..) x v., n.. �) une résolution libre •
•
•
-+ �k -+ �k - 1
-+
•
•
•
-+ �1 -+ �0 -+ j.(� ) -+ o .
Pour chaque ouvert V c: v. et pour chaque r, r• � r � '• • • on.,. considère le complexe double ( C1(r, V; �k)) 1, t· On notera c · (r, V) le complexe simple associé, donc C"(r , V) =
II C1(r, V; �k) .
1-k -n
Le e,.-module V�-+Cn(r, V), avec V ouvert de V:r sera noté C" (r) . Ainsi C" (r) est un complexe de e ,.-m odules . Comme C (r, V; �k) = 0 pour 1 > k., il en résulte cn(r) = 0 pour n > k •. Les morphi smes C"(r, V) -+ C"(r, V ; �0) -+ C"(r, V; j. (� )) définissent les morphismes de complexes c· (r, V) -+ C" (r , V; j.(� )) , c·(r) -+ c·(r, j.(�)) .
Si r' � r on aura les applications canoniques de restriction C"(r, V) -+ C"(r', V),
lesquelles induisent des morphismes de e,. -modules C"(r) -+ c·(r').
LEMME 2.4. Pour tout r, r. � r � r••• et pour tout ouvert de Stein V c: v., le morphisme canonique de complexes c·cr, V) -+ C"(r, V; j.(�))
est
un
quasi-isomorphisme. En particulier, le e,. -morphisme de complexes c·(r)
-+
c·cr, j.(�))
est un quasi-isomorphisme. Démonstration. Chaque D..(r) x V étant de Stein, il résulte du théorème B que H'(C1(r, V; �·)) = 0 pour q ;;ï!: 1 et H 0(C1(r, V; �·)) � C1(r, V; j. (� )) .
L'assertion du lemme résulte des propriétés des suites speciales associées au bicomplexe ( C1(r, V ; �k ))1 , t.
MOllPIUSMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 17
CoROLLAIRE 2.5. Pour chaque r, r. � r � r• • • et quel que soit l'ouvert de
Stein Vc v., les morphismes canoniques
H"(C"(r, V)) -+ H"(X( V), If')
sont des isomorphismes pour chaque n. En particulier pour chaque n H"(C"(r)) � R"f.(lf') 1 v• .
CoROLLAIRE 2.6. Quels que soient les nombres r et r',
l'ouvert de Stein V de v., la restriction
r•
�
r'
� r � r• • • et
C"(r, V) -+ C" (r ', V) est un quasi-isomorphisme. En particulier, le e.,.-morphisme de restriction C"(r) -+ C"(r ' )
est un q�i-isomorphisme. .
ILLe schéma de récurrence.
1 . lA formulation des assertions de récurrence. Nous allons formuler deux lemmes que l'on démontrera par récurrence. Soit C"(r) le complexe de e.,. -modules construit ci-dessus, r. � r � r• • • et soit Q. un compact de v• .
LEMME A(n). JI existe un ouvert de Stein V, vérifiant Q. c V,. c v• . un nombre r, tel que r. < r, � r• • • un complexe f" de e.,"-modules libres de rang fini •
•
•
-+0 -+ f" �
f"+ l -+
•
•
•
� fk• -+ 0
et un morphisme de complexes f" � C"(r,) tels que pour tout ouvert de a( V)
Stein V de V., le morphisme f"( V) --.• C"(r,., V) soit un n-quasi-isomorphisme. En partic11lier u est un n-quasi-isomorphisme. D'après le corollaire 2.6, pour chaque r ayant la propriété r• � r � r,., le morphisme composé f" � C" (r,) -+ C"(r), que nous désignerons toujours par u, vérifie encore l'assertion du lemme A(n). Nous nous plaçons dans les hypothèses du lemme A(n) et on énonce le second lemme. On note K"(r) le cône du morphisme f" -+ C"{r), donc Km(r) = cm(r) EB fm + I pour m ;;li: n - 1 et Km(r) = cm(r) pour m < n - 1 . La différentielle d e K"(r) sera notée ô .
118
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Pour tout ouvert V c V.. , on note. Km(r, V) = T( V, Km(r)). Si V est un ouvert de Stein, l'hypothèse de quasi-isomorphisme donnée par le lemme A(n) implique l'exactitude de la suite Soit Z" - 1 (r)
=
6
Ker(K" - 1(r) -+ K"(r)) et ,
Z"- 1(r, V) = Ker ( K" - 1 (r, V) -+ K"(r, V)) . LEMME B(n - l ) (la projection des cycles). Pour chaque ou1•ert de Stein V' c: c: V" et pour chaque paire de nombres réels r, r' vérifiant r• � r' < r � r" ' il existe au-dessus de V' un morphisme continu de é3 v·-modules -r :
Kll- t(r) _. zn- t(r')
tel que le diagramme xn-1 (r)
�
zn-1 (r')
� 1
rcstr.
soit commutatif. La signification de la continuité du morphisme de l'énoncé deviendra explicite après ce qui suit. Les lemmes énoncés seront démontrés dans la section III d'après le schéma suivant : - pour n > k. , A(n) et B(n) sont évidemment vrais, - A(n) et B(n) => B(n - 1), - A(n) et B(n - 1) => A(n - 1).
2. Préparatifs pour la récurrence. Soit V un ouvert de v. ; D(r) sera le polydisque de rayon r, ayant l'origine pour centre et situé dans l'espace cC"'. Soient t1 , , t11 les coordonnées de (tm. Chaque fe T(D(r) x V, é3r x v) peut être développé en une série convergentef = � a.t• avec a.. e T( V, é:Jy), •
•
•
v
v. = {vi> . . . , v,.) e IN"' et t'" = r;' . . . t'",'" . Pour un compact Q c V et pour tout nombre réel positif p < r on définit
où Il a. li a = sup la.CY)I et lv i = ' 1 + . . . + v ,. Ici Il · n ,a est une seminorme ye Q sur T(D(r) x V, é'èz:. x v). La famille de seminormes 11 - 11,0 , Q compact dans V et p < r, définit la topologie de Fréchet usuelle sur T(D(r) x V, é'r x y) .
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 19
On considérera aussi I l IIPa pour p = r ou Q = V, mais alors on obtiendra une ps eud ono rme . P our p' � p et Q' c Q on a " p' Q' � Il
l i Pa .
Lorsque a E r( V., eJy) et fe r(D(r) x v, e�m x v) on a U afl iPa � U a ll a · II!II P!2 ·
LEMME 2.7. Si 0
.
=
Il iPe dl r'Y' � M IIPe , ll,;;
MORPHIS� PROPilES D'ESPACES· COMPLEXES
121
III. La démonstration des assertions d'induction et du théorème. 1 . A(n) et B (n) => B (n - 1). Soient r, r' des nombres réels vérifiant r. � r' < r � r, et V' un ouvert de Stein relativement compact de V, . On choisit un nombre réel r " , r' < r " < r, et un ouvert de Stein V", V' c: c: V" c: c: V,. Soit -r : K"(r) --+ Z"(r" ) et soient r, (e1)1e 1 les entités obtenues par l'appli cation du lemme B*(n}, t étant un morphisme de êlv"·modules et les e1 des éléments de K"(r, V"). On a � Il -re dlr"V" < oo. Conformément au lemme 6
A(n), l'application linéaire et continue K"- 1(r", V") - Z"(r", V") est surjective. En appliquant le théorème de Banach on trouve une constante M et des éléments Ç 1 e K"- 1(r", V" ) vérifiant c5Ç1 te1 et Il Ç dlr·v· � M U -re dl r"V'' • On obtient a 1e1 �-+ a 1Ç1 détermine un Il Ç1 11,·v· < oo. L'association êlv·-morphisme continu ( Il a1 11a � Il t a1e1 ll;a 1)
�
�
=
�
h : K"(r) -+ K"- 1(r')
qui rend commutatif le diagramme
6
K"- 1(r') - Z"(r').
On considère le diagramme K"- 1(r) -+ K"(r)
�l Y ! morphisme -r : K"- 1(r} -+ Z"- 1(r'), 't = p - M, vérifie B (n - 1}. 2. A(n) et B(n - 1) => A(n - 1 ). (a) Soit v._1 un ouvert de Stein ayant la propriété Q. c: v._ 1 c: c: v. et soit '• - 1 un nombre réel tel que '• < r, _ 1 < r• . D'après le lemme A(n) pour chaque p vérifiant r. _ 1 � p � r,. on a un diagramme
Le
,
a" *
8" - '
�
. . . -+ C"- 2(p) --+ C"- 1(p) -+ C"(p) -+ C"+ 1(p) --+
qui induit pour chaque ouvert de Stein V c: v. u� épimorphisme r( V, Ker a") -+ H"(C"(p, V)) .
1 22
M.tmODES ALGbRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il faut chercher au-dessus de V,._ 1 un faisceau libre de rang fini f"- 1 et des morphismes r:t'- 1 et a"- 1
ayant les propriétés suivantes : i) r:t'r:t' 1 = 0, a"r:t'- 1 = ô" - 1 a" - 1 , ii) Pour tout ouvert de Stein V c V, _ 1 le morphisme induit -
T( V, Ker r:t'/Im r:t'- 1) -+ H"(C.(r, _ 1 , V)) est un isomorphisme et
est un épimorphisme. Comme Z"- 1(r,. _ 1) = {('1, s) e C" - 1(r, _ 1) ES f" lr:t's = 0, a"s ceci revient à construire f"- 1 et un morphisme
=
- ô" - 1'7 } ,
tel que pour tout ouvert de Stein V c V, _ 1 la somme des morphismes du diagramme
est un morphisme surjectif. (b) Soit r', r,._ 1 < r' < r,.. Pour tout ouvert de Stein V c V,. l'application de restriction c·cr,., V) -+ c·(r', V) est un quasi-isomorphisme (corollaire 2.6). Il en résulte que la somme des applications du diagramme Z"- 1(r, , V)
t
C"- 1(r', V) -+ Z"- 1(r' , V)
est une application surjective (1 .10). (c) On considère un ouvert de Stein V', V, _ 1 c c V' c c V, et un nombre réel r, r' < r < r,. Du lemme B•(n - 1) on obtient une projection des cycles t : K"- 1(r) -+ Z"- 1(r') au-dessus de V', une famille (e1)1er d'éléments e, e K"- 1(r, V') et un nombre réel r vérifiant r' < r < r, tels que l'on ait
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
la p rop ri été i) de développement de B•(n - 1) et
� 11 -re1 ll ,· v·
,.
fJ
123 < oo .
Comme
reatr.
Im(K" - 1(r11)-+ K"- 1(r) -+ Z"- l(r')) ;:, Im(Z"- l(r..) --+- Z"- 1(r')),
il en résulte que la somme des app1ications du diagramme K" - 1(r11 ,
V')
C"- B(r', V') � Z"- 1(r',
V')
�
"i - T{J
est surjective. Le t héorèm e de Banach nous fournit une constante M et des éléments Ç 1 e K"- 1(r,., V') , ,, e C"- 2(r', V') (i e /) tels que ïÇ1 + ârt1 = -re , e t max (Il Ç, ll , v" _ 1 , II '1 1 11," - 1Vn - ,) E; MU -re, ll ,·v· . On en déduit alors que :E1 II Ç1 llrvn - 1 < oo et :E1 ll rt. ll r" _ 1 v" _ 1 = M1 < oo . I l existe un ensemble fini . 1 J c: 1 tel que Il Ç, llrVn - 1 E; - • 2 Soient f"- 1 = �" - 1 et co : f"- l � z"- 1(r, _ ) le morphisme qui applique 1 les générateurs canoniques (g 1)1 e J de .f"- 1 sur les éléments (P'ïÇ1)i eJ· Ici P' : Z"- 1(r')
�
Z"- 1(r.. - 1) est la resttiction.
(d) On prouvera l'assertion suivante : pour tout ouvert V de v.. _ 1 et pour tout élément fe K" - 1(r , V) il y a des élém ents /1 E K"- 1{r, V), g E r( V, .f"-1) e t '1 e C"- 2(r, _ h V) tels que P'-r(f) = w(g) + â, + P '-r(j;)
et
Q étant un compact arbitraire de V.
Pour la démonstration on développe l'élément f en série convergente
f=
:E1 a �,
pour tout compact Q
c:
avec a, e r(V, é' y) et U a dl a E; 11/ll ra
V. On note
II K II a = max ll adl a t; 11/11-,a . 11'1 H ," - 1a t; I EJ
et l'assertion est démontrée.
:E
lE/
U a , ll a ll rt d1," -1 de er sur V; il en résultera alors q>(y) = 0, q>(y) = 1, d'où con tradiction. =
2. 1 3 . Soit f: X -+ Y un m orph isme propre d ' espaces complexes ; soit X' l'ensemble des points de X isolés dans la fibre (c'est un ensemble ouvert) . Alors la restriction def à X' se décompose en une immersion o uver t e
COROLLAIRE
l'
p
et un morphisme fini; plusprécisément, si X - Y' - Y e:. t la décompositio n de Stein de f, alors il existe un ouvert V' c Y ' tel que X' = J' - 1( V') et f ' 1 X' : X' -+ V' est un isomorphisme.
Démonstration. Pour un point x de X, f' - 1/'(x) est la composante connexe de J-1/(x) à laquelle appartient x, donc c'est un sous-ensemble ouvert
dans J- 1J(x). Il en résultera alors que le point x est isolé dans J- 1/(x) si, et seulement si, il est isolé dans j' - 1/'(x) . Soit x un point de X'. Les fibres de !' étant connexes, r - 1J'fx) = {x}. Il résulte donc que l ' i m age réciproque par /' d'un système fondamental de voisinages pour y' = .f'fx) est un système fondamental de vo i sinages pour x. Ce fait et l ' égalité ey· = J;(ex) impli qoent que le morphisme canonique eY',y' -+ ex.x est un isomorphisme. Il en rés u lte l'existence d'un voisinage v;. de y' tel que J' - 1( V;.) c X' et que /' 1/' - 1 ( V;,) : f'- 1( V;.) -+ v;. soit un isomorphisme. L'ensemble · V' U Vi•(x> vérifie l'assertion du corollaire. =
§
x eX'
3. Les théorèmes de comparaison et de changement de base
Soit f: X -+ Y u n morphisme d'espaces complexes et y un point de Y. On notera m 7 l'idéal maximal de e r ., et aussi le faisceau naturel d'idéaux sur Y qu'il définit. On notera m, le faisceau d'idéaux de e; en gendré par l'image inverse de m , . Considérons un faisceau analytique g; sur X et un entier q � O. Soit (R" f.(s;),)"
=
lim (R' /._(s;),/m�(R" f. (s;),)).
k
1 27
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
Si R:lf.(� ) est e>rcohérent, alors ce module est le complété de re,-module de type fini R:lf.(�)1 dans la topologie m,-adique. On définit un morphisme naturel
(/Jq : (.R4 f., - Rlf. <SF Jm; + l§),
- Rlf.<SF ;m,SF),.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
133
Démontrons (c) = (b). I l suffit de montrer que pa r passage aux corn· piétés dans la topologie m1-adique on obtient une s u rj ect io n . Conformément au théorème de comparaison,
Rllj. (Fi);
::
lim (R'lf.(Fi j{tt;+1§)1).
-
k
Comme R'lf.
Démonstration. On considère le faisceau X = Home (ri ,
X, -: 5;1 ®
" ex tm� x
D'après 3.5 , l'application canonique
f.("X),/m,({.(X)1) _. r(X,, "X7) est bijective. Soit Ç, : 5, _. é}, un isomorphisme ; il définit u n élément de T(X,, X7). Il en résulte alors qu'il existe sur un voisinage V de y un morphisme Ç : Fi l f- l ( V) _.
h
n
COROLL\IRE 3.7. Les hypot èses du théorème 3 . 4 é ta t suirantes sont équiralentes : (a) Le o ct eu r .M H- R:lf.(� ® er M)1 est exact. (b) Le� applications
vérifiées, les assertions
fn
R:lf.(SF), _. R:lf.(5 / tÎt75)7,
sont surjectil·e.\
Rq - tf. (SF ) 1 --+ [(l - 1f. (Sf /În ,Sf)7
M ÉTHODES ALGÉ BRIQUES DANS
1 38
(c) Pour
entier
tout
LES
ESPACES COMPLEXES
k � 0 les applications
R!'f. ). - R�.w /1n,5 ), ,
J?!l - lf.(� /l�t�+ 1Sf ), --+ R!' - 1 f.(Sf /1Ît,Sf ),
sont surjectires. (d) L'application
R�.(Sf )7 --+
R!'f.(Si' /1Ît/i)1
est surjectil·e
et R1f.(5 )1 est un fJ1-module libre. La démonstration résulte directement de 3 .4 ( ra pp e l on s que si N est un eJ,-module de type fini e t s i le foncteu r M �- N® �)'tf est exact, alors N est un module libre !). Lorsqu'! les cond i t i o ns équ i valentes de ce critère sont rem p l ies on d i t que :§ est cohom?logiquement p la t en dimension q a u poin t y . On considérera u n càs où l'on peu t appliquer ce critère.
COROLLA IRE 3.8. Les hypothèses du théorème 3.4 étant rérifiées , on suppose en plus que Hq (X . � 1) = Hq - 2(X, . § 1) = O. A lors 7 un voisinage de y et les applications canoniques
som hijectil'es
pour k � 0
R!'- 1[. (§) est
libre dans
entier arbitraire.
la démonstration résulte i m méd i a tement de ticu l ier on ob t i e n t le corollaire suivant.
ce qui
p récède.
En
par
COROLLA IRE 3.9. Soit f; X -+ Y u n morphisme propre d'espaces complexes. Soit Sf un faisceau an aly tiq u e cohérent sur X, plat relatirement à f, et soit y E Y. Si H1 (X1 , § 1) = 0, alors f. W ) est libre dans 1111 roisinage de y et les applications
sont
bijecti1·es.
COROLLA IRE sont
3. 10. Sous les hypothèses du équil'alentes : (a) § est colzomologiquement plat
théorème 3.4 les assertions suil'antes
au point y en chaque dimens io n p, p � q. (b) R'[. (§)1 est un fJ1 module libre pour tout p � q. Démonstration. L i m p l i ca t i o n ( a) => (b) résulte d'une manière é v i d e n te d u c r i tè re d'exactitude. Pour l'implication i n verse on u t i l i s e une récurrence descendante par rapport à p et le fait que R'f.( )1 = 0 p o u r p suffi samment -
'
·
grand.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 39
CoROLLAIRE 3 . 1 1 . Sous les hypothèses du théorème 3.4 les assertions sui
vantes sont équivalentes:
(a) R 'f.(5 )1 = 0 pour tout p ;ï1; q. ( b) H '(X,J i 1) = 0 pour tout p ;ï1; q. La démonstra t i o n résulte de 3 . 5 et de 3 . 1 0. Nous allons considérer un exemple.
PROPOSITION 3 . 1 2. Soit f: X --+ Y un morphisme propre et plat d'espaces complexes et soit y un point de Y. On suppose que la fibre analytique X., est un espace réduit. Alors ex est colzomologiquement plat en dimension zéro au point y ; en particulier f.(ex) est libre au voisinage de y et
J. ( ex).,/ m.,J.(fJx), :: H 0(X.,, eJxfm,ex).
Démonstration. D'après 3.7, il suffit de montrer que les applications /. (eJx/tn;+ t eJx)., = r (X, eJxfm�+ 1 eJx) --+ F (X,, exfm, eJx) sont s urj ect i ves p o u r tout k ;ï1; O. En effectuant le changement de base Y' = (y, e,;m;+ 1) --+ Y on est ramené à prouver que l'application cano nique r (x, ex) -.
r(X,, eJxf{n, ex) est surjective, les hypothèses étant celles de l'énoncé m a i s en plus Y étant
supposé réd uit à un point. Comme j- 1 (y) = X o n peut supposer X connexe. Conformément aux hypothèses faites, le m o rph i s me structural
ct -+ r (X.,, eJxfm., ex)
est un isomorphisme. La conclusion rés u l te alors de la composition d appl i ca t i ons naturelles '
,-module plat. Soit 0 --. M' --. M un monomorphisme de é>,-modules de type fini. De l'exactitude à droite du produit tensoriel on déduit aisément le diagramme commutatif et exact
0 --. RH 1f.(W ® erM '),. --. Z 'H 1 (f" ),.® e, M' --. .e: + 2 ® e, M '
!
!
!
0 --. Rq+ 1f.(W ®e;.,M)1 --. Z ' 9+ 1(f"), ® e, M --. f; + 2 ® e,M: d'où la conclusion. (e) :: (f). On a les suites exactes o
--.
zq(f') --. ,eq --. _Bq+ 1(f")
--.
o,
0 --. _B9+ 1(f") --. fq+ 1 --. Z'q+ l (f") --. 0,
où B9+ 1(f.") = lm (f9 --. fH 1) et Z9(f") = Ker (f9 --. f9+ 1). Il en résulte donc que zq(f"), et Bq+ 1(f;) sont des é>7-modules libres. En restreignant le voisinage V de l'énoncé du théorème 4. 1 on peut supposer que Z'H 1(f"), zq(f") et _Bq+ 1(f") sont des faisceaux libres. Considérons le complexe f'" de composantes f'1= f1 pour i :1: q, i :1: q + 1 et f'9 = Z9(f") , f'H 1 = Z'H 1(f"). Les différentielles d'1 sont ég:lles à d1 pour i ':1: q - 1 , q, q + 1 et d'9- 1 : f9 - 1 __. zq , d'q : zq __. Z' H l et d'H 1 : Z'q+ l --. f.H 1 sont déduites naturellement des différentielles de .e· . On a d'q = O. Il reste à prouver que f'" satisfait les assertions du théorème. Soit 8)1t. un faisceau analytique cohérent défini sur un ouvert de V. On en déduit les égalités Im(fq + 1 ® 8)lt. --. f9+1 1 ® 8)lt.) = Im(Z'q+ 1 ® 8)lt. --. fq+ t ® 8)lt.)
et les isomorphismes
On obtient ainsi un isomorphisme H"(f" ®8)1t. )� H"(f'" ® 8)lt.),
On vérifie canoniquement que cet isomorphisme est fonctoriel en 8)1t. et qu'il est compatible avec les suites exactes courtes. L'assertion de 4. 1 est ainsi vérifiée.
149
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
(f) � (g). Soit V le voisinage sur lequel est defini f'" . On notera l'opération de passage au dual. S oit 6v le conoyau de l'application v v f'9+ 1 -+ f'9+ 1 et 6'7 sa fibre en y. 6., est un él7-module de type fini. Soit M un e,-module de type fini. On a la suite exacte «v»
v
v
0 -+ H om19,(6'7 , M) -+ Home,(f;9 + t, M) -+ Hom19,. (f;q+ 2, M).
D'autre part Rq+ 1 f.(� ® M), � (Hq+ 1(f '" ® cM)), � Hq+ l(f;• ®e,M) =
Ker(f? + 1 ® M -+ f?+2 ® M),
étant un faisceau analytique cohérent défini sur un voisinage de y tel que cM, = M. L'isomorphisme de (g) résulte de l'identification naturelle
cM
Sa fonctorialité peut être prouvée d'une manière canonique. L'unicité de (g) résulte de façon connue de la fonctorialité. L'implication (g) � (a') est évidente, et la démonstration du théorème s'achève. CoROLLAIRE 4.8. Soit X !. Y un morphisme propre d'espaces complexes, � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relativement à Y et q un entier. Si le théorème de changement de base est vrai en un point y de Y (relativement
à � et q) , il est vrai aux points d'un voisinage de y.
La démonstration résulte de (e). En particulier , on a le
CoROLLAIRE 4 . 9 . Dans le's mêmes hypothèses, si If est cohomologie quement p lat de dimension q dans un point y E Y, alors la même propr iété est vraie dans un voisinage de y. On considérera maintenant le théorème de changement de base sous forme globale.
Comme d'habitude o n notera défini sur un ouvert de Y.
.f
u n faisceau analytique cohérent
THÉORÈMil 4. 10. Soitf: X -+ Y un morphisme propre d'espaces complexes, � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relatif à Y, et q un entier. A lors les affirmations suivantes sont équivalentes: (a) Le foncteur .m �- Rq f. (� ® er.M) est exact à droite. (a') Le foncteur .m �- RH 1f.(� ® e r.M ) est exact à gauche. (a") Les morphismes canoniques
Rqf.(� ) ® er.m -+ Rqf.(� ® e v81rl.) sont des isomorphismes.
1 50
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(a"') Le foncteur 8J1t � R'1f.(5 ® e ..8Jlt) est isomorphe à un foncteur de la forme � �-+ 87C. ®e .. 8Jlt, 87C. E Cob( Y) (il en r ésultera que 87C. est isom orphe à Rqf.(5)). (b) Les morphismes can oniques R qf. (5 ) -+ Rqf. (51) sont des 'épim orphismes pour tout y e Y. (c) Les morphismes canoniques Rqf. (5 /1Î1�+ 1 � ) -+ Rqf. (� /1Ît75 )
sont des épimorphismes pour tout y e Y et p o ur tout k � O. (d) Po ur tout changement de base g : Y' -+ Y, en considérant le morph isme f' : X' = X® r Y' -+ Y' déduit de f et le fa isceau � ' sur X', l'image im•erse de � sur X', le morphisme canonique g * (Rqf.(� )) -+ Rq f�(5 ') est un isomorphisme. (e) Il existe g- e Cob( Y) (unique jusqu'à un isomorphisme) tel que l'on ait l'isomorphisme fonctoriel en 81JL Rq+ lf. (5 ® e Y 8JIL) =: llome r (g-, .mt).
Démonstration. Toutes les implications, en exceptant la construction de g-, résultent immédiatement des considérations antérieures. Pour la construction de g- on reprend la démonstration de l'implication (f) � (g) de 4.7. Le fais ceau g- v (défini sur V) a la propriété suivante : p our tout faisceaa analytique cohérent .mt défini sur un ouvert de V, il existe un isomorphisme Rq + l f.(5 ®e y 8J1L) � Home y (g-y, .mt)
et de plus ces isomorphismes sont fonctoriels en .mt et compatibles avec les restrictions. Si ( V1, g- v,) et ( V2 , g- v.) sont deux paires vérifiant les propriétés ci-dessus, il existe alors un isomorphisme e �: : g- v. l vl n v2 .: g-v, 1 vl n v•. On vérifie aisément les conditions de récollement et on obtient ainsi le faisceau recherché g- . COROLLAIRE 4. 1 1 . Soit f: X -+ Y un morphisme propre d'espaces com plexes et 5 un e>x-module coh érent , plat relativement à Y. Il existe alors un e> y-modu/e cohérent g- (unique à un isomorphisme près) ainsi qu'un iso morphisme fonctoriel en 8J1t f.(5 ® e y 8Jlt) -+ Hom e (6, 8Jlt). y
La démonstration résulte de l'équivalence (a') - (e), pour q = - 1 . O n dira que 5 est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y, si le foncteur .mt � R'1f.(5 ® e .. m) est exact. Ceci revient au fait que 5 est cohomologiquement plat en dimension q en tout point de Y. On en dé duit de 3.4, 3.7, 4.7 et 4. 10 des critères de platitude cohomologiques. Il résulte
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1S1
en particulier que � est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y si et seulement si les applications R1f.(� ),fm,(R1f. (� ),) -+ R1f.(�/m.,�), = H1(X1, � 7)
sont bijectives pour tout y e Y et i = q, q - 1 , est localement libre et les applications
si
et seulement si R'lf.(� )
sont bijectives pour tout y e Y. Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de Grauert. THÉORÈME 4. 12. Soit f: X -+ Y un morphisme propre d'espaces com plexes et � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relativement à Y. Alors (i) (Le théorème de semi-continuité). Pour tout entier q fixé, la fonction
est semi-continue supérieurement. (ii) (Le théorème de continuité). Considérons un entier q. Si � est cohomologiquement plat en dimension q au- dessus de Y, alors la fonction
est localement constante. Réciproquement, si cette fonction est localement constante et si Y est un espace réduit, alors � est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y,· en particulier le faisceau R'lf. (� ) est localement libre. (iii) ( L' i nvari ance de la carac téri stique de Euler-Poincaré). La fonction y
t-+
t ( - l ) qdim Hq(X1, � ) q
7
est localement constante (partout, dim signifie dimcc). Démonstrdlion. On applique le théorème 4. 1 et on considère des faisceaux am. de la fo rme é!Jyfm1é!J y. Les assertions du théorème étant de nature locale sur Y, on peut donc supposer qu'il existe un complexe borné f' de é!Jr-mo dules libres de rang fini tel que H'(f') � R'f.(� ) e t H'(f'/m,f') ':! H'(X,, � ,)
pour tout point de Y. Les assertions (i) et (iii) résultent directement de l . 7.
1 52
M:aTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(ii) Si ?i est cohomologiquement plat en dimension alors Rqf.(?i) est localement libre et
q
au-dessus de Y,
Rqf.(?i)1/tn1(Rqf. (Pi)1) � Hq(X1, Pi 1). Par conséquent la fonction y Ho
dim Hq(X1, ?i1)
est localement constante. Démontrons l'assertion inverse. D'après 1 , 7 (ii), les faisceaux
sont localement libres. Il résulte alors de 4. 7 que Pi est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y. Remarques. 1 ) Le théorème de continuité est nommé aussi le critère d'exactitude de Grauert (E.G.A., III). L'énoncé «classique» (Y réduit, y Ho dim Hq(X1, Pi 1) localement constante => RllJ.(?i) localement libre) peut être obtenu directement de la suite exacte
2) Comme il résulte des démonstrations, les complémentaires des ensembles ouverts apparaissant dans les corollaires 4.8, 4.9 ainsi que les ensembles fermés {yldima;Hq(X1 , ?i1) � k} du théorème 4. 12 (i) (q et k entiers fixés) sont analytiques. 3) Avec la même méthode on peut obtenir des informations concernant la fonction longueur. On peut montrer par exemple que les fonctions
sont polynomiales. IDdlcatfoas blbllograpbfques La démonstration du théorème de finitude de Grauert est celle de l'article de Forster et Knorr [28 ] et a été reproduite sans aucune modification ! Une autre démonstration en dehors de celle «classique>> ( [37], [60], [73 ]) peut être trouvée dans l'article de Kiehl et Verdier [59] ; dans [6] on peut trouver une présentation de celle-ci. Pour un contexte plus général on peut consulter [25], [29], [5 1 ], [58 ] . L a démonstration originale du théor�me d e finitude d e Cartan-Serre, respecti vement du théorème de projection de Remmert, se trouve en [20], respectivement en [81] . Le théor�me de factorisation de Stein est presenté suivant le modèlè algébrique
·
153
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
( [45], Ch. III, 4.3). La démonstration originale (pour le cas des variétés) est donnée dans [103 ]. Dans le mémoire (17] de Cartan et dans [114] on présente un théorème général
d'espaces quotients (dans la démonstration duquel l'argument principal est encore le théorème de finitude). La démonstration du théorème de comparaison 3 . 1 est celle du mémoire de Knorr [60]. Au chapitre 6 (cf. [8 ]) on démontrera un résultat plus général et plus précis; en particulier on obtiendra des informations supplémentaires sur les systèmes projectüs
Ak (Hq(X1 , 6/m?))k ';IJ>O ·
•
Le théorème de changement de base, ainsi que les autres faits du §
[18] ou bien sont transposés du cas algébrique ( [44], [45 ]).
3 sont pris de
Le théorème 4.1 est démontré pour les faisceaux de la forme &lit. = eJy/ m.,e y (situa tion qui suffit pour le théorème 4. 1 2) dans l'article de Schneider [89] et est énoncé sous la forme générale en [59], Bemerkung 4.4. 1 . La démonstration que l'on a donnée ici est d'après [89 ]. Rappelons aussi que ce théorème est l'analogue du théorème 6.10.5 de E.G.A., Ch. III, [45 ] . Une fois le théorème 4.1 prouvé, la démonstration des autres faits du § 4 se fait sans difficultés suivant le modèle algébrique (E.G .A. ni, S.G .A. 6). Pour une autre démonstration du théorème 4.12 on peut consulter [82]. Le cas des familles analytiques de variétés complexes compactes est traité dans le mémoire de Kodaira et Spencer [61 ].
CHAPITRE
4
Morphismes projectifs d'espaces complexes
Introduction Dans son mémoire «Faisceaux algébriques cohérents» [93], Serre démontre le théorème suivant : «Soit IP' l'espace projectif de dimen.Sion r sur un corps algébriquement clos et � un faisceau algébrique cohérent sur [P'. Il existe alors un entier m0 tel que (A) Les faisceaux �(m) = � ® el(m) sont engendrés par des sections globales pour tout m � m0• (B) Hq(IP', 3'(m)) = 0 pour tout q � 1 et m � m0». Dans [94] on considère le cas des faisceaux analytiques cohérents sur l'espace projectif complexe. Le but de ce chapitre est de présenter la géné ralisation de ce résultat dû à Grauert et Remmert . [40] aux morphismes projectifs d'espaces complexes. Le résultat principal est le théorème 2. 1 qui montre que les morphismes projectifs «vérifient à l'infini les théorèmes A et B». Comme cas particulier on retrouve le cas absolu des espaces projectifs. En utilisant le théorème de Serre rappelé ci-dessus on obtient comme application le théo rème de comparaison 2.7 entre les faisceaux algébriques cohérents et les faisceaux analytiques cohérents sur une variété projective [94]. Au § 3 on étudie, d'après Grothendieck [44] et Serre [93], le comporte ment à � oo des morphismes projectifs. Le résultat obtenu (le théorème 3.1) correspond à la caractérisation de la dimension et de la profondeur d'un faisceau analytique cohérent sur un espace de Stein et montre que les morphismes projectifs (sous des hypothèses convenables de platitude) «se comporteJl$. aussi à oo comme les morphismes affines». Dans ce paragraphe on utilisera certains résultats du chapitre suivant. Au § 4 on démontre deux critères d'amplitude. Le premier représente une réciproque du théorème 2. 1 . Dans le second on donne des conditions sous lesquelles un morphisme X !. Y est projectif au voisinage d'un point y e Y, si l'on sait que la fibre X, est une variété projective. Le premier paragraphe contient, comme d'habitude, les préliminaires : on y rappelle les notions de fibré projectif, de faisceau ample, de morphisme projectif . . . -
1 56
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
§ 1 . Préliminaires (a) On considère l'espace projectif IP' sur le corps complexe, considér é comme variété complexe. Soit (!) son faisceau structural, donc le faiscentt des germes de fonctions holomorphes. On notera t0, , t, un système de coordonnées homogènes dan� IP'. Le recouvrement naturel de IP' avec des espaces affines donnés par ces coordonnées sera noté COLt = (U0, , U,), donc U1 =so l'ensembl(• des points dans lesquels t1 =F 0, 0 � i � r. Pour un {!}-module � on notera � 1 la restriction de � à U1 . 0 � i � r. Soit m un entier. La multiplication tj/t'!' définit un isomorphis me s u r U1 n U1 entre � 1 et � 1 Le faisceau obtenu par le recollement dei! faisceaux � 1 à l'aide de ces isomorphismes sera noté �(m). Lorsque � es l cohérent, les faisceaux �(m) sont évidemment cohérents. On a les isomorphismes canoniques •
•
•
•
•
•
•
(!)(m + m') � (!)(m) ® e (!) (m'), et aussi
�(rn) � � ®e(!)(m),
� (0 ) � � .
� (m + m') � � (m) (m')
Home(� , � (m)) � Home(� ( -m), �) � Home (�, �) (m),
� étant un autre {!}-module. En particulier, il en résulte que (!)(- m) esl isom orphe au dual de (!)(m). On rappelle que si (X, (!)) est un espace annelé et f un {!}-modu il" inversible , on note m-fols f ® e · . . ® ef , si m > 0
t•m
=
l
=
,
si
m
Home (t • - m , (!)),
si
m < O.
(!)
0
D'après ce qui vient d'être dit (!)(m) � e(l)•m et donc �(m) � � ®e(!)( l )• m . Soit t u n polynôme homogène de degré k en les c o ord onnées t0, , 1; . Si s = (s1)1 est une section de �(m) alors le système ((t/t�)s1)1 es t u ne sectio rt d e � (m + k). On obtient ainsi des morphismes naturels �(m) -+ � (m + kJ, dénommés les morphismes obtenus par la multiplica tion par t ; l'imagt d' une section s sera notée ts. On peut vérifier aisément qu'il existe un isomorphisme •
(!)( r -
-
1 ) � a,
a étant le faisceau de germes de formes différentielles de ficients analytiques.
•
•
type (r, 0) à coef.
1S1
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
On utilisera le lemme suivant. LEME 1 . 1 . H11(rP', él) = 0 pour tout q � 1. Démonstration [ 3 1 ] . On utilisera les isomorphismes n· (rP', él) � H· (�. él). Si q > r il en résulte que Hll(rP', él) = O . Soit 1t : <J:' + 1"'-0-+ rP' le morphisme naturel correspondant aux coor données homogènes t0, • • • , t,. Notons CU' = 1t 1(�) et él' le faisceau structu ral de ([: ' + 1. Soit q un entier, l � q � r - 1 . D'après le ' lemme 2.3.4, Hll(�', él') = O. Considérons un cocycle Ç = (Ç10 • • • 14) e Cll('U, él). Par composition avec 1t, on obtient un cocycle Ç' = (1rÇ1• • • • 19) e Cll('U', e>'). Il existe donc 'l ' e Cll- 1(�'. él') tel que � , · = Ç'. Chaque fonction holomorphe '71, . . . t4�1p ouvant être développée en série de Laurent, celle-ci peut être écrite d'une manière unique comme somme de ses composantes homogènes de degré entier donné. Notons '7 1, . . . 19 1 la composante de degré zéro de '7f• . . . t9_1• Les fonctions holomorphes sur un ouvert U de rP' c orrespondant aux fonctions holomorphes homogènes de degré zéro sur 1t- 1(U), '7 = ('7t• . . . t9_1 ) définit un élément de Cll - 1{�. él) et � '7 = Ç. Il faut encore prouver que H'(rP', él) = O . Remarquons d'abord que tout cocycle Ç' e C'('t', él') = él ' ( U� n . . . n u;) se développe en série de Laurent -
00
I;
«o· · · · · «,. -
•
•
•,
0!)
a,.t�· . . . ��·. a,. e x·module inversible et qJ : j * (S) -+ f un é:>x-morphisme surjectif. On dira que deux couples (f, ({J) e t (f', qJ') sont équivalents s'il existe un ex-isomo rphisme 't' : f -+ f' tel qu e qJ' = 7:(/J. r
Si X' -+ Y est un autre espace co m p lex e au-dessus de Y et g : X' -+ X un Y-morphisme (/' = fg), alors tout c o upl e (f, qJ) su r X définit un couple (g•(f), g * (qJ)) sur X' (on a identifié par commodité g*j * (f>) avec f' * (fJ)).
On vérifie facilement que l'on obtient ainsi un foncteu r de la catégorie des espaces complexes au-dessus de Y à val e urs dans la catégorie des ensembles. Dans [ 1 8] on montre qu'il existe un espace complexe, n oté P(f;,), dénommé le fibré projectif associé à g\, un morphisme p : P(�) -+ Y appelé le morphisme structural et un co uple (e( l), e) sur P(t>) représentant ce
foncteur. Ainsi, pour chaque espace complexe X !. Y au-dessu s de Y il y a une correspondance biunivoque entre les Y-morphismes d e X d an s P(&) et les classes d'équivalence de couples (f, qJ) sur X définis ci-dessus ; si i': X -+ P(8) est un Y-morphisme, le couple associé sera (f = r•(e( I )), cp = r•(e)). Le système (P(t;), p, él(I), e) est déterminé uniquement, à un iso m o rphism e près , pa r ce tte p r op ri été . Lo rsque 4> = él'y+ 1 o n montre que P{�) c oï ncid e (aux isomorphismes près) avec Y x IP', l e morphisme stru ct ura l p coïncide avec la projection , él{l ) avec l'image inverse de éJJP, ( l ) par la projection Y x [p' -+ [p', et e est dédui t , à l'aide d e cette projection d u m orphisme, é0,"!: 1 -+ éliP'( I ) défini
par la formul e (s0,
r
•
•
•
, s,) H- 1; t1s1• Dans ce cas on i-1
notera él(m)
l'image inverse d e éliP'(m) par l a projection Y x IP ' -+ [p' ; pou r u n élr x p -mod ul e § , o n écrira 5 (m) = if ®eél(m) (ces faisceaux peuvent s' obtenir aisément aussi par recollement, exactement comme en (a)). O n a l es mêmes propriétés que dans le cas absolu. Reformul ons la propriété d 'universal i t é de Y x [p' l o r s q u e Y se réduit à un point : «Soit X un espace complexe. Alors on a les correspondances biuni voques : H o m(X, [p') � {(f ; s0, • • • , s,)/ l 'équ i valence donnée par d es i s om or p hi s m es } , f étant un faisceau inversible sur X et s0, • • , s, des éléments de rex, f) t el s que, pour tout x e X, i l existe un si avec la propriété S;,x � mxfx». Si 0 : X -+ [p' est l e morphi sme associé à un système {f ; s0, • • • , s,), alors O(x) est le point de coordonnées homogènes s0(x), . . . , s,(x) (comme d'habitude, pour une section s de f, s(x) est son image dans fx/mxfx :: ct ) . De plus, si Pf(l est une fonction rationnelle définie au voisinage de O(x), P et Q étant des polynômes homogènes ayant le même degré et tels que Q(O(x)) =1: 0, alors le germe de foncti on holomorphe défini pa r elle au voisinage du point x e Xo<x> pa r (J est : P(u(s0, x), . . . , u(s,, x))/Q(u(s0,x), . . . , u(s,,x)), u étant un isomorphisme f� � él� (remarquons que l'élément Q(u(s0,x), . . . , u(s,,x)) est inv e rs i ble) . Rappelons encore les deux propriétés suivantes des fibres projec tives. Si Fi -+ 6 est un morphi sme surjectif dans Cob( Y), on obtient alors u ne im mersion fermée P(f>) -+ P(!i), compatible avec les morphismes •
MORPHISMES PROJEC1FS D'ESPACES COMPLEXES
l S9
structurels. Il en résulte en particulier que, localement sur Y, tout fibré projectif P(�) se plonge en un espace de la forme Y x IP', le plongement étant compatible avec les morphismes structurels. L'autre propriété s'énonce ainsi : si ( Y, �) est comme ci-dessus et si cp : Y -+ Y est un morphisme d'espaces complexes, il existe un isomorphisme naturel '
En particulier, pour tout point y de Y, la fibre analytique P($)7 (laquelle est isomorphe au produit fibré de P(�) avec {y, eJ1/m1) au-dessus de Y) s'identifie de manière naturelle avec l 'espace projectif associé à l'espace vect o ri el &7/m , 6, .
X .!. Y un morphisme propre d'espaces complexes et � un eJx-module inversible. Supposons que le morphisme canonique f*f. (f) -+ f soit surjectif. D'après (c) il définit un m orp hi sme X -+ P(f. (f)) compatible avec .f et avec le morphisme structural P{f.(f)) -+ Y. On dira que f est très ample relativement à Y (ou relativement à f) si le morphisme X -+ P(f.(f)) est une immersion fermée. Le faisceau f est ample relativement à Y si pour chaque point y de Y il existe un voisinage V et un entier n � 1 tels que le fa is ceau f*niJ- 1( V) soit très a m ple relati vement à V. Un morphisme f: X -+ Y d'esp::tces complexes est projectif s'il exis te s ur X un faisceau ample relat i ve m en t à Y. On considère en particul ier le cas o ù Y se réduit à l'objet final (• , 'y+ 1 -+ f. (f) -+ �. On obtient donc une immersion fermée P(f .(f)) -+ P(��+ 1) = Y x [p', compatible avec les morphismes structuraux. On trouve ainsi une immersion fermée i : X-+ Y x [p' tel que le diagramme 1
x -- Y
Y x [p' soit commutatif; de plus on a un isomorphisme i • (ê�Y x !P'"0 )) � f. Pour tout élx-module W on obtient alors i. (tl' (m)) � ( i. (tl' )) (m) . On est ainsi ramené à démontrer le théorème lorsque X est de la form e Y X [p',fétant la projection canonique et f le faisceau �xO) l)'image inverse par la projection Yx [p ' -+ [p' du faisceau é'IP'(l )). On utilisera dans ce cas une récurrence suivant r. Pour r = 0 les assertions de l'énoncé sont évidemment vérifiées pour tout entier m. Supposons le théorème vrai pour r - 1 et démontrons-le pour r. Soit tl' e Coh(X) . L'existence d'un m0 vérifiant (A). On notera t0, , t, les coordon nées de [p'. Soit x un point de X et m un entier tel que le m orphisme rf. (tl'(m))x -+ tl'(m)x soit surjectif. M ontrons que ce fait a lieu aussi pour tout entier m', m' � m. Soit x = (y, z), y e Y, z e IP' et U1 une des cartes affines canoniques de [p' contenant z. On considère le morphisme •
0:
•
•
�IP'"(m) -+ �IJ1r(m')
donné par la multiplication par t;:r'-m (pour chaque carte U1 ceci revient à la multiplication par (11/t,r' -m). Ce morphisme est un isomorphisme sur U1• On en déduit alors d'une manière canonique un morphisme de �x-modules W(m)-+W(m'), lequel est un isomorphisme sur Yx Ut. en parti culier au point x. La conclusion désirée en résulte immédiatement. Remar quons encore que, si pour un entier m, le morphisme rf.(tl'(m))Jt: -+ tl' (m)Jt: est surjectif au point x, alors il résulte de la cohérence que cette propriété a lieu dans un voisinage de x.
163
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
Ces deux remarques ramènent l'existence de l'entier m0 à l'assertion suivante : (•) Pour chaque x e X il existe un entier m, dépendant de x ct d e �, tel que le morphisme rt.(�(m)) -+ tf(m)
soit surjectif au point x. Soit x = (y, z) , y e Y et z e [p'. On considère un hyperplan E passant par z, d'équation t = O. On notera avec eJE le faisceau structural de E, prolongé trivialement à IP'""-E. Ici Y x E est un sous-espace fermé de Y x IP' ct on notera é?Jrx E son faisceau structural, prolongé trivialement en dehors de Y x E. On a la suite exacte 0 -+ eJIPr(- 1) -+
é?Jœr -+ eJE -+ 0,
le morphisme eJIP.(- 1) -+ eJIP, étant donné par la multiplication par A l'aide de la projection Y x [p' -+ IP' on obtient une suite exacte
t.
En tensorisant avec ® e x� on obtient la suite exacte 0 -+ To r � x (tf , eJ r x E) -+ �( - 1 ) -+ tf -+ If ® erelr x E -+ O .
On notera, pour simplifier, .m = � ®exeJ Y x E �
et
e =
To r�x(tf, eJY x E) ;
et e sont des é?Jx-modules cohérents et, pour tout entier m, on a exacte 0 -+ Œ:{m) -+ �(m - 1 ) -+ �(m) -+ .m {m) -+ O.
la
suite
On note � .. = Ker (tf{m) -+ .m{m)). On obtient ainsi les suites exactes 0 -+ e (m) -+ tf (m - 1) -+ !,. -+ 0, 0 -+ !,. -+ tf (m) -+ .m(m) -+ o.
En appliquant le foncteur /. , on en dédu,it les suites exactes R1J. (tf (m - 1)) -+ R 1f.(!,.) -+ R2f.(rE(m)) , Rlf.(!,.) -+ RlJ.(tf (m)) -+ Rlf.($ (m)) .
Si ;J(Y x E) est le faisceau maximal d'idéaux associé au sous-espace Y X E c Y x [p', alors �(Y x E).m = 0 et ;J( Y x E)e = O.
1 64
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il en résulte donc que � et e peuvent être considérés comme des eJ y x E -modu les, et donc ce sont des e r x E-modules cohérents. En appliquant l'hypothèse d'induction pour le morphisme Y x E-+ Y et pour ces faisceaux il en résulte l'existence d'un entie r m0 tel que R2f. (rE(m)) et R1f.(�(m)) soient nuls dans un voisinage de y pour tout m ;il: m0• Il en résultera que les applications de faisceaux sont surjectives au point y, pour tout m entiers m, les applications composées
;il:
m0• On en déduit que, pour ces
sont surjectives. Le faisceau Rlf.(!i(m0 - 1)) est eJ y-cohérent d'après le théorème de finitude. La noethérianité de l'eJ,-module R1f.(!i(m0 - 1 ))7 assu re l'existence d un entier m1 ;il: m0 tel que les applications '
soient bijectives pour tout m
;il:
m1• Il en résulte alors que les applications
sont bijectives au point y pour m
;il:
m1• De la suite exacte
on déduit que les applications f.(!i(m)), -+ /. (�(m)),
sont surjectives pour m
;il:
m1• Comme conséquence, les applications
sont surjectives pour m ;il: m1• Conformément à l'hypothèse de récurrence il existe un entier m2 tel que l'application rf.($,(m))x -+ &(m)x
soit surjective pour tout m ;il: m1• Ainsi, pour m suffisamm ent grand, les applications rJ.(!i (m))x -+ rf.(�(m))x et rf.(&{m))x -+ �m)x sont surjectives. On a &(m)x = !i(m)xf;Jx(Y X E)!i(m)".
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
1 6S
L'assertion (•) résultera de ces faits, en utilisant le diagramme com mutatif f*f.(�(m)),. -+ f*f. (�(m)),.
l
l
� (m),. --+ �(m),.
et Je lemme de Nakayama.
L'existence d'un m0 vérifian t (B). On utilisera une récurrence décroissante suivant q. Pour q suffisamment grand, Je foncteur R!lf. est nul. Supposons maintenant que pour un entier q � 2 et pour tout triplet ( Y, K, �). il existe un entier m0 vérifiant (B). On prouvera l'assertion corres . pondante pour l'entier q - 1 . Soit ( Y, K, �) comme dans l'énoncé du théorème (rappelons que l'on s'est ramené au cas X - Yx [p r, f = él(l ) et f la projection). Soit y e Y un point arbitraire. Il suffit de trouver un voi sinage V pour y tel que R!l - lf.(� (m)) soit nul sur V pour m suffisamment grand . Soit V un voisinage de Stein relati vement compact de y. Considé rons un entier m0 tel que le morphisme f*f. (�(mo)) -+ �(mo )
soit surjectif sur J- 1(V). Il existe sur V un morphisme surjectif e>� -+
f. (�(m0)). On en déduit , en appliquant f•, un morphisme surjectif e>� -+ f•J. (5-(m0)) sur j- 1( V) et par composition un morphisme surjectif
e� -+ � (mo)
sur j- 1(V). Soit é>H - m0) -+ � Je morphisme déduit de celui-ci, et soit t!J son noyau ; t!J e Coh((- 1( V)). Pour tout entier m on a, sur J- 1( V), la suite exacte 0 -+ t!j (m) -+ éJP (m - m 0) -+ g;(m) -+ O. On notera toujours f i e morphisme j- 1( V) -+ V déduit de f. On. obt ie n t sur V la suite exacte R!l - lf.(e>Hm - m0) ) -+ R!l - 1/�(g; (m)) -+ R!lf.(éj(m)) .
Conformément à l'hypothèse de récurrence, en restreignant si nécessaire Je voisinage V de y, on a R!lf.(éj (m)) = 0 pour m suffisamment grand. La démonstration du théorème s'achève alors aisément à l'aide du lemme suivant :
LEMME 2.2. Soit Y un espace complexe, X = Yx [p r l'espace projectif de dimension r au-dessus de Y et f: X -+ Y la projection. A lors
pour tout m � 0, q � 1 .
R!lf.(élx(m)) = 0
Démonstration. Si V est u n ouvert d e Stein suffisamment petit de Y, alors H9(Vx [p', élx) = 0 pour q � 1 ; ceci se démontre exactement comme
166
MÉTHODES ALGËJRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dans le cas du lemme 1 . 1 , ou bien peut être déduit de ce dernier par une formule simple de type Küneth. Il en résulte ainsi que R!'f. (ex) = O. On démontrera l'assertion du lemme par récurrence suivant m. Le cas rn = 0 est déjà prouvé. Pour le pas général de récurrence on utilisera en plus une récurrence suivant r. A l'aide d'un hyperplan arbitraire E de IP' on déduit (comme on l'a déjà fait au cours de la démonstration du théorème) une suite exacte
0 -+ ex (
1 ) -+ eX -+ é} Y x E -+ 0 .
La conclusion en résulte alors facilement en utilisant les suites exactes
0 -+ ex(m
1) -+ ex(m) -+ ê> y x E (m) -+ O .
Remarque. Le théorème peut s'appliquer au cas particulier où X est l'espace projectif à r dimensions au-dessus de Y, .f = ê>x( l) et f la projection. Comme on a vu au cours de la démonstration, le théorème se déduit d'ailleurs aisément de ce cas. CoROLLAIRE 2.3. Sous les hypothèses du théorème, soit � -+ c!J -+ % une suite exacte de ê>:x-modules cohérents. Alors, pour tout compact K de Y, il
existe un entier m0 tel que la suite
f.(�(m)) -+ f. (c!J(m)) -+ f. (X (m))
soit exacte sur K, quel que soit rn � m0• Démonstration. Soit � '. c!J ' , c!J" le noyau, l'image et le conoyau du mor phisme Fi -+ c!J. Ici c!J' est le noyau et I!J" l'image du morphisme c!J -+ % ; soit X " le conoyau de ce morphisme. Tous ces ex-modules sont cohérents. Le foncteur � -+ �(rn) étant exact, il suffit de montrer que, pour rn suffi samment grand, chacune des suites
0 � �.(� '(rn))· -+ f.(� (m)) -+ f. (c!J'(m)) -+ 0 , 0 -+ f. (c!J'(m)) -+ f.(c!J(m)) -+ f.(� " (m)) -+ 0, 0 -+ f.(� " (m)) -+ f.(% (m)) -+ f.(X "(m)) -+ 0 ,
est exacte sur K. Autrement dit, on peut supposer que la suite
o-�-�-x-o est exacte. La conclusion résulte alors du théorème et des suites exactes :
0 -+ f.(�(m)) -+ f.(c!J(m)) -+ f.("JC(m)) -+ R1f.(�(m)) -+ . . . COROLLAIRE 2.4. Sous les hypothèses du théorème, si � est un faisceau analytique cohérent sur X, plat au-dessus de Y, et K un compact de Y, alors il existe un entier mo = m0(K, �) ayant la propriété que les faisceaux f.(� (rn)) . sont localement libres sur K, pour rn � mo.
MORPIDSMES PROIECTIFS D'ESPACES COMPLBXES
1 67
La démonstration résulte de
3. 3.9 et 3. 3.1 1 . En considérant dans le théorème Y l'espace complexe réduit à un point, ayant pour fibre le corps complexe, et X = Dl' on obtient les théorèmes A et B de Serre pour l'espace projectif [94] :
THÉORÈME 2.5. Soit [p' l'espace projectif complexe de dimension r et soit eJ le faisceau de germes de fonctions holomorphes sur IP'. Pour tout eJ-module cohérent � il existe un entier m0 = m0(� ) tel que (A) Les faisceaux �(m) = � ® eeJ(m) sont engendrés par les sectio113 globales pour m � m0 ;
(B) Hq(Ql', � (m))
ca
0 pour q � 1 et m � m0•
COROLLAIRE 2.6. Tout faisceau analytique cohérent sur IP' admet une résolu t ion finie avec des faisceaux localement libres de rang fini.
Démonstration. En utilisant l'hypothèse de régularité des anneaux locaux de Dl', il suffit de montrer que tout faisceau � e Coh([p') est le quotient d'un faisceau localement libre de rang fini. Pour m suffisament grand on déduit du théorème un épimorphisme de la forme ej.. -+�(m) -+ 0, donc u n épimorphisme ej..( - m) -+ � -+ 0 et la conclusion en résulte. On conclura ce paragraphe le théorème de comparaison de Serre [94]. On notera X l'espace projectif IP' considéré comme variété algé
brique et X" le même espace considéré comme variété complexe. Tout ouvert de Zariski étant ouvert dans la topologie usuelle et toute fonction rationnelle étant holomorphe, on obtient naturellement un morphisme d'espaces annelés X" -+ X. Pour un point x E x, le morphisme e,. -+ � devient isomorphisme par A A passage au complété (les «: -algèbres e,. et eJ� sont isomorphes à l'algèbre G: [[zb . . . , z,]] des séries formelles en r indéterminés). En appliquant le lemme 1 .4 il en résulte que le morphisme X11 -+ X est plat. Si ::f est un faisceau algébrique cohérent sur X, son image inverse par ce morp hisme est un faisceau analytique cohérent sur X", que l'on notera �". On obtient alors un foncteur exact de la catégorie Coh(X) dans la catégorie Cob(Xh). On a eJ(m)h = &(m), pour rn entier arbitraire. Soit � e Coh(X), tt un recouvrement affine fini de X et ttfh son image inverse sur X". Tout ouvert affine de Zariski étant un ouvert de Stein, '\th sera donc un recou vrement de Stein. On en déduit naturellement un morphisme entre les complexes de Cecb associés C'(tt, � ) -+ C'(tt", �") et donc un morphisme entre les groupes de cohomologie Ir(X, �) -+ H' (X", �") (en fait, l'existence de ce dernier est une propriété générale des espaces annelés). Il est facile de vérifier que ces morphismes sont fonctoriels et compa tibles avec les suites exactes courtes.
·
168
MmlODES ALGIDlRIQUES D ANS LES ESPACES COMPLEXES
THÉORÈME 2. 7. Le foncteur § -+ §11 de la catégorie des faisceaux algébriques
cohérents sur l'espace projectif X = IP' dans la catégorie des faisceaux analytiques cohérents sur cet espace est une équivalence de catégories. De plus les morphismes canoniques H9(X, §) -+ H9(X11, §")
sont des isomorphismes pour q entier arbitraire.
Démonstration. On utilisera les résultats du § l (b) et l'analogue algébrique du corollai re 2.6 (ces faits peuvent être démontrés exactement comme dans le
cas analytique). On vérifie d'abord la dernière assertion. Pou r § = é!J, H0(X, é!J) = H0(X11, &) = CC et H9(X,. é!J) et fl9(X11, &) sont nuls pour q � l. Considérons maintenant le cas des faisceaux é!J(m). On fera une ré currence suivant r. Le cas r = 0 é ta nt évident, démontrons le pas général de récurrence. Soit E un hyperplan d'équation homogène t = O. On a la suite exacte
dans laquelle le morphisme é!J( - 1 ) -+ é!J est celui obtenu par la multipli cation p ar t et où é!JB est le faisceau structural de E = [p•- 1 prolongé trivi alement à [p'"- E. On obtient pour tout entier m la suite exacte
ct
0 -+ é!J(m - 1) -+ é!J(m) -+ é!JB(m) -+ 0
de manière analogue les suites exactes 0 -+ &(m - 1) -+ &(m)
On a un diagramme
� •••
• •
-+
é!JB._(m) -+ O.
commutatif
-+H9(X, é!J(m - 1))-+ H9(X, é!J(m))-+H9(E, é!JB(m)) -+HH 1(X, é!J(m- l))-+
t
t
�
. • •
�
-+H9(X11, é!J(m-l)")-+H9(X", é!J(m)11)-+ H9(E", é!JB(m)")-+HH 1(X11, é!J(m- 1}")-+ D'après
l'hypothèse de récurrence les morphismes
isomorphismes. «Le lemme des cinq» montre que les morphismes du théorème sont des isomorphismes p o u r § = é!J(m) si, et seulement si, il le sont pour 1J = é!J(m - 1). Comme p our m = 0 ce fait a été vérifié, l'assertion cherchée en résulte. sont des
• • •
MORPHISMES
PR01ECTIFS
D'ESPACES COMPLEXES
169
Considérons maintenant le cas des faisceaux algébriques cohérents arbitraires. On utilise une récurrence décroissante suivant q. Pour q suf fisamment grand , Hfl(X, S') et Hfl(Xh, S'11) sont nuls (on utilise la cohomologie de Cech !) et il reste donc à prouver le pas général de récurrence. D'après le § l(b), on a une suite exacte 0 -. .jl. -. .f! -. 8' -. 0
dans laquelle .f! est une somme directe de faisceaux de la forme él(m) . On a le diagramme commutatif • • .
--.
Hfl(X, .jt) --. Hfl(X, .f!) --. H'(X, S') -+ HH 1(X, .jt) --. HH l(X, f) --. . . . �
i
..
�
..
i
.,
!
"*
...:-.H'(X", .jl.h)-. Hfl(X11 , f11)-.Hfl(X11, 8'11)-.HH l(X11, .j�.h)-. Hfl+ l(X11, .f!11)-. ...
Le morphisme s 2 est un isomorphisme ; d'après l'hypothèse de récurrence les m orphismes s, et s5 le sont aussi. Le lemme des cinq montre alors que Ba est surjectif. Ceci étant vrai pour tout S' e Coh(X}, ce le sera aussi pour A et donc s1 est surjectif. En appliquant encore une fois le .lemme des cinq on en déduit que s8 est bijectif et ainsi la démonstration de la seconde assertion du théorème est achevée. Démontrons maintenant la· première assertion du théorème. Soit S' , (!} e Coh(X}. Il existe un morphisme naturel ·
Home(S', (!})11 --. H�m&o(S"11, (!}11).
Montrons qu'il s'agit d'un isomorphisme. Le problème étant local sur X, on peut donc supposer qu'il existe une suite exacte
La conclusion résulte alors facilement de J'exactitude du foncteur (m). Conformément à ce qui précède, il existe lf' e Home(f1 , f0) tel que qi' = lf' ' · Si l'on note � le conoyau de lf' on en déduit que �· z. ��� et le théorème est démontré. Comme application notons le théorème suivant de Cho� : «Tout sous-ensemble analytique fermé de l espace projectif [p' est algébrique». Soit en effet A c [p' un tel ensemble. On considère un faisceau analytique cohérent 81 sur [p' tel que A = Supp 81 . D'après le théorème 2.7 il existe un faisceau algébrique cohérent � tel que � �� z. 81lt . Pour un point x e IP', le ex-module �x est nul si et seulement si le module �� = �.x ®e,.e>! est nul (conséquence du théorème de Krull ainsi que du fait que e>x et e>� ont le même complété). Donc Supp � = Supp �" = A et la conclusion en résulte. '
Remarque. Les résultats de 2.5, 2.6 et 2. 7 peuvent être énoncés en fait pour une variété projective arbitraire X (dans 2.6 on suppose en plus X
non singulière). Les démonstrations se déduisent aisément du par des plongements convenables X -+ IP'.
§
3. Le comportement à
-
oo
cas
considéré
des faisceaux �(m)
Soit f: X -+ Y un morphisme arbitraire d'espaces complexes ; on considère un e>rmodule � et y un point de Y. Notons comme d'habitude X., la fibre f- 1(y) munie de la restriction correspondante du faisceau e>x, = e>x.Jm.,e>x et par �., le faisceau � /m.,� (m étant l'idéal maximal de e>r, 7 et « A » désignant le faisceau engendré par fui dans e>x). � 7 est un ex,-module et on note prof �7 sa profondeur, prof �., = inf profex" .xx(�xfm.,�.x) . x. Jtx)-y x. /(x)-Y De même on notera dim �7 = sup dimex j� .,)" = sup dim ex ttn1ex(�xlm.,�") , x. Jtx)-Y x. Jtx)-y et on utilisera aussi les notations : prof�
=
inf prof �7, la profondeur de � relative à Y,
YEY
dim r � = sup dim � 7, la dimension de � relative à Y. yeY
MOlU'HISMES PROJECriFS D'ESPACES COMPLEXES
On a l'inégalité (pour �
171
+ 0) profr� � dim�.
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de Grothen dieck. THÉORÈME 3.1. Soit f: X-+ Y un morphisme projectif, f un ex-module inversible très ample relativement à Y, � un er-module cohérent plat sur Y et q ;;:, 0 un entier. (a) Si prof� � q + l, alors pour tout compact K de Y il existe un entier m0 m0(K, �) tel que R1[.(�( -m))IK 0 pour tout i � q et m � m0; (b) dim� � q si et seulement si, pour tout compact K de Y, il existe un entier mo mo(K, �) tel que R'l".(�(-m))IK 0 pour tout i> q et =
=
=
=
m ;;mo.
Démonstration. Les assertions du théorème sont de nature locale sur Y. On peut supposer donc qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux Yx IP' telle -+ f.(f). Ceci induit une immersion fermée X-+ X' que f soit induit par er {1) et que le diagramme
8'/1
=
1
X--: y
X' soit commutatif. Si �'est l'image de � par l'immersion X-+ X', alors ex·-module cohérent, plat au-dessus de Y. On a
Il en résulte alors que pour prouver le théorème X IP', f ex(l) etfla projection.
forme Y
�' est un
on peut supposer X de la
=
Pour un ensemble analytique Z de Y (localement fermé) et pour Z x yX}, �z un entier j ;;:, 0 on notera Xz le produit Z X IP'( l'image in-yerse de � par le morphisme Xz -+ X et Sl(Z) le faisceau =
Extbxz q. Pour tout y e Y, on a H1(X1 , g: .,) 0 pou r i > q � dim tf.,, [80] ; la conclu sion résultera de 3.3.1 1 . =
1 74
ManiODES ALOaBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(ii) Au cours de la démonstration on a appliqué le théorème de dualité sur l'espace projectif [p' pour les faisceaux analytiques cohérents. En utili .sant 2.6, cette dualité peut se déduire du cas classique [92] des faisceaux localement libres, de rang fini. CoROLLAIRE 3.2. Soit f: X -+ Y un morph isme propre, plat, pour lequel les fibres X1 sont des espaces parfaits de dimension r ; considérot�s un ex-module inversible f, très ample relativement à Y, et � e Cob(X) localement libre. Alors, pour chaque compact K de Y, il existe un entier m 0 :; m0(K, tf) tel que R'f.(�(-m))IK = 0 pour tout i #: r et m � m0• Deplus, R'i.(tf( -m))IK est localement libre pour m � m0• Démonstration. Pour chaque point y de Y, le faisceau � 7 est localement libre de rang fini au-dessus de X,, donc prof tf 7 = dim � 7 = r (on peut supposer que tous les faisceaux � 7 sont non nuls !). Par conséquent profrf" = dim rf" = r et on applique le théorème. La dernière asser tion résulte de 3.3.8 et du fait que la démonstration du théorème donne le résultat plus précis : H1(X1 , � 1(-m)) = O, i #: r, y e K, m � m0(K, tf). On peut appliquer le corollaire dans la situation suivante : Y espace complexe arbitraire, X = Yx IP', / la projection et f = ex(l). Reformulons maintenant le théorème 3.1 dans le cas absolu. THÉORÈME 3.3. Soit X une variété projective, f un faisceau très ample sur X, tf e Coh{X) et q un entier. On note tf(m) = � ® q et m suffisamment grand. Démonstration. Il faut vérifier seulement l'implication inverse de (a). On se ramène par un plongement convenable au cas X = [p' et f = eiP.(l). La conclusion résulte alors de l'assertion (* *) (laquelle se vérifie facilement dans le cas absolu), exactement comme dans le cas de l'assertion (b) de 3 . 1 . COROLLAIRE 3.4 [6 8 ] . Sous les hypothèses du théorème on suppose de plus que X est normal de dimension � 2 et que tf est localement libre. Alors H1(X, tf(-m)) = 0 pour m suffisamment grand. En effet, en utilisant 1.1 .8, prof � � 2. COROLLAIRE 3.5. Soit X une variété projective, f un faisceau très ample et � e Coh(X). Alors � est Cohen-Macaulay (prof tf =dim tf ) si, et seulement si, il existe un entier q tel que H1(X, tf( -m)) = 0 pour i #: q et m suffi samment grand. En particulier on a le COROLLAIRE 3.6. Sous les conditions du théorème, X est un espace parfait si, et seulement si, il existe un entier q ayant la propriété suivante:
H1(X, ex(-m))
=
0 pour i #: q et m suffisamment grand
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
1 75
Remarque. On peut remplacer dans 3.3 -3.6 les faisceaux très amples .f par des faisceaux de la forme j• (e>(l)), où j: X --. [pN sont des immersions fermées arbitraires. Les résultats correspondants se déduisent de ceux du cas projectif. On conclut ce paragraphe avec le résultat suivant dQ à Grauert. THÉORÈME 3 .7. Soit f: X --. Y un morphisme projectif d'espaces com plexes, .f un élx-module ample relativement à Y, t une section globale de .f, i le faisceau maximal d'idéaux associé au sous-espace des zéros de t, � e Cob(X) et q un entier. Supposons que � est plat au-dessus de Y, que la section t est �-régulière et que profy5 � q + 1 . Alors le morphisme cano nique
m
est un isomorphisme pour i < q e.t un monomorphisme pour i = q. ( Rappelons qu'un point x est un zéro de t si (" e m"f". )
Démonstration. Le problème est de nature locale sur Y et on peut rempla cer i par tout faisceau cohérent d ' idéaux ayant les mêmes zéros. En rem plaçant si nécessaire f par une puissance tensorielle et la section t par une de ses puissances, on peut supposer que f est très ample relativement à Y. En appliquant 3 . 1 on peut supposer en plus qu'il existe un e ntier m0 tel que RfJ.(!f( -m)) = 0 pour i � q et m � m0 • Pour démontrer le théorème il suffira de prouver que si, de pl us , on suppose que Y est un espace de 'S tein, alors le morphisme canonique m
est un isomorphisme pour i < q �t un monomorphisme pour i = q. On a les isomorphismes H1(X, � ( -m)) � r(X, Rlj.(!f(- m))) = 0 pour i � q et m � m0• D ' autre part, la multiplication par tm, considérée comme morphisme de �( -m) dans � , fournit une suite exacte (m � 0). 0 __. �( -m) __. Fi __. Fi rr!f __. 0 On déduit de la suite exacte de cohomologie associée que le morphisme can oniqu e'' H 1(X, Fi) --. H 1(X, Fi /jm!f) est bijectif pour i < q et injectif p our i = q. Ainsi s'achève la démonstration. § 4. Deux critères d'amplitude Le premier critère représente une réciproque du théorème 2. 1 .
THÉORÈME 4. 1 . Soit f: X --. Y un morphisme propre d' espaces complexes
et .f
un
faisceau inversible sur X l'érifiant la condition suivante : pour tout
176
MtniODES ALGéBIUQUES . DANS LES ESPACES COMPLEXES
compact K de Y et pour tout � e Coh(X) il existe un entier n0 = n0(K, s; ) tel que Rttf.(� ®f•")IK = 0 pour q ;l!l 1 et n ;l!l n0• Soua cea conditions, f est ample relativement à Y.
·
Démonstration. Le problème est de nature locale sur Y. Fixons un point Yo e Y. Soit x e X,, = j-1(y0). On démontrera, pour commencer, l'assertion
suivante : (• ) Pour tout faisceau inversible f sur X, si le morphisme canonique rJ.(f) -+ f est surjectif au point x, alors il en est de même pou• les mor phismes rf.(f•") -+ f•", n ;l!l 1 entier arbitraire. En effet, l'hypothêsc montre que tout élément de fx est une combi naison linéaire à coefficients dans �x de germes au point x d'éléments appartenant à f.(f),, = r(X,,, f) ; il en résultera alors que tout élément de (f•")x C! (fx)•" est une combinaison linéaire à coefficients dans �x d'élé ments de la forme s!® . . . ®S: avec s1 e r(Xy,, f) et la conclusion en résulte. On notera m.x l'idéal maximal de �x et aussi le faisceau cohérent d'idéaux sur X qu'il définit. On dé duit de la suite exacte les suites exactes
0 -+ m�®f • "
-+
f•" -+ f•"/m.xf •" -+ O
••
Pour n suffisamment grand, R'f.{mx®f8"),, = 0, donc l es morphismes f.(f•"),, -+ f.{f • "/m.xf • "),,
sont surectifs.
Les faisceaux f•"/mxf•" sont concentrés au point x et leurs fibres sont à .t:"lm.xf:". Ainsi donc les morphismes r(x, . f•") -+ f:"/mxf:" sont surjectifs pour n sufment grand. Conformé:nent au lemme de
égales
Nakayama, les morphismes rf.(f•")x -+ .t:" sont surj ectifs -
.•
D existe un voisinage U:r de x et un entier nx tels que le morphisme · rf.(.t • "-,) -+ . .t •"" soit surj�sur U:r. La fibre X,. étant compacte, on trouve un recouvrement fini {U1)1 < to est un épimorphisme. Le faisceau f•"/m�f®" est concentré au pf>int x et sa fibre en ce point coincide avec f:"/m!f:". On en déduit ainsi que les morphismes r(Xy,, f•") -+ f:"/m!f:" sont surjectifs. Il en résulte alors que les morphismes induits par O•" entre les espaces tangents de Zariski aux points x et O•"(x) sont surjectifs. Par conséquent, pour un entier n comme ci-dessus, le morphisme 0•" est une immersion locale au point x ( § 1 , f). On trouve ainsi des ouverts U., : , U" qui recouvrent Xy. et des entiers , , n�, . . . , nk tels que des morphismes o•"1 : X-+ P(f.(f . "1 )) soient des immer sions sur U1• Soit n' = n� n/c. D'après (!n) le morphisme O•"' : X -+ P(f. (f®"')) est une immersion locale en chaque point de U U1• En pre•
•
•
.
•
1
nant Y plus petit autour de Yo on peut supposer que X = U U1• 1
On montrera ensuite que pour n suffisamment grand 0•" est une appli cation injective. Soient x et x' des points de X tels que f{x) = f(x'). On démontre l'assertion suivante : (• • •) Pour tout faisceau inversible f sur X ayant la propriété q1,1e le morphisme f*/.(f) -+ f est surjectif, si l'application 0 : X -+ P(f.(f)) possède la propriété que O(x) :F O(x'), alors il en est de même aus�i pour les applications 0•", p o�r .tout � ;; 1 . Soit y = f(x) = f(x') · et soient sO, , s' e r(X7, f) comme dans la démonstration de ( .. ). L'hypothèse montre que les points (s«'(x), . . . , s'(x)), (aD(x'), ' s'(x')) difèrent dans l'espace projectif [p'. Soit s E rex,, f) tel que .s(x) ::/: 0 et s(x') ::/: O. Les éléments s" -1®s0, . . . , s" - 1®.s' appartien:. nent à r(X7, f®ll) et séparent les points x et x'. On en déduit alors que O®n(x) ::/: O®"(x')et (• • •) est démontré. . ·
•
•
•
•
• .
k
· soit K un voisinage coinpact de y0 Notons U = U U1 x 1 U1• Consi. •
dérons un point (x, x') e (XX 1X)" U tel que y une suite exacte
=
1 -1
f(x) = f{x1) e K. On a
On ' en déduit, exactement COID.lpe dans les. raisonnements précédents, que pour n assez grand le morphisme canonique
. MORPHISMES I'R.OJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
179
est surjectif. Il en résulte alors facilement que B•li(x) � 8 • " (x') . Puisque 8®" est une application propre, il en résulte qu'il y · a un voisinage W dans Xx 7X pour (x, x') tel que 8®"(x) � 8®11(x') pour tout (x, x') de W. Il existe donc un nombre fini d'ouverts W1 recouvrant ((X x
.,X), U)
n (fx 7f)- 1(K) et des entiers ni' tels que les applications 8®" ;· séparent les points de W1• S oit n" le produit de ces entiers. L'application 88"" sépare les points de ((X x .,X) ""- U) n (/ x 7[)- l(K). En restreignant, si nécessaire, Y autour de Yo on peut supposer que l'application 8•"" sépare les points de (X x .,X), U. Soit n = n'n". Montrons que l'application 8 • " est injective. S oit x � x' tels que f(x)= f(x') (8 • 11 étant un morphisme au�essus de Y, il suffit de se restreindre aux couples de points de ce type). Lorsque x et x' appartiennent à un ouvert U, la conclusion résulte du fait que n est un multiple ' de n;. Si (x, x') e (X x 7X) U, alors 88"(x) � 88"(x') car n est multiple de n". Le morphisme 8 • " est donc injectif, propre et c'est une immersion locale en chacun des points de X. Par conséquent 8�" est une immersion fermée et le théorème est démontré. Le second critère d'amplitude est une conséquence des résultats_ du chapitre 3. .
""-
.
THÉORÈME 4.2. Soit f: X --. Y un morphi:Jme propre et plat d'espaces complexes, f ·un faisceau inversible sur X et y un point de Y. On suppose que 1!7 est un faisceau très ample sur X7 et que H1(X , 1!7) = O. Il exi:Jte
alors un voisinage V de y tel que fiJ- l(V) soit très ample relativement à V; de plus, lefaisceauf.(!!) est libre dans un voisinage de y.
Démonstration. Notons S = f.(f) : · D'après 3.3 .9, S est libre dans un voisinage de y et S.Jm7!7 = r(X,, 1!7). Du fait que le faisceau 1!7 = f/tn7f est très ample il résulte que les éléments de r (X7, 1!7) engendrent les fibres (1!7),. = f,./m7 !!,., x ef- 1(y), De ceci et du lemme de Nakayama on déduit aisément que le morphisme naturel de faisceaux
est surjectif aux points de la fibre f- 1(y). Il en résulte qu'il est surjectif dans un voisinage de f- l(y). En prenant Y plus petit autour de y on peut donc supposer que le morphisme r($) --. f est surjectif et soit i: X --. P(S) = P le morphisme au�essas de Y qu'il fournit. Le morphisme induit par i sur la f bre analytique au-dessus de y est le morphisme X1 --. P1 = P(S(y)), S(y) = S7/m7!7 = HO(X7, 1!7), défini par le faisceau très ample 1!7 sur X7 donc c'est une immersion fermée. La conclusion du théorème résultera alors de la
,
PROPOSITION 4.3. Spit Z un espace complexe, X et Y deux espaces complexes
au-dessus de Z tels que les morphismes structurels g : X --. Z, h : Y --. Z soient propres et que f: X --. Y soii un Z-morphisme. Soit z e Z et!: : X., __. Y, l'application induite par f.
MORPHISMES
PROJECTiFS
D'ESPACES COMPLEXES
181
Rappelons qu'un morphisme d'espaces complexes f: X -+ Y est lisse tout point x e X il existe des voisinages U,. (respective ment V,) pour x (respectivement pour y = f(x)) ainsi qu' un ouvert D,. d'un espace numérique, tels que f( U,.) c V,, U,. � v, x D:JÇ et fi U,. : U:JÇ -+ V, soit obtenu à l'aide de la p roj ecti on ·v, x D,. -+ V,. Le morphisme f est, en particulier, plat. Si f est de plus propre et si ses fibres sont des surfaces de Riemann de genre g, alors X est appelée une courbe. de genre g au-dessus de Y. Dans ce cas le faisceau a}1y des différentielles relatives est un �.rmodule inversible [ 1 8].
(ou
simple) si pour
CoROLLAIRE 4.4. Soit X une «courbe de genre g au-dessUJ de Y» et soit D = a}1y le faisceau des différentielles relatives. (a) Si g = 0 alors a• -n est très ample relativement à Y, pour tout
n � I. (b) Si g = 1 et si s est la section marquée de X au-dessus de Y corres pondant donc à un �x-idéal i .sur X, alors j• - n est très ample relativement à Y pour tout n � 3. (c) Si g = 2, alors a•n est très ample relativement à Y pour n � 3. (d) Lorsque g � 3, alors o•n est très ample relativement à Y pour n
� 2. La
démonstration résulte du théorème, les conditions à vérifier étant des conséquences du théorème de Riemann-Roch [95]. Le corollaire 3.2 peut être appliqué lorsque X est une «courbe de genre g au-dessus de Y» : du corollaire précédent on peut obtenir des faisceaux très amples � à l'aide de a}1 y. Par exemple :
CoROLLAIRE 4.5. Soit f; X -+ Y une «courbe de genre zéro au-dessus de Y», a = a}1y le faisceau des formes différentielles holomorphes relatives et � e Cob(X), localement libre. Alors, localement sur Y, f.(� ® .O•m) = 0 et Rlf.(� ® .o•m) est libre, pour m suffisamment grand. En effet , � = a• - 1 est très ample relativement à Y et la conclusion résulte
de
3.2.
lndlcatloas bibliographiques
La démonstration initiale du théorème de Graucrt-Rcmmcrt dans le cas X Y x l"', f 19x(l). / =- la projection, sc trouve dans [40] ; dans le cadre de celle-ci on prouvait aussi la cohérence des faisceaux R.
